Los Espacios de Sobolev-Bochner

Traballo Fin de Grao Los Espacios de Sobolev-Bochner Manuel Modroño Beires-Dias 2020/2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Los Espacios de Sobolev-Bochner Manuel Modroño Beires-Dias Julio 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Análise Matemática Título: Los Espacios de Sobolev-Bochner Breve descrición do contido En este trabajo se estudiarán los espacios de Sobolev-Bochner. Se empezará introduciendo brevemente contenidos fundamentales para su construcción y estudio, se definirán y caracterizarán dichos espacios y finalizaremos con una aplicación a la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Recomendacións Outras observacións iii Índice general Resumen viii Introducción xi 1. Preliminares 1 1.1. EspaciosdeBanach................................ 1 1.1.1. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Espacios Lp.................................... 4 1.3. Tiposdeconvergencia .............................. 5 1.4. Teoría de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. La integral de Bochner 15 2.1. Funcionesmedibles................................ 15 2.2. La integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Propiedades de la integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Espacios Lprevisitados.............................. 21 3. Los espacios de Sobolev-Bochner 23 3.1. Derivadasdébiles................................. 23 3.2. Los espacios Wm,p(Ω; Y)............................. 24 3.3. Propiedades de los espacios Wm,p(Ω; Y)yAC(I;Y).............. 25 3.4. Triples de evolución y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Aplicaciones a las EDP 37 4.1. La ecuación del calor. Motivación general de solución. . . . . . . . . . . . . 37 4.2. Existencia y unicidad de solución. Acotación con respecto a los datos. . . . 41 4.3. Resolución numérica del problema (discretización espacial) . . . . . . . . . . 48 4.4. Simulación del problema con FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 v vi ÍNDICE GENERAL 4.4.1. Planteamiento de la aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4.2. Testdelerror............................... 55 A. Conceptos previos 59 A.1. Integración de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.1.1. Espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.1.2. Concepto de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 A.1.3. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.1.4. La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B. Código programa principal 69 C. Código programa autofunciones 77 Bibliografía 81 2CAPÍTULO 1. PRELIMINARES (i) d(x, y) = 0 ⇔x=y. (1.4) (ii) d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈X. (1.5) (iii) d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z),∀x, y, z ∈X. (1.6) Al espacio (X, d)se le llamará espacio métrico. Observación 1.3.Si (X, k·k)es un espacio vectorial normado, la aplicación d(x, y) := ky−xk es una distancia, denominada la distancia inducida por la norma. Definición 1.4. Un espacio métrico (X, d)se dice completo si toda sucesión de Cauchy en Xes convergente. Observación 1.5.Esta definición también se cumple para todo espacio normado, pues todo espacio normado es métrico con tan sólo considerar d(x, y) := ky−xkcomo métrica. Definición 1.6. Un espacio normado (X, k · k)se dice un espacio de Banach si es un espacio métrico completo con la distancia inducida por la norma. Ejemplos 1.7. (i) (R,| · |)y(C,| · |), con el valor absoluto y el módulo respectivamente, son espacios de Banach. (ii) Si Yes un conjunto y (Z, k · k)es un espacio de Banach, consideremos, para toda función f:Y→Z, kfk∞:= sup y∈Y kf(y)k ∈ [0,∞]. Sea entonces B(Y, Z) := {f:Y→Z/ kfk∞<∞}. El espacio de las funciones acotadas de YaZ,(B(Y, Z),k · k∞), es un espacio de Banach. (iii) Sea Y⊂Rn. Si consideramos el conjunto BC(Y, Z) := {f∈ B(Y, Z)/ f es continua}, entonces el espacio de las funciones continuas acotadas de YaZ,(BC(Y, Z),k · k∞), es un espacio de Banach. 1.1. ESPACIOS DE BANACH 3 Definición 1.8. Si denotamos por h·,·i el producto escalar, y (Y, h·,·i)un espacio vectorial dotado de un producto interior. Entonces Yserá un espacio de Hilbert si es un espacio vectorial métrico completo con la distancia inducida d(x, y) = phx−y, x −yi. Se puede comprobar que Knes un espacio de Hilbert. Definición 1.9. Un subconjunto ortonormal de un espacio de Hilbert Hes un subconjunto Ecumpliendo las propiedades: (a) para cada e∈E,kek= 1, (b) si e1, e2∈Eye16=e2, entonces e1⊥e2. Definición 1.10. Una base de Hilbert de Hes un conjunto ortonormal maximal. 1.1.1. Otras propiedades Definición 1.11. Si Ees un espacio de Banach, definimos su espacio dual asociado como E∗:= LB(E, K), es decir, el espacio de las funciones lineales acodadas de EaK.La norma se define en E∗ como kfkE∗:= sup kxk≤1 x∈E |f(x)|. Debemos notar que, mientras que Epuede ser un espacio cuyos elementos son vectores, los elementos de E∗pasan a ser operadores lineales acotados, con lo cual la notación comunmente usada para funciones aplicadas sobre un punto o vector f(x)no sería tan adecuada en este caso, en el que nos referiremos a la aplicación de un operador f∈E∗ sobre un x∈Ecomo hf, xi, el cual se conoce como el producto escalar en el par dualidad (E∗, E). Definición 1.12. Dado x∈E, la aplicación f7→ hf, xies un operador funcional lineal continuo en E∗, luego es un elemento de E∗∗, que denotaremos por Jx. En ese caso se tiene: hJx, fiE∗∗,E =hf, xiE∗,E,∀x∈E, ∀f∈E∗. Dada la definición de Jqueda claro que es lineal y es una isometría, es decir, kJxkE∗∗ = kxkE. Definición 1.13. Sea Eun espacio de Banach y J:E→E∗∗ la inyección canónica de EaE∗∗. El espacio Ese dice reflexivo si Jes sobreyectiva, es decir, J(E) = E∗∗.Si un espacio Ees reflexivo, normalmente se identifica E∗∗ con E. 4CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Definición 1.14. Un espacio métrico Mse dice separable si existe un subconjunto N⊂ Mque es numerable y denso en M. 1.2. Espacios Lp En primer lugar, es interesante recordar que una seminorma es una aplicación que sólo verifica las propiedades de linealidad de los elementos de K1.2 y la desigualdad triangular 1.3, permitiendo así, que la seminorma de elementos no nulos pueda ser nula. Ahora definamos la seminorma k·kpde una función f:Y→Kcomo kfkp:= ZY |f|pdµ1 p∈[0,∞]. De esta forma podremos definir en un primer lugar los espacios Lp. En efecto, si p∈ [1,∞),Yes un conjunto, Σuna σ-álgebra (ver A.1) sobre Yyµuna medida (ver A.2) sobre Σ, definimos Lp(Y, µ, K) := {f:Y→K/kfkp<∞}. El conjunto anterior debe entenderse como un subconjunto del conjunto de las funciones medibles de Ycon valores en K(ver A.6). Sin embargo, observamos que Lp(Y, µ, K)no puede ser un espacio normado, pues k·kp no es una norma, ya que existen funciones no nulas con norma pnula, tales como f(y) := (1si y ∈[0,1] ∩Q, 0si y ∈[0,1] \Q, la conocida función de Dirichlet. En efecto, es claro que la función es no nula, ya que si y∈[0,1] ∩Q6=∅, f(y)=16= 0, y como |f|p=fpara todo p∈[1,∞), kfkp p:= Z[0,1] |f|pdµ =Z[0,1] f dµ = 0 ·µ([0,1] \Q)+1·µ([0,1] ∩Q)=0⇒ kfkp= 0, incumpliendo así la condición 1.1. Para resolver este problema introducimos la siguiente relación de equivalencia f∼g⇔µ({y∈Y/ f(y)6=g(y)}) = 0, y entonces podemos definir a partir de esta relación de equivalencia los espacios normados Lp, de la forma Lp(Y, µ, K) := Lp(Y, µ, K)|∼. Podemos definir también el espacio L∞como L∞(Y, µ, K) = {f:Y→K/kfk∞<∞}, 1.3. TIPOS DE CONVERGENCIA 5 donde k·k∞se define como kfk∞:= ´ınf {S(N) : N∈Σ, µ(N)=0}, siendo: S(N) = sup{|f(x)|:x /∈N}. Donde, estamos considerando que ´ınf ∅=∞. Un resultado de suma importancia es que Lpes un espacio de Banach para todo p∈ [0,∞]. La demostración se puede encontrar en [Rudin, 1987, Theorem 3.11, pág 67]. A modo de ejemplo, si consideramos L2(Ω) yhf, gi=Rf¯g dµ, entonces la norma asociada es kfk= [R|f|2dµ]1/2.Un resultado clásico de teoría de la medida es que L2(Ω) es un espacio de Hilbert con la distancia inducida por la métrica anterior. Otro resultado importante sobre los espacios Lpes la desigualdad de Holder. Teorema 1.15. [Bartle, 1995, Theorem 6.9, pág 56] Sean f∈Lpyg∈Lqdonde p > 1,1 p+1 q= 1. Entonces fg ∈L1ykfgk1≤ kfkpkgkq. Sin embargo, para este estudio nos serán más útiles los espacios Lpcon valores en un espacio de Banach, cuya definición cambia ligeramente con respecto a los espacios Lpusuales, y dado que aún no están definidos todos los conceptos necesarios para construírlos, se hablará sobre ellos en el capítulo de la integral de Bochner. Por último, podemos dar una definición de los espacios Lp loc: Definición 1.16. Sea Ω⊂RNabierto, 1≤p≤ ∞. Diremos que una función f: Ω →K pertenece a Lp loc si fχK∈Lp(Ω) para todo conjunto compacto Kcontenido en Ω. Un tema interesante en cuanto a estos espacios es su topología. Para saber un poco más en cuanto a ello, podemos referirnos al artículo [Horvath, 1987]. 1.3. Tipos de convergencia Para continuar con el desarrollo teórico es importante indagar sobre la noción de convergencia de una sucesión, así como su trasfondo topológico, del cual se profundizará un poco más en el la sección de las Distribuciones. Definición 1.17. Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio vectorial X junto con una topología τtal que: (i) La aplicación X×X→Xdefinida por (x, y)7→ x+yes continua. 