Optimización robusta de carteras de inversión usando muestreo estocástico y metaheurísticas

Optimizaci´on robusta de carteras de inversi´on usando muestreo estoc´astico y metaheur´ısticas Francisco Luna1, David Quintana2, Sandra Rodr´ıguez3, and Pedro Isasi2 1Dpto. de Lenguajes y Ciencias de la Computaci´on, Universidad de M´alaga [email protected] 2Dpto. de Inform´atica, Universidad Carlos III de Madrid {david.quintana,pedro.isasi}@uc3m.es 3CEA Saclay, DRT/LIST/DM2I/LADIS sandra.garciarodrigue[email protected] Resumen La optimizaci´on de carteras de inversi´on presenta un gran n´umero de dificultades, siendo una de las m´as importantes la gesti´on de la incertidumbre que surge en diferentes aspectos del proceso. Este trabajo propone matizar esta ´ultima mejorando la robustez de las soluciones mediante el uso de ǫ-vecindarios combinados con un mecanismo de remuestreo basado en marcas temporales. La aproximaci´on se ha incorporado a cuatro metaheur´ısticas multi-objetivo del estado del arte, que se han evaluado sobre un hist´orico bastante amplio de activos. Los resultados han mostrado una mejora significativa de la fiabilidad de la frontera eficiente estimada. Keywords: Gesti´on de carteras de inversi´on, robustez, optimizaci´on multi-objetivo 1. Introducci´on El problema de la optimizaci´on de carteras de inversi´on consiste en identificar las mejores formas de distribuir capital entre un conjunto alternativas de inversi´on. Entre los diferentes aspectos de este problema cl´asico en finanzas, hay uno que est´a recibiendo especial atenci´on en la actualidad, que es el de la robustez. La literatura acad´emica dedicada a la optimizaci´on de carteras es abundante, y est´a basada, principalmente, en el trabajo de Markowitz [14,15], que abordaba este problema como una tarea de optimizaci´on multiobjetivo donde los inversores deb´ıan ponderar dos objetivos contrapuestos: la minimizaci´on del riesgo y la maximizaci´on de la rentabilidad. La soluci´on al problema no es ´unica, si no un conjunto de soluciones de compromiso entre ambos objetivos que definen el frente de Pareto (conocido en este contexto como la frontera eficiente). Dado este frente, el inversor deber´a escoger aquella soluci´on que m´as se adecue a su perfil. La formulaci´on m´as b´asica del problema se puede resolver eficientemente utilizando Programaci´on Cuadr´atica. No obstante, a medida que se incorporan restricciones propias del mundo real [1], la utilizaci´on de aproximaciones algor´ıtmicas m´as flexibles es indispensable. De entre estas, las metaheur´ısticas en general, y la computaci´on evolutiva en particular, han sido una de las m´as utilizadas [16]. Dentro de este contexto, el desarrollo reciente experimentado por los algoritmos evolutivos multi-objetivo (MOEAs por sus siglas en ingl´es) ha captado la atenci´on de multitud de investigadores. Algunos ejemplos de esto ser´ıan [11], donde se presentan mejoras en el operador de mutaci´on usado en los MOEAs; en [12], los autores proponen un nuevo MOEA basado en aprendizaje MODEwAwL y se compara con cuatro algoritmos del estado del arte; [2] introduce un nuevo algoritmo metaheur´ıstico basado en enjambres de part´ıculas (MOPSO por sus siglas en ingl´es) para abordar una formulaci´on basada en programaci´on lineal entera del problema; o, [21] en el que se presenta un MOEA que usa l´ogica difusa para mantener la diversidad entre las carteras. Un art´ıculo de revisi´on relevante sobre el uso de MOEAs en la gesti´on carteras ser´ıa [16]. A pesar del n´umero de trabajos existentes sobre optimizaci´on de carteras, a´un quedan muchas l´ıneas prometedoras. Entre ellas, este trabajo se centra en dotar de robustez a las soluciones proporcionadas por las metaheur´ısticas, entendiendo por robustez la fiabilidad de las carteras en escenarios con incertidumbre [20,9]. Dentro del marco de trabajo de Markowitz, la mayor fuente de incertidumbre tiene que ver con la calidad de las estimaciones de las ganancias de los activos y de sus matrices de varianzas-covarianzas, que hacen que el comportamiento previsto de las soluciones obtenidas por los algoritmos quede lejos del real. Un mecanismo posible para abordar este problema es el remuestreo [17], que se basa en la idea de exponer soluciones intermedias a distintos escenarios para obtener carteras que no est´en tan especializadas en una previsi´on ´unica de las ganancias y las matrices de varianzas-covarianzas. Esta t´ecnica de remuestreo, junto con un mecanismo de marcas de tiempo, son la base para manejar este tipo de incertidumbre y se han aplicado ya en [6,7]. El objetivo de este trabajo va un paso m´as all´a, y trata de abordar el problema que se presenta cuando los gestores emiten ´ordenes de compra/venta. En general, es muy habitual que estas no se ejecuten inmediatamente debido a restricciones de liquidez, necesidades de ocultar intenciones, etc. En este caso, el resultado supone tener carteras intermedias que son muy similares a la cartera original, pero con peque˜nas modificaciones. Si estas conllevasen divergencias importantes en el perfil riesgo-beneficio, los inversores estar´ıan expuestos a un riesgo imprevisto e indeseable. En este trabajo se muestra c´omo a˜nadiendo un objetivo adicional basado en ǫ-vecindarios permite atajar de forma efectiva este problema, permitiendo alcanzar soluciones m´as robustas a las metaheur´ısticas que lo incorporan. El uso de ǫ-vecindarios para optimizaci´on robusta con MOEAs no es nuevo [3,4,8], pero, hasta donde conocemos, su aplicaci´on a la limitaci´on del riesgo en optimizaci´on de carteras es novedoso. La idea es definir un vecindario alrededor de cada soluci´on tentativa (cartera), que se muestrea aleatoriamente para despu´es analizar la estructura de dicha muestra en el espacio de objetivos. As´ı, se a˜nade objetivo adicional al problema donde se favorezcan aquellas que est´an en zonas estables del espacio, i.e., aquellas carteras menos sensibles a las pe- que˜nas variaciones que pueden sufrir cuando se ejecutan las distintas ´ordenes de mercado. Este mecanismo se ha incorporado a varios MOEAs habituales en el dominio, en particular NSGA-II [5], SPEA2 [22], SMPSO [19] y GDE3 [10]. El resto del art´ıculo se organiza como sigue. En la pr´oxima secci´on se incluye una descripci´on formal del problema de optimizaci´on de carteras de inversi´on, y se detalla la aproximaci´on basada en ǫ-vecindarios descrita anteriormente. La Sec 3 est´a dedicada a la validaci´on experimental de la propuesta. Finalmente, la ´ultima secci´on resume las principales conclusiones del trabajo y propone posibles lineas de trabajo futuro. 