Os albores da topoloxía

Traballo Fin de Grao OS ALBORES DA TOPOLOXÍA Nuno Xoán Mesías de Concepción xullo, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao OS ALBORES DA TOPOLOXÍA Nuno Xoán Mesías de Concepción xullo, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii iv Traballo proposto Área de Coñecemento: Área de Xeometría e Topoloxía Título: Os albores da Topoloxía Breve descrición do contido Repaso histórico detallado do longo proceso a través do cal nace e se desenvolve o concepto de espazo topolóxico tal e como o coñecemos, exposto no artigo The emergence of open sets, closed sets and limit points in analysis and topology. Durante este proceso, fóronse propoñendo, superando e facendo aportacións a distintas denicións das nocións sobre as que a rama matemática da Topoloxía senta a súa base tales como son o punto límite, o conxunto aberto e o conxunto pechado. Estes conceptos usábanse en principio como ferramentas da análise pero posteriormente evolucionaron ata dar lugar á Topoloxía Xeral, coa intervención de grandes guras da matemática dende nais do século XIX e ó longo do século XX tales como Weierstrass, Cantor e Lebesgue. Recomendacións Outras observacións Índice Resumo viii Introdución xi 1. Orixe e evolución dos conceptos fundamentais para a topoloxía 1 1.1. Introdución ....................................... 1 1.2. Introdución do punto límite, o conxunto derivado e o conxunto pechado . . . . . 2 1.3. Aparición do punto interior, o punto exterior e a fronteira . . . . . . . . . . . . . 4 1.4. Desenvolvemento do concepto de conxunto aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5. Breves notas biográcas dos matemáticos máis relevantes do capítulo . . . . . . . 11 2. Construción de distintos tipos de espazos topolóxicos 15 2.1. Introdución ....................................... 15 2.2. L -espazos, espazos métricos e espazos de veciñanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Espazos de clausura e espazos de abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Aportacións polacas á topoloxía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5. Impacto dos espazos topolóxicos noutras áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6. Establecemento nal dos espazos topolóxicos basados nos conxuntos abertos . . . 24 2.7. Breves notas biográcas dos matemáticos máis relevantes do capítulo . . . . . . . 26 3. Os espazos pretopolóxicos 29 v vi ÍNDICE 3.1. Introdución ....................................... 29 3.2. A pseudoclausura e a súa utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. Tipos de espazos pretopolóxicos e relación cos espazos topolóxicos . . . . . . . . . 31 Bibliografía 37 2 1. Orixe e evolución dos conceptos fundamentais para a topoloxía 1.2. Introdución do punto límite, o conxunto derivado e o conxunto pechado A topoloxía xeral aséntase sobre os conceptos de conxunto aberto e pechado, os cales á súa vez son denidos a partir da noción de punto límite xa que, como veremos, un conxunto é pechado se e só se contén todos os seus puntos límites. Así mesmo, un aberto é o complementario dun pechado. A noción de punto límite dun conxunto é a dun punto que está arbitrariamente próximo ao conxunto, sen necesariamente formar parte do conxunto. É dicir, un punto que pode ser aproximado por puntos do conxunto tanto como desexemos. Formalmente, en linguaxe matemática moderna: Denición 1.1. Punto límite [denición estándar actual]: Sexa (X, τ) un espazo topolóxico e S un subconxunto de X . Un punto límite de S é un punto x tal que para calquera subconxunto aberto do espazo X que conteña ao punto x, Ux , se ten que S∩(Ux− {x})=∅ . A aparición deste esencial concepto de punto límite (ou de acumulación) está estreitamente ligada ao desenvolvemento do actual teorema de Bolzano-Weierstrass dende as súas máis primitivas versións. Lembremos o resultado que hoxe coñecemos por teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema 1.2. Teorema de Bolzano-Weierstrass [enunciado estándar actual]: Se un subconxunto limitado A de X ten innitos elementos, entón existe polo menos un punto de X que é un punto límite de A . O primeiro matemático en enunciar unha versión orixinaria deste resultado foi Karl Weierstrass (1815-1897), que o xo numerosas veces dende 1865 ata 1886. Coñecemos estes traballos polas notas non publicadas tomadas polos alumnos nas súas clases ou conferencias. O teorema tomou neses escritos variedade de formas e expresións, usándose maioritariamente como ferramenta de estudo analítico, o cal será unha constante nos traballos das posteriores décadas nos que ían emerxendo os distintos conceptos que máis tarde conformarían a rama da topoloxía. Vexamos por exemplo que a primeira versión foi presentada nas notas tomadas por Moritz Pasch (ver [42]) das súas conferencias como un lema, e estaba expresado únicamente en dúas dimensións en termos de propiedades en lugar de conxuntos. Lema 1.3. 1 ª versión do teorema de Bolzano-Weierstrass [Weierstrass, 1865-1866]: Se nunha rexión limitada do plano hai innidade de puntos cunha propiedade dada, entón hai polo menos un punto (no interior ou na fronteira) tal que en calquera veciñanza deste haxa innidade de puntos vericando a propiedade. Máis tarde, iría evolucionando e expresando o resultado en termos de funcións e logo de conxuntos, aínda que sempre cun interese de uso para a análise. Pese a estar considerando 1.2. Introdución do punto límite, o conxunto derivado e o conxunto pechado 3 a noción durante máis de vinte anos, Weierstrass nunca lle deu un nome. Foi Georg Cantor (1845-1918) o primeiro en nomealo como Grenzpunkt (punto límite en alemán) xa en 1872 nun artigo publicado na revista Mathematische Annalen [7]. Weierstrass usaba a nomenclatura similar Grenzstelle pero para unha idea distinta, pois para Weierstrass o Grenzstelle dun conxunto non pode pertencer ao mesmo e, como xa vimos, o punto límite sí aínda que non necesariamente o faga. Cantor, como Weierstrass, deniu o concepto para usalo na análise, e fíxoo para un conxunto P nunha liña recta baseándose na idea de veciñanza, que á súa vez se baseaba na de interior. Denición 1.4. Veciñanza dun punto nunha liña recta [Cantor, 1872]: Calquera intervalo que conteña ao punto no seu interior. Denición 1.5. Punto límite dun conxunto de puntos P nunha liña recta [Cantor, 1872]: É un punto situado na liña recta de tal forma que toda veciñanza do punto conteña innitos puntos de P . O punto pode tamén pertencer a P . Nótese que esta non é a denición estándar actual de punto límite, que non sería enunciada ata 1892 por Jordan, como veremos máis adiante. O teorema de Bolzano-Weierstrass actual, ou máis concretamente unha versión errónea do mesmo xa fora publicada por primeira vez por Cantor en 1872, a continuación das anteriores denicións, omitindo a hipótese de que o conxunto fora limitado, a cal é precisa para manter a veracidade do resultado. Nese mesmo ano, Cantor xa usou o novo concepto de punto límite para denir o concepto de conxunto derivado, que daría lugar á seguinte denición de conxunto perfecto. Denición 1.6. Conxunto derivado dun conxunto P [Cantor, 1872]: O conxunto dos puntos límite de P . Denotarase por P′ . Denición 1.7. Conxunto perfecto [Cantor, 1872]: Conxunto que é igual ao seu derivado. Cantor deniu tamén as iteracións do concepto, dando lugar á n -ésima derivación do conxunto P , denotada como Pn . Pronto estendéronse estes conceptos a Italia a través de Ulisse Dini (1845-1918) e o seu libro sobre as bases da análise real de 1878 [11], onde Dini enunciou o teorema de Bolzano-Weierstrass de forma similar a Cantor, pero máis precisa. Teorema 1.8. Teorema Bolzano-Weierstrass [Dini, 1878]: Un conxunto innito de puntos G nun intervalo (a,b) ten un punto límite que pode estar ou non en G. Tamén chegarían a Italia estas ideas a través de Salvatore Pincherle (1853-1936) e as súas notas das conferencias de Weierstrass en 1878 ás que asistiu, onde o teorema se probaba para 4 1. Orixe e evolución dos conceptos fundamentais para a topoloxía unha liña real e para o espazo n -dimensional [33]. Serán especialmente relevantes no obxecto de estudo deste traballo as aportacións realizadas por Giuseppe Peano (1858-1932), as cales veremos na próxima sección. Finalmente, en 1884, Cantor deniu por primeira vez o concepto de conxunto pechado [9]. Denición 1.9. Conxunto pechado [Cantor, 1884]: Conxunto que contén todos os seus puntos límite. Ademais disto, no mesmo traballo expuxo que todo conxunto pechado P é o conxunto derivado dalgún conxunto Q e que (A∪B)′=A′∪B′ , propiedade que se seguiría vericando nos espazos topolóxicos xerais [9]. Pese a isto, nunca deniu nin usou a idea xeral de conxunto aberto nin sequera nos casos máis particulares. Só usou o concepto de puntos interior, o cal deniu en 1879, como veremos na próxima sección. 