Unicidad de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias

Trabajo Fin de Grado Unicidad de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias Alicia Nieto Codesido Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Trabajo Fin de Grado Unicidad de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias Alicia Nieto Codesido Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Conocimiento: Área de Análisis Matemático Título: Unicidad de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias Breve descripción del contenido El Teorema de Picard-Lipschitz proporciona condiciones sucientes para que el problema de valor inicial relativo a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden admita una solución única. El trabajo estará centrado en el estudio y la aplicación de otros resultados que garantizan la aludida unicidad para la solución, como el Teorema de unicidad de Peano, o el debido a Osgood. Se reexionará sobre la convergencia de la sucesión de aproximaciones sucesivas en alguno de estos contextos. Recomendaciones Otras observaciones iii Índice Resumen vii Introducción ix 1. Preliminares 1 2. La unicidad según Lipschitz 13 3. La unicidad a través del método de las iteradas de Picard 23 3.1. Convergencia de las aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Otros teoremas de unicidad 41 4.1. Teorema de Unicidad de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Teorema de Unicidad de Osgood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I. Grácas en Sagemath 55 Bibliografía 59 v Resumen Como bien indica su nombre, en este Trabajo Fin de Grado estudiaremos algunos de los distintos resultados existentes sobre la unicidad de solución para el problema de Cauchy relativo a ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Empezaremos recordando algunas deniciones, lemas y teoremas ya conocidos, para, más adelante, introducir nuevos resultados o demostraciones distintas a las ya estudiadas durante el Grado. En primer lugar, trabajaremos con el Teorema de Unicidad de Lipschitz y conceptos relacionados, usándolo como puente hacia los nuevos teoremas que se darán posteriormente. Como novedad, se estudiará el Teorema de Picard-Lindelöf, donde introduciremos el método de las iteradas de Picard y estudiaremos, brevemente, su convergencia. Finalmente, nos centraremos en el estudio y aplicación de otros resultados que garantizan la unicidad para la solución, como el Teorema de Unicidad de Peano, o el debido a Osgood. Los resultados teóricos recogidos, algunos más conocidos que otros, estarán acompañados de ejemplos y, en ocasiones, representaciones grácas, para poder ilustrar de mejor manera las principales hipótesis y el comportamiento de las soluciones en cada caso. Abstract As its name indicates, in this Final Degree Project we will study some of the dierent existing results on the uniqueness of solution for the Cauchy problem relative to rst order ordinary dierential equations. We will begin by recalling some denitions, lemmas and theorems already known, in order to, later on, introduce new results or dierent proofs from those already studied during the Degree. First, we will work with the Lipschitz Uniqueness Theorem and related concepts, using it as a bridge to the new theorems that will be given later. As a novelty, we will study the Picardvii 4 1. Preliminares Denición 1.11. Consideremos el punto (t0, x0) en el abierto en el que está denida f y el intervalo Iδ= [t0−δ, t0+δ] , donde δ está especicado en el enunciado el Teorema 1.5. Dados n∈N , i=−n, −n+1,...,−1,0,1, . . . , n−1, n y hn=δ/n longitud del paso, dividimos el intervalo [t0−δ, t0+δ] en 2n subintervalos iguales con extremos en los puntos ti,n =t0+ihn . Así, tenemos t0−δ=t−n,n < t−n+1,n <··· < t−1,n < t0,n =t0< t1,n <··· < tn−1,n < tn,n =t0+δ . Denimos, pues, las poligonales, para cada n : 1. Primero, pn(t0,n) = pn(t0) = x0 . 2. A continuación, denimos las funciones pn(t) = pn(t0,n)+(t−t0,n)f(t0,n, pn(t0,n)) en [t−1,n, t0,n] = [t−1,n, t0] y pn(t) = pn(t0,n)+(t−t0,n)f(t0,n, pn(t0,n)) en [t0,n, t1,n]=[t0, t1,n]. Es decir, la primera expresión de la poligonal dene un segmento de recta. 3. Ahora, suponiendo denida la poligonal entre ti,n y t−i,n (para i= 0, . . . , n −1 ), tenemos pn(t) = pn(t−i,n)+(t−t−i,n)f(t−i,n, pn(t−i,n)) en [t−i−1,n, t−i,n] y pn(t) = pn(ti,n)+(t−ti,n)f(ti,n, pn(ti,n)) en [ti,n, ti+1,n]. t t tt tt -2 -1 012 P P P P -2 -1 1 2 (t , x ) 0 0 x Figura 1.1: Gráca de una poligonal de Euler. Ilustramos el método por medio de la Figura 1.1, donde se representa una cierta poligonal, que se corresponde con la expresión analítica: p(t0) = x0 en el punto t0, 5 P1:p(t) = p(t0)+(t−t0)f(t0, x0), t ∈(t0, t1], P2:p(t) = p(t1)+(t−t1)f(t1, p(t1)), t ∈(t1, t2], P−1:p(t) = p(t0)+(t−t0)f(t0, x0), t ∈[t−1, t0), y P−2:p(t) = p(t−1)+(t−t−1)f(t−1, p(t−1)), t ∈[t−2, t−1). Podemos comprobar que P1 y P−1 coinciden, ya que son segmentos contenidos en la misma recta pasando por (t0, x0) y con pendiente f(t0, x0) . Observando la gura, puede ser sensato pensar que dichas poligonales se aproximan a alguna de las soluciones del problema de valor inicial cuando n→ ∞ . Esto resulta ser cierto parcialmente, pues solamente converge una subsucesión, no necesariamente toda la sucesión de poligonales. Ya tenemos, pues, las herramientas precisas para demostrar el teorema, apoyándonos en [4]. Demostración del Teorema de Cauchy-Peano. Esta prueba está basada, además de en la sucesión de poligonales construida, en el mencionado Teorema 1.10 (Arzelà-Ascoli), por lo que se requiere la acotación uniforme y equicontinuidad de dicha sucesión. Primeramente, comprobemos que la poligonal está contenida en el abierto A . Para hacerlo, usaremos el rectángulo ¯ S denido en (1.3), pues sabemos que está contenido en A . Puesto que (t0, pn(t0) = x0)∈¯ S , denimos r:= sup{α∈[0, δ]|(t, pn(t)) ∈¯ S, ∀t∈[t0−α, t0+α]} . Tomamos la función escalonada, con escalones determinados por los correspondientes subintervalos de la poligonal, denida para |t−t0| ≤ r y para cada n , qn(t) =                  f(t0, x0), si t=t0=t0,n, f(t−i,n, pn(t−i,n)), si t∈[t−i−1,n, t−i,n), f(ti,n, pn(ti,n)), si t∈(ti,n, ti+1,n]. Dado que los valores de qn son valores alcanzados por f en ¯ S , tenemos que ∥qn(t)∥ ≤ M para |t−t0| ≤ r . Nótese que qn es la derivada a trozos de la poligonal pn . Dado que esta es continua y su derivada es continua a trozos, tenemos que se cumple que pn(t) = x0+Zt t0 p′ n(s)ds =x0+Zt t0 qn(s)ds. (1.5) Entonces, si |t−t0| ≤ r , se cumple que ∥pn(t)−x0∥ ≤ m´ax |t−t0|≤r∥qn(t)∥|t−t0| ≤ Mr ≤Mδ ≤b. (1.6) 6 1. Preliminares Suponiendo que r < δ , tenemos que la desigualdad anterior es estricta y que r < δ ≤a , contradiciendo así la denición de r , pues se podría tomar una porción mayor de poligonal que estuviese contenida en ¯ S . De esta forma, hemos visto que r=δ y, así, toda la poligonal está contenida dentro del rectángulo. Veamos ahora que estamos en condiciones de aplicar el Teorema de Arzelà-Ascoli. Por una parte, la desigualdad (1.6) nos garantiza la acotación uniforme de las poligonales, estando estas acotadas en [t0−δ, t0+δ] por ∥x0∥+b . Por otro lado, tomando t , t′∈Iδ , obtenemos que ∥pn(t)−pn(t′)∥=    Zt′ t qn(s)ds    ≤M|t−t′|, por lo que, acorde con la Denición 1.8, podemos armar que las poligonales representan un conjunto equicontinuo. Así pues, por el Teorema de Arzelà-Ascoli, tenemos que existe una subsucesión {pnj} de poligonales uniformemente convergente a una función φ(t) , que es continua en Iδ . Comprobemos que esta función es solución de la ecuación en Iδ . En primer lugar, veamos que {qnj(t)} converge uniformemente a f(t, φ(t)) en dicho intervalo. Fijado ε > 0 , sabemos que, por ser f continua en el conjunto compacto ¯ S , entonces es uniformemente continua, por lo que existe δ1 tal que, si |t−t′|+∥x1−x2∥< δ1 , entonces ∥f(t, x1)−f(t′, x2)∥< ε/2 . También sabemos que, por ser φ(t) continua en el intervalo compacto Iδ , entonces es uniformemente continua. De este modo, dado δ1 2>0 , existe δ2>0 que podemos escoger cumpliendo δ2< δ1/2 de modo que, si |t−t′|< δ2 , con t , t′∈Iδ , entonces ∥φ(t)−φ(t′)∥< δ1/2 . Asimismo, debido a que {pnj} es uniformemente convergente hacia la función φ , tenemos que existe j0∈N tal que, si j≥j0 , se verica que r/nj< δ2 y, además, ∥pnj(t)−φ(t)∥< δ1 , para t∈Iδ . Por consiguiente, si suponemos que t∈ti,nj, ti+1,nj , t∈Iδ , se tiene, para j≥j0 , ∥qnj(t)−f(t, φ(t))∥=∥f(ti,nj, pnj(ti,nj)) −f(t, φ(t))∥ ≤ ∥f(ti,nj, pnj(ti,nj)) −f(ti,nj, φ(ti,nj))∥+∥f(ti,nj, φ(ti,nj)) −f(t, φ(t))∥ ≤ε/2 + ε/2 = ε, demostrando, así, que {qnj} converge uniformemente a f(t, φ(t)) en [t0−δ, t0+δ] . En segundo lugar y nalmente, comprobamos que φ(t) cumple la forma integral del problema de Cauchy. Casi al comienzo de la prueba, en (1.5), demostramos la igualdad pnj(t) = x0+Zt t0 qnj(s)ds , t∈Iδ . 7 Si tomamos límites a ambos lados de la igualdad cuando j→ ∞ , obtenemos que φ(t) = x0+Zt t0 f(s, φ(s)) ds, t ∈Iδ, como queríamos probar. La expresión de las soluciones en numerosos ejemplos podrá deducirse del teorema que escribimos subsiguientemente, donde se parte de que podemos separar sin problema las variables de la función. Teorema 1.12 (Método de separación de variables) . Sea una f función continua en un conjunto abierto A denida de modo que f(t, x) = g(t)h(x) y satisfaciendo que h(x)= 0 . Entonces, se tiene una única solución φ(t) = H−1(G(t)) para el problema de valor inicial expuesto en la Denición 1.3, cumpliendo que G(t) = Zt t0 g(s)ds y H(x) = Zx x0 dz h(z), siempre y cuando (t, G(t)) ∈A . Como se comentaba anteriormente, la discontinuidad de la función f(t, x) nos proporciona soluciones con un carácter arbitrario. Lo ilustramos con el siguiente ejemplo, análogo a uno recogido en [1]. Ejemplo 1.13. Consideramos el problema de Cauchy      x′=2(x+ 1) t, x(0) = 0. Tenemos que la función f(t, x) = 2(x+ 1) t no está denida en los puntos con t= 0 y tampoco puede extenderse de forma continua a un entorno del punto (0,0) . Por tanto, en esta ocasión, sea cual sea la denición que se realice en los puntos con t= 0 , atendiendo al enunciado del Teorema 1.5 (Teorema de Cauchy-Peano), no se puede garantizar la existencia de solución. No obstante, si aplicamos el proceso de separación de variables, visto en el Teorema 1.12, e integramos a ambos lados de la igualdad, obtenemos que la función φ(t) = Ct2−1 , con C∈R , representa una colección innita de soluciones para la ecuación. Veamos en el siguiente ejemplo, análogo a uno recogido en [1], que, aunque la existencia de solución está garantizada debido la continuidad de la función, según el enunciado del Teorema 1.5 (Teorema de Cauchy-Peano), no ocurre lo mismo para asegurar la unicidad del problema. 8 1. Preliminares Ejemplo 1.14. Consideramos el problema de Cauchy    x′=x4 5, x(0) = 0. La función f(t, x) = x4 5 es continua en R2 , de manera que, por el Teorema 1.5 (Teorema de Cauchy-Peano), existe al menos una solución pasando por cada punto de su dominio de denición. Rápidamente, hallamos dos de ellas, la solución trivial φ(t) = 0 y la que viene dada por la expresión eφ(t) = t+C 55 , C∈R , obtenida mediante el método de variables separadas, recogido en el Teorema 1.12. Esta última, particularizada para ser solución del problema de Cauchy, debe tener la constante de integración C= 0 , entonces eφ(t) = t 55 . De hecho, el problema de valor inicial tiene innidad de soluciones, que podemos expresar de la forma φ(t) =                      t−C1 55 , si t≤C1, 0, si C1≤t≤C2, t−C2 55 , si t≥C2, donde C1≤0≤C2 . Podemos ver representada una de dichas soluciones en la Figura 1.2. −10 −5 5 10 t −15 −10 −5 5 10 15 x C 2 I C 1 I Figura 1.2: Una de las soluciones de x′=x4/5 . 9 Por tanto, resulta que, por cualquier punto (t0, x0) , pasa un número innito de soluciones, algo que en otro caso solucionaríamos restringiéndonos a un entorno del punto, pero, en esta ocasión, tenemos que por los puntos de la forma (t0,0) pasan como mínimo dos soluciones, φ(t)≡0 y eφ(t) = t−t0 55 , por lo que las poligonales de Euler no van a permitir, necesariamente, obtener todas las soluciones del problema. Dicho con otras palabras, no es suciente con tener la continuidad, para garantizar la unicidad necesitamos una condición adicional que acto seguido introducimos. Denición 1.15. Dada la función f: (t, x)∈A⊂R×Rn→f(t, x)∈Rn , diremos que es Lipschitziana en A con respecto a la variable x si existe L∈R ( L constante de Lipschitz no negativa) tal que, cualesquiera que sean (t, x1) , (t, x2)∈A , se verica la propiedad de Lipschitz, es decir, se cumple que ∥f(t, x1)−f(t, x2)∥ ≤ L∥x1−x2∥. (1.7) Denotaremos f∈L(A, x) . Ejemplo 1.16. Dada la función f(t, x) = Cx , (t, x)∈R2 , con C∈R , se tiene que es Lipschitziana en R2 con respecto a la variable x dado que se verica, para (t, x1),(t, x2)∈R2 , que |f(t, x1)−f(t, x2)|=|Cx1−Cx2|=|C||x1−x2|. Ejemplo 1.17. Veamos que la función f(t, x) = 1+tx2 es lipschitziana con respecto a la variable x en el rectángulo A={(t, x)∈R2:t∈[1,2], x ∈[−1,1]} . Obviamente, f está denida en A y es continua en dicho conjunto. Dados (t, x1),(t, x2)∈A , se tiene que |f(t, x1)−f(t, x2)|=|(1 + tx2 1)−(1 + tx2 2)| =|t||x2 1−x2 2|=|t||(x1−x2)(x1+x2)| =|t||x1−x2||x1+x2|. Puesto que |t| ≤ 2 y |x1+x2| ≤ 2 , podemos concluir que |f(t, x1)−f(t, x2)| ≤ 4|x1−x2|, obteniendo, así, que la constante de Lipschitz puede ser L= 4 , u otra L′ constante de modo que L′> L . Se puede observar que el concepto de lipschitzianidad respecto de la segunda variable se encuentra relacionado con la continuidad y la derivabilidad de la función con respecto a la variable x . Esta relación presente entre la propiedad de Lipschitz y la derivabilidad no es un hecho fortuito, como podremos ver en la siguiente proposición, recogida en [4], después de denir el concepto de convexidad. 10 1. Preliminares Denición 1.18. Un conjunto A⊂Rn+1 es convexo respecto de x si, y solo si, para todo (t, x1) , (t, x2)∈A se tiene que (t, αx1+ (1 −α)x2)∈A , con α∈[0,1] . Proposición 1.19. Dado A⊂Rn+1 convexo, supongamos que f: (t, x)∈A⊂R×Rn→f(t, x)∈Rn admite todas las derivadas parciales con respecto a x y son funciones acotadas y continuas en A , entonces f es una función Lipschitziana en A respecto de x . De hecho, esta relación con la derivabilidad nos proporciona la siguiente condición necesaria y suciente para que se cumpla la propiedad de Lipschitz (1.7), si la función f es derivable respecto de x , recogida en [1]. Lema 1.20. Sean A un abierto de Rn+1 convexo y una función f(t, x) que sea derivable respecto de x en todo el abierto A . Se tiene, entonces, que una condición necesaria y suciente para que f satisfaga la condición de Lipschitz (1.7) es que sup (t,x)∈A ∂f ∂x(t, x)≤L. Tras el recordatorio de los resultados fundamentales que utilizaremos en este trabajo, estamos ya casi en condiciones de enunciar el teorema mencionado: el de Unicidad de Lipschitz. Únicamente resta por recordar, aunque parezca obvia, la denición de unicidad . Denición 1.21. Dada la EDO (1.2) relativa a la función f:A⊂R×Rn→Rn y un punto (t0, x0)∈A , diremos que la solución φ:I⊂R→Rn que pasa por (t0, x0) es única si dos soluciones cualesquiera pasando por (t0, x0) coinciden en la intersección de sus dominios. Enunciamos, pues, el Teorema de Unicidad de Lipschitz: Teorema 1.22 (Teorema de Unicidad de Lipschitz [1]) . Sean A un abierto de R2 y x′=f(t, x) la ecuación diferencial ordinaria con función asociada f: (t, x)∈A⊂R×R→f(t, x)∈R , tal que dicha función es continua en el rectángulo cerrado contenido en A , ¯ S={(t, x)∈A:|t−t0| ≤ a, |x−x0| ≤ b}, a, b > 0, (1.8) y satisface la condición de Lipschitz dada por la Denición 1.15. Entonces, el problema de Cauchy siguiente, donde (t0, x0)∈A ,    x′=f(t, x), x(t0) = x0, posee, a lo sumo, una solución denida en [t0−a, t0+a] . 