Rankings baseados en problemas DEA

Traballo Fin de Grao Rankings baseados en problemas DEA Julián Villanustre Otero 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Rankings baseados en problemas DEA Julián Villanustre Otero Xullo, 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Estadística e Investigación Operativa Título: Rankings baseados en problemas DEA Breve descrición do contido A análise DEA (Data emvelopment analysis) é un método en investigación operativa con claras orientacións económicas que permiten medir a eciencia de diferentes unidades de toma de decisión (Desicion Making Units, DMUs ) que conforman un sistema. Este traballo abordará algunhas metodoloxías descritas na literatura para este n baixo a perspectiva da teoría de xogos cooperativos. Recomendacións Outras observacións iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Os modelos DEA e a teoría de xogos 1 1.1. ModeloDEA ................................... 1 1.1.1. Formulación lineal do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Unha medida cuantitativa da eciencia dunha DMU . . . . . . . . . 7 1.2. Xogos cooperativos de utilidade transferible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. XogosTU................................. 10 1.2.2. Solucións de xogos TU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Outrosresultados............................. 17 2. Valor de Shapley modicado e coeciente de Gini 19 2.1. Medindo a cooperación das DMUs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Modicando o valor de Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. CoecientedeGini................................ 24 3. Rankings de DMUs ecientes 29 3.1. Medindo a cooperación das DMUs ecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Aplicación ao sector hoteleiro 39 5. Conclusións 45 A. Código R 47 A.1.FunciónsdeR................................... 47 A.2.Exemplodeuso.................................. 50 Bibliografía 55 v Resumo Os problema DEA (Charnes et al., 1978) plantéxanse co obxectivo de medir a eciencia relativa individual dunha DMU (Unidades de toma de decisión) dentro dun conxunto delas. En concreto, preténdese clasicar as devanditas DMUs dacordo coa súa capacidade de inuír na eciencia global do sistema. Para acadar este obxectivo, faremos uso da teoría de xogos cooperativos a través da denición de xogos TU especícos e o uso de solucións especícas para os mesmos. Neste traballo preséntanse varias opcións de rankings de DMUs en problemas DEA descritos na literatura. Finalmente aplicaranse sobre unha situación real, a xurdida na industria hoteleira en España trala crise do sector derivada da COVID-19. Palabras clave: Data Envelopment Analysis, Xogos cooperativos, Valor de Shapley, Rankings. Abstract DEA problems (Charnes et al., 1978) are designed to measure the individual relative eciency of a DMU (Decision Making Unit) within a set of DMUs . Specically, the aim is to classify the DMUs according to their ability to inuence the overall eciency of the system. To achieve this goal, we will make use of the theory of cooperative games through the denition of specic TU games and the use of specic solutions for them. In this thesis we present several options of DMUs rankings in DEA problems described in the literature. Finally, we apply them to a real situation, the one arising in the Spanish hotel industry after the crisis in the sector derived from COVID-19. Keywords: Data Envelopment Analysis, Cooperative game, Shapley value, Rankings. vii 2 CAPÍTULO 1. OS MODELOS DEA E A TEORÍA DE XOGOS onde denotamos por xij os datos de entrada e yrj os de saída das j DMUs , con j= {1, . . . , n} , e por ur e vi≥0 , con r= 1, . . . , s e i= 1, . . . , m, os pesos asignados aos correspondentes datos. A notación yr0 e xi0 fai referencia ao DMU do cal queremos calcular a eciencia. Ao conxunto de DMUs denotarémolo por grupo de referencia ou mostra . Nótese que o problema (1.1) pode ser rescrito mediante a seguinte formulación vectorial. max h0=uy0 vx0 ; suxeito a : uyR vxR ≤1, uyr vxr ≤1, u, v ≥0; Sexa u∗= (u∗ 1, . . . , u∗ s) e v∗= (v∗ 1, . . . , v∗ m) unha solución óptima do problema. Como yR≥yr e xR=xr temos que u∗yR=v∗xR=v∗x0 , por tanto h0=y0 yR . Nótese tamén que os pesos u∗ e v∗ están determinados polos datos de entrada e saída observados suxeitos as restricións do modelo (1.1), ademais baixo estas observacións e restrición ningunha outra conguración de pesos vai acadar unha mellor valoración para o grupo de referencia, é dicir que se con estes pesos non se acada unha eciencia do 100%, non se vaia acadar con ningún conxunto de pesos. 1.1.1. Formulación lineal do modelo O modelo (1.1) é un modelo de programación matemática non lineal. En concreto trátase dun problema de programación fracional. Dacordo con Charnes et al. (1962) e Charnes et al. (1973) precisamos pasar, na práctica, dun problema de programación fracional a un de programación linear equivalente. Primeiro consideramos o seguinte modelo que se corresponde coa formulación do problema DEA orientado ós inputs . min f0=Pm i=1 vixi0 Ps r=1 uryr0 ; suxeito a : Pm i=1 vixij Ps r=1 uryrj ≥1; j= 1, . . . , n. ur, vi≥0. (1.2) 1.1. MODELO DEA 3 Agora, o obxectivo é pasar deste problema non lineal e non convexo a un problema de programación lineal. Desta maneira, construímos o problema (1.3) como asociado ó primeiro. max z0; suxeito a : − n X j=1 yrjλj+yr0z0≤0, r = 1, . . . , s. n X j=1 xijλj≤xi0, i = 1, . . . , m. λj≥0, j = 1, . . . , n. (1.3) Trátase dun problema de programación lineal. Polo tanto, é posible obter a formulación do problema dual asociado que expresamos como segue. min g0= m X i=1 wixi0; suxeito a : − s X r=1 µryrj + m X i=1 wixij ≥0, j = 1, . . . , n; s X r=1 µryr0= 1; µr, wi≥0, r = 1, . . . , s, i = 1, . . . , m. (1.4) A estrutura do modelo (1.4) correspóndese a un problema de programación lineal, polo que seguindo o exposto en Charnes et al. (1962) e Charnes et al. (1973), aplicamos as seguintes transformacións: wi=tvi, i = 1, . . . , m. µr=tur, r = 1, . . . , s. 1 t=X r uryr0, onde t > 0 . Tras ditos cambios obtemos a seguinte formulación: 4 CAPÍTULO 1. OS MODELOS DEA E A TEORÍA DE XOGOS min f0=Pm i=1 vixi0 Ps r=1 uryr0 ; suxeito a : m X i=1 vixij − s X r=1 uryrj ≥0; j= 1, . . . , n. ur, vi≥0, (1.5) que é un modelo de programación lineal fracional equivalente a (1.4). Ademais é evidente que as restricións m X i=1 vixij − s X r=1 uryrj ≥0; j= 1, . . . , n do problema (1.5) equivalen a Pm i=1 vixij Ps r=1 uryrj ≥1; j= 1, . . . , n que son as restricións do modelo orientado nos inputs (1.2). Polo tanto podemos usar (1.4) para resolver (1.5), que a súa vez aporta a solución de (1.2), de onde conseguimos facilmente a solución de (1.1) que é o que queríamos encontrar nun comezo. Resumindo, para resolver o modelo (1.1), basta resolver o proposto en (1.4) xa que f∗ 0=g∗ 0=z∗ 0 e polo tanto h∗ 0=1 z∗ 0 . Referirémonos a