Vectores e xeometría no espazo

VICERREITORÍA DE ESTUDANTES, CULTURA E FORMACIÓN CONTINUA Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Enxeñaría Agrícola e do Medio Rural Matemáticas I Miguel A. Vilar Rivas Área de Matemática Aplicada Departamento de Matemática Aplicada Escola Politécnica Superior 2 Vectores e xeometría no espazo 9788498 879988 Vectores e xeometría no espazo 2 Miguel A. Vilar Rivas Área de Matemática Aplicada Departamento de Matemática Aplicada Escola Politécnica Superior Dep. Legal: C 332-2013 ISBN 978-84-9887-998-8 © Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra atópase baixo unha licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Calquera forma de reprodución, distribución, comunicación pública ou transformación desta obra non incluída na licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0 só pode ser realizada coa autorización expresa dos titulares, salvo excepción prevista pola lei. Pode acceder Vde. ao texto completo da licenza nesta ligazón: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostela Edita Vicerreitoría de Estudantes, Cultura e Formación Continua da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital MATERIA: Matemáticas I TITULACIÓN: Grao en Enxeñaría Agrícola e do Medio Rural PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica BLOQUE I. ALGÚNS ASPECTOS DE ÁLXEBRA LINEAR Unidade I. Matrices e sistemas de ecuacións lineares Definición e exemplos de matrices Tranformacións elementais en matrices. Rango dunha matriz. Operacións con matrices. Determinante dunha matriz. Matriz trasposta e matriz inversa Sistemas de ecuacións lineares. Solución e forma matricial dun sistema Teorema de Rouché-Frobenius Sistemas equivalentes. Método de Gauss Unidade II.Vectores e xeometría do espazo Definición e exemplos de espazo vectorial Dependencia linear Sistema de xeradores. Base dun espazo vectorial. Coordenadas Dimensión dun espazo vectorial Subespazos vectoriais Produto escalar Ortogonalidade. Norma dun vecto. Distancias e ángulos Produto vectorial en R3 Ecuación da recta en R2 Ecuacións de recta e plano en R3 BLOQUE II. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. INTRODUCIÓN Unidade III. Conceptos básicos de funcións reais de unha e varias variables Nocións topolóxicas en Rn Funcións reais de varias variables. Dominio e gráfica Funcións elementais Límites e continuidade dunha función: definición e propiedades Unidade IV. Cálculo diferencial de funcións reais dunha e varias variables. Aplicacións Derivadas parciais e direccionais. Concepto de gradiente Funcións derivadas. Regras de derivación Concepto de diferencial. Regra da cadea. Recta e plano tanxente Teorema de Rolle. Teorema do valor medio. Regra de L’Hopital Cálculo de extremos. Estudo local dunha función UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 3 Unidade V. Cálculo Integral de funcións reais dunha e varias variables. Aplicacións Integral de Riemann Primitiva dunha función Teoremas fundamentais do cálculo integral Integrais impropias Integración numérica: regla dos trapecios Aspectos xeométricos da integral dobre Integración dobre sobre rectángulos. Teorema de Fubini Integración dobre sobre rexións máis xerais Integración triple sobre paralelepípedos 4UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo ÍNDICE Presentación .................................................................. 7 Os obxectivos ................................................................ 