2. El problema de la carteras robustas de inversi´on Una cartera de inversi´on se puede definir como una colecci´on de activos. En general, el problema de la optimizaci´on de carteras consiste en seleccionar un conjunto ´optimo de activos para incluir en la cartera as´ı como la distribuci´on del capital del inversor entre ellas. En los trabajos originales de Markowitz [15] se asum´ıa que resolver el problema requer´ıa la satisfacci´on simult´anea de maximizar el rendimiento esperado de la cartera, E(Rp), y minimizar el riesgo de la misma. En este trabajo se usa el modelo de riesgo can´onico que viene determinado por la varianza, σ2 p. Formalmente, el problema multiobjetivo resultante se define como: m´ın σ2 p=Σn i=1Σn j=1wiwjσij (1) m´ax E(Rp) = Σn i=1wiµi(2) sujeto a: (3) Σn i=1wi= 1 (4) 0≤wi≤1; i= 1...n (5) Cmin ≤Σ(wi6= 0) ≤Cmax (6) 0.0≤liminf ≤wi≤limsup ≤1.0 (7) donde nes el n´umero de activos disponibles, µies la rentabilidad esperada del activo i,σij es la covarianza entre los activos iyj, y wison las variables de decisi´on que determinan la composici´on de la cartera (activos que est´an presentes en la misma). Las restricciones b´asicas de la formulaci´on (Ec. 4 y 5) obligan, respectivamente, a que se inviertan todos los fondos y a prevenir que el inversor tome posiciones cortas. En este trabajo tambi´en se han considerados dos restricciones del mundo real: la cardinalidad (Ec. 6), que determina n´umero m´ınimo y m´aximo, Cmin yCmax respectivamente, de activos en los que se permite invertir simult´aneamente; y los valores l´ımites de cada peso wi(Ec. 7), que deben estar en el rango [liminf ,limsup]. 2.1. Enfoque robusto En este trabajo se introduce una formulaci´on extendida del modelo de mediavarianza para carteras de inversi´on que include un tercer objetivo de estabilidad basado en ǫ-vecindarios. Este mecanismo se a˜nade al mencionado anteriormente de remuestreo con marcas de tiempo (R+T, del ingl´es time-stamped resampling) [7], que ha mostrado ser efectivo. El R+T genera un conjunto de escenarios similares y filtra aquellas carteras que son muy sensibles a las desviaciones respecto a los rendimientos y la matriz de varianzas-covarianzas esperadas. Tambi´en se considera la antiguedad de la soluci´on tentativa (marcas de tiempo), y se favorecen las carteras que han tenido un mejor rendimiento durante un periodo de tiempo m´as largo. El uso de ǫ-vecindarios para mejorar la robustez de las carteras se ha desarrollado como sigue. Cada cartera pes evaluada con respecto a los objetivos tradicionales, rendimiento, E(Rp), y riesgo, E(Rp), pero ahora se le a˜nade uno nuevo, Robp. El c´alculo de este ´ultimo requiere la generaci´on de Hcarteras vecinas, p1,...,pH, usando la aproximaci´on del Hipercubo Latino (HL) [18]. HL opera dividiendo el dominio de cada activo alrededor de [−ǫ, ǫ] en Hcuadr´ıculas, dividiendo el ǫ-vecindario en Hnhipercubos. As´ı, la intensidad de la perturbaci´on aplicada a las carteras est´a determinada por ǫ. Una vez que se han elegido los hipercubos (aleatoriamente), se genera un punto dentro de cada uno de ellos y se utiliza para calcular el rendimiento, E(Rpi), y el riesgo, σ2 pi, de la cartera pi. La media de la distancia de Mahalanobis [13] entre py todos los pise considera como la funci´on objetivo que se ha de minimizar, ya que esas distancias miden la dispersi´on de los rendimientos y riesgos del conjunto de carteras, i.e., cuanto mayor es la distancia de Mahalanobis, mayor es la dispersi´on y, por tanto, m´as sensible es la soluci´on a peque˜nas perturbaciones. La