La ecuación del calor

Traballo Fin de Grao La ecuación del calor Cecilia Villar Martínez 2018/2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao La ecuación del calor Cecilia Villar Martínez Julio 2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área del Conocimiento: Análisis Matemático Título: La ecuación del calor Breve descripción del contenido Se trata de llevar a cabo un estudio sobre modelos matemáticos que emplean la ecuación del calor en distintas dimensiones espaciales, obtiendo las expresiones de las soluciones. El caso unidimensional tratado en el tercer curso del Grado en Matemáticas de la USC servirá como punto de partida y motivación para el análisis de los casos en dimensión superior. Entre las herramientas que se emplearán para llevar a cabo el estudio da la ecuación se incluyen las soluciones autosimilares y las series y la transformada de Fourier. Se empleará el ordenador para la realización de cálculos y representaciónes grácas, para el cual se usará el software que el alumno o alumna escoja. iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. La ecuación del calor en el caso unidimensional 1 1.1. Dedución de la ecuación del calor en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Una solución del problema con condiciones de frontera de tipo Dirichlet . . 5 1.3. Una solución del problema con condiciones de frontera de tipo Neumann . . 8 1.4. El principio del máximo para la ecuación del calor unidimensional . . . . . . 9 1.5. Resolución de un problema bidimensional con series de Fourier dobles . . . 10 2. La ecuación del calor en RN. 15 2.1. Núcleo de Gauss. Construcción de soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Principio del máximo en dominios acotados. Unicidad de solución . . . . . . 28 2.3. Problema no homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Conclusiones 39 Bibliografía 41 v Resumen En este trabajo estudiamos el cálculo de soluciones de la ecuación del Calor, primero desde un punto de vista sencillo, el caso unidimensional y posteriormente el caso ndimensional. Para realizar el cálculo de soluciones en el contexto unidimensional empleamos series de Fourier, mientras que para el caso de dimensiones superiores utilizamos la transformada de Fourier. Una vez obtenida la solución, probamos la unicidad aplicando el principio del máximo. En el caso n-dimensional es necesario restringir el problema a funciones acotadas, de forma que sea posible aplicar el principio del máximo. Por último, realizamos una representación gráca de algunas soluciones con el software matemático Maple, con el objetivo de que el lector pueda visualizar cómo son las soluciones de los distintos problemas estudiados. Abstract In this work we will study how to solve the heat conduction problem, rst from a simple approach, in the one-dimensional context. Afterwards, the n -dimensional case will be analyzed. In order to obtain the corresponding solutions in the one-dimensional setting, Fourier series will be employed, whereas the Fourier Transform will be used for higher dimensions. Once a solution is obtained, we will prove its uniqueness by applying the maximum principle. In the n -dimensional context, it will be necessary to restrict the problem to bounded functions, so that it is possible to apply the maximum principle. Lastly, we will show some of the solutions by graphically representing them with the mathematical software Maple, with the objective of providing a better visualization of the solutions for the dierent problems studied. vii 4 CAPÍTULO 1. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN EL CASO UNIDIMENSIONAL Si combinamos las ecuaciones (1.2) y (1.3) obtenemos k cρ ux|x+∆x−ux|x ∆x=∆u ∆t. Haciendo ∆x→0 y ∆t→0 tenemos a2uxx =ut, (1.4) donde α2=k cρ , y (1.4) es la ecuación del calor para el caso unidimensional. Así, denotando α2=a consideramos problemas de valores iniciales del siguiente tipo ut−auxx = 0 ∀(x, t)∈(0, L)×(0,∞), (1.5) u(x, 0) = f(x)∀x∈[0, L], (1.6) u(0, t) = u(L, t)=0 ∀t≥0. (1.7) ux(0, t) = ux(L, t)=0 ∀t≥0. (1.8) u(−L, t) = u(L, t)∀t≥0 (1.9) ux(−L, t) = ux(L, t)∀t≥0 (1.10) La solución u(x, t) representa la temperatura de la varilla en el punto x y en el tiempo t. La función u debe satisfacer las tres condiciones (1.5), (1.6) y (1.7) o (1.8) o (1.9) y (1.10). La primera es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden. La segunda representa la distribución inicial de temperatura y la tercera signica que la temperatura en los extremos de la varilla considerada se mantiene en 0◦ . Esta última condición también nos permite reconocer el tipo problema, siendo así un