Hilbert y la axiomatización de los Elementos de Euclides

Trabajo Fin de Grado Hilbert y la axiomatización de los Elementos de Euclides Pablo Álvarez González 2020/2021 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRADO DE MATEMÁTICAS Trabajo Fin de Grado Hilbert y la axiomatización de los Elementos de Euclides Pablo Álvarez González Julio, 2021 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii iv Trabajo propuesto Área de Conocimiento: Álgebra Título: Hilbert y la axiomatización de los Elementos de Euclides Breve descripción del contenido La geometría desarrollada por Euclides, en los Elementos , fue el modelo de cómo se contaron las matemáticas durante más de dos milenios. A lo largo del siglo XIX destacan tres hechos en el ámbito de las matemáticas: se jó lo que podemos llamar la versión denitiva del original, surgieron nuevas geometrías en la discusión del 5 o postulado y también la lógica aristotélica fue matematizada. En 1899, Hilbert presentó lo que se considera la primera versión de la geometría de Euclides verdaderamente axiomática en el sentido de que en ella no hay apelaciones escondidas a la intuición espacial. Este trabajo de Hilbert contribuyó a un conocimiento más hondo de la relación entre geometría y estructuras algebraicas. Además, tal como el propio Hilbert señala en el prólogo, impulsó una forma nueva y axiomática de hacer matemáticas en el siglo XX. Este trabajo consistirá en un estudio de la axiomatización de Hilbert, el contexto histórico y de las repercusiones en las matemáticas de los siguientes años. Recomendaciones Otras observaciones Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Contextualización 1 1.1. Sobre la vida de David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. La geometría hasta los Grundlagen ....................... 6 2. El sistema axiomático 25 2.1. Introducción.................................... 25 2.2. Características del sistema axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Elementos de un sistema axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2. Propiedades de los sistemas axiomáticos . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. El método axiomático en Euclides y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Fundamentos de la geometría 37 3.1. Los cinco grupos de axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1. Introducción ............................... 37 3.1.2. Axiomasdeenlace ............................ 37 3.1.3. Axiomasdeorden ............................ 39 3.1.4. Axiomas de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.5. Axioma de las paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.6. Axiomas de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Consistencia e independencia de los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4. Repercusiones en la matemática posterior 49 Bibliografía 53 v Resumen Este trabajo aborda el método axiomático formal de David Hilbert, desde una primera manifestación en su obra Grundlagen der Geometrie , hasta una evolución más formal y cercana a la lógica. El objetivo que se pretende es transmitir la importancia de esta obra en sí misma, de las circunstancias que condujeron a su elaboración y de las consecuencias en la matemática y la ciencia posterior. En el trabajo se incluyen, en primer lugar, algunos datos biográcos sobre Hilbert y un repaso histórico de la evolución de la geometría desde su origen hasta su transformación en un corpus axiomatizado, rme y sólido, con Hilbert. Se intenta, además, resaltar la importancia de Euclides como autor del primer sistema axiomático completo: los Elementos , punto de partida para la creación de los Grundlagen . Así mismo, se examina el concepto general de sistema axiomático moderno, sus elementos y propiedades y se muestran algunas diferencias entre la axiomática de las obras de Euclides y Hilbert. La última parte está dedicada solo a los Grundlagen . En ella se tratan sus cinco grupos de axiomas, la no contradicción e independencia de los mismos y la importancia y repercusión de la obra en una nueva forma de hacer matemáticas. Palabras clave: Fundamentos, geometría, sistema axiomático, rigor, lógica matemática. 4 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN En 1900, Hilbert, ya consagrado como un gran matemático, es invitado al Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París, en el que da una conferencia. En el congreso anterior, en 1897, la conferencia de Poincaré había tratado de la relación entre la física y el análisis. Hilbert, en cambio, preere centrarse en las matemáticas y expone una lista de 23 problemas 7 fundamentales abiertos de naturaleza muy diversa que tocan todos los ámbitos de las matemáticas de la época. Su propósito era que al intentar resolverlos correctamente se promoviera el trabajo y la investigación matemática. Hilbert pensaba que estos 23 problemas marcarían la evolución de las matemáticas a lo largo del siglo XX. En este congreso, Hilbert, junto a la exposición de sus problemas, expresa su rme creencia en que todo problema matemático tiene solución, recogido en [30, p. XVII]: Esta capacidad de resolver cualquier problema matemático es un fuerte incentivo para nuestro trabajo. Oímos siempre resonar en nosotros el siguiente llamamiento: Este es el problema, busca su solución. La puedes encontrar con el pensamiento puro, ya que en Matemáticas no existe Ignorabimus. Estos problemas, de hecho, han estimulado la investigación matemática, aunque no todos han sido resueltos. En 1902, le ofrecen la cátedra vacante en la Universidad de Berlín tras el fallecimiento de Fuchs. Este hecho no agrada a compañeros y estudiantes de la Universidad que le piden que no se vaya. Hilbert ve en esto una ocasión para conseguir una cátedra para su amigo Minkowski a quien deseaba tener cerca, como se cuenta en [3, pp. 18-19]. Entre 1904 y 1912, centra su estudio en los grandes problemas del análisis y establece la solución general al Problema de Waring . También estudia el cálculo de variaciones abriendo una vía nueva: el método directo, con el que demuestra el Principio de Dirichlet . Hilbert prueba que el principio de Dirichlet es válido en un trabajo de apenas cinco páginas utilizando ciertas hipótesis sobre la curva frontera. Además de esto, Hilbert también se ocupa del estudio de las ecuaciones integrales introduciendo un espacio vectorial de dimensión innita, conocido como espacio de Hilbert , muy útil para generalizar y claricar el concepto de series de Fourier, así como para ampliar el campo del álgebra y cálculo de vectores. A partir de 1912, el trabajo de Hilbert da un nuevo giro y comienza a interesarse por los problemas de la física teórica tan en boga en aquellos años, relacionados con la física cuántica y la mecánica relativística . Lo que Hilbert se propone al estudiar la física es encontrar sus principios básicos y realizar una presentación axiomática de la misma. Como nos recuerda Bombal (2013): el problema número seis de su famosa lista de París planteaba la cuestión de la axiomatización de las teorías físicas (...) Este interés de Hilbert por la física 7 De [3], de los 23 problemas, expone solo 10 de manera oral por falta de tiempo e incluye el resto en el texto completo que más tarde publicaría, Mathematische Probleme. 1.1. SOBRE LA VIDA DE DAVID HILBERT 5 es absolutamente coherente con su trayectoria cientíca. En 1915, asiste a un seminario de Einstein y, después de haber trabajado en competencia amistosa con él, publica dos artículos 8 en la Sociedad Cientíca de Göttingen sobre los fundamentos de la física, en los que establece las ecuaciones del campo gravitatorio, con lo que dotaba de formulación matemática a las grandes ideas de aquel cientíco. Algo que para él era una aportación más en su línea de trabajo, para Einstein era muy esencial. En la década de 1920, Hilbert se vuelve a centrar en las matemáticas. La crisis de fundamentos surgida a principios del siglo XX hacía pensar que las matemáticas no eran infalibles, ya que habían surgido paradojas e inconsistencias. Hilbert intenta buscar una solución a este problema y para ello lleva a cabo su conocido programa con el que fundará el formalismo matemático. Con su programa, Hilbert se propone, apoyándose en las teorías existentes, establecer los fundamentos de la matemática clásica igual que lo había hecho con la geometría. Lo que pretendía era la formalización de toda ella en forma axiomática y demostrar la validez de dicha axiomatización utilizando el llamado razonamiento nitista. Aunque este programa progresará durante la década de los veinte con contribuciones de guras como John von Neumann, Herbrand o Bernays, en 1931 Gödel con sus teoremas de incompletitud 9 probará que nunca podrá ser realizado en su totalidad. Dichos teoremas demostraban que aunque hay armaciones matemáticas que pueden ser verdaderas nunca podrán ser probadas, algo contrario al pensamiento de Hilbert. En 1930, Hilbert se retira de la investigación y de la enseñanza y la ciudad de Königsberg le concede el título de ciudadano honorario. Su actividad se centra entonces en continuar como coeditor del periódico Mathematische Annalen , hasta 1939. En 1939, comparte el premio Mittag-Leer otorgado por la Real Academia Sueca, con Émile Picard. Hilbert pasa los últimos años de su vida en la Alemania nazi, sufriendo la tragedia que este régimen supuso tanto para muchos de sus compañeros y antiguos alumnos como para la Universidad de Göttingen, en la que había enseñado durante tantos años. Hilbert fue una persona llena de entusiasmo por la vida y por la ciencia, con una original forma tanto de aprender e investigar, como de enseñar. Según se arma en [4], tenía en su cabeza prácticamente todo el conocimiento de la época y siempre conó en el poder de las matemáticas. Para Hilbert no existía el no conocer, como expresó con su famosa frase que hoy constituye su epitao: Wir müssen wissen, wir werden wissen, esto es, Debemos saber, sabremos. 