elecci´on de la distancia de Mahalanobis est´a justificada por algunas propiedades deseables, como la independencia de la escala o el hecho de que tiene en cuenta estructuras de correlaci´on para evaluar la similaridad. Todo esto reduce las diferencias en riesgo y rendimiento a un ´unico n´umero. M´as formalmente, la nueva funci´on objetivo es: Robp=1 H H X i=1 md(p, pi) (8) donde md(p, pi) es la distancia de Mahalanobis en t´erminos de riesgo y rendimiento entre las carteras pypi. Si se define el par (E(Rpi), σ2 pi) como x, (E(Rp), σ2 p) como y, y Σcomo la matriz de varianzas-covarianzas, la distancia se puede calcular usando la expresi´on: md(x, y) = q(x−y)TΣ−1(x−y) (9) Dado que estos tres objetivos no son comparables con la formulaci´on cl´asica biobjetivo, se ha realizado una proyecci´on en el plano rentabilidad-riesgo. As´ı, los conjuntos de carteras se han dividido en subconjuntos de acuerdo con el nuevo objetivo, al que nos referiremos como ǫ-sensibilidad. Esto nos permitir´a analizar la conexi´on entre los valores del tercer objetivo y la sensibilidad a la incertidumbre respecto a los valores reales de los par´ametros de optimizaci´on. El proceso funciona como sigue: al final de cada ejecuci´on de cada MOEA, el conjunto final de carteras se ordena seg´un el objetivo de ǫ-sensibilidad, Robp, y se divide en tres subconjuntos. El primero de ellos contiene un tercio de las carteras con los valores m´as bajos, y clasificados como de “Alta estabilidad”. El segundo se etiqueta como “Media estabilidad”, para el segundo tercio de carteras y, finalmente, el ´ultimo tercio que se corresponde con las carteras localizadas en la porci´on menos estable del espacio de soluciones, considerados como los de “Baja estabilidad”. El proceso termina con la identificaci´on de las carteras no dominadas en t´erminos ya s´olo de riesgo y rentabilidad, dentro de cada subconjunto anterior. Estos subfrentes ya son comparables con las soluciones proporcionadas por cualquier otro optimizador. 3. Experimentaci´on Esta secci´on est´a dedicada a presentar la experimentaci´on realizada para evaluar el rendimiento del nuevo objetivo basado en ǫ-vecindarios. En primer lugar, se detalla el conjunto de datos y la metodolog´ıa utilizada. Seguidamente, se presentan los algoritmos y su parametrizaci´on, as´ı como las m´etricas que se usan para su evaluaci´on. Finalmente se valoran los resultados obtenidos. 3.1. Muestra Los experimentos se han realizado usando una muestra de las ganancias en 240 meses seg´un ocho ´ındices financieros que representan ocho clases de activos. Las series de ganancias mensuales, proporcionados por la firma Datastream, cubren el periodo que va desde enero de 1990 a diciembre de 2009. La lista de los ´ındices se incluye en la Tabla 1. Para asegurar que los algoritmos se enfrentan a un abanico amplio de situaciones, se han generado 120 problemas distintos optimizaci´on de un solo periodo. Para esto, una ventana de tama˜no n= 120, que se corresponde con 10 a˜nos de datos, se ha desplazado 120 veces. Esto significa que los algoritmos dependen de la informaci´on relativa a los periodos t1atnpara identificar la mejor asignaci´on posible en el periodo tn+1 (t1atnse usan para hacer las estimaciones de los par´ametros usados en la optimizaci´on, que pretende predecir la frontera eficiente en tn+1. La ventana de 10 a˜nos se mueve de mes en mes