Grupo de Brauer de un cuerpo

Traballo Fin de Grao Grupo de Brauer de un cuerpo Andrés Siaba Rodríguez 2021/2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Grupo de Brauer de un cuerpo Andrés Siaba Rodríguez Septiembre, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Álxebra Título: Grupo de Brauer dun corpo. Breve descrición do contido O teorema de Frobenius afirma que o corpo dos números reais, o dos números complexos e o anel dos cuaternios, son as únicas álxebras de división de dimensión finita sobre Re as únicas centrais son ReH. Clasificar as álxebras de división de dimensión finita e centrais sobre outros corpos é moito máis difícil. Neste traballo xustificarase que a clasificación de estas redúcese á clasificación das álxebras centrais e simples de dimensión finita. Así, introducirase unha relación de equivalencia no conxunto das K-álxebras centrais e simple de dimensión finita e probarase que o conxunto das clases de equivalencia de tales álxebras é un grupo, denominado o Grupo de Brauer do corpo K. Este grupo actúa como “clasificador” de álxebras de división centrais. Recomendacións Ë recomendable cursar as materias de Estruturas Alxébricas e Ecuacións Alxébricas. Outras observacións iii Índice Resumen vii Introducción ix 1. Preliminares 1 1.1. Conceptosbásicos.................................... 1 1.2. Productotensor..................................... 6 2. Álgebras centrales simples 13 2.1. Centralidad y simplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. TeoremadeWedderburn................................ 17 2.3. Extensióndeescalares ................................. 22 2.4. Cuerpos de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Grupo de Brauer de un cuerpo 33 3.1. GrupodeBrauer .................................... 33 3.2. Grupo de Brauer relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bibliografía 43 v Resumen Con la finalidad de dar una clasificación de las álgebras de división centrales de dimensión finita sobre un cuerpo K, en este trabajo se estudia la noción de álgebra central simple de dimensión finita sobre Ky se define una relación de equivalencia en el conjunto de estas álgebras, lo que permite construir el grupo de Brauer del cuerpo K,Br(K). Se finaliza la memoria definiendo el grupo de Brauer relativo, Br(E/K), que además de ser útil para el estudio de Br(K), ya que simplifica cuestiones a cerca del grupo de Brauer de Ka cuestiones en Br(E/K)para un cierto cuerpo E, permite dar una definición alternativa del grupo de Brauer del cuerpo Kconsiderando extensiones de Galois finitas de K. Abstract With the aim of providing a classification of finite dimensional central division algebras over a field K, in this work we deal with the notion of finite dimensional central simple algebras over Kand we define an equivalence relation in the set of these algebras, which allow us to construct the Brauer group of the field K,Br(K). The memoir ends defining the relative Brauer group, Br(E/K), that will also be useful for the study of Br(K), since it simplifies questions about the Brauer group of Kto questions on Br(E/K)for a certain field E, allow us to give an alternative definition of the Brauer group of the field Kby considering finite Galois extensions of K. vii 4 1. Preliminares Observación 1.9.Nótese que si Res conmutativo no es necesario diferenciar entre R-módulo por la derecha y R-módulo por la izquierda. Definición 1.10. Dado un anillo (R, +,·), se define su anillo opuesto como el anillo (R, +,∗) cuya multiplicación está definida como x∗y=y·x,∀x, y ∈R. Lo denotaremos por Rop. Si el anillo Res conmutativo, R=Rop (x∗y=y·x=x·y). El concepto de anillo opuesto se ve de forma muy clara con un ejemplo: Ejemplo 1.11. Consideremos el anillo Z[x, y]. Sean f(x, y) = 2x2yx+3yxy yg(x, y) = xyxy+1 dos polinomios en Z[X, Y ]. Su multiplicación sería: f·g= (2x2yx + 3yxy)·(xyxy + 1) = 2x2yx2yx + 2x2yx + 3yxyxyxy + 3yxy. Entonces su anillo opuesto, (Z[x, y])op, tendrá los mismos elementos pero su multiplicación vendrá dada por: f∗g= (2x2yx + 3yxy)∗(xyxy + 1) = (xyxy + 1) ·(2x2yx + 3yxy) = = 2xyxyx2yx + 3xyx2xy + 2x2yx + 3yxy. Observación 1.12.En el caso del anillo de matrices sobre un cuerpo (Mn(K)) existe un isomorfismo entre el propio anillo y su opuesto: Mn(K)−→ Mn(K)op B7−→ Bt que envía cada matriz en su traspuesta. Proposición 1.13. Todo R-módulo por la derecha es un Rop-módulo por la izquierda y viceversa. Definición 1.14. Un álgebra sobre un anillo conmutativo Res un anillo Aque es a su vez un R-módulo y que satisface que la multiplicación de Acomo anillo y la que le viene dada por la estructura R-módulo son compatibles, es decir: x·(a·b) = (x·a)·b=a·(x·b)∀x∈R, a, b ∈A. Se dice que Aes una R-álgebra. El álgebra Ase dice que es conmutativa si lo es como anillo. 