Solitones asociados a estructuras geométricas y formas de Killing

Departamento de Geometría y Topología Facultad de Matemáticas SOLITONES ASOCIADOS A ESTRUCTURAS GEOMÉTRICAS Y FORMAS DE KILLING Javier Seoane Bascoy Javier Seoane Bascoy SOLITONES ASOCIADOS A ESTRUCTURAS GEOMÉTRICAS Y FORMAS DE KILLING Memoria realizada en el Departamento de Geometría y Topología de la Facultad de Matemáticas, bajo la dirección de los profesores Luis María Hervella Torrón, Antonio Martínez Naveira y María Elena Vázquez Abal, para obtener el Grado de Doctor en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela. Abstract The study of the curvature is a central topic in geometry. The curvature is the simplest algebraic invariant of the Riemannian structure and provides not only geometric information, but also topological information about the underlying considered manifold. The inherent complexity to the study of the curvature, as a tensor eld of type (0,4) , in higher dimensions has motivated the analysis of dierent objects associated with it. Functions with dierent domains as the sectional curvature or the scalar curvature are good examples of objects associated to the curvature which allow, in some cases, to determine the Riemannian structure. In this memoir we consider pseudo-Riemannian manifolds (in particular Riemannian and Lorentzian manifolds) equipped with certain additional structures which are induced by dierential equations of geometric evolution (the equation of Yamabe soliton and the equation of Cotton soliton) or by certain tensor elds dened on the tangent bundle of the manifold (equations of an almost complex structure of nearly Kähler type). Geometric evolution equations are one of the main research lines in geometry due to its great importance both from a physical and a mathematical point of view. The Ricci ow, the mean curvature ow, the Yamabe ow or the Cotton ow (in dimension three) among others, are important examples widely studied during these last years. In all these cases one tries to improve an initial metric by an evolution with respect to some mathematical or physical object, which motivates the ow, with the goal of generating (or infer the existence of) manifolds with an optimal behaviour with respect to the proposed invariants: the Ricci ow lets the construction of Einstein metrics under determined conditions, while the mean curvature ow allows to deform under certain restrictions some manifolds in new ones with constant mean curvature; the Yamabe ow makes possible (under convenient conditions) the construction of metrics with constant scalar curvature which belong, moreover, to the same conformal class than the initial metric. In addition, Yamabe, Cotton and Ricci solitons are the geometric xed points (up to homotheties and dieomorphisms of the Yamabe, Cotton and Ricci ows respectively. Furthermore, since they appear as singularities of their respective ows, the analysis of their geometry is an important step towards the understanding of the ows themselves. In general, in this work we are going to adopt a local point of view for the study of these equations, but also in certain cases, we will make global considerations related, mainly, with the completeness of the manifold. Ricci and Yamabe solitons are related in a direct way with 1 -harmonic vector elds and vii with Ricci collineations, respectively. These two objects can be considered in some sense as generalizations of Killing vector elds in the tangent bundle. However, the concept of Killing vector eld can be generalized from other points of view. In particular, Killing forms, and in general conformal Killing forms or twistor forms, are generalizations of this concept to the bundle of dierential forms. Killing forms, like geometric evolution equations, are of great importance both from a mathematical and a physical point of view since they generate functions which are constant along geodesics. In general, the study of the existence of such dierential forms was made in the literature considering manifolds equipped with certain special geometric structures, as for example on Kähler manifolds. Kähler manifolds give rise to one of the sixteen classes of almost complex structures and, in same sense, they can be considered as the opposite manifolds of strict nearly Kähler manifolds. The aim of this work is twofold. On one hand we study the existence of Yamabe and Cotton solitons on homogeneous Lorentzian manifolds of dimension three, together with certain geometric properties of the objects which allow to dene the associated ow to these solitons. It is worth emphasizing here that the geometry of a three-dimensional manifold (M, g) is simplied by the fact that the Weyl tensor vanishes, and therefore the whole curvature tensor is completely determined by the Ricci tensor, ρ . Also in this direction we introduce a complete classication of both left-invariant and non-trivial 1 -harmonic vector elds and Ricci collineations dened on three-dimensional Lie groups, emphasizing in the obtained results that working in the Lorentzian case is less rigid than in the Riemannian case. On the other hand, we will studied Killing forms on nearly Kähler manifolds. Any nearly Kahler manifold decomposes into a product of manifolds where one of these factors is a Kähler manifold and the remaining factors are irreducible nearly Kähler manifolds of one of these types: strict nearly Kähler manifolds of dimension six, twistor spaces over quaternionic Kähler manifolds of constant scalar curvature or homogeneous nearly Kähler manifolds. Strict nearly Kähler manifolds of dimension six are specially important since they constitute the nearly Kähler manifolds no Kähler of lower dimension. Furthermore, the study of many of its geometrical properties is simplied by the fact of being of constant type. On these manifolds, and in general on any nearly Kähler manifold, it is possible to dene an Hermitian connection of special utility: the canonical Hermitian connection. We focus our attention in the study of the existence of Killing forms which are parallel with respect to this connection and to the existence of Killing forms which are not necessarily parallel with respect to the canonical Hermitian connection but which are of pure type. The general skeleton of this memoir is the following one: We present an opening chapter of preliminaries in order to establish the main denitions and some basic results that we will need later. Thus, in Section 1.1.1 we introduce the concept of Killing forms as a generalization of Killing vector elds, which is mathematically determined by the following dierential equation ∇Xu=1 k+ 1Xydu, where X is an arbitrary vector eld on M and k is the order of the form u . Once we did this, in Section 1.2 we recall the classication of three-dimensional unimodular and not unimodular Lie algebras in the Lorentzian case, showing that they are richer than in the Riemannian case. Later we introduce the geometric ows that induce the corresponding equations to the Yamabe solitons and to the Cotton solitons. Thus, both solitons are introduced as triples of the form (M, g, X) , where (M, g) is a pseudo-Riemannian manifold and X is a vector eld, such that the dierential equation LXg+ρ= (τ−λ)g, is satised for Yamabe solitons and LXg+˜ C=λ g, for Cotton solitons; where L is the Lie derivative, τ the scalar curvature, ˜ C the Cotton tensor eld of type (0,2) associated to the Cotton tensor eld of type (0,3) and λ an arbitrary real constant. Depending on the sign of the constant λ the soliton is said expanding, steady or shrinking according to λ < 0 , λ= 0 ó λ > 0 , respectively. After this, we study Walker and strict walker metrics, paying special attention to pp-waves and we present dierent examples of them, such as for example, plane waves, Cahen-Wallach symmetric spaces and conformally symmetric Lorentzian manifolds of dimension greater or equal to four among others. Finally, in Section 1.5 we recall the concept of almost complex manifold and in particular the concept on nearly Kähler manifold, introducing some of their main geometric properties. Moreover, we focus our attention in how the relation between the Levi-Civita connection and the Hermitian connection links the curvature tensors associated to these two connections and in how it allow to get de Hodge decomposition both the exterior dierential operator and the codierential operator in four dierent operators in both cases. To nish this section we use these Hodge decompositions to obtain Kähler type identities on nearly Kähler manifolds. Once the preliminaries are nished, the main body of this work splits in four chapters. Firstly, in Chapter 2 we present three sections where in the rst one we obtain a geometric characterization of three-dimensional homogeneous Yamabe solitons. Theorem 2.8 A non-at connected and simply connected three-dimensional homogeneous Lorentzian manifold (M, g) is a non-trivial Yamabe soliton if and only if it is locally conformally at and its Ricci operator is two-step nilpotent. Furthermore, this geometric characterization lets us to obtain the following classication of three-dimensional homogeneous Yamabe solitons la completitud de la variedad. Los solitones de Ricci y de Yamabe están relacionados de una forma directa con los campos de vectores 1 -armónicos y con las colineaciones de Ricci respectivamente. Estos dos objetos se pueden considerar en cierto sentido como generalizaciones en el brado tangente de los campos de vectores de Killing. No obstante, el concepto de campo de vectores de Killing puede ser generalizado desde otros puntos de vista. En particular, las formas de Killing, y de forma más general las formas de Killing conformes o formas twistor, son generalizaciones de este concepto al brado de las formas diferenciales. Las formas de Killing, al igual que las ecuaciones de evolución geométrica, tienen una gran importancia tanto desde el punto de vista matemático como físico ya que dan lugar a funciones que son constantes a lo largo de geodésicas. De forma general, el estudio de la existencia o no de tales formas se ha realizado en la literatura considerando variedades dotadas de ciertas estructuras geométricas especiales, como por ejemplo sobre las variedades Kähler. Las variedades Kähler forman una de las dieciséis clases de estructuras casi complejas y, en cierto sentido, se pueden considerar como las variedades opuestas a las variedades nearly Kähler estrictas. El objetivo de este trabajo es doble. Por una parte estudiaremos la existencia de solitones de Yamabe y de solitones de Cotton sobre variedades Lorentzianas homogéneas de dimensión tres, así como ciertas propiedades geométricas de los objetos que permiten denir el ujo asociado a estos solitones. Cabe destacar que la geometría de una variedad de dimensión tres (M, g) se simplica por el hecho de que su tensor de Weyl se anula, y por tanto todo el tensor curvatura está completamente determinado por el tensor de Ricci, ρ . También en esta línea presentamos una clasicación completa tanto de los campos de vectores 1 -armónicos como de las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda y no triviales denidas sobre los grupos de Lie de dimensión tres, poniendo de maniesto en los resultados obtenidos que trabajar en el ámbito Lorentziano es menos rígido que en el caso Riemanniano. Por otra parte, estudiaremos las formas de Killing sobre variedades nearly Kähler. Cualquier variedad nearly Kähler se descompone en un producto de variedades donde uno de esos factores es una variedad Kähler y los restantes factores son variedades nearly kähler irreducibles de alguno de estos tipos: variedades nearly Kähler estrictas de dimensión seis, espacios twistor sobre variedades quaterniónicas Kähler de curvatura escalar positiva o variedades nearly Kähler homogéneas. Las variedades nearly Kähler de dimensión seis estrictas son de especial relevancia por tratarse de las variedades nearly Kähler no Kähler de menor dimensión. Además, el estudio de muchas de sus propiedades geométricas se ve simplicado por el hecho de ser de tipo constante. Sobre estas variedades, y en general sobre cualquier variedad nearly Kähler, es posible denir una conexión Hermítica de especial utilidad: la conexión Hermítica canónica . Centraremos nuestra atención en el estudio de la existencia o no de formas de Killing paralelas respecto a esta conexión así como en la existencia o no de formas de Killing que no siendo paralelas respecto a la conexión Hermítica canónica, sí son de tipo puro. El esquema general de esta memoria es el siguiente: Presentamos un capítulo inicial de preliminares con el propósito de establecer las principales deniciones y algunos resultados básicos que se necesitarán posteriormente. De este modo, en la Sección 1.1.1 presentamos el concepto de forma de Killing como generalización de un campo de vectores de Killing, la cual matemáticamente está determinada por la siguiente ecuación diferencial ∇Xu=1 k+ 1Xydu, donde X es un campo de vectores arbitrario en M y k es el orden de la forma u . Una vez hecho esto, en la Sección 1.2 recordamos la clasicación de las álgebras de Lie de dimensión tres tanto unimodulares como no unimodulares en el caso Lorentziano, poniendo de maniesto su mayor riqueza respecto al caso Riemanniano. A continuación introducimos los ujos geométricos que inducen las ecuaciones correspondientes a los solitones de Yamabe y a los solitones de Cotton. De este modo, ambos solitones se introducen como triples de la forma (M, g, X) , donde (M, g) es una variedad pseudo-Riemanniana y X es un campo de vectores, de forma que se verica la ecuación diferencial LXg+ρ= (τ−λ)g, para los solitones de Yamabe y LXg+˜ C=λ g, para los solitones de Cotton; siendo L la derivada de Lie, τ la curvatura escalar, ˜ C el tensor de Cotton de tipo (0,2) asociado al tensor de Cotton de tipo (0,3) y λ una constante real arbitraria. En función de cómo sea esta constante λ se dice que el solitón es expansivo, estable o contractivo cuando λ < 0 , λ= 0 ó λ > 0 , respectivamente. A continuación se estudian las métricas de Walker y las métricas de Walker estrictas, prestando especial atención a las variedades frente de onda y presentando diferentes clases de ellas, como por ejemplo, las ondas planas, los espacios simétricos de Cahen-Wallach y las variedades Lorentzianas conformemente simétricas de dimensión mayor o igual a cuatro entre otras. Finalmente, en la Sección 1.5 recordamos el concepto de variedad casi compleja y en particular el de variedad nearly Kähler presentando algunas de sus principales propiedades geométricas. Además, ponemos especial énfasis en cómo la relación existente entre la conexión de LeviCivita y la conexión Hermítica canónica permite relacionar los tensores curvatura asociados a estas dos conexiones y en cómo permite obtener la descomposición de Hodge tanto del operador diferencial exterior como del operador codiferencial exterior en cuatro operadores diferentes en ambos casos. Para acabar esta sección vemos cómo se hace uso de estas descomposiciones de Hodge para obtener identidades de tipo Kähler en las variedades nearly Kähler. Concluídos los preliminares, el cuerpo principal de esta trabajo se divide en tres capítulos. En primer lugar, en el Capítulo 2 presentamos tres secciones donde en la primera de ellas obtenemos una caracterización geométrica de los solitones de Yamabe homogéneos de dimensión tres Teorema 2.8 Una variedad Lorentziana homogénea (M, g) , conexa, no llana y simplemente conexa de dimensión tres es un solitón de Yamabe no trivial si y sólo si es localmente conformemente llana y su operador de Ricci es dos-pasos nilpotente. Además, esta caracterización geométrica nos permite obtener la siguiente clasicación de los solitones de Yamabe homogéneos en dimensión tres Teorema 2.10 Una variedad Lorentziana homogénea no llana de dimensión tres es un solitón de Yamabe no trivial si y sólo si es localmente isométrica a uno de los siguientes espacios: (i) Un espacio simétrico de Cahen-Wallach, i.e., el espacio Euclídeo R3 con coordenadas (t, x, y) y tensor métrico g= 2dt ◦dy +dx ◦dx +κx2dy ◦dy, donde κ es una constante arbitraria no nula, (ii) una onda plana homogénea no simétrica, i.e., un conjunto abierto, U ⊂ R3 con coordenadas (t, x, y) y tensor métrico g= 2dt ◦dy +dx ◦dx +κ y2x2dy ◦dy, donde κ es una constante arbitraria no nula. Por su parte, motivados por la relación existente entre los solitones de Ricci y los campos de vectores 1 -armónicos y los solitones de Yamabe y las colineaciones de Ricci, presentamos en las Secciones 2.3 y 2.4 una clasicación completa de los campos de vectores 1 -armónicos y de las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda y no triviales en los grupos de Lie Lorentzianos de dimensión tres. En el Capítulo 3 realizamos un estudio de diferentes propiedades geométricas asociadas al tensor de Cotton. El estudio del tensor curvatura en dimensión tres se simplica de forma notable gracias al hecho de que el tensor de Weyl es idénticamente nulo y, por tanto, se encuentra completamente determinado por el tensor de Ricci de la variedad. Además, el hecho de que el tensor de Weyl sea idénticamente nulo en dimensión tres conlleva que sea el tensor de Cotton el que desempeñe su papel en la caracterización de las variedades localmente conformemente llanas; es decir, una variedad pseudo-Riemanniana de dimensión tres se dice localmente conformemente llana si y sólo si su tensor de Cotton se anula. De forma similar, el carácter esencialmente conformemente simétrico de una variedad pseudoRiemanniana, que para variedades de dimensión mayor o igual a cuatro está determinado por la anulación de la derivada covariante del tensor de Weyl restringido a los casos no triviales, es decir, cuando la variedad no es ni localmente conformemente llana ni localmente simétrica, está determinado en las variedades de dimensión tres por la anulación de la derivada covariante del tensor de Cotton siempre y cuando la variedad no sea localmente conformemente llana. Motivados por esta importancia del tensor de Cotton en dimensión tres obtenemos en la Sección 3.1 la siguiente caracterización de las variedades esencialmente conformemente simétricas de dimensión tres Teorema 3.4 Una variedad pseudo-Riemanniana de dimensión tres es esencialmente conformemente simétrica si y sólo si es una variedad Walker Lorentziana estricta, localmente isométrica a (R3,(t, x, y)) con métrica ga= 2dt ◦dy +dx ◦dx + (x3+a(y)x)dy ◦dy, para una función derivable arbitraria a(y) . En la Sección 3.2 estudiamos otras condiciones de paralelismo para el tensor de Cotton, en particular hacemos especial énfasis en el estudio de cuándo una variedad Walker de dimensión tres tiene tensor de Cotton cíclico paralelo y cuándo resulta Codazzi. Obtenemos de este modo, el siguiente resultado para el caso cíclico paralelo Theorem 3.7 El tensor de Cotton de una variedad Walker de dimensión tres (M, gf) es cíclico paralelo si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones (i) existen funciones derivables A , B y C , dependiendo únicamente de la coordenada y , con A(y)6= 0 , y constantes reales α y β , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = At3+ (Bx+C)t2+1 3AB2x2+ 2 BCx+ 6 A0+C2+ 3 αt +1 27A2B3x3+ 3 B2Cx2+ 3 6AB0+BC2+ 3 αx +18 AC0+ 3 B2+C3+ 9 αC+ 27 β, (ii) existen funciones derivables D , E , G , H e I , dependiendo únicamente de la coordenada y , con D(y)6= 0 , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y)=(Dx+E)t−1 48 D2x4−1 12 (2 D0+DE)x3+Gx2+Hx+I, (iii) existen funciones derivables F , G , H e I , dependiendo únicamente de la coordenada y , con F(y)6= 0 , tal que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = −F0 Ft+Fx3+Gx2+Hx+I, (iv) existen funciones derivables E , G , H e I , dependiendo únicamente de la coordenada y , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = Et+Gx2+Hx+I, (v) existen funciones derivables C , D , E , F , G y H , dependiendo únicamente de la coordenada y , con C(y)6= 0 , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = Ct2−1 2C0x2−Dx−Et +1 16 C2C(C0)2x4−4CDC0x3−42CC00 −3 (C0)2+CEC0−CD2x2 −8 (3 DC0−2CD0−CDE)x+ 16 C(CF + Ξ(x, y))}, donde Ξ(x, y) =   G(y)e√C(y)x+H(y)e−√C(y)x, si C(y)>0 , G(y) cos(p−C(y)x) + H(y) sin(p−C(y)x), si C(y)<0 . Por otra parte, para el caso Codazzi obtenemos el siguiente resultado Theorem El tensor de Cotton de una variedad Walker de dimensión tres (M, gf) es Codazzi si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones (i) existen funciones derivables B , C , D , E , F , G y H , dependiendo únicamente de la coordenada y , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y)=(Bx2+Cx+D)t−1 90 B2x6−1 30 BCx5 −1 48 8B0+ 4 BD+C2x4+Ex3+Fx2+Gx+H, (ii) existen funciones derivables A , C , D , E , F , G y H , dependiendo únicamente de la coordenada y , con A(y)6= 0 , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = At2−(1 2A0x2−Cx−D)t +1 16A2A(A0)2x4−4ACA0x3−42AA00 −3(A0)2+ADA0−AC2x2 +16 A2Ex+ 16 A(AF + Ξ(x, y)), donde Ξ(x, y) =   G(y)e√A(y)x+H(y)e−√A(y)x, si A(y)>0 , G(y) cos(p−A(y)x) + H(y) sin(p−A(y)x), si A(y)<0 . Volviendo al Teorema 3.4, un hecho que juega un papel fundamental en su demostración, y que es exclusivo de variedades de dimensión tres, es la posibilidad de asociar al tensor de Cotton, que es de tipo (0,3) , un nuevo tensor de tipo (0,2) , que denotaremos por ˜ C y que también llamaremos tensor de Cotton. Cabe destacar, que es la existencia de este nuevo tensor de Cotton el que nos permite denir el ujo de Cotton y, por tanto, los solitones de Cotton. Por otra parte, la dimensión tres también acarrea importantes restricciones en los espacios homogéneos. En particular, todo espacio homogéneo de dimensión tres es un espacio simétrico, y por tanto localmente conformemente llano, o un grupo de Lie dotado con una métrica invariante a la izquierda. Motivados por esto, y puesto que los solitones de Cotton en los espacios simétricos son triviales, en la Sección 3.3 realizamos un estudio detallado de los solitones de Cotton invariantes a la izquierda no triviales en los grupos de Lie de dimensión tres tanto unimodulares como no unimodulares, obteniendo la siguiente caracterización geométrica de los solitones de Cotton homogéneos no triviales invariantes a la izquierda Teorema 3.12 Un grupo de Lie Lorentziano (G, g) admite un solitón de Cotton no trivial invariante a la izquierda si y sólo si el operador de Cotton es nilpotente. De forma más precisa, el grupo de Lie Lorentziano (G, g) ha de ser alguno de los siguientes (i) de Tipo II con α=β6= 0 y localmente isométrico a O(1,2) ó a SL(2,R) , (ii) de Tipo II con α= 0 6=β y localmente isométrico a E(1,1) , (iii) de tipo III con α6= 0 y localmente isométrico a O(1,2) ó SL(2,R) . No obstante, las propiedades especícas de las variedades homogéneas