Unha introdución ás ecuacións en diferenzas

T aballo Fin de G ao Unha in odución ás ecuacións en di e enzas Ma ín Lema Pailos 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS T aballo Fin de G ao Unha in odución ás ecuacións en di e enzas Ma ín Lema Pailos 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA T aballo p opos o Á ea de Coñecemen o: Análise ma emá ica. Tí ulo: Unha in odución ás ecuacións en di e enzas. B e e desc ición do con ido As ecuacións en di e enzas esul an de g an in e ese, non só como e- amen a pa a a ap oximación das solucións de ecuacións di e enciais, senón amén po que apa ecen de o ma na u al en di e sos enómenos económicos ou biolóxicos, en e ou os. Nes e aballo in oduci ase o concep o de ecuación en di e enzas, pa a es uda pos e io men e os esul ados que ga an en a exis encia de solución, así como os mé odos explíci os de esolución en ce os casos. Comp oba ase des e xei o a cla a analoxía exis en e en e es e ipo de ecuacións e as ecuacións di e enciais o dina ias. Recomendacións Te cu sadas as ma e ias de In odución ás Ecuacións Di e enciais O dina ias e Ecuacións Di e enciais O dina ias. iii Índice xe al Resumo ii In odución ix 1. Cálculo en di e enzas 1 1.1. Ope ado di e enza................................ 1 1.2. Sumainde inida.................................. 5 2. Ecuacións lineais en di e enzas 9 2.1. Resul ados xe ais de ecuacións en di e enzas lineais . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Resolución de ecuacións lineais en di e enzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1. Resolución de ecuacións lineais de p imei a o de . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2. Ecuacións lineais con coe icien es cons an es . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3. Ecuacións lineais con coe icien es non cons an es . . . . . . . . . . . 24 3. Sis emas de ecuacións lineais en di e enzas 29 3.1. Sis emas lineais au ónomos con coe icien es cons an es . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Resolución de sis emas lineais au ónomos . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Sis emas lineais non au ónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Teo ía da es abilidade 39 4.1. Mé ododaescalei a ............................... 41 4.2. FuncióndeLyapuno ............................... 44 4.3. Omodeloloxís ico ................................ 48 4.3.1. C ecemen o es able (0< ≤2) ..................... 52 4.3.2. C ecemen o cíclico (2< < 2,57).................... 54 4.3.3. C ecemen o caó ico (2,57 < ≤3) ................... 56 Bibliog a ía 59 Resumo Nes e aballo es uda emos as ecuacións en di e enzas. In oduci emos o cálculo en di e enzas pa a así pode aballa coas ecuacións en di e enzas, endo mé odos explíci os pa a esol elas en ce os casos e esul ados que ga an en a exis encia de solución. T as is o, e emos os sis emas de ecuacións lineais en di e enzas de o ma b e e, comp obando a analoxía exis en e cos sis emas de ecuacións lineais di e enciais á ho a da busca de solucións. Po úl imo, pasa emos a es uda o compo amen o asin ó ico das solucións dos sis emas e das ecuacións non lineais en di e enzas, que é o que se coñece como eo ía da es abilidade. Abs ac In his wo k we will s udy he di e ence equa ions. We will in oduce he calcula ion in di e ences in o de o wo k wi h equa ions in di e ences, seeing explici me hods o sol e hem in ce ain cases and esul s ha gua an ee he exis ence o a solu ion. A e his, we will see he sys ems o linea equa ions in di e ences in a b ie way, checking he exis ing analogy wi h he sys ems o di e en ial linea equa ions when looking o solu ions. Finally, we will s udy he asymp o ic beha io o he solu ions o he sys ems and o he nonlinea equa ions and di e ences, which is known as he s abili y heo y. ii 2CAPÍTULO 1. CÁLCULO EN DIFERENZAS Pódense conside a di e enzas de o de maio . En pa icula , de ínese a di e enza de o de 2 coma ∆2y( ) = ∆(∆y( )), e, en xe al, a di e enza de o de n coma ∆ny( ) = ∆(∆n−1y( )). Ademais do ope ado di e enza, amén se acos uma a usa o ope ado shi . De inición 1.2. Dada unha unción ycon alo es eais, de inimos o ope ado shi , E, como Ey( ) = y( + 1). Vemos que ∆ = E−I, onde I deno a o ope ado iden idade de inido po I y( ) = y( ). Podemos exp esa en ón a di e enza de o de n do seguin e xei o ∆ny( )=(E−I)ny( ) = n X k=0 n k(−I)kEn−ky( ) = n X k=0 n k(−1)ky( +n−k). P ocedemos ago a á in odución dalgunhas p opiedades impo an es do ope ado ∆. Teo ema 1.3. Sexan y e z dúas uncións. Tense que 1. ∆m(∆ny( )) = ∆m+ny( )pa a odo m, n ∈N. 2. ∆(y( ) + z( )) = ∆y( )+∆z( ). 3. ∆(c y( )) = c∆y( )pa a calque a cons an e c. 4. ∆(y( )z( )) = y( ) ∆z( ) + E z( ) ∆ y( ). 5. ∆y( ) z( )=z( ) ∆ y( )−y( ) ∆ z( ) z( )E z( ). Demos ación. 2 Po de inición, ∆[y( ) + z( )] = [y( + 1) + z( + 1)] −[y( ) + z( )] = [y( + 1) −y( )] + [z( + 1) −z( )] = ∆y( )+∆z( ). 1.1. OPERADOR DIFERENZA 3 3 Usando a de inición, ∆[c y( )] = c y( + 1) −c y( ) = c[y( + 1) −y( )] = c∆y( ). 4 Aplicando a de inición á unción y( )z( ), ∆[y( )z( )] = y( + 1) z( + 1) −y( )z( ) =y( + 1) z( + 1) −y( )z( + 1) + y( )z( + 1) −y( )z( ) = ∆ y( )E z( ) + y( ) ∆ z( ). Podemos esc ibi ago a, ∆2y( ) = ∆(∆ y( )) = ∆(y( + 1) −y( )) = ∆ y( + 1) −∆y( ) = (y( + 2) −y( + 1)) −(y( + 1) −y( )) = y( + 2) −2y( + 1) + y( ). Do mesmo xei o, po indución, ∆ny( ) = y( +n)−n y( +n−1) + n(n−1) 2! y( +n−2) + ···+ (−1)ny( ) = n X k=0 (−1)kn ky( +n−k). Ademais des as p opiedades, hai de e minadas uncións que cump en ou as igualda- des que poden esul a de u ilidade. An es de elas, imos de ini unha unción de g an impo ancia no es udo das ecuacións en di e enzas. De inición 1.4. De ini emos a unción gamma,Γ, como Γ(z) = Z∞ 0 e− z−1d , con z∈C, semp e que a pa e eal de zsexa posi i a. Aplicando in eg ación po pa es, emos que Γ(z+ 1) = Z∞ 0 e− zd =−e− z∞ 0−Z∞ 0−e− z z−1d =zZ∞ 0 e− z−1d , polo que a unción gamma sa is ai a seguin e ecuación en di e enzas Γ(z+ 1) = zΓ(z), ou o que é o mesmo Γ(z) = Γ(z+ 1) z. 4CAPÍTULO 1. CÁLCULO EN DIFERENZAS Teo ema 1.5. Sexa aunha cons an e. En ón, 1. ∆a = (a−1) a . 2. ∆ sen(a ) = 2 sen(a 2) cos(a( +1 2)). 3. ∆ cos(a ) = −2 sen(a 2) sen(a( +1 2)). 4. ∆ log(a ) = log(1 + 1 ). 5. ∆ log(Γ( )) = log( ), sendo >0. Demos ación. 2. Aplicando a p opiedade igonomé ica da suma de senos, emos que ∆ sen (a ) = sen(a( + 1)) −sen(a ) = 2 sen a( + 1) −a 2cos a( + 1) + a 2 = 2 sen a 2cos a +1 2. 