Detección, dinámica y habitabilidad de exoplanetas y exosatélites

TESIS DE DOCTORADO DETECCIÓN, DINÁMICA Y HABITABILIDAD DE EXOPLANETAS Y EXOSATÉLITES Carlos Vázquez Monzón ESCUELA DE DOCTORADO INTERNACIONAL DE LA UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA PROGRAMA DE DOCTORADO EN MATEMÁTICAS SANTIAGO DE COMPOSTELA AÑO 2021 DECLARACIÓN DEL AUTOR DE LA TESIS Detección, dinámica y habitabilidad de exoplanetas y exosatélites Carlos Vázquez Monzón Presento mi tesis, siguiendo el procedimiento adecuado al Reglamento, y declaro que: 1) La tesis abarca los resultados de la elaboración de mi trabajo. 2) En su caso, en la tesis se hace referencia a las colaboraciones que tuvo este trabajo. 3) La tesis es la versión definitiva presentada para su defensa y coincide con la versión enviada en formato electrónico. 4) Confirmo que la tesis no incurre en ningún tipo de plagio de otros autores ni de trabajos presentados por mí para la obtención de otros títulos. En Santiago de Compostela, 11 de febrero de 2021 AUTORIZACIÓN DO DIRECTOR / TITOR DA TESE Detección, dinámica y habitabilidad de exoplanetas y exosatélites Profesor Dr. D. JOSÉ ÁNGEL DOCOBO DURÁNTEZ INFORMA: Que a presente tese, correspóndese co traballo realizado por D. CARLOS VÁZQUEZ MONZÓN , baixo a miña dirección, e a utorizo a súa presentación , considerando que reúne os r equisitos esixidos no R egulamento de Estudos de Doutoramento da USC, e que como director desta non incorre nas causas de abstención establecidas na Lei 40/2015. En Santiago de Compostela a 11 de febreiro de 2021. OBSERVATORIO ASTRON ´ OMICO RAMON MAR´ IA ALLER DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA APLICADA Detecci´on, din´amica y habitabilidad de exoplanetas y exosat´elites Carlos V´azquez Monz´on Santiago de Compostela, 2021 Agradecimientos Primero que todo, quisiera agradecer al director de esta Tesis, Jos´e ´ Angel Docobo Dur´antez, por presentarme esta oportunidad de estudiar un tema tan interesante, innovador y en boga como el de los exoplanetas/exosat´elites. Su contante ayuda, a trav´es de estos cuatro a˜nos y medio, no solo en cuestiones de Astrodin´amica sino en todo lo que refiere a la escritura de la Tesis, me ha permitido crecer como investigador, desarrollar aptitudes a la hora de resolver problemas y ampliar conocimientos. As´ı mismo, quiero expresar mi gratitud al personal cient´ıfico del Centro de Astrobiolog´ıa del Instituto Aeroespacial de Torrej´on de Ardoz (CAB-INTA). Aconsejado por el profesor Docobo, realic´e all´ı una estancia de investigaci´on en 2019, sobre todo para profundar en la parte de habitabilidad. En especial, debo recordar a Jos´e Eduardo Gonz´alez Pastor, del Departamento de Evoluci´on Molecular, por su inter´es en guiarme por todo el CAB y presentarme los investigadores pertinentes para aprovechar al m´aximo mi etapa de aprendizaje all´ı. No puedo olvidarme tampoco del Instituto de Matem´aticas de la USC por la beca de investigaci´on que me concedi´o, y dar las gracias al Servizo de Normalizaci´on Ling¨u´ıstica de la misma universidad, por ayudarme a corregir el Resumo en gallego. Por ´ultimo, pero no menos importante, quiero mencionar a mi familia, amigos y dem´as personas allegadas, las cuales siempre mantuvieron su apoyo y me motivaron a continuar. Esta Tesis va dedicada a todos vosotros. Como apunte final, me gustar´ıa mandar un mensaje de ´animo a todos por el duro momento que nos ha tocado vivir a causa de la pandemia. Soy consciente de que el virus ha hecho las cosas mucho dif´ıciles para todos, pero tengo la convicci´on de que saldremos adelante. Esta Tesis Doctoral ha sido realizada en el Observatorio Astron´omico Ram´on Mar´ıa Aller de la USC con la financiaci´on de los proyectos: Estudio de binarias cerradas de especial inter´es astrof´ısico y din´amico en la era GAIA, y Ayuda para Grupos con Potencial Crecimiento, concedidos respectivamente por el Ministerio de Econom´ıa y Competitividad y la Xunta de Galicia. iii En el Cap´ıtulo 1, hablaremos de los principales m´etodos de detecci´on de los exoplanetas. En el caso de los exoplanetas, los m´etodos de detecci´on desarrollados en la Tesis son: el m´etodo de velocidad radial, el m´etodo de tr´ansitos, la microlente gravitatoria, la imagen directa, el TTV (Transit Timing Variation) y la astrometr´ıa. Nos centraremos, sobre todo, en los dos m´etodos que mejores resultados han obtenido en la b´usqueda de exoplanetas: el m´etodo de tr´ansitos y el m´etodo de velocidad radial. A los m´etodos de detecci´on m´as importantes le asignaremos un modelo matem´atico que permita calcular sus elementos orbitales. En el caso de los exosat´elites, dado que todav´ıa no se ha confirmado la detecci´on de ninguno, se expone algunos m´etodos propuestos para su detecci´on futura. Los m´etodos propuestos son: el m´etodo de velocidad radial, el m´etodo de tr´ansitos, el TTV y el TDV (Transit Duration Variation), el toro de plasma y la microlente gravitatoria. Tambi´en se menciona una t´ecnica que sirve para descartar falsos positivos de exosat´elites, el llamado test del centroide. Con respecto al m´etodo de tr´ansitos, estudiaremos las diferencias apreciables en la curva de luz cuando transita un planeta doble, un exoplaneta + exosat´elite, un exoplaneta cuya estrella presenta una mancha ecuatorial o un exoplaneta con anillos. Al final del Cap´ıtulo, presentamos una tabla donde se esquematiza si es posible la detecci´on para cada m´etodo de detecci´on propuesto para los exosat´elites, adem´as de los distintos sesgos de detecci´on que pueden sufrir en base a su masa, radio, distancia con respecto al exoplaneta, etc. En el Cap´ıtulo 2, describiremos el proceso por el cual se determina si un exoplaneta o exosat´elite ha sido detectado. En la Secci´on primera, estudiaremos los llamados periodogramas, los cuales se utilizan para determinar el conjunto de periodicidades que se puede extraer de una determinada se˜nal, lo que se traduce, en muchos casos, en la determinaci´on del periodo del exoplaneta y exosat´elite. Los periodogramas que trataremos son el periodograma convencional y el periodograma Lomb-Scargle. El primero se utiliza para muestras sampleadas en intervalos de tiempo iguales, mientras que el segundo permite analizar se˜nales sampleadas en intervalos de tiempo cualesquiera. La utilizaci´on de los periodogramas, sobre todo del Lomb-Scargle, nos servir´a para determinar si la se˜nal que estamos recibiendo se puede achacar a un fen´omeno Astron´omico o no y es, por tanto, fundamental a la hora de hablar de la detecci´on de exoplanetas y exosat´elites. x Una vez aplicado el periodograma, utilizaremos los algoritmos de optimizaci´on descritos en el Cap´ıtulo 0 para realizar un ajuste de m´ınimos cuadrados de las observaciones a los modelos matem´aticos que hemos asociado, en el capitulo 1, a cada m´etodo de detecci´on. Nos centraremos, sobre todo, en aquellos modelos que nos permitan determinar el mayor n´umero de elementos orbitales posible. En la Secci´on final del Cap´ıtulo, aplicaremos toda la teor´ıa desarrollada a unos cuantos ejemplos en los cuales las incertidumbres en las mediciones permiten un correcto ajuste a los modelos, y son por ende exoplanetas f´acilmente detectables. Tambi´en trataremos ejemplos ficticios con exosat´elites donde la situaci´on es totalmente ideal y no existe ning´un tipo de problema en los datos que impida su correcta detecci´on (algo que, desgraciadamente, no ocurre en la vida real). Los ejemplos son: detecci´on del exoplaneta 51 Pegasi b por medio de la velocidad radial, el sistema planetario m´ultiple en torno a HD 37124 por medio de la velocidad radial, el exoplaneta XO-3b por medio del m´etodo de tr´ansitos, un sistema exoplaneta+exosat´elite ficticio por el m´etodo de tr´ansitos y, finalmente, dos ejemplos de TTV/TDV: uno ficticio, donde un exosat´elite tipo Tierra provoca un cierto TTV/TDV sobre un exoplaneta tipo J´upiter y, el otro, el TTV provocado por un exoplaneta, Kepler-49c, sobre otro exoplaneta, Kepler-49b. El Cap´ıtulo 3 trata sobre la din´amica y la estabilidad de los exoplanetas/exosat´elites en diversos sistemas estelares, tales como los sistemas de binarias, los sistemas estelares triples o los sistemas de una sola estrella con varios exoplanetas. Analizaremos qu´e ´orbitas son m´as estables y c´omo var´ıan sus elementos orbitales, tanto a medio como a largo plazo. En el caso donde tenemos una estrella con un solo exoplaneta, analizaremos, por un lado, la influencia gravitatoria de la estrella sobre el exoplaneta y el exosat´elite y, por otro lado, las fuerzas de marea que ejerce el exoplaneta sobre el exosat´elite. En el caso donde tenemos una estrella con varios exoplanetas, analizaremos el fen´omeno llamado planet-planet scattering, el cual surge a causa de la influencia gravitatoria de los exoplanetas del sistema entre ellos mismos, y que puede hacer que alguno de ellos sea expulsado del sistema, dejando a los dem´as con una excentricidad excitada. Estudiaremos si es posible la presencia de un exosat´elite all´ı. xi En el caso de un sistema de binarias, trataremos dos subcasos: los exoplanetas con ´orbitas tipo S y tipo P. En el caso de una estrella triple, trataremos 4 subcasos: exoplanetas con ´orbitas tipo S1/S2, es decir, exoplanetas que orbitan una de las dos componentes de la binaria interior; S3, exoplanetas que orbitan la tercera estrella, P1, exoplanetas que orbitan el centro de masas de la binaria interior y P2, exoplanetas que orbitan el centro de masas de las tres estrellas. En la ´ultima Secci´on del Cap´ıtulo, hablaremos de las perturbaciones a largo plazo que tienen lugar en sistemas con exoplanetas y exosat´elites cuando sus ´orbitas se encuentran considerablemente inclinadas con respecto al resto de cuerpos de dichos sistemas. Finalmente, en el Cap´ıtulo 4 se hablar´a de la habitabilidad de exoplanetas y exosat´elites. A modo de Secci´on introductoria, definiremos lo que entendemos por habitabilidad. A continuaci´on, hablaremos de la zona habitable de una estrella o sistema estelar como la regi´on alrededor de la cual un exoplaneta cumple los requisitos de habitabilidad. Explicaremos c´omo calcularla seg´un su tipo espectral o seg´un el n´umero de estrellas, si consideramos un sistema estelar m´ultiple. Estudiaremos, adem´as, c´omo las fuerzas de marea, as´ı como la influencia gravitatoria de la estrella, influye en la habitabilidad de un exosat´elite. Definiremos una “zona habitable”para exosat´elites, que tiene en cuenta, adem´as del flujo proveniente de la estrella, la radiaci´on reflejada por el exoplaneta. Haremos gran ´enfasis en el calentamiento de marea, describiendo su gran importancia en la habitabilidad del exosat´elite, por su implicaci´on tanto en la generaci´on de un campo magn´etico como en la actividad tect´onica, y c´omo la Astrodin´amica influye sobre ´el. Finalmente, propondremos tres t´ecnicas para que, en un futuro donde la tecnolog´ıa avance lo suficiente, podamos analizar mucho m´as en profundidad si un exoplaneta/exosat´elite es habitable, por medio de tres factores: caracterizaci´on de atm´osferas, de oc´eanos superficiales y de oc´eanos interiores. La caracterizaci´on de atm´osferas es la t´ecnica m´as factible de las tres, puesto que, a d´ıa de hoy, ya es posible la detecci´on de atm´osferas en exoplanetas, por medio de la llamada espectroscop´ıa de transmisi´on. Estudiaremos esxii ta t´ecnica y c´omo, en un futuro cercano, podr´a hacer posible la detecci´on de atm´osferas de exoplanetas tipo Tierra. La caracterizaci´on de oc´eanos superficiales es mucho m´as dif´ıcil, y requiere de t´ecnicas m´as complejas, todas relacionadas con la imagen directa. Las t´ecnicas que proponemos son: Glint basado en la reflexi´on especular de la luz de la estrella sobre el agua del exoplaneta, variabilidad rotacional del color y polarizaci´on. La caracterizaci´on de oc´eanos interiores es un objetivo mucho m´as lejano que los otros dos, puesto que est´a casi completamente orientado a la exploraci´on espacial. Proponemos aqu´ı ciertas t´ecnicas aplicables en el Sistema Solar, como la detecci´on de clatratos analizando la superficie de exoplanetas/exosat´elites. Por ´ultimo, proponemos la relaci´on masa-radio aplicada a exosat´elites para que, en un futuro donde sea posible la determinaci´on de ambos con precisi´on, podamos determinar su composici´on. Todo este trabajo de investigaci´on va acompa˜nado de las respectivas Conclusiones, adem´as de dos ap´endices y la Bibliograf´ıa consultada. xiii RESUMO Esta Tese incl´ue o traballo realizado por Carlos V´azquez Monz´on baixo a direcci´on de Jos´e ´ Angel Docobo Dur´antez, catedr´atico en Astronom´ıa e director do Observatorio Astron´omico Ram´on Mar´ıa Aller (OARMA) da Universidade de Santiago de Compostela. Na Introducci´on d´amos conta do estado actual das cousas, tanto no que atinxe aos exoplanetas descubertos ata hoxe como ´a variedade de receptores+telescopios que deron p´e aos ditos descubrimentos. Tam´en, dado que de momento non se descubriu ning´un exosat´elite, enum´eranse os principais candidatos e ponse en valor toda a ciencia aplicada a esta actual e interesante li˜na de investigaci´on astron´omica. Com´entanse as´ı mesmo a motivaci´on e os obxectivos que se perseguen coa realizaci´on desta tese de doutoramento, ademais de presentar alg´uns resultados novidosos, finalizando coa estrutura do traballo desenvolvido. Denominamos Cap´ıtulo 0, a un apartado que consideramos necesario e no que describimos os m´etodos e mais os modelos matem´aticos utilizados ao longo deste traballo, os cales nos permitiron, por unha banda, levar a cabo todos os c´alculos pertinentes, e por outra, ser a base na que se sustentan numerosas aplicaci´ons. Principalmente, estes m´etodos son algoritmos de optimizaci´on, integraci´on de sistemas de ecuaci´ons diferenciais, m´etodos de integraci´on num´erica de funci´ons multidimensionais definidas a cachos e algoritmos para atopar ceros de funci´ons polin´omicas. Tam´en nos apoiaremos puntualmente na transformada r´apida de Fourier. Os algoritmos de optimizaci´on utilizados son dous: un global, chamado algoritmo de evoluci´on diferencial, e outro cuxa implementaci´on incl´ue tanto minimizaci´on global como local, chamado Basin-hopping. Combinaremos ambos os dous algoritmos para resolver problemas de axuste de m´ınimos cadrados no Cap´ıtulo 2. Con respecto ´a integraci´on dos diversos sistemas de ecuaci´ons diferenciais cos que nos atopamos, utilizamos fundamentalmente o integrador num´erico TIDES, un software especializado en resolver este tipo de sistemas cando o tempo de integraci´on ´e moi grande e as ecuaci´ons son complicadas. Bas´ease no m´etodo das series de Taylor, o cal consiste en, b´asicamente, calcular derivadas sucesivas, a trav´es da chamada diferenciaci´on autom´atica. xv No Cap´ıtulo 1, describimos os principais m´etodos de detecci´on de exoplanetas: o m´etodo de velocidade radial, o de tr´ansitos, a microlente gravitatoria, a imaxe directa, o TTV (Transit Timing Variation) e a astrometr´ıa. Centrar´emonos, sobre todo, nos dous primeiros, que foron os que mellores resultados deron. A estes m´etodos de detecci´on m´ais importantes asignar´emoslles un modelo matem´atico que permite calcular os elementos orbitais. No caso dos exosat´elites, exp´o˜nense alg´uns m´etodos propostos para a s´ua posible detecci´on. De novo o m´etodo de velocidade radial, o m´etodo de tr´ansitos e o TTV, pero tam´en outros como o TDV (Transit Duration Variation), o touro de plasma e a microlente gravitatoria. Por outra banda, mencionamos unha t´ecnica que serve para descartar falsos positivos de exosat´elites, o denominado test do centroide. Con respecto ao m´etodo de tr´ansitos, estudamos as diferenzas apreciables na curva de luz cando quen transita e un planeta doble, ou un exoplaneta + exosat´elite, ou un exoplaneta cuxa estrella presenta unha mancha ecuatorial, ou un exoplaneta con aneis. Ao final do Cap´ıtulo, presentamos unha t´aboa onde se esquematiza a idoneidade de cada m´etodo para a detecci´on de exosat´elites, ademais dos distintos nesgos de detecci´on que poden sufrir en base a s´ua masa, radio, distancia do seu exoplaneta, etc. No Cap´ıtulo 2 describ´ımo-lo proceso polo cal se determina se un exoplaneta ou exosat´elite foi detectado. Na secci´on primeira, est´udanse os chamados periodogramas, os cales se utilizan para determinar o conxunto de periodicidades que se pode extraer dun determinado sinal, o que se traduce, en moitos casos, na determinaci´on do per´ıodo do exoplaneta(s) e exosat´elite(s). Os periodogramas que trataremos son o convencional e mais o de Lomb-Scargle. O primero util´ızase para mostras en intervalos de tiempo iguais, mentras que o segundo permite analizar sinais en calquera intervalo de tempo. A utilizaci´on dos periodogramas, sobre todo o de Lomb-Scargle, servir´a para determinar se o sinal que estamos recibindo se pode achacar a un fen´omeno astron´omico ou non, e ´e, polo tanto, fundamental ´a hora de falar da detecci´on de exoplanetas e exosat´elites. Unha vez aplicado o periodograma, utilizamos os algoritmos de optimizaci´on descritos no Cap´ıtulo 0 para realizar un axuste de m´ınimos cadrados das observaci´ons aos modelos matem´aticos que lles asociamos. Centrar´emonos, sobre todo, naqueles modelos que nos permitan determinar o meirande n´umero de elementos orbitais posible. xvi Na secci´on final deste Cap´ıtulo aplicamos toda a teor´ıa desenvolvida a varios exemplos nos cales as incertezas nas medici´ons permiten un correcto axuste aos modelos, e son polo tanto exoplanetas facilmente detectables. Tam´en trataremos exemplos ficticios con exosat´elites nos que a situaci´on ´e totalmente ideal e non existe ning´un tipo de problema nos datos que impida a s´ua correcta detecci´on (algo que, desgraciadamente, non ocorre na realidade). Os exemplos son: detecci´on do exoplaneta 51 Pegasi b por medio da velocidade radial, o sistema planetario m´ultiple en torno a HD 37124 por medio da velocidade radial, o exoplaneta XO-3b por medio do m´etodo de tr´ansitos, un sistema exoplaneta+exosat´elite ficticio polo m´etodo de tr´ansitos e, finalmente, dous exemplos de TTV/TDV: un deles ficticio, en que un exosat´elite tipo Terra provoca un certo TTV/TDV sobre un exoplaneta tipo X´upiter e, o outro, o TTV provocado polo exoplaneta Kepler-49c sobre o exoplaneta, Kepler-49b. O Cap´ıtulo 3 trata sobre a din´amica e a estabilidade das ´orbitas de exoplanetas e exosat´elites en diversos escenarios, tales como sistemas binarios, sistemas estelares triplos ou sistemas cunha soa estrela e varios exoplanetas. Analizaremos as condici´ons de estabilidade e como var´ıan os elementos orbitais, tanto a medio como a longo prazo. Se temos unha estrela cun s´o exoplaneta, analizaremos, por un lado, a influencia gravitatoria da estrela sobre o exoplaneta e o exosat´elite e, por outra banda, as forzas de marea que exerce o exoplaneta sobre o exosat´elite. Cando tratamos unha estrela con varios exoplanetas, analizamos fen´omeno planet-planet scattering, o cal xorde a causa da influencia gravitatoria dos exoplanetas do sistema entre eles mesmos, e que pode facer que alg´un deles sexa expulsado do sistema, deixando aos demais cunha excentricidade excitada. Estudaremos se ´e posible a presenza dun exosat´elite en tal situaci´on. No caso de estrelas dobres, trataremos dous subcasos: os exoplanetas con ´orbitas tipo S, e tipo P. No caso dunha estrela tripla, trataremos 4 subcasos: exoplanetas con ´orbitas tipo S1/S2, ´e dicir, exoplanetas que orbitan unha das d´uas compo˜nentes da binaria interior; S3, exoplanetas que orbitan a terceira estrela, P1, exoplanetas que orbitan o centro de masas da binaria interior e P2, exoplanetas que orbitan o centro de masas das tres estrelas. Na ´ultima secci´on deste Cap´ıtulo 3, analizamos as perturbaci´ons a longo prazo que te˜nen lugar en sistemas con exoplanetas e exosat´elites cando as s´uas xvii ´orbitas se atopan considerablemente inclinadas con respecto ´as demais ´orbitas existentes no sistema, estudando as variaci´ons que sofren os chamados ciclos de Lidov-Kozai. Finalmente, o Cap´ıtulo 4 dedic´amolo ´a habitabilidade tanto de exoplanetas como de exosat´elites. A modo de secci´on introdutoria, definimos con precisi´on o que se entende por habitabilidade para, a continuaci´on, falar da denominada zona habitable en torno a unha estrela ou sistema estelar. Explicaremos como determinala segundo o seu tipo espectral ou o n´umero de estrelas, no caso dun sistema estelar m´ultiple. Consideraremos, ademais, como as forzas de marea, as´ı como a gravitaci´on da estrela, infl´uen na habitabilidade dun exosat´elite. Definimos unha “zona habitable”para exosat´elites, que ten en conta, ademais do fluxo proveniente da estrela, a radiaci´on reflectida polo exoplaneta, e faremos especial ´enfase no quecemento de marea, describindo a s´ua grande importancia na habitabilidade dos exosat´elites, pola s´ua implicaci´on tanto na xeraci´on dun campo magn´etico como na actividade tect´onica, e como a astrodin´amica infl´ue sobre el. Por outra banda, propo˜nemos t´ecnicas para que, nun futuro, cando a tecnolox´ıa te˜na avanzado o suficiente, poidamos analizar moito m´ais en profundidade se un exoplaneta/exosat´elite ´e habitable, por medio de tres factores: caracterizaci´on das s´uas atmosferas, dos seus oc´eanos superficiais e dos seus oc´eanos interiores. A caracterizaci´on de atmosferas ´e a t´ecnica m´ais factible das tres, xa que logo, a d´ıa de hoxe, xa ´e posible a detecci´on de atmosferas en exoplanetas, por medio da espectroscop´ıa de transmisi´on. Estudamos esta t´ecnica e como, nun futuro pr´oximo, poder´a ser posible a detecci´on de atmosferas de exoplanetas tipo Terra. A caracterizaci´on de oc´eanos superficiais ´e moito m´ais dif´ıcil, e require de t´ecnicas m´ais complexas, todas elas relacionadas coa imaxe directa. As t´ecnicas que propo˜nemos son: Glint baseado na reflexi´on especular da luz da estrela sobre a auga do exoplaneta, variabilidade rotacional da cor, e polarizaci´on. A caracterizaci´on de oc´eanos interiores ´e un obxectivo moito m´ais afastado que os outros dous, xa que logo est´a case que completamente orientado ´a exploraci´on espacial. Propo˜nemos aqu´ı certas t´ecnicas aplicables no Sistema Solar, como a detecci´on de clatratos, para cando sexa posible a an´alise da suxviii perficie de exoplanetas/exosat´elites. Por ´ultimo, propo˜nemos a relaci´on masa-radio aplicada a exosat´elites para que, no futuro, a partir dela, se poida determinar a s´ua composici´on. Todo este traballo de investigaci´on vai acompa˜nado das respectivas Conclusi´ons, ademais de dous Ap´endices e a Bibliograf´ıa consultada. xix Introducci´on Search for Planets;Pollacco et al. 2006) y HATNET1(Hungarian Automated Telescope NETwork;Bakos et al. 2004,2013), ambos dedicados a descubrir exoplanetas tambi´en con el m´etodo de tr´ansitos, estando todav´ıa activos. Con el lanzamiento del telescopio Kepler en 2010, se produjo un punto de inflexi´on en la historia del descubrimiento de exoplanetas, debido en parte a su potent´ısima precisi´on fotom´etrica, pudiendo llegar a detectar un cambio en el flujo estelar de la estrella de ∼0,0023 mil´esimas de magnitud (https://keplergo.arc.nasa.gov/CalibrationSN.shtml), y al amplio seguimiento de 150.000 estrellas (Borucki et al. 2010). Las misiones Kepler y K2 (Howell et al. 2014) han sido enormemente exitosas, habiendo descubierto un total de 2347 exoplanetas confirmados y 2420 candidatos mediante el m´etodo de tr´ansitos. En 2018, estas misiones llegaron a su fin. En ese mismo a˜no, el telescopio TESS tom´o el relevo de Kepler y ya ha detectado 98 planetas adem´as de otros 2453 que est´an por confirmar, todo ello en poco m´as de dos a˜nos. Se espera que TESS obtenga incluso mejores resultados que Kepler, debido al seguimiento de un mayor n´umero de estrellas (200.000; https://solarsystem.nasa.gov/resources/890/ tess-200000-stars/), las cuales son de 10 a 100 veces m´as brillantes que las estudiadas por Kepler (Ricker et al. 2016). El futuro de la exploraci´on de exoplanetas promete grandes descubrimientos, gracias, sobre todo, al telescopio espacial James Webb (JWST). Destinado a convertirse en el sucesor del telescopio Hubble, se espera su activaci´on para octubre de 2021 (https://www.esa.int/Science_Exploration/Space_ Science/James_Webb_Space_Telescope_to_launch_in_October_2021). Entre muchas otras capacidades, podr´a llevar a cabo espectroscop´ıa con una precisi´on sin precedentes, lo que permitir´a estudiar, como nunca antes, la atm´osfera de los exoplanetas (v´ease Secci´on 4.4.2). Adem´as, consta de una considerable apertura de 6,52m (por ejemplo, Clampin 2010), lo que podr´ıa permitir visualizar exoplanetas, presumiblemente, del tama˜no de la Tierra, a trav´es de su imagen directa (Secci´on 1.1.4), algo que no se ha logrado nunca antes (Soummer et al. 2010). Si esto fuera posible podr´ıamos, en teor´ıa, determinar si dichos exoplanetas poseen oc´eanos o no (v´ease la Secci´on 4.4.1), lo cual har´ıa much´ısimo m´as f´acil el estudio de su habitabilidad. 1La misi´on HATNET en realidad se inici´o antes que CoRoT, en 2003, pero no fue hasta 2006 cuando descubri´o el primer exoplaneta, HAT-P-1b (Bakos et al. 2007). 2Comp´arese con el Hubble, el cual posee una apertura de “tan solo” 2,4 m. 2 Introducci´on Figura 1: N´umero acumulativo de exoplanetas detectados por a˜no. Cada color representa un m´etodo de detecci´on diferente. Cr´edito a NASA Exoplanet Archive. Antecedentes hist´oricos del descubrimiento de exoplanetas y exosat´elites A pesar de que el descubrimiento de exoplanetas tiene apenas 25 a˜nos de historia, su detecci´on no fue casual sino que fue la culminaci´on de varios a˜nos de observaci´on astron´omica y de la mejora en la precisi´on del instrumental utilizado (espectr´ometros, espectr´ografos, interfer´ometros, fot´ometros, c´amaras CCD...). A continuaci´on se describen algunos antecedentes que propiciaron el descubrimiento del primer exoplaneta, adem´as de varios ejemplos de exoplanetas importantes. - En 1855, Jacob estudi´o la ´orbita de la estrella binaria 70 Ophiuchi mediante c´alculos astrom´etricos y lleg´o a la conclusi´on de que hab´ıan ciertas anomal´ıas entre las observaciones y las posiciones esperadas, lo que hac´ıa la presencia de un tercer cuerpo algo, seg´un sus propias palabras, “altamente 3 Secci´on 0.0. Antecedentes hist´oricos del descubrimiento de exoplanetas y exosat´elites probable” (Jacob 1855). Hoy en d´ıa se sabe que dichos c´alculos no pasar´ıan los test estad´ısticos pertinentes. La presencia de un cuerpo planetario se supone, en definitiva, descartada (Heintz 1988). - En 1991 se crey´o que exist´ıa un planeta orbitando el p´ulsar PSR B1829-10 (Bailes et al. 1991), pero en 1992 se descart´o su existencia (Lyne & Bailes 1992). - Al a˜no siguiente, Wolszczan y Frail, estudiando las variaciones de las se˜nales recibidas, descubrieron un sistema planetario alrededor del p´ulsar PSR B1257+12 (Wolszczan & Frail 1992). Esta se considera la primera vez que se detecta un exoplaneta de manera inequ´ıvoca. - En el a˜no 1995 la precisi´on de los espectr´ografos era tal que se pod´ıa detectar variaciones en el movimiento de las estrellas producido por la presencia de un cuerpo ligado gravitacionalmente a ´el (lo que produce variaciones en su velocidad radial) del orden de 15 m s−1, lo que permiti´o a Mayor y a Queloz descubrir un planeta orbitando una estrella de la secuencia principal, 51 Peg (Mayor & Queloz 1995). Este hallazgo fue un hito en el estudio de los exoplanetas y fue reconocido con el Premio Nobel de F´ısica en 2019. - A partir del a˜no 1995 el m´etodo de velocidad radial se convirti´o el mejor y m´as fiable para detectar exoplanetas, hasta que en 1999 David Charbonneau et al. (1999) yHenry et al. (1999) hallaron una “ca´ıda de luz” estudiando la fotometr´ıa de la estrella enana de tipo G HD 209458, tras varios intentos fallidos de buscar ca´ıdas de esa naturaleza en estrellas tipo 51 Peg (Henry et al. 1997;Baliunas et al. 1997; etc.). Dicha ca´ıda de luz se produce por el tr´ansito del planeta entre la estrella y nuestra l´ınea de observaci´on, por lo que se le conoce como m´etodo de tr´ansitos. Este t´ecnica, como ya veremos, tiene ciertas ventajas que el de la velocidad radial no posee, como por ejemplo poder calcular la inclinaci´on de la ´orbita. - El a˜no siguiente, se descubrir´ıa el primer exoplaneta en un sistema estelar triple, 16 Cygni Bb (Cochran et al. 1997). Se cree que su gran excentricidad (0,67) es causada por la acci´on gravitatoria del resto de estrellas del sistema, sobre todo de 16 Cygni A (Holman et al. 1997). - En 1999 se descubri´o el primer sistema planetario m´ultiple en υAndromedae, por el m´etodo de tr´ansitos (Butler et al. 1999). Estas dos t´ecnicas, la de velocidad radial y la de tr´ansitos eran ya utilizadas 4 Introducci´on desde un siglo atr´as en el descubrimiento y posterior seguimiento de estrellas binarias, binarias espectrosc´opicas en el primer caso y binarias eclipsantes en el segundo. Su aplicaci´on a la detecci´on de exosat´elites hubo de esperar el tiempo necesario para que la instrumentaci´on correspondiente alcanzase la precisi´on y sensibilidad necesarias. - Ya en este siglo, fue descubierto, por el m´etodo de velocidad radial (Santos et al. 2001), el primer exoplaneta cuya ´orbita cae completamente dentro de la zona habitable (ver Secci´on 4.2) de una estrella, HD 28185 b. Tambi´en en 2001 se detect´o, por primera vez, la atm´osfera de un exoplaneta, en torno al exoplaneta HD 209458 b (Charbonneau et al. 2002), analizando su espectroscop´ıa de transmisi´on (Secci´on 4.4.2.2). - PSR B1620-26b, el primer planeta con ´orbita circumbinaria, es decir, que se mueve en torno al centro de masas de una binaria y alrededor de ambas componentes, fue descubierto en 1993 (Backer et al. 1993) pero no fue confirmado hasta diez a˜nos m´as tarde (Sigurdsson et al. 2003). Dichos planetas se dice que tienen una ´orbita tipo P, frente a los que orbitan una sola componente de la binaria (tipo S) (Dvorak 1982,1984,1986). Los exoplanetas descubiertos con ´orbita tipo S son mucho m´as frecuentes, quiz´as debido a que las t´ecnicas observacionales no favorecen especialmente la detecci´on de ´orbitas tipo P (Campo 2019;Mu˜noz & Lai 2015) ya que de otro modo no se explica que, en teor´ıa, ambos tipos de ´orbitas re´unan condiciones favorables para la formaci´on planetaria (Alexander 2012;Vartanyan et al. 2016). - En 2006 fue descubierto el exoplaneta con la ´orbita m´as exc´entrica, HD 20782 b, con una excentricidad de 0,92, que en 2009 ser´ıa actualizada a 0,97 (Jones et al. 2006;O’Toole et al. 2009). - Al a˜no siguiente, fue descubierta, por el m´etodo de velocidad radial, la primera super-Tierra dentro de la zona habitable de su estrella, Gliese 581 c. Definimos las super-Tierras como exoplanetas de masa comprendida entre una y diez masas terrestres, seg´un los modelos de Valencia et al. (2006) yFortney (2006). - En 2012, se detectaron dos exoplanetas, Kepler-42 b y Kepler-42 c, en ´orbita tipo P en torno a la binaria Kepler-42. Este no solo fue el primer sistema planetario m´ultiple descubierto en torno a una binaria, sino que demostr´o que este tipo de sistemas era posible, incluso teniendo ´orbitas muy cercanas, con 5 Secci´on 0.0. Antecedentes hist´oricos del descubrimiento de exoplanetas y exosat´elites Figura 2: Ilustraci´on de las ´orbitas tipo P y tipo S. Imagen adaptada de Astronomy Magazine. Autora: Roen Kelly. semiejes respecto al centro de masas de la binaria de 0,3 y 0,99 u.a., respectivamente (Orosz et al. 2012b). En 2019, se descubrir´ıa un tercer exoplaneta en este sistema (Orosz et al. 2019). - En 2016 la NASA dio cuenta de la existencia de siete planetas alrededor de la estrella TRAPPIST-1, lo que le convirti´o en el sistema planetario con mayor n´umero de planetas hasta la fecha, junto con HD 10180 (tambi´en con siete planetas confirmados) (Tuomi 2012). Esto demostr´o que era posible detectar sistemas planetarios con caracter´ısticas de alguna manera similares a nuestro Sistema Solar; sin embargo, hay ciertas diferencias importantes, por ejemplo TRAPPIST-1 es una estrella roja, por tanto mucho m´as fr´ıa que el Sol (Gizis et al. 2000) y por ende su zona de habitabilidad es mucho m´as reducida, adem´as de que todos los semiejes mayores de sus planetas se encuentran comprendidos entre 0,01 y 0,06 u.a. (Grimm et al. 2018). - Ese mismo a˜no, se detect´o por primera vez la atm´osfera de una superTierra, 55 Cancri e (Tsiaras et al. 2016). 6 Introducci´on - En septiembre de 2019, se descubrieron trazas de vapor de agua en la atm´osfera de la super-Tierra K2-18 b (Benneke et al. 2019;Tsiaras et al. 2019). Este fue un gran descubrimiento, no solo por ser la primera vez que se detectaba vapor de agua en una super-Tierra, sino tambi´en por ser el primer exoplaneta dentro de la zona habitable el cual se ha detectado su atm´osfera. Tras el descubrimiento de los primeros exoplanetas dentro de la zona habitable de su estrella, se empez´o a pensar en la posibilidad de b´usqueda de vida fuera del Sistema Solar. Sin embargo, este tipo de planetas tan pr´oximos a la estrella son susceptibles de presentar caracter´ısticas que pueden dificultar la presencia de vida, como puede ser el acoplamiento de marea que hace que el planeta siempre tenga la misma cara hacia a la estrella, lo cual provocar´ıa temperaturas extremas en su superficie, desfavorables para la vida. Sin embargo, la presencia de exosat´elites orbitando el planeta eliminar´ıa dicho problema ya que, en el peor de los casos, el sat´elite ser´ıa dominado de marea por el planeta y no por la estrella. Esto, unido al hecho de que los sat´elites se encuentran en gran n´umero alrededor de planetas gigantes, en parte por lo que nos dice la teor´ıa de formaci´on planetaria pero tambi´en por lo que observamos en el Sistema Solar (por ejemplo Zhu et al. 2016;Canup & Ward 2002), ha motivado a varios grupos de investigaci´on a la b´usqueda de exosat´elites alrededor de los exoplanetas ya descubiertos. Dado que ning´un exosat´elite ha sido confirmado todav´ıa, primero haremos un repaso bibliogr´afico de todo lo que se refiere al estudio te´orico de los mismos y despu´es comentaremos los candidatos a exosat´elites propuestos en la literatura. - La primera referencia a un “exosat´elite” (exomoon) aparece en Szab´o et al. (2006), pero la primera vez que se habla en t´erminos de “sat´elites de planetas extrasolares” es en Williams et al. (1997), donde se discute la supuesta habitabilidad de sat´elites que orbitan planetas gigantes, y en Sartoretti & Schneider (1999), donde se habla de la posibilidad de detecci´on de un sat´elite alrededor de un planeta que transita la estrella hu´esped. En este art´ıculo tambi´en se introduce un concepto que m´as tarde supondr´ıa una de las principales t´ecnicas de detecci´on de exosat´elites: la variaci´on del tiempo de tr´ansito debido al movimiento del planeta alrededor del centro de masas planeta-sat´elite (Secci´on 1.1.5;1.2.3). -Deeg (2002) estudi´o la te´orica detecci´on de planetas tipo Tierra y sus 7 Secci´on 0.0. Antecedentes hist´oricos del descubrimiento de exoplanetas y exosat´elites Figura 3: N´umero de citas de art´ıculos con la palabra “exomoon”. Datos disponibles en app. dimensions.ai. sat´elites por medio del m´etodo de tr´ansitos. Argumenta tambi´en que un sat´elite m´as grande que la Tierra causar´ıa efectos fotom´etricos detectables. - En Barnes et al. (2002) se trata por primera vez la estabilidad de las ´orbitas de sat´elites que orbitan planetas gigantes. - En Espa˜na hubo una comunicaci´on a las VIII Jornadas de Mec´anica Celeste celebradas en Rianxo (Galicia, Espa˜na) en 2005, con el t´ıtulo: Satellites around extrasolar planets (Andrade & Docobo 2006a). El director de esta Tesis Doctoral, Prof. Jose ´ Angel Docobo, promovi´o as´ı mismo distintas aportaciones con otros miembros del Observatorio Astron´omico Ram´on Mar´ıa Aller (OARMA) sobre la din´amica de exoplanetas y exosat´elites, incluso en estrellas dobles (Andrade & Docobo 2006b;Andrade & Docobo 2007;Campo 2011;Docobo, Andrade & Campo 2012;Docobo, Campo & Andrade 2012;Campo & Docobo 2014;Campo 2019). - En el mencionado Szab´o et al. (2006) ya se empieza a hablar de exosat´elites, y se analiza la fotometr´ıa esperada para el tr´ansito de un planeta-sat´elite tipo J´upiter-Tierra. - En Simon et al. (2007) se formaliza el concepto del TTV (Transit Timing 8 Introducci´on Variation) baric´entrico provocado por un exosat´elite (Secci´on 1.2.3.1), lo que permite dar una estimaci´on de su masa y su radio. Esto tendr´ıa grandes implicaciones en el estudio de su habitabilidad (Cap´ıtulo 4). - Kipping (2009a,2009b) public´o dos de los trabajos m´as importantes e influyentes en lo que se refiere a investigaci´on sobre los exosat´elites. En ellos se generaliza el TTV para ´orbitas exc´entricas no coplanarias, se introduce el TDV (Secci´on 1.2.3.2), se caracteriza la detecci´on de exosat´elites por medio del desfase TTV-TDV y se explica el c´alculo de la masa, periodo y semieje del sat´elite. Candidatos a exosat´elites Ahora procederemos a explicar algunos candidatos a exosat´elites propuestos en la literatura, algunos ya descartados: Kepler-90g.01 Este supuesto exosat´elite orbitar´ıa el planeta Kepler-90g, que a su vez pertenece al sistema Kepler-90 que consiste en una estrella tipo G con 8 planetas girando a su alrededor, con el octavo habiendo sido descubierto gracias a un algoritmo de machine learning desarrollado por Google (Shallue & Vanderburg 2017). Pues bien, Kipping et al. (2015) estudiaron la posibilidad de que alrededor del planeta Kepler-90g se encontrase un exosat´elite debido a una anomal´ıa detectada en su tr´ansito en el cuarto3Q6 del telescopio Kepler. En ese art´ıculo se llega a la conclusi´on de que Kepler-90g.01 es un falso positivo por varias razones; la primera es que esa anomal´ıa solo es estad´ısticamente significativa en el cuarto Q6 mientras que en los dem´as no lo es, y la segunda est´a en relaci´on con lo que en el art´ıculo denominan los centroides de tr´ansito, en los cuales se llega a la conclusi´on de que el centroide del supuesto exosat´elite se encuentra demasiado deslocalizado de lo que deber´ıa de estar seg´un los modelos te´oricos (Figura 5). M´as adelante explicaremos todo esto en detalle. 