Distancia homotópica e planificación de movementos en robótica

Traballo Fin de Grao Distancia homotópica e Planificación de movementos en Robótica Esther Yusta Arruti 2021/2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Distancia homotópica e Planificación de movementos en Robótica Esther Yusta Arruti Xullo, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía Título: Distancia homotópica e Planificación de movementos en Robótica Breve descrición do contido A "distancia homotópica"é un novo invariante topolóxico, que xeraliza a Categoría de Lusternik-Schnirelmann e a Complexidade Topolóxica de Farber. Unha aplicación é a resolución dun problema xeralizado de planificación de movementos en robótica. No traballo daranse as principiais propiedades e métodos de cálculo destes invariantes, así como aplicacións dos mesmos. Recomendacións Aconséllase ter cursadas as materias de Topoloxía (“Topoloxía Xeral” e “Topoloxía de Superficies”) xa que se usan nocións de homotopía. Outras observacións iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Distancia homotópica. Exemplos 1 1.1. Distanciahomotópica .............................. 1 1.2. Categoría de Lusternik–Schnirelmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Complexidade Topolóxica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Xénero de Svarc 9 2.1. Fibracións..................................... 9 2.2. Pullbacks ..................................... 11 2.3. Xénero de Svarc. Aplicacións . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Propiedades 15 3.1. Composición ................................... 15 3.2. Dominioecodominio............................... 17 3.3. Invarianza..................................... 18 4. Espazos normais 21 4.1. Unha propiedade dos espazos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2. Desigualdade Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3. Produto...................................... 25 5. Cohomoloxía 27 5.1. Definicións..................................... 27 5.2. Produtocup.................................... 30 5.3. Cotas cos graos de nilpotencia das clases de cohomoloxía . . . . . . . . . . . 32 v vi ÍNDICE XERAL 6. Exemplos 35 6.1. Aplicacións na circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2. Brazo robótico articulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.3. Corposríxidos................................... 41 Bibliografía 47 Resumo A distancia homotópica é un novo invariante topolóxico, que xeraliza a Categoría de Lusternik-Schnirelmann e a Complexidade Topolóxica de Farber. Unha aplicación é a resolución dun problema xeralizado de planificación de movementos en robótica. No traballo daranse as principiais propiedades e métodos de cálculo destes invariantes, así como aplicacións dos mesmos. Abstract The homotopic distance is a new topological invariant, which generalizes the Lusternik- Schnirelmann Category and Farber’s Topological Complexity. One application of this notion is to solve a generalized motion planning problem in robotics. The main properties and applications as well as calculation methods of these invariants will be given in the work. vii xiv INTRODUCIÓN monos na resolución dun problema xeralizado de planificación de movementos na robótica; para iso comentaremos algúns métodos de cálculo destes invariantes. Seguiremos principalmente a liña do artigo [11], no que E. Macías e D. Mosquera introduciron o concepto de distancia homotópica. Paralelamente, falaremos tamén da complexidade topolóxica e da categoría de Lusternik-Schnirelmann, tomando as ideas recollidas en [7] e [1] respectivamente. Exploraremos a relación que teñen coa distancia, concluiremos novos resultados e daremos demostracións alternativas dos xa coñecidos. Complementaremos os resultados basándonos en [8], [16] e [13] fundamentalmente. Máis detalladamente, no Capítulo 1 presentamos os conceptos de distancia homotópica, de categoría de Lusternik-Schnirelmann e de complexidade topolóxica. Asimesmo, estableceremos a primeira relación destes dous invariantes clásicos coa distancia, véndoos como casos particulares da mesma. No que concerne á categoría, daremos unha xeralización deste concepto aplicado a funcións continuas. Respecto á complexidade, veremos tamén que para un sistema que non teña un espazo de configuracións contraíble, calquer algoritmo de planificación de movementos será discontinuo. O Capítulo 2 trata sobre o xénero de Svarc, introduciremos este concepto e unha serie de definicións previas indispensábeis para a súa comprensión. Falaremos primeiro das fibracións e dos pullbacks, e ilustraremos ambos con algúns exemplos. Máis adiante probaremos, empregando os exemplos anteriores, que o xénero de Svarc engloba tamén aos tres invariantes homotópicos mencionados. Cabe destacar que ata a aparición da distancia, tanto a complexidade coma a categoría se traballaban como casos particulares do xénero de Svarc dunha fibración, o que técnicamente é máis complexo. Veremos na Sección 2.3 que tamén podemos caracterizar así a distancia homotópica. No Capítulo 3 estudaremos certas propiedades da distancia homotópica que teñen que ver cá composición, có dominio e codominio e cá invarianza. Istas nos axudarán a estudar a relación entre a distancia, a categoría e a complexidade, así como a concluir novos resultados e cotas entre os tres invariantes. Na Sección 3.3 probaremos que tanto a categoría coma a complexidade son invariantes homotópicos, neste mesmo subcapítulo veremos que distancia tamén será un invariante homotópico, pero nun sentido máis xeralizado. Con todo ningún destes resultados serve para concluir que a distancia homotópica sexa, en efecto, unha auténtica distancia. Para iso debemos atopar certos espazos topolóxicos nos que se verifique a desigualdade triangular. Nace de aí o Capítulo 4, que se centra no estudo dos espazos normais. Pois neles si que se verifica esta última propiedade. Na primeira sección do capítulo describiremos os resultados previos para a proba dun lema moi importante na topoloxía debido á súa gran xeralidade. Precisarémolo para probar que, efectivamente, a desigualdade triangular se verifica nos espazos topolóxicos normais. A continuación, concluiremos tamén novos resultados notables para o espazo produto, que mellora consi- INTRODUCIÓN xv derablemente as súas propiedades se ambos