Sumas torcidas de espacios de Hilbert y operadores
Abstract
En el siguiente trabajo se presenta la teoría de sumas torcidas de espacios quasi-Banach, que surgió a finales de los años setenta con el objeto de resolver y comprender las soluciones del llamado problema de Palais, que formulaba una cuestión relativa a la estructura de los espacios de Banach y, en particular, de los espacios de Hilbert. Concretamente, se estudiará la estructura de ciertas sumas torcidas que, en particular, constituyen soluciones del problema mencionado anteriormente y se dedicará una breve parte de la memoria al estudio de sus operadores
Full text
Trabajo Fin de Máster Sumas torcidas de espacios de Hilbert y operadores Raúl Pino Velasco 20192020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
Trabajo Fin de Máster Sumas torcidas de espacios de Hilbert y operadores Raúl Pino Velasco Julio 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Sumas torcidas de espacios quasi-Banach 1 1.1. Sumastorcidas ................................. 2 1.2. Sumas torcidas y aplicaciones quasi-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Aplicaciones quasi-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Sumas torcidas de espacios de sucesiones 17 2.1. Espacios quasi-normados sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Sumas torcidas de espacios `p con 0<p<∞ ................. 26 2.3. Existencia de base de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Sumas torcidas de espacios `p 31 3.1. Sumas torcidas y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1. Coecientes an, bn, cn . B -convexidad.................. 32 3.2. El espacio dual de `p(ϕ) ............................ 40 3.3. Sucesiones básicas en `p(ϕ) ........................... 44 3.4. Espacios Zp ................................... 50 4. Operadores en sumas torcidas de espacios de Banach 51 4.1. Operadores en Zp ................................ 51 4.2. Operadores en el espacio Z2 .......................... 59 Anexos 65 A. Anexo A 67 A.1. Espacios vectoriales topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 A.2. Espacios vectoriales quasi-normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A.2.1. Espacios quasi-Banach y p -convexidad ................ 70 A.3.El3-Lema.................................... 73 B. Anexo B 75 B.1.BasesdeSchauder ............................... 75 B.1.1. El concepto de Base de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 B.1.2. Sucesiones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 v
B.1.3. Sucesiones básicas bloque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 B.1.4.Basesydualidad ............................ 83 B.1.5. Sucesiones básicas bloque en `p .................... 87 B.2.EspaciosdeOrlicz................................ 88 Bibliografía 91
Resumen En el siguiente trabajo se presenta la teoría de sumas torcidas de espacios quasi- Banach, que surgió a nales de los años setenta con el objeto de resolver y comprender las soluciones del llamado problema de Palais, que formulaba una cuestión relativa a la estructura de los espacios de Banach y, en particular, de los espacios de Hilbert. Concretamente, se estudiará la estructura de ciertas sumas torcidas que, en particular, constituyen soluciones del problema mencionado anteriormente y se dedicará una breve parte de la memoria al estudio de sus operadores. Abstract The following work presents the theory of twisted sums of quasi-Banach spaces, which emerged in the late 1970s in order to solve and understand the solutions of the so-called Palais problem, which formulated a question regarding the structure of Banach spaces and, in particular, Hilbert spaces. Specically, the structure of certain twisted sums that, in particular, constitute solutions to the aforementioned problem, will be studied and a brief part of the work will be devoted to the study of operators dened on them. vii
1.2. Sumas torcidas y aplicaciones quasi-lineales En este epígrafe, mostraremos la correspondecia entre sumas torcidas y aplicaciones quasi-lineales mencionada al inicio del capítulo. Esencialmente, probaremos que: 1. Dada una aplicación quasi-lineal F:Y−→ X , veremos que la norma torcida denida como k(x, y)k=kx−F(y)k+kyk, para cada (x, y)∈X×Y es en realidad una quasi-norma en X×Y ; además la completitud (respecto a dicha quasi-norma) se sigue de la completitud de X e Y (i.e., la completitud es una propiedad de tres subespacios) 2. Dada una suma torcida Z de X e Y , obtendremos una aplicación quasi-lineal F:Y−→ X considerando la diferencia entre dos secciones de la aplicación cociente. Una de dichas secciones será lineal pero no necesariamente acotada (su existencia se debe a la estrucutra de espacio vectorial), mientras que la otra sección será homogénea y acotada (su existencia está asegurada por el Teorema de la aplicación abierta para F -espacios [28, p. 9-10]) Sean X e Y dos espacios quasi-Banach. Denición 1.6 (aplicación quasi-lineal) . Se dice que una aplicación F:Y−→ X es quasi-lineal si: (a)F(ty) = tF(y) para todo t∈R e y∈Y ; (b) existe M∈R+ tal que kF(y1+y2)−F(y1)−F(y2)k ≤ M(ky1k+ky2k), para todo y1, y2∈Y. Si F:Y−→ X es una aplicación quasi-lineal, denotaremos por X⊕FY al espacio vectorial quasinormado (X⊕Y, k·k) , donde k·k:X⊕Y−→ R es la quasi-norma dada por k(x, y)k=kx−F(y)kX+kykY, para cada (x, y)∈X⊕Y. (1.1) Teorema 1.7 (aplicaciones quasi-lineales & sumas torcidas) . (a) Si F:Y−→ X es una aplicación quasi-lineal, Z=X⊕FY es una suma torcida de X e Y . (b) Si Z es una suma torcida de X e Y , existe una aplicación quasi-lineal F:Y−→ X tal que Z es equivalente a X⊕FY . Demostración. (a) Inicialmente, probaremos que (1.1) dene una quasi-norma en X⊕Y . Es evidente que k(x, y)k= 0 si y sólo si (x, y) = 0 ∈X⊕Y ; además, también es claro que k(x, y)k ≥ 0 para todo (x, y)∈X⊕Y . Por otra parte, k(λx, λy)k=kλx −F(λy)kX+kλykY=kλ(x−F(y))k+|λ|kyk =|λ|kx−F(y)k+kyk=|λ|k(x, y)k, para todo (x, y)∈X⊕Y y λ∈R. 4
Finalmente, observemos que si CX y CY son módulos de concavidad para las quasi-normas k·kX y k·kY , tenemos entonces que k(x1, y1)+(y1, y2)k=k(x1+x2, y1+y2)k=kx1+x2−F(y1+y2)k+ky1+y2k =kx1+x2−F(y1)−F(y2) + F(y1) + F(y2)−F(y1+y2)k+ky1+y2k ≤CXkx1−F(y1)k+CXkx2−F(y2)k+kF(y1+y2)−F(y1)−F(y2)k +CYky1k+ky2k ≤CXkx1−F(y1)k+CXkx2−F(y2)k+Mky1k+ky2k +CYky1k+ky2k ≤CX2CYMkx1−F(y1)k+ky1k+kx2−F(y2)k+ky2k =CX2CYMk(x1, y1)k+k(x2, y2)k, para todo (x1, y1),(x2, y2)∈X⊕Y. Veamos ahora que los subespacios {(x, 0): x∈X} y (X⊕FY)/X son isométricamente isomorfos a X e Y respectivamente. Para ello, basta observar que k(x, 0)k=kx−F(0)k+k0k=kxk, para todo x∈X (1.2) y que kyk= ´ınf x0∈Xkx+x0−F(y)k+kyk= ´ınf x0∈Xk(x, y)+(x0,0)k, para todo y∈Y. Ahora, tan sólo resta probar la completitud de X⊕FY . Para ello, sea ((xn, yn))n∈N una sucesión de Cauchy arbitraria en X⊕FY . En tal caso, dado ε > 0 , para n >> 1 tenemos que k(xn, yn)−(xm, ym)k=kxn−xm−F(yn−ym)k+kyn−ymk< ε, para todo m≥n; luego (yn)n∈N es una sucesión de Cauchy en Y y por tanto convergente. Sin pérdida de generalidad, supongamos que yn→0 en Y . Así pues, si para cada n∈N escogemos ¯xn∈X de modo que k(¯xn,0) −(xn, yn)k<1/n ; obtenemos entonces en virtud de (1.2) que k¯xn−¯xmk=k(¯xn−¯xm,0)k =k(¯xn,0) −(xn, yn)+(xn, yn)−(xm, ym)+(xm, ym)−(¯xm,0)k ≤C3k(¯xn,0) −(xn, yn)k+k(xn, yn)−(xm, ym)k+k(xm, ym)−(¯xm,0)k ≤C31/n +ε+ 1/m, para todo m≥n. Es decir, (¯xn)n∈N es una sucesión de Cauchy en X ; luego existe x0∈X tal que xn→x0 . Ahora es inmediato comprobar que (xn, yn)→(x0,0) en X⊕FY , quedando probada así la completitud del espacio quasi-normado X⊕FY . (b) Sea 0X Z Y 0 j q la sucesión exacta corta que dene la suma torcida Z de X e Y . En tal caso, existe: (i) una aplicación lineal posiblemente no continua θ:Y−→ Z tal que qθ =IY ; 5
(ii) una aplicación posiblemente no lineal ϕ:Y−→ Z tal que kϕ(y)k ≤ Kkyk y qϕ(y) = y para todo y∈Y ; supongamos además que ϕ(ty) = tϕ(y) para todo y∈Y . A continuación, probaremos que la aplicación F:Y−→ X dada por F(y) = j−1(ϕ(y)−θ(y)), para cada y∈Y, [observemos que q(ϕ(y)−θ(y)) = 0 , luego ϕ(y)−θ(y)∈ker q=j(X) ] dene una aplicación quasi-lineal F:Y−→ Z que nos permitirá denir una suma torcida X⊕FY equivalente a Z . La homogeneidad de F es clara; además, si L∈R+ es tal que kj−1(z)k ≤ Lkzk para todo z∈j(X) y C∈R+ es un módulo de concavidad para (X, k·k) , (Y, k·k) y (Z, k·k) , tendremos entonces que kF(y1+y2)−F(y1)−F(y2)k= = j−1ϕ(y1+y2)−θ(y1+y2)−ϕ(y1) + θ(y1)−ϕ(y2) + θ(y2) = j−1ϕ(y1+y2)−ϕ(y1)−ϕ(y2) ≤Lkϕ(y1+y2)−ϕ(y1)−ϕ(y2)k ≤C2Lkϕ(y1+y2)k+kϕ(y1)k+kϕ(y2)k ≤C2LKC(ky1k+ky2k) + Kky1k+Kky2k ≤2C3KL(ky1k+ky2k), para todo y1, y2∈Y . Además, considerando Tz =j−1(z−θqz), q(z), para cada z∈Z, obtenemos que T:Z−→ X⊕FY dene un operador en B(Z, X ⊕FY) . En efecto, pues kTzk= j−1(z−θqz), qz = j−1(z−θqz)−F(qz) +kqzk = j−1(z−θqz)−j−1(ϕ(qz)−θqz) +kqzk =kj−1(z−ϕ(qz))k+kqzk ≤Lkz−ϕ(qz)k+kqzk ≤ LCkzk+kϕ(qz)k+kqkkzk ≤LCkzk+Kkqkkzk+kqkkzk =LC +KLCkqk+kqkkzk, para todo z∈Z. Por tanto, T∈ B(Z, X ⊕FY) induce una equivalencia entre X⊕FY y Z . Una vez que probado que el estudio de las sumas torcidas de X e Y equivale al estudio de las aplicaciones quasi-lineales F:Y−→ X , cabe preguntarnos por un criterio o condición que nos permita decidir cuando dos aplicaciones quasi-lineales F, G:Y−→ X denen sumas torcidas (proyectivamente) equivalentes. El siguiente resultado nos proporcionará dicho criterio. 6
Denición 1.8 (equivalencia de aplicaciones quasi-lineales) . (a) Se dice que dos aplicaciones quasi-lineales F, G:Y−→ X son (proyectivamente) equivalentes si X⊕FY y X⊕GY son sumas torcidas (proyectivamente) equivalentes. (b) Se dice que F es una aplicación quasi-lineal trivial si X⊕FY y X⊕Y son sumas torcidas equivalentes. Nota 1.9. Si F:Y−→ X es la aplicación nula, entonces X⊕FY coincide con la suma directa topológica ordinaria. En tal caso, la sucesión exacta corta correspondiente escinde. Teorema 1.10 (aplicaciones quasi-lineales equivalentes) . Sean F, G:Y−→ X dos aplicaciones quasi-lineales. Entonces: (a)F y G son equivalentes si y sólo si existe una aplicación lineal A:Y−→ X y M∈R de modo que kF(y)−G(y)−Ayk ≤ Mkyk, para todo y∈Y; (b)F y G son proyectivamnete equivalentes si y sólo si existe una aplicación lineal A:Y−→ X y M, α ∈R de modo que kF(y)−G(αy)−Ayk ≤ Mkyk, para todo y∈Y; (c)F es trivial si y sólo si F es proyectivamente equivalente a la aplicación idénticamente nula, esto es, F se puede expresar como la suma de una aplicación lineal y una aplicación acotada. Demostración. (a) Sean F y G dos aplicaciones quasi-lineales equivalentes. En tal caso, por denición y la conmutatividad de los correspondientes diagramas, existe un operador lineal y continuo T:X⊕FY−→ X⊕GY que debe ser de la forma T(x, y)=(x+Ay, y) para cierta aplicación lineal A:Y−→ X . Así pues, dado que para y∈T tenemos que T(F(y), y) = (F(y) + Ay, y) , concluimos entonces que kF(y)−G(y) + Ayk≤kF(y) + Ay −G(y)k+kyk= F(y) + Ay, y = TF(y), y ≤ kTk F(y), y =kTkkF(y)−F(y)k+kyk=kTkkyk, para todo y∈Y. Recíprocamente, si F y G son dos aplicaciones quasi-lineales que satisfacen la condición del enunciado, la aplicación lineal T:X⊕FY−→ X⊕GY dada por T(x, y)=(x−Ay, y) para cada (x, y)∈X⊕FY , satisface que kT(x, y)k=k(x−Ay, y)k=kx−Ay −G(y)k+kyk =kx−Ay −G(y)−F(y) + F(y)k+kyk ≤Ckx−F(y)k+kF(y)−G(y)−Ayk+kyk ≤Ckx−F(y)k+Mkyk+kyk ≤C(M+ 1)k(x, y)k, para todo (x, y)∈X⊕FY. 7
Por tanto, X⊕FY y X⊕GY son dos sumas torcidas equivalentes mediante T . (b) Se prueba de forma similar a (a) . (c) Es obvio a partir de las deniciones. Por tanto, una aplicación quasi-lineal F es no trivial si no existe ninguna aplicación lineal A de modo que F−A sea una aplicación acotada. 1.3. Aplicaciones quasi-lineales A la vista del Teorema 1.10 anterior, concluimos que para obtener una suma torcida no trivial de X e Y , basta denir una aplicación quasi-lineal F:Y−→ X que no pueda ser aproximada por una aplicación lineal. Así pues, ahora cobra una importancia vital la siguiente pregunta: ¾cómo proceder para denir una aplicación quasi-lineal F:Y−→ X ? Sean X e Y dos espacios quasi-Banach e Y0⊂Y un subespacio denso en Y ; a continuación, indicamos un esquema del itinerario que seguiremos para denir una aplicación quasi-linneal F:Y−→ X a partir de una función lipschitziana ϕ:R−→ R . Teorema 1.11 (aplicaciones quasi-lineales en un subespacio denso) . Si F0:Y0−→ X es una aplicación quasi-lineal, entonces: (a) existe una aplicación quasi-lineal F:Y−→ X tal que F|Y0=F0 ; (b) si F1, F2:Y−→ X son dos aplicaciones quasi-lineales tales que F1|Y0=F2|Y0=F0 , entonces F1 y F2 son equivalentes. Denición 1.12 (aplicaciones quasi-aditivas) . Una aplicación f:Y0−→ X se dice quasi-aditiva si: (a) existe K∈R+ tal que kf(y1+y2)−f(y1)−f(y2)k ≤ K(ky1k+ky2k), para todo y1, y2∈Y0; (b) l´ım t→0f(ty)=0 para todo y∈Y0 ; (c)f(−y) = −f(y) para todo y∈Y0 . En tal caso, diremos que f es una aplicación quasi-aditiva de orden K . Teorema 1.13 (toda aplicación quasi-aditiva dene una aplicación quasi-lineal) . Si f:Y0−→ X es un aplicación quasi-aditiva, entonces F:Y0−→ X dada por F(x) = kxkfx kxk, si x6= 0 0 si x= 0 es una aplicación quasi-lineal. 8
