Variable aleatoria. Conceptos básicos

Parcialmente financiado a través de PIE13-024 (UMA) Variable aleatoria Conceptos básicos Carlos Gamero Burón José Luis Iranzo Acosta Departamento de Economía Aplicada Universidad de Málaga Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA) Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 2 Estadística I Bloque II GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS VARIABLE ALEATORIA Y MODELOS PROBABILÍSTICOS Tema 4. PROBABILIDAD Tema 5. VARIABLE ALEATORIA Tema 6. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES DISCRETAS Tema 7. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARA VARIABLES CONTINUAS Tema 5: VARIABLE ALEATORIA 5.1. Introducción 5.2. Concepto de variable aleatoria. Características 5.3. Distribuciones bidimensionales, marginales y condicionadas 5.4. Independencia estocástica Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 3 5.1. INTRODUCCIÓN La variable aleatoria (v.a) es la herramienta matemática que permite pasar del estudio de sucesos aislados al estudio de las distribuciones de probabilidad. Es también la responsable de la aplicación del análisis matemático y de otras herramientas matemáticas a la Estadística. El concepto de v.a. constituye una pieza básica para el desarrollo de los métodos y técnicas inferenciales. Trabajar con resultados numéricos permite hacer uso de desarrollos matemáticos. De ahí el interés de buscar reglas que hagan posible pasar de un espacio muestral original, E, de resultados posibles no numéricos, a un nuevo espacio muestral inducido, cuyos resultados o elementos van a ser números. Este paso o transformación se realiza mediante la función llamada variable aleatoria, que representamos por X. 5.2. CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA. CARACTERÍSTICAS 5.2.1. Concepto de variable aleatoria Ejemplo: " ξ = lanzamiento de dos monedas al aire” { } { } 1 2 3 4 , , , , , , E e e e e cc ck kc kk = =  Resultados cualitativos Tenemos definido un espacio probabilístico ( ) , , E P A Definamos ahora X=” número de caras al lanzar dos monedas al aire”. { } 0,1,2 E ′ =  Resultados numéricos (números reales) Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 4 Figura 4.1 Variable aleatoria como función real Una variable aleatoria X es una función real, que asocia un valor numérico a cada evento del espacio muestral asociado a un cierto experimento aleatorio. • Es aleatoria porque toma sus valores en función del azar que caracteriza a . ξ • Es una función real pero no de variable real ya que su dominio no es ℝ sino E , que no está incluido en ℝ . • X ( E ) es el recorrido de la v.a.: conjunto de valores de ℝ asignados a los elementos de E : { } { } 1 2 3 ( ) , , 0,1,2X E x x x = = ⊂ ℝ ya que ( ) 0, X kk = ( ) 1, X ck = ( ) 1 X kc = y ( ) 2. X cc = • Las anti-imágenes (recorrido de las flechas en sentido contrario en la Figura 4.1) pertenecen al álgebra original A ( propiedad de medibilidad ): ( ) { } 1 0 , X kk − = ( ) { } { } 1 1 X ck kc − = ∪ y ( ) { } 1 2 . X cc − = • La medibilidad de X permite calcular la probabilidad de que tome determinados valores. ( ) { } ( ) 1 0 4 X P P kk = = ( ) { } { } ( ) 1 1 1 1 4 4 2 X P P ck kc = = + = ∪ ( ) { } ( ) 1 2 4 X P P cc = = ( ) { } { } { } ( ) 3 1 4 X P X P kk ck kc ≤ = = ∪ ∪ 1 e cc = 2 e ck = 3 e kc = 4 e kk = = 1 2 x = 2 1 x = 3 0 x E ℝ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 5 Definición formal de variable aleatoria Una variable aleatoria es una función medible de un espacio probabilístico ( ) , , E P A en el espacio probabilizable ( ) , , ℝ B donde B es el álgebra de Borel σ − definida en . ℝ Una función se dice medible cuando se cumple que: 1 : ( )B X B − ∀ ∈ ∈ B A donde { } 1 ( ) / ( ) . X B e E X e B − = ∈ ∈ Esta condición (medibilidad) quiere decir que la antiimagen de todo subconjunto B de ℝ que sea elemento del álgebra de Borel B es un subconjunto de E, que es a su vez elemento de A Por la condición de medibilidad de X, podemos considerar una probabilidad inducida en , ℝ que llamamos . X P Si B es un boreliano de B tenemos la probabilidad inducida indicada por la siguiente igualdad: ( ) ( ) ( ) 1 X P B P X B − = Por tanto, la propiedad de medibilidad permite el paso: ( ) , E P A, ( ) , X P ℝ B, La probabilidad original es P, y está definida sobre el espacio probabilizable original ( ) , . E A La probabilidad inducida X P está definida sobre el espacio probabilizable ( ) , ℝ B y se deduce de la probabilidad P. Hemos conseguido un espacio probabilístico ( ) , , , X P ℝ B inducido por la definición de v.a., que resulta más agradable de tratar matemáticamente. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 6 A veces las variables aleatorias están ya implícitas en los elementos del espacio muestral original (resultado del experimento aleatorio es numérico). Ejemplos: - el experimento consiste en observar el tiempo de espera hasta la llegada de un autobús - observación de los ingresos anuales de un trabajador asalariado elegido al azar. En otros casos, en un mismo experimento aleatorio podemos definir diferentes variables aleatorias. Ejemplo: al lanzar dos monedas al aire podemos asignar a cada suceso la variable “número de caras”, pero también el “número de cruces”. Nunca debe confundirse el experimento con la variable aleatoria, ni el espacio muestral con el conjunto de valores que toma la variable. Tipos de variables aleatorias: Según la naturaleza del recorrido X(E): a) Discretas: X sólo toma un número finito de valores reales o infinito, pero numerable Ejemplos: - número de piezas defectuosas que aparecen en un proceso de fabricación - número de llamadas telefónicas que se reciben en una centralita durante un determinado período de tiempo - número de depósitos efectuados al día en una entidad bancaria, etc. b) Continuas: X puede tomar un número infinito no numerable. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar todos los posibles valores del conjunto ℝ de los números reales ( ) x −∞ < < ∞ o de un subconjunto de él, definido por un intervalo ( ) 0 . k l x l ≤ ≤ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 7 Ejemplos: - tiempo en minutos que dedica un alumno a hacer un examen con duración máxima de dos horas ( ) 0 120 , x ≤ ≤ - cantidad de agua caída al día en un determinado punto geográfico ( ) 0 . x ≥ Demos un paso más… • Al definir una variable aleatoria lo que perseguimos en última instancia es hacer que el cálculo de probabilidades sea matemáticamente más “agradable” al trabajar con números. • Aún no lo hemos conseguido del todo. Estamos habituados a manejar funciones reales de variable real, del tipo y=f(x), pero nuestra probabilidad inducida X P sigue siendo una función de conjunto, como lo era P. • El siguiente paso debe ser definir funciones reales de variable real que proporcionen probabilidades para nuestra v.a.. • Estas funciones reciben el nombre de función de cuantía, función de densidad y función de distribución. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 8 5.2.2. Distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas Si X es una v.a. discreta con recorrido { } 1 2 ( ) , , , , k X E x x x = … su distribución de probabilidad (función de cuantía) puede escribirse como: ( ) ( ) para 1,2,..., i i i f x P X x p i k = = = = Las dos propiedades que debe cumplir una función real de variable real para ser función de cuantía son: (1) ( ) 0 i f x ≥ para 1,2,..., i k = (2) 1 ( ) 1. i k i i f x = = = ∑ • Se denomina función de cuantía porque proporciona la cantidad de probabilidad que corresponde a cada valor de la v.a. discreta X. • La primera condición establece simplemente que las probabilidades no pueden ser negativas. La segunda condición nos dice que la suma de toda la masa de probabilidad debe ser igual a la unidad. • ( ) i f x es ya una función real de variable real , las que estamos acostumbrados a manejar (el dominio es ℝ y el conjunto imagen es [0,1] ). ∈ ℝ • Una función de cuantía puede expresarse de tres maneras distintas: 1) tabla en la que se recojan los pares ( , ). i i x p 2) expresión matemática del tipo f(x) . 3) gráfica: diagrama de barras Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 9 Ejemplo 1: 0,1 1,2,3,4 ( ) 0 en el resto x x f x =  =  Es una función de cuantía porque cumple las dos propiedades que le son exigibles. Tabla 4.1 Ejemplo 1 de función de cuantía (tabla) i x ( ) i f x 1 0,1 2 0,2 3 0,3 4 0,4 1,0 Figura 4.2 Ejemplo 1 de función de cuantía (Representación gráfica) Diagrama de barras Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 16 A partir de esa información podemos calcular, por ejemplo, las siguientes probabilidades: 1) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 0,6 0,3 0,3 P X F F = = − = − = 2) ( ) 2,5 0, P X = = ya que 2,5 no es un valor que tenga asignada una probabilidad distinta de cero en la función de distribución. 3) ( ) ( ) 2,5 2,5 0,3. P X F ≤ = = Obsérvese que, aunque 2,5 no es un valor que pueda tomar la v.a., le corresponde un valor distinto de cero en la función de distribución. 4) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 0,3 P X P X F < = ≤ = = 5) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 0,3 0,7 P X P X F > = − ≤ = − = − = 6) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 0,1 0,9 P X P X F ≥ = − ≤ = − = − = 7) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 1 0,3 0,7 P X F F < ≤ = − = − = 8) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 3 2 0,6 0,3 0,3. P X P X F F < < = = = − = − = b) Función de distribución para variables aleatorias continuas En el caso de v.a. continua, se define la función de distribución como: ( ) ( ) ( ) x F x P X x f t dt −∞ = ≤ = ∫ • En el integrando se utiliza t en lugar de x para que no haya confusión con el límite superior de integración. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 17 • Teniendo en cuenta que en las variables aleatorias continuas ( ) 0, i P X x = = se tiene que: - ( ) ( ) ( ) i i i P X x P X x F x < = ≤ = - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . P x X x P x X x P x X x P x X x F x F x < ≤ = ≤ ≤ = ≤ < = < < = − • Cuando lo que se quiere es calcular la probabilidad de que una variable tome valores dentro de un intervalo, entonces haremos uso de integrales definidas ya que: ( ) ( ) 2 1 2 1 ( ) . − = ∫ x x F x F x f x dx • Sólo para v.a. continua se cumple que: ( ) ( ) dF x f x dx = o, lo que es lo mismo, ( ) ( ). f x F x ′ = Ejemplo: 0,1 0 20 ( ) 0 en el resto x x f x < <  =   2 2 2 00 ( ) ( ) 0,1 0,1 0,1 0 0,05 . 