8 El primero de ellos bajo el título de Die Grundlagen der Physik (Erste Mitteilung) y la segunda parte publicada poco después Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung). 9 Gödel exponía sus resultados en el famoso artículo Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I ( Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados ). 6 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN 1.2. La geometría hasta los Grundlagen Aunque no todos los historiadores coinciden en dónde y cuándo se inicia la geometría, una de las conclusiones más extendidas es que esta disciplina surgió en las antiguas civilizaciones de Egipto, Mesopotamia, China e India hace más de 4000 años. En sus comienzos, la geometría tenía un carácter meramente observacional, estaba ligada a la resolución de problemas prácticos y cotidianos de todo tipo, así como para llevar a cabo grandes construcciones como templos o pirámides. Los conocimientos de estas primeras civilizaciones quedaron plasmados en tablillas de barro en el caso de los babilonios y, en papiros, en el de los egipcios. A través de las tablillas babilónicas se ha podido saber que esta civilización tenía amplios conocimientos sobre el cálculo de áreas, perímetros y volúmenes y también sobre otras áreas de las matemáticas pero que nunca se plantearon ningún tipo de demostración matemática. Por ejemplo, en la tablilla sumeria Plimpton 322 , datada hacia el 1800 a. C., aparece en escritura cuneiforme y sistema sexagesimal, una lista de las hoy conocidas como ternas pitagóricas y que según los investigadores Daniel Manseld y Norman Wildberger podría tratarse de la tabla trigonométrica más antigua del mundo. Esto demostraba que los babilonios ya eran conocedores del teorema de Pitágoras mucho antes que los griegos 10 . Respecto a los egipcios, su geometría estaba ligada a los problemas de construcción, de contar y de medir. Se sabe que aunque no eran conocedores del caso general del teorema de Pitágoras , utilizaron sistemáticamente el llamado triángulo sagrado en sus construcciones, especialmente en pirámides y templos 11 . Se trataba de un triángulo cuyos lados estaban en la proporción 3:4:5 , proporción a partir de la cual obtenían ángulos rectos mediante nudos intercalados en una cuerda. Una prueba de los conocimientos matemáticos egipcios la constituyen los papiros conocidos como Papiro Rhind y Papiro de Moscú. El Papiro Rhind 12 muestra que los egipcios calculaban áreas de rectángulos y triángulos rectángulos. También, como cuenta Murillo en [24], este papiro presenta pruebas de que tenían conocimientos sobre el volumen de prismas y cilindros y de que estudiaron las relaciones entre los polígonos y sus lados y entre el círculo y el cuadrado. 10 Daniel F. Manseld, N.J. Wildberger. (2017). Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry . Historia Mathematica, Vol. 44, 395-419. 11 Martínez, A. (2001) El diseño de pirámides basadas en el triángulo sagrado egipcio. Boletín de la Asociación Española de Egiptología , N o 11, págs. 7-20. 12 El Papiro Rhind se encuentra en el Museo Británico de Londres y su autor fue un escriba llamado Ahmes, nombre por el cual también es conocido. 1.2. LA GEOMETRÍA HASTA LOS GRUNDLAGEN 7 Por su parte, el Papiro de Moscú 13 consta de 25 problemas, entre los que sobresalen dos de ellos por su complejidad: el problema 14, relativo al cálculo del volumen de una pirámide truncada, y el problema 10, sobre el área de una supercie parecida a un cesto. En Egipto, Babilonia y otros pueblos que existieron antes de la aparición de la civilización griega no aparece nada similar a lo que hoy llamamos teoría, es decir, un conjunto de enunciados coherentes y sistematizados acerca de determinadas entidades. Será a comienzos del siglo VI a. C. cuando se produzca un cambio revolucionario en la concepción de la ciencia en general, coincidiendo con la llegada al mundo griego de prácticamente la totalidad del saber de las culturas primitivas. La civilización griega ya existía siglos antes del año 600 a. C. y hacia este año no solo ocupan la península de Grecia, sino también la costa de Asia menor y varias regiones del sur de Italia. En estos lugares no existía una unidad política y sus habitantes vivían en ciudades-estado independientes. Precisamente será en Jonia, una de estas ciudades, donde surgen gracias al contacto comercial permanente con Egipto y Babilonia, las primeras manifestaciones de la ciencia griega, como arma Martín Merino en [22]. No cabe duda de que los conocimientos matemáticos desarrollados en el mundo griego tuvieron rmes raíces en sus vecinos del Cercano Oriente. Uno de los eslabones más importantes en la transmisión de este saber primitivo a Grecia fue el mercader, lósofo y matemático Tales de Mileto (ca. 625-546 a. C.), conocido como uno de los Siete Sabios de esta civilización. Aunque no ha dejado ningún testimonio escrito conocido, es muy probable que su trabajo haya quedado registrado en los Elementos de Euclides; lo que si está claro es que su gura, un tanto legendaria, simboliza la aparición de la ciencia y la losofía modernas en el marco de esta singular cultura (Klimovsky y Boido, 2005). Con Tales, se pasó del mero conocer práctico e inductivo a las preguntas del porqué del mismo, y de las aplicaciones utilitarias a la indagación sobre las propiedades abstractas de los objetos y a la demostración lógico-deductiva de su verdad. A Tales se le atribuye la demostración de resultados elementales 14 de la geometría que más tarde se reelaborarán de manera sistemática; por citar algunos, demostró que el diámetro dividía al círculo en dos partes iguales y que el ángulo inscrito en una semicircunferencia era recto. Después de Tales, otros lósofos y matemáticos hicieron sus aportaciones a la geometría. Sin embargo, una de las pocas obras completas conservadas hasta la publicación de los Elementos de Euclides fue La esfera en movimiento , de Autólico de Pitane (ca. 360-290 a. C.). El conocimiento sobre estos autores y sobre su contribución solo ha sido posible a través de obras posteriores en las que aparecían datos, a veces confusos, sobre los mismos. Pitágoras de Samos (ca. 582-500 a. C.) fue una de las principales guras de este grupo, 13 El Papiro de Moscú se encuentra en el Museo Pushkin de Moscú, fue escrito en hierático hacia el año 1890 a. C. por un escriba desconocido. 14 Una lista más amplia de los problemas que resuelve Tales de Mileto viene detallada en [5, p. 8]. 8 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN aunque más bien se debería hablar de la Escuela Pitagórica, ya que no se sabe a ciencia cierta si las aportaciones que se le atribuyen fueron todas de su autoría o de sus discípulos. Como viene recogido en [12], Proclo cuenta que lo más destacable de esta escuela era que le había dado a la geometría un carácter esencialmente teórico, abstracto e intelectual, superando el empirismo de las anteriores culturas. La demostración se convierte en una parte fundamental de sus estudios, y se les considera los primeros en utilizar la deducción lógica en la matemática. En particular, este tipo de demostración será la que permita el descubrimiento en esta escuela de los inconmensurables, al estudiar la relación entre un lado y la diagonal de un cuadrado o un pentágono. Los pitagóricos, además de su famoso teorema, introdujeron nociones de álgebra geométrica y muchas fuentes les atribuyen la construcción del tetraedro, el cubo y el dodecaedro. Después de Pitágoras, y hasta los Elementos de Euclides, continúan las contribuciones a la geometría con nombres como el de Parménides de Elea, el primero en considerar la esfericidad de la Tierra; Zenón, con su método de reducción al absurdo; Hipias de Élide, el primero en diseñar las curvas trisectrices y cuadratrices; Hipócrates de Quíos, autor de unos Elementos de geometría siglo y medio antes que Euclides; o Demócrito, que consiguió descomponer un prisma recto de base triangular en tres pirámides de volumen equivalente. El mayor impulso de la geometría, no obstante, tendrá lugar a partir de la creación de la Academia platónica en Atenas, alrededor del año 387 a. C., en la que Platón le concede a esta disciplina un lugar primordial 15 . Platón, a pesar de que su principal ocupación fue la losofía, mostró siempre un interés especial en el estudio e investigación de la matemática, en particular de la geometría, y su inuencia fue enorme en el desarrollo de toda la matemática posterior. Según Proclo, Platón y los matemáticos de su Academia fueron los primeros en sistematizar las reglas de la deducción rigurosa y en llevar a cabo una ordenación lógica de los teoremas, iniciando con ello un proceso de estructuración deductiva que culmina poco después con la obra de Euclides. De acuerdo con lo que escribe Proclo en su Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides y como viene recogido en [13], la enorme labor de los platónicos fue incesante y no tuvo precedentes: Ampliaron de forma considerable el acervo matemático, claricaron algunas deniciones, reorganizaron las hipótesis de partida, rehicieron muchas demostraciones, generalizaron numerosos teoremas, resolvieron una gran cantidad de problemas pendientes. Así mismo, trabajaron en la resolución con regla y compás de los tres grandes problemas de la antigüedad. Cabe mencionar el nombre de dos guras fundamentales como son Teeteto (ca. 415-369 a. C.) y Eudoxo (ca. 408-355 a. C.), a quienes se les debe gran 15 En el frontispicio de su Academia aparecía la frase “AΓEΩMET P HT OΣMH∆EIΣEIΣIT Ω  (Aquí no entra nadie que no sepa geometría). 