Ecuacións de Euler-Lagrange en variedades

Traballo Fin de Grao Ecuacións de Euler-Lagrange en variedades Raúl Rodrígez Bello 2020-21 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Ecuacións de Euler-Lagrange en variedades Raúl Rodrígez Bello Febreiro, 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía Título: Ecuacións de Euler-Lagrange en variedades Breve descrición do contido O principal propósito do TFG é · introducción dos sode s no brado tanxente · introducción dos sode s no brado tanxente extendido · describir exemplos que expliquen os contidos teóricos. Recomendacións Ter cursado ou estar cursando a materia de Variedades Diferenciables. Outras observacións iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Ecuacións de Newton e de Euler-Lagrange: caso autónomo 1 1.1. Ecuacións de Newton: caso autónomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Ecuacións de Euler-Lagrange: caso autónomo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Ecuacións diferenciais de segundo orde en TQ 7 2.1. Campos de vectores en TQ ........................... 8 2.1.1. Levantamentos verticais de campos de vectores . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2. Levantamentos completos de campos de vectores . . . . . . . . . . . 10 2.1.3. Campo de vectores de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Estructura tanxente canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. Sistema de ecuacións en derivadas de segundo orde: sode s.......... 11 2.3.1. Levantamento tanxente de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2. SODEs .................................. 13 2.4. Ecuacións de Euler-Lagrange e sode s ..................... 16 2.5. Exemplo: Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Ecuacións diferenciais de segundo orde en R×TQ 19 3.1. Estructuras canónicas en R×TQ ........................ 19 3.1.1. Campo de Liouville e endomorsmo canónico en R×TQ ...... 20 3.2. sode s ...................................... 21 3.2.1. Prolongación de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Ecuacións de Euler-Lagrange e SODE s..................... 23 3.4. Exemplo: Péndulo simple que se move sobre un anel . . . . . . . . . . . . . 24 Bibliografía 27 v Resumo O obxetivo principal deste traballo, é a introducción dos SODE s no brado tanxente e no brado tanxente extendido, así coma a importancia das ecuaccións de Euler-Lagrange e a súa utilidade. Para isto, necesitamos describir o brado tanxente TQ como variedade diferenciable, e os seus elementos xeométricos, como a estructura tanxente canónica, o campo de vectores de Liouville ou os levantamentos de campos de vectores. Tamén extenderemos todos estes conceptos á variedade diferenciable R×TQ . Para entender ben todo o anterior, axudarémonos de dous exemplos, no primeiro caso, cando o lagriangiano non depende do