Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por medio de Transformadas Integrales

Traballo Fin de Grao Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por medio de Transformadas Integrales Paloma Fernández Fernández 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por medio de Transformadas Integrales Paloma Fernández Fernánadez 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Análisis matemático Título: Soluciones de Ecuaciones Diferenciales por medio de Transformadas Integrales Breve descrición do contido En este trabajo se estudiará la denición y las propiedades fundamentales de la Transformada de Laplace y de Fourier. Se hará un estudio minucioso de los valores de las transformadas de las funciones elementales y de la delta de Dirac, así como de las transformadas inversas de las mismas. También se estudiará el comportamiento de estas transformadas con los operadores derivación, integración y convolución. A partir de estas propiedades se estudiará su aplicación para la resolución de las Ecuaciones Diferenciales. Recomendacións Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Transformada de Laplace 1 1.1. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Convolución de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Problema mecánico de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Funciones escalón unitario y funciones impulso . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Transformada de Fourier 21 2.1. Propiedades ................................... 23 2.1.1. Convolución y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2. Transformada inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3. La transformada de Fourier multidimensional . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Aplicaciones de la transformada de Fourier a las EDP . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3. El problema no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Bibliografía 43 v Resumen Las ecuaciones diferenciales aparecen en un amplio abanico de campos como pueden ser la biología, la economía, la física... En este trabajo consideraremos una forma alternativa de resolverlas, mediante el uso de transformadas integrales. Estudiaremos dos tipos de transformadas: la de Laplace y la de Fourier. Veremos sus deniciones y algunas de sus principales propiedades y nos centraremos en la importancia de estas transformadas para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones en Derivadas Parciales. Destacaremos su utilidad para resolver este tipo de ecuaciones por convertir problemas que por otros métodos pueden resultar complicados, en ecuaciones algebraicas más simples. También trataremos problemas clásicos como el de Abel y estudiaremos soluciones generalizadas en las que usaremos las funciones de Heaviside y Dirac. Se presentan algunos ejemplos en los que se pondrá de maniesto la utilidad de estas técnicas. Abstract Dierential equations appear in a wide range of elds such as biology, economics, physics... In this work we will consider an alternative way of solving them, by using integral transforms. We will study two types of transforms: the Laplace transform and the Fourier transform. We will look at their denitions and some of their main properties and we will focus on the importance of these transforms for solving Ordinary Dierential Equations and Partial Dierential Equations. We will highlight their usefulness in solving these types of equations by converting problems that can be complicated by other methods into simpler algebraic equations. We will also deal with classical problems such as Abel's problem and we will study generalised solutions in which we will use the Heaviside and Dirac functions. Some examples are presented in which the usefulness of these techniques will be shown. vii 4 CAPÍTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE Para empezar, destaca la linealidad de la transformada de Laplace, que es muy importante para simplicar los cálculos y, por tanto, para resolver ecuaciones diferenciales. Sean f y g dos funciones para las que asumimos que existen sus correspondientes transformadas y sean a, b ∈C . Entonces: L[af +bg] = aL[f] + bL[g]. La demostración es trivial en virtud de la linealidad de la integral: L[af +bg](p) = Z∞ 0 e−px(af(x) + bg(x))dx =aZ∞ 0 e−pxf(x)dx +bZ∞ 0 e−pxg(x)dx =aL[f] + bL[g]. También se pueden realizar traslaciones con la transformada de Laplace. Veamos que L[eaxf(x)] = F(p−a), p > a. L[eaxf(x)] = Z∞ 0 e−pxeaxf(x)dx =Z∞ 0 e−(p−a)xf(x)dx =F(p−a), p > a. Ejemplo 1.1. Calculemos la transformada de Laplace de f(x) = eax cos bx , con a, b ∈R. L[eax cos bx] = Z∞ 0 e−(p−a)xcos bxdx =Z∞ 0 e−sx cos bxdx =L[cos bx]s→p−a =s s2+b2s→p−a=p−a (p−a)2+b2. Veamos ahora el efecto de la transformada de Laplace sobre las derivadas, lo cual será de vital importancia para la resolución de EDOs. Consideremos una función y(x) de clase uno, para la que existen las transformadas de Laplace de y e y0 . Aplicando partes tenemos L[y0] = Z∞ 0 e−pxy0(x)dx =y(x)e−px∞ 0+pZ∞ 0 e−pxy(x)dx =−y(0) + pL[y]. Por tanto: L[y0] = pL[y]−y(0). De igual forma se deduce: L[y00] = L[(y0)0] = pL[y0]−y0(0) = p(pL[y]−y(0)) −y0(0) =p2L[y]−pLy(0) −y0(0). 