estas solucións como grao de eciencia. Debemos notar tamén que o valor dos pesos v∗ i e u∗ r son os mesmos para a solución óptima de calquera dos modelos anteriores. Agora co obxectivo de abordar varias ideas sobre Data Envelopment Analysis denimos: Pj=Yj Xj;j= 1,...,n, (1.6) onde Yj é o vector que contén os datos de saída yrj con r= 1, . . . , s , e Xj é o vector que contén os datos de entrada xij , con i= 1, . . . , m . Expresamos o problema en (1.3) en forma vectorial: 1.1. MODELO DEA 5 max z0; suxeito a : − n X j=1 Yjλj+Y0z0≤0; n X j=1 Xjλj≤X0; λj≥0, j = 1, . . . , n, (1.7) e denotamos por z∗ 0, λ∗ j, s∗+, s∗−;j= 1, . . . , n, (1.8) á solución óptima e as súas variables de folgura. Sendo, s∗+ un vector non negativo asociado as desigualdades dos datos de saída e s∗− un vector non negativo asociado as desigualdades dos datos de entrada. Se z∗ 0>1 , é dicir, h∗ 0<1 , a fronteira eciente do conxunto factible non se acada. Pero debemos notar que se algunha das compoñentes de s∗+ é distinta de cero, podemos aumentar os datos de saída asociados sen alterar o valor das λ∗ j e sen violar ningunha restrición. De forma similar, se s∗− ten algunha compoñente distinta de cero, podemos reducir o valor dos datos de entrada de X0 a X0−s∗− , polo tanto non se acada eciencia (relativa) nin sequera cando z∗ 0= 1 . Proposición 1.1. Unha condición necesaria e suciente para valorar como eciente un DMU é que satisfaga as seguintes condicións no problema (1.3) : i) z∗ 0= 1 ii) s∗+=s∗− = 0 Observación 1.2 . Estas condicións son tamén as condicións de eciencia de Pareto estendidas para cubrir tanto a produción como o consumo. Con isto, xa temos unha noción cualitativa de cando un DMU é eciente, máis adiante facemos contacto co traballo de Farrell para dar unha noción cuantitativa da eciencia dunha determinada DMU respecto a un conxunto de observacións. Supoñamos agora que queremos axustar tódalas observacións con algún propósito en concreto, por exemplo, para avaliar o potencial dun determinado programa para unha DMU dada, supoñendo que o programa é eciente baixo esa DMU especíca, para iso debemos eliminar as ineciencias. Iso pódese facer utilizando as condicións necesarias da seguinte maneira. 6 CAPÍTULO 1. OS MODELOS DEA E A TEORÍA DE XOGOS Primeiro dado un DMU , resolvemos (1.7) e coas súas solucións formulamos o seguinte problema: max ˆz0; suxeito a : − n X j=1 Yjˆ λj+ (Y0z∗ 0−s∗+)ˆz0≤0; n X j=1 Xjˆ λj≤X0−s∗−; ˆ λj≥0, j = 1, . . . , n, (1.9) A (1.9) coñéceselle como  varied problem , e usámolo para eliminar tódalas ineciencias que se detectan ao resolver (1.7). Para eliminar as ineciencias reducimos os datos de entrada de X0 a X0−s∗− e aumentamos os datos de saída de Y0z0 a Y0z∗ 0−s∗+ , as novas observación chamarémoslles datos de entrada e saída axustados. Proposición 1.3. Os novos datos axustados satisfán a condición necesaria e suciente para a eciencia. Demostración. Consideramos o problema (1.9) e sexa ˆz∗ 0 a súa solución. Temos que ˆz∗ 0≥1 , se ˆz∗ 0= 1 podemos calcular facilmente a solución óptima usando (1.8). Supoñamos que ˆz∗ 0>1 , entón: − n X j=1 Yjˆ λ∗ j+Y0ˆz∗ 0z∗ 0≤ − n X j=1 Yjˆ λ∗ j+ (Y0ˆz∗ 0+s∗+)z∗ 0≤0, n X j=1 Xjˆ λ∗ j≤X0−s∗− ≤X0, xa que s∗+ e s∗− son vectores non negativos. Polo tanto tomando ˆz∗ 0z∗ 0 e ˆ λ∗ j en (1.7) satisfanse as restricións, ademais max z0≥z∗ 0ˆz∗ 0> z∗ 0 xa que ˆz∗ 0 >1 por hipótese. Pero max z0> z∗ 0 é unha contradición, xa que por hipótese max z0=z∗ 0 , entón ˆz∗ 0= 1 é o valor óptimo en (1.9), polo que se cumpre i). Agora vexamos que a solución óptima de (1.7), λ∗ j, con j= 1, . . . , n , é tamén solución óptima de (1.9) cos vectores das variables de folgura ˆs∗+ e ˆs∗− igual a 0. Por ser (1.8) solución de (1.7) temos que: 1.1. MODELO DEA 7 − n X j=1 Yjλ∗ j+Y0z∗ 0+s∗+= 0, n X j=1 Xjλ∗ j=X0−s∗−. Polo tanto λ∗ j é solución do varied problem para ˆz∗ 0= 1 que como vimos antes é solución óptima. Ademais as variables de folgura valen todas cero. Queda así probado o resultado. En resume, os axustes nos datos que xemos anteriormente levan as observacións iniciais a dentro do conxunto de produción eciente. 1.1.2. Unha medida cuantitativa da eciencia dunha DMU A continuación aproximarémonos ao traballo de Farrell co propósito de dar unha medida cuantitativa para a eciencia dunha DMU . Exemplo 1.4. Vexamos un exemplo tomado da bibliografía Charnes et al. (1977) onde consideramos 6 DMUs con 2 entradas normadas no valor da súa respectiva saída. Polo tanto cada Pj representa unha versión normada de (1.6), coas compoñentes de Xj divididas entre as súas correspondentes saídas ( yj ) e onde os datos de saída son eliminados e asociados aos coecientes unitarios das variables λj . Sexan, P1=2 3, P2=3 2, P3=4 1, P4=2 2, P5=1 4, P6=5 1 os valores de entrada normados. Supoñamos que queremos estudar por exemplo a e- ciencia de P2 , resolvemos mediante o método símplex o problema DEA que plantexamos anteriormente, para iso podemos utilizar o paquete de R IpSolveAPI dacordo co código do Apéndice A. Tras a súa resolución, obtemos que a solución óptima toma λ∗ 4=5 6≈0,8333, λ∗ 3=1 3≈ 0,3333, z∗ 0(P2) = 7 6≈1,1667 . Claramente non satisfai as condicións necesarias de eciencia (1.1). Para analizar os datos seguindo o estudo de Farrell, traballaremos baixo 2 hipóteses, a primeira é que cada dato de entrada pode ser contraído ou expandido ao longo dun raio que vai do orixe cara o punto que representa eses datos, a segunda hipótese é que toda combinación convexa dos datos de entrada pertence ao conxunto factible, i.e., é unha 8 CAPÍTULO 1. OS MODELOS DEA E A TEORÍA DE XOGOS opción de produción posible. Os puntos eciente serán a unión das fronteiras dos símplex (caras) formados polos puntos extremos ecientes, no caso particular do noso problema é a unión dos segmentos que unen os puntos extremos. A unión de todos os puntos ecientes chamarémoslle ecient isoquant ou fronteira eciente . Denición 1.5. Un símplex é unha envoltura convexa dun conxunto de n+ 1 puntos independentes afíns nun espazo euclídeo de dimensión n ou maior. Farrell (1957) traballou con tres conceptos de eciencia distintos: 1. Eciencia técnica. 2. Eciencia de prezos. 3. Eciencia xeral. Naquel traballo tratouse principalmente o concepto de eciencia técnica, xa que é o máis cómodo e exible debido a que a súa única esixencia é que tódalas entradas e saídas teñan un valor. O Algoritmo do símplex danos unha expresión de P2 como combinación de puntos extremos do conxunto factible 5 6P4+1 3P3=P2 , esta combinación podémola facer convexa dividindo entre 7 6 . Obtemos: 5 7P4+2 7P3=6 7P2=P0 2. A interpretación destas contas é que estamos calculando cal é o punto P0 2 que pertence a fronteira eciente máis próximo á orixe no raio de P2 . En termos de eciencia, diremos que se P2 producise tan ecientemente como P0 2 entón debería poder producir unha unidade de saída con tan só 6 7 das cantidades de entrada. En concreto defínese a eciencia técnica como segue: Denición 1.6. Sexa Pi un punto correspondente a unha DMU e sexa l(OPi) a distancia dende a orixe ata Pi . Sexa P0 i a proxección de Pi sobre a fronteira eciente do conxunto factible. Defínese a eciencia técnica de Pi como 0≤TEF(Pi) = l(OP 0 i) l(OPi), con TEF(Pi)≥0, obtemos así unha medida cuantitativa da eciencia de Pi . 