3Se denomina cuarto a las cuartas partes del a˜no en las que se dividen las observaciones del telescopio Kepler. En este sentido, Q6 se referir´ıa al segundo cuarto del segundo a˜no desde que se empezaron las observaciones del exoplaneta. 9 Secci´on 0.0. Candidatos a exosat´elites Figura 4: Seis tr´ansitos del planeta Kepler-90g (Kipping et al. 2015). En el cuarto Q6 se aprecia un ligero valle que podr´ıa indicar la presencia de un exosat´elite. Figura 5: Se pueden apreciar las diferencias hay en el centroide con respecto a los datos originales de Kepler (arriba) y los datos sint´eticos en los que se ha introducido la se˜nal de un exosat´elite (abajo) (Kipping et al. 2015). 10 Introducci´on MOA-2011-BLG-262Lb MOA-2011-BLG-262 es un caso especial de un planeta errante, es decir, un planeta que vaga libre por la Galaxia sin estar ligado gravitacionalmente a ninguna estrella. Este “objeto” fue descubierto por el m´etodo de microlente gravitatoria (Secci´on 1.1.3) y, por tanto, solo se puede determinar el producto de la masa de la lente MLpor la paralaje de la misma πL(v´ease Secci´on 1.1.3). Los datos se ajustan a un movimiento propio relativamente grande del sistema (19,6±1,6 mas yr−1), por lo que la paralaje se supone grande (es decir, el sistema se considera cercano a la Tierra) y por tanto MLtiene que ser peque˜no, del orden de 3 o 4 masas de J´upiter, consistente con que la lente est´e formada por un exoplaneta + exosat´elite. Sin embargo, esto no es todo ya que a las observaciones tambi´en se ajusta bien una soluci´on con un movimiento propio menor, del orden de 11,6±0,9 mas yr−1, que nos dar´ıa una masa para el ”planeta” de 0,12 M, y entonces ya estar´ıamos hablando no de un planeta, sino de una enana roja. Estas dos soluciones (llamadas r´apida y lenta) se consideran posibles y, aun cuando la lenta es favorecida cuando se realiza un an´alisis estad´ıstico de los datos, futuras observaciones ser´an necesarias para determinar si se trata de un planeta errante con un exosat´elite o por el contrario si se trata de una enana roja + un exoplaneta, i que podemos decir que la denominaci´on de “planeta errante” es, de momento, puramente hipot´etica (Bennett et al. 2014). WASP-12b I Cient´ıficos rusos dicen haber encontrado un exosat´elite orbitando el gigante gaseoso caliente WASP-12b. Las razones que dan para ello son “cambios (explosiones) de luz repentinos”, aunque la literatura sobre este estudio es escasa (se puede consultar en https://ria.ru/20120206/558647431.html) y podr´ıan haber diversas explicaciones para este fen´omeno, como por ejemplo nubes de gas alrededor de la estrella o quiz´as una emisi´on de rayos c´osmicos. V´ease la Secci´on 1.2.4 donde se habla de diversos fen´omenos que pueden “imitar” la presencia de un exosat´elite. J1407b I J1407b (o tambi´en llamado 1SWASP J140747.93-394542.6b) es un exoplaneta con anillos (Rieder & Kenworthy 2016), los cuales presentan ciertas discontinuidades (Kenworthy & Mamajek 2015). Se ha estudiado la posibilidad 11 Cap´ıtulo 0 M´etodos matem´aticos utilizados en la Tesis Antes de entrar en el grueso de la Tesis, empezaremos por explicar todos y cada uno de los m´etodos matem´aticos que se han aplicado a lo largo de ella, as´ı como del software implementado. 0.1. TIDES TIDES es un software especializado en resolver sistemas de ecuaciones diferenciales muy complicados y que requieren mucho tiempo de computaci´on. Fue desarrollado en 2011 por Alberto Abad, Roberto Bario, Fernando Blesa y Marcos Rodr´ıguez, del Grupo de Mec´anica Espacial de la Universidad de Zaragoza (Abad et al. 2011,2012,2015). Este paquete inform´atico se basa en el m´etodo de las series de Taylor (TSM) para resolver el problema de valor inicial: dy dt =f(t, y(t); p), y(t0) = y0, t ∈R, y ∈Rn, p ∈Rm,(0.1) siendo y0las condiciones iniciales, plos par´ametros y tla variable independiente. Asumiendo que fes infinitamente diferenciable, hallar´ıamos la soluci´on aproximada en un instante de tiempo ti+1 =ti+hi,y(ti+1), desarrollando la 19 Secci´on 0.1. TIDES serie de Taylor de y(t) en torno al punto tiy evalu´andola en ti+1: y(t0) = y0 y(ti+1)≈y(ti) + dy(ti) dt hi+1 +1 2! d2y(ti) dt2h2 i+1 +... +1 n! dny(ti) dtnhn i+1 ≈ 0.1 ≈y(ti) + f(ti, y(ti))hi+1 +1 2! df(ti, y(ti)) dt h2 i+1 +... +1 n! dn−1f(ti, y(ti)) dtn−1hn i+1. (0.2) As´ı, el programa se dedicar´a a calcular las n−1 sucesivas derivadas de fpara resolver el problema del valor inicial. Para ello, TIDES consta de dos peculiaridades que lo diferencian del resto de paquetes encargados de resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. La primera es la implementaci´on de la llamada diferenciaci´on autom´atica (AD), que permite calcular muy eficientemente las derivadas sucesivas, y la segunda es que el paso es variable, lo que lo hace m´as robusto sin necesidad de contar con una gran cantidad de puntos de integraci´on. Esto puede servirnos de utilidad puesto que, en muchos casos, tendremos que integrar sistemas de ecuaciones diferenciales a lo largo de millones o incluso decenas de millones de a˜nos, con lo que la cantidad de puntos de integraci´on ser´an igualmente grande y ello aumentar´a considerablemente el tiempo de computaci´on. El paso variable permite, por tanto, una cantidad menor de puntos de integraci´on posible sin por ello perder la precisi´on. TIDES consta, principalmente, de MathTIDES, un paquete de Mathematica que escribe el sistema de ecuaciones diferenciales, las condiciones iniciales y los par´ametros en c´odigo C (´o Fortran, seg´un convengamos), y la librer´ıa LibTIDES, la cual unida y compilada junto al c´odigo C (Fortran) generado por MathTIDES permite la integraci´on del sistema de ecuaciones. Adem´as, TIDES incluye las librer´ıas GMP y MPFR, que permiten una integraci´on de doble y m´ultiple precisi´on, respectivamente. Otras funciones interesantes de TIDES son: −B´usqueda de ceros de una determinada funci´on de la soluci´on del problema de valor inicial que nosotros elijamos. −B´usqueda de extremos, tanto m´ınimos como m´aximos, de una determinada funci´on de la soluci´on del problema de valor inicial que nosotros 20 Cap´ıtulo 0. M´etodos matem´aticos utilizados en la Tesis elijamos. −Integraci´on de las derivadas parciales de las variables ´o par´ametros del problema de valor inicial que elijamos. Un aspecto fundamental que separa TIDES de otros m´etodos num´ericos es su enorme precisi´on, lo que le confiere una gran estabilidad que hace que las soluciones no difieran significativamente cuando, por ejemplo, utilicemos distintos pasos de integraci´on. Esto es ´util en problemas cuya sensibilidad con respecto a las condiciones iniciales sea m´axima, puesto que un m´etodo poco preciso podr´ıa desencadenar en una integraci´on completamente err´onea. 0.2. M´etodo de Laguerre Utilizaremos el m´etodo de Laguerre para encontrar ra´ıces de polinomios cuando el grado es grande. Nos ser´a ´util en la Secci´on 1.1.3. El algoritmo consiste en:  Elegir un valor inicial x0.  k∈{0,1, ..., n}  Si xkes menor que una cierta cantidad peque˜na, stop.  G=P0(xk) P(xk)  H=G2−P00(xk) P(xk)  D1 = G+p(n−1)(nH −G2)  D2 = G−p(n−1)(nH −G2)  Asignar DaD1 ´o a D2, dependiendo qu´e cantidad sea mayor en valor absoluto.  a=n/D  xk+1 =xk−a  Si xk+1 es menor que una cierta cantidad peque˜na, stop. 21 Secci´on 0.3. Algoritmos de optimizaci´on 0.3. Algoritmos de optimizaci´on En el Cap´ıtulo 2utilizaremos dos algoritmos de optimizaci´on para hacer ajustes de m´ınimos cuadrados: el algoritmo de evoluci´on diferencial cuya optimizaci´on es global, y el algoritmo Basin-hopping, que combina optimizaci´on local con optimizaci´on global. 0.3.1. Algoritmo de evoluci´on diferencial Este m´etodo de minimizaci´on es estoc´astico, es decir, involucra m´etodos probabil´ısticos, y no m´etodos de gradiente. Esto nos resulta conveniente ya que trabajaremos con funciones que involucran un gran n´umero de variables sobre las cuales aplicaremos el algoritmo, por lo que calcular el gradiente se vuelve una tarea tediosa y, en la mayor´ıa de los casos, ineficaz, puesto que en innumerables ocasiones nos encontraremos con puntos singulares que hacen el m´etodo inviable. Suponemos que f:Rn→Res la funci´on que queremos minimizar. Se elige el m´aximo n´umero de generaciones, MAXG, el n´umero de la poblaci´on, NP, el par´ametro de hibridaci´on, CR ∈[0,1], y el llamado peso diferencial,F. Se describe a continuaci´on el algoritmo:  Elegir un valor inicial al azar xi,0, correspondiente a la generaci´on 0, para cada miembro ide la poblaci´on.  G∈ {0,1, ..., MAXG}  i∈ {1, ..., NP}  Elegimos 3 ´ındices de la poblaci´on distintos de i:r1,r2yr3, y distintos entre s´ı.  Elegimos un ´ındice al azar Rentre 1 y n.  Creamos una nuevo valor yi,G+1 a partir de xi,G, tal que as´ı:  j∈ {1, ..., n}  Elegimos un rj∼U(0,1) 22 Cap´ıtulo 0. M´etodos matem´aticos utilizados en la Tesis  Si rj< CR ´o j=R:  yi,j,G+1 =xr3,j,G +F(xr1,j,G −xr2,j,G)  Si no se cumple esta condici´on:  yi,j,G+1 =xi,j,G  Si f(yi,G+1)< f(xi,G):  xi,G+1 =yi,G+1  Si no se cumple esta condici´on:  xi,G+1 =xi,G El criterio de terminaci´on se alcanza cuando, evidentemente, Ges igual al n´umero m´aximo de generaciones MAXG. Debido a c´omo hemos construido yi,xise denomina el vector de base, mientras que a yise le llama el vector mutado. Dicha mutaci´on tiene lugar debido al par´ametro F. Para m´as informaci´on sobre las distintas versiones de este algoritmo y las posibles estrategias a seguir, v´ease Mezura-Montes et al. (2013). 0.3.2. Algoritmo Basin-hopping Este m´etodo se basa en la b´usqueda de un m´ınimo local, y al mismo tiempo a˜nade variaciones aleatorias a ese m´ınimo de manera que se obtiene nuevos m´ınimos locales cuyo evaluaci´on en fes menor, para as´ı obtener una sucesi´on de m´ınimos locales cuyo valor se aproxima al m´ınimo global. Dicha sucesi´on se termina cuando se cumple un determinado criterio de terminaci´on; en nuestro caso, cuando el algoritmo alcance un determinado n´umero de iteraciones n. Procedemos a describir el algoritmo.  Elegir un valor inicial x0.  Elegir un n´umero m´aximo de iteraciones n.  k= 0  Mientras ksea distinto de n: 23 Secci´on 0.4. Integraci´on num´erica de funciones multidimensionales definidas a trozos  Aplicar un algoritmo de optimizaci´on local1al punto xk.  Al m´ınimo local calculado le llamamos yk.  Aplicamos una variaci´on aleatoria a yk.  Llamamos a ese nuevo punto xk+1.  Aplicamos un algoritmo de optimizaci´on local al punto xk+1.  Al m´ınimo local calculado le llamamos yk+1.  Si f(yk+1)< f(yk) entonces  k=k+ 1 El criterio de terminaci´on se alcanza cuando k=n. V´ease Olson et al. (2012) para m´as informaci´on sobre este algoritmo. 0.4. Integraci´on num´erica de funciones multidimensionales definidas a trozos Utilizaremos el m´etodo de cuadratura de Clenshaw–Curtis para calcular la integral de funciones multidimensionales definidas a trozos, por ejemplo la funci´on definida por la ecuaci´on (1.59). Para ello, nos basaremos en la funci´on NIntegrate de MATHEMATICA. La implementaci´on est´a incluida en el programa spots.nb en el Ap´endice B. El m´etodo de cuadratura de Clenshaw–Curtis se basa en aproximar la integral por medio de la combinaci´on lineal de unos pesos ωiy de la funci´on evaluada en unos nodos xi, tal que: Z−1 1 f(x)dx ≈ n/2 X i=1 ωi(f(xi) + f(−xi)),(0.3) donde n es un n´umero entero par de nuestra elecci´on, y: xi= cos πi n,∀i∈ {1, ..., n/2}(0.4) 1El algoritmo de optimizaci´on local que nosotros utilizaremos ser´a el Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno, cuyo m´etodo se basa en el m´etodo de gradiente. 24 Cap´ıtulo 0. M´etodos matem´aticos utilizados en la Tesis y ωi=DTd, (0.5) siendo d=          1 2/(1 −(2 ·1)2) 2/(1 −(2 ·2)2) . . . 2/(1 −(2 ·k)2) 1/(1 −N2)          , k ∈ {1, . . . , N/2−1}(0.6) yDuna matriz con entradas Dji =2 ncos πij n/2×(1/2 si j= 0 ´o j=n/2, j ∈ {0, ..., N/2} 1 en otro caso (0.7) Ahora, es necesario resaltar el hecho de que el m´etodo Clenshaw-Curtis forma parte de la familias anidadas (nested families), de manera que los nodos en el problema unidimensional son subconjuntos del conjunto de nodos del problema multidimensional, por lo tanto el problema de integrar sobre una regi´on [−1,1]N, donde N es su dimensi´on, se puede construir a partir del problema unidimensional en [−1,1] con un n´umero reducido de nodos (v´ease, por ejemplo, Waldvogel 2006;Smolyak 1963). 0.5. Transformada r´apida de Fourier (FFT) La transformada r´apida de Fourier es el m´etodo que utiliza el periodograma cl´asico con el fin de descomponer una se˜nal equiespacialmente muestreada en una serie de arm´onicos, correspondi´endose el arm´onico dominante con el per´ıodo de la se˜nal (v´ease la Secci´on 2.1.1). La FFT se calcula como ˆ fk= N X n=0 fne−2πikn/N ,(0.8) 25 Secci´on 0.5. Transformada r´apida de Fourier (FFT) donde fkson los distintos puntos de la se˜nal para el instante de tiempo tk=k∆t, con k= 0,1, ..., N, ∆tel intervalo de tiempo entre las observaciones yNel tama˜no de la muestra. En nuestros c´alculos, utilizaremos la funci´on fft() de MATLAB para calcular la transformada r´apida de Fourier, por ejemplo en el programa TTV/TDV.m del Ap´endice B. 26 Cap´ıtulo 1 M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Este Cap´ıtulo est´a dedicado a exponer los principales m´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites, haciendo hincapi´e en los modelos matem´aticos a utilizar para despu´es en el siguiente Cap´ıtulo describir el procedimiento de detecci´on en el cual ajustamos los datos de observaci´on a los modelos descritos. 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas Adem´as de los m´etodos de velocidad radial ytr´ansitos, que han sido responsables del descubrimiento del 96 % del total de los exoplanetas (Figura 1), existen tambi´en otras t´ecnicas que merecen igualmente ser expuestas. Dichos m´etodos no proporcionan tanta informaci´on sobre la ´orbita ni son tan fruct´ıferos en cuanto a resultados se refiere, pero tienen otras ventajas tales como la posibilidad de detectar exoplanetas de baja masa o de arbitraria inclinaci´on, lo cual no siempre es posible debido al sesgo de detecci´on1que existe con respecto al m´etodo de velocidad radial y el m´etodo de tr´ansitos, respectivamente. Esto es importante ya que, cuanta mayor variedad de caracter´ısticas orbitales y f´ısicas tengamos de la poblaci´on de exoplanetas, mayor informaci´on habr´a de todos los tipos de configuraciones posibles de los mismos dentro de 1Detection bias. Se refiere a la capacidad restrictiva intr´ınseca de cada m´etodo de detecci´on que puede darnos una visi´on sesgada de c´omo son los exoplanetas en el Universo. Por ejemplo, por el m´etodo de tr´ansitos s´olo podemos detectar sistemas planetarios para los que nuestra l´ınea de observaci´on est´a contenida en su plano orbital (i≈90◦). 27 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas 1.1.2. Tr´ansitos Fue en Struve (1952) la primera vez que se menciona el principio del m´etodo de tr´ansitos para el descubrimiento de exoplanetas (es decir, los pasos del planeta por delante del disco de la estrella). M´as tarde Rosenblatt (1971) ya habla en t´erminos de “tr´ansitos” y de la posibilidad de ser detectados mediante fotometr´ıa. Desde entonces, se ha llamado de esta forma. Figura 1.6: Ilustraci´on de un tr´ansito (Winn 2010). N´otese que se muestra τcomo τ:= τing = τegr ya que, al considerar ´orbitas circulares, estos tiempos son iguales. T0en este caso ser´ıa la intersecci´on de la curva de luz con el eje Y. Este m´etodo se basa en la ca´ıda de luz que apreciamos cuando un cuerpo se interpone entre una estrella y nuestra l´ınea de visi´on, lo que provoca que el disco de luz de la estrella se obscurezca m´ınimamente debido al tr´ansito del planeta por delante del disco estelar. La gr´afica que nos muestra la evoluci´on del flujo de luz en funci´on del tiempo se llama curva de luz. Como podemos apreciar en la Figura 1.6 hay varios par´ametros que caracterizan la curva de luz. Siguiendo el criterio de Winn (2010) definimos los cuatro puntos de contacto:tI,tII,tIII ytIV ; la duraci´on total,Td, como 34 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Td=tIV −tI; la duraci´on de ingreso,τing, como τing =tII −tI; la duraci´on de salida,τegr, como τegr =tIV −tIII;δ, la profundidad de tr´ansito; y b, el par´ametro de impacto, definido como b= (ap/R∗) cos i, siendo apel semieje orbital del planeta y R∗el radio de la estrella. A˜nadiremos tambi´en el par´ametro T0llamado tiempo de tr´ansito medio, que se define como el instante de tiempo donde se produce exactamente la mitad del tr´ansito, como referencia de tiempo con respecto al cual medir la curva de luz. Por cuestiones puramente geom´etricas, existe la siguiente relaci´on entre el flujo y los radios del planeta y la estrella: δ= ∆F=Rp R∗2 (1.12) siendo ∆Fla ca´ıda total de luz. Se producir´a el tr´ansito de un exoplaneta si apcos i≤Rp/R∗, siendo ila inclinaci´on de la ´orbita, y Rpel radio del planeta. Esto nos indica que s´olo ser´an detectables los planetas cuya ´orbita tenga una inclinaci´on alta, lo que limita la detecci´on de exoplanetas por medio de este m´etodo a las ´orbitas cuyo plano est´a contenido en nuestra l´ınea de observaci´on. Por otro lado, este m´etodo tambi´en nos permite calcular la inclinaci´on y el semieje de la ´orbita, y en consecuencia el radio y la masa del planeta (si conocemos previamente los respectivos valores de la estrella). Expresi´on anal´ıtica para el tr´ansito de un exoplaneta Daremos ahora una expresi´on anal´ıtica que permita calcular la curva de luz para un exoplaneta en funci´on del tiempo. Si tenemos en cuenta la noci´on geom´etrica de eclipses entre dos c´ırculos y asumimos que la fuente de luz es uniforme, el flujo es (Mandel & Agol 2002): Fe(p, z) = 1 −λ(p, z),(1.13) siendo 35 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas λ(p, z) =            0 1 + p<z 1 π"p2k0+k1−r4z2−(1 + z2−p2)2 4#1−p<z≤1 + p p2z≤1−p (1.14) pse define como el cociente entre el radio del planeta y el radio de la estrella, y zcomo la distancia proyectada sobre el plano perpendicular al observador entre los centros del planeta y de la estrella. Para ´orbitas circulares, se obtiene la siguiente relaci´on entre zy el tiempo: z=ap R∗ sin 2π P(t−T0)2 +cos icos 2π P(t−T0)2!1/2 (1.15) Si consideramos un caso m´as realista en el que la luz de las estrellas no es uniforme sino que se va atenuando conforme se aleja del centro, tenemos lo que se conoce como oscurecimiento del borde (limb darkening). En dicho caso, al no ser la fuente de luz uniforme debemos aplicar una peque˜na correcci´on a (1.13): F(p, z) = Z1 0 dr2rI(r)−1Z1 0 drI(r)d[Fe(p/r, z/r)r2] dr ,(1.16) con I(r) = 1 −P4 n=1 cn(1 −µn/2) que es la ley no lineal de oscurecimiento del borde (Claret 2000;Mandel & Agol 2002), siendo µ=√1−r2,0≤r≤1 ycnlos coeficientes que caracterizan dicho oscurecimiento. Estos coeficientes var´ıan seg´un el tipo espectral de la estrella y son los que mejor se ajustan a los modelos estelares y observacionales (Mandel & Agol 2002;Sing 2010). Aproximaci´on para peque˜nos planetas Como la expresi´on (1.16) puede ser complicada de manejar, computacionalmente hablando, se suele aproximar la curva de luz para planetas en los cuales p.0,1 (Mandel & Agol 2002): 36 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.7: Imagen de la fotosfera solar tomada por SDO/HMI (Solar Dynamics Observatory y Helioseismic and Magnetic Imager, respectivamente). Se aprecia c´omo la intensidad disminuye a medida que nos acercamos al borde. Cr´edito a Moon et al. (2017). F(p, z) =              1 1 + p<z 1−I∗(z) 4Ωπp2cos−1(z−1 p)−(z−1)pp2−(z−1)21−p<z≤1 + p 1−p2I∗(z) 4Ω z≤1−p (1.17) con I∗(z) = (4zp)−1Rz+p z−pI(r)2rdr yI∗(z) = (1 −a)−1R1 z−pI(r)2rdr, siendo Ω = P4 n=0 cn(n+ 4)−1,c0= 1 −c1−c2−c3−c4ya= (z−p)2. En cuanto a I(r) asumimos un modelo cuadr´atico: I(r) = 1 −u1(1 −µ)−u2(1 −µ)2(1.18) 37 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas Figura 1.8: Simulaci´on del tr´ansito de J´upiter por delante del Sol. En el grafo azul hemos asumido una ´orbita circular, mientras que en el rojo hemos utilizado el modelo del Ap´endice A de Kipping (2008) para una ´orbita exc´entrica, a la cual asignamos la excentricidad de J´upiter. Se ha fijado en ambos casos la inclinaci´on a 90◦para asegurar que se produzca tr´ansitos; de hecho en el caso de J´upiter (a∼5 u.a.) el tr´ansito no se produce si i < 89,9◦. con c1=c3= 0, c2=u1+ 2u2, c4=−u2. El valor de los coeficientes cidepender´a del tipo espectral de la estrella que consideremos. Para una como el Sol (tipo espectral G2V) los coeficientes cuadr´aticos correspondientes son u1≃0,4412 y u2≃0,2312 (Sing 2010). Hemos simulado un tr´ansito J´upiter-Sol para ver las diferencias entre una ´orbita circular y una exc´entrica. Se puede apreciar en la Figura 1.8 que, para el caso exc´entrico, el tiempo de ingreso se atrasa y el de salida se adelanta; es decir, el planeta transita un poco m´as tiempo. Estas diferencias no son muy grandes, pero tambi´en es porque la excentricidad de la ´orbita de J´upiter es muy peque˜na (0,0484). Cabe esperar que estas diferencias se acent´uen conforme la 38 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites excentricidad sea mayor. De todas maneras, se suele utilizar como modelo el circular debido que es m´as f´acil calcular los par´ametros y porque normalmente los planetas que transitan a su estrella siguen una ´orbita casi circular debido a las fuerzas de marea, las cuales aumentan dram´aticamente cuanto m´as peque˜na es la distancia a su estrella (Goldreich & Soter 1966; Secci´on 3.1.2). 1.1.3. Microlente gravitatoria Este m´etodo consiste en el aumento moment´aneo del tama˜no aparente de una estrella de fondo (fuente) por la presencia de un cuerpo masivo (presumiblemente otra estrella con o sin planeta) situado entre la fuente y el observador, el cual act´ua como lente (de ah´ı el nombre). Este aumento se produce por la curvatura que sufre la luz procedente de la estrella debido a la influencia de un cuerpo masivo, tal y como ya predijo Einstein. Desde 2004 han sido descubiertos 105 planetas mediante este m´etodo, entre ellos 4 sistemas m´ultiples (NASA Exoplanet Archive). Estos sucesos son bastante espor´adicos e impredecibles, aunque Bramich (2018) fue capaz de predecirlos en algunos casos, pero cuando suceden se puede detectar un gran pico de luz en la fotometr´ıa de la fuente, a veces con un aumento de m´as del 10 % (Udalski et al. 2005). 1.1.3.1. Caso de una sola lente (una estrella) Se define el radio de Einstein como θE=r4GM c2(D−1 L−D−1 S),(1.19) siendo Mla masa de la lente (si m´as de un cuerpo constituye la lente, ser´a la suma total de todos los cuerpos), cla velocidad de la luz, DLla distancia entre la lente y el observador y DSla distancia entre la fuente y el observador. La ecuaci´on de lente4para el caso de una sola lente es (Ecuaci´on (3.6) de Bartelmann & Schneider 2001): β=θ−ˆα(1.20) Siendo ˆαen ´angulo de desv´ıo de los rayos de luz provenientes de la fuente (Figura 1.9). Este ´angulo fue calculado5en Einstein (1911) como consecuencia 4En todo momento asumiremos que la fuente es un punto de luz. 5La f´ormula fue debidamente corregida en Einstein (1915c). 39 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas Figura 1.9: Esquema del m´etodo de microlente gravitatoria para el caso de una sola lente (Tsapras 2018). βdenota la posici´on angular de la fuente, θes la posici´on de una de las im´agenes y ˆαes el ´angulo de desv´ıo que produce la lente sobre el rayo de luz proveniente de la fuente. directa del principio de equivalencia (Einstein 1907: 461), y es: ˆα=4GM c2(D−1 L−D−1 S)θ(1.21) con lo cual se tiene β=θ−θ2 E θ.(1.22) Haciendo ahora el cambio u=β/θE,y=θ/θE: u=y−1 y(1.23) Como nos interesa calcular la posici´on angular de la lente en funci´on de la posici´on angular de la fuente, necesitamos resolver la ecuaci´on cuadr´atica que nos permita calcular los valores de xen funci´on de y. Las soluciones de dicha ecuaci´on son: y=u±√u2+ 4 2(1.24) 40 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Cada una de estas dos soluciones representa la imagen de la lente (v´ease la Figura 1.9 donde se aprecian dos im´agenes). Definimos el aumento ´optico Acomo el cociente entre el producto del brillo por el ´angulo s´olido de la lente y el producto del brillo por el ´angulo s´olido de la fuente, lo que resulta, debido a la conservaci´on del brillo de la fuente (por ejemplo, Ecuaci´on 7 de Gaudi 2010): A= θ β dθ dβ  (1.25) Sustituyendo en (1.25) y teniendo en cuenta las dos soluciones de (1.24): A1=θ1 2β β pβ+ 4θ2 E + 1!, A2=θ2 2β β pβ+ 4θ2 E−1!.(1.26) Cambiando ahora a las variables ueyobtenemos: A1=u2+ 2 2u√u2+ 4 +1 2, A2=u2+ 2 2u√u2+ 4 −1 2(1.27) Por lo tanto, el aumento ´optico total ser´a la suma del aumento ´optico de las dos im´agenes: A=A1+A2=u2+ 2 u√u2+ 4 (1.28) Seguidamente, necesitamos calcular u, que ser´ıa la posici´on angular en radios de Einstein, para caracterizar completamente la curva de luz del aumento ´optico en funci´on del tiempo. Para ello udepende, en el caso de una sola lente, de 3 par´ametros: u0(la separaci´on m´ınima lente-fuente), t0(un tiempo de referencia que indica cu´ando se produce mayor aumento ´optico) y tE, que es el tiempo que tarda la fuente en cruzar el radio de Einstein (ya que la fuente se mueve con respecto a la lente con un movimiento propio µrel). Podemos expresar tE=θE/µrel. La relaci´on que hay entre uy estos 3 par´ametros es: u=su2 0+t−t0 tE2 (1.29) Una vez que conocemos u0,tEyt0podremos calcular el aumento ´optico A para cualquier instante t. 41 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas Figura 1.10: Variaci´on del aumento ´optico Acon respecto al tiempo, teniendo en cuenta una sola lente provocada por una fuente puntual, para distintos valores de u0, utilizando (1.28)y(1.29). 1.1.3.2. Caso de lente binaria (estrella + planeta) Nuestro objetivo ser´a detectar anomal´ıas en el aumento ´optico producidas por la presencia de otra lente, el planeta. Por lo tanto debemos considerar en este caso la ecuaci´on de lente binaria. Ecuaci´on de lente binaria Siguiendo la notaci´on que aparece en la Figura 1.11, la ecuaci´on que relaciona ηcon ξes (Tsapras 2018): ~η =ξDS DL−DLS ˆα, (1.30) cumpli´endose la relaci´on 42 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.11: Esquema del m´etodo de microlente gravitatoria para el caso de una lente binaria (Tsapras 2018). Los vectores ~ ξ1,2indicando la posici´on de planeta y estrella proyectados sobre el plano perpendicular a la l´ınea del observador. ηmarca la posici´on del rayo de luz que sale del plano de la fuente, βel tama˜no angular de la fuente y αel ´angulo de desv´ıo del rayo de luz causado por la influencia gravitatoria de la estrella-planeta. ~ ξmarca el vector apuntando al punto donde se produce el desv´ıo y θindica el tama˜no angular de la lente. ˆα=4G c2  M1 ~ ξ−~ ξ1  ~ ξ−~ ξ1 2+M2 ~ ξ−~ ξ2  ~ ξ−~ ξ2 2  (1.31) siendo Gla constante de gravitaci´on universal y cla velocidad de la luz. Si ahora llamamos rE=θEDL6,~z =~ ξ/rE,~w = (DL/DS)·~η/rE,1= M1/(M1+M2) y 2=M2/(M1+M2) (Schneider & Weiss 1986), llegamos a ~w =~z −1 ~z −~z1 |~z −~z1|2−2 ~z −~z1 |~z −~z2|2(1.32) Que en notaci´on compleja (Witt 1990) queda en la forma: w=z−1 ¯z−¯z1−2 ¯z−¯z2 (1.33) 6rEse denota como radio de Einstein lineal yθEradio de Eistein angular (Perryman 2018: 121). 43 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas con c0=s2wm2 2, c1=−sm2(2w+s(−1 + sw −2w¯w+m2)) , c2=w−s3w¯w+s(−1 + m2−2w¯w(1 + m2)) + s2( ¯w−2 ¯wm2+w(1 + ¯w2+m2)), c3=s3¯w+ 2w¯w+s2(1 + 2w¯w−¯w2+m2)−s(w+ 2w¯w2−2 ¯wm2),(1.41) c4= ¯w(−1+2s¯w+w¯w)−s(−1+2s¯w+w¯w+m2), y c5= (s−¯w) ¯w, siendo m1= 1/(1 + q) y m2=q/(1 + q). Seg´un la Figura 1.12,use calcula como ~u = (u0+t∗cos α, t∗sin α)≡(u0+t∗cos α) + it∗sin α. (1.42) Una vez calculado upara un instante t∗, aplicamos el m´etodo de Laguerre al polinomio (1.40). Despu´es tenemos que comprobar que cumplen (1.33). Las que verifiquen dicha igualdad, diremos que corresponden a las im´agenes ziasociadas a u. Finalmente, calculamos el aumento ´optico Aseg´un (1.28) (Figura 1.15). 1.1.4. Imagen directa Lo ideal cuando se habla de detecci´on de exoplanetas o exosat´elites ser´ıa poder verlos directamente, es decir, sin valerse de m´etodos indirectos sino simplemente resolviendo la luz de las dos o tres componentes (estrella y planeta o planeta + sat´elite) para visualizarlas en el telescopio. Por desgracia, eso es realmente dif´ıcil en el caso de un exoplaneta y m´as a´un si hablamos de un exosat´elite, por lo que no es un m´etodo a tener demasiado en cuenta. No obstante, en el caso de exoplanetas, aunque dif´ıcil es posible y de hecho algunos han sido descubiertos por medio de este m´etodo: unos 143 (The Extrasolar Planets Encyclopaedia). Las dificultades de este m´etodo parten de dos cuestiones importantes: una de ellas es la potent´ısima resoluci´on necesaria de los telescopios para conseguir distinguir la separaci´on angular de las dos componentes. Algunas t´ecnicas se han implementado para resolver este problema; por ejemplo, para bloquear la fuente de luz de la estrella y hacer la del exoplaneta m´as visible se utilizan los 50 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.16: Imagen directa de la estrella 2M1207 junto a su planeta 2M1207b. Cr´edito a Chauvin et al. (2004). llamados coron´ografos. El otro problema es la grand´ısima diferencia de flujo que existe entre el planeta y la estrella. La radiaci´on que captamos del exoplaneta proviene tanto de la luz que refleja de la propia estrella como del calor que despide. La luz reflejada por el planeta, por desgracia, suele ser muy peque˜na en comparaci´on con la que emite la estrella. ¿Y c´omo sabemos la relaci´on que hay entre el flujo de luz reflejado por el exoplaneta y el flujo de la estrella? Seg´un Cabrera & Schneider (2007), que utilizan la teor´ıa fotom´etrica planetaria desarrollada por Lester, McCall & Tatum (1979), tenemos que: 51 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas Figura 1.17: Tres im´agenes de 4 planetas orbitando HR 8799. A la Figuras a y b le fue aplicada una m´ascara coronagr´afica. La flecha indica el descubrimiento de HR 8799e (Marois et al. 2010). Fp F∗ =ARp ap2 Ψ(α),(1.43) siendo Ael albedo del planeta, Rpsu radio, apsu semieje y Ψ(α) lo que se llama ley de fase, que tiene en cuenta el ´angulo de incidencia de los rayos de luz provenientes de la estrella. Si suponemos el caso del exoplaneta 2M1207b, cuyo radio es 1,5RJy cuyo semieje orbital es aproximadamente 50 u.a. (Chauvin et al. 2004,2005), tenemos: Fp F∗ = 2,05543276 ·10−10A·Ψ(α).(1.44) 52 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites En este caso, supondr´ıa aproximadamente dos diezmilmillon´esimas partes la luminosidad de la estrella. Como vemos, es una cantidad de luz casi imperceptible. Debido a esto, no interesa (fotom´etricamente hablando) “captar” la luz que se refleja de la estrella. ¿Y respecto al calor que despide? Ah´ı ya podemos ser m´as optimistas, ya que el contraste de flujo total entre el planeta y la estrella puede variar de 10−10 en la banda visible a 10−5en la banda infrarroja (Perryman 2018), por lo que parece evidente que nos interesa sobre todo medir la radiaci´on respecto a esta banda9. Este hecho sugiere que los exoplanetas sensibles a este m´etodo son muy calientes, y en efecto todos los descubiertos hasta ahora (excepto dos) su temperatura superficial se encuentra entre los 2000 y 10000 K (NASA Exoplanet Archive). Este m´etodo proporciona informaci´on sobre el semieje de la ´orbita si conocemos la paralaje σ00 y la combinamos con la separaci´on angular, a00: ap=a00/σ00 (1.45) Tambi´en podemos obtener la masa y el radio del planeta. El procedimiento es el siguiente: primero, necesitamos tener una estimaci´on de la edad de la estrella. Para ello se pueden usar determinados procedimientos: analizar la absorci´on de litio (Soderblom et al. 2014;Carlos et al. 2016), estudiar la girocronolog´ıa (Barnes 2003,2007) o la actividad de la cromosfera (Soderblom et al. 1991;Mamajek & Hillenbrand 2008). Segundo, asumimos que la edad de la estrella es la misma que la del planeta. En cuanto tengamos la luminosidad (la cual obtenemos por medio de imagen directa) y la edad, se pueden utilizar modelos de enfriamiento para estimar la masa y la temperatura del planeta, atendiendo a modelos evolutivos de formaci´on planetaria (Baraffe et al. 2002, 2003). Finalmente, utilizando la temperatura y la luminosidad se puede calcular el radio por medio de la ley de Stefan-Boltzmann aplicada a un cuerpo negro: L= 4πσR2 pT4(1.46) con σla constante de Boltzmann (5,670374 W m−2K−4). 9Tambi´en en Perryman (2018) la luz reflejada muestra, en cambio, una dominancia de la radiaci´on visible sobre la infrarroja. 53 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas Cabe mencionar que varios problemas pueden surgir al derivar estos par´ametros; por ejemplo, los modelos evolutivos de enfriamiento son fuertemente dependientes de las condiciones iniciales (Marley et al. 2007;Fortney et al. 2008) y por ende que las incertidumbres en los par´ametros pueden ser muy grandes. Otro problema es que la precisi´on con la que cuentan los instrumentos de observaci´on a´un es bastante cuestionable a nivel de la imagen directa de un exoplaneta, por lo que existen grandes errores de medida que hacen que la estimaci´on de los par´ametros sea dudosa, en el mejor de los casos. Un ejemplo de ello es la estimaci´on de la masa de GJ 504b como 4,0+4,5 −1,0masas de J´upiter (MJ) y la edad del sistema 160+350 −60 , 160+70 −60 o 330 ±180 Myr, seg´un el modelo utilizado (Kuzuhara et al. 2013). Como vemos, son estimaciones bastante cuestionables. En definitiva, este m´etodo no ofrece demasiada informaci´on sobre la ´orbita del exoplaneta m´as all´a de la separaci´on angular entre las dos componentes (excepto si lo combinamos con otros m´etodos lo cual no siempre es posible). S´olo es aplicable a casos especiales y, aunque puede ser ´util a modo ilustrativo, no proporciona muchas m´as posibilidades de conocer sus caracter´ısticas orbitales lo cual limita severamente la capacidad de estudiar su estabilidad y habitabilidad (que ser´an los objetivos de los Cap´ıtulos 3 y 4 respectivamente), por lo que no nos ser´a demasiado ´util en el desarrollo del presente trabajo. 