6CAPÍTULO 1. PRELIMINARES (ii) La aplicación K×X→Xdefinida por (α, x)7→ αx es continua. Definición 1.18. Un espacio es localmente convexo si su topología está generada por una familia de seminormas Ptal que \ p∈P {x/ p(x) = 0}={0}. Como forma de interpretar más fácilmente la noción de espacio localmente convexo podemos pensar que, o bien alguna de las seminormas pi∈ P es una norma, o bien los conjuntos {x6= 0/ pi(x)=0}ison mutuamente disjuntos. Además, la topología inicial que generan es simplemente la más gruesa que hace todas las picontinuas. Dado un espacio vectorial topológico localmente convexo X, para cada L∈X0la función pL:X→[0,∞)definida por pL(x) := |L(x)|, x ∈X, es una seminorma. La familia {pL}L∈X0de seminormas genera una topología localmente convexa σ(X, X0)sobre el espacio X, llamada la topología débil, tal que cada pLes continua con respecto a σ(X, X0). En consecuencia, esto implica que cada L∈X0es continua en σ(X, X0). Observación 1.19.La topología débil σ(X, X0)sobre Xes la topología inicial asociada a la colección (pL)L∈X0. Definición 1.20. Si (xn)es una sucesión en Xes convergente a xen la topología débil σ(X, X0)escribiremos xn* x. Para evitar posibles confusiones haremos referencia a mayores de que la convergencia es en σ(X, X0). Definición 1.21. La noción de convergencia habitual la denotaremos convergencia fuerte, es decir, xn→xfuertemente sí y sólo si kxn−xk → 0. Proposición 1.22. [Brezis, 2011, Proposition 3.5, pág 58] Sea (xn)una sucesión en X. Entonces (i) [xn* x débilmente en σ(X, X0)] ⇔[L(xn)→L(x),∀L∈X0]. (ii) Si xn→xfuertemente, entonces xn* x débilmente en σ(X, X0). (iii) Si xn* x débilmente en σ(X, X0), entonces {kxnk}n∈Nestá acotada y kxk ≤ l´ımn→∞ ´ınf kxnk. 1.4. TEORÍA DE DISTRIBUCIONES 7 (iv) Si xn* x débilmente en σ(X, X0)yLn→Lfuertemente en X0, entonces Ln(xn)→ L(x). Proposición 1.23. [Brezis, 2011, Proposition 3.6, pág 58] Si Xes de dimensión finita, la topología débil σ(X, X0)y la topología usual (la generada por bolas abiertas de Kncon la distancia dada por la norma usual en Kn) coinciden. En particular, una sucesión (xn) converge débilmente si y sólo si converge fuertemente. De forma análoga, en lugar de fijar L∈X0y dejando libre x∈X, definamos una función px:X0→[0,∞), para cada x∈Xpor px(L) := |L(x)|, L ∈X0, que también será una seminorma. Proposición 1.24. La familia {px}x∈Xde seminormas genera una topología localmente convexa σ(X0, X)sobre el espacio X0, llamada la topología débil estrella, tal que cada pxes continua con respecto a σ(X0, X). Definición 1.25. Sea Xun ELC. Una sucesión {Ln}nen X0es débilmente estrella convergente aLen X0si converge a Lcon respecto a la topología débil estrella σ(X0, X). Escribiremos Ln∗ * L. Proposición 1.26. [Brezis, 2011, Proposition 3.13, pág 63] Sea (Ln)una sucesión en X0. Entonces (i) [Ln* L débilmente estrella en σ(X0, X)] ⇔[Ln(x)→L(x),∀x∈X]. (ii) Si Ln→Lfuertemente, entonces Ln* L débilmente estrella en σ(X0, X). Además, si Ln→Len σ(X0, X00), entonces Ln→Len σ(X0, X). (iii) Si Ln* L débilmente estrella en σ(X0, X), entonces {kLnk}n∈Nestá acotada y kLk ≤ l´ımn→∞ ´ınf kLnk. (iv) Si Ln* L débilmente estrella en σ(X0, X)yxn→xfuertemente en X, entonces Ln(xn)→L(x). 1.4. Teoría de distribuciones En esta sección trabajaremos con K=Ry con el espacio de medida de Lebesgue en RN. Entonces, dado un conjunto abierto Ω⊆RN, y dado el espacio de las funciones de 8CAPÍTULO 1. PRELIMINARES clase infinito con soporte compacto K⊂Ωde ΩaR,C∞ c(Ω), dotaremos a este último de una topología. Recordemos que el soporte de una función fse define como supp(f) := {x∈RN/ f(x)6= 0}.En este subespacio la topología debería consistir en la noción natural de convergencia, que es la convergencia uniforme de las funciones y todas sus derivadas parciales de cualquier orden. Consideremos un conjunto abierto Ω⊆RNy fijemos un conjunto compacto K⊂Ω. Sea DK(Ω) el conjunto de todas las funciones en C∞ c(Ω) cuyo soporte está contenido en K, es decir, DK(Ω) := {φ∈ C∞ c(Ω)/ supp(φ)⊆K}. Para cada j∈N0=N∪ {0}, definimos la norma k·kK,j sobre DK(Ω) como kφkK,j := sup{|∂αφ(x)|:x∈K, α ∈NN 0,|α| ≤ j}. Definición 1.27. Una familia de conjuntos Fes equilibrada si ∀X∈ F,∀x∈X, ∀t∈[−1,1], tx ∈X. Además, un conjunto Ese dice equilibrado si ∀x∈E, ∀t∈[−1,1], tx ∈E. Teorema 1.28. Si Fes equilibrada, y también es una base local convexa de 0para un espacio vectorial topológico X, entonces la familia {pU:U∈ F} es una familia de seminormas continuas. En consecuencia, dada una familia Pde seminormas en un espacio vectorial X, la colección de todas las intersecciones finitas de conjuntos de la forma V(p, n) := {x∈X/ p(x)<1/n}, p ∈ P, n ∈N es equilibrada, base local convexa de 0 para una topología τque convierte a Xen un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que cada pes continua con respecto de τ. Sabemos, por el resultado anterior, que la familia de normas {k·kK,j}jconvierte DK(Ω) en un espacio localmente convexo y la base para la topología τKestá dada por todos los conjuntos de la forma φ∈ DK(Ω) : kφkK,j1<1 l1 ,...,kφkK,jk<1 lk, donde j1, . . . , jk∈N0yl1, . . . , lk∈N, k ∈N.Tomando j:= m´ax{j1, . . . , jk}yl:= m´ax{l1, . . . , lk},se sigue que VK,j,l := φ∈ DK(Ω) : kφkK,j <1 l⊆φ∈ DK(Ω) : kφkK,j1<1 l1 ,...,kφkK,jk<1 lk, 1.4. TEORÍA DE DISTRIBUCIONES 9 por lo que será suficiente considerar como base local para la topología τKla familia de conjuntos VK,j,l, donde j∈N0yl∈N. Ahora, para construír una topología en C∞ c(Ω), sea B0la colección de todos los conjuntos convexos y equilibrados U⊆ C∞ c(Ω) tales que U∩ DK(Ω) ∈τK para todo conjunto compacto K⊂Ω. Teorema 1.29. [Leoni, 2017, Theorem 10.2, pág 282] Sea Ω⊆RNun conjunto abierto. La familia B:= {φ+V:φ∈ DK(Ω), V ∈ B0} es una base de una topología Hausdorff localmente convexa τen C∞ c(Ω) que convierte C∞ c(Ω) en un espacio vectorial topológico. Este resultado nos permite denotar por D(Ω) el espacio vectorial topológico (C∞ c(Ω), τ), cuyos elementos se dicen funciones test. Notemos que para llegar a esta definición hemos dado más vueltas de la que a priori parecen necesarias, pero la razón de esta constrcción de la topología τes que, de esta forma, el espacio resultante es completo, a diferencia de otras posibles construcciones. Teorema 1.30. [Leoni, 2017, Theorem 10.5, pág 285] Sea Ω⊆RNun conjunto abierto. Entonces para todo conjunto compacto K⊂Ωla topología τKcoincide con la topología relativa de DK(Ω) como subconjunto de D(Ω). El siguiente resultado nos dice que D(Ω) es completo. Teorema 1.31. [Leoni, 2017, Theorem 10.8, pág 286] Sea Ω⊆RNun conjunto abierto. Entonces el espacio D(Ω) es completo. Además, la sucesión {φn}nen D(Ω) converge a φ∈ D(Ω) con respecto de τsi y sólo si (i) existe un compacto K⊂Ωtal que el soporte de cada φnestá contenido en K, (ii) l´ımn→∞ ∂αφn=∂αφuniformemente en Kpara cada multiíndice α. El dual de D(Ω) se denota D0(Ω) y sus elementos se llaman distribuciones. A menudo usaremos la notación dualidad hT, φipara denotar T(φ). El espacio D0(Ω) tiene la topología débil estrella, entonces la sucesión {Tn}nen D0(Ω) converge a T∈ D0(Ω) si Tn(φ)→T(φ) para todo φ∈ D(Ω). En ese caso diremos que {Tn}nconverge a Ten el sentido de las distribuciones. 10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Es importante destacar que, como se expone en [Conway, 1990, Example 5.20 pág 121], cada función f∈L1 loc(Ω) = {f: Ω →R/ f ∈L1 loc(K),∀K⊂Icompacto}induce una distribución Tf∈ D0(Ω) tal que: Tf:ϕ∈ D(Ω) →Tf(ϕ) = ZΩ fϕ dµ. Ahora que disponemos de los ingredientes necesarios pasemos a estudiar la derivada en el sentido de las distribuciones. Definición 1.32. Sea Ω⊆RNun conjunto abierto y T∈ D0(Ω). Dado un multiíndice α∈NN 0\ {0}, definimos la derivada de orden αde Tcomo ∂|α|T ∂xα(φ) := (−1)|α|T ∂|α|φ ∂xα!, φ ∈ D(Ω). Para cada j∈Nel símbolo ∇jTdenota la derivada distribucional de orden αde Tcon |α|=j. Por simplicidad denotaremos por ∂αa∂|α| ∂xαy por ∂n ia∂n ∂xn i. Observación 1.33.Se puede comprobar que ∂αTes una distribución. De hecho, sea K⊂Ω es un conjunto compacto. Como, por [Leoni, 2017, Theorem 10.10, pág 287], existe un entero j∈N0y una constante cK>0tal que |T(φ)| ≤ cKkφkK,j para todo φ∈ DK(Ω). Se sigue que |∂αT(φ)|=|T(∂αφ)| ≤ cKk∂αφkK,j ≤cKkφkK,j+|α| paa toda φ∈ DK(Ω), lo cual prueba que ∂αT∈ D0(Ω), y que ∂α:T∈ D0(Ω) →∂αT∈ D0(Ω) es continua, de nuevo por el teorema que usamos antes. En particular, sean u∈L1 loc(Ω) yαun multiíndice, entonces la derivada débil o distribucional de orden αde ues la distribución ∂αTu. De una manera similar definimos las derivadas direccionales de una distribución. Definición 1.34. Sea Ω⊆RNun conjunto abierto y sea T∈ D0(Ω). Dado un vector unitario v∈RN\ {0}yn∈N, definimos la n-ésima derivada direccional de Ten la dirección de vcomo ∂nT ∂vn(φ) := (−1)nT∂nφ ∂vn, φ ∈ D(Ω). En particular, si u∈L1 loc(Ω),v∈RN\ {0}yn∈N, entonces la derivada débil o distribucional direccional n-ésima de uen la dirección de ves la distribución ∂nTu ∂vn. 1.4. TEORÍA DE DISTRIBUCIONES 11 Definición 1.35. Sea Ω⊆RNun conjunto abierto, u∈L1 loc(Ω), y sea α∈NN 0\ {0}un multiíndice. Si existe una función vα∈L1 loc(Ω) tal que Tvα(φ) = ∂αTu(φ),∀φ∈ D(Ω), entonces vαse dirá la derivada débil o distribucional de orden αde Tu. En tal caso escribiremos ∂αu=∂|α|u ∂xα:= vα. Entonces, una función vα∈L1 loc(Ω) es la derivada débil de orden αde u∈L1 loc(Ω) si ZΩ φvαdµ = (−1)|α|ZΩ u∂αφ dµ para toda φ∈ C∞ c(Ω).Notemos que esto es consecuencia de la integración por partes. En los siguientes teoremas caracterizaremos las distribuciones como derivadas débiles de funciones continuas. Teorema 1.36. [Leoni, 2017, Theorem 10.22, pág 293] Sea Ω⊆RNun conjunto abierto, T∈ D0(Ω). Entonces para todo compacto K⊂Ωexiste una función continua u: Ω →Ry un multiíndice α(ambos dependiendo de K) tales que T(φ) = (−1)|α|ZΩ u∂αφ dµ, ∀φ∈ D(Ω). Para esquivar la dependencia de uyαde Kdefinimos el soporte de una distribución, y así el resultado anterior es global. Definición 1.37 (Soporte de una distribución).Sea Ω⊆RNun conjunto abierto, T∈ D0(Ω). Si U⊆Ωes abierto, entonces escribiremos T= 0 en Usi T(φ)=0para todo φ∈ D(U). El soporte de Tes el complementario de Vrelativo a Ω, donde Ves la unión de todos los subconjuntos abiertos U⊆Ωen donde T= 0. La notación de soporte de una distribución coincide con la de soporte de una función, es decir, el soporte de Tse denotará por supp(T). A continuación enunciamos la versión global del anterior teorema. Teorema 1.38. [Leoni, 2017, Theorem 10.25, pág 295] Sea Ω⊆RNun conjunto abierto, T∈ D0(Ω) tal que supp(T)es un compacto en Ω. Entonces: (i) Existe un entero j∈N0y una constante c > 0tales que |T(φ)| ≤ ckφkjpara todo φ∈ D(Ω) (en particular, Ttiene orden finito l≤j), donde k·kjes la norma definida al principio de esta sección. 