Análise mostral : estudo do deseño sistemático

André López Pérez Análise mostral: estudo do deseño sistemático Facultade de Ciencias Económicas e Empresariais Xullo 2020 Traballo de Fin de Grao presentado na Facultade de Ciencias Económicas e Empresariais da Universidade de Santiago de Compostela para a obtención do Grao en Economía Traballo de fin de grao 2 Resumo As enquisas son un instrumento cun papel chave na nosa sociedade, pois constitúen unha base para a toma de decisións, tanto no ámbito privado coma no público. Para a súa elaboración será necesario en primeiro lugar a selección dunha mostra, tendo en conta que o tratamento de datos de toda a poboación non vai resultar posible por razóns financeiras e de tempo. Neste traballo profundizamos nun tipo concreto de mostraxe probabilística, coma é a mostraxe sistemática. Malia non ser o método máis axeitado para determinados casos, pretendemos examinar cales son os seus pros e contras, enfatizando os primeiros a través dunha aplicación empírica. Por outra banda, pertencendo ao ámbito estatístico, será necesaria a introdución dunha serie de fórmulas que nos van permitir calcular os estimadores do total, da media e da proporción, así coma da súa varianza. Deste xeito, o traballo permítenos obter unha análise desta modalidade de mostraxe, tanto dende un punto de vista teórico coma práctico. Mais non se trata dunha visión estática, senón que podemos apreciar coma os investigadores están introducindo cambios constantemente, aparecendo así novos casos particulares da mostraxe sistemática, coma son a replicada ou a especial. A extensión do traballo é de 8.561 palabras Análise mostral: estudo do deseño sistemático 3 Índice Resumo ..................................................................................................................2 Índice ......................................................................................................................3 Índice de abreviaturas .........................................................................................5 Índice de táboas e gráficos .................................................................................6 Índice de táboas .............................................................................................................. 6 Índice de gráficos ............................................................................................................. 7 Introdución ............................................................................................................8 Planificación ........................................................................................................ 11 Desenvolvemento do traballo ........................................................................... 12 1. A mostraxe sistemática .............................................................................. 12 1.1 Procedemento para seleccionar unha mostra sistemática ................................... 12 1.2 Vantaxes e desvantaxes da mostraxe sistemática ............................................... 15 1.3 Relación da mostraxe sistemática coa mostraxe estratificada e por conglomerados 16 2. Estimadores ................................................................................................. 19 2.1 Varianza dos estimadores .................................................................................. 20 2.1.1 Comparación entre a Mostraxe Aleatoria Simple e a Mostraxe Sistemática a partir das súas varianzas .................................................................................................................................... 22 3. Casos particulares ...................................................................................... 23 3.1 Casos particulares na poboación ........................................................................ 23 3.1.1 Poboación aleatoria ............................................................................................................ 23 3.1.2 Poboación periódica ........................................................................................................... 23 3.1.3 Poboación con tendencia lineal .......................................................................................... 24 3.2 Casos particulares na mostraxe sistemática ........................................................ 25 3.2.1 Mostraxe sistemática replicada .......................................................................................... 25 3.2.2 Mostraxe sistemática especial ............................................................................................ 25 4. Mostras interpenetrantes ........................................................................... 26 Análise mostral: estudo do deseño sistemático 4 5. Comparación entre unha mostra sistemática e unha mostra aleatoria simple: caso particular do Grao en Economía na Universidade de Santiago de Compostela ................................................................................... 