Dispositivos ópticos integrados no lineales biestables, lógicos y de enrutado por acoplamiento modal transversal para redes totalmente ópticas

Dispositivos ´opticos integrados no lineales biestables, l´ogicos y de enrutado por acoplamiento modal transversal para redes totalmente ´opticas Eduardo Fabi´an Mateo Rodr´ıguez ´ Area de ´ Optica. Departamento de F´ ısica Aplicada Dispositivos ´opticos integrados no lineales biestables, l´ogicos y de enrutado por acoplamiento modal transversal para redes totalmente ´opticas Eduardo Fabi´an Mateo Rodr´ıguez Santiago de Compostela, 5 de septiembre de 2005 ´ Area de ´ Optica. Departamento de F´ ısica Aplicada Informe dos Directores D. Jes´us Li˜nares Beiras, Catedr´atico de Universidade e D. Vicente Moreno de las Cuevas, Catedr´atico de Escola Universitaria da ´ Area de ´ Optica do Departamento de F´ısica Aplicada da Universidade de Santiago de Compostela, informan pola presente: Que baixo a direcci´on de ´ambolos dous na ´ Area de ´ Optica do Departamento de F´ısica Aplicada da Universidade de Santiago de Compostela, foi realizada por D. Eduardo Fabi´an Mateo Rodr´ıguez a memoria titulada “Dispositivos ´opticos integrados no lineales biestables, l´ogicos y de enrutado por acoplamiento modal transversal para redes totalmente ´opticas”, e que constit´ue o traballo de Tese que presenta para optar ao Grao de Doutor en Ciencias F´ısicas. En Santiago de Compostela, a 5 de septiembre de 2005 Prof. Dr. D. Jes´us Li˜nares Beiras Prof. Dr. D. Vicente Moreno de las Cuevas Eduardo Fabi´an Mateo Rodr´ıguez (o Doutorando) v Agradecimientos Al profesor Li˜nares por toda la f´ısica que me ha ense˜nado, por las reveladoras discusiones cient´ıficas mantenidas y por las muchas contribuciones y sugerencias realizadas a esta memoria. Al profesor Moreno por su sabidur´ıa y por su constante ilusi´on por demostrar que todo esto merece la pena. A los profesores Jos´e Ram´on Salgueiro, Carlos Montero y Xes´us Prieto por innumerables razones, pero sobre todo, por su compa˜n´ıa diaria. A mis padres y a mi hermana por su paciencia, su confianza y por ser el apoyo que todo lo soporta. En definitiva, a aquellos y aquellas que, sin querer, han trazado pinceladas coloreando lo que este trabajo representa. Finalmente a la Xunta de Galicia por la financiaci´on econ´omica en forma de beca predoctoral. vii A mis padres y a mi hermana ix SUMARIO 5 L´ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal 207 5.1 Introducci´on a la l´ogica y enrutado totalmente ´opticos por AMT . 208 5.1.1 L´ogica totalmente ´optica por AMT . . . . . . . . . . . . . . 208 5.1.2 Enrutado totalmente ´optico por AMT . . . . . . . . . . . . 211 P5 All-optical integrated logic gates based on intensity-dependent transverse modal coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 P5.1 Introduction. .......................... 221 P5.2 Model and basic equations. .................. 222 P5.3 Modal solution. Perturbative analysis. . . . . . . . . . . . . 224 P5.4 Variational approach to the nonlinear propagation. . . . . . 226 P5.5 Solutions of the propagation equations . . . . . . . . . . . . 228 P5.6 All-optical logic gates by intensity-dependent transverse modal coupling. .......................... 232 P5.7 Conclusions. .......................... 239 P6 All-optical integrated device for self-routing applications . . . . . 243 P6.1 Introduction .......................... 245 P6.2 Nonlinear propagation of a Gaussian beam in waveguides with a parabolic film width. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 P6.3 Design of an intensity dependent self-routing device. . . . . 249 P6.4 Conclusion ........................... 252 P7 A phase insensitive all-optical router based on nonlinear lenslike planar guides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 P7.1 Introduction ........................... 257 P7.2 Phase-insensitive router: principles of operation . . . . . . . 258 P7.3 Propagation and interaction of Gaussian beams in nonlinear lenslike waveguides ....................... 259 P7.4 Design of the header extraction device . . . . . . . . . . . . 263 P7.5 Design of the optical bistable device . . . . . . . . . . . . . 266 P7.6 Design of the data routing device . . . . . . . . . . . . . . . 269 P7.7 Cascaded configuration for N-port routing. . . . . . . . . . . 274 P7.8 Conclusions ........................... 275 Conclusiones 277 oOo xvi Introducci´on El trabajo de investigaci´on recogido en la presente memoria se inscribe dentro del campo dedicado a la teor´ıa y dise˜no de dispositivos ´opticos integrados no lineales. Destinados a operar de forma totalmente ´optica, su funcionamiento estar´a orientado a la realizaci´on de operaciones fundamentales en el marco de las comunicaciones y la computaci´on en el dominio totalmente ´optico. El diccionario de la Real Academia Espa˜nola define Internet como: la red inform´atica mundial, descentralizada, formada por la conexi´on directa entre computadoras u ordenadores mediante un protocolo especial de comunicaci´on. Si adjunt´asemos el t´ermino ´ Optica a la definici´on anterior y extraj´esemos su parte final, dir´ıamos que una Internet ´ Optica ser´ıa la conexi´on ´optica entre computadores ´opticos mediante un protocolo especial de comunicaci´on ´optica. La utilizaci´on, sin duda tendenciosa, en esta introducci´on del concepto de Internet y su extensi´on al dominio ´optico nos permite, sin embargo, explicitar de forma concisa el contexto global en el que se encuentra el presente trabajo. Actualmente, las tecnolog´ıas de la informaci´on y de las comunicaciones as´ı como el desarrollo de la computaci´on, constituyen en conjunto (Internet) y por separado, dos de las ´areas m´as activas en lo que al universo cient´ıfico-tecnol´ogico se refiere. Por otra parte, la irrupci´on de la ´optica en las ´areas mencionadas, ha aportado desde el nacimiento del l´aser, las fibras ´opticas y la ´optica integrada, una ingente cantidad de soluciones, innovaciones y alternativas al desarrollo de sistemas de comunicaciones de alta capacidad as´ı como a la futura implementaci´on de computadores de gran potencia de c´alculo. En la actualidad, y volviendo a la recreaci´on de una Internet ´ Optica como pretex- to expositivo, podemos afirmar que la conexi´on ´optica, realizada mediante fibras ´opticas capaces de transportar datos por encima de la barrera del Tbit/s, es ya un 1 Introducci´ on hecho en el marco actual de las comunicaciones. Por otra parte, los computadores ´opticos suscitan un gran inter´es te´orico y tecnol´ogico en la medida en que su elevada rapidez de procesado permitir´ıa avanzar m´as all´a de las limitaciones que ya se otean en el horizonte de la computaci´on microelectr´onica; a este respecto, el desarrollo de dispositivos ´opticos integrados capaces de implementar operaciones l´ogicas y de biestabilidad de forma eficaz, ultrarr´apida y en el dominio totalmente ´optico, nos acercan a las expectativas puestas en una computaci´on ´optica eficiente y en un futuro no muy lejano. Finalmente la comunicaci´on ´optica constituye una de las ´areas m´as prometedoras en lo que concierne a la transmisi´on, procesado y enrutado de la informaci´on en las arquitecturas actuales de comunicaci´on punto- a-punto; de hecho, el vertiginoso aumento de las necesidades de ancho de banda ha motivado la investigaci´on sobre dispositivos capaces de realizar tareas, tales como el procesado y enrutado de la informaci´on, en el dominio totalmente ´optico, lo cual resuelve las limitaciones en la capacidad de transmisi´on derivadas de las conversiones optoelectr´onicas y del procesado electr´onico. En definitiva, la realidad de Internet, la cual pone de manifiesto de forma muy gr´afica, por una parte, la innegable repercusi´on en el mundo actual de las tecnolog´ıas de la informaci´on, de las comunicaciones y de la computaci´on, y por otra parte, el contexto cient´ıfico-tecnol´ogico de esta memoria, nos ha permitido tambi´en constatar como la ´optica (y en general la fot´onica) aporta soluciones concretas al desarrollo de ´areas tan relevantes como las que nos sit´uan en la denominada Era de la Informaci´on y de las Comunicaciones. En el presente trabajo se realizar´a un estudio y dise˜no de nuevos dispositivos ´opticos integrados no lineales, cuya tarea ser´a la de realizar operaciones de biestabilidad, multiestabilidad, l´ogica y enrutado en el dominio totalmente ´optico y en el contexto anteriormente descrito. Los dispositivos sustentar´an su funcionamiento en dos grandes mecanismos ´opticos: por una parte, en la propagaci´on, contrapropagaci´on y copropopagaci´on no lineal de luz en gu´ıas de onda planas con una distribuci´on gradual del material no lineal, y por otra parte, en el acoplamiento modal transveral a fibras ´opticas y gu´ıas de canal asistido por elementos focalizadores integrados. Como contribuci´on fundamental dentro del marco cient´ıfico-tecnol´ogico anteriormente descrito, se han propuesto y dise˜nado dispositivos integrados totalmente ´opticos, compatibles con redes de fibra ´optica, con completitud l´ogica e insensibles a fase y frecuencia; asimismo, se ha realizado un estudio con medios absorbentes y se han considerado limitaciones en cuanto a la coherencia de las se˜nales ´opticas. La presente memoria se ha estructurado en cuatro cap´ıtulos. En el cap´ıtulo 1 se repasar´an brevemente los marcos cient´ıfico-tecnol´ogicos del trabajo de investigaci´on presentado y se introducir´an los objetivos y contribuciones del mismo. De 2 este modo, se repasar´a brevemente la actualidad de las ´areas de las comunicaciones y la computaci´on ´opticas y tambi´en se introducir´an los conceptos, tecnolog´ıas y procesos propios de la ´optica integrada no lineal. A continuaci´on se realizar´a una clasificaci´on y an´alisis de los diferentes dispositivos ´opticos integrados no lineales que operan de forma totalmente ´optica; en dicho an´alisis, se detectar´an y evaluar´an las limitaciones o incovenientes que dichos dispositivos presentan en relaci´on con su aplicaci´on espec´ıfica dentro de los marcos cient´ıfico-tecnol´ogicos mencionados. Finalmente se estableceran los objetivos generales de la presente memoria y se introducir´an brevemente las contribuciones y soluciones que se aportan a las limitaciones anteriormente mencionadas. Los cap´ıtulos 2 y 3 est´an dedicados al desarrollo de los aspectos te´oricos que sustentar´an el dise˜no de los nuevos dispositivos integrados no lineales. En particular, en el cap´ıtulo 2 se obtendr´an las ecuaciones generales de propagaci´on que gobiernan la propagaci´on, contra- y copropagaci´on de haces luminosos en gu´ıas planas no lineales. Dichas gu´ıas se caracterizar´an por una distribuci´on de Coeficiente Kerr Gradual (CKG), el cual vendr´a determinado por la geometr´ıa de la gu´ıa as´ı como por la ubicaci´on del material no lineal. Asimismo, se incorporar´an a dichas ecuaciones los t´erminos correspondientes a los efectos disipativos (o amplificativos) tanto lineales como no lineales. El cap´ıtulo 3 concierne a la resoluci´on de las ecuaciones deducidas en el cap´ıtulo 2; para ello se comenzar´a con la formulaci´on de un m´etodo variacional disipativo basado en la resoluci´on secuencial del problema de propagaci´on desacoplado refractivo-disipativo en tramos de longitud reducida. A continuaci´on, se expondr´an y discutir´an algunos de los resultados m´as relevantes en cuanto a mono, contra- y copropagaci´on, haciendo hincapi´e en las propiedades que confieren a la propagaci´on no lineal tanto las gu´ıas monomodo CKG, como los efectos disipativos lineales y no lineales. Finalmente en los cap´ıtulos 4 y 5 se presentar´an los trabajos de investigaci´on que engloban el dise˜no y an´alisis de dispositivos ´opticos integrados biestables, multiestables, l´ogicos y de enrutado. En el cap´ıtulo 4 se abordar´a en profundidad el fen´omeno de la biestabilidad ´optica en dispositivos ´opticos integrados; dicho cap´ıtulo comenzar´a dando una descripci´on general de los dispositivos integrados biestables, estableci´endose las limitaciones y/o deficiencias en cuanto a la operatividad de los mismos en redes de procesado totalmente ´optico; asimismo, se introducir´an los conceptos b´asicos de los dispositivos propuestos y dise˜nados en la presente memoria, que servir´an para realizar un an´alisis de las soluciones que se aportan a la biestabilidad ´optica para aplicaciones en computaci´on, sensores y comunicaciones ´opticas. Finalmente, se presentar´an los trabajos de investigaci´on originales, en forma de art´ıculo cient´ıfico, correspondientes al dise˜no de dispositivos biestables y multiestables basados, por una parte, en las caracter´ısticas de contrapropagaci´on en gu´ıas no lineales CKG, y por otra parte en el Acoplamiento Modal 3 Introducci´ on Transversal (AMT) en gu´ıas integradas de canal y/o en fibras ´opticas monomodo. En el cap´ıtulo 5 se abordar´a el estudio de dispositivos integrados no lineales para la l´ogica y enrutado totalmente ´opticos. De nuevo, se comenzar´a con una primera secci´on donde se har´a un breve repaso a la actualidad sobre la l´ogica y el enrutado en dominio totalmente ´optico para finalmente concluir con la presentaci´on de los art´ıculos cient´ıficos originales correpondientes al dise˜no de dispositivos l´ogicos y de enrutado por AMT en estructuras integradas CKG. oOo 4 Relaci´on de publicaciones vinculadas a esta memoria 1. Mateo, E. F., Li˜nares, J., Montero, C., “Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling in a nonlinear integrated optical device”, J.Opt. A: Pure Appl. Opt., Vol. 4, pp. 562-570, (2002). 2. Mateo, E. F., Li˜nares, J., “All-optical integrated logic gates based on intensitydependent transverse modal coupling”, Opt. Quantum Electron., Vol. 35, pp. 1221-1244, (2003). 3. Mateo, E. F., Montero, C., Moreno, V., Li˜nares, J., “Design of an intrinsic bistable optical device fabricated by hybrid integration on glass”, en Proceedings of SPIE Vol. 4944 Integrated Optical Devices: Fabrication and Testing, editado por Giancarlo C. Righini, (SPIE, Bellingham, WA) pp.159-170, (2003). 4. Mateo, E. F., Li˜nares, J., “Analysis of dissipative effects on intrinsic optical bistability in a Kerr integrated device”, Opt. Comm., Vol. 246/1-3, pp. 173- 184, (2005). 5. Mateo, E. F., Li˜nares, J., “A phase insensitive all-optical router based on nonlinear lenslike planar guides”, Opt. Express, Vol. 13/9, pp. 3355-3370, (2005). 6. Mateo, E. F., Li˜nares, J., “Third order nonlinear integrated device based on an effective graded-index waveguide for all-optical multistability”, Fiber and Integrated Opt., Aceptado para su publicaci´on en el Vol. 24(5). (Septiembre 2005) (Fecha de aceptaci´on: 30 de enero de 2004) 7. Mateo, E. F., Li˜nares, J., “All-optical integrated device for self-routing applications ”, Phys. Scripta, Aceptado para su publicaci´on en el Vol. T118, (2005). (Fecha de aceptaci´on: 6 de julio de 2004) oOo 5 CAP´ ITULO 1 Dispositivos ´opticos integrados no lineales En este cap´ıtulo introduciremos los conceptos y tecnolog´ıas relacionados con el desarrollo actual de los dispositivos ´opticos integrados no lineales. Su inter´es y operatividad se analizar´a en el marco de las tecnolog´ıas de las comunicaciones y de la computaci´on en el dominio totalmente ´optico. Tras un breve repaso a este tipo de tecnolog´ıas (secci´on 1.1), se introducir´an, en la secci´on 1.2, algunos de los conceptos y aspectos fundamentales referentes a la ´optica integrada no lineal. En la secci´on 1.3 se realizar´a una clasificaci´on y un breve an´alisis sobre los diferentes tipos de dispositivos integrados no lineales propuestos actualmente para operar en el dominio totalmente ´optico; respecto de este an´alisis, se har´a un especial ´enfasis en las limitaciones y/o desventajas que cada dispositivo presenta en el marco cient´ıfico-tecnol´ogico en el que nos encontramos. Finalmente la ´ultima secci´on (1.4) se dividir´a en tres apartados: en la primera (1.4.1), se realizar´a un detallado repaso a algunos de los requerimientos fundamentales de los dispositivos destinados al procesado totalmente ´optico; asimismo, se expondr´an las limitaciones que presentan los dispositivos descritos en la secci´on anterior as´ı como las ventajas y/o soluciones que presentan los dispositivos que se proponen en el presente trabajo. En el segundo apartado (1.4.2) se presentar´a, de forma introductoria, uno de los aspectos fundamentales que sustentan los dispositivos propuestos, esto es, la propagaci´on no lineal en un nuevo tipo de gu´ıas integradas denominadas gu´ıas CKG (Coeficiente Kerr Gradual). La espec´ıfica modulaci´on no lineal de amplitud que presenta este tipo de gu´ıas, ser´a uno de los mecanismos esenciales del funcionamiento de los dispositivos propuestos en la presente memoria. Finalmente, en el 7 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales apartado (1.4.3) se describir´an los dispositivos originales propuestos en este trabajo, los cuales, mediante la mencionada modulaci´on no lineal de amplitud y su influencia sobre el acoplamiento modal transversal a fibras monomodo, consiguen operar como dispositivos ´opticos biestables, l´ogicos y de enrutado. 1.1. Comunicaciones y computaci´on ´optica En el a˜no 2002 se estimaba que el tr´afico promedio de datos en Internet era de 180 Pbits/d´ıa (1.8×1017 bits/d´ıa), cifra que ha crecido de forma progresiva hacia valores estimados de 5000 Petabits/d´ıa a finales de 2007∗. Por otra parte, en Rochester (EEUU) opera el IBM-BlueGene/L, nombre del supercomputador m´as potente del mundo, con una capacidad de c´alculo de m´as de 135 TeraFlops (135 billones de operaciones de variable flotante por segundo). La dimensi´on de estas cifras pone de manifiesto el vertiginoso avance tanto en el ´ambito de las telecomunicaciones, motivado por la continua demanda de ancho de banda, as´ı como en el de la computaci´on, donde por ejemplo, la resoluci´on y simulaci´on de problemas y procesos, cada vez m´as complejos, requieren de una incesante progresi´on en la capacidad de c´alculo computacional. En los ´ultimos a˜nos, la ´optica ha contribuido de forma relevante a las perspectivas que los campos de las comunicaciones y computaci´on han suscitado, aportando soluciones y nuevas estrategias cuya actualidad se repasa brevemente a continuaci´on. 1.1.1. Comunicaciones ´opticas: estado actual En lo referente al campo de las comunicaciones, la ´optica ha contribu´ıdo notablemente, con el desarrollo de la fibra ´optica, al avance anteriormente mencionado, abriendo un nuevo medio de transmisi´on por el que transita, hoy en d´ıa, gran parte de la se˜nal de voz, video y datos. Por otra parte, la difusi´on generalizada de medios como Internet, han suscitado una incesante demanda de ancho de banda, motivando notables esfuerzos en lo que a la investigaci´on en comunicaciones ´opticas se refiere. De este modo, se han incorporado mecanismos tales como el multiplexado de la se˜nal ´optica en longitud de onda (DWDM) Dense Wavelength Division Multiplexing y en tiempo (OTDM) Optical Time Division Multiplexing [McC01], la amplificaci´on de la se˜nal por medio de fibras ´opticas activas dopadas con tierras raras [Bou01], o el control y manipulaci´on de la dispersi´on de la se˜nal ´optica [Bra01]; todos estos mecanismos han contribu´ıdo notablemente al desarrollo ∗Dato extra´ıdo de Internet y dado por la compa˜n´ıa IDC en 2003. 8 1.1. Comunicaciones y computaci´on ´optica de grandes sistemas de transmisi´on por fibra ´optica capaces de transferir datos a velocidades que superan las decenas de Terabits por segundo. No obstante, y a pesar de que la generalizaci´on de las redes de fibra ´optica en la actualidad es un hecho constatable, la progresi´on y avance de las mismas presenta todav´ıa deficiencias en lo referente al procesado, conmutaci´on, conectividad y enrutado de la informaci´on, procesos que actualmente se realizan, en su mayor medida, en el dominio electr´onico. Es en dicho dominio donde se encuentra unos de los mayores obst´aculos a la hora de incrementar la velocidad y capacidad de transmisi´on; en este sentido, y dado que el procesado electr´onico de la se˜nal requiere de una conversi´on optoelectr´onica, la velocidad de transmisi´on se ve afectada debido a la limitaci´on f´ısica del transporte de portadores de carga, incapaces de seguir la se˜nal ´optica m´as alla de los 10 Gb/s, limit´andose, en consecuencia, el aumento de ancho de banda que ya aportan las modernas tecnolog´ıas de fibra ´optica. Como respuesta a esta limitaci´on ha surgido recientemente la investigaci´on en Redes Totalmente ´ Opticas o AONs (All-Optical Networks)†, centrada en el desarrollo de mecanismos de procesado totalmente ´optico de la informaci´on con el fin de eliminar la citada conversi´on optoelectr´onica. El desarrollo de dispositivos capaces de operar ´ıntegramente en el dominio ´optico (en lo sucesivo nos referiremos a ellos con el acr´onimo ingl´es AODs: All- Optical Devices), ha suscitado, asimismo, nuevas propuestas en lo que respecta a las arquitecturas de las redes de comunicaciones. De este modo, las arquitecturas actuales, condicionadas por la p´erdida de velocidad de procesado debida a la conversi´on optoelectr´onica, se configuran en anillos de corta, media y larga escala donde las interconexiones, basadas en el multiplexado en el dominio optoelectr´onico, permiten el redireccionamiento e incorporaci´on de datos a la red; sin embargo, el desarrollo futuro de conmutadores, interruptures y dispositivos l´ogicos en el dominio totalmente ´optico, ha motivado el estudio de nuevas arquitecturas para comunicaciones punto-a-punto basadas en estructuras reticulares como la que se muestra en la figura 1.1, donde los nodos de intersecci´on, ya operando en el dominio totalmente ´optico, permitan la existencia de m´ultiples alternativas de enrutado de los paquetes de datos, dotando a la red de una mayor robustez y flexibilidad ante la m´as que previsible ingente cantidad de tr´afico que se espera circule por la l´ıneas de comunicaciones en los pr´oximos a˜nos. As´ı pues, protocolos de transmisi´on punto-a-punto como el TCP/IP Transmission Control Protocol/Internet Protocol‡, requieren de AODs capaces de realizar, †Otro de los acr´onimos habituales en la bibliograf´ıa es el de DOD-Ns (Data in the optical domain-Networks). ‡Protocolo donde la informaci´on fluye en paquetes de bits precedidos por una cabecera que contiene informaci´on sobre el origen y destino de los mismos. 9 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales estos materiales presentan notables ventajas sobre los anteriores con respecto a su procesado mediante ingenier´ıa molecular, lo que permite a su vez la modificaci´on de propiedades espec´ıficas del material, ampliando as´ı el desarrollo de m´ultiples aplicaciones. Por otra parte, los materiales org´anicos no resonantes presentan elevadas figuras de m´erito¶, alta resistencia al deterioro y tiempos de respuesta ultrarr´apidos. Dentro de la gran variedad de materiales investigados, se incluyen tambi´en l´ıquidos org´anicos (disulfuro de carbono [SB90], benceno, tolueno, cloroformo...), solidos moleculares (colorantes [Mur98], complejos de tranferencia de carga, fullerenos...), pol´ımeros conjugados (poliacetilenos [Mol99], poli p-fenileno vinilenos [Ueb99, Bar97], politiofenos [Sch98],... ), compuestos organomet´alicos (metaloftalocianinas, metaloporfirinas...), mezclas (colorante-pol´ımero [Yam98], nanocristalpol´ımero [Kit98], vidrio-pol´ımero [Geh98]... ), cristales l´ıquidos o biomateriales (clorofila, bacteriodopsina ...). 1.3. AOIDs (All-Optical Integrated Devices): Clasificaci´on, aplicaciones y an´alisis Los procesos no lineales anteriormente citados, as´ı como sus efectos sobre la propagaci´on de la radiaci´on ´optica, han sido ampliamente utilizados para el desarrollo de diversas aplicaciones en el dominio totalmente ´optico. En la presente secci´on trataremos de mostrar una perspectiva global de los AOIDs resultantes de la fusi´on de la ´optica integrada y los procesos ´opticos no lineales (´optica integrada no lineal), haciendo hincapi´e en aquellos dispositivos enmarcados en el contexto de las comunicaciones y la computaci´on ´optica. Parece claro, por lo ya expuesto, el papel determinante de la ´optica no lineal en el procesado de la se˜nal ´optica en aplicaciones tales como: amplificaci´on, conmutaci´on, l´ogica o enrutado en el dominio totalmente ´optico. La capacidad de la luz, propag´andose en r´egimen no lineal, de automodificar propiedades como la frecuencia, divergencia de haz, polarizaci´on o intensidad constituyen el pilar en el que se apoya el dise˜no de AOIDs aplicados a la resoluci´on de algunas de las cuestiones se˜naladas en la primera secci´on del presente cap´ıtulo. A continuaci´on haremos una revisi´on descriptiva del estado actual de la investigaci´on en AOIDs, clasificando los mismos en dos grandes grupos: aquellos basados en efectos no lineales de segundo orden y aquellos que se basan en efectos de tercer orden. ¶Par´ametros que relacionan la no linealidad del material con la absorci´on tanto lineal como no lineal, dando as´ı un criterio de calidad del material para su utilizaci´on en AIODs. 16 1.3. AOIDs: Clasificaci´on, aplicaciones y an´alisis 1.3.1. AOIDs basados en procesos de segundo orden Dentro de los AOIDs basados en procesos de segundo orden destacaremos aquellos que operan por generaci´on del segundo arm´onico (SHG) Second Harmonic Generation, por generaci´on de diferencia de frecuencias DFG Difference Frequency Generation y dispositivos que operan por efectos de mezcla de ondas en cascada, analizando muy brevemente sus mecanismos de operaci´on y algunas de sus aplicaciones. En general, la mezcla de frecuencias es un fen´omeno no lineal que, en medios de segundo orden, da lugar a fen´omenos tales como SHG o DFG. En la figura 1.3 se ilustra dicho efecto de forma esquem´atica. ω2 ω1 ω3 ω1 SHG DFG 2ω0 ω2 2ω0 ω0 ω0 ω0ω3 Figura 1.3: Representaci´on esquem´atica de los efectos SHG y DFG. Ambos procesos, que dependen fuertemente de las fases de la onda incidente (fundamental) y de la onda generada en el material, poseen una eficiencia que depende cr´ıticamente del ajuste de sus respectivos vectores de onda. Por lo tanto, y como es bien sabido en los procesos de mezclado de frecuencias, la consecuci´on de un mecanismo de ajuste de fase entre la onda fundamental y la onda generada por efecto no lineal, es consustancial a cualquier dispositivo basado en la mezcla de frecuencias. En este sentido, a mecanismos como el ajuste de fase por birrefringencia, se unen otro tipo de mecanismos, de mayor versatilidad en dispositivos integrados, como el denominado ajuste de fase por red de difracci´on, tambi´en conocido como QPM (Quasi-Phase Matching) [Suh01]. Un dispositivo integrado t´ıpico basado en QPM-SHG se muestra en la figura 1.4. onda cristal no lineal onda de bombeo ω SH 2ω red difracci´on gu´ıa de canal Figura 1.4: Dispositivo para la consecuci´on de SHG. 17 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales En este tipo de dispositivos, la distribuci´on peri´odica del ´ındice de refracci´on y del coeficiente no lineal cuadr´atico, permite un acoplamiento ´optimo (ajuste de fase), entre la onda fundamental (ω) y el segundo harm´onico (2ω), bajo la condici´on de Bragg para los m´odulos del vector de ondas (o constantes de propagaci´on) de los modos asociados a cada frecuencia, es decir: (2βω+ 2π/Λ = β2ω), siendo Λ el periodo de la red. Los dispositivos QPM-SHG presentan la ventaja, frente a aquellos con ajuste de fase por birrefringencia, de no imponer restricciones sobre la polarizaci´on de las ondas fundamental y de segundo harm´onico, permitiendo un mayor aprovechamiento de las propiedades no lineales del material; no obstante, la necesidad de implementar una distribuci´on peri´odica de la no linealidad, hace que la fabricaci´on de estos dispositivos sea notablemente costosa. Dispositivos integrados similares al anterior aunque algo m´as sofisticados, se aplican a la conversi´on de longitud de onda mediante la generaci´on de una diferencia de frecuencias (DFG-AOIDs), tal y como se muestra en la figura 1.5. En se˜nal red acoplador direccional ωs1 ωsi ωsn ωoi ωon ωo1 ωb ωsi ωoi =ωb−ωsi bombeo ωb salida expansor ωoi salida se˜nal ..... ..... ..... ..... adiab´atico Figura 1.5: DFG-AOID para aplicaciones de conversi´on de longitud de onda. este caso, una onda de bombeo (ωb) genera a partir de una se˜nal de entrada (ωsi) una onda de salida ωoi (out), de frecuencia diferencia ωoi =ωb−ωsi. Dado que los modos propagantes poseen diferentes frecuencias, las amplitudes modales en r´egimen monomodo ser´an diferentes, por tanto, es necesario integrar un elemento expansor adiab´atico, de forma que se minimize la transici´on a modos superiores y se consiga un acoplamiento ´optimo entre la se˜nal de bombeo y la se˜nal de entrada (v´ıa acoplador direccional); de nuevo, la red integrada act´ua como elemento para el ajuste de fase bajo la condici´on de Bragg. Este tipo de AOIDs se utilizan para operaciones de conversi´on de longitudes de onda en AONs, donde un conjunto de frecuencias (canales) de entrada, son convertidos en un conjunto de canales de salida mediante una onda de bombeo, cuya frecuencia, determina la magnitud de la conversi´on. Por otra parte, los DFG- AOIDs tambi´en se utilizan como dispositivos para la compensaci´on de la dispersi´on 18 1.3. AOIDs: Clasificaci´on, aplicaciones y an´alisis de se˜nales transmitidas por fibra ´optica; dicha compensaci´on se hace posible ya que la conversi´on no lineal en frecuencias conlleva una conjugaci´on de fase y por tanto una inversi´on del espectro, permitiendo as´ı la recuperaci´on temporal de una se˜nal cuyos pulsos han sido dispersados en la propagaci´on de larga distancia a traves de una fibra ´optica. Finalmente, en este breve repaso a los AOIDs de segundo orden cabe mencionar aquellos basados en los efectos no lineales de segundo orden en cascada, los cuales consisten en la generaci´on de harm´onicos o mezcla de frecuencias de forma secuencial. Para explicar dichos efectos tomemos como ejemplo el dispositivo mostrado en la figura 1.5; en dicho dispositivo y para un proceso totalmente ajustado en fase, la eficiencia de SHG ser´a m´axima para una determinada distancia de propagaci´on, obteni´endose una conversi´on total ω0→2ω0, no obstante, esta conversi´on se invierte si la propagaci´on se prolonga en el espacio, volvi´endose a obtener la frecuencia original. Este tipo de efectos (considerados de forma sucesiva) se denominan efectos de segundo orden en cascada, y se caracterizan por generar una fase no lineal como consecuencia de las m´ultiples conversiones de la frecuencia [Ste96]. Por otra parte, dado que los dispositivos basados en modulaci´on no lineal de fase ser´an tratados a continuaci´on en el ´ambito de los procesos de tercer orden, obviaremos el estudio de AOIDs basados en efectos cuadr´aticos en cascada en el presente apartado; no obstante, cabe indicar que si bien su funcionamiento ser´ıa del todo an´alogo a los que se describir´an en la secci´on 1.3.2.1, los requerimientos de ajuste de fase as´ı como las dificultades tecn´ologicas para su consecuci´on, constituyen una gran desventaja de este tipo de dispositivos. 