De lonxitudes, áreas e volumes a medidas: un breve percorrido histórico

Traballo Fin de Grao De lonxitudes, áreas e volumes a medidas: un breve percorrido histórico Claudia Johanna Quintans Vinke 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao De lonxitudes, áreas e volumes a medidas: un breve percorrido histórico Claudia Johanna Quintans Vinke Febreiro, 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Análise Matemática Título: De lonxitudes, áreas e volumes a medidas: un breve percorrido histórico Breve descrición do contido: O concepto de medida ten as súas orixes nas nocións (intuitivas nos seus comezos) de lonxitude, área e volume, que xorden de necesidades prácticas e teñen unha longa historia de máis de 5000 anos. O obxecto deste traballo é realizar un breve percorrido pola evolución destes conceptos, estreitamente relacionados co concepto de integral. Recomendacións Outras observacións iii Índice xeral Resumo viii Introdución xi 1. Introdución dos Conceptos Iniciais 1 1.1. Primeiras Civilizacións . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Grecia....................................... 2 1.2.1. Volumes na Antiga Grecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Arquímedes................................ 4 1.3. PeríodoEscuro .................................. 7 1.4. BibliografíaDestacada.............................. 10 2. Nacemento da Integral 11 2.1. PrimeirosIndivisibles............................... 11 2.1.1. KeplereCavalieri............................. 12 2.1.2. O nacemento das potencias fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Recticación da curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Problemas de Tanxentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Resultados de Matemáticos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.1. Outras achegas de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.2. LeibnizeEuler.............................. 19 2.5. BibliografíaDestacada.............................. 20 3. Evolución da Integral e Nacemento da Medida 21 3.1. Medida ...................................... 21 3.2. AsSeriesdeFourier ............................... 21 3.3. AIntegraldeCauchy............................... 22 v vi ÍNDICE XERAL 3.4. AIntegraldeRiemann.............................. 23 3.4.1. Consecuencias directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5. AchegasdeHarnack ............................... 26 3.5.1. Conxuntos de medida cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5.2. A integral de Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5.3. Conxuntos e contidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.6. O concepto de Medibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6.1. AmedidadeJordan ........................... 29 3.6.2. A teoría da medida de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.7. A Integral e a Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.8. Outras Adaptacións e Usos da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.9. Concepto Actual da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.9.1. A Medida de Lebesgue no entorno actual . . . . . . . . . . . . . . . 36 Bibliografía 39 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN DOS CONCEPTOS INICIAIS Teorema de Pitágoras máis dun milenio antes da época do grego, facendo exercicios prácticos como manter a hipotenusa dun triángulo constante e observar como cambiaba un cateto ao modicarse o outro. Podemos concluír, en denitiva, que os exipcios e os babilónicos contaban cun abano de habilidades xeométricas para a resolución de problemas. Non obstante, estas resolucións eran puramente prácticas, carecendo dun método xeral explícito, ao cal debemos engadir que en ningún momento se fai distinción entre resultados aproximados e exactos. 1.2. Grecia Imos agora estudar o avance levado a cabo pola civilización grega antiga (aproximadamente entre os séculos VII e II antes de Cristo). A civilización grega adopta inicialmente os coñecementos desenvoltos en Babilonia e Exipto, e procede a engadir os seus propios resultados grazas aos matemáticos da época e ás súas inquedanzas, entre as que é notable o problema da cuadratura do círculo. O primeiro matemático notable, Tales de Mileto, demostra diversos resultados, entre os cales atópase o que hoxe coñecemos como Teorema de Tales. Destacamos tamén a Pitágoras e á súa escola, a mans dos cales aparecen tamén diversos avances, entre eles estudos das relacións entre triángulos (e outras guras) e as súas áreas. O seu lema é que todo é número, pensando número no sentido grego: como un enteiro positivo, sendo as fraccións da forma a d non números, senón relacións entre números. A primeira dicultade á que se afronta a escola pitagórica é o que eles chaman inconmensurables: magnitudes que non poden ser expresadas como un número ou ratio entre dous números (o que hoxe chamamos números irracionais). A súa aversión a ditas magnitudes levaralles a necesitar unha forma de calcular que non requira utilizalas. Sabemos polos Elementos de Euclides que os gregos comezaron a entender a multiplicación de dúas magnitudes a e b , en concreto dúas lonxitudes, como a área dun rectángulo de lados a e b . Isto lévalles á solución de ax =b2 ao pensar nun cadrado de lado b e un rectángulo de lados a e x , permitíndolles efectivamente esquivar os números irracionais. Defínense entón operacións con áreas, o cal da lugar a posibles comparacións: por exemplo, as áreas de dous rectángulos coa mesma altura compáranse mirando a relación 1.2. GRECIA 3 das súas bases e súmanse xuntándoos. Este proceso pódese estender a calquera tipo de magnitude xeométrica. Habitualmente os gregos manexaban só algunhas regras básicas como a monotonía e a aditividade para o cálculo de áreas, presentando unha aversión permanente a tomar límites e ao concepto do innito, polo que requiren desenvolver un método alternativo a estas ferramentas. Concretamente, o que hoxe coñecemos como Principio de Eudoxo tratábase de, tendo como obxectivo calcular a área dunha gura curvilínea S , xerar unha secuencia de polígonos Pn cuxa área se soubese calcular e se aproximase cada vez máis á de S , tralo cal íase disminuíndo en cada paso a diferencia S−Pn=ε das áreas e ver mediante unha redución ao absurdo que para un paso n sucientemente grande ε sería arbitrariamente pequeno. Dito proceso recibe o nome de método de esgotamento. 