nos permite considerar condiciones más fuertes que la de ser un solitón de Cotton. Más precisamente, podemos considerar soluciones solitón para el ujo de Cotton salvo automorsmos en vez de difeomorsmos, en cuyo caso se dice que dicho solitón es un solitón algebraico . En particular, si (G, g) es un grupo de Lie dotado de una métrica invariante a la izquierda la ecuación, en este caso algebraica, que determina los solitones algebraicos es b C=λ id +D donde D es una derivación del álgebra de Lie g de G y λ es un número real arbitrario. El hecho de que todo solitón algebraico induzca un solitón en el sentido ordinario nos permitirá construír ejemplos de solitones no invariantes a la izquierda y no triviales sobre algunos grupos de Lie Lorentzianos de dimensión tres a partir del siguiente Teorema Teorema 3.24 Un grupo de Lie (G, g) de dimensión tres dotado con una métrica Lorentziana invariante a la izquierda es un solitón de Cotton algebraico si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones: (i) (G, g) es de Tipo Ia con α=β= 0 y γ6= 0 , o cualquier permutación cíclica de estos. En este caso, λ=−2γ3 y G=H3 es el grupo de Heisenberg. (ii) (G, g) es de Tipo Ib con α= 0 y γ=ε√2β 2 . En este caso, λ= 2ε√2β3 con ε2= 1 , y G=E(1,1) ; i.e., el grupo de los movimientos rígidos del espacio de Minkowski de dimensión dos, R2 1 . Finalmente, en el Capítulo 4 realizamos un estudio de las formas de Killing en las variedades nearly Kähler estrictas de dimensión seis. De forma general, no sólo en dimensión seis, las variedades nearly Kähler estrictas se pueden considerar como las variedades opuestas a las variedades de Kähler. Es conocido que sobre las variedades de Kähler toda forma de Killing es necesariamente trivial, es decir, paralela respecto a la conexión de Levi-Civita. A partir de este hecho, y debido a la no existencia de formas paralelas respecto a la conexión de Levi-Civita sobre las variedades nearly Kähler, parece interesante plantearse el problema de existencia de formas de Killing sobre las variedades nearly Kähler estrictas, en particular en aquellas que son de dimensión seis ya que generan una de las familias de variedades nearly Kähler irreducibles en las que se descompone toda variedad nearly Kähler. En general, el hecho de que la estructura nearly Kähler pueda pensarse como un producto vectorial conlleva que la 2 -forma de Kähler sea una forma de Killing no trivial sobre cualquier variedad nearly Kähler. Junto a la 2 -forma de Kähler, las variedades nearly Kähler también están dotadas de una forma de orden tres de especial importancia en el estudio de su geometría, la 3 -forma torsión asociada a la conexión Hermítica canónica que, en el caso seis dimensional, también es conocido que es una forma de Killing. Estas dos formas, la 2 -forma de Kähler y la 3 -forma torsión, aunque no son paralelas respecto a la conexión de Levi-Civita, sí los son respecto a la conexión Hermítica canónica. Motivados por esto, analizamos en la Sección 4.1 las formas de Killing paralelas respecto a la conexión Hermítica canónica. Realizamos este estudio caso por caso en función de los posibles órdenes y de los posibles tipos de las formas, obteniendo que dicha existencia se puede determinar a partir de una ecuación puramente algebraica, de la cual obtenemos el siguiente resultado Teorema 4.1 Sea M una variedad nearly Kähler de dimensión seis estricta. Las úinicas formas de Killing paralelas respecto a la conexión Hermítica canónica son la 2 -forma de Kähler y la 3 -forma torsión. Por otra parte, en la Sección 4.2 estudiamos las formas de Killing, que no siendo paralelas respecto a la conexión Hermítica canónica, si son formas de tipo puro. De este modo, haciendo uso de la descomposición de Hodge tanto de la diferencial exterior como de la codiferencial y de las ecuaciones tipo Kähler que inducen obtenemos, también después de un estudio caso por caso en función de los ordenes y de los tipos de las formas, el siguiente resultado Teorema 4.8 En una variedad nearly Kähler estricta de dimensión seis la única forma de Killing (salvo multiplicación por un escalar) de tipo puro es la 2 -forma de Kähler. Índice general Abstract vii Introducción xv 1. Preliminares 1 1.1. Variedades pseudo-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. GruposdeLie................................... 12 1.2.1. Álgebras de Lie de dimensión tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Espacios homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Flujosgeométricos ................................ 22 1.3.1. FlujodeYamabe............................. 22 1.3.2. FlujodeCotton.............................. 24 1.4. Holonomía y métricas de Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.1. Coordenadas de Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.2. Variedades frente de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5. Variedades nearly Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe 43 2.1. Estructura local de los solitones de Yamabe gradiente . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.1. Caso no isotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.2. Casoisotrópico.............................. 45 2.2. Solitones de Yamabe homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1. Caracterización geométrica de los solitones de Yamabe homogéneos . 46 2.2.2. Solitones de Yamabe invariantes a la izquierda en grupos de Lie . . . 51 2.3. Campos de vectores 1 -armónicos ........................ 55 2.3.1. Casounimodular............................. 57 2.3.2. Casonounimodular ........................... 64 2.3.3. Observaciones nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4. Colineaciones de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.1. Casounimodular............................. 79 2.4.2. Casonounimodular ........................... 86 xxiii 3. Geometría del tensor de Cotton 95 3.1. Espacios conformemente simétricos de dimensión tres . . . . . . . . . . . . . 96 3.1.1. Variedades conformemente simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2. Otras condiciones de paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2.1. Variedades Walker con tensor de Cotton cíclico paralelo . . . . . . . 105 3.2.2. Variedades Walker con tensor de Cotton Codazzi . . . . . . . . . . . 110 3.3. Solitones de Cotton homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3.1. Solitones de Cotton invariantes a la izquierda . . . . . . . . . . . . . 116 3.3.2. Solitones de Cotton algebraicos Lorentzianos . . . . . . . . . . . . . 129 4. Formas de Killing en variedades nearly Kähler 141 4.1. Formas de Killing ¯ ∇ -paralelas..........................146 4.2. Formas de Killing de tipo puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Problemas abiertos 166 Bibliografía 169 Capítulo 1 Preliminares En este capítulo presentamos un resumen de los principales conceptos que utilizaremos en esta memoria e introducimos las deniciones que motivan el estudio realizado en los capítulos posteriores. En la primera sección recordamos herramientas y notaciones básicas en geometría pseudo-Riemanniana. Puesto que los grupos y las álgebras de Lie en dimensión tres juegan un papel importante en el trabajo realizado, son analizados en la Sección 1.2. En la Sección 1.3 introducimos los ujos y los solitones de Yamabe, de Ricci y de Cotton. Las variedades Lorentzianas indescomponibles pero no irreducibles son discutidas en la Sección 1.4. Finalmente recordamos en la Sección 1.5 el concepto de variedad casi Hermítica, prestando especial atención a las variedades nearly Kähler. En general omitiremos las demostraciones de los resultados presentados en este capítulo ya que se encuentran detalladas en monografías tanto de geometría Riemanniana como pseudo-Riemanniana (véanse por ejemplo [63], [68] y [85]). 1.1. Variedades pseudo-Riemannianas El objeto principal de estudio en esta memoria son las variedades Riemannianas y Lorentzianas. Debido a que ambas son casos particulares de variedades pseudo-Riemannianas, en este capítulo introducimos las herramientas básicas y jamos las notaciones de la memoria en su generalidad, particularizándola en su momento a cada contexto. Una variedad pseudo-Riemanniana es una variedad diferenciable de dimensión n dotada de un tensor métrico g (i.e. un tensor de tipo (0,2) simétrico y no degenerado) de signatura (ν, n−ν) . En lo sucesivo denotaremos a estas variedades por el par (M, g) . En particular, se dice que una variedad pseudo-Riemanniana es Riemanniana si el tensor métrico es denido positivo y Lorentziana si su signatura es (1, n −1) . Denotaremos por TpM el espacio tangente a M en el punto p∈M y por TM y T∗M los brados tangente y cotangente de M , respectivamente. En numerosas ocasiones a lo largo de este trabajo identicaremos dichos brados mediante los isomorsmos musicales [ y ] . Consideraremos X(M) el espacio de todos los campos de vectores diferenciables tan1 8 1 Preliminares Una variedad pseudo-Riemanniana (M, g) es localmente simétrica si ∇R= 0 y diremos que es esencialmente conformemente simétrica si tiene dimensión mayor a tres, ∇W= 0 con W6= 0 , ∇R6= 0 (véanse [40] y [41]). En el Capítulo 3 estudiamos las variedades pseudo-Riemannianas de dimensión tres con tensor de Cotton paralelo como una extensión a dicha dimensión de las variedades conformemente simétricas. 1.1.1. Operadores diferenciales Como vimos en la sección anterior, a lo largo de esta memoria denotaremos la conexión de Levi-Civita por ∇ ; no obstante, también denotaremos por ∇ al operador gradiente en M . Recordemos que el gradiente de una función diferenciable f:M−→ R es el campo de vectores ∇f dado por g(∇f, X) = X(f), X ∈X(M). Si (x1, . . . , xn) es un sistema de coordenadas locales en M , entonces el gradiente de una función f está dado en coordenadas locales como (1.15) ∇f=gik ∂f ∂xk ∂ ∂xi, donde (gij) es la matriz inversa de la asociada al tensor métrico, (gij) , en coordenadas locales. A partir del gradiente de la función f se dene, utilizando la conexión de Levi-Civita, el operador Hessiano de f , hesf , como hesf(X) = ∇X∇f, donde X∈X(M) . A su vez, a partir del operador Hessiano de f , se dene el tensor Hessiano de f , Hesf , como el tensor de tipo (0,2) dado por Hesf(X, Y ) = g(hesf(X), Y ), con X , Y∈X(M) . En coordenadas locales su expresión es Hesf∂ ∂xi,∂ ∂xj=∂2f ∂xi∂xj+1 2gkl ∂gij ∂xl−∂glj ∂xi−∂gli ∂xj∂f ∂xk. Finalmente, denimos el Laplaciano de f como ∆f=−tr (hesf). Hasta este momento sólo hemos visto operadores diferenciales actuando sobre funciones, sin embargo, también se pueden denir de forma más general actuando sobre formas de cualquier orden. Es frecuente, además, que dichos operadores diferenciales encierren en sus expresiones otros operadores algebraicos. 1.1.1 Operadores diferenciales 9 Dos operadores algebraicos que juegan un papel importante a la hora de denir operadores diferenciales sobre formas arbitrarias son el producto exterior y el producto interior o contracción . Dado un campo de vectores X y una k -forma ψ estos dos operadores generan una (k+ 1) -forma y una (k−1) -forma respectivamente. Para el primer caso tenemos que la (k+ 1) -forma asociada está dada por X[∧ψ ; mientras que para el segundo tenemos que Xyψ=ψ(X, . . .) , i.e. si ψ=ψ1∧. . . ∧ψk resulta Xy(ψ1∧···∧ψk) = X j (−1)j+1ψj(X)ψ1∧. . . ∧b ψj∧. . . ∧ψk, donde, en este caso, el símbolo  b  representa que el término correspondiente está suprimido. Además, dada una (k−1) -forma ϕ y una (k+ 1) -forma ψ tenemos que el producto exterior y la contracción están relacionados por g(X∧ϕ, ψ) = g(ϕ, Xyψ). A mayores de estos dos operadores algebraicos, es bien conocido que todo endomorsmo B de X(M) puede ser extendido a una derivación de Λk(M) , que seguiremos denotando por B , y que explícitamente está dada por B(ψ1∧. . . ∧ψk) = (B(ψ] 1))[∧. . . ∧ψk+. . . +ψ1∧. . . ∧(B(ψ] k))[. En términos de una base ortonormal {e1, . . . , en} , tenemos que B=PB(ei)∧eiy . Por ejemplo, si B es la aplicación identidad tenemos que Pei∧eiyψ=kψ y por tanto eiy(ei∧ψ)=(n−k)ψ ; mientras que si B es el operador curvatura RXY para dos campos de vectores X, Y ∈X(M) cualesquiera, tenemos que (1.16) RXY ψ= n X i=1 (RXY ei∧eiy)ψ. Cuando la variedad pseudo-Riemanniana en cuestión es orientable es posible denir un nuevo operador algebraico de gran utilidad, el llamado operador estrella de Hodge , ?: Λk(M)→Λn−k(M) , que induce un isomorsmo entre las k y las (n−k) -formas denido por la relación ϕ∧?ψ =hhϕ, ψiie1∧. . . ∧en , donde ei= (ei)[ y {e1, . . . , en} es una base ortonormal positivamente orientada de TM . Además, dicho operador verica la relación ?2= (−1)k(n−k)+ν , y por tanto si k=n−k dene una estructura compleja o producto en el espacio de las k -formas dependiendo de la dimensión y la signatura de la variedad y del orden de la forma. Volviendo a los operadores diferenciales, se dene el operador diferencial exterior o, simplemente, diferencial , d: Λk(M)→Λk+1(M) , como el operador diferencial determinado por las propiedades a) d(ϕ∧ψ) = dϕ ∧ψ+ (−1)deg(ϕ)ϕ∧dψ , siendo deg(ϕ) el orden de la forma ϕ . b) d2= 0 . 10 1 Preliminares c) df(X) = X(f) , para todo campo de vectores X∈X(M) , y toda función f . Este operador puede expresarse haciendo uso de la conexión de Levi-Civita y del producto exterior mediante la fórmula d=ei∧∇ei . De forma similar se dene el operador codiferencial exterior o codiferencial , δ , como δ=−eiy∇ei . Dichos operadores están relacionados mediante el operador estrella de Hodge , ? , por la expresión δ=−? d? . Además, si (M, g) es una variedad de Riemann compacta, entonces se verica que la diferencial exterior y la codiferencial son adjuntos formales el uno del otro, es decir, se verica la igualdad ZMhhδϕ, ψii =ZMhhϕ, dψii para cualquier k -forma ϕ y cualquier (k−1) -forma ψ . A partir de la diferencial y de la codiferencial se dene el operador Laplaciano , ∆ : Λk(M)→Λk(M) , como el operador ∆ := dδ +δd . Este operador está relacionado con el tensor curvatura R de la variedad por la conocida como primera fórmula de Weitzemböck , dada por (1.17) ∆ψ=∇∗∇+q(R) donde ∇∗∇ es el llamado Laplaciano bruto , denido como ∇∗∇=−∇ei∇ei+∇∇eiei, y q(R) es el tensor asociado a la curvatura dado por q(R) = n X i,j=1 ej∧eiyRejei, siendo {ei} una referencia ortonormal local cualquiera. De forma más general, cuando se considera una conexión ¯ ∇ diferente a la conexión de Levi-Civita con tensor curvatura ¯ R , también es posible denir de forma análoga su operdor simétrico q(¯ R) asociado por (1.18) q(¯ R) = n X i,j=1 ej∧eiy¯ Rej,ei. Como vimos en la sección anterior, cada conexión determina una forma de denir la derivada direccional de un tensor T . No obstante, existen otras formas de denir derivadas direccionales. Una de ellas, y que también utilizaremos a lo largo de esta memoria, es la derivada de Lie . Esta derivada depende de los valores del tensor T a lo largo de las curvas integrales de X y sobre funciones coincide con su derivada direccional, es decir, si f es una función real en M tenemos que LXf=X(f) = ∇Xf . Por otra parte, la derivada de 1.1.1 Operadores diferenciales 11 Lie de un campo de vectores es su corchete de Lie, es decir, si Y es un campo de vectores LXY= [X, Y ] . En general, se dene la derivada de Lie de un campo de tensores T como (LXT)p:= d dt|t=0((ψ(t))∗T)p, donde ψ:I×M⊂R×M→M es el ujo local inducido por X y (ψ(t))∗ es el pullback a lo largo del difeomorsmo ψ(t) para todo t∈I . Ahora bien, por tratarse de una derivación, si consideramos como el tensor T la métrica g , tenemos (LXg)(Y, Z) = Xg(Y, Z)−g(LXY, Z)−g(Y, LXZ), que, por las Ecuaciones (1.6) y (1.7), puede escribirse como (1.19) (LXg)(Y, Z) = g(∇YX, Z) + g(∇ZX, Y ). En función de las propiedades que tenga esta derivada de Lie de la métrica en la dirección de un campo de vectores X obtendremos campos de vectores de diferente naturaleza • Un campo de vectores X en M se dice Killing si la derivada de Lie de la métrica g con respecto a X es idénticamente nula, LXg= 0 ; es decir, si el ujo local de X es realizado por isometrías. Equivalentemente, por la Ecuación (1.19), tenemos que X es un campo de vectores Killing si y sólo si ∇X es antisimétrico, donde ∇X es el operador Z7→ ∇ZX , para todo campo de vectores Z en M . Además, si X es un campo de vectores Killing, su divergencia , div(X) , denida como div(X) = tr(∇X) es nula. El conjunto de todos los campos de vectores de Killing genera el álgebra de Lie del grupo de isometrías de una variedad de Riemann y el número de campos de vectores de Killing linealmente independientes mide el grado de simetría de dicha variedad. Es bien sabido que este número está acotado superiormente por la dimensión del grupo de isometrías de la esfera estándard, y sobre variedades compactas, la igualdad se obtiene si y sólo si la variedad es isométrica a dicha esfera. • Un campo de vectores X se dice conforme si verica la ecuación LXg=φ g , para alguna función φ . Equivalentemente, su ujo local consiste en transformaciones conformes. Teniendo en cuenta que tr (LXg) = 2 div(X) , un campo de vectores X es conforme si y sólo si LXg=2 n+2 div(X)g . Cuando un campo de vectores conforme verica que div(X) es constante se llama campo de vectores homotético y, en tal caso, su ujo local está realizado por homotecias. Es posible extender también los conceptos de campos de vectores Killing y conformes a formas de orden arbitrario. Una k -forma u se llama k -forma de Killing conforme o k -forma twistor si verica la ecuación diferencial (1.20) ∇Xψ=1 k+ 1Xydψ −1 n−k+ 1X[∧δψ 12 1 Preliminares para cualquier campo de vectores X∈X(M) . A su vez, una k -forma twistor cocerrada o, equivalentemente, una forma cocerrada tal que ∇ψ∈Γ(Λk+1T∗M) o tal que Xy∇Xψ= 0 , se llama forma de Killing . Por contra, si la forma twistor es cerrada se llama ∗ -Killing . De este modo, tenemos que las 1 -formas twistor y las 1 -formas de Killing son duales de campos de vectores conformes y de campos de vectores Killing respectivamente. En particular, observemos que toda forma paralela es una forma twistor aplicando directamente la denición. Además, las formas de Killing conformes cerradas y cocerradas, por ejemplo las formas armónicas en variedades compactas, han de ser paralelas. Para más información sobre formas twistor véanse [73], [92] y [93]. En esta memoria centraremos nuestra atención en el estudio de las formas de Killing, para ello haremos uso con frecuencia del siguiente resultado Lema 1.2. [92] Sea (M, g) una variedad de Riemann compacta. Entonces una k -forma ψ es una forma de Killing, si y sólo si ∆ψ=k+ 1 kq(R)ψ. Volviendo a los campos de vectores, cabe destacar que el valor de la derivada de Lie de otros objetos geométricos diferentes a la métrica, como por ejemplo de la conexión de Levi-Civita o del tensor de Ricci, también codica propiedades geométricas importantes. Así, si la conexión de Levi-Civita es invariante con respecto al ujo asociado a un campo de vectores X , i.e. LX∇= 0 , se dice que X es un campo de vectores afín Killing . Además, esta propiedad caracteriza el hecho de que dicho ujo consiste en transformaciones anes. Por otra parte, si lo que se verica es que trLX∇= 0 se dice que X es un campo de vectores 1 -armónico, lo que es equivalente a que X: (M, g)→(TM, gc) sea una aplicación armónica (véase [101]). Finalmente, cuando es el tensor de Ricci el que es invariante con respecto al ujo asociado a un campo de vectores X , i.e. LXρ= 0 , se dice que X es una colineación de Ricci . 1.2. Grupos de Lie Un grupo de Lie G es una variedad diferenciable en la que está denida una operación que lo dota de una estructura algebraica de grupo y para la cual son diferenciables las aplicaciones producto, µ , e inversa, ι , denidas respectivamente por: µ(a, b) = ab;a, b ∈G y ι(a) = a−1, a ∈G . Se dice que H⊂G es un subgrupo de Lie de G si es a la vez un subgrupo y una subvariedad de G . Asociadas a las aplicaciones producto e inversa existen otras tres aplicaciones fundamentales en el estudio de los grupos de Lie, que para cada g∈G denotaremos por Lg, Rg, Ig:G−→ G , y que están dadas por (1.21) Lg(a) = ga, Rg(a) = ag, Ig(a) = gag−1. 1.2 Grupos de Lie 13 Dichas aplicaciones se denominan traslación a la izquierda , traslación a la derecha y conjugación por g respectivamente. En general, estas aplicaciones son difeomorsmos de G mientras que la conjugación Ig es, además, un homomorsmo de grupos de Lie ; es decir, un homomorsmo en el sentido abstracto de grupos, por lo que se dice que es un automorsmo de G . Una herramienta poderosa en el estudio de los grupos de Lie es su álgebra de Lie asociada. No obstante, a pesar de que la motivación del estudio de las álgebras de Lie proviene de la teoría de grupos de Lie, es posible denirla de forma abstracta. Así pues, un álgebra de Lie sobre R es un espacio vectorial real V dotado con una aplicación [·,·] : V×V→V , llamada corchete de Lie , con las siguientes propiedades: (i) Antisimétrico: [x, y] = −[y, x] . (ii) Bilineal: [ax +by, z] = a[x, z] + b[y, z] . (iii) Verica la identidad de Jacobi : [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 . para cualesquiera x, y, z ∈V y a, b ∈R . Es conocido que sobre toda variedad los campos de vectores diferenciables forman un álgebra de Lie de dimensión innita, pero en el caso particular en el que la variedad además sea un grupo de Lie existe un álgebra de Lie de dimensión nita íntimamente asociada a él y en la que se encuentran reejadas las propiedades locales de dicho grupo. Para obtener dicha álgebra de Lie es necesario denir los campos de vectores invariantes a la izquierda. Un campo de vectores X sobre un grupo de Lie G vericando (Lg)∗X=X, para cualquier g∈G se denomina campo de vectores invariante a la izquierda ; mientras que el espacio vectorial g:= {X∈X(G) : X es invariante a la izquierda } equipado con el producto corchete de campos de vectores usual se conoce como el álgebra de Lie de G . Además, dicha álgebra de Lie g se identica de forma canónica con el espacio tangente a G en el elemento neutro e , TeG . El lazo de unión más fuerte entre un grupo de Lie, G , y su álgebra de Lie, g , es la aplicación exp :g−→ G , llamada aplicación exponencial , donde exp(x) no es más que el valor para t= 1 del único subgrupo uniparamétrico de G ; es decir, del único homomorsmo expx:R−→ G , cuyo vector tangente en t= 0 es xe . El nombre de exp viene motivado por el hecho de que para el grupo lineal general de un espacio vectorial dicha aplicación exponencial coincide con la exponencial de matrices usual. Es bien conocido que si G y H son dos grupos de Lie y ϕ:G−→ H es un homomorsmo, entonces la aplicación exponencial hace el diagrama siguiente conmutativo Gϕ //H g exp OO dϕ //h exp OO 14 1 Preliminares A su vez, un homomorsmo entre dos álgebras de Lie g y h es una aplicación lineal ψ:g→h tal que ψ([x, y]) = [ψ(x), ψ(y)] . Cuando ψ es un homomorsmo biyectivo de g en si mismo, entonces ψ se dice que es un automorsmo de g . Cabe destacar que todo homomorsmo de grupos de Lie ϕ induce de forma natural el homomorsmo de álgebras de Lie dado por ϕ∗e .Ahora bien, volviendo a las tres aplicaciones denidas anteriormente en la Ecuación (1.21), la conjugación Ig puede pensarse como una actuación a la izquierda de un grupo de Lie sobre sí mismo, por lo que induce la representación Ad :G−→ Aut(g) dada por Ad(g)=(Ig)∗e y que se denomina representación adjunta . De este modo, el diagrama GIg //G g exp OO Adg //g exp OO es conmutativo. Además, si se denota la diferencial de dicha representación en el elemento neutro por ad , i.e. Ad∗e=ad , se obtiene también el siguiente diagrama conmutativo GAd //Aut(g) g exp OO ad //End(g) exp OO Esta nueva aplicación ad verica la propiedad de que ad(x)(y)≡adxy= [x, y] para cualesquiera x, y ∈g . Finalmente, consideremos H un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G . Se dice que un objeto denido sobre el álgebra de Lie g de G es Ad(H) -invariante si se conserva por las aplicaciones adjuntas de elementos de H , i.e., por Ad(h) : g−→ g , para cualquier h∈H . 