Series de Fourier diverxentes

Traballo Fin de Grao Series de Fourier diverxentes Alberto Rodríguez Fernández 2021/2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Series de Fourier diverxentes Alberto Rodríguez Fernández Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Análise Matemático Título: Series de Fourier diverxentes Breve descrición do contido Neste traballo farase un repaso á teoría básica das series de Fourier e unha introducción á análise funcional para demostrar, empregando o principio de limitación uniforme, a existencia de funcións continuas con serie de Fourier diverxente. Recomendacións Outras observacións iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Series de Fourier 1 1.1. Definición e converxencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Función continua con serie de Fourier diverxente . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Introdución á análise funcional 19 2.1. Introdución á analise funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Principio de Limitación Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Series de Fourier diverxentes 25 Bibliografía 33 v Resumo O obxectivo deste traballo, recollido no propio título, é a demostración da existencia de series de Fourier diverxentes. O documento estrutúrase en tres partes diferenciadas. A primeira na que se realiza un achegamento á teoría básica de series de Fourier, incluíndo definicións e resultados sobre converxencia das mesmas, e na que tamén se construirá unha función continua con serie diverxente. O segundo capítulo dedicarase ao desenvolvemento de conceptos e propiedades propias da Análise Funcional que nos permitirán demostrar o Principio de Limitación Uniforme. No terceiro capítulo realizarase unha demostración non constructiva da existencia de ditas series. Abstract The objective of this essay, as indicated in the title, is to prove the existence of divergent Fourier series. The document is structured in three differentiated parts. In the first part, the basis of Fourier series theory is introduced, including definitions, results and their convergence, as well as the construction of a continuous function for which the Fourier series diverges. The second chapter is dedicated to the development of concepts and properties of Functional Analysis that will act as proof for the Uniform Boundedness Principle. Last, in the third chapter, a non-constructive proof for the existence of such series is performed. vii 2CAPÍTULO 1. SERIES DE FOURIER Tendo en conta a definición anterior podemos considerar a m-ésima suma parcial de Sf(x): sm(x) = a0 2+ m X n=1 (ancos nx +bnsen nx),x∈R,m∈N. Polo tanto, para estudar a converxencia de Sf(x)nun punto x0∈Rteremos que ver se a sucesión de números reais {sm(x0)}∞ m=0 é converxente. Non obstante, non é doado estudar dita converxencia directamente, polo que precisaremos dunha expresión máis manexable da sucesión: sm(x0) = a0 2+ m X n=1 (ancos nx0+bnsen nx0) = 1 2πZπ −π f(x)dx + 2 m X n=1 (1 2πZπ −π f(x) cos nxdx) cos nx0+ 2 m X n=1 (1 2πZπ −π f(x) sen nxdx) sen nx0 =1 2πZπ −π f(x)dx +2 2πZπ −π m X n=1 (f(x) cos nx cos nx0dx) +2 2πZπ −π m X n=1 (f(x) sen nx sen nx0dx) =1 2πZπ −π f(x)"1+2 m X n=1 (cos nx cos nx0+ sen nx sen nx0)#dx =1 2πZπ −π f(x)"1+2 m X n=1 (cos n(x−x0))#dx (1.1) Nesta expresion xa non aparecen os coeficientes de Fourier, pero a súa avaliación presenta as mesmas dificultades. Agora consideremos unha proposición que introduce os chamados núcleos de Dirichlet, unhas funcións que serán de vital importancia á hora de estudar as sumas parciais de Fourier e a súa converxencia. Proposición 1.2. Para calquera x0∈Rem∈Ntense sm(x0) = 1 2πZπ −π f(x)Dm(x−x0)dx;(1.2) sendo Dm(x) = sen[(m+1/2)x] sen(x/2) om-ésimo núcleo de Dirichlet. Demostración. Tendo en conta (1.1) esencialmente temos que probar o que se coñece como fórmula de Euler-Dirichlet: 1+2 m X n=1 cos nx =sen[(m+ 1/2)x] sen(x/2) ,∀x∈R\2πZ.(1.3) 1.1. DEFINICIÓN E CONVERXENCIA PUNTUAL 3 (a) D5. (b) D10. (c) D20. (d) D100. Figura 1.1: Representacións de Dmpara distintos valores de m. 4CAPÍTULO 1. SERIES DE FOURIER Denotando Dm(x) = 1 + 2 m X n=1 (cos nx), o m-ésimo núcleo de Dirichlet, tense: sen (x/2) Dm(x) = sen (x/2) + 2 m X n=1 (cos nx) sen (x/2) = sen (x/2) + m X n=1 (sen (nx +x/2) −sen (nx −x/2)) = sen (x/2) + sen (3x/2) −sen (x/2) + sen (5x/2) −sen (3x/2) + ... + sen[(m+ 1/2)x]−sen[(m−1/2)x] = sen[(m+ 1/2)x]. (1.4) É dicir: sen (x/2) Dm(x) = sen[(m+1/2)x],∀x∈R=⇒Dm(x) = sen[(m+ 1/2)x] sen (x/2) ,∀x∈R\2πZ. Polo tanto xa temos probado (1.3), empregándoa en (1.1) obtemos a proba da proposición: sm(x0) = 1 2πZπ −π f(x)[1 + 2 m X n=1 (cos n(x−x0))]dx =1 2πZπ −π f(x)Dm(x−x0)dx (1.5) Proposición 1.3. Para calquera x0∈Rem∈Ntense: sm(x0) = 1 2πZπ −π ¯ f(x0+t)Dm(t)dt; onde ¯ fé a extensión 2π-periódica de f. Demostración. Sexa f∈ L1(−π, π)e¯ fa súa extensión 2π-periódica, entón ¯ fé Lebesgue integrable en compactos de R. Pola proposición anterior, sm(x0) = 1 2πZπ −π f(x)Dm(x−x0)dx =1 2πZπ −π ¯ f(x)Dm(x−x0)dx. (1.6) Como ¯ fé integrable e Dm(x−x0)é medible e limitada para cada m, o produto é integrable en (−π, π). Podemos entón aplicar o teorema de cambio de variable da integral de Lebesgue, con t=x−x0en (1.6) 1 2πZπ−x0 −π−x0 ¯ f(x0+t)Dm(t)dt =1 2πZπ −π ¯ f(x0+t)Dm(t)dt. Onde a última igualdade é debida á 2π-periodicidade do integrando. 1.1. DEFINICIÓN E CONVERXENCIA PUNTUAL 5 Proposición 1.4. Para todo m∈N, o m-ésimo núcleo de Dirichlet, Dm, ten as seguintes propiedades: 1. Dmé par. 2. Rπ −πDm(t)dt = 2π 3. m´axx∈[−π,π]Dm(x) = Dm(0) = 2m+ 1. Demostración. 1. Temos que Dm(x) = sen((m+1/2)x) sen(x/2) , é dicir, é cociente de dúas funcións impares e polo tanto é par. 2. Considerando a fórmula de Euler-Dirichlet Zπ −π Dm(t)dt =Zπ −π 1+2 m X n=1 cos nt!dt = 2π. 3. Sexa Dm(x) = 1 + 2 m X n=1 cos nx, entón, para cada m∈N |Dm(x)|= 1+2 m X n=1 cos nx ≤1+2 m X n=1 |cos nx| ≤ 1+2m=Dm(0), para todo x∈[−π, π]. Antes de demostrar o criterio de converxencia de Dini, necesitaremos un lema que será fundamental en dita proba. Lema 1.5 (Lema de Riemann-Lebesgue).Se f∈ L1(a, b)entón l´ım λ→∞ Zb a f(x) sen λxdx = l´ım λ→∞ Zb a f(x) cos λxdx = 0, sendo (a, b)un intervalo real non necesariamente