2 2 t x x x t t x F x f t dt tdt x = −∞ =   = = = = − =     ∫ ∫ Se comprueba que: ( ) ( ) 0,1 ( ). dF x F x x f x dx ′ = = = La manera de expresar correctamente la función de distribución es: 2 para 0 0 0,05 ( ) para 0 20 1 para 20 x x F x x x ≤   =< ≤  >  Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 18 siendo su representación gráfica la siguiente: -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 0 1 2 3 4 5 F(x) x ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 0,05 9 0,05 1 0,45 0,05 0,4. P X F F < < = − = ⋅ − ⋅ = − = 20 Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 19 5.2.5. Características de una variable aleatoria De igual modo que cuando se estudió una variable en Estadística Descriptiva se analizaron sus distintas características relativas a su forma, medidas de posición, dispersión, etc., también en el caso de variables aleatorias puede realizarse el mismo tipo de análisis. a) Esperanza Matemática • El concepto de valor esperado o esperanza matemática de una variable es uno de los más importantes en el estudio de las propiedades de las distribuciones de probabilidad. Ejemplo: Una aplicación común de la esperanza matemática se encuentra en las apuestas o los juegos de azar. La ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. El acierto de una apuesta a un único número paga 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, el beneficio esperado o esperanza matemática de apostar un euro a un solo número es: [ ] 1 37 35 ( 1) 0,0526 euros 38 38 E X = ⋅ + − ⋅ −≃ • El valor que toma la esperanza matemática puede no ser "esperado": podría ser un valor improbable o incluso imposible). Ejemplo: el valor esperado cuando tiramos un dado de 6 caras es 3,5. [ ] 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 3,5 6 6 6 6 6 6 E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 20 • La esperanza matemática se corresponde con la media ponderada de los valores de la variable, donde las ponderaciones son las respectivas probabilidades de cada valor. • Representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. • Para v.a. discreta, la esperanza se define como: ( ) ( ) x E X x f x µ = = ∑ • Para v.a. continua , la esperanza nos indica el centro de gravedad de la distribución: ( ) ( ) x E X x f x dx µ = = ∫ • Esperanza de una función ( ) X ϕ [ ( )] ( ) ( ) x E X x f x ϕ ϕ = ∑ si X es una v.a. discreta [ ( )] ( ) ( ) x E X x f x dx ϕ ϕ = ∫ si X es una v.a. continua • Téngase siempre presente que cualquier función de una v.a. es otra v.a. que “hereda” las propiedades probabilísticas de la variable original. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 21 Ejemplo: Supongamos el juego según el cual un jugador recibe 100 euros por cada punto que obtenga en el lanzamiento de su dado. ¿Cuál es el valor esperado de este juego? Veamos qué valores toma la v.a. original, su función y las probabilidades asociadas: i x ( ) 100 i i x x ϕ = ( ) i f x 1 100 1/6 2 200 1/6 3 300 1/6 4 400 1/6 5 500 1/6 6 600 1/6 Calculemos ahora el valor esperado del juego: 1 1 2 2 6 6 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x E X x f x x f x x f x x f x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = + + + = ∑ ⋯ 1 1 1 1 1 1 100 200 300 400 500 600 350 euro s. 6 6 6 6 6 6 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = Propiedades de la esperanza matemática: El símbolo E es un operador matemático, es decir, un símbolo que representa una operación matemática que hay que realizar (al igual que el operador o ∑ el operador ). ∏ 1. Si ( ) X a ϕ = , siendo a una constante, [ ] . E a a = - V.a. discreta: [ ] ( ) ( ) 1 x x E a af x a f x a a = = = ⋅ = ∑ ∑ - V.a. continua: [ ] ( ) ( ) 1 x x E a af x dx a f x dx a a = = = ⋅ = ∫ ∫ 2. (Cambio de origen): Si ( ) , X a X ϕ = + [ ] [ ] E a X a E X + = + 3. (Cambio de escala): Si ( ) , X bX ϕ = [ ] [ ] E bX bE X = Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 22 4. (Transformación lineal): Si ( ) , X a bX ϕ = + ( ) ( ) E a bX a bE X + = + - V.a. continua: [ ] ( ) [ ] 1 ( ) ( ) ( ) x x x E a bX a bx f x dx a f x dx b xf x dx a bE X = + = + = + = + ∫ ∫ ∫  5. Si , a X b ≤ ≤ entonces ( ) . a E X b ≤ ≤ 6. Si ( ) ( ) ( ) X g X h X ϕ = + , [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] E g X h X E g X E h X + = + [ ] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) x E g X h X g x h x f x dx + = + = ∫ [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x g x f x dx h x f x dx E g X E h X = + = + ∫ ∫ 7. Si ( ) ( ) , n X a bX ϕ = + siendo a y b constantes y n cualquier número entero, entonces: - 0 ( ) ( ) n n n i i i i n E a bX a b E X i =     + =       ∑ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 23 b) Momentos de una variable aleatoria • Los momentos son números que caracterizan a una distribución de probabilidad, de tal forma que dos variables tienen la misma distribución si tienen todos lo momentos iguales y serán tanto más parecidas cuanto más momentos tengan iguales. • El momento de orden r con respecto al origen se define como: para 0,1,2,3,.... r r E X r µ ′  = =   ( ) r X X ϕ ⇒= ( ) r r rx E X x f x µ ′  = =   ∑ si X es una v.a. discreta ( ) r r r x E X x f x dx µ ′  = =   ∫ si X es una v.a. continua Para cualquier v.a. se tiene que: [ ] 0 0 Si 0 1 1 r E X E µ ′  = = = =   [ ] 1 1 Si 1 (media poblacional) r E X E X µ µ ′  = = = =   • El momento de orden r con respecto a la media o momento central de orden r se define como: ( ) para 0,1,2,3,.... r r E X r µ µ   = − =   ( ) ( ) r X X ϕ µ ⇒= − ( ) - ( - ) ( ) rr rx E X x f x µ µ µ   = =   ∑ si X es una v.a. discreta ( ) - ( ) ( ) rr r x E X x f x dx µ µ µ   = = −   ∫ si X es una v.a. continua Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 24 Para cualquier v.a. se tiene que: ( ) [ ] 0 0 Si 0 - 1 1 r E X E µ µ   = = = =   ( ) [ ] [ ] 1 1 Si 1 - 0. r E X E X E µ µ µ µ µ   = = = − = − =   Un momento con respecto a la media importante es el momento de orden 2, ya que se corresponde con la varianza de la v.a.. Así: ( ) 2 2 2 Si 2 ( )r E X Var X µ µ σ   = = − = =   La varianza es la esperanza del cuadrado de las desviaciones respecto al centro de gravedad de la distribución. Da idea de la dispersión de la v.a. respecto de . µ Los momentos centrales tercero y cuarto proporcionan información muy útil respecto a la forma de la distribución de la v.a. X • Los momentos respecto a la media pueden expresarse en función de los momentos con respecto al origen. Ejemplo: 2 2 2 2 2 1 . E X σ µ µ µ ′ ′   = − = −   • A todos los momentos de una distribución se les conoce como los parámetros de la distribución, siendo la media y la varianza los más importantes. Como ya se ha indicado anteriormente, son números que caracterizan a la distribución de probabilidad. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 25 c) Varianza, desviación típica y coeficiente de variación • La varianza es el momento con respecto a la media de orden 2: ( ) 2 2 2 2 2 ( )Var X E X σ µ µ µ µ   ′ = = = − = −   • Propiedades de la varianza: 1. ( ) 0 Var a = 2. ( Cambio de origen ): ( ) ( ) Var a X Var X + = 3. ( Cambio de escala ): ( ) ( ) 2 Var bX b Var X = Se deduce que ( ) ( ) Var X Var X − = 4. (Transformación lineal): ( ) ( ) 2 Var a bX b Var X + = 5. La varianza es la mínima desviación cuadrática media: ( ) ( ) 2 2 para todo . E X E X p p µ µ     − < − ≠     • ( ) ( ) Desv X Var X σ = = + • 100 CV σ µ = ⋅ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 32 • El cálculo de probabilidades a partir de esta función se realiza mediante un doble sumatorio. Así: ( , ) ( , ). x A y B P x A y B f x y ∈ ∈ ∈ ∈ = ∑∑ Ejemplo: Experimento aleatorio consistente en sacar dos naipes, sin reposición, de una baraja de 52 (4 palos x 13 naipes): { } "número de espadas en la primera extracc ión" con ( ) 0,1 X X E = = { } "número de espadas en la segunda extracc ión" con ( ) 0,1 Y Y E = = X e Y son v.a. discretas. Su distribución de cuantía conjunta es: 39 38 (0,0) ( 0, 0) 0,5588 52 51 f P X Y= = = = ⋅ = 13 39 (1,0) ( 1, 0) 0,1912 52 51 f P X Y= = = = ⋅ = 39 13 (0,1) ( 0, 1) 0,1912 52 51 f P X Y= = = = ⋅ = 13 12 (1,1) ( 1, 1) 0,0588 52 51 f P X Y= = = = ⋅ = En forma de tabla: (x,y) f(x,y) (0,0) 0,5588 (1,0) 0,1912 (0,1) 0,1912 (1,1) 0,0588 1 La representación gráfica de la función se corresponde con un diagrama de barras en el espacio tridimensional ( ) , ; , . x y f x y     Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 33 5.3.2. Variable aleatoria bidimensional continua Sean X e Y dos variables aleatorias continuas. Consideremos ahora la v.a. bidimensional (X, Y) formada por esas dos variables. Llamamos función de densidad conjunta de X e Y a aquella función f(x,y) que cumpla las siguientes condiciones: 1. ( , ) 0 - - f x y x y ≥ ∞ < < ∞ ∞ < < ∞ 2. ( , ) 1 x y f x y dxdy = ∫∫ • La función f(x,y) no proporciona directamente probabilidades sino que representa una superficie de densidad de probabilidad en el espacio tridimensional, de forma que el volumen encerrado bajo esa superficie es igual a la unidad. • Ahora, las probabilidades se obtienen por doble integración y se corresponden con un volumen: 2 2 1 1 1 2 1 2 ( ; ) ( , ) . x y x y P x X x y Y y f x y dxdy ≤ ≤ ≤ ≤ = ∫ ∫ • La probabilidad de que ( ) , X Y tome un par de valores concretos (x,y) es siempre igual a cero, es decir, ( ; ) 0. P X x Y y = = = Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 34 Ejemplo: Sea la siguiente función de densidad conjunta: 1 para 0 1 , 0 1 ( , ) 0 en el resto x y f x y ≤ ≤ ≤ ≤  =  Se pide: a) Comprobar que efectivamente es una función de densidad bidimensional: 1. ( , ) 0 - - f x y x y ≥ ∞ < < ∞ ∞ < < ∞ (se cumple) 2. ( , ) 1 x y f x y dxdy = ∫∫ [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 1 1 1 1 x y x y x x x y f x y dxdy dxdy dy dx y dx dx x = = = = = =   = = = = = =     ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) Calcular (0,2 0,5;0,4 0,6). P X Y ≤ ≤ ≤ ≤ 0,5 0,6 0,2 0,4 (0,2 0,5;0,4 0,6) ( , ) x y P X Y f x y dxdy = = ≤ ≤ ≤ ≤ = = ∫ ∫ [ ] [ ] 0,6 0,5 0,6 0,5 0,5 0,5 0,2 0,2 0,4 0,2 0,2 0,4 1 0,2 0,2 0,2[0,5 0,2] 0,06 x y x x dy dx y dx dx x = = = =   = = = = = − =     ∫ ∫ ∫ ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 35 5.3.3. Función de distribución bidimensional o conjunta La función de distribución bidimensional conjunta de X e Y es aquella que asigna a todo par de números