Modelado de toma de decisión con coalición de criterios e información lingüistica

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística Tesis que presenta el Ingeniero Rubén Alfredo Bernal Para optar al título de DOCTOR Director: Dr. José Ignacio Peláez Sánchez Codirector: Dr. Marcelo Javier Karanik Málaga – España Octubre – 2015 AUTOR: Rubén Alfredo Bernal http://orcid.org/0000-0001-6842-8933 EDITA: Publicaciones y Divulgación Científica. Universidad de Málaga Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercialSinObraDerivada 4.0 Internacional: Cualquier parte de esta obra se puede reproducir sin autorización pero con el reconocimiento y atribución de los autores. No se puede hacer uso comercial de la obra y no se puede alterar, transformar o hacer obras derivadas. http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode Esta Tesis Doctoral está depositada en el Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga (RIUMA): riuma.uma.es i A mi esposa e hijos iii La memoria titulada “Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística” que presenta D. Rubén Alfredo Bernal para optar al grado de doctor, ha sido elaborada en el departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación de la Universidad de Málaga, bajo la dirección del Doctor D. José Ignacio Peláez Sánchez y la codirección del Doctor D. Marcelo Karanik. Málaga, Octubre 2015 El Doctorando El Director El Codirector Rubén Alfredo Bernal Dr. José Ignacio Peláez Sánchez Dr. Marcelo Karanik v Agradecimientos Después del caminar que arrancó hace varios años para la confección de esta tesis, es preciso dar gracias a muchas personas por las enseñanzas recibidas pero especialmente por los momentos vividos y compartidos. Especialmente al Dr. José Ignacio Peláez Sánchez, mi director de tesis, por su valioso aporte y por invitarme a pensar por caminos diferentes. También quiero agradecer profundamente al Dr. Marcelo Karanik, mi codirector de tesis, por su dedicación, su apoyo incondicional y largas charlas de debates. A mi padre, porque desde el cielo estará orgulloso por el logro obtenido y a mi madre por su silencio y contención. Finalmente, debo destacar la invalorable ayuda de mi esposa e hijos, por alentarme a seguir y por entender los motivos que muchas veces les privaron de la presencia de su esposo y padre. Rubén Alfredo Bernal Málaga – España Octubre 2015 vii Contenidos Capítulo 1 Introducción ................................................................................................ 1 1.1. Toma de Decisiones ........................................................................................................... 1 1.1.1 ¿Cuáles son las decisiones importantes? .............................................................................................. 2 1.1.2 ¿Existen Procesos Formales para tomar decisiones?............................................................................ 3 1.1.3 ¿Qué es la coalición de criterios?.......................................................................................................... 4 1.2. Motivación del Trabajo de Tesis ......................................................................................... 5 1.3. Estructura de la Tesis ......................................................................................................... 7 Capítulo 2 Conceptos Preliminares ............................................................................. 10 2.1. Operadores de Agregación ............................................................................................... 10 2.1.1 Operadores clásicos ............................................................................................................................ 12 2.1.1.1 Media aritmética ......................................................................................................................... 12 2.1.1.2 Media aritmética ponderada ...................................................................................................... 12 2.1.1.3 Media geométrica ....................................................................................................................... 13 2.1.1.4 Media armónica .......................................................................................................................... 14 2.1.2 Operadores OWA ................................................................................................................................ 14 2.1.3 Familia de Operadores OWA .............................................................................................................. 18 2.1.3.1 ME-OWA...................................................................................................................................... 18 2.1.3.2 S-OWA ......................................................................................................................................... 19 2.1.3.3 Window-OWA ............................................................................................................................. 21 2.1.3.4 Operadores con pesos dependientes de los valores a agregar ................................................... 23 2.1.3.5 Neat OWA ................................................................................................................................... 23 2.1.4 Operador Geométrico OWG ............................................................................................................... 25 2.2. Operadores de Mayoría ................................................................................................... 26 2.2.1 IOWA ................................................................................................................................................... 28 2.2.2 Mayoría MA-OWA ............................................................................................................................... 29 Introducción 1 Capítulo 1 Introducción En este capítulo se introduce el concepto de toma de decisiones como un aspecto inevitable en la vida, se destacan los operadores de agregación como herramientas indispensable de apoyo a la decisión. Se realiza además una breve distinción de los operadores clásicos y su limitada utilidad respecto al modelado de situaciones de consenso por mayoría o cuando existe algún tipo de interacción entre los criterios evaluados en el proceso de toma de decisión. 1.1. Toma de Decisiones Desde el principio de la vida, los seres humanos enfrentamos un sinnúmero de situaciones donde es necesario decidir qué camino seguir. Tomamos decisiones continuamente, algunas veces por motivos significativos y trascendentes, tales como alcanzar un noble ideal, formar una familia, tener hijos o elegir la actividad que deseamos realizar durante nuestra existencia; aunque no son más que unas pocas a lo largo de toda una vida. La mayoría de las veces decidimos por cosas menos importantes. Qué ropa ponernos, qué desayunar o cenar o el lugar para disfrutar las vacaciones. La inmensa mayoría de nuestras decisiones son pequeñas, fútiles o intrascendentes. Sin embargo, el conjunto total de las grandes y pequeñas decisiones es lo que nos define. Somos, en definitiva, la suma de cada una de esas elecciones. Normalmente, un problema de esta naturaleza, consiste en seleccionar alternativas apropiadas de un conjunto de alternativas posibles que pueden ser evaluadas respecto de un número de criterios o atributos. Estas cuestiones pueden volverse sumamente complejas, sobre todo cuando se consideran diferentes ambientes del problema, como por ejemplo bajo situaciones de incertidumbre, de riesgo o con datos imprecisos. Si a estas circunstancias se le suma la Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 2 necesidad de lograr un consenso entre personas que pueden intervenir y las interacciones que pueden darse entre los criterios, puede no ser sencillo escoger la alternativa más adecuada en el proceso decisorio. 1.1.1 ¿Cuáles son las decisiones importantes? William Starbuck expresa claramente: "Tomar una decisión implica el fin de la deliberación y el inicio de la acción". A diario los seres humanos deben tomar decisiones, tanto a nivel personal, familiar, organizacional o en niveles de mayor envergadura. Por esta razón, el hombre ha estado en una constante búsqueda de herramientas y conocimientos que lo ayuden en dicha tarea. Tomar decisiones basadas en la mera intuición puede provocar, a menudo, que las acciones que se inicien como consecuencia de estas, no sean las más adecuadas. Una decisión, normalmente implica cambios, y la necesidad de asumir un riesgo como parte ineludible de cada decisión tomada, debido a que siempre existirán alternativas que son suprimidas. Las personas, los gobiernos u organizaciones, etc., se ven obligados a calcular y gestionar los riesgos asociados a tomar buenas o malas decisiones por el impacto que pueden tener en sus bienes o activos. Sin lugar a dudas, en los diversos aspectos de la vida, el proceso de elegir una alternativa, armar un ranking o clasificarlas, es una tarea constante y de crucial importancia. Así por ejemplo, en un proceso de evaluación de proyectos de cualquier naturaleza, donde es necesario realizar una asignación de recursos lo más adecuadamente posible, de modo de maximizar los beneficios y minimizar gastos y posibles pérdidas, es necesario contar con herramientas que permitan seleccionar los más rentables, priorizando los disponibles de la manera más objetiva posible. Una decisión errónea, puede provocar la asignación de recursos (económicos, humanos, de infraestructura, etc.) a proyectos que no son convenientes desplazando a otros que sí lo son. Los programas sociales o gubernamentales tampoco escapan a situaciones donde deben tomarse decisiones adecuadas, sobre todo porque existen factores como distorsiones económicas, impuestos, aranceles, subsidios, precios, monopolios, oligopolios, impacto ambiental, costos de inversión, de mantenimiento, de operación, etc., que pueden perturbar el proceso decisorio. Introducción 3 Similarmente, las entidades financieras pertenecen a otro ámbito donde el proceso de toma de decisiones es fundamental. El riesgo que posee una entidad como consecuencia del incumplimiento de las obligaciones contractuales de sus contrapartes es un aspecto que acarrea múltiples inconvenientes administrativos y de costos si las decisiones tomadas son incorrectas. Por lo tanto, será altamente deseable que estas entidades dispongan de métodos más precisos que permitan decidir qué clientes minimizan el riesgo para ofrecerles sus productos. Cuando estas cuestiones exceden el nivel personal o de una única entidad, la toma de decisiones puede requerir el acuerdo de la mayoría de los decisores, buscando además disminuir o atenuar las objeciones de la minoría y alcanzar así decisiones por consenso. 1.1.2 ¿Existen Procesos Formales para tomar decisiones? En estudios realizados para medir los límites cognitivos (Miller, 1956), se establece que una persona puede manejar entre cinco y nueve piezas de información de manera simultánea. Esto implica que las limitaciones cognitivas pueden generar, en ciertas situaciones, que el decisor no pueda determinar eficientemente la importancia de ciertas características relevantes para el proceso de toma de decisión. Si bien existen técnicas para sintetizar información y detectar lo que realmente es relevante de una situación, las limitaciones cognitivas propias del decisor pueden también incrementar sustancialmente el grado de dificultad en la selección de la alternativa adecuada. Es por ello que constantemente se proponen métodos que buscan minimizar la complejidad del proceso de toma de decisiones y hacerlo más sencillo para el hombre. Dentro de este ámbito, se han desarrollado diferentes esquemas que intentan dar respuesta al problema de la toma de decisión, como son, entre otros: los grafos de preferencias (Roubens and Vincke, 2012), el proceso analítico jerárquico (Saaty, 1988), los métodos Electre (Roy, 1991) (Figueira et al., 2005), toma de decisión lingüística (Herrera and Herrera-Viedma, 2000) (Massanet et al., 2014) (Xu, 2008) (Delgado et al., 1993), etc., teniendo como nexo común todos ellos el uso de operadores de agregación ya sea en una o en varias de sus fases de desarrollo. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 4 En un proceso de decisión donde probablemente se evalúen alternativas frente a distintos criterios es necesario contar con mecanismos que permitan obtener una media o valor global para cada alternativa teniendo en cuenta los criterios analizados. Este mecanismo, normalmente denominado agregación, se implementa a partir de funciones u operadores de agregación que permiten combinar diferentes valores en un único valor; el cual puede ser visto como representativo de las valoraciones de entrada. El proceso de agregación puede realizarse de diferentes maneras de acuerdo a lo que se espera de dicho proceso (semántica de agregación), a la naturaleza de los valores a agregar y de la escala que se utilice. Por lo tanto, de acuerdo al dominio de aplicación del problema los diferentes tipo de operadores pueden ser útiles o no (Marichal, 1998). Existen funciones de agregación ampliamente utilizadas, dentro de las cuales la media aritmética ponderada es una de ellas. Asimismo, los operadores OWA (Yager, 1988), en todas sus variantes, están siendo utilizados considerablemente en los últimos años. Sin embargo no permiten modelar situaciones donde es necesario tener un valor representativo de la mayoría (Peláez and Doña, 2003a) (Peláez et al., 2007) o cuando los criterios evaluados no son independientes unos de otros (Marichal, 2000). 1.1.3 ¿Qué es la coalición de criterios? En un proceso de TD bajo incertidumbre, donde existen varios criterios y varias alternativas, es posible encontrar dependencias entre los criterios que son evaluados en el proceso decisorio. Es decir, que existan agrupaciones de criterios cuya presencia de manera conjunta puede tener mayor o menor peso (importancia) que la suma de la importancia de dichos criterios por separado o tomados individualmente (Tan, 2011). La multiplicidad de criterios a considerar es un componente importante que se presenta en numerosos ámbitos y que normalmente implica un gran esfuerzo al momento de construir un modelo que refleje sus interacciones. Es muy frecuente encontrarse con situaciones donde ocurren claras dependencias entre criterios que generan cambios en las valoraciones de la importancia de los mismos. Introducción 5 Tomando como ejemplo una entidad financiera, donde se desea decidir sobre la asistencia crediticia a diferentes clientes, es claramente evidenciable la relación entre el riesgo asumido, ingresos mensuales y las edades de dichos clientes. Es así que a mayor edad cronológica seguramente habrá que considerar un mayor riesgo que si se tiene una cartera más joven con ingresos similares. Asimismo, considerando el problema en el cual se desea evaluar a estudiantes en relación a diferentes asignaturas: estadística, probabilidades y álgebra (Marichal, 2000). Claramente, las dos primeras tienen algún grado de redundancia debido a que normalmente los alumnos que tienen un buen desempeño en estadística, también lo tendrán en probabilidades y viceversa. Como los dos primeros criterios, de alguna manera están superpuestos o tienen una correlación, es posible que se sobreestime a buenos alumnos en estadística y probabilidades y se subestime a los que no lo son. En problemas donde los criterios que se tienen en cuenta para la decisión, no tienen relación o son independientes, la importancia que tienen las agrupaciones de los mismos es aditiva, sin embargo cuando dichos criterios tienen alguna interacción dicha importancia podría ser mayor o menor (Marichal, 2000). Las medidas clásicas como la media aritmética ponderada o los operadores OWA no modelan adecuadamente el fenómeno (Tan and Chen, 2010) (Tan, 2011). Son necesarios otros modelos más elaborados que permitan proveer de importancias diferentes a los criterios cuando aparecen en relación unos con otros. La integral discreta de Choquet con respecto a medidas difusas no aditivas es un operador de agregación adecuado para modelar el fenómeno expuesto (Grabisch and Labreuche, 2005), de manera que, al combinar las entradas no solamente se tenga en cuenta su magnitud o importancia individual, sino que tomen relevancia las coaliciones que pueden aparecer. 1.2. Motivación del Trabajo de Tesis Cuando es necesario resumir en un único valor diferentes opiniones relacionadas a una situación particular, usualmente se recurre a un proceso de agregación. Este proceso básicamente consiste en determinar el valor apropiado que represente la opinión de la mayoría. Es común el uso de la media aritmética ponderada a pesar de los conocidos problemas que presenta cuando los valores a agregar son extremos (Peláez and Doña, 2003a). Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 6 Los operadores OWA son una alternativa (Yager, 1988), aunque presentan problemas de distribución cuando se maneja el concepto de cardinalidades. Si bien este problema puede resolverse mediante el uso de operadores de mayoría como el MA-OWA (Peláez and Doña, 2003a), en determinadas condiciones, concretamente cuando las cardinalidades de algunos de los valores a agregar son muy altas, este operador converge muy rápidamente a la mayoría, descartando totalmente la opinión de la minoría. Para dar solución a este problema, se propone una nueva variante del operador MA-OWA denominado SMA-OWA (Selective Majority Additive Ordered Weighting Averaging Operator). El mismo implementa un mecanismo que permite proporcionar un grado de importancia a las opiniones de modo que la minoría no sea desestimada muy rápidamente. Se proveen además una adecuada caracterización y una validación del comportamiento del operador para procesos de agregación de mayoría. En los últimos tiempos, el comercio electrónico ha crecido muy rápidamente. Es cada vez más frecuente encontrase con personas que adquieren productos y servicios vía Internet y que además basan su compra en información contenida en este medio. Comprar un libro o una cámara fotográfica, reservar un hotel o decidir sobre qué película mirar, puede ser una decisión fundamentada en información consultada en los denominados Social Media. Es habitual observar las opiniones de otros compradores que han valorado los mismos productos o servicios con el objetivo de orientar el proceso de compra o adquisición. Con la finalidad de ofrecer una valoración de los productos y servicios ofrecidos, la mayoría de sitios web proveen la posibilidad de que los usuarios expresen su opinión luego de realizada la compra. Cada comprador es invitado a expresar su grado de satisfacción mediante una escala definida (expresadas normalmente con un sistema de estrellas o etiquetas lingüísticas). Finalmente las opiniones son resumidas en una única valoración por producto o servicio. Un problema muy común, es la manera en que se resumen las opiniones de los usuarios en un único valor debido a que normalmente no es representativo de la mayoría. Asimismo, en determinadas situaciones, las alternativas de opinión pueden tener la misma importancia unas con otras, sin embargo, si una gran cantidad de personas votan una opción, Introducción 7 ¿debería tener el mismo peso que otra que tiene un solo voto? Para manejar esta cuestión se propone un nuevo operador de consenso denominado SAM-OWA (Selective Aggregated Majority Ordered Weighted Averaging) que permite asignar diferentes pesos a cada alternativa. Adicionalmente, cuando intervienen diferentes criterios en la decisión, es muy frecuente encontrarse con situaciones donde dichos criterios tienen algún tipo de interacción. Por ejemplo, en un diagnóstico médico donde la presencia de un síntoma no es relevante sin la presencia de otro que ocurra simultáneamente. En estas circunstancias, para obtener resultados adecuados y elegir las alternativas más apropiadas, es necesario emplear operadores de agregación particulares como las integrales difusas, ya que los operadores clásicos como la media aritmética ponderada o los operadores OWA no se comportan adecuadamente. Las integrales difusas proporcionan un funcionamiento apropiado cuando ocurren coaliciones entre los criterios debido a que no solamente de proporcionan pesos a cada criterio individualmente, sino que además pueden asignar importancia a los diferentes subconjuntos de criterios. Esta posibilidad se debe a que están definidas respecto de una medida difusa o capacidad. Por lo tanto, será necesaria la definición de una medida difusa adecuada que modele este tipo de situaciones teniendo en cuenta las opiniones de diferentes expertos y minimizando las apreciaciones que estos deban suministrar. Se propone modelar un método de toma de decisión multicriterio, multi experto, mediante la utilización de información lingüística (basado en la integral discreta de Choquet) para establecer la importancia individual de cada criterio y de los posibles grupos que puedan aparecer cuando existen dependencias entre los mismos. 1.3. Estructura de la Tesis La memoria está organizada en diferentes capítulos que se detallan a continuación. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 8 En el Capítulo 2 se hace una descripción detallada de los operadores de agregación más utilizados actualmente, partiendo de los más simples hasta llegar a los definidos con una finalidad específica. Se consideran operadores de mayoría junto con sus versiones lingüísticas, y otros que modelan situaciones donde puede ocurrir alguna interacción entre los criterios evaluados. En el Capítulo 3 se presenta un nuevo operador de agregación denominado SMA-OWA como extensión del conocido operador MA-OWA. Se realiza una definición matemática del operador donde se explican las características del mecanismo que permite asignar diferente importancia a las opiniones de la mayoría y minoría: denominado CRF (Cardinality Relevance Factor). Se propone además un proceso de validación del operador considerando tres diferentes aspectos: la enumeración detallada de las propiedades requeridas para un operador de agregación; un estudio detallado de la manera en que se calculan los pesos a partir de las cardinalidades; y una comparación de la distancia Manhattan promedio entre las opiniones individuales y los valores agregados en relación a la media aritmética ponderada y el operador MA-OWA. El Capítulo 4 provee una generalización del operador de agregación SMA-OWA debido a que, a pesar de contar con un mecanismo para proveer importancia a las minorías, carece de la posibilidad de asignar pesos a los valores individuales basados en criterios distintos a su cardinalidad (como por ejemplo la importancia de cada valor a agregar). Se define entonces el operador de agregación SAM-OWA mediante el cual es posible asignar pesos (o importancia) a cada valor a agregar y, al mismo tiempo, usar las cardinalidades en el proceso de agregación. Se muestra su aplicación en Social Media para obtener un valor representativo de las opiniones de usuarios, cuando se evalúan productos o servicios. Se presentan varios casos donde queda evidenciado un mejor comportamiento (para modelar el concepto de mayoría) que al utilizar la media aritmética. En el Capítulo 5 se discute la necesidad de considerar medidas e integrales difusas para modelar procesos de agregación donde se presenta algún tipo de dependencia entre los criterios intervinientes en la toma de decisión. Introducción 9 El modelo propuesto, basado en la integral discreta de Choquet, plantea la construcción automática de la medida difusa asociada a este tipo de operadores de agregación, tomando como base la importancia individual de cada criterio, sus interacciones y el grado de sinergia de las mismas. Los decisores podrán suministrar esta información mediante el uso de etiquetas lingüísticas como mecanismo para facilitar su experiencia durante el proceso decisorio. Finalmente se exponen las conclusiones que se derivan de esta memoria, así como las aportaciones y principales líneas de futuros trabajos que han surgido durante su desarrollo. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 16 Propiedades Principales  Un operador OWA es una función acotada: 𝐹∗(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)≤𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)≤𝐹∗(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛);  Es conmutativa: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=𝐹(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛), siendo 〈𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛〉 una permutación de 〈𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛〉;  Es monótona: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)≤𝐹(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛), siendo 𝑎𝑖≤𝑏𝑖 para todo 𝑖.  Es idempotente: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=𝑎, siendo 𝑎𝑖=𝑎 para todo 𝑖. Un detalle más amplio de las propiedades de este tipo de operadores con sus correspondientes demostraciones se puede encontrar en (Fodor et al., 1995). Yager (Yager, 1988) introdujo además dos importantes medidas asociadas con un operador OWA. La primera llamada dispersión o entropía y se define como: 𝐷𝑖𝑠𝑝(𝑊)=−∑𝑤𝑖∙ln𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 (11) y cumple las siguientes propiedades:  si 𝑤𝑖=1 para algún 𝑖, entonces las dispersión es mínima: 𝐷𝑖𝑠𝑝(𝑊)=0;  si 𝑤𝑖=1𝑛 para todo 𝑖, entonces la dispersión es máxima: 𝐷𝑖𝑠𝑝(𝑊)=ln𝑛. La segunda medida definida en (Yager, 1988), se denomina medida 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 y se define como: 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊)=1 𝑛−1∑(𝑛−𝑖)∙𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 (12) Agregaciones OWA con 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 mayor o igual a 12 ⁄, se consideran del tipo OR y menor o igual que 12 ⁄, del tipo AND. Las primeras corresponden a preferencias más bien optimistas mientras que las segundas representan preferencias pesimistas. Es simple notar además que 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊∗)=0 y 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊∗)=1. La agregación con un vector de pesos decreciente 𝑤1≥𝑤2≥⋯≥𝑤𝑛 determina un vector optimista (del tipo OR), mientras que si los pesos son crecientes 𝑤1≤𝑤2≤⋯≤𝑤𝑛, define un vector pesimista (del tipo AND). De esta forma se puede definir una medida de 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 como: Conceptos Preliminares 17 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊)=1−𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊) (13) El siguiente teorema muestra formalmente esta característica (Yager, 1993): Teorema. Sean 𝑊 y 𝑊′ dos vectores de dimensión n tales que: i. 𝑤𝑖=𝑤𝑖′, 𝑖≠𝑗; 𝑖≠𝑘 ii. 𝑤𝑗=𝑤𝑗′+Δ iii. 𝑤𝑘=𝑤𝑘′−Δ con Δ>0, 𝑗>𝑘, entonces 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊)>𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊′) Demostración 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊)=1 𝑛−1∑(𝑛−𝑖)∙𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 (14) 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊)=1 𝑛−1∑((𝑛|−𝑖)∙𝑤𝑖′+(𝑛−𝑗)Δ−(𝑛−𝑘)Δ) 𝑛 𝑖=1 (15) 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊)=𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊′)+1 𝑛−1Δ(𝑘−𝑗) (16) y como 𝑗>𝑘, entonces se cumple que 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊)>𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝑊′). Este teorema muestra cómo, conforme se sube en el vector de pesos, el 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 del operador aumenta, disminuyéndose en el caso contrario. Considerando un vector de pesos 𝑊=[𝑤𝑛,𝑤𝑛−1,…,𝑤1], se obtiene un operador OWA dual de 𝐹 denotado por 𝐹. Semántica de los operadores OWA Los operadores OWA, en función de la determinación del vector de pesos, pueden tener diferentes interpretaciones. Un rol importante de este tipo de operadores tiene que ver con el modelado de cuantificadores lingüísticos definidos en (Zadeh, 1983). Se considera que el vector de pesos es una manifestación del cuantificador que subyace el proceso de agregación (Yager, 1988). Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 18 Un cuantificador monótono no-decreciente, se define como una función 𝑄:[0,1]→[0,1] tal que: i. 𝑄(0)=0 ii. 𝑄(1)=1 iii. 𝑄(𝑥)≥𝑄(𝑦) con 𝑥>𝑦 Para modelar cuantificadores típicos tales como “para todo”, “la mayoría”, “al menos la mitad”, etc. se puede utilizar la siguiente función: 𝑄(𝑥)={0 𝑥<𝑎 𝑥−𝑎 𝑏−𝑎 𝑎≤𝑥≤𝑏 1 𝑥>𝑏 con 𝑎,𝑏,𝑥 ∈[0,1] (17) Variando los parámetros 𝑎 y 𝑏, se pueden obtener cuantificadores específicos. Por ejemplo, si (𝑎,𝑏)=(0.6,1) se comportaría como el cuantificador “la mayoría”. El vector de pesos se obtiene de la siguiente manera: 𝑤𝑖=𝑄(𝑖𝑛)−𝑄(𝑖−1 𝑛); 𝑖=1,…,𝑛 (18) Por ejemplo, para 𝑛=10, se obtiene 𝑊=[0,0,0,0,0,0,0.25,0.25,0.25,0.25]. 2.1.3 Familia de Operadores OWA Una de las principales ventajas de los operadores OWA es la flexibilidad que tienen para realizar el proceso de agregación y está directamente relacionado con la manera en que se determina el vector de pesos 𝑊. Variando unos pocos parámetros es posible construir una familia de operadores OWA, tal como se detalla en (Yager, 1993). 2.1.3.1 ME-OWA La primera familia de operadores OWA parametrizados fue introducida por O´Hagan (O’Hagan, 1988), donde sugiere calcular el vector de pesos asociado al operador OWA maximizando la entropía. El primer paso consiste en seleccionar el valor de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 𝛼 Conceptos Preliminares 19 (optimista o pesimista); el segundo paso es encontrar los valores 𝑤𝑖 del vector de pesos 𝑊, de modo que devuelvan el valor 𝛼 deseado con la máxima dispersión (entropía): 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟: −∑𝑤𝑖∙ln𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 (19) sujeto a: 𝛼= 1 𝑛−1∑(𝑛−𝑖)∙𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑤𝑖=1 𝑛 𝑖=1 , 𝑤𝑖∈[0,1]. (20) 2.1.3.2 S-OWA Esta familia de operadores fue introducida por (Yager and Filev, 1994). A su vez se pueden distinguir dos subfamilias: los operadores del tipo ‘OR’ y los del tipo ‘AND’. En ambos casos, para calcular los pesos 𝑤𝑖 es necesario definir un par de parámetros: 𝛼∈[0,1] y 𝛽∈[0,1] respectivamente. La modalidad de cálculo, para cada caso, es la siguiente: Para el caso de operadores del tipo ‘OR’ (denominados 𝐴𝑆𝑂): 𝑤1=1𝑛(1−𝛼)+𝛼 𝑤𝑖=1𝑛(1−𝛼); 𝑖=2..𝑛 (21) lo que provee una agregación de la forma: Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 20 𝐹𝑆𝑂(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=𝛼∙max(𝑎𝑖)+1𝑛(1−𝛼)∑𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 (22) Esto permite generar un promedio ponderado entre el máximo y la media de los valores a agregar. Adicionalmente, la medida de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 se calcula como sigue: 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝑂)=12(𝛼+1) (23) y como 𝛼∈[0,1], necesariamente 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝑂)∈[0.5,1]. Cuando 𝛼=1, el 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝑂)= 1 y cuando 𝛼=0, el 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝑂)=12; (coincidentes con un promedio simple). La Figura 1(a) muestra la forma típica de un cuantificador que genera una agregación S-OWA del tipo ‘OR’. Para el caso de operadores del tipo ‘AND’ (denominados 𝐹𝑆𝐴): 𝑤𝑖=1𝑛(1−𝛽); 𝑖≠𝑛 𝑤𝑛=1𝑛(1−𝛽)+𝛽 (24) lo que provee una agregación de la forma: 𝐹𝑆𝐴(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=𝛽∙min(𝑎𝑖)+1𝑛(1−𝛽)∑𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 (25) y permite generar un promedio ponderado entre el mínimo y la media de los valores a agregar. Adicionalmente, la medida de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 se calcula como sigue: 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝐴)=12(1−𝛽) (26) y como 𝛽∈[0,1], necesariamente 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝑂)∈[0,0.5]. Cuando 𝛽=1, el 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝐴)= 0 y cuando 𝛽=0, el 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑆𝐴)=12 (coincidentes con un promedio simple). La Figura 1(b), muestra la forma típica de un cuantificador que genera una agregación S-OWA del tipo ‘AND’. Conceptos Preliminares 21 (a) (b) Figura 1: Cuantificadores S-OWA estilo ‘OR’ (a) y estilo ‘AND’ (b) Finalmente, dado un valor de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 𝜆 es fácil calcular los valores asociados al vector de pesos 𝑊 de la siguiente manera: i. Si 𝜆≥0.5, 𝛼=2𝜆−1 para el operador S-OWA del estilo ‘OR’; ii. Si 𝜆<0.5, 𝛽=1−2𝜆 para el operador S-OWA del estilo ‘AND’. En (Yager, 1993) se puede encontrar una generalización del operador S-OWA que combina las dos familias de operadores con 𝛼,𝛽∈[0,1] y 𝛼+𝛽≤1. 2.1.3.3 Window-OWA Otra familia de operadores OWA, descriptos en (Yager, 1993), se caracteriza por usar dos parámetros 𝑚 y 𝑘 para determinar los pesos de la agregación mediante: 𝑤𝑖={0 𝑖<𝑘 1 𝑚𝑘≤𝑖<𝑘+𝑚 0 𝑖≥𝑘+𝑚 (27) Los valores 𝑚 y 𝑘 son números enteros positivos tal que 𝑘+𝑛≤𝑛+1, donde 𝑛 representa la cardinalidad de la agregación. Este operador tendrá un vector de pesos 𝑊 con las siguientes características: 𝑚 pesos distintos de cero y todos con el idéntico valor 1 𝑚, siendo la posición 𝑘 donde comienzan los pesos no nulos como por ejemplo: 𝑊=[0,0,13,13,13,0]𝑇. Definición Este tipo de operadores se define mediante: 𝛼 1 1 1−𝛽 1 1 Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 22 𝐹𝑊(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=1 𝑚∑ 𝑏𝑖 𝑘+𝑚−1 𝑖=𝑘 (28) donde 𝑏𝑗es el 𝑗-ésimo elemento más grande de la colección (𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛). La medida de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 se calcula como sigue: 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑊)=1 𝑛−1(𝑛−𝑘−12(𝑚−1)) (29) donde, si 𝑘 o 𝑚 aumentan, el 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(𝐹𝑊) disminuye. La medida de dispersión está relacionada simplemente con la cantidad de elementos que intervienen en el proceso de agregación: 𝐷𝑖𝑠𝑝(𝐹𝑊)=−∑𝑤𝑖∙ln𝑤𝑖= 𝑛 𝑖=1 − ∑ 1 𝑚∙ln1 𝑚= 𝑘+𝑚−1 𝑖=𝑘 −ln1 𝑚=ln𝑚 (30) Si el valor de 𝑚=1, se obtiene otra familia de operadores OWA denominada Step OWA; su definición específica y su caracterización puede encontrarse en (Yager, 1993). Se pueden determinar los valores de 𝑘 y 𝑚 para un determinado valor de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 𝜆 dado mediante la siguiente ecuación: 𝜆=( 1 𝑛−1)(𝑛−𝑘−𝑚−1 2) (31) considerando que 𝑘 y 𝑚 deben ser enteros positivos tal que 𝑘+𝑚≤𝑛+1, se pueden calcular sus valores óptimos que satisfagan un valor particular de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 mediante el siguiente planteo de optimización: 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟1: 𝑚 (32) sujeto a: 1 El término optimizar puede referirse a maximizar o minimizar. Conceptos Preliminares 23 2𝑘+𝑚=2𝑛(1−𝜆)+2𝜆+1, 𝑘+𝑚≤𝑛+1, 𝑘>1, 𝑚>1. (33) en (Yager, 1993) se puede encontrar un análisis detallado de casos especiales variando los valores de 𝑚 y 𝑘 y algunos ejemplos de aplicación de este tipo de operadores. 