Introducción a los espacios fibrados

Traballo Fin de Grao Introducción a los espacios fibrados Diego Arufe Castro 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Introducción a los espacios fibrados Diego Arufe Castro Febrero, 2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía Título: Introducción a los espacios fibrados Breve descrición do contido En este trabajo se definen los espacios fibrados, haciendo un pequeño estudio de los localmente triviales para abordar como ejemplo el fibrado de las referencias lineales. Recomendacións Cursar la materia optativa “Variedades Diferenciables” Outras observacións Ninguna observación adicional iii Índice general Resumen vii 0.1. Resumen...................................... vii 0.2. Abstract...................................... vii Introducción ix 1. Definiciones Previas 1 1.1. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Sumersiones, inmersiones y subvariedades regulares . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. GruposdeLie................................... 4 1.4. Grupo de transformaciones de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Espacio fibrado principal localmente trivial 9 2.1. Espacio fibrado principal localmente trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. El fibrado de referencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Funciones de Transición 17 3.1. Estructura inducida de un espacio fibrado principal . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2. Funciones de transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Homomorfismos de espacios fibrados principales 25 4.1. Fibrados reducidos y secciones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2. FibradoTrivial .................................. 27 v 0.1. Resumen La idea principal de este trabajo es describir la construcción de los espacios fibrados principales. Se verá como ejemplo ilustrativo el fibrado de referencias lineales de una variedad dada bajo la acción del grupo lineal general GL(n, R). Del mismo modo también se introduce el concepto de funciones de transición de un fibrado, así como la reconstrucción del fibrado a partir de estas. Se definen también los homomorfismos entre espacios fibrados así como las ideas de fibrado trivial y fibrado reducido. 0.2. Abstract The purpose of this work is to introduce the construction of principal fiber bundles. As an illustrative example, the frame bundle over a smooth manifold is reviewed, emphasizing the action of the general linear group GL(n, R). The concept of transition functions is introduced showing how the bundle can be reconstructed from the transition functions. Bundle homomorphisms are introduced as well as the notions of trivial bundle and reduction bundle. vii 4CAPÍTULO 1. DEFINICIONES PREVIAS Smes una subvariedad regular de Rm+1. Teorema 1.15. Sean LyMvariedades diferenciables, Euna subvariedad regular de M yF:L −→ M una aplicación tal que F(L)⊂ E. Sea F0:L −→ E dada por F0(x) = F(x) para cada x∈ L. Entonces F0es diferenciable Cksi y sólo si Fes diferenciable Ck,(1 ≤ k≤ ∞). Nota 1.16. Este teorema recibe el nombre de lema de factorización, y su demostración puede encontrarse en [2]. Corolario 1.17. Sea Muna variedad diferenciable y Eun subespacio topológico de M. Entonces existe al menos una estructura diferenciable de Econ la que Ees una subvariedad regular de M. Definición 1.18. Sean MyNvariedades diferenciables y F:M −→ N una aplicación diferenciable C∞. Se dice que: p∈ M es un punto regular de Fsi Fes una sumersión en p. p∈ M es un punto crítico de Fsi Fno es una sumersión en p. q∈ N es un valor crítico de Fsi existe un punto crítico pde Ftal que F(p) = q. q∈ N es un valor regular de Fsi cada punto p∈ M tal que F(p) = qes un punto regular de F. Teorema 1.19. Sean MyNvariedades diferenciables de dimensiones mynrespectivemente, m > n yF:M −→ N una aplicación diferenciable C∞. Si q∈F(M)es un valor regular de FyMq=F−1(q), entonces: 1. Mqes una subvariedad regular de Mde dimensión m−n. 2. Para cada p∈ Mq, el subespacio de Tp(M)tangente a Mqes Ker(F∗p). Nota 1.20. El Teorema 1.19 recibe el nombre de Teorema del valor regular. Su demostración puede encontrarse en [4]. 