Teorema 1.14 (toda función lipschitziana dene una aplicación quasi-aditiva) . (a) Si ϕ:R−→ R es una aplicación lipschitziana, entonces f:R−→ R dada por f(t) = t ϕlog 1 |t|, t 6= 0 0, t = 0 es una aplicación quasi-aditiva. (b) Si f:R−→ R es una función quasi-aditiva, existe una función lipschitziana θ tal que sup t∈(0,+∞)f(t) t−θlog 1 |t|<∞. Demostración del Teorema 1.11. (a) Consideremos inicialmente el espacio vectorial quasi-normado (X⊕F0Y0,k·k) , donde k(x, y)k=kx−F0(y)k+kyk, para cada (x, y)∈X⊕F0Y0. Sea Z la completación de (X⊕F0Y0,k·k) . A continuación, probaremos que Z es una suma torcida de X e Y . Para ello, consideramos las siguientes aplicaciones: j:X−→ X⊕F0Y0 dada por j(x) = (x, 0) para cada x∈X y ˆq:X⊕F0Y0−→ Y0 dada por ˆq(x, y) = y para cada (x, y)∈X⊕F0Y0 . En tal caso, ˆq puede ser extendida a una aplicación abierta y sobreyectiva es decir, a una aplicación cociente q:Z−→ Y tal que ker (q) = j(X) . En efecto, la extensión está garantizada por [25, p. 19] y si z∈Z es tal que q(z)=0 , luego 0 = l´ım n→+∞ˆq(xn, yn) = l´ım n→+∞yn, en (Y, k·k), siendo ((xn, yn))n∈N una sucesión de vectores de X⊕F0Y0 tal que (xn, yn)→z . En tal caso, (F0(yn), yn)→0 , pues k(F0(yn), yn)k=kF0(yn)−F0(yn)k+kynk=kynk → 0 y entonces, (xn−F0(yn),0) = (xn, yn)−(F0(yn), yn)→z . Por tanto, xn−F0(yn)→x0 para algún x0∈X , de donde deducimos nalmente que z= (x0,0) ∈j(X) . Por tanto, en virtud del Teorema 1.7, existe una aplicación quasi-lineal H:Y−→ X (con constante asociada M1 ) de modo que Z es equivalente a X⊕HY . Es decir, existe un operador lineal y acotado T:Z−→ X⊕HY que hace conmutativo el siguiente diagrama 0X Z Y 0 0X X ⊕HYY0 j IX q TIY En tal caso, T es un operador de la forma T(x, y)=(x+Ay, y) para cierta aplicación lineal A:Y−→ X . Además, para y0∈Y0 , tenemos que kF0(y0) + Ay0−H(y0)k≤kF0(y0) + Ay0−H(y0)k+ky0k= F0(y0) + Ay0, y0 9
= TF0(y0), y0 ≤ kTk F0(y0), y0 =kTkk0k+ky0k=kTkky0k. (1.3) Así, la aplicación F:Y−→ X dada por F(y) = F0(y), si y∈Y0, H(y)−Ay, si y /∈Y0, es una extensión quasi-lineal de F0 a todo Y . En efecto, pues para y0∈Y0 e y1∈Y\Y0 , kF(y0+y1)−F(y0)−F(y1)k=kH(y0+y1)−A(y0+y1)−F0(y0)−H(y1) + Ay1k =kH(y0+y1)−Ay0−F0(y0)−H(y1)k ≤CkH(y0+y1)−H(y0)−H(y1)k+kH(y0)−Ay0−F0(y0)k (( 1.3 )) ≤CM1ky0k+ky1k+kTkky0k≤C(M1+kTk)ky0k+ky1k. (b) La unicidad (módulo equivalencia) de la extensión F es una consecuencia de que toda extensión quasi-lineal de F0 a Y dene una completación de X⊕F0Y0 (y tal completación es única). En efecto, pues para (x, y)∈X⊕FY , si (yn)n∈N es una sucesión en Y0 tal que yn→y , entonces ((x−F(y−yn), yn))n∈N es una sucesión en X⊕FY tal que (x−F(y− yn), yn)→(x, y) . Demostración del Teorem 1.13. La homogeneidad de F es una consecuencia inmediata de la antisimetría de la aplicación quasi-aditiva f . Para probar la propiedad (b) de la Denición 1.6 anterior, necesitaremos el siguiente resultado auxiliar, cuya demostración posponemos por claridad en la exposición. Lema 1.15 (auxiliar para el Teorema 1.13) . Existe una constante BX dependiente únicamente del espacio quasi-Banach X tal que: si f:R−→ X es una aplicación quasi-aditiva de orden K , entonces kf(t)−tf(1)k ≤ BXK, para todo t∈[0,1] ⊂R. Dado x∈Y tal que kxk ≤ 1 , consideramos la aplicación quasi-aditiva ¯ f:R−→ X dada por ¯ f(t) = f(tx/kxk), para cada t∈R. En tal caso, en virtud del Lema 1.15 anterior, kF(x)−f(x)k= kxkfx kxk−f(x) = kxk¯ f(1) −¯ f(kxk) ≤BXK. Así pues, dado que kxk+kyk ≤ 1/C implica kx+yk ≤ C(kxk+kyk)≤1 , kF(x+y)−F(x)−F(y)k ≤ ≤Chkf(x+y)−f(x)−f(y)k+kF(x+y)−f(x+y) −F(x) + f(x)−F(y) + f(y)ki 10
≤Chkf(x+y)−f(x)−f(y)k+CkF(x+y)−f(x+y)k +CkF(x)−f(x)k+kF(y)−f(y)ki ≤ChKkxk+kyk+CBXK+ 2CBXKi ≤C(K+ 3C2BXK), para todo x, y ∈X con kxk+kyk ≤ 1/C. Por tanto, kF(x+y)−F(x)−F(y)k ≤ 2C3(K+ 3C2BXK)(kxk+kyk), para todo x, y ∈X. Demostración del Lema 1.15. Sin pérdida de generalidad, supongamos que f(1) = 0 . En caso contrario, trabajaríamos con la aplicación g(t) = f(t)−tf(1) . Probemos luego que existe BX∈R+ dependiente únicamente de X de modo que kf(t)k ≤ BXK, para todo t∈[0,1] ⊂R. Para ello, necesitaremos los siguientes resultados auxiliares, cuya demostración posponemos por claridad en la exposición. Lema 1.16 (auxiliar para el Lema 1.15) . Si Y0 es un subespacio denso en Y y f:Y0−→ X es una aplicación quasi-aditiva de orden K , existen constantes positivas r y L tales que, fn X i=1 yi− n X i=1 f(yi) ≤LKn X i=1 kyikr1/r, para todo yi∈Y0 con 1≤i≤n. [Aclaración: Podremos considerar r≤p/2 , donde p > 0 es el exponente dado por el Lema A.19.] Lema 1.17 (auxiliar para el Lema 1.15) . Si f:R−→ X es una aplicación quasi-aditiva de orden K , existen constantes positivas L y r tales que k2nf(2−n)k ≤ LKn1/r, para todo n∈N. [Aclaración: La constante L > 0 coincide con la indicada en el Lema A.19. Podremos considerar r≤p , siendo p > 0 el exponente dado por el Lema A.19.] Sea t∈(0,1) ⊂R escogido de forma arbitraria. Para dicho t , existe un único n∈N de modo que t∈[2−n,21−n)⊂R . En tal caso, t= 2−n ∞ X k=0 εk2−k= ∞ X k=0 εk2−(n+k), con ε0= 1 y εk∈ {0,1} para cada k≥1. Sea además, para cada m∈N , tm= m X k=0 εk2−(n+k). Aplicando ahora el Lema A.19, sabemos que existe L > 0 (dependiendo únicamente de X ) de modo que si r=p/2 siendo p el exponente dado por el Lema A.19, entonces kf(t)k= f(tm) + f(t−tm) + f(t)−f(tm)−f(t−tm) 11
≤Lkf(tm)kr+kf(t−tm)kr+kf(t)−f(tm)−f(t−tm)kr1/r. A continuación, para cada uno de los tres sumandos de la última desigualdad, obtendremos cotas adecuadas que nos permitirán obtener el resultado enunciado. Por ser f una aplicación quasi-aditiva de orden K , para el tercer sumando, tenemos que kf(t)−f(tm)−f(t−tm)k ≤ Kktm+t−tmk=Kt ≤K y entonces kf(t)−f(tm)−f(t−tm)kr≤Kr (1.4) Por otra parte, para el primer sumando, empleando nuevamente el Lema A.19, obtenemos inicialmente que kf(tm)k= f(tm)− m X k=0 εkf(2−(n+k)) + m X k=0 εkf(2−(n+k)) ≤L f(tm)− m X k=0 εkf(2−(n+k)) r+ m X k=0 εkf(2−(n+k)) r1/r. A continuación, acotaremos cada uno de los sumandos obtenidos en la última desigualdad. Para el primero de ellos, teniendo en cuenta que f(0) = −f(−0) = −f(0) = 0 , deducimos que f(tm)− m X k=0 εkf2−(n+k) = f(tm)− m X k=0 fεk2−(n+k) (Lema 1.16) = fm X k=0 εk2−(n+k)− m X k=0 fεk2−(n+k) ≤KLm X k=0 |εk2−(n+k)|r1/r ≤KLm X k=0 2−(n+k)r1/r ≤KL∞ X k=0 2−(n+k)r1/r ≤KL(1 −2−r)−1/r; luego f(tm)− m X k=0 εkf(2−(n+k)) r≤KrLr(1 −2−r)−1. (1.5) Por otra parte, invocando nuevamente el Lema A.19, obtenemos que m X k=0 εkf(2−(n+k)) ≤Lm X k=0 kεkf(2−(n+k))kr1/r ≤Lm X k=0 kf(2−(n+k))kr1/r, de donde deducimos que m X k=0 εkf(2−(n+k)) r≤Lr m X k=0 kf(2−(n+k))kr=Lr m X k=0 k2n+kf(2−(n+k))kr 2(n+k)r (Lema 1.17) ≤Lr m X k=0 LK(n+k)1/rr2−(n+k)r=KrL2r m X k=0 (n+k)2−(n+k)r ≤KrL2r ∞ X k=0 (n+k)2−(n+k)r, (1.6) 12
Por tanto, aunando (1.5) y (1.6), obtenemos ahora que kf(tm)k ≤ LKrLr(1 −2−r)−1+KrL2r ∞ X k=0 (n+k) 2−(n+k)r1/r ≤LKrL1+KrL21/r, es decir, kf(tm)kr≤Lr(KrL1+KrL2) = LrKr(L1+L2). (1.7) Finalmente, teniendo en cuenta (1.4) y (1.7), concluimos que kf(t)k ≤ LLrKr(L1+L2) + kf(t−tm)kr+Kr1/r ≤LLrKr(L1+L2) + Krkf(t−tm)kr+Kr1/r =LKLr(L1+L2) + kf(t−tm)kr+ 11/r =LKL∗+kf(t−tm)kr+ 11/r. (1.8) Además, al ser f una aplicación quasi-aditiva, l´ım m→∞ f(t−tm) = l´ım m→∞ f2−n ∞ X k=m+1 εk2−k= l´ım m→∞ f2−(n+m+1) ∞ X k=0 εk2−k= 0. Por tanto, haciendo m→ ∞ en (1.8), deducimos nalmente que kf(t)k ≤ LK(L∗+ 1) = KBX. Demostración del Lema 1.16. En virtud del Corolario A.17 Nota A.18, para cierto p > 0 existe una quasi-norma |||·||| equivalente a la quasi-norma k·k y tal que |||y1+y2|||p≤ |||y1|||p+|||y2|||p para todo y1, y2∈Y0 . Por ser |||·||| y k·k quasi-normas equivalentes, existe L0>0 tal que kxk ≤ |||x||| ≤ L0kxk para todo x∈X , y entonces |||f(x1+x2)−f(x1)−f(x2)||| ≤ L0kf(x1+x2)−f(x1)−f(x2)k (f es quasi-aditiva de orden K)≤L0K(kx1k+kx2k)≤L0K(|||x1|||+|||x2|||) (0 <p<1) ≤L0K(|||x1|||p+|||x2|||p)1/p. (1.9) A continuación, aplicando el método de inducción, probaremos que fn X i=1 xi− n X i=1 f(xi)≤L0Kn X i=1 i|||xi|||p1/p, para todo n∈N. (1.10) Para n= 2 , tendríamos que probar que kf(x1+x2)−f(x1)−f(x2)k ≤ L0Kkx1kp+ 2 kx2kp1/p, lo cual es trivialmente cierto si tenemos en cuenta (1.9). Supongamos luego que (A.1) es cierto para n−1∈N , con n≥3 , y veamos que también es cierto para n∈N . Observando que fn X i=1 xi− n X i=1 f(xi) p= 13
Teorema 2.5 (espacios E(ϕ) equivalentes) . Sea E un espacio quasi-normado sólido en el que ninguna subsucesión de (en)n∈N es equivalente a la base usual de c0 . En tal caso, dadas dos funciones ϕ, ψ ∈£ , tenemos que: (a)E(ϕ) y E(ψ) son equivalentes si y sólo si sup t∈(0,+∞)|ϕ(t)−ψ(t)|<∞; (b)E(ϕ) y E(ψ) son proyectivamente equivalentes si y sólo si existe a6= 0 tal que sup t∈(0,+∞)|ϕ(t)−aψ(t)|<∞; (c)E(ϕ) es trivial si y sólo si ϕ es una función acotada. Demostración del Teorema 2.5. Sean F:E−→ E y G:E−→ E las aplicaciones quasi-lineales inducidas por las funciones lipschitzianas ϕ y ψ respectivamente. (a) Inicialmente, probaremos que la condición M= supt∈(0,+∞)|ϕ(t)−ψ(t)|<∞ implica que kF(y)−G(y)−Ayk ≤ Mkyk, para todo y∈E, siendo A la aplicación idénticamente nula en E . Para ello, observaremos que si y∈E , entonces kF(y)−G(y)k= kykfy kyk−kykgy kyk = ∞ X k=1 ykϕ−log |yk| kykek− ∞ X k=1 ykψ−log |yk| kykek = ∞ X k=1 ykhϕ−log |yk| kyk−ψ−log |yk| kykiek ( prop. (i) de k·k)≤sup k∈Nϕ−log |yk| kyk−ψ−log |yk| kyk ∞ X k=1 ykek ≤Mkyk. El resultado enunciado es ahora una consecuencia del Teorema 1.10 anterior. Antes de mostrar la demostración detallada del enunciado recíproco, indicamos un breve esquema de cómo procederemos. 1. La idea esencial consistirá en escoger una sucesión (sn)n∈N⊂E satisfaciendo que: (a) para cada t∈[log ks1k,+∞) existe un único n∈N tal que t∈[log ksnk,log ksn+1k) (véase (2.8)), (b) sup n∈N log ksn+1k−log ksnk<∞ (véase 2.7), (c) sup n∈N|ϕ(log ksnk)−ψ(log ksnk)|<∞ (véase (2.6)); 20
y observar nalmente que sup t∈(0,+∞)|ϕ(t)−ψ(t)| ≤ sup t∈(0,+∞)ϕ(t)−ϕlog ksnk+ sup n∈Nϕlog ksnk−ψlog ksnk + sup t∈(0,+∞)ψlog ksnk−ψ(t), de donde, empleando la lipschitzianidad de las fucniones ϕ y ψ y las propiedades (b) y (c) anteriores, deducimos que sup t∈(0,+∞)|ϕ(t)−ψ(t)|<∞. 2. Evidentemente, la gran dicultad con la que nos encontraremos será obtener tal sucesión (sn)n∈N . Sin embargo, es curioso que para cada n∈N la sucesión sn∈ {−1,0,1}N . 3. La equivalencia entre los espacios E(ϕ) y E(ψ) jugará un importante papel a la hora de lograr las propiedades (b) y (c) anteriores. En relacion con este último punto, compárese (2.2) con (2.5) y valórese la importancia de esta última desigualdad a la hora de obtener la sucesión (sn)n∈N . Iniciamos ahora la prueba detallada; supongamos entonces en virtud del Teorema 1.10 que existe una aplicación lineal A:E−→ E tal que kF(y)−G(y)−Ayk ≤ Mkyk, para todo y∈E. (2.2) Sea H la aplicación quasi-lineal dada por H=F−G . En tal caso, para n∈N arbitrario, H(en) = F(en)−G(en) = kenkfen kenk−kenkgen kenk =f(en)−g(en) = 0 −0 = 0 ∈E. Por tanto, teniendo en cuenta (2.2) y la propiedad (iii) de la Denición 2.1, kAenk∞≤ kAenk ≤ Mkenk=M, para todo n∈N. Así pues, aplicando el argumento diagonal de G. Cantor, existen dos sucesiones estrictamente crecientes de números naturales (nk)k∈N y (mk)k∈N tales que A(enk−emk)→0 coordenada a coordenada. Ahora, aplicando un argumento del estilo joroba deslizante, podemos escoger: una subsucesión (fn)n∈N de (enk−emk)k∈N , y una sucesión creciente de números naturales (pn)n∈N ; de tal modo que, para cada n∈N : (I) A(fn)− pn X k=pn−1+1 A(fn)kek ≤1 2n; (II) sop (fn) = {qn, rn}⊂{pn−1+1, . . . , pn} pn X pn−1 Consideremos ahora la aplicación lineal ˆ A: span {fn:n∈N} −→ E dada por ˆ Afn= (Afn)qneqn+ (Afn)rnern, n ∈N. Así denida, para cada n∈N , la sucesión ˆ Afn∈E satisface que: 21
(i) sop fn= sop ˆ Afn={qn, rn} ; (ii)kˆ Afnk ≤ 2CM : kb Afnk=k(Afn)qneqn+ (Afn)rnernk≤kAfnk =kA(enk−emk)k ≤ CkAenkk+kAemkk≤2CM; (2.3) (iii)kˆ Afnk∞≤ kˆ Afnk ≤ 2CM ; (iv)|ˆ Afn| ≤ 2CM|fn| . Dado x=PN n=1 tnfn∈span {fn:n∈N} , en virtud de la propiedad (iii) de k·k , tenemos que m´ax{|tn|: 1 ≤n≤N}=kxk∞≤ kxk (2.4) y entonces kF(x)−G(x)−ˆ Axk= H(x)− N X n=1 tnˆ Afn =kH(x)−ˆ Axk ≤ M2kxk, para todo x∈span {fn:n∈N}. (2.5) Por claridad en la exposición, dejamos para más adelante la demostración de (2.5). Adjuntamos una explicación gráca de las condiciones indicadas en las desigualdades (I) y (2.3). fn=( 1 ,±1, 1 ,±1, 1 ) Afn=( 1 ) Afn− pn X pn−1+1 Afnkek =k( 1 , 1 , 1 )k ≤ 1 2n kˆ Afnk=k( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 )k ≤ 2CM En particular, para sn=Pn i=1 fi∈span {fn:n∈N} , tenemos que H(sn)− n X i=1 ˆ Afi ≤M2ksnk. Ahora bien, teniendo en cuenta que H(sn) = ϕlog ksnk−ψlog ksnksn y n X i=1 ˆ Afi≤ n X i=1 ˆ Afi≤2CM n X i=1 |fi|= 2 CM|sn|, 22