1.3. Aparición do punto interior, o punto exterior e a fronteira Cantor foi o primeiro en denir os puntos interiores, pero inicialmente só os considerou primeiro nun intervalo e logo nun conxunto de puntos Continuum (continuo), o cal nos levará a ter que analizar tamén a evolución do concepto de conexidade por ser necesaria para a denición dun conxunto Continuum. Denición 1.10. Conxunto conexo [Cantor, 1879]: Subconxunto M de Rm que verica que ∀ε > 0 e ∀a, b ∈M, existe un n∈N e n puntos p1, ..., pn tales que todas as distancias d(a, p1), d(p1, p2), ..., d(pn, b) son menores que ε . Denición 1.11. Continuum [Cantor, 1879]: Un conxunto M dise continuum se é perfecto e conexo. Nótese que baixo a súa denición de conexidade, Q e I serían conxuntos conexos, pois entre todo par de racionais (ou irracionais) se pode construír unha sucesión nita de racionais (ou irracionais) na que as distancias entre cada elemento e o seguinte sexa menor que ε , sendo isto pola densidade de Q (ou de I ). Porén, agora son exemplos do que chamamos conxuntos totalmente disconexos, pois os únicos subespazos conexos son conxuntos unitarios, é dicir, cada un dos racionais e cada un dos irracionais compón unha compoñente conexa xa que está illado do resto de puntos. Sería Camille Jordan (1838-1922) en 1892 o que establecería unha denición máis correcta de conexidade, aínda que restrinxíndose a conxuntos pechados e acotados. Denición 1.12. Conxunto conexo [Jordan, 1892]: Conxunto que non pode ser particionado en dous conxuntos pechados e separados A e B , é dicir, tales que a mínima distancia d(a, b) con a∈A e b∈B sexa maior ca cero. 1.3. Aparición do punto interior, o punto exterior e a fronteira 5 Como vemos, ambas denicións se apoian no concepto de distancia, e non sería ata 1905 que Nels Johann Lennes (1874-1951) daría a primeira denición de conexidade aplicable a conxuntos arbitrarios nun espazo euclidiano n -dimensional, na American Mathematical Society en decembro de 1905, aínda que non se publicaría nun artigo ata 1911 [30]. Denición 1.13. Conxunto conexo [N. J. Lennes, 1911]: Conxunto de puntos tal que se se particiona en dous subconxuntos non baleiros B e C , polo menos un deles contén un punto límite do outro. Como xa introducimos, Cantor só denira punto interior considerándoo dentro dun conxunto Continuum, da seguinte forma. Denición 1.14. Punto interior dun Continuum [Cantor, 1879]: Punto p para o que podemos tomar unha bóla pechada centrada nel cun radio tan pequeno como para que todos os puntos dentro e sobre a fronteira da bóla pertenzan ao Continuum M . Peano recollería o testigo de Cantor e, de forma moi similar, deniría un punto interior para un conxunto de puntos A nun espazo de unha, dúas ou tres dimensións nun traballo de 1887 sobre as aplicacións xeométricas do cáculo innitesimal [32]. Denición 1.15. Punto interior a un conxunto A [Peano, 1887]: Punto p∈A tal que ∃r > 0 para o que todos os puntos cuxa distancia a p sexa menor que r pertenzan a A . Mais non se detería aí, e continuaría denindo un punto exterior, un punto fronteira e a fronteira dun conxunto. Denición 1.16. Punto exterior a un conxunto A [Peano, 1887]: Punto p que é interior ao complementario de A . Denición 1.17. Punto fronteira dun conxunto A [Peano, 1887]: Punto p que non é interior a A nin ao complementario de A , é dicir, que non é interior nin exterior. Denición 1.18. Fronteira dun conxunto A [Peano, 1887]: O conxunto dos puntos fronteira do conxunto A . O concepto de punto interior seguiría desenvolvéndose logo a través da comunidade matemática francesa, que recibiría moi probablemente da tradución de 1887 de Jules Tannery (1848-1910) [39], os conceptos de punto límite (Cantor), interior, exterior e fronteira (Peano). O maior expoñente dos matemáticos franceses da época sería, nesta materia, Jordan, o cal absorbeu estes conceptos e usounos de forma moi interesante nun artigo no que trataba as integrais denidas [19]. Vemos, outra vez, como estes conceptos non son percibidos como posibles pilares doutra 6 1. Orixe e evolución dos conceptos fundamentais para a topoloxía forma de facer matemáticas, senón como nocións que poden axudar na análise clásica. Jordan comezou neste sentido por dar unha denición distinta á de Cantor de punto límite, a cal se convertiría dúas décadas despois na denición estándar do concepto. Denición 1.19. Punto límite dun conxunto E [Jordan, 1892]: Punto p tal que ∀ε > 0 ∃q∈E, q =p tal que d(p, q)< ε . Da mesma forma que Cantor, Jordan deniría o conxunto derivado como o conxunto de puntos límite dun conxunto, pero tomaría outra denición para un conxunto perfecto. Denición 1.20. Conxunto perfecto [Jordan, 1892]: Conxunto E tal que o seu conxunto derivado é subconxunto de E . Como xa vimos, a de Cantor para conxunto perfecto é a denición estándar actual, polo que aquí vemos como a nocións distintas se lles da o mesmo nome, levando a incongruencias entre a notación de diferentes matemáticos. Observemos que o que para Cantor sería un pechado (un conxunto E tal que o seu derivado esté contido en E ), para Jordan sería un perfecto. Ademais disto, Jordan tamén aportaría as seguintes denicións en 1892: Denición 1.21. Punto interior [Jordan, 1892]: Punto p∈E que non está no derivado do complementario a E . Denición 1.22. Punto fronteira [Jordan, 1892]: Punto p que non é interior a E nin ao seu complementario . A súa denición de punto interior é válida de forma máis xeral que a que dera Peano, pero a de punto fronteira é totalmente idéntica á xa vista anteriormente. Porén, en 1893, deu unha denición substancialmente distinta de punto límite nun libro de análise [20], a que agora recoñecemos como a denición de punto límite secuencial, e que vén a ser equivalente aínda que para probalo é preciso o axioma da elección, que nesas datas aínda non se formulara sequera. Denición 1.23. Punto límite (secuencial) [Jordan, 1893]: Punto p que é límite dunha secuencia de puntos (sucesión) de E . Pese a ter denidos todos estes conceptos, nin Peano nin Jordan desenvolveron o concepto de conxunto aberto, que podían ter facilmente denido como un conxunto igual aos seus puntos interiores (igual ao seu interior). O traballo de Tannery e Jordan inuiu moito na seguinte xeracion de matemáticos franceses, os cales seguirían aportando ao desenvolvemento das bases da topoloxía. Serán especialmente relevantes na materia de estudo deste traballo Émile Borel (1871-1956), René-Louis Baire (1874-1932) e Henri Léon Lebesgue (1875-1941), como veremos na próxima sección, aínda que todos eles vían o seu traballo como unha compoñente da análise e non como unha disciplina illada. 