Espacios de Sobolev y aplicaciones al estudio de ecuaciones en derivadas parciales

Traballo Fin de Grao Espacios de Sobolev y aplicaciones al estudio de Ecuaciones en Derivadas Parciales Antonio Figueroa Pardo Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Espacios de Sobolev y aplicaciones al estudio de Ecuaciones en Derivadas Parciales Antonio Figueroa Pardo Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Análisis Matemático. Título: Espacios de Sobolev y aplicaciones al estudio de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Breve descrición do contido El presente trabajo se dedicará al estudio de los espacios de Sobolev, comenzando por su denición, y destacando sus propiedades principales mediante la aportación de resultados clásicos. Finalmente, se verá cómo se pueden utilizar dichos espacios para resolver numéricamente Ecuaciones en Derivadas Parciales. Recomendacións Outras observacións iii Índice Resumen viii Introducción xi 1. Preliminares 1 1.1. Preliminares de análisis funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. EspaciosdeBanach .............................. 1 1.1.2. EspaciosdeHilbert............................... 3 1.2. Preliminares de Teoría de la Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Los espacios Lp(X, Σ, µ) ............................ 6 1.2.2. Generación de medidas, los teoremas de Carathéodory y Hahn . . . . . . 8 1.2.3. Ejemplos de espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Teoría de distribuciones 11 2.1. Generalidades...................................... 11 2.2. Los espacios DK(Ω) y D(Ω) .............................. 14 2.3. El espacio de distribuciones D′(Ω) .......................... 18 3. Espacios de Sobolev 21 3.1. Generalidades...................................... 21 3.2. Teoremasdetrazas................................... 37 v vi ÍNDICE 4. Aplicaciones a las EDPs 43 5. El método de elementos nitos 51 5.1. Generalidades...................................... 51 5.2. Construcción del espacio de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3. Resolución numérica empleando FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.1. Resolución del problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.2. Resolución numérica del problema Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 A. Códigos FreeFem desarrollados 59 A.1. Resolución numérica del problema Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.2. Resolución numérica del problema Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Bibliografía 67 2 1. Preliminares Denición 1.2 (Sucesión convergente y sucesión de Cauchy) . Sea X un espacio métrico. Una sucesión de elementos xnn∈N⊂X se dice 1. de Cauchy si l´ım n→∞ d(xn, xm)=0. 2. convergente a x0∈X si l´ım n→∞ d(xn, x0)=0. Denición 1.3 (Espacio métrico completo) . Se dice que (X, d) es completo si toda sucesión {xn}n∈N⊂X de Cauchy es convergente. Supóngase ahora que X es un ( R -)espacio vectorial. Denición 1.4 (Seminorma y norma) . Se dice que una aplicación p:X−→ [0,∞] es una seminorma si verica 1. p(x+y)≤p(x) + p(y) , para todo x, y ∈X , 2. p(tx) = |t|p(x) , para todo x∈X y todo t∈R . Si además p verica que p(x) = 0 si y solo si x= 0 , entonces se dirá que p es una norma , y se denotará ∥ · ∥ ≡ p( · ) . Si el espacio X admite una norma ∥ · ∥ , se dirá que el par (X, ∥ · ∥) es un espacio normado . Además, toda norma ∥ · ∥ induce una distancia d , sin más que considerar d(x, y) = ∥x−y∥ , para cualesquiera x, y ∈X . Denición 1.5 (Espacio de Banach) . Un espacio normado (X, ∥ · ∥) se dice de Banach si es completo respecto de la distancia d inducida por su norma. Abusando de notación, cuando no exista ambigüedad, se identicará el espacio X con el par (X, ∥·∥) . Ejemplo 1.6. Se tiene que: (R,|·|) es un espacio de Banach, donde |·| denota la función valor absoluto. Dados (X, ∥·∥X) un espacio normado, e (Y, ∥·∥) un espacio de Banach, el conjunto C0 B(X, Y ) = {u:X−→ Y:u es continua y ∥u∥∞<∞}, (1.1) donde ∥u∥∞= sup x∈X ∥u(x)∥Y , es un espacio de Banach. 1.1. Preliminares de análisis funcional 3 Denición 1.7 (Embebimiento) . Dados dos espacios normados (X, ∥·∥X) y (Y, ∥·∥Y) , se dice que el espacio X está embebido en el espacio Y , y se denotará X ,→Y , si X es un subespacio de Y y existe una constante K > 0 tal que ∥x∥Y≤K∥x∥X, para todo x∈X. Denición 1.8 (Operador lineal acotado) . Sean (X, ∥ · ∥X) , (Y, ∥ · ∥Y) dos espacios normados y sea T:X−→ Y un operador lineal entre ellos. Se dice que T es acotado si para todo B⊂X acotado en la métrica inducida por ∥ · ∥X se tiene que T(B) es acotado en la métrica inducida por ∥·∥Y . Denición 1.9 (Norma de un operador lineal) . Sean (X, ∥·∥X) , (Y, ∥·∥Y) dos espacios (vectoriales) normados y sea T:X−→ Y un operador lineal entre ellos. Se dene la norma de T como el valor ∥T∥= sup x=0 ∥T(x)∥Y ∥x∥X ∈[0,∞]. La siguiente Proposición está basada en [4, Página 68, Proposition 2.1], y y será de utilidad en capítulos posteriores: Proposición 1.10. Sean (X, ∥ · ∥X) , (Y, ∥ · ∥Y) dos espacios normados y sea T:X−→ Y un operador lineal entre ellos. Equivalen: 1. T es continuo. 2. Existe c > 0 de modo que ∥T(x)∥Y≤c∥x∥X , para todo x∈X . Más aún, en las condiciones anteriores se tiene que ∥T∥= ´ınf{c > 0 : ∥T(x)∥Y≤c∥x∥X, para todo x∈X}<∞. Denición 1.11 (Espacio topológico dual) . Sea (X, ∥·∥X) un espacio normado. Se dene el espacio dual de X como X′={T:X−→ R:T es lineal y continua }. (1.2) Es evidente, en vista de la Proposición 1.10, que ∥T∥<∞ , para todo T∈X′ . 1.1.2. Espacios de Hilbert Sea H un R -espacio vectorial. Denición 1.12 (Producto escalar) . Se dice que una función ⟨·,·⟩ :H×H−→ R es un producto escalar si para todo x, y, z ∈H y todo α, β ∈R se verican las siguientes tres propiedades: 4 1. Preliminares 1. Propiedad de bilinealidad : ⟨αx +βy, z⟩=α⟨x, z⟩+β⟨y, z⟩; ⟨x, αy +βz⟩=α⟨x, y⟩+β⟨x, z⟩. 2. Propiedad de denición : ⟨x, x⟩ ≥ 0, y ⟨x, x⟩= 0 si y solo si x= 0. 3. Propiedad de simetría : ⟨x, y⟩=⟨y, x⟩. El Teorema que se presenta a continuación aporta una desiguldad de gran aplicación en demostraciones que se realizarán con posterioridad. Su demostración se puede ver en [4, Página 3, 1.4]: Teorema 1.13 (Desigualdad de Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz) . Dados H un espacio vectorial y ⟨·,·⟩ un producto escalar en H , se verica que |⟨x, y⟩|2≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩, para cualesquiera x, y ∈H . Corolario 1.14. Dados H un espacio vectorial y ⟨·,·⟩ un producto escalar en H , se tiene que la función ∥·∥=⟨·,·⟩1 2 denida en H , es una norma. Denición 1.15 (Espacio de Hilbert) . Sea H un espacio vectorial, y sea ⟨·,·⟩ un producto escalar en H . Se dice que el par (H, ⟨·,·⟩) es un espacio de Hilbert si es un espacio de Banach (véase la Denición 1.5) con la norma ∥·∥ inducida por el producto escalar. Para simplicar la notación, de no existir ambigüedad, se identicará el espacio H con el par (H, ⟨·,·⟩) . Un resultado central de la teoría asociada a este tipo de espacios es el Teorema de Representación de Riesz, cuya demostración se encuentra en [4, Página 13, Theorem 3.4]: Teorema 1.16 (Teorema de Representación de Riesz) . Sean H un espacio de Hilbert, y L: H−→ R un funcional lineal continuo (luego ∥L∥<∞ ). Bajo tales condiciones, existe un único elemento h∈H que verica L(f) = ⟨f, h⟩, para todo f∈H. Además, se tiene que ∥L∥ =∥h∥ . Los espacios de Hilbert son particularmente útiles porque su producto escalar permite desarrollar el concepto de ortogonalidad : 1.1. Preliminares de análisis funcional 5 Denición 1.17. Sea H un espacio de Hilbert. Sean f, g ∈H dos elementos cualesquiera, y sean U, V ⊂H dos subconjuntos. Se dice que: 1. f es ortogonal a g , y se denota f⊥g , si ⟨f, g⟩= 0 . 2. A es ortogonal a B , y se denota A⊥B si ⟨f, g⟩= 0 , para cualesquiera f∈A , g∈B . Denición 1.18 (Conjunto ortogonal) . Sea H un espacio de Hilbert. Dado M⊂H un subconjunto, se dene su conjunto ortogonal como: M⊥={h∈H:h⊥f, para todo f∈M}. Observación 1.19 . Sean H un espacio de Hilbert y M⊂H un subconjunto arbitrario. Es evidente que M∩M⊥={0} , pues si f∈M∩M⊥ , entonces ⟨f, g⟩= 0 , para todo g∈M . En particular, ⟨f, f⟩= 0 , de donde f= 0 por la propiedad de denición del producto escalar. Observación 1.20 . Dados H un espacio de Hilbert y M⊂H un subconjunto, se tiene que M⊥ es un subespacio cerrado de H . Este hecho se demuestra en [11, Página 79, 4.9]. Se presentan ahora dos resultados auxiliares, extraídos de [4, Página 10, Corollary 2.9] y [4, Página 10, Corollary 2.10] respectivamente: Proposición 1.21. Sean H un espacio de Hilbert y M⊂H un subespacio cerrado. En tal caso, se sigue que M⊥⊥ ≡(M⊥)⊥=M . Proposición 1.22. Sean H un espacio de Hilbert y M⊂H un subconjunto arbitrario. Si se denota por ⟨M⟩ al subespacio vectorial generado por M , esto es, ⟨M⟩=(h∈H:h= n X i=1 βifi, con βi∈R, fi∈M;n∈N y 1≤i≤n), entonces M⊥⊥ = Cl(⟨M⟩) . Se introduce ahora un Teorema que es consecuencia directa de haber dotado al espacio vectorial H de un producto escalar. Su demostración se sigue de dos resultados, que se encuentran en [4, Página 8, Theorem 2.5] y [4, Página 9, Theorem 2.6] respectivamente: Teorema 1.23. Sea H un espacio de Hilbert. Sean además K un subespacio cerrado, convexo y no vacío de H , y h∈H arbitrario. En tal caso, existe un único elemento f0∈K vericando ∥h−f0∥=d(h, K) = ´ınf k∈K∥h−k∥, donde d denota la distancia inducida por el producto escalar de H . Más aún, si K es un subespacio vectorial cerrado de H , entonces h−f0∈K⊥ . Además, f0 es el único elemento que cumple esta última condición. 