27 Conclusións e ampliación ................................................................................. 37 Bibliografía .......................................................................................................... 39 Análise mostral: estudo do deseño sistemático 5 Índice de abreviaturas G.E: Grupo expositivo G.I: Grupo interactivo K: Coeficiente de elevación M: Mostra m.a.s.: Mostraxe Aleatoria Simple N: Número total de unidades da poboación n: Tamaño mostral Pr.: Probabilidade S2 : Cuasivarianza poboacional sis.: Sistemático s.r.: Sen reposición Uj : Punto de arranque V: Varianza poboacional 𝑌 : Estimador do total θ : Estimador π j : Probabilidade Análise mostral: estudo do deseño sistemático 6 Índice de táboas e gráficos Índice de táboas TÁBOA 1. DIFERENTES MOSTRAS SISTEMÁTICAS NO ESPAZO DE K MOSTRAS POSIBLES .................................................... 13 TÁBOA 2. DIFERENTES MOSTRAS SISTEMÁTICAS POSIBLES CON N=20 E N=200 ........................................................... 14 TÁBOA 3. DIFERENTES MOSTRAS SISTEMÁTICAS POSIBLES CON N=20 E N=200 RESALTANDO UN ESTRATO E UN CONGLOMERADO ............................................................................................................................................................ 17 TÁBOA 4. DISTRIBUCIÓN DO ALUMNADO DO GRAO EN ECONOMÍA EN GRUPOS EXPOSITIVOS E INTERACTIVOS SEGUNDO CURSOS ............................................................................................................................................................ 27 TÁBOA 5. DISTRIBUCIÓN DO ALUMNADO DO 1º CURSO DO GRAO EN ECONOMÍA NOS DIFERENTES GRUPOS EXPOSITIVOS E INTERACTIVOS ......................................................................................................................................... 28 TÁBOA 6. DISTRIBUCIÓN DO ALUMNADO DO 2º CURSO DO GRAO EN ECONOMÍA NOS DIFERENTES GRUPOS EXPOSITIVOS E INTERACTIVOS ......................................................................................................................................... 28 TÁBOA 7. DISTRIBUCIÓN DO ALUMNADO DO 3º CURSO DO GRAO EN ECONOMÍA NOS DIFERENTES GRUPOS EXPOSITIVOS E INTERACTIVOS ......................................................................................................................................... 29 TÁBOA 8. DISTRIBUCIÓN DO ALUMNADO DO 4º CURSO DO GRAO EN ECONOMÍA NOS DIFERENTES GRUPOS EXPOSITIVOS E INTERACTIVOS ......................................................................................................................................... 29 TÁBOA 9. DIFERENTES MOSTRAS SISTEMÁTICAS POSIBLES PARA O GRAO EN ECONOMÍA CON N=500 E N=50 ................... 30 TÁBOA 10. MOSTRA ALEATORIA SIMPLE DO GRAO EN ECONOMÍA CON N=500 E N=50 ............................................... 33 TÁBOA 11. MOSTRA ALEATORIA SIMPLE DO GRAO EN ECONOMÍA CON N=500 E N=50 SEN REPRESENTACIÓN DO 4º CURSO ... 35 Análise mostral: estudo do deseño sistemático 7 Índice de gráficos GRÁFICO 1. MOSTRAXE SISTEMÁTICA DUNHA POBOACIÓN PERIÓDICA ........................................................................ 24 GRÁFICO 2. MOSTRAXE SISTEMÁTICA DUNHA POBOACIÓN CON TENDENCIA LINEAL ....................................................... 24 Análise mostral: estudo do deseño sistemático 8 Introdución As técnicas de mostraxe son unha ferramenta fundamental empregada en moitos ámbitos, os cales van dende a economía á medicina ou á política. Os métodos cuantitativos teñen a súa utilidade coma instrumentos de apoio para a toma de decisións (Cid Cid, Delgado Manríquez, & Leguey Galán, 1999). Polo tanto, será necesario que a precisión dos datos sexa elevada, tendo en consideración que vai repercutir directamente nas decisións adoptadas. O obxectivo final da mostraxe vai ser obter a maior cantidade de información posible co menor custo, para proceder así á inferencia estatística (Cid Cid, Delgado Manríquez, & Leguey Galán, 1999). É dicir, o principio de economicidade vai estar presente en toda investigación, tanto dende o punto de vista financeiro coma temporal. Mais esta cuestión está directamente ligada coa precisión que se busque no estudo, pois é evidente que canta máis exactitude se busque neste, ou mellor dito, menor erro mostral se espere, o custo de dita investigación vai ser maior. Podemos apreciar como esta cuestión está presente a diario nos medios de comunicación, nas institucións ou nas empresas. Todos os partidos políticos desexan coñecer cal é a intención de voto dos cidadáns, para así poder modificar ou continuar coas súas actuacións durante unha campaña electoral, o cal se deriva a través das enquisas, e polo tanto, das técnicas de mostraxe. O concello de Madrid, para saber a aceptación que podía ter Madrid Central no conxunto de individuos que abrangue o territorio, tamén levou a cabo unha serie de enquisas