18 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE BOCHNER Definición 2.7. Diremos que un espacio vectorial topológico (X, τX)está embebido en un espacio vectorial topológico (Y, τY)y escribimos X ,→Ysi Xes un subespacio de Yy el embebimiento i:X→Y, dado por i(x) := x, es continuo. Observación 2.8.Sea (X, X, µ)un espacio de medida, sea (Y, k·kY)un espacio de Banach, y sea u:X→Yuna función Bochner integrable. Si Y ,→Z, donde (Z, k·kZ)es un espacio de Banach y i:Y→Zes un embebimiento, entonces la función i◦u:X→Zes Bochner integrable y ZE i◦u dµ =iZE u dµ para todo E∈ X . Por tanto, podemos identificar sin pérdida de generalidad REi◦u dµ con REu dµ. 2.3. Propiedades de la integral de Bochner Una vez definida la integral de Bochner estudiemos algunas de sus propiedades. En el siguiente resultado, cuya demostración se puede encontrar en [Leoni, 2017], se muestra una relación entre la integral de Lebesgue de una función y la integral de Bochner. Teorema 2.9. [Leoni, 2017, Theorem 8.9, pág 209] Sea (X, X, µ)un espacio de medida, sea (Y, k·k)un espacio de Banach. Una función fuertemente medible u:X→Yes Bochner integrable si y sólo si kukes Lebesgue integrable sobre X. Además, si u:X→Yes Bochner integrable, entonces    ZE u dµ    ≤ZE kukdµ para todo E∈ X. A continuación enunciaremos tres teoremas que nos pueden ser bastante útiles para el desarrollo de la teoría de esta integral. Teorema 2.10 (Lema de Fatou).Sea (X, X, µ)un espacio de medida, sea (Y, k·k)un espacio de Banach. Sea un:X→Y,n∈Nyu:X→Yfuertemente medible y suponemos que un(x)→u(x)cuando n→ ∞ y para casi todo x∈X. Si sup n∈NZX kunkdµ < ∞, entonces ues Bochner integrable y ZX kukdµ ≤l´ım n→∞´ınf ZX kunkdµ. 2.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE BOCHNER 19 Demostración 2.11. Definamos, para todo k∈N, vk= ´ınf l≥kkulk. Como |vk| ≤ kukk, ZX |vk|dµ ≤ZX kukkdµ. Por lo tanto, como cada vkes medible y 0≤v1≤v2≤. . . , yvk→l´ım infkkukk, por el teorema de convergencia monótona, se tiene que ZX vkdµ →ZXl´ım inf kkukk, de lo que se deduce que ZXl´ım inf kkukk≤l´ım inf kZX kukkdµ. Teorema 2.12 (Teorema de convergencia dominada de Lebesgue).[Leoni, 2017, Theorem 8.10, pág 210] Sea (X, X, µ)un espacio de medida, sea (Y, k·k)un espacio de Banach. Sea un:X→Y,n∈Nyu:X→Yfuertemente medible y suponemos que kun(x)k ≤ v(x), para todo n∈Ny casi todo x∈X, para alguna función Lebesgue integrable v:X→[0,∞), y que un(x)→u(x)cuando n→ ∞ y para casi todo x∈X. Entonces ues Bochner integrable y l´ım n→∞ ZX kun−ukdµ = 0. En particular, l´ım n→∞ ZX undµ = l´ım n→∞ ZX u dµ. La demostración de este último teorema puede verse en [Leoni, 2017]. Teorema 2.13 (de Egoroff).Sea (X, X, µ)un espacio de medida con µfinita, sea (Y, k·k) un espacio de Banach, y sean u, un:X→Y, n ∈Nfunciones fuertemente medibles tales que l´ım n→∞ kun(x)−u(x)k= 0 para casi todo x∈X. Entonces para cada ε > 0existe un conjunto medible E∈ X, con µ(X\E)≤ε, tal que l´ım n→∞ sup x∈E kun(x)−u(x)k= 0. 20 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE BOCHNER Demostración 2.14. Sin pérdida de generalidad, supondremos que la convergencia se produce en todo el espacio. En caso contrario, redefinimos Xcomo X\E, siendo Eel conjunto de medida nula en el cual no tenemos asegurada la convergencia. Denotemos ahora por Bn= ∞ \ k=n+1 {x∈X/ ku(x)−uk(x)k< ε}, . Se tendrá que los conjuntos Bnson medibles y, además, Bn⊆Bksi n < k. Como l´ımn→∞ un(x) = u(x)en X, tendremos que X=S∞ n=1 Bn. Por tanto, por la σ-aditividad de la medida µ, se tiene que µ(X) =µ(B1∪(B2\B1)∪(B3\B2)∪. . . ) =µ(B1) + µ(B2\B1) + µ(B3\B2) + . . . =µ(B1) + µ(B2)−µ(B1) + µ(B3)−µ(B2) + . . . = l´ım n→∞ µ(Bn), es decir: l´ım n→∞ µ(X−Bn) = 0, y, por tanto, para un k0suficientemente grande, µ(X−Bk)< η,k≥h0, siendo ηcualquier número positivo dado con anterioridad. Por tanto, existe, para cualquier número entero positivo k, un conjunto Ck⊆Xtal que µ(Ck)≤ε/2ky un índice Nktales que ku(x)−un(x)k<1/2k,para n>Nky para x∈X\Ck. Fijemos E=X\S∞ k=1 Ck. Entonces, µ(X\E)≤ ∞ X k=1 µ(Ck)≤ ∞ X k=1 ε/2k=ε, además la sucesión un(x)converge uniformemente en E. Finalmente, podemos enunciar un último teorema de este capítulo en el que ya se empieza a hablar de operadores lineales. El manejo de este tipo de operadores va a ser esencial en el siguiente capítulo, así como pudimos verles utilidad en el apartado de “Distribuciones”. En este resultado probaremos que la integral de Bochner conmuta con los elementos de Y0. Teorema 2.15. [Leoni, 2017, Theorem 8.13, pág 211] Sea (X, X, µ)un espacio de medida, sea (Y, k·k)un espacio de Banach. Sea u:X→YBochner integrable. Entonces para todo T∈Y0, TZX u dµ=ZX T(u)dµ. 2.4. ESPACIOS LPREVISITADOS 21 De nuevo, podemos encontrar la demostración de este resultado en [Leoni, 2017]. 2.4. Espacios Lprevisitados Como ya se explicó en la sección de espacios Lp, en este trabajo usaremos espacios Lp con valores en un espacio de Banach, los cuales se definen a continuación: Definición 2.16. Sea (X, Σ, µ)un espacio de medida, (Y, k·k)un espacio de Banach, y sea 1≤p < ∞. Entonces Lp(X;Y) := {u:X→Y/ u es fuertemente medible (ver 2.1) y kukLp(X;Y)<∞}, donde kukLp(X;Y):= ZX kukp1 p . Si p=∞, entonces L∞(X;Y) := {u:X→Y/ u es fuertemente medible y kukL∞(X;Y)<∞}, donde kukL∞(X;Y):= ´ınf{t≥0/ku(x)k ≤ tpara casi todo x∈X}, que a menudo se denota por ess supx∈Xkuk, que extrapola la noción de supremo para la teoría de la medida, pudiendo exceptuar de dicho supremo conjuntos de medida nula. Teorema 2.17. Sea (X, Σ, µ)un espacio de medida y (Y, k·k)un espacio de Banach. (i) Lp(X;Y)es un espacio de Banach para 1≤p≤ ∞; (ii) La familia de todas las funciones simples Bochner integrables (ver sección 2) es densa en Lp(X;Y)para 1≤p < ∞; (iii) Si Xes un espacio métrico separable (ver definición 1.14), µuna medida de Radon ([Leoni, 2017, Definition B.106 y Definition B.107, pág 676]) σ-finita, e Yes separable, entonces Lp(X;Y)es separable para 1≤p < ∞. Uno de los resultados más importantes de esta sección es el Teorema de representación de Riesz, pero para llegar hasta él todavía tenemos que definir un concepto a mayores. Definición 2.18. Sea (X, Σ, µ)un espacio de medida, (Y, k · k)un espacio de Banach, y sea 1≤p≤ ∞. Entonces el espacio Lp w(X;Y0)es el espacio de todas las clases de 22 CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE BOCHNER equivalencia de funciones débil estrella medibles (ver proposición 1.24) u:X→Y0tales que kukY0∈Lp(X;R). El espacio Lp w(X;Y0)está dotado de la norma kukLp w(X;Y0):= ZX kukp Y0dµ1 p , para 1≤p < ∞,y kukL∞ w(X;Y0):= ess supx∈XkukY0,para p=∞. Teorema 2.19 (Teorema de representación de Riesz en Lp).[Leoni, 2017, Theorem 8.17, pág 213] Sea (X, Σ, µ)un espacio de medida con µfinita, Yun espacio de Banach, 1≤p < ∞ yqsu exponente conjugado (q=p p−1). (i) Supongamos que Yes separable. Si T∈(Lp(X;Y))0, entonces existe un único v∈ Lq w(X;Y0)tal que T(u) = ZX hv, uiY0,Y dµ para todo u∈Lp w(X;Y0). Además, la norma de Tcoincide con kvkLq(X;Y0). Por otra parte, todo funcional de la forma anterior es lineal y acotado en Lp(X;Y). (ii) Supongamos que Yes reflexivo. Entonces para T∈(Lp(X;Y))0existe un único v∈Lq(X;Y0)tal que T(u) = ZX hv, uiY0,Y dµ para todo u∈Lp(X;Y). Además, la norma de Tcoincide con kvkLq(X;Y0).Por otra parte, todo funcional de la forma anterior es lineal y acotado en Lp(X;Y). Finalmente presentamos un resultado que caracteriza la reflexividad de los espacios Lp con valores en un Banach. Corolario 2.20. [Leoni, 2017, Corollary 8.18, pág 213] Sea (X, Σ, µ)un espacio de medida con µfinita, sea Yun espacio de Banach reflexivo (ver sección 1.1.1), y sea 1< p < ∞. Entonces Lp(X;Y)es reflexivo. Capítulo 3 Los espacios de Sobolev-Bochner Ahora que ya tenemos definidos los espacios de Sobolev y la integral de Bochner, así como otros resultados previos y propiedades interesantes, tenemos todo lo necesario para definir los espacios de Sobolev-Bochner. La diferencia de estos espacios respecto a los de Sobolev es el hecho de considerar funciones con valores en un espacio de Banach, sobre el cual no podremos usar la integral de Lebesgue, mas precisamente por tal razón se definió y se usará la integral de Bochner. Tal y como ya hicimos con el capítulo de la integral de Bochner, en este capítulo también será el [Leoni, 2017] nuestra fuente principal. 