6 1. Preliminares Con los resultados anteriores, se demuestra ahora que todo espacio de Hilbert puede descomponerse como suma directa de dos espacios ortogonales entre sí: Proposición 1.24. Sean H un espacio de Hilbert y M⊂H un subconjunto arbitrario. Se tiene que H=M⊥⊕M⊥⊥ . Demostración. En primxer lugar, se verica que H=M⊥+M⊥⊥ . Ciertamente, por la Observación 1.20, M⊥ es un subespacio cerrado de H . Por consiguiente, en virtud del Teorema 1.23, se tiene que para h∈H un elemento arbitrario, existe f0∈M⊥ de modo que h−f0∈M⊥⊥ . Ahora, se sigue h=f0+ (h−f0)∈M⊥+M⊥⊥ , tal y como se quería demostrar. Por otra parte, es evidente que M⊥∩M⊥⊥ =∅ , lo que prueba que la suma anterior es directa, y por tanto el enunciado. 1.2. Preliminares de Teoría de la Medida En esta sección se recuerdan algunos resultados fundamentales acerca de los espacios Lp , los cuales serán aludidos con asiduidad a lo largo de este texto. Se asumirá que el lector es conocedor de los conceptos de σ -álgebra , medida y espacio de medida , así como de la construcción de la integral de Lebesgue y sus propiedades, pues estos se desarrollan con profundidad en asignaturas del Grado (pueden revisarse dichos conceptos en la referencia clásica [2]). Por otra parte, se tratará la temática de generación de medidas , aportando así una base teórica a las diversas aplicaciones dadas a las medidas que se introducirán con posterioridad. En lo sucesivo (X, Σ, µ) , denotará un espacio de medida arbitrario, siendo (RN,Σ,Ln) el caso particular del espacio de medida de Lebesgue en RN (véanse los capítulos 12 y 13 de [2]). 1.2.1. Los espacios Lp(X, Σ, µ) Denición 1.25 (Funciones equivalentes) . Sean f, g :X−→ R dos funciones medibles. Se dirá que f y g son equivalentes , y se denotará por f∼g , si existe E∈Σ un conjunto medible tal que µ(Ec) = 0 , y f(x) = g(x) para cualquier x∈E . Denición 1.26 (Clase de equivalencia de una función) . Sea f:X−→ R una función medible. La relación ∼ anterior induce la clase de equivalencia: [f] = g:X−→ R:g es medible y g∼f. Denición 1.27 (El espacio Lp , con 1≤p < ∞ ) . Para cada 1≤p < ∞ , se dene Lp(X, Σ, µ) como el espacio vectorial que tiene por elementos todas las clases de equivalencia de funciones 1.2. Preliminares de Teoría de la Medida 7 medibles f:X−→ R tales que |f|p∈ L(X) . Se dota ahora al espacio Lp(X, Σ, µ) de la norma: ∥[f]∥Lp≡ ∥f∥Lp=Z|f|pdµ1/p . Observación 1.28 . La norma anterior no depende del representante de la clase de equivalencia escogido, por ello se identica ∥[f]∥Lp(X,Σ,µ) con ∥f∥Lp(X,Σ,µ) . Además, si p= 1 , se tiene que L1(X, Σ, µ) = L(X) ∼ . Recordando ahora la Denición 1.5, se tiene el siguiente resultado, que se demuestra en [2, Theorem 6.14]: Teorema 1.29 (Completitud de los espacios Lp con 1≤p < ∞ ) . Sea 1≤p < ∞ . Se tiene que (Lp(X, Σ, µ),∥·∥Lp(X,Σ,µ)) es un espacio de Banach. Denición 1.30 (El espacio L∞ ) . Sean f:X−→ R una función medible y N∈Σ un conjunto medible tal que µ(N) = 0 . Tómese para tal N la cantidad S(N) = sup x/∈N |f(x)|. Se denota por supremo esencial de f a la cantidad ´ınf N∈Σ, µ(N)=0 S(N)∈[0,∞]. (1.3) Así pues, se dene L∞(X, Σ, µ) como el espacio vectorial cuyos elementos son todas las clases de equivalencia de funciones medibles f:X−→ R tales que el valor dado en 1.3, que se escribirá ∥f∥L∞(X,Σ,µ) , es nito. Suele referirse a los elementos de este espacio como funciones esencialmente acotadas . Se enuncia a continuación un resultado de completitud para L∞(X, Σ, µ) , cuya demostración se puede leer en [2, Theorem 6.16]: Teorema 1.31 (Completitud del espacio L∞ ) . Se tiene que ∥·∥L∞(X,Σ,µ) es una norma en L∞(X, Σ, µ) con la cual (L∞(X, Σ, µ),∥·∥L∞(X,Σ,µ)) es un espacio de Banach. Se enuncia ahora la conocida como desigualdad de Hölder . Se demuestra su validez en [2, Página 56, 6.9]: Proposición 1.32 (Desigualdad de Hölder) . Sean (X, Σ, µ) un espacio de medida y 1<p<∞ . Tómese p′=p p−1 el exponente conjugado de Hölder. Sean f, g :X−→ R dos funciones medibles con valores en la recta real ampliada, de modo que f∈Lp(X, Σ, µ) y g∈Lp′(X, Σ, µ) . En tal caso, su producto verica fg ∈L1(X, Σ, µ) , y además ∥fg∥L1(X,Σ,µ)≤ ∥f∥Lp(X,Σ,µ)∥g∥Lp′(X,Σ,µ). 8 1. Preliminares 1.2.2. Generación de medidas, los teoremas de Carathéodory y Hahn Denición 1.33 (Álgebra) . Sean X un conjunto no vacío y A ⊂ P(X) . Se dice que A es un álgebra en X si verica que: 1. ∅, X ∈ A . 2. Dado cualquier E∈ A , se tiene que Ec∈ A . 3. Para cualquier subconjunto nito {Ei}n i=1 ⊂ A, n ∈N , se cumple que n [ i=1 Ei∈ A . Denición 1.34 (Medida) . Sean X un conjunto no vacío, A un álgebra en X , y µ: Σ →R una función con valores en la recta real ampliada. Se dice que µ es una medida en A si verica que: 1. µ(∅)=0 . 2. 0≤µ(E)≤ ∞ , para cualquier elemento E∈ A . 3. Para una familia numerable de elementos de A , {En}n∈N⊂ A , tal que Ei∩Ej=∅ siempre que i=j , se tiene que: µ [ n∈N En!= ∞ X n=1 µ(En). (1.4) Denición 1.35 (Medida exterior) . Sean X un conjunto no vacío, A un álgebra en X , µ: Σ →R una medida en A y B⊂X un subconjunto cualquiera de X . Se dene: µ∗(B) = ´ınf (X n∈N µ(En) : B⊂[ n∈N En;En∈ A, para cada n∈N), En este caso, se denomina medida exterior a la función µ∗ . Véase la siguiente Proposición, que se demuestra en [2, Lemma 9.5]: Proposición 1.36. Sean X un conjunto no vacío, A un álgebra en X , µ: Σ →R una medida en A . Se tiene que la medida exterior µ∗ cumple las condiciones dadas en la Denición 1.34, sustituyendo la propiedad (1.4) por µ∗ [ n∈N En!≤ ∞ X n=1 µ∗(En), y siendo {En}n∈N una familia numerable arbitraria de elementos de P(X) . Denición 1.37 (Conjunto µ∗ -medible) . En las condiciones expuestas a lo largo de esta sección, sean µ∗ la medida exterior generada por µ , y E⊂X un subconjunto arbitrario. Se dice que E es µ∗ -medible si se tiene que µ∗(M) = µ∗(M∩E) + µ∗(M∩Ec), para todo M⊂X. 1.2. Preliminares de Teoría de la Medida 9 Con la notación habitual, sea A∗ la familia de conjuntos µ∗ -medibles. Véase ahora el siguiente Teorema, el cual se extrajo de [2, Theorem 9.7]: Teorema 1.38 (Teorema de Extensión de Carathéodory) . Se tiene que A∗ es una σ -álgebra que contiene a A . Más aún, si {En}n∈N es una familia de subconjuntos de X tal que Ei∩Ej=∅ si i=j , entonces: µ∗ [ n∈N En!= ∞ X n=1 µ∗(En), luego µ∗ es una medida en A∗ . Puede profundizarse en dicha cuestión, imponiendo condiciones más restrictivas a la medida µ . Así pues, véase [2, Theorem 9.8]: Teorema 1.39 (Teorema de Extensión de Hahn) . Sean X un conjunto no vacío, A un álgebra en X , y supóngase denida en A una medida σ -nita µ . De este modo, la extensión de µ a una medida en la σ -álgebra A∗ es única. 1.2.3. Ejemplos de espacios de medida Por una parte, se introducirá la medida de Hausdor . Si se denota por d a la métrica inducida por la norma usual en RN , se dene el valor Hs δ como sigue (véase [9, Página 699, C.7]): Denición 1.40 ( Hs δ ) . Sean 0< δ ≤ ∞ y s∈N0 . Para E⊂RN y cs>0 , se dene: Hs δ(E) = ´ınf (∞ X n=1 cs(diam En)s:E⊂ ∞ [ n=1 En,diam En< δ), Por cómo se ha denido 1.40, es evidente que aumentando el valor de δ se consigue una reducción en el valor de Hs δ(E) . Es más, tal y como se argumenta en [9, Página 699, C.7], para E⊂RN jado, se tiene que la aplicación δ7→ Hs δ(E) es monótona decreciente, luego ha de existir l´ım δ→0+Hs δ(E) . Denición 1.41 ( Hs 0 ) . Se llama medida exterior de Hausdor s -dimensional , y se denota Hs 0 , al límite l´ım δ→0+Hs δ(E). 10 1. Preliminares Más aún, siguiendo [9, Proposition C.45], Hs 0 es una medida exterior, para cada 0≤s < ∞ , y su restricción a la σ -álgebra de conjuntos Hs 0 -medibles es una medida completa, en virtud del Teorema 1.38. Denición 1.42 ( Hs ) . La restricción de Hs 0 a la σ -álgebra de conjuntos Hs 0 -medibles se denomina medida de Hausdor s - dimensional , y se escribe Hs . Sin embargo, el espacio de medida que se empleará habitualmente es el espacio de medida de Lebesgue . Puede verse en [9, Appendix C.1] la construcción de la medida exterior de Lebesgue , tras lo que se aplica de nuevo el Teorema 1.38. De todos modos, son de particular interés algunas de sus propiedades. Tal y como se discute en [9, Páginas 681-682, C.1], LN es una medida σ -nita, y todo subconjunto abierto Ω⊂RN es Lebesgue-medible. Dado que todo subconjunto compacto K⊂RN es cerrado y acotado en la topología usual, se sigue que LN(K)<∞ . Así pues, tiene sentido desarrollar el concepto de integrabilidad local : Denición 1.43 (El espacio Lp loc RN,Σ,LN , con 1≤p≤ ∞ ) . Se dene Lp loc RN,Σ,LN como el espacio de funciones u:RN−→ R medibles tales que u∈LpRN,Σ,LN , para todo conjunto compacto K⊂X . Se tiene, en virtud de [8, Théorème 1], el siguiente resultado Proposición 1.44. El espacio Lp loc(Ω) es completo, para cada 1≤p≤ ∞ . Dado Ω⊂RN un conjunto abierto, cuando no exista ambigüedad, se denotará el espacio LpΩ,Σ|Ω,LN |Ω por Lp(Ω) . Observación 1.45 . Dado que LN(K)<∞ , para todo subconjunto compacto K⊂Ω , por la desigualdad de Hölder, se sigue que Lp(Ω) ⊂L1 loc (Ω) , para todo 1≤p≤ ∞ . Capítulo 2 Teoría de distribuciones A lo largo de este capítulo se realizará una breve introducción a la Teoría de distribuciones , mediante la aportación de diferentes deniciones y resultados, con el n de establecer una base para el estudio de los Espacios de Sobolev , que se tratarán posteriormente en este documento. El esquema básico de este capítulo se basa en la referencia [9]. Asimismo, se presentarán deniciones y resultados auxiliares presentes en [1] y [13]. Un detalle importante a mencionar es el hecho de que el modo de introducción del Espacio de distribuciones admite caminos alternativos, y es por ello que se cita el libro [4]. Sin embargo, la construcción proporcionada por esta última referencia no es indispensable para la consecución del capítulo que se inicia a continuación. 