3. Do mesmo xei o, usando a p opiedade igonomé ica da suma de cosenos, emos que ∆ cos (a ) = cos (a( + 1)) −cos (a ) = −2 sen a( + 1) − 2sen a( + 1) + a 2 =−2 sen a 2sen a +1 2. Vexamos ago a un exemplo onde combinamos o uso dos Teo emas 1.3 e 1.5. Exemplo 1.6. Calculemos ∆ sec(π ): ∆ sec(π )=∆1 cos(π )=(cos(π )∆(1) −(1)(∆(cos(π ))) cos(π ) cos(π( + 1)) =2 sen(π 2) sen(π( +1 2)) cos(π ) cos(π( + 1)) =2 (sen(π ) cos(π 2) + cos(π ) sen(π 2)) cos(π )(cos(π ) cos(π)−sen(π ) sen(π)) =2 cos(π ) (cos(π )(−cos(π )) =−2 sec(π ). Unha das p opiedades máis impo an es emp egadas no cálculo di e encial é d d n=n n−1. Desa o unadamen e, is o non se cump e no cálculo en di e enzas pois ∆ n= ( + 1)n− n. Po es e mo i o, de inimos a seguin e unción, que xoga á o papel das po encias pa a a de i ada. 1.2. SUMA INDEFINIDA 5 De inición 1.7. De inimos, semp e que eña sen ido, o ac o ial de o de , , como =             ( −1) ···( − + 1), ∈N, 1, = 0, 1 ( +1)( +2)···( − ), =−1,−2, ... Γ( +1) Γ( − +1) , /∈Z. O ac o ial de o de cump e as seguin es p opiedades. Teo ema 1.8. Tense que 1. ∆ = −1. 2. ∆  = −1. 3. ∆  + = + +1. 1.2. Suma inde inida In oduci emos ago a o in e so de ei o do ope ado di e enza pa a pode ealiza cál- culos con el. De inición 1.9. Chama emos suma inde inida (ou an idi e enza) de y, e deno a émolo po Py( )ou ∆−1y( ), a calque a unción que e i ique que ∆Xy( )=y( ) pa a odo den o do dominio de y. Vemos así que es e ope ado e á o papel da in eg al no cálculo di e encial. É dici , men es que a de i ada en po in e sa á in eg al, o ope ado di e enza e á po in e sa a an idi e enza. Do mesmo xei o que acon ece coa in eg al, a an idi e enza dunha unción non é única, al e como podemos e no seguin e exemplo. Exemplo 1.10. Calculamos a suma inde inida P6 . Sabemos, pola p opiedade 1 do Teo ema 1.3, que ∆6 = 5 ·6 . Polo que X6 =6 5. Ademais, se Cé unha unción co mesmo dominio que 6 e e i ica que ∆C( )=0, emos que 6CAPÍTULO 1. CÁLCULO EN DIFERENZAS ∆6 5+C( )= ∆ 6 5= 6 . Daquela 6 5+C( )é unha suma inde inida de 6 . Di emos en ón que X6 =6 5+C( ), onde Cé unha unción co mesmo dominio que 6 e∆C( )=0. Enunciamos así o seguin e eo ema. Teo ema 1.11. Se z é unha suma inde inida de y, en ón oda suma inde inida de y i á dada po Xy( ) = z( ) + C( ), onde C en o mesmo dominio que ye ademais ∆C( )=0. No caso de que es eamos aballando en conxun os disc e os, emos o seguin e co ola io. Co ola io 1.12. Sexa yunha unción de inida nun conxun o da o ma {a,a+1,a+2,... }, sendo aun núme o eal, e sexa zunha suma inde inida de y. En ón oda suma inde inida de y én dada po Xy( ) = z( ) + C, sendo C unha cons an e a bi a ia. Emp egando o Teo ema 1.11 e o Co ola io 1.12, podemos p oba as p opiedades que apa ecen a con inuación. Teo ema 1.13. Sexa a unha cons an e. En ón, se C é unha unción al que ∆C( ) = 0, ense que 1. Pa =a a−1+C( )se a6= 1. 2. Psen (a ) = −cos(a( −1 2)) 2 sen(a 2)+C( )se a 6= 2nπ. 3. Pcos (a ) = sen(a( −1 2)) 2 sen(a 2)+C( ). 4. Plog( ) = log (Γ( )) + C( ). 5. P a= a+1 a+1 +C( ). 6. P a= a+1+C( ). 7. Pa+ =a+ −1+C( ). 1.2. SUMA INDEFINIDA 7 Teo ema 1.14. Sexan yez uncións con alo es eais. En ón cúmp ese que 1. P(y( ) + z( )) = Py( ) + Pz( ). 2. PD y( ) = DPy( ), se D é unha cons an e. 3. P(y( )∆z( )) = y( )z( )−PE z( )∆y( ). Demos ación. 3. Pola p opiedade 3 do Teo ema 1.3 ∆(y( )z( )) = y( )∆z( ) + E z( ) ∆y( ). Daquela X[y( ) ∆ z( ) + E z( ) ∆y( )] = X[∆(y( )z( ))] = y( )z( ) + C( ). Pa a ema a , examos nas Táboas 1.1 e 1.2 as simili udes e di e enzas en e o cálculo di e encial e o cálculo en di e enzas, onde D esp esen a ao ope ado de i ada. Cálculo en di e enzas Cálculo di e encial 1. ∆y(x) = y(x+h)−y(x). 2. ∆ny= ∆(∆n−1y), n = 1,2, ... 3. ∆(c y) = c∆y∀c∈R. 4. ∆(c1y1+c2y2) = c1∆y1+c2∆y2. 5. ∆xn=n xn−1. 6. ∆(u ) = (E u)∆ + ∆u. 7. ∆(u ) = ∆u−u∆ E . 8. Se yé un polinomio de g ado n, en ón ∆nyé unha cons an e e odas as di e- enzas de o de maio son nulas. 1. Dy(x) = l´ımh→0∆y(x) h. 2. Dny= D(Dn−1y), n = 1,2, ... 3. D(c y) = cDy∀c∈R. 4. D(c1y1+c2y2) = c1Dy1+c2Dy2. 5. Dxn=n xn−1. 6. D(u ) = uD + Du. 7. D(u ) = Du−uD 2. 8. Se yé un polinomio de g ado n, en ón Dnyé unha cons an e e odas as de i- adas de o de maio son nulas. Táboa 1.1: Compa ación en e o ope ado di e enza e a de i ada. 8CAPÍTULO 1. CÁLCULO EN DIFERENZAS Cálculo en di e enzas Cálculo di e encial 1. P(d y) = dPy∀d∈R. 2. P(d1y1+c2d2) = d1Py1+d2Py2. 3. Pxn=xn n−1+Csendo Cunha unción al que ∆C= 0. 4. P(u∆ )) = u −PE ∆u. 1. R(d y) = dRy∀d∈R. 2. R(d1y1+c2d2) = d1Ry1+d2Ry2. 3. Rxndn=xn+1 n+1 +Csendo Ccalque a cons an e. 4. Rud =u −R du. Táboa 1.2: Compa ación en e o ope ado an idi e enza e a in eg al. Capí ulo 2 Ecuacións lineais en di e enzas Nes e capí ulo ala emos de ecuacións en di e enzas, pa a iso segui emos undamen al- men e o Capí ulo 3 de [6] e as Seccións 2.1, 2.2 e 2.3 de [5]. Ou as e e encias onde se pode consul a son [3] e [7]. An es de comeza co es udo e esolución de ecuacións en di e enzas, de inamos os con- cep os de ecuación en di e enzas e de solución da mesma, pa a despois pode busca as solucións. De inición 2.1. Sexa yunha unción con alo es nun conxun o S. Chama emos ecuación en di e enzas sob e Sa unha ecuación que con eña os alo es dunha ou máis di e enzas ∆y, ∆2y, ... No malemen e considé ase Scomo o conxun o dos núme o na u ais, aínda que amén se poden conside a in e alos de R. Po comodidade, no noso aballo emp ega emos semp e un conxun o Sda o ma {a, a + 1, a + 2, ... }, onde a∈R. De inición 2.2. Unha unción yé unha solución dunha ecuación en di e enzas sob e un conxun o Sse os alo es de y educen a ecuación en di e enzas a unha iden idade en S, é dici , se os alo es de y an a ecuación en di e enzas unha a i mación ce a en odo o conxun o S. Se unha unción yé solución dunha ecuación en di e enzas, di emos que a unción sa is ai a ecuación en di e enzas. Exemplo 2.3. Conside emos a seguin e ecuación en di e enzas y( + 2) −2y( + 1) + y( ) = ( + 1), ∈N, que amén pode se exp esada como ∆2y( ) = 2. 9 10 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS Emp egando o Teo ema 1.8, sabemos que ∆2 4= ∆ 4 3= 12 2, polo que, y( ) = 4 12 é unha solución da nosa ecuación. 