Mecánica ondulatoria

Vicerreitoría de extensión UniVersitaria, cUltUra e sociedade Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo de profesores e alumnos de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Enxeñaría Civil Portos e Costas Gregorio Iglesias Rodríguez e Rodrigo Carballo Sánchez Departamento de Enxeñaría Agroforestal Escola Politécnica Superior 3 Mecánica ondulatoria 9788498 875652 ISBN 978-84-9887-565-2 Mecánica ondulatoria 3 Gregorio Iglesias Rodríguez e Rodrigo Carballo Sánchez Departamento de Enxeñaría Agroforestal Escola Politécnica Superior ADVERTENCIA LEGAL: reservados todos os dereitos. Queda prohibida a duplicación, total ou parcial desta obra, en calquera forma ou por calquera medio (electrónico, mecánico, gravación, fotocopia ou outros) sen consentimento expreso por escrito dos editores. © Universidade de Santiago de Compostela, 2011 Deseño Unidixital Edita Vicerreitoría de Extensión Universitaria, Cultura e Sociedade da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostela Dep. Legal: C 270-2011 ISBN 978-84-9887-565-2 UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 3 MATERIA: Portos e Costas TITULACIÓN: Enxeñaría Civil PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica Unidade I. Introdución á Enxeñaría de Portos e Costas BLOQUE TEMÁTICO I: PROCESOS LITORAIS Unidade II. Ondas de gravidade. Ondada Unidade III. Mecánica Ondulatoria Introdución Propagación da ondada Rotura da ondada Modelización Numérica Unidade IV. Marea e niveis do mar Unidade V. Correntes litorais Unidade VI. Transporte de sedimento Unidade VII. Morfodinámica de praias BLOQUE TEMÁTICO II: ACTUACIÓNS NO LITORAL Unidade VIII. Actuacións na Costa Unidade IX. Obras Portuarias Unidade X. Xestión Integral da Zona Litoral UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 5 ÍNDICE Presentación ................................................................................................. 7 Obxectivos .................................................................................................... 7 Os principios metodolóxicos ...................................................................... 7 Os contidos básicos .................................................................................... 8 1. Introdución ..................................................................................... 8 2. Propagación da ondada .............................................................. 10 2.1. Fundamentos ............................................................... 10 2.2. Shoaling ....................................................................... 13 2.3. Refracción .................................................................... 14 2.4. Difracción ..................................................................... 17 2.5. Refracción-difracción combinadas .............................. 19 3. Rotura da ondada ........................................................................ 19 3.1. Rotura por forma .......................................................... 19 3.2. Rotura por fondo .......................................................... 20 4. Modelización Numérica ............................................................... 22 4.1. Modelos espectrais ...................................................... 22 4.2. Modelos non espectrais ............................................... 22 Actividades propostas ............................................................................... 24 Avaliación da UD ........................................................................................ 24 Bibliografía .................................................................................................. 