Teorema fundamental de la teoría local de superficies en R³

Traballo Fin de Grao Teorema Fundamental de la Teoría Local de Supercies en R3 Celso Alonso López 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Teorema Fundamental de la Teoría Local de Supercies en R3 Celso Alonso López 09/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Geometría y Topología Título: Teorema Fundamental de la Teoría Local de Super- cies en R3 Breve descrición do contido Se demuestra detalladamente el Teorema Fundamental de la Teoría Local de Supercies en R3 usando el teorema de Frobenius de integrabilidad de ecuaciones en derivadas totales. iii Índice general Resumen vii 1. SUPERFICIES REGULARES 1 1.0.1. CAMBIO DE PARÁMETROS EN UNA SUPERFICIE REGULAR. 2 1.0.2. PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE EN UN PUNTO. . . . 3 1.0.3. FUNCIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES. . . . . 4 1.0.4. COEFICIENTES DE LA PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL ASOCIADA A UNA PARAMETRIZACIÓN. . . . . . . . . . . . . . 5 1.0.5. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL ASOCIADA A UNA PARAMETRIZACIÓN............................ 7 2. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 9 2.0.1. FÓRMULAS DE GAUSS Y WEINGARTEN . . . . . . . . . . . . . 9 2.0.2. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE GAUSS Y CODAZZIMAINARDI. ............................... 12 3. TEOREMA DE FROBENIUS 19 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 23 4.1. SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL Y COEFICIENTES DE WEINGARTEN ASOCIADOS A UN PAR DE FORMAS CUADRÁTICAS . . . . . . . . . . 23 4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 ......... 24 Bibliografía 31 v Resumen Dado un abierto U de R2 , es bien sabido, (de la materia Curvas y Supercies del Grado de Matemáticas), que toda parametrización Φ : U→R3 tiene asociadas dos funciones matriciales I, II :U→M2×2(R) que reciben el nombre de primera y segunda forma fundamentales de la parametrización y que a cada punto de U le asignan sendas matrices 2×2 simétricas, siendo I(u) denida positiva para todo u∈U . En este trabajo probaremos el Teorema Fundamental de Supercies, el cual dice lo siguiente: dadas dos funciones g, L :U→M2×2(R) denidas en un abierto U de R2 y con valores en el espacio vectorial de las matrices simétricas 2×2 (con la primera de ellas denida positiva) y jados u0∈U , p0∈R3 y una base ortonormal {w1, w2, w3} de orientación positiva en R3 entonces existen un entorno abierto U0⊂U y una parametrización Φ : U0→R3 cuya imagen S es una supercie que contiene a Φ(u0) = p0 , y cuya base X1(p0) = D1Φ(u0) , X2(p0) = D2Φ(u0) del plano tangente Tp0S verica X1(p0) = w1 , X2(p0) = w2 , (X1(p0)×X2(p0))/kX1(p0)× X2(p0)k=w3 . Además para todo u∈U0 las matrices de la primera forma fundamental de la parametrización en u coinciden respectivamente con g(u) y L(u) . La primera y segunda forma fundamental se denen, de manera única, en una supercie de R3 salvo isometrías, y dadas dos formas cuadráticas podemos construir una supercie tal que esas formas cuadráticas sean su primera y segunda forma fundamental si satisfacen ciertas condiciones