1.2. LA GEOMETRÍA HASTA LOS GRUNDLAGEN 9 parte de la estructura y contenido de la obra de Euclides. Otro de los alumnos destacados de la academia platónica, fue Aristóteles (ca. 384-322 a. C.), que fundará su academia en Atenas, el Liceo. Sin embargo, Aristóteles no es totalmente el a la doctrina de Platón y elabora su propio pensamiento. Una de las principales discrepancias es precisamente su concepción del conocimiento al que vincula estrechamente, al contrario que Platón, con el mundo sensible de los objetos materiales. Sin negar su carácter abstracto, las entidades matemáticas aristotélicas están ligadas a la experiencia. Una de las mayores aportaciones de Aristóteles en la historia de la matemática fue haber teorizado las reglas deductivas con lo cual estableció (...) las bases sobre las cuales se ordena y se erige una ciencia deductiva (Rey Pastor y Babini, 1985). Los griegos, y en particular Platón y sus discípulos, ya habían descubierto el valor del razonamiento deductivo en el que la verdad de las premisas aseguraba la verdad de las conclusiones, pero será Aristóteles el primero en proponerlo como la mejor forma de organización y justicación de las teorías cientícas, no sin antes resolver el problema que presentaba el proceso de circularidad y el de regresión al innito de tales premisas 16 . Entre otras cosas, Aristóteles introduce en su método el concepto de enunciado evidente , hoy denominado axioma, que por su naturaleza no necesitaba demostración y que servía como punto de partida para realizar los razonamientos lógicos, asegurando la veracidad de las conclusiones y el uso correcto de las premisas. Este modelo de Aristóteles se lleva a la práctica por primera vez en la recopilación que Euclides de Alejandría (ca. 325-265 a. C.) hace del conocimiento geométrico existente hasta su época en su obra Elementos . Esta obra se convertirá en el texto sobre geometría aceptado y estudiado como verdad única y universal durante más de 2000 años. Euclides, conocido como el padre de la geometría, construye siguiendo las directrices del modelo aristotélico un extenso tratado compuesto por trece libros en los que, con alguna aportación original, los conocimientos de sus predecesores y el uso de las reglas lógicas, lleva a cabo una impresionante obra de organización y sistematización que será el modelo a seguir por una gran cantidad de matemáticos y otros importantes personajes de la ciencia en general. La obra euclidiana destaca especialmente por su claridad y rigor en la aplicación de su método sintético deductivo, a pesar de algunos fallos descubiertos posteriormente en los enunciados debidos al cambio de paradigma en el rigor que supuso el paso del tiempo. Así mismo, es indudable el valor de la habilidad con la que, a partir de unas pocas deniciones, axiomas, postulados y un razonamiento lógico va demostrando los teoremas, que a su vez 16 Su obra Órganon constituye el primer tratado sistemático de las leyes del razonamiento deductivo en su intento de establecer la lógica como ciencia. 10 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN le sirven para demostrar otros teoremas. Albert Einstein alababa así esta habilidad: Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento (P. A. Schilpp. Sketch autobiográco sobre A. Einstein. Philosopher-Scientist, 1951). Pero no fue Einstein el único en darse cuenta de la magnitud del talento de Euclides, otros muchos lo hicieron, incluyendo a aquellos que descubrieron algunos errores lógicos y lagunas en su contenido. La intención de estos no fue nunca menoscabar el gran mérito de la obra ni del personaje sino adaptarlos a las exigencias que los nuevos tiempos imponían. La revisión de los Elementos y el empeño por hacer de ellos una obra perfecta y completa dio realmente su fruto, pues no solo dio lugar a nuevas geometrías a manos de guras como Lobachevski, Bolyai o Riemann, sino también a una nueva renovación e interpretación del sistema axiomático, cuyo principal protagonista, el alemán David Hilbert, mostraba al mundo en su brillante obra Fundamentos de la geometría . Después de Euclides, sigue en vigencia su método, aunque algunos matemáticos como Arquímedes y Apolonio introdujeron otros nuevos. Arquímedes de Samos (ca. 287-212 a. C.) en su trabajo le da una gran importancia al cálculo y a la medida 17 . Su método fue fundamentalmente geométrico, y la reducción al absurdo y el método exhaustivo aparecen constantemente en sus obras. Entre sus estas destacan De la esfera y el cilindro , en la que realiza un estudio de los mismos; Sobre la medida del círculo , donde presenta una cuadratura del círculo mediante su método de exhaución y aproxima el número π dando una cota inferior 223/71 y superior de 22/7; o De las espirales , donde analiza curvas y sus elementos más representativos e inventa su famosa espiral en su intento de trisecar el ángulo y cuadrar el círculo 18 . Por su parte, Apolonio de Perga (ca. 262-190 a. C.) realizó importantes trabajos sobre secciones cónicas y curvas planas, así como sobre las cuadraturas de sus áreas y dio forma a términos como elipse, parábola e hipérbola en su obra Secciones cónicas . El peso de las obras de Euclides, Arquímedes y Apolonio en la geometría fue tan grande que durante el Imperio romano y el Medievo no se producen avances signicativos en esta disciplina hasta que se tiene lugar un hecho que cambiará el rumbo de la matemática: la publicación, en 1637, del Discurso del método , en el que René Descartes (1596-1650) formaliza lo que hoy llamamos método cientíco. En él, Descartes establece una conexión entre esta y el álgebra mediante la utilización de los métodos de una disciplina en la otra. De esta forma, Descartes conseguía, por un lado, la representación de las guras geométricas mediante expresiones algebraicas y, por otro, la resolución de forma sencilla y general de problemas algebraicos complicados valiéndose de coordenadas que asociaban puntos del 17 Arquímedes y la Medida del Círculo . Recuperado de (https://fundacionorotava.org/). 18 Arquímedes. Recuperado de (http://enebro.pntic.mec.es/). 1.2. LA GEOMETRÍA HASTA LOS GRUNDLAGEN 11 plano y del espacio con pares y ternas de números, respectivamente. El nuevo método atribuido a Descartes, pero ya utilizado anteriormente por Fermat (1601- 1665) y subyacente en la reproducción de los Elementos de Regiomontano (1450), daba lugar a la geometría analítica. Esta nueva geometría comenzó a despertar un gran interés en el mundo matemático y llegó a imponerse durante más de 150 años, consiguiendo numerosos e importantes resultados y una basta producción matemática. Cabe destacar aportaciones como las de Jacob Bernoulli en su estudio de la espiral logarítmica, Maclaurin con sus resultados sobre cúbicas, cónicas y curvas algebraicas y Euler con las ecuaciones generales del cilindro, del cono y de las supercies de revolución. En 1768, Monge presenta el resultado de sus investigaciones sobre las ecuaciones del cono de revolución utilizando fórmulas de la trigonometría esférica, y posteriormente encuentra la ecuación del plano normal a una curva en un punto dado. En el tratamiento de estos dos problemas, Monge tuvo que enfrentarse a dos cuestiones relacionadas con planos y rectas que no habían sido estudiadas hasta el momento y que hoy día forman parte de la geometría analítica. Como expresa Joaquim Berenguer (2016) en [2], Monge se dio cuenta de que, para resolver problemas más complejos, era necesario primero dar solución a dichas cuestiones. En su libro Feuilles d'analyse appliquée á la géométrie publicado en 1795 trata de forma sistemática los problemas de planos y rectas. La obra constituye un compendio del trabajo de Monge sobre geometría analítica y diferencial. En 1827, Möbius introduce las coordenadas baricéntricas, precursoras de las coordenadas homogéneas y Plücker, poco después publica un tratado sobre geometría analítica bajo el nombre de Analytisch-geometrische Entwickelungen ( El desarrollo de la geometría analítica ), en el que, como arman Rey Pastor y Babini (1985) en [27], se consolida el concepto de coordenada homogénea. El matemático inglés Arthur Cayley será otra de las guras claves en el desarrollo de la geometría analítica con contribuciones como la geometría de n dimensiones, el desarrollo de la teoría de invariantes y sus teorías sobre curvas y supercies y sobre funciones elípticas. Sin embargo, la geometría analítica no fue la única geometría que se gestó en el siglo XVII. El interés que había surgido en el siglo XV por el misticismo griego y la divina proporción había vinculado estrechamente la geometría y el arte al convertirse la proyección, la proporción, la perspectiva y el punto de fuga en los principales protagonistas de este último. Siguiendo esta tendencia, el matemático francés Girard Desargues (1591-1661) centró sus investigaciones en el estudio de las propiedades que se conservan en la proyección de las guras. Su teorema sobre los puntos de intersección de los lados correspondientes de dos triángulos en perspectiva, junto con el dado por Blaise Pascal (1623-1662) sobre los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica, constituyeron una gran aportación a la geometría proyectiva. No obstante, sus métodos y descubrimientos 12 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN no lograron captar la atención de los matemáticos de la época debido a una terminología que resultaba extraña y al éxito que estaba teniendo la geometría analítica. Por este motivo, la geometría de la proyección se mantuvo en la sombra mientras la analítica acumulaba importantes resultados. Solo será a nales del siglo XVIII cuando muchos matemáticos comiencen a cuestionarse las técnicas analíticas, al pensar que sus resultados ocultaban el signicado geométrico. Michel Chasles (1793-1880), partidario del método sintético o puro en la geometría que defendía el estudio de las guras geométricas sin recurrir a las fórmulas, expresaba el problema de esta manera: ¾Es entonces suciente en un estudio losóco y básico de una ciencia saber si algo es verdadero si uno no sabe por qué es así y qué lugar debería ocupar en la serie de verdades a las que pertenece? 