1.1. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 5 Repitiendo este proceso sucesivamente llegamos al siguiente resultado: L[yn)] = pnL[y]−pn−1y(0) −pn−2y0(0) −···−p yn−2)(0) −yn−1)(0), n ∈N. Así, el uso de la transformada de Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales simplica notablemente los problemas de cálculo dado que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebráica. Veámoslo en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.2. Apliquemos la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial y00 +ay0+by =f(x) con condiciones iniciales y(0) = y0 , y0(0) = y1 y a, b ∈C . Se tiene: L[y00 +ay0+by] = L[f], de la linealidad se deduce L[y00] + aL[y0] + bL[y] = L[f], y por la propiedad anterior (p2L[y]−py(0) −y0(0)) + a(pL[y]−y(0)) + bL[y] = L[f]. Agrupando términos (p2+ap +b)L[y] = (p+a)y0+y1+L[f], entonces, despejando L[y] = (p+a)y0+y1+L[f] p2+ap +b. Las constantes a, b, y0 e y1 y la función f son conocidas, por lo que L[f] es una función de p especíca, y así L[y] es una función de p totalmente conocida. Entonces, calcular la solución y(t) se reduce a calcular la inversa de esta transformada. Ejemplo 1.3. Calcular la solución de la ecuación diferencial u00 +au0+bu =t, t ∈[0,1], con condiciones de frontera u(0) = u(1) = 0 , y para los parámetros a= 2, b = 1 . La ecuación diferencial a resolver es entonces u00 + 2u0+u=t. Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados tenemos p2L(u)−pu(0) −u0(0) + 2pL(u)−2u(0) + L(u) = L(t) = 1 p2. 6 CAPÍTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE Por comodidad llamaremos u0(0) = k siendo k una constante que determinaremos más tarde. Ahora, como u(0) = 0 (p2+ 2p+ 1)L(u)−k=1 p2, así L(u) = 1 + kp2 p2(p2+ 2p+ 1) =−2 p+1 p2+2 p+ 1 +k+ 1 (p+ 1)2. Aplicando la transformada inversa llegamos a la solución u=L−1−2 p+L−11 p2+L−12 p+ 1+L−1k+ 1 (p+ 1)2 =−2 + t+ 2e−t+ (k+ 1)te−t. (1.3) Solo nos queda averiguar el valor de k=u0(0) . Para ello, como u(0) = u(1) = 0 tomamos t= 1 en (1.3) y entonces u(1) = −2+1+2e−1+ (k+ 1)e−1, y de esta última expresión y de las condiciones de frontera se deduce que k=e−3 . Para comprobar que efectivamente esto es cierto, derivamos la expresión (1.3), tomamos t= 0 y vemos que se verica u0(t)t=0 = (1 −2e−t+ (k+ 1)e−t−(k+ 1)te−t)t=0 =k=e−3. Concluimos entonces con que la solución de la ecuación diferencial es u(t) = −2 + t+ 2e−t+ (e−2)te−t. Es posible también derivar e integrar la transformada de Laplace respecto del parámetro p . Supongamos que f es una función para la que existe la transformada de Laplace, y asumiremos que los operadores diferenciación e integración conmutan. Entonces F0(p) = d dp Z∞ 0 e−pxf(x)dx =Z∞ 0 d dp(e−pxf(x))dx =Z∞ 0 e−px(−xf(x))dx =L[−xf(x)]. Podemos observar que la derivada de F(p) es igual a la transformada de Laplace de −xf(x) . Reiterando este calculo n veces se deduce: Fn)(p) = L[(−1)nxnf(x)](p) 1.1. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 7 Ejemplo 1.4. Calculemos la tranformada de Laplace de √x . L[√x] = L[x1/2] = −L[−x·x−1/2] = −d dpL[x−1/2] Es entonces necesario calcular L[x−1/2] L[x−1/2] = Z∞ 0 e−pxx−1/2dx =Z∞ 0 e−yy p−1/2dy p=p−1/2Z∞ 0 e−yy−1/2dy = 2p−1/2Z∞ 0 e−t2dt. Calculamos I=R∞ 0e−t2dt ayudándonos de un cambio a coordenadas polares: I·I=Z∞ 0 e−t2dt ·Z∞ 0 e−s2ds =Zπ/2 0Z∞ 0 e−r2rdrdθ =Zπ/2 0−e−r2 2∞ 0dθ =π 20 + 1 2=π 4. Así obtenemos I2=π 4 , entonces I=√π 2. Por tanto L[x−1/2]=2p−1/2√π 2=qπ p . Así, concluímos que: L[√x] = −d dprπ p=1 2prπ p. Veremos ahora algunas fórmulas que serán útiles para resolver ecuaciones diferenciales con coecientes no constantes. Sean y=f(x) una función e Y=L[f] su transformada de Laplace. De las propiedades probadas anteriormente, deducimos L[xy(x)] = −L[−xy(x)] = −d dpL[y] = −d dpY. L[xy0(x)] = −d dpL[y0] = −d dpL[py −y(0)] = −d dp[pY ]. L[xy00(x)] = −d dpL[y00] = −d dpL[p2y−py(0) −y0(0)] = −d dp[p2Y−py(0)] En general, se puede probar L[xyn)(x)] = −d dpL[yn)] = −d dpL[pnY−pn−1y(0) −pn−2y0(0) −···−pyn−2(0) −yn−1(0)], n ∈N A continuación veremos un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial mediante el uso de la transformada de Laplace que aparece como ejercicio propuesto en el libro Ecuaciones Diferenciales de Simmons [ 9 ] . 