Álgebra Homológica

Traballo Fin de Grao Álgebra Homológica Samuel Alvite Pazo 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Álgebra Homológica Samuel Alvite Pazo Xullo, 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA ii Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Álgebra Título: Álgebra Homológica Breve descrición do contido El álegbra homológica es una herramienta de gran utilidad en campos principales de la matemática como por ejemplo la geometría algebraica y la teoría algebraica de números. En este TFG se comenzará introduciendo las construcciones y nociones básicas de un curso estándar de álgebra homológica, para continuar con algunos aspectos más sofisticados de esta teoría que son de utilidad en geometría algebraica o en teoría de números. Bibliografía Godement, R., Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux. Hermann, Paris 1958 Rotman, J. J., An introduction to homological algebra. Pure and Applied Mathematics, 85. New York-San Francisco-London: Academic Press 1979 Tamme, G., Introduction to Étale Cohomology. Universitext, Springer-Verlag 1994 Recomendacións iv Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Topologías de Grothendieck 1 2. Prehaces abelianos 9 2.1. CohomologíaČech ............................ 10 2.2. Los funtores fpyfp............................ 22 3. Haces abelianos 29 3.1. Cohomología de Haces Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Apéndice 45 A. Definiciones y resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 v Resumen La noción de topología de Grothendieck, una generalización de la estructura de espacio topológico, se ha convertido en una herramienta básica en geometría algebraica y aritmética desde su introducción hace sesenta años por A. Grothendieck, principalmente porque permite el desarrollo de buenas teorías de homología en estos campos. Presentamos entonces los aspectos básicos de las topologías de Grothendieck, partiendo de los conceptos más básicos del álgebra homológica, así como la noción de cohomología de haces en una topología de Grothendieck. Abstract The notion of Grothendieck topology, a generalization of the topological space structure, has become a basic tool in algebraic and arithmetic geometry since its introduction by A. Grothendieck sixty years ago, mainly because it allows to develop nice homology theories in these fields. We expose the basics of Grothendieck topologies, from the basic concepts of homological algebra, as well as the notion of sheaf cohomology on a Grothendieck topology. vii 4CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍAS DE GROTHENDIECK – Si Λes un anillo, la categoría de Λ-álgebras (en particular, tomando Λ = Z, la categoría de anillos). – Si Λes un anillo y Z es una Λ-álgebra, la categoría de Λ-álgebras sobre Z (es decir, los objetos son homomorfismos de Λ-álgebras A→Z, y los morfismos son homomorfismos de Λ-álgebras (sobre Z) A→Btales que el triángulo A Z B es conmutativo). Entonces en Clos epimorfismos efectivos son exactamente los morfismos sobreyectivos. Veamos primero que epimorfismo efectivo implica sobreyectivo. Esto es claro en conjuntos y módulos por la Observación 1.6.2, pero nótese que en otras categorías epimorfismo no implica sobreyectivo (por ejemplo, la inclusión Z,→Qes un epimorfismo de anillos). Veámoslo ahora en general. En cada una de estas categorías C, un morfismo f:A→Bda lugar a un morfismo ˜ f:A→im(f). Tomando X= im(f) y el morfismo A→im(f)de Hom(A, X)en el igualador de la definición, entonces existe h:B→im(f)tal que el triángulo A B im(f) f ˜ fh es conmutativo. Componiendo hf y˜ fcon la inclusión j: im(f),→B, obtenemos jhf =j˜ f. Pero j˜ f=fpor definición de f, con lo que jhf =f. Como f es un epimorfismo por la Observación 1.6.2, jh =idBy así jes sobreyectiva, es decir, im(f) = B. Veamos ahora que sobreyetivo implica epimorfismo efectivo. En cualquiera de estas categorías, un diagrama Cα −→ D⇒β γEes un igualador si i) Cα −→ Des inyectivo. ii) Si d∈Dverifica β(d) = γ(d), entonces existe c∈Ctal que α(c) = d. Si f:A→Bes sobreyectivo, entonces Hom(B, X)→Hom(A, X)es inyectivo, pues sobreyectivo implica epimorfismo en cualquiera de estas categorías, y así i) está claro. Para ver ii), sea g∈Hom(A, X)tal que sus dos imágenes en Hom(A×BA, X) son iguales. Tenemos entonces que para todo (a1, a2)∈A×BA(es decir, para todo a1, a2∈Atales que f(a1) = f(a2)), g(a1) = g(a2). Como fes sobreyectivo, podemos 5 definir entonces h:B→Xmediante h(b):=g(a)donde a∈f−1(b). Por lo anterior, este elemento existe y g(a)no depende de su elección. Este hes un morfismo en C yges la imagen de hpor Hom(B, X)→Hom(A, X). Definición 1.6.4. Un morfismo f:A→Ben una categoría con límites finitos es universalmente un epimorfismo efectivo si para todo morfismo B0→Bel morfismo inducido A×BB0→B0 es un epimorfismo efectivo. Lema 1.6.5. Sean Uα −→ VyVβ −→ Wuniversalmente epimorfismos efectivos. Entonces Uβ◦α −−→ Wtambién lo es. Demostración. Por la propiedad universal del producto tenemos morfismos U×VU→U×WU→V×WV y un diagrama asociado para cada objeto Z, claramente conmutativo: Hom(U×WU, Z) Hom(V, Z)Hom(U, Z)Hom(U×VU, Z) Hom(W, Z)Hom(V, Z)Hom(V×WV, Z) t xm n r s y z p q lu k Nótese que en el diagrama x=l, pero empleamos diferentes letras para seguir el diagrama más cómodamente. Las dos filas del diagrama son igualadores por hipótesis. Vamos a ver que la diagonal es un igualador, con lo que β◦αserá un epimorfismo efectivo. Sea f∈ Hom(U, Z)tal que r(f) = s(f). Entonces m(f) = tr(f) = ts(f) = n(f)y así existe g∈Hom(V, Z)tal que x(g) = f, es decir, tal que l(g) = f. Por la conmutatividad de Hom(U×WU, Z) Hom(U, Z) Hom(V, Z)Hom(V×WV, Z) r s p q l k 6CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍAS DE GROTHENDIECK si demostramos que kes inyectivo, tenemos que p(g) = q(g), con lo que existirá h∈Hom(W, Z)tal que y(h) = g, y así z(h) = ly(h) = l(g) = f, probando que la diagonal es un igualador. Para ver que kes inyectivo, vamos a ver que U×WU→V×WVes un epimorfismo. Este morfismo es la composición U×WUU×Wα −−−−→ U×WVα×WV −−−−→ V×WV donde ambos morfimos son epimorfismos, pues αes universalmente un epimorfismo efectivo, y en particular epimorfismo universal, con lo que la composición de estos dos epimorfismos es un epimorfismo. Hemos probado que β◦αes un epimorfismo efectivo. Veamos que es universalmente un epimorfismo efectivo. Consideremos un morfismo W0→Wy un diagrama de cuadrados cartesianos U×WW0=U×V(V×WW0)V×WW0W0 U V W α0β0 αβ Tenemos que probar que la composición de la fila superior es un epimorfismo