relacionadas con esta cuestión. Polo tanto, con estes dous exemplos pretendo amosar como se trata dun aspecto que ten unha gran relevancia nos nosos días e dunha ferramenta máis que útil para organismos, administracións ou partidos políticos. Dito o anterior, compre explicar as razóns polas que a mostraxe resulta necesaria no tratamento e estudo de cuestións de diversa índole. En primeiro lugar, tal e como se mencionou anteriormente, é preciso comentar que o investigador ten unha serie de limitacións, tanto temporais coma financeiras. É dicir, se se quere coñecer a porcentaxe de españois que merca o xornal a diario, non é factible entrevistar aos 46 millóns de habitantes, pois conlevaría uns elevadísimos custos monetarios e unha cantidade de tempo non asumible polo investigador. Isto é aínda máis obvio se se fai o emprego da mostraxe para cuestións nas que se considere a poboación dun continente ou do mundo, resultando imposible a observación censal polas causas xa mencionadas. Polo tanto, o investigador seleccionará unha mostra de toda esta poboación, podendo así levar a cabo o seu estudo, cumprindo así co principio de economicidade. A mostraxe tamén será preferible ao censo no caso das poboacións homoxéneas. É dicir, cando a varianza da característica que estemos a estudar sexa mínima nos elementos da poboación, Análise mostral: estudo do deseño sistemático 9 será preferible o emprego da técnica da mostraxe, pois levará consigo un menor custo, á vez que non implicará un maior erro. Tamayo (2001) afirma que a mostraxe é necesaria naqueles casos en que “a medición do elemento trae consigo a destrución ou deterioro do mesmo”. Isto é propio do ámbito da medicina, química ou física. Por exemplo, na procura dunha vacina contra unha enfermidade hai elementos da poboación que van sufrir unha reacción non desexada ou negativa, polo que o uso da mostraxe permite facer máis pequeno o número dos afectados. Dado que ao longo deste traballo de investigación imos introducir e empregar unha serie de elementos relativos a esta técnica estatística, considero necesario coma paso previo definilos, de forma que se facilite a comprensión posterior do traballo en conxunto. Consideraremos as definicións que realiza López (2004) para os tres primeiros termos que se amosan a continuación, así coma a definición que realiza Pérez López (1999) de censo: - Poboación: Conxunto de persoas ou obxectos dos que se desexa coñecer algo nunha investigación - Mostraxe: Proceso mediante o cal se seleccionan as compoñentes da mostra do total da poboación. - Mostra: Subconxunto ou parte do universo ou poboación en que se levará a cabo a investigación. - Censo: Recollida ou toma de información de todos os elementos que forman a poboación Cabe destacar, e seguindo o comentado no primeiro parágrafo, que a mostraxe é a fase previa á inferencia estatística. Este último termo podémolo definir coma a aplicación, a partir da información proporcionada por unha mostra seleccionada ao azar da poboación, de instrumentos estatísticos para obter conclusións e facer xeralizacións válidas da poboación baixo estudo (Quintana, 1996). Polo tanto é esencial que se minimicen os erros na mostraxe, tendo que cumprirse unha serie de condicións (Rodríguez Osuna, 2001): - Innesgadez: En termos puramente estatísticos podemos afirmar que un estimador é innesgado se o valor do estatístico coincide cos valores do parámetro. - Precisión: Vai estar estreitamente relacionada co tamaño da mostra. É dicir, a precisión é directamente proporcional ao tamaño da mostra. - Para que a mostraxe sexa probabilística tense que cumprir a aleatoriedade e a independencia. Chegado a este punto, e comentadas unhas breves nocións teóricas, é necesario precisar as diferentes fases que teñen lugar en toda investigación por mostraxe, as cales só me vou limitar a mencionar: establecemento do obxectivo, delimitación da poboación obxectivo e a poboación investigada, establecemento do marco, deseño da mostra, traballo de campo, procesamento dos datos, avaliación dos resultados, presentación dos resultados e difusión dos resultados. Ao longo deste proceso van ir xurdindo unha serie de erros, os cales podemos clasificar en dous grupos: erros de mostraxe e erros alleos á mostraxe (Tamayo, 2001). O erro mostral é aquel que se produce coma resultado de observar tan só unha fracción de todas as ocasións posibles (Blanco Villaseñor, Castellano Paulis, & Hernández Mendo, 2000). Por outra banda, o erro non Análise mostral: estudo do deseño sistemático 16 - Dificultade á hora de obter estimadores do erro de mostraxe cometido, tendo presente que non todo par de elementos está representado na mostra. (Hedayat & Sinha, 1991) citado en (Fernandez Álvaro, López Blázquez, & Salamanca Miño, 2001) 1.3 Relación da mostraxe sistemática coa mostraxe estratificada e por conglomerados Unha vez que introducimos as vantaxes máis significativas da mostraxe sistemática fronte a outros