1.1.5. TTV TTV (Timing Transit Variation) se refiere a las variaciones que se producen en el tiempo de tr´ansito10 de un exoplaneta producidos por la influencia de un cuerpo externo (en este caso consideraremos uno o varios planetas y en la siguiente Secci´on un sat´elite). Gracias a esta variaci´on se puede determinar un sistema planetario m´ultiple a partir de un planeta ya descubierto. De hecho, este m´etodo es generalmente utilizado para el descubrimiento de planetas m´ultiples: 10 planetas dentro de sistemas planetarios m´ultiples han sido detectados (The Extrasolar Planets Encyclopaedia ). El “tiempo de tr´ansito” se toma como el tiempo de tr´ansito medio T0que defin´ıamos en la Secci´on 1.1.2, pero debemos mencionar que este t´ermino es 10No debe confundirse tiempo de tr´ansito, que se refiere al instante de referencia en el que se dice que se produce el tr´ansito, el cual se corresponde con el instante T0(V´ease la Secci´on 1.1.2), con duraci´on del tr´ansito, que se refiere al tiempo transcurrido durante un tr´ansito completo. 54 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.18: Gr´afica ilustrando c´omo el tr´ansito se adelanta y se atrasa por la influencia de un cuerpo externo (Nesvorn´y et al. 2012) 55 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas correcto s´olo si consideramos ´orbitas circulares; para el caso donde existan excentricidades la curva de luz ser´a asim´etrica y por tanto el t´ermino correcto a considerar ser´a lo que se conoce como tr´ansito m´ınimo, que corresponde al instante donde los centros de los discos del planeta y estrella se encuentran a una distancia m´ınima (Kipping 2011b). Determinar que el TTV detectado es causado debido a la presencia de otro exoplaneta no es una tarea sencilla: existen otros fen´omenos que pueden causar dicha se˜nal, como puede ser el efecto Applegate, que produce variaciones en el tiempo de tr´ansito debido a la actividad magn´etica de la estrella (Applegate 1992), la precesi´on del periastro (Heyl & Gladman 2007), o simplemente la presencia de otros cuerpos que no son planetas, como estrellas de baja luminosidad, enanas marrones o exosat´elites del planeta. Dar una formulaci´on anal´ıtica general para el TTV causado por un planeta es, de igual manera, una tarea complicada (Masuda 2014;Nesvorn´y & Morbidelli 2008;Lithwick et al. 2012). Lo que se hace en Agol et al. (2005), por ejemplo, es dar una formulaci´on para el TTV dependiendo de la configuraci´on din´amica de los dos exoplanetas; el que transita y el que perturba su tr´ansito. Para asegurar la detecci´on, siempre asumiremos que el planeta que transita tiene una inclinaci´on de 90◦. 1.1.5.1. ´ Orbitas coplanarias, e1= 0,e26= 0,a2a1 Para ´orbitas coplanarias, en las cuales un planeta exterior con ´orbita exc´entrica perturba la ´orbita circular de un planeta interior con radio orbital mucho menor que el semieje del planeta exterior (Agol et al. 2005), existe la expresi´on: ∆TTV =M2 2π(M∗+M1)(1 −e2 2)−3/2(f2−M2+e2sin(f2)),(1.47) refiri´endose los sub´ındices 1 y 2 a los planetas interior y exterior, respectivamente. Para el caso no coplanario, v´ease la ecuaci´on (46) de Borkovitz et al. (2003). 56 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites 1.1.5.2. ´ Orbitas coplanarias, en resonancia orbital de primera orden Adem´as de considerar los casos donde se tiene en cuenta que la perturbaci´on gravitatoria del cuerpo exterior sobre el interior es significativa pero todav´ıa peque˜na, debemos tambi´en contemplar el caso en que dos planetas se encuentren en resonancia orbital, es decir, que el cociente de sus periodos sea un n´umero entero11. Un ejemplo de resonancia orbital son los sat´elites galileanos de J´upiter o los exoplanetas del sistema TRAPPIST-1 (Luger et al. 2017). En este caso, la amplitud de la se˜nal del TTV es (Agol et al. 2005): m´ax ∆TTV =P2 4,5j m2 m2+m1 .(1.48) Por lo que, si conseguimos determinar el periodo del planeta exterior y la masa del planeta interior, podremos calcular la masa del planeta exterior y, con ello, su semieje. ¿Y c´omo determinar el periodo del planeta exterior? Depende del escenario que nos encontremos. Si ambos planetas transitan (lo cual no es demasiado improbable debido a que los sistemas planetarios suelen estar bastante pr´oximos a la coplanaridad) podemos determinar el periodo utilizando la se˜nal de varios tr´ansitos. Una vez tenemos P2yP1podremos saber si se encuentran en resonancia orbital y, de ser el caso, tambi´en sabremos j. Si la excentricidad de ambos planetas es grande, entonces tambi´en podr´ıa darse la posibilidad de que aparezcan resonancias de un orden superior, tales como 1:3, 2:5, 3:6... (Pan & Sari 2004). No consideraremos ese caso, puesto que a lo largo de este trabajo trataremos con excentricidades peque˜nas. 1.1.5.3. ´ Orbitas coplanarias, planetas cercanos a la resonancia orbital de primera orden Un modelo m´as realista es el que considera a los planetas cercanos a la resonancia orbital; es decir, que el cociente de sus periodos es cercano pero no igual a j/j −1. En este escenario se define ∆ como (Lithwick et al. 2012): 11Resonancia de primera orden significa que tiene la forma j:j+ 1, para alg´un j(1 : 2, 2 : 3, 4 : 5, etc.). 57 Secci´on 1.1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas ∆ = P2 P1 j−1 j−1.(1.49) Obviamente para un sistema planetario de estas caracter´ısticas ∆ es cercano a 0. Lithwick et al. (2012) descubrieron que la se˜nal del TTV provocado por el planeta exterior en el tr´ansito del planeta interior es una sinusoidal, de la forma TTV =Attv sin(λj+φttv),(1.50) siendo Attv la amplitud de la se˜nal, φttv la fase y λjes la longitud de las conjunciones del planeta interior y exterior, que se define como λj≡jλ2−(j−1)λ1=j2π P1 (t1−T01)−(j−1)2π P2 (t2−T02),(1.51) siendo T01 yT02 los tiempos de tr´ansito de referencia para el planeta interior y para el planeta exterior, respectivamente. Como ambos son conocidos, λjtambi´en lo es, a no ser que los periodos del planeta sean desconocidos. En cuyo caso, nuestro modelo contar´ıa con 4 par´ametros: P1,P2,Attv yφttv. En caso contrario, s´olo tendremos 2 par´ametros: Attv yφttv. Dado que esta expresi´on involucra tiempos de tr´ansito tanto para el planeta interior como el planeta exterior, este modelo requiere que ambos planetas transiten. La informaci´on que podamos obtener sobre los par´ametros orbitales y f´ısicos del exoplaneta “exterior” ser´a ciertamente limitada, y a no ser que dicho planeta transite de por s´ı o que cause una se˜nal detectable en la velocidad radial de la estrella necesitaremos utilizar modelos m´as generales para obtener mayor informaci´on sobre su ´orbita y su masa. Un m´etodo general basado en la teor´ıa de perturbaciones para la determinaci´on de todos los elementos orbitales es el llamado m´etodo de inversi´on r´apida (Nesvorn´y & Beaug´e 2010). 1.1.6. Astrometr´ıa La astrometr´ıa aplicada a la b´usqueda de exoplanetas consiste en detectar variaciones sinusoidales en el movimiento propio de una estrella, causados por la posible presencia de otro cuerpo. Como en el caso del m´etodo de tr´ansitos (binarias eclipsantes) y del de velocidades radiales (binarias 58 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites espectrosc´opicas), esta t´ecnica es heredada del estudio de las estrellas dobles (binarias astrom´etricas). No obstante, en el caso de los exoplanetas es much´ısimo m´as dif´ıcil su detecci´on debido a la poca influencia gravitatoria sobre su estrella. De hecho, s´olo se han detectado hasta el momento 14 y l´ogicamente son planetas gigantes (The Extrasolar Planets Encyclopaedia). Sin embargo, se espera que la sonda GAIA consiga encontrar mayor n´umero de exoplanetas por medio de interferometr´ıa de alta precisi´on (Perryman et al. 2014). Figura 1.19: A la izquierda, la ´orbita aparente de la estrella Gliese B con respecto al centro de masas de Gliese Aa-Ab. A la derecha, el zoom de la zona marcada por el rect´angulo. Observamos que Gliese B no sigue una ´orbita exactamente el´ıptica sino que se aprecia un cierto “bamboleo” causado, presumiblemente, por un cuerpo planetario, Gliese 22 Bb. Cr´edito a Docobo et al. (2008). Los c´alculos astrom´etricos (en el caso de ser detectables) s´ı se pueden combinar con otros m´etodos, sobre todo con la velocidad radial (Perryman 2018: 88), con el prop´osito de calcular los par´ametros que con esta segunda t´ecnica no podemos calcular como la inclinaci´on o la ´angulo del nodo ascendente, cuya determinaci´on no es posible ni con el m´etodo de tr´ansitos ni con la velocidad radial. Con reservas a un futuro relativamente cercano, podemos decir con bastante seguridad que la astrometr´ıa es una t´ecnica de la que no se esperan demasiados descubrimientos, puesto que requiere de una precisi´on sin precedentes y la que disponemos en este momento no ha dado muchos resultados realmente 59 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) Como vemos, las amplitudes de las se˜nales residuales son pr´acticamente imperceptibles. As´ı, concluimos que no se puede distinguir la se˜nal que causa un exosat´elite en la velocidad radial de la estrella de la se˜nal que causa el centro de masas exoplaneta+exosat´elite. Por lo tanto, a no ser que en un futuro lejano podamos afinar la precisi´on de los espectr´ografos hasta millon´esimas de metros por segundo, no es posible detectar un exosat´elite por medio de la velocidad radial. 1.2.2. Tr´ansitos Dado que la espectroscop´ıa no ofrece resultados demasiado alentadores, cabe preguntarnos ahora si pasa lo mismo con la fotometr´ıa: ¿c´omo y cu´ando afectar´a la presencia de un exosat´elite a la curva de luz provocada por el tr´ansito de un exoplaneta? Para responder a esta pregunta, hemos hecho una simulaci´on de la ca´ıda de luz que provoca el conjunto exoplaneta + exosat´elite sobre una estrella como el Sol (asumiendo ´orbitas circulares). El procedimiento es similar al de la Secci´on 1.1.2 excepto por dos diferencias notables; la primera es que esta vez existen dos discos eclipsantes, el del planeta y el del sat´elite, y la segunda es que necesitamos incluir en este modelo los eclipses del sat´elite sobre el planeta y viceversa. Hemos utilizado el algoritmo LUNA (Kipping 2011a) que trata cada caso en funci´on de la separaci´on sat´elite-estrella, planeta-estrella y planeta-sat´elite. Hemos hecho varios ejemplos para ver c´omo afecta el exosat´elite a la curva de luz. La Figura 1.22 muestra uno de ellos, donde la estrella tiene el mismo radio y masa que el Sol y el planeta se elige con el radio y la masa de J´upiter, con un periodo de 80 d´ıas. El sat´elite tiene el radio y la masa de la Tierra y se encuentra a 0,27RH= 0,0067 u.a. del planeta12, siendo RHel radio de Hill13. Las ´orbitas las hemos tomado coplanarias, estando la direcci´on del observador contenida en tal plano. En este ejemplo se observa un 0,01 % de disminuci´on de flujo causado por el exosat´elite. Este porcentaje es potencialmente detectable por Kepler (Vanderburg & Johnson 2014), por lo que hubiese sido posible 12En nuestras simulaciones trataremos con semiejes peque˜nos, m´as que nada para reducir al m´ınimo el tiempo de computaci´on y porque el m´etodo de tr´ansitos favorece, en la pr´actica, semiejes peque˜nos (Ecuaci´on (1.52)). 13El radio de Hill se define como la distancia m´axima en la cual la ´orbita de un sat´elite orbitando un planeta es estable. Se define, para ´orbitas circulares, como RH= rp(Mp/3M∗)1/3, siendo MpyM∗las masas del planeta y de la estrella, respectivamente (ver Secci´on 3.2.1.1). 66 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.22: Curva de luz de una estrella eclipsada por un planeta + sat´elite. Los c´ırculos rojos muestran la acci´on del exosat´elite. detectar fotom´etricamente el sat´elite en un escenario como este. Para estudiar la influencia producida por el sat´elite en la curva de luz, en la Figura 1.22 tambi´en hemos marcado las variaciones del flujo causadas por el sat´elite del ejemplo anterior. Hemos observado que dichas se˜nales aumentan con el radio del sat´elite (como es obvio por pura geometr´ıa) y siempre se encuentran asim´etricamente fuera y dentro del tr´ansito; es decir, aparecen a los sumo dos veces en torno del tr´ansito del planeta (v´ease Tusnski & Valio 2011; Teachey et al. 2017 donde se hacen varias simulaciones con exosat´elites). En la Figura 1.23 hemos fijado el periodo del planeta en 100 d´ıas y el semieje del sat´elite en 0,3RH, donde se puede ver c´omo vuelven a aparecer dos marcas, esta vez en lados opuestos. 67 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) Figura 1.23: Curva de luz an´aloga a la de la Figura 1.22, solo que hemos cambiado el periodo del planeta a 100 d´ıas. Ahora la separaci´on del sat´elite con respecto al planeta es 1/3RH= 0,0086 u.a.. Ahora que se ha visto c´omo es la forma de la curva de luz creada por la presencia de un sistema exoplaneta-exosat´elite, es conveniente estudiar la curva de luz de otros fen´omenos para descartarlos como posibles candidatos a exosat´elites. 1.2.2.1. Planeta con anillos Como veremos, los anillos no provocan grandes modificaciones en la forma de la curva de luz, sino que aumentan la profundidad y la duraci´on del tr´ansito de manera importante, cosa que, como ya hemos comprobado, no ocurre para nada en el caso de los exosat´elites. Para hallar la curva de luz de un planeta con anillos, nos hemos basado en el c´alculo de Ohta (2008) donde se hace una integraci´on num´erica por trozos 68 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.24: Esquema del tr´ansito de un planeta con anillos (Zuluaga et al. 2015). θes el ´angulo de los anillos con respecto al plano ecuatorial y bel par´ametro de impacto. Figura 1.25: En rojo, el planeta sin anillos. En azul, el planeta con anillos. Las l´ıneas punteadas verticales indican la acci´on de los anillos sobre la forma de la curva de luz convencional; eso es, en los instantes donde los anillos entran en el disco de la estrella (ing) y salen (egr). Claramente, los anillos hacen que la duraci´on y la profundidad del tr´ansito aumente (como se puede ver tambi´en en la Figura 1.24). 69 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) de la intensidad total de la estrella y de la intensidad recibida a causa del tr´ansito de un planeta con anillos. Como ejemplo hemos tomado una estrella como el radio del Sol y con masa M∗= 0,4M, como planeta J´upiter y como anillos hemos tomado el radio interior 1,5R⊕y como radio exterior 2 R⊕. La profundidad ´optica14 de los anillos se toma τ= 1 (completamente opacos) y los ´angulos con respecto al radio ecuatorial y polar del planeta son de 45◦. La figura 1.25 muestra c´omo la presencia de anillos provoca cambios muy diferentes a los causados por un exosat´elite. 1.2.2.2. Planeta transitando una estrella con manchas tipo solar Para este caso nos basaremos en parte en el anterior; integraremos num´ericamente la regi´on de la estrella, primero sin ser eclipsada y despu´es siendo eclipsada, con la diferencia de que ahora la intensidad de la estrella ser´a menor en la zona de la mancha puesto que en esas zonas la estrella es m´as fr´ıa (Zioutas et al. 2010). As´ı, el flujo relativo Fse calcula como F=RRI(x, y)dxdy RRIs(x, y)dxdy (1.58) siendo Is(x, y) =      0x2+y2>1 0,6I∗(x−X0)2+ (y−Y0)2≤R02 I∗(x−X0)2+ (y−Y0)2> R02 (1.59) y I(x, y) =            0x2+y2>1 0,6I∗(x−X0)2+ (y−Y0)2≤R02 I∗(x−X0)2+ (y−Y0)2> R02 0 (x−Xp)2+ (y−Yp)2≤Rp2, (1.60) con I∗siendo la cantidad calculada por (1.18), X0yY0las coordenadas del centro de la mancha, R0el radio de la mancha, Rpel radio del planeta y Xpe 14Se define profundidad ´optica como el logaritmo natural del cociente entre el flujo de radiaci´on que recibe un material y el flujo de radiaci´on que emite (Kitchin 1987). Por lo tanto, si ese coeficiente es 1 para los anillos del planeta es que reflejan el 100 % de la radiaci´on que reciben, es decir, son totalmente opacos. 70 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Yplas coordenadas del vector que une el centro del planeta con el centro de la estrella. El factor 0,6 aparece porque consideramos que en la mancha solar la intensidad es un 60 % de la de la estrella. Intuitivamente, si un planeta transita una mancha solar se apreciar´a un ligero aumento en el flujo de luz debido a que, ya que la zona es m´as fr´ıa, el planeta dejar´a de cubrir una parte de la estrella m´as caliente que la mancha solar y por tanto la luminosidad crecer´a. Figura 1.26: Curva de luz para el planeta transitando una estrella con una mancha ecuatorial. La perturbaci´on es muy pronunciada sobre el eje Y y casi imperceptible sobre el eje X. Para la simulaci´on supondremos que la estrella (el Sol) tiene una mancha ecuatorial de tama˜no igual al de la Tierra. El centro de la mancha est´a 0,5R a la derecha del centro solar. El radio y la masa del planeta se toman an´alogos a los de la Tierra, el periodo a la estrella 1 d´ıa (lo cogemos muy corto para disminuir el tiempo de computaci´on), siendo su inclinaci´on orbital de 90◦para 71 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) asegurar el tr´ansito (Figura 1.26). La implementaci´on la hemos hecho en MATHEMATICA y puede verse en el Ap´endice B con el nombre de spots.nb. En la Figura 1.26 se aprecia la acci´on provocada por la mancha solar en el tr´ansito del planeta. Aunque en principio se podr´ıa confundir con el tr´ansito que produce un exosat´elite cuando el planeta se encuentra dentro del disco estelar, este aumento de brillo se encuentra mucho m´as pronunciada a lo largo del eje Y y no se alarga tanto sobre el eje X, algo que no ocurr´ıa en el caso del exosat´elite. Este hecho hace que ambas curvas de luz sean f´acilmente distinguibles. 1.2.2.3. Planeta doble Para estudiar la diferencia entre la se˜nal producida por un planeta + sat´elite y la producida por un planeta doble, simplemente tenemos que fijar los par´ametros de la masa y el radio t´ıpicos para un sistema de estas caracter´ısticas. T´ecnicamente, la condici´on de “planeta doble” requiere que el centro de masas de los dos cuerpos caiga fuera de la componente mayor15, con lo que, por ejemplo, el sistema Plut´on-Caronte cumplir´ıa tal condici´on. Sin embargo, en nuestra aplicaci´on del concepto de “planeta doble” tomaremos una noci´on un poco m´as extrema, en el sentido de que masa y radio de las dos componentes sean lo suficientemente similares como para que notemos dicha configuraci´on en la curva de luz. Con ese criterio hemos comprobado que, si tomamos como el planeta mayor uno con la masa y el radio de J´upiter, se notan diferencias significativas cuando el planeta menor tiene un radio >40 % el del planeta mayor, y una masa >20 %. En tales condiciones, la influencia sobre el cuerpo mayor se torna muy notable y siempre del mismo lado, por lo que la curva de luz diferir´a considerablemente de la provocada por un sistema exoplaneta + exosat´elite. En la figura 1.27 hemos fijado la distancia planeta-planeta en unos 0,3RH, la masa y el radio del cuerpo principal similares a los de J´upiter, en tanto que al cuerpo secundario le hemos asignado una masa de 0,2MJ, siendo el radio la mitad de peque˜no. Las diferencias con respecto a la se˜nal provocada por un 15https://www.space.com/2741-planets-12-controversial-definition.html 72 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.27: Curva de luz de un planeta doble gigante. exoplaneta + exosat´elite son claras. Definitivamente, el m´etodo de tr´ansitos ofrece, en teor´ıa, herramientas potentes para la detecci´on de un exosat´elite. Se estima que el telescopio Kepler (Kipping et al. 2014) podr´ıa haber llegado a detectar exosat´elites del tama˜no de Marte aunque tristemente no se pudo confirmar ninguno durante los a˜nos en los que estuvo activo. El siguiente proyecto de la NASA, TESS, que se encuentra haciendo observaciones de estrellas m´as cercanas (https: //www.nasa.gov/content/about-tess), podr´ıa obtener un mejor seguimiento fotom´etrico de un supuesto sistema planeta+sat´elite y tener m´as acierto en lo que se refiere a la detecci´on de exosat´elites. 1.2.3. TTV y TDV Son estos los m´etodos m´as importantes en lo que se refiere a la detecci´on de exosat´elites, no tanto por su capacidad de detecci´on sino por la informaci´on que pueden proporcionar. 73 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) 1.2.3.1. TTV La primera vez que se habla del Timing Transit Variation (TTV) aplicado a exosat´elites es en Sartoretti & Schneider (1999) donde se da una expresi´on anal´ıtica de la variaci´on de la amplitud de la se˜nal del TTV para ´orbitas circulares, coplanarias y con la direcci´on de la visual situada en el plano orbital, mediante δt ∼2asMsM−1 p·Pp(2πap)−1,(1.61) siendo as,Msel semieje orbital y la masa del sat´elite y ap,MpyPpel semieje, la masa y el periodo del planeta, respectivamente. Para ´orbitas exc´entricas la f´ormula es (Kipping 2009a): δT T V =1 √2 a1/2 pasMs(Ms+Mp)−1 pG(M∗+Mp+Ms) ζT(es, ωs) Υ(ep, ωP)(1.62) donde ζT=(1 −e2 s)1/4 esqe2 s+ cos(2ωs)(2(1 −e2 s)3/2−2+3e2 s) (1.63) Υ = cos arctan −epcos ωP 1 + epsin ωPs2(1 + epsin ωP) 1−e2 p−1 (1.64) ep,ωpson la excentricidad y argumento del periastro de la ´orbita del planeta y es,ωsson los valores correspondientes para los mismos elementos de la ´orbita del planeta. La se˜nal del TTV en funci´on del tiempo para una ´orbita exc´entrica y no coplanaria es, aproximadamente (Kipping 2011b;Kipping et al. 2012): TTV(fS) =   asq1−e2 p(1 −e2 s)MsPp 2πapMp(1 + epsin ωp) ΛT T V ,(1.65) siendo 74 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites ΛT T V =cos ωscos(fs+ωs)−sin issin ωssin(fs+ωs) 1 + escos fs (1.66) Por ejemplo, para un planeta tipo J´upiter, con un periodo orbital de 100 d´ıas alrededor de una estrella como el Sol y con un sat´elite como la Tierra a unos 0,3RHdel planeta, la amplitud es de δTTV = 50,361 s. La cadencia16 de TESS es de unos 2 minutos17, y la del ya inactivo Kepler de unos 58.9s (Murphy 2012), con lo que el TTV se encuentra por debajo del tiempo/dato para los dos telescopios y por ende la detecci´on ser´ıa inapreciable. No obstante, hay que decir que una estrella como el Sol no entra dentro del tipo de estrellas objetivo de los telescopios Kepler ni TESS, sino que se centran m´as en estrellas enanas tipo K ´o M (https://www.nasa.gov/kepler/overview/ abouttargetstars;Stassun et al. 2018), es decir, enanas menos masivas con lo que el TTV aumenta por la expresi´on (1.65). Con el planeta pasa algo totalmente an´alogo, el radio se busca grande para que la profundidad del tr´ansito sea favorable pero la detecci´on favorece los planetas tipo Saturno por delante de los tipo J´upiter (Figura 7.3 de Kipping 2011b), con lo que el TTV de nuevo se torna mayor. TTV baric´entrico y TTV fotoc´entrico Conforme la definici´on que hemos dado de TTV, ´este se corresponde con el llamado TTV baric´entrico, o TTVb, porque en el fondo lo que hacemos para calcularlo es medir la diferencia de la separaci´on m´ınima planeta-estrella con la separaci´on m´ınima estrella-baricentro (planeta + sat´elite) –en la Secci´on 1.1.5 ya se generaliz´o el concepto de T0a la separaci´on m´ınima–, con lo que TTVb=t(˙ Sb= 0) −t(˙ Sp= 0) (1.67) El problema del TTVbes que, a priori, no podemos saber si la se˜nal que estamos detectando proviene de un exosat´elite o no. Ya hemos visto en la Secci´on 1.1.5 el caso en el que el TTV es provocado por un planeta; pues bien, adem´as de un sat´elite u otro planeta, existen otros factores que pueden causar un cambio en el tiempo de tr´ansito, como pueden ser manchas solares (P. Ioannidis et al. 2016), efectos debido al movimiento de la Tierra (Scharf 2007), troyanos (Haghighipour et al. 2013), efectos din´amicos a muy largo plazo debido a una gran excentricidad (Kipping 2008), etc. Otro problema a˜nadido es que no podemos calcular el periodo del planeta (Kipping 2009a;Sartoretti & 16La cadencia se define como el tiempo que transcurre entre cada observaci´on. 17https://tess.mit.edu/observations/ 75 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) 1. Una vez que tenemos la curva de luz del exoplaneta-exosat´elite, identificamos los tr´ansitos de cada uno. 2. Calculamos el centroide de tr´ansito del exoplaneta y exosat´elite promedi´andolos sobre el tiempo de tr´ansito de cada uno. 3. Debido a que las ca´ıdas de luz causan ruido de los fotones (es decir, bajo S/N), mayor flujo implica mayor S/N, con lo que si en verdad se ha producido un tr´ansito, el centroide de flujo se encontrar´ıa cerca del flujo de tr´ansito. Si, por el contrario, el centroide de tr´ansito se encuentra alejado del centroide convencional, se dice que est´a deslocalizado. En teor´ıa, no se espera que un exosat´elite deslocalice el centroide de tr´ansito (Figura 5). En resumen, si vemos que en nuestro fot´ometro se aprecia una ca´ıda de luz pero esa ca´ıda de luz deslocaliza el centroide de tr´ansito, dif´ıcilmente podremos atribuirla a un exosat´elite. Esto puede ayudarnos a descartar se˜nales donde veamos peque˜nos “valles” en la curva de luz que puedan apuntar a la detecci´on de un exosat´elite. Aunque tambi´en aplicable a planetas, creemos que el test del centroide puede ayudarnos (por lo menos hasta que no dispongamos de mejor instrumentaci´on) con se˜nales tan imperceptibles y ruidosas como son las causadas por los exosat´elites. En la Introducci´on mencion´abamos el candidato a exosat´elite Kepler-90g.01 y c´omo el centroide de tr´ansito de Kepler-90g se encontraba inmensamente deslocalizado, lo cual descartaba pr´acticamente su detecci´on. Kipping et al. (2015) atribuyen (hipot´eticamente) la ca´ıda de luz en el fot´ometro a un rayo c´osmico. Bien podr´ıa ser el caso, quiz´as pudo pasar que dicha emisi´on, debido a su aporte energ´etico, deslocalizase el centroide pero que a su vez bloquease parte de la luz proveniente del disco de la estrella haciendo que, en c´omputo general, detect´aramos una ca´ıda de luz. Para mayor informaci´on sobre los cambios de flujo provocadas por los rayos c´omicos, se recomienda Christiansen et al. (2013). 1.2.5. Toro de plasma Este m´etodo consiste en la detecci´on del toro de plasma que se forma, en ciertas condiciones, alrededor de un planeta debido a la acci´on del exosat´elite. Esto de modo an´alogo sucede en el Sistema Solar con ´ Io, el cual, debido a su gran actividad volc´anica (McEwen et al. 1998a,1998b) despide iones en forma de plasma que interaccionan con la magnetosfera de J´upiter, cre´andose un toro 82 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites en torno al ecuador magn´etico del planeta. Dicha interacci´on es detectada en forma de ondas de radio (Hess et al. 2008). Este fen´omeno tambi´en ocurre, de manera an´aloga, en exoplanetas y estrellas: debido a la interacci´on de la magnetosfera del exoplaneta con los iones de plasma provenientes de la estrella, aparece una fuente de ondas de radio, tal y como pasa, en mucha menor medida, con el Sol y la Tierra, lo que causa las auroras boreales. La primera vez que se detect´o dicha se˜nal fuera del Sistema Solar fue en diciembre de 2020, en el sistema planetario τBootis (Turner et al. 2020). Figura 1.32: Bosquejo del toro de plasma ´ Io-J´upiter (Saur et al. 2004). Noyola et al. (2014) estudiaron este fen´omeno, tratando el caso donde existe un s´olo exosat´elite el cual genera todo ese plasma y Noyola et al. (2016) el caso donde existe otro exosat´elite a mayores que comparte dicho plasma. Nosotros nos basaremos en el primer caso. Expresi´on anal´ıtica de la se˜nal Definimos la densidad de flujo de incidencia Scomo la cantidad de radiaci´on electromagn´etica recibida por el observador por unidad de superficie para un ancho de banda determinado. Con esta definici´on, la potencia de la se˜nal Pse relaciona con el flujo de incidencia Stal que S=P/∆fΩd2, donde ∆fes el ancho de banda, Ω el ´angulo s´olido con el que la fuente emite ondas de radio y dla distancia a la que se encuentra la fuente (en a˜nos luz), por lo que cuanto mayor sea S, m´as detectable ser´a la se˜nal. S sigue la siguiente ecuaci´on: 83 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) S=2πβsR2 sB2 sV0 µ0fCΩd2rρs ρs+µ−1 0(Bs/V0)2,(1.80) donde βses el par´ametro de eficiencia del sat´elite, el cual los autores asumen ∼1 % (igual al de J´upiter-´ Io), Rses el radio del sat´elite, Bses el campo magn´etico del planeta en la posici´on en la que se encuentra el sat´elite, V0es la velocidad del plasma con respecto al sat´elite, calcul´andose como V0=ωr −pGMp/r, con ωla velocidad angular del planeta, Gla constante de gravitaci´on universal, y rla distancia planeta-sat´elite; µ0es la permeabilidad20 del vac´ıo (aproximadamente 1,256637 ·10−6henrios/m; Davis 2017), yρses la densidad del plasma. Esta cantidad solo se puede aproximar (si no hay informaci´on a priori del sat´elite) por lo que sabemos de la composici´on de la ionosfera en los cuerpos del Sistema Solar. Si su atm´osfera es como la de Marte, Venus o incluso la Tierra, su ionosfera constar´a de iones de ox´ıgeno (O+, O+ 2...) y si por el contrario es como la de ´ Io tendr´a iones provenientes del azufre (S+, SO+). Los autores dan una densidad de plasma mayor al primero que al segundo. De la ecuaci´on (1.80) podemos concluir algunos hechos: - Cuanto mayor sea el campo magn´etico Bs, mayor ser´a la posibilidad de detecci´on. Esto hace que este m´etodo sea sensible a planetas gigantes de corto periodo de rotaci´on (Durand-Manterola 2009). - Cuanto mayor sea Rs, mayor es S, lo que favorece a los sat´elites grandes (lo cual es m´as interesante para nuestra investigaci´on a efectos de habitabilidad, como luego veremos). - Ya que d2es inversamente proporcional a S, este m´etodo es especialmente sensible a la distancia con respecto al observador, por lo que favorece a los exosat´elites cercanos. - Ning´un par´ametro depende de la estrella, por lo que este m´etodo es independiente de las propiedades de la misma. 20Se dice permeabilidad magn´etica a la resistencia que tiene un material a formar un campo magn´etico. 84 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Posibilidades de detecci´on Supongamos que tenemos un telescopio con una sensibilidad de 5 a 50 microJanskys21 (W m−2Hz−1) para una frecuencia de 49 MHz (tal y como consideran en Noyola et al. (2014). Para un planeta como J´upiter que tenga un exosat´elite con una ionosfera parecida a la Tierra (ρs= 2,7·10−15 kg m−3), a una distancia de nosotros de 20 a˜nos luz (d= 20), Ω ∼0,2 estereorradianes, a una distancia mutua rS≈0,0028 u.a. (la de ´ Io con respecto a J´upiter) con masa, periodo de rotaci´on y velocidad angular las de J´upiter tenemos que el radio detectable es: Para S= 50 µJy y fC= 49 MHz, Rs≈0,6R⊕ Para S= 5 µJy y fC= 49 MHz, Rs≈0,2R⊕ Esto implica que, para un sat´elite en ciertas condiciones y teniendo un radiotelescopio lo suficientemente potente, podr´ıamos detectar un sat´elite de 0,2 radios terrestres, ¡m´as peque˜no que la Luna y que ´ Io! No obstante, hay ciertas cuestiones a tener en cuenta antes de ser demasiado optimistas. - Hablar de una sensibilidad de 5 µJy o incluso de 50 µJy a una frecuencia de 49 MHz es hablar de una precisi´on que se escapa al m´as potente de los radiotelescopios. Hoy en d´ıa, a una frecuencia de 1 GHz, los m´as precisos solo pueden llegar a detectar un flujo S ∼1µJy (https://www.cv.nrao.edu/ ~sransom/web/Ch1.html), con lo que usando los datos indicados nos dar´ıa un radio m´ınimo detectable de Rs≈6,25R⊕. Un exosat´elite de tales dimensiones ser´ıa incluso mayor que Neptuno, por lo que consideramos poco razonable considerarlo un exosat´elite. - Hemos asumido una distancia al planeta de 20 a˜nos luz, y esa es una distancia peque˜na en comparaci´on a otras posibles a las que se pueda detectar el planeta. De hecho, la mayor´ıa de exoplanetas conocidos se encuentran a una distancia de entre 100 y 1000 parsecs (NASA Exoplanet Archive). Haciendo los c´alculos pero ahora con una distancia de 100 parsecs (326 a˜nos luz), los radios de m´ınima detecci´on son 3R⊕para el exosat´elite y 9,78R⊕para el exoplaneta. 211 Jansky = 10−26 W Hz−1m−2, 1 microJansky = 10−6Jansky. 85 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) Como vemos, con este m´etodo podr´ıamos hipot´eticamente detectar exosat´elites con un radio razonablemente grande alrededor de gigantes gaseosos con un potente campo magn´etico. Los problemas ya los hemos mencionado en parte: la se˜nal se disipa r´apidamente con la distancia, el sat´elite no puede ser relativamente peque˜no y tiene que a su vez albergar una ionosfera. Cabe esperar que, en un futuro pr´oximo, la sensibilidad de los radiotelescopios aumente tanto que pueda ser posible detectar exosat´elites incluso aunque los par´ametros mencionados sean desfavorables. La misi´on SKA est´a prevista para 2027 y promete grandes avances en la precisi´on de los radiotelescopios (https://www.skatelescope.org/). 1.2.6. Timing del p´ulsar Hemos visto en la Secci´on 1.1.7 cu´an precisos eran los p´ulsares de periodo corto y cu´an sensibles eran a la presencia de un objeto que hiciese variar su TOA. Con este pron´ostico parece l´ogico pensar que nos puede ser de gran utilidad estudiar estas variaciones en el timing cuando se encuentra un planeta albergando un sat´elite. La variaci´on del TOA para un s´olo planeta en ´orbita circular viene dado por (Lewis et al. 2008): tN−t0= (TN−T0)+∆Tcorr +T OAp(M, Mp, rp, i, φb(0)),(1.81) donde tNyt0son los instantes verdaderos donde se producen los pulsos N e inicial, TNyT0los instantes donde se detectan los pulsos N e inicial, ∆Tcorr es el factor de correcci´on que tiene en cuenta el sistema de referencia en el que el observador se encuentra, y TOApes la variaci´on del TOA causado por un planeta. MyMpson las masas del p´ulsar y del planeta, φb(0) representa la posici´on angular inicial del planeta con respecto al baricentro, rpdenota la distancia planeta-p´ulsar e i la inclinaci´on. Pues bien, para el caso donde hay a mayores un sat´elite orbitando el planeta, lo que se hace en Lewis et al. (2008) es a˜nadirle otro factor de perturbaci´on, TOAp, que tiene en cuenta las variaciones en el timing del p´ulsar producidas por la influencia del sistema planeta-sat´elite: tN−t0= (TN−T0)+∆Tcorr +T OAp(M, Mp+Ms, rp, i, φb(0))+ +TOApm(M, Mp, Ms, rp, rm, i, φb(0), φp(0)) (1.82) 86 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites N´otese que aparece la variable φp(0), que representa la posici´on angular inicial del planeta con respecto al centro de masas planeta-sat´elite, adem´as de rmyMs(la distancia planeta-sat´elite y la masa del sat´elite, respectivamente). Los autores obtienen: TOApm =−sin iMpMs (M+Mp)2 rp crm rp53 32 cos(φb−2φp) + 15 32 cos(3φb−2φp), (1.83) con lo que, si queremos averiguar si la se˜nal es detectable, miramos si su amplitud (que es donde alcanza su m´aximo) es mayor que el error de detecci´on del instrumental que dispongamos. Como el m´aximo se alcanza cuando los cosenos sean 1, tenemos: m´ax TOApm =9 sin i 16 MpMs (M+Mp)2 rp crm rp5 (1.84) La ecuaci´on anterior nos indica varias cosas: 1. El factor (rm/rp) est´a elevado a 5 por lo que la amplitud de la se˜nal aumenta enormemente cuando rm/rpes grande. Lo que se busca con este m´etodo, por tanto, son sat´elites lo m´as separados posible del planeta. 