llamadas ecuaciones de compatibilidad. Esto fue estudiado por primera vez por el matemático francés Pierre Ossian Bonnet (1819-1892). En diversos textos se puede encontrar este teorema bajo el nombre de Teorema de Bonnet. Actualmente es complicado encontrar en la literatura básica de geometría una demostración uniforme de estos resultados y es eso precísamente lo que haremos en este trabajo. vii 4 CAPÍTULO 1. SUPERFICIES REGULARES Xij(p) = ∂2X ∂ui∂uj(u) Xji(p) = ∂2X ∂uj∂ui(u). Ahora veremos que la condición (iii) de la denición 1 garantiza que, para cada p∈S , el conjunto de vectores tangentes a las curvas parametrizadas de S que pasan por p, construyen un plano. Dado un punto p de una supercie regular S, hay dos vectores unitarios de R3 que son normales al plano tangente Tp(S) , se llama a cada uno de ellos un vector unitario normal en p. La recta en R3 que pasa por el punto p y contiene a un vector unitario normal en p se denomina recta normal en p. Fijando una parametrización ϕ:U⊂R2→S en p∈S , podemos determinar la elección de un vector unitario normal en cada punto p= Φ(u)∈Φ(U) por N(p) = X1×X2 kX1×X2k(p) = =D1Φ(u)×D2Φ(u) kD1Φ(u)×D2Φ(u)k. Nótese que (X1×X2)(p)6= 0 y que N(p) es perpendicular al plano tangente TpS . 1.0.3. FUNCIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES. Denición 1.5. Sean S⊂R3 una supercie regular de clase r≥1 y f:M→Rn una aplicación. Diremos que f es DIFERENCIABLE de clase r≥1 si para toda parametrización Φ : U→R3 de M si cumple que la composición f◦Φ es de clase r en el abierto U⊂R2 . Denición 1.6. Sean S⊂R3 una supercie regular de clase r≥1 y f:S→R3 una aplicación diferenciable de clase r . Llamaremos APLICACIÓN TANGENTE a f en p= Φ(u) (o DIFERENCIAL de f en p ) a la aplicación lineal Tf(p) : TpM→Rn denida, para v=DΦ(u)·h∈TpM , por Tf(p)·v=D(f◦Φ)(u)·h. 5 Lema 1.7. La denición de Tf(p)·v no depende de la parametrización elegida. Demostración. Si ˜ Φ : ˜ U→Rm es otra parametrización en p= Φ(u) = ˜ Φ(˜u) y eh=D(e Φ−1◦Φ)(u)h entonces v=DΦ(u)·h=De Φ(eu)·eh y D(f◦Φ)(u)h=D(f◦e Φ◦e Φ−1◦Φ)(u)h =D(f◦e Φ)(˜u)◦D(e Φ−1◦Φ)(u)h =D(f◦e Φ)(˜u)·eh. Teorema 1.8. Sean M⊂R3, N ⊂R3 supercies regulares y f:M→R3, g :N→R3 aplicaciones diferenciables de clase r≥1 vericando f(M)⊂N . Entonces, se verica 1. La aplicación compuesta g◦f es diferenciable de clase r 2. Para todo p∈M , con q=f(p) , la aplicación tangente a g◦f es composición de las aplicaciones tangentes de f en p y de g en q , es decir T(g◦f)(p) = Tg(q)◦Tf(p) 3. Para M=N y f=idM:p∈M→idM(p) = p , TidM(p) = idTpM. La demostración puede verse en [1] o en [2]. 1.0.4. COEFICIENTES DE LA PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL ASOCIADA A UNA PARAMETRIZACIÓN. Los planos tangentes a una supercie S heredan el producto interior natural de R3 , es decir, el producto interior natural de R3⊃S induce en cada plano tangente TpS a S un producto interior, que se denotará por Ip y que se denomina primera forma fundamental de S en p . Si v, w ∈TpS⊂R3 entonces Ip(v, w) =< v, w > es igual al producto interior de v y w como vectores de R3 . Ip es una forma bilineal simétrica denida-positiva, es decir, si v6= 0 entonces Ip(v, v) = hv, vi>0. 