tipos de mostraxe, hai dúas que imos explicar con maior profundidade neste apartado. Por unha banda, a posible consideración da mostraxe sistemática coma un caso particular da mostraxe estratificada e, por outro lado, a concepción da mostraxe sistemática coma un caso da mostraxe por conglomerados. Podemos considerar cada fila da táboa reproducida a continuación coma un estrato. É dicir, cada unha das filas vai representar un intervalo de lonxitude “k”, neste caso k=10. Polo tanto, a poboación divídese en n estratos (n=N/k) = 200/10 = 20. A partir da táboa anteriormente construída, que contén os elementos da poboación numerados consecutivamente, poderiamos representala tal e como se amosa a continuación. Supoñendo a poboación dividida en n estratos e k conglomerados temos: Análise mostral: estudo do deseño sistemático 17 Táboa 3. Diferentes mostras sistemáticas posibles con n=20 e N=200 resaltando un estrato e un conglomerado i/j 1 k 1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 i 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 n 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 Fonte: Elaboración propia. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 18 A liña subliñada en cor amarela representa un estrato, neste caso dende a unidade 1 á 10 (ambas incluídas). Se se fixese igual con todas as unidades da poboación, obteríamos 20 estratos, cada un formado por 10 unidades, de xeito que a obtención da mostra sistemática resulta prácticamente idéntica á da mostra estratificada cunha unidade por estrato. Estando os estratos formados por unidades iguais ou moi parecidas entre si, imos encontrarnos cunha gran vantaxe como é a elevada representatividade da mostra. É dicir, se cada estrato é un intervalo de elementos moi similares, na selección da mostra imos obter unha unidade de cada un destes estratos ou intervalos, podendo ser esta moi representativa da poboación. No caso contrario, se nos atopamos ante unha gran periodicidade, sendo k igual ao periodo ou múltiplo de cada un destes, a representatividade vai ser moi baixa. Neste punto resulta necesario definir un termo mencionado no parágrafo anterior, coma é o de representatividade. Tal e como sinalan Kruskal e Mosteller (1979), citados en Azorín e Sánchez- Crespo (1986), podemos falar de representatividade ou de mostra representativa nos seguintes casos: - Que as unidades seleccionadas reflictan satisfactoriamente a variabilidade da poboación. - Cando non se produzan tendencias ou preferencias na selección das unidades da mostra. - Que podamos falar da mostra coma unha miniatura da poboación. Resulta tamén pertinente mencionar unha das desvantaxes comentadas no apartado 1.2, coma é a ausencia da independencia na selección das unidades da mostra, pois depende en todo caso da primeira escolla. Sen embargo, no caso da mostraxe estratificada a independencia está presente en todo momento para a selección de ditas unidades. Por outra banda, tal e como foi apuntado anteriormente, tamén se pode considerar a mostraxe sistemática coma caso particular da mostraxe por conglomerados. Cada unha das columnas da táboa representa un conglomerado, coma é o caso da subliñada de cor verde, que vai dende o número 6 ao 196, constituíndose o conglomerado de 10 en 10 unidades. Así, podemos apreciar como na táboa hai 10 conglomerados, cada un deles formado por 20 unidades. Desta forma, seleccionar unha mostra sistemática sería equivalente á selección dunha mostra por conglomerados de tamaño un, pois cada columna da táboa mencionada é representativa de todos os elementos da poboación numerados, sendo unha mostra sistemática posible. A pretensión é que cada columna forme un grupo de unidades do máis heteroxéneas posibles e con propiedades similares ás de toda a poboación, de tal forma que unha única columna, é dicir, un conglomerado, poda representar ben a toda a poboación. Polo tanto, son desexables columnas con heteroxeneidade dentro delas e homoxeneidade entre elas, a diferenza do estrato, que constitúe o caso oposto. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 19 2. Estimadores Un estimador é un estatístico (unha función da mostra) empregado para estimar un parámetro descoñecido da poboación (de la Fuente Fernández, 2016). Tendo en consideración que o obxectivo da mostraxe é poder levar a cabo a inferencia estatística, o proceso da estimación vai ser fundamental neste senso, poidendo ser este último puntual ou por intervalos. Para cada un dos tres parámetros que consideraremos neste epígrafe (media, total e proporción) teremos un estimador innesgado, tal e como se mostra a continuación. - Estimador da media poboacional: 𝑌  = 𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑁 𝑁 = 1 𝑁 ∑𝑦𝑖 𝑁 𝑖=1 É a media da mostra sistemática: 𝑦𝑖  = 𝑦𝑗+𝑦𝑗+𝑘+⋯+𝑦(𝑛−1)𝑘 𝑛 - Estimador do total: 𝑌𝐼  = N ∑𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑁 𝑁 𝑁 𝑖=1 = N𝑦𝑖  É o total da mostra sistemática: 𝑦 = N 𝑦𝑗+𝑦𝑗+𝑘+⋯+𝑦𝑗+(𝑛−1)𝑘 