Conexiones de Galois y técnicas de tratamiento de la información

Escuela Polit´ ecnica Superior. Departamento de Matem´ atica Aplicada. Programa de Doctorado en Ingenier´ ıa Mec´ anica y Eficiencia Energ´ etica. TESIS DOCTORAL Conexiones de Galois y T´ecnicas de Tratamiento de la Informaci´on. Da. Francisca Garc´ ıa Pardo. Directora: Dra. Da. Inmaculada de las Pe˜ nas Cabrera. M´ alaga, 2016. AUTOR: Francisca García Pardo http://orcid.org/0000-0001-8974-6850 EDITA: Publicaciones y Divulgación Científica. Universidad de Málaga Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercialSinObraDerivada 4.0 Internacional: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode Cualquier parte de esta obra se puede reproducir sin autorización pero con el reconocimiento y atribución de los autores. No se puede hacer uso comercial de la obra y no se puede alterar, transformar o hacer obras derivadas. Esta Tesis Doctoral está depositada en el Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga (RIUMA): riuma.uma.es Dra. Inmaculada de las Pe ˜ nas Cabrera, Profesora Contratada Doctora de Universidad del Departamento de Matem ´ atica Aplicada de la Universidad de M´ alaga HACE CONSTAR: Que D a Francisca Garc ´ ıa Pardo, Licenciada en Matem ´ aticas, ha realizado en el Departamento de Matem ´ atica Aplicada de la Universidad de M ´ alaga, bajo mi direcci ´ on, el trabajo de investigaci ´ on correspondiente a su Tesis Doctoral titulada: Conexiones de Galois y T´ ecnicas de Tratamiento de la Informaci´ on Revisado el presente trabajo, estimo que puede ser presentado al Tribunal que ha de juzgarlo. Asimismo, informo que las publicaciones cient ´ ıficas que avalan esta tesis no han sido utilizadas como aval para tesis anteriores. Y para que conste a efectos de lo establecido en el Real Decreto 99/2011, autorizo la presentaci´ on de este trabajo en la Universidad de M´ alaga. M´ alaga, a 15 de marzo de 2016 Dra. Inmaculada de las Pe˜ nas Cabrera Dra. Inmaculada P ´ erez de Guzm ´ an Molina, Catedr ´ atica de Universidad del Departamento de Matem´ atica Aplicada de la Universidad de M´ alaga HACE CONSTAR: Que D a Francisca Garc ´ ıa Pardo, Licenciada en Matem ´ aticas, ha realizado en el Departamento de Matem ´ atica Aplicada de la Universidad de M ´ alaga, bajo mi tutela, el trabajo de investigaci ´ on correspondiente a su Tesis Doctoral titulada: Conexiones de Galois y T´ ecnicas de Tratamiento de la Informaci´ on Revisado el presente trabajo, estimo que puede ser presentado al Tribunal que ha de juzgarlo. Asimismo, informo que las publicaciones cient ´ ıficas que avalan esta tesis no han sido utilizadas como aval para tesis anteriores. Y para que conste a efectos de lo establecido en el Real Decreto 99/2011, autorizo la presentaci´ on de este trabajo en la Universidad de M´ alaga. M´ alaga, a 15 de marzo de 2016 Dra. Inmaculada P´ erez de Guzm´ an Molina Para mi hija Mar´ıa y mis padres Frasquito y Mar´ıa, por su grandioso ejemplo de solidaridad. ...nunca pierdas la ilusi´on, ... T´u no dejes de jugar, nunca pares de so˜nar, que una noche la tristeza se ir´a sin avisar y al fin sabr´as lo bello que es vivir ... B.S.O. ”La vida es bella”, 1997. Dir. R. Benigni. Agradecimientos Quisiera dedicar este espacio a expresar mi m ´ as sincero agradecimiento a todas las personas que han hecho posible esta tesis. En primer lugar, a mi directora, Inmaculada de las Pe ˜ nas, por su ayuda, dedicaci ´ on y buen hacer durante estos a ˜ nos. A ella debo la oportunidad de haber trabajado con Pablo Cordero y Manuel Ojeda, a quienes agradezco su profesionalidad, generosidad y disponibilidad. Igualmente, quiero expresar mi gratitud a mi tutora en el programa de doctorado Inmaculada P ´ erez de Guzm´ an. Este trabajo lo he realizado compaginando docencia en los departamentos de Matem ´ atica Aplicada y Did ´ actica de la Matem ´ atica, de las CCSS y de las CCEE en la Universidad de M ´ alaga. En ellos he tenido la fortuna de conocer y trabajar con personas que me han apoyado y ayudado. No los voy a mencionar individualmente, son muchos. Ellos y yo sabemos quienes son, as ´ ı que mi reconocimiento a todos y cada uno por vuestra amistad e infinita paciencia. Gracias a mis padres, a mis hermanos, Juan y Chej, y a mi querida familia, Juanjo y mi preciosa Mar ´ ıa, porque han estado siempre “ah ´ ı”. Espero poder compensaros el tiempo robado. Tambi ´ en tengo que dar las gracias a mis amigos y amigas, por haberse adaptado a mi nueva vida. Para finalizar, mencionar que esta investigaci ´ on se ha realizado en el seno del Grupo de Investigaci ´ on de Matem ´ atica Aplicada en Computaci ´ on (GIMAC) y ha sido financiado parcialmente por el proyecto del Ministerio de Ciencia e Innovaci´ on TIN12-39353-C04-01. XVI SUMMARY to the term Galois connection, we study the different characterizations and properties of the notion of adjunction between preordered sets and the relation among then. Moreover, we show that all four types essentially coincide. Hence all the results of this thesis are stated in terms of adjunction, though all of them can be straightforwardly used for any of the four notions. Section 2.3.1 focuses on the case in which the domain A of a mapping f:A→B is a partially ordered set and in Section 2.3.2 we tackle the study done in the previous section but in the preordered case, and it is worth to be remarked that the absence of antisymmetry makes the proof of the results much more involved. We also introduce several considerations about the uniqueness of the right adjoint providing a number of toy examples. Once we have addressed the problem of defining an adjoint pair, we observe that the composition of the two components of an adjunction leads to a ≈ -closure operator which is compatible as well with the kernel relation associated to the left adjoint. Furthermore, the existence of a ≈A -compatible closure system turns out to be a sufficient condition. This result shows the convenience of considering ≈ -closure systems in the study of adjunctions in more general carriers. In [3,5], B ˇ elohl ´ avek generalized the notion of Galois connection to the framework of fuzzy logic. For a complete residuated lattice L and two universes U, V , instead of the traditional powersets 2U and 2V , B ˇ elohl ´ avek considered the L-powersets LU and LV and defined a fuzzy Galois connection (or an LGalois connection) between Uand V. There are other recent extensions such as the alternative definition of fuzzy Galois connection given by Yao in [52]. This new vision of fuzzy adjunctions (Galois connections) generalizes B ˇ elohl ´ avek´s definition. We will adopt Yao´s approach to the notion of fuzzy adjunction. In this way, Chapter 3 studies the different characterizations and properties of fuzzy adjunctions between sets with a fuzzy (pre)ordering relation. SUMMARY XVII Moreover, we also analyze, given f:hA, ρAi → B where hA, ρAi is a set with a fuzzy (pre)order, the necessary and sufficient conditions to define ρB , a fuzzy preorder in B , and a right adjoint g:hB, ρBi → hA, ρAi for the mapping f. The results on sets with fuzzy preordering relation have more applicability since antisymmetry, in practice, is sometimes a too strong requirement; the study of this problem is particularly challenging since other previous results are stated in terms of the existence of maximum elements which are unique precisely because of antisymmetry, which is no longer available in a preordered setting Finally, we introduce the notion of closure system and closure operator on crisp sets with fuzzy ordering relations (resp. fuzzy preordering relations), together with a number of results which allow to simplify the presentation of the construction of the right adjoint. Detailed description of the content of the thesis Now, we will show the main definitions and results of this work. We will preserve the organization of the full manuscript. In this summary, we do not include all the preliminaries that can be found in detail in the thesis. Galois connections between preordered sets We formulate the results in the most general framework of preordered sets, which are sets endowed with a reflexive and transitive binary relation. We study the different definitions of Galois connection between preordered set, their characterization and the relation among them. Definition 2.1: Let A=hA, .Ai and B=hB, .Bi be preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . The pair (f, g) is called XVIII SUMMARY a1 Right Galois connection between A and B , denoted by (f, g) : A(* B , if the following condition holds a.Ag(b)if and only if b.Bf(a)for all a∈Aand b∈B. Left Galois connection between A and B , denoted by (f, g) : A+) B , if the following condition holds g(b).Aaif and only if f(a).Bbfor all a∈Aand b∈B. Adjunction between A and B , denoted by (f, g) : AB , if the following condition holds a.Ag(b)if and only if f(a).Bbfor all a∈Aand b∈B. Co-adjunction between A and B , denoted by (f, g) : AB , if the following condition holds g(b).Aaif and only if b.Bf(a)for all a∈Aand b∈B. All of the previous notions can be seen in the literature, in fact, one can even find the same term applied to different notions of connection/adjunction. Although it is true that the four definitions are strongly related, they do not have exactly the same properties; hence, it makes sense to specifically describe what is the relation between the four notions stated above, together with their corresponding characterizations. The following theorem states the existence of pairwise biunivocal correspondences between all the notions above. The transition between the two 1The arrow notation for the different versions is taken from [51]. SUMMARY XIX types of adjunctions (connections) relies on using the opposite ordering in both preordered sets, whereas the transition between adjunctions to connections and vice versa relies on using the opposite ordering in just one of the preordered sets. Theorem 2.1: Let A=hA, .Ai and B=hB, .Bi be preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . Then, the following conditions are equivalent 1. (f, g) : AB 2. (f, g) : Aop Bop 3. (f, g) : A(* Bop 4. (f, g) : Aop +) B Observe that, as a direct consequence of this theorem, any property about adjunctions can be extended by duality to the other kind of connections. Any preordered set hA, .Ai induces the symmetric kernel relation in A defined as a1≈Aa2if and only if a1.Aa2and a2.Aa1for a1, a2∈A. The notions of maximum and minimum in a poset can be extended to preordered sets as follows: an element a∈A is a p-maximum (p-minimum resp.) for a set X⊆A if a∈X and x.Aa ( a.Ax , resp.) for all x∈X . The set of p-maximum (p-minimum) elements of X will be denoted as p-max X ( p-min X , resp.). Observe that, in a preordered set, different elements can be p-maximum for a set X, but, in this case, a1, a2∈p-max Ximplies a1≈a2. Given a preordered set hA, .Ai and a∈A , the downward closure a↓ of a is defined as a↓={x∈A|x.Aa} and the upward closure a↑ of a is defined as a↑={x∈A|a.Ax}. Taking into account the definitions, we introduce the characterizations of the notion of adjunction between preordered sets. XX SUMMARY Theorem 2.2: Let A=hA, .Ai,B=hB, .Bi be two preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . The following conditions are equivalent: i) (f, g) : AB. ii) f and g are isotone maps, g◦f is inflationary and f◦g is deflationary. iii) f(a)↑=g−1(a↑)for all a∈A. iv) g(b)↓=f−1(b↓)for all b∈B. v) fis isotone and g(b)∈p-max f−1(b↓)for all b∈B. vi) gis isotone and f(a)∈p-min g−1(a↑)for all a∈A. A number of characterizations for the different Galois connections and adjunctions are summarized in Table 1. Section 2.1 ends with several theorems which provide properties about Galois connections, adjunction and co-adjunction between preordered sets. Theorem 2.3: Let A=hA, .Ai and B=hB, .Bi be preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . If (f, g): A B , where  ∈ {(*, +), ,} , then, (f◦g◦f)(a)≈Bf(a) , for all a∈A , and (g◦f◦g)(b)≈Ag(b)for all b∈B. Moreover, 1. If (f, g) is both an adjunction and a co-adjunction (left and right Galois connection resp.) then (g◦f)(a)≈Aa for all a∈A and (f◦g)(b)≈Bb for all b∈B. 2. If (f, g) is both a (left or right) Galois connection and a (co-) adjunction then f(a1)≈Bf(a2) for all a1, a2∈A with a1.Aa2 , and g(b1)≈B g(b2)for all b1, b2∈Bwith b1.Bb2. SUMMARY XXI Table 1: Galois connections and adjunctions: equivalent characterizations Galois Connections Right Galois Connections between Aand BLeft Galois Connections between Aand B (f, g): A(* B(f, g): A+) B b≤f(a)⇔a≤g(b)f(a)≤b⇔g(b)≤a for all a∈Aand b∈Bfor all a∈Aand b∈B fand gare antitone and fand gare antitone and g◦fand f◦gare inflationary g◦fand f◦gare deflationary f(a)↓=g−1(a↑)for all a∈A f(a)↑=g−1(a↓)for all a∈A g(b)↓=f−1(b↑)for all b∈B g(b)↑=f−1(b↓)for all b∈B fis antitone and fis antitone and g(b)∈p-max f−1(b↑)for all b∈B g(b)∈p-min f−1(b↓)for all b∈B gis antitone and gis antitone and f(a)∈p-max g−1(a↑)for all a∈A f(a)∈p-min g−1(a↓)for all a∈A Adjunctions Adjunction between Aand BCo-adjunction between Aand B (f, g): AB(f, g): AB f(a)≤b⇔a≤g(b)b≤f(a)⇔g(b)≤a for all a∈Aand b∈Bfor all a∈Aand b∈B fand gare isotone, fand gare isotone, g◦fis inflationary and f◦gis deflationary g◦fis deflationary and f◦gis inflationary f(a)↑=g−1(a↑)for all a∈A f(a)↓=g−1(a↓)for all a∈A g(b)↓=f−1(b↓)for all b∈B g(b)↑=f−1(b↑)for all b∈B fis isotone and fis isotone and g(b)∈maxf−1(b↓)for all b∈B g(b)∈min f−1(b↑)for all b∈B gisotone and gis isotone and f(a)∈min g−1(a↑)for all a∈A f(a)∈maxg−1(a↓)for all a∈A XXII SUMMARY For any preordered set A=hA, .Ai , the quotient set over the symmetric kernel relation ≈A is denoted as A . The relation defined as “ [a1]≈.A[a2]≈ if and only if a1.Aa2 ” is a partial order. The quotient posets hA, .Ai is denoted as A . Theorem 2.2 allows to translate adjunctions to the quotient posets as follows. Given A and B two preordered sets and f:A→B an isotone (resp. antitone) mapping, we define a mapping f:A→B where f([a]≈) = [f(a)]≈ . Theorem 2.4: Let A=hA, .Ai and B=hB, .Bi be two preordered sets and consider  ∈ {(*, +), ,}. If (f, g) : A Bthen (f, g): A B. Corollary 2.1: Let A=hA, .Ai and B=hB, .Bi be two preordered sets and consider two mappings f:A→Band g:B→A. 1. (f, g) is both an adjunction and a co-adjunction (a left Galois connection and a right Galois connection, resp.) if and only if f and g are isotone (resp. antitone) mappings and f and g are inverse mappings (i.e. (f)−1=g). 