Triangulaciones, el lema de Sperner y el teorema de punto fijo de Brouwer

Traballo Fin de Grao Triangulaciones, el lema de Sperner y el teorema de punto jo de Brouwer Lucía Domínguez Carballo 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Triangulaciones, el lema de Sperner y el teorema del punto jo de Brouwer Lucía Domínguez Carballo Julio, 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii iv Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Geometría y Topología Título: Triangulaciones, el lema de Sperner y el teorema del punto jo de Brouwer. Breve descrición do contido: Triangulamos un simplex S=[0, 1, ... , n] e imponemos la siguiente regla de Sperner a los nuevos n-símplices que aparezcan: si tienen algún vértice en una (n1)-cara de S , el nombre de ese vértice debe estar entre los n-1 dígitos que determinan la cara. Entonces alguno de los nuevos n-símplices tiene todos los dígitos 0, 1, ..., n como vértices. De aquí se obtiene una demostración elemental del teorema del punto jo de Brouwer: Si A es un abierto acotado y convexo de Rn y B es la clausura de A , entonces toda aplicación continua de B en B posee algún punto jo, es decir, algún punto p de B verica f(p) = p . De este teorema de Brouwer se derivan varias propiedades topológicas importantes de las esferas euclidianas, que se examinarán brevemente. Recomendacións Outras observacións Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Preliminares 1 2. Símplices en Rn 5 3. Subdivisión baricéntrica 11 4. Lema de Sperner 19 5. Teorema del punto jo de Brouwer 25 6. Aplicaciones 29 7. Conclusión 33 Bibliografía 35 v Resumen El objetivo de este trabajo es proporcionar una demostración elemental y poco conocida del teorema del punto jo de Brouwer, que se basa esencialmente en el lema de Sperner (un resultado puramente combinatorio sobre triangulaciones de un n-símplex, fácil de probar) y en una sencilla propiedad sobre recubrimientos cerrados de un n-símplex, debida a Knaster, Kuratowski y Mazurkiewich. A su vez, señalemos que el teorema de Brouwer implica el lema de Sperner. Abstract The aim of this work is to provide a quite elementary proof of Brouwer's Fixed Point Theorem, which is mainly based on a combinatorial simple result known as Sperner's Lemma, dealing with triangulations of a non degenerated n-simplex and on a property of closed coverings of the n-simplex, due to Knaster, Kuratowski and Mazurkiewickz. It's worth mentioning that Brouwer's Theorem implies Sperner's Lemma. vii 2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Luego dado un conjunto A⊂Rn , la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a A es el conjunto convexo más pequeño que contiene a A . En lo que sigue deniremos un tipo de combinaciones anes que tienen especial interés en el tema que nos ocupa. Recordemos entonces que un punto x es una combinación afín de x0, x1, ..., xr∈Rn si existen números reales λ0, λ1, ..., λr tales que: x=λ0x0+λ1x1+... +λrxr (1.1) λ0+λ1+... +λr= 1 (1.2) Denición 1.3. Diremos que un punto x es una combinación convexa de x0, x1, ..., xr∈Rn si existen λ0, λ1, ..., λr vericando las condiciones (1.1) y (1.2) y, además, λj≥0∀j= 0, ..., r Figura 1.2: El punto Q es combinación afín de los puntos del plano a0, a1 y a2 , pero no es una combinación convexa de estos. El punto P sí lo es. Denición 1.4. El conjunto de todas las combinaciones convexas de los elementos de un conjunto A⊂Rn se denomina envolvente convexa de A y la denotaremos por conv (A) . En particular conv (∅) = ∅ . Análogamente el conjunto de todas las combinaciones anes de elementos de A recibe el nombre de envolvente afín y la designaremos por a (A) . Observación 1.5 . Evidentemente A⊂ conv (A)⊂ a (A) . Teorema 1.6. Dado un subconjunto A⊂Rn , a) A es convexo si y sólo si contiene a todas sus combinaciones convexas, es decir, si y sólo si A= conv (A) b) La envolvente convexa de A es el conjunto convexo más pequeño que contiene a A , es decir, si A⊂A0 y A0 es convexo entonces conv (A)⊂A0 . 3 Demostración. a) “ =⇒” Sean λ0, λ1, ..., λr vericando las condiciones (1.2) y (1.3), veamos que dados x0, x1, ..., xr∈A entonces λ0x0+λ1x1+...