11 Llevaremos a cabo su demostración en el siguiente capítulo, tras introducir nuevos resultados que no hemos tratado en el grado, de modo que la demostración que se ofrecerá será diferente a la estudiada. Recordamos, a continuación, varios resultados conocidos que precisaremos más adelante. Todos ellos se pueden consultar en [2]. En primer lugar, enunciamos el Teorema del Valor Medio, que usaremos más de una vez a lo largo del trabajo. Teorema 1.23 (Teorema del Valor Medio, Teorema 082 [2]) . Sea f una función denida en el intervalo [a, b] , continua en él y derivable en (a, b) , entonces existe al menos un punto c∈(a, b) de modo que f(b)−f(a) = f′(c)(b−a) . Ahora, recogemos el Teorema de Weierstrass, útil para una de las demostraciones que daremos del Teorema de Unicidad de Lipschitz (Teorema 1.22) en el siguiente capítulo. Teorema 1.24 (Teorema de Weierstrass, Teorema 066 (II) [2]) . Sea f una función continua en el intervalo [a, b] , entonces, por lo menos, existen dos puntos t1, t2∈[a, b] en los que f alcanza valores extremos absolutos, es decir, f(t1)≤f(t)≤f(t2) , para cualquier t∈[a, b]. En último lugar, escribimos una generalización del Criterio Mayorante de Weierstrass que se puede encontrar en [2], pues necesitaremos para la demostración del Teorema de Picard-Lindelöf (Teorema 3.3) que este resultado se encuentre formulado para series funcionales con valores en Rn . Teorema 1.25 (Criterio M de Weierstrass, generalización del Teorema 171 [2]) . Sea una sucesión {fn}n∈N , con fn: [a, b]→Rn . Supongamos que, para cada n∈N , existe una constante no negativa, que denotaremos por Mn , tal que ∥fn(t)∥ ≤ Mn , para todo t∈[a, b] , de modo que la serie ∞ X n=1 Mn es convergente. Entonces, tenemos que ∞ X n=1 fn(t) converge uniformemente en el intervalo [a, b] . Capítulo 2 La unicidad según Lipschitz Como mencionamos anteriormente, probaremos el Teorema 1.22 (Teorema de Unicidad de Lipschitz) empleando resultados repasados en el Capítulo 1 y el lema que se presenta a continuación, que nos será útil para demostrar que dos posibles soluciones son idénticas. Lema 2.1 ([1]) . Sean ϕ(t) y ψ(t) dos funciones continuas no negativas en un intervalo que denotamos por Iδ= [t0−δ, t0+δ] , δ > 0 , cumpliendo que ϕ(t)≤Zt t0 ψ(s)ϕ(s)ds, t ∈Iδ. (2.1) Entonces, se tiene que ϕ(t)=0 , para todo t∈Iδ . Demostración. Consideremos t∈[t0, t0+δ] arbitrario (siendo análoga la prueba en el intervalo [t0−δ, t0] ), denimos la función q(t) como sigue, q(t) = Zt t0 ψ(s)ϕ(s)ds. Se tiene que la función q cumple que q(t0)=0 y q′(t) = ψ(t)ϕ(t) . Usando la desigualdad (2.1), dada por la hipótesis, se tiene que la función q(t) cumple que q′(t)≤ψ(t)q(t). (2.2) Ahora, si multiplicamos por exp −Rt t0ψ(s)ds a ambos lados de dicha desigualdad (2.2), obtenemos que d dt exp −Zt t0 ψ(s)dsq(t)≤0. De esta manera, se tiene que la función exp −Zt t0 ψ(s)dsq(t) es monótona decreciente para todo t≥t0 . 13 20 2. La unicidad según Lipschitz entonces, por continuidad de h , existe un entorno centrado en x0 , que denominaremos U , tal que h(x)>0 para todo x∈U (siendo análogo el caso en que h(x)<0 ). Sea, además, V= (t0−ε1, t0+ε1) , con ε1≤ε , un intervalo de modo que φ(V)⊂U y ψ(V)⊂U . Podemos denir la función H(t) = Zψ(t) φ(t) dx h(x), para t∈V, que cumple que, para los t∈V con φ(t)=ψ(t) , se tiene H(t)= 0 . Sin embargo, obtenemos mediante la regla de la cadena y la denición de solución que, para todo t∈V , H′(t) = ψ′(t) h(ψ(t)) −φ′(t) h(φ(t)) = 1 −1=0. Por lo tanto, se tiene que la función H(t) es constante en el entorno V . Como H(t0) = 0 , se sigue que φ=ψ en V . Entonces, hemos llegado a una contradicción, pues φ y ψ son diferentes en cualquier entorno de t0 . Como hemos comentado, el Ejemplo 1.14 verica dicho resultado. No obstante, el resultado recíproco no se cumple necesariamente. Veámoslo en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.8. Consideremos el problema de valor inicial      x′=f(x), x(0) = 1 2, donde la función f(x) está denida en el intervalo I= [0,1] y tiene como expresión f(x) =      xln 2 x, si 0< x ≤1, 0, si x= 0. En cuanto a su continuidad, podemos ver rápidamente que lo es en el interior del conjunto dado. De hecho, lo es en (0,1] , por ser producto, composición y cociente de funciones elementales, cuyo denominador no se anula. Debemos estudiar por separado el punto x= 0 . Haciendo el límite cuando x→0+ y aplicando la regla de L'Hôpital, obtenemos lo siguiente, l´ım x→0+f(t, x) = l´ım x→0+xln 2 x = l´ım x→0+ ln 2 x 1 x = l´ım x→0+ −1 x −1 x2 = 0. 21 Podemos concluir, por ende, que la función f(x) es continua en I . Por el Teorema de CauchyPeano (Teorema 1.5), tenemos garantizada la existencia de solución para este problema. Ahora, si calculamos su derivada parcial respecto de la segunda variable en el interior del conjunto I , llegamos a la expresión ∂f ∂x(t, x) = ln 2 x−1, que resulta no estar acotada en el intervalo I , pues su límite cuando x→0+ es ∞ . No obstante, podemos comprobar que, efectivamente, existe una única solución para el problema de valor inicial descrito. Si aplicamos el método de separación de variables (véase el Teorema 1.12), x′=dx dt =xln 2 x=⇒dt =1 xln 2 xdx y, seguidamente, integramos a ambos lados, obtenemos Zdt =Z1 xln 2 xdx ⇐⇒ t+C=−ln ln 2 x, siendo C la constante de integración. Finalmente, despejando x y teniendo en cuenta la condición inicial, hallamos la única solución al problema, tomando la constante K como K= ln(4), t+C=−ln ln 2 x⇐⇒ −(t+C) = ln ln 2 x ⇐⇒ exp (−(t+C)) = exp ln ln 2 x⇐⇒ exp (−(t+C)) = ln 2 x⇐⇒ exp (exp (−(t+C))) = exp ln 2 x⇐⇒ exp (exp (−(t+C))) = 2 x⇐⇒ x=2 exp (exp (−(t+C))) =2 ee−(t+C)=2 ee−t−C=2 ee−te−C=2 ee−C et =2 eK et . Entonces, φ(t) = 2 eln(4) et . Capítulo 3 La unicidad a través del método de las iteradas de Picard En este capítulo, como bien indica su nombre, introduciremos las llamadas iteradas de Picard . A continuación, presentamos la conocida como desigualdad de Gronwall , muy útil a la hora de emplear la forma integral del problema de Cauchy, dada en el Capítulo 1 por el Teorema 1.6, pues en el momento en que, operando, llegamos a una inecuación integral, este resultado nos permite acotar sus soluciones. Lema 3.1 (Desigualdad de Gronwall, [4]) . Sean las funciones f, g, h : [a, b]→R continuas en dicho intervalo, tales que g(t)≥0 en [a, b]⊂R . Además, supongamos que se satisface lo siguiente, f(t)≤h(t) + Zt a g(s)f(s)ds, ∀t∈[a, b]. Entonces, para todo t∈[a, b] , f(t)≤h(t) + Zt a h(s)g(s) exp Zt s g(r)drds. Demostración. Podemos reescribir la desigualdad dada por la hipótesis, f(t)≤h(t) + Zt a g(s)f(s)ds, (3.1) como f(s)−Zs a g(r)f(r)dr ≤h(s). Ahora, si multiplicamos a ambos lados de la desigualdad por g(s) exp −Zs a g(r)dr≥0 , obtenemos f(s)−Zs a g(r)f(r)drg(s) exp −Zs a g(r)dr≤h(s)g(s) exp −Zs a g(r)dr. (3.2) 23 24 3. La unicidad a través del método de las iteradas de Picard Podemos simplicar esta larga expresión renombrando los miembros