Ecuacións diferenciais de orde superior

VICERREITORÍA DE ESTUDANTES, CULTURA E FORMACIÓN CONTINUA Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Enxeñaría Civil Matemáticas III Juan Bosco Ferreiro Darriba Área de Matemática Aplicada Departamento de Matemática Aplicada Escola Politécnica Superior 3 Ecuacións diferenciais de orde superior 9788498 879896 Ecuacións diferenciais de orde superior 3 Juan Bosco Ferreiro Darriba Área de Matemática Aplicada Departamento de Matemática Aplicada Escola Politécnica Superior Dep. Legal: C 273-2013 ISBN 978-84-9887-989-6 © Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra atópase baixo unha licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Calquera forma de reprodución, distribución, comunicación pública ou transformación desta obra non incluída na licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0 só pode ser realizada coa autorización expresa dos titulares, salvo excepción prevista pola lei. Pode acceder Vde. ao texto completo da licenza nesta ligazón: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostela Edita Vicerreitoría de Estudantes, Cultura e Formación Continua da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital MATERIA: Matemáticas III TITULACIÓN: Grao en Enxeñaría Civil PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica Unidade I. Introdución ás ecuacións diferenciais Motivación e exemplos Concepto e clasificación das ecuacións diferenciais Xeneralidades sobre as solucións Problemas de valor inicial Problemas de valores na fronteira Unidade II. Ecuacións diferenciais ordinarias de primeira orde Ecuacións en variables separables Ecuacións lineares Ecuacións homoxéneas Ecuacións exactas Algúns modelos na enxeñería Unidade III. Ecuacións diferenciais ordinarias de orde superior Introdución Ecuacións lineares de segunda orde Solución xeral da ecuación homoxénea A ecuación non homoxénea Aplicacións a diversos tipos de modelos na enxeñería Ecuacións lineares de orde superior Unidade IV. A transformada de Laplace Introdución. Un problema de natureza descontinua e impulsiva Transformada e transformada inversa de Laplace. Propiedades Resolución de problemas de valor inicial Convolución A delta de Dirac e a función de Heaviside Aplicación a modelos na enxeñería Unidade V. Resolución numérica de ecuacións diferenciais ordinarias Introdución. Un modelo unidimensional para o fluxo de calor Problemas de valor inicial de primeira orde. Métodos de Euler Problemas de valor inicial con ecuacións de orde superior Problemas de valores na fronteira. Método de diferencias finitas Unidade VI. Ecuacións diferenciais en derivadas parciais Introdución. Un modelo unidimensional para o fluxo de calor Resolución analítica. Separación de variables Resolución numérica. Discretización espacial e temporal Modelos en enxeñería con ecuacións en derivadas parciais Ecuacións de segunda orde. Resolución numérica con MATLAB UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 3 ÍNDICE Presentación .................................................................. 7 Os obxectivos ................................................................ 8 Os principios metodolóxicos .............................................. 9 Os contidos básicos ......................................................... 10 1.Introdución .............................................................. 10 2. Ecuacións lineares de segunda orde ................................. 12 3. Solución xeral da ecuación homoxénea .............................. 13 3.1. Uso dunha solución coñecida para atopar outra ............. 14 3.2. A ecuación homoxénea con coeficientes constantes ........ 15 4. Aecuaciónnon homoxénea ........................................... 18 4.1. Método de variación de parámetros ........................... 18 4.2. Método dos coeficientes indeterminados ..................... 21 5. Aplicacións a diversos modelos na enxeñería ....................... 24 5.1. Sistemas masa-resorte-amortecedor ......................... 25 5.1.1. Vibraciónslibres ...................................... 26 5.1.2. Vibracións libres amortecidas ....................... 28 5.1.3. Vibracións forzadas amortecidas ................... 31 5.2.Circuítos eléctricos ............................................. 33 6. Ecuacións lineares de orde superior ................................. 35 6.1. Osciladores harmónicos acoplados ........................... 39 Anexos ........................................................................ 42 Avaliación ..................................................................... 47 Bibliografía .................................................................... 47 UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 5 PRESENTACIÓN Esta unidade didáctica é unha das seis correspondentes á materia de formación básica Matemáticas III, que consta de seis créditos e impártese no primeiro cuadrimestre do segundo curso do Grao en Enxeñería Civil 1 .Esta materia, xunto con Matemáticas I eMatemáticas II —ámbalas dúas materias de primeiro curso, de formación básica e seis créditos cada unha—, forma o módulo ou bloque de Matemáticas, cuxo papel é o de contribuír a acadar tanto as competencias2xerais do grado como as específicas de resolver problemas matemáticos que poidan aparecer no ámbito da enxeñería. Nesta unidade didáctica, que foi deseñada para ser desenvolvida en aproximadamente dez horas de docencia presencial, abordarase o estudo das ecuacións diferenciais de orde superior. Cando acometa a preparación desta unidade didáctica, cada estudante xa terá coñecementos básicos de álxebra linear e cálculo diferencial e integral de funcións dunha e varias variables reais —obtidos nas materias Matemáticas I eII—. Tamén estará familiarizado cos diversos tipos de ecuacións diferenciais, coñecerá o que é un problema de valor inicial, saberá modelar varios problemas en termos de ecuacións de primeira orde, e será capaz de resolver algúns deles, competencias adquiridas nas