limitado. Demostración. En primeiro lugar, demostremos o resultado para unha función escalonada. Sexa s(x) = k X j=1 cjχIj, con cj∈Re sendo Ij= [aj, bj]disxuntos dous a dous para cada j∈ {1,2, ..., k}e tal que ∪k j=1Ij⊂(a, b). De este xeito Zb a s(x) sen λxdx = k X j=1 cjZbj aj sen λxdx =1 λ k X j=1 cj(cos λaj−cos λbj), 6CAPÍTULO 1. SERIES DE FOURIER e, polo tanto l´ım λ→∞ Zb a s(x) sen λxdx = l´ım λ→∞ 1 λ k X j=1 cj(cos λaj−cos λbj)=0, xa que a suma está limitada. Agora sexa f∈ L1(a, b). Fixado ε > 0, o teorema 6.18 de [8] garante que existe unha función escalonada stal que Zb a |f(x)−s(x)|dx < ε 2. Temos así Zb a f(x) sen λxdx −Zb a s(x) sen λxdx ≤Zb a |f(x) sen λx −s(x) sen λx|dx =Zb a |f(x)−s(x)| | sen λx|dx ≤Zb a |f(x)−s(x)|dx < ε 2. (1.7) A partir desta desigualdade probaremos sen dificultade o resultado principal Zb a f(x) sen λxdx =Zb a f(x) sen λxdx +Zb a s(x) sen λxdx −Zb a s(x) sen λxdx ≤Zb a f(x) sen λxdx −Zb a s(x) sen λxdx +Zb a s(x) sen λxdx , (1.8) empregando o resultado para unha función escalonada e (1.7), dedúcese que, para λsuficientemente grande Zb a f(x) sen λxdx −Zb a s(x) sen λxdx +Zb a s(x) sen λxdx <ε 2+ε 2=ε. Como ε > 0é arbitrario, concluímos que l´ım λ→∞ Zb a f(x) sen λxdx = 0. A demostración para funcións coseno é análoga xa que podemos limitalas do mesmo xeito. Finalmente, xa estamos en condicións de probar o criterio de Dini, resultado que nos proporciona condicións suficientes para garantir a converxencia puntual da serie de Fourier dunha función. 1.1. DEFINICIÓN E CONVERXENCIA PUNTUAL 7 Teorema 1.6 (Criterio de converxencia de Dini).Sexa f∈ L1(−π, π),¯ fa súa extensión 2π-periódica e x0∈R. Supoñamos que existen os límites laterais ¯ f(x+ 0)e¯ f(x− 0), e as funcións F−(t) = ¯ f(x0+t)−¯ f(x− 0) t e F+(t) = ¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0) t son integrables en (−δ, 0) e en (0, δ), respectivamente, para algún δ∈(0, π). Entón Sf(x0) é converxente e a súa suma é Sf(x0) = ¯ f(x+ 0) + ¯ f(x− 0) 2. En particular, Sf(x0) = ¯ f(x0)se, ademais do anterior, ¯ festá definida e é continua en x0. Demostración. Queremos ver que l´ım m→∞  sm(x0)−¯ f(x− 0) + ¯ f(x+ 0) 2 = 0.(1.9) En primeiro lugar, empreguemos os resultados previos para facer máis doado o cálculo do límite. Pola proposición 1.3 sabemos que: sm(x0) = 1 2πZπ −π ¯ f(x0+t)Dm(t)dt, onde Dm(t) = sen[(m+1/2)t] sen(t/2) . Entón, o interior do límite (1.9) quedaría: sm(x0)−¯ f(x− 0) + ¯ f(x+ 0) 2=1 2πZπ −π ¯ f(x0+t)Dm(t)dt −¯ f(x− 0) + ¯ f(x+ 0) 2 =1 2πZ0 −π ¯ f(x0+t)Dm(t)dt −¯ f(x− 0) 2+1 2πZπ 0 ¯ f(x0+t)Dm(t)dt −¯ f(x+ 0) 2. (1.10) Polas propiedades dos núcleos de Dirichlet tense: Z0 −π Dm(t)dt =π=⇒¯ f(x− 0) 2=1 2πZ0 −π ¯ f(x− 0)Dm(t)dt Zπ 0 Dm(t)dt =π=⇒¯ f(x+ 0) 2=1 2πZπ 0 ¯ f(x+ 0)Dm(t)dt 8CAPÍTULO 1. SERIES DE FOURIER Substituíndo en (1.10) temos sm(x0)−¯ f(x− 0) + ¯ f(x+ 0) 2=1 2πZ0 −π [¯ f(x0+t)−¯ f(x− 0)]Dm(t)dt +1 2πZπ 0 [¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0)]Dm(t)dt =1 2πZ0 −π [¯ f(x0+t)−¯ f(x− 0)] sen(t/2) sen((m+ 1/2)t)dt +1 2πZπ 0 [¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0)] sen(t/2) sen((m+ 1/2)t)dt. (1.11) Agora