Achegamento á linguaxe matemática a través da poesía galega. Proposta didáctica para as aulas de secundaria.

Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obrigatoria, Bacharelato, Formación Profesional e Ensinanza de Linguas Traballo Fin de Máster Achegamento á linguaxe matemática a través da poesía galega. Proposta didáctica para as aulas de secundaria. Acercamiento al lenguaje matemático a través de la poesía gallega. Propuesta didáctica para las aulas de secundaria. Approach to mathematical language though Galician poetry. Didactic poposal for secondary school. Autora: María López Morado Supervisora: Aixa Permuy Martínez Curso académico 2020-2021 2 Resumo O obxectivo deste traballo é explorar, mediante a revisión bibliográfica, o potencial do uso da poesía na aula de matemáticas. Apoiándose nos beneficios da educación emocional e máis analizando uso histórico e cultural da propia poesía tratará de argumentarse a conveniencia da interdisciplinariedade na materia . Así, formúlase en segundo lugar, unha proposta didáctica para as aulas de matemáticas do Ensino Secundario baseada na poesía galega. Atendendo á pregunta de investigación “existen bases teóricas para xustificar unha proposta didáctica interdisciplinaria, -matemáticas/poesía-, no Ensino Secundario Obrigatorio, concretamente no contexto galego?” a conclusión foi afirmativa, en parte: existen evidencias que propoñen vantaxes do uso didáctico da mesma mais non se atopa unha experiencia deste tipo trasladada ao noso contexto. Neste senso, proponse o deseño dunha proposta didáctica desta natureza, interdisciplinaria e xeneralista, para as distintas etapas do Ensino Secundario Obrigatorio nas que se imparten matemáticas, empregando como recurso a poesía galega de orixe popular e de diversas autoras; elaborando, ademais, materiais didácticos adaptados aos contidos curriculares das matemáticas e a diversos contidos transversais como a interculturalidade , a diversidade e a educación ambiental. Palabras Clave Matemáticas, poesía, motivación, creatividade, ensino secundario. Resumen El objetivo de este trabajo es explorar, mediante la revisión bibliográfica, el potencial del uso de la poesía en el aula de matemáticas. Apoyándose en los beneficios de la educación emocional y analizando el uso histórico y cultural de la propia poesía tratará de argumentarse la conveniencia de la interdisciplinaridad de la materia. Así, se planteará en segundo lugar, una propuesta didáctica para las aulas de matemáticas de Educación Secundaria basada en la poesía gallega. Atendiendo a la pregunta de investigación “¿existen bases teóricas para justificar una propuesta didáctica interdisciplinar, –matemáticas/poesía-, en Educación Secundaria Obligatoria, concretamente en el contexto gallego?” la conclusión fue afirmativa, en parte: existen evidencias que proponen ventajas del uso didáctico de la misma pero no se encuentra una experiencia de este tipo trasladada a nuestro contexto. En este sentido, se propone el diseño de una propuesta didáctica de esta naturaleza, interdisciplinar y generalista, para las distintas etapas de Educación Secundaria Obligatoria en las que se imparten matemáticas, utilizando como recurso la poesía gallega de origen popular y de diversas 3 autoras; elaborado, además, materiales didácticos adaptados a los contenidos curriculares de matemáticas y a diversos contenidos transversales como la interculturalidad, la diversidad y la educación ambiental. Palabras Clave Matemáticas, poesía, motivación, creatividad, enseñanza secundaria. Abstract This work aims to explore, through literature search, the potential of using poetry in mathematics classrooms. Relying on emotional education benefits and analysing the historical and cultural use of poetry, the convenience of the interdisciplinary in the subject will be evaluated. Secondly, a didactic proposal for the Mathematics classes of Secondary Education based on Galician poetry will be planned. Regarding the research question “Does there exist theorical bases to justify an interdisciplinary didactic proposal, – mathematics/poetry-, in the Compulsory Secondary Education specifically on Galician context?” the conclusion was affirmative, partly: there is evidence that offers advantages for poetry’s didactic use, but there is no sort of experience transferred to Galician context. Therefore, didactic proposal design is suggested, an interdisciplinary and generalist didactic proposal for the different stages of Compulsory Secondary Education in which mathematics are imparted; elaborating, in addition, didactic material adapted to mathematics curricular contents and diverse transversal contents such as interculturality, diversity and environmental education. Key words Mathematics, poetry, motivation, creativity, secondary education. 4 Índice 1. Introdución ........................................................................................................... 6 2. Fundamentación Teórica ...................................................................................... 9 2.1. A Educación Emocional na Docencia das Matemáticas: Motivación e Creatividade 9 2.1.1. Concepto de Educación Emocional ........................................................... 9 2.1.2. A Relación entre a Educación Emocional e as Matemáticas ................... 10 2.1.3. O Papel da Motivación e da Creatividade na Docencia das Matemáticas 12 2.2. Percorrido Histórico-Cultural: Uso da Poesía na Docencia das Matemáticas 14 2.2.1. O Caso Grego: Problemas en Verso ........................................................ 15 2.2.2. O Caso Indio: Lilavalti de Bashkaracarya ............................................... 16 2.2.3. O Caso Bereber: Ibn Al-Yasamín ............................................................ 16 2.2.4. O Caso Nepalí: Chandrakala Devi Dhananjaya....................................... 17 2.2.5. O Caso Francés: OuLiPo ......................................................................... 17 2.2.6. O Caso Galego? ....................................................................................... 17 2.3. A Interdisciplinariedade na Docencia das Matemáticas ............................. 21 2.3.1. Rachando coa División de Letras vs. Ciencias ........................................ 21 2.3.2. As Etnomatemáticas ................................................................................ 22 2.3.3. Vantaxes do Uso da Poesía nunha Aula de Matemáticas ........................ 24 3. Deseño dunha Proposta Educativa ..................................................................... 27 3.1. Presentación e Xustificación ....................................................................... 27 3.2. Obxectivos .................................................................................................. 27 3.3. Contidos ...................................................................................................... 28 3.4. Competencias Básicas ................................................................................. 31 3.5. Metodoloxía, Actividades e Algunhas Propostas de Materiais................... 32 3.6. Avaliación ................................................................................................... 37 5 3.6.1. Avaliación das Actividades ..................................................................... 37 3.6.2. Avaliación da Proposta ............................................................................ 38 4. Conclusións ........................................................................................................ 39 5. Referencias ......................................................................................................... 41 6. Anexos ................................................................................................................ 45 ANEXO I -Extracto do Decreto 86/2015 ................................................................. 46 ANEXO II – Proposta de Materiais Didácticos para a Aula de Matemáticas .......... 49 ANEXO III – Gráfica Emocional (Gómez-Chacón, 2003) ...................................... 