2. Tambi´en interesan sat´elites lo m´as masivos posible. Al mismo tiempo, el m´etodo favorece planetas y p´ulsares de baja masa. 3. Para maximizar el efecto se necesitar´ıan ´orbitas cuya inclinaci´on estuviera muy cerca de 90◦, aunque como la detecci´on de p´ulsares es tan escasa e impredecible, no hay mucho que esperar de ese par´ametro. Hagamos ahora un ejemplo para ver si es posible la detecci´on alrededor del p´ulsar m´as estable: PSR J0437-4715. Este p´ulsar se considera m´as preciso que un reloj at´omico (Hartnett & Luiten 2010) con un error en el timing de 199 nanosegundos y masa 1,76 M(Verbiest et al. 2008). Consideraremos la masa del planeta similar a la de J´upiter (Mp=MJ), con un sat´elite con la masa m´axima de las super-Tierras (∼10M⊕), a una distancia del p´ulsar similar a la de J´upiter del Sol (5,2 u.a.) y a una distancia planeta-sat´elite 0,4RH. Tomemos la inclinaci´on, i= 90◦. Usando (1.84) llegamos a que m´ax TOApm = 655,4153 nanosegundos, que sobrepasan con creces 87 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) los 199 ns del error del timing, por lo que este sat´elite ser´ıa detectable. El problema, de nuevo, surge por la escasez de p´ulsares detectados. En el mejor de los casos tendr´ıamos que detectar un p´ulsar de periodo ultracorto como PSR J0437-4715, que albergase un planeta masivo como J´upiter y que este a su vez tuviera un sat´elite masivo (por ejemplo, 10M⊕) a una gran distancia (≈0,12 u.a.). Dicha distancia parece poco realista a efectos de lo que se encuentra en el Sistema Solar, adem´as de que Domingos et al. (2006) da la estabilidad para la ´orbita de un sat´elite con ´orbita circular un semieje m´aximo de 0,48 RHdel planeta, con lo que si encontr´asemos un sat´elite digamos a la mitad de esa distancia la amplitud de la se˜nal caer´ıa a 56 ns, algo que ya no ser´ıa detectable. Adem´as ya hemos visto en la Secci´on 1.1.7 que los p´ulsares no eran, probablemente, demasiado proclives a albergar planetas, lo que hace la presencia de sat´elites igualmente poco plausible en este sentido. Podemos decir, por tanto, que la detecci´on de exosat´elites por medio del timing de los p´ulsares se torna en una meta incluso m´as improbable que la que ten´ıamos con los exoplanetas. ´ Esta vez ya no solo por lo escasos que son, sino que adem´as necesitamos que los planetas y sat´elites tengan caracter´ısticas f´ısicas y orbitales bastante especiales y, en lo que se refiere a la separaci´on planeta-sat´elite, extremas. 1.2.7. Microlente gravitatoria Hemos hablado en la Introducci´on de c´omo se analiz´o la posibilidad de haber detectado un exosat´elite en torno al planeta errante MOA-2011-BLG-262. Pues bien, debido a que el m´etodo de microlente gravitatoria puede detectar masas tan peque˜nas como pocas veces la masa de la Luna (Bennett & Rhie 1996) parece razonable aplicar este m´etodo a la b´usqueda de exosat´elites, en torno a planetas errantes o a sistemas jerarquizados estrella + planeta + sat´elite. 1.2.7.1. Caso planeta errante + exosat´elite En este caso, como s´olo existen 2 cuerpos que act´uan como lente, simplemente tenemos que considerar la ecuaci´on de lente binaria, por lo que ser´ıa totalmente an´alogo a lo considerado en la Secci´on 1.1.3.2. 88 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites 1.2.7.2. Caso triple lente (estrella + planeta + sat´elite) Consideramos ahora que la lente consiste en estrella + planeta + sat´elite. Como tenemos 3 lentes, la curva de luz resultante ser´a la suma de las curvas de luz de las tres por separado. Esto, aunque en apariencia sencillo, lleva a grandes complicaciones a la hora de resolver las lentes por separado y puede dar lugar a degeneraciones (Song et al. 2014) que pueden propagarse en una mala estimaci´on de los par´ametros. Figura 1.33: Ilustraci´on de los par´ametros s1,s2yφ. La localizaci´on del centro de masas est´a exagerado para una mejor visualizaci´on. Ecuaci´on de la triple lente La ecuaci´on de la triple lente es an´aloga a la de la lente binaria con la diferencia de que ahora hay otro sumando en el segundo miembro de (1.33). De este modo, el c´alculo de zser´a incluso m´as complicado, teniendo que aplicar el m´etodo de Laguerre a un polinomio complejo de grado 10 (Gaudi et al. 1998). El aumento ´optico se calcula igualmente con (1.35) y (1.36). Los par´ametros para una triple lente son parecidos a los que aparec´ıan en el caso de la lente binaria, solo que aqu´ı en vez de snecesitaremos s1ys2, que son las separaciones planeta-estrella y planeta-sat´elite, respectivamente; adem´as tendremos que definir el ´angulo φque forma la linea que une el sat´elite y el centro de masas planeta-estrella con la l´ınea que une al planeta y a la estrella (Figura 1.33). Los dem´as par´ametros son los mismos que consider´abamos para la lente binaria. En la Figura 1.34,Han (2008) pone un ejemplo de una lente triple con los siguientes par´ametros: DL= 6 kpc, DS= 8 kpc, M∗= 0,3M,Mp= 10M⊕, Ms= 1M⊕yφ= 60◦. La Figura 1.35 muestra las respectivas gr´aficas del 89 Secci´on 1.2. M´etodos de detecci´on de exosat´elites (o exomoons) tiempo vs aumento ´optico para cada caso de la Figura 1.34. De ambas figuras se pueden desprender varios hechos: 1. Los picos m´aximos de aumento ´optico producidos por planeta y sat´elite aparecen cuando la fuente atraviesa sus sendas curvas c´austicas (tal y como suced´ıa en la lente binaria). 2. La se˜nal del sat´elite aparece enmascarada en la del planeta cuando su curva c´austica se encuentra embebida dentro de la del planeta. Conforme ds aumenta, esta curva se va diferenciando, hasta que se puede distinguir un tercer pico. Eso indica que el m´etodo favorece a sat´elites con una separaci´on grande con respecto a su planeta. 3. La presencia del exosat´elite puede, en algunos casos, exacerbar la se˜nal del planeta, aunque la del mismo no sea detectable, sobre todo para dpbajos ydsaltos. Podemos decir, en definitiva, que el m´etodo de microlente gravitatoria ofrece grandes posibilidades debido a su sensibilidad a la masa y su alcance a enormes distancias, por la que la precisi´on del instrumental hoy en d´ıa es suficiente como para obtener resultados. Adem´as, el hecho de que la distancia al observador no imponga restricciones sobre la detecci´on permite buscar exoplanetas en regiones de la Galaxia con una gran abundancia de estrellas, tales como el bulbo gal´actico, o incluso fuera de ella, como en las Nubes de Magallanes. El telescopio OGLE (Optical Gravitational Lensing Experiment) se encarga de buscar planetas y posibles exosat´elites en dichas regiones de la Galaxia con el m´etodo de microlente gravitatoria y el de tr´ansitos (por ejemplo Udalski 2003). Hay tambi´en inconvenientes a tener en cuenta. Adem´as de la ya mencionada esporadicidad de los eventos de microlente gravitatoria, existen degeneraciones tambi´en cuando consideramos el caso de triple lente. Por ejemplo, para el objeto OGLE-2015-BLG-1459L los modelos no pueden decidir si consiste en una fuente con tres lentes (1S3L), una lente y tres fuentes (3S1L) o dos fuentes y dos lentes (2S2L). De todas maneras se pudo resolver dicha degenerancia utilizando los efectos del color, optando por el modelo 3S1L (Hwang et al. 2018), as´ı que no somos demasiado optimistas si decimos que el m´etodo de microlente gravitatoria sea probablemente el primero en descubrir un exosat´elite en un futuro pr´oximo. 90 Cap´ıtulo 1. M´etodos de detecci´on de exoplanetas y exosat´elites Figura 1.34: Varios ejemplos de lente triple. Para cada columna, dpdenota la separaci´on estrellaplaneta en u.a. mientras que Spla expresa en radios de Einstein. Para cada fila, dses la separaci´on estrella-planeta en u.a. mientras que Ssla expresa en radios de Einstein. ξyµson las coordenadas del plano de la lente. El origen es el centro de la curva c´austica. Cuanto m´as clara es la zona de la gr´afica, mayor es el aumento ´optico en tales puntos. La recta negra con flecha representa la trayectoria de la fuente. Las gr´aficas “encajonadas” representan configuraciones prohibidas para el sat´elite. Cr´edito para Han (2008). 91 Secci´on 2.1. El periodograma 2.1.2. Periodograma Lomb-Scargle Para una muestra no uniforme el periodograma cl´asico no nos sirve y tenemos que echar mano de otro tipo de periodograma: el llamado Lomb-Scargle. ´ Este es el m´as utilizado (si no el ´unico) por ser el que mayor flexibilidad proporciona a las observaciones; concretamente, en la mayor´ıa de lo casos, las observaciones (desde la Tierra) s´olo se pueden hacer de noche, con lo que en muchos casos es imposible tener mediciones uniformes todo el tiempo. Fue desarrollado por Lomb (1976) yScargle (1982), de ah´ı el nombre. El periodograma Lomb-Scargle se calcula como PLS(f) = 1 2"(Pnfncos[2πf(tn−τ)])2 Pncos2[2πf(tn−τ)] +(Pnfnsin[2πf(tn−τ)])2 Pnsin2[2πf(tn−τ)] #, (2.3) con τ=1 4πf arctan Pnsin(4πftn) Pncos(4πftn).(2.4) Hemos utilizando la funci´on plomb() de MATLAB para implementar el periodograma Lomb-Scargle sobre la se˜nal que prefiramos. Un ejemplo se puede ver en el Ap´endice B con el nombre de lombscargle.m. La situaci´on ideal de la Figura 2.1, sin embargo, no se presenta en la vida real. Las observaciones siempre se registran con cierto “ruido”, bien sea porque la precisi´on del instrumental no es perfecta, o por la turbulencia atmosf´erica, o por el jitter1, etc. El periodograma puede ayudarnos en ese sentido, indic´andonos cu´al es el pico m´as prominente de todos los dem´as provocados por el ruido. En el caso de que no podamos detectar ning´un pico por encima de otro con un cierto nivel de confianza (lo que se llama FAP, False Alarm Probability), no podremos asegurar la naturaleza peri´odica de la se˜nal y por ende no podremos atribuirla a ning´un modelo determinista presentado en el Cap´ıtulo 1. En ese caso descartaremos la se˜nal como detectable. Por el contrario, si hemos encontrado picos por encima del FAP, podremos dar una estimaci´on del periodo y proceder al ajuste de las observaciones a un determinado modelo, seg´un el m´etodo de detecci´on que elijamos. 1Se denomina jitter al ruido inducido en un determinada se˜nal a causa de distintos fen´omenos en la superficie de la estrella, tales como f´aculas, manchas, playas, etc. 98 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales Figura 2.2: Caso an´alogo al de la figura 2.1 con la diferencia que la funci´on no es determinista, sino que consta de n´umeros aleatorios normalmente distribuidos para cada valor del tiempo. Al ser la se˜nal puramente estoc´astica no se aprecia ning´un pico dominante, adem´as que ninguno se acerca ni de lejos a la recta FAP (l´ınea punteada roja), la cual hemos fijado a 99.9 %. 2.2. Ajuste de datos al modelo Supongamos que hemos hallado una periodicidad en el periodograma de nuestra se˜nal, es decir, hemos establecido que la se˜nal sigue una cierta naturaleza peri´odica y determinista (es decir, no se trata de ruido estoc´asticamente distribuido). ¿C´omo podemos saber que hemos detectado un exoplaneta/exosat´elite? Pues bien, el siguiente paso es comprobar que las observaciones se ajustan adecuadamente a un modelo. Para ello utilizaremos el ampliamente conocido m´etodo de m´ınimos cuadrados, es decir, tenemos que minimizar χ2: 99 Secci´on 2.2. Ajuste de datos al modelo χ2= N X i=1 yi(ti)−y(p;ti) σi2 ,(2.5) siendo yilas observaciones para cada instante de tiempo ti,y(p;ti) el modelo con par´ametros pevaluado en tiyσilos errores de medici´on para cada observaci´on yi. Definimos χ2 ν=χ2 ν,(2.6) siendo ν=N−mel n´umero de grados de libertad, es decir, el n´umero de observaciones menos el n´umero de par´ametros del modelo. Diremos que hemos obtenido un excelente ajuste cuando χ2 ν.1,1,(2.7) y, por lo tanto, afirmaremos que la presencia de un exoplaneta/exosat´elite es compatible con las observaciones. Sin embargo, hay que hacer una distinci´on entre encontrar un buen ajuste con el hecho de haber detectado un exoplaneta/exosat´elite. Por ejemplo, ya hemos hablado del “supuesto” exosat´elite Kepler-1625b y c´omo sus observaciones se ajustan al modelo planeta+sat´elite. Aunque este hallazgo ponga de manifiesto las grandes esperanzas puestas en haber encontrado el primer exosat´elite existe a´un cierta disputa cient´ıfica sobre la evidencia de ese supuesto descubrimiento. Concluimos, por tanto, que la ´unica manera de detectar un exoplaneta/exosat´elite es el minucioso y repetido an´alisis de distintas observaciones a lo largo del tiempo, para as´ı encontrar buenos ajustes a los modelos y poder comprobar reiteradamente la validaci´on de los mismos. Ahora que hemos establecido el criterio por el cual decimos hay un buen ajuste explicaremos c´omo ajustar los par´ametros del modelo a las observaciones. 2.2.1. Inicio del ajuste. Optimizador global Minimizar la expresi´on (2.5) equivale a minimizar una funci´on de coste que depende del tiempo y de un espacio de par´ametros p. Existen numerosos m´etodos de optimizaci´on (local y global), pero optamos por elegir como tanteo inicial un m´etodo global por la sencilla raz´on de que no dependen de las 100 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales condiciones iniciales, las cuales no tenemos por qu´e tener. Existen numerosos optimizadores globales aplicados a la Astronom´ıa en la literatura, como el recocido simulado (Metropolis et al. 1953;Kirkpatrick et al. 1983;ˇ Cern´y 1985;Ingber 1993) o una versi´on m´as sofisticada llamada recocido simulado adaptativo (Ingber 2000). Estos m´etodos se basan en el m´etodo del gradiente, por lo que si aumentamos mucho el espacio de par´ametros, ello hace que el n´umero de puntos singulares aumente y eso causa problemas de convergencia. Para resolver este problema optamos por otro tipo de optimizadores, los llamados algoritmos evolutivos, que se aplican a modelos poblacionales en diversas ´areas como en Gen´etica o Biolog´ıa (Eiben & Smith 2003;Al-Salami 2009; &c). Dichos algoritmos se basan en el c´alculo estoc´astico y no involucran c´alculo de gradiente por lo que son muy flexibles a la hora de trabajar con grandes espacios de par´ametros. Los dos algoritmos evolutivos m´as importantes son el algoritmo gen´etico y la evoluci´on diferencial. Nosotros utilizaremos este ´ultimo. Evoluci´on diferencial Este algoritmo se basa en la inicializaci´on y la evoluci´on de una determinada poblaci´on por medio de la mutaci´on, hibridaci´on y selecci´on hasta que se cumple un criterio de terminaci´on (Lin et al. 2011;Balkaya 2013). Los optimizadores globales no requieren condiciones iniciales, simplemente se necesita para su implementaci´on un intervalo de acotaci´on que contenga cada par´ametro (por ejemplo, para la excentricidad el intervalo ser´ıa [0,0,999]). La ausencia de una condici´on inicial hace que la soluci´on que hallemos no sea demasiado precisa lo que puede conllevar a una estimaci´on cuestionable de los par´ametros. La estrategia a seguir ser´a ejecutar el algoritmo de evoluci´on diferencial varias veces y obtener luego mejores soluciones con un optimizador local. Para ello, utilizaremos como condiciones iniciales las soluciones proporcionadas por el optimizador global. La soluci´on cuyo χ2 νsea menor nos dar´a los par´ametros del modelo. 2.2.2. Mejora del ajuste. Optimizador local-global. Debido a que tratamos modelos donde existe abundancia de m´ınimos locales, aun cuando pensemos que estamos cerca del m´ınimo global puede que nos encontremos en la cuenca de atracci´on de un m´ınimo local. Para resolver 101 Secci´on 2.2. Ajuste de datos al modelo Figura 2.3: Pseudoc´odigo para la evoluci´on diferencial (Mezura-Montes & Palomeque-Ortiz 2009) utilizando la estrategia de mutaci´on 1 de Balkaya (2013). ese problema utilizaremos el algoritmo Basin-hopping (Wales & Doye 1997), que implementa un algoritmo de minimizaci´on local primero y aplica una perturbaci´on aleatoria despu´es para encontrar un m´ınimo global en la vecindad del m´ınimo local. Utilizaremos de nuevo como condiciones iniciales la soluci´on hallada por el algoritmo de evoluci´on diferencial. 2.2.3. Estimaci´on del error de los par´ametros Para estimar el error de los par´ametros que ajustemos, necesitamos calcular su matriz de covarianzas asociada, la cual nos dar´a la varianza de cada uno de ellos y, por tanto, la desviaci´on est´andar, lo cual corresponde a lo que llamamos error. 102 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales Con objeto de calcular esta matriz, calcularemos la inversa de la hessiana de la funci´on objetivo evaluada en dichos par´ametros (en nuestro caso es χ2). En este sentido, para la determinaci´on de la hessiana , hemos llegado a la conclusi´on de que lo mejor es importar el paquete Autograd (integrado de serie en Python) de la siguiente manera: from autograd import hessian Con la funci´on hessian podremos calcular la hessiana para una funci´on objetivo y un conjunto de par´ametros. Una vez que tenemos la hessiana, la invertiremos, calcularemos la ra´ız cuadrada de cada uno de los elementos de la diagonal y as´ı obtendremos el error de los par´ametros. 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos Para comprobar nuestra metodolog´ıa, utilizaremos los modelos del Cap´ıtulo 1que nos faciliten extraer informaci´on sobre los par´ametros orbitales y f´ısicos de los exoplanetas y exosat´elites y que adem´as permitan su detecci´on hoy en d´ıa; esos son, velocidad radial, tr´ansitos, TDV/TTV aplicados a exosat´elites y TTV aplicados a exoplanetas. 2.3.1. Velocidad radial Para el m´etodo de velocidad radial, testaremos el caso de un s´olo exoplaneta y el de varios exoplanetas. No trataremos el caso de exoplaneta + exosat´elite puesto que no es posible la detecci´on, y probablemente no lo sea hasta un futuro muy lejano. 2.3.1.1. Un solo planeta. 51 Pegasi b. Para una estrella con un s´olo planeta consideraremos el caso del primer planeta descubierto, 51 Pegasi b (tambi´en llamado Dimidio). Este planeta fue descubierto en 1995 por Mayor & Queloz (1995) y fue m´as tarde revisitado por Marcy et al. (1997), donde analizaron los datos recogidos por el Observatorio Lick. Dichas mediciones tienen un error de ∼5 m s−1. 103 Secci´on 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos Primero procederemos al c´alculo del periodograma para las observaciones de la Tabla 1 de Marcy et al. (1997). Han sido eliminados los datos correspondientes a los tiempos que van de los 91.6137 a los 326.896 (JD - 2450000) ya que se encuentran muy espaciados en el tiempo y podr´ıan dar lugar a una mala estimaci´on (adem´as que en el periodograma inducen una se˜nal no deseada). Un fragmento de esta Tabla se puede ver en la Tabla 2.1. Figura 2.4: Periodograma para el planeta 51 Pegasi b, conforme a las observaciones de la Tabla 1 de Marcy et al. (1997). Vemos un gran pico en torno a la frecuencia 0,2366, con lo que nos da un periodo de ∼4.2269 d´ıas. El periodo inicial que usamos es el calculado por el periodograma de la Figura 2.4: 4,2269 d´ıas. Para el resto de elementos orbitales usamos el algoritmo de evoluci´on diferencial implementado por el m´odulo Optimize de Python; lo ejecutamos 100 veces para obtener un χ2lo m´as peque˜no posible, para despu´es utilizarlos como condiciones iniciales en el algoritmo Basin-hopping tambi´en implementado por el m´odulo Optimize. Nos quedamos con los par´ametros que 104 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales hagan χ2m´ınimo. El programa implementado en Python se encuentra en el Ap´endice B con el nombre RVsingle.py. El modelo utilizado es el que describe la Ecuaci´on (1.10), por lo que los par´ametros son γ,K,P,T,e, y ω. Figura 2.5: En azul, las observaciones de la velocidad radial del exoplaneta 51 Pegasi b, siguiendo la Tabla 1 de Marcy et al. (1997). En rojo, la curva de velocidad radial que mejor se ajusta a las observaciones. Las barras verticales indican el error en cada medici´on. La soluci´on final es: γ= 7,4668 ±0,4555 m/s, e= 0,0170 ±0,0119, K= 56,49 ±0,65 m/s, Tc= 60,5275 ±1,2331 d´ıas, ω= 0,6933 ±0,6462 radianes y P= 4,231 ±0,063 d´ıas, con χ2 ν= 1,04 (lo que indica un muy buen ajuste). N´otese que la excentricidad tiene el error parecido a su estimaci´on, 105 Secci´on 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos Tabla 2.1: Fragmento de la Tabla 1 de Marcy et al. (1997). con lo que creemos que es consistente con una ´orbita circular. De igual manera ocurre con el argumento del periastro ωque, en ´orbitas circulares, suele tener una alta incertidumbre, lo que motiva a veces a darlo como indefinido (tal y como lo hacen Mayor & Queloz 1995 yMarcy et al. 1997). Ahora que tenemos los par´ametros calculados, podemos calcular la masa (m´ınima) del planeta con (1.9). Para ello tenemos que conocer previamente la masa de la estrella 51 Peg, la cual es 1,12 M(Fuhrmann et al. 1997). Haciendo los c´alculos llegamos a que Mpsin i≈0,48 MJ, con lo que Mp≥0,48MJ. 106 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales 2.3.1.2. Varios planetas. HD 37124. En este caso simplemente utilizamos la formulaci´on del caso kepleriano de la velocidad radial para varios planetas (Ecuaci´on 1.11) con una leve modificaci´on; debido a las perturbaciones gravitatorias de largo periodo que suele presentarse en los casos newtoniano y kepleriano, se introduce una correcci´on lineal o trend que hace que la se˜nal de la velocidad radial adquiera una cierta pendiente2, con lo que el modelo real que utilizaremos ser´a el siguiente: Vr=γ+ n X j=1 (Kj[cos(ωj+fj) + ejcos(ωj)]) + d(t−t0),(2.8) siendo dla pendiente del supuesto trend yt0una ´epoca de referencia (cogeremos como t0el primer dato de las observaciones). Para nuestro ejemplo tomaremos el caso del objeto HD 37124, que es una estrella que alberga 3 exoplanetas (Vogt et al. 2005), con lo que nuestro espacio de par´ametros tendr´a tama˜no 17. Consistir´an en γ,dy los 5 que corresponden a cada planeta y que se definen an´alogamente al caso anterior: Kj,Pj,Tj,ej, yωj. A la hora de obtener el ajuste primero debemos tener una acotaci´on relativamente certera del periodo para cada uno de los tres planetas. Para ello, debemos seguir el siguiente procedimiento (descrito por ejemplo en Fischer et al. 2007): 1. Iniciamos el ajuste de manera totalmente an´aloga a la del caso de un s´olo exoplaneta: utilizamos el periodograma para obtener una estimaci´on de uno de los periodos (eligiendo el pico mayor) y despu´es calculamos la estimaci´on del resto de los elementos orbitales combinando los optimizadores globales con los locales tal y como hicimos en la secci´on anterior. Los resultados no tienen por qu´e ser precisos, y con toda seguridad no lo ser´an ya que estamos asumiendo que solo existe una periodicidad cuando en realidad existen tres. 2. Una vez que hayamos calculado la curva de velocidad radial correspondiente a dichos elementos orbitales, restamos dicha curva a la se˜nal original. 2Esta correcci´on lineal es conveniente usarla siempre que estudiamos la se˜nal de velocidad radial de m´ultiples planetas, para tener en cuenta otros posibles cuerpos m´as lejanos que no causen picos significativos en el periodograma (Wright & Howard 2009). 107 Secci´on 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos 2.3.2.2. Planeta + sat´elite Ya se ha comentado a lo largo de este trabajo que la detecci´on de un exosat´elite es un proceso tremendamente complicado y que requiere de un meticuloso estudio previo de los datos, por lo que dar aqu´ı una metodolog´ıa “objetiva” de c´omo validar la detecci´on de un exosat´elite se torna, hoy en d´ıa, en una tarea casi imposible, m´as all´a de la validaci´on para una muestra concreta (como es el caso de los 3 tr´ansitos de Kepler 1625-b abordados en Teachey et al. 2017). Para solventar este problema simularemos un tr´ansito exoplaneta + exosat´elite, introduciendo un sat´elite en uno de los ejemplos ficticios que hemos tratado para el caso de un s´olo exoplaneta. Con ello, nos ahorraremos problemas de procesamiento de datos y dispondremos de todas las observaciones que sean necesarias. Para la estrella, consideraremos una tipo solar (tipo espectral G2V), por tanto los coeficientes del limb darkening correspondientes (asumiendo un modelo no lineal de 4 par´ametros) son c1= 0,6060, c2=−0,3196, c3= 0,9569 yc4=−0,4745 (Sing 2010). Para el planeta asumiremos uno tipo J´upiter, a una distancia de 0,25 u.a. de la estrella. El sat´elite escogido tiene de radio dos veces6el de la Tierra y est´a a 0,3RHdel planeta. Consideramos ´orbitas coplanarias y circulares, en las cuales est´a contenida la l´ınea de observaci´on. El modelo elegido es el implementado por el algoritmo LUNA (Seccion 1.2.2; Kipping 2011a). Ya que hemos elegido ´orbitas coplanarias, los par´ametros del modelo son ap(el semieje del planeta), p=Rp/R∗,as(el semieje del sat´elite) ys=Rp/R∗, siendo RpyRslos radios del planeta y del sat´elite, respectivamente. El programa implementado en Python se encuentra en el Ap´endice B con el nombre transitmoon.py. A la hora de elegir el vector de errores y el n´umero de observaciones, hemos probado varios casos en los que hemos variado ambos, desde un error/n´umero de observaciones peque˜no hasta un error/n´umero de observaciones grande, con el objetivo de testar la correlaci´on que hay entre el error/n´umero de observaciones y la calidad del ajuste correspondiente (Tabla 2.2 y2.3). A modo ilustrativo, supondremos que los errores siguen una distribuci´on normal con media 0 y desviaci´on est´andar 0,0002, siendo el n´umero de observaciones N = 6Escogemos dicho radio con el fin de facilitar la detecci´on del exosat´elite y su visualizaci´on en la curva de luz (Figura 2.10). 114 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales Figura 2.10: En azul, las observaciones. En rojo, la curva de luz correspondiente al modelo exoplaneta + exosat´elite que mejor se ajusta a las observaciones (los errores siguen una distribuci´on N(0,0002)). Se han marcado con rect´angulos negros los lugares de la curva de luz donde se aprecia la presencia del exosat´elite. 500 (Figura 2.10). Siguiendo el procedimiento de detecci´on an´alogo al utilizado para el tr´ansito de un solo planeta, llegamos a que ˆap= 0,25004 ±0,00003 u.a.7, ˆp= 0,100490000 ±0,00000822, ˆas= 0,0051000 ±0,0000013 u.a. y ˆs= 0,018300000 ±0,000041744. Como χ2 ν= 0,99785, el ajuste es muy bueno. Comparando los resultados de las tablas 2.2 y2.3, podemos distinguir diferencias de comportamiento entre el ajuste de los par´ametros y la calidad de ajuste. En cuanto al error, vemos que el χ2 νse mantiene pr´acticamente inalterable conforme vamos aumentando el error, mientras que los par´ametros estimados divergen cada vez m´as de los reales (sobre todo los concernientes al exosat´elite). Por otro lado, si hacemos lo mismo con el n´umero de observaciones, obtenemos curiosamente lo contrario: los par´ametros estimados se 7El sombrero indica las estimaciones de los par´ametros. 115 Secci´on 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos app ass χ2 ν N(0,0002) 53,767 0,10049 1,107 0,01835 0,998 N(0,0005) 53,775 0,10048 1,087 0,01841 0,999 N(0,001) 53,734 0,10038 1,072 0,01856 1,002 N(0,005) 53,892 0,10040 1,053 0,01832 1,003 N(0,01) 54,028 0,09928 0,703 0,0227 1 Par´ametros reales 53,758 0,1005 1,1076 0,0184 - Tabla 2.2: Par´ametros estimados y χ2 νcorrespondientes a cada distribuci´on de errores. app ass χ2 ν N= 500 (cad. = 2,91 min) 53,767 0,10049 1,1073 0,0183 0,998 N= 400 (cad. = 3,64 min) 53,756 0,1005 1,1079 0,0184 0,997 N= 300 (cad. = 4,85 min) 53,756 0,1005 1,1079 0,01845 0,997 N= 200 (cad. = 7,27 min) 53,721 0,10049 1,1036 0,01835 1,012 N= 100 (cad. = 14,54 min) 53,723 0,1004 1,097 0,0184 0,973 N= 50 (cad. = 29,1 min) 53,766 0,1005 1,1466 0,01897 1,007 N= 25 (cad. = 58,17 min) 53,744 0,1004 1,1071 0,01766 1,122 Par´ametros reales 53,758 0,1005 1,1076 0,0184 - Tabla 2.3: Par´ametros estimados y χ2 νcorrespondientes a cada n´umero de observaciones N. La abreviatura “cad.” hace referencia a cadencia. mantienen, aun cuando el n´umero de observaciones es muy pobre, muy cerca de los reales; mientras que la calidad del ajuste se aleja del criterio elegido para la validaci´on de la detecci´on de un exosat´elite (Ecuaci´on (2.7)). Este hecho podr´ıa hacer pensar, ingenuamente, que es preferible tener muestras con muy pocas observaciones antes que tener un error grande en las muestras puesto que la calidad de ajuste se mantiene cerca de 1 en el primer caso (a diferencia del segundo). Sin embargo, tenemos que tener en cuenta algo primordial: cuando los datos se encuentran muy dispersos (error grande) o la muestra es poco numerosa (Nbajos), no podemos a priori descartar el modelo de un s´olo exoplaneta para optar por el de exoplaneta + exosat´elite, sino que debemos comparar la calidad del ajuste para ambos modelos (no importa cu´an bueno sea el ajuste al modelo exoplaneta + exosat´elite si el ajuste al modelo de un s´olo exoplaneta es mejor). Por tanto, es preciso comparar tambi´en la diferencia de χ2 νen los dos modelos cuando existe un error grande y cuando Nes peque˜no. Para el primer caso, hemos optado por la ´ultima fila de la Tabla 2.2. Cuando 116 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales el error sigue una distribuci´on normal N(0,0,01) ya vimos que χ2 ν≈1. Pues bien, si el mismo conjunto de observaciones lo ajustamos para el modelo de un exoplaneta, obtenemos χ2 ν= 1,45. Obviamente existe diferencia de un modelo a otro, pero no es demasiado notable. Para el segundo caso, hemos optado igualmente por la ´ultima fila de la Tabla 2.3. Cuando N= 25, ya se vio que χ2 ν≈1,1. Para el modelo de un solo exoplaneta, hemos obtenido χ2 ν= 7,23. Claramente cuando Nes peque˜no se puede descartar r´apidamente el modelo de un solo exoplaneta por delante del de exoplaneta+exosat´elite. Eso nos indica que es preferible tener una muestra poco numerosa antes que una con un error grande. 2.3.3. TTV/TDV 2.3.3.1. TTV y TDV causado por un sat´elite Simularemos los TTV y los TDV producidos por un sat´elite tipo Tierra, a unos 0,3RHde un planeta tipo J´upiter que a su vez sigue una ´orbita alrededor de una estrella tipo solar con un periodo de 10 d´ıas. Para ello, utilizaremos las Ecuaciones (1.65) y (1.71) evaluadas en instantes de tiempo separados por un tiempo igual al periodo del planeta (un instante por cada tr´ansito). Para encontrar el periodo de la se˜nal, lo que podr´ıamos pensar es aplicar el periodograma Lomb-Scargle para identificar los picos que identifiquen periodicidades fuertes. El problema es que, como la se˜nal est´a muestreada una vez cada periodo del planeta, las ´unicas periodicidades que podemos calcular un´ıvocamente son las que cuya frecuencia no sobrepase la mitad de la frecuencia de muestreo, lo que se llama frecuencia Nyquist (v´ease por ejemplo Tan 2013: 19). Si en nuestro periodograma existe una periodicidad cuya frecuencia sobrepasa la frecuencia Nyquist aparecer´an alias, es decir, r´eplicas del pico original que son, a priori, indistinguibles del mismo (v´ease la Figura 2.12, donde aparecen 2 picos). Esto har´a imposible la estimaci´on del periodo del sat´elite por medio de los periodogramas. Debido a que la frecuencia de la se˜nal del sat´elite es, aproximadamente, nueve veces la del planeta (Kipping 2011b), la muestra es poco numerosa, ya que la frecuencia de la se˜nal se encuentra muy por encima de la frecuencia Nyquist. Por lo tanto necesitamos otra manera de calcular Ps. La estrategia a seguir ser´a, entonces, calcular las amplitudes δT T V yδT DV . Utilizaremos la transformada r´apida de Fourier (Ecuaci´on (0.8)) para deter117 Secci´on 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos Figura 2.11: Las cruces rojas indican el TDV en funci´on del tiempo. Los c´ırculos azules, el TTV. El tiempo abarca 5 tr´ansitos (50 d´ıas). N´otese que la cantidad de puntos es uno por cada tr´ansito, es decir, 5 para el TTV y 5 para el TDV. El TTV y el TDV est´an en segundos. minar la amplitud de cada una de las se˜nales8(puntos rojos y azules de la Figura 2.11). Para comprobar si nuestra estimaci´on es correcta, calculamos ∆T T V =asMsPp 2πapMp = 8,8497 s(2.11) y ∆T DV =T0asMsPp apMpPs= 10,5249 s, (2.12) 8Se puede aplicar la transformada r´apida de Fourier porque los puntos est´an equiespaciados (un punto por cada periodo). 118 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales Figura 2.12: Amplitud del espectro bilateral para la se˜nal del TTV. Se aprecian dos picos en torno al punto 4,40. Como el espectro bilateral es calculado con la transformada r´apida de Fourier, la amplitud del mismo es sim´etrico con respecto al punto medio de las frecuencias del muestreo, por lo que la energ´ıa del espectro est´a repartida a la mitad en cada lado del espectro. Para recuperar la amplitud verdadera de la se˜nal, simplemente tenemos que multiplicar por 2. Por lo tanto la amplitud es ˆ ∆T T V ≈8,80 s. donde T0(el tiempo de tr´ansito de referencia) es obtenido con la ecuaci´on (3) de Seager & Mall´en-Ornelas (2003). La estimaci´on puede considerarse bastante buena9. Para estimar el periodo, por (1.74): ˆη=ˆ δT DV ˆ δT T V =ˆ ∆T DV ˆ ∆T T V = 1,195 (2.13) ˆη=2πTb ˆ Ps (2.14) 9N´otese que hacemos la diferencia entre ∆, que hace referencia a la amplitud usual, y la δ, que denota la amplitud en media cuadr´atica. Se cumple, tanto para la se˜nal de TTV como para la de TDV, ∆ptp=2√2δ(Kipping 2009a), siendo ∆ptp la amplitud del m´aximo al m´ınimo de la se˜nal (peak-to-peak), por lo que como ∆ptp = 2∆, ∆=√2δ. 119 Secci´on 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos Figura 2.13: Amplitud del espectro bilateral para la se˜nal del TDV. Actuando de forma an´aloga a la figura 2.12, obtenemos que la amplitud es de ˆ ∆T DV ≈10,518 s. Despejando ˆ Ps: ˆ Ps=2πTb ˆη= 0,9431 d´ıas.(2.15) Por la tercera ley de Kepler, teniendo en cuenta que el semieje verdadero era as= 0,3RH= 0,0909 u.a. y que la masa verdadera del exoplaneta y el exosat´elite son la de J´upiter y la Tierra, respectivamente, llegamos a que el periodo verdadero del sat´elite es Ps= 0,9476 d´ıas, por lo que la estimaci´on es, de nuevo, bastante buena. Ahora s´olo nos queda calcular la masa Msy el semieje as. Para ello necesitamos los productos MsasyMsa−1/2 s, los cuales se calculan a partir de ˆ δTTV yˆ δTDV mediante (1.62) y (1.69), respectivamente. De esta manera, podemos calcular as: ˆas= Msas Msa−1/2 s!2/3 = 0,001855 u.a. (2.16) Teniendo en cuenta que as= 0,00186 u.a., la estimaci´on es excelente. 120 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales Despejando Msdel conocido Msas, deducimos ˆ Ms= 3,0027 ·10−6M, frente a 3 ·10−6Mque es la masa verdadera del sat´elite (1 M⊕), con lo que de nuevo el ajuste es muy bueno. Figura 2.14: En azul, los datos de observaci´on que disponemos del TTV. En rojo, la curva de TTV ajustada para el periodo ˆ Psy la amplitud ˆ ∆T T V . Una vez tenemos la curva de TTV y TDV para cualquier instante de tiempo, podemos averiguar si el las se˜nales detectadas provienen de la presencia de un exosat´elite, y no de otros fen´omenos. Lo que tenemos que hacer es comprobar que la diferencia de fase entre las curvas es π/2. Para ello, hemos calculado los instantes de tiempo para los cuales alcanzan su amplitud m´axima, para luego transformarlos a la anomal´ıa verdadera y hacer el valor absoluto de la diferencia. Utilizaremos como referencia el segundo m´aximo para ambas se˜nales. El valor t1correspondiente al segundo m´aximo local de la se˜nal TTV es: t1= 0,943 (Figura 2.14). El valor t2correspondiente al segundo m´aximo local de la se˜nal TDV es: 121 Secci´on 2.3. Detecci´on y c´alculo de elementos orbitales para varios ejemplos Figura 2.15: En azul, los datos de observaci´on que disponemos del TDV. En rojo, la curva de TDV ajustada para el periodo ˆ Psy la amplitud ˆ ∆T DV . t2= 1,179 (Figura 2.15). Por lo tanto |t1−t2|= 0,236. Como consideramos ´orbitas circulares, ∆fS= ∆M, siendo Mla anomal´ıa media y fSla anomal´ıa verdadera, entonces ∆fS= ∆M=2π Ps|t1−t2|= 1,572 ≈π/2 Queda demostrado que la diferencia de fase es, aproximadamente, π/2. Hemos confeccionado un programa en MATLAB donde se implementan todos estos c´alculos, llamado TTV/TDV.m (Ap´endice B). 