definamos Am(x0) = 1 2πZ0 −π [¯ f(x0+t)−¯ f(x− 0)] sen(t/2) sen((m+ 1/2)t)dt, e Bm(x0) = 1 2πZπ 0 [¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0)] sen(t/2) sen((m+ 1/2)t)dt. Vexamos que l´ımm→∞ Am(x0) = l´ımm→∞ Bm(x0)=0, co cal xa teriamos a demostración. Consideremos primeiramente Am(x0) = 1 2πZ0 −π [¯ f(x0+t)−¯ f(x− 0)] sen(t/2) sen((m+ 1/2)t)dt, e definimos: G(t) = [¯ f(x0+t)−¯ f(x− 0)] t·t sen(t/2) É dicir, G(t) = F−(t)·φ(t), con φ(t) = t sen(t/2).φ(t)é medible en (−π, 0) xa que é cociente de medibles e o denominador non se anula en (−π, 0), ademais é uniformemente continua nese intervalo xa que: 1. φé continua en (−π, 0) 2. l´ımt→−π+φ(t) = −π 3. l´ımt→0−φ(t)=2 Polo tanto φ(t)∈ L∞(−π, 0). Por outro lado, por hipótese, F−∈ L1(−δ, 0),para certo δ∈(0, π). Ademais, en (−π, −δ) a integrabilidade é trivial xa que 1/t ∈ L∞(−π, −δ). Temos polo tanto que F−(t)=[¯ f(x0+t)−¯ f(x− 0)] ·1 t∈ L1(−π, 0). 1.1. DEFINICIÓN E CONVERXENCIA PUNTUAL 9 Como G=F−·φ∈ L1(−π, 0), podemos aplicar o lema de Riemann-Lebesgue a Am(x0): l´ım m→∞ Am(x0) = l´ım m→∞ 1 2πZ0 −π G(t)·sen((m+ 1/2)t)dt = 0. A demostración para Bm(x0)é análoga. En conclusión: l´ım m→∞  sm(x0)−¯ f(x− 0) + ¯ f(x+ 0) 2 = l´ım m→∞ Am(x0) + Bm(x0) = 0, tal como queriamos demostrar. O seguinte criterio, que deduciremos do de Dini, é especialmente sinxelo e aplicable. Corolario 1.7 (Criterio dos límites laterais da derivada).Sexa f∈ L1(−π, π)e sexa ¯ fa extensión 2π-periódica de f. Se para x0∈Rfixado existe r > 0tal que ¯ fé derivable en (x0−r, x0+r)\ {x0}e, ademais, existen e son finitos os dous límites laterais l´ımx→x± 0 ¯ f′(x), entón a serie de Fourier de f converxe no punto x0e Sf(x0) = ¯ f(x+ 0) + ¯ f(x− 0) 2 En particular, Sf(x0) = ¯ f(x0)se, ademais do anterior, ¯ festá definida e é continua en x0. Demostración. Para demostrar este corolario vexamos que as hipóteses garanten a existencia dun δ∈(0, π)tal que as funcións F−eF+pertencen a L1(−δ, 0) eL1(0, δ), respectivamente, co cal, empregando o teorema de Dini, garantiriamos a converxencia. Por hipótese, existe l´ımx→x+ 0 ¯ f′(x)∈R, o cal implica a limitación de f′pola dereita de x0. Logo a función fé lipschitziana en (x0, x0+δ)para algún δ > 0e, polo tanto, ∃l´ım x→x+ 0 ¯ f(x) = ¯ f(x+ 0). Podemos definir: F+(t) = ¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0) t, t > 0 A función F+é medible por ser cociente de medibles e o seu denominador non se anula. Vexamos que existe δ∈(0, π)tal que F+está acotada en (0, δ), co cal F+∈ L∞(0, δ)⊂ L1(0, δ)como queremos demostrar. Tense que existe ¯ f′(x0+t)∀t∈(0, π)e existe l´ım t→0+ (¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0))′ t′= l´ım x→x+ 0 ¯ f′(x)∈R. 10 CAPÍTULO 1. SERIES DE FOURIER Pola regla de L’Hôpital, temos: l´ım t→0+ (¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0))′ t′= l´ım t→0+ ¯ f(x0+t)−¯ f(x+ 0) t= l´ım t→0+F+(t)∈R. Polo tanto F+está acotada en (0, δ), para algún δ∈(0, π). A demostración de que F−∈ L1(−δ, 0) é análoga. En conclusión, temos que se cumpren as hipóteses do teorema de Dini e polo tanto garantimos a converxencia. A continuación, vemos