56 6 1. Introdución O presente traballo pretende facer unha proposta para o uso da poesía como ferramenta na aula de matemáticas. A linguaxe matemática, como a poética, é simbólica, mais, mentres a primeira adoita promulgar verdades aceptadas como absolutas, únicas, universais e incuestionables, a segunda propón interpretacións múltiples, diversas e persoais, favorecendo o pensamento creativo e crítico. A exactitude da matemática consiste nunha simplificación da realidade que a miúdo resulta demasiado abstracta para o alumnado. Porén, a poesía permitiría abrir novas portas de acceso ao coñecemento matemático mediante a metáfora, amosando a realidade como transformable, inexacta e diversa, o que representa unha perspectiva máis próxima ao contexto vital e experiencial do alumnado fóra da aula. A poesía crea a posibilidade de que o todo sexa maior á suma das partes. A poesía crea a dubida que posibilita a ciencia, como senón dubidaría Galileo de que a terra fose cha? A poesía, mediante a metáfora, descubriu antes que Einstein que o tempo non era absoluto senón relativo. Podendo parecer linguaxes tan afastadas e diferentes, matemática e poética comparten trazos: a harmonía e o xogo, dependen da creatividade e da imaxinación para xurdir, buscan a beleza e son declaradas como “linguaxes universais”. Así, integrar múltiples linguaxes pode supoñer unha democratización do coñecemento matemático para facelo máis accesible, creando novos horizontes de transformación dos espazos e procesos de aprendizaxe. Ao longo da historia, a poesía foi non só un medio para transmitir de xeito oral e escrito, na lingua propia, a identidade cultural, senón que tamén ten actuado como ferramenta para a transmisión de contidos didácticos contextualizados a cada realidade. Neste senso, a realidade galega non é igual á sueca, nin á guaraní, nin á wolof ; polo que o contido contextualizado permite a aprendizaxe significativa, o recoñecemento da cultura propia e máis a posta en valor da interculturalidade. Malia que, nas máis das ocasións, a matemática se presenta como “universalizadora”, a realidade contextualizada é ben distinta. Sirvan como exemplo as medidas agrarias de superficie, variables entre as distintas culturas e incluso entre distintas unidades de convivencia ou zonas, medindo a área en función da produtividade da terra: o ferrado galego é unha medida de gran que representa a área produtiva. A partir desta idea tratará de evidenciarse a potencialidade do uso da poesía galega nas aulas de matemáticas de secundaria de Galicia. 7 A motivación para o desenvolvemento deste traballo veu dada pola experiencia no prácticum dende a óptica de docente e máis pola propia experiencia vital dende a perspectiva de alumna ou aprendiz continua. A experiencia durante o prácticum permitiume comprender que cando o alumnado carece de motivación na disciplina das matemáticas non sempre é producente aludir ao utilitarismo, case mercantil, da disciplina matemática. Decateime de que, de feito case xeneralizado nos distintos grupo-clase que puiden observar, ao impartir contidos de xeometría, onde a parte artística cobraba máis de protagonismo, o alumnado presentaba unha actitude moito máis positiva-receptiva cara a materia. E pese a que os resultados eran semellantes aos obtidos noutros contidos máis abstractos, a súa actitude na aula era diametralmente oposta: expresábanse máis e en distintos termos, achegaban exemplos do seu contexto e, en definitiva, parecían gozar da experiencia da aprendizaxe con máis intensidade. Nese momento, pensei de que maneira me gustaría que o futuro alumnado se relacionase con esta disciplina. Como podería converter a aula de matemáticas nun espazo de goce? Como podería facer o coñecemento máis accesible? Que tipo de acompañamento pedagóxico querería darlle ao alumnado? Evidentemente son cuestións de difícil resposta e a resolución mesma do problema estaría nesgada pola miña situación particular, pola miña perspectiva e circunstancias propias. O interesante sería, como futura educadora, construír , como di Meireiu (1998) “un espazo de seguridade como marco posible para as aprendizaxes” , mais... de que maneira? Lembrei que cando era nena a miña nai cada día líame pequenas pílulas de curiosidade do libro “Adivina, adivinanza...” (Sanleón, 1987). Fascinábanme as adiviñanzas, dotadas de rima e beleza e, en particular, encantábanme as do final do libro, dedicadas ás matemáticas. Mais co tempo, e coa chegada á escola, as adiviñanzas mudaron conceptualmente a “problemas”, do xogo pasouse á obriga, da beleza á monotonía, da creatividade ao método, do dinámico ao estático e, en definitiva, da poesía ás “matemáticas”. A resolución dunha adiviñanza faise polo puro pracer da experiencia e, como efecto secundario, mediante o propio descubrimento apréndese a multiplicar. Esta introdución á multiplicación contrasta co habitual método memorístico e aséptico de aprendizaxe das táboas de multiplicar, carente de beleza e de goce. Así, parece que as oportunidades do uso da poesía como recurso didáctico e como medio de expresión na aula de matemáticas son múltiples, e con este traballo búscase explorar esta posibilidade. Para a elaboración deste documento diferenciáronse dúas partes: a primeira, que consiste nunha revisión bibliográfica para a construción do marco teórico e, a segunda, que se 8 concreta no deseño dunha proposta educativa, aliñada con esta intención de incorporar a linguaxe poética ao ensino das matemáticas na Educación Secundaria. De forma xeral, na primeira parte do texto preséntanse as conexións entre estas disciplinas, buscando evidencias que acrediten (ou non) as posibilidades didácticas da poesía. As revisións bibliográficas sistemáticas foron particularmente útiles para integrar informacións dos diversos estudos existentes realizados de xeito separado para determinado tema e que poden presentar resultados opostos e/ou coincidentes, xa que axudan a identificar temas que precisan da evidencia, orientando a investigacións futuras (Sampaio & Mancini, 2007). Neste primeiro grande apartado do traballo a pregunta de investigación xeral foi: “existen bases teóricas para xustificar unha proposta didáctica interdisciplinaria, - matemáticas/poesía-, no Ensino Secundario Obrigatorio, concretamente no contexto galego?”. Para responder a esta pregunta fíxose unha busca por termos en diversas bases de datos e outras fontes de información: SciELO, Dialnet, Repositorio da USC, Repositorio da UDC, Google Académico, ResearchGate, Scopus, WorldWideScience, entre outras. A principal conclusión e resposta á pregunta de investigación tras esta busca foi que si existen evidencias e que, ademais, constitúen un método de achegamento ao coñecemento e por tanto de atención á diversidade. Mais, tamén se chegou á conclusión de que non existe (ou non foi atopada) unha experiencia deste tipo trasladada ao contexto galego. A partir desta reflexión, para a segunda parte do traballo, deseñouse unha proposta educativa interdisciplinaria e xeralista para as distintas etapas da educación secundaria obrigatoria en que se imparten as matemáticas, empregando a poesía galega como recurso e ferramenta. Así, o documento estrutúrase a partir dun primeiro punto que recolle a fundamentación teórica, e na que se aborda a educación emocional na docencia das matemáticas, tratando o papel da motivación e a creatividade, seguida por un percorrido histórico-cultural do uso da poesía na didáctica das matemáticas, para rematar describindo a interdisciplinariedade entre estas dúas areas, introducindo o concepto de etnomatemáticas e facendo alusión ás vantaxes do uso da poesía. No segundo punto preséntase o deseño dunha proposta educativa, onde se especifican os obxectivos, contidos, competencias e avaliación, ademais de facer unha proposta metodolóxica e de actividades. E, para finalizar, recóllese un apartado de conclusións e valoración crítica, seguido das necesarias referencias empregadas e dos anexos. 9 2. Fundamentación Teórica A poesía pode converterse nun medio excelente para explorar a abstracción dos conceptos matemáticos achegándoos ao alumnado, contextualizándoos na súa realidade e permitíndolles xogar con eles, aplicalos, facelos seus, comprendelos e compartilos ao mesmo tempo que lles permiten expresarse no seu contexto cultural e persoal. A continuación explórase, en distintos termos, a posible conveniencia do uso da poesía na aula de matemáticas, desde a educación emocional, pasando polo uso histórico cultural da mesma e ata a análise da interdisciplinariedade na docencia das matemáticas. 2.1.A Educación Emocional na Docencia das Matemáticas: Motivación e Creatividade 2.1.1. Concepto de Educación Emocional Seguindo a Bisquerra (2011) podería definirse a educación emocional nos seguintes termos: proceso educativo continuo e permanente que busca potenciar o desenvolvemento emocional como complemento indispensable do desenvolvemento cognitivo, construíndo ámbolos dous (o desenvolvemento emocional e máis o cognitivo) elementos esenciais do desenvolvemento da personalidade integral; e sendo a súa finalidade aumentar o benestar persoal e social. Deste xeito, a educación emocional capacitaría á persoa para afrontar a súa vida diaria permitindo o desenvolvemento de coñecementos e destrezas en relación cos afectos: na linguaxe das emocións hai cabida para toda identidade, máis aló do puro coñecemento asociado á disciplina, xurde na experiencia o autodescubrimento e o descubrimento das demais persoas, polo que, a proposta da educación emocional será á súa vez unha proposta para o autocoñecemento, a diversidade e a accesibilidade. A cuestión é, está realmente integrada a educación do emocional na práctica na educación secundaria? Ou pola contra a docencia está centrada na transmisión de coñecementos? A toma de conciencia das emocións observándoas, identificándoas e nomeándoas é unha destreza emocional fundamental que fomenta outras habilidades como o autocontrol e a autorregulación emocional (Gómez-Chacón, 2003), porén, a competencia emocional non se inclúe sequera entre as competencias clave do currículo definidas no sistema educativo español (Orde do 21 de xaneiro, pola que se describen as relacións entre as competencias, os contidos e os criterios de avaliación da educación primaria, a educación secundaria obrigatoria e o bacharelato.). 