efectivo. Como αyβson universalmente epimorfismos efectivos, α0yβ0son epimorfismos efectivos por definición, y así su composición es epimorfismo efectivo por lo visto antes. Proposición 1.6.6. En cualquiera de las categorías del Ejemplo 1.6.3, todo epimorfismo efectivo es universalmente un epimorfismo efectivo. Demostración. Se deduce de que epimorfismo efectivo equivale a sobreyectivo en esas categorías y que la sobreyectividad en ellas se conserva por cambios de base. Más generalmente, aunque no lo vamos a utilizar y por ello no haremos la demostración, se tiene el siguiente resultado (Corolario 1.6.9). Definición 1.6.7. Sea Cuna categoría con límites finitos. Un objeto Pde Ces proyectivo si Hom(P, A)→Hom(P, B)es sobreyectivo para todo epimorfismo efectivo A→B. En las categorías del Ejemplo 1.6.3, por lo visto en dicho ejemplo, esta definición coincide con la usual en dichas categorías. Diremos que Ctiene suficientes proyectivos si para todo objeto Ade Cexiste un objeto proyectivo Pde Cy un epimorfismo efectivo P→A. Proposición 1.6.8. Sea Cuna categoría con límites finitos que tiene suficientes proyectivos. Sea f:A→Bun morfismo. Son equivalentes: i) fes un epimorfismo efectivo. ii) Hom(P, A)→Hom(P, B)es sobreyectivo para todo objeto proyectivo P. 7 Demostración. Puede consultarse en [7, Chapter II, §4, Proposition 2, page II.4.3]. Corolario 1.6.9. Sea Cuna categoría con límites finitos que tiene suficientes proyectivos. Si f:A→Bes un epimorfismo efectivo, entonces es universalmente un epimorfismo efectivo. Demostración. Sea g:B0→Bun morfismo, Pun objeto proyectivo y h:P→B0 un morfismo. Por la Proposición 1.6.8 es suficiente encontrar un morfismo l:P→ A×BB0tal que pr2◦l=h. Como Pes proyectivo y f:A→Bes un epimorfismo efectivo, existe un morfismo α:P→Atal que f◦α=g◦h. Así, por definición de A×BB0, existe l:P→A×BB0único tal que pr1◦l=α,pr2◦g=h, y así f◦α=f◦(pr1◦l) = (f◦pr1)◦l= (g◦pr2)◦l=g◦(pr2◦l) = g◦h. Estas nociones se generalizan a familias de morfismos {Ui→V}i∈I, con V fijado para todo i∈I. Una familia {Ui→V}i∈Ies una familia de epimorfismos efectivos si el diagrama Hom(V, Z)→Y i Hom(Ui, Z)⇒Y i,j Hom(Ui×VUj, Z) es un igualador para todo Zen C. Del mismo modo, es universalmente una familia de epimorfismos efectivos si {Ui×VV0→V0}i∈Ies una familia de epimorfismos efectivos para todo morfismo V0→Ven C. Definimos sobre la categoría Cla topología canónica Ttomando como conjunto de recubrimientos la colección de familias {Ui→U}que son universalmente de epimorfismos efectivos en C. Veamos que se satisfacen los axiomas de la Definición 1.1. En el caso de T1), sea {Ui→V}universalmente una familia de epimorfismos efectivos y V0→Vun morfismo. Entonces {Ui×VV0→V0}i∈Iuna familia de epimorfismos efectivos. Queremos ver que para todo morfismo W→V0, la familia {(Ui×VV0)×V0W→W}es una familia de epimorfismos efectivos, pero como (Ui×VV0)×V0W∼ =Ui×V(V0×V0W), basta verlo para {Ui×V(V0×V0W)→ V0×V0W}, pero esto se tiene por ser {Ui→V}universal. Para ver T2), sólo hay que tener en cuenta que la composición de epimorfismos efectivos universales es un epimorfismo efectivo universal por el Lema 1.6.5, y que este resultado se extiende a familias de epimorfismos efectivos fácilmente. Para ver que se satisface T3), sea U0ϕ −→ Uun isomorfismo. Entonces, se tiene que el diagrama Hom(U, Z)ϕ∗ −→ Hom(U0, Z)⇒Hom(U0×UU0, Z) es un igualador para todo Zen C, ya que la propiedad universal se sigue del hecho de que Hom(U, Z)ϕ∗ −→ Hom(U0, Z)es un isomorfismo. Para ver que es universal, dado un morfismo Vf −→ U, falta ver que U0×UV→Ves un epimorfismo efectivo. Pero por ser U0ϕ −→ Uun isomorfismo, se tiene que U0×UV∼ =V, pues 8CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍAS DE GROTHENDIECK V V U0U ϕ−1◦f id f ϕ es un producto fibrado. Así, U0×UV→Vtambién es un isomorfismo, y se razona igual que para U0ϕ −→ U. Nótese que, tal y como se ha definido T, todos los prehaces representables en T son, de hecho, haces: dado un recubrimiento {Ui→U}, por ser este universalmente una familia de epimorfismos efectivos, el diagrama Hom(U, Z)→Y i0 Hom(Ui0, Z)⇒Y (i0,i1) Hom(Ui0×UUi1, Z) es un igualador para todo Zen Co, equivalentemente, para el prehaz representable asociado a Z. Es más, la topología canónica es la topología más fina en la que los prehaces representables son haces. Sea T0otra topología sobre C, tal que todo prehaz representable es un haz. Para todo recubrimiento {Ui→U}en cov(T0)y todo Zen C, dado que Hom(−, Z)es un haz, el diagrama Hom(U, Z)→Y i0 Hom(Ui0, Z)⇒Y (i0,i1) Hom(Ui0×UUi1, Z) es un igualador. Por tanto, {Ui→U}es una familia de epimorfismos efectivos. Análogamente, como en virtud del axioma T1) se tiene que, dado un morfismo V→U,{Ui×UV→V}es un recubrimiento, se sigue que es también una familia de epimorfismos efectivos y así {Ui→U}es universal. Vemos entonces que todo recubrimiento de T0es también un recubrimiento de la topología canónica T, de modo que Tes la topología más fina sobre Cpara la que todo prehaz representable es un haz. Capítulo 2 Prehaces abelianos Proposición 2.1. Sea Pla categoría de prehaces abelianos en una topología T. Se tiene: 1. Pes una categoría abeliana con generadores que satisface Ab5). 2. Una sucesión de prehaces abelianos F0→F→F00 es exacta en Psi y sólo si la sucesión F0(U)→F(U)→F00(U)es exacta en Abpara todo U∈cat(T). Demostración. El resultado se sigue directamente de las Proposiciones A.4 y A.7, tomando C=cat(T)0yC0=Ab. Corolario 2.2. La categoría abeliana Ptiene suficientes objetos inyectivos. Demostración. Basta aplicar el Teorema A.8. Observación 2.3.La demostración de la Proposición A.7 implica que una familia de generadores de Ppuede construirse usando que Zes un generador de la categoría Aby definiendo la familia de prehaces abelianos (ZU)U∈Tdada por ZU(V) = M Hom(V,U) Z para V∈T. Además, dado un prehaz abeliano F, existe un isomorfismo F(U) = Hom(Z, F(U)) ∼ =Hom(ZU, F) funtorial en F, es decir, que el prehaz ZUrepresenta al funtor sección en U, definido como ΓU:F→F(U), de PaAb. Proposición 2.4. Sea Iuna categoría y Hom(I,P)la categoría de funtores F: I → P, y denotemos por Fiylim −→ FiaF(i), i ∈ I, y lim −→ F, respectivamente. 9 10 CAPÍTULO 2. PREHACES ABELIANOS i) Para cada funtor F:I → P existe el límite directo lim −→ Fi, y (lim −→ Fi)(U) = lim −→ Fi(U). Además, el funtor lim −→ :Hom(I,P)→ P es aditivo y exacto por la derecha. ii) Si la categoría Ies pseudodirigida, entonces lim −→ :Hom(I,P)→ P es exacto. Demostración. Sea lim −→ Fi(U)el límite directo de la composición de funtores IF −→ PΓU −→ Ab. Es claro que el prehaz abeliano en Ttal que U→lim −→ Fi(U), junto con los morfismos de prehaces Fi(U)→lim −→ Fi(U)representan al funtor de PaSets lim −→ F. La exactitud para i) y ii) se sigue de forma directa de las Proposiciones A.15 y A.18, respectivamente. 