Tablas de mortalidad dinámicas con hoja de cálculo en la práctica actuarial

Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Antonio Fern´andez Morales Departamento de Econom´ıa Aplicada (Estad´ıstica y Econometr´ıa) Universidad de M´alaga, 2016 Resumen En este trabajo se presenta la aplicaci´on de procedimientos de obtenci´on de probabilidades de fallecimiento, mediante hoja de c´alculo, para generaciones y a˜nos de calendario futuros, basadas en la informaci´on contenida en tablas de mortalidad din´amicas, desde el punto de vista actuarial. Palabras clave— Actuarial, tabla de mortalidad din´amica, hoja de c´alculo. Clasificaci´on JEL— G22, C22, I13. Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial 1. Introducci´on Las tablas de mortalidad din´amicas tienen una presencia creciente en el ´ambito actuarial. Este tipo de tabla de mortalidad permite obtener probabilidades de fallecimiento que var´ıan no s´olo con la edad o el sexo, sino tambi´en con el paso del tiempo f´ısico o de calendario (habitualmente en sentido decreciente). Las tablas de mortalidad din´amicas ofrecen una alternativa m´as sencilla al uso de modelos param´etricos m´as complejos, ya sea predictivos ([1], [2], [3], [4], [5]) o descriptivos ([6], [7]). Generalmente, las tablas de mortalidad din´amicas se ofrecen en formatos simplificados, que contienen una tabla base y f´ormulas de c´alculo que permiten la generaci´on de tablas de mortalidad espec´ıficas para cada a˜no de calendario futuro o para generaciones de individuos nacidos en un a˜no determinado. Para este objetivo, las hojas de c´alculo son una de las herramientas m´as utilizadas por su flexibilidad y simplicidad. Dentro de la l´ınea de trabajo que se viene realizando en la Universidad de M´alaga sobre recursos tecnol´ogicos para la formaci´on actuarial, con el desarrollo de recursos para dispositvos m´oviles ([8]) o simuladores interactivos ([9], [10]), se presenta en este trabajo una gu´ıa para la elaboraci´on de un generador de tablas de mortalidad basadas en la informaci´on contenida en tablas de mortalidad din´amicas, tambi´en denominadas generacionales. Se muestra de forma esquem´atica como elaborar una taba en hoja de c´alculo con las probabilidades anuales de fallecimiento por edades para una generaci´on y para un a˜no de calendario futuro, de forma que se pueda recalcular autom´aticamente cambiando el a˜no de nacimiento o el a˜no de calendario futuro, seg´un corresponda. 2. Conceptos En una tabla de mortalidad din´amica, la tasa de mortalidad qx,t depende de la edad, x el a˜no de calendario, t Ejemplos de tablas de mortalidad din´amicas para uso actuarial que siguen este enfoque se muestran a continuaci´on: Tablas espa˜nolas PERM/F [11] Tablas espa˜nolas PEB 2014 [12] Tablas alemanas DAV 2004R [13] Tablas austr´ıacas AV¨ O 2005R [14] 2 Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Una tabla de mortalidad din´amica se puede representar como una matriz (Tabla 1). No obstante, en la pr´actica actuarial se suele presentar s´olo: La mortalidad en el a˜no de calendario base, para todas las edades Una funci´on o factor de reducci´on anual, para todas las edades Tabla 1: Tasas de mortalidad de una tabla din´amica Edad Calendario xt0t1t2t3··· 0q0,t0q0,t1q0,t2q0,t3 ··· 1q1,t0q1,t1q1,t2q1,t3 ··· 2q2,t0q2,t1q2,t2q2,t3 ··· ... ... ... ... ... ... 