16 un exemplo do que hoxe se considera interdisciplinariedade e constituían enunciados a problemas sinxelos como o do seguinte exemplo (Requena Fraile, 2006): “Dinos reloxo sen igual, que parte do día fuxiu xa, se o que queda é dúas veces dous terzos do que xa pasou” En moitos deles pódese apreciar non só a mitoloxía propia da época e a propia cultura grega, senón tamén o tipo de moedas que empregaban (a estatera, a dracma e a mina), o que comían, as súas inquedanzas e, incluso, o tipo de relacións sociais que se establecían naquela sociedade. Alén da transmisión do coñecemento, e da emoción, a poesía partilla moita máis información contextualizada. 2.2.2. O Caso Indio: Lilavalti de Bashkaracarya A tradición da poesía con fins didácticos na India remóntase a séculos atrás. Esta foi a primeira en empregar a notación decimal e o número cero. Mais é o mestre Bashkaracarya, no século XII, quen compón a obra titulada “Lilavalti” (que significa muller bela). Nesta, mediante o diálogo en verso, un mestre ensina a unha rapaza a iniciarse nas matemáticas. Un exemplo de problema en verso desta obra é o seguinte (Requena Fraile, 2014): “Oh intelixente rapaza! Un avaro dou a un mendigo: a metade dos dous terzos dos tres cuartos do quinto do dezaseisavo da cuarta parte dun dramma. Se a miña querida nena calcula con fraccións, adiviñará canta foi a xenerosidade do miserable” A través do texto pode apreciarse o sistema de castas da India e máis o sistema monetario da época. 2.2.3. O Caso Bereber: Ibn Al-Yasamín Ibn Al-Yasamín, matemático bereber, escribiu un texto didáctico en forma de poema para a difusión e resumo de contidos para ensinanza das matemáticas no Occidente Islámico do século XII. A este denominóuselle “Poema da álxebra” e supuxo unha axuda á memorización dos contidos para ensinantes e aprendices nos espazos de ensino-aprendizaxe da Idade Media; empregábanse expresións sinxelas e accesibles (Mellak & Allaoua, 2017). A través da tradución do mesmo (Requena Fraile, 2014) poden percibirse distintos elementos da cultura islámica, integrando no saber matemático disintas cuestións relixiosas e de organización da familia. 17 2.2.4. O Caso Nepalí: Chandrakala Devi Dhananjaya Chandrakala Devi Dhananjaya, escritora e mestra no Nepal, escribiu e publicou en 1933, coa axuda do seu marido, o libro “Shishubodha Tarangini”. Neste presentou diversos problemas matemáticos coa súa solución, todos eles en verso e no seu idioma, o nepalí, tratando de facer máis accesible o coñecemento ao seu pobo, quen, xeralmente, só tiña acceso aos escritos en sánscrito. Chandrakala Devi tratou de conectar o uso das matemáticas coa vida cotiá e escribiu cun claro obxectivo didáctico, ordenando os problemas do máis simple ao máis complexo, explorando non só o desenvolvemento creativo senón tamén o pensamento crítico nun contexto real, e no que se poden observar os distintos tipos de medidas da época (Singh Raikhola & et al., 2020). Foi escrito nun momento histórico no que o réxime de Nepal non só non apoiaba a educación pública senón que ademais se opoñía aos dereitos das mulleres. O contido dos problemas foi desde as divisións simples, ata a regra de tres, a operativa con fraccións e mesmo á resolución de identidades notables. Empregou moi diversos estilos de rima. Amosaba nos mesmos aspectos relixiosos, do contexto de xénero da época e a división do traballo ou do sistema político, entre outros moitos aspectos socioculturais que perviven dentro destes versos (Basyal, 2020) 2.2.5. O Caso Francés: OuLiPo Nos anos 60, en Francia, xurdiu un movemento artístico que empregaba as matemáticas como norma formal para a creación de poesía no contexto da experimentación literaria. Este movemento foi chamado OuLiPo, que son as siglas de Ouvroir de Littérature Potentielle (Obradoiro de Literatura Potencial), e continúa a existir hoxe en día. Está formado por escritores e matemáticos, a meirande parte deles franceses, que producen poesía empregando técnicas, algoritmos ou procedementos matemáticos. Un exemplo dos seus traballos é o lipograma, que consiste en escribir un poema prescindindo dunha letra. Este tipo de poesía sería considerada, segundo a clasificación feita neste traballo, do tipo “poesía matemática”, é dicir, poemas de estrutura matemática. 2.2.6. O Caso Galego? Nun primeiro momento, nas pescudas realizadas non se atopou evidencia de que existisen matemáticas en verso con obxectivo didáctico en Galicia, mais, de existiren, podería ser que se tivesen perdido na oralidade, ao non teren sido trasladados á escrita. Esta última 18 hipótese non sería estraña dado que o acceso da sociedade galega á cultura escrita foi tardía e, en moitos casos, nunha lingua distinta á materna (de Gabriel, 2009). No 1860 só o 23% da poboación galega estaba alfabetizada, presentando, ademais un nesgo moi grande en canto ao xénero (a poboación masculina alfabetizada era o 45% mentres que a feminina era o 6%). No 1900 esta porcentaxe seguía sen chegar ao 40% de alfabetización (Martínez Domínguez, 2003). Mais, na obra “Adiviña esta adiviña” (2021) escrita polo mestre e escritor Antón Cortizas, atopáronse múltiples adiviñas en verso, moitas delas de orixe popular, con claro obxectivo didáctico na área das matemáticas; o que amosa que efectivamente, si existiu transmisión oral en verso na cultura galega. A continuación farase un percorrido arredor deste achado e máis das diversas manifestacións poéticas que entrelazaron, de distintos xeitos, os coñecementos matemáticos coa poesía e a música ao longo da historia de Galicia. As matemáticas nas adiviñas en verso de orixe popular Neste libro de recente publicación “Adiviña esta adiviñanza” (2021) de Antón Cortizas Amado (1954 - ) recóllense múltiples adiviñas con cadansúas solucións. Así, aparecen adiviñas en verso de orixe popular, recollidas por el ou por outras autoras que cita ao longo do texto, mais tamén figuran adiviñas elaboradas por el mesmo ou polo seu alumnado. Cito a continuación algunhas das adiviñas de orixe popular relativas ás matemáticas, recollidas no Capítulo 4 baixo o título “Calculo que estas farán botar unhas cantas contas, se é que non calculei mal” (Cortizas Amado, 2021): “Catro pans e catro cans, pan e medio e medio pan; canto toca a cada can?” “Catro gatos no tellado, Cada gato mira a tres, Cantos gatos veñen ser?” “Unha vaca de diante de dúas, Dúas de diante de unha, Unha no medio de dúas, Cantas vacas veñen ser?” No conxunto de adiviñas de orixe popular seleccionadas polo autor pode observarse o carácter eminentemente rural da sociedade galega; os temas tratados son case sempre os animais da casa (cans, gatos, vacas, pombas, moscas, gabiáns, ovellas, galiñas, porcos e lobos), a alimentación (pan, queixo, touciño, peras e verzas), oficios (cazador e pegureiro, ambos en masculino) e as árbores (a pereira, o carballo) . Noméase tamén a vara, unha antiga medida de lonxitude que o propio autor sinala, equivalente a uns 85 centímetros aproximadamente. 19 Os caligramas: poesía xeométrica ou visual Os caligramas, tamén chamados poemas visuais, poderían representar formas xeométricas que buscan, non só a interconexión entre poesía e matemáticas, senón tamén o equilibrio entre o contido e a forma, entre a estrutura e a idea, tratando así de acadar unha especie de beleza. En Galicia hai escritoras que, aínda que non moi numerosos na súa obra, si construíron algún caligrama; por exemplo, Manoel Antonio (1900-1929), Uxío Novoneyra (1930-1999) ou Emma Pedreira (1978- ). Manoel Antonio escribe un único caligrama, titulado “Excelsior” do conxunto “Foulas” (Manoel Antonio, 2001). Nel representa a rosa dos ventos cos puntos cardinais e máis a frase “EU SON” en distintas linguas. O contido non é estritamente matemático, máis a representación visual do poema pode considerarse poesía matemática por seguir unha estrutura xeométrica radial e simétrica. Uxío Novoneyra fai múltiples caligramas, porén, non se coñece ningún con contido estritamente matemático nin que posúa formas xeométricas claras, máis aló da representación caligráfica. Emma Pedreira é unha poeta e feminista, considerada da xeración dos 90, que entre a súa obra compuxo dous caligramas; un deles coa forma dunha máquina de escribir e outro deles coa silueta de Rosalía de Castro. Existen, ademais, múltiples caligramas creados pola mocidade galega no espazo da escola, dispoñibles na Internet, o cal