2.1. Resul ados xe ais de ecuacións en di e enzas lineais De inición 2.4. Unha ecuación en di e enzas sob e un conxun o Sélineal se se pode esc ibi como p0( )y( +n) + p1( )y( +n−1) + ···+pn−1( )y( + 1) + pn( )y( ) = ( ), ∈S, (2.1) onde p0, p1, ... , pn−1, pne son uncións con alo es en S. De inición 2.5. Unha ecuación lineal nun conxun o Sdise de o de n se a podemos esc ibi da o ma (2.1) con p0epnnon nulos en S. De inición 2.6. Di emos que unha ecuación en di e enzas lineal é homoxénea cando é da o ma p0( )y( +n) + p1( )y( +n−1) + ···+pn−1( )y( + 1) + pn( )y( )=0, ∈S. (2.2) No emos que a ecuación (2.5) amén se pode esc ibi usando o ope ado shi pn( )En+···+p0( )E0y( ) = ( ). Ademais, como E= ∆+I, amén podemos exp esa a ecuación (2.1) en e mos do ope ado di e enza, pe o is o non é de u ilidade pois con es e ope ado non sabemos a o de da nosa ecuación, como podemos e no seguin e exemplo. Exemplo 2.7. Conside emos a ecuación en di e enzas ∆3y( ) + 3 ∆2y( )+∆y( )−y( ) = ( ). Se subs i uimos ∆ = E−I, emos que (E3−3E2+ 3 E−I)y( ) + 3(E2−2E+I)y( )+(E−I)y( )−y( ) = ( ). Ope ando e simpli icando ob emos y( + 3) −2y( + 1) = ( ), que é de o de dous, aínda que na ecuación inicial puidésemos pensa que é de o de es. 2.1. RESULTADOS XERAIS DE ECUACIÓNS EN DIFERENZAS LINEAIS 11 De inición 2.8. Chama emos p oblema de alo inicial pa a unha ecuación da o ma (2.1) á es icción de impoñe á nosa solución as seguin es condicións y( +k) = yk pa a k= 0,1, ... , n −1. Exemplo 2.9. Conside emos o seguin e p oblema de alo inicial (P)(y( + 2) −4y( + 1) + 4 y( ) = 0, y(0) = 1 ey(1) = 6. A ecuación en di e enzas en po solución xe al y( )=2 (C1+C2 ). Se lle impoñemos as condicións iniciais ob emos y(0) = C1ey(1) = 2 (C1+C2), de onde C1= 1 e2 (C1+C2)=6, é dici , C1= 1 eC2= 2. Polo que a solución ao noso p oblema (P)se á y( ) = 2 (1 + 2 ). O p oblema de alo inicial en unha única solución, al e como e emos no seguin e esul ado. Teo ema 2.10 (Teo ema de exis encia e unicidade de solución).Sexan p0, p1, ... , pn−1, pn e uncións con alo es en S={a, a + 1, a + 2, ... }con p0( )6= 0 epn( )6= 0 pa a odo ∈S. En ón, pa a odo 0∈Se calque a y0, ... , yn−1exis e unha única solución yque sa is ai a ecuación (2.1) pa a ∈Sey( 0+k) = ykpa a k= 0, ... , n −1. Demos ación. Po hipó ese coñecemos os np imei os alo es de yen 0, que se án y( 0+k) = yk,pa a k= 0, ... , n −1. P oba emos po indución que o alo de ypa a odo ∈Ses á de e minado de o ma única. Se esc ibimos a ecuación (2.1) e aluada en 0 emos que p0( 0)y( 0+n) + p1( 0)y( 0+n−1) + ···+pn−1( 0)y( 0+ 1) + pn( 0)y( 0) = ( 0). 18 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS 2.2.2. Ecuacións lineais con coe icien es cons an es T a a emos ago a de busca nsolucións linealmen e independen es da ecuación homo- xénea (2.2) no caso de que os coe icien es sexan odos cons an es. Como pn6= 0, podemos di idi ambos lados da ecuación po pne ob emos así u( +n) + pn−1u( +n−1) + ···+p0u( )=0, ∈S, (2.6) onde p0, ... , pn−1son cons an es e p06= 0. De inición 2.22. 1. Chama emos polinomio ca ac e ís ico da ecuación (2.6) ao se- guin e polinomio λn+pn−1λn−1+···+p0. 2. Chama emos ecuación ca ac e ís ica da ecuación (2.6) a λn+pn−1λn−1+···+p0= 0. 3. As solucións da ecuación ca ac e ís ica, λ1, ... , λk,son os au o alo es. Vexamos ago a como ob e un sis ema de solucións linealmen e independen es de (2.6). Pa a iso esc ibamos a ecuación (2.6) emp egando o ope ado shi : En+pn−1En−1+···+p0u( )=0, ∈S. (2.7) Sexan λ1, ... , λkos au o alo es asociados á súa ecuación ca ac e ís ica e α1, ... , αkas mul i- plicidades co esponden es. Podemos esc ibi así a ecuación ca ac e ís ica asociada a (2.7) como λn+pn−1λn−1+···+p0= (λ−λ1)α1···(λ−λk)αk= 0. Vemos así que (2.7) se pode exp esa como (E−λ1)α1···(E−λk)αku( ) = 0, ∈S, (2.8) onde α1+···+αk=ne a o de dos ac o es é a bi a ia. No emos que os au o alo es son non nulos pois p06= 0. Se conside amos a ecuación (E−λ1)α1u( )=0, ∈S, (2.9) odas as solucións de (2.9) se án amén solución de (2.8). Vexamos como calcula es a solución: Se α1= 1, a ecuación (2.9) edúcese a u( + 1) = λ1u( ), que en como solución u( ) = λ 1, ∈S. 2.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS 19 Se α1>1, conside emos u( ) = λ 1 ( )e subs i uamos en (2.9): (E−λ1)α1λ 1 ( ) = α1 X i=0 α1 i(−λ1)α1−iEiλ 1 ( ) = α1 X i=0 α1 i(−1)α1−iλα1−i 1Eiλ 1 ( ) = α1 X i=0 α1 i(−1)α1−1λα1−i 1λ +i 1Ei ( ) =λα1+ 1 α1 X i=0 α1 i(−1)α1−iEi ( ) =λα1+ 1(E−1)α1 ( ) = λα1+ 1∆α1 ( )=0, onde 1 ep esen a a unción iden idade. Polas p opiedades do Teo ema 1.5 sabemos que ∆α1 ( )=0se ( )=1, , 2, ... , α1−1. Así, a ecuación (2.9) en α1solucións que se án λ 1, λ 1, 2λ 1, ... , α1−1λ 1. Repe indo es e p oceso pa a odo αicon i∈ {1, ... , k}ob emos inalmen e nsolucións da ecuación (2.6) que son linealmen e independen es. Recollemos is o no seguin e eo ema. Teo ema 2.23. Sexan λ1, ... , λkcon mul iplicidade α1, ... , αk, espec i amen e, os au o- alo es da ecuación (2.6). En ón (2.6) en nsolucións independen es que eñen dadas po λ 1, ... , α1−1λ 1, λ 2, ... , α2−1λ 2, ... , λ k, ... , αk−1λ k. Obse ación 2.24.Se en e os au o alo es emos un pa complexo λ1=a+b i eλ2=a−b i, en ón λ 1= (a+b i) eλ 2= (a−b i) . Se exp esamos os au o alo es complexos en unción das súas coo denadas pola es emos que a= cos(θ), b = sen(θ), onde =√a2+b2eθ= a c an b ase a6= 0,θ=π 2se a= 0 eb > 0eθ=−π 2se a= 0 e b < 0. Así c1λ 1+c2λ 2=c1( cos(θ) + i sen(θ)) +c2( cos(θ)−i sen(θ)) = [(c1+c2) cos( θ) + i(c1−c2) sen( θ)] = [a1cos( θ) + a2sen( θ)] . Polo an o, en luga de oma como solucións independen es λ 1eλ 2, que se án uncións complexas, oma emos cos(θ )e sen(θ ). No caso de que os au o alo es complexos 20 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS λ=a±b i eñan mul iplicidade α > 1 emos que, de o ma análoga aos au o alo es eais, as solucións eais linealmen e independen es i án dadas po cos(θ ), ... , α−1 cos(θ ), sen(θ ), ... , α−1 sen(θ ). Exemplo 2.25. Busca emos odas as solucións da ecuación en di e enzas u( + 3) −7u( + 2) + 16 u( + 1) −12 u( ) = 0, =a, a + 1, ... A ecuación ca ac e ís ica asociada se á λ3−7λ2+ 16 λ−12 = 0, ou o que é o mesmo (λ−2)2(λ−3) = 0. Así, aplicando o Teo ema 2.23, sabemos que as es solucións linealmen e independen es da ecuación en di e enzas son u1( )=2 , u2( ) = 2 eu3( ) = 3 . Así, a solución xe al da ecuación én dada po u( ) = C12 +C2 2 +C33 , con C1, C2, C3cons an es a bi a ias. Ago a imos e como esol e unha ecuación non homoxénea con coe icien es cons an es, y( +n) + pn−1y( +n−1) + ···+p0y( ) = ( ), ∈S, (2.10) po un mé odo coñecido como mé odo do aniquilado , cando ( )é a solución dunha ecuación homoxénea con coe icien es cons an es. Recollemos a idea cen al des e mé odo no seguin e eo ema. Teo ema 2.26. Supoñamos que yé solución da ecuación (2.10), é dici , (En+pn−1En−1+···+p0)y( ) = ( ), ∈S, e exis en q0, ... , qm−1pa a os cales se sa is ai (Em+qm−1Em−1+···+q0) ( ) = 0, ∈S. En ón ysa is ai a ecuación (Em+···+q0)(En+···+p0)y( )=0, ∈S. 2.