Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación

Universidad de Málaga Tesis Doctoral Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Carolina Bermudo Gamboa Directores de Tesis Dr. D. Lorenzo Sevilla Hurtado Dr. D. Francisco de Sales Martín Fernández Málaga, 2015 AUTOR: Carolina Bermudo Gamboa EDITA: Publicaciones y Divulgación Científica. Universidad de Málaga Esta obra está sujeta a una licencia Creative Commons: Reconocimiento - No comercial - SinObraDerivada (cc-by-nc-nd): Http://creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/es Cualquier parte de esta obra se puede reproducir sin autorización pero con el reconocimiento y atribución de los autores. No se puede hacer uso comercial de la obra y no se puede alterar, transformar o hacer obras derivadas. Esta Tesis Doctoral está depositada en el Repositorio Institucional de la Universidad de Málaga (RIUMA): riuma.uma.es Tesis Doctoral Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Carolina Bermudo Gamboa Ingeniería de Fabricación ÁREA DE INGENIERÍA DE LOS PROCESOS DE FABRICACIÓN DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL, DE MATERIALES Y FABRICACIÓN UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Para la obtención del Grado de Doctor por la Universidad de Málaga Málaga, 2015 A mi hermana Lola. Sabes que puedes conseguirlo todo. “No hay oportunidad más valiosa que la que te otorgas a ti mismo.” To my sister Lola. She can reach everything “There is no more valuable chance that the one you decide to give yourself” AGRADECIMIENTOS Agradecer, en primer lugar, a mis directores, Lorenzo Sevilla y Francisco Martín, el interés y la dedicación mostrada en la realización de la presente tesis, así como la acogida recibida desde el primer momento. Sin vuestro recibimiento, apoyo y consejo, este trabajo que hoy presento no habría sido posible. A Manuel Herrera, gracias por esas incontables horas que has pasado conmigo en el taller, haciendo y deshaciendo, hasta lograr que los ensayos se llevaran a cabo. Gracias por la paciencia mostrada y por dar respuesta a todas y cada una de las dudas que he podido tener. En general, agradecer a los compañeros del área su calor y recibimiento. No he podido estar mejor trabajando junto a un equipo tan humano. Agradecer a Ana M. Camacho, doctora de la Universidad Nacional de Educación a Distancia, las horas conmigo frente al ordenador descifrando los entresijos de los elementos finitos. Así como a Miguel Ángel Sebastián, catedrático de la misma universidad, su ayuda en la consecución de lo necesario para continuar con la investigación. A mis padres y en especial a mi madre. Gracias por ese empuje incansable que me brindas, de una forma u otra, hacia las metas que me propone la vida. A mi hermana, por esa interminable curiosidad por el ámbito de estudio que abarco. A mi tío Daniel, por no dejar de recordarme la suerte que tengo de tenerlo conmigo. A mi abuela Dolores, porque se lo merece todo. A mi familia al completo, por conseguir que cada día sea único. A mis amigos, muchas gracias por los buenos momentos y por el apoyo en los momentos en los que lo he necesitado. A Rocío, gracias por todo lo que hemos vivido juntas, por creer en mí y por todo lo que me has dado. A Lola, a la familia Zambrana, por recibirme siempre con los brazos abiertos. A mis compañeros de Suecia, en especial a Carmen, por lograrme una estancia maravillosa y pelear y celebrar conmigo los logros obtenidos en esos cortos tres meses. Y, por supuesto, a Matías Urenda, doctor de la Universidad de Skövde, por hacer posible dicha estancia y cuidar cada detalle de la misma. RESUMEN La presente Tesis Doctoral, cuyo desarrollo ha sido financiado por el Ministerio de Educación, Cultura y Deportes de España a través de la concesión de las becas de Formación de Profesorado Universitario (FPU) 2010, se enmarca dentro del programa de doctorado “Ingeniería de Fabricación”, regulado por el Real Decreto 1393/2007, asociado al grupo de investigación PAI de la Junta de Andalucía TEP 933 Ingeniería de Fabricación, dentro de la línea de investigación “Métodos de análisis de procesos de Deformación Plástica”. En ella se aborda el estudio relativo al desarrollo del Teorema del Límite Superior, mediante su configuración modular de Bloques Rígidos Triangulares, para su implementación en el análisis de procesos de indentación. Para ello, se realiza un estudio previo sobre la investigación llevada a cabo por F. Martín, “Desarrollo, integración y optimización en el estudio del proceso de forja mediante el Teorema del Límite Superior a través del modelo de Bloques Rígidos Triangulares”, conducente a la adaptación del modelo modular a los procesos de indentación. Posteriormente, se configuran diversos modelos de análisis y se realiza un análisis comparativo entre los resultados obtenidos, con el fin de concretar el modelo óptimo para el proceso de indentación estudiado. Se aborda la necesidad de presentar una división en las piezas analizadas entre finitas e infinitas, para adaptar el modelo desarrollado al patrón de deformación presente en cada caso. Asimismo, una vez obtenido el modelo modular óptimo, se estudia su aplicación tanto para punzones planos, como para punzones inclinados y su respuesta ante la introducción de diferentes factores presentes en los procesos de deformación, tales como el efecto del rozamiento y la consideración del endurecimiento del material. Igualmente, se llevan a cabo simulaciones por elementos finitos del proceso analizado, comparando los resultados con los obtenidos mediante el modelo desarrollado en la aplicación analítica del Teorema del Límite Superior. Los resultados de la aplicación de ambos métodos muestran una gran similitud y, por tanto, una gran precisión en los resultados obtenidos. Además, se configura una serie de ensayos experimentales del proceso, realizando otra comparación con los resultados obtenidos tanto de la aplicación del Teorema del Límite Superior, como del análisis mediante elementos finitos, demostrando, una vez más, la validez de los resultados arrojados por el modelo analítico desarrollado. Con la presente Tesis Doctoral se realiza un estudio amplio y profundo de la aplicación del Teorema del Límite Superior a los procesos de deformación plástica de indentación, ampliando el conocimiento sobre este tipo de análisis y demostrando la viabilidad, en cuanto a aplicación práctica y precisión, de la obtención de los esfuerzos requeridos para la deformación plástica mediante el modelo modular planteado. Palabras clave: Teorema del Límite Superior; Indentación; Configuración Modular; Bloques Rígidos Triangulares; Fabricación; Deformación Plástica. Índice General ii 3.3.5 TLS 3D .......................................................................................................3.11 3.3.6 TLS modular ...............................................................................................3.13 3.4 Aplicabilidad del TLS a procesos de fabricación por conformado plástico ..............3.15 3.4.1 Indentación .................................................................................................3.16 3.5 Otros campos de aplicación ...................................................................................3.18 Capítulo 4: Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación 4.1 Introducción del TLS aplicado a la Indentación ....................................................... 4.1 4.2 Aplicación modular .................................................................................................. 4.5 4.3 Esquema del procedimiento .................................................................................... 4.7 4.4 Construcción del hodógrafo ..................................................................................... 4.9 4.5 Rozamiento considerado ........................................................................................4.10 4.5.1 Rozamiento externo (punzón-pieza) ...........................................................4.10 4.5.2 Rozamiento interno (pieza-pieza) ...............................................................4.11 4.5.3 Tratamiento general ....................................................................................4.13 4.6 Evolución del modelo .............................................................................................4.14 4.6.1 Planteamiento 1: Modelo de partida. ...........................................................4.14 4.6.2 Planteamiento 2 ..........................................................................................4.16 4.6.3 Planteamiento 3 ..........................................................................................4.18 4.6.4 Planteamiento 4 ..........................................................................................4.19 4.6.5 Planteamiento 5 ..........................................................................................4.20 4.6.6 Piezas de espesor intermedio .....................................................................4.22 4.6.6.1 Estudios y Deformaciones ...........................................................................4.27 4.6.7 Planteamiento 5 optimizado ........................................................................4.31 4.6.8 Planteamiento 6 ..........................................................................................4.33 4.6.9 Modelo Adoptado ........................................................................................4.37 4.6.10 Esquema de la evolución del modelo ..........................................................4.38 Capítulo 5: Estudio de la deformación con punzón plano 5.1 Estudio del punzón plano ........................................................................................ 5.1 Índice General iii 5.1.1 Configuración de pieza semi-infinita para CLD ............................................ 5.2 5.1.2 Configuración de pieza finita para CLD ........................................................ 5.3 5.1.3 Piezas Finitas en TLS .................................................................................. 5.4 5.1.4 Piezas Infinitas en TLS ................................................................................ 5.9 5.1.5 Factor Geométrico de Ajuste ......................................................................5.15 5.2 Contrastación final de resultados aportados por el TLS frente al CLD para indentación con punzón plano. ...............................................................................5.20 Capítulo 6: Estudio y Análisis comparativo mediante el Método de Elementos Finitos 6.1 Método de Elementos Finitos. Introducción. ............................................................ 6.1 6.2 DEFORM ................................................................................................................ 6.4 6.2.1 Pre-procesador ............................................................................................ 6.6 6.2.2 Simulación ................................................................................................... 6.6 6.2.3 Post-procesador .......................................................................................... 6.7 6.2.4 Unidades ..................................................................................................... 6.7 6.3 Conformado por indentación implementado en DEFORM ....................................... 6.8 6.3.1 Estudio de mallado óptimo ........................................................................... 6.9 6.3.2 Estudio del tamaño de la pieza: Finita o Infinita ..........................................6.17 6.4 ABAQUS FEA ........................................................................................................6.21 6.5 Conformado por indentación implementado en ABAQUS ......................................6.23 6.6 Contrastación de resultados obtenidos mediante el MEF, CLD y TLS mediante BRT ........................................................................................................................6.23 Capítulo 7: Otros casos de estudio 7.1 Introducción del Rozamiento ................................................................................... 7.1 7.2 Introducción del endurecimiento por deformación ................................................... 7.4 7.3 Materiales simulados ............................................................................................... 7.7 7.3.1 Cálculo del exponente de endurecimiento ..................................................7.14 7.3.2 Resultados Modelo de Endurecimiento 3 ....................................................7.16 7.3.3 Resultados Modelo de Endurecimiento 2 ....................................................7.18 Índice General iv 7.3.4 Resultados Modelo de Endurecimiento 1 ....................................................7.21 7.4 Estudio Punzón Inclinado .......................................................................................7.23 Capítulo 8: Ensayos 8.1 Equipos y herramientas ........................................................................................... 8.2 8.2 Elección de Material ................................................................................................ 8.6 8.2.1 Plomo .......................................................................................................... 8.7 8.2.2 Estaño ......................................................................................................... 8.9 8.2.3 Aluminio 2030 .............................................................................................8.11 8.3 Ensayos .................................................................................................................8.13 8.4 Resultados .............................................................................................................8.15 8.5 Ensayo de Tracción ................................................................................................8.20 8.6 Comparativa Ensayos, MEF y TLS .........................................................................8.23 Capítulo 9: Aplicaciones 9.1 Aplicación 1 ............................................................................................................. 9.1 9.2 Aplicación 2 ............................................................................................................. 9.3 9.3 Aplicación 3 ............................................................................................................. 9.4 Capítulo 10: Conclusiones 10.1 Introducción............................................................................................................10.1 10.2 Conclusiones generales .........................................................................................10.1 10.3 Conclusiones particulares ......................................................................................10.2 10.4 Líneas futuras de desarrollo ...................................................................................10.3 Thesis English Summary E.1. Research Line ......................................................................................................... E.1 E.2. Final Results ........................................................................................................... E.3 E.2.1. Infinite Work-piece ....................................................................................... E.3 E.2.2. Finite Work-piece ......................................................................................... E.3 Índice General v E.3.3. Finite/Infinite configuration ........................................................................... E.4 E.2.4. Work-piece base study ................................................................................ E.4 E.2.5. Friction factor ............................................................................................... E.4 E.2.6. Tilted punch ................................................................................................. E.5 E.2.7. Hardening .................................................................................................... E.5 E.2.8. Trials ............................................................................................................ E.5 E.2.9. M.E.F. .......................................................................................................... E.6 E.3. Conclusions............................................................................................................. E.7 E.3.1. General conclusions .................................................................................... E.7 E.3.2. Singular conclusions .................................................................................... E.8 E.3.3. Future development lines ............................................................................. E.8 Anexo I: Recopilación histórica sobre la evolución del estudio de la plasticidad desde 1980 hasta la actualidad A.1.1. Resumen: Inicios-1980........................................................................................ A.1.2 A.1.2. 1980 en adelante ................................................................................................ A.1.5 A.1.2.1. Criterios de Fluencia ................................................................................. A.1.5 A.1.2.2. Modelado del efecto Bauschinger ........................................................... A.1.10 A.1.3. Líneas generales de desarrollo ......................................................................... A.1.11 A.1.3.1. Década de los 80 .................................................................................... A.1.11 A.1.3.2. Década de los 90 .................................................................................... A.1.13 A.1.3.3. Siglo XXI ................................................................................................. A.1.14 A.1.4. Esquema Evolutivo hasta 1980 ......................................................................... A.1.16 A.1.5. Esquema Evolución Criterios de Fluencia ......................................................... A.1.17 A.1.6. Evolución Modelos de Esfuerzos ...................................................................... A.1.18 Anexo II: Resultados de endurecimiento por deformación A.2.1 Introducción.......................................................................................................... A.2.1 A.2.2 Modelo 1 .............................................................................................................. A.2.2 A.2.3 Modelo 2 .............................................................................................................. A.2.3 A.2.4 Modelo 3 .............................................................................................................. A.2.7 Listado de Figuras Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Listado de Figuras ix Capítulo 1: Generalidades Figura 1.1: Comparativa curvas tensión/deformación ....................................................... 1.2 Capítulo 2: Introducción a la Deformación Plástica Figura 2.1: Disco Celeste de Nebra .................................................................................. 2.5 Figura 2.2: Martillo Inclinado hidráulico de Jessop, Abbeydale Industrial Hamleto. .......... 2.7 Figura 2.3: Proceso fabricación anillos forjados Fuente .................................................... 2.9 Figura 2.4: Punzonado de cavidades con matriz contenedora.........................................2.10 Figura 2.5: Representación de la sección de un proceso de indentación ........................2.11 Figura 2.6: Deformación Homogénea ..............................................................................2.17 Figura 2.7: Análisis Local de Tensiones ..........................................................................2.19 Figura 2.8: Pares de líneas de deslizamiento ..................................................................2.21 Figura 2.9: Tensión cortante pura en Deformación Plana ................................................2.22 Figura 2.10: Posible Campo de líneas de deslizamiento en caso de Indentación ............2.22 Figura 2.11: Definición de términos .................................................................................2.26 Figura 2.12: Modelo de deformación ...............................................................................2.29 Figura 2.13: Hodógrafo correspondiente a la Figura 2.12 ................................................2.29 Figura 2.14: Disipación de energía interna ......................................................................2.30 Figura 2.15: Hodógrafo Módulo A Figura 2.16 .................................................................2.31 Figura 2.16: División Modular en Indentación ..................................................................2.32 Figura 2.17: Tratamiento No Modular y Hodógrafo correspondiente................................2.32 Capítulo 3: Teorema del Límite Superior: Estado del arte Figura 3.1: D.C. Drucker ................................................................................................... 3.2 Figura 3.2: Comparativa del CLD y el TLS mediante BRT ................................................ 3.3 Figura 3.3. Comparación de soluciones obtenidas con TLS ............................................. 3.4 Figura 3.4: Patrones de fluencia para TLS ....................................................................... 3.4 Figura 3.5: (a) Distintas matrices de experimentación y (b) comparativa de resultado ..... 3.5 Figura 3.6: Transformación del campo de velocidades en un proceso de extrusión ......... 3.5 Figura 3.7: Análisis microforja abierta ............................................................................... 3.7 Listado de Figuras x Figura 3.8: Deformación no axi-simétrica ......................................................................... 3.8 Figura 3.9: Comparativa entre resultados del TLS y ensayos reales ................................ 3.9 Figura 3.10: Campo de velocidades en forja con rozamiento ..........................................3.10 Figura 3.11: Cambios progresivos en el conformado incremental de engranajes ............3.11 Figura 3.12: Campo de velocidades para un paralelepípedo circular convexo ................3.12 Figura 3.13: Aproximación del TLS al mallado secuencial ...............................................3.13 Figura 3.14: Enfoque no modular (a) y modular (b) aplicado al mismo proceso de conformado .....................................................................................................................3.13 Figura 3.15: Disminución en la formación de rebaba una vez aplicado el SBT ................3.14 Figura 3.16: Aplicación del TLS mediante capas (a) y hodórgafo derivado (b) ................3.15 Figura 3.17: ECAP Análisis mediante TLS bajo condiciones de deformación plana ......3.16 Figura 3.18: Indentación sobre material multi-capa .........................................................3.17 Figura 3.19: Similitud entre la aplicación del TLS a estudios sobre suelos e indentación .....................................................................................................................3.18 Capítulo 4: Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indetación Figura 4.1: Disposición pieza entre punzones planos (PP) ............................................... 4.3 Figura 4.2 Disposición pieza entre punzones inclinados (PI) ............................................ 4.3 Figura 4.3: Condiciones de contorno para un cuarto de pieza .......................................... 4.3 Figura 4.4: Comparativa entre la aplicación del TLS bajo su consideración modular (a,b) y no modular (c) ....................................................................................................... 4.6 Figura 4.5: Diferencia entre el tratamiento no modular (a) y modular (b) .......................... 4.7 Figura 4.6: Clasificación del tipo de pieza según espesores ............................................. 4.8 Figura 4.7: Clasificación de las tipologías de estudios realizados ..................................... 4.8 Figura 4.8: Campo genérico de discontinuidad de velocidades ........................................ 