Disconjugación en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias

Traballo Fin de Grao Disconjugación en la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Yaiza Sarrapio Lamas 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Disconjugación en la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Yaiza Sarrapio Lamas 07/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Ánalisis matemático Título: Disconjugación en la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Breve descrición do contido En este trabajo se hará una introducción a la teoría de disconjugación, relacionada con la oscilación máxima de las soluciones de una determinada EDO lineal homogénea en su intervalo de denición. Veremos como caracterizar esta propiedad de forma directa sin más que estudiar el espectro de la EDO considerada, probándose además, a partir de ella, el signo constante de soluciones de problemas no homogéneos. Se presentarán ejemplos concretos, en los que se estudiarán los intervalos de disconjugación de determinadas EDOs. Recomendacións Es recomendable tener un buen dominio de las materias de ecuaciones diferenciales de segundo y tercer curso. Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Sistemas de Markov y Descartes 1 2. Puntos conjugados 9 3. Funciones de Green 15 4. Caracterización de la disconjugación 21 Casos particulares 27 .1. Ejemplosdeorden2 ............................... 27 .2. Ejemplosdeorden3 ............................... 28 .3. Ejemplosdeorden4 ............................... 34 Anexo 41 Bibliografía 85 v Resumen En este trabajo nos centraremos en la disconjugación de las ecuaciones diferenciales lineales. Se expondrán numerosos resultados sobre esta propiedad. En los tres primeros capítulos deniremos términos como son Wronskiano, sistema de Descartes o función de Green, con el n de probar que la continuidad, en un intervalo abierto o semiabierto I , de los coecientes de una ecuación diferencial general de orden n , implica que dicha ecuación es disconjugada si, y solo si, toda solución no trivial tiene menos de n ceros distintos en I , independientemente de su multiplicidad. Finalmente en el capítulo 4 estableceremos una relación entre la disconjugación de una ecuación diferencial lineal, con un parámetro que puede tomar distintos valores, y sus posibles autovalores, llegando a un teorema que nos proporciona un intervalo de disconjugación para dicho parámetro. Acabaremos mostrando varios ejemplos de casos particulares en los que caracterizaremos el intervalo de disconjugación utilizando Maple. Abstract In this paper we will focus on the disconjugation of linear dierential equations. Numerous results will be presented on this property. In the rst three chapters we will dene terms such as Wronskian, Descartes'system or Green's function, in order to prove that the continuity, in an open or semi-open interval I , of the coecients of a general dierential equation of order n , implies that this equation is disconjugated if, and only if, any non-trivial solution has less than n dierent zeros in I , regardless of its multiplicity. Finally, in chapter 4 , we will establish a relationship between the disconjugation of a linear dierential equation, with a parameter that can take dierent values, and its possible eigenvalues, which will bring us to a theorem that provides us with a disconjugation interval for this parameter. We will end by showing several examples of particular cases in which we will characterize the interval of disconjugation using Maple. vii 4 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE MARKOV Y DESCARTES el mismo signo. Además, se pueden obtener cualesquiera dos Wronskianos de k−1 funciones a partir de otro cambiando repetidamente una función a la vez. Supongamos ahora que la condición del Wronskiano se satisface. Como el resultado es trivial para n= 1 , suponemos que n > 1 y que el resultado también es válido para sistemas de menos de n funciones. Las funciones y1, . . . , yn tienen el mismo signo en I y podemos suponer sin pérdida de generalidad que son positivos. Sea y=α1y1+···+αnyn cualquier combinación lineal no trivial de ellas con V cambios de signos en la sucesión de coecientes. Claramente y no tiene ceros si α1, . . . , αn tienen el mismo signo, es decir, si V= 0 . Por tanto podemos asumir que hay al menos un cambio de signo, digamos que es αh . Denotemos zi=  −(yi yh)0 para 1≤i<h (yi+1 yh)0 para h≤i < n. Así z1, . . . , zn−1 satisfacen las mismas condiciones que y1, . . . , yn , ya que si 1≤i < . . . < ij< h < ij+1 < . . . < ik≤n , entonces W(yi1, . . . , yij, yh, yij+i, . . . , yik) = yk+1 hW(zi1, . . . , zij, zij+1 , . . . , zik) . Ya que, z≡y yh0=−α1z1− ··· − αh−1zh−1+αh+1zh+··· +αnzn−1 , el número de cambios de signo en la sucesión de coecientes para z es V−1 . Así, por la hipótesis de inducción, z tiene como máximo V−1 ceros. Se sigue que y tiene como máximo V ceros. Veamos ahora la conexión entre los sistemas de Markov y Descartes y las ecuaciones diferenciales. Teorema 1.10. La ecuación diferencial lineal (1) tiene un sistema fundamental de soluciones de Markov si, y solo si, el operador L tiene la representación Ly ≡v1v2···vnD1 vn D···D1 v2 D1 v1 y (1.1) donde D=d dt , vk>0 y vk∈ Cn−k+1 (k= 1,··· , n) . Demostración. Sea y1, . . . , yn