factores son espazos normais. O Capítulo 5 céntrase en achar cotas da categoría, a complexidade e a distancia empregando nocións básicas de cohomoloxía, en concreto sobre o grao de nilpotencia das clases de cohomoloxía. Abordaremos primeiro unha serie de definicións e propiedades xerais, para posteriormente falar do produto cup, que é o que lle outorgará ao noso grupo de cohomoloxía estrutura de anel graduado, co que nos será máis doado traballar. Logo, comentaremos cales son esas cotas de nilpotencia e poremos algúns exemplos. Finalmente, os resultados e técnicas presentados ao longo do traballo confluen no Capítulo 6. Ilustraremos o exposto ata o presente con algúns exemplos con aplicacións na robótica e na enxeñería. Comezaremos adentrándonos na circunferencia, que se pode identificar con múltiples obxectos da vida real, como pode ser unha rotonda. Veremos que nin a súa categoría nin a sua complexidade son nulas. Do que podemos deducir que non existe un algoritmo de planificación de movementos continuo nela. Na seguinte sección estudaremos a categoría e a complexidade do espazo de configuración e de traballo dun brazo robótico articulado. Xa para rematar, na última sección veremos estes mesmos invariantes para o espazo de configuración dos movementos dun corpo ríxido, como pode ser un avión. Como curiosidade, na derradeira subsección comentaremos un caso particular moi coñecido, o bloqueo de cardán ou Gimbal-Lock, pois un caso moi sonado foi a misión fallida do Apolo 13 en 1970. Figura 5: Apolo 13 xvi INTRODUCIÓN Capítulo 1 Distancia homotópica. Exemplos Queremos analizar novos invariantes homotópicos inspirados nunha ampla variedade de aplicacións na robótica e na enxeñería. Focalizaremos este traballo no estudo da distancia homotópica, un invariante homotópico recente que engloba nocións clásicas como a categoría de Lusternik–Schnirelmann e a complexidade topolóxica. Foi introducido en 2020 por dous matemáticos da Universidade de Santiago de Compostela: Enrique Macías Virgós e David Mosquera Lois, como se pode ver no Artigo [11]. Logo a través do seu estudo probaremos propiedades destas dúas conxuntamente, acharemos cotas para a categoría e a complexidade, concluiremos novos resultados e veremos exemplos das súas aplicacións. Neste capitulo seguiremos principalmente as referencias do Artigo [11] anteriormente citado. Para afondar máis sobre algunhas nocións sobre a categoría LS seranos de gran axuda [1] e sobre a complexidade topolóxica empregaremos sobre todo [7]. 1.1. Distancia homotópica Asumiremos todo o tempo sen perda de xeralidade que XeYson espazos topolóxicos conexos por camiños. Pois no caso de non selo poderíamos traballar coa compoñente conexa correspondente. É razoable pedir esta hipótese pois queremos estudar a existencia de algoritmos de planificación de movementos (Definición 1.10). Antes de comezar coa definición de distancia homotópica, aclararemos brevemente a notación que empregaremos. Dadas dúas aplicacións feg, o símbolo f≃gdenota que son homótopas. Ademais para simplificar notación definiremos U=U0⊔ ··· ⊔ Una unión disxunta de tódo-los abertos do revestimento. O que induce a aplicación inclusión u:U,→ X. É o mesmo dicir entón: f|Ui≃g|Ui, para todo i∈ {0... n}que f◦u≃g◦u. Definición 1.1. Sexan XeYespazos topolóxicos conexos por camiños e f, g :X−→ Y dúas aplicacións continuas. A distancia homotópica entre as aplicacións feg, denotada 1 2CAPÍTULO 1. DISTANCIA HOMOTÓPICA. EXEMPLOS D(f, g), é o menor enteiro n≥0tal que existe un revestimento aberto {U0... Un}de Xde xeito que f◦u≃g◦u, para todo i∈ {0... n}. Se non existe tal revestimento diremos que D(f, g) = ∞. Intuitivamente dános unha idea de como de lonxe están dúas aplicacións de seren homótopas. Doutra banda, como o seu propio nome indica, queremos traballar con este concepto coma se fose unha distancia. De momento, tal e como o temos definido pode deducirse directamente que : 1. D(f, g) = D(g, f), 2. D(f, g)=0⇐⇒ f≃g. Para a propiedade 1, f◦u≃g◦u, entón existe H:U×[0,1] −→ Ycontinua tal que H(x, 0) = (f◦u)(x)eH(x, 1) = (g◦u)(x), para todo x∈U. Polo que bastaría traballar con H(x, 1−t)no canto de H(x, t)para ter que g◦u≃f◦ue polo tanto D(f, g) = D(g, f). — Só con istas dúas propiedades non podemos concluír que sexa unha distancia, pois nos falta a desigualdade triangular. Veremos no Capítulo 4 que se dá cando Xé un espazo topolóxico normal. Na seguinte Proposición, como xa adiantamos antes, vemos que unha propiedade inmediata, pola propia definición de homotopía, é que a distancia homotópica só depende da clase de homotopía: Proposición 1.2. Se f≃f′eg≃g′, entón: D(f, g) = D(f′, g′). 1.2. Categoría de Lusternik–Schnirelmann O clásico paradigma reduccionista das matemáticas sempre foi descompoñer un obxecto en pezas moito máis simples co obxectivo de estudalo a través de analizar ditas pezas e como encaixan entre elas. Claramente a peza máis simple posible sería un punto. Xorde entón a pregunta de con cantos abertos contraíbles poderíamos revestir un espazo topolóxico dado. Nace de aí o concepto de Categoría de Lusternik-Schnirelmann que abordaremos nesta sección. Este concepto débelle o nome a dous matemáticos soviéticos L. Lusternik e L.Schnirelmann, que entre os anos 20 e 30 descubriron que proporcionaba unha cota inferior do número de 1.2. CATEGORÍA DE LUSTERNIK–SCHNIRELMANN 3 puntos críticos para calquer función diferenciable en variedades diferenciais. Estudando as súas consecuencias xeométricas se atoparon numerosos resultados de interese, pois aportaba tamén unha cota dos elementos de nilpotencia nas clases de cohomoloxía (estudarémolo máis adiante no Capítulo 5). Foi así como tornou nun concepto moi importante na topoloxía alxébrica. Definición 1.3. Sexa Xun espazo topolóxico, un conxunto Ude Xé categórico se é contraíble en X. É dicir, se a inclusión i:U ,→Xé homótopa a unha aplicación constante c:U−→ X,c(u) = p0∈X, para todo x∈X. Definición 1.4. A categoría de Lusternik–Schnirelmann de X,cat(X), é o menor enteiro n≥0tal que existe un revestimento aberto categórico de Xcon n+ 1 elementos. Se non existe tal revestimento finito diremos que cat(X) = ∞. Caracterizando este invariante en termos da distancia homotópica, podemos manexar a seguinte igualdade cat (X) = D (idX,∗), sendo ∗calquer aplicación constante. Daremos agora outras dúas caracterizacións en termos