1.1. MODELO DEA 9 • • • • • •• • P1 P2 P3 P4 P5 P6 P0 2 P2 P00 2 e1 e2 ata Q1=Me1 ata Q2=Me2 x2 x1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Figura 1.1: Representación gráca do problema. No caso anterior como 6 7P2=P0 2 , é inmediato ver que a eciencia técnica TEF(P2) = 6 7 . A liña que conecta P3 e P4 forma parte da fronteira eciente e ao igual que P0 2 tódolos puntos deste segmento son ecientes. Nótese que non pode existir un punto P00 2 entre a fronteira eciente e a orixe, xa que non pertence ao conxunto factible. Se agora consideramos P0=P1 , tras aplicar o símplex obtemos 5 6P4+2 6P5=P1 , z∗ 0(P1) = λ∗ 4+λ∗ 5=7 6 vemos que P1 non cumpre (1.1) e polo tanto non é eciente. Igual que xemos anteriormente dividindo entre 7 6 obtemos P0 1=6 7P1=5 7P4+2 7P5 que pertence á fronteira eciente . Notemos que a única diferenza respecto ao caso de P2 é que a base óptima é distinta, isto debese a que P1 non pode ser expresado como combinación de P4 e P3 sen romper as condicións de non negatividade. Gracamente isto equivale a que P1 non pertence ao cono xerado ao unir a orixe con P4 e P3 . Para rematar de analizar este exemplo, consideraremos o caso P0=P6 , se aplicamos o método simplex podemos obter 2 solucións que teñen o mesmo valor na función obxectivo, 1P6=P6 e 1P3+ 1e1=P6 , en ambos casos z∗ 0(P6) = 1 , sen embargo na segunda solución vemos que non se cumpre a condición de eciencia ii), i.e., non todas as variables de folgura son cero. Para evitar esta ambigüidade, basta con maximizar as variables de folgura con menor prioridade que as λj . Para eso consideramos o modelo: 10 CAPÍTULO 1. OS MODELOS DEA E A TEORÍA DE XOGOS max z0= n X j=1 λj+1 M m X i=1 si; suxeito a : n X j=1 Pjλj+ m X i=1 eisi=P0, λj, si≥0, j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , m. (1.10) onde M é unha cantidade sucientemente grande (non arquimediana) como para que 1 M>0 sexa sempre menor que calquera valor positivo que poida tomar λj en calquera das iteracións do símplex. Desta forma asegurámonos que o resultado obtido ao aplicar o método símplex non de lugar a ambigüidades. 1.2. Xogos cooperativos de utilidade transferible Nesta sección trataremos con problemas baseados na colaboración dun conxunto de axentes que trata de repartirse os benecios ou os custos derivados da súa cooperación. 1.2.1. Xogos TU Para caracterizar esta clase de problemas, para os cales suporemos que os benecios xerados por unha coalición pódense repartir libremente entre os xogadores da mesma, deniremos formalmente os chamados xogos cooperativos de utilidade transferible . Denición 1.7. Un xogo de utilidade transferible (ou xogo TU) é un par (N, v) onde N é un conxunto nito de xogadores e v: 2N→R é unha función que cumpre que v(∅)=0 A función v denomínase función característica do xogo. Para cada subconxunto S∈ 2N , ao cal chamaremos coalición, v(S) representa os benecios que se poden asegurar os xogadores de S, independentemente de como actúen os demais xogadores. Denotamos por G(N) o conxunto de tódolos xogos TU con conxunto de xogadores N . Por comodidade identicaremos un xogo (N, v) coa función característica v . Denición 1.8. Sexa un xogo v∈G(N) . Diremos que v é superaditivo se, para calquera par de coalición S, T ∈2N con S∩T=∅ , tense que v(S∪T)≥v(S) + v(T) . Ao conxunto de xogos superaditivos denotarémolo por SG(N) . 1.2. XOGOS COOPERATIVOS DE UTILIDADE TRANSFERIBLE 11 Notemos que cando un xogo é superaditivo, os xogadores teñen un incentivo real para colaborar, xa que o benecio que se poden asegurar ao cooperar é sempre maior ou igual ca o que se poden asegurar por si mesmos. 1.2.2. Solucións de xogos TU Como xa mencionamos ao principio, o obxectivo principal da teoría de xogos cooperativos é repartir os benecios, ou custos, derivados da cooperación de varios xogadores. A cada conguración do reparto de recursos chamarémoslle asignación, máis formalmente denimos asignación como: Denición 1.9. Sexa un xogo v∈G(N) . Diremos que o vector x∈RN , con compoñentes xi , é unha asignación se, N X i=1 xi=v(N), xi≥0, onde cada compoñente xi é a parte do benecio que recibe o xogador i . A teoría de xogos cooperativos serve para distinguir que asignacións do conxunto de asignación dun xogo v∈G(N) poden ser aceptadas por tódolos xogadores. Esta distinción pode enfocarse baseándonos en dúas ideas distintas, a estabilidade e a ecuanimidade. A continuación veremos dous dos conceptos máis importantes relacionados con cada unha destas ideas, o núcleo e o valor de Shapley. O núcleo A idea de estabilidade trata de encontrar un conxunto de asignacións de recursos que sexa estable, é dicir que conteña a asignación que nalmente decidan os xogadores. O concepto relacionado coa estabilidade que estudaremos aquí é o núcleo. Denición 1.10. Sexa un xogo v∈G(N) . Unha imputación de v , é un vector x∈RN que satisfai as seguintes condicións: 1. xi≥v(i) , para todo i∈N . 2. Pi∈Nxi=v(N) . Denotaremos por I(v) ao conxunto de imputacións de v . As imputacións non son máis cas asignacións para as cales tódolos xogadores reciben un benecio maior ou igual ao que se poden asegurar por si mesmos. Denimos o núcleo como segue: 18 CAPÍTULO 1. OS MODELOS DEA E A TEORÍA DE XOGOS Teorema 1.25. O valor de Shapley é auto-dual. A proba deste resultado pode consultarse en Kalai et al. (1987). Capítulo 2 Valor de Shapley modicado e coeciente de Gini O obxectivo deste capítulo é introducir, mediante as técnica DEA e a teoría de xogos cooperativos, un primeiro mecanismo para o establecemento de rankings de DMUs . Para isto, partiremos dun procedemento de asignación plantexado para o reparto dos benecios xerados da cooperación dun conxunto de DMUs . Ao longo do capítulo seguirase principalmente a referencia Yang et al. (2015). Supoñamos que temos un sistema formado por m DMUs con características comparables e homoxéneas, é dicir, que se miden as mesmas magnitudes de entrada e saída para tódalas DMUs . Denotemos por DMUj0 , con j0∈M={1, . . . , m} , á DMU baixo estudo. O modelo de programación matemática (1.7) orientado nos outputs pode ser rescrito como segue: max dj0=d∗ j0; suxeito a : m X j=1 Yjλj≥Yj0dj0; m X j=1 Xjλj≤Xj0; λj≥0, j = 1, . . . , m. (2.1) Como xa comentamos anteriormente a eciencia calculada por este modelo dise relativa, xa que depende do conxunto de DMUs considerado. Entón, se modicamos dito conxunto podemos alterar o valor da eciencia calculada para cada unha das DMUs do grupo de 19 20 CAPÍTULO 2. VALOR DE SHAPLEY MODIFICADO E COEFICIENTE DE GINI referencia. No caso de que un subconxunto de DMUs decida cooperar asumiremos a formación dunha certa coalición S . Nese caso, o problema asociado para o cómputo desa eciencia é o que se expón a continuación: max dj0=d∗ j0; suxeito a : m X j=1 Yjλj≥Yj0dj0; m X j=1 Xjλj≤Xj0; λj≥0, j ∈S, j0∈S. (2.2) Notemos que no único no que se diferenza este problema do anterior é no grupo de referencia. Respecto a solución óptima do modelo, sabemos que será d∗ j0≥1 , e será d∗ j0= 1 se cumpre as condicións xa mencionadas en (1.1). 