1.3. Grupos de Lie Los grupos de Lie son una clase particular de variedades diferenciables. Un grupo de Lie es una variedad diferenciable que también posee estructura de grupo, y cuyas operaciones son regulares en el sentido de la estructura diferenciable de la variedad. Veamos una definición formal de los conceptos esenciales que utilizaremos más adelante. 1.3. GRUPOS DE LIE 5 Definición 1.21. Un grupo de Lie Ges una variedad diferenciable dotada de una estructura de grupo de forma que la aplicación G×G−→ G (σ, τ)7−→ σ·τ−1 es de clase C∞, donde ”·”denota la operación del grupo y τ−1es el inverso del elemento τ. Nota 1.22. Es sencillo ver que la condición anterior equivale a que las aplicaciones G×G−→ G G −→ G (σ, τ)7−→ σ·τ σ 7−→ σ−1 sean diferenciables de clase C∞. Ejemplo 1.23. Veamos ahora algunos ejemplos de grupos de Lie. Rnes un grupo de Lie con la suma de vectores. El conjunto de los números complejos no nulos C∗forma un grupo de Lie con la multiplicación. La variedad GL(n, R)de todas las matrices cuadradas no singulares n×nes un grupo de Lie con la multiplicación de matrices. Recibe el nombre de grupo lineal general y lo veremos más detalladamente en el Capítulo 3, al introducir el fibrado de referencias lineales. El producto G×Hde dos grupos de Lie GyHes un grupo de Lie con la operación (G×H)×(G×H)−→ G×H ((g1, h1),(g2, h2)) 7−→ (g1, h1)(g2, h2)=(g1·g2, h1∗h2) donde ”·”y”∗”denotan las operaciones de los grupos GyHrespectivamente. Sea R∗=R\ {0}y denotemos por Ka la variedad producto K=R∗×R. En este caso, Kes un grupo de Lie con la operación definida por K×K−→ K ((s, t),(s1, t1)) 7−→ (s, t)(s1, t1)=(ss1, st1+t) con s, s16= 0. Este grupo de Lie recibe el nombre de grupo de movimientos afines de R. 6CAPÍTULO 1. DEFINICIONES PREVIAS 1.4. Grupo de transformaciones de Lie Definición 1.24. Sea Muna variedad diferenciable y Gun grupo de Lie. Se dice que G opera diferenciablemente a la derecha sobre Msi existe una aplicación diferenciable φ:M × G−→ M (p, g)7−→ φ(p, g)≡p·g tal que: (1) Para todo p∈ M y cada g1, g2∈Gse verifica que p·(g1g2) = (p·g1)g2, es decir, φ(p, g1g2) = φ(φ(p, g1), g2) (2) Para todo g∈G, la aplicación φges un difeomorfismo, siendo la aplicación φg: φg:M −→ M p7−→ φg(p) = φ(p, g) = p·g Esta aplicación es, en esencia, la obtenida tras fijar un elemento g∈Gy aplicar φ. Análogamente, se define la operación por la izquierda. Como consecuencia directa, obtenemos que φe:M −→ M es la identidad en M, ya que φe(p) = φ(p, e) = φ(p, e ·e) = φ(φ(p, e), e) = φ(φe(p), e) = φe(φe(p)) y puesto que φees biyectiva, se tiene que φe(p) = p, y por tanto, φe=idM. Nota 1.25. : Podría pensarse que φgsiempre es un difeormorfismo, y por tanto la condición 2 de la Definición 1.24 carecería de sentido, pero esto no es cierto pues, aunque φg sí es C∞, ya que φg=φ◦(idM, cteg), y por tanto es composición de aplicaciones C∞, no admite inversa φ−1 g, pues φ−1 g(φg(p)) = φ−1 g(p·g) = p·(g·g−1) = p·e, y esta operación no tiene por qué estar definida puesto que ees el neutro de G, y no sabemos como actúa al operar sobre p∈ M. Definición 1.26. Un grupo de Lie que opera diferenciablemente sobre una variedad diferenciable se llama un grupo de transformaciones de Lie. Ejemplo 1.27. Veamos algunos ejemplos básicos sobre los grupos de transformaciones de Lie. 1.4. GRUPO DE TRANSFORMACIONES DE LIE 7 (1) Todo grupo de Lie opera sobre sí mismo por la izquierda y por la derecha por las traslaciones a la izquierda y a la derecha, respectivamente: φ:G×G−→ G (g, g1)7−→ φ(g, g1) = Lg1(g) = g1·g o bien φ:G×G−→ G (g, g1)7−→ φ(g, g1) = Rg1(g) = g·g1 trivialmente se verifica que g·(g1·g2) = (g·g1)·g2por la propiedad asociativa de la operación en G, por ser un grupo. Además, para todo g1, g2∈G, tanto la aplicación φg1=Lg1como la aplicación φg2=Rg2son difeomorfismos, ya que sus inversas son, correspondientemente, φ−1 g1=Lg−1 1yφ−1 g2=Rg−1 