2.1. Generalidades Considérense Ω⊂RN un subconjunto abierto del espacio euclídeo n-dimensional real, y x = (x1, . . . , xN)∈Ω un elemento del mismo. Sea α= (α1, . . . , αN)∈RN un multiíndice, esto es, un vector tal que αi∈N0=N∪ {0} , para cada 1≤i≤N . Se dene, para x ∈RN , el operador derivada α -ésima como ∂|α| ∂ x α=∂|α| ∂xα1 1. . . ∂xαN N , con |α|=α1+· · · +αN. Siguiendo la notación de [9], se entenderá por C0(Ω) el espacio vectorial de aplicaciones continuas ϕ: Ω −→ R y, dado m∈N , Cm(Ω) constituirá el espacio vectorial de funciones derivables con continuidad hasta orden m , esto es, el conjunto de aplicaciones ϕ: Ω −→ R tales que existe ∂|α|ϕ ∂ x α para todo α∈N0 con 0≤ |α| ≤ m , y ∂|α|ϕ ∂ x α∈ C0(Ω) . Cobra ahora sentido la introducción del espacio C∞(Ω) : 11 18 2. Teoría de distribuciones Teorema 2.18. Sea Ω⊂RN un conjunto abierto, y sea T:D(Ω) −→ R un operador lineal. Son equivalentes: 1. T es continuo. 2. T es acotado. 3. Si {ϕn}n∈N⊂ D(Ω) converge a ϕ∈ D(Ω) con respecto a τ , entonces l´ım n→∞ T(ϕn) = T(ϕ). 4. La restricción de T a DK(Ω) es continua, para todo K⋐Ω . 5. Para todo K⋐Ω , existe un entero j∈N0 y una constante cK>0 tal que |T(ϕ)| ≤ cK∥ϕ∥K,j, para todo ϕ∈ DK(Ω). La demostración del resultado anterior puede encontrarse en [9, Theorem 10.10]. 2.3. El espacio de distribuciones D′(Ω) La condición de espacio vectorial (topológico) de D(Ω) convierte en pertinente la consideración de su espacio dual D′(Ω) = {T:D(Ω) −→ R:T es lineal y continuo } . Paralelamente, el resultado que dio n a la sección anterior caracteriza los funcionales de D′(Ω) . Más aún, en esta sección se verá que D′(Ω) está dotado de la topología débil* , esto es, una sucesión de elementos {Tn}n∈N⊂ D′(Ω) converge en el sentido de las distribuciones a un operador T∈ D′(Ω) si se verica que Tn(ϕ)−→ T(ϕ) , para todo ϕ∈ D(Ω) . Ejemplo 2.19. Un ejemplo de distribución es la delta de Dirac : Sea x 0∈Ω . Se dene la delta de Dirac con masa en x 0 como el funcional lineal δ x 0 tal que δ x 0(ϕ) = ϕ( x 0) , para cualquier ϕ∈ D(Ω) . La linealidad de δ x 0 se sigue directamente de la linealidad de la suma de funciones. Por otra parte, se tiene que δ x 0 es continua en virtud del Teorema 2.18, ya que trivialmente |δ x 0(ϕ)|=|ϕ(x0)|≤∥ϕ∥K,j, para todo K⋐Ω , y cualesquiera j∈N0 y ϕ∈ DK(Ω) . Observación 2.20 . Sean Ω⊂RN un abierto y u∈L1 loc(Ω) arbitrario. Se tiene que u induce la distribución: Tu(ϕ) = ZΩ ϕu dµ, para cada ϕ∈ D(Ω). En efecto Tu es una distribución en virtud de [1, 1.58]. Además, gracias a [1, Lemma 3.31], se tiene que dadas u1, u2∈L1 loc(Ω) con u1=u2 , entonces Tu1=Tu2 . 2.3. El espacio de distribuciones D′(Ω) 19 La próxima denición introduce el concepto de derivación en el sentido de las distribuciones. Se verá que existen funciones que no son derivables en el sentido usual, pero sí en este contexto: Denición 2.21 (Derivada α -ésima de T∈ D′(Ω) ) . Sea Ω⊂RN un conjunto abierto, y sea T∈ D′(Ω) . Dado α∈NN , se dene la derivada α -ésima de T como el operador ∂αT(ϕ) = (−1)|α|T(∂αϕ), ϕ ∈ D(Ω). Es importante remarcar que en [9, Remark 10.15] se demuestra que ∂|α|T ∂ x α≡∂αT es también una distribución, utilizando la Denición 2.21 y el Teorema 2.18. Paralelamente, se dedicará el nal de este capítulo a exponer qué se entiende porque una función v∈L1 loc (Ω) sea la derivada débil o distribucional de u . De la observación 2.20 se llega a la siguiente denición: Denición 2.22 (Derivada débil α -ésima de u ) . Sean Ω⊂RN un conjunto abierto, u∈L1 loc(Ω) y α∈NN 0\{ 0 } un multiíndice. Se dice que vα∈L1 loc (Ω) es la derivada débil α -ésima de u si Tvα(ϕ) = ZΩ ϕvαdµ = (−1)|α|ZΩ u∂αϕ dµ =∂αTu(ϕ), para todo ϕ∈ D(Ω), y se denota ∂αu=vα . Ejemplo 2.23. Considérese f:R−→ R tal que f(x) = |x|, x ∈R la función valor absoluto. Es conocido el hecho de que f es derivable en R\{0} , y su derivada viene dada por g(x) =    1, si x > 0, −1, si x < 0. Sin embargo, f no es derivable en x= 0 . Se verá ahora que f sí es derivable en el sentido de las distribuciones y su derivada es, precisamente, la extensión g1 de g a todo el dominio R , de modo que g1(0) = 0 . Nótese, a modo de observación, que el conjunto {0} es de medida nula, luego la elección particular del valor g1(0) no es relevante. Así pues, dada ϕ∈ D(R) , se tiene que Tf(ϕ) = RRϕ(x)|x|dµ , luego utilizado la técnica de integración por partes, dTf dx (ϕ)=(−1)Tf(ϕ′) =−ZR ϕ′f dµ =Z(−∞,0) xϕ′(x)dµ(x)−Z(0,∞) xϕ′(x)dµ(x) = l´ım M→−∞ Z0 M xϕ′(x)dx −l´ım M→∞ ZM 0 xϕ′(x)dx = l´ım M→−∞ [xϕ(x)]0 M−Z0 M ϕ(x)dx−l´ım M→∞ [xϕ(x)]M 0−ZM 0 ϕ(x)dx =−Z(−∞,0) ϕ dµ +Z(0,∞) ϕ dµ =ZR ϕg dµ =Tg(ϕ). 20 2. Teoría de distribuciones Como ϕ∈ D(Ω) es arbitrario, se sigue que dTf dx =Tg , como se quería demostrar. Observación 2.24 . En la demostración anterior se han intercambiado las integrales de Lebesgue R(−∞,0) xϕ′(x)dµ(x) y R(0,∞)xϕ′(x)dµ(x) por, respectivamente, las integrales de Riemann l´ım M→−∞ R0 Mxϕ′(x)dx y l´ım M→∞ RM 0xϕ′(x)dx , puesto que el integrando xϕ′ y su valor absoluto, para ϕ∈ D(Ω) , son impropiamente Riemann integrables, luego los valores de ambas integrales han de coincidir. Para nalizar, recuérdese que al inicio de esta sección se anticipaba que el espacio D′(Ω) estaba dotado de la topología débil*. Este hecho se recoge en el siguiente teorema, el cual se puede estudiar con más detalle en [13, Théorème XIII]: Teorema 2.25. (Caracterización de la convergencia en D′(Ω) ) Sea {Tn}n∈N una sucesión de funcionales lineales de D′(Ω) . Se verica que {Tn}n∈N converge a un elemento T∈ D′(Ω) si y solo si Tn(ϕ)→T(ϕ), para todo ϕ∈ D(Ω). Se cierra el capítulo de distribuciones con una aplicación del Teorema anterior: Ejemplo 2.26. Supóngase que N= 1 y Ω = R . Para x 0= 0 , se busca aproximar la Delta de Dirac δ0 (véase el Ejemplo 2.19) mediante una sucesión de distribuciones. En [12, Teorema 2.12] se demuestra que tomando la sucesión de funciones {gn}n∈N⊂L1(R) vericando las tres condiciones siguientes, gn≥0 en R , para todo n∈N , RRgndµ = 1 , para todo n∈N , l´ım n→∞ RRhgndµ = 0 , donde h(x) = |x| , para todo x∈R , se tiene que l´ım n→∞ Tgn=δ0 en el espacio D′(R) . Capítulo 3 Espacios de Sobolev En este capítulo se introducirán los Espacios de Sobolev , y se hará un estudio de sus propiedades. En primer lugar, se presentan propiedades generales de dichos espacios. Posteriormente, se detallará en qué espacios normados pueden ser embebidos , y qué signicado tiene este concepto. Finalmente, se desarrollarán los teoremas de trazas , las cuales serán útiles más adelante. Los resultados más generales que se incluirán en este escrito se recogen en [1] y [9]. De todas formas, se han incluido resultados auxiliares procedentes de otras referencias, como [2], [3], [4], [5], [6] y [11]. 3.1. Generalidades A lo largo de esta sección, como ya se ha hecho en la anterior, Ω denotará un conjunto abierto de RN , a cuya frontera se le impondrán ciertas condiciones de regularidad. Con este motivo, se introducen ahora diversos conceptos que se utilizarán con posterioridad en el texto: Denición 3.1 (Movimiento rígido) . Un movimiento rígido T:RN→RN es una función afín tal que T( x ) = c +R( x ), x ∈RN , donde c ∈RN es un vector constante y R es una rotación, esto es, R( y 1)·R( y 2) = y 1·, y 2 , para todo y 1, y 2∈RN , y además det(M)>0 , donde M es su matriz asociada. Se denota por · al producto escalar usual en RN . Denición 3.2 (Función lipschitziana) . Sean A⊂RN y f:A−→ R una función. Se dice que f es lipschitziana si se verica que el valor sup x , y ∈A, x = y |f( x )−f( y )| ∥ x − y ∥, (3.1) es nito. Se denotará el valor 3.1 como Lip f . 