2. Both relations .A and .B are equivalence relations and (f, g) is an adjunction (resp. co-adjunction, right Galois connection, left Galois connection) if and only if (f, g) is adjunction, co-adjunction, right Galois connection and left Galois connection. Construction of adjunctions between posets Given f:A→B we first focus on the case in which the domain A is a partially ordered set and, once introduced the preliminary technical results, we provide the necessary and sufficient conditions for the existence of an ordering relation on B and a mapping g:B→A such that (f, g) constitutes an adjunction. SUMMARY XXIII In general, given a poset hA, ≤Ai together with an equivalence relation ∼ on A , it is common to denote the quotient set of A wrt ∼ as A∼=A/∼ and the natural projection π:A→A∼ . The equivalence class of an element a∈Ais denoted by [a]∼and, then, π(a)=[a]∼. With the aim of finding conditions for building a right adjoint to a mapping f from a poset hA, ≤Ai to an unstructured set B , we naturally consider the canonical decomposition of f:A→B through A≡f , the quotient set of A wrt the kernel relation ≡f defined as a≡fb if and only if f(a) = f(b) (see Figure 1 ). We denote the inclusion mapping by i:f(A)→B where i(b) = b and ϕ:A≡f→f(A) is the unique bijective mapping which makes the following diagram commutative, i.e., ϕ([a]≡f) = f(a) hA, ≤AiB A≡ff(A) f π ϕ i Figure 1: Canonical decomposition of f:hA, ≤Ai → Bthrough A≡f. The following lemma provides sufficient conditions for the natural projection being the left component of an adjunction. Lemma 2.2: Let hA, ≤Ai be a poset and ∼ an equivalence relation on A . Assume that the following conditions hold 1. there exists max([a]∼), for all a∈A. 2. if a1≤Aa2then max([a1]∼)≤Amax([a2]∼), for all a1, a2∈A. Then, the relation ≤A∼ defined by [a1]∼≤A∼[a2]∼ if and only if a1≤A max([a2]∼) is an ordering in A∼ and, moreover, the pair (π, max) is an adjunction between hA, ≤Aiand hA∼,≤A∼i. XXIV SUMMARY The following result states that the conditions given in the previous Lemma are also necessary and that the ordering relation and the right adjoint are uniquely defined. Lemma 2.3: Let hA, ≤Ai be a poset and ∼ an equivalence relation on A . Let A∼=A/∼ be the quotient set of A wrt ∼ and π:A→A∼ the natural projection. If there exists an ordering relation ≤A∼ in A∼ and a mapping g:A∼→Asuch that (π, g): hA, ≤AihA∼,≤A∼ithen, 1. g([a]∼) = max ([a]∼)for all a∈A. 2. [a1]∼≤A∼[a2]∼if and only if a1≤Amax ([a2]∼)for all a1, a2∈A. 3. if a1≤Aa2then max ([a1]∼)≤Amax ([a2]∼)for all a1, a2∈A. We continue with the analysis of the canonical decomposition which, naturally, leads to the following result. Lemma 2.4: Consider a poset hA, ≤Ai and a bijective mapping ϕ:A→B , then there exists a unique ordering relation in B , which is defined as b1≤Bb2 if and only if ϕ−1(b1)≤Aϕ−1(b2), such that (ϕ, ϕ−1): hA, ≤AihB, ≤Bi. As a consequence of the previous results, we have established the necessary and sufficient conditions to ensure the existence and uniqueness of a right adjoint for any surjective mapping f from a poset A to an unstructured set B. Theorem 2.5: Given a poset hA, ≤Ai and a surjective mapping f:A→B , let ≡f be the kernel relation. Then, there exists an ordering ≤B in B and a mapping g:B→Asuch that (f, g): hA, ≤AihB, ≤Biif and only if 1. there exists max ([a]≡f)for all a∈A. 2. a1≤Aa2implies max ([a1]≡f)≤Amax ([a2]≡f), for all a1, a2∈A. SUMMARY XXV A summary of the construction of an adjunction, with f a surjective mapping, is represented in the Figure 2. A B A≡f f π g=max◦ϕ−1 ϕ−1 max ϕ Figure 2: (f, g)is an adjunction where fis surjective and g= max ◦ϕ−1. Now, we tackle the same problem in the case of f being not necessarily surjective. Now, there are several possible orderings on B which allows us to define the right adjoint. The crux of the construction is related to the definition of an order-embedding of the image into the codomain set. More generally, the idea is to extend an ordering defined just on a subset of a set to the whole set. Given a subset X⊆B , and a fixed element m∈X , any preordering ≤X in X can be extended to a preordering ≤m on B , defined as the reflexive and transitive closure of the relation ≤X∪ {(m, y)|y /∈X} . Note that the relation above can be described, for all x, y ∈B , as x≤my if and only if some of the following conditions holds: (a) x, y ∈Xand x≤Xy (b) x∈X, y /∈Xand x≤Xm (c) x, y /∈Xand x=y If the relation ≤X in X is an ordering then any extension ≤m on B is antisymmetric as well. Lemma 2.5: Given a subset X⊆B , and a fixed element m∈X , then ≤X is an ordering on Xif and only if ≤mis an ordering on B. XXXII SUMMARY relation associated to f . As a result, the existence of a ≈A -compatible system turns out to be a necessary condition. The following main result states that this condition is also sufficient. Theorem 2.9: Let A=hA, .Ai be a preordered set and consider a mapping f:A→B . Then, there exists a preorder in B and a mapping g:B→A such that (f, g) forms an adjunction if and only if there exists a ≈A -closure system Scompatible wrt ≡f. Adjunctions between fuzzy preordered sets We devote this Section to establish the definitions and characterizations of fuzzy Galois connections and fuzzy adjunctions between sets with a fuzzy preorder. Moreover, we study the relations between them, their characterizations and properties. We will work with complete residuated lattices, L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) , as underlying structure for considering fuzziness. Definition 3.1: An L -fuzzy preordered set is a pair hA, ρAi in which ρA is a reflexive and transitive L -fuzzy relation, i.e. ρA(a, a) = > and ρA(a, b)⊗ρA(b, c)≤ ρA(a, c)for all a, b, c ∈A. An L -fuzzy ordered set is a pair hA, ρAi in which ρA is a reflexive, transitive and antisymmetric L -fuzzy relation, i.e. ρA(a, b) = ρA(b, a) = > implies a=bfor all a, b ∈A. From now on, we will omit the prefix L. Definition 3.3: Let A=hA, ρAi , B=hB, ρBi be fuzzy preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . The pair (f, g) is said to be a SUMMARY XXXIII Right fuzzy Galois connection between A and B and denoted by (f, g) : A(* B, if ρA(a, g(b)) = ρB(b, f(a)) for all a∈Aand b∈B. Left fuzzy Galois connection between A and B and denoted by (f, g) : A+) B, if ρA(g(b), a) = ρB(f(a), b)for all a∈Aand b∈B. Fuzzy adjunction between Aand Band denoted by (f, g) : AB, if ρA(a, g(b)) = ρB(f(a), b)for all a∈Aand b∈B. Fuzzy co-adjunction between Aand Band denoted by (f, g) : AB, if ρA(g(b), a) = ρB(b, f(a)) for all a∈Aand b∈B. Given a fuzzy poset hA, ρAi , for every element a∈A , the extension to the fuzzy setting of the notions of upward closure and downward closure of the element a are defined by a↑ , a↓:A→L where a↑(u) = ρA(a, u) and a↓(u) = ρA(u, a) for all u∈A . An element a∈A is a maximum for a fuzzy set Xif X(a) = >and X⊆a↓. The definition of minimum is similar. On fuzzy preordered sets, due to the absence of antisymmetry, there exists a crisp set of maxima (resp. minima) for X, not necessarily a singleton, which we will denote p-max(X) (resp., p-min(X)). From now on, we will use the following notation: for a mapping f:A→ B and a fuzzy subset Y of B , the fuzzy set f−1(Y) is defined as f−1(Y)(a) = Y(f(a)), for all a∈A. Theorem 3.1: Let A=hA, ρAi and B=hB, ρBi be fuzzy preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . The following conditions are equivalent: XXXIV SUMMARY 1. (f, g): AB. 2. fand gare isotone, g◦fis inflationary and f◦gis deflationary. 3. f(a)↑=g−1(a↑)for all a∈A. 4. g(b)↓=f−1(b↓)for all b∈B. 5. fis isotone and g(b)∈p-max f−1(b↓)for all b∈B. 6. gis isotone and f(a)∈p-min g−1(a↑)for all a∈A. From the last definitions and theorem, we obtain characterizations for the cases of fuzzy Galois connections, fuzzy adjunction and fuzzy co-adjunction as summarized in Table 2. Any fuzzy preordered set A=hA, ρAi defines a (crisp) preordered set Ac=hA, .Aiwhere a.Abiff ρA(a, b) = >. Lemma 3.1: Let A=hA, ρAi and B=hB, ρBi be fuzzy preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . For  ∈ {(*, +), ,} , if (f, g) : A Bthen (f, g): Ac Bc From a fuzzy preordered set A=hA, ρAi , by defining ≈ as the crisp equivalence relation a≈b if and only if ρA(a, b) = ρA(b, a) = > , the quotient set A/≈ is a fuzzy poset with respect to the fuzzy binary relation ρA≈ defined by ρA≈([a],[b]) = ρA(a, b) . Moreover, any mapping f between fuzzy preordered sets defines a mapping f≈ over those quotient posets in the same way as in Theorem 2.4. Theorem 3.2: Let A=hA, ρAi and B=hB, ρBi be fuzzy preordered sets and consider two mappings f:A→B and g:B→A . Then, for  ∈ {(*, +), ,},(f, g) : A Bif and only if (f≈, g≈): A/≈ B/≈. Theorem 3.3: Let A=hA, ρAi and B=hB, ρBi be fuzzy preordered sets and  ∈ {(*, +), ,} . If (f, g): A B then, for all a∈A, b ∈B , the SUMMARY XXXV Table 2: Summary of definitions and equivalent characterizations Fuzzy Galois connections Right fuzzy Galois connection between Aand BLeft fuzzy Galois connection between Aand B (f, g): A=hA, ρAi(* B=hB, ρBi(f, g): A=hA, ρAi+) B=hB, ρBi ρB(b, f(a)) = ρA(a, g(b)) ρB(f(a), b) = ρA(g(b), a) for all a∈Aand b∈Bfor all a∈Aand b∈B fand gare antitone maps and fand gare antitone maps and g◦fand f◦gare inflationary maps g◦fyf◦gare deflationary maps f(a)↓=g−1(a↑)for all a∈A f(a)↑=g−1(a↓)for all a∈A g(b)↓=f−1(b↑)for all b∈B g(b)↑=f−1(b↓)for all b∈B fis an antitone map and fis an antitone map and g(b)∈p-max f−1(b↑)for all b∈B g(b)∈p-min f−1(b↓)for all b∈B gis an antitone map and gis an antitone map and f(a)∈p-max g−1(a↑)for all a∈A f(a)∈p-min g−1(a↓)for all a∈A Fuzzy adjunction and fuzzy co-adjunction Fuzzy adjunction between Aand BFuzzy co-adjunction between Aand B (f, g): A=hA, ρAiB=hB, ρBi(f, g): A=hA, ρAiB=hB, ρBi ρB(f(a), b) = ρA(a, g(b)) ρB(b, f(a)) = ρA(g(b), a) for all a∈Aand b∈Bfor all a∈Aand b∈B fand gare isotone maps, fand gare isotone maps, g◦fis inflationary and f◦gis deflationary g◦fis deflationary and f◦gis inflationary f(a)↑=g−1(a↑)for all a∈A f(a)↓=g−1(a↓)for all a∈A g(b)↓=f−1(b↓)for all b∈B g(b)↑=f−1(b↑)for all b∈B fis an isotone map and fis an isotone map and g(b)∈p-max f−1(b↓)for all b∈B g(b)∈p-min f−1(b↑)for all b∈B gis an isotone map and gis an isotone map and f(a)∈p-min g−1(a↑)for all a∈A f(a)∈p-max g−1(a↓)for all a∈A following relations hold (f◦g◦f)(a)≈f(a) and (g◦f◦g)(b)≈g(b) . Moreover, XXXVI SUMMARY If (f, g) is both left and right Galois connection (resp., adjunction and co-adjunction) then (g◦f)(a)≈a and (f◦g)(b)≈b for all a∈A and b∈B. If (f, g) is both a (left or right) Galois connection and a (co-)adjunction then, for all a1, a2∈A , ρA(a1, a2) = > implies f(a1)≈f(a2) and, for all b1, b2∈B,ρB(b1, b2) = >implies g(b1)≈g(b2). Building fuzzy adjunctions on fuzzy posets Now, we present the main results which lead us to the construction of fuzzy adjunctions between fuzzy posets and fuzzy adjunctions between preordered sets. Given a mapping f from a fuzzy poset hA, ρAi to any set B , we will introduce conditions which allow to define a fuzzy ordering on B and a mapping from Bto Asuch that the pair (f, g)forms a fuzzy adjunction. The problem stated above is addressed from the canonical decomposition of f:hA, ρAi → B through A≡f , the quotient set of A wrt the kernel relation ≡f. In the following results, we provide the conditions that ensure the definition of a right adjoint for the three mappings, namely π:A→A≡f where π(a) = [a]≡f ; the bijective mapping ϕ:A≡f→f(A) defined by ϕ([a]≡f) = f(a)and the inclusion i:f(A)→Bthat satisfies f=i◦ϕ◦π. Lemma 3.4: Let hA, ρAi be a fuzzy poset and let ∼ be an equivalence relation on A(∼ ⊆ A×A). Suppose that the following conditions hold 1. there exists max[a]∼, for all a∈A. 2. ρA(a1, a2)≤ρA(max[a1]∼,max[a2]∼), for all a1, a2∈A. SUMMARY XXXVII Then, ρA∼:A∼×A∼→L defined by ρA∼([a1]∼,[a2]∼) = ρA(a1,max[a2]∼) is a fuzzy ordering on A∼. Moreover, the pair (π, max) is a fuzzy adjunction between Aand A∼. Now, given a bijective mapping ϕ:hA, ρAi → B , we show that ϕ induces a fuzzy ordering, ρB:B×B→L defined as ρB(b, b0) = ρA(ϕ−1(b), ϕ−1(b0)) such that ϕ and ϕ−1 are isotone maps and (ϕ, ϕ−1): A≡ff(A) (see Figure 4). hA, ρAiB hA≡f, ρA≡fi hf(A), ρf(A)i f πmax ϕ ϕ−1 i Figure 4: (π, max): A A≡fand (ϕ, ϕ−1): A≡ff(A). Finally, in order to extend the fuzzy ordering on f(A) to the whole set B , we consider the case of a subset X⊆U and a fuzzy order ρX on X that can be extended to a fuzzy ordering on U as follows; fix an element m∈X and define ρm:U×U→Las ρm(x, y) =                ρX(x, y)if x, y ∈X ρX(x, m)if x∈X, y 6∈ X ⊥if x6∈ X, x 6=y >if x6∈ X, x =y Then, ρm is a fuzzy ordering on U . Moreover, the mapping jm:hX, ρXi → hU, ρmidefined as follows jm(x) =    xsi x∈X msi x /∈X XXXVIII SUMMARY satisfies that (i, jm): hX, ρXihU, ρmi. Theorem 3.4: Let hA, ρAi be a fuzzy poset and consider a mapping f:A−→ B . Let A≡f be the quotient set on the kernel relation. Then, there exists a fuzzy ordering ρB on B and a mapping g:B−→ A such that (f, g) : hA, ρAihB, ρBiif and only if 1. there exists max[a]≡ffor all a∈A. 2. for all a1, a2∈A, the following inequality holds: ρA(a1, a2)≤ρA(max[a1]≡f,max[a2]≡f) In Figure 5, we represent the composition of the three adjunctions which provides a right adjoint of the mapping f. hA, ρAi hB, ρBi hA≡f, ρA≡fi hf(A), ρf(A)i f π g=max◦ϕ−1◦jm jm max ϕ ϕ−1 i Figure 5: (f, g) : hA, ρAihB, ρBisuch that g= max ◦ϕ−1◦jm. Building fuzzy adjunctions on fuzzy preordered sets The construction follows the same scheme of that given in Theorem 3.4 as much as possible. But, we need to define a suitable fuzzy version of the p-kernel relation. Definition 3.4: Let A=hA, ρAi be a fuzzy preordered set and consider a mapping f:A→B . The fuzzy p-kernel relation ∼ =A is the transitive closure of the fuzzy union of the relations symmetric kernel ≈Aand kernel ≡f. SUMMARY XXXIX In order to actually build the fuzzy preordering on the codomain B , we make use of a suitable fuzzy preordering between crisp subsets. The idea is to extend the notion of Hoare preorder to a fuzzy setting. Definition 3.5: Let hA, ρAi be a fuzzy preordered set, and consider C, D crisp subsets of A. The fuzzy relation vHis defined as (CvHD) = ^ c∈C_ d∈D ρA(c, d) Proposition 3.2: The relation vH is a fuzzy preordering in the powerset of A. It is remarkable that vH will be used just on (crisp) subsets X⊆A with a particular property; namely, for all x1, x2∈X we have ρA(x1, x2) = > . A subset is said to be cyclic if it satisfies the previous property. The following lemma states that, for the specific case of this kind of sets, the fuzzy relation vHcan be very easily computed. Lemma 3.9: Consider a fuzzy preordered set hA, ρAi , and let X, Y be two crisp cyclic subsets of A . Then, XvHY=ρA(x, y) for any x∈X and y∈Y. Notation: Let hA, ρAi be a fuzzy preordered set and let X:A→L be a fuzzy subset of A. The set of upper bounds of Xis defined as follows UB(X) = {b∈A|X(u)≤ρA(u, b)for all u∈A} The result below actually allows to build a fuzzy preordering relation on B by applying it to the particular case of the sets of p-minima of a fuzzy subset, which turn out to be cyclic (this is just a straightforward consequence of the definition). Lemma 3.10: Consider a fuzzy preordered set A=hA, ρAi together with a mapping f:A→B and a subset S⊆A satisfying the following conditions: XL SUMMARY 1. S⊆[ a∈A p-max[a]∼ =A 2. p-min(UB[a]∼ =A∩S)6=∅, for all a∈A. 3. ρA(a1, a2)≤p-min(UB[a1]∼ =A∩S)vHp-min(UB[a2]∼ =A∩S) , for all a1, a2∈A. Then, for any a0∈A , the fuzzy relation ρa0 B:B×B→L defined as follows ρa0 B(b1, b2) = p-min(UB[a1]∼ =A∩S)vHp-min(UB[a2]∼ =A∩S) where ai∈f−1(bi) if f−1(bi)6=∅ and ai=a0 otherwise, for each i∈ {1,2} , is a fuzzy preordering on B. Furthermore, under the same hypotheses, it is possible to define a number of suitable right adjoints g:B→A for f and all of them can be specified as follows: (C1) If b∈f(A), then g(b)∈p-min(UB[xb]∼ =A∩S)for some xb∈f−1(b). (C2) If b /∈f(A), then g(b)∈p-min(UB[a0]∼ =A∩S). We conclude this section stating the theorem which summarizes the necessary and sufficient conditions for the existence of a right adjoint for a mapping between a fuzzy preordering and an unstructured set. Theorem 3.6: Given a fuzzy preordered set A=hA, ρAi together with a mapping f:A→B , there exists a fuzzy preordering ρB on B and a mapping g:B→A such that (f, g) : AB if and only if there exists S⊆A such that, for all a, a1, a2,∈A: 1. S⊆[ a∈A p-max[a]∼ =A 2. p-min(UB[a]∼ =A∩S)6=∅ 3. ρA(a1, a2)≤p-min(UB[a1]∼ =A∩S)vHp-min(UB[a2]∼ =A∩S). SUMMARY XLI Closure systems on fuzzy preordered sets The theory of closure systems on preordered sets is used in order to provide a more meaningful framework for the extension to the fuzzy case of previous results. The notion of closure system on a fuzzy preordered set which we use is a natural extension of the classical closure system on a crisp partial ordered set. In fact, the definition is formulated in the same terms, though we use an alternative characterization that is easier to handle. Definition 3.8: Let A=hA, ρAi be a fuzzy preordered set and let S⊆A be a crisp subset of A . Then S is said to be a closure system if the set p-min(a↑∩S) is non-empty, for all a∈A. Other definitions of closure system in a fuzzy setting can be found in the literature. It is remarkable the one given by Belohlavek in [4], where the notions of LK -closure operator and LK -closure system on L -ordered sets were introduced, where K is a filter of the residuated lattice L . In that definition, a fuzzy closure system is a fuzzy set, so it is a different approach from ours. There exists another definition similar in spirit to the one we propose, which was introduced in the framework of the so-called L -ordered sets. In the following result we state an alternative characterization of the notion of closure system based on ideas from [34]. Proposition 3.3: Let A=hA, ρAi be a fuzzy preordered set. A non-empty subset S⊆A is a closure system if and only if for any a∈A , there exists ma∈Ssuch that 1. ρA(a, ma) = >and 2. ρA(s1, ma)⊗ρA(a, s2)≤ρA(s1, s2)for any s1, s2∈S. XLVIII SUMMARY 7. F. Garc ´ ıa-Pardo, I.P. Cabrera, P. Cordero and M. Ojeda-Aciego. On closure systems and adjunctions between fuzzy preordered sets. ICFCA 2015 .Lecture Notes in Artificial Intelligence 9113 : pp. 114 −127 (2015) . CORE C. 8. I.P. Cabrera, P. Cordero, F. Garc ´ ıa-Pardo, and M. Ojeda-Aciego. Constructing right adjoints between fuzzy preordered sets. CAEPIA 2015 . Actas de la XVI Conferencia de la Asociaci´on Espa˜nola para la Inteligencia Artificial, pp. 439 −447 (2015). 