1.3.2. AOIDs basados en procesos de tercer orden Los dispositivos integrados totalmente ´opticos basados en procesos de tercer orden cubren gran parte de las aplicaciones orientadas al procesado, control y computaci´on ultrarr´apida de la se˜nal ´optica. Los AOIDs basados en automodulaci´on no lineal de fase o amplitud, se fundamentan en la dependencia del ´ındice de refracci´on con la intensidad de la radiaci´on ´optica (fen´omeno denominado como efecto Kerr de tercer orden) utiliz´andose tanto en el campo de las comunicaciones como en el campo del procesado y de la computaci´on ´opticas. Restringiremos este breve repaso a los dispositivos tipo Kerr, obviando aquellos basados en el mezclado de ondas en medios c´ubicos, cuyos principios de funcionamiento son anal´ogos a los ya expuestos en la secci´on anterior. Por tanto, la dependencia del ´ındice de refracci´on con la intensidad nos permitir´a establecer una primera clasificaci´on de estos dispositivos, esto es: AOIDs basados en modulaci´on no lineal de la fase y AOIDs basados en modulaci´on no lineal de la amplitud. 19 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales 1.3.2.1. AOIDs por modulaci´on no lineal de fase Este tipo de dispositivos se basan en la modificaci´on del ´ındice de refracci´on con la intensidad del campo o efecto Kerr. En primera instancia, este fen´omeno afecta a la fase de las ondas propagantes generando as´ı fen´omenos de automodulaci´on de fase, cuando la fase acumulada del campo depende de la intensidad del mismo, y modulaci´on de fase cruzada, cuando la fase acumulada de una onda depende de la intensidad de otras ondas que a su vez modifican el ´ındice de refracci´on por efecto Kerr. Dentro de este tipo de dispositivos no lineales, describiremos brevemente los interfer´ometros Mach-Zehnder integrados MZIs, los resonadores Fabry-Perot integrados, las redes integradas DFB (Distributed feedback) y los acopladores direccionales integrados, comentando a su vez, algunas de sus aplicaciones m´as relevantes. En dispositivos MZI no lineales, el funcionamiento se basa en el control de la interferencia, y en consecuencia de la transmisi´on, por medio de la fase no lineal autoinducida por el campo ´optico en cada uno de los brazos del interfer´ometro, sobre los cuales se ha depositado una cubierta de material no lineal Kerr [Tol00]. En la figura 1.6 se muestran los esquemas de tres operadores l´ogicos basados en este efecto. A 0 1 ¯ A1 0 medio Kerr XOR NOT AND A⊕B A B0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 A B0 0 1 1 0 1 0 1 A•B R A•B A R R A B AB A⊕B¯ A Figura 1.6: Diversas operaciones l´ogicas basadas en MZIs no lineales de tercer orden. Las se˜nales A y B y una se˜nal de referencia R act´uan bajo el efecto de modulaci´on de fase cruzada, consigui´endose desfases entre las ramas del interfer´ometro que dan lugar a las operaciones mostradas en la figura 1.6. A modo de ejemplo, describamos el funcionamiento de la puerta l´ogica XOR donde el MZI se dise˜na de tal forma que en ausencia de se˜nales A y B, se genera, por interferencia destructiva, una salida A⊕B nula del dispositivo; sin embargo, cuando una de las se˜nales est´a presente, la interacci´on cruzada no lineal en cualquiera de las ramas induce una fase πprovocando una salida binaria no nula. Es importante se˜nalar que este tipo de dispositivos presentan una elevada sensibilidad a la fase de las ondas que los hace ´opticamente poco robustos para configuraciones complejas que 20 1.3. AOIDs: Clasificaci´on, aplicaciones y an´alisis requieran, por ejemplo, del anidamiento de varias puertas l´ogicas. Por otra parte, configuraciones m´as complejas basadas en MZI no lineales, han sido utilizadas para el dise˜no de dispositivos direccionadores de se˜nal (routers) en el dominio ´optico; estos AOIDs, que veremos en detalle m´as adelante, se basan (dado un formato de transmisi´on como el protocolo IP) en la extracci´on y posterior lectura de una cabecera, a partir de la cual la carga de datos es direccionada convenientemente; en la figura 1.7 se muestra un breve esquema del funcionamiento de un router. Asimismo, interfer´ometros tipo Michelson o Sagnac [Dor88] han sido utilizados para aplicaciones en AONs. A BC D A: detecci´on y separaci´on de la cabecera B-D: operaci´on de enrutado C-D: generaci´on e inclusi´on de nueva cabecera d datos (d) cabecera (c) c cc’ c’ d Figura 1.7: Esquema operacional simplificado de un router donde los m´odulos A,B,C y D operan en el dominio ´optico. Otro tipo de dispositivos utilizados para el procesado de se˜nal en el dominio ´optico son aquellos basados en el acoplamiento modal direccional no lineal. Dispositivos como el mostrado en la figura 1.8 fundamentan su operaci´on en la dependencia del ´ındice de refracci´on con la intensidad del campo, la cual, a su vez, modula la constante de propagaci´on de los modos propagantes en un acoplador direccional. Dicha dependencia se traduce en un acoplamiento modal dependiente de la potencia, el cual, en funci´on de las caracter´ısticas del acoplador, permite la obtenci´on de curvas tipo amplificador diferencial como la mostrada en la figura 1.8. Asimismo, AOIDs basados en el acoplamiento direccional modal no lineal, han sido aplicados al multiplexado y demultiplexado ultrarr´apido temporal de se˜nal ´optica (OTDM) [Kan95, Ste89]. Por otra parte, un tipo de dispositivos de extrema importancia en computaci´on ´optica son los dispositivos ´opticos biestables. Un dispositivo biestable se caracteriza por el caracter bivaluado o multivaluado (dispositivos multiestables) de la intensidad de salida en funci´on de la intensidad de entrada al dispositivo. 21 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales I2 I1 medio Kerr Iout Iin I1Iin I2 I2 Iout Figura 1.8: Acoplador direccional no lineal. espejo espejo I1 medio Kerr I1 I0 I0 AB C D Figura 1.9: Resonador Fabry-Perot no lineal integrado para biestabilidad ´optica. En la figura 1.9 se muestra un dispositivo biestable tipo cavidad resonante Fabry-Perot integrada [Vit92]. El dise˜no de la cavidad se realiza de tal forma que las ondas incidente y reflejada (realimentaci´on) presenten, a baja potencia (r´egimen lineal), un desajuste de fase. Este desajuste sit´ua la cavidad en un r´egimen no resonante presentando, por tanto, una baja transmisi´on (punto A en Fig.1.9). A medida que la potencia aumenta se autoinduce una variaci´on del ´ındice en la cavidad por efecto Kerr produci´endose una automodulaci´on y modulaci´on de fase cruzada entre los campos incidente y reflejado, lo que genera un reajuste de las fases y consecuentemente un acercamiento a la condici´on de resonancia; una vez alcanzada ´esta, la intensidad de salida experimenta una transici´on abrupta al regimen de alta transmisi´on (punto B a punto C), la cual, dada la condici´on resonante de la cavidad, intensifica la presencia del haz reflejado (realimentaci´on) aumentando, consecuentemente, la automodificaci´on del ´ındice por efecto Kerr necesaria para la conservaci´on de la condici´on de resonancia, a´un cuando la potencia disminuye (tramo CD). Finalmente, si la potencia de entrada disminuye suficientemente, se produce la transici´on inversa, es decir, se descompensa la condici´on resonante y se alcanza de nuevo un r´egimen de baja transmisi´on (punto D a punto A). De esta forma, dependiendo de la trayectoria o historia que haya seguido la se˜nal de entrada (ciclo de hist´eresis), el dispositivo biestable presentar´a un valor 22 1.3. AOIDs: Clasificaci´on, aplicaciones y an´alisis de salida correspondiente a un tramo de baja transmisi´on (tramo AB) o un valor correspondiente al tramo de alta transmisi´on (tramo CD). Este tipo de dispositivos son de gran aplicaci´on en l´ogica secuencial, es decir, operaciones entre bits que corresponden a una secuencia, y que por tanto, no operan de forma instant´anea (ver figura 1.10); por ello, los dispositivos biestables oflip-flops aportan un mecanismo de memoria indispensable para computaciones de bits de entrada presentes y pasados. t2t2 t1 t1 biestable dispositivo l´ogicas puertas XOR AND t2 Figura 1.10: Ejemplo de computaci´on secuencial donde dos bits no instant´aneos (t1<t2) se computan en presente (t2) seg´un la operaciones AND y XOR gracias a la memorizaci´on biestable del bit anterior t1mediante un dispositivo biestable. Asimismo, AOIDs basados en redes integradas [Win79, Ber96], tambi´en presentan biestabilidad siendo los principios de la misma an´alogos a los de las cavidades resonantes Fabry-Perot. Estos y otros dispositivos volver´an a ser tratados, en mayor profundidad, en el cap´ıtulo 4. 1.3.2.2. AOIDs por modulaci´on no lineal de amplitud En este apartado trataremos, como en el anterior, de exponer de forma esquem´atica los fundamentos f´ısicos y algunas estrategias de procesado totalmente ´optico, pero en este caso con AOIDs basados en modulaci´on no lineal de la amplitud. Si bien es cierto que formalmente, la modulaci´on no lineal de la fase y de la amplitud del campo ´optico son fen´omenos interrelacionados, hablaremos de AOIDs basados en automodulaci´on o modulaci´on cruzada de amplitud espacial, cuando la dependencia del ´ındice de refracci´on con la intensidad del campo ´optico es suficientemente elevada como para inducir cambios relevantes en la amplitud del campo y donde los cambios de la fase puedan ser ignorados; as´ı pues, fen´omenos como la reducci´on de la divergencia del campo por difracci´on, y la autofocalizaci´on o autoatrapamiento (solitones espaciales) (ver figura 1.11), ser´an lo efectos a considerar en este tipo de dispositivos, siendo el estudio de los solitones ´opticos, 23 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales en particular, el que mayor atenci´on ha suscitado en los ´ultimos tiempos, especialmente en aplicaciones de transporte y procesado ultrarr´apido de la informaci´on. medio Kerr difracci´on autoatrapamiento autofocalizaci´on z x y Figura 1.11: Modulaci´on no lineal de la amplitud en una gu´ıa plana Kerr. Desde la primera evidencia de su existencia en un canal de agua observada por el ingeniero escoc´es John Scott Russell en 1834, y su primera descripci´on matem´atica rigurosa realizada por Korteweg y DeVries en 1895, los solitones en general y los espaciales en particular, han motivado un gran inter´es debido al ampl´ısimo elenco de propiedades, fenomenolog´ıa y aplicaciones que desembocan de su estudio en diversos campos de la f´ısica. En el caso ´optico, los solitones espaciales son aquellas ondas que mediante la automodificaci´on del ´ındice del medio en el que se propagan, son capaces de autoconfinarse a la manera de los modos de una gu´ıa, presentando por tanto una amplitud z-invariante, siendo zla direcci´on de propagaci´on. An´alogamente a lo que ocurre con la propagaci´on espacial, existen los denominados solitones temporales, los cuales compensan la dispersi´on o ensanchamiento temporal de los pulsos ´opticos bajo propagaci´on no lineal; dicho efecto de compensaci´on de la dispersi´on abri´o paso a uno de los avances m´as rotundos con respecto a las comunicaciones ´opticas puesto que, y como se avanz´o previamente, la dispersi´on temporal conlleva la necesidad de espaciar temporalmente los pulsos luminosos lo suficiente como para evitar su indistinguibilidad por solapamiento, siendo este requisito uno de los mayores obst´aculos en el aumento del ancho de banda en las tecnolog´ıas actuales de comunicaci´on por fibra ´optica. Volviendo al dominio espacial, la interacci´on entre solitones espaciales, la cual posee curiosas semejanzas con interacciones mec´anicas entre part´ıculas [Ste99], ha motivado el dise˜no de AOIDs ultrarr´apidos capaces de realizar diversas operaciones en el dominio totalmente ´optico [Kiv02, Rey92, Bla94]. A modo de ejemplo ilustrativo, en la figura 1.12 se muestra el esquema de propagaci´on e interacci´on de dos campos autoatrapados propag´andose en una gu´ıa plana Kerr. En las figuras 1.12-(a) y (b), se muestra la propagaci´on de se˜nales ´opticas en r´egimen de autoatrapamiento (en ausencia de se˜nal en el canal contiguo), donde se observa 24 1.3. AOIDs: Clasificaci´on, aplicaciones y an´alisis (b) (a) (c) 11→0 puerta XOR 01→1 1 0 →1 0 1 1 011 Figura 1.12: Puerta l´ogica XOR basada en la interacci´on de campos autoatrapados (el c´alculo de dichos campos se presentar´a en detalle en sucesivos c´apitulos) la invarianza tanto de la anchura espacial del haz como de su direcci´on de propagaci´on. Sin embargo, cuando introducimos ambas se˜nales de forma simult´anea, el solapamiento de intensidades modifica tanto sus anchuras como sus trayectorias debido al aumento del ´ındice inducido en la regi´on de solapamiento, tal y como se observa en la figura 1.12-(c); esta perturbaci´on mutua, genera una fuerza atractiva en medios Kerr positivos la cual permite la implementaci´on de la operaci´on l´ogica XOR. Es importante se˜nalar que dentro de la gran fenomenolog´ıa relativa a la interacci´on entre campos autoatrapados, se considera tanto en el ejemplo expuesto como en lo sucesivo, s´olo interacci´on incoherente, es decir, debida exclusivamente a solapamiento en la intensidad de los campos interaccionantes [And85], por tanto, obviamos as´ı efectos relativos a la polarizaci´on y fases de los campos, los cuales presentan otro tipo de interacciones as´ı como algunas desventajas que veremos m´as adelante. En este sentido, el problema de la coherencia de la interacci´on no lineal es una cuesti´on a destacar, puesto que gran parte de los dispositivos descritos hasta ahora dependen fuertemente tanto de la fase de las ondas incidentes como de su polarizaci´on, (lo que es sustancial en dispositivos de segundo orden integrados en cristales birrefringentes); no obstante, la fase o la polarizaci´on son propiedades sensibles a m´ultiples factores externos, con lo que su valor o estado tras una propagaci´on de larga distancia es a menudo incierto, haciendo necesaria una reconfiguraci´on de las mismas a la entrada de aquellos dispositivos cuyo funcionamiento requiera que tanto fase como polarizaci´on se encuentren estr´ıctamente bien definidas. Estas y otras cuestiones ser´an abordadas con m´as detenimiento a continuaci´on. 25 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales Cuando hablamos de propagaci´on 1D+1 se supone que los efectos no lineales se consideran en una direcci´on (en nuestro caso seg´un la direcci´on x), considerando por tanto, la aproximaci´on de amplitud modal invariante frente a los efectos no lineales, en la bibliograf´ıa esta aproximaci´on suele denominarse suposici´on de no linealidad d´ebil (Weakly nonlinear assumption). En consecuencia, dicha aproximaci´on requiere de unas condiciones particulares de propagaci´on, seg´un las cuales las dimensiones del campo ´optico justifican la ausencia de efectos no lineales en la amplitud modal; es por ello que la incorporaci´on de elementos focalizadores integrados, tanto expansores como colectores, destinados a la asimetrizaci´on en las dimensiones del campo (ver figura 1.13), constituye una parte fundamental del modelo de propagaci´on propuesto. Por otra parte, la distribuci´on x-dependiente del material no lineal debida al espesor variable del n´ucleo de la gu´ıa, tanto si ´este es no lineal como si lo es el sustrato, dota a este tipo de gu´ıas de una distribuci´on gradual (efectiva) del coeficiente Kerr y cuyo efecto sobre el campo ´optico ser´a fundamental para el dise˜no de los dispositivos que se presentan∗∗. Dicho efecto, por su relevancia, caracteriza a las nuevas gu´ıas propuestas a las que denominaremos como gu´ıas de Coeficiente Kerr Gradual (CKG). La deducci´on de dicho coeficiente, y su dependencia con la coordenada transversal x, ser´a una de las contribuciones principales de la presente memoria, donde el c´alculo expl´ıcito de la amplitud modal ser´a fundamental en la deducci´on del CKG a partir de los par´ametros de dise˜no de la gu´ıa. As´ı pues, partiendo del campo ´optico 3D se deducir´an las ecuaciones de propagaci´on 1D+1 no lineales en gu´ıas CKG, cuyos par´ametros ser´an obtenidos a partir de los par´ametros de dise˜no de la gu´ıa, es decir, ´ındices de refracci´on de los materiales, coeficientes de absorci´on lineal y no lineal, y geometr´ıa de la discontinuidad n´ucleo-sustrato; este es un hecho a destacar, puesto que a menudo, las ecuaciones de propagaci´on 1D+1 excluyen del estudio el comportamiento modal obvi´andose factores esenciales en las AONs tales como la conectividad o anidamiento. Finalmente, es preciso rese˜nar que estructuras planas como multilentes integradas no lineales, o estructuras bidimensionales (gu´ıas de canal, lentes de fibra ´optica, etc.), a´un presentando una distribuci´on gradual de ´ındice y operando en r´egimen no lineal, no presentan una distribuci´on gradual de los efectos no lineales, esto es un coeficiente (efectivo) Kerr gradual. En el segundo cap´ıtulo del presente trabajo, se obtendr´an las ecuaciones paraxiales de propagaci´on, contra y copropagaci´on de haces Gaussianos en las estructuras mencionadas, y cuyas propiedades, presentan una gran versatilidad en ∗∗Debe puntualizarse que los conceptos de sustrato y cubierta son en general intercambiables; por tanto, si bien en lo sucesivo se hablar´a de discontinuidades n´ucleo-sustrato inhomog´eneas, las propiedades refractivas de este tipo de gu´ıas ser´ıan totalmente an´alogas a aquellas donde las caracter´ısticas del sustrato fuesen debidamente aplicadas a la cubierta. 32 1.4. Nuevos AOIDs: Objetivos y fundamentos lo que respecta al dise˜no de dispositivos por modulaci´on no lineal de amplitud. El c´alculo de dicha propagaci´on se basa en la aproximaci´on variacional Lagrangiana, la cual permite la obtenci´on de la evoluci´on del campo ´optico en funci´on de la potencia y la distancia de propagaci´on. En este sentido, la deducci´on y resoluci´on de las ecuaci´ones de propagaci´on de haces Gaussianos, bajo interacci´on contra y copropagante tanto coherente como incoherente, en gu´ıas CKG y bajo efectos disipativos tanto lineales como no lineales, constituye (como se expondr´a a lo largo de los cap´ıtulos 2 y 3) otra de las contribuciones del presente trabajo. Es preciso destacar que el estudio va mucho m´as all´a de la propagaci´on e interacci´on de campos autoatrapados (solitones espaciales), los cuales evolucionan bajo un ´unico y estricto valor de potencia; de este modo, el estudio de dispositivos ´opticos biestables basados en la interacci´on de campos contrapropagantes hace indispensable un estudio de la evoluci´on global del campo en funci´on de la potencia del mismo, haciendo, por tanto, enormemente costoso el c´alculo de biestabilidad mediante una resoluci´on num´erica de las ecuaciones no lineales diferenciales acopladas. Consecuentemente, el m´etodo variacional se convierte en un m´etodo de gran potencia para la simulaci´on del funcionamiento de dispositivos basados en modulaci´on no lineal de amplitud, aportando una ´optima relaci´on precisi´on-velocidad de c´alculo; por estas y otras razones, el m´etodo variacional, desde su primera aplicaci´on ´optica desarrollada por Witham [Wit74], ha sido ampliamente utilizado para el estudio de solitones espaciales y temporales [And01], acopladores direccionales no lineales [Cap94], etc. Por otra parte, la simulaci´on del funcionamiento de dispositivos ´opticos no lineales en un escenario realista, hace necesaria la incorporaci´on de efectos disipativos, tal y como se puntualiz´o en la secci´on anterior. En este sentido, se ha desarrollado un c´alculo variacional generalizado y que denominaremos m´etodo variacional disipativo, el cual, combinando la aproximaci´on variacional para la evoluci´on de los par´ametros refractivos, i.e. anchura, curvatura y desplazamiento del haz, con las ecuaciones disipativas que determinan la evoluci´on de la intensidad del campo, aporta de una forma simple y computacionalmente r´apida, resultados para la mono, contra y copropagaci´on en medios disipativos/amplificativos; dichos resultados ser´an finalmente utilizados para la simulaci´on del funcionamiento realista de dispositivos biestables, l´ogicos y de enrutado en gu´ıas CKG bajo efectos disipativos/amplificativos. En definitiva, la obtenci´on y an´alisis de los resultados de la propagaci´on de haces Gaussianos, donde se observan de forma conjunta efectos debidos al car´acter CKG de las gu´ıas, a la disipaci´on/amplificaci´on tanto lineal como lineal y a la interacci´on entre ondas contra y copropagantes, constituyen otra de las contribuciones del presente trabajo. 33 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales 1.4.3. AOIDs para biestabilidad, l´ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal (AMT) La propagaci´on en estructuras integradas CKG, como hemos comentado, conforma el pilar b´asico de los dispositivos que se han investigado en esta memoria. La combinaci´on de los efectos de automodulaci´on y modulaci´on cruzada no lineal de amplitud en conexi´on con los efectos refractivos sobre el campo, inducidos por la gradualidad del ´ındice tanto lineal como no lineal (CKG), proporcionan las caracter´ısticas de propagaci´on id´oneas para el dise˜no de AOIDs biestables y multiestables, puertas l´ogicas, o dispositivos de autoenrutado, basados en dise˜nos de modulaci´on de intensidad mediante el denominado Acoplamiento Modal Transversal (AMT). El AMT entre estructuras gu´ıantes monomodo, i.e. el filtrado de la intensidad de un campo ´optico cuando se acopla de una estructura gu´ıante monomodo a otra estructura gu´ıante monomodo con amplitud modal diferente (por ejemplo una fibra ´optica o una gu´ıa de canal), constituye un mecanismo insensible a la fase global del campo, capaz de modular la intensidad de forma no lineal y totalmente ´optica. En la figura 1.14 se recoge un esquema del mecanismo de modulaci´on de intensidad mediante el AMT, donde la envolvente del campo sujeta a la modulaci´on no lineal de amplitud (seg´un la direcci´on x), se acopla transversalmente a una fibra ´optica monomodo. En dicha figura, se muestra tanto el AMT ineficiente para un campo difractivo de baja intensidad I1como el AMT ´optimo para un campo autoatrapado de elevada intensidad I2. x z y lente integrada fibra ´optica Io I1 I2 Ii gu´ıa CKG Io Ii I2 I1 Figura 1.14: Representaci´on esquem´atica del mecanismo de acoplamiento modal transversal seg´un el eje xentre una gu´ıa plana no lineal y una fibra ´optica monomodo. As´ı pues, bas´andonos en la estrategia de combinar la modulaci´on no lineal de amplitud en gu´ıas CKG con el mecanismo de AMT, se han dise˜nado dispositivos integrados para l´ogica, biestabilidad y enrutado totalmente ´opticos, los cuales, por su sencillez, insensibilidad a la fase, conectividad y versatilidad se convierten 34 1.4. Nuevos AOIDs: Objetivos y fundamentos en candidatos para su incorporaci´on en redes de computaci´on y comunicaciones totalmente ´opticas. A continuaci´on, introduciremos brevemente los fundamentos de dise˜no de los dispositivos mencionados. Es preciso subrayar que no se profundizar´a en su funcionamiento y dise˜no pormenorizado, dado que ´este se explicitar´a en cap´ıtulos posteriores; por tanto, simplemente describiremos los aspectos y caracter´ısticas fundamentales que nos permitan situarlos en el contexto cient´ıfico-tecnol´ogico previamente descrito. 1.4.3.1. Puertas l´ogicas El dise˜no de puertas l´ogicas insensibles a frecuencia y fase se fundamenta en la propagaci´on de haces Gaussianos en estructuras como la mostrada en la figura 1.13, as´ı como en la comentada modulaci´on de potencia por AMT a una fibra ´optica. En la figura 1.15 se muestra el esquema de una puerta XOR integrada donde se explicitan los reg´ımenes de propagaci´on que generan la respuesta l´ogica correspondiente; como se observa, el acoplamiento modal transversal se asiste con lentes integradas (refractivas, difractivas, GRIN, etc), cuyas propiedades refractivas, en combinaci´on con las propiedades refractivas de la propagaci´on no lineal en una gu´ıa CKG con n´ucleo no lineal, modulan la amplitud del campo en funci´on de la intensidad del mismo. De esta forma, y tras el AMT con el modo de la fibra de salida, se obtienen los valores l´ogicos correspondientes a una puerta XOR, donde el dise˜no espec´ıfico de los componentes ´opticos del AOID se realiza de forma que los valores de potencia, correspondientes al valor binario tanto a la entrada como a la salida del dispositivo, sean compatibles. Bas´andose en esta misma estrate- B A fibra ´optica A⊕B lente 2 gu´ıa CKG A6=B A=B=1 lente 1 x z Figura 1.15: Puertas l´ogicas en gu´ıas CKG por AMT asistido por elementos refractivos integrados. Ilustraci´on de la operaci´on XOR. gia, se han dise˜nado dispositivos completamente an´alogos al mostrado en la figura 1.15, en los que se implementan las funciones l´ogicas AND y OR, consigui´endose as´ı, la completitud l´ogica necesaria sin necesidad de anidamiento de m´ultiples dispositivos. 35 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales En definitiva, y como se ver´a m´as adelante, es el c´alculo de la propagaci´on de luz en estructuras CKG, el mecanismo de filtrado de amplitud insensible a la fase y frecuencia como el AMT y el dise˜no ´optimo de un sistema refractivo de acoplamiento fibra-gu´ıa CKG, los que permiten la consecuci´on de un sistema de l´ogica completo mediante dispositivos sencillos, ultrarr´apidos, insensibles a fase y frecuencia y estables (robustos) frente a perturbaciones en los par´ametros caracter´ısticos de dise˜no. 1.4.3.2. Biestabilidad ´optica Como ya hemos comentado, los dispositivos ´opticos biestables desempe˜nan un papel fundamental en la implementaci´on de arquitecturas l´ogicas secuenciales. El dise˜no de este tipo de AOIDs con los requerimientos propios de las redes totalmente ´opticas, ha motivado gran parte de los esfuerzos plasmados en esta memoria, donde se han dise˜nado dispositivos biestables y multiestables por AMT y basados en la contrapropagaci´on de haces Gaussianos en gu´ıas planas no lineales. El estudio variacional de dicha contrapropagaci´on tanto en gu´ıas planas homogeneas (t(x) = cte en fig.1.13) como inhomog´eneas (t(x)6=cte), ha sido utilizado como fundamento f´ısico para la consecuci´on de biestabilidad ´optica mediante la interacci´on no lineal de haces contrapropagantes. Los esquemas de contrapropagaci´on bajo los cuales se manifiesta el fen´omeno de biestabilidad ´optica por AMT se muestran en la figura 1.16. Como vemos, el dispositivo es an´alogo al utilizado para la BC D A A C D B reflector pin pout pin campo incidente (onda progresiva) pout campo reflejado (onda regresiva). Realimentaci´on. x z Figura 1.16: Esquemas de propagaci´on y gr´afico de biestabilidad por contrapropagaci´on no lineal en gu´ıas planas y AMT. implementaci´on de las puertas l´ogicas anteriormente descritas, incorpor´andose, en 36 1.4. Nuevos AOIDs: Objetivos y fundamentos este caso, un elemento reflectivo que genera la presencia de una onda regresiva y por tanto la contrapropagaci´on de luz. As´ı pues, cuando la potencia incidente (onda progresiva) toma valores muy por debajo de los valores donde el efecto no lineal es significativo, ´esta se propaga en r´egimen lineal y en consecuencia bajo un r´egimen difractivo; de esta forma, el acoplamiento en la fibra de salida es deficiente y la onda reflejada apenas tiene presencia (punto A); a medida que la intensidad incidente aumenta, el campo tiende a autoconfinarse elevando la eficiencia del acoplamiento y a su vez la potencia reflejada (punto B); en este estado, los campos incidente y reflejado presentan una notable interacci´on no lineal mutua, la cual depende de la secci´on de solapamiento entre ambas ondas; es en este punto donde introducimos el concepto de realimentaci´on ´optica, b´asico en el fen´omeno de biestabilidad y seg´un el cual, la intensidad del campo reflejado depende de la propagaci´on del campo incidente a trav´es de la eficiencia de acoplamiento, de ´este ´ultimo, a la fibra de salida; por tanto, cuando la realimentaci´on es suficientemente intensa, se produce la conmutaci´on a un r´egimen de alta transmisi´on donde una peque˜na variaci´on en la intensidad del campo de entrada provoca la transici´on a un estado de contrapropagaci´on autoconfinada, y donde el AMT es ´optimo (punto C); la fuerte realimentaci´on adquirida en estas circunstancias, o lo que es lo mismo, la notable modificaci´on del ´ındice inducida por el campo reflejado, permite que se mantenga un fuerte confinamiento del campo incidente a´un cuando la intensidad de ´este disminuye, obteni´endose as´ı un ciclo de hist´eresis que se prolonga hasta un valor de intensidad cr´ıtico (punto D), a partir del cual el campo se conmuta hacia el r´egimen de baja transmisi´on. El dise˜no y an´alisis de dispositivos integrados biestables ser´an amplia y profundamente abordados en el transcurso de esta memoria. En este sentido, se ha desarrollado el dise˜no de dispositivos biestables con realimentaci´on externa, en los que la potencia de realimentaci´on no depende de la potencia incidente, incorpor´andose as´ı un grado de libertad m´as en el fen´omeno biestable y dotando as´ı a los dispositivos de una mayor versatilidad al eliminar la limitaci´on intr´ınseca que supone la realimentaci´on obtenida exclusivamente por onda reflejada; de esta forma se incorpora la posibilidad de controlar el ciclo de hist´eresis, de manera din´amica, mediante el valor de la intensidad de realimentaci´on externa (transistor ´optico), de forma similar a como opera un transitor en el dominio electr´onico. Finalmente, se incorpora en este estudio y por primera vez hasta donde conoce el autor, el estudio de la biestabilidad ´optica por modulaci´on no lineal de amplitud bajo la presencia de efectos disipativos. Como consecuencia de dicho estudio, se mostrar´an las limitaciones que sobre ella ejercen los fen´omenos de absorci´on tanto lineal como no lineal, consustanciales a la simulaci´on realista de dispositivos basados en materiales de tercer orden. Estas y otras cuestiones ser´an tratadas en profundidad en la introducci´on al cap´ıtulo 4. 