21 22 3. Espacios de Sobolev Denición 3.3 (Frontera lipschitziana y de clase Cm ) . Dado un conjunto abierto Ω⊂RN , se dice que su frontera ∂Ω es lipschitziana si para todo x 0∈∂Ω existe un movimiento rígido T:RN→RN tal que T( x 0)=0 , una función lipschitziana f:RN−1→R y r > 0 tales que, para y =T( x ) , se tiene T(Ω ∩B( x 0, r)) = { y ∈B( 0 , r) : yN> f( y ′)}. Para cada m∈N0 , se dice que ∂Ω es de clase Cm , si la función f dada por la denición es de clase Cm . Recuérdese que en la Denición 2.22 se exponía el concepto de derivada débil (o distribucional) de una función u∈L1 loc (Ω) , para Ω⊂RN un conjunto abierto. Paralelamente, en vista de la Observación 1.45, es directo que Lp(Ω; RM)⊂L1 loc (Ω; RM) , luego cobran sentido ahora las siguientes deniciones: Denición 3.4 (Derivada débil α -ésima en Lp(Ω; RM) ) . Dados Ω⊂RN un conjunto abierto, α∈NN 0\{0} un multiíndice, 1≤p≤ ∞ , y una función u∈L1 loc (Ω; RM) , se dice que u admite derivada débil en Lp(Ω; RM) o derivada en el sentido de las distribuciones en Lp(Ω; RM) si existe una función vα∈Lp(Ω; RM) vericando ZΩ u∂αϕ dµ = (−1)|α|ZΩ vαϕ dµ para todo ϕ∈ C∞ c(Ω) . Se denotará la función vα como ∂αu o ∂|α|u ∂ x α . Se tiene, pues, que ∂αTu= Tvα . La denición 3.4 induce de manera natural los espacios de Sobolev, que se construyen como sigue: Denición 3.5 ( Espacio de Sobolev Wm,p(Ω; RM) ) . Dado un conjunto abierto Ω⊂RN , m, M ∈ N y 1≤p≤ ∞ , se dene el espacio de Sobolev Wm,p Ω; RM como el espacio de funciones u∈Lp(Ω; RM) que admiten derivadas débiles ∂αu en Lp(Ω; RM) para todo multiíndice α∈NN 0 vericando 1≤ |α| ≤ m . Este espacio puede dotarse con la siguiente norma: ∥u∥Wm,p(Ω;RM)=∥u∥Lp(Ω;RM)+X 1≤|α|≤m ∥∂αu∥Lp(Ω;RM). (3.2) Para facilitar la lectura, en el caso particular M= 1 , se denotará simplemente por Wm,p (Ω) al espacio Wm,p Ω; RM . En lo sucesivo, salvo que se especique, se trabajará en el caso M= 1 . Sin embargo, los resultados que aquí se enuncien, pueden trasladarse de manera natural para el caso 2≤M < ∞ . 3.1. Generalidades 23 Observación 3.6 . Existen normas equivalentes en Wm,p (Ω) . Podría considerarse, en primer lugar, la norma dada por ∥u∥Wm,p(Ω) = ∥u∥p Lp(Ω) +X 1≤|α|≤m ∥∂αu∥p Lp(Ω)  1 p ,1≤p < ∞ (3.3) y ∥u∥Wm,∞(Ω) = m´ax{∥∂αu∥L∞(Ω) : 0 ≤ |α| ≤ m}, p =∞, (3.4) donde se asume que ∂0u=u . Por otra parte, si ∇ku denota el vector de componentes ∂αu , con |α|=k , puede considerarse la norma ∥u∥Lp(Ω) + m X k=1 ∥∇ku∥Lp(Ω;RMk), siendo Mk el número de multiíndices α∈NN 0 tales que |α|=k . Existen diversas formas de introducir los espacios de Sobolev Wm,p(Ω) . En efecto, sean Ω un subconjunto abierto y acotado de RN , j≥0 un número entero y 1≤p < ∞ . Se denotará por ˆ Cj,p(Ω) al subespacio de funciones de Cj(Ω) cuya norma 3.2 es nita. Más aún, se tendrá que en este espacio, por cómo se dene la norma, una sucesión de funciones {un}n∈N se dirá de Cauchy si ZΩ |Dαuk−Dαul|pdµ →0, siempre que k, l → ∞,0≤ |α| ≤ j. Por otra parte, se denotará por Hj,p(Ω) a la compleción de ˆ Cj,p(Ω) respecto de la norma 3.2, esto es, el menor conjunto de funciones (salvo isomorsmos) que contiene a ˆ Cj,p(Ω) y a los límites de todas las sucesiones de Cauchy del espacio. Se llega al siguiente teorema, que se demuestra en [6, Theorem 6.3]: Teorema 3.7. Se tiene que Wj,p(Ω) = Hj,p(Ω) . Observación 3.8 . Analizando detenidamente la demostración de dicho teorema, puede observarse que Wj,p(Ω) está contenido en la compleción del espacio C∞,j,p(Ω) , es decir, la compleción del espacio de funciones C∞(Ω) cuya norma 3.2 es nita, y se denotará ˜ Hj,p(Ω) . Es directo que C∞,j,p(Ω) ⊂ Cj,p(Ω) , luego se tiene la cadena de inclusiones ˜ Hj,p(Ω) ⊂Hj,p(Ω) = Wj,p(Ω) ⊂˜ Hj,p(Ω), de donde Wj,p(Ω) = ˜ Hj,p(Ω) , y por tanto todo elemento de Wj,p(Ω) puede verse como límite de una sucesión de funciones de ˜ Hj,p(Ω) . El siguiente teorema demuestra la completitud de los espacios (Wm,p(Ω),∥ · ∥Wm,p(Ω)) : 24 3. Espacios de Sobolev Teorema 3.9. Sean Ω∈RN un conjunto abierto, m∈N y 1≤p≤ ∞ . Se tiene que: 1. El espacio Wm,p (Ω) es un espacio de Banach. 2. El espacio Hm(Ω) = Wm,2(Ω) es un espacio de Hilbert con el producto escalar: ⟨u, v⟩Hm(Ω) =ZΩ uv dµ +X 1≤|α|≤mZΩ ∂αu∂αv dµ. (3.5) Demostración. Se realizará la demostración de cada uno de los puntos por separado: 1. Para demostrar el primer apartado, considérese una sucesión de Cauchy {un}n∈N en el espacio Wm,p (Ω) . Por denición, se tiene que 0 = l´ım l,n→∞ ∥ul−un∥Wm,p(Ω) = = l´ım l,n→∞  ∥ul−un∥Lp(Ω) +X 1≤|α|≤m ∥∂αul−∂αun∥Lp(Ω) . Dado que Lp(Ω) es un espacio de Banach, han de existir funciones u, vα∈Lp(Ω) vericando l´ım n→∞ ∥un−u∥Lp(Ω) = 0,l´ım n→∞ ∥∂αun−vα∥Lp(Ω) = 0 (3.6) para cada multiíndice α , con 1≤ |α| ≤ m . Fijado un índice α en tales condiciones, es suciente ver que ∂αu=vα . En efecto, sea ϕ∈ C∞ c(Ω) jado. Dado que un∈Wm,p (Ω) para todo n∈N , se tiene ZΩ ϕ∂αundµ = (−1)|α|ZΩ un∂αϕ dµ. Por una parte, ZΩ un∂αϕ dµ −ZΩ un∂αϕ dµ =ZΩ (un−u)∂αϕ dµ ≤ZΩ |(un−u)∂αϕ|dµ ≤ ∥un−u∥Lp(Ω) ∥∂αϕ∥Lp′(Ω). Por otro lado, ZΩ ∂αunϕ dµ −ZΩ vαϕ dµ =ZΩ (∂αun−vα)ϕ dµ ≤ZΩ |(∂αun−vα)ϕ|dµ ≤ ∥∂αun−vα∥Lp(Ω) ∥ϕ∥Lp′(Ω). 3.1. Generalidades 25 Ahora bien, tomando límites en n , y haciendo uso de 3.6, se deduce que ZΩ ϕvαdµ = (−1)|α|ZΩ u∂αϕ dµ, para cada ϕ∈ C∞ c(Ω) , demostrando así que ∂αu=vα , y por tanto u∈Wm,p (Ω) . 2. Por otra parte, para probar el segundo enunciado, basta ver que la norma 3.3, para el caso particular de Hm(Ω) , viene inducida por el producto escalar 3.5. Así pues, nótese que ⟨u, u⟩Hm(Ω) =ZΩ uu dµ +X 1≤|α|≤mZΩ ∂αu∂αu dµ =ZΩ u2dµ +X 1≤|α|≤mZΩ (∂αu)2dµ =∥u∥2 L2(Ω) +X 1≤|α|≤m ∥∂αu∥2 L2(Ω) =∥u∥2 Hm(Ω), utilizando el hecho de que ∥w∥L2(Ω) =RΩw21 2 , para cualquier w∈L2(Ω) , probando así el resultado. La cuestión que ahora se plantea es determinar qué tipo de funciones conforman Wm,p(Ω) . Es evidente que, por cómo está denida la norma en dicho espacio, que C∞ c(Ω) ⊂Wm,p(Ω) , ya que dada u∈ C∞ c(Ω) , basta tomar vα=∂αu en la Denición 3.4. A modo de ilustración, tómese N= 1 y considérese u∈ C∞ c(a, b) , se tendrá, dada una función ϕ∈ C∞ c(a, b) y α∈N , que: Z(a,b) ϕ u(α)dµ =(−1)1Z(a,b) ϕ(1) u(α−1) dµ =(−1)2Z(a,b) ϕ(2)u(α−2) dµ . . . =(−1)αZ(a,b) ϕ(α)u dµ donde se ha empleado iterativamente el método de integración por partes. Tiene ahora sentido la siguiente denición: Denición 3.10 (El espacio Wm,p 0(Ω) ) . Dados Ω⊂RN un conjunto abierto, m∈N y 1≤p≤ ∞ , se dene el espacio Wm,p 0(Ω) como la clausura del espacio C∞ c(Ω) en Wm,p(Ω) , con respecto de la topología de este último, inducida por la norma 3.2. 26 3. Espacios de Sobolev Otra cuestión natural sería estudiar, para los espacios Wm,p(Ω), una posible analogía con los embebimientos de los espacios Lp(Ω) . Recuérdese que para Ω⊂RN de medida nita, y 1≤p≤q≤ ∞ , se tiene que Lq(Ω) ,→Lp(Ω) (véase [1, Theorem 2.14]). Previo a desarrollar la Teoría de embebimientos de los espacios Wm,p(Ω) , es indispensable introducir una serie de deniciones y notaciones que fundamentarán todos los razonamientos que se llevarán a cabo con posterioridad. Una nota importante a hacer en este punto es que en todo momento se intentará establecer una simbiosis entre el carácter analítico de los Espacios de Sobolev y las características geométricas del dominio Ω de las funciones que componen dichos espacios. Consecuentemente, se denen los siguientes conceptos: Denición 3.11 (Cono) . Sea y ∈RN un vector n -dimensional. Para cada x ∈RN, x = 0 , sea ∠( x , y ) el ángulo que forman dichos vectores. Dados ρ > 0 y 0< κ ≤π , se denotará por cono nito de altura ρ , dirección axial y y ángulo de apertura κ con vértice en el origen al conjunto: C={ x ∈RN: x = 0 o 0<| x | ≤ ρ, ∠( x , y )≤κ 2}. Denición 3.12 (Condición del cono) . Sea Ω⊂RN un conjunto abierto. Se dice que Ω cumple la condición del cono si existe un cono nito C tal que todo x ∈Ω es vértice de un cono nito C x contenido en Ω y congruente con C , esto es, C x existe T:RN−→ RN una isometría (esto es, ∥T( x )∥=∥ x ∥ para todo x∈RN ) tal que C x =T(C) y tiene a x como uno de sus vértices. Denición 3.13 (Paralelepípedo) . Sean y 1,..., y N∈RNN vectores linealmente independientes (esto es, forman una base de RN ). Se llama paralelepípedo con uno de sus vértices en el origen al conjunto P=   N X j1 λj y j:λj∈[0,1],1≤j≤N   . Además, se dene el paralelepípedo x +P={ x + y : y ∈P} como el trasladado paralelo de P con uno de sus vértices en x . Es asimismo necesario introducir ciertos espacios de funciones, que se utilizarán en adelante con asiduidad. Así, recuérdese el conjunto denido en 1.1. Este admite una generalización, en el contexto actual, que se formula como sigue: Denición 3.14 (El espacio Cj B(Ω) ) . Sea Ω⊂RN un conjunto abierto. Se denotará por Cj B(Ω) al subespacio de Cj(Ω) , constituido por los elementos ϕ∈ Cj(Ω) tales que Dαϕ está acotada en Ω , para todo 0≤ |α| ≤ j . Este espacio está dotado de la norma ∥ϕ∥Cj B(Ω) = m´ax 0≤|α|≤msup x ∈Ω |Dαϕ( x )|. 