25 UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 7 PRESENTACIÓN A presente Unidade Didáctica (en diante UD) é unha continuación da UD II na que se estudan os fundamentos da ondada. Ambas as unidades encádranse dentro do Bloque I da materia, onde se caracterizan os distintos procesos que determinan o deseño das actuacións litorais (Bloque II). Para o seu deseño, é esencial coñecer o clima marítimo ao que estarán sometidas; en particular, as condicións da ondada constitúen, na maioría dos casos, a solicitude máis importante. Os datos de partida fan referencia xeralmente á área de profundidades indefinidas fronte ao punto de interese, situado na maioría das ocasións en profundidades reducidas. Non obstante, as características da ondada modifícanse no seu avance dende augas indefinidas ata a costa. Deste modo, o estudo da súa transformación constitúe un aspecto fundamental á hora de determinar as condicións da ondada nunha determinada zona do litoral. Nesta unidade didáctica preséntanse os principios científicos básicos que determinan a transformación da ondada unha vez que abandona a condición de profundidades indefinidas. Agora ben, a representación axeitada destes procesos constitúe un problema matemático complexo. Por este motivo farase referencia aos distintos modelos numéricos que na actualidade se empregan con este fin. OS OBXECTIVOS O obxectivo xeral desta unidade didáctica é que o alumno coñeza os métodos analíticos e numéricos necesarios de modo que sexa capaz de caracterizar a ondada nunha determinada zona costeira. Con este fin formúlanse os seguintes obxectivos específicos:  Coñecer os distintos procesos que producen a transformación da ondada.  Coñecer as bases de cálculo da modificación da ondada durante a súa propagación por un fondo de profundidade variable con ou sen a presenza de obstáculos.  Coñecer as ferramentas máis avanzadas para a determinación da transformación da ondada. OS PRINCIPIOS METODOLÓXICOS A metodoloxía de ensino utilizado axustarase ás pautas do Espazo Europeo de Educación Superior (EEES), que computa as horas totais de traballo do alumno como a suma das horas presenciais e as horas non presenciais. O traballo non presencial inclúe toda unha serie de tarefas que os alumnos 14 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria 2.3. Refracción Cando a ondada se aproxima de forma oblicua á costa, ademais de shoaling prodúcese refracción. Este proceso fai referencia ao cambio na dirección de propagación da ondada, de tal xeito que as frontes tenden a poñerse paralelas ás liñas batimétricas. Debido a que as ondas posúen unha incidencia oblicua, ao longo da fronte vai existir unha variación na profundidade. A velocidade de propagación da onda é función da profundidade (11), incrementándose ao longo da fronte dende a zona máis superficial cara á zona máis profunda. Como resultado, a fronte xira e tende a orientarse de forma paralela ás liñas batimétricas (Figura 5). Figura 5. Ondada con incidencia oblicua. Variación da profundidade ao longo das frontes de onda. Para determinar o cambio de dirección abonda con recorrer á expresión (5). Posto que o vector número de onda k é o gradiente dun escalar, tense: 0 k (16) En coordenadas cartesianas, a ecuación (16) convértese en: sin cos(k θ)+ (k θ)=0 xy   (17) No caso simplificado dunha costa con liñas batimétricas rectas e paralelas, a ecuación (17) redúcese a: sin d(k θ)=0 dx (18) UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 15 Se asumimos unha ondada estacionaria tense que k=2π/L=2π/(CT)=cte/C. A ecuación (18) redúcese entón a: sin 0 dθ dx C     ou sinθ=cte C (19) Do mesmo xeito, pódese relacionar a dirección de propagación en profundidades indefinidas e a unha profundidade arbitraria: sin sin 0 0 θ θ= CC (20) Esta identidade coñécese como a Lei de Snell, e indica que a medida que a celeridade de fase diminúe conforme se reduce a profundidade, θ tamén diminúe. Polo tanto, as frontes tenden a orientarse de forma paralela ás liñas batimétricas. Como resultado do proceso de refracción, producirase a converxencia e diverxencia da ondada. Desta forma, a ondada tenderá a concentrar a súa enerxía en cabos e a reducir a súa intensidade en golfos (Figura 6). Figura 6. Converxencia e diverxencia da ondada debido a refracción. A variación de altura de onda ao longo dos raios pódese determinar a través da hipótese de conservación do fluxo de enerxía (8). Asumindo que non hai transferencia lateral de enerxía ao longo da fronte de onda, o fluxo de enerxía entre dous raios separados unha distancia b (Figura 7) permanece constante: 16 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria g Pb=EC b=cte (21) 0g00 g EC b =ECb (22) Se se emprega de novo a ecuación da densidade de enerxía (9) e se substitúe en (22) obtense: g0 0 sr 0g Cb H==KK HCb (23) onde 0 r b K= b (24) é o coeficiente de refracción. No caso idealizado con batimetría recta e paralela (Figura 7): cos cos 00 r bθ K= = bθ (25) Figura 7. Características dos raios durante a refracción sobre batimetría idealizada. UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 17 2.4. Difracción A difracción da ondada é o fenómeno polo cal a enerxía se transmite lateralmente ao longo da fronte da onda (ou o que é o mesmo, a través dos raios). A análise deste proceso resulta de gran importancia á hora de deseñar determinadas actuacións no litoral, como é o caso dun porto. Neste caso, un dos factores principais que se debe considerar son as condicións de ondada no seu interior. Unha vez que a ondada atravesa a bocana, esta pode verse afectada polo shoaling ou a refracción; non obstante, o proceso dominante que determina as condicións de axitación é habitualmente a difracción. Este fenómeno ponse de manifesto na súa forma máis destacada cando un tren de ondas resulta interrompido por un obstáculo natural ou artificial: dique, baía, cabo... (Figura 8). Se non existise unha cesión lateral de enerxía, as ondas superarían o extremo do obstáculo sen experimentar ningún tipo de modificación, deixando na zona a sotavento unha superficie de auga totalmente en calma. Figura 8. Difracción da ondada nas proximidades dun obstáculo A figura 8 mostra un tren de ondas que se aproxima a un obstáculo semi-infinito e impermeable nunha zona con profundidade constante (é dicir, non existe refracción nin shoaling). Unha parte da ondada golpea o 18 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria obstáculo sendo parcialmente reflectido e parcialmente disipado. A parte que supera o extremo do obstáculo difráctase. O extremo do obstáculo actúa como foco emisor, de modo que as frontes da ondada difractada formarán arcos circulares concéntricos con altura de onda decrecente ao longo deles. Pódese definir un coeficiente de difracción: d d i H K= H (26) onde Hd é a altura de onda difractada nun punto da zona de resgardo e Hi a altura de onda incidente no extremo do obstáculo. Se definimos r como a distancia radial entre o extremo do obstáculo e un punto de interese na zona de resgardo e β o ángulo entre o obstáculo e o vector de posición radial, tense que para unha ondada cun ángulo θ de incidencia respecto do obstáculo, entón k'=f(r/L,β,θ). Polo tanto, para un determinada localización na zona de resgardo, o coeficiente de difracción é función do período e a dirección da ondada incidente. Para a solución deste problema Penny e Price (1952) mostraron que no caso de considerar a difracción de ondas que inciden sobre un obstáculo semi-infinito, ríxido e impermeable, podíase aplicar a solución de Sommerfeld (1896) para a difracción da luz que pasa a través dun cristal. Wiegel (1962) presentou os resultados desta formulación por medio de diagramas para ángulos θ entre 15º e 180º en intervalos de15º (Figura 9). Figura 9. Diagrama de difracción da ondada con θ =90º. UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 19 2.5. Refracción-difracción combinadas Os procesos de refracción e difracción normalmente acontecen simultaneamente. Ao non existir unha situación de difracción pura, a refracción provocará que as frontes de onda non sexan paralelas. No caso de existir un obstáculo na propagación da ondada, a refracción afectará, polo tanto, á zona de sombra, de modo que as frontes non serán círculos perfectos. Trátase, sen dúbida, dunha situación de resolución complexa e non se disporán de gráficas xerais para a súa resolución (cada fondo tería a súa). Sen dúbida, o gran avance realizado para a modelización de ambos os dous fenómenos débese a Berkhoff (1972). A súa ecuación de pendente suave (mild slope equation) describe os efectos combinados da refracción, o shoaling e a difracción de ondas de gravidade periódicas, considerando as posibles reflexións da onda incidente, e coa única restrición de que as pendentes do fondo sexan suaves. Esta ecuación pódese expresar en función do potencial de velocidades, Φ, como:    0CC ggg CC 2 k (27) Trátase dunha ecuación elíptica resultado de integrar a ecuación de Laplace en profundidade, ignorando no proceso os termos de orde elevada no gradiente de profundidade e os efectos non lineais. A partir da ecuación de Berkhoff deducíronse numerosas variantes e aproximacións. No apartado 4.2 preséntanse os distintos modelos que a resolven. 