3. Modelo El modelo basado en factores de reducci´on es ampliamente utilizado en tablas de mortalidad din´amicas en el ´ambito actuarial[15]. La especificaci´on general consiste en: qx,t =qx,t0eF(x)(tt0)(1) Las tasas de mortalidad seg´un esta especificaci´on dependen de los dos factores multiplicativos siguientes: Tasas base observadas en t0,qx,t0 Mejoras de mortalidad multiplicativas (factor de reducci´on), FR(x, t  t0)=eF(x)(tt0), de manera que qx,t =qx,t0FR(x, t t0)=qx,t0eF(x)(tt0) 3.1. Ejemplo En las tablas espa˜nolas PERM/F 2000, la tasa de mortalidad qx,t se puede escribir como: qx,t =qx,2000 ex(t2000) (2) donde: el a˜no base es 2000 la funci´on F(x) est´a tabulada como x 3 Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Alternativamente, se puede expresar la tasa de mortalidad qx,b de este modelo en funci´on de : la edad, x el a˜no de nacimiento, b resultando: qx,b =qx,2000xex(b+x2000) (3) 4. Aplicaci´on con hoja de c´alculo Utilizando la informaci´on del modelo especificado en una tabla de mortalidad din´amica, la hoja de c´alculo se convierte en un instrumento muy eficaz para obtener las tasas de mortalidad para cualquier a˜no de calendario futuro y/o generaci´on [16]. A continuaci´on se presenta, de forma esquem´atica el procedimiento para su construcci´on, distinguiendo entre el caso de la elaboraci´on de una tabla con las probabilidades anuales de fallecimiento para un a˜no de calendario futuro y el caso que corresponde a una generaci´on. 4.1. A˜no de calendario futuro La obtenci´on de las probabilidades anuales de fallecimiento para un a˜no de calendario futuro se realizar´a tomando como ejemplo la tabla espa˜nola PERM/F 2000. El procedimiento de c´alculo de las tasas de mortalidad en un a˜no de calendario t, qx,t, se resume en: qx,2000 disponibles xdisponibles calcular ex(t2000) calcular qx,t =qx,2000ex(t2000) 4.1.1. Ejemplo Calcularemos con una hoja de c´alculo las tasas de mortalidad previstas seg´un la tabla PERF 2000P para el a˜no t=2020. Los datos disponibles se muestran en la Tabla 2. El procedimiento de calculo se puede esquematizar en las siguientes etapas: 4 Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Tabla 2: Datos disponibles A B C D E F 1 t = 2020 2x qx,2000 xt2000 ex(t2000) qx,2020 3 0 0,003215 0,04 4 1 0,000264 0,04 5 2 0,000196 0,04 6... ... ... En la columna D calculamos cu´antos a˜nos se aplica la mejora de mortalidad, usando la celda B1 en la f´ormula (Tabla 3). En la columna E calculamos el factor de reducci´on por edad, eC·D(Tabla 4). Las tasas del a˜no 2020 son el producto de las columnas B y E (Tabla 5). Por ´ultimo, modificando la celda B1 se pueden recalcular autom´aticamente las tasas para otro a˜no futuro. En la Tabla 6se muestran los resultados para el a˜no 2025. Tabla 3: A˜nos de mejora A B C D E F 1 t = 2020 2x qx,2000 xt2000 ex(t2000) qx,2020 3 0 0,003215 0,04 20 4 1 0,000264 0,04 20 5 2 0,000196 0,04 20 6... ... ... ... Tabla 4: Factor de reducci´on A B C D E F 1 t = 2020 2x qx,2000 xt2000 ex(t2000) qx,2020 3 0 0,003215 0,04 20 0,4493 4 1 0,000264 0,04 20 0,4493 5 2 0,000196 0,04 20 0,4493 6... ... ... ... ... 5 Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Tabla 5: Tasas 2020 A B C D E F 1 t = 2020 2x qx,2000 xt2000 ex(t2000) qx,2020 3 0 0,003215 0,04 20 0,4493 0,001445 4 1 0,000264 0,04 20 0,4493 0,000119 5 2 0,000196 0,04 20 0,4493 0,000088 6... ... ... ... ... ... Tabla 6: Tasas 2025 A B C D E F 1 t = 2025 2x qx,2000 xt2000 ex(t2000) qx,2020 3 0 0,003215 0,04 25 0,3679 0,001183 4 1 0,000264 0,04 25 0,3679 0,000097 5 2 0,000196 0,04 25 0,3679 0,000072 6... ... ... ... ... ... 