de la siguiente manera, u(s) = Zs a g(r)f(r)dr =⇒u′(s) = g(s)f(s), y nótese que u(a)=0. Así, replanteamos el lado izquierdo de la expresión (3.2) como sigue, f(s)−Zs a g(r)f(r)drg(s) exp −Zs a g(r)dr =f(s)g(s) exp −Zs a g(r)dr−Zs a g(r)f(r)drg(s) exp −Zs a g(r)dr =u′(s) exp −Zs a g(r)dr−u(s)g(s) exp −Zs a g(r)dr, donde, primero, hemos separado el producto del factor común y, posteriormente, hemos sustituido el correspondiente cambio. Si nos jamos, la expresión obtenida es la derivada de un producto de funciones, por lo que, nalmente, la expresión (3.2) queda escrita como d ds u(s) exp −Zs a g(r)dr≤h(s)g(s) exp −Zs a g(r)dr. (3.3) Continuamos integrando la expresión (3.3) entre los límites a y t , por lo que la desigualdad no sufre cambios, u(t) exp −Zt a g(r)dr≤Zt a h(s)g(s) exp −Zs a g(r)drds. Utilizando las propiedades de las integrales, podemos juntar las exponenciales de modo que u(t)≤Zt a h(s)g(s) exp Zt s g(r)drds. (3.4) Por último, para llegar a la desigualdad que queremos, utilizamos las expresiones (3.1) y (3.4), f(t)≤h(t) + u(t)≤h(t) + Zt a h(s)g(s) exp Zt s g(r)drds, es decir, hemos llegado al resultado que queríamos probar. Análogamente, aplicamos la desigualdad de Gronwall a un intervalo a la izquierda de a , [b, a] , b<a , tomando un simple intercambio en los límites de integración. Queda escrito de tal manera que, para t∈[b, a] , si tenemos que se cumple que f(t)≤h(t) + Za t g(s)f(s)ds, entonces se satisface que f(t)≤h(t) + Za t h(s)g(s) exp Zs t g(r)drds. En el siguiente corolario, recogido en [4], aportamos dos versiones más sencillas de la desigualdad introducida en el Lema 3.1, es decir, casos particulares de la misma. 25 Corolario 3.2. (a) Sean las funciones f, g : [a, b]→R continuas en dicho intervalo, tales que g(t)≥0 en [a, b]⊂R . Además, supongamos que se cumple f(t)≤k+Zt a g(s)f(s)ds, ∀t∈[a, b], para un cierto k∈R. Entonces, f(t)≤kexp Zt a g(s)ds,∀t∈[a, b]. (b) Sea la función no negativa f: [a, b]→R continua en dicho intervalo. Supongamos que satisface f(t)≤KZt a f(s)ds, ∀t∈[a, b], para un cierto K≥0. Entonces, f(t)≡0. Podemos observar, como hemos comentado previamente, que se trata de dos casos particulares de la desigualdad de Gronwall. En el primer caso, (a), se tiene la desigualdad para la función h(t)≡k , con k∈R . En el siguiente caso, (b), tenemos la desigualdad para las funciones h(t)≡0 y g(s)≡K , con K≥0 . De nuevo, análogamente, podemos aplicar las desigualdades del Corolario 3.2 a un intervalo a la izquierda de a , de la forma [b, a] con b<a , tomando un simple intercambio en los límites de integración. De este modo, reescribimos el primer caso como que, si se cumple f(t)≤k+Za t g(s)f(s)ds , para todo t∈[b, a] y un cierto k∈R , entonces f(t)≤kexp Za t g(s)ds . También reescribimos el segundo caso de tal manera que, si se cumple f(t)≤KZt a f(s)ds , para todo t∈[b, a] y un cierto K≥0 , entonces f(t)≡0 . Llegados a este punto, introducimos, por n, el teorema al que debe su nombre este capítulo: el Teorema de Picard-Lindelöf, en cuya demostración presentaremos las iteradas de Picard. En este teorema, además de armarse la existencia local de solución para el problema de valor inicial, también se arma la unicidad de la misma. Podremos observar en su enunciado una cierta similitud con el Teorema 1.5 (Teorema de CauchyPeano), que ya garantizaba la existencia local de solución para el problema de valor inicial. Teorema 3.3 (Picard-Lindelöf, [4]) . Sean A un abierto de Rn+1 y una ecuación diferencial ordinaria x′=f(t, x) con función asociada f: (t, x)∈A⊂R×Rn→f(t, x)∈Rn , donde f(t, x) es continua y cumple la condición de Lipschitz respecto de x , véase la Denición 1.15, en un entorno de (t0, x0) . Se tiene, entonces, que existe un intervalo Iδ= [t0−δ, t0+δ] y una función φ(t) solución de la ecuación pasando por (t0, x0) , es decir, tal que φ(t0) = x0 , φ(t) es derivable en dicho intervalo Iδ y φ′(t) = f(t, φ(t)) , para todo t∈Iδ , y con gráca contenida en A . 26 3. La unicidad a través del método de las iteradas de Picard En otras palabras, existe solución de la ecuación pasando por (t0, x0) , denida en un entorno de t0 . Si consideramos el rectángulo cerrado contenido en A , ¯ S={(t, x)| |t−t0| ≤ a, ∥x−x0∥ ≤ b}, a, b > 0 (3.5) y M:= m´ax (t,x)∈¯ S∥f(t, x)∥ , entonces podemos tomar δ= m´ın a, b M . En el caso M= 0 , se podría escoger δ=a . Adicionalmente, si se tiene que existe otra solución del problema de Cauchy, ψ(t) , entonces esta coincidirá con φ(t) en el intervalo en el que ambas soluciones se encuentren denidas. Demostración. Vamos a presentar, en primer lugar, el proceso de obtención de las iteradas de Picard. Estos se denen por medio de un proceso de recurrencia. Sea Iδ el intervalo denido en el enunciado del teorema, escogemos una función cualquiera, u0(t) , que sea continua en Iδ y cuya gráca esté contenida en el rectángulo ¯ S . La función más sencilla que podemos tomar es u0(t) = x0, t ∈Iδ, pero podría tomarse cualquier otra en esas condiciones. Ahora, a imitación de la forma integral del problema de Cauchy, véase el Teorema 1.6, y puesto que estamos trabajando con funciones continuas, podemos denir por recurrencia uj+1(t) = x0+Zt t0 f(s, uj(s)) ds, j = 0,1,2, . . . (3.6) Veamos, ahora, que la gráca de las funciones uj(t) y uj+1(t) sigue contenida, del mismo modo que la gráca de u0(t) , en el rectángulo ¯ S que hemos denido y, por tanto, está contenida en el abierto A , donde se encuentra denida nuestra función f . Por inducción, dado que, por denición, tenemos que la gráca de la función u0(t) permanece en ¯ S , si se tiene que la gráca de la función uj(t) también lo verica, entonces ∥uj+1(t)−x0∥ ≤ m´ax |t−t0|≤δ∥f(t, uj(t))∥|t−t0| ≤ M|t−t0| ≤ Mδ ≤b, t ∈Iδ, de manera que tenemos que la gráca de uj+1 también lo cumple. Estas funciones uj(t) , generadas a partir de la función u0(t) , son las denominadas iteradas de Picard. Probemos, a continuación, que además convergen en el espacio de funciones continuas C([t0−δ, t0+δ],Rn) . Es decir, probemos que son uniformemente convergentes hacia una función continua en el intervalo Iδ . Sea, como es habitual, L la constante de Lipschitz de nuestra función f respecto de la variable x y denamos C de modo que C:= m´ax t∈Iδ∥u1(t)−u0(t)∥. 27 Demostremos, de nuevo por inducción matemática, que se cumple lo siguiente, ∥uj+1(t)−uj(t)∥ ≤ CLj|t−t0|j j!, j = 0,1,2, . . . Debido a la denición de C , tenemos que la anterior desigualdad se verica para j= 0 . Si se tiene que también se verica para j−1 , entonces, para t0≤t (análogo para t≤t0 , haciendo un intercambio en los límites de integración), se sigue que ∥uj+1(t)−uj(t)∥ ≤    Zt t0 (f(s, uj(s)) −f(s, uj−1(s))) ds    ≤Zt t0 L∥uj(s)−uj−1(s)∥ds ≤CLjZt t0 (s−t0)j−1 (j−1)! ds =CLj(t−t0)j j!, t ∈Iδ. Puesto que podemos acotar de forma que CLj|t−t0|j j!≤CLjδj j!, t ∈Iδ y, además, se tiene la convergencia de la serie ∞ X j=0 CLjδj j!