1.2.1. Volumes na Antiga Grecia Se P é un cono ou pirámide, a fórmula para calcular o volume de P é v(P) = Ah 3, (1.2) (sendo A a área da base e h a altura). Tradicionalmente este resultado atribúese a Demócrito (quen foi, segundo as palabras de Arquímedes, o primeiro en descubrilo), mais non aportou unha proba. O primeiro en facer isto foi Eudoxo, mediante o método de esgotamento (ver g. 1.1): xerou dúas series de cilindros, {Pn} e {Qn} , de forma que para cada paso n∈N , Pn e Qn representan os n cilindros de altura h n inscribindo e circunscribindo a P respectivamente. Figura 1.1: Representación do método de esgotamento con cilindros inscritos (esquerda) e circunscritos (dereita). 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN DOS CONCEPTOS INICIAIS Por outra banda, Euclides enuncia e demostra que, sendo S, T esferas de radios s, t ; a relación entre os seus volumes é v(S) v(T)=s3 t3, (1.3) o cal permite calcular doadamente o volume dunha a partir do da outra. A demostración é, de feito, unha de cinco que Euclides fai co mesmo método, demostrando en cada unha que v(A) = k·v(B) , sendo k constante. Dada a falta de límites, empregou o método de esgotamento: suponse que v(A)< k·v(B) e inscríbense guras de volume coñecido ata obter unha contradición, momento no cal se fai o mesmo con v(A)> k ·v(B) . Estes resultados levaron aos gregos á conclusión de que dous sólidos con seccións paralelas iguais (a unha altura dada da base) deben ter volumes iguais. 1.2.2. Arquímedes Nos seus tratados amosa varias demostracións, mais é claro que as mesmas non son a forma orgánica na cal obtivo os resultados [6]. O seu método principal para a investigación facía uso do innito, o cal leváballe a facer probas a maiores dada a desconanza grega hacia o mesmo. Dita técnica foi descoñecida ata 1906, cando, co rexurdir de O método , foi atopada unha descrición da mesma feita por Arquímedes nunhas cartas persoais. Un dos temas que tratou foi a medida nun círculo. Concretamente, foi o primeiro en probar que as constantes π1 e π2 para A=π1·r2 e C= 4π2·r , sendo r o radio, coinciden (estas relacións para o cálculo da área e circunferencia dun círculo eran coñecidas en Grecia). Fíxoo amosando que A=rC 2 mediante unha redución ao absurdo, isto é, que a área dun círculo coincide coa dun triángulo de base igual á súa circunferencia e altura igual ao seu radio. Achegou a maiores unha aproximación de dita constante, segundo a cal 3 + 10 71 < π < 3 + 1 7 , a cal obtivo calculando as áreas do polígono de 96 lados inscrito e do circunscrito. Matemáticos anteriores obtiveron a área dun segmento de círculo e de hipérbola, pero segundo Arquímedes ninguén buscara a cuadratura dun segmento de parábola, sendo esta denida como unha das seccións cónicas (ver g. 1.2). Arquímedes demostra que dado un segmento de parábola P e inscribindo un triángulo rectángulo T nela (ver g. 1.3), a área de P será catro terzos da de T . En dita demostración utiliza unha vez máis a dobre redución ao absurdo. Por outra banda, Arquímedes non logrou resolver o problema da área encerrada por un segmento da elipse (outra cónica, ver g. 1.4), pero si da elipse completa. Sendo os seus 1.2. GRECIA 5 Figura 1.2: Denición da parábola (en vermello) como a intersección entre un plano e o cono. Figura 1.3: Arquímedes inscribe un triángulo no segmento de parábola. semieixes maior e menor a e b , probou que A=πab mediante o método do esgotamento, sendo isto unha xeneralización da área do círculo ( a=b=r ). Xa vimos que Euclides Figura 1.4: Denición da elipse (en vermello) como a intersección entre un plano e o cono. 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN DOS CONCEPTOS INICIAIS probou que a área dunha esfera é da forma V=α·r3. (1.4) Arquímedes completa a fórmula, probando que α=4π 3, (1.5) e engade que S= 4π·r2 (1.6) para a súa supercie. Con respecto á esfera, Arquímedes utilizou unha vez máis a redución ao absurdo dobre para demostrar que a(S) = 4π·r2 e realizou unha demostración análoga para ver que v(S) = 4π 3·r3 . Moitas das súas demostracións seguen o método de comprensión, un subcaso de dobre redución ao absurdo, no cal o obxectivo é demostrar que unha magnitude xeométrica S coincide cunha magnitude dada C . Trátase de construír dúas sucesións {Ln} e {Un} cumprindo que Ln< S < Un e Ln< C < Un para todo n , e formar a dobre redución para ver que S=C utilizando que Un−Ln< ε ou que Un Ln< α (sendo ambas aproximacións análogas, con ε próximo a cero e α próximo a un). Dito método ve moito uso nos traballos de Arquímedes relacionados cos sólidos de revolución. Entre os resultados que aporta achamos, en termos actuais, unha proba de que dado un paraboloide de revolución P inscrito nun cilindro de radio r e altura h o seu volume é v(P) = πr2h 2. (1.7) Da mesma forma achou o volume dun elipsoide de revolución E con semieixes a e b , revolucionado en torno ao eixe de coordenadas que conten o semieixe b : v(E) = 4πa2b 3. (1.8) Arquímedes utilizou unha construción por talladas para o cálculo de moitas destas guras de revolución. Varios autores consideran a Arquímedes o primeiro en descubrir o cálculo. Non obstante, no seu traballo faltan tres das claves desta disciplina: 1. Límites explícitos. 