8 CAPÍTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejemplo 1.5. Encontrar la única solución del problema inicial xy00 + (2x+ 3)y0+ (x+ 3)y= 3e−x con condiciones iniciales y(0) = y0(0) = 0 . Aplicamos la transformada de Laplace de y que denotaremos por Y : L[xy00]+2L[xy0]+3L[y0] + L[xy]+3L[y] = 3L[e−x], entonces, aplicando las anteriores propiedades −d dp[p2Y−py(0)] −2d dp[pY ] + 3[pY −y(0)] −d dpY+ 3Y=3 p+ 1, con lo cual −2pY −p2dY dp +y(0) −2Y−2pdY dp + 3pY −3y(0) −dY dp + 3Y=3 p+ 1, así, −(p2+ 2p+ 1)dY dp + (1 + p)Y=3 p+ 1, (1.4) y esta última ecuación es una EDO lineal de primer orden. Por tanto, resolvemos la EDO lineal homogénea asociada por el método de variación de constantes (1 + p)Y= (p2+ 2p+ 1)dY dp , es decir (p+ 1) (p+ 1)2Y=dY dp , y ahora aplicando variables separadas dp (p+ 1) =dY Y, integrando en ambos lados ln(Y) = ln(p+ 1) + K(p). y aplicando la exponencial para eliminar los logaritmos Y= (p+ 1)C(p), (1.5) 1.1. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 9 siendo C(p) una función a determinar. Sustituímos ahora este resultado en (1.4) para encontrar el valor de la función C(p) −(p+ 1)2(C(p)+(p+ 1)C0(p)) + (p+ 1)2C(p) = 3 p+ 1, o equivalentemente −(p+ 1)3·C0(p) = 3 p+ 1, y despejando C0(p) C0(p) = −3 (p+ 1)4. Ahora integrando C(p) = 1 (p+ 1)3+C, siendo C una constante. Determinamos el valor de la constante gracias a las condiciones iniciales 0 = y(0) = (0 + 1) ·1 (0 + 1)3+C, luego C=−1 . Sustituyendo este resultado en 1,5 Y= (p+ 1) ·1 (p+ 1)3+C=1 (p+ 1)2−(p+ 1). Basta con encontrar la transformada inversa de la función que hemos calculado para obtener la solución de la ecuación diferencial: y=L−1[Y] = L−1(L[y]) = L−11 (p+ 1)2−L−1(p+ 1) = xe−x−δ0(x)−δ(x), siendo δ la función Delta de Dirac de la cual hablaremos más adelante. Finalmente, dado p > 0 , veremos ahora que se puede calcular R∞ pF(s)ds . Z∞ p F(s)ds =Z∞ pZ∞ 0 e−sxf(x)dxds =Z∞ 0 f(x)Z∞ p e−sxdsdx =Z∞ 0 f(x)e−sx −x∞ p =Z∞ 0 f(x)e−px xdx =Z∞ 0 e−px f(x) xdx =Lf(x) x. Esta última propiedad nos permite calcular de forma automática integrales cuyas funciones no tienen primitiva. 10 CAPÍTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejemplo 1.6. Sabemos que L[sen x] = 1 (p2+1) , entonces, de la propiedad anterior, deducimos (tomando p= 0 ) Z∞ 0 sen x xdx =Z∞ 0L(sen s)ds =Z∞ 0 ds s2+ 1 = arctan s∞ 0=π 2. 1.2. Convolución de dos funciones Dadas dos funciones f y g para las que existe su correspondiente transformada de Laplace, a veces resulta útil calcular L−1[F·G] . Veamos como se puede hacer esto: F(p)·G(p) = Z∞ 0 e−psf(s)ds ·Z∞ 0 e−ptg(t)dt =Z∞ 0Z∞ 0 e−p(s+t)f(s)g(t)dsdt =Z∞ 0Z∞ 0 e−p(s+t)f(s)dsg(t)dt =Z∞ 0Z∞ t e−pxf(x−t)g(t)dxdt. Invirtiendo el orden de integración: F(p)·G(p) = Z∞ 0Zx 0 e−pxf(x−t)g(t)dtdx =Z∞ 0 e−px Zx 0 f(x−t)g(t)dtdx =LZx 0 f(x−t)g(t)dt. La expresión Rx 0f(x−t)g(t)dt recibe el nombre de convolución de f y g y se denota por: (f∗g)(x) = Zx 0 f(x−t)g(t)dt. Deducimos pues que : L[f∗g](p) = F(p)·G(p) = L[f]·L[g]. En este caso consideramos f, g : [0,∞)−→ R . En general podemos tener funciones denidas en otros intervalos. El producto de convolución se dene de igual forma para funciones de Rn . Podemos observar fácilmente que no siempre está bien denido, como veremos a continuación guiándonos por un ejemplo de [ 4 ] . Si tomamos f(x) = g(x)=1∀x∈R , tenemos que: (f∗g)(x) = Z∞ −∞ 1dt = +∞. Algunas de las principales propiedades de las convoluciones son: 1. La convolución es una operación conmutativa f∗g=g∗f . Esto se comprueba con un cambio de variable: (f∗g)(x) = Zx 0 f(x−t)g(t)dt =−Z0 x f(s)g(x−s)ds =Zx 0 f(s)g(x−s)ds = (g∗f)(x) 1.2. CONVOLUCIÓN DE DOS FUNCIONES 11 2. Es asociativa: f∗(g∗h) = (f∗g)∗h 3. Es distributiva respecto a la suma: f∗(g+h) = f∗g+f∗h . Ejemplo 1.7. Resuelve la siguiente ecuación diferencial y00 +a2y0=f(x) con condiciones iniciales y(0) = y0(0) = 0 . Aplicamos la transformada de Laplace: L[y00] + a2L[y] = L[f], así p2L[y]−py(0) −y0(0) + a2L[y] = F, y con las condiciones iniciales se tiene (p2+a2)L[y] = F, aplicando las propiedades de convolución L[y] = 1 aL[sen ax ∗f]. Por último, aplicando la transformada inversa llegamos a la solución de la ecuación diferencial y(x) = 1 aZx 0 sen a(x−t)f(t)dt. Una ecuación integral es un tipo de ecuación en la que la función incógnita gura bajo el signo integral. Usaremos la transformada de Laplace para resolver una ecuación de este tipo en el siguiente ejemplo. Busquemos una función y que verique la siguiente igualdad integral: Ejemplo 1.8. Buscar una función y que verique la siguiente igualdad integral: e−x=y(x)+2Zx 0 cos(x−t)y(t)dt. Apliquemos la transformada de Laplace a ambos lados: L[e−x] = L[y]+2L[cos ∗y], 12 CAPÍTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE así 1 p+ 1 =L[y]+2L[cos x]L[y], despejando L(y) L[y] = 1 p+ 1 ·1 1+2L[cos x]=1 p+ 1 ·1 1+2 p p2+1 =p2+ 1 (p+ 1)3 =1 p+ 1 −2 (p+ 1)2+2 (p+ 1)3. Aplicando la transformada inversa y(t) = L−11 p+ 1 −2 (p+ 1)2+2 (p+ 1)3, con lo cual y(t) = e−t−2e−tt+e−tt2. 