3. Rotura da ondada A rotura pode ser por forma ou por fondo. 3.1. Rotura por forma A rotura do perfil dunha onda prodúcese, principalmente, pola inestabilidade do peralte (H/L). O peralte máximo dunha onda de gravidade é (Miche,1944): 0max 0.142 tanh( ) b Hkd L    (28) onde Hb é a altura de onda no punto de rotura. Se a rotura acontece en profundidades indefinidas, a ecuación (28) convértese en Hb/L0=0.142. 20 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria 3.2. Rotura por fondo Á hora de levar a cabo unha actuación no litoral é moi importante analizar o condicionante da rotura polo fondo. Isto é debido a que moitas destas actuacións sitúanse a pouca profundidade e polo tanto, atópanse "protexidas" por un fondo que provoca a rotura das ondas de altura superior a certo valor. Na Teoría de Onda Solitaria (McCowan, 1894; Munk, 1949) o criterio de rotura é: 0.78 b b H d (29) sendo db a profundidade de rotura. Ó criterio de Goda (1970) é: 4/3 0 1.5 (1 15 0 0.17 1 b dm L b bb HL e dd                     (30) Estes criterios pódense empregar xunto coas expresións dos procesos de propagación descritas previamente co fin de determinar as características da onda en rotura e o punto (a profundidade) de rotura. A forma coa que rompe unha onda por redución da profundidade pódese determinar a través do número de Iribarren, Ir, que é función da pendente media do talude, m, e do peralte da onda: 0 b m Ir H L  (31) Segundo este número, existen catro tipos de rotura da ondada (Táboa 1, Figura 10). Táboa 1. Tipos de rotura en función do número de Iribarren. Ir Tipo <0.5 Descristamento 0.5-2.5 Voluta 2.5-3 Colapso >3 Oscilación UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 21 A rotura en descristamento ten lugar principalmente en praias con pendente suave, que a miúdo se denominan praias disipativas. Caracterízase pola aparición de escuma e turbulencia na crista da onda. Normalmente este tipo de rotura comeza a certa distancia da costa, abranguendo unha ampla zona na que a enerxía da onda se disipa de forma gradual. Pola contra, a rotura en voluta é un proceso moito máis brusco que se sitúa nunha franxa reducida. Este tipo de rotura prodúcese sobre fondos con pendente relativamente pronunciada e caracterízase porque a crista, que avanza máis rápido que a propia onda, xira sobre si mesma e forma unha voluta. Os dous últimos tipos de rotura prodúcense sobre fondos con pendente pronunciada. As praias onde se producen denomínanse a miúdo praias reflexantes, sendo tamén habituais sobre diques en talude. A rotura en oscilación caracterízase porque a onda avanza, deformándose e alisándose co fondo ao tempo que se produce a súa reflexión parcial. Finalmente, a rotura en colapso está a medio camiño entre as roturas en voluta e oscilación. Figura 10. Tipos de rotura da ondada. 22 - UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria 4. Modelización numérica Os modelos de ondada pódense clasificar en espectrais e non espectrais (Iglesias, 2001). 4.1. Modelos espectrais Os modelos espectrais describen a variación no tempo e no espazo da función de densidade espectral, a partir dun balance de enerxía ou de acción de onda. Na súa representación espectral, a ondada está formada por infinitas compoñentes, caracterizadas cada unha delas por unha certa dirección, frecuencia e fase. A función de densidade espectral representa o reparto de enerxía entre as distintas frecuencias e direccións. O feito de empregar a función de densidade espectral para representar a ondada supón renunciar a resolver a fase de cada unha das infinitas ondas compoñentes e asumir unha serie de hipóteses respecto da distribución das fases. A función de densidade espectral pode referirse á enerxía, á acción de onda ou á varianza da superficie libre. No caso de que se pretenda ter en conta a interacción onda-corrente é moi útil empregar a acción de onda, xa que en presenza de correntes esta si se conserva mentres que a enerxía non. A principal limitación dos modelos espectrais é que non permiten representar variacións rápidas da ondada (en poucas lonxitudes de onda), como as que resultan da interacción con estruturas. Nestes casos de difracción forte é necesario empregar modelos non espectrais. Dentro dos modelos de dominio público destaca o modelo SWAN, que permite analizar tanto a xeración como a transformación da ondada. Este modelo pódese aplicar en profundidades reducidas xa que, conservando os termos fonte, engade os de disipación por fricción e por rotura da onda por fondo. 