problema con condiciones de frontera tipo Dírichlet (véase (1.7)) , condiciones tipo Neumann (véase (1.8)) o condiciones de frontera periódicas (véase (1.9) y (1.10)). Se dice que una condición de frontera es de tipo Dirichlet cuando en una ecuación en derivadas parciales se especican los valores de la solución que necesita la frontera del dominio. Por otra parte, se dice que una condición de frontera es de tipo Neuman cuando en una ecuación en derivadas parciales se especican los valores de la derivada de una solución tomada sobre el contorno del dominio. Un tercer tipo de condición son las condiciones de frontera periódicas, que consisten en imponer que las funciones u y ux tengan el mismo valor en los dos extremos del intervalo [0, L]. Por último, existen condiciones de frontera de tipo mixto, que consisten en considerar una condición de tipo Dirichlet en un extremo y una condición de tipo Neumann en el otro. En este capítulo nos centramos en la resolución de problemas en el caso unidimensional con condiciones de frontera tipo Dirichlet y tipo Neumann, ya que en los siguientes capítulos 1.2. UNA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA CON CONDICIONES DE FRONTERA DE TIPO DIRICHLET 5 nos centramos en resolver estos problemas en dimensiones superiores. El caso en el que las condiciones de frontera sean de tipo periódico o de tipo mixto no resulta de gran interés puesto que solo se considera en el caso unidimensional. 1.2. Una solución del problema con condiciones de frontera de tipo Dirichlet En esta sección consideramos el problema del tipo ut−auxx = 0 ∀(x, t)∈(0, L)×(0,∞), u(x, 0) = f(x)∀x∈[0, L], u(0, t) = u(L, t)=0 ∀t≥0. y lo resolvemos por el Método de Fourier. Método de Fourier para problemas de tipo Dirichlet. En este apartado resolvemos el problema considerado en la sección 1.2 aplicando el método de Fourier. La resolución se lleva a cabo en tres etapas. Etapa 1. Aplicamos el método de separación de variables a la parte homogénea del problema, esto es, el problema (1.5)-(1.7), que consiste en hallar soluciones no nulas y de la forma u(x, t) = v(x)w(t). (1.11) Primero calculamos ut(x, t) = v(x)w0(t) y uxx(x, t) = v00(x)w(x) . Sustituyendo estas ecuaciones en (1.5) obtenemos v(x)w0(t)−av00(x)w(t)=0 ∀(x, t)∈(0, L)×(0,∞), de donde se sigue que v(x)w0(t) = av00(x)w(t)∀(x, t)∈[0, L]×(0,∞). (1.12) Por lo tanto, deben existir x0∈[0, L], t0∈(0,∞) tales que v(x0)6= 0 y w(t0)6= 0 . Consideramos (x, t) = (x0, t0) en (1.12) obteniendo como resultado v(x0)w0(t0) = av00(x0)w(t0). Como v(x0)6= 0 6=w(t0) , podemos despejar obteniendo w0(t0) aw(t0)=v00(x0) v(x0). 6 CAPÍTULO 1. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN EL CASO UNIDIMENSIONAL Ahora denotamos w0(t0) aw(t0)=v00(x0) w(t0)=λ0. Sustituyendo en (1.12) t=t0 obtenemos una ecuación diferencial para v , v(x)w0(t0) = av00(x)w(t0)∀x∈[0, L]. Despejando v00(x) tenemos v00(x) = w0(t0) aw(t0)v(x) = λ0v(x)∀x∈[0, L]. Análogamente, sustituyendo en (1.12), x=x0 , deducimos v(x0)w0(t) = av00(x0)w(t)t > 0, y despejando w0(t) llegamos a w0(t) = av00(x0)w(t) v(x0)w(t) = aλ0w(t)∀t > 0. En conclusión, si u(x, t) = v(x)w(t) es solución no nula de (1.5), entonces existe λ∈R tal que v y w son soluciones no nulas de v00(x) = λv(x) (1.13) w0(t) = aλw(t) (1.14) Por otra parte si u(x, t) = v(x)w(t) verica (1.7) tenemos 0 = u(0, L) = v(0)w(t)∀t > 0, (1.15) y como w debe ser distinta de cero en algún punto, debe ser v(0) = 0. (1.16) Además de (1.15), también tenemos que 0 = u(L, t) = v(L)w(t)∀t≥0, (1.17) y por un razonamiento análogo obtenemos la segunda condición v(L)=0. (1.18) Después de haber obtenido las condiciones (1.16) y (1.18), resolvemos el problema de autovalores y autofunciones, que consiste en hallar todos los λ∈R para los que (1.14) 1.2. UNA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA CON CONDICIONES DE FRONTERA DE TIPO DIRICHLET 7 y la ecuación (1.13), con las condiciones de frontera (1.16) y (1.18), tienen soluciones no triviales. Además, construimos una base del espacio de soluciones hallando para cada λ∈R funciones v y w no nulas tales que deniendo la función producto nos da una solución del problema homogéneo. Como siempre, la búsqueda de autovectores comienza por la búsqueda de autovalores. Para calcular los valores de λ para que el problema de frontera (1.13) bajo las condiciones mencionadas en (1.16) y (1.18) tenga soluciones no nulas, jamos un λ∈R y resolvemos con el proceso general calculando la ecuación característica. Sustituyendo v00(x) = µ2 y v(x) = µ en (1.13) y despejando µ obtenemos µ2−λ= 0. Analizamos las posibilidades aceptables para la constante λ . Estudiamos