O Teorema de Fubini revisitado

Traballo Fin de Grao O Teorema de Fubini revisitado Alicia López Bautista Curso 2018/2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao O Teorema de Fubini revisitado Alicia López Bautista 29/07/2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Análise Matemática Título: O Teorema de Fubini revisitado Breve descrición do contido: A idea de obter o volume dun corpo facendo lonchas, data de tempos ben antigos, sendo as distintas versións do Teorema de Fubini as que dan fundamento a esas ideas. O obxectivo deste traballo é afondar neste teorema, que se considerará en distintos contextos. Recomendacións Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Introducción histórica 1 2. Teorema de Fubini 7 2.1. Interpretación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Teorema de Fubini para la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Teorema de Fubini para la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. El teorema de Fubini, la regla de Leibniz y las derivadas parciales mixtas 21 3.1. El teorema de Fubini y la regla de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2. El teorema de Fubini y las derivadas parciales mixtas . . . . . . . . . . . . . 23 Appendices 29 Apéndice 29 .1. Integral de Riemann en rectángulos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 .2. Medida e integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Bibliografía 37 v Resumen El problema del cálculo del área encerrada por una curva plana fue el origen del concepto de integral en una variable. Con el paso a la integral en dos variables, apareció la idea de calcular el volumen de un cuerpo dividiéndolo en supercies planas y sumando el área de cada una de ellas. Esta es la idea que está detrás del teorema de Fubini, una de las herramientas más importantes en Análisis. Abstract The problem of area calculation inside a at curve was the origin of the concept of the integral in one variable. When the integral of two variables started to be used, the idea of calculate the volume of a body dividing it into at surfaces and adding the area of them came up. This is the idea behind the Fubini's theorem, which is one of the most important tools in Analysis. vii 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Denotamos por Gη el conjunto de puntos que pertenecen tanto a la línea y=η como al conjunto E , y que es el dominio de integración de la integral interior de Zdη Zf(x, η)dx . La intersección de las líneas y=η con el conjunto E debe ser como mucho dos puntos, de forma que Gη sea un intervalo. Varios años después, él mismo añadió que el teorema de Fubini seguía siendo válido para conjuntos cuya frontera es de forma sucientemente simple, es decir, la intersección entre las rectas paralelas a los ejes de coordenadas y la frontera es un número nito de puntos. Por lo tanto, tenemos que las integrales interiores son integrables sobre una suma nita de intervalos, no habiendo ningún problema con su signicado. De esta forma, Jordan estableció la siguiente versión del teorema de Fubini: Supongamos que E es un subconjunto del plano medible y acotado y que f:R2−→ R es Riemann-integrable sobre E . Denotamos por F el conjunto de los y tales que (x, y)∈E para algún valor de x , y sea Gη denido como la intersección de la línea y=η con el conjunto E . Las integrales ZGη f(x, η)dx y ZGη f(x, η)dx siempre existen, y se cumple que ZE f(x, y)dE =ZF dη "ZGη f(x, η)dx#=ZF dη "ZGη f(x, η)dx#. Por otra parte, dejando a un lado la cuestión de la medibilidad, Lebesgue se dio cuenta de que si f es sumable en un conjunto medible E , las funciones x−→ f(x, y) e y−→ f(x, y) no necesitan ser medibles, por lo que empezó a introducir integrales