O grao topolóxico de Leray-Schauder e aplicacións ás ecuacións diferenciais

Traballo Fin de Grao O grao topolóxico de Leray-Schauder e aplicacións ás ecuacións diferenciais Manuel Álvarez Rodríguez 2021-2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao O grao topolóxico de Leray-Schauder e aplicacións ás ecuacións diferenciais Manuel Álvarez Rodríguez Xullo, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Análise Matemática Título: O grao topolóxico de Leray-Schauder e aplicacións ás ecuacións diferenciais Breve descrición do contido O grao topolóxico de Leray-Schauder, que xeneraliza a espazos normados a teoría do grao de Brouwer, é unha ferramenta moi útil en análise non lineal para probar a existencia de solución dunha ecuación dada. Partindo do caso de dimensión nita, presentarase esta teoría xunto coas súas propiedades máis relevantes. Logo, como consecuencia da mesma, probaranse algúns teoremas de punto xo (Brouwer, Schauder, Schaefer...). Como unha aplicación, usarase a teoría no estudo de existencia de solución para ecuacións diferenciais ordinarias. Recomendacións Outras observacións iii Índice Resumo viii Introdución xi 1. Grao Topolóxico de Brouwer 1 1.1. Resultadosprevios ................................... 1 1.2. Denición do grao de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Propiedades do grao de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1. Resultados topolóxicos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Cambios en f e b ................................ 14 1.3.3. Cambiosnodominio.............................. 16 1.4. Teorema de punto xo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Grao topolóxico de Leray-Schauder 23 2.1. Introdución do grao para espazos de dimensión innita . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Denición do grao de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Propiedades do grao de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Teoremasdepuntoxo ................................ 33 2.4.1. Teorema de punto xo de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2. TeoremadeSchaeer.............................. 35 v vi ÍNDICE 3. Aplicacións da Teoría do grao ás ecuacións diferenciais 37 Bibliografía 45 Capítulo 1 Grao Topolóxico de Brouwer Imos comezar amosando algunhas denicións e resultados que cómpre recordar pois faremos moito uso dos mesmos ó longo do traballo. Dado que non son obxecto de estudo, non afondaremos moito nestes resultados e remitimos ó lector ós libros [5], [7] e [16], que son unha boa referencia dos apartados 1.1 e 1.3.1. Os resultados que se recollen nas seccións restantes deste primeiro capítulo pódense atopar principalmente nos libros [13] e [14]. Nestas fálase do grao de Brouwer, preséntanse algunhas denicións máis amplas do mesmo, analízanse as súas propiedades e tamén algunha aplicación máis directa, como o Teorema de punto xo de Brouwer. 1.1. Resultados previos Como xa comentamos, neste apartado preséntanse algúns termos procedentes do análise funcional e da topoloxía que en xeral son coñecidos. Ademais aclárase a notación que se utilizará e recóllense resultados máis especícos, que non son propios da teoría do grao, como o Teorema da Función Inversa 1.17, o Teorema de Sard 1.18 e o Teorema de Weierstrass 1.19. Denición 1.1. Un espazo linear E sobre R é un conxunto de elementos que satisfán as seguintes condicións: 1. (E, +) é un grupo abeliano. 2. Está denida unha operación ·:R×E→E vericando para λ, µ ∈R e x, y ∈E , a ) λ·(x+y) = λ·x+λ·y , b ) (λ+µ)·x=λ·x+µ·x , c ) λ·(µ·x)=(λ·µ)·x , 1 2 1. Grao Topolóxico de Brouwer d ) 1·x=x . En xeral a denición de espazo vectorial e linear é a mesma aínda que non teñen a mesma interpretación xeométrica. Denición 1.2. Sexa E un espazo linear real. Unha norma sobre E é unha aplicación ∥·∥:E→R que verica para x, y ∈E e a∈R : 1. ∥x∥ ≥ 0 , 2. ∥x∥= 0 se e só se x= 0 , 3. ∥ax∥=|a|∥x∥ , 4. ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥ . Un espazo linear dotado dunha norma, (E, ∥·∥) , chámase espazo linear normado . Notación 1.3 . Referirémonos a un espazo linear real soamente como espazo linear. Notación 1.4 . [13, Páx. 36] Sexa Ω un subconxunto de Rn aberto e limitado. Referirémonos a Ck(¯ Ω,Rn) como o espazo de funcións, f: Ω →Rn , k veces diferenciables en Ω tal que f e as súas derivadas de orden inferior a k+ 1 se poden estender de forma continua a ¯ Ω . Notación 1.5 . Sexa E un espazo linear de dimensión nita n . Utilizaremos para x∈E a seguinte norma, |x|= m´ax{|xi|:i= 1, ..., n}. Notación 1.6 . Sexa Ω un subconxunto de Rn aberto e limitado. Sexa unha función f∈C(¯ Ω,Rn) , denotaremos a súa norma como ∥f∥≡∥f∥∞= sup x∈Ω|f(x)|. Observación 1.7 . Todo espazo linear normado (E, ∥·∥) se pode considerar como espazo métrico baixo a métrica, ρ(x, y) = ∥x−y∥ , inducida pola norma. Denición 1.8. Dados dous conxuntos A e B nun espazo métrico (E, ρ) , defínese a distancia entre os conxuntos A e B como ρ(A, B) = ´ınf{ρ(x, y) : x∈A, y ∈B}. Denición 1.9. Defínese o produto interno sobre un espazo linear E como unha aplicación ⟨·,·⟩ :E×E→R, que cumpre para x, y, z ∈E e a∈R : 1.1. Resultados previos 3 1. ⟨x, y⟩=⟨y, x⟩ , 2. ⟨ax, y⟩=a⟨x, y⟩ , 3. ⟨x, y +z⟩=⟨x, y⟩+⟨x, z⟩ , 4. ⟨x, x⟩ ≥ 0 , ⟨x, x⟩= 0 se e só se x= 0 . Observación 1.10 . A todo produto interno se asocia unha norma, ∥x∥=p⟨x, x⟩ . Denición 1.11. Sexa X un conxunto arbitrario e f unha función de X en Rn . O soporte de f , denótase por supp(f) e defínese como: supp(f) = {x∈X:f(x)= 0} , isto é, a clausura do conxunto de puntos para os cales a función non se anula. Denición 1.12. Unha sucesión {xn} nun espazo métrico X dise sucesión de Cauchy se ∀ε > 0∃N∈N/ n, m ≥N=⇒d(xn, xm)<ε. Denición 1.13. Un espazo métrico dise que é completo se toda sucesión de Cauchy no espazo é converxente. Denición 1.14. Se