2. Recoñecemento da relación entre os problemas de área e tanxentes. 1.3. PERÍODO ESCURO 7 3. Creación e uso de métodos xerais para cálculos de áreas e volumes (empezaba sempre de cero). Isto lévanos a dicir que Arquímedes non levaba a cabo cálculo propiamente dito. Isto non resta mérito ao seu traballo, o cal sementou as bases do que máis adiante sería o cálculo [5]. 1.3. Período Escuro O camiño ás técnicas innitesimais preparado por Arquímedes non foi transitado ata o século XVII. Un dos maiores factores que impediron máis avances en Grecia foi a clara separación que tiña lugar entre a Xeometría, na cal se centraba o seu análise, e a Aritmética, á cal ignoraban na súa maior parte. Traballaban con magnitudes xeométricas, non numéricas, co que a notación verbal facía imposible a xeración de algoritmos para a resolución de problemas (posto que escondía as similitudes entre problemas similares). A maior virtude das Matemáticas gregas era a súa maior debilidade: a necesidade de rigor absoluto. Foi este rigor o que impediu o desenvolvemento dos números irracionais e favoreceu o pavor ao innito. Todas as técnicas alxébricas desenvoltas polos babilonios foron ignoradas polos gregos, pois non casaban co seu concepto de número e o seu requerimento de solucións exactas. Non servía de nada saber que a área do círculo era πr2 , xa que só se podían comparar círculos con círculos e cadrados con cadrados. Non había ningún motivo para desenvolver ecuacións de orde superior, posto que non se correspondían con ningunha das magnitudes xeométricas coñecidas. O coñecemento transmitíase principalmente de forma oral, pois non había unha escritura clara. Se, por causas externas, desaparecía a tradición oral, a xeración seguinte tiña que dedicar o seu tempo a descifrar a versión escrita, o que non lle deixaba espazo a progresar co coñecemento. Se engadimos a estes factores internos causas externas como as queimas de bibliotecas, podemos entender o parón que recibiron as Matemáticas gregas. Coa chegada do imperio romano tivo lugar un retroceso. O máis semellante á trasmisión do coñecemento matemático grego que tivo lugar foi a popularización de manuais formados por un pastiche de coñecemento grego procedente de diversas fontes, frecuentemente contraditorias entre si. Estes manuais foron practicamente a única fonte de coñecemento cientíco dispoñible na Europa occidental nos inicios da Idade Media. O escritor máis notable neste período, Boethius, creou entre outros un manual de aritmética. Estaba composto por unha versión acurtada dunha compilación anterior de 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN DOS CONCEPTOS INICIAIS traballos ás mans de Pitágoras e Platón, incluíndo unha táboa de multiplicar tamaño 10x10. O seu outro manual no eido das Matemáticas trataba a Xeometría, e nel só estaban os enunciados dalgunhas proposicións dos primeiros catro libros de Os Elementos de Euclides. O grao de entendemento no mundo occidental continuou minguando ata o século XI. O matemático máis famoso de dito século, Franco de Liege, dedicou a maior parte dos seus esforzos a tentar resolver o problema da cuadratura do círculo, que hoxe en día sabemos irresoluble. Afortunadamente, parte da sabiduría grega foi preservada polo imperio bizantino e, máis adiante, pola hexemonía árabe na área mediterránea. Destacamos aquí a al-Khwarizmi, quen redactou libros de texto en Aritmética e Álxebra. O primeiro deles foi unha tese sobre a forma de calcular dos hindús, que utilizaban tanto números racionais como raíces irracionais e dispuñan dun sistema de numeración decimal con notación posicional e un elemento cero. O segundo libro, al-Jabr wa-l-Muqabala , deu orixe á palabra álxebra. A súa redacción é totalmente retórica e verbal, escribindo os números con palabras, o cal é un retroceso comparándoo con literatura anterior. O maior mérito de al-Khwarizmi é que o seu traballo repopularizou o uso de números en lugar de magnitudes xeométricas, facendo uso de algoritmos para resolver ecuacións. Estos algoritmos eran vericados, de forma similar á grega, a través de diversas construcións xeométricas. Utilizaba no seu traballo tres tipos de cantidades, as que chamaba raíces ( x ), cadrados ( x2 ) e números (constantes). Así, x2+ 10x= 39 era para el un cadrado e dez das súas raíces equivalen a trinta e nove, e o seu método para solucionar dita ecuación sería: 1. Coller a metade das raíces (10/2=5), 2. Multiplicar esta cantidade por si mesma (5 · 5=25), 3. Sumarlle o número (25+39=64), 4. Calcular a súa raíz cadrada (8), 5. E restar a metade das raíces (8-5=3), 3 é o resultado obtido, sendo sempre a raíz positiva a atopada. En notación moderna, diriamos que a raíz positiva de x2+ 2bx =c é −b+√b2+c . Nos séculos IX e X traducíronse numerosos tratados do grego ao árabe. Algúns destes textos só chegaron a nós grazas a ditas traducións, ás cales os árabes engadiron probas alternativas e xeneralizacións. 