1.1. Conceptos básicos 5 Definición 1.15. Una base del R-álgebra Aes una base de Acomo R-módulo. Si la base de Aes finita se dice que el R-álgebra Aes de dimensión finita. Definición 1.16. Sean AyBdos R-álgebras. Una aplicación f:A→Bes un homomorfismo de R-álgebras si ∀a, b ∈A,∀x∈Rverifica las siguientes propiedades: i. f(a+b) = f(a) + f(b). ii. f(x·a) = x·f(a). iii. f(a·b) = f(a)·f(b). iv. f(1) = 1. Es decir, fes homomorfismo de anillos y de R-módulos a la vez. Ejemplo 1.17. Sea M un grupo abeliano, se define su conjunto de endomorfismos: End(M) := f:M−→ Mtal que fes homomorfismo. Si f∈End(M)entonces f(0) = 0 (por ser fhomomorfismo). Además, la composición de endomorfismos de Mes endomorfismo de M. Como consecuencia, están bien definidas las siguientes operaciones en End(M). Sean ρ, φ ∈End(M): (ρ+φ)(m) := ρ(m) + φ(m),∀m∈M. (ρ·φ)(m) := (ρ◦φ)(m) = ρφ(m),∀m∈M. De esta manera, End(M)es un anillo. Si en lugar de ser Mun grupo abeliano, se considera Mun R-módulo (para cierto anillo R), denotamos el conjunto de los endomorfismos de R-módulos EndR(M). Análogamente, EndR(M) es un anillo y, para r∈Ryφ∈EndR(M), es un R-módulo mediante la operación: (rφ)(m) := r·φ(m),∀m∈M. Si Res un anillo conmutativo, la operación externa se hace compatible con el producto de EndR(M)como anillo. De este modo, si Mes un R-módulo y Res un anillo conmutativo, EndR(M)es una R-álgebra. Se puede ver sin dificultad que si Mes libre de rango n,EndR(M)≈ Mn(R). 6 1. Preliminares Definición 1.18. Cuaternios, H. Los cuaternios son espacios vectoriales de dimensión cuatro sobre los números reales dotados con una estructura de álgebra no conmutativa. Se denotan por Hen honor a Hamilton, el matemático que los inventó. Su base, {1, i, j, k}, satisface las siguientes propiedades multiplicativas: i2=j2=k2=−1, ij =−ji =k, jk =−kj =i, ki =−ik =j. La siguiente tabla muestra todos los productos entre elementos básicos. ·1i j k 1 1 i j k i i −1k−j j j −k−1i k k j −i−1 Los cuaternios son una generalización (a dimensión 4) de los números complejos (C). Ciertas definiciones y propiedades de Cse generalizan a H. Por ejemplo, sea q=a+bi +cj +dk ∈Hse define su conjugado: q:= a−bi −cj −dk ∈H. Es fácil comprobar que H(al igual que C) cumple que q·q=qq. Si |q|denota la norma usual en R4, se cumple que |q|2:= q·q=q·q=a2+b2+c2+d2∈R. Así, sea q∈H,q6= 0 se tiene: q·q |q|2=1 |q|2·(q·q) = 1 |q|2· |q|2= 1. En resumen, para todo q∈Hno nulo existe q−1:= q |q|2. Por tanto, se ha visto que Hes una R-álgebra de división. 1.2. Producto tensor Durante esta sección se introduce el concepto de producto tensor, que se utilizará en el Capítulo 3 para la construcción del grupo de Brauer. Se empleará como base de la operación 1.2. Producto tensor 7 del grupo. Este concepto como tal se puede aplicar a diversos contextos en el campo de las matemáticas. En este trabajo, se utilizará como la operación del grupo para el grupo de Brauer que se quiere construir. Definición 1.19. Sea Run anillo y sean M,NyPtres R-módulos. Una aplicación R-bilineal es una aplicación f:M×N−→ P (x, y)7−→ f(x, y) que cumple que para cada x0∈My cada y0∈Nfijados se tiene que las aplicaciones: fx0:N−→ P fy0:M−→ P y7−→ fx0(y) := f(x0, y)x7−→ fy0(x) := f(x, y0) son aplicaciones R-lineales. El conjunto de las aplicaciones R-bilineales de M×Nen Pse denota por BilR(M, N;P). Observación 1.20.Se puede demostrar sin dificultad que BilR(M, N;P)es un R-módulo, ya que al ser aplicaciones bilineales verifican trivialmente las condiciones de R-módulo (Definición 1.8). En este trabajo interesa estudiar las propiedades del producto tensor de álgebras sobre un cuerpo. Para ello, será suficiente definir el producto tensor de módulos sobre anillos conmutativos. Definición 1.21. Sea Run anillo conmutativo y MyNdos R-módulos. Se considera el R- módulo libre RM×Ndefinido como conjunto de las combinaciones lineales de elementos de M×N con coeficientes en R. Sea ahora Vel R-submódulo de RM×Ngenerado por los elementos de la forma: (m+m0, n)−(m, n)−(m0, n), (m, n +n0)−(m, n)−(m, n0), (r·m, n)−r·(m, n), (m, r ·n)−r·(m, n), ∀m, m0∈M,∀n, n0∈Ny∀r∈R. Se denomina producto tensor de MyNal cociente de RM×Npor el submódulo V. Se denota M⊗RN. Esta definición da lugar a una aplicación bilineal canónica: µ:M×N−→ M⊗RN (m, n)7−→ [(m, n)] := m⊗n. 8 1. Preliminares Al fin y al cabo, el producto tensor de dos R-módulos MyNes el único R-módulo que se puede construir a partir de M×Nde modo que se respete la bilinealidad. De esta manera, muchas veces se define el producto tensor por el siguiente teorema que lo caracteriza, conocido como la Propiedad Universal del Producto tensor: Teorema 1.22. Dado cualquier R-módulo Py una aplicación bilineal f:M×N→Parbitraria, existe una única aplicación lineal f0:M⊗RN→Ptal que f=f0◦µ. Dicho de otro modo, existe un único homomorfismo de R-módulos f0que hace que el siguiente diagrama sea conmutativo: M×Nµ// f## M⊗RN f0 zz P Demostración. Basta con probar que la aplicación definida a continuación como Λes un isomorfismo. Λ : HomR(M⊗RN, P)−→ BilR(M, N;P) g7−→ Λ(g) donde Λ(g)es una aplicación bilineal de M×Nen Pconstruida del siguiente modo: Λ(g) : M×N−→ P (m, n)7−→ g(µ(m, n)) = g(m⊗n). Véase que efectivamente es isomorfismo: En primer lugar se comprueba que Λ(g)es bilineal para todo g∈HomR(M⊗RN, P). Sean r∈R,m, m0∈M,n∈Narbitrarios; se tiene: Λ(g)(m+m0, n)=(g◦µ)(m+m0, n) = g((m+m0)⊗n) =g(m⊗n+m0⊗n) = g(m⊗n) + g(m0⊗n) = Λ(g)(m, n) + Λ(g)(m0, n). Λ(g)(rm, n)=(g◦µ)(rm, n) = g((rm)⊗n) = g(r·(m⊗n)) = = r·g(m⊗n) = r·Λ(g)(m, n). Análogamente se puede comprobar que Λ(g)(m, n +n0) = Λ(g)(m, n) + Λ(g)(m, n0)y que Λ(g)(m, rn) = r·Λ(g)(m, n), por lo que Λ(g)es bilineal. Ahora, es necesario comprobar que Λes una aplicación lineal. Λ(g+g0)(m, n) = ((g+g0)◦µ)(m, n)=(g◦µ)(m, n)+(g0◦µ)(m, n) = Λ(g)(m, n) + Λ(g0)(m, n). Λ(rg)(m, n)=(rg ◦µ)(m, n)=(rg)(m⊗n) = r·g(m⊗n) = r·Λ(g)(m, n). Por lo tanto, Λes lineal. 