2.1. Medindo a cooperación das DMUs Nesta sección plantexaremos o problema de cooperación das DMUs dende o enfoque da teoría de xogos cooperativos. Primeiramente trasladaremos as denicións máis importantes ao caso particular do problema do reparto de recursos, para o cal debemos encontrar unha función característica v que sirva para medir a cooperación en términos de eciencia dunha coalición de DMUs . A continuación denimos a función característica escollida con ese n. Denición 2.1. Denimos un xogo que relaciona a eciencia das DMUs cos benecios da súa cooperación, ¯v∈G(M) como: ¯v(S) = X j0∈S ¯vj0(S) = X j0∈S d∗ j0, para cada S∈2M, onde ¯vj0(S) = d∗ j0 sendo d∗ j0 o óptimo do modelo (2.2). Polo tanto ¯v(S) pode interpretarse como a suma dos graos de eciencia de cada DMU de S cando consideramos a coalición S . Vexamos agora que ¯v é un xogo superaditivo, e polo tanto baixo esta propiedade as DMUs teñen verdadeiros incentivos para cooperar. 2.2. MODIFICANDO O VALOR DE SHAPLEY 21 Proposición 2.2. ¯v∈SG(M) , é dicir, para calquera S, T ∈2M con S∩T=∅ tense que ¯v(S∪T)≥¯v(S) + ¯v(T) . Demostración. Dada a denición da función característica que achegamos e sexan S, T ∈ 2M , S∩T=∅ , ¯v(S) = X j0∈S ¯vk(S) = X j0∈S d∗ j0 ¯v(T) = X j0∈T ¯vj0(T) = X j0∈T d∗ j0 ¯v(S∪T) = X j0∈S∪T ¯vj0(S∪T) = X j0∈S∪T d∗ j0, Notemos que cando en (2.2) quitamos xogadores dunha coalición o valor de d∗ j0 mantense ou aumenta, pero nunca diminúe, xa que as únicas posibilidades cando quitamos un xogador e que non afecte a eciencia relativa ou en caso de afectar faga ao noso DMU máis eciente. Desta observación séguese que: X j0∈S∪T d∗ j0=X j0∈(S∪T)\T d∗ j0+X j0∈(S∪T)\S d∗ j0 (2.3) ≥X j0∈S d∗ j0+X j0∈T d∗ j0 (2.4) onde Pj0∈(S∪T)\Td∗ j0 denota os sumando de Pj0∈S∪Td∗ j0 con j0 pertencente a S , e Pj0∈(S∪T)\Sd∗ j0 aos demais sumandos de Pj0∈S∪Td∗ j0 . Concluímos así que, ¯v(S∪T)≥¯v(S) + v(T), quedando probado o resultado. 2.2. Modicando o valor de Shapley Nesta sección abordaremos o problema do reparto dos benecios \ custos xerados da cooperación de DMUs . Para iso, plantexaremos unha modicación do valor de Shapley. Usando a función característica do xogo ¯v denimos o valor de Shapley modicado como segue, Denición 2.3. Denimos o valor de Shapley modicado para calquera xogo v∈G(M) como o vector ϕ(v) = (ϕ1(v), . . . , ϕm(v)) onde: ϕj0(v) = X S∈2M s!(m−s−1)! m!.Pj∈Svj(S∪ {j0})/Pj∈Svj(S) vj0(S∪ {j0})/vj0({j0}), j0/∈S, j0= 1, . . . , m. 22 CAPÍTULO 2. VALOR DE SHAPLEY MODIFICADO E COEFICIENTE DE GINI Para entender esta fórmula, recordemos que a compoñente Φj0 do valor de Shapley era a media dos benecios que aporta o xogador j0 ao unirse a unha coalición de M\j0 supoñendo que a probabilidade de tódalas permutacións de M é a mesma, e notemos que a idea subxacente baixo esta fórmula é a mesma. Analicémola por partes, s!(m−s−1)! m! onde s é o número de elementos de S e m o cardinal de M , está formado polo numerador, que é o número de permutacións de S multiplicado polo número de permutacións dos elementos que non están en S e son distintos de j0 , ou o que é o mesmo, son todas as posibles permutacións do orde de chegada para os cales j0 entra a mesma coalición. Por outro lado o denominador non é máis ca o número de posibles ordes de chegada, i.e., as permutacións de M , polo tanto en conxunto este primeiro termo é unha ponderación para o termo da dereita. Ata aquí o valor de Shapley modicado coincide co que xa coñeciamos, a diferenza está no termino que mide a contribución que fai o xogador j0 ao unirse a coalición S . Este segundo termo está formado polo numerador Pj∈Svj(S∪ {j0}) Pj∈Svj(S), que aporta unha medida de canto varía a función característica da coalición S cando a DMUj0 entra ao grupo de observacións. Notemos que, pola natureza do modelo (2.2) sobre o que construímos a denición de v , canto máis eciente sexa a DMUj0 maior será o valor do numerador. E polo denominador vj0(S∪ {j0}) vj0({j0}) que nos dá unha referencia sobre a variación da función característica de j0 cando entra na coalición. Notemos que vj0({j0})=1 xa que cando j0 é a única DMU do grupo de observación a súa eciencia relativa é trivialmente un. Polo tanto podemos reformular a expresión como segue: ϕj0(v) = X S∈2M s!(m−s−1)! m!.Pj∈Svj(S∪ {j0})/Pj∈Svj(S) vj0(S∪ {j0}), j0/∈S, j0= 1, . . . , m. (2.5) Observación 2.4 . O valor de Shapley modicado susténtase sobre un obxectivo común ao valor orixinal, sen embargo non cumpre as propiedades que caracterizan ao valor de Shapley orixinal, cousa que resulta obvia xa que sabemos que Φ é a única función cumprindo tódalas condicións. Presentaremos agora algúns exemplos extraídos de Yang et al. (2015), co n de claricar o método descrito anteriormente. 2.2. MODIFICANDO O VALOR DE SHAPLEY 23 Exemplo 2.5. Sexa o problema DEA xurdido de 4 DMUs , cada unha delas cun único input e un único output (véxase o Cadro 2.1). A simple vista, parece que a DMU máis eciente é a primeira, mentres que a cuarta parece a menos eciente. Mediante o modelo (2.2), calculamos o valor óptimo de eciencia de cada DMU para cada coalición, obtemos así os valores do Cadro 2.2. Finalmente calculamos o valor de Shapley e mostrámolo no Cadro 2.3 DMUj 1234 Entrada 1 3 5 8 Saída 4 6 5 4 Cadro 2.1: Conxunto de observacións do Exemplo 2.5. Coalicións 1 2 3 4 Coalicións 1 2 3 4 S1={1} 1 S9={2,4} 1 4 S2={2} 1 S10 ={3,4} 1 2 S3={3} 1 S11 ={1,2,3} 124 S4={4}1S12 ={1,2,4} 1 2 8 S5={1,2} 1 2 S13 ={1,3,4} 1 4 8 S6={1,3} 1 4 S14 ={2,3,4} 124 S7={1,4} 1 8 S15 ={1,2,3,4} 1248 S8={2,3} 1 2 Cadro 2.2: Valores óptimos de eciencia para cada coalición do Exemplo 2.5. DMUj 1 2 3 4 ϕj(v) 2.333 0.917 0.375 0.146 Cadro 2.3: Valor de Shapley modicado para os datos do Exemplo 2.5. Xa que ϕ(v) non cumpre eciencia, resulta obvio que non vai ser unha asignación para o noso problema. Recordemos que un valor f era eciente se, para todo v∈G(N) , X i∈N fi(v) = v(N). 