Aplicacións lineais

Vice ei o ía de eS UdaN eS, cUl U a e Fo MaciÓN coN iNUa Unha colección o ien ada a edi a ma e iais docen es de calidade e pensada pa a apoia o aballo do p o eso ado e do alumnado de odas as ma e ias e i ulacións da uni e sidade G ao en Ma emá icas Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial Celso Rod íguez Fe nández José Manuel Fe nández Vilaboa 4 Aplicacións lineais 9788498 879544 Depa amen o de Álxeb a Facul ade de Ma emá icas Aplicacións lineais 4 Celso Rod íguez Fe nández José Manuel Fe nández Vilaboa Depa amen o de Álxeb a Facul ade de Ma emá icas ADVERTENCIA LEGAL: ese ados odos os de ei os. Queda p ohibida a duplicación, o al ou pa cial des- a ob a, en calque a o ma ou po calque a medio (elec- ónico, mecánico, g a ación, o ocopia ou ou os) sen consen imen o exp eso po esc i o dos edi o es. Dep. Legal: C 59-2013 ISBN 978-84-9887-954-4 © Uni e sidade de San iago de Compos ela, 2013 Es a ob a a ópase baixo unha licenza C ea i e Commons BY-NC-SA 3.0. Calque a o ma de ep odución, dis ibución, comunicación pública ou ans o mación des a ob a non incluída na licenza C ea i e Commons BY-NC-SA 3.0 só pode se ealizada coa au o ización exp esa dos i ula es, sal o excepción p e is a pola lei. Pode accede Vde. ao ex o comple o da licenza nes a ligazón: h p://c ea i ecommons.o g/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixi al Se izo de Edición Dixi al da Uni e sidade de San iago de Compos ea Edi a Vice ei o ía de Es udan es, Cul u a e Fo mación Con inua da Uni e sidade de San iago de Compos ela Se izo de Publicacións da Uni e sidade de San iago de Compos ela Imp ime Unidixi al UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 3 MATERIA: Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial TITULACIÓN: G ao en Ma emá icas PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da p esen e unidade didác ica Unidade 1. Sis emas de ecuacións lineais -Ma ices. Ope acións con ma ices e p opiedades. Ma iz aspos a e ma iz in e sa. Ope acións elemen ais dunha ma iz. Ma ices elemen ais. -Ma ices equi alen es po ilas e ma ices equi alen es po columnas. -Sis emas de ecuacións lineais. T ans o macións elemen ais dun sis ema de ecuacións lineais. -Resolución de sis emas de ecuacións lineais: o mé odo de Gauss. -Fac o ización LU dunha ma iz. -Fac o ización dunha ma iz in e ible. Unidade 2. De e minan es e as súas aplicacións -De e minan es de o de 2 e 3. -De inición xe al de de e minan e: p opiedades. -De e minan e dun p odu o de ma ices. -De e minan e da ma iz aspos a. -Cálculo de de e minan es de o de n. -In e sa dunha ma iz, eg a de C ame . -Rango dunha ma iz. Unidade 3. Espazos ec o iais -De inición de espazo ec o ial: exemplos. -Subespazos ec o iais. In e sección e suma de subespazos ec o iais. -Dependencia e independencia lineal. Sis emas de Xe ado es. -Base e dimensión dun espazo ec o ial. Coo denadas dun ec o . -Subespazos ec o iais e solucións dun sis ema homoxéneo. Ecuacións dun subespazo ec o ial. Unidade 4. Aplicacións Lineais -De inición de aplicación lineal. Exemplos. -Núcleo e Imaxe dunha aplicación lineal. Aplicacións lineais inxec i as e sob exec i as. -Ma iz dunha aplicación lineal. -Cambio de base pa a aplicacións lineais. -Aplicacións Lineais e Sis emas de Ecuacións Lineais. Unidade 5. In odución ó espazo a ín -Va iedades lineais. -Ecuacións lineais dunha a iedade. -Posicións ela i as de ec as no plano e de ec as e planos no espazo n-dimensional. UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 5 ÍNDICE P esen ación ................................................................................. 7 Os obxec i os ............................................................................... 7 A me odoloxía ............................................................................... 8 Os con idos básicos ................................................................... 9 1. In odución ...................................................................... 9 2. De inición de aplicación lineal. Exemplos ...................... 9 3. Núcleo e Imaxe dunha aplicación lineal Aplicacións lineais inxec i as e sob exec i as ............. 10 4. Ma iz dunha aplicación lineal ....................................... 12 5. Cambio de base pa a aplicacións lineais ..................... 14 6. Aplicacións Lineais e Sis emas de Ecuacións Lineais .. 15 Ac i idades p opos as ................................................................. 