1.2. Producto tensor 9 Se continúa probando la inyectividad de Λ. Tomando una fdel núcleo de Λ, es decir, tal que Λ(f)=0, se tiene que Λ(f)(m, n) = 0 para cualesquiera m∈Myn∈N. Además, 0 = Λ(f)(m, n) = f(m⊗n) ∀m∈M,∀n∈N por lo que f= 0 y, por tanto, Λes inyectiva. Por último, se ve que Λes sobreyectiva. Sea g∈BilR(M, N;P), y Gla aplicación G: RM×N→Pobtenida extendiendo gpor linealidad. Al ser R-bilineal, Gse anula en todos los generadores del R-submódulo de RM×Nque previamente fue denotado por V. Por lo tanto, V⊆ker Gy entonces existe un homomorfismo de R-módulos: h:M⊗RN=RM×N/ V −→ P tal que Λ(h) = h◦µ=g. Es decir, para una g∈BilR(M, N;P)se ha encontrado una h∈HomR(M⊗RN, P)tal que Λ(h) = f. Por tanto, Λes sobreyectiva. Con todo esto, se concluye que Λes isomorfismo. Se ha visto que, para dos módulos MyNsobre un anillo conmutativo R,M⊗RNtiene estructura también de R-módulo. Como se ha indicado con anterioridad, se busca generalizar esta condición a dos álgebras sobre un cuerpo. Proposición 1.23. Sea Kun cuerpo. Si RySson dos K-álgebras, entonces R⊗KStiene estructura de K-álgebra con la operación: (r⊗s)·(r0⊗s0) = r·r0⊗s·s0, ∀r, r0∈R, ∀s, s0∈S. Las álgebras son, en particular, módulos. Se ha visto en la Definición 1.8 que el producto tensor de dos módulos es un módulo, por tanto, las operaciones suma y producto de un elemento de R⊗KSpor un elemento de Kya están definidas en R⊗KScomo K-módulo. Observación 1.24.El elemento 1⊗1es el elemento identidad (elemento neutro para el producto). Se pueden definir las inclusiones: i:R−→ R⊗S j :S−→ R⊗S r7−→ r⊗1, s 7−→ 1⊗s. 10 1. Preliminares Si {eα}es una base de Ssobre K, todo elemento x∈R⊗Stiene una única expresión de la forma: x=Prα⊗eα=P(rα⊗1) ·(1 ⊗eα) = Pi(rα)·j(eα). Si se considera R⊗Scomo R-módulo, R⊗Ses libre con base {j(eα)}. Si se tiene una base de R, análogamente R⊗Ses libre como S-módulo y tiene una base inducida por la base de R. Por tanto, se puede identificar: r⊗s= (r⊗1) ·(1 ⊗s) = (1 ⊗s)·(r⊗1) ∀r∈R, ∀s∈S. R⊗Scontiene a Ry a Scomo subálgebras conmutativas. Cabe destacar que aquí se hace referencia a que (r⊗1) ·(1 ⊗s) = (1 ⊗s)·(r⊗1), no se debe confundir con r⊗s=s⊗r, que no es cierto. Se hará a R⊗KScomo el producto tensor de las álgebras SyR. Como ya se ha comentado, las álgebras de matrices tendrán suma importancia en la construcción del grupo de Brauer. Por tanto, es importante estudiar su comportamiento con el producto tensor que, como también se ha mencionado previamente, será esencial también para la construcción del grupo. Proposición 1.25. Sea Kun cuerpo, Runa K-álgebra y m, n ∈N. Se tiene: (i) Mn(R)≈R⊗KMn(K). (ii) Mm(K)⊗KMn(K)≈Mmn(K). Demostración. Se tiene la inclusión natural i:Mn(K),→Mn(R)y además, siendo Ila matriz identidad n×nen Mn(R), existe una aplicación: R−→ Mn(R) r7−→ rI. Entonces, si A∈Im(i) = Mn(K)yr∈R, se tiene: (rI)A=rA =Ar =A(rI). Por tanto, como las imágenes de ambas aplicaciones conmutan, existe un homomorfismo de anillos: R⊗Mn(K)−→ Mn(R) 1⊗eij 7−→ eij 1.2. Producto tensor 11 donde eij denota la matriz con un 1en la posición i, j y ceros en todas las demás entradas. Por tanto, esta aplicación lleva una base en una base, y así es un isomorfismo. Para probar (ii)basta con aplicar lo anterior tomando Mm(K)como R: Mm(K)⊗Mn(K)≈ (i)Mn(Mm(K)) ≈Mnm(K). 12 1. Preliminares Capítulo 2 Álgebras centrales simples El objetivo de este trabajo es la construcción del grupo de Brauer. Es sabido que el fin de la construcción del grupo es la clasificación de las álgebras de división de dimensión finita sobre un cuerpo Kdado. Para ello, será útil definir y caracterizar los conceptos de álgebra central y de álgebra simple. Debido al hecho de que el producto tensor de álgebras de división no es, en general, de división, la clasificación de este tipo de álgebras se reducirá a la de las álgebras centrales y simples. Además, durante este Capítulo 2 se verán también (en las Secciones 2.3 y 2.4) los términos y resultados que se utilizarán para la construcción del grupo de Brauer relativo y para ser capaces de extraer conclusiones aplicables al grupo de Brauer a partir del grupo de Brauer relativo. Todas las álgebras que se trabajarán son de dimensión finita. De esta forma, se dirá álgebra central simple para hacer referencia a álgebras centrales simples de dimensión finita sobre un cuerpo K. 2.1. Centralidad y simplicidad Las álgebras centrales simples, como se ha mencionado, son los elementos fundamentales en el estudio del grupo de Brauer. Los conceptos y resultados vistos en esta Sección (2.1) y en la siguiente (Sección 2.2) serán suficientes para la construcción natural del grupo de Brauer que se verá en el Capítulo 3 (Sección 3.1). 13 20 2. Álgebras centrales simples Este teorema se empleará para relacionar las álgebras centrales simples con las de división. El siguiente resultado recoge el contenido del Teorema de Wedderburn (Teorema 2.23) de una manera más directa. Para ello es necesario recurrir a la definición de anillo artiniano. Definición 2.24. Un anillo Rse dice que es artiniano por la izquierda si sus ideales por la izquierda satisfacen la condición de cadena descendente, es decir, cualquier conjunto de ideales por la izquierda de Radmite un elemento mínimo para la relación de inclusión (estricta). Dicho de otra forma, Res un anillo para el cual no existe una cadena infinita estrictamente descendiente de ideales de R. Análogamente se define anillo artiniano por la derecha. Se dirá que un anillo es artiniano si lo es por la derecha y por la izquierda. Observación 2.25.Nótese que un anillo puede ser simple y no artiniano, ya que la noción de simplicidad hace referencia a ideales biláteros, mientras que el ser artiniano depende de ideales por la