9. F. Garc ´ ıa-Pardo, I.P. Cabrera, P. Cordero and M. Ojeda-Aciego. On fuzzy preordered sets and monotone Galois connections. IEEE SSCI 2015 .IEEE Symposium Series on Computational Intelligence 144 : pp. 990 −994 (2015). Introducci´on En el ´ ambito de las estructuras ordenadas, Ø. Ore introdujo en 1944 el concepto de conexi´on de Galois [46] como un par de funciones ant ´ ıtonas entre dos conjuntos parcialmente ordenados, generalizando as ´ ı la teor ´ ıa de polaridades entre ret ´ ıculos completos, previamente utilizadas por Birkhoff en 1940 [10]. Este concepto supone una generalizaci ´ on de la correspondencia subgrupo-subcuerpo que se describe en el cl ´ asico Teorema Fundamental de la Teor´ ıa de Galois, de ah´ ı el origen del t´ ermino. A ˜ nos m ´ as tarde, J. Schmidt [48] mantuvo la terminolog ´ ıa de conexi ´ on de Galois, pero cambi ´ o las funciones ant ´ ıtonas por funciones is ´ otonas, lo cual favoreci´ o la aplicabilidad de este concepto a Computaci´ on. El t ´ ermino adjunci´on fue introducido en 1958 por D. M. Kan [36]. Originalmente fueron definidas en un contexto categ ´ orico y tal vez debido a esto, pueden encontrarse gran cantidad de ejemplos de adjunciones en varias ´ areas de investigaci´ on, que van desde las m´ as te´ oricas a las m´ as aplicadas. Cuando se interpreta una adjunci ´ on en la categor ´ ıa de conjuntos ordenados, se observa que es una noci ´ on bastante similar a la de conexi ´ on de Galois y, en cierta medida, una permite definir la otra: una adjunci ´ on entre dos conjuntos ordenados A y B es una conexi ´ on de Galois en la cual la relaci ´ on de orden sobre B se invierte. Esto lleva a la utilizaci ´ on del t ´ ermino conexi´on de Galois is´otona para referirse a una adjunci´ on entre conjuntos ordenados. 2 CAP´ ITULO 0. INTRODUCCI ´ ON La comparaci ´ on de distintos entes matem ´ aticos es uno de los objetivos de investigaci ´ on m ´ as recurrentes en el ´ ambito de las matem ´ aticas. En este sentido las adjunciones (conexiones de Galois is ´ otonas) juegan un papel importante en numerosas aplicaciones, debido a su capacidad para poder vincular mundos aparentemente muy dispares; por esto Denecke, Ern ´ e, y Wismath se ˜ nalan en su monograf ´ ıa [19] la siguiente met ´ afora: Galois connections provide the structure-preserving passage between two worlds of our imagination. En los ´ ultimos a ˜ nos se ha producido un notable incremento en el n ´ umero de publicaciones relativas a conexiones de Galois, tanto is ´ otonas como ant ´ ıtonas. Se pueden encontrar numerosos trabajos sobre desarrollos te ´ oricos o aplicados como por ejemplo [14, 19, 38]. En [43] se puede ver una primera visi ´ on sobre aplicaciones. Otras referencias m ´ as espec ´ ıficas sobre el tema pueden encontrarse, por ejemplo, en programaci ´ on [45] o l ´ ogica [35]. As ´ ı como los realizados por Castellini et al. en [15] y Garc ´ ıa et al. en [29] en contextos categ´ oricos. Cabe se ˜ nalar que muchos de estos trabajos utilizan conexiones de Galois en el marco del An ´ alisis de Conceptos Formales (FCA), tanto desde un punto de vista te ´ orico como aplicado. Esto se debe a que el pilar b ´ asico sobre el que se construye esta rama de las ciencias de la informaci ´ on son los operadores de derivaci ´ on que forman una conexi ´ on de Galois ant ´ ıtona. FCA modeliza las estructuras b ´ asicas del pensamiento a partir de estos operadores en el marco de la teor ´ ıa de ret ´ ıculos. En [20] puede verse una visi ´ on general de esta relaci ´ on. B ˇ elohl ´ avek y Kone ˇ cn ´ y [8] hacen hincapi ´ e sobre la dualidad entre conexiones de Galois is ´ otonas y ant ´ ıtonas y muestran la deducibilidad entre los ret ´ ıculos de conceptos generados mediante el uso de cada tipo de conexi ´ on, de forma que la “dualidad”funciona s ´ olo en un sentido; Valverde y Pel ´ aez han estudiado la extensi ´ on de los distintos modos de conceptualizaci ´ on [51] y han proporcionado una visi ´ on general de la disciplina; D ´ ıaz y 3 Medina [21] utilizan conexiones de Galois como herramientas para resolver ecuaciones. Tambi ´ en hay diversos trabajos que sugieren el uso de la teor ´ ıa de conjuntos ordenados en el campo de la Qu´ımica, incluso se pueden encontrar algunos dedicados exclusivamente al uso de ´ ordenes parciales en esta disciplina. Espec ´ ıficamente, [1] aplica An ´ alisis de Conceptos Formales a la clasificaci ´ on de objetos antiguos (concretamente, antiguos utensilios de bronce egipcio). M ´ as recientemente, A. Kerber [37] aboga por el uso de la teor ´ ıa de An ´ alisis de Conceptos Formales como herramienta para toma de decisiones en el ´ ambito de las Ciencias Medioambientales. El inter ´ es en las conexiones de Galois no se observa solamente en la comunidad FCA. Construir o definir una conexi ´ on de Galois o una adjunci ´ on es potencialmente ´ util en cualquier ´ area de estudio en la que la teor ´ ıa de ´ ordenes parciales o pre ´ ordenes se puedan aplicar. El conocimiento de la existencia de un (pre)orden adecuado, permite la utilizaci ´ on de las propiedades de las conexiones de Galois en el seno de numerosas teor´ ıas. Otro campo de aplicaci ´ on interesante es la Ling¨u´ıstica: en [44], el estudio de la inferencia gramatical en sistemas Lambek (simples y mixtos) se hace en t´ erminos de conexiones de Galois. Un tercer campo de aplicaci ´ on es la Bioinform´atica: en [47] se utilizan las propiedades de las conexiones de Galois para identificar grupos de genes a partir de conjuntos de datos de microarrays; en [26] se aplican sistemas para desarrollar una aplicaci ´ on que permite extraer informaci ´ on biol ´ ogica de datos del genoma en bruto; en [25] se aplica el marco de la interpretaci ´ on abstracta (en gran medida basado en la noci ´ on de conexi ´ on de Galois) a la formalizaci´ on de nuevas abstracciones de uso com´ un en la Biolog´ıa. Se pueden encontrar en la bibliograf ´ ıa resultados relacionados con condiciones suficientes o necesarias para la existencia de una conexi ´ on de Galois 4 CAP´ ITULO 0. INTRODUCCI ´ ON entre estructuras ordenadas. De hecho, el teorema de Freyd caracteriza cu ´ ando un funtor (operador) posee adjunto. Pero en ninguno de estos trabajos se aborda el problema de la construcci ´ on de conexiones de Galois con codominios en los que, a priori, se desconoce si poseen una estructura ordenada. El objetivo principal de este trabajo es partir de una aplicaci ´ on f:A→B desde un conjunto A dotado con una determinada estructura hasta un conjunto B no necesariamente dotado de estructura, para estudiar y caracterizar las situaciones en las cuales se pueda definir una estructura en B similar a la de A, de forma que adem´ as se pueda construir una aplicaci´ on g:B→A tal que el par (f, g)sea una adjunci´ on (conexi´ on de Galois is´ otona). De este modo, dependiendo de la estructura definida sobre el conjunto A se presentar ´ an diferentes resultados para definir la estructura sobre el conjunto B y la aplicaci ´ on g:B→A . En concreto, se estudia el problema en el caso en el que el dominio A est ´ a dotado de una estructura de orden parcial y tambi ´ en el caso en el que A es un conjunto preordenado. Ambas situaciones se abordan tanto en el caso cl´ asico como en el caso difuso. En 1965, Lotfi Zadeh introduce la Teor ´ ıa de Conjuntos Difusos [53]. En este trabajo se aborda definitivamente el problema del modelado matem ´ atico de la ambig ¨ uedad, con la definici ´ on de conjunto difuso X en un universo U como una aplicaci ´ on X:U→[0,1] que asocia a cada elemento u∈ U un valor del intervalo real [0,1] y donde X(u) representa el grado de pertenencia de ual conjunto difuso X. Actualmente, en lugar de trabajar con el intervalo real [0,1] , muchos autores utilizan la estructura de ret´ıculo residuado L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) , introducido en 1930 por Dilworth [23], que es m ´ as general, y que fue utilizada por Goguen [32], en 1967, para definir los L -conjuntos, que generalizan la definici´ on de conjunto difuso. El t ´ ermino conexi´on de Galois difusa fue introducido por R. B ˇ elohl ´ avek 5 en [3] como un par de aplicaciones definidas entre los conjuntos de conjuntos difusos definidos sobre dos universos. Desde entonces, en el ´ ambito de la l ´ ogica difusa, se pueden encontrar numerosos art ´ ıculos en los cuales se estudian las conexiones de Galois difusas desde un punto de vista algebraico y abstracto. Ejemplo de ello son los trabajos realizados por el propio B ˇ elohl ´ avek en [5], Georgescu y Popescu [30] y Frascella en [28]. Entre las aplicaciones con conexiones de Galois difusas se pueden destacar los trabajos de Denecke, Ern´ e y Wismath [19], Kuznetsov [40] o Mu [45]. Otros autores han introducido enfoques alternativos derivados de las aplicaciones: por ejemplo, Shi et al. [50] introducen una definici ´ on de adjunci´ on difusa para su uso en la morfolog´ ıa matem´ atica difusa. Existen otras extensiones m ´ as recientes como son, por ejemplo, las que se pueden encontrar en [9,39,52]. Destacamos la realizada por Yao y Lu en [52] en 2009 , donde se define una conexi ´ on de Galois difusa como un par de aplicaciones definidas entre conjuntos cl ´ asicos dotados de relaciones difusas. Esta nueva visi ´ on generaliza la definici ´ on original dada por B ˇ elohl ´ avek en 1999 y es la que adoptamos en el presente trabajo. En este sentido, nuestro problema de estudio en ambiente difuso se describe de la siguiente forma: se considera una aplicaci ´ on f:hA, ρAi → B donde A es un conjunto cl ´ asico, ρA un orden difuso en A y B un conjunto cl ´ asico no necesariamente dotado de estructura, y se establecen las condiciones necesarias y suficientes para que exista una relaci ´ on de orden difusa en By una aplicaci´ on gde forma que (f, g)sea una adjunci´ on difusa. Tambi ´ en, se plantea el problema anterior sobre estructuras m ´ as generales que los conjuntos con ´ ordenes difusos. Sin embargo, a la hora de considerar estructuras m ´ as generales, existen diversos enfoques. Algunos autores [27] sugieren trabajar con relaciones no reflexivas, mientras que otros sostienen que las propiedades reflexiva y antisim ´ etrica son propiedades contradictorias [11]. Nuestra elecci ´ on en este caso ha sido trabajar con ausencia de 6 CAP´ ITULO 0. INTRODUCCI ´ ON antisimetr ´ ıa y, por tanto, se considerar ´ an conjuntos cl ´ asicos dotados de relaciones difusas reflexivas y transitivas. Por otro lado, con el objeto de estudiar la existencia del adjunto por la derecha de una aplicaci ´ on f definida sobre alguna de las estructuras anteriormente comentadas, tanto en ambiente cl ´ asico como difuso, nos apoyaremos en la relaci ´ on existente entre los operadores de cierre y las adjunciones. Esta relaci ´ on se puede definir en t ´ erminos de categor ´ ıas [22], pero es mucho m ´ as conocida en el marco de la teor ´ ıa de dominios y sem ´ antica denotacional [31]. Asimismo, los operadores de cierre y los sistemas de cierre de un conjunto parcialmente ordenado est ´ an en correspondencia biun ´ ıvoca, de manera que se pueden proporcionar condiciones necesarias y suficientes (tanto en el caso cl ´ asico como en el caso difuso) para dotar al conjunto B de estructura y poder definir una aplicaci ´ on g:B→A tal que (f, g) sea una adjunci ´ on, en t ´ erminos de la existencia de un sistema de cierre en A con propiedades adecuadas. Organizaci´on y resultados aportados Al comenzar a revisar la literatura sobre el tema, nos encontramos con una escasa uniformidad en la denominaci ´ on y definici ´ on del t ´ ermino adjunci ´ on (resp. conexi ´ on de Galois). De hecho, se pueden encontrar diferentes trabajos que utilizan el mismo t ´ ermino para referirse a nociones distintas. A pesar de ser cierto que las cuatro definiciones existentes est ´ an muy relacionadas, se debe destacar que no tienen exactamente las mismas propiedades y que en trabajos anteriores la estructura m ´ as habitual sobre la que se utilizan estas definiciones es la de un conjunto parcialmente ordenado. Tras el primer cap ´ ıtulo, dedicado a la introducci ´ on de definiciones preliminares y resultados conocidos de la literatura previa, la Secci ´ on 2.1 de esta tesis se dedica a estudiar las diferentes denominaciones de una conexi ´ on de Galois, las relaciones que existen entre ellas y sus correspondientes caracte- 7 rizaciones, todo ello utilizando como novedad los conjuntos preordenados, en lugar de ordenados. La ausencia de antisimetr ´ ıa permite extender las distintas definiciones y caracterizaciones de adjunci ´ on (respectivamente conexi´ on de Galois) entre conjuntos con estructuras m´ as generales. En la Secci ´ on 2.3.1, se considera una aplicaci ´ on f:hA, ≤Ai → B donde hA, ≤Ai es un conjunto parcialmente ordenado y se realiza la descomposici ´ on can ´ onica de la funci ´ on f a trav ´ es del conjunto cociente de A con respecto a la relaci´on n´ucleo. Partiendo del problema inicial de deducir las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un orden parcial en B y para la definici ´ on de un adjunto por la derecha de f , con esta descomposici ´ on can ´ onica se pretende dividir la cuesti ´ on en tres problemas m ´ as simples, a saber, la construcci ´ on de un orden en el codominio y un adjunto por la derecha para cada una de las aplicaciones que forman parte de la citada descomposici ´ on. Esto resuelve la cuesti ´ on planteada para el caso de funciones que son sobreyectivas. Para el caso general, es necesario analizar previamente c ´ omo extender una relaci ´ on de preorden definida sobre un subconjunto de un conjunto dado a dicho conjunto as ´ ı como la definici ´ on de un adjunto por la derecha para la inclusi ´ on natural del subconjunto dentro del conjunto. En la Secci ´ on 2.3.2 se aborda el mismo problema descrito en la secci ´ on anterior pero esta vez en el caso de conjuntos preordenados. Aqu ´ ı, la ausencia de la propiedad antisim ´ etrica hace necesario utilizar la que se ha denominado relaci ´ on p-n´ucleo, que es el cierre transitivo de la uni ´ on de la relaci ´ on n ´ ucleo y la relaci ´ on de equivalencia n´ucleo sim´etrico. Asimismo, el hecho de que no se tenga unicidad para el m ´ aximo o el m ´ ınimo de un subconjunto, hace necesario trabajar con relaciones definidas en el conjunto de partes de un conjunto (concretamente, con el preorden de Hoare). Todo ello hace aumentar la dificultad en la b ´ usqueda de las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una relaci ´ on de preorden en el codominio y 8 CAP´ ITULO 0. INTRODUCCI ´ ON la existencia de un adjunto por la derecha, as ´ ı como las demostraciones de los distintos resultados. A continuaci ´ on, la Secci ´ on 2.3.3 analiza la unicidad del adjunto por la derecha y del orden parcial (preorden) definido sobre el codominio. En la ´ ultima secci ´ on del Cap ´ ıtulo 2 se introducen los denominados operadores y sistemas de ≈ -cierre en conjuntos preordenados y se analiza la relaci ´ on existente entre ambos (que deja de ser biun ´ ıvoca, como sucede en el caso de ´ ordenes parciales). Asimismo, se trabaja con la noci ´ on de compatibilidad respecto a una relaci ´ on de equivalencia y se caracteriza la construcci ´ on de adjunciones entre conjuntos preordenados en t ´ erminos de estos sistemas de ≈-cierre. El Cap ´ ıtulo 3 est ´ a dedicado al estudio de problemas similares a los desarrollados en el Cap ´ ıtulo 2, pero en ambiente difuso. Se aportan las definiciones de las nociones de adjunci ´ on difusa, co-adjunci ´ on difusa y conexiones de Galois difusas por la derecha y por la izquierda entre conjuntos con pre ´ ordenes difusos. Adem ´ as se presentan las distintas caracterizaciones de los conceptos anteriormente se ˜ nalados, as ´ ı como las relaciones entre ellos. En la Secci ´ on 3.2.1 se estudia la construcci ´ on de adjunciones entre conjuntos con ´ ordenes difusos, utilizando de nuevo la relaci ´ on n ´ ucleo, en su versi ´ on difusa, y la descomposici ´ on can ´ onica de la funci ´ on de partida respecto a ella. El teorema principal de esta secci ´ on recoge una caracterizaci ´ on para la definici ´ on de una relaci ´ on difusa de orden sobre el codominio B y un adjunto por la derecha para f:hA, ρAi → B donde hA, ρAi es un conjunto con un orden difuso. Para abordar el estudio del problema anterior entre conjuntos con pre ´ ordenes difusos, se hace necesario trabajar con la relaci ´ on difusa denominada p - n´ucleo que es la relaci ´ on de equivalencia difusa obtenida al realizar el cierre transitivo de la uni ´ on difusa de las relaciones n ´ ucleo sim ´ etrico y n ´ ucleo, definidas a partir del preorden en el dominio A y la aplicaci ´ on f:hA, ρAi → B , 9 siendo hA, ρAi un conjunto cl ´ asico en el que se tiene definida una relaci ´ on difusa que es reflexiva y transitiva. Tambi ´ en es preciso definir un preorden difuso en el conjunto de partes de un conjunto para describir las condiciones bajo las que es posible la construcci´ on de una adjunci´ on. Para finalizar, se propone la definici ´ on de sistema de cierre en un conjunto con un preorden difuso, como un subconjunto (crisp) para el cual se verifica que su intersecci ´ on con la clausura superior difusa de todo elemento tiene alg ´ un elemento m ´ ınimo y se proponen adem ´ as algunas caracterizaciones m ´ as manejables, que son similares a las aparecidas en la literatura previa. Tambi ´ en se trabaja con los operadores de cierre definidos en un conjunto con un preorden difuso y se analiza la relaci´ on con los sistemas de cierre. La construcci ´ on de un adjunto por la derecha y un preorden difuso sobre el codominio B de una aplicaci ´ on f:hA, ρAi → B , donde ρA es un preorden difuso sobre A , tambi ´ en se caracteriza por la existencia de un sistema de cierre compatible con la relaci´ on n´ ucleo. Trabajo futuro La investigaci ´ on desarrollada para la realizaci ´ on de esta tesis doctoral ha dado como fruto otras posibles l ´ ıneas abiertas, que permitir ´ an continuar en la direcci´ on de este trabajo. Las propuestas de futuro m´ as inmediatas son: En el ´ ambito de la l ´ ogica difusa existe una corriente que sugiere eliminar la igualdad entre elementos por una relaci ´ on de equivalencia difusa que represente el grado de “similitud” entre elementos. Se trata de los llamados conjuntos L -ordenados, que son ternas hA, ≈A, ρAi donde ≈A es una relaci ´ on de equivalencia en A y ρA es un L -orden (ver definici ´ on en [34]). La l ´ ınea de trabajo que se propone consiste en extender los resultados de esta tesis a adjunciones definidas entre conjuntos de esta clase. 