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS 21 Demos ación. Bas a con aplica o ope ado Em+···+q0a ambos lados da ecuación (2.10). Apliquemos es e eo ema a un caso pa icula . Exemplo 2.27. Conside emos a ecuación y( + 2) −7y( + 1) + 6 y( ) = . (2.11) Comecemos esc ibindo es a ecuación emp egado o ope ado shi (E2−7E+ 6)y( ) = , ou equi alen emen e (E−1)(E−6) y( ) = . Podemos e que a unción sa is ai a ecuación homoxénea (E−1)2 = ∆2 = 0, polo que (E−1)2se á o noso aniquilado . En ón, aplicando o Teo ema 2.26, a unción y( ) é solución da seguin e ecuación (E−1)3(E−6) y( )=0. Ago a, emp egando o Teo ema 2.23, a solución xe al da ecuación homoxenénea an e io se á da o ma y( ) = C16 +C2+C3 +C4 2. Pa a de e mina os coe icien es, imos subs i ui y( )na ecuación o ixinal. Como C16 +C2 sa is ai a pa e homoxénea da ecuación, abonda con subs i uí y( ) = C3 +C4 2, ob endo C3( + 2) + C4( + 2)2−7C3( + 1) −7C4( + 2)2+ 6 C3 + 6 C4 2= , ou o que é o mesmo 2[C4−7C4+ 6 C4] + [4 C4+C3−14 C4−7C3+ 6 C3] + [4 C4+ 2 C3−7C4−7C3] = . Se igualamos os coe icien es dos dous lados da igualdade, ob emos o segui e sis ema de ecuacións −10 C4= 1 −5C3−3C4= 0 que en po solución C4=−1 10 eC3=3 50. Así, a solución da ecuación (2.11) se á y( ) = C16 +C2+3 50 −1 10 2. 22 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS Algunhas aplicacións das ecuacións lineais con coe icien es cons an es Exemplo 2.28 (A sucesión de Fibonacci. O p oblema dos coellos).Es e p oblema oi o mulado po Leona do de Pisa en [11] e xu diu a ando de da espos a á seguin e p egun a: Can os pa es de coellos habe á despois dun ano se se comeza cunha pa ella adul a de coellos e se cada pa ella en un pa de descenden es cada mes a pa i da súa e apa adul a (o segundo mes)? O p imei o pa de coellos ep odúcese ao inal do p imei o mes, emos así dous pa es. Ao inal do segundo mes, só se pode ep oduci a p imei a pa ella e emos en ón es pa es de coellos. Ao inal do e cei o mes, a p imei a e a segunda pa ella ep odúcense e emos cinco pa es de coellos. Con inuando con es e p ocedemen o, chegamos a que se F(n)é o núme o de pa es de coellos ao inal do mes n, en ón a elación de ecu encia que ep esen a es e modelo én dada pola ecuación linea en di e enzas de segunda o de seguin e F(n+ 2) = F(n+ 1) + F(n), F (0) = 1, F(1) = 2,0≤n≤10. Es e exemplo é un caso pa icula da sucesión de Fibonacci, que én dada po F(n+ 2) = F(n+ 1) + F(n), F (0) = 0, F(1) = 1, n ≥0.(2.12) A ecuación ca ac e ís ica co esponden e a (2.12) é λ2−λ−1 = 0. Os au o alo es co esponden es son λ1=1+√5 2eλ2=1−√5 2. Así, a solución xe al de (2.12) é F(n) = a1 1 + √5 2!n +a2 1−√5 2!n , n ≥1. Emp eg ando os alo es iniciais F(0) = 0 eF(1) = 1, ob emos que a1=1 √5, a2=−1 √5. Consecuen emen e, F(n) = 1 √5" 1 + √5 2!n − 1−√5 2!n#, n ≥1. Exemplo 2.29 (Ley de Ha dy-Weinbe g, Sección 1.7 de [1]).Calque a ca ac e ís ica dun indi iduo, como a co de ollos, es á de e minado po un pa de xens, un p oceden e do seu pai e ou o p oceden e de súa nai. Cada xen en dúas o mas, a dominan e deno ada po Ae a ecesi a deno ada po a. Así, cada indi iduo pode e es combinacións di e en es de xens: dominan es AA, híb idos (Aa ou aA) ou ecesi os aa. 2.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS 23 Supoñamos que na xe ación -ésima, as p opo cións de dominan es, híb idos e ecesi os son p( ),q( )e ( ) espec i amen e, de manei a que p( ) + q( ) + ( )=1, p( )≥0, q( )≥0, ( )≥0. Se conside amos que os apa eamen os son alea o ios (é dici , non depende de se os indi iduos son dominan es, híb idos ou ecesi os), odos eñen a mesma supe i encia e igual e ilidade, examos como a ían as p opo cións de cada xeno ipo ao longo das xe acións. Daquela, endo en con a que p( + 1) é a p obabilidade de que un indi iduo sexa dominan e na xe ación ( + 1)-ésima, é dici , a p obabilidade de que ecibise un xen dominan e, A, do pai e ou o da nai, podemos esc ibi que p( + 1) = p( ) + 1 2q( )·p( ) + 1 2q( )=p( ) + 1 2q( )2 . Do mesmo xei o, q( + 1) = 2 p( ) + 1 2q( ) ( ) + 1 2q( ) e ( + 1) =  ( ) + 1 2q( )2 . No emos que es as no as p opo cións e i ican que p( + 1) + q( + 1) + ( + 1) = p( ) + 1 2q( ) + 1 2q( ) + ( )2 = 1. Se que emos e as p opo cións de dominan es da seguin e xe ación p( + 2) = p( + 1) + 1 2q( + 1)2 = p( ) + 1 2q( )2 +p( ) + 1 2q( ) ( ) + 1 2q( )!2 =p( ) + 1 2q( )2p( ) + 1 2q( ) + 1 2q( ) + ( )2 =p( ) + 1 2q( )2 =p( + 1). Ob emos así a seguin e ecuación en di e enzas p( + 2) = p( + 1). Es a ecuación an simple demos anos que a p opo ción de indi iduos dominan es se ma én cons an e ao longo das xe acións. Podemos ealiza o mesmo p oceso pa a a p opo ción de indi iduos híb idos e ecesi os. Is o explica, po exemplo, po que aínda que o xen que de e mina a co de ollos ma ón é dominan e, hoxe en día con inua exis indo xen e con ollos de co e de ou azul. 24 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS 2.2.3. Ecuacións lineais con coe icien es non cons an es En xe al, as ecuacións de o de supe io a un con coe icien es non cons an es non poden se esol as na mei ande pa e dos casos. Po es e mo i o, e emos dis in os mé odos que se i án pa a ob e solucións explíci as en de e minadas si uacións. Conside emos de no o a ecuación non homoxénea pn( )y( +n) + pn−1( )y( +n−1) + ···+p1( )y( + 1) + p0( )y( ) = ( ), ∈S, (2.13) e a ecuación homoxénea asociada pn( )y( +n) + pn−1( )y( +n−1) + ···+p1( )y( + 1) + p0( )y( )=0, ∈S. (2.14) Mé odo de a iación de pa áme os O mé odo de a iación de pa áme os é o p ocedemen o xe al pa a esol e (2.13). Se supoñemos que coñecemos nsolucións linealmen e independen es de (2.14), a a és des e mé odo ob emos odas as solucións de (2.13) en e mos de nsumas inde inidas. Ve emos es e mé odo pa a o caso pa icula n= 2.Sexan u1eu2dúas solucións independen es de p2( )y( + 2) + p1( )y( + 1) + p0( )y( )=0, ∈S. (2.15) Busca emos unha solución da o ma y( ) = a1( )u1( ) + a2( )u2( ), onde a1ea2 eñen que se de e minados. Vemos que y( + 1) = a1( + 1) u1( + 1) + a2( + 1) u2( + 1) =a1( )u1( + 1) + a2( )u2( + 1) + ∆ a1( )u1( + 1) + ∆ a2( )u2( + 1). Se escollemos as uncións a1ea2de o ma que ∆a1( )u1( + 1) + ∆ a2( )u2( + 1) = 0,(2.16) en ón y( + 2) = a1( + 1) u1( + 2) + a2( + 1) u2( + 2) =a1( )u1( + 2) + a2( )u2( + 2) + ∆ a1( )u1( + 2) + ∆ a2( )u2( + 2). Se subsi uímos ago a as exp esións de y( ),y( + 1) ey( + 2) na ecuación (2.15) emos que 2.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS 25 p2( )y( + 2) + p1( )y( + 1) + p0( )y( ) =a1( )[p2( )u1( + 2) + p1( )u1( + 1) + p0( )u1( )] +a2( )[p2( )u2( + 2) + p1( )u2( + 1) + p0( )u2( )] +p2( )[u1( + 2) ∆ a1( ) + u2( + 2) ∆ a2( )]. Como u1eu2sa is an (2.15), os dous p imei os e mos da exp esión son nulos e así, y( )sa is ai (2.13) se u1( + 2) ∆ a1( ) + u2( + 2) ∆ a2( ) = ( ) p2( ).