Estimación tipo núcleo da función de densidade

Traballo Fin de Grao Estimación tipo núcleo da función de densidade Álvaro Arrojo Vázquez 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Estimación tipo núcleo da función de densidade Álvaro Arrojo Vázquez Setembro, 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Estadística e Investigación Operativa Título: Estimación tipo núcleo da función de densidade Breve descrición do contido Dada unha variable aleatoria continua, a función de densidade permite coñecer como se distribúe dita variable dado que a probabilidade de que a variable aleatoria caia nunha rexión especíca do espazo de posibilidades estará dada pola integral da densidade desta variable entre un e outro límite de dita rexión. Por este motivo, a estimación da función de densidade é un tema de gran interese no ámbito da Estatística. Ao longo deste traballo, prestarase especial atención á estimación tipo núcleo da función de densidade. Neste caso, resultará fundamental a selección do parámetro de suavizado de cara a obter unha boa estimación da función de densidade. Presentaranse e compararanse diferentes estratexias dispoñibles na literatura para levar a cabo a selección do parámetro de suavizado. A título orientativo, o traballo podería organizarse nas seguintes seccións: A función de densidade. Estimación. Estimación tipo núcleo da función de densidade. Selección do parámetro de suavizado. Estudo comparativo dos diversos selectores do parámetro de suavizado. Presentaranse diferentes estimacións da función de densidade aplicadas tanto a conxuntos de datos tanto reais como simulados. Para elo empregarase o software libre R ( https://www.r-project.org/ ). Recomendacións Outras observacións Índice xeral Resumo vi 1. Introdución 1 2. Estimación tipo núcleo da función de densidade 5 2.1. Estimadortiponúcleo .............................. 6 2.2. Propiedades do estimador tipo núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Selector do parámetro ventá 17 3.1. Regradopolgar.................................. 18 3.2. Selector de validación cruzada de mínimos cadrados . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3. Selectorplug-in.................................. 21 4. Estudo de simulación 25 5. Aplicación a datos reais 35 6. Conclusións 41 Anexo: Código de 45 6.1. Código correspondente á Figura 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2. Funciónsprogramadas .............................. 46 v vi ÍNDICE XERAL 6.2.1. Polgar................................... 46 6.2.2. Validacióncruzada............................ 46 6.2.3. RegradeSimpson ............................ 48 6.3. Estudodesimulación............................... 48 Bibliografía 53 Resumo A estimación da función de densidade é un tema de gran importancia no campo da Estatística xa que calquera variable aleatoria continua queda completamente caracterizada grazas á súa función de densidade. Dada a importancia da estimación da función de densidade, este tema foi abordado dende diferentes puntos de vista. Presentouse dende unha primeira aproximación grazas a unha representación gráca (coñecida como histograma) ata métodos non paramétricos máis complexos como a estimación tipo núcleo. No presente traballo introdúcese a estimación tipo núcleo da función de densidade así como diferentes criterios de erro asociados ao mencionado estimador. Ademais, abordarase o problema da selección do parámetro de suavizado e mostraranse diferentes propostas de selectores dispoñibles na literatura. Para poder comparar os diferentes selectores do parámetro de suavizado propostos deseñouse un completo estudo de simulación que permitirá extraer conclusións sobre as súas propiedades. Por outra banda, propoñerase unha estimación da función de densidade asociada a unha mostra de datos reais para ilustrar a utilidade do estimador tipo núcleo na práctica. Finalmente, presentaranse as principais conclusións deste traballo. Resultan palabras clave do mesmo as seguintes: estimación non paramétrica función de densidade ancho de ventá. vii 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN (a) Histograma con dous intervalos (b) Histograma con dez intervalos (c) Histograma con vinte e tres intervalos Figura 1.1: Representación dos histogramas con distintos intervalos de clase xunto coa función de densidade teórica asociada, a normal estándar. Capítulo 2 Estimación tipo núcleo da función de densidade A estimación non paramétrica da función de densidade resulta especialmente efectiva cando os modelos paramétricos son inadecuados. O método máis habitual en estimación non paramétrica da función de densidade é o estimador tipo núcleo, que presentamos a continuación. Para a realización deste capítulo seguiremos o capítulo 2 do libro [7] e impoñeremos as seguintes condicións sobre a variable de interese X e sobre a súa función de densidade f , así como sobre o parámetro h e a función kernel K . Existe f(2) , que ademais é continua, de cadrado integrable e monótona nos intervalos (−∞, M) e (M, ∞) para algún M > 0 . A secuencia dos posibles valores positivos de h , que denotaremos por hn , tende a cero, pero cunha orde menor do que o fai a sucesión 1 n . É dicir, l´ım n→∞ hn= 0 e l´ım n→∞ n·hn= 0 . O núcleo K é unha función de densidade limitada, simétrica en torno á orixe e con momento de orde catro nito. 5 6 CAPÍTULO 2. ESTIMACIÓN TIPO NÚCLEO DA FUNCIÓN DE DENSIDADE 2.1. Estimador tipo núcleo Ao longo deste capítulo considérase a X unha variable aleatoria continua que ten función de densidade f . Dada {x1, ..., xn} unha mostra aleatoria simple da variable X imos estimar a función de densidade f mediante o estimador tipo núcleo , que se dene da seguinte