3.1. Generalidades 27 Denición 3.15 (El espacio Cj(Cl(Ω)) ) . El espacio Cj(Cl(Ω)) se constituye por todas las funciones ϕ: Ω −→ R tales que ϕ∈ Cj B(Ω) (véase la Denición 3.14) y además Dαϕ es uniformemente continua, para todo 0≤ |α| ≤ j , esto es, Dαϕ admite una (única) extensión continua y acotada de Ω a Cl(Ω) . Además, Cj(Cl(Ω)) puede dotarse de la norma ∥ϕ∥Cj(Cl(Ω)) = m´ax 0≤|α|≤msup x ∈Ω |Dαϕ( x )|, coincidente con ∥ϕ∥Cj B(Ω) . Continuando con los preparativos para el desarrollo de la teoría mencionada, es importante recuperar la desigualdad de Hölder (véase la Proposición 1.32), pues esta puede utilizarse para desarrollar una desigualdad más general, cuya demostración puede encontrarse en [1, Theorem 2.11]: Teorema 3.16. Sean 1≤p<q<r≤ ∞ tales que 1 q=θ p+1−θ r para algún θ∈(0,1) . Ahora bien, si u∈Lp(Ω) ∩Lr(Ω) , entonces u∈Lq(Ω) y además ∥u∥Lq(Ω) ≤ ∥u∥θ Lp(Ω)∥u∥1−θ Lr(Ω). Teorema 3.17 (Embebimientos de los espacios Wm,p , para mp > N o m=N, p = 1 ) . Sea Ω⊂RN un conjunto abierto vericando la condición 3.12. Sean 1≤k≤N y Ωk la intersección de Ω con un plano k -dimensional de RN , siendo Ωn= Ω . Sean j≥0 y m≥1 dos números enteros y 1≤p < ∞ . En las condiciones del enunciado, se tiene que Wj+m,p(Ω) ,→ Cj B(Ω), (3.7) Además, se verica que Wj+m,p(Ω) ,→Wj,q(Ωk), con p≤q≤ ∞. La demostración de este resultado requiere del siguiente resultado auxiliar, cuya prueba se omite y que se puede ver en [1, Lemma 4.15]: Lema 3.18. Sea Ω⊂RN un conjunto abierto vericando la condición 3.12, para el cono C de dimensiones ρ y κ . En tal caso, existe una constante K≡K(m, N, ρ, κ) tal que para todo u∈ C∞(Ω) , todo x ∈Ω y todo 0< r ≤ρ , se tiene |u( x )| ≤ KX |α|≤m−1 r|α|−NZC x ,r |Dαu( y )|dµ( y )+KX |α|=mZC x ,r |Dαu( y )|| x − y |m−Ndµ( y ), (3.8) donde C x ,r ={ y ∈Cx:| x − y | ≤ r} , y Cx es el cono con vértice en x y congruente con C . 34 3. Espacios de Sobolev que las desigualdades de la observación 3.26 son válidas para 0< r ≤1 ). De este modo, se llega a la siguiente acotación: |u( x )| ≤ K X 0≤|α|≤m−1 χ1∗ |Dαu|( x ) + X |α|=m χ1ωm∗ |Dαu|( x ) . (3.12) Además, como p≤q≤p∗ , basta tomar θ∈[0,1] de modo que 1 q=θ p+1−θ p∗ y aplicar el Teorema 3.16 (nótese que se permite que q tome los valores extremos, luego se está ante un caso menos restrictivo), y los Lemas 3.27 (para los términos χ1∗ |Dαu| ) y 3.28 (para los términos χ1ωm∗ |Dαu| ), obteniendo ∥u∥Lq(Ωk)≤∥u∥θ Lp(H)∥u∥1−θ Lp∗(H) ≤K X 0≤|α|≤m ∥Dαu∥Lp(RN)  θ X 0≤|α|≤m ∥Dαu∥Lp(RN)  1−θ ≤K∥u∥Wm,p(Ω), lo que prueba el embebimiento enunciado. Una vez demostrados los casos mp < N y mp > N , es natural preguntarse si podrían encontrarse embebebimientos análogos cuando mp =N . La respuesta es armativa. Véase el siguiente Teorema, cuya demostración está presente en [1, Página 92, 4.20]: Teorema 3.30 (Embebimientos de los espacios Wm,p , para mp =N y p > 1 ) . Sea Ω⊂RN un conjunto abierto vericando la condición 3.12. Sean 1≤k≤N y Ωk la intersección de Ω con un plano k -dimensional de RN , siendo ΩN= Ω . Sean j≥0 y m≥1 dos números enteros y 1<p<∞ , de manera que mp =N . En tal caso, Wj+m,p(Ω) ,→Wj,q(Ωk), para p≤q < ∞. Además, tomando j= 0 y k=N , se deduce que Wm,p(Ω) ,→Lq(Ω), para p≤q < ∞. Nótese que en los Teoremas 3.29 y 3.30 se ha excluido el caso p= 1 . En consecuencia, se cerrará esta sección demostrando que, en tales condiciones, dichos teoremas también son válidos. Previamente se enunciarán dos Lemas que facilitarán las demostraciones a las que se ha hecho referencia. A modo de observación, nótese que para A⊂RN un conjunto (acotado o no), la notación ∂A se referirá a la frontera (en RN ) de A. Se tiene, pues, lo siguiente: Lema 3.31. Sea Ω⊂RN un dominio vericando la condición 3.12. En tal caso, ha de existir una familia nita de subconjuntos abiertos de Ω , {Ω1,...,Ωn}, n ∈N , que recubre Ω , esto es, Ω = ∪n i=1Ωi , y de modo que para cada i= 1, . . . , n existen un conjunto Ai⊂Ωi y un paralelepípedo Pi con uno de sus vértices en 0 (véase la Denición 3.13) tales que Ωi=∪ x ∈Ai( x +Pi) . 3.1. Generalidades 35 Adicionalmente, si Ω es acotado, se tiene que para cada ρ > 0 jado, puede escogerse Ai de forma que diam(Ai) = sup x , y ∈∂Ai ∥ x − y ∥< ρ . La demostración del lema anterior se encuentra en [1, Lemma 4.22]. Este resultado permite demostrar el segundo lema, que versa como sigue: Lema 3.32. Si Ω verica la condición 3.12, se tendrá que W1,1(Ω) ,→Lp(Ω), para todo 1≤p≤N N−1. Observación 3.33 . En las hipótesis de los Teoremas 3.17, 3.29 y 3.30 siempre se ha requerido que el abierto Ω verique la condición 3.12. Es por ello que la demostración del Lema anterior hace uso de la descomposición dada por el Lema 3.31. Más aún, en la demostración se asume que Ω puede descomponerse en base a un único paralelepípedo, esto es, n= 1 y Ω = Ω1=∪ x ∈A1( x +P1) , utilizando la notación de 3.31. Además, también se argumenta que existe T:RN−→ RN una transformación lineal que convierte a P en un cubo Q , luego un paralelepípedo cuyas aristas son de igual longitud (que se pueden suponer de longitud la unidad), y siendo éstas paralelas a los ejes coordenados . En este punto también se hace uso del Teorema 3.21, concluyendo que es suciente redactar la demostración de 3.32 para Ω = ∪ x ∈A1( x +Q) . Recuérdese que en el Teorema 3.30, se supuso que 1≤N y mp =N . Por lo tanto, para p= 1 se tendrá que 0 = N−m<k , siempre que 1≤k≤N . Paralelamente, en el Teorema 3.29 se tenía que mp < N , ergo para p= 1 es m < N . Si se añade la condición N−m≤k≤N , entonces el enunciado sigue siendo válido. Es más, se demostrarán ambos casos de forma simultánea, dividiendo la argumentación en dos partes, tal y como sigue: Demostración de los teoremas 3.29 y 3.30 para p= 1 y k > N −m . Sea, pues, 1≤m<N . Por el Lema 3.32 y los Teoremas 3.29 y 3.30 (luego p > 1 ), se sigue que Wm,1(Ω) ,→Wm−1,p(Ω), para todo 1≤p≤N N−1. Como k∈N y se está suponiendo que k > N −m , necesariamente k≥N−m+1 > N −(m−1)p , para cualquier p > 1 , luego de nuevo por el Teorema 3.29 se tiene que, cambiando m por m−1 , Wm−1,p(Ω) ,→Lq(Ωk) , siempre que 1≤q≤p∗=kp N−(m−1)p=kN N−1 N−(m−1) N N−1 =k N−m, donde se ha acotado por p=N N−1 . Por tanto, componiendo ambos embebimientos (teniendo en cuenta que la composición de aplicaciones continuas es continua), se deduce que Wm,1(Ω) ,→Lq(Ωk), para 1≤q≤k N−m. 36 3. Espacios de Sobolev Finalmente, recuérdese que la segunda parte de la demostración del Teorema 3.17 ya argumentó el caso p= 1 y m=N , luego es directo que WN,1(Ω) ,→Lq(Ωk), para 1≤q≤ ∞,1≤k≤N, nalizando así la demostración. Observación 3.34 . Nótese que resta demostrar el caso k=N−m . Es evidente que el Teorema 3.30 ya ha quedado totalmente cubierto, pues si m=N , como k≥1 , necesariamente k > N −m= 0 . Por otra parte, si k=N−m , ha de demostrarse que Wm,1(Ω) ,→Lq(Ωk), para 1≤qk N−m= 1, o lo que es lo mismo, Wm,1(Ω) ,→L1(Ωk) . Se procede con la demostración: Demostración del teorema 3.29 para p= 1 y k=N−m . Por un razonamiento análogo al aportado en la Observación 3.33, se realizará la demostración para Ω un abierto unión de trasladados paralelos de un cubo con aristas de longitud uno y paralelas a los ejes coordenados. Se supondrá también (bastaría llevar a cabo una traslación en caso contrario) que 0 ∈Ω y Ωk={ y = ( y ′, y ′′)∈Ω : y ′= 0 }, donde y ′= (y1, . . . , ym) e y ′′ = (ym+1, . . . , yN) . Sea ahora x = (x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xN)∈Ω , y sea Ω x la intersección de Ω con el plano m -dimensional de variables de tipo y ′ tal que x ′= (x1, . . . , xm)∈Ω x . A partir de las coordenadas de x ′ , puede construirse un cubo m -dimensional de lado uno Q x , totalmente contenido en Ω x , y tal que x ∈Q x . Sea u∈ C∞(Ω) . Aplicando el Teorema 3.17 a u sobre Q x , se sigue que |u( x )| ≤ KX 0≤|α|≤mZΩ x |Dαu( x ′, x ′′)|dµ( x ′). Integrando a ambos lados de la desigualdad anterior respecto de x ′′ sobre el conjunto Ωk , se llega a lo siguiente: ZΩk |u( x )|dµ( x ′′)≤ZΩk KX 0≤|α|≤mZΩ x |Dαu( x ′, x ′′)|dµ( x ′) dµ( x ′′) =KX 0≤|α|≤mZΩ |Dαu( x )|dµ( x ) luego por un razonamiento análogo al hecho en la demostración del Teorema 3.17, se sigue el enunciado. 3.2. Teoremas de trazas 37 3.2. Teoremas de trazas El objetivo de esta sección es buscar, para Ω⊂RN un dominio, la relación que existe entre las funciones de Wm,p(Ω) , y su restricción a la frontera de Ω , el conjunto ∂Ω . Es por ello que se introducirá, en las siguientes líneas, el concepto de operador traza . Se ha seguido en todo momento la referencia [9]. Al restringir las funciones de Wm,p(Ω) a ∂Ω , se lleva a cabo una reducción en la dimensión del dominio, luego tiene sentido introducir una nueva medida que tenga este último hecho en cuenta. Es por ello que toda integral en ∂Ω se considerará respecto de la medida HN−1 (véase la Denición 1.42). Paralelamente, en lo que resta de capítulo y en consonancia con [9, Chapter 18], se empleará la siguiente notación: Lp(∂Ω) = Lp(∂Ω,HN−1) . Lp loc(∂Ω) = Lp loc(∂Ω,HN−1) . ∥·∥Lp(∂Ω) =∥·∥Lp(∂Ω,HN−1) . Establecida la notación, se procederá con la denición del operador traza . Para ello, sea Ω⊂RN , con N≥2 , un dominio cuya frontera, ∂Ω es lipschitziana, según la Denición 3.3. Sea además n = (n1, . . . , nN) el vector normal unitario a ∂Ω . Bajo estas condiciones, se tiene el siguiente resultado, cuya demostración se encuentra en [9, Theorem 18.1]: Teorema 3.35. Para cada 1≤p < ∞ , existe un (único) operador lineal Tr : W1,p(Ω) −→ Lp loc(∂Ω) vericando las siguientes condiciones: 1. Tr(u) = u , para cualquier u∈W1,p(Ω) ∩ C(Cl(Ω)) (véase la Denición 3.15), 2. para cada u∈W1,p(Ω) y cada ψ∈ C1 c(R)N (véase la Denición 2.7, sustituyendo el espacio C∞(Ω) por C1(Ω) ), se cumple que: ZΩ u∂iψ dµ =−ZΩ ψ∂iu dµ +Z∂Ω ψTr(u)nidHN−1, para todo 1≤i≤N, 3. dado cualquier R > 0 existen dos constantes c≡c(R, p, Ω), ϵ′≡ϵ′(R, p, Ω) de modo que ZB( 0 ,R)∩∂Ω |Tr(u)|pdHN−1≤cϵ−1ZB( 0 ,R)∩(Ω\Ωϵ) |u|pdµ +cϵp−1ZB( 0 ,R)∩(Ω\Ωϵ) ∥∇u∥pdµ, para todo 0< ϵ ≤ϵ′ , siendo Ωϵ={ x ∈Ω : d( x , ∂Ω) > ϵ} . 