2.1. Cohomología Čech El Corolario 2.2 afirmaba que la categoría de prehaces abelianos Ptiene suficientes objetos inyectivos, de modo que para todo objeto Fde esta categoría se tiene un monomorfismo F→I0para cierto prehaz inyectivo I0. Así, puede construirse para cada objeto una resolución inyectiva, es decir, una sucesión exacta en P 0→F→I0→I1→I2→. . . donde los objetos Ijson inyectivos para j≥0. En estas condiciones, como ya se ha comprobado que Pes una categoría abeliana, se tiene que para cualquier funtor covariante F:P → C0con Fexacto por la izquierda, existe el funtor derivado (RqF)q≥0, siendo C0una categoría abeliana cualquiera. Ejemplo. Si U∈Ob(T), el funtor de secciones en UΓU:P → Ab, con ΓU(F) = F(U)es exacto por la Proposición 2.1, y así RqΓU= 0 para todo q > 0. Sin embargo, cuando estemos en la categoría de haces (en vez de en la categoría de prehaces), donde ΓU:S → Abya no es exacto, los funtores derivados RqΓUjugarán un papel muy importante. Sea {Ui→U}un recubrimiento en la topología T. Puede construirse un funtor H0({Ui→U},−) : P → Ab que asigna a cada prehaz abeliano en Tel grupo abeliano H0({Ui→U}, F) = ker Yi∈IF(Ui)⇒Y(i0,i1)∈I×IF(Ui0×UUi1) Proposición 2.5. El funtor H0({Ui→U},−) : P → Abes aditivo y exacto por la izquierda 2.1. COHOMOLOGÍA ČECH 11 Demostración. La aditividad se deduce de la exactitud por la izquierda. Sea 0→ F0→F→F00 →0una sucesión exacta en P. Se tiene el siguiente diagrama: 0 0 0 H0({Ui→U}, F0)H0({Ui→U}, F)H0({Ui→U}, F00) 0QiF0(Ui)QiF(Ui)QiF00(Ui) 0 0Qi,j F0(Ui×UUj)Qi,j F(Ui×UUj)Qi,j F00(Ui×UUj) 0 donde las filas son exactas en virtud de la Proposición 2.1 (ya que los productos son exactos en la categoría de grupos abelianos) y las columnas son exactas por definición de H0({Ui→U},−). Aplicando el Lema de la serpiente [9, Theorem 6.5, page 174] sobre las dos filas inferiores del diagrama, se obtiene una sucesión exacta 0→H0({Ui→U}, F0)→H0({Ui→U}, F)→H0({Ui→U}, F00) concluyendo así que el funtor es exacto por la izquierda. Por lo establecido al inicio de esta sección, estamos en condiciones de definir los funtores derivados de H0({Ui→U},−). Definición 2.6. Sea F un prehaz abeliano en T. Se define el q-ésimo grupo de cohomología Čech con valores en F asociado al recubrimiento {Ui→U} como el q-ésimo funtor derivado de H0({Ui→U},−), es decir: Hq({Ui→U}, F) = RqH0({Ui→U},−)(F) Una forma alternativa de introducir estos grupos de cohomología es el uso de los complejos de cocadenas Čech. Veamos esta construcción: Definición 2.7. Sea {Ui→U}i∈Iun recubrimiento en la topología Ty un prehaz abeliano F. Para q≥0, se define el grupo de q-cocadenas con valores en F para el recubrimiento {Ui→U}i∈Icomo Cq({Ui→U}, F) = Y(i0,...,iq)∈Iq+1 F(Ui0×U· · · ×UUiq) 12 CAPÍTULO 2. PREHACES ABELIANOS Estos grupos de q-cocadenas deben formar un complejo, y para ello se introduce la diferencial dq:Cq({Ui→U}, F)→Cq+1({Ui→U}, F), definida como: (dqs)i0,...,iq+1 = q+1 X ν=0 (−1)νF(ˆν)(si0,..., ˆ iν,...,iq+1 ) donde ˆν:Ui0×U· · ·×UUiq+1 →Ui0×U· · ·×Uˆ Uiν×U· · ·×UUiq+1 denota la proyección natural sobre el producto fibrado resultante de eliminar el factor Uiν. Como además dq+1 ◦dq= 0 para todo q≥0,C∗({Ui→U}, F)forma un complejo. En efecto, sea q≥0fijado y s∈Cq({Ui→U}, F). (dq+1 ◦dq)(s)i0,...,iq+2 = q+2 X ν=0 (−1)νF(ˆν)(dqs)i0,...,ˆ iν,...,iq+2 = q+2 X ν=0 (−1)νF(ˆν) ν−1 X ν0=0 (−1)ν0F(ˆ ν0)(si0,..., ˆ iν0,..., ˆ iν,...,iq+2 ) + q+2 X ν0=ν+1 (−1)ν0−1F(ˆ ν0)(si0,..., ˆ iν,..., ˆ iν0,...,iq+2 )! donde ν06=ν. Sean ν0yνfijados y supongamos, sin pérdida de generalidad, que ν0> ν. Tenemos que: Ui0×U· · · ×Uˆ Uiν×U· · · ×Uˆ Uiν0×U· · · ×UUiq+2 ˆν ←− Ui0×U· · · ×Uˆ Uiν0×U· · · ×UUiq+2 ˆ ν0 ←− Ui0×U· · · ×UUiq+2 es lo mismo que Ui0×U· · · ×Uˆ Uiν×U· · · ×Uˆ Uiν0×U· · · ×UUiq+2 ˆ ν0 ←− Ui0×U· · · ×Uˆ Uiν×U· · · ×UUiq+2 ˆν ←− Ui0×U· · · ×UUiq+2 por las propiedades del límite inverso. Entonces, se tiene que: (−1)νF(ˆν)((−1)ν0−1F(ˆ ν0)(si0,..., ˆ iν,..., ˆ iν0,...,iq+2 )) = −(−1)ν0F(ˆ ν0)((−1)νF(ˆ ν0)(si0,..., ˆ iν,..., ˆ iν0,...,iq+2 )) por ser ν0◦ν=ν◦ν0yFun funtor contravariante. Por lo tanto, todos los sumandos se cancelan y se tiene el resultado buscado. El siguiente resultado afirma que ambas construcciones son equivalentes. Teorema 2.8. Sea F un prehaz abeliano sobre una topología T. El q-ésimo grupo de cohomología Čech, Hq({Ui→U}, F), se identifica canónicamente con el q-ésimo grupo de homología del complejo C∗({Ui→U}, F). Demostración. En primer lugar, denotemos los grupos de cohomología del complejo C∗({Ui→U}, F)mediante ˜ Hq({Ui→U}, F). Es decir: ˜ Hq({Ui→U}, F) = ker(dq)/im(dq−1), q ≥1 2.1. COHOMOLOGÍA ČECH 13 ˜ H0({Ui→U}, F) = ker(d0) Puesto que un morfismo de prehaces (una transformación natural) F→Ginduce de forma natural un homomorfismo de complejos C∗({Ui→U}, F)→C∗({Ui→ U}, G), se tiene para cada q≥0un homomorfismo ˜ Hq({Ui→U}, F)→˜ Hq({Ui→ U}, G)tomando homología. Así, se obtiene para cada q≥0un funtor ˜ Hq({Ui→U},−) : P → Ab que es claramente aditivo. Queremos ver que este sistema de funtores forma un ∂-funtor de PaAb(Apéndice, Definición A.9). Para ver que se puede dotar a estos funtores de un homomorfismo de conexión ∂, se considera una sucesión exacta de prehaces 0→F0→F→F00 →0 Se tiene que esta sucesión da lugar a una sucesión exacta de complejos 0→C∗({Ui→U}, F0)→C∗({Ui→U}, F)→C∗({Ui→U}, F00)→0 Es decir, que para cada q≥0, se tiene que la sucesión en Ab 0→Cq({Ui→U}, F0)→Cq({Ui→U}, F)→Cq({Ui→U}, F00)→0 es exacta, puesto que Cq({Ui→U}, F) = Q(i0,...,iq)∈Iq+1 F(Ui0×U· · · ×UUiq)y entonces el resultado se sigue directamente de la Proposición 2.1 y de que Qes exacto en Ab. Esto permite definir el homomorfismo de conexión en cohomología ∂:˜ Hq({Ui→U}, F00)→˜ Hq+1({Ui→U}, F0) para q≥0que satisface las siguientes propiedades, como se detalla en [9, Theorems 6.2, 6.3 and 6.4, pages 171-173]: 1. Dado un diagrama conmutativo 0F0F F00 0 0G0G G00 0 de morfismos de prehaces abelianos, donde las filas son exactas, el diagrama ˜ Hq({Ui→U}, F00)˜ Hq+1({Ui→U}, F0) ˜ Hq({Ui→U}, G00)˜ Hq+1({Ui→U}, G0) ∂ ∂ 20 CAPÍTULO 2. PREHACES ABELIANOS Teorema 2.13. El funtor F→ˇ H0(U, F)de la categoría Pa la categoría Abes aditivo y exacto por la izquierda. Además, los funtores derivados por la derecha de este funtor vienen dados por los grupos de cohomología Čech. Demostración. Para completar esta