concluimos que ϕlog ksnk−ψlog ksnk|sn|− n X i=1 |ˆ Afi| ≤M2ksnk. Por tanto, para ϕlog ksnk−ψlog ksnk≥2CM , debe ser ϕlog ksnk−ψlog ksnk−2CM ≤M2, o equivalentemente, ϕlog ksnk−ψlog ksn|≤M2+ 2 CM. (2.6) Por otro lado, dado que ksnk= n X k=1 fk = n−1 X k=1 fk+fn ≤C n−1 X k=1 fk +kfnk =Cksn−1k+kenk−emkk≤Cksn−1k+ 2C, tenemos que log ksnk ≤ log C+ log ksn−1k+ 2C≤log C+ log ksn−1k(1 + 2C) = log C(1 + 2C)+ log ksn−1k, es decir, log ksnk−log ksn−1k ≤ log C(1 + 2C). (2.7) Además, debe ser sup n∈Nksnk=∞. (2.8) En otro caso, la sucesión (eq1, er1, eq2, er2, . . . ) sería equivalente a la base canónica de c0 . En efecto, pues para x=Pitieqi+Pjtjerj tendríamos que en virtud de las propiedades (i) y (iii) de la quasi-norma k·k de un espacio quasi-normado sólido sup i,j∈N{|ti|,|tj|} =kxk∞≤ kxk ≤ sup n∈Nksnksup i,j∈N{|ti|,|tj|} = sup n∈Nksnkkxk∞. Así pues, en virtud de (2.8), podemos armar que para cada t∈[log ks1k,∞)⊂R existe un único n∈N para el que t∈[log ksn−1k,log ksnk]⊂R . En tal caso, teniendo en cuenta (2.6) y (2.7), |ϕ(t)−ψ(t)| ≤ ϕ(t)−ϕlog ksnk+ϕlog ksnk−ψlog ksnk+ψlog ksnk−ψ(t) ≤Lϕt−log ksnk+M2+ 2CM +Lψt−log ksnk ≤(Lϕ+Lψ) log C(1 + 2C)+M2+ 2CM, donde Lϕ y Lψ son las constantes de Lipschitz de ϕ y ψ respectivamente. Por tanto, hemos probado que si E(ϕ) y E(ψ) son sumas torcidas equivalentes, entonces sup t∈(0,+∞)|ϕ(t)−ψ(t)|<∞. 23
Demostración de la desigualdad (2.5). Dado que H(x)− N X n=1 tnˆ Afn = H(x)− N X n=1 tnAfnqneqn+Afnrnern = H(x)− N X n=1 tnhpn X k=pn−1+1 Afnkek− pn X k=pn−1+1 k6=qn,rn Afnkeki ≤C H(x)− N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek + N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 k6=qn,rn Afnkek ≤C H(x)− N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek + AN X n=1 tnfn =C H(x)− N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek +kA(x)k ≤C H(x)− N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek +CkAkkxk, basta encontrar una cota adecuada para el primer sumando de la última desigualdad. No obstante, H(x)− N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek = F(x)−G(x)−Ax +Ax − N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek ≤CkF(x)−G(x)−Axk+ Ax − N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek ≤CMkxk+C Ax − N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek ≤CMkxk+CL∗kxk=M∗ 2kxk, donde para acotar el segundo sumando hemos tenido en cuenta que Ax − N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek = AN X n=1 tnfn− N X n=1 tn pn X k=pn−1+1 Afnkek = N X n=1 tnAfn− pn X k=pn−1+1 Afnkek (Lema 1.17) ≤LN X n=1 tnAfn− pn X k=pn−1+1 Afnkek r1/r ≤Lm´ax 1≤i≤N|ti|N X n=1 Afn− pn X k=pn−1+1 Afnkek r1/r 24
(prop. (iii) de k·k ) ≤LkxkN X n=1 Afn− pn X k=pn−1+1 Afnkek r1/r (I) ≤LkxkN X n=1 1 2nr1/r =L∗kxk. (b) Inicialmente, probaremos que la condición M= supt∈(0,+∞)|ϕ(t)−aψ(t)|<∞ implica que kF(y)−G(ay)−Ayk ≤ Mkyk, para todo y∈E, siendo A la aplicación idénticamente nula en E . En efecto, pues para y∈E arbitrario, kF(y)−G(ay)k= kykfy kyk−kaykgay kayk = ∞ X k=1 ykϕ−log |yk| kykek− ∞ X k=1 aykψ−log |ayk| kaykek = ∞ X k=1 ykhϕ−log |yk| kyk−aψ−log |yk| kykiek ( prop. (i) de k·k)≤sup k∈Nϕ−log |yk| kyk−aψ−log |yk| kyk ∞ X k=1 ykek ≤Mkyk. A continuación, probaremos el enunciado recíproco. Si E(ϕ) y E(ψ) son dos sumas torcidas proyectivamente equivalentes, existe a∈R\ {0} para el que las aplicaciones quasi-lineales F y Ga dada por Ga(x) = G(ax) para cada x∈E son equivalentes. En tal caso, E⊕GaE es equivalente a E(θ) , siendo θ:R−→ R la función (lipschitziana) dada por θ(t) = aψt+ log 1 |a|−aψlog 1 |a|, si t≥0, 0, si t < 0 En efecto, pues si h es la aplicación quasi-aditiva asociada a θ , es decir, si h(t) = tθlog 1 |t|=athψlog 1 |t|+log 1 |a|−ψlog 1 |a|i=athψlog 1 |at|−ψlog 1 |a|i, entonces H(x)k=kxkhx kxkk=kxkaxk kxkhψ−log |axk| kxk−ψlog 1 |a|i =axkhψ−log |axk| kxk−ψlog 1 |a|i, k ∈N, y Ga(x)k=G(ax)k=kaxkgax kaxkk=kaxkaxk kaxkψ−log |axk| kaxk=axkψ−log |xk| kxk. Por tanto, para cada k∈N , tenemos que H(x)k−Ga(x)k+aψlog 1 |a|xk 25
=|axk|ψ−log |axk| kxk−ψlog 1 |a|−ψ−log |xk| kxk+ψlog 1 |a| =|axk|ψ−log |axk| kxk−ψ−log |xk| kxk≤ |axk|Lψlog |a|, y concluimos entonces que kH(x)−Ga(x) + Axk ≤ Lψ|a|log |a|kxk, para todo x∈E, siendo A:E−→ E la aplicación lineal que consiste en multiplicar cada sucesión de E por el escalar aψ(−log |a|) . Así pues, en virtud del Teorema 1.10, E⊕GaE y E(θ) son sumas torcidas equivalentes. Por tanto, en virtud de lo probado en el apartado (a) anterior, sup t∈(0,+∞)ϕ(t)−aψt+ log 1 |a|+aψlog 1 |a|<∞ y entonces, dado que ψ es una función lipschitziana, sup t∈(0,+∞)|ϕ(t)−aψ(t)|= sup t∈(0,+∞)ϕ(t)−aψ(t) + aψt+ log 1 a−aψt+ log 1 a ≤sup t∈(0,+∞)ϕ(t)−aψt+ log 1 a+|a|sup t∈(0,+∞)ψ(t)−ψt+ log 1 a<∞. (c) Es una consecuencia inmediata de (a) y (b) . Denición 2.6. Se dice que un par de F -espacios (X, Y ) escinde si toda suma torcida de X e Y es trivial; es decir, si toda sucesión exacta corta 0−→ X−→ Z−→ Y−→ 0 escinde. Corolario 2.7 ( ½½Existen sumas torcidas no triviales!! ) . Sea E es un espacio quasi-normado sólido en el que ninguna subsucesión de (en)n∈N es equivalente a la base usual de c0 . En tal caso, el par (E, E) no escinde. Es decir, existen sumas torcidas no triviales de E y E . Demostración. En virtud del Teorema 2.5 anterior, basta considerar el espacio E(ϕ) obtenido al considerar una función ϕ∈£ no acotada. 2.2. Sumas torcidas de espacios `p con 0<p<∞ Corolario 2.8 (espacios `p con p∈(0,1] ) . Dado 0< p ≤1 , existe un espacio quasi-Banach Z tal que: (a)Z no es p -convexo (en particular, Z no es isomorfo a `p ) (b)Z contiene un subespacio X isomorfo a `p de modo que Z/X también es isomorfo a `p . 26
Demostración. En virtud del Corolario 2.7 anterior, el par (`p, `p) no escinde. Por tanto, existe un espacio quasi-Banach Z que contiene a un subespacio X isomorfo a `p con Z/X también isomorfo a `p . Sea F:`p−→ `p una aplicación quasi-lineal para la que Z=`p⊕F`p . Además, para sn=Pn i=1 ei , k(sn, sn)kp=ksn−F(sn)k+ksnkp=(n|1−log n1/p|p)1/p +n1/pp =n|1−log n1/p|1/p + 1p, para cada n∈N, mientras que n X i=1 k(ei, ei)kp= n X i=1 kei−F(ei)k+keikp= n X i=1 keik+keikp= 2pn, para cada n∈N. Por tanto, dado que k(e1+···+en, e1+···+en)kp k(e1, e1)kp+···+k(en, en)kp=1 2p|1−log n1/p|+ 1p→ ∞, concluimos entonces que Z no es un espacio quasi-Banach p -convexo. Corolario 2.9 (espacios `p con p∈(1,∞) ) . Dado p > 1 , si ϕ∈£ es una función no acotada, `p(ϕ) es un espacio quasi-Banach no isomorfo a `p que contiene un subespacio X isomorfo a `p de modo que `p(ϕ)/X también es isomorfo a `p . Demostración. Es una consecuencia inmediata del Corolario 2.7 anterior. Nota 2.10 ( `p(ϕ) es isomorfo a un espacio de Banach si p > 1 ) . En realidad, para p > 1 , la suma torcida `p(ϕ) (que es, en principio, un espacio quasi- Banach) será, en realidad, isomorfo a un espacio de Banach. Este resultado será mostrado en la sección 3.1.1. En particular, deducimos que existen tantas soluciones de la forma `2(ϕ) del problema de Palais como aplicaciones lipschitzianas ϕ∈£ no acotadas y no equivalentes entre sí. En el Capítulo ?? , estudiaremos operadores en los espacios Zp , una subfamilia muy importante de los espacios `p(ϕ) dados en el Corolario 2.9. 2.3. Existencia de base de Schauder En este epígrafe veremos que los espacios E(ϕ) admiten base de Schauder. Dicho resultado será empleado más adelante para deducir ciertas propiedades de los espacios `p(ϕ) con 1<p<∞ . Teorema 2.11 ( E(ϕ) admite base de Schauder) . Si E es un espacio quasi-normado sólido y ϕ∈£ , entonces E(ϕ) admite base de Schauder. 27
Demostración. Para cada n∈N , sea u2n−1= (en,0) y u2n= (0, en). Probaremos que (un)n∈N es una base de Schauder de E(ϕ) . Dado que span {un:n∈N}=R∞ es denso en E(ϕ) , en virtud del Criterio de Grunblum (ver la Proposición B.11), basta probar que existe C∗∈R+ tal si p, q ∈N y p < q , entonces p X i=1 tiui ≤C∗ q X i=1 tiui , para todo ti∈R con 1≤i≤q. (2.9) Supongamos inicialmente que p es un número par; es decir, que p= 2n para cierto n∈N . Dado N∈N tal que N≥n , consideraremos αn= n X i=1 t2iei y α= N X i=1 t2iei . Tenemos entonces que p X i=1 tiui = 2n X i=1 tiui = n X i=1 t2i−1ei−Fn X i=1 t2iei + n X i=1 t2iei = n X i=1 t2i−1ei− n X i=1 t2iϕ−log |t2i| αnei +αn = n X i=1 t2i−1ei− n X i=1 t2iϕlog αn−log |t2i|ei +αn = n X i=1 t2i−1ei− n X i=1 t2ihϕlog αn−log |t2i| +ϕlog α−log |t2i|−ϕlog α−log |t2i|iei +αn ≤C n X i=1 ht2i−1−t2iϕlog α−log |t2i|iei +C n X i=1 t2ihϕlog αn−log |t2i|−ϕlog α−log |t2i|iei +αn ≤C n X i=1 ht2i−1−t2iϕlog α−log |t2i|iei +CLϕ n X i=1 t2i|log α−log αn|ei +αn =C N X i=1 ht2i−1−t2iϕlog α−log |t2i|iei +CLϕlog α αn n X i=1 t2iei +αn ≤C 2N X i=1 tiui +CLϕlog α αn n X i=1 t2iei +αn=C 2N X i=1 tiui +CLϕlog α αnαn+αn =C 2N X i=1 tiui +CLϕlog α αnαn αα+αn≤C 2N X i=1 tiui +CLϕ eα+αn 28
≤C 2N X i=1 tiui +CLϕ eα+α≤C+CLϕ e+ 1 2N X i=1 tiui , donde en la antepenúltima desigualdad hemos empleado que |tlog t| ≤ e−1 para 0< t < 1 . Supongamos ahora que p es un número impar, es decir, que p= 2n−1 para cierto n∈N . Empleando lo obtenido anteriormente, obtenemos ahora que p X i=1 tiui = 2n X i=1 tiui−t2nu2n ≤C 2n X i=1 tiui +|t2n|ku2nk ≤CC+CLϕ e+ 1 2N X i=1 tiui +C|t2n| ≤ C2+C2Lϕ e+ 2C 2N X i=1 tiui , pues |t2n| ≤ N X i=1 t2iei ≤ N X i=1 t2iei + N X i=1 t2i−1ei−FN X i=1 t2iei = 2N X i=1 tiui . Además, puesto que para todo k∈N , 2k X i=1 tiui ≤ 2k+1 X i=1 tiui , la desigualdad (2.9) es cierta tanto para q par como para q impar. 29
tenemos entonces que 2n X i=1 xi r= 2X i∈A xi− 2n X i=1 εixi r (k·kr es subaditiva )≤2r X i∈A xi r+ 2n X i=1 εixi r (|A| ≤ n)≤2ranr+b2nr Por tanto, hemos probado que a2nr=sup kxik≤1 2n X i=1 xi r ≤2ranr+b2nr, de donde deducimos nalmente que, (2n)−rar 2n≤n−rar n+ (2n)−rbr 2n, para todo n∈N. En particular, (para n= 2n ) 2−(n+1)a2n+1 r≤2−na2nr+2−(n+1)b2n+1 r, para cada n∈N, o equivalentemente, si αn= 2−na2n y βn= 2−nb2n , αn+1r−αnr≤βn+1r, para cada n∈N. (3.1) Dado que por hipótesis supn≥2n−1bn<1 , tenemos luego que b2<2 . Sea entonces p > 1 tal que b2≤21/p . En tal caso, empleando la submultiplicidad de (bn)n∈N , obtenemos que b2k≤b2·. . . ·b2≤21/p ·. . . ·21/p =p √2k, para cada k∈N. (3.2) Dado ahora m∈N arbitrario, escojamos k∈N de modo que m∈[2k,2k+1)⊂R . Así, empleando que bn es creciente y (3.2), obtenemos que bm≤b2k+1 ≤p √2k+1 =p √2p √2k≤21/p p √m (3.3) Por tanto, en virtud de (3.2) y (3.3), bn≤p √2n1/p, para todo n∈N, de donde concluimos ahora que supn∈Nn−1/pbn<∞ . En tal caso, βnr=2−nb2nr= 2nr/p2−nr2−n/pb2nr≤2nr(1 p−1) sup n∈N n−1/pbn, para cada n∈N, y entonces ∞ X n=1 βnr<∞, de donde teniendo en cuenta (3.1) deducimos nalmente que (αnr)n∈N es una sucesión acotada en (R,|·|) ; luego, sup n∈N n−1an<∞. 36
En el siguiente resultado demostramos una importante desigualdad entre las sucesiones (cn)n∈N(Y) , (cn)n∈N(X/Y ) y (cn)n∈N(X) (véase la ecuación (3.6)); empleando dicho resultado seremos capaces de probar que la suma torcida de espacios B -convexos es un espacio B -convexo. Teorema 3.8 (la suma torcida de dos espacios B-convexos es B-convexa) . Si 0−→ Y−→ X−→ X/Y −→ 0 es una sucesión exacta corta de espacios quasi Banach tal que l´ım n→∞ cn(Y) = 0 = l´ım n→∞ cn(X/Y ), entonces l´ım n→∞ cn(X) = 0. Demostración. Sea {xij,1≤i≤m, 1≤j≤n} un conjunto formando por nm vectores de X y θij , con 1≤i≤m y 1≤j≤n , las nm primeras funciones de Rademacher en el intervalo [0,1] ⊂R , esto es, θij(t) = signosen(2kπt) , para cada k= 1, . . . , nm y t∈[0,1] . Tenemos entonces que 1 2nm X εij =±1 X i,j εijxij 2=Z1 0 m X i=1 n X j=1 θij(t)xij 2dt. [Escribiendo la suma de Riemann de la integral del segundo miembro asociada a la partición uniforme del intervalo [0,1] formada por 2mn subintervalos.] Sean también, ϕi con 1≤i≤m las m primeras funciones de Rademacher en el intervalo [0,1] ⊂R . Tenemos luego que [empleando la aditividad de la integral interior del segundo miembro] Z1 0 m X i=1 n X j=1 θij(t)xij 2dt =Z1 0Z1 0 m X i=1 n X j=1 ϕi(s)θij(t)xij 2ds dt =Z1 0Z1 0 m X i=1 ϕi(s)ui(t) 2ds dt =Z1 0 A(t)2dt, donde, para cada 1≤i≤m , ui(t) = n X j=1 θij(t)xij, t ∈[0,1] ⊂R y A(t) = Z1 0 m X i=1 ϕi(s)ui(t) 2ds1 2 , t ∈[0,1] ⊂R. Por tanto, hemos probado que 1 2nm X εij =±1 X i,j εijxij 2=Z1 0 A(t)2dt. Dado que ui: [0,1] ⊂R−→ X es una función simple (esto es, alcanza una cantidad nita de valores en X ) es posible escoger una función simple vi: [0,1] ⊂R−→ Y tal que kui(t) + vi(t)kX≤2kπ(ui(t))kX/Y , (3.4) 37