da distancia: Proposición 1.5. Sexa Xun espazo topolóxico, dado un punto base x0∈Xcon X espazo topolóxico, definimos: i1, i2:X ,→X×Xaplicacións inclusión, i1(x) = (x, x0), i2(x)=(x0, x). Temos así: cat (X) = D (i1, i2). Demostración. Probaremos primeiro que cat (X)≥D (i1, i2). Se cat (X) = n, podemos tomar un revestimento aberto categórico de X:{U0... Un}. Tendo por definición que idX◦u≃ ∗ ◦ u, onde ué a aplicación inclusión de Uen X anteriormente definida. Vexamos que i1◦u≃i2◦upara probar a desigualdade: i1◦u= (idX,∗)◦u= (idx◦u,∗ ◦ u)≃(∗ ◦ u,idx◦u)=(∗,idX)◦u=i2◦u. Falta probar entón que cat (X)≤D (i1, i2). Se D (i1, i2) = n, entón sabemos que existe un revestimento aberto de X:{U0... Un} tal que i1◦u≃i2◦u. É dicir, existe H:U×[0,1] −→ X×Xhomotopía entre i1◦u ei2◦u. Así, tal e como definimos i1ei2, compoñendo coas proxeccións, teríamos que idX◦u≃ ∗ ◦ ue quedaría probada a desigualdade. Concluímos entón que cat (X) = D (i1, i2). Proposición 1.6. Sexa Xespazo topolóxico, i1,i2as aplicacións inclusión no primeiro e segundo factor respectivamente e ∆é a aplicación diagonal. Temos así: cat (X) = D (∆, i1) = D (∆, i2). 4CAPÍTULO 1. DISTANCIA HOMOTÓPICA. EXEMPLOS Demostración. Probaremos a iguadade só para i1, pois o caso de i2é análogo. Primeiro veremos que cat (X)≥D (∆, i1). Se cat (X) = n, existe un revestimento de Xde abertos categórico {U0... Un}. Vexamos que i1◦u≃∆◦u: i1◦u= (idX,∗)◦u= (idx◦u,∗ ◦ u)≃(idX◦u,idx◦u) = (idX, idX)◦u= ∆ ◦u. Falta probar a outra desigualdade: cat (X)≤D (∆, i1). Se D (∆, i1) = n, sabemos que existe un revestimento aberto {U0... Un}de Xde xeito que ∆◦u≃i1◦u. É dicir, existe H:U×[0,1] −→ X×Xhomotopía entre i1◦ue∆◦u. Así, tal e como definimos i1e∆, tomando compoñentes teríamos que idX◦u≃ ∗ ◦ ue quedaría probada a desigualdade. Como vimos, este concepto é unha propiedade dun espazo topolóxico. Podemos adaptalo e xeralizar este concepto para as aplicacións continuas: Definición 1.7. A categoría de Lusternik–Schnirelmann dunha aplicación continua f: X−→ Ydefínese como: cat(f) = D(f, ∗), cando Yé conexo por camiños. Proposición 1.8. Se dado un espazo topolóxico Xse pode expresar como X=A∪B, sendo AeBsubconxuntos abertos de X. Entón: cat (A∪B)≤cat (A) + cat (B)+1. Demostración. Se cat (A) = necat (B) = m, consideramos os correspondentes revestimentos categóricos de AeB:U={U0... Un},V={V0... Vm}. Entón W={U0, ... Un, V0, ... Vm} é un revestimento categórico de Xde m+n+2 elementos, é dicir: cat (A∪B)≤m+n+1 como queríamos probar. 1.3. Complexidade Topolóxica A complexidade topolóxica é un invariante topolóxico introducido por M. Farber en 2003. Mide a complexidade do problema da navegación nun espazo topolóxico Xvisto como o espazo de configuracións dun sistema (Definición 1.9). Un dos noso obxectivos será estudar os algoritmos de planificación de movementos con aplicacións reais na robótica. Como veremos no Teorema 1.12 desta sección, un espazo topolóxico Xnon sempre se poderá dotar dun algoritmo de planificación de movementos continuo. É natural cuestionarse entón con cantos abertos que admitan un algoritmo de planificación de movementos podemos revestir o noso espazo X. De aí nace o concepto de complexidade topolóxica. Definición 1.9. Un espazo de configuracións é un espazo topolóxico Xconexo por camiños. 1.3. COMPLEXIDADE TOPOLÓXICA 5 Antes de definir a complexidade topolóxica, denotaremos: PX =X[0,1] ={γ: [0,1] −→ X, continuas}ao espazo de camiños de X.π:PX −→ X×Xá aplicación continua que a cada camiño lle asigna o seu punto final e inicial: π(γ)=(γ(0) , γ (1)). A esta aplicación se lle chama fibración de camiños. A proba da continuidade dista aplicación pode verse en [12] Definición 1.10. Un algoritmo de planificación de movementos s:X×X−→ PX é unha sección non necesariamente continua de π, é dicir, satisfai o seguinte: π◦s= IdX×X. Ademais s(x, y) (t)∈P X é unha función continua para todo t∈[0,1], para todo x, y ∈X. Observación 1.11.Interésanos buscar algoritmos de planificación de movementos que dependan de xeito continuo e xey, pois dita continuidade implicaría a súa estabilidade. Mentres que se snon é continua o algoritmo non é necesariamente estable. Polo que a partir de agora cada vez que falemos de algoritmo de planificación de movementos asumiremos que é continuo. Teorema 1.12. Dado un espazo de configuracións X, cúmprese a seguinte equivalencia: ∃s:X×X−→ PX algoritmo de planificación de movementos continuo ⇐⇒ Xé contraíble. Demostración. Asumiremos primeiro que Xé contraíble, é dicir, existe unha aplicación continua H:X×[0,1] −→ Xtal que H(x, 0) = idXeH(x, 1) = ˆx, para todo x∈X. Onde ˆxé unha aplicación constante. Construiremos a aplicación s:X×X−→ PX que buscamos como: s(x0, x1) = γ(t). Con: γ(t) = (H(x0,2t) 0 ≤t≤1 2 H(x1,2−2t)1 2≤t≤1. En efecto sé un algoritmo de planificación de movementos pois γ(t)é continua polo lema do pegado de aplicacións continuas e a continuidade de spodemos vela probada en [12], trivialmente tamén cumpre que π◦G= idX×X, é dicir, sé sección de π. Agora, partindo da existencia un algoritmo de planificación de movementos global G: X×X−→ PX, onde a imaxe de G(x0, x1)é un camiño γx0x1que conecta o punto inicial x0 con x1; queremos ver que Xé contraíble. É dicir, que existe unha homotopía H: idX≡ˆx, onde ˆxé unha aplicación constante. Basta definir H:X×[0,1] −→ Xcomo: H(x, t) = γxˆx(t).Hé continua pola Definición 1.10. Ademais H(x, 0) = idXeH(x, 1) = ˆx. Logo H era a homotopía que buscabamos para concluir que Xé contraíble. Por ser unha equivalencia, se deduce que para un sistema que non teña un espazo de configuracións contraíble, calquer algoritmo de planificación de movementos será discontinuo. 