3.1. Derivadas débiles En esta sección consideraremos que estamos ante espacios de medida con medida de Lebesgue, la cual denotaremos por m. Definición 3.1. Sea (X, Σ, m)un espacio de medida, con Xun espacio vectorial topológico, m: Σ →[0,∞]una medida, Yun espacio de Banach y 1≤p≤ ∞. Una función medible u:X→[−∞,∞]se dice que pertenece a Lp loc(X;Y)si u∈Lp(K;Y)para todo compacto K⊆X. Una sucesión {un}en Lp loc(X;Y)se dice convergente a u∈Lp loc(X;Y) si un→uen Lp(K;Y)para todo compacto K⊆X. Definición 3.2. Dado un conjunto abierto Ω⊆R, un espacio de Banach Y,n∈N, y1≤p≤ ∞, diremos que una función u∈L1 loc(Ω; Y)admite una derivada débil o distribucional de orden nen Lp(Ω; Y)si existe una función v∈Lp(Ω; Y)tal que ZΩ uϕ(n)dm = (−1)nZΩ vϕ dm para toda función test ϕ∈ C∞ c(Ω). La función vse denota u(n). 23 24 CAPÍTULO 3. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV-BOCHNER A pesar de que la anterior definición habla de derivadas en Lp(Ω; Y), se puede también extender a funciones de Lp loc(Ω; Y). Definición 3.3. Dado un conjunto abierto Ω⊆R, un espacio de Banach Y,n∈N, y1≤p≤ ∞, diremos que una función u∈L1 loc(Ω; Y)admite una derivada débil o distribucional de orden nen Lp loc(Ω; Y)si existe una función v∈Lp loc(Ω; Y)tal que ZΩ uϕ(n)dm = (−1)nZΩ vϕ dm para toda función test ϕ∈ C∞ c(Ω). La función vse denota u(n). Notemos que estas integrales están bien definidas. Para comprobarlo debemos verificar que los integrandos son fuertemente medibles y que en norma las funciones son integrables. En efecto, al ser ufuertemente medible y ϕde clase infinito con soporte compacto, es claro que son fuertemente medibles. Por otra parte, si denotamos por Kel soporte compacto de ϕ, se tendrá que u∈L1(K;B), en particular, la función t∈K→ kϕ(t)u(t)kBes integrable al ser ϕuna función acotada en K. Observación 3.4.Sea Ω⊆Run conjunto abierto, Yun espacio de Banach, y sea u: Ω →Y una función localmente Bochner integrable. Si Y ,→Z, donde Zes otro espacio de Banach, con embebimiento i:Y→Z, y si la función i◦u: Ω →Zadmite admite derivada débil de orden nen Lp loc(Ω; Z), entonces, tal y como ocurría en la observación 2.8, tendremos que iZΩ ϕ(n)u dm=ZΩ ϕ(n)(i◦u)dm = (−1)nZΩ ϕ(i◦u)(n)dm. Además, como accedimos a identificar RΩϕ(n)u dm con iRΩϕ(n)u dm, podremos escribir, abusando de la notación, ZΩ ϕ(n)u dm = (−1)nZΩ ϕu(n)dm. Lema 3.5. Sea Ω⊆Run conjunto abierto, Yun espacio de Banach, n∈N, y u∈ L1 loc(Ω; Y)tal que su derivada débil u(n)de orden nexiste en L1 loc(Ω; Y). Entonces la derivada u(n)es única. 3.2. Los espacios Wm,p(Ω; Y) Definimos ahora los espacios de Sobolev para funciones con valores en un espacio de Banach, a los cuales nos referiremos como espacios de Sobolev-Bochner. 3.3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS WM,P (Ω; Y)YAC(I;Y)25 Definición 3.6. Sean Ω⊆Run conjunto abierto, Yun espacio de Banach, m∈N, y1≤p≤ ∞. Entonces el espacio de Sobolev Wm,p(Ω; Y)es el espacio de todas las funciones u∈Lp(Ω; Y)que admiten derivadas débiles de orden nen Lp(Ω; Y)para todo n= 1,· · · , m. El espacio Wm,p(Ω; Y)está dotado de la norma kukWm,p(Ω;Y):= kukLp(Ω;Y)+ m X n=1 ku(n)kLp(Ω;Y). El espacio Wm,p loc (Ω; Y)se define como el espacio de todas las funciones u∈Lp loc(Ω; Y) que admiten derivadas débiles de orden nen Lp loc(Ω; Y)para cada n= 1,· · · , m. Como podemos observar, esta definición es idéntica a la de espacios de Sobolev que dábamos en la definición 1.41 con la salvedad de que, en lugar de considerar RMcomo espacio de valores de las funciones, esta vez usamos un espacio de Banach Yarbitrario. 3.3. Propiedades de los espacios Wm,p(Ω; Y)yAC(I;Y) Pasemos ahora a estudiar algunas de las propiedades más importantes de los espacios definidos anteriormente. También es interesante estudiar la relación entre las funciones de ambos espacios. Lema 3.7. Sean Ω⊆Run conjunto abierto, Yun espacio de Banach, m∈N, y 1≤p≤ ∞. Entonces el espacio de Sobolev Wm,p(Ω; Y)es de Banach. Demostración 3.8. Para probar que Wm,p(Ω; Y)es un espacio de Banach habrá que probar que es un espacio normado completo, es decir, que con la norma que tiene, toda sucesión de Cauchy en Wm,p(Ω; Y)tiene límite en Wm,p(Ω; Y). Sea (un)una sucesión de Cauchy en Wm,p. Entonces {D(α)un}n∈Nes una sucesión de Cauchy en Lp(Ω; Y)para 0≤α≤m. Ya que Lp(Ω; Y)es completo, existen funciones u yuα,0≤α≤mtales que un→uyD(α)un→uαen Lp(Ω; Y)cuando n→ ∞. Como Lp(Ω; Y)⊂Lp loc(Ω; Y),undetermina una distribución Tun∈ D0(Ω). Para cada ϕ∈ D(Ω), |Tun(ϕ)−Tu(ϕ)|p≤ZΩ [|un(x)−u(x)||ϕ(x)|]pdµ ≤ kϕkp pkun−ukp p por la desigualdad de Hölder. Así, nos queda que Tun(ϕ)→Tu(ϕ)para cualquier ϕ∈ D(Ω) cuando n→ ∞. De forma análoga, TD(α)un(ϕ)→Tuα(ϕ)para cada ϕ∈ D(Ω). Entonces se tiene: Tuα(ϕ) = l´ım n→∞ TD(α)un(ϕ) = l´ım n→∞ (−1)αTun(D(α)(ϕ)) = (−1)αTu(D(α)(ϕ)) para toda ϕ∈ D(Ω). Así, se concluye que uα=D(α)uen el sentido distribucional en Ω, para todo 0≤k≤m, de donde u∈Wm,p(Ω; Y). Finalmente, como l´ımn→∞ kun−ukm,p = 0, el espacio Wm,p(Ω; Y)es completo. 26 CAPÍTULO 3. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV-BOCHNER Lema 3.9. Dado Ω⊆Run conjunto abierto, Yun espacio de Hilbert y m∈N,Hm(Ω; Y) := Wm,2(Ω; Y)es un espacio de Hilbert con el producto interior hu, viHm(Ω;Y):= hu, viL2(Ω;Y)+ m X n=1 hu(n), v(n)iL2(Ω;Y). Definición 3.10. Sean I⊆Res un intervalo e (Y, d)un espacio métrico. Se dirá que una función u:I→Yes absolutamente continua sobre Isi para todo ε > 0existe un δ > 0 tal que n X i=1 d(u(bi), u(ai)) ≤ε para cada colección finita de intervalos disjuntos (ai, bi),i= 1, . . . , n, con [ai, bi]⊆Iy n X i=1 (bi−ai)≤δ. El espacio de todas las funciones absolutamente continuas u:I→Yse denota por AC(I;Y). Aunque es posible identificar, por un resultado clásico, el espacio W1,1(Ω; RN)y el espacio de las funciones continuas AC(Ω; RN), en el caso de tener funciones con valores en un espacio de Banach sólo será posible realizar tal identificación si el espacio de Banach considerado es reflexivo, mientras que, de no serlo, solamente se tendría la inclusión W1,1(Ω; B)⊂ AC(Ω; B). Definición 3.11. Si I⊆Res un intervalo e (Y, d)un espacio métrico, se dirá que una función u:I→Yes localmente absolutamente continua si es absolutamente continua para todo intervalo [a, b]⊆I. Teorema 3.12. Sea I⊆Run intervalo abierto, (Y, k·k)un espacio de Banach, y sea u∈L1 loc(I;Y). Entonces utiene derivada débil u0∈L1 loc(I;Y)si y sólo si existe una representación ¯ude uy una función v∈L1 loc(I;Y)tal que ¯u(x) = ¯u(x0) + Zx x0 v(s)ds para todos x, x0∈I. Además, ¯ues fuertemente diferenciable para casi todo x∈I, su derivada débil coincide con v, y ¯ues localmente absolutamente continua. Para poder demostrar el teorema necesitamos los siguientes resultados: Lema 3.13. Sea I⊆Run intervalo abierto, (Y, k·k)un espacio de Banach, y sea u:I→Y una función localmente integrable cuya derivada débil es cero. Entonces ues equivalente a una función constante. 3.3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS WM,P (Ω; Y)YAC(I;Y)27 Demostración 3.14. Podemos estructurar la demostración en dos pasos: 1. La demostración se simplifica en el caso de que u∈L1(I;Y)yI= (a, b), por lo que empezamos con ese caso. Por hipótesis, se tiene que Zb a uϕ0dm = 0 para toda ϕ∈ C1([a, b]; Y)con ϕ(a) = ϕ(b)=0. Por otra parte, tenemos: Zb a uw dm = 0 para toda w∈ C([a, b]; Y)con Rb aw dm = 0. Para comprobar esto último, fijemos cualquier wy definamos la función ϕ(x) := Zx a w(t)dt, x ∈I. Como ϕ(a)=0yϕ(b) = Rb aw(t)dt = 0,ϕpuede es una función test adecuada. Ahora, sea w∈ C([a, b]; Y). Tomando w−1 b−aRb aw dt, se tiene que Zb a uw−1 b−aZb a w dtdm = 0, y que podemos reescribir como Zb a wu−1 b−aZb a u dtdm = 0. Como la afirmación es cierta para toda w∈ C([a, b]; Y), tomando la función característica de un conjunto medible E⊂Icomo w, Zb a χEu−1 b−aZb a u dtdm = 0. Esto implica que u(x)−1 b−aZb a u dt = 0 para casi todo x∈I. 2. En el caso general, sea (an, bn)una sucesión creciente de intervalos abiertos tales que [an, bn]⊂(an+1, bn+1)y I= ∞ [ n=1 (an, bn). 34 CAPÍTULO 3. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV-BOCHNER En virtud del corolario anterior será suficiente probar que kτh(un)−unkLp(Ih;Y2)→0 cuando h→0+uniformemente para n∈N. Como un∈W1,1(I;Y2), por el teorema 3.12, para cada 0< h < l(I)yx∈Ih, un(x+h)−un(x) = Zx+h x u0 n(s)ds. Por tanto, kτh(un)(x)−u(x)kY2≤Zx+h x ku0 n(s)kY2ds. Si q≥p, elevando ambos lados a py usando la desigualdad de Hölder se tiene que kτh(un)(x)−u(x)kp Y2≤hp−1Zx+h x ku0 n(s)kp Y2ds. Ahora, integrando con respecto a xsobre Ihy usando el teorema de Fubini se sigue que ZIh kτh(un)(x)−u(x)kp Y2dm ≤hp−1ZIhZx+h x ku0 n(s)kp Y2ds dm ≤hpZsup I ´ınf I+h ku0 n(s)kp Y2ds, y por tanto se tiene que ZIh kτh(un)(x)−u(x)kpdm ≤Mhp, siendo M:= supnku0 nkLp(I;Y2.Esto muestra que kτh(un)−unkLp(Ih;Y2)→0cuando h→0+ uniformemente para n∈Ny completa la demostración del caso q≥p. Ahora supongamos que q < p. Se tendrá que: kun(t+h)−un(t)kB2≤Z[t,t+h] ku0 n(s)kB2dm(s), de donde: kun(t+h)−un(t)kB2≤ZR χ[t,t+h](s)χ[a,b](s)ku0 n(s)kB2dm(s) = =ZR χ[−h,0](t−s)χ[a,b](s)ku0 n(s)kB2dm(s). Esto es, por la definición de convolución de dos funciones, kun(t+h)−un(t)kB2≤(ϕ∗ψ)(t), donde: ϕ(t) = χ[−h,0](t)∈Lp(R), 3.4. TRIPLES DE EVOLUCIÓN Y COMPACIDAD 35 ψ(t) = χ[a,b](t)ku0 n(t)kB2∈L1(R). Gracias al teorema de Tonelli y a [Leoni, 2017, Corollary B.83, pág 670] (Desigualdad de Minkowski para las integrales) se tiene que: kϕ∗ψkLp(Ih)=   ZR ϕ(· − s)ψ(s)dm(s))   Lp(Ih) ≤ZR kϕ(· − s)ψ(s)kLp(Ih)dm(s) = =ZR ψ(s)kϕ(· − s)kLp(Ih)dm(s)≤h1/p Z[a,b] ku0 n(s)kB2dm(s), de donde se sigue que: l´ım h→0kτh(un)−unkLp(Ih;B2)= 0, uniformemente para todo n∈N. Capítulo 4 Aplicaciones a las EDP En este capítulo describiremos brevemente una de las posibles aplicaciones que tienen los espacios ya estudiados. Abordaremos entonces el estudio de los problemas de evolución, es decir, donde interviene el tiempo. El objetivo de este capítulo es dar una formulación matemática precisa de problemas parabólicos del tipo de la ecuación de calor, introducir las nociones esenciales sobre su aproximación, y, por último, estudiar unas simulaciones para comprobar que la aproximacion numérica de la solución del problema converge a la solución del problema continuo. En esta sección el libro [Raviart and Thomas, 1983] será nuestra fuente principal. 