1.4. Desenvolvemento do concepto de conxunto aberto 7 1.4. Desenvolvemento do concepto de conxunto aberto Moitas das denicións expostas na anterior sección xa as desenvolvera Richard Dedekind (1831-1916) antes de que o xeran Peano e Jordan. Sabemos disto por unha carta de 1879 a Cantor na que Dedekind lle contaba que xa denira estes conceptos (punto interior, punto exterior e punto límite) uns anos atrás nun manuscrito non publicado. Ademais, fora máis alá denindo: Denición 1.24. Corpo (Körper) [Dedekind, anterior a 1879]: Sistema de puntos tal que para cada un dos seus puntos p , existe unha distancia d tal que todos os puntos cuxa distancia a p é menor que d pertencen ao sistema. Debemos ter coidado de, pese a ter o mesmo nome, non confundir este concepto cun corpo no sentido da álxebra. Neste caso estamos falando precisamente do que sería un conxunto aberto nun espazo euclidiano n -dimensional, en principio. Dedekind continuou denindo o que signica que un punto esté fóra dun Körper e logo o concepto de Grenzpunkt, que pese a usar a mesma nomenclatura que para as primeiras denicións de punto límite, neste caso se trataba dun punto fronteira. Denición 1.25. Punto fronteira (Grenzpunkt) [Dedekind, anterior a 1879]: Punto p tal que non está nun Körper P nin tampouco fóra.. Naturalmente, deniu a fronteira Begrenzung como o conxunto dos puntos fronteira ou Grenzpunkts. As aportacións de Dedekind neste campo non resultaron relevantes no proceso de evolucón dos conceptos, pois o seu traballo non se publicaría ata 1931 nunha colección impulsada por Emmy Noether [10], pero é curioso como Dedekind denira certos conceptos moitos anos antes do que chegarían a facelo outros matemáticos. Análogamente ao concepto de punto límite e o seu desenvolvemento parello co teorema de Bolzano-Weierstrass, a aparición do conxunto aberto como tal estará sobre todo ligada á aparición do teorema de Heine-Borel, que trata a noción de compacidade, para a que claramente precisamos do concepto de aberto. Denición 1.26. Compacidade [denición estándar actual]: Un conxunto X é compacto se para calquera recubrimento aberto de X , existe un subrecubrimento nito do mesmo. Teorema 1.27. Teorema de Heine-Borel [enunciado estándar actual]: Un subconxunto X de Rn é compacto se e só se é pechado e acotado. 8 1. Orixe e evolución dos conceptos fundamentais para a topoloxía Porén, cando Emile Borel enunciou a versión máis primitiva do teorema por primeira vez na súa tese doutoral de 1895 [5], non mencionaba os abertos e o enunciado era o seguinte, que chamaremos teorema de Borel, por conveniencia. Teorema 1.28. Teorema de Borel (versión primitiva do teorema de Heine-Borel) [Borel, 1895]: Se nun segmento de liña hai innitos intervalos parciais tal que cada punto do segmento de liña sexa interior a polo menos un intervalo, poderemos determinar efectivamente un número nito de intervalos entre os dados que veriquen o mesmo. O concepto de conxunto aberto aínda tardaría 4 anos en ser mencionado nunha publicación, da man de René Baire na súa tese discutindo as funcións reais semicontinuas onde denía, despois dos conceptos de esfera pechada S e esfera aberta S′ nun espazo euclidiano n -dimensional [3]. Denición 1.29. Dominio aberto de n dimensións [Baire, 1899]: Un conxunto que verica que para todo punto de, hai unha esfera con centro nese punto e radio r > 0 tal que todos os seus puntos estén no conxunto. Vemos que, como máis de 20 anos antes xera Dedekind sen publicalo, chegouse á denición dun conxunto aberto nun espazo euclidiano n -dimensional, se ben agora deníndoo en termos de esferas, pero non temos aínda denida a idea xeral de conxunto aberto, que se basa nas veciñanzas. O nome de conxunto aberto, que ninguén usara ata agora, introduciuno Lebesgue en 1902 na súa tese doutoral na que introducía a medida de Lebesgue e a integral de Lebesgue [24]. Apréciase claramente unha marcada inuencia do traballo de Jordan, especialmente do recollido no libro Cours d'analyse de 1893 [20], do que adoptou as denicións de punto interior e de fronteira. Lebesgue, ademais de introducir o nome, dotouno da idea intuitiva xeral que caracteriza aos conxuntos abertos. Denición 1.30. Conxunto aberto nunha liña recta [Lebesgue, 1902]: Un conxunto nunha liña recta que non contén ningún punto da súa fronteira. Vemos que esta idea vai parella da caracterización de que nun aberto todo elemento ten unha veciñanza incluída no mesmo conxunto, pois se non fora así e un aberto contivera algún punto da súa fronteira, entón para ese mesmo punto non existiría tal entorno, pola propia denición de fronteira, pois non podería ser un punto interior do conxunto. Primeiramente só o deniu para o caso dunha liña recta, sen xeneralizar a denición a outros espazos, pero disto claramente se seguían as próximas deducións: 1. Todo punto dun aberto é interior ao conxunto, é dicir A∈Interior(A) , e como xa sabemos que Interior(A)∈A , entón temos que para os abertos se verica que A=Interior(A) . 2. O complementario dun aberto é pechado. De isto seguiu que un conxunto aberto é Borelmedible, pois de feito Borel denira tales conxuntos como a clase de conxuntos obtidos dende 1.4. Desenvolvemento do concepto de conxunto aberto 9 os pechados a través das operacións de complementaridade e unión numerable, e xa vira que en particular, os pechados son Borel-medibles. Inmediatamente estendeu estas consideracións ao espazo euclidiano n -dimensional. Curiosamente, tendo denido o concepto xeral de conxunto aberto nun espazo euclidiano n -dimensional e o Teorema de Borel xeralizado para unha cantidade non numerable de recubrimentos, non xeneralizou o resultado para ter en conta que eses propios recubrimentos podían consistir nun conxunto arbitrario de abertos, e non só de intervalos. En ambas edicións do seu libro sobre a integral de Lebesgue, tanto en 1904 como en 1928 [26], formulaba o teorema sen mencionar os abertos. Teorema 1.31. Teorema de Borel [Lebesgue, 1904 e 1928]: Se hai unha familia ∆ de intervalos tales que cada punto dun intervalo (a, b) incluíndo tanto a a como a b (é dicir, á fronteira), é interior a polo menos un dos intervalos de ∆ , entón existe unha familia formada por un número nito de intervalos de ∆ ca mesma propiedade. Quen sí xo isto foi Frigyes Riesz (1880-1956), con algunhas erratas de por medio, nun artigo publicado en 1905 [34], onde denía un dominio (aberto) e o teorema de Borel da seguinte forma. Denición 1.32. Dominio (aberto) [Riesz, 1905]: Un conxunto conexo de cuxos elementos, ningún é un punto límite do complementario. Teorema 1.33. Teorema de Borel [Riesz, 1905]: Se cada punto dun pechado é interior a polo menos un elemento dun conxunto S de dominios, entón hai un subconxunto nito de S coa mesma propiedade. Claramente nos damos conta de que o resultado é falso por non exixirse o carácter limitado do pechado. Podemos tomar como contraexemplo o conxunto dos números reais, para o que non ten por que existir un subrecubrimento nito (depende do recubrimento que tomemos inicialmente). Ademais, por outra parte o resultado é máis estrito do necesario, ao só considerarse para conxuntos conexos. Máis tarde quedaría en evidencia que a conexidade non é relevante a non ser que estemos a considerar compoñentes abertas dun mesmo conxunto, e o resultado seguiría sendo certo aínda que non se exixise esa condición, se non fora polo carácter limitado que sí é preciso impoñer. En 1905, Lebesgue realizou un traballo moito máis exhaustivo ca o que ninguén xera antes arredor dos conxuntos abertos, o cal veu motivado polo seu traballo sobre os conxuntos de Borel nun estudo extensivo das funcións analíticamente representables [25]. Nel, apoiouse amplamente na clasicación dada por Baire das funcións reais, que pasamos a presentar: Denición 1.34. Función de clase α de Baire: Para cada α∈N , defínese a función f de clase α de Baire como o límite puntual dunha sucesión innita de funcións de clases máis baixas que α pero sen ser ela mesma f de clase menor que α . 