con kπ(ui(t))kX/Y = ´ınf{kui(t)−ykX:y∈Y} . Así pues, kvi(t)k=kvi(t) + ui(t)−ui(t)k ≤ k(kvi(t) + ui(t)k+kui(t)k) ( 3.4 )≤k(2 kπ(ui(t))k+kui(t)k)≤3kkui(t)k. (3.5) Por otra parte, m X i=1 ϕi(s)ui(t) ≤k m X i=1 ϕi(s)ui(t) + vi(t) + m X i=1 ϕi(s)vi(t) , y entonces, aplicando la desigualdad de Minkowski, A(t) = Z1 0 m X i=1 ϕi(s)ui(t) 2ds1 2 ( Minkowski )≤kZ1 0 m X i=1 ϕi(s)ui(t) + vi(t) 2ds1 2 +kZ1 0 m X i=1 ϕi(s)vi(t) 2ds1 2 ( Riemann ) = k1 2mX εi=±1 m X i=1 εiui(t) + vi(t) 21 2 +k1 2mX εi±1 m X i=1 εivi(t) 21 2 ( Def. cn)≤km cm(X)2 m X i=1 ui(t) + vi(t) 21 2 +km cm(Y)2 m X i=1 kvi(t)k21 2 ( (3.4) y (3.5) )≤k√m cm(X) 2m X i=1 kπ(ui(t))k21 2+k√m cm(Y) 3km X i=1 kui(t)k21 2. Por tanto, empleando nuevamente la desigualdad de Minkowski, obtenemos que Z1 0 A(t)2dt1 2 ≤k√m2cm(X)m X i=1 Z1 0kπ(ui(t))k21 2 + 3 cm(Y)km X i=1 Z1 0kui(t)k21 2 =k√m2cm(X)m X i=1 Z1 0 n X j=1 θij(t)π(xij) 21 2 + 3 cm(Y)km X i=1 Z1 0 n X j=1 θij(t)xij 21 2 =k√m2cm(X)m X i=1 1 2nX εj±1 n X j=1 εjπ(xij) 21 2 + 3 cm(Y)km X i=1 1 2nX εj±1 n X j=1 εjxij 21 2 ≤k√m2cm(X)m X i=1 cn(X/Y )2n n X j=1 kπ(xij)k21 2 + 3 cm(Y)km X i=1 cn(X)2n n X j=1 kxijk21 2 ≤k√mn2cm(X)cn(X/Y )m X i=1 n X j=1 kxijk21 2 + 3kcm(Y)cn(X)m X i=1 n X j=1 kxijk21 2. Así pues, para {xij : 1 ≤i≤m, 1≤j≤n} ⊂ X tal que m X i=1 n X j=1 kxijk2= 1, tenemos que 1 2nm X εij =±1 X i,j εijxij 2≤k2mnh2cm(X)cn(X/Y )+3kcm(Y)cn(X)i2; 38
es decir, cnm(X)≤kh2cm(X)cn(X/Y )+3kcm(Y)cn(X)i. En particular, para n=m , cm2(X)≤2k cm(X/Y )+3k2cm(Y)cm(X). (3.6) Por tanto, dado que l´ım m→∞ 2kcm(X/Y )+3k2cm(Y) = 0, concluimos que cm(X) = α < 1, para cierto m >> 1. [sea λm= 2kcm(X/Y ) + 3k2cm(Y) ; luego λm<1/2 para m >> 1 y entonces cm2≤cm/2 , cm4≤cm2/2≤cm/4 , cm8≤cm4/2≤cm/8 ,...] En tal caso, para {xi: 1 ≤i≤m} ⊂ X con kxik ≤ 1 para todo 1≤i≤m , tenemos empleando que cm≤α que 1 m2mX εi=±1 m X i=1 εixi 2≤α2 m X i=1 kxik2≤α2m, o equivalentemente 1 2mX εi±1 m X i=1 εixi 2≤α2m2; luego existen signos εi=±1 , con 1≤i≤m , para los que m X i=1 εixi 2≤α2m2, y entonces bm(X)≤αm < m . Por tanto, aplicando un razonamiento como el de la prueba de la Proposición 3.7 concluimos que l´ım m→∞ m−1bm(X) = 0. Hasta ahora, hemos probado que la suma torcida X de espacios B -convexos es localmente convexa (en virtud del Teorema 3.8 y la Proposición 3.7). Por otra parte, en virtud del Teorema 1.5, toda suma torcida de espacios de Banach es un espacio quasi-Banach. Estos resultados garantizan la existencia de un entorno acotado y convexo de 0∈X . Por tanto, para concluir que la suma torcida `p(ϕ) es isomorfa a un espacio de Banach, basta probar que el espacio de sucesiones `p , con 1<p<∞ , es B -convexo (Proposición 3.12 siguiente) e invocar luego el siguiente resultado (cuya demostración puede consultarse en [45, p. 30]). Proposición 3.9. Un espacio quasi-Banach localmente convexo es isomorfo a un espacio de Banach. Centrémonos entonces en demostrar que `p , con 1<p<∞ , es un espacio B -convexo. Emplearemos para ello el siguiente concepto. Denición 3.10. [19, p. 36] Un espacio de Banach X se dice uniformemente convexo si para todo ε > 0 existe algún δ > 0 tal que para x, y ∈BX se tiene que x+y 2 >1−δ implica que kx−yk< ε. (3.7) 39
Nota 3.11 (Sobre la Denición 3.10) . La denición usual de espacio uniformemente convexo (ver, por ejemplo, [18, 1, 34]) tan sólo requiere la condición (3.7) para vectores unitarios. No obstante, puede demostrarse (ver [34, p. 60]) que esta última condición implica la convexidad uniforme en el sentido de la Denición 3.10 anterior, que será suciente para nuestros propósitos. El siguiente resultado puede consultarse en [19]. Proposición 3.12. Todo espacio uniformemente convexo es B -convexo. Demostración. Supongamos que X es uniformemente convexo. En tal caso, existe δ(1) >0 de modo que si x, y ∈BX son tales que kx−yk>1 , entonces kx+yk<2(1 −δ(1)) . Veremos que X es B -convexo (ver Denición 3.4 anterior) con n= 2 y δ= m´ın{1 2, δ(1)} . Dados x1, x2∈BX , distinguimos dos casos: (1) si kx1−x2k ≤ 1 entonces tenemos que kx1−x2k ≤ 1 = 2(1 −1 2)≤2(1 −δ); (2) si kx1−x2k>1 entonces se sigue que kx1+x2k ≤ 2(1 −δ(1)) ≤2(1 −δ). En general, para vectores x1, x2∈X reescalando tales vectores de ser necesario existe un signo ε∈ {−1,1} de modo que 1 2kx1+εx2k ≤ (1 −δ) m´ax i=1,2kxik. . Es conocido que los espacios `p , con 1<p<∞ , son uniformemente convexos (ver [18] o [4]); luego, en virtud de la Proposición 3.12, dichos espacios son B -convexos. Así pues, concluimos nalmente que: Corolario 3.13. Para 1<p<∞ , la suma torcida `p(ϕ) es isomorfa a un espacio de Banach. 3.2. El espacio dual de `p(ϕ) Centramos ahora nuestro interés en el estudio del espacio dual de la suma torcida `p(ϕ) , con 1<p<∞ , introducida en el epígrafe 2.3 anterior. Dado que para 1<p<∞ , el espacio `p(ϕ) es un espacio de Banach, su dual también será un espacio de Banach. Además, puesto que tomar duales en espacios de Banach es exacto Lema 3.14, el dual de la suma torcida `p(ϕ) será también una suma torcida de espacios de Banach. Más exactamente, tendremos que `p(ϕ)∗=`q(ψ) , con p y q exponentes conjugados, para cierta función ψ∈£ que lograremos identicar en el Teorema 3.15. 40
Lema 3.14 (el functor dualidad es exacto) . Si 0−→ X−→ Z−→ Y−→ 0 es una sucesión exacta de espacios de Banach, entonces 0−→ Y∗−→ Z∗−→ X∗−→ 0 también es una sucesión exacta de espacios de Banach. Demostración. (Ver [13, Lemma 2.2.d]) Denotaremos por i y q las correspondientes inclusión y aplicación cociente. Ya que la aplicación q es sobreyectiva, q∗ es inyectiva. En efecto, pues ker(q∗) = {f∈Y∗:q∗(f)=0}={f∈Y∗:f(q(z)) = 0, para todo z∈Z} ={f∈Y∗:f(x) = 0, para todo x∈Y}= 0. Ahora, ya que i∗ es la restricción de los funcionales de Z a X , en virtud del Teorema de Hahn-Banach, i∗ es sobreyectiva. Finalmente, para ver que la sucesión es exacta basta tener en cuenta que si X⊥={f∈Z∗:f(x) = 0, para todo x∈X}={f∈Z∗:i∗(f) = 0}= ker(i∗), entonces ker(i∗) = X⊥= (Z/ker q)∗=Y∗= (Im q)∗= Im q∗. Teorema 3.15 (espacio dual de la suma torcida `p(ϕ) ) . Para 1<p<∞ y ϕ∈£ , el espacio dual `p(ϕ)∗ es equivalente al espacio `q(ψ) si 1 p+1 q= 1 y ψ(t) = −ϕt p−1, para cada t≥0. Demostración. En virtud del Lema 3.14 anterior, sabemos que `p(ϕ)∗ es una suma torcida de `q y `q , siendo q el exponente conjugado de p . Es decir, sabemos que existe una aplicación quasi-lineal G:`q−→ `q tal que `p(ϕ)∗=`q⊕G`q . Además, la dualidad viene dada por h(x, y),(w, z)i=hy, wi+hx, zi, para x, y ∈`p y w, z ∈`q. Sea H:`q−→ `q la aplicación quasi-lineal obtenida a partir de la función lipschitziana ψ indicada en el enunciado y R∞ q el espacio vectorial normado (R∞,k·kq) . Consideremos ahora la aplicación T:R∞ q⊕HR∞ q−→ `p(ϕ)∗ denida, para cada (w, z)∈R∞ q⊕HR∞ q , como T(w, z) (x, y) = hy, wi+hx, zi, para cada (x, y)∈`p(ϕ). Las desigualdades que probaremos a continuación, muestran que T(w, z) es un funcional lineal y acotado en `p(ϕ) esto es, que T está bien denido y que T∈ B(`q⊕H `q, `p(ϕ)∗) . Puesto que hy, wi+hx, zi=hy, w −H(z) + H(z)i+hx−F(y) + F(y), zi 41
=hy, w −H(z)i+hy, H(z)i+hx−F(y), zi+hF(y), zi, tenemos entonces que |hy, wi+hx, zi| ≤ |hF(y), zi+hy, H(z)i|+|hx−F(y), zi+hy, w −H(z)i|. (3.8) A continuación, acotaremos cada uno de los sumandos de la desigualdad anterior. El siguiente resultado auxiliar jugará un papel clave a la hora de obtener dichas desigualdades. Lema 3.16 (auxiliar para el Teorema 3.15) . Si 1<p<∞ y xi, yi∈R para 1≤i≤n , entonces n X i=1 xiyilog |xi| |yi|p−1≤(p−1)kxkqq+kykpp e. Para el primer sumando de (3.8), empleando el Lema 3.16 anterior, obtenemos que |hF(y), zi+hy, H(z)i| = n X i=1 yiziϕlog kyk |yi|+ n X i=1 yiziψlog kzk |zi| = n X i=1 yiziϕlog kyk |yi|− n X i=1 yiziϕlog kzk |zi|1 p−1 = n X i=1 yizihϕlog kyk |yi|−ϕlog kzk |zi|1 p−1i ≤Lϕ n X i=1 |yizi|log hkyk |yi||zi| kzk1 p−1i =Lϕ p−1 n X i=1 |yizi|log hkyk |yi|p−1|zi| kzki z∗ i=|zi|sgn log kykp−1|zi| |yi|p−1kzk=Lϕ p−1 n X i=1 |yi|z∗ ilog hkyk |yi|p−1|zi| kzki ui=|yi| kyk, vi=z∗ i kzk=Lϕ p−1 n X i=1 kykuikzkvilog(ui1−p|vi|) =Lϕkykkzk p−1 n X i=1 uivilog |vi| uip−1 ≤Lϕkykkzk p−1 n X i=1 uivilog |vi| uip−1 (Lema 3.16) ≤Lϕkykkzk p−1 (p−1)kukpp+kvkqq e=Lϕpkykkzk e(p−1) . (3.9) Por otra parte, para el segundo sumando de (3.8), |(y, w −H(z)) + (x−F(y), z)| ≤ |(y, w −H(z))|+|(x−F(y), z)| ≤ kykkw−H(z)k+kx−F(y)kkzk (3.10) Por tanto, aunando (3.9) y (3.10) y considerando K= m´ax Lϕp/(pe −e),1 , |T(w, z) (x, y)|=|hy, wi+hx, zi| ≤ (kx−F(y)kkzk+Kkykkzk+kykkw−H(z)k) 42
≤K(kx−F(y)k+kyk)(kw−H(z)k+kzk) ≤Kk(x, y)kR∞ p⊕FR∞ pk(w, z)k`p(ψ). (3.11) Así pues, en virtud de (3.11), T(w, z) es un funcional continuo en R∞ p⊕FR∞ p ; es decir, T(w, z) es un elemento de `p(ϕ)∗ y además nuevamente en virtud de (3.11) T es un operador lineal y acotado de R∞ q⊕HR∞ q en `p(ϕ)∗ . Además, es fácil probar que T induce una equivalencia entre las sumas torcidas `q⊕H`q y `p(ϕ)∗ al hacer conmutativo el diagrama 0R∞ qR∞ q⊕HR∞ qR∞ q0 0R∞ q`p(ϕ)∗R∞ q0 T En efecto, pues cuando consideremos las complecciones de los espacios que aparecen en el diagrama anterior, la equivalencia entre sumas torcidas sigue siendo válida y queda entonces probado el resultado enunciado. Demostración del Lema 3.16. Sea J el conjunto de índices de {1,2, . . . , n} para los que |xi| ≤ |yi|p−1 y sea K el conjunto formado por los índices restantes. Tenemos entonces que, X i∈J xiyilog |xi| |yi|p−1=X i∈J xi |yi|p−1log |xi| |yi|p−1yi|yi|p−1 ≤X i∈Jxi |yi|p−1log |xi| |yi|p−1|yi|p≤1 eX i∈J|yi|p≤kykpp e; (3.12) y, por otra parte, X i∈K xiyilog |xi| |yi|p−1=X i∈K yi |xi|q−1log |xi| |yi|p−1xi|xi|q−1 =X i∈K yi |xi|q−1log |yi| |xi|q−1p−1xi|xi|q−1= (p−1)X i∈K yi |xi|q−1log |yi| |xi|q−1xi|xi|q−1 ≤(p−1) X i∈Kyi |xi|q−1log |yi| |xi|q−1|xi|q≤p−1 eX i∈K|xi|q≤p−1 ekxkqq, (3.13) donde en ambos casos hemos empleado que |tlog |t|| ≤ e−1 para |t| ≤ 1 . La desigualdad enunciada se sigue ahora teniendo en cuenta (3.12) y (3.13). 43
3.3. Sucesiones básicas en `p(ϕ) Con el objetivo de conocer más propiedades sobre la estructura de los espacios `p(ϕ) , centramos ahora nuestra atención en el estudio de sucesiones básicas. Tal modo de proceder nos permitirá deducir propiedades importantes sobre los subespacios notables de `p(ϕ) , que serán esencialmente el propio `p(ϕ) , `p y ciertos espacios de Orlicz. En lo que sigue, consideraremos funciones ϕ∈£ derivables. En tal caso, la función quasi-aditiva asociada, que recordemos viene dada por f(t) = tϕ(−log t), para cada t > 0, satisface que f0(t) = ϕ(−log t)−ϕ0(−log t) para t > 0 . Por tanto, si ϕ es una función no acotada, al ser ϕ0 una función acotada (por ϕ ser lipschitziana), |f| es una función creciente en un entorno de 0∈R . En tal caso, para la función de Orlicz dada por M(t) = |f(t)|p, para cada t > 0, se satisface que l´ım sup t→0 tM0(t) M(t)= l´ım sup t→0 p tpϕ(−log t)p−1ϕ(−log t)−ϕ0(−log t) tpϕ(−log t)p = l´ım sup t→0 pϕ(−log t)−ϕ0(−log t) ϕ(−log t)=p < ∞. Por tanto, la función de Orlicz M satisface las hipótesis del Teorema B.33 y entonces `M=hM y x= (xn)n∈N∈`M⇐⇒ ∞ X n=1 M(|xn|) = ∞ X n=1 |f(xn)|p<∞. Así, emplearemos la notación `f, p para referirnos al espacio de Orlicz de sucesiones `M . En el primer resultado de este epígrafe, mostraremos un ejemplo fundamental de sucesión básica normalizada en `p(ϕ) . Dicho resultado, puede pensarse como auxiliar para el Teorema 3.18, donde hablaremos de sucesiones básicas normalizadas arbitrarias de `p(ϕ) . Sea entonces en lo que sigue ϕ∈£ una función no acotada y derivable. Lema 3.17 (auxiliar para el Teorema 3.18: sucesiones básicas en `p(ϕ) ) . Si (vn)n∈N es una sucesión básica bloque normalizada en `p y wn= (F(vn), vn), para cada n∈N, entonces: (a) (wn)n∈N es una sucesión básica en `p(ϕ) ; (b) si l´ımt→∞ ϕ0(t)=0 monótonamente, existe (wnk)k∈N equivalente a la base usual de `p o `f,p ; (c) si ϕ(t) = ct , con c6= 0 , (wn)n∈N es equivalente a la base usual de `f,p . 44