+λrxr∈A por inducción en r . Para r= 0 el resultado es trivial y por la convexidad de A también se verica para r= 1 . Supongamos que la armación es cierta para r y veamos que entonces lo es también para r+1 . Así pues, consideremos la combinación convexa λ0x0+λ1x1+...+λrxr+λr+1xr+1 de r+ 2 elementos de A . Denamos Λ := r X i=0 λi de modo que 1−Λ = r+1 X i=0 λi− r X i=0 λi=λr+1 y por consiguiente ( r X i=0 λixi) + λr+1xr+1 = Λ( r X i=0 λi Λxi) + (1 −Λ)xr+1. (1.3) Notemos que r X i=0 λi Λ= 1 y así en virtud de nuestra hipótesis de inducción r X i=0 (λi Λ)xi∈A . Puesto que xr+1 ∈A se sigue que (1.3) es una combinación convexa de dos puntos de A y por esta razón pertenece a A . “⇐= ” Veamos en primer lugar que conv (A) es convexo. Si x, y ∈ conv (A) existen x0, x1, ..., xr, y0, y1, ..., ys∈A y números reales λ0, λ1, ..., λr, µ0, µ1, ..., µs tales que: x=λ0x0+λ1x1+... +λrxr, λ0+λ1+... +λr= 1, λj≥0∀j= 0, ..., r y y=µ0y0+µ1y1+... +µsys, µ0+µ1+... +µs= 1, µj≥0∀j= 0, ..., s. Supongamos sin pérdida de generalidad que r=s (si no fuese así basta con añadir un cierto número de coecientes nulos) y que yj=xj para j= 0,1, ..., r . Dado 0≤t≤1 , tx + (1 −t)y=t(λ0x0+λ1x1+... +λrxr) + (1 −t)(µ0y0+µ1y1+... +µryr) = [tλ0+ (1 −t)µ0]x0+ [tλ1+ (1 −t)µ1]x1+... + [tλr+ (1 −t)µr]xr. Puesto que todos los coecientes son no negativos y tλ0+ (1 −t)µ0+tλ1+ (1 −t)µ1+... +tλr+ (1 −t)µr=t+ 1 −t= 1 se inere que tx+(1−t)y es una combinación convexa de x0, x1, ..., xr . Por consiguiente conv (A) es convexo luego si A=conv(A) deducimos que A es convexo. 4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES b) Basta con ver que conv (A) es la intersección de todos los conjuntos convexos de Rn que contienen a A . Sea {Xi}i∈I la famila de subconjuntos de Rn que contienen a A y X=\ i∈I Xi . Como A⊂ conv (A) y conv (A) es convexo entonces X⊂ conv (A) . Recíprocamente sea C⊂Rn un conjunto convexo tal que A⊂C . Tomando envolventes convexas, conv (A)⊂ conv (C) = C (por el apartado anterior), y como C es cualquier convexo conteniendo a A concluimos que conv (A)⊂X . Figura 1.3: Envolvente convexa de un conjunto de 10 puntos en el plano. Capítulo 2 Símplices en Rn Un concepto estrechamente relacionado con el de símplex m-dimensional es el de independencia afín. Recordemos que los puntos x0, x1, ..., xk∈Rn se dicen afínmente independientes si para cualquier secuencia λ0, λ1, ..., λk de números reales, λ0x0+λ1x1+... +λkxk= 0 λ0+λ1+... +λk= 0 )=⇒λj= 0 ∀j= 0, ..., k. No es difícil ver que los puntos x0, x1, ..., xk∈Rn son afínmente independientes si, y sólo si, los vectores −−−→ x0x1,−−−→ x0x2, ..., −−−→ x0xk son linealmente independientes. Denición 2.1. Sean a0, a1, ..., am un conjunto nito no vacío de m+ 1 puntos afínmente independientes de Rn , el subconjunto conv {a0, a1, ..., am} de Rn formado por los puntos: x=λ0a0+λ1x1+... +λmam (2.1) tales que: λ0+λ1+... +λm= 1 y λj≥0∀j= 0, ..., m (2.2) se llama símplex m-dimensional cerrado generado por los puntos a0, a1, ..., am y se denota por [a0a1...am] . Claramente el símplex [a0a1...am] no depende del orden de los puntos a0, a1, ..., am , tan sólo depende del conjunto {a0, a1, ..., am} . El conjunto de todos los puntos del símplex [a0a1...am] tales que λj>0∀j se llama interior 1 del símplex y a veces se le denomina símplex abierto . Notemos que m+ 1 puntos son afínmente independientes si no están en un mismo hiperplano (m-1)-dimensional. Esto signica que en el caso m=2 los puntos a0, a1, a2 no 1 Esta denición no coincide en general con la denición topológica de interior (pero sí cuando m=n ) si no que es el interior de S en la topología relativa del m-plano generado por los puntos a0, a1, ..., am (de forma que es un abierto en la topología relativa de ese m-plano). 