hasta un total de 120 veces en total, para cubrir el intervalo de 01/01/1990 a 31/12/2009. Dada la naturaleza estoc´astica de los algoritmos, para cada ventana se han realizado 100 ejecuciones independiente de los algoritmos. Tabla 1. Conjunto de datos Nombre C´odigo Frank Russell 1000 Growth FRUS1GR Frank Russell 1000 Value FRUS1VA Frank Russell 2000 Growth FRUS2GR Frank Russell 2000 Value FRUS2VA S&P GSCI Commodity Total Return GSCITOT MSCI EAFE MSEAFEL BOFA ML CORP MSTR ($) MLCORPM BOFA ML US TRSY /AGCY MSTRAAA($) MLUSALM Tabla 2. Parametrizaci´on de los algoritmos. Les la longitud del individuo. Parametrizaci´on de NSGA-II Parametrizaci´on de SPEA2 Poblaci´on 500 individuos Poblaci´on 500 individuos Selecci´on torneo binario Selecci´on torneo binario Recombinaci´on SBX, pc= 0.9Recombinaci´on SBX, pc= 0.9 Mutaci´on Polinomial, pm= 1.0/L Mutaci´on Polinomial, pm= 1.0/L Parametrizaci´on de SMPSO Parametrizaci´on de GDE3 Swarm 500 part´ıculas Poblaci´on 500 individuos L´ıderes 500 part´ıculas Recombinaci´on CR = 0.1, F= 0.5 Mutaci´on Polinomial, pm= 1.0/L 3.2. Algoritmos, representaci´on y parametrizaci´on Los MOEAs utilizados est´an entre los m´as conocidos: NSGA-II [5], SPEA2 [22], SMPSO [19] y GDE3 [10]. Todos ellos han utilizado una codificaci´on real donde wi∈[0,1] representa la proporci´on invertida en el activo i. La gesti´on de las restricciones se ha hecho en todos los casos mediante un operador de reparaci´on [7]. La comparaci´on entre los algoritmos es justa ya que todos realizan 150000 evaluaciones, y todos las aproximaciones a los frentes contienen, como m´aximo, 500 soluciones no dominadas. Los par´ametros empleados para calcular el tercer objetivo son: H= 1000 y ǫ= 0.01. La configuraci´on detallada de los algoritmos se incluye en la Tabla 2. La parametrizaci´on elegida es resultado de un estudio preliminar previo no detallado por limitaciones de espacio. 3.3. Indicadores de calidad Los indicadores de calidad m´as usuales en la comunidad multi-objetivo (Hipervolumen, cubrimiento de conjuntos, etc.) no son adecuados para medir la calidad de las soluciones desde el punto de vista de la robustez. Estos indicadores son v´alidos para identificar dominancia o diversidad de las soluciones a lo largo del frente, pero no son capaces de capturar la divergencia entre resultados esperados y obtenidos. Por esta raz´on se han utilizado otro tipo de indicadores especialmente dise˜nados para esta tarea. Se han considerado cuatro: Estimaci´on del error, Estabilidad, Rentabilidad perdida y Riesgo extremo [7]. La Estimaci´on del error (EE, por sus siglas en ingl´es) considera la distancia de Mahalanobis media entre el riesgo y rendimiento esperado de cada cartera en la aproximaci´on del frente y el riesgo y rendimiento de la misma a posteriori, una vez que los valores reales se han observado. La Estabilidad (ST, por sus siglas en ingl´es) mide la diferencia media entre el escenario esperado y 500 escenarios generados usando un bootstrap no param´etrico. El indicador Rentabilidad perdida (UR, por sus siglas en ingl´es) eval´ua, para cada cartera, la diferencia entre el rendimiento alcanzado y el rendimiento potencial m´aximo dado un nivel de riesgo. Finalmente, el Riesgo extremo (ER, por sus siglas en ingl´es) mide la sensibilidad promedio a los peores escenarios posibles. Estos se definen como el 1 % de entre los 500 remuestreados con mayor distancia de Mahalanobis media entre los pares riesgo-rentabilidad de las carteras evaluadas con esos escenarios y los correspondientes en el escenario previsto. En todos los casos, los valores m´as bajos de los indicadores se asocian a una mayor robustez. 