4.9 Figura 4.9: Fases de creación de un hodógrafo genérico ................................................4.10 Figura 4.10: Cambios en la superficie ante la aplicación de cargas elevadas. .................4.11 Figura 4.11: Ejemplo de pieza pequeña. .........................................................................4.12 Figura 4.12: Ejemplo de pieza grande .............................................................................4.13 Figura 4.13: Modelo inicial de indentación y ubicación del conflicto ................................4.15 Figura 4.14: Hodógrafo módulo A ....................................................................................4.15 Figura 4.15: Hodógrafo módulo B ....................................................................................4.15 Listado de Figuras xi Figura 4.16: Planteamiento 2 y zona de conflicto ............................................................4.16 Figura 4.17: Hodógrafo módulo Ad-hoc ...........................................................................4.17 Figura 4.18: Hodógrafo módulo B ....................................................................................4.17 Figura 4.19: Comparativa p/2k para m mínima ................................................................4.18 Figura 4.20: Comparativa p/2k Modular y No Modular para m máxima. ..........................4.18 Figura 4.21: Planteamiento 3...........................................................................................4.19 Figura 4.22: Planteamiento 4...........................................................................................4.19 Figura 4.23: Comparativa Planteamiento 4 Vs No Modular para m máxima ....................4.20 Figura 4.24: Planteamiento 5...........................................................................................4.20 Figura 4.25: Comparativa Planteamiento 5 Vs No Modular para m máxima ....................4.21 Figura 4.26: Modelo No Modular inicial ...........................................................................4.21 Figura 4.27: Modelo No Modular homólogo al planteamiento 5 .......................................4.21 Figura 4.28: Resultados P.5 frente al No Modular análogo para m máxima ....................4.22 Figura 4.29: Planteamiento 5.1 ........................................................................................4.22 Figura 4.30: Configuración pieza tamaño intermedio .......................................................4.23 Figura 4.31: Tratamiento multicapa pieza mediana .........................................................4.23 Figura 4.32: Configuración hodógrafos según columna ...................................................4.24 Figura 4.33: C.C. 1 ..........................................................................................................4.25 Figura 4.34: C.C. 2 ..........................................................................................................4.25 Figura 4.35: C.C. 3 ..........................................................................................................4.25 Figura 4.36: Disposición de módulos según el Estudio ....................................................4.26 Figura 4.37: Configuración Deformación 1 ......................................................................4.27 Figura 4.38: Configuración Deformación 2 ......................................................................4.27 Figura 4.39: Configuración Deformación 3 ......................................................................4.28 Figura 4.40: Comparativa evolución resultados Def. 1 y 2 ...............................................4.28 Figura 4.41: Comparativa Estudios con modelo Def. 2 ....................................................4.29 Figura 4.42: Comparativa Estudios con modelo Def. 3 ....................................................4.29 Figura 4.43: Comparativa entre Deformación 2 y 3 .........................................................4.30 Figura 4.44: Representación de valores máximos ...........................................................4.30 Figura 4.45: Optimización Planteamiento 5 .....................................................................4.31 Figura 4.46: Optimización Planteamiento 5 .....................................................................4.31 Figura 4.47: P5 con 2 y 3 módulos ..................................................................................4.32 Listado de Figuras xviii Figura A.2.13: Resultados para A96062, n=0.10 ........................................................... A.2.8 Figura A.2.14: Resultados para Acero G10450, n=0.10 ................................................ A.2.8 Figura A.2.15: Resultados para R53400, n=0.02 ........................................................... A.2.9 Figura A.2.16: Resultados para G33106, n=0.08 ........................................................... A.2.9 Figura A.2.17: Resultados para G52986, n=0.12 ......................................................... A.2.10 Listado de Tablas Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Listado de Tablas xxi Capítulo 4: Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Tabla 0.1: Resultados de p/2k en relación a la base 3.....................................................4.36 Capítulo 5: Estudio de la deformación con punzón plano Tabla 5.1: Resultados de p/2k para el módulo C .............................................................5.17 Tabla 0.2: Valores de p/2k para θ óptimo ........................................................................5.18 Capítulo 6: Estudio y Análisis comparativo mediante el Método de Elementos Finitos Tabla 6.1: Sistema de Unidades del DEFORM ................................................................. 6.7 Tabla 6.2: Características malla automática ..................................................................... 6.9 Tabla 6.3: Características del segundo mallado ..............................................................6.11 Tabla 6.4: Características del tercer mallado ...................................................................6.12 Tabla 6.5: Características del 7º mallado ........................................................................6.16 Tabla 6.6: Clasificación de piezas ...................................................................................6.19 Tabla 6.7: Diferencias entre ambos solucionadores ........................................................6.22 Capítulo 7: Otros casos de estudio Tabla 7.1: Valores de la evolución de p/2k para distintos valores de m y factores de forma en pieza finita ......................................................................................................... 7.3 Tabla 7.3: Valores de n y K para diferentes metales y aleaciones .................................... 7.5 Tabla 7.6: Relación de K y n para materiales simulados (Designación UNS) ..................7.15 Tabla 7.7: Resultados para aluminio A95052 con endurecimiento, n=0.09 ......................7.17 Tabla 7.8: Resultados para acero acero G10450 con endurecimiento, n=0.10 ................7.18 Tabla 7.9: Resultados para acero G10080 con endurecimiento, n=0.17..........................7.19 Tabla 7.10: Resultados para Titanio R50250 con endurecimiento, n=0.23 ......................7.20 Tabla 7.11: Resultados para la superaleación N02211 con endurecimiento, n=0.21 .......7.21 Tabla 7.12: Resultados para la superaleación N06600 con endurecimiento, n=0.20 .......7.22 Listado de Tablas xxii Capítulo 8: Ensayos Tabla 8.1: Resultados E19-I-4mm/m-1.5-S-6-Al2030R-50x50x30 ...................................8.14 Tabla 8.2: Datos obtenidos en el ensayo de tracción para el aluminio EN AW-2030 recocido ..........................................................................................................................8.22 Thesis English Summary Table E.1: Hardening Classification by n .......................................................................... E.5 Anexo II: Resultados de endurecimiento por deformación Tabla A.2.1: Aplicación del modelo de endurecimiento según n .................................... A.2.1 CAPÍTULO 1 GENERALIDADES Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Índice Capítulo 1 Índice Capítulo 1 1.1 Ámbito de la tesis ....................................................................................................... 1.1 1.2 Objetivo de la Tesis .................................................................................................... 1.3 1.3 Estructura de la tesis .................................................................................................. 1.5 Generalidades Capítulo 1 1.1 1. GENERALIDADES 1.1 Ámbito de la tesis La presente tesis se enmarca dentro del campo de la fabricación, en concreto, en los procesos de conformado por deformación plástica (PCDP). Dentro de esta gran familia, el conformado plástico en sí es considerado como el proceso más antiguo para la fabricación de piezas metálicas y, gracias al notable desarrollo tecnológico que ha sufrido hasta hoy día, dispone de una amplia variedad de técnicas adaptadas para las distintas aplicaciones que abarcan desde productos tratados como materia prima para otros procesos de fabricación hasta componentes finales. En la actualidad, el conformado plástico sigue representando la mejor opción para la obtención de piezas con diversidad de formas y tamaños, conllevando adicionalmente la ventaja del incremento de las propiedades mecánicas y el refinamiento estructural del material a deformar. La evolución que ha soportado en los distintos procedimientos para deformar o moldear el metal ha permitido un mayor conocimiento del proceso y su mayoritaria extensión en la industria. Los hallazgos más antiguos sobre procesos de conformado datan del año 8000 a.C. en la región de Anatolia, cuando se trataban materiales como el oro y el cobre, martilleando y calentando el material hasta obtener la forma requerida. Los primeros objetos fabricados de esta forma se utilizaban como piezas decorativos. Fue con la mejora del proceso cuando comenzaron a aparecer los primeros utensilios y armas [1-3]. Dentro del campo de los procesos de conformado por deformación plástica, la presente tesis se centra en los que logran la deformación del metal a partir de la aplicación de esfuerzos de compresión directa, tal como sucede en los procesos de forja. A su vez, dentro de este campo, se ajusta el estudio al proceso de indentación, caso particular de la forja, en el que el material a deformar es sustancialmente mayor que la matriz. A través del estudio se analizará la influencia de factores intrínsecos como la influencia del material, su endurecimiento o la geometría de la pieza; así como factores extrínsecos entre los que se destaca el rozamiento existente entre las superficies de contacto herramienta-pieza. El proceso de indentación se estudiará como proceso de fabricación para conformar piezas y no sólo como proceso para realizar ensayos, convencionalmente utilizados para la CAPÍTULO 2 INTRODUCCIÓN A LA DEFORMACIÓN PLÁSTICA Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Índice Capítulo 2 Índice Capítulo 2 2.1 Introducción a la Plasticidad ............................................................................... 2.1 2.2 Evolución de las técnicas de deformación plástica .............................................. 2.5 2.3 Indentación: Proceso de conformado por deformación plástica mediante compresión directa .............................................................................................. 2.7 2.4 Rozamiento en los PCDP ................................................................................. 2.12 2.5 Método de Análisis ............................................................................................ 2.15 2.5.1 Deformación Homogénea ........................................................................... 2.16 2.5.2 Análisis Local de Tensiones ....................................................................... 2.18 2.5.3 Campo de Líneas de Deslizamiento ........................................................... 2.20 2.5.4 Teoremas del Límite ................................................................................... 2.24 2.5.4.1Límite Inferior ....................................................................................... 2.24 2.5.4.2 Límite Superior .................................................................................... 2.25 2.5.4.3 Límite superior en Deformación Plana ................................................ 2.28 2.5.4.4 Límite Superior mediante Bloques Rígidos Triangulares: propuesta Modular ............................................................................................. 2.31 Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.1 2. INTRODUCCIÓN A LA DEFORMACIÓN PLÁSTICA 2.1 Introducción a la Plasticidad La Teoría de la Plasticidad se basa en el estudio matemático de los esfuerzos y deformaciones de sólidos deformables plásticamente, especialmente en metales. Conlleva un objetivo doble. Por una parte, intenta dar explicación a las relaciones entre los esfuerzos y deformaciones que tienen lugar y, por otra parte, desarrollar técnicas matemáticas para calcular las distribuciones de esfuerzos y deformaciones presentes en cuerpos distorsionados permanentemente en cualquier dirección [1-4]. Concretamente, la misión de las teorías de conformado plástico consiste en proporcionar una serie de conocimientos a partir de los cuales se pueda elegir el equipo y planificar cada pasada del mismo sobre el material a deformar, obteniendo una productividad máxima. Esto puede permitir también llegar a proyectar el equipo de trabajo o maquinaria. Un acercamiento riguroso a los casos resulta muy complicado y, por ello, es necesaria la simplificación del estudio. El estudio de estos casos simplificados o idealizados ofrece un conocimiento que puede tener un valor considerable para predecir la influencia de las variables reales sobre la carga de trabajo, la fluencia del metal y, por ende, permitir elegir las condiciones de trabajo para el resultado deseado, reduciendo considerablemente el número de ensayos necesarios. Cuando se trabaja con grandes esfuerzos, se consigue alcanzar una fluencia considerable en el material, conociéndose esta situación como deformación plástica. La fluencia está provocada por las tensiones que actúan y es posible establecer la tensión de deformación considerando una combinación de las mismas [5]. Para ello existen diversos criterios de fluencia, hipótesis concernientes a la superación del límite elástico del material bajo cualquier combinación posible de tensiones. Los criterios de fluencia resultan herramientas útiles para la predicción de las tensiones mecánicas o de los esfuerzos que actúan durante la deformación plástica del material, arrojando las fuerzas que han de ser aplicadas para conseguir dicha deformación. En el conformado de metales es primordial obtener un cambio Carolina Bermudo Gamboa 2.2 permanente, por lo que la teoría del conformado comienza con las tensiones que provocan la deformación plástica, siendo los criterios de fluencia los que determinan cuando el esfuerzo que se aplica sobre el material a deformar es suficientemente grande para conseguir que fluya y, por tanto, comience la deformación permanente. De los criterios de fluencia, el más destacado es el criterio de von Mises (1913), que mantiene que el flujo plástico comienza cuando la energía de deformación debida a los esfuerzos cortantes (energía de distorsión) alcanza un valor determinado, comprendiendo únicamente las tensiones principales que actúan, a su vez, sobre los planos principales [6, 7]. En el Anexo I, se expone una recopilación histórica sobre la evolución de la plasticidad desde 1980 hasta la actualidad. No obstante, como primera aproximación, se muestra en el Esquema 2.1 la evolución de los parte de los Criterios de Fluencia a partir del siglo XX. La base de gran parte de los cálculos de conformado de metales, son las Curvas de Tensión-Deformación, mostradas anteriormente en la Figura 1.1. En el caso considerado, se centrará la atención únicamente a la parte de las deformaciones plásticas, ignorando la fase elástica. Es necesario aclarar que la deformación se basará en la conocida deformación logarítmica (Ec. 2.1) o natural . Ec. 2.1 No se utilizará la deformación lineal o convencional, empleada en los ensayos iniciales (Ec. 2.2) ya que para ejemplos de forja no se obtienen resultados reales. Ec. 2.2 Gracias a la consideración de Deformación Plana, en la que no se considera deformación en la tercera dirección de deformación, es posible simplificar la problemática. Toda la deformación se producirá en los planos perpendiculares a esta tercera dirección (comúnmente se tratará de las direcciones XOY), por lo que puede ser representada en un diagrama de bidimensional, planteando una resolución más sencilla. Este diagrama bidimensional, en el que se pueden representar los esfuerzos cortantes máximos, identificados con las direcciones de deslizamientos, se conoce como Campo de Líneas de Deslizamiento. Este planteamiento es matemáticamente riguroso, pero se basa en la experiencia, y es aplicable para condiciones de Deformación Plana. Está compuesto por familias de líneas que se cruzan entre sí en ángulo recto. Debido a que toda la deformación es debida a un cizallamiento puro y se supone producida por esfuerzos cortantes puros, en el instante de la deformación plástica, la tensión cortante a lo largo de las líneas de deslizamiento adquiere, en Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.3 cualquier punto, un valor k igual a la carga de deformación permanente hallada mediante un ensayo de cizalladura pura. La tensión de cizalladura, k, es posible obtenerla a partir de la relación existente entre la tensión de fluencia por tracción. Para casos de deformación plana, según el criterio de von Mises, se relaciona mediante la Ec. 2.3 Ec. 2.3 Siendo Y la tensión de fluencia determinada por diversos ensayos mecánicos. En muchos casos, no es posible calcular una solución exacta para la carga que causa la deformación plástica y, en consecuencia, se buscan métodos que aproximen el resultado lo más cercano a los aportados empíricamente por ensayos. Así, un método ampliamente conocido es la Técnica del Límite de Cargas, desarrollada por Johnson y Mellor [8], entre otros autores. Johnson define un límite superior por exceso, en el que la carga será lo suficientemente grande para deformar la pieza, y un límite inferior por defecto, en el que la carga será lo suficientemente pequeña como para no conseguir deformar la pieza. Entre estos dos límites se encuentra la carga real de deformación. La aplicación del método descansa, por tanto, en la habilidad de elegir los modelos de deformación que hacen esa diferencia lo más pequeña posible, acercándose así, cada vez más, a la carga real. Las soluciones obtenidas con este proceso, por exceso, serán soluciones del límite superior, que se basan en el flujo del material. Pero, como se verá más adelante, en la aplicación del Teorema del Límite Superior (TLS), no será necesario desarrollar por completo estos campos de líneas de desplazamiento, dado que se aplica una simplificación adicional. Gracias a la evolución de la informática, algunos de los criterios citados anteriormente se han visto implementados en programas de elementos finitos, mediante simulaciones de procesos específicos de deformación plástica. No obstante, los métodos analíticos siguen practicándose y se observan simulaciones de procesos bastante exitosas. La presente Tesis Doctoral sigue la línea de investigación de Hill (1993), aunando el progreso conseguido por diversos autores posteriores y centrándose en la técnica desarrollada por F. Martín [9], proponiendo una aplicación modular del TLS mediante módulos compuestos por Bloques Rígidos Triangulares (BRT), como se mostrará más adelante. Carolina Bermudo Gamboa 2.4 Esquema 2.1: Evolución Criterios de Fluencia Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.5 2.2 Evolución de las técnicas de deformación plástica La metalurgia se considera una de las tres tecnologías más comunes para trabajar el metal y conseguir productos finales a partir de diferentes procesos. La historia de la forja se remonta a los tiempos del Neolítico, cuando el hombre comenzó a producir herramientas y ornamentos a partir de metales elementales como el oro, la plata y el cobre [10]. El trabajo metalúrgico más antiguo conocido data del año 8000 a.C., originario de Anatolia [11] y consistía en el martilleo continuo al que se sometían metales como el oro o el cobre en diferentes regiones del Medio Oriente. Se trabajaba sobre esos metales en crudo ya que las técnicas de refinamiento eran aún desconocidas. En artículos como el de Thomsen [12] se muestra la posibilidad de fabricar componentes de plata u oro utilizando herramientas del mismo material. Esto explicaría por qué las herramientas rara vez se encuentran en emplazamientos arqueológicos, ya que el material probablemente sería refundido. No sería hasta el año 4000 a.C. cuando se desarrollaría un método útil para purificar los metales mediante reacciones químicas, tratando el material en estado líquido. Durante el Eneolítico, o Edad del Cobre, se descubre que martilleando de forma repetida el metal, se le confería un aumento en la dureza. Es el deseo de aumentar dicha resistencia lo que da lugar a la aparición de las diferentes aleaciones, durante la Edad de Bronce y Edad del Hierro, que fueron apareciendo conforme se desarrollaban métodos que permitían un aumento en las temperaturas necesarias para dar forma y fundir metales como el hierro [13, 14]. Sobre el 3.300 a.C. las herramientas de bronce eran fabricadas de forma que se les confería una durabilidad mayor, si bien se asume que las armas realizadas con este material se utilizaban más para conferir fastuosidad al propietario de las mismas que para su uso en la batalla. Cabe resaltar el famoso disco celeste de Nebra [10], que fue, con toda probabilidad, utilizado con fines astronómicos. Este elemento tiene una edad de unos 3.600 años (Figura 2.1). Figura 2.1: Disco Celeste de Nebra Fuente: Museum für Vorgeschichte Las primeras piezas que se fabricaron con hierro también forman parte del final de la Edad de Bronce. Este hierro, maleable y muy puro, podía encontrarse en forma de meteoritos, primera fuente para este material, lo que subraya la idea de su limitada disponibilidad. Carolina Bermudo Gamboa 2.12 máquinas gobernadas por Control Numérico, presentando esfuerzos reducidos para alcanzar la deformación necesaria. Los PFI surgen como alternativa a los procesos tradicionales de deformación plástica y de mecanizado con el fin de hacer frente a los profundos cambios que concurren hoy día en la industria. Este tipo de procesos aparece como una posibilidad de cara a alcanzar muchos de los objetivos propuestos por la industria actual, aunque su aplicación aún continúa siendo muy restringida. De entre las particularidades que caracterizan a este tipo de procesos, las principales y más atractivas serían: la gran versatilidad que presenta la maquinaria utilizada, puesto que permite su adaptación a una gran variedad de procesos; el bajo coste de producción, uno de los objetivos más buscados en la industria actual; la gran calidad de los acabados, lo que lo hace un proceso apropiado para aplicaciones de alta precisión como las que se requieren en las industrias automovilística o aeroespacial; los reducidos esfuerzos de deformación y la posibilidad de incluir para su deformación una amplia variedad de materiales, incluso aleaciones de Titanio o superaleaciones, que suelen ser más complicados de conformar mediante otros procesos de fabricación tales como el mecanizado [10]. Por lo tanto, el estudio y análisis de los PFI, dentro de los cuales se incluyen los procesos de indentación, resulta un tema recurrente de investigación, como demuestra la bibliografía consultada [24, 25]. Por consiguiente, se vuelve imperativo implementar este tipo de procesos en la industria actual, para alcanzar una producción competitiva. Desde esta perspectiva, realizando un acercamiento singular de los PFI e identificando el proceso como una sucesión de indentaciones localizadas, el caso de estudio se puede llegar a simplificar hasta analizar únicamente un único proceso de indentación en cada fase. De esta forma queda englobado el proceso de indentación que se pretende abordar en la presente Tesis Doctoral. 2.4 Rozamiento en los PCDP Aunque el análisis del rozamiento se abarcará ampliamente a lo largo de la Tesis, es necesario aclarar la metodología y naturaleza del rozamiento que se produce en los PCDP y la influencia que tiene sobre ellos. <<…La fricción (o rozamiento) se define como la resistencia al movimiento relativo entre dos cuerpos que se tocan, sometidos a una carga normal (perpendicular)…>> [26] La fricción desempeña un papel importante en la clase de procesos estudiados ya que siempre existirán movimientos relativos y esfuerzos en el punzón. La fricción o rozamiento es un proceso inevitable. Disipa energía y, en consecuencia, genera calor, que puede, a su vez, puede afectar negativamente a la Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.13 realización de la operación. Es innegable que, debido a la existencia del rozamiento, es necesario la aplicación de un esfuerzo adicional, lo que se produce en todos los procesos de conformado de metales. Conforme aumente el rozamiento, se deberá incrementar la carga requerida para deformar la pieza, llegando a presentarse aumentos de un 30% de la carga, en condiciones normales de trabajo sobre procesos de forjado en frío. Por ello, en cualquier proceso de fabricación, se busca el menor coeficiente de rozamiento posible mediante la utilización de lubricantes. Aunque a veces la fricción pueda ser necesaria, como es el caso de la laminación para evitar que los cilindros patinen, un exceso de ésta puede provocar distorsión y pérdida completa sobre el control de las dimensiones, malos acabados superficiales, desgaste de herramienta y el agravamiento de la distorsión del flujo de material, así como grietas superficiales y otros defectos. Una buena lubrificación proporciona un movimiento más uniforme que en ausencia de la misma. En las operaciones que se encuentran dentro del campo de interés de la presente investigación, la fluencia puede verse considerablemente afectada por el valor del rozamiento, particularmente en la forja con matriz abierta. El abarrilamiento que se produce por la presencia de un rozamiento grande en la compresión, por ejemplo, limitará la reducción de sección permisible. Uno de los efectos más graves que pueden encontrase debido a la presencia de un rozamiento grande, es la transferencia o adherencia de metal a la herramienta. Esta transferencia ocurrirá con más facilidad dependiendo del material utilizado, pero limitará seriamente la reducción de sección en cada pasada. Este efecto puede realizarse de dos formas distintas: - Superficies rugosas: Asociada a este tipo de superficies en las herramientas. Al verse agotada la película lubrificante, el metal de la pieza entrará en las hendiduras de la herramienta. El movimiento tangencial a lo largo de la cara de la herramienta tenderá a cizallar el metal blando que sobresalga, dejando detrás fragmentos sueltos, lo que generará un acabado defectuoso. - Adhesiva: Más grave que la anterior, a su vez puede verse originada por diversas causas, dentro de las que se incluyen pequeñas partículas de óxido o cascarilla, que quitan las películas superficiales protectoras y dejan el metal desnudo. Al ponerse en contacto dos de estas superficies bajo la presión de trabajo, tienden a soldarse haciendo que un fragmento de la pieza se desgarre por cizallamiento y quede adherido a la herramienta. Este fenómeno impide la operación de conformado y la herramienta deberá repararse. Ya que se trabaja sobre la teoría del conformado de metales, es conveniente recordar que siempre se supone que la tensión tangencial, τ, en la superficie de la pieza será proporcional a la tensión normal σ generada por una presión p, de igual valor y signo opuesto. Por tanto, el coeficiente de rozamiento se podrá definir como µ = τ / σ, que se relaciona de forma equivalente a la fuerza tangencial y normal en física Carolina Bermudo Gamboa 2.14 elemental, si bien en este caso la tensión tangencial será igual al límite de fluencia por cizalladura k del metal. Es conocido que el valor mínimo con el que puede presentarse una deformación plástica es la tensión de fluencia uniaxial Y, por lo que el valor máximo del coeficiente de rozamiento se puede deducir de la relación k/Y, relacionadas así mismo mediante el criterio de fluencia. Fijando como tal el criterio de von Mises, se tendrá la Ec. 2.3, por lo que se obtiene el siguiente valor de rozamiento máximo: Ec. 2.4 Este tipo de rozamiento constante se conoce como rozamiento de Coulomb o rozamiento por deslizamiento. Aunque este rozamiento puede variar durante el proceso de conformado, diferentes estudios indican que dicha variación es un fenómeno despreciable en casos de lubricación adecuada. En adelante, se supondrá que la tensión de cizalladura τ, comprendida entre la pieza y la herramienta y donde existe una tensión normal σ, vendrá definida por la siguiente relación: Ec. 2.5 Siempre que τ < k. De lo contrario, existiría rozamiento por adherencia y la relación sería la siguiente: Ec. 2.6 Aun hoy día es difícil establecer un método para medir el valor del coeficiente de rozamiento. No obstante, su efecto no suele sobrepasar el 10 o 20% de la fuerza aplicada [5], por lo que los valores aproximados suelen ofrecer buenos resultados. Otro de los factores que se ven involucrados en la lubrificación es la temperatura de la superficie. La temperatura de la interfaz aumentará hasta un punto que dependerá del rozamiento y la conductividad térmica del material, debido a que el trabajo necesario para vencer el rozamiento se genera en una capa delgada y muy rápidamente. En los procesos presentados, la superficie de contacto es más uniforme debido a la gran deformación de la pieza, por lo que a igual velocidad cabe esperar temperaturas más bajas en relación a las presentadas por Browden y Tabor en los estudios realizados sobre fricción [27]. Además, muchas de estas operaciones de conformado plástico suelen hacerse a velocidades bajas, de manera que el problema de la temperatura es leve. Sí ha de tenerse en cuenta el aumento adicional de la temperatura debido al calor generado por la misma deformación dentro del metal, calor Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.15 que puede o no tener tiempo de difundirse a la superficie durante el paso de la herramienta. En la presente Tesis se tendrá en cuenta la influencia del rozamiento, así como del resto de los diversos factores influyentes. El método analítico utilizado y desarrollado permite la introducción de estos factores, para una mejor aproximación al comportamiento real, así como una consecución de valores optimizados según las cualidades del proceso estudiado. 