Demostración. (a) Por ser (vn)n∈N una sucesión bloque normalizada en `p , existe una sucesión (ln)n∈N⊂N estrictamente creciente tal que vn= ln X k=ln−1+1 vnkek, para cada n∈N. Así pues, wn=F(vn), vn=ln X k=ln−1+1 vnkϕ(−log |vnk|)ek, ln X k=ln−1+1 vnkek = ln X k=ln−1+1 vnkϕ(−log |vnk|) (ek,0) + ln X k=ln−1+1 vnk(0, ek), para cada n∈N. Por tanto, (wn)n∈N es sucesión básica bloque respecto de la base de Schauder (un)n∈N obtenida en el Teorema 2.11 anterior y así, en particular (ver Lema B.16), (wn)n∈N es una sucesión básica en `p(ϕ) . (b) Supongamos que la serie P∞ n=1 tnwn converge en `p(ϕ) es decir, que P∞ n=1(tnF(vn), tnvn) converge en `p(ϕ) . En tal caso, P∞ n=1 tnvn converge en `p , luego P∞ n=1 |tn|p<∞ y deducimos entonces en virtud del Teorema de Riesz (convergencia absoluta implica convergencia) que P∞ n=1 tnen converge en `p . A continuación, obtendremos un importante resultado auxiliar que será fundamental a la hora de obtener la prueba del resultado enunciado. Supongamos que P∞ n=1 tnen converge en `p ; es decir, que P∞ n=1 |tn|p<∞ . En tal caso, emplearemos la siguiente notación: σ=∞ X n=1 |tn|p1/p y σN=N X n=1 |tn|p1/p, para cada N∈N. Tenemos entonces que, al ser (vn)n∈N una sucesión bloque normalizada, N X n=1 tnwn = N X n=1 tnF(vn), N X n=1 tnvn = N X n=1 tnF(vn)−FN X n=1 tnvn + N X n=1 tnvn = N X n=1 tnF(vn)−FN X n=1 tnvn +N X n=1 |tn|p1/p = N X n=1 tnF(vn)−FN X n=1 tnvn +σN =N X n=1 ln X k=ln−1+1 |tn|p|vnk|p−ϕlog 1 |vnk|+ϕlog σN |tnvnk| p1/p +σN. Así pues, dado que ϕ es una función lipschitziana luego continua y l´ımN→+∞σN=σ , en caso de existir l´ımN→+∞kPN n=1 tnwnk , éste debe ser igual a ∞ X n=1 ln X k=ln−1+1 |tn|p|vnk|pϕlog 1 |vnk|−ϕlog σ |tnvnk| p1/p +σ. (3.14) 45
Nota 4.3. Los operadores estrictamente singulares fueron introducidos por Kato (ver [29]) en el contexto de la teoría de perturbación de operadores. Tal concepto generaliza al de operador compacto pues, en virtud del Lema de Riesz [18, p. 19] todo operador compacto es estrictamente singular. Años más tarde, Peªczy«ski [36] introduciría el concepto dual. Conviene observar el siguiente hecho: la familia formada por todos los operadores estrictamente singulares (cosingulares) entre dos espacios de Banach dados forma un ideal de operadores (ver [38]). En particular la suma de operadores estrictamente singulares (cosingulares) y la composición de éstos con un operador lineal y acotado es estrictamente singular (cosingular). La siguiente proposición nos permitirá probar un importante resultado (ver Teorema 4.6 siguiente) obtenido originalmente por Kalton y Peck en [27] sobre el espacio B(Zp) : todo operador T∈ B(Zp) es, o bien estrictamente singular, o bien un isomorsmo sobre alguna copia del propio Zp . Proposición 4.4. Si p∈(1,∞) , entonces: (a)j:`p−→ Zp es estrictamente cosingular; (b)q:Zp−→ `p es estrictamente singular. Demostración. En virtud del Teorema 3.15 anterior, la sucesión dual de la sucesión exacta corta 0`pZp`p0 j q es (proyectivamente equivalente a) la sucesión exacta corta 0`qZq`q0, j q donde 1/p + 1/q = 1 . Por tanto, basta probar que q:Zp−→ `p es estrictamente singular. Supongamos que q:Zp−→ `p no es estrictamente singular. En tal caso, existe un subespacio Y⊂Zp de dimensión innita de modo que kq(y)k ≥ ε > 0, para todo y∈SY. No obstante, en virtud de la Proposición 4.1, existe una sucesión básica normalizada (wn)n∈N de Y equivalente a la base usual de `p tal que kq(wn)k ≥ ε > 0, para todo n∈N. En tal caso, en virtud del Corolario 3.19 anterior, (wn) tiene una subsucesión equivalente a la base usual del espacio Orlicz `f,p , lo cual es imposible pues toda subsucesión de una sucesión básica equivalente a la base de `p es equivalente a la base usual de `p . Teorema 4.5. Sea (vn)n∈N una sucesión básica bloque de la base canónica de `p tal que α≤ kvnk ≤ β para todo n∈N . En tal caso, la aplicación V:Zp−→ Zp dada por V(en,0) = (vn,0) = j(vn) y V(0, en) = (F(vn), vn), para cada n∈N, es un isomorsmo. 52
Demostración. Para cada n∈N , sea vn= ln X ln−1+1 vnkek, con ln−1< ln. Probaremos que existen constantes c1, c2>0 de modo que c1k(x, y)k≤kV(x, y)k ≤ c2k(x, y)k, para todo (x, y)∈R∞⊕R∞. Si (x, y) = Pnxn,Pnyn∈R∞⊕R∞ , entonces V(x, y) = Pnxnvn+PnynF(vn),Pnynvn . Por tanto, kV(x, y)k= X n xnvn+X n ynF(vn)−FX n ynvn p+ X n ynvn p. Así pues, dado que X n ynF(vn)−FX n ynvn=X n yn ln X k=ln−1+1 vnklog kvnk |vnk|ek−X n ln X k=ln−1 ynvnklog kPnynvnk |ynvnk|ek =X n ln X k=ln−1+1 ynvnklog kvnk|yn| Pnynvn ek =X n ynlog kvnk|yn| Pnynvn vn, deducimos que X n xnvn+X n ynF(vn)−FX n ynvn = X n xnvn+X n ynlog kvnk|yn| kPnynvnkvn ( kvnk ≤ β ) ≤β"X nxn+ynlog kvnk|yn| kPnynvnk p#1/p =β"X nxn+ynlog kvnk|yn|kyk kPnynvnkkyk p#1/p =β"X nxn+ynlog |yn| yk+ log kvnkkyk Pnynvn p#1/p (Minkowski) ≤β"X nxn+ynlog |yn| kyk p#1/p +β"X n|yn|plog kvnkkyk kPnynvn p#1/p ( α≤ kvnk ≤ β ) ≤βkx−F(y)k+βlog β αkyk y entonces kV(x, y)k ≤ βkx−F(y)k+βlog β αkyk+ X n ynvn 53
≤βkx−F(y)k+β1 + log β αkyk, para todo (x, y)∈R∞⊕R∞. Es decir, hemos probado que kVk ≤ β(1 + log β/α) . Por otra parte, dado que X n xnvn+X n ynF(vn)−FX n ynvn = X n xnvn+X n ynlog kvnk|yn| kPnynvnkvn ( kvnk ≥ α ) ≥α"X nxn+ynlog kvnk|yn| kPnynvnk p#1/p =α"X nxn+ynlog kvnk|yn|kyk kPnynvnkkyk p#1/p =α"X nxn+ynlog |yn| yk+ log kvnkkyk Pnynvn p#1/p (Minkowski) ≥α"X nxn+ynlog |yn| kyk p#1/p −α"X n|yn|plog kvnkkyk kPnynvn p#1/p ( α≤ kvnk ≤ β ) ≥αkx−F(y)k−αlog β αkyk, deducimos entonces que kV(x, y)k ≥ αkx−F(y)k−αlog β αkyk+ X n ynvn ≥αkx−F(y)k−αlog β αkyk+αkyk para todo (x, y)∈R∞⊕R∞. Ahora, distinguimos dos casos: (i) si kyk ≤ kx−F(y)k 2 log(β/α) , entonces kV(x, y)k ≥ α 2kx−F(y)k+αkyk ≥ α 2k(x, y)k; (ii) si kyk ≥ kx−F(y)k 2 log(β/α) , entonces kV(x, y)k ≥ αkyk=α 2kyk+α 2kyk ≥ αkx−F(y)k 4 log(β/α)+α 2kyk ≥ C0k(x, y)k, donde C0= m´ın{α 4 log(β/α), α/2} . Es decir, kV(x, y)k ≥ C0k(x, y)k, para todo (x, y)∈R∞⊕R∞. Por tanto, si extendemos V a todo el espacio Zp se conserva la norma (ver por ejemplo, [1, p. 446]) y obtenemos entonces el resultado enunciado. 54
Teorema 4.6. Si T:Zp−→ Zp no es estrictamente singular, entonces existe un subespacio W⊂Zp tal que W es isomorfo a Zp y T|W es un isomorsmo. Demostración. 1.- En virtud de la Proposición 4.1, el espacio Zp es `p -hereditario. Por tanto, existe un subespacio Y⊂Zp isomorfo a `p y tal que kTyk ≥ ε > 0 para todo y∈SY . Sea entonces (un)n∈N una base de Schauder de Y equivalente a la base usual de `p (ver Proposción B.12). En tal caso, en virtud del Corolario 3.19 anterior, kqunk → 0 y kqTunk → 0 . Luego, empleando el Teorema B.13 (Krein-Milman-Rutman) (y trabajando de ser necesario con una subsucesión (unk)k∈N ), podemos suponer que existen sucesiones básicas (v0 n) y (w0 n) en j(`p) tales que kun−v0 nk → 0 y kT(un)−w0 nk → 0. Pasando nuevamente a subsucesiones de ser necesario, podemos suponer que existen sucesiones básicas bloque (vn) y (wn) en `p tales que kun−j(vn)k ≤ 2−n y kT(un)−j(wn)k ≤ 2−n, para cada n∈N. 2.- Para N∈N sucientemente grande, consideramos operadores A, B :Zp−→ Zp tales que kAk,kBk ≤ 1/2 , A(jvn) = un−jvn y B(Tun) = jwn−Tun, si n≥N. Tales operadores pueden ser obtenidos aplicando el Teorema de Hahn-Banach a los coecientes funcionales asociados a las bases (j(vn)) y (T(un)) . Sea S= (I+B)T(I+A) . Puesto que I+A e I+B son en virtud del Teorema de Neumann [1, p. 446] operadores invertibles, basta entonces probar que S es un isomorsmo en cierto subespacio isomorfo a Zp . 3.- Denimos las aplicaciones V, W :Zp−→ Zp dadas por V(en,0) = (vn,0) = j(vn) y V(0, en) = (F(vn), vn), para cada n∈N, y W(en,0) = (wn,0) = j(wn) y W(0, en)=(F(wn), wn), para cada n∈N. En virtud del Teorema 4.5, V y W son isomorsmos, y dado que S(jvn)=(I+B)T(I+A) (jvn) = (I+B)T(jvn+un−jvn) = (I+B) (Tun) = Tun+jwn−Tun=jwn, para todo n≥N, deducimos entonces que ( W−SV es un operador compatible con la relación de equivalencia), (W−SV )(en,0) = (wn,0) −S(vn,0) = jwn−S(jvn) = 0, para todo n≥N. 55
Entonces, existe un subespacio Y⊂Zp de codimensión nita tal que (W−SV )|Y se factoriza por q|Y (propiedad universal del cociente). Por tanto, al ser q estrictamente singular, W−SV es estrictamente singular (ver Nota 4.3). No obstante, al ser W un isomorsmo, existe n0∈N tal que la restricción de SV a span{(ej,0),(0, ej): j≥n0} es un isomorsmo. Por tanto, S es un isomorsmo en V(span{(ej,0),(0, ej): j≥n0}) , que es isomorfo a Zp y entonces, T= (I+B)−1S(I+A)−1 es un isomorsmo en un subespacio isomorfo a Zp . 56
Corolario 4.7. Todo subespacio innito-dimensional complementado en Zp contiene un subespacio isomorfo a Zp . Demostración. Sea Y⊂Zp un subespacio innito dimensional complementado en Zp y P:Zp−→ Zp la proyección correspondiente (en particular, P(Zp) = Y ). Dado que la proyección P no es estrictamente singular, en virtud del Teorema 4.6 anterior, existe Z⊂Zp subespacio isomorfo a Zp tal que P|Z es isomorsmo; luego debe ser P(Z)⊂Y . Nota 4.8 (Corolario 4.7 & espacios de Banach primos) . Un espacio de Banach se dice primo (ver [33, p. 57]) si es isomorfo a sus subespacios complementados de dimensión innita. Los ejemplos básicos de espacios de Banach primos son los espacios de sucesiones `p , con 1≤p < ∞ , y c0 (ver [1, p. 35]); a nales de los años 60, Lindenstrauss [32] demostró que el espacio `∞ también es primo. No obstante, hasta los años 90 no se conocieron más ejemplos de espacios de Banach primos. En 1997 Gowers y Maurey [20] propusieron un nuevo espacio de Banach primo con pocos operadores. Sin embargo, la construcción de dicho espacio dista mucho de ser natural. Es por ello que, teniendo en cuenta el Corolario 4.7 anterior, cobra especial interés saber si el espacio Z2 es primo. Otra cuestión interesante y relacionada con la anterior, consiste en saber si Z2 es isomorfo a sus hiperplanos. Para más información sobre tal cuestión puede consultarse [26, 23, 12]. Corolario 4.9. Zp no tiene subespacios complementados isomorfos a `p . Demostración. Supongamos que Zp admite un subespacio complementado isomorfo a `p esto es, si Zp∼`p⊕Y . En tal caso, el Corolario 4.7 anterior arma que `p contiene un subespacio isomorfo a Zp y tendríamos que 0 = Zp/`p∼(`p⊕Y)/`p∼Y , hecho que contradice la suposición inicial. Nota 4.10 (Sobre espacios de Banach que contienen a `p ) . Saber si un espacio de Banach dado contiene o no copias de los espacios `p es de gran importancia. Recordemos, por ejemplo, el resultado de Rosenthal (ver [44]) caracteriza los espacios de Banach que no contienen a `1 como aquellos en los que toda sucesión acotada admite una subsucesión débilmente de Cauchy. Otro resultado importante debido a Kadets y Peªczy«ski (ver [24] y [1, p. 167]) es el siguiente: si X es un subespacio cerrado de dimensión innita de Lp para algún 2<p<∞ , entonces equivalen: X es isomorfo a un espacio de Hilbert complementado en Lp y `p no pueda embeberse en X . Cabe señalar que un problema clásico de la teoría de espacios de Banach fue saber si existe algún espacio d Banach reexivo sin copias de los espacios `p ni c0 . Tal cuestión fue resuelta armativamente por Tsirelson [47] en 1974. Para conocer más sobre el alcance y la importancia del trabajo de Tsirelson puede consultarse la monografía de Casazza y Shura [11], donde ya en el prefacio mencionan: 57
His example opened a Pandora's box of pathological variations, and has had a tremendous eect upon the study of Banach spaces . Corolario 4.11. Z2 no puede embeberse en ningún espacio Lp(0,1) para 1≤p < ∞ . Demostración. Supongamos que Z2⊂Lp(0,1) para cierto p > 2 . En tal caso, dado que todo espacio de Hilbert contenido en Lp(0,1) es complementado en Lp(0,1) resultado de Kadets & Peªczynski mencionado anteriormente, tendríamos entonces que `2 es complementado en Z2 , contradiciendo así la tesis del Corolario 4.9. Supongamos que Z2⊂Lp(0,1) para cierto p∈[1,2] . En tal caso, en virtud de un resultado de Rosenthal [43], podemos asumir que Z2⊂Lp(0,1) para cierto p∈(1,2] . Ahora, un resultado de Peªczynski y Rosenthal [37] nos permite armar que Z2 contiene un subespacio de Hilbert complementado, lo cual contradice nuevamente la tesis del Corolario 4.9. Corolario 4.12. Zp no tiene subespacios complementados de dimensión innita con base incondicional. Demostración. Supongamos que Zp admite un subespacio Y complementado de dimensión innita con base incondicional (ei)i∈N . En tal caso, en virtud del Teorema 3.18 anterior, existe una subsucesión (eik)k∈N equivalente a la base canónica de `p o `f,p . Además, dado que (ei)i∈N es incondicional, span {eik:k∈N} ⊂ Zp es complementado en Y (ver [1, p. 54]) y entonces, también es complementado en Zp . Dado que el espacio de Orlicz `f,p contiene un subespacio complementado isomorfo a `p (ver [33, p. 157]), obtenemos en ambos casos una contradicción con la tesis del Corolario 4.9. 58