outro criterio que tamén é consecuencia do de Dini, especialmente útil nos puntos de continuidade de ¯ f. Corolario 1.8 (Criterio das derivadas laterais).Sexan f∈ L1(−π, π),¯ fa súa extensión 2π-periódica e x0∈R. Se ¯ ften as dúas derivadas laterais en x0, entón Sf(x0)é converxente e Sf(x0) = ¯ f(x0). Demostración. En primeiro lugar, como existe ¯ f′ +(x0), entón ¯ fé continua pola dereita en x0e¯ f(x+ 0) = ¯ f(x0). Analogamente, ¯ f(x− 0) = ¯ f(x0). En segundo lugar, por definición ¯ f′ +(x0) = l´ım t→0+ ¯ f(x0+t)−¯ f(x0) t= l´ım t→0+F+(t), e, polo tanto, existe δ∈(0, π)tal que F+está acotada en (0, δ). Ademais, F+é medible en (0,+∞), entón F+∈ L∞(0, δ)⊂ L1(0, δ), xa que estamos considerando intervalos limitados. Do mesmo xeito, próbase que F−∈ L1(−δ, 0). En conclusión, ¯ fcumpre as hipóteses do criterio de Dini, o que garante a converxencia, e, por ser continua en x0,Sf(x0) = ¯ f(x0). Por último nesta sección, temos o coñecido como Teorema de Fejér o cal nos asegura que, sendo funha función continua e periódica, podemos garantir a converxencia uniforme sempre que sexa no sentido de Cesàro. Isto, non obstante, non é suficiente para garantir a converxencia no sentido usual, como veremos explicitamente na seguinte sección. Teorema 1.9 (Teorema de Fejér).Se f∈ Cp[−π, π]entón l´ım m→∞ σm(x) = f(x)uniformemente en [−π, π], onde σm(x) = s0(x) + s1(x) + ... +sm(x) m+ 1 (m= 0,1,2, ...). 1.1. DEFINICIÓN E CONVERXENCIA PUNTUAL 11 Noutras palabras, a serie de Fourier de fconverxe a funiformemente en [−π, π]no sentido de Cesàro. Demostración. Queremos ver que l´ım m→∞ |σm(x)−f(x)|= 0 uniformemente en [−π, π], é dicir, que ∀ε > 0existe mε∈Ntal que m≥mε=⇒ |σm(x)−f(x)|< ε ∀x∈[−π, π]. Temos que, debido a unha proposición que se pode consultar en [8] σm(x) = m X n=0 sn(x) m+ 1 =1 2πZπ −π ¯ f(x+t)Km(t)dt, onde Km(t) = m X n=0 Dn(t) m+ 1 =sen2[(m+ 1)t/2] (m+ 1) sen2(x/2) é o m-ésimo núcleo de Fejér. En [8] pode consultarse a proba das seguintes propiedades 1. 1 2πZπ −π Km(t)dt = 2πpara todo m∈N; 2. l´ımm→∞ Zδ<|t|<π Km(t)dt = 0. Logo |σm(x)−f(x)|= 1 2πZπ −π ¯ f(x+t)Km(t)dt −f(x) = 1 2πZπ −π ¯ f(x+t)Km(t)dt −¯ f(x) = 1 2πZπ −π ¯ f(x+t)Km(t)dt −1 2πZπ −π ¯ f(x)Km(t)dt (1.12) Polo tanto, ∀m∈Ne∀x∈[−π, π]tense |σm(x)−f(x)|= 1 2πZπ −π [¯ f(x+t)−¯ f(x)]Km(t)dt ≤1 2πZπ −π¯ f(x+t)−¯ f(x)Km(t)dt. (1.13) Por hipótese, f∈ Cp[−π, π], o cal implica que ¯ f∈ C(R). Se x, t ∈[−π, π]entón x+t∈[−2π, 2π].Por ser ¯ fcontinua en R, é uniformemente continua en [−2π, 2π], así que: 18 CAPÍTULO 1. SERIES DE FOURIER Capítulo 2 Introdución á análise funcional 2.1. Introdución á analise funcional Neste capítulo imos limitarnos aos espazos vectoriais reais, aínda que as definicións e os resultados sexan certos empregando outro corpo de escalares como, por exemplo, o corpo dos complexos. Definición 2.1. Un espazo vectorial X dise que é un espazo vectorial normado (X, ∥·∥) se a cada x∈Xhai asociado un número real non negativo ∥x∥, chamado a norma de x, tal que: 1. ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥para todo x∈Xey∈X, 2. ∥αx∥=|α| ∥x∥se x∈Xeαé un escalar, 3. ∥x∥= 0 =⇒x= 0. A norma permite definir unha distancia d(x, y) := ∥x−y∥. Un espazo de Banach é un espazo vectorial normado que é completo coa métrica definida pola súa norma. Definición 2.2. Sexan X, Y espacios vectoriais e Λ : X−→ Yunha aplicación, dise que Λé un operador lineal se para todo x, y ∈Xeα, β escalares tense Λ(αx +βy) = αΛ(x) + βΛ(y). 19 20 CAPÍTULO 2. INTRODUCIÓN Á ANÁLISE FUNCIONAL Definición 2.3. Sexan XeYespazos normados. A norma dun operador lineal Λ : X−→ Ydefínese como ∥Λ∥= sup {∥Λx∥:x∈X, ∥x∥ ≤ 1}. Se ∥Λ∥<∞, dise que Λé un operador lineal limitado. Isto é equivalente a que ∥Λx∥ ≤ M∥x∥, sendo Mconstante. Vexámolo: sexa x∈X,x= 0, normalizámolo para que teña norma 1 e entón temos x/∥x∥. Aplicando a definición de norma     Λx ∥x∥    ≤ ∥Λ∥=M=⇒ ∥Λx∥ ≤ M∥x∥. A demostración da outra parte da equivalencia é inmediata. Definición 2.4. Un operador Λdise continuo nun punto x0∈Xse xn→x0en X =⇒Λxn→Λx0en Y. Un operador lineal limitado é continuo en cada punto xa que, se xn→x0en X, entón ∥Λxn−Λx0∥≤∥Λ∥·∥xn−x0∥ → 0. Tense tamén o seguinte teorema Teorema 2.5. Sexan XeYespazos normados e sexa Λ : X−→ Yun operador lineal. Se Λé continuo nun punto x0∈Xentón tamén é limitado e, polo tanto, continuo en cada punto. Demostración. Supoñamos que Λnon é limitado, entón para cada n > 0poderiamos encontrar un xn∈Xtal que ∥Λxn∥> n∥xn∥. Definamos a seguinte sucesión en X zn=xn n∥xn∥+x0. Evidentemente, zn→x0. Como, por hipótese Λé continuo en x0, necesariamente Λzn→ Λx0.Pero Λzn=Λxn n∥xn∥+ Λx0 e, polo tanto, Λxn n∥xn∥→0. Pero, pola suposición do inicio, Λxn n∥xn∥>1, co cal chegamos a unha contradición. 2.2. PRINCIPIO DE LIMITACIÓN UNIFORME 21 Denotamos por B(X, Y )ao conxunto dos operadores lineais limitados de XaY. É doado comprobar que, coa norma establecida, B(X, Y )é un espazo vectorial normado. Temos ademais o seguinte resultado. Teorema 2.6. Se Yé un espazo de Banach, B(X, Y )tamén o é. Demostración. Sexa Λnunha sucesión de Cauchy de operadores lineais en B(X, Y ). Entón para cada ε > 0existe N∈Ntal que ∥Λn−Λm∥< ε, para m, n > N. Para cada x= 0, e m, n > N, ∥Λnx−Λmx∥< ε∥x∥.(2.1) Isto implica que Λnxé unha sucesión de Cauchy en Y. Como Yé un espazo de Banach e polo tanto completo, existe un yx∈Ytal que Λnx→yxen Y. Definimos agora o operador Λ∈B(X, Y )tal que Λx=yx. Se m→ ∞ en (2.1) ∥Λnx−Λx∥ ≤ ε∥x∥, n > N. E, polo tanto, con n >N, ∥Λnx∥ ≤ ε∥x∥+∥Λx∥ ≤ (ε+∥Λn∥)∥x∥ O cal proba que Λé limitado e, ademais, ∥Λn−Λ∥ ≤ ε, n > N. Finalmente, temos ∥Λn−Λ∥ → 0cando n→ ∞, tal como queriamos demostrar. 2.2. Principio de Limitación Uniforme Sexa Xun espacio vectorial normado e Wun conxunto de vectores en X. Dise que W édenso en ningunha parte en Xse toda esfera da forma ∥x−x0∥< r, con r > 0, 22 CAPÍTULO 2. INTRODUCIÓN Á ANÁLISE FUNCIONAL contén un vector que non está na clausura de W. É dicir, Wnon contén esferas. Estes conxuntos tamén se chaman conxuntos diseminados. Un conxunto W⊂Xé de primeira categoría en Xse W= ∞ [ k=1 Wk, onde cada Wké denso en ningunha parte. En calquera outro caso, Wdise de segunda categoría. Teorema 2.7 (Teorema de Baire).Se Xé completo, entón Xé de