1.3. PERÍODO ESCURO 9 Destacamos no século XI, a época dorada das matemáticas arabes, que Al-Haitham (Alhazen) demostrou que de revolucionar un segmento de parábola arredor da súa base, o volume obtido é 8/15 veces o volume do cilindro circunscrito. Tras preservar e enriquecer as Matemáticas gregas por catro séculos, no século XII a ciencia árabe comezou a declinar. Afortunadamente, por entón a Europa occidental xa saíra das sombras, recollendo o relevo. No Medievo comezan a aparecer de xeito natural diversos problemas de series innitas. A primeira suma de series innita en ser probada foi 1 2+2 4+3 8+... +n 2n+··· = 2, (1.9) sendo a demostración obtida por Swineshead e exposta de forma verbal. En torno ao 1350 Oresme formulou, de forma máis xenérica, a serie xeométrica a k+a k1−1 k+···+a k1−1 kn +··· =a, (1.10) sendo k > 1 un enteiro e incluíndo o caso 1 + 1 4+···+1 4n+··· =4 3, (1.11) utilizado por Arquímedes de forma especial. A súa demostración é que a=a k"1 + 1−1 k+···+1−1 kn−1#+a1−1 kn a1−1 kn −−−→ n→∞ 0, (1.12) Oresme demostra así mesmo que a serie harmónica 1 + 1 2+1 3+... +1 n+... (1.13) é diverxente. Este é o primeiro caso dunha serie cuxa diverxencia non é obvia (posto que os seus sumandos converxen a 0) en ser probada como tal. Este estudo de series innitas continúa nos séculos XV e XVI de forma exclusivamente verbal, aceptándose os límites innitos. No Renacemento vemos un progreso veloz na área da Álxebra, que anteriormente non era máis que unha bolsa de xogos e non un método xeral. Era necesario facer unha distinción clara entre o papel da variable descoñecida e os coecientes para evitar confusión. A notación que colleu tracción foi a de Viète, que separou os roles das variables e dos parámetros, permitindo centrar a atención na resolución do problema en cuestión. 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCIÓN DOS CONCEPTOS INICIAIS O paso nal no nacemento das Matemáticas co uso de innitesimais foi a creación da Xeometría Analítica por parte de Descartes e Fermat. A idea básica era marcar a correspondencia entre unha ecuación f(x, y) = 0 e os puntos do plano que a satisfacían. Tanto Descartes como Fermat pensaban nas incógnitas nesta relación como segmentos de línea en lugar de números. Fermat adheriuse á notación de Viète, mentres que Descartes creou o que hoxe en día é a notación alxébrica estandar. Ambos tiñan como obxectivo aplicar a Álxebra renacentista aos problemas presentes na Xeometría. Descartes partía dun problema xeométrico e o convertía nunha ecuación alxébrica, a cal resolvía. Por outra banda, Fermat comezaba cunha ecuación alxébrica e estudaba as propiedades xeométricas da súa curva correspondente, clasicando así o tipo de gura obtida. A noción dunha variable foi necesaria no desenvolvemento do cálculo. A Xeometría Analítica proporcionou, pois, un campo de traballo para as técnicas intesimais do século XVII e as técnicas necesarias para elucidalas. 1.4. Bibliografía Destacada Fixemos neste primer capítulo especial uso do libro The Historical Development of the Calculus escrito por Edwards, [5]. A principal axuda prestada por dito documento foi a xeración dunha base inicial sobre a cal foi posible traballar e expandir. Fixemos uso tamén, aínda que en menor medida, da referencia [6], de onde obtivemos información relacionada con Arquímedes. Capítulo 2 Nacemento da Integral O concepto de integral foi desenvolto ao longo do tempo, concretamente entre os séculos XVI e XIX. Neste apartado imos presenciar os diversos feitos que favoreceron a súa constitución, ata chegar a un proceso primitivo que integra as funciones sen discriminación, non preocupándose de se dito cálculo é posible ou non. Esta distinción será un punto de discusión máis adiante, sendo nos dous primeiros séculos máis de interese o desenvolvemento dun proceso práctico. Seguiremos polo tanto o nacemento dos indivisibles e dos problemas de tanxentes, sendo estes últimos de interese para nós debido ao Teorema Fundamental do Cálculo. Remataremos este capítulo cunha rápida revista aos resultados do noso interese obtidos polos matemáticos máis notables deste período. 2.1. Primeiros Indivisibles A mediados do século XVI, tiña lugar un entendemento xeral dos traballos de Arquímedes, o que sinala o comezo dunha etapa posterior de progreso. O método de esgotamento, tan utilizado en Grecia, foi renado e aplicado a moitos problemas. Con todo, segue sendo longo e aparatoso, e comezan a desenvolverse novos métodos, máis doados de usar e sinxelos. As demostracións de Arquímedes considéranse exemplares con respecto ao rigor requerido, emporiso, os matemáticos do momento pre- ren atopar resultados cunha velocidade maior, sacricando a exactitude. Nas palabras de Huygens: O máis importante é o método de descubrimento, e polo tanto debemos, por enriba de todo, seguir un método claro, aforrándonos a nós mesmos a tarefa de escribir e aos nosos lectores a tarefa de ler. [12, pág. 189]. Neste período, xa superada a aversión grega ao innito, tivo lugar un uso libre de números irracionais e desenvolvéronse diversas técnicas formais grazas á álxebra simbólica. 11 18 CAPÍTULO 2. NACEMENTO DA INTEGRAL actuais, dadas v=f(x) e y=g(z) , con s e t as áreas encerradas por elas respectivamente, ˙s ˙ t=v˙x y˙z. (2.17) Sendo ˙x= 1 (e polo tanto ˙s=v ), y=˙ t/ ˙z . Se supoñemos que s=t , ˙s=˙ t=v⇒y=v ˙z. (2.18) De ser z tal que z=φ(x) ou x=ψ(z) , chegamos a que y=v ˙z=f(x) φ0(x)=f(ψ(z)) φ0(ψ(z)) ⇒y=f(ψ(z))ψ0(z). (2.19) Co cal Newton quere dicir que Zf(x)dx (2.20) se transforma en Zf(ψ(z))ψ0(z)dz. (2.21) Esta non é a única ocasión na cal Newton fai uso da técnica de cambio de variable. De feito, no proceso de facer cuadraturas, utiliza unha xeneralización, na cal só asume a relación t=F(x, v) + ks (2.22) con k constante e utiliza unha transformación que incorpora integración por partes. 2.4. Resultados de Matemáticos Notables 2.4.1. Outras achegas de Newton Newton publica no seu tratado do 1671 dúas táboas de integrais, xunto as cales inclúe certos cálculos de áreas co obxectivo de ilustrar o seu uso. A primeira delas chámase Catálogo dalgunhas curvas relacionadas coas guras rectilíneas e inclúe curvas y=f(z) cunha función primitiva t=F(z) calculable explicitamente, sexa de forma directa ou por diferenciación inversa. A segunda táboa, titulada Catálogo dalgunhas curvas relacionadas coas seccións cónicas, trata das y=f(x) tales que a área correspondente é expresable coma a cuberta por unha sección cónica. É interesante notar que Newton consideraba o uso de indivisibles un atallo (mais non susbtituto) dos límites nas rigurosas probas matemáticas. Unha última aportación da man de Newton foi o seu uso dos triángulos característicos para o cálculo da lonxitude do arco dunha curva. 