unidades didácticas previas da materia Matemáticas III. Nas unidades precedentes téñense estudado diversos tipos de ecuacións diferenciais de primeira orde resolubles en termos de funcións elementais. Os métodos desenvolvidos para calcular as solucións fundaméntanse principalmente no manexo das técnicas integración, e preséntanse moitas aplicacións de aparencia interesante, e bastante doadas de deducir sempre que se teña ben asimilado o concepto de derivada. Desafortunadamente, calcular solucións de ecuacións diferenciais de orde superior é bastante máis difícil, e terémonos que restrinxir, case por completo, ao estudo das ecuacións lineares con coeficientes constantes. Desenvolveremos un algoritmo para achar a solución xeral das ecuacións diferenciais lineares de orde dous, atopando primeiramente a solución xeral dunha ecuación homoxénea —unha estrutura bastante simple baseada en principios alxébricos elementais—, para pasar a calcular solucións concretas ou particulares das ecuacións non homoxéneas. A utilidade e o interese deste tipo de ecuacións diferenciais quedará patente cando se presenten modelos aplicados a problemas derivados, sobre todo, da física, como o estudo das vibracións en sistemas masa-amortecedor. Porén, hai que recoñecer que durante gran parte do desenvolvemento desta unidade didáctica é frecuente que flote no ambiente unha sensación de maxia matemática, como se os problemas se resolvesen unicamente grazas á concorrencia dunha idea feliz. 1O plano de estudos do grao pode consultarse no BOE de 16/04/2011. 2O grao de Enxeñería Civil habilita para a profesión de Ingeniero Técnico en Obras Públicas, polo que as competencias que cada estudante ten que adquirir veñen determinadas na orde ministerial CIN/307/2009 (BOE de 19/02/2009). UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 7 3.1. Uso dunha solución coñecida para atopar outra En ocasións é doado atopar unha solución y1(t)da ecuación (7), ben sexa por simple inspección ou dalgún outro xeito. O método que imos desenvolver vainos servir para atopar outra solución y2(t)de (7) linearmente independente con y1(t). Supoñamos que coñecemos unha solución y1(t)da ecuación (7), sabemos que cy1(t), para calquera c∈R, tamén é solución de (7), aínda que —desafortunadamente— é linearmente dependente con y1(t). O método vai consistir en substituír a constante cpor unha función non constante w(t), e tratar de determinar dita función w(t)para que y2(t) = w(t)y1(t)sexa solución de (7). Hai que resaltar que nese caso y1(t)/y2(t) = w(t), función non constante de t, co que y1(t)ey2(t)serán linearmente independentes. Sexa y2(t) = w(t)y1(t), entón y′ 2=w′y1+wy′ 1ey′′ 2=w′′y1+ 2w′y′ 1+wy′′ 1.(8) Para que y2(t)sexa solución de (7), necesariamente tense que cumprir y′′ 2+P(t)y′ 2+Q(t)y2= 0, polo que, sen máis que substituír y2=wy1e as fórmulas (8) nesta expresión, chégase a w′′y1+ 2w′y′ 1+wy′′ 1+P(t)(w′y1+wy′ 1) + Q(t)wy1= 0, de onde, reordenando os sumandos, pasamos a w(y′′ 1+P(t)y′ 1+Q(t)y1)+w′′y1+w′(2y′ 1+P(t)y1) = 0, o que, por ser y1(t)é solución de (7), convértese en w′′y1+w′(2y′ 1+P(t)y1) = 0, ou sexa, w′′(t) w′(t)=−2y′ 1(t) y1(t)−P(t). Integrando esta última expresión respecto de tobtemos ln |w′(t)|=−2ln |y1(t)|−∫P(t)dt, de aí que3 w′(t) = 1 (y1(t))2e−∫P(t)dt, 3En realidade temos infinitas opcións para a expresión de w′(t), iso si, todas iguais á expresión que escollemos aquí multiplicada por un número real. Tamén ocorre o mesmo coa expresión de w(t)unhas liñas despois. 14UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior e, integrando de novo respecto de t, finalmente atopamos que w(t) = ∫1 (y1(t))2e−∫P(t)dtdt. En resumo, se y1(t)é unha solución da ecuación (7), entón y2(t) = y1(t)∫1 (y1(t))2e−∫P(t)dtdt é unha solución da ecuación (7) linearmente independente con y1(t). Exemplo 1. Atopar a solución xeral da ecuación (1 + t2)d2y dt2−2tdy dt + 2y= 0. Se reescribimos a ecuación como d2y dt2−2t 1 + t2 dy dt +2 1 + t2y= 0, é doado decatarse de que y1(t) = té unha solución desta ecuación. Aplicando o método anterior w(t) = ∫1 t2e−∫−2t 1+t2dtdt =∫1 + t2 t2dt =∫1 t2dt +∫dt =−1 t+t. Entón y2(t) = w(t)y1(t) = t(−1 t+t) = −1 + t2 é unha nova solución da ecuación diferencial. Ademais, é unha solución linearmente independente con y1(t). Polo tanto, a solución xeral desta ecuación diferencial será yx(t) = c1t+c2(t2−1), c1, c2∈R. 3.2. A ecuación homoxénea con coeficientes constantes Imos ocuparnos agora de calcular a solución xeral da ecuación diferencial homoxénea (7) no caso de que as funcións P(t)eQ(t)sexan funcións constantes, digamos por exemplo PeQ: d2y dt2+Pdy dt +Qy = 0.(9) Partiremos da base de que a función exponencial y(t) = eat verifica que y′(t) = aeat =ay(t)ey′′ (t) = a2eat =a2y(t), UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 15 ou sexa, tódalas súas derivadas son múltiplos da propia función. Este feito induce a pensar que y(t) = eat pode ser solución da ecuación (9) se eliximos axeitadamente a constante a. Se substituímos a función y(t) = eat na ecuación (9), vemos que a2eat +Paeat +Qeat = (a2+Pa +Q)eat = 0, debido ao cal, eat será solución de (9) se e só se aé solución da ecuación auxiliar x2+Px +Q= 0, que denominaremos ecuación característica. Preséntanse tres casos distintos, en función do valor do termo P2−4Q e, consecuentemente, das raíces da ecuación característica, a1=−P+√P2−4Q 2ea2=−P−√P2−4Q 2. •P2−4Q > 0. Entón a ecuación característica ten dúas raíces reais distintas a1=a2. Neste caso y1(t) = ea1tey2(t) = ea2t son solucións. Ademais, como o cociente y1(t)/y2(t) = e(a1−a2)tnon é unha función constante, esas solucións son linearmente independentes e a solución xeral de (9) é yx(t) = c1ea1t+c2ea2t. •P2−4Q < 0. Agora a ecuación característica ten dúas raíces complexas conxugadas a1=−P 2+√4Q−P2 2=c+di ea2=−P 2−√4Q−P2 2=c−di. Entón4 ys(t) = e(c+di)t=ectedit =ect(cos dt +isen dt) e ys(t)e(c−di)t=ecte−dit =ect(cos dt −isen dt) cumpren a ecuación (9), mais son funcións con valores complexos, e o noso concepto de solución dunha ecuación diferencial refírese unicamente a funcións reais de variable real. Atoparemos solucións con valores reais como combinacións lineares de yreys: y1(t) = ys 2+yr 2=ect cos dt ey2(t) = −iys 2−iyr 2=ect sen dt. Debido a que o cociente y2(t)/y1(t) = tan dt non é unha función constante, as solucións y1ey2son linearmente independentes e a solución xeral será yx(t) = c1ect cos dt +c2ect sen dt =ect(c1cos dt +c2sen dt). 4Lembremos a fórmula de Euler:eiθ =cos θ+isen θ 16UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior •P2−4Q= 0. A ecuación característica ten unha raíz real, a1=−P 2, de multiplicidade dous, polo que y1(t) = e −P t 2 é unha solución de (9). Como a ecuación característica non ten máis raíces diferentes, procedendo deste xeito non seremos capaces de atopar solucións da ecuación diferencial que sexan linearmente independentes con y1. Para arranxar este problema, utilizaremos o método explicado na Subsección 3.1 para calcular y2(t) = w(t)y1(t), onde w(t) = ∫1 y2 1(t)e−∫P dtdt =∫1 (e−P t 2)2e−P tdt =∫e−P t e−P t dt =t. Entón y2(t) = w(t)y1(t) = te−P t/2 é a nova solución, linearmente independente con y1(t), e a solución xeral de (9) será yx(t) = c1e −P t 2+c2te −P t 2= (c1+c2t)e −P t 2. Exemplo 2. Atopar a solución xeral de: 1. d2y dt2+dy dt −6y= 0. Ecuación característica: x2+x−6 = 0. Raíces: a1=−3ea2= 2. Solución xeral: yx(t) = c1e−3t+c2e2t. 2. d2y dt2+ 2dy dt +y= 0. Ecuación característica: x2+ 2x+ 1 = 0. Raíces: a1=−1. Solución xeral: yx(t) = c1e−t+c2te−t. 3. d2y dt2+ 2y= 0. Ecuación característica: x2+ 1 = 0. Raíces: a1=iea2=−i. Solución xeral: yx(t) = e0t(c1cos t+c2sen t) = c1cos t+c2sen t. UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 17 4. A ecuación non homoxénea Consideremos de novo a ecuación non homoxénea (6) d2y dt2+P(t)dy dt +Q(t)y=R(t). Como explicabamos na Sección 1, se coñecemos a solución xeral de (7), só necesitamos calcular unha solución particular de (6) para coñecer a solución xeral de (6). Nesta sección imos explicar dous métodos para calcular esa solución particular da ecuación non homoxénea. 4.1. Método de variación de parámetros Este método baséase na utilización do coñecemento que se ten da solución xeral da ecuación homoxénea (7) para intentar atopar unha solución particular yp(t)da non homoxénea (6). Partindo de que c1y1(t) + c2y2(t)é a solución xeral da ecuación homoxénea (7), imos supoñer que a solución yp(t)da ecuación diferencial (6) adoita a forma5yp(t) = v1(t)y1(t) + v2(t)y2(t), e intentaremos calcular v1(t)e v2(t). Aínda que pareza que trocamos o problema de atopar unha función yp(t) polo problema máis complexo de atopar dúas funcións v1(t)ev2(t), temos certa liberdade para impoñer algunha condición sobre estas funcións que nos simplifique os cálculos, xa que o feito de que yp(t)sexa solución de (6) non é excesivamente limitativo. Cando calculamos y′ p(t) = v′ 1y1+v1y′ 1+v′ 2y2+v2y′ 2= (v1y′ 1+v2y′ 2)+(v′ 1y1+v′ 2y2), observamos que, se v′ 1(t)y1(t) + v′ 2(t)y2(t) = 0 (10) para todo t, entón y′′ p(t)non conterá termos con derivadas de segunda orde de v1(t)ev2(t). Imos impoñer, polo tanto, a condición (10) ás funcións v1(t)e v2(t), e así temos que y′′ p(t) = v′ 1y′ 1+v1y′′ 1+v′ 2y′ 2+v2y′′ 2. 5De aquí provén o nome deste método, varíanse os parámetros c1ec2. 18UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior Outra condición obterémola ao supoñer que yp(t)é solución da ecuación (6). Por unha parte obtemos que y′′ p+P(t)yp ′+Q(t)yp=v′ 1y′ 1+v1y′′ 1+v′ 2y′ 2+v2y′′ 2 +P(v1y′ 1+v2y′ 2) + Q(v1y1+v2y2) =v′ 1y′ 1+v′ 2y′ 2+v1(y′′ 1+Py′ 1+Qy1) +v2(y′′ 2+Py′ 2+Qy2) =v′ 1y′ 1+v′ 2y′ 2, xa que y1(t)ey2(t)son solucións de (7). Entón, para que yp(t)sexa solución de (6) necesariamente ten que cumprir v′ 1(t)y′ 1(t) + v′ 2(t)y′ 2(t) = R(t).(11) Unindo as condicións(10) e (11)) propomos, para todo t∈I, un sistema linear de dúas ecuacións e con dúas incógnitas, v′ 1(t)ev′ 2(t): v′ 1(t)y1(t) + v′ 2(t)y2(t) = 0, v′ 1(t)y′ 1(t) + v′ 2(t)y′ 2(t) = R(t).(12) A partir do determinante da matriz do sistema (12) imos definir unha función. Definición 2. Dadas dúas funcións reais y1ey2definidas nun intervalo I⊂ R, denominaremos wronskiano de y1ey2, e denotarémolo por W(y1, y2), á función real definida no intervalo Ipor W(y1, y2)(t) =  y1(t)y2(t) y′ 1(t)y′ 2(t) =y1(t)y′ 2(t)−y′ 1(t)y2(t).(13) O seguinte resultado vainos servir para garantir que o sistema (12) ten solución. Lema 1. Sexan y1(t)ey2(t)dúas solucións de (7). Entón, se y1(t)ey2(t)son linearmente independentes, o wronskiano W(y1, y2)(t)é distinto de cero en todo o intervalo I. Demostración. Faremos esta demostración por paso ao contrarrecíproco, é dicir, suporemos que o resultado non se cumpre e chegaremos a unha contradición. Supoñamos, pois, que existe t0∈Ipara o que W(y1, y2)(t0) =  y1(t0)y2(t0) y′ 1(t0)y′ 2(t0) = 0. Entón a primeira e a segunda columnas deste determinante teñen que ser vectores linearmente dependentes. Noutras palabras, ten que existir un número real ktal que y1(t0) = ky2(t0)ey′ 1(t0) = ky′ 2(t0).(14) UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 19 Ademais, resulta que ky2(t)é solución de (7), porque o é y2(t). Daquela y1(t) eky2(t)son ámbalas dúas solucións de (7), e as condicións (14) revelan que resolven o mesmo problema de valor inicial, polo que o Corolario 1 garante que son a mesma función, ou sexa, que y1(t) = ky2(t)no intervalo I. Pero entón y1(t)ey2(t)son linearmente dependentes. As funcións y1(t)ey2(t)que aparecen no sistema de ecuacións (12) son solucións de (7) linearmente independentes, de modo que o Lema 1 garante que o determinante da matriz do sistema non se anula en todo o intervalo I e, por conseguinte, que o sistema (12) é compatible determinado para todo t∈I. Resolvendo o sistema, por exemplo polo método de Cramer, calculamos expresións para v′ 1(t)ev′ 2(t): v′ 1(t) =  0y2(t) R(t)y′ 2(t) W(y1, y2)(t)=−y2(t)R(t) W(y1, y2)(t), v′ 2(t) =  y1(t) 0 y′ 1(t)R(t) W(y1, y2)(t)=y1(t)R(t) W(y1, y2)(t). Para obtermos as fórmulas para v1(t)ev2(t)só temos