con más detalle el caso λ < 0 , ya que en los casos λ= 0 y λ > 0 , una vez aplicadas las condiciones de contorno, nos llevan a una solución idénticamente nula que no resulta de gran interés. En el caso λ < 0 la ecuación característica asociada es µ2=λ, λ < 0⇒µ=√−λi. El sistema fundamental asociado a (1.13) es sin(√−λx),cos(√−λx) . Por tanto, la solución general de (1.13) es v(x) = Acos(√−λx) + Bsin(√−λx)∀ A,B ∈R. (1.19) Finalmente, empleando las condiciones obtenidas en (1.16) y (1.18) a la ecuación (1.19), obtenemos los valores de A y B . Es fácil ver que aplicando (1.16) en (1.19) se tiene que A= 0 . Por otra parte veamos que si aplicamos (1.18) a (1.19) obtenemos como resultado los valores de λ . v(L)=0⇔Bsin(√−λx)=0⇒(B= 0 ⇒v(x) = 0 solución que no nos interesaría sin(√−λL) = 0 ⇔λ=−n2π2 L2∀n∈N. Si λ=λn entonces las soluciones no nulas de (1.13) son v(x) = Bsin(p−λnx) = Bsin(nπx L). (1.20) En resumen, (1.13) tiene soluciones no nulas si y solo si λ=λn=−n2π2 L2∀ n ∈N y en tal caso una solución no nula de (1.13), tomando B= 1 , es vn= sin nπx L. Por otro lado, para cada n ∈N , calculamos una solución no nula de (1.14), que viene dada por w0(t) = aλw(t)⇒w(t) = keaλnt, k ∈R. 8 CAPÍTULO 1. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN EL CASO UNIDIMENSIONAL Tomando wn=eaλnt=e−an2π2 L2t se tiene que para cada n ∈N la función un(x, t) = wnvn=e−an2π2 L2tsin nπx L es la solución del problema homogéneo, es decir, del problema (1.5)-(1.7). Etapa 2. Construimos la solución del problema completo en forma de serie de autofunciones por superposición de soluciones del problema (1.5)-(1.7). Buscamos una solución de la forma u(x, t) = ∞ X n=1 αnun(x, t) = ∞ X n=1 αne−an2π2 L2tsin nπx L para ciertos αn , n ∈N , que debemos determinar para que se cumpla la condición inicial (1.6). Por tanto se tiene que f(x) = u(x, 0) = ∞ X n=1 αnsin nπx L∀x∈[0, L]. Consideramos los α0 ns como los coecientes de la serie de senos de f , es decir αn=bn=2 LZL 0 f(x) sin nπx Ldx ∀(x, t)∈[0, L]×(0,∞). Etapa 3. Comprobación de que la fución obtenida es solución. El resultado que enunciamos a continuación nos permite comprobarlo. Teorema 1.1 (Existencia de solución para el problema Dirichlet) . Si f∈H1([0, L]) 1 y f(0) = f(L)=0 , entonces la función u(x, t) = ∞ X n=1 αnun(x, t) = ∞ X n=1 bne−an2π2 L2tsin nπx L, con bn siendo el n-ésimo coeciente de la serie de senos de f, pertenece a C([0, L]×[0,∞))× TC∞([0, L]×(0,∞)) y resuelve el problema (1.5), (1.6) y (1.7). 1.3. Una solución del problema con condiciones de frontera de tipo Neumann En esta sección consideramos el problema del tipo siguiente ut−auxx = 0 ∀(x, t)∈(0, L)×(0,∞), (1.21) 1 H1(0, L) = g∈C([0, L]) |g0∈ L2([0, L]) 1.4. EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO PARA LA ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL 9 u(x, 0) = f(x)∀x∈[0, L], (1.22) ux(0, t) = ux(L, t)=0 ∀t≥0. (1.23) y lo resolvemos por el Método de Fourier. Mediante un procedimiento análogo al realizado en la Sección 1.2 llegamos a que la solución obtenida para el problema (1.21), (1.22) y (1.23) es de la forma u(x, t) = α0u0(x, t) + ∞ X n=1 αnun(x, t) = α0+∞ X n=1 αne−an2π2 L2tcos nπx L, para ciertos α0 , αn , n ∈N , que debemos determinar para que se cumpla la condición inicial (1.6). Por tanto se tiene que f(x) = u(x, 0) = α0+∞ X n=1 αnsin nπx L∀x∈[0, L], es una serie de cosenos. Consideraremos α0 y αn como los coecientes de la serie de cosenos de f , es decir, α0=a0 2=1 LZL 0 f(x)dx, αn=an=2 LZL 0 f(x) cos(nπx L)dx. 1.4. El principio del máximo para la ecuación del calor unidimensional La unicidad del problema Dirichlet, planteado el la Sección 1.2, y del problema Neumann, planteado en la Sección 1.3, será consecuencia del principio del máximo que enunciamos a continuación. Sean L > 0 , T > 0 y DT= [0, L]×[0, T] . La frontera parabólica de DT es el conjunto ΓT= ([0, L]×{0})∪({0, L}×[0, T]). Teorema 1.2 (Principio del máximo y del mínimo) . Si u=u(x, t) es continua en DT y, además, para algún a > 0 se verca que ut(x, t)−auxx(x, t)=0 ∀(x, t)∈(0, L)×(0, T ], entonces u alcanza su máximo y su mínimo en la frontera parabólica DT , es decir, m´ax DT u= m´ax ΓT u 10 CAPÍTULO 1. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN EL CASO UNIDIMENSIONAL m´ın DT u= m´ın ΓT u. Interpretación física: La temperatura máxima (respectivamente mínima) se alcanza en algún punto de la frontera parabólica, es decir, o bien se alcanza en el instante inicial en algún punto x∈[0, L] o bien en t∈[0, L] en alguno de los extremos de [0, L] . Observación 1.3. Si u ∈C(DT) , ut−auxx = 0 en (0, L)×(0, T) y u≡0 en Γp entonces u(x, t)=0∀(x, t)∈DT . Finalmente enunciamos el teorema que prueba la unicidad de solución para los problemas de Dirichlet y de Neumann. Teorema 1.4. Si f∈H1([0, L]) y f(0) = f(L)=0 entonces el problema        ut−auxx = 0 ∀(x, t)∈[0, L]×(0,∞), u(x, 0) = f(x)∀x∈[0, L], u(0, t) = u(L, t) = 0 ∀t≥0. tiene a lo sumo una solución continua en [0, L]×[0,∞) . Las demostraciones de (1.2) y (1.4) las dejaremos al interés del lector y podrán verse en Cañada (2002). 