un sistema de Markov, así que Wk=W(y1, . . . , yk)>0 para k= 1, . . . , n . La ecuación diferencial con coeciente principal 1 que tiene a y1, . . . , yk como sistema fundamental de soluciones viene dada por Lky≡W(y1, . . . , yk, y) Wk . Pongamos 1 = W0 , v1=W1 , vk=WkWk−2 W2 k−1 (k= 2, . . . , n) , 5 así que Wk Wk−1 =v1v2···vk . Probaremos por inducción que Lky≡v1···vkD1 vk D···D1 v1 y . Es trivial para k= 1 . Supongamos que es cierto para k . Entonces v1···vk+1D1 vk+1 D1 vk D···D1 v1 y= v1···vk+1D1 v1···vkvk+1 Lky= Wk+1 Wk DWk Wk+1 Lky= Wk+1 WkDW(y1, . . . , yk, y) Wk+1  . Por el Lema 1.5 tenemos que DW(y1, . . . , yk, y) Wk+1 =WkW(y1, . . . , yk+1, y) W2 k+1 y por tanto, substituyendo en lo anterior, obtenemos que v1···vk+1D1 vk+1 D1 vk D···D1 v1 y=W(y1, . . . , yk+1, y) Wk+1 . Por el contrario supongamos que L tiene la representación del enunciado. Denimos y1, . . . , yn por inducción estableciendo y1=v1 y tomando yk como una solución de la ecuación W(y1,...yk−1, y) Wk−1 =v1v2···vk(k= 2, . . . , n) . Así, y1, . . . , yn es un sistema fundamental de soluciones de (1). Se verica fácilmente que si vk>0 y vk∈ Cn−k+1 , entonces (D−rn)···(D−r1)y≡v1···vnD1 vn D···D1 v1 y, (1.2) donde rk=v0 1 v1+···+v0 k vk , (k= 1, . . . , n) . Por otro lado, para cualquier función rk∈ Cn−k , (1.2) se verica vk(t) = eZt [rk(s)−rk−1(s)]ds (k= 1, . . . , n;r0≡0) . 6 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE MARKOV Y DESCARTES Así la representación del enunciado es equivalente a una factorización de L en factores lineales. Si la ecuación (1) tiene un sistema fundamental de Markov de soluciones en el intervalo I , entonces es disconjugada en I , ya que cualquier sistema de Markov es un sistema de Chebyshev. Lema 1.11. Si la ecuación (1) es disconjugada en el intervalo I y a∈I , entonces tiene un sistema fundamental de Markov de soluciones para t>a . Demostración. Sean y1, . . . , yn soluciones de (1) satisfaciendo las condiciones iniciales de la forma yk(a) = y0 k(a) = ··· =y(n−k−1) k(a) = 0 , y(n−k) k(a)6= 0 . Sabemos que las soluciones y1, . . . , yn son linealmente independientes. Si el Wronskiano W(y1, . . . , yn) se anula en algún punto c > a , entonces una combinación lineal no trivial tendría un cero en c de multiplicidad mayor o igual que k . Ya que cualquier combinación lineal tiene un cero en a de multiplicidad mayor o igual que n−k , tenemos una contradicción con la disconjugación de (1). Reemplazando yk por −yk si es necesario, podemos asegurar que W(y1, . . . , yk)>0 para t>a y k= 1, . . . , n . Lema 1.12. Sea I= [a, b] un intervalo compacto. Si la ecuación (1) es disconjugada en el subintervalo [a1, b1] entonces es también disconjugada en el intervalo [a1−ε, b1−ε] . Teorema 1.13. La ecuación diferencial lineal (1) tiene un sistema fundamental de soluciones de Markov en el intervalo compacto I= [a, b] si y solo si es disconjugada en I. Demostración. Estableciendo pk(t) = pk(a) para t<a podemos extender el dominio de denición de los coecientes de (1) al intervalo (−∞, b] . Por el Lema 1.12, la ecuación (1) es disconjugada en el intervalo [c, b] si c es menor que a y está sucientemente cerca de a . Por el lema 1.11, la ecuación (1) tiene un sistema fundamental de soluciones de Markov en el intervalo (c, b] , y por tanto en el intervalo [a, b] . Proposición 1.14. Suponemos que la ecuación (1) es disconjugada en el intervalo compacto I= [a, b] . Si y∈ Cn tiene n+ 1 ceros en I, no todos coincidentes, entonces Ly tiene al menos un cero en el intervalo abierto (a, b) . Proposición 1.15. Si las ecuaciones L1y= 0 , L2y= 0 son disconjugadas en el intervalo I, entonces la ecuación compuesta L1(L2y) = 0 es también disconjugada en I. 7 Demostración. Es suciente probarlo para el caso de I compacto. Entonces, por el Teorema 1.13, ambas ecuaciones tienen sistemas fundamentales de Markov. Por tanto, por el Teorema 1.10, los operadores lineales L1 y L2 tienen representaciones en la forma (1.1). El operador compuesto L1L2 también tiene dicha representación, y en consecuencia, de nuevo por el Teorema 1.10, la ecuación L1L2y= 0 es disconjugada en I . Podemos convertir el conjunto de todas las ecuaciones (1) en un intervalo compacto I en un espacio métrico deniendo la distancia entre dos ecuaciones como sup t∈I n X k=1 |pk,1(t)−pk,2(t)|. Proposición 1.16. El conjunto de todas las ecuaciones disconjugadas en un intervalo I es conexo y abierto. Cambiamos ahora a sistemas de Descartes. Lema 1.17. Si y1, . . . , yn es un sistema de Markov en el intervalo I tal que, para algún a en I , yk tiene un cero en a con multiplicidad k−1 (k= 1, . . . , n) entonces y1, . . . , yn es un sistema de Descartes para t>a . Lema 1.18. Si (1) tiene un sistema fundamental de Markov de soluciones en el intervalo I, entonces, para cualquier a en I , (1) tiene un sistema fundamental de Markov de soluciones y1, . . . , yn tal que yk tiene un cero en a de multiplicidad k−1 (k= 1, . . . , n) . Combinando los dos lemas anteriores obtenemos el siguiente Lema 1.19. Si (1) tiene un sistema fundamental de Markov de soluciones en el intervalo I y a∈I , entonces (1) tiene un sistema fundamental de Descartes de soluciones para t>a . La existencia de un sistema fundamental de soluciones de Markov de (1) es equivalente a una factorización de L de la forma (1.1). Si L viene dado por (1.1) entonces un sistema fundamental de Markov y1, . . . , yn tal que yk tiene un cero en a de multiplicidad k−1 está dado explícitamente por y1(t) = v1(t) y2(t) = v1(t)Zt a v2(t1)dt1 . . . yn(t) = v1(t)Zt a v2(t1). . . Ztn−2 a vn(tn−)dtn−1. . . dt1. De hecho W(y1, . . . , yk) = vk 1vk−1 2. . . vk(k= 1, . . . , n) . En consecuencia las funciones y1, . . . , yn así denidas forman un sistema de Descartes para t>a . 