segunda categoría. Demostración. Supoñamos que Xé de primeira categoría: X= ∞ [ k=1 Wk, onde cada Wké denso en ningunha parte. Polo tanto, existe x1/∈W1. Ao non estar na clausura de W1, existe r1∈(0,1) tal que S1∩W1=∅, sendo S1={x:∥x−x1∥< r1}. Esta esfera contén un punto x2/∈W2, entón existe r2∈(0,1 2)tal que S2∩W2=∅, con S2={x:∥x−x2∥< r2}eS2⊂S1. Por indución, tense unha sucesión de esferas Sk⊂Sk−1da forma Sk={x:∥x−xk∥< rk}, con 0< rk<1 k, tal que Sk∩Wk=∅. Agora, para j > k temos que xj∈Ske ∥xj−xk∥< rk<1 k.(2.2) Polo tanto xké unha sucesión de Cauchy en X. Como Xé completo por hipótese xk→x0∈X. Se j→ ∞ en (2.2) ∥x0−xk∥ ≤ rk. Entón x0está na clausura dos Skpara cada ke polo tanto non está en ningún dos Wk. En conclusión: x0/∈ ∞ [ k=1 Wk, o que contradí que Xsexa de primeira categoría. 2.2. PRINCIPIO DE LIMITACIÓN UNIFORME 23 Estamos xa en condicións de probar o resultado obxecto de este capítulo, o teorema de Banach-Steinhaus, tamén coñecido como Principio de Limitación Uniforme. Esta denominación describe o seu contido: dedúcese unha estimación uniforme a partir de estimacións puntuais. Este teorema ten interese por si mesmo na análise funcional xa que é fundamental para probar outros resultados máis importantes de dita disciplina; mais no contexto de este traballo empregarase para xustificar de xeito non construtivo a existencia de funcións continuas e periódicas con serie de Fourier diverxente. Teorema 2.8 (Principio de Limitación Uniforme).Sexa X un espacio de Banach, Y un espacio vectorial normado e {Λα}α∈Aunha colección de operadores lineais limitados de X en Y. Se para todo x∈X sup α∈A ∥Λαx∥<∞, entón sup α∈A ∥Λα∥<∞, ou, equivalentemente, existe unha constante Mtal que ∥Λαx∥ ≤ M∥x∥,∀x∈X, ∀α∈A. Demostración. Para cada n∈N, definimos Sn={x∈X:∀α∈A∥Λαx∥ ≤ n},(2.3) nótese que Sné pechado. Por hipótese, cada x∈Xestá nalgún Sne, polo tanto, X= ∞ [ n=1 Sn. Como Xé de segunda categoría (Teorema de Baire), polo menos un dos Sn, chamémoslle Sn0, contén unha esfera. É dicir, existe x0∈Xer > 0tal que B(x0, r)⊂Sn0. Sexa x∈X, x= 0, e definamos z=x0+rx 2∥x∥. De este xeito ∥z−x0∥=r 2< r =⇒ ∥Λαz∥ ≤ n0,∀α∈A. Como x0∈Sn0, esto implica que ∥Λαx∥=    Λα(z−x0)2∥x∥ r    ≤2∥x∥ r(∥Λαz∥+∥Λαx0∥) = 4n0∥x∥ r,(2.4) ∀α∈A, x ∈X. Tal e como queriamos probar. Observación 2.9.É habitual empregar o contrarrecíproco deste resultado, é dicir sup α∈A ∥Λα∥=∞=⇒E=x∈X: sup α∈A ∥Λαx∥=∞é non baleiro. É máis, Esería un conxunto denso en X, como proba Rudin en [6]. 24 CAPÍTULO 2. INTRODUCIÓN Á ANÁLISE FUNCIONAL Capítulo 3 Series de Fourier diverxentes Neste capítulo utilizarase o teorema de limitación uniforme para demostrar a existencia de funcións continuas e periódicas con serie de Fourier diverxente. Antes de probar este resultado será necesario ver que o espazo das funcións continuas, C[−π, π], coa norma do supremo é un espazo de Banach. Teorema 3.1. O espazo (C[−π, π],∥·∥∞)é un espazo de Banach, é dicir, un espazo vectorial normado e completo. Demostración. En primeiro lugar definimos a norma do supremo ∥f∥∞= sup x∈[−π,π] |f(x)|. Vexamos que é unha norma: 1. ∥f+g∥∞= supx∈[−π,π]|f(x) + g(x)| ≤ supx∈[−π,π]{|f(x)|+|g(x)|} ≤ supx∈[−π,π]|f(x)|+ supx∈[−π,π]|g(x)|=∥f∥∞+∥g∥∞. 