1.5. Resolución de un problema bidimensional con series de Fourier dobles Consideremos una placa rectangular delgada, con longitud a y anchura b cuya temperatura viene dada por la función u(x, y, t) que depende del tiempo t≥0 y de la posición (x, y) . Las condiciones iniciales nos jan la temperatura de la placa en el instante inicial t= 0 y las condiciones de contorno se dan sobre los puntos de la frontera. Queremos determinar la solución u(x, y, t) del problema inicial de frontera de la temperatura de la placa rectangular, que viene dado por el siguiente problema de la ecuación del calor ut=k∇2u, 0< x < a, 0< y < b, t > 0, (1.24) u(x, y, 0) = f(x, y); 0 ≤x≤a, 0≤y≤b, ux(0, y, t)=0, ux(a, y, t) = 0, u(x, 0, t)=0, u(x, b, t)=0. 1.5. RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA BIDIMENSIONAL CON SERIES DE FOURIER DOBLES 11 Buscamos soluciones no triviales de la parte homogénea del poblema inicial y de la forma U(x, y, t) = U(x, y)T(t) que vienen dadas por ut=k∇2u, 0< x < a, 0< y < b, t > 0, (1.25) ux(0, y, t)=0, ux(a, y, t) = 0; u(x, 0, t)=0, u(x, b, t)=0. Sustituyendo en (1.25) vemos que existe algún λ∈R tal que U(x, y) y T(t) satisfacen T0+λkT = 0 (1.26)        ∇2U+λU = 0 Ux(0, y) = Ux(a, y)=0 U(x, 0) = U(x, b)=0. (1.27) Análogamente a la Sección 1.2, buscamos los valores de λ∈R para los que (1.27) tiene soluciones no nulas y del tipo U(x, y) = X(x)Y(y) . Las EDO que resultan son X00 −µX = 0, X0(0) = X0(a) = 0, (1.28) Y0+ (λ+µ)Y= 0, Y (0) = Y(b)=0. (1.29) Para resolverlas, buscamos primero los valores de µ∈R para los que la ecuación (1.28) tiene soluciones no triviales. Si µ≥0 entonces la única solución es trivial. Si µ < 0 , las raíces del polinomio característico son ±i√−µ , donde la solución general es X(x) = c1cos √−µx +c2 sen √−µx; con c1, c2∈R. Calculamos X0(x) : X0(x) = −c1√−µ sen √−µx +c2√−µcos √−µx y aplicando las condiciones de frontera tenemos X0(0) = 0 = c2√−µ, c2= 0, X0(a) = 0 = −c1√−µ sen √−µa +c2√−µcos √−µa, como c2= 0,−c1√−µ sen √−µa = 0. 12 CAPÍTULO 1. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN EL CASO UNIDIMENSIONAL Llegamos a que (1.28) tiene soluciones no nulas si µ=µm=−m2π2/a2 , en cuyo caso una solución no nula es Xm(x) = cos mπ ax, con m= 0,1,2, . . . Ahora, con los valores de µm dados, queremos determinar todos los λ∈R para los que (1.29) tiene soluciones no nulas. Si (λ+µm)≤0 , la única solución es la trivial. Si (λ+µm)>0 , entonces γ=−(λ+µ)<0 y tiene soluciones no triviales si γ=−n2π2 b2(n∈N). Por ejemplo, una solución no nula es Yn(y) = sen nπ by, n ∈N. Por lo tanto, (1.27) tendrá soluciones no nulas y serán del tipo U(x, y) = X(x)Y(y) para λ=λmn =m2π2 a2+n2π2 b2, con m= 0,1,2, . . . y n∈N, siendo una solución no nula asociada a λmn la dada por Umn =Xm(x)Yn(y) = cos mπ ax sen nπ by. Ahora queda obtener una solución no nula de (1.26) para λ=λmn . Integrando la ecuación T0+λkT = 0 obtenemos T0=−λkT, T0 T=−λk, ZT0 Tdt =Z−λk dt, ln |t|=−λkt y una solución no nula es T(t)=e−λmnkt. Por tanto, la solución del problema es de la forma u(x, y, t) = ∞ X m=0 ∞ X n=1 bmne−(m2/a2+n2/b2)π2kt cos mπ axsin nπ by, (1.30) donde las constantes bmn deben escogerse para que se cumpla la condición inicial no homogénea, u(x, y, 0) = f(x, y) , es decir, f(x, y) = ∞ X m=0 ∞ X n=1 bmn cos mπ ax sen nπ by. 1.5. RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA BIDIMENSIONAL CON SERIES DE FOURIER DOBLES 13 En este caso los coecientes de la serie de Fourier doble vienen determinados por b0n=4 ab Za 0Zb 0 f(x, y) sen nπ bydxdy, para m= 0; bmn =4 ab Za 0Zb 0 f(x, y) cos mπ ax sen nπ bydxdy, para m≥1. Y la solución al problema de la placa rectangular es (1.30) u(x, y, t) =1 2 ∞ X n=1 b0ne−(n2/b2)π2kt sen nπ by +∞ X m=1 ∞ X n=1 bmne−(m2/a2+n2/b2)π2kt cos mπ ax sen nπ by, (1.31) con los coecientes de Fourier b0n y bmn denidos anteriormente. A modo de ejemplo consideraremos el siguiente problema cuya resolución se llevo a cabo mediante el software Maple. Tomamos la función f(x, y) = y(π−y) , a=b=π y k= 1 . Una suma parcial de la solución (1.31) se representa en las Figuras 1.2 y 1.3 . Figura 1.2: Representación gráca de una suma parcial de la solución de la ecuación (1.31) del problema (1.24) en t=0. 