5 6 CAPÍTULO 2. SÍMPLICES EN RN están alineados, o que el 2-símplex [a0a1a2] es un triángulo (interior y frontera). De un modo similar cuando m=3 el 3-símplex [a0a1a2a3] es un tetraedro (interior y frontera), es decir, los puntos a0 , a1 , a2 y a3 no son coplanarios (Figura 2.1). Los correspondientes símplices abiertos son el interior de un triángulo y de un tetraedro, respectivamente. Denición 2.2. Consideremos un símplex [a0a1...am]∈Rn , para cualesquiera k+1 números naturales distintos j0, j1, ..., jk , siendo k≤m , los puntos aj0, aj1, ..., ajk son afínmente independientes. Luego el símplex k -dimensional [aj0aj1...ajk] está bien denido y se llama cara k -dimensional del símplex [a0a1...am] . Las caras 0 -dimensionales a0, a1, ..., am se llaman vértices y las caras 1 -dimensionales se llaman aristas de [a0a1...am] . Además el propio [a0a1...am] se considera una cara suya. Se comprueba fácilmente que la cara k -dimensional del símplex [aj0aj1...ajk] consiste en todos los puntos de la forma (2.1) satisfaciendo (2.2) y tales que λj= 0 ∀j6=ji, i = 0, ..., k . Figura 2.1: Símplices cerrados de dimensiones 0, 1, 2 y 3. Observación 2.3 . Cualquier punto de un símplex S pertenece al interior de una única cara de S . En efecto, sean a0, a1, ..., am los vértices de S y x∈S . Entonces x= m X i=0 λiai donde 0≤i≤1 para i= 0,1, ..., m y m X i=0 λi= 1 . En consecuencia la única cara de S que contiene a x en su interior es la generada por aquellos vértices ai para los cuales λi>0 . Observación 2.4 . Sea S= [a0a1...am] un símplex m-dimensional, tal como se han denido podemos dar una expresión para el número de caras k-dimensionales de S . Claramente S tiene m+ 1 vértices, a0, a1, ..., am . El número de caras 1-dimensionales de S no es más que el número de formas de tomar 2 puntos de los m+ 1 vértices de S sin repeticiones y sin tener en cuenta el orden, de forma que n º de aristas de S=C2 m+1 =m+ 1 2=(m+ 1)! 2!(m+ 1 −2)! =m(m+ 1) 2 7 En general contar el número de caras k-dimensionales de S no es más que contar el número de formas de tomar k+ 1 vértices del total de vértices de S sin importar el orden ni contemplar repeticiones, lo cual viene dado por el número combinatorio: Ck+1 m+1 =m+ 1 k+ 1 =(m+ 1)! (k+ 1)! Por la independencia lineal de los vértices cada punto x∈[a0a1...am]∈Rn admite una única representación de la forma (2.1) bajo las condiciones (2.2). En efecto, supongamos que x∈[a0a1...am] admite dos representaciones de esta forma, x=λ0a0+λ1x1+... +λmam=µ0a0+µ1x1+... +µmam Entonces: m X i=0 λiai− m X i=0 µiai= 0 =⇒ m X i=0 (λi−βi)ai= 0 Por otro lado, por ser x un punto de [a0a1...am] , m X i=0 (λi−βi) = m X i=0 λi− m X i=0 µi= 1 −1=0 Así, teniendo en cuenta que los puntos a0, a1, ..., am son afínmente independientes, deducimos que λj−βj= 0 ∀j , es decir, λj=βj∀j . Una vez comprobado esto tiene sentido dar la siguiente denición. Denición 2.5. Los coecientes λ0, λ1, ..., λm en (2.1) se llaman coordenadas baricéntricas del punto x y las denotaremos también por λ0(x), λ1(x), ..., λm(x) . Teorema 2.6. Para cualesquiera m+1 puntos afínmente independientes a0, a1, ..., am en Rn el símplex S= [a0a1...am] es un subespacio compacto de Rn y las coordenadas baricéntricas λ0, λ1, ..., λm son funciones continuas de T en el intervalo I= [0,1] . Demostración. Sea δj i=(0 si i6=j 1 si i=j . Los puntos E0, E1, ..., Em∈Rm+1 con Ej={δj+1 i} son afínmente independientes luego el símplex T= [E0E1...Em]⊂Rm+1 está bien denido. Además las coordenadas baricéntricas de los puntos de T coinciden con sus coordenadas en Rm+1 : dado x= (x1, ..., xm+1)∈T , x=µ0E0+µ1E1+... +µmEm=⇒(x1, x2, ..., xm+1) = (µ0, µ1, ..., µm) 8 CAPÍTULO 2. SÍMPLICES EN RN de donde se deriva que xj+1 =µj∀j= 0, ..., m . Si además de esto tenemos en consideración las condiciones (2.2) vericadas por las coordenadas baricéntricas deducimos que T es cerrado y acotado en Rm+1 . Dado x= (x1, ..., xm+1)∈T se verican las relaciones: x1+... +xm+1 = 1 y xi≥0∀i= 1, ..., m + 1 lo que signica que xi∈[0,1] ∀i= 1, ..., m + 1 . Pero como esto es cierto para todo punto del símplex T podemos escribir T⊂BRm+1 [0,1] . Por otro lado, puesto que x1+... +xm+1 = 1 , el punto x pertenece al hiperplano H={x∈Rm+1/ m+1 X i=1 xi= 1} . Observemos que H es un subconjunto cerrado de Rm+1 , pues Rm+1\H={x∈Rm+1/ m+1 X i=1 xi>1}∪{x∈Rm+1/ m+1 X i=1 xi<1} es abierto. Denotemos por Hi el hiperplano determinado por {x∈Rm+1/xi= 0} y por H+ i={x∈Rm+1/xi≥0} y H− i={x∈Rm+1/xi≤0} los subespacios cerrados superior e inferior de Rm+1 asociados. Como además xi≥0∀i= 1, ..., m+1 se tiene que x∈ m+1 \ i=1 H+ i , que es un subconjunto cerrado de Rm+1 como intersección