8 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE MARKOV Y DESCARTES Teorema 1.20. Si la ecuación (1) tiene un sistema fundamental de soluciones de Markov en el intervalo I= [a, b] o [a, b) entonces tiene un sistema fundamental de soluciones de Descartes en I . Demostración. Extendemos el dominio de denición de los coecientes de (1) estableciendo pk(t) = pk(a) para t<a . Si y1, . . . , yn es un sistema fundamental de soluciones de Markov en I , entonces las desigualdades W(y1, . . . , yk)>0 (k= 1, . . . , n) se siguen manteniendo en el intervalo J= [c, b] o [c, b) , donde c es menor que a y está sucientemente cerca de a . Por tanto, por el Lema 1.19, la ecuación (1) tiene un sistema fundamental de soluciones de Descartes en I . Combinando los dos teoremas anteriores obtenemos el siguiente. Teorema 1.21. La ecuación (1) tiene un sistema fundamental de soluciones de Descartes en el intervalo compacto I= [a, b] si, y solo si, es disconjugada en I. Demostración. Combinando las demostraciones de los Teoremas 1.13 y 1.20 podemos construir un sistema fundamental de soluciones de Descartes. Extendemos el dominio de de- nición de los coecientes de (1) poniendo pk(t) = pk(a) para t < a y pk(t) = pk(b) para t>b . Entonces (1) sigue siendo disconjugada en algún intervalo J= [a1, b1] , donde a1<a<b<b1 . Sea yk(t) la única solución de (1) que satisface las condiciones de contorno y(a1) = y0(a1) = ··· =y(k−2)(a1) = 0 , y(k−1)(a1) = 1, y(b1) = y0(b1) = ··· =y(n−k−1)(b1) = 0. Veremos que y1, . . . , yn forman un sistema de Descartes en el intervalo abierto (a1, b1) . Ya que yk tiene un cero de multiplicidad k−1 en a1(k= 1, . . . , n) es suciente ver que y1, . . . , yn forman un sistema de Markov en [a1, b1] . Como cualquier combinación lineal no trivial de y1, . . . , yn tiene un cero de multiplicidad mayor o igual que n−k en b1 , no puede tener un cero de multiplicidad mayor o igual que k en t < b1 y por tanto el Wronskiano W(y1, . . . , yn)(t) no puede anularse para t<b1 . Y ya que W(y1, . . . , yn)(a1) = 1 se sigue que W(y1, . . . , yk)(t)>0 para a1≤t < b1(k= 1, . . . , n) . Así se completa la demostración. Capítulo 2 Puntos conjugados En esta sección estudiaremos una de las propiedades más importantes de los ceros de las soluciones, su multiplicidad. Enunciaremos y demostraremos numerosos resultados que relacionan la ecuación disconjugada (1) con la multiplicidad de sus ceros. Para ello necesitaremos introducir conceptos como el de punto conjugado por la derecha y por la izquierda. En toda esta sección el intervalo I será abierto. El siguiente lema es una consecuanecia del Lema 1.12 Lema 2.1. Para cualquier a en I existe δ=δ(a)>0 tal que la ecuación L[y]≡y(n)+p1(t)y(n−1) +···+pn(t)y= 0 (2.1) es disconjugada en el subintervalo [a−δ, a +δ] . Denición 2.2. Diremos que la solución no trivial y(t) de (2.1) tiene la propiedad (k, a, b) , donde 1≤k≤n−1 , si tiene un cero de multiplicidad mayor o igual que k en b y un cero de multiplicidad mayor o igual que n−k en a . Sea yk(t, a) una solución de (2.1) que satisface las condiciones iniciales y(n−k) k(a)=1 , y(n−j) k(a) = 0 (j= 1, . . . , n;j6=k) . Denotemos el Wronskiano de y1(t, a), . . . , yk(t, a) por Wk(t, a) =  y1(t, a)··· yk(t, a) y0 1(t, a)··· y0 k(t, a) . . ..... . . y(k−1) 1(t, a)··· y(k−1) k(t, a)  Por la dependencia continua de las soluciones en los valores iniciales, Wk es una función continua en (t, a)∈I×I . Se sigue de inmediato el siguiente resultado. 9 10 CAPÍTULO 2. PUNTOS CONJUGADOS Lema 2.3. Existe una solución con la propiedad (k, a, b) si, y solo si, Wk(b, a) = 0 . De hecho la solución tiene un cero de multiplicidad mayor o igual que n−k en a si, y solo si, es una combinación lineal de y1(t, a), . . . , yk(t, a) . Dicha combinación lineal tiene un cero de multiplicidad mayor o igual que k en b si y solo si Wk(b, a)=0 . Suponemos ahora que la ecuación (2.1) no es disconjugada en I . Entonces para algún a en I existe b > a en I tal que (2.1) no es disconjugada en [a, b] . Además si a tiene esta propiedad, también la tiene a0< a en I . Denición 2.4. Denotemos por η+(a) = η(a) el supremo de todo c > a tal que (2.1) es disconjugada en [a, c] . Llamamos a η(a) el primer punto conjugado por la derecha de a . Nótese que si η(a) está denido, también lo está η(a0) para cualquier a0< a en I y η(a0)≤η(a) . Sea también ω+(a) = ω(a) el menor b>a en I , si existe, en el cual uno de los Wronskianos W1(b, a), . . . , Wn−1(b, a) se anula. Cabe señalar que Wn(b, a) nunca se anula porque las soluciones y1, . . . , yn son linealmente independientes. Veamos el siguiente resultado que nos relaciona ambos puntos. Proposición 2.5. η(a) = ω(a) . Demostración. Por el Lema 2.3 y la denición de η(a) , tenemos que η(a)≤ω(a) . Suponemos η(a)< ω(a) y tomamos c∈I así que η(a)< c < ω(a) . Por el Lema 2.1, la ecuación (2.1) es disconjugada en