Un recorrido por la Inferencia Estadística asociada a la distribución de Gauss

Traballo Fin de Grao Un recorrido por la Inferencia Estadística asociada a la distribución de Gauss Diego Martínez Taboada 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Un recorrido por la Inferencia Estadística asociada a la distribución de Gauss Diego Martínez Taboada Julio 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Estadística e Investigación Operativa Título: Un recorrido por la Inferencia Estadística asociada a la distribución de Gauss Breve descrición do contido Se pretende revisar la distribución de Gauss, desde el contexto más básico de datos escalares hasta el de los datos vectoriales multidimensionales en espacios euclídeos y de dimensión infinita, como sucede en el caso de los procesos estocásticos, con la ilustración en espacios notables, como lo son los diversos espacios manejados en el contexto de datos funcionales. Dicha revisión incluirá aspectos relacionados con la Inferencia Estadística de las muestras de datos y las correspondientes distribuciones asociadas a la distribución Gaussiana, así como diversas técnicas para la correspondiente generación de datos artificiales de dicha distribución. iii Índice general Resumen ix Introducción xi 1. Distribuciones escalares y vectoriales del contexto gaussiano 1 1.1. Distribuciones escalares del contexto gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Distribución normal univariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Distribución ji-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3. Distribución T de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4. Distribución FdeSnédecor ....................... 2 1.2. Distribuciones vectoriales del contexto gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Distribución normal multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Distribución de Wishart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3. Distribución T2deHotelling....................... 5 1.2.4. Distribución ΛdeWilks......................... 6 1.2.5. Inferencia en poblaciones normales multivariantes . . . . . . . . . . . 7 1.2.6. Simulación de distribuciones normales multivariantes . . . . . . . . . 9 1.3. Contraste de la normalidad univariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Test basado en la asimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Test basado en la kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3. Test de Shapiro-Wilk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4. Tests de Kolmogorov-Smirnov y Lilliefors . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Contraste de la normalidad multivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. Test de Jarque-Bera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2. TestdeMardia.............................. 16 1.4.3. Test de Kolmogorov-Smirnov multivariante . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Análisis de componentes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 v vi ÍNDICE GENERAL 2. Teoría de espacios de Hilbert 21 2.1. Espacios de Banach y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4. El espacio L2............................... 24 2.2. Teoríadeoperadores............................... 25 2.2.1. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2. Operadores Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Procesos gaussianos y hilbertianos de Gauss 29 3.1. Introducción a los procesos gaussianos y hilbertianos de Gauss . . . . . . . . 29 3.1.1. Procesos estocásticos y procesos gausianos . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2. El proceso de Wiener y el puente browniano . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3. Procesos hilbertianos de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Inferencia en procesos hilbertianos de Gauss 35 4.1. Media y operador de covarianzas de un elemento aleatorio . . . . . . . . . . 35 4.2. Inferencia sobre la media y la función de covarianzas . . . . . . . . . . . . . 38 4.3. Componentes funcionales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3.1. Introducción a las FPC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3.2. Base ortonormal óptima empírica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4. Descomposición Karhunen-Loéve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5. Estudio de los tests de normalidad de datos funcionales 45 5.1. Introducción a los contrastes realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2. Contrastes realizados y análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2.1. Familia de datos estudiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2.2. Bloque1.................................. 48 5.2.3. Bloque2.................................. 49 5.2.4. Comparación de bloques y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A. Cuadros relativos a la simulación de los tests de normalidad del bloque 1 53 B. Cuadros relativos a la simulación de los tests de normalidad del bloque 2 57 ÍNDICE GENERAL vii C. Código de R83 C.1. Código relativo a la generación de datos funcionales . . . . . . . . . . . . . . 83 C.2. Código relativo a las simulaciones del bloque 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 86 C.3. Código relativo a las simulaciones del bloque 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Bibliografía 101 2CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES posteriores distribuciones1. 1.1.1. Distribución normal univariante Definición 1.1. Una variable aleatoria continua Xse dice que sigue una distribución normal de media µy varianza σ2si su función de densidad viene dada por f(x) = 1 √2πσ2exp −1 2(x−µ σ)2∀x∈R. Se denota X∈N(µ, σ2). Si µ= 0 yσ2= 1, se le denomina distribución normal estándar. 1.1.2. Distribución ji-cuadrado Definición 1.2. Sean Z1, ..., Zm∈N(0,1) independientes. La variable aleatoria X= m X i=1 Z2 i se dice que sigue una distribución ji-cuadrado con m grados de libertad. Se denota X∈χ2 m. Nótese que si Y1, ..., Ym∈N(0, σ2), entonces X= m X i=1 Y2 i=σ2 m X i=1 (Yi σ)2=σ2 m X i=1 Z2 i∈σ2χ2 m. 1.1.3. Distribución T de Student Definición 1.3. Sean Z∈N(0,1) yX∈χ2 mindependientes. La variable aleatoria T=Z pX/m se dice que sigue una distribución Tde Student con m grados de libertad. Se denota T∈Tm. 1.1.4. Distribución Fde Snédecor Definición 1.4. Sean X1∈χ2 m1yX2∈χ2 m2independientes. La variable aleatoria F=X1/m1 X2/m2 se dice que sigue una distribución Fde Snédecor con m1ym2grados de libertad en el numerador y en el denominador. Se denota F∈Fm1,m2. 1No se profundizará en las propiedades de dichas distribuciones, pues son objeto de estudio en las materias Probabilidad y Estadística eInferencia Estadística del tercer curso del grado. 1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 3 1.2. Distribuciones vectoriales del contexto gaussiano Menos de 25 años más tarde de haber introducido el concepto de distribución normal univariante, Laplace y Gauss cosecharon la función de densidad de la distribución normal bivariante. En 1889, Galton ahondó en los conceptos de regresión y correlación entre pares de variables, motivado por su estudio en genética. Los cimientos de la distribución normal multivariante quedarían de esta manera asentados. A partir de ahí, numerosos matemáticos se han adentrado en el estudio de la distribución gaussiana multivariante y distribuciones derivadas. Trataremos primeramente las generalizaciones al contexto vectorial de las cuatro distribuciones anteriormente recogidas, así como algunas de sus propiedades más importantes. El salto al marco multidimensional trae consigo connotaciones importantes. En primer lugar, el concepto de varianza se convierte en la noción de matriz de covarianzas, dando lugar a la introducción de conceptos como el análisis de componentes principales. Además, las funciones de densidad o distribución son a menudo desconocidas o de mayor complejidad. La simplificación de estas o la reducción de éstas a otras distribuciones conocidas juega siempre un papel importante. La introducción secuencial de esta sección ha sido motivada por aquella presentada en [Mardia et al., 1979]. 1.2.1. Distribución normal multivariante El estudio de la distribución normal (o gaussiana) multivariante es fundamental en el contexto de la inferencia estadística. Esta es de especial interés porque describe el comportamiento asintótico de sucesiones de vectores aleatorios bajo ciertas hipótesis (véase el teorema de Levy-Lindeberg multivariante), así como aparece de manera recurrente en multitud de escenarios de la física y de la biología. A continuación se presenta una de sus definiciones más comúnmente utilizadas, basada en la función de densidad del vector aleatorio. Definición 1.5. Sean µ∈RmyΣuna matriz m×msimétrica y semidefinida positiva. Un vector aleatorio continuo Xse dice que sigue una distribución normal multivariante con vector de medias µy matriz de covarianzas Σsi su función de densidad viene dada por f(x) = (2π)−m/2|Σ|−1/2exp −1 2(x−µ)0Σ−1(x−µ)∀x∈Rm. Se denota X∈Nm(µ, Σ). Si µ= 0 yΣ = Im, se le denomina distribución normal estándar multivariante. Son varias las definiciones equivalentes de la normalidad de un vector aleatorio. El siguiente teorema sugiere otra de ellas, y su alcance podrá ser entendido en el Capítu- 4CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES lo 3, donde definiremos la normalidad de un elemento aleatorio funcional sin recurrir al concepto de función de densidad. La demostración del mismo puede ser encontrada en [Seber y Lee, 2003, Teorema 2.3, pág 22]. Teorema 1.6. Si Yes un vector aleatorio de dimensión mcon vector de medias µy matriz de covarianzas Σ, entonces Y∈Nm(µ, Σ) ⇐⇒ a0Ysigue una distribución normal univariante para todo vector a. Por tanto, la normalidad se tiene si y solo si todas las proyecciones siguen una distribución normal univariante. Una importante propiedad de la distribución normal multidimensional es la siguiente: Teorema 1.7. Si X∈Nm(µ, Σ) yCes una matriz p×m, entonces CX ∈Nm(Cµ, CΣC0). Nótese que este hecho permite manipular la distribución de maneras muy interesantes, como puede ser el proceso de estandarización. Además, la distribución gaussiana multivariante cuenta con la siguiente propiedad: Teorema 1.8. Sea X= (X1, ..., Xm)0un vector aleatorio que sigue una distribución normal multivariante. Si sus variables son incorrelacionadas, entonces son independientes. Por tanto, dos variables aleatorias normales son incorrelacionadas si y solo si son independientes. Esta característica resulta útil en los tests de normalidad multivariante, pues permite trasladar la verificación de la hipótesis de normalidad a las componentes incorrelacionadas. 