superiores e inferiores para tratar con estas funciones que no eran medibles. Aunque Cauchy ya había armado que la integración de f: [a, b]×[c, d]−→ R una función continua puede ser reducida a dos integrales sucesivas: primero en [c, d] y después en [a, b] , no fue hasta 1902 que Lebesgue obtuvo una extensión de ese resultado para las funciones medibles acotadas. Para ello, consideró una función f:R2−→ R denida y acotada en un conjunto medible E , y denotó por L a la clase de todas las funciones acotadas e integrables ϕ tales que ϕ(x, y)< f(x, y) para todo (x, y)∈R2 . Si llamamos L al supremo de todos los números ZE ϕ con ϕ∈ L es, por denición, la integral inferior de f : ZE f=L . De forma análoga, denimos la integral superior ZE f . De estas deniciones, se puede deducir que ZE f≤ZE f y que f es integrable en E si y solo si ZE f=ZE f . De 5 esta forma, Lebesgue pudo probar el siguiente resultado: Si f:R−→ R es acotada y medible en el rectángulo R= [a, b]×[c, d] , entonces ZR f(x, y)dR =Zd c dy "Zb a f(x, y)dx#=Zb a dx "Zd c f(x, y)dy#= Zd c dy "Zb a f(x, y)dx#=Zb a dx "Zd c f(x, y)dy#. En 1907, usando la integral de Lebesgue, Fubini fue capaz de restablecer la simplicidad de la formulación demostrando el siguiente resultado: Si f:R−→ R es una función sumable en el rectángulo R= [a, b]×[c, d] , entonces las funciones x−→ f(x, y) e y−→ f(x, y) son sumables para casi todos los valores de y y x , respectivamente. Además, las funciones y−→ Zb a f(x, y)dx y x−→ Zd c f(x, y)dy también son sumables y ZR f(x, y)dR =Zd c dy Zb a f(x, y)dx=Zb a dx Zd c f(x, y)dy. Referencias bibliográcas La información de este capítulo puede encontrarse en los libros Historia de la matemática , de C. B. Boyer [3], Lebesgue's theory of integration , de Thomas Hawkins, [6] y Introduction to Integration , de H. A. Priestley [7]. 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Capítulo 2 Teorema de Fubini En este capítulo nos vamos a centrar en las versiones más generales del teorema de Fubini para la integral de Riemann y la integral de Lebesgue, haciendo también una comparación entre ellas. Para ello, vamos a considerar Rp y Rq tales que n=p+q de forma que Rn=Rp×Rq . Dado (x, y)∈Rn , donde x e y son vectores pertenecientes a Rp y Rq respectivamente, denimos las funciones sección de la función f : para cada x∈Rp , la función fx:Rq−→ R dada por fx(y) = f(x, y) se denomina "sección de f por x "; para cada y∈Rq , la función fy:Rp−→ R dada por fy(x) = f(x, y) se denomina "sección de f por y ". 2.1. Interpretación geométrica La idea de este teorema es calcular integrales en un rectángulo cerrado en Rn , con n > 1 , calculando las integrales en rectángulos de R . Veamos la interpretación en R2 , por ser más fácil de visualizar. Para ello, consideramos una función continua positiva f: [a, b]×[c, d]−→ R , entonces la integral Z[a,b]×[c,d] f representa el volumen de la región debajo del grafo de f . Para cada x∈[a, b] , tenemos la función sección fx: [c, d]−→ R . Por ser f continua en [a, b]×[c, d] , cada función fx es continua y, por lo tanto, integrable en el intervalo [c, d] . 7 8 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE FUBINI Si escogemos un x0∈[a, b] , la integral Zd c fx0(y)dy representa el área de la región situada debajo de la gráca de la función fx0 en el plano x=x0 . Tomamos una partición {t0, ..., tn} del intervalo [a, b] , de forma que se divide [a, b]×[c, d] en n bandas por medio de los segmentos {ti} × [c, d] . El volumen debajo de la gráca de f en cada rectángulo [ti−1, ti]×[c, d] se puede aproximar por (ti−ti−1)Zd c fxi(y)dy = (ti−ti−1)Zd c f(xi, y)dy con xi∈[ti−1, ti] , i= 1, ..., n . Si ahora sumamos todos los volúmenes aproximados de las bandas en el intervalo [a, b] , tenemos el volumen total aproximado debajo de la gráca de f , es decir, Z[a,b]×[c,d] f≃ n X i=1 Z[ti−1,ti]×[c,d] f= n X i=1 (ti−ti−1)Zd c f(xi, y)dy con xi∈[ti−1, ti] . De forma análoga, consideramos una partición {t0, ..., tm} del intervalo [c, d] , y consideramos la función sección fy: [a, b]−→ R . Esta función es continua por la continuidad de f , por lo que es integrable en [a, b] , y entonces el volumen debajo de la gráca de f en cada rectángulo [a, b]×[tj−1, tj] se puede aproximar por (tj−tj−1)Zb a fyj(x)dx = (tj−tj−1)Zb a f(x, yj)dx con yj∈[tj−1, tj] , j= 1, ..., m . Al sumar todos los volúmenes aproximados de las bandas en el intervalo [c, d] , el volumen total aproximado debajo de la gráca de f es Z[a,b]×[c,d] f≃ m X j=1 Z[a,b]×[tj−1,tj] f= m X j=1 (tj−tj−1)Zb a f(x, yj)dx con yj∈[tj−1, tj] . Si llamamos h(x) = Zd c fx=Zd c f(x, y)dy , es razonable esperar que h sea integrable en [a, b] y que Z[a,b]×[c,d] f=Zb a h=Zb aZd c f(x, y)dydx. 2.2. TEOREMA DE FUBINI PARA LA INTEGRAL DE RIEMANN 9 Observemos que, debido a la hipótesis de continuidad de la función f , esta interpretación vale tanto para la integral de Riemann como la de Lebesgue, y el valor de sus integrales coincide. 2.2. Teorema de Fubini para la integral de Riemann A pesar de tener un origen tan antiguo, la primera denición matemática de la integral no se dio hasta el siglo XIX por Cauchy. La integral propuesta únicamente era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados, lo que dejaba fuera muchas funciones, sobre todo con la aparición de las funciones discontinuas en el trabajo de Fourier. En 1866, Bernard Riemann publicó una disertación donde extendía la denición de integral dada por Cauchy prescindiendo de la hipótesis de continuidad y dejando solo la hipótesis de acotación. De esta forma, se ampliaba la clase de funciones integrables. La formulación del teorema para esta integral es complicada debido a la necesidad de considerar las integrales superiores e inferiores, como después veremos. Se puede enunciar de la siguiente forma: Teorema 2.1 (Teorema de Fubini) . Sean A⊂Rp y B⊂Rq rectángulos cerrados, y sea f:A×B−→ R integrable. Para x∈A , denotamos h(x) = ZB fx=ZB f(x, y)dy yg(x) = ZB fx=ZB f(x, y)dy. Entonces las funciones h y g son integrables en A y ZA×B f=ZA h=ZA ZB f(x, y)dy!dx y ZA×B f=ZA g=ZAZB f(x, y)dydx siendo las integrales del segundo miembro las llamadas integrales iteradas de f . Demostración. Sean PA una partición del intervalo A y PB una partición del intervalo B . Al juntarlas obtenemos una partición P de A×B de forma que cada subrectángulo 10 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE FUBINI S es de la forma SA×SB donde SA es un subrectángulo de la partición PA , y SB es un subrectángulo de la partición PB . Así, L(f, P) = X S mS(f)·v(S) = X SA,SB mSA×SB(f)·v(SA×SB) = X SA X SB mSA×SB(f)·v(SB) ·v(SA). Si x∈SA , entonces mSA×SB(f)≤mSB(fx) , de forma que se obtienen las desigualdades X SB mSA×SB(f)·v(SB)≤X SB mSB(fx)·v(SB)≤ZB fx=h(x). De donde se deduce que X SA X SB mSA×SB(f)·v(SB) ·v(SA)≤L(h, PA). Y entonces se obtiene la siguiente cadena de desigualdades: L(f, P)≤L(h, PA)≤U(h, PA)≤U(g, PA)≤U(f, P) donde la demostración de la última desigualdad es análoga a la demostración de la primera. Como f es integrable, se tiene que sup{L(f, P)}=inf{U(f, P)}=ZA×B f. Por lo tanto para la función h , sup{L(h, PA)}=inf{U(h, PA)}=ZA×B f. Es decir, la función h es integrable en A y ZA×B f=ZA h . La proposición para g se deduce análogamente de la cadena de desigualdades L(f, P)≤L(h, PA)≤L(g, PA)≤U(g, PA)≤U(f, P). 