16 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Si X=N entonces forzosamente x1= 1 y x2= 1 , por tanto, a=b , es decir, hN,| i es un conjunto parcialmente ordenado; si X=Z , entonces podr ´ ıa ocurrir x1=−1 y x2=−1 , con lo cual no se verifica la propiedad antisim ´ etrica porque cualquier n ´ umero entero no nulo z y su opuesto −z cumplen z| −z y −z|z . M ´ as a ´ un, obs ´ ervese que la relaci ´ on de divisibilidad considerada en R∗=R− {0} resulta ser la relaci ´ on trivial, pues se cumple x|ypara todo x, y ∈Ry, por tanto, no es tampoco antisim´ etrica. Dada una relaci ´ on binaria R sobre un conjunto A no vac ´ ıo, la relaci´on de cubrimiento de R, que se denotar´ a por Rc,se define del siguiente modo: aRcb⇔aRb, a 6=by si existe c∈Acon aRc ycRb entonces c=aoc=b. En tal caso, se dir´ a que bcubre a a. Si R es una relaci ´ on de orden y el conjunto A es finito, entonces la relaci ´ on de cubrimiento de R determina a la propia relaci ´ on R , en el siguiente sentido: Lema 1.1 Si A es un conjunto finito y R es un orden parcial definido en A , entonces, el cierre reflexivo y transitivo de la relaci´on de cubrimiento Rc es la propia R. DEMOSTRACI ´ ON: Se va a demostrar que dados dos elementos a, b ∈A tales que aRb , entonces o bien a=b o existe una cadena finita de elementos x1, x2, . . . , xn tales que x1=a, xn=b y se verifica aRcx2Rcx3. . . Rcxn=b . Supongamos que a y b son elementos distintos. De entre todas las cadenas (subconjuntos totalmente ordenados) tales que a es el elemento m ´ as peque ˜ no y b es el elemento m ´ as grande, se escoge aquella que tenga cardinal m ´ aximo (la cual existe, porque debido a la antisimetr ´ ıa, no existen elementos distintos x, y ∈A tales que xR y e yR x ) y le llamamos H={a=x1, x2,...xn=b} , donde xiR xi+1 para cada i= 1,2, . . . , n −1. Si suponemos que existe alg ´ un i∈ {1,2, . . . , n −1} y z∈A tal que xiR z y zR xi+1 , entonces el conjunto H∪ {z} ser ´ ıa una cadena con m ´ as elementos que H y donde a es el mayor 1.1. RET´ ICULOS Y RET´ ICULOS RESIDUADOS 17 elemento y b el m ´ as peque ˜ no. Se llega, por tanto, a una contradicci ´ on. De manera que se verifica xiRcxi+1 para cada i= 1,2, . . . , n −1.2 Para representar conjuntos ordenados se usar ´ a la representaci ´ on conocida como diagrama de Hasse que se basa en la relaci´ on de cubrimiento: Dos elementos a y b est ´ an conectados por una l ´ ınea si aRcb . En tal caso, el elemento ase escribe por debajo de b. Ejemplo 1.4 Sea A el conjunto de los n ´ umeros naturales menores o iguales que 6, es decir, A={1,2,3,4,5,6}. La relaci´ on de divisibilidad en Aser´ ıa : {(x, x) : x∈A}∪{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,6),(3,6)} La relaci´ on de cubrimiento se representar´ ıa del siguiente modo: 1 64 2 3 5 Figura 1.1: Diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado hA, | i. Ejemplo 1.5 Sea B={1,2,3,6} el conjunto de los n ´ umeros naturales divisores de 6 y la relaci ´ on | . Entonces el conjunto parcialmente ordenado hB, | i se representa a trav´ es del diagrama de Hasse de la Figura 1.2. Ejemplo 1.6 Para un conjunto arbitrario de tres elementos S={a, b, c} , el conjunto 2S , ordenado con la relaci ´ on de inclusi ´ on, se representa a trav ´ es del diagrama de Hasse que puede verse en la Figura 1.3. 18 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 1 6 2 3 Figura 1.2: Representaci´ on del conjunto parcialmente ordenado hB, | i. ∅ • • @ @ @ @ • {a}   •{c}     {a, b} •{b} •{a,c} @ @ @ @ •   •{b, c} •{a, b, c} @ @ @ @@ @ @ @ Figura 1.3: Diagrama de Hasse h2S,⊆i con S={a, b, c} Los conjuntos preordenados no se pueden representar con un diagrama de Hasse cl ´ asico pues la relaci ´ on de cubrimiento no determina la relaci ´ on. Por ejemplo, en un conjunto arbitrario de tres elementos A={a, b, c} , la relaci ´ on .={(a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(b, a),(a, c),(b, c)} es un preorden y la relaci´ on de cubrimiento ser´ ıa .c={(a, b),(b, a)}. Entonces, para representar gr ´ aficamente conjuntos preordenados usaremos el diagrama de Hasse del conjunto ordenado A/≈ , donde la relaci ´ on ≈ es la denominada relaci ´ on n´ucleo sim´etrico, esto es, a≈b si y solamente si aRb y bRa . Sin embargo, en lugar de utilizar la notaci ´ on habitual de las clases de equivalencia, se utilizar ´ an los elementos del conjunto A que est ´ an relacionados con la relaci ´ on n ´ ucleo sim ´ etrico, como puede verse en el 1.1. RET´ ICULOS Y RET´ ICULOS RESIDUADOS 19 siguiente ejemplo. Ejemplo 1.7 Se considera el conjunto de los n ´ umeros enteros divisores de 6 , es decir D={−6,−3,−2,−1,1,2,3,6} . La relaci ´ on de divisibilidad | es un preorden en Z , en particular hD, | i es un conjunto finito preordenado que se puede representar a trav´ es del diagrama de la Figura 1.4. ≈ 1−1 ≈ 6−6 ≈ 2−2≈ 3−3 Figura 1.4: Representaci´ on del conjunto preordenado hD, | i. Definici´on 1.3 Sea hA, ≤Ai un conjunto parcialmente ordenado y z un elemento arbitrario de A. La clausura inferior z↓de zse define como z↓={a∈A|a≤Az}. La clausura superior z↑de zse define como z↑={a∈A|z≤Aa}. Definici´on 1.4 Sea hA, ≤Ai un conjunto parcialmente ordenado y X⊆A . Se define el conjunto de cotas superiores (upper bounds) de Xcomo sigue UB(X) = {a∈A|x≤apara todo x∈X}=\ x∈X x↑ An ´ alogamente, se define el conjunto de cotas inferiores (lower bounds) de X como LB(X) = {a∈A|a≤xpara todo x∈X}=\ x∈X x↓ 20 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Definici´on 1.5 Sea hA, ≤Aiun conjunto parcialmente ordenado y X⊆A. Un elemento M se dice que es el m´aximo de X , denotado por max X , si M∈XyX⊆M↓. Un elemento m se dice que es el m´ınimo de X , denotado por minX , si m∈XyX⊆m↑. Se define el supremo de Xcomo sup X=_X= min(UB(X)) y el ´ınfimo de Xcomo infX=^X= max(LB(X)). Debido a la propiedad antisim ´ etrica de los ´ ordenes, tanto el supremo como el ´ ınfimo de un conjunto, si existen, son ´ unicos. Definici´on 1.6 Un conjunto parcialmente ordenado hA, ≤Ai , se dice que es un ret´ıculo si existe el supremo y el ´ ınfimo del conjunto {x, y} , para cualesquiera x, y ∈A . En tal caso, el supremo de {x, y} se denota por x∨y y el ´ ınfimo por x∧y. Ejemplo 1.8 1. Si hA, ≤Ai es un conjunto totalmente ordenado (esto es, para cualesquiera a1, a2∈A se verifica a1≤Aa2´ o a2≤Aa1 ) entonces A es un ret´ ıculo. 2. Para cualquier conjunto A , el conjunto 2A de todos los subconjuntos de A, es un ret´ ıculo respecto a la inclusi´ on de conjuntos. En este caso, supremo e ´ ınfimo vienen dados por la uni ´ on y la intersecci ´ on respectivamente; es decir, X∨Y=X∪Y y X∧Y=X∩Y para todo X, Y ∈2A. 1.1. RET´ ICULOS Y RET´ ICULOS RESIDUADOS 21 Dado un conjunto parcialmente ordenado hA, ≤Ai , si existen el elemento m ´ ınimo de A y el elemento m ´ aximo de A se denotan por ⊥ y > , respectivamente. Obs ´ ervese que, por definici ´ on, VA=⊥=W∅ y V∅=>=WA , siempre que existan. Un ret´ ıculo hA, ≤Aise dice que est´ aacotado si existen ⊥y>. Definici´on 1.7 Un ret ´ ıculo hA, ≤Ai , se dice que es completo si todo subconjunto Xde A(finito o no) tiene supremo e ´ ınfimo. Por la definici´ on anterior, se tiene el siguiente resultado. Lema 1.2 Todo ret´ıculo completo es un ret´ıculo acotado. De forma alternativa, los ret ´ ıculos se pueden considerar ´ algebras en el sentido de la siguiente definici´ on: Definici´on 1.8 Sea L un conjunto no vac ´ ıo con dos operaciones binarias ∨,∧:L×L→L , entonces hL, ∨,∧i es un ret´ıculo algebraico si satisface las siguientes propiedades: Idempotencia: x∨x=xyx∧x=xpara x∈L Conmutativa: x∨y=y∨xyx∧y=y∧xpara todo x, y ∈L. Asociativa: (x∨y)∨z=x∨(y∨z) y (x∧y)∧z=x∧(y∧z) para todo x, y, z ∈L. Absorci´on: x∨(x∧y) = xyx∧(x∨y) = xpara todo x, y ∈L. La siguiente proposici ´ on muestra que se puede usar indistintamente la noci´ on de ret´ ıculo en ambos sentidos. Proposici´on 1.1 1. Si R=hA, ≤Ai es un ret´ıculo, entonces Ra=hA, ∨,∧i donde x∧y= ´ınf{x, y},x∨y= sup{x, y}es un ret´ıculo algebraico. 22 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 2. Si R=hL, ∨,∧i es ret´ıculo algebraico, entonces Ro=hL, ≤Li donde x≤Ly si y s´olo si x∧y=x (o equivalentemente, x≤Ly si y s´olo si x∨y=y ) es un ret´ıculo tal que ´ınf{x, y}=x∧y y x∨y= sup{x, y} . 3. Rao =RyRoa =R 1.1.2. Ret´ıculos residuados Los ret ´ ıculos residuados se utilizar ´ an en este trabajo como estructuras b ´ asicas para establecer los grados de pertenencia en l ´ ogica difusa. En primer lugar se proporciona la definici ´ on de ret ´ ıculo residuado, para posteriormente recordar algunas de sus propiedades. Definici´on 1.9 Un ret´ıculo residuado es un ´ algebra L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) donde 1. (L, ≤,>,⊥) es un ret ´ ıculo acotado con elemento m ´ ınimo ⊥ y con elemento m´ aximo >, 2. (L, ⊗,>) es un monoide conmutativo, es decir, ⊗ es asociativo, conmutativo y se verifica que x⊗ > =x, para todo x∈L, 3. se verifica la propiedad de adjunci´on, es decir, x≤y→zsi y s´ olo si x⊗y≤z(1.1) para todo x, y, z ∈L. Las operaciones ⊗ y → se llaman multiplicaci´on yresiduo, respectivamente. Un ret ´ ıculo residuado se dice que es completo si L= (L, ≤,>,⊥) es un ret´ ıculo completo. Ejemplo 1.9 1.1. RET´ ICULOS Y RET´ ICULOS RESIDUADOS 23 Sea L= [0,1] el intervalo cerrado de todos los n ´ umeros reales comprendidos entre 0 y 1 . Si se considera el orden natural de los n ´ umeros reales, este conjunto constituye un ret ´ ıculo completo donde a∨b= max{a, b} y a∧b= min{a, b}para todo a, b ∈L. Con los siguientes pares de operaciones, se puede dotar al intervalo [0,1] de diversas estructuras de ret´ ıculo residuado: a⊗b= max{a+b−1,0} y a→b= min{1−a+b, 1} para todo a, b ∈L . Se denomina la estructura de Lukasiewicz. a⊗b= min{a, b} , a→b= 1 si a≤b y a→b=b si b < a para todo a, b ∈L. Se denomina la estructura de G¨odel. a⊗b=ab , a→b= 1 si a≤b y a→b=b/a si b < a para todo a, b ∈L . Se denomina la estructura producto o de Goguen. A continuaci ´ on se presentan algunas propiedades b ´ asicas de los ret ´ ıculos residuados. Teorema 1.1 Sea L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) un ret´ıculo residuado. Entonces, para todo x, y, z ∈L, se verifican las siguientes propiedades: 1. x≤ysi y s´olo si x→y=> 2. x→x=>,x→ > =>,⊥ → x=> 3. > → x=x 4. x⊗ ⊥ =⊥ 5. x⊗y≤x,x≤y→x 6. x⊗y≤x∧y 7. (x⊗y)→z=x→(y→z) 24 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 8. (x→y)⊗(y→z)≤(x→z) Teorema 1.2 (monoton´ıa de ⊗y de →) Sea L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) un ret´ıculo residuado. Entonces se verifican las siguientes propiedades: y1≤y2implica x⊗y1≤x⊗y2. y1≤y2implica x→y1≤x→y2. x1≤x2implica x2→y≤x1→y. para todo x1, x2, x, y1, y2, y ∈L. El siguiente teorema resume las propiedades de la operaci ´ on multiplicaci ´ on y residuo con respecto al supremo y al ´ ınfimo. Teorema 1.3 (propiedad distributiva de ⊗y de →sobre ∧y∨)Sean L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) un ret´ıculo residuado, x, y ∈L y (xi)i∈I⊆L donde I es un conjunto de ´ındices. Si para las Ecuaciones (1.2) , (1.3) y (1.4) existe la parte izquierda de la igualdad, entonces existe la parte derecha y coinciden. x⊗_ i∈I yi=_ i∈I (x⊗yi)(1.2) x→^ i∈I yi=^ i∈I (x→yi)(1.3) _ i∈I xi→y=^ i∈I (xi→y)(1.4) Adem´as, se verifica x⊗^ i∈I yi≤^ i∈I (x⊗yi)(1.5) 1.2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 25 _ i∈I (x→yi)≤x→_ i∈I yi(1.6) _ i∈I (xi→y)≤^ i∈I xi→y(1.7) 1.2. Adjunciones entre conjuntos parcialmente ordenados En esta secci ´ on se va a introducir un concepto fundamental en este trabajo que es la de adjunci´on entre conjuntos parcialmente ordenados. De hecho, como se ha explicado en la introducci ´ on, gran parte de esta memoria est ´ a dedicada a establecer condiciones que nos permitan obtener pares de funciones que formen adjunciones. Las siguientes definiciones presentan propiedades de las aplicaciones entre conjuntos parcialmente ordenados, necesarias para la definici ´ on y para diferentes caracterizaciones de la noci´ on de adjunci´ on. Definici´on 1.10 Dados dos conjuntos parcialmente ordenados hA, ≤Ai y hB, ≤Biy una aplicaci´ on f:A→Bse dice que fes is´otona si a1≤Aa2implica f(a1)≤Bf(a2), para todo a1, a2∈A. ant´ıtona si a1≤Aa2implica f(a2)≤Bf(a1), para todo a1, a2∈A. En el caso particular en el que A=B, f es inflacionaria (tambi ´ en llamada extensiva) si a≤Af(a) para todo a∈A. f es deflacionaria (tambi ´ en llamada contractiva) si f(a)≤Aa para todo a∈A. fes idempotente si (f◦f)(a) = f(a)para todo a∈A. 32 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 1.4.2. Relaciones difusas En la Definici ´ on 1.1 se recordaba la definici ´ on cl ´ asica de relaci ´ on binaria junto con las propiedades reflexiva, transitiva, sim ´ etrica y antisim ´ etrica. La extensi ´ on de esta noci ´ on y de las propiedades a ambiente difuso se realiza como se explica a continuaci´ on. Dado un ret ´ ıculo residuado completo L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) , una relaci´on binaria L -difusa sobre U es un subconjunto difuso del producto cartesiano U×U , esto es, una funci ´ on R:U×U→L donde R(x, y) representa el grado de relaci´ on entre los elementos xeyde U. Definici´on 1.15 Sea L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) un ret ´ ıculo residuado completo. Se dice que una relaci´ on binaria L-difusa sobre Ues: Reflexiva si R(u, u) = >para todo u∈U. Transitiva si R(u, v)⊗R(v, w)≤R(u, w)para todo u, v, w ∈U. Sim´etrica si R(u, v) = R(v, u)para todo u, v ∈U. Antisim´etrica si R(u, v) = R(v, u) = > implica u=v, para todo u, v ∈U. Las relaciones binarias L -difusas tambi ´ en se denominan, simplemente, relaciones binarias difusas. Definici´on 1.16 Una relaci ´ on binaria difusa sobre U que satisface las propiedades reflexiva, transitiva y sim ´ etrica se dice que es una relaci´on de equivalencia difusa. Una relaci ´ on de equivalencia difusa R es una L -igualdad (igualdad difusa) si R(u, v) = >implica que u=v. Definici´on 1.17 [54] Sea U un conjunto no vac ´ ıo. Una relaci´on de orden difusa (u orden difuso) en U es una relaci ´ on difusa R:U×U→L que satisface las propiedades reflexiva, transitiva y antisim´ etrica. 1.4. CONJUNTOS DIFUSOS Y RELACIONES DIFUSAS 33 Definici´on 1.18 [18] Dada una relaci ´ on difusa R:U×U→L el cierre transitivo de Res la menor relaci´ on difusa transitiva que contiene a R. Para cualquier conjunto con un orden difuso U=hU, Ri , se define el dual de U considerando el mismo universo y la relaci ´ on difusa Rop donde Rop(a, b) = R(b, a)para todo a, b ∈U. La relaci ´ on de inclusi ´ on ⊆ definida anteriormente en LU es una relaci ´ on cl ´ asica, es decir, para dos conjuntos difusos cualesquiera X, Y ∈LU o X⊆Y o no. Desde este punto de vista es natural considerar alg ´ un tipo de propiedad que nos permita considerar el grado en que un conjunto difuso est ´ a contenido en otro conjunto difuso. La generalizaci ´ on m ´ as inmediata es considerar una relaci ´ on binaria difusa sobre LU , es decir, SU:LU×LU→L , definida como sigue: SU(X, Y ) = ^ u∈U (X(u)→Y(u)) (1.8) para todo X, Y ∈LU . As ´ ı pues, SU(X, Y ) ,grado en el que X es subconjunto de Y, expresa el grado de verdad con el que “cada elemento de X es un elemento de Y”. Ejemplo 1.11 Para las estructuras de Lukasiewicz y de G ¨ odel sobre el intervalo [0,1] , se tiene, respectivamente, que S(X, Y ) = inf{1−X(u) + Y(u): u∈U, X(u)> Y (u)} y S(X, Y ) = inf{Y(u): u∈U, X(u)> Y (u)} para todo X, Y ∈LU. En el siguiente resultado se presentan algunas propiedades de la relaci ´ on SU, as´ ı como su relaci´ on con la inclusi´ on cl´ asica ⊆. 34 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Teorema 1.5 Sea L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) un ret´ıculo residuado completo y un universo U . Entonces, para todo X, Y, Z ∈LU , se verifican las siguientes propiedades: 1. SU(X, Y ) = >si y s´olo si X⊆Y. 2. SU(X, X) = >. 3. SU(X, Y )⊗SU(Y, Z)≤SU(X, Z). 