izquierda o por la derecha, no necesariamente biláteros. Por ejemplo, el álgebra de Weyl sobre un cuerpo K:A1={x, y ∈K:xy−yx = 1}es simple cuando la característica de Kes cero, pero no es artiniano, ya que los ideales por la izquierda A1xiforman una sucesión infinita decreciente de ideales decrecientes que no se estabiliza nunca. Teorema 2.26. Sea Run anillo. Son equivalentes: (i) Res un anillo artiniano simple. (ii) Res semisimple y todos los R-módulos simples son isomorfos. (iii) Existe nentero positivo y un anillo de división Dtales que R≈Mn(D)como anillos. Demostración. (i)⇒(ii) Para cualquier R-módulo Mno vacío su aniquilador, que se denota por (0 : M), es un ideal bilátero de R. Además, como Mes no vacío, 1/∈(0 : M), por tanto (0 : M) = 0 ya que Res simple. Entonces cualquier R-módulo es fiel. Además, al ser Rartiniano, existe un R- módulo simple. Entonces Rtiene un módulo fiel simple, M. Además, si se consideran todos los R-homomorfismos f:R→Mny se escoge uno con núcleo mínimo (se puede hacer ya que Res artiniano), fes inyectivo. Esto se debe a que al ser Mfiel, ∃m∈Mtal que rm 6= 0 ∀r∈Ry entonces si fno fuese inyectivo la aplicación: R−→ Mn⊕M x7−→ (f(x), xm) 2.2. Teorema de Wedderburn 21 tendría un núcleo más pequeño que f, dando una contradicción. Entonces Res submódulo de Mn, por lo que Res semisimple y homogéneo. (ii)⇒(iii) Si Res semisimple es suma directa de módulos simples. Cada módulo simple es isomorfo por el Teorema de Wedderburn (Teorema 2.23) a un anillo de matrices sobre un anillo de división D. Como todos los sumandos directos son isomorfos, el anillo de división Des el mismo en todos los sumandos. Entonces, Res isomorfo a un anillo de matrices sobre D. (iii)⇒(i) Es conclusión de que un anillo de matrices sobre un anillo de división es simple y artiniano. Corolario 2.27. Sea Run anillo artiniano simple. Entonces existe un entero positivo ny un anillo de división D(único salvo isomorfismo) tal que R≈Mn(D)como anillos. El siguiente resultado permite aplicar el Teorema 2.26 a las álgebras centrales simples, ya que estas son finitas. Proposición 2.28. Sea Kun cuerpo y Runa K-álgebra de dimensión finita. Entonces Res un anillo artiniano. Demostración. Sea Run álgebra de dimensión finita sobre Ky suponiendo que existe una cadena estrictamente decreciente de ideales por la izquierda de R: I1)I2). . . Cada ideal Iies un K-submódulo de R, por tanto (al ser Run álgebra de dimensión finita) es de dimensión finita sobre K. Como la cadena es estrictamente descendiente, se tiene dimK(I1)> dimK(I2)... y por tanto, al estar los enteros bien ordenados y siendo dimK(I1)(la mayor de todas) finita, se tiene que la cadena no puede ser estrictamente descendiente. Por tanto, Res artiniano por la izquierda. Con un razonamiento análogo, se concluye Res artiniano por la derecha y por tanto, es artiniano. Si Kes un cuerpo y Runa K-álgebra de dimensión finita, por la Proposición 2.28, se tiene que Res un anillo artiniano. Además, por el Teorema 2.26, es simple si y sólo si existe un entero 22 2. Álgebras centrales simples positivo ny una K-álgebra de división Dtales que R≈Mn(D). Además, si Res central entonces Dtambién, ya que Z(Mn(D)) = Z(D)y si RyMn(D)son isomorfas tienen el mismo centro. De esta manera, un álgebra de dimensión finita R, será un álgebra central simple siempre que sea isomorfa a Mn(D), siendo nun entero positivo y Dun álgebra de división. Proposición 2.29. Sea Kun cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, tal que todo polinomio de K[X](de grado al menos 1) tiene un cero en K. Cualquier álgebra de división de dimensión finita sobre Kes isomorfa a Kcomo K-álgebra. Demostración. Si Des un álgebra de división de dimensión finita sobre Kyxun elemento de D. Entonces xgenera la extensión K(x)de K, que es finita porque Des de dimensión finita sobre K. Como las extensiones finitas son algebraicas y Kes algebraicamente cerrado, es decir, no tiene extensiones algebraicas propias, entonces se tiene que K(x) = K. Así, x∈Ky entonces D=K. Corolario 2.30. Sea Kun cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces cualquier K-álgebra central simple es isomorfa a Mn(K)como K-álgebra para algún entero positivo n. 2.3. Extensión de escalares Si Ses una K-álgebra a los elementos de Kse les denomina escalares. Una extensión de un cuerpo Kes otro cuerpo Etal que K⊆Ey se denota E|K. Aplicando este concepto, dada una extensión E|K, interesa extender los escalares del álgebra S(es decir, los elementos de K) a todo E. Visto de otro modo, se trata de construir, a partir de S, una E-álgebra. Para lograrlo, se empleará el producto tensor. De hecho, la construcción de los números complejos a partir de Res un caso particular de este concepto. Observación 2.31.Dada una extensión de cuerpos E|K, es habitual considerar Ecomo un espacio vectorial sobre K. Claramente la multiplicación interna de Ecomo anillo (un cuerpo es en particular un anillo) y la externa como K-módulo son compatibles. Por tanto, Ees una álgebra sobre K. 2.3. Extensión de escalares 23 Además, Ees un cuerpo y por tanto es conmutativo, es decir, Ees una K-álgebra conmutativa. Observación 2.32.Nótese que cualquier extensión de cuerpos propia (E)K) nunca será central como K-álgebra, ya que Ees un cuerpo, es decir, Z(E) = E6=K. El ejemplo más claro es el caso de C|R, que, como se ha comentado previamente, es una R-álgebra simple pero no es central. Definición 2.33. Sea Suna K-álgebra y E|Kuna