de cerrados. En consecuencia T=H∩( m+1 \ i=1 H+ i) es cerrado además de acotado y, por ende, compacto. Veamos ahora que la expresión dada por f(x) = x1a0+x2a1+... +xm+1am , en la cual x= (x1, x2, ..., xm+1) es un punto de T⊂Rm+1 , dene una aplicación continua f:T−→ Rn . Esto equivale a ver que la composición pi◦f es continua, siento pi la aplicación proyección sobre el eje i . La aplicación pi◦f:T⊂Rm+1 −→ Rn−→ R denida por x7−→ f(x) = x1a0+... +xm+1am7−→ x1E∗ i(a0) + ... +xm+1E∗ i(am) es continua ya que para cada punto x∈T dado  > 0 existe un entorno U de x tal que |f(x)−f(y)|<  para todo y∈U . En efecto dado x∈T basta tomar U=BRm+1 (x, δ)∩T siendo δ≤ |E∗ i(a0)+E∗ i(a1)+...+E∗ i(am)+1| , pues dado y∈U y si denotamos E∗ i(ak)≡ai k se 9 tiene: |f(x)−f(y)|=|x1ai 0+x1ai 1+... +xm+1ai m−y1ai 0−y1ai 1−... −ym+1ai m|= =|ai 0(x1−y1) + ai 1(x2−y2) + ... +ai m(xm+1 −ym+1)| ≤ ≤ | m´ax i=1,...,m+1(xi−yi)||ai 0+ai 1+... +ai m|< δ|ai 0+ai 1+... +ai m| ≤ ≤ |ai 0+ai 1+... +ai m+ 1||ai 0+ai 1+... +ai m|<  La aplicación f:T−→ f(T) es sobreyectiva y por ser los puntos a0, a1, ..., am afínmente independientes resulta que es también inyectiva, pues dados x, y ∈T , f(x) = f(y) =⇒x1a0+x2a1+... +xm+1am=y1a0+y2a1+... +ym+1am=⇒ =⇒a0(x1−y1) + a1(x2−y2) + ... +am(xm+1 −ym+1) Por otra parte como f(Ej) = aj para j= 0,1, ..., m tenemos que f(T) = S . Así, como toda aplicación continua y biyectiva de un espacio compacto en un espacio Hausdor es un homeomorsmo, se deduce que f:T−→ S es un homeomorsmo y por lo tanto S es un subespacio compacto de Rn . Además las coordenadas baricéntricas λj son continuas para j= 0,1, ..., m por ser λj(x)=(pj+1 ◦f−1)(x) . Esto es cierto puesto que dado un punto x de f(T) = S podemos escribir x=λ0a0+λ1a1+... +λmam con λ0+λ1+... +λm= 1 y λi⩾0∀i= 0,1, ..., m , de forma que f−1(x)=(λ0, λ1, ..., λm)∈Rm+1 y pj+1(λ0, λ1, ..., λm) = λj=λj(x) . Corolario 2.7. Dos símplices m-dimensionales son homeomorfos. Demostración. Sean S1 y S2 dos símplices m -dimensionales generados por los m+1 puntos afínmente independientes a0, a1, ..., am y b0, b1, ..., bm de Rn respectivamente. Las aplicaciones f:T−→ S1 x7−→ f(x) = x1a0+x2a1+... +xm+1am g:T−→ S2 x7−→ f(x) = y1b0+y2b1+... +ym+1bm son homomorsmos y por consiguiente g◦f−1:S1−→ S2 es un homomorsmo. Denición 2.8. Una subdivisión simplicial de un símplex S⊂Rn es una familia nita P={Si}k i=1 de símplices en Rn satisfaciendo las siguientes tres condiciones: 10 CAPÍTULO 2. SÍMPLICES EN RN 1. La familia P es un recubrimiento de S , i.e., ∪P =S . 2. Para cualesquiera i, j ≤k , la intersección Si∩Sj es vacía o una cara común a Si y Sj . 3. Para i= 1,2, ..., k todas las caras de Si están en P . Figura 2.2: Dos subdivisiones de un símplex 2-dimensional, la primera de ellas es una subdivisión simplicial mientras que la segunda no lo es. Denición 2.9. La malla de una subdivisión simplicial {Si}k i=1 de un símplex S se dene como el mayor de los números δ(S1), δ(S2), ..., δ(Sk) . Capítulo 3 Subdivisión baricéntrica Introducimos en este capítulo la subdivisión baricéntrica de un símplex, un tipo de subdivisión simplicial cuyas propiedades la convierten en una herramienta bastante recurrida en la teoría de homología simplicial. En el trabajo que nos ocupa nos interesa especialmente porque proporciona una técnica que permite subdividir sucesivamente un símplex obteniendo en cada iteración una subdivisión más na que la anterior (conteniendo los símplices de la subdivisión original, es decir, está formada por más símplices) de tal manera que podemos conseguir una subdivisión cuya malla sea tan pequeña como queramos. Denición 3.1. Para todo símplex S= [a0a1...am]⊂Rn el punto b(S) = 1 m+1a0+1 m+1a1+... +1 m+1am se llama baricentro del símplex S . Notemos que 1 m+1 >0 y 1 m+1 +1 m+1 +...