Curvas Planas

Traballo Fin de Grao Curvas Planas Adrián González Maestro 2018/2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Curvas Planas Adrián González Maestro 07/2019 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía Título: Curvas Planas Breve descrición do contido Preténdese estudar propiedades locais e globais de curvas planas prestando un interese especial ás curvas convexas Recomendacións Outras observacións iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Teoría local de curvas planas 1 2. Teoría global de curvas planas 15 3. Teorema dos Catro Vértices 21 4. Desigualdade isoperimétrica 25 5. A fórmula de Cauchy-Crofton 33 Bibliografía 37 v Resumo O obxectivo deste traballo é abordar algúns dos teoremas clásicos máis importantes no referente ao ámbito das curvas planas, prestando especial atención ás curvas planas convexas. Para elo será preciso expor unha serie de nocións e resultados previos a modo de introducción á teoría de curvas planas. En consecuencia, o traballo pode verse como a unión de dous bloques distintos. O primeiro estaría conformado polos capítulos un e dous, onde ofrecemos unha formación básica en teoría local e global de curvas planas, e o segundo polos capítulos tres, catro e cinco, onde usamos os coñecementos adquiridos no bloque anterior para levar a cabo a resolución de tres grandes teoremas. En concreto probaremos o teorema dos catro vértices, a desigualdade isoperimétrica e a fórmula de Cauchy-Crofton. Os dous primeiros pertencen ao ámbito de xeometría diferencial e están intimamente ligados á noción de convexidade, mentres que a fórmula de Cauchy-Crofton pertence ao ámbito da xeometría integral. En xeral, a exposición de ditos teoremas será acompañada pola súa historia e algunhas das súas aplicacións. Ademáis, en todos os casos intentaremos expor as súas demostracións do xeito máis xeométrico posible. Abstract The objective of this work is to deal with some of the most important classic theorems related to the realm of plane curves, with special attention to plane convex curves. In order the achieve that, we will have to show some previous notions and results as a introduction to the plane curves theory. Due to that, this work can be seen as the union of two dierent blocks. The rst one would be made up by chapters one and two, where we oer a basic training on local and global plane curves theory, and the second by chapters three, four and ve, where we use the knowledge acquired on the previous block in order to solve three important theorems. Specically, we will prove the four vertex theorem, the isoperimetric inequality and the Cauchy-Crofton formula. The rst two belong to the realm of dierential vii 4 CAPÍTULO 1. TEORÍA LOCAL DE CURVAS PLANAS Denición 1.13. Consideremos unha curva α:I→R2 . Sexan a, b ∈I tal que a<b . Entón denimos a lonxitude de α entre os puntos α(a) e α(b) como: Rb akα0(t)kdt . Denición 1.14. Sexan I e J dous intervalos de R . Consideremos unha curva α:I→R2 . Sexa g:J→I unha aplicación bixectiva tal que g e a súa aplicación inversa son derivables (é dicir, sexa g un difeomorsmo). Entón a aplicacion β:J→R2 , denida como β(t) := (α◦g)(t) , é unha nova curva da cal dicimos que é unha reparametrización da curva α . Agora vamos ver interesantes propiedades das reparametrizacións á hora de preservar certas características da curva orixinal. Proposición 1.15. Sexan I e J dous intervalos de R . Sexa α:I→R2 unha curva. Sexa g:J→I un difeomorsmo e sexa β(t) := (α◦g)(t) unha reparametrización de α . Entón tense que a traza de α e a traza de β coinciden. Demostración. Por denición, a traza de α é α(I)⊂R2 , e a traza de β:= (α◦g) é (α◦g)(J) ⊂R2 . Como ∀t∈J tense que g(t)∈I , deducimos que β(t) = α(g(t)) ∈(α(I)) . Por outro lado, como g:J→I é unha aplicación bixectiva, temos que ∀x∈I, ∃t∈J tal que g(t) = x =⇒ ∀α(x)∃(α◦g)(t) tal que (α◦g)(t) = α(x) . Polo tanto, xa vimos que a traza de α está contida na traza de β e que a traza de β está contida na traza de α=⇒ as trazas de α e β coinciden. Proposición 1.16. Sexan I e J dous intervalos de R . Sexa α:I→R2 unha curva. Sexa g:J→I un difeomorsmo e sexa β(t) := (α◦g)(t) unha reparametrización de α . Supoñamos x, y ∈J tal que x < y . Entón tense que a lonxitude de β entre β(x) e β(y) coincide coa lonxitude de α entre α(g(x)) e α(g(y)) . Demostración. Por denición, a lonxitude de β entre β(x) e β(y) é Ry xkβ0(t)kdt = Ry xk α0(g(t)) ·g0(t)kdt . Por denición, a lonxitude de α entre α(g(x)) e α(g(y)) é Rg(y) g(x)kα0(t)kdt . Finalmente, facendo uso do teorema de cambio de variable, vemos que ambas integrais teñen o mesmo valor. Proposición 1.17. Sexan I e J dous intervalos de R . Sexa α:I→R2 unha curva e Vα 1 o seu vector tanxente unitario. Sexa g:J→I un difeomorsmo e sexa β(t) := (α◦g)(t) unha reparametrización de α e Vβ 1 o seu vector tanxente unitario. Entón cúmprese que Vα 1(g(t)) = ±Vβ 1(t)∀t∈J . 