forma: b fh(x) = 1 nh n X i=1 Kx−xi h. (2.1) onde K denomínase función núcleo (ou kernel ) que é unha función simétrica en torno ao cero e satisfai ZR K(x)dx = 1. O parámetro h > 0 chámase ventá ou ancho de banda . A ecuación (2.1) pódese abreviar introducindo a notación Kh(u) = h−1K(u/h) , e obtense como resultado b fh(x) = 1 n n X i=1 Kh(x−xi) (2.2) A idea deste tipo de estimación baséase en denir unha función núcleo K e centrar dita función nun entorno de lonxitude 2h en torno a cada punto xi da mostra. Nesta situación, se sumamos todas as funcións núcleo obteremos a estimación tipo núcleo da función densidade da nosa mostra. O 1/nh na ecuación (2.1) ten a misión de que a integral do estimador teña valor 1, propiedade fundamental dunha función de densidade. Deste xeito obtemos estimacións puntuais da función de densidade. Realizando este proceso para diferentes puntos x∈R obtemos a estimación tipo núcleo da función de densidade no intervalo desexado e co parámetro ventá h e función núcleo K elixidos. Veremos máis adiante que, na ecuación (2.1), a elección de K non é moi importante. En cambio, unha boa elección do valor de h será fundamental para acadar unha boa aproximación da función de densidade. Isto ilústrase mediante as Figuras 2.1 e 2.2, onde se representan estimacións tipo núcleo da densidade para diferentes valores do parámetro ventá h . Na Figura 2.1 representamos a estimación da función de densidade para unha mostra de tamaño 150 dunha variable con distribución normal estándar, mentres que na Figura 2.2 se representa unha mostra dunha distribución χ -cadrado con tres graos de liberdade. En ambos casos, a estimación tipo núcleo foi xerada cunha función núcleo K normal estándar. En ambas guras a liña sólida representa a función de densidade teórica 2.1. ESTIMADOR TIPO NÚCLEO 7 (a) h= 0.05 (b) h= 0.1 (c) h= 0.3 (d) h= 1 (e) h= 2 Figura 2.1: Estimación tipo núcleo da función de densidade baseada nunha mostra de 150 datos que seguen unha distribución normal estándar. A liña sólida representa a función densidade teórica mentres que a liña punteada representa a estimación tipo núcleo obtida para os diferentes valores do parámetro h . 8 CAPÍTULO 2. ESTIMACIÓN TIPO NÚCLEO DA FUNCIÓN DE DENSIDADE (a) h= 0.05 (b) h= 0.3 (c) h= 0.6 (d) h= 2 (e) h= 3 Figura 2.2: Estimación tipo núcleo da función de densidade baseada nunha mostra de 150 datos que seguen unha distribución χ -cadrado con tres grados de liberdade. A liña sólida representa a función densidade teórica mentres que a liña punteada representa a estimación tipo núcleo obtida para os diferentes valores do parámetro h . 2.2. PROPIEDADES DO ESTIMADOR TIPO NÚCLEO 9 e a liña punteada representa a estimación tipo núcleo. Á vista das Figuras 2.1 e 2.2 observamos que unha boa ventá h depende da distribución dos datos, é dicir, non hai unha ventá óptima para todas as distribucións. Neste caso, mentres para a mostra que provén dunha distribución normal o valor h= 0.3 parece xerar unha boa aproximación, para a χ -cadrado ese mesmo valor semella demasiado pequeno. No Capítulo 3 abordaremos a elección da ventá h óptima, pero primeiro débense introducir os diferentes criterios de erro que se utilizarán na procura da mellor h . 2.2. Propiedades do estimador tipo núcleo Para saber canto de boa é a estimación da función densidade empregando o estimador tipo núcleo, basearémonos en varios criterios de erro, tanto puntuais como en toda a recta real. En concreto, o criterio de erro puntual que se utilizará será o erro cadrático medio que denimos a continuación, pero debemos recordar previamente a denición de esperanza. Denición 2.1. Dada unha variable aleatoria continua X con función de densidade f , defínese a súa esperanza mediante a seguinte expresión: E(X) = Z∞ −∞ xf(x)dx. Denición 2.2. Sexa b θ un estimador dun parámetro descoñecido θ . O erro cadrático medio (en adiante ECM) dun estimador b θ con respecto ao parámetro descoñecido θ defínese como ECM (b θ) = E(b θ−θ)2. Podemos descompoñer o ECM en termos de varianza 1 e sesgo 2 do seguinte xeito: ECM [b θ] = E[b θ−θ]2=Ehb θ−E(b θ)+E(b θ)−θi2= =Eb θ−E(b θ)2+E(b θ)−θ2+ 2 b θ−E(b θ)E(b θ)−θ= =Eb θ−E(b θ)2+EE(b θ)−θ2+ 2Ehb θ−E(b θ)E(b θ)−θi= 1 Defínese como varianza dunha variable aleatoria á esperanza do cadrado da desviación de dita variable respecto á súa media. É dicir, V ar(X) = E[(X−µ)2] 2 Denimos como sesgo de un estimador á diferencia entre a súa esperanza e o valor que estima. É dicir Sesgo( b θ) = E( b θ)−θ . 10 CAPÍTULO 2. ESTIMACIÓN TIPO NÚCLEO DA FUNCIÓN DE DENSIDADE =Eb θ−E(b θ)2+EhE(b θ)−θi2+ 2 E(b θ)−θEb θ−E(b θ)= =Eb θ−E(b θ)2+EhE(b θ)−θi2= Var (b θ) + Sesgo 2(b θ). (2.3) No caso que tratamos temos unha estimación da función de densidade b fh(x) . Coa descomposición (2.3) podemos calcular o ECM coas expresións da varianza e do sesgo. É dicir, que se obtemos a varianza e esperanza de b fh(x) teremos o seu ECM. Partindo da ecuación (2.2) e tendo en conta que {x1, ..., xn} é unha mostra aleatoria simple podemos dicir que E[b fh(x)] = E"1 n n X i=1 Kh(x−xi)#=1 n n X i=1 E[Kh(x−xi)] = =1 n·n·E[Kh(x−X)] = E[Kh(x−X)] = =Z+∞ −∞ Kh(x−y)f(y)dy. (2.4) Unha vez coñecemos a expresión da esperanza, para calcular o sesgo introducimos a seguinte expresión: (f∗g)(x) = Zf(x−y)g(y)dy, onde ∗ denota o operador de convolución, xa que nos permite escribir Sesgo (b fh(x)) = E[b fh(x)] −f(x) = (Kh∗f)(x)−f(x). Para calcular a expresión da varianza séguese un proceso semellante: Var (b fh(x)) = Var 1 n n X i=1 Kh(x−xi)!