2. (2) Todo grupo de Lie opera sobre sí mismo por los automorfismos interiores: φ:G×G−→ G (g, g1)7−→ φ(g, g1) = jg1(g) = g1·g·g−1 1 Se verifica que φ(g, g1·g2) = φ(φ(g, g1), g2)pues jg1g2=jg1◦jg2.Además, se tiene que jg1es un difeomorfismo por ser composición de difeomorfismos, pues jg1=Lg1◦Rg−1 1. (3) GL(n, R)opera a la derecha e izquierda sobre Rn. En lo que sigue, supondremos que Gopera a la derecha sobre M. Definición 1.28. Se dice que Gopera efectivamente sobre M, si el neutro e∈Ges el único elemento que induce la identidad en Mes decir: Si existe un g∈Gtal que p·g=ppara todo p∈ M, entonces g=e. Se dice que Gopera libremente (o sin puntos fijos) sobre Msi el único elemento de G que deja un punto fijo es e∈G, es decir: Dado g∈G, si para un p∈ M se tiene que φ(p, g) = p·g=p, entonces g=e. Se dice que Gopera transitivamente sobre Msi dados p, q ∈ M, existe un g∈Gtal que p·g=q. Lema 1.29. Para todo p∈ M, la aplicación φp:G−→ M g7−→ φp(g) = p·g es una aplicación diferenciable y además se tiene que φp=φg◦φp◦Rg−1 8CAPÍTULO 1. DEFINICIONES PREVIAS Demostración. Se tiene que φpes una aplicación diferenciable porque se puede expresar cómo combinación de funciones diferenciables, pues φp=φ◦ip, donde ip= (ctep, idG). Gip −→ M × Gφ −→ M g7−→ (p, g)7−→ p·g Por otro lado: GRg−1 −−−→ Gφp −→ M φg −→ M g17−→ g1·g−17−→ p·(g1·g−1)7−→ φp(g1) Veamos que (φg◦φp◦Rg−1)(g1) = φp(g1): (φg◦φp◦Rg−1)(g1) = φg(p·(g1·g−1)) = [p·(g1·g−1)] ·g = [(p·g1)·g−1]·g= (p·g1)·(g−1·g) = (p·g1)·e=p·(g1·e) = p·g1=φp(g1) De este lema se deduce que si Pes una propiedad local, para que φpposea esta propiedad es necesario y suficiente que la verifique en un punto de G. Así, para que φpsea inmersión, es necesario y suficiente que (φp)∗sea inyectiva en e∈G, ya que: (φp)∗(g1)=(φg◦φp◦Rg−1)∗(g1) Y tanto φgcomo Rg−1son difeomorfismos. Tanto las definiciones expuestas en esta sección como la gran mayoría de los ejemplos han sido obtenidos de [2] y [7]. En estas publicaciones se profundiza de una forma mucho más amplia sobre los conceptos aquí expuestos. En este capítulo nos hemos limitado a estudiar las ideas y resultados que son necesarios para permitir la introducción de los fibrados principales localmente triviales. Capítulo 2 Espacio fibrado principal localmente trivial En este capítulo se introduce el concepto de espacio fibrado principal localmente trivial a partir de la actuación de un grupo de Lie Gsobre una variedad diferenciable M. Estudiaremos la relación de equivalencia existente entre los elementos de una misma fibra, así como los resultados más importantes que relacionan los conceptos definidos en el capítulo anterior con las nuevas definiciones que veremos a continuación. Más adelante, en la Sección 2.2, veremos el fibrado de referencias lineales como un ejemplo ilustrativo o caso particular de fibrado principal localmente trivial. 2.1. Espacio fibrado principal localmente trivial Definición 2.1. Sea Gun grupo de Lie que actúa sobre una variedad diferenciable M mediante φ:M × G−→ M. Llamamos órbita de un punto p∈ M al subconjunto de M dado por φp(G)≡pG ={pg :g∈G} De ahora en adelante, cada vez que hagamos referencia al conjunto pG, estaremos haciendo referencia a la órbita del punto p∈ M. Definición 2.2. Un espacio fibrado principal localmente trivial es una variedad diferenciable Psobre la que opera diferenciablemente a la derecha un grupo de Lie G, verificándose las siguientes condiciones: (1) Existe una aplicación diferenciable de Psobre una variedad diferenciable M π:P −→ M 9 10 CAPÍTULO 2. ESPACIO FIBRADO PRINCIPAL LOCALMENTE TRIVIAL tal que π−1(π(p)) = pGpara todo p∈ P. (2) Para todo p0∈ M, existe un entorno Ude p0en My un difeomorfismo Φ : U × G−→ π−1(U) tal que, para todo p∈ U, g1, g2∈Gse verifica: i) Φ(p, g1·g2) = h(p, g1)·g2 ii)π◦Φ(p, g1) = p Proposición 2.3. La aplicación πes sobreyectiva y en particular, una sumersión. Demostración. Dado p0∈ M, por la segunda condición de la Definición 2.2 existe un U0 abierto conteniendo a p0y un difeomorfismo Φ0:U0×G−→ π−1(U0) que verifica i)yii). Como