4.1. La ecuación del calor. Motivación general de solución. Se introducirá en el ejemplo modelo de la ecuación de calor una formulación débil de los problemas parabólicos lineales. Sea Ωun abierto acotado de Rnde frontera Γsuficientemente regular. Consideramos para T > 0 ΣT= Γ ×(0, T), y consideramos el siguiente problema: Dadas dos funciones u0: Ω →R, f : Ω×(0, T)→R, se trata de encontrar otra función u: (x, t)∈Ω×(0, T)7→ u(x, t)∈Rque sea solución de las ecuaciones: ∂u ∂t −∆u=f, en Ω×(0, T),(4.1) u= 0,sobre ∂Ω×(0, T),(4.2) u(0) = u0,en Ω,(4.3) 37 38 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP donde 4.1 es la ecuación del calor, 4.2 son las condiciones sobre los límites, y 4.3 son las condiciones iniciales. Nótese que 4.1 y 4.3 describen la evolución a través del tiempo tde la temperatura usobre un medio continuo ¯ Ωhomogéneo e isotrópico sometido a una fuente de calor fcuando las constantes físicas se toman iguales a 1, la temperatura se fija en cero en el tiempo en el límite Γdel medio continuo y la temperatura inicial es igual a u0. Para profundizar sobre la solución recordemos que H1(Ω) := W1,2(Ω) es un espacio de Hilbert y se denota por H1 0(Ω) la adherencia de D(Ω) sobre H1(Ω). Intentemos ahora formular el problema ∂u ∂t −∆u=f, en Ω×(0, T),(4.4) u= 0,sobre ∂Ω×(0, T),(4.5) u(0) = u0,en Ω.(4.6) Supongamos que la solución ues suficientemente regular. Multipliquemos la ecuación 4.1 por una función test v∈H1 0(Ω) ∂u ∂t (x, t)v(x)−∆u(x, t)v(x) = f(x, t)v(x) e integremos sobre Ω. Notemos que aunque escribamos dx por comodidad, estaríamos refiriéndonos a la integral de Lebesgue. Así obtenemos ZΩ ∂u ∂t (x, t)v(x)dx −ZΩ ∆u(x, t)v(x)dx =ZΩ f(x, t)v(x)dx. Usando la fórmula de Green ZΩ ∆u v dx =ZΩ (∇·∇u)v dx =ZΩ ∇ · (∇uv)dx −ZΩ ∇u· ∇v dx =Z∂Ω ∇u·nv dγ −ZΩ ∇u· ∇v dx =−ZΩ ∇u· ∇v dx, ∀v∈H1 0(Ω), (4.7) donde, si v∈H1 0(Ω), entonces v|∂Ω= 0, por ser H1 0(Ω) es la adherencia de D(Ω) en H1(Ω), y observando que ZΩ ∂u ∂t (x, t)v(x)dx =∂ ∂t ZΩ u(x, t)v(x)dx, se tiene para toda función v∈H1 0(Ω) que d dt ZΩ u(x, t)v(x)dx + n X i=1 ZΩ ∂u ∂xi (x, t)∂v ∂xi (x)dx =ZΩ f(x, t)v(x)dx. Notemos que las variables xytjuegan papeles diferentes. Los separaremos de la siguiente manera: dada la función u: (x, t)∈Ω×(0, T)7→ u(x, t)∈R, introducimos para 4.1. LA ECUACIÓN DEL CALOR. MOTIVACIÓN GENERAL DE SOLUCIÓN. 39 todo t∈(0, T)la función u(t) : x∈Ω7→ u(x, t)∈Rde manera que la función use pueda identificar con la función t7→ u(t)definida sobre (0, T)con valores en un espacio de funciones de Ωen R. Denotemos entonces, para todas ϕ, ψ ∈L2(Ω), (ϕ, ψ) = ZΩ ϕ(x)ψ(x)dx, y para todas ϕ, ψ ∈H1(Ω), a(ϕ, ψ) = n X i=1 ZΩ ∂ϕ ∂xi ∂ψ ∂xi dx. De este modo, podemos enunciar a una nueva formulación del problema del calor: buscar una función u:t∈[0, T]7→ u(t)∈H1 0(Ω) tal que ∀v∈H1 0(Ω),d dt(u(t), v) + a(u(t), v)=(f(t), v),(4.8) u(0) = u0,(4.9) donde, en 4.8, la derivada d dt se toma en el sentido de las distribuciones sobre (0, T). La formulación 4.8-4.9 del problema del calor sigue siendo imprecisa, al menos con respecto a la dependencia en tde la función t7→ u(t). En particular, conviene que esta función sea continua el sentido convencional con el fin de dar un sentido a la condición inicial 4.9 que precisaremos en el siguienge epígrafe. Destacamos que la condición en los límites 4.2 está incluída en el caso que u(t)∈H1 0(Ω). Hasta ahora no hemos impuesto condiciones sobre los datos ni estudiado a qué espacio pertenece la función solución. En efecto, la función u0se considera en L2(Ω) yf∈ L2([0, T]; L2(Ω)). En consecuencia, se puede comprobar que la función solución userá un elemento de C([0, T]; L2(Ω)) ∩W1,2,2([0, T ]; H1 0(Ω), H−1(Ω)), donde H−1(Ω) = (H1 0(Ω))0. Ahora que ya tenemos algunas condiciones sobre la regularidad de los datos podríamos plantearnos particularizar la solución de la ecuación del calor teniéndolas en cuenta. De esta manera, presentamos dos formas equivalentes de definirla. Definición 4.1. Diremos que u∈ C([0, T]; L2(Ω)) ∩W1,2,2([0, T]; H1 0(Ω), H−1(Ω)), con u(0) = u0es una solución débil de la ecuación 4.1-4.2-4.3, si: du dt (t), vH−1(Ω),H1 0(Ω) +ZΩ ∇u(t)· ∇v dx =ZΩ f(t)v dx, ∀v∈H1 0(Ω), c.t.p t ∈[0, T]. (4.10) 40 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP Definición 4.2. Diremos que u∈ C([0, T]; L2(Ω)) ∩W1,2,2([0, T]; H1 0(Ω), H−1(Ω)), con u(0) = u0es una solución débil de la ecuación 4.1-4.2-4.3, si: d dt(u(t), v)L2(Ω) +ZΩ ∇u(t)· ∇v dx =ZΩ f(t)v dx, ∀v∈H1 0(Ω),en D0(0, T). (4.11) Esto es: −Z[0,T] (u(s), v)L2(Ω)ϕ0(s)ds +Z[0,T ]ZΩ ∇u(t)· ∇v dx ϕ(s)ds =Z[0,T]ZΩ f(t)v dx ϕ(s)ds, ∀v∈H1 0(Ω),∀ϕ∈ D(0, T). (4.12) Proposición 4.3. Las formulaciones 4.10 y 4.11 son equivalentes. Demostración 4.4. Veamos en primer lugar que si ucumple 4.10, también debe cumplir 4.11. Consideremos dos elementos v∈H1 0(Ω) yϕ∈ D0(I), se tendrá que ψ=ϕ⊗v1es tal que ψ∈W1,∞,∞([0, T]; H1 0(Ω), H−1(Ω)) ⊂W1,2,2([0, T ]; H1 0(Ω), H−1(Ω)). Por lo tanto, si multiplicamos 4.10 por ϕe integramos en [0, T]: Z[0,T]du dt (s), vH1 0(Ω),H−1(Ω) ϕ(s)ds +Z[0,T] ha(s, u(s)), viH1 0(Ω),H−1(Ω)ϕ(s)ds =Z[0,T] hf(s), viH1 0(Ω),H−1(Ω)ϕ(s)ds, (4.13) de donde: Z[0,T]du dt (s), ψ(s)H1 0(Ω),H−1(Ω) ds +Z[0,T] ha(s, u(s)), ψ(s)iH1 0(Ω),H−1(Ω) ds =Z[0,T] hf(s), ψ(s)iH1 0(Ω),H−1(Ω) ds. (4.14) Aplicando ahora la fórmula de integración por partes llegamos a que: Z[0,T]du dt (s), ψ(s)H1 0(Ω),H−1(Ω) ds +Z[0,T]u(s),dψ dt (s)H1 0(Ω),H−1(Ω) ds = (u(T), ψ(T))Ω−(u(0), ψ(0))Ω= 0, (4.15) con lo cual: −Z[0,T]u(s),dψ dt (s)H1 0(Ω),H−1(Ω) ds +Z[0,T] ha(s, u(s)), ψ(s)iH1 0(Ω),H−1(Ω) ds =Z[0,T] hf(s), ψ(s)iH1 0(Ω),H−1(Ω) ds. (4.16) 1(ϕ⊗v)(t) = ϕ(t)v 4.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN. ACOTACIÓN CON RESPECTO A LOS DATOS.41 Por la propia estructura de la función ψ, se tendrá que: u(s),dψ dt (s)H1 0(Ω),H−1(Ω) = (u(s), ψ0(s))Ω,(4.17) con lo cual: −Z[0,T] (u(s), v)Ωϕ0(s)ds +Z[0,T] ha(s, u(s)), viH1 0(Ω),H−1(Ω)ϕ(s)ds =Z[0,T] hf(s), viH1 0(Ω),H−1(Ω)ϕ(s)ds. (4.18) Ahora, puesto que la elección de ϕyvfue arbitraria, se sigue que: d dt(u(t), v)Ω+ha(t, u(t)), viH1 0(Ω),H−1(Ω) =hf(t), viH1 0(Ω),H−1(Ω),∀v∈H1 0(Ω),en D0(Ω). (4.19) Por otra parte, para ver la otra implicación basta con ver que: −Z[0,T] (u(s), v)Ωϕ0(s)ds +du dt =f−a(·, u)∈L2([0, T]; H−1(Ω)) ⊂L1([0, T]; H−1(Ω)), (4.20) por lo tanto, gracias al teorema 3.12, tenemos que u∈ AC([0, T]; H−1(Ω)) y, entonces, se tendrá que se cumple 4.10. 4.2. Existencia y unicidad de solución. Acotación con respecto a los datos. Como en este momento hemos visto la motivación de la solución y algunas condiciones sobre las funciones de los datos a la hora de estudiar la regularidad de la solución podemos pasar a plantearnos condiciones de existencia, unicidad y acotación con respecto a los datos. A continuación introduciremos una formulación más general del problema del calor. En la formulación 4.8-4.9 del problema intervienen los espacios H1 0(Ω) yL2(Ω), así como la forma bilineal a(·,·)definida anteriormente. Denotaremos por (·,·)el producto escalar sobre L2(Ω),|·|la norma correspondiente y k·kla norma sobre H1 0(Ω). Aunque a continuación describiremos el problema general, más adelante estudiaremos la ecuación del calor, que es un caso particular de la formulación general. Por lo tanto, ahora podemos formular el problema general de una manera precisa: puesto que u0∈L2(Ω) yf∈L2([0, T], L2(Ω)), se trata de encontrar una función utal que u∈L2([0, T], H1 0(Ω)) ∩ C([0, T], L2(Ω)),(4.21) ∀v∈H1 0(Ω),d dt(u(t), v) + a(u(t), v)=(f(t), v),en D0(0, T),(4.22) 42 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP u(0) = u0(4.23) Notemos que esta formulación del problema tiene sentido. En primer lugar, como u∈L2([0, T], H1 0(Ω)), las funciones t7→ (u(t), v)yt7→ a(u(t), v)pertenecen al espacio L2([0, T]) para todo v∈H1 0(Ω). De la misma manera, como fes una función de L2([0, T], L2(Ω)), la función t7→ (f(t), v)está en L2([0, T]) para todo v∈H1 0(Ω). Entonces resulta que la ecuación 4.22 tiene sentido en D0(0, T). Por otra parte, la condición inicial 4.23 tiene sentido en virtud de la continuidad de la función ude [0, T]en L2(Ω). Para concluír, la condición 4.21 de regularidad en timpuestas a la solución pueden parecer bastante arbitrarias, pero veremos en la demostración del teorema 4.7 que, de hecho, son naturales. Para resolver el problema 4.21-4.22-4.23, con las últimas condiciones impuestas sobre la función u, imponemos la hipótesis de coercividad sobre a, es decir, ∃α > 0, λ ≥0tales que ∀v∈Ω, a(v, v) + λ|v|2≥αkvk2.