tempo, estudaremos o movemento dun péndulo simple, e no segundo, cando o lagrangiano depende do tempo, estudaremos o péndulo simple que se move sobre un anel . Abstract The main objective of this work is the introduction of SODE s in the tangent bundle and in the extended tangent bundle, as well as the importance of the Euler-Lagrange equations and their usefulness. To that end, we need to describe the tangent bundle TQ as a dierentiable manifold and its geometrical elements, such as the canonical tangent structure, the Liouville vector eld or the vector eld lifts. We will also extend all these concepts to the dierentiable variety R×TQ . In order to understand all the above, we will use two examples, in the rst case, when the lagrangian does not depend on time, we will study the motion of a simple pendulum, and in the second, when the lagrangian depends on time, we will study the simple pendulum moving on a ring. vii 4 CAPÍTULO 1. ECUACIÓNS DE NEWTON E DE EULER-LAGRANGE: CASO AUTÓNOMO e nun sistema conservativo, con enerxía potencial V, o lagrangiano do sistema é L:S=Q×R3N−→ R (qi, vi)7−→ L(qi, vi) = T(qi, vi)−(V◦τ)(qi, vi) = T(qi, vi)−V(qi), sendo funcións do espazo de estados. Polo tanto, o lagrangiano é a enerxía cinética menos a enerxía potencial. Denición 1.2. As ecuacións de Euler-Lagrange son o seguinte sistema de ecuacións diferenciais de segunda orde sobre o espazo de estados d dtt∂L ∂vi◦˙α(t)−∂L ∂qi◦˙α(t)= 0, i = 1, ... , 3N, (1.2) cuxa solución é unha curva α:I⊂R−→ Q t7−→ α(t)=(q1(t), ... , q3N(t)) sobre o espazo de conguración, e ˙α denota a curva levantamento tanxente de α , cuxa expresión é ˙α:I⊂R−→ Q×R3N t7−→ ˙α(t) = q1(t), ... , q3N(t),dq1 dt t, ... , dq3N dt t. é fácil ver que α(1)(t) é curva integral do seguinte campo de vectores XL sobre o espazo de estados S , dado por XL(qi, vi) = vi∂ ∂qi−1 mi ∂V ∂qi ∂ ∂vi. Teorema 1.3. Nun sistema conservativo, as ecuacións de Newton (1.1) son equivalentes ás ecuacións de Euler-Lagrange (1.2). Demostración. Da denición 1.1, obtemos as seguintes derivadas parciais ∂L ∂vi=mivi,∂L ∂qi=−∂V ∂qi◦τ. Sexa α(t) unha solución de (1.2), entón ∂L ∂vi◦˙α(t) = mivi( ˙α(t)) = mi dqi dt t,∂L ∂qi◦˙α(t) = −∂V ∂qi◦α(t), 1.2. ECUACIÓNS DE EULER-LAGRANGE: CASO AUTÓNOMO 5 polo tanto α(t) é solución de 0 = d dtt∂L ∂vi◦˙α(t)−∂L ∂qi◦˙α(t)=mi d2qi dt2t+∂V ∂qi= 0, co que chegamos a que mi d2qi dt2t=−∂V ∂qi, e dicir, α(t) é solución de (1.1). O recíproco realízase de forma completamente análoga. Observación 1.4 . A función lagrangiana contén toda a información dinámica do sistema. Unha das propiedades máis interesantes das ecuacións de Euler-Lagrange é que non dependen das coordenadas escollidas. 