5 Demostración. Sexa t∈J arbitrariamente xado. Consideremos α0(g(t)) = (α0 1(g(t)), α0 2(g(t))) . Por outra parte, consideremos β0(t) = (α◦g)0(t) = α0(g(t)) ·g0(t) = (α0 1(g(t)), α0 2(g(t)))·g0(t) . Así, temos que β0(t) = α0(g(t))·g0(t) =⇒ k β0(t)k = kα0(g(t))·g0(t)k = kα0(g(t)) k·| g0(t)| =⇒β0(t) kβ0(t)k = α0(g(t))·g0(t) kα0(g(t))k·|g0(t)| = ±α0(g(t)) kα0(g(t))k=⇒Vα 1(g(t)) = ±Vβ 1(t) . Proposición 1.18. Sexan I e J dous intervalos de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular. Sexa g:J→I un difeomorsmo e sexa β(t) := (α◦g)(t) unha reparametrización de α . Entón β tamén é unha curva regular. Demostración. Por ser α unha curva regular, tense que α0(t)6=(0,0) ∀t∈I . Por ser g un difeomormisfo, temos que g0(t)6=(0,0) ∀t∈J . Como β0(t)=(α◦g)0(t) = α0(g(t)) ·g0(t) =⇒ β0(t)6= (0,0) ∀t∈J . Acabamos de ver que as reparametrizacións conservan algunhas das características da curva orixinal. Non obstante, existen algúns factores que as reparametrizacións, en xeral, non respetan, como por exemplo a orientación. Vémolo formalmente na seguinte denición. Denición 1.19. Sexan I e J dous intervalos de R . Sexa α:I→R2 unha curva. Sexa g:J→I un difeomorsmo e sexa β(t) := (α◦g)(t) unha reparametrización de α . Se se cumpre que g0(t)>0 diremos que a reparametrización conserva a orientación. Se polo contrario cúmprese que g0(t)<0 , diremos que a reparametrización reverte a orientación. Nótese que, efectivamente, g0(t) ten que ser estrictamente maior que 0 ou estrictamente menor que 0 en todo o seu dominio, xa que I é conexo e, como vimos anteriormente, g0(t)6=(0,0) ∀t . Exemplo 1.20. Agora vamos ver un par de exemplos de reparametrizacións dunha curva dada, unha delas respetando a orientación inicial e a outra non. Tomamos α(t) = (cos(t), sen(t)) , cuxa traza é a circunferencia de centro a orixe e de raio unidade percorrida no sentido antihorario. Un exemplo dunha reparametrización que non conserva a orientación de α pode ser o seguinte: Consideramos o difeomormismo g(t) = −t e a consecuente reparametrización de α , β:= (α◦g) , podemos observar que β(t) = α(g(t)) = α(−t)=(cos(−t), sen(−t)) = (cos(t),−sen(t))=⇒ β percorre a circunferencia de centro a orixe e de raio 1, pero con sentido horario. É dicir, esta reparametrización non conserva a orientación. Sen embargo, se consideramos o difeomorsmo h(t) = 10 ·t , e a consecuente reparametrización de α , γ:= (α◦h) , vemos que desta vez obtemos γ(t) = α(h(t)) = α(10 ·t) = (cos(10 ·t), sen(10 ·t)) , que é unha curva que si respeta a orientación inicial de α . É certo que percorre a circunferencia de centro a orixe e de raio 1 a moita máis velocidade que α , 6 CAPÍTULO 1. TEORÍA LOCAL DE CURVAS PLANAS máis non altera o sentido do percorrido. Nótese que, en concordancia coa denición que acabamos de ver, cúmprese que g0(t) = −1<0 e que h0(t) = 10 >0 . Observación 1.21 . É importante remarcar que, se ben existen cualidades dunha curva, como a orientación, que non son conservadas polas reparametrizacións, o feito de que a traza dunha curva permaneza invariante frente a reparametrizacións (como xa probamos na Proposición 1.15 ) é suciente para xusticar que, á hora de traballar cunha curva, podemos usar a súa parametrización orixinal ou calquera outra reparametrización. Isto débese a que as propiedades das curvas que vamos estudar nos vindeiros temas son as de caracter xeométrico e, evidentemente, dúas curvas que teñen unha traza común posúen as mesmas propiedades xeométricas. Agora vamos ver unha parametrización que é especialmente interesante: a parametrización polo parámetro lonxitude de arco. Denición 1.22. Sexa I un intervalo de R . Diremos que unha curva α:I→R2 está parametrizada polo parámetro lonxitude de arco se se cumpre que ∀t∈I , kα0(t)k= 1 . Observación 1.23 . Resulta inmediato que, cando unha curva está parametrizada por lonxitude de arco, o seu vector V1(t) coincide con α0(t) . Isto resulta ser unha propiedade bastante cómoda á hora de traballar con curvas. Cos próximos resultados veremos que toda curva regular pode ser reparametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Corolario 1.24. Sexa I un intervalo de R . Entón toda curva α:I→R2 parametrizada polo parámetro lonxitude de arco é necesariamente regular. Demostración. Sexa I un intervalo de R e sexa α:I→R2 unha curva parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Logo por denición, ∀t∈I , kα0(t)k= 1 =⇒ ∀t∈I , pα1(t)2+α2(t)2= 1 =⇒ ∀t∈I , (α1(t), α2(t)) 6= (0,0) =⇒α é unha curva regular. Logo xa temos unha condición necesaria para que unha curva sexa reparametrizable polo parámetro lonxitude de arco. Así, temos que por exemplo a curva que visualizamos no Exemplo 1.7 non pode ser reparametrizada desta forma. Non obstante, de inmediato vamos comprobar que esta condición, ademáis de ser necesaria, tamén é suciente. Proposición 1.25. Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular. Entón existe unha reparametrización de α que conserva a orientación e tal que a curva resultante é unha curva parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. 7 Demostración. Tomamos un punto x∈I e denimos unha aplicación g:I→R tal que g(t) := Rt xkα0(u)kdu . Resulta que g é unha función derivable e g0(t) =kα0(t)k . Como α0(t)6= (0,0) (por ser α regular), tense que g0(t)>0∀t∈I . Agora, grazas ao teorema da función inversa, sabemos que g(I) é un intervalo aberto de R (a partir de agora denirémolo como g(I) := J ) e que g:I→J é un difeomorsmo. Polo tanto, se h é a función inversa de g , h tamén é un difeomormisfo. Ademáis ∀t∈I tense que (h◦g)(t) = t =⇒(h◦g)0(t) = 1=⇒h0(g(t)) ·g0(t) = 1 =⇒h0(g(t)) = 1 g0(t) = 1 kα0(t)k>0 . Polo tanto, xa sabemos que a reparametrización que xera h sobre a curva α conserva a orientación. Resta comprobar que a nova curva está parametrizada polo parametro lonxitude de arco: Sexa β:J→R2 tal que β(s) := (α◦h)(s) . Entón kβ0(s)k = kα0(h(s)) ·h0(s)k = k α0(h(s)) k·|h0(s)| = kα0(h(s)) k · 1 kα0(h(s))k= 1 Observación 1.26 . Obsérvese que da demostración desta última proposición dedúcese un algoritmo para reparametrizar unha curva regular polo parámetro lonxitude de arco: Consideramos α:I→R2 unha curva regular. Seleccionamos un t0∈I . Tomamos a aplicación g(t) = Rt t0kα0(u)kdu e buscamos a súa aplicación inversa. Para elo será suciente tomar ς=Rt t0kα0(u)kdu e despexar