2.5 Método de Análisis A continuación, con la intención de situar el estado del arte y centrar el método utilizado en el presente estudio, se exponen los métodos analíticos más comunes que se emplean para analizar los procesos de deformación plástica metálica [28, 29] hasta desembocar en el Teorema del Límite Superior, que es el caso que atañe esta Tesis Doctoral. Un método analítico es aquel método de investigación consistente en la desmembración de un todo, descomponiéndolo en sus partes o elementos para observar las causas, la naturaleza y los efectos. El análisis es la observación y examen de un hecho en particular. Es necesario conocer la naturaleza del fenómeno u objeto que se estudia para comprender su esencia. Los métodos analíticos se establecen a partir de combinaciones operativas entre los diferentes recursos teóricos disponibles y una serie de hipótesis simplificadoras. El diseño, control y optimización de los PCDP requieren de conocimientos analíticos profundos con respecto al flujo del metal, esfuerzos, temperatura y transferencia de calor, así como de información relacionada con la lubricación, técnicas de calentamiento o enfriamiento, manejo de materiales y diseño, entre otras. La complejidad de estos procesos hace muy complicado su tratamiento tanto teórico como matemático. Por ello, generalmente se suelen adoptar hipótesis simplificadoras de la problemática, a fin de plantear un caso más sencillo. Entre éstas hipótesis se suele emplear la aceptación del comportamiento rígido-plástico perfecto del material, la deformación homogénea, la deformación plana o la ausencia de rozamiento, entre otras. El propósito del análisis de los PCDP es la consecución de los siguientes objetivos: - Establecer las relaciones cinemáticas responsables del paso entre la pieza inicial y la final. Es decir, predecir el flujo del metal durante la operación de conformado. - Establecer los límites necesarios para determinar si es posible llevar a cabo la operación de conformado sin causar defectos en la pieza. - Predecir los esfuerzos, fuerzas y energías necesarias para llevar a cabo la operación de conformado y para el diseño y selección del equipo apropiado. Carolina Bermudo Gamboa 2.16 Las soluciones podrán ser obtenidas sólo si se cumplen las siguientes reglas de forma estricta: - Las condiciones de contorno deben ser satisfechas, incluyendo el rozamiento herramienta-pieza. - El volumen del material se mantendrá constante: Continuidad del flujo. - Las relaciones entre los esfuerzos internos y el flujo de material en el material real deben ser conocidas. Dado que esto no siempre es posible, se suele trabajar aplicando el comportamiento definido por el criterio de von Mises, manteniendo la relación entre el tensor desviador y las deformaciones. - Las ecuaciones diferenciales de equilibrio para el tensor de esfuerzos han de satisfacerse en todo punto del cuerpo deformado. Las relaciones que gobiernan la solución de la mecánica de deformación plástica se pueden resumir en las ecuaciones de equilibrio, el criterio de fluencia, las ecuaciones constitutivas del material y las condiciones de compatibilidad. Algunos de los métodos de aproximación más empleados en el estudio de la mecánica del conformado plástico son los siguientes [30]: - Método de la deformación homogénea - Método del análisis local de tensiones - Método del campo de líneas de deslizamiento - Métodos del límite superior e inferior Todos estos métodos son capaces de obtener soluciones aproximadas. Cada uno, como se mostrará en los apartados anteriores, está sujeto a un tipo de problemática o condición específica. 2.5.1 Deformación Homogénea En la Figura 2.6 se aprecia cómo un bloque, que se considera prismático, se ve comprimido de forma que cada uno de los elemento que lo constituyen se deforma siempre en el mismo instante y en el mismo grado. Conforme las platabandas se aproximan entre sí, las líneas que eran rectas antes de la deformación seguirán siéndolo después y las rectas paralelas siguen siendo paralelas entre sí. La forma prismática del bloque permanece sin que se produzcan deformaciones laterales o abombamientos. El área de contacto de la pieza con las platabandas se ve aumentada mediante el deslizamiento lateral del material. Todos los elementos del material se ven sometidos a la misma compresión. Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.17 Figura 2.6: Deformación Homogénea Por tanto, si un bloque prismático está caracterizado por una tensión de fluencia , con una altura inicial y un área de sección transversal inicial , se somete a compresión, la fuerza necesaria para comenzar la deformación tendrá un valor igual al producto de . Cuando la altura del bloque se vea reducida a , el área de la sección transversal será y la fuerza de presión será equivalente a . Por tanto, el esfuerzo necesario para realizar la compresión en cada instante se verá incrementado. Se considerará que, cuando el bloque alcanza una altura , se produce una deformación equivalente a . El incremento de deformación interna uniaxial, al igual que en el caso tensional, se verá definido por la Ec. 2.7 Ec. 2.7 La deformación compresiva total necesaria para reducir el bloque de a es: Ec. 2.8 Cuando la altura del bloque es , para comprimir dicho bloque una cantidad , debe realizarse cierta cantidad de trabajo : Ec. 2.9 Por tanto, el trabajo total realizado en la compresión del bloque de a es: Ec. 2.10 El trabajo realizado por unidad de volumen de material será: h1h2 FF Carolina Bermudo Gamboa 2.18 Ec. 2.11 Siendo la deformación natural a la compresión impuesta. De la misma forma, si la sección de una barra de material que no endurece por deformación se ve reducida mediante tracción, tal como puede observarse en los ensayos unidireccionales de tracción, desde una altura inicial a una final , el trabajo por unidad de volumen también será el mostrado en la Ec. 2.12. Ec. 2.12 Debido a que se ha supuesto que no existe energía debida a la fricción entre las placas paralelas que comprimen el material, y debido a que cada elemento es deformado de forma idéntica, se llega a una modificación en la forma del bloque mediante una eficiencia máxima. No obstante, la deformación homogénea no llega a darse nunca en PCDP reales. Se puede asimilar fácilmente al ensayo de tracción. El trabajo real con metales incluye deformaciones redundantes, pero se pueden lograr resultados cercanos suponiendo que la pieza deformará homogéneamente y aplicando dicho método. Sin embargo, de forma general utilizando este método, se aprecia que el cálculo de las tensiones infravalora las cargas de trabajo. Esto se debe a que el trabajo final o total está compuesto por tres componentes: - WH = Deformación homogénea - WK = Resistencia por rozamiento externo - WR = Distorsión interna o trabajo adicional Esta distorsión redundante supone un trabajo adicional, como se ha mencionado anteriormente, y también contribuye al endurecimiento por deformación del material. El trabajo total WT será el resultado de la suma de estos tres términos. Por tanto, la tensión de fluencia real de un metal trabajado será más alta que la que se podría calcular a partir de exclusivamente la consideración de la ampliación/reducción del área medida y la curva tensión-deformación. Por otra parte, este método sólo proporciona valores globales de deformación y cargas aplicadas, sin que de él se puedan determinar los valores de variables puntuales tales como la distribución de las tensiones, esfuerzos y deformaciones, en cuyo caso será preciso utilizar un método que sí permita obtenerlas. Surgen así otros métodos como el del análisis local de tensiones. 2.5.2 Análisis Local de Tensiones Este método consiste en realizar un análisis de los esfuerzos que sufre el cuerpo de deformación, centrándose el estudio únicamente en un elemento diferencial del Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.19 mismo y extrapolándolo al resto del material al aplicar el equilibrio global de fuerzas y las condiciones de contorno. Es un método muy útil a la hora de estimar la importancia del rozamiento en los esfuerzos requeridos en los procesos de deformación. Se deben realizar las siguientes hipótesis, entre otras: - Los ejes principales se encuentran en la misma dirección de las cargas aplicadas. - Los efectos del rozamiento no alteran las direcciones de los ejes principales ni causan distorsiones internas. Por tanto, la deformación es homogénea y las secciones planas continuarán siendo planas (no tiene en cuenta el trabajo adicional debido a la distorsión interna). Con el fin de describir el método, se analizará un caso de compresión mediante placas planas paralelas, como se muestra en la Figura 2.7. Figura 2.7: Análisis Local de Tensiones Se supondrá una tensión horizontal σx uniforme en toda la sección, siendo a su vez una tensión principal. Debido a esto, el equilibrio horizontal de las fuerzas que actúan en el elemento diferencial situado a la izquierda del eje vertical se representa en la siguiente ecuación: Ec. 2.13 A la derecha de la línea central Ec. 2.14 Y simplificando y combinando la Ec. 2.13 y la Ec. 2.14 hb dx x σz τzx σz τzx p p Z X Y Carolina Bermudo Gamboa 2.20 Ec. 2.15 Siendo , se puede obtener una relación entre p y σxy donde, despejando e integrando, se obtiene la siguiente ecuación: Ec. 2.16 Para el cálculo de la constante de integración, basta calcularla para la condición de tensión horizontal nula en ambos extremos, . Así, para : Ec. 2.17 Teniendo el mismo valor en el caso de la derecha de la línea de centro . Por este motivo, el valor máximo de centro será: Ec. 2.18 La principal consideración restrictiva que presenta este método es que los resultados obtenidos son válidos únicamente para las hipótesis de partida mencionadas, indudablemente, siendo una de ellas el rozamiento débil entre pieza y matriz, acotando de forma considerable la aplicación del método. 2.5.3 Campo de Líneas de Deslizamiento Este método se encuentra relacionado estrechamente con la experiencia. Se basa en el análisis de deformación de un campo que es consistente geométricamente y admisible estáticamente. Las líneas de deslizamiento representan en cada punto las direcciones de máxima tensión cortante en el material. Tienen una orientación de 45º con respecto a los ejes de los principales esfuerzos tensionales. El diagrama del campo de líneas de deslizamiento se puede considerar como un mapa que muestra las direcciones de los esfuerzos cortantes máximos en un punto cualquiera del cuerpo sometido a deformación [31]. Se asumirá que: - El material es isotrópico y homogéneo - El material es rígido-plástico perfecto, por lo que no existe el endurecimiento por deformación - Los efectos de la temperatura y las velocidades de deformación son ignorados - Se trata de un caso de deformación plana Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.21 - La tensión a cortadura en los planos de interferencia es constante, generalmente sin rozamiento. Con las siguientes condiciones de contorno: - La fuerza o tensión normal a una superficie libre será una tensión principal, por lo que las familias de líneas consideradas, en este caso representadas como αy β-, cruzarán sus superficies en un ángulo de 45º (Figura 2.8). - Las líneas αy βdeben cruzar superficies sin rozamiento a . - Las líneas αy βdeben cruzar superficies con rozamiento leve a o . Figura 2.8: Pares de líneas de deslizamiento Como el esfuerzo cortante va acompañado de un esfuerzo cortante complementario de igual magnitud y sentido opuesto, siempre existirán dos direcciones de esfuerzos cortantes máximos mutuamente perpendiculares en cada punto (Figura 2.8). Por tanto, el mapa de líneas que represente estas direcciones constará de dos series de líneas ortogonales entre sí. En cuanto a la deformación plana, se considera un estado en el que la fluencia es siempre paralela a un plano dado, por ejemplo el plano del papel (x,y), e independiente de z. Por tanto, se trabajará con un problema de dos dimensiones en el que las componentes de velocidad serán ux y uy, donde los subíndices indican el eje al que pertenece dicha componentes de la velocidad. Como τxz y τyz son cero por simetría, entonces σz será la tensión principal. Se pueden mencionar cuatro razones por las que resulta interesante el trabajo con un modelo de deformación plana: - Cada incremento se produce por cortadura pura, por ejemplo con dє2 = 0, dє1 = -dє3, y el apropiado diagrama de Mohr mostrado en la Figura 2.9. - El sistema asociado de tensiones también representa esfuerzos cortantes puros, pero con la tensión hidrostática superpuesta. Si dє2=0, la tensión intermedia, , es equivalente a la tensión hidrostática, σh, que Carolina Bermudo Gamboa 2.28 Ec. 2.30 Donde k es el límite de fluencia a cortadura en el plano de tensión y γ* es la tensión máxima de cortadura ingenieril. Como se tratarán casos de deformación a compresión mediante bloques rígidos de material separados mediante líneas de discontinuidad de velocidades tangenciales, ese término será igual a cero ( γ* = 0). Además, en cada instante que se examine, el término Ec. 2.31 Por tanto, se obtiene la expresión básica para el Límite Superior: Ec. 2.32 2.5.4.3 Límite superior en Deformación Plana En el apartado 2.7.4.3, las condiciones asumidas, o no reales, se muestran con un asterisco con la intención de diferenciarlas de las condiciones reales. Al tratar con casos de deformación plana, esta diferencia existente entre condiciones reales y asumidas disminuye. Se considerará un paralelepípedo de material rígido, con una altura igual a la unidad, definido por los extremos ABCD, como se aprecia en la Figura 2.12. Este paralelepípedo se considerará con un espesor, normal al plano del papel, igual a la unidad y se moverá hacia la izquierda, hacia el plano XX, con una velocidad unitaria. Ya que se trata de una deformación en condiciones de deformación plana, dicha deformación se producirá de forma homogénea y solamente en los planos paralelos al papel. Es decir, se obviará la deformación ocurrida en la profundidad del objeto de estudio, sólo se tendrá deformación en dos direcciones posibles. Todo el material a la derecha del plano XX es rígido pero, un tiempo después, cuando el paralelepípedo a traspasado dicho plano, ABCD se distorsiona adoptando la forma de un nuevo paralelepípedo formado por A’B’C’D’, moviéndose en una nueva dirección con velocidad v2, formando un ángulo α con su dirección original. Se asumirá que A’D’ es paralelo a XX. Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.29 Figura 2.12: Modelo de deformación La información referente a las velocidades se extrae del hodógrafo de la Figura 2.13. La velocidad unitaria inicial se descompondrá en las componentes v p y v a , velocidades perpendicular y paralela a XX, respectivamente. Para cada partícula de material situada a la izquierda del plano XX, las componentes de v 2 son v p y v b . Donde v p es necesariamente la misma tanto para la velocidad unitaria como para la v 2 a fin de cumplir la condición de incompresibilidad o volumen constante del material. Figura 2.13: Hodógrafo correspondiente a la Figura 2.12 [8] La diferencia entre v b y v a representa un salto o una discontinuidad en la velocidad tangente a XX. Este salto se manifiesta en la Figura 2.12 mediante el cambio de forma del paralelepípedo que se está analizando, que pasa de ABCD a A’B’C’D’. El salto, en realidad, no es instantáneo ni tan marcado como se muestra a lo largo del plano XX. No obstante, el cambio de velocidad sí ocurre a lo largo de bandas estrechas que, cuando se estudian aplicando el Teorema del Límite Superior, pasan a tratarse como líneas. Pasando a considerar el trabajo aplicado en cambiar el bloque de forma, ya que AD es paralelo a XX, esa misma línea y todas sus paralelas se mantendrán su forma después de pasar por el plano XX. Por tanto, ambos bloques compartirán una base x Velocidad Unitaria AB C D A’ B’ C’ D’ α x v 2 Carolina Bermudo Gamboa 2.30 común, como se aprecia en la Figura 2.14. Si τ es la tensión cortante en los lados opuestos del bloque, el trabajo realizado es igual a (τ ·BC)·CC’ o, expresado en términos de disipación de energía interna, (τ ·BC)·CC’/t, donde t corresponde al tiempo que tarde DC en cruzar el plano XX. Como el bloque se mueve a velocidad unitaria, la expresión anterior podrá escribirse como (τ ·BC)·CC’/DC. Figura 2.14: Disipación de energía interna [8] Comparando el triángulo C’CD y el hodógrafo, se puede observar que son similares, por lo que CC’/DC=u. El ratio de disipación de energía podrá expresarse ahora como: Ec. 2.33 Por otra parte, cuando τ alcance su mayor valor, k, el ratio de disipación de energía equivaldrá a k·AD·u, ya que, en condiciones de deformación plana, cuando τ =k, el material desarrolla su máxima resistencia a la deformación. Ahora bien, si la línea sobre la que la discontinuidad de la velocidad ocurre es curva, la Ec. 2.33 se expresará de la siguiente forma: Ec. 2.34 Se debe especificar que, en este caso, u será diferente a lo largo de XX. Si se trabaja con una recta, entonces la Ec. 2.34 se expresará como: Ec. 2.35 Siendo s la longitud de la línea XX y u idéntica en cada punto de la línea. De todos los valores obtenidos aplicando este método, el mejor de todos será el menor de ellos, ya que esté siempre será igual o mayor que el real. Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.31 2.5.4.4 Límite Superior mediante Bloques Rígidos Triangulares: propuesta Modular Realizando un vasto resumen de los apartados anteriores, el análisis límite es una buena alternativa ante la dificultad de obtener las soluciones exactas a problemas de conformado plástico. Empleando el Método de Límite Superior, las condiciones de equilibrio, contorno y relaciones esfuerzo-deformación no tienen por qué cumplirse estrictamente, siendo el total del esfuerzo aplicado sobre la superficie de deformación el valor que ha de mantenerse de forma estricta. Los candidatos idóneos para la aplicación de dicha técnica son los casos de deformación plana. No obstante, siempre existe el riesgo de obtener unos resultados no satisfactorios, debiéndose asegurar que la solución es suficientemente cercana a la realidad. Es por ello que, para garantizar la concordancia del método utilizado con la realidad, se lleva a cabo la comparativa de los resultados obtenidos con el MEF, así como con el método analítico del Campo de Líneas de Deslizamiento y ensayos experimentales. En algunos casos, se suelen dar procesos con geometrías complicadas que no permiten trabajar con ecuaciones matemáticas simples. Son este tipo de casos los que dan paso al recurso basado en la resolución recursiva de un problema, dividiendo este en dos o más sub-problemas de igual tipo o similares características. El proceso continúa hasta que llegan a ser suficientemente sencillos para resolverlos directamente. Las soluciones de cada sub-problema se combinan para dar una solución única al problema original. Es un método claramente utilizado en elementos finitos y en el cual se basará el actual Método Modular, ampliamente desarrollado en la presente tesis, aplicado al proceso de indentación. La forma más común de división de la zona donde se produce la deformación se realiza siguiendo la dirección de los esfuerzos cortantes, como se muestra en la Figura 2.15, hodógrafo correspondiente a la Figura 2.16 Figura 2.15: Hodógrafo Módulo A Figura 2.16 De esta forma, los hodógrafos obtenidos son mucho más simples que el que se obtendría tomando el cuarto de pieza de la Figura 2.16 como un conjunto, como se aprecia en la Figura 2.17. Disminuye el grado de complejidad del problema además de obtener soluciones que aportan valores más reducidos y, por tanto, más próximos al óptimo. Carolina Bermudo Gamboa 2.32 Figura 2.16: División Modular en Indentación Figura 2.17: Tratamiento No Modular y Hodógrafo correspondiente Introducción a la Deformación Plástica Capítulo 2 2.33 Referencias [1] C. R. Calladine, Plasticity for engineers: Theory and applications. Cambridge (UK): Woodhead Pub Limited, 2000. [2] S. Kalpakjian and S. R. Schmid, Manufacturing engineering and technology. 