6 CAPÍTULO 1. ECUACIÓNS DE NEWTON E DE EULER-LAGRANGE: CASO AUTÓNOMO Capítulo 2 Ecuacións diferenciais de segundo orde en T Q Un tipo importante de campos de vectores sobre o brado tanxente dunha variedade diferenciable, son os campos de vectores chamados ecuacións diferenciais de segundo orde, conocidos como semisprays ou como sode s (do inglés, second order dierential equation). Neste capítulo imos ver que para obter as curvas integrais dun sode , teremos que resolver un sistema de ecuacións diferenciais de segundo orde en Rn , de ahí o seu nome. Sexa Q unha variedade diferenciable de dimensión n , denotarase por τQ , á proxección canónica τQ:TQ −→ Q vq7→ q Se (qi) son coordenadas locais en U⊆Q , entón as coordenadas locais inducidas en TU =τ−1 Q(U) denótanse por (qi, vi) onde 1≤i≤n , e están denidas por qi(vq) = qi(τQ(vq)) = qi(q), vi(vq) = vq(qi) = dqi(q)(vq), onde vq∈TQ , e dicir vq=vi(vq)∂ ∂qiq. 7 8 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE SEGUNDO ORDE EN TQ Estas coordenadas canónicas dotan a TQ dunha estructura de variedade diferenciable de dimensión 2n . En coordenadas canónicas a proxección canónica τQ:TQ −→ Q ven dada por τQ(qi, vi)=(qi). Para unha aplicación h:M→N entre dúas variedades, denotamos a diferencial usual como h∗(m) : TmM→Th(m)N, e a correspondente aplicación entre os espacios tanxentes por Th :TM −→ Th(m)N vm7→ Th(vm) = h∗(m)(vm). 2.1. Campos de vectores en T Q O primerio que nos fai falla, é introducir o concepto de vector tanxente a unha curva. Dada α:I⊂R→Q unha curva en Q , o vector tanxente ˙α , a α no punto α(t) ven dado por α∗(t) : TtI−→ Tα(t)Q d dtt7→ α∗(t)d dtt= ˙α(t) , e a súa expresión local é ˙α(t) = α∗(t)d dtt=d(qi◦α) dt (t) ∂ ∂qiα(t). 2.1.1. Levantamentos verticais de campos de vectores Sexa Xq∈TqQ un vector tanxente en q∈Q . Para cada vq∈TqQ consideramos a curva αXq,vq en TQ dada por αXq,vq:I⊂R−→ TQ t7→ αXq,vq(s) = vq+tXq, obviamente αXq,vq(0) = vq 2.1. CAMPOS DE VECTORES EN TQ 9 Chamaremos levantamento vertical de Xq a TQ no punto vq∈TQ , ao vector tanxente a curva αXq,vq en t= 0 , é dicir (Xq)V(vq) = ˙αXq,vq(0) = ( ˙αXq,vq)∗(0)d dt0. O vector (Xp)V(vp) é vertical, o que quere dicir que a proxección por τQ é nula, en efecto, (τQ)∗(vq)((Xq)V(vq))) = (τQ)∗(vq)( ˙αXq,vq(0)) = (τQ◦αXq,vq)(0) = 0 , dado que τQ◦˙αXq é constante (τQ◦αXq,vq)(s) = τQ(vq+tXq) = q , para todo t∈R . Imos calcular agora a súa expresión local, sendo Xq e vq elementos que se escriben da seguinte forma Xq=ai∂ ∂qiq, vq=bi∂ ∂qiq. Como a expresión local da curva αXp,vq é αXp,vq:I⊂R−→ TQ t7→ αXp,vq(t) = vq+tXq≡(qi(q), bi+tai), deducimos que (Xp)V(vp) = ˙αXp(0) = dqi(q) dt t=0 ∂ ∂qiva +d(bi+tai) dt t=0 ∂ ∂vivp = =∂ ∂qivq +ai∂ ∂qivq =ai∂ ∂vivq , (2.1) polo tanto, localmente temos h∂ ∂qiiV=∂ ∂vi. O levantamento vertical de vectores induce ao levantamento vertical de campos de vectores. Sexa X∈X(Q) , defínese o levantamento vertical XV∈X(TQ) de X como segue XV(vq)=(X(q))V(vq), nun sistema de coordenadas canónicas, se X=Xi∂ ∂qi, 10 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE SEGUNDO