Geometría para futuros profesores de primaria: experiencias con el tangram chino

N LA OBRA Ma hema ical Rec ea ions and Essays, W.W. Rouse Ball esc ibía: La o mación de diseños median e sie e piezas de made a... conocidas po ans... es uno de los pasa iempos más an iguos del O ien e. Son cen ena es las igu as que es posible cons ui , que emedan homb es, muje es, pája os, bes ias, peces, casas, ba - cos, obje os domés icos, dibujos, e c. Pe o es e ipo de a eas, aunque ec ea i as, no ienen ca ác e ma emá ico, po lo que a mi pesa , me con en a é con menciona las de pasada. En con adicción con la opinión que Ball mani es aba en la an e io ci a, se p esen an en es e abajo una se ie de ac i idades de ca ác e ma emá ico cuyo sopo e ma e ial es p ecisamen e el conjun o de esas sie e piezas de made- a conocidas po ans. Los ang ams o man pa e del g upo de juegos de disec- ción, de cuyo es udio se ocupa una de las amas más an i- guas de la ma emá ica ec ea i a y el que u ilizamos en es a expe iencia es quizás el más conocido de odos: el ang am chino. Los ans se ob ienen di idiendo un cua- d ado en sie e piezas ( igu a 1): dos iángulos g andes, dos pequeños, uno mediano, un cuad ado y un omboide. Es e a ículo iene como obje i o p esen a una expe iencia sob e Didác ica de la Geome ía lle ada a cabo en la Facul ad de Ciencias de la Educación de San iago de Compos ela con alumnos de la especialidad de maes o en Educación P ima ia. En ella se u ilizó un juego de disección (el ang am chino) como base pa a la ealización de una se ie de ac i idades que ienen un obje i o múl iple: conciencia a los alumnos sob e las en ajas del uso de un ma e ial manipula i o pa a el es udio de p opiedades geomé icas; desa olla di e sas o mas de azonamien o ma emá ico; analiza la alidez de la comp obación en e a la demos ación en di e sas si uaciones; con on a las concepciones p e ias de los alumnos con los esul ados de las expe imen aciones. 13 Geome ía pa a u u os p o eso es de p ima ia: expe iencias con el ang am chino Ma ía Te esa Fe nández Blanco ARTÍCULOS E 42 eb e o 2003, pp. 13-22 Figu a 1 Es a disección no se hace de mane a a bi a ia: como se ap ecia en la igu a, las líneas son azadas de o ma que los ans gua dan en e sí una se ie de elaciones geomé- icas que desc ibimos a con inuación: • odos los é ices ienen ángulos múl iplos de 45°; • odas las piezas con ienen al iángulo pequeño un núme o en e o de eces; •si omamos como unidad de longi ud un ca e o del iángulo pequeño, los lados de los di e sos ans se án 1, 2, √2 —, 2√2 —. Es e juego nació como pasa iempo y su p incipal obje i o e a la o mación de diseños, conocidos con el nomb e de ang amas, la única es icción que enía e a que odos los ang amas se cons uían u ilizando odas las piezas ( igu a 2). Es a pa icula disección a a condiciona la cons uc- ción de los ang amas, de mane a que pa a algunas igu- as end emos a ias posibilidades, mien as que o as en- d án una única solución e inluso nos encon a emos con igu as imposibles de ealiza u ilizando únicamen e los sie e ans (pese a que exis en lib o publicados que con ie- nen más de mil igu as dis in as). A pesa de la sencillez del juego, la cons ucción de ang amas equie e un al o g ado de in uición geomé ica y de c ea i idad. Ob iamen e, de las cua o ca ego ías an e io es la más in e esan e desde el pun o de is a de la didác ica de las ma emá icas es la e ce a, aunque el a- bajo con es e ma e ial no debe ía exclui las o as, ya que la manipulación de las piezas con ines lúdicos puede se i pa a que los alumnos se amilia i- cen con sus o mas, sus medidas y o as ca ac e ís icas p opias de cada an. P oblemas del ipo de «¿cuán os polígo- nos con exos di e en es podemos o - ma con los sie e ans?» pe enece ían a dicha ca ego ía. El uso que da emos en es a ocasión al ang am no es á con eni- do o malmen e en ninguna de las ca e- go ías an e io es, si bien en algún momen o se plan ea án p oblemas con posibilidades combina o ias como el desc i o más a iba. Noso os u iliza emos el ang am como ecu so y ma e ial didác ico pa a la in o- ducción y o mación de concep os geo- mé icos, con el in de que a lo en las concepciones p e ias que ienen los alumnos sob e dis in os concep os ma e- má icos, pa a e o za conocimien os y conduc as co ec as y, a su