1.2.2. Distribución de Wishart En 1928, el matemático escocés John Wishart introduce una distribución que más tarde adoptaría su nombre. La distribución de Wishart generaliza la distribución ji-cuadrado al contexto vectorial. Recordemos que esta última aparece reiteradamente en problemas de inferencia en el caso unidimensional, y en particular en aquellos asociados a la varianza. El teorema de Fischer multivariante y el Ejemplo 1.23 recogidos posteriormente ilustrarán la motivación de la distribución de Wishart. Esta se define como sigue: Definición 1.9. Sea Σuna matriz simétrica y semidefinida positiva. Sean X1, ..., Xm∈ Nm(0,Σ) independientes. La matriz aleatoria M= m X i=1 XiX0 i 1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 5 se dice que sigue una distribución Wishart con mgrados de libertad y matriz Σ. Se denota M∈Wd(Σ, m). El siguiente teorema recoge el comportamiento de la esperanza de la distribución de Wishart, análogo a aquel de la distribución ji-cuadrado. Teorema 1.10. Si M∈Wd(Σ, m), entonces E(M) = mΣ. Asimismo, la distribución de Wishart también es reproductiva con respecto del parámetro asociado a la descomposición de esta. Teorema 1.11. La familia de distribuciones M∈Wd(Σ, m)es reproductiva respecto del parámetro m. Es decir, si M1∈Wd(Σ, m1)yM2∈Wd(Σ, m2)son independientes, entonces M1+M2∈Wd(Σ, m1+m2). Por último, la siguiente propiedad de la distribución de Wishart permite definir la distribución Λde Wilks, como veremos posteriormente. Teorema 1.12. Si M∈Wd(Σ, m)es tal que Σes definida positiva y m≥d, entonces P(Mdefinida positiva)=1. 1.2.3. Distribución T2de Hotelling La distribución de Hotelling debe su nombre al matemático y economista americano Harold Hotelling. Ésta extiende de manera natural la distribución Tde Student al escenario vectorial. Definición 1.13. Sean Z∈Nd(0, Id)yR∈Wd(Id, m)independientes con m≥d. La variable aleatoria unidimensional H=mZ0R−1Z se dice que sigue una distribución T2de Hotelling de parámetros dym. Se denota H∈ T2(d, m). El siguiente teorema es fundamental para entender la aplicación de la distribución T2de Hotelling en el ámbito de la inferencia. El Ejemplo 1.23 ilustra el uso de esta distribución. Teorema 1.14. Si X∈Nd(µ, Σ) yM∈Wd(Σ, m)son independientes, entonces m(X−µ)0M−1(X−µ)∈T2(d, m). 6CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES La distribución de Hotelling puede ser reducida a una distribución Fde Snédecor como recoge el siguiente teorema: Teorema 1.15. Las distribuciones T2de Hotelling y Fde Snédecor verifican T2(d, m)d =md m−d+ 1Fd,m−d+1. Las tablas de la distribución de Hotelling pueden ser derivadas, por tanto, de aquellas de la distribución Fde Snédecor. 1.2.4. Distribución Λde Wilks La distribución Fde Snédecor tiene como distribución homóloga en el marco multidimensional a la distribución Λde Wilks, introducida por el americano Samuel Wilks. Recuérdese que el test F de comparación de modelos lineales se ampara en la distribución Fde Snédecor. Siendo RSS0la suma residual de cuadrados bajo la hipótesis nula yRSS la suma residual de cuadrados bajo la hipótesis alternativa, téngase presente el estadístico de contraste del test F: (RSS0−RSS)/q RSS/(n−p)∈Fq,n−p. En el marco multivariante, los residuos son vectores. Consecuentemente, la suma de cuadrados se transforma en una matriz de covarianzas. Véase la analogía de dicho estadístico con la definición que a continuación se presenta de la distribución Λde Wilks. Definición 1.16. Sean E∈Wd(Id, mE)yH∈Wd(Id, mH)independientes con mE≥d. La variable aleatoria unidimensional W=|E| |E+H|=|Id+E−1H|−1 se dice que sigue una distribución Λde Wilks de parámetros d,mHymE. Se denota W∈Λ(d, mH, mE). Nótese que P(Hsemidefinida positiva)=1y, basándose en el Teorema 1.12, P(E definida positiva)=1. Por tanto, P(E+Hdefinida positiva)=1y consecuentemente la distribución Λde Wilks está bien definida con probabilidad 1. La distribución Λde Wilks presenta la siguiente propiedad de simetría, lo que facilita la obtención de sus tablas: Teorema 1.17. Si mE≥d, entonces Λ(d, mH, mE) = Λ(mH, d, mH+mE−d). 1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 7 1.2.5. Inferencia en poblaciones normales multivariantes Comenzamos refiriéndonos al vector de medias y matriz de covarianzas muestrales multivariantes, conceptos imperativos en el desarrollo de la inferencia estadística. Definición 1.18. Sean X1, ..., Xnuna muestra aleatoria simple vectorial. El vector de medias ¯ Xy la matriz de covarianzas muestrales Sse definen respectivamente como ¯ X=1 n n X i=1 Xi, S =1 n n X i=1 (Xi−¯ X)(Xi−¯ X)0. A continuación, la exposición del teorema de Fischer multivariante, esencial en problemas de inferencia de carácter vectorial. Teorema 1.19 (Teorema de Fischer multivariante).Si X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) son independientes, entonces i) ¯ X∈N(µ, 1 nΣ). ii) nS ∈Wd(Σ, n −1). iii) ¯ XySson independientes. Su prueba, que puede ser encontrada en [Mardia et al., 1979, Capítulo 3, página 69], es análoga a la del caso univariante. El siguiente corolario es consecuencia inmediata del teorema de Fischer multivariante y el Teorema 1.14. Será utilizado en el Ejemplo 1.23. Corolario 1.20. Si X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) son independientes, entonces (n−1)( ¯ X−µ)0S−1(¯ X−µ)∈T2(d, n −1). A causa del Teorema 1.15, también se obtiene el corolario equivalente que sigue: Corolario 1.21. Si X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) son independientes, entonces (n−d) d(¯ X−µ)0S−1(¯ X−µ)∈Fd,n−d. Recogemos a continuación tres problemas de contraste de hipótesis que ejemplifican el uso de las nociones que introducidas hasta el momento. Ejemplo 1.22 (Contraste sobre el vector de medias con matriz de covarianzas conocida). Sean X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) una muestra aleatoria simple de vectores aleatorios independientes y Σconocida. Supongamos que nos enfrentamos a un problema de contraste sobre el vector de medias H0:µ=µ0. 8CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES Afrontando el problema por medio del procedimiento de razón de verosimilitudes, terminamos obteniendo el siguiente estadístico de contraste: n(¯ X−µ0)0Σ−1(¯ X−µ0). Si la hipótesis nula es cierta, entonces n(¯ X−µ0)0Σ−1(¯ X−µ0)∈χ2 d como consecuencia del Teorema 1.7. Por tanto, se rechazará H0:µ=µ0cuando n(¯ X−µ0)0Σ−1(¯ X−µ0)> χ2 d,α, donde χ2 d,α es el cuantil 1−αde la distribución χ2 d. Ejemplo 1.23 (Contraste sobre el vector de medias con matriz de covarianzas desconocida).Afrontando el problema de contraste sobre el vector de medias del ejemplo anterior pero con Σdesconocida mediante el procedimiento de razón de verosimilitudes, obtenemos el siguiente estadístico de contraste (n−1)( ¯ X−µ0)0S−1(¯ X−µ0). Si la hipótesis nula es cierta, entonces (n−1)( ¯ X−µ0)0S−1(¯ X−µ0)∈T2(d, n −1) como consecuencia del Corolario 1.20. Por tanto, se rechazará H0:µ=µ0cuando (n−1)( ¯ X−µ0)0S−1(¯ X−µ0)> T2 α(d, n −1), donde T2 α(d, n −1) es el cuantil 1−αde la distribución T2(d, n −1). Equivalentemente (Teorema 1.15), la hipótesis nula se rechazará si n−d d(¯ X−µ0)0S−1(¯ X−µ0)> fd,n−d,α, donde fd,n−d,α es el cuantil 1−αde la distribución Fd,n−d. Ejemplo 1.24 (Contraste sobre la matriz de covarianzas).Sea X1, ..., Xn∈Nd(µ, Σ) una muestra aleatoria simple de vectores aleatorios independientes con µdesconocido. Supongamos que nos enfrentamos a un problema de contraste sobre la matriz de covarianzas H0: Σ = Σ0. 1.2. DISTRIBUCIONES VECTORIALES DEL CONTEXTO GAUSSIANO 9 Afrontando el problema por medio del procedimiento de razón de verosimilitudes, terminamos obteniendo el siguiente estadístico de contraste nd(a−ln g−1), siendo ayglas medias aritméticas y geométricas de los autovalores de Σ−1 0S. Su distribución exacta es desconocida. No obstante, se satisfacen las hipótesis del teorema de Wilks y consecuentemente puede ser aplicado. La distribución asintótica del estadístico es χ2 m, donde mes la diferencia de dimensiones entre los espacios de parámetros ΘyΘ0. En este caso, m=1 2d(d+1) es el número de parámetros independientes de la matriz de covarianzas en cuestión. Por tanto, se rechazará H0: Σ = Σ0cuando nd(a−ln g−1) > χ2 m,α, donde χ2 m,α es el cuantil 1−αde la distribución χ2 m. 1.2.6. Simulación de distribuciones normales multivariantes La simulación de distribuciones es muy importante en el análisis estadístico, ya sea en su plano más teórico o aplicado. Numerosos resultados (como la propia definición de la distribución normal) nacen de la observación rigurosa de datos, que pueden ser reales o simulados. Además, el estudio de la eficacia de diferentes tests o algoritmos puede requerir una gran cantidad de datos. La obtención de dichos datos no es siempre posible, o puede ser demasiado costosa. La simulación ofrece una alternativa eficiente en el desarrollo estadístico. Aquí presentamos dos métodos de generación de distribuciones normales estándar conocidos como la transformación de Box-Muller y el método polar. Nótese que permiten generar cualquier distribución normal, como consecuencia del Teorema 1.7. Sean U1yU2dos variables aleatorias uniformes (0,1) independientes. La transformación de Box-Muller se define como sigue: Z0=p−2 ln U1cos(2πU2), Z1=p−2 ln U1sen(2πU2). La variable Z= (Z0, Z1)sigue una distribución N2(0, I2). La demostración se puede descomponer en dos pasos sencillos. Primero, estudiar que la transformación Y= ln U1da lugar a una exponencial. Después, estudiar la transformación de Box-Muller a partir de una distribución uniforme y una distribución exponencial. Esta 10 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES prueba puede ser encontrada con detalle en [Blitzstein y Hwang, 2015, Capítulo 8, páginas 373-374]. Nótese que la idea subyacente a la transformación de Box-Muller reside en generar dos distribuciones aleatorias y transformarlas de tal manera que una se asocia al ángulo y otra se asocia al radio, ambas entre 0 y 1. Numéricamente, la transformación requiere dos operaciones trigonométricas. El método polar se basa en la misma idea, pero evita tener que realizar las evaluaciones del seno y coseno. Es por ello que este último es ampliamente utilizado. Sean ahora XeYdos variables aleatorias uniformes (0,1) independientes. El papel que jugaba U1en la transformación de Box-Muller, se corresponde con la suma Q=X2+Y2 en el método polar. El coseno se transforma de manera natural en X/pQy el seno en Y/pQ. Recordemos que U1toma valores en (0,1). Consecuentemente, el método polar genera dos variables aleatorias uniformes (0,1) independientes XeYhasta que Q∈(0,1) y las transforma en P0=X √Qp−2 ln Q=Xs−2 ln Q Q, P1=Y √Qp−2 ln Q=Ys−2 ln Q Q. La variable P= (P0, P1)sigue una distribución N2(0, I2). La Figura 1.1 representa esquemáticamente la generación de vectores aleatorios normales mediante el método polar. 1.3. Contraste de la normalidad univariante En multitud de ocasiones, las técnicas estadísticas son robustas si se aceptan las suposiciones con las que se trabaja. Frecuentemente, una de estas es la hipótesis de normalidad. A veces, esta suposición se debe a la naturaleza de los fenómenos estudiados. Otras veces, reduce la complejidad de los algoritmos de manera importante. No obstante, dicha suposición conlleva el riesgo de perder la eficacia o incluso validez del modelo. Comprobar el ajuste de normalidad de la muestra es un paso que no debe ser subestimado. El estudio de los tests de contraste de normalidad en datos funcionales supone uno de los objetivos primordiales de este trabajo. Estos se basan en los los tests de normalidad mutidimensional, que debemos estudiar con rigor. Para ello, es importante haber comprendido los tests de asimetría y kurtosis del marco unidimensional, recogidos a continuación. También se explicita el test de Shapiro-Wilk, test de normalidad unidimensional altamente extendido. Por último, se recoge el test de bondad de ajuste más general de Kolmogorov-Smirnov y la adaptación de Lilliefors al marco gaussiano. 