ORDE EN TQ en (U, qi) , entón de (2.1.1) dedúcese que XV= (Xi◦τQ)∂ ∂vi, en (TU, (qi, vi)) . ♦ , 2.1.2. Levantamentos completos de campos de vectores Se X é un campo de vectores en Q , con grupo local 1 -paramétrico de transformacións locais {hs} , entón o grupo local 1 -paramétrico de transformacións locais {Ths} xenera un campo de vectores XC en TQ , o cal se chama levantamento completo de X a TQ . Se localmente,en (U, qi) , X=Xi∂ ∂qi, entón o levantamento completo ten a seguinte expresión XC=Xi∂ ∂qi+vi∂Xj ∂qi ∂ ∂vj. en coordenadas locais inducidas (qi, vi) . Observación 2.1 . Obsérvese que (∂ ∂qi)V=∂ ∂vi,(∂ ∂qi)C=∂ ∂qi. (2.2) ♦ 2.1.3. Campo de vectores de Liouville Consideremos agora un punto vq na variedade TQ e a curva αvq :I⊂R−→ TQ t7→ αvq(t) = etvp, pasando por vq en tempo 0, é dicir, αvq(0) = vq . Defínese o campo de vectores de Liouville 4 ∈ X(TQ) no punto vq , como o vector tanxente en t= 0 á curva αvq , é dicir 4(vq) = ˙αvq(0) = (αvq)∗(0)d dt0∈Tvq(TQ). 2.2. ESTRUCTURA TANXENTE CANÓNICA 11 Como a expresión local de αvq é αvq(t) = (qi(q), etvi) obtense que a expresión local do campo de vectores de Liouville en coordenadas canónicas é 4=vi∂ ∂vi. (2.3) 2.2. Estructura tanxente canónica De (2.2) dedúcese que os campos de tensores de tipo (1,1) están caracterizados pola súa acción nos levantamentos verticais e completos. En cada punto vq∈TQ denimos o endomorsmo J(vq) : Tvq(TQ)→Tvq(TQ) como segue J(vq)∂ ∂qivq=∂ ∂vivq J(vq)∂ ∂vivq= 0 (2.4) que induce un campo de tensores de tipo (1,1) en TQ caracterizado por J(XC) = XVJ(XV) = 0 (2.5) para todo X∈X(Q) , que se denomina estructura tanxente canónica en TQ . De (2.4) e (2.5) dedúcese que a súa expresión local é J=∂ ∂vi⊗dqi, . (2.6) 2.3. Sistema de ecuacións en derivadas de segundo orde: sode s O primeiro que debemos recordar,antes de entrar nos SODE s, é o concepto de curva integral dun campo de vectores. Denición 2.2. Unha curva integral dun campo de vectores X en Q , pasando polo punto q∈Q , é unha aplicación α:I⊂R→Q , denida nun entorno aberto I de 0∈R , tal que α(0) = q, α∗(t)∂ ∂tt=X(α(t)) ∈Tα(t)Q, (2.7) 12 CAPÍTULO 2. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE SEGUNDO ORDE EN TQ para todo t∈I , ou equivalentemente, α verica X(α(t)) = ˙α para todo t∈I é dicir, o seguinte diagrama TQ I⊂Rα// ˙α ;; Q X OO é conmutativo. Sexa X un campo de vectores en M e α(t) unha curva integral de X , entón nun entorno coordenado (U, ϕ ≡(xi)) temos ϕ(α(t)) = (x1(α(t)), ... , xn(α(t))) ≡(x1(t), ... , xn(t)) , Xi(α(t)) ∂ ∂xiα(t)=X(α(t)) = ˙α(t) = α∗(t)( d dtt) = dxi◦α dt t ∂ ∂xiα(t), ou equivalentemente Xi◦ϕ−1◦ϕ◦α(t) = d(πi◦ϕ◦α) dt t, denotando Fi=Xi◦ϕ−1:Rn→R , α(t) podemos armar que (x1(t), ... , xn(t)) é curva integral de X se e só se Fi(x1(t), ... , xn(t)) = dxi dt t1≤i≤n , onde xi=πi◦ϕ◦α . Así, para obter as curvas integrais dun campo de vectores, temos que resolver