𝑛 - Estimador da proporción poboacional: 𝑃 = 𝐴1+𝐴2+⋯+𝐴𝑁 𝑁 = 1 𝑁 ∑𝐴𝑗 𝑁 𝑗=1 Análise mostral: estudo do deseño sistemático 20 É a proporción mostral: 𝑃𝑗 = 𝐴𝑗+𝐴𝑗+𝑘+⋯+𝐴𝑗+(𝑛−1)𝑘 𝑛 No último caso, tratándose de caracteres cualitativos, os Aj tomarán o valor 1 ou 0 dependendo de que posúan ou non unha característica concreta. Neste apartado introducimos outro concepto, coma é o de estimador innesgado. Un estimador é innesgado cando a súa media ou esperanza matemática coincide co valor verdadeiro do parámetro descoñecido (Cid Cid, Delgado Manríquez, & Leguey Galán, 1999). Por exemplo, no caso particular do estimador da media afirmamos que é innesgado, pois a esperanza de tal estimador é igual ao parámetro descoñecido. Noutros termos, a media mostral coincide coa media poboacional. 2.1 Varianza dos estimadores Á hora de explicar a varianza na mostraxe sistemática, vai ser preciso en primeiro lugar amosar as fórmulas da varianza e cuasivarianza poboacional: - Varianza poboacional: 𝑉(𝑋 ) = 1 𝑁 ∑(𝑋𝑖−𝑋 )2 𝑁 𝑖=1 - Cuasivarianza poboacional: 𝑆2 = 1 𝑁−1∑(𝑋𝑖−𝑋 )2 𝑁 𝑖=1 A varianza dentro das diferentes mostras é: 𝑉𝑠𝑖𝑠 (𝑋 ) = 1 𝑘𝑛 ∑ ∑ (𝑋𝑖𝑗 −𝑋 𝑖)2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 Análise mostral: estudo do deseño sistemático 21 Pola súa parte, a cuasivarianza dentro das diferentes mostras, tamén denominada cuasivarianza intramostral, é (Pérez López, 2005): 𝑆𝑠𝑖𝑠 2 = 1 𝑘(𝑛−1) ∑ ∑ (𝑋𝑖𝑗 −𝑋 𝑖)2 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 Finalmente, a varianza estimada dos diferentes estimadores podemos escribila do seguinte xeito: 𝑉 (𝜃 ) = ∑𝑦𝑖 2 π𝑖 𝑛 𝑖=1 (1−π𝑖)+2∑ ∑ 𝑦𝑖 π𝑖 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑗 π𝑗 (π𝑖𝑗−π𝑖) π𝑖𝑗 - Varianza da media: 𝑉(𝑌  ) = 1 𝑘∑(𝑋  𝑗−𝑋 )2 𝑘 𝑗=1 - Varianza do total: 𝑉(𝑌 ) = 𝑁2 𝑘∑(𝑋  𝑗−𝑋 )2 𝑘 𝑗=1 - Varianza para a proporción: 𝑉(𝑃  ) = 1 𝑘∑(𝑃 𝑗−𝑃)2 𝑘 𝑗=1 Análise mostral: estudo do deseño sistemático 22 2.1.1 Comparación entre a Mostraxe Aleatoria Simple e a Mostraxe Sistemática a partir das súas varianzas Neste senso cabe destacar outra forma de expresar a varianza da media mostral, que nos permitirá posteriormente levar a cabo unha comparación entre a m.a.s e a mostraxe sistemática (Cid Cid, Delgado Manríquez, & Leguey Galán, 1999): 𝑉(𝑦) = 𝑁−1 𝑁𝑆2−𝑘(𝑛−1) 𝑁𝑆𝑠𝑖𝑠 2 S2 e S2W, que tamén se pode denotar coma S2sis, son a cuasivarianza poboacional e a cuasivarianza dentro das mostras respectivamente, obténdose do seguinte xeito: 𝑆2 = 1 𝑁−1∑ ∑ (𝑦𝑖𝑗 −𝑌 )2 𝑘 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 𝑆𝑠𝑖𝑠 2 = 1 𝑘(𝑛−1)∑ ∑ (𝑦𝑖𝑗 −𝑌 𝑗)2 𝑘 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 Se S2 = S2sis, a precisión da media dunha mostra sistemática é a mesma que a dunha mostra aleatoria simple. Para isto é preciso que exista aleatoriedade na disposición dos elementos da poboación. Por outra banda, se S2sis > S2 a variabilidade da media mostral para o caso da mostraxe sistemática será maior, polo que terá unha maior precisión dita mostra. Noutros termos, a precisión da media dunha mostra sistemática será maior canto maior sexa a heteroxeneidade das mostras, pois no caso de existir pouca heteroxeneidade as unidades sucesivas repitirían a información anterior, sendo as estimacións menos precisas (Cid Cid, Delgado Manríquez, & Leguey Galán, 1999). Á hora de escoller entre a m.a.s. e a mostraxe sistemática, é fundamental ter en conta a forma na que apareza ordenada a poboación. No seguinte apartado observaremos que modalidade de mostraxe resulta máis axeitada segundo o tipo de poboación que estemos a considerar. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 23 3. Casos particulares 3.1 Casos particulares na poboación No relativo á forma na que esté ordenada a poboación podemos establecer tres casos particulares: poboación aleatoria, poboación periódica e poboación con tendencia lineal (Echeverri Uribe, 2004). 3.1.1 Poboación aleatoria Os elementos están ordenados ao azar. Polo tanto, a variabilidade dentro da mostra sistemática será moi parecida á existente nunha mostra aleatoria simple, sendo estos dous tipos de mostraxe prácticamente idénticos. Un caso que se pon en moitas ocasións coma exemplo de poboación aleatoria é unha lista na que aparecen as unidades poboacionais ordenadas alfabéticamente. Mais é preciso comprobar previamente que non exista unha relación entre as letras iniciais e as características que se estén a estudar. (Azorín & Sánchez-Crespo, 1986). 3.1.2 Poboación periódica Os elementos están ordenados de forma que seguen unha tendencia cíclica. Neste caso é máis eficiente o uso da m.a.s. que o da mostraxe sistemática, pois se levamos a cabo este proceso co segundo método podemos chegar a atoparnos cunha mostra onde a variabilidade dentro desta é 0, non sendo así representativa. Co obxectivo de minimizar este problema, pódese optar por cambiar o punto de arranque ou inicio cada x elementos (Echeverri Uribe, 2004). Cando o investigador queira levar a cabo un estudo no que se teñan que seleccionar edificios ou bloques, co obxectivo de eliminar o efecto da periodicidade, este pode optar pola numeración “serpentina”, numerando así unha fila de edificios de esquerda a dereita, para continuar na seguinte fila numerando de dereita a esquerda (Azorín & Sánchez-Crespo, 1986). No gráfico 1 podemos observar o caso dunha poboación periódica. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 24 Gráfico 1. Mostraxe sistemática dunha poboación periódica Fonte: Cochran (1987). 3.1.3 Poboación con tendencia lineal Os elementos están ordenados seguindo un criterio ou esquema determinado. Neste caso podémonos encontrar ante determinados estudos nos que se chegue a estimacións equivocadas. Isto pode darse cando estamos considerando ás persoas por orde de estatura (Instituto Interamericano de Ciencias Agrícolas de la O.E.A, 1958). É dicir, imaxinemos que necesitamos obter un número entre 1 e 10, os cales representan centímetros de estatura, para obter unha mostra sistemática. Se nos sae o 9, as mostras obtidas serán moi altas, polo que terá lugar unha sobreestimación da estatura media. Para que poidamos obter unha selección sistemática representativa, os valores das unidades seleccionadas deberán ter unha alta dispersión, formando así grupos heteroxéneos con respecto á característica que estemos a estudar (Gutiérrez Rojas, 2016). Neste tipo de poboacións poderanse mellorar os resultados da mostraxe empregando un deseño estratificado, pois leva consigo unha maior aleatoriedade na selección, a cal non se dá no caso da mostraxe sistemática (Mendenhall, Ott, & Scheaffer, 2006). Podemos observar no seguinte gráfico o caso dunha poboación con tendencia lineal, distinguindo segundo consideremos unha mostra sistemática ou unha mostra estratificada. Gráfico 2. Mostraxe sistemática dunha poboación con tendencia lineal Fonte: Cochran (1987). Análise mostral: estudo do deseño sistemático 25 3.2 Casos particulares na mostraxe sistemática 3.2.1 Mostraxe sistemática replicada Este método consiste na selección de varias mostras sistemáticas, de xeito que se van obter un número de medias mostrais que vai permitir que nos acheguemos a unha estimación máis que aceptable dos parámetros poboacionais. A través desta mostraxe conséguese eliminar o efecto causado pola periodicidade, de aí gran parte do seu atractivo. O número de mostras que se deben seleccionar está en torno a 10. Polo tanto, para a súa aplicación opérase do seguinte xeito (Echeverri Uribe, 2004): - Obter o valor de k, sendo k=N/n - Obter o valor de k’, sendo k’= 10*k - Xerar 10 números aleatorios entre 1 e k’. Deste xeito, cada un dos números xerados será o punto de arranque para cada unha das mostras sistemáticas - Para calcular o segundo elemento de cada unha das mostras, só hai que sumarlle k’ aos puntos de arranque ou inicio. E así sucesivamente, ata conseguir todo o tamaño da mostra que busquemos. 3.2.2 Mostraxe sistemática especial Hai moitos casos no día a día en que á hora de realizar un estudo de mostraxe non se pode coñecer con exactitude o valor de N. Este é o caso do número de coches que pasan por unha estrada, número de persoas que acuden a unha praia un día determinado… é dicir, estamos a falar de poboacións en continua formación. Non é posible aplicar a m.a.s., por non dispoñer da poboación enumerada, nin aplicar a mostraxe aleatoria sistemática, ante a imposibilidade de obter “k”. Polo tanto, a persoa encargada de levar a cabo o estudo estatístico, analizando o contexto da cuestión a tratar, escollerá “k”. A partir de aquí o procedemento exécutase do mesmo modo que no caso da mostraxe aleatoria sistemática. É dicir, selecciona un número entre 1 e k, que vai ser o punto de inicio, e posteriormente sumarase a “k” de forma sucesiva ata conseguir a mostra completa (Echeverri Uribe, 2004). É dicir, a principal diferenza nesta modalidade de mostraxe atópase na “subxectividade” para decidir cal é a “k”. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 32 Comentado o anterior, será interesante obter unha mostra a través do método da mostraxe aleatoria simple, concretamente sen reposición. Sendo N = 500 e n = 50, o número de mostras que se poden obter é: (𝑁 𝑛) = (500 50 ) = 2.314𝑒 +69. Sinalado isto, unha mostra aleatoria simple podería ser a seguinte: M.A.S: 4, 6, 13, 17, 21, 58, 63, 64, 116, 123, 129, 141, 149, 154, 179, 184, 185, 226, 227, 245, 248, 271, 277, 283, 297, 299, 310, 341, 343, 349, 355, 362, 368, 381, 390, 397, 404, 407, 441, 443, 444, 452, 458, 461, 467, 468, 481, 485, 489, 498. Así, podemos ver a mostra representada na seguinte táboa. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 33 Táboa 10. Mostra aleatoria simple do Grao en Economía con N=500 e n=50 CURSO GRUPOS MOSTRAXE ALEATORIA SIMPLE 1º CURSO G.E1 G.I1 4, 6, 13, 17, 21 G.I2 G.E2 G.I3 58, 63, 64 G.I4 G.E3 G.I5 116, 123 G.I6 129, 141, 149 2º CURSO G.E1 G.I1 154 G.I2 179, 184, 185 G.E2 G.I3 G.I4 226, 227, 245, 248 G.E3 G.I5 271 G.I6 277, 283, 297, 299 3º CURSO G.E1 G.I1 310 G.I2 G.E2 G.I3 341, 343, 349, 355 G.I4 362, 368 G.E3 G.I5 381, 390, 397 G.I6 404, 407 4º CURSO G.E1 G.I1 G.I2 441, 443, 444, 452, 458 G.E2 G.I3 461, 467, 468, G.I4 481, 485, 489, 498 Fonte: Elaboración propia. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 34 Observando esta mostra resáltase unha gran diferenza con respeto á outra modalidade de mostraxe empregada, coma é que non todos os grupos (expositivos e interactivos) quedan representados. Neste caso particular sí que se recolle algunha unidade de cada grupo expositivo, mais non se pode afirmar o mesmo para os grupos interactivos. Así, non se amosa ningunha unidade dos grupos interactivos 2 e 4 do 1º curso, do grupo interactivo 3 do 2º curso, do grupo interactivo 2 do 3º curso nin do grupo interactivo 1 do 4º curso. Incluso podería darse o caso no que non quedase representada ningunha unidade dun curso enteiro, como pode ser na mostra seguinte: M.A.S: 2, 7, 15, 18, 34, 36, 49, 50, 53, 55, 74, 79, 81, 86, 88, 96, 99, 128, 129, 134, 138, 146, 149, 153, 155, 158, 163, 173, 191, 204, 210, 221, 230, 245, 247, 252, 268, 284, 299, 317, 329, 335, 356, 359, 382, 393, 398, 407, 413, 417. Que nunha táboa coma a anterior quedaría reproducida do seguinte xeito: Análise mostral: estudo do deseño sistemático 35 Táboa 11. Mostra aleatoria simple do Grao en Economía con N=500 e n=50 sen representación do 4º curso CURSO GRUPOS MOSTRAXE ALEATORIA SIMPLE 1º CURSO G.E1 G.I1 2, 7, 15, 18 G.I2 34, 36, 49, 50 G.E2 G.I3 53, 55, 74 G.I4 79, 81, 86, 88, 96, 99 G.E3 G.I5 G.I6 128, 129, 134, 138, 146, 149 2º CURSO G.E1 G.I1 153, 155, 158, 163, 173 G.I2 191 G.E2 G.I3 204, 210, 221 G.I4 230, 245, 247 G.E3 G.I5 252, 268 G.I6 284, 299 3º CURSO G.E1 G.I1 317 G.I2 329, 335 G.E2 G.I3 356, 359 G.I4 G.E3 G.I5 382, 393, 398 G.I6 407, 413, 417 4º CURSO G.E1 G.I1 G.I2 G.E2 G.I3 G.I4 Fonte: Elaboración propia. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 36 Nesta mostra dase o caso no que ningún alumno do 4º curso aparece representado, os cales se corresponden coas unidades comprendidas entre 420 e 500. Así, as dúas táboas anteriores poñen de manifesto coma neste caso vai ser máis recomendable o emprego da mostraxe sistemática, incluíndose alumnos de todos os grupos expositivos e interactivos dos 4 cursos que comprende o Grao en Economía da Universidade de Santiago de Compostela. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 37 Conclusións e ampliación Ao longo deste traballo poidemos comprobar coma a mostraxe sistemática se trata dun método moi vantaxoso, e mesmo única alternativa viable nalgúns casos determinados, como pode ser cando pretendamos obter unha mostra nunha estrada ou á saída dun teatro, a partir da selección de 1 de cada k elementos. Ademais das vantaxes e desvantaxes que sinalan as diferentes fontes bibliográficas consultadas, mediante a aplicación levada a cabo cos datos do Grao en Economía da Universidade de Santiago de Compostela confirmáronse algunhas destas, tales coma a representación de unidades de todos os grupos, neste caso expositivos e interactivos, así coma a doada obtención da mostra. E esta comparación entre tipos de mostraxe tamén se levou a cabo dende un ámbito máis matemático, desenvolvendo os estimadores do total, media e proporción, así coma as súas varianzas, o cal nos permitiu ver en que casos era preferible ou máis acertado o emprego dunha ou outra modalidade. Para isto consideramos os tres tipos de poboación ante os que nos podemos encontrar, e que desenvolvimos nun primeiro apartado de casos particulares, coma son a poboación periódica e con tendencia lineal. Ademais, tamén resultou relevante incluir neste traballo a consideración da mostraxe sistemática coma caso particular da mostraxe estratificada ou por conglomerados. Considerouse que foi necesario a inclusión de diferentes táboas para unha mellor visualización dos resultados, tendo presente que nalgún caso se empregou un marco de 200 alumnos. Non obstante, ante os inconvintes que se foron descubrindo no relativo a determinados aspectos da mostraxe sistemática, houbo resposta por parte dos investigadores. Este é o caso da mostraxe sistemática replicada, que consegue eliminar o efecto da periodicidade na poboación. Esta desenvolveuse no apartado de mostras interpenetrantes, as cales nos axudan a obter un estimador innesgado da varianza. Ademais, poidemos apreciar coma este método tamén é aplicable para outras modalidades, coma é o caso da mostraxe aleatoria simple. É dicir, fóronse mellorando diferentes aspectos no relativo a este tipo de mostraxe, que, aínda así, dista de ser perfecto para o seu emprego en determinados ámbitos. Por exemplo, para o caso das enquisas dunhas eleccións, coma poden ser as autonómicas galegas do 12 de xullo, a mostraxe sistemática non levaría consigo unha gran representación da poboación. É dicir, podería producirse unha concentración das unidades seleccionadas nun determinado