37 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales 1.4.3.3. Multiestabilidad y sensores Bas´andonos en la estrategia introducida anteriormente, la incorporaci´on de una gu´ıa monomodo CKG en la configuraci´on integrada de la figura 1.16, permite la obtenci´on de m´ultiples ciclos de hist´eresis dando lugar as´ı a fen´omenos de multiestabilidad. Adem´as del estudio y an´alisis de la multiestabilidad por AMT y su determinante relaci´on con el ´ındice efectivo gradual y el CKG, se propone adem´as en esta memoria, un nuevo procedimiento de procesado de una se˜nal sensora orientado hacia el campo de la denominada sensorizaci´on inteligente en el dominio totalmente ´optico (All-optical smart sensing) [Mar00a], y que pasamos a describir brevemente. Los sistemas de fibra ´optica han sido utilizados de forma generalizada para la medida, control y/o detecci´on de m´ultiples y diversas magnitudes f´ısicas y/o qu´ımicas. T´ecnicas como la interferometr´ıa, la microtorsi´on, el acoplamiento modal evanescente o la amplificaci´on Raman, se han utilizado, en combinaci´on con las ventajas inherentes a la propagaci´on en fibra ´optica (robustez, inmunidad electromagn´etica, ancho de banda, bajo coste etc.), para el dise˜no de sensores ´opticos. Por otra parte, factores como la conectividad y sensibilidad de dichos sensores y su capacidad para operar sobre largas distancias, convierten este tipo de sensores en firmes canditados para su utilizaci´on en estructuras inteligentes y dom´otica. Por tanto, el dise˜no de un dispositivo multiestable, compatible con redes de fibra ´optica y acoplado a un sensor ´optico, proporcionar´ıa un mecanismo de sensorizaci´on/actuaci´on basado en las transiciones abruptas de la se˜nal ´optica propias de un comportamiento multiestable. De este modo, se consigue simplificar sobremanera el proceso de control sobre el sistema mediante la eliminaci´on de etapas de procesado, como son las conversiones anal´ogico-digitales o el filtrado de datos, las cuales, implementadas en el dominio electr´onico, pueden suponer una desventaja en operaciones de detecci´on y actuaci´on ultrarr´apidas. En la figura 1.17 se ilustra de forma simplificada el procedimiento propuesto, donde un sistema sometido a la acci´on de una determinada magnitud S, es controlado por dos actuadores que responden con arreglo a las variaciones de la misma. Por tanto, la salida anal´ogica de un sensor ´optico, es digitalizada por un AOID multiestable, el cual, en virtud de los valores l´ımite asignados a la magnitud S, esto es, A, B, C y D, genera una salida abrupta capaz de activar de forma totalmente ´optica, la operaci´on de tantos actuadores como ciclos de hister´esis posea el AOID multiestable. Finalmente, conviene destacar que el sistema propuesto es f´acilmente implementable en configuraciones all-optical donde, por ejemplo, ambos actuadores sean fuentes luminosas, lo cual suele ser habitual en aplicaciones donde se requiere de inmunidad electromagn´etica. 38 1.4. Nuevos AOIDs: Objetivos y fundamentos 21 S Sensor ´optico actuador 2 actuador 1 AOID multiestable 2-off 1-off 1-on 2-on entrada salida A B C D S>A 1-on S>B 2-on S<C 1-off S<D 2-off Figura 1.17: Control y actuaci´on sobre una magnitud S mediante un sensor ´optico y un AOID multiestable. 1.4.3.4. Autoenrutado Como se coment´o anteriormente, el desarrollo de dispositivos de procesado, commutado y enrutado de la informaci´on forma parte de los objetivos primordiales en el desarrollo de las comunicaciones ´opticas modernas. Como tambi´en se adelant´o, las redes de comunicaciones, tales como las basadas en el protocolo IP, basan su enrutado en la identificaci´on y posterior procesado de una cabecera, la cual contiene la informaci´on sobre el origen, destino y ruta que han de tomar los datos. Es importante rese˜nar la diferencia existente entre el proceso de enrutado y multiplexado tanto en tiempo como en longitud de onda, ya que si bien el segundo consiste en un mecanismo de diferenciaci´on de canales crom´aticos para optimizar la capacidad de transmisi´on de las fibras ´opticas, no contiene, en s´ı mismo, ninguna informaci´on sobre la ruta que han de tomar los datos de dicho canal; por tanto, los procesos de multiplexado y demultiplexado ser´an siempre posteriores y anteriores respectivamente, al proceso de enrutado de datos llevado a cabo en los nodos de las redes de comunicaci´ones ´opticas. En esta memoria, se ha tratado de sentar las bases de un dispositivo de autoenrutado totalmente ´optico partiendo de una nueva estrategia de identificaci´on y reconocimiento de la cabecera. El mecanismo f´ısico de operaci´on se basa en el denominado efecto swing (oscilaci´on) no lineal en gu´ıas CKG. En dicho tipo de gu´ıas (figura 1.13) un campo con desplazamiento inicial respecto al plano de simetr´ıa de la curva que describe el espesor del sustrato (curva t(x) en Fig.1.13), experimenta una oscilaci´on en su trayectoria que depende de la intensidad del mismo. Esta dependencia se fundamenta en la existencia del denominado CKG, cuya gradualidad efectiva (dependiente de la ubicaci´on del material no lineal, la curvatura de t(x) y la amplitud modal) dota al efecto swing de un per´ıodo de oscilaci´on variable con la potencia ´optica. 39 Cap ´ ıtulo I. Dispositivos ´ opticos integrados no lineales Para ilustrar tal efecto, en la figura 1.18-(a) se muestra un esquema del AOID correspondiente a la primera etapa de enrutado, esto es, la separaci´on de datos y cabecera. En dicho dispositivo, el dise˜no espec´ıfico de los par´ametros de la gu´ıa permite el acoplamiento a sendas fibras ´opticas de salida de los bits correspondientes a datos y cabecera en funci´on de la intensidad de los mismos; asimismo, en las figuras 1.18-(b) y (c), respectivamente, se muestra la propagaci´on del campo para cada uno de los reg´ımenes de propagaci´on: r´egimen de baja intensidad para los bits de datos y en regimen de pseudo-autoatrapamiento (alta intensidad) †† para la cabecera. propagaci´on baja intensidad (datos) datos cabecera gu´ıa no lineal lente lente propagaci´on alta intensidad (cabecera) x z ∆x (a) (b) (c) Figura 1.18: Efecto swing dependiente de la intensidad en gu´ıas CKG para la separaci´on de datos y cabecera (primera etapa de enrutado). Por lo tanto, la primera tarea hacia el proceso completo de enrutado totalmente ´optico, ha sido el dise˜no de un AOID capaz de separar, de forma totalmente ´optica y estrictamente compatible con fibras ´opticas, los datos y la cabecera de un paquete de informaci´on transmitido en el dominio ´optico; este es un aspecto a destacar ya que el dise˜no respeta por completo las dimensiones de las fibras ´opticas convencionales, as´ı como las eficiencias de acoplamiento (hecho que a menudo se soslaya en la bibliograf´ıa consultada), haci´endolo totalmente compatible con las redes de comunicaci´on actuales. Asimismo, el dispositivo presenta una buena tolerancia frente a perturbaciones de dise˜no, lo que le confiere una gran robustez frente a dispositivos interferom´etricos o acopladores direccionales. Esta nueva estrategia, donde los efectos de propagaci´on en gu´ıas planas CKG constituyen el principio fundamental de funcionamiento, supone el primer paso hacia un enrutado de se˜nal insensible a la frecuencia, y bajo el cual, los canales sometidos al multiplexado en longitud de onda pueden ser enrutados mediante un mismo dispositivo independientemente de la frecuencia del canal correspondiente; en este sentido, dispositivos de commutaci´on o biestables sensibles a la frecuencia tendr´ıan que ser dise˜nados ††M´as adelante se explicitar´a este concepto, que concierne a un r´egimen de propagaci´on con peque˜nas oscilaciones respecto a la soluci´on autoatrapada estricta (solit´on espacial). 40 1.4. Nuevos AOIDs: Objetivos y fundamentos espec´ıficamente para procesar el enrutado de cada canal multiplexado en longitud de onda. De esta forma, la interconexi´on por fibra ´optica del dispositivo anteriormente descrito a un AOID biestable por AMT y ´este a su vez, a un AOID basado en la interacci´on incoherente de haces no lineales copropagantes en gu´ıas CKG, concluir´an el dise˜no de un router totalmente ´optico capaz de dirigir un tren de datos a un canal u otro, en funci´on del valor binario de los bits de cabecera. A modo introductorio, en la figura 1.19 se muestra un esquema de la operaci´on de enrutado para una cabecera de un solo bit, el cual mediante una disposici´on secuencial junto con la amplificaci´on diferencial sincronizada de los bits correspondientes a la cabecera, permite la operaci´on de enrutado a N-canales de salida, manteniendo una modulaci´on id´entica de datos y cabecera. La operaci´on de enrutado se ilustra en la figura 1.19, y como ya hemos adelantado, el sistema est´a compuesto de tres sub-m´odulos los cuales hemos denotado como HE-D (Header Extraction Device), OB-D (Optical Bistable device) y DR- D (Data Routing Device)‡‡. La cabecera se compone de un ´unico bit de elevada bombeo bombeo (DR-D) (b) (a) (HE-D) (OB-D) d cabecera datos dd d d d d dc= “0” c= “1” c c Figura 1.19: Representaci´on esquem´atica del proceso de enrutado totalmente ´optico de un tren de datos mediante la lectura e interpretaci´on de una cabecera de bit ´unico. intensidad, cuyo valor binario (1=presencia de luz, 0=ausencia de luz) enruta el tren de datos a un canal de salida u otro. As´ı pues, en presencia de bit de cabecera (fig. 1.19-(a)), ´este se separa del tren de datos mediante el HE-D (mostrado en la figura 1.18); tras la separaci´on, el bit de cabecera dispara un dispositivo biestable ‡‡Utilizamos los acr´onimos en lengua inglesa por consistencia con el trabajo correspondiente al dise˜no del dispositivo presentado en la secci´on P7 del cap´ıtulo 5. 41 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG ~ ∇~ B(~r, t) = 0.(2.12) tomando el rotacional en la ecuaci´on (2.9) y sustituyendo en (2.10) se obtiene que: ~ ∇× ~ ∇× ~ E(~r, t) + 1 c2 ∂2~ E(~r, t) ∂t2=−µ0 ∂2~ P,(~r, t) ∂t2(2.13) donde ~ E(~r, t) y ~ P(~r, t) pueden reescribirse en el espacio de Fourier de frecuencias como: ~ E(~r, t) = Z∞ −∞ ~ E(~r, ω)e−iωtdω, (2.14) ~ P(~r, t) = Z∞ −∞ ~ P(~r, ω)e−iωtdω. (2.15) A continuaci´on, supondremos una propagaci´on no lineal en medios is´otropos (por tanto P(2) = 0), as´ı como procesos no ajustados en fase, con lo que no se considerar´an procesos de mezcla de ondas. Tomando el campo linealmente polarizado seg´un, por ejemplo, la direcci´on x, la componente escalar del vector polarizaci´on el´ectrica seg´un dicha direcci´on vendr´a dada por P(~r, ω) = P(1)(~r, ω) + P(3)(~r, ω) donde, P(1)(~r, ω) = ²0χ(1)(ω)E(~r, ω),(2.16) P(3)(~r, ω) = 3²0χ(3) xxxx(ω;ω, ω, −ω)|E(~r, ω)|2E(~r, ω).(2.17) El factor 3 introducido en la expresi´on (2.17), es consecuencia de la propiedad de simetr´ıa de permutaci´on intr´ınseca del tensor susceptibilidad, por la cual, χ(3) xxxx(ω;ω, ω, −ω) = χ(3) xxxx(ω;ω, −ω,ω) = χ(3) xxxx(ω;−ω,ω,ω) [Boy92, She84]. La polarizaci´on no lineal dada por la ecuaci´on (2.17) corresponde a los medios materiales no lineales de tercer orden denominados habitualmente medios Kerr. Por otra parte, definiendo el ´ındice de refracci´on lineal como n2 l(ω) = 1 + χ(1)(ω), e introduciendo el desplazamiento el´ectrico lineal como Dl(~r, t) = Z∞ −∞ ²0n2 l(ω)E(~r, ω)e−iωtdω, (2.18) y la componente real de polarizaci´on no lineal de tercer orden (donde por simplicidad denotaremos χ(3) xxxx(ω;ω, ω, −ω)≡χ(3) Re †) como, Pnl(~r, t) = Z∞ −∞ 3χ(3) Re |E(~r, ω)|2E(~r, ω)e−iωtdω, (2.19) †Subindicamos con Re, puesto que en pr´oximos apartados se har´a referencia al car´acter complejo de la susceptibilidad en el marco de medios con absorci´on no lineal. 48 2.3. EONL en gu´ıas monomodo CKG conservativas podemos reescribir la ecuaci´on (2.13) de la siguente forma ∇2E(~r, t)−1 c2 ∂2Dl(~r, t) ∂t2=1 c2 ∂2Pnl(~r, t) ∂t2,(2.20) donde se ha despreciado el t´ermino ~ ∇(~ ∇~ E). Dicho t´ermino es id´enticamente nulo para una onda plana y se puede demostrar que es despreciable bajo la aproximacion de amplitud lentamente variable [Boy92, Li˜n90]. 2.3. EONL en gu´ıas monomodo CKG conservativas Deducida la ecuaci´on general de ondas en medios no lineales Kerr, particularizaremos ahora nuestro estudio a la propagaci´on conservativa en gu´ıas de onda planas no lineales, donde el campo ´optico se encuentra confinado en una direcci´on (modo ´optico). Introducimos, por tanto, el concepto de propagaci´on 1D+1, donde se supone invariante la amplitud del campo a lo largo de la direcci´on de confinamiento (amplitud modal invariante seg´un, por ejemplo, la coordenada y), y por tanto libre de efectos no lineales (tal y como se justificar´a a posteriori). De esta forma, se considera una propagaci´on bidimensional efectiva 1D+1 donde ser´a el ´ındice efectivo el que act´ue como ´ındice de refracci´on. Esta aproximaci´on, denominada usualmente como aproximaci´on de no linealidad d´ebil, se verifica considerando la dimensi´on de la amplitud modal suficientemente inferior a la dimensi´on transversal (a lo largo de la coordenada x) de la amplitud de propagaci´on efectiva 1D+1, o envolvente del campo, la cual s´ı se ver´a afectada por los efectos no lineales; f´ısicamente, dicha aproximaci´on se sostiene en virtud de la potencia necesaria para autoconfinar un campo por efecto Kerr en funci´on de su extensi´on espacial; de este modo, un campo con extensi´on espacial pr´oxima a las dimensiones de la longitud de onda, requiere de un valor de potencia de autoconfinamiento muy superior al de un campo con mayor extensi´on espacial, cuya difracci´on libre presenta una menor divergencia; por tanto, es razonable suponer que los valores de potencia que inducen efectos no lineales sobre el campo en la direcci´on x, apenas afectar´an al modo ´optico siempre y cuando la extensi´on de ´este sea suficientemente inferior a la de la envolvente. Por otra parte, y como se muestra en la figura 2.1, consideraremos, en general, gu´ıas con perfiles de´ındice inhomog´eneos, es decir, dependientes de las coordenas x ey, suponiendo siempre una variaci´on lenta de la inhomogenidad seg´un la direcci´on x. 49 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG x z y cubierta n´ucleo sustrato t(x) Figura 2.1: Perfil de la gu´ıa y dimensiones del campo en la aproximaci´on de no linealidad d´ebil. 2.3.1. Ecuaci´on paraxial de propagaci´on no lineal Comencemos por describir el campo ´optico mediante el producto de una amplitud modal lineal z-invariante ϕ(x, y) y una envolvente ψ(x, z) 1D+1, sujeta a los efectos no lineales, es decir, E(x, y, z, t) = 1 2ϕ(x, y)eiβ0zψ(x, z)e−iω0t+cc, (2.21) donde β0=kN es la constante de propagaci´on, siendo Nel ´ındice efectivo del modo, ω0es la frecuencia de la onda, supuesta monocrom´atica y cc representa el complejo conjugado que obviaremos en sucesivos c´alculos. La factorizaci´on del campo expresada en la expresi´on (2.21) es formalmente id´entica a la que se efect´ua en la resoluci´on aproximada en gu´ıas de onda bidimensionales mediante el M´etodo del Indice Efectivo (MIE) [Kno70, Chi90, Chi97, Li˜n00b]. A pesar de que el problema que nos ocupa trata de resolver el problema de propagaci´on no lineal 1D+1 en estructuras como la mostrada en la figura 2.1, la cual no constituye estr´ıctamente una gu´ıa bidimensional, es conveniente introducir de forma breve los fundamentos del MIE, cuyas implicaciones tanto a efectos de c´alculo como desde el punto de vista f´ısico, son aplicables a la deducci´on que se realizar´a de las ecuaciones de propagaci´on. El m´etodo de ´ındice efectivo (figura 2.2) se basa en la reducci´on del problema bidimensional, a dos problemas unidimensionales, de tal modo que para cada valor de xresolvemos el problema unidimensional local (gu´ıa plana) en la direcci´on y, obteni´endose tanto una amplitud modal local ϕ(x, y) como una constante de propagaci´on local β(x). Dicha distribuci´on de ´ındices efectivos locales induce una gu´ıa efectiva seg´un la direcci´on x, cuya resoluci´on fijar´ıa tanto la constante de propagaci´on final como la amplitud ψ(x) (en este caso z-independiente). La factorizaci´on del campo usada en el MIE, requiere de una variaci´on lenta de la funci´on ϕ(x, y) respecto de x, lo que permite el desacoplamiento de la ecuaci´on 50 2.3. EONL en gu´ıas monomodo CKG conservativas cubierta n´ucleo 1 sustrato N1N3 N2 x yz n´ucleo 2 Figura 2.2: Esquema de resoluci´on de gu´ıas de onda bidimensionales mediante el m´etodo de ´ındice efectivo. bidimensional en dos ecuaciones unidimensionales, si se desprecian las derivadas primera y segunda de ϕ(x, y) respecto de x[Li˜n00b, Sal01]. Dicha variaci´on lenta implica que el confinamiento en la direcci´on yha de ser m´as intenso que en la direcci´on x, de forma que el perfil de ´ındice efectivo inducido en dicha direcci´on es m´as suave que el perfil de ´ındice en la direcci´on y. Volviendo al caso que nos ocupa, la variaci´on de espesor del n´ucleo t(x) ha de ser suficientemente lenta, de forma que sea v´alida, como ocurre en el m´etodo de ´ındice efectivo, la factorizaci´on expresada en la expresi´on (2.21). Es importante subrayar que en nuestro caso, se formula un MIE algo m´as general en la medida en que se considera la z-dependencia en la amplitud ψy se incorporan efectos no lineales cuya influencia sobre la amplitud modal tambi´en ha de ser considerada bajo las aproximaciones del MIE. Finalmente suponiendo un perfil de ´ındice lineal nl(x, y) y una distribuci´on de la susceptibilidad de tercer orden χ(3) Re (x, y), la ecuaci´on (2.20), teniendo en cuenta las expresiones (2.14), (2.18) y (2.19), se puede reescribir de la forma, ∇2E=µ0 ∂2 ∂t2h²0n2 l(x, y) + 3²0χ(3) Re (x, y)|E|2iE.(2.22) Por otra parte y respecto de la variaci´on temporal del campo, consideraremos la aproximaci´on de onda monocrom´atica, la cual se justifica en virtud de la ausencia de efectos dispersivos relevantes en las distancias de propagaci´on t´ıpicas de la ´optica integrada. No obstante, es preciso se˜nalar que m´as adelante, cuando se deduzcan las ecuaciones no lineales acopladas de contra y copropagaci´on, se abordar´an aspectos temporales relativos a la coherencia temporal, y que ser´an tratados ab initio a partir de la ecuaci´on (2.22). As´ı pues, factorizando el campo ´optico de la forma, E(x, y, z) = E(x, y, z)e−iω0t,(2.23) 51 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG e introduciendo dicha expresi´on en la ecuaci´on (2.22) se obtiene, tras desarrollar la derivada temporal y definir el m´odulo del vector de ondas como k=ω0/c, la siguiente ecuaci´on de ondas escalar espacial, es decir, ∇2E+k2n2 l(x, y)E+ 3k2χ(3) Re (x, y)|E|2E= 0.(2.24) A continuaci´on desarrollemos las derivadas espaciales por separado teniendo en cuenta que E(x, y, z) = (1/2)ϕ(x, y)ψ(x, z) exp(iβ0z). Respecto de la coordenada x, se obtiene, ∂2E ∂x2=1 2eiβ0zµψ∂2ϕ ∂x2+ 2∂ϕ ∂x ∂ψ ∂x +ϕ∂2ψ ∂x2¶≃1 2eiβ0zϕ∂2ψ ∂x2,(2.25) donde se han despreciado la primera y segunda derivadas de la amplitud modal ϕ, supuesta de variaci´on lenta, tal y como se considera en el m´etodo de ´ındice efectivo. Por otra parte, respecto de la coordenada z, se obtiene, ∂2E ∂z2=1 2eiβ0zϕµ∂2ψ ∂z2+ 2iβ0 ∂ψ ∂z −β2 0ψ¶≃1 2eiβ0zϕµ2iβ0 ∂ψ ∂z −β2 0ψ¶.(2.26) En la expresi´on anterior se considera la aproximaci´on de envolvente lentamente variable, lo que nos permite despreciar la derivada segunda de la envolvente no lineal respecto de la coordenada de propagaci´on z. Finalmente la derivada respecto ayno presenta modificaci´on alguna, por tanto ∂2E ∂y2=1 2eiβ0zψ∂2ϕ ∂y2(2.27) Bajo estas aproximaciones, factorizando y reordenado t´erminos, la ecuaci´on (2.24), adquiere la siguiente forma: ψµ∂2ϕ ∂y2+k2n2 lϕ¶+ϕµ2iβ0 ∂ψ ∂z +∂2ψ ∂x2−β2 0ψ+3 4k2χ(3) Re |ψ|2|ϕ|2ψ¶= 0.(2.28) Dado que consideraremos que la amplitud modal no est´a sujeta a efectos no lineales (se justificar´a tal aproximaci´on de forma cuantitativa a posteriori), la expresi´on contenida en el primer par´entesis de la ecuaci´on anterior, verificar´a, bajo las hip´otesis del MIE, la ecuaci´on de ondas para la amplitud modal local en la direcci´on y, esto es, ∂2ϕ(x, y) ∂y2+k2n2 l(x, y)ϕ(x, y) = β2(x)ϕ(x, y),(2.29) 52 2.3. EONL en gu´ıas monomodo CKG conservativas donde β(x) = kN(x) es la constante de propagaci´on, siendo N(x) el ´ındice efectivo gradual seg´un la direcci´on x. Finalmente, haciendo uso de la expresi´on anterior en la ecuaci´on (2.28), multiplicando la misma por ϕ∗e integrando seg´un la direcci´on y, obtenemos, tras dividir por R|ϕ|2dy, la ecuaci´on que describe la evoluci´on de la envolvente no lineal ψ(x, z), esto es, 2iβ0 ∂ψ ∂z +∂2ψ ∂x2+ (β2(x)−β2 0)ψ+k2nk(x)|ψ|2ψ= 0.(2.30) En la expresi´on anterior, nk(x) se define como el ya mencionado Coeficiente Kerr Gradual (CKG) ‡y viene dado por la expresi´on, nk(x) = 3 4Z∞ −∞ χ(3) Re (x, y)ϕ4(x, y)dy Z∞ −∞ ϕ2(x, y)dy .(2.31) En conclusi´on, la ecuaci´on de propagaci´on de la envolvente no lineal depender´a del confinamiento modal mediante el ´ındice efectivo lineal gradual β(x) = kN(x) y el CKG nk(x). Explicitaremos dichos par´ametros a continuaci´on resolviendo la ecuaci´on modal (2.29) mediante la aproximaci´on perturbativa. 2.3.2. An´alisis modal perturbativo de gu´ıas CKG Comenzaremos por el c´alculo de la amplitud modal, as´ı como de la constante de propagaci´on lineal gradual, en una gu´ıa plana de salto de ´ındice con una discontinuidad curva n´ucleo-sustrato§; en principio y suponiendo la amplitud modal lineal, tal y como se consider´o en la deducci´on previa, introduciremos los ´ındices lineales de los materiales constituyentes de la gu´ıa, ns,nf,nc, correspondientes a sustrato, n´ucleo y cubierta respectivamente, siendo t0el espesor m´aximo del n´ucleo yf(x) la funci´on que describe la discontinuidad curva n´ucleo-sustrato. En la figura 2.3 se muestran los par´ametros anteriormente citados as´ı como la geometr´ıa de la gu´ıa. ‡Por simplicidad, obviamos en la denominaci´on de este par´ametro el t´ermino efectivo, aunque de forma rigurosa dicho param´etro representa un coeficiente Kerr efectivo gradual §Como ya se coment´o, los conceptos de sustrato y cubierta son intercambiables, no obstante y por facilitar la notaci´on, delimitaremos el estudio a discontinuidades curvas n´ucleo-sustrato. M´as adelante, cuando se trate la ubicaci´on del material no lineal, se volver´a a incidir en esta cuesti´on. 53 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG z t0 f(x) sustrato (ns) cubierta (nc) n´ucleo (nf) x y Figura 2.3: ´ Indices de refracci´on y geometr´ıa de la gu´ıa plana monomodo de salto de ´ındice con discontinu´ıdad curva n´ucleo-sustrato. Bajo esta geometr´ıa, el perfil de ´ındice lineal de la gu´ıa, n2 l(x, y), vendr´a dado por la expresi´on, n2 l(x, y) =          n2 s−∞ <y < f(x) n2 ff(x)≤y≤t0 n2 ct0<y < ∞. (2.32) Suponiendo que la funci´on f(x) es lentamente variable, podemos considerar la dependencia espacial seg´un la direcci´on x, como una perturbaci´on de una gu´ıa plana de salto de ´ındice, es decir n2 l(x, y) = n2 0(y) + ∆n2(x, y), tal y como se muestra en la figura 2.4, donde el perfil de ´ındice de la gu´ıa sin perturbar as´ı como t0t0 n2 f n2 c n2 f n2 c n2 sn2 s n2 l(x, y)n2 0(y)∆n2(x, y) n2 s−n2 f x (a) (b) (c) Figura 2.4: Descomposici´on del perfil de ´ındice. (a) Gu´ıa CKG; (b) Gu´ıa no perturbada; (c) Perturbaci´on del ´ındice de refracci´on. el perfil de la perturbaci´on, vendr´an dados por las siguientes expresiones, n2 0(y) =          n2 s−∞ <y < 0; n2 f0≤y≤t0; n2 ct0<y < ∞; ∆n2(x, y) =    n2 s−n2 f0≤y≤f(x) 0 resto. (2.33) Conforme a la perturbaci´on de ´ındice indicada, la ecuaci´on modal (2.29) puede resolverse mediante la aproximaci´on perturbativa, es decir, en primera aproximaci´on 54 2.3. EONL en gu´ıas monomodo CKG conservativas podemos suponer que la amplitud ϕ(x, y) es independiente de la coordenada x, i.e. ϕ0(y), soluci´on de la ecuaci´on modal correspondiente a la gu´ıa no perturbada (Fig.2.4-b), ∂2ϕ0(y) ∂y2+k2n2 0(y)ϕ0(y) = β0ϕ0(y).(2.34) La soluci´on a la ecuaci´on no perturbada dada por (2.34), con ´ındices n2 s,n2 fyn2 c para el sustrato, n´ucleo y cubierta respectivamente, viene dada por la expresi´on [Hun91]: ϕ0(y) = C         Aϕexp(ξsy)−∞ < y ≤0 cos[ξf(y−t0)] −(ξc/ξf) sin[ξf(y−t0)] 0 ≤y≤t0 exp[−ξc(y−t0)] t0≤y < ∞, (2.35) donde ξc= (β2 0−k2n2 c)1/2,ξf= (k2n2 f−β2 0)1/2,ξs= (β2 0−k2n2 s)1/2yAϕ= cos(ξft0) + (ξc/ξf) sin(ξft0); β0es la constante de propagaci´on no perturbada, y viene dada por la siguiente ecuaci´on de dispersi´on, tan(ξft0) = ξs+ξc ξf³1−ξsξc/ξ2 f´.(2.36) Finalmente, Ces una constante de normalizaci´on que garantiza Rϕ2 0(y)dy= 1, tomando el valor, C="2ξ2 f (t0+ 1/ξc+ 1/ξs)(ξ2 f+ξ2 c)#1/2 .(2.37) Una vez obtenidas la amplitud y constante de propagaci´on no perturbadas, y aplicando el m´etodo perturbativo [Tam90, Sny83], se obtiene la siguiente expresi´on para la constante de propagaci´on a primer orden perturbativo, β2 1(x) = β2 0+k2Z+∞ −∞ ∆n2(x, y)ϕ2 0(y, β0)dy. (2.38) Suponiendo una variaci´on lenta de la discontinuidad sustrato-n´ucleo, la constante de propagaci´on dada por la expresi´on (2.38), tras sustituir la perturbaci´on de ´ındice mostrada en (2.33), adquiere la siguiente forma, β2(x)≃β2 0[1 −δ(x)],(2.39) 55 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG donde δ(x) = k2(n2 f−n2 s)A2 ϕC2f(x)/β2 0,(2.40) define la dependencia transversal de la constante de propagaci´on y por tanto el gradiente de indice efectivo (recordemos que β(x) = kN(x)). En definitiva, se ha considerado el primer orden de la teor´ıa perturbativa sobre la constante de propagaci´on, manteniendo la amplitud modal no perturbada (aproximaci´on a orden cero en la amplitud modal), en virtud de la variaci´on lenta de la funci´on f(x). Es preciso notar que la soluci´on exacta para la amplitud modal ϕ(x, y), bajo la aproximaci´on de MIE, vendr´ıa dada por la soluci´on de la ecuaci´on (2.29) para cada valor de la variable x. No obstante, la aproximaci´on perturbativa nos permite obtener una soluci´on anal´ıtica y expl´ıcita para β(x), lo que facilita sobremanera el an´alisis de la propagaci´on no lineal que se detallar´a en sucesivas secciones, y garantiza, si f(x) es lentamente variable, un error totalmente asumible. Una vez deducida la expresi´on para el´ındice efectivo lineal gradual, procedamos a la obtenci´on del CKG. Para ello, diferenciaremos los casos en los que los efectos no lineales relevantes est´en presentes o bien en el n´ucleo de la gu´ıa, o bien en el sustrato. 2.3.2.1. Gu´ıas monomodo CKG con n´ucleo no lineal Si la gu´ıa esta compuesta por un n´ucleo no lineal, como se muestra en la figura 2.5, la susceptibilidad de tercer orden vendr´a descrita por, z t0 sustrato cubierta x f(x) n´ucleo χ(3) Re y Figura 2.5: Ilustraci´on transversal de la gu´ıa CKG con n´ucleo no lineal. χ(3) Re(x, y) =    χ(3) Re, f(x)≤y≤t0 0,resto, (2.41) la cual, tras ser sustitu´ıda en la ecuaci´on (2.31), produce el resultado nk(x) = 3 4χ(3) Re Zt0 f(x) ϕ4 0(y)dy. (2.42) 56 2.3. EONL en gu´ıas monomodo CKG conservativas De nuevo, bajo la hip´otesis de una variaci´on lenta de la discontinuidad n´ucleosustrato, esto es df(x)/dx << 1, podemos aproximar la expresi´on anterior, tras manipular los l´ımites de integraci´on convenientemente, de la forma: nk(x) = 3 4χ(3) Re ·Zt0 0 ϕ4 0(y)dy−ϕ4 0(0)f(x)¸.(2.43) Finalmente, introduciendo la expresi´on para la amplitud modal dada por la ecuaci´on (2.35) en la expresi´on anterior, se obtiene la siguiente expresi´on para el CKG: nk(x)≃˜nk0[1 + γnuc(x)],(2.44) donde nk0yγnuc(x) se definen como, nk0=3 4χ(3) Re Zt0 0 ϕ4 0(y)dy, γnuc(x) = −f(x)ϕ4 0(0) Zt0 0 ϕ4 0(y)dy .(2.45) dejando sin explicitar, por simplicidad, el resultado de la integral anterior. 2.3.2.2. Gu´ıas monomodo CKG con sustrato no lineal Procediendo de manera an´aloga al caso anterior, la distribuci´on de la susceptibilidad no lineal vendr´a dada, para el caso mostrado en la figura 2.6, por la siguiente expresi´on, z t0 sustrato cubierta x f(x) n´ucleo χ(3) Re y Figura 2.6: Ilustraci´on transversal de la gu´ıa CKG con sustrato no lineal. χ(3) Re(x, y) =    χ(3) Re,−∞ ≤ y≤f(x) 0,resto. (2.46) Aplicando la misma estrategia de c´alculo que en el caso anterior, es f´acil demostrar que ahora, el CKG vendr´a dado por: nk(x) = 3 4χ(3) Re ·Z0 −∞ ϕ4 0(y)dy+ϕ4 0(0)f(x)¸.(2.47) 57 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG la gu´ıa, puesto que cabe considerar despreciables, en un marco realista, los efectos de absorci´on, tanto lineales como no lineales, del material lineal respecto de aquellos inducidos por el material no lineal. Por tanto, procediendo de forma id´entica al caso anteriormente mencionado, y reescribiendo la constante de propagaci´on como, β2(x)≃β2 0[1 −δ(x)] + iβ0α(x),(2.56) tenemos que el coeficiente de absorci´on/ganancia lineal promediado α(x) vendr´a dado para un material no lineal situado en el n´ucleo (α(x)≡αnuc(x)), por la expre- si´on, αnuc(x) = α0[1 + ηnuc(x)],(2.57) donde α0=k2χ(1) Im β0Zt0 0 ϕ2 0(y)dy(2.58) y ηnuc(x) = −f(x)ϑnuc donde ϑnuc =ϕ2 0(0) Zt0 0 ϕ2 0(y)dy .