10 1. Orixe e evolución dos conceptos fundamentais para a topoloxía Correspondentemente, existían diferentes clases de conxuntos de Borel. Lebesgue introduciu dous tipos de xerarquía dos conxuntos de Borel. Vexamos: Denición 1.35. Subconxunto E∈R de clase Fα : Conxunto E∈R tal que E=S , sendo S o conxunto de todos os valores reais x tales que a⩽f(x)⩽b para algúns valores a e b , e algunha función f de clase α de Baire, pero E sería distinto a calquera outro conxunto S no caso de que f fora dunha clase menor que α . Nótese que Lebesgue usaba a notación Fα onde a F é de fermé, pechado, xa que a clase F0 é a dos conxuntos pechados. Analogamente, vexamos que caracterizará as outras clases como Oα onde O signica ouvert, aberto, pois neste caso O0 é a clase dos conxuntos abertos. É por isto que o seu estudo resulta de gran interese, pois a continuación deduciría diferentes relacións entre estas clases de conxuntos. Denición 1.36. Subconxunto E∈R de clase Oα : Conxunto E∈R tal que E=S , sendo S o conxunto de todos os valores reais x tales que a<f(x)< b para algúns valores a e b , e algunha función f de clase α de Baire, pero E sería distinto a calquera outro conxunto S no caso de que f fora dunha clase menor que α . Ao estudar a relación entre ambas caracterizacións das clases de conxuntos, chegou a importantes conclusións que hoxe en día son básicas na construción e desenvolvemento da topoloxía. Mostrou que un conxunto de clase Fα é ao sumo de clase Oα+1 , en particular calquera conxunto pechado (de clase F0 ) é a intersección dunha familia numerable de abertos (de clase O0 ). Inversamente, un conxunto de clase Oα é ao sumo de clase Fα+1 , en particular calquera conxunto aberto (de clase O0 ) é a unión dunha familia numerable de pechados (de clase F0 ). Desenvolveu algunha relación máis, pero estas son as que máis relevantes se mostrarán no desenvolvemento máis tarde da topoloxía xeral. De feito, Lebesgue xa resolvera a estrutura básica das clases de conxuntos de Borel, que máis tarde serían tan útiles no marco dos espazos métricos. Pese ao enormemente innovador traballo de Lebesgue sobre os conxuntos abertos, difundiuse moi lentamente entre a comunidade matemática, e foron xurdindo outras denicións e estudos sobre os abertos na comunidade matemática. Durante os mesmos anos, en Inglaterra, W. H. Young (1863-1942) e a súa muller G. C. Young (1868-1944) deniron un conxunto de puntos como aberto se non era pechado, o cal é totalmente incompatible ca denición de Lebesgue e por tanto ca actual, pese a poder parecer moi intuitivo. Sen ir máis lonxe, baixo esta denición, a unión de dúas bolas disxuntas, unha aberta e a outra pechada, sería un conxunto aberto (por non ser un pechado). Así mesmo, tomaban un intervalo como aberto se non incluía algún dos seus extremos. E. W Hobson (1856-1933) adoptou para o seu libro en 1907 Teoría das Funcións dunha Variable Real [25], que se convertiría nun to dentro da tradición matemática británica, a terminoloxía de Young para un conxunto aberto, pero non a dun intervalo, onde preferiu tomar 1.5. Breves notas biográcas dos matemáticos máis relevantes do capítulo 11 a máis moderna, na que un intervalo é aberto se non contén ningún dos seus extremos. Non sería ata 1927 que Hobson aceptaría a denición moderna de conxunto aberto para a terceira edición do seu libro [17], que será unha peza clave na transmisión destes conceptos á posterior xeración de matemáticos que se encargarán de sentar as bases dos distintos espazos topolóxicos e a súa axiomática. 1.5. Breves notas biográcas dos matemáticos máis relevantes do capítulo Weierstrass Karl Weierstrass é por moitos considerado o pai da análise matemática. Moitos dos teoremas fundamentais das diferentes ramas da análise levan o seu nome, sexa porque el os descubriu ou porque foi o primeiro en darlles unha desmotración rigurosa. Naceu en 1815 en Warendorf, o que sería daquelas Prusia e hoxe Alemania. Aos seus catorce anos comezou a ler regularmente a revista matemática Journal de Crelle: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Revista de matemáticas puras e aplicadas). Máis tarde comezou estudos universitarios de nanzas públicas e administración para complacer ao seu pai, pero non o motivaban, ao contrario das obras matemáticas que comezou a ler durante ese ano na Universidade de Bonn, polo que se decidiu a estudar matemáticas. Posteriormente, comezou a traballar como profesor de secundaria, aínda que seguía investigando e escribindo artículos que xeron que a comunidade matemática recoñecese o seu talento. Así, entrou a traballar na Universidade de Berlín. Alí, outras das súas grandes aportacións foi a creación dun seminario de matemáticas, cuxa estructura e organización sentaron as bases da ensinanza-investigación das matemáticas como actualmente a coñecemos. Weierstrass sempre foi moi estimado polos seus discípulos e durante a súa vida foi premiado cos galardóns máis prestixiosos da comunidade matemática. Morreu en Berlín no 1897, aos 82 anos de idade. Cantor Georg Cantor foi un matemático de orixe danés, nado en San Petersburgo (Rusia) en 1845, pero que case toda a súa vida residiu en Alemania. Comezou os seus estudos matemáticos en Frankfurt, asistindo dende os 17 anos a cursos de matemáticas e losofía. Graduouse en matemáticas 5 anos máis tarde e traballou na teoría de números. 18 2. Construción de distintos tipos de espazos topolóxicos Denición 2.8. Punto fronteira a un subconxunto A dun espazo de veciñanza [Hausdor, 1914]: Punto x que pertence a A pero non é interior a A . Denición 2.9. Conxunto aberto (Gebiet) [Hausdor, 1914]: Conxunto tal que todos os seus puntos son interiores. Concluíu demostrando que a unión dunha familia calquera de abertos tamén é aberta e que a intersección dunha familia nita de abertos é aberta, indo máis lonxe do que fora Lebesgue en 1905 no seu traballo sobre os abertos. É importante notar que as veciñanzas de Hausdor non se corresponden coas actuais exactamente. Por exemplo, se tomamos un espazo de veciñanza E con polo menos dous puntos, o espazo E non ten por que ser veciñanza de ningún dos puntos, pois se a única veciñanza de cada punto x é {x} , satisfanse todos os axiomas de Hausdor, pero o espazo total E non sería un conxunto aberto. Porén, se tomamos o concepto moderno de espazo topolóxico coa idea primitiva do conxunto aberto, defínese unha veciñanza de x como calquera conxunto V tal que x pertence a algún subconxunto aberto de V , co cal o espazo total sería unha veciñanza de cada un dos seus puntos, o cal non sucede co noso exemplo anterior dun espazo de veciñanza de Hausdor. Nótese que o que para Hausdor era o conxunto de veciñanzas dun espazo, hoxe en día coñécese como base de veciñanzas do espazo. 2.3. Espazos de clausura e espazos de abertos Na seguinte década non houbo un consenso de que a topoloxía debía tratar cos espazos topolóxicos con axiomas en termos de veciñanzas. Xurdiu unha rivalidade entre os diversos tipos de espazo abstracto que xurdiron nesas datas. Un notable exemplo foron os espazos de clausura desarrollados polo xove topólogo polaco Kasimierz Kuratowski (1896-1980) nun artigo de 1922 onde usaba como idea primitiva soamente a operación clausura [22]. Denición 2.10. Espazo clausura [Kuratowski, 1922]: Par (X, f) formado por un conxunto X xunto cunha función f , que chamaremos clausura, de subconxuntos de X a subconxuntos de X satisfacendo 4 axiomas para calquera A e B subconxuntos de X : C1. f(A∪B) = f(A)∪f(B) . C2. A⊆f(A) . C3. f(∅) = ∅ . C4. f(f(A)) = f(A) . 