(2.17) Podemos concluí así que y( ) = a1( )u1( ) + a2( )u2( )é solución de (2.13) se ∆a1( )e ∆a2( ) e i ican as ecuacións (2.16) e (2.17). Es e sis ema de ecuacións lineais en unha única solución se a ma iz de coe icien es, W( + 1), en de e minan e dis in o de ce o (en i ude do Teo ema 2.15. Recollemos o caso pa a na bi a io no seguin e esul ado. Teo ema 2.30. Sexan u1, ... , unnsolucións linealmen e independen es de (2.14). En ón y( ) = a1( )u1( ) + ···+an( )un( ) é unha solución de (2.13), sendo a1, ... , an uncións que sa is an o seguin e sis ema de ecuacións W( + 1)     ∆a1( ) . . . ∆an( )     =    0 . . . ( ) pn( )     . Mé odo de ac o ización Esc ibamos ago a a ecuación lineal de o de nen e mos do ope ado shi (pn( )En+···+p0( )) y( ) = ( ), ∈S. No caso de que o ac o que in oluc a ao ope ado shi se poida ac o iza en ac o es lineais, a solución á nosa ecuación en di e enzas pode ob e se esol endo unha se ie de ecuacións de p imei a o de. Ilus emos es a si uación cun exemplo. Exemplo 2.31. Conside emos a ecuación en di e enzas E2−( −1) E− y( )=0, ∈S, 26 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS ou equi alen emen e (E+ 1) (E− )y( )=0. Se conside amos en ón a ecuación de p imei a o de dada po (E+ 1) ( )=0, que en como solución ( )=(−1) C, pa a ob e a solución da ecuación o ixinal e emos que esol e a ecuación dada po (E− )y( )=(−1) C. A ecuación homoxénea asociada se á (E− )y( )=0. Desen ol endo is o, emos que y( + 1) − y( ) = 0, ou o que é o mesmo, y( + 1) = y( ). Vemos así que es a ecuación en di e enzas sa is aina a unción gamma, polo que a solución xe al da ecuación homoxénea é da o ma DΓ( +1) , onde Dé unha cons an e a bi a ia. Emp egando o Teo ema 2.21 emos que y( ) = DΓ( + 1) +CΓ( + 1) X(−1) Γ( + 2). Se conside amos que oma os alo es disc e os 0,1,2, ... en ón y( ) = D( −1)! + C( −1)! −1 X k=0 (−1)k(k−1) (k+ 1)! , onde CeDson cons an es a bi a ias. Mé odo de edución de o de Ou o caso pa icula no que podemos calcula a solución dunha ecuación de o de supe io a un é cando somos quen de a opa unha solución non nula da ecuación homo- xénea asociada. Nes e caso, pode emos educi nunha unidade a o de da nosa ecuación. Así, se aballamos cunha ecuación de segunda o de, pode emos encon a unha solución independen e da p imei a e consegui así unha solución xe al da ecuación. Vexamos p imei o a ecuación de p imei a o de que sa is ai o Caso a iano. 2.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS 27 Lema 2.32. Sexan u1, ... , unsolucións da ecuación pn( )u( +n) + ···+p0( )u( )=0, ∈S, e sexa w( )o Caso a iano co esponden e. En ón w( )sa is ai w( + 1) = (−1)np0( ) pn( )w( ), ∈S. (2.18) Demos ación. Deno emos po Fia ila i-ésima da ma iz de Caso a i. O alo de w( + 1) non a ía se cambiamos a de adei a ila po Fn+p1( ) pn( )F1+···+pn−1( ) pn( )Fn−1. Así, es a no a ila se á −p0( ) pn( )u1( ),··· ,−p0( ) pn( )un( ). Temos así que w( + 1) = de        u1( + 1) ··· un( + 1) . . ..... . . u1( +n−1) ··· un( +n−1) −p0( ) pn( )u1( )··· −p0( ) pn( )un( )        = (−1)np0( ) pn( )w( ). Supoñamos ago a que u1é unha solución non nula de p2( )y( + 2) + p1( )y( + 1) + p0( )y( ) = 0, ∈S, (2.19) e sexa u2ou a solución. Reco dando que ∆u2( ) u1( )=u1( ) ∆ u2( )−u2( ) ∆ u1( ) u1( )u1( + 1) =w( ) u1( )u1( + 1), ob emos que u2( ) u1( )=Xw( ) u1( )u1( + 1), ou o que é o mesmo u2( ) = u1( )Xw( ) u1( )u1( + 1). Ob emos así o seguin e eo ema, que se coñece como mé odo de edución de o de pa a ecuacións en di e enzas de o de dous. 34 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS lineal de M0, ... , Mipa a i= 0, ... , n −1,e emp egando a Obse ación 3.5, deducimos que is o é ce o pa a calque a po encia de A. Podemos esc ibi en ón A = n−1 X i=0 ci+1( )Mi,pa a ∈Z, onde ci+1( )es á po de e mina . Tendo en con a que A +1 =A A , n−1 X i=0 ci+1( + 1)Mi=A +1 =A n−1 X i=0 ci+1( )Mi= n−1 X i=0 ci+1( ) [Mi+1 +λi+1 Mi] = n−1 X i=1 ci( )Mi+ n−1 X i=0 ci+1( )λi+1 Mi, (3.8) aplicando a igualdade (3.7) no penúl imo paso. Es a ecuación sa is aise se ci( ) e i ican o sis ema     c1( + 1) . . . cn( + 1)     =           λ10 0 ··· 0 1λ20··· 0 0 1 λ3··· 0 . . ........... . . 0. . .0 1 λn               c1( ) . . . cn( )     .(3.9) Ademais, como A0=I=c1(0)I+···+cn(0)Mn−1, emos que        c1(0) c2(0) . . . cn(0)        =       1 0 . . . 0        ,(3.10) é dici , c1( + 1) = λ1c1( ), c1(0) = 1, ci( + 1) = λici( ) + ci−1( ), ci(0) = 0, i = 2, ... , n. Emp egando o Teo ema 3.7 sabemos que o p oblema de alo inicial dado po (3.9) e (3.10) en unha única solución. Chegamos así ao seguin e esul ado. Teo ema 3.9 (O algo i mo de Pu ze ).A solución da ecuación (3.4) con ec o de alo es iniciais u0é u( ) = n−1 X i=0 ci+1( )Miu0=A u0, onde as Mi eñen dadas po (3.7) e os ci( )es án de e minados de o ma única polas ecuacións (3.9) e(3.10). 3.1. SISTEMAS LINEAIS AUTÓNOMOS CON COEFICIENTES CONSTANTES 35 Exemplo 3.10. Resol e emos o seguin e sis ema de ecuacións emp egando o algo i mo de Pu ze u( + 1) = "1 1 −1 3 #u( ), u(0) = "α β#. A ecuación ca ac e ís ica co esponden e é λ2−4λ+ 4 = 0, polo que a nosa ma iz en po au o alo λ= 2 con mul iplicidade dous. Aplicando a ecuación (3.7), emos que M0=I, M1=A−2I="−1 1 −1 1 #. Polas ecuacións (3.9) e (3.10) emos que c1( + 1) = 2 c1( ), c1(0) = 1, de onde c1( )=2 . Emp egando de no o (3.9) e (3.10), c2( + 1) = 2 c2( )+2 , c2(0) = 0, de onde c2( ) = 2 −1. Así, emp egando o Teo ema 3.9, emos que u( ) = (c1( )I+c2( )M1)"α β#= 2 "1 0 0 1 #+ 2 −1"−1 1 −1 1 #!" α β# = 2 "1− 2 2 − 21 + 2#" α β#. Sis emas non homoxéneos: a iación de pa áme os Finalmen e, conside emos ago a o sis ema non homoxéneo u( + 1) = A u( ) + ( ).(3.11) O seguin e eo ema es ablece unha ó mula de a iación de pa áme os pa a esol e es e ipo de sis emas. Teo ema 3.11. A única solución do sis ema (3.11) sa is acendo a condición inicial u(0) = u0 é u( ) = A u0+ −1 X s=0 A −s−1 (s).(3.12) 36 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS Demos ación. Polo Teo ema 3.7, abonda con comp oba que (3.12) sa is ai o p oblema de alo inicial. Temos p imei o que, pa a = 0 −1 X s=0 A−s−1 (s) = 0 po con ención, daquela u(0) = u0. Pa a ≥1, u( + 1) = A +1 u0+ X s=0 A −s (s) = A +1 u0+ −1 X s=0 A −s (s) + ( ) =A"A u0+ −1 X s=0 A −s−1 (s)#+ ( ) = A u( ) + ( ). 3.2. Sis emas lineais non au ónomos Aínda que non imos en a en de alle (pa a máis in o mación éxase a Sección 3.2 de [3] e a Sección 4.4 de [6]) es uda emos ago a sis emas con ma iz de coe icien es non cons an es. Reco demos que os sis emas non au ónomos e an da o ma u( + 1) = A( )u( ) + ( ), ∈S, e o seu sis ema homoxéneo asociado e a u( + 1) = A( )u( ), ∈S. Comecemos cunhas de inicións básicas que nos pe mi an despois in oduci o concep o de ma iz undamen al, imp escindible no es udo de sis emas non au ónomos. De inición 3.12. Di emos que as solucións u1, ... , unde (3.2) son linealmen e independen es se c1u1( ) + ···+cnun( )=0pa a odo ∈S⇒ci= 0,1≤i≤n. Se conside amos Φ( )∈ Mn×n al que as súas columnas son solución de (3.2), é dici , Φ( )=[u1( ), ... , un( )] , en ón, Φ( + 1) = [u1( + 1), ... , un( + 1)] = [A( )u1( ), ... , A( )un( )] = A( ) [u1( ), ... , un( )] =A( ) Φ( ). Vemos así que Φ( )sa is ai a ecuación Φ( + 1) = A( ) Φ( ).