(2.59) An´alogamente, para el caso en el que el material no lineal se disponga en el sustrato (α(x)≡αsus(x)), tendremos que, αsus(x) = α0[1 + ηsus(x)],(2.60) donde α0=k2χ(1) Im β0Z0 −∞ ϕ2 0(y)dy(2.61) y ηsus(x) = f(x)ϑsus donde ϑsus =ϕ2 0(0) Z0 −∞ ϕ2 0(y)dy .(2.62) A continuaci´on, separemos las partes x-dependientes de la constante de propagaci´on dada por la expresi´on (2.56), de forma que, defininiendo la constante de propagaci´on compleja para un gu´ıa homog´enea como β2 c=β2 0+ iβ0α0, tenemos que, β2(x)≃β2 c−β2 0δ(x) + iβ0α0η(x),(2.63) donde de nuevo debemos recordar que tanto α0como η(x) dependen de la situaci´on del material no lineal en la gu´ıa. Finalmente, desarrollando la raiz cuadrada de la 64 2.4. EONL en gu´ıas monomodo CKG no conservativas constante de propagaci´on β2 ca primer orden, βc≃β0+ iα0/2, e introduciendo la expresi´on (2.63) en la ecuaci´on (2.53), obtenemos la ecuaci´on de ondas en gu´ıas monomodo CKG disipativas/amplificativas, 2iβ0 ∂ψ ∂z −α0 ∂ψ ∂z +∂2ψ ∂x2−β2 0δ(x)ψ+ iβ0α0η(x)ψ +e−α0zk2[nk(x) + intpa(x)]|ψ|2ψ= 0,(2.64) Como an´alisis preliminar de la ecuaci´on anterior, digamos que la deducci´on presentada supone una mayor generalizaci´on de la contribuci´on disipativa a la propagaci´on tanto en r´egimen de alta potencia como en r´egimen lineal. En este sentido observamos que la consideraci´on de una constante de propagaci´on compleja en la factorizaci´on del campo dado por la expresi´on (2.52), genera nuevos t´erminos en la ecuaci´on de propagaci´on respecto de las ecuaciones usualmente presentadas en la bibliograf´ıa [Che94, Lis91], las cuales consideran la absorci´on lineal como un t´ermino lineal imaginario en la ecuaci´on anterior [Tri01, p. 316]. De hecho, despreciando el segundo t´ermino de la ecuaci´on (2.64) y factorizando el campo de la forma ψ=ψpexp(−α0z/2), obtendr´ıamos la ecuaci´on, 2iβ0 ∂ψp ∂z +∂2ψp ∂x2−β2 0δ(x)ψp+ iβ0α0[1 + η(x)]ψp +k2[nk(x) + intpa(x)]|ψp|2ψp= 0,(2.65) que corresponde a la ecuaci´on no lineal de Schr¨odinger perturbada por el t´ermino de absorci´on lineal¶. Por tanto, es preciso mencionar que la aproximaci´on perturbativa, si bien es v´alida para niveles de absorci´on razonables, desprecia el acoplamiento entre la refracci´on del campo y la disipaci´on de energ´ıa (reflejada en el segundo t´ermino de la ecuaci´on (2.65)), la cual en casos de elevada absorci´on o ganancia, as´ı como en situaciones de intensa no linealidad podr´ıa tener una contribuci´on no despreciable. M´as adelante se explicitar´a, mediante el c´alculo variacional Lagrangiano, dicha contribuci´on as´ı como el mencionado acoplamiento. No obstante, es preciso adelantar que, a efectos de dise˜no de dispositivos totalmente ´opticos no amplificativos, los l´ımites en cuanto a absorci´on se refiere otorgan total validez a la aproximaci´on perturbativa descrita por la ecuaci´on (2.65). ¶Es preciso notar, en lo referente a la nomenclatura existente, que la ecuaci´on 2.65 representa una generalizaci´on de la ecuaci´on c´ubica compleja de Ginzburg-Landau [Con95, Tri01] para medios sin dispersi´on de absorci´on/ganancia (medios donde la luz no genera portadores de cargas libres), ya que en este caso los coeficientes Kerr complejo y absorci´on lineal dependen de la coordenada transversal. 65 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG 2.5. EONLs de contra y copropagaci´on en gu´ıas CKG no conservativas Estudiaremos, a continuaci´on, las ecuaciones b´asicas que describen la propagaci´on de varios campos en gu´ıas CKG no lineales de tercer orden. Como se introdujo en el cap´ıtulo anterior, la naturaleza de los fen´omenos no lineales de tercer orden, y en particular aquellos relacionados con la variaci´on del ´ındice de refracci´on con la intensidad del campo ´optico, dan lugar a una variada serie de fen´omenos vinculados a la propagaci´on e interacci´on de ondas en medios no lineales. La variaci´on del ´ındice de refracci´on con la intensidad ´optica produce fen´omenos como la autofocalizaci´on o el autoconfinamiento de la luz, en la medida en que dicha variaci´on del ´ındice es capaz de superar o compensar, seg´un el caso, la difracci´on libre. Por consiguiente, si consideramos la propagaci´on simult´anea de dos o m´as haces luminosos en un medio Kerr, la variaci´on del ´ındice inducida por cada uno de los campos genera tanto una automodificaci´on como una modificaci´on mutua de los estados de propagaci´on. Como caso particular de esta interacci´on cabe destacar, como se introdujo en la secci´on 1.3.2, la interacci´on de solitones espaciales multipropagantes. En este sentido, la automodificaci´on como la modificaci´on cruzada del ´ındice de refracci´on genera efectos muy parecidos a los experimentados en la colisi´on de part´ıculas, present´andose fen´omenos como la colisi´on, atracci´on o arrastre (dragging) entre solitones espaciales [Ste99, Tri01]. Las propiedades de dichas interacciones dependen, fundamentalmente, de las condiciones iniciales de los campos, de tal modo que la polarizaci´on, fases iniciales o posici´on y ´angulos relativos influir´an de forma decisiva en el comportamiento de las ondas durante su propagaci´on espacial y temporal. El estado de polarizaci´on inicial de las ondas establece, a trav´es las componentes del tensor χ(3), una fuerte dependencia entre la propagaci´on e interacci´on de los campos y la polarizaci´on el´ectrica del medio [Boa95]; de esta forma, los campos que presentan estados copolarizados, por ejemplo seg´un el eje x, conservan para medios no lineales is´otropos de tercer orden, la componente χ(3) xxxx del tensor χ(3) como ´unica componente no nula, justificando la teor´ıa escalar presentada en la secci´on anterior; por tanto, si el estado de polarizaci´on y las fases iniciales de los campos est´an bien definidas para el caso de dos haces copolarizados, el patr´on de interferencia generado por la interacci´on coherente de ambas ondas repercute en el efecto que estas inducen sobre el medio por el que se propagan; as´ı, cuando la interferencia es constructiva, el ´ındice experimenta un aumento de valor en la regi´on de solapamiento gener´andose un efecto atractivo entre los campos, por el contrario, si los campos est´an en oposici´on de fase, la interferencia destructiva en la regi´on de interacci´on provocar´a un efecto repulsivo entre las ondas [Kar81, Ait91]. 66 2.5. EONLs de contra y copropagaci´on en gu´ıas CKG no conservativas solit´on espacial haz de baja intensidad (campos en fase) atracci´on (campos en oposici´on de fase) arrastre colisi´on-repulsi´on Figura 2.12: Comparaci´on entre la atracci´on, repulsi´on y arrastre de ondas en medios no lineales c´ubicos positivos. Todos estos efectos se producen bajo una interacci´on coherente, es decir, los estados de polarizaci´on as´ı como la fase y frecuencia de los campos interaccionantes est´an perfectamente definidos en el transcurso de la interacci´on. No obstante, se puede demostrar que bajo estados de polarizaci´on ortogonal entre los campos incidentes, la interacci´on mutua depende exclusivamente de las intensidades de los campos, anulando la posible dependencia con las fases iniciales y tornando la interacci´on, de forma efectiva, en incoherente; a pesar de ello, es preciso subrayar que los estados de polarizaci´on as´ı como la frecuencia han de conservarse inalterados durante la propagaci´on. En el presente estudio y en cuanto al dise˜no de dispositivos se refiere, trataremos dos tipos de interacci´on no lineal, a saber, estudiaremos la interacci´on coherente de campos contrapropagantes linealmente polarizados seg´un la misma direcci´on, y campos copropagantes mutuamente incoherentes. 2.5.1. Contrapropagaci´on no lineal en gu´ıas CKG Deduciremos en este apartado las ecuaciones generales de contrapropagaci´on no lineal en gu´ıas CKG, las cuales constituyen parte fundamental en el estudio de la biestabilidad ´optica as´ı como en el dise˜no de AOIDs dedicados a tal efecto. No obstante y previo c´alculo de las ecuaciones de contrapropagaci´on, es preciso retomar algunas de las cuestiones sobre coherencia tratadas en secciones anteriores. En este sentido, recordemos que el grado de coherencia mutua exigido para los campos ´opticos en un dispostivo para redes totalmente ´opticas, viene determinado por la operaci´on de dicho dispositivo dentro de la red; as´ı, un dispositivo que opere con campos procedentes de fuentes lejanas y por tanto sometidos a largas distancias de propagaci´on, habr´a de considerar los campos como mutuamente incoherentes. Por otra parte, dispositivos cuya operaci´on requiera de coherencia ´optica, habr´an 67 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG de garantizar dicha coherencia mediante la utilizaci´on de fuentes propias para su funcionamiento. Este ´ultimo caso corresponde a los AOIDs biestables propuestos en la presente memoria, los cuales, tanto en aplicaciones de l´ogica secuencial, procesado en sensores o enrutado ´optico, fundamentan su funcionamiento en la utilizaci´on de una se˜nal de bombeo, propia del dispositivo y de elevada coherencia, la cual sit´ua el dispostivo en el punto adecuado de operaci´on. De este modo, la condici´on de coherencia mutua para los campos contrapropagantes habr´a de verificar la condici´on, L << Lc, donde Les la distancia de contrapropagaci´on y Lces la distancia de coherencia propia de la fuente ´optica utilizada. Dicha distancia de coherencia est´a directamente relacionada con el ancho de linea espectral (∆ν) de la fuente ´optica mediante, Lc=c/∆ν; por tanto, para dispositivos biestables como los propuestos en la presente memoria, donde las distancias de contrapropagaci´on son del orden del cent´ımetro, el ancho de linea m´aximo que garantize la correcta operaci´on del dispositivo habr´a de ser del orden de unidades de GHzk. As´ı pues, considerando tanto el campo progresivo ψ+1 (seg´un la direcci´on +z) y regresivo ψ−1(seg´un la direcci´on −z), como linealmente polarizados seg´un la direcci´on x, vibrando a la misma frecuencia ω0y mutuamente coherentes, podemos reescribir la expresi´on escalar del campo independiente del tiempo en la forma, E(x, y, z) = 1 2ϕ(x, y)[ψ+1(x, z)e+iβ0z+ψ−1(x, z)e−iβ0z] + cc. (2.66) Introduzcamos la expresi´on anterior en la ecuaci´on de propagaci´on escalar (2.24) para obtener las ecuaciones que describen la evoluci´on de las envolventes ψ+1 y ψ−1en gu´ıas CKG. Para ello, comencemos por evaluar el t´ermino no lineal en dicha ecuaci´on (|E|2E) bajo la interacci´on contrapropagante; si introducimos la expresi´on (2.66) en dicho t´ermino se obtiene, |E|2E=1 8ϕ(x, y){|ψ+1|2+ 2|ψ−1|2}ψ+1e+iβ0z +1 8ϕ(x, y){|ψ−1|2+ 2|ψ+1|2}ψ−1e−iβ0z +1 8ϕ(x, y)ψ+1ψ∗ −1ψ+1e+3iβ0z +1 8ϕ(x, y)ψ−1ψ∗ +1ψ−1e−3iβ0z+cc. (2.67) Si ahora consideramos las componentes sincronizadas con +iβ0y−iβ0y despreciamos los t´erminos r´apidamente oscilantes modulados por +3iβ0y−3iβ0(es obvio que su contribuci´on es pr´acticamente nula en promedio espacial [Mar78]), las kEl ancho espectral de un l´aser He-Ne com´un es de aproximadamente 1.5 GHz, con una longitud de coherencia de 20 cm. 68 2.5. EONLs de contra y copropagaci´on en gu´ıas CKG no conservativas ecuaciones de contrapropagaci´on vienen dadas por el siguiente sistema no lineal acoplado, 2iβ0 ∂ψ+1 ∂z +∂2ψ+1 ∂x2−β2 0δ(x)ψ+1 +k2nk(x)(|ψ+1|2+ 2|ψ−1|2)ψ+1 = 0, −2iβ0 ∂ψ−1 ∂z +∂2ψ−1 ∂x2−β2 0δ(x)ψ−1+k2nk(x)(|ψ−1|2+ 2|ψ+1|2)ψ−1= 0, (2.68) La deducci´on de las ecuaciones anteriores supone una interacci´on coherente de los haces contrapropagantes en el sentido de que la suma de los campos no considera nulo el t´ermino cruzado en el c´alculo de la intensidad, es decir, si suponemos un desfase entre los campos contrapropagantes ∆, la superposici´on coherente hace que |E|2mantenga los t´erminos cruzados entre ψ+1,ψ−1y sus conjugados, pero anul´andose, en la deducci´on anterior tras un promedio espacial; de este modo, las ecuaciones anteriores permanecen invariantes ante la fase relativa de las ondas progresiva y regresiva, siendo esta invarianza producto del caracter contrapropagante de la propagaci´on no lineal. No obstante, cabe subrayar que el factor 2 que pondera la interacci´on cruzada de los campos, es consecuencia de la coherencia temporal supuesta [Coh02]. 2.5.2. Copropagaci´on no lineal en gu´ıas CKG Caso distinto al anterior es el que concierne al estudio de la copropagaci´on no lineal y su implicaci´on en los dispositivos aqu´ı propuestos. A este respecto, aquellos dispositivos que operan de forma totalmente ´optica sobre se˜nales procedentes de fuentes ´opticas lejanas (o incoherentes), como el m´odulo de enrutado DR-D de la figura 1.19, requiere de un estudio incoherente de la interacci´on no lineal. Bajo dicha hip´otesis, cabe suponer que los t´erminos interferenciales resultado de una superposici´on coherente de ondas, no contribuyan al cambio del´ındice de refracci´on por efecto Kerr. Para visualizar dicho efecto de manera formal, consideremos la siguiente expresi´on para el campo copropagante de frecuencia central ω0, E(x, y, z) = 1 2ϕ(x, y)[ψa(x, z)e+iβ0z+ψb(x, z)e+iβ0zeiδ(t)]e−iω0t+cc, (2.69) donde ψa,b son las envolventes espaciales de cada onda, y δ(t) representa una variacion aleatoria de la fase temporal propia de la incoherencia presente entre ambas ondas. Para tratar los aspectos vinculados con la coherencia temporal, es preciso retornar a la ecuaci´on general de ondas espacio-temporal, que recordemos, ven´ıa dada por la expresi´on (2.22); no obstante, evaluemos primero el t´ermino no 69 Cap ´ ıtulo II. Propagaci´ on no lineal en gu ´ ıas monomodo CKG lineal |E|2considerando ahora la dependencia temporal del campo, es decir, |E|2E=1 8ϕ(x, y)[|ψa|2+|ψb|2+ 2Re(ψaψb) cos(δ)]ψae+iβ0z−iω0t +1 8ϕ(x, y)[|ψa|2+|ψb|2+ 2Re(ψaψb) cos(δ)]ψbe+iβ0z−iω0t+iδ(t) + cc. (2.70) Teniendo en cuenta la expresi´on anterior y su sustituci´on en la ecuaci´on (2.22), la derivada temporal generar´a t´erminos oscilatorios (cos(δ), sen(δ), δtyδtt) multiplicando, en particular, al tercer t´ermino entre corchetes de la ecuaci´on (2.70) (t´ermino interferencial); en t´erminos de coherencia temporal δ(t) puede considerarse como la fase temporal aleatoria producto de los diversos efectos que modifican la fase ´optica de las ondas propag´andose en largas distancias; por consiguiente, cabe esperar que en promedio temporal, dicha aleatoriedad aten´ue dr´asticamente el t´ermino interferencial, convirtiendo la interacci´on en estrictamente incoherente. En consecuencia, realizando la derivada temporal y posterior promedio y tomando las componentes sincronizadas con iβ0zy iβ0z+δ(t), podemos reescribir las ecuaciones de propagaci´on, tal y como se hizo para el caso contrapropagante, de la forma 2iβ0 ∂ψa ∂z +∂2ψa ∂x2−β2 0δ(x)ψa+k2nk(x)(|ψa|2+|ψb|2)ψa= 0, 2iβ0 ∂ψb ∂z +∂2ψb ∂x2−β2 0δ(x)ψb+k2nk(x)(|ψb|2+|ψa|2)ψb= 0, (2.71) Llegados a este punto, es preciso matizar alguna de las consideraciones f´ısicas realizadas para la obtenci´on de las ecuaciones anteriores. En primer lugar, no se ha hecho referencia alguna a la velocidad de respuesta del material no lineal y a su relaci´on con la coherencia de los campos copropagantes; a este respecto, es preciso subrayar que estamos considerando una interacci´on no lineal de campos que son mutuamente incoherentes entre s´ı, siendo esta incoherencia, independiente del medio en el que se propagan; de hecho, la implementaci´on de estos dispositivos como procesadores ´opticos de se˜nales que se propagan por redes de fibras ´opticas, hace prever, en el caso que nos ocupa, una incoherencia mutua suficientemente elevada e independiente de la velocidad de respuesta del medio. Caso diferente es la propagaci´on de varios campos en medios no lineales cuya susceptibilidad posee tiempos de respuesta elevados (medios fotorrefractivos o no linealidades t´ermicas [Nal97]); en dichos materiales, el medio no es capaz de seguir coherentemente las variaciones del campo, respondiendo exclusivamente al promedio de la intensidad de los campos. En definitiva, dos causas pueden conducir a una interacci´on incoherente 70 2.5. EONLs de contra y copropagaci´on en gu´ıas CKG no conservativas no lineal; o bien los campos son mutuamente incoherentes, independientemente del medio no lineal por el que se propagan, o bien dicho medio induce una incoherencia en la interacci´on debido a la lentitud de respuesta del mismo [Mit97]. 2.5.3. Contra y copropagaci´on no lineal en gu´ıas CKG no conservativas Finalmente usaremos las ecuaciones obtenidas hasta ahora para obtener las ecuaciones generales de contra y copropagaci´on en medios CKG no conservativos. Comenzando con las ecuaciones para contrapropagaci´on coherente, y considerando la expresi´on obtenida para la propagaci´on en medios disipativos/amplificativos (2.64), obtendremos, por generalizaci´on directa y denotando como ψmlas amplitudes progresiva (m= +1) y regresiva (m=−1) respectivamente, la siguiente expresi´on, 2miβ0 ∂ψm ∂z −mα0 ∂ψm ∂z +∂2ψm ∂x2−β2 0δ(x)ψm+ iβ0α0η(x)ψm +e−mα0zk2[nk(x) + intpa(x)](|ψm|2+ 2|ψ−m|2)ψm= 0,(2.72) donde se aprecia el cambio de signo, debido al caracter contrapropagante, en los t´erminos con dependencia expl´ıcita de la variable de propagaci´on zy sus derivadas. Para el caso de copropagaci´on incoherente actuamos de forma an´aloga, obte- ni´endose 2iβ0 ∂ψa,b ∂z −α0 ∂ψa,b ∂z +∂2ψa,b ∂x2−β2 0δ(x)ψa,b + iβ0α0η(x)ψa,b +e−α0zk2[nk(x) + intpa(x)](|ψa,b|2+|ψb,a|2)ψa,b = 0,(2.73) Una vez obtenidas las ecuaciones generales de co- y contrapropagaci´on en medios CKG en presencia de efectos disipativos/amplificativos tanto lineales como no lineales, procederemos en el siguiente cap´ıtulo a su resoluci´on, mediante el m´etodo variacional Lagrangiano, y posterior an´alisis de resultados. oOo 71 CAP´ ITULO 3 Resoluci´on variacional de las ecuaciones de propagaci´on El fen´omeno ondulatorio se encuentra presente en m´ultiples y diversas ´areas de la f´ısica, tanto en el marco cient´ıfico como tecnol´ogico. Desde la aparici´on de la primera ecuaci´on de ondas formalizada por D’Alembert en 1747, describiendo el comportamiento de una cuerda vibrante, el estudio y resoluci´on de ecuaciones que gobiernan comportamientos ondulatorios en ´areas como el electromagnetismo, hidrodin´amica, ac´ustica o la mec´anica cu´antica ha constitu´ıdo un amplio marco de investigaci´on por parte de la comunidad cient´ıfica. En la actualidad, el incremento del n´umero de aplicaciones que requieren de la resoluci´on de este tipo de ecuaciones ha suscitado el desarrollo de potentes herramientas matem´aticas tanto desde el punto de vista anal´ıtico como num´ericocomputacional. En el contexto de fen´omenos ondulatorios en r´egimen lineal, herramientas como el desarrollo en series de Fourier o las t´ecnicas mediante transformadas o funciones de Green han sido utilizadas de forma satisfactoria en muchos de los campos anteriormente citados; no obstante, cuando los fen´omenos estudiados se encuentran en el r´egimen no lineal, las ecuaciones de propagaci´on, no sujetas al principio de superposici´on, requieren de otras estrategias de resoluci´on anal´ıtica. Por otra parte, el continuo desarrollo de las t´ecnicas computacionales ha contribu´ıdo notablemente a la obtenci´on de soluciones num´ericas a la propagaci´on de ondas, lo cual ha servido en muchos casos como gu´ıa y t´ecnica de evaluaci´on de m´etodos anal´ıticos de resoluci´on de problemas de propagaci´on no lineal como es el caso del M´etodo de Scattering Inverso (ISM) [Gar67, Zak72]. Este m´etodo 73 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on ganancia, es suficientemente lenta como para, sin ser despreciables en el TS, hacer despreciable su influencia sobre los efectos refractivos y viceversa. De esta forma, podemos suponer que a efectos de propagaci´on refractiva a lo largo de un TS, la intensidad del campo se mantiene constante (A(z)≃A0), y por tanto, dicha propagaci´on refractiva se describir´a por la ecuaci´on de ondas conservativa, es decir, iA0 ∂φ ∂z +R(A0, φ)[φ]≃0.(3.12) No obstante, es preciso subrayar que el operador R(A0, φ) puede contener constantes o par´ametros relativos a los efectos disipativos pero, en lo que a la evoluci´on de la intensidad se refiere, la soluci´on a la ecuaci´on (3.12) para φen un TS es conservativa, verific´andose que d|φ|2/dz= 0 y cumpli´endose, en consecuencia, la siguiente igualdad: φ∗R(A0, φ)[φ]−φR∗(A0, φ∗)[φ∗] = 0.(3.13) Con respecto a la evoluci´on de la intensidad en un TS, el razonamiento es an´alogo al anterior, concluy´endose que los cambios refractivos del campo son suficientemente peque˜nos como para no afectar a la evoluci´on de la intensidad. Por tanto, partiendo de la ecuaci´on (3.11) y operando de forma an´aloga a como se hizo para la obtenci´on de la ecuaci´on (3.8), obtenemos la siguiente expresi´on, ·i|A|2∂|φ|2 ∂z +A∗φ∗R(A, φ)[A]−AφR∗(A∗, φ∗)[A∗]¸+ ·i|φ|2∂|A|2 ∂z +A∗φ∗D(A, φ)[A]−AφD∗(A∗, φ∗)[A∗]¸= 0. (3.14) En virtud de lo dicho anteriormente para un TS, los t´erminos entre el primer corchete son nulos, consider´andose A(z)≃A0; an´alogamente, φ(x, z) se considera z-invariante en los t´erminos entre el segundo corchete, esto es φ(x, z)≃φ0(x), consecuentemente, podemos obtener una expresi´on para la evoluci´on A(z) en un TS si promediamos la contribuci´on espacial transversal, (de forma an´aloga a lo realizado para obtener la funcional Lagrangiana reducida) y por tanto, totalmente consistente con el m´etodo variacional, es decir, Z+∞ −∞ ·i|φ0|2d|A|2 dz+A∗φ∗ 0D(A, φ0)[A]−Aφ0D∗(A∗, φ∗ 0)[A∗]¸dx= 0.(3.15) En resumen, las ecuaciones (3.12) y (3.15) describen respectivamente, y en un TS, una evoluci´on refractiva ydisipativa desacopladas en funci´on de las condiciones iniciales φ0yA0a la entrada del TS. El m´etodo variacional disipativo, descrito 80 3.2. Ecuaciones de evoluci´on refractivas y disipativas CKG en la secci´on anterior, es aplicable por tanto a la resoluci´on de la ecuaci´on (3.12) mediante el modelado de una funci´on prueba (φ0(x, z)) debidamente parametrizada; dicha funci´on prueba, debe ser posteriormente introducida en la expresi´on (3.15) deduci´endose as´ı la ecuaci´on diferencial para la amplitud A(z). Una vez deducidas la expresiones para un TS, el m´etodo de c´alculo para medios no delgados consistir´a en la divisi´on de la distancia de propagaci´on en tramos delgados (TSs), y en una resoluci´on iterativa y secuencial de las ecuaciones (3.12) y (3.15) variando recursivamente las condiciones iniciales en cada tramo. En la figura 3.1 se muestra un esquema de flujo del procedimiento variacional iterativo. (3.12) Ecs. (3.15) N-TS φN AN (3.12) Ecs. (3.15) A0 1-TS φ1 A1 φ0 (3.12) Ecs. (3.15) i-TS φi Ai Ai−1AN−1 φi−1φN−1 Figura 3.1: Esquema de flujo del c´alculo variacional secuencial para la propagaci´on disipativa. 3.2. Ecuaciones de evoluci´on refractivas y disipativas CKG A continuaci´on aplicaremos el procedimiento variacional iterativo introducido anteriormente para la resoluci´on de las ecuaciones (2.72-2.73) y en particular, las ecuaciones de contra y copropagaci´on no conservativas en gu´ıas CKG no lineales que describen los casos de propagaci´on de mayor inter´es en esta memoria y a partir de los cuales se obtendr´an los resultados que se utilizar´an para el dise˜no de dispositivos biestables, l´ogicos y de enrutado totalmente ´opticos que se abordar´an en los cap´ıtulos 4 y 5. En primer lugar, y dada la similitud de las ecuaciones de contra y copropagaci´on, trataremos de expresar los sistemas (2.72-2.73) de forma compacta a fin de que el c´alculo variacional contenga ambos casos de propagaci´on. Como se puede observar en los sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas de contra y copropagaci´on, dos son las diferencias formales entre ellos; en primer lugar el factor que modula la interacci´on no lineal cruzada entre ambas ondas y en segundo lugar, el cambio de signo en las derivadas con respecto a z(ondas progresiva y regresiva) que presentan las ecuaciones acopladas contrapropagantes; por tanto, definiendo el sub´ındice m= 1,2 para las ondas contrapropagantes (progresiva y regresiva respectivamente) y m= 1,2 para las ondas copropagantes (indistinguibles), los 81 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on sistemas (2.72-2.73) pueden reescribirse de forma compacta como sigue, 2bmiβ0 ∂ψm ∂z −bmα0 ∂ψm ∂z +∂2ψm ∂x2−β2 0δ(x)ψm+ iβ0α0η(x)ψm +e−bmα0zk2[nk(x) + intpa(x)](|ψm|2+J|ψ3−m|2)ψm= 0,(3.16) donde J= 2 si el sistema representa la contrapropagaci´on de los campos progresivo ψ1y regresivo ψ2mientras que J= 1 si el sistema representa la copropagaci´on de los campos ψ1yψ2. Finalmente, el factor bmda cuenta del cambio de signo citado anteriormente para el caso de contraprogaci´on, y que es definido como bm= (−1)(J−1)(m+1).(3.17) A continuaci´on explicitaremos las expresiones de los par´ametros de gu´ıa de onda CKG, deducidos en la secci´on 2.3.2 y que dan cuenta del ´ındice lineal gradual efectivo as´ı como del CKG propios de la geometr´ıa y materiales de dicho tipo de gu´ıas. Debido al car´acter perturbativo de la deducci´on realizada, que supone una variaci´on suave de la discontinuidad n´ucleo-sustrato tanto para para la obtenci´on de la constante de propagaci´on gradual como del CKG, propondremos una forma gen´erica para f(x) la cual, habida cuenta de las dimensiones del campo ´optico y en concordancia con la aproximaci´on perturbativa, podr´a aproximarse en las cercan´ıas de x= 0 por su desarrollo de Taylor truncado a segundo orden, esto es, mediante una aproximaci´on parab´olica tal y como se muestra en la figura (3.2). f(x) n´ucleo sustrato −y x f(x)≃1 2fxx(x= 0)x2 Figura 3.2: Representaci´on de la curvatura n´ucleo-sustrato y aproximaci´on par´abolica. Formalmente, el desarrollo de Taylor en las proximidades de x= 0 para la curvatura de una funci´on, en este caso la funci´on discontinuidad n´ucleo-sustrato, podr´ıa extenderse hasta t´erminos de cuarto orden, no obstante, la elecci´on de una funci´on estrictamente parab´olica, adem´as de ser razonable desde el punto de vista de la fabricaci´on de sustratos curvos, presenta una ventaja fundamental, como se ver´a m´as adelante, en cuanto a la exactitud de la soluci´on variacional al problema de propagaci´on no lineal en la aproximaci´on de onda con fase cuadr´atica; por otra 82 3.2. Ecuaciones de evoluci´on refractivas y disipativas CKG parte, dicha aproximaci´on es del todo razonable para curvaturas cuya dependencia, en general desconocida, presenten una variaci´on lenta con la coordenada x. En consencuencia, la disposici´on mostrada en la figura (3.2), permite escribir la funci´on que modela la discontinuidad n´ucleo-sustrato en las proximidades de x= 0, de la forma, f(x)≃x2 l2(3.18) donde lrepresenta la curvatura de la par´abola y donde, bajo la aproximaci´on perturbativa, se verifica que l >> x en el intervalo de puntos xdonde el campo ´optico toma valores representativos. A continuaci´on reescribiremos las expresiones que ponderan, teniendo en cuenta la aproximaci´on parab´olica (3.18), la variaci´on gradual tanto de la constante de propagaci´on como del CKG; de esta forma las expresiones para δ(x), η(x), nk(x) y ntpa(x), recordando las f´ormulas (2.40, 2.59, 2.62, 2.44 y 2.48), se reescriben como: δ(x) = G2x2 β2 0 ; donde G2=k2(n2 f−n2 s)A2 ϕC2 l2(3.19) η(x) = H2x2; donde H2=   H2 nuc =−ϑnuc/l2 H2 sus =ϑsus/l2(3.20) nk(x) = nk0(1 + Q2x2); ntpa(x) = ntpa0(1 + Q2x2); donde Q2=   Q2 nuc =−ζnuc/l2 Q2 sus =ζsus/l2(3.21) Finalmente, sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuaci´on (3.16) obtenemos la siguiente ecuaci´on de ondas en la aproximaci´on parab´olica para el ´ındice efectivo lineal gradual y el CKG, 2bmiβ0 ∂ψm ∂z −bmα0 ∂ψm ∂z +∂2ψm ∂x2−G2x2ψm+ iβ0α0H2x2ψm +e−bmα0zk2(nk0+ intpa0)(1 + Q2x2)(|ψm|2+J|ψ3−m|2)ψm= 0,(3.22) Procediendo seg´un lo establecido por el m´etodo variacional disipativo descrito en la secci´on 3.1.2, la propagaci´on de los campos en un TS permite la separaci´on de las contribuciones refractiva y disipativa de la ecuaci´on (3.22); comenzando por la factorizaci´on del campo ψm, ψm(x, z) = Am(z)φm(x, z),(3.23) 83 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on podemos reescribir la ecuaci´on (3.22) de la siguiente forma, 2bmiβ0µAm ∂φm ∂z +φ∂Am ∂z ¶+ Rm(Am, φm)[φm] + Dm(Am, φm)[Am] = 0 (3.24) donde los operadores refractivo Rmy disipativo Dmvienen dados por las expresiones siguientes: R(Am, φm) = Am ∂2 ∂x2−G2x2Am+ e−bmα0zk2nk0(1 + Q2x2)(|Amφm|2+J|A3−mφ3−m|2)Am,(3.25) D(Am, φm) = −bmα0µ∂φm ∂z +φm ∂ ∂z ¶+ iβ0α0H2x2φm+ e−bmα0zik2ntpa0(1 + Q2x2)(|Amφm|2+J|Am−3φ3−m|2)φm.(3.26) Una vez identificados los operadores correspondientes a las contribuciones refractiva y disipativa de la propagaci´on, estableceremos las ecuaciones de propagaci´on en un TS, dentro del cual, las contribuciones refractiva y disipativa est´an desacopladas; por lo tanto, la parte refractiva de la propagaci´on vendr´a dada, para una amplitud Am(z)≃Am0, supuesta z-invariante en un TS, por la siguiente expresi´on, 2bmiβ0Am0 ∂φm ∂z +Rm(Am0, φm)[φm] = 0.