1.2.1. Álgebras de Lie de dimensión tres De forma general, las álgebras de Lie se pueden intentar clasicar desde un punto de vista puramente algebraico en función de sus constantes de estructura o, equivalentemente, en función de las diferentes expresiones que admite su aplicación adjunta, ad :g→End(g) . En particular, si los vectores x, y, z generan una base para un álgebra de Lie de dimensión tres, las diferentes posibilidades para los productos corchetes de forma que determinen álgebras no isomorfas son:  Abeliana : [x, y]=[y, z]=[z, x] = 0.  Nilpotente : [x, y] = z , [z, x]=[z, y] = 0 . 1.2.1 Álgebras de Lie de dimensión tres 15  Unimodular resoluble . Un álgebra de Lie g se dice unimodular si verica la propiedad tr(adx) = 0 para todo x∈g . Existen dos tipos de álgebras de Lie unimodulares resolubles no isomorfas: •[x, y]=0 , [z, x] = x y [z, y] = −y , ó •[x, y]=0 , [z, x] = −y y [z, y] = x.  Simple : Existen dos familias de álgebras de Lie simples no isomorfas cuyos productos corchetes están dados por •[x, y]=2z , [z, x] = 2y , y [z, y]=2x , ó •[x, y] = z , [z, x] = y , [z, y] = −x .  No unimodular resoluble : Existe un conjunto no numerable de álgebras de Lie resolubles no unimodulares y no isomorfas, pero todas ellas admiten una de estas dos estructuras: •[x, y]=0 , [z, x] = x y [z, y] = y , ó •[x, y]=0 , [z, x] = y y [z, y] = −cx + 2y . donde en ambos casos c∈R . Además, para el segundo de los casos resulta que adz=0−c 1 2  tiene traza 2 y determinante c . Un poco más compleja es la clasicación de las álgebras de Lie de dimensión tres dotadas de un producto interior Lorentziano invariante a la izquierda ya que cualquiera de los tipos descritos anteriormente puede dotarse con una cantidad innita no numerable de tales productos. Puesto que la clasicación de las álgebras de Lie de dimensión tres Lorentzianas se basa en la correspondiente clasicación de las álgebras de Lie Riemannianas, presentamos aquí un breve resumen de dicha clasicación. Caso Riemanniano Para clasicar las álgebras de Lie Riemannianas de dimensión tres se hace uso del producto vectorial inducido por los cuaternios, que no es más que el producto vectorial Euclídeo usual. Fijada una orientación para g y dada {e1, e2, e3} una base ortonormal orientada positiva, tenemos que dicho producto vectorial es la aplicación bilineal y antisimétrica determinada por las relaciones (1.22) e1×e2=e3, e1×e3=−e2, e2×e3=e1. Además, para dos vectores arbitrarios x e y el vector x×y es ortogonal tanto a x como a y , tiene longitud igual a la raíz cuadrada del determinante g(x, x)g(y, y)−g(x, y)2 y su 16 1 Preliminares sentido está determinada por el hecho de que {x, y, x ×y} generan una base positivamente orientada siempre que x e y sean linealmente independientes. Bajo estas condiciones se tiene el siguiente Lema Lema 1.3. [71] El producto corchete en el álgebra de Lie g está relacionado con el producto vectorial por la fórmula [x, y] = ˜ L(x×y) donde ˜ L es la aplicación lineal denida de forma única de g en sí misma. El grupo de Lie G es unimodular si y sólo si la aplicación lineal ˜ L es autoadjunta. Demostración. La aplicación lineal ˜ L (al igual que cualquier aplicación lineal) está determinada de forma unívoca conociendo cómo actúa sobre los elementos de una base. Así, haciendo uso de las relaciones dadas en la Ecuación (1.22) y de las notaciones usadas en [71], tenemos que la aplicación lineal ˜ L puede expresarse como ˜ L=  α11 α12 α13 α21 α22 α23 α31 α32 α33  . donde los αij no son más que las correspondientes constantes de estructura. Haciendo uso de ˜ L obtenemos que las aplicaciones ade1, ade2 y ade3 están dadas por las expresiones ade1=  0α31 −α21 0α32 −α22 0α33 −α23  , ade2= −α31 0α11 −α32 0α12 −α33 0α13  , ade3=  α21 −α11 0 α22 −α12 0 α23 −α13 0 ; de donde obtenemos que tr(ade1) = α32 −α23, tr(ade2) = −α31 +α13, tr(ade3) = α21 −α12; por lo que g es unimodular si y sólo si ˜ L es simétrica o, en el caso Riemanniano, si ˜ L es autoadjunto. Ahora bien, si ˜ L es un operador autoadjunto en un espacio Riemanniano existe una base ortonormal, que también denotaremos por {e1, e2, e3} , de autovectores del operador ˜ L , i.e., tal que ˜ Lei=λiei para ciertos autovalores λi . Así pues, el producto corchete está dado por: [e1, e2] = ˜ L(e1×e2) = λ3e3, [e3, e1] = ˜ L(e3×e1) = λ2e2, [e2, e3] = ˜ L(e2×e3) = λ1e1. Cabe destacar que esta construcción de los autovalores λi depende de la orientación tomada. De este modo, si cambiamos la orientación de g tenemos que el producto vectorial 1.2.1 Álgebras de Lie de dimensión tres 17 cambia de signo y, por tanto, también lo hacen los autovalores λi . Además, si jamos el producto corchete del álgebra de Lie g y tomamos un nuevo producto interior en ella tal que {abe1, cbe2, cae3} , siendo a, b y c constantes reales no nulas, es una base ortonormal, obtenemos que las nuevas constantes de estructura respecto a esta nueva base están dadas por c2λ1, a2λ2, b2λ3 . Por tanto, es posible multiplicar las constantes de estructura λi por números positivos arbitrarios sin cambiar el álgebra de Lie subyacente, obteniéndose, así, que existen seis clases de álgebras de Lie Riemannianas unimodulares no isomorfas. Tabla 1.1: Clasicación de las álgebras de Lie Riemannianas unimodulares de dimensión tres. Signos de λ1, λ2, λ3 Grupo de Lie asociado Descripción +,+,+SU(2) ó SO(3) Compacto y simple +,+,−SL(2,R) ó O(1,2) Simple y no compacto +,+,0E(2) Resoluble +,−,0E(1,1) Resoluble +,0,0 Grupo de Heisenberg Nilpotente 0,0,0R⊕R⊕R Conmutativo Supongamos ahora que g es un álgebra de Lie de dimensión tres no unimodular. Una familia especial de álgebras de Lie en esta clase son las de Tipo S , es decir, todas aquellas álgebras de Lie resolubles vericando que para cualesquiera dos elementes x e y∈g , su producto corchete [x, y] es una combinación lineal de ellos mismos. Ahora bien, si suponemos que g es un álgebra de Lie no unimodular y que no pertenece al Tipo S , podemos considerar su núcleo unimodular , denido como el subespacio (1.23) u={y∈g:tr(ady) = 0}, que es por denición un subálgebra unimodular de dimensión dos, y por tanto un subálgebra de Lie conmutativa. Tenemos así la siguiente clasicación: Lema 1.4. [71] Sea g un álgebra de Lie de dimensión tres no unimodular no perteneciente al Tipo S . Entonces existe una base ortonormal {e1, e2, e3} tal que e1 es ortogonal a u y tal que sus productos corchetes están dados por [e1, e2] = αe2+βe3,[e1, e3] = γe2+δe3,[e2, e3]=0 siendo α , β , γ y δ constantes reales tales que α+δ6= 0 y αγ +βδ = 0 . Además, esta base 24 1 Preliminares tenemos que ∂ ∂t{g(t)}=−λψ(t)∗g+ (1 −λt)ψ(t)∗(L−1 (1−λt)Xg) =ψ(t)∗(−λg −LX(ψ(t)(p))g). Ahora, si el vector X verica la Ecuación (1.29), entonces ∂ ∂tg(t) = −ψ(t)∗(τg) = −τ(t)g(t), lo que demuestra que g(t) es una solución del ujo de Yamabe dado por la Ecuación (1.25). Una variedad pseudo-Riemannina (M, g) admitiendo un campo de vectores X tal que (1.30) LXg= (τ−λ)g, donde λ es un número real, se denomina solitón de Yamabe . Además, dicho campo de vectores X vericando la Ecuación (1.29) se llama campo de vectores solitón (para (M, g) ) . Un solitón de Yamabe se dice contractivo, estable o expansivo si admite un campo de vectores solitón para el cual λ > 0 , λ= 0 ó λ < 0 , respectivamente. Por otra parte, estas condiciones no son mutuamente excluyentes, es decir, la variedad pseudo-Riemanniana (M, g) podría admitir solitones de diferentes naturalezas: contractivos, estables o expansivos. Además, diremos que un solitón de Yamabe es un solitón de Yamabe gradiente si el campo de vectores solitón de Yamabe X es el gradiente de una función potencial ϕ adecuada, X=∇ϕ . Cuando (M, g) es además homogénea, puesto que en dichas variedades siempre existen campos de vectores Killing, diremos que un solitón de Yamabe es no trivial si admite un campo de vectores solitón que no es Killing. En particular, si la curvatura escalar no es constante entonces el solitón de Yamabe es necesariamente no trivial. Por otra parte, se tiene que los campos de vectores homotéticos están estrechamente relacionados con las soluciones autosimilares del ujo de Yamabe, especialmente cuando la curvatura escalar se anula, ya que en tal caso, los campos de vectores homotéticos y los solitones de Yamabe coinciden. Cabe destacar que la existencia de solitones de Yamabe homogéneos es una condición mucho más restrictiva que la existencia de solitones de Ricci homogéneos (comparar Teoremas 2.11 y 2.10 con los resultados obtenidos en [13]). No obstante, dichos solitones están relacionados por el hecho de que dos campos de vectores solitones de Ricci se diferencian en un campo de vectores homotético (véase [3]) y por tanto una variedad homogénea admite diferentes campos vectoriales solitones de Ricci si y sólo si admite un campo de vectores solitón de Yamabe (véase la Observación 2.12). 1.3.2. Flujo de Cotton Como vimos en la Sección 1.1 las variedades pseudo-Riemannianas de dimensión tres localmente conformemente llanas están caracterizadas por el hecho de ser su tensor de Cotton, dado por la Ecuación (1.14), y que es el único invariante conforme en dimensión 1.3.2 Flujo de Cotton 25 tres, idénticamente nulo. Remitimos a [6], a [95] y a las referencias dadas en dichos artículos para conocer más información acerca de la utilidad de este tensor a la hora de describir la geometría de las variedades de dimensión tres. El hecho de que el tensor de Einstein consista en derivadas de orden dos de la métrica mientras que el tensor de Cotton consista en derivadas de orden tres implica que, en general, obtener la solución exacta de esta ecuación es complicado. De hecho, la mayoría de las soluciones para ella están construídas en espacios homogéneos ya que se reducen a un sistema lineal de ecuaciones. Puesto que el tensor de Cotton es antisimétrico en las dos primeras componentes podemos denir a partir de él las tres 2 -formas Ci:= 1 2Cnmidxn∧dxm, donde (x1, x2, x3) es una sistema de coordenadas locales de M . Si además suponemos que M tiene la orientación dada por la forma de volumen vg=p|g|dx1∧dx2∧dx3 , a partir de estas 2 -formas y del operador estrella de Hodge podemos denir tres nuevas 1 -formas como ?Ci=?(1 2Cnmidxn∧dxm) = 1 2Cnmi ?(dxn∧dxm) = 1 2Cnminm`dx`, donde abc representa la paridad de la permutación de los índices {a, b, c} con respecto a {1,2,3} . Estas tres 1 -formas nos permiten ahora denir el tensor de Cotton de tipo (1,1) , dado en componentes por C` i=1 2Cnminm`, y por tanto el tensor de tipo (0,2) asociado a él viene dado por Cij =1 2Cnminm`g`j. Finalmente, realizamos el siguiente reescalado siguiendo la construcción de York en [110] (1.31) ˜ Cij =1 2p|g|Cnminm`g`j, obteniendo de este modo un tensor de tipo (0,2) invariante por cambios conformes de métrica y que también llamaremos tensor de Cotton . Dicho tensor es el único invariante conforme en dimensión tres. Por lo general diremos simplemente tensor de Cotton sin especicar el tipo salvo que haya riesgos de confusión. Es importante destacar que por los pasos seguidos, esta construcción sólo es cierta para variedades de dimensión tres. Haciendo uso de este nuevo tensor de Cotton de tipo (0,2) dado por la Ecuación (1.31), se dene en [61] un nuevo ujo geométrico, llamado ujo de Cotton , consistente en una familia uniparamétrica de métricas en una variedad de dimensión tres vericando (1.32) ∂ ∂t g(t) = κ˜ Cg(t), 26 1 Preliminares donde ˜ Cg(t) es el tensor de Cotton de tipo (0,2) correspondiente a la métrica g(t) y κ es una constante real no nula. Comparándolo con el ujo de Yamabe, el ujo de Cotton tiene en cierto sentido un comportamiento opuesto a este ya que no preserva la clase conforme de la métrica excepto en el caso conformemente llano. En particular, los puntos jos genuinos del ujo de Cotton son las métricas localmente conformemente llanas. Sin embargo, al igual que ocurre para el ujo de Yamabe, existen otros puntos jos geométricos, los correspondientes a los solitones de Cotton asociados a soluciones autosimilares del ujo. Por otra parte, al igual que para el ujo de Yamabe, una familia 1-paramétrica de métricas g(t) denida a partir de una métrica inicial mediante homotecias y difeomorsmos como en la Ecuación (1.26), donde σ(t) es una función positiva derivable y ψ(t) : M→M es una familia 1-paramétrica de difeomorsmos, vericando la Ecuación (1.32) se llama solución autosimilar . Si tomamos g(t) una solución autosimilar del ujo de Cotton y la derivamos con respecto a t obtenemos la igualdad (1.33) κ˜ Cg(t)=σ0(t)ψ(t)∗g0+σ(t)ψ(t)∗(LXg0), donde g0=g(0) , X es el campo de vectores dependiente del tiempo tal que X(ψ(t)(p)) = d dt (ψ(t)(p)) para cualquier p∈M , y σ0=dσ dt . Puesto que ˜ Cg(t)=ψ(t)∗˜ Cg(0) , podemos suprimir los pullbacks en la Ecuación (1.33) con lo que obtenemos: (1.34) κ˜ Cg0=σ0(t)g0+σ(t)LXg0. Evaluando en t= 0 y tomando λ=σ0(0) κ e Y0=−σ(0) κX resulta que esta ecuación se reduce a ˜ Cg0=λg0−LY0g0, lo que demuestra que para cualquier solución autosimilar del ujo de Cotton existe un campo de vectores, Y , en M vericando (1.35) LYg+˜ C=λg. Recíprocamente, sea X un campo de vectores completo denido en una variedad pseudo-Riemanniana vericando la Ecuación (1.35) y consideremos la familia 1-paramétrica de métricas g(t) = −κ(1 −λt)ψ(t)∗g, donde ψ(t)∗ representa el pullback de la familia de difeomorsmos ψ(t) : M→M , con ψ(0) = idM , generada por X y vericando la relación ∂ ∂tψ(t)(p) = 1 1−λtX(ψ(t)(p)), 1.3.2 Flujo de Cotton 27 el cual está denido: (i) para todo t < 1 λ si λ > 0 y para todo t > 1 λ si λ < 0 cuando κ < 0 ; (ii) para todo t > 1 λ si λ > 0 y para todo t < 1 λ si λ < 0 cuando κ > 0 . De este modo tenemos que ∂ ∂t{g(t)}=κλψ(t)∗g−κ(1 −λt)ψ(t)∗(L1 (1−λt)Xg) =κψ(t)∗(λg −LX(ψ(t)(p))g). Ahora, como el vector X verica la Ecuación (1.35), entonces ∂ ∂tg(t) = κψ(t)∗˜ Cg=κ˜ Cg(t), lo que demuestra que g(t) es una solución del ujo de Cotton dado por la Ecuación (1.32). Una variedad pseudo-Riemanniana (M, g) es un solitón de Cotton si admite un campo de vectores X tal que (1.36) LXg+˜ C=λg, donde λ es un número real. Un solitón de Cotton se dice contractivo, estable o expansivo si λ > 0 , λ= 0 o λ < 0 , respectivamente. Puesto que no existe ambigüedad, llamaremos solitón de Cotton tanto a la variedad pseudo-Riemanniana (M, g) como al campo de vectores X . Finalmente, diremos que el solitón de Cotton es un solitón de Cotton gradiente si el campo de vectores solitón de Cotton, X , es el gradiente de una función potencial adecuada, X=∇ϕ . Los solitones de Cotton están estrechamente relacionados con los solitones de Ricci y de Yamabe. En particular, si (M, g) es una variedad homogénea localmente conformemente llana entonces la clase de los solitones de Cotton coincide con la clase de los solitones de Yamabe; en cuyo caso diremos que el solitón de Cotton es trivial . En el caso particular de signatura Riemanniana, cualquier solitón de Cotton compacto es localmente conformemente llano. No obstante, esto no ocurre en el caso Lorentziano, el cual es mucho más rico debido a la existencia de solitones de Cotton compactos no localmente conformemente llanos (véase [27]). Además, el hecho de que cualquier solitón de Ricci o de Yamabe homogéneo invariante a la izquierda en un grupo de Lie Riemanniano de dimensión tres es llano, mientras que en signatura Lorentziana existen ejemplos no llanos (véanse [13] y [29]), motiva el estudio de los solitones de Cotton homogéneos en el caso Lorentziano. Finalmente, observemos que cualesquiera dos campos de vectores X1 y X2 vericando la Ecuación (1.36), para dos constantes λ1 y λ2 respectivamente, dieren en un campo de vectores homotético ya que LX1−X2g−(λ1−λ2)g=LX1g−λ1g−LX2g+λ2g= 0. Recíprocamente, si a un campo de vectores homotético le sumamos un solitón de Cotton cualquiera obtenemos un nuevo solitón de Cotton. (Como consecuencia, si una variedad de 28 1 Preliminares Riemann admite dos solitones de Cotton distintos (i.e., para constantes λ16=λ2 ) entonces es localmente conformemente llana y por tanto trivial. Este resultado no es cierto sobre variedades Lorentzianas en general pero sí se verica si estas son homogéneas). 1.4. Holonomía y métricas de Walker Sea γ: [a, b]→M una curva diferenciable y v∈Tγ(a)M , entonces el transporte paralelo de v a lo largo de γ se obtiene resolviendo la ecuación ∇γ(t)v(t)=0. Supongamos que γ es una curva cerrada, i.e., γ(a) = γ(b) = p∈M . La aplicación dada por v(a)→v(b) dada por el transporte paralelo a lo largo de γ dene un isomorsmo Lγ:TpM→TpM . El conjunto de todas estas aplicaciones lineales genera el llamado grupo de holonomía de la conexión. Los grupos de holonomía correspondientes a puntos diferentes en una variedad conexa son todos isomorfos y, por tanto, podemos suponerlos independientes del punto p considerado. Además, por tratarse de un subgrupo cerrado de GL(TpM) podemos dotarlo de una estructura de grupo de Lie. Cuando trabajamos con la conexión de Levi-Civita asociada a una métrica pseudo-Riemanniana, y puesto que el transporte paralelo se realiza por isometrías, el grupo de holonomía es un subgrupo del grupo ortogonal; en tal caso diremos que es el grupo de holonomía de la variedad pseudoRiemanniana. En el caso de métricas Riemannianas el grupo de holonomía actúa de forma completamente reducible , i.e., el espacio tangente se descompone en subespacios invariantes bajo su acción y en los cuales actúa de forma trivial o irreducible, pero para métricas indenidas la situación es más sutil. Se dice que el grupo de holonomía actúa de forma indescomponible si la métrica es degenerada en cualquier subespacio propio invariante. En tal caso también se dice que la variedad es indescomponible. En el caso especial de variedades de Riemann la indescomponibilidad es equivalente a la irreducibilidad. Cabe destacar que el grupo de holonomía del producto de variedades Riemannianas (dotado con la métrica producto) es el producto de los grupos de holonomía de dichas variedades (con la representación correspondiente sobre la suma directa). Además, el recíproco es válido en el siguiente sentido: sea M una variedad pseudo-Riemanniana conexa cuyo espacio tangente en un punto (y por tanto en todo punto) admite una descomposición ortogonal en suma directa de subespacios no degenerados invariantes bajo la representación de holonomía, entonces M es localmente isométrica a un producto de variedades pseudo-Riemannianas correspondientes a los subespacios invariantes. Además, el grupo de holonomía es el producto de los grupos actuando sobre los correspondientes subespacios invariantes. Una versión global de este resultado suponiendo la variedad en cuestión conexa y simplemente conexa fue demostrada por G. de Rham en [90] y por H. Wu en [106] en signatura arbitraria. 1.4.1 Coordenadas de Walker 29 Teorema 1.6. [106] Cualquier variedad pseudo-Riemanniana M completa y simplemente conexa es isométrica a un producto de variedades pseudo-Riemannianas completas simplemente conexas donde una de ellas puede ser llana y las restantes tienen un grupo de holonomía que actúa de forma indescomponible. Además, el grupo de holonomía de (M, g) es el producto de dichos grupos de holonomía. En el caso de métricas indenidas existe la posibilidad de que alguno de los factores del teorema anterior sea indescomponible, pero no irreducible. Esto signica que la representación de holonomía admite un subespacio invariante propio para el cual la métrica es degenerada, pero no subespacios invariantes propios no degenerados. Un intento de clasi- car los grupos de holonomía generados por métricas indenidas ha de proporcionar una clasicación de estos grupos de holonomía indescomponibles, no irreducibles. Si el grupo de holonomía actúa indescomponiblemente, pero no irreduciblemente, sobre un subespacio degenerado invariante V⊂TpM , entonces admite un subespacio invariante totalmente isotrópico S:= V∩V⊥ . 