prueba, será necesario comprobar que el funtor lim −→ :Hom(J0 U,Ab)→ Ab es exacto. En primer lugar, dado un objeto U∈cat(T)y dos recubrimientos {Ui→U}y {U0 j→U}, el recubrimiento {U0 j→U}se dice más fino que {Ui→U}si existe un refinamiento f:{U0 j→U}→{Ui→U}, y se denota {U0 j→U}≥{Ui→U}. Observamos que, dados los recubrimientos {Ui→U}i∈Iy{U0 j→U}j∈J, utilizando las propiedades de la Definición 1.1, se tiene que {Ui×UU0 j→U}(i,j)∈I×J también es un recubrimiento de U, pues por la primera propiedad, {Ui×UU0 j→ U0 j}i∈Ies un recubrimiento de Upara un jfijado, y por la segunda propiedad (por composición con {U0 j→U}j∈J), se obtiene el resultado. Por las propiedades del producto fibrado Ui×UU0 j, se tienen los refinamientos: {Ui→U} {Ui×UU0 j→U} {U0 j→U} Así, el conjunto de recubrimientos de Ues un conjunto dirigido. Por el Lema 2.12, el funtor Hq(−, F)se factoriza a través del conjunto ordenado de recubrimientos que acabamos de definir para todo q≥0, puesto que si consideramos dos recubrimientos {Ui→U},{Vj→U}tales que {Ui→U} ≥ {Vj→U}y{Ui→U} ≤ {Vj→U}, es decir, {Ui→U}α  β {Vj→U} entonces consideramos los refinamientos entre los mismos recubrimientos {Ui→U}β◦α  id {Ui→U} que, por el funtor Hq(−, F)van en el mismo morfismo por el Lema 2.12, luego Hq(β◦α, F) = Hq(id, F) = id (análogamente, Hq(α◦β, F) = id). Por tanto, como Hq(α, F)◦Hq(β, F) = id yHq(β, F)◦Hq(α, F) = id,Hq(α, F)yHq(β, F)son 2.1. COHOMOLOGÍA ČECH 21 isomorfismos (inversos uno del otro), de modo que Hq({Ui→U}, F)yHq({Vj→ U}, F)son isomorfos. Esto significa que podemos considerar el límite desde este conjunto dirigido cociente (cambiando, en caso de ser necesario, objetos en Abpor otros isomorfos, lo cual no afecta a la exactitud), y que este conjunto sea dirigido implica que el límite es exacto, como queríamos demostrar. Sea ahora 0→F0→F→F00 →0una sucesión exacta en P. Queremos ver que la sucesión 0→ˇ H0(U, F0)→ˇ H0(U, F)→ˇ H0(U, F00) es exacta. Sabemos que el funtor H0({Ui→U},−)es exacto por la izquierda, luego para todo recubrimiento {Ui→U}, la sucesión 0→H0({Ui→U}, F0)→H0({Ui→U}, F)→H0({Ui→U}, F00) es exacta. Además, esta sucesión es funtorial en {Ui→U}. Por lo tanto, aplicando lim −→ que, pensado desde el conjunto dirigido anterior, es exacto, se tiene la exactitud de la sucesión 0→ˇ H0(U, F0)→ˇ H0(U, F)→ˇ H0(U, F00) como queríamos demostrar. Por otro lado, queremos ver que la familia (ˇ Hq(U, −))q≥0forma un ∂-funtor universal y exacto, pues así, dado que el funtor derivado por la derecha de ˇ H0(U, −) es un ∂-funtor universal y exacto que extiende a ˇ H0(U, −)y es único, tendremos que los grupos de cohomología Čech forman este funtor derivado. Dado un refinamiento f:{U0 j→U}→{Ui→U}y una sucesión exacta 0→F0→F→F00 →0 de prehaces, el diagrama inducido Hq({Ui→U}, F00)Hq+1({Ui→U}, F0) Hq({U0 j→U}, F00)Hq+1({U0 j→U}, F0) es conmutativo, con lo que los ∂-funtores H∗({Ui→U},−)para cada recubrimiento {Ui→U}dan lugar a un ∂-funtor ˇ H∗(U, −) = lim −→{Ui→U}H∗({Ui→U},−), pues: 1. Tomando lim −→ en los diagramas anteriores obtenemos un morfismo para cada q ˇ Hq(U, F00)→ˇ Hq(U, F0) 2. Para todo diagrama conmutativo de sucesiones exactas en P 22 CAPÍTULO 2. PREHACES ABELIANOS 0F0F F00 0 0G0G G00 0 el diagrama inducido . . . ˇ Hq(U, F0)ˇ Hq(U, F)ˇ Hq(U, F00)ˇ Hq+1(U, F0). . . . . . ˇ Hq(U, G0)ˇ Hq(U, G)ˇ Hq(U, G00)ˇ Hq+1(U, G0). . . es conmutativo (por la propiedad universal de lim −→) y las filas son exactas, pues por lo visto al principio de la demostración, podemos considerar lim −→ como funtor exacto (sobre el conjunto dirigido definido anteriormente) y basta considerar que todas las sucesiones · · · → Hq({Ui→U}, F00)→Hq+1({Ui→U}, F0)→. . . en cohomología asociadas a una sucesión exacta 0→F0→F→F00 →0en Pson también exactas, por lo visto en el Teorema 2.8. Así, por exactitud del funtor lim −→, las sucesiones · · · → ˇ Hq(U, F00)→ˇ Hq+1(U, F0)→. . . son exactas. Por último, el ∂-funtor es universal, pues si Fes inyectivo en P ˇ Hq(U, F) = lim −→ {Ui→U} Hq({Ui→U}, F) = lim −→ 0 = 0 como se sigue de la demostración del Teorema 2.8 para cada Hq({Ui→U}, F). Por lo tanto, esto permite concluir que los funtores derivados por la derecha de ˇ H0(U, −) vienen dados por ˇ Hq(U, −), esto es, para todo q≥0: Rqˇ H0(U, −) = ˇ Hq(U, −) 2.2. Los funtores fpyfp Sean TyT0dos topologías, con PyP0las categorías de prehaces abelianos en TyT0, respectivamente. Sea f:T→T0un funtor entre las categorías subyacentes. Vamos a construir dos funtores adjuntos, fpyfp, entre las categorías PyP0. Uno de ellos puede definirse inmediatamente: 2.2. LOS FUNTORES FPYFP23 Definición 2.14. Se define el funtor fp:P0→ P como aquel que a cada prehaz F0 en T0le asigna el prehaz fpF0en Tdado por fpF0(U) = F0(f(U)) para todo U∈cat(T), y que a cada morfismo de prehaces en T0v0:F0→G0le asigna el morfismo fpv0:fpF0→fpG0de prehaces en T, tal que fpv0(U) = v0(f(U)) para todo U∈cat(T). Observación 2.15.El funtor fp:P0→ P es aditivo, exacto y conmuta con límites directos. La aditividad se sigue de la exactitud, y la exactitud viene dada por la Proposición 2.1, ya que si 0→F0→G0→H0→0es exacta en P0, la sucesión en P 0→fpF0→fpG0→fpH0→0 es exacta si y sólo si la sucesión en Ab 0→fpF0(U)→fpG0(U)→fpH0(U)→0 lo es para todo Uen T, pero esto es, por definición 0→F0(f(U)) →G0(f(U)) →H0(f(U)) →0 Por último, la conmutatividad con límites directos se obtiene mediante aplicación directa de la Proposición 2.4. Teorema 2.16. i) El funtor fptiene un funtor adjunto por la izquierda, fp:P → P0.fpes un funtor aditivo, exacto por la derecha y conmuta con límites directos. ii) Si fp:P → P0es exacto, entonces fp:P0→ P lleva prehaces inyectivos en P0en prehaces inyectivos en P. Demostración. Para ver que fptiene adjunto por la izquierda, debemos ver que el funtor G0→Hom(F, fpG0) de P0aAbes representable, es decir, que para cada Fen Pexiste un objeto fpF en P0, y para cada G0en P0un isomorfismo Hom(fpF, G0)∼ =Hom(F, fpG0) de grupos abelianos funtorial en G0. Así, se tiene que fpes de forma natural un funtor de PaP0, que además es adjunto por la izquierda al funtor fp. Como sabemos 24 CAPÍTULO 2. PREHACES ABELIANOS que fpes aditivo y exacto por la izquierda, si vemos que fpes su adjunto por la izquierda tendremos automáticamente que fpes aditivo y exacto por la derecha. La conmutatividad con los límites directos se obtiene entonces directamente de la Proposición A.16. En primer lugar, debe definirse fpFpara un prehaz Fen P. Sea U0∈cat(T0), y considérense los pares (U, φ0), donde U∈cat(T)yφ0es un morfismo φ0:U0→f(U) en T0. Definimos la categoría IU0tomando