que integrar estas expresións respecto de t: v1(t) = ∫−y2(t)R(t) W(y1, y2)(t)dt, (15) v2(t) = ∫y1(t)R(t) W(y1, y2)(t)dt. (16) En resumo, unha solución particular da ecuación non homoxénea (6) é yp(t) = y1(t)∫−y2(t)R(t) W(y1, y2)(t)dt +y2(t)∫y1(t)R(t) W(y1, y2)(t)dt. (17) Este método de variación de parámetros resolve o problema de calcular unha solución particular da ecuación linear de segunda orde non homoxénea para o caso xeral, xa que non impón ningunha condición6sobre as funcións P(t),Q(t)eR(t)fóra das que xa teñen que verificar estas para que exista solución da ecuación diferencial. Porén temos que sinalar que as primitivas que aparecen nas expresións (15) e (16) resultan, en moitos casos, moi complexas de calcular. Incluso pode ocorrer que non sexan expresables en termos de combinacións de funcións elementais coñecidas, co que non poderíamos atopar unha fórmula manexable para v1ev2e, polo tanto, para yp(t). 6Fixémonos en que o método é válido aínda que as funcións P(t)eQ(t)non sexan constantes. 20UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior 4.2. Método dos coeficientes indeterminados O método que imos expoñer é moito menos xeral que o anterior, xa que só o poderemos aplicar cando a ecuación diferencial sexa da forma d2y dt2+Pdy dt +Qy =R(t), onde PeQson funcións constantes, e a función R(t)sexa unha función exponencial, un seno, un coseno, un polinomio na variable t, ou ben unha combinación de produtos de funcións dos tipos anteriores.Nonobstante, nestes casos adoita a ser moito máis sinxelo calcular a solución particular da ecuación diferencial con este método que non co método anterior de variación de parámetros. Un exemplo sinxelo sería d2y dt2+Pdy dt +Qy =eat.(18) √â lóxico pensar que que a solución y(t)da ecuación (18) sexa da forma Aeat, xa que ao derivar a función exponencial sempre se obtén unha nova exponencial, só varía o coeficiente que multiplica ao termo eat. Imos supoñer, polo tanto, que a solución é da forma yp(t) = Aeat, co que y′ p(t) = Aaeat,y′′ p(t) = Aa2eat ey′′ p+Py′ p+Qyp=A(a2+aP +Q)eat. Xa que logo, para que ypsexa solución de (18), necesariamente ten que cumprirse que y′′ p+Py′ p+Qyp=eat, é dicir, ypé solución da ecuación diferencial (18) se e só se A=1 a2+aP +Q. Obtivemos unha solución particular yp(t)da ecuación diferencial determinando o coeficiente A, sempre que anon sexa raíz da ecuación característica x2+Px +Q= 0. Por analoxía coa resolución da ecuación homoxénea con coeficientes constantes, se aé raíz da ecuación característica, imos probar cunha solución yp(t) = Ateat, así pois y′ p(t) = Aeat +Aateat,y′′ p(t) = Aa2teat + 2Aaeat e y′′ p+Py′ p+Qyp= (Aa2teat + 2Aaeat) + P(Aeat +Aateat) + QAteat =A(a2+aP +Q)teat +A(2a+P)eat =A(2a+P)eat Se yp(t)é solución da ecuación, entón y′′ p+Py′ p+Qyp=eat, polo tanto, yp(t)é solución se e só se A= 1/(2a+P). Temos resolto o problema sempre que anon sexa raíz da ecuación característica (a2+aP +Q= 0), ou se aé raíz de multiplicidade un da ecuación característica (a2+aP +Q= 0 e2a+P= 0). No caso de asexa unha raíz da ecuación característica de multiplicidade dous, próbase cunha solución yp(t)=At2eat e, procedendo de xeito análogo aos casos anteriores, determínase que yp(t)é solución se e só se A= 1/2. UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 21 Poderiamos ir dando solución ós casos en que a función R(t)sexa un seno, un coseno ou un polinomio na variable t.Nonobstante, imos presentar un algoritmo máis xenérico. Definición 3. As funcións 1.−tnn∈N.3.−sen (bt +c)b= 0. 2.−eat a= 0.4.−cos (bt +c)b= 0. e os produtos de funcións de calquera dos catro tipos anteriores denomínanse funcións tipo coeficientes indeterminados (CI). O método dos coeficientes indeterminados pódese aplicar cando R(t)é combinación linear de funcións tipo CI. Definición 4. Se fé unha función tipo CI, o conxunto fundamental de f, Sf, é o conxunto formado polo mínimo número de funcións linearmente independentes tales que fe as súas derivadas pódense escribir como combinación linear delas. Exemplo 3. Calcular os conxuntos fundamentais das seguintes funcións: 1. f(t) = t3. Temos que f′(t) = 3t2,f′′(t)=6t,f′′′(t)=6ef(n)(t)=0 para todo n≥4. Polo tanto Sf={t3, t2, t, 1}. 2. g(t) = sen 2t. Calculemos algunhas derivadas: g′(t) = 2 cos 2t, g′′(t) = −4sen 2t, g′′′(t) = −8cos 2t, g(4)(t) = 16 sen 2t. Continuando coa derivación chegamos a que, dependendo do valor n, g(n)(t) = ±2ncos 2tou g(n)(t) = ±2nsen 2t. Entón, o conxunto fundamental será Sg={sen 2t, cos 2t}. 3. h(t) = t2sen t. Procedendo como nos exemplos anteriores, temos que h′(t) = 2tsen t+t2cos t, h′′(t) = 2 sen t+ 4tcos t−t2sen t, h′′′(t) = 6 cos t−6tsen t−t2cos t, h(4)(t) = −12 sen t−8tcos t+t2sen t, de onde se deduce h(n)(t) = ±((n(n−1) sen t−2nt cos t−t2sen t) ou h(n)(t) = ±((n(n−1) cos t−2nt sen t−t2cos t). Xa que logo, o conxunto fundamental será Sh={sen t, cos t, t sen t, t cos t, t2sen t, t2cos t}. 22UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior Supoñamos, pois, que R(t) = λ1u1(t) + ...+λkuk(t) é unha función tipo CI, o método dos coeficientes indeterminados consta dos seguintes pasos: 1. Calcúlanse os conxuntos Su1, . . . , Suk. 2. Se para algún par de índices i=jacontece que Sui⊂Suj, entón elimínase o conxunto Sui. 3. Se algún dos conxuntos Suicontén funcións que sexan solución da correspondente ecuación homoxénea, multiplícanse tódalas funcións dese conxunto pola menor potencia de tque garanta que ningunha das novas funcións sexan solución da antedita ecuación homoxénea. 4. Fórmase unha combinación linear de tódalas funcións dos conxuntos que resultan de aplicar os pasos anteriores. Esta combinación será a que conxecturaremos como posible solución ypda ecuación diferencial. 