18 A aliación da U.D. ..................................................................... ... 18 Bibliog a ía ..................................................................... 19 UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 7 PRESENTACIÓN Es a unidade didác ica enmá case den o dos con idos ela i os á ma e ia de Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial, de 6 c édi os ECTS impa ida no segundo semes e do p imei o cu so do G ao en Ma emá icas e que pe ence ó módulo de Álxeb a e Xeome ía. Os con idos de Álxeb a Lineal, nos que se inclúe es a ma e ia, son unha pa e undamen al das e amen as ma emá icas necesa ias pa a o es udo en moi as á eas, como as ciencias do compo amen o, da na u eza, ísicas ou sociais, economía, enxeña ía ou in o má ica e po supos o nas ma emá icas. Es a ma e ia é undamen al pa a una boa o mación ma emá ica. Es á p ecedida da ma e ia Linguaxe Ma emá ica, Conxun os e Núme os onde se in oducen concep os básicos das ma emá icas, e esul a indispensable pa a pode abo da con éxi o as ma e ias Álxeb a Lineal e Mul ilineal e Xeome ía Lineal de segundo cu so do g ao en ma emá icas. Nes a unidade es údanse as aplicacións lineais en e dous espazos ec o iais de dimensión ini a. O alumnado da ma e ia de Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial eñen coñecemen o das nocións básicas de aplicacións en e conxun os, ma ices, de e minan es e esolución de sis emas. A inalidade des a unidade é a de p esen a a es ei a elación exis en e en e aplicacións lineais e ma ices e, ó mesmo empo, u iliza es es coñecemen os pa a a esolución dos sis emas de ecuacións lineais. En conc e o e emos que o es udo das aplicacións lineais edúcese ó es udo das ma ices asociadas segundo dúas bases ixas nos dous espazos ec o iais. Á pa e dos p opios con idos ma emá icos, es a unidade con ibui á ó desen ol emen o da capacidade de azoamen o e da capacidade de o malización de demos acións ma emá icas. OS OBXECTIVOS Os obxec i os que se p e enden cub i nes a unidade didác ica son:  comp ende a de inición de aplicación lineal;  es ablece a conexión en e núcleo dunha aplicación lineal e o seu ca ác e inxec i o;  es ablece a elación en e imaxe dunha aplicación lineal e o seu ca ác e sob exec i o;  que o alumno comp enda que unha aplicación lineal es á de e minada polas imaxes dos ec o es dunha base;  clasi ica os espazos ec o iais sob e un co po, en unción da súa dimensión;  exp esa a elación en e aplicacións lineais e ma ices espec o de bases ixadas;  que o alumno sexa capaz de elaciona as ma ices asociadas a unha aplicación lineal segundo di e en es bases; 14 - UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais (IBB’) =               B' de espec o E de coo d. .. .. .. .. .. .. .. .. B' de espec o E de coo d. B' de espec o E de coo d. n21 e               B' de espec o E de coo d.. . . . . . . . . B' de espec o E de coo d.. B' de espec o E de coo d.. n21               B de espec o de coo d.. =               B' de espec o de coo d.. No a Se B é unha base dun espazo ec o ial V e conside amos I: V V en ón (IBB) = I (sendo I a ma iz iden idade). No a Se B e B’ son dúas bases do mesmo espazo ec o ial V, en ón (IBB’)(IB’B) = (IB’B’) = I (IB’B)( IBB’) = (IBB) = I e en consecuencia (IBB’) = (IB’B)-1 P oposición (ma ices asociadas a unha aplicación lineal espec o a bases dis in as). Se : V W é unha aplicación lineal, B1 e B2 bases de V e B' 1 e B'2 bases de W, en ón: (IB' 1B'2)( B1B' 1)(IB2B1) = ( B2B'2) 6. Aplicacións Lineais e Sis emas de Ecuacións Lineais De inición Dado un sis ema con ma ices A =                 mnmm n n    .... .......... .......... .... .... 21 22221 11211 , B =                 mmnmm n n d d d    .... ............ ............ .... .... 21 222221 111211 como ma iz de coe icien es e ma iz ampliada, espec i amen e, denominamos aplicación lineal asociada a di o sis ema de ecuacións lineais á aplicación UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 15 : Kn Km con ( CC’) = A, sendo C e C’ as bases canónicas de Kn e Km espec i amen e. É dici , se conside amos o sis ema an e io e é a súa aplicación lineal asociada, : Kn Km con (x1, x2, …, xn) = A                 n x x x .. .. 2 1 =                    nmn2m21m1 n2n222121 n1n212111 x ... x x .. .. x ... x x x ... x x    , en ón a esolución do sis ema é equi alen e a calcula o conxun o -1                 n d d d .. .. 2 1 =                          n x x x .. .. 2 1  n /                 n x x x .. .. 2 1 = D =                          n d d d .. .. 