2.3. TEOREMA DE FUBINI PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE 11 Observación 2.2 . Intercambiando el papel de x y de y , se obtienen las siguientes igualdades: ZA×B f=ZB ZA f(x, y)dx!dy =ZBZA f(x, y)dxdy. Observación 2.3 . La integrabilidad de la función f no es una condición suciente para que las funciones secciones sean integrables, por lo que es necesario hablar de integrales superiores e inferiores, ya que estas siempre existen. Se puede ver en el siguiente ejemplo: Consideramos el cuadrado unidad R= [0,1] ×[0,1] y la función f:R−→ R dada por: f(x, y) =        0 si x6=x0 1 si x=x0ey∈Q 0 si x=x0ey∈R\Q (2.1) Como el conjunto Q es numerable, tiene medida nula, por lo que aplicando el criterio de Lebesgue para la integrabilidad en el sentido de Riemann vemos que la función f es integrable en R . Sin embargo, la integral Z1 0 fx0(y)dy no existe, ya que aunque fuera de la recta x=x0 la función f es continua, en la recta x=x0f no es continua en ningún punto. No obstante, si la función f es continua las funciones sección también lo son y, por lo tanto, son integrables. En este caso, las integrales superiores e inferiores se pueden sustituir por integrales ordinarias, y se verica ZAZB f(x, y)dydx =ZBZA f(x, y)dxdy. 2.3. Teorema de Fubini para la integral de Lebesgue Aunque la integral de Riemann es muy útil, nos encontramos con que es de alcance limitado e insuciente, puesto que tiene varias deciencias: La clase de todas las funciones Riemann integrables es pequeña. 12 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE FUBINI Al hacer operaciones de paso al límite, las funciones Riemann integrables tienen un mal comportamiento, ya que la integral de Riemann funciona bien en los casos en los que se considera una única función, pero aparecen muchas dicultades cuando se consideran sucesiones de funciones. Para suplir estos problemas es necesario construir una nueva integral con mayor alcance que la integral de Riemann: la integral de Lebesgue. En 1902, Henri Lebesque presentó en su tesis doctoral una integral que se convirtió en la clave del análisis moderno, puesto que es una extensión de la integral de Riemann a una clase más amplia de funciones reales. Con esta extensión, la mayoría de las excepciones especícas del teorema de Fubini que habían sido construidas dejaron de ser excepciones ya que la integral de Lebesgue elimina algunas de esas deciencias, como se puede ver en el siguiente ejemplo: Consideramos la función f denida en el cuadrado unidad R= [0,1] ×[0,1] denida de la siguiente forma: f(x, y) = (2ysi xes irracional 1 si xes racional (2.2) Entonces, por la denición de Riemann, Z1 0 dx Z1 0 f(x, y)dy= 1 Sin embargo, f es discontinua en todo punto de R excepto en los de la recta y= 1/2 , y x−→ f(x, y) no es continua en ningún punto con y6= 1/2 . Por lo tanto, las integrales ZR f(x, y)d(x, y) y Z1 0 dy Z1 0 f(x, y)dx no existen en el sentido de Riemann. Sin embargo, ambas integrales existen en el sentido de Lebesgue, y ambas tienen valor 1. Además, en esta integral no es necesario considerar las integrales superiores e inferiores, ya que si f es integrable según Lebesgue, casi todas las secciones menos un conjunto de medida nula son integrables. A continuación, vamos a enunciar y demostrar las diferentes versiones del teorema dependiendo de las hipótesis necesarias. Previamente, enunciamos uno de los teoremas que establece las bases para el teorema de Fubini: 2.3. TEOREMA DE FUBINI PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE 13 Teorema 2.4. Sea E un subconjunto medible de Rp+q con p≥1 , q≥1 . Para cada x∈Rp consideramos el conjunto E(x) = {y∈Rq: (x, y)∈E} y para cada y∈Rq , el conjunto E(y) = {x∈Rp: (x, y)∈E}. Entonces, para casi todo x∈Rp , E(x) es un conjunto medible de Rq , y para casi todo y∈Rq , E(y) es un conjunto medible de Rp . Además, la función x−→ µ(E(x)) es