4. Si SU(X, Y ) = SU(Y, X) = >entonces X=Y. Observaci´on 1.1 Las propiedades 2,3 y 4 del Teorema 1.5 son exactamente las propiedades (reflexiva, transitiva y antisim´etrica, respectivamente) de la Definici´on 1.17. Por tanto, la relaci´on difusa definida en la Ecuaci´on (1.8) sobre un conjunto no vac´ıo U es un orden parcial difuso sobre LU , es decir, el par hLU, SUi es un conjunto con un orden difuso. Se finaliza la secci ´ on introduciendo la extensi ´ on difusa de las definiciones 1.3 y 1.5. Definici´on 1.19 Sea hA, ρAi un conjunto con un orden difuso. Para cada elemento a∈A , se define la clausura superior a↑ y la clausura inferior a↓ , respectivamente, como los siguientes conjuntos difusos: a↑(u) = ρA(a, u)para todo u∈A. a↓(u) = ρA(u, a)para todo u∈A. Definici´on 1.20 Sea hA, ρAiun conjunto con un orden difuso. El m´aximo de un subconjunto difuso X de A es un elemento m∈A tal que X(m) = >yX⊆m↓, es decir, X(a)≤ρA(a, m)para todo a∈A. 1.5. ADJUNCI ´ ON DIFUSA 35 El m´ınimo de un subconjunto difuso X de A es un elemento m∈A tal que X(m) = >yX⊆m↑, es decir, X(a)≤ρA(m, a)para todo a∈A. Obs ´ ervese que debido a la propiedad antisim ´ etrica de ρA el elemento m´ aximo (respectivamente, m´ ınimo) de un conjunto difuso es ´ unico. 1.5. Adjunci´on difusa La secci ´ on empieza recordando las nociones de aplicaci ´ on is ´ otona, ant ´ ıtona, inflacionaria y deflacionaria definida entre conjuntos con ´ ordenes difusos. Definici´on 1.21 Sean A=hA, ρAi y B=hB, ρBi conjuntos con ´ ordenes difusos. 1. Una aplicaci´ on f:A→Bse dice que es is´otona si ρA(a1, a2)≤ρB(f(a1), f(a2)) para cada a1, a2∈A. ant´ıtona si ρA(a1, a2)≤ρB(f(a2), f(a1)) para cada a1, a2∈A. 2. Adem´ as, una aplicaci´ on f:A→Ase dice que es inflacionaria si ρA(a, f(a)) = >para todo a∈A. deflacionaria si ρA(f(a), a) = >para todo a∈A. En [3], R. B ˇ elohl ´ avek presenta una versi ´ on difusa del concepto cl ´ asico de conexi ´ on de Galois. Las aplicaciones que constituyen la conexi ´ on est ´ an definidas sobre conjuntos cl ´ asicos de conjuntos difusos. Para cualquier ret ´ ıculo residuado completo L y dos conjuntos U y V distintos del vac ´ ıo, en lugar de considerar los tradicionales conjuntos de partes de U y partes de V , utiliz ´ o los conjuntos LU y LV y defini ´ o una conexi´on de Galois difusa como sigue: 36 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Definici´on 1.22 [3] Sean U e V dos conjuntos no vac ´ ıos. Una conexi´on de Galois difusa entre U y V es un par (f, g) donde las aplicaciones f:LU→LV yg:LV→LUverifican: i) SU(X1, X2)≤SV(f(X2), f(X1)), para todo X1, X2∈LU. ii) SV(Y1, Y2)≤SU(g(Y2), g(Y1)), para todo Y1, Y2∈LV. iii) X⊆g(f(X)) eY⊆f(g(Y)) para todo X∈LU, Y ∈LV. An ´ alogamente, la definici ´ on de adjunci´on difusa entre U y V quedar ´ ıa como sigue. Definici´on 1.23 Sean U e V dos conjuntos no vac ´ ıos. Una adjunci´on difusa entre U y V es un par de aplicaciones (f, g) donde f:LU→LV y g:LV→LUverifican: i) SU(X1, X2)≤SV(f(X1), f(X2)), para todo X1, X2∈LU. ii) SV(Y1, Y2)≤SU(g(Y1), g(Y2)), para todo Y1, Y2∈LV. iii) X⊆g(f(X)) yf(g(Y)) ⊆Ypara todo X∈LUeY∈LV. Actualmente se pueden encontrar en la literatura otras definiciones de adjunci ´ on y/o conexi ´ on de Galois difusa. En concreto, la definici ´ on de adjunci ´ on difusa entre conjuntos con ´ ordenes difusos que se introduce a continuaci´ on. Definici´on 1.24 [52] Sean A=hA, ρAi , B=hB, ρBi conjuntos con ´ ordenes difusos, f:A→B y g:B→A dos aplicaciones. El par (f, g) se denomina adjunci´on difusa entre A y B , denotado por (f, g) : AB , si para todo a∈A yb∈Bse satisface ρA(a, g(b)) = ρB(f(a), b). 1.5. ADJUNCI ´ ON DIFUSA 37 Es importante destacar que la Definici ´ on 1.22 es un caso particular de la Definici ´ on 1.24. En efecto, si un par de aplicaciones f:LU→LV y g:LV→ LU forman una conexi ´ on de Galois entre U y V , seg ´ un la Definici ´ on 1.22, ambas aplicaciones f:LU→LV y g:LV→LU , tambi ´ en, forman una adjunci ´ on difusa entre hLU, SUi y hLV, Sop Vi , es decir, (f, g) : hLU, SUi hLV, Sop Vi. A lo largo de todo este trabajo se toma como definici ´ on de referencia la dada en 1.24. Es posible establecer una relaci ´ on entre adjunciones difusas entre conjuntos con ´ ordenes difusos y adjunciones entre conjuntos cl ´ asicos parcialmente ordenados. Dado hA, ρAi un conjunto con un orden difuso, se puede definir un orden cl´ asico en Ade la siguiente forma: a≤Absi y s´ olo si ρA(a, b) = >.(1.9) Teorema 1.6 [52] Sean A=hA, ρAi , B=hB, ρBi conjuntos con ´ordenes difusos, f:A→B y g:B→A dos aplicaciones. El par (f, g) es una adjunci´on difusa entre hA, ρAi y hB, ρBi si y s´olo si f y g son aplicaciones is´otonas y (f, g) es una adjunci´on entre hA, ≤AiyhB, ≤Bi. En [52] se utiliza el t ´ ermino conexi´on de Galois entre conjuntos con ´ ordenes difusos para referirse a una adjunci ´ on entre conjuntos con ´ ordenes difusos, seg´ un la Definici´ on 1.24. Cap´ıtulo 2 Adjunciones entre conjuntos preordenados Al revisar la literatura existente, se ha detectado una falta de uniformidad en el uso de las nociones de conexi ´ on de Galois y adjunci ´ on entre conjuntos parcialmente ordenados. Ejemplos de ello se pueden encontrar en [24], [33] y [46] donde el t ´ ermino conexi ´ on de Galois se utiliza para denominar diferentes nociones. Este hecho es debido a la estrecha relaci ´ on que existe entre las adjunciones y las conexiones de Galois, y adem ´ as a la existencia de dos versiones de conexi´ on de Galois y de adjunci´ on. Por lo descrito anteriormente, este cap ´ ıtulo est ´ a dedicado a establecer las definiciones de conexi ´ on de Galois y adjunci ´ on, la relaci ´ on entre ellas, sus caracterizaciones y propiedades. Todo ello se formular ´ a en conjuntos preordenados seg ´ un la Definici ´ on 1.2, es decir, conjuntos dotados de una relaci´ on binaria reflexiva y transitiva. 40 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS 2.1. Conexiones de Galois vs adjunciones Esta secci ´ on se inicia extendiendo a conjuntos preordenados algunas nociones definidas sobre conjuntos parcialmente ordenados en el Cap ´ ıtulo 1. Para un conjunto preordenado A=hA.Ai , la relaci ´ on inversa &A de la relaci ´ on .A es tambi ´ en un preorden y se denomina relaci´on dual de .A . El conjunto Acon la relaci´ on dual de .Ase denota por Aop =hA, &Ai. La clausura inferior y superior de un elemento a∈A se denota por a↓={x∈A:x.Aa}ya↑={x∈A:x&Aa}, respectivamente. Sea f:hA, .Ai→hB, .Bi una aplicaci ´ on entre conjuntos preordenados. fes is´otona si a.Abimplica f(a).Bf(b), para todo a, b ∈A. fes ant´ıtona si a.Abimplica f(b).Bf(a), para todo a, b ∈A. En el caso particular en que A=B, f es inflacionaria (tambi ´ en llamada extensiva) si a.Af(a) para todo a∈A. fes deflacionaria si f(a).Aapara todo a∈A. Definici´on 2.1 Sean A=hA, .Ai y B=hB, .Bi conjuntos preordenados, f:A→Byg:B→Ados aplicaciones. El par (f, g)se denomina1 Conexi´on de Galois por la derecha entre A y B , denotado por (f, g) : A(* B , cuando a.Ag(b)si y solo si b.Bf(a)para todo a∈Ayb∈B. 1El uso de las flechas para denotar las diferentes versiones se ha tomado de [51]. 2.1. CONEXIONES DE GALOIS VS ADJUNCIONES 41 Conexi´on de Galois por la izquierda entre A y B , denotado por (f, g) : A+) B , cuando g(b).Aasi y solo si f(a).Bbpara todo a∈Ayb∈B. Adjunci´on entre AyB, denotado por (f, g) : AB, cuando a.Ag(b)si y solo si f(a).Bbpara todo a∈Ayb∈B. Co-adjunci´on entre AyB, denotado por (f, g) : AB, cuando g(b).Aasi y solo si b.Bf(a)para todo a∈Ayb∈B. El siguiente teorema establece la existencia de relaciones biun ´ ıvocas entre todas las nociones anteriores. La transici ´ on entre los dos tipos de adjunciones (conexiones) se basa en el uso del orden dual en ambos conjuntos preordenados, mientras que la transici ´ on entre adjunciones y las conexiones, y viceversa, se basa en el uso del orden dual en uno solo de los conjuntos preordenados. Teorema 2.1 Sean A=hA, .Ai y B=hB, .Bi conjuntos preordenados y dos aplicaciones f:A→B y g:B→A . Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes 1. (f, g) : AB 2. (f, g) : Aop Bop 3. (f, g) : A(* Bop 4. (f, g) : Aop +) B 48 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS preordenados AyBa los conjuntos parcialmente ordenados AyB. Teorema 2.4 Sean A=hA, .Ai y B=hB, .Bi dos conjuntos preordenados y sea  ∈ {(*, +), ,}. Si (f, g) : A Bentonces (f, g): A B. DEMOSTRACI ´ ON: Suponiendo que (f, g) : AB , se probar ´ a que [a]≈.A g([b]≈) si y s ´ olo si f([a]≈).B[b]≈ para todo [a]≈∈A y [b]≈∈B . Si [a]≈.Ag([b]≈)=[g(b)]≈ , por la definici ´ on de .A se deduce que a.Ag(b) lo que es equivalente a f(a).Bb . Esto implica f([a]≈) = [f(a)]≈.B[b]≈ . Rec ´ ıprocamente, si f([a]≈).B[b]≈ , de forma an ´ aloga, se obtiene que [a]≈.Ag([b]≈). Para  ∈ {(*, +), }la prueba es similar. 2 Cualquier relaci ´ on de equivalencia es un preorden, por tanto se pueden considerar conexiones de Galois entre dos conjuntos dotados con relaciones de equivalencia. Pero las propiedades que obtenemos en estos casos no son significativas como muestra el siguiente corolario. Corolario 2.1 Sean A=hA, .Ai,B=hB, .Bi dos conjuntos preordenados, f:A→Byg:B→Ados aplicaciones. 1. (f, g) es una adjunci´on y co-adjunci´on (resp. conexi´on de Galois por la izquierda y por la derecha) si y s´olo si f y g son is´otonas (resp. ant´ıtonas) y f ygson aplicaciones inversas (i.e. (f)−1=g). 2. Ambas relaciones .A y .B son relaciones de equivalencia y (f, g) es una adjunci´on (resp. co-adjunci´on, conexi´on de Galois por la derecha, por la izquierda) si y s´olo si (f, g) es una adjunci´on, co-adjunci´on, conexi´on de Galois por la derecha y conexi´on de Galois por la izquierda al mismo tiempo. DEMOSTRACI ´ ON: 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 49 1. Supongamos que (f, g) forman una adjunci ´ on y co-adjunci ´ on al mismo tiempo. Por el Teorema 2.3, se tiene que [(g◦f)(a)]≈= [a]≈ , que por definici ´ on de f y g implica (g◦f)([a]≈)=[a]≈ , para todo [a]≈∈A . An ´ alogamente se demuestra que (f◦g)([b]≈) = [b]≈, para todo [b]≈∈B. Rec ´ ıprocamente, supongamos ahora que f y g son aplicaciones una inversa de la otra y sean a∈A, b ∈B tales que a.Ag(b) . Entonces, [a]≈.A[g(b)]≈=g([b]≈)=(f)−1[b]≈ . Por ser f is ´ otona, f([a]≈).B[b]≈ de donde se deduce f(a).Bb . De manera similar, se prueba que si f(a).Bb entonces a.Ag(b)para a∈A, b ∈B, y tambi´ en que (f, g)es co-adjunci´ on. 2. Sea (f, g) una adjunci ´ on y supongamos que .A y .B son relaciones sim ´ etricas. En tal caso, Aop =A y Bop =B . En virtud del Teorema 2.1, se tiene que (f, g) es tambi ´ en co-adjunci ´ on, conexi ´ on de Galois por la derecha y conexi´ on de Galois por la izquierda. Rec ´ ıprocamente, supongamos que (f, g) es una adjunci ´ on, co-adjunci ´ on, conexi ´ on de Galois por la derecha y conexi ´ on de Galois por la izquierda al mismo tiempo. Dados a1, a2∈A tales que a1.Aa2 , por ser f ant ´ ıtona, f(a2).Af(a1) . Ahora usando, en primer lugar, que (f, g) es adjunci ´ on, se obtiene que a2.Ag(f(a1)) , y utilizando que g◦f es deflacionaria, ya que (f, g) es una co-adjunci ´ on y conexi ´ on de Galois por la derecha, obtenemos que a2.Ag(f(a1)) .Aa1 . De forma an ´ aloga, dados b1, b2∈B tales que b1.Bb2se obtiene que b2.Bb1.2 2.3. Construcci´on de adjunciones En esta secci ´ on, se considera una aplicaci ´ on f:A→B definida desde un conjunto parcialmente ordenado (preordenado) A hasta un conjunto B no necesariamente dotado de estructura. Y se estudiar ´ a el problema de definir una relaci ´ on de orden parcial (preorden) adecuada en B de forma que exista 50 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS una aplicaci ´ on g:B→A tal que el par de aplicaciones (f, g) formen una adjunci´ on entre los conjuntos parcialmente ordenados (preordenados). A lo largo de este cap ´ ıtulo se va trabajar con adjunciones, y en virtud del Teorema 2.1 todos los resultados obtenidos, se pueden extender a cualquiera de las cuatro posibles nociones de conexi ´ on de Galois introducidas en la Definici´ on 2.1. 2.3.1. Entre conjuntos parcialmente ordenados Como se ha comentado, estudiaremos el problema para conjuntos parcialmente ordenados y para preordenados. Se comienza con el primer caso y para ello introducimos el siguiente lema t ´ ecnico que permite, en algunos casos, simplificar una de las caracterizaciones de las adjunciones eliminando una clausura inferior (v´ ease apartado 5del Teorema 1.4). Lema 2.1 Sean hA, ≤Ai y hB, ≤Bi dos conjuntos parcialmente ordenados, f:A→ B una aplicaci´on is´otona y sea b∈f(A) . Si max f−1(b↓) existe, entonces max f−1(b) existe y max f−1(b↓) = max f−1(b). DEMOSTRACI ´ ON: Sea m= max f−1(b↓) . Se demostrar ´ a que a≤Am , para todo a∈f−1(b) , y que m∈f−1(b) , obteniendo de este modo que m= max f−1(b). Si a∈f−1(b) , entonces f(a) = b∈b↓ y a∈f−1(b↓) , por tanto, utilizando que m= max f−1(b↓), se obtiene que a≤Am. Ahora, la isoton ´ ıa de f muestra que f(a) = b≤Bf(m) . Para la otra desigualdad, se utiliza que m∈f−1(b↓) , lo cual implica que f(m)≤Bb . Por tanto, f(m) = bpor la antisimetr´ ıa de ≤B.2 En general, dado un conjunto parcialmente ordenado hA, ≤Ai junto con una relaci ´ on de equivalencia ∼ sobre A , es habitual considerar el conjunto 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 51 A∼=A/∼ , el conjunto cociente de A con respecto a ∼ , y la aplicaci ´ on proyecci ´ on π:A→A∼ . La clase de equivalencia de un elemento a∈A se denota, de forma usual, por [a]∼y, entonces, π(a) = [a]∼. Consideremos una aplicaci ´ on f definida desde un conjunto parcialmente ordenado hA, ≤Ai a un conjunto B no dotado necesariamente de estructura. Con el fin de encontrar condiciones para la construcci ´ on de un adjunto por la derecha de la aplicaci ´ on f , se usar ´ a la descomposici ´ on can ´ onica de f:A→B a trav ´ es de A≡f , el conjunto cociente de A con respecto a la relaci´on n´ucleo ≡fdefinida como a≡fbsi y s´ olo si f(a) = f(b)(2.3) Dicha descomposici ´ on can ´ onica se representa en el siguiente diagrama conmutativo: A B A≡ff(A) f π ϕ i donde π representa la proyecci ´ on can ´ onica sobre A≡f , la aplicaci ´ on ϕ:A≡f→ f(A) est ´ a definida por ϕ([a]≡f) = f(a) para todo a∈A y la aplicaci ´ on i:f(A)→B es la inclusi ´ on de la imagen de f en B , es decir, i(b) = b para todo b∈f(A). Cabe recordar que la aplicaci ´ on ϕ es biyectiva: si ϕ([a1]≡f) = ϕ([a2]≡f) se tiene, por definici ´ on de ϕ , que f(a1) = f(a2) lo cual implica que [a1]≡f= [a2]≡f y para todo f(a)∈f(A) , la propia clase [a]≡f∈A≡f verifica ϕ([a]≡f) = f(a). El siguiente lema proporciona condiciones suficientes para que la aplicaci´ on proyecci´ on sea el componente izquierdo de una adjunci´ on. 52 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS Lema 2.2 Sea hA, ≤Ai un conjunto parcialmente ordenado y ∼ una relaci´on de equivalencia sobre A. Supongamos que se verifican las siguientes condiciones: 1. Existe max ([a]∼), para todo a∈A. 2. Si a1≤Aa2entonces max ([a1]∼)≤Amax ([a2]∼), para todo a1, a2∈A. Entonces, la relaci´on ≤A∼ definida por [a1]∼≤A∼[a2]∼ si y s´olo si a1≤A max ([a2]∼) es un orden en A∼ y, adem´as, el par de aplicaciones (π, max ) es una adjunci´on entre hA, ≤AiyhA∼,≤A∼i. DEMOSTRACI ´ ON: Primero se comprobar ´ a que la relaci ´ on ≤A∼ est ´ a bien definida. Por la primera hip ´ otesis se tiene que max ([a]∼) existe para todo a∈A , y se probar ´ a que la definici ´ on de la relaci ´ on ≤A∼ no depende de la elecci ´ on del elemento en la clase; es decir, dados a1∼α1 y a2∼α2 se probar´ a que a1≤Amax ([a2]∼)si y s´ olo si α1≤Amax ([α2]∼). Sup ´ ongase que a1≤Amax ([a2]∼) . Utilizando la hip ´ otesis 2 , se tiene que max ([a1]∼)≤Amax (max ([a2]∼)) = max ([a2]∼) y como α1≤A max ([α1]∼) = max ([a1]∼) entonces α1≤Amax ([a2]∼) . Ahora, como a2∼ α2 se tiene, de forma directa, que [a2]∼= [α2]∼ lo cual implica que α1≤A max ([α2]∼). Ahora se ver´ a que la relaci´ on ≤A∼es un orden: Reflexividad Para todo elemento a∈A , se tiene a≤Amax ([a]∼) , lo cual significa que [a]∼≤A∼[a]∼. Transitividad Sean a1, a2, a3∈A tales que [a1]∼≤A∼[a2]∼ y [a2]∼≤A∼ [a3]∼. Como [a1]∼≤A∼[a2]∼ , por definici ´ on, se tiene que a1≤Amax ([a2]∼) . Ahora, usando [a2]∼≤A∼[a3]∼ se obtiene, por definici ´ on del orden y por la segunda hip ´ otesis, que max ([a2]∼)≤Amax ([a3]∼) . Por tanto, [a1]≤A∼max ([a3]∼), esto es, [a1]∼≤A∼[a3]∼. 