19 Esta desconanza hacia el método analítico hace resurgir de nuevo el interés por la geometría de Pascal y Desargues, sobre la que ya existían algunos teoremas en los trabajos de Euclides, Apolonio y Pappus, aunque por supuesto no reconocidos como tales en su época. Uno de los principales protagonistas en la recuperación de la geometría proyectiva fue Gaspard Monge (1746-1818), creador de la geometría descriptiva. En su obra Traité de géometrie descriptive (1799) establece las propiedades de los objetos tridimensionales a partir del estudio de las de sus proyecciones en el plano utilizando exclusivamente el método geométrico puro. La inuencia de esta obra fue decisiva en el desarrollo de esta disciplina. Numerosos matemáticos se implicaron en el estudio de esta, en particular algunos de sus alumnos de la Escuela Politécnica de París. Entre estos, cabe mencionar a Lazare Carnot (1753-1823), a Charles Brianchon (1785-1823) y Victor Poncelet (1788-1867). La obra de este último fue fundamental para el futuro desarrollo de la geometría proyectiva. En ella, al igual que Monge, utiliza técnicas puramente geométricas y expone de forma sistemática el contenido de esta disciplina. En ella menciona conceptos tan importantes como los de homografía, homología, puntos, rectas y planos del innito, polo y polar o el principio de dualidad. Otros matemáticos seguirán los pasos de Poncelet. En Francia, Chasles escribía su Traité de géométrie supérieure (1851). En Alemania, Karl von Staudt (1798-1867) exponía la geometría proyectiva prescindiendo de toda consideración métrica en su obra Geometrie der Lage (1847). Este autor le daba un gran impulso a la geometría proyectiva al convertirla en una disciplina autónoma sin usar la métrica. La forma en que consigue esto es, principalmente, mediante la sustitución de la noción de razón doble por la de cuaterna armónica 20 , concepto que podía denirse utilizando solo técnicas proyectivas puras. A su 19 Citado en (Giovannini 2015, volumen 8, p. 32). 20 La denición de von Staudt de la cuaterna armónica se basa en la construcción del cuadrilátero completo, que permite construir, dados tres puntos sobre una línea, el cuatro armónico sólo mediante uniones de puntos e intersecciones de rectas. (Giovannini 2015, volumen 8, p. 39) 1.2. LA GEOMETRÍA HASTA LOS GRUNDLAGEN 13 vez, von Staudt servirá de modelo a Theodor Reye (1838-1919) en su obra Die Geometrie der Lage ( Geometría de posición ) (1876), utilizada a su vez por David Hilbert en la elaboración de su curso sobre geometría proyectiva. Precisamente, uno de los objetivos de este matemático era lograr en el tratamiento axiomático de los fundamentos de la geometría euclidiana el mismo éxito que von Staudt había conseguido en su tratamiento de la geometría de la proyección. También en Alemania, Jakob Steiner (1796-1863), en la misma línea que von Staudt, mostraba en su trabajo Systematische Entwickelungen ( Desarrollo sistemático ) (1832) un método de exposición sin recurrir a guras geométricas o diagramas para exponer los diferentes conceptos y propiedades proyectivas. Pero no solo son estas dos geometrías el centro del pensamiento matemático a partir del resurgimiento de la geometría en el Renacimiento. Los tres problemas clásicos de la regla y el compás pendientes de resolver 21 y las dudas generadas ya desde antiguo acerca de la autenticidad del quinto postulado de Euclides continuaban vigentes en esta época y compartieron protagonismo con las otras dos geometrías. Además, comienza a surgir una preocupación por la fundamentación lógica de la ciencia en general, y de las matemáticas en particular. Serán precisamente estos factores los que contribuyan a la aparición de nuevos tipos de geometrías y de una nueva forma de entender las matemáticas, como sucederá a partir del siglo XIX con el surgimiento de las geometrías no euclidianas y el método axiomático formal. Uno de los problemas que causó mayores quebraderos de cabeza a los geómetras de la época fue el quinto postulado de la obra euclidiana. Su mayor extensión y complejidad respecto a los demás y su aparente carencia de evidencia parecían asemejarle más a un teorema que a un verdadero postulado. El propio Euclides debía de haber sido consciente de la dicultad de su asunción en tanto que solo había recurrido directamente a él en la demostración de la Proposición 29 de su Libro I y no la había utilizado en proposiciones anteriores, cuya demostración habría resultado mucho más sencilla con su uso. Las dudas sobre el verdadero carácter del postulado no tardarían en aparecer entre los mismos griegos y los intentos fallidos por descubrirlo se sucederán hasta que en el siglo XIX se resuelva el denominado por d'Alembert escándalo de la geometría. El lósofo griego Posidonio (ca. 135-51 a. C.) había sido uno de los primeros en intentar demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro; su fallo, sin embargo, estaría en que lo había reemplazado por otro equivalente: Dos rectas paralelas son equidistantes, con lo que lo único que conseguía era demostrar uno a partir del otro. Una demostración parecida la llevó a cabo el comentarista y lósofo Proclo, añadiendo en 21 Estos problemas fueron la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo, y debían ser resueltos solo mediante una regla sin marcar y un compás. 20 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN de nuevos tipos de esta disciplina. Para ello, daba una denición formal de esta y muy diferente del concepto de geometría asociado al de Euclides. En su programa, Klein denía la geometría de este modo 27 : Dado un conjunto de cualquier número de dimensiones, y un grupo de transformaciones entre sus elementos, se llama geometría al estudio de las propiedades de aquel conjunto que son invariantes respecto de las transformaciones de este grupo. En esta misma conferencia, exponía también su modelo n -dimensional para mostrar la consistencia relativa de la geometría hipérbolica, que generalizaba el de Beltrami y se basaba en la geometría proyectiva. Klein utilizaba para ello un disco abierto unidad, donde las rectas son las cuerdas de circunferencia que intersecan al disco 28 . Además, Klein caracterizaba todas las geometrías utilizando la noción de grupo, demostraba que las técnicas analíticas y sintéticas daban lugar a las mismas geometrías y las clasicaba después de demostrar que todas constituían casos particulares de la proyectiva. Además de los modelos anteriormente mencionados, el francés Henri Poincaré (1854-1912) aportaba dos modelos de la geometría hiperbólica en dos dimensiones para los que utiliza el interior del disco unidad y el semiplano superior, respectivamente. Una vez demostrada la consistencia relativa de esta geometría, la de Euclides se convertía en un caso particular de la geometría general y dejaba de tener la primacía que se le adjudicado hasta ese momento. Por su parte, la teoría de la relatividad de Einstein, apoyada en las nuevas geometrías, mostraba que la geometría del cosmos no tenía por qué ser euclídea. La aceptación de las extrañas geometrías rompían el vínculo del mundo real físico y la matemática y hacían surgir la idea de que las nociones y teoremas matemáticos tenían validez en sí mismos y debían estar guiados por criterios decididos por los propios matemáticos de acuerdo con el rigor lógico y conceptual 29 . Esto daba lugar a nuevas vías de investigación y a una acumulación enorme de nuevos conocimientos que presentaban problemas, especialmente en el álgebra, la aritmética y la geometría. La dicultad para resolver estos problemas originaban una crisis de desconanza en las matemáticas que exigía una revisión de sus fundamentos y del concepto de rigor. Surgía una nueva concepción del rigor en los métodos axiomáticos que afectaba tanto a los axiomas y a las reglas, como a los procedimientos utilizados. Además, las relaciones se imponían a los contenidos empíricos euclídeos y la verdad pasaba a ser ahora una verdad de tipo lógico, que solo consistía en la coherencia de los enunciados con el sistema en cuestión. La nueva rigurosidad relegaba a un segundo plano al intuicionismo y abría dos vías de 27 Tal y como cita Sánchez Ron en su introducción [30] de (Hilbert 1991). 28 Márquez, J. M. (2016). El plano hiperbólico: historia y fundamentos (Trabajo n de grado). Universidad de Sevilla, Sevilla, España. 29 Anón. s. f. Capítulo I: Las geometría no euclidianas . Recuperado de (http://centroedumatematica.com/cifemat/). 1.2. LA GEOMETRÍA HASTA LOS GRUNDLAGEN 21 investigación en la búsqueda de unas bases sólidas para las matemáticas, ambas con una tendencia a la abstracción y a la generalización pero desde dos puntos de vista diferentes. Por una parte surgía la vía de la lógica matemática que buscaba una relación estrecha entre ambas disciplinas y, por otra, estaba la del formalismo que aspiraba a una matemática libre de contradicciones. En lo referente a la primera, ya en el siglo XVII la lógica aristotélica había experimentado una gran evolución a partir de Leibniz y ahora se producirá en ella una tendencia cada vez mayor hacia el simbolismo y la formalización. En una primera etapa se intentarán solucionar algunos problemas e imprimir rigurosidad en el análisis y en el álgebra procurando un acercamiento entre lógica y matemática. Más tarde, en una segunda etapa, se buscará reducir la matemática a la lógica. Entre los matemáticos destacados en la primera, guran, entre otros, A. Louis Cauchy (1789-1857), que fundamenta el análisis en el concepto de límite; K. Weierstrass (1815-1897), con su estudio de los irracionales, y Georg Cantor (1845-1918), quien desarrolla la teoría de conjuntos . Entre los matemáticos de la segunda etapa, de carácter más logicista cabe mencionar a los británicos De Morgan (1806-1871) y George Boole (1815-1864), los cuales crean nuevas notaciones y lenguajes simbólicos. Por un lado, Boole aplica el cálculo matemático a la lógica en su obra An investigation of the laws of thought y, por otro, De Morgan formula las leyes que llevan su nombre y fundamenta la teoría de la matemática simbólica moderna. Con Charles Sanders Peirce, la matemática y la lógica se acercan aún más. Sin embargo, el mayor acercamiento se producirá con el lósofo y matemático alemán Gottlob Frege (1848- 1925), conocido como el padre de la lógica, de la losofía analítica y del simbolismo lógico. Frege