π◦Φ0(p0, g) = p0para todo g∈G, entonces todos los puntos Φ(p0, g)con g∈Gse aplican por πen p0, por lo que πes sobreyectiva en M. Veamos ahora que πes una sumersión: Podemos expresar πcomo π=pr1◦Φ−1, donde pr1:U × G−→ U se corresponde con la proyección en el primer factor, que es una sumersión y Φ−1el difeomorfismo dado por la definición de espacio fibrado localmente trivial. U × G π−1(U) U pr1 π Φ−1 Por lo tanto, πes una sumersión por ser composición del difeomorfismo Φ−1y la sumersión pr1. Definición 2.4. Un abierto U ⊂ M verificando la segunda condición de la Definición 2.2 se dice un abierto de trivialidad. Se representará el espacio fibrado principal por P(φ, G, π, M), o más brevemente P(G, M)y se dirá que Ges el grupo estructural,Mla base yπla proyección canónica. Para todo p∈ M, π−1(p)lo llamaremos la fibra sobre p∈ M. Para todo p∈ P, π−1(π(p)) lo llamaremos la fibra pasando por p∈ P. 2.1. ESPACIO FIBRADO PRINCIPAL LOCALMENTE TRIVIAL 11 Nota 2.5. Si Pes una variedad diferenciable sobre la cual opera diferenciablemente a la derecha un grupo de Lie G P × G−→ P (p, a)7−→ pa se puede definir la relación de equivalencia que identifica todos los puntos de la misma órbita (y por tanto de la misma fibra): R={(p,q)∈ P × P /pg=qpara algún g∈G} Definición 2.6. Sea P/Gel espacio cociente de Ppor esta relación de equivalencia. Definimos fibra como cada clase de equivalencia del cociente. El siguiente teorema recoge una serie de propiedades que relacionan los contenidos definidos hasta ahora. Teorema 2.7. Se verifican las siguientes propiedades: (1) Cada fibra pasando por p(que es una clase de equivalencia de R) es difeomorfa a G. (2) Gopera libremente y transitivamente en cada fibra. Además, para todo p∈ P la aplicación φp:G−→ P g7−→ φp(g) = φ(p, g) = p·g es una inmersión inyectiva, donde φ:P × G−→ P es la acción de Gsobre P. (3) La proyección π:P −→ M induce un difeomorfismo ¯π:P/G−→ M Demostración. Probaremos independientemente las cuatro propiedades. (1) Puesto que π:P −→ M es una sumersión, todo p∈ M es un valor regular y así por el Teorema 1.19 se obtiene que, dado un p∈ M,π−1(p)es una subvariedad regular cerrada de Pde dimensión dim(π−1(p)) = dim(P)−dim(M). Veamos que la aplicación Φp:G−→ π−1(p) g7−→ Φp(s) = Φ(p, g) es un difeomorfismo. Veamos en primer lugar que Φpes diferenciable teniendo en cuenta el siguiente diagrama conmutativo: G π−1(p) {p} × G Φp (ctep,id)¯ Φ 12 CAPÍTULO 2. ESPACIO FIBRADO PRINCIPAL LOCALMENTE TRIVIAL Se tiene que Φpes diferenciable por ser composición de aplicaciones diferenciables. La aplicación (ctep, id)es trivialmente diferenciable. Si probamos que ¯ Φes diferenciable, tendremos probada la diferenciabilidad de Φp. Veamos que ¯ Φes diferenciable. U × G π−1(U) {p} × G Φ Φ0 i Se tiene que Φ0es diferenciable por ser composición de diferenciables. Ahora bien, Φ0({p} × G) = π−1(p), que es una subvariedad regular de π−1(U)y por tanto Φ0≡¯ Φ es diferenciable. Veamos ahora que Φpadmite inversa diferenciable. π−1(p)G π−1(U)U × G (Φp)−1 i Φ−1 pr2 Dado Φ(p, g)∈π−1(p), se tiene que (Φp)−1(Φ(p, g)) = g, y de esta forma (Φp)−1 es diferenciable por ser composición de aplicaciones diferenciables. Se tiene que ies diferenciable por ser π−1(p)una subvariedad regular de π−1(U)yΦ−1es diferenciable por definición (la Definición 2.2 garantiza que Φes difeomorfismo). (2) Probaremos que Gopera libremente, transitivamente en cada fibra y que φpes una inmersión inyectiva. (a) Veamos en primer lugar que Gopera libremente (o sin puntos fijos). Dado un p0∈ P tal que p0·g1=p0, comprobemos que g1=e. Sea Uabierto de trivialidad conteniendo a π(p0) = p0y consideremos el difeomorfismo Φ : U × G−→ π−1(U) Entonces, p0= Φ(p0, g0)para algún g0∈G. Puesto que Φ(p0, g0g1) = Φ(p0, g0)g1= Φ(p0, g0), por ser Φinyectiva se sigue que g0g1=g0, de donde se obtiene que g1=e(pues g0, g1∈G). (b) Veamos ahora que Gopera transitivamente en cada fibra. Para ello, sean p,q∈π−1(p)y probemos que existe un g∈Gtal que pg=q. En 2.1. ESPACIO FIBRADO PRINCIPAL LOCALMENTE TRIVIAL 13 efecto: Podemos