Análise das eleições e decisões dos estudantes quando enfrentam situações-problema de matemática: uma contribuição desde a didática fundamental da matemática

Humberto Plácido Gusmão de Moura Tese de doutoramento Análise das eleições e decisões dos estudantes quando enfrentam situações-problema de matemática: uma contribuição desde a didática fundamental da matemática Departamento de Didática das Ciências Experimentais Facultade de Ciencias da Educación Santiago de Compostela 2015 Tese Doutoral Análise das eleições e decisões dos estudantes quando enfrentam situações-problema de matemática: uma contribuição desde a didática fundamental da matemática Humberto Plácido Gusmão de Moura Departamento de Didática das Ciências Experimentais Programa de Doutoramento RD778/1998 Santiago de Compostela 2015 AUTORIZACIÓN DO DIRECTOR Dna Mª TERESA FERNÁNDEZ BLANCO, Profesora do Departamento de Didáctica das Ciencias Experimentais, Como Directora da Tese de Doutoramento titulada “Análise das eleccións e decisións dos estudiantes cando se enfrontan a situacións-problema de matemáticas: unha aportación dende a Didáctica Fundamental da Matemática”. Presentada por Humberto Plácido Gusmão de Moura, Alumno do Programa de Doutoramento en Didáctica das Ciencias Experimentais e da Matemática. Autoriza a presentación da tese indicada, considerando que reúne os requisitos esixidos no artigo 34 do regulamento de Estudos de Doutoramento, e que como Director da mesma non incurre nas causas de abstención establecidas na lei 30/1992. En Santiago de Compostela, a de noviembre de 2015 Dra. Mª Teresa Fernández Blanco Profesora Titular de Didáctica de la Matemática. DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DAS CIENCIAS EXPERIMENTAIS Av. Xoan XXIII, s/n. 15782 Santiago de Compostela Tel. 981563100, Ext. 12062 Fax 981572681 AGRADECIMENTOS Quero neste momento deixar meus mais sinceros agradecimentos a todos aqueles que colaboraram para realização deste trabalho, em especial: Aos professores do Departamento de Didática das Ciências Experimentais e da Matemática da Universidade de Santiago de Compostela, aqui representado na pessoa de Drª Isabel García Rodeja (Diretora), por me acolherem tão carinhosamente todos estes anos. Ao amigo Antón Labraña, que com seu incentivo, colaboração e idéias tornaram possível à confecção deste estudo. Ao grande amigo José Antonio Cajaraville Pegito que mesmo diante das dificuldades nunca deixou de contribuir com este trabalho. A minha diretora de tese Drª Maria Teresa Fernández Blanco que contribuiu grandiosamente de duas formas: primeiro por aceitar dirigir o trabalho e segundo pelo seu comprometimento no feito do mesmo. E finalmente, aos meus grandes amores: Dona Ilza (in memerium), Izadorinha, Carolzinha e a minha amada esposa Tânia. É por vocês que faço isto, só por vocês, para terem sempre orgulho do seu filho, pai e esposo. i RESUMO (Português) O estudo de como os indivíduos tomam suas decisões tem sido interesse de muitas áreas de conhecimento. Nesta pesquisa, buscamos discutir a problemática de como os alunos escolhem/elegem suas estratégias e o que influenciam as suas decisões à luz de conceitos de teorias de modelos econômicos e de modelos didáticos. Pensamos ser possível uma interpretação de modelos econômicos – que se baseiam na premissa de que um indivíduo, dotado de uns determinados recursos e de uma capacidade de eleger e de tomar decisões, tratará sempre de maximizar a utilidade destes recursos – para o contexto educacional. Por exemplo, poderíamos hipoteticamente dizer que, por um lado, o professor, ante uma situação de ensino, buscará sempre maximizar os recursos didáticos na busca da melhor aprendizagem de seus alunos, por outro, alunos que, ante uma situação de aprendizagem, provavelmente, também procurarão maximizar os recursos adquiridos. Nesse contexto, este estudo tem por objetivo geral fazer uma interpretação de modelos econômicos, especificamente os que envolvem “eleição”, “tomada de decisão” e “teoria de jogos”, desde pressupostos das “estratégias ótimas”, da “maximização dos benefícios” e “minimização dos custos e riscos” e do modelo da Teoria das Situações Didáticas para analisar a conduta matemática de estudantes, quando resolvem problemas em sala de aula. O estudo se enquadra dentro de uma abordagem qualitativa de pesquisa; no que tange aos objetivos, o percurso metodológico insere-se no contexto de uma pesquisa de tipo descritiva e, com respeito aos procedimentos de coleta de dados, toma o rumo de uma pesquisa naturalista ou de campo. Os sujeitos desta pesquisa foram estudantes da educação básica e universitários da Espanha e do Brasil, que responderam três problemas, dois de forma escrita e um oral. A análise dos dados foi feita segundo as teorias elucidadas. Os resultados apontam, entre outros fatores, que a conduta de decisão dos alunos esteve atrelada ora a contextos matemáticos ora a contextos extramatemáticos, com maior tendência para este último. Palavras-chave: Eleição, Teoria da Decisão, Teoria de Jogos, Teoria das Situações Didáticas, Resolução de Problemas, Educação Matemática. ii RESUMO (Galego) O estudio de cómo os indivíduos toman decisións, ten sido de interese para moitas áreas de coñecemento. Nesta investigación, tentamos discutir á problemática de cómo os estudiantes, escollen/elixen as súas estratexias e, o que influencian as súas decisións á luz de conceptos, de teorias de modelos económicos e de modelos didácticos. Pensamos que é posible unha interpretación de modelos econômicos –que se basean na premisa de que un individuo, dotado duns determinados recursos e dunha capacidade de elixir e de tomar decisións, tratará sempre de maximizar a utilidade de estes recursospara o contexto educacional. Por exemplo, poderíamos decir, hipotéticamente, que, por un lado o profesor, diante dunha situación de ensino, buscará sempre maximizar os recursos didácticos, na busca da mellor aprendizaxe dos seus alumnos; e por outro, os estudiantes que, diante dunha determinada situación de aprendizaxe, probablemente tamén, procurarán maximizar os recursos adquiridos. Nese contexto, este estudio ten por obxectivo xeral, facer unha interpretación de modelos económicos, específicamente os que envolven “elección”, “toma de decisións” e “teoria de xogos”, desde presupostos das “estratexias óptimas” da “maximización de benefícios” e “minimización de custos e riscos”, e do modelo da Teoría de Situacións Didácticas, para analisar a conducta matemática dos estudiantes, cando resolven problemas na aula. O estúdio encuádrase dentro dunha abordaxe cualitativa da investigación, no que atinxe ós obxectivos; o recurso metodolóxico, mergúllase no contexto dunha pesquisa de tipo descriptivo e, con respecto os procedimentos de recollida de datos, toma un rumbo dunha pesquisa etnográfica ou de campo. Os suxeitos desta investigación son estudiantes de educación básica e universitarios de España e Brasil, que responderon a tres problemas: dous por escrito e un de forma oral. A análise dos resultados foi feita seguindo ás teorias citadas. Os resultados apuntan, entre outros factores, que a conducta de decisión dos estudiantes estivo mediatizada, ora polo uso de contextos matemáticos, ora a contextos extra-matemáticos, con maior tendencia cara a este último. Palabras chave: Elección, Teoría da Decisión, Teoría de Xogos, Teoría das Situacións Didácticas, Resolución de Problemas, Educación Matemática. iii RESUMEN (Espanhol) El estudio de cómo los individuos toman decisiones, ha sido de interés para muchas áreas de conocimiento. En esta investigación, intentamos discutir la problemática de cómo los estudiantes, escogen/eligen sus estrategias y, lo que influencian sus decisiones a la luz de conceptos, de teorías de modelos económicos y didácticos, y de modelos didácticos. Pensamos que es posible una interpretación de modelos económicos –que se basan en la premisa de que un individuo, dotado de unos determinados recursos y de una capacidad de elegir y de tomar decisiones, tratará siempre de maximizar la utilidad de estos recursospara el contexto educativo. Por ejemplo, podríamos decir, hipotéticamente, que, por un lado, el profesor, delante de una situación de enseñanza, buscará siempre maximizar los recursos didácticos, en la búsqueda del mejor aprendizaje de sus alumnos; y por otro, los estudiantes que, delante de una determinada situación de aprendizaje, probablemente también, procurarán maximizar los recursos adquiridos. En este contexto, este estudio tiene por objetivo general, hacer una interpretación de modelos económicos, específicamente los que envuelven “elección”, “toma de decisiones” y “teoría de juegos”, desde presupuestos de las “estrategias óptimas” de la “maximización de beneficios” y “minimización de costes y riesgos” y del modelo de la Teoría de Situaciones Didácticas, para analizar la conducta matemática de los estudiantes, cuando resuelven problemas en el aula. El estudio se enmarca dentro de un abordaje cualitativo de la investigación, en lo que atañe a los objetivos; el recurso metodológico, se sumerge en el contexto de una indagación de tipo descriptivo y, con respecto a los procedimientos de recogida de datos, toma el rumbo de una pesquisa etnográfica o de campo. Los sujetos de esta investigación son estudiantes de educación básica y universitarios de España y Brasil, que respondieron a tres problemas: dos por escrito y uno de forma oral. El análisis de los resultados fue hecho siguiendo las teorías citadas. Los resultados apuntan, entre otros factores, a que la conducta de toma de decisiones de los estudiantes estuvo mediatizada, ora por el uso de contextos matemáticos, ora por contextos extramatemáticos, con mayor tendencia hacia este último. Palabras clave: Elección, Teoría de la Decisión, Teoría de Juegos, Teoría de las Situaciones Didácticas, Resolución de Problemas, Educación Matemática. iv ABSTRACT (Inglês) Many areas of knowledge have been interested on how the individuals make their decisions. In this study, we sought to discuss how the students choose/select their strategies and what influences their decisions, based on concepts of theories of economic and didactics models. We think that it is possible an interpretation of economic models - which are based on the premise that an individual who has certain resources and capacity to vote and to make decisions will always maximize the usefulness of these resources. Concerning the educational context and based on the Theory of Didactic Situations (BROUSSEAU, 1986), we can hypothetically say that on the one hand, the teacher before a teaching situation, will always seek to maximize the educational resources for their students’ best learning, on the other hand, students who, before a learning situation, probably, will also try to maximize the acquired resources. In this context the general objective of the research is to interpret the economic models, specifically those involving "election", "decision-making" and "theory of games", from assumptions of "optimal strategies" of "maximizing the benefits" and "minimizing the costs and risks" and the Theory of Didactic Situations model to analyze the mathematical behavior of students when solving problems in the classroom. This work falls under a research qualitative approach, as far as the objectives, the methodological course, the fact of being in the context of a descriptive type of research and, concerning the data collection procedures, leads to a naturalistic or field research. The subjects in this study were students attending basic education and university students from Spain and Brazil, who responded to three issues: two in writing and one orally. The data analysis was made according to the elucidated theories. The results show, among other things, that the students' decision conduct had been linked either to mathematical contexts or to extra-mathematical contexts, with greater tendency for the latter. Keywords: Election, Theory of Decision, Theory of Games, Theory of Situations, Didactics, Problem Solving. Mathematical Education. v SUMÁRIO Resumo ( português)....……………………………………………………...................... i Resumo (galego)................................................................................................................ ii Resumen (espanhol) .............…………………………………………………................. iii Abstract (inglês) .………………………………………………………........................... iv Sumário………………………………………………………………………………….. v Lista de tabelas .................................................................................................................. vii Lista de quadros ................................................................................................................ viii Lista de gráficos ................................................................................................................ ix Lista de figuras .................................................................................................................. x Introdução ……………………...……............……..............................................…...... 01 Capítulo 1 - Marco Teórico……………………..…......………………......................... 07 1.1. Eleição................................................................................................................... 07 1.1.1. Preferência, eleição e decisão – análise conceitual...................................... 07 1.1.2. O processo de eleição .................................................................................. 14 1.2. A Tomada de Decisões........................................................................................ 28 1.2.1. Elementos na tomada de decisões ............................................................... 30 1.2.2. Conceito de utilidade ................................................................................... 33 1.2.3. O processo de decisão ................................................................................. 40 1.2.4. As decisões coletivas ou grupais ................................................................. 47 1.3. Teoria de Jogos .................................................................................................... 49 1.3.1. Conceitos básicos da Teoria de Jogos ......................................................... 52 1.3.2. Tipos de jogos ............................................................................................. 54 1.3.3. Classes de jogos .......................................................................................... 56 1.3.4. Estratégias de jogos: Maximin e Minimax.................................................. 60 1.4. Um pouco sobre resolução de problemas ........................................................... 64 1.4.1. Algumas definições .................................................................................... 64 1.4.2. A resolução de problemas no contexto do ensino ...................................... 69 1.5. Teoria das Situações Didáticas ........................................................................... 73 1.5.1. Situação didática e situação adidática ........................................................ 74 1.5.2. Tipos de situações didáticas ....................................................................... 76 1.5.3. Devolução da aprendizagem ....................................................................... 77 1.5.4. O contrato didático ..................................................................................... 79 1.5.5. Aproximações da Teoria das Situações Didáticas a Teoria de Jogos ......... 81 Capítulo 2 - Problema de Pesquisa e Metodologia....................................................... 85 2.1. Experiência, Papéis do Pesquisador e Justificativa da Pesquisa........................... 85 2.2. Objetivos e Hipótese/Premissa da Pesquisa ......................................................... 87 2.3. Participantes e Contexto do Estudo ..................................................................... 88 2.4. Cenário, Instrumentos e Processo de Coleta de Dados da Pesquisa..................... 90 2.5. Critérios de Análise dos Dados ........................................................................... 94 Humberto Plácido Gusmão de Moura 2 sociedade. Entretanto, no contexto educacional, notamos uma quase inexistência de trabalhos que leve em conta os estudos sobre a Teoria da Decisão. Encontramos apenas três estudos que fazem uma tentativa de aproximar a Teoria de Jogos a Educação, um realizado por Flores (2000), outro realizado por Moura, Gusmão e Pegito (2009) e um terceiro de Moura, Fernández e Gusmão (2015b). Sendo que diferente de nosso objeto de estudo, Flores apenas utilizou os pressupostos de Elster (1984, 1989-92, 1995) para explicar a organização e gestão do sistema educativo. Contudo, encontramos intenções nos currículos escolares, a exemplo do Real Decreto 1467/2007 da Espanha e dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Brasil (Brasil, 1997) para o ensino da matemática, quando estabelecem a estrutura de um curso, fixam seu ensino mínimo e tem uma orientação no que se destina à resolução de conflitos pessoais, familiares e sociais. Em específico na área de Educação Matemática, as pesquisas têm direcionado a atenção à compreensão dos processos de aprendizagem, à maneira como melhorar esses processos, à identificação das dificuldades e dos erros dos alunos etc. Nesse contexto, entendemos que a compreensão e a melhoria dos processos de aprendizagem de estudantes necessita passar pelo estudo da conduta destes estudantes, verificar como reagem, como se comportam diante de determinadas situações, quais são as suas prioridades, o que levam a escolher determinadas estratégias, o que os influenciam a adotar determinados comportamentos, a determinadas decisões. Assim, como se diz que “viver implica em estar sempre decidindo”, também se diz que “a vida se assemelha a um jogo” ou “que a vida é um grande jogo”. O rei Salomão foi conhecido pelas sábias decisões que tomava, certamente, algumas delas foram conflituosas. A literatura, no contexto da decisão, ressalta que uma forma de resolver decisões conflituosas é por intermédio do jogo, no qual se estuda as interações entre os jogadores, se desenha estratégias, se analisa ganhos e perdas. Assim, trazendo para o contexto atual, as decisões conflituosas se correspondem com uma parte do que se conhece hoje como Teoria de Jogos. Normalmente, os tomadores de decisão utilizam conjuntamente a Teoria da Decisão e a Teoria de Jogos por considerá-las interligadas conceitualmente. A experiência adquirida no marco do Programa em Estatística e Investigação Operativa, através do qual recebi o Diploma de Estudos Avançados (DEA), trabalhando com os modelos econômicos da teoria da eleição racional, teoria de jogos e tomada de decisões, junto com a Capítulo 1: Introdução 3 experiência na docência e o incentivo do professor Dr. Antón Labraña, que dirigiu esta tese em sua primeira fase, fizeram-me refletir que muitas regras de condutas socialmente compartilhadas e explicadas por modelos econômicos se assemelham às executadas em sala de aula. Por exemplo, as tarefas e situações problemas formuladas podem ser vistas como um jogo e os alunos como os jogadores, as decisões dos alunos como decisões de jogadores, as regras de trabalho estabelecidas em sala de aula entre professor e alunos podem ser lidas como regras de condutas de jogadores etc. Desse modo, as condutas, as decisões de alunos podem ser interpretadas desde modelos econômicos, fazendo, assim, uma aproximação destes no contexto educacional, em específico na resolução de problemas de matemática. De fato, são muitas as aplicações dos modelos econômicos a diversas áreas, entretanto, na área de Educação Matemática, ao realizarmos uma busca no banco de teses da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), órgão brasileiro de fomento à pesquisa, com as palavras “tomada de decisão e matemática”, apenas encontramos dois trabalhos, um de Oliveira (2011), que buscou analisar como acontece um processo de formação profissional fundamentado numa categoria da vida cotidiana, chamada tomada de decisão; e o outro de Junior (2011), que buscou investigar como os indivíduos-consumidores se comportam e tomam suas decisões, quando se deparam com situações de consumo reais; utilizando os termos “teoria de jogos e matemática” não foi possível encontrar nenhum estudo; e utilizando conjuntamente as palavras “tomada de decisão, teoria de jogos e matemática” e ainda “conduta matemática” também não foi possível encontrar nenhum trabalho. Assim, ao não encontrar aplicação na área de Educação Matemática, cruzando as temáticas abordadas neste estudo, pensamos que a pesquisa se justifica, podendo ser interessante e inovador estender algumas idéias com a intenção de que possam trazer benefícios para o ensino e a aprendizagem de matemática. Concretamente, pensamos que, ao nos aproximar de outra área de conhecimento, como é o caso das ciências sociais, por meio de alguns de seus modelos que discute os processos de decisões, eleições e teoria de jogos, traria um melhor entendimento sobre as condutas de decisões de alunos na sala de aula diante de situações-problema de matemática e, assim, uma melhor compreensão dos processos de aprendizagem. Dessa forma, este estudo interliga três áreas aparentemente distintas. A Teoria de Jogos com alguns conceitos chaves como o de maximização dos ganhos, que pode ser traduzido como a Humberto Plácido Gusmão de Moura 4 maximização dos recursos para uma melhor aprendizagem. A Eleição por meio das noções de conjunto oportunidade e escolha racional, que podem ser associadas, por exemplo, à escolha que o aluno faz e que satisfará seu desejo ou o desejo do professor ou das regras de um contrato, ademais, esta escolha deve ser coerente, julgada como ótima e que vise alcançar os objetivos. A Teoria das Situações Didáticas, empregada para explicar processos de ensino-aprendizagem no contexto da matemática, que traz a noção de contrato didático e estuda as relações estabelecidas entre professor, aluno e saber, pode ser interpretada para fazer uma leitura das regras de determinados processos de eleições e de jogos, ou seja, por um lado um professor ante uma situação de ensino, buscará sempre maximizar os recursos didáticos na busca da melhor aprendizagem de seus alunos; por outro, alunos que, ante uma situação de aprendizagem, provavelmente, também procurarão maximizar os recursos adquiridos. A tentativa de interligar estas áreas de estudo responde ao propósito de entender melhor as condutas de tomada de decisão de alunos, quando resolvem problemas de matemática. Como pergunta de investigação, formulamos: Quais e como são as condutas adotadas pelos alunos, quando resolvem problemas de matemática? Em quais situações e em que medida a conduta matemática de alunos, quando resolvem problemas, podem ser interpretadas desde modelos econômicos da Teoria de Jogos, da Eleição e da Tomada de Decisão aprendidos socialmente e do modelo da Teoria das Situações Didáticas, aprendido em sala de aula? Tais questionamentos se enquadram no objetivo central desta pesquisa, qual seja: fazer uma interpretação de modelos econômicos, especificamente os que envolvem “eleição”, “tomada de decisão” e “teoria de jogos”, desde pressupostos das “estratégias ótimas”, da “maximização dos benefícios” e “minimização dos custos e riscos” e do modelo da Teoria das Situações Didáticas para analisar a conduta matemática de estudantes, quando resolvem problemas em sala de aula. A estrutura deste trabalho se faz em capítulos, assim distribuídos: No primeiro capítulo, apresentamos a literatura revisitada, adentrando nos estudos sobre Eleições com Bueno (2004), Elster (1989, 2003 e 2013) entre outros; sobre Teoria de Jogos com Morton (1971), Peleg (1985), Owen (1995), entre outros; sobre Tomada de Decisão com Kahneman e Tvesky (1979), Carmona (1997), Bueno (2004), entre outros; Resolução de Problemas com Costermans (2001), García Higuera (2004), Polya (1965), entre outros; Teoria Capítulo 1: Introdução 5 das Situações Didáticas com Brousseau (1986), entre outros. Especificamente, neste capítulo, realizamos uma revisão da literatura especializada que embasou este estudo e que foi organizada em dois eixos: Eleição e Teoria de Jogos (área de ciências sociais) e Teoria das Situações Didáticas (área de didática da matemática). Estes eixos juntos tratarão de discutir o tema central desta investigação: A tomada de decisões dos estudantes no processo de resolução de problemas. Assim sendo, a Tomada de Decisão está no centro das discussões, como se pode apreciar na figura 1, dada a continuação. No capítulo 2, trazemos o problema e a metodologia de pesquisa. Fundamentado numa abordagem qualitativa (Chizzotti, 2006), descrevemos os caminhos seguidos, comentando brevemente a experiência do pesquisador e justificativa do estudo; retomando a pergunta e o objetivo central para explicitar, a partir dele, a premissa e os objetivos específicos; apresentando o instrumento de coleta de dados constituído por três problemas, conhecidos como “os bueiros”, “onde está o carro” e “densidade demográfica”, que foram aplicados a estudantes da educação básica e a universitários no contexto brasileiro e espanhol; e explicando o método de análise dos dados. Fig 1 : Esquema de construção do marco Fonte : Própria do autor Humberto Plácido Gusmão de Moura 6 No capítulo 3, apresentação, análise e discussão dos dados, buscamos de maneira detalhada analisar e discutir os dados da pesquisa, segundo as teorias elucidadas, procurando responder às questões norteadoras, atender os objetivos e verificar a hipótese/premissa de pesquisa, visando promover uma melhor compreensão do objeto investigado. Para finalizar, tecemos as conclusões, apresentando nove condutas identificadas nas análises dos dados: 1) conduta ótima /de conhecimento institucional/de controle/avaliação; 2) conduta de conhecimento de mundo/de crenças; 3) conduta de satisfação pessoal/de utilidade; 4) conduta de sobrevivência escolar; 5) conduta econômica; 6) conduta evasiva; 7) conduta de não negociação; 8) conduta de conflito; 9) conduta ingênua. Fazemos uma síntese de cada uma dessas condutas, sob a luz do marco teórico, concluindo, entre outras coisas, que a conduta de decisão não é simplesmente o ato de eleger uma determinada alternativa, dentro de um contexto, é, portanto, um complexo processo, no qual estão envolvidos conhecimentos prévios, crenças, conhecimento de mundo, processos de eleição; conceitos implícitos da teoria de jogos, restrições das tarefas, regras de contrato didático etc. Capítulo 1 -Marco Teórico 7 CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO Neste capítulo, adentraremos nas temáticas da Eleição (E), Teoria de Jogos (TJ), Teoria das Situações Didáticas (TSD) que conjuntamente guiaram a proposta de marco teórico, e neste contexto parte-se do pressuposto de que as condutas, as decisões dos alunos ao tentar resolver uma situação problema, desenhada com um objetivo especifico, estarão atreladas a processos de eleição (relacionados ou não a conhecimentos prévios adquiridos em uma sala de aula ou fora dela etc), a conceitos da Teoria de Jogos (tais como: preferências e relação custo beneficio); e a conceitos da Teoria das Situações Didáticas (como o contrato didático, estabelecido em sala de aula entre professores e alunos). 