6CAPÍTULO 1. DISTANCIA HOMOTÓPICA. EXEMPLOS Definición 1.13. A complexidade topolóxica de X,TC (X), é o menor enteiro n≥0tal que existe un revestimento formado por n+ 1 abertos {U0... Un}de X×Xde xeito que cada aberto admite unha sección continua si:Ui−→ PX de πsobre Ui. É dicir, que o seguinte diagrama sexa conmutativo: PX π  Uii// si ;; X×X Pode entenderse tamén como o menor enteiro n≥0tal que existe un revestimen- to aberto {U0... Un}de xeito que para cada Uiexiste un algoritmo de planificación de movementos. Se non existe tal revestimento finito diremos que TC (X) = ∞ Igual que coa categoría L-S, podemos caracterizar tamén este termo en función da distancia homotópica: Proposición 1.14. Sexan p1, p2:X×X−→ Xas dúas proxeccións, entón TC (X) = D (p1, p2). Veremos a demostración como consecuencia directa do Teorema 2.12 de máis adiante (2.13). Outra posíbel caracterización de TC (X)en virtude á distancia homotópica sería: Proposición 1.15. Sexa Xun espazo topolóxico e flip : X×X−→ X×Xa aplicación cambio de coordenadas dada por flip (x, y)=(y, x). Temos que: TC (X) = D (flip,idX×X). Demostración. Probaremos primeiro que D (flip,idX)≤TC (X). Se TC (X) = n, existe un revestimento aberto de X:{U0... Un}de xeito que cada aberto admite unha sección continua sisobre π. Para ver que flip ◦u≃idX×X◦udefiniremos unha homotopía entre elas: H:U×[0,1] −→ X×X, H (x, y, t) = (si(x, y) (t), si(x, y) (1 −t)) . Hé a homotopía que andabamos buscando pois está ben definida e é unha aplicación continua por selo cada compoñente. Ademais: H(x, y, 0) = (si(x, y) (0) , si(x, y) (1)) = (x, y) = idX×X(x, y). H(x, y, 1) = (si(x, y) (1) , si(x, y) (0)) = (y, x) = flip (x, y). 1.3. COMPLEXIDADE TOPOLÓXICA 7 Probemos agora a outra desigualdade: D (flip,idX×X)≥TC (X). Se D (flip,idX×X) = n, existe un revestimento aberto {U0... Un}de xeito que exista unha homotopía H: flip◦u≃idX◦u. As seccións continuas de πen cada Uique andamos buscando son: si:Ui−→ PX,si(x, y) = H1(x, y, t). Onde H1é a primeira compoñente da homotopía H. Claramente sié unha sección continua de π. Pois está ben definida, é continua por ser a primeira compoñente dunha aplicación continua e π◦si(x, y) = (x, y). Capítulo 3 Propiedades Estudaremos unha serie de propiedades da distancia homotópica que teñen que ver cá composición, có dominio e codominio e cá invarianza. Servirannos para concluir novos resultados e cotas para a categoría L-S e a complexidade topolóxica, que como xa mencionamos, son invariantes homotópicos igual cá distancia. A gran maioría destes resultados podemos atopalos probados no artigo [11]. Ademais, moitas delas son demostracións alternativas de resultados xa coñecidos sobre a categoría e a complexidade. Podemos comprobar lendo [1] e [7], nos que tamén aparecen demostrados gran parte deles, que coa distancia se simplifican notablemente os procedementos. 3.1. Composición Proposición 3.1. Dadas calquer aplicacións f, g :X−→ Yeh:Y−→ Z. Entón: D (h◦f, h ◦g)≤D (f, g). Demostración. Se D (f, g)≤n, tomando o correspondente revestimento {U0... Un}de xeito que fj=f|Uj≃g|Uj=gj, para todo j∈ {0... n},X=U0∪ ··· ∪ Un, entón: h◦fj≃h◦gj por propiedades de homotopía. É dicir: (h◦f)j≃(h◦g)j. Polo que D (h◦f, h ◦g)≤n. Corolario 3.2. Sexa f:X−→ Yunha aplicación, con XeYconexos por camiños, entón: cat(f)≤cat (X). Demostración. Pola propia definición de categoría L-S e aplicando a Proposición 3.1: cat (X) = D(idX, x0)≥D (f◦idX, f(x0)) = cat(f). Onde x0é unha aplicación constante. 15 16 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Proposición 3.3. Dadas calquer aplicacións f, g :X−→ Yeh:Z−→ X. Entón: D (f◦h, g ◦h)≤D (f, g). Demostración. Se D (f, g)≤ntomando o correspondente revestimento {U0... Un}de xeito que fj=f|Uj≃g|Uj=gj, para todo j∈ {0... n},X=U0∪ ··· ∪ Un. Definimos: Vj= h−1(Uj)⊂Z, denotamos á restrición: hj:Vj−→ X. Onde claramente hj(Vj) = Uj, logo pode entenderse como a composición de ¯ hj:Vj−→ Uj,¯ hj(x) = h(x), coa inclusión ij:Uj,→X. Temos así que: (f◦h)j=fj◦¯ hj≃gj◦¯ hj=g◦hj= (g◦h)j. Polo que D (f◦h, g ◦h)≤n Corolario 3.4. Sexa f:X−→ Yunha aplicación continua, con Yconexo por camiños, entón: cat(f)≤cat (Y). Demostración. Pola propia definición de categoría L-S e a Proposición 3.3: cat (Y) = D(idY, y0)≥D(idy◦f, y0◦f)≥D(f, y0) = cat(f). Onde y0é unha aplicación constante. Corolario 3.5. Sexan f, g :X−→ Yaplicacións continuas con Yconexos por camiños. Entón: D(f, g)+1≤(cat(f) + 1)(cat(g) + 1). Demostración. Sexa y0:X−→ Yunha aplicación constante. Se cat(f) = D(f, y0)≤me cat(g) = D(g, y0)≤n, cos correspondentes revestimentos : {U0... Um}e{V0... Vn}. Entón os abertos Wi,j =Ui∩Vjrevisten tamén Xde xeito que en cada un se verifica: f≃y0≃g, e polo tanto: D(f, g)≤n+m. Corolario 3.6. Dado Xun espazo topolóxico, se verifica a seguinte desigualdade: cat (X)≤TC (X). Demostración. Empregando a definición de cat L-S e as Proposicións ?? e 3.3, temos: cat (X) = D(∗,idX) = D(p1◦i2, p2◦i2)≤D(p1, p2) = TC (X). Onde i1, i2:X−→ X×Xson as aplicacións inclusión e p1, p2:X×X−→ Xas proxeccións. 3.2. DOMINIO E CODOMINIO 17 Proposición 3.7. Sexan h′:Z−→ Xef, g :X−→ Yaplicacións tal que: f◦h′≃g◦h′. Entón, dada calquer aplicación h:Z−→ Y X, cúmprese que: D(f◦h, g ◦h)≤D(h, h′). Demostración. Se D(h, h′)≤neZ=U0∪ ··· ∪ Unde xeito que h◦u≃h′◦u, entón: f◦h◦u≃f◦h′◦u≃g◦h′◦u≃g◦h◦u. Polo que D(f◦h, g ◦h)≤D(h, h′). As Proposicións 3.2, 3.4 e 3.6 non son novos resultados. Senón que son propiedades xa coñecidas (pode verse a proba das dúas primeiras en [1] e da última en [7]). O que fixemos foi propoñer unha demostración alternativa empregando soamente a composición da distancia homotópica, o que simplifica o procedemento. 3.2. Dominio e codominio Corolario 3.8. Sexan f, g :X−→ Ydúas aplicacións continuas con XeYconexos por camiños. Entón: D(f, g)≤cat (X). Demostración. Se cat (X) = n, consideramos o correspondente revestimento aberto categórico de X{U0... Un}. Entón ij◦f=f|Uj≃g|Uj=ij◦g . Por ser a inclusión ij:Ui,→Xunha aplicación nulhomópoa, pois Uié categórico para todo i∈ {0... n}. Corolario 3.9. Sexa Xun espazo topolóxico, cúmprese o seguinte: TC (X)≤cat (X×X). Demostración. Bastaría tomar f=p1eg=p2no Corolario 3.8. Este corolario tamén posúe unha demostración alternativa probada en [7]. Pode consultarse para ver que efectivamente, empregando as propiedades da distancia homotópica o procedemento é máis sinxelo. Proposición 3.10. Dadas f, g :X−→ Yaplicacións, entón: D(f, g)≤TC (Y). 18 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Demostración. Empregando o Teorema 2.12 e o Exemplo 2.10, temos que probar a proposición é equivalente a probar que secat (q)≤secat (π). Onde πé a fibración por camiños e qo pullback pola aplicación f×g. Se secat (π) = n,Y×Yadmite un revestimento aberto {U0... Un}de xeito que πadmite unha sección continua sien cada un deses abertos Ui. Tomamos {f×g−1(Ui)}n i=0 revestimento aberto de Xpor ser a imaxes recíprocas de abertos do codominio dunha aplicación continua, vexamos que podemos construir para cada un destes unha sección continua ˆsi:f×g−1(Ui)−→ P. Definímola como: ˆsi(x) = (x, si(f×g(x))). Está ben definida pois como x∈f×g−1(Ui),∃(y1, y2)∈Y×Ytal que f×g(x) = (y1, y2). Logo f×g(si(f×g(x))) = xe polo tanto ˆsi(x)∈P. Falta ver que efectivamente ˆsié unha sección, é dicir, que q◦ˆsi=if×g−1(Ui). Onde if×g−1(Ui)é a inclusión. q(ˆsi(x)) = q(x, si(f×g(x))) = x. Queda probado tamén que os pullback nunca fan que aumente o xénero de Svarc. 