Unha introdución á Topoloxía dos espazos euclidianos

TOPOLOXÍA DOS ESPAZOS EUCLIDIANOS José Antonio Oubiña Galiñanes e María Elena Vázquez Abal Esta é unha versión imprimible das presentacións utilizadas para impartir as clases expositivas da materia “Topoloxía dos Espazos Euclidianos” no primeiro curso do Grao de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela en 2022. Contidos 1 Os espazos euclidianos 2 A topoloxía do espazo euclidiano 3 Converxencia e completude 4 Continuidade 5 Conexión 6 Compacidade Bibliografía 1 Díaz Ramos, J.C., Topoloxía dos espazos euclidianos. Minerva, USC, 2021. http://hdl.handle.net/10347/25150 2 Masa Vázquez, X.M., Curso de topoloxía: dos números reais ao Grupo de Poincaré. USC Editora. Manuais. USC, 2020. 1. Os espazos euclidianos 1.1 NOTACIÓN Recordamos as notacións para os conxuntos N={1,2,3, . . . }dos números naturais, Zdos números enteiros, Qdos números racionais, Rdos números reais. En particular, Ré un corpo ordenado que ten a propiedade arquimediana, eQé denso en R. Denotaremos R+={x∈R|x > 0}. 1.2 (O espazo euclidiano ndimensional ) Oespazo euclidiano de dimensión n(ou ndimensional) é o conxunto Rn=R×(n) . . . ×R={x= (x1, . . . , xn)|xi∈R, i = 1, . . . , n}. A súa estrutura natural de espazo vectorial sobre o corpo Restá dada polas operacións de suma en Rne produto por escalares reais: Rn×Rn+ −→ Rn (x,y)7−→ x+y= (x1+y1,...,xn+yn), R×Rn· −→ Rn (λ, x)7−→ λ·x= (λx1,...,λxn), (x+y) + z=x+ (y+z), x+y=y+x, 0= (0,(n) . . ., 0) é o elemento neutro para +, o elemento oposto de xé−x= (−x1,...,−xn), λ(x+y) = λx+λy, (λ+µ)x=λx+µx, λ·(µ·x) = (λµ)·x, 1·x=x, onde x= (x1,...,xn),y= (y1,...,yn),z= (z1,...,zn)∈Rn,λ, µ ∈R. J.A.O.G. & M.E.V.A. 1.3 DEFINICIÓN (O PRODUTO ESCALAR EUCLIDIANO) Oproduto escalar euclidiano en Rné a aplicación h,i:Rn×Rn−→ R (x,y)7−→ hx,yi= n X i=1 xiyi=x1y1+···+xnyn. 1.4 PROPIEDADES (DO PRODUTO ESCALAR) (a) É unha aplicación bilineal: ∀x,y,z∈Rn,∀λ∈R, hx+y,zi=hx,zi+hy,zi, hx,y+zi=hx,yi+hx,zi, hλ·x,yi=λhx,yi=hx, λ ·yi. (b) É unha aplicación simétrica: hx,yi=hy,xi ∀ x,y∈Rn. (c) É unha aplicación definida positiva: hx,xi ≥ 0∀x∈Rn;hx,xi= 0 ⇐⇒ x=0. (a) hλ·x, µ ·yi=λµhx,yi,∀x,y∈Rn,∀λ, µ ∈R, (c) hx,xi>0,∀x∈Rn,x6=0. 1.5 TEOREMA (Desigualdade de CAUCHYSCHWARZ) Para cada x,y∈Rn, tense hx,yi2≤ hx,xihy,yi, n X i=1 xiyi2 ≤n X i=1 x2 in X i=1 y2 i,∀x1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈R. DEMOSTRACIÓN Se x=0ou y=0, a desigualdade verifícase de maneira trivial: 0≤0. Podemos supoñer que x6=0,y6=0. Agora, para calquera λ∈R, tense 0≤ hx+λy,x+λyi=hx+λy,xi+hx+λy, λ yi =hx,xi+hλy,xi+hx, λ yi+hλy, λ yi =hx,xi+ 2λhx,yi+λ2hy,yi. Se consideramos λ=−hx,yi hy,yi∈R, entón 0≤ hx,xi−2hx,yi2 hy,yi+hx,yi2 hy,yi2hy,yi =hx,xi− hx,yi2 hy,yi, e ao multiplicar os dous membros da desigualdade por o número real positivo hy,yi, obtense 0≤ hx,xihy,yi−hx,yi2, equivalentemente, hx,yi2≤ hx,xihy,yi. 1.6 DEFINICIÓN (A NORMA EUCLIDIANA) Anorma euclidiana en Rné a aplicación k k :Rn−→ R x7−→ kxk=hx,xi1/2 =qx2 1+···+x2 n. A desigualdade de CauchySchwarz agora pódese escribir |hx,yi| ≤ kxkkyk. 1.7 PROPIEDADES (DA NORMA) ∀x,y∈Rn,∀λ∈R, (1) kxk ≥ 0;kxk= 0 ⇐⇒ x=0, (2) kλxk=|λ|kxk, (homoxeneidade) (3) kx+yk ≤ kxk+kyk, (desigualdade de MINKOWSKI). DEMOSTRACIÓN Imos usar as propiedades (a)(c) do produto escalar, e a desigualdade de Minkowski vai ser consecuencia da desigualdade de CauchySchwarz. (1) kxk=√hx,xi ≥ 0; kxk= 0 ⇐⇒ √hx,xi= 0 ⇐⇒ hx,xi= 0 ⇐⇒ (c) x=0. (2) kλxk=√hλx, λ xi= (a) √λ2hx,xi=√λ2hx,xi1/2 =|λ|kxk. (3) kx+yk2=hx+y,x+yi= (a) hx,x+yi+hy,x+yi kx+yk2= (a) hx,xi+hx,yi+hy,xi+hy,yi=kxk2+kyk2+ 2hx,yi kx+yk2≤ (CS) kxk2+kyk2+ 2 kxkkyk= (kxk+kyk)2 kx+yk2kx+yk ≤ kxk+kyk. 1.8 DEFINICIÓN (A DISTANCIA EUCLIDIANA) Adistancia euclidiana en Rné a aplicación d:Rn×Rn−→ R (x,y)7−→ d(x,y) = p(x1−y1)2+···+ (xn−yn)2, e dise que d(x,y)é a distancia entre os puntos x,y∈Rn. 1.9 PROPIEDADES (DA DISTANCIA) ∀x,y,z∈Rn, (I) d(x,y)≥0;d(x,y) = 0 ⇐⇒ x=y, (II) d(x,y) = d(y,x), (simetría) (III) d(x,y)≤d(x,z) + d(z,y), (desigualdade triangular). DEMOSTRACIÓN Imos probalo como consecuencia das propiedades (1)(3) da norma. En particular, a desigualdade triangular séguese da desigualdade de Minkowski. (I) d(x,y) = kx−yk ≥ (1) 0; d(x,y) = 0 ⇐⇒ kx−yk= 0 ⇐⇒ (1) x−y=0⇐⇒ x=y. (II) d(x,y) = kx−yk= (2) k(−1)(x−y)k=ky−xk=d(y,x). (III) d(x,y) = kx−yk=k(x−z)+(z−y)k d(x,y)≤ (3) kx−zk+kz−yk=d(x,z) + d(z,y). 1.10 DEFINICIÓNS (BÓLAS ABERTAS, BÓLAS PECHADAS) Sexan x∈Rn,r∈R+. Abóla aberta en Rnde centro xeraio ré o conxunto BRn(x, r) = B(x, r) := {y∈Rn|d(x,y)< r}. Abóla pechada en Rnde centro xeraio ré o conxunto BRn[x, r] = B[x, r] := {y∈Rn|d(x,y)≤r}. 1.11 OBSERVACIÓNS Se x∈Rn, entón kxk=d(x,0). Se x∈Rn,r, s ∈R+,r < s, entón B(x, r)⊂B[x, r]⊂B(x, s)⊂B[x, s]. Caso n= 1. Se x∈R, entón kxk=√x2=|x|; para cada x, y ∈R, é d(x, y) = |x−y|. Se x∈R,r∈R+, entón B(x, r) = (x−r, x +r),B[x, r]=[x−r, x +r]. Se a, b ∈R, a < b, entón os intervalos abertos (a, b)e[a, b]son (a, b) = (x−r, x +r),[a, b]=[x−r, x +r], onde x=a+b 2, r =x−a=b−x=b−a 2. 1.12 DEFINICIÓN (CONXUNTO ACOUTADO) Se A⊂Rn, dise que Aé un conxunto acoutado se existen x0∈Rn,r0∈R+, tales que A⊂B(x0, r0). 