un sistema de ecuacións diferenciais de primeiro orde en Rn . Unha clase importante de campos de vectores sobre o brado tanxente TQ dunha variedade diferenciable Q , son as ecuacións diferenciais de segundo orde, coñecidos como semisprays ou tamén como sode 's (do inglés, second order dierential equation). No desarrollo do formalismo simpléctico lagrangiano aparecen certas ecuacións de segundo orde denidas en TQ . Nesta sección recordarase cales son os campos de vectores que dan lugar as ecuacións en derivadas de segundo orde. Daremos tamén unha caracterización dos mesmos en términos da estructura tanxente canónica e o campo de vectores de Liouville ∆ . 2.3. SISTEMA DE ECUACIÓNS EN DERIVADAS DE SEGUNDO ORDE: SODE S 13 2.3.1. Levantamento tanxente de curvas O levantamento tanxente de curvas en Q a curvas en TQ , xeralízase como segue. Denición 2.3. Dada unha curva α:I⊂R→Q defínese o levantamento tanxente, ou primeira prolongación , α(1) de α a TQ , da seguinte forma α(1) :I⊂R→TQ t→α(1)(t) = α∗(t)d dtt∈Tα(t)Q , (2.8) é dicir, α(1)(t) é o vector tanxente á curva α(t) en cada punto. En coordenadas locais α(t) = (qi◦α(t)) = (αi(t)) , entón a expresión local de α(1) é α(1)(t) = αi(t),dαi dt (t). (2.9) Da denición é obvio que o seguinte diagrama TQ τQ  I⊂Rα// α(1) ;; Q é conmutativo. ♦ 2.3.2. SODEs Un campo de vectores nunha variedade arbitraria M é unha aplicación X:M−→ TM m7→ X(m)∈TmM tal que τM◦X=IdM. sendo τM:TM →M a proxección canónica, dado que τM◦X(m) = τMX(m)=m . 20 CAPÍTULO 3. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE SEGUNDO ORDE EN R×TQ 3.1.1. Campo de Liouville e endomorsmo canónico en R×T Q O isomorsmo T(t,vp)(R×TQ)≡TtR⊕Tvp(TQ) a∂ ∂t(t,vp)+Ai∂ ∂qi(t,vp)+Bi∂ ∂vj(t,vp)≡a∂ ∂tt, Ai∂ ∂qivp +Bi∂ ∂vjvp nos permite extender o campo de vectores de Liouville ∆ e a estructura tanxente J en TQ , a un campo de vectores e a un campo de tensores de tipo (1,1) en R×TQ , para os que utilizaremos a mesma notación que os correspondentes en TQ . Denimos o campo de vectores de Liouville en R×TQ como segue ∆(t, vp) = (0,∆(vp)) ≡0∂ ∂tt, vi(vp)∂ ∂vivp≡vi(vp)∂ ∂vi(t,vp) e denimos o campo de tensores de tipo (1,1) en R×TQ do seguinte xeito J(t, vp) : T(t,vp)(R×TQ)−→ T(t,vp)(R×TQ) ∂ ∂t(t,vp)→J(t, vp)( ∂ ∂t(t,vp)) = 0 ∂ ∂qi(t,vp)→J(t, vp)( ∂ ∂qi(t,vp)) = ∂ ∂vi(t,vp) ∂ ∂vi(t,vp)→J(t, vp)( ∂ ∂vi(t,vp))=0 En coordenadas canónicas, as súas expresións locais son ∆(t, vp) = vi(vp)∂ ∂vi(t,vp)J(t, vp) = ∂ ∂vi(t,vp)⊗dqi(t, vp). (3.1) Introducimos agora o campo de tensores ˜ J de tipo (1,1) en R×TQ ˜ J=J−∆⊗dt , cuxa expresión local é ˜ J=∂ ∂vi⊗dqi−(vi∂ ∂vi)⊗dt =∂ ∂vi⊗(dqi−vidt) as 1-formas θi=dqi−vidt, i = 1, ... , n. (3.2) se denominan formas de contacto. 