el intervalo [a−δ, a +δ] , donde δ > 0 . Dado que las funciones Wk son continuas y Wk(t, a)6= 0 para a < t < ω(a) , podemos escoger δ0<δ 2 tal que Wk(t, s)6= 0 para a−δ0≤s≤a+δ0 , a+δ 2≤t≤c y k= 1, . . . , n −1 . Por el Lema 2.3 no podemos tener Wk(t, a −δ0)=0 para cualquier t∈(a−δ0, a +δ 2) y cualquier k , porque la ecuación (2.1) es disconjugada en [a−δ, a +δ] . Así Wk(t, a −δ0)6= 0 para a−δ0< t ≤c . Por lo tanto la ecuación (2.1) tiene un sistema fundamental de soluciones de Markov, y en consecuencia es disconjugada en el intervalo (a−δ0, c] . Pero esto implica η(a)≥c , lo cual es una contradicción. Por tanto η(a) = ω(a) . Proposición 2.6. Sea b=η(a) y sea k el menor entero tal que Wk(b, a)=0 . La solución correspondiente y(t) de (2.1) con la propiedad (k, a, b) está únicamente determinada por un factor constante, y no se anula en el intervalo abierto (a, b) . Demostración. Debemos tener y(n−k)(a)6= 0 , ya que de lo contrario la solución y(t) tendría la propiedad (k−1, a, b) . Si otra solución z(t) tiene la propiedad (k, a, b) , entonces u(t) = y(n−k)(a)z(t)−z(n−k)(a)y(t) es cero o tiene la propiedad (k−1, a, b) . Como esto 11 último no puede ser por la denición de k , se sigue que y(t) y z(t) son linealmente dependientes. Como y(t) tiene un cero de multiplicidad mayor o igual que n−k en a podemos escribir y(t) = α1y1(t, a) + ···+αkyk(t, a) . Además αk6= 0 , como Wk−1(b, a)6= 0 y y(t) tiene un cero de multiplicidad mayor o igual que k en b . Suponemos y(c)=0 con c∈(a, b) . La ecuación diferencial Lk−1y≡ y1(t, a)··· yk−1(t, a)y . . ..... . .. . . y(k−1) 1(t, a)··· y(k−1) k−1(t, a)y(k−1)  = 0 tiene las soluciones y1(t), . . . , yk−1(t) . Por el Teorema 1.10, el operador Lk−1 tiene una factorización de la forma (1.1) en el intervalo [c, b] . Como y(t) tiene un cero en c y un cero de multiplicidad mayor o igual que k en b se sigue de la Proposición 1.14 que Lk−1y se anula en algún punto c0∈(c, b) . Reemplazando y(t) por su expresión como combinación de y1(t, a), . . . , yk(t, a) concluimos que Wk(c0, a) = 0 . Pero esto contradice la denición de b=η(a) . Teorema 2.7. η(a) es una función creciente de a . Demostración. Ya sabemos que η(a) no es una función decreciente. Suponemos a1< a2 y η(a1) = η(a2) = b . Entonces η(t) = b para a1≤t≤a2 y para cada t hay un entero k tal que Wk(t, b)=0 . Denotemos por Sk el conjunto de todos los t en [a1, a2] tales que Wk(t, b)=0 , (k= 1, . . . , n −1) . Entonces Sk es cerrado y el intervalo [a1, a2] es la unión de S1, . . . , Sn−1 . Suponemos que, para algún k , Sk contiene un subintervalo de [a1, a2] . Sea h+ 1 el menor valor de k con esta propiedad y sea [b1, b2] un subintervalo contenido en Sh+1 . Así Wh+1(t, b)≡ y1(t, b)··· yh+1(t, b) . . ..... . . y(h) 1(t, b)··· y(h) h+1(t, b)  = 0 con (b1≤t≤b2) Por denición de h+ 1 existe un intervalo [c1, c2]⊂[b1, b2] en el cual Wh(t, b)≡ y1(t, b)··· yh(t, b) . . ..... . . y(h−1) 1(t, b)··· y(h−1) h(t, b) 6= 0. Consideremos ahora la ecuación diferencial  y1(t, b)··· yh(t, b)y . . ..... . .. . . y(h) 1(t, b)··· y(h) h(t, b)y(h)  = 0 12 CAPÍTULO 2. PUNTOS CONJUGADOS en el intervalo [c1, c2] . Claramente es una ecuación lineal de orden h con y1, . . . , yh como soluciones linealmente independientes. También tiene la solución yh+1 , así que yh+1 es combinación lineal de y1, . . . , yh en [c1, c2] , lo cual es una contradicción porque y1, . . . , yn es un sistema fundamental de soluciones de (2.1). Suponemos de nuevo que la ecuación (2.1) no es disconjugada en I . Entonces para algún b en I existe a<b en I tal que la ecuación (2.1) no es disconjugada en [a, b] . Además si b tiene esta propiedad, también la tiene b0> b en I . Denición 2.8. Denotamos por η−(b) el ínmo c < b tal que (2.1) es disconjugada en [c, b] . Llamamos a η−(b) el primer punto conjugado por la izquierda de b . Nótese que si η−(b) está denido, η−(b0) también lo está para cualquier b0> b en I y η−(b0)≥η−(b) . Como antes podemos ver que η−(b) es una función creciente. Lema 2.9. Si b=η+(a) , entonces a=η−(b) . Demostración. Por la Proposición 2.5 y el Lema 2.3 existe una solución con la propiedad (k, a, b) para algún k tal que 1≤k≤n . Como esta solución también tiene la propiedad (n−k, b, a) , se sigue que c=η−(b)≥a . Similarmente, existe una solución con la propiedad (n−h, b, c) = (h, c, b) y por tanto η+(c)≤b . Si tuviésemos c > a tendríamos η+(c)> η+(a) = b . Así c=a . Teorema 2.10. La función η(a) es continua y su dominio es un subintervalo abierto de I . Demostración. Se deduce del teorema anterior que las funciones η+ y η− son inversas una de la otra. Como sus dominios de denición son intervalos, sus rangos también son intervalos. Por tanto, dado que son funciones crecientes, son continuas. Supongamos que I= (a1, b1) . Si el dominio de η+ fuese un intervalo I= (a1, a] , entonces cualquier b>η+(a) en I no pertenecería al rango de η+ y, por tanto, no pertenecería al dominio de η− . Pero esto es imposible porque el dominio de η− es un intervalo cuyo punto nal es b1 . Teorema 2.11. La ecuación (2.1) es disconjugada en el intervalo [a, b) si, y solo si, es disconjugada en su interior (a, b) . Demostración. Extendemos el dominio de denición de los coecientes de (2.1) estableciendo pk(t) = pk(a) para t < a . Entonces los resultados anteriores se pueden aplicar al intervalo abierto I= (−∞, b) . Si la ecuación (2.1) es disconjugada en (a, b) pero no en [a, b) , entonces η(a) está denida pero no η(c) para algún c>a . Sin embargo esto contradice el Teorema 2.10. 