ez, e i a obs- áculos que condiciona ían y, en algún caso, impedi ían un ap endizaje pos e io , pa a desa olla habilidades y p ocesos, e c. Los concep os y habilidades geomé- icas se án el núcleo del obje i o que se quie e pe segui , pe o sin ol ida nos de la Medida e incluso de los Núme os que apa ece án de una mane a na u al, ayu- dando de es e modo a elaciona dis in os bloques de la ma emá ica que habi ual- men e se man ienen di e enciados. Con iene acla a que el plan eamien o, desa ollo y obje i o del abajo ealiza- do con es e ma e ial se ía dis in o si se a a a de alumnos de p ima ia o in an- il. La egla básica del ang am consis e en u iliza siemp e los sie e elemen os, sin emba go, con niños pequeños se puede simpli ica su uso u ilizando sola- men e algunas de las piezas. En los p i- me os ciclos educa i os in e esa esal a , sob e odo, el econocimien o de o - mas geomé icas, ealiza gi os y despla- zamien os de igu as y desa olla la c ea- i idad (Cascallana, 1988). Po o a pa e, …u iliza emos el ang am como ecu so y ma e ial didác ico pa a la in oducción y o mación de concep os geomé icos, con el in de que a lo en las concepciones p e ias que ienen los alumnos sob e dis in os concep os ma emá icos, pa a e o za conocimien os y conduc as co ec as y a su ez e i a obs áculos que condiciona ían y en algún caso impedi ían un ap endizaje pos e io , pa a desa olla habilidades y p ocesos… 14 Figu a 2 Los juegos con ang ams pueden ag upa se en las siguien es ca ego ías (Ga dne , 1988): 1. Búsqueda de una o a ias mane as de cons ui un ang ama dado o, en su de ec o, de una demos a- ción elegan e de la imposibilidad de su cons ucción. 2. Encon a la mane a de ep esen a , de la o ma más a ís ica o humo ís ica, o de ambas, silue as de ani- males, igu as humanas u o os obje os econocibles. 3. Resolución de p oblemas de geome ía combina o ia que son plan eados omando como base los sie e ans y sus elaciones. 4. Diseño de juegos compe i i os que equie an uno o más conjun os de ans. los alumnos de es a expe iencia educa- i a son u u os p o eso es de p ima ia y, como consecuencia de su paso po los dis in os ni eles educa i os, ienen adqui idas concepciones p e ias (algu- nas e óneas) que se án di íciles de modi ica , amplia o incluso abandona ; pe o cuyo análisis y, en algún caso, con- as e con los esul ados ob enidos se - i á pa a en iquece y amplia los obje- i os p e ios de las ac i idades p o- pues as. Me odología La me odología seguida en el desa ollo de es a expe iencia es á basada en la «es uc u a de labo a o io», es deci , en ocada como una ac i idad in es iga- do a sob e la cons ucción de concep- os, esolución de p oblemas, écnicas de colabo ación, e c. poniendo én asis en la o mación de concep os y en la o ma de adqui i los. Bajo es a si uación, el alumno cons uye sus p opios conoci- mien os y el p o eso se con ie e en «p omo o » de la in es igación, p esen- ando, o ganizando y guiando el abajo (Alsina, Bu gués y Fo uny, 1987). La clase se o ganiza en g upos educi- dos (cua o alumnos como máximo en cada uno) con lo que se busca que los alumnos expongan sus ideas den o del mismo e in e accionen con sus compa- ñe os. El deba e y el con as e de esul- ados con los demás g upos y con el p o eso en iquece á la si uación y ayu- da á a consolida y es ablece conclu- siones. Apelando al dicho «la geome ía se hace con las manos», p ime amen e dejamos que manipulen los sie e ans y que in en en o ma un cuad ado con odas las piezas como oma de con ac o con el ma e ial. Pos e io men e, se inicia á la expe iencia p opiamen e dicha en la que plan ea emos a los alumnos a ias ac i idades, alguna de las cuales se p e- sen a más adelan e con de alle, en la que se p e ende a a mul i ud de con- enidos ma emá icos en e los que des- acamos los siguien es: •T iángulos. Clasi icación. •Cuad ilá e os. Clasi icación. •T iángulos semejan es. •T iángulos cong uen es. •Al u a de un iángulo. •Teo ema de Pi ágo as. •Concep o de polígono. •Elemen os de un polígono. •Clasi icación de polígonos. •No ación. •Ángulos. •Pe íme o. •Supe icie. Unidad de á ea. •Núme os i acionales. •Razonamien o po inducción. •Ejes de sime ía de una igu a. Desc ipción de las ac i idades P esen a emos de o ma más de allada en es e documen o seis de las ac i idades que