1.1. ELEIÇÃO O homem, como sujeito pertencente a uma comunidade, não é homogêneo em sua forma de pensar e dispõe de um entorno de liberdade, no qual lhe permite desenvolver suas atividades, desde as mais elementares até as mais complexas, e ao realizá-las, dada a heterogeneidade de suas preferências, faz emergir no indivíduo a necessidade de enfrentar estas atividades de uma forma diferente, obrigando-o a eleger entre várias possíveis alternativas ou decidir entre várias possíveis soluções, baseada em certa conduta racional 1 . 1.1.1 . Preferência, Eleição e Decisão – Análise Conceitual Quando se expõe a teoria da eleição, sempre se estará falando de eleição e de preferência. Muitas vezes, no desenvolvimento de uma exposição, ambos conceitos parecem ter o mesmo significado, 1 Eiser (1989) assume que, a conduta é irracional, não somente em comparação com algum ideal lógico (já que a maior parte da conduta social se poderia chamar irracional desde este ponto de vista), mas no sentido de requerer uma classe diferente de explicação da conduta não problemática. Concebe também que, quaisquer que sejam as explicações que se dêem a estas condutas não serão nos contextos em que o juízo parece confirmado. Veremos mais adiante detalhes sobre a conduta racional. Humberto Plácido Gusmão de Moura 8 entretanto, o primeiro representa uma ação e o segundo uma opinião. Assim, o que se observa não são as preferências dos agentes e sim as eleições e as decisões; a partir delas, infere-se suas preferências. Este pensamento supõe dois problemas explicativos: o primeiro deve-se ao fato de que, muitas vezes, as eleições e decisões não se correspondem com as preferências, podendo ocorrer que um sujeito prefira uma alternativa e, ao final, eleja outra diferente; o segundo é que, ao tentar dar conta das eleições e decisões em função das preferências, e como medida das preferências, se consideram as eleições e decisões. Nessa direção, concordamos com Martínez García (2004) que há uma confusão entre aquilo que se explica (explanans) e aquilo que se quer explicar (explanandum), caracterizando uma dualidade entre a expressão e o conteúdo; e com Godino e Batanero (1998) que não só há que interpretar as entidades conceituais, senão também as situações problemáticas e os meios expressivos que desencadeiam os processos interpretativos. Dependendo do emissor e do destinatário das mensagens, bem como do momento e das circunstâncias, o significado adquire um caráter local sincrônico. É o conteúdo ao que se refere o emissor de uma expressão ou o conteúdo que interpreta o receptor. Em outras palavras, o que quer dizer uma pessoa e o que entende a outra. As preferências dos indivíduos são formadas por uma série de crenças, desejos ou necessidades, algumas são mais elementares que outras; então, nestes casos, quando o indivíduo elege, é provável que seja mais fácil distinguir qual era a preferência que motivou a decisão por certa alternativa em detrimento da outra. (Bueno, 2004; Silva, 2001). Segundo Bueno (2004), teoricamente, as preferências se definem como uma relação ordinal entre distintos estados sobre os quais o indivíduo poderá eleger, ou seja, dada uma alternativa entre dois ou vários elementos, o indivíduo saberá qual é o par da comparação que prefere. Este interesse por representar as preferências como uma ordenação, e não como uma relação cardinal, se deve a que, em uma ordenação, não se manifesta à intensidade das preferências, fazendo com que não seja necessário especificar uma magnitude indicativa de quantas vezes uma coisa é preferida em comparação à outra. Desse modo, as preferências, para permitir uma eleição, deverão cumprir com três condições, as quais nos permitirão ordená-las: ser reflexivas, completas e transitivas. Vejamos com Bueno (2004): - Reflexivas - Cada elemento é comparável consigo mesmo. Condição trivial, mas axioma necessário para poder construir umas regras consistentes de eleição. Capítulo 1 -Marco Teórico 9 - Completas - Qualquer conjunto de elementos que se apresente é comparável, ou seja, qualquer conjunto possui alguma característica comum em maior ou menor medida. Entretanto, não está claro que tudo pode ser comparado, especialmente quando não se dispõe de informações suficientes para valorar adequadamente cada opção. Como por exemplo, a eleição dos estudos de graduação, Elster (1989a). Numa situação como esta, a decisão passa a ser feita não pelo valor das alternativas incomensuráveis, mas por elementos associados a elas que são comparáveis, como por exemplo, se um grupo de amigos decide ou não cursar os mesmos estudos, proximidade da residência etc. Um problema ligeiramente distinto é que deverá ser comparada apenas uma característica comum para conjunto de elementos. Mas se existem mais de uma característica e não há uma dominância clara entre elas, pode resultar que este axioma não se ajuste bem à realidade, pois umas vezes se pode decantar por aplicar um critério de comparação e em outras, outro critério. Ademais, para que este axioma possa funcionar corretamente, também é necessário supor que as preferências são estáveis, pois em constante mudança, não se pode compará-las, já que no caso extremo, no tempo transcorrido entre uma comparação e outra, por breve que fosse, já havia variado as preferências. - Transitivas – Se A é preferido a B e B é preferido a C, então, A é preferido a C, ( ) ∧ ⇒ A>B B>C A>C . Esta condição, junto com as duas anteriores, é logicamente necessária para poder ordenar preferências, se não se cumprir não se saberá qual a preferida, se A ou C. A transitividade é a condição mais forte, pois sem ela não se podem ordenar as preferências e, portanto não pode haver uma eleição, já que não se sabe realmente qual será a melhor decisão. É forte também devido à outra questão: a independência das alternativas irrelevantes. Esta condição diz que fazer a comparação entre A e B, e preferir A, e logo comparar A, B e C, e se seguir preferindo A a B; a ordenação das alternativas não foi afetada por uma terceira. Ainda que parece complicado entender a questão, parece óbvio que se um indivíduo tem fome, e prefere como ação comer; e se ele eleger entre as alternativas comer (torta ou pizza) ou não comer, então, ele vai tratar de satisfazer sua necessidade, e neste caso, ao eleger a alternativa Humberto Plácido Gusmão de Moura 10 “comer”, estará exercendo uma ação sobre sua opinião com respeito a um conjunto de desejos, crenças e oportunidades. Com este exemplo, está se afirmando que tanto as preferências como as eleições estão limitadas e condicionadas a dois grandes filtros. O primeiro está composto por todas as restrições físicas, econômicas, legais e psicológicas que enfrenta o indivíduo. As ações coerentes com essas restrições formam seu conjunto oportunidade. O segundo é um mecanismo que determina que ação está dentro do conjunto de oportunidade será realmente realizada (Elster, 1989a). Este mesmo pensamento tem Martínez García (2004), que também considera a existência de dois filtros: um objetivo (conjunto oportunidade) e outro subjetivo o qual é formado pelas preferências individuais, que poderão ser medidas através da utilidade que proporcionam determinadas decisões ao agente. Deixamos claro, que não compartilhamos de tal pensamento, uma vez que por Elster (ibid) as preferências estão restringidas ao conjunto oportunidade, então, as preferências (desejos) e as eleições (ações) se coincidem e não tem por que sê-lo. Ao voltar ao exemplo, ao eleger a torta, o sujeito o fez depois de ultrapassar os dois filtros, e nesta perspectiva a ação é explicada pelas oportunidades e os desejos, pelo que o indivíduo pode fazer (comer) e pelo que deseja fazer (comer). Com Bueno (2004) pode-se inferir, então, que as oportunidades poderão ser mais fundamentais em uma eleição que as preferências. Para provar isso, suponha que o sujeito anterior não possua recursos para comprar uma torta ou uma pizza e tampouco o tenha para comprar os ingredientes, então, se vê claramente que as restrições ao conjunto oportunidade são tão rigorosas que não fica espaço para a operação do segundo filtro, reduzindo este a uma única ação, cuja explicação não tem cabida nem preferências nem eleição. Esclarecidas essas condições de preferência, voltemos às eleições e às decisões. Embora estes dois vocábulos, desde um ponto de vista semântico sejam sinônimos, deve-se diferenciá-los, sabendo em cada momento qual das duas ações estará se realizando. Para eleger ou decidir é preciso inicialmente a existência de um fenômeno ou algo susceptível de se manifestar em diversas alternativas; ou seja, não tem sentido a eleição ou a decisão em uma situação, na qual somente haja uma possível via de concretização do fenômeno. Bueno (2004) apresenta dois exemplos de tais situações: se uma pessoa se encontra em um lugar deserto, começa a chover e não tem nenhum lugar onde se resguardar, imaginar o fato Capítulo 1 -Marco Teórico 11 de decidir ou eleger entre molhar ou não molhar não é um problema de eleição ou decisão, posto que, com toda certeza se molhará, ou em um ou outro caso; se um réu encontra-se em um pelotão de fuzilamento, não existe a possibilidade de que decida ou eleja ser fuzilado ou não, nesses dois exemplos os sujeitos não podem atuar sobre um fenômeno, tanto o solitário como o réu somente tem uma única alternativa, molhar-se ou ser fuzilado, respectivamente, e não há eleição ou decisão possível que possam tomar estes sujeitos em relação aos fenômenos. Deste contexto, temos uma primeira premissa para a existência de um problema de eleição ou decisão: deve existir uma diversidade de alternativas susceptíveis de ser eleita livremente pelo sujeito. Não obstante, a natureza da produção do fenômeno (determinista ou aleatória) o que nos importa é a percepção que cada sujeito realiza do fenômeno, posto que cada indivíduo realiza uma observação diferente, e em função de sua própria avaliação elegerá ou decidirá. Resumidamente, o que nos interessa é efetuar uma gradação da percepção de situações por parte dos distintos sujeitos, independente da natureza do fenômeno em si. Assim, se faz necessário distinguir as possíveis atuações a serem realizadas por um sujeito ante uma determinada situação, segundo Bueno (2004), as atuações podem ser: a) Reflexo condicionado 2 - É uma resposta do sujeito ante uma situação repetitiva do entorno, dito de outra forma, o indivíduo tem sempre a mesma resposta ante iguais estímulos. b) Impulso - é o desejo de levar a cabo uma determinada atuação, neste caso o sujeito não sempre atuará da mesma forma ante uma situação similar, mas em um determinado momento, e está basicamente determinado por seu estado anímico. c) Indiferença - é uma situação na qual o sujeito realiza um ato que para ele não tem consequências avaliáveis, quer dizer, uma vez apresentadas as alternativas, poderia escolher qualquer delas, sem que para isto faça nenhum processo de análise ou avaliação. d) Ação consciente - é realizada pelo sujeito quando este detecta a existência de um problema de eleição ou decisão, e é consciente da existência de diversas alternativas e das possíveis consequências das mesmas, desde que, ao final, eleja uma delas, sem 2 Pávlov (1849-1936), formulou a lei do reflexo condicional, que por um erro de tradução foi chamado de reflexo condicionado. Esta diferença entre "condicionado" e "condicional" é importante, pois o termo "condicionado" se refere a um estado, enquanto que "condicional" se refere a uma relação. Humberto Plácido Gusmão de Moura 18 { } 1 2 : , ,..., n A a a a as quais devem ser ordenadas com base na relação de preferência. Daí se diz que o sujeito realizou uma eleição quando ordenou os elementos de A, com base na relação de preferência. Dado que temos garantido a comparabilidade de quaisquer dos elementos de “A”, podemos afirmar que tal ordenação existe. A eleição já leva consigo uma identificação implícita de uma ou mais alternativas que são preferidas a todos as demais. Desta maneira, diremos que: * i a é um elemento ótimo de A, baseado na relação f de preferência, sendo: * / f j j i a A a a ∃ ∈/ , um elemento ótimo relativo, o que significa que não há nenhum elemento preferido a * i a , mas pode haver elementos indiferentes a ele. Assim, diremos que * i a é um elemento ótimo absoluto de A, quando, * / f j j i a A a a ∃ ∈/ que significa que não há nenhum elemento nem preferido nem indiferente a * i a , ou seja, * / f . j i j a A a a ∀ ∈ . Obviamente, numa ordenação de alternativas pode não haver elemento ótimo absoluto, no caso de existir dois ou mais ótimos relativos. Do mesmo modo, pode ocorrer que todas as alternativas sejam indiferentes entre si. Não obstante a este fato, o sujeito sempre buscará a realização de uma escolha, e sempre existirá um ótimo absoluto, isto é, uma eleição sem paliativos. Uma vez que tenhamos no conjunto A ao menos um ótimo relativo, este poderá ser ordenado hierarquicamente de acordo com uma relação de pré-ordem. De acordo com o que acabamos de citar, podemos definir o conceito de função de eleição como um caso particular da função de avaliação, para o caso em que a avaliação suponha uma análise qualitativa de alternativas do problema, ou seja, diremos que ( ) ,f F A é uma função de eleição sobre as alternativas do conjunto finito A, sobre o qual se tem definida uma relação ( f ) de pré-ordem, quando ( ) ,f F A for uma função que permita hierarquizar os elementos de A, mediante uma ordem crescente ou decrescente em função da preferência ou indiferença. A chave do processo de eleição radica na adequada construção de F. De fato, e a priori, cada sujeito tem sua própria função de eleição. Bueno (2004), coloca o seguinte exemplo: suponhamos que uma pessoa se desloque a fim de pegar um ônibus de sua casa até o trabalho, pelo que tem quatro opções de itinerário e ônibus, distribuídos da seguinte forma: Capítulo 1 -Marco Teórico 19 Ônibus A B C D Tempo (min.) 30 40 25 32 A função acima atribuirá certo valor para cada alternativa de acordo com a preferência do sujeito; por exemplo, (4) para o ônibus C, e (1) para o B, para o caso de se escolher o itinerário mais rápido, ou poderá atribuir um valor (4) para o B, pois o trajeto é o que proporciona uma melhor paisagem, em ambos os casos, o escolhido será o de maior valor. Como dito anteriormente, poderíamos afirmar que os sujeitos, perante a necessidade de eleger algo, o farão baseados na função de eleição associada, tomando sempre como referência a relação de equivalência definida por esta função. De acordo com este esquema, teremos tantas classes de equivalência como possibilidades de ordenação dos elementos que constituem o conjunto A. O mais importante, neste caso, é o mecanismo com os quais os sujeitos ordenam cada classe de equivalência; ou seja, a forma na qual são capazes de realizar esta avaliação qualitativa. Deste modo, Bueno (2004) distingue as seguintes possibilidades: a) Intuição – É o mecanismo através do qual os sujeitos são capazes de eleger uma alternativa entre várias, sem que exista uma avaliação de resultados que permita “racionalmente” afirmar que alternativa se deve seguir. É como se ele elegesse uma alternativa porque “algo ou alguma coisa 4 ” lhe apontasse para ela. Evidentemente, a intuição é um passo adiante com relação ao reflexo condicionado, posto que com a intuição, o sujeito reflexiona. b) Contágio – É a aceitação da avaliação de outro(s) sujeito(s) como válida à hora de assumir nossa própria eleição. Neste caso, assumimos a responsabilidade da eleição, mas consideramos que outro(s) sujeito(s) tenha(m) mais experiência em situações similares, e irá (ão) realizar uma avaliação melhor que a nossa. c) Condicionamento – É o processo pelo qual um sujeito não pode livremente expressar uma eleição de uma alternativa entre várias. O condicionamento pode ser: 4 Alguns autores e investigadores apontam que esse algo ou alguma coisa é a derivados da própria experiência humana e é aposta em marcha através de mecanismos subconscientes. Humberto Plácido Gusmão de Moura 20 - Temporal – intrínseco - Surge quando o sujeito conhece ou faz conjeturas sobre as possíveis consequências de sua eleição, de acordo com sua experiência acumulada ao longo do tempo e que pode condicionar as eleições. - Espacial - É um condicionamento próprio de uma situação atual e por uns fatos concretos, que não se associa a sucessos passados. Tratar-se-ia, por exemplo, da eleição da tonalidade de um vestido por parte da senhora, que pode estar condicionada por sucessos tais, como o dia ser chuvoso ou não. De fato, uma eleição pode estar condicionada simultaneamente por elementos classificáveis nos três tipos precedentes. Como no exemplo do vestido, a própria eleição deste teria: Condicionantes temporais intrínsecos: Aversão à cor azul, por exemplo; Condicionantes temporais externos: A pessoa com a qual vai sair tenha uma opinião negativa sobre o mesmo, e Condicionantes espaciais: O fato de chover ou não. d) Obrigatoriedade - É a aceitação da avaliação de outro(s) sujeito(s), por um fato imperativo; ou seja, o sujeito renuncia por obrigação a exercer sua faculdade de eleição, assumindo a função de eleição de um terceiro. Evidentemente, se trata de uma eleição não livre ou viciada, que se fundamenta na eleição prévia, a de submeter-se ou lutar contra uma situação ditatorial. De forma igual ao contágio, se produz uma função de eleição induzida, ainda que ao invés de ser a causa à delegação, o será a imposição. Pela imposição se simplificam os processos de eleição, de tal maneira que cada sujeito ou grupo, renunciando a sua teórica função de eleição, não tenha possibilidade de abstenção. Até o momento, somente vimos casos em que o sujeito tenha que eleger uma alternativa, realizando uma única eleição. Para a situação em que o sujeito tenha que eleger entre várias alternativas ocorrendo simultânea ou sequencialmente, no mesmo momento ou ao longo do tempo, tem-se o que chamamos de “processo de eleições simultâneas”. Assim, um processo de eleição simultânea é aquele no qual se realizam várias eleições ao mesmo tempo, as quais se encontram relacionadas entre si, existindo uma interação “espacial” entre elas. Coloquialmente, poderíamos falar da necessidade de realizar um certo “pacote” de eleições, entre as existentes numa determinada interconexão. (Bueno, 2004). Capítulo 1 -Marco Teórico 21 A necessidade de se realizar duas ou mais eleições conjuntamente, nos obriga a analisar a influência mútua entre elas, ou seja, em que medida ao se efetuar uma eleição, altera-se o critério ou função de eleição do sujeito nas demais. Dessa análise se observa claramente a necessidade de contemplar simultaneamente todas as alternativas, quer dizer, a necessidade para o sujeito de ter uma função eleição conjunta, na que se incluam todas as possíveis eleições que tal sujeito terá de realizar, ao mesmo tempo. Bueno (2004) Entretanto, tal função de eleição conjunta pode ter alguns problemas de construção, dada sua complexidade, por isso, é necessário ordenar adequadamente as alternativas, para poder - compará-las. Desta forma, ficará perfeitamente definida a função de avaliação conjunta do sujeito, por comparação simultânea de todas as alternativas de cada eleição individual. Observase que para este caso também haverá um elemento ótimo. Ainda segundo Bueno (2004), uma característica dos processos de eleição simultânea é o fato de que a conjunção de eleições pode limitar o conjunto de alternativas do sujeito, ao desaparecer a liberdade de eleição existente nas eleições individuais. Agora o sujeito não pode eleger livremente sobre um problema individual, senão que deve avaliar qualitativamente as vantagens e inconvenientes que cada uma das eleições, que podem afetar as outras, que hão de se realizar ao mesmo tempo. Evidentemente, a existência de alternativas conjuntas impossíveis, e sua lógica eliminação devido a sua incompatibilidade, alteram profundamente o problema de eleição, a resolução será em função das alternativas que permanecem existindo, portanto, haverá uma alteração da função de avaliação conjunta com respeito às individuais. Vamos retornar ao exemplo da senhora e dos vestidos, se ela deve eleger entre várias alternativas com relação ao vestido para as festas de final de ano ou se deve comprá-lo ou alugálo para ir às festas. Suponhamos que não há nenhum tipo de restrição monetária, e que a senhora em questão deverá eleger simplesmente nestas duas situações simultaneamente, as alternativas serão: festa familiar, vestimen ta informal, 1ª eleição baile no salão de festas, 2ª eleição traje, festa na praça.      traje de inverno.      Humberto Plácido Gusmão de Moura 22 E, considerando que a eleição “festa na praça” e a “vestimenta informal” dentro de uma certa lógica, sejam incompatíveis, e não exista interação entre ambas, a avaliação conjunta da eleição produzirá mudanças importantes em relação às avaliações individuais, e inclusive, pode provocar mudanças na ordem teórica individual prévia. No tocante às eleições sequenciais, neste caso especificamente, se tratam de eleições individuais tomadas em momentos distintos e tendo um denominador comum, no sentido de que todas as eleições se realizem dentro de um processo global; isto é, que o processo de eleição realizado ao mesmo tempo, com um objetivo comum, o qual exigirá uma coerência na eleição; ou seja, que quando um sujeito realiza uma eleição, terá consequências futuras, está prevendo em que medida afetará as eleições a serem realizadas no futuro. Bueno (2004) Em todo o processo de eleição sequencial se incorporam às características próprias do condicionamento temporal, de tal maneira que a eleição das alternativas é uma eleição condicionada por eleições passadas e futuras, ademais, dos condicionamentos clássicos de experiência, influências externas etc. De fato, este condicionamento estará alterando permanentemente a função de avaliação individual do sujeito, que passará a ser uma função de avaliação condicionada. ( ) 1 2 1 2 , / , ,..., : , ,..., k l F A E E E F F F ≻ sendo: 1 2 , ,..., k E E E eleições passadas. 