(3.13) 3.2. SISTEMAS LINEAIS NON AUTÓNOMOS 37 De inición 3.13. Chama emos ma iz undamen al do sis ema (3.2) a unha ma iz Φ( )non singula pa a odo ∈Ssa is acendo a ecuación (3.13). Podemos ca ac e iza as ma ices undamen ais median e o seguin e eo ema. Teo ema 3.14. Se Φ( )é unha ma iz undamen al de (3.2), en ón Ψ( )é ou a ma iz undamen al se e só se exis e unha ma iz non singula C al que Ψ( ) = Φ( )Cpa a odo ∈S. Demos ación. ⇒Sexa Ψ( ) = Φ( )C, onde Φ( )é unha ma iz undamen al de (3.2) e C é non singula . En ón Ψ( )é non singula pa a odo ∈Se Ψ( + 1) = Φ( + 1) C=A( ) Φ( )C=A( ) Ψ( ). Polo an o, Ψ( )é unha ma iz undamen al de (3.2). ⇐Supoñamos que Ψ( )eΦ( )son ma ices undamen ais de (3.2). Pa a algún 0∈S, sexa C= Φ−1( 0)Ψ( 0). En ón Ψ( )eΦ( )Cson solucións de (3.13), sa is acendo a mesma condición inicial e po unicidade emos que Ψ( ) = Φ( )Cpa a odo ∈S. Teo ema 3.15. Se Φ( )é unha solución de (3.13), en ón de Φ( )6= 0 pa a odo ∈Sou de Φ( ) = 0 pa a odo ∈S. Demos ación. Como Φ( )é solución de (3.13) pa a odo ∈S, Φ( + 1) = A( ) Φ( ). Polo an o, de Φ( + 1) = de A( ) de Φ( )pa a odo ∈S. Como po de inición, de A( )6= 0 pa a odo ∈Sen ón a única posibilidade de que se cump a a igualdade é que de Φ( )6= 0 pa a odo ∈Sou que de Φ( )=0pa a odo ∈S. En e ec o, se de Φ( 0)=0pa a 0∈S, emos que de ( 0+ 1) = de A( ) de Φ( 0)=0, de ( 0) = de A( ) de Φ( 0−1) = 0, polo que de Φ( )=0pa a odo ∈S. 38 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS EN DIFERENZAS Teo ema 3.16. Se Φ( )é unha ma iz undamen al de (3.2), en ón a solución xe al de (3.2) es a á dada po u( ) = Φ( )c, onde cé un ec o cons an e a bi a io. Os sis emas comple os amén se poden esol e emp egando ma ices undamen ais, al e como se ecolle no seguin e esul ado. Teo ema 3.17 (Mé odo de a iación de pa áme os).Se Φ( )é unha ma iz undamen al de (3.13), a única solución de (3.5) que sa is ai a condición inicial u( 0) = u0 én dada po u( ) = Φ( ) Φ−1( 0)u0+ Φ( ) −1 X s= 0 Φ−1(s+ 1) (s)pa a ≥ 0. Vemos así a si uación é análoga ao que acon ecía no caso dos sis emas lineais de ecua- cións di e enciais o dina ias. Capí ulo 4 Teo ía da es abilidade A a ago a es udamos ecuacións e sis emas lineais, pasemos a es uda as ecuacións e sis emas non lineais. Como no malmen e es as ecuacións e sis emas non se poden esol e de o ma explíci a, imos es uda como se compo an as súas solucións, a medida que aumen a , que é o que se coñece como compo amen o asin ó ico e da luga á eo ía da es abilidade. Pa a iso segui emos a Sección 1.3 de [3] e a Sección 4.5 de [6]. Tamén se pode segui na Sección 4.1 de [5] ou en [7]. Cen a émonos nas ecuacións de o de un, pois podemos e que calque a ecuación de o de maio , n, se pode ans o ma nun sis ema de necuacións de o de un, como se e a con inuación. Exemplo 4.1. Conside emos a seguin e ecuación non linea de o de es y( + 3) = 4 y4( + 2) y( + 1) −2 cos y( ). Podemos eesc ibi es a ecuación como o seguin e sis ema de ecuacións en di e enzas de p imei a o de, conside ando u1( ) = y( ),u2( ) = y( + 1) eu3( ) = y( + 2), emos     u1 u2 u3     ( + 1) =     u2( ) u3( ) 4u4 3( )u2( )−2 cos u1( )     . Po es e mo i o, odos os esul ados enunciados pa a sis emas de necuacións non lineais son amén álidos pa a ecuacións non lineais de o de n. Es uda emos a es abilidade pa a sis emas au ónomos non lineais da o ma u( + 1) = (u( )), ∈S={a, a + 1, a + 2, ... },(4.1) onde u( )∈Rnpa a ∈Se é unha unción con inua de Rncon alo es en Rn.Pa a iso, e emos algún esul ado eó ico e un mé odo g á ico, coñecido como mé odo da escalei a, pe o p imei o in oduci emos algúns concep os básicos sob e es abilidade. 39 40 CAPÍTULO 4. TEORÍA DA ESTABILIDADE De inición 4.2. Un ec o u∈Rné un pun o ixo de se (u) = u. Un ec o ∈Rn é un pun o pe iódico de se exis e un en ei o posi i o k al que k( ) = (en endendo kcomo e alua k eces ) e ké o pe íodo de . Así, podemos e que os pun os ixos son solucións cons an es do sis ema (4.1) e os pun os pe iódicos p opo cionan solucións pe iódicas. O pe íodo knon é único pois calque a múl iplo en ei o de ké amén un pe íodo, po is o, chama emos p imei o pe íodo ao meno pe íodo posi i o. De inición 4.3. Chama emos p-ciclo a unha solución pe iódica de p imei o pe iodo igual a p. Vexamos ago a algunhas de inicións sob e concep os básicos da eo ía da es abilidade. De inición 4.4. 1. Sexa u∈Rne > 0. Chama emos bóla abe a cen ada en u con adio ao conxun o B(u, ) = { ∈Rn:k −uk< }. 2. Sexa un pun o ixo de . Di emos que ées able se dada calque a bóla B( , ε), exis e unha bóla B( , δ) al que se u∈B( , δ), en ón (u)∈B( , ε)pa a ≥0. Di emos que éines able se non é es able. 3. Di emos que éasin o icamen e es able se é es able e exis e unha bóla B( , ) al que (u)→ cando → ∞ pa a odo u∈B( , ). 4. Sexa wun pun o pe iódico de con pe íodo k. Di emos que wées able (asin o ica- men e es able) se w, (w), ... , k−1(w)son es ables (asin o icamen e es ables) como pun os ixos de k. Obse ación 4.5.Así, un pun o ixo é es able se os pun os p óximos a non se a as an de ao se e aluados sucesi amen e po . Se ademais é asin o icamen e es able, en ón oda solución de (4.1) que comeza ce ca de con e xe a . Vexamos un esul ado pa a sabe cando un pun o ixo é asin o icamen e es able pa a o caso escala . Teo ema 4.6. Sexa :R→Runha unción, cun pun o ixo e a súa p imei a de i ada con inua nun in e alo abe o con endo a . En ón: 1. Se | 0( )|<1, é asin o icamen e es able. 2. Se | 0( )|>1, é ines able. 4.1. MÉTODO DA ESCALEIRA 41 Demos ación. 1. Supoñamos que | 0( )|<1. Po se 0con inua exis e α al que | 0(u)| ≤ α < 1en algún in e alo da o ma I= ( −δ, +δ)con δ > 0.Polo Teo ema do Valo Medio emos que se u, w ∈I, en ón | (u)− (w)|=| 0(c)||u−w| ≤ α|u−w|. Ademais, pa a cada u∈I, | (u)− | ≤ α|u− |< δ, polo que (u)∈Ie podemos conclui que é es able. Po ou a pa e, | +1(u)− | ≤ α| (u)− | pa a cada ≥0eu∈I. En ón, po inducción, | (u)− | ≤ α |u− |pa a ≥0eu∈I. Como l´ım →∞ α = 0, cada solución da ecuación (4.1) que comeza en Icon e xe a cando → ∞ polo que é asin o icamen e es able. 2. Supoñamos que | 0( )|>1. En ón, como 0é con inua, exis en λ > 1eε > 0 ales que | 0(c)| ≥ λ > 1pa a odo λ > 1ec∈I= ( −ε, +ε). En ón, polo Teo ema do Valo Medio, | (u)− (w)|=| 0(c)||u−w| ≥ λ|u−w|,pa a odo u, w ∈I. Po inducción, | (u)− | ≥ λ |u−w|, men es (u)∈I. Como λ > 1, odas as solucións da ecuación (4.1) que come- zan en I, excep o a solución cons an e u( ) = , abandonan o in e alo Ipa a o su icien emen e g ande. Concluimos así que é ines able. 4.1. Mé odo da escalei a T á ase dun mé odo g á ico pa a es uda a es abilidade de ecuacións non lineais de p imei a o de. Conside emos unha ecuación non lineal da seguin e o ma u( + 1) = (u( )), ∈S. 42 CAPÍTULO 4. TEORÍA DA ESTABILIDADE Es e mé odo consis e en debuxa as g á icas das uncións y= (u)ey=unun mesmo plano de coo denadas. Así, os pun os ixos de se án as in e seccións des as dúas g á