2.4. RESULTADOS DE MATEMÁTICOS NOTABLES 19 2.4.2. Leibniz e Euler No traballo de Gottfried Leibniz destaca o seu cálculo innitesimal, en concreto a súa notación. Por exemplo, en notación funcional a regra da cadea ten este aspecto: h(x) = f(g(x)) ⇒h0(x) = f0(g(x))g0(x), (2.23) o cal resulta pouco intuitivo a nivel visual. Non obstante, facendo uso da notación diferencial, o mesmo resultado aparece como z=f(y); y=g(x)dz dx =dz dy ·dy dx, (2.24) o cal dá a impresión de ser certo aínda sen ter coñecemento previo do resultado. A versión integral, Zf(g(x))g0(x)dx =Zf(u)du, (2.25) ensina outro dos descobrementos de Leibniz: utilizando o cambio de variable u=g(x), du = g0(x)dx vemos que se mantén unha invariabilidade frente aos cambios de variable. Dado o papel principal dos diferenciais e as integrales no cálculo de Leibniz, vese máis e máis clara a relación inversa entre eles. Outra das achegas de Leibniz son os triángulos característicos, unha xeneralización da construción triangular utilizada por Pascal, a cal permitía aplicar o método a problemas de recticacións e cuadraturas. Máis adiante Lebiniz descubriu o que coñecemos como trasmutación: un método de transformación que permitía a derivación de todos os resultados de cuadraturas no plano coñecidos. Tendo como base o principio de Cavalieri, para dúas rexións do plano A e B subdivididas en indivisibles, creamos unha correspondencia un a un entre eles, tendo dous indivisibles relacionados á mesma área. Entón A é derivado de B por unha transmutación, e ambos teñen a mesma área. Este proceso permitía a Leibniz obviar cambios de variable e integración por partes. Pola súa banda Leonhard Euler é considerado o maior matemático do século XVIII ([5, cap. 10]) e non sen motivo. Restrinxíndonos só ao seu labor relacionado co noso traballo, tras xar o concepto de función por primeira vez e denir formalmente as funcións logarítmicas, exponenciais e trigonométricas entre outras, Euler utilizou no seu Calculi Dierentialis as expansións en series innitas de diversas funcións elementais para derivar os diferenciais (no sentido de Leibniz) das mesmas. Así, diminúe os cálculos á derivación de polinomios, que logo agrupa novamente de ser posible. 20 CAPÍTULO 2. NACEMENTO DA INTEGRAL 2.5. Bibliografía Destacada Neste capítulo utilizamos, unha vez máis, o libro The Historical Development of the Calculus de Edwards, [5] coma base inicial, sobre a cal expandimos coa axuda de A Source Book in Mathematics, 1200-1800 de Struik, [12]. Capítulo 3 Evolución da Integral e Nacemento da Medida Neste capítulo imos visitar o desenvolvemento do concepto de integral co obxectivo de entender o proceso e as inspiracións que levaron a Lebesgue e posteriores ao seu concepto de medida. 3.1. Medida Ao longo do proceso de desenvolvemento do concepto de medida presenciamos unha evolución constante, na cal buscarase sempre o cumprimento de propiedades intuitivas, coma a monotonía (se sabemos canto mide algo, outro obxecto que o conteña terá que medir o mesmo ou máis) e a aditividade (a medida de dúas cousas separadas será a suma das súas medidas). 3.2. As Series de Fourier O concepto de integral ata o século XIX foi, como xa vimos, sinxelamente a operación inversa á derivación, sendo dita derivación o proceso relacionado cos problemas de tanxencialidade. As funcións integradas mediante este método eran habitualmente continuas, aínda que tamén estaba denido para funcións cun número nito de descontinuidades. Foi neste panorama (1807) no cal Fourier expuxo as súas series. A idea baséabase en que dada unha función f(x) acotada en [−a, a] , era posible expresala como f(x) = 1 2a0+ ∞ X n=1 hancos nπx a+bnsen nπx ai, (3.1) 21 22 CAPÍTULO 3. EVOLUCIÓN DA INTEGRAL E NACEMENTO DA MEDIDA con an=1 aZa −a f(x) cos nπx adx, bn=1 aZa −a f(x) sen nπx adx. (3.2) Isto obrígoulle a facer dúas suposicións importantes: por unha banda asumir que f(x), f(x) cos(mx) e f(x) sen(mx) son integrables para todo m∈R , e que para unha serie innita, a integración termo a termo é válida. Ambas conxeturas recibiron numerosas dúbidas. A primeira foi cuestionada rápidamente, mentres que a segunda foi xeralmente aceptada ata 1826, momento no cal Abel a cuestionou e amosou un contraexemplo. Nos anos 1870-71 Heine e Cantor engadiron progreso ás series de Fourier, demostrando que a representación dunha función como serie de Fourier é única (e rearmando no proceso que o problema da integración termo a termo era non trivial), mentres que Dini e Ascoli aportaron máis información con respecto aos coecientes. En 1875 Du Bois-Reymond probou que dada unha función acotada e integrable no sentido de Riemann cunha posible expresión en serie trigonométrica, esta sería a súa serie de Fourier, resultado que contribuiu ampliamente á difusión das series de Fourier. Foron estas series as que impulsaron a Riemann a comezar o seu estudo da integral [9], experimentando cos límites da integral denida por Cauchy, a cal revisaremos a continuación. 