1.4.1. Coordenadas de Walker En [104] A. G. Walker estudió las variedades pseudo-Riemannianas (M, g) dotadas de una distribución generada por r -planos nulos y paralelos obteniendo una forma canónica para su métrica en coordenadas adaptadas. Una distribución D de dimensión r en una variedad (i.e., una sección del brado de Grassmann Grr(TM) ) se dice paralela si ∇XD⊂ D para cualquier campo de vectores X en M , i.e., si ∇XY∈D para todo Y∈D y cualquier X∈X(M) . Motivado por el trabajo original de Walker se dice que una variedad pseudo-Riemanniana (M, g) admitiendo una distribución nula y paralela D es una variedad de Walker . Las variedades de Walker constituyen la estructura subyacente de multitud de situaciones pseudo-Riemannianas estrictas que no tienen contrapartida Riemanniana: variedades indescomponibles pero no irreducibles, hipersupercies Einstein con operador de conguración nilpotente, algunas clases de métricas Osserman no simétricas y variedades para-Kähler son ejemplos típicos. Para obtener más información y ejemplos de variedades Walker véase [14]. Existen coordenadas canónicas en las cuales se puede escribir las métricas que admiten distribuciones paralelas de un modo sencillo. Dichas formas canónicas de escribir la métrica fueron conocidas previamente para distribuciones paralelas no degeneradas. En este caso, el tensor métrico, expresado en su forma matricial, admite localmente la forma canónica (gij) = A0 0B, donde A es una matriz r×r simétrica cuyos coecientes son funciones de (x1, . . . , xr) y B es una matriz (n−r)×(n−r) simétrica cuyos coecientes son funciones de (xr+1, . . . , xn) . En el caso de distribuciones nulas paralelas tenemos 30 1 Preliminares Teorema 1.7. [104] En una variedad pseudo-Riemanniana M de dimensión n admitiendo una distribución paralela de planos nulos r -dimensionales D existen coordenadas locales (x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xn) de modo que el tensor métrico se expresa en forma matricial como (gij) =   0 0 idr 0A H idrHtB , donde idr es la matriz identidad de orden r×r y A , B , H son matrices cuyos coecientes son funciones de las coordenadas vericando que: (a) A y B son matrices simétricas de orden (n−2r)×(n−2r) y r×r respectivamente. H es una matriz de orden (n−2r)×r y Ht representa la matriz traspuesta de H . (b) A y H son independientes de las coordenadas (x1, . . . , xr) . Además, la distribución nula y paralela D está generada localmente por los campos de vectores coordenados {∂x1, . . . , ∂xr} . Siguiendo la terminología dada en [104], una distribución D se dice estrictamente paralela si está localmente generada por vectores ortoganales nulos y paralelos. Teorema 1.8. [104] En una variedad pseudo-Riemanniana M de dimensión n admitiendo una distribución de dimensión r estrictamente paralela D existen coordenadas locales (x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xn) de manera que el tensor métrico viene dado por el Teorema 1.7, donde B es independiente de las coordenadas (x1, . . . , xn) . Observación 1.9. Es interesante destacar que las coordenadas locales en el Teorema 1.7 y 1.8 no son únicas. El caso particular de variedades Lorentzianas fue previamente estudiado por Brinkmann, quien obtuvo el siguiente resultado Teorema 1.10. [11] Sea (M, g) una variedad Lorentziana de dimensión n con un campo de vectores nulo y recurrente. Entonces existen coordenadas locales (t, x1, . . . , xn−2, y) con respecto a las cuales la métrica g tiene la forma (1.37) g= 2dt ◦dy + n−2 X i=1 aidxi◦dy + n−2 X i,j=1 gij dxi◦dxj+f dy ◦dy, donde  ◦  denota el producto simétrico dado por ξ1◦ξ2=1 2(ξ1⊗ξ2+ξ2⊗ξ1) y donde ∂ ∂t gij =∂ ∂t ai= 0 . Además ∂ ∂t f= 0 si y sólo si el campo de vectores recurrente puede ser reescalado a un campo de vectores paralelo, en cuyo caso las coordenadas pueden escogerse tal que ai= 0 e incluso tal que f= 0 . 1.4.2 Variedades frente de onda 31 1.4.2. Variedades frente de onda Las variedades Lorentzianas admitiendo un campo de vectores nulo y paralelo V son de especial interés tanto en Física como en Matemáticas. Una clase especial de estas variedades son las llamadas variedades frente de onda (véase [14]), las cuales ocurren siempre que el tensor de Ricci esté completamente determinado por un campo de vectores nulo y paralelo V , (i.e., ρ=ωV [⊗V[ para una función ω y donde V[(·) = g(V, ·) ) y la métrica sea transversalmente llana. La forma general de una variedad frente de onda de dimensión n es la siguiente: el espacio ambiente es Rn ( n≥0 ) con coordenadas (t, x1, . . . , xn−2, y) , y la métrica Lorentziana g está dada por (1.38) gppw = 2dt ◦dy + n−2 X i=1 dxi◦dxi+H(x1, . . . , xn−2, y)dy ◦dy, donde H(x1, . . . , xn−2, y) es una función diferenciable arbitraria llamada usualmente la función potencial de la variedad frente de onda. Las posibles componentes no nulas de la conexión de Levi-Civita de una variedad frente de onda en la base de los campos de vectores coordenados {∂t, ∂xi, ∂y} son (1.39) ∇∂y∂xi=1 2∂xiH ∂t, i = 1, . . . , n −2; ∇∂y∂y=1 2∂yH ∂t−1 2 n−2 X i=1 ∂xiH ∂xi. Esto demuestra que el campo de vectores nulo ∂t es paralelo. Tomando la notación ∂2 xixj:= ∂xi∂xj de ahora en adelante, podemos expresar las posibles componentes no nulas del tensor curvatura (salvo las simetrías usuales) por (1.40) R(∂xi, ∂y, ∂xj, ∂y) = −1 2∂2 xixjH, i, j = 1, . . . , n −2. Con lo que obtenemos que la única posible componente no nula del tensor de Ricci es (1.41) ρ(∂y, ∂y) = −1 2 n−2 X i=1 ∂2 xixiH, y por tanto, el operador de Ricci está descrito en coordenadas locales como (1.42) bρ=       000··· −1 2 n−2 P i=1 ∂2 xixiH 000··· 0 . . .. . .. . .. . .. . . 000··· 0        . Además, puesto que el tensor de Ricci está determinado por la Ecuación (1.41) resulta que la curvatura escalar τ es cero. Así, una variedad frente de onda es Einstein (y por tanto 32 1 Preliminares Ricci llana) si y sólo si el Laplaciano espacial de la función potencial H es idénticamente nulo, i.e., ρ(∂y, ∂y) = −1 2∆xH= 0 , donde ∆xH= n−2 P i=1 ∂2 xixiH representa el Laplaciano de H con respecto a x= (x1, . . . , xn−2) . La existencia de un plano D nulo y paralelo en una variedad pseudo-Riemanniana hace que la curvatura verique las siguientes relaciones (véase [40]): (1.43) R(D,D⊥,·,·)=0, R(D,D,·,·)=0, and R(D⊥,D⊥,D,·)=0. Las variedades frente de onda admiten la siguiente caracterización geométrica dada por Leistner Teorema 1.11. [69] Una variedad Lorentziana (M, g) admitiendo una distribución D nula y paralela es localmente isométrica a una variedad frente de onda si y sólo si el tensor curvatura verica la condición R(D⊥,D⊥,·,·)=0 y la imagen del operador de Ricci es totalmente isotrópica (i.e., g(Ric(X),Ric(X)) = 0 para todo X∈X(M) ). Ondas planas Una clase especial de variedades frente de onda está formada por las llamadas ondas planas. A pesar de su simplicidad, las ondas planas son la estructura subyacente de multitud de situaciones geométricas interesantes. Una variedad frente de onda cuya función potencial H(·, y) dene una forma cuadrática en Rn−2 se llama onda plana . Es decir, para cualquier onda plana, tenemos que (1.44) H(x1, . . . , xn−2, y) = n−2 X i,j=1 aij(y)xixj, donde las componentes aij de la matriz simétrica (n−2) ×(n−2) asociada a dicha forma cuadrática son funciones arbitrarias. En [32] se demuestra que si (Rn, gppw) , donde gppw es una métrica dada por las Ecuaciones (1.38) y (1.44), es una onda plana, entonces es necesariamente completa. Observación 1.12. Las variedades frente de onda localmente conformemente llanas están dadas por la Ecuación (1.38) con (1.45) H(x1, . . . , xn−2, y) = a(y) n−2 X i,j=1 xixj+ n−2 X i=1 bi(y)xi+c(y). Además, bajo un cambio de coordenadas adecuado, la función H(x1, . . . , xn−2, y) se reduce a la Ecuación (1.44), y por tanto son ondas planas. 1.4.2 Variedades frente de onda 33 Espacios simétricos de Cahen-Wallach Recordemos que la noción de irreducibilidad es muy fuerte en el caso de variedades pseudo-Riemannianas. En realidad, los espacios Lorentzianos simétricos irreducibles son necesariamente de curvatura seccional constante (véase [16]). Los espacios Lorentzianos simétricos indescomponibles son irreducibles o los llamados espacios simétricos de CahenWallach , que están dados de la siguiente manera (véanse [16] y [17]). Consideremos M=Rn con coordenadas como las anteriores y denamos el tensor métrico por (1.46) gcw = 2dt ◦dy + n−2 X i=1 dxi◦dxi+ n−2 X i=1 ai(xi)2!dy ◦dy, para algunas constantes no nulas ai , i= 1, . . . , n −2 . La conexión de Levi-Civita está determinada por los símbolos de Christoel no nulos de la siguiente manera: ∇∂y∂xi=∇∂xi∂y=aixi∂t,∇∂y∂y=− n−2 X i=1 aixi∂xi, lo que demuestra que las constantes aj deben ser no nulas si la variedad es indescomponible pero no irreducible. Las únicas componentes no nulas del tensor de curvatura de tipo (0,4) están dadas por R(∂xi, ∂y, ∂xi, ∂y) = −ai, i = 1, . . . , n −2. El tensor de Ricci verica ρ(∂y, ∂y) = − n−2 P i=1 ai , siendo los demás términos nulos. Varieades Lorentzianas dos-simétricas Una variedad Lorentziana (M, g) se dice dos-simétrica si la derivada covariante segunda del tensor curvatura se anula, i.e., ∇2R= 0 . Mientras que en el caso Riemanniano esta condición implica la simetría local, en el caso Lorentziano es posible encontrar ejemplos dos-simétricos no simétricos. La estructura local de estas variedades fue dada de forma independiente por Alekseevsky y Galaev en [2] y Blanco, Sánchez y Senovilla en [8] demostrando que cualquier variedad Lorentziana dos-simétrica no simétrica es una onda plana. Teorema 1.13. [8] Una variedad Lorentziana dos-simétrica no simétrica (M, g) es localmente isométrica a Rn con métrica g= 2dt ◦dy + n−2 X i=1 dxi◦dxi+  n−2 X i,j=1 aij(y)xixj dy ◦dy, donde aij(y) = αij y+βij para algunas constantes αij , βij , donde al menos uno de los αij es no nulo. 40 1 Preliminares operador Laplaciano, ∆ = dδ +δd , obteniendo la siguiente expresión (1.63) ∆ = {N, ∂∗}+{N, N∗}+{N, ¯ N∗}+{N, ¯ ∂∗} +{∂, ∂∗}+{∂, N∗}+{∂, ¯ N∗}+{∂, ¯ ∂∗} +{¯ ∂, ∂∗}+{¯ ∂, N∗}+{¯ ∂, ¯ N∗}+{¯ ∂, ¯ ∂∗} +{¯ N, ∂∗}+{¯ N, N∗}+{¯ N, ¯ N∗}+{¯ N, ¯ ∂∗} donde {A, B}=AB +BA para cualquiera de estos sumandos. Además, existen numerosas relaciones entre estos términos (véase [103]), siendo algunas de las más relevantes {¯ ∂, N∗}={∂∗,¯ N}={¯ ∂, N∗}={¯ N∗, ∂}={N, ¯ N∗}={¯ N, N∗}= 0, {∂∗,¯ ∂}=−{ ¯ N, ¯ ∂∗}=−{N∗, ∂}, (1.64) {¯ ∂∗, ∂}=−{ ¯ N∗,¯ ∂}=−{N, ∂∗}. También es posible demostrar que los términos {∂, ∂∗} y {¯ ∂, ¯ ∂∗} están relacionados por un múltiplo de la identidad, pero para ello tenemos que considerar antes el siguiente Lema Lema 1.16. En una variedad nearly Kähler de dimensión seis estricta se verica que (1.65) {∂, ¯ ∂}=−{N, ¯ N}=−2iα2(p−q)L Demostración. Puesto que por la Ecuación (1.57) se tiene que {∂, ¯ ∂}=−{N, ¯ N} basta comprobar que {N, ¯ N}= 2iα2(p−q)L . Entonces {N, ¯ N}=N¯ N+¯ NN =1 4i∧j∧Ti, jy(¯k∧¯l∧T¯k¯ly·) + ¯k∧¯l∧T¯k¯ly(i∧j∧Ti, jy·) =1 2g(Ti, j, T¯l¯r)i∧j∧¯l∧ry·+g(T¯k¯l, Tj, r)¯k∧¯l∧j∧¯ry· (∗) =α2(δi lδj r−δj lδi r)i∧j∧¯l∧ry·+(δk jδl r−δr kδj l)¯k∧¯l∧j∧¯ry· = 2α2(−pi∧¯i∧· +qk∧¯k∧·) = 2iα2(p−q)L, donde la igualdad (∗) se deduce a partir de la Ecuación (1.52). Por tanto, a partir de este Lema y de la Ecuación (1.60) estamos ya en condiciones de demostrar la relación entre {∂, ∂∗} y {¯ ∂, ¯ ∂∗} Lema 1.17. En una variedad nearly Kähler de dimensión seis estricta se verica la identidad (1.66) {∂, ∂∗}={¯ ∂, ¯ ∂∗}+ 2α2(p−q)(n−p−q)idΛp,q 1.5 Variedades nearly Kähler 41 Demostración. Aplicando Λ a izquierda y derecha en la identidad [Λ, ∂]=Λ∂−∂Λ = i¯ ∂∗ se obtiene    Λ∂¯ ∂−∂Λ¯ ∂=i¯ ∂∗¯ ∂ ¯ ∂∂Λ−¯ ∂Λ∂=−i¯ ∂¯ ∂∗, donde, restando ambas expresiones resulta (1.67) Λ∂¯ ∂−∂Λ¯ ∂−¯ ∂∂Λ−¯ ∂Λ∂=i(¯ ∂∗¯ ∂+¯ ∂¯ ∂∗). Análogamente, aplicando Λ a la identidad [Λ,¯ ∂] = Λ¯ ∂−¯ ∂Λ = i∂∗ tenemos que    ∂Λ¯ ∂−∂¯ ∂Λ = −i∂∂∗ ¯ ∂Λ∂−Λ¯ ∂∂ =i∂∗∂, donde restando a la segunda la primera de estas igualdades se obtiene (1.68) −∂Λ¯ ∂+∂¯ ∂Λ + ¯ ∂Λ∂−Λ¯ ∂∂ = (∂∂∗−∂∗∂). Ahora bien, aplicando la Ecuación (1.55) tenemos Λ¯ ∂∂ = Λ{¯ ∂, ∂}−Λ∂¯ ∂ =−Λ{N, ¯ N}−Λ∂¯ ∂ y ∂¯ ∂Λ = {∂, ¯ ∂}Λ−¯ ∂∂Λ ={N, ¯ N}Λ−¯ ∂∂Λ. Por tanto (1.69) ∂∂∗+∂∗∂=−i−∂Λ¯ ∂+∂¯ ∂Λ + ¯ ∂Λ∂−Λ¯ ∂∂ =−i∂Λ¯ ∂−{N, ¯ N}Λ−¯ ∂∂Λ + ¯ ∂Λ∂+ Λ{N, ¯ N}+ Λ∂¯ ∂ =−ii(¯ ∂∗¯ ∂+¯ ∂¯ ∂∗)−{N, ¯ N}Λ+Λ{N, ¯ N} ={¯ ∂∗,¯ ∂}−i−2iα2((p−1) −(q−1))LΛ+2iα2(p−q)ΛL ={¯ ∂∗,¯ ∂}+ 2α2(p−q)[Λ, L] ={¯ ∂∗,¯ ∂}+ 2α2(p−q)(n−p−q)idΛp,q . Capítulo 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe En la primera sección de este capítulo analizamos la existencia de solitones de Yamabe, los cuales, como vimos, proporcionan métricas iniciales para las que el ujo de Yamabe admite una solución autosimilar. Además, es conocido que la existencia de determinados solitones geométricos está estrechamente relacionada con la existencia de ciertos campos de vectores especiales en la variedad pseudo-Riemanniana considerada. En particular, se tiene que todo solitón de Ricci es un campo de vectores 1 -armónico (véase [97]) y que todo solitón de Yamabe es una colineación de Ricci. Debido a este hecho, dedicamos la Sección 2.3 al estudio de la existencia de campos de vectores 1 -armónicos invariantes a la izquierda en los grupos de Lie Lorentzianos de dimensión tres; mientras que en la Sección 2.4 analizamos la existencia de colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda en dichos grupos de Lie Lorentzianos. Los resultados presentados a lo largo de este capítulo se encuentran recogidos en [29], [30] y [31]. 2.1. Estructura local de los solitones de Yamabe gradiente El estudio de los solitones de Yamabe está estrechamente relacionado con el estudio de los campos de vectores conformes. De forma general, la estructura local de las variedades pseudo-Riemannianas admitiendo campos de vectores conformes gradiente ha sido estudiada de forma exhaustiva en la literatura por numerosos autores. Presentamos aquí algunos de los resultados más destacados, distinguiendo entres los casos isotrópico y no isotrópico. Además, particularizaremos estos resultados al caso de los solitones de Yamabe gradiente. 43 44 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe 2.1.1. Caso no isotrópico Comenzamos considerando el caso de un campo de vectores gradiente ∇f que además supondremos que es un campo de vectores conforme con g(∇f, ∇f)6= 0 en un entorno abierto U de un punto p en (M, g) . Distinguimos de esta forma dos situaciones, cuando el punto p∈M es un punto regular y cuando lo es crítico. En primer lugar, si p es un punto regular de ∇f in (M, g) , Fialkow obtuvo el siguiente resultado en relación a su estructura local Lema 2.1. [43] Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana. Entonces las siguientes armaciones son equivalentes: 1. Existe una función no constante f vericando la igualdad Hesf=σg , siendo σ una función no constante en un entorno de un punto p tal que g(∇f, ∇f)6= 0 . 2. Existe un entorno U de p , una función de clase C∞ , f: (−ε, ε)−→ R , con f0(t)6= 0 para todo t∈(−ε, ε) y una variedad pseudo-Riemanniana (N, h) tal que (U, g) es isométrica al producto warped: ((−ε, ε), ηdt2)×f0(N, h) donde η=sign(g(∇f, ∇f)) ∈ {±1} . Por otra parte, el siguiente resultado establece la estructura local de una variedad pseudo-Riemanniana admitiendo un campo de vectores conforme gradiente en un entorno de un punto crítico. Lema 2.2. [60] y [64] Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana dotada con una función no constante f con un punto crítico p∈M y vericando la igualdad Hesf=σg , donde σ es una función no constante. Entonces existen funciones f± tales que la métrica en coordenadas geodésicas polares (r, x)⊂R×Σ en un entorno U de p se expresa como g(r, x) = ηdr2+f0 η(r)2 f00 η(0)2g1(x); η=g1(x, x) y f(r, x) = fη(r) , σ(r, x) = ση(r) con ση(r) = ηf00(r) , en particular la métrica es conformemente llana en un entorno del punto crítico. De este modo, en el caso particular de que el campo de vectores conforme gradiente considerado sea un solitón de Yamabe gradiente resulta que Teorema 2.3. Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana. Entonces, (M, g) admite un solitón de Yamabe gradiente no isotrópico si y sólo si (M, g) es localmente isométrica a un producto warped (−ε, ε)×λN , donde N es una variedad pseudo-Riemanniana de dimensión n−1 con curvatura escalar constante. 2.1.2 Caso isotrópico 45 Demostración. A partir de los Lemmas 2.1 y 2.2 se sigue que si (M, g) admite un solitón de Yamabe gradiente no isotrópico, i.e., Hesf= (τ−κ)g , entonces (M, g) es localmente isométrica a un producto warped de la forma (−ε, ε)×λN con coordenadas (t, x) . Además, es bien conocido que la curvatura escalar de (−ε, ε)×λN está dada por λ2τ=n−2 nτN−n−2 nλ02η−2 nηλ00λ Ahora bien, por los lemas previos la curvatura escalar, τ , ha de depender de forma exclusiva de la coordenada t y, por tanto, τN ha de ser constante. 2.1.2. Caso isotrópico Nos centramos ahora en los solitones de Yamabe gradiente Lorentzianos tales que g(∇f, ∇f) = 0 en un conjunto abierto U ⊂ M . En este caso, usamos el siguiente resultado obtenido por Brinkmann Lema 2.4. [10] Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana de dimensión n≥3 admitiendo un campo de vectores gradiente isotrópico no nulo. Resulta entonces que ∇f es paralelo, y el tensor métrico puede expresarse como g=dudv +g1(u) donde ∇f=∂u=∇v y donde la métrica g1(u) no depende de la coordenada v . En particular, la métrica dada en el Lemma 2.4 es una métrica Walker. De este modo, particularizando este resultado al caso de los solitones de Yamabe gradiente se sigue que Teorema 2.5. Sea (M, g) un solitón de Yamabe gradiente isotrópico Lorentziano. Entonces, (M, g) es localmente isométrico a una métrica Walker de curvatura escalar constante τ . Demostración. El resultado se sigue de forma directa del Lemma 2.4 teniendo en cuenta que si Hesf= (τ−κ)g y ∇f es paralelo entonces τ=κ . 2.2. Solitones de Yamabe homogéneos Un solitón de Yamabe es un triple (M, g, X) , donde (M, g) es una variedad pseudoRiemanniana y X es un campo de vectores en M vericando (2.1) LXg= (τ−λ)g. Se dice que el solitón es trivial si X es un campo de vectores de Killing y que es un solitón gradiente si X es el gradiente de una cierta función potencial ϕ:M→R . Se sigue de la ecuación anterior que todo solitón de Yamabe es un campo de vectores conforme que resulta ser homotético si y sólo si la curvatura escalar es constante. 46 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe En [100] Tashiro demostró que una variedad Riemanniana completa de dimensión n≥2 admite un campo de vectores homotético no Killing si y sólo si es localmente Euclídea, de donde se sigue que todo solitón de Yamabe no trivial con curvatura escalar constante es localmente Euclídeo. En este capítulo demostraremos que el caso Lorentziano es mucho más rico. Concretamente, clasicaremos los solitones de Yamabe y los solitones de Yamabe invariantes a la izquierda denidos en variedades Lorentzianas homogéneas de dimensión tres, demostrando que la clase de los solitones de Yamabe es estrictamente mayor que la clase de los solitones de Yamabe invariantes a la izquierda. Para conseguir este objetivo organizamos la sección de la siguiente manera. En la Sección 2.2.1 obtenemos una caracterización geométrica de los solitones de Yamabe no triviales en variedades Lorentzianas homogéneas no llanas de dimensión tres, obteniendo como consecuencia, la no existencia de solitones de Yamabe gradiente no triviales. Además, clasicamos los solitones de Yamabe Lorentzianos homogéneos de dimensión tres no llanos, demostrando que todos ellos están dados por ondas planas homogéneas. Finalmente, en la Sección 2.2.2 estudiamos la clase de los solitones de Yamabe invariantes a la izquierda. 2.2.1. Caracterización geométrica de los solitones de Yamabe homogéneos Con el n de obtener dicha caracterización geométrica de los solitones de Yamabe homogéneos no triviales de dimensión tres recordemos que el operador de Ricci, bρ , se dice dos-pasos nilpotente si bρ2= 0 y además puntualmente verica bρ6= 0 . En el Teorema 2.8 veremos que una variedad Lorentziana homogénea de dimensión tres no llana es un solitón de Yamabe si y sólo si es localmente conformemente llana y su operador de Ricci es dos-pasos nilpotente. Es obvio que si (M, g) es llana entonces es un solitón de Yamabe. De forma más general, analizamos en el siguiente Lema la existencia de solitones de Yamabe en variedades localmente conformemente llanas de dimensión tres con operador de Ricci dos-pasos nilpotente Lema 2.6. Sea (M, g) una variedad Lorentziana localmente conformemente llana de dimensión tres con operador de Ricci dos-pasos nilpotente. Entonces existen coordenadas (U,(t, x, y)) respecto a las cuales la métrica está dada por (2.2) g= 2dt ◦dy +dx ◦dx +F(y)x2dy ◦dy. Además, (U, g, X) es un solitón de Yamabe si y sólo si (2.3) X=−(xG0(y)+(γ+λ)t−δ)∂t−λ 2x−G(y)∂x+ (β+γy)∂y, donde β , γ , δ∈R y F , G:V⊂R→R son funciones diferenciables vericando (2.4) F(y)G(y)−G00(y) = 0 y 2γF(y)+(β+γy)F0(y)=0. 2.2.1 Caracterización geométrica de los solitones de Yamabe homogéneos 47 Demostración. Se sigue del trabajo realizado en [58] que toda variedad Lorentziana de dimensión tres localmente conformemente llana con operador de Ricci dos-pasos nilpotente es una variedad de Walker estricta. A su vez, en [14] se obtiene que estas variedades han de tener curvatura recurrente, es decir, ∇R=ω⊗R para alguna 1 -forma ω . Por otra parte, Walker clasicó en [105] las variedades con curvatura recurrente, obteniendo que aquellas localmente conformemente llanas pueden expresarse en un sistema local de coordenadas adaptado (U,(t, x, y)) como g= 2dt ◦dy +dx ◦dx +F(y)x2dy ◦dy, donde F:V⊂R→R es una función diferenciable. Además, con estas consideraciones se obtiene por un cálculo directo que τ= 0 . Sea X= (A(t, x, y),B(t, x, y),C(t, x, y)) un campo de vectores diferenciable en U . Por un cálculo largo pero directo tenemos que la Ecuación (2.1) se verica si y sólo si el siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales se satisface (2.5)                          F0(y)Cx2+F(y) (2B+x(λ+ 2Cy)) x+ 2Ay= 0, F(y)Ctx2+λ+At+Cy= 0, F(y)Cxx2+Ax+By= 0, Ct= 0, Cx+Bt= 0, 2Bx+λ= 0. La cuarta ecuación en (2.5) implica que C(t, x, y) = C1(x, y), y la última ecuación en (2.5) se verica si y sólo si B(t, x, y) = −λ 2x+B1(t, y). Integrando ahora la segunda ecuación en (2.5) obtenemos A(t, x, y) = A1(x, y)−v(λ+ (C1)y(x, y)), y derivando la quinta ecuación en (2.5) con respecto a t obtenemos (B1)tt(t, y) = 0 , de donde B1(t, y) = G(y) + tH(y), para una función diferenciable H dependiendo únicamente de la coordenada y . En este punto, la quinta ecuación en (2.5) se reduce a H(y)+(C1)x(x, y)=0, 48 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe con lo que obtenemos C1(x, y) = C2(y)−xH(y). Derivando la tercera ecuación en (2.5) con respecto a t obtenemos que H(y) ha de ser constante, es decir, H(y) = α , y derivando ahora la primera ecuación en (2.5) con respecto a t y x resulta que α= 0 . De este modo, el campo de vectores X(t, x, y) = (A(t, x, y),B(t, x, y),C(t, x, y)) está dado por A(t, x, y) = A1(x, y)−(λ+C0 2(y))t, B(t, x, y) = −λ 2x+G(y), C(t, x, y) = C2(y), y la información dada por la Ecuación (2.5) se reduce a (2.6) ((2F(y)C0 2(y)+C2(y)F0(y))x2+ 2F(y)G(y)x+2(A1)u(x, y)−2tC00 2(y)=0, G0(y)+(A1)x(x, y)=0. Ahora bien, la segunda ecuación en (2.6) implica que A1(x, y) = A2(y)−xG0(y), donde derivando la primera ecuación en (2.6) con respecto a t proporciona C00 2(y) = 0 , y así C2(y) = β+γy. De este modo el sistema de ecuaciones en derivadas parciales dado por (2.5) se reduce a la primera ecuación en (2.6), que puede ser vista como una ecuación cuadrática en x dada por (2.7) 2γF(y)+(β+γy)F0(y)x2+ 2 F(y)G(y)−G00(y)x+ 2A0 2(y)=0. Por tanto A2(y) ha de ser una función constante, es decir, A2(y) = δ , con lo que podemos concluír que X es un campo de vectores solitón de Yamabe en (U, g) si y sólo si X=−(xG0(y)+(γ+λ)t−δ)∂t−λ 2x−G(y)∂x+ (β+γy)∂y, donde F(y)G(y)− G00(y) = 0 y 2γF(y) + (β+γy)F0(y) = 0 ; con lo que se concluye la demostración. Las Ecuaciones (2.3) y (2.4) dadas en el Lema 2.6 implican que los campos de vectores solitón no Killing X pueden elegirse de tal forma que los solitones de Yamabe no triviales sean contractivos o expansivos puesto que podemos tomar λ tanto positivo como negativo. No obstante, nunca los podemos tomar estables ya que la curvatura escalar es cero. Además, por un cálculo directo tenemos que un campo vectorial solitón no Killing determinado por 2.2.1 Caracterización geométrica de los solitones de Yamabe homogéneos 49 las Ecuaciones (2.3) y (2.4) puede ser luminoso o no luminoso. Además, esta causalidad del campo de vectores X puede variar de punto a punto. Por otra parte, la existencia de solitones gradiente es más restrictiva. De hecho, todos ellos han de ser triviales en el caso localmente conformemente llano. Corolario 2.7. Sea (M, g) una variedad Lorentziana de dimensión tres. Si (M, g) es localmente conformemente llana y su operador de Ricci es dos-pasos nilpotente entonces no es un solitón de Yamabe gradiente no trivial. Demostración. Al igual que en la demostración del Lema 2.6 podemos elegir un sistema de coordenadas adaptado (U,(t, x, y)) tal que g= 2dt ◦dy +dx ◦dx +F(y)x2dy ◦dy, para una cierta función diferenciable F:V⊂R→R . De este modo, para una función ϕ:U −→ R se obtiene que ∇ϕ= (ϕy−x2F(y)ft)∂t+ϕx∂x+ϕt∂y. Si ∇ϕ es un campo de vectores solitón gradiente no Killing entonces necesariamente es de la forma determinada por las Ecuaciones (2.3) y (2.4). En particular (2.8)            ϕt=β+γy, ϕx=G(y)−λ 2x, (ϕy−x2F(y)ϕt)t=−γ−λ, (ϕy−x2F(y)ϕt)xx = 0. La primera y la segunda ecuación en (2.8) implican que la función ϕ es de la forma ϕ(t, x, y) = −λ 4x2+G(y)x+ (β+γy)t+P(y), y por tanto la tercera y la cuarta ecuación en (2.8) se transforman en γ=−γ−λ, (γy +β)F(y)=0. De este modo, como F(y) es idénticamente nula si y sólo si la variedad es llana, obtenemos a partir de la última ecuación que λ=−2γ= 0 , lo que demuestra que todo solitón de Yamabe gradiente no trivial tendría que ser estable, lo cual como hemos visto no es posible. Analizamos ahora la caracterización geométrica de los solitones de Yamabe homogéneos no triviales. Teorema 2.8. Una variedad Lorentziana homogénea (M, g) , conexa, no llana y simplemente conexa de dimensión tres es un solitón de Yamabe no trivial si y sólo si es localmente conformemente llana y su operador de Ricci es dos-pasos nilpotente. 