20 CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN RN. b ) Por la denición de S(R) tenemos que dkf dxf∈S(R). Para establecer la fórmula (2.9) basta hacerlo para k= 1 y repetir la prueba. Pero, integrando por partes, c df dx(ξ) = Z∞ −∞ e−2πitξ df df (t)dt = (−2πiξ)Z∞ −∞ e−2πitξf(t)dt = (−2πiξ)b f(ξ), que es (2.9) con k= 1. c ) Por el Teorema de Fubini-Tonelli sobre inversión del orden de integración tenemos que h es integrable. En efecto, Z∞ −∞ |h(x)| ≤ Z∞ −∞ (Z∞ −∞ |f(t)||g(x−t)|dt)dx = =Z∞ −∞ |f(t)|(Z∞ −∞ |g(x−t)|dx)dt =Z∞ −∞ |f(t)|(Z∞ −∞ |g(u)|du)dt = = (Z∞ −∞ |f(t)|dt)(Z∞ −∞ |g(u)|du). Para obtener (2.11) efectuamos el cálculo directamente bh(ξ) = Z∞ −∞ e−2πitξh(t)dt =Z∞ −∞ e−2πitξ(Z∞ −∞ f(x)g(t−x)dx)dt = =Z∞ −∞ f(x)(Z∞ −∞ g(t−x)e−2πi(t−x)ξdt)e−2πixξdx =b f(ξ)bg(ξ), que es la identidad buscada. d ) Establecemos que si m≥0 y n≥0 son números enteros, se verica que |ξmdnb f dξn(ξ)|≤ C, que por los apartados a) y b) anteriores, es equivalente a ξmdnb f dξn(ξ) = ξm\ (−2πix)nf(x) = ξmZ∞ −∞ e−2πitξ(−2πit)nf(t)dt = =Z∞ −∞ e−2πitξ(−2πiξ)m(−2πi)n−m(tnf(t))dt =aZ∞ −∞ e−2πitξ dm dtm(tnf(t))dt, siendo a= (−2πi)n−m . Por denición, la función dm dtm(xnf(x)) ∈S(R) , por tanto (2.7) implica |bg(ξ)|< C como queríamos demostrar. Observación 2.4. La transformada de Fourier se extiende a RN por la fórmula b f(ξ) = ZRN e−2πiht,ξif(t)dt, (2.12) donde h,i es el producto escalar en RN . 2.1. NÚCLEO DE GAUSS. CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES. 21 Observación 2.5. La transformación de Fourier permite transformar un problema diferencial en un problema algebraico. Ejemplo 2.6. Ilustramos la transformacion (2.5) con un ejemplo. Se quiere resolver el problema 4u=f, en R2, (2.13) que se transforma en −4π2|ξ|2bu(ξ) = b f(ξ). (2.14) En efecto, d 4u=\ uxx +uyy =duxx +cuyy = (2πiξ)2bu(ξ) = −4π2|ξ|2bu(ξ) = b f(ξ). (2.15) Aplicando la condición (2.8) del teorema 2.3 en la tercera igualdad de (2.15), la igualdad (2.14) queda probada. Para que la estrategia expuesta culmine con éxito el cálculo de una solución (2.13), es necesario saber si es posible recuperar una función a partir de su transformada de fourier, es decir, necesitamos saber calcular la inversa de la transformada de Fourier. Denición 2.7. Sea b f transformada de Fourier de f∈S(R) , ˆ (f)ˇ(t) = ZRN e2πitξ ˆ f(ξ)dξ. Observación 2.8. Sean f, g ∈S(R) . Entonces R∞ −∞ b f(y)g(y) = R∞ −∞ f(y)bg(y) Observación 2.9. La demostración de la igualdad bg(ξ) = 1 √ae−π aξ2 siendo g(x) = e−aπ|x|2 que utilizamos en el siguiente resultado puede verse en Peral-Alonso (2014) con detalle. Teorema 2.10 (La tranformada inversa de Fourier) . Si f ∈S(R) , entonces ˆ (f)ˇ(t) = f. Demostración. Probemos que f(t) = Z∞ −∞ e2πitξ ˆ f(ξ)dξ. (2.16) Para  > 0 consideramos la gaussiana g(ξ) = e−π22ξ2, (2.17) 22 CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN RN. aplicando el resultando mencionado en la observación 2.8 resulta que Z∞ −∞ e2πitξ b f(ξ)g(ξ)dξ =Z∞ −∞ f(ξ)\ e2πitξg(ξ)dξ. (2.18) Llamando h(x) = e2πitsg(s) tenemos [ h(ξ) = Z∞ −∞ e−2πiξsh(s)ds =Z∞ −∞ e−2πiξse2πitsg(s)ds = =Z∞ −∞ g(s)e−2πis(ξ−t)ds =bg(ξ−t) = 1 e−π|ξ−t|2 2. Sustituyendo en (2.18) obtenemos Z∞ −∞ e2πitξ b f(ξ)e−π2ξ2dξ =Z∞ −∞ f(ξ)1 e−π|ξ−t|2 2dξ =: f(t). (2.19) Llamando φ(x) = e−πx2 se tiene que φ(x)>0 y RRφ(x)dx = 1. Para  > 0 denimos φ(x) = 1 φ(x ), (2.20) y haciendo un cambio de variable en la integral obtenemos R∞ −∞ φ(x)dx = 1. Por tanto, podemos escribir la última igualdad de (2.19) como f(t) = Z∞ −∞ f(ξ)φ(ξ−t)dξ. Demostramos que l´ım →0f(x) = f(x). En efecto, haciendo el cambio de variable ξ=y , |f(x)−f(x)| ≤ Z∞ −∞ φ(ξ)|f(ξ−x)−f(x)|dξ =Z∞ −∞ φ(y)|f(y −x)−f(x)|dy. Dado η > 0 , elegimos R > 0 tal que Z|y|>R φ(y)dy ≤η 2, entonces si M= supy∈R|f(y)| podemos escribir Z∞ −∞ φ(y)|f(ξy −x)−f(x)|dy ≤ZR −R φ(y)|f(ξy −x)−f(x)|dy+ +Z|y|≥R φ(y)|f(ξy −x)−f(x)|dy ⩽ ⩽ZR −R φ(y)|f(ξy −x)−f(x)|dy +Mη. 2.1. NÚCLEO DE GAUSS. CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES. 23 Pero la continuidad uniforme de f sobre compactos implica que dado η > 0 podemos elegir δ > 0 tal que si |y|< δ , se verica que |f(y)−f(x)| ≤ η para cualquiera que sea |x| ≤ R ; por tanto Z∞ −∞ φ(y)|f(ξy −x)−f(x)|dy ≤ηZR −R φ(y)|dy +Mη ≤η(1 + M), que es lo que queríamos demostrar. Para concluir la demostración, observamos que en el primer término de (2.19) podemos aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, obteniendo l´ım →0Z∞ −∞ b f(ξ)e2πitξe−2πξ2dξ =Z∞ −∞ e2πitξ b f(ξ)dξ. (2.21) Después de esta breve introducción, consideramos el problema de Cauchy homogéneo y lo resolveremos. Sea (ut−4u= 0, x ∈RN, t > 0 u(x, 0) = f(x), x ∈RN, f ∈S(RN) (2.22) el problema de Cauchy