1 2 , ,..., F F F eleições potenciais futuras. A maior ou menor influência das eleições passadas e futuras na presente dependerá da análise qualitativa que realize cada sujeito, em função de sua avaliação pessoal e da situação individual, não sendo possível realizar uma quantificação da relação existente entre a função de avaliação, a priori e a posteriori, isto é, sem ter e tendo em conta as outras eleições. Para finalizar com o tema das interações entre eleições, faremos uma consideração do possível caráter estocástico (influência da probabilidade) desse processo. Na hora de analisar este caráter, devemos ter em conta a aleatoriedade intrínseca do fenômeno estudado, ademais, é a partir da ótica do observador que podemos considerar se um determinado fenômeno é ou não aleatório, ou seja, um fenômeno pode ser considerado aleatório se o sujeito o vê desde o exterior, Capítulo 1 -Marco Teórico 23 enquanto que se trataria de um fenômeno não aleatório para este próprio sujeito do qual depende a realização da eleição de tal fenômeno. O caso da senhora e dos vestidos, ao analisarmos desde o ponto de vista da senhora, não se trata de um fenômeno de azar, senão do estabelecimento de uma gradação ou ordenação de preferências que ela faz segundo sua pessoal capacidade de eleição, não existindo aleatoriedade. Não obstante, um observador externo que não conheça o que se passa pela cabeça da senhora, e que desconheça sua função de avaliação, ainda que pudesse intuí-la, poderá considerar que, no intervalo em que se está elegendo, como não se sabe qual será o resultado final, teríamos neste momento um processo com caráter aleatório. O seguinte passo seria averiguar se esse caráter aleatório do processo de eleição, observado externamente, é estocástico. No suposto de que o fora, a probabilidade, obviamente, nunca seria objetiva, senão subjetiva, já que em um processo de eleição, as probabilidades que se podem aplicar ao resultado final do fenômeno, tendo em conta que o observador externo não participa do processo de eleição, variarão de um observador a outro, e serão meras conjecturas baseadas no grau de crença da eleição que se realizará ao final, mesmo que o fato de que essas probabilidades subjetivas possam ser atualizadas ou melhoradas, jamais deixarão de ter o conteúdo subjetivo que caracteriza tais probabilidades. Ademais, admitindo o caráter aleatório externo do fenômeno, as probabilidades subjetivas que se aplicam pelo sujeito observador, terão um aspecto dinâmico e não estático, posto que não há nenhuma regra que nos indique que as preferências vão se repetir permanentemente. Bueno (2004) Assim, o processo de eleição tem que trazer associada uma função de avaliação concreta, com caráter permanente, através da qual se realizará uma classificação concreta das possíveis alternativas, existindo aleatoriedade somente para o caso de indiferença de elementos ótimos, cujo fato, parece razoável assumir a equiprobabilidade das alternativas, ou então condicionar a eleição ao resultado produzido num experimento aleatório construído sob medida, para resolver tal indiferença. Ao continuar com o exemplo da senhora, e supondo que existam três cores de vestido, salmão, vermelho e verde, preferíveis aos demais, mas a senhora não saiba qual vestir, pode pegar um dado, de tal maneira que, se sair 1 ou 2, vestirá salmão; se 3 ou 4 vermelho, e 5 ou 6, verde, se não ser assim, perguntará a uma amiga, que deverá realizar uma nova avaliação pessoal Humberto Plácido Gusmão de Moura 24 sobre as três cores. Desde fora, e sem informação para a primeira senhora, não sabemos qual elegerá, pelo que será aleatória a eleição e equiprovável; desde dentro, a segunda senhora estabelecerá uma nova função de avaliação, podendo haver ou não indiferença entre os vestidos. Em caso contrário, a segunda senhora elegerá pela primeira, tal como havia sido pedido; se sim, teria que preparar outro experimento estocástico sob medida, e poderia se perguntar a uma terceira pessoa, para verificar se sua particular função de avaliação resolve a indiferença. Bueno (2004) Podemos concluir, portanto, que intrinsecamente os processos de eleição não são processos estocásticos, e não existe aleatoriedade para o sujeito eleitor em tais processos. Resta-nos agora, para encerrar com este tema, falar sobre a teoria da eleição racional, a qual trata de explicar a conduta humana 5 , ela é em sua essência instrumental 6 , ou seja, está guiada pelo resultado da ação 7 (Elster, 2003; Silva, 2001). Segundo Elster (1989, 1995 e 2003), a teoria da eleição racional é uma teoria que pode ser vista desde ângulos distintos, como uma teoria normativa e como uma teoria descritiva. Como normativa, esta nos diz o que devemos fazer para lograr o melhor possível com relação a certas metas, ainda que quando não nos diz quais devem ser essas metas; como descritiva, sua missão é a de nos ajudar a predizer certas ações. Partindo dos conceitos fundamentais dessa teoria, encontramos a figura do agente representativo, que é a unidade decisória responsável pela eleição ou decisão, pela ação e pelas consequências delas derivadas. O agente representativo, ao fazer uma eleição ou ao tomar uma decisão, está somente escolhendo uma entre diferentes alternativas ou opções (elementos passíveis da eleição), as quais podem ser puras ou condicionadas a outras eleições e/ou a outros eventos incertos. Ou seja, existe um agente representativo quando existe algo a ser eleito por alguém (Freitas, 1994; Silva, 2001), e quando isto ocorre temos uma situação de eleição. Neste sentido, segundo Bueno (2004) temos as seguintes dimensões: 5 Em relação à ação humana, a racionalidade não é suficiente para assegurar os motivos da eleição, uma vez que nas decisões tomada baseada na deliberação se ignora a possibilidade delas serem bem sucedidas graças à adaptação circunstancial ou ao acaso. (Silva, 2001). 6 Algumas formas de ação instrumental também podem ser decididamente irracionais. 7 As ações são avaliadas e eleitas não por si mesmas senão como um meio mais ou menos eficiente para outro fim. Um exemplo simples é o empresário que deseja maximizar o lucro. Para lograr esse fim considera cuidadosamente quais produtos deve oferecer, quanto deve produzir e como produzi-los. Capítulo 1 -Marco Teórico 25 a) A que faz referência ao tipo de informação se perfeita (ocorre com menor frequência) ou imperfeita (ocorre com maior frequência), e que desta última se deriva: o risco e a incerteza. - Risco – É uma situação na qual se atribui certa probabilidade numérica as consequências de certos cursos de ação. - Incerteza - É uma situação em que o critério normativo para tomar uma decisão consiste em eleger a opção (que não se conhece) que maximize a utilidade esperada. b) E a que existe entre decisões paramétricas e estratégicas. - Paramétrica – É quando o sujeito enfrenta restrições externas que já estão dadas. O sujeito primeiro estima as restrições e logo decide o que fazer. - Estratégica – É quando existe uma interdependência entre as decisões de distintos sujeitos. O sujeito, antes de tomar sua decisão tem que prever o que fará os demais, como também terá que prever o que os outros pensam que ele irá fazer. Poderíamos pensar que esta situação dá origem a um regresso ao infinito, mas isto não é bem assim, uma vez que se pode chegar a um ponto de equilíbrio. As situações estratégicas são o tópico da teoria de jogos, a qual é um elemento indispensável para a teoria da eleição racional. É importante ressaltar que o conjunto de alternativas é o conjunto oportunidade do próprio agente. Assim que, uma vez definido conceitos como: do agente representativo, situação de eleição e conjunto oportunidade, neste momento, percebemos a necessidade de conceituar outro elemento da teoria da eleição racional: critérios da eleição, que, todavia ainda não foi mencionado, e iremos fazê-lo através de um exemplo: Sejam x e y duas alternativas quaisquer, a teoria da eleição racional nos afirmará que o agente elegerá aquela opção em que ele crê que possua uma qualidade que deseja, e que a outra opção não apresenta ou apresenta em menor intensidade. Pois bem, assim que, se a opção x for a escolhida, isto ocorrerá porque o agente acreditou que ela possui uma qualidade, isto fará emergir nele o desejo de obtê-la. Portanto, chegamos a uma conclusão de que "uma eleição é suscitada pelo desejo e saciá-lo é a finalidade da eleição" (Freitas, 1994). Naturalmente, esta eleição será Humberto Plácido Gusmão de Moura 26 sempre feita em função da crença do agente de que a alternativa escolhida saciará seu desejo. Deste modo, podemos classificar as crenças e os desejos como critérios da eleição. Assim que, um critério de eleição guardará uma relação direta entre ele e uma ação, isto é, o critério deverá motivar a ação para o qual é critério. Nota-se que tais critérios deverão satisfazer uma condição de coerência (no sentido próprio da teoria da eleição racional), e estes serão coerentes se as crenças e os desejos o forem (os quais ocorrerão se e somente se existirem no conjunto oportunidade). Diante do exposto, concluímos que a racionalidade possui sua própria estrutura, a qual, por sua vez, está constituída por uma série de crenças e de desejos que, não só explicam a ação, como também tem uma cadeia causal que pode ser identificada. Elster (2003) afirma que tal identificação se logrará quando se cumprem três condições de otimalidade 8 : a) A ação é a melhor maneira que tem o agente para satisfazer seus desejos, dados suas crenças. b) A crença é o que melhor pode se formar, dada a evidência. c) O montante da evidência recolhido é ótimo, dado seu desejo. d) Pode-se dizer, resumidamente, que estes elementos são indispensáveis para poder falar de uma eleição racional. Agora bem, a teoria da eleição racional também estabelece três axiomas básicos, nos quais se define todo o processo.    Axioma 1 – Estabelece-se, antes de todo, a existência de um critério decisivo de eleição. Esse critério reduzirá todos os outros a um único padrão. Admitirá, então, por hipótese, que o agente terá vários critérios de eleição, mas não haverá mais que um atuando sobre sua eleição.    Axioma 2 - Comparabilidade. Postula-se que o indivíduo é sempre capaz de comparar duas alternativas quaisquer de seu conjunto oportunidade – este axioma pressupõe um perfeito conhecimento do campo de eleição por parte do agente. 8 É conveniente impor uma condição de otimalidade sobre a evidência que se pode recoletar antes que se forme uma crença. Capítulo 1 -Marco Teórico 27    Axioma 3 – O critério de eleição está inscrito numa relação de transitividade definida no conjunto oportunidade. Ou seja, se a opção x é tão boa quanto a y, e y é ao menos tão boa quanto a z, então x deve ser ao menos tão boa quanto a z. Estes axiomas somente nos indicam que, para a teoria da eleição racional, o agente representativo consegue, baseado em um único critério de eleição, comparar todas suas opções e ademais disso, ordená-las. Agora, depois da exposição dos conceitos fundamentais e dos três axiomas básicos, faltanos somente descrever o processo de eleição racional propriamente dito. Silva (2001), em sua analise do texto “seleção natural e social” de Elster (2003), nos diz que, a teoria da eleição racional afirma que um sujeito atuará racionalmente se diante de uma situação de eleição e uma vez dado o conjunto oportunidade e o conjunto de critérios, gerar "uma pré-ordenação das preferências sobre seu conjunto (oportunidade), baseada em padrões de critérios de eleição e depois disso eleger a opção mais preferida" (Silva, 2001). Portanto, atuar racionalmente significa eleger a alternativa com maior hierarquia dentro de um grupo de alternativas factíveis. No entanto, o fato de que o sujeito não eleja a alternativa com o status mais alto ou mais baixo dentro do grupo de alternativas não quer dizer que o sujeito atuou de forma não racional. Queremos ainda tecer algumas considerações sobre a teoria da eleição racional. Amartya Sem (1977), citado por Elster (2003), faz uma primeira crítica à teoria ao perguntar: quando um sujeito elege uma opção baseada na sua moral e em sua ética e não nos seus desejos e crenças, estará sendo irracional ou não racional? Se o indivíduo tem conhecimento que ao tomar uma atitude ética, esta lhe proporcionará menor satisfação do seu desejo/crença, ele estará sendo irracional ou não racional se o faz? Estas questões segundo Elster põem em dúvida a armadura desta teoria. Em uma segunda crítica à teoria, Amartya Sem (1977 apud Elster 2003) afirma que quando as pessoas são racionais em alguma ocasião, e em outra não, a racionalidade poderá estar sendo violada em cada uma das correntes explicativas, a saber:  Na ação - A irracionalidade se manifesta em casos como o da debilidade da vontade, na busca da utilidade não esperada, em formas de ação autodestrutivas etc. Humberto Plácido Gusmão de Moura 34 entre várias, deve existir uma motivação para o decisor. Esta motivação é simplesmente a utilidade que estas possíveis alternativas podem lhe trazer. Resumindo, os indivíduos não tomam decisões, em geral, segundo o valor esperado 10 , senão segundo a utilidade que vão receber das distintas alternativas. Bueno (2004) chama a atenção para o fato de que atualmente as pessoas só são capazes de imaginar a “utilidade” como, por exemplo, uma determinada quantidade de dinheiro, se esquecendo de que pode haver outros pensamentos “utilitaristas 11 ”. Em suas palavras “parece que o dinheiro é a única motivação capaz de nos fazer tomar decisões” (p 98). Entretanto, esta problemática da avaliação das alternativas deve ser abordada desde uma visão mais geral e desde esta perspectiva. Há autores como Freitas (1994) e Bueno (2004) que definem a utilidade como “a satisfação (mesmo que moral) que reporta ao sujeito decisor a cobertura de uma necessidade que este sujeito tinha previamente a adoção de uma decisão” (Bueno (2004), p.98). Unicamente se exige que esta satisfação seja susceptível de ser medida, pois, em caso contrário, seria impossível saber em que medida foi coberta a necessidade que o sujeito tinha, e seria impossível afirmar que uma alternativa é mais útil que outra para o dito sujeito. Quando se analisa abstratamente um problema de decisão, fala-se dos “úteis” que representam para o sujeito decisor a eleição da alternativa j a , e pelo contrário, quando se fala de situações concretas, podemos usar a medida adequada ao problema que nos ocupa, utilizando úteis de satisfação moral ou úteis monetários, por exemplo. Desde o momento em que estabelecemos uma medida de utilidade, podemos falar de uma relação de preferência entre utilidades, isto é, uma medida de utilidade é uma simples escala, pela parte de cima as maiores e pela de baixo, as menores utilidades. Por exemplo, é preferida a utilidade ij r (representada pela compra de um carro) a kt r (representada pela compra de um barco). 10 Valor esperado é a capacidade de uma coisa em saciar os desejos. Freitas (1994). 11 O pensamento utilitarista se assenta em três pressupostos: o consequencialismo, o bem estar e o agregacionismo. O consequencialista, diz que o único padrão ético fundamental é a promoção imparcial do bem ou a realização de estados de coisas valiosas. O bem estar, é a satisfação das preferências pessoais, ou seja, é constituído por aqueles aspectos da vida que são bons para o próprio indivíduo. E o agregacionista acrescenta a esta imagem, para determinar o valor de um estado de coisas devemos somar o bem estar dos indivíduos em consideração. Capítulo 1 -Marco Teórico 35 Todavia, em igual, no caso do conjunto de alternativas, ante uma mesma tabela de utilidades, os sujeitos decisores podem responder de várias formas, e o que para uma pessoa tem uma grande utilidade, para outra não será, pelo que cada decisor terá associada intrinsecamente sua própria medida de utilidade. Desta forma, se estabelece uma escala de valoração num conjunto de alternativas, implicando assim na existência de uma relação de preferência entre seus elementos, de forma que: Dada duas alternativas ij r e kt r , diremos que ij r p kt r se ij r é preferido a kt r . Diremos que ij r i kt r ; se e ij kt kt ij r p r r p r , portanto ij r e kt r são indiferentes. ij r e kt r podem ser quaisquer pares de números do intervalo [0,1], por exemplo, cujas relações p e i (“preferência” e “indiferença”), satisfaçam os seguintes axiomas. - ij r p kt r , kt r p ij r , ou ij r i kt r ; - ij r i ij r para todo ij r ; - se ij r i kt r , então kt r i ij r ; - se ij r p kt r e kt r p ls r , então ij r p ls r ; - se ij r p kt r e kt r i ls r , então ij r p ls r ; - se ij r i kt r e kt r p ls r , então ij r p ls r . Em Owen (1995), vemos que estes axiomas representam a existência de uma ordem sobre as alternativas, desde a mais desejável até a menos, se ij r p kt r , quer dizer que a alternativa ( ij r ) tem maior utilidade que ( kt r ), entretanto, este fato não indica qual é a proporção desta diferença entre as alternativas, tampouco poderá descrever quais são estas possíveis “maiores utilidades”, que justifique uma alternativa em detrimento de outra. Assim como na eleição, no processo da tomada de decisões, também existe uma préordem. Evidentemente, a decisão adequada para o sujeito decisor se corresponde com o elemento maximal da pré-ordem de preferências; quer dizer, aquela alternativa que mais utilidade proporciona ao sujeito. Este elemento do conjunto de alternativas, não é o mesmo para todos os sujeitos decisores, posto que a medida de úteis que reporta cada decisão é uma medida pessoal de utilidade intrínseca de cada sujeito. Humberto Plácido Gusmão de Moura 36 Podemos observar que nem sempre as decisões são tomadas num ambiente de certeza, usualmente elas são tomadas em diferentes ambientes, influenciadas pela aleatoriedade do entorno, sendo preciso estabelecer uma matriz de decisão. Neste contexto, tomar uma decisão implica eleger um vetor fila da matriz de decisão, dentre o total de vetores fila indicados. Não obstante a diferença da simplicidade do caso anteriormente exposto, no que se estabelecia uma estrutura de pré-ordem entre elementos, agora, o problema é mais difícil de resolver, posto que a comparabilidade de dois vetores há de se basear nos seus componentes, podendo existir distintas combinações. Deste modo, a relação de preferência será entre vetores e passaria pela consideração dos conceitos de vetor simplesmente dominado, vetor admissível e vetor dominante ou vetor ótimo: - Vetor dominado – É o vetor cujas coordenadas não foram preferidas às de outro vetor da matriz, ou seja: ( ) ( ) / ; ; i kj ij j kj ij j a A r r r r θ θ ∈ ∀ ∈Ω ∧ ∃ ∈Ω ≺ ≺ . - Vetor admissível - Um vetor será admissível se não existir outro vetor que lhe domine; ou seja, um vetor será admissível se não for um vetor dominado. - Vetor dominante ou vetor ótimo - É um vetor admissível, cujas coordenadas foram preferidas às de qualquer outro vetor da matriz; um deles ao menos, em sentido estrito. O vetor ótimo no conjunto de resultados é: ( ) ( ) */ ; ; i kj ij j kj ij j a A r r r r θ θ ∀ ∈ ∀ ∈Ω ∧ ∃ ∈Ω ≺ ≺ , Tabela 2 : Matriz de dec isão em função do ambiente Fonte : Adaptado de Bueno (2004) . Capítulo 1 -Marco Teórico 37 sendo { } */ k A A a = − . Isto é, se elegerá a alternativa k a , se qualquer que seja o estado da natureza, dita alternativa proporciona maior número de úteis que as demais. Temos também, as situações (ex. em nossa vida cotidiana) onde tomamos algumas decisões sem conhecer realmente suas consequências. Se, no caso de querermos comprar um carro e decidimos pelo mais veloz, não sabemos se nos passará algo desagradável por conta de sua velocidade, assim que, a utilidade da compra será muito baixa, inclusive pode ser negativa. Resumindo, não é fácil fazer uma avaliação dos vetores da matriz de decisão, e o sujeito decisor, na vida real, muitas vezes avalia as suas consequências de forma intuitiva. Em alguns dos pontos anteriores, ao fazer uma análise qualitativa, falamos dos resultados como se fossem de sua utilidade, e de utilidade como se estivéssemos analisando resultados. Está claro que não se podem identificar ambos conceitos, sendo necessário separar os resultados (causas) de suas utilidades (efeitos), mediante o que chamamos de função utilidade. Se tivermos em conta que o sujeito decisor, tem consciência de que qualquer que seja o resultado obtido, sempre obterá um resultado mínimo m r , pelo que sua verdadeira preocupação, virá dada por ver em que medida é capaz de obter ( ) ( ) m x U r U r +,e em como pode maximizar esta última utilidade ( ) x U r . Por isso, vamos definir dois tipos de utilidade:  Utilidade do problema de decisão - Será a utilidade que produz o resultado constituído pelo elemento minimal. Esta utilidade que receberá sempre o decisor, qualquer que seja a alternativa eleita.  Utilidade da alternativa eleita - Será o valor acrescido à utilidade do problema de decisão pelo fato de eleger a alternativa i a ; ou seja, o complemento à utilidade do problema de decisão, até lograr a utilidade total obtida. Pelo que antecede, podemos definir como utilidade real de uma alternativa, o incremento de utilidade que produz a um decisor o fato de preferir i a a k a , ou seja, a diferença de utilidade existente entre a utilidade total recebida e a alternativa não eleita. Por conseguinte, definimos utilidade como a capacidade que um bem ou serviço possui para satisfazer as necessidades de um sujeito. De acordo com um critério básico de racionalidade, Humberto Plácido Gusmão de Moura 38 todo processo de adoção de decisões dever-se-ia encaminhar a lograr a maior utilidade possível para o sujeito. Resumidamente, para que possamos classificar um problema como problema de decisão é necessário que o decisor avalie as consequências de suas ações em termos qualitativo ou quantitativo, e para isto se exige estabelecer o conceito de utilidade para qualquer indivíduo que tenha que tomar decisões individualmente. O caráter individual da decisão se manifesta pelo fato de que cada sujeito concebe o problema de uma maneira diferente, por muito objetivo que pareça. Observemos o exemplo a seguir para melhor entender o que já foi dito. Exemplo adaptado de Bueno (2004) - Suponhamos um jogo de lançamento de um dado, observando o número que aparece na face superior com a seguinte regra: o jogador 1 (ativo) aposta $50, e se sai qualquer número 4 ≥ , recebe $500, e se tira 4 < , não ganha nada. Temos os seguintes resultados para o jogo: Ao calcularmos a expectativa de beneficio, utilizando a esperança matemática, encontramos: (jogar) (450 0,5) ( 50 0,5) 200 (não jogar) (0 0,5) (0 0,5) 0 E E = × + − × = = × + × = A priori, a expectativa de beneficio ou utilidade esperada é muito superior no caso de que decidamos jogar, pelo que se aplicarmos um critério racional de decisão, deveríamos concluir que temos que jogar este jogo. Entretanto, a pergunta que fazemos é: todo decisor deveria jogar? Suponhamos que o sujeito somente dispõe de $50 como capital e que, obviamente, tem que se alimentar. Neste caso, jogaria? É evidente que não é o mesmo ter $50 que ter $1000, de cara a jogar este jogo, o que nos Alternativas          P 4 P ≥ 4 P < Ω D 4 ≥ 4 < Jogar 450 -50 Não Jogar 0 0 Resultados Tabela 3: Valor esperado dos pagos do jogador Fonte: Adaptado de Bueno (2004) Capítulo 1 -Marco Teórico 39 confirma o caráter subjetivo da tomada de decisões. Ou seja, cada sujeito avaliará os resultados de um problema de decisão, individualmente, de acordo com a utilidade das consequências das decisões. Assim, como em quase toda teoria, a da utilidade esperada também tem sua problemática baseada em diferentes critérios axiomáticos de decisão. Em um deles vemos, por exemplo, os axiomas de preferência de uma teoria de utilidade que, segundo Kahneman e Tvesky (1979), desde este ponto de vista são meramente predições. Estes investigadores nos muitos experimentos realizados indicaram que a maioria das teorias provadas não é boa para predizer o comportamento de uma eleição ou de uma tomada de decisão. Muitas pessoas cometem erros em relação à racionalidade de suas decisões na sua percepção da realidade, as quais podem ser precedidas e classificadas por categorias. De fato, os autores escreveram, “a expectativa das perdas e ganhos futuros esperados, não são tratados de forma simétrica pelos sujeitos decisores, que às vezes dão uma importância desproporcionada a riscos muito pequenos” (pág. 146). Isto provocou que estes pesquisadores formulassem e refinassem tais formulações, surgindo assim a “teoria das expectativas”, na qual tratam de explicar as violações da teoria da utilidade esperada por parte dos decisores. Para formular esta teoria eles assumiram como hipóteses que o sujeito não decide segundo os padrões racionais da teoria da utilidade esperada, mas por simples regras de comportamento, quando se tem que tomar uma decisão. As principais regras são:  Representatividade - O sujeito atribui probabilidades aos sucessos e, em consequência, elege as alternativas em virtude da verossimilhança de cada sucesso; quanto mais se assemelhe um fato a outro conhecido por ele, mais provável será tal sucesso. Nesta regra se detecta uma incompreensão do tamanho amostral. Exemplo: Se lançamos 6 vezes seguidas uma moeda, que combinação de cara (C) e coroa (+) é mais provável: CC++C+ ou C+C+C+? Neste caso, se observa que há insensibilidade às probabilidades.  Capacidade de memorização ou recordo - Facilidade para recordar situações análogas anteriores, de forma que quanto melhor o recordo do decisor de um determinado sucesso, maior probabilidade terá de acontecer. A verossimilhança de um sucesso dependeria diretamente da facilidade com que as situações venham à mente do sujeito. Este fato provocaria erros de quatro tipos: Humberto Plácido Gusmão de Moura 40 - Os sucessos parecem mais prováveis quando se recordam com mais facilidades. - Efetividade do conjunto de busca. - Construção de um cenário mental. - Correlação ilusória.  Necessidade de segurança - Aparece quando o decisor efetua algum tipo de estimação, de forma que, ante o desconhecido, o sujeito se deixe guiar por conselhos de terceiros, ainda sendo consciente da arbitrariedade de determinados conselhos. Os erros mais comuns são os derivados de um ajuste insuficiente e de um excesso de importância dado ao valor inicial: Exemplo - Imagine que um sujeito aposte sobre os seguintes sucessos: A- Extração de uma bola vermelha em uma urna composta por bolas vermelhas e brancas, em partes iguais. B- Extração de uma bola vermelha sete vezes consecutivas com reposição, em uma urna com 90% de bolas vermelhas e 10% brancas. C- Extração com reposição de uma bola vermelha ao menos uma vez, entre sete sucessivas, em uma urna com 10 % de bolas vermelhas e 90 % de bolas brancas. Em seus experimentos, Kahneman e Tvesky (1979) constataram que a maioria das pessoas optou pela eleição (aposta) do sucesso A, frente ao sucesso C. Entretanto, a probabilidade de ganho é máxima (52 %) em C, e mínima (48 %) em B. Ainda com respeito aos seus experimentos estes autores concluíram que as teorias que sinalizam como deveriam decidir os sujeitos, resultaram não serem válidas na prática, e isto foi comum nas pessoas, independentemente da sua cultura, ainda que se modifique a natureza do problema. 