=n n2 Var (Kh(x−X)) =1 nE[(Kh(x−X))2]−E2[Kh(x−X)] =1 n Z(Kh(x−y))2f(y)dy −ZKh(x−y)f(y)dy2! =1 n(K2 h∗f)(x)−(Kh∗f)2(x). (2.5) 2.2. PROPIEDADES DO ESTIMADOR TIPO NÚCLEO 11 Finalmente, obtidas as expresións do sesgo e da varianza, temos a expresión do erro cadrático medio da estimación tipo núcleo da función de densidade, que sería: ECM (b fh(x)) = [ Sesgo (b fh(x))]2+ Var (b fh(x)) = =(Kh∗f)(x)−f(x)2+1 n(K2 h∗f)(x)−(Kh∗f)2(x) (2.6) Por certo lado, dado que o ECM está xado nun punto x , poderiamos pensar nun criterio de erro global que medira a distancia entre as funcións b fh(·) e f ao longo de toda a recta real. Nesta liña atópase o erro cadrático integrado , coñecido polas súas siglas en inglés ISE ( Integrated Squared Error ) e defínese como: ISE (b fh) = Z+∞ −∞ b fh(x)−f(x)2dx. O problema do ISE é que depende da verdadeira (e descoñecida) densidade f , do estimador utilizado e do tamaño da mostra. Incluso con estas tres cantidades xas, o ISE é unha función dunha realización en n puntos. É por iso que resultará máis apropiado utilizar como criterio de erro o seu valor esperado. Deste xeito denimos o erro cadrático medio integrado , coñecido polas súas siglas en inglés, MISE ( Mean Integrated Squared Error ), que se dene como: MISE [b fh] = E[ ISE (b fh)] = EZ+∞ −∞ b fh(x)−f(x)2dx. Se permutamos a esperanza coa integral, obtemos unha expresión do MISE en función do ECM. En concreto: MISE [b fh] = Z+∞ −∞ E[b fh(x)−f(x)]2dx =Z+∞ −∞ ECM [b fh(x)]dx. (2.7) Introducindo agora a seguinte notación para dúas sucesións de números reais an e bn , an=o(bn), n →∞⇔ l´ım n→∞ |an bn|= 0 e facendo uso do desenrolo en serie de Taylor obteremos expresións máis sinxelas para o ECM e o MISE que dependerán dunha forma máis clara do parámetro h . Deste xeito, partindo de (2.4) e utilizando o desenrolo de Taylor de f(x−hz) sobre x chegamos á seguinte expresión do sesgo: E[b f(x, h)] −f(x) = 1 2h2µ2(K)f(2)(x) + o(h2) (2.8) 12 CAPÍTULO 2. ESTIMACIÓN TIPO NÚCLEO DA FUNCIÓN DE DENSIDADE sendo µ2(g) = R∞ −∞ z2g(z)dz . Para a varianza, partindo de (2.5) Var (b fh(x)) = 1 nh ZK(z)2f(x−hz)dz −1 n[Eb f(x, h)]2 =1 nh ZK(z)2dzf(x) + o1 nh =1 nhR(K)f(x) + o1 nh (2.9) con R(g) = R∞ −∞ g(z)2dz . Xuntando agora a ecuación (2.9) co cadrado de (2.8) obtemos ECM(b fh(x)) = 1 nhR(K)f(x) + 1 4h4µ2(K)2f(2)(x)2+o1 nh +h4 e integrando esta expresión obtemos MISE[b fh] = AMISE[b fh] + o1 nh +h4 Na práctica será de interese coñecer o comportamento límite do MISE. Este límite chámase AMISE, que son as siglas en inglés de Asymptotic Mean Integrated Squared Error , e vén dado por: AMISE [b fh] = (nh)−1R(K) + 1 4h4µ2(K)2R(f(2)) (2.10) onde g(i) representa a derivada de orde i dada unha certa función g . Dada a fórmula do AMISE, veremos a continuación que, na ecuación (2.1), a elección de K non é moi importante. Como dixemos antes, a función núcleo verica RRK(x)dx = 1 e é simétrica en torno ao cero. Naturalmente, existen moitas funcións que verican estas dúas propiedades, polo que é natural preguntarse que funcións núcleo son mellores. Para ver isto, partimos da fórmula do AMISE dada na expresión (2.10) e seguindo [7] consideramos o núcleo Kδ(·) = K(·/δ)/δ con δ0= (R(K)/µ2(K)2)1/5 . Nesta situación: R(Kδ0) = ZKδ0(z)2dz =Z1 δ2 0 K(z/δ0)2dz = =1 δ2 0Zδ0K(w)2dw =1 δ0ZK(w)2dw =1 δ0 R(K) e µ2(Kδ0) = Zz2Kδ0(z)dz =Zz21 δ0 K(z/δ0)dz = 2.2. PROPIEDADES DO ESTIMADOR TIPO NÚCLEO 13 =Z(δ0w)21 δ0 K(w)δ0dw =δ2 0Zw2K(w)dw = =δ2 0µ2(k) onde consideramos o cambio de variable w=z/δ0 . Con isto obtemos unha expresión de AMISE que separa a dependencia de h e de K : AMISE [b fh] = 1 nhR(Kδ0) + 1 4h4µ2(Kδ0)2R(f(2)) = =1 nh R(K) δ0 +1 4h4(µ2(K)δ2 0)2R(f(2)) = =1 nh µ2(K)2 R(K)1/5 R(K) + 1 4h4µ2(K)2R(K) µ2(K)24/5 R(f(2)) = =C(K)1 nh +1 4h4R(f(2)) sendo C(K) = R(K)4µ2(K)21/5 . Dada a expresión anterior resulta máis sinxelo abordar o problema de determinar a función núcleo óptima, xa que só necesitaremos escoller o K que minimice C(K) coas restricións: RRK(x)dx = 1, RRxK(x)dx = 0, RRx2K(x)dx =a2<∞ con K(x)≥0 para todo x∈R . Nesta situación obtense como núcleo óptimo o núcleo de Epanechnikov, que ten a seguinte expresión: Kepa(x) = 3 4[1 −x2]I|x|<1 onde I|x|<1 é a función que toma valor 1 se x∈(−1,1) e valor 0 noutro caso. Comparemos agora o núcleo óptimo que acabamos de obter con outros núcleos que tamén son utilizados na práctica. Para iso faremos a operación [C(Kepa)/C(K)]5/4 , que recibe o nome de eciencia de K con respecto a Kepa . Os valores de dita operación para as principais funcións núcleo están representados na terceira columna da Táboa 2.1. Ademais, na cuarta columna da Táboa 2.1 dáse unha representación gráca das principais funcións núcleo que se poderían considerar. 20 CAPÍTULO 3. SELECTOR DO PARÁMETRO VENTÁ ecuación (2.7) MISE [b fh] = Z+∞ −∞ E[b fh(x)−f(x)]2dx =Z+∞ −∞ ECM [b fh(x)]dx, resulta inmediata a obtención da expresión MISE hb fhi=ZE[b fh(x)−f(x)]2dx =EZb fh(x)2dx−2EZb fh(x)f(x)dx+Zf(x)2dx. (3.2) Dado que tratamos de atopar un h óptimo e o último termo da fórmula non depende do parámetro h , minimizar (3.2) será equivalente a minimizar: arg m´ın h MISE hb fhi= arg m´ın n EZb fh(x)2dx −2Zb fh(x)f(x)dx, (3.3) e ademais podemos identicar o segundo termo da parte dereita da ecuación como a esperanza do estimador b fh , que se pode estimar empregando a media mostral. Nesta situación o noso problema está reducido a estimar a función de densidade en cada punto xi , e logo calcular a súa media, pero non podemos empregar ese mesmo punto xi , pois estariamos empregando o mesmo dato para estimar e para avaliar a estimación obtida. Introdúcese neste contexto o concepto de validación cruzada . Este método consiste en empregar toda a mostra {x1, ..., xn} menos o dato xi para estimar a función de densidade e logo avaliala no punto xi . Esta idea lévanos á seguinte ecuación, que é un estimador insesgado da expresión (3.3). VC (h) = Zb fh(x)2dx −2 n n X i=1 b f−i h(xi) (3.4) onde