1.3. CONTRASTE DE LA NORMALIDAD UNIVARIANTE 11 Figura 1.1: Ilustración de la generación de vectores aleatorios normales mediante el método polar. 1.3.1. Test basado en la asimetría La distribución normal univariante es simétrica con respecto de la media. Consecuentemente, cualquier momento centrado de orden impar de una distribución normal es igual a 0. En particular, el momento de orden 3 motiva la definición de asimetría muestral. A continuación se recogen su definición formal y el estadístico asociado. Definición 1.25. Sea X1, ..., Xnuna muestra aleatoria simple escalar. El coeficiente de asimetría muestral se define como A=1 n n X i=1 (Xi−¯ X √S)3. Si la distribución de los datos muestrales es normal, entonces rn 6Atiene una distri- 18 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES precursores de la idea. A principios de siglo XX ambos publican sus respectivos trabajos, que adoptan dos motivaciones diferentes. Más información puede ser encontrada en [Jolliffe, 2002, Capítulo 1]. La idea asociada a las componentes principales es la reducción de la dimensión de la muestra, reteniendo la mayor información posible de dicho conjunto de datos. Supongamos que X= (X1, ..., Xp)es un vector aleatorio de pvariables. Buscamos un pequeño número de variables derivadas de Xque preserven la mayoría de la variabilidad del vector. En primer lugar, se busca el vector constante α1= (α11, ..., α1p)tal que |α1|= 1 que maximiza la varianza de la variable aleatoria hα1, Xi= p X j=1 α1jXj. La primera componente principal, CP, se define como la variable aleatoria hα1, Xi. En segundo lugar, se busca el vector constante α2tal que |α2|= 1,hα1, Xiyhα2, Xi son incorrelacionados y maximiza la varianza de hα2, Xien el conjunto de vectores de tales características. La variable aleatoria hα2, Xise denomina segunda componente principal. Sucesivamente, el vector αkes tal que |αk|= 1,hαk, Xiyhαi, Xison incorrelacionados para 1≤i≤k−1y maximiza la varianza de hαk, Xien el conjunto de vectores de tales características. La k-ésima componente principal es hαk, Xi. El proceso continúa hasta que se entiende que las CP’s consideradas son suficientes. Nótese que las primeras kcomponentes principales conforman la proyección de Xen el subespacio de Rpgenerado por {α1, ...αk}. Estudiemos ahora el conjunto {α1, ...αk}. Recordemos que, por ser Σuna matriz real, simétrica y semidefinida positiva, admite una descomposición en valores singulares de la forma USU0, donde UySson matrices de orden p×preales, Ues ortogonal y Ses diagonal y con todas sus entradas no negativas. Podemos requerir, además, que los valores singulares Sii estén ordenados de forma descendiente. Equivalentemente, Σ = p X i=1 SiiUi⊗Ui, donde Uies la i-ésima columna de U. De esta última descomposición de la matriz de covarianzas podemos deducir que el conjunto {α1, ...αk}se corresponde con las kprimeras columnas de U. El conjunto {U1, ..., Uk}lo componen, a su vez, los kautovectores asociados a los kautovalores de Σde mayor valor absoluto. En la inmensa mayoría de ocasiones, la matriz de covarianzas Σes desconocida, al igual que la distribución de la muestra. El concepto de las componentes principales empíricas se fundamenta en los mismos principios, pero tomando la matriz de covarianzas muestral 1.5. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES 19 Sen vez de Σ. La Figura 1.2 ilustra los vectores asociados a las componentes principales empíricas en dos conjuntos de observaciones diferentes. (a) Observación de una distribución normal bidimensional de media 0 y matriz de covarianzas diagonal generada por el método polar. (b) Observación de una distribución normal bidimensional fruto del giro de 45 grados de la distribución recogida en la Figura 1.2a. Figura 1.2: Ilustración de los vectores asociados a las componentes principales empíricas. En el Capítulo 4 profundizamos en el concepto de las componentes principales en un espacio L2. Se podrán observar las analogías que se conservan en el espacio de dimensión infinita, y los nuevos retos que aparecen. Veremos bajo qué circunstancias las componentes principales empíricas aproximan de manera correcta las componentes principales. También dejaremos para dicho capítulo cómo escoger el número de componentes principales, cuya extrapolación es inmediata al contexto vectorial. 20 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES ESCALARES Y VECTORIALES Capítulo 2 Teoría de espacios de Hilbert Uno de los objetivos primordiales de este trabajo es comprender y analizar datos funcionales que se suponen en L2. Es por ello que un desarrollo en teoría de espacios de Hilbert es imperativo para comprender el comportamiento de dichos datos funcionales. Se recogerán los resultados de especial importancia con el objetivo de presentar un desarrollo secuencial que permita entender los fundamentos y motivación de los diferentes resultados estadísticos. Las demostraciones de los resultados recogidos en esta sección pueden ser encontrados a lo largo de los primeros capítulos de [Hsing y Eubank, 2015]. 2.1. Espacios de Banach y Hilbert 2.1.1. Espacios de Banach Entre 1920 y 1922, el matemático polaco Stefan Banach introdujo el concepto ahora conocido como espacio de Banach, fruto del estudio de espacios funcionales realizado a principios del siglo XX. Es uno de los pilares del análisis funcional. A continuación se recoge su definición: Definición 2.1. Un espacio vectorial normado (X,||.||)se dice de Banach si el espacio métrico (X, d)es completo, siendo dla métrica inducida por la norma (i.e. d(x, y) = ||x−y||). Seguidamente se ofrece un ejemplo que permite entender por qué los espacios de Banach aparecieron ligados al estudio de funciones. Ejemplo 2.2 (Ejemplo de espacios de Banach).Sea (Y, d)un espacio métrico y sea (X,||.||) un espacio de Banach. El conjunto de funciones continuas acotadas Cb(Y, X)es un espacio de Banach dotado de la norma 21 22 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ESPACIOS DE HILBERT ||f||∞= sup y∈Y||f(y)||. En particular, si (X,||.||)=(R,|.|)y(Y, d) = ([a, b],|.|), donde a<b, entonces el conjunto de funciones continuas (C([a, b],R),||.||∞)es un espacio de Banach. El espacio L2que introduciremos en la Sección 2.1.4 es un ejemplo concreto de una familia más general de espacios de Banach Lp, donde p≥1. Los espacios Lpson objeto de un extenso estudio en análisis funcional. Para un desarrollo teórico, se refiere al lector a [Athreya y Lahiri, 2006, Capítulo 3]. A continuación presentamos los espacios lp, un caso particular de los espacios Lp, donde el espacio de medida está conformado por el conjunto Ny la medida de contar. Seguidamente su definición y caracterización como espacio de Banach. Definición 2.3. Sea p∈[1,∞). Denominamos lpal siguiente espacio vectorial: {(xn)n∈N:X n∈N|xn|p<∞}. Teorema 2.4. El espacio vectorial lp, dotado de la norma ||(xn)n∈N||lp= (X n∈N|xn|p) 1 p, es un espacio de Banach. La siguiente propiedad de los espacios lpnos permitirá caracterizar diferentes tipos de operadores. Teorema 2.5. Si p, q ∈[1,∞)tal que p≤q, entonces ||(xn)n∈N||lq≤ ||(xn)n∈N||lp. Consecuentemente, si p≤q, entonces lp⊂lq. 2.1.2. Espacios de Hilbert A finales del siglo XIX empezaron a aparecer ideas que invitaban a la abstracción matemática del concepto de vector, habiendo sido este ampliamente aplicado en contextos de sistemas físicos. Consecuencia del estudio de ecuaciones integrales, la noción de espacio de Hilbert se asocia a los matemáticos David Hilbert y Erhard Schmidt. En la posterior exposición, se entiende que K=RóC. Los resultados se han recogido en su expresión más general, aunque la implicación estadística de este trabajo solo alcanza K=R. Consecuentemente, no se profundizará en las dificultades que involucra K=C. El siguiente resultado permite definir de manera correcta los espacios de Hilbert. 2.1. ESPACIOS DE BANACH Y HILBERT 23 Proposición 2.6. Sea Eun K-espacio vectorial dotado de un producto interior (·,·). Entonces la aplicación x7→ (x, x)1 2es una norma en E. A continuación la definición de un espacio de Hilbert. Nótese que, en particular, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach. Definición 2.7. Sea Hun K-espacio vectorial dotado de un producto interior (·,·). El espacio vectorial Hse dice de Hilbert si (H,||.||)es completo, donde ||.|| es la norma asociada al producto interior. En el Capítulo 3 definiremos el concepto de elemento aleatorio en base al espacio dual. El teorema de representación de Riesz concluye que el espacio dual de un espacio de Hilbert es él mismo. Nótese que esto no tiene por qué acontecer en un espacio de Banach arbitrario. Teorema 2.8 (Teorema de representación de Riesz).Sea Hun espacio de Hilbert. La aplicación δ:H−→ H0 x7−→ δ(x) : h7→ (h|x) es una isometría biyectiva antilineal. En el contexto multidimensional, hemos definido el vector de medias y la matriz de covarianzas. El estudio de la generalización de estos es fundamental para el desarrollo de la teoría de funciones aleatorias en espacios de Hilbert. Para ello, debemos introducir el concepto de integral de Bochner. 2.1.3. Integral de Bochner Sea fun elemento aleatorio de un espacio de Banach Xdefinido sobre un espacio de probabilidad (E, B, µ). Recogemos primero las definiciones de función simple medible y la integral de Bochner de una función de tales características. Definición 2.9. Una función f:E7→ Xmedible se dice simple si existen k∈N, Ei∈ B, gi∈Xtales que f(w) = k X i=1 IEi(w)gi. Definición 2.10. Una función simple medible f(w) = k X i=1 IEi(w)giverificando µ(Ei)<∞ se dice Bochner integrable. Su integral se define como ZE fdµ = k X i=1 µ(Ei)gi. 24 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ESPACIOS DE HILBERT Si X=R, recordemos que la integral de Lebesgue está definida como el límite de integrales de funciones medibles simples. La integral de Bochner extiende este concepto de una manera análoga a un espacio de Banach arbitrario. Definición 2.11. Una función medible f:E7→ Xse dice Bochner integrable si existe una sucesión (fn)n∈Nde funciones simples medibles Bochner integrables tales que l´ım n→∞ ZE||fn−f||dµ = 0. En este caso, su integral de Bochner se define como ZE fdµ = l´ım n→∞ ZE fndµ. El siguiente teorema es fundamental para la definición posterior de la media y operador de covarianzas de un elemento aleatorio de H. Teorema 2.12. Sea funa función medible de un espacio de Hilbert separable Hdefinida sobre un espacio de probabilidad (E, B, µ). Si ZE||f||dµ < ∞, entonces fes Bochner integrable. 2.1.4. El espacio L2 El espacio de Hilbert con el que trataremos en el desarrollo de los siguientes capítulos es L2(I). Este se define como el siguiente espacio de funciones L2(I) = {f:I7→ K:ZI f2<∞}, donde K=RóC, considerando las clases de equivalencia de las funciones casi iguales. Es un espacio de Hilbert con el producto interno hx, yiL2(I)=ZI xy. Es ampliamente utilizado en el contexto del análisis funcional. Debido a la motivación estadística de este trabajo, nos restringimos al caso K=R. Además, todo intervalo compacto Ipuede ser transformado de forma suficientemente regular al intervalo [0,1], por lo que durante todo el desarrollo se trabajará con L2=L2([0,1]). El siguiente teorema es fundamental, pues permitirá aplicar la teoría de espacios de Hilbert separables a L2. Teorema 2.13. L2es un espacio de Hilbert separable. 