=CeLδ, podemos emplear el criterio mayorante de Weierstrass (véase el Teorema 1.25), el cual nos permite armar la convergencia uniforme de la serie u0(t) + ∞ X j=0 (uj+1(t)−uj(t)), lo que implica, a su vez, la convergencia uniforme de su sucesión de sumas parciales hacia una función continua, φ(t) , en el intervalo Iδ . Es decir, hemos visto que uj→φ uniformemente en Iδ . De este hecho y de que ∥f(s, uj(s)) −f(s, φ(s))∥ ≤ L∥uj(s)−φ(s)∥,∀s∈Iδ, j = 0,1,2, . . . podemos deducir también que f(s, uj(s)) converge uniformemente hacia f(s, φ(s)) en el intervalo indicado. Por tratarse de funciones continuas, tenemos, pues, que se cumple la convergencia uniforme de la sucesión de funciones Zt t0 f(s, uj(s)) ds hacia Zt t0 f(s, φ(s)) ds , en Iδ . Finalmente, de la denición dada por recurrencia en (3.6) y de la convergencia uniforme de Zt t0 f(s, uj(s)) ds hacia Zt t0 f(s, φ(s)) ds en Iδ , podemos deducir que φ(t) = x0+Zt t0 f(s, φ(s)) ds, t ∈Iδ, 28 3. La unicidad a través del método de las iteradas de Picard por lo que la función φ(t) satisface la forma integral del problema de Cauchy, denida en el Teorema 1.6, y es continua, así que φ(t) es solución de la ecuación diferencial ordinaria x′=f(t, x) pasando por (t0, φ(t0)) = (t0, x0) . Debemos, en último lugar, probar que dicha solución es única. Para ello, vamos a suponer que existe otra soluación. Sean, pues, φ(t) y ψ(t) soluciones del problema de valor inicial en un intervalo que contenga a t0 . Entonces, podemos escribir dichas funciones en su forma integral correspondiente, φ(t) = x0+Zt t0 f(s, φ(s)) ds, ψ(t) = x0+Zt t0 f(s, ψ(s)) ds, t ∈Iδ. Suponiendo que t0≤t (en el caso análogo, t≤t0 , hacemos un simple intercambio en los límites de integración), tenemos que se cumple que ∥φ(t)−ψ(t)∥ ≤ Zt t0∥f(s, φ(s)) −f(s, ψ(s))∥ds ≤LZt t0∥φ(s)−ψ(s)∥ds. Haciendo uso de la desigualdad de Gronwall, descrita en el Lema 3.1, o más concretamente haciendo uso del segundo caso particular del corolario que le sucede, Corolario 3.2, aplicado a la función f(t) = ∥φ(t)−ψ(t)∥ (en notación del enunciado del lema y corolario), podemos deducir que φ(t)−ψ(t)=0 , como queríamos demostrar. Como se ha mencionado anteriormente, hay una cierta similitud entre los enunciados del Teorema 1.5 (Cauchy-Peano) y el Teorema 3.3 (Picard-Lindelöf), en el sentido de la existencia de solución. Debido a ello, en las hipótesis del Teorema 3.3, sabemos que podemos obtener la solución del problema de valor inicial de dos formas: la que usamos en la demostración del Teorema de Cauchy-Peano, es decir, a trasvés de las poligonales de Euler y la que acabamos de usar previamente, las iteradas de Picard. En cuanto a la convergencia de las poligonales de Euler hacia la solución, debemos recordar que no necesariamente converge toda la sucesión de poligonales. Hemos visto, en la demostración del Teorema 1.5, que podemos garantizar la convergencia de una subsucesión de poligonales, pero, según [4], se tiene que si a esto le sumamos la unicidad de solución del problema de Cauchy, puede comprobarse que sí resulta convergente toda la sucesión de poligonales, cuyo límite es la solución. La mayor diferencia que encontramos entre seguir un método u otro es la rapidez de dicha convergencia, pues la de las poligonales de Euler es lenta, y también cabe destacar la dicultad a la hora de construir las iteradas a medida que se avanza, pues aparecen integrales más complicadas. Veamos, a continuación, un ejemplo de aplicación del teorema previamente demostrado, donde usaremos el método de las iteradas. Este es análogo a uno recogido en [4]. 29 Ejemplo 3.4. Consideramos el problema de Cauchy    x′=f(t, x), x(0) = 1, con función asociada f(t, x) = −x . Veamos, por el método de las iteradas, que existe solución y es única. Tenemos la función f(t, x) = −x , que es continua y, trivialmente, cumple la condición de Lipschitz con respecto a la variable x . Por tanto, estamos en condiciones de aplicar el Teorema 3.3, que garantiza la unicidad de solución del problema. Construyamos, pues, la sucesión de iteradas de Picard correspondiente. Partimos de la función más sencilla posible, u0(t) = x0 , que en este caso es u0(t)≡1 . Hemos probado con anterioridad que las iteradas siguen la fórmula dada por la siguiente recurrencia uj+1(t) = x0+Zt t0 f(s, uj(s)) ds, j = 0,1,2, . . . de modo que, en nuestro caso, son de la forma uj+1(t) = 1 + Zt 0 f(s, uj(s)) ds, j = 0,1,2, . . . Entonces, tenemos u1(t) = 1 + Zt 0−1ds = 1 −t, u2(t) = 1 + Zt 0−(1 −s)ds = 1 −t+t2 2, u3(t) = 1 + Zt 0−1−s+s2 2ds = 1 −t+t2 2−t3 6, . . . uj(t)=1−t+t2 2! −t3 3! +···+(−1)jtj j!. Lo suponemos, pues, cierto para j y comprobamos que también lo es para j+ 1 , uj+1(t) = 1 + Zt 0 f(s, uj(s)) ds = 1 + Zt 0−1−s+s2 2! −s3 3! +···+(−1)jsj j!ds = 1 −t+t2 2·1! −t3 3·2! +···+(−1)j+1tj+1 (j+ 1) ·j! = 1 −t 1! +t2 2! −t3 3! +···+(−1)j+1tj+1 (j+ 1)! . Entonces, hemos llegado a demostrar que las iteradas de Picard se corresponden con la expresión uj(t) = j X l=0 (−1)ltl l!. 36 3. La unicidad a través del método de las iteradas de Picard Sin embargo, podrían existir más soluciones pasando por (0,0) con grafo perteneciente al primer cuadrante. Comprobemos que no se cumple la propiedad de Lipschitz (véase la Denición 1.7), pues no existe L≥0 que satisfaga la condición para ningún entorno conteniendo a (0,0) . Supongamos que sí se cumple tal propiedad. Entonces, tomando (t, x1),(t, x2)∈R+×R+ con x1>0 y x2= 0 , se sigue L≥ f(t, x1)−f(t, x2) x1−x2= f(t, x1)−f(t, 0) x1−0= 2√tx1−0 x1=2√t √x1 , que no está acotada en ningún entorno de (0,0) , pues, jado t > 0 , su límite a medida que x1 se aproxima a 0 es ∞ , lo cual es una contradicción con la propiedad de Lipschitz. Por lo tanto, no estamos en condiciones de aplicar el Teorema de Picard-Lindelöf (véase el Teorema 3.3), de modo que no podemos garantizar la unicidad de solución. Por el método de separación de variables (véase el Teorema 1.12), obtenemos que existen al menos dos soluciones posibles para el problema de Cauchy pasando por (0,0) denidas en R+ : la que nos ofrece dicho método, con expresión φ(t) = 2 3t3 2+C2 tomando C= 0 debido a la condición inicial, es decir, φ(t) = 4t3 9 , t≥0 , y la solución trivial. Podemos comprobarlo viendo que φ′(t) = 4t2 3 , lo cual coincide con f(t, φ(t)) = 2ptφ(t)=2rt4t3 9=4t2 3 para t≥0 . Vamos a ilustrar, ahora, que, tomando dos funciones pasando por el (0,0) de modo que cumplan las hipótesis del Teorema 3.7, sus iteradas convergerán hacia una solución. Nótese que existe una innidad de soluciones para el problema pasando por (0,0) . 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x β ( t ) α ( t ) ϕ ( t ) Figura 3.3: Representación gráca de las funciones α(t) , β(t) y φ(t) en el intervalo [0,1] . 3.1. Convergencia de las aproximaciones sucesivas 37 Sean α(t) = t4 4 y β(t) = t2 , t∈[0,1] , que, como podemos ver en la Figura 3.3, delimitan la región donde se hallará una solución. Empecemos viendo que la sucesión {Tn(β)} converge a φ(t) = 4t3 9 , t≥0 , cuando n→ ∞ . En efecto, u0=β(t) = t2, u1=T(u0) = T(β) = Zt 0 2√s·s2ds = 2 Zt 0 s3 2ds = 2 ·t5 2 5 2 =4 5t5 2, u2=T(u1) = T2(β) = Zt 0 2r4 5s5 2·s ds =4 √5Zt 0 s7 4ds =4 √5·t11 4 11 4 =16 11 ·√5t11 4, u3=T(u2) = T3(β) = Zt 0 2s16 11 ·√5s11 4·s ds =2√16 √11 ·4 √5Zt 0 s15 8ds =8 √11 ·4 √5·t23 8 23 8 =64 23 ·√11 ·4 √5t23 8. Si denotamos un=cn·tβn , entonces, un+1 =Zt 0 2ps·cn·sβnds = 2√cnZt 0 sβn+1 2ds = 2√cn·tβn+1 2+1 βn+1 2+ 1 =2√cn βn+3 2·tβn+3 2=4√cn βn+ 3·tβn+3 2, con lo cual, el siguiente término sería un+1 =4√cn βn+ 3 ·tβn+3 2=cn+1 ·tβn+1 . Por lo tanto, se deduce que, para todo n∈N∪{0} , un=cn·tβn , donde los exponentes βn y los coecientes cn se calculan a través de las siguientes fórmulas de recurrencia βn+1 =βn+ 3 2 y cn+1 =4√cn βn+ 3, respectivamente. Comencemos con la recurrencia en los exponentes. Sabemos que βn+1 =βn+ 3 2 y que β0= 2 (pues u0=t2 ), entonces, β0= 2, β1=2+3 2=5 2, β2= 5 2+ 3 2=11 4, β3= 11 4+ 3 2=23 8, etc. Veamos que la sucesión {βn} correspondiente converge. En primer lugar, probemos que es monótona creciente. En efecto, β0= 2 ≤5 2=β1 . Si βn≤βn+1 , es decir, βn≤βn+ 3 2 , entonces, obviamente βn+1 =βn+ 3 2≤βn+1 + 3 2=βn+2 . 