1.13 PROPOSICIÓN (Caracterizacións dos conxuntos acoutados) Se A⊂Rn, as seguintes condicións son equivalentes: (i) Aé acoutado, (ii) ∃r∈R+A⊂B(0, r), (iii) ∃M∈R+kxk ≤ M∀x∈A. DEMOSTRACIÓN (i)⇒(ii) Aacoutado ∃x0∈Rn, r0∈R+A⊂B(x0, r0). Se x∈A, pola desigualdade triangular da distancia, d(x,0)≤d(x,x0) + d(x0,0)< r0+kx0k, así que r=r0+kx0k>0é tal que A⊂B(0, r). (ii)⇒(iii) x∈Akxk=d(x,0)< r (ii)⇒(iii) xyzz M=r∈R+é tal que kxk ≤ M∀x∈A. (iii)⇒(i) Se tomamos x0=0, entón r0=M+ 1 é tal que x∈A d(x,0) = kxk ≤ M < M + 1 x∈B(0, M + 1), logo, se poñemos r0=M+ 1, tense que A⊂B(0, r0), conque Aé acoutado. 1.14 CUESTIÓN ¿É o conxunto baleiro ∅un conxunto acoutado? Pechados 2.9 DEFINICIÓN (CONXUNTO PECHADO) Se F⊂Rn, dise que Fé un conxunto pechado en Rnse o seu complementario RnFé aberto en Rn. 2.10 OBSERVACIÓN As propiedades de ser abertos e de ser pechados non son excluíntes: un conxunto pode ser aberto e pechado á vez, e pode non ser nin aberto nin pechado. 2.11 TEOREMA (Propiedades fundamentais dos conxuntos pechados) (i)∅é pechado en Rn. (ii)Rné pechado en Rn. (iii)A intersección de calquera familia de pechados en Rné un pechado en Rn. (iv)A unión finita de pechados en Rné un pechado en Rn. DEMOSTRACIÓN (i)∅é pechado en Rnporque Rn∅=Rné aberto. (ii)Rné pechado en Rnporque RnRn=∅é aberto. (iii) Se {Fi}i∈Ié unha familia de pechados en Rn, por unha das leis de De Morgan, Rn\ i∈I Fi=[ i∈I (RnFi) é aberto en Rnpor ser unión de abertos, logo Ti∈IFié pechado. (iv)Se F1, . . . , Fkson pechados en Rn, entón F1∪... ∪Fké pechado, xa que o seu complementario é intersección finita de abertos: Rn(F1∪... ∪Fk) = (RnF1)∩... ∩(RnFk). 2.12 PROPOSICIÓN Toda bóla pechada en Rné un conxunto pechado. DEMOSTRACIÓN Sexan x0∈Rn,r0∈R+, e consideremos a bóla pechada F=B[x0, r0]. Debemos comprobar que RnFé aberto, así que tomamos x∈RnFe imos ver que é o centro dunha bóla aberta contida en RnF. Se x∈RnF, entón d(x0,x)> r0, e tense que se r=d(x0,x)−r0, entón B(x, r)⊂RnF, xa que y∈B(x, r)d(x0,x)≤d(x0,y) + d(y,x)< d(x0,y) + r d(x0, y)> d(x0,x)−r=r0 y/∈B[x0, r0]y∈RnB[x0, r0].AAAAAAAAAAA  2.13 EXEMPLO Calquera intervalo pechado de números reais [a, b]é un pechado en R. Os intervalos [a, +∞)e(−∞, b]tamén son pechados en R. 2.14 OBSERVACIÓN A unión dunha familia arbitraria de pechados pode non ser un pechado. Por exemplo, {[a, +∞)}a∈R+é unha familia de pechados en R, pero a súa unión [ a∈R+ [a, +∞) = (0,+∞) non é pechado en R. Topoloxía relativa 2.15 DEFINICIÓN Sexa X⊂Rn. Se x∈Xer∈R+, a bóla aberta en X(ou bóla aberta relativa aX) de centro xeraio ré o conxunto BX(x, r) := {y∈X|d(x,y)< r}=BRn(x, r)∩X. 2.16 DEFINICIÓN (ABERTO RELATIVO) Se U⊂X⊂Rn, dise que Uéaberto en X(ou aberto relativo de X) se ∀x∈U∃r∈R+BX(x, r)⊂U. 2.17 PROPOSICIÓN Se U⊂X⊂Rn, entón Ué aberto en X⇐⇒ ∃ Vaberto en RnU=V∩X. DEMOSTRACIÓN ⇒Uaberto en X∀x∈U∃rx∈R+BX(x, rx)⊂U. O conxunto V=Sx∈UBRn(x, rx)é aberto en Rn, e tense: V∩X=[ x∈U BRn(x, rx)∩X=[ x∈UBRn(x, rx)∩X=[ x∈U BX(x, rx) = U. ⇐Supoñemos U=V∩X, onde Vé aberto en Rn. Entón AAAx∈Ux∈VVabto en Rn∃r∈R+|BRn(x, r)⊂V ∃r∈R+|BX(x, r) = BRn(x, r)∩X⊂V∩X=U, logo ∀x∈U∃r∈R+BX(x, r)⊂U, así que Ué aberto en X. 2.18 DEFINICIÓN (PECHADO RELATIVO) Se F⊂X⊂Rn, dise que Fépechado en X(ou pechado relativo de X) se XFé aberto en X. 2.19 PROPOSICIÓN Se F⊂X⊂Rn, entón Fé pechado en X⇐⇒ ∃ Gpechado en RnF=G∩X. DEMOSTRACIÓN ⇒Fé pechado en X XFé aberto en X Fé pechado en X∃Vaberto en RnXF=V∩X Fé pechado en XF=X(V∩X) = (RnV)∩X Fé pechado en X F =X(V∩X)=G∩X, G =RnVpechado en X. ⇐F=G∩X, G pechado en RnXF=X(G∩X) F=G∩X, G pechado en RnXF;= (RnG)∩X,RnGaberto en Rn F=G∩X, G pechado enRnXFaberto en X F=G∩X, G pechado enRnFpechado en X. 2.20 NOTA Se C⊂X⊂RneUé aberto en X, entón U∩Cé aberto en C, xa que Uaberto en X∃Vaberto en RnU=V∩X U∩C= (V∩X)∩C=V∩(X∩C) = V∩C U∩Cé aberto en C. Analogamente, a intersección de calquera pechado en Xcon un subconxunto C de Xé un pechado en C. 2.21 EXERCICIO ⋄Uaberto en Rn, U ⊂X U aberto en X. ⋄Uaberto en X, X aberto en RnUaberto en Rn. ⋄Fpechado en Rn, F ⊂X F pechado en X. ⋄Fpechado en X, X pechado en RnFpechado en Rn. 2.22 OBSERVACIÓN A familia de abertos relativos dun subconxunto Xde Rné a topoloxía relativa de X:Xe∅son abertos en X, a unión de abertos en Xé aberto en X, e a intersección finita de abertos en Xé aberto en X. As propiedades fundamentais dos pechados tamén se trasladan a X: o conxunto baleiro e Xson pechados en X, a intersección arbitraria de pechados en Xé pechado en X, e a unión finita de pechados en Xé pechado en X. 2.23 NOTA Un subconxunto Xde Rné un conxunto discreto se todos os subconxuntos de X son abertos en X(e, polo tanto, todos os subconxuntos de Xtamén son pechados en X), é dicir, se a topoloxía relativa de Xé a topoloxía discreta. 2.24 EXERCICIO Estúdese cales dos seguintes subconxuntos de Rson conxuntos discretos: {1,2}, N, Z, Q, {1/nn∈N}, {1/nn∈N}∪{0}. Interior, clausura, fronteira, conxunto derivado 2.25 DEFINICIÓNS Sexan A⊂Rn,x∈Rn. xépunto interior de A:⇐⇒ ∃ r∈R+B(x, r)⊂A, xépunto clausura (ou adherente) de A:⇐⇒ ∀ r∈R+,B(x, r)∩A=∅. Interior de A:Int(A) = ◦ A:= {x∈Rnxé punto interior de A}, Clausura de A:Cl(A) = ¯ A:= {x∈Rnxé punto clausura de A}. 2.26 EXERCICIO Rn ◦ A=RnA, Rn¯ A= (RnA)◦ 2.27 PROPIEDADES Sexa A⊂Rn. O interior de Aé o maior aberto en Rncontido en A: ⋄◦ A⊂A, ⋄Se Ué aberto en Rn,U⊂A⇒U⊂◦ A. ⋄◦ Aé aberto en Rn. •Aé aberto en Rn⇐⇒ A=◦ A. A clausura de Aé o menor pechado en Rnque contén a A: A⊂¯ A, Se Fé pechado en Rn,A⊂F⇒¯ A⊂F. ¯ Aé pechado en Rn. •Aé pechado en Rn⇐⇒ A=¯ A. 2.28 DEFINICIÓN Sexan A⊂Rn,x∈Rn. xépunto fronteira de A:⇐⇒ ∀ r∈R+,(B(x, r)∩A=∅ B(x, r)∩(RnA)=∅. Fronteira de A: Fr(A) = ∂(A) := {x∈Rnxé punto fronteira de A}. Se x∈Rn,r∈R+, a bóla perforada de centro xe raio ré B∗(x, r) = B(x, r){x}. 