122 Cap´ıtulo 2. Procedimiento de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites y c´alculo de elementos orbitales Figura 2.16: La diferencia de fase entre la curva TDV y la curva TTV es bien clara. Hemos visto, pues, el procedimiento a seguir para calcular los elementos orbitales de un sat´elite a partir de la variaci´on del tiempo de tr´ansito de un determinado exoplaneta. Sin embargo, en la pr´actica este procedimiento es m´as complicado por tres razones; la primera es que, para cada dato de observaci´on, debemos ajustar los par´ametros del exoplaneta a las observaciones de su fotometr´ıa (tal y como hicimos en la Secci´on 2.3.2.1), lo que induce a cada dato un error que har´a que el ajuste del TTV/TDV sea incluso menos certero a la hora de estimar su periodo. La segunda es que, si sucede que la ´orbita del sat´elite tiene una excentricidad significativa, el factor Υ de (1.64) no ser´a igual a 1 y por lo tanto no podremos despejar Psal hacer el cociente δT T V /δT T V . Este hecho es importante tambi´en a la hora de determinar la naturaleza del TTV/TDV, puesto que cuando la excentricidad del sat´elite es distinta a 0, o no hay coplanaridad, o incluso si est´a en movimiento retr´ogrado, la diferencia de fase divergir´a significativamente de π/2 y no podremos asegurar la presencia de un exosat´elite. 123 Secci´on 4.2. Zona habitable (HZ) El c´alculo de ambos IHZ y OHZ se hace asumiendo que el planeta consta de una atm´osfera compuesta por nitr´ogeno (N2), vapor de agua (H2O) y di´oxido de carbono (CO2). La presi´on parcial5del nitr´ogeno se fija a 1 bar. El moist greenhouse se alcanza cuando la temperatura superficial es de 340 K, es decir, Seff= 1,02 (Figura 4.1). Se toma esta temperatura ya que es el valor donde la concentraci´on de agua en la atm´osfera aumenta dr´asticamente, de 0,02 cuando la temperatura es de 320 K a 0,1 cuando llega a los 340 K (Figura 4.2). Para el runaway greenhouse, se toma el valor de la curva cuando se torna constante (Seff= 1,06), puesto que dicha estabilizaci´on tiene lugar al haberse evaporado todo el agua superficial. Ahora que tenemos los Seffcalculados, podemos obtener el IHZ mediante la relaci´on (por ejemplo, Kasting et al. 1993): d=1 pSeff u.a,(4.4) Para el moist greenhouse, IHZ = 0,99 u.a. Para el runaway greenhouse, IHZ = 0,97 u.a. Por otro lado, el maximum greenhouse corresponde a la distancia m´axima en la cual la concentraci´on de CO2permite mantener una temperatura superficial de 0◦, por lo que tendremos que encontrar el valor m´aximo de d (Ecuaci´on (4.4)), o lo que es lo mismo, el valor m´ınimo de Seffcuando fijamos la temperatura superficial a 0◦. Seg´un la Figura 4.3, el m´ınimo se alcanza, aproximadamente, cuando Seff= 0,34, por lo que el OHZ ser´a, por (4.4), igual a d= 1,71 u.a. As´ı, para un planeta tipo Tierra que orbita una estrella tipo solar, si asumimos l´ımites conservadores (moist greenhouse ymaximum greenhouse), obtenemos como l´ımite inferior de la zona habitable 0,99 u.a. y, como l´ımite exterior, 1,71 u.a. En cuanto al Marte y Venus reciente, sus estimaciones son mucho m´as directas. Para el caso del Marte reciente, si tenemos en cuenta de que existen 5Se define presi´on parcial para un cierto compuesto qu´ımico como la presi´on de dicho compuesto si ´el solo ocupase el volumen de toda la mezcla, la cual es, en este caso, la atm´osfera. 226 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.1: Gr´afica de Sef fen funci´on de la temperatura superficial (Kopparapu et al. 2013b). Esta gr´afica indica el Sef fnecesario para sostener una cierta temperatura superficial. evidencias que apuntan a que pudo tener agua hace 3,8 Gyr (por ejemplo, Pham & Karatekin 2016), su Seffen aquella ´epoca deber´ıa ser tal que permitiese el agua l´ıquida en su superficie. ¿Y c´omo calculamos el Seffde Marte de hace 3,8 Gyr? Si denotamos d como la distancia media de Marte al Sol y asumimos que estaba a la misma distancia dque hoy en d´ıa, podemos igualar dal semieje de su ´orbita, el cual es a= 1,52 u.a. Entonces, por (4.4), Seff= 0,43. Sin embargo, este no es el valor verdadero del flujo efectivo solar en el Marte de hace 3,8 Gyr, puesto que en ese entonces la luminosidad del Sol era diferente, del orden de un 75 % la de hoy en d´ıa (Gough 1981;Bahcall et al. 2001). Por ello, tenemos que multiplicar el flujo incidente S por 0,75 y, por (4.3), tambi´en el Seff. Por lo tanto, el Seffde Marte hace 3,8 Gyr era igual a 0,43 ×0,75 ≈0,32. Utilizando (4.4) de nuevo, hallamos el OHZ para el Marte reciente: 227 Secci´on 4.2. Zona habitable (HZ) Figura 4.2: Gr´afica de la abundancia del vapor de agua en la atm´osfera frente a la altitud, para cada valor de la temperatura superficial Ts(Kopparapu et al. 2013b). OHZ = 1 √0,32 ≈1,76 u.a. (4.5) Para el Venus reciente se procede de manera totalmente an´aloga. Asumimos que Venus perdi´o su agua superficial hace mucho menos tiempo (1 Gyr), siendo por aquel entonces la luminosidad del Sol del orden de 92 % la actual (Baraffe et al. 1998;Bahcall et al. 2001), y que su distancia al Sol es (de nuevo, asumiendo ´orbitas circulares), igual a 0,72 u.a. Obtenemos as´ı IHZ = 0,75 u.a. De esta forma, los l´ımites “optimistas”de la zona habitable de una estrella tipo solar son 0,75 u.a. y 1,76 u.a. 228 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.3: Gr´afica de Sef fen funci´on de la presi´on atmosf´erica parcial del CO2(Kopparapu et al. 2013b). 4.2.2. Zona habitable para estrellas de la secuencia principal Ahora que hemos estimado la zona habitable para estrellas tipo solar, es relativamente sencillo calcularla para estrellas de otros tipos espectrales, como K, F ´o M. El procedimiento se basa en el c´alculo de Seff para cada caso, el cual viene dado mediante la f´ormula (por ejemplo, Kasting et al. 1993): Seff =Seff+aT∗+bT2 ∗+cT3 ∗+dT4 ∗,(4.6) con T∗=Teff −5780 K, siendo Teff la temperatura efectiva de la estrella, ya, b, c, d ciertos coeficientes que var´ıan dependiendo del tipo espectral de la estrella y del criterio elegido (moist greenhouse,runaway greenhouse, etc.). En la Tabla 4.1 se especifica el valor de cada uno de estos coeficientes. Por ejemplo, para una estrella M4, cuya temperatura efectiva es del orden de unos 3100 K de media, Seff ser´ıa igual a 0,8578 para el moist greenhouse, y 0,2341 para el runaway greenhouse. 229 Secci´on 4.2. Zona habitable (HZ) Para calcular el IHZ y el OHZ asociados a estos Seff , no podemos utilizar (4.4) ya que la estrella no es tipo solar. En su lugar usaremos la siguiente: d=sL/L Seff ,(4.7) Tabla 4.1: Flujo solar efectivo y coeficientes para cada criterio de habitabilidad. Imagen adaptada de Kopparapu et al. (2013a). siendo LyLla luminosidad de la estrella y la luminosidad solar, respectivamente. Para ello, tomando la luminosidad de una estrella tipo M4, con Teff = 3100 K, como L= 0,0055L(Kaltenegger & Traub 2009), obtenemos que IHZ = 0,08 u.a. y OHZ = 0,1533 u.a. Como vemos, la zona habitable de una estrella tipo M es mucho m´as estrecha y mucho m´as cercana a ella. 4.2.3. Zona habitable para sistemas estelares m´ultiples El c´alculo de la HZ para estrellas m´ultiples puede llevarse a cabo como una extensi´on del caso para una sola estrella. Parecer´ıa intuitivo, en principio, sumar cada una de las componentes del flujo efectivo de cada una de las estrellas en el planeta, para as´ı calcular el flujo total efectivo en un dicho planeta y, por ende, determinar Seff . Sin embargo, esto no es as´ı, b´asicamente porque la atm´osfera de un planeta reacciona de forma diferente dependiendo del tipo espectral de la estrella desde la cual provenga la radiaci´on incidente (M¨uller & Haghighipour 2013;Kaltenegger & Haghighipour 2013). Con lo cual, no podemos simplemente sumar el Seff de cada una de las estrellas del sistema sin antes tener en cuenta su tipo espectral. As´ı, el flujo efectivo total Seff en un planeta que se encuentra en un sistema m´ultiple viene dado por (M¨uller & Haghighipour 2013): 230 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.4: Zona habitable para estrellas cuyo tipo espectral var´ıa desde M7 hasta F0. Cr´edito a Kasting et al. (2014);NASA/JPL. Seff = N X i=1 Wi Li/L r2 i ,(4.8) siendo Nel n´umero de estrellas en el sistema, Wilos llamados pesos espectrales,Lila luminosidad de la estrella iyrila distancia del planeta a la estrella i. Para ilustrar el c´alculo de la HZ, utilizaremos los casos de N= 2 (estrella binaria) y N= 3 (sistema estelar triple). Con objeto de simplificar los c´alculos y ser coherentes con los casos tratados en el Cap´ıtulo 3, asumiremos tambi´en que todas las estrellas involucradas son de tipo solar, por lo que no necesitaremos incluir pesos, es decir, Wi= 1,∀i. 4.2.3.1. Estrella doble Si hacemos N= 2, (4.8) quedar´ıa de la siguiente manera: Seff =1 r2 1 +1 r2 2 .(4.9) 231 Secci´on 4.2. Zona habitable (HZ) El c´alculo de la HZ se basa, en esencia, en lo mismo que ve´ıamos en el caso de una sola estrella: determinar tanto IHZ como OHZ. Si asumimos l´ımites conservadores (moist greenhouse y maximum greenhouse), ya hemos visto que el flujo efectivo era 1,015 y 0,343, respectivamente. Ahora, si queremos calcular la HZ en este sistema m´ultiple, el flujo efectivo tanto en el IHZ tanto como en el OHZ del planeta tiene que ser el mismo que obten´ıamos para el caso de una sola estrella, por lo que tiene que cumplirse que Seff =Seff,(4.10) por lo que, para el IHZ: 1 r2 1 +1 r2 2 = 1,015,(4.11) y para el OHZ: 1 r2 1 +1 r2 2 = 0,343.(4.12) Si asumimos la zona habitable del planeta con respecto la estrella primaria, hay que calcular r1en (4.11) y (4.12) para obtener el IHZ y el OHZ, respectivamente. Para ello tenemos que escribir r2en funci´on de r1. Seg´un la Figura 4.5, y considerando ´orbitas coplanarias, podemos relacionar r1con r2mediante el teorema del coseno: r2 2=r2 1+r2 Bin −2r1rBin cos(f2−(f1+ω1))., (4.13) siendo ω1el ´angulo formado por los ejes de ambas elipses. Entonces, sustituyendo en (4.11) y en (4.12) y teniendo en cuenta que rBin =aBin(1 −e2 Bin) 1 + eBin cos(f2),(4.14) tendremos que calcular r1en cada una de las ecuaciones para averiguar el IHZ y el OHZ. N´otese que, por (4.13), estas ecuaciones dependen tanto de la anomal´ıa f1como de la anomal´ıa f2. La forma de resolver las ecuaciones es fijar un valor para la anomal´ıa f2, es decir, fijar las posiciones de las estrellas y resolver las ecuaciones haciendo variar ω1+f1de 0 a 2π, resolviendo las ecuaciones tantas veces como puntos elegidos dentro del intervalo (0,2π). En el Ap´endice B se implementa este c´alculo con un programa en MATLAB llamado HZ.m 232 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.5: Esquema de la configuraci´on de una estrella binaria con un planeta hipot´etico. f2 es la anomal´ıa verdadera de la estrella secundaria con respecto a la primaria, y f1es anomal´ıa verdadera del planeta con respecto a la estrella primaria. N´otese que este esquema no depende si el planeta est´a en ´orbita tipo P ´o tipo S, aunque para una mejor visualizaci´on hemos puesto el planeta lejos de ambas estrellas. Por ejemplo, siguiendo las asunciones del Cap´ıtulo 3, suponemos que aBin = 10 u.a. En la Figura 4.6 vemos la zona habitable de la estrella primaria para eBin = 0,3 y para eBin = 0,5, habiendo fijado en ambos casos la anomal´ıa f2a 0◦. Se aprecia, adem´as, c´omo la excentricidad de la binaria influye en la zona habitable, haciendo que la zona habitable se extienda hacia la estrella secundaria, tal y como corroboran varios autores (Eggl et al., 2012,2013b; Kaltenegger & Haghighipour 2013a;Cuntz 2015;Wang & Cuntz 2017,2019). En la Figura 4.6 observamos, adem´as, c´omo la zona habitable no sobrepasa nunca las 2 u.a. Esto descarta totalmente la existencia de planetas con ´orbita tipo P habitables, puesto que hemos visto en la Secci´on 3.3.1 que la ´orbita de estos planetas era estable si su semieje con respecto al centro de masas de la binaria era &3,2aBin = 32 u.a., y por lo tanto, su distancia con respecto a la estrella primaria no puede ser menor que 32 u.a. Para que un planeta en ´orbita P caiga dentro de la zona habitable de la binaria necesitamos, por tanto, una zona habitable circumbinaria. Para ello, 233 Secci´on 4.2. Zona habitable (HZ) Figura 4.6: Zona habitable para la estrella primaria de una binaria con semieje aBin = 10 u.a. y excentricidad ebin = 0,3 (arriba) y eBbin = 0,5. La anomal´ıa verdadera de la binaria se ha fijado a 0◦. El origen representa la estrella primaria. Vemos como, para una mayor excentricidad, la zona derecha de la zona habitable se extiende m´as hacia la estrella secundaria, la cual se encuentra hacia la derecha (al ser la anomal´ıa 0). La l´ınea punteada representa la regi´on de estabilidad. 234 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.7: Zona habitable con respecto a la estrella primaria de una binaria con aBin = 0,5 u.a. yeBin = 0,3, siendo la curva discontinua la regi´on de estabilidad. El origen representa la posici´on de la estrella primaria. Hemos fijado la anomal´ıa verdadera de la secundaria a 0◦. necesitamos que el semieje de la binaria sea mucho menor. Por ejemplo, si aBin = 0,5 u.a. y eBin = 0,3, la zona habitable de la estrella primaria se extiende alrededor de la binaria (Figura 4.7). 4.2.3.2. Estrella triple El c´alculo de la HZ para una sistema estelar triple es an´alogo al de la estrella doble, con la diferencia que tendremos un sumando m´as en el segundo miembro de (4.9), aunque la ecuaci´on no presenta grandes dificultades si la resolvemos num´ericamente. Por eso, aqu´ı simplemente haremos uso de la p´agina web http://astro.twam.info/hz/ que permite el c´alculo de la HZ para las posiciones iniciales y para cualquier n´umero de estrellas (M¨uller & Haghighipour 2014), simplemente introduciendo las coordenadas de las posiciones iniciales de las estrellas. 235 Secci´on 4.3. Habitabilidad de un exosat´elite Figura 4.11: Variaci´on de la excentricidad (arriba) y el semieje de la ´orbita de un sat´elite cuya excentricidad inicial es em= 0,05 y semieje inicial de la ´orbita con respecto al planeta es am= 0,007 u.a., asumiendo ´unicamente las fuerzas de marea del planeta sobre el sat´elite. 242 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.12: Calentamiento de marea para un sat´elite con los par´ametros iniciales elegidos en las Figuras 4.10 y4.11, asumiendo como ´unicos agentes perturbadores la acci´on gravitatoria de la estrella sobre el sat´elite (arriba) y las fuerzas de marea del planeta sobre el sat´elite. 243 Secci´on 4.3. Habitabilidad de un exosat´elite no dejar´an que la excentricidad disminuya ni que el semieje aumente, debido a que las variaciones peri´odicas de la excentricidad y del semieje son mucho m´as pronunciadas en el tiempo (comp´arense las Figuras 4.10 y4.11), es por ello que la presencia de la estrella evita que hdisminuya y hace que el calentamiento de marea oscile (Figura 4.12). Este mecanismo es el que hace, por ejemplo, que el calentamiento de marea de Io y Europa no se fuera perdiendo desde los primeros a˜nos de su formaci´on; puesto que, si bien la perturbaci´on de la estrella es peque˜na, se cree que es debido a la perturbaci´on del sat´elite Gan´ımedes (Peale et al. 1979;Yoder & Peale 1981), el cual no permite que las ´orbitas de Io y Europa se circularicen y, por tanto, no se produzca la p´erdida de calentamiento de marea9. No hemos tenido en cuenta el calentamiento de marea causado por la estrella sobre el sat´elite, pero si consider´asemos estrellas enanas tipo M, entonces s´ı que se vuelve un factor importante a tener en cuenta. La raz´on de ello es que la zona habitable de las estrellas tipo M es muy cercana a la estrella (Figura 4.4), y por ende el calentamiento de marea causado por la estrella sobre el sat´elite es mucho mayor. De hecho, para estrellas con masa menor de 0,2M, no es posible la habitabilidad de exosat´elites (Heller 2012;Zollinger et al. 2017). 4.3.3. Campo magn´etico Para la habitabilidad de los exoplanetas, es indispensable la presencia de un campo magn´etico que los proteja de las part´ıculas de alta energ´ıa que pueden causar la desaparici´on de sus atm´osferas, tales como las causadas por el viento estelar, los rayos c´omicos o, si la estrella es de tipo M y el planeta se encuentra a una distancia peque˜na de ella, eyecciones de masa coronaria (Heller & Zuluaga 2013,Lammer et al. 2010;Grießmeier et al. 2005,2009;Zuluaga et al. 2013). Para los exosat´elites en torno a planetas gigantes, la presencia de una magnetosfera planetaria puede ayudarlos a protegerse de esta radiacci´on (Heller & Zuluaga 2013). Sin embargo, esto presenta un problema a˜nadido: si est´an suficientemente cerca del planeta (de 5 a 20 Rp), se ver´an afectados por su cintur´on de radiaci´on, el cual se forma debido a las part´ıculas energ´eticas del viento estelar que quedan atrapadas en torno a la magnetosfera del planeta (Hand et al. 2007;Heller & Zuluaga 2013). Es por ello preferible que el exosat´elite cuente tambi´en de un campo magn´etico propio que le proteja de 9Si no fuera por la presencia de Gan´ımedes, hoy en d´ıa las ´orbitas de Io y Europa ser´ıas casi circulares, puesto que su tiempo de circularizaci´on es mucho menor que la edad del Sistema Solar (Murray & Dermott 1999: 173) 244 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad dichas part´ıculas. Las condiciones necesarias para que un exosat´elite tenga magnetosfera son, principalmente, tener un n´ucleo semifluido que permita la conductividad el´ectrica (como el de la Tierra, que consta de un n´ucleo interno s´olido y un n´ucleo externo l´ıquido), y la existencia de convecci´on en el interior del exosat´elite, es decir, el flujo de los materiales m´as calientes hacia las capas superiores, de manera que se produzca un enfriamiento gradual del n´ucleo (por ejemplo, Spohn 2010: 317). Dicho enfriamiento tiene que existir para que se produzca una dinamo que induzca el campo magn´etico (Stevenson 1983), y la tect´onica de placas propicia dicho enfriamiento (Stevenson 2003;Olson & Christensen 2006). Adem´as, la presencia de agua superficial ayuda a la existencia de tect´onica de placas (Regenauer-Lieb et al. 2001;Solomatov 2003, 2004). En el Sistema Solar, los ´unicos planetas rocosos que tienen un campo magn´etico propio son la Tierra y Mercurio. Marte tiene parte de su corteza magnetizada, lo que puede indicar que ha tenido un campo magn´etico en el pasado (Acu˜na et al. 1998), y Venus no tiene campo magn´etico, siendo la causa m´as aceptada la falta de convecci´on en su n´ucleo10, quiz´as debido a la ausencia de tect´onica de placas (Stevenson 2003;Nimmo 2002). En cambio, el ´unico sat´elite que tiene un campo magn´etico propio es Gan´ımedes11. Esto plantea la cuesti´on de la magnetosfera en Europa: dado que los dos tienen composiciones similares (Sohl et al. 2002), ambos deber´ıan presentar campo magn´etico. Sin embargo, ning´un campo magn´etico ha sido detectado en Europa (Breuer et al. 2010;Kivelson et al. 1999). En la literatura, este hecho se explica –parcialmente– de la misma manera en la que se explica la ausencia de campo magn´etico en Io: se cree que el calentamiento de marea en el manto de Io y Europa bloquea el flujo de calor proveniente del n´ucleo, lo que impide su enfriamiento y, en consecuencia, la generaci´on de un campo magn´etico (Wienbruch & Spohn 1995). Seg´un lo que observamos en el Sistema Solar podemos, por tanto, con10Algunas fuentes atribuyen la falta de campo magn´etico de Venus a la lenta rotaci´on, pero se ha comprobado que, incluso con la rotaci´on de Venus (243 d´ıas), todav´ıa es posible producir una dinamo magn´etica (Luhmann & Rusell 1997;Stevenson 2003;Olson & Christensen 2006). 11Tanto Gan´ımedes como el resto de sat´elites galileanos que no presentan un campo magn´etico propio, s´ı que presentan un campo magn´etico inducido al encontrarse dentro de la magnetosfera de J´upiter (Breuer et al. 2010;Kerr 2010). 245 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites Figura 4.13: Campo magn´etico inducido por J´upiter (izquierda), propio (centro) y el resultante de ambos (derecha) de Gan´ımedes (Grasset et al. 2013b). cluir que el calentamiento de marea puede impedir la formaci´on de campos magn´eticos en exosat´elites, y por ello dificultar su habitabilidad. Esta dificultad se exacerba si tenemos en cuenta que el calentamiento de marea producido en exosat´elites tipo Tierra va a ser mucho m´as grande que en los sat´elites galileanos, ya que este aumenta cuanto m´as grande sea el radio de sat´elite (Ecuaci´on (4.16)). Por otra parte, la presencia de agua y de tect´onica de placas va a ser esencial para la generaci´on de campos magn´eticos en exosat´elites. 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites En la pr´actica, estudiar la habitabilidad de un exoplaneta/exosat´elite va mucho m´as all´a de intentar detectar agua en su superficie. Por eso, adem´as de la caracterizaci´on de oc´eanos superficiales (Secci´on 4.4.1), estudiaremos las t´ecnicas que se utilizan para estudiar las atm´osferas (Secci´on 4.4.2) y los supuestos oc´eanos interiores (Secci´on 4.4.3) de un exoplaneta/exosat´elite para, en un futuro, poder encontrar indicios de vida analizando dichos ambientes. Tambi´en utilizaremos la composici´on de los exoplanetas/exosat´elites (Secci´on 4.4.4) como potencial herramienta para averiguar si es posible la vida en ellos. 4.4.1. Caracterizaci´on de oc´eanos Existen tres t´ecnicas propuestas para la detecci´on de oc´eanos en exoplanetas, todas relacionadas con la imagen directa del exoplaneta (Cowan et al. 246 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad 2012): -Glint basado en la reflexi´on especular de la luz de la estrella sobre el agua del exoplaneta (Williams & Gaidos 2008;Robinson et al. 2010). Se ha comprobado que, en la Tierra, la luz reflejada del Sol sobre sus oc´eanos causa una regi´on muy iluminada sobre ellos llamada glint (Figura 4.14), lo que hace que el albedo aparente12 aumente. Las superficies l´ıquidas provocan dicho efecto ya que suelen ser extremadamente lisas y ello aumenta la reflectividad (v´ease, por ejemplo, https://www.physicsclassroom.com/class/refln/Lesson-1/Specularvs-Diffuse-Reflection). El glint es m´aximo cuando el planeta se encuentra en fase creciente (o menguante), es decir, cuando su disco se encuentra parcialmente iluminado por la estrella (por ejemplo, Cowan et al. 2012). Por lo tanto, si se llegase a detectar el aumento de brillo de la luz reflejada por el exoplaneta, podr´ıa indicar la presencia de oc´eanos en ese planeta. Este m´etodo, sin embargo, presenta varios problemas: 1. Como ya hemos visto en la Secci´on 1.1.4, la luz que refleja el exoplaneta es much´ısimo menor que la luz emitida por la estrella, con lo que es muy dif´ıcil detectarla, salvo en el caso de los planetas calientes, en los cuales descartamos, obviamente, la presencia de oc´eanos. Se estima que, para la detecci´on del glint, se requiere un S/N de 5-10 (Robinson et al. 2010). Teniendo en cuenta que ning´un exoplaneta tipo Tierra ha sido todav´ıa descubierto mediante imagen directa, esto supone un reto de gran calibre. Si consideramos exosat´elites, el reto es mucho mayor. 2. Est´e m´etodo no distingue la presencia de agua de otros l´ıquidos13 que puedan estar presentes en dichos oc´eanos (Lustig-Yaeger et al. 2018). De hecho, los oc´eanos de hidrocarburos de Tit´an fueron descubiertos con este m´etodo (Stephan et al. 2010). 3. La presencia de nubes o de una atm´osfera no transparente a la radiaci´on estelar como la de la Tierra podr´ıa imitar o mismo enmascarar el glint causado 12El albedo aparente se interpreta como la reflectividad de un planeta en la direcci´on del observador para un instante dado (Seager 2010: 40). Este tipo de albedo depender´a, por tanto, de la parte del disco planetario iluminado por la estrella, es decir, de la fase del planeta (fase creciente, llena, nueva, etc.). 13A´un as´ı, un oc´eano superficial en un planeta situado en la zona habitable estar´a, probablemente, compuesto por agua, bas´andonos en la abundancia de agua en el Sistema Solar y en el disco protoplanetario de estrellas j´ovenes (Eisner 2007;Williams & Gaidos 2008). 247 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites Figura 4.14: Glint en el disco terrestre, delimitado por las tres l´ıneas negras. Imagen adaptada de Williams & Gaidos (2008) por los oc´eanos. Se propone, para ello, medir el glint en el infrarrojo cercano (780 - 2500 µm), donde su se˜nal es m´as fuerte (Robinson et al. 2010). Esto requiere, sin embargo, tener un conocimiento previo de las nubes presentes en la atm´osfera del supuesto exoplaneta (Cowan et al. 2012). 4. El exoplaneta puede, incluso sin oc´eanos, incrementar su albedo aparente de forma natural durante la fase creciente, debido al aumento el hielo en las regiones del planeta donde llega menos flujo; por ejemplo, en un planeta con una inclinaci´on del eje de rotaci´on moderada como la Tierra (≈23◦5), los polos (Cowan et al. 2012). As´ı pues, este m´etodo se encuentra con demasiadas dificultades a d´ıa de 248 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.15: En la ventana superior, se muestra una simulaci´on del brillo (gr´afica c´oncava) y del albedo aparente (gr´afica convexa) de un exoplaneta tipo Tierra en funci´on de la longitud orbital, en la cual 180◦corresponder´ıa a la fase llena y 0◦y 360◦corresponder´ıa a la fase nueva. Los puntos rojos y verdes indican ciertas observaciones del albedo aparente de la Tierra. En la ventana inferior, se muestra la diferencia de brillo entre el modelo con glint y sin glint, demostrando, como ya se indic´o arriba, que la diferencia es m´axima en torno a las fases creciente (30◦) y menguante (330◦). Las mediciones est´an hechas en la banda visible (Robinson et al. 2010). Se supone una inclinaci´on orbital i= 90◦. hoy como para ayudarnos a descubrir oc´eanos en exoplanetas, y m´as aun si hablamos de exosat´elites. Se espera que el telescopio James Webb, el cual opera sobre la banda infrarroja (Gardner et al. 2006), pueda proporcionar observaciones con gran S/N y alta cadencia que nos permita la sensibilidad necesaria como para obtener una imagen directa de gran resoluci´on, de manera que estudiar la luz reflejada de un exoplaneta permita medir el albedo aparente en funci´on de la fase orbital de un exoplaneta tipo Tierra situado en la HZ y, con ello, descubrir el glint (Robinson et al. 2010). -Polarizaci´on (Zugger et al. 2010,2011). Al igual que la reflexi´on especular, las superficies extremadamente lisas como las de los oc´eanos polarizan la 249 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites luz mucho m´as que las superficies rugosas (por ejemplo, Katz & Spetner 1960), con lo que si logr´asemos detectar luz polarizada proveniente del exoplaneta, podr´ıa tratarse de un oc´eano. La atm´osfera, por desgracia, tambi´en podr´ıa causar este efecto (Secci´on 1.1.7), con lo que la presencia de una atm´osfera podr´ıa enmascarar la detecci´on de un oc´eano. De hecho, en Zugger et al. (2010) se llega a la conclusi´on de que, para un exoplaneta con una atm´osfera como la de la Tierra, la polarizaci´on de los oc´eanos es indetectable. -Variabilidad rotacional del color (Ford et al. 2001;Cowan et al. 2009; Kawahara & Fujii 2010,2011;Cowan et al. 2011). Analizando la intensidad de las longitudes de onda en la luz reflejada del planeta (lo que se llama espectro de reflexi´on), podemos averiguar la naturaleza de la superficie del exoplaneta gracias a la variaci´on del color predominante en el espectro a medida que el planeta rota. Los oc´eanos suelen tender a reflejar mayor radiaci´on azul, mientras que las porciones de tierra tienden m´as a la radiaci´on roja (McLinden et al. 1997;Tinetti et al. 2006; Figura 4.16). As´ı, podremos distinguir, dependiendo del color, vegetaci´on, desiertos, hielo o mismo oc´eanos (Cowan et al. 2011;Fujii et al. 2010;Arnold et al. 2002). Esta t´ecnica nos puede ayudar, adem´as, a determinar el periodo de rotaci´on del exoplaneta (Pall´e et al. 2008), as´ı como la oblicuidad14 de su ´orbita (Cowan et al. 2009;Oakley & Cash 2009; Kawahara & Fujii 2010). Por ejemplo, podemos estudiar las diferencias que hay entre el espectro promediado en un d´ıa terrestre de un exoplaneta tipo Tierra y un exoplaneta totalmente helado. Mientras que el primero exhibe gran variabilidad en todas las longitudes de onda, el segundo lo hace mucho m´as en las longitudes de onda cortas que en las longitudes de onda largas (Cowan et al. 2011). Esto podr´ıa ayudarnos a distinguir un planeta con oc´eanos como la Tierra de un planeta completamente helado. Existen dos fen´omenos adicionales a tener en cuenta en el espectro: 1. Nubes. Debido a la alta reflectividad de las nubes en casi todo el espectro (Figura 4.16), su presencia presenta problemas a la hora de distinguir oc´eanos o superficies de tierra. Gracias a las variaciones rotacionales en el albedo aparente podemos, en algunos casos, predecir la presencia de nubes o incluso eliminarlas de nuestro espectro (Cowan et al. 2009). 14 ´ Angulo que forma el ecuador del exoplaneta con su plano orbital. 250 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.16: Albedo en funci´on de la funci´on de onda para nubes, oc´eanos y tierra. La tierra refleja, predominantemente, radiaci´on roja y los oc´eanos, radiaci´on azul. Las nubes, por otro lado, son altamente reflectantes en casi todo el espectro, lo que le confiere un color gris. Imagen adaptada de Cowan et al. (2009). 2. Atm´osfera. Debido a la acci´on de la atm´osfera, nuestro espectro siempre indicar´a una alta reflectividad de la radiaci´on azul. El motivo de ello es la llamada dispersi´on Rayleigh, la cual hace que veamos el cielo azul. Lo bueno es que la dispersi´on Rayleigh es invariable a la rotaci´on del exoplaneta, con lo que no afecta significativamente la variabilidad de los colores predominantes en el espectro promediado a lo largo de 24 h (un d´ıa terrestre). Este hecho se confirma en Cowan et al. (2011), donde se modelizan los colores predominantes en el espectro promediado de un exoplaneta tipo Tierra cuyo periodo de rotaci´on es de 24 h, con y sin dispersi´on Rayleigh, y se llega a la conclusi´on de que dichos colores son pr´acticamente los mismos en ambos modelos: rojizos (tierra) con un ligero aumento en la reflectividad de los colores azules (oc´eanos). Para ser capaces de distinguir entre las variaciones rotacionales de la radiaci´on roja y azul del espectro de la luz reflejada por un planeta, necesitamos, de nuevo, una sensibilidad lo suficientemente potente como para que el ruido no ofusque las observaciones, de manera que S/N &20 −30 (Robinson 2017). Para ello, se ha estimado que es necesario un error m´aximo del 2 % en la fotometr´ıa del exoplaneta, algo que est´a fuera del alcance de los actuales coron´ografos (Cowan et al. 2009). Sin embargo, los mismos autores consideran la posibilidad de que, en un futuro cercano, el telescopio ATLAST (Advanced Technology Large-Aperture Space Telescope), el cual cuenta con una apertura de 16 m y un coron´ografo, sea capaz de alcanzar la sensibilidad requerida. De hecho, se cree que ser´a posible estudiar, con este telescopio, la superficie de un 251 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites la estrella, para cada longitud de onda, tal y como muestra la Tabla 4.2. Adem´as del cociente del radio aparente y el radio de la estrella, el espectro de transmisi´on tambi´en se puede expresar como la altitud relativa de la atm´osfera en funci´on de la longitud de onda. La altitud relativa se define como la diferencia ente el radio aparente del planeta y el radio donde se encuentra su superficie, es decir, el radio verdadero. As´ı mismo, tambi´en se define la altura de escala atmosf´erica H como H=σT mg ,(4.17) siendo σla constante de Boltzmann, Tla temperatura superficial del planeta, mla masa molecular media de las part´ıculas de la atm´osfera y gla gravedad superficial del exoplaneta. Hse interpreta como la altitud en la cual la presi´on atmosf´erica disminuye por un factor de e(refiri´endose eal n´umero de Euler). La ecuaci´on anterior indica que, cuanto mayor m(atm´osfera m´as pesada), Hser´a mayor, por lo que la presi´on disminuir´a mucho m´as despacio con la altitud. Adem´as, cuanta m´as gravedad tenga el planeta, menor ser´a H, puesto que la atm´osfera se encontrar´a mucho m´as concentrada en torno a las capas inferiores que en las capas superiores. Por ´ultimo, cuanto m´as caliente est´e el exoplaneta, mayor ser´a Hpuesto que m´as extendida estar´a su atm´osfera. Los J´upiter calientes, pese a poseer mayor gravedad superficial que los exoplanetas tipo Tierra, cuentan con un Hmayor (Miller-Ricci et al. 2008). Ahora, cuanto mayor sea H, mayor ser´a la se˜nal de las l´ıneas de absorci´on de su espectro de transmisi´on (Ecuaci´on (6) de Sing 2018). Es por eso que la mayor´ıa de las atm´osferas en exoplanetas son detectadas en J´upiter calientes, siendo mucho m´as dif´ıcil hacerlo en exoplanetas similares a la Tierra. Se puede estimar la altura de escala atmosf´erica de un J´upiter caliente incluso sin conocer su espectro de transmisi´on, si tenemos en cuenta que la gravedad superficial es conocida. Por ejemplo, a partir del m´etodo de tr´ansitos y de velocidad radial, la masa molecular media de su atm´osfera corresponde a una atm´osfera cuya composici´on es la t´ıpica de los gigantes gaseosos, dominada por una mezcla de hidr´ogeno y helio, y la temperatura superficial puede ser aproximada por la temperatura del equilibrio18,Teq, asumiendo albedo cero y 18Teq denota la temperatura te´orica superficial de un planeta teniendo en cuenta solamente 258 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.20: Espectro de transmisi´on del planeta WASP-31b. Las barras horizontales representan el ancho de banda en cada una de las mediciones, y las barras verticales representan el error en el c´alculo del radio aparente, a partir de la curva de luz asociada a cada banda (Sing et al. 2015). una completa redistribuci´on del calor en el exoplaneta (Cowan & Agol 2011): Teq = (1/4)1/4TeffsR∗ ap ,(4.18) siendo Teff la temperatura efectiva de la estrella, apel semieje de la ´orbita del exoplaneta con respecto a la estrella y R∗el radio de la estrella. Espectro de transmisi´on de los J´upiter calientes Te´oricamente, un gigante gaseoso cuenta con un espectro en que destacan las siguientes caracter´ısticas: - L´ıneas de absorci´on de metales alcalinos como Na ´o K. - L´ıneas de absorci´on en la banda infrarroja correspondientes a metano (CH4; 1,4−1,7−2,2µm), vapor de agua (H2O; 1 −2,6µm), o mon´oxido la radiaci´on de su estrella. 259 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites de carbono (CO; 1,2−1,6−2,3µm), siendo predominante el metano a bajas temperaturas y el mon´oxido de carbono a altas temperaturas (Hubbard et al. 2001). Tambi´en se han observado l´ıneas de absorci´on correspondientes al di´oxido de carbono (Swain et al. 2009;Madhusudhan and Seager 2009). - En gigantes gaseosos extremadamente calientes, se detectaron as´ı mismo l´ıneas de absorci´on correspondientes al ´oxido de titanio (TiO) y al ´oxido de vanadio (VO) (Fortney et al. 2008;Hubeny et al. 2003). Recientemente, se han descubierto l´ıneas de absorci´on correspondientes al hierro en WASP-76b, lo que podr´ıa indicar lluvias de hierro al condensarse (Ehrenreich et al. 2020). -Dispersi´on Rayleigh. Debido a la dispersi´on que sufren los rayos de luz que atraviesan la atm´osfera del exoplaneta, la radiaci´on “azul” suele ser fuertemente absorbida, lo que provoca fuertes l´ıneas en el espectro del azul visible. Conforme la longitud de onda se va haciendo mayor, este efecto disminuye muy r´apidamente, con lo que s´olo es notable cuando la longitud de onda es corta (por ejemplo, Lecavelier des Etangs 2008). Esto confiere al espectro una cierta pendiente (v´ease Figura 4.21). En los planetas gigantes, la dispersi´on Rayleigh es generalmente causada por el H2, que es el gas predominante, pero tambi´en se puede producir dispersi´on Rayleigh en una atm´osfera en la que existan aerosoles como las llamadas “neblinas” (hazes)19. Espectro de transmisi´on de los exoplanetas tipo Tierra Estudiar el espectro de transmisi´on de un exoplaneta tipo Tierra es, como ya hemos comentado arriba, mucho m´as dif´ıcil que el espectro de transmisi´on de un J´upiter caliente. De hecho, el exoplaneta m´as parecido a la Tierra en el cual se ha detectado una atm´osfera es GJ 1132b, cuya masa y radio son 1,6M⊕ y 1,2R⊕, respectivamente (Berta-Thompson et al. 2015). Desgraciadamente, no se encontraron l´ıneas de absorci´on en su espectro de transmisi´on, con lo que estudiar su atm´osfera se hace pr´acticamente imposible (Diamond-Lowe et al. 2018). 