componen es a expe iencia, en las cuales se sigue la o mulación p opues a po Ángel Ál a ez (1996) y que se i án como ejemplos de lo expues- o en la in oducción. De es a o ma, en algunas de ellas se in oducen y amplían concep os, en o as se desa ollan habilidades y des ezas, y en las es an es se p ocu a com- bina ambos elemen os. Una ca ac e ís ica que se puede obse a en algunas de ellas es que no son plan eadas como cue pos ce ados y disjun os sino que son e omadas y eplan eadas con pos e io idad (a pa i de nue os con- cep os a ados o nue os esul ados ob enidos), lo que obliga a eces a amplia los esul ados o las conclusiones ob enidas con an e io idad, es deci , el desa ollo de la ac i- idad no es lineal, con una ac i idad as o a, sino que pod ía de ini se como un eco ido en espi al (se uel en a a a ac i idades an e io es desde o o pun o de is a y se analiza la in luencia de los nue os esul ados o concep- os sob e conclusiones ob enidas en ellas). Es e es el caso de la clasi icación de las piezas del ang am que, a pesa de se la p ime a de las ac i idades p opues as, a lo la go del desa ollo de las demás se i á en iqueciendo y amplian- do po la apa ición de nue os c i e ios de clasi icación. En cada una de las ac i idades se dis ingui án los obje i- os que se p e enden consegui , las dudas y p oblemas conc e os que su gen en su desa ollo y que p o ocan a menudo que la abla de con enidos plan eada a p io i se amplíe ( ea i mando es e hecho la in luencia del alumno sob e su ap endizaje) y, po úl imo, un b e e esumen del desa ollo de la ac i idad. La me odología seguida en el desa ollo de es a expe iencia es á basada en la «es uc u a de labo a o io»… 15 Ac i idad 1 ¿Qué o ma ienen las piezas del ang am? Clasi ícalas según dis in os c i e ios. En geome ía una de las a eas p opues as con más asi- duidad a los alumnos es la de clasi ica los elemen os de un conjun o de e minado (bas a obse a que los lib os de geome ía de p ima ia y p ime os cu sos de secunda ia con ienen mul i ud de es as clasi icaciones: de ángulos, de líneas, de polígonos, de iángulos...). La impo ancia de una clasi icación adica no sólo en ob ene una pa ición de un conjun o sino en conoce las ca ac e ís icas y p o- piedades de los elemen os de dicho conjun o, de mane a que el ealiza es as ac i idades a endiendo a dis in os c i- e ios nos pe mi i á conoce mejo dichos elemen os. Así mismo, es in e esan e e cómo algunos de los c i e ios elegidos po los alumnos en un p incipio pueden no da luga a clasi icaciones in e esan es po múl iples causas: la elación escogida no es de equi alencia, odas las igu as es án en una misma clase de equi alencia o incluso cada elemen o compone su p opia clase. También llama la a ención a los alumnos el hecho de que c i e ios apa en emen e dis in os (como la exis encia de diagonales y el núme o de lados) dan a eces luga a cla- si icaciones idén icas (en es e caso en iángulos y cuad i- lá e os), lo que si e pa a in oduci dis in as ca ac e iza- ciones de los polígonos (po su núme o de lados o de dia- gonales, po ejemplo). Obje i os •Ob ene dis in os c i e ios pa a clasi ica iángulos. •Dis ingui c i e ios que pe mi en clasi ica de los que no. •Comp ende la noción de pa ición de un conjun o. •Clasi ica cuad ilá e os. Aquí apa ece un elemen o nue o, las diagonales, que nos an a amplia el núme- o de c i e ios pa a hace esa clasi icación y que, como consecuencia, en iquece án el conocimien o de los polígonos en gene al. •Di e encia en e iángulos semejan es y cong uen es. P incipales dudas •Posibilidad de que un iángulo pueda se , po ejem- plo, ec ángulo e isósceles. El hecho de que duden sob e es o a a p o oca la necesidad de econoce la posibilidad de clasi ica los iángulos a endiendo a dis in os c i e ios e, inmedia amen e, in oduci una abla de doble en ada que con enga las dos clasi ica- ciones: según el ipo de ángulo y según la igualdad de los lados. Con espec o a es a abla es muy in e esan- e el deba e que su ge en el aula sob e la exis encia o no de algunos pa es de ca ac e ís icas: «equilá e o + ec ángulo», «ob usángulo + isósceles». •La segunda duda su ge con la pieza que no es ni un iángulo ni un cua- d ado ( omboide). La p ime a imp esión les hace pensa en un ombo, pe o enseguida se dan cuen a de que no lo es y