b f−i h representa un estimador tipo " leave-one-out " que se dene como b f−i h(x) = 1 n−1 n X j6=i Kh(xi−xj). Polo tanto, o selector bhV C proposto polo método de validación cruzada será o valor de h que minimice a función VC denida en (3.4). É dicir, bhV C = arg m´ın h VC (h). Cabe destacar que nalgunhas ocasións a función de validación cruzada ten máis dun mínimo local. Neste caso pódese dar un fenómeno de confusión, polo que é preciso ter 3.3. SELECTOR PLUG-IN 21 precaución ao atopar bhV C na práctica. Este fenómeno de confusión dáse cando temos o mínimo absoluto da función de validación cruzada fora da grella de ventás considerada na cal avaliamos dita función. O seguinte exemplo reexa este caso. Podemos ver na Figura 3.1, dúas situacións. Na primeira, Figura 3.1 (a), vemos que a función de validación cruzada non ten un mínimo absoluto, e o mínimo local que posúe está inuenciado polo intervalo que collamos para determinar a h . Deste xeito, se o intervalo de ventás onde queremos avaliar a función de validación cruzada é (0, x) , o mínimo para dito intervalo será x , pero non temos un mínimo global para h > 0 , como se pretende no método de validación cruzada. En cambio, para a Figura 3.1 (b), vemos que a función de validación cruzada sí que ten un mínimo absoluto no intervalo de ventás considerado. 01234 0 1 2 3 4 Grella para o parámetro ventá Función de validación cruzada (a) Función de validación cruzada fronte a parámetro ventá dunha distribución normal estándar 1 2 3 4 1.5 2.0 2.5 3.0 Grella para o parámetro ventá Función de validación cruzada (b) Función de validación cruzada fronte a parámetro ventá dunha distribución normal con media 0 e desviación típica 0.1 Figura 3.1: Representación da función de validación cruzada de dúas distribucións fronte ao parámetro ventá. 3.3. Selector plug-in A regra do polgar asume a normalidade da función de densidade f para obter o selector do parámetro h . No método plug-in asumiremos de novo normalidade, pero esta vez nunha etapa máis avanzada. Isto producirá unha menor inuenza da normalidade na selección do parámetro ventá. 22 CAPÍTULO 3. SELECTOR DO PARÁMETRO VENTÁ Partindo da fórmula (3.1) e como mencionabamos anteriormente, tódolos termos son coñecidos coa excepción de R(f(2)) . Recordemos que por denición tiñamos R(g) = R+∞ −∞ g(x)2dx , e aplicando a fórmula de integración por partes obtemos: R(f(2)) = Zf(2)(x)2dx = (−1)2Zf(4)(x)f(x)dx =E[f(4)(x)]. onde f(r) representa a r− ésima derivada da función de densidade f . Se introducimos a notación ψr=Zf(r)(x)f(x)dx =E[f(r)(x)] obtemos que R(f(2)) = E[f(4)(x)] = ψ4 , e substituíndo na ecuación (3.1) o termo R(f(2)) por ψ4 chegamos á expresión hAMISE =R(K) µ2(K)2ψ4n1/5 . (3.5) Mais de igual modo que R(f(2)) , o termo ψ4 é descoñecido, polo que deberemos de novo buscar unha estimación do mesmo. Dita estimación vén dada por: b ψ4(g) = 1 n n X i=1 b fg (4)(xi), onde g será un novo parámetro ventá, que en xeral será distinta de h . Recordando a expresión do estimador tipo núcleo, é dicir, b fh(x) = n−1Pn i=1 Kh(x−xi) , e substituíndo na fórmula anterior obtemos b ψ4(g) = 1 n2 n X i=1 L(4) g(x−xi). onde L é unha función núcleo que pode ser distinta da función núcleo K . A proposta do estimador c ψ4 pode verse en [7], (páxina 67). Deste xeito, substituíndo na ecuación (3.5) o termo descoñecido ψ4 polo seu correspondente estimador b ψ4(g) , obtemos a aproximación de h polo método plug-in, que denotaremos por bh PI : bh PI = R(K) µ2(K)2b ψ4n!1/5 . (3.6) Mais notemos que a función bh PI depende da elección do parámetro g , que é de novo descoñecido. Para realizar unha aproximación de dito parámetro debemos ter que conta 3.3. SELECTOR PLUG-IN 23 o erro cadrático medio asintótico, que denotaremos por AMSE debido ás súas siglas en inglés, do estimador b ψ4 . Pode verse en [7] (ver páxina 71) que a ventá óptima para b ψ4(g) seguindo este criterio de erro é: gb ψ4(g)="2K(4)(0) −µ2(K)ψ6n#1/7 . (3.7) Pero con este procedemento de selección do parámetro vemos que g ten o mesmo problema que para denir bh PI , xa que depende de ψ6 o cal é descoñecido. Se tratamos de estimar ψ6 , a ventá óptima para dita aproximación dependerá de ψ8 do seguinte xeito: gb ψ6(g)="2K(6)(0) −µ2(K)ψ8n#1/9 . (3.8) É dicir, a ventá óptima para a estimación de ψr depende de ψr+2 . Para solucionar este problema acostúmase estimar ψr , para un certo r , mediante a regra do polgar. Nesta situación podemos preguntarnos cantas estimacións de funcións ψr debemos realizar antes de asumir normalidade para estimar a función ψr+2 . Sobre este problema non existe un número exacto que diga cantas iteracións se deben facer, pero consideracións teóricas determinan que deben facerse, polo menos, dúas iteracións. É dicir, no caso de facer dúas iteracións deberiamos asumir a normalidade de ψ8 ou o que é o mesmo, asumiremos que a función de densidade f segue uns distribución normal para estimar a súa derivada de orde 8 . Debemos ter en conta que dada f unha función de densidade dunha variable normal con varianza σ2 , en [7] pode verse que: ψr=(−1)r/2r! (2σ)r+1(r/2)!π1/2. (3.9) A continuación preséntase un exemplo do proceso para calcular o selector proposto pola regra plug-in realizando dúas iteracións. Dito selector foi proposto por Sheather e Jones e pode consultarse en [4] e divídese en varios pasos: Paso 1: Dado que imos realizar dúas iteracións, o primeiro será asumir a normalidade de ψ8 . Usando a expresión (3.9), a estimación de ψ8 ven dada por b ψ8=105 32π1/2bσ9 sendo bσ a estimación de σ . 