reales x e y la probabilidad de que, conjuntamente, X sea igual o menor que x, e Y sea igual o menor que y: ( , ) ( , ) F x y P X x Y y = ≤ ≤ En el caso de variables aleatorias discretas: ( , ) ( , ) ( , ) i i i j x x y y F x y P X x Y y f x y ≤ ≤ = ≤ ≤ = ∑∑ Para variables aleatorias continuas: ( , ) ( , ) ( , ) y x F x y P X x Y y f x y dxdy −∞ −∞ = ≤ ≤ = ∫ ∫ Propiedades : 1. ( , ) ( , ) ( , ) 0. F F y F x −∞ −∞ = −∞ = −∞ = 2. ( , ) 1 F +∞ +∞ = 3. Es una función monótona no decreciente respecto a las dos variables: Si 1 2 1 2 ( , ) ( , ) x x F x y F x y <⇒≤ Si 1 2 1 2 ( , ) ( , ) y y F x y F x y <⇒≤ 4. Si (X,Y) es una v.a. bidimensional continua: 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y ∂= ∂ ∂ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 36 Ejemplo: Para el ejemplo anterior en el que la función de densidad conjunta es: 1 para 0 1 , 0 1 ( , ) 0 en el resto x y f x y ≤ ≤ ≤ ≤  =  Vamos a calcular la función de distribución y comprobar la cuarta propiedad. a) Cálculo de la función de distribución: [ ] [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 1 1 . y x y x y x y x x x f x y dxdy dx dy dx y dx ydx yx yx   = = = = = =     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Por tanto, 0 para 0 0 ( , ) 0 1 0 1 1 en el resto x y F x y xy x y < <   = ≤ ≤ ≤ ≤    b) Comprobación de la propiedad 2 ( , ) ( , ): F x y f x y x y ∂= ∂ ∂ ( , )F x y y x ∂ = ∂ 2( , ) ( , ) 1 ( , ). F x y d F x y x f x y x y dy ∂     ∂∂   = = = ∂ ∂ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 37 5.3.4. Distribuciones marginales • A partir de la distribución de probabilidad conjunta es posible obtener la distribución de probabilidad de cada una de las variables por separado. A estas distribuciones se les conoce como distribuciones marginales. • En resumen: Variable aleatoria X Variable aleatoria Y Caso continuo: ( ) ( , ) ( ) ( , ) X Y y x f x f x y dy f y f x y dx +∞ +∞ =−∞ =−∞ = = ∫ ∫ Caso discreto: ( ) ( , ) ( ) ( , ) X Y y x f x f x y f y f x y = = ∑ ∑ Ejemplo 1: Sea la función de cuantía conjunta de X e Y: 1,2,3 1,2 ( , ) 21 0 en el resto x y x y f x y + = =  =   a) Compruebe que es función de cuantía. b) Calcule las funciones marginales de X y de Y. Resolución: a) Hay que verificar que: 1) ( , ) 0 1,2,..., 1,2,..., i j f x y i r j s ≥ ∀ = ∀ = (se cumple) 2) 1 1 ( , ) 1 r s i j i j f x y = = = ∑∑ (se cumple) Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 38 b) Función de cuantía marginal de X: 2 1 1 2 2 3 ( ) ( , ) con 1,2,3 21 21 21 21 y Xy y x y x x x f x f x y x = = + + + + = = = + = = ∑ ∑ Por tanto, la función de cuantía de X es: 2 3 1,2,3 ( ) 21 0 en el resto X xx f x + =  =   Función de cuantía marginal de Y: 3 1 1 2 3 6 3 2 ( ) ( , ) = con 1,2 21 21 21 21 21 7 x Yx x x y y y y y y f y f x y y = = + + + + + + = = = + + = = ∑ ∑ Por tanto, la función de cuantía de Y es: 21,2 ( ) 7 0 en el resto. Y yy f y + =  =   Ejemplo 2: Dada la siguiente función de densidad conjunta, calcule las funciones de densidad marginales de X y de Y: 1 0 1 0 1 ( , ) 0 en el resto, x y f x y ≤ ≤ ≤ ≤  =  Resolución: Función de densidad marginal de la variable X: [ ] 11 0 0 ( ) ( , ) 1 1 si 0 1 y 0 en el rest o. Xy y f x f x y dy dy y x = = = = = ≤ ≤ ∫ ∫ Función de densidad marginal de la variable Y: [ ] 11 0 0 ( ) ( , ) 1 1 si 0 1 y 0 en el rest o. Yx x f y f x y dx dx x y = = = = = ≤ ≤ ∫ ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 39 5.3.5. Distribuciones condicionadas (o condicionales) La distribución de probabilidad condicionada o condicional, tanto para variables discretas como continuas, tiene la expresión: ( ) ( , ) / para ( ) 0 ( ) X X f x y f y x f x f x = > y de igual forma, ( ) ( , ) / para ( ) 0. ( ) Y Y f x y f x y f y f y = > En el caso de variables aleatorias discretas recibe el nombre de función de cuantía condicional, mientras que en el caso de variables aleatorias continuas, función de densidad condicional. Ejemplo 1: Sea la función de cuantía conjunta de X e Y: 1,2,3 1,2 ( , ) 21 0 en el resto x y x y f x y + = =  =   Calcule la función de Y condicionada a X, demostrando que es función de cuantía. Resolución: Por cálculos anteriores, sabemos que: 2 3 1,2,3 ( ) 21 0 en el resto X xx f x + =  =   Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 40 Por tanto: ( ) ( , ) 21 / para 1,2,3 1,2. 2 3 ( ) 2 3 21 X x y f x y x y f y x x y x f x x + + = = = = = ++ Comprobemos que, efectivamente, ( ) / f y x es una función de cuantía: 1) Es no negativa por tratarse de cociente de funciones de cuantía. 2) 1 2 2 3 ( / ) 1. 