3.3. Invarianza Nesta sección probaremos a invarianza homotópica da distancia homotópica e, por conseguinte, a invarianza da categoría de Lusternik-Schnirelmann e da complexidade topolóxica por seren casos particulares dista. Comezaremos por probar que a desigualdade probada nas Proposicións 3.1 e 3.3 acada a igualdade cando consideramos as inversas homotópicas pola esquerda e pola dereita respectivamente. De aí deduciremos noutro resultado que, en efecto, a distancia homotópica é un invariante homotópico. Proposición 3.11. Dadas f, g :X−→ Yaplicacións e α:Y−→ Y′aplicación con inversa homotópica pola esquerda. Entón: D(α◦f, α ◦g) = D(f, g). Demostración. Sexa β:Y′−→ Ya inversa homotópica de αpola esquerda. É dicir: β◦α≃idY. Aplicando dúas veces a Proposición 3.1: D(f, g)≥D(α◦f, α ◦g)≥D(β◦α◦f, β ◦α◦g) = D(f, g). Proposición 3.12. Dadas f, g :X−→ Yaplicacións e β:X′−→ Xaplicación con inversa homotópica pola dereita. Entón: D(f◦β, g ◦β) = D(f, g). 3.3. INVARIANZA 19 Demostración. A demostración é análoga á anterior. Como consecuencia D é un invairante homotópico no seguinte sentido: Proposición 3.13. Sexan X, X′, Y, Y ′espazos topolóxicos e f, g :X−→ Y,f′, g′:X′−→ Y′aplicacións que cumpren as seguintes equivalencias de homotopía: β:X≃X′,α:Y≃ Y′tales que α◦f◦β≃f′eα◦g◦β≃g′, tal e como se mostra no seguinte diagrama: X f// g//Y α  X′ f′ // g′// β OO Y′ Entón: D (f, g) = D f′, g′. Corolario 3.14. Sexan X, X′espazos topolóxicos. Se X≃X′, entón se verifican as seguintes dúas igualdades: cat (X) = cat X′. TC (X) = TC X′. É dicir, a categoría L-S e a complexidade topolóxica son invariantes homotópicos. Definición 3.15. Sexan XeYdous espazos topolóxicos, Xdomina a Yse existen aplicacións continuas f:X−→ Yeg:Y−→ Xtales que f◦g≃idY Dada esta definición, podemos xeralizar máis aínda que tanto a categoría L-S como a complexidade topolóxica sexan invariantes homotópicos coas seguintes proposicións: Proposición 3.16. Sexan XeYdous espazos topolóxicos, e se Xdomina a Y, entón: TC (Y)≤TC (X). Demostración. Como Xdomina a Ysabemos que existen f:X−→ Yeg:Y−→ X aplicacións continuas tales que f◦g≃idY. Pola Proposición 1.14 se ten que: TC (Y) = DpY 1, pY 2eTC (X)=DpX 1, pX 2. Onde pX 1, pX 2, pY 1, pY 2son as proxeccións sobre XeY respectivamente. Entón, empregando as Proposicións 3.1 e 3.3 temos: TC (X) = D pX 1, pX 2≥Df◦pX 1◦(g, g), f ◦pX 2◦(g, g)= D pY 1, pY 2. 20 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES Proposición 3.17. Sexan XeYdous espazos topolóxicos, se Xdomina a Y, entón: cat (Y)≤cat (X). Demostración. Como Xdomina a Ysabemos que existen f:X−→ Yeg:Y−→ Xaplicacións continuas tales que f◦g≃idY. Como vimos, podemos expresar a categorís L-S en termos da distancia homotópica, tendo que: cat (Y) = D (idY,∗Y)ecat (X) = D (idX,∗X). Onde ∗Y,∗Xson dúas aplicacións constantes en YeXrespectivamente. Entón, empregando as Proposicións 3.1 e 3.3 temos: cat (X) = D (idX,∗X)≥D (g◦idX◦f, g ◦ ∗X◦f) = cat (Y). Esta Proposición sérvenos para relacionar a categoría dun espazo topolóxico Xcoa dun retracto ou dun retracto por deformación A⊂X. Lembremos a definición destes dous conceptos: Definición 3.18. Sexa Xun espazo topolóxico, un subespazo A⊂Xé un retracto se existe unha aplicación continua r:X−→ Xcumprindo: r|A=idA. Denominamos retracción á aplicación r. Definición 3.19. Sexa Xun espazo topolóxico, un subespazo A⊂Xé un retracto por deformación se é un retracto e ademaisexiste unha retracción cumprindo i◦r=idX. Observación 3.20.Se Xé un espazo topolóxico e A⊂Xun retracto por deformación, claramente Xdomina a Ae polo tanto podemos concluír que: cat (A)≤cat (X), TC (A)≤TC (X). A igualdade en ambos casos acadaríase se Afose un retracto por deformación. Capítulo 4 Espazos normais Citamos anteriormente que a distancia homotópica fai referencia a como de lonxe están dúas aplicacións continuas de seren homótopas. É lóxico entón que queiramos traballar con esta coma unha distancia. Mais coas propiedades que levamos probadas ata aquí non podemos afirmar que o sexa, pois non está demostrado que se verifica a desigualdade triangular. Teñen especial relevancia os espazos topolóxicos normais neste sentido, pois neles si se cumprirá dita desigualdade e por ende poderemos traballar coa distancia homotópica coma unha distancia real. Consecuentemente concluiremos tamén novos resultados notables da distancia, a categoría e a complexidade. Finalmente traballaremos co espazo produto, que mellora considerablemente as súas propiedades se ambos factores son espazos normais. Un espazo Xdotado dunha topoloxía τdirase normal se dados dous pechados disxuntos AeBexisten dous abertos disxuntos UAeUBtales que A⊂UAeB⊂UB. No obstante, antes de comezar a falar das propiedades destes tres invariantes nun espazo topolóxico normal X, probaremos un lema que se verifica nos espazos normais. Este lema é moi importante debido á súa gran xeralidade. Para iso precisamos unha serie de resultados previos, dos que falaremos nesta primeira sección. 4.1. Unha propiedade dos espazos normais Nesta sección, seguiremos a liña dos artigos [4] e [14] para realizar as demostracións dos resultados aquí presentados. Definición 4.1. Sexa W={W0... Wm+k}con k≥0un revestimento aberto dun espazo X,Wé un (m+ 1)-revestimento se dado calquer subconxunto de m+ 1 elementos: {Wj0... Wjm}reviste X. Moitas veces, no canto de traballar coa definición de (m+ 1)-revestimento traballare- 21 22 CAPÍTULO 4. ESPAZOS NORMAIS mos coa seguinte caracterización: Lema 4.2 ([14], Lemma 4.1.).Sexa W={W0... Wm+k}un revestimento aberto dun espazo X,Wserá un m+1-revestimento se e só todo elemento x∈Xestá contido en polo menos k+ 1 abertos de W. Demostración. Primeiro probaremos a condición necesaria. Para iso, partindo de que Wé un m+ 1-revestimento, veremos que dado x∈Xestá contido en polo menos k+ 1 abertos de W. Por redución ao absurdo, supoñemos que xsó está en kabertos. Pero isto implicaría que hai m+ 1 abertos que non conteñen x. É dicir, eses m+ 1 abertos de Wnon revisten X, o que contradí a nosa hipótese de que Wé un m+ 1-revestimento. Logo, efectivamente xten que estar en polo menos k+ 1 abertos do revestimento. Agora probaremos que tamén é condición suficiente. Tomamos unha subcolección calquera Vde Wde m+ 1 elementos e veremos que reviste X. Dado x∈Xarbitrario, por hipótese está contido en k+ 1 elementos de W. Pero só hai kabertos fóra de V, logo xten que estar contido en polo menos un aberto de V, quedando probado así que reviste X. Teorema 4.3 ([4], Theorem 2.5.).Dado U={U0... Um}revestimento aberto dun espazo topolóxico normal X. Para calquer m+k≥m, existe e Um+k, un m+ 1-revestimento de Xestendendo a U.