5. Determínanse os coeficientes da anterior combinación linear, impoñéndolle a ypque verifique a ecuación diferencial. Exemplo 4. Atopar a solución xeral da seguinte ecuación diferencial: d2y dt2−3dy dt + 2y= 2t2+ 2tet+et+ 4e3t. O primeiro que faremos será calcular a solución xeral da ecuación homoxénea, para o que previamente calcúlanse as raíces da ecuación característica: x2−3x+ 2 = 0, que son a1= 2 ea2= 1. A solución xeral da ecuación homoxénea é, polo tanto, yh(t) = c1e2t+c2et. O termo non homoxéneo R(t) = 2t2+ 2tet+et+ 4e3t é combinación linear de u1=t2,u2=et,u3=teteu4=e3t, funcións tipo CI. Estamos, polo tanto, en condicións de aplicar o método dos coeficientes indeterminados. 1. Su1={t2, t, 1},Su2={et},Su3={tet, et}eSu4={e3t}. 2. Elimínase Su2, xa que Su2⊂Su3. 3. Su3contén a función et, que é solución da ecuación homoxénea, polo que multiplícanse tódalas funcións de Su3por t. Así, Su3pasa a ser Su3={t2et, tet}, que xa non contén ningunha solución da ecuación homoxénea. UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 23 5.1.2.3. Vibracións subamortecidas Para finalizar, analizaremos que acontece cando c2−4km < 0. Neste caso a ecuación característica ten dúas raíces complexas conxugadas, r1=a+βi er2=a−βi, onde a=−c/2meβ=√k−c2/4m2. Daquela, toda solución de (28) pódese escribir da seguinte forma x(t) = e−ct/2m(c1cos βt +c2sen βt), ou, do mesmo xeito que fixemos coa expresión (24), da forma alternativa x(t) = Ae−ct/2mcos (βt −φ),(31) onde A=√c2 1+c2 2eφ=arctan (c2/c1). O movemento do obxecto é case que periódico, no senso de que o obxecto pasa pola PE a intervalos de tempo regulares, pero a súa amplitude decrece exponencialmente (ver Figura 5). O «caseperíodo» deste movemento viría dado por T=2π β=2π √k m−c2 4m2 ,(32) e a «casefrecuencia» sería f=1 T=β 2π=1 2π√k m−c2 4m2,(33) aínda que é habitual chamarlle frecuencia natural do sistema, igual que no caso das vibracións libres. Se o rozamento co medio desaparece (c= 0) é inmediato comprobar que (32) e (33) convértense en (25) e (26). Tamén neste caso se cumpre que lim t→+∞x(t) = lim t→+∞(Ae−ct/2mcos (βt −φ))= 0, así que o obxecto irá diminuíndo a súa velocidade ata se deter na PE. t x0 x xHtL=Aã-ct2m xHtL= -Aã-ct2m Figura 5: Vibracións subamortecidas. Gráfica da función x(t) = Ae−ct/2mcos (βt −φ) 30UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior Nos tres casos analizados nesta subsección podemos ver que o movemento provocado por calquera perturbación inicial do sistema acaba por desaparecer —a diferenza do que acontece nas vibracións libres— debido ao amortecemento. E o fai máis ou menos rapidamente en función das constantes c(amortecemento) e k(forza do resorte), como tamén da masa do obxecto e das condicións iniciais. √â o funcionamento, por exemplo, do sistema de suspensión dos automóbiles. 5.1.3. Vibracións forzadas amortecidas Ata o momento temos considerado modelos nos que só interviñan forzas internas ao propio sistema masa-resorte-amortecedor. Analizaremos agora o caso no que, ademais da forza do resorte e da forza de amortecemento, unha forza externa f(t)actúa sobre o obxecto. Este tipo de forzas aparecen en diversas situacións: ben debido a movementos do soporte, ben debido a acción dun campo magnético sobre o obxecto... O caso máis interesante preséntase cando a forza externa actúa periodicamente, digamos f(t) = A0cos ωt, polo que a aplicación da lei de Newton lévanos ata a ecuación diferencial non homoxénea md2x dt2+cdx dt +kx(t) = A0cos ωt ou d2x dt2+c m dx dt +k mx(t) = A0 mcos ωt. (34) A súa solución xeral será a suma da solución xeral da correspondente ecuación homoxénea (28) (xh(t), que xa foi calculada con anterioridade) e unha solución particular de (34), que se pode calcular co método dos coeficientes indeterminados: x(t) = A0 (k−ω2m)2+w2c2((k−ω2m)cos ωt +ωc sen ωt)).(35) Por tanto, operando de novo como en (24), calquera solución de (34) adoitará a forma x(t) = xh(t) + A0 √(k−ω2m)2+w2c2cos (ωt −ϕ),(36) onde ϕ=arctan (wc/(k−ω2m)). O primeiro dos sumandos denomínase parte transitoria da solución, xa que vai desaparecendo11 segundo crece t. Por tanto, co paso do tempo a solución vai adoitando a forma do segundo sumando ou parte estacionaria, e podemos asumir que, para valores grandes de t, a solución de (34) é igual á súa solución particular, é dicir, unha función periódica de frecuencia ω/2πe de amplitude A0 √(k−ω2m)2+ω2c2.(37) 11O comportamento da solución xeral de (28) xa foi analizado, e en tódolos casos cumpríase que limt→+∞xh(t)=0. UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 31 A expresión (37) da amplitude amósanos que esta depende tanto da amplitude (A0) e a frecuencia (ω/2π) da forza externa, coma dos coeficientes kec, e tamén da masa mdo obxecto. Supoñamos, por exemplo, que o valor de cé moi pequeno, ou sexa, que o movemento está moi pouco amortecido, o que corresponderá en xeral cun movemento subamortecido —ver a fórmula (31)— como parte transitoria da solución, polo que (36) será x(t) = e−ct/2m√c2 1+c2 2cos (βt −φ) + A0 √(k−ω2m)2+w2c2cos (ωt −ϕ). Como cé moi pequeno, a frecuencia natural do sistema é aproximadamente igual que no caso sen amortecemento: β 2π=1 2π√k m−c2 4m2≈1 2π√k m, de modo que, sempre que a frecuencia da forza externa ω/2πestea preto da frecuencia natural β/2π, os termos c2ω2e(k−ω2m)serán moi pequenos tamén, polo que a amplitude da parte estacionaria será moito máis grande que a amplitude da forza externa. Este fenómeno coñécese como resonancia12, e podemos ver un exemplo na seguinte Figura 6, onde tomamos k= 0.001 N/m, c= 0.02 N·s/m em= 0.25 kg, a forza externa é f(t)=0.01 cos (t/16) e supoñemos que o obxecto inicialmente está parado (sen velocidade) na PE. 100 200 300 400 t -10 -5 0 5 x Figura 6: Vibracións forzadas amortecidas. Fenómeno da resonancia Aínda que a amplitude da forza externa é de só 1cm, o movemento estacionario resultante ten unha amplitude de máis de 8m. 12En realidade a resonancia pura prodúcese en ausencia de amortecemento, e o movemento resultante é case que periódico pero con amplitude crecente —e non limitada— co tempo. 32UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior 5.2. Circuítos eléctricos Consideraremos nesta sección a aplicación das ecuacións diferenciais lineares de segunda orde aos circuítos eléctricos coñecidos como circuítos RLC, formados por fontes de voltaxe (baterías, xeradores...), resistencias, indutores e condensadores. Na Figura 7 pódese ver un esquema dun circuíto RLC conectado en serie, no que hai un xerador ou batería que produce unha diferenza de E(t) R L C Figura 7: Circuíto RLC en serie. potencial de E(t)voltios (V), que fai fluír unha corrente de I(t)amperios (A) polo circuíto. Tamén aparece unha resistencia de Rohmios (Ω) que se opón ao paso da corrente (podería ser unha lámpada de incandescencia, un secador do pelo...). Atopamos a continuación unha bobina ou indutor, de indutancia Lhenrios (H), que almacena enerxía eléctrica en forma de campo magnético. Por último, temos un condensador, de capacitancia Cfaradios (F), que almacena unha carga eléctrica de q(t)culombios (C). Como non hai ningunha bifurcación no circuíto, a primeira lei de Kirchhoff (lei da corrente) dinos que a corrente I(t)que pasa por cada elemento do circuíto é a mesma. A segunda lei de Kirchhoff (lei da voltaxe) establece que a suma das diferenzas de potencial en calquera circuíto pechado ten que ser cero, pero para poder aplicala teremos que coñecer canto valen esas variacións en cada elemento do circuíto: •entre os bornes do xerador hai unha diferenza de potencial de E(t) voltios. •atendendo á lei de Ohm, a diferencia de potencial entre os puntos de conexión dunha resistencia de Rohmios é proporcional á corrente que pasa por dita resistencia, e vale −RI(t). •a partir das leis de Faraday e Lenz, dedúcese que a diferencia de potencial entre os puntos de conexión dunha bobina de indutancia L henrios é proporcional á variación da corrente, e vale −L(dI/dt). •a diferencia de potencial entre os puntos de conexión dun condensador, de capacitancia Cfaradios, é proporcional á carga eléctrica q(t)que almacena, e vale (−1/C)q(t). Polo tanto, E(t)−LdI dt −RI(t)−1 Cq(t) = 0,(38) UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 33 de onde, tendo en conta que I(t) = dq/dt, dedúcese directamente que Ld2q dt2+Rdq dt +1 Cq(t) = E(t)ou d2q dt2+R L dq dt +1 CLq(t) = E(t) L,(39) supoñendo, no segundo caso, que L= 0. Podemos observar sen dificultade que a ecuación diferencial (39), que describe un circuíto RLC, é absolutamente similar á ecuación diferencial (34), que describe un sistema mecánico masa-resorte-amortecedor baixo a acción dunha forza externa. Onde nos sistemas mecánicos falamos de desprazamento x(t)do obxecto, nos circuítos falamos da carga eléctrica q(t). Asemade, a masa mdo corpo, a constante kdo resorte e a constante cdo rozamento co medio, correspóndense, respectivamente, coa indutancia L, a inversa da capacitancia 1/Ce a resistencia R. De aí que todo o explicado en relación ao comportamento destes sistemas segue a ser válido para os circuítos RLC, en particular o coñecido fenómeno da resonancia, que adoita ter aplicacións desexables no caso dos circuítos eléctricos. Cabe destacar o caso, non exposto no apartado de sistemas mecánicos, dun circuíto no que non haxa resistencia eléctrica13 e o xerador produza unha diferencia de potencial que varíe periodicamente co tempo, por exemplo E(t) = A0cos ωt. Entón a ecuación (39) pasa a ser d2q dt2+α2q(t) = A0 Lcos ωt, (40) con α2= 1/(CL). Para resolvela temos que coñecer a solución xeral da ecuación homoxénea, unha función periódica que temos xa calculada en (24): c1cos αt +c2sen αt =Acos (αt −φ), onde A=√c2 1+c2 2eφ=arctan (c2/c1). A frecuencia natural do sistema toma un valor de 1/(2π√CL). Tamén temos que calcular unha solución particular de (40), por exemplo, polo método dos coeficientes indeterminados. Hai que considerar dous casos diferentes, segundo a frecuencia natural do sistema e a frecuencia coa que varía a diferencia de potencial producida polo xerador tomen o mesmo valor (é dicir, α=ω) ou valores distintos. Analizaremos unicamente o primeiro dos casos, no que aparece un comportamento pouco común da carga eléctrica e, con ela, da corrente. Cando α=ω, resulta que (A0/L)cos ωt = (A0/L)cos αt é solución da ecuación homoxénea, e utilizando o método dos coeficientes indeterminados 13Isto corresponderíase cun sistema masa-resorte no que non houbese ningún tipo de forza amortecedora. Son situacións virtuais que non se producen na realidade, nin no caso dos circuítos nin no dos sistemas mecánicos. Nun circuíto eléctrico os propios cables que o forman xa presentan unha resistencia ao paso da corrente. Pola súa parte, un sistema masa-resorte tería que estar situado nun baleiro total para que non se presentase unha forza de rozamento amortecedora do movemento. 34UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior obtemos que a función A0t 2Lα sen αt é unha solución particular da ecuación (40). Polo tanto, calquera solución da antedita ecuación (38) adoitará a forma q(t) = Acos (αt −φ) + A0t 2Lα sen αt. (41) onde Aeφdependen dos valores iniciais da carga e a corrente. Se ben o primeiro sumando en (41) é unha función periódica, o segundo sumando representa unha función case que periódica, pero cunha amplitude que crece indefinidamente co tempo. Xa que logo, se a frecuencia de variación da diferencia de potencial producida polo xerador coincide coa frecuencia natural do sistema, diremos que esta é a frecuencia de resonancia, e que o circuíto está en resonancia —ou que é resoante—, o que provocará oscilacións non limitadas tanto na carga eléctrica como na corrente. Podemos ver un exemplo da gráfica da carga nun circuíto RLC (en realidade un circuíto LC, xa que non temos en conta a resistencia) na Figura 8. Correspóndese cun circuíto cunha bobina de indutancia 1henrio, un condensador de capacitancia de 0.25 faradios e un xerador que produce unha diferencia de potencial de cos 2tvoltios, no que supoñemos que tanto a carga como a corrente iniciais son cero. 10 20 30 40 50 -10 -5 5 10 Figura 8: Fenómeno da resonancia nun circuíto LC 6. Ecuacións lineares de orde superior Se ben na Sección 2 indicamos que nos centrariamos, por comodidade de notación, nas ecuacións diferenciais lineares de segunda orde —máis concretamente, nas que teñen coeficientes constantes—, a realidade é que a meirande parte dos resultados alí expostos pódense estender sen dificultade ás ecuacións lineares de orde ncon coeficientes constantes, tanto non UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 35 homoxénea: y(n)+P1y(n−1) +···+Pn−1y′+Pny=R(t),(42) como homoxénea: y(n)+P1y(n−1) +···+Pn−1y′+Pny= 0.