56 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe para i, j, k = 1, . . . , n y a, b, c = 1, . . . , r ; donde (∇0(dφ))a ij(p) = ∂2φa ∂xi∂xj (p)−gΓk ij(p)∂φa ∂xk (p) +hΓa bc(φ(p))(∂φb ∂xi (p)∂φc ∂xi (p)). Finalmente, respecto a la base usual dxi⊗∂a de la bra T∗M⊗φ∗TN en p∈M , se tiene la siguiente expresión τ(φ) = τ(φ)a∂a=gij(∇0(dφ))a ij∂a∈(φ∗TN)p, donde nuevamente i, j = 1, . . . , n y a= 1, . . . , r . Un campo de vectores X se dice armónico Killing si su ujo integral está constituído por difeomorsmos locales armónicos. Además, dichos campos de vectores verican el siguiente resultado Teorema 2.13. [101] Sea (M, g) una variedad pseudo-Riemanniana de dimensión n y X un campo de vectores en M . Si X es armónico Killing entonces se verica que para todo p∈Mn X j=1 (LX∇)(Yj, Yj)=0, siendo {Yj}j=1,...,n una referencia ortonormal arbitraria en TpM . Por los resultados obtenidos en [101] se tiene que esta condición es necesaria pero no suciente, es decir, exixten campos de vectores vericando que Pn j=1(LX∇)(Yj, Yj) = 0 pero que no son campos de vectores armónico Killing. Este hecho llevó a los autores a introducir el concepto de campo de vectores 1 -armónico. Se dice que un campo de vectores X es 1 -armónico o 1 -armónico-Killing si el grupo 1 -paramétrico local de transformaciones asociado a X , {φt}t∈I , verica dτ(φt) dt |t=0 = 0 es decir, la parte lineal de su campo de tensión se anula. Para esta nueva clase de campos de vectores se verica el siguiente Teorema Teorema 2.14. [101] En una variedad pseudo-Riemanniana (M, g) son equivalentes las siguientes armaciones: (i)X es un campo de vectores 1 -armónico, (ii) tr LX∇= 0 , (iii)X: (M, g)→(TM, gc) es una aplicación armónica, (iv)X es un campo de vectores de Jacobi a lo largo de la identidad. (v) ∆X=bρ(X) . 2.3.1 Caso unimodular 57 El propósito de esta sección es determinar todos los campos de vectores 1 -armónicos invariantes a la izquierda sobre los grupos de Lie de dimensión tres. De forma obvia los campos de vectores afín Killing (y por tanto los campos de vectores Killing) son 1 -armónicos, y por tanto haremos énfasis en la existencia de aquellos campos de vectores 1 -armónicos que no sean afín Killing. La motivación para realizar este estudio proviene del hecho de que todo solitón de Ricci es un campo de vectores 1 -armónico, según se ha probado en [97]. Para realizar este estudio, analizamos la existencia de campos de vectores invariantes a la izquierda Killing, afín Killing y 1 -armónicos sobre grupos de Lie Lorentzianos unimodulares en la Sección 2.3.1, mientras que el caso Lorentziano no unimodular es considerado en la Sección 2.3.2. En cada caso determinamos los correspondientes subespacios vectoriales de los campos de vectores invariantes a la izquierda Killing, afín Killing y 1 -armónicos. Finalmente en la Sección 2.3.3 analizamos el caso Riemanniano; omitiremos los detalles puesto que los resultados se obtienen esencialmente siguiendo los mismos pasos que en las Secciones 2.3.1 y 2.3.2. Además, en la Sección 2.3.3 también se demuestra que la clase de campos de vectores 1 -armónicos invariantes a la izquierda es estrictamente más grande que la clase de los solitones de Ricci Lorentzianos. En lo que sigue denotaremos por VK , VAK y VA los espacios vectoriales generados por los campos de vectores invariantes a la izquierda Killing, afín Killing y 1 -armónicos en un grupo de Lie respectivamente. 2.3.1. Caso unimodular Sea G un grupo de Lie dotado con una métrica g pseudo-Riemanniana e invariante a la izquierda. Aunque cualquier campo de vectores invariante a la derecha en G es un campo de vectores Killing, la existencia de campos de vectores Killing invariantes a la izquierda impone algunas restricciones a (G, g) . En esta sección consideraremos la existencia de campos de vectores Killing, afín Killing y 1 -armónicos invariantes a la izquierda en los grupos de Lie Lorentzianos unimodulares de dimensión tres cuyas correspondientes álgebras de Lie fueron introducidas en la Sección 1.2.1. i) Tipo Ia Un álgebra de Lie g de Tipo Ia viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} de signatura (+ + −) por [e1, e2] = −γe3,[e1, e3] = −βe2,[e2, e3] = αe1. De este modo, la conexión de Levi-Civita está determinada por Φ3 12 = Φ2 13 =1 2(α−β−γ),Φ3 21 = Φ1 23 =1 2(α−β+γ),Φ2 31 =−Φ1 32 =1 2(α+β−γ); donde las φk ij están denidas como ∇eiej=φk ijek . 58 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Estas expresiones nos permiten calcular para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ=Pξiei , los términos no nulos en la derivada de Lie de la métrica Lξg , que vienen dados por (2.9) (Lξg)12 = (α−β)ξ3,(Lξg)13 = (γ−α)ξ2,(Lξg)23 = (β−γ)ξ1, así como determinar también la derivada de Lie de la conexión de Levi-Civita (2.10) (Lξ∇)11 =γ(γ−α)ξ2e2−β(α−β)ξ3e3, (Lξ∇)22 =−γ(β−γ)ξ1e1+α(α−β)ξ3e3, (Lξ∇)33 =−β(β−γ)ξ1e1+α(γ−α)ξ2e2, (Lξ∇)12 =1 2(α−γ)(α−β+γ)ξ2e1−1 2(β−γ)(α−β−γ)ξ1e2, (Lξ∇)13 =−1 2(α−β)(α+β−γ)ξ3e1+1 2(β−γ)(α−β−γ)ξ1e3, (Lξ∇)23 =1 2(α−β)(α+β−γ)ξ3e2−1 2(α−γ)(α−β+γ)ξ2e3. A continuación determinamos los campos de Killing, afín Killing y 1 -armónicos invariantes a la izquierda en este primer caso. Lema 2.15. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo Ia admite campos de vectores Killing invariantes a la izquierda y no cero si y sólo si se verica una de las siguientes condiciones: (i) α=β=γ, ó (ii) α=β6=γ, ó (iii) β=γ6=α, ó (iv) α=γ6=β. Además, en estos casos, tenemos respectivamente que: (i) VK=he1, e2, e3i. (ii) VK=he3i. (iii) VK=he1i. (iv) VK=he2i. (Con el n de jar la notación, observemos que por ejemplo  VK=he3i  signica que VK está generado por e3 ). Demostración. Haciendo uso de la Ecuación (2.9), la condición Killing para ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) está caracterizada por (α−β)ξ3= 0,(γ−α)ξ2= 0,(β−γ)ξ1= 0, con lo que el resultado se sigue de forma directa. Teorema 2.16. Un campo de vectores invariante a la izquierda en un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo Ia es 1 -armónico si y sólo si es Killing. 2.3.1 Caso unimodular 59 Demostración. Para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , la Ecuación (2.10) implica que tr Lξ∇= (β−γ)2ξ1e1+ (α−γ)2ξ2e2+ (α−β)2ξ3e3. Por tanto ξ es 1 -armónico si y sólo si (β−γ)ξ1= (α−γ)ξ2= (α−β)ξ3= 0 y así ξ es Killing (véase Ecuación (2.9)). ii) Tipo Ib Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo Ib está determinada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} de signatura (+ + −) por [e1, e2] = βe2−γe3,[e1, e3] = −γe2−βe3,[e2, e3] = αe1; con β6= 0 . Y, por tanto, la conexión de Levi-Civita está determinada por Φ3 12 = Φ2 13 =1 2(α−2γ),Φ2 21 =−Φ1 22 =−Φ3 31 =−Φ1 33 =−β, Φ3 21 = Φ1 23 = Φ2 31 =−Φ1 32 =α 2, y por un cálculo directo se demuestra que la derivada de Lie de la conexión de Levi-Civita está determinada por (2.11) (Lξ∇)11 =−(β2+γ(α−γ))ξ2−β(α−2γ)ξ3e2 +β(α−2γ)ξ2−(β2+γ(α−γ))ξ3e3, (Lξ∇)22 =−2β2ξ1e1−β(βξ2+ (α−γ)ξ3)e2 +βγξ2+ (α2+β2−αγ)ξ3e3, (Lξ∇)33 = 2β2ξ1e1−(α2+β2−αγ)ξ2−βγξ3e2 −β((α−γ)ξ2−βξ3)e3, (Lξ∇)12 =1 2(α2+ 2β2−αγ)ξ2+β(α−2γ)ξ3e1−β(α−2γ)ξ1e3, (Lξ∇)13 =1 2β(α−2γ)ξ2−(α2+ 2β2−αγ)ξ3e1+β(α−2γ)ξ1e2, (Lξ∇)23 = 2βγξ1e1+1 2α(βξ2+ (α−γ)ξ3)e2−1 2α((α−γ)ξ2−βξ3)e3. De este modo tenemos: Teorema 2.17. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo Ib no admite ningún campo de vectores 1 -armónico invariante a la izquierda y distinto de cero. 60 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Demostración. Para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , la Ecuación (2.11) implica que tr Lξ∇=−4β2ξ1e1+((α−γ)2−β2)ξ2−2β(α−γ)ξ3e2 +2β(α−γ)ξ2+ ((α−γ)2−β2)ξ3e3. Por tanto ξ es 1 -armónico si y sólo si β2ξ1= 0, ((α−γ)2−β2)ξ2−2β(α−γ)ξ3= 0, 2β(α−γ)ξ2+ ((α−γ)2−β2)ξ3= 0, y como β6= 0 se sigue que este sistema homogéneo de ecuaciones lineales en (ξ1, ξ2, ξ3) tiene como solución únicamente la solución trivial. iii) Tipo II Un álgebra de Lie g de Tipo II viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} de signatura (+ + −) por las siguientes constantes de estructura [e1, e2] = 1 2e2−(β−1 2)e3,[e1, e3] = −(β+1 2)e2−1 2e3,[e2, e3] = αe1. En este caso, la conexión de Levi-Civita está determinada por Φ3 12 = Φ2 13 =1 2(α−2β),Φ2 21 =−Φ1 22 =−Φ3 31 =−Φ1 33 =−1 2, Φ3 21 = Φ1 23 =1 2(α−1),Φ2 31 =−Φ1 32 =1 2(α+ 1), con lo que la derivada de Lie de la métrica está caracterizada por (2.12) (Lξg)22 = (Lξg)33 =−(Lξg)23 =−ξ1,(Lξg)12 =1 2(ξ2+ (2α−2β−1)ξ3), (Lξg)13 =−1 2((2α−2β+ 1)ξ2−ξ3). 2.3.1 Caso unimodular 61 Además, la derivada de Lie de la conexión de Levi-Civita está determinada por (2.13) (Lξ∇)11 =1 2((α−2αβ + 2β(β−1))ξ2+ (2β−α)ξ3)e2 +1 2((α−2β)ξ2−(α+ 2αβ −2β(β+ 1))ξ3)e3, (Lξ∇)22 =−βξ1e1−1 4(ξ2+ (2α−2β−1)ξ3)e2 +1 4(2β−1)ξ2+ (4α2−2α(2β+ 1) + 1)ξ3e3, (Lξ∇)33 =−βξ1e1−1 4(4α2−α(4β−2) + 1)ξ2−(2β+ 1)ξ3e2 −1 4((2α−2β+ 1)ξ2−ξ3)e3, (Lξ∇)12 =1 4(2α2+ 2β−α(2β+ 1))ξ2+ (α−2β)ξ3e1 + (β−α 2)ξ1(e2+e3), (Lξ∇)13 =1 4(α−2β)ξ2−(2α2+α−2β−2αβ)ξ3e1 +1 2(α−2β)ξ1(e2+e3), (Lξ∇)23 =βξ1e1+1 4(α+ 1) (ξ2+ (2α−2β−1)ξ3)e2 −1 4(α−1) ((2α−2β+ 1)ξ2−ξ3)e3. Consideramos en los siguientes resultados la existencia de campos de vectores Killing, afín Killing y 1 -armónicos invariantes a la izquierda en estos grupos. Lema 2.18. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo II admite un campo de vectores Killing invariante a la izquierda y distinto de cero si y sólo si α=β . Además, en tal caso VK=he2+e3i . Demostración. De la Ecuación (2.12), la condición de ser Killing para ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) está dada por ξ1= 0, ξ2+ (2α−2β−1)ξ3= 0,(2α−2β+ 1)ξ2−ξ3= 0. Estas ecuaciones pueden verse como un sistema de ecuaciones lineal homogéneo en (ξ1, ξ2, ξ3) , el cual tiene solución no trivial si y sólo si α=β . En tal caso, ξ1= 0 y ξ3=ξ2 , lo que demuestra el resultado. Lema 2.19. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo II admite campos de vectores afín Killing invariantes a la izquierda y no Killing si y sólo si α=β= 0 . Además, en tal caso VAK =he1, e2+e3i . Demostración. De la Ecuación (2.13) obtenemos la siguiente condición necesaria para que un campo de vectores ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) sea afín Killing g((Lξ∇)13, e2) = 1 2(α−2β)ξ1= 0, g((Lξ∇)22, e2) = −1 4(ξ2+ (2α−2β−1)ξ3) = 0, g((Lξ∇)33, e3) = 1 4((2α−2β+ 1)ξ2−ξ3)=0. 62 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Este sistema de ecuaciones lineal homogéneo en (ξ1, ξ2, ξ3) tiene solución no trivial si y sólo si (α−β)(α−2β) = 0 . Observemos que si α= 2β entonces (Lξ∇)11 =−β2ξ2e2−β2ξ3e3, g((Lξ∇)22, e1) = −βξ1, y por tanto para que existan de campos de vectores afín Killing invariantes a la izquierda y distintos de cero ha de ser necesariamente β= 0 (con lo que también resulta α= 0 ). De este modo obtenemos que existen campos de vectores afín Killing invariantes a la izquierda y distintos de cero si y solo si α=β . Ahora bien, escribiendo la Ecuación (2.13) para β=α se obtiene que la condición de ser afín Killing para ξ se reduce a αξ1= 0, ξ2−ξ3= 0. Es decir, si α=β6= 0 entonces VAK =he2+e3i=VK (véase Lema 2.18). Finalmente, si α=β= 0 entonces ξ es afín Killing si y sólo si ξ3=ξ2 , lo que, nuevamente por el Lema 2.18, termina la demostración. Teorema 2.20. Cualquier grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo II admite campos de vectores 1 -armónico invariantes a la izquierda que no son afín Killing. Más precisamente, (i) VA=he1, e2, e3i , si α=β , ó (ii) VA=he1i , si α6=β . Demostración. Para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , la Ecuación (2.13) implica que tr Lξ∇= (α−β)((α−β+ 1)ξ2−ξ3)e2+ (α−β)(ξ2+ (α−β−1)ξ3)e3. Por tanto, si α=β tenemos que tr Lξ∇ se anula para cualquier campo de vectores ξ invariante a la izquierda, mientras que para α6=β el campo de vectores ξ es 1 -armónico si y sólo si (α−β+ 1)ξ2−ξ3= 0, ξ2+ (α−β−1)ξ3= 0, lo cual es equivalente a ξ2=ξ3= 0 . Finalmente, a partir de los Lemas 2.18 y 2.19 se obtiene el resultado enunciado. iv) Tipo III Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo III viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} de signatura (+ + −) , como [e1, e2] = −1 √2e1−αe3,[e1, e3] = −1 √2e1−αe2,[e2, e3] = αe1+1 √2e2−1 √2e3. 2.3.1 Caso unimodular 63 Por tanto, la conexión de Levi-Civita está determinada por Φ2 11 =−Φ3 11 =−Φ1 12 =−Φ1 13 = Φ3 22 = Φ2 23 = Φ3 32 = Φ2 33 =1 √2, Φ3 12 = Φ2 13 =−Φ3 21 =−Φ1 23 =−Φ2 31 = Φ1 32 =−α 2, con lo que la derivada de Lie de la conexión de Levi-Civita está dada por (2.14) (Lξ∇)11 =1 2√2αξ1−3ξ2−3ξ3(e2−e3), (Lξ∇)22 =−ξ1−α √2(ξ2−ξ3)e1+1 2(ξ2−ξ3)e2 +1 2√2αξ1−ξ2+ξ3e3, (Lξ∇)33 =−ξ1−α √2(ξ2−ξ3)e1+1 2√2αξ1+ξ2−ξ3e2 −1 2(ξ2−ξ3)e3, (Lξ∇)12 =−α 2√2ξ1e1+1 42ξ1−√2α(ξ2−ξ3)e2 −1 2ξ1+α √2(ξ2+ 2ξ3)e3, (Lξ∇)13 =−α 2√2ξ1e1+1 2ξ1−√2α(2ξ2+ξ3)e2 −1 42ξ1−√2α(ξ2−ξ3)e3, (Lξ∇)23 =−ξ1−α √2(ξ2−ξ3)e1+1 4√2αξ1+ 2ξ2−2ξ3e2 +1 4√2αξ1−2ξ2+ 2ξ3e3. Para este caso obtenemos los siguientes resultados. Lema 2.21. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo III no admite ningún campo de vectores afín Killing invariante a la izquierda y distinto de cero. Demostración. Haciendo uso de la Ecuación (2.14), si el campo de vectores invariante a la izquierda, ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , es afín Killing entonces g((Lξ∇)33, e3) = 1 2(ξ2−ξ3) = 0, g((Lξ∇)33, e1) = −ξ1+α √2(ξ2−ξ3)=0, g((Lξ∇)11, e2) = 1 2√2αξ1−3ξ2−3ξ3= 0, de donde se sigue el resultado de forma directa. Teorema 2.22. Cualquier grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo III admite campos de vectores 1 -armónicos invariantes a la izquierda y no afín Killing. Además, el espacio de los campos de vectores 1 -armónicos invariantes a la izquierda está dado por VA= he1, e2−e3i . Demostración. Para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , la Ecuación (2.14) implica que tr Lξ∇=−3 2(ξ2+ξ3)(e2−e3). 64 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Por tanto, ξ es un campo de vectores 1 -armónico si y sólo si ξ3=−ξ2 . Finalmente, por del Lema 2.21 tenemos que dicho campo no es afín Killing. Resumimos los resultados obtenidos en esta sección en la siguiente tabla. Grupos de Lie Lorentzianos unimodulares Tipo No cero No Killing No afín Killing Killing afín Killing 1 -armónico Ia α=β=γ α=β6=γ β=γ6=α α=γ6=β 7 7 Ib 7 7 7 II α=β= 0 α=β6= 0 7 X 7 7 X X En cualquier otro caso III 7 7 En otro caso 2.3.2. Caso no unimodular En esta sección consideramos la existencia de campos de vectores Killing, afín Killing y 1 -armónicos invariantes a la izquierda en grupos de Lie Lorentzianos no unimodulares de dimensión tres, cuyas álgebras de Lie fueron introducidas en la Sección 1.2.1. i) Tipo S Las álgebras de Lie g de Tipo S son álgebras de Lie resolubles vericando que para cualesquiera dos elementos x e y∈g , su producto corchete [x, y] es una combinación lineal de ellos mismos. En este caso la conexión de Levi-Civita está determinada por Φ2 11 =−Φ1 12 =−Φ3 32 =−Φ2 33 =β, Φ3 11 = Φ1 13 = Φ3 22 = Φ2 23 =−γ, Φ2 21 =−Φ1 22 = Φ3 31 = Φ1 33 =−α, 2.3.2 Caso no unimodular 65 y por tanto su derivada de Lie está dada por (2.15) (Lξ∇)11 = ((−β2+γ2)ξ1−αβξ2−αγξ3)e1 + (αβξ1−(α2+ 2β2−γ2)ξ2−βγξ3)e2 −(αγξ1−βγξ2+ (α2+β2−2γ2)ξ3)e3, (Lξ∇)22 = ((−2α2−β2+γ2)ξ1+αβξ2−αγξ3)e1 −(αβξ1+ (α2−γ2)ξ2+βγξ3)e2 + (αγξ1−βγξ2−(α2+β2−2γ2)ξ3)e3, (Lξ∇)33 = ((2α2+β2−γ2)ξ1+αβξ2−αγξ3)e1 + (αβξ1+ (α2+ 2β2−γ2)ξ2−βγξ3)e2 −(αγξ1+βγξ2−(α2+β2)ξ3)e3, (Lξ∇)12 = (αβξ1+α2ξ2)e1+ (β2ξ1+αβξ2)e2−(βγξ1+αγξ2)e3, (Lξ∇)13 = (αγξ1−α2ξ3)e1+ (βγξ1−αβξ3)e2−(γ2ξ1−αγξ3)e3, (Lξ∇)23 = (αγξ2−αβξ3)e1+ (βγξ2−β2ξ3)e2−(γ2ξ2−βγξ3)e3. Resulta entonces que Lema 2.23. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo S no admite ningún campo de vectores afín Killing invariante a la izquierda y distinto de cero. Demostración. Supongamos primero que α=β= 0 . Entonces, la Ecuación (2.15) implica que (Lξ∇)11 =γ2ξ1e1+γ2ξ2e2+ 2γ2ξ3e3, y por tanto, un campo de vectores afín Killing debe ser nulo. Supongamos ahora que o bien α6= 0 o β6= 0 . De la Ecuación (2.15) obtenemos que g((Lξ∇)11, e1)−g((Lξ∇)22, e1)+2g((Lξ∇)12, e2) = 2(α2+β2)ξ1, g((Lξ∇)11, e2)−g((Lξ∇)22, e2)−2g((Lξ∇)12, e1) = −2(α2+β2)ξ2, y por tanto si ξ es afín Killing entonces necesariamente ξ1=ξ2= 0 . Finalmente, bajo estas condiciones, de nuevo la Ecuación (2.15) implica que g((Lξ∇)33, e3) = −(α2+β2)ξ3, y por tanto se concluye que si ξ es un campo de vectores afín Killing entonces ha de anularse. No obstante, la situación no es tan rígida con respecto a los campos de vectores 1 - armónicos. En particular tenemos que 72 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Lema 2.30. Cualquier campo de vectores afín Killing invariante a la izquierda en un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.2 es Killing. Demostración. Para un campo de vectores invariante a la izquierda, ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , la Ecuación (2.22) implica g((Lξ∇)11, e1) + g((Lξ∇)22, e1) = (α+δ)(αξ1+γξ2), g((Lξ∇)11, e2) + g((Lξ∇)22, e2) = (α+δ)(βξ1+δξ2), g((Lξ∇)11, e3) + g((Lξ∇)22, e3) = −(2α2+ 2δ2+ (β+γ)2)ξ3. Si suponemos que ξ es afín Killing, y puesto que α+δ6= 0 , se sigue que ξ3= 0, αξ1+γξ2= 0, βξ1+δξ2= 0. Ahora bien, estas igualdades coinciden con las de la Ecuación (2.23), y por tanto ξ ha de ser Killing. Teorema 2.31. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.2 admite un campo de vectores 1 -armónico invariante a la izquierda no afín Killing si y sólo si verica alguna de las siguientes condiciones (i) β=γ= 0 y δ=−2α6= 0 , ó (ii) β=γ= 0 y δ=−α 26= 0 , ó (iii) α6= 0 6=β , γ=(2α+δ)(α+2δ) β(6= 0) , δ=−5α2−β2+ε√9α4+β4+10α2β2 4α(6= 0) , siendo ε2= 1 . Además, en estos casos, se tiene (i) VA=he1i . (ii) VA=he2i . (iii) VA=he1+2α2+β2+αδ δ(β−γ)e2i . Demostración. Para un campo de vectores invariante a la izquierda, ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , la Ecuación (2.22) implica que tr Lξ∇=(2α2+β2+αδ)ξ1−δ(β−γ)ξ2e1 +β(α+δ)ξ1+ (γ2+ 2δ2+αδ)ξ2e2 + (2α2+ (β+γ)2+ 2δ2)ξ3e3. Puesto que α+δ6= 0 , se sigue que ξ es 1 -armónico si y sólo si (2.24) (2α2+β2+αδ)ξ1−δ(β−γ)ξ2= 0, ξ3= 0, β(α+δ)ξ1+ (γ2+ 2δ2+αδ)ξ2= 0. 2.3.2 Caso no unimodular 73 Este sistema de ecuaciones lineales homogéneo en (ξ1, ξ2, ξ3) tiene solución no trivial si y sólo si (2.25) (αδ −βγ)·((2α+δ)(α+ 2δ)−βγ) = 0. Ahora bien, puesto que αγ +βδ = 0 , si el primer factor en la Ecuación (2.25) se anula entonces α=β= 0 ó γ=δ= 0 . Si α=β= 0 , entonces la Ecuación (2.24) se verica si y sólo si ξ2=ξ3= 0 . Por otra parte, si γ=δ= 0 , entonce la Ecuación (2.24) se verica si y sólo si ξ1=ξ3= 0 . Por tanto, por el Lema 2.29 resulta que en cualquiera de los dos casos ξ es un campo de vectores de Killing. Analizamos ahora el segundo factor de la Ecuación (2.25). Supongamos primero que β= 0 ; entonces δ=−2α ó δ=−α 2 , y en cualquiera de estas dos situaciones se tiene necesariamente que γ= 0 ya que αγ +βδ =αγ = 0 y α+δ6= 0 . Así, de la Ecuación (2.24) se sigue que para δ=−2α el campo de vectores ξ es 1 -armónico si y sólo si ξ2=ξ3= 0 , mientras que para δ=−α 2 resulta que ξ es 1 -armónico si y sólo si ξ1=ξ3= 0 ; por tanto, en vista de los Lemas 2.29 y 2.30, se obtienen (i) e (ii) . Finalmente analizamos el caso β6= 0 . Con esta consideración tenemos que necesariamente α6= 0 ya que αγ +βδ = 0 , α+δ6= 0 y β6= 0 . De este modo, la anulación del segundo factor en la Ecuación (2.25) junto con la relación αγ +βδ = 0 implican que γ=(2α+δ)(α+ 2δ) β, δ =−5α2−β2+εp9α4+β4+ 10α2β2 4α, siendo ε2= 1 . Así, a partir de los Lemas 2.29 y 2.30, y debido a que la primera y la segunda ecuación en (2.24) contienen la misma información, se obtiene (iii) . iv) Tipo IV.3 Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo IV.3 está determinada respecto a una base pseudo-ortonormal {e1, e2, e3} con g(·,·) =   1 0 0 0 0 −1 0−1 0  , por las siguientes constantes de estructura [e1, e2]=0,[e1, e3] = αe1+βe2,[e2, e3] = γe1+δe2, donde α+δ6= 0 y αγ = 0 . De este modo, la conexión de Levi-Civita está determinada por Φ2 11 = Φ1 13 =α, Φ2 12 =−Φ3 13 = Φ2 21 = Φ1 23 =−Φ3 31 =−Φ1 32 =γ 2, Φ2 31 = Φ1 33 =−β, Φ2 32 =−Φ3 33 =−δ. 74 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Y así, la derivada de Lie de la métrica y la de la conexión de Levi-Civita están dadas por (2.26) (Lξg)11 = 2αξ3,(Lξg)33 = 2(βξ1+δξ2),(Lξg)12 =γξ3, (Lξg)13 =−αξ1−γξ2−βξ3,(Lξg)23 =−δξ3, y (2.27) (Lξ∇)11 = (2α2+βγ −αδ)ξ3e2, (Lξ∇)22 =γ2ξ3e2, (Lξ∇)33 = (α(δ−α)ξ1+γδξ2+αβξ3)e1 +β(α+ 2δ)ξ1+ (βγ + 2δ2)ξ2+β2ξ3e2+γ2ξ2e3, (Lξ∇)12 =−1 2γ2ξ3e1, (Lξ∇)13 =−1 2γ(γξ2−βξ3)e1−(α2+βγ)ξ1+γδξ2+αβξ3e2, (Lξ∇)23 =1 2γδξ3e1−1 2γ(γξ2+βξ3)e2−1 2γ2ξ3e3. De este modo resulta que Lema 2.32. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.3 admite campos de vectores Killing invariantes a la izquierda distinto de cero si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones (i) α= 0 , β= 0 y δ6= 0 , ó (ii) α= 0 , β6= 0 , γ= 0 y δ6= 0 , ó (iii) α6= 0 , γ= 0 y δ= 0 . Además, en estos casos, tenemos respectivamente que: (i)VK=he1i.(ii)VK=he1−β δe2i.(iii)VK=he2i. Demostración. Teniendo en cuenta que α+δ6= 0 , la Ecuación (2.26) implica que la condición de ser Killing para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) está determinada por ξ3= 0, βξ1+δξ2= 0, αξ1+γξ2= 0. Como αγ = 0 , si suponemos α= 0 entonces necesariamente se tiene que δ6= 0 , y por tanto las ecuaciones anteriores se reducen a ξ3= 0 , ξ2=−β δξ1 y γξ2= 0 . De este modo se obtienen (i) e (ii) . Ahora bien, si α6= 0 entonces γ= 0 y ξ es Killing si y sólo si ξ1=ξ3= 0 y δξ2= 0 , de donde se sigue (iii) . Lema 2.33. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.3 admite campos de vectores afín Killing invariantes a la izquierda no Killing si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones 2.3.2 Caso no unimodular 75 (i) α= 0 , γ= 0 y δ6= 0 , ó (ii) γ= 0 y δ= 2α6= 0 . Además, en estos casos, tenemos respectivamente que (i)VAK =he1−β δe2,−β2 2δ2e2+e3i.(ii)VAK =h−β αe1+β2 2α2e2+e3i. Demostración. Consideramos un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) . Puesto que αγ = 0 podemos considerar diferentes situaciones. Comenzamos estudiando el caso α=γ= 0 . En esta situación, la Ecuación (2.27) se reduce a (Lξ∇)33 =2δ(βξ1+δξ2) + β2ξ3e2. Como α= 0 se tiene necesariamente que δ6= 0 , y por tanto ξ es afín Killing si y sólo si ξ2=−β δξ1−β2 2δ2ξ3 , lo cual junto con el Lema 2.32 demuestra (i) . Supongamos ahora que α= 0 y γ6= 0 . En este caso, obtenemos de la Ecuación (2.27) las relaciones (Lξ∇)22 =γ2ξ3e2, g((Lξ∇)33, e1) = γδξ2, las cuales implican ξ2=ξ3= 0 (observemos que con estas consideraciones δ es necesariamente no nulo). Bajo estas condiciones ξ es afín Killing si y sólo si βξ1= 0 , y por tanto si y sólo si β= 0 . De este modo resulta por el Lema 2.32 que ξ es necesariamente Killing. Finalmente analizamos el caso α6= 0 y γ= 0 . En esta situación la Ecuación (2.27) implica que (Lξ∇)11 =α(2α−δ)ξ3e2,(Lξ∇)13 =−α(αξ1+βξ3)e2. Ahora bien, si δ6= 2α entonces ξ3= 0 y ξ1= 0 , y la condición de ser afín Killing se reduce a δξ2= 0 . Así, se tiene que δ= 0 y por el Lema 2.32 que ξ es un campo de vectores de Killing. Por otra parte, si δ= 2α entonces la Ecuación (2.27) se reduce a (Lξ∇)33 =α(αξ1+βξ3)e1+ (5αβξ1+ 8α2ξ2+β2ξ3)e2, (Lξ∇)13 =−α(αξ1+βξ3)e2, de lo que se sigue que ξ es afín Killing si y sólo si ξ1=−β αξ3, ξ2=β2 2α2ξ3. Por tanto, considerando ahora el Lema 2.32, se obtiene lo enunciado en (ii) . Teorema 2.34. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.3 admite un campo de vectores 1 -armónico invariante a la izquierda no afín Killing si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones 76 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe (i) α=γ= 0 y δ6= 0 , ó (ii) α= 0 , β6= 0 , γ6= 0 y δ6= 0 , ó (iii) γ= 0 , α6= 0 , δ6= 2α , ó (iv) γ= 0 y δ= 2α6= 0 . Además, en estos caso, tenemos respectivamente que (i) VA=he1, e2, e3i . (ii) VA=he1i . (iii) VA=he1, e2i . (iv) VA=he1, e2, e3i . Demostración. Para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) , la Ecuación (2.27) implica que tr Lξ∇=−γδξ3e1+γ2ξ2+ (2α2+ 2βγ −αδ)ξ3e2+γ2ξ3e3. En lo que sigue recordemos que αγ = 0 y consideremos los Lemas 2.32 y 2.33. Así, si α=γ= 0 entonces tr Lξ∇= 0 , de donde se sigue (i) . Por su parte, si α= 0 y γ6= 0 , entonces la expresión anterior para tr Lξ∇ se anula si y sólo si ξ2=ξ3= 0 , y por tanto si β= 0 resulta que el campo de vectores ξ es de Killing, mientras que para β6= 0 obtenemos (ii) . Finalmente, si suponemos α6= 0 y γ= 0 se tiene que tr Lξ∇=α(2α−δ)ξ3e2 , de donde se siguen (iii) y (iv) . Presentamos los resultados que hemos obtenido en esta sección en la siguiente tabla. 2.3.3 Observaciones nales 77 Grupos de Lie Lorentzianos no unimodulares Tipo No cero No Killing No afín Killing Killing afín Killing 1 -armónico S7 7 γ=εpα2+β2 IV.1 α=β= 0, δ 6= 0 α(α+δ)6= 0, γ =βδ α, δ(α2−β2) = 0, 7 7 7 7 Si γ2= 2δ2  Si δ= 0 , β2= 2α2 Teorema 2.28, (iii), (iv), (v) IV.2 α=β= 0, δ 6= 0 γ=δ= 0, α 6= 0 7 7 7 7 7 7 Teorema 2.31, (i), (ii), (iii) IV.3 α= 0, β = 0, δ 6= 0 α= 0, β 6= 0, γ = 0, δ 6= 0 α6= 0, γ = 0, δ = 0 7 7 7 Si γ= 0 X 7 γ= 0, δ = 2α6= 0 7 7 X X X X Teorema 2.34, (ii) Teorema 2.34, (iii) + δ6= 0 2.3.3. Observaciones nales Caso Riemanniano En el caso Riemanniano, los grupos de Lie unimodulares se corresponden con los de Tipo Ia, mientras que en el caso no unimodular se corresponden con los Tipos S y IV.2. Omitiremos los detalles a continuación puesto que los resultados se obtienen como en las Secciones 2.3.1 y 2.3.2. Con respecto al caso unimodular, observemos que como consecuencia del Teorema 2.16 se tiene VK=VAK =VA para grupos de Lie Lorentzianos unimodulares de Tipo Ia. El Teorema 2.16 sigue siendo cierto en el caso Riemanniano, es decir, se tiene que cualquier campo de vectores 1 -armónico invariante a la izquierda es un campo de vectores de Killing en el caso unimodular de Tipo Ia. Los grupos de Lie no unimodulares de Tipo S no admiten ningún campo de vectores 1 -armónico invariante a la izquierda no cero en el caso Riemanniano, a diferencia del caso Lorentziano tratado en el Teorema 2.24. Finalmente, el comportamiento de los de Tipo IV.2 es exactamente el mismo en el caso Riemanniano y en el Lorentziano, puesto que el Teorema 2.31 sigue siendo cierto en la clase Riemanniana. Campos de vectores afín Killing y homotéticos Los grupos de Lie Lorentzianos de Tipo II (con α=β= 0 ) y de Tipo IV.3 (con α=γ= 0 6=δ o γ= 0 6=δ= 2α ) admiten campos de vectores afín Killing que no son 78 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Killing (véanse los Lemas 2.19 y 2.33). Además, mientras que los grupos de Lie de Tipo II con α=β= 0 y los grupos de Tipo IV.3 con α=γ= 0 son llanos, observemos que los grupos de Lie correspondientes a las álgebras de Lie de Tipo IV.3 con γ= 0 6=δ= 2α no lo son. Esto demuestra que, a diferencia de lo que ocurre en el caso Riemanniano (véase [62]), existen variedades Lorentzianas admitiendo transformaciones afín Killing que no son llanas. Además, observemos que esta familia de álgebras de Lie se corresponde con el único solitón de Yamabe invariante a la izquierda no trivial, como se vio en el Teorema 2.11. Solitones de Ricci invariantes en grupos de Lie Lorentzianos Recientemente, la propiedad de armonicidad ha sido relacionada con la existencia de solitones de Ricci (véase [97]), demostrando que cualquier solitón de Ricci es un campo de vectores 1 -armónico. Los solitones de Ricci invariantes a la izquierda en grupos de Lie Lorentzianos de dimensión tres han sido estudiados en [13], demostrando que cualquiera de estos grupos ha de corresponderse con uno de los siguientes (a) Un grupo de Lie unimodular de Tipo II con α= 0 6=β o con α=β . Además, los solitones de Ricci invariantes a la izquierda están dados por ξ=−βe1 si α= 0 6=β , y ξ=−1 2βe1+κ(e2+e3) para cualquier κ∈R si α=β . (b) Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo III para cualquier valor de α . En este caso, los solitones de Ricci invariantes a la izquierda están dados por ξ= αe1−1 √2(e2−e3) . (c) Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.3 con γ= 0 . Si δ= 2α6= 0 entonce los solitones de Ricci están dados por ξ=−2βλ δ2e1+16β2λ−δ4 8δ3e2+λ δe3 , mientras que se reducen a ξ=α(α−δ) 2δe2 si α=γ= 0 . Como consecuencia de los resultados obtenidos en las Secciones 2.3.1 y 2.3.2 (más precisamente, de los Teoremas 2.20, 2.22 y 2.34), se sigue que la clase de los campos de vectores 1 -armónicos invariantes a la izquierda es estrictamente más grande que la clase de los solitones de Ricci en cualquiera de los tres casos anteriores. 2.4. Colineaciones de Ricci Las simetrías han sido ampliamente estudiadas por su gran interés desde el punto de vista tanto matemático como físico. Con el término simetría aquí se hace referencia a un grupo 1 -paramétrico de difeomorsmos de la variedad pseudo-Riemanniana (M, g) conservando ciertos objetos matemáticos. De este modo, las simetrías pueden ser consideradas como campos de vectores ξ conservando algún tensor Φ denido en toda la variedad, como por ejemplo el tensor métrico. La conservación de un objeto geométrico se entiende como la anulación de la derivada de Lie de dicho objeto geométrico en la dirección del campo 2.4.1 Caso unimodular 79 de vectores ξ , i.e., como la condición LξΦ=0 . Los tipos de simetría más conocidos incluyen isometrías, homotecias y transformaciones conformes. No obstante, existe otro tipo de simetrías cuyo estudio es bastante reciente en la literatura, las conocidas como colineaciones de Ricci. Dada una variedad pseudo-Riemanniana (M, g) , se dice que un campo de vectores ξ en M es una colineación de Ricci si Lξρ= 0 . Nuestro propósito en esta sección es determinar todas las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda en los grupos de Lie de dimensión tres. Puesto que la conexión y el tensor de Ricci están construídos a partir del tensor métrico, este hereda sus simetrías. Así, todo campo de vectores de Killing es un campo afín Killing y una colineación de Ricci pero el recíproco puede no ser cierto; por tanto, prestaremos especial atención a la existencia de las colineaciones de Ricci no afín Killing. Con este objetivo consideraremos los subespacios de campos de vectores de Killing y afín Killing determinados en la Sección 2.3. Además, observemos que cualquier campo de vectores homotético es una colineación de Ricci (y por tanto también lo es todo solitón de Yamabe con curvatura escalar constante como vimos en la Sección 2.2). De este modo, centraremos nuestra atención en el caso propio , i.e., en las colineaciones de Ricci que no son campos de vectores de Killing ni homotéticos. Estructuramos el nal de este capítulo del siguiente modo. En la Sección 2.4.1 analizamos la existencia de colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda en grupos de Lie Lorentzianos unimodulares, mientras que el caso Lorentziano no unimodular es considerado en la Sección 2.4.2. En cada caso determinamos el correspondiente subespacio vectorial de las colineaciones de Ricci, y por tanto podemos compararlos con los subespacios generados por los campos de vectores Killing y afín Killing invariantes a la izquierda obtenidos en la sección anterior. Finalmente, también en la Sección 2.4.2 (Obsevación 2.43), estudiamos el caso Riemanniano; para el cual omitiremos los detalles puesto que los resultados se obtienen esencialmente como en las Secciones 2.4.1 y 2.4.2. Al igual que en la sección anterior, denotaremos por VK y VAK los espacios vectoriales de los campos de vectores Killing y afín Killing invariantes a la izquierda y, además, denotaremos por VCR el espacio vectorial de las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda en un grupo de Lie. 2.4.1. Caso unimodular En esta sección consideraremos la existencia de colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda en grupos de Lie Lorentzianos unimodulares de dimensión tres cuyas álgebras de Lie correspondientes fueron introducidas en la Sección 1.2.1. i) Tipo Ia Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo Ia viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} de signatura (+ + −) por [e1, e2] = −γe3,[e1, e3] = −βe2,[e2, e3] = αe1. 80 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe En este primer caso el tensor de Ricci está determinado por las componentes ρ11 =−1 2(α+β−γ)(α−β+γ), ρ22 =1 2(α+β−γ)(α−β−γ), ρ33 =−1 2(α−β+γ)(α−β−γ), las cuales, para un campo de vectores invariante a la izquierda ξ=Pξiei , nos permiten determinar los términos no nulos de la derivada de Lie del tensor de Ricci, Lξρ , resultando que (2.28) (Lξρ)12 =1 2(β−α)(α+β+γ)(α+β−γ)ξ3, (Lξρ)13 =1 2(α−γ)(α+β+γ)(α−β+γ)ξ2, (Lξρ)23 =1 2(β−γ)(α+β+γ)(α−β−γ)ξ1. Como vimos en el Lema 2.15, un grupo de Lie Lorentziano de Tipo Ia admite campos de vectores Killing invariantes a la izquierda distintos de cero si y sólo si se verica alguna de estas cuatro condiciones: (i)α=β=γ , ó (ii)α=β6=γ , ó (iii)β=γ6=α , ó (iv)α=γ6= β . Además, se sigue del Teorema 2.16 que todo campo de vectores invariante a la izquierda es afín Killing si y sólo si es Killing. Haciendo uso de este resultado, determinamos ahora las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son afín Killing. Teorema 2.35. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo Ia admite colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son afín Killing si y sólo si se verica alguna de las siguiente condiciones: (i) α=−β−γ y αβγ 6= 0 ó (ii) α= 0 y β=εγ 6= 0 , ó β= 0 y γ=εα 6= 0 , ó γ= 0 y β=εα 6= 0 , siendo ε2= 1 , ó (iii) α=β+γ , β6=γ y αβγ 6= 0 , ó (iv) β=γ+α , γ6=α y αβγ 6= 0 , ó (v) γ=α+β , α6=β y αβγ 6= 0 . Además, en estos casos, tenemos respectivamente que: (i) VCR =he1, e2, e3i . (ii) VCR =he1, e2, e3i . (iii) VCR =he1i . (iv) VCR =he2i . (v) VCR =he3i . 2.4.1 Caso unimodular 81 Demostración. De la Ecuación (2.28) se sigue que un campo de vectores invariante a la izquierda ξ es una colineación de Ricci si y sólo si (2.29) (β−α)(α+β+γ)(α+β−γ)ξ3= 0,(α−γ)(α+β+γ)(α−β+γ)ξ2= 0, (β−γ)(α+β+γ)(α−β−γ)ξ1= 0. Este sistema de ecuaciones lineales homogéneo en (ξ1, ξ2, ξ3) tiene solución no trivial si y sólo si (α+β+γ)(α−β−γ)(α−β+γ)(α+β−γ)(α−β)(α−γ)(β−γ)=0. A continuación analizamos la anulación de cada uno de estos factores por separado. Primer caso: α=−β−γ . Observemos que la Ecuación (2.29) se verica trivialmente en este caso, independientemente del campo de vectores ξ considerado, lo que demuestra (i) e (ii) para ε=−1 . Segundo caso: α=β+γ . Si suponemos α= 0 entonces este caso coincide con el primero. Por tanto podemos considerar que α6= 0 . Ahora bien, si α=β+γ entonces la Ecuación (2.29) se reduce a βγξ2=βγξ3= 0. De donde β= 0 ó γ= 0 , y en ambos casos resulta que Lξρ= 0 para cualquier campo de vectores ξ . De este modo se obtienen los casos β= 0 , γ=α , ó γ= 0 , β=α en (ii) . Por otra parte, si βγ 6= 0 entonces ξ es una colineación de Ricci si y sólo si ξ2=ξ3= 0 , lo cual demuestra (iii) ; observemos que excluímos el caso β=γ puesto que en tal caso el campo de vectores ξ es Killing (véase el Lema 2.15). Tercer caso: β=γ+α . Observemos que si β= 0 ó γ= 0 , entonces este caso se incluye entre los anteriores. Así, podemos considerar que βγ 6= 0 . Ahora bien, si β=γ+α entonces la Ecuación (2.29) se reduce a αξ1=αξ3= 0. Como consecuencia, si suponemos que α= 0 entonces resulta β=γ y tenemos el caso que restaba en (ii) . Por otra parte, si consideramos α6= 0 , entonces el campo de vectores ξ es una colineación de Ricci si y sólo si ξ1=ξ3= 0 , con lo que se obtiene (iv) . Hemos excluído la situación γ=α puesto que en tal caso ξ es Killing (véase el Lema 2.15). Cuarto caso: γ=α+β . Podemos suponer αβγ 6= 0 con el n de evitar las situaciones consideradas en los casos previos. Por tanto, si γ=α+β entonces la Ecuación (2.29) implica que ξ es una colineación de Ricci si y sólo si ξ1=ξ2= 0 . Excluyendo ahora los campos de vectores Killing, que aparecen para α=β (véase el Lema 2.15), se obtiene (v) . 88 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe y así la derivada de Lie del tensor de Ricci está dada por (2.35) (Lξρ)11 = (2α3−αβ2+ 2α2δ+βγδ)ξ3, (Lξρ)22 =−δ(β2−γ2+ 2δ(α+δ))ξ3, (Lξρ)12 =−1 2(β−γ)(β+γ)2ξ3, (Lξρ)13 =−1 2(2α3−αβ2+ 2α2δ+βγδ)ξ1 +1 2(β2γ−γ3−2βδ(α+δ))ξ2, (Lξρ)23 =1 2(β2−γ2+ 2δ(α+δ))(βξ1+δξ2). Por los Lemas 2.25 y 2.26 tenemos que un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.1 admite campos de vectores Killing invariantes a la izquierda distintos de cero si y sólo si se verica alguna de las dos condiciones siguientes: (i)α=β= 0 y δ6= 0 , ó (ii)α6= 0 , γ=βδ α , δ(α2−β2)=0 y α+δ6= 0 . Además, cualquier campo de vectores afín Killing invariante a la izquierda es necesariamente Killing. Considerando este resultado, determinamos ahora las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son campos de vectores afín Killing. Teorema 2.40. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.1 admite colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son afín Killing si y sólo si se verica una de las siguientes condiciones (i) αδ 6= 0 , δ6=±α , γ=βδ α y β=±q2α3 α−δ∈R , ó (ii) αδ 6= 0 , δ6=±α , γ=βδ α y β=±q2α2δ δ−α∈R . Además, en estos casos, tenemos respectivamente que (i) VCR =h−δ βe1+e2i . (ii) VCR =h−βδ α2e1+e2i . Demostración. Sea ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) un campo de vectores invariante a la izquierda. Supongamos en primer lugar que α= 0 . Puesto que αγ −βδ = 0 y α+δ6= 0 , entonces necesariamente β= 0 y de la Ecuación (2.35) se sigue que ξ es una colineación de Ricci si y sólo si γξ2=γξ3= 0, δ(γ2−2δ2)ξ2=δ(γ2−2δ2)ξ3= 0. Como consecuencia obtenemos que ξ2=ξ3= 0 , y por tanto ξ es un campo de vectores de Killing (véase el Lema 2.25). Ahora bien, si α6= 0 tenemos que γ=βδ α . Supongamos primero que α6= 0 y β= 0 , con lo que resulta γ= 0 . En este caso, la Ecuación (2.35) implica que ξ es una colineación de Ricci si y sólo si α(α+δ)ξ1=α(α+δ)ξ3= 0, δ(α+δ)ξ2=δ(α+δ)ξ3= 0, 2.4.2 Caso no unimodular 89 o equivalentemente, si y sólo si ξ1=ξ3= 0 y δ= 0 . Por tanto, el Lema 2.25 implica que ξ es un campo de vectores Killing. Supongamos ahora que α6= 0 y β6= 0 . Puesto que γ=βδ α , la expresión de (Lξρ)12 en la Ecuación (2.35) se reduce a (Lξρ)12 =−1 2α3β3(α+δ)2(α−δ)ξ3. De este modo, si ξ es una colineación de Ricci entonces necesariamente α=δ ó ξ3= 0 . Si α=δ(6= 0) entonces γ=β(6= 0) , y por un cálculo directo a partir de la Ecuación (2.35) se obtiene que ξ es una colineación de Ricci si y sólo si ξ3= 0 , α=εβ y ξ2=−εξ1 , siendo ε2= 1 . Observemos que, en tal caso, α2−β2= 0 , y a partir del Lema 2.25 resulta que ξ es necesariamente un campo de vectores de Killing. En este punto nos resta por analizar el caso α6= 0 , β6= 0 , γ=βδ α y α6=δ , en cuyo caso ha de ser ξ3= 0 . A partir de la Ecuación (2.35), un campo de vectores ξ= (ξ1, ξ2,0) es una colineación de Ricci si y sólo si (2α3−(α−δ)β2)(α2ξ1+βδξ2)=0,(2α2δ+ (α−δ)β2)(βξ1+δξ2)=0. Por un cálculo directo a partir de estas ecuaciones se obtiene que si 2α3−(α−δ)β2= 0 , i.e., si β=±q2α3 α−δ , entonces 2α2δ+ (α−δ)β26= 0 y por tanto βξ1+δξ2= 0 , i.e., ξ1=−δ βξ2 ; de donde se sigue (i) . Observemos que en este caso δ debe ser distinto de cero para que ξ no sea un campo de vectores de Killing (véase el Lema 2.25). Finalmente, supongamos que α2ξ1+βδξ2= 0 , i.e., que ξ1=−βδ α2ξ2 . En este caso βξ1+δξ26= 0 puesto que, de otro modo, δ(α2−β2) = 0 y el campo de vectores ξ es Killing (véase el Lema 2.25). Por tanto, β=±q2α2δ δ−α con lo que obtenemos (ii) . iii) Tipo IV.2 Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo IV.2 viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} vericando g(e1, e1) = g(e2, e2) = −g(e3, e3) = 1 , por las siguientes constantes de estructura [e1, e2] = 0,[e1, e3] = αe1+βe2,[e2, e3] = γe1+δe2; donde α+δ6= 0 y αγ +βδ = 0 . En este caso, el tensor de Ricci está determinado por ρ11 =1 2(β2−γ2) + α(α+δ), ρ22 =1 2(γ2−β2) + δ(α+δ), ρ33 =−1 2(β+γ)2−(α2+δ2). 90 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Con lo que la derivada de Lie del tensor de Ricci está dada por (2.36) (Lξρ)11 = (2α3+αβ2+ 2α2δ+βγδ)ξ3, (Lξρ)22 =−δ(β2−γ2−2δ(α+δ))ξ3, (Lξρ)12 =−1 2(β−γ)2(β+γ)ξ3, (Lξρ)13 =−1 2(2α3+αβ2+ 2α2δ+βγδ)ξ1 −1 2(β2γ−γ3−2βδ(α+δ))ξ2, (Lξρ)23 =1 2(β2−γ2−2δ(α+δ))(βξ1+δξ2). Por los Lemas 2.29 y 2.30 tenemos que un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.2 admite campos de vectores Killing invariantes a la izquierda distintos de cero si y sólo si se verica una de estas dos condiciones: (i)α=β= 0 y δ6= 0 , ó (ii)γ=δ= 0 y α6= 0 . Además, al igual que en el caso anterior, cualquier campo de vectores afín Killing invariante a la izquierda es Killing. Haciendo uso de estos resultados determinamos las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son afín Killing. Teorema 2.41. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.2 admite colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son afín Killing si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones: (i) αδ 6= 0 , δ6=±α , γ=−βδ α y β=±q2α3 δ−α∈R , ó (ii) αδ 6= 0 , δ6=±α , γ=−βδ α y β=±q2α2δ α−δ∈R . Además, en estos casos, tenemos respectivamente que: (i) VCR =h−δ βe1+e2i . (ii) VCR =hβδ α2e1+e2i . Demostración. Sea ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) un campo de vectores invariante a la izquierda. Supongamos en primer lugar que α= 0 . Puesto que αγ +βδ = 0 y α+δ6= 0 , entonces necesariamente β= 0 y la Ecuación (2.36) implica que ξ es una colineación de Ricci si y sólo si γξ2=γξ3= 0, δ(γ2+ 2δ2)ξ2=δ(γ2+ 2δ2)ξ3= 0. Como consecuancia obtenemos que ξ2=ξ3= 0 , y así ξ es un campo de vectores de Killing (véase el Lema 2.29). Supongamos ahora que α6= 0 , con lo que resulta γ=−βδ α . Consideremos primero que α6= 0 y β= 0 . Con estas hipótesis se tiene que γ= 0 y la Ecuación (2.36) implica que ξ es una colineación de Ricci si y sólo si α(α+δ)ξ1=α(α+δ)ξ3= 0, δ(α+δ)ξ2=δ(α+δ)ξ3= 0, 2.4.2 Caso no unimodular 91 o equivalentemente, si y sólo si ξ1=ξ3= 0 y δ= 0 . Así pues, el Lema 2.29 implica que ξ es un campo de vectores de Killing. Sea ahora α6= 0 y β6= 0 . Puesto que γ=−βδ α , la expresión de (Lξρ)12 en la Ecuación (2.36) se reduce a (Lξρ)12 =−1 2α3β3(α+δ)2(α−δ)ξ3. Por tanto, si ξ es una colineación de Ricci entonces necesariamente α=δ ó ξ3= 0 . Si α=δ(6= 0) entonces γ=−β(6= 0) , y por un cálculo directo a partir de la Ecuación (2.36) se sigue que ξ es una colineación de Ricci si y sólo si ξ3= 0 y αξ1−βξ2=βξ1+αξ2= 0 , de donde se obtiene que ξ ha de ser cero. En este punto nos resta por analizar la situación α6= 0 , β6= 0 , γ=−βδ α y α6=δ ; en cuyo caso ξ3= 0 . De la Ecuación (2.36), el campo de vectores ξ= (ξ1, ξ2,0) es una colineación de Ricci si y sólo si (2α3+ (α−δ)β2)(α2ξ1−βδξ2)=0,(2α2δ−(α−δ)β2)(βξ1+δξ2)=0. Observemos que δ puede suponerse distinto de cero, ya que que en caso contrario el campo de vectores ξ es Killing (véase el Lema 2.29). Por un cálculo directo a partir de estas ecuaciones se demuestra que si 2α3+ (α−δ)β2= 0 , i.e., si β=±q2α3 δ−α , entonces 2α2δ− (α−δ)β26= 0 y por tanto βξ1+δξ2= 0 , i.e., ξ1=−δ βξ2 ; con lo que se obtiene (i) . Ahora bien, si α2ξ1−βδξ2= 0 , i.e., si ξ1=βδ α2ξ2 , entonces βξ1+δξ26= 0 , puesto que en caso contrario δ= 0 . Por tanto, 2α2δ−(α−δ)β2= 0 , i.e., β=±q2α2δ α−δ ; de donde se sigue (ii) . iv) Tipo IV.3 Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo IV.3 está determinada respecto a una base pseudo-ortonormal {e1, e2, e3} con g(·,·) =   1 0 0 0 0 −1 0−1 0  , por las siguientes constantes de estructura [e1, e2]=0,[e1, e3] = αe1+βe2,[e2, e3] = γe1+δe2; donde α+δ6= 0 y αγ = 0 . Así, el tensor de Ricci está determinado por ρ11 =ρ23 =−1 2γ2, ρ33 =α(δ−α)−βγ. 92 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Por tanto, la derivada de Lie del tensor de Ricci está dada por (2.37) (Lξρ)33 =γ2(βξ1+δξ2),(Lξρ)12 =−1 2γ3ξ3, (Lξρ)13 =1 2γ2(γξ2−βξ3),(Lξρ)23 =−1 2γ2δξ3. Por el Lema 2.32 tenemos que un grupo de Lie de Tipo IV.3 admite un campo de vectores Killing invariante a la izquierda distinto de cero si y sólo si se verica alguna de las tres condiciones siguientes: (i)α= 0 , β= 0 y δ6= 0 ; ó (ii)α= 0 , β6= 0 , γ= 0 y δ6= 0 ; ó (iii)α6= 0 , γ= 0 y δ= 0 . Mientras que, por el Lema 2.33, admite campos de vectores afín Killing invariantes a la izquierda no Killing si y sólo si se verica alguna de las dos condiciones siguientes: (i)α= 0 , γ= 0 y δ6= 0 ; ó (ii)γ= 0 y δ= 2α6= 0 . Haciendo uso de estos resultados determinamos las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son afín Killing. Teorema 2.42. Un grupo de Lie Lorentziano no unimodular de Tipo IV.3 admite colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda que no son afín Killing si y sólo si γ= 0 . Además, en tal caso VCR =he1, e2, e3i . Demostración. Por la Ecuación (2.37) un campo de vectores invariante a la izquierda ξ= (ξ1, ξ2, ξ3) es una colineación de Ricci si y sólo si γ(βξ1+δξ2)=0, γξ3= 0, γ(γξ2−βξ3)=0, γδξ3= 0. Como α+δ6= 0 y αγ = 0 si suponemos γ= 0 entonces claramente Lξρ se anula para cualquier campo de vectores ξ . Por otra parte, si γ6= 0 resulta que necesariamente α= 0 . Además, si ξ es una colineación de Ricci entonces ξ3=ξ2= 0 y β= 0 , y por tanto el campo de vectores ξ sería Killing (ver Lema 2.32). Resumimos los resultados de esta sección en la siguiente tabla. 