analizan las p opiedades que ca ac e izan un ombo y cuáles de ellas man iene el an que ienen delan e. Es as e le- xiones nos an a pe mi i en a de lleno en la clasi icación de los cua- d ilá e os, cons ui dis in os polígo- nos de es e ipo y busca c i e ios pa a clasi ica los: a endiendo a igualdad de diagonales, posición de diagonales, igualdad de lados, pa a- lelismo de lados, ejes de sime ía, ángulos ec os, ángulos iguales, e c. No podemos pe de de is a que la ac i i- dad e a clasi ica las piezas del ang am, pe o pa a ello hay que econoce las ca ac e ís icas de cada uno de los ans y eso ue lo que se hizo has a el momen o: qué ipo de polígono son a endiendo a sus lados, si ienen sime ías, qué ipo de ángulos ienen, e c. De es a mane a, ene- mos bien ca ac e izados odos los ans, lo que nos se á de g an ayuda pa a las p ó- ximas ac i idades. Los c i e ios usados en es a clasi icación po los alumnos es án muy condicionados po los que acabamos de e en las de iángulos y cuad ilá e os: núme o de lados, núme o de lados igua- les, ipos de ángulos, exis encia de ángu- los ec os, exis encia de lados pa alelos, exis encia de diagonales, e c. Es cu ioso cons a a que algunos c i e ios como la exis encia de ejes de sime ía (o su núme- o), la can idad de diagonales dis in as, nunca son enidos en cuen a a pesa de habe sido abajado en las clasi icaciones de iángulos y cuad ilá e os. Es o nos mues a que los alumnos se manejan más cómodamen e den o de las clasi icacio- nes clásicas que ellos es udia on, a pesa de que a eces no sean las más idóneas pa a lo que se p e ende a a . Ac i idad 2 Mide y ano a odas las longi udes (de lados) dis in as que encuen es. La sola manipulación del ma e ial no es su icien e pa a ecoge oda la in o ma- La impo ancia de una clasi icación adica no sólo en ob ene una pa ición de un conjun o sino en conoce las ca ac e ís icas y p opiedades de los elemen os de dicho conjun o… 16 ción que és e puede ansmi i y ampo- co pe mi e plasma la cla amen e sob e el papel, po odo ello es muy impo - an e el uso de una no ación co ec a pa a cada pieza que nos ayude a gana agilidad y e icacia. En es e sen ido, se p opone a los alumnos usa símbolos o le as pa a e e i nos a dichas piezas, siemp e después de que ellos comp en- dan la necesidad de hace lo, as lo que se plan ea la a ea de halla no aciones adecuadas. Se p esen an a ias, pe o en odas las ocasiones la acep ada po la mayo ía as un b e e análisis de las en ajas e incon enien es de cada una es, coincidiendo con la p opues a po Ál a ez (1996), la siguien e: P: iángulos pequeños, G: iángulos g andes, M: iángulo mediano, R: omboide, C:cuad ado. O a no ación cómoda y bas an e ep e- sen a i a se ía: TP, TG, TM, Ry C. Obje i os •Ve la necesidad y con eniencia de la u ilización de una no ación co ec a, lo cual a a pe mi i sim- pli ica y mejo a la comp ensión an o de la esc i u a como de los g á icos y esquemas usados en el desa ollo de las ac i idades. •Comp ende el concep o de unidad de medida de longi ud. •Ve la u ilidad del abajo con una a iable pa a no hace depende el esul ado ob enido del ang am de cada g upo. Necesidad del uso del lenguaje algeb aico pa a ep esen- a esul ados gene ales en e a da os o medidas pa icula es. •U iliza el eo ema de Pi ágo as pa a consegui odas las longi udes de los lados de los ans. P incipales dudas •Ope aciones con el núme o i acio- nal √2 —. Buscan la mane a de elimi- na la aíz in en ando ap oxima su alo , lo que implica á que en ese in en o apa ezcan nociones como ap oximación po de ec o, ap oximación po exceso, núme o de decimales pa a ope a , e c. •P oblemas de di e sos ipos elacionados con el sig- ni icado de a iable y el núme o de a iables que necesi an pa a ob ene odas las longi udes. El p ocede habi ual de los alumnos, cuando se les plan- ea es e p oblema, es medi con una egla la longi ud de los lados de cada an y sólo después de la in e ención del p o eso en el sen ido de p opone les gene aliza los esul ados ob enidos a cualquie o o ang am indepen- dien emen e de las dimensiones del cuad ado inicial, usa- án una a iable de la cual an a depende odas las demás longi udes. El núme o √2 — apa ece al calcula , a pa i de la aplicación del eo ema de Pi ágo as, la hipo e- nusa de P. Aquí con iene acla a que ienen absolu a libe