38 3. La unicidad a través del método de las iteradas de Picard Ahora, veamos que la sucesión {βn} está acotada superiormente. Probemos que βn≤3 , para todo n∈N∪{0} . En efecto, β0= 2 ≤3 . Si βn≤3 , entonces βn+1 =βn+ 3 2≤3+3 2= 3 . Luego, βn≤3 , para todo n∈N∪{0} . Por lo tanto, la sucesión {βn} es convergente hacia β∈[2,3] . Pasando al límite en la expresión βn+1 =βn+ 3 2 , se obtiene β=β+ 3 2 , lo que implica que β= 3 . Por tanto, {βn} → 3. Por otra parte, estudiemos la convergencia de la sucesión de coecientes cn . Sabemos que se cumple cn+1 =4√cn βn+ 3 y que c0= 1 , entonces, c0= 1, c1=4√c0 β0+ 3 =4√1 2+3 =4 5, c2=4√c1 β1+ 3 =4q4 5 5 2+ 3 =4·2 √5 11 2 =16 11 ·√5, c3=4√c2 β2+ 3 = 4q16 11·√5 11 4+ 3 =64 23 ·√11 ·4 √5, etc. Veamos que se tiene que la sucesión correspondiente converge. En primer lugar, probemos que es monótona decreciente. En efecto, c0= 1 ≥4 5=c1 . Si cn≥cn+1 , es decir, cn≥4√cn βn+ 3 , entonces, de modo obvio, cn+1 =4√cn βn+ 3 ≥4√cn+1 βn+1 + 3 =cn+2 (pues la sucesión {βn} ya vimos que era positiva y creciente). Ahora, veamos que la sucesión {cn} está acotada inferiormente. Probemos que cn≥4 9 , para todo n∈N∪{0} . En efecto, c0= 1 ≥4 9 . Si cn≥4 9 , entonces cn+1 =4√cn βn+ 3 ≥4q4 9 3+3 =4·2 3 6=4 9 . Luego, cn≥4 9 , para todo n∈N∪{0} . Por lo tanto, la sucesión {cn} es convergente hacia c∈4 9,1 . Pasando al límite en la expresión cn+1 =4√cn βn+ 3 , se obtiene que c=4√c β+ 3 =4√c 3+3 , lo que implica que c=4 9 . Por tanto, {cn} → 4 9. De esta manera, hemos probado que la sucesión {Tn(β)} converge hacia φ(t) = 4t3 9 , t≥0 , cuando n→ ∞ . Análogamente, podemos ver que la sucesión {Tn(α)} converge hacia φ(t) = 4t3 9 , t≥0 , cuando n→ ∞ . En efecto, v0=α(t) = t4 4, v1=T(v0) = T(α) = Zt 0 2rs·s4 4ds = 2 Zt 0 1 2√s5ds =Zt 0 s5 2=2 7t7 2, 3.1. Convergencia de las aproximaciones sucesivas 39 v2=T(v1) = T2(α) = Zt 0 2r2 7s7 2·s ds =2·√2 √7Zt 0 s9 4ds =8·√2 13 ·√7t13 4, v3=T(v2) = T3(α) = Zt 0 2s8·√2 13 ·√7·s13 4·s ds =2·√8·4 √2 √13 ·4 √7Zt 0 s17 8ds =16 ·√8·4 √2 25√13 ·4 √7t25 8. Si vn=an·tαn , entonces, análogamente al caso anterior, vn+1 =4√an αn+ 3 ·tαn+3 2, por lo que se obtienen las mismas fórmulas de recurrencia para los exponentes y los coecientes, es decir, αn+1 =αn+ 3 2 y an+1 =4√an αn+ 3, respectivamente. Comencemos con la recurrencia en los exponentes. Sabemos que αn+1 =αn+ 3 2 y que α0= 4 (pues v0=t4 4 ), entonces, α0= 4, α1=4+3 2=7 2, α2= 7 2+ 3 2=13 4, α3= 13 4+ 3 2=25 8, etc. Veamos que se tiene que la sucesión correspondiente converge. En primer lugar, probemos que es monótona decreciente. En efecto, α0= 4 ≥7 2=α1 . Si αn≥αn+1 , es decir, αn≥αn+ 3 2 , entonces, αn+1 =αn+ 3 2≥αn+1 + 3 2=αn+2 . Ahora, veamos que la sucesión {αn} está acotada inferiormente. Probemos que αn≥3 , para todo n∈N∪ {0} . En efecto, α0= 4 ≥3 . Si αn≥3 , entonces αn+1 =αn+ 3 2≥3+3 2= 3 . Luego, αn≥3 , para todo n∈N∪{0} . Por lo tanto, la sucesión {αn} es convergente hacia un cierto α∈[3,4] . Como ya hemos visto para la sucesión {βn} , también se cumple que {αn} → 3. Por otra parte, estudiemos la convergencia de la sucesión de coecientes {an} . Sabemos que an+1 =4√an αn+ 3 y que a0=1 4 , entonces, a0=1 4, a1=4√a0 α0+ 3 =4q1 4 4+3 =2 7, 40 3. La unicidad a través del método de las iteradas de Picard a2=4√a1 α1+ 3 =4q2 7 7 2+ 3 =4·√2 √7 13 2 =8·√2 13 ·√7, a3=4√a2 α2+ 3 =4q8·√2 13·√7 13 4+ 3 =16 ·√8·4 √2 25 ·√13 ·4 √7, etc. Veamos que se tiene que la sucesión correspondiente converge. En primer lugar, probemos que es monótona creciente. En efecto, a0=1 4≤2 7=a1 . Si an≤an+1 , es decir, an≤4√an αn+ 3 , entonces, an+1 =4√an αn+ 3 ≤4√an+1 αn+1 + 3 =an+2 , de modo trivial. Ahora, veamos que la sucesión {an} está acotada superiormente. Probemos que an≤4 9 , para todo n∈N∪{0} . En efecto, a0=1 4≤4 9 . Si αn≤4 9 , entonces αn+1 =4√an αn+ 3 ≤4q4 9 3+3 =4·2 3 6=4 9 . Luego, an≤4 9 , para todo n∈N∪{0} . Por lo tanto, la sucesión {an} es convergente con límite a∈1 4,4 9 . Procediendo análogamente, {an} → 4 9. De esta manera, hemos probado que la sucesión {Tn(α)} converge hacia φ(t) = 4t3 9 , t≥0 , cuando n→ ∞ . Para ilustrar el ejemplo, podemos ver en la Figura 3.4 algunas de las iteraciones obtenidas a partir de α y β y cómo se van aproximando hacia la solución dibujada en color rojo. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 β ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) u 3 ( t ) u 4 ( t ) ϕ ( t ) v 4 ( t ) v 3 ( t ) v 2 ( t ) v 1 ( t ) α ( t ) Figura 3.4: Representación gráca de la solución φ(t) y de cuatro iteraciones a partir de las funciones α(t) y β(t) , en el intervalo [0,1] . Capítulo 4 Otros teoremas de unicidad En este capítulo, trataremos la unicidad desde los puntos de vista de Peano y Osgood, en ese orden. En el Capítulo 2, se proporcionó un ejemplo (Ejemplo 2.6) para el cual no se vericaban las hipótesis del Teorema 1.22 (Teorema de Unicidad de Lipschitz), pero aún así se tenía la unicidad de la solución. Esto es debido a que la condición de lipschitzianidad con respecto a la segunda variable constituye una condición suciente para la unicidad de solución para el problema de Cauchy, pero no necesaria. 4.1. Teorema de Unicidad de Peano Empezaremos, pues, presentando el Teorema de Unicidad de Peano, en cuyo enunciado no se exige la lipschitzianidad de la función respecto de la segunda variable, pero sí se requieren otras hipótesis diferentes relacionadas con la monotonía. Teorema 4.1 (Teorema de Unicidad de Peano [1]) . Sean A un abierto de R2 y una ecuación diferencial ordinaria x′=f(t, x) con función asociada f: (t, x)∈A⊂R×R→f(t, x)∈R , donde f(t, x) es continua en el conjunto ¯ S+={(t, x)∈R2:t0≤t≤t0+a, x0−b≤x≤x0+b}, con a, b > 0 y de modo que la función f(t, x) es monótona decreciente en x . Entonces, se tiene que el problema de Cauchy    x′=f(t, x), x(t0) = x0, tiene, a lo sumo, una solución en el intervalo [t0, t0+a] . 41 42 4. Otros teoremas de unicidad Demostración. Supongamos, pues, que tenemos dos soluciones φ(t) y ψ(t) del problema de Cauchy con algún valor distinto en el intervalo [t0, t0+a] , de modo que, pongamos φ<ψ en algún punto de dicho intervalo. Esto, unido a que φ(t0) = x0=ψ(t0) , implica la existencia de t1∈[t0, t0+a) tal que φ(t) = ψ(t) , para t∈[t0, t1] , y φ(t)< ψ(t) , para t∈(t1, t1+ε] , para un cierto ε > 0 . El valor t1 es el ínmo del conjunto B:= {t≥t0:φ(t)< ψ(t)} , que es no vacío y está acotado inferiormente por t0 . Puesto que, por hipótesis, la función f(t, x) es decreciente en x , se cumple que f(t, φ(t)) ≥f(t, ψ(t)), para todo t∈(t1, t1+ε] . Entonces, sabemos que, para t∈(t1, t1+ε] , φ′(t)≥ψ′(t) . De este modo, si tomamos la función g(t) = ψ(t)−φ(t) , se deduce que es continua y decreciente en (t1, t1+ε] y, además, como g(t1) = 0 , se tiene que g(t)≤0 en [t1, t1+ε] . Por lo tanto, hemos llegado a demostrar que ψ(t)≤φ(t) para todo t∈[t1, t1+ε] , lo cual supone una contradicción debida a la suposición de que tenemos dos soluciones distintas para el problema descrito. Una vez demostrado el Teorema 4.1 (Teorema de Unicidad de Peano), nos damos cuenta de su similitud con la demostración del Teorema 2.4 (Teorema con condición de Lipschitz respecto de la segunda variable por la derecha). De hecho, el Teorema de Unicidad de Peano no es más que un caso particular de dicho teorema tomando como constante de Lipschitz L= 0 , lo cual reduce el enunciado del Teorema 2.4 a las condiciones proporcionadas por el Teorema de Unicidad de Peano. Veamos un ejemplo donde tenemos una función que cumple las hipótesis del Teorema 4.1 (Teorema de Unicidad de Peano) y, por tanto, podemos asegurar la unicidad de solución del problema de Cauchy correspondiente. Ejemplo 4.2. Puesto que hemos mencionado que