2 3 2 3 2 3 2 3 y y x y x x x f y x x x x x + + + + = = + = = + + + + ∑ ∑ Ejemplo 2: Sea la siguiente función de densidad conjunta: 1 0 1 0 1 ( , ) 0 en el resto, x y f x y ≤ ≤ ≤ ≤  =  Calcule la función de X condicionada a Y , demostrando que es función de densidad. Resolución : ( ) ( , ) / para ( ) 0. ( ) Y Y f x y f x y f y f y = > Ya sabemos que ( ) 1 si 0 1 y 0 en el resto. Y f y y = ≤ ≤ Por tanto: ( ) ( , ) 1 / = =1 para 0 1 0 1 ( ) 1 Y f x y f x y x y f y = ≤ ≤ ≤ ≤ Efectivamente es función de densidad: 1) Es no negativa 2) [ ] 11 0 0 ( / ) 1 1. x x f x y dx dx x = = = = ∫ ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 41 5.3.6. Independencia estocástica de variables aleatorias Sean X e Y son dos variables aleatorias, continuas o discretas, con función de densidad conjunta f(x,y) y densidades marginales ( ) X f x y ( ). Y f y Diremos que X e Y son independientes si y sólo si: ( , ) ( ) ( ) , x y f x y f x f y x y = ⋅ ∀ ∀ (condición 1) ( / ) ( ) , X f x y f x x y = ∀ ∀ (condición 2) ( / ) ( ) , Y f y x f y x y = ∀ ∀ (condición 3) • Propiedades equivalentes: si se cumple una de ellas, se cumplen las demás. Para saber si dos variables aleatorias son independientes basta con comprobar una cualquiera de esas tres condiciones. • En el caso de independencia estocástica , es posible simplificar el cálculo de probabilidades conjuntas ya que: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ; . P x X x y Y y P x X x P y Y y ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ ≤ En el caso de variables aleatorias continuas: ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ; ( , ) ( ) ( ) x y x y X Y x y x y P x X x y Y y f x y dxdy f x f y dxdy ≤ ≤ ≤ ≤ = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) x y X Y x y f x dx f y dy P x X x P y Y y     = = ≤ ≤ ≤ ≤         ∫ ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 48 Para calcular el coeficiente de correlación lineal necesitamos obtener las funciones de densidad marginales de las variables, para obtener sus respectivas desviaciones típicas y la covarianza: 1 2 1 00 1 ( ) ( , ) ( ) si 0 1; 0 en el resto. 2 2 Xy y y f x f x y dy x y dy xy x x =   = = + = + = + < <     ∫ ∫ [ ] 1 3 2 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 7 ( ) 2 2 3 2 2 12 X X x x x E X xf x dx x x dx x dx µ       = = = + = + = + =             ∫ ∫ ∫ 1 2 4 3 1 1 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 5 ( ) 2 2 4 2 3 12 X x x x E X x f x dx x x dx x dx         = = + = + = + =              ∫ ∫ ∫ [ ] 2 2 2 2 5 7 11 12 12 144 XE X E X σ       = − = − =         De manera similar, se tiene que: 1 2 1 00 1 ( ) ( , ) ( ) si 0 1; 0 en el resto. 2 2 Yx x x f y f x y dx x y dy xy y y =   = = + = + = + < <     ∫ ∫ [ ] 1 3 2 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 7 ( ) 2 2 3 2 2 12 Y Y y y y E Y yf y dy y y dy y dy µ       = = = + = + = + =             ∫ ∫ ∫ 1 2 4 3 1 1 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 5 ( ) 2 2 4 2 3 12 Y y y y E Y y f y dy y y dy y dy         = = + = + = + =              ∫ ∫ ∫ [ ] 2 2 2 2 5 7 11 12 12 144 YE Y E Y σ       = − = − =         Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 49 Para calcular la covarianza necesitamos el momento cruzado (1,1) respecto al origen: [ ] ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy x y xy dxdy = = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 1 2 2 3 2 3 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 2 3 2 3 6 6 3 y x x x x y x y xy x x x x x y xy dy dx dx dx = = = = = =         = + = + = + = + =                 ∫ ∫ ∫ ∫ La covarianza viene dada por: [ ] [ ] [ ] 1 7 7 1 3 12 12 144 XY E XY E X E Y σ = − = − ⋅ = − y el coeficiente de correlación: 11 144 0,09. 11 11 11 144 144 XY XY X Y σ ρσ σ − = = = − = − ⋅ Se concluye que existe una relación lineal inversa muy débil, ya que el coeficiente de correlación toma un valor muy próximo a cero. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 50 Línea de regresión • Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y) y que la distribución condicional de Y, dado un valor X=x, la representamos por f(y/x). Para el caso continuo se tiene que: [ ] línea de regresión ( ) / ( / ) x E Y x yf y x dy ψ +∞ −∞ = = = ∫ • En general, no es una constante sino que se trata de una función de x. Si hubiéramos obtenido [ ] / , E X y entonces la línea de regresión sería una función de y. • Tanto en un caso como en otro, la línea de regresión puede entenderse como el lugar geométrico de las medias de las distribuciones condicionales cuyas densidades vienen dadas por f(y/x) ó f(x/y). • La línea de regresión no tiene porque ser una recta, puede tomar cualquier forma. Pero si fuera recta, entonces su expresión cuando condicionamos a X sería: [ ] ( ) / ( ) Y Y XY X X x E Y x a bx x σ ψ µ ρ µ σ = = + = + − que es una expresión similar a la manejada en Estadística Descriptiva. • Obsérvese que si X e Y son variables aleatorias independientes se tiene que: ( / ) ( ) Y f y x f y = ( / ) ( ) X f x y f x = de manera que las líneas de regresión se corresponden con las esperanzas no condicionadas y, por tanto, con constantes: [ ] [ ] ( ) / [ ] ( ) / [ ] x E Y x E Y y E X y E X ψ ψ = = = = Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 51 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una v.a. X tiene la siguiente función de densidad: 2 0 6 ( ) 9 0 en el resto kx x f x  ≤ ≤  =   Se pide: a) Indique si se trata de una variable discreta o continua. b) Determine el valor de k para que f(x) sea función de densidad. Represente dicha función. c) Obtenga la función de distribución de X y represéntela gráficamente. d) Calcule las siguientes probabilidades: ( ) ( ) ( ) 0 1 ; 3 ; 2 P X P X P X < ≤ > < e) Halle la media, la mediana y la moda de la distribución. f) Obtenga la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. Resolución: a) Tipo de variable: La variable X es continua puesto que su función de densidad toma valores distintos de cero en un intervalo de la recta real: 0 6. x ≤ ≤ b) Valor de k y representación gráfica: Deduciremos el valor de k teniendo en cuenta las propiedades que debe cumplir f(x) para ser función de densidad: 1) 2 ( ) 0 0. 