2.2. TEORÍA DE OPERADORES 25 2.2. Teoría de operadores El salto a dimensiones infinitas conlleva cambios de importante calibre en la teoría de operadores lineales. Por ejemplo, un operador lineal en un espacio normado arbitrario no tiene por qué ser necesariamente continuo. De interés para este trabajo son los operadores compactos y en especial los operadores Hilbert-Schmidt. Recordemos primero la definición de un operador lineal en un espacio vectorial arbitrario. Definición 2.14. Sean X1yX2dos K-espacios vectoriales. Si la aplicación T:X17→ X2 se dice operador lineal si y solo si verifica T(λx +y) = λT(x)+(y)∀(x, y)∈X2 1,∀λ∈K. Denotamos mediante B(X1,X2)el conjunto de los operadores lineales continuos entre X1yX2. La integral de Bochner permuta con un operador lineal continuo. Esta propiedad será de gran utilidad una vez introducido el concepto de la media de un elemento aleatorio. Teorema 2.15. Sean X1,X2dos espacios de Banach, f:E7→ X1una función Bochner integrable y T∈B(X1,X2). Entonces Tf es Bochner integrable y T(ZE fdµ) = ZE Tfdµ. Una noción importante asociada a los operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert es el adjunto de un operador: Teorema 2.16. Sea Hun espacio de Hilbert y T∈B(H). Existe un único operador lineal continuo T∗tal que (Tx|y)=(x|T∗y)∀(x, y)∈H2. La aplicación T7→ T∗es una isometría antilineal. El operador T∗se denomina operador adjunto de T. Si T=T∗, entonces Tse dice autoadjunto. 2.2.1. Operadores compactos El estudio de los operadores compactos constituye un extenso campo de estudio en el contexto del análisis funcional. Un ejemplo de operador compacto es el operador de covarianzas, cuya definición recogeremos en el Capítulo 4. Definición 2.17. Siendo X1yX2dos espacios vectoriales normados, un operador T∈ B(X1,X2)se dice compacto si para todo A1⊂X1acotado, T(A1)es compacto. 26 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE ESPACIOS DE HILBERT Todo operador cuyo rango está contenido en un subespacio de dimensión finita es compacto. En particular, también lo es todo operador A∈B(Rn). Recordemos que la descomposición en valores singulares de Aes una factorización A=UΣV0tal que U∈Rm×m, V∈Rn×nyΣ∈Rm×ndiagonal con los autovalores singulares de Aordenados de mayor a menor. El Teorema 2.19 generaliza esta descomposición para un operador compacto arbitrario. No obstante, primero introducimos el teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos. Teorema 2.18 (espectral para operadores compactos autoadjuntos).Sea Tun operador compacto y autoadjunto de un espacio de Hilbert separable H. Entonces existe una sucesión de números reales (λj)j∈Ntal que (|λj|)j∈Nes no creciente y converge a cero verificando que λjes un valor propio de Tpara todo λj∈N. Además, los autovalores tienen multiplicidad finita y autovectores correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales dos a dos. Sea λ1, λ2, ... los autovalores ordenados de tal manera que |λ1|≥|λ2| ≥ ... y sean e1, e2, ... los correspondientes autovectores ortonormales. Entonces T=X j≥1 λjej⊗eji.e. T(x) = X j≥1 λjhej, xiej∀x∈H. Este teorema es uno de los pilares fundamentales de la teoría de operadores compactos. La demostración del teorema de la descomposición en valores singulares, recogido a continuación, se basa en él. Teorema 2.19 (descomposición en valores singulares).Sea T∈B(H1,H2)un operador compacto. Entonces T=X j≥1 λjf1j⊗f2ji.e. T(x) = X j≥1 λjhf1j, xif2j∀x∈H1,(2.1) donde i) {λ2 j}son los autovalores de T∗TyTT∗. ii) f1json los autovectores ortonormales de T∗T. iii) f2json los autovectores ortonormales de TT∗, verificando T∗f2j=λjf1jtal que λj=qλ2 j. La descomposición 2.1 no sólo describe el comportamiento de un operador compacto, sino que también lo define. Teorema 2.20. Un operador es compacto si y solo si admite una representación de la forma 2.1. 2.2. TEORÍA DE OPERADORES 27 2.2.2. Operadores Hilbert-Schmidt Como veremos en el Capítulo 4, el operador de covarianzas también es un operador Hilbert-Schmidt. Recogemos a continuación su definición. Definición 2.21. Sea {ei}i∈Nuna base ortonormal de H1yT∈B(H1,H2). Si Tsatisface ∞ X i=1 ||Tei||2 2<∞, entonces Tse denomina operador Hilbert-Schmidt. El conjunto de dichos operadores se denota BHS(H1,H2). La condición de ser Hilbert-Schmidt es más fuerte que aquella de ser compacto. Teorema 2.22. Todo operador Hilbert-Schmidt es compacto. Un operador Hilbert-Schmidt también puede ser caracterizado en base a su descomposición en valores singulares. Teorema 2.23. Un operador T∈B(H1,H2)es Hilbert-Schmidt si y solo si admite una representación de la forma 2.1 verificando: X j≥1 λ2 j<∞. El conjunto de operadores Hilbert-Schmidt constituye un espacio de Hilbert separable si se le dota del producto interior que se explicita en el siguiente teorema. Teorema 2.24. BHS(H1,H2)dotado del producto interior hT1, T2iHS = ∞ X j=1hT1ej, T2eji2 es un espacio de Hilbert separable. Debido a las características de los operadores de covarianzas, el interés por los operadores Hilbert-Schmidt simétricos definidos no negativos de L2motiva la exposición de los dos siguientes teoremas. Teorema 2.25. Sea Ψ∈B(L2)un operador de Hilbert-Schmidt simétrico y definido no negativo. Entonces Ψ = X j≥1 λjvj⊗vji.e. Ψ(x) = X j≥1 λjhvj, xivj∀x∈L2,(2.2) donde {vj}j∈Nes una base ortonormal de L2y(λj)j∈Nsucesión de autovalores no negativos que tiende a 0. 34 CAPÍTULO 3. PROCESOS GAUSSIANOS Y HILBERTIANOS DE GAUSS 3.1.3. Procesos hilbertianos de Gauss Empezaremos introduciendo el concepto de elemento aleatorio en el contexto de los espacios de Hilbert. Sean ByHdos espacios de Banach y Hilbert separables. Definición 3.7. Un elemento aleatorio de Bes una función χ: Ω 7→ Bmedible para la σ-álgebra de Borel de B, siendo (Ω, F, P)un espacio de probabilidad. La relación entre los conceptos de procesos gaussianos y elementos aleatorios de un espacio de Banach es evidente, pero también sutil. Supongamos que el espacio de Banach es el siguiente: B= (C0([0,1],R),||.||∞). El elemento aleatorio puede ser estudiado como un proceso estocástico con trayectoria continua. No obstante, este no es siempre el caso. Los elementos de Banach no tienen que ser siquiera funcionales. Por ejemplo, si B=L2, no tiene sentido estudiar la evaluación del elemento en un punto debido a la relación de equivalencia subyacente a la construcción del espacio. Para una relación detallada entre los dos conceptos, referenciamos [Hsing y Eubank, 2015, Capítulo 7]. Por tanto, a diferencia de los vectores aleatorios, no existe la evaluación puntual de un elemento aleatorio de un espacio de Banach arbitrario. Es por ello que la definición de elemento aleatorio gaussiano se define como sigue: Definición 3.8. Un elemento aleatorio de Bse dice gaussiano si para todo b∗en el espacio dual B∗, la variable escalar b∗Wes gaussiana. No obstante, la definición no se aleja de aquella ofrecida en el marco multidimensional. El Teorema 2.8 de representación de Riesz permite obtener una definición equivalente en el caso de un elemento aleatorio gaussiano en un espacio de Hilbert: Definición 3.9. Un elemento aleatorio de Hse dice gaussiano si para todo aen H, la variable escalar ha, Wies gaussiana. Consecuentemente, un elemento aleatorio en un espacio de Hilbert es gaussiano si y solo si todas sus proyecciones siguen una distribución normal unidimensional. La misma definición es obtenida del Teorema 1.6 en el caso vectorial. En el siguiente capítulo profundizaremos en los conceptos de operador de covarianzas de elementos aleatorios en espacios de Hilbert y en la inferencia sobre estos. Capítulo 4 Inferencia en procesos hilbertianos de Gauss Una vez introducido el concepto de elemento aleatorio en un espacio de Hilbert, estamos en condiciones de estudiar sus propiedades. En particular, nos centraremos en el espacio de Hilbert L2. Empezaremos recogiendo las definiciones de media y función de covarianzas, para dar más tarde paso al estudio de la inferencia realizada sobre las mismas. Por último, presentaremos el análisis de componentes funcionales principales. 4.1. Media y operador de covarianzas de un elemento aleatorio Los conceptos de media y varianza son imperativos en el contexto de la inferencia estadística. Estos recogen la esperanza y la variabilidad del elemento aleatorio en cuestión. En el caso escalar y vectorial, su definición está condicionada por la existencia de las integrales pertinentes. Las dificultades involucradas en los espacios Hilbertianos motivan los teoremas recogidos en esta sección. Sus demostraciones son detalladas en [Hsing y Eubank, 2015, Capítulo 7]. Nos detendremos sin embargo en la demostración del Teorema 4.4 por considerarla de especial interés. Sea χun elemento aleatorio de un espacio de Hilbert separable Hdefinido sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P). Recogemos en primera instancia el concepto de media. Definición 4.1. Si E(||χ||)<∞, la media de χse define como la siguiente integral de Bochner: m=E(χ) := ZΩ χdP. 35 36 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS Consecuentemente, la media está definida si la esperanza de la norma es finita. De manera análoga al caso univariante, el concepto de operador de covarianzas requiere una hipótesis más restrictiva. Introducimos primero el siguiente teorema: Teorema 4.2. Si E(||χ||2)<∞, entonces E||χ−m||2=E||χ||2−||m||2.(4.1) Una función aleatoria tal que E(||χ||2)<∞se dice de cuadrado integrable. Notemos que si H=R, la igualdad 4.1 conduce a la conocida relación entre la media, la varianza y el momento de orden dos en el caso univariante. El concepto de operador de covarianzas no es trivial. Éste requiere gran parte de los resultados recogidos en el Capítulo 2. Muchos de los problemas de inferencia se basan en las propiedades de dicho operador. A continuación recogemos su definición. Definición 4.3. Si E(||χ||2)<∞, el operador de covarianzas de χes el elemento de BHS(H)definido como la siguiente integral de Bochner: C=E[(χ−m)⊗(χ−m)] := ZΩ (χ−m)⊗(χ−m)dP. Dado w∈Ω, se tiene que (χ(w)−m)⊗(χ(w)−m)es un operador Hilbert-Schimdt con norma ||χ(w)−m||2. Por lo tanto, (χ−m)⊗(χ−m)es un elemento aleatorio del espacio de Hilbert BHS(H). Apoyándose en el teorema enterior, la hipótesis E(||χ||2)<∞ implica que E[||(χ−m)⊗(χ−m)||HS] = E(||χ−m||2)<∞. Como BHS(H)es un espacio de Hilbert separable (Teorema 2.24), la integral de Bochner está bien definida (Teorema 2.12). Notemos que C(y) = E[(χ−m)⊗(χ−m)](y) = E[hχ−m, yi(χ−m)] ∀y∈H. A partir de ahora se supondrá m= 0 con el objetivo de simplificar la exposición de las cuentas. Volviendo al estudio del operador de covarianzas en el caso H=L2, se tiene que C(y)(t) = E[hχ, yiχ(t)] = E[(Zχ(s)y(s)ds)χ(t)] = Zc(t, s)y(s)ds, donde c(t, s) = E[χ(s)χ(t)],(s, t)∈[0,1]2. La función cse denomina función de covarianzas. 4.1. MEDIA Y OPERADOR DE COVARIANZAS 37 Teorema 4.4. Sea χuna función aleatoria de cuadrado integrable y sea Csu operador de covarianzas. Entonces i) C es simétrico. ii) C es definido no negativo. iii) Los autovalores {λj}de C verifican ∞ X j=1 λj<∞. Demostración. i) Sean y, z ∈L2. La proyección en zes un operador continuo por el teorema de representación de Riesz. La permutación entre operadores continuos e integrales de Bochner recogida en el Teorema 2.15 implica hC(y), zi=hE[hχ, yiχ], zi=Eh[hχ, yiχ], zi=E[hχ, yihχ, zi].(4.2) Se concluye así la simetría del operador. ii) Aplicando la identidad 4.2 con z=yse obtiene que, para todo y∈L2, hC(y), yi=E[hχ, yihχ, yi] = E[hχ, yi2]≥0.