3.4. Resultados En esta secci´on se presentan y analizan los resultados de incluir los ǫvecindarios como objetivo adicional para aumentar las robustez de las carteras finales alcanzadas por NSGA-II, SPEA2, SMPSO y GDE3. Dicha robustez se ha evaluado usando los cuatro indicadores anteriores, EE, ST, UR y ER. Por cada algoritmo, se han comparado los resultados de la versi´on can´onica con respecto a cuatro alternativas: la versi´on con remuestreo y marcas de tiempo (R+T), y los tres niveles de fiabilidad procedentes de la extensi´on de R+T con el nuevo objetivo basado en ǫ-vecindarios (Sect. 2.1). Las tablas de datos incluyen la media, mediana y varianza sobre 100 ejecuciones independientes. Las diferencias en los indicadores con respecto a las versiones b´asicas se han analizado usando un test de Wilcoxon dado que no son normales. Los resultados de EE (Tabla 3) son muy variables dependiendo del MOEA considerado. De los cuatro algoritmos b´asicos, GDE3 es el que ha proporcionado el mejor punto de partida. La inclusi´on del remuestreo con marcas de tiempo (R+T) permite una mejora considerable en todos los algoritmos, alcanzando el m´ınimo valor del indicador para SMPSO. La mayor ganancia se obtiene, sin embargo, con SPEA2, pero se explica ya que su versi´on can´onica ha sido la que ha obtenido los peores (mayores) valores de EE. Este algoritmo ha sido tambi´en el menos consistente, ya que presenta valores de varianza mucho m´as altos que el resto. El mejor valor medio para este indicador se ha alcanzado en el subconjunto de alta estabilidad en SMPSO. Aqu´ı, la inclusi´on del objetivo con la ǫ-sensibilidad ha resultado en una mejora sobre R+T de 12.7 % en t´erminos globales, y 28.7 % en t´erminos relativos. Todas las diferencias son entre el valor del algoritmo b´asico y las versiones robustas son significativas al 1 %, excepto la comparaci´on entre las soluciones de baja estabilidad en SMPSO y la configuraci´on est´andar, que no se puede rechazar la igualdad a un 5 %. Tabla 3. Resultados de EE y ST EE ST Media Mediana Varianza Mejora Media Mediana Varianza Mejora NSGAII 2.2613 1.8071 3.9781 6.5078 6.1306 13.0883 NSGAII R+T 1.2216 0.6357 2.5894 45.98 % 2.6528 2.4189 2.3038 59.24 % NSGAII Alta 1.4160 0.6662 4.4399 37.38 % 2.5566 2.0398 3.8033 60.71 % NSGAII Media 1.3058 0.5213 3.9894 42.26 % 2.4027 1.9133 3.1669 63.08 % NSGAII Baja 1.5023 0.7374 3.6167 33.57 % 3.2265 2.8121 4.2622 50.42 % SPEA2 2.5196 1.8162 5.1751 7.4009 7.0380 20.8347 SPEA2 R+T 1.1016 0.5270 2.4888 56.28 % 2.2201 1.8669 2.2534 70.00 % SPEA2 Alta 1.1699 0.4355 4.0348 53.57 % 1.7877 1.7189 0.9625 75.84 % SPEA2 Media 1.1485 0.4245 3.9249 54.42 % 1.7290 1.5949 0.9446 76.64 % SPEA2 Baja 1.2720 0.4907 4.1532 49.52 % 2.0624 1.8056 1.5423 72.13 % SMPSO 1.4939 1.2324 1.7256 5.2076 4.8454 7.0554 SMPSO R+T 1.0234 0.7044 0.9181 31.49 % 3.2402 2.8408 3.7394 37.78 % SMPSO Alta 0.8334 0.5243 1.2212 44.21 % 2.2559 2.0676 1.6274 56.68 % SMPSO Media 1.0864 0.7259 1.1941 27.28 % 3.7002 3.1791 5.6781 28.95 % SMPSO Baja 1.5237 1.1091 1.9836 -2.00 % 5.1610 4.4768 9.7711 0.89 % GDE3 1.4807 1.1839 1.6799 5.1506 4.7763 6.9177 GDE3 R+T 1.1001 