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Moon et al [18], en la década de los 90, muestran un estudio interesante en el que se aplica múltiples campos de fluencia al estudio de un proceso de forja de doble acción. Realizando esta aplicación para diferentes condiciones geométricas, caracterizó el proceso de deformación mejor que con el campo simple de fluencia que se aplicaba comúnmente. Estos campos de velocidades o de fluencia consideran cambios conforme la deformación va avanzando. Esencialmente, lo que se obtienen son soluciones cuasi estáticas, es decir, soluciones a cada instante de deformación. Siendo cierto que arroja soluciones mejoradas, también presenta un grado de complicidad mayor al ir alternando campos de velocidad y nuevas resoluciones a cada instante de deformación considerado. Es de destacar que diferentes estudios sobre planteamientos de nuevos campos de fluencia siguen realizándose en la actualidad, como puede ser el llevado a cabo por T. Altinbalik y O. Ayer [19], en el que proponen un nuevo CVCA para el análisis del efecto de la boquilla de entrada en forma de trébol en los procesos de extrusión, a partir de barras cilíndricas (Figura 3.5). Este estudio se presenta tanto en su forma teórica como en su forma Teorema del Límite Superior: Estado del Arte Capítulo 3 3.5 experimental, considerando cuatro matrices diferentes. Se selecciona el plomo como material a deformar debido a su excelente capacidad de deformación que presenta a temperatura ambiente. Los resultados obtenidos de forma analítica reflejan buena concordancia con los resultados experimentales, explicándose las mayores desviaciones debidas a diferencias entre las tolerancias dimensionales de las matrices utilizadas. (a) (b) Figura 3.5: (a) Distintas matrices de experimentación y (b) comparativa de resultados [19] 3.3.2 Casos Axi-simétricos Aunque es inicialmente Johnson quien extiende esta teoría a problemas con herramientas axi-simétricas [20, 21], diversos autores afrontan la problemática aplicándola sobre distintos procesos de fabricación. W.R.D. Wilson [22] ofrece un TLS simplificado para conformado de metales en piezas axi-simétricas, utilizando para ello regiones constantes de velocidades axiales y velocidades radiales inversamente proporcionales al radio necesario para crear el CVCA, describiendo el método para la construcción de dicho campo de velocidades, discutiendo, posteriormente, su aplicación, a distintos problemas de forja. Mediante este procedimiento, las discontinuidades parabólicas son transformadas en líneas rectas, dividiendo, en el caso en el que sea necesario, las zonas primarias. En la Figura 3.6 se aprecia esta transformación de discontinuidades curvas a discontinuidades rectas. Asimismo, presenta una mejora en cuanto a los resultados de p/2k de Johnson, 2,65 frente a 2,88. Figura 3.6: Transformación del campo de velocidades en un proceso de extrusión [22] En contrapunto, los trabajos de Kobayashi, junto a G. Thomsen [15], sugieren el tratamiento del teorema de forma curvilínea para las superficies de discontinuidades en las regiones unitarias, mostrando una relativa mejora en cuanto a los resultados en problemas axi- Carolina Bermudo Gamboa 3.6 simétricos frente a los arrojados por Kudo. No obstante, se menciona que, al ser mínima esta diferencia, una comparación crítica de ambos procesos no puede llevarse a cabo. Es interesante apreciar el tratamiento de estos dos autores a la problemática axi-simétrica, ya que resultan conclusiones totalmente opuestas, prefiriendo Kobayashi un tratamiento curvo y W.R.D. Wilson la conversión de las discontinuidades curvas a rectas. C.T. Chen y F.F. Ling. [23], trabajando sobre casos axi-simétricos, enfocan el método de selección del campo de velocidades admisible según la problemática de la extrusión. Para ello, analizan tres formas básicas de matrices: coseno, elíptica e hiperbólica. El TLS se utiliza tanto para expresar la carga necesaria para la deformación, como para la elección del patrón de deformación a través de matrices cuadradas. Finalmente, esbozan otros tipos de matrices que pueden ser analizadas con el mismo método. Otro claro ejemplo de esta vertiente se presenta en el trabajo llevado a cabo por Y.T. Ling y J.P. Wang [24], quienes, combinando las ventajas que presentan las funciones de extremos y el MEF, especialmente la capacidad que presenta este método para el ajuste de las curvaturas, desarrollan un nuevo TLS que mejora la inefectividad del anterior en la resolución de problemas con geometrías complejas o que necesitaban de la simulación para predecir la forma de los extremos libres de la pieza a deformar. Concluyen el diseño óptimo del teorema mediante el método de tolerancias flexibles. En el análisis del proceso de forja, se consigue un límite superior mejor que el arrojado por el UBET. Los mismos autores presentan una mejoría del método 4 años después [25], aunque los resultados presentados en ambos artículos son significadamente parecidos. Del mismo modo, en cuanto a la relación del TLS con otros métodos de análisis, N. Venkata et al. [26] lleva a cabo una combinación de la aplicación del TLS con MEF para el diseño óptimo de matrices para extrusión axi-simétrica en caliente, modelando el material como visco-plástico y considerando su fluencia dependiente tanto del estado tensional como de la temperatura. Se analizan cuatro formas de matrices diferentes, llegando a concluir la combinación óptima entre ellas que requiere menor potencia de deformación, así como que la longitud óptima para las matrices decrece con la fricción. En la misma línea, surgen distintas aproximaciones del TLS para procesos de conformado plástico axi-simétricos, en combinación con otros procesos de análisis, como puede ser MEF [27] o funciones de forma [28]. Y.H. Moon et al. [29-31], amplían los estudios anteriores sobre la aplicación del TLS a casos de forja axi-simétricas de doble acción, con el fin de predecir y evitar el desarrollo de grietas superficiales en el lateral de las piezas. Para determinar las condiciones que desarrollan grietas superficiales, se desarrolla un CVCA para un flujo anormal, derivando de este flujo anormal un término de potencia que da cuenta de la energía disipada durante la formación de la grieta. Finalmente, se presenta el criterio para prevenir dicha aparición de grietas superficiales durante el proceso de deformación y el modelo es validado vía MEF. Una combinación interesante es la del TLS y el CLD presente en el artículo de BakhshiJooybari et al. [32], para la estimación de la carga de deformación en un proceso de extrusionado en frío, en varillas de aluminio y plomo, mediante matrices curvas. Los resultados, a su vez, se comparan con los obtenidos mediante ensayos reales y la aplicación de elementos finitos, llegando, por ambas vías, a la conclusión de que la energía requerida para deformar las varillas en matrices curvas es mejor que la necesaria para matrices cónicas. Esto implica que, aunque la fabricación de matrices con perfiles curvos es más compleja, reduce la fuerza necesaria en la deformación y, por tanto, incrementará la productividad del proceso. Sería Teorema del Límite Superior: Estado del Arte Capítulo 3 3.7 interesante conocer los porcentajes en cuanto a productividad entre un proceso y otro para estimar la rentabilidad de los mismos. Recientemente se pueden encontrar trabajos sobre casos axi-simétricos, como el estudio de J. Maciejewski y Z. Mróz [33], en el que realizan un análisis mediante TLS para obtener el CVCA de un proceso de extrusión asistido mediante torsión cíclica, el cual presenta ventajas respecto al proceso convencional. Se estudia la evolución de la fuerza de extrusión y el momento de torsión, especificando el correspondiente campo de fluencia en cada caso. Dicho estudio permite la especificación de parámetros de control sobre el proceso y la relación existente con la fuerza de extrusión y el momento de torsión, así como su disipación plástica asociada para diversas reducciones de radio. Otros estudios actuales son los que se centran en procesos de microforja abierta y extrusión axi-simétrica, utilizando aproximaciones basadas en el TLS. E. Ghassemali et al. [34] realizan este estudio como respuesta a la tendencia que existe hacia la miniaturización de componentes de forma rentable y sostenible para la industria (Figura 3.7). Figura 3.7: Análisis microforja abierta [26] También cabe reseñar los estudios de H. Haghighat y G.R. Asgari [35] donde se aplica el TLS a un proceso de extrusión de tubos bi-metálicos a través de matrices arbitrariamente curvas mediante mandriles cilíndricos en movimiento, mostrando una buena concordancia con los resultados obtenidos mediante MEF. Para obtener el campo de velocidades desarrollan un sistema de coordenadas esféricas, con el que se evalúa la energía interna y la energía disipada en las superficies de discontinuidades, así como la energía total. En este tipo de estudios es donde se aprecia la capacidad del teorema para adaptarse a casi cualquier método de fabricación, aportando, una vez tratado correctamente, resultados acordes con la realidad del proceso. H. Haghighat continúa este tipo de estudio junto a M. Moradmand [36], siendo en este caso una extrusión de tubos de geometría simple pero con una mayor concordancia de los resultados entre TLS y MEF, y H. Shayesteh [37], donde vuelve a retomar las matrices arbitrariamente curvas en el extrusionado de cilindros bi-metálicos, mostrando, nuevamente, la similitud entre los resultados obtenidos. 3.3.3 Casos no axi-simétricos Al igual que los casos axi-simétricos, los procesos no axi-simétricos también son ampliamente estudiados desde el punto de vista del TLS. En artículos como el de B.C. Hwang et al [38] donde se aplica el TLS a procesos de extrusión y forja que cumplen la condición no axi-simétrica, se proponiendo un nuevo campo de velocidades (KAVF) para determinar el esfuerzo de deformación necesario y la longitud de Carolina Bermudo Gamboa 3.8 extrusión/deformación media. Para ello hacen uso de coordenadas tanto cilíndricas como cartesianas y validan el método mediante ensayos reales con plomo a temperatura ambiente, utilizando matrices poligonales y trocoidales sin lubricación (Figura 3.8). Comparando la carga y la longitud media extruida entre el método teórico y el experimental, se muestra la buena similitud existente entre los resultados de uno y otro, demostrando la viabilidad del teorema. Posteriormente, B.C. Hwang et al. [39] vuelven sobre este tipo de estudios en 2003, mediante la validación experimental con piezas de aleaciones de antimonio y plomo, esta vez, únicamente sobre procesos de extrusión, añadiendo la determinación de la distribución de velocidades de acuerdo con el esfuerzo producido en la extrusión. Los ensayos vuelven a realizarse a temperatura ambiente y sin lubricación, estampando una malla en la pieza a deformar para ver el patrón de fluencia. Los resultados son del orden del anterior estudio, lo que demuestra la idoneidad del teorema. Figura 3.8: Deformación no axi-simétrica [38] En la misma línea y durante el mismo periodo, C. T. Kwan [40] presenta un estudio sobre la forja no axi-simétrica, añadiendo las formas elípticas al análisis, a parte de las trocoidales, ya estudiadas por B.C. Hwang. Analiza preformas cilíndricas sometidas a un proceso de forja cerrada, determinando un nuevo CVCA y validando el método mediante experimentación sobre aluminio puro comercial a temperatura ambiente. Cabe destacar que, aunque los estudios resulten similares, en este caso el uso de aluminio comercial en la experimentación, acerca más el teorema al posible uso industrial del mismo ya que el plomo, aunque presenta una buena capacidad de deformación a temperatura ambiente, se aleja ligeramente del comportamiento general de los metales. Igualmente, los resultados arrojados muestran una gran compatibilidad de resultados. Los estudios sobre forja y extrusión no axi-simétrica se suceden en artículos como el de H.I. Lee et al [41], en los que se vuelve a analizar el extrusionado de cabezas de pernos a formas hexagonales y trocoidales, determinando nuevos campos de velocidades cinemáticamente admisibles, esfuerzos de deformación, longitud de extrusión y patrones de deformación. El proceso de extrusión analizado se denomina extrusión combinada porque el material se deforma simultáneamente hacia delante y hacia atrás, en relación con el movimiento del punzón. En este caso, para establecer la longitud media de deformación se minimiza el consumo total de energía respecto a varios parámetros pseudo independientes, como son la altura del plano neutro (H) y la función introducida para satisfacer las condiciones de contorno en cuanto a las velocidades en los ejes de simetría de la sección transversal, de la forma , donde Pi y Ai son, a su vez, parámetros pseudo independientes, R y θ son coordenadas cilíndricas y ni el número de ejes simétricos de la forma hexagonal. Teorema del Límite Superior: Estado del Arte Capítulo 3 3.9 Figura 3.9: Comparativa entre resultados del TLS y ensayos reales [40] 3.3.4 Introducción de factores propios del conformado plástico Se impone la necesidad de seguir indagando en la complejidad que entrañan los procesos de conformado por deformación plástica e ir añadiendo en el desarrollo del TLS los distintos parámetros que tienen cabida, como puede ser el rozamiento, el endurecimiento y la inercia. En 1969, I. F. Collins [42, 43] demuestra la posibilidad de la incorporación del rozamiento al tratamiento del conformado mediante TLS. Habiéndose descartado esta aplicación previamente por diversos autores [44, 45], como se hace referencia en el mismo artículo [42]. Collins realiza su introducción para casos de compresión y extrusión. Este enfoque atiende a que la definición usual del CVCA es innecesariamente restrictiva para validar el TLS. Por lo que, con un tratamiento del mismo, hace presencia del rozamiento de Coulomb en la interfaz herramienta/pieza. El nuevo método resulta atractivo ya que introduce el rozamiento pero difiere muy poco del TLS general aplicado hasta el momento. De esta forma, se le aporta cierta ventaja sobre otros métodos analíticos como el Campo de Líneas de Deslizamiento (CLD), que no introducía rozamiento hasta la fecha. La desventaja que presenta este nuevo método es la necesidad de trabajar con condiciones de contorno ficticias y puede inducir a error ya que puede alejarse del patrón de deformación real. Aunque el análisis se realiza para condiciones de fricción constantes, podría ser fácilmente integrado para la variación de dicha fricción. Por otra parte, tratando el otro espectro del rozamiento, Y. Lin y J.P Wang [46] presentan estudios sobre la introducción del rozamiento por adherencia al método, m=1 para condiciones sin lubricación y m=0.25 bajo lubricación, aplicado a ensayos de compresión de anillos. Los resultados se comparan con los obtenidos de otros métodos: MEF, ensayos experimentales y el método de interpolación numérica llamado “friction-area-divided method”. Desarrolla el método combinando el conocido UBET (Upper-bound elemental technique) con una función para el flujo de material, lo que denomina UBFT (Upper-bound flow function elemental technique). S.L. Wang y K.P. Rao [47] también estudian la influencia del rozamiento en procesos de forja mediante la aplicación del TLS. Desarrolla un modelo de onda de rozamiento considerando una combinación de deformación masiva del material con las deformaciones Carolina Bermudo Gamboa 3.10 producidas en las discontinuidades o asperezas de la superficie donde se aplica el esfuerzo, destacando que la velocidad de deformación entre la pieza y la matriz tienen un efecto insignificante en la fuerza de rozamiento. Figura 3.10: Campo de velocidades en forja con rozamiento [47] En cuando al endurecimiento por deformación, se pueden encontrar estudios actuales debidos a E.M. Rubio et al [48, 49], en los que se centra la atención en el análisis del proceso de estirado mediante TLS mediante BRT, trabajando con materiales que presentan endurecimiento por deformación teórico, bajo hipótesis de deformación plana y rozamiento parcial. Los resultados son comparados con los obtenidos de materiales rígido-plástico perfectos, concluyendo, que, como es razonable, el esfuerzo considerando el endurecimiento por deformación es mayor y que el número de variables posibles incrementa debido a que el límite de estabilidad del proceso también incrementa. Para este tipo de tratamiento, se pueden encontrar estudios anteriores realizados por Avitzur [50, 51], Hosford y Caddell [52], así como Rowe [53], en los que se resuelven problemas de estirado mediante métodos analíticos y se establecen expresiones que reflejan el influjo del endurecimiento por deformación. N. Medeiros y L.P. Moreira [54] aplican el TLS a procesos actuales, como el ECAP, para materiales con endurecimiento por deformación, extendiendo la solución propuesta por Eivani y K. Taheri [55] en 2007 para calcular los esfuerzos necesarios para el procesamiento del material bajo distintas condiciones de fricción y geometría de la matriz para materiales plástico-perfectos. Para ello, hacen uso del modelo de Hollomon combinado con el criterio de von Mises para materiales plásticos isotrópicos, validando los resultados mediante MEF. Adicionalmente, con el TLS propuesto, se consigue un análisis de la dependencia del ángulo del proceso, la tensión plástica efectiva y la fuerza de presión con la altura instantánea de la pieza a la entrada de la zona de deformación. Una vez más se aplica el TLS, bajo sus distintas consideraciones, a procesos de fabricación actuales, demostrando la versatilidad del método. M. A. Bhutta y N. R. Chitkara [56] presentan un análisis simple del proceso de forja incremental mediante el TLS, comparando los resultados con los obtenidos experimentalmente. Posteriormente [57], amplían el estudio mediante una adaptación del TLS y la modificación del CLD para el ajuste al actual perfil de deformación estudiado, validando, nuevamente, los resultados mediante experimentación (Figura 3.11). Finalmente, realizan un estudio aplicando el TLS modificado desarrollado en posteriores estudios, introduciendo las fuerzas de inercia para conformado de engranajes rectos y con ranuras [58]. Mediante la introducción de este efecto se consigue un mejor ajuste entre los resultados del teorema y los experimentales. En esta consecución de artículos se observa claramente como el TLS va desarrollándose y creciendo para abarcar distintos aspectos presentes en el proceso de deformación estudiado en este caso, manifestando la capacidad de método para adaptarse a los distintos supuestos. Teorema del Límite Superior: Estado del Arte Capítulo 3 3.11 J. Moller et al. [59] presentan una ampliación del TLS para la predicción de las tensiones y las temperaturas alcanzadas en procesos de forja, acoplando el teorema a formulación de energía. El estudio se realiza para material que presenta endurecimiento por deformación, lo que deja ver la posible combinación en el teorema de los distintos parámetros que se han ido mostrando en este apartado. Es posible consultar distintos estudios realizados por diversos autores [60-63] que introducen la temperatura en sus estudios sobre TLS, combinando el teorema con MEF, obteniendo predicciones sobre la evolución de la distribución de tensiones y la temperatura en la pieza conformada. La combinación del TLS con MEF presente en estas investigaciones, muestra la capacidad del teorema para adecuarse a los distintos tratamientos posibles del mismo, incorporándolo a las nuevas tecnologías de análisis. Figura 3.11: Cambios progresivos en el conformado incremental de engranajes [57] Por lo que, como se ha comentado anteriormente,, se demuestra la versatilidad del método del TLS en cuanto a su adaptabilidad a los distintos PCDP y la posibilidad de inclusión de los factores que en ellos intervienen. 3.3.5 TLS 3D Es importante destacar que otra vertiente del ámbito del TLS se decanta por estudiar casos de deformación tridimensionales, viendo la necesidad de abordar casos que resultaban incompatibles con el análisis en dos dimensiones. Un claro ejemplo está presente en el trabajo de V. Ranatunga et al. [64], donde incorporan un análisis del TLS a un proceso complejo de conformado de anillos. El perfil de la forma estudiada se aproxima mediante elementos prismáticos triangulares y bloques rectangulares, aportando una solución general para el CVCA propuesto para el campo de fluencia en 3D que surge en el conformado. La comprobación de los resultados se realiza mediante su comparativa con MEF, presentando una diferencia máxima de un 10%. No obstante, se indica que la precisión del método puede mejorar introduciendo más elementos, pero que, al mismo tiempo, se aumentaría el número de parámetros desconocidos y se complicaría la resolución del método. También destaca la rapidez del método frente al MEF, ya que el TLS, una vez obtenido, se resuelve en minutos, frente a las horas que presenta el MEF. No es difícil encontrar modelos tridimensionales del TLS, como el mostrado por de J. Hou y U. Ståhlberg [65] en 1996, que introduce bloques tridimensionales para particional la pieza e incorpora velocidades de deformación no uniformes dentro para cada elemento; o el de J. M. Pitt-Francis et al. [66], en el mismo año, presentando un nuevo método para modelar la fluencia del metal con comportamiento plástico perfecto, en procesos de forja, mediante una malla tetraédrica y un campo de velocidades lineal por tramos, conocido como TEUBA (Tetrahedral elemental upper-bound analysis) [67, 68]; o modelos como el de R. K. Sahoo et al [69], ya en el 2003, que adapta la denominada técnica de los elementos espaciales rígidos (SERR, spatial elementary rigid región technique) a superficies curvas, limitado en ese aspecto hasta el momento. Estos tipos de formulaciones son sustancialmente más rápidas en Carolina Bermudo Gamboa 3.12 resolución de la problemática que los presentados hasta el momento para análisis tridimensionales. También en 2003, A. M. Puzrit y M. F. Randolph [70], introducen un nuevo campo de velocidades planar para el análisis del TLS, ya que anteriores campos de velocidades para casos tridimensionales se encontraban restringidos a sistemas de coordenadas ortogonales. De esta forma, se extiende la aplicación a variaciones de velocidades radiales o planas, para estados de carga horizontales en cimientos circulares o verticales en cimientos no circulares, apreciándose como el teorema va creciendo y adaptándose según las nuevas necesidades que van surgiendo en los distintos análisis. Con trabajos como el de R. S. Lee y S. T. Kwan [71] se abarca el estudio del TLS mediante la aproximación tridimensional para superficies no planas, introduciendo elementos esféricos convexos y paralelepípedos circulares convexos, aplicados a un proceso de forja cerrada con superficies curvas convexas (Figura 3.12). Se aprecia que son diversos los autores que centran sus estudios en la aplicación del TLS para procesos en tres dimensiones, ya sea abarcando el problema desde una perspectiva analítica o introduciendo la formulación mediante las herramientas MEF disponibles, como se ha mostrado en apartados anteriores. Figura 3.12: Campo de velocidades para un paralelepípedo circular convexo [71] Sobre la combinación del Teorema con Métodos numéricos, claros ejemplos quedan patentes en los trabajos publicados por V. Ranatunga y J. A. Gunasekera [72] o G. Milani y P, B. Lourenco [73]. El primero de ellos integra el TLS en la metodología del MEF. Utilizan la ventaja que ofrece el TLS en cuanto a simplicidad y rapidez, incorporándola en el análisis de elementos finitos para conseguir una solución más precisa sobre procesos de conformado de anillos sin soldadura y forja cerrada, validando el método mediante experimentación real. El segundo trabajo mencionado estudia la adaptación del análisis del TLS simple mediante programación lineal-secuencial para la adaptación del mallado. Para ello considera elementos triangulares rígidos, para extremos tanto rectos como curvos, permitiendo un cambio en las velocidades en la interfaz entre elementos contiguos, dando paso a la disipación plástica en las superficies curvas. Es necesario introducir un mallado iterativo para enriquecer el modelo y, por tanto, obtener resultados más acordes con la realidad del proceso. Teorema del Límite Superior: Estado del Arte Capítulo 3 3.13 Figura 3.13: Aproximación del TLS al mallado secuencial [73] 3.3.6 TLS modular Debido a la complejidad que puede presentar el TLS en la resolución analítica de los problemas de conformado, se desarrolla la posibilidad de llevar a cabo una aplicación del teorema desde una perspectiva modular. F. Martín [74-77], basando sus estudios en la investigación de H. Kudo sobre la aplicación del TLS a diversos procesos de conformado, desarrolla una nueva forma de aplicación del teorema mediante módulos de BRT, lo que facilita la resolución del método aprovechando la sencillez que aporta esta nueva forma analítica. Esta nueva formulación radica en la división modular del problema a resolver, estando compuesto cada módulo por diversos BRT y siendo el caso estudiado un proceso de forja. De esta forma, es posible acotar la resolución a un número determinado de bloques cada vez, facilitando el análisis y reproduciendo los módulos tantas veces como sea necesario hasta abarcar la geometría objeto de estudio. El TLS llega a presentar una complejidad elevada cuando se examina una geometría en la que es preciso plantear numerosos BRT para abarcar la pieza o sección estudiada. Esta desventaja, como se ha comentado, se ataja con la introducción de módulos de no más de tres BRT, limitando dicha complejidad y permitiendo obtener resultados precisos. En la Figura 3.14 se muestra la diferencia entre la aplicación no modular y modular a una misma pieza. (a) (b) Figura 3.14: Enfoque no modular (a) y modular (b) aplicado al mismo proceso de conformado [74] Siguiendo esta perspectiva de división del proceso analizado en la aplicación del TLS, L. Yinguo y S. Sheng [78] describen los puntos básicos para el estudio de la simulación inversa Carolina Bermudo Gamboa 3.20 [19] T. Altinbalik and O. Ayer, "Effect of die inlet geometry on extrusion of clover sections through curved dies: Upper Bound analysis and experimental verification," Transactions of Nonferrous Metals Society of China, vol. 23, pp. 1098-1107, 2013. [20] W. Johnson and P. B. Mellor, Plasticity for mechanical engineers: Van Nostrand, 1962. [21] W. Johnson and P. P. B. Mellor, Engineering Plasticity. Chichester (U.K.): Ellis Horwood Limited, 1983. [22] W. R. D. 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Wai-Fah, Limit analysis and soil plasticity. U.S.A: J. Ross Publishing, 2008. CAPÍTULO 4 APLICACIÓN DEL TLS MEDIANTE MÓDULOS DE BRT EN INDENTACIÓN Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Carolina Bermudo Gamboa 4.4 Ec. 4.1 Siendo Ti Fuerzas externas aplicadas sobre la pieza a deformar vi Campo real de velocidades Sv Superficies de aplicación de las cargas exteriores k Límite de fluencia por tensión a cortadura v*i Campo de velocidades virtual y cinemáticamente admisible S*D Superficies de discontinuidad El material opondrá su máxima resistencia a la deformación cuando la tensión cortante en los lados opuestos de cada bloque sea igual a la tensión de fluencia a cortadura del material analizado (τ=k). Sabiendo esto, el valor de la potencia disipada, debida a la energía interna, no podrá exceder el valor de k·s·v*i, siendo s, en casos de deformación plana, la longitud de las líneas de discontinuidad de las velocidades tangenciales. Conocida la relación anterior, es posible plantear el valor del trabajo realizado por las fuerzas exteriores en función de las superficies analizadas: Ec. 4.2 Siendo E la energía interna disipada por unidad de longitud. Aplicada la ecuación anterior al campo de velocidades que se extrae del planteamiento realizado para el análisis de la indentación, en el que todas las líneas eran rectas, la expresión que se empleará en el proceso de resolución será: Ec. 4.3 En procesos de deformación plástica como la indentación, así como en la extrusión, el punzonado y el estirado, la fluencia sin restricciones del material comienza cuando éste se encuentra en un estado plástico. Es por ello que las tensiones elásticas se vuelven despreciables de forma temprana a lo largo de toda la zona plástica, menos en las zonas de contorno. Y si esta zona de transición o contorno es lo suficientemente delgada, no se producen errores significantes al omitir las Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.5 deformaciones elásticas, suponiendo un material rígido-plástico para la determinación de las tensiones y de las velocidades de deformación [13]. 