una aplicación medible de Rp en [0,∞] , y y−→ µ(E(y)) es una aplicación medible de Rq en [0,∞] . Y se verica µ(E) = ZRp µ(E(x)) = ZRq µ(E(y)). Demostración. Esta demostración es constructiva, así que la haremos partiendo de conjuntos medibles sencillos para llegar al caso general. a) Si E es un intervalo, E(x) o es un intervalo jo al variar x en la proyección de E sobre Rp , o bien es igual a ∅ si x no pertenece a dicha proyección. Por lo tanto, para cada x∈Rp , E(x) es medible. Por otra parte, la función x−→ (E(x)) es la función característica de la proyección de E sobre Rp por el volumen en Rq de la proyección de E sobre Rq . Por lo tanto, se trata de una función medible y, además µ(E) = ZRp µ(E(x)). b) Si E es la unión de una familia nita de intervalos disjuntos dos a dos, es decir, E=∪N m=1Im con Ir∩Is=∅ si r6=s , entonces E(x) = N [ m=1 Im(x) donde cada Im(x) es un intervalo de Rp y Ir(x)∩Is(x) = ∅ si r6=s . Por lo tanto, µ(E(x)) = N X m=1 µ(Im(x)) y la función x−→ µ(E(x)) es medible por ser suma de funciones medibles. Además, se tiene µ(E) = N X m=1 µ(Im) = N X m=1 ZRp µ(Im(x)) = ZRp N X m=1 µ(Im(x)) = ZRp µ(E(x)) Si E es una unión de una familia nita de intervalos sin que estos sean disjuntos dos a dos, se tomaría otra familia, por subdivisiones, también nita de intervalos disjuntos dos a dos 20 CAPÍTULO 2. TEOREMA DE FUBINI Por otro lado, la diferencia ϕ+−ϕ− es sumable en Rp , y como ϕ=ϕ+−ϕ− , ϕ está denida y es nita en casi todo x∈Rp , por lo que es sumable en Rp , lo que prueba c). De manera análoga podemos verlo para la función ψ=ψ+−ψ− , por lo que d) queda probado. Finalmente, se tiene que: ZRn f=ZRn f+−ZRn f−=ZRpZRq f+(x, y)dydx −ZRpZRq f−(x, y)dydx = ZRp ϕ+−ZRp ϕ−=ZRp (ϕ+−ϕ−) = ZRp ϕ. Repitiendo este razonamiento para ψ , el teorema queda probado. Referencias bibliográcas La información para este capítulo está recogida de los libros Análisis matemático II , de F. del Castillo [4]; de Lebesgue Integration , de Soo Bong Chae [5] y de Lebesgue's theory of integration , de Thomas Hawkins [6]. Los teoremas aparecen en los libros Cálculo en variedades , de M Spivak [8]; y Análisis matemático II , de F. del Castillo [4], respectivamente. Capítulo 3 El teorema de Fubini, la regla de Leibniz y las derivadas parciales mixtas Algunos de los teoremas más importantes en Análisis de intercambio de operaciones con límites son el teorema de Fubini, la regla de Leibniz para la derivación bajo el signo integral, y la igualdad entre las derivadas parciales mixtas. Veamos las relaciones que hay entre ellas. A lo largo de este capítulo, denotaremos por R el rectángulo [a, b]×[c, d] y usaremos la siguiente versión del teorema de Fubini: Teorema 3.1. Si la función f es continua en R , entonces x−→ Zd c f(x, y)dy es una función continua para todo x∈[a, b] , y−→ Zb a f(x, y)dx es una función continua para todo y∈[c, d] , y se tiene la igualdad ZR fdR =Zb aZd c f(x, y)dydx =Zd cZb a f(x, y)dxdy. Usaremos también el teorema y la fórmula fundamental del cálculo, que recordamos a continuación: Teorema 3.2. Sea f: [a, b]−→ R continua. Denimos F(x) = Zx a f(s)ds, x ∈[a, b] 21 22 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE FUBINI, LA REGLA DE LEIBNIZ Y LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS Entonces F es diferenciable en [a, b] y F0(x) = f(x) para todo x∈[a, b] . Teorema 3.3. Sean G, f : [a, b]−→ R dos funciones continuas. Asumimos que G0(x) = f(x) para todo x∈(a, b) . Entonces Zb a f(x)dx =G(b)−G(a). 