{U0... Um+k}de xeito que para todo i∈ {m+ 1 ... m +k},Uié unión disxunta de abertos que son subconxuntos dos abertos Uj,j∈ {0... m}. Demostración. Probaremos este teorema por indución en k. Claramente para k= 0 tomamos e Um=U. Supoñamos certo para un revestimento aberto de m+kelementos e vexamos que tamén se cumpre para m+k+ 1 elementos. Tomamos o correspondente revestimento e Um+k−1que sabemos que existe por hipótese. Polo Lema 4.2 cada elemento x∈Xestá en polo menos m+k−m=mabertos de e Um−1. Queremos ver que se pode construir e Um+kde xeito que cada xestea en polo menos m+ 1 elementos. Para iso tomaremos o conxunto formado polos elementos de Xque só están contidos en m−kabertos do revestimento. Se denotamos por Ordxo número de abertos do revestimento onde está contido x∈X, o conxunto sería o seguinte: Y={x∈X:Ordx=m}. O que faremos será construir de forma recursiva outro aberto Um+k⊃Yformado por unións disxuntas de subconxuntos abertos dos abertos Uj,j∈ {0... m}. Vexamos que Yé un conxunto pechado. Probar isto é equivalente a probar que X\ Yé aberto. Dado un x∈X\Yarbitrario, vexamos que existe un entorno Nxde tal 4.1. UNHA PROPIEDADE DOS ESPAZOS NORMAIS 23 punto contido en X\X. Como x /∈Yten que estar contido un s=m−kelementos do revestimento. Mais por hipótese de indución tiñamos que tódolos elementos de Xestaban contidos en, canto menos, m−kelementos. Logo se x∈X\Y,xestará contido en, como mínimo, m−k+ 1 abertos do revestimento: {Ux 0... Ux m−k}. Bastaría tomar Nx= Ux 0∩ ··· ∩ Ux m−k. Claramente x∈Nx⊂X\Y. Pois se existise y∈Ytal que y∈Nx, implicaría que dito elemento estaría contindo en máis de m−kabertos, o cal é unha contradición por tal e como definimos o conxunto Y. Logo Yé un conxunto pechado. Se Y=∅bastaría con tomar Um=Uj,j∈ {0... k}. Asumiremos entón que Y=∅. Intersecamos Ycon cada aberto do revestimento inicial, obtendo k+ 1 subconxuntos pechados. Claramente Y∩Ui,i∈ {0... k}é pechado, pois se existise un elemento cumprindo: x∈Y∩Uipero x /∈Ui. Tomando os m−kúnicos abertos aos que pertence: {U0 x... Um−k−1 x}, teríamos que: U0 x∩... Um−k−1 x∩(Y∩Ui)=∅, o que contradí que os elementos de Ysó estean contidos en m−kabertos. Definimos os seguintes subconxuntos de Y:F0=Y∩U0,Fi+k=Y∩Ui+k\Sn i=0 Ui.{Fi}k i=0 é unha familia de k+ 1 elementos pechados disxuntos cubrindo Y. Como Xé normal, podemos tomar k+1 abertos disxuntos Vi,i∈ {0... k}de xeito que Fi⊂Vi⊂Ui. Cada elemento de Yestará contido en polo menos un Vi. Logo Um=Sk i=0 Vié o aberto que buscabamos. É dicir: e Um={U0... Um−1, Um} é un k+ 1-revestimento. Exemplo 4.4. Sexa X=S1un espazo topolóxico dotado da topoloxía usual. Sexa U= {U0... Um}un revestimento aberto, con Ui={(cos (x),sen (x)) , x ∈i2π k+ 1,(i+ 2) 2π k+ 1 }. Dado un m≥karbitrario, estendamos Ua un k+ 1-revestimento de m+ 1 elementos da forma do Teorema 4.3. Engadiremos m−kabertos {V0, ... Vm−k+1}, onde Vi={(cos (x), sin (x)) , x ∈[0,2π]\ { i2π m−k}}. Figura 4.1: Primer aberto do k+ 1-revestimento do Exemplo 4.4 Claramente cada un destes abertos é unión disxunta de subconxuntos abertos Uj,j∈ 30 CAPÍTULO 5. COHOMOLOXÍA ... δm−1 tt Hm(X, Ui)jm //Hm(X)im//Hm(Ui) δm uu Hm+1 (X, Ui)jm+1 //Hm+1 (X)im+1 //Hm+1 (Ui) δm+1 uu ... Onde δmson os homomorfismos de conexión. 5.2. Produto cup O interesante de traballar coa cohomoloxía é que podemos outorgarlle unha estrutura de anel, para o que precisamos definir unha multiplicación. Chamarémoslle produto cup a dita multiplicación, que a definiremos primeiro entre os elementos de Cn(X)e ista inducirá a unha multiplicación entre os grupos de cohomoloxía. Para iso consideraremos o grupo H∗(X) = Li≥0Hi(X). Onde H∗non só aporta unha estrutura de R-módulo, senón de álxebra graduada, xa que os elementos teñen noción de grao. Traballaremos logo coa cohomoloxía coma unha álxebra graduada (Definición 5.14). Para probar que este produto baixa ben a cohomoloxía, seguiremos o procedemento empregado en [13]. Vexamos como actúa dito produto. Definición 5.13. Sexa Kun corpo e (V, +) un espazo vectorial sobre K,Vé unha K- álxebra se ademais está dotada dunha multiplicación interna sobre K. Definición 5.14. Sexa Run anel conmutativo unitario, unha R-álxebra graduada é unha álxebra Adotada dunha descomposición en suma directa: A=M i∈R Ai. Cada elemento ten un grao asignado, os elementos de Aiserían de grado i. A noción de peso consérvase ao multiplicar elementos do seguinte xeito: AiAj⊂Ai+j. Observación 5.15.Na definición anterior bastaría con que Rfose un grupo abeliano. Definición 5.16 ([8], páx. 206).Sexan cp∈Cp(X),cq∈Cq(X)cocadeas. O produto cup é unha aplicación ⌣:Cp×Cq−→ Cp+qcumprindo a seguinte expresión: (cp⌣ cq) (τ) = cpτ|[v0...vp]·cqτ|[vp...vp+q]. Onde τ: ∆p+q−→ Xé un p+qsímplice singular. 5.2. PRODUTO CUP 31 Este produto de cocadeas induce un produto entre clases de cohomoloxía [[8], Lemma 3.6]. ⌣:Hk(X)×Hl(X)−→ Hk+l(X), que é bilineal, asociativo e antisimétrico cumprindo: [φ]⌣[ψ]=[φ⌣ψ]. Para probar que baixa ben ás clases de cohomoloxía, hai que ver que o produto de cociclos é un cociclo e que está ben definido. É dicir, precisamos unha fórmula que o relacione co bordo, dita fórmula chámase coboundary formula e é a seguinte: Lema 5.17 ([8], páx. 206).