ad pa a elegi como a iable cualquie lado de cual- quie a de los ans, lo que nos pe mi i á con as a y com- pa a los esul ados ob enidos po cada uno de los g upos y ol e sob e la idea de semejanza. Es cie o que se pod ía habe omado como unidad de longi ud el ca e o de P(o cualquie o o lado) con lo cual se elimina ía la dependencia de una a iable, pe o ese no se ía el obje i- o que se p e ende y ampoco consegui íamos elimina el elemen o pe u bado y la di icul ad, que iene pa a ellos, ope a con él. Además, en ninguna de las ocasiones en que ue plan eada la ac i idad los alumnos sugi ie on es a posibilidad, po lo que no se conside ó necesa ia una indi- cación en es e sen ido, si bien en un análisis pos e io sí ue comen ada es a posibilidad po pa e de la p o eso a. Es p eciso señala que en la mayo ía de las ocasiones los alumnos obse an que es su icien e aplica el eo ema de Pi ágo as una sola ez, pues las demás longi udes se ob ie- nen di ec amen e manipulando co ec amen e los ans, es deci , que una co ec a y de enida manipulación y análisis de las piezas puede aho a cálculos innecesa ios. Ac i idad 3 Encuen a la supe icie del ang ama cuad ado omando como unidad cada una de las piezas. Calcula la supe i- cie de las demás piezas omando como unidad: a) Un iángulo g ande. b) El omboide. c) Un iángulo pequeño. d) El iángulo mediano. Al manipula las sie e piezas es ácil obse a que el ián- gulo pequeño es á con enido en las demás piezas un núme o en e o de eces, lo cual nos lle a a conside a es a ac i idad como una de las más sencillas, siemp e que se enga cla o el concep o de unidad de medida, en es e caso de supe icie. …es muy impo an e el uso de una no ación co ec a pa a cada pieza que nos ayude a gana agilidad y e icacia. 17 Sin emba go, el concep o de unidad de medida no es á an cla o como debie a y es o se cons a a cuando en es a ac i idad lo p ime o que hacen es calcula el á ea de cada pieza y después mul iplica la o di idi la po el núme o co espondien e pa a ob ene el de las demás con espec o a la pieza elegida. Es sólo en es e momen- o cuando u ilizan la idea de unidad de medida de supe - icie, lo que e ela la iden i icación que hacen los alum- nos en e un concep o gene al (unidad de medida) y un caso pa icula del mismo (las unidades del sis ema mé ico decimal). Obje i os •Concep o de unidad de medida. Medida de supe icie. •Habi ua a los alumnos a abaja con cualquie uni- dad de medida. •Pasa de una unidad a o a de o ma sencilla. •Ob ene un nue o c i e io pa a la clasi icación de las piezas a endiendo al á ea. P incipales dudas •Núme o de al u as de un iángulo. Es a duda su ge cuando p e enden calcula el á ea del iángulo pequeño pa a ob ene la del ang ama en o ma de cuad ado La con icción gene alizada de que sólo ienen una al u a de i a de la idea p e ia de base de un iángulo como el lado de mayo longi ud que, además, se coloca ho izon almen e, lo que implica que la al u a es el segmen o que baja pe pendicu- la men e desde el é ice opues o a la base. El ián- gulo es ec ángulo-isósceles y lo colocan con la hipo enusa como base ( e igu a) pa a pode cal- cula la al u a siguiendo la enseñanza que han eci- bido an e io men e. Ac i idad 4 Tomando los dos iángulos pequeños, únelos pa a ob ene odos los polígonos que puedas. Desc ibe cada uno de los polígonos ob enidos y sus ca ac e ís i- cas p incipales. Den o de es a misma ac i idad pode- mos dis ingui dos plan eamien os: el p ime o en el que sólo se admi en unio- nes de lados de la misma longi ud y el segundo en el que se pe mi e cualquie ipo de unión. En el p ime caso sólo pod án cons ui cuad ilá e os y iángu- los, conc e amen e los an C, R y el M ( igu a 4). El segundo caso pe mi i á la apa ición de polígonos cónca os ( igu a 5), ob end án polígonos de más lados y deslizando un lado sob e o o ob en- d án una in inidad de polígonos dis in- os ( igu a 6) los cuales, sin emba go, end án una se ie de ca ac e ís icas comunes. Es e úl imo pan eamien o los lle a á has a una si uación de con lic o en e el esul ado y sus concepciones, la cual obliga á a eenuncia el concep o de polígono de modo lo más cla o y de allado posible ( igu a 6). Obje i os •Re isa y amplia el concep o de polígono. •Clasi icación de polígonos en cón- ca os y con exos. •Comp oba que igu as de igual á ea pueden ene dis in o pe íme o. •Posibilidad de usa el pe íme o como c i e io pa a clasi ica los ans. …lo que e ela la iden i icación que hacen los alumnos en e un concep o gene al (unidad de medida) y un caso pa icula del mismo (las unidades del sis ema mé ico decimal). 