4.2. Operadores en el espacio Z2 El espacio Z2 es el ejemplo fundamental de suma torcida de espacios de Hilbert que aparece en el artículo original de Kalton y Peck [27]. Obviamente, constituye una de las soluciones del problema de Palais que mencionábamos en la introducción del Capítulo 1. Es más, Z2 es una solución extrema para dicho problema (véase [27, p. 24-26] o [26, p. 109-110] para entender a qué nos referimos con extrema) y tiene gran relevancia dentro de la teoría de espacios de Banach. El artículo [12] da cuenta de ésto último y en él su autor propone un programa de clasicación de las sumas torcidas de espacios de Hilbert. Con el objetivo de aproximarnos a tal programa de clasicación, en esta sección estudiaremos brevemente el espacio de operadores en B(Z2) . A diferencia de lo visto en el Teorema 4.6 anterior donde demostramos que todo operador T:Zp−→ Zp es estrictamente singular o, en caso contrario, un isomorsmo sobre alguna copia de Zp , para p= 2 tenemos un resultado aún más fuerte (ver Teorema 4.19 siguiente): para todo espacio de Banach X , todo operador T:Z2−→ X es, o bien estrictamente singular, o bien un isomorsmo sobre una copia complementada de Z2 . La demostración original de dicho resultado se encuentra en [26]. No obstante, a continuación seguiremos el esquema de [10], donde los autores denen la siguiente versión local de la aplicación de Kalton-Peck. Denición 4.13. Dada una sucesión bloque (un) de elementos con soportes disjuntos consecutivos en `2 , sea U= [un] = span{un:n∈N} . En tal caso, se dene la aplicación de Kalton-Peck relativa a U como KPU(u) = −X n λnlog |λn| kukun, para cada u=X n λnun∈U con soporte nito . Nota 4.14. Si kuk= 1 se tiene que KPU(u)−KP(u) = −X n λnunlog |λn|+X n λnunlog |λnun| =X n λnunlog |un|=−X n λnKP(un) Ya probamos que Z2 es reexivo y que su dual es proyectivamente equivalente al propio Z2 ; en particular, Z2 es isomorfo a Z∗ 2 . La siguiente proposición, cuya demostración puede consultarse en [10], da un isomorsmo explícito entre ambos espacios. Proposición 4.15 (Isomorsmo entre Z2 y Z∗ 2 ) . Consideramos la forma bilineal antisimétrica /·,·.:Z2×Z2→R que asigna a cada (y, x),(y0, x0)∈Z2×Z2 el número real /(y, x),(y0x0).=hy, x0i`2−hx, y0i`2. En tal caso, la aplicación D:Z2−→ Z∗ 2 denida, para cada a∈Z2 , como D(a)(b) = / a, b ., para cada b∈Z2, es un isomorsmo. 59
En la siguiente denición se introducen operadores análogos a los dados en el Teorema 4.5 anterior, adaptados ahora para el caso de Z2 . Sea (un) una sucesión bloque normalizada de elementos con soportes disjuntos y consecutivos de `2 . Denición 4.16. El operador bloque asociado a U es la aplicación TU:Z2−→ Z2 dado por TU(ej,0) = (uj,0) y TU(0, ej) = (KP(uj), uj), donde KP es la aplicación quasi-lineal de Kalton-Peck. Proposición 4.17. El operador bloque TU dado en la Denición 4.16 es una isometría (no necesariamente sobreyectiva) y la imagen TU(Z2) es un subespacio complementado isomorfo a Z2 . Demostración. Dado (y, x)∈Z2 , si y=Pyiei y x=Pxjej son sucesiones con soporte nito, entonces TU(y, x) = Pyiui+PxjKP(uj),Pxjuj ; luego, empleando el cálculo realizado en la Nota 4.14 anterior, que (un) es una sucesión bloque normalizada y que x e y tienen soporte nito, se tiene que kTU(y, x)k= Xyiui+XxjKP(uj),Xxjuj = Xyiui+XxjKP(uj)−KPXxjuj + Xxjuj = Xyiui−KPUXxjuj + Xxjej = Xyiei−KPXxjej + Xxjej =k(y, x)k. Además, TU(Z2) es una copia isomorfa de Z2 complementada en el propio Z2 . En efecto, si tenemos en cuenta el diagrama donde D:Z2−→ Z∗ 2 es el isomorsmo dado en la Proposición 4.15 Z2Z2 Z∗ 2Z∗ 2 TU D D T∗ U se sigue que D=T∗ UDTU ya que T∗ UDTU(ej,0)(y, x) =T∗ UD(uj,0)(y, x) = D(uj,0)TU(y, x) =huj,X i xiuii=xj=hej, xi y T∗ UDTU(0, ej)(y, x) = T∗ UDKP(uj), uj(y, x) = DKP(uj), ujTU(y, x) =DKP(uj), ujXyiui+XxiKP(ui),Xxiui =hKP(uj),Xxiuii−huj,Xyiui+XxiKP(ui)i 60
KP(uj) = 0=−yj. De esta forma, TUD−1T∗ UDTUD−1T∗ UD=TUD−1DD−1T∗ UD=TUD−1T∗ UD da lugar a una proyección de Z2 en TU(Z2) . La siguiente proposición arma que el carácter estrictamente singular de un operador de Z2 sólo depende de su comportamiento en el subespacio `2 . Proposición 4.18. Un operador τ∈ B(Z2, X) es estrictamente singular si y sólo si su restricción τ|`2 es estrictamente singular. Demostración. Supongamos que τ|`2 es estrictamente singular. Consideremos el siguiente diagrama: 0`2Z2`20 τ(`2) j τj ρ Ahora bien, si denotamos por PO el push-out generado por los morsmos j:`2→Z2 y τj :`2→τ(`2) obtenemos una sucesión exacta corta 0→τ(`2)→PO →`2→0 (ver [13, 1.3.a]), lo cual completa el diagrama a 0`2Z2`20 0τ(`2) PO `20 j τj ρ (τj)0 En virtud de la Proposición 4.4, la aplicación cociente es estrictamente singular. Por hipótesis, τj también lo es; luego, en virtud de [9, Lema 3], (τj)0 es también estrictamente singular. Así, como τj :`2,→X y τ:Z2−→ X , la propiedad universal del push-out garantiza que existe un operador α: PO −→ X tal que τ=α(τj)0 , por lo que τ es estrictamente singular. Finalmente ya estamos en condiciones de enunciar y probar el resultado prometido. Teorema 4.19. Todo operador τ:Z2−→ X es, o bien estrictamente singular, o bien un isomorsmo sobre una copia complementada de Z2 . Demostración. Consideremos el siguiente diagrama de push-out: `2`2 0Z2X⊕Z2X0 0`2PO X0 jj (τ,1) ρQ 61
(ii) (X, τ) es localmente convexo si admite una base local U formada por conjuntos convexos. Un conjunto C⊂X se dice convexo si λC + (1 −λ)C⊂C para todo 0≤λ≤1 . En tal caso, es posible escoger una base local U formada por conjuntos absolutamente convexos . Un conjunto C⊂X se dice absolutamente convexo si λC +µC ⊂C para todo λ, µ ∈K con |λ|+|µ| ≤ 1 . (iii) (X, τ) es localmente acotado si 0∈X admite un entorno acotado. Un conjunto B⊂X se dice acotado si dado un entorno U de 0∈X existe n∈N tal que B⊂nU . Observemos que si Bi⊂X con 1≤i≤n son conjuntos acotados, entonces B1+ ···+Bn también es un conjunto acotado. (iv) Para 0< p ≤1 , un conjunto C⊂X se dice p -convexo si λC +µC ⊂C para todo λ, µ ≥0 tales que λp+µp= 1 . (v) Para 0< p ≤1 , un conjunto C⊂X se dice absolutamente p -convexo si λC+µC ⊂C para todo λ, µ ∈K tales que |λ|p+|µ|p= 1 . A.2. Espacios vectoriales quasi-normados Sea X un espacio vectorial. Denición A.4 ( 4 -norma) . Una 4 -norma en X es una aplicación k·k:X−→ R tal que: (i)kxk>0 para todo x∈X con x6= 0 , (ii)kαxk≤kxk para todo x∈X y α∈K con |α| ≤ 1 , (iii) l´ımα→0kαxk= 0 para todo x∈X , (iv) existe C∈R+ tal que kx+yk ≤ Cm´ax{kxk,kyk} para todo x, y ∈X . Nota A.5 ( 4 -norma & EVT métricos) . Toda 4 -norma k·k dene una estructura de espacio vectorial topológico metrizable sobre X para la que una base local de 0∈X viene dada por Un={x∈X:kxk<1/n}, con n∈N. En tal caso, xn→x si y sólo si kxn−xk → 0 . Si (X, τ) es un espacio topológico que admite una base local numerable {Un:n∈N} para la que: ∩Un={0} , Un+1+Un+1 ⊂Un y Un es un conjunto equilibrado i.e. λUn⊂Un si |λ| ≤ 1 para cada n∈N , entonces la aplicación k·k:X−→ R dada por kxk= sup{2−n:x /∈Un}, para cada x∈Un, es una 4 -norma en X que también induce sobre X la topología τ . Denición A.6 ( F -norma, con F de Fréchet) . Una F -norma en X es una aplicación k·k:X−→ R tal que: 68
(i)kxk>0 para todo x∈X con x6= 0 , (ii)kαxk≤kxk para todo x∈X y α∈K con |α| ≤ 1 , (iii) l´ımα→0kαxk= 0 para todo x∈X , (iv)kx+yk ≤ kxk+kyk para todo x, y ∈X . Nota A.7 ( F -norma & EVT métricos con métrica invariante) . Toda F -norma es una 4 -norma. Además, si k·k es una F -norma en X , entonces d(x, y) = kx−yk, para cada x, y ∈X, dene una distancia invariante (por traslaciones) en X que induce la misma topología que la F -norma k·k sobre X . Teorema A.8 ( 4 -norma & F -norma) . Sea k·k una 4 -norma en X . En tal caso, si escogemos p∈(0,1) tal que 21/p =C , entonces |||x||| = ´ınf nn X i=1 kxikp: n X i=1 xi=xo, para cada x∈X, dene una F -norma que induce sobre X la misma topología que la 4 -norma k·k . Comentario sobre la demostración. Por claridad en la exposición, indicaremos los detalles de la prueba al nal de la sección. Concretamente, mostraremos que 4−1kxkp≤ |||x||| ≤ kxkp para todo x∈X . Denición A.9 (quasi-norma) . Una quasi-norma en X es una función k·k:X−→ R tal que: (i)kxk>0 para todo x∈X con x6= 0 , (ii)kαxk=|α|kxk para todo x∈X y α∈K , (iii) existe C∈R+ tal que kx+yk ≤ Cm´ax{kxk,kyk} para todo x, y ∈X . Nota A.10 (quasi-norma & EVT localmente acotados I) . Toda quasi-norma es una 4 -norma. Sea (X, τ) es un espacio vectorial topológico localmente acotado. Entonces, si B⊂X es un entorno acotado de 0∈X , la familia {n−1B:n∈N} forma una base local numerable de 0∈X . Luego (X, τ) es metrizable. Además, dado que B+B es acotado, existe ρ≥1 tal que B+B⊂ρB . En tal caso, el funcional de Minkowski asociado a B , que viene dado por kxk= ´ınf{λ:λ−1x∈B}, para cada x∈X, (A.1) dene una quasi-norma en X para la que kx+yk ≤ ρm´ax{kxk,kyk}, para todo x, y ∈X. Recíprocamente, la topología denida en X por una quasi-norma k·k da lugar una estructura de espacio vectorial topológico localmente acotado. 69
Nota A.11 (quasi-normas & espacios vectoriales topológicos localmente acotados II) . Si (X, τ) es un espacio vectorial topológico localmente acotado tal que 0∈X admite un entorno acotado y absolutamente p -convexo, la quasi-norma dada por (A.1) satisface que kx+ykp≤ kxkp+kykp, para todo x, y ∈X. (A.2) Recíprocamente, si k·k es una quasi-norma en X que satisface (A.2), la bola unidad BX(0,1) = {x∈X:kxk ≤ 1} es un conjunto acotado y absolutamente p -convexo. Toda quasi-norma k·k satisfaciendo (A.2) se dice p -subaditiva . En tal caso, diremos que (X, k·k) es un espacio localmente p -convexo (o simplemente, p -convexo ). A.2.1. Espacios quasi-Banach y p -convexidad De los comentarios anteriores se extrae que un espacio vectorial dotado de una quasinorma es los mismo que un espacio vectorial topológico localmente acotado y metrizable. Si pedimos completitud respecto de tal métrica, obtenemos la denición de espacio quasi- Banach: Denición A.12 (espacio quasi-Banach) . Un espacio quasi-Banach es un espacio vectorial topológico X localmente acotado y completo. Ejemplo A.13 (espacios quasi-Banach) . (i) Todo espacio de Banach es un ejemplo de espacio quasi-Banach. En efecto, pues toda norma es una quasi-norma. (ii) Para p∈(0,1) , sea `p el espacio vectorial formado por todas las sucesiones de escalares a= (an)n∈N para las que kakp=∞ X n=1 |an|p1/p <∞. En tal caso, de la desigualdad ka+bkp=∞ X n=1 |an+bn|p1/p ≤∞ X n=1 |an|p+ ∞ X n=1 |bn|p1/p =kakpp+kbkpp1/p ≤21/p m´ax{kapk,kbkp}, para todo a, b ∈`p, se sigue que k·kp dene una quasi-norma en `p . Además, dado que los espacios `p son completos se demuestra de la misma forma que para p≥1 , deducimos entonces que para cada 0<p<1 , `p es un espacio quasi-Banach. (iii) Para p∈(0,1) , sea Lp(0,1) el espacio formado por todas las funciones Lebesguemedibles f para las que kfkp=Z1 0|f(x)|pdx1/p <∞. 70
La completitud de los espacios (Lp(0,1),k·kp) con 0< p < 1 se prueba de forma análoga al caso p≥1 ; luego Lp(0,1) es un espacio quasi-Banach para cada 0<p<1 . La diferencia principal entre los espacios Lp y `p radica en que, al ser la medida usual de Lebesgue en el intervalo (0,1) ⊂R no atómica, los espacios de funciones tienen dual trivial esto es, Lp(0,1)∗={0} para todo 0<p<1 (véase [14]), mientras que (`p)∗=`∞ para todo 0<p<1 (ver [28, Capítulo 2]). Denición A.14 (espacio quasi-Banach p -convexo) . Un espacio p -Banach es un espacio quasi-Banach y p -convexo. Ejemplo A.15 (espacios p -Banach) . (i) Para 0<p<1 , los espacios `p y Lp(0,1) son ejemplos de espacios p -Banach. (ii) Tal y como veremos más adelante (en el Corolario A.17), todo espacio quasi-Banach es p -Banach para cierto 0<p<1 . El siguiente teorema es un resultado fundamental de la teoría geométrica de espacios vectoriales topológicos. Originalmente, fue probado por Aoki [2] y Rolewicz [42]; esencialmente, arma que siempre que exista un entorno acotado del origen, existe un entorno p -convexo contenido en él para algún p > 0 . Teorema A.16 (Aoki-Rolewicz) . Sea (X, τ) un espacio vectorial topológico localmente acotado. En tal caso, existe p > 0 tal que (X, τ) es p -convexo. Más exactamente, si B es un entorno acotado de 0∈X tal que B+B⊂ρB , entonces X es p -convexo para p tal que 21/p =ρ . Demostración. Por ser (X, τ) un espacio vectorial topológico localmente acotado, existe ver Nota A.10 una quasi-norma k·k en X que dene una topología equivalente a τ . Además, en virtud ahora del Teorema A.8 anterior, |||x|||1= ´ınf n n X i=1 kxikp1/p : n X i=1 xi=xo, para cada x∈X, dene una quasi-norma p -subaditiva en X equivalente a k·k pues 4−1kxkp≤ |||x|||1 p≤ kxkp y entonces ver Nota A.11 (X, τ) es un espacio vectorial topológico localmente p -convexo. Corolario A.17. Todo espacio quasi-Banach es p -Banach para algún p > 0 . Nota A.18 (quasi-normas & módulos de concavidad) . La constante ρ del enunciado del Teorema A.16 anterior es tal que kx+yk ≤ ρm´ax{kxk,kyk}, para todo x, y ∈X. (A.3) Sin embargo, a la hora de trabajar con quasi-normas, es mucho más común considerar módulos de concavidad , que serían aquellas constantes k∈R+ para las que kx+yk ≤ k(kxk+kyk), para todo x, y ∈X. (A.4) Observemos que (A.3) implica (A.4) con k=ρ , mientras que (A.4) implica (A.3) con ρ= 2k . 71