o parámetro t en función do novo parámetro ς . Así obtemos a expresión da aplicación inversa de g . Logo se compoñemos α con tal aplicación, teremos a reparametrización de α polo parámetro lonxitude de arco. Visualicemos este procedemento cun exemplo. Exemplo 1.27. Denimos a curva α(t) = (2,1)+t·(1,1) . Dado que α0(t) = (1,1) ∀t∈R , sabemos que α é unha curva regular. Ademáis, como kα0(t)k=k(1,1) k=√26= 1 , α non está parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Buscaremos reparametrizar α por dito parámetro: Tomamos ς=Rt 0kα0(u)kdu =Rt 0√2du =t·√2 . Polo tanto t=ς √2 . Logo consideramos a aplicación h(ς) = ς √2 e compoñémola con α , obtendo (α◦h)(ς) = (2,1) + ς √2·(1,1) . Resulta doado comprobar que (α◦h)0(ς) = (1,1) √2 , e así k(α◦h)0(ς)k= 1 ∀ς∈R . En consecuencia β(ς)=(α◦h)(ς) é unha reparametrización de α polo parámetro lonxitude de arco. Denición 1.28. Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular. Deniremos o vector normal unitario a α no punto α(t0) como J(V1(t0)) , tal que J:R2→R2 é o xiro de 90 graos no sentido contrario ás agullas do reloxo. Denotaremos tal vector como V2(t0) . Observación 1.29 . Dado o vector V1(t) = (x(t), y(t)) dunha curva regular, resulta inmediato que V2(t) = (−y(t), x(t)) . 8 CAPÍTULO 1. TEORÍA LOCAL DE CURVAS PLANAS Observación 1.30 . Observemos tamén que, se α:I→R2 é unha curva regular, cúmprese que ∀t∈I , V1(t) e V2(t) son vectores unitarios e ortogonales entre si. Como consecuencia temos que ∀t∈I , V1(t) e V2(t) conforman unha base ortonormal de R2 . A dupla ( V1(t) , V2(t) ) recive o nome de Diedro de Frenet . A partir da seguinte denición, vamos traballar coas segundas derivadas dalgunhas curvas, polo tanto precisamos máis regularidade da que esiximos nun principio na Denición 1.1 . Así, en adiante estudaremos só curvas que sexan C2 (clase dous). En consecuencia, a partir de agora vamos considerar o termo "curva"non soamente como "curva plana parametrizada e diferenciable", senón como "curva plana parametrizada e de clase dous". Denición 1.31. Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular parametrizada polo parametro lonxitude de arco da forma α(t)=(α1(t), α2(t)) . Denimos a curvatura de α no punto α(t0) como: χ(t0) := h(V0 1(t0), V2(t0)i = hα00 (t0), J(α0(t0))i= h(α00 1(t0), α00 2(t0)),(−α0 2(t0), α0 1(t0))i . Proposición 1.32. Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Entón cúmprese que: 1. V0 1(t) = χ(t)·V2(t) 2. V0 2(t) = −χ(t)·V1(t) Demostración. Demostremos o primeiro punto: Como (V1(t), V2(t)) forman unha base ortonormal de R2 , temos que V0 1(t) = V1(t)·h(V0 1(t), V1(t))i + V2(t)·h(V0 1(t), V2(t)i . Tamén sabemos que V1(t) é un vector unitario =⇒1 =kV1(t)k= ph(V1(t), V1(t))i=⇒ h(V1(t), V1(t))i= 1 . Se agora derivamos esa expresión, chegamos a que h(V0 1(t), V1(t))i+h(V1(t), V 0 1(t))i= 0 =⇒2·h(V0 1(t), V1(t))i= 0 =⇒h(V0 1(t), V1(t))i= 0 =⇒V0 1(t) = V2(t)·h(V0 1(t), V2(t)i = V2(t)·χ(t) . Demostremos o segundo punto: Como (V1(t), V2(t)) forman unha base ortonormal de R2 , temos que V0 2(t) = V1(t)·h(V0 2(t), V1(t))i + V2(t)·h(V0 2(t), V2(t)i . Tamén sabemos que V2(t) é un vector unitario =⇒1 =kV2(t)k= ph(V2(t), V2(t))i=⇒ h(V2(t), V2(t))i= 1 . Se agora derivamos esa expresión, chegamos a que h(V0 2(t), V2(t))i+h(V2(t), V 0 2(t))i= 0 =⇒2·h(V0 2(t), V2(t))i= 0 =⇒h(V0 2(t), V2(t))i= 0 =⇒V0 2(t) = V1(t)·h(V0 2(t), V1(t)i . Por outra parte, como V1(t) e V2(t) son dous vectores ortogonais, cúmprese que h(V1(t), V2(t))i= 0 . Derivando esa expresión obtemos que h(V0 1(t), V2(t))i+h(V1(t), V 0 2(t))i= 0 =⇒h(V0 2(t), V1(t)i = −h(V0 1(t), V2(t)i=−χ(t) =⇒V0 2(t) = −χ(t)·V1(t) . 9 Observación 1.33 . Das fómulas que obtivemos na Proposición 1.29 podemos deducir de forma sinxela que, se α é unha curva parametrizada polo parámetro lonxitude de arco, o seu vector aceleración, α00 (t) = V0 1(t) , non ten compoñente tanxencial, é dicir, só ten compoñente normal. Polo tanto, resulta razoable interpretar a curvatura dunha curva plana parametrizada polo parámetro lonxitude de arco nun punto da súa traza, como " o grao en que se curva a curva " en dito punto. Máis formalmente, podémola interpretar como a razón do cambio de ángulo entre o seu vector tanxente nese punto e a parte positiva do eixo de abscisas. Nótese que dito cambio de ángulo pode ter lugar en sentido horario ou antihorario, isto xustica o porqué a curvatura pode ter signo positivo ou negativo: cando dito cambio de ángulo sucede no sentido das agullas do reloxo, a curvatura será menor que cero, mentres que se dito cambio prodúcese en sentido contrario as agullas do reloxo, a curvatura será maior que cero. Tendo en conta esta interpretación xeométrica, resulta bastante intuitivo pensar que debe ser posible xeralizar o concepto de curvatura a unha curva parametriza regular calquera, e que ademáis, a curvatura dunha curva non debería depender da súa parametrización salvo polo signo (lembremos que, como xa expuxemos na Denición 1.19 , existen reparametrizacións que non conservan a orientación). Denición 1.34. Sexan I e J dous intervalos de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular. Sexa β:J→R2 a súa reparametrización polo parámetro lonxitude de arco a través do difeomorsmo g:J→I . Sexa h:I→J a plicación inversa de g e sexan t0∈I, w0∈J tal que h(t0) = w0 . Entón denimos a curvatura de α no punto α(t0) como a curvatura da súa reparametrización polo parámetro lonxitude de arco en β(h(t0)) , é dicir, χα(t0) := χβ(h(t0)) . Proposición 1.35. Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular. Entón cúmprese que χα(t0) = hα00 (t0),J(α0(t0))i kα0(t0)k3 . Demostración. Herdamos toda a notación da Denición 1.31 e así, como ∀t∈I tense por denición que χα(t) = χβ(h(t)) , vamos calcular χβ(s) tal que s∈J . Como β está parametrizada polo parámetro lonxitude arco, a súa curvatura defínese como χβ(s) := hV0 1(s), V2(s)i . Agora calcularemos V0 1(s) e V2(s) : V1(s) = β0(s) = α0(g(s)) ·g0(s) =⇒V0 1(s) = α00 (g(s)) ·g0(s)2+α0(g(s)) ·g00 (s) . V2(s) = J(V1(s)) = J((α0(g(s)) ·g0(s)) = J(α0(g(s))) ·g0(s) . Polo tanto χβ(s) = hα00 (g(s)) ·g0(s)2+α0(g(s)) ·g00 (s), J(α0(g(s))) ·g0(s)i = hα00 (g(s)) · g0(s)2, J(α0(g(s))) ·g0(s)i + hα0(g(s))·g00 (s), J(α0(g(s))) ·g0(s)i = hα00 (g(s))·g0(s)2, J(α0(g(s))) ·g0(s)i = hα00 (g(s)), J(α0(g(s))) i·g0(s)3 = 1 kα0(g(s))k3·hα00 (g(s)), J(α0(g(s)))i 10 CAPÍTULO 1. TEORÍA LOCAL DE CURVAS PLANAS Agora vamos ver un exemplo de curva cuxa función curvatura é non negativa e estrictamente decrecente. Dito máis informalmente, unha curva que "cúrvase menos" segundo o seu parámetro toma valores máis grandes. Exemplo 1.36. As espirais logarítmicas son a familia de curvas regulares que poden ser parametrizadas da seguinte forma α(t) = (a·bt·cos(t), a ·bt·sen(t)) , con t∈R , onde a e b son números reais maiores que 0 . En concreto, tomando a= 1 e b=5 4 , obtemos a espiral logarítmica α(t) = ((5 4)t·cos(t),(5 4)t·sen(t)) . Facendo uns simples cálculos chegamos a que α00 (t)=(5 4)t·(−sen(t)·ln(5 4)−cos(t),−sen(t)+ cos(t)·ln(5 4)) , J(α0(t)) = (5 4)t·(−cos(t)−sen(t)·ln(5 4), cos(t)·ln(5 4)−sen(t)) e kα0(t)k3= (5 4)3t·(1 + ln(5 4)2)·q1 + ln(5 4)2 . Polo tanto, usando a Proposición 1.32 temos que χα(t) = hα00 (t),J(α0(t))i kα0(t)k3 = h(5 4)t·(−sen(t)·ln(5 4)−cos(t),−sen(t)+cos(t)·ln( 5 4)),(5 4)t·(−cos(t)−sen(t)·ln( 5 4),cos(t)·ln( 5 4)−sen(t))i (5 4)3t·(1+ln( 5 4)2)·q1+ln( 5 4)2 =(1+ln( 5 4)2)·(5 4)2t (5 4)3t·(1+ln( 5 4)2)·q1+ln(5 4)2=1 (5 4)t·q1+ln( 5 4)2 . En consecuencia temos que o valor da función curvatura é inversamente proporcional ao valor de t . É dicir, a función curvatura é estrictamente decrecente. Esta é unha representación da espiral logarítmica anterior, onde o seu parámetro toma valores no intervalo (−5π, 5π) . Nela resulta fácil visualizar que, efectivamente, canto maior é o valor do parámetro t , menos acentuado é o cambio de ángulo entre o vector tanxente á curva e a parte positiva do eixo de abscisas. Proposición 1.37. Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular. Se se cumpre que χ(t) = 0 ∀t∈I , entón a traza de α está contida nunha recta. 11 Demostración. Xa comprobamos que toda curva regular pode ser reparametrizada polo parámetro lonxitude de arco e que toda reparametrización dunha curva dada conserva a traza da curva orixinal. Polo tanto, podemos realizar a demostración para unha curva α parametrizada polo parámetro lonxitude de arco e obter un resultado válido para calquera curva regular. Sexan c, d ∈I calesquera tal que c<d . Sabemos que Rd c(α0(t))dt = α(d)−α(c) . Por outra banda, dado que χ(t) = 0 =⇒V0 1(t) = (0,0) ∀t∈I=⇒V1(t) é un vector constante, é dicir, α0(t) é constante. En consecuencia, tense que Rd c(α0(t))dt = α0(t)·(d−c) . Así, podemos armar que α(d) = α(c) + α0(t)·(d−c) = α(c)+α0(t)·d−α0(t)·c = α(c)−α0(t)·c + α0(t)·d . Se xamos o valor de c , teremos que α(c)−α0(t)·c é un vector xo de R2 . Polo tanto α(d) = (α(c)−α0(t)·c) + α0(t)·d é a expresión dunha recta para d∈(c, b) . Como a elección do punto xado, c∈I , é completamente arbitraria, deducimos que a traza de α:I→R2 está contida nunha recta. Proposición 1.38. Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva regular. Se se cumpre que ∀t∈I , χ(t) = k , tal que k é unha constante distinta de 0 , entón a traza de α está contida nunha circunferencia de raio 1 k . Demostración. Ao igual que na proposición anterior, vamos supor que a curva α está parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Pola Proposición 1.29 sabemos que V0 1(t) = χ(t)·V2(t) . Ademáis, α0(t) = V1(t) =⇒α00 (t) = V0 1(t) =⇒α00 (t) = χ(t)·V2(t) . Así, deducimos que o vector α00 (t) ten a mesma dirección que V2(t) . Polo tanto, tense que ( α0(t) , α00 (t) ) é unha base ortogonal de R2 . Agora consideramos a aplicación c:I→R2 denida como c(t) = α(t) + α00 (t) k2 e a súa derivada c0(t) = α0(t) + α000 (t) k2 . Vamos probar que c é unha aplicación constante. Mais para conseguilo precisamos algúns resultados previos. Como α está parametrizada polo parámetro lonxitude de arco, sabemos que χ(t) = hV0 1(t), V2(t)i , é dicir, k=hV0 1(t), V2(t)i=⇒k=hα00(t),α00 (t) ki=⇒k=1 k· hα00(t), α00 (t)i=⇒k2= hα00(t), α00 (t)i . Derivando a igualdade anterior chegamos a que 0 = hα000(t), α00 (t)i+hα00(t), α000 (t)i = 2 ·hα000(t), α00 (t)i=⇒0 = hα000(t), α00 (t)i . Tamén sabemos que hα0(t), α00 (t)i= 0 . Polo tanto, derivando a anterior igualdade temos que hα00(t), α00 (t)i+hα0(t), α000 (t)i= 0 . Como xa comprobamos que hα00(t), α00 (t)i=k2 , deducimos que hα0(t), α000 (t)i=−k2 . Xa estamos en condicións de probar que c é unha aplicación constante: Tense que hc0(t), α0(t)i=hα0(t), α0(t)i+hα000 (t) k2, α0(t)i=kα0(t)k+1 k2·hα000 (t), α0(t)i= 1 + 1 k2·(−k2)=0 . Por outra banda, verifícase que hc0(t), α00 (t)i=hα0(t), α00 (t)i+hα000 (t) k2, α00 (t)i = 0 + 1 k2·0 = 0 . 