un espazo linear normado é completo, entón dise que é un espazo de Banach . Denición 1.15. Sexan U⊂Rn e V⊂Rm dous espazos calquera. Unha aplicación f:U⊂Rn→V⊂Rm é un homeomorsmo se é continua, bixectiva e a súa inversa f−1 é tamén continua. Non entramos máis en detalle nestes conceptos topolóxicos pois non serán necesarios para denir o grao, polo que se verán na sección 1.3.1. Continuamos con dous importantes teoremas do análise e unhas últimas denicións para dar paso á denición do grao. Corolario 1.16. Sexa f: Ω ⊆Rn→Rm diferenciable en x∈Ω . A matriz xacobiana de f en x vén dada como Df(x) = ∂(f1, f2, ... , fm) ∂(x1, x2, ... , xn)=           ∂f1 ∂x1 ∂f1 ∂x2··· ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂x1 ∂f2 ∂x2··· ∂f2 ∂xn . . .. . ..... . . ∂fm ∂x1 ∂fm ∂x2··· ∂fm ∂xn           Se n=m , o determinante da matriz xacobiana, det(Df(x)) , denótase por Jf(x) . 4 1. Grao Topolóxico de Brouwer Demostración. Véxase en [21, Páx.78] Teorema 1.17 (da Función Inversa) . Sexan Ω⊂Rn un conxunto aberto e f∈C1(Ω,Rn) . Dado a∈Ω tal que f(a) = b e Jf(a)= 0 , entón existen veciñanzas abertas de a e b , Ua e Vb , tal que f:Ua→ Vb ten unha inversa f−1:Vb→ Ua continuamente diferenciable. Demostración. Véxase en [22, Páx.35]. Teorema 1.18 (de Sard) . Sexa Ω un subconxunto aberto de Rn , f∈C1(Ω,Rn) e S o conxunto {x∈Ω : Jf(x) = 0} . Entón f(S) ten medida de Lebesgue nula en Rn . Teorema 1.19. (de Weierstrass) Sexa K un conxunto cerrado e limitado de Rn e f∈C(K, Rn) . Entón existe unha sucesión de funcións fn∈C∞(K, Rn) que converxen uniformemente a f . Denición 1.20. Sexa f: Ω ⊆Rn→Rm unha función diferenciable e x∈Ω . Dise que x é un punto crítico se o rango de Df(x) é menor que m . Pola contra, se Df(x) alcanza o rango máximo, x é un punto regular . Denición 1.21. Sexa f: Ω ⊆Rn→Rm e y∈Rm . Dise que y é un valor crítico se é imaxe dun punto crítico, isto é, se existe x∈Ω tal que y=f(x) e o rango de Df(x) é menor que m . Noutro caso dise que y é un valor regular . Se nos restrinximos a funcións f∈ C1(Ω,Rn) , Ω⊆Rn , é sinxelo ver que un punto x é crítico se e só se Jf(x) = 0 . Logo, facendo uso do Teorema de Sard 1.18 sabemos que o conxunto de valores críticos ten medida nula. Denición 1.22. Deniremos a función signo , sgn(x) : R→ {−1,0,1} , como sgn(x) =        −1 se x < 0, 0 se x= 0, 1 se x > 0. 1.2. Denición do grao de Brouwer Neste apartado presentamos a denición de grao topolóxico para espazos de dimensión nita dada por Brouwer, unha caracterización da mesma e algunha denición máis xeral. Ademais veremos algún exemplo. Convén aclarar que, para facilitar a lectura, xaremos a seguinte notación. Notación 1.23 . Sexa f∈C1(¯ Ω,Rn) . Fixamos, salvo que se indique o contrario, ó conxunto Ω⊂Rn como aberto e limitado, e denotaremos por S ó conxunto de puntos críticos de f . 1.2. Denición do grao de Brouwer 5 Denición 1.24. Sexa Ω⊂Rn aberto e limitado, f∈C1(¯ Ω,Rn) , S o conxunto de punto críticos de f e b /∈f(S)∪f(∂Ω) . Defínese o grao de f en Ω respecto a b como d(f, Ω, b) = (0, se f−1(b) = ∅, Px∈f−1(b)sgn (Jf(x)) , noutro caso. Para ver que está ben denida a función do grao, debemos probar con anterioridade o seguinte resultado. Teorema 1.25. Se f∈C1(¯ Ω,Rn) e b /∈f(S) , entón o conxunto f−1(b) = {x∈¯ Ω : f(x) = b} é nito. Demostración. Vexámolo por redución ó absurdo. Supoñamos que o conxunto f−1(b)⊂¯ Ω é innito. Polo teorema de Heine-Borel, sabemos que ¯ Ω⊂Rn é compacto, entón, pola condición de Bolzano-Weierstrass, f−1(b) ten un punto de acumulación, ¯x . Logo existe unha sucesión {xn}n∈N⊂f−1(b) converxente a ¯x tal que xk=xl , para todo k=l . Por ser f diferenciable tense que, para un n sucientemente grande, 0 = f(xn)−f(¯x) = Df(¯x)(xn−¯x)+(xn−¯x)ε(xn−¯x), (1.1) onde ε é unha función real tal que l´ımt→0ε(t) = 0 . Ademais Jf(¯x)= 0 , pois ¯x∈f−1(b) e b /∈f(S) . Polo tanto, 0< γ := ´ınf{∥Df(¯x)u∥:u∈Rn,∥u∥= 1}. (1.2) Por (1.1), sabemos que para un n sucientemente grande, Df(¯x)xn−¯x ∥xn−¯x∥ é tan pequeno como desexemos. En particular,     Df(¯x)xn−¯x ∥xn−¯x∥    <γ 2. Polo tanto, tendo en conta (1.2), temos que γ≤    Df(¯x)xn−¯x ∥xn−¯x∥    <γ 2, chegando a unha contradición. Logo f−1(b) é nito como queriamos probar. Agora somos quen de ver que o grao está ben denido. Por ser b /∈f(S)∪f(∂Ω) , Df(x) está denida para todo x∈f−1(b) e Jf(x)= 0 . Entón Df(x) é invertible e, polo Teorema da función inversa, existe un entorno de x para o cal f é invertible. Ademais, temos probado que f−1(b) é nito e polo tanto a suma Px∈f−1(b)sgn (Jf(x)) é nita. 6 1. Grao Topolóxico de Brouwer Exemplo 1.26. (Normalización) Sexa Id : Ω →Rn a función identidade. Tense que DId(x) = In , onde In é a matriz identidade de orde n , logo JId(x)=1n= 1 e sgn(JId(x)) = 1 para todo x∈Ω . Entón o grao de Id en Ω respecto a b∈Rn é d(Id, Ω, b) = (1 se b∈Ω, 0 se b /∈¯ Ω. xa que Id−1(b) = b para b∈Ω . De xeito análogo obtense que J−Id(x) = (−1)n , logo se n é par o grao é o mesmo que no caso anterior. Se n é impar o grao de −Id en Ω respecto a b∈Rn é d(−Id, Ω, b) = (−1 se b∈Ω, 0 se b /∈¯ Ω. Exemplo 1.27. Sexa f(x) = sen(x) e Ω = (0,2π) . O conxunto (0,2π) é aberto e limitado en R , f∈C∞(¯ Ω) e Jf(x) = f′(x) = cos(x) . Vexamos os puntos onde o grao non está denido, isto é, calculamos f(S) e f(∂Ω) = f({0,2π}) : S={x∈(0,2π) : cos(x) = 0}=π 2,3π 4, f(S) = {−1,1} e f(∂Ω) = f({0,2π}) = {sen(0),sen(2π)}={0}, logo verifícanse as hipóteses da denición 1.24 para algún b∈R\{−1,0,1} . O grao de f en Ω respecto b= 2 é d(f, Ω,2) = 0 , pois f−1(b) = {x∈Ω : sen(x)=2}=∅. Para b=1 √2 , f−1(b) = x∈(0,2π) : sen(x) = 1 √2=π 4,3π 4 logo, df, Ω,1 √2= sgn cos π 4+ sgn cos 3π 4= 1 −1=0. É lóxico preguntarnos se podemos modicar ou facer menos restritivas as hipóteses da de- nición 1.24. A resposta é armativa pero para elo cómpre dar unha caracterización do grao e algún resultado máis técnico