(3.27) Del mismo modo, considerando φm(x, z)≃φm0(x) en un TS, las ecuaciones disipativas (ver ecuaciones (3.13)-(3.15)) vienen dadas por, Z+∞ −∞ ·2bmiβ0|φm0|2d|Am|2 dz+A∗ mφ∗ m0Dm(Am, φm0)[Am]− Amφm0D∗ m(A∗ m, φ∗ m0)[A∗ m]¸dx= 0 (3.28) Finalmente, considerando las expresiones particulares (3.25-3.26) para los operadores RyD, las ecuaciones para la parte refractiva (3.27) y disipativa (3.28), adquieren, respectivamente, la siguiente forma, 2bmiβ0 ∂φm ∂z +∂2ψm ∂x2−G2x2φm+ e−bmα0zk2nk0(1 + Q2x2)(|Am0φm|2+J|A(3−m)0ψ3−m|2)φm= 0, (3.29) 84 3.2. Ecuaciones de evoluci´on refractivas y disipativas CKG 2bmiβ0Ia m0 dA2 m dz−bmα0Ib m0A2 m+ 2iβ0α0H2Ic m0A2 m+ 2e−bmα0zik2ntpa0hA4 m(Id m0+Q2Ie m0) + JA2 mA2 3−m(If m0+Q2Ig m0))i= 0 (3.30) donde las integrales transversales de la funci´on prueba vienen dadas por las siguientes expresiones, Ia m=Z+∞ −∞ |φm|2dx Ib m=Z+∞ −∞ ·φm ∂φ∗ m ∂z −φ∗ m ∂φm ∂z ¸dx Ic m=Z+∞ −∞ x2|φm|2dx Id m=Z+∞ −∞ |φm|4dx Ie m=Z+∞ −∞ x2|φm|4dx If m=Z+∞ −∞ |φm|2|φ3−m|2dx Ig m=Z+∞ −∞ x2|φm|2|φ3−m|2dx (3.31) 3.2.1. Ecuaciones de evoluci´on refractivas Una vez deducidas las ecuaciones que describen la propagaci´on de las partes refractivas y disipativas de los campos contra y copropagantes, comenzaremos por la resoluci´on variacional refractiva en un TS, dada por la ecuaci´on (3.29). Para ello comenzamos por definir la forma funcional de la funci´on prueba φm(x, z); en nuestro caso utilizaremos una funci´on Gaussiana dada por la siguiente expresi´on, φm(x, z) = 1 w1/2 m exp ·−(x−xm)2 a2w2 m¸× exp £ibmβ0ρm(x−xm)2+ ibmVm(x−xm)¤,(3.32) donde los par´ametros de evoluci´on ´opticos z-dependientes son: la anchura del haz normalizada w(z) (donde aw(z= 0) = a, siendo ala anchura inicial), el inverso del radio de curvatura ρ(z), el desplazamiento (o posici´on en el plano XZ) del pico de la amplitud Gaussiana xm(x) y la componente xdel vector de ondas Vm(z). Tal y como se indic´o en la descripci´on del m´etodo variacional, la elecci´on de la forma funcional de la funci´on prueba constituye una de las tareas fundamentales del procedimiento de optimizaci´on de Ritz asociado al problema variacional reducido. Es por ello, que la elecci´on de dicha funci´on ha de efectuarse en virtud de criterios f´ısicos y matem´aticos, a fin de que los resultados sean pr´oximos a los exactos y a su vez proporcionen una descripci´on f´ısica clara y concisa. A este 85 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on respecto, el m´etodo variacional, aplicado a la resoluci´on aproximada de ecuaciones tipo NLSE, ha utilizado fundamentalmente funciones prueba del tipo secante hiperb´olica (SH)[Afa98] y del tipo Gaussiano (G)[And83]. La soluci´on variacional con funciones tipo SH, presenta la ventaja de contener la soluci´on exacta al problema estacionario, donde la soluci´on anal´ıtica para la amplitud del solit´on espacial de la NLSE unidimensional viene descrita por una funci´on SH [Con95]; como consecuencia de esto ´ultimo, la utilizaci´on de esta funci´on ha sido extendida a la resoluci´on de problemas din´amicos (no estacionarios) donde se precisa incorporar a la amplitud tipo SH un t´ermino de fase cuadr´atica [Ued90, Mal94]. Por otra parte, formas funcionales de tipo G, presentan la ventaja de adquirir un t´ermino de fase cuadr´atica de forma natural en problemas de propagaci´on lineal resueltos mediante la aproximaci´on paraxial de Fresnel; asismismo, en problemas de propagaci´on en medios de´ındice gradual parab´olico, la soluci´on G con fase cuadr´atica describe con gran exactitud la evoluci´on del campo ´optico. En definitiva, ambas alternativas son v´alidas para el problema din´amico de propagaci´on no lineal, siendo la funci´on SH m´as exacta en problemas cercanos al autoatrapamiento en gu´ıas homog´eneas, y la funci´on G en gu´ıas de perfil parab´olico en reg´ımenes difractivo-oscilatorios. No obstante es preciso indicar que, tras el c´alculo variacional, ambas aproximaciones no presentan diferencias relevantes en cuanto a la evoluci´on espacial longitudinal de los par´ametros ´opticos [Sam93]. Finalmente, y en lo que concierne a esta memoria, los campos ´opticos sujetos al estudio variacional proceder´an, en su totalidad, de fibras ´opticas monomodo cuya amplitud modal en general se aproxima a formas funcionales de tipo G, hecho que tambi´en justifica la elecci´on de la reprentaci´on Gaussiana para el campo ´optico. Volviendo ahora al formalismo introducido en la secci´on 3.1.1, es f´acil comprobar que la ecuaci´on (3.29) procede de la siguiente funcional Lagrangiana, L(x, z) = X m bmiβ0µφm ∂φ∗ m ∂z −φ∗ m ∂φm ∂z ¶+¯¯¯¯ ∂φm ∂x ¯¯¯¯ 2 +G2x2|φm|2− 1 2e−bmα0zk2nk0(1 −Q2x2)(|Am0φm|2+J|A(3−m)0φ3−m|2)|φm|2.(3.33) es decir, las ecuaciones de propagaci´on refractiva (3.29) se deducen a partir de la funcional Lagrangiana anterior, mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange (3.4) para φ1yφ2. Siguiendo el procedimiento de optimizaci´on de Ritz, el siguiente paso es la obtenci´on de la funcional Lagrangiana reducida para lo cual debemos introducir la funci´on prueba φmen la expresi´on (3.33) e integrar sobre la dimensi´on x, 86 3.2. Ecuaciones de evoluci´on refractivas y disipativas CKG obteni´endose: hLi=X m 2bmβ2 0˜ Ic mµdρm dz+ 2ρ2 m¶+4 a3w4 m ˜ Ic m+G2Ic m− 1 2k2nk0e−bmα0z[A2 m0(Id m+Q2Ie m) + JA2 (3−m)0(If m+Q2Ig m)],(3.34) donde se han eliminado los t´erminos producto de integrales impares y se ha definido la nueva integral, ˜ Ic m=Z+∞ −∞ (x−xm)2|φm|2dx(3.35) La funcional Lagrangiana reducida dada por la expresi´on (3.34), es una funci´on de los par´ametros ´opticos z-dependientes que determinan la propagaci´on de la funci´on prueba dada por la expresi´on (3.32). Por ello, el siguiente paso del c´alculo variacional ser´a la obtenci´on de las ecuaciones de evoluci´on para dichos par´ametros, las cuales se derivan a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange (Ecs. 3.7). Para ello ser´a ´util introducir los siguientes par´ametros de c´alculo: τ=z Ld ;Ld=1 2β0a2;g=1 4G2a4 pm=1 2√2k2nk0A2 m;q=1 8Q2a2, (3.36) donde Ldrepresenta la longitud caracter´ıstica de difracci´on (o Rango de Rayleigh), gyqson par´ametros que determinan las contribuciones de ´ındice gradual lineal y no lineal (CKG) respectivamente, y pmes un par´ametro proporcional a la potencia del m-haz Gaussiano. 3.2.1.1. Ecuaci´on de evoluci´on del radio de curvatura A partir de la ecuaci´on de Euler-Lagrange para el inverso del radio de curvatura ρm(z), es decir, δhLi δρm =∂hLi ∂ρm−d dz ∂hLi ∂µdρm dz¶= 0,(3.37) se deduce la ecuaci´on de evoluci´on para el inverso de los radios de curvatura, ρm(τ) = 1 2Ld 1 wm dwm dτ(3.38) 87 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on 3.2.1.2. Ecuaci´on de evoluci´on de la anchura de haz An´alogamente, a partir de la ecuaci´on de Euler-Lagrange para las anchuras de haz w(z), es decir, δhLi δwm =∂hLi ∂wm−d dz ∂hLi ∂µdwm dz¶= 0,(3.39) se obtienen las ecuaciones acopladas de evoluci´on de las anchuras del m-haz Gaussiano: d2wm dτ2−1 w3 m +gwm+1 2pm0e−bmLdα0τ1 w2 m¡1−qw2 m+Q2x2 m¢+ √2Jp(3−m)0e−bmLdα0τ1 w2 mµ1 + w2 3−m w2 m¶−3/2 (K(a) m−qK(b) m+Q2K(c) m)Em0= 0, (3.40) donde se han introducido las siguientes funciones, K(a) m= 1 −4(xm−x3−m)2 a2w2 m+a2w2 3−m ; K(b) m= 2w2 3−m−3w2 mw2 3−m w2 m+w2 3−m ; K(c) m=−4x3−m(w2 mx3−m+w2 3−mxm) w2 m+w2 3−m + 4(w2 mx3−m+w2 3−mxm)2(xm−x3−m)2 a2(w2 m+w2 3−m)3 + 5(w2 mx3−m+w2 3−mxm) + w2 mw2 3−m(xm−x3−m)2 (w2 m+w2 3−m)2 Em= exp ·−2(xm−x3−m)2 a2w2 m+a2w2 3−m¸. (3.41) De nuevo es importante se˜nalar que se han indicado con el sub´ındice m0 los parametros de potencia p, denotando as´ı que su valor se considera z-invariante en un TS. 3.2.1.3. Ecuaci´on de evoluci´on del vector de ondas Siguiendo el mismo proceso para la componente xdel vector de ondas Vm(z), es decir, δhLi δVm =∂hLi ∂Vm−d dz ∂hLi ∂µdVm dz¶= 0,(3.42) 88 3.2. Ecuaciones de evoluci´on refractivas y disipativas CKG se deduce la siguiente ecuaci´on para la evoluci´on de los par´ametros Vm(z): Vm(τ) = β0 Ld dxm dτ(3.43) 3.2.1.4. Ecuaci´on de evoluci´on del desplazamiento del haz Finalmente, usando las ecuaciones de Euler-Lagrange para el desplazamiento del haz xm(z), es decir, δhLi δxm =∂hLi ∂xm−d dz ∂hLi ∂µdxm dz¶= 0,(3.44) obtenemos las siguientes ecuaciones acopladas de evoluci´on para los desplazamientos xm(z), d2xm dτ2+gxm−2pm0e−bmLdα0τqxm 1 wm + J √2p(3−m)0e−bmLdα0τ(D(a) m−qD(b) m)Em= 0, (3.45) donde se han introducido las siguientes expresiones, D(a) m=(xm−x3−m) (w2 m+w2 3−m)3/2; D(b) m= 8w2 3−m(w2 mx3−m+w2 3−mxm) (w2 m+w2 3−m)5/2−4(xm−x3−m) (w2 m+w2 3−m)5/2− 4(w2 mx3−m+w2 3−mxm)2(xm−x3−m) a2(w2 m+w2 3−m)7/2. (3.46) 3.2.2. Ecuaciones de evoluci´on disipativas Una vez obtenidas las ecuaciones de evoluci´on para los par´ametros refractivos, resolveremos a continuaci´on la ecuaci´on que describe la evoluci´on de la potencia de los haces Gaussianos. Para ello introducimos la funci´on prueba (3.32) en la ecuaci´on (3.30), teniendo en cuenta las integrales definidas en las expresiones (3.31); n´otese que en este caso han de indicarse los par´ametros refractivos con el sub´ındice m0 ya que dichos par´ametros se suponen constantes (z-invariantes) en un TS. 89 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on 1010 20 30 40 50 6060 -200 -100 0 100 200 -60 -40 -20 0 20 40 60 -60 -40 -20 0 20 40 60 -50 0 50 100 -60 -40 -20 0 20 40 60 0 100 200 300 z=0 z=d sustrato no lineal núcleo no lineal p0=0.00 (a) (b) (c) (d) (e) (f) p0=1.00 p0=2.00 p0=1.50 p0=2.25 p0=2.50 2aw0 2a Λnuc Λsus Λlin Figura 3.5: Propagaci´on variacional de un haz Gaussiano en una gu´ıa CKG no lineal conservativa. ∀z) para el caso de propagaci´on en gu´ıas planas homogeneas, es decir con discontinuidad n´ucleo-sustrato plana [And83, Des91]. Dicho valor de potencia, puede ser extendido al caso de gu´ıas CKG, cuando el campo se propaga a lo largo del eje de simetr´ıa de la discontinuidad, es decir con δ= 0. En este caso, operando sobre la ecuaci´on (3.55), es f´acil obtener el valor de la potencia cr´ıtica de autoatrapamiento integrando, igualando a cero y considerando w0= 1 y x0= 0 [And83, Mat01b]; tras dicho c´alculo, el valor obtenido para la potencia cr´ıtica de autoatrapamiento viene dado por por la expresi´on, pcr =2(1 −g) 1−q.(3.57) Para el caso de haces desplazados, como el que se muestra en la figura 3.5-(d), dicho valor se corresponde con un estado de cuasi-autoatrapamiento ya que el desplazamiento del haz induce una asimetr´ıa entre la amplitud del haz Gaussiano 96 3.3. Resultados num´ericos y discusi´on y la distribuci´on de la no linealidad, generando peque˜nas oscilaciones de la anchura Gaussiana tal y como se observa en la figura 3.5-(d). Por otra parte, para valores de p0por encima de la potencia cr´ıtica de autoatrapamiento, la anchura Gaussiana autofocaliza, de forma que las oscilaciones presentan una amplitud por debajo de la anchura inicial tal y como se ilustra en la parte superior derecha de la gr´afica 3.5-(f). En lo que respecta al desplazamiento del haz, el efecto lente generado por el ´ındice efectivo gradual influye en la trayectoria de un haz desplazado respecto del eje de simetr´ıa de la discontinuidad curva n´ucleo-sustrato (figura 3.5-(a)) provocando un comportamiento oscilatorio de amplitud δ. Por otra parte el periodo de oscilaci´on de la trayectoria del campo (definido como 2Λ y mostrado en las figuras 3.5-(a) y 3.5-(d) para los casos lineal y de cuasi-autoatrapiento) depende, para el caso lineal, de la focal¶de la lente, siendo Λ menor a medida que dicha focal aumenta. Cuando los valores de potencia inducen efectos no lineales, el factor de interacci´on espacial de la amplitud Gaussiana con el material no lineal afectar´a tambi´en al periodo de la trayectoria de los campos en funci´on de la potencia del haz; de este modo, en la figura 3.5-(d) se observa como el periodo de oscilaci´on disminuye, respecto del periodo a baja potencia, para el caso de gu´ıas con n´ucleo no lineal mientras que dicho periodo aumenta cuando la no linealidad se encuentra en el sustrato. Dado que el efecto de oscilaci´on del haz es consecuencia exclusiva de la distribuci´on gradual de los ´ındices efectivos, tanto lineal como no lineal, es en la trayectoria del haz donde se apreciar´an de forma m´as notable las diferencias seg´un la localizaci´on del material no lineal. Desde un punto de vista matem´atico, dichas diferencias vienen dadas por la diferencia de signo del factor Q(y en consecuencia q), el cual, para el caso de un n´ucleo no lineal, contribuye de forma aditiva al t´ermino de gradiente lineal en la ecuaci´on (3.56) aumentando el poder focalizador de la lente y por tanto, disminuyendo el periodo de oscilaci´on; de manera contraria, dicho periodo aumenta si el material no lineal se localiza en el sustrato de la gu´ıa. F´ısicamente, dichos efectos se justifican por la contribuci´on del efecto Kerr al aumento de los ´ındices de refracci´on de n´ucleo y sustrato; de hecho, para el caso de n´ucleo no lineal, la diferencia entre los ´ındices de refracci´on de n´ucleo y sustrato aumenta con la intensidad, aumentando la focal efectiva de la gu´ıa y en consecuencia provocando una reducci´on del periodo de oscilaci´on. Por el contrario, la localizaci´on del material no lineal en el sustrato, ejerce de forma cualitativa, el efecto opuesto. ¶Para el caso de gu´ıas de ´ındice gradual, la focal de la lente en r´egimen lineal depende del par´ametro gy por tanto del grado de curvatura de la discontinuidad as´ı como de la diferencia entre los ´ındices de n´ucleo y sustrato. 97 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on Por otra parte, en la figura 3.5-(f) se muestra el caso l´ımite para el cual el efecto no lineal sobre el ´ındice del sustrato es suficientemente intenso como para compensar el gradiente de´ındice lineal, provocando una trayectoria de escape hacia regiones de mayor ´ındice refracci´on. Es preciso se˜nalar que para estos casos, la teor´ıa perturbativa de la constante de propagaci´on pierde validez en la medida en que nos alejamos de las regiones que verifican la condici´on x << l; no obstante, dicho efecto ilustra de forma clara las diferencias entre el comportamiento del haz en funci´on de la localizaci´on del material no lineal en la estructura guiante. En la figura 3.6 se muestra la dependencia de los periodos de oscilaci´on de la trayectoria del haz con la potencia, poni´endose de manifiesto las diferencias anteriormente descritas as´ı como la tendencia asint´otica para el caso del sustrato no lineal. Esta tendencia, concuerda con el valor aproximado obtenido para la potencia l´ımite (plim) a partir de la cual cesa el comportamiento oscilatorio; dicha potencia, se obtiene a partir de la ecuaci´on (3.56) realizando g= 2plimq/ ¯w0, donde se considera el valor medio de w0para la potencia l´ımite extrapolada de los resultados gr´aficos, obteni´endose un valor de plim = 2,27. 00.5 11.5 22.5 p0 0 20 40 60 80 Λ (mm) Sustrato no lineal Núcleo no lineal plim Figura 3.6: Dependencia de los per´ıodos de oscilaci´on con la potencia para el caso de gu´ıas con sustrato no lineal (l´ınea continua) y n´ucleo no lineal (l´ınea discontinua). En definitiva y como se detallar´a m´as adelante, la dependencia de la trayectoria de un haz Gaussiano con la potencia del haz constituye uno de los resultados m´as relevantes en cuanto a su posterior aplicaci´on al dise˜no de dispositivos de enrutado totalmente ´optico independientes de la fase. Finalmente en la figura 3.7 se muestra la representaci´on tridimensional de la 98 3.3. Resultados num´ericos y discusi´on intensidad Gaussiana normalizada, dada por la expresi´on, I0(x, z) = A0(z)2 A2 0(z= 0)|φ0(x, z)|2=P0(z) P00 1 w0 exp ·−2(x−x0)2 a2w2 0¸,(3.58) donde hemos definido la potencia inicial como, P0(z= 0) = P00. Recordemos que para el caso conservativo tenemos que P0(z) = P00 ∀z. Figura 3.7: Representaci´on tridimensional de la evoluci´on de la intensidad del haz Gaussiano donde: (A) P00 ≃0,0; (B) P00 =pcr. 3.3.1.2. Propagaci´on disipativa. Absorci´on lineal A continuaci´on se incorporar´a la contribuci´on disipativa a las ecuaciones de evoluci´on en guias CKG. Para ello, las ecuaciones (3.55) y (3.56) se completan ahora con la ecuaci´on para la evoluci´on de la potencia que denotaremos como P0(z), es decir, d2w0 dτ2−1 w3 0 + (g−1 2P0q)w0+1 2P0 1 w2 0¡1 + Q2x2 0¢= 0,(3.59) d2x0 dτ2+ (g−2P0q1 w0 )x0= 0,(3.60) dP0 dτ+1 4µα0 β0¶P0µLd dρ0 dτw2 0+ 2V0 dx0 dτ¶+ Ldα0P0(1 + h2w2 0+H2x2 0) + ΓP2 0 1 w2 0 (1 + qw2 0+Q2x2 0) = 0, (3.61) 99 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on donde ρ0yV0vienen dados por las expresiones (3.38) y (3.43) respectivamente. Para una mejor comprensi´on de la influencia de los efectos disipativos sobre la propagaci´on separaremos, por conveniencia expositiva, el an´alisis de la influencia de la absorci´on lineal y de la absorci´on no lineal. Comenzando por los efectos disipativos lineales (relativos al coeficiente α0) y considerando nulo el efecto de la absorci´on no lineal (Γ = 0,0), se muestran, en la figura (3.8), los resultados de la resoluci´on del sistema formado por las ecuaciones (3.59-3.61), para distintos valores de la potencia inicial (P0(z= 0) = P00) y para un valor de la absorci´on de α0= 0,4 cm−1. 1010 20 30 40 50 6060 -200 -100 0 100 200 -50 0 50 -50 0 50 -50 0 50 -60 -40 -20 0 20 40 60 -50 0 50 z=0 z=d sustrato no lineal núcleo no lineal P00=0.00 (a) (b) (c) (d) (e) (f) P00=1.00 P00=2.00 P00=1.50 P00=2.50 P00=3.00 2aw0 α0=0.4 cm-1 Absorción lineal Figura 3.8: Propagaci´on variacional de un haz Gaussiano en una gu´ıa CKG no lineal con absorci´on lineal donde los valores para la anchura inicial del haz, desplazamiento inicial y distancia de propagaci´on coinciden con los tomados para el caso conservativo. A tenor de los resultados, se comprueba en la figura 3.8-(a) como la propagaci´on en r´egimen lineal apenas se ve afectada por efecto de la absorci´on (comp´arese la curva con la figura 3.5-(a)). Este hecho evidencia la escasa influencia del segundo 100 3.3. Resultados num´ericos y discusi´on t´ermino de la ecuaci´on (3.61), el cual solo ejerce una influencia relevante para valores elevados de la absorci´on, valores que por otra parte, est´an lejos de aquellos que son asumibles en el contexto de aplicaci´on de esta memoria. Es por tanto, y como cab´ıa esperar, el r´egimen no lineal el que modifica su comportamiento de forma m´as acentuada por causa de la disipaci´on de energ´ıa. En las figuras 3.5- (b,c y d) se observa la atenuaci´on de las oscilaciones de la anchura Gaussiana con respecto al caso conservativo, tendi´endose a una propagaci´on cuasi-estacionaria (w0∼cte) correspondiente a un r´egimen estacionario lineal, es decir, un estado donde el gradiente de ´ındice lineal autoatrapa el campo para un valor particular de la anchura inicial del campok. De este modo, se observa como la absorci´on incrementa paulatinamente la anchura del campo, debido a la p´erdida de energ´ıa, y asint´oticamente tiende a un estado lineal cuasi-estacionario para una anchura del haz que viene determinda por la potencia inicial del campo, los valores de absorci´on y la ubicaci´on de la no linealidad. Este r´egimen de propagaci´on se observa con m´as nitidez en la figura 3.9, donde se amplia la distancia de propagaci´on para el caso mostrado en la figura 3.8-(f). 050 100 150 z (mm) -50 0 50 2aw0 Figura 3.9: Ampliaci´on de la representaci´on gr´afica (3.8)-(f) para una distancia 2.5 veces mayor. Sustrato no lineal (l´ınea cont´ınua) y n´ucleo no lineal (l´ınea discont´ınua). Respecto a la trayectoria del haz, se observa en la figura 3.8-(f) como la absorci´on impide la trayectoria de escape del haz en estructuras con sustrato no lineal puesto que, en este caso, el efecto CKG no es lo suficientemente intenso como para compensar las oscilaciones del campo. Por otra parte, la figura 3.10 se muestra la evoluci´on de la potencia con la distancia de propagaci´on para los casos mostrados en las figuras 3.8-(b, d y f). Como se puede apreciar, la evoluci´on de la potencia apenas se ve afectada por la ubicaci´on de la no linealidad; este hecho se debe a la escasa influencia que ejerce la evoluci´on refractiva sobre la evoluci´on de la pokLa anchura inicial del estado lineal estacionario (w(z, p ≃0) =cte) se obtiene operando de forma an´aloga que para la obtenci´on de la expresi´on para pcr, dando como resultado la siguiente relaci´on para la anchura inicial cr´ıtica a4 cr = 4/G2. 101 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on 0 10 20 30 40 50 60 70 z (mm) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 P0(z) Núcleo no lineal Sustrato no lineal Figura 3.10: Evoluci´on del par´ametro de potencia para distintas potencias iniciales contenidas en la figura 3.8 y para los casos de sustrato o n´ucleo no lineal. tencia para el caso de absorci´on lineal, de esta forma, los t´erminos h2w2 0+H2x2 0 (responsables de la gradualidad de la absorci´on y dependientes de la ubicaci´on del material no lineal), son despreciables frente a la unidad en la expresi´on (3.61). Finalmente en la figura 3.11 se muestra una representaci´on tridimensional de la intensidad Gaussiana normalizada, mostr´andose los efectos refractivos y disipativos en conjunto. 3.3.1.3. Propagaci´on disipativa. Absorci´on no lineal Trataremos a continuaci´on los efectos disipativos producto de la absorci´on no lineal (TPA). Para ello, supondremos nula la contribuci´on de la absorci´on lineal (α0= 0,0) y tomaremos un valor de Γ = 0,05 para el factor de absorci´on no lineal. El valor de Γ ha sido escogido de forma que el decaimiento global de la potencia sea comparable, en t´erminos cuantitativos, al producido por el valor tomado para la absorci´on lineal. A continuaci´on, considerando par´ametros id´enticos para la amplitud Gaussiana que los tomados para el caso anterior, se muestran en la figura 3.12, los resultados de la propagaci´on variacional para diferentes valores de la potencia inicial. En la figura 3.12 se muestra como la influencia de la absorci´on no lineal sobre la propagaci´on del campo presenta algunas diferencias respecto al caso de absorci´on lineal. En primer lugar, observamos como los efectos disipativos ejercen una mayor influencia a medida que la potencia inicial aumenta, ilustrando el car´acter no lineal 102 3.3. Resultados num´ericos y discusi´on Figura 3.11: Representaci´on tridimensional de la evoluci´on de la intensidad del haz Gaussiano bajo la acci´on de la absorci´on lineal, donde: (A) P00 ≃0,0; (B) P00 = 1,0; (C) P00 = 2,0; (D) P00 = 3,0. de la disipaci´on de la energ´ıa. De este modo, observamos como lo mostrado en la figura 3.12-(b) presenta s´olo leves modificaciones con respecto a la figura 3.8-(b). Por otra parte, observamos en este caso y para distancias de propagaci´on largas, como se recuperan de forma cualitativa las oscilaciones caracter´ısticas del r´egimen lineal (Figs. 3.12-(e y f)); este es un hecho que diferencia claramente las influencias lineal y no lineal de la absorci´on. Por otra parte, la figura 3.13, muestra la evoluci´on de la potencia para los valores de potencia inicial mostrados en la figuras 3.12-(b, d y f). Como podemos apreciar en dicha figura, para valores elevados de la potencias, la evoluci´on de la energ´ıa sufre una ca´ıda muy brusca a corta distancia, acelerando el tr´ansito al r´egimen oscilatorio lineal. Por otra parte, y a diferencia del caso disipativo lineal, las evoluci´on de la potencia muestra una clara dependencia con la evoluci´on refractiva del campo, manisfestada en el decaimiento escalonado de la 103 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on 1010 20 30 40 50 6060 -200 -100 0 100 200 -50 0 50 -60 -40 -20 0 20 40 60 -100 0 100 -50 0 50 -100 0 100 z=0 z=d sustrato no lineal núcleo no lineal P00=0.00 (a) (b) (c) (d) (e) (f) P00=1.00 P00=2.00 P00=1.50 P00=2.50 P00=3.00 2aw0 Γ=0.050 Absorción no lineal (TPA) Figura 3.12: Propagaci´on variacional de un haz Gaussiano en una gu´ıa CKG no lineal con absorci´on no lineal (TPA) donde los valores para la anchura inicial del haz, desplazamiento inicial y distancia de propagaci´on coinciden con los tomados para el caso conservativo. potencia correspondiente con los m´ınimos de la anchura Gaussiana (zonas de mayor irradiancia); de igual modo, y como consecuencia de esto ´ultimo, se manifiesta en este caso una diferencia apreciable en la evoluci´on de la potencia con respecto a la localizaci´on de la no linealidad, hecho inducido por la propias diferencias que dicha localizaci´on genera en el comportamiento refractivo del campo. Por tanto, es importante subrayar como la forma en que evoluciona el decaimiento de la potencia afecta de forma diferente a la evoluci´on refractiva del campo para los casos de absorci´on lineal y no lineal, donde en el primer caso, la atenuaci´on exponencial del campo induce una tendencia a un estado lineal estacionario para la anchura Gaussiana, mientras que el decaimiento abrupto y escalonado de la potencia v´ıa TPA, recupera el caracter oscilatorio caracter´ıstico para la anchura Gaussiana a baja potencia (mostrado en la figura 3.12-(a)). Este efecto, se observa con mayor 104 3.3. Resultados num´ericos y discusi´on 0 10 20 30 40 50 60 70 z (mm) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 P0 (z) 0 10 20 30 40 50 60 70 z (mm) 0.5 1 1.5 2 0 10 20 30 40 50 60 70 z (mm) 1 1.5 2 2.5 3 Núcleo no lineal Sustrato no lineal Figura 3.13: Evoluci´on del par´ametro de potencia para distintas potencias iniciales contenidas en la figura 3.12 para los casos de sustrato o n´ucleo no lineal. claridad en la figura 3.14 donde de nuevo, se muestra la propagaci´on del campo para una distancia superior, ilustrando el comportamiento comentado. 050 100 150 z (mm) -100 0 100 2aw0 Figura 3.14: Extensi´on del resultado de la representaci´on gr´afica (3.12)-(f) para una distancia 2.5 veces mayor. Sustrato no lineal (l´ınea cont´ınua) y n´ucleo no lineal (l´ınea discont´ınua). Finalmente, en la figura 3.15 se muestra la representaci´on tridimensional de la evoluci´on de la intensidad Gaussiana para el caso de propagaci´on bajo efectos disipativos no lineales. 3.3.1.4. Estudio num´erico de la validez del m´etodo variacional iterativo. A continuaci´on trataremos de obtener un criterio de validez para el tama˜no del TS en el m´etodo de resoluci´on de las ecuaciones generales de propagaci´on, el cual se fundamenta en el desacoplamiento de las ecuaciones refractivas y disipativas en tramos de longitud reducida (TSs). Para ello realizaremos el siguiente c´alculo: en 105 Cap ´ ıtulo III. Resoluci´ on variacional de las ecuaciones de propagaci´ on Finalmente, incorporamos al estudio de la copropagaci´on, efectos disipativos lineales y no lineales, mostr´andose en la figura 3.19, la interacci´on de campos autoatrapados en una gu´ıa con sustrato no lineal, para el caso de medios con absorci´on lineal (Figs. 3.19-(a, c y e)) y absorci´on no lineal TPA (Figs. 3.19-(b, d y f)). Como se observa en dichas figuras, los efectos disipativos, ya relevantes de por s´ı en la monopropagaci´on, alcanzan una mayor trascendencia en casos de interacci´on copropagante, haciendo pr´acticamente inapreciable la interacci´on cruzada debido a la inhibici´on de los cambios de ´ındice inducidos por la p´erdida de potencia. oOo 112 CAP´ ITULO 4 Biestabilidad ´optica por acoplamiento modal transversal En el presente cap´ıtulo se presentar´an los trabajos de investigaci´on que engloban la teor´ıa, dise˜no y an´alisis de dispositivos integrados biestables y multiestables, basados, por una parte, en las caracter´ısticas de contrapropagaci´on en gu´ıas no lineales CKG, y por otra parte en el Acoplamiento Modal Transversal (AMT) en gu´ıas integradas de canal y/o en fibras ´opticas monomodo. Dicho acoplamiento, cuyas propiedades constituyen una parte fundamental en la obtenci´on de biestabilidad ´optica, se realizar´a mediante dispositivos expansores/compresores integrados, en particular multilentes integradas, cuyo dise˜no espec´ıfico ser´a abordado en detalle. Estructuraremos los contenidos de este cap´ıtulo de la siguiente forma: en una primera secci´on, profundizaremos sobre los fundamentos del fen´omeno de biestabilidad ´optica, exponiendo la actualidad sobre las diferentes alternativas existentes para su consecuci´on as´ı como las propuestas al respecto, presentadas en esta memoria. A continuaci´on y en sucesivas secciones, se introducir´an los art´ıculos cient´ıficos publicados y/o aceptados para su publicaci´on, donde se detallan de forma rigurosa, la teor´ıa, dise˜no y an´alisis de AOIDs biestables por AMT, los cuales integran gran parte del trabajo de investigaci´on desarrollado en esta memoria y donde se muestran las innovaciones y propuestas originales en el contexto del dise˜no de dispositivos ´opticos biestables. As´ı, en el art´ıculo (secci´on P1) Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling in a nonlinear integrated optical device, se presenta el dise˜no de un AOID biestable en una configuraci´on de realimentaci´on externa, lo que permite obtener un dispositivo reconfigurable, es decir, para su utilizaci´on o bien como biestable o bien como amplificador diferencial. En el art´ıculo 113 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal (secci´on P2) Third order nonlinear integrated device based on an effective gradedindex waveguide for all-optical multistability se hace uso de la contrapropagaci´on no lineal en estructuras CKG, obteni´endose un comportamiento multiestable, y de aplicaci´on en el procesado de la se˜nal procedente de sistemas sensores y/o actuadores. En el art´ıculo (secci´on P3) Analysis of dissipative effects on intrinsic optical bistability in a Kerr integrated device, se analizan, mediante el m´etodo variacional disipativo propuesto en la secci´on (3.1.2), los efectos inducidos por la absorci´on lineal y no lineal en el comportamiento biestable, determin´andose de esta forma, los l´ımites de la respuesta biestable de AOIDs basados en la modulaci´on no lineal de amplitud en medios disipativos. Finalmente, en el art´ıculo (secci´on P4) Design of an intrinsic bistable optical device fabricated by hybrid integration on glass se estudian, en detalle, AOIDs biestables con diferentes configuraciones integradas, analizando aspectos de su posible fabricaci´on y haciendo hincapi´e tanto en los acoplamientos modales entre las gu´ıas que sustentan la contrapropagaci´on no lineal como en las multilentes gu´ıantes que asisten el mecanismo de acoplamiento modal transversal. 4.1. Introducci´on a la biestabilidad por AMT 4.1.1. El fen´omeno de la biestabilidad ´optica La biestabilidad ´optica es quiz´a uno de los fen´omenos que de forma m´as intuitiva, pone de manifiesto la respuesta no lineal de un medio sobre la radiaci´on ´optica. Esta apreciaci´on se sustenta en que si bien es condici´on sine qua non la presencia de una interacci´on no lineal luz-materia para la consecuci´on de biestabilidad ´optica, la propia respuesta biestable, caracterizada por la existencia de un ciclo de hist´eresis en el plano de potencias entrada/salida (pin/pout), es a su vez profundamente no lineal (figura 4.1). pin C D A pout B Figura 4.1: Curva de biestabilidad y ciclo de hist´eresis en el plano de potencia entrada/salida. 