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 53 Antisimetr´ıa Sean dos elementos a1, a2∈A tales que [a1]∼≤A∼[a2]∼ y [a2]∼≤A∼[a1]∼. Por hip ´ otesis, se tiene que a1≤Amax ([a2]∼) entonces max ([a1]∼)≤A max ([a2]∼) , y a2≤Amax ([a1]∼) entonces max ([a2]∼)≤Amax ([a1])∼ . Como ≤A es antisim ´ etrica, entonces max ([a1]∼) = max ([a2]∼) ; ahora, por ser la intersecci ´ on de las dos clases [a1]∼ y [a2]∼ no vac ´ ıa, se tiene que [a1]∼= [a2]∼. Finalmente, veamos que (π, max ) forman una adjunci ´ on, usando la definici´ on de πy del orden ≤A∼: π(a1)≤A∼[a2]∼si y s´ olo si [a1]∼≤A∼[a2]∼ si y s´ olo si a1≤Amax ([a2]∼) 2 Con el lema anterior se han proporcionado las condiciones suficientes para que la aplicaci ´ on π sea un adjunto por la izquierda; el siguiente resultado muestra que estas condiciones son tambi ´ en condiciones necesarias, y que la relaci´ on de orden y el adjunto por la derecha se definen de forma ´ unica. Lema 2.3 Sea hA, ≤Ai un conjunto parcialmente ordenado y ∼ una relaci´on de equivalencia sobre A . Sea A∼=A/∼ el conjunto cociente de A con respecto a ∼ y π:A→A∼ la aplicaci´on proyecci´on. Si existe una relaci´on de orden ≤A∼ en A∼ y g:A∼→Atal que (π, g): hA, ≤AihA∼,≤A∼ientonces, 1. g([a]∼) = max ([a]∼)para todo a∈A. 2. [a1]∼≤A∼[a2]∼si y s´olo si a1≤Amax ([a2]∼)para todo a1, a2∈A. 3. Si a1≤Aa2entonces max ([a1]∼)≤Amax ([a2]∼)para todo a1, a2∈A. 54 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS DEMOSTRACI ´ ON: 1. Por el Teorema 1.4 se tiene que g([a]∼) = max π−1([a]↓ ∼) . Ahora, por el Lema 2.1 se obtiene que max π−1([a]↓ ∼) = max π−1([a]∼) = max ([a]∼). Obs ´ ervese que hay un ligero abuso de notaci ´ on, ya que [a]∼ es a veces considerada un elemento, i.e. una clase de equivalencia del conjunto cociente, y otras veces el conjunto de elementos de la clase de equivalencia. El contexto ayuda a saber qu´ e significado se pretende en cada caso. 2. Por ser adjunci ´ on (π, g) , definici ´ on de π , y el apartado anterior se tiene la siguiente cadena de equivalencias [a1]∼≤A∼[a2]∼si y s´ olo si π(a1)≤A∼[a2]∼ si y s´ olo si a1≤Ag([a2]∼) si y s´ olo si a1≤Amax ([a2]∼) 3. Finalmente, como π y g son aplicaciones is ´ otonas, a1≤Aa2 implica que [a1]∼≤A∼[a2]∼ y g([a1]∼)≤Ag([a2]∼) , por tanto max ([a1]∼)≤A max ([a2]∼)por el primer apartado. 2 Continuando con el an ´ alisis de la descomposici ´ on can ´ onica, se llega de forma natural al resultado siguiente. Lema 2.4 Sea hA, ≤Ai un conjunto parcialmente ordenado y una aplicaci´on biyectiva ϕ:A→B . Entonces existe una ´unica relaci´on de orden en B , definida como b1≤Bb2 si y s´olo si ϕ−1(b1)≤Aϕ−1(b2) , tal que (ϕ, ϕ−1): hA, ≤AihB, ≤Bi . DEMOSTRACI ´ ON: En primer lugar, usando la definici ´ on de ≤B y la reflexividad de ≤A , para todo b∈B , se tiene que ϕ−1(b)≤Aϕ−1(b) si y s ´ olo si b≤Bb . Ahora, dados b1, b2, b3∈B tales que b1≤Bb2 y b2≤Bb3 , por la definici ´ on de ≤B y transitividad de ≤A , se obtiene que ϕ−1(b1)≤Aϕ−1(b3) si y s ´ olo si b1≤Bb3 . 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 55 Finalmente, para todo b1, b2∈B tales que b1≤Bb2 y b2≤Bb1 , de nuevo por definici ´ on de ≤B y por antisimetr ´ ıa de ≤A , se tiene que ϕ−1(b1) = ϕ−1(b2) , lo cual implica, por ser ϕbiyectiva, que b1=b2. Ahora se comprobar ´ a que el par (ϕ, ϕ−1) constituye una adjunci ´ on. Obs ´ ervese que ϕ−1 es is ´ otona por la definici ´ on de ≤B , y que ϕ es tambi ´ en is ´ otona ya que si a1≤Aa2 existen b1, b2∈B tales que a1=ϕ−1(b1)≤A ϕ−1(b2) = a2 , y por la definici ´ on de ≤B esto implica b1≤Bb2 , i.e. ϕ(a1)≤B ϕ(a2) . Para finalizar, sea a∈A y b∈B tales que a≤Aϕ(b) , utilizando que ϕ−1 es la inversa de ϕ y que ϕ−1 es is ´ otona, se obtiene que ϕ−1(a)≤B ϕ−1(ϕ(b)) = b . De forma an ´ aloga, se obtiene que si ϕ−1(a)≤Bb entonces a≤Aϕ(b).2 Como consecuencia de los resultados anteriores, se han establecido las condiciones necesarias y suficientes para garantizar la existencia y unicidad del adjunto derecho para cualquier aplicaci ´ on sobreyectiva f definida desde un conjunto parcialmente ordenado A a un conjunto B no necesariamente dotado de estructura. Teorema 2.5 Dado un conjunto parcialmente ordenado hA, ≤Ai y una aplicaci´on sobreyectiva f:A→B , sea ≡f la relaci´on n´ucleo. Entonces, existe un orden parcial ≤B en B y una aplicaci´on g:B→A tal que (f, g): hA, ≤AihB, ≤Bi si y s´olo si 1. Existe max ([a]≡f)para todo a∈A. 2. a1≤Aa2implica max ([a1]≡f)≤Amax ([a2]≡f), para todo a1, a2∈A. DEMOSTRACI ´ ON: Se considera una adjunci´ on (f, g): hA, ≤AihB, ≤Bi. Dado a∈A , el punto 1 se cumple por la siguiente cadena de igualdades, donde la primera igualdad viene del Teorema 1.4, la segunda del Lema 3.2, y la tercera de la definici´ on de [a]≡f: g(f(a)) = max f−1(f(a)↓) = max f−1(f(a)) = max ([a]≡f)(2.4) 56 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS Ahora, el punto 2 es directo, ya que si a1≤Aa2 entonces, por isoton ´ ıa, f(a1)≤Bf(a2) y g(f(a1)) ≤Ag(f(a2)) y por tanto, seg ´ un (2.4), max ([a1]≡f)≤Amax ([a2]≡f). Rec ´ ıprocamente, dados hA, ≤Ai un conjunto ordenado y f:A→B sobreyectiva tal que se verifican los apartados 1 y 2 , se probar ´ a que f es el adjunto por la izquierda de una aplicaci´ on g:B→A. Se considera la descomposici ´ on can ´ onica de f a trav ´ es del conjunto cociente A≡f de A con respecto a ≡f , es decir, f=π◦ϕ descrita en el siguiente diagrama conmutativo: AB A≡f f π g ϕ donde π(a) = [a]≡f y ϕ es la aplicaci ´ on biyectiva definida por ϕ([a]≡f) = f(a). En primer lugar, por el Lema 2.2, utilizando las condiciones 1 y 2 , y el hecho de que [a]≡f=π(a) , se obtiene que (π, max ): hA, ≤AihA≡f,≤≡fi . Adem ´ as, como la aplicaci ´ on ϕ:A≡f→B es biyectiva, se puede aplicar el Lema 2.4 para inducir un orden ≤B en B tal que se tenga otra adjunci ´ on, el par de aplicaciones (ϕ, ϕ−1): hA≡f,≤≡fihB, ≤Bi. Obs´ ervese que para todo b=f(x)∈Bse tiene que ϕ−1(b) = [a]≡f∈A≡f|ϕ([a]≡f) = b=[a]≡f∈A≡f|f(a) = f(x)= [x]≡f Por consiguiente, la aplicaci ´ on g= (max ◦ϕ−1): B→A , se puede escribir como g(b) = max (ϕ−1(b)) = max ([x]≡f)(2.5) para todo x∈f−1(b). 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 57 Finalmente, se probar ´ a (f, g) es una adjunci ´ on. Supongamos que a≤A max (ϕ−1(b)) . Por ser f sobreyectiva existe x∈A tal que f(x) = b y, como ϕ−1(b)=[x]≡f entonces a≤Amax ([x]≡f) . Por la definici ´ on del orden ≤≡f , se tiene que a≤Amax ([x]≡f) si y s ´ olo si [a]≡f≤≡f[x]≡f . Ahora, como [a]≡f=ϕ−1(f(a)) y [x]≡f=ϕ−1(b) , se tiene ϕ−1(f(a)) ≤≡fϕ−1(b) lo cual es equivalente a f(a)≤Bb, por la definici´ on del orden ≤Ben B. A B A≡f f π g=max◦ϕ−1 ϕ−1 max ϕ 2 La tercera parte de esta secci ´ on se dedica a estudiar el caso en el que la aplicaci ´ on f no es sobreyectiva. En este caso, en general, hay varias posibilidades de ´ ordenes en B que permiten definir el adjunto por la derecha. La clave para la construcci ´ on es definir un orden en B que incluya el orden que se podr´ ıa definir en la imagen de la aplicaci´ on f. De forma m ´ as general, la idea es extender el orden definido en un subconjunto de un conjunto al conjunto completo, como se detalla en la siguiente proposici´ on. Proposici´on 2.1 Dado un subconjunto X⊆B , y un elemento fijo m∈X , cualquier preorden ≤X en X puede ser extendido a un preorden ≤m en B , definido de la siguiente forma: para x, y ∈B se verifica x≤my si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: (a) x, y ∈Xyx≤Xy (b) x∈X, y /∈Xyx≤Xm 64 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS 3. x.Ay, para todo x∈Xy para todo y∈Y. DEMOSTRACI ´ ON: Las implicaciones 1⇒2y3⇒1son directas. Se probar ´ a que 2⇒3 . Para ello, se considera x∈X e y∈Y . Utilizando la hip ´ otesis, existe y1∈Y tal que x.Ay1 . Como Y es c ´ ıclico, se tiene que y1.Aypara todo y∈Y. Por tanto, x.Aypara todo x∈Xey∈Y.2 A continuaci ´ on, introducimos una notaci ´ on que se usar ´ a en el resto de la secci´ on. Definici´on 2.5 Sea hA, .Ai un conjunto preordenado y sean X, S subconjuntos de A . Se denota por UB(X) al conjunto de las cotas superiores de X . Para todo a∈A, se define el conjunto ϕS(a)como ϕS(a) = p-min(UB([a]∼ =A)∩S) donde [a]∼ =A denota la clase de equivalencia del elemento a con respecto a la relaci´ on p-n´ ucleo ∼ =A. El primer objetivo de esta secci ´ on es encontrar condiciones suficientes para, dada una aplicaci ´ on sobreyectiva f:A→B donde A=hA, .Ai es un conjunto preordenado y B es un conjunto no dotado de estructura, definir un preorden adecuado en B tal que exista un adjunto por la derecha de f . Para esta b ´ usqueda se proceder ´ a como en el Lema 2.2, aunque el procedimiento, en este caso, ser ´ a m ´ as que una mera adaptaci ´ on de los resultados obtenidos en el caso de conjuntos parcialmente ordenados. Lema 2.8 Sea A=hA, .Ai un conjunto preordenado y f:A→B una aplicaci´on sobreyectiva. Sea S un subconjunto de A tal que las siguientes condiciones se verifican: S⊆[ a∈A p-max[a]∼ =A 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 65 ϕS(a)6=∅, para todo a∈A. Si a1.Aa2, entonces ϕS(a1)vHϕS(a2). Entonces, existe un preorden .Ben By una aplicaci´on g:B→Atal que (f, g) : AB. DEMOSTRACI ´ ON: Se define la relaci´ on .Ben Bde la siguiente forma: b1.Bb2si y s´ olo si existen ai∈f−1(bi), i ∈ {1,2},tales que ϕS(a1)vHϕS(a2).(2.6) La definici ´ on de .B no depende de la elecci ´ on de las preim ´ agenes, puesto que si f(x) = f(y) se verifica que [x]∼ =A= [y]∼ =A y, por tanto, ϕS(x) = ϕS(y) . Adem ´ as ϕS(x) es un subconjunto no vac ´ ıo y c ´ ıclico de A , para todo x∈A , luego utilizando el Lema 2.7, la relaci ´ on .B definida en (2.6) se puede escribir como sigue: b1.Bb2si y s´ olo si existen ai∈f−1(bi)yci∈ϕS(ai)para i∈ {1,2}con c1.Ac2.(2.7) La relaci´ on .Bes un preorden: Reflexividad: Por la segunda hip ´ otesis, se tiene que ϕS(a)6=∅ para todo a∈A . Por lo tanto, dado b∈B , para cualquier a∈f−1(b) , se verifica ϕS(a)vHϕS(a), lo cual implica que b.Bb. Transitividad: Supongamos que b1.Bb2yb2.Bb3. Como b1.Bb2 , existe ai∈f−1(bi) , y ci∈ϕS(ai) para i∈ {1,2} tal que c1.Ac2. Como b2.Bb3 , existe a0 j∈f−1(bj) , y c0 j∈ϕS(a0 j) para j∈ {2,3} tal que c0 2.Ac0 3. Como a2, a0 2∈f−1(b2) , se tiene que [a2]∼ =A= [a0 2]∼ =A , lo cual implica que ϕS(a2) = ϕS(a0 2) . Entonces, por ser ϕS(a2) un subconjunto c ´ ıclico, se obtiene c1.Ac2≈Ac0 2.Ac0 3y, como consecuencia, b1.Bb3. 66 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS Dado que f es sobreyectiva, para todo b∈B se puede elegir xb∈A con f(xb) = b y como por hip ´ otesis, ϕS(xb)6=∅ , se puede definir una aplicaci ´ on g:B→Ade forma que g(b)∈ϕS(xb)donde xb∈f−1(b).(2.8) Se finaliza la demostraci´ on comprobando que (f, g): hA, .AihB, .Bi. Suponemos que f(a).Bb . Por la definici ´ on de .B , existe a1∈f−1(f(a)) , a2∈f−1(b) , c1∈ϕS(a1) y c2∈ϕS(a2) con c1.Ac2 ; como a1∈f−1(f(a)) se tiene que [a1]∼ =A= [a]∼ =A , y, por otro lado, como c1∈UB[a1]∼ =A= UB[a]∼ =A se obtiene que a.Ac1 . Sea xb∈f−1(b) tal que g(b)∈ϕS(xb) . Como a2, xb∈f−1(b) , entonces [a2]∼ =A= [xb]∼ =A y, por tanto, ϕS(a2) = ϕS(xb) . Entonces, c2, g(b)∈ϕS(a2) lo cual implica que c2≈Ag(b) . De este modo, como a.Ac1.Ac2≈Ag(b), entonces a.Ag(b). Supongamos ahora que a.Ag(b) , y se demostrar ´ a que f(a).Bb . Sea xb∈f−1(b) tal que g(b)∈ϕS(xb) . La desigualdad f(a).Bb , se probar ´ a en tres pasos: Primero, se ver ´ a que g(b)∈ϕS(g(b)) : Como g(b)∈ϕS(xb) , en particular g(b)∈S , y utilizando la hip ´ otesis sobre S , se tiene que existe c∈A tal que g(b)∈p-max[c]∼ =A , lo cual implica que g(b)∈[c]∼ =A= [g(b)]∼ =A . Por tanto, g(b)∈p-max[g(b)]∼ =A⊆UB[g(b)]∼ =A , obteniendo as ´ ı que g(b)∈UB[g(b)]∼ =A∩S . Ahora, dado t∈UB[g(b)]∼ =A∩S , por ser t cota superior de [g(b)]∼ =A y g(b)∈[g(b)]∼ =A , se tiene g(b).At , lo cual implica que g(b)es un p-m´ ınimo del conjunto UB[g(b)]∼ =A∩S. Ahora, se demostrar ´ a que ϕS(a)vHϕS(xb) . Como a.Ag(b) , por la tercera hip ´ otesis se tiene que ϕS(a)vHϕS(g(b)) . Por el Lema 2.7 y por g(b)∈ϕS(g(b)) , se tiene que z.Ag(b) para todo z∈ϕS(a) . Y como g(b)∈ϕS(xb), entonces tambi´ en ϕS(a)vHϕS(xb). Finalmente, como ϕS(a)vHϕS(xb)para a∈f−1(f(a)) yxb∈f−1(b), por la definici´ on de preorden dada en (2.6), se tiene que f(a).Bb. 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 67 2 El siguiente lema se utilizar ´ a para la demostraci ´ on del resultado principal de esta secci ´ on, que ser ´ a el Teorema 2.7. Este resultado es la adaptaci ´ on a conjuntos preordenados del Lema 2.5 y de la parte final de la demostraci ´ on del Teorema 2.6. Lema 2.9 Sea hA, .Ai un conjunto preordenado, B un conjunto y f:A→B . Entonces, existe un preorden .B y una adjunci´on (f, g): hA, .AihB, .Bi si y s´olo si existe un preorden .f(A) y una adjunci´on (f, g0): hA, .Aihf(A),.f(A) i. DEMOSTRACI ´ ON: La implicaci ´ on directa es trivial, ya que se consideran .f(A)yg0como las restricciones a f(A)de .Byg, respectivamente. Rec ´ ıprocamente, se considera la adjunci ´ on (f, g0): hA, .Aihf(A),.f(A) i . Se fija un elemento m∈f(A) y se elige .B como el preorden extendido del subconjunto f(A) al conjunto B , tal y como se introdujo en la Proposici ´ on 2.1. Se considera gla extensi´ on de g0definida como sigue: g(b) =    g0(b)si b∈f(A) g0(m)si b /∈f(A) Se comprobar ´ a que (f, g): hA, .AihB, .Bi . Sean a∈A y b∈B tales que a.Ag(b) . Si b∈f(A) , se tiene g(b) = g0(b) . As ´ ı, utilizando la hip ´ otesis, se obtiene que a.Ag0(b) si y s ´ olo si f(a).f(A)b , lo cual, por la definici ´ on de .B , es equivalente a f(a).Bb . Si b /∈f(A) , por la definici ´ on de g se tiene que a.Ag0(m) lo cual equivale f(a).f(A)m . Por la definici ´ on de .B , se verifica f(a).f(A)msi y s´ olo si f(a).Bb. 2 A continuaci ´ on se presenta la versi ´ on del Teorema 2.6 para el actual marco de trabajo. Este teorema es doble extensi ´ on del Lema 2.8 ya que, primero, 68 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS la aplicaci ´ on f no es necesariamente sobreyectiva y, segundo, proporciona las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una adjunci ´ on. Teorema 2.7 Dado cualquier conjunto preordenado A=hA, .Ai y una aplicaci´on f:A→B , existe un preorden B=hB, .Bi y g:B→A tal que (f, g) : AB si y s´olo si existe un subconjunto S de A tal que las siguientes condiciones se verifican: 1. S⊆[ a∈A p-max[a]∼ =A 2. ϕS(a)6=∅, para todo a∈A. 3. Si a1.Aa2, entonces ϕS(a1)vHϕS(a2), para a1, a2∈A. DEMOSTRACI ´ ON: Se supone que existe un preorden en B , la aplicaci ´ on g tal que (f, g) : ABy se probar´ a que se verifican las tres condiciones. Para la condici ´ on 1, se define S=g(f(A)) , se considera g(f(a)) ∈S y bastar ´ a probar que g(f(a)) ∈p-max[g(f(a))]∼ =A . Dado x∈[g(f(a))]∼ =A , se razonar ´ a por inducci ´ on sobre la longitud n de cualquier cadena {ai}i∈{0,...,n}⊆ A tal que a0=x , an=g(f(a)) y ai≈Aai+1 o f(ai) = f(ai+1) para todo i∈ {0, . . . , n −1}, para demostrar f(x)≈Bf(an): Para n= 0 , se tiene x=a0=an=g(f(a)) , por consiguiente f(a0)≈B f(g(f(a))). Por hip ´ otesis de inducci ´ on, se supone que el resultado es cierto para cualquier cadena de longitud k . Sea {ai}i∈{0,...,k+1}⊆A una cadena tal que a0=x , ak+1 =g(f(a)) y para todo 0≤i≤k , o ai≈Aai+1 o f(ai) = f(ai+1) . Por la hip ´ otesis de inducci ´ on, se cumple que f(a0)≈B f(ak). Hay dos posibilidades: • Si ak≈Aak+1 , por ser f is ´ otona, f(ak)≈Bf(ak+1) y por transitividad de .B, se tiene f(a0)≈Bf(ak+1). 