+1 m+1 = 1 , luego b(S)∈S ; y b(S) no pertenece a ninguna cara (m-1)-dimensional. Teorema 3.2. Sea S= [a0a1...am] un símplex m-dimensional no degenerado. Para toda secuencia estrictamente decreciente S0⊃S1⊃... ⊃Sk de caras distintas del símplex S los puntos b(S0), b(S1), ..., b(Sk) son afínmente independientes. La familia P formada por todos los símplices de la forma [b(S0)b(S1)...b(Sk)] es una subdivisión simplicial del símplex. Todo símplex (m-1)-dimensional T∈ P es una cara de un o dos símplices m-dimensionales de P dependiendo de si el símplex T está contenido o no en una cara (m-1)-dimensional de S respectivamente. Demostración. Toda secuencia decreciente de caras distintas de S puede completarse a una secuencia S0⊃S1⊃... ⊃Sm de m+1 caras de S sin más que tomar: 11 18 CAPÍTULO 3. SUBDIVISIÓN BARICÉNTRICA Capítulo 4 Lema de Sperner Con los resultados vistos hasta este punto estamos en condiciones de probar el lema de Sperner, que establece lo siguiente. Consideremos un símplex 2-dimensional S= [a0a1a2] (para facilitar la visualización) y una subdivisión simplicial 1 P de S . Asignaremos a cada vértice un número según las siguientes reglas de etiquetado: Para 0≤i≤2 al vértice ai se le asigna el valor i . Para 1≤i<j≤3 a cualquier vértice que se encuentre en la arista [aiaj] se le asigna o bien el valor i o bien el valor j . Figura 4.1: Una subdivisión simplicial de S y los posibles valores que se pueden asignar a los vértices de la frontera. 1 El resultado se enunciará para una subdivisión baricéntrica del símplex para simplicar la demostración siguiendo [8]. En [3] ó [17] puede encontrarse el lema de Sperner enunciado y probado para una subdivisión simplicial en general. 19 20 CAPÍTULO 4. LEMA DE SPERNER Entonces existe al menos un símplex en P totalmente etiquetado, es decir, en cuyos vértices aparezcan los valores 0, 1 y 2. Figura 4.2: Dos etiquetados distintos que verican las condiciones requeridas. En el caso general de un símplex n-dimensional esta propiedad se enuncia formalmente como sigue. Lema 4.1 (de Sperner) . Sea P la l-ésima subdivisión baricéntrica de un símplex m-dimensional [a0a1...am] , y sea V el conjunto de todos los vértices de los símplices de P . Si una función h:V−→ {0,1, ..., m} satisface la condición h(v)∈ {i0, i1, ..., ik} ∀v∈[ai0ai1...aik] entonces existe un símplex en P en cuyos vértices h toma todos los valores de 0 a m . Demostración. Probaremos una aserción más fuerte: que el número de símplices en P en cuyos vértices h toma todos los valores de 0 a m , digamos c , es un número impar. Efectuaremos la demostración por inducción en m . · Para m= 0 es evidente pues en tal caso S={a0} y c= 1 . · Supongamos que la propiedad es válida para m−1 y veamos que también lo es para m . Consideremos la familia de todos los símplices de dimensión (m−1) que aparecen en la subdivisión baricéntrica de S tomada. Entre ellos distinguimos aquellos símplices en cuyos vértices la función h toma todos los valores de 0 a m−1 , designemos por P0 la familia de estos símplices (claramente la única cara (m−1) dimensional de S que contiene símplices de P0 es la cara [a0a1...am−1] ). Finalmente en la familia P0 consideremos aquellos símplices que están en la cara [a0a1...am−1] . Denotemos por u 21 el número de estos símplices, que por hipótesis es impar. Escribamos la sucesión S1, S2, ..., St, St+1, ..., Sw de todos los símplices que aparecen en la subdivisión baricéntrica considerada; supongamos que los símplices S1, ..., St tienen dimensión m y que los restantes la tienen < m . Designemos por vj para j≤t el número de caras del símplex Sj pertenecientes a P0 . Si denotamos por Wj el conjunto de valores que toma la función h en los vértices de Sj se pueden dar cualquiera de las siguientes situaciones: 1. Si Wj={0,1, ..., m} entonces vj= 1 . Basta considerar la cara (m-1)-dimensional de Sj generada por los vértices de Sj en los que la función h toma los valores 0,1, ..., m −1 . 2. Si {0,1, ..., m−1} ⊂ Wj6={0,1, ..., m} , entonces vj= 2 . En este caso la función h toma el mismo valor en dos vértices distintos de Sj . De esta forma hay dos caras (m−1) -dimensionales de Sj en las cuales h toma todos los valores de 0 a m−1 , pues hay dos formas de tomar de tomar m−1 vértices de Aj cuyos valores por h sean distintos (según se tome un vértice de los mencionados u otro). 