Hidrostática

VICERREITORÍA DE ESTUDANTES, CULTURA E FORMACIÓN CONTINUA Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Enxeñaría Civil Hidráulica I Iván López Moreira, Rodrigo Carballo Sánchez, Alberte Castro Ponte Departamento de Enxeñaría Agroforestal Escola Politécnica Superior 2 Hidrostática 9788498 879940 Hidrostática 2 Iván López Moreira, Rodrigo Carballo Sánchez, Alberte Castro Ponte Área de Hidráulica Departamento de Enxeñaría Agroforestal Escola Politécnica Superior Dep. Legal: C 268-2013 ISBN 978-84-9887-994-0 © Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra atópase baixo unha licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Calquera forma de reprodución, distribución, comunicación pública ou transformación desta obra non incluída na licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0 só pode ser realizada coa autorización expresa dos titulares, salvo excepción prevista pola lei. Pode acceder Vde. ao texto completo da licenza nesta ligazón: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostela Edita Vicerreitoría de Estudantes, Cultura e Formación Continua da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 3 MATERIA: Hidráulica I TITULACIÓN: Grao en Enxeñaría Civil PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica Unidade I. Introdución á mecánica de fluídos Unidade II. Hidrostática Introdución Principio de Pascal Ecuación fundamental da hidrostática Instrumentación para a medida de presión Forza hidrostática Flotación e estabilidade Unidade III. Cinemática de fluídos Unidade IV. Dinámica de fluídos. Ecuacións fundamentais Unidade V. Análise dimensional UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 5 ÍNDICE Presentación ....................................................................................... 7 Os obxectivos ..................................................................................... 7 A metodoloxía ..................................................................................... 8 Os contidos básicos .......................................................................... 8 1. Introdución ................................................................................... 8 2. Principio de Pascal ...................................................................... 9 3. Ecuación fundamental da hidrostática ………………… .............. 10 3.1. Presións relativas e absolutas ……. ................................... 11 4. Instrumentación para a medida de presión ……………… .......... 12 4.1. Barómetro de mercurio……. ............................................... 12 4.2. Piezómetro ………..………………………………. ................ 13 4.3. Manómetro ………..………………………………. ................ 13 5. Forza hidrostática …………… ..................................................... 14 5.1. Forza hidrostática sobre superficies planas ……………. ... 14 5.1.1. Fluídos estratificados ................................................ 17 5.2. Forza hidrostática sobre superficies curvas ……………… . 18 6. Flotación e estabilidade ……. ..................................................... 19 6.1. Flotación .............................................................................. 19 6.2. Estabilidade ......................................................................... 20 6.2.1. Estabilidade de corpos somerxidos ......................... 21 6.2.2. Estabilidade de corpos flotantes ............................. 21 Anexos ................................................................................................ 23 Anexo 1. Boletín de exercicios ....................................................... 23 Avaliación da UD ............................................................................... 26 Bibliografía ......................................................................................... 