2.3. Espazos de clausura e espazos de abertos 19 Denición 2.11. Conxunto pechado nun espazo clausura [Kuratowski, 1922]: Conxunto que é idéntico á súa clausura. Denición 2.12. Conxunto aberto nun espazo clausura [Kuratowski, 1922]: Conxunto que é idéntico ao complementario da clausura do seu complementario. Nótese que estes espazos serían idénticos aos espazos denidos por Hausdor se o axioma V4 non se exixise, e son máis xerais que os L -espazos de Fréchet (basados en axiomas sobre o límite das sucesións). De feito, estes espazos foron a primeira forma do que agora chamamos universalmente espazos topolóxicos, pois pese a ser denidos en base á clausura, son equivalentes aos espazos topolóxicos estándar actuais tal e como os coñecemos denidos en base a conxuntos abertos, como veremos no seguinte capítulo. Porén, esta denición parte dunha idea máis intuitiva que a dunha familia de abertos, usando o concepto de punto adherente e aherencia, o que nos permite entender o proceso usado para denir os subconxuntos da topoloxía como un de ampliación, no que engadimos a un conxunto os seus puntos adherentes, ou próximos, idea moito máis simple e intuitiva que a dos abertos, o cal explica que se desenvolvera antes. Ademais destes espazos, Kuratowski tamén desenvolveu outra axiomatización basada na idea primitiva de conxunto derivado A′ . Denición 2.13. Espazo derivado [Kuratowski, 1922]: Un conxunto X xunto cunha función (operador derivado) de subconxuntos de X en subconxuntos de X satisfacendo 4 axiomas para calquera A e B subconxuntos de X : D1. (A∪B)′=A′∪B′ . D2. X′=X . D3. ∅′=∅ . D4. A′′ é un subconxunto de A′ . En 1923, o austríaco Heinrich Tietze (1880-1964) publicou un artigo na revista Mathematische Annalen chamado Contribucións á Topoloxía Xeral. I. Axiomas para Varias Formas do Concepto de Veciñanza [40]. Nel, ademais de adoptar, en lugar do substantivo Gebiet usado por Hausdor, o adxectivo aberto (oen) de Carathéodory, quen pensaba que pola profunda relación entre ambos conceptos, era preciso caracterizar os conxuntos abertos cunha palabra explícitamente ligada ao termo pechado. Tietze intentaba atopar un sistema axiomático para un espazo de veciñanza pero expresado tomando como idea primitiva a de conxunto aberto en lugar da de veciñanza. Intentou facelo manténdose tan cercano aos axiomas de Hausdor (V1)-(V4) como lle fora posible. Denición 2.14. O -espazo [Tietze, 1923]: Un conxunto E cuxos membros son chamados puntos, xunto cunha colección de conxuntos abertos satisfacendo 4 axiomas: 20 2. Construción de distintos tipos de espazos topolóxicos O1. Todo punto x pertence a polo menos un conxunto aberto. O2. Se U e V son conxuntos abertos con polo menos un punto en común, entón U∩V é un conxunto aberto. O3. Se todo punto x de A é un membro de algún subconxunto aberto de A , entón A é aberto. O4. Se x e y son puntos distintos, entón existe un conxunto aberto U contendo a x e outro conxunto aberto V contendo y tal que U e V son disxuntos. O topólogo ruso Pavel Aleksandrov (1896-1982) publicou dous anos máis tarde e na mesma revista un artigo de topoloxía en espazos euclidianos [1], onde daba unha denición dos espazos de veciñanza de Hausdor en termos de conxuntos abertos dunha forma moito máis simple que Tietze. Denición 2.15. Espazo de veciñanza en termos de conxuntos abertos [Aleksandrov, 1925]: Un conxunto E cuxos membros son chamados puntos, xunto cunha colección de conxuntos abertos satisfacendo 2 axiomas: I. A intersección de dous conxuntos abertos é aberta. A unión de calquera familia de conxuntos abertos tamén é aberta. II. Calquera dous puntos distintos están contidos en conxuntos abertos disxuntos. 2.4. Aportacións polacas á topoloxía O topólogo polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) traballou neses mesmos anos en diferentes posibles construcións dos espazos topolóxicos tomando como referencia distintas ideas primitivas, publicando unha análise detallada na revista Mathematische Annalen [36]. Primeiro, usou o concepto de conxunto derivado, onde desenvolveu algúns coñecidos resultados da topoloxía ao deixar que a operación derivación dun conxunto puidese ser arbitraria en lugar de levar subconxuntos do conxunto E só en subconxuntos de E como se viña facendo. Logo fíxoo tomando como idea básica a de conxunto pechado, desenvolvendo os F -espazos, que son máis xerais que os espazos veciñanza de Hausdor e que os espazos clausura de Kuratowski. Denición 2.16. F -espazo [Sierpinski, 1926]: Un conxunto non baleiro E xunto cun conxunto arbitrario F de subconxuntos de E , que chamaremos pechados, satisfacendo 2 axiomas: F1. O conxunto E é pechado. F2. A intersección de calquera conxunto de pechados é pechada. 2.4. Aportacións polacas á topoloxía 21 En 1928, publicou un libro sobre topoloxía xeral [37], onde xa traballaba sobre a idea primitiva de conxunto aberto, por considerar esta idea máis simple e intuitiva. Comezou establecendo os seguintes axiomas, para despois ir engadindo algúns máis nos capítulos posteriores. Denición 2.17. Espazo topolóxico [Sierpinski, 1928]: Un conxunto arbitrario K xunto cunha colección de subconxuntos chamados conxuntos abertos e satisfacendo 3 axiomas: (1). O conxunto baleiro é un conxunto aberto. (2). K é un conxunto aberto. (3). A unión de calquera familia de subconxuntos abertos de K é un aberto. Con estes axiomas demostrou o que xa probara para os F -espazos, mais no seguinte capítulo continuaría o traballo incluíndo outros dous axiomas: (4). Se p e q son elementos distintos de K , entón existe un conxunto aberto contendo a p pero non a q . (5). A intersección de dous conxuntos abertos é un conxunto aberto. Nótese que os seus axiomas (1), (2), (3) e (5) son os que eventualmente se convertirían na denición estándar para un espazo topolóxico. O seu axioma (4) é un axioma de separación agora coñecido como ( T1 ). Nos seguintes capítulos engadiría distintas versións do segundo axioma de contabilidade de Hausdor, ademais de axiomas de separación, en concreto os axiomas que agora se coñecen como T2 e T3 , para rematar cun estudo dos espazos métricos. O seu traballo sería traducido ao inglés en 1934 [38]. Pouco máis tarde, Kuratowski tamén publicou un libro de topoloxía pero en francés [23], onde usaba como base os seus axiomas de 1922 (ver denición 2.10), cunha adición e unha deleción, obtendo a seguinte axiomatización: Denición 2.18. Espazo clausura [Kuratowski, 1933]: Par (X, f) formado por un conxunto X xunto cunha función f , que chamaremos clausura, de subconxuntos de X a subconxuntos de X satisfacendo 4 axiomas para calquera A e B subconxuntos de X : C1. f(A∪B) = f(A)∪f(B) . C3. f(∅) = ∅ . C4. f(f(A)) = f(A) . C5. Para calquera punto p do espazo, p=f({p}) . Como podemos apreciar, eliminou o axioma C2 ( A é un subconxunto da clausura de A ) e engadiu o axioma C5. Máis avanzado no texto, introduciría o axioma T4 e o segundo axioma 22 2. Construción de distintos tipos de espazos topolóxicos de numerabilidade de Hausdor, concluíndo que os espazos que vericaran todos estes axiomas son homeomorfos a espazos métricos separables. Así, ambos matemáticos polacos, Sierpinski e Kuratowski, concluían os seus libros cun estudo dos espazos métricos separables e completos. 