2.1.3.4 Operadores con pesos dependientes de los valores a agregar Se puede generalizar el concepto de agregación permitiendo que los valores del vector de pesos no sean constantes (como en los casos de los definidos en las secciones precedentes), sino que sean calculados en función de los valores a agregar, específicamente los valores 𝑏𝑖. Es necesario mantener las condiciones: ∑𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 =1 y 𝑤𝑖∈ [0,1] a las que se permitirá que: 𝑤𝑖=𝑓𝑖(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛). (34) Definición En general los operadores de agregación dependientes de los valores a agregar se definene como: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑𝑓𝑖(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛)∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 (35) La mayoría de las propiedades de los operadores OWA se mantienen en esta generalización (es acotado, idempotente y cumple la propiedad conmutativa), sin embargo no es necesariamente monótona (un ejemplo que verifica que esta propiedad no se cumple se puede encontrar en (Yager, 1993)). 2.1.3.5 Neat OWA Un operador de agregación se caracteriza por ser neat, si la agregación es independiente del ordenamiento de los valores 𝑎𝑖. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 24 Definición Formalmente, si (𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛) es cualquier permutación de (𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛), 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑𝑤𝑖∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 (36) es un operador neat si los valores 𝑤𝑖 permanezcan fijos. Un ejemplo simple es la media aritmética: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑1𝑛∙𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 (37) Sin embargo cuando los pesos se calculan a partir de los valores a agregar, es posible obtener otros operadores neat. En (Yager and Filev, 1994) se introduce la primera familia de operadores donde los pesos se calculan a partir de los valores a agregar. Por ejemplo, puede considerarse: 𝑤𝑖=𝑓𝑖(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛)=𝑏𝑖𝛼 ∑𝑏𝑖𝛼 𝑛 𝑖=1 ; 𝛼≥0 (38) Es simple ver que las condiciones: ∑𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 =1 y 𝑤𝑖∈ [0,1] se mantienen, y debido a que no es importante el orden de los valores a agregar, resulta: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑ 𝑎𝑖𝛼 ∑𝑎𝑖𝛼 𝑛 𝑖=1 ∙𝑎𝑖=∑𝑎𝑖𝛼+1 𝑛 𝑖=1 ∑𝑎𝑖𝛼 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 (39) Casos especiales: Si 𝛼=0: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=1𝑛∑𝑎𝑖=𝐹𝑎𝑣𝑒 (40) Si 𝛼=1: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑𝑎𝑖2 ∑𝑎𝑖 (41) Si 𝛼→∞: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=max[𝑎𝑖]= 𝐹∗(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛) (42) Conceptos Preliminares 25 Si se considera ahora que: 𝑤𝑖=𝑓𝑖(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛)=(1 𝑏𝑖)𝛼 ∑(1 𝑏𝑖)𝛼 𝑛 𝑖=1 ; 𝛼≥0 (43) el proceso de agregación, resulta: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑ (1 𝑎𝑖)𝛼 ∑(1 𝑎𝑖)𝛼 𝑛 𝑖=1 ∙𝑎𝑖=∑(1 𝑎𝑖)𝛼−1 𝑛 𝑖=1 ∑(1 𝑎𝑖)𝛼 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 (44) Casos especiales: Si 𝛼=0: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑(1 𝑎𝑖)−1 ∑1=1𝑛∑𝑎𝑖=𝐹𝑎𝑣𝑒 (45) Si 𝛼=1: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑1 ∑1 𝑎𝑖=𝑛 ∑1 𝑎𝑖=𝑛(∑1 𝑎𝑖)−1 (Media armónica) (46) Si 𝛼→∞: 𝐹(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=min[𝑎𝑖]= 𝐹∗(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛) (47) Otros casos de interés para el cálculo de los pesos podrían ser: 𝑤𝑖=(1−𝑏𝑖)𝛼 ∑ (1−𝑏𝑖)𝛼 𝑛 𝑖=1 (48) 𝑤𝑖=𝑢𝑖 ∑𝑢𝑖 𝑛 𝑖=1 con 𝑢𝑖=∏𝑏𝑗𝛼 𝑗≠𝑖 . (49) por lo tanto, para este último caso, los valores de 𝑤𝑖 dependerán del producto de todos los elementos excepto del i-ésimo. 2.1.4 Operador Geométrico OWG El operador OWG (Ordered Weighted Geometric) está basado en la media geométrica y en el operador OWA (Chiclana et al., 2000) (Herrera et al., 2003), extendido luego en (Chiclana et al., 2004). Permite incorporar el concepto de mayoría difusa en el proceso de decisión cuando las preferencias tienen una escala proporcional como las propuestas por Saaty en AHP (Saaty, Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 32 𝛾𝑗,𝑘={1 𝑚𝜎(𝑗)≥𝑘 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (57) Esta definición requiere que: ∑𝑤𝑖,𝑘=1 𝑛 𝑖=1 para 𝑘=𝑁. (58) Donde 𝑘 representa la cardinalidad considerada en cada paso del proceso. Propiedades Principales Para todo 𝑚𝑖=1,𝐹𝑀𝐴(𝒂)=𝐹𝐴𝑀(𝒂). Cuando 𝑚1→∞ y 𝑤1,𝑁→∞, entonces 𝐹𝑀𝐴(𝒂)=𝐹𝑒1. Similarmente cuando 𝑚𝑛→∞, y 𝑤𝑛,𝑁→∞, 𝐹𝑀𝐴(𝒂)=𝐹𝑒𝑛. Este operador es acotado y cumple las propiedades de idempotencia, conmutatividad. Sin embargo la propiedad de monotonicidad se mantiene solo si las cardinalidades de los valores a agregar es exactamente la misma en todos los casos (Peláez and Doña, 2003a): 𝐹𝑀𝐴,𝑤(𝑣(1),𝑚)≥𝐹𝑀𝐴,𝑤(𝑣(2),𝑚), 𝑣𝑗(1)≥𝑣𝑗(2), ∀𝑗. (59) Ejemplo 2 El valor de agregación 𝐹𝑀𝐴(𝒂) calculado mediante la definición del operador MA-OWA se realiza paso a paso mediante la Tabla 1. En la primera fila se muestran los valores a agregar, en la segunda están sus cardinalidades. En las subsiguientes se agregan la matriz de valores 𝛾𝑗,𝑘 y en la última columna están los valores 𝑢𝑘 según las ecuaciones (54) a (57) de la definición. 𝑣𝜎(1) 𝑣𝜎(2) 𝑣𝜎(3) 𝑣𝜎(4) 0.7 0.5 0.4 0.1 𝑚𝜎(1) 𝑚𝜎(2) 𝑚𝜎(3) 𝑚𝜎(4) 𝛾𝑖,𝑘 4 1 1 3 𝑢𝑘 𝛾𝑖,1 1 1 1 1 4 𝛾𝑖,2 1 0 0 1 3 𝛾𝑖,3 1 0 0 1 3 𝛾𝑖,4 1 0 0 0 2 Tabla 1: Valores de 𝛾𝑖,𝑘 y 𝑢𝑖 para el Ejemplo 2 Los pesos dependientes de las cardinalidades se calculan de la siguiente manera: Conceptos Preliminares 33 𝑤1,4=12(1+13(1+13(1+141)))=53 72, 𝑤2,4=12(0+13(0+13(0+141)))=1 72, 𝑤3,4=12(0+13(0+13(0+141)))=1 72, 𝑤4,4=12(0+13(1+13(1+141)))=17 72. Finalmente, el operador MA-OWA devuelve: 𝐹𝑀𝐴({(0.7,4),(0.5,1),(0.4,1),(0.1,3)})=0.753 72+0.51 72+0.41 72+0.117 72=397 720=0.551. 2.2.3 Operadores QMA-OWA Uno de los operadores más utilizados para representar la opinión de expertos en un valor representativo de la mayoría es el operador OWA mediante el uso de cuantificadores lingüísticos. Estos cuantificadores se utilizan para indicar la estrategia de agregación de la opinión de los expertos. Sin embargo en problemas de toma de decisión en grupo es posible obtener valores que no son representativos del concepto de mayoría expresado por el cuantificador (Peláez and Doña, 2006). La incorporación del concepto de mayoría en el vector de pesos del operador MA-OWA (descripto en la sección anterior), hace que este operador tenga un mejor comportamiento que el operador OWA clásico, sin embargo este enfoque no permite modelar los conceptos como “muchos” o “al menos el 80%” (Peláez et al., 2007). Por esta razón, es necesario introducir el uso de cuantificadores lingüísticos en el proceso de agregación y permitir así modelar este tipo de semánticas. Se define entonces un operador de agregación que utiliza dos estrategias de cuantificación: individual y grupal (Peláez and Doña, 2006). Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 34 2.2.3.1 Cuantificación individual El proceso de cuantificación individual aplica la semántica del cuantificador sobre cada uno de los valores del vector de pesos individualmente. Estos valores se calculan previamente mediante algún operador de agregación para luego aplicar la semántica del cuantificador mediante la siguiente expresión: 𝑤𝑖𝑄=𝑤𝑖𝑁∙𝑄(𝑖𝑛)+𝜆 (60) donde 𝑤𝑖𝑁es el peso individual obtenido mediante algún operador de agregación, 𝑄 es el cuantificador lingüístico y 𝜆 es la 𝑄-Normalización (explicada a continuación). 2.2.3.2 Cuantificación en grupo Desde un punto de vista social (en problemas de toma de decisión en grupo) es conveniente que todos los grupos de opiniones estén representados por al menos un individuo. Esta premisa no siempre se cumple con la cuantificación individual ya que existen grupos de opinión que son eliminados del proceso de agregación. Para solucionar este problema se propone la cuantificación en grupo, la cual siempre garantiza dicha condición (Peláez et al., 2007). En la cuantificación en grupo el cuantificador se aplica sobre cada grupo de mayoría produciendo un nuevo grupo con una cardinalidad que representa la semántica expresada por 𝑄. En esta estrategia los pesos se calculan para cada grupo dividiendo el peso original de cada elemento por su cardinalidad; y a continuación se aplica el cuantificador sobre el grupo. El nuevo vector de pesos cuantificados se calcula con la siguiente expresión: 𝑤𝑖𝑄=𝑤𝑖 𝛿𝑖∙∑𝑄(𝑗𝛿𝑖) 𝛿𝑖 𝑗=1 +𝜆 (61) donde 𝑄 es el cuantificador, 𝑛 es el número de grupos de mayoría, 𝛿𝑖 es la cardinalidad del grupo 𝑖; y 𝜆 es la 𝑄-Normalización. Conceptos Preliminares 35 Esta estrategia de cuantificación elimina la exclusión de grupos de elementos a agregar, de manera que se obtiene una representación de la mayoría pero al mismo tiempo quedan representadas todas las minorías. La Figura 2, muestra las diferencias entre la cuantificación individual y la cuantificación en grupo. Figura 2: Representación del cuantificador con la semántica de cuantificación en grupo y cuantificación individual 2.2.3.3 Q-Normalización Las estrategias de cuantificación de mayoría se basan en la aplicación del cuantificador sobre los pesos calculados con un operador de agregación. Cada elemento de la agregación ve modificado su peso por la cantidad expresada por la semántica del cuantificador, de manera que ∑𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 ≠1, es decir, los pesos dejan de estar normalizados. Por lo tanto es necesario un proceso de normalización de pesos que haga que ∑𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 =1 para todo 𝑤𝑖∈[0,1], y al mismo tiempo incorpore la semántica del cuantificador en dicha normalización. Inicialmente, se parte de un conjunto de pesos normalizados obtenidos tras la aplicación del operador de agregación. Cuando se aplica el cuantificador 𝑄 sobre cada peso 𝑤𝑖, se produce una variación del mismo, igual a 𝑤𝑖∙𝑞𝑖. La 𝑄-normalización redistribuirá los pesos en función el cuantificador usado. Definición Formalmente, la 𝑄-normalización se define como sigue: Sea el vector de pesos 𝑊=[𝑤1,𝑤2,…,𝑤𝑛] y el cuantificador para cada elemento 𝑄= [𝑞1,𝑞2,…,𝑞𝑛] donde 0≤𝑞𝑖≤1 y ∑𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 =1, por lo que se establece: Cuantificación en grupo Cuantificación individual Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 36 𝜌=∑𝑤𝑖∙𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 ≤1 (62) Si 𝜀=1−𝜌, entonces 𝜀 ∑𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 es la cantidad a ser añadida a cada elemento en la proporción expresada por 𝑞𝑖. Luego se demuestra que la 𝑄-Normalización es: ∑(𝑤𝑖∙𝑞𝑖+𝜀 ∑𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 ∙𝑞𝑖) 𝑛 𝑖=1 = ∑𝑤𝑖∙𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 +𝜀 ∑𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 ∙∑𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 = ∑𝑤𝑖∙𝑞𝑖 𝑛 𝑖=1 +𝜀=𝜌+1−𝜌=1 (63) Como se observa en su definición, la 𝑄-Normalización modifica cada peso incrementándolo en función del cuantificador usado en cada caso con respecto a los demás elementos cuantificados, añadiendo, en función de este valor, a cada peso la cantidad 𝜀 que corresponda. De esta forma, se obtiene una normalización que se integra en el proceso de agregación reflejando la semántica del cuantificador. 2.2.3.4 Operador QMA-OWA Individual Definición El operador de mayoría usando el modelo de cuantificación individual se define como sigue: 𝐹𝑄𝐼𝑀𝐴(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑𝑤𝑖𝑄∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 =∑𝑓𝑖∙(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛)∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 (64) donde 𝑤𝑖𝑄∈[0,1] con ∑𝑤𝑖𝑄 𝑛 𝑖=1 =1 y 𝑏𝑖 es el 𝑖-ésimo elemento de 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 ordenado en orden ascendente según las cardinalidades. Los pesos del operador QMA-OWA con estrategia individual se calculan como sigue. Conceptos Preliminares 37 𝑤𝑖𝑄=𝑤𝑖𝑁∙𝑄(𝑖𝑛)+ [ 𝑄(𝑖𝑛)∙1−∑(𝑤𝑖𝑁∙𝑄(𝑖𝑛)) 𝑛 𝑖=1 ∑𝑄(𝑖𝑛) 𝑛 𝑖=1 ] (65) siendo 𝑤𝑖𝑁 el peso individual del elemento obtenido con el operador MA-OWA, 𝑄 es el cuantificador, y la expresión comprendida entre corchetes se corresponde con la 𝑄Normalización. 