extensión de cuerpos. Se dice que SEes la E-álgebra obtenida a partir de Spor extensión de escalares: SE:= E⊗KS. Observación 2.34.El conjunto SE(Definición 2.33) es una E-álgebra: Scomo K-álgebra está descrita por una base {ei}de Sy una forma de multiplicar los elementos básicos: ei·ej=Pkcijkekdonde cijk ∈K. SEcomo anillo, se define a partir la misma base que Sy la misma regla multiplicativa. Para concluir que SEes una E-álgebra, hace falta dotarlo de estructura de E-módulo. En la Observación 1.24 se deduce que se puede considerar {ei}, denotando como {ei}al conjunto {1E⊗ei}, como base de SEcomo E-módulo (ya que SE=E⊗S). Por tanto, la dimensión de SEsobre Ees la misma que la dimensión de Ssobre K: [SE:E]=[S:K]. [S:K]denota la dimensión de Ssobre K, es decir, la dimensión de Scomo K-espacio vectorial (dimK(S)). Además, la operación externa por elementos de Ees compatible con el producto interno de SE(como anillo), al ser K⊂E. De este modo, SEes una E-álgebra y el siguiente diagrama es conmutativo: K//  S  E//SE Ejemplo 2.35. El ejemplo más habitual que se puede encontrar de extensión de escalares es la complexificación de una R-álgebra S([10]). Se construye a partir de Sla C-álgebra denotada por SC. Nótese que si tomamos S=R, entonces SC=C. 24 2. Álgebras centrales simples Un caso particular a destacar es la complexificación de H: HC=C⊗RH, que es un álgebra de dimensión 4 sobre C. De hecho, se puede ver que es una C-álgebra simple e isomorfa a M2(C). Proposición 2.36. Si Ses un álgebra central y simple sobre K, entonces SEes un álgebra central y simple sobre E. Demostración. Ses un una K-álgebra central simple y Etambién es un álgebra simple sobre K. Por tanto, por lo visto previamente, se tiene que SE=E⊗Ses una K-álgebra simple y en conclusión, un álgebra simple sobre E. Por otro lado, Ses un álgebra central, por tanto, por la Proposición 2.10, existe un isomorfismo entre Z(E)yZ(E⊗S), que es precisamente el centro de SE. Por tanto, Z(SE) = EySE es central. Observación 2.37.El recíproco de la Proposición 2.36 también se tiene. La extensión de escalares se puede aplicar también a las funciones lineales y se comportan con las propiedades esperables: Proposición 2.38. Sea E|Kuna extensión de cuerpos, Suna K-álgebra y Runa E-álgebra. Si f:S→Res una aplicación K-lineal, entonces existe una única aplicación E-lineal de SEen R: f:SE−→ R 1E⊗s7−→ f(1E⊗s) := f(s). Demostración. La existencia es consecuencia de que (e, s)∈E×S7→ e·f(s)∈Res una función bilineal. Como el conjunto {1E⊗s}genera a SEcomo E-álgebra, fes la única aplicación que satisface las condiciones. Por otro lado, en el Capítulo 3 se exigirá a las álgebras que sean centrales y simples, por lo que es interesante estudiar el comportamiento de las extensiones de escalares respecto a su simplicidad 2.4. Cuerpos de descomposición 25 y a su centralidad. Al fin y al cabo, esto no es más que un caso particular de dos resultados vistos en la Sección 2.1, estudiando la evolución de estas características bajo la actuación del producto tensor (ya que una extensión de escalares es, en esencia, un producto tensor). Proposición 2.39. Sea Suna K-álgebra central simple y E|Kuna extensión de cuerpos. (i) SEes una E-álgebra central. (ii) SEes un álgebra simple. Demostración. Si se aplica la Proposición 2.10 a este contexto se concluye que: Z(SE) = Z(E)⊗Z(S) = E⊗K≈E. Por tanto, SEes un álgebra central sobre E. Análogamente, para probar (ii), basta con aplicar un resultado visto en la Sección 2.1. Al ser Ssimple y central y Esimple (es un cuerpo), se tiene que SEes simple. Corolario 2.40. Si Ses un álgebra central simple sobre KyE|Kes una extensión de cuerpos, SEes un álgebra central simple sobre E. Demostración. Se sigue directamente de la Proposición 2.39 y del hecho de que si Ses finita sobre Kentonces SEes finita sobre E(Observación 2.34). Teorema 2.41. Sea Dun álgebra de división finita sobre su centro K, entonces [D:K]es un cuadrado. 2.4. Cuerpos de descomposición En la Proposición 2.30 se ha visto que cualquier álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es isomorfa a un álgebra de matrices sobre ese mismo cuerpo. En particular, si se considera un álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo K, la extensión de escalares SK(siendo Kla clausura algebraica de K) es un álgebra 26 2. Álgebras centrales simples de dimensión finita central y simple sobre K, que es algebraicamente cerrado. Por tanto, SK≈ Mn(K)para algún nentero positivo. En general, si E|Kes una extensión arbitraria, se tiene que E⊗KMm(K)≈Mm(E),∀m∈ Z>0(Proposición 1.25). Proposición 2.42. Sea Suna K-álgebra central simple de dimensión finita. Entonces el rango de Ssobre Kes n2para algún nentero positivo, es decir, es un cuadrado. Demostración. Existe n∈Z>0tal que SK≈Mn(K)en donde Kla clausura algebraica de K. Entonces: [S:K] = [SK:K]=[Mn(K) : K] = n2. Definición 2.43. Sea Sun álgebra central simple de dimensión finita sobre K. Se le llama grado de Ssobre Kal entero p[S:K]. Ahora, se define cuerpo de descomposición de un álgebra: Definición 2.44. Se dice que una K-álgebra central simple de dimensión finita, S,se descompone sobre Esi existe nentero positivo tal que SEes isomorfa a Mn(E)como E-álgebras (SE≈Mn(E)). También es habitual decir que Ees un cuerpo de descomposición para el álgebra S. Proposición 2.45. Sea Suna K-álgebra central simple de dimensión finita, sea nel grado de S(sobre K) y E|Kuna extensión que descomponga a S. Entonces