13 Finalmente enunciamos el siguiente resultado. Teorema 2.12. Si toda solución no trivial tiene menos de n ceros distintos en el intervalo [a, b) , entonces toda solución no trivial tiene menos de n ceros, contando multiplicidades. 20 CAPÍTULO 3. FUNCIONES DE GREEN Capítulo 4 Caracterización de la disconjugación La información de este capítulo la hemos tomado de las referencias [5] y [6]. El objetivo de este capítulo consiste en la caracterización de la disconjugación del operador diferencial lineal de grado n : u(n)(t)+a1(t)u(n−1)(t)+···+an−1(t)u0(t)+an(t)u(t) , con ai∈Cn−i(I) , en un intervalo dado I= [a, b] . Teniendo en cuenta que el coeciente de u puede descomponerse únicamente como an(t) = ˜an(t) + 1 b−aZb a an(s)ds, t ∈I, es obvio que tal problema es equivalente a estudiar el conjunto de parámentros M para los cuales la ecuación diferencial lineal Tn[M]u(t)≡u(n)(t) + a1(t)u(n−1)(t) + ···+an−1(t)u0(t)+(an(t) + M)u(t)=0 t∈I, (4.1) es disconjugada en I . Con esta nalidad, suponemos que dicho conjunto es no vacío, es decir, existe al menos un ¯ M tal que Tn[¯ M]u(t) = 0 es disconjugada en I . Utilizaremos la siguiente notación en toda esta sección. Notación 4.1 . Xk=nu∈Cn(I)|u(a) = ··· =u(k−1)(a) = u(b) = ··· =u(n−k−1)(b)=0o. (4.2) ηM(a) = sup {b > a tal que la ecuación (4.1) es disconjugada en [a, b]} ∈ (a, ∞). A continuación veremos unos resultados previos, y para ello introducimos dos condiciones sobre la función de Green gM(t, s) : 21 22 CAPÍTULO 4. CARACTERIZACIÓN DE LA DISCONJUGACIÓN (Pg ) Supongamos que existe una función continua φ(t)>0 para todo t∈(a, b) y k1, k2∈ L1(I) , tal que 0< k1(s)< k2(s) para cada s∈I , satisfaciendo φ(t)k1(s)≤gM(t, s)≤φ(t)k2(s), para cada (t, s)∈I×I . ( Ng ) Supongamos que existe una función continua φ(t)>0 para todo t∈(a, b) y k1, k2∈ L1(I) , tal que k1(s)< k2(s)<0 para cada s∈I , satisfaciendo φ(t)k1(s)≤gM(t, s)≤φ(t)k2(s), para cada (t, s)∈I×I . Las siguientes deniciones de inverso positivo e inverso negativo las podemos encontrar en el libro [4]. Denición 4.2. Sea X(k) un subespacio de Xk . Diremos que el operador diferencial lineal de orden n , Ln , es inverso positivo en X(k) si, y solo si, para todo y∈X(k) se tiene la siguiente propiedad: Lny(t)≥0 con t∈I implica que y(t)≥0 para todo t∈I . Lema 4.3. El operador Ln es inverso positivo en Xk si, y solo si, la función de Green relacionada con el problema (3.1)-(3.2) es no negativa. Denición 4.4. Sea X(k) un subespacio de Xk . Diremos que el operador diferencial lineal de orden n , Ln , es inverso negativo en X(k) si, y solo si, para algún y∈X(k) se tiene la siguiente propiedad: Lny(t)≥0 con t∈I implica que y(t)≤0 para todo t∈I . Lema 4.5. El operador Ln es inverso negativo en Xk si, y solo si, la función de Green relacionada con el problema (3.1)-(3.2) es no positivo. El siguiente resultado, nos da una propiedad del operador bajo la hipótesis de disconjugación. Lo encontramos en el libro [4] Lema 4.6. Sea ¯ M∈R tal que Tn[¯ M]u(t) = 0 es disconjugada en I . Entonces se verican las siguientes propiedades: Si n−k es par, entonces Tn[¯ M] es un operador inverso negativo en Xk y su función de Green satisface ( Pg ). Si n−k es impar, entonces Tn[¯ M] es un operador inverso negativo en Xk y su función de Green satisface ( Ng ). 23 El siguiente resultado, muestra una propiedad de los autovalores de un operador disconjugado. Teorema 4.7. Sea ¯ M∈R tal que Tn[¯ M]u(t)=0 es disconjugada en I . Entonces Si n−k es par, no hay ningún autovalor Tn[¯ M] en Xk tal que λ < 0 . Si n−k es impar, no hay ningún autovalor Tn[¯ M] en Xk tal que λ > 0 . Los dos resultados siguientes aseguran la existencia del autovalor principal en diferentes casos y dan información fundamental sobre el signo de la función de Green. Teorema 4.8. Sea ¯ M∈R jado. Si el operador Tn[¯ M] es invertible en Xk y su función de Green satisface (Pg) , entonces se cumplen las siguientes armaciones: Existe λ1>0 , el menor autovalor en valor absoluto del operador Tn[¯ M] en Xk . Por otra parte, existe la autofunción de signo constante no trivial correspondiente al autovalor λ1 . La función de Green relacionada con el operador Tn[¯ M] es mayor o igual que cero en I×I para todo M∈(¯ M−λ1,¯ M] . La función de Green relacionada con el operador Tn[¯ M] no puede ser mayor o igual que cero en I×I para ningún M < ¯ M−λ1 . Teorema 4.9. Sea ¯ M∈R jado. Si el operador Tn[¯ M] es invertible en Xk y su función de Green satisface la condición (Ng) , entonces se cumplen las siguientes armaciones: Existe λ2<0 , el menor autovalor en valor absoluto del operador Tn[¯ M] en Xk . Por otra parte, existe la autofunción de signo constante no trivial correspondiente al autovalor λ2 . La función de Green relacionada con el operador Tn[¯ M] es menor o igual que cero en I×I para todo M∈[¯ M, ¯ M−λ2) . La función de Green relacionada con el operador Tn[¯ M] no puede ser menor o igual que cero I×I para ningún M > ¯ M−λ2 . Ya estamos en condiciones de enunciar y demostrar el siguiente teorema, en el que se caracteriza el conjunto de disconjugación de una ecuación, en función de los autovalores de problemas