12 CAPÍTULO 1. TEORÍA LOCAL DE CURVAS PLANAS Como ( α0(t) , α00 (t) ) é unha base ortogonal de R2 e acabamos de ver que hc0(t), α0(t)i= 0 e hc0(t), α00 (t)i= 0 =⇒c0(t)=0∀t∈I=⇒ ∃w∈R2 tal que c(t) = w∀t∈I . Finalmente, comprobaremos que a distancia de w a calquera punto da traza de α é constante. Dado un punto t0∈I , tense que a distancia entre α(t0) e w=c(t0) ven dada por kc(t0)−α(t0)k=k(α(t0) + α00 (t0) k2)−α(t0)k=kα00 (t0) k2k=1 k2· k α00 (t0)k =1 k2·phα00 (t), α00 (t)i=1 k2·√k2=1 k2·k=1 k . Polo tanto, todos os puntos da traza de α están a distancia 1 k de w . Isto quere dicir que todos os puntos da traza de α están contidos na circunferencia de raio 1 k centrada no punto w . A Proposición 1.34 e a Proposición 1.35 axúdannos a identicar rapidamente curvas cando a súa función curvatura é constante. Deseguido vamos expoñer un teorema moito máis xeral, que permítenos identicar unha curva a partir da súa curvatura sen impoñer condicións sobre ela. Resulta ser un dos resultados máis importantes da teoría de curvas planas. Teorema 1.39. Teorema fundamental de curvas planas Sexa I un intervalo de R . Sexa k:I→R unha aplicación derivable. Entón cúmprense os seguintes enunciados: 1. Existe unha curva regular α:I→R2 parametrizada polo parámetro lonxitude de arco tal que χα(t) = k(t)∀t∈I . 2. Se β:I→R2 é outra curva plana regular parametrizada polo parámetro lonxitude de arco tal que χβ(t) = k(t)∀t∈I , entón existe unha isometría M:R2→R2 denida como M((x, y)) := A·(x, y)+b (onde A é unha matriz 2x2 ortogonal de determinante 1 con coecientes en R e b∈R2 ), tal que β=M◦α . Demostración. Demostremos o primeiro punto: Sexa t0∈I . Denimos a aplicación ϕ:I→R , ϕ(t) := Rt t0k(u)du . Como k é unha aplicación derivable, entón ϕ tamén o é. Agora creamos a curva plana α:I→R2 , α(t) := (Rt t0cos(ϕ(u))du, Rt t0sen(ϕ(u))du) . Como ϕ é derivable, entón sabemos que α tamén o é. Verifícase que α0(t)=(cos(ϕ(t)), sen(ϕ(t))) =⇒k α0(t)k=pcos2(ϕ(t)) + sen2(ϕ(t)) = 1 =⇒α é regular e está parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Ademáis, χα(t) = hV0 1(t), V2(t)i = h(α00 1(t0), α00 2(t0)),(−α0 2(t0), α0 1(t0))i = ϕ0(t)·sen2(ϕ(t))+ϕ0(t)·cos2(ϕ(t)) = ϕ0(t) = k(t) . Logo queda probado que α é a curva que buscábamos. Demostremos o segundo punto: Supoñamos que existen dúas curvas, α:I→R2 e β:I→R2 parametrizadas polo 13 parámetro lonxitude de arco tal que k(t) = χα(t) = χβ(t)∀t∈I . Sexan (Vα 1(t), V α 2(t)) e (Vβ 1(t), V β 2(t)) os Diedros de Frenet de α e β , respectivamente. Fixamos un punto t0∈I e consideramos Vα 1(t0) e Vβ 1(t0) . Sabemos que únicamente existe unha rotación con matriz asociada ortogonal de determinante 1, A , tal que A·Vα 1(t0) = Vβ 1(t0) . Sabemos que Vα 1(t0) é ortogonal con Vα 2(t0) , e que Vβ 1(t0) é ortogonal con Vβ 2(t0) , logo temos que A·Vα 2(t0) = Vβ 2(t0) . Agora denimos o vector de R2 , b:= β(t0)−A·α(t0) e consideramos a isometría M:R2→R2 , M((x, y)) := A·(x, y) + b . Denimos a nova curva γ = M◦α . Vamos demostrar que β≡γ : Cúmprese que γ(t0) = (M◦α)(t0) = A·α(t0)+b = A·α(t0)+β(t0)−A·α(t0) = β(t0) e que γ0(t0) = (M◦α)0(t0) = A·α0(t0) = A·Vα 1(t0) = Vβ 1(t0) . Polo tanto, xa sabemos que ambas curvas teñen a mesma imaxe e o mesmo vector tanxente en t0 . Co n de vericar que isto non só ocorre en t0 , senón que sucede en todo o intervalo I , creamos a aplicación f:I→R , f(t) := kVβ 1(t)−Vγ 1(t)k2 2 . Como Vβ 1(t0) = Vγ 1(t0) =⇒f(t0) = 0 . Agora comprobamos que f0(t) = h(Vβ 1)0(t)−(Vγ 1)0(t), V β 1(t)−Vγ 1(t)i = hχβ(t)·Vβ 2(t)−χγ(t)·Vγ 2(t), V β 1(t)−Vγ 1(t)i = −k(t)·(hVβ 2(t), V γ 1(t)i+hVγ 2(t), V β 1(t)i) . Por outra banda, como hVβ 2(t), V γ 1(t)i = hJ(Vβ 1)(t), V γ 1(t)i = −hVβ 1(t), J(Vγ 1)(t)i = −hVβ 1(t), V γ 2(t)i . En consecuencia, −k(t)·(hVβ 2(t), V γ 1(t)i+hVγ 2(t), V β 1(t)i)=0∀t∈I=⇒f0(t)=0∀t∈I =⇒f é unha función constante. Como xa vimos que f(t0) = 0 =⇒f(t) = 0 ∀t∈I . Como consecuencia inmediata temos que Vγ 1(t) = Vβ 1(t)∀t∈I , ou o que é o mesmo, (β−γ)0(t) = 0 ∀t∈I=⇒(β−γ)(t) é constante. Como xa vimos que Vγ 1(t0) = Vβ 1(t0) =⇒(β−γ)(t0) = 0 =⇒(β−γ)(t)=0∀t∈I . Co cal xa podemos concluir que as curvas β e γ son iguais. 20 CAPÍTULO 2. TEORÍA GLOBAL DE CURVAS PLANAS Capítulo 3 Teorema dos Catro Vértices Neste capítulo probaremos un teorema que está historicamente ligado á noción de convexidade. Falamos do Teorema dos catro vértices , o cal arma que a aplicación curvatura dunha curva pechada, simple e convexa posúe polo menos catro extremos relativos. Este resultado foi inicialmente demostrado en 1909 polo matemático indio Mukhopadhaya para curvas pechadas, simples e convexas. Posteriormente, en 1912, o teorema foi probado polo alemán Kneser prescindindo da hipótese de convexidade. Co paso dos anos foron xurdindo novas demostracións, con técnicas de resolución moi variadas. Unha das aportacións máis recentes foi publicada por Robert Osserman en 1985, a cal é unha interesante proba na que se usa o concepto de círculo circunscrito. Osserman dene o círculo circunscrito dun subconxunto de R2 como o círculo de menor raio que contén a dito subconxunto. Resulta ser unha demostración bastante intuitiva e de asequible interpretación xeométrica. Neste traballo abordaremos unha proba do Teorema dos catro vértices asumindo a hipótese de convexidade. Para a realización de dita proba, así como para a obtención dos conceptos previos a ela, a referencia bibliográca maioritaria foi a [1] . O primeiro que faremos será demostrar un lema que será útil para levar a cabo a proba do teorema dos catro vértices. Lema 3.1. Sexa α: [m, n]−→ R2 unha curva plana, pechada e parametrizada polo parámetro lonxitude de arco, a cal notamos como segue α(t)=(x(t), y(t)) . Entón cúmprese que ∀a, b, c ∈R , Rn m((a·x(t) + b·y(t) + c)·χ0(t)) dt = 0 , onde χ0 é a derivada da función curvatura de α . Demostración. Tense que Rn m(χ0(t))dt = [χ(t)]t=n t=m = χ(n)−χ(m) . Como α é unha curva pechada =⇒χ(n) = χ(m) =⇒χ(n)−χ(m)=0 , e polo tanto deducimos que Rn m(χ0(t))dt = 0 . Por outra banda, aplicando integración por partes, obtense que Rn m(x(t)·χ0(t))dt = [x(t)· χ(t)]t=n t=m−Rn m(x(t)0·χ(t))dt . Como α é unha curva pechada, sabemos que x(m)·χ(m) = 21 22 CAPÍTULO 3. TEOREMA DOS CATRO VÉRTICES x(n)·χ(n) , e xa que logo deducimos que Rn m(x(t)·χ0(t))dt =−Rn m(x(t)0·χ(t))dt . Grazas ás fórmulas de Frenet (véxase a Proposición 1.29 do capítulo 1) sabemos que α00 (t) = χ(t)·V2(t) =⇒(x00 (t), y00 (t)) = χ(t)·(−y0(t), x0(t)) =⇒y00 (t) = χ(t)·x0(t) =⇒= −Rn m(x(t)0·χ(t))dt =−Rn my00 (t)dt =−[y0(t)]t=n t=m . Novamente, como α é unha curva pechada, tense que y0(n) = y0(m) =⇒y0(n)−y0(m) = 0 =⇒=−Rn m(x(t)0·χ(t))dt = 0 =⇒ Rn m(x(t)·χ0(t))dt = 0 . Unha serie de argumentos análogos aos anteriores permiten demostrar que Rn m(y(t)·χ0(t))dt = 0 . En consecuencia, podemos concluir que ∀a, b, c ∈R cúmprese que Rn m((a·x(t) + b·y(t) + c)·χ0(t)) dt = a·Rn m(x(t)·χ0(t))dt + b·Rn m(y(t)·χ0(t))dt + c·Rn m(χ0(t))dt = 0 Teorema 3.2. Teorema dos catro vértices Sexa α: [m, n]−→ R2 unha curva pechada, simple e convexa da forma α(t) = (x(t), y(t)) . Entón a función curvatura de α , χ(t) , ten polo menos catro extremos relativos (ou, equivalentemente, α ten polo menos catro vértices). Demostración. Supoñemos, sen perda de xeralidade, que α está parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Facendo uso da Denición 1.28 do capítulo 1, lembramos que χ(t) = hV0 1(t), V2(t)i . Como V0 1(t) e V2(t) son aplicacións continuas, tense que χ(t) tamén é unha aplicación continua. Polo tanto, por ser χ unha aplicación continua no intervalo pechado [m,n] =⇒χ alcanza o seu máximo e o seu mínimo en [m,n]. Así, xa temos dous vértices. Supoñamos que ditos extremos da función curvatura son alcanzados nos correspondentes puntos da traza de α , α(t1) = a1 e α(t2) = a2 . Consideremos a recta de R2 que contén aos puntos a1 e a2 , e designémola como W . Consideremos tamén os segmentos de curva que determinan os puntos a1 e a2 excluíndo os extremos, é dicir, os seguintes segmentos abertos da curva α : γ:= {α(t)/t ∈(t1, t2)} e β:= {α(t)/t ∈[m, n]\[t1, t2]} . Supoñamos que γ contén puntos a ambos lados de W . Como γ é un subconxunto conexo da traza de α , entón necesariamente ∃t0∈(t1, t2) tal que α(t0)∈W . Polo tanto, existen polo menos tres puntos da traza de α que pertencen tamén á recta W : α(t1), α(t2) e α(t0) . Supoñamos sen perda de xeralidade que, destes tres puntos contidos en W , o punto intermedio é α(t0) . Dado que α é unha curva convexa, a recta tanxente a α en α(t0) deixa toda a traza de α a un dos lados de dita recta. En consecuencia, tense que necesariamente a recta tanxente a α en α(t0) é W , xa que calquera outra recta que pasa por α(t0) deixa α(t1) a un lado e α(t2) a outro. Isto entra en contradicción coa suposición que xemos anteriormente a cerca de que γ contén puntos a ambos lados de W=⇒γ posee puntos a 23 un único lado da recta W . Un razoamento análogo permite comprobar que β posee puntos a un único lado da recta W . Usando novamente a hipótese de convexidade sobre a curva α , deducimos que γ está contido nun dos semiplanos xerados por W e β está contido no outro. É dicir, se a·x+b·y+c= 0 é a ecuación da recta W , entón podemos supoñer, sen perda de xeralidade, que γ está contido no semiplano a·x+b·y+c≥0 e β está contido no semiplano a·x+b·y+c≤0 . A modo de exemplo, na seguinte imaxe visualizamos dúas curvas pechadas e simples. A primeira é convexa, e polo tanto cumpre que a recta que une dous puntos calesquera da súa traza divide a curva en dous segmentos, un en cada semiplano xerado por dita recta. A segunda non cumpre esa propiedade, isto débese a que non é convexa. Supoñamos agora que χ(t) non ten máis extremos relativos. En tal caso, os únicos extremos relativos de χ(t) en [m,n] son o seu máximo e o seu mínimo, os cales, como xa vimos, delimitan os segmentos de curva γ e β . Isto implica que χ0(t) ten signo constante ao longo de γ e de β , sendo ademáis positivo nun dos ditos segmentos e negativo no outro. Distinguimos entón dous casos: 1. Caso 1: χ0(t) ten signo positivo en γ e negativo en β Tense que Rn m((a·x(t) + b·y(t) + c)·χ0(t)) dt = Rγ((a·x(t) + b·y(t) + c)·χ0(t)) dt + Rβ((a·x(t)+b·y(t)+c)·χ0(t)) dt , e como χ0(t)>0 en γ , χ0(t)<0 en β , γ esta contida no semiplano a·x+b·y+c≥0 e β está contida no semiplano a·x+b·y+c≤0 =⇒ Rn m((a·x(t) + b·y(t) + c)·χ0(t)) dt ≥0 . Ademáis, como existen puntos de γ da forma (x(t), y(t)) tal que a·x(t)+b·y(t)+c > 0 =⇒Rn m((a·x(t)+b·y(t)+c)·χ0(t)) dt > 0 , chegando así a unha contradición co Lema 4.1 . 24 CAPÍTULO 3. TEOREMA DOS CATRO VÉRTICES 2. Caso 2: χ0(t) ten signo negativo en γ e positivo en β Aplicando unha serie de razoamentos análogos aos do caso anterior, chegamos a que Rn m((a·x(t) + b·y(t) + c)·χ0(t)) dt < 0 , obtendo tamén unha contradición co Lema 4.1 . Polo tanto temos que a hipótese de que χ(t) non ten máis extremos relativos é falsa =⇒χ(t) ten polo menos tres puntos extremos. Isto implica que χ0(t) é unha aplicación periódica de período n−m que cambia de signo polo menos tres veces en [m, n] . Logo podemos concluir que, necesariamente, χ0(t) cambia de signo unha cuarta vez en [m, n] =⇒χ(t) ten un cuarto extremo relativo. En consecuencia, α ten como mínimo catro vértices. Observación 3.3 . Nótese que, a pesar de que o enunciado clásico do teorema só arma a existencia de como mínimo catro vértices, grazas ao último argumento usado nesta demostración tamén podemos concluir inmediatamente que o número de vértices debe ser par. Unha aplicación práctica do teorema dos catro vértices pódese ver na cinemática: imaxinemos un obxecto de volume desprezable e bidimensional a efectos prácticos, o cal está delimitado por unha curva