el Teorema de Unicidad de Peano es un caso particular del Teorema 2.4, comprobaremos que, efectivamente, el mismo ejemplo (Ejemplo 2.5) que usamos para demostrar que dicho teorema garantizaba la unicidad de solución, nos sirve para aplicar el Teorema de Unicidad de Peano. Sea, pues, el problema de valor inicial    x′=te−3x, x(0) = 0. Consideremos, por ejemplo, ¯ S+={(t, x)∈R2:t∈[0,2], x ∈[−2,4]} , un rectángulo cerrado en R2 , como dominio de denición de f . Claramente, la función f(t, x) es continua en R2 y, por lo tanto, en el conjunto ¯ S+ . Por el Teorema de Cauchy-Peano (Teorema 1.5), tenemos garantizada la existencia de solución para 4.1. Teorema de Unicidad de Peano 43 este problema. Si calculamos la derivada parcial de la función respecto de la segunda variable, resulta la expresión ∂f ∂x(t, x) = −3te−3x. Si jamos t∈[0,2] , observando la expresión de la derivada parcial de la función, podemos ver que f(t, x) es una función decreciente en x . Estamos, así, en condiciones de aplicar el Teorema 4.1 (Teorema de Unicidad de Peano). Este nos garantiza que, de existir solución pasando por el (0,0) para el problema de Cauchy presentado en el intervalo [0,2] , esta será única. Sabemos cuál será la solución obtenida por el Ejemplo 2.5 del Capítulo 2. Tras esta reexión sobre el Teorema 4.1, puesto que tenemos como hipótesis que la función asociada a la ecuación diferencial ordinaria es decreciente en x , podríamos esperar un resultado análogo en el caso de que fuese una función creciente. No obstante, probamos a continuación con un contraejemplo, inspirado en uno de los propuestos en [1], que esto no se cumple. Ejemplo 4.3. Sea el problema de valor inicial    x′=f(t, x), x(0) = 0, con función asociada f(t, x) :=    2√x si x≥0, −2√−x si x < 0. Tenemos que la función f(t, x) es continua en el conjunto R+×R . Por el Teorema de CauchyPeano (Teorema 1.5), tenemos garantizada la existencia de solución para este problema. Si calculamos su derivada respecto de la segunda variable, resulta la expresión ∂f ∂x(t, x) =        1 √x si x > 0, 1 √−x si x < 0. Es evidente que ∂f ∂x >0 para todo (t, x) con x= 0 . Esto implica monotonía de tipo creciente en la variable x para el conjunto B={(t, x) : t∈R+, x = 0} . Además, f(t, x)>0 = f(t, 0) para (t, x) con x > 0 y f(t, x)<0 = f(t, 0) para (t, x) con x < 0 , con lo cual se deduce que f es monótona creciente en la variable x para cada t∈R+ jo. De hecho, lo es de modo estricto. Por tanto, no estaríamos en hipótesis del Teorema de Unicidad de Peano, pero queremos vericar si con la función creciente en x también se cumpliría la unicidad de solución. 44 4. Otros teoremas de unicidad Buscamos la expresión de las soluciones mediante el método de separación de variables (véase el Teorema 1.12) y obtenemos que existen como mínimo dos soluciones posibles para el problema de Cauchy pasando por (0,0) en el intervalo [0,∞) : la que nos ofrece dicho método, con expresión φ(t)=(t+C)2 y con C= 0 debido a la condición inicial, es decir, φ(t) = t2 , y la solución trivial. De hecho, existe una innidad de soluciones pasando por (0,0) , pues las funciones del tipo φt0(t)=(t−t0)2 se aproximan al punto (t0,0) de modo que la pendiente tiende a 0 , por lo que es posible empatar su expresión con la correspondiente a la solución trivial. Podemos deducirlo viendo que φ′ t0(t) = 2(t−t0) , lo cual coincide con f(t, φt0(t)) = 2pφt0(t) = 2p(t−t0)2= 2|t−t0|, para t≥t0 . Análogamente, podríamos trabajar en el semiplano inferior. Como hemos comentado que el Teorema de Unicidad de Peano es un caso particular del Teorema 2.4, cuyas hipótesis exigen la condición de Lipschitz por la derecha con respecto a la variable x , debemos destacar que no es necesario que se cumpla el carácter lipschitziano para que dicho teorema se pueda aplicar. Vamos, pues, a proporcionar un ejemplo, análogo a uno recogido en [1], donde la función asociada no es lipschitziana respecto de la segunda variable pero, aún así, estamos en condiciones de aplicar el Teorema 4.1. Ejemplo 4.4. Sea el problema de valor inicial    x′=f(t, x), x(0) = 0, con función asociada f(t, x) :=    −2√x si x≥0, 2√−x si x < 0. Tenemos que la función f(t, x) es continua en el conjunto R+×R . Por el Teorema de CauchyPeano (Teorema 1.5), tenemos garantizada la existencia de solución para este problema. Comprobemos que no se cumple la propiedad de Lipschitz (véase la Denición 1.7), pues no existe L≥0 que satisfaga la condición para ningún entorno conteniendo (0,0) . Supongamos que sí se cumple tal propiedad. Entonces, tomando (t, x1),(t, x2)∈R+×R con x1≥0 y x2= 0 , se sigue L≥ f(t, x1)−f(t, x2) x1−x2= f(t, x1)−f(t, 0) x1−0=−2√x1−0 x1=2 √x1 , que no está acotada en ningún entorno de (0,0) , pues su límite a medida que x1 se aproxima a 0 es ∞ , lo cual es una contradicción con la propiedad de Lipschitz. 4.1. Teorema de Unicidad de Peano 45 Sin embargo, si calculamos su derivada parcial respecto de la segunda variable, resulta la expresión ∂f ∂x(t, x) =        −1 √x si x > 0, −1 √−x si x < 0. Por tanto, en cuanto a la monotonía de f en la segunda variable, si observamos la derivada parcial anterior, podemos ver que, jado t∈R+ , ∂f ∂x <0 para (t, x) con t∈R+ y x= 0 , lo que justica que f es monótona decreciente en la variable x en B={(t, x) : t∈R+, x = 0} . Además, f(t, x)< f(t, 0) = 0 para (t, x) con t∈R+, x > 0 y f(t, x)> f(t, 0) = 0 para (t, x) con t∈R+, x < 0 . Por tanto, f es estrictamente decreciente en x para t∈R+ jado. Estamos en condiciones, pues, de aplicar el Teorema de Unicidad de Peano (Teorema 4.1) y tenemos garantizada la unicidad de solución pasando por (0,0) , que será la solución trivial. En este caso, si utilizásemos el método de separación de variables para obtener otra solución posible para el problema de Cauchy descrito en el intervalo [0,∞) , resultaría la expresión siguiente x(t) = (−t+C)2 , con C= 0 debido a la condición inicial, es decir, x(t) = (−t)2=t2 . Pero, como x′(t) = 2t no coincide con f(t, x(t)) = −2√t2=−2|t| en el intervalo [0,∞) , entonces únicamente tenemos la solución trivial como solución del problema de Cauchy pasando por (0,0) . Por tanto, hemos deducido la unicidad de solución mediante el Teorema de Unicidad de Peano, para un problema de Cauchy en el cual la función asociada no verica la propiedad de Lipschitz. Podemos reformular el Teorema 4.1 (Teorema de Unicidad de Peano) considerando el rectángulo hacia la izquierda del intervalo, es decir, estudiando la unicidad en el intervalo [t0−a, t0] y estableciendo como hipótesis que la función asociada a la ecuación diferencial ordinaria sea creciente. Teorema 4.5. Sean A un abierto de R2 y una ecuación diferencial ordinaria x′=f(t, x) con función asociada f: (t, x)∈A⊂R×R→f(t, x)∈R , donde f(t, x) es continua en el conjunto ¯ S−={(t, x)∈R2:t0−a≤t≤t0, x0−b≤x≤x0+b}, con a, b > 0 y de modo que la función f(t, x) es monótona creciente en x . Entonces, se tiene que el problema de Cauchy    x′=f(t, x), x(t0) = x0 tiene, a lo sumo, una solución denida en el intervalo [t0−a, t0] . La prueba de este teorema sería análoga a la demostración para el Teorema de Unicidad de Peano, por lo que no se incluye. Pongamos en práctica el Teorema 4.5, mostrando un ejemplo donde podemos aplicarlo. 52 4. Otros teoremas de unicidad Vamos, en primer lugar, a denir la función u que necesitamos cumpliendo las hipótesis del Lema 4.10, u(z) :=            0 si z= 0, −zln(3z) si 0< z ≤1 3e, 1 3e si z > 1 3e. Tal y como la hemos denido, la función u(z) es continua y monótona creciente en el intervalo [0,∞) , y satisface que u(0) = 0 , u(z)>0 para todo z > 0 y, como veremos a continuación, l´ım ε→0+Z1 ε dz u(z)=∞. En efecto, se tiene que, l´ım ε→0+Z1 ε dz u(z)= l´ım ε→0+ Z1 3e ε dz u(z)+Z1 1 3e dz u(z)!