2.29 DEFINICIÓN Sexan A⊂Rn,x∈Rn. xépunto de acumulación de A:⇐⇒ ∀ r∈R+,B∗(x, r)∩A=∅ Conxunto derivado de A:A′:= {x∈Rnxé punto de acumulación de A}. 2.30 EXERCICIO Sexan A⊂Rnex∈Rn. Se xé un punto de acumulación de A, entón toda bóla aberta en Rnde centro xcontén infinitos puntos de A. 2.31 DEFINICIÓN Sean A⊂Rn,x∈Rn. xépunto illado de A:⇐⇒ ∃ r∈R+B(x, r)∩A={x}. 3. Converxencia e completude Sucesións 3.1 DEFINICIÓN (SUCESIÓN) Unha sucesión nun conxunto Xé unha aplicación x:N−→ X k7−→ x(k) = xk, e dise que xké o termo késimo da sucesión. 3.2 OBSERVACIÓN A sucesión xdenotarase {xk}, e diremos que {xk}é unha sucesión en X. O conxunto imaxe da sucesión x:N−→ Xé{xx|k∈N}, e é habitual escribir {xk} ⊂ Apara dicir que o conxunto {xx|k∈N}de termos da sucesión está contido nun subconxunto Ade X. 3.3 DEFINICIÓN (CONVERXENCIA) Sexa X⊂Rn,{xk}unha sucesión en Xex0∈Rn. Dise que a sucesión {xk}converxe ax0se ∀ε > 0∃N∈Nxk∈B(x0, ε)∀k≥N, equivalentemente, se ∀ε > 0∃N∈Nd(xk,x0)< ε ∀k≥N, e escríbese {xk} → x0ou lim k→∞ xk=x0. Se unha sucesión {xk}en Xconverxe a un punto x0∈Rndise que {xk}é unha sucesión converxente, x0é o límite da sucesión {xk}, e se x0∈X, tamén diremos que {xk}éconverxente en Xou que converxe en X. J.A.O.G. & M.E.V.A. 3.14 COROLARIO Se A⊂Rn, entón Aé pechado en Rn⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en A, [{xk} → x0⇒x0∈A] DEMOSTRACIÓN ⇒Se {xk}é sucesión en A,{xk} → x0∈Rn Proposicion 3.13x0∈ s AApechadox0∈A. ⇐Basta ver que s A=A, é dicir, que s A⊂A. Pois ben, x0∈ s AProposicion 3.13 ∃ {xk} ⊂ A{xk} → x0hipótese x0∈A.  Anon é pechado en Rn⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en A{xk} → x0/∈A. 3.15 COROLARIO Se A⊂Rn, entón Aé aberto en Rn⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en RnA, [{xk} → x0⇒x0/∈A] Anon é aberto en Rn⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en RnA{xk} → x0∈A. 3.16 COROLARIO Se A⊂Rn,x0∈Rn, entón x0/∈◦ A⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en RnA{xk} → x0, x0∈◦ A⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en RnA, {xk} 6→ x0. Séguese da proposición 3.13 e da igualdade Rn ◦ A=RnA. 3.17 PROPOSICIÓN Sexan A⊂Rn,A′o conxunto derivado de Aex0∈Rn. Entón, x0∈A′⇐⇒ ∃ {xk}sucesión en A xk6=x0∀k∈N, {xk} → x0. DEMOSTRACIÓN ⇒ x0punto de acumulación de A∀r > 0,B∗(x0, r)∩A6=∅ x0punto de acumulación de A∀k∈N,B∗(x0,1/k)∩A6=∅ x0punto de acumulación de A∀k∈N,∃xk∈B∗(x0,1/k)∩A x0punto de acumulación de A{xk} ⊂ Aé tal que (xk6=x0∀k∈N, {xk} → x0. ⇐ Para comprobar que x0é punto de acumulación de Atemos que ver que ∀r > 0,B∗(x0, r)∩A6=∅. Para isto, como por hipótese existe unha sucesión {xk}que converxe a x0e tal que os seus termos están todos en Ae son todos distintos de x0, fixado ε=r > 0temos {xk} → x0,xk6=x0∀k∈N∃N∈Nxk∈B∗(x0, r)∀k≥N xk∈B∗(x0, r)∩A∀k≥N B∗(x0, r)∩A6=∅. Sucesións de Cauchy 3.18 DEFINICIÓN (SUCESIÓN DE CAUCHY) Unha sucesión {xk}en X⊂Rndise que é unha sucesión de Cauchy se ∀ε > 0∃N∈Nd(xk,xl)< ε ∀k, l ≥N. 3.19 PROPOSICIÓN Toda sucesión converxente é unha sucesión de Cauchy. DEMOSTRACIÓN Sexa {xk}unha sucesión en X⊂Rnconverxente a un punto x0∈Rn, e fixamos ε > 0. Entón, {xk} → x0dado ε 2>0∃N∈Nd(xk,x0)<ε 2∀k≥N ∃N∈Nd(xk,xl)≤d(xk,x0) + d(x0,xl)<ε 2+ε 2=ε∀k, l ≥N. 3.20 PROPOSICIÓN O conxunto de puntos de calquera sucesión de Cauchy (e, polo tanto, de calquera sucesión converxente) é un conxunto acoutado. DEMOSTRACIÓN Se {xk}é unha sucesión de Cauchy, dado ε= 1 ∃N∈Nd(xk,xl)<1∀k, l ≥N d(xk,xN) = ∥xk−xN∥<1∀k≥N ∥xk∥=∥xk−xN+xN∥ ≤ ∥xk−xN∥+∥xN∥<1 + ∥xN∥ ∀ k≥N ∥xk∥ ≤ máx {∥x1∥, ..., ∥xN−1∥,1 + ∥xN∥}=M∀k∈N {xk|k∈N} ⊂ BRn(0, M + 1). 3.21 PROPOSICIÓN Toda subsucesión dunha sucesión de Cauchy é unha sucesión de Cauchy DEMOSTRACIÓN Sexa {xk}unha sucesión de Cauchy e {xφ(k)}unha subsucesión de {xk}, (onde φ:N→Né unha aplicación estritamente crecente). {xk}sucesión de Cauchy ⇒ ∀ ε > 0∃N∈Nd(xk,xl)< ε ∀k, l ≥N w w w  φ(k)≥k≥N φ(l)≥l≥N d(xφ(k),xφ(l))< ε ∀k, l ≥N ⇒ {xφ(k)}sucesión de Cauchy  3.22 PROPOSICIÓN Se unha sucesión de Cauchy {xk}en X⊂Rnten unha subsucesión {xφ(k)}que converxe a un punto x0∈Rn, entón {xk}tamén converxe a x0. DEMOSTRACIÓN Temos que demostrar que ∀ε > 0∃N∈Nd(xk,x0)< ε ∀k≥N. Fixamos ε > 0. {xk}sucesión de Cauchy ⇒dado ε 2>0∃N1∈Nd(xk,xl)<ε 2∀k, l ≥N1 {xφ(k)} → x0⇒dado ε 2>0∃N2∈N|d(xφ(k),x0)<ε 2∀k≥N2. Se N=máx{N1, N2}, e k≥N, entón φ(k)≥k≥máx{N1, N2}, así que d(xk,x0)≤d(xk,xφ(k)) k,φ(k)≥N1 +d(xφ(k),x0) φ(k)≥N2 <ε 2+ε 2=ε.  Completude 3.23 DEFINICIÓN Dise que un conxunto X⊂Rnécompleto se toda sucesión de Cauchy en Xé converxente en X. 3.24 EXEMPLOS (a) Qnon é completo. (b) R\Qnon é completo. (c) R+non é completo. (d) Ré completo. 3.25 TEOREMA (Completude de Rn) O espazo euclidiano Rné completo. DEMOSTRACIÓN Consideramos unha sucesión de Cauchy {xk}en Rn, e imos comprobar que existe a∈Rntal que {xk} → a, para o que utilizaremos o carácter completo de R. Poñemos {xk}={(xk1, . . . , xkn)}, e temos as sucesións {xki}de números reais, 1≤i≤n. Polo lema 3.7, tense |xki −xli| ≤ kxk−xlk=d(xk,xl)∀k, l ∈N,∀i= 1, . . . , n, (⋆) e polo teorema 3.8, {xk} → a= (a1, . . . , an)⇐⇒ {xki} → ai∀i= 1, . . . , n. (⋆⋆) Por tanto, {xk}sucesión de Cauchy ∀ε > 0∃N∈Nd(xk,xl)< ε ∀k, l ≥N (∗)∀ε > 0∃N∈N|xki −xli|< ε ∀k, l ≥N {xki}é unha sucesión de Cauchy en R,∀i Ré completo∃ai∈R{xki} → ai,∀i (⋆⋆){xk}={(xk1, . . . , xkn)} → (a1, . . . , an) = a. 3.26 PROPOSICIÓN Se Xé un subconxunto de Rn, entón Xé completo ⇐⇒ Xé pechado en Rn. DEMOSTRACIÓN É consecuencia inmediata da caracterización (corolario 3.14) dun conxunto pechado en Rn como aquel que contén ao límite de cada sucesión converxente de puntos no conxunto e de que Rné completo: Se Xé un subconxunto de Rn, entón Xé pechado en Rn⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en X, [{xk} → x0∈Rn⇒x0∈X] ⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en X, [{xk}converxente en Rn⇒{xk}converxe en X] Rncompleto ⇐⇒ ∀ {xk}sucesión en X, [{xk}sucesión de Cauchy⇒{xk}converxe en X] ⇐⇒ Xé completo.  