simple, pechada e convexa, α . Se este obxecto rodase por un plano horizontal mediante un movemento rectilineo e desacelerado polo efecto do rozamen- to, entón grazas ao teorema dos catro vértices sabemos que deberían existir polo menos catro puntos da traza de α nos que o movemento podería rematar. Isto débese a que un vértice de α é un punto no que a súa curvatura pasa de crecer a decrecer ou viceversa, é dicir, un posible punto de equilibrio para o movemento. Capítulo 4 Desigualdade isoperimétrica Neste cuarto tema veremos un teorema con moita historia, cuxas motivacións teñen uns 2000 anos de antigüidade e que resposta á seguinte pregunta: ¾de todas as guras planas que teñen o mesmo perímetro, cal abarca unha maior área? ou, en termos máis acordes á nosa nomenclatura ¾de todas as curvas planas pechadas que teñen a mesma lonxitude, cal ten un interior que cubre máis supercie? Estamos a falar da Desigualdade isoperimétrica . Existe unha lenda que recobre dunha especial beleza e interese o problema isoperimétrico. Segundo a mitoloxía, durante o séxulo IX a.C. a irmá do rei da cidade de Tiro, Elisa de Tiro, viuse forzada a fuxir da cidade por causa don conicto entre o seu irmán e o seu marido, o cal rematou coa morte deste último. Exiliouse xunto cun séquito de eis sen un rumbo xo. Finalmente chegaron ata unha tribu libia do norte de África, onde solicitou que se lle concedera a ela e aos seus eis unhas terras nas que poder asentarse. O rei daquela tribu, de nome Jarbas, decidiu darlle a Elisa a pel dun boi, dicíndolle que lle concedería a extensión de terreo que fose capaz de delimitar usando a pel do animal. Segundo a lenda, Elisa dividiu a pel do animal en tiras moi nas e, co n de abarcar a maior área posible, usóunas para formar unha gran circunferencia. Desta forma, Elisa tería obtido os terreos sucientes como para formar unha nova cidade, a cal bautizaría como Cartago, e da cal sería nomeada raíña, baixo o novo nome de Dido. Noutras palabras, o que esta interesante lenda van a dicir é que a raíña Dido tivo que enfrontarse á desigualdade isoperimétrica. Ademáis, segundo arman as demostracións que hoxe en día coñecemos, Dido deu coa solución. Non obstante, e a pesar de que este problema xa foi analizado polos gregos antigos, non se acadou unha solución rigurosa ata nais do século XIX. Foi nese século cando o suizo Jakob Steiner publicou varias probas da desigualdade isoperimétrica, todas elas puramente xeométricas. Non obstante, os seus traballos foron duramente criticados por outros matemáticos da época por estar incompletos. Steiner non probou que de todas as guras planas 25 26 CAPÍTULO 4. DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA cun perímetro común, debe haber unha que encerre unha maior área. Simplemente demostrou que, de existir unha gura vericando isto último, necesariamente debía ser unha circunferencia. É dicir, deu por sentado que o problema isoperimétrico debía ter solución. Non se acadou unha solución completa ata que, varias décadas despois, o alemán Karl Weierstrass expuxo unha proba do problema usando o cálculo variacional. As ideas xeométricas usadas por Steiner nas súas probas do problema isoperimétrico encaixan moi ben na natureza deste traballo. Polo tanto, o que faremos para demostrar a desigualdade isoperimétrica será completar unha das súas probas, algo sinxelo grazas as ferramentas de análise que temos á nosa disposición hoxe en día. Para profundizar nos conceptos deste capítulo aconséllase consultar a referencia bibliográca [4] . Procedamos a enunciar algunhas denicións e resultados previos á demostración. Denición 4.1. Sexa [a, b] un intervalo de R . Sexan α: [a, b]→R2 e β: [a, b]→R2 dúas curvas. Podemos denir a curva intermedia entre α e β como γ: [a, b]→R2 , γ(t) = α(t)+β(t) 2 . Na seguinte imaxe vemos un exemplo de curva intermedia. Nela, a curva representada en azul é a curva intermedia entre as curvas representadas en negro e en vermello. Agora veremos unha proposición que usaremos na demostración da desigualdade isoperimétrica. Esta ven a dicir que, dadas dúas curvas α e β e a súa curva intermedia, γ , todas elas denidas nun intervalo [a, b] , entón tense a lonxitude de γ entre os seus extremos é menor ou igual que a media das lonxitudes de α e β nos seus extremos. Vexámolo formalizado: 27 Proposición 4.2. Sexa [a, b] un intervalo de R . Sexan α: [a, b]→R2 e β: [a, b]→R2 dúas curvas. Sexa γ a curva intermedia entre α e β . Entón tense que Rb akγ0(t)kdt ≤ Rb akα0(t)kdt+Rb akβ0(t)kdt 2 . A igualdade dase se e soamente se α é unha traslación de β . Demostración. Supoñamos sen perda de xeralidade que α e β están parametrizadas polo parámetro lonxitude de arco, polo tanto kα0(t)k= 1 =kβ0(t)k . Demostrar a desigualdade resulta inmediato xa que Rb akγ0(t)kdt =Rb akα0(t)+β0(t) 2kdt =Rb akα0(t)+β0(t)kdt 2 e aplicando as propiedades das normas obtemos o resultado buscado. A igualdade dase se e soamente se Rb akα0(t)kdt+Rb akβ0(t)kdt 2=Rb akα0(t)+β0(t)kdt 2⇐⇒ Rb akα0(t)k +kβ0(t)kdt =Rb akα0(t) + β0(t)kdt ⇐⇒ Rb a2dt =Rb akα0(t) + β0(t)kdt ⇐⇒ 2·(b−a) = Rb akα0(t) + β0(t)kdt ⇐⇒ k α0(t) + β0(t)k= 2 . Como α0(t) e β0(t) son vectores unitarios, cúmprese que kα0(t) + β0(t)k= 2 ⇐⇒ α0(t) = β0(t) . Logo temos que ∀t∈[a, b] os vectores tanxentes das curvas α e β , é dicir, α0(t) e β0(t) , coinciden =⇒α é unha traslación de β . O seguinte resultado é un corolario inmediato do Teorema de Green. Vámolo precisar para nalizar a proba da desigualdade isoperimétrica. Proposición 4.3. Sexa α: [0, l]−→R2 unha curva pechada e simple da forma α(t) = (α1(t), α2(t)) . Entón tense que