que nos permitirán probalo. Proposición 1.28. Sexa f∈C1(¯ Ω,Rn) e b /∈f(S)∪f(∂Ω) , entón existe εo tal que, d(f, Ω, b) = ZΩ φε(f(x)−b)Jf(x)dx, (1.3) para todo 0<ε<εo , onde φε é unha función C∞(Rn,R) cuxo soporte está contido na bóla B(0, ε) de centro 0 e radio ε e satisfai ZRn φε(x)dx =ZB(0,ε) φε(x)dx = 1. (1.4) 1.2. Denición do grao de Brouwer 7 Demostración. Se f−1(b) = ∅ , eliximos εo< ρ(b, f(¯ Ω)) . Tense que para todo x∈¯ Ω , |f(x)−b| ≥ ρ(b, f(¯ Ω)) > εo> ε, logo f−1(b)/∈B(0, ε)⊇supp(φε) e polo tanto φε(f(x)−b) = 0 vericando (1.3) trivialmente. Noutro caso, supoñamos que f−1(b) = {x1, x2, ... , xm} . Sabemos, por ser b /∈f(S) , que Jf(xi)= 0 , 1≤i≤m . Logo, aplicando o teorema da función inversa, existen veciñanzas Ui de xi disxuntas dous a dous e veciñanzas Vi de b tal que f|Ui:Ui→ Vi é un homeomorsmo. Ademais podemos garantir que Jf ten signo constante en Ui . Escollamos εo>0 tal que B(b, εo)⊂ m \ i=1 Vi e sexan Wi=f−1(B(b, εo)) ∩Ui. (1.5) Entón os conxuntos Wi son disxuntos dous a dous e Jf ten signo constante en cada un deles. Ademais, se 0<ε<εo e x /∈ ∪m i=1Wi , tense φε(f(x)−b)=0 . Isto é certo, xa que por hipótese φε(f(x)−b)=0 se f(x)−b /∈B(0, ε) e se x /∈ ∪m i=1Wi entón f(x)−b /∈B(0, ε) . Vexamos esta implicación con detalle. Se f(x)−b∈B(0, ε) entón f(x)∈B(b, ε)⊂B(b, εo)⊂ ∩m i=1Vi logo f(x) está en B(b, ε)∩ Vi e por ser f|Ui un homeomorsmo, x∈f−1(B(b, εo)) ∩ Ui=Wi . Con todo isto, tense que ZΩ φε(f(x)−b)Jf(x)dx = m X i=1 ZWi φε(f(x)−b)Jf(x)dx = m X i=1 sgn(Jf(xi)) ZWi φε(f(x)−b)|Jf(x)|dx = m X i=1 sgn(Jf(xi)) ZB(0,ε) φε(y)dy =d(f, Ω, b), facendo na terceira igualdade un cambio de variable e usando a hipótese (1.4) na última igualdade concluímos a demostración. Lema 1.29. Sexa g∈C2(¯ Ω,Rn−1) e Bi= (∂1g, ... , ∂i−1g, ... , ∂i+1g, ... , ∂ng) onde ∂ig=∂g1 ∂xi ,∂g2 ∂xi , ... , ∂gn−1 ∂xit , entón n X i=1 (−1)i∂iBi= 0. Demostración. Fixamos 1≤i≤n e denimos 8 1. Grao Topolóxico de Brouwer Cij =       0 se i=j, det (∂1g, ... , ∂i−1g, ∂i+1g, ... , ∂j−1g, ∂ijg, ∂j+1g, ... , ∂ng) se i < j, det (∂1g, ... , ∂j−1g, ∂ijg, ∂j+1g, ... , ∂i−1g, ∂i+1g, ... , ∂ng) se i > j. Sabemos que se A(x)=(F1(x), ... , Fn(x)) entón ∂idet(A(x)) = det(∂iF1, F2, ... , Fn) + det(F1, ∂iF2, ... , Fn) + ... + det(F1, F2, ... , ∂iFn. Logo aplicando isto, temos que ∂iBi=Pn j=1 Cij e polo tanto Pn i=1(−1)i∂iBi é o mesmo que Pn i,j=1(−1)iCij . Por ser g∈ C2 , facendo uso do Teorema de Schwarz, ∂ijg=∂jig , e pola propiedade dos determinantes ao traspoñer columnas, cúmprese o seguinte: Cij = (−1)j+i−1Cji. Co anterior, facemos os seguintes cálculos n X i,j=1 (−1)iCij = n X i,j=1 (−1)i(−1)j+i−1Cji = n X i,j=1 ((−1)2)i(−1)j−1Cji =− n X i,j=1 (−1)jCji =− n X i,j=1 (−1)iCij, onde a última igualdade se obtén intercambiando os índices libres. Así, temos que n X i=1 (−1)i∂iBi= n X i,j=1 (−1)iCij = 0, como queríamos probar. Lema 1.30. Sexa f∈C2¯ Ω,Rn e Aij(x)=(−1)i+jMji , sendo Mji o menor (j, i) complementario de Jf(x) . Entón para todo 1≤j≤n , n X i=1 ∂iAij = 0. Demostración. Por hipótese temos que Aij = (−1)i+jdet(∂lfk)k=j,l=i. Logo, xando j e aplicando o lema 1.29 a g= (f1, ... , fj−1, fj+1, ... , fn) concluímos a demostración. Observación 1.31 . Para n= 2 o lema anterior arma que ∂1A11 +∂2A21 =∂1A12 +∂2A22 = 0, sendo A= ∂2f2−∂2f1 −∂1f2∂1f1!. Isto é, ∂1∂2f2=∂2∂1f2 e ∂1∂2f1=∂2∂1f1 . 1.2. Denición do grao de Brouwer 9 Agora xa estamos en condicións de presentar a seguinte proposición, que permite unha de- nición máis ampla do grao. Proposición 1.32. Sexa f∈C2(¯ Ω,Rn) e b /∈f(∂Ω) . Dados bi∈B(b, ρo) , sendo i= 1,2 e ρo=ρ(b, f(∂Ω)) . Se bi/∈f(S) , entón d(f, Ω, b1) = d(f, Ω, b2). Demostración. Posto que os bi foron escollidos fóra de f(∂Ω) e por hipótese, o grao d(f, Ω, bi) está ben denido para i= 1,2 . Sexa σ > 0 tal que σ < ρo−|b−bi|, i = 1,2. Entón, pola caracterización do grao (proposición 1.28), existe ε<σ tal que d(f, Ω, bi) = ZΩ φε(f(x)−bi)Jf(x)dx , i = 1,2, baixo as hipóteses do mesmo. Logo φε(y−b2)−φε(y−b1) = Z1 0 d dtφε(y−b1+t(b1−b2))dt = (b1−b2)Z1 0∇φε(y−b1+t(b1−b2))dt = div(w(y)), onde w(y) = Z1 0 φε(y−b1+t(b1−b2)) dt·(b1−b2). Se y∈f(∂Ω) , |y−(1 −t)b1−tb2|=|(y−b) + (1 −t) (b−b1) + t(b−b2)| > ρo−(1 −t) (ρo−σ)−t(ρo−σ) = σ > ε. Posto que supp(φε) está contido na bóla B(0, ε) , tense que w(y) = 0 para y∈f(∂Ω) . Denimos, vi(x) =   Pn j=1 wj(f(x))Aij(x), x ∈¯ Ω, 0, x ∈Rn\¯ Ω, 1≤i≤n. Polo anterior tense que vi= 0 en ∂Ω . Ademais ∂vi ∂xi = n X j,k=1 ∂wj ∂xk (f(x))∂fk ∂xi (x)Aij(x) + n X j=1 wj(f(x)) ∂ ∂xi Aij(x) logo, div(v(x)) = n X j,k=1 ∂wj ∂xk (f(x)) n X i=1 ∂fk ∂xi (x)Aij(x)!+ n X j=1 wj(f(x)) n X i=1 ∂ ∂xi Aij(x)!. 16 1. Grao Topolóxico de Brouwer Corolario 1.45. Se d(f, Ω, b)= 0 , entón f(Ω) é unha veciñanza de b . Demostración. Sexa Cb a compoñente conexa de b en Rn\f(∂Ω) . Entón, para todo c∈Cb sabemos que d(f, Ω, c)= 0 . Logo, pola proposición anterior, Cb⊂f(Ω) . Só queda probar que Cb é aberto. Sabemos que, polo Lema 1.42, Rn\f(∂Ω) é localmente conexo por camiños. Logo polo Teorema 1.41 Cb é aberto. Veremos a continuación algún resultado que nos permitirá modicar o dominio da función á que estudamos o grao. 1.3.3. Cambios no dominio Teorema 1.46. 1. (Aditividade) Sexan Ω1∩Ω2=∅ e b /∈f(∂Ω1)∪f(∂Ω2) , onde f∈C¯ Ω,Rn e Ω=Ω1∪Ω2 . Entón d(f, Ω, b) = d(f, Ω1, b) + d(f, Ω2, b). 2. (Descomposición do dominio) Sexan f∈C(¯ Ω,Rn) e b /∈f(∂Ω) . Se {Ωj}j∈J é unha cobertura aberta de Ω tal que Ωj∩Ωi=∅ , para todo i=j . Entón d(f, Ω, b) = X j∈J d(f, Ωj, b). 3. (Excisión) Sexa f∈C(¯ Ω,Rn) e b /∈f(∂Ω) . Se K⊂¯ Ω é un conxunto pechado e b /∈f(K) , entón d(f, Ω, b) = d(f, Ω\K, b). Demostración. 