24 CAPÍTULO 2. VALOR DE SHAPLEY MODIFICADO E COEFICIENTE DE GINI Con todo o valor de Shapley modicado si que reexa racionalmente a contribución que cada DMU fai ao conxunto de DMUs . Polo tanto podemos usar o valor de Shapley modicado para crear unha asignación baseada na eciencia das DMUs da seguinte maneira: V= ϕ1(v) Pm j0=1 ϕj0(v),..., ϕi(v) Pm j0=1 ϕj0(v),..., ϕm(v) Pm j0=1 ϕj0(v)!. (2.6) O valor de Shapley, como regra de reparto, é amplamente utilizado nunha gran variedade de problemas que van dende o estudo do reparto do poder en parlamentos ata o reparto de custos en problemas de asignación. En particular, se supoñemos que o conxunto de xogadores debe repartir un total de R recursos, con R > 0 , podemos plantexar a seguinte asignación baseada na normalización do valor de Shapley modicado. V= Rϕ1(v) Pm j0=1 ϕj0(v),..., Rϕi(v) Pm j0=1 ϕj0(v),..., Rϕm(v) Pm j0=1 ϕj0(v)!, Baixo este contexto está xusticada a súa aplicación. Exemplo 2.6. Consideramos o problema do Exemplo 2.5 e calculamos a asignación de recursos (2.6) supoñendo que o total de recursos dos que se dispón é R= 100 . Expoñemos os resultados no Cadro 2.4. O xogador 1 recibe mais ca o resto xa que é o que máis aporta as distintas coalicións. DMUj 1 2 3 4 Asignación de recursos 61.87 24.32 9.94 3.87 Cadro 2.4: Asignación de recursos para o Exemplo 2.5. 2.3. Coeciente de Gini Nesta sección pretendemos medir a equidade da asignación que acabamos de denir, para iso presentaremos o coeciente de Gini. O coeciente de Gini foi proposto polo matemático italiano Gini (1921), co n de medir a equidade. Unha primeira interpretación do coeciente de Gini é a relacionada coa curva de Lorenz da cal se fala en Berne and Stiefel (1984). Primeiro denimos a curva de Lorenz. Denición 2.7. A curva de Lorenz está formada polos puntos (x, y) , onde y é a proporción acumulativa de servizo recibido polo x·100 % máis pobre da poboación (en términos de 2.3. COEFICIENTE DE GINI 25 servizo). A liña diagonal que conecta (0,0) con (1,1) é a curva de Lorenz para o caso de máxima equidade, e chamarémoslle liña de equidade. (1,1) • liña de equidade unidades de equidade unidades de servizo Figura 2.1: Ilustración da Curva de Lorenz. Proporcionaremos agora unha denición do coeciente de Gini baseándonos na denición da curva de Lorenz. Denición 2.8. Defínese o coeciente de Gini como a relación entre a area entre a curva de Lorenz e a liña de equidade, e a area total baixo a curva de equidade. Dacordo coa Figura 2.3, a area sombreada correspondese coa area entre a curva de Lorenz e a liña de equidade. Notemos que canto máis se axuste a curva de Lorenz á liña de equidade, máis próximo a cero será o valor do coeciente de Gini. Pola contra canto máis dira a curva de Lorenz da liña de equidade, máis próximo a un será o valor do coeciente de Gini. Esta denición non é moi cómoda para traballar no noso modelo, por eso consideraremos unha expresión equivalente proposta en Mandell (1991). Denición 2.9. Defínese G≡ coeciente de Gini como G=PiPj>i |qjSi−qiSj| PiSi , onde qj=Qj Pn j=1 Qj , e con Si, Qj unidades de servizo e unidades de equidade respectivamente. 26 CAPÍTULO 2. VALOR DE SHAPLEY MODIFICADO E COEFICIENTE DE GINI Particularizando a denición anterior para o noso problema de asignación de recursos con m DMUs e R recursos (con R > 0 ). Temos que as unidades de servizo serán as asignacións dos recursos e as unidades de equidade serán as eciencias relativas de cada DMU respecto ao conxunto de tódalas DMUs . É dicir qj0=d∗ j0 Pm i=1 d∗ i , onde d∗ j0 é o óptimo do modelo (2.1). Entón o coeciente de Gini queda G=Pj0Ph>j0|qh Rϕj0 Pj0ϕj0−qj0 Rϕh Pj0ϕj0| R=Pj0Ph>j0|qhϕj0−qj0ϕh| Pj0ϕj0 Dacordo co lado dereito da expresión anterior, obtívose unha fórmula aplicable en calquera problema DEA baixo a hipótese de cooperación independentemente de que se busque a asignación ou non de recursos. Exemplo 2.10. Presentamos agora un exemplo máis complexo que usarémolo para comparar a equidade da asignación (2.6) con outras asignacións. Os datos, extraídos de Cook et al. (1999), móstranse no Cadro 2.5. Supoñemos que a cantidade total de benecios/costos é R= 100 . DMUj Entrada 1 Entrada 2 Entrada 3 Saída 1 Saída 2 DMU1 350 39 9 67 751 DMU2 298 26 8 73 611 DMU3 422 31 7 75 584 DMU4 281 16 6 70 665 DMU5 301 16 6 75 445 DMU6 360 29 17 83 1070 DMU7 540 18 10 72 457 DMU8 276 33 5 78 590 DMU9 323 25 5 75 1074 DMU10 444 64 6 74 1072 DMU11 323 25 5 25 350 DMU12 444 64 6 104 1199 Cadro 2.5: Valores descritivos das 12 DMUs do exemplo de Cook et al. (1999), con tres inputs e dous outputs . 2.3. COEFICIENTE DE GINI 27 Utilizamos o modelo (2.1) para calcular a eciencia relativa de cada DMU . Logo usando as expresións (2.5) e (2.6) calculamos o valor de Shapley modicado para o xogo ¯v e a cantidade de recursos que se lle asigna a cada DMU . Mostramos os resultados no Cadro 2.6. DMUjd∗ kΦk(¯v) Valor da asignación DMU1 1.32153 0.7743 7.5350 DMU2 1.08342 0.8889 8.6508 DMU3 1.33866 0.7728 7.5208 DMU4 1.00000 0.9304 9.0547 DMU5 1.00000 0.9325 9.0747 DMU6 1.04034 0.9049 8.8062 DMU7 1.16224 0.8392 8.1667 DMU8 1.00000 0.9311 9.0613 DMU9 1.00000 1.0745 10.457 DMU10 1.20224 1.20224 8.0072 DMU11 3.00000 0.4673 4.5471 DMU12 1.00000 0.9370 9.1186 Cadro 2.6: Eciencias das DMUs , asignación proposta polo valor de Shapley modicado e reparto da asignación de recursos. Finalmente compararemos a equidade desta asignación alternativa con outras citadas na bibliografía utilizando o coeciente de Gini como medida. As asignacións consideradas son as introducidas nos seguintes traballos: Beasley (2003), que só utiliza métodos DEA e propón un modelo máis xeral e exible que os existentes ata a fecha. Li et al. (2008a), que propón unha asignación de recursos baseada en equilibrios de Nash (teoría de xogos non cooperativa) e métodos DEA. Li et al. (2008b), que tamén utiliza métodos DEA e teoría de xogos cooperativa. Lin (2011), que só utiliza métodos DEA para achegar unha asignación de recursos que reexa a eciencia relativa e mantén a eciencia de cada DMU sen cambios. Li et al. (2013), que só utiliza métodos DEA para propoñer unha asignación que custos que fai a cada DMU eciente. 34 CAPÍTULO 3. RANKINGS DE DMUS EFICIENTES DMUs x1jx2jyjEj(M) A 1 8 1 1.00 B 2 4 1 1.00 C 4 2 1 1.00 D 8 1 1 1.00 E 5 5 1 0.60 F 3 10 1 0.55 Cadro 3.1: Datos exemplo 1 a función característica é v0(S) = X j∈S (Ej(M\S)−1). e os xogadores son N={A, B, C, D} , é dicir as DMUs ecientes. O obxectivo desta función é medir a súper-eciencia das DMUs ecientes extraídas da mostra, para que se vexa máis claramente, observemos a Figura 3.2, na cal esta representada a fronteira eciente cando S={B, C} . Vemos que B e C están a esquerda da fronteira eciente, o cal quere dicir que con menos entradas producen tamén 1 unidade de saída, sen embargo isto signica que están superando a eciencia das súas proxeccións sobre a fronteira eciente, B1 e C1 . A diferenza entre a eciencia de B e C con respecto a B1 e C1 é o que se dene en Li et al. (2016) como súper-eciencia, e tamén é xustamente o que mide a función característica que se describe nese traballo. En particular para o caso representado na Figura 3.2: v0(S) = (EB(M\S)−1) + (EC(M\S)−1) = (1,5−1) + (1,5−1) = 1 S v0(S)S v0(S)S v0(S) {A} 1 {A, C} 1.25 {A, B, C} 3.53 {B} 0.25 {A, D} 2 {A, B, D} 3.7 {C} 0.25 {B, C} 1 {A, C, D} 4 {D} 1 {B, D} 1.25 {B, C, D} 6.1 {A, B} 2.7 {C, D} 4 {A, B, C, D} 8.44 Cadro 3.2: Función característica para o método considerado en Li et al. (2016). No Cadro 3.2 está o valor