2.5. Impacto dos espazos topolóxicos noutras áreas Pronto, os recén formulados espazos topolóxicos foron útiles en diferentes campos das matemáticas, onde foron usados de diversas formas nas súas disciplinas, ao mesmo tempo estendendo e facendo progresar e evolucionar ós conceptos da topoloxía. Como é obvio, unha das disciplinas na que máis relevantes foron os espazos topolóxicos é a topoloxía combinatoria, pese a que ao principio se introducisen de forma lenta. Primeiramente, en ambos os dous libros máis relevantes para o Analysis situs, o de Oswald Veblen (1880-1960) en inglés [41] e o de Solomon Lefschetz (1884-1972) en francés [27] traballábase con n -celdas en espazos euclidianos n -dimensionais sen mencionar os espazos topolóxicos. Porén, cometéronse certos erros ao denir conceptos como o de continuidade dunha función. Neste senso, Veblen enunciou a seguinte denición. Denición 2.19. Función continua [Veblen, 1922]: Unha tranformación de X , unha celda e a súa fronteira, en Y , tamén unha celda coa súa fronteira, tal que para calquera subconxunto A de X e para todo punto límite p de A , o punto f(p) é un punto límite de f(A) . Como consecuencia desta denición, unha función constante non sería continua, pois o conxunto de chegada Y sería unitario co valor da función constante, e este punto non sería límite por non poder ser aproximado tanto como se desexe por puntos do conxunto distintos a el, pois non existe ningún punto do conxunto distinto a el. Cara a década de 1930, a situación desta disciplina xa mudara. Lefschetz publicara un novo libro en inglés titulado Topology [28], palabra que se ben el non inventou pois xa se tiña usado por outros matemáticos previamente, foi dos primeiros en usala tentando darlle a dimensión de disciplina por si mesma, como se pode apreciar no seguinte parágrafo extraído do libro. A Topoloxía ou a Análise situs defínese normalmente como o estudo das propiedades dos espazos ou das súas conguracións invariantes baixo transformacións continuas. Pero que son eses espazos e e as súas transformacións continuas ? O concepto de espazos é difícil de reconciliar con algo conforme a nosa intuición espacial a non ser que se lle dote da seguinte propiedade: Con todo punto vai unha porción do espazo no que está incrustado. Como vemos, neste segundo libro xa comeza a considerar os espazos de veciñanza de Hausdor 2.5. Impacto dos espazos topolóxicos noutras áreas 23 con estas porcións dun espazo R ás que chamou veciñanzas, e ás que primeiramente só lles requería que vericasen o primeiro axioma de Hausdor: Todo punto p de R pertence a polo menos unha veciñanza de p , e toda veciñanza de p contén a p . Só con este axioma xa observou que se podía desenvolver unha considerable cantidade de conceptos, denindo punto interior a un conxunto, punto fronteira, conxunto pechado, conxunto aberto, clausura dun conxunto, punto límite e subconxunto denso. De calquera forma, tomou outra denición errónea de función continua. Denición 2.20. Función continua [Lefschetz, 1930]: Función dun espazo R noutro S tal que a imaxe de calquera conxunto aberto en R fora aberta en S . Outra vez, esta denición causaba que unha función constante non fora continua, pois esta imaxe sería un conxunto unitario, que claramente non é aberto por non poder tomarse un entorno do punto contido no conxunto. En 1942, Lefschetz continuaría con outro libro titulado Algebraic Topology [29], no que xa de inicio desenvolvía un traballo moito máis profundo sobre os espazos topolóxicos baseados nos axiomas estándar de hoxe en día para os conxuntos abertos. Así, tomaba como base un tipo de espazo máis xeral ca os espazos de veciñanza de Hausdor. Agora sí que deniu correctamente como transformación aberta o que antes chamara transformación continua, e deniu correctamente este último termo. Denición 2.21. Función continua [Lefschetz, 1942]: Función dun espazo R noutro S tal que a súa inversa é unha transformación aberta, é dicir, tal que se U é un aberto en S , entón f−1(U) é un aberto en R . Nótese que esta denición concorda coa que dera Hausdor e tamén é a denición actual. Ademais deste concepto, tamén tratou os de conexidade, compacidade, homotopía e deformacións no contexto xeral dun espazo topolóxico abstracto. En Alemania, os espazos topolóxicos como os coñecemos apareceron por primeira vez nun libro que recibiu inuenzas dos tomos de Lefschetz (1930) e Kuratowski (1934). O libro foi escrito por Herbert Seifert (1907-1996) e William Threlfall (1888-1949) e titulábase Lehrbuch der Topologie (Libro de texto de Topoloxía) [35]. Pese a algunha pequena discordancia, a diferencia entre este libro e o de Lefschetz era mínima, así que non nos deteremos a comentalo. Sí será relevante o título Topologie de Aleksandrov e Hopf [2], pois traballaron cos espazos topolóxicos tanto para a topoloxía xeral asbtracta como para a máis particular topoloxía combinatoria. Inuenciados polos axiomas de Kuratowski para espazos de clausura, reformularon as esixencias da operación para que non se requerise ningunha relación particular entre A e ¯ A , obtendo uns espazos topolóxicos máis xerais que os espazos de veciñanza de Hausdor e tamén que os espazos topolóxicos de hoxe en día. Denominaron a estes espazos como espazos topolóxicos xerais , distinguíndoos dos espazos 24 2. Construción de distintos tipos de espazos topolóxicos topolóxicos , que denían como espazos topolóxicos xerais que tamén vericaban os axiomas de clausura introducidos por Kuratowski en 1922 (ver denición 2.10). En Inglaterra, o primeiro libro en tratar a topoloxía de forma profunda foi Elements of the Topology of Plane Sets of Points de M.H.A. Newman (1897-1984) (ver [31]), aínda que esencialmente se estudaban os conceptos topolóxicos en termos de espazos métricos. Neste libro discutíanse brevemente os espazos topolóxicos abstractos de forma similar á que Aleksander e Hopf usaban para os espazos topolóxicos xerais , diferencíandoos así dos espazos topolóxicos. A diferencia radicaba en que os os espazos topolóxicos se denían partindo dun dos cinco conceptos topolóxicos fundamentais (conxunto derivado, clausura dun conxunto, conxunto pechado, conxunto aberto e sucesión converxente) e asumían algúns axiomas sobre o concepto para despois denir os outros catro conceptos en termos do básico. Por outro lado, sobre os espazos topolóxicos xerais ou abstractos non se tomaban restricións para os conceptos topolóxicos fundamentais en forma de axiomas. Se ben é certo que nas notas nais do libro, Newman deniu os espazos topolóxicos usando os axiomas de Kuratowski para a clausura, na segunda edición e moi posiblemente inuenciado pola aproximación á topoloxía desenvolta polo grupo francés Bourbaki, Newman xa tomaba a denición actual dos espazos topolóxicos, en termos dos catro axiomas actuais sobre os conxuntos abertos. Outra das ramas na que inuíron os espazos topolóxicos foi a análise real, na que foron usados como marco de referencia por Hans Hahn (1879-1934), un matemático austríaco da Universidade de Vienna cuxo contacto previo coa topoloxía e os topólogos polacos fora mínimo, feito que chama moito a atención. Hans Hahn publicou en 1932 un libro sobre funcións reais no que lle dedicaba un capítulo enteiro aos espazos topolóxicos e métricos [15]. Para os seus axiomas usaba como concepto primitivo o de aberto e citaba o traballo de Tietze pese a que os seus axiomas eran máis similares aos de Aleksandrov de 1925 (ver denición 2.15), polo que é probable que os redescubrise pola súa conta. 