expresar pyqcómo p= Φ(π(p), g1)yq= Φ(π(q), g2)Puesto que p,q∈π−1(p), entonces π(p) = π(q) = p. Tomemos g=g−1 1g2. Así: p·g= Φ(π(p), g1)·g−1 1g2= Φ(π(p), g1(g−1 1g2)) = Φ(π(q), g2) = q (c) Por último, vamos a comprobar que la aplicación φpes una inmersión inyectiva. φp:G−→ P s7−→ ps Para ver que φpes inyectiva, suponemos g1, g2∈Gtales que φp(g1) = φp(g2). Por definición de φpobtenemos que pg1=pg2, y basta con operar en ambos lados de la igualdad por g−1 2para obtener que p(g1g−1 2) = p. Ahora bien, como ya hemos visto que Gopera libremente, se tiene que g1g−1 2=e, y por tanto g1=g2. Veamos ahora que φpes una inmersión. Si π(p) = p0, entonces existe un Uque contiene a p0y un difeomorismo Φ : U × G−→ π−1(U)y así p=h(p0, g0)para algún g0∈G. Consideremos entonces: Gip0 −−→ U × Gid×Lg0 −−−−→ U × GΦ −→ π−1(U)i −→ P g7−→ (p0, g)7−→ (p0, g0g)7−→ Φ(p0, g0g)7−→ Φ(p0, g0)s=p·g De donde se obtiene que φp= (ip0◦(id ×Lg0)◦Φ◦i)es una inmersión. (3) Consideremos la aplicación ¯πdada por ¯π:P/G−→ M pG7−→ π(p) = p y veamos que es un difeomorfismo. En primer lugar, es sencillo ver que ¯πestá bien definida. Dado un p0∈[p], se tiene que p0·G=p·Gy existen g1yg2tales que p0g1=pg2y por tanto p0=p(g2g−1 1), con lo que π(p0) = π(p). Hemos probado por tanto que ¯πes independiente del representante de cada clase que tomemos. Veamos que ¯πes inyectiva. Dados pyp0tales que ¯π(pG) = ¯π(p0G), se tiene que π(p) = π(p0)y por tanto, p,p0∈π−1(π(p)) = pG, con lo que pG=p0G. 20 CAPÍTULO 3. FUNCIONES DE TRANSICIÓN Veamos que Φes diferenciable: U × Gτ×id −−−→ P × Gφ −→ P (p, g)7−→ (τ(p), g)7−→ τ(p)·g En efecto, Φ = φ◦(τ×id)es diferenciable por ser composición de aplicaciones diferenciables. θtambién es diferenciable, pues θ= (π, ρ)y tanto πcomo ρson diferenciables. Así, obtenemos que Φes un difeomorfismo. Es inmediato que la condición (1) de la Definición 2.2 se verifica, pues π−1(π(p)) ⊂pG, ya que Gactúa transitivamente en la fibra. Así, queda probado que P(φ, G, π, M)es un fibrado principal. 3.2. Funciones de transición Teniendo en cuenta la Proposición 3.1, si P(G, M)es un espacio fibrado principal, existe un recubrimiento {Uα}de Mtal que para cada Uαse tienen los difeomorfismos: θα= Φ−1 α:π−1(Uα)−→ Uα×G p7−→ (π(p), ρα(p)) siendo los ραtales que ρα(pg) = ρα(p)·g. Definimos ahora las aplicaciones: Ψβα :Uα∩ Uβ−→ G p=π(p)7−→ Ψβα(π(p)) = ρβ(p)· {ρα(p)}−1 Estas aplicaciones están bien definidas, i.e., dependen de π(p)y no de p, ya que si tomamos un qtal que π(p) = π(q), entonces Ψβα(π(p)) = Ψβα(π(q)). En efecto, la igualdad π(p) = π(q) = pimplica que tanto pcomo qpertenecen a π−1(p). Por tanto, existe un g∈Gtal que p·g=q. En consecuencia, se obtiene que: Ψβα(π(q)) = ρβ(q)· {ρα(q)}−1=ρβ(pg)· {ρα(pg)}−1 =ρβ(p)·g· {ρα(p)·g}−1=ρβ(p)·g·g−1{ρα(p)}−1 =ρβ(p)· {ρα(p)}−1=Ψβα(π(p)) Definición 3.2. Esta familia de aplicaciones {Ψβα}se llaman las funciones de transición del fibrado Pcorrespondientes al recubrimiento abierto {Uα}de M. Proposición 3.3. Las funciones de transición verifican las siguientes propiedades: 3.2. FUNCIONES DE TRANSICIÓN 21 (1) Ψγα(p) = Ψγβ(p)·Ψβα(p)∀p∈ Uα∩ Uβ∩ Uγ (2) Ψαα(p) = e∀p∈ Uα (3) Ψαβ(p)·Ψβα(p) = e∀p∈ Uα∩ Uβ Demostración. La prueba de las tres propiedades es practicamente inmediata, como vemos a continuación. (1) Ψγβ(p)·Ψβα(p) = ργ(p)· {ρβ(p)}−1·ρβ(p)· {ρα(p)}−1=Ψγα(p) (2) Ψαα(p) = ρα(p)· {ρα(p)}−1=e (3) Ψαβ(p)·Ψβα(p) = ρα(p)· {ρβ(p)}−1·ρβ(p)· {ρα(p)}−1=e Nota 3.4. Las condiciones de la Proposición 3.3 reciben el nombre de condiciones de cociclo. El teorema que probaremos a continuación nos garantiza que podemos caracterizar un espacio fibrado principal localmente trivial a partir de sus funciones de transición. Teorema 3.5. Sea Gun grupo de Lie y Muna variedad diferenciable. Si existe un recubrimiento abierto {Uα}α∈Ade My un conjunto de aplicaciones: Ψβα :Uβ∩ Uα−→ G, α, β ∈A verificando las condiciones de cociclo, entonces existe un espacio fibrado principal localmente trivial P(G, M)cuyas funciones de transición para el recubrimiento {Uα}α∈Ason precisamente los Ψβα. Demostración. En primer lugar, consideremos para cada α∈Ala variedad producto Eα= Uα×G. Puesto que Eα∩ Eβ6=∅, definimos E∗ α={α} × Eαde forma que E∗ α∩ E∗ β=∅para todo α, β ∈A. Definimos ahora Ecomo la unión disjunta de los E∗ α,ie,E=Sα∈AE∗ α Puesto que Ees unión disjunta de variedades diferenciables, Ees de forma natural una variedad diferenciable. Definimos en Ela siguiente relación de equivalencia: (α, p1, g1)∼(β, p2, g2)⇔p1=p2, g2=Ψβα(p1)·g1 Nótese que, si α=β, dos elementos (α, p1, g1)y(α, p2, g2)serán equivalentes si y sólo si p1=p2yg1=g2, pues Ψαα(x) = ecomo vimos en la Proposición 3.3. 