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 69 • Si f(ak) = f(ak+1) , se obtiene de forma directa que f(ak)≈B f(ak+1) . As ´ ı, de nuevo por transitividad, se tiene que f(a0)≈B f(ak+1). Ahora, utilizando el Teorema 2.3, se sabe que f(g(f(a))) ≈Bf(a) , lo cual implica que f(x)≈Bf(a) . As ´ ı f(x).Bf(a) y como (f, g) es adjunci ´ on, se obtiene que x.Ag(f(a)), por lo tanto g(f(a)) ∈p-max[g(f(a))]∼ =A. Para la condici ´ on 2, se comprobar ´ a que g(f(a)) ∈ϕS(a) . Por definici ´ on se tiene que g(f(a)) ∈S ; entonces, se probar ´ a que g(f(a)) ∈UB[a]∼ =A , es decir, x.Ag(f(a)) para todo x∈[a]∼ =A . Se razona por inducci ´ on sobre la longitud n de cualquier cadena {ai}i∈{0,...,n}⊆A tal que a0=a , an=x y ai≈Aai+1 of(ai) = f(ai+1)para todo i∈ {0, . . . , n −1}: Para n= 0 , se tiene que a.Ag(f(a)) puesto que por el Teorema 2.2 se tiene que g◦fes inflacionaria. Se supone ahora que el resultado es cierto para cualquier cadena de longitud k . Sea {ai}i∈{0,...,k+1}⊆A una cadena tal que a0=a , ak+1 =x y para todo 0≤i≤k , o ai≈Aai+1 o f(ai) = f(ai+1) . Por la hip ´ otesis de inducci ´ on, se cumple que ak.Ag(f(a0)) . Hay dos posibilidades: • Si ak≈Aak+1 , por hip ´ otesis, se tiene que ak+1 .Aak.Ag(f(a0)) y por transitividad, x=ak+1 .Ag(f(a)). • Si f(ak) = f(ak+1) como f es is ´ otona, f(ak+1) = f(ak).A f(g(f(a0))) . Por tanto, de nuevo por ser adjunci ´ on y por el Teorema 2.3, se tiene que ak+1 .Ag(f(g(f(a0)))) ≈Ag(f(a0)). Se ha probado que g(f(a)) ∈UB[a]∼ =A∩S y queda probar que es un pm ´ ınimo. Se considera x∈UB[a]∼ =A∩S ; entonces z.Ax para todo z∈[a]∼ =A y, por definici ´ on de S , se sabe que existe a1∈A tal que x=g(f(a1)) . En 70 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS particular, para z=a se tiene que, a.Ag(f(a1)) lo cual implica g(f(a)) .A g(f(g(f(a1)))) por ser f y g is ´ otonas. Adem ´ as, por el Teorema 2.3, se obtiene g(f(g(f(a1)))) ≈Ag(f(a1)) = x, es decir g(f(a)) .Ax. Para probar la condici ´ on 3, se consideran a1, a2∈A tales que a1.Aa2 . Las aplicaciones f y g son is ´ otonas, entonces g(f(a1)) .Ag(f(a2)) . De aqu ´ ı, por el Lema 2.7, se obtiene directamente que ϕS(a1)vϕS(a2) , ya que se ha probado que g(f(a)) ∈ϕS(a)para todo a∈A. Rec ´ ıprocamente, si se suponen las condiciones 1 , 2 , y 3 , entonces por el Lema 2.8 y el Lema 2.9, existe un preorden B=hB, .Bi y una aplicaci ´ on g:B→Atal que (f, g) : AB.2 Finalizamos esta secci ´ on con una serie de observaciones sobre las condiciones necesarias y suficientes obtenidas en el Teorema 2.7. En la Secci ´ on 2.3.1 se prob ´ o que, dado un conjunto parcialmente ordenado hA, ≤Ai y una aplicaci ´ on f:A→B , existe un orden ≤B en B y una aplicaci ´ on g:B→A tal que (f, g) es una adjunci ´ on entre los conjuntos parcialmente ordenados hA, ≤AiyhB, ≤Bisi y s´ olo si (I) Existe max ([a]≡f)para todo a∈A. (II) a1≤Aa2implica max ([a1]≡f)≤Amax ([a2]≡f), para todo a1, a2∈A. Estas dos condiciones est ´ an estrechamente relacionadas con las diferentes caracterizaciones de la noci ´ on de adjunci ´ on, que se muestran en el Teorema 1.4 (apartados 5 y 6). Concretamente: La condici ´ on (I) hace referencia a la definici ´ on del adjunto por la derecha, pues si b∈B y existe a∈A tal que f(a) = b , siendo (f, g) adjunci ´ on, entonces, necesariamente, g(b) = max ([a]≡f) : en efecto, por el Teorema 1.4, el Lema 2.1, y la definici´ on de [a]≡f, se tiene g(f(a)) = max f−1(f(a)↓) = max f−1(f(a)) = max ([a]≡f) 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 71 Mientras que la condici ´ on (II) hace referencia a la isoton ´ ıa de ambas aplicaciones fyg. En el caso de los pre ´ ordenes, en el Teorema 2.7 las condiciones 1 , 2 y 3 reflejan las consideraciones realizadas en el p ´ arrafo anterior, pero en este contexto de trabajo se requiere una formalizaci ´ on distinta. Formalmente la condici ´ on (I) est ´ a impl ´ ıcita en las condiciones 1 y 2 , ya que si b∈B y f(a) = b , entonces g(b) no necesariamente estar ´ a en la misma clase del elemento a pero s ´ ı ser ´ a m ´ aximo en su clase, es decir, g(f(a)) ∈p-max[g(f(a))]∼ =A . Por consiguiente: La condici ´ on 1 , S⊆[ a∈A p-max[a]∼ =A , garantiza trabajar con elementos que verifican el hecho anteriormente mencionado, ya que S satisface que s∈p-max[s]∼ =Apara todo s∈S. Obs ´ ervese que la condici ´ on 1 es demasiado d ´ ebil en relaci ´ on con la condici ´ on (I). Sin embargo, la condici ´ on 2 proporciona los requisitos necesarios para poder definir de forma adecuada la aplicaci ´ on g como adjunto por la derecha de f . Es decir, si b∈B y existe a∈A tal que f(a) = b , cuando (f, g) es una adjunci ´ on entre pre ´ ordenes, se tiene que, necesariamente, g(f(a)) ∈UB[a]∼ =A∩S y que g(f(a)) ∈p-min(UB([a]∼ =A)∩S) = ϕS(a)para todo a∈A(tal y como se comprob´ o en la demostraci´ on del Teorema 2.7). De este modo, con las condiciones 1 y 2 se garantiza que si b∈B , f(a) = b y (f, g) es una adjunci ´ on, entonces g(f(a)) ∈S es una cota superior minimal de [a]∼ =A. Finalmente, la condici ´ on 3 es una adaptaci ´ on de la condici ´ on (II) descrita en los t´ erminos introducidos anteriormente. 72 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS 2.3.3. Unicidad en la construcci´on de adjunciones. La unicidad del adjunto por la derecha de una aplicaci ´ on entre conjuntos parcialmente ordenados ya se ha comentado en secciones anteriores. Concretamente, dados dos conjuntos parcialmente ordenados hA, ≤Ai y hB, ≤Bi y una aplicaci ´ on f:A→B , si existe g:B→A tal que el par (f, g) es una adjunci´ on, entonces gest´ a un´ ıvocamente determinada. Este comportamiento fue analizado en la Secci ´ on 2.3.1, donde la propiedad de unicidad se extendi ´ o, en el caso de aplicaciones sobreyectivas, no s ´ olo al adjunto por la derecha, sino tambi ´ en a la relaci ´ on de orden definida sobre el codominio. Por consiguiente, dada una aplicaci ´ on sobreyectiva f de un conjunto parcialmente ordenado hA, ≤Ai a un conjunto no necesariamente dotado de estructura B , se han proporcionado condiciones necesarias y suficientes para asegurar la existencia de un orden ≤B en B y una aplicaci ´ on g:B→A tal que (f, g) es una adjunci ´ on, donde tanto el orden ≤B como la aplicaci´ on gest´ an determinados de forma ´ unica por ≤Ayf. A diferencia del caso de conjuntos parcialmente ordenados, dados dos conjuntos preordenados hA, .Ai y hB, .Bi y una aplicaci ´ on f:A→B , la unicidad de la aplicaci ´ on g:B→A tal que (f, g): hA, .AihB, .B i , cuando existe, no se puede garantizar. Sin embargo, por la definici ´ on del adjunto por la derecha, se observa que si g1 y g2 son adjuntos por la derecha de una misma aplicaci ´ on f , entonces, por el Teorema 2.2, g1(b)∈ p-max f−1(b↓) y g2(b)∈p-max f−1(b↓) para todo b∈B . Por consiguiente, en virtud de la Observaci ´ on 2.2, g1(b)≈Ag2(b) para todo b∈B . En este caso, se podr´ ıa decir que el adjunto por la derecha es esencialmente ´unico. Veamos algunos ejemplos donde apoyar estas consideraciones. Ejemplo 2.2 Sean A={a, b, c, d} , B={o, p, q} dos conjuntos. Se considera en Ael orden total en el que a≤Ab≤Ac≤Ad. Sea f:A→B definida como f(a) = f(c) = p , f(b) = o y f(d) = q 2.3. CONSTRUCCI ´ ON DE ADJUNCIONES 73 tal y como se representa en la siguiente figura. Las clases de equivalencia de la relaci ´ on n ´ ucleo ≡f en A , son las siguientes: [a]≡f= [c]≡f={a, c} , [b]≡f={b}y[d]≡f={d}. a b c d o p q hA, ≤AiB Figura 2.3: f:hA, ≤Ai → Btal que f(a) = f(c) = p,f(b) = oyf(d) = q. Se puede observar que f es sobreyectiva, y que no se verifican las condiciones del Teorema 2.6, concretamente la segunda, ya que a≤Ab pero max ([b]≡f)≤Amax ([a]≡f) . Por consiguiente, se puede asegurar que no existe ninguna relaci ´ on de orden parcial en B y ninguna g:B→A de forma que (f, g)sea una adjunci´ on entre conjuntos parcialmente ordenados. Sin embargo, si se relajan las condiciones y se busca construir una adjunci ´ on entre conjuntos preordenados, entonces existe un preorden (en concreto m ´ as de uno) y un adjunto por la derecha de f . V ´ ease este hecho en los siguientes casos, en los cuales se construir ´ an diferentes adjuntos por la derecha para la aplicaci´ on f:A→Bdefinida en el Ejemplo 2.2. Ejemplo 2.3 Como la relaci ´ on definida en A es un orden total, la relaci ´ on n ´ ucleo sim ´ etrico es trivial, por lo que ≡f coincide con ∼ =A . Obs ´ ervese adem ´ as que [ x∈A p-max[x]∼ =A={b, c, d} . Para su subconjunto S1={c, d} , se verifican tambi´ en las condiciones 2 y 3 del Teorema 2.7: 2. Es sencillo comprobar que ϕS1(x) = p-min(UB[x]∼ =A∩S1)6=∅ para 80 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS Como se ha comentado, en conjuntos parcialmente ordenados, existe una relaci ´ on biun ´ ıvoca entre operadores de cierre y sistemas de cierre (para cada operador de cierre, se tiene c=cSc y para cualquier sistema de cierre se tiene S=ScS ,v ´ ease Proposici ´ on 1.2). Esta relaci ´ on entre ambas nociones se debilita cuando trabajamos con conjuntos preordenados, como se expone en la siguiente proposici´ on. Proposici´on 2.3 Sea A=hA, .Aiun conjunto preordenado. 1. Si c:A→A es un operador de ≈A -cierre, entonces c(a)≈AcSc(a) para todo a∈A. 2. Si S es un sistema de ≈A -cierre entonces S⊆ScS y para todo s1∈ScS existe s2∈Stal que s1≈As2. DEMOSTRACI ´ ON: Recordemos que Sc={a∈A|c(a)≈Aa} es el sistema de ≈A -cierre asociado a un operador de ≈A -cierre c:A→A , y el operador de ≈A -cierre cSc:A→A satisface que cSc(a)∈p-min(a↑∩Sc) . Por una parte, para todo a∈A , como cSc(a)∈p-min(a↑∩Sc) , se tiene que a.AcSc(a) y cSc(a)∈Sc , lo cual implica que c(cSc(a)) ≈AcSc(a) . Utilizando la isoton ´ ıa de c , se obtiene c(a).Ac(cSc(a)) . Por transitividad, c(a).AcSc(a) . Por otro lado, utilizando de nuevo que cSc(a)∈p-min(a↑∩Sc) , se obtiene que cSc(a).Au para todo u∈a↑∩Sc . Por tanto, como c(a)∈Sc , entonces cSc(a).Ac(a). Para probar el segundo apartado, se considera un sistema de ≈A -cierre S , un operador de ≈A -cierre cS:A→A asociado a S (es decir, tal que cS(a)∈p-min(a↑∩S) para todo a∈A ) y el sistema de ≈A -cierre ScS= {a∈A|cS(a)≈Aa} . Para cualquier a∈S , se tiene que a∈a↑∩S y como cS(a)∈p-min(a↑∩S) entonces cS(a).Aa . Utilizando que cS es inflacionaria, se tiene que cS(a)≈Aa , es decir, a∈ScS . Por tanto, se ha 2.4. SISTEMAS DE CIERRE Y ADJUNCIONES EN PRE ´ ORDENES 81 probado que S⊆ScS . Adem ´ as, si s1∈ScS entonces s2=cS(s1)≈As1 y s2∈Sya que cS(s1)∈p-min(s↑ 1∩S).2 Ahora introducimos la noci ´ on de compatibilidad con una relaci ´ on de equivalencia. Definici´on 2.8 Sea A=hA, .Ai un conjunto preordenado y una relaci ´ on de equivalencia ∼en A. 1. Un operador de ≈A -cierre c:A→A se dice que es compatible con ∼ si a∼bimplica que c(a)≈Ac(b)para todo a, b ∈A. 2. An ´ alogamente, un sistema de ≈A -cierre S se dice que es compatible con ∼si a.Asimplica que [a]∼⊆s↓, para todo a∈A, s ∈S. La noci ´ on de compatibilidad de la definici ´ on anterior se mantiene cuando nos movemos entre operadores y sistemas de ≈A -cierre, en el sentido de la Proposici´ on 2.2. Este hecho se formaliza en el siguiente resultado: Lema 2.10 Sea c:A→A un operador de ≈A -cierre compatible con una relaci´on de equivalencia ∼ sobre A . Entonces, el sistema de ≈A -cierre asociado a c es compatible con ∼. Rec´ıprocamente, dado S un sistema de ≈A -cierre compatible con ∼ , entonces cualquier operador de ≈A-cierre asociado a Ses, tambi´en, compatible con ∼. DEMOSTRACI ´ ON: Sean c:A→A un operador de ≈A -cierre compatible con ∼ y Sc={a∈A|c(a)≈Aa} el sistema de ≈A -cierre asociado a c . Sean a∈A y s∈Sc tales que a.As . Para todo x∈[a]∼ , por compatibilidad de c con ∼ , se tiene que c(x)≈Ac(a) , y, como c es un operador de ≈A -cierre, se concluye que x.Ac(x)≈Ac(a).Ac(s)≈As . Por tanto, x.As para todo x∈[a]∼ , lo cual es equivalente a que [a]∼⊆s↓ , es decir, Sc es compatible con ∼. 82 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS Rec ´ ıprocamente, sea S un sistema de ≈A -cierre compatible con ∼ y sea cS un operador de ≈A -cierre tal que cS(a)∈p-min(a↑∩S) para todo a∈A . Sean a, b ∈A tales que a∼b . Como a.AcS(a) y b∈[a]∼ , por compatibilidad de S con ∼ , se tiene que [a]∼⊆cS(a)↓ , es decir, b.AcS(a) . Por tanto, utilizando que c es un operador de ≈A -cierre, se obtiene que cS(b).AcS(cS(a)) ≈AcS(a) . De forma an ´ aloga, como b.AcS(b) y a∈[b]∼ , se obtiene que cS(a).AcS(cS(b)) ≈AcS(b). Por tanto, cS(a)≈AcS(b).2 Lema 2.11 Sean A=hA, .Ai un conjunto preordenado y una aplicaci´on f:A→ B . Un sistema de ≈A -cierre es compatible con la relaci´on n´ucleo ≡f si y s´olo si es compatible con la relaci´on p-n´ucleo ∼ =A. DEMOSTRACI ´ ON: Sea S un sistema de ≈A -cierre compatible con ≡f , es decir, dados a∈A y s∈S tales que a.As se tiene que [a]≡f⊆s↓ . Se probar´ a que [a]∼ =A⊆s↓. Dado x∈[a]∼ =A , razonamos por inducci ´ on sobre la longitud n de cualquier cadena que conecta los elementos ayxpara probar que x.As: El caso base n= 0 es directo, ya que si x=a se cumple por hip ´ otesis que a.As. Se supone cierto el resultado para cualquier cadena de longitud k , y se considera una cadena finita {xi}i∈{0,...,k+1}⊆A tal que x0=a , xk+1 =x y, para todo i∈ {0, . . . , k} , o xi≡fxi+1 o xi≈Axi+1 y por tanto, xk.As. Ahora, se tienen las dos posibilidades siguientes: • Si xk≈Axk+1 , en particular xk+1 .Axk.As , seg ´ un hip ´ otesis de inducci´ on. • Si f(xk) = f(xk+1) , entonces se tiene que xk+1 ∈[xk]≡f . Como xk.As , utilizando la compatibilidad con ≡f , se deduce que [xk]≡f⊆s↓, por tanto xk+1 .As. 2.4. SISTEMAS DE CIERRE Y ADJUNCIONES EN PRE ´ ORDENES 83 La implicaci ´ on rec ´ ıproca es trivial, ya que la relaci ´ on ≡f est ´ a contenida en la relaci´ on ∼ =A.2 En la Secci ´ on 2.3.2, se abord ´ o el problema de definir un preorden sobre un conjunto B no necesariamente dotado de estructura, donde B es el codominio de una aplicaci ´ on f:A→B , y una aplicaci ´ on g:B→A de forma que (f, g) sea una adjunci ´ on entre los conjuntos preordenados A y B . Por tanto, si (f, g) es una adjunci ´ on entre los conjuntos preordenados A y B , por el Teorema 2.2, se tiene que la composici ´ on g◦f es inflacionaria e is ´ otona, y, por el Teorema 2.3, g◦f es ≈A -idempotente. De este modo, si (f, g) es una adjunci ´ on entre los conjuntos preordenados A y B , se tiene que la composici ´ on g◦f es un operador de ≈A -cierre. Adem ´ as, g◦f es compatible con la relaci ´ on de n ´ ucleo asociada a la aplicaci ´ on f , ya que si x∈[a]≡f entonces, por la definici ´ on de ≡f y la isoton ´ ıa de g , se verifica que g(f(x)) ≈Ag(f(a)) . Como consecuencia de esto, la existencia de un sistema de ≈A -cierre compatible con la relaci ´ on de n ´ ucleo resulta ser una condici ´ on necesaria para la existencia de una adjunci´ on. En el siguiente resultado, se demostrar ´ a que la existencia de un sistema de ≈A -cierre compatible con la relaci ´ on de n ´ ucleo, adem ´ as, es condici ´ on suficiente. Teorema 2.9 Sean A=hA, .Ai un conjunto preordenado y una aplicaci´on f:A→B . Entonces, existe un preorden en B y una aplicaci´on g:B→A tal que (f, g) forman una adjunci´on si y s´olo si existe un sistema de ≈A -cierre compatible con ≡f. DEMOSTRACI ´ ON: Si (f, g) es una adjunci ´ on entre los conjuntos preordenados A y B , la composici ´ on g◦f es un operador de ≈A -cierre (por los Teoremas 2.2 y 2.3). Entonces, por la Proposici ´ on 2.2, el conjunto S={a∈A:g(f(a)) ≈Aa} es un sistema de ≈A -cierre. Adem ´ as es compatible con ≡f : si a∈A y s∈A verifica g(f(s)) ≈As y a.As , entonces, para 84 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS todo x∈A tal que f(x) = f(a) , se verifica a.As.Ag(f(s)) lo cual implica que f(a).Af(s) , por ser (f, g) una adjunci ´ on. Sustituyendo f(a) por f(x) y aplicando la definici´ on de adjunci´ on de nuevo, se obtiene x.Ag(f(s)). Para el rec ´ ıproco, dado S un sistema de ≈A -cierre compatible con ≡f , se demostrar´ a que Sverifica las tres condiciones del Teorema 2.7: S⊆[ a∈A p-max[a]∼ =A. Para todo x∈S , como x∈[x]∼ =A y x∈x↓ se obtiene que [x]∼ =A⊆x↓ , puesto que por el Lema 2.11, el sistema de ≈A -cierre S es compatible con ∼ =A . Entonces, para todo y∈[x]∼ =A , se verifica y.Ax . Se ha probado entonces que, para todo x∈S, se cumple que x∈p-max[x]∼ =A. ϕS(a) = p-min(UB[a]∼ =A∩S)6=∅, para todo a∈A. Primero, se probar ´ a que UB[a]∼ =A∩S=a↑∩S . Se puede escribir UB[a]∼ =A=\ {z|z∼ =Aa} z↑ , por tanto ser ´ a suficiente probar que a1∼ =Aa2 implica que a1↑∩S=a2↑∩S . Sea x∈a1↑∩S , entonces a1.Ax lo cual implica que [a1]∼ =A⊆x↓ . En particular, a2.Ax , as ´ ı x∈a2↑∩S . Por tanto, a1↑∩S⊆a2↑∩S. An´ alogamente, a2↑∩S⊆a1↑∩S. Por tanto, ϕS(a) = p-min(a↑∩S) y como S es un sistema de ≈A -cierre, el conjunto p-min(a↑∩S)6=∅,para todo a∈A. Si a1.Aa2, se ver´ a que entonces ϕS(a1)vHϕS(a2). Sean a1.Aa2 y xi∈ϕS(ai) , para i∈ {1,2} . Como x2∈UB[a2]∼ =A , en particular, a1.Aa2.Ax2 entonces, por ser S compatible con ∼ =A , se obtiene que [a1]∼ =A⊆x2↓ . Por tanto, x2∈UB[a1]∼ =A∩S lo cual implica que x1.Ax2 . Por consiguiente, por el Lema 2.7, se obtiene que ϕS(a1)vHϕS(a2). 2 2.4. SISTEMAS DE CIERRE Y ADJUNCIONES EN PRE ´ ORDENES 85 Finalizamos este cap ´ ıtulo con un ejemplo en el que se muestran las particularidades de los resultados presentados hasta ahora. En el Ejemplo 2.3, el dominio de f , es decir hA, ≤Ai , era un conjunto linealmente ordenado; esto se ha hecho as ´ ı por razones de simplicidad pero no es un requisito imprescindible para que los resultados se cumplan. En el ejemplo que se presenta a continuaci ´ on hA, .Ai es un preorden (no se verifica la propiedad de antisimetr´ ıa). Ejemplo 2.6 Sea A={⊥, a, b, c1, c2, d, >} y .A la relaci ´ on de preorden representada en la Figura 2.9. Sea B={p, r, s, t, q} y f:A→B la aplicaci ´ on definida como f(⊥) = p , f(b) = r , f(>) = t , f(a) = f(c1) = f(c2) = q y f(d) = s . Entonces las clases de equivalencia respecto a la relaci ´ on n ´ ucleo son [⊥]≡f={⊥} , [a]≡f= [c1]≡f= [c2]≡f={a, c1, c2} , [b]≡f={b} , [d]≡f= {d}y[>]≡f={>}. Se pueden definir varios sistemas de ≈ -cierre en hA, .Ai compatibles con ≡f , lo cual, en general, nos conduce a diferentes adjuntos por la derecha. Se considera el conjunto S1={>, c1, c2} . Todos los subconjuntos no vac ´ ıos de S1 tienen al menos un p-m ´ ınimo, y como para todo a∈A , el subconjunto a↑∩S1 es no vac ´ ıo, se cumple la definici ´ on de sistema de ≈-cierre para S1. Para comprobar la compatibilidad de S1 con la relaci ´ on n ´ ucleo ≡f , obs ´ ervese en primer lugar que c1↓=c2↓={a, b, c1, c2,⊥} y >↓=A . Para cada elemento x de c1↓=c2↓ se cumple que [x]≡f⊆c1↓ : en efecto, [a]≡f= [c1]≡f= [c2]≡f={a, c1, c2} ⊆ c1↓ , [b]≡f={b} ⊆ c1↓ , [⊥]≡f={⊥} ⊆ c1↓ y lo mismo ocurre para los elementos de >↓=A, obviamente. Por consiguiente, el subconjunto S1 induce la relaci ´ on de preorden .B dada en (2.6) (en la demostraci´ on del Lema 2.8) , es decir, b1.Bb2si y s´ olo si existen ai∈f−1(bi), i ∈ {1,2}tales que p-min(UB[a1]∼ =A∩S1)vHp-min(UB[a2]∼ =A∩S1).(2.9) 86 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS ⊥ ab ≈ c1c2d > p q r s t hA, .AiB Figura 2.9: Preorden en Ayf:A→B A continuaci´ on, veamos la definici´ on expl´ ıcita de este preorden en B: Obs ´ ervese, en primer lugar, que [x]≡f= [x]∼ =A para todo x∈A , debido a que c1 y c2 son los ´ unicos elementos de A que est ´ an relacionados por la relaci ´ on n ´ ucleo sim ´ etrico y ambos elementos tienen la misma imagen. Por tanto, UB([⊥]∼ =A) = UB({⊥}) = {a, b, c1, c2, d, >} UB([d]∼ =A) = UB({d}) = {>} =UB([>]∼ =A) = UB({>}) UB([a]∼ =A) = UB([c1]∼ =A) = UB([c2]∼ =A) = UB({a, c1, c2}) = {c1, c2,>} y UB([b]∼ =A) = UB({b}) = {b, c1, c2, d, >} Obs ´ ervese que S1⊆UB([⊥]∼ =A),UB([a]∼ =A),UB([c1]∼ =A),UB([c2]∼ =A),UB([b]∼ =A) . 