24 CAPÍTULO 3. SELECTOR DO PARÁMETRO VENTÁ Paso 2: Tendo en conta agora a ecuación (3.8) e substituíndo nela o valor descoñecido de ψ8 pola súa estimación b ψ8 obtida no paso anterior, podemos calcular o valor de g1 que ven dado por g1="−2K(6)(0) µ2(K)b ψ8n#1/9 . e estimamos ψ6 mediante b ψ6(g1) . Paso 3: De novo procedemos como no paso anterior, unha vez obtido o valor de b ψ6(g1) e tendo en conta a ecuación (3.7), substituímos na mesma o valor de ψ6 pola súa estimación c ψ6 . Desta maneira estimamos ψ4 mediante b ψ4(g2) con g2="−2K(4)(0) µ2(K)b ψ6(g1)n#1/7 . Paso 4: Finalmente, substituíndo na ecuación (3.6) o valor de b ψ4 obtido no paso anterior, obtemos o sector do parámetro ventá h proposto polo método plug-in: bh PI ="R(K) µ2(K)2b ψ4(g2)n#1/5 . Capítulo 4 Estudo de simulación Neste capítulo compáranse, mediante un estudo de simulación, os diferentes métodos de selección do parámetro ventá h que se presentaron no Capítulo 3. Para isto programamos os métodos de polgar e de validación cruzada, aínda que os resultados que aparecen ao longo deste capítulo referentes á validación cruzada non foron obtidos con dita programación propia, senón mediante a función h.ucv que se atopa no paquete kedd de . Así mesmo, empregouse a función dpik da libraría KernSmooth para obter os resultados do método plug-in. Pódese atopar máis información do paquete kedd na páxina https://cran. r-project.org/web/packages/kedd/kedd.pdf e do paquete KernSmooth na seguinte ligazón https://cran.r-project.org/web/packages/KernSmooth/KernSmooth.pdf . Para iso empregarase o método de Monte Carlo, que se basea en xerar moitas mostras e operar con elas co obxectivo de ver como se comporta cada un dos métodos para as distintas mostras xeradas. En concreto, os pasos a seguir son os seguintes: 1. Xerar unha mostra aleatoria simple da variable de interese. 2. Estimar para a mostra anterior o parámetro ventá conforme a cada un dos diferentes métodos presentados no Capítulo 3. 3. Calcular o ISE para cada método de selección do parámetro ventá. 4. Repetir os pasos 1-3 anteriores un número M grande de veces. Deste xeito, podemos concluír que método de selección de ventá se axusta mellor á distribución de interese. 25 26 CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN En concreto, para este capítulo, xeramos con 1000 mostras aleatorias simples de varias distribucións diferentes e con tamaños de mostra n= 100 , n= 250 e n= 500 , co obxectivo de ver cal é a tendencia a medida que aumentamos o número de datos. Ademais, utilizaranse os modelos que aparecen nas Táboas 4.1 e 4.2, do conxunto de funcións de densidade empregadas en [2] (ver páxina 717). Nestas táboas introdúcese unha nova notación pola cal se referencia, por exemplo, o modelo 3 das distribucións de [2] como M3. Nótese que N(µ, σ2) representa unha variable normal con media µ e varianza σ2 . Modelo Expresión Matemática Gráca M1 N(0,1) −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 M3 P7 i=0 1 8N 3 2 3i −1!,2 32i! −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 M4 2 3N(0,1) + 1 3N 0,1 102! −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.5 1.0 1.5 Táboa 4.1: Modelos considerados en [2] xunto coa súa expresión en función de distribucións normais así como a representacións das correspondentes funcións de densidade. Estas funcións de densidade que eliximos teñen por obxectivo ver como se comportan os diferentes selectores de ventá en diferentes escenarios. Deste xeito eliximos formas suaves, como por exemplo a función de densidade normal, que é o modelo M1, e formas máis rugosas como por exemplo a garra, que se corresponde co modelo M10. CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN 27 Modelo Expresión Matemática Gráca M6 1 2N −1,2 32!+1 2N 1,2 32! −3 −2 −1 0 1 2 3 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 M7 1 2N −3 2,1 22!+1 2N 3 2,1 22! −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 M10 1 2N(0,1) + P4 i=0 1 10N i 2−1,1 102! −3 −2 −1 0 1 2 3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Táboa 4.2: Modelos considerados en [2] xunto coa súa expresión en función de distribucións normais así como a representacións das correspondentes funcións de densidade. Con estas mostras realizamos o procedemento descrito anteriormente e, facendo a media dos ISE obtidos para cada un dos métodos de selección do parámetro ventá, chegamos ao MISE do estimador tipo núcleo conforme a ese método de selección. Deste xeito podemos comparar os erros obtidos ao empregar cada un dos métodos de selección de h , e á súa vez concluír que método é mellor estimar o parámetro ventá para cada unha das distribucións consideradas. Ademais, ao ir incrementando o tamaño da mostra podemos ver o efecto que ten dito incremento sobre o valor da estimación do parámetro h e sobre os erros ISE e MISE. Preséntase a continuación, na Táboa 4.3, os datos obtidos tras realizar o proceso explicado anteriormente en partindo da semente 123 . En dita táboa indícase o MISE obtido para cada unha das distribucións de datos utilizadas, con cada tamaño de mostra, e para cada método de selección do parámetro h . Nótese que o código empregado para obter 28 CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN a Táboa 4.3 pode consultarse no Anexo deste documento. Distribución Tamaño Polgar VC Plug-in AMISE M1 n=100 0.3342 0.3377 0.3313 0.3125 0.3033 0.3275 n=250 0.3115 0.3167 0.3117 n=500 0.3012 0.3058 0.3032 M3 n=100 0.1250 0.6040 0.2655 0.4176 0.5476 0.7538 n=250 0.1794 0.6511 0.6849 n=500 0.2571 0.6427 0.6490 M4 n=100 0.9355 0.9243 0.9231 0.8023 0.7411 0.9088 n=250 0.8808 0.7831 0.7725 n=500 0.8483 0.7278 0.7211 M6 n=100 0.2698 0.2837 0.2777 0.2641 0.2549 0.2825 n=250 0.2656 0.2673 0.2635 n=500 0.2590 0.2564 0.2539 M7 n=100 0.3674 0.3696 0.3611 0.3341 0.3179 0.3620 n=250 0.3625 0.3353 0.3300 n=500 0.3499 0.3173 0.3145 M10 n=100 0.4401 0.4509 0.4347 