amosa o interese do alumnado por este tipo de construción poética que mestura a arte visual e, en definitiva, a xeometría coa poesía. Os poetas de vangarda: Manoel Antonio e Otero Espasandín Coas vangardas xorden novos xeitos de expresarse, rompedores e interdisciplinares, nos que se exploran temas e formas diversos. Tanto Manoel Antonio, xa citado, como Xosé Rogelio Otero Espasandín (1900-1987) séntense atraídos polos avances científicos no contexto intercultural europeo. En relación coas matemáticas, Manoel Antonio, na exploración dunha visión do mundo distinta, e considerando o fluír do tempo, amosa a súa admiración pola teoría da relatividade. A súa correspondencia amosa este interese pero, ademais, convértese nun dos poucos exemplos da recepción poética da mesma, deixando escrito un poema autógrafo 20 datado en 1925, aproximadamente. A continuación preséntase un fragmento do mesmo (Buján Otero, 2017): “Os astrónomos disparan telescopio Contra unhas órbitas descatalogadas n-os Tratados d’a Relatividade. N-o reverso d’os ollos d’o arquiteuto intalou-se o broadcasting humorita d’as ciudades escamoteadas que non teorizou Einstein” Pola súa parte, Otero Espasandín foi, ademáis de poeta, mestre de matemáticas. De aí que, algúns dos seus poemas se inspiren nas matemáticas (Díaz-Fierros Viqueira, 2018): - no adicado a Emilio Monteiro (El pueblo gallego, 21 de Agosto de 1927) emprega distintas metáforas matemáticas como “algoritmia das estrelas”, “ o problema derradeiro” e máis “Ecuación irresoluble en números enteiros”. - no adicado a López Cuevillas (Nós, 15 de Outono de 1927) emprega non só metáforas senón tamén simboloxía matemática: “Solución, -x = %”, “determiñado o problema”. María Mariño María Mariño (1907-1967) foi unha poeta galega á cal se lle adicou o día das Letras Galegas no ano 2007. Dentro da obra publicada en 1990 “A verba que comeza” (Sanjurjo Fernández, 1994) posúe un poema titulado “A suma total”, no que emprega múltiples metáforas matemáticas. Este poema foi, ademais, musicalizado por Manoele de Felisa no álbum “de Felisa a María Mariño” nese ano no que se lle adicaron as letras (2007). Algunhas das súas metáforas son as seguintes: - a “suma total” como o conxunto de todo o que lle acontece - a resta como “resta da esperanza que diferencia quedou” - “multiplicada xa nacín, pra que dividirme agora?” Estíbaliz Espinosa Estíbaliz Espinosa Río (1974- ) é quizais a poeta galega con maior obra escrita de poesía con matemáticas, é dicir, con inspiración en conceptos matemáticos para o seu uso como metáfora. Posúe libros traducidos a máis de 4 idiomas e concibe a creación poética 21 desde formatos tan diversos como o podcast ou os audiopoemas. Fai alusións continuas á astronomía, á ciencia e ás matemáticas na súa obra. Así, no seu libro “Número e” (Espinosa Río, 2001) compón numerosos poemas que aluden aos números e á identidade, e polo que recibe o Premio Espiral Maior no ano 2001. Escribiu Estíbaliz un poema inédito para a asociación Cemma Cetáceos, polo día da balea, que recitou en vídeo na contorna da illa Marola e que está dispoñible na plataforma youtube. Nel fai alusións ás matemáticas dicindo (Cemma Cetáceos, 2019): “hai ecuacións que insisten na beleza, sempre 𝑒𝜋𝑦 + 1 = 0, hai cantos que tamén”, “chámana 54 Hz, canta nesa frecuencia”, “o son, coma onda”, entre outros. 2.3.A Interdisciplinariedade na Docencia das Matemáticas Puidera parecer, nunha sociedade que camiña cara a especialización extrema, que a conexión entre disciplinas fora un obstáculo que dificultase a adquisición dos saberes de distintos ámbitos. Mais, por outro lado, resulta evidente que os vínculos entre os coñecementos aportan unha visión global dese saber que, ademais, debera constituír un dos obxectivos da educación, contribuír á formación integral das persoas. A evidencia amosa que a transferencia entre disciplinas, como as matemáticas e a poesía, é útil para ampliar e desenvolver os coñecementos do alumnado, beneficiando a ámbalas dúas áreas e desenvolvendo no estudantado as súas percepcións acerca dos aspectos máis importantes da existencia humana (Budinski & Lavicza, 2020). Diversos informes como o PISA, ou a proposta para as Matemáticas Escolares do século XXI, sinalan (Blanco Otano & Blanco Nieto, 2009) a necesidade de incidir na comprensión lectora recomendado relacionala con outras materias, insistindo en concreto nas matemáticas e incidindo en que o alumnado debería saber estudar e aprender ideas matemáticas mediante a visualización, a lectura e a escoita, chegando a poder discutir sobre cuestións matemáticas. E a poesía pode ser unha boa ferramenta para implementar este propósito no contexto da aula de matemáticas. 2.3.1. Rachando coa División de Letras vs. Ciencias A ensinanza das matemáticas integra a ensinanza da lectura comprensiva converténdose ao mesmo tempo nunha ensinanza literaria (Frabetti, 2009); aínda que isto puidera parecer paradoxal ou contraditorio nunha cultura que tende a separar de xeito constante as “letras” das “ciencias”, outorgándolles en exclusivo ás primeiras o cualificativo de “cultura”. A sociedade de España, desde hai séculos, avoga por asociar a cultura ás 22 compoñentes humanísticas, cultura como sinónimo de música, literatura, pintura, etc., considerando ilustradas a persoas que confesan abertamente unha profunda ignorancia da matemática e da ciencia e ignorando, alén das destrezas operativas (desde unha visión mercantilista por ser estas imprescindibles para determinadas profesións), a aportación estética e intelectual das matemáticas (Gil & de Guzmán, 1993). Este anacronismo aínda presente na actualidade pode ser visto como unha distopía, dado que o proceso de resolución dun problema descoñecido é ben semellante ao da creación poética: dalgún xeito ambos procesos parecen depender dese momento de “maxia” ou “inspiración” que parece alleo ao consciente, dominado polas emocións e a aparición no que na escola de enxeñaría adoitaba chamarse “idea feliz”; ambos procesos, como foi dito en apartados anteriores, dependen da creatividade. Como exemplo deste distanciamento, non só como construto mental senón tamén físico, está a división entre o Campus Norte e o Campus Sur da Universidade de Santiago de Compostela que, con algunha excepción que poda cuestionalo, parecera querer afastar as titulacións tradicionalmente asociadas ás “ciencias” respecto ás de “letras”. E así é como a Facultade de Matemáticas e a de Filoloxía están separadas no espazo, porén, ambas son equidistantes a un punto de encontro entre ambas disciplinas: a catedral de Santiago de Compostela. A cuestión é, será posíbel crear este punto e encontro nas aulas de secundaria, entre poesía e matemáticas, para rachar con esta metáfora do afastamento? 2.3.2. As Etnomatemáticas No pasado e no presente, máis aló dos ollos occidentais, a meirande parte de pobos transmitiron e transmiten a súa realidade mediante relatos orais, ben sexan narrativos, poéticos ou musicais. A través destes se transmiten a visión do mundo, -na propia lingua-, e máis tamén múltiple información do contexto no que foron escritos, xunto coa cultura que os produce e máis outros coñecementos de utilidade nese seu contexto, asociándose á emoción que suscitaban. Deste xeito, os contos, os relatos, as fábulas, as cantigas, as anécdotas, os chistes e brincadeiras, os proverbios, as adiviñanzas, etc. fixeron das matemáticas, ao longo da historia, un xogo que as facía atractivas non só por seren un contido contextualizado e instrutivo, senón por darlle ese carácter identitario e fascinante ligado ás emocións. Tal e como se expuxo no percorrido histórico-cultural, as matemáticas en verso amosan con frecuencia aspectos socioculturais da nación ou país e máis da época na que se xorden. No caso nepalí, por exemplo, os problemas matemáticos en verso de Chandrakala 23 Devi reflectían o contexto relixioso, o contexto de xénero, o político e o reparto do traballo e os negocios, entre outros. Non é só que o contido matemático vaia mesturado, inevitablemente, con outro tipo de contido social e cultural, senón que o xeito de transmitir o coñecemento tamén depende da cultura; distintas sociedades amosaron distintas técnicas e formas de transmisión do mesmo. Entre outras cousas, empregábanse diferentes linguas vehiculares nas distintas culturas para a ensinanza-aprendizaxe das matemáticas e, incluso, a simboloxía matemática podía mudar. É dicir, os signos matemáticos non sempre foron universais, senón que, igual que a lingua, era distinta e construída por cada sociedade. Así, chegaron a existir signos para indicar cuestións que hoxe en día non están representadas no caso de Chandrakala Devi no Nepal do século XXI (Basyal, 2020), tal e como se mostra no seguinte exemplo: - O signo “:-“ indica que se reduce unha fracción, dividindo o numerado e o denominador entre o mesmo número - O signo “>” úsase para indicar que se atopa o común denominador de algunhas fraccións - O signo “~” emprégase para facer a inversa dunha fracción e poder dividir unha fracción entre outra multiplicando (o que aquí se di “multiplicar en cruz” para o cal non existe un signo concreto). Alén do coñecemento transmitido na escrita, as etnomatemáticas consideran todas as ideas matemáticas dos pobos, fosen estas manifestadas por calquera medio escrito ou non, oral ou non, e incluíndo tamén todos aqueles saberes que as convencións históricas actuais eurocentristas podían ignorar, tal e como reflicte o resumo do libro “Ethnomathematics- Challenging Eurocentrism in Mathematics Education” (Powell & Frankenstein, 1997). Ao longo dos séculos nos que a humanidade se foi desenvolvendo, as matemáticas acompañárona: na construción das pirámides de Exipto, deseñadas baseándose na relación da semellanza de triángulos e consideraba sagrada (terna pitagórica 5-4-3), antes de que Pitágoras descubrise o seu teorema (que, por certo, continúa a empregarse no rural galego para a medición da superficie de terreos por triangulación); na música, capaz de relacionar a través do ritmo os tresillos e os compases 6/8 co ¾ e á vez co 2/4, como fai a música tradicional galega; nas múltiples manifestacións artísticas que se baseaban na razón áurea presente na natureza, antes de que ninguén a definise como tal; na transmisión de conceptos matemáticos a través da xeometría, ou das metáforas co tempo, empregadas dende tempos 24 inmemoriais e que quizais fosen transmitidas polas mulleres ás crianzas, coa interminable cuestión do xénero que as silencia na historia... Todas estas manifestacións das ideas matemáticas, cada unha en cadansúa linguaxe, foron a miúdo ignoradas desde a perspectiva do home branco europeo, que eclipsou co seu discurso aquela dialéctica e didáctica diversas dun universo matemático que pasou a ser insignificante e carente de valor. As sociedades occidentais puxeron á ciencia matemática ao servizo do considerado “progreso”, da capacitación profesional, e a transmisión dos contidos da disciplina matemática foise universalizando, buscando crear unha linguaxe única que, desde esta perspectiva tornou en descontextualizada, baseándose en métodos e técnicas de repetición, converténdose, posiblemente, nunha mera transmisión de contidos carentes de sentido para o alumnado. Mais, coa mudanza da educación cara procesos de ensino aprendizaxe máis significativos que superasen esa visión tradicional, buscouse a maior integración das cuestións socias, culturais e étnicas, e así xurdiron as etnomatemáticas (Ferreira dos Santos & Lessa Gonçalves, 2020). 2.3.3. Vantaxes do Uso da Poesía nunha Aula de Matemáticas En canto ás vantaxes xerais do uso da literatura na aula de matemáticas, foron descritas algunhas, comúns a todas as etapas educativas (Delgado Luis, 2018): - Potencia a axilidade mental - Mellora a ortografía e amplía o vocabulario - Implica unha mellora da expresión escrita - Pode proporcionar un recurso visual útil que exercita a imaxinación e a memoria - Desenvolve conexións interdisciplinares - Fomenta unha actitude positiva cara a materia - Permite o traballo dos contidos matemáticos dun xeito máis indutivo que dedutivo Indo ao concreto, no que ten que ver co uso da poesía, cabe salientar que, cando se creou a matemática en verso, ou o primeiro uso didáctico da poesía como recurso para a transmisión de contidos matemáticos, as motivacións puideron ser varias. Na colección de poemas didácticos “Matemáticas en verso”, Requena cita varias (Requena Fraile, Matemática en verso. Introducción y selección, 2014): 25 - Mnemotecnia: é coñecido que a rima, o ritmo e a musicalidade axudan á memorización dos contidos. Ademais, en culturas sen acceso a lapis e papel (o máis común ata fai dous séculos) , era moi útil para a transmisión do coñecemento. - Beleza: o belo do verso, da rima e os adornos e recursos literarios causan emocións e sentimentos positivos. - Tradición cultural. En moitas culturas a xeración de poesía foi e é tradición. Esta aproveitouse para a transmisión de contidos que ao estar contextualizados á cultura popular facilitan a atención e a memorización. Ademais, en culturas como a árabe, saber expresarse en verso foi sinónimo de cultura. - Linguaxe sintético: ata fai tres séculos non existía unha linguaxe propia, formal e eficaz para as matemáticas. A linguaxe poética puido constituír unha “protolingua” matemática nalgúns contextos. - Divertimento, xogo ou virtuosismo. Ademais, nos resultados dun estudo que empregaba os contos como ferramenta para o traballo na aula de secundaria de matemáticas (Blanco Otano & Blanco Nieto, 2009) comprobouse que, tras o uso da ferramenta literaria, as estudantes facían referencia a contidos matemáticos adquirindo verdadeira significación debido a capacidade desenvolvida para relacionar os conceptos coa súa vida diaria e reforzándoos. Por tanto, a conexión de procesos e conceptos axudan a interiorizar o significado dos mesmos. É importante, de cara a evolucionar a práctica na aula, darlle importancia ao razoamento e á explicación como procedementos para chegar ao resultado (Real Sociedad Matemática Española, 2020). Así, outra vantaxe que pode supoñer o uso da poesía nas matemáticas é que esta pode axudar a focalizar a atención na forma, na beleza e no proceso de resolución fronte ao resultado, minimizando a frustración e achegando novos xeitos de acceder ao coñecemento e facelo accesible. Neste mesmo sentido, Patrick Bahls (2009) considera que a linguaxe poética ofrece ao estudantado acceso a distintos xeitos de entendemento que doutro xeito non terían considerado, definindo os seguintes propósitos: 1. A poesía ofrece un novo tipo de cognición, ofrecendo unha visión alternativa que permite á persoa examinar ideas matemáticas a través da metáfora lingüística  mellora a compresión cognitiva en termos de simboloxía matemática 32 contextualizados desde a acción, empregando a arte e máis a lingua como medios para avanzar nas tres competencias de xeito simultáneo e integral. 3.5.Metodoloxía, Actividades e Algunhas Propostas de Materiais As metodoloxías empregadas serán múltiples e variadas co fin de que o coñecemento sexa máis accesible para un conxunto de alumnado diverso. Na proposta de actividades que vén a continuación ofrécense unha determinada organización de contidos e metodoloxías que buscan acadar os obxectivos definidos mais, esta proposta é flexible, é dicir, será a persoa docente quen escollerá e definirá a metodoloxía que considere máis axeitada para ofrecer a un determinado grupo-clase. Así, teranse en conta os distintos ritmos de aprendizaxe das persoas e tratará de fomentarse o traballo cooperativo e colaborativo, ademais da participación mediante o uso de metodoloxías activas como a clase invertida, a titoría entre iguais e o traballo por proxectos. En definitiva, buscarase a aprendizaxe significativa desde a definición construtivista (Romero Trenas, 2009); o alumnado será construtor do seu propio coñecemento e será quen de desenvolver habilidades para relacionar os conceptos das distintas disciplinas, dándolles un sentido a partir da estrutura conceptual que xa posúe. É dicir, adquire novos saberes a partir deses coñecementos previos mediante o descubrimento. A continuación fanse algunhas propostas de materiais (ver ANEXO II – Proposta de Materiais Didácticos para a Aula de Matemáticas) que, malia conformar un conxunto, poden ser traballados de xeito illado. É por iso que non se identifican con números senón con símbolos, podendo ordenarse e integrarse na Programación Didáctica do xeito máis adecuado segundo considere a persoa docente. As actividades centrais propostas son as seguintes:  Actividade ℮: Estíbaliz Espinosa. O número ℮ e outros máis  Actividade ▲ : Estíbaliz Espinosa. A balea 52 Hz  Actividade ∑: María Mariño. Son a suma total  Actividade ■: Manoel Antonio. Caligramas e poesía matemática  Actividade ~: Adiviña a nosa historia. Unha viaxe arredor do mundo Porén, previo ao inicio destas actividades centrais, e tralo remate de cada unha delas. traballaranse tamén as seguintes actividades:  Actividade de avaliación inicial  Actividade introdutoria  Actividade de avaliación final 33 As actividades de avaliación tanto inicial como final detallaranse no seguinte apartado de avaliación. A continuación definiranse cada unha das actividades citadas tratando de relacionalas cos contidos, obxectivos, competencias e metodoloxías:  ACTIVIDADE INTRODUTORIA Esta actividade trata de ser unha presentación do concepto de poesía matemática. Introducirase ao alumnado na conexión destas dúas disciplinas, creando unha atmosfera na clase que posibilite a iniciación ao tema. Empregaranse con este fin os distintos exemplos ao longo da historia que conectan estes saberes e contextualizarase o caso galego, convidando ao alumnado a indagar e descubrir, facéndoo protagonista da historia, outorgándolle a posibilidade de ser “creador de contido” a través dos poemas matemáticos. Para isto, ao longo das distintas actividades se darán instrucións de como crear poemas matemáticos de diversa índole. Esta actividade, desde a perspectiva docente dinamizarase aplicando diferentes estratexias de acompañamento, fomentando a curiosidade mediante preguntas pensadas e formuladas previamente, como por exemplo: o Que concepto matemático atopas fermoso ou belo? Por que? Que sensacións che causa? Que emocións suscita en ti? o Cres que poderías empregar conceptos matemáticos para expresar as túas emocións? o Empregaches ou escoitaches na túa vida cotiá metáforas matemáticas para expresar emocións ou para facer humor? Que exemplos se che ocorren? o Algunha vez liches, observaches ou creaches un caligrama? o Cres que serías quen de escribir un poema/canción/rap que involucre os coñecementos matemáticos aprendidos ao longo do curso, ou ben empregar os coñecementos matemáticos aprendidos para estruturar un poema? Como?  