4.2. Modelos non espectrais Os modelos non espectrais son aqueles que non se fundamentan na función de densidade espectral e na ecuación de balance de enerxía, senón en ecuacións relacionadas directamente co estado instantáneo do movemento. Dentro dos modelos non espectrais diferenciaremos os seguintes tipos: (i) de raios; (ii) derivados da ecuación de pendente suave; (iii) de Boussinesq; (iv) Navier-Stokes. Os modelos de raios son as primeiras ferramentas que se empregaron para calcular a propagación da ondada, sendo habitual o seu emprego ata hai poucos anos. Están baseados na teoría da óptica xeométrica ou aproximación de refracción e consideran unicamente os fenómenos de refracción e shoaling. Posto que non teñen en conta a difracción, son inadecuados en moitas situacións e fóronse abandonando a favor de modelos máis complexos que teñen en conta tamén este proceso. UNIDADE DIDÁCTICA III. Mecánica Ondulatoria - 23 Hai uns anos desenvolveuse un modelo de raios baseado na ecuación de pendente suave (Iglesias, 2001; Iglesias & Negro, 2003). Trátase dun modelo máis complexo que os modelos de raios convencionais, que ten en conta a difracción (ademais da refracción e o shoaling). Os modelos baseados na ecuación de pendente suave son, sen dúbida, os máis usados hoxe en día. En función da súa natureza cabe distinguir modelos elípticos, parabólicos e hiperbólicos. Posto que a ecuación de pendente suave na súa forma completa é elíptica, para resolvela é necesario formular condicións de contorno ao longo de toda a curva que encerra o dominio de cálculo, ademais de ter que resolverse de forma simultánea en todos os puntos do dominio. Na maioría das aplicacións prácticas, isto implica recursos computacionais moi elevados. Os modelos elípticos son adecuados para calcular a axitación en dársenas e, en xeral, para tratar situacións nas que a reflexión xoga un papel importante. Co fin de reducir o custo computacional, recorreuse a unha aproximación parabólica segundo a que se supón que a compoñente reflectida da onda se pode desprezar. Grazas a iso, non son necesarias condicións de contorno augas abaixo, nin tampouco a resolución simultánea do campo de ondas en todo o dominio, é dicir, pódese calcular avanzando dende augas profundas cara á costa. A principal limitación dos modelos parabólicos consiste en que unicamente son aplicables en caso de non existir obstáculos que provoquen a reflexión do tren incidente. Por último, os modelos hiperbólicos representan unha aproximación da ecuación de pendente suave na cal, a diferenza dos modelos anteriores, figura o tempo. Estes modelos son quizais os menos estendidos, algo debido seguramente ás dificultades que presentan á hora de implementar as condicións de contorno, ademais de ser modelos que computacionalmente non son demasiado eficientes. Entre os modelos dispoñibles que resolven a ecuación de pendente suave destaca o modelo elíptico CGWAVE e os de aproximación parabólica REF-DIF e RCPWAVE. Os modelos baseados nas ecuacións de Boussinesq resolven as ecuacións de conservación formuladas na variable instantánea do desprazamento vertical da superficie e do campo de velocidades horizontal no dominio do tempo. Estes modelos teñen probablemente un brillante futuro pola súa capacidade para reproducir fenómenos non lineais como a xeración de harmónicos. Son os máis axeitados para o estudo da transformación da ondada e os grupos de ondas en profundidades moi superficiais e na zona de rompentes. Entre os modelos de tipo Boussinesq de dominio público destacan o FUNWAVE da Universidade de Delaware e o modelo COULWAVE da Universidade de Cornell. Finalmente, é necesario mencionar os modelos que resolven as ecuacións de Navier-Stokes promediadas segundo Reynolds (RANS). A pesar do aumento no potencial de cálculo durante os últimos anos, a principal limitación destes modelos é, sen dúbida, o custo computacional.