(43) En primeiro lugar, o Teorema 3 pódese xeneralizar para ecuacións de orde n. Teorema 4. As solucións de (43) forman un espazo vectorial real de dimensión n. Entón a solución xeral da ecuación homoxénea (43) conterá n constantes (yh=yh(t, c1, . . . , cn)), e podemos enunciar un resultado análogo ao Teorema 2. Teorema 5. Se yh(t, c1, . . . , cn)é a solución xeral de (43) eyp(t)é unha solución calquera de (42), entón yx(t, c1, . . . , cn) = yh(t, c1, . . . , cn) + yp(t) é a solución xeral de (42). Seguiremos, polo tanto, o guión da Sección 2 —aínda que non faremos ningún tipo de demostración—, é dicir: calcularemos a solución xeral da ecuación homoxénea (43) e unha solución particular da non homoxénea. Para calcular a solución xeral da ecuación (43) procederemos como no caso da ecuación de segunda orde, polo que a función eat será solución da ecuación diferencial se e só se aé solución da ecuación característica xn+P1xn−1+···+Pn−1x+Pn= 0. Esta ecuación, segundo o teorema fundamental da álxebra, podémola escribir da forma (x−a1)(x−a2)···(x−an) = 0, onde, obviamente, aison as raíces da ecuación para i= 1, . . . , n (non necesariamente distintas). Preséntanse tres casos diferentes, ao igual que nas ecuacións de segunda orde, dependendo das raíces da ecuación característica. •Se as raíces son números reais e todas distintas, entón teremos n solucións, ea1t, ea2t, . . . , eant,(44) linearmente independentes da ecuación (43) e, debido ao Teorema 4, a solución xeral de (43) será yh(t, c1, . . . , cn) = c1ea1t+c2ea2t+···+cneant.(45) 36UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior •Se unha raíz real, por exemplo a1ten multiplicidade14 k≤n, entón as solucións (44) non son linearmente independentes, así que (45) non será a solución xeral de (43). Cando estudamos a ecuación de segunda orde, aplicando o método explicado na Subsección 3.1 á solución ea1t, obtiñamos unha nova solución tea1tlinearmente independente coa anterior. Aplicando de novo dito método á solución tea1t, obtemos t2ea1tcomo nova solución linearmente independente coas anteriores. Sen máis que aplicar tal método kveces sucesivas, teremos calculado ksolucións linearmente independentes. Neste caso, os kprimeiros sumandos da solución xeral (45) terían que ser substituídos pola seguinte expresión: (c1+c2t+c3t2+···+cktk−1)ea1t. Para cada raíz real múltiple teriamos que obter unha expresión similar a esta, que substituiriamos á súa vez en (45). •Se algunha das raíces son complexas puras, xa que os coeficientes da ecuación característica son números reais, é coñecido que ditas raíces complexas aparecen sempre como pares de números complexos conxugados. Supoñamos, por exemplo, que a1=c+di ea2=c−di, con d= 0. Isto xa foi estudado no caso n= 2, e teriamos que substituír c1ea1t+c2ea2ten (45) pola expresión ect(c1cos dt +c2sen dt). No caso de que a1=c+di ea2=c−di teñan multiplicidade k, habería que aplicar o método da Subsección 3.1 para obter máis solucións linearmente independentes, o que nos levaría a substituír os 2kprimeiros sumandos de (45) por ect((c1+c3t+···+c2k−1tk−1)cos dt + (c2+c4t+···+c2ktk−1)sen dt). Como no caso anterior, para cada par de raíces complexas múltiples teriamos que obter unha expresión similar para substituír en (45). Exemplo 5. Atopar a solución xeral de: 1. y′′′ −4y′′ −11y+ 30 = 0. Ecuación característica: x3−4x2−11x+ 30 = 0. Raíces: a1=−3,a2= 2 ea3= 5. Solución xeral: yx(t) = c1e−3t+c2e2t+c3e5t. 2. y′′′ + 9y′′ + 27y+ 27 = 0. Ecuación característica: x3+ 9x2+ 27x+ 27 = (x+ 3)3= 0. Raíces: a1=−3, de multiplicidade 3. Solución xeral: yx(t) = e−3t(c1+c2t+c3t2). 14Coa notación que estamos a usar, isto quere dicir que a1=a2=· · · =ak UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 37 3. y(6) −6y(5) + 18y(4) −32y′′′ + 36y′′ −24y+ 1 = 0. Ecuación característica: (x2−2x+ 2)3= 0. Raíces: a1= 1 + iea2= 1 −i, cada unha de multiplicidade 3. Solución xeral: yx(t) = et((c1+c3t+c5t2)cos t+ (c2+c4t+c6t2)sen t). 4. y(8) +4y(7) −16y(6) −100y(5) −170y(4) −212y(3) −288y′′ −108y−135 = 0. Ecuación característica: (x−5)(x+ 3)3(x2+ 1)2= 0. Raíces: a1= 5,a2=−3(multiplicidade 3), a3=iea4=−i(cada unha de multiplicidade 2). Solución xeral: yx(t) = c1e5t+ (c2+c3t+c4t2)e−3t+ (c5+c7t)cos t+ (c6+c8t)sen t. Para calcular unha solución particular da ecuación non homoxénea (42) podemos xeneralizar os métodos xa empregados para as ecuacións de segunda orde. O método de variación de parámetros non adoita a ser un método recomendable para este tipo de ecuacións. Aínda que é perfectamente adaptable para este tipo de problemas, ten un custo operacional —crecente coa orde da ecuación diferencial— que o convirte moitas veces en inaplicable. O método dos coeficientes indeterminados segue a ser válido, e aplícase do mesmo xeito, nos mesmos casos que para as ecuacións de segunda orde: cando a parte non homoxénea é combinación linear de funcións tipo CI (ver a Sección 4.2). Exemplo 6. Atopar a solución xeral de y(4) −4y′′′ +6y′′ −4y′= 24t2+10 cos t. As raíces da ecuación característica a4−4a3+ 6a2−4a= 0 son a1= 0,a2= 2,a3= 1 + iea4= 1 −i, polo que a solución xeral da ecuación homoxénea será yh(t) = c1+c2e2t+et(c3cos t+c4sen t). A parte non homoxénea é combinación linear de u1=t2eu2=cos t, polo que o método dos coeficientes indeterminados pódese aplicar, e temos que Su1={1, t, t2}eSu2={cos t, sen t}. O conxunto Su1contén solucións da ecuación homoxénea, polo que pasamos a considerar Su1={t, t2, t3}, que xa non contén ningunha. Polo tanto, suporemos que unha solución particular da nosa ecuación adoitará a forma yp(t) = At +Bt2+Ct3+Dcos t+Esen t, co que y′ p=A+ 2Bt + 