que toma a función característica de Li et al. (2016) para cada subconxunto S∈2N . Unha vez calculada a función característica para cada un destes 3.1. MEDINDO A COOPERACIÓN DAS DMUS EFICIENTES 35 subconxuntos é sinxelo calcular o valor de Shapley e así obter unha clasicación para os xogadores. O ranking obtivo está representado no Cadro 3.3. DMUs Valor de Shapley para v0 Clasicación {A} 1.6246633 4 {B} 1.90496633 3 {C} 2.221633 2 {D} 2.69318182 1 Cadro 3.3: Ranking das DMUs obtivo polo método descrito en Li et al. (2016). Agora calculemos o ranking de Hinojosa. Para o caso S=∅ a mostra está formada tan só polas DMUs inecientes. Represéntase ese caso no Cadro 3.3, e como vemos tanto E coma F son ecientes baixo a mostra considerada. Canto máis ecientes sexan os DMUs pertencentes a S máis se aproximará a fronteira eciente modicada a súa autentica forma, e ademais máis se aproximará a puntuación da eciencia modicada ao seu auténtico valor. Para o caso S={B, C} , exposto no Cadro 3.4, vemos que as novas proxeccións de E e F sobre a fronteira eciente, E2 e F2 , están máis próximas a E0 e F0 , en particular para o DMU ineciente E é a mesma e polo tanto a eciencia de E , cando se considera a mostra completa e cando se considera a mostra sen A e D , é a mesma (0,6) . A eciencia de F para a mostra modicada non é a mesma, é lixeiramente máis eciente, en concreto é (0,67) . Polo tanto, ˆv(S) = (1 −0,6) + (1 −0,67) = 0,4+0,33 = 0,73. No Cadro 3.4 mostramos o valor das funcións características para cada coalición de DMUs , e no Cadro 3.5 o valor de Shapley e a clasicación baseada nel. Finalmente cunhas sinxelas contas obtemos que ρ=− 0.4 polo que de existir correlación lineal será negativa e débil. Esto debese a que unha clasicación basease na súper-eciencia das DMUs ecientes e a outra en como as DMUs ecientes afectan a eciencia das DMUs inecientes. 36 CAPÍTULO 3. RANKINGS DE DMUS EFICIENTES Sˆv(S)v∗(S)Sˆv(S)v∗(S)Sˆv(S)v∗(S) {A} 0.2857 0.1212 {A, C} 0.7084 0.1879 {A, B, C} 0.8545 0.8545 {B} 0.5354 0.1462 {A, D} 0.4077 0.1212 {A, B, D} 0.7879 0.6101 {C} 0.2424 0.0606 {B, C} 0.7374 0.4468 {A, C, D} 0.7084 0.3212 {D} 0 0 {B, D} 0.6667 0.1462 {B, C, D} 0.7374 0.5688 {A, B} 0.6545 0.6101 {C, D} 0.2424 0.2 {A, B, C, D} 0.8545 0.8545 Cadro 3.4: Funcións características para o xogo considerado en Hinojosa et al. (2017). DMUs Valor de Shapley para ˆv Clasicación A 0.24332088 2 B 0.38152642 1 C 0.19730925 3 D 0.03238889 4 Cadro 3.5: Proposta de ranking utilizando o método descrito en Hinojosa et al. (2017). • • • • • • • • A B C D E F F0 E0 x2j x1j 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 3.1: Fronteira eciente considerando a mostra M . • × × • • • • • A B C D E F B1 C1 x2j x1j 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 3.2: Fronteira eciente considerando a mostra M\ {B, C} . 3.1. MEDINDO A COOPERACIÓN DAS DMUS EFICIENTES 37 × × × × • • A B C D E F x2j x1j 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 3.3: Fronteira eciente considerando a mostra M\N . × • • × • • • • A B C D E F F2 E2 x2j x1j 12345678910 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 3.4: Fronteira eciente considerando a mostra (M\N)∪ {B, C} . 38 CAPÍTULO 3. RANKINGS DE DMUS EFICIENTES Capítulo 4 Aplicación ao sector hoteleiro O obxectivo deste último capítulo é ilustrar as utilidades dos métodos DEA. En concre- to, aplicaranse as diferentes metodoloxías sobre o caso real do sector hoteleiro en España trala crise da COVID-19, que foi presentado na introdución. A avaliación da eciencia de DMUs funciona especialmente ben no contexto das agrupación sen ánimo de lucro, como sistemas públicos de educación ou de sanidade, pero tamén ten múltiples aplicacións noutras areas como a economía e a enxeñería. Un exemplo é o programa Follow Through sobre o que se discute en Rhodes (1978) que trata de medir a eciencia de varios colexios de Estados Unidos utilizando como outputs parámetros como as habilidades matemáticas ou as habilidades psicomotrices dos alumnos, que son facilmente medibles mediante probas escritas ou físicas, e como inputs datos como o número de profesores ou as horas dunha determinada materia. A metodoloxía DEA tamén ten moito interese no ámbito económico e máis despois de achegarlle a teoría de xogos cooperativos. Sen embargo no sector privado aparecen algunhas dicultades como por exemplo, cando supoñemos liberdade para intercambiar recursos entre empresas moi afastadas. Nestes casos requiriríase da introdución de prezos ou outros medios de ponderación para avaliar alternativas que doutra forma non serían comparables. Con todo as aplicación da metodoloxía DEA abranguen dende a enxeñería de combustibles ata a política, facendo da DEA un dos métodos de investigación operativa máis estudados nos últimos anos. Agora recordemos o contexto do problema que se expón na introdución deste traballo. España é unha potencia turística a nivel mundial, unha mostra do seu potencial e que no 2019 recibiu 83.7 millóns de viaxeiros, dos cales 4.3 eran internacionais, ademais o sector turístico en España representa un 12% do PIB (Produto Interior Bruto). É por todos sabido que o sector hoteleiro está a sufrir unha das crises máis fortes da súa historia por mor da COVID-19, xa que durante meses as fronteiras entre países, e mesmo entre comunidades de 39 40 CAPÍTULO 4. APLICACIÓN AO SECTOR HOTELEIRO España, permaneceron pechadas. As restricións impostas polo goberno seguiron afectando negativamente á industria incluso unha vez relaxadas as medidas adoptadas. Un claro exemplo desta situación é o acontecido en Santiago de Compostela. A súa economía depende fortemente da chegada de peregrinos que fan o Camiño de Santiago e, igual que outros destinos turísticos ben coñecidos, sufriu o impacto desta crise sanitaria. Outro exemplo é a comunidade das Illas Canarias, que é un dos grandes afectados, xa que nos últimos anos o sector turístico representou entre un 35% e un 40% do PIB en Canarias. Neste contexto podemos pensar na posibilidade de cooperación entre membros do sector hoteleiro, para intentar minimizar resgos económicos e aumentar á súa vez a competitividade. Existe unha innita variedade de medidas que se poderían adoptar nesta situación, a cooperación entre comunidades autónomas é unha delas. Ademais, a agrupación de membros da industria hoteleira por rexións está xusticada, xa que axentes dunha mesma comunidade terán en común factores tales como o tempo, as fechas do ano con maior auencia ou a facilidade para transportar recursos entre eles. A continuación combinaremos a metodoloxía DEA cos enfoques da teoría de xogos cooperativos presentados neste traballo para encontrar aquela rexión que máis contribúe á eciencia do sistema hoteleiro, e crear a partir deste estudo un ranking das autonomías baseado na eciencia. Os elementos do problema DEA asociados a esta situación real son os seguintes. Primeiro ao conxunto de DMUs