27 UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 7 PRESENTACIÓN Esta unidade didáctica forma parte da materia Hidráulica I do segundo curso do Grao en Enxeñaría Civil, que se dedica a sentar as bases da enxeñaría hidráulica. Dita materia ten unha carga de 6 créditos ECTS e impártese no primeiro semestre. De entrada non existe ningún prerrequisito legal para poder cursar esta materia. Non obstante, considérase recomendable ter cursado previamente, e superado con éxito, Matemáticas I, II e III e Física I e II, por proporcionar unha base axeitada para a correcta comprensión da materia. Na primeira unidade da materia (UD1), preséntanse os conceptos básicos relacionados coa mecánica de fluídos, desde o seu obxecto ata as súas aplicacións, para rematar co estudo das propiedades dos fluídos. A continuación, na presente unidade didáctica (UD2), estúdanse os conceptos fundamentais da hidrostática. Esta unidade céntrase no estudo da distribución de presións nun fluído estático e nos seus efectos sobre una superficie sólida, así como sobre corpos flotantes e somerxidos. Os seguintes dous temas dedícanse ao estudo dos fluídos en movemento. En primeiro lugar, preséntanse os aspectos relacionados co movemento dos fluídos desde un punto de vista descritivo (UD3), é dicir, sen atender as causas que o provocan. Na seguinte unidade (UD4) explícanse as causas que orixinan dito movemento, describindo as tres ecuacións fundamentais da mecánica de fluídos: a ecuación de continuidade, a ecuación da cantidade de movemento e a ecuación da conservación da enerxía. Finalmente, na derradeira unidade da materia (UD5), expóñense os conceptos básicos da análise dimensional, impartindo nocións básicas de modelización física. A presente unidade didáctica ten asignadas seis horas de clase de carácter expositivo nas que se desenvolverán os seus contidos; e nove horas de seminario interactivo onde se realizarán exercicios. OS OBXECTIVOS A partir do desenvolvemento dos contidos que se expoñen nesta UD preténdese que o alumno domine con claridade os seguintes aspectos:  coñecer e interpretar a ecuación fundamental da hidrostática;  definir a relación entre presión absoluta, relativa e atmosférica;  coñecer os distintos tipos de instrumentos para a medida da presión;  calcular a forza hidrostática exercida sobre unha superficie somerxida, especificando a súa magnitude, dirección e punto de aplicación;  definir o termo centro de presións;  calcular a flotabilidade dun corpo nun fluído;  coñecer as condicións de estabilidade para un corpo somerxido;  coñecer as condicións de estabilidade para un corpo flotante;  definir o termo metacentro e calcular a súa localización. 14 - UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática Neste caso empregase o manómetro, que é un instrumento que mide a presión entre dous puntos utilizando un fluído auxiliar de maior densidade para así reducir a altura da columna (Figura 7). Nun manómetro o valor da presión nun punto obtense a partir das alturas de ascensión da columna de cada un dos fluídos 22 11atm pp ρ gh ρgh  . (22) 5. Forza hidrostática Toda superficie somerxida nun fluído en repouso estará sometida a presións estáticas de compresión. Polo tanto, teremos unhas forzas actuando sobre estas superficies. Este tipo de forzas constitúen a principal solicitación no deseño de obras de contención de fluídos, tales como presas. Como toda forza, a forza hidrostática é unha magnitude vectorial, polo tanto, para definila adecuadamente imos precisar coñecer o seu módulo, a súa dirección e o seu punto de aplicación. Dado que, primeiro, a forza hidrostática é a forza provocada por la presión que exerce un fluído en repouso sobre una superficie; e segundo, nun fluído en repouso non pode haber tensións tanxenciais, conclúese que a dirección da forza hidrostática debe ser sempre perpendicular á superficie sobre a que actúa a presión do fluído. Unha vez coñecida a dirección da forza, nos seguintes apartados determinaremos a súa magnitude e punto de aplicación, tanto para superficies planas como curvas. 