δ(φ⌣ψ) = δφ ⌣ ψ + (−1)kφ ⌣ δψ, onde φ∈Ck(X), ψ ∈ Cl(X). Demostración. Dado τ: ∆k+l+1 −→ X, tense: (δφ ⌣ ψ) (τ) = k+1 X i=0 (−1)iφτ|[v0,...,ˆvi,...,vk+1]ψτ|[vk+1,...,vk+l+1]. (−1)k(φ ⌣ δψ) (τ) = k+l+1 X i=k (−1)iφτ|[v0,...,vk+1]ψτ|[vk...,ˆvi,...,vk+l+1]. O último termo da primeira expresión se cancela co primer termo da segunda expresión. Claramente a suma dos termos restantes sería: δ(φ⌣ψ) (τ)=(φ ⌣ ψ) (dτ). Onde δé o homomorfismo da Definición 5.5. Na proba anterior, observamos como aínda que cambie o representante, a clase de cohomoloxía segue a ser a mesma. Como consecuencia tamén podemos estender o produto ao anel de cohomoloxía H∗(X): ⌣:H∗(X)⊗H∗(X)−→ H∗(X), en virtude da existencia dunha correspondencia bixectiva entre as aplicacións lineais que saen do produto tensorial de dous espazos α:U1⊗U2−→ Vcoas aplicacións bilineais que saen do produto cartesiano deses mesmos espazos α:U1×U2−→ V, (véxase [[5], Capítulo 10, Corolario 12]). Ademais H∗(X)⊗H∗(X)tamén será unha álxebra graduada (véxase [[3], páx. 221]) , co seguinte produto: (φ1⊗ψ1)·(φ2⊗ψ2)=(−1)|ψ1||φ2|φ1⌣ φ2⊗ψ1⊗ψ2. Sendo |ψ1|e|φ2|os graos de ψ1eφ2respectivamente. 32 CAPÍTULO 5. COHOMOLOXÍA 5.3. Cotas cos graos de nilpotencia das clases de cohomoloxía Definición 5.18. Sexa A⊂H∗(X), defínese a lonxitude do produto cup (ou grao de nilpotencia), l.c.p.(A), como o menor enteiro kde xeito que calquer produto u0⌣··· ⌣ uk de elementos non nulos de Aé nulo en H∗(X). Empregando este concepto podemos outorgarlle novas cotas á categoría LS e da complexidade topolóxica. Exemplo 5.19. ([1], Proposition 1.5.) l.c.p.(H∗(X)) ≤cat (X). Se cat (X) = n, sexa U={U0... Un}o seu correspondente revestimento aberto categórico. Dado o produto de calquer n+ 1 elementos de H∗(X):x0⌣··· ⌣ xn, consideramos a sucesión exacta longa de cohomoloxía asociada ao par (X, Ui): ··· −→ Hm(X, Ui)qi −→ Hm(X)ji −→ Hm(Ui)−→ H ... Onde ji:Ui,→Xeqi:X ,→(X, Ui)son as inclusións e ji=j∗ ieqi=q∗ iPor ser Uun revestimento categórico, para cada i∈ {0, ... n},Uié contraíble en Xe polo tanto ji= 0. Doutra banda, por ser unha sucesión exacta, qiserá sobrexectiva a polo tanto, dado xi∈Hm(X), existe ˆxi∈Hm(X, Ui)tal que qi(ˆxi) = xi. Consideramos o produto das n+ 1 preimaxes correspondentes: ˆx0⌣··· ⌣ˆxn∈H∗ X, n [ i=0 Ui!=H∗(X, X) = 0. Logo ˆx0⌣··· ⌣ˆxn= 0, do que se deduce que 0 = x0⌣··· ⌣ xn=q0(ˆx0)⌣··· ⌣ qn(xn) = q∗(ˆx0⌣··· ⌣ˆxn) = q∗(0) . Onde q∗é o homomorfismo inducido pola inclusión q:X ,→(X;Ui)e a segunda igualdade pode consultarse como consecuencia directa do resultado 11.11, Stability en ([3], páx. 235). Teorema 5.20 ([11], Theorem 5.2.).Sexan f, g :X−→ Ydúas aplicacións continuas entre os espazos topolóxicos XeYef∗, g∗:H(Y)−→ H(X)os morfismos inducidos, denotamos por J(f, g)a imaxe do morfismo linear f∗−g∗:H(Y)−→ H(X), entón: l.c.p.J(f, g)≤D (f, g). 5.3. COTAS COS GRAOS DE NILPOTENCIA DAS CLASES DE COHOMOLOXÍA33 Demostración. Se D (f, g) = n, sexa {U0... Un}un revestimento aberto tal que as restricións das proxeccións p1ep2a cada aberto son homótopas. Consideramos a sucesión exacta longa de cohomoloxía asociada a cada par (X, Uk), k ∈ {0... n}: Hm(Y) f∗−g∗  (f|Uk)∗−(g|Uk)∗ %% ... //Hm(X, Uk)jk //Hm(X)ik//Hm(U)//... Tal e como escollimos o revestimento, f|Uk∗−g|Uk∗= 0, polo que dado un elemento ω∈ J (f, g), este estará no núcleo de ike, por tratarse dunha sucesión exacta, ω∈Im jk. É dicir, podemos garantir a existencia de ˆw∈Hm(X, U)tal que jk( ˆw) = ω, para todo w∈ J (f, g), para todo k∈ {0... n}. Así, vexamos que pasa co produto de n+ 1 elementos arbitrarios de J(f, g): ω0⌣··· ⌣ ωn=j0(ˆω0)⌣··· ⌣ jn(ˆωn) = j∗(ˆω0⌣··· ⌣ˆωn) = 0. Pois j∗(ˆω0⌣··· ⌣ˆωn)∈H∗(X, X) = 0. Onde j∗é a aplicación inducida que fai o seguinte diagrama conmutativo (véxase [[3], páx. 235]): H(X, U0)⊗ ··· ⊗ H(X, Un)⌣// j0⊗···⊗jn  H∗(X, Sn k=0 Uk) jU0∪···∪Un  H(X)⊗ ··· ⊗ H(X)⌣//H(X) Exemplo 5.21. Tomamos as aplicación f, g :X−→ Xdo Teorema 5.20 como f=idXe g=x0unha aplicación constante. Estas inducen as aplicacións f∗, g∗:H(X)−→ H(X), f∗=idH(X)eg∗= 0. Recuperamos así o Exemplo 5.19, pois l.c.p.(H(X)) = l.c.p.J(f, g)≤D (f, g) = cat (X). Capítulo 6 Exemplos A distancia homotópica, así como a categoría de Lusternik-Schnirelmann e a complexidade topolóxica (por tratárense de casos particulares desta), teñen aplicacións importantes na robótica e na enxeñería. Serven, entre outras cousas, para medir a dificultade de planificar movementos nun espazo de configuracións dun sistema mecánico e para prever inestabilidades no comportamento destes sistemas. Neste capítulo falaremos dalgunhas destas aplicacións, consideraremos a circunferencia S1que podemos identificar na vida real cunha rotonda, os brazos robóticos articulados ou os corpos ríxidos, como pode ser un avión. Ademais, traballaremos nas seccións 6.2 e 6.3 co espazo de configuracións dun sistema mecánico coma un espazo topolóxico X. 6.1. Aplicacións na circunferencia Nesta sección centrarémonos na circunferencia S1. Podemos identificala con múltiples obxectos da vida real, como pode ser unha rotonda. Veremos máis adiante que nin a súa categoría nin a sua complexidade son nulas, do que podemos deducir que non existe un algoritmo de planificación de movementos continuo nela. Problema que plataformas como Google Maps intentan solventar do mellor xeito posíbel aínda a día de hoxe para, por exemplo, construir camiños continuos con dependencia do punto de partida e chegada. Exemplo 6.1. Sexa X=S1unha circunferencia, entón: cat S1= 1. A circunferencia non é un espazo topolóxico contráctil, logo cat S1>0. Doutra banda cat S1≤1porque podemos revestila por dous abertos contráctiles {U0, U1}. Basta tomar U0=S1\ {p1}eU1=S1\ {p2}, con p1, p2∈S1dous puntos calquera da circunferencia. 35 36 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS Observación 6.2.Como vimos na Proposición 1.12, dado un espazo topolóxico X, a existencia dun algoritmo de planificación de movementos continuo en Xnon está garantida. É o caso de X=S1. Pois tendo en conta a Proposición 3.6, que nos afirma que a categoría dun espazo é unha cota inferior da complexidade topolóxica, e o Exemplo 6.1, temos que 1≤TC S1. Proposición 6.3. Sexa X=S1, consideramos a aplicación identidade: id : S1−→ S1e a aplicación inversa: inv : S1−→ S1,inv (x, y)=(x, −y). Entón: D (id,inv) = 0. Demostración. Antes de comezar, cabe destacar que podemos identificar o noso espazo topolóxico X=S1co espazo topolóxico de números complexos de norma 1. Logo a aplicación inv non é máis que a conxugación dos números complexos unitarios, que se escribiría como: inv (z) = ¯z, onde z∈Xe¯zdenota o conxugado de z. Para facernos unha idea máis visual, podemos ver como funciona na Figura 6.1. Figura 6.1: Aplicación inversa nos complexos unitarios Agora ben, se dadas dúas aplicacións a súa distancia homotópica é 0, iso quere dicir que son homótopas. Para probar o resultado construiremos a homotopía pertinente. Tendo en conta que