= l´ım ε→0+ Z1 3e ε 1 −zln(3z)dz +Z1 1 3e 3e dz! = l´ım ε→0+ Z1 3e ε 1 −zln(3z)dz + 3e1−1 3e!. Se probará que la primera de las expresiones tiene límite innito cuando ε→0+ . Estudiamos, pues, la última integral en la expresión anterior. Tomamos el cambio de variable y= ln(3z) , que implica que dy =3 3zdz , con lo que, Z1 3e ε 1 −zln(3z)dz =Z−1 ln(3ε) z −zy dy =Z−1 ln(3ε)−1 ydy =−ln(|y|) −1 ln(3ε) =−(ln(|−1|)−ln(|ln(3ε)|)) = ln(|ln(3ε)|). Ahora bien, para ε > 0 sucientemente pequeño, se cumple que 3ε < 1 , implicando a su vez que ln(3ε)<0 . Procedemos, pues, de la siguiente manera, l´ım ε→0+Z1 3e ε 1 −zln(3z)dz = l´ım ε→0+ln(|ln(3ε)|) = l´ım ε→0+ln(−ln(3ε)) = ∞. De este modo, esta función cumple las hipótesis exigidas por el Lema 4.10 y nos sirve para aplicar el Teorema de Unicidad de Osgood (Teorema 4.11). Nos queda por comprobar si la función f(t, x) cumple la condición de Osgood, dada por la desigualdad (4.3), es decir, si para todo (t, x1),(t, x2)∈R2 , se cumple |f(t, x1)−f(t, x2)| ≤ u(|x1−x2|). Para llegar a esa desigualdad, vamos a estudiar el signo de la derivada. Para ello, calculamos la derivada parcial segunda de f con respecto a x dos veces, ∂2f ∂x2(t, x) = −1 x, x = 0, 4.2. Teorema de Unicidad de Osgood 53 pudiendo observar que es negativa para x > 0 . Es decir, para cada t∈[−1,1] jo, f es cóncava y, por tanto, podemos escribir lo siguiente, f(t, x1−x2)−f(t, 0) x1−x2≥f(t, x1)−f(t, x2) x1−x2 ,0< x1−x2< x2< x1≤1 3e, (4.5) donde, sin pérdida de generalidad, se ha supuesto que x1> x2 son sucientemente próximos el uno al otro. Otro modo de justicarlo es que, para cada t∈[−1,1] jo, como ∂2f ∂x2<0 para x > 0 , entonces ∂f ∂x (t, ·) es estrictamente decreciente, de modo que, aplicando el Teorema del Valor Medio (véase el Teorema 1.23), la desigualdad (4.5) se reduciría a ∂f ∂x (t, c2,t)≥∂f ∂x (t, c1,t) para un cierto c1,t ∈(x2, x1) y un cierto c2,t ∈(0, x1−x2) , pero esto se cumple pues c2,t < c1,t y ∂f ∂x (t, ·) es estrictamente decreciente. Si sustituimos la función en la desigualdad (4.5), obtenemos que −(x1−x2) ln(3(x1−x2)) ≥(−x1ln(3x1) + x2ln(3x2)). Gracias a estos razonamientos, podemos llegar a la desigualdad (4.3), pues |f(t, x1)−f(t, x2)|=|−x1ln(3x1) + x2ln(3x2)| =−x1ln(3x1) + x2ln(3x2) ≤ −(x1−x2) ln(3(x1−x2)) =−|x1−x2|ln(3|x1−x2|) =u(|x1−x2|). Hemos probado, nalmente, que se satisfacen las hipótesis del Teorema 4.11 (Teorema de Unicidad de Osgood), por lo que tenemos garantizada la existencia de, a lo sumo, una solución para el problema de Cauchy descrito en el intervalo 0,1 3e . Anexo I Grácas en Sagemath A lo largo del trabajo, para visualizar mejor ciertos ejemplos, hemos adjuntado representaciones grácas. Estas han sido generadas a partir del programa Sagemath a través de la herramienta online , Cocalc . A continuación, veremos las grácas y, seguidamente, el código que las genera, de cada una de las representaciones grácas incluidas en el trabajo. −10 −5 5 10 t −15 −10 −5 5 10 15 x C 2 I C 1 I p1=plot(((x-1)^5)/(5^5) ,1,10,color='red',thickness='2',axes_labels=['$t$','$x$ '],aspect_ratio=1) p2=plot(((x+1)^5)/(5^5) ,-10,-1,color='red',thickness='2',axes_labels=['$t$','$ x$'],aspect_ratio=1) p3=plot(0,-1,1,color='red',thickness='2',axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ ratio=1) 55 56 I. Grácas en Sagemath p=p1+p2+p3+text('$C_2$',(3, 1.2),color='black',fontsize=10)+ text('I',(3, -0.2), color='black',fontsize=10)+ text('$C_1$',(-3, 1.2),color='black', fontsize=10)+ text('I',(-3,-0.2),color='black',fontsize=10) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t −2 −1 1 2 x u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 e − t p1=plot(1, 0, 3,color='red',thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ ratio=1,legend_label='$u_0(t)$') p2=plot(1-x, 0, 3,color='blueviolet',thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$'], aspect_ratio=1,legend_label='$u_1(t)$') p3=plot(1-x+(x^2)/2, 0, 3,color='orange',thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$' ],aspect_ratio=1,legend_label='$u_2(t)$') p4=plot(1-x+(x^2)/2-(x^3)/6, 0, 3,color='gold',thickness='1',axes_labels=['$t$' ,'$x$'],aspect_ratio=1,legend_label='$u_3(t)$') p5=plot(1-x+(x^2)/2-(x^3)/6+(x^4)/24, 0, 3,color='green',thickness='1', axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ratio=1,legend_label='$u_4(t)$') p6=plot(1-x+(x^2)/2-(x^3)/6+(x^4)/24-(x^5)/120, 0, 3,color='blue',thickness='1', axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ratio=1,legend_label='$u_5(t)$') p7=plot(1-x+(x^2)/2-(x^3)/6+(x^4)/24-(x^5)/120+(x^6)/720, 0, 3,color='maroon', thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ratio=1,legend_label='$u_6(t )$') p8=plot(1-x+(x^2)/2-(x^3)/6+(x^4)/24-(x^5)/120+(x^6)/720-(x^7)/5040, 0, 3,color= 'deeppink',thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ratio=1,legend_ label='$u_7$') p9=plot(exp(-x), 0, 3,color='black',thickness='2',axes_labels=['$t$','$x$'], aspect_ratio=1,legend_label='$e^{t}$') p=(p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8+p9).show(ticks=1) 57 En la siguiente gráca, hemos añadido manualmente el sombreado que indica la región y una solución. t x p1=plot(-x, 0, 3,color='blue',thickness='2',axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ ratio=1) p2=plot(x, 0, 3,color='blueviolet',thickness='2',axes_labels=['$t$','$x$'], aspect_ratio=1) p=(p1+p2+text('$\\beta(t)$',(1.7, 2.1), fontsize=10,color='blueviolet')+ text(' $\\alpha(t)$',(1.7, -2.1), fontsize=10,color='blue')).show(ticks=1) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x β ( t ) α ( t ) ϕ ( t ) p1=plot(x^2, 0, 1,color='red',thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$'],aspect_ ratio=1) p2=plot(x^4/4, 0, 1,color='blueviolet',thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$'], aspect_ratio=1) 58 I. Grácas en Sagemath p3=plot(4*x^3/9, 0, 1,color='orange',thickness='1',axes_labels=['$t$','$x$'], aspect_ratio=1) p=p1+p2+p3+text('$\\beta(t)$',(0.6, 0.45), fontsize=10,color='red')+ text('$\\ alpha(t)$',(0.9, 0.1), fontsize=10,color='blueviolet')+ text('$\\varphi(t)$' ,(0.65, 0.17), fontsize=10,color='orange') 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 β ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) u 3 ( t ) u 4 ( t ) ϕ ( t ) v 4 ( t ) v 3 ( t ) v 2 ( t ) v 1 ( t ) α ( t ) var('t'); p=Graphics() u0=t^2; p+=plot(u0,(t,0,1),color='darkblue',legend_label='$\\beta(t)$') u1=integrate(2*sqrt(t*u0),t) p+=plot(u1,(t,0,1),color='mediumblue',legend_label='$u_1(t)$') u2=integrate(2*sqrt(t*u1),t) p+=plot(u2,(t,0,1),color='darkslateblue',legend_label='$u_2(t)$') u3=integrate(2*sqrt(t*u2),t) p+=plot(u3,(t,0,1),color='slateblue',legend_label='$u_3(t)$') u4=integrate(2*sqrt(t*u3),t) p+=plot(u4,(t,0,1),color='cornflowerblue',legend_label='$u_4(t)$') v0=(t^4)/4; v1=integrate(2*sqrt(t*v0),t) p+=plot(4*t^3/9,(t,0,1),color='red',legend_label='$\\varphi(t)$') v2=integrate(2*sqrt(t*v1),t) v3=integrate(2*sqrt(t*v2),t) v4=integrate(2*sqrt(t*v3),t) p+=plot(v4,(t,0,1),color='palegreen',legend_label='$v_4(t)$') p+=plot(v3,(t,0,1),color='darkseagreen',legend_label='$v_3(t)$') p+=plot(v2,(t,0,1),color='olive',legend_label='$v_2(t)$') p+=plot(v1,(t,0,1),color='seagreen',legend_label='$v_1(t)$') p+=plot(v0,(t,0,1),color='darkgreen',legend_label='$\\alpha(t)$') p.show(legend_loc=(0.05,0.45)) Bibliografía [1] Agarwal, R.P. y Lakshmikantham, V. 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