asociados. Teorema 4.10. Supongamos que ¯ M∈R y n≥2 son tales que Tn[¯ M]u(t)=0 es una ecuación disconjugada en I . Entonces, Tn[M]u(t)=0 es una ecuación disconjugada en I si, y solo si, M∈(¯ M−λ1,¯ M−λ2) , donde 24 CAPÍTULO 4. CARACTERIZACIÓN DE LA DISCONJUGACIÓN λ1= +∞ si n= 2 y, para n > 2 , λ1>0 es el menor de los autovalores positivos de Tn[¯ M] en Xk , con n−k par. λ2<0 es el mayor de los autovalores negativos en Tn[¯ M] de Xk , con n−k impar. Demostración. Sea n > 2 . Primero veamos que el intervalo óptimo de disconjugación, D¯ M , debe ser necesariamente un subconjunto de (¯ M−λ1,¯ M−λ2) . Usando el Lema 3.2 y el Teorema 3.6, sabemos que si M∈D¯ M , la función de Green relacionada con el operador Tn[M] en Xk es de signo constante, positivo si n−k es par y negativo si n−k es impar. Sea bk∈ {1, . . . , n −1} tal que n−bk sea par y sea λ1 el menor autovalor positivo de Tn[¯ M] en Xb k . Usando el Lema 4.6 y el Teorema 4.8, podemos armar que gc M, b k cambia el signo en I×I para c M≤¯ M−λ1 , entonces c M /∈D¯ M para cada c M≤¯ M−λ1 . De manera análoga, sea ek∈ {1, . . . , n −1} tal que n−ek es impar y sea λ2 el mayor autovalor negativo de Tn[¯ M] en Xe k . Usando los mismos argumentos, con el Lema 4.6 y el Teorema 4.9, podemos armar que gf M, e k no tiene signo constante en I×I para f M≥¯ M−λ2 , entonces f M /∈D¯ M para cada f M≥¯ M−λ2 . Por tanto, hemos probado que D¯ M⊂¯ M−λ1,¯ M−λ2 . Veamos ahora que D¯ M=¯ M−λ1,¯ M−λ2 . Denotamos M1= ´ınf D¯ M y M2= sup D¯ M . Por la Proposición 1.16, D¯ M debe ser un intervalo abierto, en particular Mj6=¯ M para j= 1,2 . Si D¯ M6= ( ¯ M−λ1,¯ M−λ2) entonces, al menos una de las desigualdades siguientes se verica: M1>¯ M−λ1 o M2<¯ M−λ2 . Supongamos que se cumple la primera desigualdad (la prueba es análoga si se verica la segunda). Como Tn[M1]u(t)=0 no es una ecuación disconjugada en el intervalo I , se tiene que c=ηM1(a)≤b . Usando el Lema 2.3 y la Proposición 2.5, podemos asegurar que existe `∈ {1, . . . , n −1} tal que existe una solución no trivial de Tn[M1]u(t)=0 , satisfaciendo las condiciones de contorno (n−`, `) en [a, c] . Eligiendo el menor ` que verica la armación anterior, de la Proposición 2.6 podemos armar que la solución que satisface las condiciones de contorno (n−`, `) en [a, c] está únicamente determinada por un factor constante y no se anula en (a, c) . Si c=b , tenemos que ¯ M−M1∈(λ2, λ1) será un autovalor de Tn[¯ M] en Xn−` , y contradice la denición de λ1 cuando ` es par y λ2 cuando ` es impar. Entonces, tenemos que c < b . Usando el Lema 2.3, sabemos que Wn `[M1](c)=0 . 25 Y, dado que Tn[M]u(t) = 0 es una ecuación disconjugada en I para M∈(M1, M2) , podemos armar que Wn `[M1+δ](t)6= 0 , t ∈(a, b] para todo 0< δ < M2−M1. Sea Wn `[M](t) una función continua de M , podemos armar que Wn `[M1](t) es de signo constante en un entorno de c , así que tiene un cero de multiplicidad doble en c en función de t . Usando la expresión de la derivada del Wronskiano, sabemos que 0 = ∂ ∂tWn `[M1](t)|t=c= y1[M1](c). . . y`[M1](c) . . . y(`−2) 1[M1](c). . . y(`−2) `[M1](c) y(`) 1[M1](c). . . y(`) `[M1](c)  . (4.3) Tomamos la siguiente solución de (4.1) y(t) =  y1[M1](c). . . y`[M1](c) . . . y(`−2) 1[M1](c). . . y(`−2) `[M1](c) y1[M1](t). . . y`[M1](t)  . Como es una combinación lineal de y1[M1], . . . , y`[M1] , es obvio que tiene n−` ceros en a . Siendo Wn `[M1](c) = 0 , y verica trivialmente las condiciones de contorno (n−`, `) en [a, c] . Y, por la Proposición 2.6, ya que c=ηM1(a) , sabemos que no se anula en el intervalo abierto (a, c) . Debido a la igualdad (4.3) no es difícil comprobar que dicha función también verica las condiciones de contorno (n−`−1, ` + 1) en [a, c] . Si `=n−1 , esto no es posible, porque no puede existir ninguna solución no trivial con n ceros en c . Por otro lado, si `<n−1 , denotando como g¯ M,n−` y g¯ M,n−`−1 , las funciones de Green relacionadas con el problema (4.1)  (4.2), para M=¯ M , b=c y k=` o k=`+ 1 , respectivamente, deducimos las siguientes ecuaciones para todo t∈[a, c] : y(t) = Zc a g¯ M,n−`(t, s) ( ¯ M−M1)y(s)ds, y(t) = Zc a g¯ M,n−`−1(t, s) ( ¯ M−M1)y(s)ds. 26 CAPÍTULO 4. CARACTERIZACIÓN DE LA DISCONJUGACIÓN Por el Lema 3.2 y el Teorema 3.6 sabemos que g¯ M,n−`(t, s) y g¯ M,n−`−1(t, s) tienen un signo constante diferente en [a, c]×(a, c) , así las últimas igualdades no pueden satisfacerse a la vez. Entonces podemos armar que M1=¯ M−λ1 . De manara análoga concluimos que M2=¯ M−λ2 . Finalmente, consideramos el caso n= 2 . Es inmediato ver que los argumentos relacionados con λ2 son los mismos que en el caso anterior. Supongamos, por el contrario, que λ1<+∞ . Por tanto, sea M1:= ´ınf {D¯ M} ∈ (−∞,¯ M) . Por denición, tenemos que c1:= ηM1(a)≤b . Así que, si c1=b tenemos que hay un autovalor positivo de T2[¯ M] en X1 , lo cual contradice el Teorema 4.7. Ahora, dado que c1< b , podemos proceder análogamente al caso n > 2 y llegar a una contradicción. Así el resultado queda probado. Casos particulares .1. Ejemplos de orden 2 Dado que u(n)(t)=0 siempre es una ecuación disconjugada en cualquier intervalo, podemos aplicar este resultado a los operadores Tn[M]u(t) = u(n)(t) + Mu(t) . Entonces, para hallar el intervalo óptimo de disconjugación, solo necesitamos calcular los autovalores más cercanos a cero de los problemas (k, n −k) . Veamos un primer ejemplo de orden 2. Consideremos la ecuación u00 +Mu = 0 . La única posibilidad que tenemos es u(0) = u(1) = 0 , así n= 2 y k= 1 , es decir n−k impar, por lo que todos los autovalores son negativos. Como u00 =−Mu y todos los autovalores son negativos solo tenemos que considerar el caso M > 0 . Primero calculamos las raíces del polinomio característico x2+m2 y escribimos la solución general de la ecuación que viene dada por u(t) = C1cos(mt) + C2sin(mt). Con las condiciones de contorno que tenemos llegamos a las igualdades C1= 0 C2sin(m) = 0 las cuales nos proporcionan las soluciones C1= 0 C2= 0 que nos da la solución trivial u(t) = 0 . También nos proporcionan las soluciones C1= 0 sin(m) = 0 Debemos buscar el menor m tal que sin(m)=0 con m > 0 , que nos devolverá m=π . Tenemos entonces que el primer autovalor es −π2 y así el intervalo óptimo de disconjugación será (−∞, π2) . 27 28 CASOS PARTICULARES Veamos ahora un segundo ejemplo de orden 2. Consideremos en este caso la ecuación u00 + 2u0+ (1 + M)u= 0 . Sabemos que es disconjugada para M= 0 pues es composición de L1u=u0−u y L2u=u0−u que son disconjugados en [0,1] . La única posibilidad que tenemos es u(0) = u(1) = 0 , así n= 2 y k= 1 , es decir n−k impar, por lo que todos los autovalores son negativos, por tanto solo tenemos que considerar el caso M > 0 . Primero calculamos las raíces del polinomio característico x2+ 2x+1+m2 , que son −1 + im, −1−im y escribimos la solución general de la ecuación que viene dada por u(t) = C1e−tsin(mt) + C2e−tcos(mt). Con las condiciones de contorno que tenemos llegamos a las igualdades C2= 0 C1e−1sin(m) = 0 las cuales nos proporcionan las soluciones C1= 0 C2= 0 que nos da la solución trivial u(t) = 0 . También nos proporcionan las soluciones C2= 0 e−1sin(m) = 0 Debemos buscar el menor m tal que e−1sin(m) = 0 con m > 0 , que nos devolverá m=π . Tenemos entonces que el primer autovalor es −π2 y así el intervalo óptimo de disconjugación será (−∞, π2) . .2. Ejemplos de orden 3 Contemplaremos ahora un ejemplo sencillo de orden 3. Consideraremos la ecuación u000 +Mu = 0 . En primer lugar veremos que ocurre si M > 0 . Como u000 =−Mu y M > 0 , los autovalores son negativos, por tanto solo hay que buscarlos para el caso n−k impar. La única posibilidad que tenemos es n= 3 y k= 2 , así las condiciones de frontera son u(0) = u0(0) = 0 = u(1) . Primero calculamos las raíces del polinomio característico x3+m3 , que nos dan −m, 1 2±√3i 2m .2. EJEMPLOS DE ORDEN 3 29 y escribimos la solución general de la ecuación que viene dada por u(t) = C1eat +C2ebt sin(ct) + C3ebt cos(ct), donde a=−m b=m 2 c=√3m 2 Con las condiciones de contorno que tenemos llegamos a las igualdades C1=−C3 C2=−√3C3 −C3ea−√3C3ebsin(c) + C3ebcos(c) = 0 las cuales nos proporcionan las soluciones C1= 0 C2= 0 C3= 0 que nos da la solución trivial u(t) = 0 . También nos proporcionan las soluciones C1=−1 C2=−√3 −ea−√3ebsin(c) + ebcos(c) = 0 Debemos buscar el menor m tal que −ea−√3ebsin(c) + ebcos(c)=0 con m > 0 , que nos devolverá m= 4,233207192 . Tenemos entonces que el primer autovalor es −4,2332071923 . En segundo lugar veamos que ocurre si M < 0 . Como u000 =−Mu y M < 0 , los autovalores son positivos, por tanto solo hay que buscarlos para el caso n−k par. La única posibilidad que tenemos es n= 3 y k= 1 , así las condiciones de frontera son u(0) = 0 = u(1) = u0(1) . Primero calculamos las raíces del polinomio característico x3−m3 , que nos dan m, −1 2±√3i 2m y escribimos la solución general de la ecuación que viene dada por u(t) = C1eat +C2ebt sin(ct) + C3ebt cos(ct), donde a=m b=−m 2 c=√3m 2 36 CASOS PARTICULARES tenemos la solución trivial u(t)=0 . También nos proporcionan las soluciones C1=− 2em√2 cos m√2 2!!2 2 sin m√2 2!em√2cos m√2 2!−em√2−1 C2=− em√2 2 sin m√2 2!cos m√2 2!+em√2+ 1! 2 sin m√2 2!em√2cos m√2 2!−em√2−1 C3= 2em√2 cos m√2 2!!2 2 sin m√2 2!em√2cos m√2 2!−em√2−1 1 = cos(m) cosh(m) Por tanto debemos buscar el menor m tal que cos(m) cosh(m)=1 con m > 0 , que nos devolverá m= 5,553054244 . Tenemos entonces que el primer autovalor es −5,5530542444 . En segundo lugar veamos que ocurre si M < 0 . Como u0000 =−Mu y M < 0 , los autovalores son positivos, por tanto solo hay que buscarlos para el caso n−k par. La única posibilidad que tenemos es n= 4 y k= 2 , así las condiciones de frontera son u(0) = u0(0) = 0 = u(1) = u0(1) . Primero calculamos las raíces del polinomio característico x4−m4 , que nos dan ±m, ±im y escribimos la solución general de la ecuación que viene dada por u(t) = C1eat +C2ebt +C3ect cos(dt) + C4ect sin(dt) donde a=−m b=m c= 0 d=m .3. EJEMPLOS DE ORDEN 4 37 Con las condiciones de contorno que tenemos llegamos a las igualdades C1=−C4(sin(m)−cos(m) + em) e−m−em−2 sin(m) C2=−C4(−sin(m)−cos(m) + e−m) e−m−em−2 sin(m) C3=C4(−2 cos(m) + e−m+em) e−m−em−2 sin(m) 0 = −C4(sin(m)−cos(m) + em) e−m−em−2 sin(m)ea−C4(−sin(m)−cos(m) + e−m) e−m−em−2 sin(m)eb+ +C4(−2 cos(m) + e−m+em) e−m−em−2 sin(m)eccos(d) + C4ecsin(d) las cuales nos proporcionan las soluciones C1= 0 C2= 0 C3= 0 C4= 0 que nos da la solución trivial u(t) = 0 . También nos proporcionan las soluciones C1=−(sin(m)−cos(m) + em) e−m−em−2 sin(m) C2=−(−sin(m)−cos(m) + e−m) e−m−em−2 sin(m) C3=(−2 cos(m) + e−m+em) e−m−em−2 sin(m) 0 = −2e2mcos(m)+4em−2 cos(m) e2m+ 2 sin(m)em−1 