5.1. Forza hidrostática sobre superficies planas Imos considerar o caso máis xeral: unha placa plana somerxida, de forma arbitraria e cunha certa inclinación θ (Figura 8). Figura 8. Forza hidrostática (F) e centro de presións (CP) nunha superficie plana somerxida, de xeometría arbitraria e inclinada un ángulo θ UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 15 Se h é a profundidade dun diferencial de área (dA) desta placa, a presión sobre este dA é     ,,pxy ρ gh x y . (23) Polo tanto, a forza hidrostática sobre a placa é   AA A A FdFphdA ρ ghdA ρghdA      . (24) Establecendo un eixe de coordenadas (x, y) con orixe no centro xeométrico da placa (CX), e definindo unha coordenada auxiliar ξ con orixe na superficie libre e dirección paralela á inclinación da placa, de forma que   senhξθ , (25) podemos integrar a expresión da forza do seguinte xeito     sen sen AA F ρ gξθdA ρgθξdA   . (26) E tendo en conta que, por definición, a distancia entre a superficie libre e o centro xeométrico da placa ao longo da dirección paralela á inclinación da mesma é 1 CX ξξdA A   , (27) obtemos que o valor da forza hidrostática é   sen CX F ρ gθξ A . (28) Combinando esta ecuación coa Ecuación (25) obtemos o valor da forza CX CX F ρ gh A p A   . (29) É dicir, o modulo da forza hidrostática que actúa sobre unha superficie plana somerxida é igual á presión no centro xeométrico da placa pola área da mesma, con independencia tanto da forma da placa como do ángulo θ co que estea inclinada. Finalmente, para calcular a coordenada yCP do punto de aplicación da forza hidrostática, chamado centro de presións (CP), tomamos momentos con respecto ao centro xeométrico     sen sen CP Fy ypdA y ρ gξθdA ρgθyξdA    . (30) Neste punto facemos o seguinte cambio de variable CX ξξ y   . (31) Operando       2 sen sen sen CP CX CX Fy ρgθyξydA ρ gθξ ydA ρgθydA     (32) e tendo en conta que da definición de eixes centroidais 0ydA  , (33) 16 - UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática e que o momento de inercia de área respecto ao eixe X (Ixx) se define como 2 xx IydA , (34) a expresión da coordenada yCP do centro de presións é   sen xx CP ρgθI yF  . (35) A segunda coordenada do centro de presións (xCP) calcularémola seguindo o mesmo procedemento       sen sen sen CP CX CX Fx xpdA xρgξyθdA ρ gθξ xdA ρgθxy dA      (36) Deste xeito, a expresión da coordenada xCP do centro de presións é   sen xy CP ρgθI xF  , (37) sendo neste caso Ixy o produto de inercia da placa, definido como xy IxydA . (38) Figura 9. Momentos de inercia de área respecto do eixe X (Ixx) e produto de inercia (Ixy) para distintas superficies planas Outro posible enfoque para a determinación da forza hidrostática vén dado polo concepto de prisma de presións. Denomínase deste xeito ao volume prismático cuxa base é a superficie sobre a cal se está a calcular a forza hidrostática, e cuxa altura nun punto calquera da base vén dada por p = ρgh, sendo h a profundidade de cada punto. Aínda que utilizando o prisma de presións se pode resolver calquera caso, é nos máis sinxelos, como por exemplo no cálculo da forza hidrostática sobre unha superficie vertical (Figura 10), onde o prisma de presións pode ser o método máis conveniente pola súa simplicidade fronte as formulacións anteriores. A primeira propiedade do prisma de presións é que o seu volume é igual á forza hidrostática. Para explicar esta afirmación imos aplicar a Ecuación (24) sobre a superficie vertical da Figura 10, pero esta vez UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 17 substituíndo nela a seguinte expresión, dA = Bdh, onde B é o ancho da placa segundo o eixe X,   2 00 1 2 AA A LL P FdFphdAρghdA ρ ghBdh ρgB hdh ρgBL V       (39) Demóstrase así que a forza hidrostática sobre unha superficie é igual ao volume do prisma de presións (VP) sobre dita superficie. Figura 10. Prisma de presións nunha superficie vertical A outra propiedade do prisma de presións é que a liña de acción da forza hidrostática pasa polo seu centro de gravidade (GP), tal e como se demostra analizando a placa vertical da Figura 10,   3 sen 12 223 2 xx CX CP CX BL ρg ρgθI LLL Ly y L L L ρgh A ρgBL         . (40) 5.1.1. Fluídos estratificados Se non estamos a traballar cun único fluído, senón que nos encontramos ante