1. Sexa g∈ C2 tal que ∥f−g∥∞< ρo/2 , ρo=ρ(b, f(∂Ω1)∪f(∂Ω2)) . Entón pola denición do grao, d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b), d(f, Ωi, b) = d(g, Ωi, b), i = 1,2. (1.12) Fixamos B=B(b, ρo/2) que é conexo e está contido en Rn\g(∂Ω) . Está tamén contido en Rn\g(∂Ωi) e polo tanto nas compoñentes conexa de b en Ωi , para i= 1,2 . O Teorema de Sard (1.18) garántenos a existencia dun valor regular c∈B que, pola invariancia nas compoñentes conexas, cumpre: d(g, Ω, b) = d(g, Ω, c), d(g, Ωi, b) = d(g, Ωi, c), i = 1,2. 1.3. Propiedades do grao de Brouwer 17 Logo por ser g de clase 2 e c un valor regular séguese da denición 1.24 que d(g, Ω, b) = d(g, Ω1, b) + d(g, Ω2, b), e pola igualdade (1.12) concluímos a demostración. 2. Cómpre demostrar primeiramente que ∂Ωj⊂∂Ω . Por redución ó absurdo, supoñamos que existe un p∈∂Ωj tal que p /∈∂Ω . Entón p∈Ω , pois ∂Ωj⊂¯ Ωj⊂¯ Ω . Logo existe un i∈J , i=j , tal que p∈Ωi . Por ser a cobertura aberta, existe un entorno Up de p en Ωi . En particular, por ser os Ωk disxuntos, Up∩Ωj=∅ . Chegando a unha contradición, pois p∈∂Ωj . Fixamos ρo=ρ(b, f(∂Ω)) e escollemos unha función g∈C2(¯ Ω,Rn) tal que b non é un valor crítico de g e ∥f−g∥∞< ρo/2 . Temos que ∂Ωj⊂∂Ω , b /∈g(∂Ωj) e |f(x)−g(x)|< ρ(b, f(∂Ωj))/2, x ∈¯ Ωj. Logo, por denición, d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b) e d(f, Ωj, b) = d(g, Ωj, b) , para todo j∈J . Entón, tense que d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b) = X x∈g−1(b) sgn(Jg(x)) = X j∈JX x∈g−1(b)∩Ωj sgn(Jg(x)) = X j∈J d(g, Ωj, b) =X j∈J d(f, Ωj, b). 3. É sinxelo probalo por denición, pero para elo necesitamos unha función C2 e un valor regular sucientemente próximos ós orixinais. Escollemos unha función g∈C2(¯ Ω,Rn) tal que d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b) e eliximos un valor regular c /∈g(K) sucientemente próximo a b , cuxas compoñentes conexas en Rn\g(∂Ω) e Rn\g(∂(Ω\K)) sexan as mesmas. Entón por denición d(f, Ω, b) = d(g, Ω, c) = X x∈g−1(c)∩Ω sgn(Jg(x)) = X x∈g−1(c)∩Ω\K sgn(Jg(x)) =d(g, Ω\K, c) = d(f, Ω\K, b). Teorema 1.47 (Dependencia dos valores fronteira) . Sexan f, g ∈C(¯ Ω,Rn) tales que f|∂Ω=g|∂Ω e b /∈f(∂Ω) , entón d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b). 18 1. Grao Topolóxico de Brouwer Demostración. Denimos a función H:¯ Ω×[0,1] −→ Rn (x, t)7→ H(x, t) := tf(x) + (1 −t)g(x). As funcións f e g están ben denidas e son continuas polo que H tamén estará ben denida e será continua. Ademais H satisfai o seguinte:        H(·,0) = f, H(·,1) = g, H(x, t) = f(x) = g(x),∀x∈∂Ω. Logo H é unha homotopía entre f e g , e b /∈f(∂Ω) = H(∂Ω×[0,1]) . Entón d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b) pola invariancia baixo homotopía. Corolario 1.48. Sexan f, g ∈C(¯ Ω,Rn) . Se existe unha función H∈C(∂Ω×[0,1],Rn) tal que b /∈H(∂Ω×[0,1]) , H(·,0) = f|∂Ω e H(·,1) = g|∂Ω , entón d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b). Demostración. Pode consultarse en [13, Páx. 49]. Este corolario mostra que non é necesaria a igualdade das funcións na fronteira para a existencia dunha homotopía que manteña invariante o grao, nin cómpre que as funcións sexan homótopas en todo o seu dominio. Pois basta que as funcións sexan homótopas na fronteira e que b non sexa imaxe deses puntos para estas funcións. En resumo, mentres b non se alcance ao longo da homotopía na fronteira, o grao está determinado pola clase de homotopía de funcións continuas denida na fronteira. O teorema seguinte é un resultado moi similar ó corolario anterior. Teorema 1.49 (de Poincaré-Bohl) . Sexan f, g ∈C(¯ Ω,Rn) . Se b /∈[f(x), g(x)] , isto é, se b non está contido no segmento que une f(x) e g(x) , para todo x∈∂Ω , entón d(f, Ω, b) = d(g, Ω, b) . Demostración. Basta tomar a homotopía H(x, t) = tf(x) + (1 −t)g(x) , (x, t)∈¯ Ω×[0,1] . Por hipótese, H(x, t)=b para todo (x, t)∈∂Ω×[0,1] e o resultado verifícase pola invariancia baixo homotopía. 1.4. Teorema de punto xo de Brouwer 19 1.4. Teorema de punto xo de Brouwer Neste apartado presentamos un dos máis famosos teoremas de punto xo, demostrado en 1911 por Brouwer. En 1930, Schauder xeneraliza este resultado para espazos de Banach, como veremos na sección seguinte, e posteriormente Kakutani establece o teorema para funcións multívocas. En xeral, os teoremas de punto xo son importantes en moitos eidos das matemáticas. De feito, o teorema de punto xo de Brouwer ten demostracións moi diversas usando, entre outras, cohomoloxía [15], combinatoria [12], o teorema de Stoke ou a teoría do grao. Notación 1.50 . Denotaremos por Bn a bóla unidade en Rn e por Sn−1 a esfera de radio 1 contida en Rn . Proposición 1.51. Se n é impar as funcións Id e −Id non son homótopas en Sn−1 , é dicir, non existe unha aplicación H∈C(Sn−1×[0,1],Sn−1) tal que H(x, 0) = x e H(x, 1) = −x para todo x∈Sn−1 . Demostración. Sexan −Id, Id ∈C(Bn,Rn) e b∈Bn . Se existira unha homotopía de Id|Sn−1 a −Id|Sn−1 entón polo Corolario 1.48 teriamos que d(Id, Bn, b) = d(−Id, Bn, b) , chegando a unha contradición pois d(Id, Bn, b)=1=−1 = d(−Id, Bn, b), como xa calculamos no Exemplo 1.26. Teorema 1.52 (da bóla peluda) . Se n é un número impar, non existe unha aplicación continua φ:Sn−1→Rn tal que φ(x)= 0 e ⟨φ(x), x⟩= 0 para todo x∈Sn−1 . Demostración. Probémolo por redución ó absurdo. Supoñamos que existe unha aplicación φ nas condicións do enunciado. Denamos ψ(x) = φ(x)/∥φ(x)∥ , que é continua pois ∥φ(x)∥>0 para todo x∈Sn−1 e φ∈C(Sn−1,Rn) . Entón a función H:Sn−1×[0,1] −→ Sn−1 (x, t)7→ H(x, t) := cos(πt)x+ sen(πt)ψ(x) dene unha homotopía entre Id e −Id , contradicindo a Proposición 1.51, xa que (H(x, 0) = cos(0)x+ sen(0)ψ(x) = x, H(x, 1) = cos(π)x+ sen(π)ψ(x) = −x, e H(x, t)∈Sn−1 para todo (x, t)∈Sn−1×[0,1] . Para comprobar que H(x, t)∈Sn−1 basta ver que ∥H(x, t)∥= 1 . Para todo x∈Sn−1 e t∈[0,1] temos que, ∥H(x, t)∥2=⟨H(x, t), H(x, t)⟩= cos(πt)2⟨x, x⟩+ sen(πt)2⟨ψ(x), ψ(x)⟩+ 2⟨cos(πt),sen(πt)ψ(x)⟩ = cos(πt)2+ sen(πt)2+ 2 1 ∥φ(x)∥cos(πt) sen(πt)⟨x, φ(x)⟩ =1 + 0 = 1, 20 1. Grao Topolóxico de Brouwer usando que ∥x∥= 1 , ∥ψ(x)∥= 1 e a hipótese ⟨φ(x), x⟩= 0 en Sn−1 . Logo