38 3. Espacios de Sobolev A continuación se hará, en las condiciones del teorema anterior, un estudio acerca de una propiedad concreta del operador traza, la compacidad (secuencial). Así pues, en virtud del Teorema 3.35, se tiene el siguiente resultado, cuya prueba se omite y se puede encontrar en [9, Corollary 18.4]: Corolario 3.36 (Compacidad del operador traza) . Para N≥2 , sea Ω⊂RN un dominio acotado tal que ∂Ω es lipschitziana (según la denición 3.3). Sean además 1< p < ∞ y X={un}n∈N una sucesión acotada en W1,p(Ω) . En tal caso, existe una subsucesión {unk}k∈N de X y una función u∈W1,p(Ω) tal que unk→u en Lp(Ω) y además Tr(unk)→Tr(u) en Lp(∂Ω) . Recuérdese que en la Denición 3.10 se introdujo el espacio de Sobolev homogéneo W1,p 0(Ω) . Las funciones de dicho espacio cuentan con una característica muy interesante, que su traza es nula. De hecho, se tiene el siguiente teorema, cuya demostración puede verse en [9, Theorem 18.7]: Teorema 3.37. Para N≥2 , sea Ω⊂RN un dominio acotado tal que ∂Ω es lipschitziana (según la denición 3.3). Dados 1≤p < ∞ y u∈W1,p(Ω) , se tiene que Tr(u) = 0 si y solo si u∈W1,p 0(Ω) . En paralelo a los resultados anteriores, se tendrá como primer objetivo el estudio de la traza de los espacios W1,p(Ω) , con p≥1 . Será de gran utilidad en esta tarea el siguiente espacio: Denición 3.38 (El espacio ˙ Wm,p(Ω) ) . Sea Ω⊂RN un conjunto abierto, y sean m∈N,1≤ p < ∞ . Se dene el espacio de Sobolev homogéneo ˙ Wm,p(Ω) como el conjunto de funciones u∈L1 loc(Ω) tales que ∂αu∈Lp(Ω) , para todo multiíndice α∈NN 0 vericando |α|=m . Este espacio está dotado de la seminorma |u|˙ Wm,p(Ω) =∥∇mu∥Lp(Ω). Observación 3.39 . Como ya se ha argumentado previamente, se tiene la inclusión Lp(Ω) ⊂ L1 loc(Ω) . Este hecho, unido a la denición dada de Wm,p(Ω) (véase la Denición 3.5), induce la inclusión Wm,p(Ω) ⊂˙ Wm,p(Ω) . Las anotaciones anteriores sirven como punto de partida de la tarea mencionada con anterioridad. De este modo, como caso base, tómense p= 1 y Ω = RN +={ x = ( x ′, xN)∈RN−1×R: xN>0} . Si N≥2 , se tiene el siguiente resultado. Se omite su prueba, la cual se puede revisar en [9, Theorem 18.9]: Teorema 3.40. Sea N≥2 . Para todo u∈˙ W1,1(RN +) tendiendo a cero en innito, esto es l´ım ∥ x ∥→∞ u( x ) = 0 . Se tiene que ∥Tr(u)( · ,0)∥L1(RN−1)≤ ∥∂Nu∥L1(RN +). 3.2. Teoremas de trazas 39 Observación 3.41 . Nótese, en primer lugar, que jado u∈˙ Wm,p(RN +) , se tiene que Tr(u) : RN +−→ R . En tal caso, jando como 0 el valor de la variable xN , se sigue que Tr(u)( · ,0) es una función de N−1 variables. Por otra parte, gracias a la Observación 3.39 y al Teorema 2.18, se sigue que el operador traza Tr : W1,1(RN +)−→ L1(RN−1) u−→ Tr(u)( · ,0) ha de ser continuo, ya que ∥Tr(u)( · ,0)∥L1(RN−1)≤ ∥∂Nu∥L1(RN +)≤ ∥∇u∥L1(RN +)=|u|˙ W1,1(RN +)<∞, utilizando sucesivamente el Teorema anterior, la Denición 3.38 y la Observación 3.39. La observación anterior prueba la continuidad del operador Tr : W1,1(RN +)−→ L1(RN−1) , pero puede irse un paso más allá. Véase el siguiente Teorema, que se corresponde con [9, Theorem 18.13]: Teorema 3.42. Sea g∈L1(RN−1) para N≥2 . Se tiene que para cada δ∈(0,1) existe u∈W1,1(RN +) de modo que Tr(u) = g , y que verica las siguientes acotaciones: ∥u∥L1(RN +)≤δ∥g∥L1(RN−1),∥∇u∥L1(RN +)≤(1 + δ)∥g∥L1(RN−1). Nótese que esto demuestra que dicho operador es sobreyectivo, y además aporta condiciones relativas a las preimágenes de los elementos de L1(RN−1) por la aplicación Tr . La pregunta que el lector se puede hacer en este punto es qué ocurre si se sustituye el abierto RN + por otro dominio Ω arbitrario. Con esto en mente, se probará que bajo ciertas condiciones de regularidad de ∂Ω , pueden determinarse constantes que faciliten una acotación similar a la proporcionada en el Teorema anterior. Previo a este acometido, se denen los siguientes conceptos: Denición 3.43 (Colección localmente nita) . Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea F una colección de subconjuntos de X. Se dice que F es localmente nita si para cualquier x∈X , existe U un entorno de x que interseca únicamente a un número nito de elementos de F . Denición 3.44 (Frontera uniformemente lipschitziana) . Sea Ω⊂RN un conjunto abierto. Se dice que ∂Ω es uniformemente lipschitziana si existen dos constantes reales ϵ, L > 0 , un número natural M∈N y una colección de conjuntos abiertos localmente nita {Ωn}n∈N que recubre ∂Ω , vericando: 1. La bola B( x , ϵ)⊂Ωn , siempre que x ∈∂Ω , y para algún n∈N , 2. todo punto x ∈RN está contenido en a lo sumo M conjuntos de la forma Ωn , 40 3. Espacios de Sobolev 3. para cada n∈N existen coordenadas locales y n= ( y ′, yN)∈RN−1×R , y una función lipschitziana fn:RN−1−→ R de modo que Lip f≤L , vericando que para Vn el conjunto dado en coordenadas locales como sigue: Vn={( y ′, yN)∈RN−1×R:yN> f( y ′)}. entonces Ωn∩Ω=Ωn∩Vn . En base a la denición previa, se enuncia sin demostración (véase [9, Theorem 18.18]) el siguiente Teorema: Teorema 3.45. Sea Ω⊂RN un dominio, con N≥2 , y supóngase que ∂Ω es uniformemente lipschitziana. Se tiene que ∥Tr(u)∥L1(∂Ω) ≤cMϵ−1(1 + L)∥u∥L1(Ω) +c(1 + L)∥∇u∥L1(Ω), para cualquier u∈W1,1(Ω) , donde c≡c(N) es una constante real positiva no nula, y los valores ϵ, L > 0 y M∈N quedan totalmente determinados por la Denición anterior. Una vez se ha expuesto el caso p= 1 , se comentará cómo se adaptan los resultados anteriores a los espacios W1,p(Ω) , para p > 1 . En esta línea, se tiene el siguiente Teorema, extraído de [9, Theorem 18.24]: Teorema 3.46. Sea 1< p < N . En tal caso, existe una constante real positiva no nula c≡ c(N, p) de modo que para todo u∈˙ W1,p(Ω) tendiendo a cero en innito se tiene que ∥Tr(u)( · ,0)∥ L p(N−1) N−p(RN−1) ≤c∥∇u∥Lp(RN +). Observación 3.47 . Nótese que el Teorema previo presenta una acotación similar a la proporcionada por el Teorema 3.40. En este caso, también se pide que la dimensión del dominio sea N≥2 , y la constante de acotación c no ha de ser necesariamente igual a uno. Paralelamente, razonando de forma totalmente análoga a la Observación 3.41, se sigue que la aplicación lineal Tr : W1,p(RN +)−→ L p(N−1) N−p(RN−1) es acotada, y por tanto continua. Lo que resta de sección se incluye a modo de compleción, pues se escapa del motivo de este trabajo. Hecha esta aclaración, y para nalizar este capítulo, se prosigue con la introducción de los Espacios de Besov que, bajo ciertas condiciones se corresponderán, precisamente, con la imagen del operador traza. Consecuentemente, sea u:RN−→ R una función Lebesgue-medible, y sean x , h ∈RN . Se dene el operador de diferencias progresivas ∆1 h u( x )≡∆ h u( x ) = u( x + h )−u( x ). 3.2. Teoremas de trazas 41 De modo inductivo, para cada m∈N, m ≥2 , se dene ∆m h u( x )=∆ h (∆m−1 h u( x )). Ahora sean 1≤p < ∞ y s > 0 . Se denen los Espacios de Besov como sigue: Denición 3.48 (El espacio Bs,p(RN) ) . Se dice que u pertenece al espacio de Besov Bs,p(RN) si se tiene que el valor ∥u∥Bs,p(RN)=∥u∥Lp(RN)+|u|Bs,p(RN) (3.13) es nito, siendo |u|Bs,p(RN)= ZRN ∥∆⌊s⌋+1 h u∥p Lp(RN) ∥ h ∥N+sp dµ( h )  1 p . Observación 3.49 . Es importante remarcar que, por cómo se dene la norma 3.13, se tiene la inclusión Bs,p(RN)⊂Lp(RN) . De este modo, pese a que en el caso p= 1 se veía que el operador Tr : W1,1(RN +)−→ L1(RN−1) es sobreyectivo, no se verica cuando p > 1 . De hecho, se verá que la imagen del operador es, precisamente, el espacio B1−1 p,p(RN−1) . Conforme a lo expuesto en la Observación anterior, se tiene el siguiente resultado, que se encuentra en [9, Theorem 18.27]: Teorema 3.50. Sean 1<p<∞ y N≥2 . Bajo estas condiciones, existe una constante real positiva no nula c≡c(N, p) de forma que |Tr(u)( · ,0)|B1−1 p,p(RN−1)≤c∥∇u∥Lp(RN +), para todo u∈˙ W1,p(RN +). Procediendo como en la Observación 3.41, se demuestra que para todo u∈˙ W1,p(RN +) , |Tr(u)( · ,0)|B1−1 p,p(RN−1)<∞ . Por consiguiente, es directa la inclusión Tr( ˙ W1,p(RN +)) ⊂B1−1 p,p(RN−1). Basta, pues, ver el contenido inverso para concluir la igualdad. Se aporta, en consecuencia, el siguiente Teorema, cuya demostración se sigue de [9, Theorem 18.28]: Teorema 3.51. Sean 1< p < ∞ y n≥2 , y considérese g∈L1 loc(RN−1) de forma que |g|B1−1 p,p(RN−1)<∞ . En tal caso, ha de existir v∈˙ W1,p(RN +) de modo que Tr(v)( · ,0) = g y además ∥∇v∥Lp(RN +)≤c|g|B1−1 p,p(RN−1), siendo c≡c(N, p)>0 , luego B1−1 p,p(RN−1)⊂Tr( ˙ W1,p(RN +)) . 