19Se llaman aerosoles a las part´ıculas s´olidas o liquidas suspendidas en un medio gaseoso; en este caso, la atm´osfera. Los aerosoles se dividen en nubes y neblinas. El criterio por el cual diferenciaremos nubes de neblinas es el utilizado en Sing et al. (2016), donde las nubes se definen como una fuente de opacidad gris, la cual se produce en todas las longitudes de onda (ver Secci´on anterior), mientras que las neblinas se definen como una fuente de opacidad que se comporta igual que la dispersi´on Rayleigh, actuando primordialmente sobre las longitudes de onda cortas (v´ease Figura 4.21). 260 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Si utilizamos como modelo de referencia el espectro de transmisi´on de la Tierra, deducimos que se pueden presentar, en el espectro de transmisi´on de un exoplaneta tipo Tierra, alguno de los siguientes fen´omenos: - Ausencia de l´ıneas de absorci´on de metales alcalinos (Na, K, etc.). - Ausencia de l´ıneas de absorci´on del nitr´ogeno molecular (N2), pese a ser, presumiblemente, el gas predominante en la atm´osfera de los exoplanetas similares a la Tierra (Ehrenreich et al. 2006b). En cambio, las l´ıneas de absorci´on del ´oxido de nitr´ogeno (N2O) suelen aparecer en la banda infrarroja (por ejemplo, Kaltenegger et al. 2010), aunque en concentraciones iguales a las de la atm´osfera terrestre actual, estas l´ıneas pueden no ser detectables (Rugheimer et al. 2013). - L´ıneas de absorci´on del metano (CH4), del vapor de agua o del di´oxido de carbono (CO2) (Kaltenegger et al. 2010). - L´ıneas de absorci´on del ox´ıgeno (O2) o incluso del ozono (O3) (Kaltenegger et al. 2010). Dichos compuestos, si son detectables, podr´ıan indicar la presencia de vida, puesto que se pueden haber producido mediante procesos bi´oticos, lo que se llama biomarcadores20. Otro tipo de biomarcadores potencialmente detectables en el espectro son el cloruro de metilo (CH3Cl) y el ya mencionado ´oxido de nitr´ogeno (Schwieterman et al. 2018), aunque la presencia de ambos es m´as favorable en sistemas extrasolares con estrellas con bajos niveles de radiaci´on ultravioleta, como las tipo M (Seager et al. 2013;Segura et al. 2005). En la Secci´on siguiente profundizaremos en el estudio de los biomarcadores. - Al igual que en los J´upiter calientes, se espera que exista dispersi´on Rayleigh, inducida tanto por los gases atmosf´ericos predominantes como por ae20El O2y O3, por s´ı solos, no tienen por qu´e tener un origen bi´otico, sin embargo, si encontramos en nuestro espectro fuertes l´ıneas de absorci´on de estos elementos y de otros gases fuertemente reactivos con el ox´ıgeno, como el metano, significar´ıa que existe una fuente bi´otica la cual repone dicha cantidad de ox´ıgeno (Rugheimer et al. 2013). En Kaltenegger (2010), por ejemplo, se hace la distinci´on entre biomarcadores y bioindicadores, donde el primero hace referencia a las especies que apuntan a una fuente bi´otica (CH4+O3, CH4+O2), mientras que el segundo indica ciertos componentes qu´ımicos con un posible origen bi´otico pero que tambi´en se pueden producir por fen´omenos f´ısicos (ox´ıgeno, ozono, metano...). Nosotros utilizaremos la definici´on de biomarcadores utilizada en Schwieterman et al. (2018), la cual engloba todos las especies qu´ımicas cuya presencia pueda indicar origen biol´ogico, e incluiremos los bioindicadores en la definici´on de biomarcadores. 261 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites Figura 4.21: Espectro de transmisi´on para varios J´upiter calientes. Se indican las l´ıneas de absorci´on del sodio, del potasio y del vapor de agua. Se puede apreciar como, en la banda del azul visible, todos los exoplanetas presentan una “pendiente”(0,3−0,6µm, aproximadamente), la cual se atribuye a la dispersi´on Rayleigh. No obstante, hay algunos como WASP-6b o HD 189733b cuya pendiente se prolonga m´as all´a incluso del espectro visible, lo que puede indicar presencia de neblinas. De igual modo, se puede apreciar como los picos del sodio de WASP-6b, WASP-12b y HD 189733b son d´ebiles o casi inexistentes, lo que puede indicar la presencia de nubes, causando extinci´on en dichos exoplanetas. Los espectros est´an ordenados de mayor radiaci´on roja (espectros superiores) a mayor radiaci´on azul (espectros inferiores), dependiendo si las altitudes relativas son mayores en el espectro azul o en el espectro rojo. Cr´edito a Sing et al. (2016). 262 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad rosoles, ya que se cree que las neblinas son frecuentes en la atm´osfera de los exoplanetas tipo Tierra (Robinson 2017). En todo caso, el estudio de la espectroscop´ıa de transmisi´on de los exoplanetas tipo Tierra est´a todav´ıa en desarrollo y sus atm´osferas pueden ser muy diversas. Futuras observaciones ser´an necesarias para detectar atm´osferas de exoplanetas tipo Tierra en la HZ de estrellas como el Sol, en las cuales el tr´ansito es muy poco probable. Figura 4.22: Espectro de transmisi´on te´orico de un planeta tipo Tierra sin nubes transitando una estrella tipo solar, con (l´ınea negra) y sin (l´ınea roja) refracci´on. Imagen adaptada de B´etr´emieux & Kaltenegger (2014). A continuaci´on, es necesario considerar c´omo afecta la presencia de aerosoles a las l´ıneas de absorci´on del espectro de transmisi´on. Como hemos visto m´as arriba, los aerosoles son una importante fuente de opacidad, por lo que puede debilitar las l´ıneas de absorci´on de nuestro espectro y, por consiguiente, dificultarnos la detecci´on de elementos qu´ımicos favorables para la vida (Fortney 2005;Kreidberg et al. 2014;Knutson et al. 2014;Robinson et al. 2014). Este fen´omeno se conoce como extinci´on, y limita significativamente la 263 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites sensibilidad de la espectroscop´ıa de tr´ansito (Figura 4.21). D´ebiles lineas de absorci´on debido a aerosoles podr´ıan, por tanto, confundirse con poca abundancia del elemento en cuesti´on. De hecho, se predice que los J´upiter calientes deben tener grandes cantidades de vapor de agua en su atm´osfera, con lo que la detecci´on de d´ebiles l´ıneas de absorci´on del H2O en dichos exoplanetas debe asociarse a la presencia de aerosoles (Sing et al. 2016). Otro fen´omeno a considerar en nuestro espectro es la refracci´on, debido al cual los rayos que atraviesan regiones m´as densas de la atm´osfera pueden ser suficientemente desviados como para escapar fuera del disco estelar (B´etr´emieux & Kaltenegger 2014; Figura 4.18). Dicha desviaci´on provoca, al igual que los aerosoles, una relajaci´on de los picos de absorci´on (Figura 4.22). 4.4.2.3. Caracterizaci´on de atm´osferas de exosat´elites Debido a las dificultades que presenta la detecci´on de exosat´elites por medio de la curva de luz (Secci´on 1.2.2), analizar el espectro de transmisi´on de un supuesto exosat´elite tipo Tierra, o mismo una super-Tierra, se encuentra, a d´ıa de hoy, con demasiados problemas como para ser viable. Primero tendr´ıamos que analizar la curva de luz cuando el supuesto exosat´elite transita la estrella. A´un asumiendo que, ciertamente, se trata de un exosat´elite, lo cual a´un no se puede confirmar al 100 % (V´ease la Tabla 1.1 o la Introducci´on), nuestro fot´ometro tendr´ıa que contar con la sensibilidad suficiente para apreciar diferencias notables en la curva de luz de las distintas longitudes de onda. Incluso si todo este escenario hipot´etico fuera posible, necesitar´ıamos todav´ıa mayor sensibilidad para detectar las d´ebiles l´ıneas de absorci´on provocadas por la presencia de aerosoles que, con toda seguridad, se presentar´ıan en el exosat´elite. Concluimos, por tanto, que hasta que no se lleguen a resultados satisfactorios en lo que se refiere a la detecci´on de un exosat´elite, no es posible el tratamiento de su espectroscop´ıa de transmisi´on y, por tanto, la investigaci´on de su atm´osfera21. En Kipping et al. (2009) se tiene en cuenta la posibilidad de estudiar la espectroscop´ıa de transmisi´on de un supuesto exosat´elite con masa 0,2M⊕que se encontrase en un sistema que constase de un exoplaneta y de una estrella tipo M2V a 10 pc del observador. Se llega a la conclusi´on que, si dicho exosat´elite fuese detectable, su magnitud aparente ser´ıa 5,5 en la banda infrarroja, por lo que tendr´ıa el mismo brillo que HD 189733, y su atm´osfera podr´ıa ser 21No tenemos en cuenta ni el espectro de emisi´on ni de reflexi´on del exosat´elite, ya que esos ser´ıan incluso m´as dif´ıciles de estudiar. 264 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad detectada gracias al telescopio James Webb despu´es de contar con los datos de 30 tr´ansitos. As´ı pues, se esperan resultados prometedores en lo que refiere al futuro descubrimiento de atm´osferas en exoplanetas y exosat´elites. 4.4.2.4. Biomarcadores En esta Secci´on profundizaremos en los distintos biomarcadores que se pueden presentar en el espectro de transmisi´on de un exoplaneta tipo Tierra. Para ello, usaremos como referencia los biomarcadores presentes en la atm´osfera de nuestro planeta (Seager 2013;Des Marais et al. 2002): - O2y O3(ozono). El oxigeno molecular presente en grandes cantidades indica actividad fotosint´etica en la Tierra. El ozono se forma a partir del ox´ıgeno, gracias a la energ´ıa proveniente de la radiaci´on solar (Chapman 1930). - Metano (CH4). Ciertos organismos metan´ogenos obtienen energ´ıa mediante la producci´on de metano (Haqq-Misra et al. 2008;Seager & Deming 2010), por lo que la presencia de ´este en la atm´osfera de un exoplaneta tipo Tierra podr´ıa indicar la presencia de vida22. Ya hemos apuntado, no obstante, que el metano se puede producir abi´oticamente, siendo una de sus posibles fuentes abi´oticas en la Tierra el vulcanismo (por ejemplo, Schindler & Kasting 2000). Figura 4.23: Espectro de transmisi´on de la Tierra (Kaltenegger & Traub 1999). Los elementos qu´ımicos O2, O3, CO2, CH4y H2O son detectados en el espectro. 22Dicha concentraci´on de metano podr´ıa ser mucho mayor en un exoplaneta joven, al igual que sucedi´o en la Tierra en su momento (Haqq-Misra et al. 2008;Seager & Deming 2010). 265 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites - El ´oxido de nitr´ogeno (N2O), el cual proviene de la acci´on bacteriana y, en menor medida, de la actividad del hombre (Rugheimer et al. 2013). No es detectable en el espectro de transmisi´on de la Tierra (Figura 4.23), debido a la baja abundancia del componente en la atm´osfera, lo que provoca que las l´ıneas de absorci´on sean indetectables. - Cloruro de metilo (CH3Cl). Las principales fuentes de este componente qu´ımico en la atm´osfera de la Tierra son predominantemente bi´oticas: organismos marinos, quema de biomasa, o reacciones de la luz solar con la espuma del mar (Segura et al. 2005). Su concentraci´on en la atm´osfera es muy peque˜na, por lo que tampoco aparece en el espectro de transmisi´on de la Tierra. - Amoniaco (NH3). El amoniaco en la Tierra tiene, mayoritariamente, origen biol´ogico (Claudi & Alei 2019). Su concentraci´on en la atm´osfera es, por otro lado, muy peque˜na, ya que se cree que su tiempo de vida es muy corto debido a la radiaci´on UV (Kaltenegger et al. 2010). - Trazas de diversos gases que involucran el azufre, como el dimetilsulfuro ((CH2)3S), el dimetilsulf´oxido ((CH3)2SO2) o el metanotiol (CH4S) (Claudi & Alei 2019). Obviamente tampoco aparecen en el espectro de transmisi´on de la Tierra. - Se ha discutido la posibilidad de la fosfina (PH3) como un posible biomarcador, puesto que varias fuentes apuntan a que la presencia de este gas en planetas rocosos tiene origen ´unicamente bi´otico (Pasek et al. 2014;Bains et al. 2019). Sin embargo, debido al reciente descubrimiento de este gas en las capas interiores de la atm´osfera de Venus, se plante´o un debate sobre si la fosfina es realmente un indicador de vida, lo que confirmar´ıa la presencia de vida en Venus, o si en realidad puede tener otros or´ıgenes (por ejemplo, Sousa-Silva et al. 2020). De todas maneras, no se conocen organismos capaces de producir directamente fosfina, y podr´ıa ser que la producci´on de este compuesto en Venus se llevase a cabo mediante reacciones qu´ımicas todav´ıa desconocidas (Greaves et al. 2020). Por ello, la clasificaci´on de la fosfina como biomarcador est´a, a d´ıa de hoy, puesta en duda. Adem´as, resulta interesante estudiar si la poluci´on antropog´enica, la cual es indicativa no solo de vida, sino de vida inteligente, puede ser detectable en el espectro de transmisi´on de un cierto exoplaneta. Si fuera posible, podr´ıamos concluir, con cierta seguridad, que dicho exoplaneta es habitable y que alberga vida. En la literatura, no obstante, se descarta esa posibilidad, bas´andose en 266 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad la baja abundancia de gases CFC como el cloroflurometano en la atm´osfera de la Tierra (Des Marais et al. 2002;Selsis et al. 2002,Kaltenegger et al. 2010; Kaltenegger 2017; etc.). En Lin et al. (2014), desarrollando la idea presentada en Owen (1980), se investiga la detecci´on de l´ıneas de absorci´on de los CFCs, centr´andose en los tipos de CFCs m´as f´aciles de detectar: los fluorocarbonos (CF4) y los triclorofluorometanos (CCl3F) (Claudi & Alei 2019), y llegan a la conclusi´on de que las principales l´ıneas de absorci´on del CF4y del CCl3F podr´ıan ser detectadas en un futuro con el telescopio James Webb, siempre y cuando la estrella fuera una enana blanca y que la concentraci´on de CFCs en la atm´osfera de dicho exoplaneta fuese 10 veces mayor que en la de la Tierra. No hemos incluido como biomarcadores ni el CO2ni el H2O, puesto que se encuentran con abundancia tanto en exoplanetas aptos para la vida como en J´upiter calientes, pero no por ello debemos olvidar la importancia que ambos tienen para la vida, sobre todo el segundo. 4.4.3. Caracterizaci´on de oc´eanos interiores Existen cuerpos en el Sistema Solar que, pese a estar fuera de la zona habitable y por ende no contar con agua superficial, presentan ciertos oc´eanos en su interior, debido a que el hielo de sus mantos se calienta a causa del calentamiento de marea y, en menor medida, del calor radiog´enico y del calor proveniente de la formaci´on del cuerpo (v´ease Secci´on 4.3.2). Dichos cuerpos incluyen: los sat´elites galileanos excepto ´ Io (Spohn & Schubert 2003), Trit´on (Masters et al. 2014;Gaeman et al. 2012), Plut´on (Robuchon & Nimmo 2011), Enc´elado (por ejemplo, Thomas et al. 2016) o Ceres23 (McCord & Sotin 2005), aunque, en este ´ultimo, su mayor fuente de calor interno es el calor radiog´enico, puesto que no existen cuerpos lo suficientemente masivos su vecindad como para que sus fuerzas de marea influyan en el calor de su interior. De igual manera, asumimos que los exoplanetas que se encuentren m´as all´a de la l´ınea de hielo de su estrella han de contar con una gran cantidad de hielo en su interior. Adem´as, puede suceder que un exoplaneta que se hubiera formado m´as all´a de la l´ınea de hielo de la estrella hubiera migrado hacia ella, encontr´andose, hoy en d´ıa, dentro de ella. Un ejemplo de ello lo tenemos en TRAPPIST-1 23Todos estos cuerpos se sit´uan por detr´as de la l´ınea de hielo del Sol: 2,7 u.a. Se denomina as´ı a la distancia a partir de la cual el hielo presente en el Sistema Solar primigenio no era vol´atil y se pod´ıan formar cuerpos con una gran cantidad de ´este (Lecar et al. 2006). Es por ello que Ceres, Europa o Gan´ımedes presentan enormes capas de hielo presurizado en su interior. Curiosamente, el semieje de la ´orbita de Ceres se encuentra muy cerca de la l´ınea de hielo: 2,77 u.a. 267 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites podremos integrar (4.19)y(4.20), para as´ı expresar el radio en funci´on de la masa. Las composiciones tratadas en Zeng & Sasselov (2013) son: 1. 100 % hierro. 2. 50 % hierro y 50 % MgSiO3(roca). Este tipo de planetas poseen un n´ucleo ferroso y un manto rocoso, teniendo el n´ucleo la mitad de la masa total del planeta. Se toma la perovskita (MgSiO3) para identificar la cantidad de roca que hay en un exoplaneta porque es el silicato predominante en el manto de la Tierra (por ejemplo, Tschauner et al. 2014). 3. 100 % roca. 4. 50 % H2O (hielo) y 50 % roca. Estos planetas tienen una corteza helada o l´ıquida, dependiendo si el exoplaneta se encuentra en la HZ de la estrella, un manto superior de hielo y un manto inferior de roca. El hielo del manto y de la corteza conforman el 50 % de la masa total del exoplaneta. Se llama planeta oc´eano27 a un planeta cuyo H2O constituye m´as de un 25 % de la masa total del exoplaneta (Seager et al. 2007). 5. 75 % hielo y 25 % roca. La corteza y el manto formados por H2O conforman el 75 % de la masa total del exoplaneta. El resto del manto est´a formado por roca. 6. 100 % hielo. No tenemos en cuenta exoplanetas gaseosos o que tengan una gran envoltura gaseosa, como los exoplanetas tipo Neptuno. La Figura 4.28 muestra las curvas masa-radio para todos los tipos de exoplanetas que hemos tratado arriba, seg´un el modelo de Zeng & Sasselov (2013). La Tierra y Venus se hallan entre las curvas de los planetas 100 % rocosos y de los planetas con un 50 % de hierro, lo cual nos indica que ambos poseen un n´ucleo de hierro importante. N´otese que las curvas no se intersecan, por lo que, si pudi´esemos calcular con suficiente precisi´on la masa y el radio del 27Se supone que un planeta oc´eano tambi´en consta de un n´ucleo ferroso (ver Figura 4.27), pero aqu´ı consideraremos que su masa es despreciable en todos los casos. 274 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Figura 4.27: Composici´on interna de un planeta oc´eano y de un planeta tipo Tierra (Sotin et al. 2007). exoplaneta/exosat´elite, eso nos dar´ıa inequ´ıvocamente su composici´on. En la pr´actica, por desgracia, no contamos con la precisi´on suficiente, con lo que tenemos un error considerable en el radio y, puesto que las curvas son muy sensibles a ´el, exoplanetas como Kepler-11b o Kepler-20c no pueden ser asignados a una ´unica composici´on. De igual manera, no podemos asignar una ´unica composici´on a la super-Tierra GJ 1214, la cual parece poseer un radio superior a lo que predicen las curvas de masa-radio para los exoplanetas s´olidos. Eso puede indicar, quiz´as, que este exoplaneta cuenta con una gran envoltura de hidr´ogeno-helio que hace que su radio sea mayor, aun sin ser un exoplaneta gaseoso de por s´ı (tal y como corroboran Miller-Ricci & Fortney 2010). Este hecho concuerda con la literatura, donde se estima que, si un exoplaneta tiene masa menor que 15M⊕, debe ser s´olido (Wuchterl et al. 2000). Si logr´asemos detectar un exosat´elite y calcular con suficiente precisi´on su masa y radio, podr´ıamos, por tanto, estudiar su composici´on y analizar cu´an parecido es a la Tierra, si puede albergar un oc´eano, etc. A d´ıa de hoy, los m´etodos de detectar exosat´elites propuestos (Secci´on 1.2) podr´ıan, en teor´ıa, determinar su radio (Secci´on 1.2.2;2.3.2.2) y su masa (Secci´on 1.2.3;2.3.3.1). 275 Secci´on 4.4. T´ecnicas para la b´usqueda de vida en exoplanetas/exosat´elites Figura 4.28: Curvas masa-radio para cada composici´on de un exoplaneta s´olido. Tambi´en aparecen como ejemplos algunos exoplanetas (c´ırculos negros), cuyas barras horizontales indican el error en la masa y barras verticales indican el error en el radio. Estos exoplanetas son Kepler-10b (Batalha et al. 2011), Kepler-11b,f (Lissauer et al. 2011), Kepler-18b (Cochran et al. 2011), Kepler-36b (Carter et al. 2012) y Kepler-20b,c,d (III et al. 2012). Las flechas horizontales de los exoplanetas Kepler-22b, Kepler-21b y Kepler-20b indican el l´ımite inferior y superior de la masa. Por ejemplo, para Kepler-21b, estos son 4 y 10,4M⊕, respectivamente (Howell et al. 2012). Imagen adaptada de Zeng & Sasselov (2013). 276 Cap´ıtulo 4. Habitabilidad Aguardemos a que las t´ecnicas de observaci´on sean capaces, en un futuro, de proporcionamos la informaci´on necesaria para verificar todos los resultados te´oricos aportados hasta la fecha. 4.5. Comentarios al Cap´ıtulo 4 En este Cap´ıtulo ha quedado de manifiesto que estudiar la habitabilidad de los exoplanetas es, hoy en d´ıa, una tarea realmente complicada, y m´as a´un si hablamos de exosat´elites, cuya existencia, aunque la suponemos, ni siquiera hemos podido confirmar. La mejor herramienta con la que contamos actualmente es la espectroscop´ıa de transmisi´on, la cual permite el estudio de las atm´osferas de exoplanetas. Sin embargo, el instrumental todav´ıa no cuenta con la precisi´on suficiente, por lo que s´olo es posible el estudio de atm´osferas de exoplanetas muy calientes, donde la vida est´a totalmente descartada. Se espera que el telescopio James Webb, en los pr´oximos a˜nos, logre estudiar las atm´osferas de exoplanetas tipo Tierra. Otras t´ecnicas, como la caracterizaci´on de oc´eanos sobre la superficie de exoplanetas/exosat´elites tipo Tierra son impracticables hoy en d´ıa, aunque hay ciertos proyectos de cara al futuro (como el telescopio ATLAST, previsto para 2039) y, si la tecnolog´ıa evoluciona lo suficiente, quiz´as alg´un d´ıa podamos llegar a estudiar incluso los oc´eanos interiores de exoplanetas y exosat´elites. Aun con estas dificultades, lo que podemos hacer es analizar los factores astrodin´amicos que condicionan la habitabilidad de un exosat´elite, tales como las fuerzas de marea que ejerce el exoplaneta sobre ´el o las perturbaciones gravitatorias provocadas por otros cuerpos presentes en el sistema planetario, como la propia estrella. Dichos factores pueden, en algunos casos, facilitar su habitabilidad. Conforme los m´etodos de detecci´on de exoplanetas/exosat´elites se hagan m´as precisos, podremos calcular con mayor exactitud tanto su masa como su radio, y ello nos ayudar´a, al mismo tiempo, a determinar su composici´on, gracias a la relaci´on masa-radio. 277 Conclusiones El estudio de los exoplanetas y exosat´elites es, a d´ıa de hoy, un campo en desarrollo. Miles de exoplanetas se han descubierto y cientos se siguen descubriendo cada a˜no, gracias a misiones espaciales como Kepler, CoRoT o TESS, y a receptores como ESPRESSO, HATNET o CARMENES, acoplados a telescopios en tierra. Los exosat´elites, por otro lado, siguen sin ser confirmados al 100 %, aunque se han propuesto ciertos candidatos, como los mencionados en la Introducci´on de este trabajo. As´ı, las Conclusiones finales que podemos sacar de esta Tesis son las siguientes: 1. Todas las t´ecnicas que se han propuesto para el descubrimiento de un exosat´elite en un futuro, puede que inmediato, presentan ciertos inconvenientes (ver Tabla 1.1). Respecto al m´etodo de tr´ansitos, hemos hecho un an´alisis exhaustivo de la curva de luz te´orica que se le presume a un sistema exoplaneta + exosat´elite, para con ello distinguirlo de otros casos, como exoplaneta con anillos, o exoplaneta cuya estrella cuenta con una mancha solar. En efecto, todos estos fen´omenos son, a priori, discernibles entre s´ı. 2. El procedimiento para detectar exoplanetas y exosat´elites (Cap´ıtulo 2) consiste en el ajuste de m´ınimos cuadrados de un modelo a las observaciones obtenidas. En vez de utilizar c´alculos estad´ısticos excesivamente complicados, hemos implementado algoritmos de optimizaci´on globales (por ejemplo, el m´etodo de evoluci´on diferencial) que, combinados con algoritmos de optimizaci´on cuasi-local (como el Basin-hopping) permiten, por un lado, un excelente ajuste incluso cuando el modelo elegido cuenta con muchos par´ametros y, por otro lado, una enorme flexibilidad a la hora de su implementaci´on, la cual no depende del modelo. A la 279 Conclusiones hora de aplicar dichos algoritmos al caso del exosat´elite, hemos determinado que es preferible tener una muestra poco numerosa a una con m´as observaciones pero con errores grandes. As´ı, una mayor precisi´on fotom´etrica, tengamos pocas observaciones o no, siempre favorecer´a la futura detecci´on de un exosat´elite. 3. Es importante tener en cuenta las fuerzas de marea a la hora de analizar la ´orbita de un exosat´elite con respecto a su exoplaneta, ya que estas provocan que la excentricidad se reduzca y que su semieje disminuya o aumente, dependiendo de la rotaci´on del exoplaneta (Secci´on 3.1.2). La perturbaci´on gravitatoria de la estrella puede compensar este efecto, haciendo que ambos elementos orbitales tengan una evoluci´on peri´odica. 4. Tal y como hemos probado, en los sistemas de una sola estrella con varios exoplanetas, la interacci´on que se produce entre ellos (planet-planet scattering) suele incrementar la excentricidad de sus ´orbitas, disminuir levemente su semieje o incluso, hacer que alguno de ellos sea expulsado (v´ease la Secci´on 3.2). En este escenario, los exosat´elites no suelen sobrevivir. Es por ello que, si la excentricidad de un exoplaneta es grande, es muy probable que no albergue ning´un exosat´elite, a no ser que lo(s) haya capturado a posteriori. Adem´as, existe la posibilidad de que los exoplanetas supervivientes tengan un semieje menor, lo que facilitar´ıa su detecci´on. 5. Hemos realizado un exhaustivo estudio de la estabilidad de las ´orbitas de exoplanetas/exosat´elites en distintos escenarios de sistemas estelares m´ultiples. Una vez establecida la regi´on de estabilidad, y asumiendo que el exoplaneta/exosat´elite se encuentra en ella, investigamos su din´amica, en concreto la evoluci´on tanto de la excentricidad como del semieje de sus ´orbitas. Tanto en sistemas de estrellas binarias como en sistemas triples, observamos c´omo, en general, los exosat´elites cuentan con variaciones menores en su excentricidad y semieje orbitales que las que se aprecia en la ´orbita del exoplaneta (ver Secciones 3.3 y3.4). 6. Las perturbaciones a largo plazo que tienen lugar en los sistemas con exoplanetas y exosat´elites cuyas ´orbitas se encuentran considerablemente inclinadas entre s´ı causan grandes oscilaciones en su excentricidad e inclinaci´on. Estas oscilaciones se ven exacerbadas con la presencia de un cuarto cuerpo, sobre todo cuando su ´orbita se encuentra igualmente muy inclinada con respecto a las anteriores. 280 Conclusiones 7. De entre todas la herramienta matem´aticas utilizadas a lo largo de este estudio fue, sin duda, el integrador num´erico TIDES el m´as utilizado, puesto que es el que mejores resultados ha proporcionado en lo que se refiere a la integraci´on de las ecuaciones del problema de ncuerpos. Achacamos dicho ´exito al m´etodo en el que se basa, el cual consiste en el c´alculo de derivadas sucesivas a trav´es de lo que se conoce como diferenciaci´on autom´atica (ver Secci´on 0.1). 8. Estudiar la habitabilidad de los exoplanetas/exosat´elites es una tarea extraordinariamente complicada, puesto que la tecnolog´ıa necesaria se encuentra muy por delante de lo que disponemos hoy en d´ıa. A´un as´ı, proponemos ciertas t´ecnicas para aplicar en un futuro (Secci´on 4.4), y analizamos c´omo la Astrodin´amica influye en la habitabilidad de los exoplanetas y exosat´elites, por ejemplo a trav´es del calentamiento de marea (Secci´on 4.3.2), el cual puede condicionar seriamente la habitabilidad de un exosat´elite. 9. La Tesis, aunque desarrollada fundamentalmente desde el ´ambito de la Astrodin´amica, abarca tambi´en otras ´areas de conocimiento como las Matem´aticas, la F´ısica, la Qu´ımica y la Biolog´ıa. 281 Bibliograf´ıa Abad, A., Barrio, R., Blesa, F., and Rodriguez, M. (2011). TIDES tutorial: Integrating ODEs by using the Taylor Series Method. Monograf´ıas de la Real Academia de Ciencias Exactas, F´ısicas, Qu´ımicas y Naturales de Zaragoza, 36:1–116. Abad, A., Barrio, R., Blesa, F., and Rodr´ıguez, M. (2012). Algorithm 924: TIDES, a Taylor series integrator for differential equations. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 39(1):1–28. Abad, A., Barrio, R., Marco-Buzunariz, M., and Rodr´ıguez, M. (2015). Automatic implementation of the numerical Taylor series method: a Mathematica and Sage approach. Applied Mathematics and Computation, 268:227–245. Abad, A. and Docobo, J. A. (1987). The application of hierarchical relative coordinates to the analysis of the movement of subsystems of many-body problems. Celestial mechanics, 41(1-4):333–342. Abad, A., Docobo, J. A., and Elipe, A. (2018). Curso de astronom´ıa (2 ª edici´on). Colecci´on de Textos Docentes, n º 84. Prensas de la Universidad de Zaragoza. Abad, A. J. and Ribera, J. (1984). Publicaciones del Seminario Matem´atico Garc´ıa de Galdeano. II (2)-3 (Zaragoza, Spain: Universidad de Zaragoza), 1. Acu˜na, M. H., Connerney, J. E. P., Wasilewski, P., Lin, R. P., Anderson, K. A., Carlson, C. W., McFadden, J., Curtis, D. W., Mitchell, D., Reme, H., Mazelle, C., Sauvaud, J. A., d’Uston, C., Cros, A., Medale, J. L., Bauer, S. J., Cloutier, P., Mayhew, M., Winterhalter, D., and Ness, N. F. (1998). Magnetic field and plasma observations at Mars: Initial results of the Mars Global Surveyor mission. Science, 279(5357):1676–1680. 283 Bibliograf´ıa ELODIE metallicity-biased search for transiting hot jupiters-II. a very hot jupiter transiting the bright k star HD 189733. Astronomy & Astrophysics, 444(1):L15–L19. Bramich, D. and Nielsen, M. B. (2018). An almanac of predicted microlensing events for the 21st century. Astronomy & Astrophysics. Breuer, D., Labrosse, S., and Spohn, T. (2010). Thermal evolution and magnetic field generation in terrestrial planets and satellites. Space Science Reviews, 152(1-4):449–500. Bryson, S. T., Jenkins, J. M., Gilliland, R. L., Twicken, J. D., Clarke, B., Rowe, J., Caldwell, D., Batalha, N., Mullally, F., Haas, M. R., and Tenenbaum, P. (2013). Identification of background false positives from Kepler data. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 125(930):889. Burns, J. A. (1973). Where are the satellites of the inner planets? Nature Physical Science, 242(115):23–25. Busetti, F., Beust, H., and Harley, C. (2018). Stability of planets in triple star systems. Astronomy & Astrophysics, 619:A91. Busetti, F. R. (2018). Stability of planets in triple star systems. PhD thesis, Johannesburg, SA: University of the Witwatersrand. Butler, R. P., Marcy, G. W., Fischer, D. A., Brown, T. M., Contos, A. R., Korzennik, S. G., Nisenson, P., and Noyes, R. W. (1999). Evidence for Multiple Companions to υAndromedae. The Astrophysical Journal, 526(2):916–927. Cabrera, J. and Schneider, J. (2007). Detecting companions to extrasolar planets using mutual events. Astronomy & Astrophysics, 464(3):1133–1138. Cabrera, J., Barros, S. C. C., Armstrong, D., Hidalgo, D., Santos, N. C., Almenara, J. M., Alonso, R., Deleuil, M., Demangeon, O., D´ıaz, R. F., Lendl, M., Pfaff, J., Rauer, H., Santerne, A., Serrano, L. M., and Zucker, S. (2017). Disproving the validated planets K2-78b, K2-82b, and K2-92b-The importance of independently confirming planetary candidates. Astronomy & Astrophysics, 606:A75. Campo, P. (2011). Din´amica de exoplanetas y exosat´elites. Master’s thesis, University of Santiago de Compostela. Campo, P. P. (2019). Dynamics of exoplanets and exosatellites in binaries. PhD thesis, Universidade de Santiago de Compostela. 290 Bibliograf´ıa Campo, P. P. and Docobo, J. A. (2014). Analytical study of a four-body configuration in exoplanet scenarios. Astronomy Letters, 40(11):737–748. Canup, R. M. and Ward, W. R. (2002). Formation of the galilean satellites: Conditions of accretion. The Astronomical Journal, 124(6):3404. Cardoso, J. V. d. M., Hedges, C., Gully-Santiago, M., Saunders, N., Cody, A. M., Barclay, T., Hall, O., Sagear, S., Turtelboom, E., Zhang, J., Tzanidakis, A., Mighell, K., Coughlin, J., Bell, K., Berta-Thompson, Z., Williams, P., Dotson, J., and Barentsen, G. (2018). Lightkurve: Kepler and TESS time series analysis in Python. Astrophysics Source Code Library. Carlos, M., Nissen, P. E., and Mel´endez, J. (2016). Correlation between lithium abundances and ages of solar twin stars. Astronomy & Astrophysics, 587:A100. Carone, L. and P¨atzold, M. (2007). Constraints on the tidal dissipation factor of a main sequence star: The case of OGLE-TR-56b. Planetary and Space Science, 55(5):643–650. Carrera, D., Davies, M. B., and Johansen, A. (2016). Survival of habitable planets in unstable planetary systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 463(3):3226–3238. Carter, J. A., Agol, E., Chaplin, W. J., Basu, S., Bedding, T. R., Buchhave, L. A., Christensen-Dalsgaard, J., Deck, K. M., Elsworth, Y., Fabrycky, D. C., Ford, E. B., Fortney, J. J., Hale, S. J., Handberg, R., Hekker, S., Holman, M. J., Huber, D., Karoff, C., Kawaler, S. D., Kjeldsen, H., Lissauer, J. J., Lopez, E. D., Lund, M. N., Lundkvist, M., Metcalfe, T. S., Miglio, A., Rogers, L. A., Stello, D., Borucki, W. J., Bryson, S., Christiansen, J. L., Cochran, W. D., Geary, J. C., Gilliland, R. L., Haas, M. R., Hall, J., Howard, A. W., Jenkins, J. M., Klaus, T., Koch, D. G., Latham, D. W., MacQueen, P. J., Sasselov, D., Steffen, J. H., Twicken, J. D., and Winn, J. N. (2012). Kepler36: A pair of planets with neighboring orbits and dissimilar densities. Science, 337(6094):556–559. Cassan, A. (2008). An alternative parameterisation for binary-lens causticcrossing events. Astronomy & Astrophysics, 491(2):587–595. Cassidy, T. A., Mendez, R., Arras, P., Johnson, R. E., and Skrutskie, M. F. (2009). Massive satellites of close-in gas giant exoplanets. The Astrophysical Journal, 704(2):1341. 291 Bibliograf´ıa ˇ Cern´y, V. (1985). Thermodynamical approach to the traveling salesman problem: An efficient simulation algorithm. Journal of optimization theory and applications, 45(1):41–51. Chambers, J., Wetherill, G., and Boss, A. (1996). The stability of multi-planet systems. Icarus, 119(2):261–268. Chapman, S. (1930). A theory of upperatmospheric ozone. Mem. Roy. Meteor., 3:103–125. Charbonneau, D., Brown, T. M., Latham, D. W., and Mayor, M. (1999). Detection of planetary transits across a sun-like star. The Astrophysical Journal Letters, 529(1):L45. Charbonneau, D., Brown, T. M., Noyes, R. W., and Gilliland, R. L. (2002). Detection of an extrasolar planet atmosphere. The Astrophysical Journal, 568(1):377. Charpinet, S., Fontaine, G., Brassard, P., Green, E. M., Grootel, V. V., Randall, S. K., Silvotti, R., Baran, A. S., Østensen, R., Kawaler, S. D., and Telting, J. H. (2011). A compact system of small planets around a former red-giant star. Nature, 480:496–499. Chauvin, G., Lagrange, A.-M., Dumas, C., Zuckerman, B., Mouillet, D., Song, I., Beuzit, J.-L., and Lowrance, P. (2004). A giant planet candidate near a young brown dwarf-direct VLT/NACO observations using IR wavefront sensing. Astronomy & Astrophysics, 425(2):L29–L32. Chauvin, G., Lagrange, A.-M., Lacombe, F., Dumas, C., Mouillet, D., Zuckerman, B., Gendron, E., Song, I., Beuzit, J.-L., Lowrance, P., and Fusco, T. (2005). Astrometric and spectroscopic confirmation of a brown dwarf companion to GSC 08047-00232-VLT/NACO deep imaging and spectroscopic observations. Astronomy & Astrophysics, 430(3):1027–1033. Chilcote, J., Barman, T., Fitzgerald, M. P., Graham, J. R., Larkin, J. E., Macintosh, B., Bauman, B., Burrows, A. S., Cardwell, A., Rosa, R. J. D., Dillon, D., Doyon, R., Dunn, J., Erikson, D., Gavel, D., Goodsell, S. J., Hartung, M., Hibon, P., Ingraham, P., Kalas, P., Konopacky, Q., Maire, J., Marchis, F., Marley, M. S., Marois, C., Millar-Blanchaer, M., Morzinski, K., Norton, A., Oppenheimer, R., Palmer, D., Patience, J., Perrin, M., Poyneer, L., Pueyo, L., Rantakyr¨o, F. T., Sadakuni, N., Saddlemyer, L., Savransky, D., Serio, A., Sivaramakrishnan, A., Song, I., Soummer, R., Thomas, S., Wallace, 292 Bibliograf´ıa J. K., Wiktorowicz, S., and Wolff, S. (2014). The first H-band spectrum of the giant planet βPictoris b. The Astrophysical Journal Letters, 798(1):L3. Christiansen, J. L., Clarke, B. D., Burke, C. J., Jenkins, J. M., Barclay, T. S., Ford, E. B., Haas, M. R., Sabale, A., Seader, S., Smith, J. C., Tenenbaum, P., Twicken, J. D., Uddin, A. K., and Thompson, S. E. (2013). Measuring transit signal recovery in the Kepler pipeline. I. Individual events. The Astrophysical Journal Supplement Series, 207(2):35. Clampin, M. (2010). The James Webb Space Telescope and its capabilities for exoplanet science. Proceedings of the International Astronomical Union, 6(S276):335–342. Claret, A. (2000). A new non-linear limb-darkening law for lte stellar atmosphere models. calculations for -5.0 <= log[m/h] <= +1, 2000 k <= teff <= 50000 k at several surface gravities. Astronomy and Astrophysics, 363:1081–1190. Claudi, R. and Alei, E. (2019). Biosignatures Search in Habitable Planets. Galaxies, 7(4):82. Cochran, W. D., Fabrycky, D. C., Torres, G., Fressin, F., D´esert, J.