4. Continuidade Continuidade puntual 4.1 DEFINICIÓN (APLICACIÓN CONTINUA NUN PUNTO) Sexan X⊂Rn,Y⊂Rm,f:X→Yunha aplicación, x0∈X. Dise que f:X→Yécontinua en x0se ∀ε > 0∃δ > 0x∈X, dRn(x,x0)< δ ⇒dRm(f(x), f(x0)) < ε, equivalentemente, se ∀ε > 0∃δ > 0fBX(x0, δ)⊂BY(f(x0), ε). 4.2 OBSERVACIÓN A continuidade de f:X⊂Rn−→Y⊂Rmnon depende do codominio de f. Se consideramos a aplicación ˜ f:X−→ Rm x→˜ f(x) = f(x), ex0∈X, tense que fé continua en x0se, e só se, ˜ fé continua en x0, xa que, posto que f(X)⊂Y, fBX(x0, δ)⊂BY(f(x0), ε)⇐⇒ fBX(x0, δ)⊂BRm(f(x0), ε). Se, ademais, f(X)⊂Z⊂Rm, tamén ten sentido considerar a aplicación s f:X−→ Zdada por s f(x) = f(x), e tense fé continua en x0⇐⇒ ˜ fé continua en x0⇐⇒ s fé continua en x0, xa que fBX(x0, δ)⊂BYf(x0), ε⇐⇒ fBX(x0, δ)⊂BZf(x0), ε. J.A.O.G. & M.E.V.A. Continuidade global 4.3 DEFINICIÓN (APLICACIÓN CONTINUA (globalmente)) Unha aplicación f:X⊂Rn−→ Y⊂Rmécontinua se fé continua en x0para cada punto x0∈X. 4.4 EXEMPLOS Son aplicacións continuas: Se X⊂Rn, a aplicación identidade en X, idX:X−→ X x7−→ idX(x) = x. Se X⊂Y⊂Rn, a inclusión de Xen Y, i:X ,−→ Y x7−→ i(x) = x. En particular, a inclusión de Xen Rn,i:X ,−→ Rn. As aplicacións constantes: se X⊂Rn,Y⊂Rm, para calquera punto y0∈Y, a aplicación constante ctey0:X−→ Y x7−→ y0. O seguinte teorema será moi útil para comprobar, dunha forma simple, o carácter aberto e o carácter pechado de subconxuntos de Rn. 4.15 PROPOSICIÓN Se f:X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha aplicación continua e A⊂X, entón a restrición de faA,f|A:A−→ Y, tamén é continua. DEMOSTRACIÓN É consecuencia inmediata de que f|A=f◦ié composición de dúas aplicacións continuas, Ai ,−−−−→ Xf −−−−→ Y xi 7−−−−→ xf 7−−−−→ f(x) 4.16 OBSERVACIÓN Se f:X⊂Rn→Y⊂Rmé unha aplicación continua, entón a súa restrición a calquera subconxunto Ade Xé continua en todos os puntos de A. Agora ben, pode suceder que f:X→Ysexa tal que a súa restrición f|A:A→Y sexa continua para algún subconxunto Ade Xpero que fnon sexa continua en puntos de A. Por exemplo, a función de Dirichlet f:R−→ R x7−→ f(x) = (1se x∈Q, 0se x∈RQ, é tal que as súas restricións f|Q:Q→Ref|RQ :RQ →Rson continuas (son aplicacións constantes) pero fnon é continua en ningún punto de R. Non obstante, cúmprese que se Aé aberto en Xef|Aé continua, entón fé continua en todos os puntos de A, como se ve na seguinte proposición. 4.17 PROPOSICIÓN Sexa f:X⊂Rn−→ Y⊂Rmunha aplicación. Se Aé aberto en Xef|A:A→Yé continua, entón fé continua en todos os puntos de A. DEMOSTRACIÓN Sexa x0∈Ae vexamos que se f|Aé continua en x0, entón fé continua en x0, é dicir, que ∀ε > 0∃δ > 0fBX(x0, δ)⊂BY(f(x0), ε). Dado ε > 0, f|Acontinua en x0∃δ1>0f|ABA(x0, δ1)⊂BY(f(x0), ε). Agora, BA(x0, δ1) = BRn(x0, δ1)∩AA⊂X =BRn(x0, δ1)∩X∩A=BX(x0, δ1)∩Aé aberto en X, (porque é a intesección de dous abertos en X), logo ∃δ > 0BX(x0,δ)⊂BA(x0, δ1) ⇓ fBX(x0, δ)⊂fBA(x0, δ1)=f|ABA(x0, δ1)⊂BY(f(x0), ε). 4.18 EXEMPLO A aplicación f:R−→ R x7−→ f(x) = (1se x > 0, 0se x≤0, é continua en todos os puntos de A= (0,+∞)e de B= (−∞,0), posto que AeBson abertos en Re f|A:x∈A7→ 1∈Ref|B:x∈B7→ 0∈R son aplicacións continuas, xa que son constantes. 4.19 EXERCICIO Consideramos a aplicación f:X=R2→Y=Rdada por f(x, y) = (xse xy > 0, 0se xy ≤0. Utilizando a proposición anterior próbese que fé continua en todos os puntos de {(x, y)∈R2|xy 6= 0}. SOLUCIÓN Sexan U={(x, y)∈R2|xy > 0}, V ={(x, y)∈R2|xy < 0}. Estos dous conxuntos son abertos en R2; un modo de comprobalo consiste en utilizar a caracterización da continuidade (teorema 4.5), mostrando que se poden escribir como imaxes inversas de abertos, neste caso en R, por algunha aplicación continua. En efecto, se consideramos a aplicación h:R2→Rdada por h(x, y) = xy, entón hé continua, xa que h=π1π2é producto de dúas aplicacións continuas, e U={(x, y)∈R2|h(x, y)>0}={(x, y)∈R2|h(x, y)∈(0,+∞)}=h−1(0,+∞), V={(x, y)∈R2|h(x, y)<0}={(x, y)∈R2|h(x, y)∈(−∞,0)}=h−1(−∞,0). Agora, f|U= (π1)|Ué continua xa que é a restricción da proxección π1aU, e posto que U é aberto en R2,fé continua en todos os puntos de U. Ademais, f|Vé a aplicación constante 0, logo é continua e, posto que Vé aberto en R2, ftamén é continua en todos os puntos de V. Conclúese que fé continua en cada punto (x, y)∈R2tal que xy 6= 0 (aínda que hai máis puntos de R2nos que fé continua!). 