(4.24) Por otra parte, supondremos que: La inyección canónica de H1 0(Ω) en L2(Ω) es compacta; (4.25) La forma bilineal a(·,·)es simétrica. (4.26) Con estas condiciones, empleando [Raviart and Thomas, 1983, Théorème 6.2.1, pág 137] y [Raviart and Thomas, 1983, Remarque 6.2.2, pág 138], existirá una sucesión creciente de autovalores −λ<λ1≤ · · · ≤ λi≤ · · · → ∞ y una base de Hilbert ortonormal sobre L2(Ω) de autovectores (wi)tales que ∀v∈Ω, a(wi, v) = λi(wi, v).(4.27) Además, la sucesión (λ−1/2 iwi)forma una base de Hilbert ortonormal del espacio H1 0(Ω). Lema 4.5. [Raviart and Thomas, 1983, Lemme 7.2.1, pág 157] De suponer que se verifican las hipótesis 4.24-4.25-4.26, si ues solución del problema 4.21-4.22-4.23, será posible descomponerla como serie de la forma que sigue: u(t) = X i≥1(u0, wi)e−λit+Zt 0 (f(s), wi)e−λi(t−s)dswi.(4.28) Demostración 4.6. Sea usolución del problema 4.21-4.22-4.23. Puesto que upertenece aC([0, T]; L2(Ω)) y que (wi)es una base de Hilbert ortonormal sobre L2(Ω), tenemos para todo t∈[0, T] u(t) = X i≥1 (u(t), wi)wi. 4.2. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN. ACOTACIÓN CON RESPECTO A LOS DATOS.43 Pero como u(t)∈Ωcasi para todo t, tenemos que a(u(t), wi) = λi(u(t), wi), de lo que se deduce que, sustituyendo wipor ven la expresión 4.22, y de 4.23, que αi(t) = (u(t), wi)es solución de la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes      d dtαi(t) + λiαi(t) = (f(t), wi), αi(0) = (u0, wi), (4.29) donde la solución está dada por αi(t)=(u0, wi)e−λit+Z[0,t] (f(s), wi)e−λi(t−s)dm(s).(4.30) Por tanto, se sigue que la función ues la suma de la serie 4.28. Un resultado más que interesante para esta sección es el siguiente teorema. Teorema 4.7. [Raviart and Thomas, 1983, Théorème 7.2.1, pág 158] De suponer que se verifican las hipótesis 4.24-4.25-4.26, si ues solución del problema 4.21-4.22-4.23, será única. Previamente a la demostración conviene definir la elipticidad de una forma bilineal. Definición 4.8. Una forma bilineal a(·,·)se dice H1 0(Ω)-elíptica si existe una constante c > 0tal que para todo v∈H1 0(Ω), a(v, v)≥ckvk2. Demostración 4.9 (del teorema 4.7).Sólo queda mostrar la existencia, pues la unicidad viene de la mano al comprobar que la serie 4.28 converge para todo u0∈L2(Ω) y toda f∈L2([0, T], L2(Ω)), y luego que su suma u(t)es la solución del problema. La demostración se realiza en varias etapas: 1ª) Siempre podemos suponer que la hipótesis 4.24 tiene lugar con λ= 0, es decir, la forma bilineal a(·,·)es H1 0(Ω)-elíptica. De hecho, al hacer el cambio de función en u=eλtwvemos que el problema 4.8-4.9 es equivalente a la búsqueda de una función w∈ C([0, T]; L2(Ω)) ∩L2([0, T ], H1 0(Ω)) solución de (∀v∈V, d dt (w(t), v) + a(w(t)v) + λ(w(t), v)=(e−λtf(t), v), w(0) = u0.(4.31) 50 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP Demostración 4.14. Deducimos de 4.25, 4.39 y 4.44 que para todo vh∈Vh d dt(uh(t)−Πhu(t), vh) + a(uh(t)−Πhu(t), vh) = d dt(u(t)−Πhu(t), vh). Como, por hipótesis, la solución ude 4.21-4.23 pertenece a C1(0, T;H1 0(Ω)), entonces Πhu es una función de C1(0, T;Vh)y tenemos d dt(Πhu) = Πh du dt , de donde d dt(uh(t)−Πhu(t), vh) = du dt (t)−Πh du dt (t), vh. Desarrollando sobre la base (wi,h)de los autovectores, se tiene uh(t)−Πhu(t) = I X i=1 (u0,h −Πhu0, wi,h)e−λi,ht +Zt 0(I−Πh)du dt (s), wi,h)e−λi,h(t−s)dswi,h, y, razonando como en el teorema 4.10, obtenemos |uh(t)−Πhu(t)|≤|u0,h −Πhu0|e−λ1,ht+Zt 0 (I−Πh)du dt (s) e−λ1,h(t−s)ds, 0≤t≤T. Deducimos de aquí la acotación buscada 4.45 ya que, como λm≤λm,h,1≤m≤I, obtenemos λ1≤λ1,h. Ahora hagamos la hipótesis de aproximación ∀v∈H1 0(Ω),l´ım h→0´ınf vh∈Vh kv−vhk= 0.(4.46) Corolario 4.15. [Raviart and Thomas, 1983, Corollaire 7.4-1., pág 168] Bajo las condiciones del teorema 4.13, con las hipótesis adicionales 4.46 y con l´ım h→0|u0,h −u0|= 0,(4.47) se tiene ∀t∈[0, T],l´ım h→0|uh(t)−u(t)|= 0.(4.48) Demostración 4.16. Si ves una función continua de [0, T ]sobre H1 0(Ω), la familia de funciones (I−Πh)ves equicontinua 2de [0, T]sobre H1 0(Ω) y sobre las hipótesis anteriores, tenemos ∀t∈[0, T],l´ım h→0k(I−Πh)v(t)k= 0. 2Una familia de funciones se dice equicontinua en un punto si cada una de las funciones es continua en dicho punto. También se dirá que una familia es equicontinua si lo es para todo punto. 4.3. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DEL PROBLEMA (DISCRETIZACIÓN ESPACIAL)51 Utilizando el teorema de Ascoli-Arzelá, deducimos ∀v∈ C0(0, T;H1 0(Ω)),l´ım h→0sup 0≤t≤T k(I−Πh)v(t)k= 0.(4.49) Con estas condiciones, 4.48 es una consecuencia inmediata de 4.45, 4.47 y 4.49. Observación 4.17.El aumento del error 4.45 pone de manifiesto una importante propiedad numérica: la contribución del error total al tiempo tde un error cometido en el tiempo s<tdisminuye exponencialmente con t−s. En otras palabras, se puede integrar el sistema diferencial 4.39 en intervalos de tiempo largos sin que la calidad de la aproximación obtenida empeore. Observación 4.18.El resultado de convergencia 4.48 puede ser, en realidad, mejorado. De hecho, podemos utilizar métodos más sofisticados para mostrar el siguiente resultado más preciso: l´ım h→0uh=usobre L2(0, T;H1 0(Ω)) y sobre C0(0, T;L2(Ω)),(4.50) sin ninguna suposición de regularidad en u. Ahora tenemos que resolver numéricamente el sistema diferencial 4.39. Un primer método consiste en utilizar la fórmula explícita 4.40 pero truncándola en los mprimeros términos: entonces aproximamos la función uhpor uh,m(t) = m X i=1 (u0,h, wi,h)e−λi,ht+Zt 0 (f(s), wi,h)e−λi,h(t−s)dswi,h.(4.51) Para determinar uh,m, tenemos que calcular numéricamente los mprimeros autovalores λi,h,1≤i≤m, y los correspondientes wi,h autovectores, es decir, los mprimeros autovalores y los autovalores asociados del problema espectral matricial Rξ =λMξ, cuya resolución numérica se puede obtener empleando métodos como los de Jacobi o Householder (ver [Ciarlet, 1982, Capítulo 6]). En el siguiente apartado correspondiente de [Raviart and Thomas, 1983, 7.5, pág 169] sigue con una discretización total, es decir, aproximando numéricamente las ecuaciones diferenciales asociadas a cada autofunción, pero en este trabajo no nos hará falta, pues hemos elegido de forma apropiada el ejemplo para que las ecuaciones diferenciales asociadas a cada autofunción tengan solución explícita. Esto nos pasa porque estaríamos en las hipótesis del Teorema 4.13 52 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP 4.4. Simulación del problema con FreeFem++ Realizaremos una simulación del problema del calor con FreeFem++ [Hecht, 2012]. Uno de los aspectos más interesantes de esta simulación será la comprobación de que la construcción de la solución aproximada del apartado anterior converge a la solución del problema continuo. 4.4.1. Planteamiento de la aproximación Antes que nada, presentamos la ecuación que resolveremos numéricamente:          ∂u ∂t −ν∆u+σu =f, Ω×(0, T); f∈L2(0, T ;L2(R)), ν∇u·~n = 0, ∂Ω×(0, T), u(0) = u0,sobre Ω; u0∈L2(Ω), (4.52) siendo σ > 0yu∈ C(0, T;L2(Ω)) ∩W1,2,2(0, T ;H1(Ω), H1(Ω)0)una función tal que:    u(0) = u0, d dt (u(t), v)L2(Ω) +νZΩ ∇u(t)·v dx +σZΩ u(t)v dx =ZΩ f(t)v dx (4.53) en D0(0, T), y ∀v∈H1(Ω). Por tanto, para la aproximación de este problema consideraremos {wα}α∈N⊂H1(Ω) una base de Hilbert ortonormal sobre L2(Ω), y {λα}α∈N⊂Rtales que:                    νZΩ ∇wα· ∇v dx +σZΩ wαv dx =λαZΩ wαv dx, ∀v∈H1(Ω), u(t) = ∞ X α=1 uα(t)wα,donde: uα(t) = (u0, wα)e−λαt+Zt 0 (f(s), wα)e−λα(t−s)ds (4.54) No obstante, como los espacios H1 0(Ω) yH1(Ω) son espacios vectoriales de dimensión infinita, para realizar la aproximación numérica, debemos considerar subespacios vectoriales de dimensión finita. Para construír dichos subespacios vectoriales, supondremos que Ω⊂R2es un dominio poligonal. Por lo tanto, podemos considerar una familia de mallados regulares formados por triángulos 3{τh}h>0, donde, para cada h > 0,τhes un mallado triangular de Ωde forma que diam(T)≤hpara todo T∈τh. Asociado a cada uno de los 3Un mallado por triángulos es regular si su unión forma el polígono original y cada triángulo comparte, como mucho, una artista con otro triángulo, incidicendo entonces sobre 2 vértices de cada uno. 4.4. SIMULACIÓN DEL PROBLEMA CON FREEFEM++ 53 mallados τh, podemos definir el siguiente espacio vectorial: Vh={v∈ C0(Ω) : v|T∈P1(T),∀T∈τh}. Se tiene que Vh⊂H1(Ω) es un subespacio vectorial de dimensión igual al número de vértices del mallado τh. En efecto, se tiene la siguiente propiedad: Teorema 4.19. Vhes un subespacio vectorial de H1(Ω). Demostración. Por un lado, resulta claro que Vhes un espacio vectorial con las operaciones básicas de suma y multiplicación por escalares. Veamos entonces que, dado un elemento vh∈Vh, se tiene que v∈H1(Ω). Por un lado, por ser vh∈ C(Ω), se tiene que vh∈L2(Ω). Por otro lado, dado un elemento T∈τh,vh|T∈P1(T), en particular, si denotamos por pi tal que: p(x) = X T∈τh pi|TχT(x), donde pi|T:= ∂vh|T ∂xi∈L2(T), se tendrá que pi∈L2(Ω), para todo i= 1, . . . , n (donde nes la dimensión del espacio). Veamos entonces que pies la derivada parcial con respecto a i de la función vhen el sentido de las distribuciones. Dado un elemento ϕ∈ D(Ω), ZΩ piϕ dx =X T∈τhZT pi|Tϕ|Tdx =X T∈τhZT ∂vh|T ∂xi ϕ|Tdx. Ahora, gracias al teorema de Green: X T∈τhZT ∂vh|T ∂xi