denotarémolo como M , este está formado por 17 comunidades autónomas e dúas cidades autónomas (Ceuta e Melilla). No Cadro 1 proporcionase unha medida da capacidade anual da industria hoteleira en España no 2019. Os datos de entrada teñen como obxectivo medir o potencial da industria hoteleira en cada comunidade. De maneira natural, escollemos a cantidade media mensual de hoteis abertos, a cantidade media mensual de camas dispoñibles e o número medio de traballadores en activo. Os datos de saída son os encargados de medir o grao de produtividade obtida cos recursos dispoñibles. Neste caso, a cantidade media mensual de persoas que de hospedan nalgún hotel, a media mensual de noites de estancia e a media mensual de camas ocupadas poden ser vistas como resultado da xestión hoteleira. Cada rexión ( DMU ) xestiona os seus recursos co obxectivo de promover o turismo, por iso é interesante comparar como de eciente é en comparación ao resto. Durante o estudo que faremos destes datos vamos calcular a eciencia relativa para cada rexión. Veremos que, comunidades que a priori podiamos pensar que eran as máis ecientes, como poden ser Cataluña ou Andalucía, que son das que teñen unha maior capacidade, non van a formar parte do noso conxunto eciente. Representamos, entre outros, os datos da media mensual de hoteis abertos no 2019 utilizando R na Figura 4.1. Dacordo co descrito no Capítulo 3, plantexaremos o ranking correspondente sobre un exemplo realista. 41 Figura 4.1: Diagrama de barras do datos Hotels por rexións. Para os cálculos botaremos man do entorno de software libre R e do código especicamente creado para este n e que pode consultarse no Apéndice A. Resolvendo o problema (3.1) mediante o uso do paquete lpSolveAPI obtemos a eciencia relativa para cada DMU . Os resultados obtidos móstranse no Cadro 4.1. Como xa comentabamos no Capítulo 3, esta clasicación non distingue entre as DMUs ecientes. Por esa razón, asígnalles a todas elas o posto medio, neste caso 2.5. A continuación, abordaremos o problema de ordenar as DMUs ecientes. Para iso utilizaremos o paquete CoopGame de R , para máis detalle consultar Apéndice A. A vista dos resultados, N={ Illas Baleares, Canaria, Comunidade Valenciana e Comunidade de Madrid }, é o noso conxunto de DMUs ecientes, sempre e cando as variables de folgura sexan cero. Por simplicar a notación vamos denotalas como A, B, C e D respectivamente. Agora calculamos o valor da función característica do xogo ˆv para cada coalición de xogadores de N . Para isto utilizamos a función createBitMatrix() do paquete CoopGame , que xera unha matriz con todas as posibles coalicións de S, e resolvemos o problema (3.1) para 42 CAPÍTULO 4. APLICACIÓN AO SECTOR HOTELEIRO Rexión Eciencia Clasicación Andalucía 0.86858 11 Estremadura 0.73014 19 Aragón 0.95428 6 Galicia 0.75457 17 Principado de Asturias 0.78051 16 Comunidade de Madrid 1.00000 2.5 Illas Baleares 1.00000 2.5 Rexión de Murcia 0.85143 13 Canarias 1.00000 2.5 Comunidade Foral de Navarra 0.83709 14 Cantabria 0.80268 15 País Vasco 0.97983 5 Castela e León 0.88999 10 A Rioxa 0.85473 12 Castela A Mancha 0.94368 9 Ceuta 0.95249 8 Cataluña 0.95315 7 Melilla 0.74557 18 Comunidade Valenciana 1.00000 2.5 Cadro 4.1: Eciencia de cada comunidade obtida mediante un modelo DEA. cada j0∈M\N e para cada grupo de referencia (M\N)∪S con S cada unha das posibles coalicións de N , S∈2N . Obtemos así os Ej0((M\N)∪S) necesarios para calcular os valores ˆv(S) . Os datos obtidos represéntase no Cadro 4.2. Sˆv(S)Sˆv(S)Sˆv(S) {A} 5.3408942 {A, C} 5.4485277 {A, B, C} 6.1394056 {B} 5.8221115 {A, D} 6.4926592 {A, B, D} 7.1835372 {C} 1.1340882 {B, C} 5.9814303 {A, C, D} 6.5805037 {D} 0.9998564 {B, D} 6.8423313 {B, C, D} 7.0388736 {A, B} 6.0317721 {C, D} 2.1468712 {A, B, C, D} 7.2713817 Cadro 4.2: Función característica do xogo ˆv para as distintas DMUs . 43 Finalmente co comando shapleyvalue() , que ten como argumento o vector dos valores que toma a función característica en cada posible coalición de N , calculamos o valor de Shapley é obtemos a clasicación das DMUs ecientes en base a él. Presentamos os resultados no Cadro 4.3. Rexión Valor de Shapley Clasicación Illas Baleares 2.6391603 2 Canarias 3.0994518 1 Comunidade Valenciana 0.4559821 4 Comunidade de Madrid 1.0767875 3 Cadro 4.3: Valor de Shapley e clasicación das DMUs ecientes. Tal e como comentamos, o uso deste tipo de solucións non é exclusivamente aplicable ao problema de ordenar DMUs . Podense usar noutros contextos, como o de asignación de recursos. Imaxinemos entón que o goberno aproba certas políticas co n de reactivar a economía do sector hoteleiro, pero non dispón dos recursos necesarios inmediatamente, senón que os vai conseguindo mes a mes. Unha solución xusta pasaría por priorizar aquelas comunidades con un sector hoteleiro máis eciente en termos do DEA. Ademais dentro das ecientes o ranking de Hinojosa et al. (2017) distingue entre aquelas que teñen un maior impacto sobre a fronteira eciente, recordemos que as DMUs inecientes proxéctanse sobre a fronteira eciente dando así lugar a puntos que representaan os inputs e os outputs que terían as DMUs inecientes se fosen ecientes. Visto en termos de competitividade, canto maior sexa a mellora na fronteira eciente máis alto estará o listón para o resto de comunidades, que cando reciban a axuda poden tomar como referentes as rexión máis ecientes e aprender da súa xestión. Polo tanto a clasicación de Hinojosa et al. (2017) apórtanos un orde lóxico no que ir dando as axudas. Desta forma, a primeira partida de diñeiro será para Canarias, que actuará como referente para o resto de comunidades. En contraposición, destaca o feito da Comunidade Valenciana en última posición. A asignación de recursos plantexada no Capítulo 2 tamén é aplicable a estes datos, xa que as veces interesa máis ofrecer solucións ecuánimes para evitar o malestar xeneral. Neste contexto de crise, a chegada de fondos europeos destidados a axudas ó sector turístico, pode plantexar un novo problema á hora de repartilos entre as comunidades autónomas. Por exemplo, os procedementos derivados do valor de Shapley modicado poden ser aplicados para este n. Sen embargo, encontrámonos co problema computacional do cálculo exacto do valor de Shapley xa que o número de coalicións a avaliar é sucientemente alto ( 219 −1 ) 50 APÉNDICE A. CÓDIGO R lprec <- make.lp(0, n_mod) set.objfn(lprec, z) for (i in 1:numero_inputs) { add.constraint(lprec, A_mod[i,], "<=", b[i]) } for (i in (numero_inputs+1):m) { add.constraint(lprec, A_mod[i,], ">=", b[i]) } solve(lprec) aux<-aux+get.objective(lprec) } indice<-indice+1 v_S[indice]<-E_jMN-aux aux<-0 } #función característica para cada subconxunto de DMU ' s eficientes return(v_S) } A.2. Exemplo de uso A continuación, ilustramos o uso das funcións aquí descritas sobre o exemplo do sector hoteleiro en España. Antes da avaliación dos procedementos