1.2.3. O Processo de Decisão Uma vez que definimos os requisitos necessários para uma abordagem da tomada de decisões, vamos agora apresentar as distintas fases (Carmona, 1997) nas quais ela pode ocorrer, observando que a ordem em que elas se apresentam não são rígidas, podendo ocorrer de forma Capítulo 1 -Marco Teórico 41 paralela, ou ainda ser retomada se durante o processo algum elemento novo aparecer. Estas fases segundo Carmona (1997) são:  Definição do problema - Uma vez detectado o problema, é necessário dedicar certo tempo à busca de informação sobre o mesmo, de forma que possam emergir todos os distintos elementos, bem como as relações entre eles. Nesta fase é importante distinguir quais são os aspectos fundamentais e os acessórios, assim como quais as limitações que a situação impõe sobre as possíveis vias de solução. Toda situação problema incorpora um grande número de aspectos e detalhes que dificultam a visualização dos que são realmente relevantes, ao mesmo tempo em que são obstáculos para a formalização e analise posterior.  Seleção dos critérios - Os critérios são as expressões dos objetivos que se busca alcançar com uma boa solução, ou seja, são as soluções ideais. O desejável é encontrar aquela solução que supõe o melhor compromisso entre todos os critérios, porém uma dificuldade é adicionada a isto, que é a de encontrar os atributos ou características mensuráveis que permitam valorar o grau de satisfação das alternativas em relação aos critérios selecionados.  Busca das alternativas - É de grande importância fazer um esforço de imaginação e criatividade para gerar o maior número de soluções possíveis, uma vez que as soluções mais evidentes nem sempre são as melhores e inclusive aquelas que, em principio não parecem factíveis, merecem ser exploradas com a imaginação. Sempre correrá o risco de que a alternativa ótima se encontre entre aquelas que não se pensou, e aí o risco será reduzido caso o sujeito realize um esforço criativo nesta fase.  Análise: Esta é uma fase de valoração de cada uma das distintas alternativas. É a medição dos distintos atributos que permitem expressar o grau de satisfação que cada alternativa alcança para cada critério. A distinção entre critérios quantitativos e qualitativos vai estabelecer a diferença de tratamento em cada caso. Existe um grande número de técnicas e métodos aplicáveis a este processo de avaliação, dependendo das características do problema, muitas delas fazem uso de instrumentos matemáticos e estatísticos, e seu conhecimento pode resultar em grande ajuda. Humberto Plácido Gusmão de Moura 42  Decisão - Finalmente, uma vez formalizado e analisado o problema de decisão, se requer a intervenção da(s) pessoa(s) que atuam como decisores.  Execução e controle: Uma vez eleito o curso de ação que será levado adiante, é necessário por em jogo os recursos e os instrumentos necessários. O adequado controle da execução proporcionará informações e experiência muito úteis para posteriores tomadas de decisões relacionadas com o que se está executando. Na vida real, a cada momento que passa, revisamos nossas opiniões sobre diversos parâmetros da existência humana, com o que aprendemos sobre eles e com eles; e quando tomamos uma determinada decisão, obviamente o fazemos com base em nossas opiniões, dentro de um contexto determinado, no momento em que a alternativa deva ser eleita. Ademais, o fato de tomarmos uma decisão num momento inicial, e logo tomarmos outra em um momento futuro, pode supor a existência de fatores externos que alterem as condições iniciais, produzindo efeitos das alterações nestas, ainda que permaneçam os objetivos iniciais como resultado da primeira decisão. Cada eleição que se faça não supõe um ato isolado, senão que se insere na trajetória de cada sujeito. Está claro também, que o maior ou menor poder para tomar decisões racionais, depende da maior ou menor informação que se tenha sobre o meio de mudanças. Senão se dá a devida atenção ao meio/ambiente, chegará um momento no que o decisor estará incapacitado para adotar decisões sobre sua própria atividade, posto que desconhecerá totalmente o meio onde está inserido. Definição do problema Seleção dos critérios de decisão Análise das alternativas Desenvolvimento das alternativas Execução e controle Busca de alternativas Decisão Fonte: Adaptado de Carmona (1997). Fig. 3: Configuração do processo de tomada de decisões Capítulo 1 -Marco Teórico 43 A atualização da informação que o sujeito possui, como afirma Carmona (1997), deve ser constante, e se o entorno varia, a informação deve atualizar-se, e em consequência, as decisões devem se modificar com o transcurso do tempo. Bueno (2004) define os problemas que o decisor deva considerar no futuro, fazendo planos apropriados para a correção de suas decisões de acordo com a variação da informação recebida do meio, como problemas de decisão sequenciais. Obviamente, os movimentos que afetam uma decisão podem ser diversos. Entretanto, em todos estes movimentos deve existir um denominador comum: a existência de uma decisão inicial que desencadeia decisões futuras em forma sequencial. Portanto, um processo de decisão sequencial é a concatenação temporal de um conjunto de decisões com um vínculo comum, que tenha como objetivo a resolução de um problema de decisão; isto é, que um sujeito decisor necessite tomar uma decisão em distintas fases, ou porque uma vez tomada a decisão, esteja obrigado a tomar outras decisões futuras; ou porque a resolução do problema lhe obrigue a tomar várias decisões em momentos distintos. Não obstante, o tempo é em si uma variável muito particular, influi no processo de decisão sequencial, a tomada de uma decisão não se adota em cada momento de tempo, senão vai desenvolvendo ao longo de um intervalo temporal, o que se denomina intervalo de decisão, pelo que a variável tempo tem um caráter discreto. (Bueno 2004). Graficamente, podemos estabelecer um diagrama que represente o processo de decisão sequencial: O processo surge com a necessidade de resolver um problema de decisão. Este momento de reconhecimento também é o ponto de partida do processo 0 d . A partir dai, se abre o primeiro intervalo de decisão 1 I , ao longo do qual vai surgir a primeira decisão do processo 1 d , que, a sua ______________________________________________________________ 0 d d 1 I I 1 d d 2 I I 2 d d 3 I I 3 d d d t ⋯⋯⋯⋯ Fig. 4: Diagrama representativo do processo de decisão sequencial Fonte: Adaptado de Bueno (2004) Humberto Plácido Gusmão de Moura 50 Um dos objetivos da TJ é o estabelecimento de modelos matemáticos formulados para estudar situações nas quais existe conflito, e consequentemente uma negociação entre os diferentes participantes ou sujeitos intervenientes neste tipo de problema de decisão. Estes modelos englobam conceitos que se podem interpretar como propriedades de ações reais. Quando isto ocorre, temos um modelo matemático de uma situação real. Para Singleton e Tyndall (1977), a TJ possui as principais características requeridas por uma teoria matemática para que seja considerado um modelo de dita situação: 1. O estabelecimento de uma identificação que pareça intuitivamente satisfatória e que permaneça satisfatória à medida que se acumula um posterior conhecimento empírico, e como o sistema matemático, vai se desenvolvendo. 2. Que a mesma matemática contribua com a teoria em alguma forma, independente de sua mera clareza de expressão. 3. A inclusão de relações que satisfaçam nossa necessidade de explicação. Atualmente, a TJ se ocupa, sobretudo, de analisar o que ocorre quando os homens se relacionam de forma racional. Para Rufasto (2003), a TJ é também a teoria das situações sociais e se ocupa de estudar interações entre seres pensantes. Para este autor, quiçá esta seja a descrição mais exata do que realmente trata esta teoria. Para Morton (1971), a TJ é um modelo matemático para tomar decisões em situações de conflito ou desequilíbrio, simplificando problemas, através de jogos, os quais estão inscritos num conjunto de regras (explicitas ou não, formais ou não), com o objetivo de se obter um certo beneficio, que permitirá compreender o conflito e suas possíveis soluções, ou seja, em situações complexas de rivalidade e de ação ou reação incertas, que podem ser transformadas por meio de ferramentas matemáticas em formulações simples e de análise direto. Depois de nossas leituras sobre a TJ, tal e como definida por autores como Singleton e Tyndall (1977), Rufasto (2003), Morton (1971), por exemplo, podemos conceituá-la como uma maneira formal de predizer, por exemplo, qual será o resultado certo ou mais provável de uma disputa entre indivíduos que interagem de forma estratégica. O quadro abaixo traz uma breve retrospectiva histórica da TJ desde sua origem até a concessão do Nobel de economia por trabalhos nesta área. Capítulo 1 -Marco Teórico 51 Quadro 2: Breve retrospectiva histórica da Teoria de Jogos Autor Estudos Waldegrave (1713) Contribui com a primeira solução a um jogo de estratégia bipessoal com o critério minimax. Cournot (1838) Utiliza como solução de um duopólio, o que mais tarde se denominou Equilíbrio de Nash. Edgeworth (1881) Propõe uma curva como solução ao problema de uma operação comercial entre dois sujeitos. Zermelo (1913) Demonstra o primeiro teorema da TJ, com relação ao jogo de xadrez. Borel (1921-1927) Contribui com a primeira formulação moderna de uma estratégia mista baseada na solução minimax. Von Neumann (1928) Consegue demonstrar o teorema minimax e aplica a TJ à ciência econômica. Zeuthen (1930) Propõe uma solução ao problema de negociação. Von Neumann e Morgenstern (1944) Formulam uma nova metodologia para a resolução dos problemas do comportamento humano e percebem que esta coincide com os princípios matemáticos aplicados para resolver os jogos de estratégia, atribuindo o nome de TJ a esta metodologia, também incorporam e sistematizam o conceito de função utilidade e introduzem o conceito de jogos cooperativos com transferência de utilidade. Morse (1945) Aplica a TJ à tomada de decisões na guerra com submarinos. Tucker (1950) Formula e introduz o conhecido jogo do Dilema do Prisioneiro. Nash (1950-1953) Realiza importantes contribuições à TJ nos jogos cooperativos e nos de negociação, provando a existência de um equilíbrio estratégico. McKinsey (1952) Publica o primeiro livro de texto sobre a TJ. Shapley (1952-1953) Demonstra que as estratégias ótimas dependem somente do jogo que se está jogando, e não da informação histórica anterior, ou seja, as estratégicas são estacionárias. Shapley e Shubik (1954) Publica as primeiras aplicações da TJ à economia política. Braithwaite (1955) Realiza as primeiras aplicações da TJ à filosofia. Aumann e Peleg (1960) Desenvolvem os jogos sem transferência de utilidade. Humberto Plácido Gusmão de Moura 52 Lewontin (1961) Desenvolve a primeira aplicação da TJ à biologia evolutiva. Shubik (1962) Formula as primeiras aplicações da TJ à distribuição de custos. Elster (1983) Formula a aplicação da TJ na conduta humana. Elster (1989) Publica o Jornal Games and Economic Behavior. Braid e Gertner (1994) Publica um livro em leis e economia que aproxima a TJ a outras leis. (1994) Nash, Harsanyi e Selten, ganham o Nobel de Economia. Fonte: Própria do autor 1.3.1. Conceitos Básicos da Teoria de Jogos Um dos primeiros conceitos básicos definidos nesta Teoria é o de jogo. Um jogo é considerado como um modelo quando duas ou mais pessoas atuam e tomam decisões, e cuja estrutura está inscrita em um conjunto de regras (explicitas ou não; formais ou não), com o propósito de obter certo beneficio. Cada decisão e ação combinadas determinarão uma situação de decisão. Os conceitos importantes que entrevêem nesta definição e que podemos encontrar, por exemplo, nos estudos de Moura (2003) e também de Bueno (2004) são:  Jogadores - São os indivíduos que levam a cabo as decisões. O objetivo de cada jogador é maximizar sua utilidade mediante ações para este fim.  Ações e estratégias - Uma ação ou movimento, uma eleição que pode fazer um jogador, sendo que as ações são observáveis e as estratégias não. Quanto às estratégias, estas podem ser: - Puras - Implicam decisões que se tomam com certeza e; - Mistas - Implicam uma combinação de decisões tomadas de acordo a uma série de probabilidades, cuja soma deve ser 100%.  Pagos - Cada situação particular oferece uma combinação de prêmios. Estes prêmios estão em conformidade com a utilidade que cada jogador recebe por cada uma das possíveis combinações de estratégias que puderam ser escolhidas.  Valor do jogo - É o pago que um jogador tem garantido para receber de um jogo, do qual decide participar, independentemente do que façam os demais jogadores. Capítulo 1 -Marco Teórico 53  Função de utilidade - A função de utilidade converte os pagos em bem estar.  Conduta de um jogador - Se requer tipificar a conduta de cada jogador, de maneira que se possa saber de que forma provável ou certa como ele se comportará. A regra básica da análise de jogos é que “cada jogador buscará o máximo bem estar possível”.  A solução e o valor da solução de um jogo - É a combinação de ganhos ou perdas que dá o jogo. A TJ mostra que a interação dos jogadores gerará uma situação mais provável ou um conjunto de situações igualmente prováveis.  Equilíbrio - Em sua forma mais axiomática, este conceito é introduzido como critério de solução dos jogos de duas pessoas ou de par. Supõe-se neste modelo que os jogadores enfrentam uma mesma situação de decisão, em que os mesmos estão envolvidos coletivamente e ademais, que cada um deva decidir sua atividade individualmente, mas as consequências estarão determinadas pela ação coletiva, ou seja, pelo par de atividades que empreendam os jogadores. O conceito de equilíbrio mais utilizado é o Equilíbrio de Nash. - Equilíbrio de Nash (formulado por John Nash) é um modo de obter uma estratégia ótima para jogos que envolvam dois ou mais jogadores. Se há um conjunto de estratégias tal que nenhum jogador se beneficia mudando-as, enquanto os outros não troquem as suas, então esse conjunto de estratégias e os ganhos correspondentes constituem um equilíbrio de Nash. Assim, por definição, se diz de uma combinação de estratégias (uma por jogador) que está em equilíbrio de Nash se nenhum jogador possa aumentar seus ganhos por uma troca unilateral 12 de estratégia. Assim, é bastante possível que em um equilíbrio de Nash a situação se possa melhorar para todos, por meio de uma troca simultânea de estratégia por parte de vários jogadores.  Ordem dos movimentos no jogo - Um jogo pode ser de movimentos simultâneos ou sequenciais.  Representação dos jogos – Os jogos podem ser representados de: 12 Na definição de equilíbrio de Nash o adjetivo “unilateral” ocupa um lugar essencial, isso traduz o caráter não cooperativo das eleições individuais (o “cada qual por si”). Humberto Plácido Gusmão de Moura 54 - Forma extensiva – Quando a representação na forma extensiva mostra cada movimento individual que cada jogador pode fazer, especificando-se a ordem do jogo, a informação, as eleições disponíveis e as utilidades de cada jogador ante as diferentes combinações de estratégias. - Forma normal ou estratégica - Quando uma descrição sintetizada de um jogo com dois jogadores que decide seu plano de ação em forma simultânea.  Ferramentas de análise da Teoria de Jogos - existem diferentes ferramentas para modelar e analisar um jogo, entre elas se destacam: - Matriz de Pagos – A análise matricial corresponde à expressão mediante matrizes das situações que possam ser geradas pelas alternativas de decisão e ação de dois jogadores, a qual apresentará as diversas opções de decisão e ação de cada jogador e as resultantes situações particulares. A combinação da alternativa eleita por um jogador e a alternativa eleita por outro cria um único ponto de coordenadas (decisão do jogador A, decisão do jogador B). A situação particular definida por esse ponto tem um valor, que é a combinação de prêmios obtida pelos dois jogadores. - Árvore de Resultados Sucessivos – Um diagrama de árvore de resultados sucessivos se utiliza em jogos que implicam sequências de movimentos (um movimento é um binômio decisão-ação). Nesta árvore, se define um ponto de partida e a partir daí se estenderão ramas que representam os diferentes movimentos que podem realizar os jogadores, com cada um dos diferentes movimentos ou ramas definindo os resultados de pagos, os quais poderão servir como ponto de partida em novas decisões. O processo se repete até completar o número de movimentos que os jogadores podem realizar. 1.3.2. Tipos de Jogos Em conformidade com Morton (1971), Peleg (1985), Owen (1995), Moura (2003) e também com Bueno (2004), entre outros, temos que a depender do que se pretenda modelar e dos diversos níveis de informação com que se conte, os jogos podem ser classificados em diferentes tipos: Capítulo 1 -Marco Teórico 55  Jogo Dinâmico - Quando um jogador tem a possibilidade de observar os movimentos do outro e reagir em consequência, isto é, naqueles que ocorrem em mais de um período.  Jogo estático - Quando as ações de ambos são tomadas simultaneamente.  Jogos Repetitivos - Os modelos destes jogos estão desenhados para examinar a lógica da interação em longo prazo. Este tipo de modelo captura o fato de que um jogador atua tendo em conta que seu comportamento atual afeta o comportamento futuro dos outros jogadores. Ademais, busca explicar fenômenos, como a cooperação, a vingança e as ameaças.  Jogos de soma nula - São jogos em que a soma total dos benefícios assegurados por todos os jogadores é sempre igual a zero (ou seja, um jogador somente pode ganhar se outro perder). O xadrez e o pôquer são bons exemplos, pois cada jogador ganha precisamente o que o outro perde. No tocante às informações, podemos ter:  Informação completa - Se a matriz de pago é conhecida de antemão pelos jogadores.  Informação incompleta - Se ao menos algum deles não conhece com certeza as utilidades ou as diferentes estratégias que enfrenta. Adicionalmente, dentro dos jogos dinâmicos, se podem diferenciar em jogos com:  Informação perfeita - Quando o jogador conhece os movimentos do outro.  Informação imperfeita - Quando o jogador não sabe qual foi à estratégia eleita pelo outro jogador. Desta maneira, podemos ter muitas combinações entre o tipo de jogo e informação:  Jogos Dinâmicos com Informação Completa - Um jogo extensivo ou dinâmico é uma descrição detalhada da estrutura sequencial dos problemas de decisão. Um jogo extensivo especifica a possível ordem dos eventos. Um jogador pode considerar seu plano de ação não só no começo do jogo, como também a qualquer momento em que tenha que tomar uma decisão.  Jogos Estáticos com Informação Completa - Um jogo estratégico é um modelo de decisão no qual cada jogador decide seu plano de ação uma vez e para sempre, e estas decisões se fazem de forma simultânea. Humberto Plácido Gusmão de Moura 56  Jogos Dinâmicos com Informação Incompleta – Somente um dos jogadores possui a informação (privada), enquanto que o outro não.  Jogos Estáticos com Informação Incompleta – O fato de a matriz de pagos não ser totalmente conhecida por, ao menos, um dos jogadores, incorpora um elemento de incerteza às estratégias que os agentes enfrentam, e a dita incerteza é capturada por uma medida de probabilidade do conjunto de possíveis estados. Estes jogos são conhecidos como jogos Bayesianos. 1.3.3. Classes de Jogos A Teoria de Jogos se estrutura em duas grandes classes; os jogos cooperativos e os não cooperativos. Suas diferenças residem nos acordos vinculantes entre os indivíduos envolvidos numa situação e no tratamento que receberão. A primeira estrutura fundamental para o estudo da TJ é a dos jogos cooperativos ou coalizacionais. Nessa estrutura se supõe que os jogadores dispõem de mecanismos que lhes permitam firmar acordos vinculantes, e se assume também que se podem obter algum beneficio de tal cooperação. O interesse radica então no resultado que os jogadores podem obter de forma individual e de forma conjunta, ainda que não se indique a forma pela qual se obterá o dito resultado. Concretamente, a questão central neste tipo de jogo está na definição de conceitos de solução, que indiquem como repartir, entre os jogadores, o ganho gerado pela cooperação entre todos eles. Por suposto, sob uma estrutura como a dos jogos cooperativos, um acordo de cooperação pode não ser a “solução”, de maneira que os agentes devem ter uma estrutura de informação sobre certa valoração, a priori, das coalizões nesta valoração. Através da função característica (que atribuirá a cada coalizão o ganho que pode obter se seus membros decidem cooperar), é que se reconhece qual coalizão é a mais “valiosa” e qual não é. (Peleg, 1985), Owen (1995) e Moura (2003). Dentro dos jogos cooperativos, distinguimos as seguintes classes: a) Jogos cooperativos com utilidade transferível (TU) - Supor que a utilidade é transferível, quer dizer que os pagos de cada coalizão podem se distribuir de qualquer Capítulo 1 -Marco Teórico 57 forma entre seus membros, e que o mais importante não é o fato de como se pode repartir, senão o que se pode repartir. Daí o nome utilidade transferível. (Peleg, 1985). Exemplo - Suponha que três jogadores, A, B e C, tenham que repartir entre eles $100. O sistema de reparto tem que ser uma das quatro possíveis coalizões vencedoras: ABC, AB, BC e AC, mas há infinitas formas de repartir os pagos entre os três jogadores. b) Jogos cooperativos sem utilidade transferível (NTU) – Supor que a utilidade é não transferível é o mesmo que dizer que o pago de cada coalizão não se pode distribuir de qualquer forma entre seus membros. Quando se renuncia a utilidade transferível, já não resulta possível descrever os pagos de que dispõe uma coalizão em particular, como a soma da utilidade que esse grupo poderia obter, cabendo então, uma nova reformulação da função característica (Peleg, 1985). Exemplo – Suponha que três jogadores, A, B e C, tenham que repartir entre eles uma casa. Acontece que este reparto não é possível, uma vez que os jogadores se veem na obrigação de renunciar a utilidade transferível para obtenção de seus pagos individualmente. A utilidade de uma sala ou de uma cozinha para o sujeito A, por exemplo, não é a mesma que para B, daí que o objeto em disputa não pode ser dividido e, portanto, não pode ser calculada a utilidade individual. A segunda estrutura fundamental para a TJ (a mais dominante dentro do pensamento econômico) é a dos jogos não cooperativos, na qual, basicamente, temos um conjunto de jogadores, cada um com umas estratégias a sua disposição, e umas retribuições de pagos que recebem por levar adiante tais estratégias. A característica “não cooperativa” está na maneira de como elegem e no que sabem dos outros jogadores quando estes elegem também. Em geral, se supõe que os indivíduos tomam suas decisões independentemente uns dos outros, ainda que conhecendo seus oponentes e as possíveis estratégias que estes têm a sua disposição, isto é, são indivíduos egoístas, mas que tratam de prever o que os outros agentes farão. Nesta estrutura de análise, os agentes não alcançam nenhum nível de cooperação. Peleg, (1985), Owen (1995) e Moura (2003). Vejamos o seguinte exemplo, ele é bem ilustrativo do modus operandi do tipo de modelo que acabamos de descrever, chama-se o dilema do prisioneiro, o qual foi formalizado e analisado Humberto Plácido Gusmão de Moura 58 pela primeira vez por Tucker, em 1950, e é possivelmente o jogo mais conhecido e estudado na TJ. Baseado nele foram elaboradas outras tantas variações, muitas delas com base na repetição do jogo. Dilema do Prisioneiro: A história deste jogo se passa como segue: Dois delinquentes são detidos e encarcerados em celas isoladas, sem que haja comunicação entre eles. O delegado suspeita que eles participaram do roubo do banco, delito cuja pena é de dez anos de cárcere, mas não há provas que os incriminem. Somente tem provas e pode culpá-los de um delito menor, porte ilegal de arma de fogo, cujo castigo é de dois anos de cárcere. O delegado promete a cada um que reduzirá sua condenação, se algum deles proporcionar as provas para culpar o outro do roubo. A situação se resume na seguinte matriz de pagos. A estratégia "lealdade" consiste em permanecer em silêncio e não proporcionar provas para acusar ao companheiro. Chamaremos de "traição" a outra estratégia. Fonte: Adaptado de Owen (1995) Ambos têm duas alternativas: cooperar (ser leal) ou não cooperar (trair). Eles sabem que se nenhum confessa, cada um irá à prisão por dois anos (pena pelo porte ilegal de arma). Mas, se um dos dois trair e o outro não, então o que traiu ficará livre e o que foi traído receberá a condenarão de 10 anos. Se ambos decidem trair mutuamente, os dois irão à prisão por oito anos. A pergunta natural é: que farão os detidos? Cooperarão entre si (não confessarão) ou um entrega ao outro (confessarão)? Alguém desprevenido que esteja observando este jogo poderia pensar que os dois jogadores cooperarão (não confessarão), posto que nesse caso, ambos obteriam o menor castigo possível. Entretanto, a estrutura não cooperativa do problema faz que este acordo não seja pensado, se pactuarem a não confissão, ambos