a área abarcada polo seu interior é 1 2·Rl 0α1(t)·α0 2(t)− α2(t)·α0 1(t)dt Lembramos agora que unha isometría de R2 en R2 é unha aplicación continua e bixectiva que conserva as distancias. Isto quere dicir que a imaxe dunha curva por unha isometría será outra curva de igual lonxitude que a curva orixinal. En todas as demostracións que Steiner levou a cabo sobre a desigualdade isoperimétrica, usou como ingrediente principal unha isometría concreta: a simetría axial respecto dunha recta. A interpretación xeométrica de dito concepto é bastante sinxela. Se consideramos unha recta, W , a aplicación simetría axial respecto de W leva un punto no seu correspondente "punto reexo respecto de W". É dicir, dado un punto x , a súa imaxe é o resultado de trasladar dito punto na dirección do vector normal a W cun módulo equivalente ao dobre da distancia de x a W . Formalizamos dito concepto na seguinte denición. Denición 4.4. Sexa W unha recta de R2 que pasa polo punto b= (b1, b2) e que ten vector director unitario d= (d1, d2) . Denimos a aplicación simetría axial respecto de W como S((x1, x2)) = (x1, x2) se (x1, x2)∈W , S((x1, x2)) = (x1, x2)+(−d2, d1)·2·(x1d2− b1d2−x2d1+b2d1) se (x1, x2)/∈W . 28 CAPÍTULO 4. DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA Observación 4.5 . É un sinxelo exercicio comprobar que a anterior denición verica a intuición xeométrica que antes establecimos: Sexa W a recta que pasa por (b1, b2) e ten por vector director (d1, d2) , a cal parametrizamos así: λ(s)=(b1, b2) + s·(d1, d2) . Sexa T a recta que pasa por un punto (x1, x2)∈R2 e ten por vector director (−d2, d1) (é dicir, o vector normal a d ), a cal parametrizamos así: β(t) = (x1, x2) + t·(−d2, d1) . A intersección entre estas dúas rectas dase cando, para uns certos s, t ∈R , (b1, b2) + s·(d1, d2)=(x1, x2) + t·(−d2, d1)⇐⇒ (b1+s·d1, b2+s·d2) = (x1−t·d2, x2+t·d1)⇐⇒ (s, s)=(x1−t·d2−b1 d1,x2+t·d1−b2 d2) =⇒x1−t·d2−b1 d1=x2+t·d1−b2 d2=⇒ x1·d2−t·d2 2−b1·d2=x2·d1+t·d2 1−b2·d1 , e como (d1, d2) é un vector unitario, tense que t=x1·d2−b1·d2−d1·x2+b2·d1 . En consecuencia a intersección entre ámbalas dúas rectas é o punto β(x1·d2−b1·d2−d1·x2+b2·d1) = (x1, x2)+(x1·d2−b1·d2−d1·x2+b2·d1)·(−d2, d1) . Polo tanto a distancia entre (x1, x2) e W é x1·d2−b1·d2−d1·x2+b2·d1 . Logo xa temos que a traslación de (x1, x2) na dirección do vector normal a W cun módulo equivalente ao dobre da distancia entre (x1, x2) e W é (x1, x2)+ (−d2, d1)·2·(x1d2−b1d2−x2d1+b2d1) . Vemos na seguinte ilustración un exemplo de simetría axial dun triángulo respecto dunha recta. Agora si, estamos en condicións de enunciar e probar o teorema que motiva este tema. Teorema 4.6. Desigualdade isoperimétrica Sexa I un intervalo de R . Sexa α:I→R2 unha curva pechada e simple de lonxitude L . Sexa ∆ o interior de α . Entón tense que: 1. L2≥4·π·A(∆) , tal que A(∆) representa a área que cobre a rexión ∆ . 2. L2= 4 ·π·A(∆) ⇐⇒ a traza de α é unha circunferencia. 29 Demostración. Sexa α:I→R2 unha curva pechada e simple de lonxitude "L". Podemos supoñer sen perda de xeralidade que α está parametrizada polo parámetro lonxitude de arco e que I= [0, L] . Designemos o interior de α como ∆ . Supoñamos que α non é convexa =⇒ o interior de α é unha rexión de R2 non convexa =⇒∃p, q ∈Fr(∆) tal que o segmento de recta que une p e q está contido en { R2 \ ∆ }. Seleccionamos t1, t2∈[0, L] tal que α(t1) = p , α(t2) = q . Podemos agora considerar a nova curva β: [0, L]→R2 denida como β(t) = α(t)∀t∈[0, t1]S[t2, L] e β(t) = S1(α(t)) ∀t∈[t1, t2] , onde S1 é a aplicación simetría axial sobre a recta que une p e q . Como S1 é unha isometría, tense que as lonxitudes de α e β coinciden. Ademáis, resulta evidente que o interior de β alberga unha área maior que o interior de α . Chegamos así á conclusión de que existe outra curva plana de lonxitude "L"cuxo interior ten unha área maior que a de α . Dito dun xeito máis xeral, para toda curva pechada e non convexa que consideremos, sempre existe outra curva pechada e convexa de igual lonxitude que alberga unha maior área. A seguinte imaxe danos unha intuición xeométrica deste feito. Supoñamos outra vez que α: [0, L]→R2 é unha curva pechada e simple de lonxitude "L", non obstante, desta vez supoñamos que α é tamén convexa. Seleccionemos dous puntos da traza de α , r e s , tal que a lonxitude de α entre r e s sexa L 2 . Eses dous puntos fraccionan α en dous segmentos de curva, γ e δ , ambos de lonxitude L 2 . Consideremos a recta que pasa por r e s , e denotémola por W . Como xa vimos que α é necesariamente convexa, podemos repetir argumentos que xa usamos na proba do Teorema dos catro vértices para deducir que γ e δ están contidos cada un a un lado da recta W . Polo tanto a recta W divide o interior de α , ∆ , en dúas rexións disxuntas de R2 , ∆1 (a asociada a γ ) e ∆2 (a asociada a δ ) tal que A(∆) = A(∆1) + A(∆2) . 36 CAPÍTULO 5. A FÓRMULA DE CAUCHY-CROFTON Bibliografía [1] M.P. do Carmo. Geometría diferencial de curvas y supercies . Prentice-Hall, Inc. USA, 1976. Edición castelá: Alianza Editorial, S.A., Madrid, 1990. [2] H.W. Guggenheimer. Dierential Geometry . Dover publications Inc. New York, 1977. [3] M.A. Hernández e J.A. Pastor. Un curso de Geometría Diferencial . CSIC. Madrid, 2010. [4] P.J. Herrero. La Gaceta de la RSME, Vol 15, Núm 2, Págs. 335-354 . 2012 [5] P.R. Rodrigues. Introdução às curvas e superfícies . Editora da Universidade Federal Fluminense. Niterói, 2001. [6] L.A. Santaló. Introduction to Integral Geometry . Hermann, Paris, 1953. [7] P. Ventura. Geometría diferencial . Instituto de Matemática pura e aplicada. Río de Janeiro, 1998. 37