SE≈Mn(E). Demostración. Por definición, SE≈Mi(E)para algún ientero positivo, se tiene: i2= [SE:E]=[S:K] = n2. Al ser iynenteros positivos, se concluye que i=n. Observación 2.46.La Proposición 2.45 indica que el entero nde la Definición 2.44 no es arbitrario, sino que es el grado de S. 2.4. Cuerpos de descomposición 27 El estudio que se hará en el Capítulo 3 sobre el grupo de Brauer relativo estará basado en las extensiones de escalares y en los cuerpos de descomposición. De hecho, por razones que se harán evidentes más adelante, interesa especialmente un tipo de cuerpos de descomposición para un álgebra simple y central. Para poder definir este tipo de cuerpos es necesario recurrir a las subálgebras centralizadoras y al Teorema Centralizador (Teorema 2.49): Definición 2.47. Sea Sun álgebra y Dun subconjunto de S. Se define el centralizador de D en Scomo: CS(D) := s∈S:sx =xs ∀x∈D. Observación 2.48.Se puede comprobar que CS(D)es una subálgebra de Spara cualquier subconjunto D⊆S. Teorema 2.49. Centralizador. Sea Sun álgebra central simple de dimensión finita sobre KyRuna K-subálgebra simple de S. Entonces: (i) CS(R)es simple. (ii) [S:K] = [R:K]·[CS(R) : K]. Demostración. Por el Teorema 2.26, se tiene que S≈Mn(Dop)≈EndD(V)donde Des un álgebra de división con centro KyVes un D-módulo de dimensión finita. Además, Ves también un (R⊗D)-módulo y C(R) = EndR⊗D(V). Como R⊗Des simple, R⊗D≈EndE(W)siendo Wel único (R⊗D)-módulo simple y y E= EndR⊗D(W)es el álgebra de división asociada. Entonces, V≈Wmcomo (R⊗D)-módulos. Entonces, C(R)≈EndR⊗D(V)≈Mm(EndR⊗D(W)) ≈Mm(E). Por tanto, C(R)es simple. Para probar (ii), como C(R)≈Mn(E), se tiene que [C(R) : K] = n2·[E:K]. Además, V≈Wny por tanto [V:K] = n·[W:K] = n·[W:E]·[E:K]. Despejando en esta igualdad y sustituyendo en la primera, se tiene que: [C(R) : K] = [V:K]2 [W:E]2[E:K]2[E:K] = [V:K]2 [W:E]2[E:K] =[V:K]2 dimK(EndE(W)) =[V:K]2 [R:K][D:K]. 28 2. Álgebras centrales simples Por lo tanto, [R:K][C(R) : K] = [V:K]2 [D:K]=[V:D]2[D:K]2 [D:K]= [S:K]. Corolario 2.50. Sea Sun álgebra central simple de dimensión finita sobre KyRuna K- subálgebra simple de S. Entonces CS(CS(R)) = R A este Corolario se le conoce frecuentemente como el Doble Teorema Centralizador. Demostración. Aplicando la parte (ii)del Teorema 2.49 se tiene que: [S:K] = [R:K]·[CS(R) : K]. Por otro lado, al ser CS(R)simple (parte (i)), se puede aplicar de nuevo la parte (ii)tomando CS(R)como R. De este modo: [S:K] = [CS(R) : K]·[CS(CS(R)) : K]. Juntando ambas expresiones, se sigue trivialmente que [CS(CS(R)) : K]=[R:K]. Por definición, R⊂CS(CS(R)), y por tanto, R=CS(CS(R)) (ya que tienen la misma dimensión). Corolario 2.51. Sea Des un álgebra de división central sobre un cuerpo Ky[D:K] = n2. Si Ees un subcuerpo maximal de D, entonces [D:E] = n. Demostración. La primera parte es consecuencia de la parte (ii)del Teorema Centralizador (Teorema 2.49) y del Corolario 2.50: n2= [D:K]=[E:K]·[C(E) : K]Al ser Eun cuerpo, C(E) = Ey por tanto [E:K] = n. Como n2= [D:K]=[D:E]·[E:K], se concluye que [D:E] = n. Ahora, se da una definición alternativa de subcuerpo maximal, más fuerte que la definición usual, es decir, que la maximalidad con respecto a la inclusión. Estos cuerpos (que más adelante se verá que son, en efecto, cuerpos de descomposición para el álgebra al que pertenecen) serán muy útiles para extraer consecuencias del grupo de Brauer relativo. Definición 2.52. Sea Suna K-álgebra simple. Se dirá que Ees un subcuerpo estrictamente maximal de Ssi K⊆E⊆Sy es su propio centralizador (C(E) = E). 2.4. Cuerpos de descomposición 29 Observación 2.53.Si Ees subcuerpo estrictamente maximal de Stambién es maximal con la definición usual (respecto a la inclusión). En efecto, sea Eun subcuerpo de Sque es igual a su centralizador y sea Funa extensión de Een A. Entonces F ⊂ CS(E)(por ser Fun cuerpo que está contenido en S). Pero CS(E) = E, por lo tanto, F ⊂ E. Se concluye que Ees subcuerpo maximal de S. Por tanto, efectivamente la definición de cuerpo estrictamente maximal es más fuerte que la noción de maximalida con respecto a la inclusión. El recíproco no se tiene, es decir, no todos los subcuerpos maximales son estrictamente maximales, y puede verse de forma sencilla con un ejemplo: Ejemplo 2.54. Sea el anillo M2n(K)sobre un cuerpo K. Por el Teorema Centralizador (Teorema 2.49) y su Corolario (2.50), cualquier subcuerpo estrictamente maximal de M2n(K)tiene dimensión 2n(ya que la dimensión de M2n(K)es 4n2). Considérese ahora el subanillo S⊂M2n(K)de las matrices de la forma: aI B 0aI! siendo a∈K,Ila matriz identidad (n×n) y B∈Mn(K)arbitraria. Ses un subanillo conmutativo de dimensión n2+ 1. Por tanto, la dimensión de un subanillo conmutativo maximal es, como mínimo, n2+ 1. Por tanto, se evidencia que ambas definiciones no siempre coinciden. Proposición 2.55. Sea Sun álgebra central simple de dimensión finita sobre K,nel grado de SyE|Kuna extensión contenida en S. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes: (i) Ees un subcuerpo estrictamente maximal de S. (ii) Ees de grado nsobre K. (iii) Ees una K-subálgebra conmutativa maximal de S. Observación 2.56.Nótese que si Des una K-álgebra de división, cualquier K-subálgebra conmutativa de Des un cuerpo y, por tanto, cualquier subcuerpo maximal de Des estrictamente maximal. 