3. Si {0,1, ..., m −1} 6⊂ Wj , entonces vj= 0 . Por tanto podemos escribir c≡(v1+v2+... +vt) mód 2, i.e., ∃d1∈Z tal que c= (v1+v2+... +vt)+2d1. (4.1) En efecto escribamos la sucesión S1, S2, ..., St como S1, ..., Sm, Sm+1, ..., Sq, Sq+1, ..., St y supongamos que los símplices S1, ..., Sm están en la situación 1) , Sm+1, ..., Sq están en la situación 2) y Sq+1, ..., St están en la situación 3) . Observemos que siendo así, c=m y de este manera: c=m= 1 + ... + 1 = v1+... +vm=v1+... +vm+vm+1 +... +vq−2q= =v1+... +vm+vm+1 +... +vq−2q+vq+1 +... +vt=v1+... +vt+ (−2q) y basta tomar d1=−q , siendo q el número de símplices m-dimensionales de la subdivisión baricéntrica considerada que se encuentran en la situación 2) . Si asignamos a cada símplex Sj , j≤t , sus vj caras pertenecientes a P0 , entonces cualquier símplex T∈ P0 será asignado (tal y como se ha probado en la última parte 22 CAPÍTULO 4. LEMA DE SPERNER del Teorema 3.2) a uno o dos símplices Sj dependiendo de si el símplex T está contenido o no en una cara (m−1) -dimensional de S . Teniendo esto en cuenta se deduce que u≡(v1+v2+... +vt) mód 2, i.e., ∃d2∈Z tal que u= (v1+v2+... +vt)+2d2. (4.2) En efecto, si s es el número de símplices de P0 que no están contenidos en una cara (m−1) -dimensional de S , basta tomar d2=−s . Las fórmulas (4.1) y (4.2) implican que c−u= 2(d1−d2) , luego c es un número impar. Además de proporcionar una prueba elegante y sencilla para el teorema del punto jo de Brouwer, en los últimos años el lema de Sperner ha demostrado tener múltiples aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas. Tanto es así que 50 años después de su publicación, Sperner [26] ha hecho un estudio sobre el desarrollo, la inuencia y las aplicaciones de este lema combinatorio como lo son la invarianza de la dimensión y la invarianza de la región. Además han aparecido múltiples generalizaciones del lema que han permitido desarrollar teoremas antipodales y una demostración contructiva del teorema fundamental del Álgebra, entre otros. Nos interesa especialmente el resultado que obtuvieron Kuratowski, Knaster y Mazurkiewicz a partir del lema de Sperner y que ha dado lugar a una de las pruebas más directas del teorema de Brouwer. Para demostrarlo utilizaremos el lema de recubrimiento de Lebesgue, Teorema 4.2 (de recubrimiento de Lebesgue) . Si U es un recubrimiento abierto de un espacio métrico compacto (M, d) , existe  > 0 , llamado número de Lebesgue de U , tal que todo subconjunto de diámetro menor que  está contenido en algún elemento de U . Demostración. Sea entonces (M, d) un espacio métrico compacto y U un recubrimien- to abierto de este. Por ser M compacto podemos suponer que U es nito, i.e., U= {U1, U2, ..., Un} siendo n∈N . 23 Para cada i∈ {1,2, ..., n} tomemos los conjuntos cerrados Fi:= M\Ui , y consideremos la aplicación f:M−→ R x7−→ f(x) = 1 n n X i=1 d(x, Fi) que es continua por serlo d . Dado x∈M entonces x∈Ui para algún i≤n , y por lo tanto existe un número r > 0 tal que B(x, r)⊂Ui . De esto se inere que d(x, Fi)≥r y por consiguiente f(x)≥r n>0 . Basta tomar = m´ın f(x)>0 . En efecto, si A es un subconjunto de M con diámetro <  y x0 es un punto de A, se tiene que: ≤f(x0) = 1 n n X i=1 d(x0, Fi)≤m´ax d(x0, Fi) = d(x0, Fj) para algún j≤n, debido a lo cual: x0∈A=⇒A⊂B(x0, )⊂B(x0, d(x0, Fj)) ⊂Uj. Teorema 4.3 (de Kuratowski-Knaster-Mazurkiewicz 2 ) . Sea {Fi}m i=0 una familia de subconjuntos cerrados de un símplex S= [a0a1...am] . Si para cada cara [ai0ai1...aik] de S se tiene que [ai0ai1...aik]⊂Fi0∪Fi1∪... ∪Fik entonces F0∩F1∩... ∩Fm6=∅ . Demostración. Supongamos F0∩F1∩... ∩Fm=∅ . La familia {Ui}m i=0 donde Ui=S\Fi es un recubrimiento de S pues ∪m i=1Ui=∪m i=1S\Fi=S\ ∩m i=1Fi=S . Por la compacidad de S y el lema de recubrimiento de Lebesgue, existe un  > 0 tal que cada subconjunto de S de diámetro menor que  está contenido en un conjunto Ui , es decir, su intersección con algún conjunto Fi es el vacío. Por el Teorema 3.6 existe l∈N tal que la malla de la l-ésima subdivisión baricéntrica P del símplex S es menor que  . Denotemos por V el conjunto de todos los vértices de los 2 del teorema KKM se deriva el concepto de funciones KKM y el estudio de sus propiedades y aplicaciones dá lugar a la conocida como teoría KKM. Como parte de su desarrollo se han obtenido muchos resultados equivalentes al teorema de Brouwer, especialmente en análisis de funciones no lineales y en economía matemática. 