homogéneo considerado en RN . No imponemos condiciones de frontera porque, en realidad, no tenemos frontera. Sin embargo, para que tenga sentido calcular la tranformada de Fourier respecto de la variable espacial x de la función u , suponemos implícitamente que dicha función tiende a cero rápidamente cuando x→ ∞ o x→ −∞ . Recordemos que S es el espacio de funciones temperadas denido anteriormente, en el cual la transformada de Fourier se conserva bien. Si calculamos la transformación de Fourier en las variables espaciales de la ecuación en derivadas parciales y de su condición inicial (2.22), es decir, bu(ξ, t) = ZRN e−2πihx,ξiu(x, t)dx, tenemos, (but(ξ, t)+4π2|ξ|2bu(ξ, t) = 0, ξ ∈RN, t > 0, bu(ξ, t) = b f(ξ). La igualdad d 4u= 4π2|ξ|2bu(ξ, t) se obtiene en virtud de (2.14) . Si integramos la ecuación ordinaria en t y consideramos ξ como parámetro, obtenemos bu(ξ, t) = b f(ξ)e−4π2|ξ|2t. (2.23) 24 CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN RN. En efecto, sea y(t) = bu(ξ, t), con ξ jado, entonces tenemos la siguiente ecuación diferencial y0(t) = −4π2|ξ|2y(t). Si aplicamos separación de variables e integramos a ambos lados de la igualdad obtenemos y0(t) y(t)=−4π2|ξ|2⇒Zy0(t) y(t)dt =Z−4π2|ξ|2dt ⇒ln(y(t)) = −4π2|ξ|2t+k. Por último, aplicamos exponenciales a ambos lados y(t) = d f(ξ)e−4π2|ξ|2t, y tendremos probada la igualdad (2.23). Sólo nos resta calcular la transformada inversa de Fourier de esta función y así obtenemos la solución del problema original. Como se trata de una función gaussiana podemos calcular su transformada de Fourier, resultando otra gaussiana a la que llamamos núcleo de Gauss. Más precisamente ZR e2πihx,ξie−4π2|ξ|2tdξ =1 (4πt)N 2 e−|x|2 4t. Por tanto, a partir de (2.10) tenemos u(x, t) = 1 (4πt)N 2ZR e−|x−y|2 4tf(y)dy, (2.24) que al ser f∈S(R) , está bien denida. Denotamos K(x) = 1 (4π)N 2 e−|x|2 4, y denimos Kt(x) = 1 (t)N 2 K(x √t), es decir, Kt(x) = 1 (4πt)N 2 e−|x|2 4t. (2.25) En virtud de (2.25), podemos escribir (2.24) de la forma u(x, t) = 1 (4πt)N 2ZR e−|x−y|2 4tf(y)dy =ZRN Kt(x−y)f(y)dy. Además, se verica 2.1. NÚCLEO DE GAUSS. CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES. 25 a ) Kt(x)>0 , para todo x∈RN, b ) RRNKt(x)dx = 1, c ) l´ımt→0R|x|>δ>0Kt(x)dx = 0 . Para interés del lector, la comprobación de estas tres propiedades puede verse en Peral-Alonso (2014). A Kt(x) la llamamos solución fundamental de la ecuación del calor. El siguiente resultado justica esta denominación. Observamos también que si suponemos que f∈ C(RN) y está acotada, la fórmula (2.24) tiene sentido. Por eso formulamos el siguiente resultado en ese contexto. Teorema 2.11. Sea f∈ C(RN) tal que |f(x)|< M si x∈RN . Entonces, u(x, t) denida por (2.24) verica (1) u∈ C(RN×(0,∞)) , (2) ut−4u= 0 si x∈RN , t > 0 , (3) l´ım x→0u(x0, t) = f(x0) siendo la convergencia uniforme, (4) |u(x, t)| ≤ supx∈R|f(x)|,(x, t)∈RN×(0,∞) . Demostración. Para probar el apartado (1) tenemos en cuenta el hecho de que la función e−|x−y|2 4t es C∞ para todo x∈RN y t > 0 , más la posibilidad de derivar respecto al signo de la integral. Estas dos propiedades nos permiten concluir que u es C∞ para todo x∈RN y t > 0 que es lo que queríamos probar. Además, (∂t−4x)u(x, y, t) = 1 (4πt)N 2ZRN K(x, y, t)f(y)dy = =1 (4πt)N 2ZRN (∂t−4x)K(x, y, t)f(y)dy = 0, así que ut=4u para todo t > 0 . De esta manera el apartado (2) quedaría probado. En cuanto al apartado (3) para x0∈RN , escribimos |u(x0, t)−f(x0)|=|Z∞ −∞ Kt(x0−y)f(y)dy −f(x0)Z∞ −∞ Kt(x0−y)dy|= (2.26) =|Z∞ −∞ Kt(x0−y)(f(y)−f(x0))dy|. (2.27) 26 CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN RN. Por la continuidad de f , dado  > 0 existe δ > 0 tal que si |y−x0|< δ, |f(y)−f(x0)|<  ; entonces en (2.26 ) tenemos que |u(x0, t)−f(x0)| ≤ Z|x0−y|<δ Kt(x0−y)|f(y)−f(x0)|dy+ +Z|x0−y|>δ Kt(x0−y)|f(y)−f(x0)|dy =Z|x0−y|<δ Kt(x0−y)dy+ + 2 sup ξ∈RN|f(y)|Z|x0−y|>δ Kt(x0−y)dy ≤2, en virtud de las propiedades del núcleo K . La conclusión (4) se obtiene de la propiedad (2) para el núcleo de Gauss Kt . Ejemplo 2.12 (Ejemplo de Tychono) . Con este ejemplo ilustramos la no unicidad del Problema de Cauchy para la ecuación del calor. El problema (2.22) es característico, por lo que sin condiciones adicionales no cabe esperar unicidad. Consideremos el problema (ut−uxx = 0,(x, t)∈R×(0,∞) u(x, 0) = 0, (2.28) que tiene la solución cero. Para buscar soluciones de (2.28) usamos el problema no característico,        uxx =ut,(x, t)∈R2 u(0, t) = g(t), t ∈R ux(0, t)=0. (2.29) Elegimos g(t)=0 si t≤0 para conseguir u(x, 0) = 0 y buscamos u(x, t) = ∞ X j=0 gj(t)xj, (2.30) para que sea solución. Suponiendo regularidad suciente, podemos derivar