36 3. Grupo de Brauer de un cuerpo Demostración. Es consecuencia de que cualquier dominio finito es un cuerpo(Pequeño Teorema de Wedderburn, 1905). Un anillo de división es, en particular, un dominio, por tanto todo anillo de división finito es un cuerpo. Si Des una K-álgebra de división de dimensión finita (siendo Kfinito). Entonces Des un anillo de división finito (ya que tiene dimensión finita sobre KyKes finito). Por tanto Des un cuerpo yZ(D) = D. Entonces la única álgebra de división de dimensión finita y central es K. Proposición 3.9. El grupo de Brauer de un cuerpo algebraicamente cerrado es trivial. Demostración. En el Corolario 2.30 se ha visto que no hay álgebras de división no triviales sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Tanto los cuerpos algebraicamente cerrados como los cuerpos finitos pertenecen a una familia más grande de cuerpos que tienen grupo de Brauer trivial, llamados los cuerpos quasialgebraicamente cerrados ([13]). Definición 3.10. Sea iun entero positivo. Se dice que un cuerpo Kes Cisi para cualquier entero positivo ntodo polinomio homogéneo (todos los monomios tienen el mismo grado) no constante f∈K[X1, . . . , Xn]con (∂f)i< n tiene un cero no trivial, donde ∂f denota el grado del polinomio f. En particular, se dice que Kes un cuerpo quasi-algebraicamente cerrado si es C1, es decir, si cumple la propiedad que se acaba de enunciar para i= 1. Observación 3.11.Un cuerpo Kes quasi-algebraicamente cerrado si ∀n∈Z>0cualquier polinomio f∈K[X1, . . . , Xn]no constante y homogéneo con ∂f < n tiene un cero no trivial, es decir, existen xi∈Kno todos cero de modo que f(x1, . . . , xn)=0. Observación 3.12.Si un cuerpo es Citambién es Cj∀j∈Z≥i. Se considera Kun cuerpo Ci. Sea j≥iy sea un nentero positivo fijado arbitrariamente. Se toma un f∈K[X1, . . . , Xn]homogéneo no constante tal que (∂f)j< n. Claramente (∂f)i≤(∂f)j, por tanto (∂f)i< n y, por ser Kun cuerpo Ci,ftiene un cero no trivial en K. 3.2. Grupo de Brauer relativo 37 Se concluye que Kes un cuerpo Cj. Teorema 3.13. El grupo de Brauer de un cuerpo C1es trivial. Un cuerpo algebraicamente cerrado verifica la condición de ser C0. Por tanto, es también C1 (3.12) y entonces su grupo de Brauer será trivial. Por otro lado, se ha probado en la Proposición 3.8 que el grupo de Brauer de un cuerpo finito es trivial. Resulta que un cuerpo finito es, en particular, un cuerpo C1. Esta conclusión se deduce del Teorema de Chevalley-Warning que afirma que si Kes un cuerpo finito y n, m enteros positivos. Sean f1, . . . , fm∈K[X1, . . . , Xn]polinomios no constantes verificando m X i=1 ∂fi< n. Entonces su lugar cero, Z(f1, . . . , fm) = x∈Kn/ fi(x) = 0 ∀i= 1, . . . , m⊂Kn, tiene un cardinal divisible por p. Proposición 3.14. Un cuerpo finito es C1. Demostración. Es consecuencia directa del Teorema de Chevalley-Warning. Proposición 3.15. Cualquier cuerpo algebraicamente cerrado es C0. 3.2. Grupo de Brauer relativo Durante esta sección, se estudiará el grupo de Brauer relativo. Para ello, y durante todo el capítulo, se considerará una extensión de cuerpos E|Ky una K-álgebra central y simple de dimensión finita, S. Se ha visto en la Sección 2.3 que la extensión de escalares SEes una E- álgebra. También se ha visto, en la Proposición 2.36 que si Ses central y simple sobre K,SE también lo es (pero sobre E, ya que es una Eálgebra). 38 3. Grupo de Brauer de un cuerpo La extensión de escalares es la base de la construcción del grupo de Brauer relativo, por lo que es necesario conocer cómo se comporta la extensión de escalares con la relación de similaridad y con la operación definida en el grupo. Dada una extensión de cuerpos E|Kse define la aplicación: ϕE|K: Br(K)−→ Br(E) [S]7−→ [SE], siendo SEla extensión de escalares del álgebra Sal cuerpo E, es decir SE=E⊗KS. La aplicación ϕE|Kestá bien definida ya que si Ses un álgebra sobre Kynun entero mayor que 1, existe un isomorfismo de E-álgebras: (Mn(S))E≈Mn(SE). De esta manera, si SyS0son dos álgebras centrales simples similares, las E-álgebras SEyS0 E también lo son. Además, es un homomorfismo, ya que si SyS0son dos álgebras centrales simples sobre K, existe un isomorfismo de E-álgebras: η:SE⊗ES0 E−→ (S⊗KS0)E (1E⊗x)⊗(1E⊗x0)7−→ 1E⊗(x⊗x0). El homomorfismo ϕE|Kpermite extraer información de Br(K)a partir de Br(E), con el que suele ser más fácil trabajar (por ejemplo, si se escoge una extensión algebraicamente cerrada). Además, si se tiene una torre de cuerpos F|E|K, es decir, dos extensiones (E|KyF|E) y si Ses una K-álgebra, entonces existe un isomorfismo de F-álgebras: (SE)F≈SF y el siguiente diagrama es conmutativo: Br(K) ϕE|K// ϕF|K(( Br(E) ϕF|E  Br(F) Definición 3.16. Se llama grupo de Brauer relativo de la extensión E|K, y se denota Br(E/K)al núcleo de ϕ: Br(E/K) := ker(ϕ: Br(K)→Br(E)). 3.2. Grupo de Brauer relativo 39 Dicho de otro modo, Br(E/K)es el conjunto de las clases de equivalencia de álgebras centrales simples cuyas extensiones de escalares al cuerpo Ecoinciden con la clase de equivalencia de E en Br(E). Es decir, son elementos [S]∈Br(K)tales que [SE] = [E⊗S] = [E]. Observación 3.17.Br(E/K)es subgrupo de Br(K), ya que el núcleo de un homomorfismo es, por definición, subgrupo del grupo de partida del homomorfismo. El objetivo de esta Sección 3.2 es buscar apoyo en el grupo de Brauer relativo para acabar construyendo (mediante los grupos de Brauer relativos de un tipo de extensiones determinadas) el grupo de Brauer del cuerpo Ken sí, es decir, todas las clases de equivalencia de álgebras centrales simples sobre ese cuerpo dado. Ahora, que se tiene la definición de este grupo, se busca la relación