6 CAPÍTULO 1. SUPERFICIES REGULARES Si Φ : U→R3 es una parametrización de S de clase r > 1 , podemos expresar los vectores v, w ∈TpS en la base de las primeras derivadas parciales de la parametrización v=viDiΦ(u) , w=wjDjΦ(u) y entonces hv, wi= Σviwjhxi, xji= Σviwjgij(u), donde , para todo u= (u1, u2)∈U , con p= Φ(u) , es gij(u) = hDiΦ(u), DjΦ(u)i=hXi(p), Xj(p)i. son los coecientes de la matriz de Gram del producto interior Ip en la base X1(p) = D1Φ(u), X2=D2Φ(u) de TpS . Las funciones gij :U→R son de clase r−1 y se las conoce como los coecientes de la primera forma fundamental en la parametrización Φ . Puesto que Ip:TpS×TpS→R es una aplicación bilineal simétrica denida-positiva, para todo u∈U su matriz de Gram [gij(u)] es denida positiva y en particular invertible. NOTACIÓN. Denotaremos [gkl(u)] es la matriz 2×2 inversa de gij(u) , es decir, para i, j, k = 1,2 , gij(u)gjk(u) = δi k (suma en el índice repetido arriba y abajo). Observemos que la matriz [gkl(u)] es también simétrica. Observemos que la función g=det[gij] es una función estrictamente positiva, dado que, por el criterio de Sylvester, al ser Ip una aplicación simétrica estrictamente denida-positiva, su matriz de Gram [gij(u)] también lo es luego, para todo u∈U se cumple g11(u)>0, g(u) = det[gij(u)] >0. 7 1.0.5. SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL ASOCIADA A UNA PARAMETRIZACIÓN. Sea Φ : U→R3 una parametrización de supercie regular S y N el campo de vectores unitario y normal asociado N(Φ(u)) = D1Φ(u)×D2Φ(u) kD1Φ(u)×D2Φ(u)k. La supercie S se llama orientable si es posible recubrirla con una familia de entornos parametrizados tales que si un punto q∈S pertenece a dos entornos parametrizados de dicha familia, el jacobiano del cambio de parametrización es positivo en q. Esta familia se llama una orientación de S. Esto equivale a que los campos normales locales N asociados a cada parametrización coinciden en las intersecciones. Existen supercies no orientables, pero cada abierto parametrizado es una supercie orientable. Supondremos en el resto del trabajo que todas las parametrizaciones son de clase r≥3 . Para cada u∈U la segunda forma fundamental IIp en p= Φ(u) es la aplicación bilineal IIp:TpS×TpS→R dada así: dados v=viDiΦ(u), w =wjDjΦ(u)∈TpS IIp(v, w) = viwjhDijΦ(u), N(Φ(u))i. Puede verse que si cambiamos a otra parametrización ˜ Φ cuyo campo normal asociado sea ˜ N el numero IIp(v, w) no cambia cuando ˜ N(p) = N(p) , mientras que su signo cambia si ˜ N(p) = −N(p) ). Los COEFICIENTES DE LA SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL IIp asociados a la parametrización Φ : U→R3 son las funciones Lij :U→R denidas por Lij(u) = hDijΦ(u), N(Φ(u))i. Es corriente llamar X en lugar de Φ a la parametrización y Xij(p) = DijΦ(u) ; así se escribe habitual (y abusivamente) Lij =hXij, Ni. 8 CAPÍTULO 1. SUPERFICIES REGULARES Capítulo 2 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 2.0.1. FÓRMULAS DE GAUSS Y WEINGARTEN Usando las condiciones vistas en el capítulo anterior, para cada punto p= Φ(u) , con u∈ U , podemos expresar las parciales de orden dos Xij(p) = DijΦ(u) de una paramatrización Φ : U→R3 como combinación lineal de los tres vectores de la base de R3 dada por X1(p) = D1Φ(u), X2(p) = D2Φ(u), X3(p)=(N◦Φ)(u), de este modo DijΦ(u) = Ah ijDhΦ(u) + Bij(N◦Φ)(u). (suma en el índice repetido h= 1,2 ). Resulta inmediatamente [7], que Bij =Lij(u) (coecientes de la segunda forma fundamental) mientras que Ah ij =hDijΦ(u), DkΦ(u)igkh(u). Llamaremos símbolos de Christoel asociados a la parametrización Φ a las funciones Γh ij :U→R dadas por Γh ij(u) = hDijΦ(u), DkΦ(u)igkh(u), (que expresan los coecientes de tipo A en la expresión anterior). Así hemos demostrado 9 10 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Teorema 2.1. (Fórmulas de Gauss) Sea Φ : U→R3 una parametrización, entonces, para todo u∈U y para todo i, j = 1,2 , se cumple DijΦ(u) = ΣkΓk ij(u)DkΦ(u) + Lij(u)(N◦Φ)(u). Si llamamos p= Φ(u) , Xj(p) = DjΦ(u) , Xij(p) = DijΦ(u) , lo anterior se escribe así Xij = ΣkΓk ij(u)Xk+LijN. (2.1) La siguiente propiedad juega un papel muy importante en este trabajo y expresa que los símbolos de Christoel son funciones de los coecientes de la primera forma fundamental gij y de sus primeras derivadas parciales. Teorema 2.2. para todo i, j, k = 1,2 Γk ij = (1/2) 2 X l=1 (Digjl −Dlgij +Djgli)glk (hay suma en el índice repetido arriba y abajo). Demostración. Para esta demotración se usa la técnica llamada permutación cíclica de índices Digjl =DihXj, Xli=hXji, Xli+hXj, Xlii (2.2) Dlgij =DlhXi, Xji=hXil, Xji+hXi, Xjli (2.3) Djgli =DjhXl, Xii=hXlj, Xii+hXl, Xiji (2.4) Consideramos que X es de clase C3 , Xij =Xji . Combinando estas tres ecuaciones obtenemos (1/2)(Digjl −Dlgij +Djgli) = hXij, Xli Si multiplicamos este resultado por glk y el sumatorio sobre l, obtenemos (1/2) 2 X l=1 (Digjl −Dlgij +Djgli)glk =XhXij , Xliglk = Γk ij 11 : Fijada la parametrización, el campo normal unitario N dene una aplicación diferenciable N:P= Φ(U)→S2 (llamada a veces la aplicación de Gauss). Es diferenciable como aplicación de supercies y TN(p) es una aplicación lineal de Tp(S) en Tn(p)(S2) , porque, para todo u∈U , al hacer las parciales de la aplicación constante 1 = h(N◦Φ)(u),(N◦Φ)(u)i , se cumple, para i= 1,2 , h(N◦Φ)(u), Di(N◦Φ)(u)i= 0. Como TpS y TN(p)S2 son planos oprtogonales a N(p) podemos identicarlos, y así TN(p) puede verse como un endomorsmo lineal en Tp(S) . Por lo anterior, las parciales Dj(n◦ Φ)(u) son vectores tangentes a S . Las fórmulas de Weingarten consisten en expresar Dj(n◦ Φ)(u) como combinación lineal de las primeras parciales de la parametrización Φ Sean p= Φ(u)∈S y v=viX1(p) + v2X2(p) = DΦ(u)·(viEi)∈TpS . Es fácil ver que hN(p), Di(n◦Φ)(u)i= 0, luego la aplicación lineal Lp:TpS→R3 conocida como operador de Weingarten o shape operator , que lleva un vector tangente v=viX1(p)+v2X2(p) = DΦ(u)·(viEi) en Lp(v) = −TN(p)·v=−D(N◦Φ)(u)·(viEi) = −viDi(n◦Φ)(u) es un endomorsmo del plano tangente Tp(S) . Teorema 2.3. (Weingarten) Sea Φ : U→R3 una parametrización de una supercie S , entonces, para todo v, w ∈TpS , 1. El operador de Weingarten Lp y la segunda forma fundamental IIp verican hLp(v), wi=IIp(v, w). 2. El operador de Weingarten Lp es un endomorsmo autoadjunto, es decir hLp(v), wi=hv, Lp(w)i. 3. Si L(Xk)=ΣLh kXl , entonces Li j=gikLkj. La demostración puede verse en [7] o en [3]. De lo anterior se deduce la siguiente propiedad importante. 12 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Corolario 2.4. (Fórmulas de Weingarten). Sea Φ : U→R3 una parametrización de una supercie S y N el campo normal asociado sobre el abierto P= Φ(U) de S . Se tiene, para j= 1,2 Dj(N◦Φ)(u) = −Li jDiΦ(u), (suma en el índice repetido) lo que se denota Nj=−Li jXi. abreviadamente. 2.0.2. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE GAUSS Y CODAZZIMAINARDI. Para todo 1⩽i, l, j, k ⩽2, las funciones Rl ijk :U→R denidas por Rl ijk =∂Γl ik ∂uj−∂Γl ij ∂uk+ Σ(Γp ikΓl pj −Γp ijΓl pk). (2.5) denen el llamado tensor curvatura de la supercie. Esto signica lo siguiente: Si a, b, c ∈TpS , entonces la aplicación R:TpS×TpS×TpS→TpS dada, para a=aiXi , b=bjXj , c=ckXk por R(aiXi, bjXj, ckXk) = aibjckRl ijkXl es tri-lineal e independiente de la parametrización usada. Se dice que R es un campo de tensores de tipo (2,3) , o simplemente un tensor (en este caso, el tensor de curvatura de la supercie S parametrizada con Φ ) Teorema 2.5. Para todo 1⩽i, l, j, k ⩽2. se tiene (i) Ecuaciones de Gauss Rl ijk =LikLl j−LijLl k; (2.6) (ii) Ecuaciones de Codazzi-Minardi ∂Lij ∂uk−∂Lik ∂uj= Σ(Γl ikLij −Γl ijLlk). (2.7) 13 Demostración. Usando las fórmulas de Gauss (2.1), tenemos que Xijk =∂(LijN+ΣΓl ijXl)/∂uk . Por lo tanto Xijk =∂Lij ∂ukN+LijNk+ Σ∂Γl ij ∂ukXl+ Γl ijXlk =∂Lij ∂ukN−ΣLijLl kXl+ Σ∂Γl ij ∂ukXl+ Γl ijΓm lkXm+ ΣΓl ijLlkN = (∂Lij ∂uk+ ΣΓl ijLlk)N+ Σ(∂Γl ij ∂uk−LijLl k+ ΣΓp ijΓl pk)Xl. De forma similar Xikj = (∂Lik ∂uj+ ΣΓl ikLlj)N+ Σ(∂Γl ik ∂uj−LikLl j+ ΣΓp ikΓl pj)Xl. Asumimos que X es por lo menos de clase C3 , Xijk =∂3X ∂uk∂uj∂ui=∂3X ∂uj∂uk∂ui=Xikj . {X1, X2, N} es una base de R3 en cada punto, de modo que las diversas componentes de Xijk con respecto a esta base deben ser iguales a las de Xikj . Entonces (∂Lij ∂uk+ ΣΓl ijLlk)=(∂Lik ∂uj+ ΣΓl ikLlj) (2.8) (∂Γl ij ∂uk−LijLl k+ ΣΓp ijΓl pk)=(∂Γl ik ∂uj−LikLl j+ ΣΓp ikΓl pj) (2.9) La ecuación (2.8) se puede reescribir como ∂Lij ∂uk−∂Lik ∂uj= Σ(Γl ikLij −Γl ijLlk) que son precisamente las ecuaciones de Codazzi-Minardi (2.7). La ecuación (2.9) se puede reescribir como ∂Γl ik ∂uj−∂Γl ij ∂uk+ Σ(Γp ikΓl pj −Γp ijΓl pk) = LikLl j−LijLl k. Dado que la parte izquierda de la ecuación es Rl ijk (por denición), obtenemos la ecuación de Gauss. 20 CAPÍTULO 3. TEOREMA DE FROBENIUS donde decimos que una función diferenciable ξ:U→V es una hipotética solución, cuando es diferenciable de clase ≥1 en U y su diferencial en cada u∈U (equivalentemente, su matriz jacobiana en u ) verica la igualdad anterior en todo u∈U . Es decir, ξ es una solución de la ecuación en derivadas totales asociada a la función F si y sólo si es de clase ≥1 y para todo u∈U tiene una matriz jacobiana en u cuyas componentes son los números Fαj(u, ξ(u)) . Luego, que ξ sea solución de la ecuación asociada a F equivale al sistema de m×n ecuaciones en derivadas parciales ∂ξα ∂uj(u) = Fαj(u, ξ(u)) o con la notación alternativa para las parciales Djξα(u) = Fαj(u, ξ(u)) Observemos que si F es de clase k entonces una eventual solución es necesariamente de clase k+ 1 . En particular , si F es de clase k≥1 entonces una eventual solución ξ sería necesariamente de clase k+ 1 ≥2 y por el Lema de Schwarz tendríamos Dijξα(u) = Djiξα(u), es decir Di(Djξα)(u) = Dj(Diξα)(u), Si denotamos momentáneamente Hαj :u∈U→Hαj(u) = Fαj(u, ξ(u)) ∈R es evidente que Hαj es al menos de la misma clase que F . Además,que ξ sea solución de la ecuación signica que se cumple (para todo α= 1, . . . , n y j= 1, . . . , m ) Djξα=Hαj Por tanto de Di(Djξα) = Dj(Diξα) deducimos que tiene que cumplirse la identidad DiHαj =DjHαi. Por otra parte, aplicando la regla de la cadena y cambiando a la notación clásica para las parciales, ( DiHαj(u) = ∂Hαj ∂ui(u) ) obtenemos que ∂Hαj ∂ui(u) = ∂Fαj ∂ui(u, ξ(u)) + ∂ξβ ∂ui(u)∂Fαj ∂vβ(u, ξ(u)) =∂Fαj ∂ui(u, ξ(u)) + Fβi(u, ξ(u))∂Fαj ∂vβ(u, ξ(u)) 21 (suma en el índice repetido β ). Análogamente obtenemos que ∂Hαi ∂uj(u) = ∂Fαi ∂uj(u, ξ(u)) + ∂ξβ ∂uj(u)∂Fαi ∂vβ(u, ξ(u)) =∂Fαi ∂uj(u, ξ(u)) + Fβj(u, ξ(u))∂Fαi ∂vβ(u, ξ(u)) (suma en el índice repetido β ). Así, con todo lo anterior hemos probado Teorema 3.1. Con las notaciones anteriores, dada una función F:U×V→M de clase k≥1 y a valores en el espacio de matrices M=Mn×m(R) , para que el sistema de ecuaciones ∂vα ∂uj=Fαj(u, v) admita una solución ξ:u∈U→v=ξ(u)∈V es condición necesaria que se cumplan las igualdades ∂Fαj ∂ui(u, ξ(u)) + ∂Fαj ∂vβ(u, ξ(u))Fβi(u, ξ(u)) =∂Fαi ∂uj(u, ξ(u)) + ∂Fαi ∂vβ(u, ξ(u))Fβj(u, ξ(u)), (suma en el índice repetido). La demostración se puede observar en[4], [5], [6] y [10] . El Teorema de Frobenius es exactamente el recíproco de este enunciado, pero exigiendo que F sea de clase k≥2 . Se pueden añadir unas condiciones iniciales para que la solución sea única. Teorema 3.2. (Frobenius, 1875). Sean M=Mn×m(R) el espacio vectorial de las matrices reales de n las y m columnas, U un abierto en Rm , V un abierto en Rn y F:U×V→M una aplicación diferenciable de clase k≥2 . 1. Una condición suciente para que exista una función ξ:u∈U→v=ξ(u)∈V que cumpla el sistema de ecuaciones ∂vα/∂uj(u) = Fαj(u, v) 22 CAPÍTULO 3. TEOREMA DE FROBENIUS es que se cumplan las igualdades ∂Fαj ∂ui+∂Fαj ∂vβFβi =∂Fαi ∂uj+∂Fαi ∂vβFβj, (suma en el índice repetido). 2. Si se cumplen las anteriores condiciones y jamos un u0∈U , un v0∈V y una matriz W0∈M , entonces existen un entorno abierto U0 de u0 y una única solución ξ:U0→V vericando ξ(u0) = v0 y Dξ(u0) = W0 . La demostración se puede observar en[4], [5], [6] y [10] . Capítulo 4 TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 4.1. SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL Y COEFICIENTES DE WEINGARTEN ASOCIADOS A UN PAR DE FORMAS CUADRÁTICAS Empecemos creando unas funciones Γi jk (denotadas así porque son análogas a los símbolos de Christoel de una parametrización, la cual construiremos despues en el teorema de Bonnet y de la que serán efectivamente sus Christoels) y otras Li j que emulan a los coecientes de Weingarten de una parametrización pero que lo serán de la misma que vale para los gamma. Teorema 4.1. Sean U un abierto de R2 y g, L :U→M dos funciones diferenciables de clase r≥3 a valores en el espacio vectorial M de las matrices 2×2 , con g(u) = [gij(u)] simétrica y denido positiva para todo u∈U mientras que L(u) = [Lhk(u)] es siempre simétrica. Denamos las funciones gij, Lk l:U→R denidas así: 1. la matriz [gij(u)] = [gkl(u)]−1] 2. Lj k(u) = gjh(u)Lhk(u). 23 24 CAPÍTULO 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 3. Para todo i, j, k = 1,2 Γk ij = (1/2) 2 X l=1 (Digjl −Dlgij +Djgli)glk (hay suma en el índice repetido arriba y abajo). 4. Rl ijk =∂Γl ik ∂uj−∂Γl ij ∂uk+ Σ(Γh ikΓl hj −Γh ijΓl hk). (4.1) Si tres campos de vectores V1, V2, V3:U→R3 diferenciables son solución del sistema en derivadas totales ∂V1 ∂u1= Γ1 11V1+ Γ2 11V2+L11V3 ∂V1 ∂u2= Γ1 12V1+ Γ2 12V2+L12V3 ∂V2 ∂u1= Γ1 21V1+ Γ2 21V2+L21V3 ∂V2 ∂u2= Γ1 22V1+ Γ2 22V2+L22V3 ∂V3 ∂u1=−(L1 1X1+L2 1X2) ∂V3 ∂u2=−(L1 2X1+L2 2X2) entonces las funciones anteriormente denidas satisfacen las condiciones de Gauss, y Codazzi-Mainardi. La demostración se puede encontar en [7] 4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 Teorema 4.2. (Teorema Fundamental de la Teoría Local de Supercies en R3 )(P. O. Bonnet 1865) Sea U un abierto de R2 y g, L :→M están denidos dos funciones diferenciables de clase r≥2 a valores en el espacio vectorial M de las matrices 2×2 SIMÉTRICAS, con g(u) denida positiva para todo u∈U entonces existe una parametrización X=Φ:U→R3 que tiene como primera forma fundamental a g y como segunda forma fundamental a h. 4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 25 Sean P y Q dos matrices denidas en términos de gij y Lij , entonces P y Q satisfacen la condición de compatibilidad P2−P1+PQ −QP = 0 Demostración. El punto de partida consiste en buscar un triedro móvil , es decir , tres campos de vectores independientes V1, V2, V3:U→R3 que dependan de u= (u1, u2)∈U , y que satisfagan seis (6) ecuaciones diferenciales vectoriales análogas a las fórmulas de Gauss (las cuatro primeras) y a las fórmulas Weingarten (las dos últimas) es decir, ∂V1 ∂u1= Γ1 11V1+ Γ2 11V2+L11V3 ∂V1 ∂u2= Γ1 12V1+ Γ2 12V2+L12V3 ∂V2 ∂u1= Γ1 21V1+ Γ2 21V2+L21V3 ∂V2 ∂u2= Γ1 22V1+ Γ2 22V2+L22V3 ∂V3 ∂u1=−(L1 1X1+L2 1X2) ∂V3 ∂u2=−(L1 2X1+L2 2X2) (4.2) si escribimos los tres vectores columna V1=    ξ1 ξ2 ξ3    , V2=    ξ4 ξ5 ξ6    . V3=    ξ7 ξ8 ξ9    . 26 CAPÍTULO 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 entonces el vector ξ∈R9 formado por las tres columnas V1, V2, V3∈R3 , que también puede pensarse como la matriz 3×3 ˆ ξ= [V1, V2, V3]. Las 18 funciones que aparecen en el segundo miembro de las seis ecuaciones vectoriales anteriores las denotamos Fαj :U×R9→R son funciones de las coordenadas (u, ξ) , u= (u1, u2) , ξ= (ξ1, . . . , ξ9) , α= 1,...,9 , que forman una matriz 9×2 y que cumplen ∂ξα/∂uj=fαj(u, ξ), Las ecuaciones precedentes denen el siguiente sistema de 2×9 = 18 ecuaciones en derivadas parciales en U×R9 ∂ξ1 ∂u1=F11(u, ξ), ∂ξ2 ∂u1=F21(u, ξ); ∂ξ3 ∂u1=F31(u, ξ); ∂ξ1 ∂u2=F12(u, ξ), ∂ξ2 ∂u2=F22(u, ξ); ∂ξ3 ∂u2=F32(u, ξ); ∂ξ4 ∂u1=F41(u, ξ), ∂ξ5 ∂u1=F51(u, ξ); ∂ξ6 ∂u1=F61(u, ξ); ∂ξ4 ∂u2=F42(u, ξ), ∂ξ5 ∂u2=F52(u, ξ); ∂ξ6 ∂u2=F62(u, ξ) ∂ξ7 ∂u1=F71(u, ξ), 4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 27 ∂ξ8 ∂u1=F81(u, ξ); ∂ξ9 ∂u1=F91(u, ξ); ∂ξ7 ∂u2=F72(u, ξ), ∂ξ8 ∂u2=F82(u, ξ); ∂ξ9 ∂u2=F92(u, ξ); donde: Las 12 primeras ecuaciones mimetizan las fórmulas de Gauss, que expresan las parciales de segundo orden de la parametrización Φ que buscamos en función de las parciales de primer orden X1 y X2 de Φ . Por ejemplo, las tres primeras ecuaciones tienen que ser un sucedáneo de la siguiente fórmula de Gauss X11 =D11Φ(u) = Γk ij(u)DkΦ(u) + L11(u)(X3◦Φ)(u). Análogamente las últimas seis ecuaciones (13-18) deben mimetizar las fórmulas de Weingarten, que expresan las parciales del campo V3 (asociado a dicha parametrización buscada, respecto a la que sería V3=N ) en función de V1 y V2 . Siguiendo las notaciones de [11] podemos escribir las nueve ecuaciones que llevan parcial respecto a u1 así ∂[V1, V2, V3] ∂u1 = [V1, V2, V3]P(u) Análogamente podemos escribir las nueve ecuaciones que llevan parcial respecto a u2 así ∂[V1, V2, V3] ∂u2 = [V1, V2, V3]Q(u) Las 18 funciones Fαi :U×R9→R son funciones de las coordenadas (u, ξ) , u= (u1, u2) , ξ= (ξ1, . . . , ξ9) . que forman una matriz 9×2 . Dado que existe solución del anterior sistema ξ(u)=[V1(u), V2(u), V3(u)] , jando un u0= (a1, a2) en U , un p0∈R3 y una base W1, W2, W3 en R3 que verique W3= (W1×W2)/kW1×W2k la parametrización buscada es Φ : U0→R3 28 CAPÍTULO 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 tal que U0⊂U sea un entorno de u0 de la forma U0= (a1−, a1−)×(a2−, a2−) así Φ(u1, u2) = Zs=u1 s=a1 V1(s, u2)ds +Zt=u2 t=a2 V1(u1, t)dt +p0. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral obtenemos, para todo u∈U0 es V1(u) = ∂Φ ∂u1(u) V2(u) = ∂Φ ∂u2(u) Vamos a plantear ahora el sistema de ecuaciones (V1, V2, V3)u1= (V1, V2, V3)P, (V1, V2, V3)u2= (X1, X2, N)Q, (V1, V2, V3)(u0 1, u0 2) = (w1, w2, w3).        (4.3) La condición necesaria del teorema la tenemos demostrada, puesto que si tenemos una parametrización, sabemos que verica las fórmulas de Gauss y Weingarten que son equivalentes al sistema (3.3), derivando estas obtenemos la ecuación de Gauss-Codazzi que es la condición de compatibilidad. Usando el teorema de Frobenius el sistema (3.3) tiene una única solución. A continuación queremos resolver X1=V1, X2=V2, Φ(u0 1, u0 2) = p0.        La condición de compatibilidad es (V1)2= (V2)1 . Pero (V1)2= 3 X j=1 qj1V1, (V2)1= 3 X j=1 pj2V2. Sabemos que la segunda columna de P es igual que la primera columna de Q, entonces (V1)2= (V2)1 por lo que Φ es única. 4.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES EN R3 29 V3 es perpendicular a la supercie Φ , kV3k= 1 , Xi·Xj=gij , y (V3)i·Xj=−Lij , es decir, Φ es una supercie en R3 con I=X ij gijduiduj, II =X ij Lijduiduj, como su primera y segunda formas fundamentales. Vamos a demostrar que la función matricial 3 × 3, Φ=(Vi·Vj) es igual a la matriz G, donde G es la matriz     g11 g12 0 g12 g22 0 0 0 1    . Para esto calculamos la primera derivada de Ψ . Dado que V1 , V2 , V3 satisfacen el sistema de ecuaciones (3.3) tenemos (Vi·Vj)1= (Vi)1·Vj+Vi·(Vj)1 =X k pkiVk·Vj+pkjVk·Vi=X k pkigjk +gikpkj = (GP)ji + (GP )ij = (GP + (GP)t)ij. Por la fórmula (2.10) tenemos que GP =G(G−1A1) = A1 y A1+At 1=G1 . Por lo tanto (GP)t+GP =G1 y Φ1=G1. De forma similar tenemos Φ2=G2. Pero el valor inicial Φ(u0 1, u0 2) = G(u0 1, u0 2) . Entonces Φ = G . En otras palabras, hemos demostrado que Xi·Xj=gij, Xi·V3= 0. Por lo tanto 1. X1 , X2 son linealmente independientes, 2. V3 es un campo vectorial normal unitario a la supercie X, 3. la primera forma fundamental de X es Pij gijduiduj .