1.3. Problema mecánico de Abel En este apartado veremos cómo aplicar la transformada de Laplace a un problema clásico propuesto por Abel, nos guiaremos por [ 9 ] y por [ 10 ] . Supongamos que tenemos un hilo doblado en forma de curva sucientemente regular, por el que se desliza una cuenta sin rozamiento y sobre la cual solo actúa la fuerza de la gravedad. Imaginemos que la forma del cable representa una función y=y(x) que termina en el origen de coordenadas. El tiempo de descenso de la cuenta, T(y) , depende de la forma del hilo y del punto inicial de partida. El problema de Abel consiste en invertir el proceso, dado el tiempo T determinar la forma del hilo. Este problema conduce a una ecuación integral que se puede resolver usando la transformada de Laplace. Partimos del principio de conservación de la energía: 1 2mds dt 2 +mgh =1 2mds dt 2t=0 +mgh0. (1.6) Consideramos que la cuenta parte del reposo con lo cual v0=ds dt t=0 = 0 . Además h0 representa la altura inicial, que denotaremos por h0=y y h la altura nal del hilo que denotaremos por h=v . Así la ecuación (1.6) resulta ser 1 2mds dt 2 =mg(y−v). 1.3. PROBLEMA MECÁNICO DE ABEL 13 Donde el término de la izquierda es la energía cinética y el de la derecha la energía potencial. De aquí −ds dt =p2g(y−v), o lo que es lo mismo dt =−ds p2g(y−v). Integrando desde v=y hasta v= 0 : T(y) = Zv=0 v=y dt =Zv=0 v=y−ds p2g(y−v)=1 √2gZy 0 s0(v) √y−vdv. Ahora, como la longitud de una curva (x, y(x)) , viene dada por s=s(y) = Zy 0s1 + dx dy 2 , se tiene por tanto f(y) = s0(y) = s1 + dx dy 2 . (1.7) Entonces la integral: T(y) = 1 √2gZy 0 f(v) √y−vdv nos da el tiempo de descenso de la cuenta. Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación integral de Abel . Como vemos, consta de la convolución entre dos funciones, por lo que si aplicamos la transformada de Laplace: L[T(y)] = 1 √2gL[y−1 2]L[f(y)], o lo que es lo mismo L[f(y)] = r2g πp1 2L[T(y)]. (1.8) Cuando el tiempo de descenso en el problema de Abel es constante, T(y) = T0 , signica que no importa el punto de partida de la cuenta, pues es independiente del tiempo que tarda en llegar desde el punto inicial hasta el origen de coordenadas. Las curvas que verican esto son las llamadas tautócronas que son como veremos, en particular, cicloides invertidas. Una cicloide es la curva descrita por un punto jo de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una linea recta. El problema de la tautócrona, determinar la curva para la que el tiempo de descenso de un objeto que se desliza sin rozamiento y gracias a la fuerza de la gravedad hasta su punto más bajo es independiente del punto de partida del mismo fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659. 20 CAPÍTULO 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejemplo 1.11. La corriente I(t) en un circuito eléctrico, con inductancia L y resistencia R viene dada por la ecuación: L∂I ∂t +RI =E(t), donde E(t) es la fuerza electromotriz aplicada. Supuesto que I(0) = 0 , usaremos la transformada de Laplace para calcular I(t) en los siguientes casos: (a) E(t) = E0u(t) Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación dada: LL[∂I ∂t ] + RL[I] = E0L[u], desarrollando esta expresión tenemos L(pL[I]−I(0)) + RL[I] = E0 p, agrupando términos (Lp +R)L[I] = E0 p, y despejando L[I] = E0 Lp +R·1 p=− E0L R Lp +R+ E0 R p. Por último, aplicando la transformada inversa I(t) = −E0L R·1 Le−R Lt+E0 R=E0 R(1 −e−R Lt). (b) E(t) = E0δ(t) Procedemos como en el apartado anterior. Primero aplicamos la transformada de Laplace: LL[∂I ∂t ] + RL[I] = E0L[δ], desarrollamos L(pL[I]−I(0)) + RL[I] = E0, despejamos L[I] = E0 Lp +R=E0 L·1 p+R L , y aplicamos la transformada inversa para obtener la solución I(t) = E0 Le−R Lt. Capítulo 2 Transformada de Fourier En este capítulo estudiaremos otro tipo de transformación integral; la transformada de Fourier. Veremos que es muy útil para la resolución de EDOs y Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) ya que reduce la complejidad de estos problemas. Cabe destacar que la transformada de Laplace es una generalización de la transformada de Fourier, por lo que sus propiedades serán muy similares. A menos que se especique otra referencia, en la mayor parte del capítulo seguiremos el libro de Luís A. Fernández [ 4 ] . Denición 2.1. La transformada de Fourier de una función f:R−→ C es otra función que viene dada por: Z∞ −∞ f(x)e−ipxdx, para todo p∈R, con i=√−1 . Denotaremos la transformada de Fourier de una función f como F(f) o como ˆ f , esta última notación se usará sobre todo en la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales ya que resulta más cómodo. Al igual que sucedía en el caso de la transformada de Laplace, la transformada de Fourier existe solo si existe dicha integral. Veamos ahora como surge la transformada de Fourier a partir de las series de Fourier. Para esta parte nos guiaremos por el tema tres de [ 3 ] . Podemos representar mediante una serie de Fourier una función f(x) periódica de periodo L y denida en R , como aparece a continuación: f(x) = ∞ X n=0 ancos nπ Lx+bnsen nπ Lx, con a0=1 2LZL −L f(x)dx, an=1 LZL −L f(x) cos nπ Lxdx, 21 22 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER y bn=1 LZL −L f(x) sen nπ Lxdx. Ahora bien, podemos extender el concepto de serie de Fourier a funciones no periódicas. Para ello, debemos considerar estas funciones como si fuesen periódicas de periodo innito, pasando al límite en la amplitud L del intervalo. Cuando L crece, el espectro discreto se hace cada vez más denso hasta pasar a un espectro continuo cuando L→ ∞ . Podemos cambiar entonces el símbolo de sumatorio en la variable discreta n por el de integral en la variable continua w . Así, para cierta f sucientemente regular se tiene f(x) = Z∞ 0 [a(w) cos(wx) + b(w) sen(wx)]dw, (2.1) con a(w) = 1 πZL −L f(x) cos(wx)dx, b(w) = 1 πZL −L f(x) sen(wx)dx. La integral 2,1 se denomina integral de Fourier de f , y los coecientes a(w) y b(w) coe- cientes integrales de Fourier. Es posible escribir la integral de Fourier en forma de exponenciales complejas, llegando al siguiente resultado: f(x) = Z∞ −∞ Z∞ −∞ f(p)e−ipwdpeixwdw, y esta integral se puede reescribir en dos partes f(x) = aZ∞ −∞ c(w)eixwdw, con c(w) = bZ∞ −∞ f(p)e−ipwdp, de forma que ab =1 2π . Nosotros escogeremos a= 1/2π , b= 1 y así nuestra transformada de Fourier será c(w) = Z∞ −∞ f(p)e−ipwdp, y como veremos más adelante su inversa será f(x) = 1 2πZ∞ −∞ c(w)eixwdw. Observación 2.2 . Esta denición no es única, hay otras formas de denir la transformada de Fourier, como pueden ser: F(f)(p) = Z∞ −∞ f(x)eipxdx, F(f)(p) = Z∞ −∞ f(x)e−2πipxdx, F(f)(p) = 1 2πZ∞ −∞ f(x)eipxdx, F(f)(p) = 1 √2πZ∞ −∞ f(x)e−ipxdx. 2.1. PROPIEDADES 23 Por lo tanto, los resultados expuestos a continuación pueden variar dependiendo de donde se consulten. En este capítulo será de gran ayuda la Formula de Euler : eiθ = cos θ+isen θ. Ejemplo 2.3. Podemos encontrar fácilmente funciones para las que no existe transformada de Fourier, como por ejemplo f(x)=1 . Si p= 0 entonces: F(f)(0) = Z∞ −∞ 1dx = +∞. Si p6= 0 : F(f)(p) = Z∞ −∞ 1·e−ipxdx = l´ım a→−∞ b→∞ Zb a e−ipxdx = l´ım a→−∞ b→∞ e−ipa −e−ipb ip =1 ip l´ım a→−∞ b→∞ [cos(pa)−cos(pb) + i(sen(pb)−sen(pa))], y concluyendo que este límite no existe. Dada una función f , una condición suciente para la existencia de su trasformada de Fourier es: Z∞ −∞ |f(x)|dx < +∞, es decir, que sea absolutamente integrable, ya que así: | F(f)(p)|≤ Z∞ −∞ |f(x)e−ipx |dx =Z∞ −∞ |f(x)|dx < +∞,∀p∈R. Entonces, si consideramos el espacio L1(R) := {f:R−→ C medible |Z∞ −∞ |f(x)|dx < +∞}, la transformada de Fourier está bien denida para todo f∈ L1(R) . 2.1. Propiedades Veremos en esta sección las principales propiedades de la transformada de Fourier de una función. A partir de ahora supondremos que las funciones son absolutamente integrables para que exista su transformada de Fourier. Durante esta sección todos los resultados pueden encontrarse en el libro Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales [ 4 ] . 24 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER La transformada de Fourier es un operador lineal. Dadas dos funciones f y g , se tiene: F[af +bg](p) = aF[f](p) + bF[g](p),∀a, b ∈R. Además, también se pueden realizar traslaciones en el tiempo. Dado a∈R: F[f(t−a)](p) = e−iapF[f(t)](p). La transformada de Fourier también se puede aplicar a la derivada de ciertas funciones. Supongamos que f∈ C1(R) a trozos con f0∈ L1(R) , entonces: F(f0)(p) = ipF(f)(p), generalmente, si f es Cn(R) a trozos y fn)∈ L1 entonces F(fn))(p)=(ip)nF(f)(p). Además si xf(x) es integrable, entonces F(xf(x))(p) = iF(f)0(p). En general, si tenemos derivadas de orden superior F(xnf(x))(p) = indn dpnF(f)(p). El siguiente lema junto con su demostración se puede encontrar en [ 12 ] . Lema 2.4. La transformada de Fourier admite cambios de escala, es decir, sea δ > 0 , entonces F(f(xδ))(p) = 1 |δ|F(f)(p δ) Demostración. Con un sencillo cambio de variable tenemos F(f(xδ))(p) = (R∞ −∞ f(s)e−ips/δ ds δ=1 δR∞ −∞ f(s)e−ips/δds δ > 0, R−∞ ∞f(s)e−ips/δ ds δ=−1 δR∞ −∞ f(s)e−ips/δds δ < 0, =1 |δ|Z∞ −∞ f(s)e−ips/δds =1 |δ|F(f)p δ. Además, como estamos suponiendo que la función f es absolutamente integrable se tiene: 2.1. PROPIEDADES 25 Lema 2.5. (Lema de Riemman Lebesgue) La transformada de Fourier cumple l´ım |p|→+∞F(p) = 