3.3. A Integral de Cauchy Vendo que a integración precisaba unha base sólida, Cauchy dene por primeira vez en 1821 a integral por si mesma: Denición 3.1. Sexa f(x) unha función continua. Chámase integral denida de f(x) en [a, b] ao límite das sumas SP= n X i=1 (xi−xi−1)f(xi−1) (3.3) asociadas a cada partición P={a=x0< x1< ... < xn=b} de [a, b] de forma que kPk (o supremo das lonxitudes dos intervalos) tenda a 0. Engade ademais unha extensión a algunhas das funcións, non necesariamente acotadas, cun número nito de descontinuidades no intervalo: Sexa f(x) función continua no conxunto [a, c)∪(c, b] , presentando unha única descontinuidade en c, a < c < b . Entón, se existen os límites l´ım ε→0+Zc−ε a f(t)dt e l´ım ε→0−Zb c+ε f(t)dt, (3.4) 3.4. A INTEGRAL DE RIEMANN 23 denimos Zb a f(t)dt := l´ım ε→0+Zc−ε a f(t)dt + l´ım ε→0−Zb c+ε f(t)dt. (3.5) No caso de presentar n > 1 descontinuidades, repítese o proceso. Cauchy expón tamén tres teoremas ao respecto: Dada F(x) = Rx af(t)dt con f continua, Teorema 3.2. F(x) será unha primitiva de f(x) . Equivalentemente, f(x) = F0(x) . Teorema 3.3. Todas as funcións primitivas de f(x) nun intervalo [a, b] son da forma F(x)+k , sendo k unha constante. Isto implica que, sexa G(x) unha función cuxa derivada é continua, Zx a G0(t)dt = (G(x) + k)−(G(a) + k) = G(x)−G(a). Teorema 3.4. Sexa G(x) unha función. De ser G0(x)=0 para todos os puntos x∈[a, b] , entón (por 3.3) G(x) é constante en [a, b] . Estes tres teoremas motivarán en gran parte o estudo de integrais, posto que un dos obxectivos na busca dunha extensión da integral a máis variedade de funcións será o cumprimento ou reformulación deles. Pouco despois Dirichlet reformula as condicións impostas no traballo de Cauchy da seguinte forma: Denición 3.5. f é integrable no intervalo [a, b] se existe unha función continua e única F (salvo constantes) tal que para todo [c, d]⊂[a, b] cumprindo que f sexa continua en [c, d] , verícase a igualdade F(d)−F(c) = Zd c f(t)dt, independentemente de se f é acotada en [a, b] ou non. 3.4. A Integral de Riemann O seguinte en afrontar o concepto de integral é Riemann, impulsado como xa comentamos polo estudo da integral de Cauchy e a representación de funcións a través de series trigonométricas, en especial das series de Fourier [9]. Os resultados obtidos neste método son a día de hoxe a integral usual. Observemos o proceso: Publicado por Dedekind en 1867 de forma posterior a súa morte, o traballo de Riemann parte da denición 3.1 e engade condicións necesarias e sucientes de integrabilidade ao 24 CAPÍTULO 3. EVOLUCIÓN DA INTEGRAL E NACEMENTO DA MEDIDA corpo de funcións f(x) . Sinala ademais que coa súa denición de integral é posible integrar funcións presentando innitas descontinuidades nun intervalo. Unha destas condicións, á que el considera evidente, é Proposición 3.6. Sexa ωi a oscilación de f en [xi−1, xi] , intervalo da partición P= {a=x0< x1< ... < xn=b} , e sexa ∆i=xi−xi−1 . Entón l´ım kPk→0 n X i=1 ωi∆i= 0. Dita armación foi posteriormente probada por Thomae. Coa notación actual, 3.6 quere dicir que Zf=Zf, (3.6) no intervalo de integración, sendo Rf e Rf as integrais superior e inferior, respectivamente. Riemann proba ademais que 3.6 é equivalente a que Proposición 3.7. Para todo ε, δ > 0 , pódese atopar d > 0 tal que kPk< d implica que s(P, δ) = n X i=1 λi∆i< ε sendo λi= 1 cando ωi≥δ , e nulo notro caso. 3.4.1. Consecuencias directas Foi este último resultado o que levou a Hankel, un discípulo de Riemann, a estudar a integrabilidade de funcións con respecto á natureza de conxuntos como a súa imaxe. Notando que as clasicacións habituais non eran aplicables, estableceu a súa propia, para a cal deniu un concepto análogo á oscilación ωi de Riemann. Denición 3.8. Sexa f unha función. Dirase que o salto de f nun punto x é maior ou igual que r > 0 se para cada ε > 0 existe un h tal que |h|< ε de forma que |f(x+h)−f(x)| ≥ r . Chamamos Sr ao conxunto {x:f ten salto maior ou igual ca r en x} . Así, concluíu que as funcións eran das clases: 1. Funcións continuas. 2. Funcións presentando una cantidade nita de descontinuidades en cada intervalo a ser estudado. 3.4. A INTEGRAL DE RIEMANN 25 3. Funcións presentando innitas descontinuidades en cada intervalo a ser estudado. a) Funcións para as que Sr é diseminado 1 para todo r , ás cales chama funcións puntualmente descontinuas . b) Funcións para as que existe un r para o cal Sr é denso en algún intervalo, ás cales chama funcións totalmente descontinuas . Hankel armou que unha función pertencente á clase 3 era integrable se, e só se, pertencía a subcategoría a). Non obstante, en 1875 o matemático británico Henry John Smith pubricou [11] dous métodos para a construción de conxuntos diseminados, usándoos para atopar un contraexemplo a dita armación, e rechazando tamén a creencia de que tódolos conxuntos diseminados tiñan contido nulo. Mais este documento non chegou ao continente por un tempo, e polo tanto os seus resultados non foron considerados inmediatamente. Ata 1878 mantívose pois a categorización de Hankel. Foi neste momento no cal Dini, tras amosar dúbidas acerca do sistema de Hankel, separa por primeira vez os conxuntos de 1 ª especie e demostra que teñen contido 0. Aínda que non o comunicou de forma explícita, podemos supoñer debido as súas dúbidas que diferenciaba aos conxuntos de 1 ª especie dos diseminados [1]. Por outra banda, en 1871 Hankel sinalou que aínda sendo, por exemplo, a función F(x) = Zx 0 ∞ X n=1 (nx) n2dx (3.7) continua, F0(x) non pertence ao conxunto denso formado polas descontinuidades da función subintegral, o cal aparentemente contradicía a validez de 3.2 no entorno da integral de Riemann. Novamente a solución aportaa Dini máis adiante, engadindo as catro derivadas dunha función f(x) : D+f(x), D−f(x), D+f(x) e D−f(x) . Tras demostrar que todas tiñan os mesmos extremos en cada intervalo, co cal de ser unha é integrable o son as catro e as súas integrais coinciden, reformula 3.2 e 3.3 no contexto da integral de Riemann: Teorema 3.9. Dada F(x) = Rx af , entón a diferencia entre cada unha das catro derivadas D+F(x), D−F(x), D+F(x) e D−F(x) e f é unha función de integral nula para cada intervalo. Este resultado signica, en termos actuais, que Rx af0=f(x) en casi todo punto. Teorema 3.10. Sexa F función continua tal que unha das súas catro derivadas, á cal denotaremos DF , sexa integrable. Entón Rb aDF =F(b)−F(a) . 