Por tanto, el Teorema A.16 anterior arma que si se cumple (A.3), podemos considerar una quasi-norma equivalente |||·|||1 de modo que |||x+y|||1≤|||x|||1 p+|||y|||1 p1/p, para todo x, y ∈X, lo cual implica que |||x+y|||1≤21/p−1(|||x|||1+|||y|||1) = ρ 2(|||x|||1+|||y|||1), para cada x, y ∈X. Así pues, renormando, podemos considerar k=ρ/2 . Es decir, el Teorema A.16 (Aoki-Rolewicz) anterior arma que si se cumple (A.4), entonces X es p -convexo para 21/p = 2k , o equivalentemente, para k= 21/p−1 . Lema A.19 (una desigualdad muy útil) . Si (X, k·k) es un espacio quasi-Banach, existen números positivos L y p tales que n X i=1 xi ≤Ln X i=1 kxikp1/p, para xi∈X con 1≤i≤n. Demostración. Sea k·k la quasi-norma original de X , k= ´ınf{c > 1: kx+yk ≤ c(kxk+kyk) para todo x, y ∈X} y 0<p<1 tal que 21/p = 2k . En tal caso, en virtud del Teorema A.16 anterior, |||x|||1= ´ınf n n X i=1 kxikp1/p :x= n X i=1 xio, para cada x∈X, dene una quasi-norma en X equivalente a k·k satisfaciendo que n X i=1 xi p≤4−1 n X i=1 xi p 1≤4−1 n X i=1 kxikp, para xi∈X con 1≤i≤n. Demostración del Teorema A.8. Probaremos que 1 4kxkp≤ |||x||| ≤ kxkp, para todo x∈X. (A.5) La segunda desigualdad de (A.5) es evidente a partir de la denición de |||·||| . Por otra parte, la primera desigualdad será clara una vez tengamos probado que kx1+···+xnk ≤ 41/pkx1kp+···+kxnkp1/p. (A.6) Para mostrar la veracidad de (A.6), comencemos observando que kx1+···+xnk ≤ m´ax 1≤k≤nCkkxkk (A.7) y considerando la aplicación H:X−→ R dada por H(x) = 2n/p, si 2(n−1)/p <kxk ≤ 2n/p, 0, si x= 0, n∈Z, 72
para la que kxk ≤ H(x)≤21/pkxk, para todo x∈X. Así pues, si probamos que kx1+···+xnk ≤ 21/pH(x1)p+···+H(xn)p1/p, (A.8) la desigualdad (A.6) será entonces obvia. Para n= 1 , la desigualdad (A.8) es trivial. Supongamos luego que (A.8) es cierta para m∈N y consideremos x1, . . . , xm+1 ∈X . Sin pérdida de generalidad, supongamos que kxik≥kxi+1k para cada 1≤i≤m . Distinguiremos dos casos. Inicialmente, supongamos que H(xi)6=H(xi+1) para todo 1≤i≤m . En tal caso, teniendo en cuenta que H(xi)≤2(1−i)/pH(x1) , concluimos que Cikxik ≤ CiH(xi)=2i/pH(xi)≤21/pH(x1) ≤21/pH(x1)p+···+H(xn)p1/p, para cada 1≤i≤m. Luego (A.8) es consecuencia directa (A.7). Si existe 1≤j≤m tal que H(xj) = H(xj+1) , existe r∈Z tal que 2(r−1)/p <kxj+1k ≤ kxjk ≤ 2r/p ; luego kxj+xj+1k ≤ Cm´ax{kxj+1k,kxjk} = 21/pkxjk ≤ 2(r+1)/p y entonces, H(xj+xj+1)p≤2r+1 =H(xj)p+H(xj+1)p. (A.9) Por tanto, aplicando la hipótesis de inducción y teniendo en cuenta (A.9), concluimos nalmente que kx1+···+xm+1kp≤2X i6=j,j+1 H(xi)p+H(xj+xj+1)p≤2m+1 X i=1 H(xi)p. Nota A.20 (sobre espacios métricos) . Un espacio vectorial topológico metrizable se dice que es un F -espacio si es comple- to para cierta (y entonces para toda) métrica invariante. Una importante resultado de V.L. Klee (ver [30]) arma que todo espacio vectorial métrico completo puede ser metrizado mediante una métrica invariante, respondiendo así armativamente a una cuestión formulada por el propio S. Banach en [3, p. 141]. Todo espacio vectorial topológico metrizable X puede ser embebido como un subespacio denso de un F -espacio ˜ X . Además, el espacio ˜ X es único en el sentido de que no depende de la métrica (invariante) escogida en X . Si N⊂X es un subespacio cerrado de un espacio vectorial topológico metrizable, entonces X/N también es metrizable. Además, si X es completo entonces X/N también es completo. A.3. El 3-Lema El siguiente resultado es bien conocido y puede encontrarse en cualquier libro de álgebra homológica (véase, por ejemplo, [22]). Debido a su importancia a la hora de denir la equivalencia de sumas torcidas Denición 1.2, preferimos incluir aquí su demostración. 73
Lema A.21 (el 3-lema) . Sea un diagrama conmutativo con las exactas 0A B C 0 0D E F 0 αγβ En tal caso, si α y β son aplicaciones inyectivas, entonces γ es inyectiva; además, si α y β son sobreyectivas, γ es sobreyectiva. Por tanto, si α y β son isomorsmos, entonces γ también es un isomorsmo. Demostración. Veamos en primer lugar que γ es inyectiva. Si γ(b)=0 para algún b∈B , entonces por la conmutatividad del diagrama β(qB(b)) = 0 , donde qB es la aplicación cociente. Puesto que β es inyectiva, qB(b) = 0 y b∈ker(qB) . Como las las del diagrama son exactas, existe a∈A tal que iA(a) = b , siendo iA la inclusión. Por conmutatividad, iD(α(a)) = γ(iA(a)) = γ(b) = 0 , por lo que a= 0 al ser α inyectiva. Luego, b=iA(a)=0 . Veamos ahora que que γ es sobreyectiva. Para ello, sea e∈E arbitrario. Como β es sobreyectiva, existe c∈C tal que β(c) = qE(e) . Luego, existe b∈B tal que β(qB(b)) = qE(e) . Por conmutatividad, qE(γ(b)−e) = 0 , por lo que existe d∈D tal que γ(b)−e= iD(d) . Dado que α es sobreyectiva, d=α(a) para algún a∈A . Luego, γ(iA(a)) = iD(α(a)) = iD(d) = γ(b)−e , por lo que e=γ(b−iA(a)) . 74
Anexo B En este segundo anexo incluimos resultados relacionados con bases de Schauder y los espacios de Orlicz. Estos resultados son empleados en el Capítulo 3. Para su elaboración hemos empleado las referencias [18, 33, 1]. B.1. Bases de Schauder B.1.1. El concepto de Base de Schauder Denición B.1 (base de Schauder) . Sea (X, k·k) un espacio vectorial normado innito dimensional sobre el cuerpo K y (ei)i∈N una sucesión (ordenada) de vectores de X . Se dice que (ei)i∈N es una base de Schauder de X si: para cada x∈X existe una única sucesión a= (ai)i∈N⊂K tal que x= ∞ X i=1 aiei . Nota B.2. El concepto de base de Schauder es la generalización natural para espacios de Banach seprables (ya que X= span{ei:i∈N} ) del concepto de base de Hilbert para espacios de Hilbert. No obstante, a diferencia de lo que ocurre en el caso de éstos últimos todo espacio de Hilbert admite una base de Hilbert, tal y como demostró Eno [16] en 1972, existen espacios de Banach separables que no admiten base de Schauder. Denición B.3 (conceptos asociados al de base de Schauder) . Sea X un espacio vectorial normado con base de Schauder (ei)i∈N . En tal caso, denimos (a) la proyección natural Pn:X−→ X como la aplicación dada por Pn(x) = n X i=1 aiei, para cada x= ∞ X i=1 aiei∈X. (b) la norma |||·|||:X−→ R dada por |||x||| = sup n∈NkPnxk= sup n∈N n X i=1 aiei , para cada x= n X i=1 aiei∈X. 75
(c) la constante de la base (ei)i∈N como bc (ei)i∈N= sup n∈NkPnk ∈ [1,+∞) (ver Teorema B.9). (d) el funcional biortogonal en∗:X−→ K como la aplicación dada por en∗(x) = an, para cada x= ∞ X i=1 aiei∈X. Denición B.4 (tipos de bases) . Una base de Schauder (ei)i∈N de un espacio vectorial normado X se dice: (a) normalizada si keik= 1 para todo i∈N ; (b) monótona si bc (ei)i∈N= 1 , esto es, si kPnk= 1 para todo n∈N . (c) incondicional si, para cada x∈X , la serie P∞ ne∗ n(x)en converge incondicionalmente, esto es, la serie P∞ ne∗ π(n)(x)eπ(n) converge para toda biyección π:N−→ N . Lema B.5 (las proyeccións naturales) . (a) Sea X un espacio vectorial normado con base de Schauder (ei)i∈N . En tal caso: (i) dim Pn(X) = n (ii)PnPm=PmPn=Pm´ın{m,n} (iii) l´ım n→∞ Pnx=x en (X, k·k) (b) Si unna sucesión de proyeccións lineales (Pn)n∈N en un espacio vectorial normado X satisface las propiedades (i) , (ii) e (iii) anteriores, entonces (Pn)n∈N es la sucesión de las proyecciones naturales asociadas a cierta base de Schauder de X . Demostración. (a) Por ser (ei)i∈N una base de Schauder, {ei:i∈N} es un conjunto linealmente independiente; luego (i) es claro. La propiedad (iii) es una consecuencia directa de la denición de base de Schauder y (ii) es consecuencia directa de la denición de Pn . (b) Para cada i∈N , escojamos ei∈Pi(X)∩Pi−1−1(0) . En tal caso, teniendo en cuenta que dim Pi(X)/Pi−1(X)=1 para todo i∈N , concluimos entonces que, dado x∈X (si P0= 0 ) x= l´ım n→∞ Pnx= l´ım n→∞ Pnx−P0x= l´ım n→∞ n X i=1 (Pix−Pi−1x) = ∞ X i=1 (Pix−Pi−1x) = ∞ X i=1 αiei, donde αi∈K para cada i∈N. Además, la unicidad de la sucesión de coecientes (αi)i∈N es una consecuencia directa de que αiei=Pi(x)−Pi−1(x) para cada i∈N y de la propiedad (iii) del enunciado. Por lo tanto, (ei)i∈N es una base de Schauder de X que tiene a (ei)i∈N por sucesión de proyeccións naturales. Lema B.6 (la norma |||·||| ) . 76
(a) Si (ei)i∈N es base de Schauder de (X, k·k) , entonces (ei)i∈N es base de Schauder de (X, |||·|||) . (b) Las proyecciones naturales asociadas a (ei)i∈N son uniformemente acotadas respecto de |||·||| . Demostración. (a) Probaremos que (ei)i∈N es una base de Schauder de (X, |||·|||) mostrando que la sucesión de proyecciones naturales (Pn)n∈N satisface las propiedades (i) , (ii) e (iii) del Lema B.5 anterior. Las propiedades (i) y (ii) no dependen de la norma; luego tan sólo tenemos que probar (iii) . No obstante, dado que |||x−Pmx||| = sup n∈NkPnx−PnPmxk= sup n≥mkPnx−Pmxk, concluimos que l´ımm→∞ |||Pmx−x||| = 0 para todo x∈X . (b) Para probar la acotación uniforme de las proyecciones naturales respecto de |||·||| , basta observar que |||Pm||| = sup |||x|||≤1|||Pmx||| = sup |||x|||≤1 sup n∈NkPnPmxk= sup n∈N sup |||x|||≤1kPnPmxk = sup n∈N sup kPnPmxk: sup i∈NkPixk ≤ 1≤1, para todo m∈N. Lema B.7 (la hipótesis de completitud) . Sea (X, k·k) un espacio vectorial normado con base de Schauder (ei)i∈N de modo que sup n∈NkPnk<∞. En tal caso, (ei)i∈N es base de Schauder de la complección ˆ X de X . Demostración. Para cada n∈N , sea ˆ Pn:ˆ X−→ ˆ X la extensión de la proyección natural Pn . Dado que Pn(X) es de dimensión nita, Pn(X) es un conjunto cerrado en ˆ X y entonces, ˆ Pn(ˆ X)⊂ Pn(X) . Por lo tanto, Pn(X) = ˆ Pn(ˆ X) para todo n∈N . A continuación, probaremos que las proyecciones (ˆ Pn)n∈N satisfacen las propiedades (i) , (ii) e (iii) del Lema B.5 anterior. En efecto, pues: (i) es una consecuencia directa de que ˆ Pn(ˆ X) = Pn(X) : dim ˆ Pn(ˆ X) = dim Pn(X) = n ; (ii) es una consecuencia de la continuidad de las proyecciones Pn : ˆ Pnˆ Pm(x) = l´ım i→∞ Pnˆ Pm(xi) = l´ım i→∞ PnPm(xi) = l´ım i→∞ Pm´ın{n.m}(xi) = ˆ Pm´ın{n,m}(x); (iii) es una consecuencia de la acotación de la sucesión de números reales (kPnk)n∈N : kˆ Pn(ˆx)−ˆxk=kˆ Pn(ˆx)−ˆ Pn(xi) + ˆ Pn(xi)−ˆxk ≤ kˆ Pn(ˆx−xi)k+kˆ Pnxi−ˆxk ≤ kˆ Pnkkˆx−xik+kPnxi−ˆxk ≤ kˆ Pnkkˆx−xik+kPnxi−xi+xi−ˆxk ≤ kPnkkˆx−xik+kPnxi−xik+kxi−ˆxk< ε para n >> 1. 77
Demostración. Para n∈N , f∈X∗ y x=P∞ i=1 ei∗(x)ei∈X arbitrarios, tenemos que Pn∗f(x) = f(Pnx) = fn X i=1 ei∗(x)ei= n X i=1 ei∗(x)f(ei) y entonces, identicando X con X∗∗ , Pn∗(f) = n X i=1 f(ei)ei∗= n X i=1 ei(f)ei∗, para cada n∈N. (B.3) Por tanto, para cada n∈N , tenemos que dim Pn∗(X∗) = n . Por otra parte, para f∈span {ei∗:i∈N} , tenemos que Pn∗f=f para n >> 1 . Así pues, dado f∈span {ei∗:i∈N} arbitrario, tenemos que (escogiendo g∈span {ei∗:i∈ N} tal que kf−gk< ε ) kPn∗f−fk=kPn∗f−Pn∗g+Pn∗g−g+g−fk =kPn∗kkf−gk+kPn∗g−gk+kg−fk ≤εsup n∈NkPnk+ε, se n >> 1 y entonces, l´ım n→∞ kPn∗f−fk= 0, para todo f∈span {ei∗:i∈N}. (B.4) Es inmediato probar que Pn∗Pm∗=P∗ m´ın{n,m} para todo n, m ∈N . Por tanto, el resultado enunciado es consecuencia del Lema B.5 anterior. Nota B.20 (sobre (B.4)) . Tenemos que Pn∗f→f débilmente ∗ en X∗ para todo f∈X∗ . En efecto, pues al ser f continua, f(x) = f∞ X i=1 ei∗(x)ei= ∞ X i=1 ei∗(x)f(ei) = l´ım n→∞ n X i=1 ei∗(x)f(ei) = l´ım n→∞ Pn∗f(x). Denición B.21 (base de Schauder contractiva & Base de Schauder acotadamente completa) . Sea X un espacio de Banach con base de Schauder (ei)i∈N ; se dice que (ei)i∈N : (a) es una base contractiva (en inglés, shrinking) si span {ei∗:i∈N}=X∗ ; (b) es una base acotamente completa (en inglés, boundedly complete) si sup n∈N n X i=1 aiei <∞=⇒ ∞ X i=1 aiei∈X. Ejemplo B.22 (bases contractivas y acotadamente completas) . (a) La base canónica de c0 y `p , con 1<p<∞ es contractiva; la base canónica de `1 no es contractiva. (b) La base canónica de `p , con 1≤p < ∞ es acotadamente completa; la base canónica de c0 no es acotadamente completa (basta considerar xn= (1,1,...,1,0,0, . . . ) ). 84