4.20 DEFINICIÓN (APLICACIÓN COMBINADA) Sexan X⊂Rn,Y⊂Rm, e supoñamos que AeBson subconxuntos de Xtales que A∪B=X. Se g:A→Yeh:B→Yson aplicacións tales que g|A∩B=h|A∩B, entón está ben definida a aplicación f:X−→ Ydada por f(x) = (g(x)se x∈A, h(x)se x∈B, e dise que fé a aplicación combinada de geh. 4.21 EXEMPLO A aplicación f:R2−→ R (x, y)7−→ (x2−y2+ 1 se y≥x, ex−yse y≤x, é a aplicación combinada das aplicacións g:A={(x, y)∈R2|y≥x} −→ R (x, y)7−→ x2−y2+ 1, e h:B={(x, y)∈R2|y≤x} −→ R (x, y)7−→ ex−y. 4.22 PROPOSICIÓN Sexa f:X=A∪B⊂Rn−→ Y⊂Rma aplicación combinada de g:A−→ Y eh:B−→ Ye supoñamos que gehson continuas. (1) Se AeBson pechados en X, entón fé continua. (2) Se AeBson abertos en X, entón fé continua. DEMOSTRACIÓN (1) Sexa Fun pechado en Ye vexamos que a súa imaxe inversa por fé un pechado en X. f−1(F) = x∈X=A∪Bf(x)∈F =x∈Af(x) = g(x)∈F∪x∈Bf(x) = h(x)∈F =g−1(F)∪h−1(F). Agora, g:A→Ycontinua Fpechado en Yg−1(F)pechado en AApechado en Xg−1(F)pechado en X h:B→Ycontinua Fpechado en Yh−1(F)pechado en BBpechado en Xh−1(F)pechado en X     f−1(F) = g−1(F)∪h−1(F)é pechado en X. (2) A proba sería como a anterior cambiando “pechado” por “aberto”. Ou ben, pode obterse directamente como consecuencia de que g=f|A,h=f|Be da proposición 4.17, é dicir, usando que se a restrición de fao aberto Ae ao aberto Ben Xé continua, entón fé continua en todos os puntos de cada aberto.  4.23 DEFINICIÓN (APLICACIÓN UNIFORMEMENTE CONTINUA) Unha aplicación f:X⊂Rn→Y⊂Rméuniformemente continua se ∀ε > 0,∃δ > 0x,y∈X, dRn(x,y)< δ ⇒dRm(f(x), f(y)) < ε. 4.24 OBSERVACIÓNS Toda aplicación uniformemente continua é continua xa que se f:X→Yé uniformemente continua, entón, para cada punto x∈X, ∀ε > 0,∃δ > 0y∈X, d(x,y)< δ ⇒d(f(x), f(y)) < ε. Ademais, dise que f:X⊂Rn→Y⊂Rmélipschitziana se existe M∈R, M≥0, tal que dRm(f(x), f(y)) ≤M dRn(x,y)∀x,y∈X, eMchámase unha constante de Lipschitz; se M < 1tamén se di que fé unha aplicación contractiva. Toda aplicación lipschitziana é uniformemente continua. 4.25 EXERCICIO Se f:X→Yé unha aplicación uniformemente continua e {xk}é unha sucesión de Cauchy en X, entón {f(xk)}é unha sucesión de Cauchy en Y. 4.26 OBSERVACIÓN Se unha aplicación f:X⊂Rn→Y⊂Rmé continua, entón a imaxe inversa de calquera aberto (ou pechado) en Yé un aberto (ou pechado) en X. Pero a imaxe directa dun aberto ou pechado en Xpor unha aplicación continua pode non ser nin aberto nin pechado en Y. 4.27 EXEMPLOS A aplicación f:R→Rdefinida por f(x) = x2é continua e A= (−1,1) é aberto en R, pero f(A) = [0,1) non é aberto en R. A aplicación f:R→Rdada por f(x) = exé continua e B= (−∞,0] é pechado en R, pero f(B) = (0,1] non é pechado en R. 4.28 DEFINICIÓNS (APLICACIÓNS ABERTAS, PECHADAS) Sexa f:X⊂Rn→Y⊂Rm. fé unha aplicación aberta :⇐⇒[∀Uaberto en X⇒f(U)aberto en Y]; fé unha aplicación pechada :⇐⇒ [∀Fpechado en X⇒f(F)pechado en Y]. 4.29 EXEMPLO Sexa A⊂X⊂Rnei:A→Xa inclusión. Se Aé aberto en X, entón a inclusión ié aberta. Se Aé pechado en X, entón a inclusión ié pechada. 4.30 NOTA Se a aplicación f:X⊂Rn→Y⊂Rmé bixectiva, entón fé aberta se, e só se, fé pechada. Isto é consecuencia inmediata de que para unha aplicación bixectiva f:X→Y, tense ∀A⊂X, f(XA) = Yf(A). Homeomorfismos e propiedades topolóxicas 4.31 DEFINICIÓN (HOMEOMORFISMO) Sexan X⊂Rn,Y⊂Rm. Unha aplicación f:X−→ Ydise que é un homeomorfismo se é bixectiva, continua e a súa inversa f−1:Y−→ Xtamén é continua. 4.32 NOTA f:X→Yé un homeomorfismo ⇐⇒  fé bixectiva fé continua fé aberta ⇐⇒  fé bixectiva fé continua fé pechada. 4.33 DEFINICIÓN (CONXUNTOS HOMEOMORFOS) Se existe un homeomorfismo f:X→Ydise que os conxuntos XeYson homeomorfos e escribiremos X≈Y. 4.34 NOTA A relación ≈(“ser homeomorfos”) é unha relación de equivalencia na familia de todos os subconxuntos de todos os espazos euclidianos; é dicir, se X, Y, Z son subconxuntos de espazos euclidianos de calquera dimensión, tense (1) X≈X; (2) X≈Y⇒Y≈X; (3) X≈Y, Y ≈Z⇒X≈Z, como consecuencia, respectivamente, de que a identidade é un homeomorfismo, a inversa dun homeomorfismo tamén o é, ea composición de homeomorfismos é un homeomorfismo (téñase en conta que se fegson bixectivas, entón (g◦f)−1=f−1◦g−1) . 4.35 EXEMPLO Todos os intervalos pechados acoutados en Rson homeomorfos entre si. Posto que a relación ≈é de equivalencia, basta comprobar que todos os intervalos pechados son homeomorfos ao intervalo [0,1]. Pois ben, para cada a, b ∈R, a < b, as aplicacións [0,1] f −−→ [a, b] t7−→ a+t(b−a),1 2 [a, b]g −−→ [0,1] s7−→ s−a b−a, son tales que g=f−1, así que son bixectivas; e tamén son continuas, logo fé un homeomorfismo e [0,1] ≈[a, b]. 4.36 EXEMPLO Todos os intervalos abertos (acoutados ou non) de números reais son homeomorfos entre si e homeomorfos a R= (−∞,+∞). En efecto, téñense os seguintes homeomorfismos: (0,1) f −−→ (a, b) t7−→ a+t(b−a),1 2 s−a b−a 7−→ fs Rg −−→ (−1,1) x7−→ x 1 + |x|,1 2 y 1−|y| 7−→ fy que mostran que todos os intervalos abertos acoutados son homeomorfos entre si e homemomorfos a R. E tamén son homeomorfos a todos os intervalos abertos non acoutados: R−→(0,+∞)−→ (a, +∞)−→ (−∞,−a) t7−→ ety7−→ −y log x 7−→ x7−→ x+a 4.37 EXEMPLO Un homeomorfismo entre os intervalos (0,1] e[1,+∞): (0,1] h −−→ [1,+∞) t7−→ 1/t 1/s 7−→ s 4.38 EXERCICIO Todos os intervalos da forma [a, b),(a, b],[a, +∞)e[−∞, b)son homeomorfos entre si. 4.39 EXEMPLO Son homeomorfismos: ∀v∈Rn, a translación (con respecto a v)Tv:x∈Rn→x+v,Tv−1=T−v, ∀λ∈R+, a homotecia (de razón λ)Hλ:x∈Rn→λ·x,Hλ−1=H1/λ. 4.40 EXEMPLO Todas as bólas abertas en Rnson homeomorfas entre si e homeomorfas a Rn. f:BRn(0,1) BRn(a, r) xrx+a, 1 r(y−a)y ≈g:BRn(0,1) Rn xx 1−kxk, y 1 + kyky ≈ 4.41 EXERCICIO Todas as bólas pechadas en Rnson homeomorfas entes si. 5.5 EXEMPLOS ∅é conexo. Para cada x∈Rn, o conxunto unitario {x}é conexo. Calquera subconxunto discreto Xde Rncon máis dun punto non é conexo: se p∈X, entón {p}|X{p}é unha separación non trivial de X. En particular, calquera subconxunto finito de Rncon máis dun punto non é conexo; NeZnon son conexos. Qnon é conexo: por exemplo, (−∞,√2) ∩Q|(√2,+∞)∩Qé unha separación non trivial de Q. Os únicos subconxuntos conexos de Qson os conxuntos unitarios: en efecto, se X⊂Qnon é unitario, entón ∃a, b ∈X, a < b w  ∃r∈RQ a < r < b (−∞, r)∩X|(r, +∞)∩Xé unha separación non trivial de X, ∃r∈RQ a < r < b Xnon é conexo. 