4.2. Generaci´on De nuevo emplearemos la tabla espa˜nola PERM/F 2000 para la obtenci´on de las tasas anuales de mortalidad, en este caso para una generaci´on. El proceso de c´alculo de las tasas de mortalidad para los nacidos en el a˜no b, qx,b, se resume en: qx,2000xdisponibles xdisponibles calcular ex(b+x2000) calcular qx,b =qx,2000xex(b+x2000) 4.2.1. Ejemplo Construiremos con una hoja de c´alculo las tasas de mortalidad previstas seg´un la tabla PERF 2000P para las mujeres nacidas en el a˜no b=1980. En la Tabla 7se presentan los datos disponibles en la tabla original. Los pasos a seguir para realizar la construcci´on de la tabla de la generaci´on de 1980 son los siguientes: En la columna D calculamos cu´antos a˜nos se aplica la mejora de mortalidad, usando la celda B1 (Tabla 8). 6 Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Tabla 7: Datos disponibles A B C D E F 1 b = 1980 2x qx,2000xxb+x2000 ex(b+x2000) qx,1980 ... ... ... ... 53 50 0,001220 0,025 54 51 0,001385 0,025 55 52 0,001449 0,025 ... ... ... ... ... En la columna E calculamos el factor de reducci´on por edad, eC·D(Tabla 9). Las tasas para una nacida en 1980 son el producto de las columnas B y E (Tabla 10). Modificando la celda B1 se puede recalcular autom´aticamente para otro a˜no de nacimiento, por ejemplo para las nacidas en el a˜no 1985, b= 1985 (Tabla 11). Tabla 8: A˜nos de mejora A B C D E F 1 b = 1980 2x qx,2000xxb+x2000 ex(b+x2000) qx,1980 ... ... ... ... ... 53 50 0,001220 0,025 30 54 51 0,001385 0,025 31 55 52 0,001449 0,025 32 ... ... ... ... ... Tabla 9: Factor de reducci´on A B C D E F 1 b = 1980 2x qx,2000xxb+x2000 ex(b+x2000) qx,1980 ... ... ... ... ... ... 53 50 0,001220 0,025 30 0,4724 54 51 0,001385 0,025 31 0,4607 55 52 0,001449 0,025 32 0,4493 ... ... ... ... ... ... 7 Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Tabla 10: Tasas nacida en 1980 A B C D E F 1 b = 1980 2x qx,2000xxb+x2000 ex(b+x2000) qx,1980 ... ... ... ... ... ... ... 53 50 0,001220 0,025 30 0,4724 0,000576 54 51 0,001385 0,025 31 0,4607 0,000638 55 52 0,001449 0,025 32 0,4493 0,000651 ... ... ... ... ... ... ... Tabla 11: Tasas nacida en 1985 A B C D E F 1 b = 1985 2x qx,2000xxb+x2000 ex(b+x2000) qx,1980 ... ... ... ... ... ... ... 53 50 0,001220 0,025 35 0,4169 0,000509 54 51 0,001385 0,025 36 0,4066 0,000563 55 52 0,001449 0,025 37 0,3965 0,000575 ... ... ... ... ... ... ... 5. Conclusiones El uso de hojas de c´alculo para la elaboraci´on de tablas de mortalidad se puede considerar como uno de los instrumentos m´as eficaces y populares en el campo profesional actuarial, especialmente cuando se trata de tablas de mortalidad din´amicas o generacionales. La flexibilidad que aporta la tecnolog´ıa asociada a las hojas de c´alculo para el trabajo con matrices de datos permite maximizar la gesti´on de la informaci´on cuantitativa, al tiempo que simplifica notablemente la mec´anica de c´alculo para la proyecci´on de probabilidades de fallecimiento anuales. En este trabajo se ha presentado un mecanismo de generaci´on de tablas de mortalidad, tanto para generaciones nacidas en el mismo a˜no, como para a˜nos de calendario futuros, que resulta de una indudable utilidad para la posterior realizaci´on de c´alculos actuariales. La implementaci´on realizada en los ejemplos se ha elaborado con las tablas espa˜nolas PERM/F 2000, aunque dada su flexibilidad puede ser replicada sin dificultad para otras tablas de tipo din´amico o generacional. 8 Tablas de mortalidad din´amicas con hoja de c´alculo en la pr´actica actuarial Referencias [1] Mitchell, D., Brockett, P., Mendoza-Arriaga, R., Muthuraman, K. (2013). Modeling and forecasting mortality rates. Insurance: Mathematics and Economics, 52(2), 275-285. [2] Deng, Y., Brockett, P., MacMinn, R. (2012). Longevity/mortality risk modeling and securities pricing. Journal of Risk and Insurance, 79(3), 697–721. [3] Yang, S., Yue, J., Huang, H. (2010). 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