estos pares como objetos y, dados dos objetos (U1, φ0 1)y(U2, φ0 2), definiendo un morfismo (U1, φ0 1)→(U2, φ0 2)como un morfismo φ:U1→U2tal que el diagrama f(U1) U0 f(U2) f(φ) φ0 1 φ0 2 es conmutativo. La asignación (U, φ0)→F(U)da lugar a un funtor contravariante FU0de IU0a Ab. Considerando la categoría dual I0 U0, el funtor se vuelve covariante, y podemos definir fpF(U0) = lim −→ I0 U0 FU0= lim −→ (U,φ0) F(U) ya que este límite directo siempre es representable, por ser Abuna categoría en las condiciones de la Proposición A.15. Con respecto a las aplicaciones 0:U0→V0en T0, como estas inducen un funtor IV0→ IU0sin más que asignar (V, φ0:V0→f(V)) →(V, φ0◦0:U0→f(V)), obtenemos un morfismo lim −→ I0 V0 FV0→lim −→ I0 U0 FU0 inducido por el morfismo que lleva cada F(V)del sistema directo de la izquierda en el F(V)del sistema de la derecha como la identidad. Así, tenemos un homomorfismo fpF(V0)→fpF(U0)y hemos construido el prehaz abeliano fpFen T0. Para ver la existencia de isomorfismos Hom(fpF, G0)∼ =Hom(F, fpG0)funtoriales en G0, considérese primero un morfismo v:fpF→G0en P0. Para cada Uen Tse obtiene un homomorfismo v(f(U)) : fpF(f(U)) →G0(f(U)) = fpG0(U) 2.2. LOS FUNTORES FPYFP25 Como (U, idf(U))es un objeto de la categoría If(U), se tiene un homomorfismo canónico F(U) = Ff(U)(U, idf(U))→lim −→ I0 f(U) Ff(U)=fpF(f(U)) Componiendo estos dos morfismos, se obtiene un morfismo F(U)→fpG0(U) funtorial en U, y entonces tenemos un morfismo de prehaces abelianos en T vb:F→fpG0 Además, la aplicación Hom(fpF, G0)→Hom(F, fpG0) que asigna vbaves un homomorfismo de grupos abelianos funtorial en G0. En efecto, pues dados los morfismos v1, v2:fpF⇒G0, basta considerar que para todo Ude T, (v1+v2)(f(U)) = v1(f(U)) + v2(f(U)). Por otro lado, sea un morfismo u:F→fpG0en P. Dado U0en T0, para cada objeto (U, ϕ0)en IU0se obtiene un homomorfismo FU0(U, ϕ0) = F(U)u(U) −−→ fpG0(U) = G0(f(U)) G0(ϕ) −−−→ G0(U0) funtorial en (U, ϕ0). Esto induce un homomorfismo fpF(U0) = lim −→ I0 U0 FU0→G0(U0) que es funtorial en U0de T0. Para ver esto, sea h:U0→V0y considérese el siguiente diagrama: lim −→(V,φ0)∈IV0F(V) lim −→(V,φ0)∈IV0G0(f(V)) G0(V0) lim −→(U,ψ0)∈IU0F(U) lim −→(U,ψ0)∈IU0G0(f(U)) G0(U0) en el que la flechas vertical izquierda del cuadrado izquierdo es la inducida por el morfismo que lleva el objeto F(V)del sistema superior al F(V)del sistema inferior como la identidad (análogo para la otra flecha con los objetos G0(f(V))). Para ver que el cuadrado de la derecha es conmutativo, como los morfimos horizontales son los de la propiedad universal de lim −→, es suficiente con demostrar que para todo (V, φ0)∈ IV0el diagrama correspondiente a este cuadrado, pero antes de tomar lim −→, es conmutativo. De esta forma, al tomar lim −→, la conmutatividad se tiene porque se ha probado para todos los representantes de cada elemento de lim −→(V,φ0)∈IV0G0(f(V)). Pero este diagrama es 26 CAPÍTULO 2. PREHACES ABELIANOS G0(f(V)) G0(V0) G0(f(V)) G0(U0) id G0(φ0) G0(h) G0(φ0◦h) y es obviamente conmutativo. Por lo tanto, hemos construido un morfismo de prehaces abelianos en T0 u#:fpF→G0 y, además, se tiene que el morfismo que asigna u→u#es inverso al morfismo v→vb construido anteriormente. Esto concluye la prueba de i). Una vez probado i), ii) resulta sencillo de probar. Sea M0inyectivo en P0, y consideremos una sucesión exacta en P 0→F1→F2→F3→0 Por hipótesis, fp:P → P0es exacto, de modo que la sucesión en P0 0→fpF1→fpF2→fpF3→0 es exacta. Por ser M0inyectivo en P0, el funtor Hom(−, M0)es exacto, luego tenemos una sucesión exacta 0→Hom(fpF1, M0)→Hom(fpF2, M0)→Hom(fpF3, M0)→0 Pero, por lo visto en i), fpes adjunto por la izquierda a fp, luego se tiene un isomorfismo Hom(F, fpM0)∼ =Hom(fpF, M0), que no afecta a la exactitud. Así, la sucesión 0→Hom(F1, fpM0)→Hom(F2, fpM0)→Hom(F3, fpM0)→0 es exacta, de donde el funtor Hom(−, fpM0)es exacto y, por tanto, fpM0es inyectivo en P. Proposición 2.17. Sea f:T→T0un funtor y Fun prehaz abeliano en Trepresentable por un objeto Zde T. El prehaz en T0fpFes representable por el objeto f(Z)de T0. Demostración. Queremos ver que para todo U0en T0,fpF(U0)∼ =Hom(U0, f(Z)). Sea entonces U0en T0. Cada (U, ϕ0)en IU0induce un morfismo F(U) = Hom(U, Z)→Hom(U0, f(Z)) asignando a cada morfismo Uα −→ Zel morfismo U0ϕ0 −→ f(U)f(α) −−→ f(Z). Este morfismo es claramente funtorial en (U, φ0), pues dado U1 φ −→ U2basta considerar el diagrama 2.2. LOS FUNTORES FPYFP27 f(U1)f(Z) U0 f(U2)f(Z) f(α) f(φ) ϕ0 ψ0 f(β) y que α:U1→Zviene dado por Hom(U2, Z)Hom(φ,Z) −−−−−−→ Hom(U1)como imagen de β:U2→Z. Así, se induce por la propiedad universal del límite directo un morfismo fpF(U0) = lim −→ (U,φ0) Hom(U, Z)→Hom(U0, f(Z)) que, además, es funtorial en U0(puede repetirse el razonamiento empleado en el Teorema 2.16). Veamos que se trata de un isomorfismo, para lo que basta comprobar que es inyectivo y sobreyectivo. Supongamos que existen (U1, ϕ0),(U2, ψ0)∈ IU0y morfismos α1:U1→Z, α2:U2→Ztales que f(α1)ϕ0=f(α2)ψ0. Se tiene que α1yα2son representantes de la misma clase en fpF(U0) = lim −→(U,φ0)Hom(U, Z), puesto que el morfismo Hom(Z, Z)→Hom(U1, Z)correspondiente a α1: (U1, ϕ0)→(Z, f(α1)ϕ0)es tal que idZ7→ α1y, análogamente para α2, el morfismo Hom(Z, Z)→Hom(U2, Z) correspondiente a α2: (U2, ψ0)→(Z, f(α2)ψ0)es tal que idZ7→ α2, con lo que, por la conmutatividad de los morfismos canónicos al límite del sistema directo, se tiene la inyectividad. En cuanto a la sobreyectividad, dado ϕ0∈Hom(U0, f(Z)), basta considerar que el morfismo F(Z) = Hom(Z, Z)→Hom(U0, f(Z)) inducido por (Z, ϕ0)∈ IU0lleva idZen f(idZ)◦ϕ0=ϕ0. 28 CAPÍTULO 2. PREHACES ABELIANOS Capítulo 3 Haces abelianos Como en la sección anterior, dada una topología T,Pes la categoría de prehaces abelianos en T. Sea Sla categoría de haces abelianos en Tei:S,→ P el funtor inclusión. Observación 3.1.Sea Fun haz abeliano en T. Para cualquier recubrimiento {Ui→ U}en cov(T), sabemos que el diagrama F(U)→Y i0 F(Ui0)⇒Y (i0,i1) F(Ui0×UUi1) es un igualador. Por lo tanto, H0({Ui→U}, F) = ker Qi0F(Ui0)⇒Q(i0,i1)F(Ui0×UUi1)se identifica con F(U). Como consecuencia de esto, tenemos que ˇ H0(U, F) = lim −→ {Ui→U}∈J 0 U H0({Ui→U}, F) = lim −→ {Ui→U}∈J 0 U F(U) = F(U) de modo que el funtor sección ΓUfactoriza en Scomo ΓU=ˇ H0(U, −)◦i El objetivo de la primera parte de este capítulo será probar que existe un funtor adi:P → S adjunto por la izquierda a i:S,→ P y estudiar sus propiedades. Dado un prehaz Fen T, llamaremos F#al haz abeliano adi(F), y llamaremos a F#el haz asociado al prehaz F. Observación 3.2.Como Ses una subcategoría de P, entonces