teriam incentivos particulares para rompê-lo, pois deixando ao outro em cumprimento do pacto de não confessar, e o outro Anos de prisão Preso Y Lealdade Traição Lealdade (2, 2) (10, 0) Preso X Traição (0, 10) (8, 8) Tabela 4: Matriz de pagos para o jogo dilema do prisioneiro Capítulo 1 -Marco Teórico 59 confessando, o que rompe o pacto obtém a liberdade enquanto ao outro, o condenarão a 10 anos. E, similarmente, estudando as outras três possibilidades do jogo (ou seja, (l, t), (t, t), (t, 1)) observamos que o único acordo possível (que significa que nenhum dos dois queira romper o pacto unilateralmente porque perderia) é (t, t). Em definitivo, a previsão do que ocorrerá no jogo é que ambos confessem e permaneçam na cadeia por oito anos, determinando assim o equilíbrio de Nash (8,8). A conclusão em situações similares a esta (muito comuns na vida cotidiana) é que a concorrência egoísta (Elster, 1989, 1995 e 2003) pode conduzir a estados que são inferiores (em termos de benefício pessoal e social) aos estados cooperativos, mas que estes últimos não poderão se implementar, a menos que existam reforços externos (contratos firmados por lei) que obriguem as partes a cumprir com o acordo de cooperação. Esta é a ideia essencial de Nash ao definir o conceito de equilíbrio de um jogo, que é um acordo que nenhuma das partes pode romper a discrição sem perder. Quer dizer, se alguém quiser romper o pacto e o fizer unilateralmente, se arriscaria a ganhar por baixo do que houvesse ganhado dentro do pacto. Assim, ambos se delatariam mutuamente e cada um deles passaria 8 anos na prisão. É o único equilíbrio de Nash do jogo. Observa-se que existe uma forma de atuar dos dois jogadores, que melhora a ambos (que nenhum deles delate ao outro), mas, como ambos ganham se desviam unilateralmente dela, num contexto puramente não cooperativo, em que os acordos vinculantes são inviáveis, esse perfil de estratégias construtivo não ocorrerá na prática. Evidentemente, se os prisioneiros tivessem previsto de antemão a possibilidade de serem capturados e houvessem estabelecido algum tipo de acordo, o jogo se converteria em cooperativo, e ambos se vinculariam ao não delatar o contrário e acabariam passando dois anos na prisão. Dito de outra forma, a cooperação favorece os interesses dos agentes, de forma individual e de forma conjunta. Não obstante, podemos dizer que os dois enfoques, cooperativos e não cooperativos podem, e incluso devem, ser combinados. Neste sentido, Nash assegura que a TJ cooperativa e não cooperativa são complementares, já que cada uma ajuda a justificar e clarificar a outra. A esta combinação se denomina Programa de Nash. O Programa Nash busca a possibilidade da unificação teórica, ou seja, a obtenção de equilíbrios nos acordos vinculantes. Humberto Plácido Gusmão de Moura 66 No contexto da tomada de decisão, Montes (2005) e García Higuera (2004) observam que a tomada de decisões para resolver problemas está implícita numa teoria geral: a resolução de problemas do ser humano, a qual busca entender: • Diferentes tipos de gente com problemas (veteranos/novatos, aprendizes com baixo ou alto rendimento, infantis e adultos). • Distintos tipos de problemas (relacionados com um domínio ou domínios gerais, familiares ou não, com adversários ou sem eles). Busca-se treinar os novatos nos tipos e domínios específicos e em habilidades gerais para enfrentar problemas com maior ou menor criatividade. Ao pensarmos em uma classificação dos problemas e de sua resolução, podemos nos referir a García Cruz (2004), que nos apresenta o seguinte esquema: • Campo de conhecimento implicado – Refere-se à disciplina que se esteja abordando. • Número de soluções - Se costuma falar de problemas fechados quando se tem uma única solução, não se admite dúvidas quanto sua validez. No outro extremo teríamos os chamados problemas abertos, que são aqueles que admitem várias soluções que normalmente deverão ser avaliadas em termos de probabilidade ou de utilidade. Estes últimos problemas são mais frequentes nas áreas de economia, psicologia e ecologia. • Tarefa requerida para sua resolução – Se refere à classe de raciocínio lógicomatemático colocada em prática por parte do resolutor. Se preferentemente mental e TIPOS DE PROBLEMAS Matemáticas Física Outros Fechados Abertos Qualitativas Quantitativas Experimentais Campo de conhecimento implicado Solução Tarefa requerida Procedimento seguido Exercícios Algorítmicos Heurísticos Criativo s Fig. 5: Esquema de classificação dos problemas Fonte: García Cruz (2004) Capítulo 1 -Marco Teórico 67 não precise de um resultado numérico como solução, se falará em problema qualitativo, se recorre a procedimentos gráficos ou de cálculo matemático, se falará de problemas quantitativos. • Procedimento seguido em sua resolução - São as estratégias postas em jogo pelo resolutor e que são promovidas pelos problemas. Assim, podemos encontrar: − Problemas de aplicação direta - Só requerem operações matemáticas simples (por exemplo, substituição de dados das variáveis de uma equação e isolamento da incógnita) e costuma-se denominar "exercícios”. − Problemas algorítmicos - Implicam o seguimento de uma sequência de operações fechadas (algoritmo) que garanta a consecução de sua solução, (Costermans, 2001). − Problemas heurísticos - Estes problemas costumam necessitar de uma estratégia com uma planificação consciente prévia. Em Polya (1965), se constatam quatro fases bem diferenciadas: informação prévia, elaboração de um plano de resolução, resolução e revisão do processo (neste grupo podem se enquadrar a maioria dos problemas clássicos). Costermans (ob. cit) nos afirma que uma heurística é uma sequência de operações que somente conduz a solução com uma certa probabilidade. − Problemas criativos - Permitem a adoção de estratégias de resolução que não costumam se ajustar a nenhum padrão predeterminado (admitindo-se inclusive, a resolução por intuição), ainda que não se possa garantir que todos os sujeitos podem encontrar uma solução, nem que esta seja a ótima. Costermans (2005), também classifica os problemas de acordo com seu processo de resolução: 1) Problemas estritamente definidos – Problemas, cujo espaço pode ser exaustivamente descrito. A noção de espaço do problema – Introduzida por Newell e Simon (1972) é a representação de um problema compreendendo três componentes: Um estado inicial; Um estado final ou um estado fim (que coincide com a solução do problema); e um conjunto de operadores disponíveis, que define os movimentos lícitos, isto é, as transformações autorizadas podendo Humberto Plácido Gusmão de Moura 68 conduzir do estado inicial ao final, mediante uma série de estados intermediários. Exemplo: O dilema do aldeão – Um aldeão se encontra à beira de um rio de posse de uma raposa, uma galinha e um saco de milho, e tem que fazer a travessia, se servindo somente de um bote muito pequeno, o qual só lhe permite transportar, no máximo, três coisas de cada vez, ou seja, ele e duas coisas mais. Ademais, em nenhum momento pode haver, em qualquer lado do rio uma coisa que pode comer a outra, quer dizer: galinha e o milho, a raposa e a galinha. O passo 1 representa o estado inicial; O passo 7 representa o estado final e os passos 2-6 representam todos os estados intermediários que são possíveis de se obter pela aplicação de movimentos que respeitam o enunciado do problema: Não mais que o aldeão e duas coisas por vez no barco, e nunca ficar uma coisa que possa comer a outra em um dos lados do rio. Na análise deste exemplo, feita por Costermans (2005), ele observou que os sujeitos diante deste tipo de problema propuseram diferentes tipos de estratégias: Estratégia por ensaio e erro, em que o sujeito aplica aleatoriamente qualquer tipo de transformação autorizada e percorre o espaço do problema até que encontra o estado-fim; Reduzir passo a passo a distância relativa ao estado-fim, o resolutor escolhe, entre dois ou mais movimentos, aquele que conduz ao estado mais próximo do estado-fim; Decompor os fins em subfins, quando o estado-fim representa uma situação complexa, é vantajoso decompô-la em um conjunto de situações mais simples. Barco R - Raposa M - Milho G - Galinha A - Aldeão RMG A 7 R MA G 5 RMA G 6 RMG A 1 G RA G M M GA 3 4 RMA 2 R Fig. 6: Esquema de resolução do problema do aldeão Fonte: Adaptado de Costermans (2005). Capítulo 1 -Marco Teórico 69 2) Problemas isomorfos e resolução por analogia – São os problemas (mesmo os estritamente definidos) que representam, em principio, situações inéditas que requerem uma resposta original, muitas vezes pode fazer apelo à familiaridade do sujeito com problemas similares. Entre os problemas similares, podemos considerar: - Os problemas isomorfos – São os que mesmo aparentando uma diferente roupagem, relevam espaços com a mesma estrutura. - A resolução por analogia – Aplicação de uma estratégia desenvolvida para resolver um dado problema em outro similar, isomorfo ou percebido como tal. 3) Problemas com forte conteúdo de conhecimento pericial – É conhecimento declarativo especifico do domínio a que respeita a resolução de um problema não estritamente definido. Podem ter aspectos formais e estratégicos, por exemplo, conhecendo o estado inicial, se conhece também as transformações autorizadas, mas não se conhece seu estado final. Vejamos um exemplo: - O xadrez – Este jogo é o melhor exemplo deste tipo de problemas, em que se conhece o estado inicial (a organização das peças no tabuleiro), se conhecem as transformações autorizadas (as regras do jogo), mas não se conhece o estado final (quem ganha), evidentemente, o fim é ganhar, mas o problema é que isto não corresponde a uma posição definida das peças. 1.4.2. A Resolução de Problemas no contexto do ensino Começamos com o modelo clássico e bem conhecido desenvolvido por Polya (1965) e que consiste de quatro: Quadro 4: Etapas de resolução de problemas Primeira etapa Compreender o problema É necessário compreender o problema (ver claramente o que se pede) - Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições? - Encontrar a relação entre os dados e as incógnitas. Pode-se e deve-se fazer um esquema ou desenho da situação. Humberto Plácido Gusmão de Moura 70 Segunda etapa Estabelecimento de um plano Traçar um plano (captar as relações entre os elementos do problema para encontrar as chaves da solução) - Este problema é parecido a outros que já conhecemos? - Pode-se formular o problema de outra forma? - Imaginar um problema parecido, porém mais simples. - Ao supor que o problema já está resolvido; como se relaciona à situação de chegada com a de partida? - Utilizam-se todos os dados quando se faz o plano? Terceira etapa Execução do plano Executar o plano idealizado - Ao executar o plano deve-se comprovar cada um dos passos. - Pode-se ver claramente que cada passo é correto? - Antes de fazer algo se deve pensar: que se consegue com isto? Quarta etapa Examinar a solução obtida Voltar atrás (revisar e comprovar a solução encontrada) - Ler de novo o enunciado e comprovar que o que se pede é o que se averiguou. - Devemos nos fixar na solução. Parece logicamente possível? - Pode-se comprovar a solução? - Há algum outro modo de resolver o problema? - Pode-se encontrar alguma outra solução? - Deve-se utilizar o resultado obtido e o processo seguido para formular novos problemas. Fonte: Polya (1965) Essas etapas caracterizam claramente o resolutor ideal. Cada uma é acompanhada de uma série de perguntas, cuja intenção é atuar como guia para a ação. Os trabalhos de Polya (1965) podem ser considerados como um intento de descrever a maneira de atuar de um resolutor ideal. Schoenfeld (1985), outro autor convergente com as idéias de Polya, propõe um marco com quatro componentes que servem para a análise da complexidade do comportamento na resolução de problemas. 1. Recursos cognitivos - Conjunto de fatos e procedimentos à disposição do resolutor. 2. Controle - Aquele que permite um uso eficiente dos recursos disponíveis. 3. Sistema de crenças - É a perspectiva com respeito à natureza da matemática e como Capítulo 1 -Marco Teórico 71 trabalhar com ela. 4. Heurísticas - Regras para progressão em situações dificultosas. Cada um desses componentes explica as carências, o pouco êxito na RP dos seus resolutores. Schoenfeld, observando estudantes resolvendo problemas, constatou que ainda que os estudantes tenham recursos, conheçam as heurísticas para resolver problemas, são incapazes de aplicá-las/utilizá-las com êxito se desconhecerem suas capacidades para regular/controlar seus pensamentos, indicando com isso, ausência de um bom controle ou uma boa gestão dos recursos disponíveis. Também observa que o conhecimento de como utilizar as heurísticas e ter um bom controle podem não ser suficientes para resolver um problema, se este lhe exige um algoritmo ou procedimento específico, por exemplo, do domínio matemático que ele desconhece, faltando-lhe recursos cognitivos para seguir adiante. Por outro lado, a maior parte das vezes se carece de heurísticas para resolver um problema, pois embora se disponha de conhecimentos específicos do tema e de um bom controle, a falha está no conhecimento de regras para superar as dificuldades na tarefa. Nesses estudos ainda se observa que um bom controle pode levar ao êxito em uma dada solução, ainda que tenham poucos recursos. (Schoenfeld, 1985 apud Gusmão, 2006) Pode ser também que todo o anterior esteja presente na mente do resolutor, mas suas crenças do que é resolver problemas em matemáticas ou da própria concepção sobre a matemática faça que não progrida na resolução. A explicação para esta falha é contemplada por Schoenfeld no quarto elemento, as crenças. Em se tratando especificamente das heurísticas, tem que estas são as operações mentais tipicamente úteis na RP, são como regras ou modos de comportamentos que favorecem o êxito no processo de resolução, sugestões gerais que ajudam ao indivíduo ou ao grupo a compreender melhor o problema e a fazer progressos para sua solução. Existe uma ampla, possivelmente incompleta, lista de heurísticas. Entre as mais importantes, caberia citar: Buscar um problema relacionado; Resolver um problema similar mais simples; Dividir o problema em partes; Considerar um caso particular; Fazer uma tabela; Buscar regularidades; Começar o problema desde o fim; Variar as condições do problema. Para Fernández (1992), as heurísticas mais frequentes que se costumam utilizar na RP, dentro de um contexto de ensino de matemática são: Ensaio-erro; Começar pelo fácil, resolver um problema semelhante mais simples; Manipular e experimentar manualmente; Decompor o Humberto Plácido Gusmão de Moura 72 problema em pequenos problemas (simplificar); Resolver problemas análogos (analogia); Fazer esquemas, tabelas, recontagem (contagem); Analisar os casos limite; Reformular o problema; Supor que não (redução ao absurdo); Começar pelo final (dar o problema por resolvido). No processo de resolução, Schoenfeld (1985) mostrou que tão importante como as heurísticas é o controle do processo, através de decisões executivas, cuja característica mais importante é que tem consequências globais para a evolução do processo. As decisões executivas determinam a eficiência dos conhecimentos e dos recursos. São decisões executivas: Fazer um plano; Selecionar objetivos centrais e específicos; Buscar os recursos conceituais e heurísticos que parecem adequados para o problema; Avaliar o processo de resolução à medida que evoluem; Revisar ou abandonar planos quando sua avaliação indicar. Miguel de Guzmán (1991), partindo das idéias de Polya (1965), Mason (1988) e Schoenfeld (1985), elaborou um modelo que inclui tanto as decisões executivas, as de controle, como as de heurísticas. A finalidade de tal modelo é que o resolutor examine e remodele seus próprios métodos de pensamento de forma sistemática, a fim de eliminar obstáculos e de se chegar a estabelecer hábitos mentais eficazes, é o mesmo que Polya denominou de pensamento produtivo. A saber: 1. Familiarizar-se com o problema: entender a fundo a situação; resolvê-la com calma, serenidade etc. 2. Busca de estratégias: Começar pelo mais fácil, fazer um esquema, uma figura, um diagrama, escolher uma linguagem adequada, buscar um problema semelhante etc. 3. Levar adiante sua estratégia: Seleciona e leva adiante as melhores ideias que pensou, atuando com flexibilidade etc. 4. Revisar o processo e perceber as consequências dele: Examina a fundo o caminho que seguiu, trata de entender não só que a coisa funciona, senão, porque funciona etc. Ainda dentro do contexto da RP, Perales (2000), nos apresenta alguns fatores com suas respectivas dificuldades. a) O enunciado: Em todo esse contexto de RP ainda vale a pena ressaltar que a natureza do enunciado de qualquer problema responde a uma estrutura sintática, isto é, elaborada seguindo uns padrões de relação entre os elementos gramaticais, próprios da língua, uma estrutura semântica que permita a este ser compreensível; e uma estrutura Capítulo 1 -Marco Teórico 73 funcional própria do campo de conhecimento ao que corresponde ao problema em questão. Assim, para resolver um problema, não basta compreender o seu enunciado, há outros elementos importantes. (Perales, 2000, p.301). b) Contexto da resolução: Esta parte reúne um conjunto heterogêneo de variáveis, a saber: a) interação do aluno com materiais reais, o que aproximaria esta tarefa à realização de trabalhos práticos; b) dispor livremente de material de consulta, usado, por exemplo, para resolver tarefas em casa, mas não normalmente nas sessões de avaliação; c) dispor ou não do algoritmo para resolver um problema pode constituir em um fator determinante na informação fornecida ao sujeito para lhe ajudar na tomada de decisões; d) limitação do tempo de resolução, por exemplo, num contexto de avaliação, pode ser uma variável geradora de ansiedades; a variável individual/grupal durante o processo de resolver um problema. c) Resolutor: Nesta parte, Perales se refere ao agente ativo do processo. Este necessita dispor de umas ferramentas cognitivas, as quais poderiam se agrupar em torno do seu conhecimento teórico, suas habilidades e destrezas, assim como certa predisposição (atitude) à tarefa, como afirma o autor. A elas se acrescentam outras de distinta natureza, tais como, as relativas ao caráter, a idade, ao sexo. No tocante ao fator conhecimento teórico, este autor enfatiza a necessidade de que o resolutor possua um domínio dos conhecimentos teóricos para resolver problemas de um modo eficiente; e com respeito ao conhecimento procedimental, é o saber fazer frente ao saber característico do conhecimento teórico, isto é, o domínio por parte dos indivíduos de determinadas habilidades cognitivas e sua possível influência na RP. Este conhecimento vai desde uma pormenorização de habilidades particulares a construtos que tratam de modelar o funcionamento cognitivo dos sujeitos ou determinadas propriedades singulares do pensamento. 1.5. TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS A forma como os indivíduos aprendem tem sido objeto de estudo por parte de importantes pessoas ligadas à área educacional, como é o caso de Guy Brousseau (1986), considerado um Humberto Plácido Gusmão de Moura 74 pioneiro da Didática da Matemática. Brousseau desenvolveu a Teoria das Situações Didáticas (TSD) que se baseia no princípio de que cada conhecimento ou saber pode ser determinado por uma situação. Professor e pesquisador do Instituto de Investigação do Ensino de Matemática de Bourdeaux (IREM), Brousseau propõe o estudo das condições que engendram a constituição dos conhecimentos, bem como o acompanhamento dessas condições a fim de reproduzir e otimizar os processos de aquisição do conhecimento (Gálvez, 1996). É preocupação de Brousseau compreender as relações existentes entre alunos, professores e o meio onde acontece o aprendizado. Considerada uma teoria de ensino, a TSD busca as condições para uma gênese artificial dos conhecimentos matemáticos, sob a hipótese de que os mesmos não se constroem de maneira espontânea, e está sustentada em uma concepção construtivista - no sentido piagetiano - da aprendizagem. Assim, também na visão desse teórico, todo conhecimento se constrói por interação constante entre o sujeito e o meio que é fator de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios etc., este saber, fruto da adaptação do aluno, se manifesta por respostas novas que são prova da sua aprendizagem. A TSD se distingue de outras teorias construtivistas pelo seu modo de enfrentar a relação aluno-saber (Godino, 1999). Da TSD apresentamos uma síntese de seus conceitos e termos básicos e alguns que estão relacionados ou que se aproximam da Teoria de Jogos. Assim, nos aproximaremos ao significado de conceitos chaves como: situação didática, situação adidática, contrato didático e os tipos de situações didáticas, estas últimas, vinculadas mais intimamente com a resolução de problemas. 1.5.1. Situação Didática e Situação Adidática Para Brousseau (1986), uma situação didática é uma situação construída intencionalmente com o fim de que os alunos adquiram um saber determinado. Ela é formada pelas múltiplas relações pedagógicas estabelecidas entre a tríade professor-aluno-meio, com a finalidade de desenvolver atividades para a aprendizagem e o ensino de um determinado conteúdo. A situação didática também pode ser compreendida como o processo no qual o docente proporciona o meio didático onde o estudante constrói seu conhecimento, consistindo na inter-relação dos três elementos que a compõe. Capítulo 1 -Marco Teórico 75 Especificamente, Brousseau (apud Gálvez, 1996) define uma situação didática como: Um conjunto de relações explícita e /ou implicitamente entre um aluno ou grupo de alunos, um determinado meio (que abrange eventualmente instrumentos e objetos) e um sistema educativo (representado pelo professor) com a finalidade de conseguir que estes alunos apropriem-se de um saber constituído ou em vias de constituição (Gálvez, 1996, p.28). Essas relações são estabelecidas por uma negociação entre professor e alunos, resultando num sistema denominado de contrato didático (conceito que definiremos mais adiante). A relação assimétrica do saber entre professor e aluno deve ser superada por uma relação didática, a fim de promover uma mudança do quadro inicial do aluno face ao saber, conferindo um papel fundamental do professor: o acesso ao conhecimento científico. Em contrapartida, a atividade do professor não deve se consolidar na comunicação ou reprodução de um saber. Ao professor cabe a responsabilidade de apresentar um “bom problema” que seria o desencadeador para a busca de um novo saber, e ao aluno ter condição para a resolução do problema, dando início ao processo de aprendizagem. Para isso necessita lançar mão de uma série de situações reprodutíveis, que abarcam fatores determinantes para o desenvolvimento do comportamento epistêmico do aluno, criando condições favoráveis para que o professor promova situações didáticas de ensino e de aprendizagem. O reconhecimento da necessidade de momentos de aprendizagem deu lugar à noção de situação adidática, também definida por Brousseau (1986), como sendo as decisões que toma o aluno (boas ou más) sem intervenção do professor, mas com a posta em prática dos conhecimentos ou do saber anteriormente aprendidos. Ou seja, uma situação a-didática é o processo no qual o docente propõe ao estudante um problema que se assemelha a situações da vida real e que poderá ser abordado através de seus conhecimentos prévios, permitindo-lhe a geração de hipóteses e conjecturas que se assemelham ao trabalho realizado no meio institucional. Em outras palavras, o aluno se encontrará diante de determinadas situações, e sem a intervenção direta do professor, irá tentar resolvê-las com o propósito de, posteriormente, institucionalizar o saber adquirido. (Moura, Fernández e Gusmão, 2015a) Vimos que a situação didática contém intrinsecamente a intenção de que alguém aprenda algo. Esta intencionalidade não desaparece na situação adidática, o que ocorre também é a não Humberto Plácido Gusmão de Moura 82 Em sua teoria Brousseau faz uma tentativa de modelizar a noção de “situação” pela noção de “jogo” e nesse sentido, percebemos uma aproximação da TSD a TJ. Vejamos o exemplo apresentado por Brousseau: Em um jogo de computador, algumas crianças (5 anos), com um lápis ótico, devem conduzir um a um, coelhos a um campo e patos a uma lagoa. As regras da manipulação não apresentam maiores dificuldades para a idade das crianças. As crianças podem interpretar que o desaparecimento e posterior aparecimento de um animal em outro lugar, corresponde a um deslocamento. Mas logo passa a ser outra coisa mais que uma manipulação segundo uma regra: o professor quer que o aluno assinale todos os coelhos um a um e somente uma vez, antes de dirigi-los até o campo, com o objetivo de desenvolver nele a enumeração de uma coleção. A sucessão das operações a serem efetuadas não se dá nos comandos, está a cargo do aluno. A devolução desta tarefa se faz por etapas (Brousseau, 1986, p.84, tradução nossa). Com o exemplo apresentado ao tratar das devoluções, e ainda com o sentido dado ao contrato didático, podemos perceber algumas relações, vejamos: a) Jogadores – Os alunos cujo objetivo é maximizar sua utilidade mediante ações para este fim, tal maximização pode ser pensada “como a forma de ganhar o jogo com a maior velocidade possível”. b) As Ações e estratégias – que são as eleições ou movimentos