varios fluídos de diferentes densidades estratificados en capas (Figura 11), a pendente da distribución de presións cambiará entre as capas. Figura 11. Forza hidrostática (F) e centro de presións (CP) nunha superficie plana somerxida no caso de haberen fluídos estratificados 18 - UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática Neste caso, é necesario calcular a forza hidrostática por separado, capa por capa iCXii FpA . (41) Sendo entón a forza hidrostática total a suma das forzas de cada estrato Ti FF  . (42) Para calcular o centro de presións séguese un procedemento similar. En primeiro lugar calcularanse as coordenadas dos centros de presión de cada un dos estratos     sen sen i xyi ixxi CPi CPi ii ρ gθI ρgθI yx FF   . (43) A continuación, o centro de presións global acharase tomando momentos respecto dun punto (xeralmente a superficie libre) T CPT i CPi FξFξ  , (44) sendo ξ a coordenada auxiliar definida anteriormente. 5.2. Forza hidrostática sobre superficies curvas Imos considerar agora unha superficie curva somerxida de forma arbitraria. Neste caso, é preferible calcular a forza hidrostática a partir das súas compoñentes horizontal e vertical (Figura 12). Figura 12. Cálculo da forza hidrostática sobre unha superficie curva A compoñente horizontal (FH) é igual a forza que exerce dito fluído sobre a proxección da superficie sobre un plano vertical normal a compoñente. Ademais, a liña de acción desta compoñente pasa polo centro de presións da proxección vertical. vv v HH v vCXv AA A FdFpdA ρ ghdA ρgh A     . (45) Por outra banda, a compoñente vertical (FV) é igual en magnitude e en dirección ao peso da columna de fluído (ou fluídos) que se encontra por riba da superficie curva. HH VV H AA V FdFpdA ρ gdV ρgV     , (46) sendo V o volume da columna de fluído. UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 19 Finalmente, o módulo da forza hidrostática total será entón   22 THV FFF , (47) e o ángulo da liña de acción en relación coa horizontal, arctan V H F φF    . (48) 6. Flotación e estabilidade 6.1. Flotación Os mesmos principios utilizados para calcular as forzas hidrostáticas sobre superficies, pódense aplicar ao cálculo da forza neta sobre un corpo nun fluído, ben flotante ou ben completamente somerxido. Como resultado, obtéñense as dúas leis da flotabilidade descubertas por Arquímedes (214-212 a.C.). A primeira di que: 1. «Un corpo somerxido nun fluído experimenta unha forza vertical cara arriba (forza de flotación ou empuxe) igual ao peso do volume de fluído que despraza». Figura 13. Corpo flotante — Plano de flotación: superficie libre do fluído e a súa prolongación no corpo — Área de flotación: intersección do plano de flotación có corpo — Volume de carena (VC): volume somerxido do corpo — Centro de carena (C): centro de xeométrico do volume de carena (punto de aplicación da forza de flotación) — Centro de gravidade do corpo (G) — Eixe de flotación: eixe perpendicular ao plano de flotación que pasa polo centro de carena — Metacentro (M): intersección do eixe vertical dun corpo (que pasa polo centro de gravidade) co eixe de flotación dese corpo cando este xira levemente (ver Figura 15) 20 - UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática O principio de Arquímedes pódese demostrar facilmente analizando as forzas hidrostáticas que actúan sobre un corpo somerxido, por exemplo un cubo (Figura 14). Figura 14. Forzas que actúan sobre un corpo somerxido As forzas horizontais (F3 e F4) son iguais pero de signo oposto; polo tanto, anúlanse. Considerando o valor das dúas forzas verticais restantes, pódese comprobar que a forza neta resultante (tomando como positivo o sentido cara á superficie libre) é igual ao peso do volume de fluído desprazado polo corpo,  11 21 22 Fρgh A F ρ gh h A ρgV Fρgh A    . (49) Se o peso do corpo é superior á forza de flotación, o corpo fúndese indefinidamente ata tocar fondo. Por contra, cando o valor da forza de flotación é superior ao peso do corpo, este ascende cara á superficie ata se equilibraren ámbalas dúas forzas (ao ascender o corpo, o volume de carena redúcese e, polo tanto, tamén o fai a forza de flotación), momento no cal o corpo ficará flotando. De aquí xorde a segunda lei de Arquímedes da flotabilidade: 2. «Un corpo flotante despraza o seu propio peso no fluído no que flota». Ocasionalmente, un corpo pode ter un peso exactamente igual o peso do volume de fluído que desaloxa. Neste caso o corpo terá unha flotabilidade neutra e ficará en repouso en calquera punto do fluído no que se somerxa. 