la condición de que iyadisean adjuntos es equivalente a que para todo Fen Pexista un morfismo F→F#funtorial que tenga la propiedad universal para morfimos de Fa haces abelianos. Es decir, todo morfismo F→G, con Gen S, factoriza de forma única como F→F#→G. 29 36 CAPÍTULO 3. HACES ABELIANOS ver que el producto y suma de dos haces existe, pero lo veremos más adelante para productos y sumas arbitrarias. Sea F→Gun morfismo en S. Para probar Ab1), debemos ver que tiene núcleo y conúcleo. Consideramos, primero, el prehaz K, núcleo de F→G, que por la Proposición 2.1 está dado por K(U) = ker(F(U)→G(U)). Se tiene que Kes un haz y que junto con el morfismo K→Fforma el núcleo de F→Gen S. En efecto, pues dado el recubrimiento {Ui→U}sea el diagrama conmutativo: 0 0 0 K(U)QiK(Ui)Qi,j K(Ui×UUj) F(U)QiF(Ui)Qi,j F(Ui×UUj) G(U)QiG(Ui)Qi,j G(Ui×UUj) En este diagrama, las columnas son exactas por exactitud del funtor Qen Ab, y la segunda y tercera fila también lo son, puesto que FyGson haces. Teniendo esto en cuenta, se sigue por el Lema de la serpiente [9, Theorem 6.5, page 174] que la primera fila es exacta. Como hemos escogido un recubrimiento {Ui→U}arbitrario, Kes un haz. Kes el núcleo de F→Gen P. Por tanto, podemos expresar esto de forma equivalente diciendo que para todo Xen P, la sucesión: 0→Hom(X, K)→Hom(X, F)→Hom(X, G) es exacta. Esto se tiene, en particular, si Xes un haz, pero como Ses una categoría plena de P,HomS(P, P0) = HomP(P, P0)para P, P0en Sy así la sucesión es exacta para morfismos de haces, de modo que Kes el núcleo de F→Gen S. Consideramos ahora un morfismo F→Gde prehaces con conúcleo Cen P. Veremos que C#es el conúcleo del morfismo de haces F#→G#inducido por F→G. Es decir, el conúcleo de un morfismo F→Gen Ses el haz asociado al prehaz dado por C(U) = coker(F(U)→G(U)), ya que F#=F,G#=G. Para verlo, consideramos la siguiente sucesión exacta para cada Xen S 0→Hom(C, X)→Hom(G, X)→Hom(F, X) Como i:S → P y# : P → S son funtores adjuntos, esta sucesión exacta coincide con 0→Hom(C#, X)→Hom(G#, X)→Hom(F#, X) 37 Por lo tanto, C#es el conúcleo de F#→G#en S(por definición de conúcleo). Un razonamiento similar se puede ver para la imagen Ide un morfismo F→G de prehaces, dada por I(U) = im(F(U)→G(U)). Como I= ker(coker(F→G)) = ker(G→C), tenemos la siguiente sucesión exacta en P: 0→I→G→C→0 Como el funtor i◦# =-◦-:P → P es exacto por la izquierda, tenemos que la sucesión 0→I#→G#→C# es exacta en P. Por lo tanto, considerando los morfismos en P, I#∼ =ker(G#→C#) Pero ya hemos visto antes que el núcleo de un morfismo F→Gen Ses precisamente el núcleo del morfismo F→Gconsiderado en P. Por tanto, el haz asociado I#es el núcleo de G#→C#en Sy, así, la imagen de F#→G#en S. De nuevo, se puede repetir el razonamiento para ver que si Jes la coimagen de F→Gen P, entonces J#es la coimagen de F#→G#en S. Para ver Ab2), tenemos que ver que para un morfismo u:F→Gen S, el morfismo unívocamente determinado (Apéndice, Definición A.1) ¯u: coim(u)→ im(u)es un isomorfismo. Considerando el morfismo F→Gen P, por ser Pabeliana, tenemos el isomorfismo canónico ¯v:J→I, donde JeIson el conúcleo y núcleo de uen P, respectivamente. Entonces ufactoriza en Pcomo: F→J¯v −→ I→G Ahora bien, ya hemos visto que J#yI#son el conúcleo y núcleo de u:F→G en S, respectivamente. Además, FyGson haces, luego F∼ =F#yG∼ =G#. Por tanto, aplicando el funtor #a la factorización de uen P, obtenemos: F→J#¯v# −→ I#→G En esta factorización, ¯v#es un isomorfismo (por serlo ¯v), luego tomando u= ¯v# hemos terminado. A continuación, veremos que Stiene productos y sumas arbitrarios (luego, en particular, satisface Ab3)). Sea (Fi)i∈Iuna familia de haces abelianos en T. Definimos el prehaz abeliano QiFi, que asigna (QiFi)(U) = QiFi(U)a cada Ude T. Por la exactitud del producto Qien Ab, es claro que QiFies un haz. Basta dotarlo de las proyecciones canónicas QiFi→Fipara ver que QiFies el producto de los haces Fien P. Como además es un haz y Ses una subcategoría plena de P, es también el producto de los haces Fien S. 38 CAPÍTULO 3. HACES ABELIANOS En cuanto a la suma, consideramos la misma familia (Fi)i∈Ide haces abelianos en T, y denotamos por Fsu suma en P(Psatisface Ab3), de modo que su existencia está asegurada). Entonces, tenemos que el homomorfismo en Ab Hom(F, X)→Y i Hom(Fi, X) inducido por las inyecciones canónicas Fi→Fes biyectivo, i.e, un isomorfismo en Ab. Si ahora consideramos un Xen S, la propiedad universal de F→F#implica que existe una biyección Hom(F#, X)→Y i Hom(Fi, X) como consecuencia de la biyección Hom(F, X)∼ =Hom(F#, X). Por lo tanto, los morfismos Fi→F#, obtenidos por composición con F→F#, son las inyecciones canónicas en F#, la suma directa de los Fien S. Hasta el momento, hemos visto que Ses una categoría abeliana que satisface el axioma Ab3) y tiene productos arbitrarios. Veamos entonces que también satisface el axioma Ab5) y que tiene generadores. Para ver Ab5), consideramos un haz abeliano Cen Ty una familia (Ai)i∈I dirigida de subhaces abelianos de C(es decir, que para todo i∈Iy para todo U en T,Ai(U)⊂C(U), de forma compatible con los morfismos de cat(T)). Dados los morfismos vi:Ai→Ba un haz abeliano fijado B, tales que viestá inducido por vj si Ai⊂Aj, debemos probar que existe una extensión v:A→B que induzca los morfismos vi, donde Aes la imagen en Sdel morfismo LiAi→C (siendo LiAiel haz suma directa). Definimos ¯ Ade forma que ¯ A(U) = PiAi(U) = ∪iAi(U). Es claro que ¯ Aes un prehaz abeliano tal que ¯ A(U)⊂C(U)para todo Uen T. Como Ces un haz, la inclusión ¯ A ,→Cfactoriza a través de ¯ A#en ¯ A→¯ A#→C. Como veremos más adelante, el funtor #es exacto por la izquierda, luego conserva monomorfismos, y así tenemos ¯ A#,→C. Es claro que ¯ A#es la imagen en Sde LiAi→C. En Ppodemos definir a partir de los morfismos viun morfismo ¯ A→B, pero como Bes un haz, este morfismo factoriza en ¯ A→¯ A#¯v# −→ B y, dada la identificación que hemos hecho ( ¯ A#= im(LiAi→C)), podemos concluir que v= ¯v#es la extensión buscada. Para ver que Stiene generadores, recordemos que ya hemos visto que Plos tiene, y dado explícitamente una familia de generadores (Proposición 2.1 y Observación 2.3, respectivamente). 