8 Os principios metodolóxicos .............................................. 8 Os contidos básicos ......................................................... 9 1 Espazos vectoriais ................................................... 9 2 Subespazo vectorial.................................................. 11 3 Xeometría Euclidiana ................................................ 15 3.1 Produto escalar. Espazo euclidiano ........................ 15 3.2 Norma dun vector ............................................ 17 3.3 Ángulo entre dous vectores. Ortogonalidade. ............. 17 3.4 Produto vectorial ............................................. 18 4R2eR3como espazos afíns ........................................ 19 4.1 Distancia entre dous puntos................................. 20 Anexos ........................................................................ 21 Boletín de exercicios ...................................................... 21 Avaliación ..................................................................... 26 Bibliografía .................................................................... 26 UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 5 PRESENTACIÓN Esta segunda unidade didáctica constitúe unha magnífica introdución para comprender a precisión dun argumento matemático e para iniciarse na construción de demostracións, pois combina de xeito moi satisfactorio dous dos elementos da matemática: abstracción e aplicación. A unidade anterior de Matrices e sistemas lineais tiña, entre outros obxetivos, observar unha serie de propiedades e cuestións comúns ós diferentes contidos presentados que agora, nesta unidade didáctica, pretendemos abstraer e xeneralizar. O término espazo vectorial provén do estudo dos vectores libres do espazo euclídeo. Aínda que a primeira definición aparece no século XIX cun carácter xeométrico, enseguida víuse que outros moitos conxuntos podían dotarse da estrutura de espazo vectorial. Con todo, a definición axiomática non aparece ata o século XX dada por Peano. É por esta motivación histórica que presentamos a definición axiomática de espazo vectorial, apoiándonos no modelo de espazo vectorial máis intuitivo que coñecemos: o que deriva das nocións físicas de forza e velocidade, para posteriormente introducir axiomáticamente os espazos vectoriales sobre R. Trala introdución clara e suficientemente exemplificada do concepto de subespazo vectorial, continuamos coas definicións de dependencia e independencia linear dun sistema de vectores, que caracterizará o subespazo xenerado por un conxunto de vectores. Posteriormente presentamos os espazos vectoriales de tipo finito como aqueles que posúen un conxunto finito de xeneradores. A partir desta idea, xunto coa de independenza linear, aparece o concepto de base, cuxa existencia está garantida neste marco. Introdúcense as coordenadas dun vector respecto dunha base asociándolle, de xeito único, unha n-upla de elementos de R; para chegar, á definición de dimensión dun espazo vectorial de tipo finito. A partires de aquí, pretendemos centrarnos nos espazos vectoriais R2eR3coas operacións habituáis, pero poñendo de manifesto sempre a xeneralidade dos conceptos presentados. Así comezamos polo concepto abstracto de produto escalar que da lugar ó de espazo vectorial euclídeo enorma dun vector. Das propiedades da definición abstracta de norma xustificamos a idea de ángulo. Por último, en R3, presentamos o concepto