icas. Escollemos un alo inicial u(0) no eixo de abscisas e subimos e icalmene a a o pun o (u(0), (u(0)) = (u(0), u(1)) na g á ica de . Ago a, mo émonos ho izon almen e ao pun o (u(1), u(1)) na liña y=u. T as is o, conside amos u(2) = (u(1)) e mo émonos e ical- men e a (u(1), u(2)) na g á ica de . Así, al e nando sucesi amen e mo emen os e icais ca a a g á ica de e mo emen os ho izon ais ca a a liña y=uxe amos unha sucesión {u( )}, o cal nos pe mi e obse a o compo amen o asin ó ico da solución. Ilus emos es e mé odo co seguin e exemplo. Exemplo 4.7. Conside emos a seguin e ecuación non lineal en di e enzas u( + 1) = 1 2u( ) (4 −u( )). A unción (u) = 1 2u(4 −u) en dous pun os ixos, o 0e o 2. En e ec o, (u) = u⇔1 2u(4 −u) = u⇔       u= 0 ou 1 2(4 −u)=1        ⇔       u= 0 ou u= 2        . Vexamos o compo amen o das solucións median e o mé odo da escalei a en unción de onde es á a condición inicial u0que lle impoñemos a nosa ecuación. Comecemos conside ando u0= 0,5e apliquemos o mé odo da escalei a como se e na seguin e g á ica. u y y=1 2u(4 −u) y=u u0u1u2u3u420 Figu a 4.1: Mé odo da escalei a pa a a unción (u) = 1 2u(4 −u) omando como pun o inicial u0∈(0,2). Podemos obse a así na Figu a 4.1 que se omamos u0∈(0,2), a ec a es á po debaixo 4.1. MÉTODO DA ESCALEIRA 43 da pa ábola. Así, ealizando es e mé odo i emos a anzando ca a a de ei a ap oximándonos cada ez máis a 2. Conside emos ago a u0= 3,5e apliquemos de no o o mé odo da escalei a. u y y=1 2u(4 −u) y=u u0 u1u2u3 u4 20 Figu a 4.2: Mé odo da escalei a pa a a unción (u) = 1 2u(4 −u) omando como pun o inicial u0∈(2,4). Vemos así que se conside amos u0∈(2,4), como na Figu a 4.2 a ec a y=ues á en iba da pa ábola, polo que na p imei a i e ación, cando a ancemos ho izon almen e, i emos ca a a esque da e despois es a emos na mesma si uación que o caso an e io . Vexamos o que acon ece cando omamos como pun o inicial u0/∈(0,4). Pa a iso, comecemos conside ando a condición inicial u0=−0,5e apliquemos o mé odo da escalei a. u y y=1 2u(4 −u) y=u u0 u1 u2 20 Figu a 4.3: Mé odo da escalei a pa a a unción (u) = 1 2u(4 −u) omando como pun o inicial u0∈(−∞,0). 50 CAPÍTULO 4. TEORÍA DA ESTABILIDADE Es e modelo depende de =α−β, que é o que se coñece como axa de c ecemen o. Reesc ibimos así a ecuación (4.6) como N +1 =N + N . Se < 0, o núme o de nacemen os en cada empada é meno que o núme o de de uncións e polo an o a poboación diminúe a a a súa ex inción. Pola con a, se > 0, o núme o de nacemen os é maio que o de de uncións e a poboación inc emen a in ini amen e. Vexamos is o plasmado na Figu a 4.6. N 5 10 15 20 100 200 300 400 = 0,1 =−0,1 Figu a 4.6: C ecemen o poboación loxís ico lineal pa a = 0,1en e mello e pa a =−0,1 en azul. Es a ecuación lineal non se pode xene aliza pa a moi as poboacións pois, como po- demos e na na u eza, o aumen o das poboacións non é ilimi ado, xa que o ecosis ema no que i en os indi iduos en o que se coñece como capacidade de ca ga, que é o a- maño máximo de poboación dunha especie biolóxica que se pode sos e nese ecosis ema especí ico, dado o alimen o, o hábi a , a auga e ou os ecu sos dispoñibles. Así, ealizando es udos nos labo a o ios puidose obse a como a medida que aumen a a poboación amén o ai o núme o de alecemen os, men es que se educe o núme o de nacemen os. Is o débese ao sob epoboamen o e a compe encia polo alimen o. Po es e mo i o, a pa i da ecuación lineal de c ecemen o poboacional N +1 =N + N , chegamos a unha ecuación non lineal ao inco po a lle o sob epoboamen o, ob endo N +1 =N +R(N )N ,(4.7) 4.3. O MODELO LOXÍSTICO 51 onde R(N )é a a io de c ecemen o, unha unción que depende do amaño da poboación N . Temos que impoñe ce as condicións a es a unción de c ecemen o da poboación: Debido ao sob epoboamen o, o núme o de mo es aumen a e o de nacemen os dimi- núe, polo que R(N ) en que dec ece cando N aumen a. Se N =K, sendo Ka capacidade de ca ga, o c ecemen o é nulo, é dici , R(K)=0. Cando N →0os e ec os de sob epoboación diminúen e o a io de c ecemen o ende a unha cons an e, , que ep esen a o a io de c ecemen o sen es iccións. Así, R(0) = . Exis en nume osas uncións que sa is an es as condicións, pe o nós escolle emos a seguin e R(N ) = − KN + . (4.8) Subs i uíndo (4.8) en (4.7) emos que N +1 =N + N 1−N K,(4.9) que é o que se coñece como ecuación loxís ica disc e a. Es a ecuación non lineal, como moi as ou as, aínda non oi esol a de o ma xe al, pe o si se ealiza on impo an es es udos median e i e acións pa a di e en es alo es dos pa áme os ( a io de c ecemen o sen es ición), K(capacidade de ca ga) e N0(poboación inicial), como e emos a con inuación. Comecemos buscando os pun os ixos da ecuación loxís ica, pa a iso, subs i uimos en (4.9) pola seguin e incogni a N +1 =N =s, e ob emos s=s+ s 1−s K, ou o que é o mesmo, s1−s K= 0. Es a ecuación en dúas solucións, s= 0 es=K. A p imei a delas danos un esul ado que pa ece ob io, se a poboación inicial é nula, con inua á sendo nula na seguin e empada de c ía, pois non habe á ningún indi iduo que poida e descendencia. A segunda solución cons an e, s=K, co espóndese coa capacidade de ca ga, é dici , se a poboación inicial é N0=K, en ón es a man ense es able no mesmo alo . Se esc ibimos ago a a ecuación (4.9) como N +1 −N = N 1−N K(4.10) 52 CAPÍTULO 4. TEORÍA DA ESTABILIDADE podemos e como é a axa de a iación da poboación en e dúas empadas de c ía suce- si as. Vemos así que se N < K a poboación o al aumen a á, pola con a, se N > K a poboación o al diminui á. A maio limi ación des e modelo é que pode p oduci alo es nega i os de poboación se > 3. Vexamos ago a un caso pa icula dun ecosis ema que pa a unha de e minada especie en unha capacidade de ca ga K= 100 e i emos a iando o a io de c ecemen o sen es icións, , en e 0e3. Es es dis in os ipos de compo amen o pódense clasi ica en es g upos: c ecemen o es able, c ecemen o cíclico e c ecemen o caó ico. 4.3.1. C ecemen o es able (0< ≤2) Comecemos p imei o conside ando = 0,8e emp eguemos o mé odo da escalei a pa a dúas poboacións iniciais di e en es, unha in e io á capacidade de ca ga e ou a supe io á capacidade de ca ga. N 10 140 K 0 Figu a 4.7: Mé odo da escalei a aplicado a ecuación N +1 =N +0,8N 1−N 100 omando como condicións iniciais 10, en co e mella, e 140, en co azul. Vemos así na Figu a 4.7 que cando a poboación inicial é meno que a capacidade de ca ga, es a ai aumen ando ap oximándose cada ez máis á capacidade de ca ga. Se a poboación inicial é maio que a capacidade de ca ga, xa na p imei a i e ación diminúe a poboación a a un alo meno que a capacidade de ca ga e es amos na mesma si uación que o caso an e io . Rep esen emos ago a a poboación en cada época de c ía nunha g á ica (Figu a 4.8) pa a e como se ai ace cando a 100 e se es abiliza nese alo . 