Debemos buscar el menor m tal que −2e2mcos(m)+4em−2 cos(m) e2m+ 2 sin(m)em−1= 0 con m < 0 , que nos devolverá m=−4,730040745 . Tenemos entonces que el primer autovalor es 4,7300407454 y así el intervalo óptimo de disconjugación será (4,7300407454,5,5530542444) . Veamos otro ejemplo de orden 4 . Consideremos la ecuación u0000 −8u00 +Mu = 0 . En primer lugar veremos que es disconjugada si M= 0 . En efecto pues u0000 −8u00 = 0 es la composición de L1u=u00 y L2u=u00 −8u , que son disconjugados en [0,1] . En segundo lugar veamos que ocurre si M > 0 . Tenemos que separar los casos 0< M < 2 y 2< M pues el polinomio característico nos dará diferentes raíces. Como u0000−8u00 =−Mu y M > 0 , los autovalores son negativos, por tanto solo hay que buscarlos para el caso n−k impar. Así tenemos dos posibilidades, n= 4 y k= 3 , y por otro lado n= 4 y k= 1 , 38 CASOS PARTICULARES así las condiciones de frontera son u(0) = u0(0) = u00(0) = 0 = u(1) en el primer caso y u(0) = 0 = u(1) = u0(1) = u00(1) en el segundo. Primero calculamos las raíces del polinomio característico x4−8x2+m4 con 0<m<24 , que nos dan ±q4±p−m4+ 16 y escribimos la solución general de la ecuación que viene dada por u(t) = C1eat +C2ebt +C3ect +C4edt, donde a=p4 + √−m4+ 16 b=−p4 + √−m4+ 16 c=p4−√−m4+ 16 d=−p4−√−m4+ 16 Utilizando las condiciones de contorno u(0) = u0(0) = u00(0) = 0 = u(1) que corresponden al caso n= 4 y k= 3 , llegamos a las igualdades C1=4−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16C4 m4 C2=−4−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16C4 m4 C3=−C4 0 = C44−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16e√4+√−m4+16 m4+ + C44−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16e−√4+√−m4+16 m4+ +C4e−√4−√−m4+16 −e√4−√−m4+16 las cuales nos proporcionan las soluciones C1= 0 C2= 0 C3= 0 C4= 0 .3. EJEMPLOS DE ORDEN 4 39 que nos da la solución trivial u(t) = 0 . También nos proporcionan las soluciones C1=4−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16 m4 C2=−4−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16 m4 C3=−1 0 = 4−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16e√4+√−m4+16 m4+ +4−√−m4+ 163 2p4 + √−m4+ 16e−√4+√−m4+16 m4+ +e−√4−√−m4+16 −e√4−√−m4+16 Por tanto debemos buscar el menor m para el que se verica la última ecuación con 0<m<24 , que nos devolverá m= 2 . Tenemos entonces que el primer autovalor es −24 . Utilizando ahora las condiciones de contorno del caso n= 4 y k= 1 , que son las siquientes: u(0) = 0 = u(1) = u0(1) = u00(1) , llegamos a las igualdades C1=C4p4−√−m4+ 16e−√4−√−m4+16 e√4+√−m4+16p4 + √−m4+ 16 C2=−C4p4−√−m4+ 16e−√4−√−m4+16 e−√4+√−m4+16p4 + √−m4+ 16 C3=−e−2√4−√−m4+16C4 Cuando sustituimos estas constantes en C1eat +C2ebt +C3ect +C4edt = 0 y simplicamos poniendo t= 0 llegamos a la igualdad C1+C2+C3+C4= 0 Si ponemos C1= 0 C2= 0 C3= 0 C4= 0 40 CASOS PARTICULARES tenemos la solución trivial u(t)=0 . También nos proporcionan las soluciones C1=p4−√−m4+ 16e−√4−√−m4+16 e√4+√−m4+16p4 + √−m4+ 16 C2=−p4−√−m4+ 16e−√4−√−m4+16 e−√4+√−m4+16p4 + √−m4+ 16 C3=−e−2√4−√−m4+16 0 = p4−√−m4+ 16e−√4−√−m4+16 e√4+√−m4+16p4 + √−m4+ 16 −p4−√−m4+ 16e−√4−√−m4+16 e−√4+√−m4+16p4 + √−m4+ 16 −e−2√4−√−m4+16 + 1 Por tanto debemos buscar el menor m que verica la última ecuación con 0<m<24 , que nos devolverá m= 2 . Tenemos entonces que el primer autovalor es −24 . Como el menor m que encontramos es m= 2 , ese será el menor autovalor que se busca, por tanto no hará falta estudiar el caso 2< M . En tercer lugar veamos que ocurre si M < 0 . Como u0000 =−Mu y M < 0 , los autovalores son positivos, por tanto solo hay que buscarlos para el caso n−k par. La única posibilidad que tenemos es n= 4 y k= 2 , así las condiciones de frontera son u(0) = u0(0) = 0 = u(1) = u0(1) . Primero calculamos las raíces del polinomio característico x4−8x2−m4 , que nos dan ±q4 + pm4+ 16,±iqpm4+ 16 −4 y escribimos la solución general de la ecuación que viene dada por u(t) = C1eat +C2ebt +C3ect cos(dt) + C4ect sin(dt) donde a=p4 + √m4+ 16 b=−p4 + √m4+ 16 c= 0 d=p√m4+ 16 −4 Realizando cálculos análogos se obtiene la expresión de las distintas constantes en cada caso, si bien esta es demasiado complicada. De esta forma se llega a que el primer autovalor es 4,9461808704 . Por tanto tenemos que el intervalo óptimo de disconjugación es (−24,4,9461808704) . Anexo 41 (2)(2) (1)(1) (3)(3) 0 (4)(4)3.141592654 (1)(1) (3)(3) (2)(2)0 (4)(4)3.141592654 (3)(3) (2)(2) 1 (2)(2) (3)(3) (5)(5) (4)(4) (2)(2) (6)(6) (3)(3) (5)(5) 1 (7)(7) (2)(2) (6)(6) (3)(3) (5)(5) (8)(8) 4.172914962 (2)(2) (6)(6) (3)(3) (9)(9) (5)(5) (8)(8) (2)(2) (6)(6) (3)(3) (9)(9) (5)(5) (8)(8) (2)(2) (6)(6) (10)(10) (3)(3) (9)(9) (5)(5) (8)(8) 1 (11)(11) (9)(9) (2)(2) (6)(6) (10)(10) (3)(3) (5)(5) (8)(8) (11)(11) (12)(12) (2)(2) (6)(6) (10)(10) (3)(3) (9)(9) (5)(5) (8)(8) (11)(11) (9)(9) (12)(12) (2)(2) (6)(6) (10)(10) (3)(3) (5)(5) (8)(8) (8)(8) (9)(9) 5.553054244 (9)(9) (10)(10) (9)(9) (11)(11) (10)(10) (14)(14) (12)(12) (9)(9) (13)(13) (10)(10) 5.553054244 (12)(12) (9)(9) (17)(17) (16)(16) (18)(18) (10)(10) (15)(15) (19)(19) (12)(12) (9)(9) (10)(10) 4.730040745 (4)(4) (3)(3) (5)(5) (2)(2) (1)(1) (5)(5) (7)(7) (6)(6) 1 m4 (8)(8) (5)(5) (9)(9) 2.000000000 (11)(11) (5)(5) (10)(10) 1 84 ANEXO Bibliografía [1] N.V. 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