Análisis conjunto de dos variables

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1 Lección 3. Análisis conjunto de dos variables Estadística Descriptiva JULIA DE HARO GARCÍA 2 3.1 COVARIANZA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE 3.2 REGRESIÓN LINEAL TEMA 3. ANÁLISIS CONJUNTO DE DOS VARIABLES JULIA DE HARO Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 2 3 • Saber representar e interpretar una distribución bidimensional mediante una nube de puntos. • Interpretar la correlación lineal como una medida de la relación lineal existente entre dos variables. • Determinar e interpretar la recta de regresión. • Analizar la bondad del ajuste realizado. Coeficiente de determinación. • Realizar predicciones, de forma crítica, a partir de una recta de regresión. Objetivos JULIA DE HARO Relaciones entre dos variables (a) Causal (b) Interdependencia X Y X Y (c) Indirecta (d) Espúrea X Y X Y Z Tipos de covariación 4JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 3 5 Nubes de puntos Nubes de puntosNubes de puntos Nubes de puntos a) Asociación lineal creciente b) Asociación lineal decreciente X Y X Y Covariación. Análisis gráfico JULIA DE HARO 6 c) Ausencia de asociación d) Asociación no lineal X Y X Y Covariación. Análisis gráfico JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 4 La covarianza, sXY,es una medida absoluta que cuantifica la covariación lineal entre dos variables X e Y. ( ) ( ) N yyxx s N 1i ii XY ∑ = −− = 7 3.1 Covarianza JULIA DE HARO yx N yx s N iii XY ⋅ −= ∑ =1 El signo de la covarianza indica el tipo de asociación lineal entre X e Y. • Una covarianza positiva indica una relación lineal positiva o directa (Los valores bajos de ambas variables se presentan a la vez al igual que los elevados, pero no sabemos si hay una relación causal entre ellas) . • Una covarianza negativa es un reflejo de una relación lineal inversa o decreciente o negativa. • Una covarianza nula indica que no existe covariación o relación lineal entre las variables, pero puede o no existir otro tipo de covariación como exponencial, parabólica etc. 8 3.1 Covarianza ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 5 9 X Y _ x _ y II I III IV X Y _ x _ y xi yi _ xi-x > 0 _ yi-y > 0 II I III IV xj yj _ yj-y < 0 xj-x < 0 _ 3.1 Covarianza JULIA DE HARO 10 Una medida relativa que expresa el grado de asociación lineal entre las variables es el coeficiente de correlación lineal simple, rXY : Si , la relación lineal es perfecta y directa Si , la relación lineal es perfecta e inversa Si , no existe relación lineal entre las variables (sXY=0) (Puede que sean independientes o que exista otro tipo de relación entre ellas) yx xy xy SS S r= 1r1 XY ≤ ≤ − 1r XY = 1r XY −= 0r XY = 3.1 Coeficiente de correlación lineal simple JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 6 11 Entre los diversos tipos de relaciones entre dos variables, la más estudiada es la relación de causalidad, es decir, una de ellas es la causa de la otra. Aquella variable que depende de otra se denomina variable dependiente, endógena o explicada (Y), mientras que la variable que es el origen de los cambios se denomina variable independiente, exógena o explicativa (X). El análisis de la regresión consiste en obtener la línea ideal, línea de regresión, hacia la que tienden los puntos del diagrama de dispersión; es decir, trata de determinar la dependencia exacta que se haya contenida en la dependencia estadística, mediante la eliminación de factores aleatorios. 3.2 Regresión lineal JULIA DE HARO 3.2 Regresión lineal Observado Ajustado Error 12 Yi= Y*i+ ei= a + b Xi+ ei, i = 1, 2, ..., N 12JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 7 13 Sólo en el caso particular de que la relación fuese “perfecta”, la nube de puntos estaría sobre una recta y todos los errores eiserían nulos. 0 2 4 6 8 10 0 10 0 2 4 6 8 10 0 10 3.2 Regresión lineal 1r XY =1r XY −= JULIA DE HARO 14 De entre las infinitas rectas que sería posible ajustar a una nube de puntos, nos quedamos con la resultante de aplicar el criterio de mínimos cuadrados ordinarios, de tal forma que la recta obtenida es aquella que hace mínima la suma de los errores, ei, al cuadrado. Min ∑ ei2= ∑ (YiY*i)2 Tras la resolución de un sistema de ecuaciones normales, en el que se ha impuesto este criterio, los parámetros a y b de la recta de regresión son: 2 X XY s s b xbya = −= 3.2 Regresión lineal JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 8 15 a: Es el término independiente, la ordenada en el origen. Indica el valor de Y cuando X toma el valor cero. b: Es la pendiente de la recta de regresión. Coeficiente de regresión. Se puede interpretar diciendo que por término medio, cuando X se incrementa en una unidad, la variable Y aumenta (o disminuye, según el signo) en b unidades, según el modelo estimado. 3.2 Regresión lineal. Interpretación de coeficientes JULIA DE HARO 16 •si b<0, la dependencia lineal es inversa o negativa (recta decreciente) •si b=0, no existe dependencia lineal (sXY=0) (recta horizontal, se cumple, ) •si b>0, la dependencia lineal es directa o positiva (recta creciente) 3.2 Regresión lineal ay i = * JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 9 Entre las propiedades de mayor interés de la recta de regresión tenemos: •pasa por el centro de gravedad de la nube de puntos, por el punto •la suma de los residuos resultantes es cero (Σei= 0). ( ) .y,x 17 3.2 Regresión lineal JULIA DE HARO Un concepto muy importante en economía es el concepto de elasticidad, que es la variación porcentual que experimenta la variable Y cuando X aumenta un 1%. Elasticidad media: Y X b Y X X Y X / X Y/Y dElasticida = ∂ ∂ = ∂ ∂ = Y X bE = 3.2 Regresión lineal. Elasticidad 18JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 16 f) Bondad del ajuste Interpretación: El ingreso explica el 94% de las variaciones del gasto según el modelo estimado. Es un buen ajuste (0,94 > 0,75). Solo deja sin explicar el 6%, (1R2). Ejercicio 31 22 XY rR = 94,0 0,97 2 2 ==R 0≤ R2≤1 JULIA DE HARO g) Predicción Yp*= 2,067 + 0,8229 (12,5) = 12,3532* 103€ Fiabilidad de la predicción: Como hemos visto el modelo tiene un grado de ajuste satisfactorio (R2= 0,94 > 0,75) y como 12,5 es un valor de los ingresos dentro del recorrido de dicha variable (interpolación), podemos concluir que la predicción realizada es fiable. Ejercicio 32JULIA DE HARO ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 17 h) Elasticidad Este es el caso de elasticidad para un valor concreto de los ingresos, 12,5 ( no es elasticidad media), por ello el valor de Y (gasto) viene dado por: Yp*= 2,067 + 0,8229 (12,5) = 12,3532* 103€ Interpretación: Al aumentar el ingreso en un 1%, aumenta el gasto un 0,83%. Ejercicio 33 Y X bE = E = 0 , 8229 12 , 5 12 , 3532 = 0 , 83 JULIA DE HARO h) En el caso de elasticidad media se procede igual sólo que sustituyendo los valores de x e y por sus puntos medios ( no hay que realizar la predicción del gasto). Ejercicio 34 Y X bE = JULIA DE HARO