ACTIVIDADE ℮: “Estíbaliz Espinosa. O número ℮ e outros máis” Esta actividade, como as seguintes, non vai enumerada senón identificada cun símbolo para darlle maior versatilidade á súa incorporación á programación didáctica. Tampouco está temporizada porque isto dependerá do contexto no que se aplique, adecuándoo aos ritmos de aprendizaxe do grupo-clase, á programación docente e máis á materia na que se integre. Empregando o material proposto (ver ANEXO II – Proposta de Materiais Didácticos para a Aula de Matemáticas) achégase ao alumnado 34 o poemario de autoría galega “O número e” (Espinosa Río, 2001) a través dun código QR para a súa lectura. A partir desta lectura pídeselles que elaboren individualmente: a. Unha pequena biografía da poeta b. Un glosario cos termos matemáticos que atopen nos poemas, indicando que simbolizan para elas e que lles transmiten. c. Un poema de elaboración propia que inclúa conceptos ou ideas matemáticas. Con este fin poderá achegárselles unha pequena guía de composición de poesía. A continuación, farase unha posta en común das pescudas feitas polo alumnado individualmente e das composicións elaboradas, podendo facer unha pequena exposición nun taboleiro nos corredoiros do instituto, ou ben nalgún outro espazo común. En referencia ao mesmo poemario do “Número e” (Espinosa Río, 2001) traballarase sobre a clasificación dos números coa metodoloxía de aula invertida. - En primeiro lugar elas mesmas traballan sobre os poemas cos conceptos que aparecen neles e, de xeito cooperativo, organizados en grupos de 3 a 5 persoas, resolven varias cuestións guiados pola persoa docente a partir de diversas cuestións que se presentan no material proposto. - En segundo lugar, na aula se comentarán, de xeito participativo, as respostas de cada grupo, facendo unha posta en común e resolvendo as inquedanzas que poidan presentarse. - En terceiro lugar se introducirán as clasificacións dos números por parte da persoa docente, de xeito explicativo, empregando as ferramentas que prefira (proxector, taboleiro electrónico, taboleiro tradicional), presentando tamén conceptos novos e integrando os descubertos ou repasados no poema. Pode proporse unha actividade extra ao Departamento de Lingua e Literatura Galega como traballo conxunto sobre este texto, convidando, de seren posible, a autora do mesmo ao centro, ou ben facendo unha videochamada trala lectura por parte do alumnado para a posta en común de ideas. Poderá proporse tamén ao Departamento de Dinamización Lingüística a colaboración nesta actividade, adaptándoa segundo os obxectivos comúns que se poidan atopar. Esta idea será transferible ás seguintes actividades. 35  ACTIVIDADE ▲ : “Estíbaliz Espinosa. A balea 52 Hz” Achégase ao alumnado, mediante un código QR, ao material proposto; ou, senón, a través dos medios que decida a persoa docente, en función dos recursos que posúa, procurarase o acceso a un vídeo da propia autora recitando un poema inédito. Convídase á escoita activa. A continuación, na aula (ou no espazo que se elixa) e de xeito oral, faise unha valoración grupal e cooperativa do poema: da mensaxe que transmite e como a transmite, das emocións que nos fai sentir, dos conceptos matemáticos que emprega a autora, etc. Por último, co material proposto (ver ANEXO II – Proposta de Materiais Didácticos para a Aula de Matemáticas) poderá traballarse, de xeito individual ou en grupo, ou ben na casa de xeito máis autónomo, dependendo das necesidades. Esta será unha escolla da persoa docente. Esta actividade está relacionada cos contidos de semellanza de triángulos e da escala (exercicios 2, 3 e 5), así como coa operativa e co cálculo mental (exercicio 4). Trata tamén diversos temas transversais como a educación ambiental (cetáceos e plástico mariño), a inclusión e a representación da diversidade (Estíbaliz Espinosa, a balea 52 Hz incomprendida e Exeria a viaxeira). O feito de presentar o poema mediante un produto visual e sonoro permite que este sexa máis accesible.  ACTIVIDADE ∑: “María Mariño. Son a suma total” Entrégase ao alumnado a proposta de material didáctico (ver ANEXO II – Proposta de Materiais Didácticos para a Aula de Matemáticas). De novo, nesta actividade, a ficha vén acompañada dun código QR que dá acceso a un vídeo. Dito vídeo contén un poema musicalizado de María Mariño, integrando a disciplina matemática coa literaria e máis a musical. A continuación faise unha proposta dividida en catro apartados:  Sinte Este apartado trata de identificar emocións desde unha perspectiva interdisciplinar  Investiga Este apartado contextualiza o poema na vida da autora e visibiliza unha figura feminina e galega ao que foron dedicadas as Letras Galegas no ano 2007  Analiza 36 Convida a elaborar un glosario matemático a partir dos conceptos representados no poema. Neste atópanse diversos contidos curriculares relacionados coa clasificación de números reais e coa operativa.  Crea Por último, convídase á creación artístico-matemática dun poema que vencelle as ideas e conceptos traballados na aula, animando ao alumnado a musicalizalos. O desenvolvemento desta actividade dependerá en gran medida da escolla metodolóxica que realice a persoa docente á hora de encadrala no contexto da aula, axustándoa ás necesidades do grupo-clase.  ACTIVIDADE ■: “Manoel Antonio. Caligramas e poesía matemática” Igual que na actividade anterior, divídense as tarefas en distintos apartados: investiga, analiza e crea. Neste caso arredor da figura de Manoel Antonio, o poeta rianxeiro, empregando como material un caligrama. Esta actividade está ligada aos contidos do Bloque III do currículo, é dicir, á xeometría. Ademais de traballar a competencia emocional, engade como tarefa final a elaboración dun poemario completo onde se representan figuras xeométricas mediante caligramas (poemas visuais) integrando neles os correspondentes conceptos e contidos matemáticos.  ACTIVIDADE ~: “Adiviña a nosa historia. Unha viaxe arredor do mundo” Nesta actividade faise unha proposta de material didáctico (ver ANEXO II – Proposta de Materiais Didácticos para a Aula de Matemáticas) enfocado ao traballo da interculturalidade, integrando o concepto das etnomatemáticas e facendo un percorrido polo mundo e pola historia mediante catro extractos de versos de tradición popular con contido matemático. Os versos veñen presentados nun mapa, conectando o contexto galego co nepalí, máis co indio e co grego. Trala lectura comprensiva dos textos, o alumnado poderá aplicar os seus coñecementos de aritmética, correspondentes ao Bloque II de contidos, -referido aos números-, integrando os métodos de resolución propostos no currículo, -no Bloque I transversal en todas as etapas-. Cada unha das adiviñas busca a motivación e traballa un contido diferente: 37  A adiviña galega baséase no cálculo mental e o xogo coa linguaxe das palabras “e” / “é”, que na fala e na escrita difiren na pronuncia polo til diacrítico.  A adiviña grega traballa a operativa con fraccións, máis tamén se pode resolver mediante procedementos alxébricos ou incluso xeométricos tendo en conta que, daquela, os reloxos eran solares.  A adiviña nepalí é un exemplo práctico de uso do máximo común divisor formulando un problema fantasioso no que dúas persoas dan voltas ao sol.  A adiviña india pode resolverse mediante procedementos aritméticos de operativa con fraccións, ou ben mediante a álxebra. Distintos métodos de resolución que fomentarán o pensamento crítico no alumnado cando se decaten de que non todas as persoas escolleron o mesmo método, e que á resolución dun problema pode chegarse por distintas sendas. Nesta actividade, ademais da proposta de interculturalidade, preséntase un exemplo significativo, o de Chandrakala Devi, mestra e poeta nepalí, valorizando a este referente, dando visibilidade a unha figura oculta da historia. Convídase ao pensamento crítico, reflexionando sobre o uso da poesía didáctica, e máis ao pensamento creativo mediante a invención dunha adiviña en verso. As propostas materiais poderían ser modificadas e adaptadas a cada caso. E novas propostas tamén se poderían incorporar ás citadas. 