18 Figu a 3 a •Rechazo a la apa ición de pa es de la unidad, como se ía el caso en el que si omamos como unidad de medida la supe icie de M, end ían como supe icie de P la mi ad de M. Es o obedece a la poca con ian- za de los alumnos cuando se a a de abaja con acciones o decimales y a su iden i icación de las soluciones co ec as de un p oblema numé ico con núme os en e os. Figu a 5 Figu a 6 Figu a 7 Figu a 4 P incipales dudas •Cons ucción de igu as que no saben si son o no polígonos, pues no encajan den o de la idea que ellos ienen de es e concep o, aun- que en la mayo ía de los casos no son capaces de expone azones (más o menos con incen es) en que basa sus hipó esis. En e las igu as que p o ocan es a cues ión se encuen an p incipalmen e los polígonos cónca os, pues o que has a aho a no habían apa ecido en ac i idades an e io es, y cons uc- ciones como la de la igu a 7. •La idea, muy a aigada en los alum- nos a pesa de su supues a o ma- ción ma emá ica an e io (algunos alumnos ienen supe ada la asigna- u a de Ma emá icas de COU), de «a igual á ea co esponde igual pe í- me o» supone uno de los p incipa- les obs áculos en el desa ollo de es a ac i idad, llegando en algún caso los alumnos a ea i ma se en es a hipó esis e ónea pese a ob e- ne esul ados que la desmien en (piensan que el allo es del esul a- do y no de la hipó esis). Ac i idad 5 O dena las piezas del ang am. O dena ambién es una ac i idad p o- pia de nume osos campos de la ma e- má ica y, aunque su dominio habi ual de ac uación sea el de los Núme os, amos a e la impo ancia que llega a adqui i en geome ía. El enunciado de la ac i idad es á plan eado de o ma poco cla a y es demasiado gene al, pe o es e e ec o es á buscado con el in de p o oca un análisis y deba e que nos a a pe mi i e oma la idea de clasi i- cación como elación de equi alencia pe o sin en a de mane a muy p o un- da ni o malis a en la Teo ía de Con- jun os. Obje i os •P opiedades que de e minan una elación de o den. •Di e encia o dena de clasi ica . P incipales dudas •Al aplica la elación «meno que» (o «mayo que»), que es la que apa ece en un p ime momen o, se encuen an con el p oblema de de ini ese «meno que» con espec- o a algo conc e o, es deci , si uno plan ea «¿qué pieza del ang am es meno que las demás», au omá icamen e los alumnos piensan en los iángulos pequeños, al igual que conside an los iángulos g andes como las piezas mayo es del ang am (nó ese que en ningún caso ha sido necesa io de ini el signi icado de «mayo que», las espues as se basan únicamen e en la p opia in uición). Sin emba go, el p oblema su ge a la ho a de «o dena » las o as es piezas pues o que ello equie e una de ini- ción conc e a de la elación que es amos aplicando. Aquí su gen como posibles al e na i as el á ea y el pe í- me o: en el p ime caso ninguna de las piezas se ía mayo que las demás, pe o sí en el segundo. Llegado a es e pun o el p o eso analiza con los alum- nos el p oceso seguido y los in i a a eco da el con- cep o de elación de o den. T as un b e e epaso del mismo, es asumido ápidamen e el con lic o exis en e en e la «o denación» ealizada y el cumplimien o de la p opiedad an isimé ica (exis en piezas dis in as que coinciden en á ea y pe íme o). T as la so p esa de los alumnos se les hace e que lo que ellos hicie on en ealidad no es o a cosa que clasi ica de nue o las pie- zas a endiendo a nue os c i e ios, con lo que se e o- man ac i idades an e io es y se mues a a los alumnos la impo ancia de ene cla os los concep os ma emá i- cos que hay que aplica (en es e caso el de elación de o den) con el in de e i a pos e io es so p esas. •Con lic o sob e el signi icado de o dena . En el dic- ciona io se p esen a como sinónimo de coloca , dis- ibui … y es e signi icado se ace ca más al concep o p e io de los alumnos que el ma emá ico de es able- ce una elación de o den. Ac i idad 6 Toma es iángulos de en e los cinco exis en es. Ensaya cómo deben si ua se pa a ob ene el polígono del máximo (mínimo) núme o de lados. Ex iende