-M., Ragozzine, D., Sasselov, D., Fortney, J. J., Rowe, J. F., Brugamyer, E. J., Bryson, S. T., Carter, J. A., Ciardi, D. R., Howell, S. B., Steffen, J. H., Borucki, W. J., Koch, D. G., Winn, J. N., Welsh, W. F., Uddin, K., Tenenbaum, P., Still, M., Seager, S., Quinn, S. N., Mullally, F., Miller, N., Marcy, G. W., MacQueen, P. J., Lucas, P., Lissauer, J. J., Latham, D. W., Knutson, H., Kinemuchi, K., Johnson, J. A., Jenkins, J. M., Isaacson, H., Howard, A., Horch, E., Holman, M. J., Henze, C. E., Haas, M. R., Gilliland, R. L., III, T. N. G., Ford, E. B., Fischer, D. A., Everett, M., Endl, M., Demory, B.-O., Deming, D., Charbonneau, D., Caldwell, D., Buchhave, L., Brown, T. M., and Batalha, N. (2011). Kepler-18b, c, and d: A system of three planets confirmed by transit timing variations, light curve validation, warm-Spitzer photometry, and radial velocity measurements. The Astrophysical Journal Supplement Series, 197(1):7. Cochran, W. D., Hatzes, A. P., Butler, R. P., and Marcy, G. W. (1997). The discovery of a planetary companion to 16 Cygni B. The Astrophysical Journal, 483(1):457. Cockell, C., Bush, T., Bryce, C., Direito, S., Fox-Powell, M., Harrison, J., Lammer, H., Landenmark, H., Mart´ın-Torres, F. J., Nicholson, N., Noack, 293 Bibliograf´ıa L., O’Malley-James, J., Payler, S., Rushby, A., Samuels, T., Schwendner, P., Wadsworth, J., and Zorzano, M.-P. (2016). Habitability: a review. Astrobiology, 16(1):89–117. Colaprete, A. and Toon, O. B. (2003). Carbon dioxide clouds in an early dense Martian atmosphere. Journal of Geophysical Research: Planets, 108(E4). Counselman III, C. C. (1973). Outcomes of tidal evolution. The Astrophysical Journal, 180:307–316. Cowan, N. B., Abbot, D. S., and Voigt, A. (2012). A false positive for ocean glint on exoplanets: the latitude-albedo effect. The Astrophysical Journal Letters, 752(1):L3. Cowan, N. B. and Agol, E. (2011). The statistics of albedo and heat recirculation on hot exoplanets. The Astrophysical Journal, 729(1):54. Cowan, N. B., Agol, E., Meadows, V. S., Robinson, T., Livengood, T. A., Deming, D., Lisse, C. M., A ' Hearn, M. F., Wellnitz, D. D., Seager, S., and and, D. C. (2009). Alien maps of an ocean-bearing world. The Astrophysical Journal, 700(2):915. Cowan, N. B., Robinson, T., Agol, E., Meadows, V. S., Shields, A. L., Livengood, T. A., Deming, D., A’Hearn, M. F., Wellnitz, D. D., Charbonneau, D., Lisse, C. M., and Seager, S. (2011). Rotational variability of Earth’s polar regions: implications for detecting snowball planets. The Astrophysical Journal, 731(1):76. Crawford, G. D. and Stevenson, D. J. (1988). Gas-driven water volcanism and the resurfacing of Europa. Icarus, 73(1):66–79. Cuntz, M. (2015). S-type and P-type habitability in stellar binary systems: a comprehensive approach. II. Elliptical orbits. The Astrophysical Journal, 798(2):101. Dalton, J., Prieto-Ballesteros, O., Kargel, J., Jamieson, C., Jolivet, J., and Quinn, R. (2005). Spectral comparison of heavily hydrated salts with disrupted terrains on europa. Icarus, 177(2):472–490. Darwin, G. H. (1879a). I. on the bodily tides of viscous and semi-elastic spheroids, and on the ocean tides upon a yielding nucleus. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, pages 1–35. 294 Bibliograf´ıa Darwin, G. H. (1879b). VIII. The determination of the secular effects of tidal friction by a graphical method. Proceedings of the Royal Society of London, 29(196-199):168–181. Darwin, G. H. (1879c). XIII. On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, pages 447–538. Darwin, G. H. (1880). XX. On the secular changes in the elements of the orbit of a satellite revolving about a tidally distorted planet. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, pages 713–891. Davis, R. S. (2017). Determining the value of the fine-structure constant from a current balance: Getting acquainted with some upcoming changes to the SI. American Journal of Physics, 85(5):364–368. de Laplace, P. S. (1780). M´emoire sur la d´etermination des orbites des com`etes. Deeg, H. J. (2002). Detection of terrestrial planets and moons with the photometric transit method. In Earth-like Planets and Moons, volume 514, pages 237–243. Des Etangs, A. L., Pont, F., Vidal-Madjar, A., and Sing, D. (2008). Rayleigh scattering in the transit spectrum of HD 189733b. Astronomy & Astrophysics, 481(2):L83–L86. Des Marais, D. J., Harwit, M. O., Jucks, K. W., Kasting, J. F., Lin, D. N., Lunine, J. I., Schneider, J., Seager, S., Traub, W. A., and Woolf, N. J. (2002). Remote sensing of planetary properties and biosignatures on extrasolar terrestrial planets. Astrobiology, 2(2):153–181. Diamond-Lowe, H., Berta-Thompson, Z., Charbonneau, D., and Kempton, E. M.-R. (2018). Ground-based optical transmission spectroscopy of the small, rocky exoplanet GJ 1132b. The Astronomical Journal, 156(2):42. Dickens, G. R. (2003). A methane trigger for rapid warming? Science, 299(5609):1017. Dobos, V., Orgov´anyi, J., and Nagy, I. (2013). Empirical formulae of temperature and luminosity as functions of mass for calculating the habitable zone. Astronomische Nachrichten, 334(9):1004–1007. 295 Bibliograf´ıa Docobo, J. A. and Andrade, M. (2006a). A methodology for the description of multiple stellar systems with spectroscopic subcomponents. The Astrophysical Journal, 652(1):681. Docobo, J. A. and Andrade, M. (2006b). Satellites around extrasolar planets. Monograf´ıas de la Real Academia de Ciencias Exactas, F´ısicas, Qu´ımicas y Naturales de Zaragoza, pages 95–102. Docobo, J. A., Andrade, M., and Campo, P. (2012a). Guests in double stars. In American Institute of Physics Conference Series, volume 1452, pages 18– 29. Docobo, J. A., Campo, P., and Andrade, M. (2012b). When will we be able to detect exosatellites? In Orbital Couples: Pas de Deux in the Solar System and the Milky Way, pages 77–80. Observatoire de Paris. Docobo, J. A., Piccotti, L., Abad, A., and Campo, P. P. (2021). A Study about the Secular Evolution of the Hierarchical Three-body Problem Using the Numerical Integrator TIDES. The Astronomical Journal, 161(1):43. Docobo, J. A., Tamazian, V. S., Balega, Y. Y., Andrade, M., Schertl, D., Weigelt, G., Campo, P., and Palacios, M. (2008). A methodology for studying physical and dynamical properties of multiple stars. application to the system of red dwarfs gl 22. A&A, 478(1):187–191. Dole, S. H. (1964). Habitable planets for man, New York, Blaisdell Pub. Co.[1964]. Domingos, R., Winter, O., and Yokoyama, T. (2006). Stable satellites around extrasolar giant planets. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 373(3):1227–1234. Dominik, M. (2009). Parameter degeneracies and (un) predictability of gravitational microlensing events. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 393(3):816–821. Donnison, J. (2010). The Hill stability of inclined small mass binary systems in three-body systems with special application to triple star systems, extrasolar planetary systems and Binary Kuiper Belt systems. Planetary and Space Science, 58(10):1169–1179. Donohoe, A. and Battisti, D. S. (2011). Atmospheric and surface contributions to planetary albedo. Journal of Climate, 24(16):4402–4418. 296 Bibliograf´ıa Dougherty, M. K., Grasset, O., Bunce, E., Coustenis, A., Titov, D. V., Erd, C., Blanc, M., Coates, A. J., Coradini, A., Drossart, P., Fletcher, L., Hussmann, H., Jaumann, R., Krupp, N., Prieto-Ballesteros, O., Tortora, P., Tosi, F., van Hoolst, T., and Lebreton, J. P. (2011). JUICE (JUpiter ICy moon Explorer): a European-led mission to the Jupiter system. epsc, 2011:1343. Durand-Manterola, H. J. (2009). Dipolar magnetic moment of the bodies of the solar system and the Hot Jupiters. Planetary and Space Science, 57(12):1405–1411. Dvorak, R. (1982). Planetary orbits in double star systems. Oesterreichische Akademie Wissenschaften Mathematisch naturwissenschaftliche Klasse Sitzungsberichte Abteilung, 191:423–437. Dvorak, R. (1984). Numerical experiments on planetary orbits in double stars. In The Stability of Planetary Systems, pages 369–378. Springer. Dvorak, R. (1986). Critical orbits in the elliptic restricted three-body problem. Astronomy and Astrophysics, 167:379–386. Eaton, J. A. (1993). On the chromospheric structure of Zeta Aurigae. The Astrophysical Journal, 404:305–315. Eggl, S., Pilat-Lohinger, E., Funk, B., Georgakarakos, N., and Haghighipour, N. (2013). Circumstellar habitable zones of binary-star systems in the solar neighbourhood. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 428(4):3104–3113. Eggl, S., Pilat-Lohinger, E., Georgakarakos, N., Gyergyovits, M., and Funk, B. (2012). An analytic method to determine habitable zones for s-type planetary orbits in binary star systems. The Astrophysical Journal, 752(1):74. Ehrenreich, D., Des Etangs, A. L., Beaulieu, J.-P., and Grasset, O. (2006a). On the possible properties of small and cold extrasolar planets: Is OGLE 2005-BLG-390Lb entirely frozen? The Astrophysical Journal, 651(1):535. Ehrenreich, D., Lecavalier Des Etangs, A., Beaulieu, J.-P., and Grasset, O. (2008). Liquid Water on Frozen Extrasolar Planets? ASPC, 398:537. Ehrenreich, D., Lovis, C., Allart, R., Zapatero Osorio, M. R., Pepe, F., Cristiani, S., Rebolo, R., Santos, N. C., Borsa, F., Demangeon, O., Dumusque, X., Gonz´alez Hern´andez, J. I., Casasayas-Barris, N., S´egransan, D., Sousa, S., Abreu, M., Adibekyan, V., Affolter, M., Allende Prieto, C., Alibert, Y., 297 Bibliograf´ıa Aliverti, M., Alves, D., Amate, M., Avila, G., Baldini, V., Bandy, T., Benz, W., Bianco, A., Bolmont, m., Bouchy, F., Bourrier, V., Broeg, C., Cabral, A., Calderone, G., Pall´e, E., Cegla, H., Cirami, R., Coelho, J. M. P., Conconi, P., Coretti, I., Cumani, C., Cupani, G., Dekker, H., Delabre, B., Deiries, S., D’Odorico, V., Di Marcantonio, P., Figueira, P., Fragoso, A., Genolet, L., Genoni, M., G´enova Santos, R., Hara, N., Hughes, I., Iwert, O., Kerber, F., Knudstrup, J., Landoni, M., Lavie, B., Lizon, J.-L., Lendl, M., Lo Curto, G., Maire, C., Manescau, A., Martins, C., M´egevand, D., Mehner, A., Micela, G., Modigliani, A., Molaro, P., Monteiro, M., Monteiro, M., Moschetti, M., M¨uller, E., Nunes, N., Oggioni, L., Oliveira, A., Pariani, G., Pasquini, L., Poretti, E., Rasilla, J. L., Redaelli, E., Riva, M., Santana Tschudi, S., Santin, P., Santos, P., Segovia Milla, A., Seidel, J. V., Sosnowska, D., Sozzetti, A., Span`o, P., Su´arez Mascare˜no, A., Tabernero, H., Tenegi, F., Udry, S., Zanutta, A., and Zerbi, F. (2020). Nightside condensation of iron in an ultrahot giant exoplanet. Nature, 580(7805):597–601. Ehrenreich, D., Tinetti, G., Des Etangs, A. L., Vidal-Madjar, A., and Selsis, F. (2006b). The transmission spectrum of Earth-size transiting planets. Astronomy & Astrophysics, 448(1):379–393. Eiben, A. E. and Smith, J. E. (2003). Introduction to evolutionary computing, volume 53. Springer. Einstein, A. (1907). ¨ Uber das relativit¨atsprinzip und die aus demselben gezogenen folgerungen. Jahrbuch der Rdioaktivitat, 4:411–462. Einstein, A. (1911). ¨ Uber den einfluß der schwerkraft auf die ausbreitung des lichtes. Annalen der Physik, 340(10):898–908. Einstein, A. (1915). Erkl¨arung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativit¨atstheorie. Sitzungsberichte der K¨oniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Gedruckt in der Reichsdruckerei. Eisner, J. A. (2007). Water vapour and hydrogen in the terrestrial-planetforming region of a protoplanetary disk. Nature, 447(7144):562–564. Fanelli, M., Jenkins, J., Bryson, S., Quintana, E., Twicken, J., Wu, H., Tenenbaum, P., Allen, C., Caldwell, D., Chandrasekaran, H., et al. (2011). Kepler Data Processing Handbook. NASA Ames Research Center, Moffett Field. Ferraz-Mello, S., Rodr´ıguez, A., and Hussmann, H. (2008). Tidal friction in close-in satellites and exoplanets: The darwin theory re-visited. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 101(1-2):171–201. 298 Bibliograf´ıa Fischer, D. A., Vogt, S. S., Marcy, G. W., Butler, R. P., Sato, B., Henry, G. W., Robinson, S., Laughlin, G., Ida, S., Toyota, E., Omiya, M., Driscoll, P., Takeda, G., Wright, J. T., and Johnson, J. A. (2007). Five intermediateperiod planets from the N2K sample. The Astrophysical Journal, 669(2):1336. Ford, E., Rasio, F., and Yu, K. (2003). Scientific Frontiers in Research on Extrasolar Planets (ASP Conf. Ser. 294). PhD thesis, ed. D. Deming & S. Seager (San Francisco, CA: ASP), 181. Ford, E. B. and Chiang, E. I. (2007). The formation of ice giants in a packed oligarchy: Instability and aftermath. The Astrophysical Journal, 661(1):602. Ford, E. B., Lystad, V., and Rasio, F. A. (2005). Planet–planet scattering in the upsilon Andromedae system. Nature, 434(7035):873–876. Ford, E. B. and Rasio, F. A. (2008). Origins of eccentric extrasolar planets: Testing the planet-planet scattering model. The Astrophysical Journal, 686(1):621. Ford, E. B., Seager, S., and Turner, E. L. (2001). Characterization of extrasolar terrestrial planets from diurnal photometric variability. Nature, 412(6850):885–887. Forgan, D. and Dobos, V. (2016). Exomoon climate models with the carbonate-silicate cycle and viscoelastic tidal heating. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 457(2):1233–1241. Forgan, D. and Yotov, V. (2014). The effect of planetary illumination on climate modelling of Earth-like exomoons. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 441(4):3513–3523. Fortney, J. J. (2005). The effect of condensates on the characterization of transiting planet atmospheres with transmission spectroscopy. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 364(2):649–653. Fortney, J. J., Marley, M. S., and Barnes, J. W. (2006). Planetary radii across five orders of magnitude in mass and stellar insolation: application to transits. The Astrophysical Journal, 659(2):1661. Fortney, J. J., Marley, M. S., Saumon, D., and Lodders, K. (2008). Synthetic spectra and colors of young giant planet atmospheres: Effects of initial conditions and atmospheric metallicity. The Astrophysical Journal, 683(2):1104. 299 Bibliograf´ıa Horner, J., Hinse, T., Wittenmyer, R., Marshall, J. P., and Tinney, C. (2012). A dynamical analysis of the proposed circumbinary HW Virginis planetary system. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 427(4):2812– 2823. Howell, S. B., Rowe, J. F., Bryson, S. T., Quinn, S. N., Marcy, G. W., Isaacson, H., Ciardi, D. R., Chaplin, W. J., Metcalfe, T. S., Monteiro, M. J. P. F. G., Appourchaux, T., Basu, S., Creevey, O. L., Gilliland, R. L., Quirion, P.- O., Stello, D., Kjeldsen, H., Christensen-Dalsgaard, J., Elsworth, Y., Garc´ıa, R. A., Houdek, G., Karoff, C., Molenda- ˙ Zakowicz, J., Thompson, M. J., Verner, G. A., Torres, G., Fressin, F., Crepp, J. R., Adams, E., Dupree, A., Sasselov, D. D., Dressing, C. D., Borucki, W. J., Koch, D. G., Lissauer, J. J., Latham, D. W., Buchhave, L. A., Gautier, T. N., Everett, M., Horch, E., Batalha, N. M., Dunham, E. W., Szkody, P., Silva, D. R., Mighell, K., Holberg, J., Ballot, J., Bedding, T. R., Bruntt, H., Campante, T. L., Handberg, R., Hekker, S., Huber, D., Mathur, S., Mosser, B., R´egulo, C., White, T. R., Christiansen, J. L., Middour, C. K., Haas, M. R., Hall, J. R., Jenkins, J. M., McCaulif, S., Fanelli, M. N., Kulesa, C., McCarthy, D., and Henze, C. E. (2012). Kepler-21b: A 1.6 R Earth planet transiting the bright oscillating F Subgiant Star HD 179070. The Astrophysical Journal, 746(2):123. Howell, S. B., Sobeck, C., Haas, M., Still, M., Barclay, T., Mullally, F., Troeltzsch, J., Aigrain, S., Bryson, S. T., Caldwell, D., Chaplin, W. J., Cochran, W. D., Huber, D., Marcy, G. W., Miglio, A., Najita, J. R., Smith, M., Twicken, J. D., and Fortney, J. J. (2014). The K2 mission: characterization and early results. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 126(938):398. Huang, S.-S. (1959a). Occurrence of life in the universe. American scientist, 47(3):397–402. Huang, S.-S. (1959b). The problem of life in the universe and the mode of star formation. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 71(422):421–424. Huang, S.-S. (1960). The limiting sizes of the habitable planets, volume 499. National Aeronautics and Space Administration. Hubbard, W. B., Fortney, J., Lunine, J., Burrows, A., Sudarsky, D., and Pinto, P. (2001). Theory of extrasolar giant planet transits. The Astrophysical Journal, 560(1):413. 306 Bibliograf´ıa Hubeny, I., Burrows, A., and Sudarsky, D. (2003). A possible bifurcation in atmospheres of strongly irradiated stars and planets. The Astrophysical Journal, 594(2):1011. Hussmann, H., Spohn, T., and Wieczerkowski, K. (2002). Thermal equilibrium states of Europa’s ice shell: Implications for internal ocean thickness and surface heat flow. Icarus, 156(1):143–151. Hwang, K.-H., Udalski, A., Bond, I. A., Albrow, M. D., Chung, S.-J., Gould, A., Han, C., Jung, Y. K., Ryu, Y.-H., Shin, I.-G., Yee, J. C., Zhu, W., Cha, S.- M., Kim, D.-J., Kim, H.-W., Kim, S.-L., Lee, C.-U., Lee, D.-J., Lee, Y., Park, B.-G., Pogge, R. W., Pawlak, M., Poleski, R., Szyma´nski, M. K., Skowron, J., Soszy´nski, I., Mr´oz, P., Koz lowski, S., Pietrukowicz, P., Ulaczyk, K., Abe, F., Asakura, Y., Barry, R., Bennett, D. P., Bhattacharya, A., Donachie, M., Evans, P., Fukui, A., Hirao, Y., Itow, Y., Kawasaki, K., Koshimoto, N., Li, M. C. A., Ling, C. H., Masuda, K., Matsubara, Y., Miyazaki, S., Muraki, Y., Nagakane, M., Ohnishi, K., Ranc, C., Rattenbury, N. J., Saito, T., Sharan, A., Sullivan, D. J., Sumi, T., Suzuki, D., Tristram, P. J., Yamada, T., Yamada, T., and Yonehara, A. (2018). OGLE-2015-BLG-1459L: The Challenges of Exo-moon Microlensing. The Astronomical Journal, 155(6):259. III, G., Charbonneau, D., Rowe, J. F., Marcy, G. W., Isaacson, H., Torres, G., Fressin, F., Rogers, L. A., D´esert, J.-M., Buchhave, L. A., Latham, D. W., Quinn, S. N., Ciardi, D. R., Fabrycky, D. C., Ford, E. B., Gilliland, R. L., Walkowicz, L. M., Bryson, S. T., Cochran, W. D., Endl, M., Fischer, D. A., Howell, S. B., Horch, E. P., Barclay, T., Batalha, N., Borucki, W. J., Christiansen, J. L., Geary, J. C., Henze, C. E., Holman, M. J., Ibrahim, K., Jenkins, J. M., Kinemuchi, K., Koch, D. G., Lissauer, J. J., Sanderfer, D. T., Sasselov, D. D., Seager, S., Silverio, K., Smith, J. C., Still, M., Stumpe, M. C., Tenenbaum, P., and Cleve, J. V. (2012). Kepler-20: A Sun-like star with three sub-Neptune exoplanets and two Earth-size candidates. The Astrophysical Journal, 749(1):15. Ingber, L. (1993). Simulated annealing: Practice versus theory. Mathematical and computer modelling, 18(11):29–57. Ingber, L. (2000). Adaptive simulated annealing (ASA): Lessons learned. arXiv preprint cs/0001018. Ioannidis, P., Huber, K., and Schmitt, J. (2016). How do starspots influence the transit timing variations of exoplanets? Simulations of individual and consecutive transits. Astronomy & Astrophysics, 585:A72. 307 Bibliograf´ıa Jackson, B., Barnes, R., and Greenberg, R. (2008a). Tidal heating of terrestrial extrasolar planets and implications for their habitability. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 391(1):237–245. Jackson, B., Greenberg, R., and Barnes, R. (2008b). Tidal evolution of closein extrasolar planets. The Astrophysical Journal, 678(2):1396. Jacob, W. S. (1855). On certain Anomalies presented by the Binary Star 70 Ophiuchi. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 15:228. Jheeta, S. (2013). Final frontiers: the hunt for life elsewhere in the Universe. Astrophysics and Space Science, 348(1):1–10. Jim´enez, L., Mu˜noz-Iglesias, M., Fernandez-Remolar, D., and PrietoBallesteros, O. (2012). Raman monitoring of carbonate dissolution/precipitation in a CO2 atmosphere at high pressure. Planetological applications. epsc, pages EPSC2012–435. Jones, H. R., Butler, R. P., Tinney, C. G., Marcy, G. W., Carter, B. D., Penny, A. J., McCarthy, C., and Bailey, J. (2006). High-eccentricity planets from the Anglo-Australian planet search. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 369(1):249–256. Joshi, M., Haberle, R., and Reynolds, R. (1997). Simulations of the atmospheres of synchronously rotating terrestrial planets orbiting M dwarfs: conditions for atmospheric collapse and the implications for habitability. Icarus, 129(2):450–465. Juri´c, M. and Tremaine, S. (2008). Dynamical origin of extrasolar planet eccentricity distribution. The Astrophysical Journal, 686(1):603. Kaltenegger, L. (2000). What does it take for a Moon to Support Life? In Exploration and Utilisation of the Moon, volume 462, page 199. Kaltenegger, L. (2010). Characterizing habitable exomoons. The Astrophysical Journal Letters, 712(2):L125. Kaltenegger, L. (2017). How to characterize habitable worlds and signs of life. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 55:433–485. Kaltenegger, L. and Haghighipour, N. (2013). Calculating the habitable zone of binary star systems. I. S-type binaries. The Astrophysical Journal, 777(2):165. 308 Bibliograf´ıa Kaltenegger, L., Selsis, F., Fridlund, M., Lammer, H., Beichman, C., Danchi, W., Eiroa, C., Henning, T., Herbst, T., L´eger, A., Liseau, R., Lunine, J., Paresce, F., Penny, A., Quirrenbach, A., R¨ottgering, H., Schneider, J., Stam, D., Tinetti, G., and White, G. J. (2010). Deciphering spectral fingerprints of habitable exoplanets. Astrobiology, 10(1):89–102. Kaltenegger, L. and Traub, W. A. (2009). Transits of Earth-like planets. The Astrophysical Journal, 698(1):519. Kane, S. R., Barclay, T., Hartmann, M., Hatzes, A. P., Jensen, E. L., Ciardi, D. R., Huber, D., Wright, J. T., and Quintana, E. V. (2015). On the stellar companion to the exoplanet hosting star 30 Arietis B. The Astrophysical Journal, 815(1):32. Kargel, J. S. and Lunine, J. I. (1998). Clathrate hydrates on Earth and in the solar system. In Solar System Ices, pages 97–117. Springer. Karttunen, H., Kr¨oger, P., Oja, H., Poutanen, M., and Donner, K. J. (2016). Fundamental astronomy. Springer. Kasting, J. F. (1988). Runaway and moist greenhouse atmospheres and the evolution of Earth and Venus. Icarus, 74(3):472–494. Kasting, J. F. (1991). CO2 condensation and the climate of early Mars. Icarus, 94(1):1–13. Kasting, J. F. (1996). Planetary atmosphere evolution: Do other habitable planets exist and can we detect them? Astrophysics and space science, 241(1):3–24. Kasting, J. F. (1997). Habitable zones around low mass stars and the search for extraterrestrial life. In Planetary and interstellar processes relevant to the origins of life, pages 291–307. Springer. Kasting, J. F. (2008). The primitive earth. Prebiotic Evolution and Astrobiology, pages 1–8. Kasting, J. F., Kopparapu, R., Ramirez, R. M., and Harman, C. E. (2014). Remote life-detection criteria, habitable zone boundaries, and the frequency of Earth-like planets around M and late K stars. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(35):12641–12646. Kasting, J. F., Whitmire, D. P., and Reynolds, R. T. (1993). Habitable zones around main sequence stars. Icarus, 101(1):108–128. 309 Bibliograf´ıa Katz, I. and Spetner, L. (1960). Polarization and depression angle dependence of radar terrain return. J. Res. NBS, 64:485. Kawahara, H. and Fujii, Y. (2010). Global mapping of Earth-like exoplanets from scattered light curves. The Astrophysical Journal, 720(2):1333. Kawahara, H. and Fujii, Y. (2011). Mapping clouds and terrain of Earth-like planets from photometric variability: demonstration with planets in face-on orbits. The Astrophysical Journal Letters, 739(2):L62. Kenworthy, M. A. and Mamajek, E. E. (2015). Modeling giant extrasolar ring systems in eclipse and the case of J1407b: sculpting by exomoons? The Astrophysical Journal, 800(2):126. Kerr, R. A. (2010). Magnetics Point to Magma ’Ocean’ at Io. Science. Kervella, P. and Fouqu´e, P. (2008). The angular sizes of dwarf stars and subgiants-non-linear surface brightness relations in from interferometry. Astronomy & Astrophysics, 491(3):855–858. Kipping, D. M. (2009a). Transit timing effects due to an exomoon. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 392(1):181–189. Kipping, D. M. (2009b). Transit timing effects due to an exomoon II. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 396(3):1797–1804. Kipping, D. M. (2011a). LUNA: An algorithm for generating dynamic planet–moon transits. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 416(1):689–709. Kipping, D. M. (2011b). The Transits of Extrasolar Planets with Moons. PhD thesis, University College London. Kipping, D. M., Bakos, G. ´ A., Buchhave, L., Nesvorn`y, D., and Schmitt, A. (2012). The hunt for exomoons with Kepler (HEK). I. Description of a new observational project. The Astrophysical Journal, 750(2):115. Kipping, D. M., Fossey, S. J., Campanella, G., Schneider, J., and Tinetti, G. (2009). Pathways towards habitable moons. arXiv preprint arXiv:0911.5170. Kipping, D. M., Huang, X., Nesvorn´y, D., Torres, G., Buchhave, L. A., Bakos, G. ´ A., and Schmitt, A. R. (2015). The possible moon of Kepler-90g is a false positive. The Astrophysical Journal Letters, 799(1):L14. 310 Bibliograf´ıa Kipping, D. M., Nesvorn`y, D., Buchhave, L. A., Hartman, J., Bakos, G. ´ A., and Schmitt, A. R. (2014). The hunt for exomoons with Kepler (HEK). IV. A search for moons around eight M dwarfs. The Astrophysical Journal, 784(1):28. Kipping, D. M., Ribas, I., and Font-Ribera, A. (2008). Eccentric planets & transit time variation. Proceedings of the International Astronomical Union, 4(S253):490–491. Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D., and Vecchi, M. P. (1983). Optimization by simulated annealing. Science, 220(4598):671–680. Kitchin, C. R. (1987). Stars, nebulae and the interstellar medium. Observational physics and astrophysics. CRC Press. Kite, E. S., Gaidos, E., and Manga, M. (2011). Climate instability on tidally locked exoplanets. The Astrophysical Journal, 743(1):41. Kivelson, M., Khurana, K., Stevenson, D., Bennett, L., Joy, S., Russell, C., Walker, R., Zimmer, C., and Polanskey, C. (1999). Europa and callisto: Induced or intrinsic fields in a periodically varying plasma environment. Journal of Geophysical Research: Space Physics, 104(A3):4609–4625. Knutson, H. A., Benneke, B., Deming, D., and Homeier, D. (2014). A featureless transmission spectrum for the Neptune-mass exoplanet GJ 436b. Nature, 505(7481):66–68. Kolokolova, L. (2015). Polarimetry of stars and planetary systems. Cambridge University Press. Konacki, M. and Wolszczan, A. (2003). Masses and orbital inclinations of planets in the PSR B1257+ 12 system. The Astrophysical Journal Letters, 591(2):L147. Kopparapu, R. K., Ramirez, R., Kasting, J. F., Eymet, V., Robinson, T. D., Mahadevan, S., Terrien, R. C., Domagal-Goldman, S., Meadows, V., and Deshpande, R. (2013a). Erratum:“Habitable Zones around Main-sequence Stars: New Estimates”(2013, ApJ, 765, 131). The Astrophysical Journal, 770(1):82. Kopparapu, R. K., Ramirez, R., Kasting, J. F., Eymet, V., Robinson, T. D., Mahadevan, S., Terrien, R. C., Domagal-Goldman, S., Meadows, V., and Deshpande, R. (2013b). Habitable zones around main-sequence stars: new estimates. The Astrophysical Journal, 765(2):131. 311 Bibliograf´ıa Kopparapu, R. K., Ramirez, R. M., SchottelKotte, J., Kasting, J. F., Domagal-Goldman, S., and Eymet, V. (2014). Habitable zones around mainsequence stars: dependence on planetary mass. The Astrophysical Journal Letters, 787(2):L29. Kostov, V. B., McCullough, P., Hinse, T., Tsvetanov, Z., H´ebrard, G., D´ıaz, R., Deleuil, M., and Valenti, J. A. (2013). A gas giant circumbinary planet transiting the F star primary of the eclipsing binary star KIC 4862625 and the independent discovery and characterization of the two transiting planets in the Kepler-47 system. The Astrophysical Journal, 770(1):52. Kostov, V. B., McCullough, P. R., Carter, J. A., Deleuil, M., D´ıaz, R. F., Fabrycky, D. C., H´ebrard, G., Hinse, T. C., Mazeh, T., Orosz, J. A., Tsvetanov, Z. I., and Wels, W. F. (2014a). Erratum:”Kepler-413b: A Slightly Misaligned, Neptune-size Transiting Circumbinary Planet”(2014, ApJ, 784, 14). The Astrophysical Journal, 787. Kostov, V. B., McCullough, P. R., Carter, J. A., Deleuil, M., D´ıaz, R. F., Fabrycky, D. C., H´ebrard, G., Hinse, T. C., Mazeh, T., Orosz, J. A., Tsvetanov, Z. I., and Wels, W. F. (2014b). Kepler-413b: a slightly misaligned, Neptune-size transiting circumbinary planet. The Astrophysical Journal, 784(1):14. Kostov, V. B., Orosz, J. A., Feinstein, A. D., Welsh, W. F., Cukier, W., Haghighipour, N., Quarles, B., Martin, D. V., Montet, B. T., Torres, G., Triaud, A. H. M. J., Barclay, T., Boyd, P., Briceno, C., Cameron, A. C., Correia, A. C. M., Gilbert, E. A., Gill, S., Gillon, M., Haqq-Misra, J., Hellier, C., Dressing, C., Fabrycky, D. C., Furesz, G., Jenkins, J. M., Kane, S. R., Kopparapu, R., Hodˇzi´c, V. K., Latham, D. W., Law, N., Levine, A. M., Li, G., Lintott, C., Lissauer, J. J., Mann, A. W., Mazeh, T., Mardling, R., Maxted, P. F. L., Eisner, N., Pepe, F., Pepper, J., Pollacco, D., Quinn, S. N., Quintana, E. V., Rowe, J. F., Ricker, G., Rose, M. E., Seager, S., Santerne, A., S´egransan, D., Short, D. R., Smith, J. C., Standing, M. R., Tokovinin, A., Trifonov, T., Turner, O., Twicken, J. D., Udry, S., Vanderspek, R., Winn, J. N., Wolf, E. T., Ziegler, C., Ansorge, P., Barnet, F., Bergeron, J., Huten, M., Pappa, G., and van der Straeten, T. (2020). TOI-1338: TESS’ First Transiting Circumbinary Planet. The Astronomical Journal, 159(6):253. Kostov, V. B., Orosz, J. A., Welsh, W. F., Doyle, L. R., Fabrycky, D. C., Haghighipour, N., Quarles, B., Short, D. R., Cochran, W. D., Endl, M., Ford, E. B., Gregorio, J., Hinse, T. C., Isaacson, H., Jenkins, J. M., Jensen, E. L. N., Kane, S., Kull, I., Latham, D. W., Lissauer, J. J., Marcy, G. W., Mazeh, 312 Bibliograf´ıa T., M¨uller, T. W. A., Pepper, J., Quinn, S. N., Ragozzine, D., Shporer, A., Steffen, J. H., Torres, G., Windmiller, G., and Borucki, W. J. (2016). Kepler1647b: the largest and longest-period Kepler transiting circumbinary planet. The Astrophysical Journal, 827(1):86. Kozai, Y. (1962). Secular perturbations of asteroids with high inclination and eccentricity. The Astronomical Journal, 67:591. Kreidberg, L., Bean, J. L., D´esert, J.-M., Benneke, B., Deming, D., Stevenson, K. B., Seager, S., Berta-Thompson, Z., Seifahrt, A., and Homeier, D. (2014). Clouds in the atmosphere of the super-Earth exoplanet GJ 1214b. Nature, 505(7481):69–72. Kreidberg, L., Luger, R., and Bedell, M. (2019). No evidence for lunar transit in new analysis of Hubble Space Telescope observations of the Kepler-1625 system. The Astrophysical Journal Letters, 877(2):L15. Kuzuhara, M., Tamura, M., Kudo, T., Janson, M., Kandori, R., Brandt, T. D., Thalmann, C., Spiegel, D., Biller, B., Carson, J., Hori, Y., Suzuki, R., Burrows, A., Henning, T., Turner, E. L., McElwain, M. W., Moro-Mart´ın, A., Suenaga, T., Takahashi, Y. H., Kwon, J., Lucas, P., Abe, L., Brandner, W., Egner, S., Feldt, M., Fujiwara, H., Goto, M., Grady, C. A., Guyon, O., Hashimoto, J., Hayano, Y., Hayashi, M., Hayashi, S. S., Hodapp, K. W., Ishii, M., Iye, M., Knapp, G. R., Matsuo, T., Mayama, S., Miyama, S., Morino, J.-I., Nishikawa, J., Nishimura, T., Kotani, T., Kusakabe, N., Pyo, T.-S., Serabyn, E., Suto, H., Takami, M., Takato, N., Terada, H., Tomono, D., Watanabe, M., Wisniewski, J. P., Yamada, T., Takami, H., and Usuda, T. (2013). Direct imaging of a cold Jovian exoplanet in orbit around the Sun-like star GJ 504. The Astrophysical Journal, 774(1):11. Lada, C. J. (2006). Stellar Multiplicity and the IMF: Most Stars Are Single Born. arXiv preprint astro-ph/0601375. Lainey, V., Arlot, J.-E., Karatekin, ¨ O., and Van Hoolst, T. (2009). Strong tidal dissipation in Io and Jupiter from astrometric observations. Nature, 459(7249):957–959. Lammer, H., Bredeh¨oft, J. H., Coustenis, A., Khodachenko, M. L., Kaltenegger, L., Grasset, O., Prieur, D., Raulin, F., Ehrenfreund, P., Yamauchi, M., Wahlund, J. E., Grießmeier, J. M., Stangl, G., Cockell, C. S., Kulikov, Y. N., Grenfell, J. L., and Rauer, H. (2009). What makes a planet habitable? The Astronomy and Astrophysics Review, 17(2):181–249. 313 Bibliograf´ıa Lammer, H., Selsis, F., Chassefi`ere, E., Breuer, D., Grießmeier, J.-M., Kulikov, Y. N., Erkaev, N. V., Khodachenko, M. L., Biernat, H. K., Leblanc, F., Kallio, E., Lundin, R., Westall, F., Bauer, S. J., Beichman, C., Danchi, W., Eiroa, C., Fridlund, M., Gr¨oller, H., Hanslmeier, A., Hausleitner, W., Henning, T., Herbst, T., Kaltenegger, L., L´eger, A., Leitzinger, M., Lichtenegger, H. I., Liseau, R., Lunine, J., Motschmann, U., Odert, P., Paresce, F., Parnell, J., Penny, A., Quirrenbach, A., Rauer, H., R¨ottgering, H., Schneider, J., Spohn, T., Stadelmann, A., Stangl, G., Stam, D., Tinetti, G., and White, G. J. (2010). Geophysical and atmospheric evolution of habitable planets. Astrobiology, 10(1):45–68. Lane, B. F., Muterspaugh, M. W., Griffin, R., Scarfe, C., Fekel, F. C., Williamson, M. H., Eaton, J. A., Shao, M., Colavita, M., and Konacki, M. (2014). The orbits of the triple-star system 1 Geminorum from phases differential astrometry and spectroscopy. The Astrophysical Journal, 783(1):3. Lazio, J., Bastian, T., Bryden, G., Farrell, W. M., Griessmeier, J. M., Hallinan, G., Kasper, J., Kuiper, T., Lecacheux, A., Majid, W., Osten, R., Shklonik, E., Stevens, I., Winterhalter, D., and Zarka, P. (2009). Magnetospheric emission from extrasolar planets. arXiv preprint arXiv:0903.0873. Lecar, M., Podolak, M., Sasselov, D., and Chiang, E. (2006). On the location of the snow line in a protoplanetary disk. The Astrophysical Journal, 640(2):1115. Lee, J. W., Kim, S.-L., Kim, C.-H., Koch, R. H., Lee, C.-U., Kim, H.-I., and Park, J.-H. (2009). The sdB+ M eclipsing system HW Virginis and its circumbinary planets. The Astronomical Journal, 137(2):3181. Lee, S., Zanolin, M., Thode, A. M., Pappalardo, R. T., and Makris, N. C. (2003). Probing Europa’s interior with natural sound sources. Icarus, 165(1):144–167. Lemoine, F., Kenyon, S., Factor, J., Trimmer, R., Pavlis, N., Chinn, D., Cox, C., Klosko, S., Luthcke, S., Torrence, M., Wang, Y., Williamson, R., Pavlis, E., Rapp, R., and Olson, T. (1998). The development of the joint NASA GSFC and the National Imagery and Mapping Agency (NIMA) geopotential model EGM96. Lerch, F., Nerem, R., Putney, B., Felsentreger, T., Sanchez, B., Klosko, S., Patel, G., Williamson, R., Chinn, D., Chan, J., Rachlin, K., Chandler, N., McCarthy, J., Marshall, J., Luthcke, S., Pavlis, D., Robbins, J., Kapoor, S., 314 Bibliograf´ıa and Pavlis, E. (1991). Geopotential models of the Earth from satellite tracking, altimeter and surface gravity observations: GEM-T3 and GEM-T3S. Geopotential models of the Earth from satellite tracking, altimeter and surface gravity observations: GEM-T3 and GEM-T3S., by Lerch, F. J.; Nerem, R. S.; Putney, B. H.; Felsentreger, T. L.; Sanchez, B. V.; Klosko, S. M.; Patel, G. B.; Williamson, R. G.; Chinn, D. S.; Chan, J. C.; Rachlin, K. E.; Chandler, N. L.; McCarthy, J. J.; Marshall, J. A.; Luthcke, S. B.; Pavlis, D. W.; Robbins, J. W.; Kapoor, S.; Pavlis, E. C.. National Aeronautics and Space Administration, Washington, DC (USA), Jan 1992, p. 124. Lester, T. P., McCall, M., and Tatum, J. (1979). Theory of planetary photometry. Journal of the Royal Astronomical Society of Canada, 73:233–257. Levenberg, K. (1944). A method for the solution of certain non-linear problems in least squares. Quarterly of applied mathematics, 2(2):164–168. Levin, E. (1968). Solar radiation pressure perturbations of earth satellite orbits. AIAA Journal, 6(1):120–126. Levison, H. F., Lissauer, J. J., and Duncan, M. J. (1998). Modeling the diversity of outer planetary systems. The Astronomical Journal, 116(4). Levison, H. F., Morbidelli, A., Gomes, R., and Backman, D. (2007). Planet migration in planetesimal disks. Protostars and planets V, pages 669–684. Lewis, K. M. (2011). The Detectability of Moons of Extra-Solar Planets. PhD thesis, UC, Berkeley, Space Sci. Dept. Lewis, K. M., Sackett, P. D., and Mardling, R. A. (2008). Possibility of detecting moons of pulsar planets through time-of-arrival analysis. The Astrophysical Journal Letters, 685(2):L153. Lidov, M. (1961). Evolution of artificial planetary satellites under the action of gravitational perturbations due to external bodies. Iskusstviennye Sputniki Zemli, 8:5–45. Limbach, M. A. and Turner, E. L. (2015). Exoplanet orbital eccentricity: Multiplicity relation and the Solar System. Proceedings of the National Academy of Sciences, 112(1):20–24. Lin, C., Qing, A., and Feng, Q. (2011). A comparative study of crossover in differential evolution. Journal of Heuristics, 17(6):675–703. 