S1={(cos (x),sen (x)) , x ∈[0,2π)}, podemos reescribir inv como: inv : S1−→ S1,inv (cos (x),sen (x)) = (cos (x),−sen (x)). Consideramos H:S1×[0,1] −→ S1,H(x, t) = x+t(inv(x)) ||x+t(inv(x))|| .Hé a homotopía que buscamos: está ben definida, é continua por ser composición de aplicacións continuas ben definidas e ademais H(x, 0) = x ||x|| =x= id (x)eH(x, 1) = inv(x) ||inv(x)|| = inv (x). Como acabamos de dicir está ben definida, xa que non se anula o denominador. Pois para iso debería cumprise o seguinte sistema: (t=x1 x1−inv1(x) t=x2 x2−inv2(x) 6.1. APLICACIÓNS NA CIRCUNFERENCIA 37 Onde x= (x1, x2)einv (x) = (inv1(x),inv2(x)). Dito sistema é equivalente á seguinte igualdade: x1 x2=inv1(x) inv2(x). Que por estar en S1 só se dá se inv (x) = −x, que non pasa en ningún punto. Estamos descartando o caso inv (x) = xporque nese caso H(x, t) = x, para todo t∈[0,1] e tampouco se anularía o denominador. Antes de probar a seguinte Proposición convén lembrar a definición de grupo fundamental. Definición 6.4. Sexa Xun espazo topolóxico, x0∈Xun elemento arbitrario e ∧(X, x0)⊂ C([0,1] , X)o conxunto de lazos en (X, x0), defínese o grupo fundamental de Xen x0como o seguinte conxunto cociente π1(X, x0) = ∧(X, x0)⧸≃, onde ≃denota a relaciónd e equivalencia entre dous lazos que son homótopos por camiños. Observación 6.5.O punto base x0é indiferente se traballamos nun conxunto conexo. Como estamos considerando espazos topolóxicos Xconexos por camiños, para aforrar notación denotaremos o grupo fundamental por π1(X). Pois énos indiferente con que x0∈Xtraballar. Proposición 6.6. Sexa X=S1≃ {z∈C:|z|= 1}, consideramos a aplicación identidade: id : S1−→ S1e a aplicación cadrado: q:S1−→ S1,q(z) = z2. Entón: D (id, q) = 1. Demostración. Como vimos na Proposición 3.8, a distancia homotópica está limitada pola categoría L-S. Neste caso, como vimos no Exemplo 6.1, cat S1= 1. Logo de non seren homótopas as aplicacións, a súa distancia será 1. Para probar que o enunciado é certo veremos que id eqnon son homótopas. Por redución ao absurdo, se o fosen, tería que cumprirse que π1(id) = π1(q). Onde π1(id) : π1S1−→ π1S1é unha aplicación tal que π1(id) [α] = [id ◦α]=[α]eπ1(q) : π1S1−→ π1S1é unha aplicación tal que π1(q) [α] = [q◦α]. Con todo, π1S1≈Z. Tendo en conta que X≃S1={eix = (cos (x),sen (x)) , x ∈ [0,2π)}, podemos reescribir qcomo: qeix=q(cos (x),sen (x)) = e2ix = (cos (2x),sen (2x)). É dicir, o que fai a aplicación qé duplicar o argumento do elemento como se pode ver na Figura 6.2. Como cada clase de homotopía consta de tódolos lazos que se envolven arredor de S1 unha determinada cantidade de veces e qduplica o argumento, q◦αdá o dobre número 38 CAPÍTULO 6. EXEMPLOS Figura 6.2: Aplicación cadrado na esfera unidade de voltas ca α. Logo [α]= [q◦α], o que implica que π1(id) =π1(q). Concluímos así que D (id, q)=1. 6.2. Brazo robótico articulado Nesta sección analizaremos o sistema de configuracións dun brazo robótico articulado. Este é un sistema mecánico plano formado por nbrazos de lonxitudes l1, ... lnfixadas. Os brazos están conectados por xuntas xiratorias que chamaremos vértices e forman unha cadea poligonal como podemos ver na Figura 6.3. Cabe destacar que admitiremos autointerseccións no sistema. Exemplo 6.7. O espazo de configuracións dun brazo robótico articulado está totalmente determinado polos ángulos que forman cada articulación coa direción do eixo x. Defínese como: Ml:= S1×(n) ... ×S1. Onde l= (l1, ... ln)∈Rn,li>0, para todo i∈ {1... n}fai referencia á lonxitude de cada articulación do brazo robótico. Chámase vector lonxitude do brazo robótico. Figura 6.3: Brazo robótico articulado 6.2. BRAZO ROBÓTICO ARTICULADO 39 Observación 6.8.[7] Cambiar a orde dos elementos de lé irrelevante. Xa que Ml′, con l′ unha reordenación do vector l, é difeomorfo a Ml. Definición 6.9. O espazo de traballo dun brazo robótico articulado Wé o conxunto de tódalas posicións do extremo do brazo. Nesta sección consideraremos só o brazo robótico con dúas articulacións de lonxitudes l1≥l2como pode verse na Figura 6.4. Figura 6.4: Brazo robótico de dúas articulacións Neste caso teríamos que o espazo de configuracións sería: C:= S1×S1=T2, mentres que o espazo de traballo W, un anel con círculo externo de raio R=l1+l2e círculo interno de raio r=l1−l2. Podemos visualizalos na Figura 6.2. (a) Espazo de configuración (b) Espazo de traballo Proposición 6.10. Sexa X=T2, entón: cat T2= 2. Pode consultarse a proba en [[1], páx. 4] Bibliografía [1] Cornea, O., Gregory, L., Oprea, J. and Tantré, D. Lusternik-Schnirelmann Category, American Mathematical Society, 2003. [2] Crossley, M.D. Essential Topology. London: Springer, 2005. [3] Dold, A. Lectures on algebraic topology, Berlin: Springer-Verlag, 1972. [4] Dranishnikov,A. On the Lusternik-Schnirelmann category of spaces with 2-dimensional fundamental group, American Mathematical Society. 137, No. 4, 1489-1497. (2009). [5] Dummit, D. S. Foote, R. M. Abstract Algebra, Chichester: Wiley, 2004. [6] Farber, M. Topological Complexity of Motion Planning. Discrete and Computational Geometry.29, 211-221. (2003). [7] Farber, M. Invitation to Topological Robotics, European Mathematical Society, 2008. [8] Hatcher, A. Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. [9] Hausmann, J.-C. Mod Two Homology and Cohomology, Springer, 2014. [10] Lusternik, L. ; Schnirelmann, L. Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels. I: Espaces à un nombre fini de dimensions. Actualités Scientifiques et Industrielles. 188. (Exposés sur lÕanalyse mathematique et ses applications. III). Publiés par J. Hadamard. Paris: Hermann et Cie (1934). [11] Macías-Virgós, E. and Mosquera-Lois, D. Homotopic distance between maps, Math. Proc. Camb. Philos. Soc..172, No.1, 73-93. (2020). [12] Mosquera-Lois, D. Complejidad topológica en la robótica, Universidade de Santiago de Compostela, 2016. [13] Munkres, J. Elements of Algebraic Topology, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, 2018. 47 48 BIBLIOGRAFÍA [14] Oprea, J. and Strom, J. Mixing Categories, American Mathematical Society. 139, No.9, 3383-3392. (2011). [15] Oprea, J. and Strom, J. Proc. Am. Math. Soc 139, 3383-3392. (2011). [16] Rotman, J.J. An Introduction to Algebraic Topology, New York (FRG): Springer- Verlag, 1988. [17] Svarc, A. S. The genus of a fiber space, Amer. Math. Soc. Transl. 55, No. 2, 49-140. (1966).