estaba convencido de que tanto las matemáticas como el lenguaje se podían reducir a la lógica, lo que le llevará a desarrollar un programa para investigar los fundamentos lógicos en ambos ámbitos. En su obra 30 elabora el primer sistema de lógica matemática utilizando un lenguaje simbólico, indicando siempre como utilizar las diferentes variables y cuanticadores. En Grundlagen der Arithmetik ( Fundamentos de la aritmética ) (1884) establece los fundamentos losócos de las matemáticas y en Über Sinn und Bedeutung ( Sobre el sentido y la referencia ) (1892) hace lo mismo con los del lenguaje. Otras aportaciones en el mismo sentido las hacían el italiano Giuseppe Peano (1858-1932) con su Formulario Mathematico y Russell y Whitehead, con su trabajo conjunto Principia Mathematica , una obra con la que intentan fundamentar el conocimiento matemático de su época en la lógica. Por su parte la corriente formalista desarrollada paralelamente en la geometría, buscaba mantener la lógica aristotélica, imponer la abstracción y el rigor en el método axiomático 30 Begrisschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens ( Ideograa, un lenguaje formal del pensamiento puro a imitacion de la aritmética ) (1879) 22 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN y liberarlo tanto de lo superuo como de los modelos físicos. Esta tendencia se imponía incluso en la geometría proyectiva, como lo mostraba la obra de von Staudt (1798-1867) Geometrie der Lage , en la que no se utilizaba noción métrica alguna. El primero en elaborar un sistema axiomático formal de la geometría fue Moritz Pasch (1843-1930) en su obra Vorlesungen über neuere Geometrie (1882). Aunque la obra presentaba ciertas imperfecciones y ambigüedades, su modelo será seguido por otros importantes matemáticos como Giuseppe Peano, quien utiliza los mismos axiomas que Pasch aunque reelaborados y en un número más reducido, Giuseppe Veronese, (1854-1917) que desarrolla un sistema bastante complicado o Mario Pieri (1860-1913), quien utiliza solo los términos primitivos punto y movimiento. El intento más importante de axiomatizar la geometría, sin embargo, será el realizado por David Hilbert en sus Grundlagen der Geometrie ( Fundamentos de la geometría ) (1899), una obra con la que se iniciaba una nueva forma de abordar la geometría euclidiana desde una perspectiva formal, que se extenderá posteriormente a otras ramas de la ciencia. El propósito de Hilbert era corregir algunos fallos y carencias del sistema axiomático de Euclides (especialmente, suposiciones implícitas y fallos de rigor) que ya habían sido descubiertos y dotarla de un carácter formal y abstracto haciendo un uso mínimo del simbolismo y de elementos básicos en sus demostraciones. En el sistema que utiliza Hilbert en los Grundlangen los axiomas dejan de ser verdades evidentes para convertirse en construcciones del pensamiento, realizadas libre y arbitrariamente y lo único que resulta lícito suponer de los elementos primitivos es lo expresado en esos axiomas, como él mismo expresa: los elementos tales como el punto, la recta y el plano, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Así mismo, hay que destacar la importancia que Hilbert le da a las relaciones. En una carta escrita a Frege en 1899, durante la polémica surgida entre ambos tras la publicación de los Grundlagen le decía: Cada teoría no es sino un tinglado o esquema de conceptos junto con ciertas relaciones necesarias entre ellos, y sus elementos básicos pueden ser pensados libremente. Por otra parte, como consecuencia del nuevo concepto de axioma, la noción de verdad también resultaba alterada. Ahora, esta verdad en lugar de fundamentarse en la evidencia, simplemente lo hacía en la no contradicción lógica de los enunciados entre sí o con el sistema donde habían sido establecidos. La consecuencia de este nuevo concepto de verdad la cual tenía carácter lógico, abría la posibilidad a que los axiomas válidos para una teoría pudieran no serlo para otra. Aunque Hilbert se limita a presentar su sistema axiomático de la geometría euclidiana sin dar muchas explicaciones de las características del mismo, lo cierto es que tales explicaciones no debieron ser muy necesarias ya que el impacto que la obra causó fue precisamente por la claridad, la sencillez y el rigor con que realiza su exposición. A esto se añadía, lo que 1.2. LA GEOMETRÍA HASTA LOS GRUNDLAGEN 23 comentaba Freudenthal sobre la obra: (...) en el ejemplo profundamente elaborado de una teoría axiomática, como lo son los Grundlagen , hay una fuerza de convicción innitamente mayor que en las exposiciones losócas y programáticas. Después de los Grundlagen , Hilbert se adentrará sin embargo en el campo de la lógica matemática y su formalismo evolucionará hacia una postura más cercana a esta aunque sin caer en el reduccionismo de Frege. Su intención era llevar su método a los demás campos de la matemática y para ello iniciaba un ambicioso programa que se verá truncado, sin embargo, tras la publicación de los famosos teoremas de incompletitud de K. Gödel. 24 CAPÍTULO 1. CONTEXTUALIZACIÓN Capítulo 2 El sistema axiomático 2.1. Introducción En general, se puede decir que un sistema axiomático es una forma de organizar de manera racional los conocimientos relativos a una teoría. Se comienza enunciando unos conceptos básicos y los axiomas esto es, ideas no deducibles de otras ideas en dicho sistema y consiste en derivar de estos, siguiendo el razonamiento lógico deductivo, el resto de proposiciones que componen la teoría en cuestión. De acuerdo con el prólogo que Mario Bunge escribe en el libro [20], son muchos los benecios y virtudes de organizar una rama del conocimiento según el método axiomático, entre los que se encuentran: (...) economía, aceleración de la deducción, facilitación del examen de coherencia lógica, puesta en descubierto de suposiciones, individualización de los conceptos básicos o primitivos (denidores), y búsqueda de fundamentos cada vez más profundos. Es precisamente por estos motivos que el método axiomático tiene un cierto carácter pedagógico y didáctico y cuenta con un amplio rango de aplicación, desde la geometría euclidiana en sus orígenes hasta la física, la economía, la losofía o incluso otras ramas de la matemática a día de hoy. Aunque no se profundice en ello, se debe señalar que en la literatura se suele hablar de sistema sintáctico para referirse a los sistemas axiomáticos en su mayor grado de abstracción, compuestos tan solo por signos, fórmulas (combinaciones de signos) y reglas de transformación que permiten obtener unas fórmulas a partir de otras, cuyas expresiones son ajenas a cualquier tipo de signicación llegando a considerarse una especie de cálculo . De hecho, según Klimovsky y Boido (2005), el sistema axiomático es un caso particular de sistema sintáctico, donde ni términos primitivos ni proposiciones tienen signicación, pero en donde las reglas de transformación no son cualesquiera, sino las reglas deductivas de una lógica formal. 25 26 CAPÍTULO 2. EL SISTEMA AXIOMÁTICO En este capítulo se pretende describir las características de un sistema axiomático moderno, es decir, cómo se plantea, cuál es su estructura... así como explicar las propiedades fundamentales que deben cumplir para ser considerados aceptados. Para ello, las fuentes que se han seguido son [1], [7], [19], [28] y [31]. Por último, se realizará una comparación de los dos sistemas axiomáticos por excelencia para la geometría: el de Euclides y el de Hilbert. 2.2. Características del sistema axiomático 2.2.1. Elementos de un sistema axiomático Un sistema axiomático está compuesto por una serie de términos no denidos o primitivos, deniciones, axiomas, teoremas y demostraciones. Pero antes de profundizar en la descripción de estos elementos, Klimovsky y Boido (2005) arman que es necesario hacer referencia a la lógica subyacente o presupuesta , ya que tanto para deducir los teoremas de los axiomas como para decidir si una expresión ha sido construida correctamente hay que utilizar precisamente la lógica. En cuanto a la lógica subyacente, lo primero es indicar las categorías gramaticales de los términos con los que se trabaja ya que, por ejemplo, punto y recta no se encuentran al mismo nivel que corresponderse mutuamente con, pues aquellos términos son individuos y este se trata de una relación binaria entre aquellos. Además de las categorías, también se deben señalar los operadores lógicos utilizados en las proposiciones, como y, o, todos, algún, entonces... que permiten conectar sentencias. Otro aspecto importante es la morfología, necesaria para distinguir una expresión correctamente formada del discurso de otra que no lo es. Así, las reglas morfológicas son aquellas que deciden qué tipo de expresiones y combinaciones de símbolos son válidas en una sentencia. Por otro lado, no solo se contará con reglas morfológicas, sino que también será importante contar con reglas de deducción o de inferencia lógica, como el modus ponendo ponens o el modus tollendo tollens 1 que permiten obtener unas proposiciones a partir de otras. Un último elemento a considerar en la lógica que subyace al sistema axiomático son las reglas de denición , sin las cuales sería imposible obtener nuevos términos especícos del discurso a partir de los ya dados. Una vez aclarada la lógica que subyace, se pueden describir el resto de elementos presentes en el sistema axiomático. Generalmente, la estructura del sistema axiomático sigue el orden de deniciones, axiomas, 1 El modus ponendo ponens (si P implica Q siendo P verdad, entonces Q también es verdad) y el modus tollendo tollens (si P implica Q , y Q no es cierto, entonces P no es cierto) son ambas reglas de transformación y forman parte de la llamada lógica proposicional. 