Proposición B.23 (caracterización de bases contractivas I) . Sea (ei)i∈N una base de Schauder de X con proyecciones asociadas (Pn)n∈N . En tal caso, (ei)i∈N base contractiva ⇐⇒ (ei∗)i∈N es base de Schauder de X∗ . Demostración. Si span {ei∗:i∈N}=X∗ , entonces en virtud del Lema B.19 anterior (Pn∗) genera una base de Schauder de X∗ . Recíprocamente, si las proyecciones naturales Pn∗ generan una base de Schauder de X∗ , entonces l´ımn→∞ kPn∗f−fk= 0 para todo f∈X∗ y entonces X∗= span {ei∗:i∈N} . La siguiente proposición motiva la elección del nombre contractiva para este tipo de bases. Proposición B.24 (Caracterización de bases contractivas II) . Sea (ei)i∈N una base de Schauder de X con proyecciones asociadas (Pn)n∈N . En tal caso, (ei)i∈N base contractiva ⇐⇒ l´ım n→∞ kf|span {ei:i>n}k= 0 para todo f∈X∗ . Demostración. Comencemos observando que si P:X−→ X es una proyección lineal y acotada, entonces sup y∈P(BX)|f(y)|= sup x∈BX|f(P(x))|= sup x∈BX|P∗(f(x))|=kP∗fk y BP(X)⊂P(BX)⊂ kPkBX∩P(X)⊂ kPkBP(X). Así pues, para las proyecciones canónicas (Pn)n∈N asociadas a la base de Schauder (ei)i∈N , tenemos que kf|(I−Pn)(X)k= sup{|f(x)|:x∈B(I−Pn)(X)} ≤ sup{|f(x)|:x∈(I−Pn)(BX)} ≤sup{|f(x)|:x∈(kPnk+ 1)B(I−Pn)(X)}. Por tanto, kf|(I−Pn)(X)k≤kf−Pn∗(f)k ≤ (kPnk+ 1)kf|(I−Pn(X))k, para todo f∈X∗, y entonces (ei)i∈N es una base contractiva si y sólo si l´ım n→∞ kf|span {ei:i>n}k= 0, para todo f∈X∗. El siguiente Teorema B.28 proporciona una caracterización de los espacios de Banach con base de Schauder que son reexivos. Para su demostración emplearemos tres teoremas clásicos que involucran topologías débiles de un espacio de Banach; recordamos a continuación sus enunciados (su demostración puede consultarse en [18]). Teorema B.25 (Teorema de Mazur) . Sea X un espacio de Banach. Entonces, todo conjunto C⊂X cerrado y convexo es débilmente cerrado. Teorema B.26 (Teorema de Goldstine) . Sea X un espacio de Banach. Luego, BX es débilmente compacto si y sólo si X es reexivo. 85
Teorema B.27 (Teorema de EberleinSmulyan) . Sea X un espacio de Banach separable y C⊂X un conjunto cerrado. Entonces, C débilmente compacto ⇐⇒ C débilmente secuencialmente compacto. Teorema B.28 (James. Bases de Schauder en espacios reexivos) . Sea X un espacio de Banach con base de Schauder (ei)i∈N . Entonces, X es reexivo ⇐⇒ (ei)i∈N es contractiva y acotadamente completa. Demostración. Supongamos inicialmente que X es reexivo. En tal caso, para toda f∈X∗ , tenemos que Pn∗f→f en la topología débil ∗ de X∗ (ver Nota B.20). No obstante, dado que X es reexivo, tal propiedad de convergencia también es cierta en la topología débil de X . Luego, teniendo en cuenta (B.3) y el Teorema B.25 (convexo y cerrado implica débilmente cerrado), concluimos que X∗= spanw{ei∗:i∈N}= span {ei∗:i∈N}. Es decir, (ei)i∈N es una base contractiva de X . Sea ahora (ai)i∈N una sucesión de escalares tal que sup n∈N n X i=1 aiei <∞ y consideremos, para cada n∈N , xn= n X i=1 aiei∈X. Sea x∈X un punto límite débil de la sucesión (xn)n∈N cuya existencia está asegurada, al ser X reexivo, por los Teoremas B.26 y B.27 . Para i≤n tenemos que, ei∗(xn) = ai y entonces ei∗(x) = ai para todo i∈N . Por tanto, en virtud de la unicidad de los coecientes proporcionados por una serie de Schauder, x= ∞ X i=1 aiei∈X y entonces la base de Schauder (ei)i∈N es acotadamente completa. Recíprocamente, supongamos ahora que (ei)i∈N es una base contractiva y acotadamente completa de X . Probaremos que X es reexivo empleando el Teorema B.26 viendo que BX es débilmente compacto. Dado que (ei)i∈N es una base contractiva de X , el dual X∗ es separable. Por tanto, en virtud del Teorema B.27, para probar que BX es débilmente compacto basta mostrar que toda sucesión (xk)k∈N⊂BX admite una subsucesión débilmente convergente. Sea luego (xk)k∈N⊂BX una sucesión arbitraria. Empleando el argumento diagonal de Cantor, podemos extraer una subsucesión denotada nuevamente por (xk)k∈N tal que l´ım k→∞ ei∗(xk) = ai∈K, para cada i∈N. 86
Así pues, para cada n∈N , tenemos que n X i=1 aiei= n X i=1 l´ım k→∞ ei∗(xk)ei= l´ım k→∞ n X i=1 ei∗(xk)ei= l´ım k→∞ Pn(xk) y entonces sup n∈N n X i=1 aiei = sup n∈N l´ım k→∞ Pn(xk) = sup n∈N l´ım k→∞ kPn(xk)k ≤ sup n∈NkPnk<∞. Por tanto, dado que (ei)i∈N es acotadamente completa, x= ∞ X i=1 aiei∈X. Además, dado que span {ei∗:i∈N}=X∗ y l´ım k→∞ ei∗(xk) = ai=ei∗(x), para todo i∈N. concluimos nalmente que (xk)k∈N converge débilmente a x∈BX . B.1.5. Sucesiones básicas bloque en `p Proposición B.29 (Sucesiones básicas bloque en `p ) . Si (ui)i∈N es una sucesión básica bloque normalizada de la base canónica (ei)i∈N de `p , con 1≤p < ∞ , entonces: (a) (ui)i∈N es equivalente a (ei)i∈N y span {ui:i∈N} es isométrico a `p ; (b) existe una proyección sobreyectiva P:`p−→ span {ui:i∈N} con kPk= 1 . Demostración. Para cada j∈N , supongamos que el j -ésimo vector de la sucesión básica bloque normalizada (uj)j∈N viene dado por uj= pj+1 X i=pj+1 λiei, con pj+1 X i=pj+1 |λi|p= 1. (a) En tal caso, dado que m X j=1 ajuj =m X j=1 pj+1 X i=pj+1 |aj|p|λi|p1/p =m X j=1 |aj|p pj+1 X i=pj+1 |λi|p1/p =m X j=1 |aj|p1/p = m X j=1 ajej , es claro que (ui)i∈N y (ei)i∈N son equivalentes. Además, la aplicación dada por T∞ X j=1 ajuj= ∞ X j=1 ajej, para cada ∞ X j=1 ajuj∈span {ui:i∈N}. 87
dene una isometría entre span {ui:i∈N} y `p . (b) Dado j∈N , sea uj∗∈`p∗ tal que uj∗∈span {ei:pj+ 1 ≤i≤pj+1} ⊂ `q y kuj∗k=uj∗(uj)=1 . En tal caso, uj∗(uk)=0 para todo k6=j y entonces, Px = ∞ X j=1 u∗ j(x)uj, para cada x= (xn)n∈N∈`p, dene una proyección lineal y sobreyectiva P:`p−→ span {uj:j∈N} . Además, dado que |uj∗(x)|p≤ kujkpkxkp≤ kxkp= pj+1 X i=pj+1 |ai|p, para cada x= ∞ X i=1 aiei∈`p, tenemos entonces que kPk= 1 . En efecto, pues kPxkp= ∞ X j=1 pj+1 X i=pj+1 |u∗ j(x)|p|λi|p= ∞ X j=1 |u∗ j(x)|p≤ ∞ X j=1 pj+1 X i=pj+1 |ai|p=kxkp. B.2. Espacios de Orlicz Denición B.30 (función de Orlicz) . Se dice que una función M: [0,+∞)−→ [0,+∞) es una función de Orlicz si M es continua, creciente, convexa y cumple que: M(0) = 0,l´ım t→+∞M(t) = +∞. Además, se dice que: (a)M es una función de Orlicz degenerada si existe b > 0 tal que M(t)=0 para todo t∈[0, b] . (b)M satisface la 42 -condición en 0 si l´ım sup t→0 M(2t) M(t)<∞. Denición B.31 (espacios de Orlicz) . Para cada sucesión x= (xn)n∈N de escalares consideramos kxkM= ´ınf nρ > 0: ∞ X n=1 M|xn| ρ≤1o∈[0,+∞]. y denimos entonces los siguientes espacios: (a)`M=nx= (xn)n∈N: ∞ X n=1 M|xn| ρ<∞ para algún ρ > 0o , (b)hM=nx= (xn)n∈N: ∞ X n=1 M|xn| ρ<∞ para todo ρ > 0o ; 88
en los que k·kM dene una norma. Nota B.32 (Sobre los espacios de Orlicz) . El espacio (`M,k·k) es un espacio de Banach de sucesiones que generaliza a los bien conocidos espacios `p ; pues éstos se obtienen como caso particular cuando consideramos M(t) = tp . Si M es una función degenerada, entonces k·kM=k·k∞ y `M=`∞ , mientras que hM=c0 . En general, para una función de Orlicz arbitraria M , la sucesión (en)n∈N formada por los vectores unitarios canónicos no es una base de Schauder de `M ; ello justica la importancia del siguiente resultado, cuya demostración puede consultarse en [33]. Teorema B.33 (Sobre los espacios de Orlicz) . Para una función de Orlicz M: [0,+∞)−→ [0,+∞) , los siguientes enunciados son equivalentes: (a)M satisface la 42 -condición en 0 ; (c) (en)n∈N es una base de Schauder acotadamente completa `M , (d)`M=hM , (e)`M es separable, (f) l´ım sup t→0 tM0(t) M(t)<∞ , (g)x= (xn)n∈N∈`M si y sólo si ∞ X n=1 M(|xn|)<∞ . El último teorema de esta sección da una condición necesaria y suciente para que dos espacios de Orlicz, denidos éstos por funciones de Orlicz que veriquen la condición ∆2 , sean isomorfos. Nuevamente, una demostración del mismo se encuentra en [33]. Teorema B.34. Sean M1, M2: [0,+∞)−→ [0,+∞) dos funciones de Orlicz que satisfacen la condición 42 . En ta caso, los siguientes enunciados son equivalentes: (a)`M1 y `M2 son espacios de Banach isomorfos; (b) existe K > 0 y t0>0 tal que 1 K≤M1(t) M2(t)≤K, para todo t∈[0, t0). 89
90
Bibliografía [1] Albiac, F. y Kalton, N.J., Topics in Banach space theory , Springer, 2006. [2] Aoki, T., Locally bounded linear topological spaces , Proc. Imp. Acad. Tokyo 18 (1942), 588594. [3] Banach, S., Theory of linear operations , North-Holland, 1987. [4] Beauzamy, B., Introduction to Banach Spaces and their Geometry , North-Holland, 1982. [5] Beck, A., A convexity condition in Banach spaces and the strong law of large numbers , Proc. Amer. Math. Soc. 13:2 (1962), 329334. [6] Benyamini, Y. y Lindenstrauss, J., Geometric Nonlinear Functional Analysis. Volume 1 , American Mathematical Society, 2000. [7] Bessaga, C. y Peªczy«ski, A., On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces , Stud. Math. 17 (1958), 151164. [8] Cabello, F., A simple proof that super-reexive spaces are K -spaces , Proc. Amer. Math. Soc. 132:3 (2003), 697698. [9] Cabello, F., Castillo, J.M.F. y Kalton, N., Complex interpolation and twisted twisted Hilbert spaces , Pacic J. Math. 276:2 (2015), 287307. [10] Cabello, F. y Castillo, J.M.F., Métodos homológicos en espacios de Banach. (Comunicación personal de los autores) [11] Casazza, P.G. y Shura, T.J., Tsirelson's Space , Springer, 1989. [12] Castillo, J. M. F., The freewheeling twisting of Hilbert spaces . (Comunicación personal del autor) [13] Castillo, J. M. F. y González, M., Three-space problems in Banach space theory , Springer-Verlag, 1997. [14] Day, M.M., The spaces Lp with 0<p<1 , Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), 819823. [15] Diestel, J., Jarchow, H. y Tonge, A., Absolutely Summing Operators , Cambridge University Press, 1995. 91
[16] Eno, P., A counterexample to the approximation problem in Banach spaces , Acta Math. 130 (1973), 309317. [17] Eno, P., Lindenstrauss, J. y Pisier, G., On the "three-space"problem for Hilbert spaces , Math. Scand. 36 (1975), 199210. [18] Fabia, M., Habala, P., Hájek, P., Montesinos, V. y Zizler, V., Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis , Springer-Verlag, 2011. [19] Fackler, S., Holomorphic Semigroups and the Geometry of Banach Spaces , Ulm university, 2011. [20] Gowers, W.T. y Maurey, B., Banach spaces with small spaces of operators , Math. Ann. 307:4 (1997), 543568. [21] Hanche-Olsen, H. y Holden, H., The Kolmogorov-Riesz compactness theorem , Expo. Math. 28:4 (2010), 385394. [22] Hilton, E. y Stammbach, K., A course in homological algebra , Springer-Verlag, 1970. [23] Johnson, W.B., Lindenstrauss, J. y Schechtman, G. On the relation between several notions of unconditional structure , Israel J. Math. 37 (1980), 120129. [24] Kadets, M.I. y Peªczy«ski, A., Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp , Stud. Math. 21 (1961/1962), 161176. [25] Kalton, N.J., The three-space problem for locally bounded F-spaces , Compo. Math. 37 (1978), 243276. [26] Kalton, N.J., The space Z2 viewed as a symplectic Banach space , Proceedings of research workshop on Banach space theory, University of Iowa, 1981. [27] Kalton, N. J. y Peck, N. T., Twisted sums of sequence spaces and three subspace problem , Trans. Amer. Math. Soc. 225 (1979), 130. [28] Kalton, N. J., Peck, N. T. y Roberts, James W., An F -space sampler , Cambridge University Press, 1984. [29] Kato, T., Perturbation theory for nullity deciency and other quantities of linear operators , J. Analyse Math. 6 (1958), 273322. [30] Klee, V. L. Jr., Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach) , Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 484487. [31] Lindenstrauss, J. y Rosenthal, H.P., The Lp spaces , Israel J. of Math. 7 (1969), 325 349. [32] Lindenstrauss, J., On complemented subspaces of m , Israel J. Math. 9 (1971), 279 284. [33] Lindenstrauss, J. y Tzafriri, L., Classical Banach spaces. I , Springer-Verlag, 1977. [34] Lindenstrauss, J. y Tzafriri, L., Classical Banach spaces. II , Springer-Verlag, 1979. 92
[35] Maurey, B. y Pisier, G., Séries de variables aléatoires vectorielles indépendantes et propriétés géométriques des espaces de Banach , Studia Math. 58 (1976), 4590. [36] Peªczy«ski, A., On strictly singular and strictly cosingular operators , Bull. Acad. Polon. Sci., Sér. Math. 13 (1965), 3141. [37] Peªczy«ski, A. y Rosenthal, H.P., Localization techniques in Lp spaces , Studia Math. 52 (1975), 263289. [38] Pietsch, A., Operator ideals , North-Holland, 1980. [39] Pietsch, A., History of Banach spaces and linear operators , Birkhauser, 2007. [40] Pisier, G., Sur les espaces qui ne contiennent pas de `n 1 uniformément , Séminaire Maurey-Schwartz, 1973/74. [41] Ribe, M., Examples for the nonlocally convex three space problem , Proc. Amer. Math. Soc. 237 (1979), 351355. [42] Rolewicz, S., On certain classes of linear metric spaces , Bull. Acad. Polon. Sci. 5 (1957), 471473. [43] Rosenthal, H.P., On subspaces of Lp , Ann. of Math. 97 (1973), 344373. [44] Rosenthal, H.P., A characterization of Banach spaces containing `1 , Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 71 (1974), 24112413. [45] Rudin, W., Functional analysis , 2 a Ed., McGraw-Hill, 1991. [46] Triebel, H., A New Approach to Function Spaces on Quasi-Metric Spaces , Rev. Mat. Complut. 18:1 (2005), 748. [47] Tsirelson, B.S., It is impossible to imbed `p of c0 into an arbitrary Banach space , Funkcional. Anal. Prilozen. 8:2 (1974), 5760. (En ruso) 93