como queriamos ∥H(x, t)∥= 1 , rematando a demostración. Proposición 1.53. Non existen funcións continuas φ:Bn→Sn−1 , Bn⊂Rn , tal que φ(x) = x para todo x∈Sn−1 . Demostración. Por redución ó absurdo, supoñamos que existe unha función φ:Bn→Sn−1 , tal que φ(x) = x para todo x∈Sn−1 . Logo, pola dependencia do grao nos valores fronteira, Teorema 1.47, temos que 0 = d(φ, Bn,0) = d(Id, Bn,0) = 1, chegando así a unha contradición. A igualdade da esquerda séguese da denición do grao pois 0/∈φ(¯ Bn) e a igualdade dereita viuse no Exemplo 1.26. Teorema 1.54 (de punto xo de Brouwer) . Toda aplicación continua da bóla cerrada en si mesma ten un punto xo. Isto é, dada unha aplicación continua f:¯ Bn→¯ Bn , existe x∈¯ Bn tal que f(x) = x . Demostración. Vexámolo de novo por redución ó absurdo. Supoñamos f(x)=x para todo x∈¯ Bn . Consideremos o segmento que vai de x a f(x) , que está ben denido e, xada una orientación, denotamos por φ(x) o punto do segmento anterior que incide na esfera Sn−1 . Se demostramos que φ:¯ Bn→Sn−1 é continua e φ|Sn−1=Id chegaremos a unha contradición pola Proposición 1.53. Fixado x∈¯ Bn , denimos a recta que vai de x a f(x) como φ(t) = x+t(f(x)−x), t ∈R, e xamos unha orientación, t≥0 . Queremos achar o t para o cal o segmento corta a Sn−1 , isto é, ∥φ(t)∥=∥x+t(f(x)−x)∥= 1 , ou o que é o mesmo, 1 = ∥φ(t)∥2=⟨φ(t), φ(t)⟩ . Entón: ⟨φ(t), φ(t)⟩=⟨x, x⟩+ 2t⟨x, f(x)−x⟩+t2⟨f(x)−x, f(x)−x⟩ =t2∥f(x)−x∥2+ 2t⟨x, f(x)−x⟩+∥x∥2 = 1. Temos que ∥x∥ ≤ 1 e ∥f(x)∥ ≤ 1 pois x, f(x)∈¯ Bn e f(x)=x logo ∥f(x)−x∥ = 0 . Entón temos unha ecuación de segundo grao, cuxas solucións son: t(x) = −2⟨x, f(x)−x⟩±p(2⟨x, f(x)−x⟩)2−4∥f(x)−x∥2(∥x∥2−1) 2∥f(x)−x∥2. Polo tanto, se ∥x∥<1 temos dúas solucións t1, t2∈R tal que t1<0< t2 . Escollemos t2>0 logo a solución é única e ademais continua respecto a x . Se x∈Sn−1 , ∥x∥2= 1 e polo tanto t(x)=0 e φ(x) = x . Con todo temos que φ:¯ Bn−→ Sn−1 x7→ φ(x) = x+t(x)(f(x)−x) 1.4. Teorema de punto xo de Brouwer 21 é unha función continua tal que φ(x) = x para todo x∈Sn−1 , chegando a contradición. Como xa dixemos, existen moitas demostracións para este teorema. Presentamos a continuación unha delas, distinta á primeira, que se basea en propiedades do grao e non utiliza a Proposición 1.53. Demostración. Supoñamos que f(x)=x para x∈Sn−1 , pois doutro xeito o enunciado é trivialmente certo. Denimos a homotopía H(x, t) := x−tf(x) para (x, t)∈¯ Bn×[0,1] . Se x∈Sn−1 e 0≤t < 1 , tf(x)∈¯ Bn\Sn−1 logo H(x, t)= 0 . Se x∈Sn−1 e t= 1 , H(x, 1) = x−f(x)= 0 . Entón, estamos en condicións de aplicar a propiedade de invariancia baixo homotopía como segue: d(Id −f, Bn,0) = d(H(·,1), Bn,0) = d(H(·,0), Bn,0) = d(Id, Bn,0) = 1. Polo Proposición 1.44 existe un x∈Bn tal que (Id−f)(x)=0 , ou o que é mesmo, f(x) = x . É sinxelo comprobar que o Teorema de punto xo de Brouwer é certo para funcións f∈C(¯ Ω,¯ Ω) , onde ¯ Ω é calquera conxunto homeomorfo á bóla pechada. Para velo, bastaría reducirnos ó caso anterior tomando a función g=h◦f◦h−1 , sendo h o homeomorsmo de ¯ Ω en ¯ Bn . Corolario 1.55. Sexa K⊂Rn un conxunto compacto e convexo e sexa f:K→K unha función continua, entón f ten un punto xo. Demostración. Por ser K compacto existe un R > 0 tal que K⊂¯ B(0, R) . Polo Teorema de proxección de Hilbert [5, Páx. 139], existe unha función continua PK:Rn→K tal que, dado x∈Rn , PK(x) é o único punto tal que ∥x−PK(x)∥= m´ın y∈K∥x−y∥. Denimos g:¯ B(0, R)−→ K⊂¯ B(0, R) x7→ g(x) = f(PK(x)), que é continua. Posto que ¯ B(0, R) é homeomorfa a ¯ Bn podemos usar o Teorema de punto xo 1.54. Entón g ten un punto xo xo∈¯ B(0, R) , é dicir, existe xo∈¯ B(0, R) tal que xo= g(xo) = f(PK(x0)) ∈K . Como xo∈K , temos que PK(xo) = xo e xo=f(PK(xo)) = f(xo) . Polo tanto xo é un punto xo de f como queriamos probar. Capítulo 2 Grao topolóxico de Leray-Schauder 2.1. Introdución do grao para espazos de dimensión innita Introducimos o concepto de grao topolóxico para espazos de dimensión innita. Para elo traballaremos con espazos lineais normados de dimensión innita, aínda que os mesmos resultados se poderían estender axeitadamente a espazos localmente convexos, como se pode ver en [11, Páx. 315]. Os resultados vistos sobre o grao de Brouwer non son certos, en xeral, para funcións soamente continuas denidas nun espazo de dimensión innita como exemplica Jean Leray en 1936 e pode consultarse en [10, Páx. 172]. A raíz deste problema, xurde a necesidade de redenir o grao para espazos de dimensión innita coa limitación, como veremos, de facelo para unha clase máis restritiva de funcións. A notación que usaremos é semellante á do capítulo anterior. Sexa (X, ∥·∥) un espazo linear normado e Ω un conxunto aberto e limitado de X . Cómpre denir o grao para unha certa clase de funcións de xeito que d(f, Ω, b) sexa un número enteiro e se garantan as tres propiedades básicas seguintes: 1. (Normalización) d(Id, Ω, b) = 1 para todo b∈Ω , 2. (Aditividade) Sexan Ω1∩Ω2=∅ e b /∈f(∂Ω1)∪f(∂Ω2) , sendo Ω=Ω1∪Ω2 . Entón d(f, Ω, b) = d(f, Ω1, b) + d(f, Ω2, b). 