5.6 TEOREMA O intervalo pechado I= [0,1] é conexo. DEMOSTRACIÓN Supoñemos que U|Vé unha separación non trivial de I= [0,1] ⊂Re imos chegar a unha contradición. 1∈I=U∪V1∈Uou 1∈V;supoñemos 1∈V ∃r > 0BI(1, r)⊂V ∃r > 0BI(1 q ∃(1 −r, 1 + r)∩I= (1 −r, 1] Por outra parte, U⊂[0,1] ⊂R, Uacoutado superiormente U6=∅ ∃ a=sup U ∀x∈U, x ≤1−r  a≤1−r < 1. Ademais a > 0, xa que se a= 0 tense que U={0}, que non é aberto en [0,1]. Logo 0< a < 1, a ∈I=U∪V, e caben dúas posibilidades: a∈U∃ε > 0BI(a, ε) = (a−ε, a +ε)⊂U (contradí a=sup U:a+ε/2 sería un elemento de Umaior que a) a∈V∃ε > 0BI(a, ε) = (a−ε, a +ε)⊂V (contradí a=sup U:a−ε/2 sería cota superior de Umenor que a), conque chegamos a unha contradición, logo a separación U|Vde I= [0,1] ten que ser a separación trivial. Polo tanto, o intervalo pechado [0,1] é conexo.  Conexión e continuidade 5.7 TEOREMA Se Xé un subconxunto conexo de Rnef:X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha aplicación continua, entón o subconxunto f(X)de Rmé conexo. DEMOSTRACIÓN Consideramos unha separación U|Vde f(X)e debemos ver que é a separación trivial de f(X). Como a continuidade de fnon depende do codominio, considerada con valores no conxunto imaxe a aplicación f:X→e Y=f(X)é continua, e ademais é sobrexectiva. Entón, U|Vseparación de e Y=f(X)       f−1(U)ef−1(V)son abertos en X f−1(U)∪f−1(V) = f−1(U∪V) = f−1e Y) = X f−1(U)∩f−1(V) = f−1(U∩V) = f−1(∅) = ∅ f−1(U)|f−1(V)é unha separación de X Xconexof−1(U) = ∅ou f−1(V) = ∅ f:X→ e Ysobrexectiva U=ff−1(U)=∅ou V=ff−1(V)=∅ U|Vé a separación trivial de e Y=f(X). 5.8 COROLARIO A conexión é unha propiedade topolóxica. DEMOSTRACIÓN Sexan X⊂Rm,Y⊂Rn, e supoñamos que Xé conexo e X≈Y, é dicir, que existe un homeomorfismo f:X→Y. Debemos ver que Yé conexo. Agora ben, se fé un homeomorfismo, é continua e sobrexectiva. Polo tanto, Y=f(X)é conexo, polo teorema anterior.  5.9 COROLARIO Calquera intervalo pechado [a, b](a, b ∈R, a < b) é conexo. DEMOSTRACIÓN [0,1] ≈[a, b],[0,1] conexo [a, b]conexo  5.10 COROLARIO Se a,b∈Rn,a6=b, o segmento de extremos aeb L[a,b] = {a+t(b−a)|t∈[0,1] } é conexo. DEMOSTRACIÓN Basta escribir L[a,b]como a imaxe por unha aplicación continua dun conxunto conexo. Pois ben, fixados a= (a1, . . . , an),b= (b1, . . . , bn)∈Rn, f: [0,1] −→ Rn t7−→ a+t(b−a) = (a1+t(b1−a1), . . . , an+t(bn−an) é unha aplicación continua e [0,1] é conexo, logo f[0,1]={f(t)|t∈[0,1] }={a+t(b−a)|t∈[0,1] }=L[a,b] é conexo.  Imos ver unha caracterización da conexión, segundo a cal un subconxunto X de Rné conexo se, e só se, cada par de puntos distintos de Xpertencen a un mesmo subconxunto conexo de X. Será consecuencia do seguinte lema. 5.11 LEMA Sexa Xun subconxunto de RneC⊂X. Se U|Vé unha separación de X, entón (U∩C)|(V∩C)é unha separación de C(é a separación inducida pola separación U|V de X). DEMOSTRACIÓN Se U|Vé unha separación de X, entón U, V abertos en X U ∩CeV∩Cson abertos en C U∪V=X(U∩C)∪(V∩C) = (U∪V)∩C=X∩C=C U∩V=∅(U∩C)∩(V∩C) = (U∩V)∩C=∅∩C=∅, logo (U∩C)|(V∩C)é unha separación de C. 5.12 PROPOSICIÓN Se X⊂Rn, entón Xé conexo ⇐⇒ ∀x,y∈X, x6=y,∃C⊂X, C conexo, x,y∈C. DEMOSTRACIÓN ⇒Inmediato, xa que se Xé conexo basta tomar C=X. ⇐Probaremos o contrarrecíproco desta implicación. Supoñemos que Xnon é conexo, logo existe unha separación non trivial U|Vde X; isto é, U|Vé unha separación de Xtal que U6=∅eV6=∅, así que podemos tomar x∈Uey∈V. Supoñamos que existe un subconxunto Cde Xtal que x,y∈C, e imos ver que Cnon pode ser conexo. Polo lema previo, (U∩C)|(V∩C)é unha separación de C, e ademais x∈U∩C,y∈V∩C, logo tense que (U∩C)|(V∩C)é unha separación non trivial de C, así que Cnon pode ser conexo.  Observamos que o anterior resultado inclúe como conexos ao conxunto baleiro e aos conxuntos unitarios, xa que estes non conteñen ningún par de puntos distintos. 5.13 COROLARIO O espazo euclidiano Rné conexo. DEMOSTRACIÓN É consecuencia inmediata da proposición anterior, dado que dous puntos calquera x,y∈Rn, x6=y, pertencen ao segmento de extremos x,y. Así, x,y∈C=L[x,y]⊂Rn, que é un conexo .  5.14 COROLARIO Os subconxuntos conexos de Rson os intervalos xeneralizados, é dicir, os conxuntos J⊂Rtales que x, y ∈J, x < y ⇒[x, y]⊂J. DEMOSTRACIÓN Se Jé un intervalo xeneralizado, é inmediato que é conexo, pola proposición 5.12, dado que dous puntos calquera x, y ∈J,x6=y, están no intervalo pechado que ten por extremos x ey, o cal está contido en J. E estes son os únicos subconxuntos conexos de R, xa que no caso de que Jnon sexa un intervalo xeneralizado existen x, y ∈J,x < y, pero [x, y]6⊂ J, é dicir, ∃z∈Rx < z < y, z /∈J, logo (−,∞, z)∩J|(z, +∞)∩Jé unha separación non trivial de J, e Jnon sería conexo.  