término a término en (2.30) y sustituyendo en la ecuación obtenemos ∞ X j=0 g0 j(t)xj=∞ X j=2 j(j−1)gj(t)xj−2. (2.31) Para vericar las condiciones iniciales de (2.29) sustituimos en (2.30) dichas condiciones y tenemos u(0, t) = g0(t) = g(t), (2.32) ux(0, t) = g1(t) = 0. (2.33) 2.1. NÚCLEO DE GAUSS. CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES. 27 De (2.31) resulta que para j≥2 , g0 j(t)=(j+ 1)(j+ 2)gj+2(t), que junto a (2.32) y (2.33) obtenemos i) Si j= 2k+ 1 , gj= 0 . ii) Si j= 2k , g2k(t) = 1 (2k)! dkg dtk(t). Sustituyendo en (2.30) resulta u(x, t) = ∞ X k=0 x2k (2k)! dkg dtk(t). (2.34) Después de este cálculo formal pasamos a elegir g de forma que tengamos la convergencia necesaria para que (2.34) dena una solución clásica de la ecuación del calor. Para α > 1 tomamos la función g(t) =        e−t−αt > 0 0t≤0. De este modo, g∈ C∞(R) y dkg dtk(0) = 0 , con lo que se comprueba directamente que se verica el dato inicial u(x, 0) = 0 . Para estudiar la convergencia de la serie (2.34) estimamos el comportamiento de dkg dtk(t) como funciones de variable compleja. Para ello utilizamos la fórmula integral de Cauchy sobre el contorno Γ={z∈ C | |z−t|=θt}, con θ a determinar. Se dejan al interés del lector los detalles que se podrán ver en Peral-Alonso (2014). Como consecuencia, hemos calculado una solución no nula del problema (2.28), lo que implica que no se tiene unicidad. En la sección siguiente estudiaremos resultados de unicidad poniendo la restricción de que la solución esté en una clase de funciones adecuada. 28 CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN RN. 2.2. Principio del máximo en dominios acotados. Unicidad de solución En esta sección estableceremos el principio del máximo débil para el problema de Dirichlet. Como consecuencia, tendremos la prueba de unicidad para el problema        ut(x, t)−4u(x, t) = F(x, t)si (x, t)∈Ω×(0,∞) u(x, 0) = f(x), x ∈Ω u(x, t)=0, x ∈∂Ω, t > 0, donde Ω⊂RN es un dominio acotado con frontera regular ∂Ω , y sea 0< T < ∞ . Deniremos DT= Ω ×(0, T) y la frontera parabólica de DT (véase Figura 2.2), Γp≡(Ω ×{0})∪(∂Ω×[0, T]). Figura 2.2: Representación de la frontera parabólica de DT . Teorema 2.13. Supongamos u∈ C(¯ DT) y tanto ut como uxixj exiten y son continuas sobre (DT∪(Ω×T)) , i, j = 1,2, ..., N y ut−4u≤0 en DT= Ω ×(0, T). Entonces m´ax Γp = m´ax DT . Demostración. Si añadimos la hipótesis adicional ut−4u < 0 en Ω×(0, T), (2.35) 2.2. PRINCIPIO DEL MÁXIMO EN DOMINIOS ACOTADOS. UNICIDAD DE SOLUCIÓN 29 el resultado es inmediato. En efecto, si tenemos que el máximo se alcanza en un punto (x0, t0)∈DT0≡Ω×(0, T0), T0< T , ha de vericarse que ut(x0, t0)=0, por el criterio de máximo, y 4u(x0, t0)⩽0, con lo cual se contradice (2.35). En efecto, ut(x0, t0)=0⇒utt(x0, t0)≤0⇒ 4u⩽0⇒ −4u≥0. Por consiguiente, en la hipótesis (2.35) el máximo no se puede alcanzar en DT0 cualquiera que sea T0< T . Por otra parte, si el máximo se alcanza en (x0, T)∈Ω×{T} tenemos ut(x0, t0)≥0, 4u(x0, t0)⩽0, que contradice también (2.35). Por tanto, en la hipótesis (2.35), el máximo se alcanza en Γp . Quitamos ahora la hipótesis adicional. Para ello consideramos para cada  > 0 la función v(x, t) = u(x, t) + |x|2. La función v goza de la misma regularidad que u ya que u es regular y la función |x|2∈ C∞ . Además, la función v verica vt−4v=ut−4u−2N<0, de acuerdo con las hipótesis sobre u . Entonces, puesto que v verica la hipótesis (2.35), concluimos que m´ax Γp v= m´ax DT v. Pero entonces, m´ax DT u≤m´ax DT v= m´ax Γp v≤m´ax Γp u+m´ax Ω|x|2. Como es para  > 0 arbitrario, tenemos m´ax DT u≤m´ax Γp u. Por otra parte, m´ax Γp u≤m´ax DT u, ya que Tp⊂DT . Por tanto el resultado quedaría probado. 36 CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN RN. Teorema 2.22. Sea f(x) la función continua y acotada en RN y sean F(x, t) y ∂F (x,t) ∂xi , i= 1, ..., N funciones continuas y acotadas en RN×(0, T) , para algún T > 0 . Entonces la función u(x, t) denida para (x, t)∈RN×[0, T) por u(x, t) = ZRN Kt(x−y)f(y)dy +Zt 0ZRN Kt−s(x−y)F(y, s)dyds, verica 1. u∈ C(RN×[0, T)) , 2. ∂u ∂t ∈ C(RN×[0, T )) , ∂u ∂xi∂xj∈ C(RN×[0, T)) , i, j = 1, ..., N , 3. u es la única solución acotada del problema (2.40). Demostración. Denotamos u1(x, t) = ZRN Kt(x−y)f(y)dy y u2(x, t) = Zt 0ZRN Kt−s(x−y)F(y, s)dyds. (2.49) Por el teorema 2.11 la función u1 verica (1) y (2). Como consecuencia de (1) resulta que u1(x, 0) = f(x) , y por tanto u1 es solución del problema homogéneo, (ut−∆u= 0, x ∈RN, t > 0, u(x, 0) = f(x), x ∈RN. Basta entonces con demostrar que u2 verica (1), (2) y es solución del problema (ut−∆u=F(x, t), x ∈RN, t > 0, u(x, 0) = 0, x ∈RN. Haciendo el cambio de variable x−y √t−s=z en la integral (2.49), obtenemos u2(x, t) = Zt 0ZRN Kt−s(x−y)F(y, s)dyds = =Zt 0ZRN 1 (4π(t−s))N 2 e−1 4|x−y| √t−s2 F(y, s)dyds = =Zt 0ZRN 1 (4π(t−s))N 2 e−|z|2 4F(x−z√t−s, s)(t−s)N 2dzds = =Zt 0ZRN K1(z)F(x−z√t−s, s)dzds. 2.3. PROBLEMA NO HOMOGÉNEO. 