2.2.3.5 Operador QMA-OWA en grupo La cuantificación individual puede excluir grupos de opinión en los procesos de toma de decisión en grupo, y al no estar representadas todas las opiniones pueden obtenerse resultados indeseados. Para resolver este problema, en (Peláez and Doña, 2006) se propone el operador de mayoría cuantificada QMA-OWA con estrategia de grupo. Definición En este caso el operador se define como sigue: 𝐹𝑄𝐺𝑀𝐴(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑𝑤𝑖𝑄∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 =∑𝑓𝑖∙(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛)∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 (66) donde 𝑤𝑖𝑄∈[0,1] con ∑𝑤𝑖𝑄 𝑛 𝑖=1 =1 y 𝑏𝑖 es el 𝑖-ésimo elemento de 𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 ordenado en orden ascendente según las cardinalidades. Los pesos del operador QMA-OWA con estrategia de grupo se calculan como sigue. 𝑤𝑖𝑄=𝑤𝑖 𝛿𝑖∙∑𝑄(𝑖𝛿𝑖) 𝛿𝑖 𝑗=1 +[∑𝑄(𝑗𝛿𝑖) 𝛿𝑖 𝑗=1 ∙1−∑𝑤𝑖 𝛿𝑖∙∑𝑄(𝑗𝛿𝑖) 𝛿𝑖 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 ∑ ∑ 𝑄(𝑗𝛿𝑖) 𝛿𝑖 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 ] (67) siendo 𝑤𝑖 el peso individual del elemento obtenido con el operador MA-OWA, 𝑄 es el cuantificador, y la expresión comprendida entre corchetes es la 𝑄-Normalización. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 38 Ejemplo 3 Supongamos que se tienen los siguientes valores a agregar 𝐵=[0 0 0.7 0.8 1 1 1] y se desea obtener un valor que tenga en cuenta el concepto de mayoría. Utilizando los operadores revisados, se puede obtener, de modo comparativo, los siguientes resultados: Operador OWA Valores a agregar: 𝐵=[0 0 0.7 0.8 1 1 1] Vector de pesos: 𝑊=[0 0 0.057 0.285 0.285 0.285 0.088] 𝑂𝑊𝐴=∑𝑤𝑖∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 =0.485. Operador MA-OWA Valores a agregar: 𝐵=[0.7 0.8 0 1] Cardinalidades: [1 1 2 3] Vector de pesos ordenado: 𝑊=[0.708 0.208 0.042 0.042] 𝑀𝐴−𝑂𝑊𝐴=∑𝑤𝑖∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 =0.771. Operador QMA-OWAI Cuantificado con el cuantificador “muchos” con estrategia individual. Valores a agregar: 𝐵𝑁=[1 1 1 0 0 0.8 0.7] Vector de pesos: 𝑊𝑁=[0.708 3 0.708 3 0.708 3 0.208 2 0.208 2 0.041 0.041] Cuantificador 𝑄: 𝑄=[0 0 0.057 0.343 0.629 0.914 1] Vector de pesos cuantificado: 𝑊𝑄=[0 0 0.013 0.077 0.225 0.327 0.358] 𝑄𝑀𝐴−𝑂𝑊𝐴𝐼=∑𝑤𝑖𝑄∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 =0.910. Operador QMA-OWAG Cuantificado con el cuantificador “muchos” con estrategia de grupo. Valores a agregar: 𝐵𝑁=[1 1 1 0 0 0.8 0.7] Vector de pesos: 𝑤=[0.042 0.042 0.208 0.708] Cuantificador 𝑄 para grupos con cardinalidad 1: 𝑄=[1] Cuantificador 𝑄 para grupos con cardinalidad 2: 𝑄=[0.2 1] Cuantificador 𝑄 para grupos con cardinalidad 3: 𝑄=[0 0.533 1] Conceptos Preliminares 39 Vector de pesos cuantificado: 𝑊𝑄=[0.132 0.132 0.234 0.501] 𝑄𝑀𝐴−𝑂𝑊𝐴𝐺=∑𝑤𝑖𝑄∙𝑏𝑖 𝑛 𝑖=1 =0.7. La Figura 3, muestra de manera gráfica los valores obtenidos con cada operador. Figura 3: Representación gráfica de los valores agregados mediante OWA, MA-OWA y QMA-OWA 2.2.4 Operador WKC-OWA El operador Work Committee-OWA (WKC-OWA) está definido para realizar un proceso de agregación de información en problemas de decisión democrática. Este operador modela, de algún modo, la semántica de mayoría usando específicamente el concepto de comité de trabajo, donde la opinión de cada ciudadano está representada en grupos heterogéneos (La Red et al., 2011). Definición El operador WKC-OWA se define como: 𝐹𝑊𝐾𝐶(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=∑𝑤𝑖∙𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 =∑𝑓𝑖(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)∙𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 (68) donde 𝑤𝑖∈ [0,1], ∑𝑤𝑖 𝑛 𝑖=1 =1 y 𝑓𝑖(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)=1 max|{𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛}|∙ℎ𝑖(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛) (69) donde ℎ𝑖 es una función que indica el número de elementos con cardinalidad menor o igual que 𝑎𝑖 para todo 𝑎𝑘∈{𝑎𝑖,…,𝑎𝑛}: OWA QMA-OWAG MA-OWA QMA-OWAI Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 40 ℎ𝑘(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛)=1+∑𝐿𝑘𝑖 𝑛 𝑖=1 (70) donde 𝐿𝑘𝑖={1, 𝑠𝑖 |𝑏𝑖|≥∑𝑝𝑘𝑗 𝑘 𝑗=1 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑖≠𝑏𝑘 𝑦 𝑏𝑖≠𝑏𝑖−1 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (71) y 𝑝𝑘𝑗={1, 𝑠𝑖 |𝑏𝑖−𝑏𝑘|<𝛼 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (72) El valor 𝛼 modela el tamaño de cada comisión y se comporta como un operador neat debido a que el vector de pesos se calcula en función de los valores a agregar y son independientes al orden de los mismos. 2.2.5 Agregación Lingüística 2.2.5.1 Enfoque Lingüístico En entornos difusos multi expertos, un problema de toma de decisión en grupo está compuesto de diferentes elementos tales como: un conjunto finito de alternativas, un conjunto finito de criterios y un conjunto de expertos o decisores que son llamados a expresar sus valores de preferencia para un conjunto predefinido de opciones (alternativas), con la finalidad de seleccionar la mejor (Herrera and Herrera-Viedma, 2000). Muchas veces, en entornos de estas características, donde es necesario calificar un fenómeno relacionado con la percepción humana, normalmente se utilizan palabras del lenguaje natural en vez de valores numéricos. Es común encontrarse con situaciones donde la información que es necesario que provean los decisores, no puede evaluarse con precisión en una forma cuantitativa, sin embargo es factible suministrarla cualitativamente (Herrera-Viedma et al., 2000). Asimismo, en algunas situaciones, tampoco es posible contar con información cuantitativa precisa debido al alto costo de procesamiento insumido, por lo que un valor Conceptos Preliminares 41 aproximado puede ser aceptable. Por ejemplo para describir la velocidad de un vehículo es factible usar términos lingüísticos (como “lento”, “veloz”, “muy veloz”, etc) en vez de valores numéricos precisos (Chen and Ben-Arieh, 2006). La información sobre la satisfacción asociada a un resultado o un estado de la naturaleza puede expresarse mejor en términos de etiquetas lingüísticas. Su uso, en toma de decisión en grupo, hace que las evaluaciones o apreciaciones que deban realizarse sean más flexibles y fiables, pero hace que el proceso de agregación de las etiquetas lingüísticas sea más complicado, especialmente cuando se consideran que los expertos tienen diferente grado de experticia. El conjunto de términos lingüísticos es escogido en función del conocimiento o nivel de experticia que tiene el experto sobre el tema en cuestión. Consecuentemente, pueden existir diferentes conjuntos lingüísticos si intervienen diferentes expertos con la capacidad de expresar su evaluación con diferentes grados de precisión. Un dato importante entonces, es la “granularidad de la incertidumbre” (Herrera-Viedma et al., 2000) y tiene que ver con la cardinalidad que tendrán los conjuntos lingüísticos que se utilizarán para expresar el grado de satisfacción de los expertos. Por ejemplo, un experto podrá tener la posibilidad de discernir entre 5 valores posibles y otro en 7 valores posibles, de modo tal que los conjuntos lingüísticos podrían ser 𝑆1= {𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑜,𝑏𝑎𝑗𝑜,𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜,𝑎𝑙𝑡𝑜,𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜} y 𝑆2={𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑜,𝑚𝑢𝑦 𝑏𝑎𝑗𝑜,𝑏𝑎𝑗𝑜,𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜, 𝑎𝑙𝑡𝑜,𝑚𝑢𝑦 𝑎𝑙𝑡𝑜,𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜} respectivamente. Un algoritmo de fusión, necesariamente debe poder mapear o transformar el conjunto de etiquetas de 𝑆1 en 𝑆2 o transformarlos a valores numéricos donde la misma etiqueta “𝑏𝑎𝑗𝑜” puede no tener la misma definición para ambos conjuntos. La misma etiqueta “𝑏𝑎𝑗𝑜”, tendrá diferentes funciones de pertenencia (explicadas más adelante), por lo tanto no se podrán usar las dos etiquetas equivalentemente en un proceso de decisión (Chen and Ben-Arieh, 2006). Sintácticamente, hay dos enfoques principales para generar un conjunto de etiquetas lingüísticas. La primera basada en una gramática libre de contexto, que permitirá generar infinitas etiquetas tal como se expresa en (Bonissone, 1980) y (Zadeh, 1975a) (Zadeh, 1975b) (Zadeh, 1975c). Sin embargo en la práctica los seres humanos razonablemente pueden Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 48 Alternativamente, existen situaciones donde la satisfacción de un solo criterio produce un efecto muy débil comparado con la satisfacción de un par de ellos; por ejemplo en un diagnóstico médico, donde la aparición de un síntoma puede no ser demasiado importante excepto por la aparición de algún otro indicio que ocurra de manera conjunta. Este efecto de complementariedad, puede modelarse mediante una medida difusa 𝜇 tal que: 𝜇(𝑇)≈{𝜇(𝑇∪𝑖) 𝜇(𝑇∪𝑗)}<𝜇(𝑇∪𝑖𝑗), 𝑇⊆𝑁−{𝑖,𝑗} (81) donde N es el conjunto de criterios. Pueden ocurrir además, situaciones donde la preferencia de los criterios 𝑖 y 𝑗 varía respecto de otro criterio 𝑘 (Marichal and Roubens, 2000). Por ejemplo, la situación en la cual se desea adquirir un automóvil y las alternativas posibles se evalúan respecto de criterios tales como el precio, el consumo y el confort. Es probable que si se prefiere una alternativa a bajo precio, se prefiera también bajo consumo, sin embargo ante la preferencia de un automóvil con precio más elevado, muy posiblemente se valorará más el confort respecto del consumo. Junto a la clásica integral de Riemann existen otro tipo de integrales, de las cuales la integral de Lebesgue es de particular interés debido a que está definida respecto de una medida, específicamente, una medida aditiva. La integral discreta de Choquet es una generalización de la integral de Lebesgue y se comporta como un operador de agregación adecuado para modelar el fenómeno de interacción de criterios expuesto precedentemente, debido a que está definida respecto de una medida noaditiva (Grabisch and Labreuche, 2005), de manera que, al combinar las entradas no solamente tiene en cuenta su magnitud o importancia individual, sino que tomen relevancia las coaliciones que pueden aparecer. Este tipo de operadores se definen respecto de una función de conjuntos denominada medida difusa 𝜇. Si consideramos el conjunto de los criterios evaluados, se puede definir un peso no solo para cada criterio de modo independiente sino también para cada subconjunto de criterios (Tan and Chen, 2010) y modelar así la interacción entre los mismos. Conceptos Preliminares 49 En problemas donde los criterios que se tienen en cuenta para la decisión, no tienen relación o son independientes, la importancia que tienen las agrupaciones de los mismos es aditiva, sin embargo en muchas aplicaciones prácticas, dichos criterios tienen alguna interacción por lo que es necesario recurrir a medidas subaditivas o superaditivas (Marichal, 2000). En estos casos, las medidas clásicas como la media aritmética ponderada o los operadores OWA no modelan adecuadamente el fenómeno (Tan and Chen, 2010), (Tan, 2011). En muchas situaciones, la determinación de un ranking adecuado de las alternativas consideradas, puede ser erróneo si no se consideran las dependencias entre los criterios. Hay vasta muestra en la literatura donde queda de manifiesto las posibilidades que proporciona dicha integral, como por ejemplo en el análisis de preferencias de consumidores (Vu et al., 2012), estimaciones en evaluación de proyectos (Bonetti et al., 2012), evaluación de alumnos durante el proceso de aprendizaje para conducir vehículos militares (Grabisch and Roubens, 2000), evaluación de preferencias de turistas en relación a hoteles en Hong Kong (Li et al., 2013), valoración de propiedades residenciales (Gomes et al., 2013), análisis de rendimiento de bancos y exposición al riesgo (Doumpos and Zopounidis, 2010), etc. Se define, a continuación, el elemento primordial y necesario para utilizar una integral discreta como operador de agregación: la medida difusa. 