entre los cuerpos de descomposición y el grupo en sí. Este núcleo, Br(E/K), contiene todas las clases de K-álgebras centrales simples de dimensión finita que se descomponen sobre E, como se puede ver en el siguiente resultado. Lema 3.18. Sea Kun cuerpo, Suna K-álgebra central simple, nel grado de Sy una extensión de cuerpos E|K. Entonces Ees un cuerpo de descomposición para Ssi y sólo si [S]es un elemento de Br(E/K). Demostración. Si Ees un cuerpo de descomposición para SyS0una K-álgebra central simple similar a S. Entonces, existen i, j enteros positivos tales que Mi(S)≈Mj(S0). Por otro lado, como Sse descompone sobre E, se tiene que: SE=E⊗S≈Mn(E). Además, Mi(SE)≈E⊗Mi(S)≈Mi(Mn(E)) ≈Min(E). Como se ha visto que Mi(S)≈Mj(S0): E⊗Mj(S0)≈Mj(S0 E)≈Min(E). Por tanto, EyS0 Eson álgebras similares como E-álgebras centrales simples (es decir, en Br(E)), entonces S0también se descompone sobre Ey ambas pertenecen a Br(E/K). El recíproco se sigue directamente de la definición. 40 3. Grupo de Brauer de un cuerpo Para profundizar en la utilidad de este grupo, se utilizará la noción de extensión de cuerpos de Galois. Definición 3.19. Sea una extensión de cuerpos E|K. Se dice que f∈K[X]es el polinomio irreducible de α∈Esi es mónico, f(α) = 0 y si, en caso de haber otro g∈K[X]tal que g(α)=0entonces fdivide a g. Definición 3.20. Una extensión de cuerpos E|Kse dice normal si para cualquier elemento α∈Eel polinomio irreducible de αen Ktiene todas sus raíces en E. Definición 3.21. Una extensión E|Kse dice separable si todo elemento α∈Ees separable sobre K, es decir, si es algebraico y si su polinomio irreducible sobre Ktiene todas las raíces distintas sobre una clausura algebraica de K. Observación 3.22.La condición de que los elementos sean algebraicos no afecta a este estudio, ya que se están considerando extensiones de cuerpos finitas y toda extensión de cuerpos finita es algebraica, es decir, todos sus elementos son algebraicos. Definición 3.23. Sea una extensión de cuerpos E|K, se dice que es de Galois si es una extensión normal y separable. Ahora se verá que para cualquier K-álgebra central simple Sexiste una extensión de Galois de Kque es cuerpo de descomposición para S. De esta manera, se obtendrá una manera alternativa de construir el grupo de Brauer a partir del grupo de Brauer relativo. Teorema 3.24. Si Ses un álgebra central simple de dimensión n2, entonces cualquier subcuerpo estrictamente maximal Ede Ses un cuerpo de descomposición para S. Además, [E:K] = [S: E] = n. Demostración. Por el Teorema Centralizador (Teorema 2.49), se tiene que [S:K] = [E:K]· [C(E) : K]. Al ser Eun cuerpo, C(E) = Ey entonces [S:K]=[E:K]2. Como por hipótesis [S:K] = n2, entonces [E:K] = n. Los eementos de Eactúan en Spor la izquierda y los elementos de SPor la derecha, y estas dos acciones conmutan. Así, se construye una aplicación: f:E⊗S−→ EndE(S)≈Mn(E) x⊗s7−→ f(x⊗s) 3.2. Grupo de Brauer relativo 41 de modo que que, para un s0∈Sarbitrario, f(x⊗s)(s0) = xss0. Como Ses central y simple y E es simple (es un cuerpo) entonces E⊗Ses simple. Por tanto fes inyectiva, al tener un dominio no vacío simple. Además, [SE:K]=[SE:E]·[E:K] = n2·n=n3. Lo mismo pasa con Mn(E), de este modo, al tener ambos dimensión n3sobre K, se tiene que fes isomorfismo. Por tanto, S se descompone sobre E. Teorema 3.25. Jacobson-Noether. Sea Kun cuerpo y Duna K-álgebra no conmutativa central de división. Entonces, existe un elemento x∈D\Z(D)que es separable sobre K. Demostración. [9] Teorema 3.26. Sea Kun cuerpo y xun elemento de Br(K). Entonces, existe una extensión separable E|Ktal que x∈Br(E/K). Demostración. Si [x] = [K]se tiene trivialmente. Se asume, entonces, que [x]6= [K]. Sea Dun álgebra de división en [x]. Por el Teorema 3.25 existen subcuerpos separables de Dque contienen a K. Sea Eun subcuerpo de Dque contenga aKy que sea maximal con respecto a la condición de ser separable como extensión de K. Se puede observar que la K-subálgebra CD(E)es de división y contiene a E. Por el Corolario 2.50: E=CD(CD(E)), por lo que Ees el centro de CD(E). Por lo tanto, CD(E)es un álgebra de división central sobre E. Si E6=CD(E), por el Teorema 3.25, existe y∈CD(E)\Etal que la extensión E(y)|Ees no trivial y separable. Entonces E(y)es un subcuerpo de Dseparable sobre Ky más grande que E, lo que contradice la maximalidad de E. Por tanto se concluye que E=CD(E). Así, se tiene que Ees cuerpo de descomposición para D. Entonces, [x]es un elemento de Br(E/K). Corolario 3.27. Sea Kun cuerpo y [x]∈Br(K). Entonces existe una extensión de Galois E de Ktal que [x]es un elemento de Br(E/K). Corolario 3.28. Sea Kun cuerpo. Se tiene: Br(K) = [ E|Kde Galois finitas Br(E/K). 42 3. Grupo de Brauer de un cuerpo Demostración. La inclusión Br(K)⊂[ E|K Br(E/K)es consecuencia directa del Corolario anterior. Por otro lado, por definición de grupo de Brauer relativo, Br(E/K)⊂Br(K)(para cualquier extensión E|K), por lo tanto, la otra inclusión se tiene inmediatamente. Bibliografía [1] R. B. J. T. Allenby, Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann (1991). [2] M. Auslander y O. Goldman, The Brauer Group of a Conmutative Ring, American Mathematical Society (2015). [3] N. Bourbaki, Elements of mathematics-Algebra, Springer-Verlag (1973). [4] P. L. Clark, Nonconmutative Algebra, Lecture Notes (2012). [5] B. Farb y K. R. Dennis, Nonconmutative algebra, Springer-Verlag (1993). [6] P. Guille y T. 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