39 Tomando la familia de prehaces abelianos (ZU)U∈T, generadores de P, construimos una familia de generadores de Saplicando el funtor #. Por ser #adjunto por la izquierda de i:S → P: Hom(Z# U, F)∼ =Hom(ZU, F)∼ =F(U) para todo Fen S, de modo que la familia (Z# U)U∈Tes una familia de generadores en S. Por último, veamos que i:S → P es exacto por la izquierda, y que # = adi: P → S es exacto. i:S → P es exacto por la izquierda porque, como hemos visto, el prehaz núcleo Kde un morfismo de haces es, de hecho, un haz. Entonces, si consideramos una sucesión exacta 0→K→F→G en S, considerando esta misma sucesión en Pse sigue teniendo la exactitud. Por su parte, el funtor # : P → S es adjunto por la izquierda al funtor i:S → P, luego es exacto por la derecha, pues dada una sucesión F→G→H→0exacta en Py un Xen S, tenemos el diagrama conmutativo: 0Hom(H, X)Hom(G, X)Hom(F, X) 0Hom(H#, X)Hom(G#, X)Hom(F#, X) ∼ =∼ =∼ = En el diagrama, la primera fila es exacta, pues Hom(−, X)es exacto por la izquierda. Por lo tanto, la segunda fila también es exacta y así se tiene que la sucesión F#→G#→H#→0 es exacta en S. Por otro lado, ya habíamos visto que i◦# =-◦-:P → P es exacto por la izquierda. Además, ies un funtor pleno y fiel, por ser Suna subcategoría plena de P. Consideramos entonces una sucesión 0→F→G→H. Queremos ver que la sucesión 0→F#→G#→H# es exacta en S. Para ello, debemos probar que F#→G#es el núcleo de G#→H#, viendo que se tiene la propiedad universal del núcleo. Sea entonces un haz Ly un morfismo de haces L→G#tal que L→G#→H#= 0, entonces debe factorizar de forma única a través de F#por un morfismo u:L→F#, haciendo conmutativo el siguiente diagrama: F#G#H# L u 40 CAPÍTULO 3. HACES ABELIANOS Sabemos que la sucesión 0→i(F#)→i(G#)→i(H#)(la sucesión anterior, pensada en P) es exacta en P, es decir, el morfismo de prehaces i(F#)→i(G#)es el núcleo de i(G#)→i(H#). Entonces, por la propiedad universal del núcleo, si el prehaz i(L)está en las condiciones anteriores, existe un único g:i(L)→i(F#)que hace conmutativo el diagrama: i(F#)i(G#)i(H#) i(L) g Por ser ipleno, existe un morfismo f:L→F#en Stal que i(f) = g. Además, por ser ifiel, este morfismo fes único (por ser ipleno y fiel, se establece una biyección HomS(L, F#)→HomP(i(L), i(F#)) dada por f7→ i(f)). Finalmente, f hace conmutar el diagrama en S, pues f7→ i(f)es una aplicación inyectiva, luego si el diagrama conmuta tras aplicar i(en P), debe conmutar antes. Por tanto, u=f nos da el resultado buscado. Como # : P → S es exacto por la derecha y exacto por la izquierda, es un funtor exacto. Como consecuencia de este Teorema, introducimos dos corolarios completamente análogos a resultados ya vistos para la categoría Pen el Capítulo 2. Corolario 3.9. La categoría Sde haces abelianos en Ttiene suficientes inyectivos. Demostración. Aplicación directa del Teorema A.8. Corolario 3.10. Sea Iuna categoría y Hom(I,S)la categoría de funtores F:I → S. i) Para cada funtor F:I → S existe el límite directo lim −→ F, y es igual al haz asociado al prehaz dado por U7→ lim −→ Fi(U)(Proposición 2.4). Además, el funtor lim −→ :Hom(I,S)→ S es exacto por la derecha. ii) Si la categoría Ies pseudodirigida, entonces lim −→ :Hom(I,S)→ S es exacto. Demostración. i) Tanto la existencia del límite directo lim −→ Fcomo la exactitud por la derecha de lim −→ :Hom(I,S)→ S se siguen directamente de la Proposición A.15. La conmutatividad de lim −→ con #viene dada por la Proposición A.16. ii) Aplicación directa de la Proposición A.18. 3.1. COHOMOLOGÍA DE HACES ABELIANOS 41 3.1. Cohomología de Haces Abelianos El Teorema 3.8 y el Corolario 3.9 aseguran que la categoría de haces abelianos S es abeliana y tiene suficientes inyectivos. Por tanto, igual que se afirmaba al iniciar la Sección 2.1, dado un funtor covariante F:S → C0exacto por la izquierda, existe el funtor derivado (RqF)q≥0, siendo C0una categoría abeliana cualquiera. Recuperamos también la definición del funtor sección en U, para cada Uen T, pero en esta ocasión considerado en la categoría de haces abelianos. Para Uen T, este funtor ΓU:S → Ab es tal que ΓU(F) = F(U), para cada Fen S. A diferencia de como ocurría en la categoría de prehaces abelianos, este funtor ya no es exacto, sino que es exacto por la izquierda, como composición de los funtores i:S → P (exacto por la izquierda, como se ha visto en el Teorema 3.8) y ΓU:P → Ab(exacto, por la Proposición 2.1). También se puede ver como composición de los funtores i:S → P yˇ H0(U, −) : P → Ab(Observación 3.1), ambos exactos por la izquierda. Definición 3.11. Sea Fun haz abeliano en T. Se define el q-ésimo grupo de cohomología de Ucon valores en Fcomo Hq(U, F) = RqΓU(F) Ejemplo 3.12. Sea Gun grupo y TGla topología canónica en la categoría de G-conjuntos por la izquierda. En esta categoría, los objetos son obviamente los G- conjuntos, y los morfismos son las aplicaciones G-equivariantes, es decir, aquellas aplicaciones fentre G-conjuntos XeYtales que f(g·x) = g·f(x),∀g∈G, ∀x∈X Esta categoría tiene productos fibrados: dados los morfismos Xf −→ ZeYg −→ Z, X×ZYes el conjunto de pares (x, y)∈X×Ytales que f(x) = g(y). Razonando como en el Ejemplo 1.6.3, puede comprobarse que en esta categoría, una familia {Ui ϕi −→ U}es universalmente una familia de epimorfismos efectivos si y sólo si U=∪iϕ(Ui). Es fácil ver que hay una equivalencia de categorías entre la categoría de G- módulos por la izquierda y la categoría de haces abelianos en TG. Esta equivalencia viene dada por los funtores cuasi-inversos A7→ HomG(·, A)yF7→ F(G). Consideremos ahora un G-conjunto unitario e, con la única estructura de G- conjunto posible. Por la equivalencia anterior, dado un G-módulo por la izquierda A, tenemos que el funtor HomG(−, A)es un haz abeliano, de modo que aplicándole el funtor sección en eobtenemos Γe(HomG(−, A)) = HomG(e, A) = AG 42 CAPÍTULO 3. HACES ABELIANOS donde AGdenota el grupo de elementos G-invariantes de A, es decir, AG={a∈A:ga =apara todo g∈Gy todo a∈A} ya que un morfismo G-equivariante ef −→ Asatisface que a=f(e) = f(g·e) = g·f(e) = g·a=a. Utilizando la equivalencia de categorías anterior, podemos identificar al funtor sección Γecon el funtor (−)G, tal que A7→ AG. Este funtor, dada la identificación que acaba de hacerse, es exacto por la izquierda. Se definen, para un G-módulo A,los grupos de cohomología de Gcon coeficientes en A, y se denotan por H∗(G;A), como los funtores derivados por la derecha R∗(−)G(A)(véase [12, Definition 6.1.2, page 161]), considerando (−)Gde la categoría de G-módulos en la categoría de grupos abelianos. Así, si para el q-ésimo grupo de cohomología de econ valores en HomG(−, A), se tiene que: Hq(e, HomG(−, A)) = Hq(G;A) Ejemplo 3.13 (Cohomología de André-Quillen). Para ver la definición de la cohomología de André-Quillen, es necesario introducir previamente algunos conceptos: Definición 3.13.1. Sea Aun anillo y Buna A-álgebra. Sea Cla categoría de A- álgebras sobre B(ver Ejemplo 1.6.3). Si