el esul ado a n iángulos. En es a ac i idad se aplican y elacionan concep os adqui- idos en las an e io es (polígono cónca o, con exo, con- cep o de é ice, e c.), po lo que no es plan eada en nin- gún caso como una ac i idad p opicia pa a que a lo en nue os con enidos. En es e sen ido, podemos conside a - la una ac i idad in eg ado a o globalizado a. Obje i os •Indaga sob e las dis in as posibilidades de elección de los iángulos y la in luencia de es a elección sob e el esul ado inal. O dena ambién es una ac i idad p opia de nume osos campos de la ma emá ica y, aunque su dominio habi ual de ac uación sea el de los Núme os, amos a e la impo ancia que llega a adqui i en geome ía. 19 •Habi ua al alumno a plan ea es a egias de análisis en las que se a en de un modo exhaus i o odas las si uaciones posibles. •Usa el mé odo de inducción. El azonamien o induc i o se puede conside a como un p ocedimien o educa i o muy ú il pa a la adquisición y descub imien o de concep os y p opiedades de ámbi o geomé ico o ma emá ico en gene al. El uso de la induc- ción pa a con a (en es e caso, el núme o de lados) con- sis e en analiza la e olución de una de e minada can idad al aumen a la complejidad del p oblema. P incipales dudas •¿El núme o máximo (mínimo) de lados del polígono que se a a o ma depende de los iángulos escogi- dos? An es de comenza con la enume ación de posibles esul- ados nos plan eamos las dis in as posibilidades de elec- ción de los iángulos: •u iliza dos pequeños y el mediano (PPM); • oma dos pequeños y el g ande (PPG); •dos g andes y uno pequeño (GGP); •dos g andes y el mediano (GGM); •y, po úl imo, uno g ande, uno pequeño y el media- no (PMG). En p incipio no esul a muy cla o pa a los alumnos que la solución depende o no de la combinación elegida y comienzan a en en a se con el p oblema po el mé odo de ensayo-e o . Si p e endemos ob ene el polígono con el meno núme o de lados y enemos en cuen a que cada g upo hace su elección de iángulos, nos encon amos con polígonos como los de la igu a 8. y llega a la solución pa a n iángulos esul a muy sencillo ( igu a 9). 20 Figu a 8 T as sucesi as manipulaciones y análisis, y con alguna indicación po pa e del p o eso en casos conc e os, obse an que pa a ob ene el núme o mínimo necesi an que lados de dis in os iángulos unidos o men un lado del polígono nue o (supond ía «con e i dos lados en uno») y que, además, el polígono sea con exo pa a no gana lados, es deci , uni los polígonos en e sí po lados de igual longi ud. En el caso de cons ui el polígono con el mayo núme o de lados la si uación cambia (no depende de la elección) Figu a 9 E aluación La e aluación es una pa e impo an e en el p oceso de enseñanza-ap endiza- je y, como al, debe se plan eada en la desc ipción y p og amación de oda ac i idad (y es impo an e que nues os alumnos de Magis e io así lo en iendan) pues casi siemp e ac i idades di e en- es equie en mé odos o c i e ios de e aluación di e en es. Es o es impo - an e a la ho a de p og ama cualquie ac i idad con nues os alumnos, pues c eemos que uno de los e o es de la enseñanza adicioinal consis e en la mecanización de los medios de e alua- ción (exámenes esc i os en su mayo ía) des i uando o igno ando o almen e o as posibilidades muchas eces más educa i as pa a los alumnos (lec u a de lib os, ealización y exposición de a- bajos, exámenes o p uebas en g upo, abajo de aula…). La me odología seguida condiciona á el sis ema de e a- luación, po lo que, al habe plan eado la clase con una es uc u a de labo a o- io el p o eso debe á ecoge in o ma- ción sob e cada alumno y sob e la dinámica del g upo du an e odas las sesiones de abajo. Se p opuso a los alumnos as inaliza las ac i idades la ealización de un an- g am o iginal, en el cual se die an las dos p incipales ca ac e ís icas del an- g am chino manejado en clase, es deci , debe ían cons ui un ang am de o ma que u ie a una pieza «gene ado a» en cuan o al á ea (el papel que hacía el an P en el ang am chino) y que odos los diseños de igu as es u ie an o mados con odas las piezas que esul a an de la disección de ese ang am. Es e abajo debe ía es a acompañado de una se ie de ac i idades de ipos di e sos que ellos mismos p opond ían (en algunos casos o iginales y en o as adap aciones de las ya ealizadas) en las