2.2. CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA AXIOMÁTICO 27 teoremas y demostraciones, aunque no tiene por qué ser siempre así. Por simplicidad, se considerarán como tales las partes principales y el orden en que se organiza una exposición axiomática. La primera parte consta del vocabulario técnico, compuesto por unos términos primitivos , que no se denen y carecen de signicado, y por unos términos denidos mediante las reglas de denición. Algunos ejemplos de estos términos primitivos pueden ser punto y recta en geometría, o conjunto y elemento en otras ramas de la matemática. Lo importante es comenzar con un mínimo número de términos no denidos para, a partir de ellos y de otros denidos previamente, denir otras palabras del vocabulario especíco. La segunda parte de un sistema axiomático está compuesta por una lista de axiomas , esto es, enunciados elegidos arbitrariamente que se aceptan sin necesidad de demostración y que compondrán la base de la que se deducen las demás proposiciones del discurso. Entonces, a partir de ellos y mediante reglas de operación, se pueden deducir lógicamente el resto de propiedades que nos encontramos en el sistema. Todas las suposiciones relevantes tienen que estar establecidas en los axiomas y las únicas propiedades de los términos indenidos que se pueden emplear son aquellas que están explícitamente enunciadas en ellos. Es decir, cualquier otra propiedad que podamos conocer por la intuición o cualquier experiencia previa, por muy intuitiva que sea, no puede ser utilizada en el sistema hasta que no haya sido demostrado que se sigue de los axiomas. Finalmente, la última y generalmente más extensa de las partes de un sistema axiomático consiste en los teoremas y sus demostaciones. Etimológicamente, la palabra theórema 2 proviene del sujo griego - ma (resultado de la acción que indica la palabra que acompaña) añadido al verbo griego theoréo (observar, examinar, inspeccionar, etc.). Así, en un sentido clásico, teorema es el resultado de observar, reexionar y analizar con atención y detenimiento, el resultado de una demostración lógica. Para Klimovsky y Boido (2005) habrá dos concepciones distintas de verdad, la de carácter semántico de Aristótles y la de carácter sintáctico de los sistemas axiomáticos. Lo expresa como sigue: El concepto aristotélico de verdad, dada la alusión semántica que involucra y que por tanto se reere a la verdad o falsedad de proposiciones, no se aplica a las cuasiproposiciones 3 de los sistemas axiomáticos. (...) Si, para los lógicos contemporáneos, sintaxis se reere a las formas de las expresiones, y semántica a su signicado y contenido, en el caso de los sistemas axiomáticos la dimensión sintáctica está presente, aunque no la semnántica. Podemos, en- 2 TEOREMA. Etimologías de Chile - Diccionario que explica el origen de las palabras. Recuperado de (http://etimologias.dechile.net/?teorema). 3 En [19], se emplea el término cuasiproposición para referirse a aquellas expresiones que se construyen de acuerdo con las reglas gramaticales pero que no son auténticas proposiciones, pues carecen de la signicación y el contenido semántico que estas poseen. 28 CAPÍTULO 2. EL SISTEMA AXIOMÁTICO tonces, introducir una noción de verdad sintáctica, de acuerdo con la cual una cuasiproposición es verdadera si y solo si es teorema , o sea, si se puede demostrar a partir de los axiomas. Por último, se debe mencionar que es posible referirse a teorema en términos de proposición, pero también de lema y corolario. Proposición acostumbra utilizarse como sinónimo de teorema aunque suele tener menos importancia que este, dado que teorema normalmente se reserva para los resultados más importantes o que tienen demostraciones más extensas o complejas. En cambio, tanto lema como corolario tienen una connotación ligeramente distinta. Un lema es un teorema que se establece como un paso previo a algún resultado más importante y un corolario es un teorema que puede ser fácil y rápidamente deducido de un teorema previo. En lo referente a la demostración de teoremas, esta se realiza mediante un proceso de encadenamiento lógico a partir de ciertas hipótesis, que conduce a la tesis que se quiere probar. La claridad, precisión y no ambigüedad del lenguaje utilizado en las demostraciones son muy importantes pues guían al lector y facilitan el proceso deductivo. 2.2.2. Propiedades de los sistemas axiomáticos Para poder determinar la bondad de un sistema axiomático, existen ciertas propiedades que pueden vericar. Entre estas principalmente guran la consistencia, la completitud, la saturación, la independencia, la decidibilidad sintáctica y la categoricidad. Si bien todas ellas son propiedades convenientes o deseables, alguna de ellas será incluso indispensable. En lo referente a la primera de estas propiedades, se dice que un sistema axiomático es consistente si no es posible que dentro de él pueda existir un teorema de modo que su negación sea también teorema. En otras palabras, un sistema axiomático que goce de consistencia no poseerá dos teoremas que se contradigan. La siguiente propiedad que puede poseer un sistema de este tipo es la de completitud . Los sistemas axiomáticos completos son aquellos en los que, a partir del conjunto de axiomas, es posible demostrar la verdad o falsedad de cualquier proposición del sistema. En tercer lugar, se encuentra la propiedad de saturación 4 . Un sistema axiomático será saturado siempre que no pueda ser añadido, al conjunto de axiomas establecido, un nuevo axioma que no sea teorema ni lo sea su negación. Es decir, si un sistema no es saturado, 4 En realidad, las propiedades de completitud y saturación se consideran intercambiables. Dada una proposición en un sistema completo, se puede demostrar que ella o su negación es un teorema del mismo, esto es, el sistema es saturado. Recíprocamente, en un sistema saturado no se puede ampliar el conjunto de axiomas y, por tanto, toda proposición o su negación será deducible de dicho conjunto. 2.2. CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA AXIOMÁTICO 29 entonces es susceptible de ampliación, ya que existe un axioma que ni el ni su negación son teorema y que puede añadirse al conjunto de axiomas estipulado. A continuación, se puede plantear qué pasaría al añadir un nuevo axioma a un sistema axiomático saturado: dicho axioma resultaría dependiente de ellos, por lo que se trataría de un teorema y no un axioma. Por lo tanto, relacionada con la propiedad de saturación, aparece la de independencia . Un axioma de un conjunto de axiomas se considera independiente si no se puede deducir de los otros axiomas del conjunto, es decir, si ni él ni su negación son teorema del sistema. Como consecuencia, un sistema axiomático será independiente si y solo si cada uno de sus axiomas es independiente. En cuanto a la decibilidad sintáctica, un sistema axiomático es decidible si existe un método tal que, para cualquier proposición del sistema, puede declarar si se trata de un teorema o no dentro del sistema. Este método puede compararse con un algoritmo que, en un número nito de pasos, es capaz de de decidir si una proposición es realmente un teorema. Finalmente, está la categoricidad . Pero antes hablar de esta propiedad es importante hablar de otro concepto estrechamente ligado a las propiedades de un sistema axiomático: se trata del concepto de interpretación . Según lo dicho antes, el vocabulario de los sistemas axiomáticos posee una categoría gramatical pero carece de signicado, tratándose de una especie de recipiente vacío a la espera de ser rellenado por un contenido semántico. Entonces, una interpretación de un sistema axiomático es una asignación de signicado a los términos primitivos, del cual estaban desprovistos. Una buena forma de enfocar el concepto de interpretación es la que se realiza en [19, p. 125-127], en la que se compara con un diccionario compuesto por dos columnas: la de la izquierda con los términos primitivos del sistema axiomático y la de la derecha con el signicado que se les otorga a cada uno de aquellos. Siguiendo su razonamiento, dicho diccionario convertiría el sistema axiomático en algo tangible, que nos permite hablar del mundo por medio de expresiones que pueden ser verdaderas o falsas, pues pueden existir tanto interpretaciones acertadas e interesantes como otras que no lo sean. No obstante, en un caso o en el otro, el sistema axiomático se trataría de un sistema interpretado, ahora con contenido semántico. Si dicha interpretación hace verdadero un axioma, entonces satisface dicho axioma. De este modo, una interpretación de un sistema axiomático que hace todos sus axiomas verdaderos, se denomina modelo del sistema y, dado que todos los axiomas se cumplen en la interpretación, al mismo tiempo, todos los teoremas que se habían derivado de los axiomas en el sistema axiomático se transformarán en proposiciones igualmente verdaderas en el modelo, ya que para deducir los teoremas a partir de los axiomas en el sistema axiomático original se habían empleado las reglas de la deducción lógica. Así mismo, se dirá que un sistema axiomático es satisfactible si posee al menos un modelo. 