2.6. Establecemento nal dos espazos topolóxicos basados nos conxuntos abertos Nos anos 1935-1938, no seo do grupo de matemáticos franceses coñecidos colectivamente como Nicolas Bourbaki, xurdiu un interesante debate sobre como desenvolver a topoloxía, que acabaría por dinamizar e estender a idea actual dos espazos topolóxicos en base ao concepto de conxunto aberto e cos axiomas que se toman actualmente. Estes matemáticos comezaron cunha mistura de ideas tomadas de Fréchet, Riesz, Weyl, Haus- 2.6. Establecemento nal dos espazos topolóxicos basados nos conxuntos abertos25 dor e Aleksandrov que deu lugar a un enfrontamento entre distintas propostas. Nun primeiro borrador presentado ao grupo, Weyl enfrontou diversas críticas que se verían reexadas nas seguintes versións do documento. A súa idea era a de comezar traballando cos espazos métricos para despois ir cara os máis xerais formulados en termos dos axiomas de clausura de Kuratowski, mais Claude Chevalley insistiu na necesidade de antepoñer os espazos xerais, aos que consideraba de moito maior interese e importancia, e pretendía facelo en función doutros axiomas, en termos de conxuntos abertos. Ademais, o borrador de Weyl supuña satisfeito o axioma de separación T0 e tamén se centraba en establecer equivalencias entre distintos conxuntos de axiomas. De novo, Chevalley criticou este feito, insistindo en comezar traballando só cos axiomas en termos de abertos e deixar o resto de axiomas para un apéndice. O grupo nalmente decidiuse a tomar os axiomas en función de conxuntos abertos pois eran estes os que se usaban para denir a continuidade, sen decatarse que a continuidade podía tamén ser formulada en termos da clausura. Bourbaki publicaría en 1940 un libro no cal un dos capítulos estarían adicado á topoloxía e sería titulado Structures Topologiques [6]. Nel, usábase o concepto de conxunto aberto como idea primitiva, e como únicos axiomas uns que variaban só lixeiramente dos que usou Aleksandrov en 1925 (ver denición 2.15). (1). A intersección de calquera familia nita de conxuntos abertos é aberta. (2). A unión de calquera familia de conxuntos abertos é aberta. Dende estes axiomas, deducían os outros dous axiomas estándar actualmente: que o conxunto baleiro é aberto (como a unión dunha familia baleira de conxuntos abertos) e que o espazo total tamén (como intersección dunha familia baleira de conxuntos, o cal require unha convención particular de como se entende a intersección dunha familia baleira de conxuntos). Estes axiomas permanecerían exactamente igual na segunda edición do libro. A inuencia do grupo francés foi tal que o libro máis inuínte nos Estados Unidos durante varias décadas dende 1955 foi escrito por John L. Kelley (1916-1999), o cal estaba familiarizado co traballo de Bourbaki e tomaba no seu libro exactamente os dous mesmos axiomas. Este libro titulábase General Topology [21]. En posteriores traballos sobre a topoloxía, os outros dous axiomas (o baleiro e o espazo total son abertos) serían normalmente enunciados explícitamente xunto cos anteriores e convertiríanse pouco a pouco nos axiomas estándar para denir un espazo topolóxico. Serían moitísimos os libros publicados nas posteriores décadas usando eses mesmos axiomas, mentres os espazos máis xerais considerados por Sierpinski, Aleksandrov e Hopf ían quedando á marxe como curiosidades históricas. Podemos sitúar pois nestas datas (a mediados do século XX), os anos nos que a competición por ver que concepto se usaría como base para a denición dos espazos topolóxicos que constituirían a topoloxía xeral se daría por nalizada co establecemento da denición moderna 26 2. Construción de distintos tipos de espazos topolóxicos dos espazos topolóxicos basada nos conxuntos abertos. Denición 2.22. Espazo topolóxico [denición estándar actual]: Par ordenado (X, τ) sendo X un conxunto e τ⊆P(X) un subconxunto das partes de X que chamaremos topoloxía e cuxos elementos chamaremos abertos , vericando os seguintes catro axiomas: (1). ∅ ∈ τ . (2). X∈τ . (3). A unión arbitraria de elementos de τ é un elemento de τ . (4). A intersección nita de elementos de τ é un elemento de τ . 2.7. Breves notas biográcas dos matemáticos máis relevantes do capítulo Fréchet Maurice René Fréchet naceu en 1878 en Maligny, Francia. No instituto, foi alumno de Jacques Hadamard, o cal se deu conta da súa capacidade e decidiu comezar a darlle clases particulares. Incluso cando Hadamard se trasladou á Universidade de Burdeos en 1894, seguiu mantendo correspondencia co seu alumno, enviándolle problemas para que os resolvera, cousa que Fréchet agradecía. Ao rematar a secundaria, xo o servizo militar e posteriormente estudou matemáticas. Despois de presentar a súa tese doutoral, foi reclutado tras o estalido da Primeira Guerra Mundial, pero seguiu traballando en proxectos matemáticos. Fréchet xo algunhas das maiores contribucións ao estudo da topoloxía e introduciu o concepto de espazo métrico, ademais de contribuír nos campos da estatística, a probabilidade e o cálculo innitesimal. A pesar disto, nunca foi acordemente valorado en Francia, pero sí fóra dela, sendo membro de academias de varios países e invitado a varios Congresos Internacionais das Matemáticas. Morrería en París en 1973. Hausdor Hausdor foi un matemático alemán nado en Wrocªaw, actualmente Polonia, en 1868. De xove, estudou astronomía e matemáticas na Universidade de Leipzig. Despois de graduarse e obter o seu doutoramento, enrolouse como voluntario na infantería alemana ata 1894. Pouco 2.7. Breves notas biográcas dos matemáticos máis relevantes do capítulo 27 máis tarde sería aceptado como profesor en Leipzig. Hausdor mostrou moito interese no traballo de Cantor sobre teoría de conxuntos, pero tamén publicou en temas como a xeometría non euclidiana, os números complexos e a probabilidade. Quizáis a súa aportación máis importante foi o traballo que desenvolveu para a creación da topoloxía xeral. En xaneiro de 1942, a Hausdor, á súa muller e á irmá desta, que vivía con eles, chegoulles unha orde de que debían presentarse nun campo de internamento pola súa condición de xudeus, o cal posiblemente continuaría nunha deportación a un campo de concentración. Suicidaríanse ese mesmo mes despois de organizar os seus asuntos e deixar instrucións sobre as súas propiedades a amigos de conanza. Kuratowski Kazimierz Kuratowski foi un matemático polaco, un dos principais representantes da Escola de Matemáticas de Varsovia, a cidade que o vira nacer en 1896. Comezou os seus estudos universitarios en Escocia, pois non quería estudar en ruso e daquelas a instrución en polaco estaba prohibida polas forzas de ocupación. Continuou a súa formación en Varsovia en 1915 unha vez se retiraron as tropas rusas e obtivo o seu doutoramento en 1921, nunha recén independizada Polonia. Esta tese é fundamentalmente a que lle otorga relevancia neste traballo, pois trata a construción axiomática da topoloxía a través dos axiomas de clausura. Kuratowski ingresou como profesor e investigador na Universidade de Varsovia ata 1939. No período da Segunda Guerra Mundial, deu conferencias na universidade clandestina da cidade, pois a educación superior para os polacos estaba prohibida baixo a ocupación esta vez alemana. Despois da guerra, volveu dar conferencias na reaberta universidade e participou activamente na reconstrución da vida cientíca en Polonia, tendo distintos cargos e responsabilidades en diferentes sociedades matemáticas e cientícas tanto do país como estranxeiras. O topólogo polaco faleceu en 1980 á idade de 84 anos tamén en Varsovia, que nesta época estaba baixo o control da República Popular de Polonia. Sierpinski Wacªaw Franciszek Sierpi«ski foi outro matemático polaco de suma importancia para o noso 34 3. Os espazos pretopolóxicos Denición 3.11. Espazo pretopolóxico de tipo VD : Un espazo pretopolóxico (E, a) é de tipo VD , tamén denominado VD -espazo, se ∀A, B ⊆E se verica que a(A∪B) = a(A)∪a(B) , é dicir, a é aditiva. Proposición 3.12. Nun VD -espazo, ∀A, B ⊆E tamén se tén que i(A∩B) = i(A)∩i(B) A proba disto volve a ser case directa. Como a é aditiva, tense que se A, B ⊆E=⇒a(A∪B) = a(A)∪a(B) =⇒a((A∩B)c) = a(Ac∪Bc) = a(Ac)∪a(Bc) =⇒a((A∩B)c)c=a(Ac)c∩a(Bc)C , é dicir, i(A∩B) = i(A)∩i(B) . Vexamos agora que os VD -espazos son máis particulares que os V -espazos, é dicir, que todo VD -espazo é un V -espazo. Nun VD -espazo (E, a) con A, B ⊆E e A⊆B=⇒A∪B=B=⇒a(A∪B) = a(B) . Ademais, a(A∪B) = a(A)∪a(B) =⇒a(B) = a(A)∪a(B) =⇒a(A)⊆a(B) =⇒(E, a) é