3. (Invariancia baixo homotopía) Se H é unha homotopía tal que b /∈H(∂Ω×[0,1]) , entón d(H(·, t),Ω, b) é independente de t . En particular, se consideramos a clase de función continuas C(¯ Ω, X) sendo X un espazo de 23 24 2. Grao topolóxico de Leray-Schauder dimensión nita pódese probar que existe e é único o grao que satisfai as tres propiedades básicas. No primeiro capítulo do libro [8] pode verse unha demostración detallada deste resultado. Observación 2.1 . Nótese que todos os resultados desta sección son válidos en particular para espazos de Banach. Denición 2.2. Sexan X e Y espazos lineais normados. A aplicación T:X→Y é compacta se é continua e para todo subconxunto A⊂X limitado entón T(A) é relativamente compacto, isto é, T(A) é compacto. Denición 2.3. Sexa X un espazo linear normado e A un subconxunto de X . Dise que A é de dimensión nita se A está contido nun subespazo de dimensión nita de X . Denición 2.4. Sexan X, Y dous espazos lineais normados e sexa T:X→Y . Dise que T é de rango nito se a imaxe, T(X) , é de dimensión nita. Lema 2.5. Sexan X, Y dous espazos normados e sexa T:X→Y continua. Se T é de rango nito entón T é unha aplicación compacta. Teorema 2.6. Sexan X e Y espazos lineais normados, M un subconxunto limitado de X e T:X→Y unha aplicación compacta. Dado ε > 0 existe unha aplicación continua Tε:M→Y de rango nito tal que ∥T(x)−Tε(x)∥< ε para todo x∈M . Demostración. Por ser M limitado e T compacta, T(M) é compacto, logo para toda cobertura de T(M) existe unha subcobertura nita da mesma. En particular, dado ε > 0 existen bi∈T(M) , i= 1, ... , n , tal que T(M)⊂ n [ i=1 B(bi, ε). Denimos as funcións mi(·, ε) : M−→ R+ x7→ mi(x, ε) := m´ax{0, ε −∥T(x)−bi∥}, para todo i∈ {1, ... , n} , que son continuas. Denimos tamén as funcións θi(·, ε) : M−→ R+ x7→ θi(x, ε) := mi(x, ε) Pn j=1 mj(x, ε), para todo i∈ {1, ... , n} . Estas funcións están ben denidas e son continuas. Para ver que están ben denidas vexamos que Pn j=1 mj(x, ε)>0 para i= 1, ... , n . Dado x∈M existe un j∈ {1, ... , n} tal que T(x)∈B(bj, ε) , logo ∥T(x)−bj∥< ε e polo tanto n X k=1 mk(x, ε)≥mj(x, ε)>0. 2.2. Denición do grao de Leray-Schauder 25 Por último, denimos Tε(x) := n X i=1 θi(x, ε)·bi. Ademais sabemos que n X i=1 θi(x, ε) = n X i=1 mi(x, ε) Pn j=1 mj(x, ε)= 1. Entón, temos que ∥T(x)−Tε(x)∥=∥T(x)− n X i=1 θi(x, ε)bi∥ =∥ n X i=1 θi(x, ε)T(x)− n X i=1 θi(x, ε)bi∥ =∥ n X i=1 θi(x, ε) [T(x)−bi]∥ ≤ n X i=1 ∥θi(x, ε)[T(x)−bi]∥ = n X i=1 θi(x, ε)∥T(x)−bi∥ < ε n X i=1 θi(x, ε) = ε, usando na última desigualdade que ∥T(x)−bj∥< ε , temos rematado a demostración. Denición 2.7. Sexan T:¯ Ω→X unha aplicación compacta e Id a aplicación identidade. Dise que φ:= Id −T é unha perturbación compacta da identidade . 2.2. Denición do grao de Leray-Schauder Estamos xa en condicións de denir o grao topolóxico para espazos de dimensión innita e achegar as súas propiedades básicas. Para elo, centrarémonos principalmente na información recollida nos libros [10], [13] e [14]. A idea fundamental desta sección é calcular o grao de funcións da forma Id −T , sendo T unha aplicación compacta, a partir de funcións continuas de rango nito que estean tan próximas a ela como nos queiramos e cuxa existencia xa garantimos no Teorema 2.6. Antes de dar unha denición axeitada do grao para espazos de dimensión innita, necesitaremos algún resultado previo pois, entre outras cuestións, polo de agora só traballamos con funcións cuxo dominio e imaxe estaban contidos en espazos da mesma dimensión. 32 2. Grao topolóxico de Leray-Schauder Proposición 2.22. (Dependencia dos valores fronteira) Sexan T, S ∈K(¯ Ω, X) tales que S(x) = T(x) para todo x∈∂Ω . Se b /∈(Id −T)(∂Ω) entón d(Id −T, Ω, b) = d(Id −S, Ω, b). Demostración. Denimos a homotopía H(x, t) = t(Id −T)(x) + (1 −t)(Id −S)(x) para x∈¯ Ω e t∈[0,1] . H(x, ·)=(Id −T)(x) para todo x∈∂Ω logo b /∈H(∂Ω×[0,1]) . En virtude do Teorema 2.20 temos que d(Id −T, Ω, b) = d(Id −S, Ω, b), por ser Id −T e Id −S homótopas. Proposición 2.23. Sexa T∈K(¯ Ω, X) e b /∈(Id −T)(∂Ω) . Se d(Id −T, Ω, b)= 0 , entón existe x∈Ω tal que (Id −T)(x) = b . Demostración. Para todo n∈N tal que n > 1/ρo existe unha aplicación de rango nito Tn tal que ∥T−Tn∥∞<1 n, (2.7) e un Fn un subespazo de dimensión nita tal que Tn(¯ Ω) ⊂Fn e b∈Fn . Pola denición do grao d(Id −T, Ω, b) = d(Id −Tn,Ω∩Fn, b). Logo, por hipótese, d(Id−Tn,Ω∩Fn, b)= 0 . En virtude da Proposición 1.44 existen xn∈Ω∩Fn tal que (Id −Tn)(xn) = b. (2.8) Por ser Ω∩Fn limitado e T compacta, existe y∈X límite dunha subsucesión que denotaremos T(xn) , onde xn∈Ω∩Fn e n∈N . Da igualdade (2.8) dedúcese que o límite da subsucesión xn coincide co límite da subsucesión b+Tn(xn) , e este a súa vez, grazas a (2.7), ten o mesmo límite que a subsucesión b+T(xn) que xa sabemos é b+y . Logo b+y é o límite de xn cando n tende a innito. Pola continuidade de T temos que (Id −T)(y+b) = l´ım n→∞(Id −T)(xn) = l´ım n→∞xn−T(xn) = b. (2.9) Polo tanto, y+b é solución da ecuación (Id−T)(x) = b . Vexamos que y+b∈Ω . Por ser y+b límite da subsucesión {xn}n∈N⊂Ω , y+b∈¯ Ω . Supoñamos que y+b∈∂Ω , entón de (2.9) dedúcese que b∈(Id −T)(∂Ω) . Chegando así a unha contradición, pois por hipótese b /∈(Id −T)(∂Ω) , logo y+b∈Ω . 2.4. Teoremas de punto xo 33 2.4. Teoremas de punto xo 2.4.1. Teorema de punto xo de Schauder Para espazos de dimensión innita, o Teorema de punto xo de Brouwer 1.54 non é certo, xa que a bóla unidade dun espazo normado de dimensión innita non é compacta, [10, Páx. 203]. Non obstante o Corolario 1.48 si é certo para espazos de dimensión innita, e foi enunciado por Juliusz Schauder en 1930. Vexamos un contraexemplo para o Teorema de punto xo de Brouwer nun espazo de dimensión innita. Exemplo 2.24. Sexa H=l2 o espazo de sucesións con cadrado sumable, isto é, tal que ∥x∥2=∞ X i=1 |xi|2<∞, para todo x= (x1, x2, ... )∈l2 . Sexa ¯ B={x∈l2:∥x∥ ≤ 1} a bóla pechada de raio un no espazo H e denamos a función T:¯ B−→ ¯ B x7→ T(x)=(p1−∥x∥2, x1, x2, ... ), que é continua. Tense que ∥T(x)∥2= (p1−∥x∥2)2+x2 1+x2 2+··· = 1 −∥x∥+∥x∥= 1, logo ∥T(x)∥= 1 para todo x∈¯ B . Se existira un x∈¯ B tal que T(x) = x teríase que ∥x∥= ∥T(x)∥= 1 pero entón,              p1−∥x∥=x1=⇒x1= 0, x1=x2=⇒x2= 0, x2=x3=⇒x3= 0, . . .. . . . Polo tanto x= 0 chegando a unha contradición. Logo T é unha aplicación continua da bóla pechada en si mesma sen puntos xos. Denición 2.25. Sexa X un espazo normado e K un subconxunto de X . Defínese a envoltura convexa de K como co K=(x∈X:x= n X i=1 αixi onde αi≥0, n X i=1 αi= 1 e xi∈K para 0≤i≤n). 