2.3.1 Medida Difusa Informalmente, una medida es una función para medir un conjunto de objetos (finitos o infinitos). Por ejemplo el largo de un intervalo de la recta real es un ejemplo de medida aditiva; el área o el volumen en un espacio bidimensional o tridimensional respectivamente también son ejemplos de medidas aditivas. Sin embargo, pueden aparecer también medidas no aditivas denominadas también medidas monótonas, capacidades (introducidas por Choquet (Choquet, 1954)) o medidas difusas (introducidas por Sugeno (Sugeno, 1974)). El término “medida difusa”, es a menudo utilizado en la comunidad de conjuntos difusos, sin embargo es confuso debido a que matemáticamente no se considera ningún concepto difuso (Grabisch et al., 2011). Más allá de la nomenclatura utilizada, las medidas difusas e integrales difusas son aplicadas en muchos campos de investigación, tales como toma de decisión multicriterio (TDMC) y en la actualidad resulta un importante tópico de investigación. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 50 Definición Sea 𝑁 un conjunto clásico y 𝒜 una 𝜎-algebra 3 de subconjuntos de 𝑁, una medida difusa sobre 𝑁 (Murofushi and Sugeno, 1991) es una función de conjuntos monótona 𝜇:𝒜→[0,1] que satisface: 𝜇()=0; 𝜇(𝑁)=1; (82) 𝜇(𝐴)≤ 𝜇(𝐵) ∀ 𝐴,𝐵 ∈ 𝒜 tal que 𝐴⊆𝐵. (83) Una medida difusa asigna importancia a todos los subconjuntos posibles de criterios de un conjunto de criterios dado. Por lo tanto es necesario asignar pesos, no solo a los criterios individualmente, sino también a cada combinación posible entre los mismos. En caso de una medida difusa aditiva, es suficiente con determinar 𝑛 coeficientes 𝜇(1),𝜇(2),…,𝜇(𝑛) que representan la importancia de cada criterio individualmente. Sin embargo, si se consideran interacciones entre ellos, es necesario definir 2𝑛 coeficientes que corresponden a los posibles subconjuntos de 𝑁. Hay diferentes modelos para determinar las medidas difusas que modelen una situación particular tales como algoritmos genéticos, algoritmos de gradiente descendente, redes neuronales, algoritmos enjambre de partículas e incluso, a partir de información requerida a expertos. Grabisch introdujo un algoritmo de gradiente descendente con restricciones para identificar medida difusa aplicado al reconocimiento de patrones (Grabisch, 1995). En (Grabisch and Roubens, 2000) se presentaron dos enfoques (basado en la minimización del error cuadrático y satisfacción de restricciones). Wang propone un algoritmo especulativo para extraer una medida difusa a partir de datos de muestra (Wang et al., 2012). Otros investigadores utilizan algoritmos genéticos (Combarro and Miranda, 2006) y algoritmos de generación al azar (Combarro et al., 2013). En (Wang et al., 2011) se propone un algoritmo 3 Una 𝜎-álgebra definida sobre un conjunto 𝑁, representada por 𝒜, es una familia de subconjuntos de 𝑁 que cumple las siguientes propiedades:  ∈𝒜,  Si A∈𝒜, entonces también está su complemento: A∈𝒜  Si A1,A2,…,A𝑛∈𝒜 entonces A1∪A2∪…∪A𝑛∈𝒜 Si 𝑃(𝑁) es el conjunto potencia del conjunto 𝑁 entonces 𝑃(𝑁) es una 𝜎-álgebra sobre 𝑁 (la mayor 𝜎-álgebra posible sobre 𝑁). Por ejemplo, para 𝑛=3, los conjuntos posibles son 23=8: 𝜇(), 𝜇(1), 𝜇(2), 𝜇(3), 𝜇(1,2), 𝜇(1,3), 𝜇(2,3), 𝜇(1,2,3). Conceptos Preliminares 51 basado en enjambre de partículas para determinar un tipo de medidas difusas generales a partir de datos. Adicionalmente, se han propuesto otras técnicas que requieren alguna información de diferentes expertos. Por ejemplo, en (Takahagi, 2007), el decisor debe identificar los pesos y grados de interacción entre criterios mediante un diamante rotulado. 2.3.1.1 Tipos de Medidas Difusas Las propiedades de la integral de Choquet dependen de la medida difusa que se utilice en el proceso de agregación. Es posible que esta integral se comporte como una media aritmética ponderada, un operador OWA, etc. En esta sección se presentan las medidas difusas más importantes. Medida Difusa Simétrica Una medida difusa 𝜇 es simétrica si 𝜇(𝐴)=𝜇(𝐵) siempre que |𝐴|=|𝐵| para cualquier 𝐴,𝐵⊆𝑁. Alternativamente se puede decir que 𝜇 es simétrica si para cualquier 𝐴⊆𝑁: 𝜇(𝐴)=𝑄(|𝐴| 𝑛) (84) para alguna función monótona no decreciente 𝑄:[0,1]→[0,1], 𝑄(0)=0 y 𝑄(1)=1. Medida Difusa Dual Es dual si está definida por 𝜇𝑑(𝐴)=𝜇(𝑁)−𝜇(𝑁−𝐴) para cualquier 𝐴⊆𝑁. O similarmente 𝜇𝑑(𝐴)=1−𝜇(𝐴𝑐), donde 𝐴𝑐 es el complemento de 𝐴 en 𝑁. Medida Difusa Self-Dual Una medida difusa 𝜇 será self-dual si es igual a su dual 𝜇𝑑. Se cumple 𝜇(𝐴)+𝜇(𝐴𝑐)=1 para todo 𝐴⊆𝑁. Medida Difusa Sub y Supermodulares Una medida difusa se denomina submodular si para cualquier 𝐴,𝐵⊆𝑁, Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 52 𝜇(𝐴∪𝐵)+𝜇(𝐴∩𝐵)≤𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (85) Se denomina supermodular si: 𝜇(𝐴∪𝐵)+𝜇(𝐴∩𝐵)≥𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (86) Serán subaditivas o superaditivas cuando 𝐴 y 𝐵 son disjuntos (𝐴∩𝐵=). Medida Difusa Sub y Superaditivas Una medida difusa se denomina subaditiva si para cualquier 𝐴,𝐵⊆𝑁, 𝐴∩𝐵=: 𝜇(𝐴∪𝐵)≤𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (87) Se denomina superaditiva si: 𝜇(𝐴∪𝐵)≥𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (88) Medida Difusa Aditiva Una medida difusa 𝜇 es aditiva si si para cualquier 𝐴,𝐵⊆𝑁, con 𝐴∩𝐵=: 𝜇(𝐴∪𝐵)=𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (89) Para una medida difusa aditiva, claramente 𝜇(𝐴)=∑𝜇(𝑖) 𝑖∈𝐴 , además se cumple que 𝜇(𝐴∪𝑖𝑗)=𝜇(𝐴∪𝑖)+𝜇(𝐴∪𝑗)−𝜇(𝐴) para todo 𝐴⊆𝑁−{𝑖,𝑗}. Medida Difusa Booleana Una medida difusa 𝜇 se denomina booleana o medida-{0,1} si 𝜇(𝐴)=0 o 𝜇(𝐴)=1 para todo 𝐴⊆𝑁. Particularmente, la medida difusa normalizada más débil se define como: 𝜇𝑚𝑖𝑛(𝐴)={0, 𝑠𝑖 𝐴⊂𝑁 1, 𝑠𝑖 𝐴=𝑁 (90) mientras que la más fuerte es: Conceptos Preliminares 53 𝜇𝑚𝑎𝑥(𝐴)={0, 𝑠𝑖 𝐴= 1, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (91) La medida Dirac está dada para cualquier 𝐴⊆𝑁 por: 𝜇𝐷𝑖𝑟𝑎𝑐(𝐴)={1, 𝑠𝑖 𝑥0 ∈𝐴 0, 𝑠𝑖 𝑥0 ∉𝐴 (92) donde 𝑥0 es un elemento de 𝑁. Ejemplo 5 La siguiente medida difusa es aditiva: 𝜇(1,2,3)=1 𝜇(1,2)=0.5 𝜇(1,3)=0.6 𝜇(2,3)=0.3 𝜇(1)=0.4 𝜇(2)=0.1 𝜇(3)=0.2 𝜇()=0 La siguiente medida difusa es simétrica: 𝜇(1,2,3)=1 𝜇(1,2)=0.6 𝜇(1,3)=0.6 𝜇(2,3)=0.6 𝜇(1)=0.2 𝜇(2)=0.2 𝜇(3)=0.2 𝜇()=0 La siguiente medida difusa es subaditiva: 𝜇(1,2,3)=1 𝜇(1,2)=0.2 𝜇(1,3)=0.4 𝜇(2,3)=0.4 𝜇(1)=0.1 𝜇(2)=0.2 𝜇(3)=0.3 𝜇()=0 Otros ejemplos se pueden encontrar en (Beliakov et al., 2007). Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 54 2.3.2 Transformación Möbius Definición Sea 𝜇 una medida difusa, la transformación Möbius de 𝜇 es una función de conjuntos definida para cada 𝐴⊆𝑁 como: ℳ(𝐴)=∑(−1)|𝐴−𝐵| 𝐵⊆𝐴 𝜇(𝐵) (93) Es posible recuperar la medida 𝜇 a partir de su función inversa: la tranformada 𝑍𝑒𝑡𝑎: 𝜇(𝐴)=∑ℳ(𝐴) 𝐵⊆𝐴 . ∀𝐴⊆𝑁 (94) La transformación Möbius es invertible y es una representación alternativa de una medida difusa, por lo que deben mantenerse las condiciones de límites y de monotonicidad expresadas en las ecuaciones (82) y (83). Las mismas se definen respectivamente como: ℳ()=0 y ∑ℳ(𝐴) 𝐴⊆𝑁 =1 (95) ∑ℳ(𝐵) 𝐵⊆𝐴 | 𝑖∈𝐵 ≥0 para todo 𝐴⊆𝑁 y p ara todo 𝑖∈𝐴 (96) Ejemplo 6 Consideremos la medida difusa 𝜇 sobre 𝑁={1,2,3} dada por: 𝜇(1,2,3)=1 𝜇(1,2)=0.9 𝜇(1,3)=0.4 𝜇(2,3)=0.3 𝜇(1)=0.4 𝜇(2)=0 𝜇(3)=0.1 𝜇()=0 Se puede calcular su transformación Möbius ℳ como: Conceptos Preliminares 55 ℳ(1,2,3)=−0.1 ℳ(1,2)=0.5 ℳ(1,3)=−0.1 ℳ(2,3)=0.2 ℳ(1)=0.4 ℳ(2)=0 ℳ(3)=0.1 ℳ()=0 donde la suma de todos los valores de la transformación Möbius es igual a 1 de acuerdo a la ecuación (95). 2.3.3 Medida Difusa  Con la finalidad de reducir la complejidad de una medida difusa, Sugeno (Sugeno, 1974) introdujo la idea de medida difusa λ. Definición Una medida difusa λ es una medida difusa 𝜇 donde para todo 𝐴,𝐵∈𝑁,𝐴∩𝐵= satisface: 𝜇(𝐴∪𝐵)=𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵)+λ𝜇(𝐴)𝜇(𝐵) (97) donde λ∈(−1,∞). Bajo estas condiciones, todos los valores de 𝜇(𝐴) pueden calcularse a partir de 𝑛 valores independientes 𝜇(𝑖), 𝑖=1,…,𝑛 mediante: 𝜇(⋃𝑖 𝑚 𝑖=1 )=1λ(∏(1+λ𝜇(𝑖)) 𝑚 𝑖=1 −1) (98) con λ≠0. Haciendo variar λ convenientemente, es posible determinar una medida difusa no aditiva donde deben mantenerse las condiciones de monotonicidad y de límites inferior y superior. Específicamente, para modelar diferentes tipos de interacción, se considera lo siguiente: Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 56 (a) Medida subaditiva: Si λ∈(−1,0), 𝜇(𝐴∪𝐵)<𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (99) (b) Medida superaditiva: Si λ∈(0,∞), 𝜇(𝐴∪𝐵)>𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (100) (c) Medida aditiva: Si λ=0, 𝜇(𝐴∪𝐵)=𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵) (101) donde 𝐴,𝐵∈𝑁. Particularmente cuando se considera la ecuación (101), la medida difusa se comporta como la media aritmética ponderada. Es lógico pensar que para mantener la monotonicidad de la medida difusa, el valor de λ no puede tomar cualquier valor del rango permitido, sino que debe ser cuidadosamente seleccionado para cumplir la condición de la ecuación (83). 2.3.4 Medidas difusas aditivas de orden k Para problemas en el cual intervienen 𝑛 elementos o atributos a ser analizados, será necesario construir una medida difusa con 2𝑛 coeficientes reales que satisfagan la condición de monotonicidad. Para hacer frente a esta complejidad, en (Grabisch, 1997) se propone el concepto de medida difusa aditiva de orden k o simplemente k-aditiva. Definición Una medida difusa 𝜇 se denomina 𝑘-aditiva para 1≤𝑘≤𝑛, si su transformación Möbius verifica: ℳ(𝐴)=0 (102) para cualquier 𝐴⊆𝑁, |𝐴|>𝑘 y además existe un subconjunto 𝐵 con 𝑘 elementos tal que ℳ(𝐵)≠0. Este tipo de medidas limita la interacción de criterios para subconjuntos de tamaño mayor que 𝑘 por lo que la cantidad de coeficientes que deberán determinarse para la Conceptos Preliminares 57 construcción de la medida difusa se reducirá de 2𝑛−2 4 a ∑(𝑛𝑖) 𝑘𝑖=1 . Claramente con 𝑘=2, se necesitarán solo 𝑛+(𝑛2)=(𝑛(𝑛+1))/2 coeficientes para definir la medida difusa (Marichal and Roubens, 2000). 2.3.5 Integral de Choquet La integral de Choquet fue introducida en 1954 por Gustave Choquet (Choquet, 1954). Es una generalización de la integral de Lebesgue donde la medida clásica se reemplaza por una medida no aditiva 𝜇 (Grabisch et al., 2011). Se la considera como un operador de agregación que generaliza la media aritmética ponderada permitiendo modelar interacción entre criterios. Definición Considerando una medida difusa 𝜇 sobre un conjunto de criterios 𝑁={𝑐1,…,𝑐𝑛} y donde 𝐱=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) ∈[0,∞)𝑛, la integral (discreta) de Choquet de 𝐱 respecto de 𝜇 se define como: ℂ𝜇(𝐱)=∑𝑥(𝑖)[𝜇({𝑗|𝑥𝑗≥𝑥(𝑖)})−𝜇({𝑗|𝑥𝑗≥𝑥(𝑖+1)})] 𝑛 𝑖=1 (103) donde: 𝑥(∙) es una permutación de 𝐱 tal que 𝑥(1)≤𝑥(2)≤⋯≤𝑥(𝑛) y 𝑥(𝑛+1)=∞ por convención. Alternativamente se la puede definir como: ℂ𝜇(𝐱)=∑𝑥(𝑖)[𝜇(𝐴(𝑖))−𝜇(𝐴(𝑖+1))] 𝑛 𝑖=1 (104) donde: 𝑥(∙) es una permutación de 𝐱 tal que 𝑥(1)≤𝑥(2)≤⋯≤𝑥(𝑛); 𝐴(𝑖)={𝑖,…,𝑛}; 𝐴(𝑛+1)= y 𝜇(𝐴(𝑛+1))=0. Reordenando los términos de la suma, podría escribirse como: 4 Los coeficientes de  y 𝑁 están determinado por definición: 𝜇()=0; 𝜇(𝑁)=1 Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 64 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇)=𝐸(max)−𝐸(ℂ𝜇) 𝐸(max)−𝐸(min) (114) Este valor representa el grado con el cual el valor promedio de ℂ𝜇 se acerca al límite inferior, se comporta como un mínimo o tiene un comportamiento conjuntivo. Definición Similarmente, el grado de 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 de ℂ𝜇, se denomina grado de disyunción y mide el grado con el cual la integral se comporta como un máximo o tiene un comportamiento conjuntivo. Está definida por: 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇)=𝐸(ℂ𝜇)−𝐸(min) 𝐸(max)−𝐸(min) (115) Para cualquier medida difusa 𝜇, se define: 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇)= 1 𝑛−1∑𝑛−|𝐴| |𝐴|+1 𝐴⊆𝑁 ℳ(𝐴) (116) donde ℳ(𝐴) es la transformación Möbius de 𝐴. En términos de la medida difusa es: 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇)= 1 𝑛−1∑(𝑛−|𝐴|)!|𝐴|! 𝑛! 