sexo ou idade, pois é posible que non se coñeza previamente a forma en que estea ordenada a poboación. Neste caso particular sería moito máis preciso o emprego da mostraxe polietápica, a cal Análise mostral: estudo do deseño sistemático 38 podemos considerar coma unha mostraxe por conglomerados, mais obtendo a mostra por etapas. Así, para os diferentes estudos que se poidan levar a cabo, haberá un método que se axuste mellor que o resto. Dito o anterior, poidemos observar en que casos concretos é máis recomendable a mostraxe sistemática, o cal se consegue grazas aos coñecementos teóricos e instrumentos estatísticos explicados ao longo deste traballo. Por outra banda, no relativo ás posibles ampliacións, estas poderían vir do lado da aplicación empírica. Sen embargo, ante a situación extraordinaria na que nos atopamos inmersos, non foi posible levar a cabo esta tarefa. Tal e como tiñamos previsto ao comezo, a idea era realizar unha aplicación desta mostraxe, empregando unha serie de cuestionarios contestados por alumnos dos Graos en Economía e Administración e Dirección de Empresas da Universidade de Santiago de Compostela, relacionados estes co seu rendemento nas materias de tipo cuantitativo. Así, estes estaban formados por preguntas vinculadas co ámbito socioeconómico dos enquisados, os seus resultados en materias tales coma Matemáticas, Estatística e Econometría, así coma a especialidade de bacharelato de procedencia ou a asistencia a academias. Deste xeito, sería posible a posta en práctica das ferramentas estatísticas no ámbito da mostraxe que nos ocupa, coa axuda á vez dun software coma o SSPS. Ademais, a análise con datos actualizados ten unha dobre vantaxe. Dun lado, o coñecemento dos factores que están por detrás do baixo rendemento nas materias de tipo cuantitativo da nosa facultade, o cal é moi útil para a posible toma de medidas e aplicación de políticas nun futuro. Doutro lado, podemos confirmar as vantaxes que trae consigo o emprego desta mostraxe nun escenario real, o cal consolida o traballo realizado nesta investigación. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 39 Bibliografía Azorín, F., & Sánchez-Crespo, J. L. (1986). Métodos y aplicaciones del muestreo. Madrid: Alianza Universidad Textos. Blanco Villaseñor, Á., Castellano Paulis, J., & Hernández Mendo, A. (2000). Generalizabilidad de las observaciones de la acción del juego en el fútbol. Psicothema, 12(2), 81-86. Cid Cid, A. I., Delgado Manríquez, C.A., & Leguey Galán, S. (1999). Introducción al muestreo en poblaciones finitas. Madrid: Nuevas Estructuras S.L. Cochran, W. G. (1987). Técnicas de muestreo. Ciudad de México: Compañía Editorial Continental. Echeverri Uribe, T. (2004). Estadísticas para las ciencias contables: extracción de la muestra en los diferentes diseños muestrales y cáculo de su tamaño. En T. Echeverri Uribe, Estadísticas para las ciencias contables (Vol. 45, págs. 19-88). Medellín: Universidad de Antioquia. Facultad de Ciencias Económicas. Fernandez Álvaro, C., López Blázquez, F., & Salamanca Miño, B. (2001). Aplicación del muestreo sistemático en el diseño de encuestas. Metodología de Encuestas, 3(1), 65-73. Gutiérrez Rojas, H. A. (2016). Estrategias de Muestreo: Diseño de encuestas y estimación de parámetros. Bogotá: Ediciones de la U. Hedayat, A.S. y Sinha, B. (1991). Design and Inference en Finite Population Sampling. New York: Wiley Instituto Interamericano de Ciencias Agrícolas de la O.E.A. (1958). Curso Internacional de Economía Agrícola (págs. 35-38). Lima. Kruskal, W. & Mosteller, F. (1979, 1980). Representative sampling. Int. Stat. Review, vols. 47 e 48. López, P. L. (2004). Población, muestra y muestreo. Punto Cero, 9(8), 69-74. Mendenhall, W., Ott, R. L., & Scheaffer, R. L. (2006). Elementos de Muestreo. Madrid: Thomson. Naciones Unidas (2009). Diseño de muestras para encuestas de hogares: directrices prácticas. Nueva York: Naciones Unidas. Pérez López, C. (1999). Técnicas de muestreo estadístico: teoría, práctica y aplicaciones informáticas. Madrid: Ra-Ma. Pérez López, C. (2005). Muestreo estadístico: Conceptos y problemas resueltos. Madrid: Pearson Educación, S.A. Análise mostral: estudo do deseño sistemático 40 Pérez Suárez, R. (1986). Nociones básicas de estadística. Oviedo: Servicio de Publicaciones Universidad de Oviedo. Portela García-Miguez, J., & Villeta López, M. (2007). Muestreo Sistemático. En J. Portela García- Miguez e M. Villeta López, Técnicas básicas de muestreo con SAS (págs. 181-195). Madrid: Facultad de Estudios Estadísticos. Quintana, C. (1996). Elementos de inferencia estadística. San José: Editorial de la Universidad de Costa Rica. Rodríguez Osuna, J. (2001). Métodos de muestreo. Madrid: Centro de Investigaciones Sociológicas. Tamayo, G. (2001). Diseños muestrales en la investigación. Semestre Económico, 4(7), 1-14. Vivanco, M. (2013). Muestreo estadístico. Diseños y aplicaciones. Santiago de Chile: Editorial Universitaria .