37 El integrando, h(x, z, t, s) = K1(z)F(x−z√t−s, s) , es continuo en x, z ∈RN y 0< s < t vericando además que ∇xh(x, z, t, s) es continuo y que |h(x, z, t, s)|=|K1(z)F(x−z√t−s, s)|⩽1 (4π)N 2 e−|z|2 4sup (y,τ)∈RN×[0,T )|F(y, τ)|, siendo también |∇xh(x, z, t, s)|=K1(z)|∇xF(x−z√t−s, s)|⩽K1(z) sup (y,τ)∈RN×[0,T )|∇xF(y, s)|, (2.50) donde hemos sustituido el valor de K1(z) . Es decir, tanto h como su gradiente respecto a x están mayorados por funciones integrables. Por consiguiente, si aplicamos (2.43) a la función g(x, t, s) = ZRN K1(z)F(x−z√t−s, s)dz, resultará que es continua y acotada en RN×[0, T) , más concretamente, |g(x, t, s)|⩽sup RN×[0,T)|F(y, s)|ZRN K1(z)dz. Si denotamos por M= supRN×[0,T)|F(y, s)| obtenemos |g(x, t, s)|⩽M. Además por continuidad de F , para s→t , resulta g(x, t, t) = F(x, t) . Por consiguiente, tenemos 1. u2∈ C(RN×(0,∞)) , 2. u2(x, 0) = 0 , 3. La función u2 es acotada, siendo sup (x,t)∈RN×[0,T)|u2(x, y)| ≤ MT. Aplicamos ahora la segunda parte del lema 2.43 y tenemos que la función u2 tiene derivadas primeras continuas vericando ∂u2 ∂xi (x, t) = 1 (4π)N 2Zt 0ZRN e−|z|2 4∂F ∂xi (x−z√t−s, s)dzds. Integrando por partes resulta ∂u2 ∂xi (x, t) = 1 (4π)N 2Zt 0 1 √t−sZRN e−|z|2 4zi 2F(x−z√t−s, s)dzds. (2.51) 38 CAPÍTULO 2. LA ECUACIÓN DEL CALOR EN RN. Por (2.50) podemos aplicar el lema 2.43 a (2.51) y obtenemos que u2 tiene derivadas segundas respecto a x continuas en RN×(0, T) y en particular se tiene ∆u2(x, t) = 1 (4π)N 2Zt 0 N X i=1 1 √t−sZRN e−|z|2 4zi 2 ∂F ∂xi (x−z√t−s, s)dzds. (2.52) Por otra parte, para calcular la derivada con respecto al tiempo t escribimos u2(x,t+k)−u2(x, t) k=1 kZt+k 0 g(x, t +k, s)ds −1 kZt 0 g(x, t, s)ds = =1 kZt+k t g(x, t +k, s)ds +Zt 0 g(x, t +k, s)−g(x, t, s) kds ≡I1(k) + I2(k). Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos, l´ım k→0I1(k) = l´ım k→0 1 kZt+k t g(x, t +k, s)ds = (2.53) = l´ım k→0g(x, t +k, t +k) + Zt+k t ∂ ∂kg(x, t +k, s)ds =F(x, t). (2.54) Puesto que F tiene derivadas parciales respecto a x , por el lema 2.43 la función g(x, t, s) tiene derivada respecto a t ; además gt(x, t, s) = 1 (4π)N 2 1 √t−s N X i=1 ZRN e−|z|2 4zi 2 ∂F ∂xi (x−z√t−s, s)dzds y, por tanto, por (2.50) concluimos que l´ım k→0I2(k) = 1 (4π)N 2Zt 0 1 √t−s N X i=1 ZRN e−|z|2 4zi 2 ∂F ∂xi (x−z√t−s, s)dzds. (2.55) En virtud de las igualdades (2.52), (2.53) y (2.55), concluimos que u2 verica la ecuación del calor no homogénea, es decir, ∂u2 ∂t = ∆u2+F, como queríamos probar. Capítulo 3 Conclusiones En el caso unidimensional será posible calcular una solución del problema de valores iniciales y de frontera considerando una función que sea acotada sobre un intervalo nito de R . Por otra parte, asumiento que el comportamiento en la variable espacial es periódico, la búsqueda de soluciones al problema lineal permite la implementación del análisis de Fourier para el problema con condiciones de Cauchy. Sin embargo, cuando no se supone la periodicidad de la variable espacial es necesario recurrir al análisis de Fourier no periódico. Por otra parte, el núcleo de Gauss permite demostrar propiedades de regularidad para las diferentes soluciones encontradas pasando asi a jugar un papel muy importante en la denición de las soluciones de la ecuación. Por último, el problema de Cauchy en RN podrá tener más de una solución. Para la demostración de la unicidad de las soluciones encontradas necesitaremos una versión del principio del máximo para problemas parabólicos donde restringiendo el problema de Cauchy a dominios acotados se tendrá la unicidad buscada. 39 40 CAPÍTULO 3. CONCLUSIONES Bibliografía [1] Apostol, T.M. (1976). Análisis Matemático (2 a edición). Ed. Reverte. [2] Cañada-Villar, A. (2002). Series de Fourier y Aplicaciones. Un tratado elemental con notas históricas y ejercicios resueltos . Ed. Pirámide. [3] Ibarra, M.d.C. (2014). La ecuación del calor de fourier: Resolución mediante métodos de análisis en variable real y en variable compleja. II Jornadas de Investigación en Ingenieria del NEA y Países Limítrofes. [4] John, F. (1981). Partial Diferential Equations (4 a edición). Ed. Springer Verlag. [5] Mijailov, V.P. (1978). Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales . Ed. MIR. [6] Mizohata S. (1973). The Theory of Partial Dierential Equations . Ed. Cambridge University Press. 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