un V -espazo. Denición 3.13. Espazo pretopolóxico de tipo VS : Un espazo pretopolóxico (E, a) é de tipo VS , tamén denominado VS -espazo, se se verica que a(A) = S x∈A a({x}) , ∀A⊆E , é dicir, se a é completamente aditiva. Poderíamos pensar que en consecuencia se ten que i(A) = T x∈A i({x}) , mais isto non é certo, pois T x∈A i({x}) = ∅ , xa que o pseudointerior dun elemento x∈E é ou el mesmo ou o baleiro, polo que a intersección do pseudointerior dos elementos dun conxunto será a intersección entre elementos distintos ou o baleiro, polo que sempre será baleira. Como dicíamos, estes espazos son aínda máis particulares que os VD -espazos, é dicir, que todo VS -espazo é un VD -espazo, o cal está claro xa que o feito de que a sexa completamente aditiva implica que a sexa aditiva. Agora vexamos como se pode denir un espazo topolóxico ou de clausura de Kuratowski obtido a través da particularización dun espazo pretopolóxico. Denición 3.14. Espazo topolóxico (caracterización pola idempotencia da pseudoclausura): Un espazo pretopolóxico (E, a) é un espazo topolóxico se se verica que é un VD - espazo e ∀A⊆E , a2(A) = a(A) , é dicir, a pseudoclausura tamén é aditiva e idempotente. A proba é moi simple, denominando F(A) á a -clausura de A , se supoñemos que é un espazo topolóxico teríamos que a(A) = F(A) =⇒a2(A) = a(F(A)) = F(A) = a(A) . O recíproco tense porque a2(A) = a(A) =⇒a(A) é un a -pechado contendo a A e a F(A) , pola denición de a -clausura. Porén, como a(A)⊆ F(A) , tense que a(A) = F(A) =⇒(E, a) é un espazo topolóxico. 3.3. Tipos de espazos pretopolóxicos e relación cos espazos topolóxicos 35 Con esta caracterización podemos facernos unha idea das moitas formas que existen de poder denir espazos con certas propiedades que se asemellen en certo modo aos espazos topolóxicos, o cal explica en gran medida o longo proceso estudado neste traballo polo que se foron denindo, probando, modicando e redenindo diferentes conceptos e tipos de espazos similares nunha pugna por sentar as bases da topoloxía, e en concreto da topoloxía xeral tal e como a coñecemos. 36 3. Os espazos pretopolóxicos Bibliografía [1] Aleksandrov, P. (1925). Zur Begründung der n -dimensionalen mengentheoretischen Topologie. Mathematische Annalen 94, 296-308. [2] Aleksandrov, P., Hopf, H. (1935). Topologie. Springer-Verlag, Berlin. [3] Baire, R. (1899). Sur les fonctions de variables réelles. Annali di matematica pura ed applicata (3) 3, 1-123. [4] Bärbel M.R., S., Stadler, P.F., Wagner, G.P and Fontana, W. (2001). The Topology of the Possible: Formal Spaces Underlying Patterns of Evolutionary Change. Journal of Theoretical Biology 213, 241-274 [5] Borel, E. (1895). Sur quelques points de la théorie des fonctions. Annales scientiques de l ´ Ecole Normale Supérieure (3) 12, 9-55. [6] Bourbaki, N. (1940). Eléments de mathématique II. Première partie. Les structures fondamentales de l ´ analyse. Livre III. Topologie générale. Chapitre I. Structures topologiques, second edition. Actualités scientiques et industrielles, vol. 858. Hermann, Paris. [7] Cantor, G. (1872). Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Mathematische Annalen 5, 123-132. Reprinted in [1932, 92-102]. Pagination agrees with the reprint. [8] Cantor, G. (1874). Über eine Eigenschaft des Inbegries aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. Reprinted in [2009, 258-262]. Pagination agrees with the reprint. [9] Cantor, G. (1884). Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. 6. Mathematische Annalen 23, 453-488. Reprinted in [1932, 210-244]. Pagination agrees with the reprint. [10] Dedekind, R. (1931). Gesammelte mathematische Werke, vol. 2 (R. Fricke, E. Noether, Ö. Ore, Eds.). Vieweg, Braunschweig. [11] Dini, U. (1878). Fondamenti per la teorica della funzioni di variabili reali. Nistri, Pisa. 37 38 BIBLIOGRAFÍA [12] Fréchet, M. (1904). Généralisation d ´ un théorème de Weierstrass. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l ´ Académie des Sciences, Paris 139, 848-850. [13] Fréchet, M. (1905). Sur les fonctions limites et les opérations fontionelles. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l ´ Académie des Sciences, Paris 140, 27-29. [14] Fréchet, M. (1906). Sur quelques points du Calcul fonctionnel. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22, 1-74. [15] Hahn, H. (1932). Reelle Funktionen. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig. [16] Hausdor, F. (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Veit, Leipzig. [17] Hobson, E. W. (1907). The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier ´ s Series. Cambridge University Press, Cambridge, UK. [18] Hobson, E. W. (1927). The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier ´ s Series, vol. 1, third edition. Cambridge University Press, Cambridge, UK. [19] Jordan, C. (1892). Remarques sur les intégrales dénis. Journal de mathématiques pures et appliquées (4) 8, 69-99. [20] Jordan, C. (1893). Cours d ´ analyse de l ´ Ecole Polytechnique, vol. 1, second, revised edition. Gauthier-Villars, Paris. [21] Kelley, J.L., (1955). General Topology. Van Nostrand, Princeton, NJ. [22] Kuratowski, K. (1922). Sur l ´ opération ¯ A de l ´ analysis situs. Fundamenta Mathematicae 3, 182-199. [23] Kuratowski, K. (1933). Topologie I. Espaces métrisables, espaces complets. Garasinski, Warsaw. [24] Lebesgue, H. (1902). Intégrale, longueur, aire. Annale di matematica pura ed applicata (3) 7, 231-359. Pagination follows the original printing of the dissertation, pp. 1-129. [25] Lebesgue, H. (1905). Sur les fonctions représentables analytiquement. Journal de mathématiques pures et appliqués 60, 139-216. [26] Lebesgue, H. (1928). Leçons sur l ´ intégration et la recherche des fonctions primitives, second edition. Gauthier-Villars, Paris. [27] Lefschetz, S. (1924). L ´ analysis situs et la géométrie algébrique. Gauthier-Villars, Paris. [28] Lefschetz, S. (1930). Topology. American Mathematical Society, New York. BIBLIOGRAFÍA 39 [29] Lefschetz, S. (1942). Algebraic Topology. American Mathematical Society, New York. [30] Lennes, N. J. (1911). Curves in non-metrical analysis situs with an application in the calculus of variations. American Journal of Mathematics 33, 287-326. [31] Newman, M.H.A. (1939). Elements of the Topology of Plane Sets of Points. Cambridge University Press, Cambridge , UK. [32] Peano, G. (1887). Applicazione geomteriche del calcolo innitesimale. Fratelli Bocca, Turin. [33] Pincherle, S. (1880). Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principi del prof. C. Weierstrass. Giornale di matematiche 18, 178-254, 317-357. [34] Riesz, F. (1905). Sur un théorème de M. Borel. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l ´ Académie des Sciences, Paris 140, 224-226. [35] Seifert, H., Threlfall, W. (1934). Lehrburch der Topologie. Teubner, Leipzig. [36] Sierpinski, W. (1926). La notion de dérivée comme base d ´ une théorie des ensembles abstraits. Mathematische Annalen 97, 321-337. [37] Sierpinski, W. (1928). Topologia ogólna. Kasa im. Mianowskiego, Warsaw. [38] Sierpinski, W. (1934). Introduction to General Topology. University of Toronto, Toronto. [39] Tannery, J. (1887). Review of Peano. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques (2) 11, 237-239. [40] Tietze, H. (1923). Beiträge zur allgemein Topologie. I. Axiome für verschiedene Fassungen des Umgebungsbegris. Mathematische Annalen 88, 290-312. [41] Veblen, O. (1922). The Cambridge Colloquium 1916. Part II: Analysis Situs. American Mathematical Society, New York. [42] Weierstrass, C. (1865-1866). Prinzipen der Theorie der analytischen Functionen. Unpublished lecture notes taken by Moritz Pasch at the University of Berlin. Kept in Pasch ´ s Nachlass at the University of Gieÿen.