4.2 Aplicación modular En anteriores estudios desarrollados por F. Martín [5, 14] se demuestra la mejora sustancial que presenta la aplicación del presente Teorema si se emplea una metodología alternativa a la tradicional, consistente en el empleo de módulos de BRT, en lugar de la división del campo de deformación en bloques no agrupados. De esta forma, se consiguen valores de esfuerzos menores a los obtenidos con un proceso no modular, por lo que se optimizan los resultados dado que, dado su fundamento, al aplicar el TLS, los resultados alcanzados siempre serán iguales o mayores a los reales. Por consiguiente, el valor óptimo siempre será el menor que podamos conseguir frente al proceso no modular. El estudio mediante módulos consiste en la subdivisión del problema en módulos formados por no más de tres BRT, conectados entre sí mediante las velocidades de salida de los módulos precedentes. Mediante esta subdivisión, además de conseguir mejores resultados, se consiguen ecuaciones más simples y la resolución del problema se realiza con mayor rapidez y sencillez, en general. Un claro ejemplo se puede observar en las Ec. 4.4, Ec. 4.5 y Ec. 4.6 Ec. 4.4 Ec. 4.5 Ec. 4.6 Que se desprenden del análisis realizado por F. Martín [5] en la comparativa del modelo modular y no modular, mostrados en la Figura 4.4. Siendo: Carolina Bermudo Gamboa 4.6 Para una misma pieza, las ecuaciones obtenidas para el caso modular (Ec. 4.5 y Ec. 4.6), siento este de 6 BRT, son mucho más simples, que la ecuación que arroja el modelo no modular (Ec. 4.7), incluso contando con un número menos de BRT. El número de módulos que se introducirán para analizar el proceso de conformado dependerá del tipo de análisis que se pretenda realizar y del nivel de optimización. En este mismo capítulo se presentará dicho estudio de optimización de módulos. En la Figura 4.5 se aprecia la diferencia entre el tratamiento modular y no modular para un mismo problema de indentación Además, tratándose de un proceso de indentación, en el que el material que se pretende deformar es mayor que la matriz o punzón que ejercerá la carga, cabe precisar que mediante la subdivisión modular se puede realizar un análisis más preciso de las zonas del material que se encuentran en contacto con el punzón y de aquellas que no se encuentran bajo la influencia directa de la carga. Conjuntamente, cabe destacar que la principal ventaja del modelo modular es la posibilidad de trabajar módulo a módulo, pudiendo apartar el resto de la pieza bajo estudio, lo que simplifica enormemente el análisis final. (a) (b) (c) Figura 4.4: Comparativa entre la aplicación del TLS bajo su consideración modular (a,b) y no modular (c) [5] Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.7 (a) (b) Figura 4.5: Diferencia entre el tratamiento no modular (a) y modular (b) A la hora de analizar el planteamiento modular, se procederá de forma similar al protocolo de resolución aplicado al formato no modular, pero, como se ha comentado anteriormente, obteniendo una solución más sencilla. Se plantean las ecuaciones pertinentes, con ayuda de los hodógrafos correspondientes, con el objetivo de resolver la relación p/2k de cada módulo, siendo p el esfuerzo o carga y k el límite de fluencia a cortadura del material. Finalmente, una vez obtenidas las relaciones p/2k de cada uno de ellos, se determina una media ponderada para obtener el p/2k total. Siguiendo el planteamiento ofrecido en la Figura 4.5, la relación final quedaría de la siguiente forma: Ec. 4.7 Correspondiendo b1, b2 y b3 a las bases de los módulos 1, 2 y 3 respectivamente. En los siguientes apartados de este capítulo se explicará, paso a paso, la resolución del proceso de indentación mediante el modelo modular, así como la evolución que ha tenido a lo largo del desarrollo de los modelos y los distintos tratamientos otorgados al punzón y el material, desde las primeras propuestas de partida hasta las finalmente aplicadas en esta Tesis Doctoral. 4.3 Esquema del procedimiento En primer lugar, antes de comenzar el análisis y la aplicación del TLS mediante BRT bajo el enfoque modular, es necesario realizar una serie de clasificaciones de la pieza a analizar, ya que, según el espesor de la pieza que se esté conformando, se podrá tratar de un proceso de deformación u otro. Así, por ejemplo, cuando se considera una pieza de espesor reducido, posiblemente se asemeje más a un proceso de conformado de chapa que a un proceso de forja por indentación. Se podría entender como una extralimitación del estudio pero, en los siguientes apartados, se demostrará que el modelo modular planteado ofrecerá buenos resultados aunque se estén conformando espesores reducidos. V V 12 3 V V 12 3 Carolina Bermudo Gamboa 4.8 En la Figura 4.6 se muestra la clasificación de las dos tipologías de piezas sobre las que se diferenciará el proceso de análisis, especificando cual es el rango de espesores adaptado en cada clasificación. Figura 4.6: Clasificación del tipo de pieza según espesores Además de la clasificación por espesores, es necesario ilustrar el análisis llevado a cabo para el estudio de las piezas sometidas a un proceso de forja por indentación, atendiendo a las características de cada proceso de indentación analizado, tales como la geometría del punzón utilizado, la tipología de rozamiento considerada y la curva de comportamiento asumida para el material que se conforma Figura 4.7: Clasificación de las tipologías de estudios realizados En la Figura 4.7 se muestran las distintas alternativas analizadas según la diferente casuística que se puede mostrar en cada proceso de indentación. Así, aunque el análisis esté abierto a más posibilidades, finalmente se presentará el INDENTACIÓN Espesor Pieza Tipo chapa o Reducido HT / L < 7 Pieza Infinita HT / L > 7 INDENTACIÓN Punzón Plano Inclinado Rozamiento Deslizamiento (µ) Adherencia (m) Comportamiento Sin endurecimiento Con endurecimiento Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.9 estudio para uno de los casos generales, como puede ser una pieza indentada con un punzón plano, sometida a rozamiento por adherencia y analizando la influencia del endurecimiento en dicho estudio. 4.4 Construcción del hodógrafo Un hodógrafo es una representación gráfica de los vectores relativos a la velocidad de un cuerpo o fluido. La posición de cualquier dato representado en dicho diagrama es proporcional a la velocidad del movimiento representado. El hodógrafo también es denominado diagrama de velocidades, siendo William Rowan Hamilton, en 1846, quien prácticamente desarrolló este método de análisis de velocidades para expresar, mediante lenguaje simbólico, la ley de atracción Newtoniana y el problema matemático relativo a la determinación de las órbitas y perturbaciones de los cuerpos cuyos movimientos son gobernados por esta ley [15]. No obstante, en la aplicación del TLS los hodógrafos se desarrollan para conocer el campo de velocidades concerniente a cada BRT, ya que, como se ha expresado en apartados anteriores, en cada BRT las partículas se mueven al unísono en la misma dirección y sentido, tratándose, por lo tanto, como un solo bloque. A continuación, para el completo entendimiento del proceso de análisis, se procede a expresar las diferentes fases de construcción de un hodógrafo genérico, para un campo de velocidades dado. Para ello, se ilustrará un cuarto de una pieza sometida a un proceso de forja, que se hallará dividida en tres BRT, tal como la que se ilustra en la Figura 4.8. Figura 4.8: Campo genérico de discontinuidad de velocidades 1La construcción del hodógrafo se inicia trazando la velocidad de aplicación V de la carga (velocidad de la platabanda superior), que en este caso resulta ser vertical (Figura 4.9 a). Ésta actúa sobre la superficie que se opone a la deformación, la superficie AB. El BRT1 se encuentra contiguo a la condición de simetría vertical y por tanto no tendrá posibilidad de desplazamiento, siendo por tanto su velocidad nula. Carolina Bermudo Gamboa 4.10 2A continuación, se traza una línea paralela a la superficie de discontinuidad AD, correspondiente al desplazamiento relativo entre los dos bloques adyacentes BRT1 y BRT2, y otra paralela a la superficie superior del módulo BRT2, AB, consecuencia de la necesidad de cumplir la condición de contorno de contacto de dicho bloque con la platabanda superior. De esta forma se cierra el primer triángulo de velocidades y se hallan tanto la velocidad relativa entre los bloques iniciales, denotada por V12, como la velocidad absoluta del bloque BRT2, denotada por V2 (Figura 4.9 b). 3Para terminar el hodógrafo, se vuelve a trazar una línea paralela a la superficie de discontinuidad DB, correspondientes al contacto entre los bloques adyacentes BRT2 y BRT3, y otra a la superficie DC, consecuencia de respetar la condición de contorno del plano de simetría vertical, por haber considerado un cuarto de pieza, volviendo a determinar los valores relativos de la velocidad relativa existente entre los bloques finales, denotada por V23, y la absoluta del bloque BRT3, denotada por V3 (Figura 4.9 c). Una vez conocido el desarrollo del hodógrafo, en el siguiente capítulo se procederá al análisis del conformado plástico mediante el proceso de indentación de una pieza según las clasificaciones anteriormente referidas según el espesor de las piezas deformadas (Figura 4.6) y según el estudio realizado (Figura 4.7). Figura 4.9: Fases de creación de un hodógrafo genérico 4.5 Rozamiento considerado A la hora de considerar el rozamiento de la pieza, hay que plantear qué tipo de rozamiento se puede hallar en un problema de indentación. Una vez establecidas las condiciones de contorno, es más sencillo identificar, de forma teórica, el rozamiento existente entre la pieza y el punzón. El coeficiente de rozamiento, por otra parte, puede corresponder a dos tipologías diferentes, a saber: el rozamiento por adherencia (m) y rozamiento por deslizamiento (µ). 4.5.1 Rozamiento externo (punzón-pieza) Ambos tipos de rozamientos, aplicados en cada caso al área de interés estudiada, dependerán del área de contacto existente entre ambos objetos. El área Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.11 real aumenta cuando aumenta la presión. Esto es debido a que, a nivel microscópico, ninguna superficie es totalmente lisa, sino que está formada por diversas hendiduras y salientes, tal como se aprecia en la Figura 4.10. Los salientes de ambas superficies que entran en contacto, son los que determinan donde se estará produciendo el rozamiento, siendo estos una pequeña porción del área aparente. El área real de contacto aumenta cuando aumenta la presión ya que los picos se van deformando (Figura 4.10). La deformación de estos picos o salientes se producirá, principalmente, en el material más blando, acomodándose a la geometría del que presenta más resistencia. Cuando el material desliza, las soldaduras en frío (Figura 4.10) se van rompiendo y rehaciendo constantemente. De forma general, cuando se tiene aplicada una carga reducida (lo que podría referirse a los momentos previos en el proceso de indentación estudiado), el rozamiento mayor será µ, ya que existirá poca superficie en contacto y m será menor. Cuando esa carga aumente (lo que ocurre desde los primeros instantes del proceso), m irá aumentando hasta superar a µ. El coeficiente de fricción m, funciona mejor para los contactos producidos bajo altas presiones [16]. En los procesos de deformación plástica en metales, la presión que se produce entre las superficies en contacto puede alcanzar múltiplos del límite elástico, por lo que la relación lineal entre la τ y p puede no resultar válida para altas presiones, ya que τ no puede exceder k [17]. Por lo tanto, para evitar las limitaciones del modelo de Coulomb, se trabaja con el modelo de rozamiento por adherencia, m. Figura 4.10: Cambios en la superficie ante la aplicación de cargas elevadas. En los procesos de indentación, el material está sometido a deformaciones muy altas. Estas presiones otorgan cierta relevancia a m sobre µ. Tanto es así que, una vez realizados los estudios necesarios, se concluye que el rozamiento por deslizamiento no es relevante en este proceso de deformación, en comparación con la implicación que pueda tener m. 4.5.2 Rozamiento interno (pieza-pieza) Con la intención matemática de agrupar la ecuación para la resolución del Teorema del Límite Superior en un único término, internamente se asociará el movimiento de los bloques triangulares con un m unitario cuando exista material colindante a la porción de material estudiado. Carolina Bermudo Gamboa 4.12 Ec. 4.8 Agrupando los dos sumandos de la forma mostrada en el párrafo anterior (Ec. 4.8, siendo ns el número de superficies de discontinuidad [18]), se llega a la Ec. 4.9, siendo en ambas ecuaciones l la longitud de la superficie de discontinuidad en el plano estudiado, V la velocidad del material en la discontinuidad, k el límite de tensión a cortadura del material, m el rozamiento mencionado, w la profundidad de la pieza estudiada y p la presión necesaria para realizar la deformación. Ec. 4.9 Debido a la configuración de la pieza de estudio, se ha dividido a su vez este rozamiento interno considerado para el planteamiento matemático. De esta forma, se debe diferenciar entre piezas pequeñas (finitas) y piezas grandes (infinitas). En la Figura 4.11 se muestra un ejemplo de pieza pequeña, en la que existen diferentes condiciones de contorno para el rozamiento. Así, se distingue entre m1 (verde), correspondiente a la condición de contorno presente en la simetría representada, m2 (rojo) presente en las discontinuidades de cada BRT, y m3 (amarillo) a la condición de contorno entre el módulo exterior considerado y el resto de material colindante. m corresponde al rozamiento presente entre la matriz o punzón y el material deformado. Figura 4.11: Ejemplo de pieza pequeña. Para los coeficientes de rozamiento por adherencia m2 y m3, el valor que les corresponde será igual a la unidad. En efecto, un valor de m2 distinto a uno representaría una discontinuidad en la pieza, ya que el material estaría separándose m1 m3 m2 m Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.13 en torno a las líneas de discontinuidad del los BRT, sin embargo, en este proceso y bajo estas condiciones, ese comportamiento no tiene lugar. Existe, por tanto, una adherencia completa interna en todo momento. En la zona que delimita el BRT de la zona vertical existe rozamiento con otro material de la pieza que no está sometido a las mismas velocidades de fluencia de la zona estudiada, por lo tanto, y de igual modo que en el párrafo anterior, si se otorga un coeficiente de rozamiento m3 distinto de uno, se estaría considerando una separación o rotura del material. En cuanto al rozamiento m1, en el caso de la doble simetría mostrada en la figura anterior, m1 = 0, ya que los BRT que están en contacto se moverán de la misma forma, es decir, a la misma velocidad y en la misma dirección, por lo que pueden considerarse ambos bloques como un solo bloque rígido. Si la altura de la pieza es grande (Figura 4.12), entonces la doble simetría no tendría lugar ya que los BRT tendrían una distorsión considerable y se podría llegar a falsear los resultados. Si dicha doble simetría no existiera, entonces se tendría que tratar este rozamiento como los anteriores y, por tanto, m1 = m2 = m3 = 1. Por lo tanto:  Doble simetría: m1 =0, m2 = m3 = 1  Simetría vertical: m1 = m2 = m3 = 1 Figura 4.12: Ejemplo de pieza grande 4.5.3 Tratamiento general A nivel interno, se trabajará de acuerdo a las leyes de Tresca (mk), ya que se entiende que a este nivel siempre se tratará de una adherencia completa, estado en el que las leyes de Coulomb (µp) no se cumplen. Es decir, no existe separación o rotura m1 m3 m2 m Carolina Bermudo Gamboa 4.20 Figura 4.23: Comparativa Planteamiento 4 Vs No Modular para m máxima Gracias al trabajo con módulos independientes, asociados entre ellos a través de las velocidades de entrada y salida, se pueden presentar diferentes configuraciones hasta obtener la más adecuada. 4.6.5 Planteamiento 5 Confiando en la simplicidad del modelo anterior y aspirando a mantener dicha facilidad de resolución, se modifica la orientación (Figura 4.24) de los dos primeros módulos, obteniendo resultados óptimos y mejorados tanto frente al modelo anterior como al modelo No Modular (Figura 4.25). La diferencia principal radica en que en este caso se toma menos superficie de contacto afectada por el rozamiento, debido al movimiento de los BRT. Figura 4.24: Planteamiento 5 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 p/2k L/HT P4 NM ABAd-Hoc Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.21 Figura 4.25: Comparativa Planteamiento 5 Vs No Modular para m máxima Esta comparativa se lleva a cabo enfrentando el modelo Modular resultante del planteamiento 5 y el modelo No Modular arrastrado desde el planteamiento 2 (Figura 4.26), que ofrece mejores resultados que su análogo al planteamiento 5, mostrado en la Figura 4.27, como se aprecia en el Figura 4.28. Figura 4.26: Modelo No Modular inicial Figura 4.27: Modelo No Modular homólogo al planteamiento 5 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 10 p/2k L/HT P5 NM Carolina Bermudo Gamboa 4.22 Figura 4.28: Resultados P.5 frente al No Modular análogo para m máxima Con la intención de no dejar ninguna configuración de lado, y para optimizar y buscar la solución más adecuada al proceso, se estudia también el planteamiento 5 pero con el módulo Ad-hoc en sentido inverso, mostrado en la Figura 4.29. Curiosamente, con esta configuración, los resultados arrojados vuelven a ser iguales a los del modelo no modular y por tanto se desestima. Figura 4.29: Planteamiento 5.1 4.6.6 Piezas de espesor intermedio Asemejándose más a un proceso de forja por indentación y siguiendo la clasificación de piezas según Hosford y Caddell [18] se encuentran las piezas de tamaño intermedio, en las que se centrará el apartado presente. Una vez alejado el espesor de la pieza de lo que podría considerarse un tratamiento de conformado de chapa, será necesario plantear la necesidad de realizar 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 p/2k L/HT P5 NM ABAd-Hoc Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.23 un estudio del material situado bajo el considerado modelo de tratamiento modular, que se identifica con la zona coloreada de naranja que se muestra en la Figura 4.30. Figura 4.30: Configuración pieza tamaño intermedio Figura 4.31: Tratamiento multicapa pieza mediana Hosford y Caddell limitan el tratamiento de espesor intermedio a un factor de forma, correspondiente a HT/L, con un valor de 8.75, ya que a partir de ese factor de forma, la relación de p/2k supera el valor de 1+π/2, sobrepasando así el valor del planteamiento que establecen para una pieza de espesor infinito. Con la intención de realizar una comparativa con los resultados mostrados en [18], se mantendrá la L h bHT h L b HT h h h b Carolina Bermudo Gamboa 4.24 correspondencia del factor de forma, siendo en este caso HT/L y no L/HT, como se ha mostrado hasta ahora y en estudios anteriores [5]. En este caso, se realizará un estudio para localizar a partir de qué espesor será más oportuno trabajar con el tratamiento intermedio o no. Siguiendo estudios tales como [20-22], que abordan el análisis de diferentes capas de material, se plantea una adaptación modular mediante filas de módulos, como se aprecia en la Figura 4.31. Se tendría así un tratamiento multicapa de la pieza a conformar. Curiosamente, el planteamiento de los hodógrafos correspondientes no se ve dificultado por la adición de filas gracias a la configuración del planteamiento seleccionado para llevar a cabo el estudio modular. De esta forma, las filas colindantes recibirán el empuje vertical del punzón y el desarrollo de la deformación seguirá la misma forma que en los hodógrafos planteados anteriormente. Figura 4.32: Configuración hodógrafos según columna En la Figura 4.32 se muestran los hodógrafos correspondientes a cada columna de módulos de la Figura 4.31, siendo a) la primera columna empezando desde la línea de simetría vertical. Será necesario identificar las condiciones de contorno (C.C.) de cada fila, ya que estas no serán iguales a las consideradas hasta el momento. Se distinguen tres condiciones de contorno distintas: 1C.C. 1: Correspondiente a la primera fila que se encuentra en contacto con el punzón y que contiene otra fila bajo ella. 2C.C. 2: Correspondiente a las filas situadas en el centro del estudio, que contienen siempre una fila encima y debajo. 3C.C. 3: Correspondiente a la última fila, situada en la línea de simetría horizontal, que contiene una fila encima y la línea de simetría bajo ella. Una vez localizados los tres casos presentes, se procede a establecer las diferencias en cada caso: θ1 V2 V12 θ2 V4 V34 V Ve=V3Ve=V5 θ3 V6V56 a) b) c) Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.25 1C.C. 1: Al ser la única fila en contacto con el punzón, los dos primeros módulos verán incorporados el rozamiento por adherencia (m), según corresponda. Además m1=m2=m3=1 (Figura 4.33). 2C.C. 2: No presentarán rozamiento por adherencia ya que no está en contacto directo con el punzón y la distribución de rozamientos internos será la que se aprecia en la Figura 4.34, siendo m1=m2=m3=1. 3C.C. 3: Esta fila tampoco verá incorporado el rozamiento por adherencia, al no estar nunca en contacto con el punzón. La distribución de rozamientos internos se presenta en la Figura 4.35, siendo éstos m1=m2=m3=1 y m’1=0 por encontrarse en la línea de simetría. Figura 4.33: C.C. 1 Figura 4.34: C.C. 2 Figura 4.35: C.C. 3 Este tratamiento por capas presenta unos resultados con valores muy elevados. Estos valores de p/2k, que se obtenían para la totalidad, son demasiado elevados para poder realizar ninguna comparativa con los otros modelos, llegando a tener resultados de p/2k del orden de 80 y 90. m m2m2m2 m1m1m1 m3 m m1 m2m2m2 m1m1m1 m3 m1m1 m1 m2m2m2 m’1m’1m’1 m3 m1m1 Carolina Bermudo Gamboa 4.26 Como solución se realiza una media con todos los valores p/2k de cada fila, llegando así a resultados concordantes con los obtenidos hasta el momento con los otros casos y estudios [22]. Ahora bien, el tratamiento posible para este estudio discernía según la aproximación con la que se afrontase. Por tanto, se dividirá según estudios y deformaciones posibles: 4.6.6.1 Estudios y Deformaciones En primer lugar se distinguirá entre tres posibles planteamientos o estudios, tal como se muestra en la Figura 4.36. Así, se tendrá un modelo formado por tres módulos en cada fila (a), un segundo modelo formado por tres módulos en la primera fila y dos en las siguientes (b) y un último modelo formado sólo por dos módulos en cada fila (c) Figura 4.36: Disposición de módulos según el Estudio El estudio correspondiente a la Figura 4.36, b) será descartado ya que no sigue una evolución lógica en cuanto a la evolución física del modelo. Sería complicado establecer una relación entre el módulo 3 de la fila superior con la parte inferior del material. Por tanto, será necesario únicamente realizar comparativas entre el estudio a) y c) para descartar el que ofrezca valores de p/2k totales mayores. Según se opte por el estudio a) o c), la altura óptima (hop) alcanza un valor diferente: para estudio a) hop=1,7, mientras que para c) hop=1. Dado que la altura h L b HT b L b HT h b L b HT h b 21 3 21 3 21 21 a) b) c) Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.27 óptima es la que arroja menor valor de p/2k durante el proceso, se realizan comparativas tanto para la altura óptima del estudio a) como para la del c). Ahora bien, en cuanto a proceso de deformación, también es posible distinguir entre tres acercamientos distintos: 1Def. 1: Todas las filas se van deformando conjuntamente y de igual forma, hasta que se llega a cierta altura de fila en la que los valores de p/2k se disparan. Se ha concretado dicha h en 0.40. Cuando esto sucede, se calcula la altura total de la pieza que se tiene en ese instante (por ejemplo, si se tienen 10 filas, 10·0.40=4) y se vuelve a recalcular el número de filas necesarias. El inconveniente es que se produce un salto de filas considerable, que se reflejará en las gráficas (Figura 4.37 y A4.40). Figura 4.37: Configuración Deformación 1 2Def.2: Sólo irá deformándose la fila en contacto con el punzón, hasta que se llega a la h crítica (0.40) y desaparece, dando paso a la deformación de la siguiente fila. De esta forma el salto de filas es de uno en uno (Figura 4.38). Figura 4.38: Configuración Deformación 2 3Def.3: Consiste en una composición de las dos anteriores. Todas las filas se irán deformando conjuntamente pero sólo se permitirá el descenso de una en h L b HT b h L bHT b L b h b HT L b h b HT Carolina Bermudo Gamboa 4.28 una. Es decir, se calcula cuándo la deformación equivale a la desaparición de una sola fila, eliminándose una fila únicamente (Figura 4.39). Figura 4.39: Configuración Deformación 3 Una vez realizado el análisis para los tres procesos de deformación, se decide eliminar la tipología de Deformación 1, por corresponder a un proceso de deformación demasiado brusco, presentando unas gráficas con unos saltos desproporcionadamente grandes frente a los arrojados por los otros dos modelos de deformación (4.40). Figura 4.40: Comparativa evolución resultados Def. 1 y 2 Comparando el estudio a) y c), tanto con modelo de deformación 2 y 3, el que presenta mejores resultados es el estudio c) correspondiente a filas de dos módulos cada una (Figura 4.41 y 4.42). L b HT h b L b h b HT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 10 p/2k L/HT P5 Def. 1 P5 Def. 2 Aplicación del TLS mediante módulos de BRT en indentación Capítulo 4 4.29 Figura 4.41: Comparativa Estudios con modelo Def. 2 Figura 4.42: Comparativa Estudios con modelo Def. 3 Y por último, la elección del modelo de deformación adecuado se realiza de la misma forma, mediante una comparación de los resultados finales, resultando que el que mejores valores ofrece es el modelo de deformación 3 (Figura 4.43). Por tanto, se aplicaría el modelo referente al Planteamiento 5, con el Estudio c y la Deformación 3 (P5D3Ec). Con la intención de asemejar el gráfico a los obtenidos hasta el momento, sin que presenten esa serie de saltos debidos a la eliminación de las filas consecutivamente, se filtra de modo que sólo se presenten los valores picos mayores, quedando el gráfico de la siguiente forma (Figura 4.44): 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 10 p/2k L/HT P5 D2 Est. a P5 D2 Est. c 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 10 p/2k L/HT P5 D3 Est. a P5 D3 Est. c Carolina Bermudo Gamboa 7.30 Figura 7.28: Comparativa TLS vs MEF para 45º de inclinación 0 1 2 3 4 0 5 10 15 20 Fuerza[kN] Penetración[mm] 45º 45 45º TLS MEF Otros casos de estudio Capítulo 7 7.31 Referencias [1] J. W. Lieb, "Leonardo da vinci—natural philosopher and engineer," Journal of the Franklin Institute, vol. 191, pp. 767-806, 1921. [2] B. N. J. Persson and E. Tosatti, Physics of sliding friction: Springer, 1996. [3] F. Fereshteh-Saniee, I. Pillinger, and P. Hartley, "Friction modelling for the physical simulation of the bulk metal forming processes," Journal of Materials Processing Technology, vol. 153–154, pp. 151-156, 2004. [4] J. Fluhrer, Deform. Design environment for forging. User's manual. Ohio: Scientific Forminf Technologies Corporation, 2010. [5] S. Kalpakjian and S. R. Schmid, Manufacturing engineering and technology. Serope kalpakjian, steven r. Schmid. New Jersey (USA): Prentice Hall., 2009. [6] J. J. Jonas and N. Christodoulou, "The onset of plastic instability in tensile samples containing deformation defects," Scripta Metallurgica, vol. 12, pp. 393397, 1978. [7] R. C. Reed, The superalloys: Fundamentals and applications: Cambridge University Press, 2006. [8] S. Seiong, O. Younossi, and B. W. Goldsmith, Titanium. Industrial base, price trends and technology initiatives, 2009. [9] G. E. Dieter, Mechanical metallurgy: McGraw-Hill, 1976. [10] A. Matusevich, R. Mancini, and J. Massa, "Determinación del exponente "n" de endurecimiento por deformación mediante un algortimo de mínimos cuadrados ponderados," presented at the Segundo Congreso Argentino de Ingeniería Mecánica, San Juan, 2010. [11] ASTM, "E 676-00. Standard test method for tensile strain-hardening exponents (n-values) of metallic sheet materials," ed. West Conshohocken: ASTM International, 2007. [12] F. Martín, "Desarrollo, integración y optimización en el estudio del proceso de forja mediante el teorema del límite superior a través del modelo de bloques rígidos triangulares," Thesis, Ingeniería de Fabricación, Universidad de Málaga, Málaga, 2009. CAPÍTULO 8 ENSAYOS Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Índice Capítulo 8 8.1 Equipos y herramientas ................................................................................ 