observáveis que fazem os alunos, as estratégias puras (100% de certeza) e as mistas (dúvidas). c) Pagos – Vencer o jogo (levar todos os coelhinhos ao prado). d) Valor do jogo – Satisfação do aluno em conseguir chegar ao final. e) Função de utilidade - A função de utilidade converte os pagos em bem estar. f) Conduta do jogador – a conduta será inicialmente de vencer o jogo, uma vez que consiga esse objetivo, depois é de resolvê-lo no menor tempo possível. g) A solução e o valor da solução de um jogo – Para o aluno, levar todos os animais ao prado. Para o professor, introduzir o sistema de numeração. h) Equilíbrio – Levar todos os animais com mais rapidez, sem que haja esquecimento ou atraso na má condução destes. i) Ordem dos movimentos no jogo – Faz parte da regra do jogo, levar um a um todos os coelhos ao prado. j) Representação do jogo – É de forma extensiva - mostra cada movimento do aluno, se especificando a ordem, as eleições, as tomadas de decisão, muito bem definida em Capítulo 1 -Marco Teórico 83 suas etapas (ver fig.4), e as utilidades de cada estudante ante as diferentes combinações de estratégias. Nesse contexto, podemos entender a educação como parte do sistema social e a escola enquanto uma organização social onde se planifica e se toma de decisões. Assim, encontramos na escola um conjunto de dimensões, as quais tem que ver com a conduta que se realiza no campo de intencionalidades, em que a maximização dos esforços responde a decisões estratégicas. Flores (2000) nos apresenta o seguinte exemplo: Em uma escola, inicialmente devemos ver os diretores, docentes e alunos como os atores sociais acadêmicos, os quais interagem e estão situados entre o plano organizacional e de suas ideologias. Esta dicotomia está situada no campo das decisões, em que se busca chegar a um ponto de equilíbrio (conjunto de estratégias no qual a estratégia de cada ator é ótima frente à dos outros, Elster, 1984). Também uma possível aproximação desde pressupostos de ambas às teorias ao contexto educacional pode ser observada em Moura e Labranã (2005a) quando ressaltam: na organização - os sujeitos implementam decisões estratégicas, as quais devem coincidir ordens e ideologias, num sentido de otimização e de equilíbrio; na academia - professores, por exemplo, fazer acordos relacionados aos programas acadêmicos ou de formação e é o cenário natural da tensão estratégica de decisões: entre poder e saber, entre recursos e necessidades, entre dirigir e fazer, e entre ser e reconhecer; na prática da sala de aula - a relação entre docente e aluno sintetiza um conjunto de dimensões: pedagógicas, socioeconômicas, políticas, culturais e ideológicas, que produzem redes de decisões entre todos os envolvidos. O docente com o propósito ensinar maximiza seus recursos: didáticos, pedagógicos e de conhecimento e enfrenta o problema da decisão, quais conteúdos, métodos, tempo, recursos e avaliação para que seus alunos logrem a aprendizagem desejada, ou seja, há que equilibrar seus desejos e preferências de ensino para regular sua eleição e que esta logre a sua maximização (Moura, Fernández e Gusmão, 2015). Nesse contexto pode-se definir o docente como o agente decisor, cuja tarefa é definir e planejar estrategicamente a maximização do processo de ensino, aprendizagem etc; e a sala de aula é o cenário onde convergem decisões institucionais, dos alunos e da sociedade. A seguir, apresentamos um quadro comparativo a fim de melhor sintetizar essas possíveis aproximações: Humberto Plácido Gusmão de Moura 84 Quadro 5: Teoria de Jogos versus Teoria das Situações Didáticas Estratégias de otimização Teoria de Jogos Teoria das Situações Didáticas Encontrar as estratégias ótimas que proporcione o maior ganho médio. Encontrar as estratégias ótimas que proporcionem um melhor ensino14 e aprendizagem. Considerações - Ganhar consiste em obter o melhor resultado que esteja ao alcance dos jogadores. Na TJ ganhar significa a obtenção do maior lucro ou no pior dos casos a menor perda, já na TSD ganhar é a apropriação do conhecimento por parte do aprendiz. Comportamento dos sujeitos Teoria de Jogos Teoria das Situações Didáticas Atuam em cooperação ou não, mas sempre em beneficio próprio. Cada um conhece sua própria forma de atuar, mas ignora ou conhece pouco a do rival. Os jogadores atuam em cooperação com os esforços individuais e os benefícios coletivos. Cada um conhece perfeitamente qual é sua própria forma de atuar, mas ignora ou conhece só em parte a dos outros. Considerações - A cooperação é fator principal numa situação didática, em que os jogadores não são tratados como rivais, sua própria conduta individual é conhecida, enquanto que a do outro só de forma provável, ás vezes, necessita-se de alguma representação, como por exemplo, na resolução de exercícios pensando na prova. Fonte: Própria do autor Em síntese, no sentido da TJ, Brousseau compara o processo de resolução de problemas como um jogo de estratégias e um processo de tomada de decisão. No conjunto de estratégias, existirá uma ou algumas que levará ou levarão a solução do problema, mas também que levará o aluno a construir o conhecimento. Será este conhecimento o ganho do aluno, no sentido da TJ. O aluno, o resolvedor do problema, será o decisor, aquele que busca a estratégia ótima para solucionar o problema. 14 O ensino é por excelência o meio institucional do que se dota à sociedade para fazer conhecer o saber, a cultura etc., a todos seus membros. (Brousseau, 1990). Capítulo 2 - Problema de Pesquisa e Metodologia 85 CAPÍTULO 2: PROBLEMA DE PESQUISA E METODOLOGIA Nosso estudo se enquadra dentro de uma abordagem qualitativa de pesquisa e, em alguns momentos, fazemos uso de métodos quantitativos para complementar e enriquecer as análises. A abordagem qualitativa realiza uma aproximação fundamental e de intimidade entre sujeito e objeto, uma vez que ambos são da mesma natureza: ela se volve com empatia aos motivos, às intenções, aos projetos dos atores, a partir dos quais as ações, as estruturas e as relações tornam-se significativas (Minayo 1993, p.244). Ao entender que a pesquisa qualitativa possibilita uma partilha com pessoas, fatos e locais, o que permite extrair desse convívio os significados visíveis e latentes que não são possíveis apenas com a utilização da abordagem quantitativa (Chizzotti, 2006), iniciaremos com um breve relato de nossa experiência e trajetória que nos levou à escolha do objeto de estudo, a fim de situar e substanciar a problemática deste estudo. Em seguida, apresentaremos os objetivos, os participantes, o contexto, os instrumentos e os critérios de coleta e análise dos dados da pesquisa. 2.1. EXPERIÊNCIA, PAPÉIS DO PESQUISADOR E JUSTIFICATIVA DA PESQUISA Em 2001 recebi o título de Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB), na cidade de Vitória da Conquista, Bahia, Brasil. Neste mesmo ano, passei a exercer a função de professor, ministrando aulas na Educação Básica em colégios particulares e no Ensino Superior, este último, como professor substituto na mesma universidade em que me formei e depois na Faculdade Independente do Nordeste, onde mantenho vínculo até o presente momento. Em 2003 recebi o Diploma de Estudos Avançados (DEA), defendendo o trabalho intitulado “O Núcleo de distintas classes de Jogos Cooperativos desde um ponto de vista axiomático” no Programa de Doutorado em Estatística e Investigação Operativa da Universidade de Santiago de Compostela (USC), Espanha, sob a orientação da professora Drª Balbina Casas Méndez. Humberto Plácido Gusmão de Moura 86 Em 2004, entrei no Programa de Doutorado do Departamento de Didática das Ciências Experimentais e da Matemática da USC, onde me propus dar seguimento ao trabalho realizado no Programa anterior sobre a Teoria de Jogos, agora aplicada à Educação. Neste atual Programa, fui orientado inicialmente pelo professor Dr. Antón Labraña, que trouxe contribuições importantes para a primeira fase deste trabalho. Com seu apoio pude pensar em como aplicar os conhecimentos adquiridos no programa de estatística, mas especificamente no que se refere à Teoria de Jogos e voltá-los para a educação; também com este professor pude pensar nos instrumentos de coleta de dados para seguir esta pesquisa. Em uma segunda etapa, pude contar com a valiosíssima orientação do professor Dr. José Antonio Cajaraville, que muito me fez refletir sobre as influências que levam os alunos a escolherem e tomarem certas decisões em detrimento de outras. Com o seu conhecimento vasto e sólido no campo da Educação Matemática, Dr. Cajaraville me apresentou a Teoria das Situações Didáticas e juntos travamos muitas discussões em torno das análises deste trabalho; e em sua etapa final, com a professora doutora Teresa Fernández Blanco, pude, por fim, refinar esta proposta que aqui apresento. A Teoria de Jogos, a Eleição e a Tomada de Decisão foram temas que despertou meu interesse durante os estudos do DEA, quando percebi uma similaridade de pensamentos entre estas teorias e comportamentos de alunos em sala de aula. Então conhecendo os estudos da Teoria das Situações Didáticas, pude por fim refletir melhor sobre o assunto e, por meio das leituras de Elster (1984), Bueno (2004), Brousseau (1986), entre outros, pude perceber que é possível discutir e pensar a Teoria de Jogos aplicada à Educação. Nessa perspectiva, levantamos para este estudo as seguintes questões: Quais e como são as condutas adotadas pelos alunos, quando resolvem problemas de matemática? Em quais situações e em que medida a conduta matemática de alunos, quando resolvem problemas, se aproxima dos modelos econômicos da Teoria de Jogos, da Eleição e da Tomada de Decisão aprendida socialmente e do modelo da Teoria das Situações Didáticas, aprendido em sala de aula? Capítulo 2 - Problema de Pesquisa e Metodologia 87 2.2. OBJETIVOS E HIPÓTESE/PREMISSA DA PESQUISA Concretamente, este estudo teve como objetivo central fazer uma interpretação de modelos econômicos, especificamente os que envolvem “eleição”, “tomada de decisão” e “teoria de jogos”, desde pressupostos das “estratégias ótimas”, da “maximização dos benefícios” e “minimização dos custos e riscos” e do modelo da Teoria das Situações Didáticas para analisar a conduta matemática de estudantes, quando resolvem problemas em sala de aula. Nesse sentido, direcionamos nossa atenção aos caminhos que levaram os alunos/participantes da pesquisa a escolher uma determinada opção de resposta e se estas são influenciadas por modelos econômicos ou do sistema educacional. E nesse contexto, partimos da seguinte premissa: • A conduta de estudantes ao resolver problemas que fogem a rotina matemática da sala de aula, tendem a se aproximar mais de modelos econômicos socialmente aprendidos (custo-benefício, estratégia ótima, maximização dos ganhos, minimização das perdas, grau de satisfação ou utilidade esperada) de modo formal ou informal, fora do ambiente escolar, que de modelos de referência supostamente aprendidos na sala de aula, mesmo visando atender as regras de um contrato didático entre professor-aluno- saber. E como objetivos específicos, pretendemos: • Analisar a conduta matemática de estudantes na resolução de problemas, desde pressupostos de modelos Econômicos à Teoria das Situações Didáticas; • Verificar em que medida os procedimentos usados por estudantes para resolver problemas são influenciados por conhecimentos de modelos econômicos, socialmente compartilhados fora do contexto escolar, e por conhecimentos compartilhados no contexto escolar, sob o olhar da Teoria das Situações Didáticas; • Verificar como os modelos econômicos (Eleição, Tomada de Decisão e Teoria de Jogos) e o da Teoria das Situações Didáticas se aproximam para explicar os conflitos surgidos durante o processo de resolução de problemas. Assim, no que tange aos objetivos, nosso percurso metodológico se insere no contexto de uma pesquisa de tipo descritiva e no que tange aos procedimentos de coleta de dados toma o Humberto Plácido Gusmão de Moura 88 rumo de uma pesquisa naturalista ou de campo. A análise dos dados foi feita em bloco, segundo as teorias elucidadas nesta pesquisa. De modo geral, pretendemos neste capítulo apresentar o passo a passo desse nosso percurso, que levou em conta as orientações de Fiorentini e Lorenzato (2009), Batanero (2003), Alves-Mazzotti e Gewandsznajder (2001), Luna (1998), Crespo (1993), Ludke e André (1986), Badin (2009), dentre outros, que nos apresentam as etapas de um processo de pesquisa educativa. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2009, p.70) e no que se refere aos objetivos, uma pesquisa descritiva “é aquela que pretende descrever ou caracterizar com detalhes uma situação, um fenômeno ou um problema”. Pretendemos, na medida do possível, descrever minuciosamente as etapas que seguimos, mostrando os encaminhamentos, as escolhas pelos instrumentos e outros detalhes para se alcançar os objetivos pretendidos. No que concerne à coleta de dados, esta foi realizada diretamente na sala de aula, tomando a característica de uma pesquisa de campo. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2009), o que marca esta modalidade de pesquisa é o fato de os dados serem coletados diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece, podendo se dar por diferentes modos de coletas como, por exemplo, entrevistas, aplicação de questionários e testes. [...] Se a questão de investigação só pode ser efetivamente respondida mediante a realização de um experimento ou da coleta de informações/dados empíricos ou de inserção/intervenção no ambiente a ser estudado, então dizemos que a pesquisa será de campo ou de laboratório (Fiorentini e Lorenzato, 2009, p. 61). Nesta pesquisa, os dados foram coletados por meio de testes contendo questões que foram respondidas por escrito, por grupos de estudantes e por meio de um processo de instrução realizado em uma aula de matemática. 2.3. PARTICIPANTES E CONTEXTO DO ESTUDO Segundo Luna (1998), os participantes de uma pesquisa, além de possuírem a informação, devem ser capazes de disponibilizá-la para o pesquisador. Assim, os participantes que, de modo direto e indireto, gentilmente e, de maneira dedicada, cederam as informações que serão analisadas nesta pesquisa, foram divididos em três grupos: Capítulo 2 - Problema de Pesquisa e Metodologia 89  O primeiro respondeu ao conjunto de questões que vem do banco de dados da tese de Gusmão (2006), que comentaremos mais adiante, e que foi constituído da seguinte forma: 185 estudantes, sendo 15 cursando o 3º/4º ano da Educação Secundária Obrigatória (ESO) da Educação de Adultos do Estado Espanhol, com média de idade de 18 anos e; 170 estudantes de 3º de ESO também de escolas públicas do Estado Espanhol, com média de idade de 14 anos. Esses estudantes responderam 15 questões de maneira escrita, uma dessas questões: “o problema dos bueiros” (não analisado por Gusmão), será objeto de nossas análises sob a ótica de modelos econômicos e de educação;  O segundo grupo é composto por 53 alunos da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, sendo 18 do curso de Ciências da Computação, 23 da Licenciatura em Matemática e 15 da Licenciatura em Física. Estes alunos responderam individualmente e de maneira escrita o problema: “onde está o carro?”, questão escolhida por mim e pelo professor Antón Labraña. Na ocasião da aplicação, pudemos contar com a colaboração de professores que ministravam disciplinas nos referidos cursos;  O terceiro e último grupo diz respeito a um processo de instrução desenvolvido por um professor de matemática em uma turma do ensino médio na cidade de Barcelona, Espanha. Os estudantes responderam em equipe um problema sobre densidade demográfica e, desse processo de instrução, analisamos um pequeno episódio. Não fizemos parte dessa coleta de dados, os quais fizeram parte dos estudos de Font, Planas e Godino (2010), que gentilmente nos autorizaram o seu uso neste trabalho. Ainda em relação ao primeiro e segundo grupos, observamos que estes gentilmente aceitaram responder sem qualquer tipo de consulta às questões que trazemos para análise. Embora tenhamos grupos distintos de participantes para essa pesquisa, isso não trouxe nenhuma interferência em nossas análises, haja vista que o nosso interesse foi na direção de analisar a conduta matemática de estudantes, quando resolvem problemas, segundo determinados modelos econômicos; e as influências das situações didáticas, especificamente o contrato didático, independentemente de idade ou nível escolar. Humberto Plácido Gusmão de Moura 90 2.4. CENÁRIO, INSTRUMENTOS E PROCESSO DE COLETA DE DADOS Nossa pesquisa foi realizada com estudantes de 3º e 4º curso da Educação Secundária Obrigatória (ESO) e do Ensino Médio do Estado Espanhol e com estudantes da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Brasil. Os alunos espanhóis da ESO, correspondem no Brasil ao 8º e 9º ano do Ensino Fundamental II. Ambos os contextos, ou cenários, foram escolhidos intencionalmente, primeiro pela facilidade de acesso que tivemos nas escolas espanholas, graça ao contato intermediado por professores da Universidade de Santiago de Compostela e, no caso do contexto brasileiro, a coleta aconteceu em um período em que atuávamos como professores. A esse respeito, Alves-Mazzotti e Gewandsznajder (2001) observam: [...] a escolha do campo onde serão colhidos os dados, bem como dos participantes, é proposital, isto é, o pesquisador os escolhe em função das questões de interesse do estudo e também das condições de acesso e permanência no campo e disponibilidade dos sujeitos (2001, p.162). Dentro de uma abordagem qualitativa, os dados foram obtidos no contato direto com a situação estudada, se preocupando mais com o processo do que com o produto (Lüdke; André, 1986) e, como instrumentos e técnicas de coleta de dados, utilizamos testes (um conjunto de questões) e de um processo de instrução em que não participamos, mas que tivemos acesso à parte de seus dados. Especificamente, sobre os dados coletados diretamente por nós, podemos dizer que esse processo se deu de dois modos: 1) Utilizando-se do banco de dados de Gusmão (2006) que, na ocasião de sua coleta (ou construção), participamos como colaborador, acompanhando todo o processo de coleta, seja na aplicação de seus instrumentos, seja no apoio das gravações em áudio e vídeo. Por conhecer este banco de dados e a forma como foi construído nos pareceu conveniente utilizá-lo. Outra razão para a escolha desse banco de dados é por considerar que suas questões, de caráter aberto, força/forçou os alunos que a responderam a tomar decisões e a construir matizes de respostas que é de interesse dessa pesquisa analisar. Concretamente, desse banco de dados utilizamos, como já mencionado anteriormente, uma de suas questões; Capítulo 2 - Problema de Pesquisa e Metodologia 91 2) Por meio de uma questão muito conhecida, como “onde está o carro?” – uma adaptação do famoso dilema de Monty Hall. A escolha desta questão foi uma decisão conjunta com o professor Dr. Antón Labraña, então orientador na época. A escolha foi motivada pelo interesse em estudar a conduta dos alunos diante de uma situação de risco, ou seja, “tudo ou nada” e se estes utilizariam alguma ferramenta matemática para resolvê-la, se alguém ou alguma coisa poderia influenciar na sua eleição e decisão, como também analisar seus conhecimentos matemáticos. As questões por nós escolhidas, incluindo a do processo de instrução, não se baseiam em questões rotineiras e, portanto, as respostas dadas a elas não deveriam ter, a princípio, um automatismo. Estas questões forçam o resolutor a tomar decisões, fazer eleições, julgamentos e a se expressar, de certo modo, livremente, fugindo em alguns momentos de respostas estereotipadas. São questões que, de modo geral, requer que o aluno justifique sempre sua eleição ou decisão. Em seguida, teceremos os comentários concernentes a cada questão: Ao mudar a “forma”, a resposta deveria se referir a ela em algum sentido, que não teria por que ser necessariamente matemático. “Para que é relevante a forma?”, é uma formulação implícita da questão. A resposta pode se dar por razões intrínsecas à forma, por adequação a determinados tipos de ações, por evolução das tubulações etc. Durante a aplicação dessa questão, foram prestadas as explicações relativas aos objetivos da pesquisa; foi atribuído um momento para leitura e exposição de dúvidas e ainda esclarecido que deveriam escrever/expressar o máximo que podiam sobre sua linha de raciocínio. O PROBLEMA DOS BUEIROS Antigamente os bueiros eram cobertos com tampas retangulares (imagem 1); depois, por conta de alguns inconvenientes, mudou-se para tampas quadradas (imagem 2); mas continuaram aparecendo novos inconvenientes, e daí decidiu-se fazer tampas circulares (imagem 3). De qual inconvenientes se tratava? Humberto Plácido Gusmão de Moura 98 Desde o enfoque físico: resistência (maior resistência nas bordas); facilitar a entrada de água; impedir que a água escape pelas bordas; repartir forças; estabilidade; equilíbrio; menor peso; adaptação às tubulações; evitar entupimentos. Desde o enfoque social: facilidade de construção; comodidade, praticidade; economia com respeito à construção, economia de materiais; evitar furos nos pneus dos carros; facilidade de limpeza dos bueiros (caso necessário); facilidade de manipulação; evitar acidentes. Entretanto, este conjunto de alternativas não veio explícito no problema. A ambiguidade, consciente com que é formulada a tarefa em termos de “inconvenientes”, permitiu que os alunos imaginassem e formulassem todo um conjunto de alternativas, incentivando-os, a partir de então, a realizar eleições e tomar decisões. A tabela seguinte resume a frequência das respostas, segundo os enquadramentos propostos para a análise. Enquadramento de Análise Frequência % Enfoque Matemático 12 6,5 Enfoque Físico 73 39,2 Enfoque Social 67 36,0 Não analisadas 8 4,3 Sem eleição 26 14,0 Total 186 100 Do ponto de vista de um enfoque matemático, o que para um especialista resultaria relevante seria a relação entre a forma escolhida e os pontos de apoio, que teriam esta forma quando fossem utilizados para tampar um buraco. Com este critério, a análise se baseia em detectar qual das formas, ao ser manipulada, é mais improvável que se caia dentro do próprio buraco. A geometria dos três tipos de formas implicados nos permite assegurar que é o círculo, por ter diâmetro constante, a única das três formas que não pode cair dentro do próprio buraco, a partir de qualquer manipulação que façamos com ela, sempre que o diâmetro da tampa seja ligeiramente superior ao diâmetro do buraco em questão. Tabela 9 – Frequência e percentual de eleição segundo análises Fonte : Própri a d o autor Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 99 Ao analisar as respostas dadas pelos 186 estudantes do 3º e 4º da ESO, ao problema dos bueiros, em função de um enfoque matemático, observamos que apenas 6,5% (12 estudantes) elegeram tal enfoque, atribuindo ao mesmo um raciocínio semelhante ao descrito anteriormente, ou seja, as respostas se referem em algum sentido ao fato de a tampa circular ser a única que não cai pelo buraco. Um exemplo prototípico de resposta é dado a seguir. Ao analisarmos o problema desde um enfoque físico, podemos, por exemplo, observar soluções que se ligam à capacidade de facilitar a entrada de líquidos e à questão da resistência para suportar pesos de diferentes objetos, que poderão se apoiar ou se sobrepor na tampa. Com respeito à capacidade, a forma circular é a que maximiza a área de um recinto a perímetro fixo, pelo qual parece ser a de custo mais econômico para permitir a entrada de certa quantidade de líquido. Com respeito à resistência, ainda que esta dependa da qualidade de construção da tampa, podemos afirmar, por exemplo, que a disposição radial das tensões que ocorrem ao submeter os três tipos de tampa a uma carga, também nos permite concluir que é a forma circular a que melhor se adapta para repartir estas tensões, de forma equilibrada sobre cada um dos seus pontos exteriores. Dos 186 estudantes da amostra, 39,2% se enquadram no enfoque físico. Suas eleições remetem ou a questão da resistência, se referindo, por exemplo, ao fato de que a circular não tem esquinas, já que esquinas deixam as outras formas mais frágeis porque podem se quebrar, ou elegem, por exemplo, em função de facilitar a entrada de água. Um exemplo prototípico é dado a seguir: Ao retirar a tampa com uma ferramenta, a retangular pode cair para dentro, a quadrada creio que também (em diagonal), mas não estou certo, e a redonda não cairia. Humberto Plácido Gusmão de Moura 100 A análise desde problema, a partir de um enfoque social, pode levar em conta, por exemplo, a acessibilidade dos bueiros para permitir determinados trabalhos dentro deles. De modo que se revela a forma cilíndrica como a mais adaptada para introduzir o corpo humano, como também diversos objetos partindo de uma superfície fixa determinada. 