6.2. Estabilidade Un corpo, ben somerxido nun fluído ou ben flotante, considérase estable se volta á súa posición orixinal despois de darlle un pequeno xiro ao redor dun eixe horizontal. UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 21 6.2.1. Estabilidade de corpos somerxidos Atendendo a súa estabilidade, un corpo somerxido (Figura 15) pódese encontrar en tres situacións: — equilibrio estable: o centro de gravidade (G) atópase por debaixo do centro de carena (C). Entón, ao producirse unha perturbación no corpo, o peso (W) e a forza hidrostática (F) xeran un momento que tende a restablecer o equilibrio (Figura 15-A); — equilibrio inestable: o centro de gravidade (G) atópase por riba do centro de carena (C). Neste caso, o producirse unha perturbación no corpo, o peso (W) e a forza hidrostática (F) xeran un momento que tende a aumentar aínda máis o desequilibrio (Figura 15-B); — equilibrio indiferente: o centro de gravidade (G) e o centro de carena (C) coinciden no mesmo punto. Figura 15. Corpo somerxido en equilibrio estable (A) e inestable (B) 6.2.2. Estabilidade de corpos flotantes Ao igual que ocorre nos corpos somerxidos, un corpo flotante (Figura 16) pódese encontrar en tres situacións, aínda que neste caso as condicións de estabilidade mudan con respecto ao caso anterior: 22 - UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática — equilibrio estable: o metacentro (M) está por riba do centro de gravidade (G). Entón, o producirse unha perturbación no corpo, o peso (W) e a forza hidrostática (F) xeran un momento que tende a restablecer o equilibrio (Figura 16-A); — equilibrio inestable: o metacentro (M) está por debaixo do centro de gravidade (G). Neste caso, ao producirse unha perturbación no corpo, o peso (W) e a forza hidrostática (F) xeran un momento que tende a aumentar aínda máis o desequilibrio (Figura 16-B); — equilibrio indiferente: o metacentro (M) coincide co centro de gravidade (G). Figura 16. Corpo flotante en equilibrio estable (A) e inestable (B) No caso dun corpo flotante é posible determinar de forma analítica se é ou non estable. Para isto é necesario calcular a distancia entre o metacentro e o centro de carena (MC) 0 MC C I V  , (50) onde VC é o volume de carena e I0 é o segundo momento de inercia (ou momento de inercia de área) da área de flotación máis pequeno posible. Se a distancia MC sitúa o metacentro por riba do centro de gravidade, o corpo é estable. UNIDADE DIDÁCTICA II. Hidrostática - 23 ANEXOS Anexo 1. Boletín de exercicios 1. Unha aplicación típica dun manómetro é a medida dos cambios de presión producidos a través dun dispositivo de fluxo como o da figura. Obteña unha expresión para a diferenza de presións pa–pb en función dos parámetros do sistema da figura. 2. A lectura da presión manométrica en B utilízase para medir a presión no punto A dun fluxo de auga. Se a presión no punto B é de 87 kPa, estime a presión en A en kPa. (ρauga = 1000 kg/m3, ρmercurio = 13600 kg/m3, ρaceite = 891 kg/m3) 3. Sabendo que a presión atmosférica é de 101300 Pa e que a presión absoluta na parte inferior do depósito da figura é de 242 kPa, cál é a densidade relativa do fluído X? (γauga = 9810 N/m3, γmercurio = 133100 N/m3, γaceite = 8720 N/m3) 4. A comporta circular ABC ten un raio de 1 m e está articulada no punto B. O fluído é auga (ρauga = 1000 kg/m3) e pódese desprezar a presión atmosférica. (a) Calcule a forza P mínima necesaria para manter a comporta pechada cando h = 8 m. (b) Repita o problema obtendo unha expresión analítica de P en función de h. Que se observa?