de produto vectorial, para rematar a unidade co recordatorio dos diferentes tipos de ecuacións de rectas en R2e rectas e planos en R3. UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 7 c) Se Sé un conxunto de vectores linearmente iindependentes e v non se pode escribir como combinación linear dos vectores de S, entón S∪ {v} é un conxunto de vectores linearmente independentes.2 Agora que xa sabemos que un espacio vectorial real de tipo finito está xerado por un conxunto finito de vectores e estamos familiarizados coas ideas de dependencia e independencia linear, veremos que é moi útil minimizar o número de vectores de ese conxunto xerador. Esta minimización do número de vectores necesarios para xerar o espazo (ou subespazo) vectorial ten moito que ver coa idea de independencia linear dos vectores e co concepto de base dun espazo (ou subespazo) vectorial. Definición 8. Sexa Vun e.v. real de tipo finito, diremos que B={v1, . . . ,vn} é unha base de Vse e só se —Bé un conxunto de vectores linearmente independentes —Bé un sistema de xeradores de V Observación 2. 3 — As bases dun espazo vectorial real de tipo finito son un conxunto minimal de sistema de xeradores. — As bases dun espazo vectorial real de tipo finito son un conxunto maximal de vectores linearmente independentes. — Todo espazo vectorial real non nulo de tipo finito posúe algunha base. — Todas as bases dun espazo vectorial rea V={ 0}de tipo finito teñen igual número de vectores. A ese número chámase dimensión do espazo vectorial V. Por convenio, dise que o espazo vectorial V={ 0}ten dimensión 0. — Sexa Vun espazo vectorial de dimV=n, e sexa e B={v1,v2, . . . ,vn} ⊂ Vun conxunto de vectores linearmente independentes, entón e Bé unha base de V. — Sexa Vun espazo vectorial de dimV=n, e sexa e B={v1,v2, . . . ,vn} ⊂ Vun conxunto de vectores sistema xerador de Ventón, e Bé unha base de V. — Sexa Vun espazo vectorial de dimV=n. Sexa F⊂Vun subespazo vectorial de V. Entón, dimF≤ne no caso de que dimF=n, entón F=V. A primeira consecuencia: si temos unha base dun espazo vectorial real de tipo finito, temos un sistema de vectores ó que referenciar todos os vectores do espazo vectorial de xeito único. Teorema 3. Se B={v1, . . . ,vn} ⊂ Vé unha base de V, calquera vector pode expresarse de xeito único como combinación linear dos vectores de B, isto é; para cada v ∈Vexisten λ1, . . . , λn∈Rúnicos, tales que v = n ∑ i=1 λi·vi. 2A proba de esta propiedade queda como exercicio para o alumnado 3As demostracións destes resultados poden verse en (POOLE, D. 2005), por exemplo. 14UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo Demostración 3. Suporemos que esa unicidade dos escalares non é certa; isto é: v = n ∑ i=1 λi·viev = n ∑ i=1 αi·vicon algún λr=αr Pois ben, sumándolle ó primeiro o oposto do segundo  0 = n ∑ i=1 λi·vi− n ∑ i=1 αi·vi= n ∑ i=1 (λi−αi)·vi e temos unha combinación linear dos vectores da base Bigualada ó vector  0 con algún escalar non nulo, pois λr=αr. Isto implica que Bé un conxunto de vectores linearmente dependentes, o cal entra en contradición coa nosa hipótese de que Bé unha base do espazo vectorial. Polo tanto, λi=αi∀i= 1, . . . , n Unha vez elexida unha base, ista unicidade dos escalares que permiten escribir calquer vector do espazo vectorial como combinación lineal dos vectores de dita base, da lugar ó concepto de coordenadas dun vector respecto dunha base. Definición 9. Se B={v1, . . . ,vn}é unha base de Vev ∈Vév = n ∑ i=1 