2. ∥λf∥∞= supx∈[−π,π]|λf(x)|=λ·supx∈[−π,π]|f(x)|=λ∥f∥∞, para todo λ∈R. 3. ∥f∥∞= 0 =⇒supx∈[−π,π]|f(x)|= 0 =⇒f= 0. Agora vexamos que C[−π, π]é un espazo completo con esa norma, é dicir, que cada sucesión de Cauchy de elementos de C[−π, π]é converxente a un elemento del mesmo. Sexa {fn}n∈Nunha sucesión de Cauchy de funcións de C[−π, π], fixamos x0∈[−π, π]e temos que |fm(x0)−fn(x0)|≤∥fm−fn∥∞→0,cando n→ ∞ em→ ∞. Como Ré un espazo completo, existe f(x0)∈Rtal que |f(x0)−fn(x0)| → 0,cando n→ ∞. 25 26 CAPÍTULO 3. SERIES DE FOURIER DIVERXENTES Sexa ε > 0, eliximos N∈Ntal que m, n ≥N=⇒ ∥fm−fn∥∞<ε 2, fixado x, existe nx≥Ntal que |f(x)−fnx(x)|<ε 4 Polo tanto, para n≥nxe calquera x∈[−π, π]: |f(x)−fn(x)|≤|f(x)−fnx(x)|+|fnx(x)−fn(x)| <ε 4+∥fnx−fn(x)∥∞<3 4ε < ε. Como a desigualdade cúmprese para calquera x∈[−π, π], tense que ∥f−fn∥∞< ε En conclusión, fn→f. Se probamos que f∈ C[−π, π]entón teriamos que (C[−π, π],∥·∥∞) é un espazo de Banach. Como fé o límite uniforme dunha sucesión de funcións continuas, tamén o será; vexámolo. Como a sucesión {fn}n∈Nconverxe uniformemente a fen [−π, π], dado ε > 0existe N∈N tal que se n≥N, entón |fn(x)−f(x)|<ε 3∀x∈[−π, π]. En concreto, |fN(x)−f(x)|<ε 3∀x∈[−π, π].(3.1) Por outra banda, como fNé continua en x0, existe δ > 0tal que |x−x0|< δ, x ∈[−π, π] =⇒ |fN(x)−fN(x0)|<ε 3.(3.2) En conclusión, para calquera x∈[−π, π]tal que |x−x0|< δ temos que |f(x)−f(x0)|=|f(x)−fN(x) + fN(x)−fN(x0) + fN(x0)−f(x0)| ≤ |f(x)−fN(x)|+|fN(x)−fN(x0)|+|fN(x0)−f(x0)| <ε 3+ε 3+ε 3=ε, grazas a (3.1) e (3.2). É dicir, fé continua en x0e, polo tanto, (C[−π, π],∥·∥∞)é un espazo de Banach . O seguinte paso, antes de abordar a demostración obxecto de este capítulo, consistirá en probar que as sumas parciais de Fourier dunha función son operadores lineais limitados. 27 Proposición 3.2. A suma de Fourier m-ésima sm: (C[−π, π],∥·∥∞)−→ (C[−π, π],∥·∥∞) é un operador lineal limitado entre espazos de Banach. Demostración. Ver que sm(f)é un operador lineal limitado redúcese a comprobar que os coeficientes de Fourier son lineais. Imos realizar a proba para os an, sendo a dos bnanáloga. Para todo n= 0,1,2, ..., calquera f, g ∈ C[−π, π]eα, β escalares tense an(αf +βg) = 1 πZπ −π (αf +βg)(x) cos nxdx =1 πZπ −π (αf(x) cos nx +βg(x) cos nx)dx =1 πZπ −π αf(x) cos nxdx +1 πZπ −π βg(x) cos nxdx =α πZπ −π f(x) cos nxdx +β πZπ −π g(x) cos nxdx =αan(f) + βan(g). (3.3) Agora temos que ver que é limitado, seguindo a definición 2.3 ∥sm∥= sup{∥sm(f)∥∞:f∈ C[−π, π],∥f∥∞≤1}. Vexamos que ∥sm∥<∞. Fixada f∈ C[−π, π],∥f∥∞≤1, temos ∥sm(f)∥∞= sup x∈[−π,π] a0 2+ m X n=1 (ancos nx +bnsen nx) ≤sup x∈[−π,π] |a0| 2+ m X n=1 (|ancos nx|+|bnsen nx|) ≤|a0| 2+ m X n=1 (|an|+|bn|). (3.4) Polo tanto, como se podía entrever, o problema volve a reducirse aos coeficientes. Vexamos que an(f)está limitado, con ∥f∥∞≤1. Pola definición 1.1 |an(f)|= 1 πZπ −π f(x) cos nxdx ≤1 πZπ −π |f(x)|dx ≤1 πZπ −π ∥f(x)∥∞dx ≤1 πZπ −π dx = 2. (3.5) A proba é análoga para bn. Finalmente ∥sm∥= sup{∥sm(f)∥∞:f∈ C[−π, π],∥f∥∞≤1} ≤ 1+4m < ∞(3.6)