9 kx f x k = ≥ ⇒≥ 2) - ( ) 1 f x dx +∞ ∞ = ∫ 6 62 3 3 3 - 0 0 6 0 1 1 ( ) 8 9 9 3 9 3 3 8 kx k x k f x dx dx k k +∞ ∞     = = = = − = ⇒=         ∫ ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 52 Por tanto, la función de densidad es: 2 0 6 ( ) 72 0 en el resto xx f x  ≤ ≤  =   Su representación gráfica es: -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 -2-1012345678 f(x) x c) Función de distribución y representación gráfica: ( ) 0 0 si 0 ( ) ( ) si 0 6 1 si 6 x x F x P X x f t dt x x <    = ≤ = ≤ ≤   >  ∫ donde: 2 3 3 0 0 0 1 1 ( ) 72 72 3 216 x x x t t f t dt dt x   = = =     ∫ ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 53 Por tanto: 3 0 si 0 1 ( ) si 0 6 216 1 si 6 x F x x x x <    = ≤ ≤  >   Su representación gráfica es: -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 -2-1012345678 F(x) x d) Cálculo de probabilidades: Recordemos que, por ser X una v.a. continua, se cumple que: ( ) ( ) ( ) ( ) P a X b P a X b P a X b P a X b ≤ ≤ = ≤ < = < ≤ = < < • ( ) 1 0 1 (1) (0) (1) 216 P X F F F< ≤ = − = = • ( ) ( ) 3 3 3 1 3 1 (3) 1 0,875 216 P X P X F> = − ≤ = − = − = • ( ) 3 0 2 2 ( 2 2) ( 2) ( 2) (2) 0,037 216 P X P X P X P X F = < = − < < = ≤ − ≤ − = = =  Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 54 e) Media, mediana, moda: • [ ] 6 62 4 4 00 1 6 ( ) 4,5 72 72 4 4 72 x x E X xf x dx x dx µ +∞ −∞   = = = = = =   ⋅   ∫ ∫ • La Mediana ( Me ) es el valor de la variable que cumple la condición: ( ) ( ) 0,5 P X Me F Me ≤ = = ( ) 3 1 ( ) 0,5 4,76 216 F Me Me Me= = ⇒= • La moda (Mo) es el valor de la variable para el que la función de densidad alcanza su valor máximo. De la inspección de la representación gráfica de esta función se deduce que 6. Mo = f) Varianza, desviación típica y coeficiente de variación: • ( ) 6 62 5 2 2 2 2 2 2 00 1 (4,5) (4,5) 1,35 72 72 5 x x Var X E X x dx σ µ     = = − = − = − =       ∫ • ( ) ( ) 1,35 1,162 Desv X Var X σ = = + = + = • 1,162 100 100 25,82%. 4,5 CV σ µ = ⋅ = ⋅ = Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 55 2. Obtenga la función generatriz de momentos y, a través de ella, la media y la varianza de la v.a. continua con función de densidad: 0 ( ) 0 en el resto x e x f x − > =  Resolución: • Función generatriz de momentos: ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 ( ) si 1 1 1 1 1 1 si 1 1 1 1 tx tx x x t X x t M t E e e e dx e dx t e te e t t t t +∞ +∞ − − +∞ −+∞ −∞   = = = =   +∞ ≥     = =      − − = − = <   − − −  ∫ ∫ El valor de la variable auxiliar t que nos interesa para el cálculo de los momentos de la distribución es 0, t = que cumple la condición t<1. Por tanto, la función generatriz de momentos es: 1 ( ) 1 X M t t = − • Media: [ ] (0) X E X M µ ′ = = 2 2 ( 1) 1 ( ) (1 ) (1 ) X M t t t − ′= − = − − (0) 1 X M µ ′ = = • Varianza: ( ) 2 2 2 2(0) X Var X M σ µ µ µ ′ ′′ = = − = − 4 2(1 ) ( ) (0) 2 (1 ) X X t M t M t − ′′ ′′ = − = − 2 2 2 2 2 1 1. σ µ µ ′ = − = − = Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 56 3. La demanda diaria de un determinado producto (X, en miles de unidades) sigue la ley de probabilidad definida por la siguiente función de densidad: 1 0 2 ( ) 2 0 en el resto. xx f x  − ≤ ≤  =   Se pide: a) Determine la probabilidad de que la demanda diaria: a.1) no supere las 3500 unidades. a.2) esté comprendida entre 635 y 1870 unidades. b) Determine la mediana de X y explique su significado con respecto a la demanda del artículo. Resolución: "demanda diaria de un artículo (miles de unidades)" X ≡ 1 0 2 ( ) 2 0 en el resto. xx f x  − ≤ ≤  =   a) Determinación de probabilidades: • ( ) 3,5 1 P X ≤ = , ya que 3,5 es mayor que el límite superior del intervalo en el que la función de densidad toma valores no negativos ( 0 2 x ≤ ≤ ). • ( ) 1,870 1,870 2 0,635 0,635 0,635 1,870 1 0,462. 2 4 x x P X dx x     ≤ ≤ = − = − =         ∫ b) Mediana La mediana (Me) es el valor de la variable que cumple que ( ) 0,5: F Me = 2 2 00 ( ) 1 2 4 4 x x t t x F x dt t x     = − = − = −         ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 57 2 dos soluciones 2,41 ( ) 0,5 0,586 4 x x F x x x =  = − = ⇒=   De la condición que satisface la mediana se obtienen dos soluciones, pero se descarta el valor x=2,41 por situarse fuera del intervalo 0 2 x ≤ ≤ , en el que la función de densidad toma valores no nulos. Por tanto, 0,586. Me = La probabilidad de que la demanda diaria sea menor o igual que 586 unidades es del 50%. Dicho de otro modo, esa es la cantidad que habría que poner cada día a la venta para tener una probabilidad del 50% de satisfacer la demanda. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 64 6. Las variables aleatorias X e Y representan, respectivamente, las cuotas de mercado de dos productos A y B fabricados por una misma empresa. Supongamos que su función de densidad conjunta es: 0 1; 0 1 ( , ) 0 en el resto. x y x y f x y + ≤ ≤ ≤ ≤  =  Se pide: a) Compruebe que ( , ) f x y es función de densidad. b) Calcule los valores esperados de las cuotas de mercado. Proporcione sendas medidas relativas de dispersión y comente los resultados. c) Obtenga la probabilidad de que la cuota de mercado del producto A sea igual a la cuota de mercado del producto B y ambas iguales a 0,5. d) Obtenga la función de densidad de la cuota de mercado del producto A condicionada a una cuota de mercado para el producto B de 0,5. e) ¿Son las cuotas de mercado de ambos productos independientes entre sí? f) Obtenga el coeficiente de correlación lineal entre las variables. Comente el resultado. g) ¿Cuál sería el valor esperado de la cuota de mercado del producto B para una cuota de mercado del 20% para el producto A? Resolución: a) Comprobación de que ( , ) f x y es función de densidad: Debemos comprobar si ( , ) f x y cumplen las siguientes condiciones: 1) ( , ) 0. f x y ≥ Se cumple para 0 1; 0 1 x y ≤ ≤ ≤ ≤ 2) ( , ) 1. x y f x y dxdy = ∫∫ Se cumple ya que: 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 ( , ) ( ) 1 2 2 2 2 y x y x x x x y x y x x y x y x f x y dxdy x y dxdy xy dx x dx x = = = = = = = = = = = =       = + = + = + = + =             ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Por tanto, ( , ) f x y es función de densidad. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 65 b) Valores esperados de las cuotas de mercado y medidas relativas de dispersión. • Valor esperado de la cuota de mercado del producto A: [ ] ( ) X X x E X xf x dx µ = = ∫ 1 2 1 00 1 ( ) ( , ) ( ) si 0 1 y 0 en el rest o. 2 2 Xy y y f x f x y dy x y dy xy x x =   = = + = + = + < <     ∫ ∫ [ ] 1 3 2 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 7 ( ) 2 2 3 2 2 12 X X x x x E X xf x dx x x dx x dx µ       = = = + = + = + =             ∫ ∫ ∫ • Coeficiente de variación de X: 100 X X X CV σ µ = ⋅ 1 2 4 3 1 1 1 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 5 ( ) 2 2 4 2 3 12 X x x x E X x f x dx x x dx x dx         = = + = + = + =              ∫ ∫ ∫ [ ] 2 2 2 2 5 7 11 12 12 144 XE X E X σ       = − = − =         11 11 144 100 100 100 47,38% 77 12 X X X CV σ µ ++ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = De manera similar, podemos obtener la cuota de mercado esperada del producto B y su coeficiente de variación. Pero si observamos que en la función de densidad conjunta las dos variables “entran” de la misma forma, podemos concluir por “simetría” que las dos variables tienen las mismas características (posición, dispersión, etc.). Por tanto: 1 ( ) si 0 1 y 0 en el resto. 2 Y f y y y= + < < Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 66 [ ] 7 12 Y E Y µ = = 2 5 12 E Y   =   2 11 144 Y σ = 100 47,38% Y Y Y CV σ µ = ⋅ = Vemos que en ambos casos la desviación típica supone menos del 50% de la media, por lo que concluimos que ambas cuotas medias son representativas de sus respectivas distribuciones. c) ( 0,5; 0,5) P X Y = = Teniendo en cuenta que las variables aleatorias son continuas, la probabilidad solicitada es igual a cero. d) ( / 0,5): f x Y = ( , ) ( / ) 0 1 0 1 1 ( ) 2 Y f x y x y f x y x y f y y + = = ≤ ≤ ≤ ≤ + 1 1 2 ( / 0,5) 1 1 2 2 2 x f x Y x + = = = + + para 0 1 x ≤ ≤ e) Comprobación de independencia: Las variables son independientes si se cumple cualquiera de estas tres condiciones para todo x y para todo y : 1) ( , ) ( ) ( ) 2) ( ) ( / ) 3) ( ) ( / ) X Y X Y f x y f x f y f x f X Y y f y f Y X x = ⋅ = = = = Comprobemos si se cumple la primera de ellas: 1 1 ( ) ( ) ( , ) 2 2 X Y f x f y x y x y f x y    ⋅ = + + ≠ + =       Por tanto, las cuotas de mercado no son independientes. Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 67 f) Coeficiente de correlación lineal: XY XY X Y σ ρ σ σ = donde [ ] XY X Y E XY σ µ µ = − [ ] ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy x y xy dxdy = = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 2 2 3 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 2 3 2 1 00 2 3 1 2 3 6 6 3 y x xy x x x y xy x y xy dy dx dx x x x x dx = = == = =     = + = + =             = + = + =         ∫ ∫ ∫ ∫ La covarianza viene dada por: [ ] [ ] [ ] 1 7 7 1 3 12 12 144 XY E XY E X E Y σ = − = − ⋅ = − y el coeficiente de correlación: 11 144 0,09. 11 11 11 144 144 XY XY X Y σ ρσ σ − = = = − = − ⋅ Las variables presentan una asociación lineal negativa pero muy débil, puesto que el coeficiente está muy próximo a cero. g) [ ] / 0,2 E Y x = Se solicita el valor que toma la línea de regresión de Y sobre X para x =2. Vamos a obtener la expresión de la línea de regresión y después particularizaremos para ese valor: [ ] / / ( / ) Y X y E Y X yf y x dy µ = = ∫ Estadística I [VARIABLE ALEATORIA] 68 ( , ) ( / ) 0 1 0 1 1 ( ) 2 X f y x x y f y x x y f x x + = = ≤ ≤ ≤ ≤ + 1 1 1 2 3 / 0 0 0 1 1 ( ) 1 1 1 2 3 2 2 2 1 1 3 2 12 3 6 3 2 y y y Y X y y y x y y y y dy y x y dy x x x x x x x x µ = = = = = =   + = = + = + =     + + + +   = + =   +   + ∫ ∫ Por tanto, / 3 2 6 3 Y X x x µ + = + para 0 1. x ≤ ≤ Obsérvese que la línea de regresión no es una línea recta y que sólo es función de la variable X . Para x =2 se tiene que: [ ] / 0,2 3 0,2 2 / 0,2 0,619. 6 0,2 3 Y X E Y x µ = ⋅ + = = = = ⋅ + Vemos que la cuota de mercado esperada del producto B dada una cuota de mercado del 20% para el producto A es del 61,9%.