1 Dicimos que un conxunto é diseminado ou denso en ningunha parte cando o interior da súa clausura é o conxunto baleiro. 26 CAPÍTULO 3. EVOLUCIÓN DA INTEGRAL E NACEMENTO DA MEDIDA Dini destacou nos seus traballos que a hipótese de integrabilidade sobre a derivada non resultaba superua, sendo o primeiro en notar este feito. Nos anos oitenta os estudos centráronse en estudar as propiedades dos conxuntos in- nitos. Tras darse a coñecer a existencia de conxuntos diseminados con contido exterior positivo, comezou nalmente a formarse a teoría da medida. En 1881 Volterra constrúe, cun proceso similar ao de Smith, un subconxunto de [0,1] pechado e diseminado cun contido exterior maior ca 2 3 , o cal utilizou ademais para probar a existencia dunha función da clase 3-a de Hankel non integrable no sentido Riemann, outra das conxeturas expostas por Dini. 3.5. Achegas de Harnack 3.5.1. Conxuntos de medida cero Harnack desenvolveu no seu traballo o concepto do que el chama conxuntos discretos: o que hoxe consideramos conxuntos con contido cero, e utilizouno para formular unha corrección sobre o armado por Hankel. En termos modernos, Teorema 3.11. Sexa f función, f é integrable no seu dominio ⇔ Para todo r > 0 , Sr ten contido cero. (Lembremos que Sr={x:f ten salto maior ou igual ca r en x} , visto na def 3.8). Posteriormente Harnack dene a igualdade en xeral: Denición 3.12. Dúas funcións f e g son iguais en xeral se, para todo r > 0 , o conxunto {x:|f(x)−g(x)| ≥ r} é de contido cero. Proba ademais que dúas funcións integrables e iguais en xeral teñen a mesma integral. 3.5.2. A integral de Harnack Non obstante, a maior achega que xo Harnack ao desenvolvemento da integral foi a súa propia, coñecida hoxe en día como Integral de Harnack, que estendía a denición de Riemann ás funcións f non acotadas nos entornos dos puntos pertencentes a un conxunto de contido cero. Isto é, sexa Uf un conxunto de contido cero e sexan I1, ... , In n intervalos (con n nito) tales que Uf⊂U= n [ i=1 Ii. (3.8) Defínese entón Zb a f= l´ım m(U)→0Zb a fU, (3.9) 3.5. ACHEGAS DE HARNACK 27 sendo m(U) a lonxitude de U . Esta integral comparte algunhas propiedades coa de Riemann, mais non todas: por exemplo, a función suma de dúas funcións integrables no sentido de Harnack non é necesariamente integrable nese mesmo sentido [8]. Ademais, 3.3 non se cumpre para esta integral. Con respeto a este último problema, Harnack e o primeiro en centrarse no que actualmente chamamos continuidade absoluta, demostrando que a súa integral cumpría 3.9 para as funcións absolutamente continuas integrables. 3.5.3. Conxuntos e contidos Harnack interesouse polos conxuntos de contido non nulo a partir do traballo de Cantor, quen deniu o contido exterior dun subconxunto acotado E⊂Rn como J(E) = l´ım r→0F(r), (3.10) sendo F(r) = ZQ(r) dx1... dxn; (3.11) Y(r) = [ p∈E P , sendo P=B(p, r). (3.12) Neste proceso Cantor asume que a cantidade de bólas necesarias P para a construción de Q(r) é nita, o cal é xusticable na actualidade (posto que ao ser E acotado, E é compacto), mais non o era daquela. Contando con dita nitude, a integral ZP dx1... dxn (3.13) ten sentido para calquera dos P , polo que F(r) está correctamente denida. Cantor demostrou algunhas propiedades do seu contido, como que J(E) = J(E) e que J(A∪B) = J(A) + J(B)⇔A∩B, (3.14) mais é Harnack quen resolve a confusión debida aos recubrimentos por conxuntos innitos que podían ter lugar cando J(E) = 0 , producindo unha contradición con respecto á denición de conxunto con contido cero. Para isto, Harnack limita (na recta real) os recubrimentos, permitindo só os formados por unha cantidade nita de intervalos, e demostra os resultados de Cantor nesas condicións, achegándose ao que máis adiante sería a medida de Jordan. 34 CAPÍTULO 3. EVOLUCIÓN DA INTEGRAL E NACEMENTO DA MEDIDA l´ım a→∞ Z{x:|f(x)|>a}|f|= 0, (3.36) co cal aborda 3.3 para funcións non acotadas: Teorema 3.20. Sexa f0 nita, f0 é integrable se, e só se, f é de variación acotada. Nese caso, Zb a f0=f(b)−f(a). (3.37) Pouco despois Lebesgue xo uso destes avances para, en 1904, atacar o problema da integración asignando a cada función f acotada en [a, b] un número Rb af∈R e presentar a súa teoría de forma axiomática [7]. Nesta formulación axiomática Lebesgue implica dous feitos importantes: Zb a kf =kZb a f , sendo k∈R, (3.38) e Zb a 1 = b−a, (3.39) de onde se conclue que a única dinición posible para RχE , sendo E medible, é m(E) . Comprobamos así que a evolución da integral e a da medida transcurren en todo momento de forma paralela. 3.8. Outras Adaptacións e Usos da Medida Coma xa mencionamos antes, Lebesgue traballou principalmente en R . Foron diversos matemáticos posteriores os que estenderon os seus resultados a dominios máis xerais, comezando por áreas ( R2 ) e volumes ( R3 ) e máis adiante a calquera Rn con n natural. Esta insistencia básase en parte na boa compatibilidade entre a medida de Lebesgue e outras ferramentas de traballo en Rn , coma as propiedades de conxuntos abertos e pechados. Ademais, a medida de Lebesgue non foi nin por asomo a última etapa no desenvolvemento da teoría da medida. Diversos modelos foron aparecendo, aplicables a distintos conxuntos, incluíndo X arbitrarios. Un exemplo notable é o traballo de Kolmogorov, que aplicou as capacidades da medida de Lebesgue ao intervalo [0,1] para o cálculo de probabilidades. 