3.2. SODE S 21 3.2. sode s 3.2.1. Prolongación de curvas Denición 3.1. Sexa α:I⊂R−→ Q t−→ α(t) = αi(t)=qi◦α(t) unha curva en Q . A primeira prolongación de α é a curva α[1] :I⊂R−→ R×TQ t−→ α[1](t)≡(t, α(1)(t)) ≡t, α∗(t)d dtt∈R×Tα(t)Q (3.3) En coordenadas locais, se α(t) = αi(t)=qi◦α(t) entón α[1](t)≡(t, αi(t),dαi dt t) (3.4) Denición 3.2. Un campo de vectores Γ en R×TQ dise que é un sistema de ecuacións diferenciais de segundo orde ( sode ) se dt(Γ) = 1,˜ J(Γ) = 0, ou equivalentemente dt(Γ) = 1, θi(Γ) = 0,1≤i≤n. (3.5) Expresión local dún sode : Sexa Γ = A∂ ∂t +Bi∂ ∂qi+ Γi∂ ∂vi de (3.5) temos A=dt(Γ) = 1 e po lo tanto Γ = ∂ ∂t +Bi∂ ∂qi+ Γi∂ ∂vi 22 CAPÍTULO 3. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE SEGUNDO ORDE EN R×TQ por outra parte 0 = θi(Γ) = dqi−vidt(Γ) = Bi−vi e po lo tanto a expresión local do sode é Γ = ∂ ∂t +vi∂ ∂qi+ Γi∂ ∂vi (3.6) Proposición 3.3. As curvas intregráis dun sode Γ en RxTQ , son levantamentos tanxentes α[1] de curvas α na variedade Q . Estas curvas α chámanse solucións de Γ . Demostración. Sexa φ:I⊂R−→ R×TQ t7−→ φ(t)=(f(t), ai(t), bi(t)) unha curva integral dun sode . Tendo en conta a expresión local (3.6) do sode temos Γ(φ(t)) = ∂ ∂t +vi(φ(t)) ∂ ∂qiφ(t)+ Γi(φ(t)) ∂ ∂viφ(t) e como φ(t) é unha curva integral de Γ Γ(φ(t)) = ˙ φ(t) = f0(t)∂ ∂t +dai dt ∂ ∂qiφ(t)+dbi dt ∂ ∂viφ(t) obtemos que f0(t)=1, bi(t) = vi(φ(t)) = dai dt Γi(φ(t)) = dbi dt (3.7) polo que a curva φ ven dada por φ(t) = (t, ai(t),dai dt t) onde as funcións (ai(t)) son solucións do sistema de ecuacións de segundo orden Γit, qj(t),daj dt t=d2ai dt2t,1≤i≤n . Sexa α un curva en Q denida como α=pr2◦τQ◦φ onde pr2:R×TQ →TQ é a proxección no segundo factor, entón α(t) = τQ(φ(t)) ≡(ai(t)) , así de (3.7) temos que α[1](t)=(t, ˙α(t)) = t, ai(t),dai dt t=φ(t) 3.3. ECUACIÓNS DE EULER-LAGRANGE E SODE S 23 3.3. Ecuacións de Euler-Lagrange e SODE s Sexa L:R×TQ −→ R unha función lagrangiana. Recordemos agora, que no caso dependente do tempo, as ecuacións de Euler-Lagrange son o sistema de ecuacións diferenciais de segunda orde dadas por d dtt∂L ∂vi◦α[1](t)−∂L ∂qi◦α[1](t)= 0, i = 1, ... , 3N, (3.8) cuxa solución é unha curva α:I⊂R−→ Q t7−→ α(t)=(q1(t), ... , q3N(t)) sobre o espazo de conguración Q ., Denición 3.4. Un lagrangiano L∈C∞(R×TQ) dise regular se o Hessiano de L con respecto ás coordenadas da bra ∂2L ∂vi∂vj ten rango 2n en todo punto de R×TQ . Utilizando a xeometría cosimpléctica asóciase a cada lagrangiano regular L un SODE ΓL en R×TQ , cuxas solucións son solucións das ecuacións de Euler-Lagrange. A expresión local de ΓL é ΓL=∂ ∂t +vi∂ ∂qi+ Γi∂ ∂vi (3.9) onde as funcións Γi(t, qi, vi) son solución do sistema ∂2L ∂qi∂vjvj+∂2L ∂vj∂viΓj=∂L ∂qi (3.10) Sexa L:R×TQ −→ R unha función arbitraria no espazo de estados TQ . Recordemos que as ecuacións de Euler-Lagrange son o sistema de ecuacións diferenciais de segunda orde dadas por d dtt∂L ∂vi◦˙α(t)−∂L ∂qi◦˙α(t)= 0, i = 1, ... , n, (3.11) cuxa solución é unha curva α:I⊂R−→ Q t7−→ α(t)=(q1(t), ... , q3N(t)) 24 CAPÍTULO 3. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE SEGUNDO ORDE EN R×TQ sobre o espazo de conguración Q . As ecuacións (3.11) desarrolladas son ∂2L ∂t∂vi˙α(t)+∂2L ∂qj∂vi˙α(t) dqj dt t+∂2L ∂vj∂vi˙α(t) d2qj dt2t=∂L ∂qi˙α(t). (3.12) Denición 3.5. Un lagrangiano L∈C∞(R×TQ) dise regular se o Hessiano de L con respecto ás coordenadas da bra ∂2L ∂vi∂vj ten rango máximo (2n) . Utilizando a xeometría cosimpléctica se asocia a cada lagrangiano regular L un SODE ΓL en R×TQ , cuxas solucións son son solucións das ecuacións de Euler-Lagrange. A expresión local de ΓL é ΓL=∂ ∂t +vi∂ ∂qi+ Γi∂ ∂vi (3.13) donde as funcións Γi(qi, vi) son solución do sistema ∂2L ∂qi∂vjvj+∂2L ∂vj∂viΓj=∂L ∂qi (3.14) Asi se α(t) = (qi(t)) é solución de ΓL , dedúcese de (2.13) e das ecuacións anteriores (3.14) que α(t)=(qi(t)) é solución das Ecuaciones de Euler-Lagrange (2.15) 3.4. Exemplo: Péndulo simple que se move sobre un anel O punto de soporte para un péndulo simple de lonxitude b e masa pendular m móvese sobre un anel (de masa despreciable) de radio a con velocidade angular ω constante. 3.4. EXEMPLO: PÉNDULO SIMPLE QUE SE MOVE SOBRE UN ANEL 25 Polo tanto, as posibles posicións da partícula, espacio de conguración Q quedan determinadas por θ e as coordenadas en R×TQ son (t, q, v)=(t, θ, vθ) . O lagrangiano (regular) do sistema neste exemplo é L(t, θ, ˙ θ) = m 2a2ω2+b2v2 θ+ 2 b vθaω sen(θ−ω t)−m g [a sen(ω t)−b cos θ] e obtense que o sode asociado é ΓL=∂ ∂t +˙ θ∂ ∂θ + Γ(t, θ, ˙ θ)∂ ∂˙ θ =∂ ∂t +˙ θ∂ ∂θ +ω2a bcos(θ−ω t)−b gsen θ∂ ∂˙ θ A curva t→θ(t)∈Q , solución de ΓL , verica que é solución da ecuación diferencial de segundo orden d2θ dt2=ω2a bcos(θ−ω t)−b gsen θ e θ(t) proporciona o movimento da masa m . 26 CAPÍTULO 3. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE SEGUNDO ORDE EN R×TQ Bibliografía [1] Abraham, R., and Marsden, J.E. Foundations of Mechanics , second edition, revised, enlarged, reset. Benjamin/Cummings, Reading, 1978. [2] Cannas Da Silva, A., Lectures on Symplectic Geometry , Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 2008. [3] Curtis, W. D., and Miller, F. R., Dierential manifolds and theoretical physics , Academic Press, INC 1985. [4] De León, M., Rodrigues, P.R. Methods of dierential geometry in analytical mechanics , North-Holland Mathematics Studies, 158. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1989. [5] Goldstein, H., Classical Mechanics , Addison-Wesley Publishing Company, 1959. [6] Libermann, P., and C-M. Marle, Symplectic Geometry and Analytical Mechanics , Kluwer Academic1987 [7] Ratiu, T. S., Tudoran, R., Sbano, L., Dias, E., and Terra, G., A Crash Course in Geometric Mechanics, Geometric Mechanics and Symmetry: The Peyresq Lectures , In Montaldi, J. and Ratiu, T. (Eds.), 2005. [8] Weyl, H., The Classical Groups: their invariants and representations , Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1939. 27