42 3. Espacios de Sobolev Capítulo 4 Aplicaciones a las EDPs La sección a la que se da ahora comienzo estará centrada en el análisis de la resolución de problemas elípticos . Para ello, se establecerá un marco general sucientemente representativo, el cual se particularizará en el próximo capítulo con el objeto de obtener resultados empíricos. En líneas generales, sea V un R -espacio de Hilbert, y denótese por ∥ · ∥ la norma inducida por el producto escalar ⟨ · , · ⟩ de V . Paralelamente, sea a:V×V−→ R una forma bilineal continua, esto es, existe M≥0 de modo que a(u, v)≤M∥u∥∥v∥, para todo u, v ∈V. Finalmente, sea L:V−→ R una forma lineal y continua, esto es, si su norma en V′ es nita. En lo sucesivo, se denotará el espacio W1,2 0(Ω) (véase la Denición3.10) como H1 0(Ω) . Es conveniente, además, recordar la inclusión natural H1 0(Ω) ⊂H1(Ω) . Más aún, se tiene el siguiente resultado, presente en [10, Thèorème 1.4-1], que será de utilidad en el capítulo próximo: Teorema 4.1. H1 0(Ω) = {v∈H1(Ω) : v|Γ≡0} . Es importante remarcar en este punto que para Ω⊂RN un dominio, que se supondrá acotado en lo que resta de capítulo, L2(Ω) es un espacio de Hilbert con el producto escalar (f, g)L2(Ω) = RΩf( x )g( x )dµ( x ) , y la norma inducida ∥f∥L2(Ω) = [(f, f)L2(Ω)]1 2 , para cada f∈L2(Ω) . Este hecho es consecuencia directa del Teorema 3.9. Paralelamente, una vez establecida la notación, considérese la seminorma en H1 0(Ω) dada por |v|1,Ω= N X i=1 ∥∂v ∂xi ∥2 L2(Ω)!1 2 , para todo v∈H1 0(Ω). (4.1) El siguiente Teorema, la desigualdad de Poincaré (véanse Raviart Théorème 1.2-5 y Corollaire 1.2-1), demuestra que la seminorma anterior, siempre que Ω sea acotado, es en realidad una norma en H1 0(Ω) , y además es equivalente a la inducida como subespacio de H1(Ω) : 43 50 4. Aplicaciones a las EDPs v∈H1(Ω) (nótese que anteriormente se tomaba v∈H1 0(Ω) , dado que u≡0 en ∂Ω , pero en este caso sí se permite libertad a u en la frontera, luego es conveniente tomar v∈H1(Ω) ). Se obtiene así que −ZΩ (∆u)v dµ +ZΩ uv dµ =ZΩ fv dµ. (4.13) Además, por (4.12), es evidente que R∂Ω ∂u ∂ n v dσ = 0 y, en virtud de 4.13 y de nuevo la Proposición 4.8, se llega a N X i=1 ZΩ ∂u ∂xi ∂v ∂xi dµ +ZΩ uv dµ =ZΩ fv dµ, para todo v∈H1(Ω). (4.14) Finalmente, la formulación variacional (V) del problema inicial se basará en encontrar u∈ H1(Ω) que verique la ecuación 4.14. Observación 4.11 . El problema de Neumann también puede estudiarse a partir del marco teórico general, tal y como se indica en [10, Exemple 2.2-2], tomando V=H1(Ω) y ∥ · ∥=⟨u, v⟩H1(Ω)1 2 . Como forma bilineal a(u, v) = N X i=1 ZΩ ∂u ∂xi ∂v ∂xi dµ +ZΩ uv dµ . Como forma lineal L(v) = ZΩ fv dµ , y razonando de forma totalmente análoga al Ejemplo 4.9. Para dar n a esta sección, conviene remarcar el hecho de que existen numerosas aplicaciones de los Espacios de Sobolev para la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales. En efecto, pueden estudiarse problemas elípticos con operadores diferenciales de orden dos, que se denotan genéricamente por A , más generales que el Laplaciano, y que para una función u: Ω −→ R toman la forma Au =− N X i,j=1 ∂ ∂xiaij ∂u ∂xj+a0u, siendo los coecientes a0, ai,j de la igualdad anterior funciones medibles, de modo que a0, ai,j ∈ L∞(Ω) , para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , N} . Paralelamente, los Espacios Hm también están presentes en problemas reales de la física, como el Sistema de la elasticidad o el Sistema de Stokes . Para un estudio detallado de estas últimas aplicaciones, puede consultarse [10, Páginas 40-57]. Capítulo 5 El método de elementos nitos El capítulo al que se da ahora comienzo tratará la implementación del Método de elementos nitos utilizando el lenguaje FreeFrem++, con el objetivo de la aproximación numérica de la solución (única) de algunos de los ejemplos presentados a lo largo de este escrito. En particular, se introducirá la notación y herramientas necesarias para la resolución numérica del Ejemplo 4.9, cuya formulación variacional se obtuvo siguiendo dos caminos diferentes. La redacción de las secciones pertinentes toma [10] como documento base, el cual se referenciará sucesivamente a modo de compleción para aquellos resultados de corte auxiliar, pero necesarios para el desarrollo de la teoría de aproximación. 5.1. Generalidades Recuérdese que en el marco teórico general se tomaba (V, ∥ · ∥) un R -espacio de Hilbert (generalmente V=H1 0(Ω) o V=H1(Ω) , que son espacios de dimensión innita) y se establecía el problema (P) (véase 4.2) como Encontrar u∈V tal que a(u, v) = L(v), para todo v∈V, donde a( · , · ) es una forma bilineal V -elíptica (véase la Denición 4.4) y continua sobre V×V , y L( · ) es una forma lineal continua sobre V . Sea pues u la solución (única) del problema 4.2. Ésta es, a priori, desconocida, luego es pertinente el empleo de métodos numéricos que devuelvan aproximaciones con un error inferior a un umbral predeterminado. Es por ello determinar nuevas formulaciones variacionales, donde el espacio con el que se trabaja sea de dimensión nita, y efectuar las aproximaciones sobre el mismo. 51 52 5. El método de elementos nitos A modo de inicio, puede suponerse adicionalmente que la forma bilineal es simétrica, según la Denición 4.6. Bajo tal condición, en virtud del Teorema 4.7, se tendrá que la función u minimiza al funcional cuadrático J:V−→ R denido en 4.6. Resulta lógico, pues, dado un subespacio Vh⊂V , considerar el problema de minimización m´ın v∈Vh J(v) que, vía el Teorema 4.7, admite solución única uh∈Vh , la cual verica que a(uh, vh) = L(vh) , para todo vh∈Vh . Así, se toma uh como aproximación de u . En caso de no requerir simetría a la forma bilineal, no se puede garantizar el cumplimiento del Teorema 4.7, luego ha de procederse de un modo alternativo. Así pues, dados valores (de forma decreciente en magnitud) de un parámetro h > 0 , considérese Vh⊂V un subespacio de dimensión I(h)<∞ , y tal que l´ım h→0I(h)=0 . La idea subyacente consiste en aproximar el espacio V por la sucesión de subespacios {Vh}h>0 , y por consiguiente de la solución u que se tiene por objetivo. Dado que u verica la condición 4.2, resulta natural restringir dicha igualdad a cada subespacio Vh , obteniéndose así el problema (Ph) : Encontrar uh∈Vh tal que a(uh, vh) = L(vh), para todo vh∈Vh. (5.1) La cuestión es ahora conocer la existencia de tal uh y su comportamiento. Resulta entonces crucial el siguiente Teorema, cuya prueba se encuentra en [10, Théorème 3.1-1]: Teorema 5.1. El problema 5.1 admite solución única uh∈Vh . Ahora bien, el hecho de conocer una aproximación de la solución original no implica que ésta sea óptima. Por consiguiente, es menester realizar un estudio del error cometido en cada paso. Primeramente, se llevará a cabo una acotación general e independiente del subespacio Vh escogido. Véase el siguiente Teorema, cuya demostración puede ser consultada en [10, Théorème 3.1-2]: Teorema 5.2. Sean u y uh las soluciones de los problemas 4.2 y 5.1 respectivamente. En tal caso, existe una constante positiva no nula C , que no depende del subespacio Vh tomado, tal que ∥u−uh∥ ≤ C · ´ınf vh∈Vh ∥u−vh∥. (5.2) La acotación dada por el Teorema anterior puede complementarse con un resultado de convergencia bajo ciertas condiciones. En efecto, sea V un espacio de Hilbert de modo que admite un subconjunto denso, W . Se tiene el siguiente resultado: Teorema 5.3. En las condiciones previas, supóngase que existe una aplicación rh:W−→ Vh de modo que l´ım h→0∥v−rh(v)∥= 0, para todo v∈W. En tal caso, se verica que l´ım h→0∥u−uh∥= 0 . 5.2. Construcción del espacio de Elementos Finitos 53 5.2. Construcción del espacio de Elementos Finitos Esta sección, en consonancia con los razonamientos expuestos hasta el momento, tratará acerca de cómo construir un subespacio vectorial de H1(Ω) de dimensión nita. Como herramienta, se hará uso del método de Elementos Finitos (véase el Capítulo 5 de [10]). La idea básica subyacente a tal método consiste en construir un mallado τh de Cl(Ω) compuesto por triángulos (u otra clase de polígonos) y, asociado al mismo, considerar el siguiente conjunto: Vh={v∈ C0(Cl(Ω)) : v|T∈Pn(T), para todo T∈τh}, (5.3) donde Pn(T) denota el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a n , denidos en el triángulo T∈τh . En el caso a tratar, se trabajará con el espacio P1(T) =<{1, x, y}> . Se procederá ahora con la demostración de que el espacio Vh es un subespacio vectorial nito de H1(Ω) . Teorema 5.4. El conjunto Vh denido en 5.3 es un subespacio de H1(Ω) de dimensión nita. Demostración. Sea T∈τh arbitrario. Nótese que por ser C0(Cl(Ω)) y P1(T) espacios vectoriales con la suma de funciones y el producto por escalares (reales), se deduce que Vh es un espacio vectorial con dichas operaciones. Resta estudiar la validez de la inclusión Vh⊂H1(Ω) . Para ello, sea vh∈Vh arbitrario. Primeramente, se tiene que vh∈L2(Ω) . En efecto, vh∈ C0(Cl(Ω)) , luego como Cl(Ω) es un conjunto compacto de R2 , es evidente que |vh|2 está acotada sobre un dominio de medida nita, de donde se deduce el resultado. Por otra parte, para cada 1≤i≤2 , se demuestra que existe ∂vh ∂xi en el sentido de las distribuciones y ∂vh ∂xi∈L2(Ω) . Así pues, como vh|T∈P1(T) , es evidente que vi|T≡∂vh|T ∂xi∈L2(Ω) . Por lo tanto, denotando vi=X T∈τh vi|TχT∈L2(Ω) , es suciente ver que se verica vi=∂vh ∂xi en el sentido de las distribuciones. Con tal n, sea ϕ∈ D(Ω) , y considérese ZΩ viϕ dµ =X T∈τhZT vi|Tϕ|Tdµ =X T∈τhZT ∂vh|T ∂xi ϕ|Tdµ. Por el Teorema 4.8, y denotando por n T= (n1 T, n2 T) al vector normal unitario exterior al triángulo T , se sigue X T∈τhZT ∂vh|T ∂xi ϕ|Tdµ =−X T∈τhZT vh|T ∂ϕ|T ∂xi dµ +X T∈τhZ∂T vh|Tϕ|Tni Tdσ. Dado que ∂T es un camino cerrado y vh es continua por denición, se sigue que X T∈τhZ∂T vh|Tϕ|Tni Tdσ = 0, 54 5. El método de elementos nitos y por tanto ZΩ viϕ dµ =−X T∈τhZT vh|T ∂ϕ|T ∂xi dµ =−ZΩ vh ∂ϕ ∂xi dµ. Dado que ϕ∈ D(Ω) es arbitrario, se sigue que vi es la derivada distribucional de vh respecto de la variable xi , para 1≤i≤2 . Nótese, para nalizar, que la malla τh induce un conjunto nito de nodos, póngase { y j}I(h) j=1 . Así pues, para cada 1≤i≤I(h) , considérese la aplicación φi∈Vh vericando φi( y j) = δij , para todo 1≤j≤I(h) . En tal caso, el conjunto {φi}I(h) i=1 constituye una base (nita) de Vh , demostrando así el enunciado. Observación 5.5 . Procediendo de forma análoga, es posible construir un subespacio vectorial de H1 0(Ω) , tomando Vh,0={v∈ C0(Cl(Ω)) : v|Γ≡0; v|T∈Pn(T), para todo T∈τh} (5.4) y, utilizando el Teorema 4.1 y el hecho de que v≡0 sobre Γ para todo v∈Vh,0 , se deduce que Vh,0⊂H1 0(Ω) . 