3Ct2−Dsen t+Ecos t, y′′ p= 2B+ 6Ct −Dcos t−Esen t, y′′′ p= 6C+Dsen t−Ecos t, y(4) p=Dcos t+Esen t. 38UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior Sen máis que substituír ypna ecuación diferencial chegamos a que y(4) p−4y′′′ p+ 6y′′ p−4y′ p=−4A+ 12B−24C+ (−8B+ 36C)t−12Ct2 −5Dcos t+ 5Esen t = 24t2+ 10 cos t, de onde, igualando coeficientes, obtemos que A=−15,B=−9,C=−2, D=−2eE= 0. Daquela, a solución xeral que buscamos é yx(t) = c1+c2e2t+et(c3cos t+c4sen t)−15t−9t2−2t3−2cos t. 6.1. Osciladores harmónicos acoplados Ecuacións diferenciais de orde superior a dous aparecen a míudo cando se aborda o estudo simultáneo de máis dunha ecuación diferencial, o que adoita a denominarse sistemas de ecuacións diferenciais. Noutras unidades didácticas poderá desenvolverse o estudo —totalmente independente— dos sistemas de ecuacións diferenciais, pero aquí exporemos un exemplo de como obter unha ecuación de orde superior a partir dun deses sistemas. Consideremos unha carreta de masa msuxeita á parede por medio dun resorte elástico como a da Figura 9. O comportamento destes resortes foi xa explicado na Sección 5.2 e, asumindo que a constante do resorte vale ke tendo en conta unicamente a forza do resorte, da segunda lei de Newton do movemento podemos deducir a ecuación diferencial que rexe o movemento desa carreta: d2x dt2+k mx(t) = 0,(46) na que x(t)mide o desprazamento da carreta respecto da posición de equilibrio, onde o resorte está sen alongar e, polo tanto, non exerce forza algunha sobre a carreta. PE m k PE x m k kx Figura 9: Oscilador harmónico Cabe destacar que a ecuación (46) é exactamente a mesma que a (21) deducida na Sección 5.2, polo que, se desprazamos a carreta da posición de equilibrio (e/ou modificamos a súa velocidade) sabemos que se moverá UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 39 O desprazamento xdo flu´ıdo no tubo ´e producido pola diferenza de presi´on nos seus extremos: md2x dt2=ALρd2x dt2=p1A−p2A, onde A´e a secci´on do tubo, La s´ua lonxitude e ρa densidade do flu´ıdo. A forza p2Aest´a equilibrada con outras d´uas: Coa forza de resistencia ´a deformaci´on presentada polo diafragma sensible, que act´ua coma un resorte: −kx. Coa forza de fricci´on debida ´a viscosidade do flu´ıdo, que ´e proporcional ´a velocidade: −cx�(t). ´e dicir, que p2A−kx−cx�(t) = 0. Polo tanto, a ecuaci´on finalmente queda: ALρd2x dt2=p1A−kx−cdx dt . Esta ecuaci´on indica que a resposta do dispositivo, ´e dicir, o movemento da membrana sensible, ax´ustase a unha EDO linear de segunda orde. Considera que o tubo ten 2 m de longo, unha secci´on de 0.05 m2e que est´a cheo de auga (ρ= 100 kg/m3). As constantes de proporcionalidade son k= 500 N/m e c= 400 N·s/m. Calcula a soluci´on xeral da ecuaci´on resultante de aplicar unha presi´on de 40 N no comezo do tubo. 5. Unha das ecuaci´ons fundamentais nos circu´ıtos el´ectricos ´e Ldi dt +Ri =E(t) (1) onde L(henrios) denom´ınase indutancia, R(ohmios) resistencia, i(amperios) intensidade de corrente e E(voltios) a forza electromotriz o f.m.e. (Neste problema consid´eranse constantes ReL). a) Resolver (1) cando E(t)=E0e a intensidade de corrente inicial ´e i0. b) Resolver (1) cando R= 3 henrios, R= 15 ohmios, E(t) ´e unha onda sinusoidal de amplitude 110 voltios, ciclo 60, e i= 0 para t= 0. R L ~E(t) E0 R L 46UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior AVALIACIÓN Non está previsto realizar unha avaliación inicial para esta unidade didáctica —é a terceira das seis unidades que configuran a materia, polo que o grao de competencia dos e das estudantes en relación á materia debería xa ser coñecido—, como tampouco unha avaliación final específica para ela, alén, obviamente, da avaliación final da materia da que forma parte. A avaliación procesual realizarase durante todo o tempo en que se imparta a unidade —incluso a materia no seu conxunto—, tanto ao longo de tódalas sesións presenciais (clases expositivas, seminarios e, se é o caso, titorías clásicas), como nas posibles consultas realizadas en liña, a participación nos foros... O obxectivo será recabar, por unha parte, toda a información posible que permita esculcar o grado de asimilación, por parte do alumnado, dos contidos teórico-prácticos e os conceptos traballados, e por outra parte, a rapidez e a dificultade coas que se produce este proceso de aprendizaxe. Isto permitirá non só poder introducir, se é necesario, algunha modificación sobre o deseño inicialmente previsto —a temporalización da unidade, e con ela da materia, por exemplo—, senón tamén abordar, en cursos vindeiros, o deseño da unidade didáctica e a materia á que pertence cunha perspectiva cada vez máis axustada á realidade. A avaliación final da materia levarase a cabo a partir dunha serie de probas escritas —exames— que consistirán na realización de exercicios completamente similares aos incluídos nos boletíns propostos. Non hai que dicir que os exercicios relacionados con esta unidade didáctica que se inclúan neses exames procurarán determinar se os obxectivos detallados na segunda sección desta guía foron acadados. BIBLIOGRAFÍA BRAUN, M. (1990): Ecuaciones diferenciales y aplicaciones, México: Grupo Editorial Iberoamérica. NAGLE, R.K.; E.B. SAFF e A.D. SNIDER (2001): Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, México: Pearson Education. EDWARDS, C.H. e D.P. PENNEY (1985): Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones, Prentice-Hall. PÉREZ,C. (2007): MATLAB y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería, Prentice Hall. SIMMONS, G.F. (1993): Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. (2.aed.), McGraw-Hill. UNIDADE DIDÁCTICA III. Ecuacións diferenciais de orde superior - 47 VICERREITORÍA DE ESTUDANTES, CULTURA E FORMACIÓN CONTINUA Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Enxeñaría Civil Matemáticas III Juan Bosco Ferreiro Darriba Área de Matemática Aplicada Departamento de Matemática Aplicada Escola Politécnica Superior 3 Ecuacións diferenciais de orde superior 9788498 879896