0.4046 0.4247 0.6061 n=250 0.4016 0.4376 0.4944 n=500 0.3906 0.4107 0.4490 Táboa 4.3: Error cadrático medio integrado (MISE) obtido tras o estudo de simulación para os modelos M1, M3, M4, M6, M7 e M10 considerados por [2] para cada un dos méritos considerados regra do polgar (baixo o título Polgar ). Na última columna aparece o MISE da ventá AMISE, que debería ser o MISE máis pequeno. Como podemos ver na Táboa 4.3, na maioría de modelos os MISE fanse máis pequenos a medida que aumentamos o tamaño de mostra. Isto é algo esperable que ocorre en todos os casos con excepción do modelo M3. Este caso é algo especial xa que se produce o que se chama efecto fronteira. Este fenómeno ocorre cando temos gran cantidade de datos preto da fronteira do intervalo no cal se dene a función de densidade. Podemos ver na Táboa 4.1 que o modelo M3 concentra a maior cantidade de datos xusto onde comeza o intervalo de denición da función de densidade, o que fomenta este problema do efecto fronteira. Dada a complexidade do modelo non conseguimos mellorar os erros obtidos aumentando o tamaño da mostra, e para unha satisfactoria estimación da función de densidade necesitaríamos CAPÍTULO 4. ESTUDO DE SIMULACIÓN 29 utilizar técnicas especícas. Por outro lado vemos que tódolos resultados dos MISE se sitúan en torno ao resultado da última columna, que fai referencia ao MISE da ventá hAMISE . Isto é algo bo xa que a ventá hAMISE é, asintóticamente, a mellor ventá posible. Por outro lado, podemos dicir que non resulta claro o feito de que un tipo de selector de parámetro ventá sexa mellor que os outros para tódolos casos. Por exemplo, para o modelo M1 o menor MISE obtense co método do polgar, mentres que para o modelo M7 o MISE que se obtén co método do polgar é o maior de todos, mentres que o menor obtense co método do plug-in. Isto indica que deberemos ter en contra a mostra para elixir o método polo cal debemos seleccionar a ventá. Presentamos a continuación unhas grácas en forma de boxplot dos parámetros ventá h obtidos por cada un dos diferentes métodos. Isto pode dar unha idea da dispersión que teñen as estimacións das ventás obtidas por cada método, así como se presentan moitos datos atípicos. Ademais, a liña horizontal punteada que aparece acompañando á gráca fai referencia á ventá hAMISE . Para a Figura 4.1, os datos foron xerados seguindo unha distribución normal estándar. Este feito produce que a regra do polgar produza os resultados que vemos na Figura 4.1, na que a regra do polgar presenta pouca dispersión para todos os tamaños de mostra, incluso menos que o método do plug-in. Por outro lado vemos que a validación cruzada presenta moita dispersión para as ventás. Isto é algo esperable xa que a función de distribución normal é un modelo moi suave, situación na que a validación cruzada non proporciona bos resultados. Finalmente mirando cara a ventá hAMISE , vemos que tende a cero a medida que o tamaño de mostra aumenta. O modelo M4 é en certo sentido complicado, xa que parte dunha normal e presenta un crecemento e seguidamente un decrecemento moi grandes. O feito de que sexa un modelo complexo pode verse, na Figura 4.2, mirando a cantidade de datos atípicos que presenta para tamaño de mostra n= 100 . Nesta situación, e como se pode ver na Figura 4.2, o método do polgar non proporciona resultados satisfactorios. Isto débese a que o modelo M4 dista moito do modelo M1. En canto á validación cruzada, a rugosidade do modelo fai que este método proporcione bos resultados, sen ter moita variabilidade nas ventás. Finalmente dicir que o método do plug-in converxe a hAMISE e presenta moi pouca dispersión, polo que para tamaños de mostra grandes este método será o mellor que poidamos usar. Na Figura 4.3 podemos ver que, ao igual que para o modelo M4, o método do polgar 36 CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS Tras cargar dita base de datos en , o noso obxectivo será estimar a función de densidade do tempo transcorrido entre erupcións. Para iso podemos, en primeiro lugar, facer un análise descritivo da variable de estudo, que será a variable eruptions , a cal recolle a duración de cada erupción do geyser observado. Os resultados obtidos aparecen resumidos na Táboa 5.1. Dado que a variable de estudo está dada en minutos, este análise descritivo da variable dinos, por exemplo, que o tempo mínimo de erupción é de 1.60 minutos, e que o tempo medio de erupción é de 3.48 . Ademais sabemos que o 75 % das erupcións teñen un tempo de duración superior a 2.16 minutos. Medidas Características Valor (en minutos) Media 3.48 Desviación Típica 1.14 Mínimo 1.60 Máximo 5.10 Rango 3.50 Cuantil 0.25 2.16 Mediana (Cuantil 0.5 ) 4.00 Cuantil 0.75 4.45 Rango Intercuantílico 2.29 Moda 1.86 Táboa 5.1: Principais medidas características asociadas á variable eruptions asociada á base de datos faithful en . De cara a continuar co resumo da variable eruptions podemos realizar representacións grácas como o histograma (ver parte (a) da Figura 5.2) que nos dará unha idea da forma da función de densidade que queremos estimar. Ademais, gran parte das medidas características recollidas na Táboa 5.1 podemos resumilas grazas a un diagrama de caixa (ver parte (b) da Figura 5.2) que tamén nos informa sobra a presenza de datos atípicos. Á vista de ditas representacións podemos dicir que a variable eruptions segue unha distribución bimodal, onde unha das modas sitúase entre os valores 1 e 2 e a outra entre os valores 4 e 5 . Ademais o diagrama de caixas mostra que a mediana está notablemente máis cerca do cuantil 3 que do cuantil 2, o que indica que gran parte dos datos están nun intervalo relativamente pequeno, comprendido entre os 4 e os 4.45 minutos. Como