0. Demostración. |F(f)(p)|=|F(f0)(p)| |p|≤R∞ −∞ |f0(x)|dx |p|=C |p|−→|p|→∞ 0. Veremos ahora un ejemplo del cálculo de la transformada de Fourier de una función en el que aplicaremos algunas de las propiedades que hemos visto. Puede encontrarse en [ 3 ] . Ejemplo 2.6. Calcula la transformada de Fourier de la función f(x) = xe−x2 . Usando la linealidad y la fórmula de la transformada de Fourier de la derivada de una función: F[xe−x2] = F[−1 2(−e−x2)0] = −1 2F[(e−x2)0] = −1 2ipF[e−x2]. Entonces, solo tenemos que calcular la transformada de Fourier de la función g(x) = e−x2 . Teniendo en cuenta que g0(x) = −2xg(x) tenemos: 0 = F(g0(x)+2xg(x)) = F(g0(x)) + 2F(xg(x)) = ipF(g)(p)+2idF(g) dp (p), o lo que es lo mismo dF(g) dp (p) = −p 2F(g)(p), que es una EDO lineal de primer orden. Así, integrando: F(g)(p) = Ce−p2 4, C ∈R. Además, C=F(g)(0) = Z∞ −∞ e−x2dx, y procediendo como en (1.4) podemos calcular el valor de la integral C=R∞ −∞ e−x2dx , por tanto C=√π , y entonces F(e−x2)(p) = √πe−p2 4. (2.2) En conclusión, tenemos que F(xe−x2) = −i√π 2pe−p2 4. 26 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER 2.1.1. Convolución y transformada de Fourier Ya hemos visto anteriormente la denición y las propiedades del producto de convolución. Analicemos ahora como actúa la transformada de Fourier sobre una convolución. Lema 2.7. Supongamos que f, g ∈ L1(R) , para asegurarnos de que existen las transformadas de f y g . Entonces: F(f∗g)(p) = F(f)(p)·F(g)(p) Demostración. Podemos usar el teorema de Fubini ya que F(f∗g) es absolutamente integrable. F(f∗g)(p) = Z∞ −∞ (f∗g)e−ipxdx =Z∞ −∞ Z∞ −∞ f(y)·g(x−y)dye−ipxdx =Z∞ −∞ Z∞ −∞ f(y)e−ipyg(x−y)e−ip(x−y)dydx =Z∞ −∞ Z∞ −∞ f(y)e−ipydyg(x−y)e−ip(x−y)dx =F(f)·Z∞ −∞ g(x−y)e−ip(x−y)dx =F(f)(p)·F(g)(p). 2.1.2. Transformada inversa de Fourier Daremos primero un resultado que nos permitirá denir más adelante la transformada inversa de Fourier de una función. Teorema 2.8. (Teorema de inversión de Fourier) Supongamos que f es una función absolutamente integrable y C1 a trozos en cada intervalo de R . Entonces: 1 2πZ∞ −∞ F(f)(p)eipxdp =f(x+) + f(x−) 2,∀x∈R. Demostración. Partimos de la siguiente propiedad de convergencia de las series de Fourier a0 2+∞ X n=1 ancos nπx L+bnsen nπx L=f(x+) + f(x−) 2,∀x∈(−L, L), (2.3) donde an=1 LZL −L f(x) cos nπx L, n = 0,1,2, ... bn=1 LZL −L f(x) cos nπx L, n = 1,2, ... 2.1. PROPIEDADES 27 Podemos reescribir 2,3 como sigue: f(x+) + f(x−) 2=1 2L ∞ X n=−∞ cneinπx L,∀x∈(−L, L), con cn=ZL −L f(x)e−inπx Ldx, n = 0,±1,±2, ... siendo c0=La0, cn=L(an−ibn), c−n=L(an+ibn), con n= 1,2, ... Denimos ahora 4p=π L y pn=n4p . Las anteriores igualdades nos quedan entonces de la siguiente forma f(x+) + f(x−) 2=1 2π ∞ X n=−∞ cneipnx4p, ∀x∈(−L, L), y cn=ZL −L f(x)e−ipnxdx, n = 0,1,2, ... Suponiendo que f(x)→0 cuando x→ ±∞ y que L es sucientemente grande, podemos reescribir de nuevo estas dos últimas igualdades de forma aproximada cn≈Z∞ −∞ f(x)e−ipnxdx =F(f)(pn), n = 0,1,2, ... f(x+) + f(x−) 2≈1 2π ∞ X n=−∞F(f)(pn)eipnx4p, ∀x∈(−L, L). Por último, como 4p→0 cuando L→+∞ y como la serie anterior se corresponde con la suma de Riemman de una integral, haciendo el límite tenemos f(x+) + f(x−) 2=1 2πZ∞ −∞ F(f)(p)eipxdp, ∀x∈R. Estamos ya en las condiciones para denir la transformada inversa de la transformada de Fourier de una función. Denición 2.9. Dada una función g(p) denida para todo p∈R , la transformada inversa de Fourier de g es otra función que denotaremos por F−1(g) y que viene dada por F−1(g)(x) = 1 2πZ∞ −∞ g(p)eipxdx, x ∈R. Teniendo en cuenta el teorema de inversión de Fourier resulta trivial ver que para toda función f(x) continua, absolutamente integrable y derivable a trozos se tiene F−1(F(f)(p))(x) = f(x),∀x∈R, F(F−1(f)(x))(p) = f(p),∀p∈R. 28 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER 2.1.3. La transformada de Fourier multidimensional En este apartado veremos que la transformada de Fourier se puede extender a tantas dimensiones como queramos. Sea entonces x= (x1, x2, ..., xN) un vector perteneciente a RN . Podemos denir la transformada de Fourier de una función f de N variables reales de la siguiente forma F(p1, p2,···, pN) := Z∞ −∞ ···Z∞ −∞ f(x)e−ihp,xidx1dx2···dxN, siendo p= (p1,···, pN)∈RN y hp, xi el producto usual en RN. 2.2. Aplicaciones de la transformada de Fourier a las EDP Ya hemos visto que la transformada de Fourier es útil a la hora de resolver ecuaciones diferenciales. Destacaremos ahora la importancia que tiene para resolver Ecuaciones en Derivadas Parciales. Lo haremos mediante algunos ejemplos en R y RN . A partir de ahora, supondremos que existe en todo momento la transformada de Fourier de todas las funciones que aparezcan y su inversa. 