𝐴⊆𝑁 𝜇(𝐴) (117) Por definición los valores de 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇) y 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(ℂ𝜇) se encuentran dentro del intervalo [0,1]. Por lo tanto se cumplen las siguientes propiedades:  𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇)+𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(ℂ𝜇)=1 por lo tanto 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇)=1−𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(ℂ𝜇)  𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇𝑑)=𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(ℂ𝜇);  𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠 (ℂ𝜇𝑑)=𝑎𝑛𝑑𝑛𝑒𝑠𝑠(ℂ𝜇);  Si 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(ℂ𝜇)>0.5 implica un comportamiento disyuntivo de ℂ𝜇.  Si 𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠𝑠(ℂ𝜇)<0.5 implica un comportamiento conjuntivo de ℂ𝜇. Conceptos Preliminares 65 2.3.8 Entropía La entropía mide la incertidumbre que existe antes de que un experimento se lleve a cabo. Puede considerarse como una medida de dispersión de la medida difusa. Una caracterización de la misma en relación a una medida difusa 𝜇 se trata en (Marichal, 2002) y puede calcularse mediante: 𝐻(𝜇)=∑ ∑ (𝑛−|𝐴|−1)!|𝐴|! 𝑛! 𝐴⊆𝑁−{𝑖}ℎ(𝜇(𝐴∪𝑖)−𝜇(𝐴)) 𝑖∈𝑁 (118) donde ℎ(𝑡)=−𝑡∙log𝑡 si 𝑡>0 y ℎ(0)=0. El valor máximo de 𝐻 es log𝑛 y se obtiene solo si la medida difusa es aditiva y simétrica. El valor mínimo 0 se obtiene solo si 𝜇 es una medida difusa booleana (Beliakov et al., 2007). Agregación de mayoría 67 Capítulo 3 Agregación de mayoría Article: “Selective Majority Additive Ordered Weighting Averaging Operator” Authors: Marcelo Karanik, José Ignacio Peláez, Rubén Bernal Journal: European Journal of Operational Research Year: 2015 Pages: DOI: 10.1016/j.ejor.2015.10.011 State: Accepted. October 2015. Article in press Abstract: Usually, in order to summarize various opinions about a particular situation (mainly product or service valuation on Internet) a process called aggregation is used. This process basically consists of determining the appropriate value to represent the majority’s opinion and many strategies and operators can be used for this purpose. Simple arithmetic mean is widely used to resume several opinions in a single value, but this value is generally not representative or it is affected by the extreme values. An alternative to aggregate opinions are the Ordered Weighting Averaging (OWA) operators. Nevertheless, they have distribution problems when applied to aggregates with cardinalities. These problems may be solved by using Majority Additive OWA (MA-OWA) operators, a sort of arithmetic mean of arithmetic means. MA-OWA operator works adequately but, in some cases, discards the the majority’s opinion, specifically when it does not coincide with the largest cardinality value. In order to generalize the usage of MA-OWA operator, the rest of opinions are taken into account using a cardinality relevance factor. This paper introduces a Selective Majority Additive OWA (SMA-OWA) which manages the significance of all opinions varying the Cardinality Relevance Factor. Mathematical extension of SMA-OWA, its properties and some illustrative examples are presented in this article. Mayoría en Social Media 69 Capítulo 4 Mayoría en Social Media Article: “Majority OWA operator for opinion rating in social media” Authors: José Ignacio Peláez, Rubén Bernal, Marcelo Karanik Journal: Soft Computing Year: 2014 Pages: 1–9 DOI: 10.1007/s00500-014-1564-6 Abstract: In recent years, the acquisition of products and services via Internet has grown exponentially. Today, a person goes through different websites in search of better alternatives and prices. In this searching process, he/she uses social media applications to exam the opinions of others who have purchased such services or products. Also, the seller offers summarized information of buyers’ valuation by a satisfaction value on a predefined scale (expressed with a system of stars or linguistic labels). This number is calculated using an arithmetic mean and, in many cases, it does not adequately reflect all users’ opinions. In this article, a new consensus operator called Selective Aggregated Majority Ordered Weighted Averaging (SAM-OWA) is proposed. It is based on the opinions of the majority though also considering the opinion of the minority. SAM-OWA calculates the individual weights of each value of the satisfaction scale, using the number of votes obtained (cardinality). The mathematical foundation of SAM-OWA operator and some application examples to improve the results obtained by the arithmetic mean are presented. Agregación con Coalición de Criterios 71 Capítulo 5 Agregación con Coalición de Criterios Article: “Fuzzy measure identification for criteria coalitions using linguistic information” Authors: Rubén Bernal, Marcelo Karanik, José Ignacio Peláez Journal: Soft Computing Year: 2015 Pages: 1-13 DOI: 10.1007/s00500-015-1589-5 Abstract: Modeling interactions between criteria in Multiple Criteria Decision Analysis (MCDA) is a complex task. Such complexity arises when there are visible redundancies and synergies among criteria, which traditional MCDA methods cannot deal with. The Choquet integral is a model that has been conceived to deal with these issues, but an appropriate fuzzy measure must be defined. This article shows how to compute a fuzzy measure for criteria coalitions using linguistic information efficiently. Due to the complexity to identify an adequate fuzzy measure when the criteria set cardinality increases, the proposed model reduces the effort to determine the measure of each criteria combination by focusing on relevant interactions. Then, this fuzzy measure is used on Choquet integral to establish the best alternative in a decision making problem. Finally, a comparison between the arithmetic mean, the OWA operator and the proposed method is presented. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 72 Article: “Discrete Choquet integral based method for criteria synergy determination” Authors: Rubén Bernal – Marcelo Karanik, José Ignacio Peláez, Estela del Rocio Yanez Benavides Conf: CLEI 2015 - SLIOIA Year: October 2015 Abstract: In multi-criteria decision-making processes, a set of criteria that can act independently or have some kind of relation between them are considered. When this latter appears, the process cannot be a simple problem due to complexity to model such synergy relations. To deal with these issues, a Choquet integral based method has been developed to determine the most appropriate ranking of alternatives. Therefore, a fuzzy measure that models considerations of an expert in the problem domain must be identified. The proposed model is a novel and efficient algorithm for determining a non-additive fuzzy measure guided by linguistic attributes. Finally, an illustrative example and a comparison with other aggregation operators is presented. Discusión: Integración de modelos 73 Capítulo 6 Discusión: Integración de modelos En el presente capítulo, se muestra la potencialidad de un modelo que integra los operadores de mayoría junto con los de coalición de criterios. Se discute la manera en que pueden calcularse la importancia de los criterios que intervienen en un proceso de toma de decisión teniendo en cuenta la opinión de la mayoría y cómo calcular los pesos y grados de sinergia de las coaliciones de la medida difusa mediante la misma información. Se detalla la manera en que puede utilizarse el modelo y las posibles ventajas y campo de aplicación del mismo. 6.1. Opinión de la mayoría y coaliciones de criterios En los Capítulos anteriores de esta Tesis, se han definido dos operadores de agregación (SMA-OWA y SAM-OWA) y un modelo de coalición de criterios. Los tres muestran ser de gran utilidad para el proceso de toma de decisión de manera separada, pero su potencial aumenta si se los emplea en un modelo integrado. Es decir, si se puede resumir la opinión de la mayoría y con esos valores modelar la importancia de cada criterio y su posible interacción que definan la elección de una alternativa, es posible poder explicar por qué los consumidores prefieren un determinado producto y con esta información potenciar aquellos aspectos que le den una ventaja significativa sobre la competencia. Los operadores de agregación SMA-OWA y SAM-OWA explicados en los Capítulos 3 y 4 son herramientas que permiten obtener valores más representativos de la opinión de la mayoría. Estos operadores aplicados a la valoración de criterios, se vuelven fundamentales para cualquier modelo multi-criterio si se necesita obtener el resumen de la opinión de la mayoría. Consecuentemente, es factible emplear esos valores utilizando un método que determine la alternativa más adecuada en función a lo que piensa la mayoría. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 80 con 𝜆𝑚𝑖𝑛=𝑚𝑎𝑥[𝜇(𝐴),𝜇(𝐵)] – (𝜇(𝐴)+𝜇(𝐵)) 𝜇(𝐴)𝜇(𝐵) 𝜆𝑚𝑎𝑥=𝑎𝑏𝑠(𝜆𝑚𝑖𝑛)9 𝐴,𝐵 ϵ 𝒫(𝑁) b. Para cada experto 𝑒𝑖 (si considera que hay coalición) hacer: Inicio a. Determinar el signo de sinergia (positiva o negativa). b. Para sinergia positiva, registrar el grado de sinergia en 𝒂={(𝑛𝑗,𝑟𝑗)}. c. Para sinergia negativa, registrar el grado de sinergia en 𝒂={(−𝑛𝑗,𝑟𝑗)}. Fin c. Agregar por mayoría (SMA-OWA) las apreciaciones de los expertos a partir de 𝒂 y obtener 𝑀(𝒂)10. d. Calcular el valor de λ: 𝜆=𝑀(𝒂)Δ𝜆; −(𝑙𝑞−1)≤𝑀(𝒂)≤(𝑙𝑞−1) con: Δ𝜆=𝜆𝑚𝑎𝑥 𝑙𝑞−1 Fin Se puede notar que el valor de λ, no necesariamente será un valor entero debido al comportamiento del operador de agregación de mayoría. Finalmente, para concluir con el proceso de agregación, es necesario complementar las dos fases analizadas mediante los siguientes pasos: Algoritmo 3 Agregación final y determinación del ranking de alternativas. 1. Normalizar los valores a [0..1] para obtener 𝜇: 𝜇(𝐴𝑖)=𝜇(𝐴𝑖) 𝑚𝑎𝑥 (𝜇(𝐵)); ∀ 𝐴𝑖,𝐵 ϵ 𝒫(𝑁) 2. Para cada alternativa 𝑎𝑖 ϵ 𝐴, determinar el perfil: 𝑥𝑎=(𝑥1𝑎,𝑥2𝑎,…,𝑥𝑛𝑎) ϵ ℝ𝑛 . 3. Agregación de resultados: Para cada alternativa 𝑎𝑖 ϵ 𝐴, calcular la integral discreta de Choquet ℂ𝜇(𝑎𝑖) respecto de la medida difusa 𝜇. 9 Para mantener la equidistancia a 0. 10 Notar que el valor de 𝐹(𝒂) puede ser positivo o negativo. Discusión: Integración de modelos 81 6.3. Utilización del Modelo Propuesto El modelo de coaliciones de criterios en base a la opinión de la mayoría es una herramienta para válida para determinar qué aspectos de un producto o servicio son los más importantes para la mayoría de los usuarios. Esta característica permite que pueda ser utilizado para valorar productos y servicios WEB (evaluación de hoteles, autos, servicios de viaje, música y video, noticias, etc) y también para resumir valores de los diversos ítems de cuestionarios de satisfacción y encuestas (por ejemplo con valores de múltiples opciones). Ambas aplicaciones mencionadas tienen como objetivo poder establecer las preferencias de los usuarios en base a las opiniones que realizan sobre los distintos aspectos del objeto a evaluar. De esta manera, la utilización del modelo requiere una definición precisa de las características de las alternativas. En cualquier proceso de toma de decisión multicriterio, el objetivo es establecer la mejor alternativa en base a criterios preestablecidos. Es decir, se deben definir aquellos aspectos que caracterizan a un objeto y que sean posibles de valorar. En el modelo de coaliciones de criterios en base a la opinión de la mayoría, esta tarea es de fundamental importancia. Los pasos para la utilización de este modelo son: Etapa 1. Definición Preliminar: (1.a) Definición del objeto de estudio. Consiste en determinar concretamente del objeto de estudio, y qué tipo de soporte de información se utilizará para recabar las opiniones de los usuarios. (1.b) Definición de los criterios que se utilizarán para la evaluación. Consiste establecer claramente cuáles serán los aspectos del objeto en estudio que serán analizados. De esta definición depende la utilidad de los resultados devueltos por el modelo. (1.c) Definición del operador de agregación que se utilizará. Para este modelo propuesto se pueden utilizar cualquiera de los operadores descriptos en los Capítulos 3 y 4. La utilización de alguno de ellos dependerá del dominio de problema. Es decir, si se necesita determinar distintos grados de importancia de los valores de agregación se puede utilizar el operador SAM-OWA. En cambio, si esta característica no es necesaria, se puede utilizar el operador SMA-OWA. En ambos casos, sí se debe definir la estrategia para la definición del CRF. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 82 Etapa 2. Cálculo de Agregación y Coaliciones: (2.a) Obtención de las valoraciones. Consiste en determinar cómo se captarán las opiniones de los usuarios. Es decir con la definición técnica de la recopilación de los datos provistos al modelo. (2.b) Agregación de las valoraciones. Consiste en la aplicación del operador de agregación seleccionado para obtener el valor representativo para cada criterio. Esto determinará la importancia relativa de cada criterio respecto al resto. (2.c) Determinación de las coaliciones, el tipo y la magnitud de la sinergia. Consiste en establecer, en base a los valores agregados para cada criterio, los distintos subconjuntos de criterios que tienen relación entre sí. Luego se deben determinar el tipo de sinergia (positiva, negativa o nula) y, finalmente, la magnitud de dicha sinergia. (2.d) Armado de la medida difusa. Consiste en determinar la medida difusa a utilizar conjuntamente con la integral de Choquet para determinar los valores del modelo completo en base a la interacción de los criterios tal como se ha explicado en el Capítulo 5. Etapa 3. Evaluación: (3.a) Selección de la alternativa adecuada. Consiste en aplicar los valores de interacción del modelo a las alternativas concretas y establecer cuál es la opción que más se ajusta como solución del problema de toma de decisión. (3.b) Evaluación de la interacción de los criterios. Adicionalmente, el modelo puede ser utilizado para explicar las relaciones entre los distintos criterios, esta información es de suma utilidad si se pretende comprender como interactúan entre sí los distintos aspectos de un objeto particular. 6.4. Ventajas del Modelo El modelo propuesto es una herramienta de toma de decisión multicriterio sólido matemáticamente. En los Capítulos 3, 4 y 5 se han sentado las bases matemáticas de los operadores de agregación y del modelo de coaliciones demostrando que se sustentan en bases matemáticas adecuadas y precisas. Esto le da un valor cualitativo muy importante ya que las recomendaciones tienen sustento formal. Discusión: Integración de modelos 83 Además, el modelo puede ser utilizado por usuarios que valoran distintos aspectos de un objeto, pero también por expertos. En este último caso, se puede aprovechar la experiencia y experticia de los decisores para darle un valor agregado a la decisión. Es decir, además de contar con una herramienta que pueda establecer qué es lo que busca un usuario cuando elige un producto, también puede ser utilizado por personas calificadas en la resolución de complejos problemas de toma de decisiones. Otro aspecto de suma importancia es que el modelo propuesto puede ser empleado para determinar las relaciones entre los diversos aspectos de un mismo problema. Ya sea para que lo utilicen usuarios no calificados en dominios simples o usuarios expertos en dominios complejos. En el primer caso, la determinación de “lo que la gente prefiere” es una potencial herramienta para entender lo que el mercado está demando. Claramente esta situación de estar atentos a lo que ocurre es altamente deseable para las empresas en mercados que están caracterizados por la dinámica y por la imprevisibilidad. En el segundo caso, es decir la utilización del modelo por parte de los expertos, permite observar qué aspectos (sobre todo técnicos) son los que influyen directamente sobre los productos a evaluar. Esto permite que las organizaciones estén previendo la evolución tecnológica de los productos que le interesan. Ambas actividades forman parte de un área de mucho auge actualmente: la Vigilancia Tecnológica y la Inteligencia Competitiva. Estas dos áreas son de suma importancia para tener un panorama claro de la evolución del entorno. En cuanto a los aspectos de implementación, el modelo propuesto no requiere recursos computacionales excesivos. Esto significa que no hace falta excesiva capacidad de cómputo ni espacio de almacenamiento. Sí requiere un sistema de almacenamiento organizado de las opiniones de los usuarios para poder recuperarlas en tiempo y forma para realizar los cálculos necesarios. Además, es robusto computacionalmente, esto se evidencia en la actualización dinámica de los resultados a medida que cambian las cardinalidades en las opiniones sin que ello genere problemas en la realización de los cálculos y la determinación de los valores intermedios. Finalmente, es preciso mencionar que el modelo propuesto es simple de implementar. Solamente requiere, como se mencionó, un sistema adecuado de almacenamiento y organización de los datos y la implementación de los algoritmos de cálculo correspondientes. Conclusiones y Trabajo Futuro 85 Capítulo 7 Conclusiones y Trabajo Futuro En el ámbito de la toma de decisiones, los operadores de agregación son una herramienta fundamental. En esta tesis se desarrollaron contribuciones relacionadas con operadores de mayoría y en situaciones de toma de decisión multicriterio donde existe interacción entre los atributos evaluados. En el Capítulo 3 se ha presentado una extensión del operador de mayoría MA-OWA, proveyéndole de un mecanismo para proporcionar diferentes importancias a las mayorías y minorías. Se introduce el uso de un Factor de Relevancia de la Cardinalidad (CRF) con la finalidad de evitar descartar la opinión de la minoría cuando la cardinalidad de alguno de los valores a agregar se destaca sustancialmente sobre el resto. Su uso provee un método eficiente para agregar opiniones basadas en cardinalidades. Se propuso una formulación matemática, un análisis de sus características y las particularidades que adquiere cuando se hace variar el factor de relevancia de la cardinalidad. Se ha mostrado que cumple las propiedades necesarias de todo operador de agregación y de otras propiedades específicas debido a su definición particular. Un estudio de la manera en que se calculan los pesos intervinientes en la agregación, ha servido para mostrar que el nuevo operador posee un comportamiento adecuado cuando existen cardinalidades extremas de alguno de los valores a agregar. Modelado de Toma de Decisión con Coalición de Criterios e Información Lingüística 86 En simulaciones realizadas, y en comparación con la media aritmética ponderada y el operador MA-OWA, se pudo constatar que minimiza las distancias Manhattan promedio entre los valores agregados y las opiniones individuales. Debido a la flexibilidad que provee el uso del CRF, es destacable mencionar que este operador puede comportarse satisfactoriamente en ámbitos dinámicos donde las cardinalidades de los valores a agregar cambian constantemente. A partir del caso de estudio propuesto, se pudo concluir que la dispersión de las cardinalidades está íntimamente relacionada con el valor CRF adecuado para cada situación. Si la dispersión de cardinalidades es alta, indica que existe disparidad de opiniones y consecuentemente debe priorizarse la mayoría, el CRF debe estar cerca de 1. Si las dispersiones bajan, valores cercanos a la media aritmética son adecuados, el CRF debe acercarse a 0.5. Se propusieron para tal fin dos posibles métodos de cálculo que varían en función de alguna medida de dispersión de las cardinalidades como por ejemplo la varianza, rango o desvío estándar. En el Capítulo 4, se desarrolló una generalización de este operador SMA-OWA denominado SAM-OWA, donde las valoraciones del vector de pesos pueden calcularse en función de otros criterios distintos a la cardinalidad exclusivamente. El nuevo operador propuesto aborda de manera eficiente las situaciones donde existen opiniones dispares y su resultado refleja un mayor equilibrio a la media aritmética. En este sentido, una posible valoración emitida por error no tiene un gran impacto sobre el proceso de agregación debido al factor regulador CRF. Con el uso del operador SAM-OWA pueden obtenerse valoraciones más adecuadas cuando se necesita priorizar la opinión de la mayoría. Se ha mostrado su utilidad en los Social Media cuando se lo compara con la media aritmética ponderada (comúnmente utilizada). Este operador se presenta como una alternativa de agregación de la opinión de la mayoría en sitios web que ofrecen productos y servicios (valoración de hoteles, libros, viajes, música, videos, etc.) y que intentan resumir la opinión de sus usuarios en un único valor representativo (utilizando estrellas o etiquetas lingüísticas por ejemplo). Conclusiones y Trabajo Futuro 87 Asimismo, se puede extender su utilidad para seleccionar candidatos para puestos estratégicos en empresas, votar una ley, calificar una noticia en un periódico (donde el lector puede exponer su punto de vista), etc. La flexibilidad de uso del operador SAM-OWA muestra que es posible aplicarlo en diferentes ámbitos tanto comerciales, académicas y sociales. Finalmente, cuando en un proceso de toma de decisiones, además a parecen interacciones entre los criterios evaluados, ha quedado evidenciado que las integrales difusas producen agregaciones adecuadas siempre que la medida difusa subyacente esté definida correctamente. En el Capítulo 5 se desarrolló un método para identificar medidas difusas no aditivas construidas a partir de apreciaciones de expertos. Estas apreciaciones son suministradas mediante la utilización de etiquetas lingüísticas permitiendo al decisor focalizarse en la importancia de los criterios individualmente y en el signo e intensidad de sus interacciones. Las etiquetas lingüísticas propuestas son muy simples de utilizar y proveen un adecuado nivel de abstracción inclusive con expertos con distinto nivel de experticia. Se ha mostrado finalmente, que el método propuesto genera una medida difusa apropiada que se calcula automáticamente y que, mediante la integral de Choquet, permite obtener resultados más adecuados que al utilizar otros operadores de agregación. 7.1. Trabajo Futuro Teniendo en cuenta que el operador SMA-OWA y su generalización SAM-OWA, proporcionan resultados más precisos, se los puede combinar con otras estrategias de toma de decisiones con el fin de obtener mejores valores agregados. En la actualidad, estos operadores están siendo probados en combinación con el modelo de coalición de criterios con el fin de modelar la interacción criterios basados en la opinión de la mayoría. Esta fusión parece ser apropiada para su utilización en ámbitos de Social Media con la finalidad de medir la relevancia de comentarios, videos, fotos etc. y el impacto que pueden tener en los usuarios. Asimismo será necesario adecuar los modelos para que las valoraciones suministradas se comporten dinámicamente con el transcurso del tiempo. 89 Referencias Alajlan, N., Bazi, Y., Melgani, F., Yager, R.R., 2012. Fusion of supervised and unsupervised learning for improved classification of hyperspectral images. Inf. Sci. 217, 39 – 55. doi:http://dx.doi.org/10.1016/j.ins.2012.06.031 Alonso, S., Pérez, I.J., Cabrerizo, F.J., Herrera-Viedma, E., 2013. A linguistic consensus model for Web 2.0 communities. Appl. Soft Comput. 13, 149 – 157. doi:10.1016/j.asoc.2012.08.009 Angelov, P., Yager, R., 2013. Density-based averaging – A new operator for data fusion. Inf. Sci. 222, 163 – 174. doi:http://dx.doi.org/10.1016/j.ins.2012.08.006 Banzhaf, J.F., 1965. Weighted Voting Doesn’t Work: A Mathematical Analysis. Rutgers Law Rev. 19 317 – 344. Beliakov, G., Pradera, A., Calvo, T., 2007. Averaging Functions, in: Aggregation Functions: A Guide for Practitioners, Studies in Fuzziness and Soft Computing. 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