que se a- bajasen con enidos ma emá icos. Se les enseña on o os modelos de an- g ams que cumplían esos equisi os ( ang am cuad ado, ang am ec angu- la , ang am iangula , e c.), en los que se podían obse a di e en es igu as gene ado as dependiendo de la igu a de la que se pa ía, y o os que no los cumplían pe o que se ían igualmen e pa a abaja con enidos ma emá icos, incluso en algún caso aumen aba la complejidad de la disección, de las o - mas y de los con enidos a es udia ( an- g am en o ma de hue o). Los esul ados ue on muy in e esan es, desde la igu a inicial elegida pa a ea- liza la disección has a la o ma de plan ea las ac i idades. La mayo ía op ó po elegi un polígono egula como igu a inicial pa a ob ene los ans, mien as que o os oma on como e e encia un ba co, un muñeco, e c. En cuan o a la o ma de plan ea las ac i i- dades, enemos po un lado los que siguen un esquema idén ico al plan ea- do en clase y, po o o lado, los que eli- gen o o ipo de opciones como, po ejemplo, un cuen o en el que el p o a- gonis a es la igu a a pa i de la cual se ob ienen los di e sos ans y en cuyo desa ollo se an ob eniendo o os p o- agonis as de la his o ia a pa i de las mismas piezas. Mien as se lee y sigue la his o ia se an plan eando al niño di e en es ac i idades de con enido ma emá ico. La p esen ación ambién ue in e esan e pues o que con as aban los que plan ea- ban su abajo de un modo académico: p esen ación de las piezas, ac i idades, soluciones; y quienes op aban po un es uche que con enía las piezas en di e- en es ma e iales y se sepa aba po un lado el ma e ial pa a el alumno y po o o las indicaciones pa a el p o eso . Conclusiones Es cie o que los con enidos apa ecen un poco deso de- nados si los compa amos con el esquema lógico-deduc i- o ma cado po la enseñanza de la geome ía adicional; sin emba go es o hace, desde mi pun o de is a, que se gene en concep os, habilidades y p ocedimien os en el momen o que ealmen e los necesi a el alumno y no an es. De es a o ma, pe demos la secuencia lineal que se sigue habi ualmen e, pe o, po el con a io, se do an de signi i- cado los concep os es udiados, iendo el nacimien o de algunos de ellos como espues a a p oblemas o si uacio- nes conc e os, es deci , la idea consis e en no p esen a las ma emá icas como un edi icio e minado lleno de con eni- dos en p incipio innecesa ios (desde el pun o de is a del alumno), sino en i cons uyendo dicho edi icio siguiendo más o menos lo que es el desa ollo de la his o ia de cual- quie ciencia. La mayo ía de las ac i idades son sencillas y se necesi a poco iempo pa a su desa ollo; sin emba go, cuando menos lo espe amos se complican debido a los siguien es mo i os: 1. Las concepciones p e ias de los alumnos como con- secuencia de una geome ía pob e y es ingida al cálculo de á eas y olúmenes como único obje i o. 2. Poca des eza en la manipulación del ma e ial, en pa - icula el ang am, lo que hace que no ean la com- ponen e geomé ica que se de i a de las elaciones que exis en en e las piezas, así como la escasa « isión geomé ica» que di icul a la consecución de algunas igu as con apidez. 3. Tendencia a da un alo numé ico en cualquie ipo de si uación de medida aunque no se equie a explí- ci amen e. Es a endencia p o oca que no ean la u i- lidad de usa una a iable o bien que no lleguen a comp ende el signi icado de unidad de medida. Una conclusión de ipo gene al se basa en la impo ancia que adquie e la me odología empleada o o gándole el mismo peso que a los con enidos. Desde es a pe spec i a, el clima en el que ap enden los u u os p o eso es a a con igu a su ac i ud a la ho a de encon a se con las si ua- ciones de enseñanza como señalan Gimeno y Fe nández, ci ados po Azcá a e (1998): El mé odo con el que ap enden los u u os p o eso es gene a un clima en el que ap enden muchas des ezas p o esionales so e- adamen e, de o ma implíci a, que son las que con igu an deci- didamen e las ac i udes del u u o p o eso a la ho a de en en- a se con las si uaciones de enseñanza. …la idea consis e en no p esen a las ma emá icas como un edi icio e minado lleno de con enidos en p incipio innecesa ios (desde el pun o de is a del alumno), sino en i cons uyendo dicho edi icio siguiendo más o menos lo que es el desa ollo de la his o ia de cualquie ciencia. 21