(4.3) Y por tanto el operador Ces definido no negativo. iii) Sean {vj}autovectores ortonormales asociados a los autovalores {λj}. Nuevamente aplicando la identidad 4.2 con z=y=vjse obtiene que E[hχ, vji2] = hC(vj), vji=hλjvj, vji=λj.(4.4) Y por la identidad de Parseval: ∞ X j=1 λj= ∞ X j=1 E[hχ, vji2] = E ∞ X j=1hχ, vji2=E||χ||2<∞. Notemos que Cadmite una descomposición de la forma 2.1 verificando X j≥1 λj<∞, λj≥0∀j≥1. Es por tanto nuclear. Consecuentemente, esta es otra opción para demostrar que el operador de covarianzas es Hilbert-Schmidt. 38 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS 4.2. Inferencia sobre la media y la función de covarianzas En el contexto de la inferencia estadística, es común no disponer de las propiedades de la distribución de la muestra aleatoria simple en cuestión. En la gran mayoría de ocasiones, todo lo que se tiene es un conjunto de observaciones de la población, sin tener previa información sobre su media o función de covarianzas. La estimación de estas desempeña un rol importante, tal y como veremos con el análisis de las componentes principales. Las pruebas de los teoremas recogidos en esta sección pueden ser encontradas con detalle en [Horváth y Kokoszka, 2012, Capítulo 2]. A continuación recogemos las definiciones de media, operador de covarianzas y función de covarianzas muestrales. Definición 4.5. Sean χ1, ..., χnindependientes e idénticamente distribuidas que χ, siendo χuna función aleatoria de L2de cuadrado integrable. La media muestral ˆµse define como ˆµ(t) = 1 n n X i=1 χi(t)∀t∈[0,1]. El operador de covarianzas muestral ˆ Cse define como ˆ C(x) = 1 n n X i=1hχi−ˆµ, xi(χi−ˆµ)∀x∈L2. La función de covarianzas muestral ˆcse define como ˆc(t, s) = 1 n n X i=1 (χi(t)−ˆµ(t))(χi(s)−ˆµ(s)) ∀t, s ∈[0,1]. Estas aproximan asintóticamente sus respectivas funciones bajo ciertas condiciones. La Figura 4.1 ilustra el concepto de media en el contexto funcional. Empezamos recogiendo las propiedades de la media. Teorema 4.6. Sean χ1, ..., χnuna muestra aleatoria simple de χ, siendo χuna función aleatoria de L2de cuadrado integrable. Entonces Eˆµ=µyE||ˆµ−µ|| =O(N−1). El estimador de la media es insesgado. No obstante, el estimador de la función de covarianzas no lo es, tal y como sucede en el marco unidimensional. Teorema 4.7. Sean χ1, ..., χnuna muestra aleatoria simple de χ, siendo χuna función aleatoria de L2de cuadrado integrable. Entonces E[ˆc(t, s)] = n n−1c(t, s)en L2. 4.2. INFERENCIA SOBRE LA MEDIA Y LA FUNCIÓN DE COVARIANZAS 39 (a) Observación de datos funcionales. (b) Media muestral. Figura 4.1: Observación de datos funcionales y su media muestral. El sesgo de ˆcaparece debido a la estimación de la media µ, y notemos que éste es asintóticamente despreciable. A partir de este momento introduciremos la hipótesis de que la media es cero. Los resultados teóricos obtenidos con esta suposición son más claros y asintóticamente iguales en comportamiento. Es importante recalcar que, en el trabajo real, habrá que restar la media muestral antes de aplicar cualquiera de las técnicas aquí recogidas. Bajo la suposición µ= 0, se simplifican las expresiones siguientes: ˆ C(x) = 1 n n X i=1hχi, xiχi∀x∈L2, ˆc(t, s) = 1 n n X i=1 χi(t)χi(s)∀t, s ∈[0,1]. Al igual que en sus definiciones, el buen comportamiento asintótico de los operadores y funciones de covarianzas requerirá hipótesis más restrictivas sobre la muestra que aquellas de la media. Los dos siguientes teoremas justifican de manera precisa este comportamiento. Teorema 4.8. Sean χ1, ..., χnuna muestra aleatoria simple de χ, siendo χuna función aleatoria de L2de cuadrado integrable. Si E||χ||4<∞yEχ= 0, entonces E||ˆ C||2 HS ≤E||χ||4. Teorema 4.9. Sean χ1, ..., χnuna muestra aleatoria simple de χ, siendo χuna función aleatoria de L2de cuadrado integrable. Si E||χ||4<∞yEχ= 0, entonces E||ˆ C−C||2 HS ≤n−1E||χ||4. 40 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS Equivalentemente: EZ Z[ˆc(t, s)−c(t, s)]2dtds ≤n−1E||χ||4. 4.3. Componentes funcionales principales Uno de los conceptos clave en el estudio de las funciones aleatorias son las componentes funcionales principales, FPC’s (del inglés functional principal components). Una función se puede almacenar como un conjunto de muchos datos (por ejemplo, mediante una partición fina del eje de abscisas). No obstante, este proceso implica mucha memoria y capacidad computacional si se desea manipular los datos. La idea subyacente al concepto de las FPC’s es la aproximación de un dato funcional por medio de su proyección en un subespacio de dimensión finita (y en general, pequeña) del espacio L2. Véase la analogía con el contexto vectorial. Bajo este enfoque, la pregunta recae ahora sobre qué subespacio es óptimo con el fin de efectuar dichas proyecciones. El desarrollo de esta sección sigue la línea argumental de [Horváth y Kokoszka, 2012, Capítulo 3] y [Kokoszka y Reimherr, 2017, Capítulo 11]. 4.3.1. Introducción a las FPC’s Sean χ1, ..., χnindependientes e idénticamente distribuidas que χ, siendo χuna función aleatoria de L2de cuadrado integrable. Fijemos p≥1yu1, ..., upun sistema ortonormal de L2. Supongamos que χverifica las hipótesis del Teorema 2.26 para dicho p. La proyección de χen el subespacio generado por {u1, ..., up}es p X j=1hχ, ujiuj. El sistema es óptimo, en el sentido de minimizar la distancia esperada entre χy dicha proyección, si minimiza: S(u1, ...up) = E||χ− p X j=1hχ, ujiuj||2. Desarrollando la norma anterior, debido a la ortonormalidad de {u1, ..., up}: S(u1, ...up) = Ehχ− p X j=1hχ, ujiuj, χ − p X j=1hχ, ujiuji= =E||χ||2−2E p X j=1hχ, uji2+E p X j=1hχ, uji2=E||χ||2−E p X j=1hχ, uji2. Por tanto, minimizar S(u1, ..., up)equivale a maximizar E p X j=1hχ, uji2. Utilizando la 4.3. COMPONENTES FUNCIONALES PRINCIPALES 41 identidad recogida en 4.3, se obtiene que, para todo k∈ {1, ..., p}, Ehχ, uki2=hC(uk), uki. Apoyándose en el Teorema 2.26 se tiene que E p X j=1hX, uji2se maximiza cuando {u1, ..., up} es el conjunto de los autovectores asociados a los pautovalores más grandes. Las variables hχ, u1i, ..., hχ, upiasociadas a los autovectores u1, ..., upse denominan componentes funcionales principales (FPC’s). No obstante, el cálculo de estos autovectores requiere conocer el operador de covarianzas. Este es generalmente desconocido en los contextos habituales de la inferencia estadística, hecho motivador del desarrollo de teoría alrededor de las bases ortonormales óptimas empíricas. Nótese que la unicidad de este sistema ortonormal se tiene bajo las hipótesis del Teorema 2.26. Estas hipótesis son óptimas para un limpio desarrollo teórico pues ofrece unicidad en los autovectores tratados. Sin embargo, no supone ninguna limitación a efectos prácticos el hecho de que los subespacios de autovectores tengan mayor dimensión que 1. 4.3.2. Base ortonormal óptima empírica Supongamos que disponemos de una observación χ1, ..., χnde una muestra aleatoria simple que sigue la misma distribución que una variable aleatoria χ. Fijamos p < n. Se busca el sistema ortonormal u1, ..., upque minimice ˆ S(u1, ...up) = n X i=1 ||xi− p X j=1hχi, ujiuj||2. De nuevo, debido a la ortonormalidad de {u1, ..., up}: ˆ S(u1, ...up) = n X i=1hχi− p X j=1hχi, ujiuj, χi− p X j=1hχi, ujiuji= = n X i=1 ||χi||2−2 n X i=1 p X j=1hχi, uji2+ n X i=1 p X j=1hχi, uji2= n X i=1 ||χi||2− n X i=1 p X j=1hχi, uji2. Por tanto, minimizar ˆ S(u1, ...up)equivale a maximizar n X i=1 p X j=1hχi, uji2. Notemos que, para todo k∈ {1, ..., p}, n X i=1hχi, uji2=hˆ C(uj), uji. 42 CAPÍTULO 4. INFERENCIA EN PROCESOS HILBERTIANOS DE GAUSS Apoyándose en el Teorema 2.26 se tiene que n X i=1 p X j=1hχi, uji2se maximiza cuando {u1, ..., up} es el conjunto de los autovectores asociados a los pautovalores más grandes. Las variables hχ, u1i, ..., hχ, upiasociadas a los autovectores u1, ..., upse denominan componentes funcionales principales empíricas (EFPC’s). La Figura 4.2 ejemplifica visualmente el concepto de EFPC’s. (a) Observación de datos funcionales. (b) Funciones asociadas a las tres primeras EFPC’s. Figura 4.2: Observación de datos funcionales y las funciones asociadas a sus componentes principales funcionales empíricas. ¿Cómo se determina el número pde componentes principales y con qué motivación? Dos opciones se consideran en este trabajo. Por un lado, el método gráfico conocido como scree plot. Este se basa en la representación de los autovalores muestrales. Se elige aquel pen el que se produce un descenso importante del valor de los autovalores. La Figura 4.3 ilustra un scree plot. Por otro lado, el porcentaje acumulativo de la varianza total. Se define CPV (p) = Pp j=1 ˆ λj Pn j=1 ˆ λj , y se escoge aquel pque supera un nivel límite deseado, generalmente 85 %. El análisis del comportamiento de los autovectores del operador de covarianzas constituye el fundamento del análisis de las componentes principales empíricas. La relación entre éstos y los autovectores del operador de covarianzas muestral es fundamental, pues permite 4.3. COMPONENTES FUNCIONALES PRINCIPALES 43 Figura 4.3: Scree plot asociado a la Figura 4.2. aproximar los primeros en función de los segundos. A continuación, se recoge el teorema que explicita el comportamiento asintótico de dichos autovectores y autovalores. Justifica teóricamente los métodos utilizados en el siguiente capítulo. Teorema 4.10. Sea χuna función aleatoria de L2verificando E||χ||4<∞yEχ= 0. Sea {λj}j∈Nconjunto de autovalores del operador de covarianzas Cde tal manera que λ1> λ2> ... > λp> λp+1, y {vj}j∈Nla sucesión de autovectores asociados. Sea {ˆ λj}j∈N conjunto de autovalores del operador de covarianzas muestral ˆ Cordenados de mayor a menos, y {ˆvj}j∈Nla sucesión de autovectores asociados. Entonces, para cada j∈ {1, ..., p}, l´ım sup n→∞ nE||ˆcjˆvj−vj||2<∞ ∀j∈ {1, ..., p}, l´ım sup n→∞ nE|λj−ˆ λj|2<∞ ∀j∈ {1, ..., p}, donde ˆcj=signhˆvj, vji. Notemos que ˆcjpermite recoger una formalización matemática del teorema pero es generalmente irrelevante en la aplicación del mismo. La determinación del signo del autovector escogido carece de importancia en la gran mayoría de ocasiones. 50 CAPÍTULO 5. TESTS DE NORMALIDAD DE DATOS FUNCIONALES Como se observa en los cuadros del Apéndice B, los resultados son muy parecidos empleando los tests de Shapiro-Wilk y Lilliefors. A continuación recogemos las conclusiones obtenidas tras las simulaciones. Nos referimos solamente a los cuadros relativos al test de Shapiro-Wilk por una exposición más limpia. No obstante, los resultados de las simulaciones relativas al test de Lilliefors son análogas. i) El tamaño de los tests se mantiene muy parecido independientemente de la cantidad r, como ilustran el Cuadro B.1, el Cuadro B.2, el Cuadro B.3 y el Cuadro B.4. ii) El tamaño empírico se acerca más al tamaño teórico cuanto menor es el número pde proyecciones, como recogen el Cuadro B.1, el Cuadro B.2, el Cuadro B.3 y el Cuadro B.4. El tamaño empírico cuando p= 1 se aproxima al tamaño teórico, mientras que con p > 1el tamaño decrece considerablemente. iii) La potencia de los tests es superior utilizando un número fijado de componentes principales: compárese el Cuadro B.9 con el Cuadro B.10, el Cuadro B.11 y el Cuadro B.12 (familia RW); el Cuadro B.17 con el Cuadro B.18, el Cuadro B.19 y el Cuadro B.20 (familia LT). En general, el número de CP’s con el que se obtiene más potencia es 10. iv) La potencia de los tests es mayor cuanto menor es el número pde proyecciones, como muestran el Cuadro B.9, el Cuadro B.10, el Cuadro B.11, el Cuadro B.12, el Cuadro B.17, el Cuadro B.18, el Cuadro B.19 y el Cuadro B.20. Consecuentemente, los tests que proponemos como mejores alternativas constan de: i) Un número fijo rde componentes principales, siendo 10 el candidato que se ha mostrado más competitivo. ii) Una sola proyección aleatoria (en dicho caso, el FDR es innecesario). 