34 2. Grao topolóxico de Leray-Schauder Denición 2.26. Defínese a envoltura convexa cerrada de K como o conxunto convexo e pechado máis pequeno que o contén, e denótase por coK . Lema 2.27. Sexa X é un espazo normado. Se K⊂X é compacto, entón coK é compacto. Demostración. Véxase [1, Páx. 174]. Teorema 2.28 (de punto xo de Schauder) . Sexan X un espazo normado e K⊂X un conxunto compacto e convexo. Se T:K→K é unha aplicación continua entón, T ten un punto xo, non necesariamente único. Demostración. Por ser T continua e K compacto, T é compacta pois a clausura dun conxunto é sempre pechada e todo pechado nun compacto é compacto. Ademais por ser K compacto, K é pechado e limitado. Estamos en condicións de aplicar o Teorema 2.6. Dado ε > 0 , existe unha aplicación de rango nito Tε:K→K nas condicións do Teorema 2.6. En base á demostración do mesmo Teorema, sabemos que Tε(K)⊂span({v1, ... , vn})⊂K e Tε(x) é unha combinación convexa de v1, ... , vn logo Tε(x)∈Kε , sendo Kε:= co({v1, ... , vn}) . Polo Lema 2.27, Kε é un conxunto compacto e convexo e Kε⊂K por ser K cerrado e convexo, logo Tε(Kε)⊂Tε(K) . Polo tanto Tε:Kε→Kε é unha aplicación continua e Kε é un subconxunto compacto e convexo dun espazo de dimensión nita. En virtude do Corolario 1.55, cuxas hipóteses acabamos de vericar, existe xε∈Kε punto xo de Tε . Por ser K compacto, existe unha subsucesión {xϵ}ε∈R+ de puntos xos converxentes a xo∈K cando ε tende a 0. Vexamos que xo é un punto xo de T . Temos que 0≤ ∥T(xo)−xo∥≤∥T(xo)−T(xε)∥+∥T(xε)−xε∥+∥xε−xo∥, (2.10) e sabemos que o primeiro e terceiro termo do lado dereito da desigualdade se anulan por paso o límite, o terceiro por ser xo límite da subsucesión xε e o primeiro séguese do mesmo razoamento en base a continuidade da función, é dicir, por ser T(xo) o límite de T(xε) . Ademais, 0≤ ∥T(xε)−xε∥=∥T(xε)−Tε(xε)∥< ε, onde a desigualdade da dereita se segue de ∥T−Tε∥∞< ε . Con todo, tomando límites en (2.10) se ten que ∥T(xo)−xo∥= 0 , logo T(xo) = xo . Polo tanto, xo∈K é un punto xo de T . Presentamos un enunciado alternativo ó Teorema de punto xo de Schauder. Nótese que aínda sendo os resultados equivalentes, a variación nas hipóteses dos mesmos resulta de utilidade para a súa aplicación práctica. 2.4. Teoremas de punto xo 35 Teorema 2.29. Sexa X un espazo normado e K⊂X cerrado, limitado e convexo. Se T:K→K é compacta, entón T ten un punto xo, non necesariamente único. Demostración. Por ser T compacta é K limitado, T(K) é compacto. Polo tanto, en virtude do Lema 2.27, a súa envoltura convexa pechada ˆ K é compacta. Ademais ˆ K⊂K xa que T(K)⊂K e K é cerrado e convexo, e polo tanto T(ˆ K)⊂T(K)⊂ˆ K . Entón a aplicación T|ˆ K:ˆ K→ˆ K é continua e o Teorema 2.28 garante a existencia dun punto xo de T|ˆ K en ˆ K , logo T ten un punto xo en K . Corolario 2.30. Sexan X un espazo normado e K⊂X compacto e convexo. Se D é un conxunto homeomorfo a K e T:D→D é compacta, entón T ten un punto xo en D . Demostración. Sexa h un homeomorsmo entre K e D e denamos ˆ T:= h−1◦T◦h , entón ˆ T:K→K é unha aplicación compacta. O Teorema 2.28 garante a existencia dun punto xo de ˆ T en K , isto é, existe x∈K tal que x=ˆ T(x) = h−1(T(h(x))) . Polo tanto y=h(x) = T(h(x)) = T(y) e y∈h(K) = D . Logo, T ten un punto xo en D . Denición 2.31. Dise que un conxunto K⊂X satisfai a propiedade de punto xo se toda función continua de K en si mesma ten un punto xo. Corolario 2.32. Todo subconxunto compacto e convexo dun espazo normado satisfai a propiedade de punto xo. Demostración. Sexa K⊂X compacto e convexo. Para toda función T:S→S continua o Teorema de punto xo de Schauder 2.28 asegúranos a existencia dun punto xo en S . Os resultados anteriores son certos en particular para espazos de Banach. 2.4.2. Teorema de Schaeer Teorema 2.33 (Schaeer) . Sexa T:X→X unha aplicación compacta. Denamos S={x∈X:x=λT(x), sendo 0≤λ≤1}. Se existe R > 0 tal que ∥x∥< R para todo x∈S , entón T ten un punto xo en B(0, R) . Demostración. Denamos a homotopía H:B(0, R)×[0,1] −→ B(0, R) (x, λ)7→ H(x, λ) := x−λT(x). 36 2. Grao topolóxico de Leray-Schauder Por hipótese, se x /∈B(0, R) temos que x−λT(x)= 0 para todo λ no intervalo [0,1] . Logo 0/∈H(∂B(0, R)×[0,1]) . Polo Teorema 2.20 temos que d(I−T, B(0, R),0) = d(I, B(0, R),0) = 1, (2.11) onde a segunda igualdade se obtén da Proposición 2.18 xa que 0∈B(0, R) . En base á Proposición 2.23, da igualdade (2.11) dedúcese a existencia dun x∈B(0, R) tal que (I−T)(x) = 0 . Logo T ten un punto xo en B(0, R) . Capítulo 3 Aplicacións da Teoría do grao ás ecuacións diferenciais Existen diversas aplicacións do grao de Leray-Schauder ás ecuacións diferenciais. No presente traballo estudaremos a existencia de solución dun problema de valor inicial e probaremos que o seu espazo de solucións é conexo. Para elo traballaremos coa ecuación integral, pois a partir da mesma deniremos unha función compacta á que poder aplicarlle a teoría de punto xo. Utilizaremos fundamentalmente as referencias [10] e [13] para ilustrar estes resultados. Dados a, c ∈R tales que a<c e f: [a, c]×R→R unha función continua, consideremos o seguinte problema de valor inicial (PVI), (x′(t) = f(t, x(t)), x(to) = x0. (3.1) Sabemos ademais que atopar solucións ó problema de Cauchy é equivalente a facelo para a ecuación integral asociada, x(t) = xo+Zt to f(s, x(s))ds. Denimos X≡C([a, c],R) que é un espazo de Banach coa norma ∥y∥∞= m´ax {|y(t)|:a≤t≤c}. Dado R > 0 , sexan M > sup {|f(t, u)|:t∈[a, c], u ∈[−R, R]} e b:= a+ m´ın c−a, R M. Denición 3.1. Dise que unha familia de funcións S⊂X é equicontinua no intervalo [a, c] se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo y∈S e t, t′∈[a, c] , se ten |y(t)−y(t′)|< ε sempre que |t−t′|< δ . 