5.15 COROLARIO (Teorema dos valores intermedios) Sexa Xun subconxunto conexo de Rnef:X→Runha aplicación continua. Sexan a,b∈X,y∈Rtales que f(a)< y < f(b). Entón existe x∈Xtal que f(x) = y. DEMOSTRACIÓN Dado que Xé conexo e fcontinua, f(X)é un subconxunto conexo de R, logo é un intervalo xeneralizado J, e como f(a), f(b)∈f(X), f(a)< y < f(b)y∈[f(a), f(b)] ⊂J=f(X)∃x∈Xf(x) = y. 5.16 PROPIEDADE Os intervalos xeneralizados non baleiros, que son os conexos (distintos do conxunto baleiro) contidos en R, son os subconxuntos de Rda forma {a},(a, b),[a,b),(a, b],[a, b], (a, +∞),(−∞, b),[a, +∞),(−∞, b],(−∞,+∞) = R. Se J⊂Ré un intervalo xeneralizado, satisfai a propiedade: x, y ∈J, x < y ⇒[x, y]⊂J Tódolos conxuntos antes enumerados a verifican. Reciprocamente, para comprobar que se Jé un intervalo xeneralizado (∗)non baleiro, entón é necesariamente un destes conxuntos, imos ver que Jé tal que (a, b)⊂J⊂[a, b], onde a=(inf Jse Jestá acoutado inferiormente, −∞ noutro caso, b=(sup Jse Jestá acoutado superiormente, +∞noutro caso, e supoñemos que [a, b] = {a}se a=b, un corchete xunto a −∞ou +∞interprétase como unha paréntese. Pois ben, se Jten máis dun punto, t∈(a, b)   a < tdef de a∃x∈Jx < t t < bdef de b∃y∈Jt < y t∈[x,y] (∗)t∈Jdef de a,bt∈[a, b]. 5.17 PROPOSICIÓN Sexa {Ei}i∈Iunha familia de subconxuntos conexos de RneE0⊂Rnun conxunto conexo tal que E0∩Ei6=∅para todo i∈I. Entón, o conxunto X=E0∪∪i∈IEié conexo. DEMOSTRACIÓN Imos probar que a única separación que admite Xé a separación trivial. Sexa U|V unha separación de X. Entón, U∩E0|V∩E0é unha separación de E0E0conexoU∩E0=E0ou V∩E0=E0. Supoñamos U∩E0=E0. Entón, E0⊂U. Por outra parte, para cada i∈I, U∩Ei|V∩Eié unha separación de EiEiconexoU∩Ei=Eiou V∩Ei=Ei ∀i∈I E0⊂Uw w E0∩Ei=∅ ∪i∈IEi⊂U Ei⊂U ∀i∈I U∩Ei=Ei ∀i∈I U∩Ei6=∅ ∀i∈I Logo X=E0∪∪i∈IEi⊂U, é dicir, X=UeV=∅, así que U|Vé a separación trivial.  5.18 COROLARIO Se {Xi}i∈Ié unha familia de subconxuntos conexos de Rntal que ∩i∈IXi6=∅, entón ∪i∈IXié conexo. Se AeBson dous subconxuntos conexos de Xtales que A∩B6=∅, entón A∪Bé conexo. 5.19 TEOREMA Se X⊂Rn,Y⊂Rmson conxuntos conexos, entón o seu produto cartesiano X×Y⊂Rn+mé conexo. DEMOSTRACIÓN Sexan (a,b),(p,q)∈X×Ye imos ver que ambos pertencen a un mesmo subconxunto conexo Cde X×Y(e bastará aplicar a proposición 5.12 para concluír). Xa que a aplicación f:x∈X→(x,b)∈X×Yé continua e Xé conexo, tense que f(X) = X×{b}é un subconxunto conexo de X×Y. E dado que g:y∈Y→(p,y)∈X×Yé continua e Yé conexo, tamén g(Y) = {p}×Yé un subconxunto conexo de X×Y. Agora, a intersección destes dous conxuntos é non baleira, xa que (p,b)∈(X×{b})∩({p}×Y), logo C= (X×{b})∪({p}×Y)é un subconxunto conexo de X×Yque contén aos dous puntos (a,b),(p,q). Polo tanto, X×Yé conexo.  Conxuntos compactos 6.1 DEFINICIÓN (RECUBRIMENTO) Sexa X⊂Rn. Un recubrimento aberto de Xé unha familia Ude conxuntos abertos en Xtales que X=[ U∈U U. Se U′⊂ U eU′é un recubrimento de X, é dicir, X=SU∈U′U, dise que U′é un subrecubrimento de U. Un recubrimento aberto Ude X(ou un subrecubrimento U′de U) dise que é un recubrimento (ou un subrecubrimento) finito se é unha familia finita de conxuntos. 6.2 DEFINICIÓN (CONXUNTO COMPACTO) Un conxunto X⊂Rndise que é compacto se todo recubrimento aberto de X admite un subrecubrimento finito. 6.3 NOTA A propiedade que define a un conxunto compacto chámase propiedade de HeineBorel, e é equivalente considerar recubrimentos abertos de Xou recubrimentos de Xpor abertos en Rn. Un recubrimento de Xpor abertos en Rné unha familia Vde abertos en Rn tal que X⊂[ V∈V V. Se V′⊂ V é tal que X⊂SV∈V′V, tamén dicimos que V′é un subrecubrimento de V. J.A.O.G. & M.E.V.A. Se X⊂Rn, as seguintes propiedades son equivalentes: (a) ∀ U recubrimento aberto de X∃U1,...,Um∈ U X=U1∪···∪ Um (b) ∀ V recubrimento de Xpor abertos en Rn∃V1,...,Vm∈ V X⊂V1∪···∪Vm (a)⇒(b) Supoñemos (a), e consideramos un recubrimento Vde Xpor abertos en Rn. Entón, X⊂[ V∈V V X =[ V∈V V∩X=[ V∈V (V∩X) = [ U∈U U, onde U=U⊂XU=V∩X, V ∈ V , que é un recubrimento aberto de X. Por (a), ∃U1, . . . , Um∈ U X=U1∪... ∪Um⊂ ∃Vi∈V|Vi∩X=Ui V1∪... ∪Vm. (b)⇒(a) Supoñemos (b), e consideramos un recubrimento aberto Ude X, X=[ U∈U U, U ∈ U Uaberto en X∃Vaberto en RnU=V∩X, e se poñemos V=Vaberto en RnV∩X∈ U , entón Vé un recubrimento de Xpor abertos en Rne podemos aplicar (b): X=[ U∈U U⊂[ V∈V V(b) ∃V1,...,Vm∈ V X⊂V1∪... ∪Vm X= (V1∪... ∪Vm)∩X= (V1∩X)∪... ∪(Vm∩X) = U1∪... ∪Um, onde Ui=Vi∩X∈ U (pola construcción de V)∀i= 1,...,m. 6.4 PROPOSICIÓN Sexa f:X⊂Rn−→ Y⊂Rmunha aplicación continua. Se Xé compacto, entón fé uniformemente continua. DEMOSTRACIÓN Para probar que f:X→Yé uniformemente continua temos que demostrar que ∀ε > 0,∃δ > 0x,y∈X, d(x,y)< δ ⇒d(f(x), f(y)) < ε. Sexa ε > 0. Por hipótese, fé continua en cada punto a∈X, logo ∀a∈X, dado ε 2>0∃δa>0fBX(a, δa)⊂BYf(a),ε 2.(∗) Agora, X=[ a∈X BXa,δa 2, logo U=BX(a, δa/2)a∈Xé un recubrimento aberto de X. Polo tanto, se Xé compacto, ∃a1, . . . , am∈XX=BXa1,δa1 2[. . . [BXam,δam 2. Tomamos δ=1 2mín{δa1, . . . , δam}, e sexan x,y∈X. Imos comprobar que se d(x,y)< δ neste caso xeyvan a estar nunha mesma bóla aberta BX(ai, δai), entón df(x), f(y)< ε. En efecto, x∈X∃j∈ {1, . . . , m}x∈Baj,δaj 2⊂Baj, δaj(∗)df(x), f(aj)<ε 2 y∈X d(y,aj)≤d(y,x) + d(x,aj)< δ +δaj 2≤δaj(∗)df(y), f(aj)<ε 2        df(x), f(y)≤df(x), f(aj)+df(aj), f(y)<ε 2+ε 2=ε.  6.5 EXEMPLOS Todo subconxunto finito Xde Rné compacto. Se X=∅, é trivial. Se X=∅, supoñamos que X={x1,...,xm}e sexa Vun recubrimento de Xpor abertos en Rn. Entón, X={x1,...,xm} ⊂ [ V∈V V∀i= 1,...,m ∃Vi∈ V xi∈Vi X={x1}∪ ... ∪{xm} ⊂ V1∪... ∪Vm. Ou ben, se houbésemos tomado un recubrimento aberto Udo conxunto finito X, entón U ⊂ P(X)é finito, logo o mesmo Uvalería como subrecubrimento finito de U. Ningún subconxunto discreto infinito de Rné compacto. Se Xé discreto, entón U={{x} | x∈X}é un recubrimento aberto de X, xa que X=Sx∈X{x}.Se Xé compacto, entón ∃ {x1}, ...,{xm} ∈ U X={x1}∪ ... ∪{xm}={x1, ...,xm}, é dicir, calquera subconxunto compacto discreto de Xé necesariamente finito. Por exemplo, NeZnon son compactos. O subconxunto X= (0,1) de Rnon é compacto. En efecto, da propiedade arquimediana de R, séguese que (0,1) = [ n≥21 n,1, así que U={(1/n, 1) |n∈N{1}} é un recubrimento aberto de X. Se Utivese un subrecubrimento finito U′={(1/ni,1) |i= 1,...,m}, sería (0,1) = 1 n1 ,1∪... ∪1 nm ,1=1 N,1= (0,1), N =máx{n1,...,nm}. Rnnon é compacto, como se segue da seguinte proposición. 