22 CAPÍTULO 3. FUNCIONES DE TRANSICIÓN Denotamos ahora P=E/∼el espacio cociente de Epor esta relación de equivalencia y definimos una acción a la derecha de Gsobre Pdada por: φ:P × G−→ P ([α, p, g1], g2)7−→ [α, p, g1g2] Veamos que esta aplicación está bien definida, pues no depende del representante: Sean (β, p, g1)y(α, p, g2)dos representantes de la misma clase de equivalencia. Se tiene, por construcción, que g1=Ψβα(p)·g2. Ahora hagamos actuar Gsobre ambos representantes y veamos que las imágenes pertenecen a la misma clase. Tenemos que φ([(α, p, g1)], g) = [(α, p, g1g)] yφ([(β, p, g2)], g) = [(β, p, g2g)]. Ahora bien, ya que g1=Ψβα(p)·g2, se tiene que g1g=Ψβα(p)·g2g, y por lo tanto (β, p, g1g)y(α, p, g2g) son equivalentes, como queríamos comprobar. Una vez hemos visto que la aplicación está bien definida, definimos la proyección πsobre la variedad M: π:P −→ M [(α, p, g)] 7−→ p Vamos a ver que el espacio P, en la forma en la que ha sido construído, verifica las condiciones de la Definición 2.2 y por tanto es un espacio fibrado principal localmente trivial. En primier lugar, probemos que Gopera transitivamente en cada fibra, ie, si dados p,q∈ P tales que π(p) = π(q)(es decir, que pyqestán en la misma fibra), entonces existe un g∈Gtal que q=p·g. Por un lado, si partimos de que q=p·g, es trivial que π(p) = π(q), ya que si p= [(α, p, g0)], entonces q= [(α, p, g0)] ·g= [(α, p, g0g)] y así π(p) = p=π(q). Sean ahora p= [(α, p, g1)] yq= [(β, q, g2)] tales que π(p) = π(q)y veamos que existe un g∈Gtal que q=p·g. Ya que π(p) = π(q), obtenemos en primer lugar que p=q. Tomemos ahora g=g−1 1·[Ψβα(p)]−1·g2∈G, es decir, g=g−1 1·Ψαβ(p)·g2. Entonces: p·g= [(α, p, g1)] ·(g−1 1·Ψαβ(p)·g2) = [(α, p, (Ψαβ(p)·g2)] Y puesto que, por construcción de la relación de equivalencia, se tiene que (α, p, (Ψαβ(p)· g2)∼(β, p, g2), podemos concluír que q=p·gy por lo tanto Gopera transitivamente en cada fibra. Veamos ahora la estructura diferenciable de P. La aplicación definida por: pα:Eα≡ Uα×G−→ π−1(Uα) (p, g)7−→ [(α, p, g)] 3.2. FUNCIONES DE TRANSICIÓN 23 es una aplicación biyectiva y entonces podemos darle a π−1(Uα)una estructura de variedad diferenciable de modo que pαsea un difeomorfismo. Puesto que P=π−1(M) = π−1(Sα∈AUα) = Sα∈Aπ−1(Uα), podemos tomar como atlas de Pel conjunto {[ α∈A (Atlas de π−1(Uα))} Ahora bien, para definir una estructura diferenciable en P, tenemos que demostrar que las aplicaciones pβ◦p−1 α:π−1(Uα∩ Uβ)−→ π−1(Uα∩ Uβ)son diferenciables. Puesto que los pαson difeomorfismos, para probar la diferenciabilidad de los pβ◦p−1 α bastará probar que p−1 β◦pα: (Uα∩ Uβ)×G−→ (Uα∩Uβ)×G son diferenciables. Se tiene el siguiente diagrama: [(α, p, g)]= [(β, p, Ψβα(p)·g)] (p, Ψβα(p)·g) (p, g) p−1 β pα p−1 β◦pα de donde se obtiene que p−1 β◦pα=id ×LΨβα(p), y por tanto p−1 β◦pαes diferenciable por ser una composición de aplicaciones diferenciables. Además, la proyección del fibrado π:P−→ Xes diferenciable por ser composición de diferenciables, ya que π=p−1 α◦pr1. π−1(Uα)Uα Uα×G π p−1 α pr1 Probemos ahora que la atuación de Gsobre Pes diferenciable. Considerando el diagrama: π−1(Uα)×G π−1(Uα) Uα×G×G Uα×G Φ p−1 α×idG idUα×(”·”) pα Es sencillo ver que Φes diferenciable por ser composición de aplicaciones diferenciables. Denotando ”·”como la operación en el grupo G, podemos expresar Φcomo Φ=(pα× 24 CAPÍTULO 3. FUNCIONES DE TRANSICIÓN idG)◦(idUα×”·”) ◦pα. ([(α, p, g1)], g2)[(α, p, g1g2)] ((p, g1), g2) (p, g1g2) Φ p−1 α×idG idUα×(”·”) pα Para comprobar que se verifica la condición (2) de la definición de espacio fibrado principal tomamos Φα=pα:Uα×G−→ π−1(Uα). Se verifica: Φα(p, g1·g2) = [(α, p, g1g2)] = [(α, p, g1)]g2= Φα(p, g1)·g2 π(Φα(p, g)) = π([(α, p, g)]) = p Veamos finalmente que las funciones de transición ϕβα de P(G, M)son los Ψβα dados. En efecto: Φ−1 α:π−1(Uα)−→ Uα×G p≡[(α, p, g)] 7−→ (p, g)=(π(p), ρα(p)) y así, por la definición de función de transición, se tiene: ϕβα(p) = ϕβα(π(p)) = ϕβα(π([(α, p, g)])) =ρβ(p)·ρα(p)−1=ρβ([(α, p, g)]) ·ρα([(α, p, g)])−1 =ρβ([(β, p, Ψβα(p)·g)]) ·ρα([(β, p, Ψβα(p)·g)])−1 =ρβ([(β, p, Ψβα(p)]) ·g·(ρα([(β, p, Ψβα(p))]) ·g)−1 =ρβ([(β, p, Ψβα(p)]) ·g·g−1·(ρα([(β, p, Ψβα(p))]))−1 =ρβ([(β, p, Ψβα(p)]) ·(ρα([(β, p, Ψβα(p))]))−1·g·g−1 =Ψβα(p) Y así, hemos visto que las funciones de transición de P(G, M)son los Ψβα dados. Capítulo 4 Homomorfismos de espacios fibrados principales Este último capítulo lo dividimos en dos secciones diferentes. En la primera, definiremos el concepto de homomorfismo de espacios fibrados principales y expondremos la idea del fibrado reducido y grupo de estructura reducible. En la segunda parte del capítulo, trataremos el fibrado trivial y daremos una caracterización de los espacios fibrados triviales (Teorema 4.9). Tras probar este resultado, probaremos finalmente una condición necesaria y suficiente del hecho de que un grupo estructural Gsea reducible a un subgrupo de Lie H⊂G. 4.1. Fibrados reducidos y secciones locales Definición 4.1. Un homomorfismo de espacios fibrados principales: h:P(G, M)−→ P0(G0,M0) está dado por: Una aplicación diferenciable hP:P −→ P0 Un homomorfismo de grupos de Lie hG:G−→ G0 tales que: hP(pg) = hP(p)·hG(g)para todo p∈ P, g ∈G. Nota 4.2. Como consecuencia inmediata de la definición, se tiene que: (1) Cada fibra de Pse aplica en una fibra de P0. 25 26 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS DE ESPACIOS FIBRADOS PRINCIPALES (2) hPinduce una aplicación hM:M −→ M0que hace conmutativo el siguiente diagrama: P P0 M M0 hP ππ0 hM se define hM(p) = π0(hP(p)), con π(p) = p. Definición 4.3. Sea hun homomorfismo de espacios fibrados principales h:P(G, M)−→ P0(G0,M0). Supongamos que hMes una inmersión inyectiva y hGes un monomorfismo. (Es inmediato que si hMes una inmersión inyectiva, también lo es hP). Identificando: P ≡ hP(P) G≡hG(G) M ≡ hM(M) se define P(G, M)como un subfibrado de P0(G0,M0). Además, si M=M0yhM=idM, entonces la aplicación h:P(G, M)−→ P0(G0,M)recibe el nombre de reducción del grupo de estructura G0de P0(G0,M)aG, y el subfibrado P(G, M)se denomina fibrado reducido. Definición 4.4. Dado P0(G0,M)y un subgrupo de Lie Gde G0, decimos que el grupo de estructura G0es reducible si existe un subfibrado reducido P(G, M). Definición 4.5. Sea P(G, M)un espacio fibrado principal localmente trivial y sea π: P −→ M la proyección del fibrado sobre M. Una sección continua (respectivamente, diferenciable) de P(G, M)es una aplicación continua (respectivamente, diferenciable) σ:M −→ P tal que π◦σ=idM. Una sección local sobre el abierto U ⊂ M es una aplicación σ:U −→ P, tal que π◦σ=idU. Una sección global es una aplicación σ:M −→ P que verifica que π◦σ=idM. Proposición 4.6. Sea P(G, M)un espacio fibrado principal localmente trivial. Se verifican las siguientes afirmaciones: La imagen de una sección diferenciable σ:M −→ P es una subvariedad de P. P(G, M)admite secciones locales sobre cada abierto de trivialidad U ⊂ M. Demostración. La prueba de este resultado puede verse en [4] 4.2. FIBRADO TRIVIAL 27 4.2. Fibrado Trivial Sea Muna variedad diferenciable y Gun grupo de Lie. Consideramos la variedad producto M × Gy la actuación de Gsobre M × Gdada por: (M × G)×G−→ M × G [(p, g1), g2]7−→ (p, g1g2) Entonces P(G, M)≡ M × G(G, M)es un espacio fibrado principal tomando π=pr1 la proyección sobre el primer factor. En este caso Mes un abierto de trivialidad ya que p−1 r1(M) = M×G, y por tanto, por la Proposición 4.6, este fibrado admite secciones locales sobre M,i.e., admite seciones globales. Definición 