2 1 No a Se conside amos o sis ema an e io e é a súa aplicación lineal asociada, en ón un elemen o 0 = (x1, x2, …, xn)  Kn é solución do sis ema si ( 0) = D. P oposición Se : Kn Km é unha aplicación lineal con ( CC’) = A, sendo C e C’ as bases canónicas de Kn e Km, espec i amen e, en ón dim Ke = n - ang A P oposición Conside amos un sis ema homoxéneo con m ecuacións e n incógni as 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn = 0 21x1 + 22x2 + ... + 2nxn = 0 ................ m1x1 + m2x2 + ... + mnxn = 0 Se A é a ma iz de coe icien es e ango(A) = , en ón as solucións do sis ema dependen de n – pa áme os. 16 - UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais P oposición Se conside amos o sis ema an e io e é a súa aplicación lineal asociada, en ón: i) Se 0  Kn é solución do sis ema, 0 + é solución do sis ema,  Ke . ii) Se 0, 1  Kn son solucións do sis ema,   Ke / 1 = 0 + . Co ola io Se conside amos o sis ema an e io e é a súa aplicación lineal asociada e 0 é unha solución do sis ema, en ón o es o de solucións son da o ma {solucións do sis ema} = { 0 + /  Ke }. P oposición (Teo ema de Rouche-F obenius ) Se conside amos o sis ema: 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn = d1 21x1 + 22x2 + ... + 2nxn = d2 ................ m1x1 + m2x2 + ... + mnxn = dm e deno amos po A a ma iz de coe icien es e po B a ma iz ampliada emos: 1) ang A < ang B  sis ema incompa ible. 2) ang A = ang B = n  sis ema compa ible de e minado. 3) ang A = ang B < n  sis ema compa ible inde e minado. 4) Se o sis ema é homoxéneo (di = 0, i = 1, ..., m), en ón: i) ang A = n  a única solución é (0, ..., 0). ii) ang A < n  o sis ema é inde e minado. Co ola io Conside amos o sis ema con m ecuacións e n incógni as 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn = d1 21x1 + 22x2 + ... + 2nxn = d2 ................ m1x1 + m2x2 + ... + mnxn = dm Se o sis ema é compa ible con ang(A) = ang(B) = e 0 é unha solución do sis ema, en ón exis en E1, E2, ..., En- ec o es de Kn linealmen e independen es ( odos eles solucións do sis ema homoxéneo asociado) al que as solucións do sis ema eñen dadas po = 0 + 1E1 + 2E2 + ... + n- En- , i  K, i = 1, 2, ..., n- . UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións lineais - 17 ACTIVIDADES PROPOSTAS  Comp obación dos exemplos e ealización dos exe cicios p opos os ó longo da Unidade.  Tamén se debe án esol e os exe cicios p opos os nun bole ín con cues ións eó icas e p ác icas.  Os alumnos poden esol e os exe cicios de o ma indi idual ou en g upo pe o deben comp ende os undamen os e desen ol e as capacidades que lles pe mi an en on a se a exe cicios de di icul ade análoga.  Adicionalmen e pode ase ealiza algunha p oba cu a. AVALIACIÓN DA U Es a Unidade Didác ica o ma pa e da ma e ia Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial e a súa a aliación enmá case no con ex o global desa ma e ia: Ó longo do cu so equi i ase do alumnado a esolución de exe cicios co esponden es a cada unha das unidades e a pa icipación ac i a nas clases de labo a o io e semina io. Ademais pode anse ealiza p obas esc i as eó ico-p ác icas ó longo do cuad imes e. A pun uación conxun a des as ac i idades (C) ep esen a á o 25% da no a inal. O 75 % es an e sai á do exame inal (E). Es e exame se á esc i o e con e á p egun as de eo ía, cues ións eó ico-p ác icas e exe cicios. Pa a supe a a ma e ia os es udan es debe án ob e cando menos o 40% da no a do exame. Pa a o cómpu o da cuali icación inal (F) e ase en con a a a aliación con inua (C) e a cuali icación do exame inal (E) e aplica ase a seguin e ó mula: F = max(E, 0,25*C + 0,75*E) NIDADE DID CTICAÁ 18 - UNIDADE DIDÁCTICA 4. Aplicacións ineais BIBLIOGRAFÍA BURGOS, J. (2006): Álgeb a Lineal y Geome ía Ca esiana. Mad id: McG aw Hill. CASTELLET, M.; LLERENA, I. (1991): Álgeb a Lineal y Geome ía. Ba celona: Re e é/UAB. HERNÁNDEZ, E., VÁZQUEZ, M.J., ZURRO, M.A. (2012): Álgeb a lineal y Geome ía. Mad id: Pea son. MERINO, L., SANTOS, E. Álgeb a Lineal con mé odos elemen ales. Mad id: Thomson. VILLA, A. (1994): P oblemas de Álgeb a. Mad id: CLAGSA-I.C.A.I. l Vice ei o ía de eS UdaN eS, cUl U a e Fo MaciÓN coN iNUa Unha colección o ien ada a edi a ma e iais docen es de calidade e pensada pa a apoia o aballo do p o eso ado e do alumnado de odas as ma e ias e i ulacións da uni e sidade G ao en Ma emá icas Espazos Vec o iais e Cálculo Ma icial Celso Rod íguez Fe nández José Manuel Fe nández Vilaboa 4 Aplicacións lineais 9788498 879544 Depa amen o de Álxeb a Facul ade de Ma emá icas