λi·vi, os escalares λ1, . . . , λnreciben o nome de coordenadas de v na base B, e soe escribirse v = (λ1, . . . , λn)B. 3 Xeometría Euclidiana Nesta sección, continuamos co noso proceso de abstracción de conceptos que son ben coñecidos no caso dos vectores xeométricos, para poder aplicarllos ós espazos vectoriais en xeral. A abstración de espazo vectorial tan so partíu das propiedades da suma de vectores e de produto por un escalar. Agora queremos poder medir os vectores e mirar o ángulo que forman. Dotaremos á estructura abstracta de espazo vectorial destes dous conceptos utilizando o concepto de produto escalar ou produto interior definido no espazo vectorial real V. 3.1 Produto escalar. Espazo euclidiano Definición 10. Dado un espazo vectorial real V, chamaremos produto escalar sobre el a calquera aplicación ⟨·,·⟩ :V×V→R (u,v) ⟨u,v⟩ UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 15 que lle asocie un número real a calquer parella de vectores de V, satisfacendo os seguintes axiomas: ⟨u,v⟩=⟨v, u⟩ ∀u,v ∈V ⟨u,v +w⟩=⟨u,v⟩+⟨u, w⟩ ∀u, v, w ∈V ⟨λu,v⟩=λ⟨u,v⟩ ∀u,v ∈V, ∀λ∈R ⟨u, u⟩ ≥ 0∀u ∈V ⟨u, u⟩= 0 ⇔u = 0 Propiedades 2. Da axiomática anterior dedúcense, entre outras, as seguintes propiedades: 4 1. ⟨v +w, u⟩=⟨v, u⟩+⟨w, u⟩ ∀u,v, w ∈V 2. ⟨u, λv⟩=λ⟨u, v⟩ ∀u,v ∈V, ∀λ∈R 3. ⟨u, 0⟩= 0 ∀u ∈V Trivialmente: ⟨u, 0⟩=⟨u, 0 + 0⟩=⟨u, 0⟩+⟨u, 0⟩= 2⟨u, 0⟩ e polo tanto ⟨u, 0⟩= 0. 4. Se ∀v ∈V, ⟨u,v⟩= 0 ⇒u = 0. Como a hipótese é certa para todo v ∈V, tomemos v =u. Neste caso teremos ⟨u, u⟩= 0,que polo último axioma da definición de produto escalar implica u = 0. Definición 11. O espazo vectorial Vdotado dun produto escalar recibe o nome de espazo vectorial euclideo. Consideremos algúns exemplos nos que deberemos comprobar que realmente se verifican os axiomas da definición de produto escalar. Exemplo 3. No espazo vectorial Rncoas operacións suma e produto por un escalar habituais, podemos definir o produto escalar usual: ⟨u,v⟩=u ·v =x1y1+x2y2+. . . +xnyn sendo u = (x1, x2, . . . , xn)ev = (y1, y2, . . . , yn) Exemplo 4. No espazo vectorial M2×2(R)coas operacións suma e produto por un escalar habituais, podemos definir o produto escalar: ⟨A, B⟩=a11b11 +a12b12 +a21b21 +a22b22 sendo A=(a11 a12 a21 a22 )B=(b11 b12 b21 b22 ) 4Proponse como exercicio a demostración das propiedades 1 e 2. 16UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo 3.2 Norma dun vector Agora xa estamos en condicións de definir os conceptos de lonxitude dun vector e, a partires deste, o concepto de distancia. Definición 12. Chamamos norma asociada a un produto escalar en Vá aplicación: ∥·∥:V→R+∪ {0} u ∥u∥= +√⟨u, u⟩ Debemos notar que a definición de norma está intrínsecamente relacionada coa de produto escalar. Cada produto escalar definido en Vten unha norma asociada. Propiedades 3. 5Dados u,v ∈Veα∈R 1. ∥u∥ ≥ 0∀u ∈V4. ∥u∥2=⟨u, u⟩ 2. ∥u∥= 0 ⇔u = 05. |⟨u,v⟩| ≤ ∥u∥ ∥v∥(desigualdade de Schwartz) 3. ∥αu∥=|α|∥u∥6. 4. ∥u +v∥ ≤ ∥u∥+∥v∥(desigualdade triangular) Observación 3. Se consideramos Rncoas operacións e produto escalar habituais e consideramos u = (u1, . . . , un)∈Rn, a expresión analítica da norma é, neste caso: ∥u∥= +√u2 1+. . . +u2 n. Que tamén é coñecida como módulo do vector u e denotado |u|en moitas ocasións. 