114 4.1. Introducci´on a la biestabilidad por AMT El primer estudio te´orico sobre biestabilidad ´optica data del a˜no 1969, donde Sz¨oke et al. [Sz¨o69] estudiaron el comportamiento de una cavidad resonante Fabry- Perot (FP) dentro de la cual se situaba un medio de absorci´on saturable. En 1976, H. Gibbs et al. [Gib69] evidenciaban la existencia experimental de biestabilidad ´optica en un interfer´ometro FP entre cuyos espejos se dispens´o vapor de sodio. Tras la observaci´on experimental del fen´omeno biestable, se justific´o el proceso en virtud del cambio de ´ındice de refracci´on que experimentaba el vapor de sodio cuando el bombeo ´optico excitaba las transiciones del espectro hiperfino; por tan- to, dos haces contrapropagantes inicialmente desajustados en fase adquir´ıan, tras aumentar la potencia, la condici´on de resonancia de interferencia constructiva, tras lo cual, el sistema experimentaba una transici´on a un estado de alta transmisi´on y realizaba el subsiguiente ciclo de hist´eresis. De este modo, se concluy´o que el efecto biestable no se explicaba seg´un la argumentaci´on de Sz¨oke et al., esto es, por un comportamiento saturable de la ganancia/absorci´on, si no que se explicaba mediante el car´acter no lineal del ´ındice de refracci´on (parte real). Tal vez debido a esta controversia, se estableci´o una primera diferenciaci´on entre el origen del comportamiento biestable, procedi´endose a la clasificaci´on del fen´omeno en virtud de si este era debido a un comportamiento refractivo no lineal o a un comportamiento disipativo no lineal; en definitiva, dispositivos biestables refractivos o disipativos [Bow84]. Dentro de los primeros, y siempre bajo la acci´on de una cavidad resonante, se estableci´o una segunda diferenciaci´on en virtud del car´acter de la no linealidad. De este modo, se denominan dispositivos biestables extr´ınsecos o h´ıbridos[Smi81], a aquellos donde la modificaci´on del ´ındice de refracci´on del material situado en la cavidad se realiza de forma externa (extr´ınseca), por ejemplo, mediante la acci´on de un campo el´ectrico sobre un material electro´optico (proceso de segundo orden)∗. Por otra parte, se denominaron dispositivos biestables intr´ınsecos, a aquellos dispositivos donde las ondas contrapropagantes de la cavidad modificaban de forma aut´onoma, generalmente mediante procesos de tercer orden, el ´ındice de refracci´on de la misma. En la medida en que las aplicaciones de la biestabilidad ´optica se enmarcan en el campo del procesado ultrarr´apido de la se˜nal en el dominio totalmente ´optico, centraremos esta introducci´on en la biestabilidad de ´ındole intr´ınseca obviando el estudio de dispositivos h´ıbridos, basados en una transducci´on optoelectr´onica, y por tanto fuera del ´ambito de esta memoria. Desde una perspectiva m´as actual, el estudio de la biestabilidad ´optica ha evolucionado, bajo el criterio del autor, seg´un dos vertientes diferenciadas. Por una ∗No obstante, cabe rese˜nar que el primer dispositivo biestable h´ıbrido fu´e desarrollado por Kastal’skii en 1973, donde una se˜nal el´ectrica procedente de un detector se utilizaba como realimentaci´on para la fuente ´optica emisora generando un ciclo de hister´esis. 115 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal parte, el estudio de ciertas propiedades de la interacci´on luz-materia y sus derivaciones hacia el fen´omeno biestable y, por otra parte, el estudio, dise˜no y desarrollo de dispositivos biestables basados en procesos no lineales est´andar, esto es, donde la no linealidad, tratada desde un punto de vista cl´asico y macrosc´opico, se utiliza como mecanismo inductor del comportamiento biestable. De este modo, se establece una diferenciaci´on entre una investigaci´on de car´acter b´asico (no funcional) sobre biestabilidad ´optica y una investigaci´on con car´acter m´as aplicado (funcional) sobre la teor´ıa y dise˜no de dispositivos ´opticos biestables. A continuaci´on comentaremos de forma breve algunos de los estudios de caracter b´asico sobre biestabilidad ´optica. Comenzaremos destacando los estudios sobre el comportamiento del campo local de un material determinado en funci´on de un campo ´optico externo. En dichos estudios [Neu96, Yoo00, Gao05] se observa como el campo local, en materiales de diversa ´ındole y dispuestos en diversas configuraciones, presenta un comportamiento biestable, bajo la acci´on de un campo externo, en virtud de una determinada relaci´on entre las susceptibilidades χ(1) y χ(3) propias del material; dicha relaci´on requiere, a menudo, de la combinaci´on de diversas estructuras (metal-diel´ectrico, nanocristales semiconductores o cristales fot´onicos etc.) las cuales proporcionan valores espec´ıficos de las partes reales e imaginarias del tensor χ(3) que posibilitan la existencia de biestabilidad ´optica. Es preciso notar que a menudo se considera a estos fen´omenos como fen´omenos de biestabilidad intr´ınseca o mirrorless en contraposici´on a aquellos fundamentados en configuraciones contrapropagantes como las que describiremos a continuaci´on; no obstante y a juicio del autor, el t´ermino intr´ınseco ha de contraponerse a aquellos fen´omenos de biestabilidad que no se producen de forma totalmente ´optica. Otra de las grandes l´ıneas de investigaci´on que tratan el estudio de la biestabilidad desde un punto de vista b´asico no funcional, es aquella que introduce el car´acter cu´antico de la interacci´on luz materia. A este respecto, estudios basados en las transciones at´omicas y su relaci´on con la radiaci´on coherente, conducen a resultados donde efectos cu´anticos tales como la interferencia de estados cu´anticos o generaci´on espont´anea de coherencia [Fic02], influyen notablemente sobre el comportamiento biestable en cavidades resonantes. Uno de los efectos m´as interesantes es la influencia de la coherencia cu´antica sobre la biestabilidad ´optica en un resonador, donde la acci´on de un campo externo modifica las curvas de biestabilidad por medio de fen´omenos cu´anticos interferenciales tales como la retenci´on o atrapamiento de estados excitados (coherent population trapping), los cuales ejercen una influencia sobre la biestabilidad ´optica s´olo explicables en el contexto de la mec´anica cu´antica [Har97, Jos03]. Otra de las vertientes del estudio del fen´omeno de la biestabilidad, es aquella dedicada al dise˜no de dispositivos ´opticos biestables desde un punto de vista funcional; esto es, para su aplicaci´on, por ejemplo, en redes de procesado ultrarr´apido 116 4.1. Introducci´on a la biestabilidad por AMT de la informaci´on en el dominio totalmente ´optico. A continuaci´on introduciremos algunas de la estrategias existentes a este respecto y comentaremos el lugar que ocupan las propuestas de esta memoria en dicho contexto. 4.1.2. AOIDs biestables por modulaci´on no lineal de fase La predicci´on de fen´omenos de biestabilidad mediante el dise˜no de dispositivos espec´ıficos totalmente ´opticos, constituye un marco de gran proyecci´on cient´ıficotecnol´ogica en la medida en que su utilizaci´on es imprescindible para el procesado de la informaci´on en tareas espec´ıficas y tan relevantes como la consecuci´on de memorias ´opticas din´amicas, l´ogica secuencial o, como se propondr´a en esta memoria, enrutado de la informaci´on en el dominio ´optico. Dentro de las alternativas que existen a este respecto, enfocaremos nuestro an´alisis en aquellas basadas en dispositivos ´opticos integrados, por ser ´estas de mayor proyecci´on tecnol´ogica en el marco actual de las comunicaciones y computaci´on opticas, tal y como se introdujo en el primer cap´ıtulo de la presente memoria. 4.1.2.1. Biestabilidad en discontinuidades no lineales Supongamos una discontinuidad en una estructura gu´ıante compuesta por dos regiones con ´ındices efectivos lineal y no lineal como se muestra en la figura 4.2, sobre la cual incide una haz Iin con un ´angulo θ, pr´oximo y mayor al ´angulo cr´ıtico de reflexi´on total (en r´egimen de baja potencia) θcr = (2δ/N0)1/2. θ Iin Iout Iin N0−δ+N2I N0 Iout Figura 4.2: Biestabilidad ´optica mediante discontinuidades no lineales en gu´ıas de onda 1D+1. De una forma cualitativa, para valores bajos de potencia, el campo se encuentra en r´egimen de reflexi´on total presentando una intensidad transmitida nula (Iout = 0). A medida que la intensidad incidente aumenta, el campo evanescente de la regi´on no lineal contribuye a igualar los ´ındices de ambas regiones de forma que para un valor cr´ıtico de la intensidad, se rompe el r´egimen de reflexi´on total pas´andose a un regimen de transmisi´on-reflexi´on. El fen´omeno de hist´eresis surge 117 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal en este caso si consideramos que el ´angulo cr´ıtico de reflexi´on total toma ahora un valor m´as reducido debido a la fuerte presencia de luz en la regi´on no lineal, la cual tiende a igualar los ´ındices de ambas regiones; por tanto, tendremos un intervalo de intensidad para el cual se conservar´a la ruptura del r´egimen de reflexi´on total aunque reduzcamos el valor de la intensidad de entrada (tramo de hist´eresis)[Smi79]. Este tipo de dispositivo presenta las desventajas de ser enormemente sensible al ´angulo de incidencia del haz de entrada respecto de la discontinuidad, as´ı como de ser incompatible con redes ´opticas debido a la imposibilidad de acoplar el haz de salida a un mecanismo de transporte, como una fibra ´optica, de forma directa debido a los cambios en la trayectoria del haz de salida (transmitido) con la intensidad de entrada. No obstante, y como se propone en esta memoria, el fen´omeno de biestabilidad ´optica puede ser de gran utilidad en ´areas de aplicaci´on diferentes a aquellas relacionadas con las comunicaciones o computaci´on ´opticas; a este respecto y tal y como se introdujo en la secci´on 1.4.3.3, la utilizaci´on de una respuesta biestable puede ser una herramienta de gran utilidad para el procesado de se˜nales procedentes de sistemas sensores y/o actuadores, de hecho, en dispositivos como el de la figura 4.2 la eventual modulaci´on del factor ∆ por medio de un magnitud f´ısica y/o qu´ımica externa, convertir´ıa este tipo de dispositivos en canditatos para su utilizaci´on como sensores biestables integrados de gran sensibilidad y respuesta cuasi-digital. 4.1.2.2. Biestabilidad por acoplamiento modal direccional no lineal con prisma Otra de las formas de obtener biestabilidad ´optica mediante dispositivos integrados es el acoplamiento direccional a gu´ıas planas no lineales mediante un prisma [Dan88, Si96]. En este dispositivo (figura 4.3), los fundamentos para la consecuci´on de un ciclo de hist´eresis son similares a los del dispositivo anterior con la salvedad de que, en este caso, se trata de un mecanismo propio y exclusivo de estructuras gu´ıantes, es decir genuinamente integrado. Iout Iin Iin n´ucleo no lineal Iout Ir Figura 4.3: Biestabilidad ´optica mediante acoplamiento modal no lineal con prisma. 118 4.1. Introducci´on a la biestabilidad por AMT En el acoplamiento a gu´ıas planas por prisma, la incidencia de un haz sobre la cara oblicua del prisma permite excitar los modos de propagaci´on de la gu´ıa bajo determinados valores del ´angulo de incidencia (´angulos de resonancia). Por tanto, bajo direcciones de incidencia angularmente pr´oximas a la de resonancia, la intensidad del campo puede modificar el ´ındice del n´ucleo de la gu´ıa por medio de la amplitud evanescente que se propaga durante un tramo de la gu´ıa hasta reemitirse en modos de radiaci´on (Ir). La variaci´on del ´ındice del n´ucleo altera los ´angulos de resonancia en la medida en que altera los ´ındices efectivos de los modos gu´ıados; en consecuencia, existir´a un valor de intensidad incidente suficientemente elevado como para inducir la situaci´on resonante, acoplando gran parte de la luz a modos guiantes y provocando un salto en la intensidad de salida. Finalmente y una vez obtenida la situaci´on resonante, la propagaci´on modal genera una fuerte realimentaci´on en forma de aumento del ´ındice del n´ucleo (y efectivo), de tal manera que la condici´on de resonancia se ve modificada de forma tal que se genera un ciclo de hist´eresis para la intensidad de salida. Desde un punto de vista pr´actico, la incorporaci´on de este dispositivo a redes de procesado presentar´ıa severas dificultades en cuanto a su conectividad por fibra ´optica. Asimismo, el acoplamiento por prisma requiere de una gran estabilidad mec´anica entre los componentes y su extremada sensibilidad al ´angulo de incidencia lo convierte en un mal candidato para operaciones eficientes de biestablidad. 4.1.2.3. Biestabilidad en redes integradas no lineales Otra de las alternativas m´as estudiadas para la obtenci´on de biestabilidad ´optica es la propagaci´on en redes integradas o DFB (Distributed feedback) [Win79, Ber96]. En dichas estructuras integradas (figura 4.4), el acoplamiento entre modos progresivos y regresivos, y en consecuencia la transmitividad de la red, depende fuertemente de la verificaci´on de la condici´on de Bragg, 2β=γdonde (β= 2πN/λ yγ= 2π/Λ), siendo Nel ´ındice efectivo de los modos contrapropagantes y Λ la periodicidad de la red. En situaciones de baja potencia, la transmisi´on ´optica depende de las caracter´ısticas lineales de la red, dependiendo ´esta de la sintonizaci´on de la fase del campo con la red y del acoplamiento modal contradireccional. Por tanto, el funcionamiento de este dispositivo es similar al de un resonador FP. A medida que aumenta la intensidad incidente, la constante de propagaci´on se incrementa por medio del incremento no lineal del material Kerr. Dicho incremento alcanza un valor cr´ıtico, el cual, mediante la resintonizaci´on de las fases, genera un salto en la transmisi´on alcanz´andose una situaci´on de interferencia constructiva entre los modos contradireccionales; por tanto, la elevada presencia de potencia ´optica en la red contribuye a un elevado aumento de la constante de propagaci´on no lineal, permitiendo el margen de sintonizaci´on necesario para la hist´eresis. 119 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal red difracci´on Iin Iout Iout Iin gu´ıa de canal no lineal Figura 4.4: Biestabilidad ´optica en redes de Bragg integradas lineales. Tanto los dispositivos basados en resonadores integrados (recu´erdese la figura 1.9) como las redes integradas no lineales, si bien cumplen requisitos como la conectividad mediante fibras ´opticas, compacidad y robustez mec´anica, presentan la desventaja de poseer una gran sensibilidad a la frecuencia y a la fase. Como hemos visto, la condici´on de resonancia es un fen´omeno interferom´etrico y requiere, en consecuencia, de una elevada coherencia de la se˜nal ´optica para su correcta verificaci´on. Asimismo, la integraci´on de redes integradas eficientes requiere de un esfuerzo tecnol´ogico considerable. 4.1.3. AOIDs biestables por AMT Una filosof´ıa diferente en cuanto a la obtenci´on de biestabilidad ´optica es la que se basa en la automodulaci´on y modulaci´on cruzada de la amplitud por medio de la acci´on de un material Kerr. Esta es, como se introdujo en el primer cap´ıtulo (secci´on 1.4.3.2), la estrategia en la que se basan la investigaci´on y los dise˜nos aqu´ı presentados. Comenzaremos no obstante por relatar brevemente la historia que precede a dicha investigaci´on. La dependencia con la intensidad de par´ametros como la anchura de un haz motivaron en 1981 a Bjorkholm et al.[Bjo81] a dise˜nar un montaje experimental (ver figura 4.5) donde se hac´ıa incidir un l´aser en continuo sobre una celda con vapor de sodio. A continuaci´on de la celda, se situaba una superficie reflectante diafragmada de forma tal que parte de la luz incidente se reflejaba incorpor´andose de forma regresiva al material no lineal. En r´egimen de baja intensidad, el haz incidente apenas sufre modificaci´on alguna respecto de su comportamiento difractivo normal tras su paso por la celda no lineal, de este modo, y tras el paso por una lente convergente †, el haz sufrir´a una profunda truncaci´on por el diafragma generando una escasa intensidad †La lente no ser´ıa necesaria en el caso de situar el diafragma-reflector justo a continuaci´on del medio no lineal, no obstante es ´util para una mejor comprensi´on gr´afica del funcionamiento del biestable. 120 4.1. Introducci´on a la biestabilidad por AMT medio no lineal reflector (R) Iin Iout Iout Iin IR (1 −R)Iin lente Figura 4.5: Biestabilidad basada en automodulaci´on de amplitud. de salida Iout as´ı como una baja intensidad reflejada por el reflector. A medida que la intensidad incidente aumenta, el haz experimenta una compensaci´on de su difracci´on inducida por la variaci´on del ´ındice con la intensidad, la que a su vez provoca una situaci´on cercana al autoatrapamiento para una intensidad suficientemente elevada; en esta situaci´on, la lente enfoca pr´acticamente la totalidad de la intensidad luminosa en la superficie no diafragmada, gener´andose un salto en la transmisi´on de salida. Asimismo, la intensidad reflejada por el reflector es m´axima, y por tanto, se incorpora de forma regresiva al material no lineal proporcionando la realimentaci´on necesaria para la obtenci´on de un ciclo de hist´eresis. El comportamiento biestable de este dispositivo se model´o seg´un la propagaci´on 2D+1 de haces Gaussianos contrapropagantes [Bjo82], donde se despreciaba el efecto de la truncaci´on del haz reflejado manteni´endose la forma funcional Gaussiana para el haz regresivo. Igualmente, se consideraba para toda Iin un solapamiento total entre los haces contrapropagantes, el cual es claramente inexistente, y se ignoraba el efecto de autofocalizaci´on catastr´ofica propio de la propagaci´on paraxial no lineal (2,3)D+1 [Sil90, Des91]; finalmente se estudiaba el fen´omeno desde un punto de vista puramente conservativo. La estrategia presentada anteriormente sienta las bases de los dispositivos que se presentan en esta memoria. En nuestro caso, el sistema de filtrado por amplitud, realizado por el diafragma en el sistema anterior, vendr´a dado por el AMT a gu´ıas de canal y fibras ´opticas, el cual, ha sido ya descrito en la secci´on 1.4.3 y ser´a formalizado en la secci´on P1.3; por otra parte y en la medida en que el dise˜no, resultados y an´alisis de los AOIDs biestables se detallar´a en sucesivas secciones, y su funcionamiento cualitativo ha sido ya introducido en la secci´on 1.4.3.2, comentaremos a continuaci´on las propiedades y ventajas que dichos dispositivos integrados biestables por AMT presentan en el contexto de la biestabilidad y multiestabilidad ´optica y en su utilizaci´on en redes totalmente ´opticas. Car´acter integrado 1D+1 121 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal Journal of Optics A: Pure and Applied Optics Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling in a nonlinear integrated optical device E. Mateo, J. Li˜nares, C. Montero Area de ´ Optica. Dpto. de F´ısica Aplicada. Facultade de F´ısica e E.U. de ´ Optica. Universidade de Santiago de Compostela, E-15706 Santiago de Compostela. Spain. Journal: J.Opt. A: Pure Appl. Opt. Vol. 4, pp. 562-570, (2002). Received: 5 April 2002, in final form 26 June 2002 Published: 27 August 2002 Journal ISSN: 1464-4258 (Print); 1741-3567 (Online). Abstract We present the theory and design of a nonlinear integrated optical device, which, by means of the Kerr effect produced by counterpropagating beams, presents an intrinsic bistable behaviour. The feedback mechanism proposed maintains the spatial shape of the beams and is based on both the transverse modal coupling of the beams to channel guides and an external optical power. The device can operate as both an optical memory and a differential amplifier. Keywords: Integrated Optics, Kerr effect, optical bistabiliy. 128 P1. Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling P1.1.Introduction During the past years has been a great deal of interest in all-optical signal processing, which has stimulated work on third-order nonlinear processes; on the other hand, the interest in integrated optical devices has also grown remarkably during the last years, with one aim being to implement analogue and digital processing devices [Hun91]. Likewise, it is well known that these integrated optical devices are ideal in nonlinear interactions because they provide strong beam confinement [Ste89]; in fact, it is the interaction geometry that differentiates guided-wave from bulk nonlinear optics; thus, for obtaining high intensities, it is usually necessary to focus laser beams. However, in bulk media, the tighter the focus, the shorter the distance over which it can be maintained. However, in a planar waveguide, the beam is confined in one dimension to distances of the order of the wavelength of light, for distances determined solely by the propagation losses; this confinement property has justified the substantial efforts that have been made to demonstrate integrated-optics all-optical devices—that is, all-optical guided-wave devices. In particular, a variety of phenomena that depend on the intensity-dependent refractive index have been investigated in integrated optical waveguides [Ste89]. We must stress that two kind of integrated devices has been explored: on the one hand, devices based on channelled guiding structures with a view to implementing, for instance, all-optical switchers; and on the other hand, integrated gratings (in particular DFB gratings) with a view to implementing an intrinsic bistable device, which is analogous to a resonant optical cavity and therefore has a frequency-sensitive operation [San92]. Other kinds of intrinsic bistable device were demonstrated several years ago in bulk materials; they were based on the mutual influence of two counterpropagating beams, each of which affects the other by changing the average nonlinear component of the refractive index [Bjo82, Kap81]. In this paper we propose an intrinsic bistable integrated device which is also based on counterpropagating beams but in an integrated monomode planar waveguide. The required feedback for bistability is provided by a transverse coupling of light beams to a monomode channel guide (or to an external optical fibre). The proposed integrated device requires, on the one hand, a nonlinear cladding with Kerr effect—that is, a material whose refractive index depends on the intensity of light—and by other hand two light beams, incident from opposite sides, propagating along a monomode planar waveguide. We must note some advantages of this device: first of all we stress that the Kerr effect is intrinsically fast, and resolution times of much less than a picosecond are possible, which represents a clear speed advantage over electronic devices, although it must be also noted that the usual problem of these materials is the small magnitude of the optical nonlinearity. Likewise, the critical power requirements of an integrated-optics device are less than those ones realised in bulk nonlinear optics which is due to the modal confinement 129 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal of light in one dimension to values of the order of the wavelength of light; that is, if we denote by w0the effective width, along y-direction (the normal direction to the substrate plane), of the fundamental mode of a monomode planar guide and by w(usually much larger than w0) the size of a two-dimensional Gaussian beam, that is, a beam propagating on the XZ plane, it is easy to prove, as it will be shown, that the critical power is proportional to the quotient w0/w, therefore, it is clear that the power requirement can be efficiently controlled. On the other hand, it is wellknown that the catastrophic self-focusing is presented in the theory of nonlinear light propagation in a Kerr bulk material [Des91], however, it is also known that nonlinear light propagation in an integrated planar guide prevents this catastrophic self-focusing at the plane XZ corresponding to the film where the light is confined [Sil90]; therefore the simple (but powerful) Kerr model can be used to analyse optical bistability by self-focusing of counterpropagating beams in planar structures with nonlinear claddings. We must note that the catastrophic self-focusing is an important shortcoming of the nonlinear theory in bulk media, because, although it is true that a real nonlinear medium always saturates for sufficiently large intensities of light, it is obviously necessary to achieve the saturation regime; however, it could be possible to obtain important nonlinear effects, such as optical bistability, long before that saturation is achieved, that is, inside the Kerr regime; therefore, in most of cases a saturation model should not must be invoked in order to avoid the non-physical singularity related to the catastrophic self-focusing; in this way, fortunately, the nonlinear propagation in monomode planar structures can be described by using the simple Kerr model. Finally, the integrated-optics all-optical devices have all advantages which provides the optical integration, such as: mechanical stability, small size and height, compatibility with optical fibres, and so on. The plan of the work is as follows: first of all we derive approximate results about counterpropagating beams in a monomode planar guide by starting from a variational formulation (approximate solutions); next, we present a basic integrated optical device in order to show, in a qualitative way, the physical mechanism to obtain intrinsic optical bistability, that is, we will show how the required feedback for bistability can be achieved by a transverse coupling of light beams to a monomode channel guide; this transverse coupling is obtained by focusing the beam on a channel guide by means of a multilens with finite aperture. In the next section, we will describe a bistable device formed by the optical connection if two nonlinear planar guides by using two multilens and a channel guide; moreover the results obtained with this bistable device will be used to justify the validity of the approximate solutions describing counterpropagation. Finally, the conclusions are presented. 130 P1. Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling P1.2.Counterpropagation in a nonlinear planar guide. Let us consider a monomode planar guide realized in a linear material substrate covered by a nonlinear cladding, presenting, for sufficiently high intensity, a Kerr effect. The real vector amplitude of the total optical field ~ Eof two counterpropagating beams satisfies the following wave equation: ∇2~ E(~r, t) = µ0 ∂2 ∂t2h²0n2(y) + 3²0χ(3)(y)~ E2i~ E(1) where n(y) is the refractive index profile of the monomode planar guide at low intensity and 3²0χ(3)(y)~ E3is the nonlinear polarization vector ~ PNL. Now, by taking into account that the confinement along y-direction is of order of the wavelength of the light, we can assume that the modal confinement, for instance of a TE mode with a propagation constant β0, is due only to the linear index n(y) (this assumption will be justified a posteriori), therefore, we can approximate the total field, which is considered to be a quasi-monochromatic wave of central frequency ω0, as the product of the TE modal amplitude φ(y) with the optical field of the counterpropagating beams in the XZ plane, that is, E(x, y, z, t) = 1 2φ(y)[ψ+1(x, z) exp(iβ0z)+ ψ−1(x, z) exp(−iβ0z)] exp(−iω0t) + cc (2) Where ψ+1 and ψ−1are the envelopes of the counterpropagating beams (forward and backward respectively). Moreover, the normalized modal amplitude U(y) = φ(y)/||φ|| with ||φ|| = (Rφ2(y)dy)1/2; will be a solution of the linear wave equation for TE modes, that is, ∂2U ∂y2+k2n2(y)U=β2 0U(3) By substituying Eq.(2) into Eq.(1), taking into account Eq.(3), averaging over the y-direction [Sam93] and keeping only terms sinchronized with β0and −β0(that is, the terms corresponding to fast spatial oscillations are neglected since their contribution in spatial averaging is negligible), we obtain, in the slowly varying envelope approximation, the following coupled nonlinear wave equations for the envelope of the beams 2(α)iβ0 ∂ψα ∂z +∂2ψα ∂x2+ω2 0 c2˜n2³|ψ2 α|+ 2|ψ2 −α|´ψα= 0 (4) 131 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal where (α) = +1,−1 and ˜n2is the effective nonlinear refractive index defined as: ˜n2=Z∞ −∞ 3/4χ(3)(y)|φ(y)|4dy Z∞ −∞ |φ(y)|2dy (5) It is easy to prove that the above coupled nonlinear equations can be obtained as the Euler-Lagrange equation of a variational problem corresponding to the following Lagrangian density: L(x, z) = X α i(α)β0hψ∗ α ∂ψα ∂z −ψα ∂ψ∗ α ∂z i+¯¯¯ ∂ψα ∂x ¯¯¯ 2 −1 2k2 0˜n2|ψα|4−k2 0˜n2 2|ψα|2|ψ−α|2 (6) Now we will solve the nonlinear propagation problem by following the Ritz optimization procedure [And83]. For that, a trial function with variational parameters πi(z) (i= 1,2, ..) is inserted into Eq.(6) and a reduced variational principle is applied, that is, δRhLidz = 0, (with δa functional variation) where hLi=RLdx, therefore the variational equations for the parameters πi(z) are given by the condition: δhLi/δπi= 0. On the other hand, since usual beams in integrated optics come from monomode optical fibers, where the modal amplitude can be approximated by a Gaussian function, we will assume that the z-propagation of the beam envelopes is described as: ψα(x, z) = E0α w1/2 α(z)exp µ−x2 a2w2 α(z)¶exp µiαβ0 x2 Rα(z)¶(7) Where ais the waist of the beams at z= 0, and wα(z) and R−1 α(z) are the variational parameters: width and curvature radius of the beams respectively. By following the steps indicated above, it is obtained, after a long but straightforward calculations, the following variational equations for the widths of the beams: d2wα dτ2−1 w3 α +1 2µpα+ 4√2p−α w3 α (w2 α+w2 −α)3/2¶1 w2 α = 0 (8) where τ=z/β0a2is the normalized distance and pα=k2 0˜n2E2 0αa2/2√2 is a parameter related to the optical power of the field and proportional to the size of the beam; therefore, it is justified that if modal fields have sizes of order of the wavelength of the light then the nonlinear contribution (which is also determined 132 P1. Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling by the value of pα) to the modal propagation is negligible such as it was assumed above. It is convenient to clarify that the trial function (7) would need an additional z-dependent variational parameter describing a plane phase of the type (exp(if(z))), however it has not been taken into account because of its influence on the final results is not relevant; on the other hand, the curvature can be obtained from the variational equation R−1 α= (1/2wα)dwα/dτ, although its influence on the bistability calculations is either not relevant, since that R−1 αtakes small values. A similar variational procedure can be followed to calculate the modal field φ; thus, the linear wave equation (3) can be obtained from the following Lagrangian density: L(y) = [−k2 0n2(y) + β2 0]|U|2+¯¯¯¯ ∂U ∂y ¯¯¯¯ 2 (9) By physical arguments, the trial function can be chosen as a Hermite-Gaussian function for the modal amplitude in the substrate, and by an exponential function in the cladding, with variational parameters sand b, that is: φ(y) = A(¡s+y b¢exp ³−y2 2b2´y≥0 sexp ¡y sb ¢y < 0(10) Where Ais an amplitude normalization constant that we choose to obtain a maximum modal amplitude equal to one, which is useful to define an effective width w0of the mode equal to ||φ||2. This constant Atakes the value: A=2 s+ (s2+ 4)1/2exp µ1 8[(s2+ 4)1/2−s]2¶(11) In this case, the variational parameters are assumed to be constant along zdirection, therefore the variational equations for the normalized mode are: ∂ ∂ρi(Zﯯ¯ ∂U ∂y ¯¯¯¯ 2 −k2 0n2(y)|U|2!dy)= 0 ρi=s, b (12) Once that the variational parameters are obtained from Eq.(12) the propagation constant β0can be obtained from the TE wave equation, for that, we multiply Eq.(3) by U(y) and integrate over y-direction, and it is obtained: β2 0(b, s) = Zµ∂2U ∂y2−k2 0n2(y)U¶Udy(13) 133 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal In Appendix A is shown the calculation of the variational parameters ρifor a typical planar waveguide fabricated by ion-exchange in glass with a Gaussian refractive index profile; consecuently the calculation of the propagation constant β0is also obtained. Finally the value of the normalization constant ||φ|| = (R|φ|2dy)1/2is ||φ|| =A(s, b)µ1 2s3b+π 2s2b+sb +π 4b¶1/2 (14) Now, we will obtain approximate solutions of the nonlinear coupled variational equations (8); for that, we will assume that the intensity of the beam envelopes |ψ+1|2and |ψ−1|2present a high overlapping along z-direction, that is, the shape of the intensity profiles are very closed. This overlapping assumption, which will be justified later within the results obtained for bistability, is equivalent to choose w+1 ≃w−1into Eq.(8) and therefore, after integration, the nonlinear equations can be decoupled as follows: µdwα dτ¶2 +1 w2 α−1 2˜pα 1 wα + (˜pα−1) = 0 α= +1,−1 (15) with ˜pα=pα+ 2p−αand where we have taken the constant of integration for the case of a plane Gaussian beam at z= 0. Thus the solution of Eq.(15), describing the counterpropagating beams, can be easily obtained in a inverse form by integrating, that is, Zτ τ0 dτ= (κ)Zwα(τ) wα(τ0) wαdwα [(1 −˜pα)w2 α+ ˜pαwα−1]1/2(16) where (κ) can take the values ±1; before performing the integration we must identify the different propagation cases, thus, for ˜pα<1 the polynomial in the square root of the denominator has only one positive root (wα= 1) and therefore we have a difracction regime described by the following inverse solution (with κ= +1, τ0= 0, wα(τ0) = 1): τ=1 1−˜pα¡(1 −˜pα)w2 α+wα−1¢1/2+1 2 ˜pα (1 −˜pα)3/2 ×ln h2£(1 −˜pα)¡(1 −˜pα)w2 α+ ˜pαwα−1¢¤1/2+ 2(1 −˜pα)wα+ ˜pα)i(17) For ˜pα>1 the polynomial has two positive roots (wα= 1, wα= 1/(˜pα−1)) and therefore the solution has diffractive oscillatory regime (starting with a beam expansion) if 1 <˜pα<2, and a autofocusing oscillatory regime (starting with 134 P1. Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling a beam compression), if ˜pα>2. From Eq.(16) the following inverse solution in obtained : τ−τ0= (κ)"¡(1 −˜pα)w2 α+wα−1¢1/2 1−˜pα + 1 2 ˜pα (˜pα−1)3/2sin−1µ2(1 −˜pα)wα+ ˜pα (˜p2 α+ 4(1 −˜pα))1/2¶#wα wα(0) (18) The solution has to consider the compression or expansion of the Gaussian width in each semiperiod of oscillation: D/2 = π˜pα/2(˜pα−1)3/2; therefore we have the following modifications on the initial conditions in each case: for difractive oscillations (1 <˜pα<2) in the first semiperiod τ < D/2 we have: τ0= 0, wα(τ0) = 1, (κ) = +1; in the second semiperiod (τ > D/2): τ0=D/2, wα(τ0) = 1/(˜pα−1), (κ) = −1. for autofocusing oscillations (˜pα>2) in the first semiperiod: τ0= 0, wα(τ0) = 1, (κ) = −1 and in the second semiperiod: τ0=D/2, wα(τ0) = 1/(˜pα−1), (κ) = +1. Now, by inverting Eqs.(17) and (18) by means of an algorithm of successi- ve approximations the numerical solutions wα(τ, ˜pα) can be obtained. Numerical examples of these solutions are shown in Fig.(1)-(a), for the commented regimes, as a function of τ; likewise, wα(τ, ˜pα) is shown in Fig.(1)-(b) as a function of ˜pαfor a normalized distance d= 10. From these results, several comments can be made; (a) (b)                                         !  " "  !  " "  # #  $ $%     & &  '( ) *+ ,-  Figure 1: Evolution of the Gaussian variational width.(a)Beam width as a function of the normalized distance. (b) Beam width as a function of the power parameter. 135 Cap ´ ıtulo IV. Biestabilidad ´ optica por acoplamiento modal transversal first of all, it is seen that there is not catastrophic self-focusing for ˜pα>2, therefore the Kerr model can be used without obtaining mathematical inconsistences; on the other hand, it is seen that the overlapping approximation is quasi-fulfilled for both beams with values of ˜pαclose to 2 and beams with sizes wαwhich approximately fulfil the boundary conditions: w+1(0) = w−1(0), w+1(d) = w−1(d), with dthe normalized distance of counterpropagation. On the other hand, the overlapping approximation falls for ˜pα<< 2 or ˜pα>> 2, however, we will show that the approximate solutions still give very good results if we evaluate bistability curves, that is, the curves obtained with the approximate solutions will be very closed to the ones obtained without taking into account the overlapping approximation. Finally in Fig.(1)-(a) and Fig.(1)-(b) it is seen that for ˜pα>2 the size of the beams fulfil wα(˜pα>2) < wα(˜pα= 2), that is, the light is always confined within a region with a size equal to a, therefore for high powers the overlapping aproximation can be considered as a very reasonable assumption. It is interesting, before describing the implementation of optical bistability, to evaluate the critical power associated to the counterpropagating self-trapping regime, that is, for ˜pα= 2 (as it will be shown, the optical bistability effects will be very relevant around the critical power). Let us consider the optical power of the Gaussian beams transported by the fundamental mode φ(y): P=1 2 β0 ωµ0Z Z |ψφ|2dxdy(19) now, by inserting Eq.(7) into Eq.(19) and taking into account that the critical amplitude is determined by the relation ˜pαcr = 2 = k2 0˜n2E2 0αcra2/2√2, it is obtained: Pcr =2β0 ωµ0 √π k2 0˜n2aZ|φ|2dy(20) Note that R|φ|2dy is equal to the effective width w0of the modal field, therefore the critical power is proportional to w0/a which justifies the advantage of using a planar guide to obtain nonlinear effects with a power less than in bulk media. Now, by using eqs.(5) and (14) an explicit expression of Pcr can be obtained: Pcr =8β0√π 3ωµ0k2 0χ(3) w0 aµ2s3+ 2√πs2+ 4s+π A2(s)s5¶(21) where the last factor corresponds to the calculation of ˜n2and shows the correction in the nonlinear index 3/4χ(3) by the planar waveguide with a nonlinear cladding. As an example, let us consider a liquid cladding, for instance MBBA [Sam93], where n2= 10−9m2/W with linear index nc= 1,550; likewise, let us consider 136 P1. Intrinsic bistability achieved by transverse modal coupling a planar guide fabricated by ion-exchange in glass, where the substrate index is ns= 1,550, the maximum index increasing equal to ∆n= 0,02 and with a Gaussian profile with effective depth dg= 2,0µm (see Appendix A), then the PMBBA cr = 0,4 mW. Although this is an optimistic example, other materials provide reasonable power values like the Polydiacetylene PDA-DCH [Nal97] where n2= 1,75 ×10−12 m2/W obtaining PP DA−DCH cr = 0,23 W. P1.3.Feedback mechanism by transverse modal coupling. As it was commented, the intrinsic bistability by self-focusing is based, by one hand, on the mutual influence of two counterpropagating beams, each of which affects to other by changing, in the integrated-optic case, the average nonlinear component of the effective index of a planar monomode guide, and on the other hand, such intrinsic bistability is based on a feedback controlling mechanism provided by some transformation of the amplitude (or phase) of the optical field. Likewise, a bistable device is characterised by two states: high and low transmission of light at the output of the device, in particular, in a bistable device by self-focusing the state of high transmission corresponds to a nonlinear propagation close to the self-trapping regime, and the low transmission state corresponds to a propagation within the diffractive regime; obviously a high feedback will be required in the state of high transmission. In our case, the feedback controlling mechanism will be provided by the transverse coupling efficiency between the Gaussian envelope of the forward (and/or backward) beam and the modal amplitude of the mode of a monomode output optical fibre (or channel guide). A sketch of the module is presented in Fig.(2): an input optical fibre is coupled to a planar integrated-optic device formed by two planar multilenses, the first one at the beginning of the module and the second one, with a shorter optical aperture, at the end of the module; both multilenses are separated a distance dby a planar monomode waveguiding region with a nonlinear cladding. The first multilens, with a large aperture, only expands the Gaussian beam that comes from the input optical fibre, (expandingmultilens), however, the second multilens truncates the beam (which has a short aperture equal to 2L), and next it concentrates the light, cached at its input, into an output optical fibre (or channel guide); therefore if the nonlinear propagation is, for instance, in a diffractive regime then a high truncation is produced and a weak transverse coupling to the output fibre is obtained. We also assume, without loss of generality, that the mode of both optical fibres has the same modal amplitude and that under a self-trapping regime, the Gaussian beam which comes from the nonlinear region and is focused by the second lens on the output fibre has an amplitude, along x-direction, identical to the amplitude of the optical fibre modal field considering the usual modal Gaussian approximation for optical fibers; therefore, we assume that in this regime the truncation produced by the second 137 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal I1= 4RF(M2, L2 −, L2 +),(A.3) I0 3=µ2c2 11 9h¶1/2 [4ρRJ(M2, L2 −, L2 +, M2+ρ)− 6RF(M2, L2 −, L2 +) + 3RC(U2, W2 1)] + 2RC(P2 1, Q2 1),(A.4) being RF,RCand RJthe Carlon’s R-functions for the standard first, second and third order elliptic integrals. Next are shown the parameters used in the expressions (A.3) and its relation with the coefficients a1,2,b1,2and t1,2,3[Car91]. Xi= (ai+bix)1/2, Yi= (ai+biy)1/2, βi=t2bi−2t1ai, δ2= 4t3t1−t2 2, c2 ij = 2t3bibj−t2(aibj+ajbi) + 2t1aiaj, ξ= (t3+t2x+t1x2)1/2, η = (t3+t2y+t1y2)1/2.(A.5) The arguments of the Carlon’s R-functions are given by: M2=1 (x−y)2(X1Y2+Y1X2)2[2ξη + 2f+g(x+y) + 2hxy], L2 ±=M2+c2 12 ±c11c22, ρ =d12[β1−(2h)1/2c11]/b1, U2=1 (x−y)2(X1X2η+Y1Y2ξ)2, W2 1=U2−c2 11b2/(2b1), Q2 1=W1/(X1Y1), P2 1=Q2 1+hb2/b1.(A.6) Since the w-solution presents an oscillatory behaviour, it must be taken into account the different regimes of propagation, that is expansion or compression of the beam width, in order to keep the sign of the radical positive. Let us define the semi-period of oscillation Das the normalized distance between the minimum and maximum values of the Gaussian width (physically can be interpreted as a semi-focal distance); therefore, the global solution of the beam width given by Eq. (A.1) respect to the normalized distance τwill present the following modifications due the different regimes of propagation and semi-periods, let us introduce first m= 0,1,2... for characterize the odd and even semiperiods of propagation. 1. Initial beam expansion (p < pst,wr>1) •Semi-focal distance: τ=D,τ0= 0; w(τ0) = 1; w(τ) = wra1=−1, b1= 1, a2=wr,b2=−1, κ= +1. 240 P5. All-optical integrated logic gates •Beam expansion sections: τ0= 2mD;w(τ0) = 1; a1=−1, b1= 1, a2=wr,b2=−1, κ= +1. •Beam compression sections: τ0= (2m+ 1)D;w(τ0) = wr;a1=−1, b1= 1, a2=wr,b2=−1, κ=−1. 2. Initial beam compression (p > pst,wr<1) •Semi-focal distance: τ=D,τ0= 0; w(τ0) = 1; w(τ) = wra1= 1, b1=−1, a2=−wr,b2= +1, κ=−1. •Beam compression sections: τ0= 2mD;w(τ0) = 1; a1= 1, b1=−1, a2=−wr,b2= 1, κ=−1. •Beam expansion sections: τ0= (2m+1)D;w(τ0) = wr;a1= 1, b1=−1, a2=−wr,b2= 1, κ= +1. Finally, by introducing a value of the normalized distance τinto Eq. (A.1) and by identifying the corresponding case of propagation, an algorithm of successive approximations is used in order to invert Eq. (A.1) for obtaining the function w(τ). 241 P6. All-optical integrated device for self-routing applications P6. All-optical integrated device for self-routing applications 243 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal Physica Scripta All-optical integrated device for self-routing applications E. F. Mateo and J. Li˜nares Area de ´ Optica. Dpto. de F´ısica Aplicada. Facultade de F´ısica e E.U. de ´ Optica. Universidade de Santiago de Compostela, E-15706 Santiago de Compostela. Spain. Journal: Phys. Scripta, Vol. T118 (2005) Received: 18 October 2003, in final form 6 July 2004 To be Published: 2005 Journal ISSN: 0031-8949 Abstract We present the theory and design of a fiber compatible all-optical integrated device which, by means of the swing effect experimented by a Gaussian beam propagating in a nonlinear planar waveguide with variable core width, presents a new kind of all-optical self-routing operation. The corresponding local modal amplitude distribution in this guide provides an integrated device with an effective graded index integrated lens immersed in a nonlinear planar medium with an effective transverse dependence of the Kerr coefficient; therefore, by a suitable design of the integrated device, the power-depending swing effect of the center of a Gaussian beam envelope can be used in all-optical processing and routing where header-data separation is required. PACS numbers: 42.65.Wi, 42.82.Et, 42.79.Ta. 244 P6. All-optical integrated device for self-routing applications P6.1.Introduction Nowadays, the bandwidth requirements in communication networks are in continuous growth [Sti98]. In the context of fiber-based optical networks, all-optical time division multiplexing (OTDM) plays a major role in future ultrafast communications schemes where bit-rates up to the Terabit barrier will be necessary [Ols01, Gle97]. In this sense, operating at a ultra-high speed requires all-optical devices capable to operate in order to that the entire optical signal routing, switching, processing and so on, be made in the optical domain. In OTDM asynchronous packet transmission (for instance the IP protocol), a header in normally added to each data packet carrying information about the destination of the data, therefore, the header recognition and separation process must be one of the first steps in optical domain self-routing schemes [Lee01, Par01]; moreover, such mechanisms for header recognition, can be carried out by modifying the wavelength, polarization or intensity of the header respect to the data. In this work, we propose an all-optical nonlinear integrated device which, by means of assigning two different intensity levels for the header and data optical signals, performs a phase-insensitive, fiber-compatible header separation mechanism. We have designed a nonlinear integrated device which is based on the swing effect experimented by a Gaussian beam in a step-index waveguide with a linear film deposited on a third order nonlinear parabolic-shaped curved substrate; the corresponding integrated optical device, is equivalent to an effective graded index integrated lens which in turn, has intensity dependent focusing properties. Therefore, the integrated structure induces a power-dependent swing effect, on a shifted Gaussian beam, which permits the optical coupling of the beams onto two separated output fibers as a function of the optical intensity, becoming thus, in a simple mechanism for ultrafast all-optical header separation. The plan of the work is as follows; in section 2 we introduce the propagation equations for the Gaussian beam in the nonlinear waveguiding structure proposed; moreover, based on both a linear perturbative modal calculus and the Lagrangian approach, two coupled propagation equations are derived for the Gaussian beam width and peak shifting. Finally, in section 3 we will design the waveguide in order to obtain the optimal propagation characteristics for the header and data optical beams, which permits its optical coupling onto separated optical fibers respectively. P6.2.Nonlinear propagation of a Gaussian beam in waveguides with a parabolic film width. Let us consider a planar step-index waveguide constituted by a nonlinear curved glass substrate of refractive index n2 s+ 3χ(3) Re E2, where χ(3) Re is the real part of the 245 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal third order nonlinear optical susceptibility and Eis the module of the optical field amplitude. The substrate, whose refractive index is ns, is characterized by a parabolic surface represented by the function f(x) = x2/l2where a linear film is deposited with a maximum thickness t0at x= 0; moreover, n2 cis the cladding index. A sketch of the waveguide is shown in Fig. 1. −y x LINEAR MATERIAL NONLINEAR SUBSTRATE CLADDING f(x) n n tn 0 c f s z Figure 1: Transverse view of the waveguide. Thus, the square of linear refractive index profile of the planar waveguide can be written as: n2 l(x, y) = n2 0(y) + ∆n2(x, y), where n2 0(y) is the square linear index profile at x= 0 and ∆n2(x, y) = n2 s−n2 ffor 0 ≤y≤f(x), represents the perturbation of the square index due the substrate curvature; finally, χ(3) Re (x, y) = χ(3) Re for −∞ ≤ y≤f(x), gives account of the nonlinearity distribution. The real vector amplitude of the total optical field ~ Esatisfies the following equation: ~ ∇2~ E(~r, t) = µ0 ∂2 ∂t2h²0n2 l(x, y) + 3²0χ(3) Re (x, y)|E|2i~ E.(1) Now, let us consider a TE monochromatic wave of central frequency ω0and unperturbed propagation constant β0, that is, [Sam93] E(x, y, z, t) = 1 2ϕ(y)ψ(x, z) exp(−iω0t) exp(iβ0z) + cc. (2) where ϕ(y) is the normalized (Rϕ∗ϕdy= 1) unperturbed linear modal amplitude (weakly nonlinear assumption) and ψ(x, z) is the z-slowly varying nonlinear envelope. By substituting Eq. (2) into Eq. (1) and by considering the expression of the linear index profile, we obtain, after multiplying by ϕ∗(y) and integrating along the y-direction (in reference [Mat03] is described this calculus in a more detailed way), a modal wave equation for the amplitude ϕ(y) (see Appendix A Eq. (A.1)) 246 P6. All-optical integrated device for self-routing applications and the following expression for ψ(x, z), that is, 2iβ0 ∂ψ ∂z +∂2ψ ∂x2+k2"Zf(x) 0 ∆n(x, y)ϕ2dy#ψ +3 4k2"Zf(x) −∞ χ(3) Re (x, y)ϕ4dy#|ψ|2ψ= 0, (3) The integrals of Eq.(3) can be solved by taking into account the condition l >> x to make sure the perturbative assumption and the results of the modal amplitude calculus (presented in Appendix A), the above equation can be rewritten as 2iβ0 ∂ψ ∂z +∂2ψ ∂x2−k2G2x2ψ+k2˜nk0(1 + Q2x2)|ψ|2ψ= 0.(4) Where, G,Qand ˜n0, representing the effective linear and nonlinear gradient index effects and the effective nonlinear index respectively, are given as a function of the modal parameters N=β0/k,A,Cand ξs(see Appendix A) by: G2= (n2 f−n2 s)A2C2/l2, ˜nk0= 3χ(3) ReA4C4/16ξsand Q2= 4ξs/l2. On the other hand, by following the variational formalism [And83] let us choose a Gaussian multiparametric trial function in order to solve Eq. (4), that is, ψ(x, z) = ψ0exp ·−(x−x0)2 a2w2¸exp £iβ0ρ(x−x0)2+ iV(x−x0)¤,(5) with six z-dependent parameters: the complex conjugate maximum amplitudes ψ0(z), ψ∗ 0(z); the normalized spatial beam width w(z), the inverse curvature radius ρ(z), the beam peak position x0(z) and the wave number V(z); ais the initial beam width, therefore w(z= 0) = 1. By following the well known steps of the Lagrangian formalism calculations [And83] and by defining τ=2 β0a2z,p=1 2√2k2˜nk0E2 0a2, g=1 4k2G2a4and q=1 8Q2a2; where E0is the maximum field amplitude, the next coupled equations for the relevant Gaussian parameters, that is, beam width and peak position, are obtained, d2w dτ2−1 w3+gw +1 2p1 w2¡1−qw2+Q2x2 0¢= 0,(6) d2x0 dτ2+gx0−2pqx0 1 w= 0.(7) It important to note that gand qgive account of the linear and nonlinear effective gradient effects respectively and pis a power-proportional parameter. Therefore, 247 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal as it can be observed from Eq. (7), the gradient distribution of the nonlinearity induces a power-dependent swing effect on the peak displacement, which is the main physical effect involved in this work. Now, let us make a brief description of the general beam behaviour by solving numerically the above equations by means of a fourth order Runge-Kutta method; for that, we have used the values for gand qobtained in the specific design of a selfrouting device made in the following section. The figure 2-a shows the plots of the Gaussian beam width (w) and the figure 2-b shows the peak displacement (x0) as a function of the distance z. We have represented the z-evolution of these parameters 0 20 40 60 80 100 z (mm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 w 0510 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 w (a) p=0.0 p=1.2 p=2.5 p=2.0 0 20 40 60 80 100 z (mm) -50 0 50 100 x0 (µm) (b) p=0.0 p=1.2 p=2.5 p=2.0 x0(0)=d =40 µm Figure 2: Evolution of the Gaussian beam width (a) and peak displacement (b) (where dis the initial displacement), as a function of the distance z. We have separated the scale in the plot (a) for the sake of clarity. for several values of the power parameter p. From the figure 2 it is seen that for the linear regime p= 0 the gradient effect of the parabolic-shaped substrate-film interface induces oscillations on the Gaussian beam width as well as on the peak displacement; as the power parameter is increased, we appreciate the nonlinear selffocusing effect, that is, the amplitude and the spatial period of the beam width oscillations are reduced [Mat02a]. Additionally, we can observe in Fig. 2-(b) the power dependent swing effect due to the inhomogeneous transverse distribution of the nonlinearity, which is represented by the parameter qin Eq. (7). The plot also shows how the nonlinear substrate increases the period of oscillation of the peak displacement propagation as the power is increased (anti-swing effect), therefore it compensates the linear gradient effect depending on the difference between the linear film and substrate indexes. Finally, it is clear from Fig. 2 that for sufficiently high power values, we see how the nonlinear effect can totally compensate the linear gradient effect, transforming the behaviour of the peak shifting into a nonoscillating one towards regions far from the center of the parabolic interface (x= 0). 248 P6. All-optical integrated device for self-routing applications P6.3.Design of an intensity dependent self-routing device. Now we will design an all-optical planar waveguide header recognizer, which will take into account the commented power dependence of the peak displacement, in order to obtain two well spatially-resolved states and at the same time a full compatibility with monomode input and output optical fiber signals. The device will operate in two different power states, that is, a low power state (for instance data) and a high power state (header); therefore, the design of the device must verify that these two states are spatially resolved to achieve an optimal output coupling onto two different optical fibers. The low power state will be assumed to be linear, that is p∼0; and the high power state will be chosen as a quasi-self- trapping state, that is, a state where Gaussian beam presents small variations of the width around its initial value. In the figure 3 it is shown a sketch of the integrated device, where a lensing element is placed at the beginning and at the end of the nonlinear waveguide; this lensing element, which can be implemented by waveguiding integrated lenses [Mat03, Li˜n00a], external cylindrical lenses, anamorphic gradient-index lenses and so on, must be designed in order to expand/compress the Gaussian beam along the x-direction from/to the input/output optical fibers in order to both keep the weakly nonlinear assumption [Mat03] and to obtain the optimal value of the initial beam width, as it will be seen later.                                                                                                                   FIBER 1 OUTPUT OUTPUT FIBER 2 LENS data header FIBER INPUT ... NONLINEAR WAVEGUIDE LENS x z ... x=d Figure 3: Sketch of the integrated device showing the propagation of the low intensity data packet (dashed) and the high power header (solid). In a linear regime, (p= 0), it can be easily demonstrated that the peak displacement given by Eq. (7) has the solution, x0(τ) = dcos(g1/2τ) where dis 249 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal Optics Express A phase insensitive all-optical router based on nonlinear lenslike planar guides E. F. Mateo and J. Li˜nares Area de ´ Optica. Dpto. de F´ısica Aplicada. Facultade de F´ısica e E.U. de ´ Optica. Universidade de Santiago de Compostela, E-15706 Santiago de Compostela. Spain. Journal: Opt. Express. Vol. 13, Issue 9, pp.3355-3370, (2005). Received: 11 January 2005, in final form 19 April 2005 Published: 2 May 2005 Journal ISSN: 1094-4087 Abstract We present the design of an all-optical router based on the properties of both propagagation and interaction of Gaussian beams in lenslike planar guides. Variational results of single co- and counterpropagation are derived and used to design three integrated optical devices, that is, a header extraction device, an optical bistable device and a data routing device, which perform an ultrafast, phaseinsensitive and fiber compatible routing operation in the optical domain. OCIS: (190.4390) Nonlinear optics, Integrated optics; (230.1150) All-optical devices; (200.4560) Optical data processing 256 P7. A phase insensitive all-optical router P7.1.Introduction The development and perspectives of the Internet Era have represent, an enormous challenge in the task of giving solutions to the continuous growth of bandwidth requirements in communication networks [Sti98]. In the context of fiber-based optical networks, the all-optical data processing plays a major role for future ultrafast communications schemes where bit-rates up to the Terabit barrier will be necessary; thus, operating at a ultra-high speed requires all-optical devices capable to operate in such a way that the entire optical signal routing, switching, processing and so on, can be made in the optical domain. In OTDM asynchronous packet transmission (for instance the IP protocol), a header is usually added to each data packet carrying information in order to identify the destination of the data; accordingly, the header recognition and separation process as well as the routing of the data packet to a proper output port as a function of the binary value of the header, must be one of the first steps towards routing architectures in the all-optical domain [Ols01, Blu00]. Results about all-optical routing have been previously reported by means of TOADs (Terahertz optical asymmetric demultiplexers) [Gle97], NOMLs (Nonlinear optical mirror loops) [Par01], logic gates [Cha98] or Bragg gratings [Lee01]; for such a devices, the interference phenomena is present and, in consequence, they show a strong phase-sensitivity as well as a high requirements for coherent interactions between data and/or control signals; moreover, the presence of undesirable factors in long-distance optical transmission such as: depolarization properties of optical fibers, finite coherence time of sources or nonlinear dispersive effects, could make difficult a coherent processing in all-optical networks [And85]. In this work we present a new strategy to route optical data packets in a phase-insensitive way. The routing configuration (introduced in section 2) is based on the intensity amplification of the header bits and on the properties of the nonlinear propagation and interactions of optical beams in integrated devices; these devices are composed by nonlinear lenslike waveguides and linear integrated multilenses connected to optical fibers. By means of the variational method, the evolution equations for the parameters of a single Gaussian beam propagation and for co- and counterpropagating Gaussian beams are obtained in a nonlinear lenslike waveguide, which can be made by means of a linear film deposited on a parabolic-shaped curved substrate with third-order nonlinear properties (section 3). The all-optical routing configuration is realized with: a header extraction integrated device (section 4), an optical bistable device (section 5) and a data routing 257 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal device (section 6). The principles of operation of these devices are the intensitydependent trajectory of the optical beams in these structures, due to the inhomogeneous distribution of the nonlinearity, the counterpropagation of optical beams (with a feedback control by means of amplitude filtering based on the modal coupling efficiency)[Kap81, Mat02a], and finally, the incoherent cross-interaction of linear and nonlinear waves. These devices, interconnected by optical fibers, perform a single-bit all-optical routing operation which sets the basis for a generalized N-bit routing, based on a cascaded architecture of various single-bit routers combined with amplification devices for the header (section 7). The phase-insensitive character of the proposed routing system allows, on the one hand, an efficient routing operation for wavelength demultiplexed signals (without modifying the device characteristics) and on the other hand, it makes sure the robustness of the device when mechanical and/or thermal instabilities are present. Finally, it must be remarked that the data packet is considered here as a low power signal along the whole routing process and therefore it represents a key advantage over soliton processing devices for all-optical networks [Gar00]. P7.2.Phase-insensitive router: principles of operation As the specific design of the integrated devices, implementing the whole routing operation, will be detailed later, let us introduce the basis of the proposed phaseinsensitive routing mechanism sketched in the figure 1. The primary aim is to                    !" #$ %& '( )) ** ++ ,, -. /0 12 data OA DC header bit "1" DC: directional coupler OA: optical amplifier in out header "1" DR−D data (A) HE−D Fib 1 Fib 2 OB−D L H feed pump 34 56 778 99: ;;< ==> ??