4.7. Un espacio fibrado principal P(G, M)se dice trivial si es isomorfo al fibrado trivial M × G(G, M). Se entiende por esta isomorfía que: hP:M × G−→ P es un difeomorfismo. hG:G−→ Ges un isomorfismo de grupos (en particular, hG=idG) hM=idM Nota 4.8. Algunos autores denominan a este isomorfismo M-isomorfismo. Teorema 4.9. Para un espacio fibrado principal localmente trivial P(G, M), las cuatro condiciones siguientes son equivalentes: (1) Pes trivial (2) Padmite una sección global diferenciable. (3) Existe una aplicación diferenciable γ:P −→ Gtal que γ(pg) = g−1γ(p)para todo p∈ P, g ∈G. (4) Existe una apliciación diferenciable ρ:P −→ Gtal que ρ(pg) = ρ(p)·gpara todo p∈ P, g ∈G. Demostración. Probemos la equivalencia de estas cuatro condiciones. La implicación (1) =⇒(2) es inmediata pues en este caso, Mes un abierto de trivialidad como ya hemos visto. 28 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS DE ESPACIOS FIBRADOS PRINCIPALES Veamos ahora que (2) =⇒(1): Supongamos que Padmite una sección global σ:M −→ P, por lo que π◦σ=idM. Veamos que Pes isomorfo a M × G. Para ello, definimos: h:M × G−→ P (p, g)7−→ h(p, g) = σ(p)·g Probemos que hes un difeomorfismo. Es sencillo ver que hverifica la Definición 4.1 y por tanto es un homomorfismo de espacios fibrados principales, ya que h[(p, g1)g2] = h(p, g1g2) = σ(p)·g1g2= (σ(p)·g1)g2=h(p, g1)·idG(g2). Comprobemos la inyectividad de h. Supongamos h(p1, g1) = h(p2, g2). Por definición de hse tiene que τ(p1)·g1= τ(p2)·g2. Además, como τ(p1)·g1∈π−1(p1)yτ(p2)·g2∈π−1(p2), obtenemos que p1=p2. Puesto que p1=p2, se tiene que τ(p1)·g1=τ(p1)·g2, de donde se sigue que τ(p1)·g1·g−1 2=τ(p1). Puesto que Gopera libremente en cada fibra, se tiene que g1·g−1 2=ey por tanto g1=g2. Una vez probada la inyectividad de h, veamos que es una aplicación sobreyectiva. Sea p∈ P. Se tiene que π(σ(π(p))) = π(p), con lo cual σ(π(p)) ∈π−1(π(p)). Puesto que Gopera transitivamente, existe un gp∈G(que depende de p) tal que σ(π(p)) = p·gp. Tomamos entonces (π(p), g−1 p)∈ M × Gy apliquemos h: h(π(p), g−1 p) = τ(π(p)) ·g−1 p=p·gp·g−1 p=p, y por tanto hemos probado que hes sobreyectiva. No sólo eso, sino que con esta construcción hemos obtenido la inversa de h, dada por: h−1≡θ:P −→ M × G p7−→ θ(p)=(π(p), g−1 p) Nos queda probar que tanto hcomo su inversa θson aplicaciones diferenciables. Por un lado, se tiene que h= (σ×idG)◦φ, por lo que hes diferenciable por ser composición de aplicaciones diferenciables. M × G(σ×idG) −−−−−→ M × Gφ −→ P (p, g)7−→ (τ(p), g)7−→ τ(p)·g Veamos ahora que h−1=θes diferenciable. Lo es por ser composición de aplicaciones diferenciables. Sea J:G−→ Gla aplicación tal que J(g) = g−1. Consideremos el siguiente diagrama: P M × G M × G θ π×gp idM×J 4.2. FIBRADO TRIVIAL 29 Este diagrama es conmutativo y está bien definido pues θ(p) = ((idM×J)◦(π× ctegp))(p) = (idM×J)(π(p), gp) = (π(p), g−1 p), y por tanto θes diferenciable por ser composición de aplicaciones diferenciables. Por tanto, hes un difeomorfismo. Además, se verifica que hM=idM. En efecto, M × GP M M h pr1π hM hM(p) = π(h(p, g)) = π(σ(p)·g) = π(σ(p)) = p Probemos ahora la implicación (2) =⇒(3). Si denotamos por Rel grafo de la relación de equivalencia en Pinducida por G: R={(g1, g2)donde ∃g∈G / g1g=g2} podemos definir la aplicación dada por: u:R −→ G (g1, g2)7−→ u(g1, g2) = g / g2=g1g Sea ahora σ:M −→ P una sección global de P. Definimos la aplicación: γ:P −→ G p7−→ γ(p) = u(p, σ(π(p))) Por definición de γ, se verifica que p·γ(p) = σ(π(p)). Veamos que γes diferenciable. Podemos expresar γcomo la composición de (idp, τ ◦π)con la aplicación udefinida anteriormente. P(idP,τ◦π) −−−−−−→ R × R u −→ G p7−→ (p, τ(π(p)) 7−→ u(p, τ(π(p)) Se tiene por tanto que γes diferenciable si lo es u, pues la aplicación (idP, τ ◦π)es trivialmente diferenciable. Veamos que ues diferenciable: u:R −→ G (g1, g2)7−→ u(g1, g2) = g Puesto que ρ(pg) = ρ(p)·g=ρ(q), y por tanto, g=ρ(p)−1·ρ(q). Por tanto, considerando el diagrama: Rρ −→ G×GJ×idG −−−−→ G (p, q)7−→ (ρ(p), ρ(q)) 7−→ ρ(p)−1·ρ(q) = s