6.6 PROPOSICIÓN Todo subconxunto compacto de Rné acoutado. DEMOSTRACIÓN Sexa X⊂Rn. X⊂Rn=[ k∈N B(0, k), como consecuencia da propiedade arquimediana de R: x∈Rn∥x∥ ≥ 0∃k∈N,∥x∥< k ∃k∈Nx∈B(0, k), logo V=B(0, k)k∈Né un recubrimento de Xpor abertos en Rn. Se Xé compacto, entón ∃k1, . . . , km∈NX⊂B(0, k1)∪. . . ∪B(0, km) = B(0, r), onde r=máx{k1, . . . , km}, e polo tanto Xé acoutado. 6.7 COROLARIO Rnnon é compacto. 6.8 PROPOSICIÓN Todo subconxunto compacto de Rné pechado en Rn. DEMOSTRACIÓN Paso 1 X⊂Rn, X compacto y∈RnX∃U, V abertos en Rn X⊂U, y∈V, U∩V=∅, pois ∀x∈X y/∈Xx=yRnHausdorff ∃Ux, Vxabertos en Rn x∈Ux y∈Vx Ux∩Vx=∅, logo X⊂[ x∈X Ux,y∈\ x∈X Vx. conque se ten X⊂[ x∈X UxXcompacto∃x1, . . . , xm∈X X⊂Ux1∪. . . ∪Uxm=U y∈Vx1∩. . . ∩Vxm=V, onde UeVson abertos en Rn, e son disxuntos: U∩V= (Ux1∪. . . ∪Uxm)∩V= (Ux1∩V)∪. . . ∪(Uxm∩V) ⊂(Ux1∩Vx1) =∅∪. . . ∪(Uxm∩Vxm) =∅ =∅U∩V=∅. Paso 2 Polo paso anterior, se Xé compacto, entón é pechado en Rn, xa que y∈RnX∃U, V abertos en Rny∈V⊂RnU⊂RnX ∃r > 0B(y, r)⊂V⊂RnX RnXé aberto en Rn. 6.9 TEOREMA O intervalo pechado I= [0,1] é compacto. DEMOSTRACIÓN Sexa Uun recubrimento aberto do intervalo pechado I= [0,1], é dicir, I=[ U∈U U , U aberto en I∀U∈ U, e debemos ver que Iestá contido nunha unión finita de membros de U. Para isto, consideramos o conxunto E={x∈I|[0, x]está contido nunha unión finita de membros de U }, e debemos ver que 1∈E, é dicir, que E=I, para o que probaremos que é un conxunto non baleiro que é aberto e pechado en I; posto que Ié conexo será E=I. En primeiro lugar, Eé non baleiro, xa que 0∈I∃U∈ U 0∈U∃r > 0BI(0, r) = [0, r)⊂U[0, r)⊂ [0,x]⊂U∀x∈[0,r) E. Eé aberto en I: x∈E⊂I∃U0∈ U x∈U0∃r > 0BI(x, r) = (x−r, x +r)∩I⊂U0 ⇓⇓ ∃U1,...,Um∈ U, [0, x]⊂U1∪···∪Um∀y∈BI(x, r), [0, y]⊂U1∪···∪Um∪U0BI(x, r)⊂E. Eé pechado en I: x∈IE⊂I∃e U0∈ U x∈e U0∃s > 0BI(x, s) = (x−s, x+s)∩I⊂e U0, logo BI(x, s)⊂IE, xa que se existe y∈BI(x, s)tal que y∈E, entón ∃e Ui∈ U i= 1,...,l[0, y]⊂e U1∪. . . ∪e Ul[0, x]⊂e U1∪. . . ∪e Ul∪e U0x∈E.  Compacidade e continuidade 6.10 TEOREMA Se Xé un subconxunto compacto de Rnef:X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha aplicación continua e sobrexectiva, entón o subconxunto Yde Rmé compacto. DEMOSTRACIÓN Sexa Uun recubrimento aberto de Y, isto é, Y=[ U∈U U, U aberto en Y∀U∈ U, e debemos ver que Uten un subrecubrimento finito. Agora, X=f−1Y=f−1[ U∈U U=[ U∈U f−1(U), e cada f−1(U)é aberto en Xporque Ué aberto en Yef:X→Yé continua. Logo f−1(U)U∈ U é un recubrimento aberto de X. Como Xé compacto, existen U1, . . . , Uk∈ U tales que X=f−1(U1)∪. . . ∪f−1(Uk), logo Y=f(X) = ff−1(U1)∪···∪f−1(Uk) =ff−1(U1)∪. . . ∪ff−1(Uk)=U1∪. . . ∪Uk. 6.11 COROLARIO Se Xé un subconxunto compacto de Rnef:X⊂Rn−→ Y⊂Rmé unha aplicación continua, entón o subconxunto f(X)de Rmé compacto. 6.12 COROLARIO A compacidade é unha propiedade topolóxica. 6.13 COROLARIO Calquera intervalo pechado [a, b](a, b ∈R, a < b) é compacto. 6.14 EXERCICIO (1) Se x∈Rn,y∈Rm, entón BRnx, r/√2×BRmy, r/√2⊂BRn+m(x,y), r. (2) Se Wé un aberto en Rn+me(x,y)∈W, entón existe un aberto Uen Rne un aberto Ven Rmtal que (x,y)∈U×V⊂W. 6.15 TEOREMA O produto cartesiano de conxuntos compactos é un conxunto compacto. DEMOSTRACIÓN Paso 1 (Lema do tubo)Sexan x∈Rn,Y⊂Rm,Ycompacto. Sexa Wun aberto en Rn+mtal que {x}×Y⊂W. Entón existe un aberto Uen Rnque contén a xtal que {x}×Y⊂U×Y⊂W. PROBA. Para cada y∈Y,(x,y)∈W, logo (exercicio anterior) ∃Uyaberto en Rn,x∈Uy ∃Vyaberto en Rm,y∈Vy(x,y)∈Uy×Vy⊂W. Agora, V=Vyy∈Yé un recubrimento do compacto Ypor abertos en Rm, logo ∃y1, . . . , yk∈YY⊂Vy1∪. . . ∪Vyk. Se U=Uy1∩. . . ∩Uyk, entón Ué un aberto en Rn,x∈U, e tense {x}×Y⊂U×Y⊂U×(Vy1∪···∪Vyk) = (U×Vy1)∪. . . ∪(U×Vyk) ⊂(Uy1×Vy1)∪. . . ∪(Uyk×Vyk) ⊂W. Paso 2 Se X⊂RneY⊂Rmson conxuntos compactos, entón X×Yé un subconxunto compacto de Rn+m. PROBA. Sexa Wun recubrimento de X×Ypor abertos en Rn+m. Dado x∈X,{x}×Y≈Y, logo {x}×Y⊂Rn+mé compacto, e Wtamén recubre {x}×Y, {x}×Y⊂[ W∈W W{x}×Ycompacto ∃W1, . . . , Wl∈ W {x}×Y⊂W1∪···∪Wl= notación e Wx así que e Wxé un aberto en Rn+mque contén a {x}×Y, conque polo lema do tubo, ∃Uxaberto en Rn,x∈Ux{x}×Y⊂Ux×Y⊂e Wxunión finita de membros de W. Agora, a familia U=Uxx∈Xé un recubrimento de Xpor abertos en Rn, e dado que Xé compacto, ∃x1, . . . , xr∈XX⊂Ux1∪. . . ∪Uxr, e, polo tanto, X×Y⊂(Ux1×Y)∪. . . ∪(Uxr×Y)⊂e Wx1∪. . . ∪e Wxr, onde cada e Wxié unha unión finita de membros de W, do que se segue que, en efecto, Wten un subrecubrimento finito. Logo X×Yé compacto. Paso 3 Se X1⊂Rn1, . . . , Xk⊂Rnkson conxuntos compactos , entón X1×. . . ×Xké un subconxunto compacto de Rn1+···+nk. PROBA. Por indución: para k= 2 verifícase polo paso 2. Supoñemos que se verifica par k−1e é inmediato que se verifica para k, xa que X1×···×Xk≈(X1×···×Xk−1) compacto por hipótese indución ×Xk é compacto, outra vez polo paso 2. 