0.6798 1.3447 25.71 % 3.3691 3.0426 3.9137 34.59 % GDE3 Alta 1.0567 0.6538 1.6219 28.63 % 3.1418 2.7035 5.7365 39.00 % GDE3 Media 1.2213 0.7590 1.7732 17.52 % 3.9129 3.2678 6.4121 24.03 % GDE3 Baja 1.4567 0.9770 2.1729 1.62 % 4.9855 4.1357 10.3618 3.21 % Tabla 4. Resultados de ER y UR. ER UR Media Mediana Varianza Mejora Media Mediana Varianza Mejora NSGAII 3.2148 2.8235 3.8975 3.4788 2.7252 7.9201 NSGAII R+T 1.7640 1.1865 2.6789 45.13 % 2.5265 1.9556 4.2799 27.37 % NSGAII Alta 2.0821 1.2042 5.2588 35.23 % 2.5961 2.0124 6.5110 25.37 % NSGAII Media 1.8916 1.1513 3.8595 41.16 % 2.4815 1.8862 5.5478 28.67 % NSGAII Baja 2.2715 1.5507 4.0121 29.34 % 2.7626 2.1029 5.9501 20.59 % SPEA2 3.5315 3.0472 4.9711 3.5859 2.7953 8.6577 SPEA2 R+T 1.5991 1.0266 2.5787 54.72 % 2.3506 1.7922 4.1225 34.45 % SPEA2 Alta 1.6560 0.8300 4.2195 53.11 % 2.2857 1.7652 5.0552 36.26 % SPEA2 Media 1.6658 0.8852 3.9287 52.83 % 2.2563 1.6774 4.9483 37.08 % SPEA2 Baja 1.9061 1.0162 4.5500 46.03 % 2.4650 1.8161 5.6578 31.26 % SMPSO 2.2303 1.9779 1.8379 2.9953 2.4891 5.3718 SMPSO R+T 1.4872 1.2325 1.0194 33.32 % 2.2702 1.7245 3.0980 24.21 % SMPSO Alta 1.3263 0.9891 1.2227 40.53 % 1.8383 1.4231 2.2844 38.63 % SMPSO Media 1.7204 1.3656 1.5185 22.86 % 2.2866 1.7815 3.5252 23.66 % SMPSO Baja 2.2431 1.9261 2.4140 -0.57 % 2.8306 2.2418 5.1108 5.50 % GDE3 2.2279 1.9722 1.8898 3.3427 2.8714 6.0005 GDE3 R+T 1.6970 1.2665 1.6804 23.83 % 2.6886 2.1756 4.6265 19.57 % GDE3 Alta 1.6523 1.2325 1.8790 25.84 % 2.4671 1.9619 3.7148 26.20 % GDE3 Media 1.9049 1.4598 2.2477 14.50 % 2.7911 2.2465 4.7696 16.50 % GDE3 Baja 2.2192 1.8683 2.7076 0.39 % 3.1406 2.5447 5.9849 6.05 % En t´erminos de estabilidad, SPEA2 es el algoritmo base que obtiene tanto el mejor valor de ST como la mayor mejora. Sorprendentemente, la mejora de 76.64 % no se consigue con las carteras de m´as estabilidad, si no con las de estabilidad media. Asi, la Tabla 3 muestra que la inclusi´on del objetivo basado en ǫ-vecindarios a la versi´on R+T de SPEA2 mejora el rendimiento en los tipos de estabilidad. Esta observaci´on se mantiene para los resultados de la mediana. Si bien los conjuntos de carteras identificados por GDE3 muestran una gran estabilidad en su configuraci´on b´asica, el algoritmo no se beneficia tanto como el resto de la inclusi´on del remuestreo y el tercer objetivo. Esto tambi´en ocurre con SMPSO. De nuevo, la ´unica excepci´on de significaci´on estad´ıstica de las diferencias al 1 % entre las versiones robustas y el algoritmo base es SMPSO Baja. Aunque en esta ocasi´on la hip´otesis nula si se rechaza al nivel convencional del 5 %. La Tabla 4 incluye los resultados de ER. En este caso, la introducci´on de la nueva aproximaci´on resulta en una clara mejora sobre los algoritmos b´asicos. La contribuci´on sobre la versi´on R+T es, no obstante, m´ınima. La excepci´on es SMPSO, para el que la porci´on del frente de alta estabilidad proporcionada por el nuevo tercer objetivo muestra una mejora del 40.53 % respecto al 33.32 %. Esta combinaci´on es tambi´en la que obtiene los mejores resultados globales. Los algoritmos gen´eticos han funcionado bastante mal aqu´ı. As´ı, aunque los resultados mejoran al algoritmo base, la nueva aproximaci´on empeora la versi´on R+T independientemente del nivel de estabilidad elegido. Los test estad´ısticos han sacado exactamente los mismos resultados que para la m´etrica anterior. La