2.4.2 Caso no unimodular 93 Grupos de Lie Lorentzianos no unimodulares Tipo No cero No Killing No afín Killing Killing afín Killing Colineaciones de Ricci S7 7 γ=±pα2+β2 IV.1 α=β= 0, δ 6= 0 α(α+δ)6= 0, γ =βδ α, δ(α2−β2)=0, 7 7 7 7 7 7 Teorema 2.40, (i), (ii) IV.2 α=β= 0, δ 6= 0 γ=δ= 0, α 6= 0 7 7 7 7 7 7 Teorema 2.41, (i), (ii) IV.3 α= 0, β = 0, δ 6= 0 α= 0, β 6= 0, γ = 0, δ 6= 0 α6= 0, γ = 0, δ = 0 7 7 Si γ= 0 X 7 γ= 0, δ = 2α6= 0 7 X X X X  Cualquier otro caso con γ= 0  Observación 2.43. En el caso Riemanniano, las álgebras de Lie unimodulares se corresponden con las de Tipo Ia, mientras que las no unimodulares se corresponden con el Tipo S y con el Tipo IV.2. Con respecto al caso unimodular, el Teorema 2.35 continúa siendo cierto en el caso Riemanniano y por tanto el comportamiento de los de Tipo Ia es exactamente igual que en el caso Lorentziano. Los grupos de Lie no unimodulares de Tipo S no admiten colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda distintas de cero en el caso Riemanniano, a diferencia de lo que ocurre en el caso Lorentziano tratado en el Teorema 2.39. Esta diferencia notable está relacionada con el hecho clave de que la curvatura seccional constante de un grupo de Lie de Tipo S está dada por −α2−β2+γ2 en el caso Lorentziano, y por tanto puede ser nula, mientras que en el caso Riemanniano siempre es estrictamente negativa, ya que está dada por −α2−β2−γ2 . Finalmente, el comportamiento de los de Tipo IV.2 es exactamente igual en el caso Riemanniano y en el caso Lorentziano puesto que el Teorema 2.41 se verica también en el caso Riemanniano. Las demostraciones de estos resultados se obtienen de forma análoga a los de las Secciones 2.4.1 y 2.4.2. Observación 2.44. Por los resultados obtenidos en [13] (véase también [50]) los solitones de Ricci invariantes a la izquierda denidos sobre los grupos de Lie Lorentzianos de dimensión tres no simétricos están caracterizados por el hecho de que su operador de Ricci tiene tres autovalores iguales. Por su parte, como vimos anteriormente, un grupo de Lie 94 2 Campos de vectores asociados al ujo de Yamabe Lorentziano de dimenisón tres admitiendo solitones de Yamabe (tanto invariantes como no invariantes) ha de tener operador de Ricci dos-pasos nilpotente. No obstante, en el caso de las colineaciones de Ricci invariantes a la izquierda en grupos de Lie Lorentzianos tres-dimensionales, su existencia no impone ninguna restricción al operador de Ricci. Capítulo 3 Geometría del tensor de Cotton Como vimos en la Sección 1.1 las variedades pseudo-Riemannianas de dimensión tres localmente conformemente llanas están caracterizadas por el hecho de que su tensor de Cotton, dado por (3.1) C(X, Y, Z)=(∇XS)(Y, Z)−(∇YS)(X, Z), siendo S=1 n−2ρ−τ 2(n−1)g el tensor de Schouten, es idénticamente nulo. Además, puesto que dicho tensor es antisimétrico en las dos primeras componentes podemos denir a partir de él las tres 2 -formas siguientes Ci:= 1 2Cnmidxn∧dxm, i = 1,2,3; donde (x1, x2, x3) es un sistema de coordenadas locales de M . Si además suponemos que M tiene la orientación dada por la forma de volumen vg=p|g|dx1∧dx2∧dx3 , a partir de estas 2 -formas y del operador estrella de Hodge, ? , podemos denir tres nuevas 1 -formas como ?Ci=?(1 2Cnmidxn∧dxm) = 1 2Cnmi ?(dxn∧dxm) = 1 2Cnminm`dx`, i = 1,2,3; donde abc representa la paridad de la permutación de los índices {a, b, c} con respecto a {1,2,3} . Estas tres 1 -formas nos permiten ahora denir el tensor de Cotton de tipo (1,1) , dado en componentes por C` i=1 2Cnminm`, el cual, bajando índices, tiene como tensor de tipo (0,2) asociado el dado por Cij =1 2Cnminm`g`j. 95 96 3 Geometría del tensor de Cotton Finalmente, realizando el siguiente reescalado siguiendo la construcción de York (véase [110]) (3.2) ˜ Cij =1 2p|g|Cnminm`g`j, obtenemos un tensor de tipo (0,2) invariante por cambios conformes de métrica y que también se conoce como tensor de Cotton (véanse [6] y [95]). Los resultados presentados a lo largo de este capítulo se encuentran recogidos en [24], [25] y [28]. 3.1. Espacios conformemente simétricos de dimensión tres Una variedad pseudo-Riemanniana de dimensión mayor o igual a cuatro se dice conformemente simétrica si su tensor de Weyl es paralelo ( ∇W= 0 ). Es conocido que cualquier variedad Riemanniana conformemente simétrica es localmente simétrica ( ∇R= 0 ) o localmente conformemente llana ( W= 0 ). En el caso no trivial ( ∇W= 0 y ∇R6= 0 , W6= 0 ), la variedad (M, g) se dice esencialmente conformemente simétrica . La geometría local y global de las variedades pseudo-Riemannianas esencialmente conformemente simétricas ha sido investigada extensamente por Derdzinski y Roter en una serie de artículos (véanse [40] y [41] y las referencias ahí señaladas para más información). Cabe destacar aquí que puesto que el tensor de Weyl se anula en dimensión tres, las variedades conformemente simétricas han sido estudiadas sólo en dimensión mayor o igual a cuatro. El principal objetivo de esta sección es extender este estudio a las variedades de dimensión tres, donde toda la información conforme está codicada por el tensor de Cotton. En el caso particular de dimensión tres, se dice que una variedad pseudo-Riemanniana es esencialmente conformemente simétrica si el tensor de Cotton es paralelo pero la variedad no es localmente conformemente llana, i.e. ∇C=0 con C6= 0 . (Observemos que cualquier variedad localmente simétrica de dimensión tres es localmente conformemente llana). Cabe destacar que mientras el carácter conformemente simétrico involucra derivadas de tercer orden de la métrica en dimensión n≥4 , en dimensión tres resulta una condición diferencial de orden cuatro. 3.1.1. Descripción local de las variedades esencialmente conformemente simétricas de dimensión tres Estudiamos en este apartado la descripción local de cualquier variedad esencialmente conformemente simétrica de dimensión tres. En primer lugar consideramos el caso en el que la variedad (M, g) se descompone como un producto de variedades. Lema 3.1. Si (M, g) es una variedad pseudo-Riemanniana producto (M=R×N, g = ±dt◦dt+gN) de dimensión tres con tensor de Cotton paralelo, ∇C=0 , entonces es localmente conformemente llana (C = 0) , es decir, (M, g) no es esencialmente conformemente simétrica. 3.1.1 Variedades conformemente simétricas 97 Demostración. Sean (a, x) y (b, y) campos de vectores sobre (M, g) . El tensor de Schouten verica S((a, x),(b, y)) = ρ((a, x),(b, y)) −τ 4g((a, x),(b, y)) =τ 2g(x, y)−τ 4(±ab +g(x, y)) =τ 4(∓ab +g(x, y)) =τ 4(∓dt2+gN)((a, x),(b, y)). Observemos que g y h=∓dt◦dt+gN son métricas en M induciendo la misma conexión de Levi-Civita. Así, por un cálculo directo obtenemos que ∇S=1 4dτ ⊗h . Como consecuencia, el tensor de Cotton de tipo (0,3) está dado por Cαβγ = (∇αS)βγ −(∇βS)αγ =1 4(dτ(α)hβγ −dτ(β)hαγ), de donde obtenemos que ∇µCαβγ =1 4(Hesτ)µα hβγ −(Hesτ)µβ hαγ, siendo Hesτ el Hessiano de la curvatura escalar, que está dado por Hesτ(X, Y ) = X(Y τ)− (∇XY)τ . De esto se sigue entonces que ∇iCtjt =1 4(Hesτ)ij , con lo que la variedad producto es conformemente simétrica si y sólo si Hesτ se anula, i.e., si y sólo si ∇τ es un campo de vectores paralelo sobre N . Finalmente, si ∇τ6= 0 entonces N se descompone localmente como N≡R×R , mientras que si ∇τ= 0 entonces N tiene curvatura constante. En cualquiera de los dos casos tenemos que ∇C = 0 implica C = 0 demostrando que (M, g) es localmente conformemente llana. En el siguiente lema demostramos que cualquier variedad esencialmente conformemente simétrica de dimensión tres es localmente indescomponible pero no irreducible, i.e., admite una distribución 1 -dimensional degenerada y paralela. Estas variedades han sido extensamente estudiadas en la literatura y son conocidas, como vimos en la Sección 1.4, como ondas de Brinkmann o variedades Walker . Lema 3.2. Cualquier variedad (M, g) esencialmente conformemente simétrica de dimensión tres es una variedad de Walker Demostración. Puesto que M es una variedad de dimensión tres podemos considerar el tensor de Cotton de tipo (0,2) asociado al tensor de Cotton usual de tipo (0,3) . A su vez, asociado al tensor de Cotton de tipo (0,2) se dene el operador de Cotton como ˜ C(x, y) = g(b C(x), y) . Haciendo uso de que el tensor métrico y el operador estrella de Hodge, ? , son paralelos, el carácter conformemente simétrico de cualquier variedad de dimensión tres se establece de forma equivalente en términos del tensor de Cotton de tipo (0,2) , ˜ C , o del operador de Cotton b C . De ahora en adelante consideraremos que el operador de Cotton es paralelo y analizaremos las diferentes posibilidades para la forma de Jordan de b C . En primer lugar supongamos 104 3 Geometría del tensor de Cotton con lo que 2Φ(x, y) = ε1x+ϕ(y) siendo ε2 1= 1 . A su vez, puesto que cualquier isometría ha de preservar el tensor de Ricci (i.e., Φ?ρb=ρa , donde ρa y ρb son los tensores de Ricci de ga y gb , respectivamente), se tiene que en cualquier punto p= (t, x, y) −3x=ρa(∂y, ∂y)|p=ρb(Φ?∂y,Φ?∂y)|Φ(p)=−3(ε1x+ϕ(y)) 3Φy2, de donde se sigue que ϕ(y) = 0 , 3Φ(y) = ε2y+α y ε1= 1 , siendo ε2 2= 1 y α una constante arbitraria. Ahora bien, 0 = ga(∂x, ∂y) = gb(Φ?∂x,Φ?∂y) = ε21Φx, de donde obtenemos que 1Φ depende sólo de las coordenadas t e y , i.e. 1Φ(t, x, y) = Ψ(t, y) . Además, 1 = ga(∂t, ∂y) = gb(Φ?∂t,Φ?∂y) = ε2Ψt, y entonces, Ψ(t, y) = ε2t+ Υ(y) . Por tanto, para cualquier punto p tenemos x3+a(y)x=ga(∂y, ∂y)|p=gb(Φ?∂y,Φ?∂y)|Φ(p)=x3+b(ε2y+α)x+ 2ε2Υy, con lo que obtenemos Υ(y) = β . Finalmente resulta que Φ es una isometría de ga a gb si y sólo si Φ=(ε2t+β, x, ε2y+α), y a(y) = b(ε2y+α), ε2 2= 1. Esto demuestra que: El espacio de las clases de isometría de las variedades esencialmente conformemente simétricas de dimensión tres coincide con el espacio de funciones diferenciables de una variable a(y) , salvo parametrización de velocidad constante. Observación 3.6. Cualquier variedad Lorentziana esencialmente conformemente simétrica de dimensión n≥4 tiene curvatura de Ricci recurrente (véase [38]). En dimensión n= 3 esta propiedad también se verica puesto que cualquier métrica Walker dada por la Ecuación (3.3) (de hecho, cualquier métrica Walker dada por la Ecuación (3.12)) tiene curvatura de Ricci recurrente. Por otra parte, es conocido que cualquier variedad 2 -simétrica (i.e., ∇2R= 0 pero ∇R6= 0 ) de dimensión tres tiene tensor de Cotton paralelo. A su vez, por los resultados obtenidos en [2] y en [7] se tiene que cualquier variedad 2 -simétrica de dimensión tres es localmente conformemente llana. Por tanto, a partir de estos hechos, resulta que una variedad esencialmente conformemente simétrica de dimensión tres no puede ser 2 -simétrica. Finalmente, se sigue del trabajo realizado en [46] que las variedades esencialmente conformemente simétricas de dimensión tres no son localmente homogéneas (es más, no pueden ser 1-curvatura homogéneas) 3.2 Otras condiciones de paralelismo 105 3.2. Otras condiciones de paralelismo Motivado por el estudio del tensor de Ricci y con el objetivo de generalizar las métricas Einstein, Alfred Gray trasladó en [53] las simetrías de la derivada covariante del tensor de Ricci (i.e., las procedentes de las simetrías de ρ y de la identidad de Bianchi div ρ=1 2dτ ) a un contexto algebraico y consideró el espacio de los tensores de tipo (0,3) con las simetrías de ∇ρ . Dicho espacio se descompone de forma natural bajo la acción del grupo ortogonal en tres subespacios irreducibles. Puesto que el tensor de Cotton tiene traza y divergencia nulas, siguiendo la terminología introducida por Gray en [53], establecemos las siguientes deniciones El tensor de Cotton es cíclico paralelo , o equivalentemente un tensor Killing , si (∇X  C )(X, X) = 0 . El tensor de Cotton es Codazzi si (∇X  C )(Y, Z)=(∇Y  C )(X, Z) . (M, g) es una C⊥ - variedad si (∇X  C )(Y, Z) = 1 (n+ 2)(n−1){nX(tr  C )g(Y, Z) +1 2(n−2)[Y(tr  C )g(X, Z) + Z(tr  C )g(X, Y )]} para todos los campos de vectores X, Y, Z en M . Puesto que la clase C⊥ se reduce a la clase de las variedades de dimensión tres conformemente simétricas, ya que tr  C = 0 , el objetivo de esta sección es estudiar las métricas de Walker en dimensión tres con tensor de Cotton cíclico paralelo y aquellas para las que el tensor de Cotton es Codazzi. Además, particularizamos los resultados al caso de que la variedad sea Walker estricta, obteniendo que en dicha situación si el tensor de Cotton es cíclico paralelo ha de ser necesariamente paralelo. No obstante, este resultado no se mantiene cuando el tensor de Cotton es Codazzi, es decir, una variedad Walker estricta con tensor de Cotton Codazzi no es necesariamente conformemente simétrica o, equivalentemente, su tensor de Cotton no es necesariamente paralelo. Este estudio permite poner de maniesto la existencia de ejemplos de variedades cuyo tensor de Cotton es Killing o Codazzi, pero no paralelo y es el punto de partida para posteriores estudios en esta sección. 3.2.1. Variedades Walker con tensor de Cotton cíclico paralelo Analizamos en este apartado cuándo una variedad Walker (M, gf) con (3.14) gf= 2 dt ◦dy +dx ◦dx +f(t, x, y)dy ◦dy, tiene tensor de Cotton cíclico paralelo. Como veremos, dicha condición es muy rígida en el contexto de la geometría Walker. 106 3 Geometría del tensor de Cotton Teorema 3.7. El tensor de Cotton de una variedad Walker de dimensión tres (M, gf) es cíclico paralelo si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones (i) existen funciones derivables A , B y C , dependiendo únicamente de la coordenada y , con A(y)6= 0 , y constantes reales α y β , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = At3+ (Bx+C)t2+1 3AB2x2+ 2 BCx+ 6 A0+C2+ 3 αt +1 27A2B3x3+ 3 B2Cx2+ 3 6AB0+BC2+ 3 αx +18 AC0+ 3 B2+C3+ 9 αC+ 27 β, (ii) existen funciones derivables D , E , G , H e I , dependiendo únicamente de la coordenada y , con D(y)6= 0 , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y)=(Dx+E)t−1 48 D2x4−1 12 (2 D0+DE)x3+Gx2+Hx+I, (iii) existen funciones derivables F , G , H e I , dependiendo únicamente de la coordenada y , con F(y)6= 0 , tal que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = −F0 Ft+Fx3+Gx2+Hx+I, (iv) existen funciones derivables E , G , H e I , dependiendo únicamente de la coordenada y , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = Et+Gx2+Hx+I, (v) existen funciones derivables C , D , E , F , G y H , dependiendo únicamente de la coordenada y , con C(y)6= 0 , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = Ct2−1 2C0x2−Dx−Et +1 16 C2C(C0)2x4−4CDC0x3−42CC00 −3 (C0)2+CEC0−CD2x2 −8 (3 DC0−2CD0−CDE)x+ 16 C(CF + Ξ(x, y))}, donde Ξ(x, y) =   G(y)e√C(y)x+H(y)e−√C(y)x, si C(y)>0 , G(y) cos(p−C(y)x) + H(y) sin(p−C(y)x), si C(y)<0 . 3.2.1 Variedades Walker con tensor de Cotton cíclico paralelo 107 Demostración. Por un cálculo largo pero directo usando la Ecuación (3.8) se demuestra que el tensor de Cotton de una variedad Walker de dimensión tres es cíclico paralelo si y sólo si (3.15)                  ftttt =ftttx =fttxx =ftxxx = 0, 2fttty f−2fttyy −2ftxxy + 2fxxxx +fttt fy +fttx fx−ftty ft−ftxx ft−ftt fxx +f2 tx = 0, 2fttxy f−2ftxyy −2fxxxy −fttt fxf+fttx ftf+fttx fy+ 2ftty fx +2ftxx fx−3ftxy ft−2fxxx ft+ftt fxy +ftt ftfx−ftxfty −ftxf2 t= 0. Integrando en la primera ecuación en (3.15) obtenemos la existencia de funciones derivables P , A , B , C , D y E , dependiendo únicamente de la coordenada y , y una función diferenciable Q , dependiendo de las coordenadas (x, y) , tales que (3.16) f(t, x, y) = A(y)t3+ (B(y)x+C(y)) t2+ (P(y)x2+D(y)x+E(y)) t+Q(x, y). Derivando ahora en la segunda ecuación en (3.15) respecto a t dos veces obtenemos (3.17) 3P(y)A(y)−B(y)2= 0, y consideramos dos casos diferentes dependiendo de si A(y) se anula o no. Primer caso: A(y)6= 0 . En este caso, la Ecuación (3.17) implica que P(y) = B(y)2 3A(y) y por tanto la Ecuación (3.16) se transforma en (3.18) f(t, x, y) = A(y)t3+ (B(y)x+C(y)) t2+B(y)2 3A(y)x2+D(y)x+E(y)t+Q(x, y). Derivando ahora en la segunda ecuación de (3.15) respecto a t una vez y respecto a x dos veces resulta A(y)Qxxxx(x, y)=0 , y puesto que estamos suponiendo que A(y)6= 0 se sigue que (3.19) Q(x, y) = S(y)x3+T(y)x2+U(y)x+V(y) para ciertas funciones S , T , U y V que dependen únicamente de la coordenada y . Continuamos derivando la última ecuación de (3.15) respecto a t cuatro veces y obtenemos A(y) (3 A(y)D(y)−2B(y)C(y)) = 0 , de donde se sigue que (3.20) D(y) = 2B(y)C(y) 3A(y). Derivando ahora la segunda ecuación en (3.15) respecto a t y x obtenemos la igualdad 27 A(y)2S(y)−B(y)3= 0 , y así (3.21) S(y) = B(y)3 27A(y)2, 108 3 Geometría del tensor de Cotton mientras que derivando en la última ecuación en (3.15) respecto a t tres veces y respecto a x una vez resulta 9A(y)2T(y)−B(y)2C(y)=0 y por tanto (3.22) T(y) = B(y)2C(y) 9A(y)2. A continuación, derivando la última ecuación en (3.15) respecto a t tres veces obtenemos 3A(y)2U(y)+2B(y)A0(y)−2A(y)B0(y)−A(y)B(y)E(y)=0 y así (3.23) U(y) = −1 3A(y)22B(y)A0(y)−2A(y)B0(y)−A(y)B(y)E(y). Derivando una vez más la segunda ecuación en (3.15) respecto a t resulta 3A(y)E0(y)+3A0(y)E(y)−6A00(y)−2C(y)C0(y)=0, de donde, integrando de forma directa, obtenemos (3.24) E(y) = 1 3A(y)6A0(y) + C(y)2+ 3 α, siendo α un número real. En este punto, la Ecuación (3.15) se reduce a 9A(y)2V0(y) + 18 A(y)A0(y)V(y)−6A(y)C00(y) −6A0(y)C0(y)−2B(y)B0(y)−C(y)2C0(y)−3αC0(y) = 0 e integrando de forma directa se obtiene (3.25) V(y) = 1 27A(y)218 A(y)C0(y)+3B(y)2+C(y)3+ 9 αC(y) + 27 β, donde β es un número real. Haciendo uso de las Ecuaciones (3.19)(3.25) en la Ecuación (3.18) se obtiene el caso (i) . Segundo caso: A(y) = 0 . En este caso, la Ecuación (3.17) implica que B(y)=0 y derivando en la segunda ecuación en (3.15) respecto a t obtenemos (3.26) C(y)C0(y)+2P(y)= 0. 3.2.1 Variedades Walker con tensor de Cotton cíclico paralelo 109 Si en primer lugar suponemos C(y)=0 , entonces derivando la última ecuación en (3.15) respecto a t y respecto a x implica que P(y)=0 y la Ecuación (3.16) se transforma en (3.27) f(t, x, y)=(D(y)x+E(y)) t+Q(x, y). Además, la segunda ecuación en (3.15) se reduce a 2Qxxxx(x, y) = −D(y)2 y por tanto existen funciones diferenciables F , G , H e I , dependiendo únicamente de la coordenada y , tales que (3.28) Q(x, y) = −1 48 D(y)2x4+F(y)x3+G(y)x2+H(y)x+I(y) y la Ecuación (3.15) es equivalente a D(y) (2 D0(y) + D(y)E(y) + 12 F(y)) x+ 2 D00(y) + 3 E(y)D0(y) + D(y)E0(y) + 12 F0(y) + D(y)E(y)2+ 12 E(y)F(y)=0. Derivando respecto a x obtenemos D(y) (2 D0(y) + D(y)E(y) + 12 F(y)) = 0 . Ahora bien, si D(y)6= 0 , entonces F(y) = −1 12 (2 D0(y) + D(y)E(y)) y considerando las Ecuaciones (3.27) y (3.28) se obtiene el caso (ii) . Por otra parte, si D(y) = 0 entonces las ecuaciones anteriores se reducen a F0(y) + E(y)F(y)=0 y considerando de nuevo las Ecuaciones (3.27) y (3.28) se obtienen de forma directa los casos (iii) y (iv) , dependiendo de si F(y) es idénticamente nula o no. Finalmente, supongamos que C(y)6= 0 en la Ecuación (3.26). En este caso resulta que P(y) = −1 2C0(y) y (3.29) f(t, x, y) = C(y)t2+D(y)x−1 2C0(y)x2+E(y)t+Q(x, y). A su vez, la segunda ecuación en (3.15) se reduce a 4Qxxxx(x, y)−4C(y)Qxx(x, y)+3C0(y)2x2 −4C00(y)−6D(y)C0(y)x−2E(y)C0(y)+2D(y)2= 0, e integrando de forma directa se obtiene la existencia de funciones derivables S , F , G y H , dependiendo únicamente de la coordenada y , tales que (3.30) 16 C(y)2Q(x, y) = C(y)C0(y)2x4−4C(y)D(y)C0(y)x3 −42C(y)C00(y)−3C0(y)2+C(y)E(y)C0(y)−C(y)D(y)2x2 + 16 C(y)2S(y)x+ 16 C(y) (C(y)F(y) + Ξ(x, y)) , donde Ξ(x, y) =   G(y)e√C(y)x+H(y)e−√C(y)x, if C(y)>0 , G(y) cos(p−C(y)x) + H(y) sin(p−C(y)x), if C(y)<0 . 110 3 Geometría del tensor de Cotton A continuación, derivando en la última ecuación en (3.15) respecto a t implica que 2C(y)2S(y)+3D(y)C0(y)−2C(y)D0(y)−C(y)D(y)E(y) = 0 y, por tanto, (3.31) S(y) = −1 2C(y)23D(y)C0(y)−2C(y)D0(y)−C(y)D(y)E(y). Es decir, la Ecuación (3.15) se verica y haciendo uso de las Ecuaciones (3.30) y (3.31) en la Ecuación (3.29) se obtiene el caso (v) . Corolario 3.8. Sea (M, gf) una variedad Walker estricta de dimensión tres. Si (M, gf) tiene tensor de Cotton cíclico paralelo entonces ha de ser necesariamente paralelo. Demostración. Recordemos que, en virtud del Teorema 1.10, una variedad Walker estricta admite un sistema local de coordenadas (t, x, y) respecto al cual el tensor métrico Lorentziano se expresa como (3.32) gf= 2 dt ◦dy +dx ◦dx +f(x, y)dy ◦dy. Por la Ecuación (3.7) tenemos que el único término no nulo del tensor de Cotton está dado por (3.33)  C (∂y, ∂y) = −1 2fxxx y, por tanto, su derivada covariante está determinada por las componentes no nulas (3.34) (∇∂x  C )(∂y, ∂y) = −1 2fxxxx,(∇∂y  C )(∂y, ∂y) = −1 2fxxxy. Con esto se sigue ya de forma directa que el tensor de Cotton de una variedad de Walker estricta dada por la Ecuación (3.32) es cíclico paralelo si y sólo si es paralelo. 3.2.2. Variedades Walker con tensor de Cotton Codazzi Los tensores Codazzi juegan un papel importante en muchos aspectos de la geometría pseudo-Riemanniana. Por ejemplo, como ya hemos visto, el tensor de Schouten de cualquier variedad localmente conformemente llana es un tensor Codazzi. Motivados por esto, y como una generalización de las métricas obtenidas en el Teorema 3.4, determinamos en este apartado todas las métricas Walker de dimensión tres dadas por la Ecuación (3.32) cuyo tensor de Cotton es Codazzi. Teorema 3.9. El tensor de Cotton de una variedad Walker de dimensión tres (M, gf) es Codazzi si y sólo si se verica alguna de las siguientes condiciones 3.2.2 Variedades Walker con tensor de Cotton Codazzi 111 (i) existen funciones derivables B , C , D , E , F , G y H , dependiendo únicamente de la coordenada y , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y)=(Bx2+Cx+D)t−1 90 B2x6−1 30 BCx5 −1 48 8B0+ 4 BD+C2x4+Ex3+Fx2+Gx+H, ó (ii) existen funciones derivables A , C , D , E , F , G y H , dependiendo únicamente de la coordenada y , con A(y)6= 0 , tales que la función f se expresa localmente como f(t, x, y) = At2−(1 2A0x2−Cx−D)t +1 16A2A(A0)2x4−4ACA0x3−42AA00 −3(A0)2+ADA0−AC2x2 +16 A2Ex+ 16 A(AF + Ξ(x, y)), donde Ξ(x, y) =   G(y)e√A(y)x+H(y)e−√A(y)x, si A(y)>0 , G(y) cos(p−A(y)x) + H(y) sin(p−A(y)x), si A(y)<0 . Demostración. Por un cálculo largo pero directo a partir de la Ecuación (3.8) se obtiene que el tensor de Cotton de una variedad Walker de dimensión tres es Codazzi si y sólo si (3.35)                    ftttt =ftttx = 0, 2fttty + 2fttxx −fttt ft= 0, 6fttxy + 4ftxxx −3fttt fx= 0, 2fttty f+ 4fttxx f−2fttyy −8ftxxy −4fxxxx +fttt fy+ 7fttx fx−ftty ft−4ftxx ft+ 2ftt fxx −2f2 tx = 0. Integrando la primera ecuación de (3.35) se obtiene la existencia de una función derivable P , dependiendo únicamente de la coordenada y , y de funciones diferenciables Q , S y T , dependiendo de las coordenadas (x, y) , tales que f(t, x, y) = P(y)t3+Q(x, y)t2+S(x, y)t+T(x, y). Derivando ahora la segunda ecuación respecto a t dos veces obtenemos que P(y) es idénticamente nula. Así, la segunda ecuación se reduce a Qxx = 0 , con lo que Q(x, y) = U(y)x+A(y) para ciertas funciones derivables U y A dependiendo únicamente de la coordenada y . Además, derivando la última ecuación respecto a t dos veces obtenemos U(y)=0 , y por tanto f(t, x, y) = A(y)t2+S(x, y)t+T(x, y). 