36 CAPÍTULO 2. EL SISTEMA AXIOMÁTICO forma de exposición de sus demostraciones recurriendo a la lógica aristotélica del Órganon , contribuyen a darle un cierto tinte formal. Esta idea la expresa B. Levi en [20]: Una de las características de los Elementos (...) es la conducta lógica formal de la exposición, que recuerda la teoría aristotélica del silogismo: sistemática división por proposiciones; en cada proposición, enunciación primero de una tesis en términos generales; luego nueva enunciación aplicada a una gura particular. Finalmente, demostración sobre la gura. La demostración dividida en una serie de conclusiones particulares en cadena y terminando regularmente con la armación: lo que se quería demostrar. Por otra, el formalismo de los Grundlagen se aleja de un formalismo más puro y desarrollado que caracterizará a Hilbert en una etapa posterior. Capítulo 3 Fundamentos de la geometría 3.1. Los cinco grupos de axiomas 3.1.1. Introducción Hilbert establece cinco grupos diferentes de axiomas para la geometría euclidiana y considera tres sistemas distintos de entes. Cada uno de estos sistemas está compuesto, respectivamente, por entes que llama puntos y designa con las letras A, B, C... ; rectas , para las cuales usa las letras a, b, c, ... ; y planos , a los que se reere mediante las letras griegas α, β, γ... . Además, arma que los puntos reciben también el nombre de elementos de la geometría lineal , los puntos y rectas el de elementos de la geometría plana , y los puntos, rectas y planos, el de elementos de la geometría espacial . Las relaciones que entre los entes se expresan con palabras como estar situado, entre, congruente, paralelo o continuo. En el desarrollo del discurso, cuando cree conveniente Hilbert dene conceptos como segmento, semirrayo, curva poligonal, polígono, vértice, ángulo, gura, circunferencia, etc. Los axiomas que expongo a continuación proceden de la traducción al castellano de la séptima edición de los Grundlagen der Geometrie realizada por F. Cebrián en [15]: 3.1.2. Axiomas de enlace El primer grupo de axiomas es el de los axiomas de enlace , que sirven para expresar las relaciones entre puntos, rectas y planos siendo el término que los relaciona corresponderse mutuamente . Este grupo está compuesto por ocho axiomas, de los cuales los tres primeros se reeren a elementos de la geometría plana y se denominan axiomas planos del grupo I , para diferenciarlos de los axiomas espaciales de dicho grupo. 37 38 CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA Axioma 1 (I-1) . Dados dos puntos 1 A, B existe siempre una recta a , que con cada uno de los dos puntos, A, B , se corresponde mutuamente. Se escribe AB =a ó BA =a . Axioma 2 (I-2) . Dados dos puntos distintos A, B no existe más que una recta, la cual con cada uno de los dos puntos A, B , se corresponde mutuamente 2 . Es decir, si AB =a y AC =a , con B6=C , entonces también BC =a . Axioma 3 (I-3) . Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen al menos tres puntos no situados sobre una recta. Axioma 4 (I-4) . Dados tres puntos cualesquiera A, B, C no situados sobre una misma línea recta, existe siempre un plano α que se corresponde mutuamente con cada uno de los tres puntos. En cada plano existe siempre un punto correspondiéndose mutuamente 3 con él. Axioma 5 (I-5) . Dados tres puntos cualesquiera A, B, C no situados en una misma línea recta, no existe más que un plano que se corresponde mutuamente con cada uno de los tres puntos A, B, C . Axioma 6 (I-6) . Cuando dos puntos distintos A, B de una recta a están situados en un plano α , todo punto de a está situado en el plano α . Axioma 7 (I-7) . Si dos planos α, β tienen un punto A común, tendrán, al menos, otro punto común B . Axioma 8 (I-8) . Existen, al menos, cuatro puntos no situados en un plano. Estos dos últimos axiomas indican que el espacio no tiene ni más, ni menos, de tres dimensiones, respectivamente. A partir de los axiomas expuestos en este grupo se deducen teoremas como los siguientes: Teorema 3.1.1. Dos rectas de un plano tienen uno o ningún punto común; dos planos o no tienen punto común o tienen una recta común, sin tener otros puntos comunes; un plano y una recta no situada en él tienen un punto común o ninguno. Teorema 3.1.2. Por una recta y un punto no situado en ella, así como también por dos rectas distintas con un punto en común, pasa siempre uno y solo un plano. 1 Cuando Hilbert escribe dos, tres, ..., puntos, rectas, planos se reere a puntos, rectas, planos distintos. 2 Hilbert nos advierte aquí de la posibilidad de sustituir la expresión corresponderse mutuamente por otras como: a pasa por A y B , a une A con B , A está situado sobre a , A es un punto de a , etc. En el caso de que A se encuentre simultáneamente sobre las rectas a y b se dirá que: las rectas a y b se cortan en A , tienen el punto A en común, etc. 3 En este caso, se podría decir también A está situado en α , A es un punto de α , etc. 3.1. LOS CINCO GRUPOS DE AXIOMAS 39 3.1.3. Axiomas de orden Con estos axiomas, se introduce la relación entre, que permite ordenar los puntos sobre una recta, en un plano y en el espacio. Axioma 9 (II-1) . Cuando un punto B está situado entre un punto A y un punto C ; A, B, C son tres puntos distintos de una recta y B está situado también entre C y A . Axioma 10 (II-2) . Dados dos puntos A y C , existe siempre al menos un punto B sobre la recta AC de tal modo que C está situado entre A y B . Axioma 11 (II-3) . De tres puntos cualesquiera de una recta no existe más que uno situado entre los otros dos. Axioma 12 (II-4) . Son A, B, C tres puntos dados no situados en línea recta y a una recta del plano ABC que no contiene a ninguno de los puntos A, B, C : cuando la recta a pasa por un punto del segmento AB , seguramente pasa también o por un punto del segmento AC o por uno del segmento BC . Tanto en los axiomas de enlace como en los de orden, se observa una notable inuencia de Pasch y su obra Vorlesungen über neuere Geometrie (1882), obra que incluye el que se puede considerar como primer sistema axiomático cerrado de la geometría proyectiva lineal y en la que había recogido alguno de los mencionados axiomas. De hecho, el axioma 12 es también conocido como axioma de Pasch. Como consecuencia de los axiomas de enlace y orden, Hilbert deduce y demuestra teoremas como el siguiente: Teorema 3.1.3. Situado entre dos puntos A y C , existe siempre al menos un punto D en la recta AC . Demostración. Según el axioma 3 existe un punto E fuera de la recta AC , y conforme al axioma 10 existe en AE un punto F , de suerte que E es un punto del segmento AF . Según el último axioma y el 11, existe sobre FC un punto G que no está situado sobre el segmento FC . Según el axioma 12 la recta EG cortará al segmento AC en un punto D . Como podemos ver, Hilbert demuestra este teorema explicando en cada paso el axioma que utiliza. Esta es una técnica a la que recurre en sus demostraciones. Teorema 3.1.4. Dado un número nito de puntos cualesquiera sobre una recta, pueden estos siempre ser designados con A, B, C, D, E, ..., K de tal manera que el punto B esté situado entre A , de un lado, y C, D, E, ..., K del otro lado, además C quede entre A y B 40 CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA por una parte y D, E, ..., K , por la otra, D esté entre A, B, C , por un lado, y E, ..., K , por el otro, y así sucesivamente. Existe además, fuera del modo de designación anterior, otra manera inversa K, ..., E, D, C, B, A , la cual goza de la misma condición. Teorema 3.1.5. Entre dos puntos cualesquiera de una recta siempre existe una cantidad innita de puntos. Teorema 3.1.6. Toda recta a , contenida en un plano α , divide el resto de los puntos de este plano en dos regiones con la siguiente condición: todo punto A de una de las regiones determina con cada punto B de la otra región un segmento AB que contiene un punto de a . Por el contrario, dos puntos cualesquiera A, A0 de la misma región determinan un segmento AA0 que no contiene ningún punto de a . Es inmediato deducir ahora, a partir del Teorema 3.1.6, el que sigue: Teorema 3.1.7. Todo plano α separa los demás puntos del espacio en dos regiones con la siguiente propiedad: todo punto A de una de las regiones determina con cada punto B de la otra región un segmento AB que contiene un punto de α . Por el contrario, dos puntos cualesquiera A, A0 de la misma región determinan un segmento AA0 que no contiene ningún punto de α . Este útlimo Teorema 3.1.7 es de gran importancia, pues hace referencia a la ordenación de los elementos en el espacio. 3.1.4. Axiomas de congruencia Este grupo está constituido por cinco axiomas con los que Hilbert hace explícito el signicado de congruencia , ausente en Euclides, quien simplemente se había limitado a expresarla mediante la superposición y traslación de guras. Hilbert introduce este concepto de una forma más abstracta y para describirlo utiliza las palabras congruente o igual. Además, esta noción de congruencia le servirá a Hilbert para denir la de movimiento . Los tres primeros axiomas ( axiomas lineales del grupo III ) se reeren a la congruencia de segmentos, el cuarto a la de ángulos y el último a la de ambos. Estos dos últimos axiomas se denominan axiomas planos del grupo III. Axioma 13 (III-1) . Si A, B son dos puntos de una recta a y además A0 es un punto sobre la misma o sobre otra recta a0 , entonces en uno de los lados que determina A0 en la recta a0 siempre es posible encontrar un único punto B0 de tal forma que los segmentos AB y A0B0 son congruentes o iguales. Esto se indica escribiendo: AB ≡A0B0. 3.1. LOS CINCO GRUPOS DE AXIOMAS 41 Este axioma posibilita el transporte de segmentos. Axioma 14 (III-2) . Si un segmento AB es congruente con el segmento A0B0 y también con el segmento A00B00 , entonces el segmento A0B0 es congruente con el segmento A00B00 , esto es, si AB ≡A0B0 y AB ≡A00B00 , entonces A0B0≡A00B00 . De estos dos primeros axiomas se puede deducir que todo segmento es congruente consigo mismo, esto es, AB ≡AB. Con el siguiente axioma, Hilbert exige la adicionabilidad de segmentos: Axioma 15 (III-3) . Sean AB y BC dos segmentos de la recta a sin puntos comunes y, por otra parte, A0B0 y B0C0 dos segmentos sobre la misma recta a o sobre otra distinta a0 , pero en todo caso, sin puntos comunes: si entonces AB ≡A0B0y BC ≡B0C0 siempre se verica AC ≡A0C0. Una vez tratado el transporte de segmentos, se trata el de ángulos, para los que explica que las relaciones que se dan entre ellos pueden expresarse mediante las palabras congruente o igual. Axioma 16 (III-4) . Dados un ángulo ∠(h, k) en un plano α , una recta a0 en un plano α0 y una de las regiones de α0 determinadas por a0 ; representemos por h0 un semirrayo de a0 que parte de O0 . Existe, entonces, en el plano α0 uno y solo un semirrayo k0 tal, que el ángulo ∠(h, k) es congruente o igual al ∠(h0, k0) y, a la vez, todos los puntos interiores del ángulo ∠(h0, k0) están situados en la región dada con respecto a a0 . Simbólicamente: ∠(h, k)≡∠(h0, k0). Además, todo ángulo es congruente consigo mismo; esto es: ∠(h, k)≡∠(h, k). A partir de este axioma, Hilbert concluye que todo ángulo puede ser transportado a un plano dado, en una región dada y con un semirrayo dado de manera unívocamente determinada. 