3.3 Ángulo entre dous vectores. Ortogonalidade. Definición 13. Dados os vectores u,v ∈Vnon nulos, chámamos ángulo determinado por u ev ao único número real α, 0≤α≤πtal que: cos α=⟨u,v⟩ ∥u∥∥v∥ onde o ángulo αnon é un ángulo orientado, xa que cos α=cos(−α). Observación 4. En Rncoas operacións e produto escalar habituais, coñecidos os vectores u = (u1, . . . , un)ev = (v1, . . . , vn)o ángulo entre os dous vectores ven dado por cos α=⟨u,v⟩ ∥u∥∥v∥=u1v1+. . . +unvn √u2 1+. . . +u2 n√v2 1+...+v2 n Definición 14. Sexa Vun espazo vectorial no que temos definido un produto escalar e a súa norma asociada. 1. Dise que dous vectores x ey son ortogonais (x ⊥y)se ⟨x, y⟩= 0. 5As demostracións das propiedades 1, 2, 3 e 4, o alumnado debe tentar facelas. As de 5 e 6 poden consultarse, por exemplo, no libro de Poole (2005). UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 17 2. Un vector x é ortogonal a un subespazo Ude V(x ⊥ U)se x é ortogonal a todos os vectores de U. 3. Un conxunto de vectores S={v1,v2, . . . ,vk}de Vé ortogonal se ⟨vi,vj⟩= 0,∀i=j. 4. Un conxunto de vectores S={v1,v2, . . . ,vk}de Vé ortonormal se é ortogonal e ∥vi∥= 1,∀i= 1,2, . . . , k. Observación 5. Os vectores de norma 1chámanse vectores unitarios. De cada vectorv = 0 pode obterese un vector unitario w coa súa mesma dirección e sentido sen máis que multiplicar v polo escalar inverso da súa norma w =1 ∥v∥v Non é complicado probar que para que un vector sexa ortogonal a un subespazo de dimensión finita, é necesario e suficiente que sexa ortogonal a calquera das súas bases; tal e como se enuncia na seguinte proposición: Propiedades 4. 6Sexa Uun subespazo dun espazo vectorial Ve sexa B= {u1, u2, . . . , up}unha base de U. Un vector x ∈Vé ortogonal a Use e só se ⟨x, ui⟩= 0,∀i= 1,2, . . . , p. 3.4 Produto vectorial Restrinxíndonos ao espazo tridimensional R3, definimos agora unha ferramenta moi utilizada na física: o produto vectorial. Definición 15. No espazo vectorial R3, definimos produto vectorial como a aplicación ×: ×:R3×R3→R3 (u,v) u ×v onde o vector u ×v é tal que: 1. ∥u ×v∥=∥u∥ ∥v∥sen(d u, v), donde (d u, v)denota o ángulo que forman os vectores u ev 2. ∥u ×v∥é ortogonal a u ev 3. A orientación de (u,v, u ×v)segue a «regra da man dereita» Figura 2: Regra da man dereita 6O alumnado debe demostrar esta proposición como exercicio 18UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo Proposición 1. Se en R3consideramos a base canónica B={e1,e2,e3} respecto á que u = (u1, u2, u3)ev = (v1, v2, v3), entón: u ×v =u2u3 v2v3e1−u1u3 v1v3e2+u1u2 v1v2e3 Co dito ata agora, non é dificultoso probar as seguintes Propiedades 5. Para calquera vector u, v, w ∈R3eα∈Rtemos: —u ×v =−v ×u —(αu)×v =u ×(αv) = α(u ×v) —u ×(v +w) = u ×v +u ×w —u ev son l.d. ⇔u ×v = 0 — Se u ev son l.i. entón {u,v, u ×v}son unha base de R3 —∥u ×v∥2=∥u∥2∥v∥2− ⟨u,v⟩2 — O valor ∥u ×v∥representa a área do paralelogramo de lados non paralelos u ev 4R2eR3como espazos afíns En todo o que resta de unidade, consideraremos en R2eR3os vectores referidos á base canónica correspondente. Definición 16. Dados dous puntos PeQdefínese o vector  PQ :=  OQ − OP . O P a b v v=OP=P=(a,b) O P a b v v=OP=P=(a,b,c) c Definición 17. — Recta en R2. A recta rque pasa por P= (p1, p2)e ten como vector director v = (v1, v2)é: r={Q∈R2/ OQ = OP +λ·v /λ∈R} ={(x, y)∈R2/ (x, y) = (p1, p2) + λ·(v1, v2)} — Recta en R3. A recta rque pasa por P= (p1, p2, p3)e ten como vector director v = (v1, v2, v3)é: r={Q∈R3/ OQ = OP +λ·v /λ∈R} ={(x, y, z)∈R3/ (x, y, z) = (p1, p2, p3) + λ·(v1, v2, v3)} UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 19 — Plano en R3. O plano πque pasa por P= (p1, p2, p3)e ten como vectores directores v = (v1, v2, v3)ew = (w1, w2, w3)é: π={Q∈R3/ OQ = OP +λ1·v +λ2·w /λ1, λ2∈R} ={(x, y, z)∈R3/ (x, y, z) = (p1, p2, p3) + λ1·(v1, v2, v3) + λ2·(w1, w2, w3)} Observación 6. A contunuación resumimos os diferentes tipos de ecuacións ás que dan lugar as definicións vectoriais anteriores. — Ecuacións da recta en R2: Paramétricas Continua Reducida x=p1+λv1 y=p2+λv2 x−p1 v1 =y−p2 v2 y=ax +b Neste último caso, a ecuación reducida dunha recta en R2o parámetro arecibe o nome de pendente da recta pois correspondese co valor da tanxente do ángulo que forma o vector director da recta coa dirección positiva do eixo horizontal. Así fálase da ecuación punto-pendente da recta: a ecuación da recta que pasa polo punto (x0, y0)e ten por pendente aé y−y0=a(x−x0) =⇒y=ax + (y0−ax0) escrita en forma reducida. — Ecuacións da recta en R3: Paramétricas Continua Reducidas x=p1+λv1 y=p2+λv2 z=p3+λv3 x−p1 v1 =y−p2 v2 =z−p3 v3 x=az +b y=cz +d — Ecuacións do plano en R3: Paramétricas Reducida x=p1+λ1v1+λ2w1 y=p2+λ1v2+λ2w2 z=p3+λ1v3+λ2w3 ax +by +cz =d 4.1 Distancia entre dous puntos Definición 18. Sexan AeBdous puntos do espazo afín R2ou R3. Defínese adistancia entre AeBcomo d(A, B) = ∥ AB∥ Observación 7. — Se A∈R2eB∈R2teñen coordenadas, A= (a1, a2) eB= (b1, b2)entón d(A, B) = +√(b1−a1)2+ (b2−a2)2 20UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo — Se A∈R3eB∈R3teñen coordenadas, A= (a1, a2, a3)eB= (b1, b2, b3)entón d(A, B) = √(b1−a1)2+ (b2−a2)2+ (b3−a3)2 Partindo das nocións de norma e produto escalar vistas con anterioridade, próbanse fácilmente as seguintes Propiedades 6. Dados A, B, C ∈R2ou R3 1. d(A, B)≥04. d(A, B)≤d(A, C) + d(C, B)(desig. triangular) 2. d(A, B) = 0 ⇔A=B 3. d(A, B) = d(B, A) ANEXOS Boletín de exercicios 1. No conxunto R2=R×Rdefínense as seguintes operacións: Suma + : (x, y)+(x′, y′) = (x+x′, y +y′) Produto ·R:α(x, y) = (αx, αy) Estudar se a terna (R2,+,·R)é un espazo vectorial. 2. Idem coas operacións: Suma + : (x, y)+(x′, y′) = (x+x′, y +y′) Produto ·R:α(x, y) = (αx, 0) 3. Sexa R2[x] = {a+bx +cx2/a, b, c ∈R}. Demostrar que coas seguintes operacións é un espazo vectorial sobre R. Suma : (a+bx +cx2)+(a′+b′x+c′x2)=(a+a′)+(b+b′)x+ (c+c′)x2 Produto :α·(a+bx +cx2) = αa +αbx +αcx2α∈R 4. Estudar se os seguintes conxuntos son subespazos de R3: a) W={(a, b, 0)/a, b ∈R}b) W={(a, b, 2)/a, b ∈R} c) W={(a, b, c)/a+b+c= 0; a, b, c ∈R}d) W={(a, b, c)/a+b+c= 4; a, b, c ∈R} e) W={(a, 0,0)/a∈R}f) W={(a, 3,3)/a∈R} g) W={(a, b, c)/a=b+c;a, b, c ∈R}h) W={(a, b, c)/a2+b2+c2≥1; a, b, c ∈R} i) W={(a, b, c)/a+b+c≥0; a, b, c ∈R}k) W={(a, b, c)/a+b= 0 ,c= 2b;a, b, c ∈R} 5. Pon un exemplo dun subespazo (W) vectorial de R4de dimensión 2 cumplindo alomenos a seguinte restrición: a segunda coordenada é o triplo da terceira. Dá unha base dese subespazo 6. Estudar se o seguinte conxunto é subespazo de R2[x]: R1[x] = {a+bx/a, b ∈R} UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 21 7. Estudar a dependencia ou independencia linear dos vectores de R3: a)u = (1,1,−1);v = (2,2,0); w = (−1,−1,−1) b)u = (2,1,−3);v = (4,2,0); w = (2,−1,2) 8. Estudar a independencia linear dos vectores de R3[x]: a){1, x, x2, x3} b){1,1 + x, 1 + x+x2,1 + x+x2+x3} c){1 + x, 1−x+x2,4+2x2} 9. No espazo vectorial R4considérase o conxunto M={(x1, x2, x3, x4)/x1+x2+x3+x4= 0} a) Demostrar que Mé un subespazo vectorial de R4. b) Achar en Mtres vectores u,v,w que sexan linearmente independentes, e demostrar que todo vector de Mse pode escribir como combinación linear de u,v,w. 10. Se x,y,z ∈Vson vectores linearmente dependentes: a) Pódese asegurar que x depende linearmente dos outros dous? b) Pódese asegurar que un dos tres vectores é combinación linear dos outros dous? 11. Obter unha base e determinar a dimensión dos subespazos do exercicio 4. 