5.2.4. Comparación de bloques y conclusiones En esta sección compararemos los tests que se han mostrado más competitivos en sus respectivos bloques. Recordemos que, tal y como hemos concluido en la Sección 5.2.2, los tests de Doornik–Hansen y la modificación de Lobato–Velasco son los más competitivos del bloque 1 si n≈50. Si n≥150, el test competitivo considerado es MJB. El test del bloque 2 elegido consta de r= 10 EFPC’s para generar la única proyección aleatoria (p= 1), cuya normalidad se contrasta, en cualquiera de los casos. Comparando el Cuadro A.1 y el Cuadro B.3, concluimos que los tamaños empíricos aproximan de manera parecida los tamaños teóricos en ambos casos. La potencia empírica 5.2. CONTRASTES REALIZADOS Y ANÁLISIS 51 de los tests no es concluyente. El test del bloque 2 se presenta más competitivo con la familia SN, mientras que el candidato del bloque 1 se presenta más potente con la familia T de Student. El comportamiento sobre la familia exp(1)-1 resulta ambiguo. Estas tendencias se aprecian en ambas familias de funciones RW y LT. Pueden observarse comparando el Cuadro A.2 y el Cuadro A.3 con el Cuadro B.11 y el Cuadro B.19. No se concluye, por lo tanto, una preferencia de un bloque sobre el otro. Ambos se comportan de forma parecida en tamaño pero no en potencia. La elección del bloque estará motivada por la naturaleza del problema y el tiempo de ejecución del algoritmo. Por último, recogemos posibles líneas de trabajo en la dirección de estas simulaciones. Por un lado, hemos confiado en el CPV (requiriendo un nivel límite del 85 %) para el bloque 1, pues así se recoge en [Górecki et al., 2020]. No obstante, en el bloque 2 hemos obtenido resultados más competitivos cuando hemos fijado el número de componentes principales empíricas utilizadas en 10. Consecuentemente, proponemos revisar los resultados de dicho artículo con un número diferente de EFPC’s, bien sea fijándolo arbitrariamente o requiriendo un nivel límite superior al 85 % si trabajamos con el porcentaje de varianza explicada. Por otro lado, nótese que una de las conclusiones interesantes de estas simulaciones es que no existe una hegemonía de un bloque sobre otro. Consideramos que una posible línea de investigación sería comprobar en qué contextos se comportan mejor los tests del bloque 1 y viceversa. 52 CAPÍTULO 5. TESTS DE NORMALIDAD DE DATOS FUNCIONALES Apéndice A Cuadros relativos a la simulación de los tests de normalidad del bloque 1 53 54 APÉNDICE A. CUADROS BLOQUE 1 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Normal RW Jarque-Bera 0.0634 0.0466 0.0248 0.0818 0.0512 0.0232 0.0890 0.0516 0.0192 MJB 0.0700 0.0386 0.0166 0.0812 0.0478 0.0180 0.0932 0.0514 0.0154 Doornik–Hansen 0.0974 0.0520 0.0136 0.0970 0.0516 0.0134 0.0998 0.0538 0.0136 Lobato-Velasco 0.1040 0.0544 0.0148 0.0996 0.0518 0.0138 0.0988 0.0536 0.0132 Normal LT Jarque-Bera 0.0700 0.0436 0.0200 0.0880 0.0554 0.0240 0.0864 0.0478 0.0176 MJB 0.0658 0.0368 0.0172 0.0932 0.0454 0.0146 0.0950 0.0490 0.0142 Doornik–Hansen 0.0988 0.0488 0.0120 0.1036 0.0526 0.0158 0.0960 0.0486 0.0130 Lobato-Velasco 0.1066 0.0550 0.0128 0.1058 0.0534 0.0158 0.0974 0.0488 0.0130 Cuadro A.1: Tamaño de los tests considerados en el bloque 1 con α=0,10,0,05 y0,01; número de CP’s utilizadas en base a un nivel límite del 85% de la varianza explicada; familia de funciones RW y LT normales introducidas en 5.2.1. n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 T de Student Jarque-Bera 0.1308 0.1048 0.0668 0.2268 0.1784 0.1244 0.3768 0.3098 0.2200 MJB 0.1620 0.1092 0.0726 0.2702 0.2132 0.1480 0.4558 0.3866 0.2816 Doornik–Hansen 0.1668 0.1076 0.0466 0.2350 0.1658 0.0954 0.3756 0.3010 0.1936 Lobato-Velasco 0.1694 0.1086 0.0448 0.2320 0.1620 0.0940 0.3724 0.2948 0.1904 Exp(1)-1 Jarque-Bera 0.1282 0.0896 0.0526 0.2616 0.1924 0.1124 0.6180 0.5022 0.3160 MJB 0.1860 0.1302 0.0702 0.4886 0.3758 0.2116 0.9426 0.9034 0.7596 Doornik–Hansen 0.1566 0.0930 0.0320 0.2856 0.1880 0.0748 0.6502 0.5206 0.2972 Lobato-Velasco 0.1668 0.0992 0.0328 0.2904 0.1930 0.0760 0.6530 0.5234 0.2994 SN Jarque-Bera 0.0762 0.0566 0.0280 0.1168 0.0812 0.0382 0.2040 0.1324 0.0522 MJB 0.0878 0.0590 0.0236 0.1688 0.1050 0.0476 0.3836 0.2658 0.1200 Doornik-Hansen 0.1082 0.0586 0.0148 0.1334 0.0786 0.0228 0.2160 0.1336 0.0414 Lobato-Velasco 0.1172 0.0598 0.0166 0.1366 0.0806 0.0242 0.2152 0.1338 0.0420 Cuadro A.2: Potencia de los tests considerados en el bloque 1 con α=0,10,0,05 y0,01; número de CP’s utilizadas en base a un nivel límite del 85% de la varianza explicada; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 55 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 T de Student Jarque-Bera 0.6222 0.5812 0.5006 0.9492 0.9362 0.8966 0.9998 0.9998 0.9994 MJB 0.6728 0.6204 0.5206 0.9652 0.9480 0.9124 0.9998 0.9998 0.9998 Doornik–Hansen 0.6822 0.6020 0.4572 0.9588 0.9414 0.8862 0.9998 0.9998 0.9994 Lobato-Velasco 0.6708 0.5918 0.4460 0.9550 0.9386 0.8810 0.9998 0.9998 0.9994 Exp(1)-1 Jarque-Bera 0.9400 0.9106 0.8342 1 1 1 1 1 1 MJB 0.9940 0.9898 0.9606 1 1 1 1 1 1 Doornik–Hansen 0.9732 0.9496 0.8846 1 1 1 1 1 1 Lobato-Velasco 0.9770 0.9570 0.9008 1 1 1 1 1 1 SN Jarque-Bera 0.5322 0.4344 0.2890 0.9882 0.9770 0.9154 1 1 1 MJB 0.7230 0.6104 0.3820 1 0.9994 0.9930 1 1 1 Doornik-Hansen 0.6934 0.5822 0.3558 0.9952 0.9920 0.9656 1 1 1 Lobato-Velasco 0.7310 0.6254 0.4082 0.9960 0.9932 0.9684 1 1 1 Cuadro A.3: Potencia de los tests considerados en el bloque 1 con α=0,10,0,05 y0,01; número de CP’s utilizadas en base a un nivel límite del 85% de la varianza explicada; familia de funciones LT no normales normales introducidas en 5.2.1. 56 APÉNDICE A. CUADROS BLOQUE 1 Apéndice B Cuadros relativos a la simulación de los tests de normalidad del bloque 2 57 58 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones Normal RW 1 0.1036 0.0508 0.0104 0.0894 0.0454 0.0094 0.1004 0.0456 0.011 2 0.0876 0.0436 0.0086 0.0824 0.0398 0.008 0.0838 0.038 0.0102 3 0.0824 0.042 0.0094 0.0786 0.0384 0.0078 0.0802 0.0362 0.0086 5 0.077 0.0386 0.0082 0.0718 0.0364 0.0072 0.0718 0.034 0.0072 10 0.0704 0.0362 0.0074 0.0674 0.0314 0.0074 0.069 0.0326 0.0064 15 0.069 0.0352 0.0076 0.0662 0.0314 0.0068 0.0682 0.0314 0.0062 Normal LT 1 0.1006 0.0526 0.0116 0.0956 0.048 0.009 0.1016 0.0514 0.011 2 0.086 0.0458 0.0102 0.081 0.0396 0.0078 0.09 0.0472 0.0094 3 0.0784 0.0414 0.01 0.0714 0.0382 0.0072 0.0808 0.04 0.009 5 0.0708 0.0368 0.0096 0.0694 0.035 0.007 0.0778 0.0392 0.0068 10 0.0656 0.0374 0.0082 0.0666 0.033 0.006 0.0696 0.0386 0.0074 15 0.0654 0.0348 0.0076 0.061 0.032 0.0058 0.0686 0.0356 0.0064 Cuadro B.1: Tamaño de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; número de CP’s utilizadas en base a un nivel límite del 85 % de la varianza explicada; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones RW y LT normales introducidas en 5.2.1. 59 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones Normal RW 1 0.1044 0.0612 0.0114 0.0976 0.0484 0.0078 0.0954 0.0508 0.0102 2 0.088 0.05 0.0098 0.0796 0.0396 0.0084 0.0792 0.042 0.0088 3 0.0822 0.041 0.009 0.072 0.0352 0.0066 0.076 0.0374 0.007 5 0.0772 0.041 0.0082 0.0674 0.0344 0.0066 0.0688 0.0336 0.0068 10 0.0684 0.0366 0.008 0.0602 0.0308 0.006 0.0626 0.0322 0.0062 15 0.0684 0.036 0.0068 0.0588 0.0288 0.005 0.0612 0.0304 0.0046 Normal LT 1 0.089 0.0488 0.011 0.0912 0.0458 0.0098 0.1002 0.0516 0.0112 2 0.0822 0.0448 0.0094 0.0786 0.039 0.0086 0.085 0.0438 0.0092 3 0.0766 0.0426 0.0094 0.0728 0.0358 0.0078 0.079 0.0418 0.0076 5 0.0722 0.038 0.0088 0.069 0.035 0.007 0.0754 0.0372 0.0068 10 0.0638 0.0368 0.008 0.0602 0.0316 0.0072 0.0696 0.0348 0.0066 15 0.0626 0.0352 0.0078 0.0602 0.0308 0.0072 0.065 0.0324 0.0072 Cuadro B.2: Tamaño de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones RW y LT normales introducidas en 5.2.1. 66 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.1446 0.0848 0.031 0.1908 0.1314 0.0652 0.309 0.232 0.1338 2 0.1304 0.0782 0.0302 0.179 0.1266 0.0616 0.2938 0.2244 0.1278 3 0.125 0.0752 0.0298 0.1742 0.1214 0.0602 0.2882 0.2178 0.1288 5 0.1202 0.0716 0.0274 0.169 0.1168 0.0586 0.2808 0.2112 0.1256 10 0.111 0.068 0.0266 0.1634 0.1122 0.0552 0.2726 0.2078 0.1222 15 0.111 0.0658 0.0266 0.1608 0.1108 0.0546 0.2704 0.2048 0.1196 Exp(1)-1 1 0.2152 0.137 0.05 0.4276 0.3226 0.1528 0.8362 0.7504 0.5478 2 0.1958 0.1258 0.0444 0.4092 0.2996 0.1464 0.8228 0.7424 0.5412 3 0.186 0.1224 0.0416 0.3954 0.2962 0.141 0.821 0.7324 0.5338 5 0.1814 0.1166 0.0402 0.3884 0.2866 0.137 0.8148 0.7278 0.5242 10 0.172 0.1108 0.0388 0.378 0.2724 0.1306 0.8064 0.7194 0.5202 15 0.169 0.1092 0.0378 0.3698 0.2734 0.129 0.8026 0.7194 0.5118 SN 1 0.124 0.0658 0.0164 0.1768 0.1026 0.0302 0.3326 0.2338 0.0932 2 0.115 0.0592 0.016 0.1628 0.0932 0.0288 0.3096 0.2178 0.0848 3 0.1054 0.0566 0.016 0.1558 0.09 0.026 0.305 0.2122 0.0836 5 0.0978 0.0536 0.0152 0.148 0.082 0.026 0.2924 0.2042 0.0782 10 0.091 0.0516 0.0138 0.138 0.0786 0.0228 0.2836 0.1964 0.0732 15 0.089 0.048 0.014 0.1366 0.0738 0.0226 0.2788 0.1924 0.071 Cuadro B.9: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; número de CP’s utilizadas en base a un nivel límite del 85% de la varianza explicada; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 67 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.157 0.0986 0.0384 0.219 0.1544 0.0794 0.3628 0.2866 0.182 2 0.1398 0.0884 0.0364 0.2024 0.1446 0.0764 0.3458 0.2758 0.1758 3 0.134 0.0814 0.0354 0.197 0.1394 0.0738 0.3418 0.277 0.1766 5 0.1252 0.078 0.0338 0.1894 0.1366 0.0716 0.3336 0.2684 0.1766 10 0.1136 0.0748 0.0312 0.1802 0.133 0.071 0.3248 0.2588 0.1736 15 0.113 0.072 0.03 0.1762 0.1276 0.0692 0.3196 0.2554 0.1708 Exp(1)-1 1 0.2494 0.1622 0.0594 0.5176 0.3946 0.2094 0.9014 0.8406 0.682 2 0.2264 0.1484 0.0556 0.4866 0.3856 0.1966 0.8988 0.8394 0.6868 3 0.2164 0.1402 0.0518 0.4718 0.3722 0.1876 0.8946 0.842 0.6896 5 0.2006 0.1326 0.0488 0.4636 0.3566 0.1844 0.8896 0.84 0.6886 10 0.193 0.125 0.0452 0.448 0.3468 0.1748 0.8876 0.8322 0.6834 15 0.1866 0.1228 0.0446 0.4384 0.3408 0.1742 0.8828 0.8284 0.6792 SN 1 0.1266 0.0688 0.017 0.1926 0.117 0.0352 0.403 0.2884 0.1214 2 0.1032 0.0554 0.0144 0.1736 0.109 0.034 0.3774 0.2684 0.1176 3 0.1002 0.0544 0.0144 0.159 0.101 0.03 0.3668 0.2628 0.1132 5 0.0924 0.048 0.0126 0.1544 0.0958 0.0262 0.3498 0.251 0.1056 10 0.0828 0.0456 0.0118 0.1428 0.0892 0.0256 0.3386 0.2386 0.1008 15 0.0802 0.0436 0.0106 0.138 0.0858 0.0238 0.3278 0.2334 0.0968 Cuadro B.10: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 68 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.1572 0.0966 0.038 0.2198 0.1564 0.0768 0.386 0.3022 0.1984 2 0.1378 0.0904 0.0354 0.2048 0.1464 0.075 0.372 0.2954 0.1966 3 0.1266 0.083 0.0338 0.2 0.1394 0.0728 0.3608 0.2886 0.1926 5 0.1194 0.0798 0.0338 0.189 0.1364 0.0736 0.3562 0.2858 0.1928 10 0.1122 0.0754 0.0302 0.1776 0.1322 0.0694 0.3424 0.2738 0.1892 15 0.1092 0.0742 0.0298 0.1758 0.1264 0.0702 0.3354 0.275 0.1886 Exp(1)-1 1 0.2466 0.1614 0.0596 0.5084 0.3992 0.2126 0.9076 0.8638 0.7146 2 0.222 0.152 0.0544 0.487 0.388 0.2114 0.9122 0.8646 0.7248 3 0.2154 0.1376 0.051 0.4848 0.3822 0.2032 0.9114 0.8662 0.7282 5 0.2052 0.1336 0.0482 0.4694 0.3664 0.1938 0.9116 0.8622 0.727 10 0.1916 0.1244 0.0442 0.455 0.3558 0.1892 0.9102 0.864 0.7314 15 0.1886 0.1206 0.0442 0.443 0.3496 0.1806 0.9068 0.8624 0.725 SN 1 0.13 0.0698 0.0176 0.2004 0.1264 0.0394 0.4158 0.307 0.14 2 0.1116 0.0624 0.0152 0.177 0.1084 0.0364 0.3998 0.2894 0.135 3 0.1016 0.0522 0.0148 0.1702 0.1028 0.0304 0.389 0.2828 0.1282 5 0.0942 0.0482 0.0136 0.1544 0.0984 0.0284 0.3716 0.2706 0.1208 10 0.087 0.045 0.0128 0.1468 0.0888 0.0294 0.351 0.2608 0.1122 15 0.0836 0.0428 0.0132 0.1394 0.0872 0.0262 0.3468 0.2474 0.109 Cuadro B.11: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 10 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 69 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.153 0.097 0.0384 0.2172 0.1544 0.0742 0.3876 0.3068 0.1944 2 0.1376 0.084 0.0338 0.2032 0.146 0.0718 0.377 0.3008 0.1978 3 0.1304 0.0806 0.0332 0.1932 0.1392 0.0752 0.3666 0.2958 0.1954 5 0.1218 0.0806 0.0326 0.1872 0.1346 0.0716 0.3524 0.288 0.1912 10 0.1134 0.0712 0.0296 0.1782 0.1288 0.0686 0.3466 0.2834 0.189 15 0.111 0.0686 0.03 0.1736 0.1248 0.0666 0.3406 0.2784 0.1894 Exp(1)-1 1 0.2384 0.1532 0.057 0.5062 0.3946 0.2134 0.91 0.8636 0.7196 2 0.226 0.1454 0.0532 0.4922 0.3832 0.2068 0.917 0.8634 0.7244 3 0.2118 0.1366 0.0496 0.4826 0.3762 0.199 0.9108 0.8608 0.7322 5 0.2004 0.132 0.0466 0.4644 0.3638 0.1954 0.9136 0.8682 0.7366 10 0.1884 0.1196 0.0428 0.4528 0.3476 0.1852 0.91 0.8646 0.727 15 0.185 0.1168 0.0424 0.4426 0.3398 0.18 0.9072 0.8592 0.7278 SN 1 0.1278 0.069 0.0178 0.196 0.1212 0.0386 0.422 0.3066 0.1392 2 0.1124 0.0598 0.0156 0.1814 0.1098 0.0372 0.3988 0.2944 0.1292 3 0.1012 0.0562 0.0142 0.1658 0.1034 0.0336 0.3862 0.2868 0.1308 5 0.092 0.0504 0.0136 0.155 0.0968 0.0306 0.3738 0.2742 0.1174 10 0.0858 0.0466 0.0128 0.1428 0.0898 0.0282 0.3566 0.2592 0.1142 15 0.0822 0.0444 0.0122 0.1402 0.0862 0.0264 0.35 0.2516 0.1102 Cuadro B.12: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 15 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 70 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.1084 0.0546 0.0136 0.1296 0.0696 0.0184 0.1524 0.0846 0.0212 2 0.0974 0.0502 0.0124 0.1126 0.0608 0.0162 0.1334 0.0714 0.019 3 0.0904 0.0468 0.0112 0.108 0.0588 0.0134 0.129 0.0712 0.0156 5 0.082 0.0454 0.0088 0.0968 0.0526 0.014 0.1158 0.0656 0.0158 10 0.0728 0.0382 0.0084 0.088 0.048 0.012 0.1106 0.0584 0.0134 15 0.0696 0.0368 0.0084 0.0806 0.0466 0.0116 0.1032 0.0558 0.0132 Exp(1)-1 1 0.1552 0.0806 0.0236 0.2838 0.182 0.0608 0.5628 0.4208 0.196 2 0.1356 0.0776 0.0244 0.2656 0.1686 0.0552 0.5486 0.4094 0.1908 3 0.1286 0.0714 0.0228 0.2622 0.1632 0.0574 0.5356 0.3996 0.1908 5 0.1214 0.0668 0.0222 0.2434 0.1506 0.0554 0.5202 0.3872 0.1838 10 0.11 0.0638 0.0188 0.2278 0.1416 0.0492 0.5038 0.3716 0.1802 15 0.1022 0.0574 0.0184 0.219 0.137 0.0472 0.4916 0.3674 0.1712 SN 1 0.1082 0.0536 0.0106 0.147 0.08 0.0214 0.2206 0.1366 0.0404 2 0.0918 0.0468 0.012 0.1292 0.0666 0.0186 0.2098 0.1298 0.0354 3 0.0884 0.0442 0.0084 0.1228 0.0648 0.0174 0.1972 0.1214 0.0326 5 0.0806 0.0438 0.0086 0.1102 0.0598 0.0168 0.1858 0.109 0.0306 10 0.0734 0.0376 0.0098 0.0966 0.0566 0.0146 0.1746 0.1022 0.0268 15 0.069 0.034 0.0084 0.095 0.0518 0.015 0.165 0.0992 0.0276 Cuadro B.13: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; número de CP’s utilizadas en base a un nivel límite del 85 % de la varianza explicada; test de normalidad unidimensional de Lilliefors; familia de funciones RW no normales introducidas en 5.2.1. 71 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.127 0.0672 0.0154 0.1406 0.0816 0.0194 0.1736 0.095 0.027 2 0.1084 0.057 0.016 0.1256 0.0656 0.0184 0.157 0.0834 0.0242 3 0.1018 0.0536 0.0158 0.1108 0.0628 0.0188 0.14 0.0802 0.0252 5 0.088 0.0476 0.0148 0.103 0.0552 0.0152 0.1318 0.071 0.0232 10 0.0814 0.0432 0.0128 0.0886 0.0474 0.0152 0.1124 0.0618 0.0224 15 0.0724 0.0384 0.0126 0.083 0.0476 0.016 0.1096 0.0582 0.019 Exp(1)-1 1 0.1758 0.1078 0.0328 0.337 0.2202 0.083 0.655 0.5258 0.277 2 0.157 0.0906 0.031 0.3244 0.213 0.0822 0.657 0.5186 0.2962 3 0.157 0.0908 0.0298 0.3056 0.2076 0.0786 0.6496 0.5252 0.2916 5 0.1424 0.0856 0.0278 0.2906 0.1948 0.0768 0.648 0.5196 0.2894 10 0.1266 0.0776 0.026 0.2762 0.183 0.072 0.6314 0.5102 0.2832 15 0.1194 0.0744 0.0254 0.2634 0.1764 0.0658 0.625 0.4972 0.2842 SN 1 0.111 0.0586 0.014 0.1614 0.0848 0.0216 0.2568 0.1536 0.0454 2 0.097 0.0528 0.0128 0.1338 0.0754 0.022 0.2346 0.1456 0.0444 3 0.0888 0.0456 0.0118 0.1264 0.0746 0.0176 0.2316 0.1472 0.0452 5 0.0772 0.0408 0.011 0.1198 0.0676 0.018 0.2188 0.138 0.0474 10 0.069 0.0394 0.0096 0.1028 0.0564 0.0156 0.1994 0.124 0.0382 15 0.0632 0.0362 0.009 0.097 0.0486 0.0132 0.1896 0.1176 0.0352 Cuadro B.14: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Lilliefors; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 72 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.1252 0.0676 0.0166 0.1314 0.0686 0.0172 0.1774 0.0992 0.0272 2 0.1096 0.057 0.0148 0.1194 0.0692 0.0174 0.1612 0.0876 0.0256 3 0.0962 0.0526 0.0116 0.111 0.0596 0.0168 0.1496 0.0836 0.024 5 0.089 0.0482 0.0118 0.1044 0.0572 0.0172 0.1354 0.075 0.025 10 0.0804 0.046 0.0118 0.0898 0.0514 0.0158 0.12 0.0662 0.023 15 0.074 0.0428 0.0106 0.0834 0.0474 0.0156 0.1114 0.0638 0.021 Exp(1)-1 1 0.1792 0.1028 0.0268 0.3388 0.2214 0.0804 0.6858 0.5522 0.3148 2 0.1638 0.0962 0.0292 0.3202 0.2144 0.0846 0.6868 0.56 0.3144 3 0.1478 0.0854 0.0258 0.3124 0.2102 0.0804 0.6824 0.565 0.3282 5 0.1424 0.0872 0.0246 0.2954 0.203 0.0812 0.6788 0.5604 0.3238 10 0.1264 0.0722 0.0226 0.2794 0.1942 0.074 0.6666 0.5444 0.3246 15 0.1204 0.0698 0.0198 0.2618 0.1848 0.0732 0.6596 0.5436 0.3204 SN 1 0.1114 0.059 0.0132 0.1562 0.0832 0.025 0.2702 0.1632 0.0538 2 0.1008 0.0546 0.0112 0.1432 0.082 0.0228 0.2548 0.1626 0.0552 3 0.0944 0.0512 0.0146 0.1344 0.075 0.0198 0.2396 0.1542 0.0536 5 0.08 0.0412 0.0098 0.122 0.0728 0.0196 0.2326 0.1516 0.051 10 0.0718 0.0428 0.0106 0.1106 0.065 0.0178 0.2098 0.1344 0.0486 15 0.0628 0.0402 0.0078 0.1024 0.0588 0.0162 0.1994 0.1286 0.044 Cuadro B.15: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 10 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Lilliefors; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 73 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.1204 0.0632 0.0132 0.1386 0.0752 0.0202 0.1796 0.097 0.025 2 0.101 0.0524 0.0134 0.1206 0.0682 0.0182 0.158 0.0872 0.0228 3 0.099 0.051 0.014 0.1102 0.0596 0.02 0.148 0.0854 0.0212 5 0.0872 0.0462 0.0146 0.106 0.0602 0.0158 0.1346 0.0752 0.0232 10 0.0756 0.0428 0.0108 0.0932 0.0506 0.015 0.1168 0.0676 0.0216 15 0.0694 0.039 0.011 0.0836 0.0466 0.0146 0.1078 0.0614 0.0184 Exp(1)-1 1 0.1714 0.0972 0.0254 0.3424 0.224 0.0798 0.6924 0.5614 0.3098 2 0.1622 0.0938 0.026 0.32 0.2122 0.0834 0.6908 0.5674 0.3206 3 0.1522 0.0814 0.0252 0.3062 0.2078 0.0826 0.6874 0.5608 0.3278 5 0.1438 0.0808 0.0238 0.2924 0.1986 0.0794 0.6766 0.5618 0.3292 10 0.1276 0.073 0.02 0.2728 0.1862 0.0726 0.6712 0.5528 0.328 15 0.1184 0.0696 0.0212 0.2654 0.1802 0.071 0.6578 0.5454 0.3228 SN 1 0.1172 0.0658 0.0146 0.155 0.086 0.0228 0.263 0.1634 0.0508 2 0.097 0.0486 0.0142 0.14 0.0746 0.0228 0.2514 0.1622 0.056 3 0.0968 0.0518 0.0114 0.1316 0.0716 0.0208 0.247 0.1572 0.0526 5 0.083 0.0464 0.0108 0.12 0.0688 0.0182 0.226 0.151 0.0568 10 0.0712 0.0402 0.0096 0.108 0.0622 0.018 0.212 0.1372 0.0524 15 0.0714 0.0362 0.0086 0.0994 0.0586 0.0154 0.2024 0.1296 0.0474 Cuadro B.16: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 15 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Lilliefors; familia de funciones RW no normales normales introducidas en 5.2.1. 74 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.4682 0.3928 0.2672 0.816 0.7618 0.644 0.9966 0.9916 0.9804 2 0.4596 0.3882 0.2694 0.8122 0.7592 0.6432 0.9964 0.991 0.9816 3 0.4556 0.3808 0.2644 0.809 0.7572 0.6394 0.996 0.9918 0.9818 5 0.4476 0.376 0.2588 0.8032 0.7552 0.634 0.9954 0.991 0.9798 10 0.439 0.3718 0.2582 0.8018 0.7494 0.63 0.9952 0.991 0.9798 15 0.4328 0.3678 0.2552 0.7972 0.7494 0.6294 0.995 0.9902 0.9794 Exp(1)-1 1 0.9798 0.9688 0.915 1 1 0.9998 1 1 1 2 0.9838 0.9724 0.9138 1 1 1 1 1 1 3 0.9862 0.9732 0.9098 1 1 1 1 1 1 5 0.9876 0.9752 0.9102 1 1 1 1 1 1 10 0.9858 0.9738 0.907 1 1 1 1 1 1 15 0.9856 0.9714 0.9066 1 1 1 1 1 1 SN 1 0.763 0.6422 0.3736 0.997 0.992 0.9656 1 1 1 2 0.7434 0.6266 0.3636 0.9984 0.9944 0.968 1 1 1 3 0.7404 0.6122 0.3552 0.998 0.9946 0.9682 1 1 1 5 0.728 0.599 0.349 0.9976 0.9932 0.9704 1 1 1 10 0.7206 0.586 0.337 0.9972 0.9926 0.9672 1 1 1 15 0.717 0.5786 0.3266 0.9976 0.9936 0.966 1 1 1 Cuadro B.17: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; número de CP’s utilizadas en base a un nivel límite del 85% de la varianza explicada; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones LT no normales introducidas en 5.2.1. 75 n = 50 n = 150 n = 450 α0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 0.1 0.05 0.01 Nºproyecciones T de Student 1 0.4948 0.4226 0.2958 0.8504 0.8008 0.699 0.998 0.9962 0.988 2 0.487 0.4108 0.289 0.8422 0.7992 0.6916 0.9968 0.9952 0.9878 3 0.477 0.408 0.2818 0.8414 0.7924 0.6902 0.9974 0.9956 0.9884 5 0.4714 0.3996 0.2794 0.8336 0.7898 0.6836 0.9976 0.9954 0.9878 10 0.4662 0.3928 0.277 0.8306 0.786 0.6784 0.9972 0.9952 0.9876 15 0.4618 0.3868 0.2736 0.8264 0.7814 0.6754 0.997 0.9944 0.9874 Exp(1)-1 1 0.9874 0.978 0.9408 1 1 1 1 1 1 2 0.9878 0.981 0.9434 1 1 1 1 1 1 3 0.9884 0.9808 0.9412 1 1 1 1 1 1 5 0.9896 0.9808 0.9418 1 1 1 1 1 1 10 0.989 0.9816 0.9404 1 1 1 1 1 1 15 0.9878 0.979 0.9376 1 1 1 1 1 1 SN 1 0.8194 0.7234 0.4678 0.9988 0.998 0.9884 1 1 1 2 0.8148 0.719 0.446 0.9992 0.9978 0.9882 1 1 1 3 0.808 0.706 0.4378 0.9994 0.9984 0.9896 1 1 1 5 0.8018 0.692 0.4236 0.9992 0.9982 0.9892 1 1 1 10 0.7914 0.6832 0.4118 0.9994 0.9978 0.9878 1 1 1 15 0.7872 0.6726 0.4088 0.999 0.9974 0.9882 1 1 1 Cuadro B.18: Potencia de los tests considerados en el bloque 2 con α=0,10,0,05 y0,01; 5 CP’s utilizadas; test de normalidad unidimensional de Shapiro-Wilk; familia de funciones LT no normales normales introducidas en 5.2.1. 