36,0% do total da amostra de 186 estudantes se enquadram no enfoque social, atribuindo suas respostas à acessibilidade, ao movimento dentro do buraco para fazer limpeza, como também pelo fato de que as circulares evitam furar os pneus dos carros, conforme ilustração a seguir. Seja pelo enfoque que for, a solução ótima do problema se constitui no uso das tampas circulares, por serem as que apresentam menos inconvenientes desde os três raciocínios mencionados. Poderíamos considerar, ainda, que as formas das tampas não deveriam ser diferentes das formas das tubulações dos bueiros (forma circular). Neste caso, a tampa de forma circular mostra, desde o ponto de vista matemático, ser a única que não se cairia pelo buraco, por ser seu diâmetro maior que a diagonal do quadrado ou do retângulo. Neste sentido, desde os enfoques físico e social, seria mais difícil justificar a tampa circular como solução ótima, mas para este caso, se trataria de uma generalização complexa do problema ao que não pretendemos abarcar neste momento. Se a água desce de uma ladeira despejaria mais água em um bueiro circular As rodas dos carros podem ficar presas e inclusive furar com as retangulares , com as quadradas já é mais difícil e com a circular seria muito mais complicado. Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 101 Ainda entre as respostas, estão 4,3% que apresentam rasuras, inelegíveis, sem focos ou as do tipo, não sei e que classificamos numa categoria chamada “não analisadas”. Em 14,0% das respostas, estão as que não se enquadram em nenhum dos três enfoques, proposições do tipo: porque as anteriores não apresentavam utilidade da forma como estavam, que classificamos como “sem eleição”. De modo geral, nos dados apresentados, encontramos que uma parcela significativa de nossa amostra, aproximadamente 18% (4,3% + 14,0%), configura-se entre os que não elegeram ou aqueles que não conseguimos identificar entre as suas escolhas algum enfoque. Enquanto isso, podemos observar que, aproximadamente 82% optaram pelos enfoques matemático, físico e social, e que a grande maioria, quase 76% deles, escolheram os dois últimos, restando praticamente 6% para os que elegeram o enfoque matemático. A impressão inicial que apresenta os dados é de uma forte tendência à escolha dos enfoques físico e social, deixando em um segundo plano o matemático. Ainda dentro da perspectiva das eleições, contudo partindo desde a origem das preferências, podemos afirmar que a percepção espacial do sujeito pode interferir em sua eleição por um dos enfoques anteriormente descritos (Alsina et al 1997). Nas respostas dos estudantes, observamos várias tentativas de representar a situação por meio de um desenho, como uma forma de contextualização de sua percepção espacial. Os desenhos e esquemas dos bueiros, feitos pelos alunos podem assumir um papel para facilitar ou dificultar a resolução. 3.1.3. Análise desde a Teoria de Jogos Desde a teoria de jogos uma otimização no tocante ao custo/benefício seria encontrar o caminho mais curto, desde a eleição de um dos enfoques até a resposta, com incógnitas, tais como: maior Humberto Plácido Gusmão de Moura 102 capacidade de recordo (memória), necessidade de cálculos, conhecimentos prévios de um bueiro, menor tempo para a resolução, maior estímulo etc., deverão influenciar na decisão do resolutor. No tocante aos teoremas minimax e maxmin da TJ, a dificuldade se radica na determinação dos pesos de cada alternativa associados aos coeficientes de segurança, assim, toda vez que se for escolher um enfoque, teremos a construção de uma tabela “mental” formada imediatamente depois da leitura do problema, e cuja velocidade de montagem será proporcionalmente aos conhecimentos prévios e às crenças do resolutor, conjuntamente com seu nível de segurança de cada um dos enfoques eleitos. Suponhamos que o aluno se depare com a seguinte situação: A fila é formada pelos enfoques matemático, físico e social, enquanto que a coluna é formada pelos conhecimentos associados ao nível de segurança, por cada transformação provocada pelos inconvenientes. O quadro seguinte fornece a probabilidade de acerto de cada enfoque vs conhecimento e segurança. Nota-se que, nesse caso, os pagos são representados pelas probabilidades que conseguirão o resolutor, ao eleger um determinado enfoque. A analise feita pelos teoremas Minmax e Maxmin, para este exemplo, deverá obedecer a critérios diferentes dos tradicionalmente utilizados pela teoria, se na TJ utilizamos o mínimo do máximo, que seria o valor 0,6 (retangular – circular) e o máximo dos mínimos 0,6 (retangular – quadradas). Observa-se, claramente, que devemos mudar de estratégia de análise, uma vez que as descrições dos inconvenientes estariam ligadas somente às probabilidades individuais de cada enfoque, o que não é visto na tabela anterior, desta maneira, a análise deve ser feita ponderando Quadro 6 – Pagos/Probabilidade de acerto de enfoque X segurança Segurança Enfoques Retangular – quadrada Quadrada – circular Retangular – circular Matemático 0,5 0,3 0,6 Físico 0,6 0,7 0,8 Social 0,8 0,5 0,9 Fonte : Própri a d o autor Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 103 cada alternativa à sua respectiva possibilidade de êxito, ou seja, a descrição dos inconvenientes deverá estar subordinada a sua chance de acerto. Assim, nossa analise pelos teoremas toma uma nova forma e passa da tradicional para uma das fases; explicando melhor, se na descrição dos inconvenientes das tampas retangulares para quadradas, o resolutor opta pelo enfoque social (maior ganho = possibilidade de acerto), na segunda transformação, a mesma probabilidade se vê prejudicada diante do menor ganho, de modo que, se utilizarmos a regra da multiplicação de probabilidades, obteremos um novo quadro de valores, como se segue: Logo, podemos concluir que a melhor opção é pelo enfoque físico, o qual proporcionará melhor chance de êxito. De não ser assim, se o resolutor se propõe descrever os inconvenientes diretamente, a melhor escolha recairá sobre o enfoque social. 3.1.4. Análise desde a Teoria das Situações Didáticas Desde a TSD, inicialmente iremos analisar as decisões dos alunos ao problema dos bueiros, a partir das devoluções adidáticas. O problema dos bueiros, desde seu enunciado, está marcado pela intencionalidade de se por em jogo a devolução de uma situação didática, frente a uma situação real, isto é, o visto e conhecido na sala de aula e sua aplicação direta em uma situação real. Tal fato leva o estudante a uma oportunidade de abordar seus conhecimentos e suas crenças prévias, permitindo-lhe assim, gerar conjeturas e hipóteses. O Quadro 7 – Novos Pagos/Probabilidade de enfoques X segurança Fonte: Própria do autor Segurança Enfoques Retangular – quadrada Quadrada – circular Matemático 0,5 0,15 Físico 0,6 0,42 Social 0,8 0,40 Humberto Plácido Gusmão de Moura 104 que se pede no enunciado é a descrição dos inconvenientes (concebendo-se a existência deles), ademais, a sucessão das operações, bem como, as descrições dos inconvenientes estão a cargo individual do resolutor, esta descrição é que chamamos de devolução e, esse problema, se dá em três etapas: 1) aproximação puramente imaginativa - ingênua; 2) devolução de uma preferência; 3) a situação didática e a devolução de uma situação a-didática. Ao classificar as respostas dos estudantes de nossa amostra, segunda essas etapas, temos a seguinte tabela de frequência: Em cada etapa também podemos organizar as tipologias de resoluções apresentadas segundo as etapas e enfoques eleitos, que dá origem a um novo quadro. Etapa Alunos % Primeira 53 28,6 Segunda 61 33,0 Terceira 47 25,4 Não se enquadra 24 13,0 Total 185 100,0 Etapa Tipologia de resolução Enfoque Primeira Facilita a entrada de água, impede que se perca pelas esquinas. Físico e social Primeira Estética, ocupa menos espaço. Social Primeira Menor tamanho Matemático Segunda Facilidade de manipulação da própria tampa, acessibilidade (movimentos) em seu interior,... Físico e social Segunda Adaptam-se às encanações (mas não se percebe que podem estar pensando que antes foram retangulares ou quadradas, respectivamente, sem o qual esta resposta perde solidez) Adequação a outro conhecimento. Matemático, físico e social Terceira Evitar que se caia pelo seu próprio buraco Matemático Terceira Resistência (as esquinas seriam mais frágeis), se ganha estabilidade. Físico e social Tabela 10 – Frequência das devoluções didáticas Fonte: Própria do autor Quadro 8: Tipologias de resposta em função das etapas e dos enfoques Fonte: P rópria do autor Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 105 Em se tratando da primeira etapa, aproximação puramente imaginativa – ingênua, inicialmente, o aluno cria em sua mente a situação dos bueiros, imaginando-os, como algo que não tivesse tampas e como seria o buraco para, a partir de então, imaginá-los com as respectivas tampas retangulares, quadradas ou circulares, sem atribuir a mudança destas aos inconvenientes, daí a aproximação ingênua. Vejamos um raciocínio atribuído por um dos estudantes: A primeira coisa que pensei foi que os inconvenientes das tampas retangulares e quadradas deixariam restos de porcarias nas esquinas ou na junção das tampas. 28,6% (53 estudantes) se enquadram nessa etapa de aproximação ingênua. Os exemplos de respostas fogem à obrigatoriedade de um uso explícito da linguagem matemática, que poderiam gerar, conforme Alsina et al (1997), uma ambiguidade de pensamentos, redundância, uso de metáforas e criação de termos semiológicos novos. Ao invés disso, modificam a linguagem, adaptando-a as informações que querem comunicar. Assim, também os alunos falam que os inconvenientes são porque as tampas “são mais econômicas!” ou que “são mais bonitas!”, ou seja, as respostas são muito simples: ao olhar para um bueiro já se podem ver os inconvenientes que se quer descrever. De tal modo que a sua resposta pode ser associada à falta de conhecimento do que venha a ser um bueiro ou por ignorar sua funcionalidade. Já na segunda etapa, devolução de uma preferência, os alunos compreenderam que se trata o problema e começa a trabalhar com os contextos em uma experimentação seletiva, isto é, experimentar em função do contexto do que se pede e dos instrumentos disponíveis, elegendo e comparando entre si as tampas, entretanto a devolução de uma preferência em uma eleição entre as tampas retangular e quadrada pode não ser os mesmos da escolha entre a quadrada e a circular. Para explicar melhor, vejamos o exemplo: se a preferência de uma resposta de um inconveniente entre as tampas retangular e quadrada recair pelo enfoque físico (maior resistência) entre as tampas quadrada e circular, pode ser que recaia pelo enfoque social Humberto Plácido Gusmão de Moura 106 (facilidade de acesso pelas tubulações), temos uma configuração não linear para as devoluções de uma preferência, não obstante, a existência de uma relação transitiva de preferência e da função utilidade, conforme podemos observar nas respostas dadas pelos estudantes de nossa amostra ao se referir à facilidade de manipulação da tampa e de acessibilidade no interior das tubulações ou ainda porque as tampas se adaptam às tubulações/encanações. A devolução de preferência pode se dar de forma linear ou não por parte do aluno, ele pode fazer passo a passo à descrição dos inconvenientes, descrevendo, em primeiro lugar, os inconvenientes que transformaram os bueiros retangulares em quadrados para depois descrever aqueles que transformaram quadradas para circulares, ou então, pode fazer de uma só vez, isto é, transformando de retangulares diretamente para circulares. Neste caso, a devolução da preferência não se faz de forma linear, se não de forma abrupta, o que leva a dois pensamentos, ou bem a um erro primário ou ingênuo, ou bem necessitará o resolutor de um nível de conhecimento prévio elevado e, portanto, um nível de segurança também elevado. No exemplo a seguir podemos observar como a devolução se dá de uma forma não linear, apresentando um erro primário de raciocínio. De modo geral, nesta segunda etapa, se enquadraram um terço 33% (61 estudantes) da amostra, em sua maioria apresentando uma estratégia não linear. Na terceira etapa de devolução deste problema, a situação didática e a devolução de uma situação a-didática, o aluno entende que para se obter uma resposta convincente deverá descrever os inconvenientes confrontando-os um a um (naturalmente que estamos trabalhando com a hipótese da devolução ser de forma sequencial) dentro de cada fase do processo, até que esteja plenamente convencido de que tenha realizado uma boa eleição, do contrário, sua resposta certamente apresentará um baixo nível de segurança, o que significará (para o caso que tenha acertado) que seu acerto foi fruto da “casualidade”. Assim sendo, na segunda fase (transformação da tampa quadrada em Acredito que a forma circular permite mais o fluir da água entrar no bueiro porque a água não pode parar nos ângulos e desliza até o centro do circulo. Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 107 circular), seu nível de segurança cairá ainda mais, a tal ponto que a tal casualidade deixará de existir, isto é, o resolutor terá um grau de incerteza tão grande que, pode ao relatar o inconveniente optar pelo mesmo anteriormente eleito, ou seja, se a primeira escolha recair pelo enfoque físico (uma maior resistência) na descrição do inconveniente que transformara as tampas retangulares em quadradas (mesmo que seja fruto da casualidade), este também deverá ser o inconveniente escolhido que transformara a tampa quadrada em circular. Neste exemplo de resposta temos um raciocínio que se dá de modo sequencial, confrontando uma tampa com a outra e está claro a escolha pelo enfoque matemático e a certeza de que a tampa circular não cairá pelo buraco. Entretanto, podemos notar também, certo grau de incerteza quando o estudante analisa a tampa quadrada, impedindo ele de afirmar que a circular seria a única que não cairia. 25,4% dos estudantes se enquadram nesta etapa de devolução, sendo a maioria de suas respostas referentes à questão de resistência e a estabilidade, dentro de um contexto mais físico que social. Percebe-se com o exemplo de resposta, explicitado anteriormente, como a devolução se dá do didático ao a-didático, que há uma reprodução do que se aprendeu em sala de aula (situação didática), do uso de um conhecimento prévio e de uma transposição para uma situação real (situação a-didática), dando indícios de que o resolvedor é conhecedor das regras (implícitas) impostas pela questão. Assim, a devolução não se faz sobre o objeto de ensino, mas sobre as situações que o caracteriza. Pensando na devolução tal como Brousseau conceituou, esta tarefa foi concebida de maneira a provocar o aparecimento dos conhecimentos prévios dos alunos em suas respostas (espontâneas ou não). A intencionalidade didática de se verificar um conteúdo (os Os bueiros não circulares. Ao se tirar à tampa com uma ferramenta não retangular você pode deixar cair para dentro [desenho], na quadrada acredito que também ( em diagonal) [desenho], mas não tenho certeza, e na redonda não poderia cair. Humberto Plácido Gusmão de Moura 114 não se sentiam bastantes seguros para decidir por um enfoque, quando este exigia um grau de trabalho maior, especificamente, o enfoque matemático. Em se tratando de perceber as aproximações entre a perspectiva da tomada de decisão e a Teoria das Situações Didáticas, é possível, para o caso específico desta questão, dizer que, desde a infância os alunos são treinados a adivinhar as intenções do seu entorno, eles são hábeis em dar respostas esperadas perante as circunstâncias didáticas e diante de outras questões, mesmo sem examinar seu sentido e sua validade. Assim, este problema trouxe traços de uma intenção didática determinada pelas respostas dos estudantes, o que nos permitiu encontrar evidencias, tanto do contrato didático, como de uma transposição de uma situação didática em uma a-didática e viceversa. Embora esta questão dê margem a inferir que, tanto as eleições como as tomadas de decisões estiveram mais condicionadas ao cotidiano fora do ambiente escolar, as respostas apresentaram evidências de regras de um contexto educacional. Assim, encontramos nas respostas dos estudantes ao problema dos bueiros, um conjunto de alternativas em função dos enfoques matemático, físico e social e em função da devolução didática (descrição dos inconvenientes), operação realizada nas três etapas (aproximação puramente imaginativaingênua, devolução de uma preferência e a situação didática e a devolução de uma situação a-didática). Ao falar de conflitos de decisões, é possível perceber outras aproximações entre as teorias tratadas aqui. Os conflitos dos estudantes não se relacionam apenas às possíveis causalidades das eleições, das decisões ou na busca do resultado ótimo, mas também entre o pensamento do aluno e resposta esperada pelo professor. Vimos que os conflitos podem ser explicados, sobretudo, pela Teoria de Jogos e pela Teoria das Situações Didáticas, tendo sua origem tanto em contextos de conhecimentos prévios e crenças, como no contrato didático presente na relação professor-aluno. Finalmente, ao dirigir nosso olhar para o contexto geral de Resolução de Problemas, conforme mencionado por Polya (1965), observamos que, em uma primeira fase de desenvolvimento do problema, os estudantes - apesar de reconhecer (implicitamente) que o problema possuía muitas alternativas ou sugestões de respostas para os “inconvenientes” - apresentavam soluções, em sua grande maioria, derivadas dos enfoques físico e social, influenciadas por crenças ou conhecimentos prévios, e assim, restringiram a interpretação/leitura do enunciado do problema, gerando ademais, dificuldades no estabelecimento dos pesos e valores Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 115 para cada alternativa e centrando suas ações em justificar argumentos baseados em suposições não explícitas no enunciado, abdicando da construção do conjunto oportunidade. Tudo isso contribuiu, inicialmente, para condicionar as decisões dos alunos. Para aqueles que traçaram um plano e buscaram estabelecer relações entre os elementos do problema, houve um incremento de possibilidades de novas propostas, ainda que baseadas em um modelo não matemático. 3.2. PROBLEMA 2: ONDE ESTÁ O CARRO ONDE ESTÁ O CARRO? Em um concurso televisivo: − O concursante pode eleger entre três por tas: atrás de uma delas há um carro e atrás de cada uma das outras há uma cabra. − Uma vez realizada a eleição, o apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das portas não escolhidas, atrás da qual existe, naturalmente, uma cabra. − Agora o apresentado r dá ao concursante a possibilidade de mudar a porta escolhida anteriormente pela que ainda está por abrir. Neste caso, para você é melhor mudar de porta, continuar com a escolhida ou será indiferente? Qual (is) o(s) caminho(s) que lhe levaram a escolher esta opção? Justifique a sua opção, respondendo: e) Considera provável resolver o problema em um tempo breve? f) Recordou conceitos e técnicas para resolver o problema? g) Pareceu-lhe uma forma econômica – elegante - engenhosa – impactante de se resolver o problema? h) Seria fácil de explicar a sua escolha? “Von Savant, que figura no livro Guiness como o coeficiente intelectual mais alto do mundo, defende que é vantajoso mudar de porta”. Assim perguntamos: Mudarias de opinião se soubesse disto? “Prestigiosos matemát icos e estatísticos replicam a Von Savant e pedem que ela retifique seus argumentos”. Você concorda com estes estudiosos? Humberto Plácido Gusmão de Moura 116 3.2.1. Considerações Iniciais Como dito no capítulo da metodologia, o problema onde está o carro, também conhecido como Dilema de Monty Hall, foi apresentado pela primeira vez em um concurso televisivo, a proposta era de um concursante escolher uma das três portas, ganhando o prêmio que nela se esconde. Ao apresentar essa questão para os estudantes, pretendemos que eles respondam utilizando métodos e ferramentas por eles conhecidos. De modo geral, os estudantes podem fazer uma leitura racional do problema e adotar procedimento(s) matemático(s) e/ou estatístico(s), serem influenciados por outras pessoas de elevado conhecimento na matéria ou tomar decisões segundo conhecimentos próprios. Essa questão foi por nós escolhida, pois nela se encontra um contexto de riscos e incertezas (e, portanto, a utilização implícita da teoria de jogos), bastante apropriado para observarmos o comportamento racional dos estudantes ao resolvê-la. A questão onde está o carro, tal como apresentada originalmente, se encerra com a pergunta: “Para você, é melhor mudar de porta, continuar com a escolhida ou será indiferente?”. Entretanto, com a pretensão de conhecer melhor as decisões dos alunos, acrescentamos um conjunto de perguntas às quais são apresentadas na continuação da original, forçando o resolutor a fazer uma série de justificativas dos caminhos ou das condutas de raciocínio por eles seguidos. Dessa forma, ao resolver esse problema, o aluno deverá descrever: “Qual (is) o (s) caminho (s) que lhe levaram a escolher esta opção?”. Neste item, é pedido ao estudante explicitar quais as opções ou conjunto de alternativas que o levaram a sua escolha. Com a intenção de ajudar a construção do conjunto oportunidade, propusemos algumas justificativas para a escolha anterior, quais foram: a) Considera provável resolver o problema em um tempo breve? b) Recordou conceitos e técnicas para resolver o problema? c) Pareceu-lhe uma forma econômica – elegante - engenhosa – impactante de se resolver o problema? d) Seria fácil de explicar a sua escolha? Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 117 Nossa intenção com esta série de perguntas é averiguar quais fatores internos (didático) ou externos (conhecimentos prévios, crenças etc) têm influenciado na eleição. Nas perguntas seguintes, a primeira, marcada pela citação de Buescu (2002), dizia: “Von Savant, que figura no livro Guiness como o coeficiente intelectual mais alto do mundo, defende que é vantajoso cambiar de porta”; perguntamos: Mudarias de opinião se soubesse disto? E na segunda, marcada pela afirmativa, “prestigiosos matemáticos e estatísticos replicam a Von Savant e pedem que ele retifique seus argumentos”. Você concorda com estes estudiosos? Neste caso, a intenção é saber se a opinião de algum especialista tem poder de influência nas escolhas pessoais de cada aluno. Queremos ainda ressaltar que por se tratar de um problema que gerou (e ainda gera) muitas polêmicas e como não é nosso objetivo observar erros e acertos nas resoluções dos problemas, segundo modelos institucionais de referência, e sim conhecer as condutas, as reações de alunos diante de determinadas situações, não abordaremos aqui uma solução de referência para o problema onde está o carro. Para maiores detalhes sobre dita polêmica e modos de interpretá-la e resolvê-la apresentamos no anexo 02 um texto de autoria de Labraña (2001). 3.2.2. Análise desde a Eleição De imediato, o problema força o resolutor a tomar uma decisão: fazer uma escolha tendo em conta o seguinte conjunto de alternativas: A={Mudar de porta, Continuar com a porta escolhida, Ser indiferente}. A frequência das respostas para o conjunto de alternativa pode ser apreciado a seguir: Ação Frequência % Mudar de porta 16 30 Continuar com a porta 11 21 Indiferente 26 49 Total 53 100 Tabela 13: Frequência e percentual dos dados Fonte: Própria do autor Humberto Plácido Gusmão de Moura 118 No tocante à eleição mudar de porta, identificamos, no total das 16 respostas, um destaque para duas estratégias de resolução: a primeira, respondida por 9 (nove) estudantes que perceberam vantagens com a mudança, ou seja, perceberam de início que a probabilidade de se obter êxito na eleição da porta que contém o carro é menor do que a probabilidade de escolher a porta com a cabra. Entretanto, apenas dois desses estudantes fizeram uso do cálculo formal, ou seja, ( ) 1 carro 3 P= e ( ) 2 cabra 3 P=. Os demais justificam tais estratégias sem apresentar cálculos, como mostra o exemplo a seguir: Na outra estratégia, que é realizada por 3 estudantes, estes apenas mencionaram que é por estudos probabilísticos, sem apresentar qualquer tipo de cálculo. Poderíamos interpretar tais raciocínios dizendo que os alunos se abstêm de uma avaliação “racional” dos resultados, que se dão mediante processos intuitivos, elegendo uma alternativa porque “algo ou alguma coisa” aponta para ela (Bueno, 2004). Ainda nesta categoria de ação, 2 (dois) alunos atribuíram a que o apresentador está tentando enganá-los, um não justificou e uma resposta não tivemos condições de analisar. Para os 11 estudantes que decidiram continuar com a porta escolhida, 3 (três), embora pareceram perceber um raciocínio probabilístico, suas respostas se atêm a suas crenças, a reflexões psicológicas ou a experiências prévias. 6 (seis) atribuíram a sua escolha ao fato de o apresentador persuadir ou tentar enganar o jogador; um diz não encontrar caminhos lógicos; e um atribui à lógica. A probabilidade de ter errado na primeira escolha é maior que de ter acertado. Portanto, é mais lógico mudar. O apresentador está tentando nos levar a um erro. O mesmo truque dos três copos e uma pedra. Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 119 O exemplo dado, faz-nos refletir que, condicionados por experiências prévias, os alunos fazem a conexão do problema dado com outras situações já conhecidas por eles, e tal conexão acaba influenciando seus raciocínios, impedindo-lhes, por exemplo, de fazer outras análises. E no tocante à eleição ser indiferente, embora 26 alunos (49%) tenham escolhido esta opção, 12 argumentaram apenas que a escolha foi pela probabilidade, demonstrando perceber tal raciocínio probabilístico, mas sem apresentar qualquer tipo de cálculo; 4 (quatro) estudantes justificaram a sua eleição usando poucas expressões de cálculos (porcentagem e probabilidade); 5 (cinco) atribuíram suas respostas à sorte; 2 (dois) à lógica; 2 (dois) apresentaram raciocínios confusos que não tivemos condições de analisá-los; e um deixou em branco. De modo geral, podemos classificar suas ações em três importantes estratégias de resolução: a primeira é a de que o resolutor pareceu perceber um raciocínio probabilístico na resolução do problema, mas não apresenta cálculos; a segunda é que além de perceber tal raciocínio, utilizavam poucos cálculos para solucioná-lo, e a terceira, atribuíram a resolução à sorte. Os exemplos 1, 2 e 3 ilustram respectivamente tais estratégias. Exemplo 1: Exemplo 2: Pois só sobraram duas portas então a probabilidade é a mesma. Primeiro temos uma probabilidade de 1/3 (33,33%) de acertar. Ao ser aberta uma das portas não escolhida, teremos uma probabilidade de 50% de acertar. Entretanto, tanto faz a porta que escolhemos, ainda temo suma chance de 50% em cada porta. Humberto Plácido Gusmão de Moura 120 Exemplo 3: Seja qual for às escolhas que fazem, as justificativas que dão, embora aparentam perceber o raciocínio probabilístico por trás do problema, não apresentam estratégias de cálculos para resolver o problema. Em concordância com Freitas (1994), ao falar da eleição racional, podemos dizer que o processo de eleição foi realizado em função da crença do sujeito de que a alternativa escolhida saciaria seu desejo. Portanto, as preferências (formadas pelas crenças) se constituíram em critérios para a eleição, influenciando, assim, as escolhas realizadas pelos alunos. Para finalizar, a análise das respostas dadas aos dois últimos itens apresentados no problema do carro, que dizem respeito às afirmativas de Von Savant e dos matemáticos e estatísticos, aponta uma avaliação qualitativa (típica do processo de eleição), realizada pelos alunos, de que não houve possibilidade de contágio (Bueno, 2004) de respostas de terceiro, ou seja, não houve aceitação da avaliação de outro(s) sujeito(s) como válida à hora de assumir a própria eleição. 3.2.3. Análise desde a Teoria de Jogos O problema onde está o carro (Dilema de Monty Hall) se refere a um tipo de informação imperfeita a qual deriva em uma situação de risco (atribuir certas probabilidades numéricas às consequências de certas ações) e também de incerteza (o critério normativo para tomar uma decisão consiste em eleger a opção, que não se conhece, que maximize a utilidade esperada). No problema, interpretado desde a TJ, os alunos buscarão alcançar o resultado ótimo para suas ações: encontrar o carro. Este problema, como já dito, está sustentado na teoria da probabilidade, em um simples jogo de azar, no qual a natureza do jogo é considerada ela própria como o único jogador com o O acerto dependerá da sorte. Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 121 qual o concursante terá que defrontar, bastando apenas apurar a utilidade esperada (não tão fácil de perceber) com base no cálculo das chances de um resultado acontecer; do mesmo modo, foi informado sobre o ambiente de risco que envolve o problema, o qual deverá ser levado em conta no momento da escolha da porta. Para as nossas análises agora, serão objetos de atenção às informações (respostas) disponibilizadas nos itens a, b, c e d do problema onde está o carro, especificamente as estratégias dos alunos, reconhecidas como suas ações ou atuações para resolver o problema, descrevendo o caminho por eles percorrido. Nesse sentido, primeiramente apresentaremos as respostas dadas pelos estudantes, que foram agrupadas conforme quadro a seguir; depois serão construídas as matrizes de pagos e a árvore de decisão; também serão calculados o equilíbrio de Nash para as estratégias mistas, bem como o valor esperado. Itens Sim Não Talvez Em branco Total a) Considera provável resolver o problema em um tempo breve. 32 12 6 3 53 b) Recordou conceitos e técnicas para resolver o problema 32 18 0 3 53 c) Pareceu-lhe uma forma econômica – elegante - engenhosa – impactante de se resolver o problema 25 22 1 5 53 d) Seria fácil de explicar a sua escolha 24 22 2 5 53 Somados os 32 estudantes que disseram “sim” com os 12 que disseram “não”, ao primeiro item, apenas 9 justificaram suas respostas, considerando que a agilidade na resolução se deve ao domínio (ou não) de conhecimentos de probabilidade ou de lógica. Para o segundo item, dos 32 estudantes que disseram sim, 15 justificaram dizendo que recordaram conteúdos de porcentagem, lógica, estatística e probabilidade. Para os que disseram não, apenas 2 justificaram dizendo que suas escolhas foram no “chute”. Para o terceiro item, apenas 8 dos 25 estudantes que disseram sim justificaram, considerando a sua forma de resolução como engenhosa e econômica. Quadro 9: Resposta de estudantes aos itens a, b, c e d do problema onde está o carro Fonte : Própria do autor Humberto Plácido Gusmão de Moura 122 No último item, 24 estudantes disseram ser fácil explicar a escolha e apenas 5 justificaram dizendo que ao abrir uma das portas as chances aumentavam ou porque era uma questão de lógica ou, ainda, que a oportunidade dada ao participante conduzia ao erro. E entre os que responderam que não é fácil explicar, 6 apresentaram justificativas dizendo que se trata de uma questão muito abstrata ou que fez uma escolha aleatória ou que formalmente não é fácil de explicar. De modo geral, as respostas são pouco elucidativas, uma vez que quase na totalidade são de forma monossilábica (sim, não), com poucos alunos propondo uma contestação mais elaborada. Para fazer encontrar a matriz de pagos, equilíbrios de Nash e a árvore de decisão, iremos considerar a existência de três portas: A, B e C, das quais o resultado ótimo é o carro, quando deverá receber o valor da unidade (1); e o não desejado é a cabra, quando deverá perder uma unidade (-1); e ainda que ao se abrir uma das portas não há pagamento algum (0) e dado que as opções mudar de porta e não mudar de porta não alteram a configuração da tabela de pagos, teremos as seguintes representações: O primeiro que podemos observar, se atentarmos para a tabela e sua matriz de pagos, é que não existe uma estratégia dominante nem dominada, já que, olhando o todo, os pagos para qualquer das estratégias serão os mesmos. Entretanto, podemos, ao se eliminar os pagos relativos à porta aberta (0), com a primeira eleição, ir atribuindo os valores de 1 para o caso de encontrar o carro e -1 para o caso de encontrar uma cabra, e considerando, ainda, que o concursante e o apresentador são dois jogadores: um ativo e o outro passivo, respectivamente, a nova tabela terá a seguinte configuração: Porta com o carro A B C A 1 -1 0 B 0 1 -1 Porta Escolhida C - 1 0 1 Tabela 14 : Matriz de pagos por eleição Fonte: Própria do autor Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 123 Podemos fazer a leitura desta tabela da seguinte forma: considere inicialmente que ao concursante é facultado o direito de mudar ou não de porta escolhida. Os pagos serão: - O par ordenado (-1, 1) significa que o carro estando em A e a porta escolhida inicialmente também é A, ao mudá-la, o concursante perde, e o apresentador ganha, caso contrário, se mantém a escolha inicial (não mudar) ganha, representado pelo par (1,-1). Ou seja, caso o concursante escolha a porta que contenha o carro ganha um ponto e o apresentador perde um ponto. Com isso, nota-se que o problema continua sem uma estratégia dominante. O problema onde está o carro tem as características de um jogo não-cooperativo, mais especificamente de um jogo de soma nula. Sendo assim, um olhar mais cuidadoso nos revela que nas estratégias puras (implicam decisões que se tomam com certeza, olhando a tabela anterior temos o ganho representado por “1” e a perda por “-1”) não há equilíbrios de Nash (EN), ou seja, nenhum dos jogadores tem incentivo (ganha) mudando sua estratégia unilateralmente. Com a ausência dos EN nas estratégias puras e considerando que a solução do jogo é por este equilíbrio, devemos, então, analisar as estratégias mistas (implicam em uma combinação de decisões tomadas de acordo a uma série de probabilidades, cuja soma deve ser 100%). Devemos, inicialmente, supor que o concursante eleja as seguintes estratégias, considerando p a probabilidade do concursante escolher uma porta e q=1-p é a probabilidade de mudar ou não de porta, para uma nova tabela: Apresentador Mudar Não mudar Porta A (-1, 1) (1, -1) Concursante Porta B (1, -1) (-1, 1) Tabela 15 : Nova m atriz de pagos por eleição Fonte: Própria do autor Humberto Plácido Gusmão de Moura 130 Seguindo com as análises dos dados apresentados na tabela e respectivo gráfico, observamos que aproximadamente 21% dos estudantes deram respostas que se enquadram na segunda etapa de devolução de uma preferência, apresentando indícios de compreensão do problema, até mesmo fazendo alguns cálculos, mas, todavia, atribuem o resultado à sorte ou ao “chute”, conforme mencionado por alguns deles, talvez para se desviar de uma formulação mais matemática ou por não se dar conta de que poderiam usar de ferramentas de cálculo para justificar a sua opção de resposta. 26,4% das respostas da amostra foram agrupadas dentro da terceira etapa, indicando uma devolução de uma responsabilidade e de uma causalidade. Em suas respostas, os alunos não só são conscientes das eleições que fazem como também estabelecem uma relação de causalidade Mudar de porta Parece lógico que a porta que não foi aberta possui o premio mesmo que não contenha, trocar parece melhor. Será indiferente Lógica, porque será sorte. Para mim tanto faz, já que vou ter os mesmos 50% de chance. Chute Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 131 entre as decisões que tomam e os resultados consequentes delas. As opções de escolha nessa categoria foram “mudar” de porta ou “manter” a porta escolhida, com a justificativa de que as chances aumentariam ou que o apresentador estaria lhes induzindo ao erro. Na fala de um estudante: “manter a porta escolhida inicialmente, pois o apresentador (que sabe onde está o carro) tentará lhe induzir ao erro, e a probabilidade de acerto é igual, mudando ou não”. Para este exemplo, em particular, embora sabendo que as probabilidades de erro ou acerto são as mesmas, ainda assim o aluno vincula a sua decisão ao fato de o apresentador tentar lhe iludir. Exatamente metade dos estudantes nessa categoria aponta a causa da decisão ao apresentador e a outra metade por acreditar que as chances aumentarão. Na quarta etapa, devolução da antecipação, temos 32,1% dos estudantes que parecem prever, antecipar as consequências de suas escolhas, estabelecendo assim uma relação entre a decisão tomada e o resultado final. Na resposta do estudante apresentada a seguir, a interrogação que ele faz “... então por que mudar?” nos revela uma intencionalidade da antecipação dos resultados. Manter a porta escolhida inicialmente Pois o apresentador (que sabe onde está o carro) tentará lhe induzir ao erro, e a probabilidade de acerto é igual mudando ou não. Continuar com a escolhida Minha opinião é concreta e, a chance de acertar é a mesma de errar, então porque mudar? Humberto Plácido Gusmão de Moura 132 A quinta etapa, devolução da situação a-didática, é apresentada por uma pequena parcela de nossa amostra, 7,5%. O critério por nós utilizado para enquadramento das respostas aqui foi o aluno colocar em prática um funcionamento matemático mais elaborado, validando por meio de provas matemáticas, ou não, suas respostas. O exemplo a seguir pode ser interessante para mostrar o nível de consciência e segurança que o aluno parece ter de seus conhecimentos, quando o mesmo argumenta de forma convincente o seu raciocínio. Para fazer uma análise desde os tipos de situações didáticas, tem-se que, embora o problema onde está o carro possa ser respondido sem a obrigatoriedade de um uso explícito da linguagem matemática, podendo o resolutor se abster de realizar procedimentos de cálculos, pensamos que o fato de nossa amostra ser representada por estudantes das carreiras de Matemática, Física e Ciências da Computação, as suas respostas poderiam vir carregadas de certo formalismo, ainda porque na própria questão apresentamos expressões como “recorda conceitos e técnicas”, “prestigiosos matemáticos e estatísticos”, que poderiam induzi-los a fazer uso de uma linguagem e de procedimentos mais científicos. De modo geral, as respostas apresentadas para este problema podem ser apreciadas na tabela e no gráfico a seguir: Será indiferente, pois neste caso as chances de ganhar ou perder serão a mesma. Antes as chances de eram 2 de 3, mas como já foi eliminada uma porta errada, a chance de errar muda para 1 de 2 que é a mesma chance de acerto. Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 133 Gráfico 4: frequência de tipos de situações didáticas Ação 47% Formulação 28% Validação 17% Branco 4% Lixeira 4% Ação Formulação Validação Branco Lixeira Uma análise deste problema desde os tipos de situações didáticas apresentadas por nossa amostra aponta que 47% dos estudantes, quase a metade, enquadram-se no tipo de Situação de Ação, dado que apresenta uma tipologia de resposta desprovida de conhecimentos teóricos, neste caso em particular, de conceitos básicos de probabilidades. Seus raciocínios vão em direção de um conhecimento mais comum e intuitivo, tanto assim que, nos itens da questão em que solicitamos justificativas para as suas escolhas estes não conseguem apresentá-las de modo que se percebam conhecimentos teóricos, limitando-se, na maioria dos casos, a respostas do tipo “sim” ou “não”. Independentemente da escolha que fazem, algumas respostas mencionam “que o apresentador pode estar tentando iludir”, “que é por lógica” ou “que é por sorte”. Um exemplo dessa tipologia de resposta é apresentado a seguir: Tipos de Situações Didáticas Freq % Ação 25 47% Formulação 15 28% Validação 9 17% Branco 2 4% Lixeira 2 4% Total 53 100% Fonte: Própria do autor Tabela 18 Frequência de tipos de situações didáticas Fonte: Própria do autor Humberto Plácido Gusmão de Moura 134 28% dos estudantes se enquadram em uma Situação de Formulação, dado que, embora não realizando procedimentos de cálculo explícito (parecem fazer mentalmente), ensaiam modelos teóricos, justificando de alguma forma a opção por eles escolhida: “pois tem a mesma chance”, “a probabilidade é a mesma”, mas sem buscar nenhum meio de comprovação. Um exemplo de resposta também é apresentado a seguir: Será indiferente Lógica, porque será sorte. Não Não Sim Sim Seria indiferente Pela probabilidade, igual que eu tenho d escolher a porta certa ou a errada Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 135 Já no tocante à Situação de Validação, apenas 17% se enquadram nessa categoria, apresentando procedimentos algorítmicos e argumentando e comprovando a sua linha de raciocínio com base em conhecimentos teóricos, a fim de validar o conhecimento. Embora não classificamos nenhuma resposta dentro de uma Situação de Institucionalização, pensamos que dois dos raciocínios apresentados na situação de validação também poderiam ser enquadrados como institucionalização, se considerarmos a intenção dos alunos em querer formalizar, demonstrar o conhecimento de referência adquirido em sala de aula. O exemplo a seguir ilustra essa situação. Classificamos, ainda, as escolhas sem justificativas como “Branco” e as que não tivemos condições de avaliar como “Não analisadas”, conforme pode ser apreciado na tabela 18. 3.2.5. Análise desde a Tomada de Decisões Para uma discussão mais específica das decisões tomadas pelos alunos, considerando ainda que estas estão atreladas a processos de Eleição, a conceitos da Teoria de Jogos e da Teoria das Situações Didáticas, iremos tomar como objeto de análise as duas últimas afirmativas da questão. Concretamente, interessa-nos observar até que ponto o pensamento dos alunos podem ser influenciados por outras opiniões, ou seja, até que ponto suas decisões foram influenciadas por terceiros. Assim, organizamos as respostas obtidas nesses itens nos quadros a seguir: Tanto faz, será indiferente. Primeiro temos uma probabilidade de 1/3 (33,33%) de acertar. Ao ser aberta uma das portas não escolhida, teremos uma probabilidade de 50% de acertar. Entretanto, tanto faz a porta que escolhemos, ainda temo suma chance de 50% em cada porta. Humberto Plácido Gusmão de Moura 136 Independentemente da opção que elegeram, evidenciamos, no primeiro quadro, que a maioria não mudaria de opinião em prol do raciocínio de Von Savant e um pouco mais da metade (27 estudantes) do segundo quadro concorda com a segunda afirmativa (dos matemáticos e estatísticos), reforçando, em parte, a negativa dada na frase anterior, ou seja, não mudaria de opinião. Dentre os 16 que decidiram mudar de porta, 6 estão de acordo com o raciocínio de Von Savant e destes apenas três justificam ser mais vantajosa a mudança e que pensaram igual a Von Savant. Os 9 estudantes que decidiram mudar de porta e que disseram que não concordam com a afirmativa de Von Savant não explicaram o motivo da negativa nesse momento, entretanto, buscando entender o que lhes levaram a tal raciocínio, recorremos as suas justificativas dadas ao item que solicita explicar os caminhos que lhes levaram a escolher a opção e, assim, constatamos “Von Savant, que figura no livro Guiness como o coeficiente intelectual mais alto do mundo, defende que é vantajoso mudar de porta”. Assim perguntamos: Mudarias de opinião se soubesse disto? Sim Não Talvez Em branco Total Mudar 6 9 1 - 16 Continuar - 9 2 - 11 Indiferente 1 21 3 1 26 Total 7 39 6 1 53 “Prestigiosos matemáticos e estatísticos replicam a Von Savant e pedem que ela retifique seus argumentos”. Você concorda com estes estudiosos? Sim Não Talvez Em branco Total Mudar 4 10 2 - 16 Continuar 6 3 2 - 11 Indiferente 17 5 3 1 26 Total 27 18 7 1 53 Quadro 11: Afirmativa de prestigio sos matemáticos e estatísticos Fonte: P rópria do autor Quadro 10 : Afirmativa de Von Savant Fonte: P rópria do autor Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 137 praticamente uma única linha de raciocínio: vale a pena mudar porque as chances aumentam, não percebendo com isso a relação de suas respostas com as de Von Savant. Para os que decidiram continuar com a porta escolhida, 9 de 11 não concordam com essa primeira afirmativa e 2 disseram “talvez”, justificando que deve ser observado a reação do apresentador e suas estratégias de persuasão ou então que seria melhor continuar para não se arrepender. Percebemos entre os que disseram ser indiferente, 17 concordaram com os matemáticos e estatísticos, o que parece lógico, já que são opções excludentes (ou é indiferente ou concorda que mudar tem vantagens) e os 5 que discordaram parecem apresentar certa “indiferença” a essa questão, em outras palavras, uma vez decidido que será indiferente não lhes interessa implicar em outra opção. Tudo isso nos leva a acreditar que o raciocínio por trás da afirmativa de Von Savant das vantagens matemáticas não foi percebido pela grande maioria dos estudantes, não sendo possível, portanto, inferir que houve uma influência desta afirmativa nas decisões dos mesmos. Tampouco podemos inferir se houve influência da segunda afirmativa sobre a decisão dos alunos que aí tratam, em sua maioria, de reforçar o dito anteriormente. Agora fazendo uma análise do ponto de vista das influências que as variáveis crenças e experiências prévias podem ter em situações problemas que se assemelham ou se confundem com situações da vida real, como é o caso deste problema, pode ser que estas variáveis exerçam uma influência tão forte que dificilmente os alunos abrem mão delas em detrimento de um raciocínio incomum. Em outras palavras, poderíamos ainda considerar que o conhecimento institucional trabalhado (para não dizer construído) não foi suficiente para fazer o aluno duvidar de sua própria experiência, transferir os conhecimentos, e assim podemos falar de uma possível influência exercida pelas crenças e experiências pessoais sobre as decisões que tomam os alunos, como é o caso daqueles que responderam que “mudar implicaria num arrependimento”. Caso o apresentador não permitisse a troca, estaria eu com a mesma porta e mudar e assim erra me traria sentimento de arrependimento. Humberto Plácido Gusmão de Moura 138 Do mesmo modo, podemos falar que as eleições dos alunos não foram influenciadas pelas respostas dos terceiros que aí se colocam, neste caso de Von Savant e dos matemáticos e estatísticos, mas por suas experiências. Algumas das respostas dos alunos nos remetem ao contexto de discussões que esta questão suscitou, quando foi alvo de críticas nos anos 70 a resposta dada por Von Savant de que seria mais vantajoso mudar, gerando dúvidas entre matemáticos e estatísticos e que somente a partir da simulação computacional do problema, como aconteceu com o célebre matemático Paul Erdös, veio à crença de que poderia sim ser mais vantajoso mudar. O que queremos dizer é que vantajosa ou não a mudança esta questão nos remete ao contexto estrutural de incerteza, do acaso, e isso desempenha um papel relevante na tomada de decisões dos resolutores, de tal modo que dificilmente admitem uma mudança de raciocínio. Uma análise geral das respostas dadas pelos estudantes de nossa amostra confirma que uma vez tomada a decisão de ser indiferente, mudar ou continuar, as afirmativas que se colocam no último item da questão não os fizeram mudar a decisão, justificando inclusive as razões para isso. O valor probabilístico foi dado pelo grau de segurança que pareciam ter em seus conhecimentos prévios. A esse grau de segurança, podemos nos referir também à função de utilidade da Teoria de Jogos, pois ao ter em conta o critério básico de racionalidade em que todo processo de decisão deveria ser encaminhado a alcançar a maior utilidade possível para o sujeito, podemos inferir das respostas dos estudantes que a utilidade da alternativa escolhida parece estar associada a crenças e conhecimentos prévios, mais por experiências não escolares que escolar. Do mesmo modo, podemos inferir das decisões dos alunos, quando se faz uma análise sob a ótica da Teoria das Situações Didáticas, na qual se observa o uso de um raciocínio mais prático e intuitivo, indícios de experiências prévias, em detrimento de processos mais elaborados. Também desde essa Teoria, pode-se inferir sobre o contrato didático e dizer que as decisões parecem indicar um trabalho restrito com a estatística em sala de aula em que as discussões sobre o acaso e a incerteza pouco acontece. Uma análise do ponto de vista dos elementos que levam a uma boa decisão no sentido de Carmona (1997) estão presentes no problema onde está o carro, quais sejam, 1) um conjunto de opções ou alternativas que, neste caso, já vem dado no enunciado da questão; 2) um ambiente ou contexto em que se dá o problema que neste é de risco e também de incerteza; e 3) uma função Capítulo 3 - Apresentação, Análise e Discussão dos Dados 139 de avaliação dos resultados, que estabelece as consequências assignáveis da aplicação de cada opção nos possíveis estados da natureza. Embora o estado da natureza da questão também seja considerado de incerteza, apenas se observa nas respostas dos alunos tentativas de estimar probabilidades (pertinentes para risco), ou seja, atribuem uma função de avaliação, mesmo de forma implícita. Em revendo o marco teórico, no tópico referente à teoria das expectativas de Kahneman e Tvesky (1979), teoria surgida como reformulação e refinamento da teoria da utilidade esperada, vez que esta não explicava com clareza a racionalidade das decisões na percepção da realidade, podemos observar, conforme esses autores, que o sujeito não decide segundo os padrões racionais da teoria da utilidade esperada, mas por simples regras de comportamento, quando tem que tomar uma decisão. Por exemplo, na regra da representatividade - aquela que o decisor atribui probabilidades aos sucessos e, em consequência, elege as alternativas porque estas se assemelham a fatos conhecidos por ele, como lançamento de uma moeda, cuja probabilidade teórica é de 50-50 as chances de sair cara ou coroa, pode que 53% dos alunos tenham sido motivados por essa regra e chegaram a mencionar expressões como “mesma chance” e “mesma probabilidade”. No tocante à regra, capacidade de memorização ou recordo, que trata da facilidade para recordar situações análogas, estando a verossimilhança de um sucesso diretamente ligada à facilidade de recordar e que pode levar a erros, pode ser que as regras recordadas pelos alunos para responder ao problema resultaram em um fator que restringiu o pensamento dos mesmos para perceber outros modos de resolução. Pode ser ainda que, na regra necessidade de segurança, que aparece quando o sujeito se deixa guiar por conselhos de terceiros e sendo um dos erros mais comuns o excesso de importância dado ao valor inicial, as respostas dos alunos terem sido influenciadas por um problema já radicado na memória cultural do decisor, embora vimos que nenhuma das afirmativas colocadas no final do problema influenciaram as respostas deles. Percebe-se também que, por se tratar de um problema “probabilizável”, os estudantes tratam de atribuir probabilidades subjetivas em função, inclusive, de seu grau de crença sobre a mesma. Para finalizar este bloco de análise, dado que um dos objetivos da tomada de decisão é selecionar a melhor alternativa, não o de estimar com precisão o resultado que se pode obter com cada uma delas ou aplicar métodos estatísticos muito sofisticados, consideramos que uma revisão da eleição e uma análise da alternativa por parte dos alunos poderia levá-los a melhorar