42 CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA Axioma 17 (III-5) . Si dos triángulos ABC y A0B0C0 verican las congruencias: AB ≡A0B0, AC ≡A0C0y∠BAC ≡∠B0A0C0 también queda satisfecha siempre la congruencia: ∠ABC ≡∠A0B0C0. La univocidad del transporte de segmentos se deduce de la univocidad del transporte de ángulos usando el axioma 17. En cuanto a los triángulos, Hilbert añade que dos triángulos ABC y A0B0C0 son congruentes entre sí cuando se cumplen las congruencias AB ≡A0B0, AC ≡A0C0, BC ≡B0C0, ∠A≡∠A0,∠B≡∠B0,∠C≡∠C0. Una vez enunciados los axiomas de congruencia, Hilbert deduce teoremas como los que siguen: Teorema 3.1.8 (Primer teorema de congruencia para triángulos) . Un triángulo ABC es congruente con un triángulo A0B0C0 en el caso de que sean válidas las congruencias: AB ≡A0B0, AC ≡A0C0,∠A≡∠A0 A modo ilustrativo del tipo de demostraciones que Hilbert construye para los teoremas, en las que explica claramente los axiomas en los que se apoya para deducir los pasos lógicos que sigue, presento la realizada para el Teorema 3.1.8. Demostración. Según el axioma 17 las congruencias: ∠B≡∠B0y∠C≡∠C0 se verican, y, por tanto, es necesario únicamente probar que BC y B0C0 son congruentes entre sí. Admitamos, por el contrario, que BC y B0C0 no fuesen congruentes, y determinemos sobre B0C0 un punto D tal que BC ≡B0D0 . Entonces, en los dos triángulos ABC y A0B0D0 coinciden dos lados y el ángulo comprendido; conforme al axioma 17 aplicable a los triángulos ABC y A0B0D0 , se tiene ∠BAC ≡∠B0A0D0 y serían así congruentes los ángulos ∠BAC , ∠B0A0D0 y ∠B0A0C0 , lo que no es posible, puesto que después del axioma 16 un ángulo cualquiera solo puede ser trasladado de una sola manera en un semirrayo dado, en una región dada de un plano. Con esto queda demostrado que los triángulos ABC y A0B0C0 son congruentes. 3.1. LOS CINCO GRUPOS DE AXIOMAS 43 Teorema 3.1.9 (Segundo teorema de congruencia para triángulos) . Un triángulo ABC es congruente con un triángulo A0B0C0 , en el caso de que sean válidas las congruencias: AB ≡A0B0,∠A≡∠A0,∠B≡∠B0. Teorema 3.1.10. Si dos ángulos ∠ABC y ∠A0B0C0 son congruentes, sus ángulos suplementarios también son congruentes. Teorema 3.1.11 (Tercer teorema de congruencia para triángulos) . Si en dos triángulos ABC y A0B0C0 los lados correspondientes son congruentes, los triángulos son congruentes. También se deducen rápidamente ciertos resultados referentes a la congruencia de guras, entendiendo que dos guras se dicen congruentes si sus puntos se pueden organizar en una correspondencia uno-a-uno, de forma que los segmentos correspondientes y los ángulos correspondientes de ambas guras sean congruentes los de una con los de la otra. Teorema 3.1.12. Si (A, B, C, ...) y (A0, B0, C0, ...) son guras planas congruentes y P es un punto en el plano de la primera, entonces siempre es posible encontrar un punto P0 en el plano de la segunda, de modo que (A, B, C, ..., P) y (A0, B0, C0, ..., P 0) sean también guras congruentes. Si las dos guras tienen al menos tres puntos que no están sobre la misma recta, entonces la elección de P0 solo puede hacerse de un único modo. A continuación se enuncia un resultado, análogo al anterior, para guras en el espacio. Teorema 3.1.13. Si (A, B, C, ...) y (A0, B0, C0, ...) son guras congruentes y P es un punto arbitrario, entonces siempre es posible encontrar un punto P0 en el plano de la segunda, de modo que (A, B, C, ..., P) y (A0, B0, C0, ..., P 0) sean también guras congruentes. Si la gura (A, B, C, ..., P) contiene al menos cuatro puntos que no están en el mismo plano, entonces la elección de P0 solo puede hacerse de un único modo. 3.1.5. Axioma de las paralelas El cuarto de los grupos de axiomas considerados por Hilbert está compuesto únicamente por uno: el axioma de las paralelas, que se trata de un axioma plano. Lo expresa del siguiente modo: Axioma 18 (IV) . Sea a una recta cualquiera y A un punto exterior a a : en el plano determinado por a y A existe a lo más una recta que pasa por A y no corta a la recta a . A continuación, Hilbert enuncia los dos teoremas siguientes: 44 CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA Teorema 3.1.14. Cuando dos paralelas son cortadas por una tercera recta, los ángulos correspondientes y alternos son iguales. Y recíprocramente, la congruencia de los ángulos correspondientes o alternos tienen como consecuencia que las rectas son paralelas. Teorema 3.1.15. Los ángulos de un triángulo suman dos rectos. Finalmente, Hilbert dene la circunferencia como el conjunto de todos los puntos A para los cuales, dado un punto el centro M , del plano α , son congruentes los segmentos MA . A partir de esta denición se deducen fácilmente, con ayuda de los grupos de axiomas III-IV, las conocidas propiedades de la circunferencia, en particular, la posibilidad de construir una circunferencia que pase por tres puntos dados cualesquiera no pertenecientes a la misma recta, la congruencia de todos los ángulos inscritos sobre la misma cuerda, y el teorema relativo a los ángulos de un cuadrilátero inscrito. 3.1.6. Axiomas de continuidad Los axiomas de este último grupo son de gran importancia, ya que permiten fundamentar la noción de medida y la incorporación de números en la geometría permitiendo asignar a cada segmento un único número positivo, que indica su longitud. Este grupo está formado por dos axiomas, ambos lineales, el primero de los cuales es el: Axioma 19 (V-1. Axioma de Arquímedes) . Siendo AB y CD segmentos cualesquiera, existe siempre sobre la recta AB un número de puntos A1, A2, A3, ..., An , de modo que los segmentos AA1, A1A2, A2A3, ..., An−1An son congruentes con el CD , y el punto B queda entre A y An . A continuación, se enuncia el segundo axioma de continuidad: Axioma 20 (V-2. Axioma de la plenitud lineal 4 ) . Los puntos de una recta forman un sistema el cual no es susceptible de ampliación alguna, bajo la condición de conservar la ordenación lineal, expresada en el Teorema 3.1.4, el primer axioma de congruencia y el axioma de Arquímedes (en resumen, los axiomas I 1-2, II, III-I, V-1). Dicho de otro modo: no es posible a este sistema de puntos añadir otros puntos de a , de modo que en el sistema que se obtiene por composición todo los axiomas construidos queden satisfechos. Para nalizar, es necesario añadir un resultado que Hilbert incorpora a partir de la primera edición francesa a su obra en calidad de axioma. Sin embargo, posteriormente Bernays observa que es suciente el axioma lineal de la plenitud y desde entonces se 4 Denominado Axiom der linearen Vollständigkeit por David Hilbert. 3.2. CONSISTENCIA E INDEPENDENCIA DE LOS AXIOMAS 45 considerará teorema. Es el Teorema de la plenitud . Mientras se le consideraba axioma, se le notaba un carácter distinto a los demás: mientras aquellos hablaban sobre los elementos básicos del sistema puntos, rectas y planos y constataban las relaciones que se daban entre ellos, este iba más allá en el sentido de que se refería a los axiomas anteriores y a las relaciones que se podían dar entre ellos. El enunciado de dicho teorema es el que vemos a continuación: Teorema 3.1.16 (Teorema de la plenitud) . Los elementos de la geometría (esto es, puntos, rectas y planos) forman un sistema el cual no es susceptible de ampliación con puntos, rectas y planos, a base de conservar los axiomas de enlace y ordenación, el primer axioma de congruencia y el de Arquímedes: forman, pues dichos elementos justamente un sistema, que al querer conservar todos los axiomas no es apto para tal ampliación. Aunque no se mencione directamente nada acerca de la existencia de puntos límite o la idea de convergencia, la adición del axioma de plenitud permite demostrar el Teorema de Bolzano, en virtud del cual para todo conjunto de puntos situados sobre una recta entre dos puntos dados de la misma recta, existe necesariamente un punto de condensación, es decir, un punto límite. Así, la importancia de este axioma está en que conduce indirectamente a la introducción de puntos límite y, con ello, se puede establecer una correspondencia uno-a-uno entre los puntos de un segmento y el sistema de los números reales. 3.2. Consistencia e independencia de los axiomas Tras exponer Hilbert en un primer capítulo sus cinco grupos de axiomas y algunas consecuencias que de ellos se derivan, el sistema ya dispone de todo lo necesario para probar los teoremas de la geometría elemental euclidiana. No obstante, aunque su sistema sea suciente , Hilbert incorpora en el segundo capítulo de [15] un novedoso estudio acerca de la no contradicción e independencia de sus axiomas. En cuanto a la consistencia, Poincaré había concluido en 1898 5 que dicha propiedad estaba garantizada en una estructura axiomáticamente fundada siempre que se pudiera dar de ella una interpretación aritmética. De ese modo Hilbert demostró que la geometría euclidiana 6 era consistente. 5 Poincaré, H. (1898). On the foundations of geometry. The Monist , 9(1), 38-39. Recuperado de http://www.jstor.org/stable/27899007. 6 En realidad, Hilbert prueba el caso de la geometría plana. En lo referente al caso de la geometría espacial, dice que no ofrece dicultad alguna. Bibliografía [1] Torres, C. (1999). Los sistemas formales . Ciudad de México, México: Universidad Nacional Autónoma de México. Recuperado de (http://computo.ceiich.unam.mx/webceiich/docs/libro/Los_sistemas_formales.pdf) [2] Berenguer, J. (2016). Monge: el padre de la geometría descriptiva . RBA. Recuperado de (http://www.librosmaravillosos.com/Monge/pdf/Monge_- _Joaquim_Berenguer_Claria.pdf) [3] Bombal, F. (2013). David Hilbert: La búsqueda de la certidumbre. Rev. Real Acad. Ci. Exactas Físicas y Naturales. Recuperado de (https://rac.es/cheros/doc/01105.pdf) [4] Bombal, F. (2015). Una mirada a las matemáticas del siglo XX. Madrid: Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. 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