82 APÉNDICE B. CUADROS BLOQUE 2 Apéndice C Código de R C.1. Código relativo a la generación de datos funcionales generate_RW <- function(sample_size = 10, K = 75) { res <- matrix(0, nrow =K+1, ncol =sample_size) for(j in 1:sample_size) { v<- rnorm(K) v<- c(0,v) for(i in 1:(K+1)) { res[i, j] <- sum(v[1:i]) } } res <- res /sqrt(K) return(res) } generate_RW_student <- function(sample_size = 10,K= 75, t = 4) { res <- matrix(0, nrow =K+1, ncol =sample_size) for(j in 1:sample_size) { v<- rt(K,t) v<- c(0,v) for(i in 1:(K+1)) { res[i, j] <- sum(v[1:i]) } } res <- res /sqrt(K) 83 84 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R return(res) } generate_RW_exp <- function(sample_size = 10, K = 75, rate = 1) { res <- matrix(0, nrow =K+1, ncol =sample_size) for(j in 1:sample_size) { v<- rexp(K,rate =rate) - 1 v<- c(0,v) for(i in 1:(K+1)) { res[i, j] <- sum(v[1:i]) } } res <- res /sqrt(K) return(res) } generate_RW_SN <- function(sample_size = 10, K = 75) { res <- matrix(0, nrow =K+1, ncol =sample_size) for(j in 1:sample_size) { v<- as.numeric(rsn(n =K, alpha = 10)) v<- c(0,v) for(i in 1:(K+1)) { res[i, j] <- sum(v[1:i]) } } res <- res /sqrt(K) return(res) } generate_LT <- function(sample_size = 10, N = 75) { grid =seq(0,1, length.out =N+1) m=matrix(0, nrow =N+1, ncol =sample_size) for (i in 1:sample_size) { v<- rnorm(3) m[,i] <- v[1] *grid +(1/2)*v[2] *cos(pi*grid) +(1/4)*v[3] * sin(pi*grid),→ C.1. CÓDIGO RELATIVO A LA GENERACIÓN DE DATOS FUNCIONALES 85 } return(m) } generate_LT_student <- function(sample_size = 10,N= 75, t = 4) { grid =seq(0,1, length.out =N+1) m=matrix(0, nrow =N+1, ncol =sample_size) for (i in 1:sample_size) { v<- rt(3,t) m[,i] <- v[1] *grid +(1/2)*v[2] *cos(pi*grid) +(1/4)*v[3] * sin(pi*grid),→ } return(m) } generate_LT_exp <- function(sample_size = 10, N = 75, rate = 1) { grid =seq(0,1, length.out =N+1) m=matrix(0, nrow =N+1, ncol =sample_size) for (i in 1:sample_size) { v<- rexp(3,rate =rate) - 1 m[,i] <- v[1] *grid +(1/2)*v[2] *cos(pi*grid) +(1/4)*v[3] * sin(pi*grid),→ } return(m) } generate_LT_SN <- function(sample_size = 10, N = 75, rate = 1) { grid =seq(0,1, length.out =N+1) m=matrix(0, nrow =N+1, ncol =sample_size) for (i in 1:sample_size) { v<- as.numeric(rsn(n = 3, alpha = 10)) m[,i] <- v[1] *grid +(1/2)*v[2] *cos(pi*grid) +(1/4)*v[3] * sin(pi*grid),→ } return(m) } 86 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R C.2. Código relativo a las simulaciones del bloque 1 library(fda) library(MVN) library(fda.usc) library(moments) library(normwhn.test) library(nortest) library(sn) nombres_col <- c(50,50,50,150,150,150,450,450,450) nombres_col_aux <- c(0.1,0.05,0.01) nombres_col_aux1 <- c(nombres_col_aux,nombres_col_aux, nombres_col_aux) nombres_col <- nombres_col_aux1 +nombres_col nombres_row <- c("JB 0.1","Mardia","DH","LV") rejection_rate_test <- function(replications = 1000, generator = generate_RW, explained_variance = 0.85) {,→ NB = 30 precision = 75 range =c(0,1) partition<-(1:(precision+1))/(precision+1) basis<-create.bspline.basis(rangeval=range, nbasis=NB) npca <- rep(0,7) NO_count =matrix(0,nrow = 4, ncol = 9) rownames(NO_count) <- nombres_row colnames(NO_count) <- nombres_col cN <- -1 for(N in c(50,150,450)) { cN <- cN + 1 for(i in 1:replications) { generated <- generator(N, precision) C.2. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 1 87 generated_fd <- smooth.basis(partition, generated, basis)$fd pca <- pca.fd(generated_fd, nharm = 7) acc <- pca$varprop[1] for(q in 2:10) { acc <- acc +pca$varprop[q] if(acc >explained_variance) { nharm <- q npca[q] <- npca[q]+1 break; } } count <- 0 for(nominal_size in c(0.1,0.05,0.01)) { count <- count + 1 # Jarque-Bera df_JB <- 2 * nharm threshold_JB <- qchisq(1-nominal_size, df_JB) # Mardia df_Mardia <- (nharm*(nharm + 1)*(nharm + 2)/ 6)+ 1 threshold_Mardia <- qchisq(1-nominal_size, df_Mardia) pca <- pca.fd(generated_fd, nharm =nharm) scores <- pca$scores # Jarque-Bera sum = 0 for(j in 1:nharm){ s<- skewness(scores[,j]) k<- kurtosis(scores[,j]) sum =sum +s^2 +((k-3)^2)/4 } sum =sum *N/ 6 if(sum >threshold_JB) { 88 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R NO_count[1, cN *3+count] =NO_count[1, cN *3+count] + 1 } # Mardia res <- MVN::mvn(scores, mvnTest ="mardia") stat <- res$multivariateNormality$Statistic stat <- as.numeric(levels(stat))[stat] stat <- stat[1] +stat[2]*stat[2] if(stat >threshold_Mardia) { NO_count[2, cN *3+count] =NO_count[2, cN *3+count] + 1 } #DH sink("NUL") nt <- normwhn.test::normality.test1(scores) sink() if(nt <nominal_size) { NO_count[3, cN *3+count] =NO_count[3, cN *3+count] + 1 } #LV sink("NUL") nt <- normwhn.test::normality.test2(scores) sink() if(nt <nominal_size) { NO_count[4, cN *3+count] =NO_count[4, cN *3+count] + 1 } } } } res <- NO_count /replications return(res) C.3. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 2 89 } replications <- 5000 explained_variance <- 0.85 sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW),→ write.csv(sol,"output_RW.csv") sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW_student),→ write.csv(sol,"output_RW_student.csv") sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW_exp),→ write.csv(sol,"output_RW_exp.csv") sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW_SN),→ write.csv(sol,"output_RW_SN.csv") sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT),→ write.csv(sol,"output_LT.csv") sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT_student),→ write.csv(sol,"output_LT_student.csv") sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT_exp),→ write.csv(sol,"output_LT_exp.csv") sol <- rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT_SN),→ write.csv(sol,"output_LT_SN.csv") C.3. Código relativo a las simulaciones del bloque 2 library(fda) library(fda.usc) library(nortest) 90 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R library(sn) norm_vec <- function(x) sqrt(sum(x^2)) nombres_col <- c(50,50,50,150,150,150,450,450,450) nombres_col_aux <- c(0.1,0.05,0.01) nombres_col_aux1 <- c(nombres_col_aux,nombres_col_aux, nombres_col_aux) nombres_col <- nombres_col_aux1 +nombres_col nombres_row <- c(1,2,3,5,10,15) random_rejection_rate_test <- function(replications = 5000, explained_variance = 0.85, generator =generate_RW) {,→ NB = 30 precision = 75 range =c(0,1) partition<-(1:(precision+1))/(precision+1) basis<-create.bspline.basis(rangeval=range, nbasis=NB) npca <- rep(0,7) NO_count =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) NO_count_5 =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) NO_count_lillie =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) NO_count_5_lillie =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) NO_count_10 =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) NO_count_10_lillie =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) NO_count_15 =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) NO_count_15_lillie =matrix(0,nrow = 6, ncol = 9) rownames(NO_count) <- nombres_row colnames(NO_count) <- nombres_col rownames(NO_count_lillie) <- nombres_row colnames(NO_count_lillie) <- nombres_col C.3. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 2 91 rownames(NO_count_5) <- nombres_row colnames(NO_count_5) <- nombres_col rownames(NO_count_5_lillie) <- nombres_row colnames(NO_count_5_lillie) <- nombres_col rownames(NO_count_10) <- nombres_row colnames(NO_count_10) <- nombres_col rownames(NO_count_10_lillie) <- nombres_row colnames(NO_count_10_lillie) <- nombres_col rownames(NO_count_15) <- nombres_row colnames(NO_count_15) <- nombres_col rownames(NO_count_15_lillie) <- nombres_row colnames(NO_count_15_lillie) <- nombres_col cN <- -1 for(N in c(50,150,450)) { cN <- cN + 1 for(i in 1:replications) { if(i %% 100 == 0) { print(i) } generated <- generator(N, precision) generated_fd <- smooth.basis(partition, generated, basis)$fd pca <- pca.fd(generated_fd, nharm = 5) acc <- pca$varprop[1] for(q in 2:10) { acc <- acc +pca$varprop[q] if(acc >explained_variance) { nharm <- q npca[q] <- npca[q]+1 break; } } pca <- pca.fd(generated_fd, nharm =nharm) 98 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R } } res <- rbind(NO_count, NO_count_5, NO_count_10, NO_count_15, NO_count_lillie, NO_count_5_lillie, NO_count_10_lillie, NO_count_15_lillie) ,→ ,→ res <- res /replications return(res) } replications <- 5000 explained_variance <- 0.85 sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW),→ write.csv(sol,"output_RW.csv") sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW_student),→ write.csv(sol,"output_RW_student.csv") sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW_exp),→ write.csv(sol,"output_RW_exp.csv") sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_RW_SN),→ write.csv(sol,"output_RW_SN.csv") sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT),→ write.csv(sol,"output_LT.csv") sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT_student),→ write.csv(sol,"output_LT_student.csv") sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT_exp),→ write.csv(sol,"output_LT_exp.csv") sol <- random_rejection_rate_test(replications =replications, generator = generate_LT_SN),→ C.3. CÓDIGO RELATIVO A LAS SIMULACIONES DEL BLOQUE 2 99 write.csv(sol,"output_LT_SN.csv") 100 APÉNDICE C. CÓDIGO DE R Bibliografía [Athreya y Lahiri, 2006] Athreya, K. B. y Lahiri, S. N. (2006). Measure theory and probability theory. New York, NY: Springer. [Azzalini, 2021] Azzalini, A. (2021). The Skew-Normal and Related Distributions Such as the Skew-t and the SUN. R package version 2.0.0. [Billingsley, 1999] Billingsley, P. (1999). Convergence of probability measures. 2nd ed. Chichester: Wiley. [Blitzstein y Hwang, 2015] Blitzstein, J. K. y Hwang, J. (2015). Introduction to probability. Boca Raton, FL: CRC Press. [Cuesta-Albertos et al., 2007] Cuesta-Albertos, J. A., Del Barrio, E., Fraiman, R., y Matrán, C. (2007). The random projection method in goodness of fit for functional data. Comput. Stat. Data Anal., 51:4814–4831. [Febrero y Oviedo, 2020] Febrero, M. y Oviedo, M. (2020). Functional Data Analysis and Utilities for Statistical Computing. R package version 2.0.2. [Gross y Ligges, 2015] Gross, J. y Ligges, U. (2015). Tests for Normality. R package version 1.0.4. [Górecki et al., 2020] Górecki, T., Horváth, L., y Kokoszka, P. (2020). Tests of normality of functional data. International Statistical Review, 88:677–697. [Horváth y Kokoszka, 2012] Horváth, L. y Kokoszka, P. (2012). Inference for functional data with applications. New York, NY: Springer. [Hsing y Eubank, 2015] Hsing, T. y Eubank, R. (2015). Theoretical foundations of functional data analysis, with an introduction to linear operators. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. 101 102 BIBLIOGRAFÍA [Jolliffe, 2002] Jolliffe, I. T. (2002). Principal component analysis. 2nd ed. New York, NY: Springer. [Justel et al., 1997] Justel, A., Peña, D., y Zamar, R. (1997). A multivariate Kolmogorov- Smirnov test of goodness of fit. Stat. Probab. Lett., 35:251–259. [Koizumi et al., 2009] Koizumi, K., Okamoto, N., y Seo, T. (2009). On Jarque-Bera tests for assessing multivariate normality. J. Stat., Adv. Theory Appl., 1:207–220. [Kokoszka y Reimherr, 2017] Kokoszka, P. y Reimherr, M. (2017). Introduction to functional data analysis. Boca Raton, FL: CRC Press. [Komsta y Novomestky, 2015] Komsta, L. y Novomestky, F. (2015). Moments, cumulants, skewness, kurtosis and related tests. R package version 0.14. [Korkmaz et al., 2019] Korkmaz, S., Goksuluk, D., y Zararsiz, G. (2019). Multivariate Normality Tests. R package version 5.8. [Mardia et al., 1979] Mardia, K. V., Kent, J. T., y Bibby, J. M. (1979). Multivariate analysis. [Mecklin y Mundfrom, 2005] Mecklin, C. J. y Mundfrom, D. J. (2005). A Monte Carlo comparison of the type I and type II error rates of tests of multivariate normality. J. Stat. Comput. Simulation, 75:93–107. [Ramsay et al., 2020] Ramsay, J. O., Graves, S., y Hooker, G. (2020). Functional Data Analysis. R package version 5.1.9. [Ramsay et al., 2009] Ramsay, J. O., Hooker, G., y Graves, S. (2009). Functional data analysis with R and MATLAB. New York, NY: Springer. [Seber y Lee, 2003] Seber, G. A. F. y Lee, A. J. (2003). Linear regression analysis. 2nd ed. Hoboken, NJ: Wiley. [Shapiro y Wilk, 1965] Shapiro, S. S. y Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52:591–611. [Wickham, 2010] Wickham, P. (2010). Normality and White Noise Testing. R package version 1.0.