ϕ|Tdx =−X T∈τhZT vh|T ∂ϕ|T ∂xi dx +X T∈τhZ∂T vh|Tϕ|TnT·eidγ. Finalmente, gracias a la continuidad de la función vh: X T∈τhZ∂T vh|Tϕ|TnT·eidγ = 0, de donde se sigue que: ZΩ piϕ dx =−X T∈τhZT vh|T ∂ϕ|T ∂xi dx =−ZΩ vh ∂ϕ ∂xi dx, ∀ϕ∈ D(Ω), esto es, pies la derivada parcial con respecto a xien el sentido de las distribuciones de la función vh. 54 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP Observación 4.20.El carácter finito de la dimensión del espacio Vhes consecuencia del hecho de que si denotamos por {vj}N j=1 el número de vértices asociados al mallado τh, se tiene que el conjunto {qi}N i=1 ⊂Vhtal que qi(vj) = δi,j,i, j = 1, . . . , N, es una base de Vh. En el caso de considerar condiciones Dirichlet homogéneas, Vh,0={v∈ C0(Ω) : v|T∈P1(T),∀T∈τh, v|∂Ω= 0} es un subespacio vectorial de H1 0(Ω) de dimensión igual al número de vértices interiores del mallado. Denotemos por Ihal número de vértices del mallado τhy por Ih,0al número de vértices interiores del mallado τh. Se tiene que por [Raviart and Thomas, 1983, Corollaire 7.4-1., pág 168], dado un elemento v∈H1(Ω), l´ım h→0´ınf vh∈Vh kv−vhkH1(Ω) = 0 y, dado un elemento v∈H1 0(Ω), l´ım h→0´ınf vh∈Vh,0 kv−vhkH1 0(Ω) = 0. Una vez definidos los subespacios vectoriales de dimensión finita de, respectivamente H1(Ω) yH1 0(Ω), ya estamos en condiciones de obtener una aproximación numérica de la solución (4.54). En efecto, para cada uno de los mallados τh∈ {τh}h>0: Obtenemos una base espectral {wα,h}Ih α=1 de Vhy la sucesión de autovalores {λα,h}Ih α=1 tales que: νZΩ ∇wα,h · ∇vhdx +σZΩ wα,hvhdx =λα,h ZΩ wα,hvhdx, ∀vh∈Vh. Aproximamos umediante uh, donde: uh(t) = Ih X α=1 uα,h(t)wα,h,donde uα,h(t) = (u0, wα,h)L2(Ω)e−λα,ht+Zt 0 (f(s), wα,h)L2(Ω)e−λα,h(t−s)ds. Debemos observar que la aproximación obtenida converge a la solución (4.54) ya que, gracias al corolario [Raviart and Thomas, 1983, Corolario 7.4.1], obtenemos que l´ım h→0kuh(t)−u(t)kL2(Ω) = 0,∀t∈[0, T]. 4.4. SIMULACIÓN DEL PROBLEMA CON FREEFEM++ 55 4.4.2. Test del error Aunque los cálculos se harán usando el programa FreeFem++ en esta parte se comentará cómo trabajamos con él y qué resultados nos devuelve. Como ya se expuso anteriormente, u(t) = X α≥1(u0, wα)e−λαt+Zt 0 (f(s), wα)e−λα(t−s)dswα, y uh(t) = n X α=1 (u0, wα)e−λαt+Zt 0 (f(s), wα)e−λα(t−s)dswα−→ u(t). Para realizar la comprobación numéricamente deberemos considerar una función ˜uconocida y calcular:            u0= ˜u(0), f=∂˜u ∂t −ν∆˜u+σ˜u, g=ν∇˜u·~n Observemos que el vector normal exterior ~n depende de la geometría del dominio. En el ejemplo que hemos resuelto, hemos tomado ˜u=t2+ 2 cos(xy2). Por lo tanto:        u0= 2 cos(xy2), f= 2t−ν(−2 cos(xy2)y4−8 cos(xy2)x2y2−4 sin(xy2)x) + σ(t2+ 2 cos(xy2)), g=ν(−2 sin(xy2)y2,−4 sin(xy2)xy)·~n. Suponiendo que estamos sobre el cuadrado unidad Ω = [0,1] ×[0,1], se tendrá que: Γ1={(x, y)∈R2:x∈[0,1], y = 0}, ~n|Γ1= (0,−1), g|Γ1= 4 sin(xy2)xy Γ2={(x, y)∈R2:x∈[0,1], y = 1}, ~n|Γ2= (0,1), g|Γ2=−4 sin(xy2)xy Γ3={(x, y)∈R2:y∈[0,1], x = 0}, ~n|Γ3= (−1,0), g|Γ3= 2 sin(xy2)y2 Γ4={(x, y)∈R2:y∈[0,1], x = 1}, ~n|Γ4= (1,0), g|Γ4=−2 sin(xy2)y2 Por lo tanto, la solución aproximada tendrá la siguiente expresión: uh(t) = n X α=1 ZΩ u0wαdx e−λαt+Zt 0ZΩ f(s)wαdxe−λα(t−s)ds +Zt 0Z∂Ω g(s)wαdγe−λα(t−s)dswα (4.55) 56 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP Para hacer dicha sustitución observamos que podemos escribir f(t, x, y) = ˆ f1(t) + ˆ f2(x, y), lo cual simplificará los cálculos siguientes: Zt 0 e−λα(t−s)ZΩ f(s)wαdx +Z∂Ω g(s)wαdγds =Zt 0 e−λα(t−s)ˆ f1(s)ZΩ wαdx +ZΩ ˆ f2wαdx +Z∂Ω g(s)wαdγds =ZΩ ˆ f2wαdx +Z∂Ω gwαdγZt 0 e−λα(t−s)ds +ZΩ wαdx ·Zt 0 ˆ f1(s)e−λα(t−s)ds =e−λαtZΩ ˆ f2wαdx +Z∂Ω gwαdγ(eλαt−1 λα +Zt 0 (2s+σs2)eλαsds ·ZΩ wαdx. (4.56) Llegados a este punto, como no conocemos explícitamente los wα, el resto de la simulación la lleva a cabo el programa FreeFem++. Para simplificar la exposición de los máximos errores cometidos podemos exponer en forma de tabla algunos de ellos y después representar gráficamente todos ellos. Claro está, que depende de los parámetros que hayamos introducido previamente, los cuales son los siguientes: Coeficiente de difusión: ν=1, Coeficiente de reacción: σ= 10−6, Tiempo final de la simulación: T=1, Pasos de tiempo que emplearemos para evaluar la solución: npasdt=100, Incremento temporal: deltat=T/npasdt, Mínimo de divisiones asociado al tamaño del triángulo (h=1/ndiv): ndivmin=2, Máximo de divisiones asociado al tamaño del triángulo (h=1/ndiv): ndivmax=50, Dimensión horizontal del rectángulo en donde resolveremos el problema: l1=1, Dimensión vertical del rectángulo en donde resolveremos el problema: l2=1, De esta forma, esta tabla recoge los errores máximos cometidos para divisiones en 10, 20, 30, 40 y 50 triángulos: ndiv 10 20 30 40 50 error 0,0023645 0,0007078 0,0003993 0,0003136 0,0003127 4.4. SIMULACIÓN DEL PROBLEMA CON FREEFEM++ 57 Es evidente que al hablar del número de triángulos nos estamos refiriendo a que, al contar los triángulos que se forman en cada arista, suman tal cifra. A continuación mostramos los mallados triangulares utilizados, en este ejemplo, que estarían compuestos por 20 y 50 triángulos, respectivamente. aMallado para ndiv = 20 (h= 0,05). bMallado para ndiv = 50 (h= 0,02). Fig. 4.1. Dos de los mallados empleados en el cálculo de error. A continuación mostramos la gráfica de evolución de errores para todos los mallados considerados: Fig. 4.2. Gráfica con la evolución de los errores para los mallados considerados. Podemos observar también cómo, a medida que vamos disminuyendo el número máximo 58 CAPÍTULO 4. APLICACIONES A LAS EDP de divisiones asociado al tamaño del triángulo, el error va aumentando, o, lo que es lo mismo, que al aumentar la cantidad de divisiones por triángulos del mallado, los errores se van haciendo cada vez más pequeños. Por último, podemos representar gráficamente la solución obtenida a través del programa para un mallado de 50 triángulos: Fig. 4.3. Gráfica con la solución del problema considerado. Apéndice A Conceptos previos A.1. Integración de Lebesgue A.1.1. Espacios de medida Definición A.1. Una familia Xde subconjuntos de un conjunto Xse dice una σ-álgebra si es tal que: (i) ∅,X∈ X (ii) Si A∈ X, entonces su complementario X\A∈ X (iii) Si Anes una sucesión de conjuntos de X, entonces ∞ [ n=1 An∈ X Un par ordenado (X, X)en el que Xes un conjunto y Xes una σálgebra se dice un espacio medible. Cualquier conjunto en Xse dice un X-conjunto medible, pero cuando fijamos la σ-álgebra Xdiremos simplemente que es un conjunto medible. Podemos observar que se cumplen las leyes de Morgan: X\ [ α Aα!=\ α (X\Aα), X \ \ α Aα!=[ α (X\Aα), de donde se sigue que la intersección de una colección de conjuntos de Xtambién pertenece aX. A.1.2. Concepto de medida Definición A.2. Una medida es una función con valores reales µdefinida en una σálgebra Xde subconjuntos de Xtales que: 59 66 APÉNDICE A. CONCEPTOS PREVIOS Proposición A.17. Sean µes una medida y λes una medida con signo. Si existe una función medible f∈Mtal que λ(E) = ZE f dµ, para todo E∈ X, entonces se dirá la derivada de Radon-Nykodym de λcon respecto a µy suele representarse mediante f=dλ dµ. Después de enunciar los siguientes corolarios del Lema de Fatou podríamos pasar a ver qué se entiende por función integrable. Corolario A.18. [Bartle, 1995, Corollary 4.10, pág 34] Supongamos que fpertenece a M+. Entonces f(x)=0para casi todo x∈Xsi y sólo si Zf dµ = 0. Corolario A.19. [Bartle, 1995, Corollary 4.12, pág 35] Si (fn)es una sucesión monótona creciente de funciones de M+(X, X)que converge a una función fen M+para casi todo x∈X, entonces Zf dµ =Zl´ım n→∞ fndµ = l´ım n→∞ Zfndµ. Corolario A.20. [Bartle, 1995, Corollary 4.13, pág 36] Si (gn)es una sucesión en M+, entonces Z ∞ X n=1 gn!dµ = ∞ X n=1 Zgndµ. En este momento estamos en condiciones de introducir el concepto de función integrable. En las anteriores propiedades trabajábamos sobre el concepto de integrabilidad de una función en M+=M+(X, X)con respecto de una medida µy permitíamos que pudiese ser no finita. A partir de ahora estudiaremos qué ocurre con la integración de funciones medibles que toman valores reales tanto positivos como negativos. Aquí será más conveniente imponer que los valores de las funciones y de la integral sean números reales finitos. Definición A.21. Dada una función f:X−→ Rdefinimos la parte positiva de fcomo f+(x) := m´ax {f(x),0}, para todo x∈X. Análogamente, definimos la parte negativa de fcomo f−(x) := m´ax {−f(x),0}, para todo x∈X. A.1. INTEGRACIÓN DE LEBESGUE 67 Observación A.22.Con esta notación podemos descomponer toda función fcomo f=f+−f−. Definición A.23. La colección L=L(X, X, µ)de funciones integrables (en el sentido de Lebesgue) está formada por todas las funciones medibles de variable real fdefinidas en X, tales que tanto las partes positiva y negativa f+yf−de ftienen integrales finitas con respecto de µ. En tal caso definimos la integral de fcon respecto de µcomo Zf dµ =Zf+dµ −Zf−dµ. Definimos también la integral de fcon respecto de µsobre un conjunto E∈ X como ZE f dµ =ZE f+dµ −ZE f−dµ. Observemos que, aunque la integral de fse define como la diferencia de las integrales de f+yf−, es sencillo ver que si f=f1−f2, donde f1yf2son dos funciones medibles no negativas con integrales finitas, entonces Zf dµ =Zf1dµ −Zf2dµ. A estas alturas ya tenemos definida la integral de Lebesgue de funciones simples, de funciones no negativas, y de funciones que pueden tomar cualquier valor real. A continuación se enuncia un resultado conocido como la propiedad de la integrabilidad absoluta de la integral de Lebesgue. Teorema A.24. [Bartle, 1995, Theorem 5.3, pág 43] Una función medible fpertenece a Lsi y sólo si |f|pertenece a L. En ese caso, Zf dµ ≤Z|f|dµ Corolario A.25. [Bartle, 1995, Corollary 5.4, pág 43] Si fes medible, gintegrable y |f| ≤ |g|, entonces fes integrable y, además, Z|f|dµ ≤Z|g|dµ Teorema A.26. [Bartle, 1995, Theorem 5.5, pág 43] Si f, g ∈Lyαes una constante, entonces: (a) αf ∈Ly Z(αf)dµ =αZf dµ. 68 APÉNDICE A. CONCEPTOS PREVIOS (b) (f+g)∈Ly Z(f+g)dµ =Zf dµ +Zg dµ. Finalizaremos con esta extensa sección con uno de los teoremas más importantes de convergencia de funciones integrables. Teorema A.27 (Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue).[Bartle, 1995, Theorem 5.6, pág 44] Sea (fn)una sucesión de funciones integrables convergentes casi para todo Xa una función medible de variable real f. Si existe una función integrable gtal que |fn| ≤ gpara todo n∈N, entonces fes integrable y Zf dµ = l´ım n→∞ Zfndµ. Apéndice B Código programa principal 1// ********************************************************************* 2// Programa principal para la resolución de la ecuacion del calor en un 3// rectangulo empleando una aproximación en serie. 4// ********************************************************************* 5 6verbosity=0; 7 8// Parametros asociados a la discretizacion espacio temporal 9real xnu=1.0; // Coeficiente de difusion 10 real sigma=1.e-6; // Coeficiente de reaccion 11 real Tfinal=1; // Tiempo final de la simulacion 12 int npasdt=100; // Pasos de tiempo que emplearemos para evaluar la 13 //solucion 14 real deltat=Tfinal/npasdt; // Incremento temporal 15 int ndivmin=2; // Mínimo de divisiones asociado al tamaño del 16 //triangulo (h=1/ndiv) 17 int ndivmax=50; // Máximo de divisiones asociado al tamaño del 18 //triangulo (h=1/ndiv) 19 real l1=1.0; // Dimension horizontal del rectangulo en donde 20 //resolveremos el problema 21 real l2=1.0; // Dimension vertical del rectangulo en donde 22 //resolveremos el problema 23 int nev; // Numero de autovalores que queremos calcular 24 int nevC; // Numero de autovalores finalmente calculados 25 int icreaeigenvf=1; // 0.- Se leen de un fichero, 1.- Se generan 69 70 APÉNDICE B. CÓDIGO PROGRAMA PRINCIPAL 26 int ipintaeigenvf=0; //1.- Se pintan por pantalla, 0.- no 27 28 // Abrimos un fichero para almacenar los errores 29 ofstream fichSalidaErrores="Errores.sal"; 30 fichSalidaErrores.precision(16); 31 32 // Realizamos un bucle en las divisiones de la unidad 33 for (int ndiv=ndivmin;ndiv<=ndivmax;ndiv++) 34 { 35 // ---------------------------------------------------------- 36 // Generamos el mallado y el espacio de elementos finitos 37 // ---------------------------------------------------------- 38 39 // Construccion del mallado rectangular 40 mesh Th=square(ndiv,ndiv,[l1*x,l2*y],flags=1); 41 plot(Th,wait=0); 42 43 // Generamos el espacio de elementos finitos 44 fespace Vh(Th,P1); // Espacio de elementos finitos 45 int ndofVh=Vh.ndof; // Numero de grados de libertad 46 int ndovTh=Th.nv; // Numero de vertices del mallado 47 int ndoeVh=Th.nt; // Numero de elementos del mallado 48 cout<<"Numero de grados de libertad "<<ndofVh<<endl; 49 cout<<"Numero de vertices del mallado "<<ndovTh<<endl; 50 cout<<"Numero de triangulos del mallado "<<ndoeVh<<endl; 51 52 // Dimensionamos una serie de tableros que emplearemos 53 nev=Vh.ndof; 54 Vh[int] solEC(npasdt+1); // Variable en la que almacenaremos 55 //la solucion 56 Vh[int] eF(nev); // Vector de elementos finitos con las 57 //autofunciones 58 real[int] eV(nev); // Vector en el que almacenaremos los 59 //autovalores (eigen value) 60 real[int] eFvector(ndofVh*nev); // Vector en el que 61 //almacenaremos las autofunciones (eigen function) 71 62 63 // ---------------------------------------------------------- 64 // Funciones asociadas al test de error 65 // ---------------------------------------------------------- 66 67 // Funcion asociada a las condiciones iniciales 68 func real u0func(real & xc, real & yc) 69 { 70 return 2*cos(xc*yc^2); 71 } 72 73 // Declaramos las funciones asociads a la parte constante 74 //del segundo miembro 75 func f = sigma*2*cos(x*y^2) 76 + xnu*(2*y^4*cos(x*y^2) 77 + 4*x*sin(x*y^2) 78 + 8*x^2*y^2*cos(x*y^2)); 79 80 // Declaramos las funciones asociadas a la parte constante 81 //de las condiciones de contorno 82 func g1=xnu*(4*x*y*sin(x*y^2)); 83 func g2=xnu*(-2*y^2*sin(x*y^2)); 84 func g3=xnu*(-4*x*y*sin(x*y^2)); 85 func g4=xnu*(2*y^2*sin(x*y^2)); 86 87 // ---------------------------------------------------------- 88 // Construccion de la condicion inicial 89 // ---------------------------------------------------------- 90 91 // Definimos la condicion inicial 92 Vh u0=u0func(x,y); 93 //plot(u0,wait=1,fill=1,value=true,cmm="u_{0,h}"); 94 95 // ----------------------------------------------------------- 96 // Obtenemos los autovectores y autovalores asociados 97 // al pb espectral 72 APÉNDICE B. CÓDIGO PROGRAMA PRINCIPAL 98 // ----------------------------------------------------------- 99 100 // Declaramos las variables necesarias 101 Vh u,v; 102 103 // Definimos las formas bilineales asociadas al problema 104 //espectral (B) u=w_{k,h}, v=v_h 105 varf vP(u,v) = int2d(Th)(xnu*(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v)))+ 106 int2d(Th)(sigma*u*v); 107 varf vM(u,v) = int2d(Th)(u*v); 108 109 // Generamos las matrices asociadas a las formas bilineales 110 // anteriores 111 matrix A=vP(Vh,Vh,solver=UMFPACK); 112 matrix B=vM(Vh,Vh); 113 114 // Generamos las autofunciones 115 include "AUTOFUNCIONES.edp"; // Fichero en donde se generan las 116 //autofunciones 117 int isalautofunciones=AUTOFUNCIONES(nev,nevC,eV,eFvector); 118 119 120 // ----------------------------------------------------------- 121 // Resolvemos el problema aproximado 122 // ----------------------------------------------------------- 123 124 // Recuperamos el vector de elementos finitos con las autofunciones 125 for (int k=0; k<nevC; k++) 126 for (int i=0;i<ndofVh;i++) 127 eF[k][][i]=eFvector[k*ndofVh+i]; 128 129 // Inicializamos a cero el vector de soluciones 130 for (int ndt=0; ndt<=npasdt; ndt++) 131 solEC[ndt]=0.0; 132 133 // Realizamos un bucle en los autovalores 73 134 for (int k=0; k<nevC; k++) 135 { 136 // Extraemos el autovalor y la autofuncion 137 Vh wk=eF[k]; 138 real lambdak=eV[k]; 139 140 // Imprimimos la evolucion del problema 141 cout<<"Autovalor "<<k<<" lambdak "<<lambdak<<endl; 142 143 // Calculamos el producto escalar de la condicion inicial 144 // por la autofuncion 145 real u0wk=int2d(Th)(u0*wk); 146 //cout<<"u0wk "<<u0wk<<endl; 147 148 // Calculamos el producto escalar de la autofuncion con la 149 // parte constante 150 real smcte1 = int2d(Th)(f(x,y)*wk) 151 + int1d(Th,1)(g1(x,y)*wk) 152 + int1d(Th,2)(g2(x,y)*wk) 153 + int1d(Th,3)(g3(x,y)*wk) 154 + int1d(Th,4)(g4(x,y)*wk); 155 156 // Calculamos el producto escalar del autovalor con la 157 // funcion 1 158 real smcte2 = int2d(Th)(wk); 159 160 // Inicializamos el tiempo 161 real tiempo=0.0; 162 163 // Realizamos un bucle en pasos de tiempo 164 for (int ndt=0; ndt<=npasdt; ndt++) 165 { 166 167 // Calculamos la integral de la parte variable 168 // en el tiempo actual 169 74 APÉNDICE B. CÓDIGO PROGRAMA PRINCIPAL 170 real smcte3 = exp(-lambdak*tiempo)*2/lambdak^2 171 - sigma*(exp(-lambdak*tiempo)*2/lambdak^3 172 - ((lambdak^2*tiempo^2 - 173 2*lambdak*tiempo + 2))/lambdak^3) 174 + (2*(lambdak*tiempo - 1))/lambdak^2; 175 176 // Calculamos la integral de la funcion exponencial 177 // en el tiempo actual 178 179 real smcte4 = (1-exp(-lambdak*tiempo))/lambdak; 180 181 // Calculamos la solucion de la EDO en el 182 // tiempo actual 183 184 real uktemp=exp(-lambdak*tiempo)*u0wk+ 185 smcte1*smcte4+smcte2*smcte3; 186 187 188 // Realizamos la agregacion en el vector solucion 189 solEC[ndt]=solEC[ndt]+uktemp*wk; 190 191 // Realizamos la representacion grafica 192 plot(solEC[ndt],wait=0,fill=1,value=1, 193 cmm="Tiempo "+tiempo); 194 195 196 // Actualizamos la variable temporal 197 tiempo=tiempo+deltat; 198 199 } 200 } 201 202 // ------------------------------------------------------------ 203 // Calculamos el error cometido en cada paso de tiempo 204 // ------------------------------------------------------------ 205 75 206 // Dimensionamos la variable en donde almacenaremos el error 207 real[int] error(npasdt+1); 208 209 // Calculamos el error en cada paso de tiempo 210 real tiempo=0; 211 for (int ndt=0; ndt<=npasdt; ndt++) 212 { 213 // Calculamos la solucion exacta 214 Vh uk = 2*cos(x*y^2)+tiempo*tiempo; 215 216 // Calculamos el error en el paso de tiempo actual 217 // Norma en L^2 de la diferencia 218 error[ndt]=int2d(Th)((solEC[ndt]-uk)*(solEC[ndt]-uk)); 219 error[ndt]=sqrt(error[ndt]); 220 221 // Imprimimos el error en el paso de tiempo 222 //cout<<" "<<endl; 223 //cout<<error[ndt]<<endl; 224 //cout<<solEC[ndt][].max<<endl; 225 //cout<<uk[].max<<endl; 226 227 // Actualizamos la variable temporal 228 tiempo=tiempo+deltat; 229 230 231 } 232 233 // Mostramos informacion por pantalla 234 cout<<"Error maximo cometido para 235 (h="<<1.0/ndiv<<") "<<error.max<<endl; 236 237 // Almacenamos en el fichero el error 238 fichSalidaErrores<<1.0/ndiv<<" "<<error.max<<endl; 239 }