2.4. SISTEMAS DE CIERRE Y ADJUNCIONES EN PRE ´ ORDENES 87 A partir de aqu´ ı se obtiene: p-min(UB[⊥]∼ =A∩S1) = p-min(UB[a]∼ =A∩S1) = p-min(UB[c1]∼ =A∩S1) = p-min(UB[c2]∼ =A∩S1) = p-min(UB[b]∼ =A∩S1) = p-min(S1) = {c1, c2}y p-min(UB[>]∼ =A∩S1) = p-min(UB[d]∼ =A∩S1) = p-min({>}) = {>} Al ser coincidentes, se verifica p-min(UB[x]∼ =A∩S1)vHp-min(UB[y]∼ =A∩S1) para todo x, y ∈ {⊥, a, c1, c2, b} . Como consecuencia, dado que ⊥ ∈ f−1(p), a, c1, c2∈ f−1(q)yb∈f−1(r), se tiene que p≈Bq≈Br. Tambi´ en se verifica p-min(UB[z]∼ =A∩S1)vHp-min(UB[d]∼ =A∩S1)y p-min(UB[z]∼ =A∩S1)vHp-min(UB[>]∼ =A∩S1) para todo z∈A . Entonces, teniendo en cuenta que d∈f−1(s) y > ∈ f−1(t) , se satisface b.Bsyb.Bt, para todo b∈B. Por lo tanto, la relaci ´ on de preorden en B quedar ´ ıa como se describe en la siguiente Figura 2.10: s≈t p≈q≈r hB, .Bi Figura 2.10: Preorden en B. Finalmente, para construir adjuntos por la derecha de la aplicaci ´ on f , se utiliza el Lema 2.8 donde g(b)∈p-min(UB[xb]∼ =A∩S1)con xb∈f−1(b). 88 CAP´ ITULO 2. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS PREORDENADOS Obs ´ ervese que como f−1(s) = {d} y f−1(t) = {>} , entonces g(s), g(t) = > ; para el resto de elementos de B se tiene que g(b)∈ {c1, c2} , por lo tanto, f admite ocho diferentes adjuntos por la derecha (tantos como funciones hay de {p, q, r}en {c1, c2}, es decir 23= 8) definidos como sigue: g1con g1(s) = g1(t) = >,g1(p) = g1(q) = c1yg1(r) = c2. g2con g2(s) = g2(t) = >,g2(p) = c1yg2(q) = g2(r) = c2. g3con g3(s) = g3(t) = >,g3(p) = g3(r) = c1yg3(q) = c2. g4con g4(s) = g4(t) = >,g4(p) = g4(q) = c2yg4(r) = c1. g5con g5(s) = g5(t) = >,g5(p) = c2yg5(q) = g5(r) = c1. g6con g6(s) = g6(t) = >,g6(p) = g6(r) = c2yg6(q) = c1 g7con g7(s) = g7(t) = >,g7(p) = g7(q) = g7(r) = c1. g8con g8(s) = g8(t) = >,g8(p) = g8(q) = g8(r) = c2. Cap´ıtulo 3 Adjunciones difusas entre pre´ordenes difusos 3.1. Definici´on y caracterizaci´on de las adjunciones entre conjuntos con pre´ordenes difusos Esta secci ´ on est ´ a dedicada a establecer las definiciones y caracterizaciones de conexi ´ on de Galois difusa y adjunci ´ on difusa entre conjuntos cl ´ asicos dotados de relaciones difusas preordenadas. Adem ´ as se estudiar ´ an las relaciones entre ellas, sus caracterizaciones y sus propiedades. Para la extensi ´ on a ambiente difuso de los conceptos estudiados en el cap ´ ıtulo anterior, se trabajar ´ a con la estructura de ret ´ ıculo residuado completo, L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→)(ver Definici´ on 1.9). Recordemos que un conjunto L -difuso es una aplicaci ´ on desde el universo de discurso hasta el conjunto de valores de pertenencia X:A→L donde X(u)significa el grado en el que upertenece a X(Definici´ on 1.14). Existen diversas generalizaciones (no equivalentes) de la propiedad antisim´ etrica cl´ asica a relaciones binarias difusas. 96 CAP´ ITULO 3. ADJUNCIONES DIFUSAS ENTRE PRE ´ ORDENES DIFUSOS Co-adjunci´on difusa entre AyBsi ρA(g(b), a) = ρB(b, f(a)) para todo a∈A, b ∈B. Se denotar´ a por (f, g) : AB. Para cualquier conjunto con un preorden difuso A=hA, ρAi , su conjunto dual se define como Aop =hA, ρ−1 Ai donde ρ−1 A(a, b) = ρA(b, a) para todo a, b ∈A. Observaci´on 3.3 El Teorema 2.1 se extiende directamente al caso difuso y, por tanto, cualquier propiedad dada para adjunciones difusas se puede trasladar a coadjunciones difusas y conexiones de Galois difusas, tanto por la derecha como por la izquierda. Como ya se mencion ´ o en la Secci ´ on 1.5, la noci ´ on de adjunci ´ on/conexi ´ on de Galois dada por B ˇ elohl ´ avek en [6] es un caso particular de la definici ´ on de adjunci´ on/conexi´ on de Galois difusa introducida aqu´ ı. A continuaci ´ on se ver ´ an ejemplos de aplicaciones que forman una adjunci ´ on difusa y/o una conexi ´ on de Galois difusa entre hLA, SAi y hLB, SBi , para conjuntos AyBarbitrarios. Ejemplo 3.4 Dada una aplicaci ´ on biyectiva f:A→B , con un ligero abuso de notaci ´ on, se definen f:LA→LB y f−1:LB→LA de la siguiente forma: para X∈LAeY∈LB f(X)(b) = _ x∈A {X(x)|f(x) = b}f−1(Y)(a) = Y(f(a)) (3.6) para todo b∈B, a ∈A. Por la definici´ on de SB(ver Ecuaci´ on (1.8)) y de f, se tiene que SB(f(X), Y ) = ^ b∈Bf(X)(b)→Y(b)= ^ b∈B_ x∈A {X(x)|f(x) = b}→Y(b) 3.1. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS CON PRE ´ ORDENES DIFUSOS 97 Pero, por ser f una aplicaci ´ on biyectiva, para todo b∈B existe un ´ unico a∈A tal que b=f(a) , por tanto, Wx∈A{X(x)|f(x) = b}=X(a) . Entonces, SB(f(X), Y ) = ^ a∈AX(a)→Y(f(a)). Ahora, por la definici ´ on de SA (ver Ecuaci ´ on (1.8) ) y de f−1 , se tiene que SA(X, f−1(Y)) = ^ a∈AX(a)→Y(f(a)). Por consiguiente, SA(X, f−1(Y)) = SB(f(X), Y ) para todo X∈LA e Y∈ LB, lo cual implica que (f, f−1): hLA, SAihLB, SBi. Ejemplo 3.5 [3] Dado L= (L, ≤,>,⊥,⊗,→) un ret ´ ıculo residuado completo, sean A, B dos conjuntos e I:A×B→L una relaci ´ on difusa entre ellos. Para todo X∈LAeY∈LB, se define X4(b) = ^ a∈AX(a)→I(a, b)Y5(a) = ^ b∈BY(b)→I(a, b) El par (4,5) es una conexi ´ on de Galois difusa por la derecha entre hLA, SAi yhLB, SBi. Notaci´on 3.1 De ahora en adelante, se utilizar ´ a la notaci ´ on introducida en el Ejemplo 3.4: para una aplicaci ´ on f:A→B y un subconjunto difuso Y de B , se define el subconjunto difuso f−1(Y) como f−1(Y)(a) = Y(f(a)) , para todo a∈A. El siguiente teorema, proporciona distintas caracterizaciones de la noci ´ on de adjunci´ on difusa. Teorema 3.1 Sean A=hA, ρAi y B=hB, ρBi conjuntos con pre´ordenes difusos. Dadas dos aplicaciones f:A→B y g:B→A , las siguientes condiciones son equivalentes: 1. (f, g): AB. 98 CAP´ ITULO 3. ADJUNCIONES DIFUSAS ENTRE PRE ´ ORDENES DIFUSOS 2. fygson is´otonas, g◦fes inflacionaria y f◦ges deflacionaria. 3. f(a)↑=g−1(a↑)para todo a∈A. 4. g(b)↓=f−1(b↓)para todo b∈B. 5. fes is´otona y g(b)∈p-max f−1(b↓)para todo b∈B. 6. ges is´otona y f(a)∈p-min g−1(a↑)para cada a∈A. DEMOSTRACI ´ ON: Dados a∈A y b∈B , obs ´ ervese que por la definici ´ on de f−1y de g−1(ver Notaci´ on 3.1) se tiene que, f−1(b↓)(a) = b↓(f(a)) = ρB(f(a), b) = f(a)↑(b) g−1(a↑)(b) = a↑(g(b)) = ρA(a, g(b)) = g(b)↓(a). Por tanto, la condici ´ on de adjunci ´ on es equivalente a las siguientes igualdades f(a)↑(b) = g−1(a↑)(b) y g(b)↓(a) = f−1(b↓)(a) para todo a∈A y b∈B . Por consiguiente, las condiciones 1,3y4son equivalentes. 1⇒2 Dado a∈A , por ser ρB reflexiva, >=ρB(f(a), f(a)) y por hip ´ otesis, ρA(a, g(f(a))) = ρB(f(a), f(a)) = > , por tanto, g◦f es inflacionaria. Ahora, para a1, a2∈A , se tiene que ρA(a1, a2) = ρA(a1, a2)⊗ > = ρA(a1, a2)⊗ρA(a2, g(f(a2))) . Utilizando que ρA es transitiva, se obtiene que ρA(a1, a2)≤ρA(a1, g(f(a2))) = ρB(f(a1), f(a2)) . Es decir, f es una aplicaci ´ on is ´ otona. De forma an ´ aloga, se prueba que f◦g es deflacionaria y que ges una aplicaci´ on is´ otona. 2⇒5 Para todo b∈B , por ser f◦g deflacionaria, >=ρB(f(g(b)), b) = f−1(b↓)(g(b)) . Por otro lado, utilizando que g es is ´ otona y g◦f es inflacionaria, se tiene que f−1(b↓)(a) = b↓(f(a)) = ρB(f(a), b)≤ρA(g(f(a)), g(b)) = > ⊗ ρA(g(f(a)), g(b)) = ρA(a, g(f(a))) ⊗ρA(g(f(a)), g(b)) 3.1. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS CON PRE ´ ORDENES DIFUSOS 99 Por consiguiente, usando que ρA es transitiva, se tiene que f−1(b↓)(a)≤ ρA(a, g(b)) = g(b)↓(a) , para todo a∈A . Por tanto, g(b)∈p-max f−1(b↓) para todo b∈B. 5⇒1 Por hip ´ otesis, como g(b)∈p-max f−1(b↓) , se tiene que ρB(f(a), b) = f−1(b↓)(a)≤g(b)↓(a) = ρA(a, g(b)) para todo a∈A . Se observa que f−1(b↓)(g(b)) = > es equivalente a que f◦g es deflacionaria. Entonces, por ser fis´ otona, ρA(a, g(b)) ≤ρB(f(a), f(g(b))) ⊗ > =ρB(f(a), f(g(b))) ⊗ρB(f(g(b)), b) ≤ρB(f(a), b) 2⇒6 Por ser g◦f inflacionaria, >=ρA(a, g(f(a))) = a↑(g(f(a))) = g−1(a↑)(f(a)) , para todo a∈A . Por otro lado, utilizando que f es is´ otona y f◦ges deflacionaria, se tiene, para todo b∈B g−1(a↑)(b) = a↑(g(b)) = ρA(a, g(b)) ≤ρA(f(a), f(g(b))) = ρA(f(a), f(g(b))) ⊗ > =ρA(f(a), f(g(b))) ⊗ρA(f(g(b)), b) Ahora, utilizando la propiedad transitiva, se deduce que g−1(a↑)(b)≤ ρA(f(a), b). Por consiguiente, f(a)∈p-min g−1(a↑)para cada a∈A. 6⇒1 Por hip ´ otesis, como f(a)∈p-min g−1(a↑) , se tiene que ρA(a, g(b)) = a↑(g(b)) = g−1(a↑)(b)≤ρB(f(a), b) para todo b∈B . Por otro lado, g−1(a↑)(f(a)) = >=ρA(a, g(f(a))) para todo a∈A . Entonces, utilizando que ges is´ otona, ρB(f(a), b)≤ρA(g(f(a)), g(b)) ⊗ρA(a, g(f(a))) ≤ρA(a, g(b)) 2 100 CAP´ ITULO 3. ADJUNCIONES DIFUSAS ENTRE PRE ´ ORDENES DIFUSOS Teniendo en cuenta la Observaci ´ on 3.3 y el Teorema 3.1 se obtienen las diferentes caracterizaciones de las adjunciones/conexiones de Galois difusas tal y como se muestra en el Cuadro 3.1. A continuaci ´ on, hacemos un breve an ´ alisis sobre la relaci ´ on entre la definici ´ on de conexi ´ on de Galois/adjunci ´ on difusa y conexi ´ on de Galois/ adjunci ´ on cl ´ asica. Lo natural es que la definici ´ on difusa generalice a la definici ´ on cl ´ asica, como as ´ ı sucede. Recu ´ erdese que, partir de cualquier conjunto con un preorden difuso A=hA, ρAi , se puede definir un conjunto (cl´ asico) preordenado Ac=hA, .Ai, seg´ un se indic´ o en (3.5). Lema 3.1 Sean A=hA, ρAi y B=hB, ρBi dos conjuntos con pre´ordenes difusos y sean dos aplicaciones f:A→Byg:B→A. Si  ∈ {(*, +), ,}, (f, g) : A Bimplica (f, g): Ac Bc DEMOSTRACI ´ ON: En efecto: supongamos (f, g) : AB y a∈A, b ∈B tales que a.Ag(b) ; esto equivale a ρA(a, g(b)) = > . Como ρA(a, g(b)) = ρB(f(a), b), entonces, tambi´ en ρB(f(a), b) = >, por tanto f(a).Bb.2 Sin embargo, en los siguientes ejemplos se muestra que no es cierto el rec´ ıproco. Ejemplo 3.6 Sea L el ret ´ ıculo residuado (producto) ([0,1],≤,1,0,·,→) . Sea A={a, b}y el orden difuso ρAdado en la tabla siguiente ρAa b a1 0,5 b0,2 1 En este caso, se tiene que .A={(a, a),(b, b)} . Entonces, si llamamos I a la aplicaci ´ on identidad en A ocurre que (I, I) constituye una conexi ´ on de 3.1. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS CON PRE ´ ORDENES DIFUSOS 101 Cuadro 3.1: Resumen de las definiciones y caracterizaciones equivalentes Conexiones de Galois difusas Conexi´ on de Galois por la derecha entre AyBConexi´ on de Galois por la izquierda entre AyB (f, g): A=hA, ρAi(* B=hB, ρBi(f, g): A=hA, ρAi+) B=hB, ρBi ρB(b, f(a)) = ρA(a, g(b)) ρB(f(a), b) = ρA(g(b), a) para todo a∈Ayb∈Bpara todo a∈Ayb∈B fygson ant´ ıtonas y fygson ant´ ıtonas y g◦fyf◦gson inflacionarias g◦fyf◦gson deflacionarias f(a)↓=g−1(a↑)para todo a∈A f(a)↑=g−1(a↓)para todo a∈A g(b)↓=f−1(b↑)para todo b∈B g(b)↑=f−1(b↓)para todo b∈B fes ant´ ıtona y fes ant´ ıtona y g(b)∈p-max f−1(b↑)para todo b∈B g(b)∈p-min f−1(b↓)para todo b∈B ges ant´ ıtona y ges ant´ ıtona y f(a)∈p-max g−1(a↑)para todo a∈A f(a)∈p-min g−1(a↓)para todo a∈A Adjunci´ on y co-adjunci´ on difusas Adjunci´ on entre AyBCo-adjunci´ on entre AyB (f, g): A=hA, ρAiB=hB, ρBi(f, g): A=hA, ρAiB=hB, ρBi ρB(f(a), b) = ρA(a, g(b)) ρB(b, f(a)) = ρA(g(b), a) para todo a∈Ayb∈Bpara todo a∈Ayb∈B fygson is´ otonas, fygson is´ otonas, g◦fes inflacionaria y f◦ges deflacionaria g◦fes deflacionaria y f◦ges inflacionaria f(a)↑=g−1(a↑)para todo a∈A f(a)↓=g−1(a↓)para todo a∈A g(b)↓=f−1(b↓)para todo b∈B g(b)↑=f−1(b↑)para todo b∈B fes is´ otona y fes is´ otona y g(b)∈p-max f−1(b↓)para todo b∈B g(b)∈p-min f−1(b↑)para todo b∈B ges is´ otona y ges is´ otona y f(a)∈p-min g−1(a↑)para todo a∈A f(a)∈p-max g−1(a↓)para todo a∈A Galois cl ´ asica entre Ac=hA, .Ai y Ac=hA, .Ai . Sin embargo, (I, I) no es una conexi ´ on de Galois difusa entre A=hA, ρAi y A=hA, ρAi puesto que 102 CAP´ ITULO 3. ADJUNCIONES DIFUSAS ENTRE PRE ´ ORDENES DIFUSOS 0,5 = ρA(a, I(b)) 6=ρA(b, I(a)) = 0,2. Ejemplo 3.7 Se consideran ahora los conjuntos A={a, b, c, d, e, >} y B= {p, q, r, s, t}con las siguientes relaciones difusas reflexivas y transitivas: ρAa b c d e > a1 0,5 1 1 1 1 b0,7 1 1 1 1 1 c0,7 0,5 1 1 0,7 1 d0,7 0,5 1 1 0,7 1 e0,7 0,5 0,7 0,7 1 1 >0,7 0,5 0,7 0,7 0,7 1 ρBp q r s t p1 1 1 1 1 q1 1 1 1 1 r0,4 0,410,4 0,4 s1 1 1 1 1 t0,4 0,4 0,4 0,4 1 El par de aplicaciones (f, g)donde f:A→B est ´ a definida por f(a) = f(c) = p;f(b) = q;f(d) = f(e) = f(>) = ry g:B→Aest´ a definida por g(p) = g(q) = g(s) = g(t) = c;g(r) = > no es una adjunci´ on difusa porque ρA(d, g(p)) = ρA(d, c)=1 yρB(f(d), p) = ρB(r, p) = 0,46= 1 Ahora bien, para los conjuntos preordenados cl ´ asicos Ac y Bc , representados en la Figura 3.1, el par (f, g)s´ ı constituye una adjunci´ on. Del mismo modo que ocurre con el caso cl ´ asico (ver Secci ´ on 2.2), para cualquier conjunto con un preorden difuso hA, ρAi se puede definir el conjunto cociente sobre la relaci ´ on n ´ ucleo sim ´ etrico ≈A (ver Ecuaci ´ on (2.1) ), es decir, donde a≈Absi y s´ olo si ρA(a, b) = ρA(b, a) = > 3.1. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS CON PRE ´ ORDENES DIFUSOS 103 ab ≈ cde > Ac rt p≈q≈s Bc Figura 3.1: Pre´ ordenes AcyBc. y se denota por A≈. En el conjunto A≈se puede definir la siguiente relaci´ on binaria difusa, ρA≈([a]≈,[b]≈) = ρA(a, b)(3.7) Obs ´ ervese que ρA≈ est ´ a bien definida ya que para cualesquiera α≈Aa y β≈Ab se tiene que ρA(a, b) = ρA(α, a)⊗ρA(a, b)⊗ρA(b, β)≤ρA(α, β) y an´ alogamente ρA(α, β)≤ρA(a, b). Tambi ´ en, ρA≈ es un orden difuso ya que es obviamente reflexiva y transitiva (por la propiedad reflexiva y transitiva de ρA y ρA≈ ) y tambi ´ en es antisim ´ etrica porque si ρA≈([a]≈,[b]≈) = ρA≈([b]≈,[a]≈) = > , entonces ρA(a, b) = ρA(b, a) = > , lo cual es equivalente a que a≈Ab , es decir, [a]≈= [b]≈ . De este modo, dado un conjunto con un preorden difuso A=hA, ρAi, al par hA≈, ρA≈ilo denotaremos como A. Adem ´ as, cualquier aplicaci ´ on f entre conjuntos con pre ´ ordenes difusos induce una aplicaci ´ on f definida como f:A≈→B≈ con f([a]≈) = [f(a)]≈ para todo a∈A. El siguiente teorema muestra c ´ omo trasladar adjunciones difusas, coadjunciones difusas, conexiones de Galois difusas por la derecha y conexiones de Galois difusas por la izquierda a los conjuntos cocientes A,B. 104 CAP´ ITULO 3. ADJUNCIONES DIFUSAS ENTRE PRE ´ ORDENES DIFUSOS Teorema 3.2 Sean A=hA, ρAi y B=hB, ρBi dos conjuntos con pre´ordenes difusos y dos aplicaciones f:A→B y g:B→A . Entonces, para  ∈ {(*, +),  ,}, se verifica (f, g) : A Bsi y s´olo si (f, g): A B. DEMOSTRACI ´ ON: Por un lado, utilizando la definici ´ on de g y ρA≈ , se tiene que ρA≈([a]≈, g([b]≈)) = ρA≈([a]≈,[g(b)]≈) = ρA(a, g(b)) . Por otro lado, usando la definici´ on fyρB≈, se obtiene que ρB≈(f([a]≈),[b]≈) = ρB≈([f(a)]≈,[b]≈) = ρB(f(a), b). Por consiguiente, ρA(a, g(b)) = ρB(f(a), b)si y s´ olo si ρA≈([a]≈, g([b]≈)). De forma an´ aloga, se prueba para  ∈ {(*, +), }.2 En un conjunto A la ´ unica relaci ´ on binaria cl ´ asica que es a la vez reflexiva, sim ´ etrica y antisim ´ etrica es la identidad ( R={(x, x) : x∈A} ). Sin embargo, existen relaciones difusas que son a la vez relaciones de equivalencia y de orden. M ´ as a ´ un, estas son las conocidas como igualdades difusas, que son relaciones difusas fuertemente reflexivas (es decir, ρ(a, b) = > si y s ´ olo si a=b ), sim ´ etricas y transitivas. En estos casos, obviamente, las aplicaciones is ´ otonas y ant ´ ıtonas coinciden. No obstante, existen aplicaciones no triviales entre conjuntos con ´ ordenes difusos (que no tienen por qu ´ e ser igualdades difusas) que son a la vez ant ´ ıtonas e is ´ otonas tal y como se puede ver en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.8 Sea L el ret ´ ıculo residuado (producto) ([0,1],≤,1,0,·,→) . Dado el conjunto A={a, b, c} con un preorden difuso ρA dado en la siguiente tabla: ρAa b c a1 0,5 0,3 b0,510,3 c0,2 0,2 1 3.1. ADJUNCIONES ENTRE CONJUNTOS CON PRE ´ ORDENES DIFUSOS 105 Se considera la aplicaci ´ on f:A→A donde f(a) = f(c) = b y f(b) = a . V ´ ease que f es a la vez una aplicaci ´ on is ´ otona y ant ´ ıtona, es decir, ρA(x, y)≤ ρf(A)(f(x), f(y)) y que ρA(x, y)≤ρf(A)(f(y), f(x)) para todo x, y ∈A , comparando uno a uno los elementos de la tabla anterior con la siguiente: ρf(A)f(a) = b f(b) = a f(c) = b f(a) = b1 0,5 1 f(b) = a0,5 1 0,5 f(c) = b1 0,5 1 Para finalizar esta secci ´ on, se proporcionar ´ a un resultado donde se adaptan, al marco difuso y a la ausencia de antisimetr ´ ıa, algunas propiedades de las adjunciones y conexiones de Galois. Teorema 3.3 Sean A=hA, ρAi y B=hB, ρBi conjuntos con pre´ordenes difusos y ∈ {(*, +), ,}. 1. Si (f, g): A B entonces, (f◦g◦f)(a)≈f(a) y (g◦f◦g)(b)≈g(b) para todo a∈A, b ∈B. 2. Si (f, g) es a la vez adjunci´on y co-adjunci´on difusa (resp., conexi´on de Galois difusa tanto por la izquierda como por la derecha) entonces (g◦f)(a)≈a y (f◦g)(b)≈bpara todo a∈Ayb∈B. 3. Si (f, g) es simult´aneamente una conexi´on de Galois difusa (por la izquierda o por la derecha) y una (co-) adjunci´on difusa entonces, para todo a1, a2∈A , ρA(a1, a2) = > implica f(a1)≈Bf(a2) y, para todo b1, b2∈B , ρB(b1, b2) = >implica g(b1)≈Bg(b2). DEMOSTRACI ´ ON: