Valoración de opcións americanas con tipos de interese negativos: Aplicacións a opcións reais

Traballo Fin de Grao Valoración de opcións americanas con tipos de interese negativos. Aplicacións a opcións reais. Abel Álvarez González 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Valoración de opcións americanas con tipos de interese negativos. Aplicacións a opcións reais. Abel Álvarez González 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Matemática Aplicada Título: Valoración de opcións americanas con tipos de interese negativos. Aplicacións a opcións reais. Breve descrición do contido No contexto das taxas de interese negativas, as opcións nanceiras con posibilidade de exercicio anticipado (opcións americanas) orixinan unha rexión de exercicio que separa dúas rexións de mantemento de opcións. Neste TFG, partindo dos modelos máis clásicos de opcións americanas, revisaranse os resultados existentes no caso de taxas negativas e aplicarase a resolución numérica dos modelos. Por outra banda, estudaranse problemas de opcións reais, que admiten formulacións similares ás das opcións americanas con taxas negativas. Recomendacións Outras observacións iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Os Productos Financeiros 1 1.1. OpciónsAmericanas ............................... 3 1.2. PréstamosdeOuro................................ 3 2. Análise dos Modelos Matemáticos 5 2.1. Presenza de Tipos Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Opción Americana de Venda con Tipos Negativos . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3. Opción Americana de Compra con Tipos Negativos . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. PréstamosdeOuro................................ 20 3. Métodos Numéricos para Opcións Americanas 23 3.1. Discretización de Tempo e Subxacente: Euler Implícito . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Resolución do Problema da Opción de Venda Americana . . . . . . . . . . . 26 3.3. Resolución do Problema da Opción de Compra Americana . . . . . . . . . . 27 3.4. ResultadosNuméricos .............................. 28 4. Conclusión 31 Anexo: Programas para a Resolución de Problemas de Valoración de Opcións 33 Bibliografía 49 v Resumo As opcións americanas con tipo de interese negativo baixo certas condicións dan lugar á aparición dunha dobre rexión de continuación non estándar e, debido a esto, estudiamos as propiedades da dobre fronteira libre que separa a dobre rexión de continuación e a rexión de exercicio. A súa vez, estudamos os métodos numéricos necesarios para a resolución de problemas de valoración de opcións e vemos algunhas aplicacións reais que estes problemas poden ter. Abstract American options with negative interest rate under certain conditions determine the presence of a nonstandar double continuation region and, because of this, we study the properties of the double free boundary that separates the double continuation region and the exercise region. Moreover, we study the numerical methods necessary for solving american option valuation problems and we also see some real aplications for this type of problems. vii 4 CAPÍTULO 1. OS PRODUCTOS FINANCEIROS Nun préstamo de ouro, o prestatario recibe na data da rma do contrato a cantidade do préstamo, usando unha unidade de masa de ouro como garantía, que deberá ser entregada ao prestador. Esta cantidade crece debido a taxa do préstamo estipulada no contrato. Polo tanto, a cantidade a reembolsar o préstamo no futuro usualmente é maior. Cando o prestatario devolve o préstamo, o prestador recibe o ouro de volta e o contrato remata. Capítulo 2 Análise dos Modelos Matemáticos Neste capítulo abarcaremos as análises dos modelos matemáticos das opcións de compra e venda con tipos de interese negativos, tanto para as opcións con madurez nita como para as opcións perpétuas. Ademáis, analizaremos unha opción real, o préstamo de ouro. 2.1. Presenza de Tipos Negativos Nesta sección explícanse diferentes conceptos matemáticos relacionados coas nanzas con especial énfasis nos tipos de interese negativos. Proceso estocástico Un proceso estocástico, W , é unha colección de variables aleatorias, Wt , t∈I denidas sobre o espazo da mostra Ω . Se I é nito, W chamase proceso estocástico nun tempo discreto. Se I é un intervalo, W chamase proceso estocástico en tempo continuo. Para cada t∈I , Wt={Wt(ω), ω ∈Ω} é unha variable aleatoria. Para cada suceso ω∈Ω, Wω={Wt(ω), t ∈I} denomínase traxectoria do proceso W . Movemento Browniano Un movemento browniano é un proceso estocástico en tempo continuo que verica as seguintes propiedades: W0= 0 5 6 CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS Ten incrementos independentes, é dicir: Wt2−Wt1, Wt3−Wt2, ..., Wtn−Wtn−1 , son variables aleatorias independentes para todo 0≤t1< t2< ... < tn, ti∈I Para cada t≥s≥0, Wt−Ws∈N(0, t −s) . Movemento Browniano Xeométrico Un dos principais modelos empregados para representar os movementos dos prezos dun activo suxacente, Xt , é o browniano xeométrico, que verica a seguinte ecuación diferencial estocástica: dXt=µXtdt +σXtdWt, (2.1) donde dWt é o incremento dun movemento browniano estándar, µ é a tendencia e σ denota a volatilidade. Para resolver a ecuación diferencial estocástica anterior denimos o novo proceso Yt=ln Xt X0. (2.2) Aplicando o Lema de Itô para a función F(t, y) = ln(y) obtemos a ecuación diferencial estocástica para Yt : dYt=µ−1 2σ2dt +σdWt, e integrando: Yt= (µ−1 2σ2)t+σWt, (2.3) Agora tendo en conta as expresións (2.2) e (2.3) tense que a solución da ecuación diferencial estocástica é: Xt=X0e(µ−1 2σ2)t+σWt (2.4) Lema de Itô A continuación recordamos o Lema de Itô. [3] Lema 2.1. Lema de Itô. Sexa f(x, t) unha función C2 innitamente diferenciable das variables x e t . Se supoñemos que o proceso {xt, t ≥0} satisfai a ecuación diferencial estocástica: dxt=µ(xt, t)dt +σ(xt, t)dWt, 2.1. PRESENZA DE TIPOS NEGATIVOS 7 onde Wt é un movemento browniano. Entonces a ecuación diferencial estocástica para o proceso ft=f(xt, t) vén dada por dft=∂f ∂x(xt, t)dxt+∂f ∂t +1 2σ2∂2f ∂x2(xt, t)dt, (2.5) ou equivalentemente dft=∂f ∂t +1 2σ2∂2f ∂x2+µ∂f ∂x(xt, t)dt +σ∂f ∂x(xt, t)dWt, (2.6) Este lema é unha identidade utilizada no cálculo de Itô para encontrar a diferencial dunha función dependente dun proceso estocástico. Esta fórmula é unha versión estocástica da regla da cadena do cálculo diferencial usual. Este lema utilízase para obter a ecuación de Black-Scholes. Figura 2.1: Kiyoshi Itô (1915-2008) Denotando Xt é o proceso de prezos do activo subxacente de tipo browniano xeométrico, Vt é o proceso de prezos dunha opción europea e T a data de vencemento (tempo de madurez) da opción. Supoñemos que Vt=v(Xt, t) , donde v é unha función de dúas variables sucientemente derivable nas condicións do Lema de Itô entón aplicando técnicas de cobertura dinámica a función v verica a ecuación de Black-Scholes que indicamos a continuación. Denición 2.2. (Ecuación de Black-Scholes). A ecuación de Black-Scholes é a seguinte ecuación diferencial parcial parabólica para o valor da opción v=v(x, t) denida para x > 0, t ∈[0, T] . ∂v ∂t +1 2σ2x2∂2v ∂x2+ρx∂v ∂x −ρv = 0 (2.7) Esta ecuación de Black-Scholes é utilizada en matemática nanceira para determinar o valor dunha opción europea de compra ou venda. 8 CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS 2.2. Opción Americana de Venda con Tipos Negativos Nesta sección centrarémonos na opción put americana con tipo de interese negativo e veremos as condicións que levan a aparición dunha dobre rexión de continuación non estándar e estudaremos as propiedades de existencia, monotonía, continuidade, límites e o comportamento cerca da madurez da dobre fronteira libre que separa a rexión de exercicio da dobre rexión de continuación. As ideas deste capítulo seguen as liñas principais do estudo realizado en [2]. Consideramos a opción put americana sobre un activo Xt que segue o browniano xeométrico, cuxa tendencia baixo medida de probabilidade real denotamos con µ . Denotamos a volatilidade con σ , o prezo do exercicio con K e a taxa de interese con ρ . O valor da opción put no momento t está dado por vt=v(t, Xt) = ess sup τ∈[t,T ] E[e−ρ(τ−t)(K−Xτ)+|Fτ], ou equivalentemente vt=v(t, Xt) = sup θ∈[0,T −t] E[e−ρθ(K−xθ·exp((µ−σ2 2)θ+σWθ))+], (2.8) donde Wt segue unha distribución browniana baixo a medida de probabilidade real. As esperanzas e as distribucións de procesos estocásticos fan referencia a medida de probabilidade real e, por cuestións de simplicidade, omitiremos a dependencia sobre a medida de probabilidade. Se a opción é perpetua (unha opción con tempo de vencemento innito), o seu valor non depende do tempo e ven dado por: v∞(xt) = sup 0≤θ E[e−ρθ(K−xθ·exp((µ−σ2 2)θ+σWθ))+]. Sen ter en conta o signo de ρ , a función v en (2.8) domina a función de pago, é convexa e decrece con respecto a x , é decrecente con respecto a t e é dominada pola put perpetua v∞ , polo tanto, (K−x)+≤v(t, x)≤v(t, 0) ≤v∞(x)para todo t ∈[0, T]e x ≥0. (2.9) 2.2. OPCIÓN AMERICANA DE VENDA CON TIPOS NEGATIVOS 9 Figura 2.2: Valor da Opción Put Americana v(t, ·) (línea grosa) e o pago de exercicio inmediato (línea na) con prezo de exercicio k= 1 , ρ≥0 e madurez nita. Figura 2.3: Valor da Opción Put Americana v(t, ·) (línea grosa) e o pago de exercicio inmediato (línea na) con prezo de exercicio k= 1 , ρ < 0 e madurez nita. Estas propiedades interactúan co signo de ρ para determinar a forma da fronteira libre e a estructura xeométrica da rexión de exercicio. Máis precisamente, se ρ≥0 , para calquera t < T , temos que v(t, 0) = sup0≤θ≤T−tE[e−ρθ(K−0)+] = (K−0)+. Desde que v(t, x) coincide para x= 0 co exercicio inmediato do pago, a convexidade e (2.9) implican 10 CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS que v(t, x)>(K−x)+ para todo x > 0 (véxase a línea grosa e continua da Figura 2.2) ou v(t, x) = (K−x)+ para calquera x pertencente aos intervalos cuxos extremos son 0 e x∗(t) = sup(x≥0 : v(t, x) = K−x)≤K (véxase a línea grosa da Figura 2.2). O valor de x∗(t) é o único prezo crítico da opción put con taxa de interese non negativa. Isto é certo para unha gran cantidade de procesos de difusión con taxas de interese non negativas. Pola contra, se ρ < 0 , entón o valor da opción americana para x= 0 domina estrictamente ao exercicio inmediato do pago, xa que, v(t, 0) = sup0≤θ≤T−tE[e−ρθ(K−0)+] = e−ρ·(T−t)·K > K. Polo tanto, ou ben o exercicio temperán nunca é óptimo na data t , é dicir, v(t, x)>(K−x)+ para todo x > 0 (véxase na liña grosa e continua da gura 2.3), ou ben o exercicio é óptimo no tempo t para algunhas x0∈(0, K) , é dicir, (K−x0)+=v(t, x0) (véxase na liña grosa da gura 2.3). Se x' fose única, entón a rexión de exercicio colapsa nun só punto (a fronteira libre no tempo t ). Si x ' non é única, entón por convexidade e (2.9) a rexión de exercicio no tempo t está constituida por un segmento conectado denido polos extremos l(t)≤u(t)∈[0, K] donde l(t) = ´ınf(x≥0 : v(t, x)=(K−x)+), (2.10) u(t) = sup(x≥0 : v(t, x)=(K−x)+)∧K, (2.11) tales que v(t, x) = (K−x)+ para l(t)≤x≤u(t) , e v(t, x)>(K−x)+ para x < l(t) e x>u(t) . Isto implica que a rexión de continuación no tempo t se separa en dous segmentos. O exercicio posponse optimamente non só cando a opción é insuciente no diñeiro ( x > u(t) ), senón que tamén cando a opción é excesiva no diñeiro ( x < l(t) ). Na rexión onde o diñeiro é excesivo o valor da opción put americana decrece con maior pendente que o pago inmediato da put, é dicir, (∂v ∂x )(t, x)<−1 (véxase a gura 2.3). Pola contra, se ρ≥0 , a derivada (∂v ∂x )(t, x)≥ −1 para todo x . Polo tanto, se a rexión de exercicio é non vacía na data t , é a negatividade da taxa de interese a que modica a estructura xeométrica usual. Os supostos (2.14) e (2.15) na Proposición 2.4 son condicións sucientes para que a rexión de exercicio sexa non vacía no caso perpetuo e, en consecuencia, no caso de madurez nita para calquera data t . En particular o suposto (2.14) implica que a rendabilidade por dividendo δ=ρ−µ é negativa. Polo tanto, a negatividade tanto de ρ como de µ é crucial para determinar a presencia da rexión de dobre continuación. Certamente, a rexión de continuación non pode ser constituida por máis de dous segmentos non conectados, porque a convexidade da función v(t, ·) debe descansar encima da función de pago (K−·)+ . Denotemos con ER ={(t, x)∈[0, T]×[0,+∞] : v(t, x) = (K−x)+} a rexión de exercicio temperá, e con CR ={(t, x)∈[0, T]×[0,+∞] : v(t, x)>(K−x)+} a rexión de continuación. A función v en (2.8) pode ser expresada como a solución dun sistema de 2.2. OPCIÓN AMERICANA DE VENDA CON TIPOS NEGATIVOS 11 desigualdades diferenciais: ∂ ∂t v+Lv−ρv ≤0en (0, T)×R+, v(t, x)≥π(x), x > 0, t ∈[0, T], ∂ ∂t v+Lv−ρv·(v(t, x)−π(x)) = 0 x > 0, t ∈[0, T]        (2.12) coa condición nal v(T, x) = π(x), x > 0 (2.13) donde π(x) = (K−x)+ , e o operador diferencial ven dado por (Lv)(t, x) = 1 2σ2x2·∂2v ∂x2(t, x) + µx∂v ∂x(t, x) . Cando a taxa de interese é non negativa, sábese que (2.12) admite unha solución innitamente diferenciable. Se a taxa de interese é negativa pódese chegar á mesma conclusión, como se demostras incluida no artigo [2] na seguinte proposición. Proposición 2.3. [2] (Diferenciabilidade Innita do Valor da Opción Put, v, con Taxa de Interese Negativa). A solución de (2.12) admite derivadas parciales ∂v ∂t ,∂v ∂x ,∂2v ∂x2 que están localmente acotada en [0, T)×R+ . Ademais para v cúmprese que ∂v ∂x é continua en [0, T)×R+ . No caso da opción perpetua, a dobre fronteira libre pode ser explicitamente calculada resolvendo a ecuación diferencial implicada por (2.12) na rexión de continuación e aplicando o importante principio "smooth-pasting"na fronteira libre. O resultado require unha vericación ad hoc directa, porque v∞ contravén os requerimentos usuais de acotamento. Por suposto, cando ρ < 0 e x= 0 , o tempo de exercicio óptimo é θ∗= +∞ , e o valor da opción americana é v∞=E[e−ρθ∗(K−0)+]=+∞ . Proposición 2.4. [2] (Opción Put Perpetua con Taxa de Interese Negativa). Si T= +∞ , ρ < 0, µ −σ2 2>0, (2.14) e (µ−σ2 2)2+ 2ρσ2>0, (2.15) entón o valor da opción put americana perpetua é v∞=       Al·xξl, x ∈(0, l∞), K−x, x ∈[l∞, u∞], Au·xξu, x ∈(u∞,+∞), (2.16) 12 CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS donde ξu< ξl son as solucións negativas da ecuación 1 2σ2ξ2+ (µ−σ2 2)ξ−ρ= 0. (2.17) Os prezos críticos dos activos (fronteiras libres) son l∞=Kξl ξl−1e u∞=Kξu ξu−1 (2.18) e as constantes Al e Au veñen dadas por Al=−(l∞)1−ξl ξl e Au=−(u∞)1−ξu ξu . (2.19) Dada unha taxa de interese negativa ρ < 0 , a condición da derivada positiva (2.14) e a condición do discriminante positivo (2.15) garanten a existencia de solucións (negativas) da ecuación (2.17) e descartan o efecto explosivo potencial dunha taxa de interese negativa na función do valor da opción put. Se a taxa de interese é negativa, o titular da opción pode obter unhas ganancias esperadas innitas pospoñendo indenidamente o exercicio da opción.Este incentivo de demora innita pode ser contrarrestado por unha oportunidade signicante de que a opción se vaia quedando sen diñeiro a medida que o tempo transcorre. Este é o caso en que a taxa de crecemento do activo subxacente Xt é sucientemente grande comparada co valor absoluto da taxa de interese negativo, como se indica na condición (2.15): |ρ|<(µ−σ2 2)2 (2σ2) . A función v∞ denida en (2.16) ten as seguintes propiedades na rexión de continuación: v é decrecente, domina a función de pago inmediato, e o proceso {v∞(Xt)e−ρt}t é unha martingala local. A condición (2.15) tamén potencia a supermartingalidade do proceso {v∞(Xt)e−ρt}t na rexión de exercicio temperá. A continuación, na Figura 2.4, móstrase a gráca dunha opción put perpetua. A liña descontinua representa á función de pago mentres que a liña sólida representa o valor da opción. Ademais podemos apreciar a dobre fronteira libre marcada con rombos. 2.2. OPCIÓN AMERICANA DE VENDA CON TIPOS NEGATIVOS 13 Figura 2.4: O Valor da Opción Put Perpetua con ρ=−1 %, K = 1, σ = 15 %, µ = 4 % Se temos unha madurez nita e unha taxa de interese negativa, o Teorema 2.5 proporciona unha descripción precisa da rexión de dobre continuación, que está separada da rexión de exercicio temperá por unha dobre fronteira libre. A fronteira libre superior disfruta de todas as propiedades que ten no caso estándar de taxa de interese non negativa: é crecente e continua, e tende ao prezo de exercicio na data de vencemento. A fronteira libre inferior é decrecente en todas partes e continua en todas partes excepto na data de vencemento, onde presenta unha descontinuidade. Teorema 2.5. [2] (Rexión de Continuación e Caracterización da Fronteira Libre con Madurez Finita e Taxa de Interese Negativa). Si se satisfan as condicións (2.14) e (2.15) , entón para calquera t∈[0, T) , existe u(t) e l(t) tales que ρK ρ−µ≤l(t)< u(t)≤K, (2.20) donde (K−x)+=v(t, x) para calquera x∈[l(t), u(t)] e (K−x)+< v(t, x) para calquera x /∈[l(t), u(t)] . A fronteira libre inferior l: [0, T]→[0, l∞) é decrecente, continua para calquera t∈[0, T), l(T−) = ρK ρ−µ> l(T)=0 . A fronteira libre superior u: [0, T]→(u∞, K] é crecente, continua para calquera t∈[0, T], e u(T) = u(T−) = K . A rexión de exercicio temperá é ER ={(t, x)∈[0, T]×[0,+∞] : l(t)≤x≤u(t)} ,ea rexión de dobre continuación é CR ={(t, x)∈[0, T]×[0,+∞]:0≤x<l(t)ou x>u(t)}, donde {(t, l(t)); (t, u(t)) : t∈[0, T]} é a dobre fronteira libre. 20 CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS é N−1(e−(µ−ρ)(T−t))−N−1(eρ(T−t))≥σ√T−t, que pode ser obtida aplicando a simetría put-call á condición necesaria para o exercicio temperán das opcións put da Proposición 2.7. 2.4. Préstamos de Ouro Os préstamos garantizados experimentaron un gran crecemento dende a crise nanceira. Os bonos do tesouro e as accións son as garantías máis aceptadas polas institucións nanceiras, pero nos últimos anos o uso do ouro como garantía está crecendo en todo o mundo. As principais empresas nanceiras non bancarias de India como Muthoot Finance e Manappuram Finance foron bastante activos en préstamos con garantías de ouro. Os préstamos de ouro tenden a ter tempos de madurez curtos e diferenciais bastante altos (taxa de préstamo menos taxa libre de risco), aínda que sexan signicativamente inferior aos préstamos sen garantía. A opción de prepago é común, permitindo a redención do ouro en calquera momento antes da data de vencemento. Destacamos que os préstamos de ouro diren notablemente dos préstamos de bolsa, porque o ouro é un activo de investimento negociable con custos de almacenamento / seguros e sen ganancias. Esto pódenos levar a políticas de redención particulares que constituirán unha aplicación interesante dos resultados dados na Proposición 2.9 e nos Teoremas 2.10 e 2.11. Nun préstamo de ouro, o prestatario recibe no tempo t= 0 (data da rma do contrato) a cantidade do préstamo q > 0 , usando unha unidade de masa de ouro como garantía, que deberá ser entregada ao prestador. Esta cantidade crece a unha velocidade γ , donde γ é a taxa do préstamo (maior a taxa libre de risco r ) estipulada no contrato. Polo tanto, o custo de reembolsar o préstamo no tempo t vén dado por qeγt . Cando o prestatario devolve o préstamo, recibe o ouro de volta e o contrato remata. Podemos asumir que os custos de almacenamento e seguros das reservas de ouro son Gtc > 0 por unidade de tempo, onde Gt é o proceso do prezo do ouro ao contado no tempo t . Suporemos dinámicas de tipo browniano xeométrico para o proceso Gt baixo a medida de probabilidade de risco neutro Q de modo que se verica a ecuación diferencial estacástica dGt Gt = (r+c)dt +σdWt, onde r é a taxa sin risco constante, σ a volatilidade das devolucións do ouro e W un movemento browniano baixo a medida de risco neutral Q . Dada unha data de vencemento T , o valor da opción de redención no tempo t= 0 é C(0, G0) = sup 0≤τ≤T EQ[e−rτ (Gτ−qeγτ )+] = sup 0≤τ≤T EQ[e−(r−γ)τ(Xτ−q)+], 2.4. PRÉSTAMOS DE OURO 21 onde Xt=Gte−γt é o prezo do ouro descontado pola taxa γ . Entonces, o valor inicial da opción de redención do préstamos de ouro é o valor inicial dunha opción call americana en (2.22) sobre o valor subxacente Xt , o cal segue unha distribución normal logarítmica, con parámetros ρ=r−γ < 0, µ =r+c−γ e K =q . Consecuentemente, o valor da opción de redención en calquera data t∈[0, T] pode ser calculado como C(t, Gt) = v(t, Xt) , con v denida en (2.22). A porcentaxe de almacenamento e os custos de seguro c son positivos e normalmente por debaixo do diferencial γ−r > 0 . Así, xamos ρ < µ < 0 . Agora, se as condicións (2.23) e (2.24) se cumpren, é dicir, r−γ < r −γ+c < −σ2 2<0e (2.27) (r−γ+c−σ2 2)2+ 2σ2(r−γ)>0, (2.28) para o caso perpetuo aparece unha dobre rexión de non redención, como vimos na Proposición 2.9. Gracias a esta mesma proposición podemos calcular as fronteiras libres constantes perpetuas l∞ e u∞ en termos do proceso do prezo do ouro descontado Xt=Gte−γt . A súa vez mediante o Teorema 2.11, para os contratos con madurez nita, podemos obter unha aproximación asintótica das dobres fronteiras libres cerca da data de vencemento. Usualmente para os préstamos de ouro, as datas de vencemento T están cerca dos 36 meses. As taxas de préstamo normalmente oscilan entre o 12 % e o 16 % para os bancos e entre o 12 % e o 24 % para as institucións nanceiras especializadas, mentres que o rendemento dos títulos do goberno indio a curto prazo estivo rondando o 8 % . A volatilidade histórica, expresada en rupias indias, do cambio diario no rexistro do prezo do ouro foi do 21,4 % , segundo datos do Consello Mundial do Ouro. Os custos medios de almacenamento e seguro do ouro son aproximadamente do 2 % . Polo tanto, xando r= 8 %, c = 2 %, γ = 17 % e σ = 21,4 % , cúmprense as condicións (6.1) e (6.2). Se supoñemos agora que q= 1 , na seguinte gura veremos a opción perpetua para este caso real, o préstamo de ouro. Na gura tamén podremos apreciar a dobre rexión de non redención, a fronteira libre constante inferior l∞= 1,70 e a fronteira libre constante superior u∞= 2,64 . 22 CAPÍTULO 2. ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS Figura 2.6: O Valor da Opción de Redención Perpetua do Préstamo de Ouro con q= 1, r = 8 %, c = 2 %, γ = 17 % e σ = 21,4 % Como podemos ver, as opcións put e call americanas con tipo de interese negativo teñen aplicacións no mundo real á hora de valorar diferentes tipos de opcións, como por exemplo, a opción de redención do préstamo de ouro, ou tamén, distintas opcións de inversión de capital (inversión en plantas nucleares). Parte dos exemplos explicados neste capítulo foron extraídos de [2]. Capítulo 3 Métodos Numéricos para Opcións Americanas Ao longo deste capítulo expóñense os métodos numéricos utilizados para a resolución dos problemas de valoración de opcións americanas. 3.1. Discretización de Tempo e Subxacente: Euler Implícito Para resolver ditos problemas utilizaremos o método de diferenzas nitas. Empezamos por describir a resolución numérica da ecuación de Black-Scholes con condicións de contorno para opcións europeas. Discretización do Problema Put Europeo O primeiro paso para a utilización deste método consiste en establecer un dominio acotado.Agora, para un valor sucientemente grande x∞ , temos a función ve(t, x) , denida nun dominio D= [0, T]×[0, x∞] , tal que: ∂ve ∂t +1 2σ2x2∂2ve ∂x2+ (ρ−µ)x∂ve ∂x −ρve= 0 en D, (3.1) ve(T, x) = m´ax(K−x, 0), x > 0, (3.2) ve(t, x∞) = 0, t ∈[0, T] (3.3) ve(t, 0) = Ke−ρ(T−t), t ∈[0, T] (3.4) 23 24 CAPÍTULO 3. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA OPCIÓNS AMERICANAS Unha vez xado o dominio acotado, consideraremos un enreixado con diferenzas nitas uniformes, cunha metodoloxía que extenderemos aos pasos das variables tempo e espazo. Por isto, para os números naturais N > 1 e M > 1 , os pasos constantes do tempo e espazo veñen denidos por ∆t=T N+ 1,∆x=x∞ M+ 1, polo tanto, o enreixado de diferenzas nitas está denido por unha serie de nodos (tj, xi)=(j∆t, i∆x), j = 0, ..., N + 1; i= 0, ..., M + 1. No esquema Euler implícito de diferenzas nitas, as derivadas que aparecen na ecuación (3.1) son aproximadas nos nodos do enreixado de diferenzas nitas así: ∂2ve ∂x2(tj, xi)≈ve(tj, xi+1)−2ve(tj, xi) + ve(tj, xi−1) ∆x2, ∂ve ∂x (tj, xi)≈ve(tj, xi+1)−ve(tj, xi) ∆x, ∂ve ∂t (tj, xi)≈ve(tj+1, xi)−ve(tj, xi) ∆t. (3.5) Polo tanto, reescribindo a ecuación (3.1) no punto (tj, xi) para j= 1, ..., N;i= 1, ..., M , obtemos ve(tj+1, xi)−ve(tj, xi) ∆t+1 2σ2x2 i ve(tj, xi+1)−2ve(tj, xi) + ve(tj, xi−1) ∆x2 i + + (ρ−µ)xi ve(tj, xi+1)−ve(tj, xi) ∆x−ρve(tj, xi)≈0. Despois agrupando a esquerda os termos no tempo tj , conseguimos (1 + ∆tρ +∆tσ2x2 i ∆x2+∆t(ρ−µ)xi ∆x)ve(tj, xi)−∆tσ2x2 i 2∆x2ve(tj, xi−1)+ + (−∆tσ2x2 i 2∆x2−∆t(ρ−µ)xi ∆x)ve(tj, xi+1)≈ve(tj+1, xi). Despois, denimos as aproximacións ve(j,i)≈ve(tj, xi) como os valores que verican exactamente as identidades aproximadas anteriores. Así, para cada j obtemos o sistema lineal de ecuacións −∆tσ2x2 i 2∆x2ve(j,i−1) + (1 + ∆tρ +∆tσ2x2 i ∆x2+∆t(ρ−µ)xi ∆x)ve(j,i)+ + (−∆tσ2x2 i 2∆x2−∆t(ρ−µ)xi ∆x)ve(j,i+1) =ve(j+1,i). 3.1. DISCRETIZACIÓN DE TEMPO E SUBXACENTE: EULER IMPLÍCITO 25 Agora, no esquema de marcha atrás no tempo, o sistema de ecuacións obtido para i= 1, ..., M é resolto recurrentemente para j=N, N −1, ..., 1,0 empezando pola condición nal. ve(N+1,i)=ve(T, xi) para todo i= 1, ..., M + 1. Ademais, para cada j , temos as seguintes condicións de fronteira dadas por (3.3) e (3.4): ve(j,M+1) =ve(tj, x∞), ve(j,0) =ve(tj,0). Por tanto a cada paso j=N, N −1, ..., 1,0 deberemos resolver o sistema lineal tridiagonal Avej =sj (3.6) donde os coecientes que non son cero da matriz tridiagonal A veñen dados por Ai,i = 1 + c+ax2 i+dxi, Ai,i+1 =−bx2 i−dxi, Ai+1,i =−bx2 i, onde A1,1= 1, AM+1,M+1 = 1, A1,2= 0, AM+1,M = 0 e os termos constantes son: a=∆tσ2 ∆x2, b =∆tσ2 2∆x2, c = ∆tρ, d =∆t(ρ−µ) ∆x. Ademais, vej e sj do sistema (3.6) veñen dados por: vej = (ve(j,0), ve(j,1), ..., ve(j,M), ve(j,M+1))t, sj= (Ke−ρ(T−t), ve(j+1,1), ..., ve(j+1,M),0), Para un cálculo máis detallado do cálculo da matriz A e os vectores vej e sj , consultar [1]. O sistema (3.6) é equivalente ao seguinte problema de optimización sin restriccións: 1 2vT ejAvej −vT ejsj= m´ın y∈Rn(1 2yTAy −yTsj). (3.7) Discretización do Problema Call Europeo Agora, ao igual que para a opción put, resolvemos o problema de valoración da opción call europea mediante o método de diferenzas nitas. 26 CAPÍTULO 3. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA OPCIÓNS AMERICANAS Polo tanto, para un valor sucientemente grande x∞ , temos a función ve(t, x) , denida nun dominio D= [0, T]×[0, x∞] , tal que: ∂ve ∂t +1 2σ2x2∂2ve ∂x2+ (ρ−µ)x∂ve ∂x −ρve= 0 en D, (3.8) ve(T, x) = m´ax(x−K, 0), x > 0, (3.9) ve(t, x∞) = x∞exp(−µ(T−t)) −Kexp(−ρ∗(T−t)), t ∈[0, T] (3.10) ve(t, 0) = 0, t ∈[0, T] (3.11) Agora ao igual que para a opción put utilizaremos o esquema Euler implícito de diferencias nitas mediante o cal obteremos o sistema de ecuacións: Avej =sj (3.12) donde a matriz A é a mesma que para a opción put e vej e sj son tales que: vej = (ve(j,0), ve(j,1), ..., ve(j,M), ve(j,M+1))t, sj= (0, ve(j+1,1), ..., ve(j+1,M), x∞·e−µ(T−t)−K·e−ρ(T−t)), O sistema de ecuacións (3.12) e equivalente ao seguinte problema de optimización: 1 2vT ejAvej −vT ejsj= m´ın y∈Rn(1 2yTAy −yTsj). (3.13) 3.2. Resolución do Problema da Opción de Venda Americana Para resolver o problema de valoración da opción put americana extrapolaremos os resultados obtidos: Deberemos resolver o problema L(v) = ∂v ∂t +1 2σ2x2∂2v ∂x2+ (ρ−µ)x∂v ∂x −ρv = 0 en D, (3.14) v(t, x)≥m´ax(K−x, 0), en D, (3.15) L(v)·(v−m´ax(K−x, 0)) = 0, en D. (3.16) 3.3. RESOLUCIÓN DO PROBLEMA DA OPCIÓN DE COMPRA AMERICANA 27 e para isto son necesarios métodos numéricos para aproximar a solución. Primeiro aplicaremos o esquema Euler implícito de diferenzas nitas. Polo tanto, para cada j=N, N −1, ..., 1,0, consideramos vj≈v(tj,·) vericando vj+1 −vj ∆t+σ2x2 2v00 j+ (ρ−µ)xv0 j−ρvj≤0 (3.17) vj≥gj (3.18) (vj+1 −vj ∆t+σ2x2 2v00 j+ (ρ−µ)xv0 j−ρvj)(vj−gj) = 0, (3.19) donde gj= m´ax(K−x, 0) denota o prezo de exercicio no tempo tj , o cal non depende de j . Se consideramos a mesma discretización de diferenzas nitas no espazo que para a opción put Europea, obtemos o seguinte problema de complementariedade A¯vj≥sj,¯vj≥¯gj,(A¯vj−sj)T( ¯vj−¯gj) = 0, (3.20) onde a matriz A e o vector sj son os mesmos que para as opcións Europeas, e ¯gj denota o vector da función gj nos nodos de diferenzas nitas. O problema (3.20) é equivalente ao seguinte problema de programación con desigualdades como restriccións: 1 2¯vjTA¯vj−¯vjTsj= m´ın y≥¯gj (1 2yTAy −yTsj). (3.21) Este último problema de programación con desigualdades resolverémolo mediante o método de relaxación proxección. Para máis detalle ver [5]. 3.3. Resolución do Problema da Opción de Compra Americana Para continuar, extrapolaremos os resultados obtidos para resolver o problema de valoración das opcións call americanas: Deberemos resolver o problema L(v) = ∂v ∂t +1 2σ2x2∂2v ∂x2+ (ρ−µ)x∂v ∂x −ρv = 0 en D, (3.22) v(t, x)≥m´ax(x−K, 0), en D, (3.23) 28 CAPÍTULO 3. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA OPCIÓNS AMERICANAS L(v)·(v−m´ax(x−K, 0)) = 0, en D. (3.24) e para isto son necesarios métodos numéricos para aproximar a solución. Agora, seguindo o mesmo proceso que para a opción put, aplicaremos o esquema Euler implícito de diferencias nitas considerando a mesma discretización que para a opción europea para obter o seguinte problema de complementariedade A¯vj≥sj,¯vj≥¯gj,(A¯vj−sj)T( ¯vj−¯gj)=0, (3.25) onde gj= m´ax(x−K, 0) denota o prezo de exercicio no tempo tj , o cal non depende de j , a matriz A e o vector sj son os mesmos que para as opcións Europeas, e ¯gj denota o vector da función gj nos nodos de diferenzas nitas. O problema (3.25) é equivalente ao seguinte problema de programación con desigualdades como restriccións: 1 2¯vjTA¯vj−¯vjTsj= m´ın y≥¯gj (1 2yTAy −yTsj). (3.26) Este último problema de programación con desigualdades resolverémolo mediante o método de relaxación proxección. Pódese ver con mayor detalle en [5]. 3.4. Resultados Numéricos Nesta última sección do capítulo móstranse resultados numéricos de problemas de valoración de opcións americanas obtidos mediante o emprego dos métodos mencionados anteriormente a través do software matemático Matlab (ver programas en Anexo). A continuación ilústranse unhas grácas nas que se recollen o valor dunha opción americana de venda (Figura 3.1) e o valor dunha opción americana de compra (Figura 3.2) con madurez nita (data de vencemento T= 2 ) obtida utilizando os métodos numéricos estudiados con M= 799 e N= 63900 ∗2 , sendo N o número de pasos en tempo e M o número de pasos no subxacente. 3.4. RESULTADOS NUMÉRICOS 29 Figura 3.1: O Valor da Opción Put con T= 2, σ = 15 %, ρ =−1 %, µ = 4 %, K= 1, N = 63900 ∗2e M = 799 Figura 3.2: O Valor da Opción Call con T= 2, σ = 21,4 %, ρ =−9 %, µ =−7 %, K= 1, N = 63900 ∗2e M = 799 Nas dúas grácas desta última sección (tanto para as opcións americanas de venda como para as de compra) o eixo x corresponde ao valor do activo subxacente x e o eixo y corresponde ao valor da opción v(t, x) . Ademáis no cálculo de todas elas poden existir erros de aproximación derivados do enreixado de tempo e subxacente. 36 ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS mu=input('ingrese mu'); M=input('ingrese M'); x_infty=4*K; deltax=x_infty/(M+1); x=0:deltax:x_infty; [chil,chiu] = chi(sigma,mu,rho); [l_infty,u_infty] = pboundary(K,chil,chiu); [Al,Au] = A(l_infty,u_infty,chil,chiu); if (rho<0) && ((mu-(sigma^(2)/2))>0) && (((mu-(sigma^(2)/2)))^(2)+2*rho*sigma^(2)>0) [v_inf] = v_infty(K,Al,Au,chil,chiu,l_infty,u_infty,x); plot(x,v_inf,'k',xlabel('x'),ylabel('Valor da Put Perpetua')) axis([0 2 0 2]) hold on payoff = max(K-x,0); plot(x,payoff,':k') plot(u_infty,K-u_infty,'dk','MarkerSize',5) plot(l_infty,K-l_infty,'dk','MarkerSize',5) hold off else disp('Non se pode garantir a existencia') end 37 Opción Put Europea K=input('ingrese K'); sigma=input('ingrese sigma'); rho=input('ingrese rho'); mu=input('ingrese mu'); T=input('ingrese T'); N=input('ingrese N'); M=input('ingrese M'); x_infty=4*K; deltat=T/(N+1); deltax=x_infty/(M+1); t=0:deltat:T; x=0:deltax:x_infty; a=(deltat*(sigma^2))/(deltax^2); b=(deltat*(sigma^2))/(2*(deltax^2)); c=deltat*rho; d=(deltat*(rho-mu))/(deltax); aa=(1+c+a*x.^2+d*x).*ones(1,M+2); cc=(-b*x(1:length(x)-1).^2-d*x(1:length(x)-1)).*ones(1,M+1); bb=(-b*x(2:length(x)).^2).*ones(1,M+1); aa(1)=1; aa(M+2)=1; cc(1)=0; bb(M+1)=0; A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1); vTx=max(K-x,0); v=transpose(vTx); s=zeros(1,M+2); S=zeros(M+2,1); V=zeros(M+2,1); for j=N:-1:1 s=[K*exp(-rho*(T-t(j)));v(2:1:length(v)-1);0]; 38 ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS S=[s,S]; v=inv(A)*s; V=[v,V]; end S(:,N+1)=[]; S=transpose(S); V(:,N+1)=[]; V=transpose(V); plot(x,v,'k',xlabel('x'),ylabel('Valor da Put Perpetua')) hold on plot(x,vTx,':k') hold off Opción Put Americana K=input('ingrese K'); sigma=input('ingrese sigma'); rho=input('ingrese rho'); mu=input('ingrese mu'); T=input('ingrese T'); N=input('ingrese N'); M=input('ingrese M'); omega=0.5; x_infty=4*K; deltat=T/(N+1); deltax=x_infty/(M+1); t=0:deltat:T; x=0:deltax:x_infty; a=(omega*deltat*(sigma^2))/(deltax^2); b=(omega*deltat*(sigma^2))/(2*(deltax^2)); c=omega*deltat*rho; d=(omega*deltat*(rho-mu))/(deltax); ad=((1-omega)*deltat*(sigma^2))/(deltax^2); 39 bd=((1-omega)*deltat*(sigma^2))/(2*(deltax^2)); cd=(1-omega)*deltat*rho; dd=((1-omega)*deltat*(rho-mu))/(deltax); max_iter_rel = 1000; x2 = x.*x; coef=(1-rho*deltat*(1-omega))/(1+rho*deltat*omega); error_max=input('ingrese error_max'); step_plot=input('ingrese step_plot'); aa=(1+c+a*x2+d*x).*ones(1,M+2); cc=(-b*x2(1:length(x)-1)-d*x(1:length(x)-1)).*ones(1,M+1); bb=(-b*x2(2:length(x))).*ones(1,M+1); aa(1)=1; aa(M+2)=1; cc(1)=0; bb(M+1)=0; A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1); aaa=(1-cd-ad*x2-dd*x).*ones(1,M+2); ccc=(bd*x2(1:length(x)-1)+dd*x(1:length(x)-1)).*ones(1,M+1); bbb=(bd*x2(2:length(x))).*ones(1,M+1); vk=max(K-x,0); v_min=vk; num_plot=1; % Impresion de la grafica que muestra la condicion final. if (step_plot > 0) plot(x,vk); cad = sprintf('Opción americana de venta con dividendos continuos. DF. Iter: %d',num_plot); title(cad); xlabel('X'); cad = sprintf('Valor cuando T - t es: %f',T - t); ylabel(cad); drawnow; 40 ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS hold on end s=zeros(1,M+2); num_plot = num_plot + 1; for j=1:1:N+1 s=zeros(1,M+2); %s(2:M+1)=vk(2:M+1); s(2:M+1) =aaa(2:M+1).*vk(2:M+1) + bbb(1:M).*vk(1:M) + ccc(2:M+1).*vk(3:M+2); %s(1) =K*exp(-rho*(T-t((N+2)-j))); s(1)= coef*vk(1); s(M+2) = 0; [vk,iter] = RelajacionProyeccion(bb,aa,cc,s,v_min,max_iter_rel,error_max); Impresion de las graficas con la solucion para cada momento de tiempo. if (step_plot > 0) && (rem(num_plot,step_plot) == 0) plot(x,vk); cad = sprintf('Opción americana de venta con dividendos continuos. DF. Iter: %d',num_plot); title(cad); xlabel('X'); cad = sprintf('Valor cuando T - t es: %f',T - t); ylabel(cad); axis([0 1.2 0 1.2]) drawnow; hold on end num_plot = num_plot + 1; end % Impresion del resultado final. plot(x,vk); cad = sprintf('Opción americana de venta con dividendos continuos. DF. Fin.'); title(cad); 41 xlabel('X'); cad = sprintf('Valor cuando T - t es: %f',T); ylabel(cad); axis([0 2 0 2]) hold on drawnow; hold off Opción Call Perpetua Función chi: function [chil,chiu] = chi(sigma,mu,rho) chil = (-mu/(sigma^2))+0.5+sqrt(0.25+((2*rho-mu)/(sigma^2))+((mu^2)/(sigma^4))); chiu = (-mu/(sigma^2))+0.5-sqrt(0.25+((2*rho-mu)/(sigma^2))+((mu^2)/(sigma^4))); end Función pboundary: function [l_infty,u_infty] = pboundary(K,chil,chiu) l_infty = K*(chil/(chil-1)); u_infty = K*(chiu/(chiu-1)); end Función A: function [Al,Au] = Acall(l_infty,u_infty,chil,chiu) Al = (((l_infty)^(1-chil))/chil); Au = (((u_infty)^(1-chiu))/chiu); end Función v_infty: function [v_inf] = v_inftycall(K,Al,Au,chil,chiu,l_infty,u_infty,x) v1=Al.*x.^(chil); v2=x-K; v3=Au.*x.^(chiu); v_inf=v1.*((x>0)&(x<l_infty))+v2.*((x>=l_infty)&(x<=u_infty))+v3.*(x>u_infty); end 42 ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS Programa principal: %Perpetual Call Option K=1; sigma=0.15; rho=-0.05; mu=-0.04; M=639; %K=input('ingrese K'); %sigma=input('ingrese sigma'); %rho=input('ingrese rho'); %mu=input('ingrese mu'); %M=input('ingrese M'); x_infty=4*K; deltax=x_infty/(M+1); x=0:deltax:x_infty; [chil,chiu] = chi(sigma,mu,rho); [l_infty,u_infty] = pboundary(K,chil,chiu); [Al,Au] = Acall(l_infty,u_infty,chil,chiu); if ((-(sigma^(2)/2))<0) && (mu<(-(sigma^(2)/2))) && (rho<mu) && (((mu-(sigma^(2)/2)))^(2)+2*rho*sigma^(2)>0) [v_inf] = v_inftycall(K,Al,Au,chil,chiu,l_infty,u_infty,x); plot(x,v_inf,'k',xlabel('x'),ylabel('Valor da Put Perpetua')) axis([0 4 0 4]) hold on payoff = max(x-K,0); plot(x,payoff,':k') 43 plot(u_infty,u_infty-K,'dk','MarkerSize',5) plot(l_infty,l_infty-K,'dk','MarkerSize',5) hold off else disp('Non se pode garantir a existencia') end Opción Call Europea K=input('ingrese K'); sigma=input('ingrese sigma'); rho=input('ingrese rho'); mu=input('ingrese mu'); T=input('ingrese T'); N=input('ingrese N'); M=input('ingrese M'); x_infty=4*K; deltat=T/(N+1); deltax=x_infty/(M+1); t=0:deltat:T; x=0:deltax:x_infty; a=(deltat*(sigma^2))/(deltax^2); b=(deltat*(sigma^2))/(2*(deltax^2)); c=deltat*rho; d=(deltat*(rho-mu))/(deltax); aa=(1+c+a*x.^2+d*x).*ones(1,M+2); cc=(-b*x(1:length(x)-1).^2-d*x(1:length(x)-1)).*ones(1,M+1); bb=(-b*x(2:length(x)).^2).*ones(1,M+1); aa(1)=1; aa(M+2)=1; cc(1)=0; bb(M+1)=0; A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1); 44 ANEXO: PROGRAMAS PARA A RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALORACIÓN DE OPCIÓNS vTx=max(x-K,0); v=transpose(vTx); s=zeros(1,M+2); S=zeros(M+2,1); V=zeros(M+2,1); for j=N:-1:1 s=[0;v(2:1:length(v)-1);x_infty.*exp(-mu.*(T-t(j))) - K.*exp(-rho*(T-t(j)))]; S=[s,S]; v=inv(A)*s; V=[v,V]; end S(:,N+1)=[]; S=transpose(S); V(:,N+1)=[]; V=transpose(V); plot(x,v,'k',xlabel('x'),ylabel('Valor da Put Perpetua')) axis([0 4 0 4]) hold on plot(x,vTx,':k') hold off Opción Call Americana K=input('ingrese K'); sigma=input('ingrese sigma'); rho=input('ingrese rho'); mu=input('ingrese mu'); T=input('ingrese T'); N=input('ingrese N'); M=input('ingrese M'); omega=0.5; x_infty=4*K; deltat=T/(N+1); 45 deltax=x_infty/(M+1); t=0:deltat:T; x=0:deltax:x_infty; a=(omega*deltat*(sigma^2))/(deltax^2); b=(omega*deltat*(sigma^2))/(2*(deltax^2)); c=omega*deltat*rho; d=(omega*deltat*(rho-mu))/(deltax); ad=((1-omega)*deltat*(sigma^2))/(deltax^2); bd=((1-omega)*deltat*(sigma^2))/(2*(deltax^2)); cd=(1-omega)*deltat*rho; dd=((1-omega)*deltat*(rho-mu))/(deltax); max_iter_rel = 1000; x2 = x.*x; coef=(1-rho*deltat*(1-omega))/(1+rho*deltat*omega); error_max=input('ingrese error_max'); step_plot=input('ingrese step_plot'); aa=(1+c+a*x2+d*x).*ones(1,M+2); cc=(-b*x2(1:length(x)-1)-d*x(1:length(x)-1)).*ones(1,M+1); bb=(-b*x2(2:length(x))).*ones(1,M+1); aa(1)=1; aa(M+2)=1; cc(1)=0; bb(M+1)=0; A = diag(aa) + diag(cc, 1) + diag(bb, -1); aaa=(1-cd-ad*x2-dd*x).*ones(1,M+2); ccc=(bd*x2(1:length(x)-1)+dd*x(1:length(x)-1)).*ones(1,M+1); bbb=(bd*x2(2:length(x))).*ones(1,M+1); vk=max(x-K,0); v_min=vk; num_plot=1; % Impresion de la grafica que muestra la condicion final. if (step_plot > 0)