24 CAPÍTULO 4. LEMA DE SPERNER símplices en P . Para cada v∈V la intersección de todas las caras de S que contienen a v es una cara de S , i.e., es de la forma [ai0ai1...aik] . Puesto que v∈[ai0ai1...aik] por hipótesis existe un j≤k tal que v∈Fij . Tomando h(v) = ij denimos en V una función h que se encuentra en las condiciones del lema de Sperner, luego existe al menos un símplex T=v0v1...vm∈ P tal que h(vi) = i para i= 0,1, ..., m . Así pues, para i= 0,1, ..., m se tiene que vi∈Fi y en consecuencia T∩Fi6=∅ para i= 0,1, ..., m , lo cual supone una contradicción por ser δ(T)<  . Capítulo 5 Teorema del punto jo de Brouwer La siguiente propiedad nos permite enunciar y probar el teorema de Brouwer con más comodidad. Sean Bn=B[0,1] = {x∈Rn,kxk ≤ 1} la bola cerrada euclidiana ndimensional, B(0,1) = {x∈Rn,kxk<1} su interior y Sn−1={x∈Rn,kxk= 1} su frontera. Teorema 5.1. Sean W⊂Rn un abierto acotado y convexo, ¯ W su clausura, ∂W su frontera. a) Para todo w∈W y todo p∈Rn− {0} la semirrecta L={a+tp con t≥0} interseca a ∂W =¯ W−W en un punto, y sólo en uno. b) Existe un homeomorsmo F:¯ W→Bn que verica F(∂W) = Sn−1 y que induce un homeomorsmo entre W y la bola abierta B(0,1) . Demostración. El enunciado y la siguiente demostración están extraidos de [20] página 6. Un enunciado y prueba similares puede encontrarse en [7] página 55 . a) Sea w un punto de W y consideremos la semirrecta L={w+tp;t≥0} , siendo p∈Rn un punto jado de Rn− {0} . Notemos que L∩W es convexo como intersección de convexos y es abierto en L . Además por ser W acotado se tiene que L∩W⊂W es también acotado, de forma que ∃a∈R tal que t≤a . Entonces L∩W está formado por los puntos de la forma w+tp con t perteneciente a un intervalo de la forma [0, a) . Siendo así L interseca a ∂W =¯ W−W en el punto x=w+ap , veamos que no hay más puntos en tal intersección. Supongamos que L interseca ∂W en otro punto, digamos y , de forma que x se encuentra entre w e y en la semirrecta L (en caso contrario podríamos encontrar una bola abierta 25 26 CAPÍTULO 5. TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE BROUWER centrada en y completamente contenida en W y por tanto y∈W , lo cual supone una contradicción). De este modo y=w+bp para algún a>b y tenemos: x= (1 −t)w+ty donde t=a/b . Podemos rescribir esta ecuación de la forma w= (x−ty)/(1 −t). Tomemos una sucesión de puntos {yn} de puntos de W convergente a y (Figura 5.1), y denamos wn= (x−tyn)/(1 −t). La sucesión {wn} converge a w , de modo que wn∈W para algún n . Pero puesto que x=twn+(1 −t)yn , el punto x pertenece a W por ser este un conjunto convexo, lo cual supone una contradicción por cómo tomamos x . Figura 5.1 b) Las translaciones son homeomorsmos luego podemos suponer que 0 pertenece al abier- to W . La función f:Rn−{0} −→ Sn−1 dada por f(x) = x kxk es continua. Ahora por a) la restricción f|∂W es una biyección de ∂W en Sn−1 que además es un homeomorsmo por ser una aplicación biyectiva de un espacio compacto en un espacio Hausdor. Sea g:Sn−1−→ ∂W su inversa, podemos extender g a una biyección G:Bn−→ ¯ W que lleva el segmento lineal que une 0 con un punto u∈Sn−1 linealmente en el segmento que une 0 y g(u) (Figura 5.2). Formalmente esto se dene como sigue: G(x) = (kg(x kxk)kx si x6= 0 0 si x= 0 27 Comprobar la continuidad de G en x6= 0 es inmediato. Sea x= 0 , dado  > 0 queremos ver que ∃δ > 0 tal que kx−0k< δ =⇒ kG(x)−G(0)k<  . Notemos que por ser W acotado ∃M > 0 tal que kg(x kxk)k ≤ M . Además: kG(x)k=kg(x kxk)kkxk<kg(x kxk)kδ≤Mδ y en consecuencia basta tomar δ≤ M . Figura 5.2 Teorema 5.2 (del punto jo de Brouwer) . Para cada n∈N y para cada función continua f:Bn−→ Bn existe un punto x∈Bn tal que f(x) = x . Demostración. Sea T= [a0a1...an]⊂Rn el símplex n-dimensional de vértices a0= (0, ..., 0) , a1= (n, 0, ..., 0) , ... , an= (0, ..., 0, n) . Por ser T clausura de un abierto convexo y acotado, en virtud del teorema anterior Bn={x∈Rn,kxk ≤ 1} y T son homeomorfos. En consecuencia es suciente probar que para cada aplicación continua f:T−→ T existe un punto x∈T tal que f(x) = x . Para cada x∈T tenemos: x=λ0(x)a0+λ1(x)a1+... +λn(x)an (5.1) donde λ0(x) + λ1(x) + ... +λn(x)=1 (5.2) y λj(x)≥0 para j= 0,1, ..., n . 