3.6.Avaliación 3.6.1. Avaliación das Actividades A avaliación inicial, previa ás actividades, farase de xeito oral e participativo mediante a indagación e a técnica da tormenta de ideas. Esta servirá para descubrir cales son os intereses e os coñecementos previos do alumnado favorecendo así a adaptación das dinámicas ao grupo clase. En canto á avaliación final, posterior ás actividades, deberá non só garantir a adquisición de coñecementos e destrezas senón tamén o desenvolvemento da competencia emocional. O complicado da educación emocional é precisamente a súa avaliación, mais existen xa diversas posibilidades para realizar a avaliación da mesma, entre eles un instrumento especifico, proposto para a aula de matemáticas, denominado “Gráfica 38 emocional” (Gómez-Chacón, 2003). Este instrumento proporase ao estudantado despois de cada actividade (ver ANEXO III – Gráfica Emocional ). Para a avaliación da adquisición de coñecementos, destrezas e habilidades escollerase o método máis axeitado a cada caso, axeitándoo á materia en concreto, á etapa e ao definido na Programación Didáctica; máis, tamén, axustándose ás necesidades do alumnado que conforma o grupo clase. Sempre que sexa posible fuxirase de avaliacións tradicionais que ignoren a diversidade da clase e avaliarase empregando metodoloxías activas como a coavaliación, onde a avaliación faise entre pares, por exemplo, resolvendo unha alumna a adiviña elaborada por outra e viceversa. De integrarse a proposta máis aló da materia de Matemáticas, na materia de Lingua Galega e Literatura, a avaliación deberá adecuarse á mesma, definindo a persoa docente de cada materia os criterios específicos e o método específico para esta avaliación. 3.6.2. Avaliación da Proposta Para avaliar a proposta e ver se está foi axeitada e se tivo un impacto positivo no alumnado, compararanse os resultados medios obtidos noutros cursos antes da aplicación da proposta, cos resultados tralo uso da proposta, tratando de prestar a máxima atención posible a estes criterios obxectivos. Ademais, poderá entregarse unha enquisa de satisfacción deseñada ad hoc ao alumnado para que avalíe as actividades e máis formule suxestións de mellora, aportando unha valiosa información á persoa docente que lle sirva para reformular a súa práctica. 39 4. Conclusións Como conclusión cabe dicir que o deseño da proposta didáctica interdisciplinaria que aquí se presenta, é, polo momento, unha proposta teórica que posiblemente de cara a levala á práctica posuiría carencias e dificultades que non teñan sido consideradas no presente texto. Algunhas das limitacións que a proposta puidera presentar, pasarían polo difícil encadre da mesma na programación didáctica e en concreto na súa avaliación, e pola complicación na coordinación docente no caso de querer ampliar a proposta a outras materias máis aló das Matemáticas, como por exemplo, á aula de Lingua Galega e Literatura, o cal requiriría por parte das persoas docentes un traballo conxunto complexo para encadrar no tempo e no espazo a proposta de xeito coordinado. E por último, unha carencia da proposta sería a posible dificultade engadida que podería supoñer para unha persoa discente con trastorno do espectro autista (TEA) a interpretación de textos con tal nivel de abstracción, onde as metáforas da linguaxe poética poderían ser en si mesmas un obstáculo para a súa aprendizaxe. Porén, ao mesmo tempo o traballo da competencia emocional podería supoñer unha oportunidade. As fortalezas da proposta radican nas vantaxes da interdisciplinariedade matemáticaspoesía, converténdose esta segunda nun recurso visual que axuda a fomentar a imaxinación e mais a axilidade mental. Ao mesmo tempo, pode axudar a mellorar a comprensión de conceptos matemáticos abstractos e relacionalos a través da linguaxe poética con contextos da vida cotiá, interiorizándoos. Por último, ao focalizar na beleza e o goce fronte á consecución de resultados, esta proposta podería aumentar a motivación do alumnado e diminuír a súa frustración, traballando á súa vez o autocoñecemento, a exploración das emocións e a autoestima. Como posibles futuras liñas de traballo penso sería axeitado a realización dunha proposta deste tipo aplicada a un contexto máis concreto, como por exemplo á docencia dunha unidade didáctica dun curso determinado, buscando delimitala dun xeito máis preciso (en contidos, metodoloxía, elaboración dos materiais e encadre na programación didáctica) para a súa posible posta en práctica na aula. Sería de interese tamén, previa a unha posta en práctica, a elaboración dunha enquisa que avaliase a proposta mesma dende a perspectiva do alumnado e/o do profesorado galego, onde estes puideran dar o seu parecer, tendo deste xeito a oportunidade de prever de antemán outras posibles limitacións e propostas de mellora que non fosen contempladas na presente proposta. 40 No persoal cabe dicir que, a realización do presente traballo supuxo para min non só a exploración dos conceptos aprendidos ao longo deste mestrado, senón tamén o percorrer camiños inexplorados tratando de descubrir se tiña sentido integrar nunha proposta didáctica dúas linguaxes que me fascinan por estar ateigadas de simbolismo, abstracción e contido: a matemática e a poética. Durante a experiencia do prácticum, na docencia de matemáticas de 2º da ESO sorprendeume a capacidade das crianzas para resolver o mundo por camiños que ás persoas adultas xamais se nos ocorre percorrer. A súa mente aberta e creativa, a súa imaxinación infinita, a súa fame chea de inquedanzas é alimentada por Fantasía 3 non encaiando no “caixón do método”. Isto levoume a reformulalo todo, e pensei en como abrir espazos nos que alimentar a súa curiosidade innata. Repensalo todo para, dende o rupturismo e a abstracción, construir espazos en branco onde poder expresarse sen a pesada carga dos estereotipos ou dos métodos, expresarse sen límites, ir “Máis alá” 4 . Un espazo poético onde o todo é maior que a suma das partes, afirmación lóxica na natureza das cousas, mais absurda desde a perspectiva matemática, suposta portadora da verdade absoluta (ou absolutista). Pode que non chegase a responder a todas esas preguntas que me formulei ao inicio do texto 5 , mais si descubrín camiños que outorgaron respostas e, ademais, descubrín unha vantaxe na proposta metodolóxica que non só alimentaría a curiosidade do alumnado, senón tamén a miña: algo que temo da docencia das matemáticas é o posible aburrimento que pode causar na docente o ter que repetir os mesmos métodos unha e outra vez en tres ou catro clases distintas e ano tras ano. Con esta proposta, aínda sendo os contidos os mesmos, é imposible aborrecelos, a poesía trae, co seu nome, a diversidade: nunca me cansarei de ler as creacións inéditas do alumnado explorando terreos inexplorados e... quen sabe! Quizais algunha delas chegue a ser matemática, ou poeta ou ámbalas dúas, ou simplemente feliz. “Os números contaxian de certa divindade, de certa abstracción. Pero moi por debaixo, o paradoxo deste número ℮ só me alía a min mesma con esa secreta intención de alcanzarte. A ti, que quizais nin naciches” (Espinosa Río, 2001). 3 Fantasía con maiúsculas en referencia á emperatriz da “Historia Interminable” de Michael Ende 4 Máis alá entre comiñas en referencia ao manifesto do poeta rianxeiro Manoel Antonio 5 “De que maneira me gustaría que o futuro alumnao se relacionase coa disciplina?Como poderia converter a aula de matemáticas nun espazo de goce? Como podería facer o coñecemento máis accesible? Que tipo de acompañamento pedagóxico querería darlle ao alumnado?” 41 5. Referencias Alonso Tapia, J. (1997). Un problema: ¿Qué hacer para motivar a mis alumnos? En J. Alonso Tapia, Motivar para el aprendizaje. Teorías y estrategias (pp. 13-18). Madrid: Edebé. Bahls, P. (2009). Math and metaphor: using poetry to teach college mathematics. The WAC Journal, 20, 75-90. doi:https://www.doi.org/10.37514/WAC-J.2009.20.1.06 Basyal, D. (2020). A mathematical poetry book from Nepal. British Journal for the History of Mathematics, 35(1), 1-18. doi:https://doi.org/10.1080/26375451.2020.1777781 Bisquerra, R. (2011). Educación emocional. Propuestas para educadores y familias. Editorial Desclée de Brouwer S.A. Bisquerra, R., & Pérez, N. (2007). Las competencias emocionales. Edicación XXI, 10, 61-82. Obtenido de http://www.ub.edu/grop/wp-content/uploads/2014/03/Las-competencias- emocionales.pdf Blanco Otano, B., & Blanco Nieto, L. (2009). Cuentos de matemáticas como recurso en la enseñanza secundaria obligatoria. Innovación educativa, 19, 193-206. Obtido de http://hdl.handle.net/10347/4986 Budinski, N., & Lavicza, Z. (2020). Poetry in the lesson of mathematics. Proceedings of Bridges, 447- 450. Obtenido de http://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020- 447.html Buján Otero, P. (2017). Verbo da teoría da relatividade restrinxida e xeral de Albert Einstein. Consello da Cultura Galega. Cemma Cetáceos. (21 de Outubro de 2019). Día da balea 11 - Estíbaliz Espinosa. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=ahXSxbrswss&ab_channel=cemmacetaceos Cortizas Amado, A. (2021). Adiviña esta adiviñanza. Galaxia. de Gabriel, N. (2009). A cultura escolar popular e as escolas de ferrado. Eduga- Revista Galega do Ensino, 55, 66-72. Obtenido de https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/2892584.pdf DECRETO 86/2015. (29 de Xuño de 2015). DECRETO 86/2015, do 25 de xuño, polo que se establece o currículo da educación secundaria obrigatoria e do bacharelato na Comunidade Autónoma de Galicia. 25434-27073. 48 interpersoal e expresión de riqueza cultural nun contexto plurilingüe, que permite a comunicación con outras linguas, en especial coas pertencentes á comunidade lusófona. 49 ANEXO II – Proposta de Materiais Didácticos para a Aula de Matemáticas A continuación achéganse os materiais didácticos propostos, de elaboración propia. Non van enumerados senón identificados con distintas figuras xeométricas. Desta forma serán máis versátiles, é dicir poderán ser empregados en distintos niveles e en distintas ordes para adaptalos ao contexto concreto de ensino-aprendizaxe. Os materiais propostos son os citados a continuación:  Estíbaliz Espinosa. O número e outros máis (Identificación: nº e)  Estíbaliz Espinosa. A balea 52 Hz (Identificación: triángulo)  María Mariño. Son a suma total (Identificación: sumatorio)  Manoel Antonio. Caligramas e poesía matemática (Identificación: cadrado)  Adiviña a nosa historia. Unha viaxe arredor do mundo. (Identificación: ~) 50 OS NÚMEROS E OS VERSOS Proposta de materiais didácticos para a aula de matemáticas 51 ESTÍBALIZ ESPINOSA: “O número e” e outros máis Estíbaliz Espinosa é unha poeta galega nada no ano 1974. No ano 2004 recibe o premio “Espiral Maior” polo seu poemario “Número e. Asomados ao infinito autómatas 100%” publicado no 2001. Podes acceder a este poemario escaneando o código QR. SOBRE ELA 1. Elabora unha pequena biografía de Estíbaliz Espinosa 2. Tras ler o poemario, anota os conceptos ou ideas matemáticas atopadas e indica que cres que simbolizan para ela 3. Escribe un poema co ideas ou conceptos matemáticos OS NÚMEROS 4. Investiga acerca dos números racionais e irracionais e responde: a. Que dous números irracionais aparecen no poemario? b. Como definirías coas túas palabras que é un nº racional? E un irracional? 5. Nas páxinas 54 e 55 do poemario a autora dedica un poema aos números primos. Aquí tes un extracto do mesmo. Resolve as seguintes tarefas: a. Sinte. Que che transmite o poema? Escribe 5 hashtags expresando estas emocións b. Responde. Que é un número primo? Cres que algúen pode sentirse como un nº primo? c. Fai unha análise da métrica do poema e indica que versos teñen un nº primo de sílabas d. Que é un nº natural? Son os nºs primos naturais? E irracionais? e. Descubre. Como son as raíces dos nºs primos? 52 ESTÍBALIZ ESPINOSA: A balea 52Hz Estíbaliz Espinosa é unha poeta galega nada na Coruña no ano 1974. Polo día da balea compuxo un poema para unha organización de Estudo de Mamíferos Mariños. Escanea o código e escóitao para poder resolver as seguintes cuestións. 1. O son é unha onda. As baleas adoitan cantar nun rango de frecuencias de entre 12-40 Hz, mais balea 52 Hz canta á frecuencia que lle da nome, e as demais non poden escoitala. Escribe o teu propio poema falando sobre ela. 2. Exeria, a viaxeira da antiga Gallaecia, viaxou ata Siria no S.XIV documentando a viaxe en Itinerarium Egeriae. Ela foi por terra pero nós imos imaxinar unha viaxe por mar, e para iso teremos primeiro que pasar a Marola. Se saímos do porto de Ares, que distancia nos separa da Marola? Averíguao tendo en conta a escala do mapa. 1. A balea 52 Hz quere coñecer a distancia x que a separa da costa. Extra: que distancia haberá entre o ollo da balea e a luz do faro? 2. Estíbaliz conta que o corazón dunha balea pesa 180 kg. O dun humano pesa arredor de 300 g, cantos corazóns humanos corresponderían ao dunha balea? 3. Cada ano morren arredor de 100.000 mamíferos mariños a causa do plástico. Un barco veleiro recolle o plástico mariño mentres a balea 52 Hz confunde a bolsa de plástico cunha rica medusa. Calcula a distancia que nada a balea e razoa quen chega antes á bolsa. 53 MARÍA MARIÑO: Son a suma total María Mariño (1907-1967) foi unha poeta galega ao que se lle adicou o día das letras galegas no ano 2007. Entre os seus poemarios atópase “A verba qu comenza” (1990). Un dos poemas deste poemario foi musicalizado por Manoele de Felisa. Podes escoitalo escaneando o código QR. SINTE 1. Escoita o poema de María Mariño musicalizado por Manoele Felisa e describe que che fai sentir 2. Que cres que quixo expresar a autora cando o escribiu? 3. Paréceche axeita a música escollida por Manoele de Felisa para expresar o que quixo dicir a autora co que escribiu? Por que? INVESTIGA 4. Investiga quen foi María Mariño e elabora unha pequena biografía da poeta. ANALIZA 5. Escoita de novo o poema e analiza que conceptos matemáticos se empregan no mesmo. Elabora un pequeno glosario cos mesmos. 6. Que métrica posúe o poema? Se sumases todas as sílabas que forman o mesmo, cal sería a suma total? CREA 7. Escribe un poema que inclúa conceptos e ideas matemáticas que fosen vistos ao longo do curso. 8. EXTRA: Se che apetece, musicaliza o poema, e se queres, compárteo co resto da clase! 54 MANOEL ANTONIO: Caligramas e poesía matemática Manoel Antonio (1900-1929) foi un poeta galego de vangarda. Nado en Rianxo, dentro do seu poemario “De catro a catro. Follas sen data dun diario de abordo”(1928) inclúese un caligrama co título “Excelsior”. O orixinal o mesmo atópase na Casa Museo de Manoel Antonio na mesma vila que o veu nacer e morrer. INVESTIGA 1. Que é un caligrama ou poema visual? 2. Cres que un poema pode ter estrutura matemática? Explora o movemento OuLiPo e busca exempos de poesía matemática. ANALIZA 3. Que cres que quixo transmitir Manoel Antonio a través deste poema? CREA 4. Pensa nas figuras xeométricas que coñeces e elabora un poemario de caligramas. Cada caligrama vai representar unha figura xeométrica e en cada unha delas ensinarás a outra persoa o concepto representado (ex: círculo) e máis como se calcula algunha das súas medidas de lonxitude, área ou outras (ex: área e lonxitude do círculo) 55 ADIVIÑA A NOSA HISTORIA Unha viaxe arredor do mundo Ao longo da historia, e en múltiples recunchos do planeta o saber matemático foi transmitido de xeito oral, empregando para iso a poesía, a miúdo en forma de adiviñas. A continuación poderás viaxar arredor do mundo e da historia a través das adiviñas. “Catro pans e catro cans, pan e medio e medio pan; canto toca a cada can?” Recollido polo poeta e mestre galego Antón Cortizas no seu libro “Adiviña esta adiviña”, publicado o ano 2021. “Dinos reloxo sen igual, que parte do día fuxiu xa, se o que queda é dúas veces dous terzos do que xa pasou” Epigrama grego do libro XIV Antoloxía Palatina. Traducido do castelán do libro “Matemáticas en verso” de Ángel Requena Fraile. “Dúas persoas deciden dar voltas arredor do sol partindo do mesmo punto e durante o mesmo tempo. Unha delas da 234 voltas mentres a outra da 430. Cantas veces se atopan no camiño?” Poema escrito en nepalí (1933) por Chandrakala Devi poeta e mestra do Nepal. Traducido do inglés do artigo “A mathematical poetry book from Nepal” de Deepak Basyal) “Oh intelixente rapaza! Un avaro dou a un mendigo: a metade dos dous terzos dos tres cuartos do quinto do dezaseisavo da cuarta parte dun dramma. Se a miña querida nena calcula con fraccións, adiviñará cal foi a xenerosidade do miserable” Recollido por Bashkaracarya, poeta indio do século XII no poemario “Lilavalti” (“Muller bela”). Traducido do castelán do libro “Matemáticas en verso” de Ángel Requena Fraile 1. Le con atención e resolve as adiviñas anteriores 2. Que método usaches para resolver en cada caso? Compara co resto da clase se empregaron o mesmo método e se chegáchedes á mesma solución 3. Por que cres que nas distintas épocas da historia e en distintos lugares do mundo se empregou a poesía para transmitir as matemáticas? Que diferencias e similitudes atopas entre os distintos exemplos presentados? 4. Inventa a túa propia adiviña en verso e resólvea (se é posible, por varios métodos) 56 ANEXO III – Gráfica Emocional (Gómez-Chacón, 2003) Nome: Data: Como te sentes despois de acabar a actividade ou problema: Moi satisfeita Satisfeita Insatisfeita Moi insatisfeita Conta brevemente por que te sentes así. Representa mediante unha gráfica os teus sentimentos e as túas reaccións no proceso de resolución deste problema ou actividade. Esta actividade lémbrate a algunha situación que traballas fóra do instituto? Comenta a resposta. O aprendido nesta actividade, sérveche para a túa vida diaria? Ocórreseche algunha suxestión ou aportación para completar ou mellorar esta actividade?