8.1 8.2 Elección de Material ..................................................................................... 8.5 8.2.1 Plomo ........................................................................................................ 8.5 8.2.2 Estaño ....................................................................................................... 8.7 8.2.3 Aluminio 2030 .......................................................................................... 8.10 8.3 Ensayos ..................................................................................................... 8.11 8.4 Resultados ................................................................................................. 8.14 8.5 Ensayo de Tracción ................................................................................... 8.19 8.6 Comparativa Ensayos, MEF y TLS............................................................. 8.21 Ensayos Capítulo 8 8.1 8. ENSAYOS En capítulos anteriores se ha realizado una comparación de los resultados obtenidos mediante la aplicación del método analítico del TLS mediante el modelo modular de BRT frente a los determinados mediante la simulación numérica utilizando un programa de elementos finitos. Esta simulación, aunque acrecienta la confianza en la adecuación de los resultados, no permite asegurar la validez del método del TLS, Para ello, en el presente capítulo se plantea la necesidad de realizar ensayos reales de indentación con el fin de llevar a cabo una comparación con los resultados obtenidos tanto con elementos finitos como con la aplicación modular del TLS, a fin de proporcionar una validación de estos últimos. El presente capítulo describe la metodología de ensayos seguida, así como las herramientas disponibles durante los mismos y los resultados alcanzados. 8.1 Equipos y herramientas Se ha utilizado la máquina de ensayos de tracción mostrada en la Figura 8.1 a. Dicha máquina alcanza un esfuerzo máximo de 10 t, por lo que, como se verá en los apartados posteriores, la elección del material para llevar a cabo la indentación debe ser realizada atendiendo a este límite para garantizar la deformación de la probeta. La máquina de ensayo pertenece a la serie ME 405/10, con un bastidor de 100kN, de la empresa Servosis, y se encuentra catalogada como Máquina de ensayo de tracción/compresión/flexión 0,1-30 t (Figura 8.1 b), existiendo la posibilidad de alcanzar las 30 t con un módulo suplementario no disponible en el momento de la realización de los ensayos. El control de la máquina puede ser realizado de forma manual o a través de ordenador, mediante el programa específico PCD2K. Permite velocidades de desplazamiento que varían entre una máxima de 100 mm/min y una mínima de 0.0001 mm/min. La precisión en la medida de los canales analógicos de fuerza y desplazamiento cumple con la Clase 1 de la Norma EN-7500-1 [1]. Carolina Bermudo Gamboa 8.2 (a) (b) Figura 8.1: Máquina de ensayos (a) y accesorios para ensayos de compresión (b) Fuente (a): Manual de servicio Servosis Para el centrado del indentador en las distintas probetas de ensayo, se ha hecho uso de bloques patrones longitudinales (Figura 8.2 a y b). (a) (b) Figura 8.2: Bloques patrones. Sumatorio (a) y bloque único (b) Gracias al acabado de sus caras paralelas, es posible adherir unos bloques a otros con un simple deslizamiento (Figura 8.2 a), con el fin de materializar la medida requerida, con escalonamientos de hasta 0,5 mµ, dependiendo del juego de bloques utilizados. Posteriormente, para evitar el deslizamiento del indentador sobre los platos de compresión (Figura 8.1 b), fue necesaria la fabricación del útil mostrado en la Figura 8.3. Éste se compone de una base donde se sitúan dos tornillos de apriete y contiene una zona de apoyo para el indentador (Figura 8.3 a). La barra de apriete se sitúa entre Ensayos Capítulo 8 8.3 los tornillos y el indentador, con el fin de garantizar un apriete homogéneo en el indentador y evitar zonas puntuales de abrasión en la realización del ensayo. (a) (b) Figura 8.3: Útil de compresión (a), útil compuesto (b) Una vez compuesto el conjunto (Figura 8.3 b), el útil de compresión garantiza una mayor base de apoyo al indentador sobre los platos que la del propio indentador, evitando así la inclinación de éste durante el proceso de conformado (Figura 8.4). Figura 8.4: Fallo de inclinación en el ensayo de E3 Por su parte, el indentador, fabricado en acero 304, ha pasado por un proceso de fresado para conseguir que la base del mismo fuese plana (Figura 8.5). El indentador se obtiene de una plancha de acero de dimensiones mayores, la cual tiene los cantos redondeados, siendo ese redondeamiento el que se elimina mediante el fresado (Figura 8.6). Carolina Bermudo Gamboa 8.10 Figura 8.14: Probeta de estaño post ensayo 8.2.3 Aluminio 2030 Ante la imposibilidad de emplear en la máquina de ensayos otros metales más comunes dentro de la industria, como puede ser el aluminio, debido al límite en el esfuerzo de 10 t, se plantea la posibilidad de someter a este material a un proceso de recocido y obtener, posteriormente, la caracterización de éste mediante ensayos de tracción. El aluminio es uno de los principales metales que pueden encontrarse en la corteza terrestre. Al igual que los anteriores metales citados, no es posible encontrarlo en estado puro, formando parte de distintos minerales, entre los que se encuentran la alúmina (Al2O3), el óxido de hierro (Fe2O3) y el dióxido de sílicio (SiO2). La obtención del aluminio se lleva a cabo, esencialmente, mediante electrolisis. Es un metal blanco brillante, pudiéndose asemejar a la plata una vez pulido. Junto con el magnesio, es uno de los metales más ligeros de la industria. Su punto de fusión se encuentra a 660ºC y el de ebullición a 2450ºC. Presenta una gran ductilidad y maleabilidad, aunque no de forma tan acusada como el estaño y el plomo, lo que permite su fácil manejo en la forja, trefilado y diversos procesos de deformación plástica. Es un metal ampliamente utilizado en la industria, con multitud de aplicaciones. Las primeras aplicaciones comerciales que se le conocen fueron para objetos exclusivos de la nobleza, como en marcos para los espejos o bandejas de servir. Con el tiempo, su desarrollo comercial ha crecido de tal forma que bien puede decirse que casi cualquier aspecto de la vida moderna esta directa o indirectamente relacionado con su uso [2]. La característica más importante del aluminio es su versatilidad. Desde su estado más puro hasta la más compleja de las aleaciones, el rango de características mecánicas que pueden conseguirse es muy amplio. Su bajo peso específico lo hace idóneo para la fabricación de aleaciones ligeras, utilizadas en construcciones aeronáuticas o vehículos de transporte, entre otros. A su vez, su alta conductividad eléctrica lo hace apto para la fabricación de conductores eléctricos. Además, su uso se Ensayos Capítulo 8 8.11 extiende a utensilios de cocina gracias a su conductividad calorífica, papel de aluminio por su maleabilidad, depósitos de ácido, cerveza, etc., por su resistencia a la corrosión y por sus propiedades reductoras lo hacen útil para la desoxidación del hierro y otros metales. Por tanto, se aprecia la necesidad de trabajar con un metal como el aluminio, tan cercano a la industria cotidiana. Considerando el aluminio EN AW-2030 (UNE-EN 573-1) [3] y gracias al proceso de recocido al que se someterán las probetas, es posible reducir la resistencia del aluminio considerado y trabajarlo dentro del rango de esfuerzos que permite la máquina de ensayos. Se realiza una batería de ensayos de prueba para asegurar la deformabilidad del material, utilizando para ello probetas cilíndricas y un indentador de 4 mm de base. Como se muestra en la Figura 8.15, la indentación es factible después del proceso de recocido del material. Figura 8.15: Indentación en Al 2030 Por tanto, se selecciona finalmente el aluminio EN AW-2030 para realizar los ensayos de indentación posteriores, cuyos resultados serán comparados con los obtenidos el MEF y el TLS mediante su aplicación modular óptima. Para las aleaciones de aluminio se utiliza un sistema de cuatro dígitos para su identificación. De acuerdo a esta codificación, el material seleccionado para los ensayos, sería el 2xxx, siendo esta una aleación en la cual el principal aleante es el cobre, pudiendo existir otros elementos, en su mayor medida magnesio, estando éstos identificados mediante porcentajes. 8.3 Ensayos Seleccionado el material y comprobada su capacidad de deformación dentro del rango ofrecido por la máquina de ensayos disponible, se procede a configurar los ensayos de indentación. Con el fin de catalogar cada uno de los ensayos, se confecciona una codificación para identificar cada una de las probetas indentadas, de la siguiente forma: EX1-A1-X2-X3-A2-X4-A3-X5 Siendo: Carolina Bermudo Gamboa 8.12 X1: Número de ensayo A1: Consideración de probeta Finita (F) o Infinita (I) X2: Velocidad (en mm/s o mm/min) X3: Mitad de la anchura del punzón A2: Pieza con simetría (C) horizontal o sin simetría (S) X4: Profundidad de la indentación A3: Material de la probeta X5: Dimensiones de la probeta (mm) En cuanto al material suministrado, se cuenta con una barra de dos metros de sección cuadrada de 50 x 50 mm, la cual se secciona según la profundidad requerida. Las dimensiones de las probetas finales serán de 50 x 50 x 30 mm (Figura 8.16). Para trabajar considerando una deformación plana, es esencial que la profundidad de la pieza sea de 6 a 10 veces mayor que el ancho de la superficie donde se aplica el esfuerzo [4], en este caso la superficie plana del indentador. Como se trabaja con una indentador de Acero AISI 304 de base 3mm, la profundidad seleccionada es de 30mm. Como se ha indicado en apartados anteriores, para conseguir una deformación apreciable es necesario, someter a las probetas a un proceso de recocido, que elimine las tensiones residuales del material. Tanto las probetas para los ensayos de indentación como las probetas que se someterán al ensayo de tracción se han sometido al mismo tratamiento térmico, mostrado en la Figura 8.17 Por último, para estudiar el comportamiento de las probetas frente al endurecimiento por deformación, se someterán a distintas velocidades de deformación, siendo éstas 60 mm/min y 4 mm/min. Figura 8.16: Probeta de aluminio EN AW-2030 Recocido Ensayos Capítulo 8 8.13 Figura 8.17: Tratamiento térmico de Recocido. Al igual que con los materiales anteriores, se utilizan Bloques Patrones Longitudinales para centrar el indentador en la probeta, así como el útil de sujeción para evitar que el indentador resbale en el plato de compresión y ejerza un esfuerzo inclinado en la probeta, impidiendo que la indentación se lleve a cabo de manera apropiada (Figura 8.18). q Figura 8.18: Posicionamiento de la probeta sin carga Una vez posicionado cada instrumento de trabajo, se realiza una precarga de 50 N que permitirá retirar los Bloques Patrones Longitudinales del montaje, dejando únicamente el indentador interaccionar con la probeta (Figura 8.19). Figura 8.19: Probeta precargada A continuación se programa la máquina de ensayos para que alcance una penetración de 6 mm de profundidad y se inicia la indentación. Carolina Bermudo Gamboa 8.14 8.4 Resultados El software utilizado para la máquina de ensayos permite recoger, en un documento en formato .txt, los datos que se muestran a continuación, expresados en las siguientes unidades: - Tiempo del proceso  segundos - Fuerza del indentador  toneladas - Posición del indentador  milímetros Esta gestión permite organizar los datos obtenidos en una hoja Excel, de la que se pueden extraer las gráficas necesarias para la comparativa posterior. Así, para los distintos ensayos realizados, se obtienen resultados como los mostrados en la Tabla 8.1 y gráficos como la Figura 8.20. Tabla 8.1: Resultados E19-I-4mm/m-1.5-S-6-Al2030R-50x50x30 Probeta E19 Tiempo [s Fuerza [kN] Posición [mm] 7,94 -0,32 -0,03 22,74 -38,43 -1,01 30,20 -48,89 -1,50 38,04 -55,11 -2,01 45,40 -59,09 -2,50 53,24 -62,16 -3,02 60,60 -64,46 -3,51 68,04 -66,40 -4,00 75,80 -67,98 -4,52 83,24 -69,40 -5,00 91,10 -70,78 -5,52 98,46 -72,12 -6,01 Ensayos Capítulo 8 8.15 Figura 8.20: Resultados de E19-I-4mm/m-1.5-S-6-Al2030R-50x50x30 De esta forma, la primera comparación realizada se lleva a cabo entre las muestras indentadas a la misma velocidad. En la Figura 8.21 se muestran los resultados para indentaciones de 4 mm/min y en la Figura 8.22 los resultados a 60 mm/min. Por último, se realiza una comparación de los ensayos a distintas velocidades para ver la influencia del endurecimiento por deformación que, como se aprecia en la Figura 8.23, no es considerable Figura 8.21: Ensayos E19, E20 y E21 a 4 mm/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 293031323334 Fuerza[kN] HT/L E19 Al2030R 0 10 20 30 40 50 60 70 80 293031323334 Fuerza[kN] HT/L E21 E20 E19 E20 Carolina Bermudo Gamboa 8.16 Figura 8.22: Ensayos E22, E23 y E24 a 1 mm/s Figura 8.23: Comparativa entre ensayos a 4mm/min y 1mm/s Que no exista una diferencia considerable entre los esfuerzos obtenidos a distintas velocidades representa el comportamiento normal del metal bajo los efectos de la deformación. En efecto, <<… A temperatura ambiente, el efecto de la velocidad de deformación es casi despreciable […]. A medida que aumenta la temperatura, la velocidad de deformación juega un papel más importante en la determinación del esfuerzo de fluencia […]. Se puede observar que aun en el trabajo en frío, la velocidad de deformación puede tener un efecto mínimo sobre el esfuerzo de fluencia…>> [5] Para las futuras comparaciones con los resultados obtenidos con MEF y con TLS, se realiza una media de los resultados obtenidos mediante los ensayos, siendo la gráfica resultante la mostrada en la Figura 8.24 0 10 20 30 40 50 60 70 80 293031323334 Fuerza[kN] HT/L E22 E23 E24 E22 0 10 20 30 40 50 60 70 80 293031323334 Fuerza[kN] HT/L E22 E23 E24 E21 E20 E19 Ensayos Capítulo 8 8.17 Figura 8.24: Media de E19-E22 En cuanto al indentador, en las pruebas previas realizadas sobre probetas cilíndricas y con un indentador de 4 mm de base, éste no sufría deformación apreciable. No obstante, para los ensayos finales, trabajados con indentador de 3 mm de base, éste sí sufre una pequeña deformación que debe ser tenida en cuenta a la hora de realizar la comparación con los otros métodos utilizados, tal como se muestra en la Figura 8.25 y Figura 8.26. Figura 8.25: Deformación indentador lateral Figura 8.26: Deformación indentador frontal 0 10 20 30 40 50 60 70 80 293031323334 Fuerza[kN] HT/L Media Carolina Bermudo Gamboa 8.18 Ésto se debe al aumento de la superficie de deformación en cuanto a profundidad de la probeta y a la reducción, a su vez, de la superficie de apoyo del indentador, así como al aumento de la superficie superior de la pieza, lo que incrementa el empuje del material a desalojar. Esta superficie se reduce para compensar el aumento que se produce al trabajar con una probeta cuadrada, con mayor profundidad que la cilíndrica y poder realizar la indentación dentro del rango de esfuerzos que ofrece la máquina de ensayos utilizada. En cuanto a la probeta, la deformación producida no llega a ser completamente plástica y se producen ciertas roturas de carácter frágil en los extremos del indentador, no ocurriendo lo mismo en la zona interior de la probeta. En la Figura 8.27 se muestran las pequeñas roturas producidas en el material con una indentación de 6 mm. Figura 8.27: Rotura en el extremo de la probeta, vista superior Figura 8.28: Rotura en el extremo de la probeta, vista lateral En la Figura 8.28 se aprecia cómo la fisura y rotura del material se detiene a pocos milímetros del borde de la probeta, sufriendo en su mayoría una deformación plástica, como se esperaba del ensayo de indentación. De esta forma, los resultados Ensayos Capítulo 8 8.19 se podrán comparar con los obtenidos con los métodos tratados, mediante las consideraciones precisas. 8.5 Ensayo de Tracción Como se ha expresado en párrafos anteriores, para conseguir la indentación en las probetas de aluminio EN AW-2030, ha sido necesario someter a cada probeta a un recocido. Una vez que el material sufre dicho recocido, las características del aluminio EN AW-2030 cambian. Por tanto, para conocer las nuevas propiedades del material con el que se trabaja y poder, posteriormente, obtener los parámetros necesarios para la implementación del TLS mediante BRT desarrollado, es preciso caracterizarlo mediante la ejecución de un ensayo de tracción. Tal y como se ha indicado anteriormente, para los ensayos de tracción se cuenta con la máquina de tracción identificada en la Figura 8.7). Se han preparado una serie de probetas (Figura 8.29) extraídas del mismo bloque de material del que se obtienen las probetas para indentación, y se han sometido al mismo ciclo de recocido. Figura 8.29. Muestras de las probetas para los ensayos de tracción Las probetas utilizadas para el ensayo de tracción se han fabricado de acuerdo a la normativa ISO 6892_1210 [6], referente a ensayos de tracción a temperatura ambiente en materiales metálicos, a partir de la barra de sección cuadrada de 50 x 50 mm, mecanizada hasta obtener una barra de sección circular de 30 mm de diámetro. En la Figura 8.30 se aprecian las medidas finales de la probeta normalizada. Figura 8.30: Esquema de la probeta para el ensayo de tracción Carolina Bermudo Gamboa 8.26 Figura 8.41: Perturbaciones en las simulaciones con DEFORM 3D Una vez implementados los nuevos parámetros, la deformación que se produce esta vez en el punzón parece menor, si bien éste se ha inclinado durante la indentación, por lo que la indentación no se ha producido correctamente. (a) (b) Figura 8.42: Deformación con punzón deformable. (a) solo punzón, (b) punzón y pieza No obstante, resulta interesante que ocurra esto ya que en el ensayo real, para una velocidad de este valor (1 mm/s), el punzón tenía el mismo comportamiento al no estar sujeto. Es por ello que se crea un útil de sujeción para el mismo. No obstante, se recuperan los resultados obtenidos y se comparan con el ensayo hasta el momento en que comienza a producirse la inclinación del punzón (Figura 8.43). Apreciándose que, antes de producirse el fallo, los resultados son similares a la consideración de punzón rígido. 0 20 40 60 80 100 120 293031323334 Fuerza[kN] HT/L Al 2030R Punzon Def DEF. Ensayos Capítulo 8 8.27 Figura 8.43: Comparación con punzón deformable Las siguientes simulaciones se llevan a cabo restringiendo el movimiento del punzón para evitar esa inclinación durante el proceso. En la Figura 8.44 se aprecian los resultados obtenidos de las siguientes simulaciones. En ningún momento se alcanzan los mismos valores que los obtenidos del ensayo, quedando siempre ligeramente por debajo de éstos, lo que hace suponer que esa leve diferencia pueda deberse a ligeras variaciones y factores no controlables en el momento de la realización del ensayo. Figura 8.44: Comparación de los resultados de DEFORM con los del ensayo real A continuación se procede a explicar el mismo proceso, pero esta vez con ABAQUS, con el fin de presentar las diferencias entre ambos programas y buscar 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 29,030,031,032,033,034,0 Fuerza[kN] HT/L Def 3D Al 2030R Punzón Def DEF.DEF.3D 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 29,030,031,032,033,034,0 Fuerza[kN] HT/L Def 3D Al 2030R Mod 2 Punzón Def 4 5 10 DEF.3D DEF. Carolina Bermudo Gamboa 8.28 unos resultados óptimos para todo el proceso, verificando así la idoneidad de uno u otro. Igualmente, al intentar implementar el ensayo en 2D, con consideración de Deformación Plana, los resultados no siguen la misma evolución ni rango de valores (Figura 8.45), por lo que se realiza también en 3D. Figura 8.45: Comparación de resultados del ensayo con resultados de ABAQUS 2D Para evitar complicar la simulación, se comenzará planteando el ensayo de la forma más simple posible, evitando en un primer momento plantear un contacto. Este procedimiento es debido a la complejidad que aporta ABAQUS en comparación con el anterior utilizado. ABAQUS resulta una herramienta mucho más potente y su uso es de índole más variada y general, lo que conlleva definir cada paso de forma mucho más laboriosa. DEFORM, por el contrario, está definido para problemas de deformación plástica, por lo que su aplicación es más sencilla. En un primer lugar se trabajará y se definirán las condiciones de contorno. Así, impidiendo el movimiento de los nodos que estarían en contacto con el punzón, se asimilaría a una situación de rozamiento máximo o m=1, mientras que dejando los nodos con libertad de movimiento se plantearía la ausencia de rozamiento. Para simular el punzón, se aplica un movimiento de 6 mm hacia abajo en la zona que cubriría este. Por último, se trabaja con condiciones de simetrías (Figura 8.46). Los primeros resultados arrojan una deformación similar a la obtenida con el ensayo real, como se aprecia en la Figura 8.47, mientras que los esfuerzos obtenidos se encuentran dentro del mismo rango y con una evolución similar (Figura 8.48), aunque ligeramente inferiores, al igual que ocurría con DEFORM. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 293031323334 Presión [Mpa] HT/L Al 2030R 1 2 3 4 5 6 7 9 Ensayos Capítulo 8 8.29 Figura 8.46: Planteamiento de la pieza de trabajo en ABAQUS (a) (b) Figura 8.47: Deformación obtenida con ABAQUS. (a) corte de simetría, (b) perspectiva de la deformación Figura 8.48: Comparación resultados ensayo, ABAQUS, DEFORM y modelo TLS 0 10 20 30 40 50 60 70 80 293031323334 Fuerza[kN] HT/L Def 3D Al 2030R Mod 2 Abaqus DEF.3D ABAQUS Carolina Bermudo Gamboa 8.30 Se llevan a cabo diversas simulaciones, cambiando distintas características de las mismas, siendo los resultados obtenidos del orden de los mostrados con anterioridad (Figura 8.49), por lo que se entiende la necesidad de plantear la simulación como un problema de contacto, añadiendo el punzón a la misma. Figura 8.49: Comparativa con ABAQUS 3D Para el planteamiento de la simulación introduciendo el contacto con el punzón también será necesario indicar las secciones de contacto, el tipo de rozamiento y el valor de este, así como una serie de simulaciones previas para conocer el comportamiento del material según los parámetros escogidos. En la Figura 8.50 se aprecia el planteamiento del mismo problema bajo la perspectiva de distintas mallas (a) (b) Figura 8.50: Resolución de la simulación con contacto en ABAQUS. (a) malla fina, (b) malla gruesa Se debe definir el punzón como rígido analítico para que haga las funciones de una superficie definida matemáticamente, utilizando para ello líneas y arcos. En caso de utilizar un rígido discreto sería necesario mallar también el punzón utilizando elementos rígidos. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 293031323334 Fuerza[kN] HT/L Al 2030R Mod 2 Abaqus 4 Abaqus 3 Aba 6 ABAQUS 4 ABAQUS 5 ABAQUS 6 Ensayos Capítulo 8 8.31 En la Figura 8.51 y en la Figura 8.52 se pueden apreciar los distintos resultados obtenidos de las diferentes simulaciones implementadas, en comparación con los resultados obtenidos del ensayo real de indentación. Así, se aprecia que para la simulación 2 y 3, debido a problemas relativos al grosor de la malla, no es posible realizar una penetración grande y el programa se detiene mucho antes. Es necesario, por tanto, afinar la malla y cambiar el tipo de elemento que la compone, con el fin de asociar a la malla el elemento que trabaje bien para grandes deformaciones. Las simulaciones 7, 8 y 9 presentan una buena evolución hasta alcanzar un factor de forma de 31. En ese momento se puede ver como los resultados comienzan a ser superiores a los arrojados por el ensayo real de indentación. Esto se debe a la distorsión de la malla. Es necesario implementar un remallado de la misma pero, debido a los elementos utilizados y al tiempo de trabajo disponible con el programa, finalmente esto no resulta posible. Figura 8.51: Resultados para las simulaciones de la 1 a la 8 Por tanto, en caso de seleccionar uno de los dos programas de elementos finitos para realizar distintas simulaciones y llevar a cabo una comparativa adecuada con los resultados, sería más conveniente el uso del programa DEFORM en su vertiente 2D, ya que este programa es específico para problemas de conformado por deformación, dejando al usuario un entorno mucho más sencillo y una aplicación más directa y rápida, no siendo necesario definir cada uno de los pasos a realizar. Además, los resultados arrojados por DEFORM suelen presentar una repetitividad que no se ha conseguido con ABAQUS, por lo que la fiabilidad del primero es mayor, no existe esa variación tan amplia de resultados con la mínima variación de las características de la simulación. Por otra parte, se elige su versión en 2D ya que el tiempo computacional 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 293031323334 Presión [Mpa] HT/L Al 2030R 1 2 3 4 5 6 7 8 Carolina Bermudo Gamboa 8.32 es mucho menor que en su versión en 3D y, como ya se ha mostrado, los resultados obtenidos no presentan una apreciable variación. Figura 8.52: Resultados para las simulaciones de la 7 a la 10 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 293031323334 Presión [Mpa] HT/L Al 2030R 7 8 9 10 12 13 Ensayos Capítulo 8 8.33 Referencias [1] AENOR, "Materiales metálicos. Verificación de máquinas de ensayos uniaxiales estáticos. ," in Parte 1: Máquinas de ensayo de tracción/compresión. Verificación y calibración del sistema de medida de fuerza. (ISO 7500-1: 2004), ed. Madrid: AENOR, 2006. [2] A. I. H. Committee, Properties and Selection: Nonferrous Alloys and SpecialPurpose Materials vol. 2: ASM International, 1990. [3] M. Yetna N’Jock, D. Chicot, X. Decoopman, J. Lesage, J. M. Ndjaka, and A. Pertuz, "Mechanical tensile properties by spherical macroindentation using an indentation strain-hardening exponent," International Journal of Mechanical Sciences, vol. 75, pp. 257-264, 2013. [4] G. W. Rowe, Conformado de los metales. Bilbao (España): Urmo, 1972. [5] M. P. Groover, C. M. de la Peña Gómez, and M. Á. M. Sarmiento, Fundamentos de manufactura moderna: materiales, procesos y sistemas: Pearson Educación, 1997. [6] A. Alforzan and J. S. Gunasekera, "An upper bound elemental technique approach to the process design of axisymmetric forging by forward and backward simulation," Journal of Materials Processing Technology, vol. 142, pp. 619-627, 2003. CAPÍTULO 9 APLICACIONES Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Carolina Bermudo Gamboa 9.4 Figura 9.3: Proceso de Forja con creación de rebaba 9.4 Aplicación 3 Gracias a la sencilla aplicación del modelo, una vez éste es desarrollado, y a la velocidad computacional del mismo en comparación con los métodos actuales de análisis basados en el MEF, es posible diseñar una aplicación en la que el usuario sólo deba introducir los parámetros conocidos en el proceso de deformación requerido, como puede ser la geometría de la matriz, el tamaño de ésta o el material de la pieza, obteniendo con ellos el esfuerzo necesario para alcanzar la deformación deseada en cuestión de segundos de cálculo. 9.5 Conclusiones Por lo tanto, teniendo en cuenta lo anteriormente enunciado, las aplicaciones directas derivadas del empleo del TLS mediante BRT en procesos de forja, empleando el modelo modular, podrían resumirse en los siguientes puntos: - Cálculo de esfuerzos para los nuevos proceso de fabricación: PFI - Cálculo de esfuerzos para matrices de forja de geometrías complejas. - Cálculo de esfuerzos para procesos de forja con rebaba. Adicionalmente, el método desarrollado podría ser implementado en un programa de cálculo que permita al operario o investigador deducir el esfuerzo de deformación requerido mediante la introducción de los datos conocidos, por lo que se considera de interés la generación de la siguiente acción: - Diseño de aplicación informática para el cálculo de esfuerzos de un proceso de indentación mediante el TLS VV Aplicaciones Capítulo 9 9.5 Referencias [1] P. Groche, D. Fritsche, E. A. Tekkaya, J. M. Allwood, G. Hirt, and R. Neugebauer, "Incremental Bulk Metal Forming," CIRP Annals - Manufacturing Technology, vol. 56, pp. 635-656, 2007. [2] N. Venkata Reddy, R. Sethuraman, and G. K. Lal, "Upper-bound and finiteelement analysis of axisymmetric hot extrusion," Journal of Materials Processing Technology, vol. 57, pp. 14-22, 1996. [3] A. M. Camacho, M. M. Marín, E. M. Rubio, and M. A. Sebastian, "Application of different simulation strategies for the analysis of Multi-Stroke LocalisedIncremental Forming operations," Advances in Non Conventional Materials Processing Technologies. Materials Science Forum, vol. 713, pp. 19-24, 2012. [4] E. Ghassemali, M.-J. Tan, A. E. W. Jarfors, and S. C. V. Lim, "Optimization of axisymmetric open-die micro-forging/extrusion processes: An upper bound approach," International Journal of Mechanical Sciences, vol. 71, pp. 58-67, 2013. [5] J. Nowak, L. Madej, F. Grosman, and M. Pietrzyk, "Material flow analysis in the Incremetal Forging technology," International Journal of Material Forming, vol. 3, pp. 931-934, 2010/04/01 2010. [6] C. Bernal, A. M. Camacho, M. Marín, and B. de Agustina, "Methodology for the evaluation of 3D surface topography in Multiple Indentation Processes," International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 69, pp. 20912098, 2013. [7] S. Seiong, O. Younossi, and B. W. Goldsmith, Titanium. Industrial Base, Price Trends and Technology Initiatives, 2009. [8] A. Alfozan and J. S. Gunasekera, "Design of profile Ring Rollin by Backward Simulation using Upper Bound Element Technique (UBET)," Journal of Manufacturing Processes, vol. 4, pp. 97-108, 2002. [9] I. Bagudanch, M. L. Garcia-Romeu, I. Ferrer, and J. Lupiañez, "The effect of process parameters on the energy consumption in Single Point Incremental Forming," Procedia Engineering, vol. 63, pp. 346-353, 2013. [10] D. Y. Yang and T. S. Noh, "An analysis of axisymmetric hydrostatic bulging by the upper-bound method," International Journal of Mechanical Sciences, vol. 30, pp. 43-49, 1988. [11] F. Martín, "Desarrollo, integración y optimización en el estudio del proceso de forja mediante el teorema del límite superior a través del modelo de bloques rígidos triangulares," Thesis, Ingeniería de Fabricación, Universidad de Málaga, Málaga, 2009. CAPÍTULO 10 CONCLUSIONES Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Índice Capítulo 10 Índice Capítulo 10 10.1 Introducción ...................................................................................................... C10.1 10.2 Conclusiones generales.................................................................................... C10.1 10.3 Conclusiones particulares ................................................................................. C10.2 10.4 Líneas futuras de desarrollo ............................................................................. C10.3 Conclusiones Capítulo 10 10.1 10. CONCLUSIONES 10.1 Introducción En el presente capítulo se realizará un resumen de las aportaciones acometidas en cada uno de los capítulos anteriores, realizando la pertinente comparativa con los objetivos de la tesis, que se establecieron al inicio de la misma, con el fin de identificar el grado de consecución de dichos objetivos. A continuación se presentan las conclusiones generales, analizando a grandes rasgos los objetivos básicos alcanzados, siendo éstos el núcleo principal del estudio realizado. Posteriormente se comentarán las conclusiones particulares, mostrando aquellos resultados y análisis desarrollados adicionalmente en el transcurso de su elaboración, de forma análoga a lo expresado para los objetivos generales. Finalmente, se señalarán las líneas de desarrollo futuro de la presente Tesis, basadas en las necesidades de extender los resultados obtenidos, sugiriendo las propuestas adecuadas para una correcta continuación del estudio, nuevas posibilidades y la apropiada aplicación del método desarrollado. Con esta proyección futura se pretende dejar abierto el camino para abarcar aquellos frentes que puedan quedar abiertos o sean interesantes de continuar. 10.2 Conclusiones generales Se presenta la consecución de los objetivos principales expuestos en el inicio de la presente Tesis, mediante el planteamiento inicial y justificación de la misma. El desarrollo de la investigación permite obtener las siguientes conclusiones generales: - Se ha constatado la idoneidad de llevar a cabo estudios exhaustivos sobre los procesos de indentación, a causa de la nueva demanda de la industria actual, que es debida al desarrollo de los nuevos procesos de fabricación basados en la forja incremental. - Se ha constatado, así mismo, la gran aceptación que posee el Teorema del Límite superior en los diversos trabajos y estudios consultados. No obstante, no existe un gran número de estos estudios basados en la aplicación de este Carolina Bermudo Gamboa 10.2 teorema bajo la configuración modular abarcada en la presente Tesis Doctoral, siendo una línea de investigación interesante y novedosa, debido a su simplicidad de aplicación, una vez desarrollado el modelo. - Se ha conseguido implantar un método analítico para geometrías no restringidas a punzones planos-paralelos que, además, posibilita la incorporación de los distintos parámetros que puedan tener cabida en los procesos de conformado por deformación plástica, como puede ser el endurecimiento por deformación o el rozamiento. - Asimismo, se ha realizado la clasificación para piezas consideradas finitas e infinitas, identificando el factor de forma referente a cada una de ellas y el modelo de aplicación adecuado para cada configuración. - Del mismo modo, se ha elaborado un estudio del rozamiento asociado a los procesos de conformado por deformación plástica, estableciendo que, para los casos de indentación, debido al tamaño relativamente pequeño de la matriz de conformado respecto a la pieza, el rozamiento se ve diluido en el esfuerzo de deformación, siendo su influencia mínima. - Se ha comparado el modelo desarrollado con distintos métodos, tanto analíticos como numéricos, como son el Campo de Líneas de Deslizamiento y el Método de Elementos Finitos, mostrando de esta forma la idoneidad del Teorema del Límite Superior bajo su configuración modular para su aplicación en procesos de conformado por indentación. 10.3 Conclusiones particulares Así como en las conclusiones generales planteadas en el apartado anterior, es posible exponer conclusiones más específicas derivadas del desarrollo de la investigación. Estas son las siguientes: - Se ha buscado un método que simplifique el estudio de esfuerzos frente a los actuales métodos existentes. Desde la perspectiva matemática, la aplicación del Teorema del Límite Superior bajo su configuración modular conlleva una implementación menos complicada que otros métodos, entre los que se encuentran los métodos que han sido seleccionados para realizar el estudio comparativo. - Del mismo modo, cabe destacar la rapidez en la aplicación de esta técnica. Su menor coste computacional la hace un método adecuado para la consecución del estudio de los esfuerzos necesarios para realizar la deformación deseada. - La clasificación de las piezas en dos grupos o configuraciones, finitas e infinitas, ha permitido una solución más amplia ya que abarca todo el rango de piezas posibles para el conformado por deformación plástica. Conclusiones Capítulo 10 10.3 - De estas dos configuraciones, la denominada como infinita es considerada la de aplicación general, ya que cubre el rango de piezas normalmente empleado en la industria, en procesos de conformado por indentación. El rango de piezas finitas se asemeja al trabajo realizado en procesos de conformado de chapa, lo que aumentaría el tamaño del campo de aplicación del método desarrollado. - Es posible la adaptación del modelo a distintas geometrías de la matriz de deformación o punzón, gracias a la versatilidad de la configuración modular expuesta y a los modelos desarrollados, tanto para punzones planos como inclinados, existiendo la posibilidad de realizar una combinación de ambos para geometrías más complejas. - Queda demostrada la posibilidad de incorporación de las diferentes componentes energéticas presentes en el proceso de deformación, lo que permite realizar la discriminación de cada una de ellas para determinar su grado de influencia en el mismo, tal como se ha llevado a cabo con el rozamiento. - La incorporación de los diferentes parámetros presentes en la deformación permiten un mayor acercamiento del modelo a la realidad, tal como ocurre con la implementación del endurecimiento por deformación estudiado. - Así mismo, es posible determinar la velocidad de fluencia del material ya que, gracias al método desarrollado, se puede determinar la velocidad existente en cada zona rígida virtual establecida. - Es posible establecer las curvas de representación de los esfuerzos para el proceso de deformación que se lleva a cabo, representando de esta forma el límite superior necesario para garantizar dicha deformación, teniendo en cuenta los distintos parámetros incluidos en el método. 10.4 Líneas futuras de desarrollo Al igual que en estudios anteriores de la misma índole, la investigación desarrollada en la presente Tesis Doctoral muestra un amplio abanico de posibilidades y aplicaciones que no ha sido posible abarcar en el periodo de tiempo establecido para la realización de ésta, por lo que se presentan ciertas líneas futuras de investigación que serían interesantes de desarrollar. - Ampliar el estudio geométrico a diferentes configuraciones de la matriz de deformación o punzón, combinando los casos de punzón plano e inclinado, casos tridimensionales o modelos axisimétricos, superficies curvas, entre otras, extendiendo así el campo de aplicación del método del TLS mediante BRT en su disposición modular. Carolina Bermudo Gamboa E.4 obtained, which are at shape factors, where the infinite configuration is not taking place yet. Figure E.1 shows the configuration of the middle module for a finite case. It can be seeing that the height of the module (h) is equal to the total height of a quarter of the workpiece studied (HT). Figure E.1: Module B or second module of the Modular Model implemented. E.2.2. Finite/Infinite configuration The finite or infinite configuration applied to the work-piece studied depends on the p/2k values. The change takes place when . E.2.3. Work-piece base study If the work-piece base is less than 15L, the indentation is impossible without clamping or fixing the work-piece. In case of fixing the work-piece, the process is assimilated to a drawing process and it is out of the scope of the study of the present thesis. If the base of the work-piece to indent is equal or greater than 15L, the value of p/2k is constant. That is, holding other parameters unchanged, the variation of the base of the workpiece will not significantly affect the final outcomes. E.2.4. Friction factor With this study, it has been found that the adhesion friction (m) does not have much influence on the final results. The friction effect tends to fade into the vastness of the workpiece, compared to the punch, especially for infinite cases. However, in order to homogenize results, following the friction values available in the Handbook of Friction, lubrication, and wear technology [10], it is chosen a friction factor of m = 0,7 as the more unfavorable option. Thesis English Summary E.5 E.2.5. Tilted punch The tilt model may only be considered in the transition zone of the indentation process. When the base of the punch is complete, that is when the entire base is in contact with the material, it is possible to change to a flat punch case. In addition, the finite consideration will not take place because it would be like a punching or stamping process, outside the scope of the thesis. E.2.6. Hardening We have worked, virtually, with Aluminium, Steel, Titanium and Superalloys. In total, 20 different materials. Three hardening models where adopted due to the inability to cover all the material options with a single model. These patterns depend on the hardening exponent (n), being applicable . By performing the appropriate substitutions, the equation pertinent is , knowing that . Thus: Model 1: Applies hardening to all three modules Model 2: Applies hardening to both modules under the punch Model 3: Applies hardening to the first module only. A classification was made according with the suitability of the results obtained in the application of the three models developed, as it is shown in Table E.1 Table E.1: Hardening Classification by n Materials n Model Aluminium, Steel, Titanium 0 ≤ n ≤ 0.10 Model 3 n > 0.10 Model 2 Superalloys 0 ≤ n ≤ 0.12 Model 3 n > 0.12 Model 1 E.2.7. Trials First trials were made with tin and lead. These materials allow a relatively easy deep deformation, giving good results at slow indentation. The problem was that these type of materials have particular characteristics. Hardening takes place very quickly at high speeds and it does not increase proportionally to the deformation speed. However, these are not materials that are usually use in conventional deformation processes, so the final work-piece was made of Aluminium. Carolina Bermudo Gamboa E.6 We worked with Aluminium 2030 annealed. The annealing process was provided in the laboratory (Figure E.2). So, after the annealing process was completed, tensile tests were performed to characterize the resulting material in order to be able to introduce them in the UBT modular model. Figure E.2: Anneal sequence E.2.8. M.E.F. We worked with DEFORM 2D and 3D and ABAQUS 2D and 3D software. DEFORM was chosen because it is a software specialist in forming processes by plastic deformation and provides a simpler treatment of the entire problem, as well as more consistent results of the process. Figure E.3 shows the comparison between the results obtained in the implementation of UBT by its modular configuration, with the ones obtained with the trials and the virtual application. Figure E.3: Comparative between UBT, Trials and FEM E.3. Conclusions A summary of the contributions completed in each of the previous chapters is made, making the appropriate comparison with the objectives that were established at the beginning of the thesis, in order to identify the objectives achievement. 1 hour 1 hour 1 hour1 hour T.enviroment 420ºC 250ºC Oven Stop T.enviroment Thesis English Summary E.7 The general conclusions of the study, where will be discussed broadly the core objectives achieved of the case study, are presented below. Subsequently, the particular conclusions will be discussed, showing those results and analysis developed alike to the general objectives. Finally, the thesis future development lines are presented. The future lines are based on the need of extend the results obtained, suggesting proposals suitable for a proper continuation of the study, new possibilities and the correct application of the developed method. This future projection is intended to leave the method open to encompass those fields that can remain open or be interesting to continue E.3.1. General conclusions The achievement of the main objectives set out at the start of this thesis through the initial approach and justification is presented. The development of the present research allows obtaining the following general conclusions: - The suitability to carry out in-depth studies of the indentation processes, as a primarily simplification of the incremental forging processes, is noted. Nowadays, the development of new manufacturing processes based on incremental forging is present in the manufacturing industry. - At the same time, the great acceptance that has the Upper Bound Theorem on the articles and studies range consulted has been confirmed. However, the modular configuration covered in this Doctoral Thesis is not usually present, being an interesting line of research due to its simplicity, once the mathematical model is developed. - We have managed to implement an analytical method for non-restricted flat-parallel geometries punches, which, moreover, allows the incorporation of the different parameters that can have place in plastic deformation processes, like friction or strain hardening. - Also, we were able to make a classification for the work-piece studied as finite and infinite, identifying the shape factor and the suitable model in each case study. - In the same way, a study of the friction associated with forming processes has been made, establishing that, for indentation cases, friction is diluted in the effort of deformation due to the relatively small size of the forming matrix with the work-piece. So, the friction influence is minimal. - The model developed has been compared with different methods, both analytical and numerical, such as the Slip Line Field and the Finite Element Method. This way, the suitability of the Upper Bound Theorem under its modular configuration for its application in indentation processes is show. Carolina Bermudo Gamboa E.8 E.3.2. Singular conclusions As well as the general conclusions raised in the preceding paragraph, to expose more specific conclusions derived from the research developed is possible. These singular conclusions are the following: - A method that simplifies the efforts study against the current existing methods is sought. From a mathematical perspective, the Upper Bound Theorem application, under its modular configuration involves a less complicated implementation than other methods, including the selected methods with which were performed the comparison. - Similarly, the application speed of the theorem can be appreciated. Its lower computational cost makes it a suitable method for the needed efforts achievement to perform the deformation required. - The parts classification into two groups, finite and infinite, allows a broader solution since it covers the entire possible work-piece range for plastic deformation forming. - Of these two configurations, the infinite one is considered to be of general application, since it covers the range of work-pieces normally employed in the industry for indentation processes. The range of finite parts resembles the work done in sheet metal process, which would increase the size of the developed method application field. - The adaptation of the model to different geometries of the matrix of deformation or punch is possible due to the modular configuration versatility exposed and to the developed models, both for flat and inclined punches. Also, a combination of both models for more complex geometries is possible. - The introduction of different energy parameters present in the deformation processes is feasible, allowing the discrimination of each of them to determine their influence degree as it has been conducted with friction. - This parameters incorporation allows a greater model approach to reality, as it is the case of the hardening implementation studied. - Similarly, determining the material flow speed is possible. Due to the developed method, the speed in each virtual rigid zone can established. - To set the efforts representation curves for the deformation process that takes place is achievable. Thus representing the necessary upper limit to ensure such deformation, taking into account the different parameters included in the method. E.3.3. Future development lines As in the earlier studies of the same nature, this research demonstrates a wide range of possibilities and applications that have not been possible to include in the time established for the thesis realization. So, in the next section, some research future lines that would be interesting to develop are exposed. Thesis English Summary E.9 - Extend the geometric study to different die configurations, combining the cases studies of flat and inclined punch, three-dimensional cases or axi-symmetric models, curved surfaces, etc. thus extending the method application field. - From a technological point of view, extend the study to the method application to the incremental forging processes which deviate more from pure indentation process, such as orbital forging. - In relation to the different parameters contemplated, there are still some others that have not been considered of relevant interest in a first study, such as the temperature, that can be equally analyzed and implemented. - Perform a forging and indentation combination for complex dies, establishing the application limit depending on the deformation level reached. That is to say, presenting a forging case, contemplate an indentation case when the burr starts to develope. - Finally, development a computer program for the model implementation in the industry, facilitating and expanding its application for indentation and forging processes of indentation, being this of greater interest due to the possible combination of the two processes. Carolina Bermudo Gamboa E.10 References [1] F. Martín, "Development, integration and optimization in the study of forging process by the theorem of the upper limit through the model of triangular rigid blocks", Doctoral Thesis, Manufacturing Engineering, University of Málaga, 2009. [2] H. Kudo, "An upper-bound approach to plane-strain forging and extrusion-I", International Journal of Mechanical Sciences, vol. 1, pp. 57-83, 1960. [3] F. Martín, C. Bermudo, and L. Sevilla, "Analytical approach to the indentation process. 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Sevilla, "Analysis and selection of the modular block distribution in indentation process by the Upper Bound Theorem," Procedia Engineering, 2013. [8] Y. T. Lin and J. P. Wang, "A new upper-bound elemental technique approach," Computers & Structures, vol. 65, pp. 601-611, 1997. [9] J. P. Wang and Y. T. Lin, "The load analysis of the plane—strain forging processes using the upper-bound stream-function elemental technique," Journal of Materials Processing Technology, vol. 47, pp. 345-359, 1995. [10] A. I. H. Committee, Handbook of Friction, lubrication, and wear technology: ASM International, 1992. ANEXO I RECOPILACIÓN HISTÓRICA SOBRE LA EVOLUCIÓN DEL ESTUDIO DE LA PLASTICIDAD DESDE 1980 HASTA LA ACTUALIDAD Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Índice Anexo I Índice Anexo I A.1.1. Resumen: Inicios-1980 ................................................................................. A.1.2 A.1.2. 1980 en adelante .......................................................................................... A.1.5 A.1.2.1.Criterios de Fluencia .............................................................................. A.1.5 A.1.2.2.Modelado del efecto Bauschinger ........................................................ A.1.10 A.1.3. Líneas generales de desarrollo ................................................................... A.1.11 A.1.3.1.Década de los 80 ................................................................................. A.1.11 A.1.3.2.Década de los 90 ................................................................................. A.1.13 A.1.3.3.Siglo XXI .............................................................................................. A.1.14 A.1.4. Esquema Evolutivo hasta 1980 .................................................................. A.1.16 A.1.5. Esquema Evolución Criterios de Fluencia ................................................... A.1.17 A.1.6. Evolución Modelos de Esfuerzos ................................................................ A.1.18 Carolina Bermudo Gamboa A.1.6 mientras que los pórticos siguen todavía discretizándose en barras y utilizando el Método Matricial. Desde el rápido declive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incremento en la potencia de cálculo, el MEF ha desarrollado una increíble precisión. A día de hoy, los superordenadores son capaces de dar resultados muy precisos para todo tipo de parámetros. Ejemplos de la aplicación de este método se presentan en publicaciones como “Modelado numérico de conformado de metales usando la formulación del flujo viscoplástico y el método de Elementos Finitos”, de E. Oñate [12], donde se estudia la influencia del rozamiento mediante una modelización de elementos finitos en los procesos de conformado. No obstante, la presente línea de trabajo se centrará en el estudio de la evolución sobre los métodos analíticos, de los que posteriormente derivan los algoritmos adecuados para su implementación computacional. Figura A.1.5: Rodney Hill Fuente: The Telegraph. Article “Professor Rodney Hill” 2011 Es en 1980 cuando Hill (Figura A.1.5) revisa su propio criterio de fluencia de 1950, ya que éste no podía describir el comportamiento plástico de algunos materiales como las aleaciones de aluminio, lo que llevó a diversos autores a identificar este comportamiento como anómalo. Hill asume la isotropía planar, donde los ejes pueden ser orientados arbitrariamente en el plano del metal laminado y los términos asociados a los esfuerzos cortantes no son necesarios. Es en 1989 cuando J. Lian, D. Zhou y B. Baudelet [13] presentan las ventajas de este nuevo criterio, ya que puede describir el comportamiento “anómalo” de los materiales, tiene una formulación relativamente sencilla y lleva a una expresión analítica asociada a la regla de fluencia con tensión equivalente. En 1990 Hill vuelve a reformular el criterio de fluencia, puesto que el anterior no puede utilizarse cuando las direcciones de las tensiones principales son coincidentes con los ejes ortotrópicos, causando limitaciones severas a la aplicación. Desarrolla entonces una generalización del criterio expresándolo en un sistema de coordenadas Recopilación histórica Anexo I A.1.7 generales. Y no es hasta 2006 cuando Leacock [14] extiende la formulación propuesta, utilizando siete parámetros mecánicos en la identificación del proceso, dando, por lo tanto, mejores predicciones en superficies de fluencia y distribución plana para tensiones de fluencia uniaxiales y coeficientes de anisotropía plástica. Se observó que algunos materiales, especialmente aleaciones de aluminio y latones, tienen parecidas tensiones de fluencia pero diferente coeficiente de anisotropía en las direcciones transversales. Por ello, en 1993, Hill [15] vuelve a proponer un nuevo criterio de fluencia capaz de modelar los comportamientos anómalos de primer y segundo orden. No obstante, aun existen desventajas: - La función de fluencia no es homogénea respecto a σ1 y σ2, por lo que no permite obtener expresiones explícitas sobre el incremento de tensiones. - Sólo se puede utilizar si las direcciones de los esfuerzos principales son coincidentes con los ejes ortotrópicos. - No permite describir la variación del coeficiente de anisotropía ni la tensión de fluencia uniaxial en el plano laminar. Por lo tanto, la aplicación del criterio de fluencia es limitada en estos aspectos. A parte de la familia de criterios desarrollados por Hill, se debe mencionar otro tipo de modelos basados en la formulación isotrópica propuesta por Hershey [16]. Sería Hosford quien, en 1979, propone un criterio de fluencia independiente del criterio de Hill, diferenciándose en la forma de determinar el exponente a, ya que Hosford lo asocia a la estructura cristalográfica del material (Ec. A.1.1). Ec. A.1.1 En 1987 se propone una formulación más general del criterio de Hosford de la mano de Barlat y Richarmond [17], expresando la ecuación en función del sistema de coordenadas XYZ, no necesariamente coincidente con el de las direcciones principales de deslizamiento (Ec. A.1.2) . Ec. A.1.2 Tanto k1 como k2 son invariantes del tensor de tensiones mientras que M es un exponente integral que tiene el mismo significado que el anterior exponente a. En 1989, Barlat y Lian [18] publican la ecuación generalizada para materiales con comportamiento anisotrópico planar introduciendo la siguiente ecuación de fluencia (Ec. A.1.3). Ec. A.1.3 Carolina Bermudo Gamboa A.1.8 Entre las ventajas introducidas con este criterio, se pueden destacar el número reducido de parámetros mecánicos utilizados en la identificación y que esta se produce de forma relativamente sencilla. También ofrece una predicción bastante acertada del lugar de la cortadura para aleaciones de aluminio sin una gran anisotropía. En 1991, es nuevamente Barlant [19] quien propone un criterio de fluencia de seis componentes (σ11, σ22, σ33, σ12, σ23, σ31) que puede ser adaptado sin restricciones referentes al estado de tensión, por lo que la ecuación se reescribe (Ec. A.1.4) en función de las tensiones de desviación principales S1, S2 y S3. Ec. A.1.4 Estudios experimentales demostraron que el comportamiento plástico de las aleaciones de aluminio, eran realmente difíciles de modelar con los criterios mostrados hasta el momento y no es hasta principios de 1990 que distintos investigadores se interesan por el problema. Alrededor de 1993, Karafillos y Boyce [20] proponen una ecuación de fluencia muy general. Originalmente se formula la función de fluencia (combinación entre von Mises y Tresca) así como la transformación lineal para pasar de un caso isotrópico a anisotrópico. Esta metodología es usada en 1997 por Barlat et al [21], quienes proponen una expresión aún más general del criterio de fluencia. La variación consiste en darle valores de carga a los términos mostrados en la Ec. A.1.5, relacionados con la anisotropía del material. Ec. A.1.5 El problema que surge con este modelo es, entre otros, que las derivadas de la tensión equivalente son complicadas de obtener analíticamente y, en consecuencia, el empleo de este modelo es bastante reducido. Desde el año 2000 aproximadamente, la representación del comportamiento anisotrópico de los materiales ha influenciado muchas investigaciones enfocadas en el desarrollo de un criterio de fluencia apropiado. Varios modelos nuevos han sido propuestos durante los últimos años, todos ellos excelentes en cuanto a la descripción del comportamiento anisotrópico, tanto para las aleaciones de aluminio como para los acero. Los nuevos criterios incorporan un gran número de coeficientes (normalmente ocho) y gracias a esto, es posible dar una descripción apropiada del comportamiento de fluencia. En el año 2000, Barlat (Figura A.1.6) propone un modelo nuevo particularizándolo para el tipo de deformación plana [22]. Este criterio de fluencia ha sido probado para diferentes aleaciones de aluminio, demostrando una anisotropía Recopilación histórica Anexo I A.1.9 pronunciada. El modelo demuestra su capacidad de dar una predicción del comportamiento de las desviaciones planares de la tensión de fluencia uniaxial y del coeficiente plástico anisotrópico, pero incluye una serie de desventajas, como la excesiva complejidad de la formulación. Figura A.1.6: Frédéric Barlat Fuente: Daily Unn También en el año 2000, los miembros de CERTETA1 comenzaron sus investigaciones en torno a un modelo capaz de proporcionar una descripción precisa del comportamiento superficial de fluencia mediante textura computacional, desarrollándose en las bases de la formulación isotrópica propuesta por Hershey. Añadiendo coeficientes de carga, se dio paso a un criterio de fluencia flexible. La última versión incorpora ocho coeficientes y, en consecuencia, la identificación del proceso utiliza ocho parámetros mecánicos. La primera formulación de este nuevo criterio la realizaron Banabic, Balan y Comsa [23] y por ello recibe el nombre de “criterio de fluencia de BBC”. Una modificación del modelo (BBC 2005) fue implementada en el programa comercial de elementos finitos AutoForm 4.1 (Figura A.1.7), lanzado en mayo de 2007. Figura A.1.7: AutoForm Fuente: AutoForm Engineering GmbH 1 Research Center in sheet Metal Forming technology. Technical University of Cluj Napoca, Romania (www.certeta.utcluj.ro) Carolina Bermudo Gamboa A.1.10 Por otra parte, para introducir la ortotropía en la expresión del criterio isotrópico, Cazacu y Barlat [24] proponen un método alternativo sobre la representación de los tensores. Desarrollan un método de generalizaciones de los invariantes de los tensores de deviación J2 y J3. Basándose en este método, se obtiene una ecuación sustituyendo la expresión de las tensiones de desviación invariantes en el criterio isotrópico mediante sus respectivas formas anisotrópicas. La ventaja más importante de este criterio consiste en la capacidad de obtener un resultado bastante acertado del comportamiento en relación a la tensión y compresión específico de aleaciones de magnesio y titanio. Vegter, en 2006 [25], obtiene los puntos de fluencia en el primer cuadrante, aplicando la interpolación de Bezier y utilizando puntos de fluencia que han sido determinados directamente por experimentación. El criterio de Vegter requiere determinar tres parámetros para cada punto de referencia, y para describir la anisotropía planar se necesitarán 17 parámetros. Durante los últimos años, una nueva familia de criterios de fluencia polinómicos ha sido creada utilizando las bases del criterio de Hill. A continuación se describirán alguno de estos nuevos criterios. Hu [26] propone el criterio expuesto en la Ec. A.1.6. 16 01+ 45 454 124=1 Ec. A.1.6 Posteriormente desarrolló un modelo 3D de su propio criterio en 2005 y una formulación cuadrática de la función de fluencia en 2007. Mientras tanto, Wang propuso, en 2005, una formulación polinómica 2D. En 2006, Comsa desarrolla, en su tesis doctoral, un criterio polinómico de sexto orden [27] y en 2007, Soare [28] propone tres criterios de cuarto, sexto y octavo orden. Hasta la fecha, los criterios que se utilizan con mayor frecuencia suelen ser los criterios de Hill de 1948 y 1990, así como el de Barlat de 1989. A.1.2.2. Modelado del efecto Bauschinger El Efecto Bauschinger (Figura A.1.8), denominado en homenaje a su creador Johann Bauschinger, consiste en el hecho de que al deformar un metal en una dirección hasta que se ha sobrepasado su límite de elasticidad, y deformándolo después en la dirección contraria, su límite de proporcionalidad en esta última dirección es menor. El motivo para que esto ocurra, entre otros, es debido a las imperfecciones que contiene el material. Recopilación histórica Anexo I A.1.11 Figura A.1.8: Bauschinger y el efecto Bauschinger Generalmente se predice utilizando el endurecimiento anisotrópico, también conocido como distorsión, que describe una transformación general de la superficie de fluencia durante la deformación plástica. En 1990, Prager desarrolla su propio modelo de endurecimiento, donde estudia la traslación pura de la superficie de fluencia, asumiendo que durante la carga la tensión se desarrolla en la misma dirección que el incremento del esfuerzo plástico [29] . En ese mismo año, Chamboche presenta un modelo mixto gobernado por una superposición no lineal isotrópica y un endurecimiento cinético. En 1996, para conseguir una descripción más correcta y suavizar la transición de fase elástica a plástica, Armstrong y Frederick [30] sugieren enlazar la ecuación de Prager con la de Bailey-Orowan. Es Yoshida y Uemori [31] en 2002 quienes desarrollan un modelo mejorando el de Chamboche, el cual describe la replastificación temprana y el estancamiento que se produce en el endurecimiento. Ya en 2008 será cuando se desarrollará un modelo de acercamiento al efecto Bauschinger para mejorar la predicción de la recuperación elástica mediante elementos finitos, bajo el programa comercial AutoForm [32]. A.1.3. Líneas generales de desarrollo A.1.3.1. Década de los 80 V. M. Segal, basándose en studios de P. W. Bridgman, de la Universidad de Harvard, sobre el desarrollo del principio de la deformación plástica severa (SPD) en la década de 1930, desarrolla en 1980, junto a sus compañeros de la Unión Soviética, la técnica de HPT (High Pressure Torsion) y el ECAE o ECAP (Equal Channel Angular Extrusion/Processing), como se muestra en la Figura A.1.9. Esta técnica continuó desarrollándose, siendo R. Z. Valiev y compañía quienes, a finales de los ochenta, fueron los pioneros en aplicarla a la producción de metales de grano ultrafino. Carolina Bermudo Gamboa A.1.12 Figura A.1.9: ECAE [33] Muchos investigadores se han dedicado a esta temática, lo que les ha llevado, alrededor del año 2000, al desarrollo sistemático de materiales con nanoestructuras y propiedades excepcionalmente favorables [34]. Alrededor de 1983, Mao-hong Yu [35] propone la teoría del efecto cortante doble (Twin Shear Theory). Siguiendo sus estudios en esta línea de investigación, en 1991 propone la teoría unificada de esfuerzos (Unified Strength theory), muy favorable para resolver problemas de plasticidad. Gran parte de su obra se recoge en el libro “Unified Strength Theory and its Applications” escrito por el autor en 2004 [36]. También cabe destacar la introducción, por este mismo autor, de un nuevo criterio de fallo, en 1992. La teoría del efecto cortante doble para materiales metálicos, la teoría generalizada del efecto cortante doble para geomateriales y la teoría de esfuerzos unificados fueron propuestas por él hasta 1991. La teoría de esfuerzos unificados ha sido generalizada para los modelos constitutivos elasto-plásticos, la teoría de los planos de deslizamientos unificados para problemas con deformación plana y, la línea de caracterización unificada para problemas de tensiones en el plano y axisimétricos en 1994, 1997 y 2001 respectivamente. Las teorías descritas han sido mencionadas en un elevado número de publicaciones y han sido implementadas mediante códigos de elementos finitos en estudios llevados a cabo en China, Japón, Singapur y Estados Unidos. Como curiosidad y para mostrar las similitudes en las que se pueden recaer desarrollando los estudios mencionados, C. S. Desai en 1988 escribe una interesante carta [37] donde indica que el modelo presentado por Lode y Fim en ese mismo año, en el que dan a conocer el uso de una única ecuación para la superficie de fluencia para describir el endurecimiento o la fluencia continua del material, es esencialmente el mismo que el modelo HSS (Hierarchical single surface) propuesto por Desai y sus compañeros en 1982. Recopilación histórica Anexo I A.1.13 Con relación al Teorema del Límite Superior (TLS), en 1984 son Tau, Hasegawa y Nishino quieres describen un método de análisis límite combinando las características de los enfoques ya consolidados del límite superior e inferior, aplicándolo a vigas de hormigón armado. Durante 1986, Lange y P. Hansen describen un método híbrido del TLS para cargas límites, estableciéndolo para variables generales y conteniendo supuestos cinemáticos y cosntitutivos. Durante esta década y las siguientes, se desarrollan numerosos estudios aplicando el TLS para casos concretos de deformación plástica. Cabe destacar que en 1985, Lange escribe un manual que se convierte en una obra referente en el campo de la deformación plástica. Y en 1987, es Alexander en el segundo volumen de su obra quien plantea los principales elementos de la teoría de la plasticidad. A.1.3.2. Década de los 90 H. Jahed, S. B. Lambert y R. N. Dubey presentan un estudio [38] con el que aplicar la teoría de la deformación total a casos de cargas no proporcionales, una teoría capaz de analizar una secuencia lineal de cargas. Estimando el campo de tensiones necesario y utilizando la deformación plástica convencional, se plasma en la formulación propuesta para predecir los esfuerzos. Krent [39] presenta un modelo basado en las familias de superficies límites considerando la tercera invariante del tensor tensión, capaz de describir la sensibilidad de la respuesta geométrica plástica de una fuerza o tensión hidrostática (Ec. A.1.7). Ec. A.1.7 Un nuevo modelo constitutivo para los estudios de plasticidad, dependiente de la velocidad, en materiales porosos, es desarrollado por Foting y F. Ziegler en 1995. Diversos modelos o criterios han sido descritos a lo largo del siglo XX, desde los modelos basados en un solo parámetro a los que tratan diversos parámetros en una misma formulación. La mayoría de ellos son adaptaciones de la teoría de esfuerzos a distintos tipos de material y se pueden clasificar en tres grupos: - Single-Shear Strength Theory (SSST) - Octahedral-Shear Strength Theory (OSST) - Twin-Shear Strength Theory (TSST) Las TSST son una nueva serie de modelos lineales y utilizan el modelo del límite superior para todos las posibles superficies límites convexas en el plano π. Carolina Bermudo Gamboa A.1.14 En general, los criterios que utilizan un parámetro, se usan para materiales que soportan el mismo esfuerzo tanto en compresión como en tracción (σC = σT). Los que utilizan dos parámetros, se utilizan para materiales cuya tensión de fluencia a tracción es menor que la de compresión (σC > σT). así como para materiales cuya tensión de compresión no es igual a la resistencia a la tensión uniaxial, y la tensión de compresión biaxial no es igual a la tracción de compresión uniaxial (σC ≠ σT ≠σT). Hoy día, la teoría de las tensiones están generalizadas no solo para los problemas de materiales elasto-plásticos o con endurecimiento sino también para los de reblandecimiento, para los comportamientos elástico-plástico quebradizos, discontinuidades, localizaciones y bifurcaciones, propagación de microfracturas, viscoplasticidad, fatiga, fractura, etc. A.1.3.3. Siglo XXI Podemos afirmar que las investigaciones analíticas van de la mano de las investigaciones de elementos finitos, ya que se considera un recurso fiable para realizar comparativas y concretar y corregir los resultados, por lo que, en ocasiones, ambas vías de investigación se confunden en una sola, ofreciendo datos de ambos tipos. A continuación se mostrarán diversos estudios que corroboran estas prácticas: Nemat-Nasser (Figura A.1.10), a partir del año 2000, demuestra experimentalmente a qué es debido el incremento observable de la tensión de fallo en las membranas metálicas [40], continuación de sus estudios sobre laminación metálica fina (0.1 y 10.0 µm) en compañía de Choi y Suresh (2002), Hommel y Kraft (2001) o Espinosa (2004). En 2004, recupera el modelo de Hopkinson y crea un modelo basado en el tipo de dislocación que incluye algunas constantes de material y sirve para caracterizar un amplio rango de materiales [41]. A su vez, Espinosa desarrolla un modelo experimental de desviación sobre la deflexión de las membranas y lo emplea para estudiar el efecto del tamaño en la respuesta mecánica de láminas policristalinas de FCC. Figura A.1.10: Nemat-Nasser Fuente: Society for Experimental Mechanics, Inc Es en el año 2001, cuando N. A. Fleck y J. W. Hutchinson [42] formulan una nueva teoría sobre el gradiente de tensión para adaptarlo a más de un parámetro de Recopilación histórica Anexo I A.1.15 longitud de material, con el objetivo de generalizar la clásica teoría de flujo J2 para que pudiera representar los efectos que surgen en la deformación a microescala. Andrzej Ambroziak, en 2005, propone un procedimiento para elementos finitos (FEM) para análisis no lineales, tanto estáticos como dinámicos, incluyendo la ecuación elasto-viscoplástica del modelo Bodner-Partom, comparando las simulaciones numéricas con experimentos para validar el procedimiento. Mientras que en 2010, Franck Pastos y Etienne Loute proponen una descomposición original para aproximarse al Método del Límite Superior del análisis límite, basándose en una combinación de elementos finitos, utilizando campos de velocidades discontinuos lineales o cuadráticos, presentado todo en deformación plana. Recientemente, en 2011, Carlier, Conte, loneson y Peyré [43], proponen un esquema numérico para aproximar la solución vectorial de los problemas con cargas limitadas. El método hace uso de la proyección de la superficie o campo de deformaciones, bajo condiciones de deformación limitadas e incompresibilidad, computado numéricamente con un gradiente descendiente gradual en la formulación dual del problema. Desde otra perspectiva, y aplicado al caso que nos ocupa, en trabajos como los ofrecidos por E.M. Rubio et al [44, 45] o F. Martín et al [46, 47] entre otros, se ofrece un nuevo enfoque sobre el TLS, con la variante de los Bloques Rígidos Triangulares, ofreciendo un método para el cálculo de la energía necesaria en la deformación plástica de una pieza en un proceso de forma entre placas planas y paralelas, siguiendo la hipótesis de deformación plana, pudiendo ser este procedimiento una alternativa a los ya existentes y presentando las siguientes ventajas: - Permite incorporar el efecto de rozamiento tanto de adherencia como el de deslizamiento o Coulomb. - Posibilita establecer rangos de aplicación óptima del método, donde se ajusta de forma precisa el valor del límite establecido. - El cálculo de realiza con un coste computacional sensiblemente inferior al de procedimientos numéricos como el de los elementos finitos. Es entonces cuando se abre una nueva línea de desarrollo sobre esta temática, enfrentando la problemática mediante configuraciones modulares que simplifican sensiblemente el planteamiento global. ANEXO II RESULTADOS DE ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIÓN Análisis, Desarrollo y Validación del Método del Límite Superior en Procesos de Conformado por Indentación Índice Anexo II Índice Anexo II A.2.1 Introducción .............................................................................................. A.2.1 A.2.2 Modelo 1 ................................................................................................... A.2.2 A.2.3 Modelo 2 ................................................................................................... A.2.3 A.2.4 Modelo 3 ................................................................................................... A.2.7 Resultados de endurecimiento por deformación Anexo II A.2.1 A.2. RESULTADOS DE ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIÓN A.2.1 Introducción Tal y como se mencionó en varios apartados del Capítulo 5, a continuación se presentan los resultados obtenidos de las distintas simulaciones realizadas con el programa de análisis numérico que aplica el Método de Elementos Finitos, DEFORM 2D, al extenso grupo de metales y aleaciones trabajados mediante el proceso de indentación simulado. Se ha dividido según el modelo aplicado al material. La elección de un modelo u otro depende del valor que toma n, el cual varía según el material conformado (Tabla A.2.1). Tabla A.2.1: Aplicación del modelo de endurecimiento según n Material n Modelo Endurecimiento Aluminio, Acero, Titanio y aleaciones 0 ≤ n ≤ 10 Modelo 3 n > 10 Modelo 2 Superaleaciones 0 ≤ n ≤ 12 Modelo 3 n > 12 Modelo 1 Por consiguiente, en los siguientes apartados se muestran los resultados de acuerdo a la clasificación de la Tabla A.2.1. Se aprecia que los Modelos 2 y 3 se adaptan mejor al comportamiento del material que el Modelo 1. Esto se debe a que el Modelo 1 únicamente se aplica para las Superaleaciones, cuando éstas presentan un exponente de endurecimiento mayor a 12. Las Superaleaciones son materiales con características especiales, que suelen presentar un comportamiento diferenciado de la mayoría de los materiales metálicos utilizados en la industria. Por tanto, la evolución del endurecimiento también es distinta, siendo lo que genera esa pequeña disparidad entre los resultados del modelo analítico y el de elementos finitos. Carolina Bermudo Gamboa A.2.2 A.2.2 Modelo 1 Figura A.2.1: Resultados para N02211, n=0.21 Figura A.2.2: Resultados para N06600, n=0.20 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0510152025 F uerza (kN) HT/L Inf Fin Nickel 211 N02211 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0510152025 Fuerza (kN) HT/L Fin Inf Incotel600 N06600 Resultados de endurecimiento por deformación Anexo II A.2.3 A.2.3 Modelo 2 Figura A.2.3: Resultados para Aluminio A91070, n=0.21 Figura A.2.4: Resultados para A96082, n=0.11 Fuerza (kN) A91070 Fuerza (kN) A96082 Carolina Bermudo Gamboa A.2.4 Figura A.2.5: Resultados para A93003, n=0.12 Figura A.2.6: Resultados para Acero G10080, n=0.17 Fuerza (kN) A93003 Fuerza (kN) G10080 Resultados de endurecimiento por deformación Anexo II A.2.5 Figura A.2.7: Resultados para S30400, n=0.19 Figura A.2.8: Resultados para R58010, n=0.17 Fuerza (kN) S30400 Fuerza (kN) R58010