comentamos anteriormente, o noso obxectivo é presentar unha estimación da CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS 37 Tempo de erupción Frecuencia 2345 0 20 40 60 (a) Histograma 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Tempo de erupción (b) Diagrama de caixas Figura 5.2: Representación mediante histograma e diagrama de caixas da variable eruptions correspondente á base de datos faithful de . función de densidade da variable eruptions e para iso empregaremos o diferentes métodos presentados ao longo do Capítulo 3. Na Figura 5.3 representamos o histograma da variable eruptions xunto coas estimacións da función de densidade empregando tanto a regra do polgar, como o método de validación cruzada ou a regra plug-in. A Figura 5.3 móstranos que a estimación da función de densidade que ofrece o método do polgar non se aproxima de maneira axeitada ao histograma dos nosos datos. Isto é razoable, pois este método de selección de h baséase na suposición de que a variable de estudo, neste caso eruptions , segue unha distribución normal con media e varianza descoñecidas. En concreto, para os datos da variable eruptions dita suposición é completamente errónea, xa que a variable de estudo ten a menor densidade de datos xusto onde a distribución normal conta con maior densidade de datos. Polo tanto, o feito de supoñer distribución normal é o que produce que a estimación tipo núcleo obtida grazas á regra do polgar non mostre un bo axuste aos datos. Para ver de maneira máis formal que os datos da variable eruptions non seguen unha distribución normal podemos presentar un gráco qq-plot (ver Figura 5). Recordemos que nun grácos qq-plot representarmos os cuantís dunha variable normal fronte aos cuantís da variable de estudo, e así, no caso de que a variable seguise unha distribución normal, a gran maioría dos puntos deberían situarse entre as dúas liñas punteadas que se presentan na Figura 5. 38 CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS 2345 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (a) Regra do polgar 2345 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (b) Validación cruzada 2345 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (c) Regra Plug-in Figura 5.3: Representación, mediante histograma, da variable eruptions correspondente á base de datos faithful de , acompañada coa estimación tipo núcleo da función densidade con distintos parámetros ventá h . A primeira imaxe correspóndese coa elección de ventá empregando a regra do polgar, para a segunda imaxe obtívose h mediante o método de validación cruzada e na terceira imaxe utilizouse a regra plug-in. Por outra banda, tamén poderiamos aplicar un test de normalidade, como por exemplo o test de Shapiro-Wilk. Recordemos que o test de Shapiro-Wilk ten como hipótese nula que a mostra, neste caso eruptions , provén dunha poboación normal e como hipótese CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS 39 −3 −2 −1 0 1 2 3 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 ●●●●●●●●●● ●● ●●●● ●●● ●●●●●●● ●● ●●●●●●●● ●●●● ●● ●● ● ●●● ●●● ●●●● ●●● ●● ● ●● ●●● ● ● ●● ● ●●● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ●● ●●●● ● ● ● ● ●● ● ●●●●● ●● ● ●●● ●● ● ● ●●●●●● ●● ● ●● ●●●●● ●● ●● ●● ●●●● ●●●● ● ● ●●● ●●●● ●● ●● ●● ● ●●●●● ●●●● ● ●●● ● ● ●●●● ●● ●●● ●● ● ●●●●●●●● ● ●●●●● ● ●●● ●●●● ●●●● ● ●●● ● ●● ●●●●●● ● ● ● ● ● ●●●●●● ●● ●● ● ● ●● ●●●●●●● 19 58 Figura 5.4: Gráco qq-plot da variable eruptions correspondente á base de datos faithful dispoñible en . alternativa que a mostra non provén dunha distribución normal. Se aplicamos o test de Shapiro-Wilk empregando o software obtense o seguinte resultado: > shapiro.test(eruptions) Shapiro-Wilk normality test data: eruptions W = 0.84592, p-value = 9.036e-16 Deste xeito, a obtención dun p-valor de 9.036e−16 indica o rechazo da hipótese nula en favor da hipótese alternativa. É dicir, temos evidencias estadísticamente signicativas de que a variable eruptions non segue una distribución normal. Por este motivo non é satisfactoria a estimación tipo núcleo da función de densidade utilizando a ventá h obtida polo método do polgar. En relación ás outras dúas estimacións da función de densidade, ambas producen resultados moi similares, mais parece que a mellor de elas é a que fai uso do parámetro h 40 CAPÍTULO 5. APLICACIÓN A DATOS REAIS obtido polo método de validación cruzada. Sen embargo, a estimación tipo núcleo que se proporciona utilizando a ventá obtida co método do plug-in poderíamos dicir que se axusta relativamente ben á función distribución real dos datos. Notemos tamén que o histograma só nos proporciona unha idea orientativa da forma da función de densidade, e pode variar en función do tamaño que elixamos para o ancho dos intervalos de clase, polo que non é sinxelo dicir cal das dúas estimacións da función de densidade se axusta mellor á función de densidade real dos datos. Concluímos entón dicindo que as estimacións tipo núcleo da función de densidade obtidas co parámetro ventá dado polo método do plug-in e co parámetro ventá dado polo de validación cruzada producen resultados moi semellantes. Capítulo 6 Conclusións Calquera variable aleatoria continua queda completamente caracterizada grazas á súa función de densidade. A estimación da función de densidade é un problema dunha gran importancia xa que, no caso de coñecer a función de densidade asociada a unha mostra, teríamos toda a información posible da mesma. Debido á importancia da función de densidade, neste traballo preséntanse a estimación tipo núcleo da mesma. Dada {x1, ..., xn} unha mostra aleatoria simple da variable X o estimador tipo núcleo defínese da seguinte forma: b fh(x) = 1 nh n X i=1 Kx−xi