@ AB CD EF GH IJ KL MMN OO PP QR SST UV WWX YZ [ [\ \ ]] ]]^ ^ __ __ `` `` a a b b c c d d data OA DC header bit "0" DC: directional coupler OA: optical amplifier in out DR−D data header "0" (B) HE−D Fib 1 Fib 2 L H OB−D feed pumpno Figure 1: Sketch of the intensity-dependent routing operation where HE-D represents the Header Extraction Device, OB-D is the Optical Bistable Device and DR-D is the Data Routing Device. In figure (A) is represented the operation under the presence of a 1-valued header bit whereas in figure (B) is represented the operation for a 0-valued header bit. route, in an all-optical way, the data packet onto two different optical ports (fiber 1 and 2) depending on the value of the header bit. Let us start with the routing mechanism for a 1-valued header bit. The first device, labelled as HE-D (Header Extraction Device), performs the extraction of 258 P7. A phase insensitive all-optical router the header from data train by means of the power-dependent swing effect experimented by optical beams in the nonlinear lenslike waveguide; therefore, by a suitable design of the waveguide parameters and the initial conditions of the optical beams, the data and header bits can be coupled onto two optical fibers. Next, the header bit is added, by means of a directional coupler, to an OB-D (Optical Bistable Device) which is fed with a secondary continuous wave, labelled as feed, placing the bistable device on the proper power value (point L); in consequence, when the high power header bit is added, the bistable device jumps to a high transmission state (point H), which is stable due to hysteresis, and it provides an output continuous wave of high power, labelled as pump; this pump wave is subsequently amplified by means of an optical fiber amplifier in order to achieve an optimal power value. Finally, both the pump wave and the data packet are injected onto the DR-D (Data Routing Device) where the presence of the high intensity pump wave induces a cross-amplitude modulation on the low power data wave, which changes its normal trajectory; obviously, a proper designing of the lenslike parameters and the integrated multilenses will be required to achieve an optimal coupling of the data packet onto the output fiber 2. Otherwise, when the header bit is 0-valued and accordingly the OB-D has been reseted to its operation point L, the OB-D gives a low output power value, which does not contribute to cross-amplitude modulation in the DR-D and therefore, the injected data packet trajectory does not present any modification on its trajectory in a such a way that they will be coupled onto fiber 1. It is important to remark that the three devices involved in the routing operation are designed under the same technology and accordingly the modulation, power values and compatibility with optical fibers are kept unchanged in all the process. For the sake of simplicity, we have just introduced the fundamental mechanism of a single-bit operation with an initial amplified header bit, however, in section 7 is shown how to implement a N-bit routing mechanism with a low power modulation for the header and data bits (more realistic case), by means of a synchronized differential amplification of the header bits and a cascaded configuration of several single-bit routing devices. P7.3.Propagation and interaction of Gaussian beams in nonlinear lenslike waveguides The main physical processes involved in the proposed routing device are the nonlinear propagation and nonlinear interactions of optical beams in lenslike nonlinear waveguides. We will derivate in this section, by means of the variational method, the corresponding nonlinear evolution equations containing the following particular cases: the single beam linear and nonlinear propagation, for the design 259 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal of the HE-D; the coherent counterpropagation of beams, for the design of the OB-D; and incoherent copropagation of beams for the design of the DR-D. Let us consider a planar step-index waveguide constituted by a nonlinear curved glass substrate of refractive index n2 s+ 3χ(3) Re E2, where χ(3) Re is the real part of the third order nonlinear optical susceptibility and Eis the module of the optical field amplitude. The curved substrate, whose linear refractive index is ns, is shaped by a parabolic surface represented by the function f(x) = x2/l2; next, a linear film is deposited on the substrate with a maximum thickness t0at x= 0; finally, n2 c is the cladding index. A sketch of the waveguide is shown in Fig. 2. The linear −y x LINEAR MATERIAL NONLINEAR SUBSTRATE CLADDING f(x) n n tn 0 c f s z Figure 2: Transverse view of the waveguide. refractive index profile of the planar waveguide can be written as follows: n2 l(x, y) = n2 0(y)+∆n2(x, y), where n2 0(y) is the linear index profile at x= 0 and ∆n2(x, y) = n2 s−n2 ffor 0 ≤y≤f(x), represents the index perturbation due the substrate curvature; finally, the nonlinearity distribution is characterized by χ(3) Re (x, y) = χ(3) Re for −∞ ≤ y≤f(x). It is wellknown that the real vector amplitude of the total optical field ~ Esatisfies the following scalar equation: ∇2~ E(~r, t) = µ0 ∂2 ∂t2h²0n2 l(x, y) + 3²0χ(3) Re (x, y)E2i~ E.(1) Now, let us consider a set of two TE waves with central frequency ω0and unperturbed propagation constants β1and β2, that is, E(x, y, z, t) = 1 2ϕ(y)[ψ1(x, z) exp(iβ1z) + ψ2(x, z) exp(iβ2z)] exp(−iω0t) + cc. (2) where β1=β2=β0for the copropagating case and β2=−β1for the counterpropagating case; ϕ(y) is the unperturbed normalized linear amplitude of the fundamental mode, that is, (Rϕ∗ϕdy= 1); and ψα(x, z) (with α= 1,2) are the z-slowly varying nonlinear envelopes of the beams. This factorization is made under the assumption of a negligible nonlinear effect on the modal amplitude (linear modal amplitude assumption). 260 P7. A phase insensitive all-optical router For the case of incoherently interacting copropagating beams [And85], and coherent counterpropagation of parallel polarized beams [Mar78], the derivation of the propagation equations for the nonlinear envelopes ψαis made up by considering only the terms synchronized with the propagation constants β1and β2, after inserting Eq. (2) into Eq. (1), and by performing a z-spatial averaging. For the counterpropagating case, there will be terms oscillating with ±3β0which vanish after a z-spatial averaging; likewise, in the case of incoherent copropagation, there will be a beams superposition with random phases, therefore only the terms corresponding with the sum of the beam intensities are conserved. In short, by considering the above assumptions, and by taking into account the expression of the linear index profile, we obtain, after multiplying by ϕ∗(y) and integrating along the y-direction [Sam93], the following expressions for ψα(x, z), 2iβα ∂ψα ∂z +∂2ψα ∂x2+k2·Z∆n(x, y)ϕ2dy¸ψα+ 3 4k2·Zχ(3) Re (x, y)ϕ4dy¸(|ψα|2+J|ψ3−α|2)ψα= 0, (3) with J= 0 for a single-beam propagation, J= 1 for the copropagating case and J= 2 for the counterpropagating one. The integrals of Eq. (3) can be solved by taking into account the perturbative condition (l >> x), as it is shown in reference [Mat03], and by taking into account the general expression for the fundamental mode of a step-index planar waveguide, which can be found, for instance, in reference [Hun91]. Accordingly, the above equations can be rewritten as follows, 2iβα ∂ψα ∂z +∂2ψα ∂x2−G2x2ψα+k2˜nk0(1 + Q2x2)(|ψα|2+J|ψ3−α|2)ψα= 0,(4) where β0is the solution of the dispersion equation for the step-index waveguide. Moreover, G,Qand ˜n0, which depend on the modal parameters ξs(pin the notation of reference [Hun91]) and ϕ0(modal amplitude value in y= 0), take the following values: G2=k2(n2 f−n2 s)ϕ2 0/l2, ˜nk0= 3χ(3) Reϕ4 0/16ξsand Q2= 4ξs/l2. The G-factor can be regarded as a linear (effective) gradient index parameter (linear lenslike behaviour) whereas the Q-factor is an effective gradient nonlinear index parameter (power-dependent lenslike behaviour). By following the variational formalism [Mat02a, And83] let us choose a Gaussian multiparametric trial function in order to solve Eq. (4), that is, ψα(x, z) = E0αexp ·−(x−xα)2 a2w2 α¸exp £iβαρα(x−xα)2+ iVα(x−xα)¤.(5) 261 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal The four z-dependent parameters for each envelope are: the normalized beam widths wα(z), the inverse curvature radius ρα(z), the beam peak position xα(z) and the transverse local wave number Vα(z); ais the initial beam width, therefore wα(z= 0) = 1, and E0αis the maximum field amplitude. After a long but straightforward calculations, the following coupled equations for the relevant Gaussian parameters are obtained: d2wα dτ2−1 w3 α +gwα+1 2pα 1 w2 α¡1−qw2 α+Q2x2 α¢+√2Jp3−α 1 w2 α× µ1 + w2 3−α w2 α¶−3/2 (K0α−qK1α+Q2K2α) exp ·−2(xα−x3−α)2 a2w2 α+a2w2 3−α¸= 0, (6) d2xα dτ2+gxα−2pαqxα 1 wα +J √2p3−α(D0α−qD1α) exp ·−2(xα−x3−α)2 a2w2 α+a2w2 3−α¸= 0,(7) Vα=βα dxα dτ,(8) where τ= 2z/βαa2,g=1 4G2a4,q=1 8Q2a2,pα=k2˜nk0E2 0αa2/2√2 (note that pα is a parameter which is proportional to the power of the beams), and K0α= 1 −4(xα−x3−α)2 a2w2 α+a2w2 3−α , K1α= 2w2 3−α−3w2 αw2 3−α w2 α+w2 3−α , K2α=−4x3−α(w2 αx3−α+w2 3−αxα) w2 α+w2 3−α + 4(w2 αx3−α+w2 3−αxα)2(xα−x3−α)2 a2(w2 α+w2 3−α)3 + 5(w2 αx3−α+w2 3−αxα) + w2 αw2 3−α(xα−x3−α)2 (w2 α+w2 3−α)2. (9) D0α=(xα−x3−α) (w2 α+w2 3−α)3/2, D1α= 8w2 3−α(w2 αx3−α+w2 3−αxα) (w2 α+w2 3−α)5/2 −4(xα−x3−α) (w2 α+w2 3−α)5/2−4(w2 αx3−α+w2 3−αxα)2(xα−x3−α) a2(w2 α+w2 3−α)7/2. (10) Let us describe briefly the main effects involved in the light propagation inside the structure sketched in Fig.(2). As expected from Eq. (6) the g(G)-factor induces a linear lenslike effect depending on the linear substrate-film index difference and the curvature of the parabolic interface; moreover, the global self-focusing effect is modulated by the Gaussian intensity distribution depending on the power of the beam pα. The Q(q)-factor involves a double effect: by one hand, it compensates the 262 P7. A phase insensitive all-optical router linear gradient effect due the reduction of the index difference between the film and the substrate (since the index of the substrate is increased with the intensity), and by the other hand, it modulates the self-focusing effect as a function of the peak displacement increasing its influence in regions where the field is more present in the substrate. According to the first effect, the oscillatory behaviour of the beam peak displacement, which is induced by a gradient index distribution (swing effect), is in turn modulated as a function of the beam intensity/power (as Eq. (7) shows), and in consequence the period of oscillation is modified. This property is one of the key results of this work (as it will be shown in the HE-D design) since it does not take place in usual nonlinear lenses, where the focusing and/or swing properties are intensity-independent. P7.4.Design of the header extraction device We will design an all-optical planar waveguide header recognizer, based on the commented power dependence of the period of the swing of the beam. The device will operate with two different power states, that is, a low power state (data packet) and a high power state (header bit); the design of the device must verify that the beams corresponding to these states be well spatially-resolved to achieve an optimal output coupling onto two different optical fibers. It is assumed that the low power state will undergo a linear propagation, that is p∼0; and the high power state will be chosen as a quasi-self-trapping state, that is, a state where the Gaussian beam presents small variations of its width around the initial value. In the figure 3 it is shown a sketch of the integrated device, where integrated multilenses are placed at the beginning and at the end of the nonlinear waveguide; each multilens can be implemented by waveguiding integrated lenses [Li˜n00a, Li˜n96] (see appendix A) and they must be designed in such a way that it expands/compresses the Gaussian beam along the x-direction from/to the input/output by means of optical fibers in a such a way that it preserves the linear modal amplitude assumption [Mat02a] and allows to obtain the optimal value of the initial beam width, as it will be described in detail later. The variational propagation equations for a single beam are derived by choosing p2= 0 in Eqs. (6) and (7); thus by denoting with (wh,xh) the parameters of the header Gaussian beam with power p1=ph, we obtain the following evolution equations: d2wh dτ2−1 w3 h +gwh+1 2ph 1 w2 h¡1−qw2 h+Q2x2 h¢= 0,(11) d2xh dτ2+gxh−2pqxh 1 wh = 0.(12) 263 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal ... x=0                         data header                         ...... data δ nonlinear E−GRIN waveguide lens lens x z header Figure 3: Top view of the header extraction device where the variational evolution of the header (solid) and data (dashed) Gaussian beam widths are shown. On the other hand, the evolution equations for the data wave (wd,xd) are derived from Eqs. (6) and (7) by considering a linear propagation of the data Gaussian beam (p1=pd<< 1) and again p2= 0, that is, d2wd dτ2−1 w3 d +gwd= 0,(13) d2xd dτ2+gxd= 0.(14) For the header Gaussian beam, the above-mentioned nonlinear quasi-self-trapping state is obtained as follows: if we consider a non-displaced Gaussian beam (δ= 0), we can calculate the value of power pst for self-trapping: wh(pst, xh= 0, z) = 1, from Eq. (11) (see for example [And83, Des91]), that is, pst =2(1 −g) 1−q=16 −4G2a4 8−Q2a2.(15) When this power value is used for displaced Gaussian beams (δ6= 0) a quasiselftrapping beam is obtained such as it is showed in Fig.(3) (solid line). By launching both the data and header Gaussian beams with an initial displacement δ, oscillating trajectories (swing effect) are obtained, and therefore spatial periods of oscillation can be defined for the corresponding trajectories, that is, Λd 264 P7. A phase insensitive all-optical router for the data Gaussian beam (obtained from Eq. (14)) and Λhfor the header Gaussian beam (obtained from Eq. (12) with pst). A simple condition for achieving a maximum spatial separation between the beams is obtained under the following condition: Λh= 2Λl(see Fig.(3)). Now, we must calculate these periods and, as the g(G) and q(Q) factors depend on the waveguide parameters, the first step will be to obtain a proper design of the waveguide in order to enlarge the nonlinear contribution to the swing effect and so increase the difference between Λhand Λl; for that, we have considered a substrate formed by a porous nonlinear glass [Geh98] and a film formed by an organic material with the following characteristics: ns= 1,500 and nf= 1,540 at λ= 0,532 µm, nc= 1,000, t0= 2,40 µm and l= 400,0µm1/2; moreover, we have taken an initial peak displacement δ= 40µm. It can be easily derived from Eq. (14) that the peak trajectory of the data beam is given by the solution xd(τ) = δcos(g1/2τ), therefore the linear period is Λl=2π g1/2=4π Ga2.(16) On the other hand, the initial beam width aof the beams is taken as a designing parameter; thus, from the numerical solutions of Eqs. (11) and (12), and by taking into account Eqs. (15) and the expression (16), we can find the value of awhich fulfills the condition for the swing periods. The numerical result was a= 6,87 µm and therefore with the following factors g= 3,40 ×10−3,q= 5,82 ×10−4and pst = 1,994. In figures (4)-(a) and (b) it is shown the evolution of the Gaussian widths of the linear and quasi-self-trapped beams, respectively. 0 10 20 30 40 z (mm) -120 -80 -40 0 40 80 120 (µm) 2awd (z) (A) 0 10 20 30 40 z (mm) -40 -20 0 20 40 (µm) 2awh (z) (B) Figure 4: Variational results for the data (A) and header (B) beam propagation. 265 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal Finally, by taking the product of the above expressions, the Gaussian beam parameters of the data wave under the presence of the pump wave and the Bparameter of the output multilens must fulfill the following condition awd1(z2)Vd1(z2) = −2δ wg =−10, B/k =1 2awd1(z2)wg.(29) It is important to stress that the Gaussian parameters at the plane z2for both the pump wave and the data wave in the absence of pump, are now completely determined by the condition (29) since it will fix both the length of the nonlinear waveguide and consequently the parameters of the output multilens. Therefore, the value of the beam width, peak displacement and wave number of the data wave without pump are now given by, awd0(z3) = 2B k 1 awd0(z2)=wd1(z2)wg wd0(z2), xd0(z3) = 0, Vd0(z3) = 0,(30) and the pump wave parameters at the plane z3are given are given by, awp1(z3) = 2B k 1 awp1(z2)=wd1(z2)wg wp1(z2), xp1(z3) = B kxp1(z2) = 1 2awd1(z2)wgVp1(z2), Vp1(z3) = −k Bxp1(z2) = 2 awd1(z2)wg xp1(z2). (31) By solving the system of equations (24), (25) and (26) for the quasi-selftrapping power for the pump wave, that is pp1=pst (given by the equation (15)), we find the distance of propagation which makes sure the condition (29), that is z2−z1= 25,84 mm. Once the optimal distance value has been obtained, we calculate, from Eqs. (23), the values for the Gaussian parameters of the data beam in the absence of pump. In the figure 8 are shown the plots derived from the results from the design, where it can be observed the quantitative evolution of the beams for each routing operation. Let us evaluate the validity of the design by calculating the transverse modal coupling efficiency of the data and pump waves for each output optical fibers. For that, let us introduce first the expressions for the normalized amplitudes of the incoming Gaussian beams ψσat the plane z3where the subindex σgives account of the notation (σ=d0, d1, p1), ψσ(x) = 21/4 (πa2w2 σ)1/4exp ·−(x−xσ)2 a2w2 σ¸exp [iVσ(x−xσ)] ,(32) 272 P7. A phase insensitive all-optical router 0510 15 20 25 z (mm) -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 (µm) 2awd0 (z) (A) 0510 15 20 25 z (mm) -200 -160 -120 -80 -40 0 40 80 120 160 200 (µm) 2awd1 (z) (B) 2awp1 (z) data pump Figure 8: Propagation plots (top view) for the data routing operation. (A) Data wave propagation under the absence of pump (header bit ”0”); (B) Data and pump wave propagation under the presence of pump (header bit ”1”). moreover, the Gaussian modal amplitude ϕfof an optical fiber displaced a value ∆ respect to the x-axis, is expressed as follows, ϕg(x) = 21/4 (πw2 g)1/4exp ·−(x−∆)2 w2 g¸.(33) The transverse modal coupling efficiency can be determined at z3by the following expression [Li˜n92], ησ=¯¯¯¯Z∞ −∞ ψσ(x)ϕg(x)dx¯¯¯¯ 2 =2awσwg a2w2 σ+w2 g exp "−1 2 a2w2 σw2 gV2 σ+ 4(xσ−∆)2 a2w2 σ+w2 g#, (34) where ∆ = 0 for fiber 1 and ∆ = −δfor fiber 2. Finally, these are the results for the transverse modal coupling on each fiber for the propagating waves in both operation states, ηd0ηd1ηp1 Fiber 1 0,900 1,20 ×10−11 0,090 Fiber 2 6,50 ×10−70,888 0,090 Table 5.1: Transverse coupling efficiencies of the data and pump beams onto the output optical fibers. As the results show, the data packet is transmitted through each fiber with a high efficiency (higher than the 85 %) for each case; on the other hand, the most important result is that the cross-talk of the transmission is negligible since the 273 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal coupling efficiencies of data packet on the non-corresponding channel are lower than 0.0001 %; in addition, the pump wave presents an optical coupling efficiency onto both channels about 10 %; although it is not negligible, it is enough to preserve the data packet free of nonlinear effects for further incorporation to cascaded devices. P7.7.Cascaded configuration for N-port routing. The implementation of a single-bit routing module, presented above, routes the data signal onto two different output channels. It is the first step towards a general multi-port routing operation as a function of a generalized header composed by an array of bits. The header encoding in a N-bit binary format, allows the routing of the data packet towards 2Noutput ports, and the routing path must be determined by the header binary value. In the figure 9 is shown a scheme of a 2-bit routing operation (the generalization to N-bit is intuitive by means of cascadability), where a 4-port routing configuration is presented for a generalized encoding of the header. The input packets are modulated with the same intensity values for the data and the header, presenting a realistic case of information encoding. The previous step for the proposed routing DA 1 DA 2 DA 2                   control bit−A RM DA: Differential Amplifier RM: Routing Module (single bit) data bit−B bit−A header stage 2 A=1 A=0 B=1 RM RM B=0 [0,0] [1,1] [1,0] [0,1] stage 1 header[B,A]=[0,1] INPUT OUTPUT control bit−B control bit−B B=1 RM RM B=0 Figure 9: Scheme of the cascaded configuration for multi-bit header routing where a [0,1] header routes the data packet onto its correspondent output channel. strategy is to amplify the header bits in order to switch the data packet into its corresponding channel; for that, an all-optical Differential Amplifier (DA), which can be implemented under the same physical mechanism as the devices presented in this work (see reference [Mat02a]), is fed with a reference signal synchronized 274 P7. A phase insensitive all-optical router with the corresponding header bit in each stage (see figure 9). Therefore, in the first stage, the first header bit (bit-A) is amplified and the first single-bit Routing Module (RM) performs the corresponding routing operation where both the data packet and the non-amplified header bits are transmitted through the corresponding output channel. In the second stage, the 0-valued bit-B does not switch up the DA, and the second RM routes the data packet to the output channel labelled as [0,1] in the figure 9. Finally, a whole routing process as a function of the binary value of the header N-bit array, can be performed by sequentially cascading the single bit routing stages onto each output of the RMs. P7.8.Conclusions An integrated optical system has been fully designed for a phase-insensitive all-optical routing operation. By means of the variational method, we have obtained the evolution equations for the characteristic parameters of single, co- and counter-propagating Gaussian beams in a nonlinear lenslike waveguide. Starting from these results and in connection with the theory and design of integrated waveguiding multilenses, three integrated all-optical devices devoted to header bit extraction, bistability and data routing, have been designed under a unique technology. The optical system proposed shows a robust, phase-insensitive and fiber compatible single-bit routing operation. Finally, by connecting several integrated optical systems of this kind in a cascaded way a N-bit router can be implemented. Acknowledgments This work was supported by contract TIC2003-08992, Ministerio de Ciencia y Tecnolog´ıa (Spain). Appendix In this work the design of the integrated multilens is based on one or two modules performing, each one of them, an Exact Fourier Transform (EFT) of the input beam. The configuration, for instance, of a multilens with two modules and their characteristic parameters are shown in Fig.(A.1) Let us define each EFT module j= 1,2 as a planar integrated multilens composed by mjplane-convex lenses of thickness tjand aperture Ajseparated a distance ljwith effective indexes Niand Noinside and outside of each lens. It can be demonstrated (explicit calculus is found in reference [Li˜n00a]) that each module jproduces, at zj-planes, an Exact Fourier Transform of the Gaussian beam at zj−1-planes if the following conditions are fulfilled, Notj=Nilj, mjcos−1µ1−tj Nifj¶=π 2,(A.1) 275 Cap ´ ıtulo V. L´ ogica y enrutado por acoplamiento modal transversal A1A2Ni tjlj o N 0 x 0 V 0 w x2 2 V w 2 EFT−lens 2 z1z2 EFT−lens 1 z0 Figure A.1: Sketch of a multilens with two EFT modules. where fjare the focal lengths of each plane-convex lens, that is: fj=No Ni−No 1 tj£t2 j+ (Aj/2)2¤.(A.2) Now, by defining the Gaussian beam width, peak displacement and wave number at planes zj(see Fig.10) as wj,xjand Vjrespectively, the following relationships, for a single EFT module, are obtained for the transformation of the beam parameters: awj=2Bj k 1 awj−1 , xj=Bj kVj−1and Vj=−k Bj xj−1,(A.3) where, Bj="2tjfj Ni−t2 j N2 o#.(A.4) Finally, by combining the expressions (A.3) it can be easily obtained the following relationships for two EFT modules, that is: aw2=B2 B1 aw0, x2=−B2 B1 x0and V2=−B1 B2 V0.(A.5) 276 Conclusiones Partiendo de un an´alisis cr´ıtico sobre los diferentes dispositivos ´opticos integrados existentes en la actualidad y destinados a operar en el dominio totalmente ´optico, se han establecido los requerimientos y objetivos fundamentales que han de cumplir los dispositivos ´opticos en el marco de las tecnolog´ıas de las comunicaciones y la computaci´on ´opticas; consecuentemente, en la presente memoria se ha presentado la teor´ıa y dise˜no de dispositivos ´opticos integrados no lineales para biestabilidad, l´ogica y enrutado consistentes con tales requerimientos. Del estudio realizado se concluye que el nuevo tipo de gu´ıas integradas propuestas, denominadas gu´ıas CKG y basadas en la gradualidad del ´ındice efectivo as´ı como en la distribuci´on inhomogenea de la no linealidad, ha permitido la obtenci´on de reg´ımenes de propagaci´on, contrapropagaci´on y copropagaci´on altamente espec´ıficos para dispositivos totalmente ´opticos, en virtud de la influencia de dicha inhomogeneidad y del ´ındice efectivo gradual sobre la propagaci´on del campo ´optico Asimismo, la resoluci´on de las ecuaciones generales que gobiernan la propagaci´on y multipropagaci´on no lineales en gu´ıas CKG, ha sido realizada mediante la formulaci´on variacional. Dicha formulaci´on se ha generalizado a medios disipativos/amplificativos, proponi´endose el denominado m´etodo variacional disipativo. Dicho m´etodo, que se fundamenta en el desacoplamiento refractivo-disipativo de las ecuaciones de propagaci´on en tramos de longitud reducida, aporta, de una forma simple y computacionalmente r´apida, resultados para la propagaci´on y multipropagaci´on no lineales en gu´ıas CKG disipativas/amplificativas, lo que adem´as ha permitido un an´alisis realista de los nuevos dispositivos. Por otra parte, se ha propuesto la combinaci´on del mecanismo de automodulaci´on y modulaci´on cruzada no lineal de amplitud en gu´ıas CKG con el mecanismo 277 Conclusiones de modulaci´on de intensidad mediante el denominado Acoplamiento Modal Transversal (AMT), confirm´andose como una estrategia general y eficiente para proyectar y dise˜nar dispositivos integrados compatibles con fibras ´opticas, ultrarr´apidos e insensibles a fase y frecuencia. En definitiva, con el estudio de un nuevo tipo de gu´ıas integradas denominadas CKG, una nueva formulaci´on variacional de problema de propagaci´on disipativo, y finalmente, un nuevo mecanismo ´optico de modulaci´on no lineal de intensidad por acoplamiento modal transversal, se ha mostrado la consecuci´on de dispositivos biestables, l´ogicos y de enrutado de alto valor estrat´egico en el desarrollo de sistemas de transmisi´on y procesado totalmente ´opticos. oOo 278 Bibliograf´ıa [Abb96] Abbate, G., Castaldo, F., de Stefano, L., Santamato, E., Mormide, P., Forastiere, M., Righini, G. C., Sirleto, L., “Analysis of modal coupling between glassy and liquid crystal planar waveguides”, en G. R. Righini (editor), Proceedings of the SPIE: Fiber integrated optics, vol. 2954, pp. 285–303 (1996). [Afa98] Afanasjev, V. V., Malomed, B. A., Chu, P. L., Islam, M. K., “Generalized variational approximations for the optical soliton”, Opt. Commun., vol. 147, pp. 317–322 (1998). 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