3.9. CONCEPTO ACTUAL DA MEDIDA 35 3.9. Concepto Actual da Medida Revisemos brevemente o concepto actual de medida obtido pola evolución constante representada neste traballo. Para isto, imos primeiro a denir o concepto de σ -álxebra, posto que é o entorno no cal búscase denir as medidas actualmente. Denición 3.21. Dado un conxunto X6=∅ , dicimos que M⊆P(X) = {A/A ⊆X} é unha σ -álxebra sobre X cando cumpre que: ∅ ∈ M . A∈M⇒X\A∈M . {An}∞ n=1 ⊆M⇒S∞ n=1 An∈M . Parte da interese nesta denición débese a que, en ocasións, o conxunto P(X) (sempre unha σ -álxebra) é máis complicado de traballar do que realmente é necesario nese caso, e noutras é necesaria a posibilidade dun entorno maior ao habitual, aínda que non se utiliza con tanta frecuencia. Plasmamos agora o concepto actual de medida: Denición 3.22. Dada M unha σ -álxebra sobre X , chamaremos á función µ:M−→ [0,∞] (3.40) unha medida se: µ(∅)=0 . Para {An}∞ n=1 ⊆M cumprindo que Ai∩Aj=∅ cando i6=j , µ ∞ [ n=1 An!= ∞ X n=1 µ(An). (3.41) Nun principio, a medida parece requerir cumprir unha serie de condicións intuitivas: Un conxunto baleiro debe ter medida nula. A medida de calqueira conxunto debe ser non negativa. Para dous conxuntos disxuntos, a medida da súa unión é a suma das súas medidas. Esta propiedade exténdese a unha suma numerable de conxuntos. 36 CAPÍTULO 3. EVOLUCIÓN DA INTEGRAL E NACEMENTO DA MEDIDA Se denísemos µ:U∈M−→ µ(U)∈[0,∞] (3.42) medida, estas condicións tradúcense a: µ(∅)=0 . µ(U)≥0 . Sexan Ui tales que i∈N , e Ui∩Uj=∅ para todo i6=j . Entón µ [ i∈N Ui!=X i∈N µ(Ui). (3.43) Non obstante, aparecen dicultades con respecto ao cumprimento destas condicións, sendo un exemplo habitual de ditas trabas o conxunto de Vitali para as medidas en R , particularmente a de Lebesgue. Buscáronse varias denicións de medida, mais vendo que sempre aparecía algún conxunto non medible, a solución para evitar imprevistos foi denir cada medida para unha serie de conxuntos, tantos coma fose posible. 3.9.1. A Medida de Lebesgue no entorno actual Veriquemos agora que a medida de Lebesgue, e en concreto a súa extensión a Rn (levada a cabo por matemáticos posteriores), cumpre as condicións necesarias para ser unha medida propia. Isto é, 3.9. Imos comezar vendo que a medida exterior de Lebesgue, m , non é suciente. Se a m fose unha medida, todos os conxuntos de R serían Lebesgue medibles (por (3.24)), o cal, asumindo o Axioma da Elección, contradí diversos exemplos de conxuntos non medibles, coma podemos ver no traballo de Rudin [10, Th. 2.22 e corolario]. Vexamos que é unha medida exterior 2 : 2 Denimos o concepto de medida exterior como: Denición 3.23. Dado un conxunto X , chamaremos á función m:P(X)−→ [0,∞] (3.44) unha medida exterior sobre X se: Para {An}∞ n=1 ⊆P(X) m ∞ [ n=1 An!≤ ∞ X n=1 m(An). (3.45) m(∅) = 0 . A⊆B⊂X⇒m(A)≤m(B) . 3.9. CONCEPTO ACTUAL DA MEDIDA 37 Dado {An}∞ n=1 ⊆P(Rn) (3.46) e sexa ε > 0 arbitrariamente xado, existe para cada i∈N un recubrimento por cubos {Ci,j}∞ j=1 cumprindo que ∞ X j=1 Vol (Ci,j)< m(Ai) + ε 2i. (3.47) É claro que {Ci,j}∞ i,j=1 é entón un recubrimiento de {Ai}∞ i=1 . Polo tanto, m ∞ [ i=1 Ai!≤ ∞ X i,j=1 Vol (Ci,j) = ∞ X i=1   ∞ X j=1 Vol (Ci,j) ≤ ≤ ∞ X i=1 m(Ai) + ε 2i= ∞ X i=1 m(Ai) + ∞ X i=1 ε 2i= ∞ X i=1 m(Ai) + ε, (3.48) co cal se cumpre a primeira condición de medida exterior, sendo as outras dúas validas por denición. Podemos entón utilizar: Proposición 3.24. A⊆X é medible se, para calquera B⊆X , m(B) = m(B∩A) + m(B∩Ac). (3.49) Vexamos agora que a hoxe chamada medida de Lebesgue si é medida coa axuda do teorema de extensión de Carathéodory. Teorema 3.25 (Teorema de Extensión de Carathéodory) . Sexa m unha medida exterior. Entón defínese M={A⊆X, tal que A medible };µ|M, (3.50) sendo M unha σ -álxebra e µ unha medida. Aplicandolle dito Teorema á medida exterior de Lebesgue obteñense L , a σ -álxebra, e µ , a medida de Lebesgue, cuxas propiedades son: a) Ai={(x1, ... , xn)∈Rn/xi> a} ∈ L para todo a∈R . b) Todo cubo C⊂Rn é medible, e a súa medida é m(C) = µ(C) = Vol (C) . c) Todos os conxuntos abertos son medibles. Todos os conxuntos pechados son medibles. Aínda que podería ser de interese estudar a relación entre os pasos intermedios no desevolvemento de medida e o concepto actual, esta e outras ideas escapan do alcance de este traballo, posto que a maior parte delas limítase a unha formalización e restruturacións: por exemplo, o feito de trasladar a denición de medida á σ -álxebra. Bibliografía [1] F. BOMBAL La teoría de la medida: 1875-1925. Seminario de Historia de la Matemática I , Universidad Complutense de Madrid, pág 107-144. [2] E. BOREL Leçons sur les fonctions entières , Gauthier-Villars, 1900. [3] S. B. CHAE Lebesgue integration , Springer Science & Business Media, 1995. [4] J. M. CHILD The geometrical lectures of Isaac Barrow , Chicago and London, 1916. [5] C. H. EDWARDS, Jr. , The Historical Development of the Calculus , Springer-Verlag, 1979. [6] T. L. HEATH , A Manual of Greek Mathematics , Oxford University Press, 1931. [7] H. LEBESGUE , Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives , Vol. 267. American Mathematical Soc., 2003. [8] I. N. PESIN , Classical and Modern Integration Theories , Academic Press, 1971. [9] B. RIEMANN On the representation of a function by a trigonometric series , 1854, as ch. XII of Bernhard Riemann Collected Papers , Baker, Roger, Charles Christenson, and Henry Orde , 2004. [10] W. RUDIN Real and complex analysis , McGraw-Hill Editions, 1987. [11] H. J. SMITH On the integration of discontinuous functions , Proceedings of the London Mathematical Society 6, 1875, pág 140-153. [12] D. J. STRUIK , A Source Book in Mathematics, 1200-1800 , Cambridge MA: Harvard University Press, 1969. 39