h onde K denomínase función núcleo ou kernel e h > 0 denota a ventá ou ancho de banda . Tamén se estudan as propiedades teóricas deste estimador en termos de erro cadrático medio (ECM), erro cadrático integrado (ISE), erro cadrático medio integrado (MISE) e erro cadrático medio integrado asintótico (AMISE), co obxectivo de determinar canto de boa é dita estimación. Este estudo do estimador tipo núcleo e dos erros mencionados introduce de maneira natural o problema da selección da función núcleo K que minimiza o erro cadrático medio integrado asintótico, que como se mostra no Capítulo 2 é o núcleo de Epanechnikov. Así mesmo, tamén se introduce o problema de selección do parámetro ventá, ao que se lle adica un capítulo completo, posto que o seu efecto sobre o estimador é moito máis importante que o da función núcleo. A bondade do estimador tipo núcleo está claramente inuenciada polo parámetro de suavizado , tamén coñecido como ancho de banda ou ventá. No Capítulo 3 preséntase a elección do parámetro ventá h e estúdanse tres métodos de selección de dito parámetro ventá. Selección que, como vimos, terá máis importancia que a elección do núcleo K á 41 42 CAPÍTULO 6. CONCLUSIÓNS hora de obter unha boa estimación da función de densidade. Os métodos de selección do parámetro ventá que se presentan podemos dividilos en función do obxectivo que perseguen. Por un lado, preséntase o método de validación cruzada que intenta minimizar o erro cadrático medio integrado. Por outra banda, detállanse a regra do polgar e a regra plug-in que intentan estimar a ventá que minimiza o erro cadrático medio integrado asintótico que recordemos vén dada por: hAMISE =R(K) µ2(K)2R(f(2))n1/5 onde R(g) = R+∞ −∞ g(z)2dz , µ2(g) = R+∞ −∞ z2g(z)dz e f(2) denota a segunda derivada da función de densidade que queremos estimar. Nótese que a regra do polgar baséase en asumir que a variable de interese sigue unha distribución normal para poder estimar R(f(2)) mentres que o método do plug-in baséase en estimar dita cantidade empregando estimadores non paramétricos. Nótese que a regra plug-in tamén vai asumir a normalidade da variable de interese pero nunha etapa posterior, co que consigue reducir notablemente o efecto de dita suposición. De cara a comparar os diferentes selectores do ancho de banda, no Capítulo 4 deséñase un estudo de simulación que permitirá establecer unha comparativa xusta entre os diferentes selectores en termos do erro cadrático medio integrado. Consideraranse diferentes modelos de distribucións presentados en [2] e con diferentes formas. Deste xeito, poderanse extraer conclusións sobre a utilidade de cara selector en función da forma da densidade que se pretende estimar. Compararemos os diferentes selectores tanto a través do erro cadrático medio integrado en canto á calidade da estimación, así como en termos de estimadores das ventás óptimas dende un punto de vista teórico. Para rematar, no Capítulo 5 aplícase o estimador estudado nos capítulos anteriores a unha base de datos reais. En concreto emprégase a base de datos faithful de , na cal se recollen datos da duración da erupción do geyser Old Faithfull. Con estes datos, dado que non coñecemos ningunha información sobre a función de densidade que seguen, trataremos de estimar a función de densidade de ditos datos empregando os diferentes métodos de selección de ventá vistos no Capítulo 3. Grazas a esta base de datos reais, ilustramos os motivos polos que a regra do polgar non proporciona unha boa estimación da función de densidade para certos conxuntos de datos, como por exemplo, este caso. É dicir, se os datos considerados non se asemellan para nada a unha distribución normal, a regra do polgar non proporcionará unha boa estimación da función de densidade. Ademais, mostraranse as ferramentas necesarias para contrastar a hipótese de normalidade na práctica a través de ferramentas como o test de normalidade de Shapiro-Wilk ou representacións grácas como CAPÍTULO 6. CONCLUSIÓNS 43 o qq-plot. Ao nal do traballo, baixo o título de Anexo , aparece o código utilizado para a programación dos métodos, para a realización do estudo de simulación e para a representación dalgunhas guras utilizadas ao longo do traballo. Anexo: Código de 6.1. Código correspondente á Figura 1.1 set.seed(123) z<-rnorm(100) #Histograma 1 hist(z,freq=F,main="",xlab="",breaks=2,ylim=c(0,0.65),ylab="Densidade", xlim=c(-2.5,2.5)) curve(dnorm(x,0,1),xlim=c(-3,3),main="",ylab="Densidade",add=T,lwd=3) #Histograma 2 hist(z,freq=F,main="",xlab="",ylim=c(0,0.65),ylab="Densidade", xlim=c(-2.5,2.5)) curve(dnorm(x,0,1),xlim=c(-3,3),main="",add=T,lwd=3) #Histograma 3 hist(z,freq=F,main="",xlab="",breaks=30,ylim=c(0,0.65),ylab="Densidade", xlim=c(-2.5,2.5)) curve(dnorm(x,0,1),xlim=c(-3,3),main="",ylab="Densidade",add=T,lwd=3) 45 52 Anexo: Código de Bibliografía [1] Bowman, A.W. (1984). An alternative method of cross-validation for the smoothing of density estimates . Biometrika, 71, 353-360. [2] Marron, J. S. e Wand, M. P. (1992). Exact mean integrated squared error . Institute of Mathematical Statistics, 712-736. [3] Rudemo, M. (1982). Empirical choice of histograms and kernel density estimators . Scandinavian Journal of Statistics 9, 65-78. [4] Sheather, S. J. e Jones, M. C. (1991). A reliable data-based bandwidth selection method for kernel density estimation . Journal of the Royal Statistical Society, 53, 683-690. [5] Silverman, B.W. (1986). Density Estimation for Statistics and Data Analysis . Chapman and Hall, London. [6] Sturges H. A. (1926). The choice of a class interval . Journal of the American Statistical Association, 21, 6566. [7] Wand, M. P. e Jones, M. C. (1995). Kernel Smoothing . Chapman & Hall. 53