2.2.1. La ecuación del calor Consideremos el problema de difusión del calor a través de un alambre de longitud innita, suponiendo que sabemos la temperatura en cada punto en el instante inicial. (ut(x, t) = uxx(x, t), x ∈R, t > 0, Ecuación del Calor u(x, 0) = f(x), x ∈R. Condición inicial Aplicamos la transformada de Fourier, respecto a la variable espacial x , a la solución del problema, y denotando por U(p, t) = F(u)(p) = Z∞ −∞ u(x, t)e−ixpdx y utilizando las propiedades mencionadas anteriormente, tenemos (Ut(p, t) = −p2U(p, t), p ∈R, t > 0, U(p, 0) = F(f)(p), p ∈R. Fijando p∈R , el problema anterior podemos resolverlo como una EDO lineal de primer orden respecto de la variable temporal t , luego aplicando variables separadas e integrando obtenemos U(p, t) = c(p)e−p2t, 2.2. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER A LAS EDP 29 siendo c una función arbitraria a determinar. De la condición inicial deducimos que c(p) = U(p, 0) = F(f)(p) , entonces U(p, t) = F(f)(p)e−p2t. Para resolver el problema solo queda aplicar la transformada inversa: u(x, t) = 1 2πZ∞ −∞ F(f)(p)e−p2teipxdp. Dependiendo de cual sea la función f será posible calcular la integral anterior o no. Por ejemplo si suponemos que f(x) = e−x2 , ya hemos visto en 2,2 que F(f) = √πe−p2 4 , así u(x, t) = 1 2πZ∞ −∞ √πe−p2 4e−p2teipxdp =1 2√πZ∞ −∞ e−p2(t+1 4)eipxdp =1 2√πF(e−p2(t+1 4))(−x) = 1 2√π√π1 qt+1 4 e−x2 4t+1 =e−x2 4t+1 √4t+ 1. Donde hemos usado 2,2 y la propiedad de (2.4) tomando α=qt+1 4 y f(x) = e−x2 . Generalmente, para encontrar la transformada inversa de U(p, t) debemos tener en cuenta que e−p2t=1 √πF(e−x2)(2p√p) = 1 2√πtF(e−π2 4t)(p), donde hemos usado de nuevo 2,2 y (2.4) con α=1 2√t . Tenemos pues U(p, t) = F(f)(p)1 2√πtF(e−π2 4t)(p), lo que nos da el producto de dos transformadas de Fourier. Aplicando ahora convoluciones, resulta u(x, t) = f(x)∗e−x2 4t 2√πt =1 2√πt Z∞ −∞ f(x−y)e−y2 4tdy =1 2√πt Z∞ −∞ f(y)e−(x−y)2 4tdy. Observación 2.10 . Llamamos núcleo gaussiano a la expresión K(x, t) = e−x2 4t √4πt. Esta función se conoce también como solución fundamental de la Ecuación del Calor debido a su importancia a la hora de resolver esta ecuación. 36 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER Ahora bien, podemos calcular las transformadas de Fourier inversas de las funciones sen(tkpk) kpk y cos(tkpk) del siguiente modo F−1sen(tkpk) kpk=iπ kpk(δ(p−kpk)−δ(p+kpk)), F−1(cos(tkpk)) = π(δ(p−kpk) + δ(p+kpk)). Entonces, teniendo en cuenta que d dtv1(p, t) = cos(tkpk), (2.11) y llamando E(x, t) = ZRN eihx,pisen(tkpk) kpkdp, tenemos que d dtE(x, t) = ZRN eihx,picos(tkpk)dp. Usando ahora la expresión (2.10) y las propiedades de la trasformada de Fourier, obtenemos la solución del problema de Cauchy como sigue u(x, t) = ZRN d dtE(x−y, t)f(y)dy +ZRN E(x−y, t)g(y)dy, (2.12) es decir u(x, t) =F−1(v(p, t)) = g(t)∗iπ kpk(δ(p−kpk)−δ(p+kpk)) +f(p)∗π(δ(p−kpk) + δ(p+kpk)). (2.13) Realmente, la expresión de u(x, t) de (2.13) es una candidata a solución del problema de Cauchy asociado a la ecuación de ondas en R3 . Para ver que en efecto es solución tendríamos que comprobar que existe la transformada de Fourier de las funciones y sus inversas, y comprobar que se verica la ecuación de ondas y las condiciones iniciales. Esta comprobación no se incluye en el trabajo debido a su alto nivel de complejidad. Se puede consultar en [ 6 ] , pág. [232,234]. 2.2.3. El problema no homogéneo Veremos ahora como resolver problemas de Cauchy para la ecuación del calor no homogéneos para Ecuaciones en Derivadas Parciales. Después pondremos algunos ejemplos. Seguiremos [ 6 ] . 2.2. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER A LAS EDP 37 Consideremos el siguiente problema de Cauchy (ut(x, t)−4u(x, t) = F(x, t),∀x∈RN, t > 0, u(x, 0) = f(x),∀x∈RN. Para su resolución, buscaremos una solución del problema en el que la condición inicial es igual a cero. (ut(x, t)−4u(x, t) = F(x, t),∀x∈RN, t > 0, u(x, 0) = 0,∀x∈RN. (2.14) Como ya hemos visto, aplicando la transformada de Fourier se obtiene ((ˆu)t(p, t) + kpk2ˆu(p, t) = ˆ F(p, t),∀p∈RN, t > 0 ˆu(p, 0) = 0,∀p∈RN. Fijando p y denotando por z(t) = ˆu(p, t) obtenemos la siguiente EDO lineal homogénea: (z0(t) + kpk2z(t) = ˆ F(p, t),∀p∈RN, t > 0, z(0) = 0,∀p∈RN. Usando el método de variación de constantes obtenemoss la siguiente solución z(t) = ˆu(p, t) = Zt 0 ˆ F(p, t)e−kpk2(t−s)ds. Buscaremos ahora una función tal que su transformada de Fourier tenga la misma expresión que la anterior integral. Usando el razonamiento general para el cálculo de la transformada de Fourier de f(x) = ae−bx2 visto en la resolución de la ecuación del calor en RN , deducimos que, jado t−s , se tiene e−kpk2(t−s)=ˆ K(p, t −s),∀t > 0, siendo K(x, t) = 1 (4πt)N 2 e−kxk2 4t∀x∈RN,∀t > 0, el núcleo gaussiano en RN . Entonces ˆu(p, t) = Zt 0 ˆ F(p, t)ˆ K(p, t −s)ds. Llamando Fs(p) := F(p, s), Kt−s(p) := K(p, t −s), 38 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER tenemos ˆu(p, t) = Zt 0c Fs(p)[ Kt−s(p)ds = \ Zt 0 Fs∗Kt−s(p)ds =Zt 0 \ ZRN Fs(y)Kt−s(x−y)dy!ds =Zt 0ZRNZRN Fs(y)Kt−s(x−y)dye−ihx,pids =ZRNZt 0ZRN Fs(y)Kt−s(x−y)dydse−ihx,pidx = Zt 0 \ ZRN Fs(y)Kt−s(x−y)dyds!. Entonces una solución de (2.14) podría ser u(x, t) = Zt 0ZRN Fs(y)Kt−s(x−y)dyds =Zt 0 1 (4π(t−s))N/2ZRN e−kx−yk2 4tF(y, s)dyds. (2.15) Podemos entonces construir una posible solución del problema de Cauchy no homogéneo sumando una solución del problema (2.4) y la solución (2.15) del problema (2.14), y ésta viene dada por u(x, t) = Zt 0ZRN K(x−y, t −s)F(y, s)dyds +ZRN K(x−y, t)f(y)dy. (2.16) Igual que antes tendríamos que vericar si efectivamente (2.16) cumple las condiciones (1) , (2) , (3) , (4) , y (5) del teorema 2,11 para ser solución. Observación 2.13 . Ya hemos visto que una solución para el problema de Cauchy (2.14) viene dada por la expresión (2.15). Además, para cada s∈R , se cumple que v(x, t, s) := ZRN K(x−y, t −s)F(y, s)dy, ∀x∈RN,∀t > s, es la única solución acotada de (ut(x, t, s)−4u(x, t, s)=0,∀x∈RN, t > s, u(x, 0) = F(x, s),∀x∈RN. Entonces podemos reescribir la solución del problema (2.14) como sigue u(x, t) = Zt 0 v(x, t, s)ds ∀x∈RN. Estamos utilizando así el conocido Principio de Duhamel que consiste en construir la solución de (2.14) a partir de las soluciones de (2.4). 2.2. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER A LAS EDP 39 Los ejemplos que aparecen a continuación se pueden encontrar como ejercicios propuestos en [ 1 ] . Ejemplo 2.14. Resuelve mediante el uso de transformadas de Fourier la siguiente Ecuación en Derivadas Parciales: (ut(x, y, t)−4u(x, y, t) = et, u(x, y, 0) = cos xsen y. La solución viene dada por la expresión u(x, y, t) = u1(x, y, t) + u2(x, y, t) donde u1(x, y, t) = Zt 0ZR2 K(x−p, y −q, t −s)esdpdqds y u2(x, y, t) = ZR2 K(x−p, y −q, t) cos psen qdpdq. Para todo x, y ∈R, t > 0 denimos el núcleo integral de la siguiente forma K(x, y, t) = e−x2+y2 4t 4πt . Resolver las dos integrales anteriores no es muy sencillo, por tanto las resolveremos de la siguiente forma; u2 es solución de vt(x, y, t)−4xv(x, y, t) = 0, t > 0, v(x, y, 0) = cos xsen y. Calcularemos entonces u2 por separación de variables. Por tanto consideramos u2(x, y, t) = X(x)Y(y)T(t). Entonces deben vericarse las dos propiedades siguientes: X(x)Y(y)T0(t)−(X00(x)Y(y)T(t) + X(x)Y00(y)T(t)) = 0 y X(x)Y(y)T(0) = cos xsen y. Deducimos pues X(x) = c1cos x, Y (y) = c2sen y, con T(0) = 1 c1c2 . Como X00(x) = −X(x) y Y00(y) = −Y(y) , tenemos X(x)Y(y)(T0(t)+2T(t)) = 0, t > 0, x, y ∈R, 40 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER entonces T(t) = T(0)e−2t, t ∈R, y por tanto u2(x, y, t) = e−2tcos xsen y. Ahora, para calcular u1 , teniendo en cuenta que RRK(z, r)dz = 1 tenemos u1(x, y, t) = Zt 0 esZR2 K(x−p, y −q, t −s)dpdqds =Zt 0 esds =et−1, y por tanto podemos concluir con que la solución es u(x, y, t) = et−1 + e−2tcos xsen y. Ejemplo 2.15. Resuelve mediante el uso de transformadas de Fourier la siguiente ecuación en derivadas parciales: (ut(x, y, t)−4u(x, y, t) = (1 + 5t) cos xsen 2y, u(x, y, 0) = sen(x−y). De nuevo, la solución viene dada por la expresión u(x, y, t) = u1(x, y, t) + u2(x, y, t) donde u1(x, y, t) = Zt 0ZR2 K(x−p, y −q, t −s)(1 + 5s) cos psen 2qdpdqds y u2(x, y, t) = ZR2 K(x−p, y −q, t) sen(p−q)dpdq. Como antes, u2 resuelve el problema vt(x, y, t)−4v(x, y, t)=0, t > 0, v(x, y, 0) = sen(x−y). Intentamos calcular u2 como sigue: v2(x, y, z) = F(x−y)T(t), (2.17) y si existe alguna solución así se tiene F(z) = sen z T(0). Como 4F(x−y) = −2F(x−y) deducimos que la función T(t) debe vericar T0(t)+2T(t)=0, por tanto T(t) = T(0)e−2t, 2.2. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER A LAS EDP 41 y concluimos que u2(x, y, t) = e−2tsen(x−y). Para el cálculo de u1 emplearemos el principio de Duhamel. Debemos tener en cuenta que v1(x, y, t) = ZR2 K(x−p, y −q, t) cos psen 2qdpdq es solución al siguiente problema vt(x, y, t)−4v(x, y, t)=0, t > 0, v(x, y, 0) = cos xsen 2y. Procediendo de la misma forma que antes podemos resolver este problema y llegar a que v1(x, y, t) = e−5tcos xsen 2y. Por tanto u1(x, y, t) = Zt 0 (1 + 5s)e−5(t−s)cos xsen 2yds =e−5tcos xsen 2y·se5st 0=tcos xsen 2y. Finalmente, podemos concluir con que la solución al problema inicial es: u(x, y, t) = e−2tsen(x−y) + tcos xsen 2y. 42 CAPÍTULO 2. TRANSFORMADA DE FOURIER Bibliografía [1] Cabada Fernández A., Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales http://webspersoais.usc.es/export9/sites/persoais/persoais/alberto.cabada/descargas /EDP-Cabada-web.pdf (10/06/2021) [2] Cánovas Peña J. 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