37 38 3. Aplicacións da Teoría do grao ás ecuacións diferenciais Denición 3.2. Unha familia de funcións S⊂X é uniformemente limitada se existe M > 0 tal que |y(t)| ≤ M para todo y∈S e todo t∈[a, c] . Teorema 3.3 (de Arzelà-Ascoli) . Sexa S⊂X unha familia de funcións continuas. Se S é uniformemente limitada e equicontinua entón S é un conxunto relativamente compacto en X . Demostración. Véxase [5, Páx. 15]. Lema 3.4. Sexa Ω = B(0, R) a bóla aberta de radio R e centrada na orixe en X . Sexa T unha función denida como T:¯ Ω−→ X y7→ T(y)(t) = Zt a f(s, y(s))ds. (3.2) Entón T é unha aplicación compacta. Demostración. Comprobaremos en primeiro lugar a continuidade de T e despois, a partir dos resultados previos, probaremos que T(¯ Ω) é relativamente compacto. Sexa ε > 0 dado. Pola continuidade de f e a compacidade de [a, c]×[−R, R] dedúcese que f|[a,c]×[−R,R] é uniformemente continua. Logo existe δ > 0 tal que |f(s, u)−f(s, v)|<ε c−a, (3.3) para todo s∈[a, c] e u, v ∈[−R, R] , |u−v|< δ . Entón temos que |T(x)(t)−T(y)(t)|=Zt a [f(s, x(s)) −f(s, y(s))] ds≤Zt a|f(s, x(s)) −f(s, y(s))|ds <Zt a ε c−ads < ε, para todo x, y ∈¯ Ω , ∥x−y∥∞< δ e todo t∈[a, c] . Logo ∥T(x)−T(y)∥∞< ε , probando así a continuidade de T en ¯ Ω . Por outra banda, para todo t∈[a, c] e x∈¯ Ω , temos que |x(t)| ≤ R e |T(x)(t)|=Zt a f(s, x(s))ds≤Zt a Mds =M(t−a)≤M(c−a), logo T(¯ Ω) é uniformemente limitada. Ademais, dados t, t′∈[a, c] e x∈¯ Ω tense que |T(x)(t)−T(x)(t′)|=Zt a f(s, x(s))ds −Zt′ a f(s, x(s))ds =Zt t′ f(s, x(s))ds≤M|t−t′|, e polo tanto T(¯ Ω) é equicontinua. En virtude do Teorema de Arzelà-Ascoli 3.3, T(¯ Ω) é relativamente compacto, como queriamos probar. 39 Teorema 3.5 (Existencia) . O problema de valor inicial (x′(t) = f(t, x(t)), x(a)=0. (3.4) denido para t∈(a, b) ten polo menos unha solución x∈C1([a, b],R) . Demostración. Para todo t∈[a, b]⊂[a, c] e x∈¯ Ω , temos que |x(t)| ≤ R e |T(x)(t)|=Zt a f(s, x(s))ds≤Zt a Mds =M(t−a)≤M(b−a)≤R MM=R, logo T(¯ Ω) ⊂¯ Ω . Entón T∈K(¯ Ω,¯ Ω) . Polo Teorema de punto xo 2.29, existe x∈¯ Ω⊂X tal que x=T(x) , é dicir, x(t) = Zt a f(s, x(s))ds, t ∈[a, b]. Ademais, por ser f continua en [a, b] tense que x∈C1([a, b],R) . Para rematar, por ser x solución da ecuación integral, x é solución do problema de valor inicial. Este teorema garante a existencia de solución local pero esta pode non ser global. Ilustramos este razoamento cun contraexemplo. Exemplo 3.6. Consideremos o seguinte problema de valor inicial (x′(t) = x(t)2+ 1, x(0) = 0. (3.5) Claramente, f(t, x) = x2+ 1 , logo f∈C∞(R×R,R) . Achamos a solución de (3.5), Zdx x2+ 1 =Zdt =⇒arctan(x) = t+C, C ∈R=⇒x(t) = tan(t+C), C ∈R. Se impoñemos as condicións iniciais obtemos, x(0) = tan(C) = 0 =⇒C= 0. Comprobemos que x(t) = tan(t) sexa solución de 3.5, x′(t) = 1 cos2(t)=sen2(t) + cos2(t) cos2(t)=x(t)2+ 1, Logo x é solución de (3.5), mais só localmente. Pois tan(t) non esta denida nos puntos nπ 2+kπ :k∈No, e polo tanto x(t) non pode ser unha solución global. 40 3. Aplicacións da Teoría do grao ás ecuacións diferenciais O Teorema 3.5 tampouco garante a unicidade de solución do problema de Cauchy. Presentamos un exemplo dun PVI nas hipóteses do Teorema 3.5 con máis dunha solución. Exemplo 3.7. Consideremos o seguinte problema de valor inicial. (x′=3 √x2, x(0) = 0. (3.6) Temos que f(t, x) = 3 √x2 , logo f∈C(R×R,R) . A función constante 0 é solución trivial de (3.6). Se x= 0 , calculemos outra solución distinta, Zdx x−3/2=Zdt =⇒33 √x=t+C, C ∈R=⇒x(t) = t+C 33 , C ∈R. Se impoñemos as condicións iniciais obtemos, x(0) = C 33 = 0 =⇒C= 0. Comprobemos que x(t)=(t/3)3 é solución de (3.6), x′(t) = t 32 = t 33!2/3 =3 px(t)2. Logo x é unha solución de (3.6) distinta da trivial. Veremos agora que para todo instante t∈[a, b] o conxunto de puntos x(t) para toda solución x do problema de valor inicial é conexo. Polo tanto, se temos dúas solución distintas do mesmo PVI, teremos entón innitas solucións. Teorema 3.8 (Krasnoselsk'ii-Perov) . Sexan X un espazo de Banach, Ω⊂X aberto e limitado e T∈K(¯ Ω, X) tal que 0/∈(Id −T)(∂Ω) . Supoñamos que son certas as seguintes condicións: 1. Para todo ε > 0 existe Tε∈K(¯ Ω, X) tal que ∥T−Tε∥∞< ε . 2. Se ∥b∥< ε entón a ecuación x−Tε(x) = b admite como moito unha solución en ¯ Ω . 3. d(Id −T, Ω,0) = 0 . Entón o conxunto de solucións S≡ {y∈¯ Ω : T(y) = y} é compacto e conexo. Demostración. Por ser d(Id −T, ¯ Ω,0) = 0 grazas á Proposición 2.23 sabemos que o conxunto de solución é non baleiro. Por ser Id −T propia (Lema 2.8), S={y∈¯ Ω:(Id −T)(y)=0} é compacto. Probemos por redución ó absurdo a conexidade. Supoñamos que S é non conexo, entón S é unión de dous compactos disxuntos non baleiros. Logo, existen abertos non baleiros U 41 e V tales que ¯ U ∩ ¯ V=∅ , S⊂ U ∪V , S∩U = 0 e S∩V = 0 . Polo tanto, existe unha solución x∈S∩ U , e dicir, T(x) = x . Dado ε > 0 e unha aplicación Tε nas condicións das hipóteses, denimos φε(y) = (y−Tε(y)) −(x−Tε(x)), para y∈¯ V . Denimos agora a homotopía H∈C(¯ V ×[0,1], X) como segue H(y, t) = tφε(y) + (1 −t)(Id −T)(y). Sabemos que 0/∈(Id −T)(∂V) , pois S∩∂V=∅ , e (Id −T) é pechada, grazas o Lema 2.8, logo existe α > 0 tal que ´ınfy∈∂V∥(Id −T)(y)∥ ≥ α . Entón, ∥H(y, t)∥≥∥(Id −T)(y)∥−∥T(y)−Tε(y)∥−∥x−Tε(x)∥ =∥(Id −T)(y)∥−∥T(y)−Tε(y)∥−∥T(x)−Tε(x)∥ > α −ε−ε >0, para todo y∈∂V escollendo ε < α/2 . Polo tanto 0/∈H(∂V ×[0,1]) e d(H(·, t),V,0) está ben denido e é independente de t . Aplicando a propiedade de invariancia baixo homotopía para o grao de Leray-Schauder temos que d(Id −T, V,0) = d(φε,V,0). Probemos que a ecuación φε(y) = 0 non ten solución en V . Por redución ó absurdo, sexa y∈ V unha solución, entón y−Tε(y) = x−Tε(x). Fixemos b=x−Tε(x) , tal que ∥b∥=∥x−Tε(x)∥=∥T(x)−Tε(x)∥< ε. Entón, por denición, x∈ U e y∈ V son solución de u−Tε(u) = b chegando así a unha contradición pois por hipótese a solución é única e U ∩V =∅ . Logo d(Id −T, V,0) = d(φε,V,0) = 0. De maneira análoga obtemos d(Id −T, U,0) = 0 . Basta aplicar as propiedades de excisión e aditividade para chegar a contradición, d(Id −T, Ω,0) = d(Id −T, U ∪V,0) = d(Id −T, U,0) + d(Id −T, V,0) = 0. Logo o conxunto de solución S é conexo.