34 CAPÍTULO 7. CONCLUSIÓN Finalmente era necesario señalar que este teorema ha sido el punto de partida de numerosos resultados y generalizaciones repasando brevemente algunas de sus múltiples aplicaciones más recientes. Su relación con teoremas como el de la curva de Jordan, el teorema fundamental del Álgebra, la invarianza del dominio o de la dimensión topológica es una clara evidencia de la trascendencia que a tenido y tendrá el teorema más famoso de Brouwer. Bibliografía [1] P. S. Alexandrov, Combinatorial Topology, Part 2, Chapter V, Pags. 155-169 . Dover Publications Inc. Mineola, New York, (1998). [2] P. Alexandro, H. Hopf, Topologie, I . Julius Springer Verlag, Berlin, 1935. [3] C. Berge, Topological Spaces, Chapter VIII, Pags. 158-176 . Dover Publications Inc. Mineola, New York, (1997) . [4] C. Bidard, Le lemme de Sperner nu . RAIRO. Recherche opérationnelle, tome 32, no.2 (1998) 193-210. [5] L. E. J. Brouwer, Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten . Math. Ann. 71 (1912), 97-115. [6] L. E. J. Brouwer, Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebietes . Math. Ann. 71 (1912), 305-315. [7] A. Dold, Lectures on Algebraic Topology , Springer, Berlin, 1972. [8] R. Engelking, General Topology, 2nd ed. Sigma Series in Pure Mathematics, 6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989. [9] G. Ewald, Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry , 1st ed., Graduate Texts in Mathematics, 168, Springer, New York, 1996. [10] W. Franz, Topología general y algebraica . Selecciones Cientícas, Madrid (1978). [11] T. W. Gamelin, R. E. Greene, Introduction to Topology, 2nd. ed. Dover Publications Inc. Mineola, New York (1999). [12] J. Hadamard, Sur quelques applications de l'indice de Kroneker . Apéndice en el libro de Jules Tannery Introduction a la Théorie des Fonctions d'une Variable - Tome Deuxième . A. Hermann et Fils, Paris (1910). 35 36 BIBLIOGRAFÍA [13] V. I. Istratescu, Fixed Point Theory. An Introduction . D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland, (1981). [14] S. Kakutani, A generalization of Brouwer's xed point theorem , Duke Math. J. 8 (3) (1941), 457-459. [15] B. Knaster, K. Kuratowski y S. Mazurkiewicz, Ein Beweis des Fixpuntksatzes für n-dimensionale Simplexe . Fund. Math. 14 (1929), 132-137. [16] W. Kulpa, An integral criterion for coincidence property . Radovi Mat. 6 (1990), 313- 321. [17] K. Kuratowski, Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología , 1 ª edición, Vicens Vives, Barcelona, 1966. [18] R. Maehara, The Jordan curve theorem via the Brouwer xed point theorem , Amer. Math. Monthly 91 (1984), 641643. [19] J. Mayer, Algebraic Topology, Chapter 1 . Prentice-Hall Inc. Englewood Clis, New Jersey (1972). [20] J. Munkres, Algebraic Topology, Chapter 1 . The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. Menlo Park Ca. (1984). [21] S. Park, Ninety years of the Brouwer xed point theorem , Vietnam J. Math. 27 (1999), 187-222. [22] H. Poincaré, Sur les courbes dénies par les equations diérentielles , J. Math. Pures et Appliquées 2 (1886), 151-218. [23] W. Rinow, Lehrbuch der Topologie ,VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. 27 (1975), 187-222. [24] J. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen , Studia Math. 2 (1930), 171-180. [25] E. Sperner, Neuer Beweis für dei Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes , Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 6 (1928), 265272. [26] E. Sperner, Fifty years of further development of a combinatorial lemma. Numerical solution of highly nonlinear problems , W. Foster ed., North-Holland, Amsterdam-New York, 1980, 183-197, 199-217. BIBLIOGRAFÍA 37 [27] Y. Tanaka, Constructive Proof of Brouwer's Fixed Point Theorem for Sequentially Locally Non-constant and Uniformly Sequentially Continuous Functions , IAENG International Journal of Applied Mathematics, 42-1, Advance online publication, 27 February (2012). [28] A. Tychono, Ein Fixpunktsatz , Math. Ann. 111 (1935), 767776. [29] M. Yoselo, Topological proofs of some combinatorial theorems , J. Comb. Theory (A) 17 (1974), 95-111.