3.1. El teorema de Fubini y la regla de Leibniz La regla de Leibniz para la derivación bajo el signo integral arma que las operaciones derivación e integración se pueden intercambiar. Lo enunciamos a continuación: Teorema 3.4 (Regla de Leibniz para la derivación bajo el signo integral) . Si f y su derivada parcial ∂f ∂x son funciones continuas en R , entonces para x∈(a, b) , d dx Zd c f(x, y)dy =Zd c ∂f ∂x(x, y)dy Entonces podemos demostrar el siguiente teorema: Teorema 3.5. Si una función f verica el teorema de Fubini, entonces f verica la regla de Leibniz. Demostración. Aplicando el teorema fundamental del cálculo a Zd c f(x, y)dy , tenemos: Zd c f(x, y)dy =Zd cZx a ∂f ∂x(s, y)ds +f(a, y)dy. Por el teorema de Fubini podemos cambiar el orden de integración, de forma que: Zd cZx a ∂f ∂x(s, y)ds +f(a, y)dy =Zx aZd c ∂f ∂x(s, y)dyds +Zd c f(a, y)dy. Aplicando otra vez el teorema de Fubini, tenemos que Zd c ∂f ∂x(s, y)dy es continua, así que el teorema fundamental del cálculo arma que la derivada de la expresión anterior es Zd c ∂f ∂x(s, y)dy . Es decir, que d dx Zd c f(x, y)dy =Zd c ∂f ∂x(x, y)dy. 3.2. EL TEOREMA DE FUBINI Y LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS 23 Observación 3.6 . Considerando la versión de los resultados para la integral de Lebesgue y procediendo de la misma forma se puede ver que la relación también se cumple para esta integral. 3.2. El teorema de Fubini y las derivadas parciales mixtas Para demostrar la equivalencia entre el teorema de Fubini y la igualdad entre las derivadas parciales mixtas podemos actuar de dos formas: a través de la regla de Leibniz para la derivación bajo el signo integral, aplicando dos veces el teorema fundamental del cálculo integral; o demostrándolo con ayuda del teorema y la fórmula fundamental del cálculo integral, que es como lo vamos a ver a continuación. Para ello nos valdremos del siguiente lema: Lema 3.7. Consideramos I y J dos intervalos abiertos no vacíos. Sea g una función real y continua en I×J y (a, c)∈I×J . Entonces las funciones f1(x, y) = Zx a g(u, y)du y f2(x, y) = Zy c g(x, v)dv son funciones reales y continuas en I×J . Denotamos por U un subconjunto abierto de R2 tal que R⊂U , por (i) al teorema de Fubini y enunciamos la igualdad entre derivadas parciales mixtas: (ii) Sea f una función derivable con derivadas ∂f ∂x y ∂f ∂y continuas en U , y con ∂2f ∂y∂x continua en U . Entonces ∂2f ∂x∂y existe y en U se tiene ∂2f ∂y∂x =∂2f ∂x∂y Entonces podemos probar el siguiente teorema: Teorema 3.8. Las proposiciones (i) y (ii) son equivalentes. Demostración. Veamos que (i)⇒(ii) . Tomamos (x, y)∈U , y como U es abierto podemos encontrar r > 0 tal que el disco abierto centrado en (x, y) y con radio r está contenido en U . Seleccionamos (a, c) en el disco. Como ∂f ∂x ,∂f ∂y y∂2f ∂y∂x son continuas, podemos aplicar la fórmula fundamental del cálculo integral, y obtenemos que Zx aZy c ∂2f ∂y∂x(u, v)dvdu =f(x, y)−f(x, c)−f(a, y) + f(a, c) 24 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE FUBINI, LA REGLA DE LEIBNIZ Y LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS Usando ahora el teorema de Fubini, intercambiamos el orden de integración en la parte izquierda, de forma que obtenemos: Zy cZx a ∂2f ∂y∂x(u, v)dudv =f(x, y)−f(x, c)−f(a, y) + f(a, c). Derivamos ahora ambos lados de esta igualdad, primero con respecto a y y después con respecto a x . Acto seguido, aplicamos el teorema fundamental del cálculo integral, obteniendo como resultado que la parte izquierda es ∂2f ∂y∂x , mientras que la parte derecha es ∂2f ∂x∂y . Es decir, tenemos que ∂2f ∂y∂x =∂2f ∂x∂y en U . Para ver ahora que (ii)⇒(i) , consideramos g una función real y continua en U . Existen intervalos abiertos acotados I, J tales que R⊂I×J=V⊂U . Denimos h, f :V−→ R por: h(x, y) = Zy c g(x, v)dv , f(x, y) = Zx a h(u, y)du. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral obtenemos que ∂f ∂x =h en V . Aplicando ahora el lema tenemos que ∂f ∂x es una función real y continua en V . Aplicamos otra vez el teorema del cálculo integral, y tenemos que ∂2f ∂y∂x =g en V , por lo que es una función real y continua en V . Para aplicar (ii) a f nos queda ver que ∂f ∂y es continua en V . Consideramos r > 0 ya que el caso r < 0 es análogo. Entonces f(x, y +r)−f(x, y) = Zx a (h(u, y +r)−h(u, y))du Por el teorema fundamental del cálculo integral, h es diferenciable respecto a y y ∂h ∂y (x, y) = g(x, y) . Aplicando el teorema del valor medio a la función h en [y, y +r] nos da h(u, y +r)−h(u, y) = ∂h ∂y (u, y +tr)r=g(y, y +tr)r para algún t=t(r)∈(0,1) . Por lo tanto, f(x, y +r)−f(x, y) r=Zx a g(u, y +tr)du. Como r→0 , t(r)→0 y la continuidad de g implica que ∂f ∂y (x, y) = Zx a g(u, y)du . Así, por el lema, ∂f ∂y es continua. 3.2. EL TEOREMA DE FUBINI Y LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS 25 Por lo tanto, se satisfacen todas las hipótesis de (ii) . Por consiguiente, ∂2f ∂x∂y existe y ∂2f ∂x∂y =∂2f ∂y∂x en V , y además son iguales a g en V . Aplicando entonces la fórmula fundamental del cálculo integral a ∂2f ∂y∂x y ∂2f ∂x∂y se tiene Zb aZd c ∂2f ∂y∂x(x, y)dydx =Zd cZb a ∂2f ∂x∂y (x, y)dxdy es decir, el orden de integración puede ser invertido, por lo que se verica el teorema de Fubini. Referencias bibliográcas La información para este capítulo está recogida del libro Selected Papers on Calculus , de Tom M. Apostol [2], y del artículo Mixed Partial Derivatives and Fubini's Theorem [1], de la revista College Mathematics Journal of MAA, volumen 33. 26 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE FUBINI, LA REGLA DE LEIBNIZ Y LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS Appendices 27 Apéndice En este apéndice se incluyen algunos conceptos a los que se hace referencia en la introducción histórica y resultados que son de ayuda para las secciones de la integral de Riemann y de Lebesgue. Denición .1. Un intervalo o rectángulo de Rn es un producto de n intervalos unidimensionales acotados de la forma [ai, bi] . Denición .2. El volumen n-dimensional del intervalo I , que se denota por v(I) , viene dado por la expresión (b1−a1)·... ·(bn−an) . Denición .3. Consideramos un conjunto nito de intervalos I1, ...In disjuntos dos a dos y tales que su unión cubre el conjunto E . Entonces el contenido interior del conjunto E , ci(E) , denota la menor cota superior de la suma de las longitudes de los intervalos Ik que únicamente contienen puntos del interior de E . El contenido exterior del conjunto E , ce(E) , es la mayor cota inferior de la suma de las longitud de los intervalos que cubren E . Denición .4. Un conjunto E se dice medible según Jordan si ci(E) = ce(E) . .1. Integral de Riemann en rectángulos acotados Denición .5. Una partición de un rectángulo I= [a1, b1]×... ×[an, bn] es una colección P= (P1, ..., Pn) , donde cada Pi es una partición del intervalo [ai, bi] . Denición .6. Denimos la suma de Riemann de la función f relativa a la partición P como: S(f, P, {tk}) = p X k=1 f(tk)v(Ik) donde Ik son los rectángulos inducidos por la partición P , y tk∈Ik para cada k= 1, .., p . 29 36 APÉNDICE Bibliografía [1] Aksoy, A.,Martelli, M., Mixed Partial Derivatives and Fubini's Theorem , College Mathematics Journal of MAA, vol.33, 2002. [2] Apostol, T.M., Selected Papers on Calculus , 1994. [3] Boyer, C.B., Historia de la matemática , Alianza Universidad, 1994. [4] Castillo, F. del, Análisis matemático II , editorial Alhambra, 1980. [5] Chae, S.B., Lebesgue Integration , New York and Basel, 1980. [6] Hawkins, T., Lebesgue's theory of integration , editorial Board, 1980. [7] Priestley, H.A., Introduction to Integration , Oxford University Press, 1997. [8] Spivak, M., Cálculo en variedades , editorial Reverté, 1988. 37