aproximaci´on propuesta tambi´en ha tenido impacto en el indicador UR. En todos los casos, como se observa en la Tabla 4, la inclusi´on del tercer objetivo ha reducido la cantidad de dinero perdido. La cantidad concreta var´ıa con el algoritmo de base, pero los mejores resultados se han obtenido con SMPSO. Este algoritmo tambi´en ha resultado ser el m´as consistente, como indican las varianzas. Una vez m´as, el frente de mayor estabilidad (el tercio inferior en t´erminos de la ǫ-sensibilidad) es el que ha alcanzado las mayores reducciones en UR. Comparado con la versi´on b´asica de PSO, que es el algoritmo con el mejor punto de partida, llega a una ca´ıda del 38.63 %. Dado que los valores de este indicador hay que minimizarlos, los datos muestran una contribuci´on importante del nuevo objetivo en la mejora de la robustez de las carteras. El estudio estad´ıstico pertinente ha resultado en que las diferencias de las versiones b´asicas respecto de las versiones robustas son todas significativas al 1 %. Como conclusi´on, los resultados de la experimentaci´on sugieren que la inclusi´on del tercer objetivo basado en ǫ-vecindarios permite mejorar la robustez de las soluciones. Es, por tanto, un mecanismo fiable para conseguir esta meta que se puede incorporar a cualquier MOEA. Si bien la magnitud de la ganancia var´ıa dependiendo del indicador en cuesti´on y del algoritmo b´asico elegido, hay una tendencia clara que indica que cuanto m´as bajo es el valor del tercer objetivo (subfrentes de alta estabilidad), m´as robusta es la cartera. 4. Conclusiones y trabajo futuro En este trabajo se ha presentado un m´etodo para mejorar la robustez de carteras de inversi´on. La aproximaci´on se basa en la extensi´on de la formulaci´on cl´asica en media/varianza con un tercer objetivo que modela la estructura del landscape alrededor de cada cartera candidata, y favorece aquellas que est´an en ´areas fiables (secciones del espacio de soluciones donde carteras similares est´an tambi´en cerca en el espacio de objetivos, i.e., tiene perfiles esperados similares en t´ermino de riesgo y ganancia). La implementaci´on de esta estrategia se basa en el concepto de ǫ-vecindarios que, junto con el uso de la distancia de Mahalanobis, definen una m´etrica de dispersi´on que se debe minimizar. Este objetivo ha mostrado ser un complemento perfecto para una estrategia de remuestreo basado en marcas de tiempo (R+T) y se ha incorporado a cuatro MOEAs muy diferentes (NSGA-II, SPEA2, SMPSO y GDE3). Estos, junto sus versiones con R+T, han sido probados sobre una muestra de rendimientos hist´oricos y evaluados a a trav´es de cuatro m´etricas de robustez. La contribuci´on del nuevo objetivo ha sido sustancial, contribuyendo a un incremento importante de la fiabilidad de las soluciones. Hay varias extensiones potenciales de este trabajo. Entre ellas, se pueden mencionar estudios de escalabilidad con el n´umero de activos; del rendimiento del nuevo objetivo con otros operadores evolutivos; sobre la exploraci´on de diferentes estrategias de perturbaci´on o ampliar el estudio a m´as MOEAs. Agradecimientos. Francisco Luna agradece la ayuda de la Universidad de M´alaga, Campus de Excelencia Internacional Andaluc´ıa Tech. El trabajo de David Quintana y Pedro Isasi ha sido financiado parcialmente por el Ministerio de Econom´ıa y Competitividad bajo el contrato ENE2014-56126-C2-2-R.