112 3 Geometría del tensor de Cotton La tercera ecuación se reduce de este modo a Sxxx(x, y)=0 , lo que implica la existencia de funciones derivables B , C y D , dependiendo únicamente de la coordenada y , tales que S(x, y) = B(y)x2+C(y)x+D(y) , y (3.36) f(t, x, y) = A(y)t2+ (B(y)x2+C(y)x+D(y)) t+T(x, y). En este punto, f(t, x, y) verica las tres primeras ecuaciones de (3.35) y la última de ellas se corresponde con (3.37) 2Txxxx(x, y)−2Txx(x, y)A(y)+2A(y) (A0(y)+2B(y)) t +B(y) (A0(y)+8B(y)) x2+C(y) (A0(y)+8B(y)) x +2 A00(y) + D(y)A0(y)+8B0(y)+4B(y)D(y) + C(y)2= 0. En lo que resta de la demostración analizaremos la ecuación anterior. Observemos que derivándola respecto a t se obtiene (3.38) A(y) (A0(y)+2B(y)) = 0, por lo que consideramos dos casos diferentes en función de si A(y) se anula o no. Comencemos suponiendo que A(y)=0 . En este caso, la Ecuación (3.37) se reduce a 2Txxxx(x, y)+8B(y)2x2+ 8 B(y)C(y)x+ 8 B0(y)+4B(y)D(y) + C(y)2= 0 e integrando de forma directa obtenemos T(x, y) = −1 90 B(y)2x6−1 30 B(y)C(y)x5−1 48 8B0(y)+4B(y)D(y) + C(y)2x4 +E(y)x3+F(y)x2+G(y)x+H(y). De este modo, haciendo uso de la expresión dada en la Ecuación (3.36) se obtiene el caso (i) . Supongamos ahora que A(y)6= 0 . La Ecuación (3.38) implica que B(y) = −1 2A0(y) y por tanto la Ecuación (3.37) se reduce a 4Txxxx(x, y)−4A(y)Txx(x, y)+3A0(y)2x2 −6C(y)A0(y)x−4A00(y)−2D(y)A0(y)+2C(y)2= 0. Integrando de forma directa en esta ecuación obtenemos dos posibilidades para la función T(x, y) , dependiendo del signo de A(y) . De forma más precisa, 16 A(y)2T(x, y) = A(y)A0(y)2x4−4A(y)C(y)A0(y)x3 −42A(y)A00(y)−3A0(y)2+A(y)D(y)A0(y)−A(y)C(y)2x2 + 16 A(y)2E(y)x+ 16 A(y) (A(y)F(y) + Ξ(x, y)) , 3.2.2 Variedades Walker con tensor de Cotton Codazzi 113 donde Ξ(x, y) =   G(y)e√A(y)x+H(y)e−√A(y)x, si A(y)>0 , G(y) cos(p−A(y)x) + H(y) sin(p−A(y)x), si A(y)<0 . Es decir, el caso (ii) se obtiene ahora de forma directa a partir de la Ecuación (3.36). Corolario 3.10. El tensor de Cotton de una variedad de Walker estricta (M, g) de dimensión tres es Codazzi si y sólo si la métrica está dada por (3.39) ga,b= 2 dt ◦dy +dx ◦dx + (b(y)x3+a(y)x)dy ◦dy, donde a y b son funciones derivables arbitrarias dependiendo de la coordenada y . Demostración. Se sigue de la Ecuación (3.34) que el tensor de Cotton de una variedad Walker estricta de dimensión tres es Codazzi pero no paralelo si y sólo si fxxxx = 0 y fxxxy 6= 0. Así, la métrica Walker dada por la Ecuación (3.32) está determinada por la función (3.40) f(x, y) = α(y)x3+β(y)x2+γ(y)x+δ(y), donde α , β , γ y δ son funciones derivables en la coordenada y . En lo que resta de la demostración comprobaremos que cualquier métrica dada por la Ecuación (3.39) es localmente isométrica a alguna métrica dada por la Ecuación (3.40) para funciones a(y) y b(y) adecuadas. Para ello procedemos como en la demostración del Teorema 3.4. Sea gf una métrica Walker (3.32) y sea T:R3→R3 una aplicación diferenciable dada por T(t, x, y) = (t−ϕyx+ψ, x +ϕ, y), donde ϕ y ψ son funciones derivables dependiendo únicamente de la coordenada y . De este modo T dene una isometría entre gf y otra métrica Walker g˜ f dada por la Ecuación (3.32) para alguna función ˜ f(x, y) = f(x+ϕ, y)−2xϕyy +ϕ2 y+ 2ψy. Consideremos ahora una métrica Walker dada por la Ecuación (3.39) denida por funciones arbitrarias a(y) y b(y) . Entonces T dene una isometría entre dos métricas Walker gf y g˜ f donde ˜ f(x, y) = b(y)(x+ϕ)3+a(y)(x+ϕ)−2xϕyy +ϕ2 y+ 2ψy =b(y)x3+ 3b(y)ϕx2+ (a(y)+3b(y)ϕ2−2ϕyy)x+a(y)ϕ+b(y)ϕ2+ϕ2 y+ 2ψy. Tomando α(y) = b(y) , β denida por β(y)=3b(y)ϕ , γ denida por γ(y) = a(y)+3b(y)ϕ2− 2ϕyy y escogiendo ψ tal que δ(y) = a(y)ϕ+b(y)ϕ2+ϕ2 y+ 2ψy , se tiene que T dene una isometría entre la métrica Walker denida por la Ecuación (3.40) y una métrica Walker gf con f(x, y) dada por la Ecuación (3.32); lo que termina la demostración. 120 3 Geometría del tensor de Cotton con lo que la derivada de Lie de la métrica está dada por (3.51) (LXg)12 =1 2(ξ2+ (2α−2β−1)ξ3),(LXg)13 =1 2(ξ3−(2α−2β+ 1)ξ2) (LXg)22 = (LXg)33 =−(LXg)23 =−ξ1. Además, el tensor de Cotton está determinado por (3.52) C11 =α2(α−β), C22 =−1 42α3−8β2+ 4αβ −α2(2β−1), C23 =1 4(α2−8β2+ 4αβ), C33 =1 42α3+ 8β2−4αβ −α2(2β+ 1). Analizamos a continuación los solitones de Cotton invariantes a la izquierda en este caso. Teorema 3.15. Un grupo de Lie Lorentziano (G, g) de Tipo II admite solitones de Cotton invariantes a la izquierda no triviales si y sólo si se verica alguna de las condiciones siguientes (i) α=β6= 0 , y entonces G=O(1,2) ó G=SL(2,R) , (ii) α= 0 6=β , y entonces G=E(1,1) . Además, en ambos casos, los solitones de Cotton son siempre estables y están dados respectivamente por: (i) X=3 4β2e1+κ(e2+e3) , donde κ∈R . (ii) X= 2β2e1 . Demostración. Considerando las Ecuaciones (3.51) y (3.52), la condición para ser un campo de vectores solitón de Cotton invariante a la izquierda X= (ξ1, ξ2, ξ3) puede ser expresada como (3.53)                            ξ2+ξ3(2α−2β−1) = 0, ξ3−ξ2(2α−2β+ 1) = 0, α2−8β2+ 4αβ + 4ξ1= 0, α2(α−β)−λ= 0, 2α3−8β2+ 4αβ −α2(2β−1) + 4ξ1+ 4λ= 0, 2α3+ 8β2−4αβ −α2(2β+ 1) −4ξ1+ 4λ= 0. Sumando la primera y la segunda ecuación obtenemos (α−β)(ξ2−ξ3)=0 . De este modo resulta que α=β ó ξ2=ξ3 . Supongamos en primer lugar que α=β . En este caso, la cuarta ecuación implica que λ= 0 . Ahora bien, de la primera ecuación se sigue que ξ2=ξ3 3.3.1 Solitones de Cotton invariantes a la izquierda 121 y nalmente la última ecuación implica que ξ1=3 4β2 . Con estas condiciones la Ecuación se verica y el solitón de Cotton es no trivial siempre que α=β6= 0 , lo que demuestra (i) . Analizamos ahora el caso ξ2=ξ3 , con α6=β . En este caso, la primera ecuación implica que ξ3(α−β)=0 y así ξ3= 0 . Por otra parte, de la cuarta ecuación tenemos λ=α2(α−β) . Además, de las dos últimas ecuaciones obtenemos α2(α−β) = 0 , y por tanto α= 0 . Finalmente, la Ecuación se reduce a ξ1= 2β2 , lo que demuestra (ii) . Finalmente, de la clasicación de los grupos de Lie Lorentzianos obtenida en [19] se sigue que G es localmente isométrica a O(1,2) o a SL(2,R) en el caso (i) ,ya E(1,1) en el caso (ii) . Observación 3.16. Los solitones de Cotton invariantes a la izquierda en un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo II son gradiente si y sólo si α= 0 6=β . Para demostrar esto, analizamos los dos casos diferentes que obtuvimos en el Teorema 3.15. Primero, supongamos que α=β6= 0 ; en este caso, los solitones de Cotton invariantes a la izquierda son de la forma X=3 4β2e1+κ(e2+e3) , κ∈R , y así la forma dual Xb está dada por Xb=3 4β2e1+κ(e2−e3). Por un cálculo directo obtenemos que dXb=−βκ(e1∧e2−e1∧e3)−3 4β3e2∧e3, y por tanto el solitón de Cotton nunca es gradiente. Si suponemos ahora que α= 0 6=β , en este caso, el solitón de Cotton invariante a la izquierda está dado por X= 2β2e1 y su correspondiente 1 -forma dual está determinada por Xb= 2β2e1, de donde se sigue que dXb= 0 . Concluímos de este modo que existe una función diferenciable f tal que X=∇f . iv) Tipo III Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo III viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} de signatura (+ + −) , como [e1, e2] = −1 √2e1−αe3,[e1, e3] = −1 √2e1−αe2,[e2, e3] = αe1+1 √2e2−1 √2e3; y así la derivada de Lie de la métrica está dada por (3.54) (LXg)11 =−√2(ξ2+ξ3),(LXg)12 = (LXg)13 =ξ1 √2,(LXg)22 =√2ξ3, (LXg)23 =ξ3−ξ2 √2,(LXg)33 =−√2ξ2; 122 3 Geometría del tensor de Cotton mientras que el tensor de Cotton está determinado por (3.55) C12 =C13 =3α2 2√2, C22 =C23 =C33 = 3α. Para este caso tenemos el siguiente resultado Teorema 3.17. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular (G, g) de Tipo III admite un solitón de Cotton invariante a la izquierda no trivial si y sólo si α6= 0 , con lo que G= O(1,2) ó G=SL(2,R) . Además, en tal caso, el solitón de Cotton es estable y está dado por X=−3α2 2e1+3α √2(e2−e3) . Demostración. Dado un campo de vectores invariante a la izquierda X= (ξ1, ξ2, ξ3) , las Ecuaciones (3.54) y (3.55) implican que X es un solitón de Cotton si y sólo si (3.56)                      2ξ1+ 3α2= 0, √2ξ2+√2ξ3+λ= 0, 3√2α−x2+ξ3= 0, 3α+√2ξ3−λ= 0, 3α−√2ξ2+λ= 0. Si α= 0 , se sigue de esta Ecuación que el grupo de Lie no admite solitones de Cotton invariantes a la izquierda no nulos. Supongamos entonces que α6= 0 . La primera ecuación implica que x1=−3α2 2 mientras que la segunda ecuación implica que x2=−x3−λ √2 . Ahora bien, de las dos últimas ecuaciones obtenemos λ= 0 y x3=−3α √2 . Finalmente, de la clasicación de los grupos de Lie Lorentzianos de dimensión tres obtenidos en [19] se sigue que G es localmente isométrico a O(1,2) ó a SL(2,R) . Observación 3.18. Un grupo de Lie Lorentziano unimodular de Tipo III no admite ningún solitón de Cotton gradiente invariante a la izquierda. De hecho, considerando el solitón de Cotton determinado en el Teorema 3.17,su forma dual Xb está dada por Xb=−3α2 2e1+3α √2(e2+e3), y por un cálculo directo se obtiene que dXb=3α2 2√2e1∧e2+e1∧e3+√2αe2∧e3. Así, el solitón de Cotton X no es gradiente. 3.3.1 Solitones de Cotton invariantes a la izquierda 123 Caso no unimodular En este apartado estudiamos la existencia de solitones de Cotton invariantes a la izquierda en grupos de Lie Lorentzianos no unimodulares de dimensión tres; cuyas correspondientes álgebras de Lie fueron introducidas en la Sección (1.2.1). Excluiremos el estudio de los grupos de Tipo S , puesto que cualquier métrica invariante a la izquierda denida en ellos tiene curvatura seccional constante (véanse [71] y [80]) y por tanto son localmente conformemente llanos, con lo que no admiten solitones de Cotton no triviales. Además, los triviales son necesariamente cero. Por otra parte, demostramos a continuación que para el resto de los casos no unimodulares los solitones de Cotton también son triviales. i) Tipo IV.1 Un álgebra de Lie g de Tipo IV.1 viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} vericando g(e1, e1) = −g(e2, e2) = −g(e3, e3) = −1 , por las siguientes constantes de estructura [e1, e2] = 0,[e1, e3] = αe1+βe2,[e2, e3] = γe1+δe2, donde α+δ6= 0 y αγ −βδ = 0 . Así, la derivada de Lie de la métrica está determinada por (3.57) (LXg)11 =−2αξ3,(LXg)12 = (β−γ)ξ3,(LXg)13 =αξ1+γξ2, (LXg)22 = 2δξ3,(LXg)23 =−βξ1−δξ2 y el tensor de Cotton por (3.58) C11 =−1 2β3−2γ3−α2β+βγ2+ 2γδ2−βδ2, C12 =δ(α(α−δ)−β(β−γ)), C22 =−1 22β3−γ3−2α2β−β2γ+γδ2+αβδ, C33 =−1 2(β+γ)(α+β−γ−δ)(α−β+γ−δ). Demostramos a continuación la no existencia de solitones de Cotton invariantes a la izquierda no triviales en este caso. Teorema 3.19. Si un grupo de Lie Lorentziano no unimodular (G, g) de Tipo IV.1 es un solitón de Cotton invariante a la izquierda entonces es necesariamente trivial. Demostración. Recordemos a lo largo de la demostración que las álgebras de Lie de este tipo verican las relaciones αγ −βδ = 0 y α+δ6= 0 . Las Ecuaciones (3.57) y (3.58) implican que un campo de vectores invariante a la izquierda X= (ξ1, ξ2, ξ3) es un solitón 124 3 Geometría del tensor de Cotton de Cotton si y sólo si (3.59)                            αξ1+γξ2= 0, βξ1+δξ2= 0, (β+γ)(α+β−γ−δ)(α−β+γ−δ)+2λ= 0, δ(α(α−δ)−β(β−γ)) + (β−γ)ξ3= 0, β3−2γ3−α2β+βγ2+ 2δ2γ−βδ2+ 4αξ3−2λ= 0, 2β3−γ3−2α2β−β2γ+γδ2+αβδ −4δξ3+ 2λ= 0. Analizamos primero el caso α= 0 . En esta situación β= 0 y δ6= 0 . De este modo, la segunda ecuación implica que ξ2= 0 . Por otra parte, la cuarta ecuación se reduce a γξ3= 0 y por tanto γ= 0 ó ξ3= 0 . Si γ= 0 resulta que el grupo de Lie es localmente conformemente llano y, por tanto, el solitón de Cotton es trivial. Si ξ3= 0 y γ6= 0 entonces de las dos últimas ecuaciones se sigue que (γ−δ)(γ+δ)=0 , lo que implica que la curvatura seccional es constante e igual a −δ2 4 , por lo que el solitón de Cotton ha de ser trivial. Supongamos ahora que α6= 0 . En este caso γ=βδ α y la primera ecuación implica que ξ1=−βδξ2 α2 , mientras que la segunda ecuación se reduce a (3.60) α2−β2δξ2= 0. Si α2−β2= 0 entonces α=εβ y γ=εδ , siendo ε2= 1 . Bajo estas condiciones el grupo de Lie es de curvatura seccional constante −1 4(β+εδ)2 con lo que el solitón de Cotton es trivial. Por otra parte, si ahora δ= 0 en la Ecuación (3.60) se tiene que γ= 0 y, por tanto, la cuarta ecuación en (3.59) es equivalente a βξ3= 0 . Ahora bien, para β= 0 el grupo de Lie es localmente conformemente llano, con lo que el solitón de Cotton es trivial. Por otra parte, si ξ3= 0 y β6= 0 entonces la Ecuación (3.59) se reduce a β3−α2β−2λ= 0, β3−α2β+λ= 0. Por tanto α2−β2= 0 , lo que demuestra que el grupo de Lie es de curvatura seccional constante y el solitón es de nuevo trivial. Finalmente estudiamos el caso ξ2= 0 en la Ecuación (3.60). Supongamos δ6= 0 y α2−β26= 0 para evitar los casos previos. Observemos que, en este caso, ξ1= 0 y la cuarta ecuación en (3.59) se transforma en (α−δ)δα2−β2+βξ3= 0. Si α=δ entonces la Ecuación (3.59) se reduce a λ= 0 y δξ3= 0 ; así ξ3= 0 y el solitón de Cotton es cero. Supongamos, por tanto, que α6=δ . De este modo tenemos δα2−β2+βξ3= 0 . A partir de esta expresión observemos que β es necesariamente 3.3.1 Solitones de Cotton invariantes a la izquierda 125 diferente de cero ya que estamos suponiendo δ(α2−β2)6= 0 . Es decir, ξ3=−δ(α2−β2) β y por la tercera ecuación en (3.59) tenemos λ=−βα2−β2(α−δ)2(α+δ) 2α3 y la Ecuación (3.59) se reduce a (α2β2−3β2δ2+ 2αβ2δ+ 4α4= 0, 3α2β2−β2δ2−2αβ2δ−4α2δ2= 0. Se sigue ahora que α2+β2α2−δ2= 0 , lo cual es una contradicción, lo que termina la demostración. ii) Tipo IV.2 Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo IV.2 viene dada respecto a una base ortonormal {e1, e2, e3} vericando g(e1, e1) = g(e2, e2) = −g(e3, e3) = 1 , por las siguientes constantes de estructura [e1, e2] = 0,[e1, e3] = αe1+βe2,[e2, e3] = γe1+δe2, donde α+δ6= 0 y αγ +βδ = 0 . Por tanto la derivada de Lie de la métrica viene dada por (3.61) (LXg)11 = 2αξ3,(LXg)12 = (β+γ)ξ3,(LXg)13 =−αξ1−γξ2, (LXg)22 = 2δξ3,(LXg)23 =−βξ1−δξ2. El tensor de Cotton está dado por (3.62) C11 =1 2β3+ 2γ3+α2β+βγ2+ 2γδ2+βδ2, C12 =δ(α(α−δ) + β(β+γ)) , C22 =−1 22β3+γ3+ 2α2β+β2γ+γδ2−αβδ, C33 =−1 2(β−γ)(α−δ)2+ (β+γ)2. Para este caso caso tenemos el siguiente resultado. Teorema 3.20. Si un grupo de Lie Lorentziano no unimodular (G, g) de Tipo IV.2 es un solitón de Cotton invariante a la izquierda entonces es necesariamente trivial. 126 3 Geometría del tensor de Cotton Demostración. Recordemos para la demostración que las álgebras de Lie de este tipo verican las relaciones αγ +βδ = 0 y α+δ6= 0 . Para un campo de vectores invariante a la izquierda X= (ξ1, ξ2, ξ3) , las Ecuaciones (3.61) y (3.62) implican que X es un solitón de Cotton si y sólo si (3.63)                            αξ1+γξ2= 0, βξ1+δξ2= 0, (β−γ)(α−δ)2+ (β+γ)2−2λ= 0, δ(α(α−δ) + β(β+γ)) + (β+γ)ξ3= 0, β3+ 2γ3+α2β+βγ2+ 2δ2γ+βδ2+ 4αξ3−2λ= 0, 2β3+γ3+ 2α2β+β2γ+γδ2−αβδ −4δξ3+ 2λ= 0. Supongamos primero que α= 0 . En este caso, β= 0 y δ6= 0 , y por la tercera y la quinta ecuación obtenemos que γγ2+δ2= 0 . Por tanto γ= 0 y el grupo de Lie es localmente conformemente llano, es decir, dicho solitón de Cotton invariante a la izquierda es trivial. Supongamos ahora que α6= 0 . De este modo γ=−βδ α y la primera ecuación implica que ξ1=βδξ2 α2 . Ahora, la segunda ecuación es equivalente a (3.64) α2+β2δx2= 0, y por tanto δ= 0 ó ξ2= 0 . Si δ= 0 entonces la cuarta ecuación en (3.63) se reduce a βξ3= 0 . En tal caso, si ξ3= 0 entonces la Ecuación (3.63) se reduce a β3+α2β+λ= 0, β3+α2β−2λ= 0, lo que implica que β= 0 . Por tanto necesariamente ha de ser β= 0 en cualquier caso, de donde se sigue que el grupo de Lie es localmente conformemente llano. Es decir, el solitón de Cotton es trivial. Finalmente, analizamos el caso ξ2= 0 en la Ecuación (3.64). Supongamos que δ6= 0 para evitar el caso previo. Observemos que en esta situación ξ1= 0 y la cuarta ecuación en (3.63) es equivalente a (α−δ)(δ(α2+β2) + βξ3)=0. Si α=δ entonces la Ecuación (3.63) se reduce a λ= 0 y δξ3= 0 ; así ξ3= 0 y el solitón de Cotton se anula. Ahora, si α6=δ entonces δ(α2+β2) + βξ3= 0 . Observemos que β debe ser no nula ya que estamos suponiendo que δ6= 0 . Es decir, ξ3=−δ(α2+β2) β y la tercera ecuación en (3.63) implica que λ=βα2+β2(α−δ)2(α+δ) 2α3. 3.3.1 Solitones de Cotton invariantes a la izquierda 127 Ahora, dicha ecuación se reduce a (4α4−α2β2−2αβ2δ+ 3β2δ2= 0, α23β2+ 4δ2−2αβ2δ−β2δ2= 0, de donde se sigue que (α−β)(α+β)(α−δ)(α+δ) = 0 . Puesto que estamos suponiendo que α6=δ y, además, α+δ6= 0 , entonces tenemos α=±β y en tal caso el sistema de ecuaciones mencionado anteriormente no tiene solución (ya que δ6= 0 ). Esto termina la demostración. iii) Tipo IV.3 Recordemos que un álgebra de Lie g de Tipo IV.3 está determinada respecto a una base pseudo-ortonormal {e1, e2, e3} con g(·,·) =   1 0 0 0 0 −1 0−1 0  , por las siguientes constantes de estructura [e1, e2]=0,[e1, e3] = αe1+βe2,[e2, e3] = γe1+δe2, donde α+δ6= 0 y αγ = 0 . Así, la derivada de Lie de la métrica y el tensor de Cotton en la base {e1, e2, e3} vienen dados por (3.65) (LXg)11 = 2αξ3,(LXg)12 =γξ3,(LXg)13 =−αξ1−γξ2−βξ3, (LXg)23 =−δξ3,(LXg)33 = 2(βξ1+δξ2), y (3.66) C11 =γ3, C23 =γ3 2, C33 =βγ2 2. Demostramos ahora que en este caso los solitones de Cotton invariantes a la izquierda son triviales. Teorema 3.21. Si un grupo de Lie Lorentziano no unimodular (G, g) de Tipo IV.3 es un solitón de Cotton invariante a la izquierda entonces es necesariamente trivial. 128 3 Geometría del tensor de Cotton Demostración. Haciendo uso de las Ecuaciones (3.65) y (3.66) se sigue que un campo de vectores invariante a la izquierda X= (ξ1, ξ2, ξ3) es un solitón de Cotton si y sólo si (3.67)                    γξ3= 0, αξ1+γξ2+βξ3= 0, 2αξ3+γ3−λ= 0, γ3−2δξ3+ 2λ= 0, βγ2+ 4βξ1+ 4δξ2= 0. Recordemos que las álgebras de Lie de este tipo verican las ecuaciones αγ = 0 y α+δ6= 0 . En primer lugar, si suponemos α=γ= 0 entonces el grupo de Lie es llano, por lo que el solitón de Cotton es trivial. Ahora bien, si α= 0 y γ6= 0 entonces la primera ecuación en (3.67) implica que ξ3= 0 , y por tanto de la tercera y la cuarta ecuación en (3.67) obtenemos γ= 0 , lo que es una contradicción. Finalmente, si γ= 0 y α6= 0 entonces el grupo de Lie es localmente conformemente llano y por tanto el solitón de Cotton es trivial. A partir de los resultados obtenidos hasta este momento en esta sección estamos ya en condiciones de demostrar la caracterización geométrica dada en el Teorema 3.12 sobre la existencia de solitones de Cotton invariantes a la izquierda en los grupos de Lie Lorentzianos de dimensión tres: Demostración del Teorema 3.12. Si analizamos los diferentes casos obtenidos en los Teoremas 3.15 y 3.17 se obtiene que el correspondiente operador de Cotton es dos pasos nilpotente para los grupos de Lie Lorentzianos unimodulares de Tipo II con α=β6= 0 ó α= 0 6=β , en particular b C= Ξ ·  0 0 0 0 1 −1 0 1 −1  donde Ξ = 3α2 4 si α=β6= 0 , ó Ξ = 2β2 si α= 0 6=β . Mientras que el grado de nilpotencia es tres para los grupos de Lie Lorentzianos unimodulares de Tipo III con α6= 0 , ya que en este caso resulta b C= 3α   0α 2√2 α 2√2 α 2√21 1 −α 2√2−1−1   Recíprocamente, analizando caso por caso el operador de Cotton en los diferentes grupos de Lie Lorentzianos tanto unimodulares como no unimodulares obtenemos, mediante un 3.3.2 Solitones de Cotton algebraicos Lorentzianos 129 cálculo largo pero directo, que los casos con operador de Cotton nilpotente son precisamente aquellos obtenidos los Teoremas 3.15 y 3.17.  Observación 3.22. En el caso Riemanniano, los grupos de Lie unimodulares se corresponden con los de Tipo Ia, mientras que el caso no unimodular se corresponde con el Tipo S y con el Tipo IV.2 discutidos previamente. Con respecto al Tipo Ia y al Tipo IV.2, el comportamiento es exactamente igual en los casos Riemannino y Lorentziano, puesto que el Teorema 3.13 y el Teorema 3.20 también se verican para el caso Riemanniano. En consecuencia, puesto que los espacios localmente simétricos y los grupo de Lie de Tipo S son localmente conformemente llanos, se tiene que Las variedades Riemannianas homogéneas de dimensión tres no admiten solitones de Cotton invariantes a la izquierda no triviales. Así, cualquier solitón de Cotton Riemanniano invariante a la izquierda es un solitón de Yamabe, con lo que en el caso Riemanniano esto implica que la variedad es necesariamente llana. No obstante, la situación es diferente cuando se considera la existencia de solitones de Cotton no triviales y no invariantes. En particular, siguiendo argumentos análogos a los que realizaremos en la última parte de la Subsección 3.3.2 es posible demostrar que el grupo de Heisenberg, H3 , dotado con la métrica invariante a la izquierda dada por g=dx ◦dx + (1 + x2)dy ◦dy −2xdy ◦dz +dz ◦dz es un solitón de Cotton Riemanniano no trivial, no invariante y contractivo. 3.3.2. Solitones de Cotton algebraicos Lorentzianos Como hemos visto, los solitones de Cotton se corresponden con puntos jos para el ujo de Cotton salvo difeomorsmos y reescalamientos. No obstante, el comportamiento especíco de las variedades homogéneas nos permite considerar condiciones más fuertes que la de ser solitón de Cotton. Más precisamente, podemos considerar soluciones solitón para el ujo de Cotton salvo automorsmos en vez de difeomorsmos, en cuyo caso se dice que dicho solitón es un solitón de Cotton algebraico. Sea (G, g) un grupo de Lie simplemente conexo dotado con una métrica de Lorentz invariante g y sea g el álgebra de Lie del grupo G . Siguiendo las ideas del trabajo de Lauret (véase [67]), se dice que (G, g) es un solitón de Cotton algebraico si verica (3.68) b C=λid +D donde b C representa el operador de Cotton ( g(b C(X), Y ) = ˜ C(X, Y ) ), λ es un número real y D∈Der(g) es una derivación del álgebra de Lie g , i.e., D[X, Y ]=[DX, Y ]+[X, DY ] para todo X, Y ∈g. A continuación demostramos que la condición de ser solitón de Cotton algebraico es más fuerte que la de ser solitón de Cotton.