12. Demostrar que o subespazo W={(a, b, 0)/a, b ∈R}de R3está xerado polos vectores u = (1,1,0) ev = (1,0,0). Construír unha base de R3 que conteña á base de Wformada por u ev. 13. Sexa Vun espazo vectorial sobre R. Sexa u1, u2, . . . , unun conxunto de vectores linearmente independentes. Demostrar: a) {α1u1, α2u2, ..., αnun/α1, α2, ..., αn= 0}é un conxunto de vectores linearmente independentes. b) {u1, u1+u2, ..., u1+...+un}é un conxunto de vectores linearmente independentes. 14. Dá un conxunto de 3 vectores non nulos de R3(A) linearmente dependentes e un exemplo dun conxunto de 3 vectores de R3(B) que non sexan sistema de xeradores: 15. Nunha certa base B={e1,e2,e3,e4}do espazo vectorial real E, un vector w tén por coordenadas (3,1,2,6)B. Calcúlense as coordenadas de w noutra base e B={u1, u2, u3, u4}na que os vectores verifican: u1=e1+e2, u2= 2e4−e1, u3=e2−e3, u4= 2e1−e2 16. Sexa Vun e.v. sobre Rno que se verifica que au +bv +cw = 0, sendo u,v,w ∈V, e a,b,c∈R/a, b = 0. Demostrar que ⟨{u, w}⟩ =⟨{v, w}⟩. 17. Sexan UeWos seguintes subespazos de R4: U={(a, b, c, d); b+c+d= 0}, W ={(a, b, c, d); a+b= 0, c = 2d}. Achar unha base e a dimensión de UeW. 22UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo 18. Dados os vectores u = (−1,2),v = (4,6),w = (3,−1,−5) ex = (6,−2,3), calcula as seguintes cantidades: a) ⟨u,v⟩e⟨v, u⟩ ⟨u, u⟩, b) (⟨x, w⟩ ⟨x, x⟩)x, c) ∥x∥e∥v∥. 19. Determina se o seguinte conxunto de vectores é un conxunto ortogonal {(3,1,1) (−1,2,1) (−1/2,2,7/2)}. 20. Determina o ángulo que forman os vectores u = (2,−1,1) ev = (1,1,2). 21. Determina o valor de mpara que: a) os vectores (1,4) e(−1, m)sexan perpendiculares, b) os vectores (m, −2) e(3,2) sexan paralelos. 22. Dados os vectores u = (2,−1,2),v = (0,1,7) ew = (1,4,5) calcula as seguintes cantidades: a) v ×w, b) (u ×v)×(v ×w), c) (u ×v)−2w, d) u ×(v −2w). 23. A área dun triángulo de vértices A(a1, a2, a3),B(b1, b2, b3)eC(c1, c2, c3) vén dada por Area(T) = 1 2∥ AB × AC∥. Calcula a área do triángulo que ten como vértices P(2,0,−3), Q(1,4,5), R(7,2,9). 24. Dados P= (1,0),Q= (−1,2),u = (1,−1) ev = (3,−2), atopar as ecuacións paramétricas e cartesianas das seguintes rectas e debuxalas: i) recta que pasa por Pe ten como vector directo 2u, ii) recta que pasa por Pe ten como vector directo u +v, ii) recta que pasa por Qe ten como vector directo u −2v. Sol: i) Param x= 1 + 2t,y=−2t, Cartes x+y−1=0. ii) Param x= 1 + 4t,y=−3t, Cartes 3x+ 4y−3=0. iii) Param x=−1−5t, y= 2 + 3t, Cartes 3x+ 5y−7 = 0. 25. Determinar a posición relativa dos seguintes pares de rectas e atopar o punto de intersección se é que se cortan a) (x, y) = (2,1) + t(1,1) e(x, y) = (1,0) + s(−5,−5), b) x+y= 1 e2x−y= 2, c) 2x−y= 4 e(x, y) = (2,0) + t(−2,−4), d) (x, y) = t(−1,2) e(x, y) = (1,0) + s(2,3). Sol: a) coinciden, b) córtanse en (1,0), c) coinciden, d) córtanse en (3 7,−6 7). 26. Atopar as ecuacións paramétricas e cartesianas das seguintes rectas, comprobando o resultado se se cree posible a) paralela á (x, y) = (3,3) + t(2,1) que pasa por (1,0), b) paralela á 2x−y= 5 que pasa por (1,−2), c) pasa polo punto (−2,−3), e é paralela á recta que cruza ós puntos (1,0) e(0,1). UNIDADE DIDÁCTICA II. Vectores e xeometría no espazo - 23