propostos, compre cargar os datos do sector hoteleiro español e os paquetes necesarios. #install.packages("lpSolve") #install.packages("lpSolveAPI") #install.packages("CoopGame") #install.packages("rgl") #install.packages("geometry") #install.packages("rcdd") library(rgl); library(geometry); library(rcdd); ## If you want correct answers, use rational arithmetic. A.2. EXEMPLO DE USO 51 ## See the Warnings sections added to help pages for ## functions that do computational geometry. library(lpSolveAPI); library("lpSolveAPI",character.only=TRUE); library("CoopGame"); #Cargamos os datos datos<-read.table("DatosTFG.txt",header=TRUE,sep=" ",dec=".") A<-datos[,-1] A<-t(A) Comunidades<-datos[,1] numero_inputs<-3 numero_outputs<-3 Representamos a magnitude Hotels fronte a Regions mediante un diagrama de barras. barplot(Hotels ~Region, data=datos,las=2,xlab="") 52 APÉNDICE A. CÓDIGO R Andalucia Aragon Asturias Baleares Canarias Cantabria CastelaLeon CastelaMancha Cataluna Ceuta Extremadura Galicia LaRioja Madrid Melilla Murcia Navara PaisVasco Valencia Hotels 0 500 1000 1500 2000 Chamamos a función que nos devolve o conxunto de DMUs ecientes. N<-DMUsEficientes(A,numero_inputs,numero_outputs) Comunidades[N] ## [1] "Baleares" "Canarias" "Valencia" "Madrid" Agora obtemos o valor da función caracaterística para cada coalición. v_S<-FuncionCaracteristica(A,numero_inputs,numero_outputs,N) createBitMatrix(4,v_S) ## cVal A.2. EXEMPLO DE USO 53 ## [1,] 1 0 0 0 5.3408942 ## [2,] 0 1 0 0 5.8221115 ## [3,] 0 0 1 0 1.1340882 ## [4,] 0 0 0 1 0.9998564 ## [5,] 1 1 0 0 6.0317721 ## [6,] 1 0 1 0 5.4485277 ## [7,] 1 0 0 1 6.4926592 ## [8,] 0 1 1 0 5.9814303 ## [9,] 0 1 0 1 6.8423313 ## [10,] 0 0 1 1 2.1468712 ## [11,] 1 1 1 0 6.1394056 ## [12,] 1 1 0 1 7.1835372 ## [13,] 1 0 1 1 6.5805037 ## [14,] 0 1 1 1 7.0388736 ## [15,] 1 1 1 1 7.2713817 Finalmente coa función shapleyValue() do parque CoopGame calculamos o valor de Shapley para cada unha das DMUs ecientes. shapleyValue(v_S) ## [1] 2.6391603 3.0994518 0.4559821 1.0767875 A modo de comprobación vemos que o valor de Shapley que obtemos cumpre eciencia, xa que suma o valor da cooperación de N. sum(shapleyValue(v_S)) ## [1] 7.271382 54 APÉNDICE A. CÓDIGO R Bibliografía [1] Beasley, J. E. (2003). Allocating xed costs and resources via data envelopment analysis. European Journal of Operational Research, 147(1), 198-216. [2] Berne, R., and Stiefel, L. (1984). The measurement of equity in school nance: Conceptual, methodological, and empirical dimensions. Johns Hopkins University Press. [3] Castro, J., Gómez, D., and Tejada, J. (2009). Polynomial calculation of the Shapley value based on sampling. Computers and Operations Research, 36(5), 1726-1730. [4] Charnes, A., and Cooper, W. W. (1962). Programming with linear fractional functionals. Naval Research logistics quarterly, 9(3-4), 181-186. [5] Charnes, A., and Cooper, W. W. (1973). An explicit general solution in linear fractional programming. Naval Research Logistics Quarterly, 20(3), 449-467. [6] Charnes, A., Cooper, W. W., and Rhodes, E. (1977). Measuring the eciency of decision making units with some new production functions and estimation methods. Texas University at Austin Center for Cybernetic Studies. [7] Charnes, A., Cooper, W. W., and Rhodes, E. (1978). Measuring the eciency of decision making units. European journal of operational research, 2(6), 429-444. [8] Cook, W. D., and Kress, M. (1999). Characterizing an equitable allocation of shared costs: A DEA approach. European Journal of Operational Research, 119(3), 652-661. [9] Cooper, W. W., Ruiz, J. L., and Sirvent, I. (2009). Selecting non-zero weights to evaluate eectiveness of basketball players with DEA. European journal of operational research, 195(2), 563-574. [10] Farrell, M. J. (1957). The measurement of productive eciency . Journal of the Royal Statistical Society: Series A (General), 120(3), 253-281. 55 56 BIBLIOGRAFÍA [11] Gini, C. (1912). Variability and mutability. Studi Economico-Giuridici Univertiá di Cagliari, 3, 1-156. [12] González-Daz, J., García-Jurado, I., and Fiestras-Janeiro, M. G. (2010). An introductory course on mathematical game theory. Graduate studies in mathematics, 115. [13] Hinojosa, M. A., Lozano, S., Borrero, D. V., and Mármol, A. M. (2017). Ranking ecient DMUs using cooperative game theory. Expert Systems with Applications, 80, 273-283. [14] Hua, Z., Bian, Y., and Liang, L. (2007). Eco-eciency analysis of paper mills along the Huai River: An extended DEA approach. Omega, 35(5), 578-587. [15] Kalai, E., and Samet, D. (1987). On weighted Shapley values. International journal of game theory, 16(3), 205-222. [16] Li, Y. J., and Liang, L. (2008a). A method of allocating the xed cost based on data envelopment analysis and Nash bargain game. Systems Engineering, 6. [17] Li, Y. J., and Liang, L. (2008b). Method of allocating the xed cost based on data envelopment analysis and cooperative game [J]. Systems Engineering-Theory and Practice, 11, 80-84. [18] Li, Y., and Liang, L. (2010). A Shapley value index on the importance of variables in DEA models. Expert systems with Applications, 37(9), 6287-6292. [19] Li, Y., Yang, M., Chen, Y., Dai, Q., and Liang, L. (2013). Allocating a xed cost based on data envelopment analysis and satisfaction degree. Omega, 41(1), 55-60. [20] Li, Y., Xie, J., Wang, M., and Liang, L. (2016). Super eciency evaluation using a common platform on a cooperative game. European Journal of Operational Research, 255(3), 884-892. [21] Lin, R. (2011). Allocating xed costs and common revenue via data envelopment analysis. Applied Mathematics and computation, 218(7), 3680-3688. [22] Lozano, S. (2012). Information sharing in DEA: A cooperative game theory approach. European Journal of Operational Research, 222(3), 558-565. [23] Mandell, M. B. (1991). Modelling eectiveness-equity trade-os in public service delivery systems. Management Science, 37(4), 467-482. BIBLIOGRAFÍA 57 [24] Mirás, M., and Sánchez, E. (2008). Juegos cooperativos con utilidad transferible usando MATLAB: TUGlab. ( http://mmiras.webs.uvigo.es/TUGlab/ ). [25] Rhodes, E. L. (1978). Data envelopment analysis and approaches for measuring the eciency of Decision-Making Units with an application to program FOLLOWTHROUGH in UNITED STATES education. Carnegie Mellon University. [26] Yang, Z., and Zhang, Q. (2015). Resource allocation based on DEA and modied Shapley value. Applied Mathematics and Computation, 263, 280-286. [27] Yazdani, M., Chatterjee, P., Pamucar, D., and Chakraborty, S. (2020). Development of an integrated decision making model for location selection of logistics centers in the Spanish autonomous communities. Expert Systems with Applications, 148, 113208. [28] Yin, P., Chu, J., Wu, J., Ding, J., Yang, M., and Wang, Y. (2020). A DEA-based two-stage network approach for hotel performance analysis: An internal cooperation perspective. Omega, 93, 102035.