5.3. Resolución numérica empleando FreeFem++ La sección presente, y última de este escrito, estará dedicada a la aproximación numérica efectiva de dos problemas, en los términos del capítulo anterior, aportando los cálculos pertinentes con el apoyo de la herramienta FreeFem++ (véase [7]). 5.3.1. Resolución del problema de Dirichlet En el contexto del Ejemplo 4.9, sea Ω⊂R2 un dominio, y considérese el problema (P) : (−∆u=f, en Ω, u≡0, sobre Γ≡∂Ω, (5.5) (5.6) donde f∈L2(Ω) . Se ha estudiado con anterioridad su formulación variacional, y se concluía que este problema admite solución única u∈H1 0(Ω) , y además verica que a(u, v) = ZΩ∂u ∂x1 ∂v ∂x1 +∂u ∂x2 ∂v ∂x2dµ =ZΩ fv dµ =L(v), (5.7) para todo v∈H1 0(Ω) . El caso particular que se resolverá está inspirado en el Ejemplo 2.6. La función ϕ∈ C∞ c(Ω) que allí se dene tiene especial interés, puesto que se tiene 5.3. Resolución numérica empleando FreeFem++ 55 1. ϕ( x )≥0, si ∥ x ∥=∥(x, y)∥ ≥ 1, (5.8) 2. ZR2 ϕ dµ =C < ∞. (5.9) A la constante C se le denomina constante de normalización . Por lo tanto, tomando ψ=1 Cϕ , no se modica la condición 5.8, y la condición 5.9 se convierte en ZR2 ψ dµ = 1. (5.10) Las propiedades anteriores inducen la siguiente denición: Denición 5.6 (Mollier) . Sean Ω⊂RN y ψ: Ω −→ R una función vericando 5.8 y 5.10 (en RN ). Para cada ϵ > 0 , se dene la función ψϵ( x ) = ϵ−Nψ( x ϵ), x ∈RN , la cual cumple que 1. ψϵ( x )≥0, si ∥ x ∥ ≥ ϵ , 2. ZRN ψϵdµ = 1 . A la función ψϵ se le denomina mollier . Observación 5.7 . Para mayor concreción respecto de la denición y las propiedades de las funciones mollier, puede consultarse [1, Página 36, 2.28]. Regresando a la función ϕ del Ejemplo mencionado, es directo que puede ser considerada elemento de la familia de funciones del tipo ϕ x c,R( x ) =    exp 1 ∥ x − x c∥2−R2, si ∥ x − x c∥< R 0, si ∥ x ∥ ≥ R , donde x c= (x1, x2)∈R2 y R > 0 . Estas familia de funciones, por un razonamiento análogo al hecho para ϕ , induce una familia de molliers. En la Figura 5.1 se han tomado, para N= 1 , los valores R= 1 y x c= 0 , y puede verse la evolución de dicha familia en función del parámetro ϵ . Figura 5.1: Sucesión de funciones Mollier. 56 5. El método de elementos nitos Así pues, la tarea ahora será utilizar el software FreeFem++ para resolver el problema de Dirichlet donde la solución particular es la mollier u=1 C1ϕ x c,R,ϵ , con x c= (1 2,1 2) , R= 1 y ϵ=1 4 , y siendo C1=ZR2 ϕ x c,R,ϵ dµ ≃0,466512 . Desarrollando los cálculos, se obtiene que f=−∆u toma la forma f(x, y) = 4 e 1 (x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−1 C1ϵ4(x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−12−2 e 1 (x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−1(2 x −2 x1)2 C1ϵ6(x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−13 −e 1 (x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−1(2 x −2 x1)2 C1ϵ6(x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−14−2 e 1 (x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−1(2 y −2 x2)2 C1ϵ6(x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−13 −e 1 (x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−1(2 y −2 x2)2 C1ϵ6(x−x1)2 ϵ2+(y−x2)2 ϵ2−14. Además, como R= 1 , es evidente que Ω = (0,1) ×(0,1) y u≡0 sobre Γ . Ahora bien, el código presente en A.1 proporciona las pautas para la construcción sucesiva de 3 mallados, indicado en el parámetro nmallas , a partir de los cuáles, gracias al Método de Elementos Finitos, se devolverán aproximaciones uh de la solución u . Conviene explicitar que los parámetros de entrada son: Las dimensiones del rectángulo Cl(Ω) = [0, a]×[0, b] , por ello a=1=b . El punto asociado a la mollier, xc= ( xe , ye ) = (1 2,1 2) . El valor de ϵ , guardado en radio =1 4 . La constante de normalización, C2D = 0,466512393181015 . El número de divisiones de Γ que se llevarán a cabo en la iteración 1≤i≤ nmallas , ndiv = 10i+1 . Una vez ejecutado el programa, se obtienen los siguientes datos de salida: Las normas en los espacios L2(Ω) y H1(Ω) del error cometido al aproximar la solución u por uh , esto es, ∥u−uh∥L2(Ω) y ∥u−uh∥H1(Ω) . El número de vértices ( Th.nv ) y de triángulos ( Th.nt ) asociados a la malla i . Las longitudes máxima ( Th.max ) y mínima ( Th.min ) de entre todos los segmentos que conforman los triángulos de la malla. Nótese que Th.min coincide con el parámetro h=1 ndiv . 5.3. Resolución numérica empleando FreeFem++ 57 Véase a continuación la Figura 5.2a, que muestra un ejemplo de mallado de Cl(Ω) , para ndiv = . En paralelo, puede verse en la Figura 5.2b una evolución de los errores cometidos en norma de H1(Ω) . (a) Mallado del dominio para h= 0,01 . (b) Evolución de los errores. Figura 5.2: Mallado y evolución de errores Finalmente se aporta, para h= 0,01 , una gráca de la solución aproximada uh en 2 y 3 dimensiones (las guras 5.3a y 5.3b respectivamente): (a) Representación en 2 dimensiones de uh .(b) Representación en 3 dimensiones de uh . Figura 5.3: Solución de la ecuación 58 5. El método de elementos nitos 5.3.2. Resolución numérica del problema Neumann Para nalizar, se aporta otro ejemplo con condiciones tipo Neumann no homogéneas. Sea, pues, Ω⊂R2 un dominio, y considérese el problema (P) :    −∆u+u=f, en Ω, ∂u ∂ n ≡g, sobre Γ≡∂Ω, (5.11) (5.12) donde f∈L2(Ω) y g∈L1(Ω) . Su formulación variacional viene dada por a(u, v) = ZΩ∂u ∂x1 ∂v ∂x1 +∂u ∂x2 ∂v ∂x2dµ +ZΩ uv dµ =ZΩ fv dµ +ZΓ gv dµ =L(v), (5.13) para todo v∈H1(Ω) . Al igual que en el ejemplo anterior, se llevan a cabo 3 iteraciones del Método de Elementos Finitos, para el caso en que Ω = (0,1) ×(0,1) , la solución viene dada por la expresión u= exsin(x+y) y el término fuente es f= 2ex(sin(x+y)−cos(x+y)) . Ahora bien, es evidente que Γ se descompone en cuatro segmentos, que son Γ1={(x, y)∈R2:y= 0,0≤x≤1} , Γ2={(x, y)∈R2:x= 1,0≤y≤1} , Γ3={(x, y)∈R2:y= 1,0≤x≤1} y Γ4={(x, y)∈R2:x= 0,0≤y≤1} . Sus vectores normales asociados son, respectivamente, n 1= (0,−1) , n 2= (1,0) , n 3= (0,1) y n 4= (−1,0) . Finalmente, g tomará 4 expresiones diferentes en función del segmento de la frontera en que se encuentre. Así, g|Γ1=−excos(x) , g|Γ2=e(sin(1 + y) + cos(1 + y)) , g|Γ3=excos(x+ 1) y g|Γ4=−sin(y)−cos(y) . Puede verse el código utilizado en A.2. A modo de última nota, en este caso solo se tiene a los parámetros a y b como datos de entrada. Anexo A Códigos FreeFem desarrollados A.1. Resolución numérica del problema Dirichlet // *************************************************************** // Test de error para la solucion de la ecuacion de Poisson // con condiciones Dirichlet Homogeneas // // Antonio Figueroa Pardo // *************************************************************** verbosity=0; // Parametros asociados a la geometria del mallado real a=1; // Dimension eje x real b=1; // Dimension eje y real xe=1.0/2.0; // Punto asociado al termino fuente real ye=1.0/2.0; // Punto asociado al termino fuente real radio=1.0/4.0; // Radio asociado al termino fuente real C2D = 0.466512393181015; // Constante de normalizacion int nmallas=3; // Numero de mallas // Abrimos un fichero para escribir los resultados ofstream fileerror("./1_Resultados/fileerror_test4.sal"); // Definimos la solucion del problema 59 66 A. Códigos FreeFem desarrollados Bibliografía [1] Adams, R.A., Fournier, J.J.: Sobolev spaces. Elsevier (2003) [2] Bartle, R.G.: The elements of integration and Lebesgue measure. Wiley Classics Library. John Wiley & Sons, Inc., New York (1995) [3] Castillo, F., Abánades, F.: Análisis matemático II. Alhambra universidad. Alhambra (1980) [4] Conway, J.B.: A course in functional analysis, Graduate Texts in Mathematics , vol. 96, second edn. Springer-Verlag, New York (1990) [5] Evans, L.C.: Partial dierential equations, Graduate Studies in Mathematics , vol. 19, second edn. American Mathematical Society, Providence, RI (2010). DOI 10.1090/gsm/019. URL https://doi.org/10.1090/gsm/019 [6] Friedman, A.: Partial dierential equations, original edn. Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, N.Y. (1976) [7] Hecht, F.: New development in FreeFem++ . J. Numer. Math. 20 (3-4), 251265 (2012). DOI 10.1515/jnum-2012-0013 [8] Horvath, J.: Espaces de fonctions localement integrables et de fonctions integrables a support compact . 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Hermann, Paris (1966). Nouvelle édition, entiérement corrigée, refondue et augmentée