Ces un objeto de C, un elemento de cov(C) se define como un (único) {Df −→ C}tal que fes universalmente un epimorfismo efectivo en C, es decir, tal que fes un homomorfismo sobreyectivo de A-álgebras sobre B. Tenemos así una topología de Grothendieck, ya que sobreyectivo es estable por cambios de base y por composición. Un haz de B-módulos en esta topología será un funtor contravariante Ftal que para todo D→Csobreyectivo, el diagrama F(C)→F(D) p1 ⇒ p2 F(D×CD) es un igualador en la categoría de B-módulos, donde los morfismos p1yp2están inducidos por las proyecciones canónicas D×CD→D. Como la categoría de B- módulos es abeliana, esto es equivalente a que la sucesión 0→F(C)→F(D)p1−p2 −−−→ F(D×CD) sea exacta. Definición 3.13.2. Sea Cun A-álgebra sobre ByMun B-módulo. Definimos una A-derivación de Cen Mcomo un homomorfismo de A-módulos d:C→Mque verifica d(xy) = d(x)y+xd(y). El conjunto de tales A-derivaciones tiene estructura de B-módulo (inducida por la estructura de B-módulo de M) y se denotará como DerA(C, M). 3.1. COHOMOLOGÍA DE HACES ABELIANOS 43 Proposición 3.13.3. DerA(−, M)es un haz de Cen la categoría de B-módulos. Demostración. Sea f:D→Cun recubrimiento (i.e., un homomorfismo sobreyectivo de A-álgebras sobre B). Tenemos que demostrar que la sucesión de homomorfismos de B-módulos 0→DerA(C, M)→DerA(D, M)p1−p2 −−−→ DerA(D×CD, M) es exacta. La inyectividad de DerA(C, M)→DerA(D, M)se debe a que fes en particular un epimorfismo en la categoría de A-módulos (por ser sobreyectivo), ya que las A-derivaciones son en particular homomorfismos de A-módulos. La composición de los dos homomorfismos consecutivos es claramente cero. Finalmente, sea d∈DerA(D, M)tal que d◦pr1=d◦pr2donde pri:D×CD→D son las proyecciones canónicas. Sea d0∈DerA(C, M)definida por d0(c) = d(x), con x∈f−1(c). Este xexiste para todo c∈Cpor ser fsobreyectiva, y d(x)no depende de la elección de xporque d◦pr1=d◦pr2. Resulta fácil ver que d0es una derivación, ya que dlo es. Definición 3.13.4. Se define el q-ésimo módulo de cohomología de André-Quillen de la A-álgebra By el B-módulo Mcomo Hq(A, B, M):=Hq(B, DerA(−, M)) (:=RqΓB(DerA(−, M))) Observación 3.13.5.Esta definición coincide con la usual dada por André [1] y Quillen [8]. La demostración puede verse en [7, Chapter II, §5]. 44 CAPÍTULO 3. HACES ABELIANOS Apéndice A. Definiciones y resultados auxiliares En este capítulo se recogen resultados auxiliares utilizados a lo largo del documento que se alejan del foco central que se sigue. En general, nos contentaremos con dar simplemente una referencia para la demostración, aunque en algún caso incluiremos la demostración por necesitarla explícitamente en el texto principal. Suponemos conocidas las primeras definiciones de teoría de teoría de categorías y de álgebra homológica. Si no se conociesen dichas definiciones, pueden consultarse en [11, Chapter 0, §1, pages 1-4] (o, para un tratamiento más completo, en [10, Sections 1.2, 5.1, 5.5]), y en los primeros capítulos de [9], respectivamente. Definición A.1. Sea Cuna categoría aditiva y u:A→Bun morfismo en C. Se definen la imagen ycoimagen de ucomo im(u) = ker(coker(u)) coim(u) = coker(ker(u)) Si, dado el morfismo u, existen su imagen y coimagen, entonces existe un morfismo unívocamente determinado: ¯u: coim(u)→im(u) Ahora bien, por definición de im(u), se tiene que u:A→Bfactoriza como A→im(u)→B, puesto que im(u) = ker(B→coker(u)) yA→B→coker(u) es el morfismo 0, también por definición. Por otro lado, ker(u)→A→im(u)→B también es el morfismo 0, y sabemos que im(u)→Bes un monomorfismo, de modo que (por ser Caditiva) ker(u)→A→im(u)también se anula. Así, por la propiedad universal de coim(u) = coker(ker(u)→A),A→im(u)factoriza como A→coim(u)→im(u). Se tiene así que el morfismo u:A→Bcoincide con la composición A→coim(u)¯u −→ im(u)→B Definición A.2. Una categoría Cse dice abeliana si es aditiva y satisface las siguientes propiedades: Ab1) Todo morfismo en Ctiene núcleo y conúcleo. 45 52 APÉNDICE Bibliografía [1] André, M., Homologie des algèbres commutatives. Springer-Verlag 1974 [2] Artin, M., Grothendieck Topologies. Mimeographed notes, Harvard University 1962 [3] Artin, M., Grothendieck, A., Verdier J. L., Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas (SGA 4). Tome 1 - 3, Lecture Notes in Mathematics, vol. 269, 270, 305. Springer, Berlin Heidelberg New York 1972, 1973 [4] Demazure, M., Grothendieck, A., Schémas en groupes (SGA 3). Tome 1, Lecture Notes in Mathematics, vol. 151. Springer, Berlin Heidelberg New York 1970 [5] Godement, R., Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux. Hermann, Paris 1958 [6] Grothendieck, A., Sur quelques points d’algèbre homologique. Tohoku Math. J. 9 (1957), pp. 119-221 [7] Quillen, D. G., Homotopical Algebra. Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin Heidelberg 1967 [8] Quillen, D. G.. On the (co-) homology of commutative rings. Proc. Symp. Pure Math (1970), Vol. 17, No. 2, pp. 65-87 [9] Rotman, J. J., An introduction to homological algebra. Pure and Applied Mathematics, 85. New York-San Francisco-London: Academic Press 1979 [10] Rotman, J. J. An introduction to homological algebra. 2ªed., Springer Science & Business Media 2008 [11] Tamme, G., Introduction to Étale Cohomology. Universitext, Springer-Verlag 1994 [12] Weibel, C. A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics , Vol. 38. Cambridge University Press 1994 53 54 BIBLIOGRAFÍA Índice de definiciones ∂-funtor exacto covariante, 48 ∂-funtor universal, 49 Axioma (+), 31 Axioma Ab3), 46 Axioma Ab5), 46 Categoría abeliana, 45 Categoría pseudodirigida, 49 Cohomología Čech con valores en el prehaz F asociado al recubrimiento {Ui→U}, 11 Cohomología Čech de U con valores en el prehaz F, 18 Cohomología de Ucon valores en el haz F, 41 Cohomología de André-Quillen, 43 Coimagen de un morfismo, 45 Derivación de un A-álgebra en un B-módulo, 42 Epimorfismo efectivo, 3 Epimorfismo efectivo universal, 5 Funtor fp, 23 Funtor fp, 24 Funtor effaceable, 49 Generadores en una categoría Ab3), 46 Grupo de q-cocadenas con valores en el prehaz F para el recubrimiento {Ui→U}, 11 Haces sobre la categoría de A-álgebras sobre B, 42 Haz en una topología T, 2 Imagen de un morfismo, 45 Morfismo de ∂-funtores exactos, 48 Morfismo de prehaces, 2 Morfismo de topologías, 2 Objeto inyectivo en una categoría abeliana, 46 Objeto proyectivo, 6 Prehaz en una topología T, 2 Prehaz representable, 3 Refinamiento de un recubrimiento de U, 17 Subcategoría final, 50 Sucesión exacta en una categoría abeliana, 46 Topología de Grothendieck, 2 55