4.3. O MODELO LOXÍSTICO 53 N K 100 123456789 Figu a 4.8: Rep esen ación do núme o de indi iduos en cada época de c ía pa a a ecuación loxís ica N +1 =N + 0,8N 1−N 100. Vexamos ago a como se conside amos un a io de c ecemen o sen es iccións máis p óximo a 2, a poboación aumen a de o ma máis ápida e a da menos épocas de c ía en achega se á capacidade de ca ga, K= 100. Emp egamos así o mé odo da escalei a con = 1,6conside ando de no o as can idades iniciais, N0,10 e140. N 10 140 K 0 Figu a 4.9: Mé odo da escalei a aplicado a ecuación N +1 =N +1,6N 1−N 100 omando como condicións iniciais 10, en co e mella, e 140, en co azul. Vemos así na Figu a 4.9 que acon ece o mesmo que no caso an e io , se omamos como poboación inicial N0= 10 a poboación ai aumen ando a a es abiliza se en o no á capacidade de ca ga, K= 100. Se omamos como poboación inicial N0= 140, que é maio 54 CAPÍTULO 4. TEORÍA DA ESTABILIDADE que capacidade de ca ga, a poboación diminúe na p imei a i e ación a a un alo in e io á capacidade de ca ga e despois es amos na mesma si uación que o caso an e io . N 100 K 123456789 Figu a 4.10: Rep esen ación do núme o de indi iduos en cada época de c ía pa a a ecuación loxís ica N +1 =N + 1,6N 1−N 100. A única di e enza esal able en e = 0,8e = 1,6é que no p imei o caso a poboación nunca aumen a a a supe a a capacidade de ca ga pois a ec a co a a pa ábola an es de que es a acade o seu máximo, en ón polo mé odo da escalei a nunca imos ob e un N >100. Pola con a no segundo caso a ec a co a á pa ábola despois do seu máximo, polo que cando nos imos ap oximando á capacidade de ca ga, emos como o mé odo da escalei a nos le a a unha espi al en o no ao alo 100, no que nos imos ap oximando á capacidade de ca ga po de ec o e po exceso al e nadamen e (como podemos obse a na Figu a 4.10), polo que si se chega a e N >100 en a ias e apas. Di e enciamos así dous ipos de compo amen o es able, men es que pa a 0< ≤1 a poboación c ece a a es abiliza se en o no a 100 sen chega a sob epasalo en ningún momen o, pa a 1< ≤2a poboación amén se es abiliza en 100, pe o p imei o luc úa a edo des e alo . 4.3.2. C ecemen o cíclico (2< < 2,57) Vexamos ago a un no o compo amen o pa a es e ango de alo es, pa a iso omamos a ecuación loxís ica con = 2,4e aplicamos o mé odo da escalei a (Figu a 4.11). 4.3. O MODELO LOXÍSTICO 55 N 10 K 0 Figu a 4.11: Mé odo da escalei a aplicado a ecuación N +1 =N +2,4N 1−N 100 omando como condición inicial N0= 10. Vemos así que a poboación oscila en e alo es supe io es á capacidade de ca ga e alo es in e io es a es a. Así, calculando as sucesi as i e acións emos que a nosa ó bi a ende a un 2-ciclo. Pa a calcula os dous alo es en e os que oscila es e ciclo, esol emos a ecuación N +2 =N .(4.11) Como N +2 =N +1 + 2,4N +1 1−N +1 K, podemos esc ibi N +1 + 2,4N +1 1−N +1 K=N , e subs i uindo N +1 =N + 2,4N 1−N 100ob emos N + 2,4N 1−N 100+2,4N + 2,4N 1−N 100 1−N + 2,4N 1−N 100  K!=N , que en po solución 119,305 e64,0281, que se án os alo es do 2-ciclo ao que ende á a nosa ó bi a. Vemos na Figu a 4.12 como os alo es oscilan cada dúas épocas de c ía e se an ap oximando as solucións da ecuación (4.11). 56 CAPÍTULO 4. TEORÍA DA ESTABILIDADE N 100 K 119.305 64.0281 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Figu a 4.12: Rep esen ación do núme o de indi iduos en cada época de c ía pa a a ecuación loxís ica N +1 =N + 2,4N 1−N 100. Así, N6= 120,40665, N8= 118,2973818, ... , N24 = 119,173124, ... , N60 = 119,3042752 eN7= 61,43633727, N9= 66,39251878, ... , N23 = 63,63511996, ... , N59 = 64,02527594, ... e emos como os alo es pa es sen an ap oximando paula inamen e a 119,305 e os alo es impa es a 64,0281. Se omasemos ≥2,5pode iamos e como o compo amen o do núme o de indi iduos segui ía ciclos de o de cada ez maio a medida que nos ap oximamos a2,57. 4.3.3. C ecemen o caó ico (2,57 < ≤3) Den o des e ango de alo es o compo amen o deixa de segui un pa ón ixo como nos casos an e io es, é o que se coñece como caos. Apliquemos o mé odo da escalei a á nosa ecuación pa a = 2,7e examos o que acon ece. N 10 K 0 Figu a 4.13: Mé odo da escalei a aplicado a ecuación N +1 =N +2,7N 1−N 100 omando como condición inicial N0= 10. 4.3. O MODELO LOXÍSTICO 57 Vemos así na Figu a 4.13 que es e ipo de c ecemen o poboacional non segue ningún pa ón. Un dos p ime ios en descub i que un modelo an sinxelo podía p opicia un com- po amen o an complexo oi Robe May en di e sos a ículos que publicou na segunda pa e do século XX ( e [8] e [9]). Po én, emos que des aca que pa a de e minados a- lo es den o des e in e alo o c ecemen o poboacional sí p esen a algún ipo de pa ón ecoñecible, como pode se un 3-ciclo. Ou a das peculia idades des e compo amen o é a g an a iación ao longo das xe acións que supón cambia un pouco o alo inicial da poboación. Po is o alamos de caos, ademais de non es abiliza se a poboación en o no a un compo amen o conc e o, pa a condicións iniciais moi p óximas eñense compo amen os moi dis in os. Comp obémolo na Figu a 4.14 omando como alo es iniciais 10 indi iduos, en co e mella, e 13 indi iduos, en co azul. N 100 K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Figu a 4.14: Rep esen ación do núme o de indi iduos en cada época de c ía pa a a ecuación loxís ica N +1 =N +2,7N 1−N 100 omando como alo inicial N0= 10, en co e mella, eN0= 13, en co azul. Po es e mo i o, nes e ipo de modelos é complexo sabe cal ai se o compo amen o da poboación pa a un pe íodo longo de empo. 58 CAPÍTULO 4. TEORÍA DA ESTABILIDADE Bibliog a ía [1] R. P. Aga wal, Di e ence Equa ions and Inequali ies. Theo y, Me hods, and Applica- ions. Ma cel Dekke , Inc., 2000. [2] L. Edels ein-Keshe , Ma hema ical Models in Biology. SIAM, 1988. [3] S. N. Elaydi, An In oduc ion o Di e ence Equa ions. Sp inge , 1996. [4] G. Ful o d, P. Fo es e and A. Jones, Modelling wi h Di e en ial and Di e ence Equa- ions. Camb idge Uni e si y P ess, 1997. [5] S. Goldbe g, In oduc ion o Di e ence Equa ions wi h Illus a i e Examples om Eco- nomics, Psychology, and Sociology. Do e Publica ions, Inc., New Yo k, 1986. [6] W. G. Kelley and A. C. Pe e son, Di e ence Equa ions: An In oduc ion wi h Appli- ca ions. Academic P ess, 1991. [7] V. Lakshmikan ham and D. T igian e, Theo y o Di e ence Equa ions: Nume ical Me hods and Applica ions. CRC P ess, 1988. [8] R. M. May, Biological Popula ions obeying Di e ence Equa ions: s able poin s, s able cycles, and chaos. Jou nal o Theo e ical Biology, 1975. [9] R. M. May, Simple ma hema ial models wi h e y complica ed dynamics. Na u e, 1976. [10] J. Mayna d Smi h, Ma hema ical Ideas in Biology. Camb idge Uni e si y P ess, 1968. [11] Leona do de Pisa, Libe abaci. 1202. 59