315 Bibliograf´ıa Moutou, C., Deleuil, M., Guillot, T., Baglin, A., Bord´e, P., Bouchy, F., Cabrera, J., Csizmadia, S., and Deeg, H. J. (2013). CoRoT: Harvest of the exoplanet program. Icarus, 226(2):1625–1634. Mu˜noz-Iglesias, M. V., Bonales, L., and Prieto-Ballesteros, O. (2011a). Characterization of the Differentiation Process by Clathration in Europa Satellite Using Raman Spectroscopy. LPICo, 1616:59. Mu˜noz-Iglesias, M. V., Bonales, L., Taravillo, M., Garc´ıa Baonza, V., and Prieto-Ballesteros, O. (2011b). Monitoring by Raman Spectroscopy of CO2 Clathrate Formation from Electrolyte Solutions. The Performance to Icy Satellites. epsc, 2011:914. Mu˜noz-Iglesias, M. V., Bonales, L. J., Santamar´ıa-P´erez, D., Taravillo, M., Baonza, V. G., and Prieto-Ballesteros, O. (2012). Characterization of saltingout processes during CO2-clathrate formation using Raman spectroscopy: planetological application. Spectroscopy Letters, 45(6):407–412. M¨uller, T. W. and Haghighipour, N. (2014). Calculating the habitable zones of multiple star systems with a new interactive web site. The Astrophysical Journal, 782(1):26. Mu˜noz, D. J. and Lai, D. (2015). Survival of planets around shrinking stellar binaries. Proceedings of the National Academy of Sciences, 112(30):9264– 9269. Murray, C. D. and Dermott, S. F. (1999). Solar system dynamics. Cambridge university press. Naoz, S., Farr, W. M., Lithwick, Y., Rasio, F. A., and Teyssandier, J. (2013). Secular dynamics in hierarchical three-body systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 431(3):2155–2171. Nesvorn´y, D. and Beaug´e, C. (2010). Fast inversion method for determination of planetary parameters from transit timing variations. The Astrophysical Journal Letters, 709(1):L44. Nesvorn´y, D., Kipping, D. M., Buchhave, L. A., Bakos, G. ´ A., Hartman, J., and Schmitt, A. R. (2012). The detection and characterization of a nontransiting planet by transit timing variations. Science, 336(6085):1133–1136. Nesvorn´y, D. and Morbidelli, A. (2008). Mass and orbit determination from transit timing variations of exoplanets. The Astrophysical Journal, 688(1):636. 322 Bibliograf´ıa Nimmo, F. (2002). Why does Venus lack a magnetic field? Geology, 30(11):987–990. Noyola, J., Satyal, S., and Musielak, Z. (2016). On the radio detection of multiple-exomoon systems due to plasma torus sharing. The Astrophysical Journal, 821(2):97. Noyola, J. P., Satyal, S., and Musielak, Z. E. (2014). Detection of exomoons through observation of radio emissions. The Astrophysical Journal, 791(1):25. Oakley, P. and Cash, W. (2009). Construction of an Earth model: analysis of exoplanet light curves and mapping the next Earth with the New Worlds Observer. The Astrophysical Journal, 700(2):1428. Oancea, A., Grasset, O., Le Menn, E., Bezacier, L., Bollengier, O., Le Mou´elic, S., and Tobie, G. (2012). IR reflectance spectroscopy of carbon dioxide clathrate hydrates. Implications for Saturn’s icy moons. EGUGA, page 6054. Ochsenbein, F., Bauer, P., and Marcout, J. (2000). The VizieR database of astronomical catalogues. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 143(1):23–32. Ohta, Y., Taruya, A., and Suto, Y. (2008). Predicting photometric and spectroscopic signatures of rings around transiting extrasolar planets. The Astrophysical Journal, 690(1):1. Olson, B., Hashmi, I., Molloy, K., and Shehu, A. (2012). Basin Hopping as a General and Versatile Optimization Framework for the Characterization of Biological Macromolecules. Advances in Artificial Intelligence (16877470). Olson, P. and Christensen, U. R. (2006). Dipole moment scaling for convection-driven planetary dynamos. Earth and Planetary Science Letters, 250(3-4):561–571. Orosz, J. A., Welsh, W. F., Carter, J. A., Brugamyer, E., Buchhave, L. A., Cochran, W. D., Endl, M., Ford, E. B., MacQueen, P., Short, D. R., Torres, G., Windmiller, G., Agol, E., Barclay, T., Caldwell, D. A., Clarke, B. D., Doyle, L. R., Fabrycky, D. C., Geary, J. C., Haghighipour, N., Holman, M. J., Ibrahim, K. A., Jenkins, J. M., Kinemuchi, K., Li, J., Lissauer, J. J., Prˇsa, A., Ragozzine, D., Shporer, A., Still, M., and Wade, R. A. (2012a). The Neptune-sized circumbinary planet Kepler-38b. The Astrophysical Journal, 758(2):87. 323 Bibliograf´ıa Orosz, J. A., Welsh, W. F., Carter, J. A., Fabrycky, D. C., Cochran, W. D., Endl, M., Ford, E. B., Haghighipour, N., MacQueen, P. J., Mazeh, T., Sanchis-Ojeda, R., Short, D. R., Torres, G., Agol, E., Buchhave, L. A., Doyle, L. R., Isaacson, H., Lissauer, J. J., Marcy, G. W., Shporer, A., Windmiller, G., Barclay, T., Boss, A. P., Clarke, B. D., Fortney, J., Geary, J. C., Holman, M. J., Huber, D., Jenkins, J. M., Kinemuchi, K., Kruse, E., Ragozzine, D., Sasselov, D., Still, M., Tenenbaum, P., Uddin, K., Winn, J. N., Koch, D. G., and Borucki, W. J. (2012b). Kepler-47: a transiting circumbinary multiplanet system. Science, 337(6101):1511–1514. Orosz, J. A., Welsh, W. F., Haghighipour, N., Quarles, B., Short, D. R., Mills, S. M., Satyal, S., Torres, G., Agol, E., Fabrycky, D. C., Jontof-Hutter, D., Windmiller, G., M¨uller, T. W. A., Hinse, T. C., Cochran, W. D., Endl, M., Ford, E. B., Mazeh, T., and Lissauer, J. J. (2019). Discovery of a third transiting planet in the Kepler-47 circumbinary system. The Astronomical Journal, 157(5):174. O’Toole, S., Tinney, C., Jones, H., Butler, R., Marcy, G., Carter, B., and Bailey, J. (2009). Selection functions in doppler planet searches. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 392(2):641–654. Owen, T. (1980). The search for early forms of life in other planetary systems: future possibilities afforded by spectroscopic techniques. In Strategies for the Search for Life in the Universe, pages 177–185. Springer. P´al, A. and Kocsis, B. (2008). Periastron precession measurements in transiting extrasolar planetary systems at the level of general relativity. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 389(1):191–198. Pall´e, E., Ford, E. B., Seager, S., Monta˜n´es-Rodr´ıguez, P., and Vazquez, M. (2008). Identifying the rotation rate and the presence of dynamic weather on extrasolar Earth-like planets from photometric observations. The Astrophysical Journal, 676(2):1319. Pan, M. and Sari, R. (2004). Shaping the Kuiper belt size distribution by shattering large but strengthless bodies. Icarus, 173(2):342–348. Papaloizou, J. C. and Terquem, C. (2001). Dynamical relaxation and massive extrasolar planets. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 325(1):221–230. Pasek, M. A., Sampson, J. M., and Atlas, Z. (2014). Redox chemistry in the phosphorus biogeochemical cycle. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(43):15468–15473. 324 Bibliograf´ıa Peale, S. (1988). Speculative histories of the Uranian satellite system. Icarus, 74(2):153–171. Peale, S. J., Cassen, P., and Reynolds, R. T. (1979). Melting of Io by tidal dissipation. Science, 203(4383):892–894. Pepe, F., Mayor, M., Delabre, B., Kohler, D., Lacroix, D., Queloz, D., Udry, S., Benz, W., Bertaux, J.-L., and Sivan, J.-P. (2000). HARPS: a new highresolution spectrograph for the search of extrasolar planets. In Optical and IR telescope instrumentation and detectors, volume 4008, pages 582–592. International Society for Optics and Photonics. Pepe, F. A., Cristiani, S., Lopez, R. R., Santos, N. C., Amorim, A., Avila, G., Benz, W., Bonifacio, P., Cabral, A., Carvas, P., Cirami, R., Coelho, J., Comari, M., Coretti, I., Caprio, V. D., Dekker, H., Delabre, B., Marcantonio, P. D., D’Odorico, V., Fleury, M., Garc´ıa, R., Linares, J. M. H., Hughes, I., Iwert, O., Lima, J., Lizon, J.-L., Curto, G. L., Lovis, C., Manescau, A., Martins, C., M´egevand, D., Moitinho, A., Molaro, P., Monteiro, M., Monteiro, M., Pasquini, L., Mordasini, C., Queloz, D., Rasilla, J. L., Rebord˜ao, J. M., Tschudi, S. S., Santin, P., Sosnowska, D., Span`o, P., Tenegi, F., Udry, S., Vanzella, E., Viel, M., Osorio, M. R. Z., and Zerbi, F. (2010). ESPRESSO: the Echelle spectrograph for rocky exoplanets and stable spectroscopic observations. In Ground-based and Airborne Instrumentation for Astronomy III, volume 7735, page 77350F. International Society for Optics and Photonics. Perryman, M. (2018). The exoplanet handbook, 2nd ed. by M. Perryman. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2018, 952 p., hardcover (ISBN 978-1-108-41977-2). Meteoritics & Planetary Science, 54. Perryman, M., Hartman, J., Bakos, G. ´ A., and Lindegren, L. (2014). Astrometric exoplanet detection with Gaia. The Astrophysical Journal, 797(1):14. Pham, L. and Karatekin, ¨ O. (2016). Scenarios of atmospheric mass evolution on Mars influenced by asteroid and comet impacts since the late Noachian. Planetary and Space Science, 125:1–11. Phillips, J. and Thorsett, S. (1994). Planets around pulsars: a review. In Planetary Systems: Formation, Evolution, and Detection, pages 91–106. Springer. Pinte, C., van der Plas, G., M´enard, F., Price, D., Christiaens, V., Hill, T., Mentiplay, D., Ginski, C., Choquet, E., Boehler, Y., Duchˆene, G., Perez, S., 325 Bibliograf´ıa and Casassus, S. (2019). Kinematic detection of a planet carving a gap in a protoplanetary disk. Nature Astronomy, 3(12):1109–1114. Poincar´e, H. (1899). Les m´ethodes nouvelles de la m´ecanique c´eleste, volume 3. Gauthier-Villars et fils. Pollacco, D. L., Skillen, I., Cameron, A. C., Christian, D. J., Hellier, C., Irwin, J., Lister, T. A., Street, R. A., West, R. G., Anderson, D., Clarkson, W. I., Deeg, H., Enoch, B., Evans, A., Fitzsimmons, A., Haswell, C. A., Hodgkin, S., Horne, K., Kane, S. R., Keenan, F. P., Maxted, P. F. L., Norton, A. J., Osborne, J., Parley, N. R., Ryans, R. S. I., Smalley, B., Wheatley, P. J., and Wilson, D. M. (2006). The WASP project and the SuperWASP cameras. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 118(848):1407. Pollack, J. B., Kasting, J. F., Richardson, S. M., and Poliakoff, K. (1987). The case for a wet, warm climate on early mars. Icarus, 71(2):203–224. Pont, F., Knutson, H., Gilliland, R. L., Moutou, C., and Charbonneau, D. (2008). Detection of atmospheric haze on an extrasolar planet: the 0.55–1.05 µm transmission spectrum of HD 189733b with the Hubble Space Telescope. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 385(1):109–118. Popova, E. and Shevchenko, I. (2014). Orbital resonances in exoplanetary systems. In Journal of Physics: Conference Series, volume 572, page 012006. IOP Publishing, IOP Publishing. Porco, C. C., Helfenstein, P., Thomas, P. C., Ingersoll, A. P., Wisdom, J., West, R., Neukum, G., Denk, T., Wagner, R., Roatsch, T., Kieffer, S., Turtle, E., McEwen, A., Johnson, T. V., Rathbun, J., Veverka, J., Wilson, D., Perry, J., Spitale, J., Brahic, A., Burns, J. A., DelGenio, A. D., Dones, L., Murray, C. D., and Squyres, S. (2006). Cassini observes the active south pole of Enceladus. science, 311(5766):1393–1401. Porco, C. C., West, R. A., McEwen, A., Del Genio, A. D., Ingersoll, A. P., Thomas, P., Squyres, S., Dones, L., Murray, C. D., Johnson, T. V., Burns, J. A., Brahic, A., Neukum, G., Veverka, J., Barbara, J. M., Denk, T., Evans, M., Ferrier, J. J., Geissler, P., Helfenstein, P., Roatsch, T., Throop, H., Tiscareno, M., and Vasavada, A. R. (2003). Cassini imaging of Jupiter’s atmosphere, satellites, and rings. Science, 299(5612):1541–1547. Porter, S. B. and Grundy, W. M. (2011). Post-capture evolution of potentially habitable exomoons. The Astrophysical Journal Letters, 736(1):L14. 326 Bibliograf´ıa Postman, M., Traub, W., Krist, J., Stapelfeldt, K., Brown, R., Oegerle, W., Lo, A., Clampin, M., Soummer, R., Wiseman, J., and Mountain, M. (2009). Advanced Technology Large-Aperture Space Telescope (ATLAST): Characterizing Habitable Worlds. arXiv preprint arXiv:0911.3841. Press, W. H., Teukolsky, S. A., Flannery, B. P., and Vetterling, W. T. (1992). Numerical recipes in Fortran 77: volume 1, volume 1 of Fortran numerical recipes: the art of scientific computing. Cambridge university press. Prieto-Ballesteros, O., Gomez, F., Hand, K., Parro, V., Prieur, D., and Vorob’eva, E. (2011). Strategies of putative Europa life detection. Adv. Space Res, 48:678–688. Prieto-Ballesteros, O., Kargel, J. S., Fern´andez-Sampedro, M., Selsis, F., Mart´ınez, E. S., and Hogenboom, D. L. (2005). Evaluation of the possible presence of clathrate hydrates in Europa’s icy shell or seafloor. Icarus, 177(2):491–505. Prieto-Ballesteros, O. and Mu˜noz-Iglesias, V. (2014). The Role of Clathrate Hydrates in the (Bio) Geochemical Cycles of Essential Elements of Life in the Deep Environments Within the Icy Moons. LPICo, 1774:4077. Quirrenbach, A., Amado, P. J., Caballero, J. A., Mundt, R., Reiners, A., Ribas, I., Seifert, W., Abril, M., Aceituno, J., Alonso-Floriano, F. J., AnwandHeerwart, H., Azzaro, M., Bauer, F., Barrado, D., Becerril, S., Bejar, V. J. S., Benitez, D., Berdinas, Z. M., Brinkm¨oller, M., Cardenas, M. C., Casal, E., Claret, A., Colom´e, J., Cortes-Contreras, M., Czesla, S., Doellinger, M., Dreizler, S., Feiz, C., Fernandez, M., Ferro, I. M., Fuhrmeister, B., Galadi, D., Gallardo, I., G´alvez-Ortiz, M. C., Garcia-Piquer, A., Garrido, R., Gesa, L., Galera, V. G., Hern´andez, J. I. G., Peinado, R. G., Gr¨ozinger, U., Gu`ardia, J., Guenther, E. W., de Guindos, E., Hagen, H.-J., Hatzes, A. P., Hauschildt, P. H., Helmling, J., Henning, T., Hermann, D., Arabi, R. H., Casta˜no, L. H., Hernando, F. H., Herrero, E., Huber, A., Huber, K. F., Huke, P., Jeffers, S. V., de Juan, E., Kaminski, A., Kehr, M., Kim, M., Klein, R., Kl¨uter, J., K¨urster, M., Lafarga, M., Lara, L. M., Lamert, A., Laun, W., Launhardt, R., Lemke, U., Lenzen, R., Llamas, M., del Fresno, M. L., L´opez-Puertas, M., L´opez-Santiago, J., Salas, J. F. L., Madinabeitia, H. M., Mall, U., Mandel, H., Mancini, L., Molina, J. A. M., Fern´andez, D. M., Mart´ın, E. L., Mart´ın-Ruiz, S., Marvin, C., Mathar, R. J., Mirabet, E., Montes, D., Morales, J. C., Mu˜noz, R. M., Nagel, E., Naranjo, V., Nowak, G., Palle, E., Panduro, J., Passegger, V. M., Pavlov, A., Pedraz, S., Perez, E., P´erez-Medialdea, D., Perger, M., Pluto, M., Ram´on, A., Rebolo, R., Redondo, P., Reffert, S., Reinhart, S., 327 Bibliograf´ıa Rhode, P., Rix, H.-W., Rodler, F., Rodr´ıguez, E., L´opez, C. R., Rohloff, R. R., Rosich, A., Carrasco, M. A. S., Sanz-Forcada, J., Sarkis, P., Sarmiento, L. F., Sch¨afer, S., Schiller, J., Schmidt, C., Schmitt, J. H. M. M., Sch¨ofer, P., Schweitzer, A., Shulyak, D., Solano, E., Stahl, O., Storz, C., Tabernero, H. M., Tala, M., Tal-Or, L., Ulbrich, R.-G., Veredas, G., Linares, J. I. V., Vilardell, F., Wagner, K., Winkler, J., Osorio, M.-R. Z., Zechmeister, M., von Eiff, M. A., Anglada-Escud´e, G., del Burgo, C., Garcia-Vargas, M. L., Klutsch, A., Lizon, J.-L., Lopez-Morales, M., Ofir, A., P´erez-Calpena, A., Perryman, M. A. C., S´anchez-Blanco, E., Strachan, J. B. P., St¨urmer, J., Su´arez, J. C., Trifonov, T., Tulloch, S. M., and Xu, W. (2016). CARMENES: an overview six months after first light. In Ground-based and Airborne Instrumentation for Astronomy VI, volume 9908, page 990812. International Society for Optics and Photonics. Rasool, S. I. and de Bergh, C. (1970). The runaway greenhouse and the accumulation of CO2 in the Venus atmosphere. Nature, 226(5250):1037–1039. Ray, R. D., Eanes, R. J., and Lemoine, F. G. (2001). Constraints on energy dissipation in the Earth’s body tide from satellite tracking and altimetry. Geophysical Journal International, 144(2):471–480. Regenauer-Lieb, K., Yuen, D. A., and Branlund, J. (2001). The initiation of subduction: criticality by addition of water? science, 294(5542):578–580. Reynolds, R. T., McKay, C. P., and Kasting, J. F. (1987). Europa, tidally heated oceans, and habitable zones around giant planets. Advances in Space Research, 7(5):125–132. Richardson, L. J., Harrington, J., Seager, S., and Deming, D. (2006). A Spitzer* Infrared Radius for the Transiting Extrasolar Planet HD 209458b. The Astrophysical Journal, 649(2):1043. Ricker, G. R., Vanderspek, R., Winn, J., Seager, S., Berta-Thompson, Z., Levine, A., Villasenor, J., Latham, D., Charbonneau, D., Holman, M., Johnson, J., Sasselov, D., Szentgyorgyi, A., Torres, G., Bakos, G., Brown, T., Christensen-Dalsgaard, J., Kjeldsen, H., Clampin, M., Rinehart, S., Deming, D., Doty, J., Dunham, E., Ida, S., Kawai, N., Sato, B., Jenkins, J., Lissauer, J., Jernigan, G., Kaltenegger, L., Laughlin, G., Lin, D., McCullough, P., Narita, N., Pepper, J., Stassun, K., and Udry, S. (2016). The Transiting Exoplanet Survey Satellite. In Space Telescopes and Instrumentation 2016: Optical, Infrared, and Millimeter Wave, volume 9904, page 99042B. International Society for Optics and Photonics. 328 Bibliograf´ıa Rieder, S. and Kenworthy, M. A. (2016). Constraints on the size and dynamics of the J1407b ring system. Astronomy & Astrophysics, 596:A9. Robinson, T. D. (2017). Characterizing exoplanet habitability. arXiv preprint arXiv:1701.05205. Robinson, T. D., Maltagliati, L., Marley, M. S., and Fortney, J. J. (2014). Titan solar occultation observations reveal transit spectra of a hazy world. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(25):9042–9047. Robinson, T. D., Meadows, V. S., and Crisp, D. (2010). Detecting oceans on extrasolar planets using the glint effect. The Astrophysical Journal Letters, 721(1):L67. Robuchon, G. and Nimmo, F. (2011). Thermal evolution of Pluto and implications for surface tectonics and a subsurface ocean. Icarus, 216(2):426–439. Roche, E. (1849). M´emoire de la section des sciences. Acad´emie des sciences et des lettres de Montpellier, 1:243. Rosenblatt, F. (1971). A two-color photometric method for detection of extrasolar planetary systems. Icarus, 14(1):71–93. Rouan, D., Baglin, A., Copet, E., Schneider, J., Barge, P., Deleuil, M., Vuillemin, A., and L´eger, A. (1998). The exosolar planets program of the corot satellite. Earth, Moon, and Planets, 81(1):79–82. Roy, A. E. (2004). Orbital motion. CRC Press. Rugheimer, S., Kaltenegger, L., Zsom, A., Segura, A., and Sasselov, D. (2013). Spectral fingerprints of Earth-like planets around FGK stars. Astrobiology, 13(3):251–269. Santos, N., Mayor, M., Naef, D., Pepe, F., Queloz, D., Udry, S., and Burnet, M. (2001). The CORALIE survey for southern extra-solar planets-VI. New long period giant planets around HD 28185 and HD 213240. Astronomy & Astrophysics, 379(3):999–1004. Sartoretti, P. and Schneider, J. (1999). On the detection of satellites of extrasolar planets with the method of transits. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 134(3):553–560. Sasaki, T., Barnes, J. W., and O’Brien, D. P. (2012). Outcomes and duration of tidal evolution in a star-planet-moon system. The Astrophysical Journal, 754(1):51. 329 Bibliograf´ıa Saur, J., Neubauer, F. M., Connerney, J., Zarka, P., and Kivelson, M. G. (2004). Plasma interaction of Io with its plasma torus. Jupiter: The Planet, Satellites and Magnetosphere, 1:537–560. Scargle, J. D. (1982). Studies in astronomical time series analysis. IIStatistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. The Astrophysical Journal, 263:835–853. Scharf, C. A. (2006). The potential for tidally heated icy and temperate moons around exoplanets. The Astrophysical Journal, 648(2):1196. Scharf, C. A. (2007). Exoplanet transit parallax. The Astrophysical Journal, 661(2):1218. Scharf, C. A. (2008). Moons of Exoplanets: Habitats for Life? In Exoplanets, pages 285–303. Springer. Schindler, T. L. and Kasting, J. F. (2000). Synthetic spectra of simulated terrestrial atmospheres containing possible biomarker gases. Icarus, 145(1):262– 271. Schneider, P. and Weiss, A. (1986). The two-point-mass lens-detailed investigation of a special asymmetric gravitational lens. Astronomy and Astrophysics, 164:237–259. Schulze-Makuch, D. and Irwin, L. N. (2006). The prospect of alien life in exotic forms on other worlds. Naturwissenschaften, 93(4):155–172. Schulze-Makuch, D., M´endez, A., Fair´en, A. G., Von Paris, P., Turse, C., Boyer, G., Davila, A. F., Antonio, M. R. d. S., Catling, D., and Irwin, L. N. (2011). A two-tiered approach to assessing the habitability of exoplanets. Astrobiology, 11(10):1041–1052. Schuster, A. (1898). On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena. Terrestrial Magnetism, 3(1):13–41. Schwamb, M. E., Orosz, J. A., Carter, J. A., Welsh, W. F., Fischer, D. A., Torres, G., Howard, A. W., Crepp, J. R., Keel, W. C., Lintott, C. J., Kaib, N. A., Terrell, D., Gagliano, R., Jek, K. J., Parrish, M., Smith, A. M., Lynn, S., Simpson, R. J., Giguere, M. J., and Schawinski, K. (2013). Planet hunters: A transiting circumbinary planet in a quadruple star system. The Astrophysical Journal, 768(2):127. 330 Bibliograf´ıa Schwarz, R., Funk, B., Zechner, R., and Bazs´o, ´ A. (2016). New prospects for observing and cataloguing exoplanets in well-detached binaries. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 460(4):3598–3609. Schwieterman, E. W., Kiang, N. Y., Parenteau, M. N., Harman, C. E., DasSarma, S., Fisher, T. M., Arney, G. N., Hartnett, H. E., Reinhard, C. T., Olson, S. L., Meadows, V. S., Cockell, C. S., Walker, S. I., Grenfell, J. L., Hegde, S., Rugheimer, S., Hu, R., and Lyons, T. W. (2018). Exoplanet biosignatures: a review of remotely detectable signs of life. Astrobiology, 18(6):663–708. Seager, S. (2013). Exoplanet habitability. Science, 340(6132):577–581. Seager, S., Bains, W., and Hu, R. (2013). Biosignature gases in H2-dominated atmospheres on rocky exoplanets. The Astrophysical Journal, 777(2):95. Seager, S. and Deming, D. (2010). Exoplanet atmospheres. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 48:631–672. Seager, S., Dotson, R., and Institute, L. (2010). Exoplanets. Space Science Series. University of Arizona Press. Seager, S., Kuchner, M., Hier-Majumder, C., and Militzer, B. (2007). Mass-radius relationships for solid exoplanets. The Astrophysical Journal, 669(2):1279. Seager, S. and Mallen-Ornelas, G. (2003). A unique solution of planet and star parameters from an extrasolar planet transit light curve. The Astrophysical Journal, 585(2):1038. Seager, S. and Sasselov, D. (2000). Theoretical transmission spectra during extrasolar giant planet transits. The Astrophysical Journal, 537(2):916. Seager, S., Whitney, B., and Sasselov, D. (2000). Photometric light curves and polarization of close-in extrasolar giant planets. The Astrophysical Journal, 540(1):504. Segura, A., Kasting, J. F., Meadows, V., Cohen, M., Scalo, J., Crisp, D., Butler, R. A., and Tinetti, G. (2005). Biosignatures from Earth-like planets around M dwarfs. Astrobiology, 5(6):706–725. Selsis, F., Despois, D., and Parisot, J.-P. (2002). Signature of life on exoplanets: Can Darwin produce false positive detections? Astronomy & Astrophysics, 388(3):985–1003. 331 Bibliograf´ıa Taylor, F. (2016). Exploring the Planets: A Memoir. Oxford University Press. Teachey, A., Kipping, D., Burke, C. J., Angus, R., and Howard, A. W. (2020). Loose Ends for the Exomoon Candidate Host Kepler-1625b. The Astronomical Journal, 159(4):142. Teachey, A. and Kipping, D. M. (2018). Evidence for a large exomoon orbiting Kepler-1625b. Science advances, 4(10). Teachey, A., Kipping, D. M., and Schmitt, A. R. (2017). HEK. VI. On the dearth of Galilean analogs in Kepler, and the exomoon candidate Kepler1625b I. The Astronomical Journal, 155(1):36. Thomas, D. J., Zachos, J. C., Bralower, T. J., Thomas, E., and Bohaty, S. (2002). Warming the fuel for the fire: Evidence for the thermal dissociation of methane hydrate during the Paleocene-Eocene thermal maximum. Geology, 30(12):1067–1070. Thomas, P., Tajeddine, R., Tiscareno, M., Burns, J., Joseph, J., Loredo, T., Helfenstein, P., and Porco, C. (2016). Enceladus’s measured physical libration requires a global subsurface ocean. Icarus, 264:37–47. Thorsett, S. E. and Phillips, J. A. (1992). Rocks around the Clock: Limits on Pulsar Planetary Systems. The Astrophysical Journal, 387:L69. Tinetti, G., Meadows, V. S., Crisp, D., Fong, W., Fishbein, E., Turnbull, M., and Bibring, J.-P. (2006). Detectability of planetary characteristics in disk-averaged spectra. I: The Earth model. Astrobiology, 6(1):34–47. Tobie, G., Choblet, G., and Sotin, C. (2003). Tidally heated convection: Constraints on Europa’s ice shell thickness. Journal of Geophysical Research: Planets, 108(E11). Tokovinin, A. (1997). MSC-a catalogue of physical multiple stars. Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 124(1):75–84. Tokovinin, A. (2014a). From binaries to multiples. I. Data on F and G dwarfs within 67 pc of the Sun. The Astronomical Journal, 147(4):86. Tokovinin, A. (2014b). From binaries to multiples. II. Hierarchical multiplicity of F and G dwarfs. The Astronomical Journal, 147(4):87. Tsapras, Y. (2018). Microlensing searches for exoplanets. Geosciences, 8(10):365. 338 Bibliograf´ıa Tschauner, O., Ma, C., Beckett, J. R., Prescher, C., Prakapenka, V. B., and Rossman, G. R. (2014). Discovery of bridgmanite, the most abundant mineral in Earth, in a shocked meteorite. Science, 346(6213):1100–1102. Tsiaras, A., Rocchetto, M., Waldmann, I. P., Venot, O., Varley, R., Morello, G., Damiano, M., Tinetti, G., Barton, E. J., Yurchenko, S. N., and Tennyson, J. (2016). Detection of an atmosphere around the super-Earth 55 Cancri e. The Astrophysical Journal, 820(2):99. Tsiaras, A., Waldmann, I. P., Tinetti, G., Tennyson, J., and Yurchenko, S. N. (2019). Water vapour in the atmosphere of the habitable-zone eight-Earthmass planet K2-18 b. Nature Astronomy, 3(12):1086–1091. Tuomi, M. (2012). Evidence for nine planets in the HD 10180 system. Astronomy & Astrophysics, 543:A52. Turcotte, D. L. and Schubert, G. (2002). Geodynamics. Cambridge University Press. Turner, J., Zarka, P., and Griessmeier, J.-M. (2019). The search for radio emission from the exoplanetary systems 55 Cnc, Upsilon Andromedae, and Tau Bo¨otis using LOFAR beam-formed observations. EPSC, 2019:EPSC– DPS2019. Tusnski, L. R. M. and Valio, A. (2011). Transit model of planets with moon and ring systems. The Astrophysical Journal, 743(1):97. Udalski, A., Jaroszy´nski, M., Paczy´nski, B., Kubiak, M., Szyma´nski, M. K., Soszy´nski, I., Pietrzy´nski, G., Ulaczyk, K., Szewczyk, O., Wyrzykowski, L., Christie, G. W., DePoy, D. L., Dong, S., Gal-Yam, A., Gaudi, B. S., Gould, A., Han, C., L´epine, S., McCormick, J., Park, B.-G., Pogge, R. W., Bennett, D. P., Bond, I. A., Muraki, Y., Tristram, P. J., Yock, P. C. M., Beaulieu, J.-P., Bramich, D. M., Dieters, S. W., Greenhill, J., Hill, K., Horne, K., and Kubas, D. (2005). A jovian-mass planet in microlensing event OGLE-2005-BLG-071. The Astrophysical Journal Letters, 628(2):L109. Udalski, A., Pietrzynski, G., Szymanski, M., Kubiak, M., Zebrun, K., Soszynski, I., Szewczyk, O., and Wyrzykowski, L. (2003). The Optical Gravitational Lensing Experiment. Additional planetary and low-luminosity object transits from the OGLE 2001 and 2002 observational campaigns. arXiv preprint astro-ph/0306444. 339 Bibliograf´ıa Unterborn, C. T., Desch, S. J., Hinkel, N. R., and Lorenzo, A. (2018). Inward migration of the TRAPPIST-1 planets as inferred from their water-rich compositions. Nature Astronomy, 2(4):297–302. Valencia, D., O’Connell, R. J., and Sasselov, D. (2006). Internal structure of massive terrestrial planets. Icarus, 181(2):545–554. Valencia, D., Sasselov, D. D., and O’Connell, R. J. (2007). Radius and structure models of the first super-Earth planet. The Astrophysical Journal, 656(1):545. van Belle, G. T., von Braun, K., Boyajian, T., and Schaefer, G. (2012). Direct imaging of planet transit events. Proceedings of the International Astronomical Union, 8(S293):378–381. Vanderburg, A. and Johnson, J. A. (2014). A technique for extracting highly precise photometry for the two-wheeled Kepler mission. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 126(944):948. Vartanyan, D., Garmilla, J. A., and Rafikov, R. R. (2016). Tatooine nurseries: structure and evolution of circumbinary protoplanetary disks. The Astrophysical Journal, 816(2):94. Verbiest, J. P., Bailes, M., van Straten, W., Hobbs, G. B., Edwards, R. T., Manchester, R. N., Bhat, N., Sarkissian, J. M., Jacoby, B. A., and Kulkarni, S. R. (2008). Precision timing of PSR J0437–4715: an accurate pulsar distance, a high pulsar mass, and a limit on the variation of Newton’s gravitational constant. The Astrophysical Journal, 679(1):675. Verrier, P. and Evans, N. (2007). Planetary stability zones in hierarchical triple star systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 382(4):1432–1446. Vidal-Madjar, A., Des Etangs, A. L., D´esert, J.-M., Ballester, G., Ferlet, R., H´ebrard, G., and Mayor, M. (2003). An extended upper atmosphere around the extrasolar planet HD209458b. Nature, 422(6928):143–146. Vogt, S. S., Allen, S. L., Bigelow, B. C., Bresee, L., Brown, W. E., Cantrall, T., Conrad, A., Couture, M., Delaney, C., Epps, H. W., Hilyard, D., Hilyard, D. F., Horn, E., Jern, N., Kanto, D., Keane, M. J., Kibrick, R. I., Lewis, J. W., Osborne, J., Pardeilhan, G. H., Pfister, T., Ricketts, T., Robinson, L. B., Stover, R. J., Tucker, D., Ward, J. M., and Wei, M. (1994). HIRES: 340 Bibliograf´ıa the high-resolution echelle spectrometer on the Keck 10-m Telescope. In Instrumentation in Astronomy VIII, volume 2198, pages 362–375. International Society for Optics and Photonics. Vogt, S. S., Butler, R. P., Marcy, G. W., Fischer, D. A., Henry, G. W., Laughlin, G., Wright, J. T., and Johnson, J. A. (2005). Five new multicomponent planetary systems. The Astrophysical Journal, 632(1):638. Waldvogel, J. (2006). Fast construction of the Fej´er and Clenshaw–Curtis quadrature rules. BIT Numerical Mathematics, 46(1):195–202. Wales, D. J. and Doye, J. P. (1997). Global optimization by basin-hopping and the lowest energy structures of Lennard-Jones clusters containing up to 110 atoms. The Journal of Physical Chemistry A, 101(28):5111–5116. Wang, Z. and Cuntz, M. (2017). Fitting Formulae and Constraints for the Existence of S-type and P-type Habitable Zones in Binary Systems. The Astronomical Journal, 154(4):157. Wang, Z. and Cuntz, M. (2019). S-type and P-type habitability in stellar binary systems: A comprehensive approach. III. results for Mars, Earth, and super-Earth planets. The Astrophysical Journal, 873(2):113. Ward, W. R. and Reid, M. J. (1973). Solar tidal friction and satellite loss. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 164(1):21–32. Weiss, L. M. and Marcy, G. W. (2014). The mass-radius relation for 65 exoplanets smaller than 4 Earth radii. The Astrophysical Journal Letters, 783(1):L6. Welsh, W., Orosz, J., Carter, J., Fabrycky, D., Ford, E., Lissauer, J., Prˇsa, A., Quinn, S., Ragozzine, D., Short, D., Torres, G., Winn, J., Doyle, L., Barclay, T., Batalha, N., Bloemen, S., Brugamyer, E., Buchhave, L., Caldwell, C., and Borucki, W. (2012). Transiting circumbinary planets Kepler-34 b and Kepler-35 b. Nature, 481(7382):475–479. Welsh, W. F., Orosz, J. A., Short, D. R., Cochran, W. D., Endl, M., Brugamyer, E., Haghighipour, N., Buchhave, L. A., Doyle, L. R., Fabrycky, D. C., Hinse, T. C., Kane, S. R., Kostov, V., Mazeh, T., Mills, S. M., M¨uller, T. W. A., Quarles, B., Quinn, S. N., Ragozzine, D., Shporer, A., Steffen, J. H., Tal-Or, L., Torres, G., Windmiller, G., and Borucki, W. J. (2015). Kepler 453 b—the 10th Kepler transiting circumbinary planet. The Astrophysical Journal, 809(1):26. 341 Bibliograf´ıa Wienbruch, U. and Spohn, T. (1995). A self sustained magnetic field on Io? Planetary and Space Science, 43(9):1045–1057. Williams, D. M. and Gaidos, E. (2008). Detecting the glint of starlight on the oceans of distant planets. Icarus, 195(2):927–937. Williams, D. M., Kasting, J. F., and Wade, R. A. (1997). Habitable moons around extrasolar giant planets. Nature, 385(6613):234–236. Winn, J. N. (2010). Exoplanet transits and occultations. Exoplanets, 1:55–77. Winn, J. N., Holman, M. J., Torres, G., McCullough, P., Johns-Krull, C., Latham, D. W., Shporer, A., Mazeh, T., Garcia-Melendo, E., Foote, C., Esquerdo, G., and Everett, M. (2008). The transit light curve project. IX. Evidence for a smaller radius of the exoplanet XO-3b. The Astrophysical Journal, 683(2):1076. Witt, H. (1990). Investigation of high amplification events in light curves of gravitationally lensed quasars. Astronomy and Astrophysics, 236:311–322. Wolszczan, A. and Frail, D. A. (1992). A planetary system around the millisecond pulsar PSR1257+ 12. Nature, 355(6356):145–147. Wordsworth, R., Forget, F., Millour, E., Head, J., Madeleine, J.-B., and Charnay, B. (2013). Global modelling of the early martian climate under a denser CO2 atmosphere: Water cycle and ice evolution. Icarus, 222(1):1–19. Wordsworth, R., Forget, F., Selsis, F., Madeleine, J.-B., Millour, E., and Eymet, V. (2010). Is Gliese 581d habitable? Some constraints from radiativeconvective climate modeling. Astronomy & Astrophysics, 522:A22. Wright, J. and Eastman, J. (2014). Barycentric corrections at 1 cm s-1 for precise Doppler velocities. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 126(943):838. Wright, J. and Howard, A. (2009). Efficient fitting of multiplanet keplerian models to radial velocity and astrometry data. The Astrophysical Journal Supplement Series, 182(1):205. Wright, J. T., Veras, D., Ford, E. B., Johnson, J. A., Marcy, G. W., Howard, A. W., Isaacson, H., Fischer, D. A., Spronck, J., Anderson, J., and Valenti, J. (2011). The California planet survey. III. A possible 2: 1 resonance in the exoplanetary triple system HD 37124. The Astrophysical Journal, 730(2):93. 342 Bibliograf´ıa Wuchterl, G., Guillot, T., and Lissauer, J. (2000). Giant planet formation. in: Protostars and planets, edited by v. mannings, ap boss, ss russel. Xie, J.-W. (2013). Transit timing variation of near-resonance planetary pairs: Confirmation of 12 multiple-planet systems. The Astrophysical Journal Supplement Series, 208(2):22. Yang, J., Cowan, N. B., and Abbot, D. S. (2013). Stabilizing cloud feedback dramatically expands the habitable zone of tidally locked planets. The Astrophysical Journal Letters, 771(2):L45. Yoder, C. F. and Peale, S. J. (1981). The tides of Io. Icarus, 47(1):1–35. Zeng, L. and Sasselov, D. (2013). A detailed model grid for solid planets from 0.1 through 100 Earth masses. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 125(925):227. Zeng, L., Sasselov, D. D., and Jacobsen, S. B. (2016). Mass–radius relation for rocky planets based on PREM. The Astrophysical Journal, 819(2):127. Zhou, G., Bakos, G. ´ A., Hartman, J. D., Latham, D. W., Torres, G., Bhatti, W., Penev, K., Buchhave, L., Kov´acs, G., Bieryla, A., Quinn, S., Isaacson, H., Fulton, B. J., Falco, E., Csubry, Z., Everett, M., Szklenar, T., Esquerdo, G., Berlind, P., Calkins, M. L., B´eky, B., Knox, R. P., Hinz, P., Horch, E. P., Hirsch, L., Howell, S. B., Noyes, R. W., Marcy, G., de Val-Borro, M., L´az´ar, J., Papp, I., and S´ari, P. (2017). HAT-P-67b: an extremely low density Saturn transiting an F-subgiant confirmed via doppler tomography. The Astronomical Journal, 153(5):211. Zhu, W., Wang, J., and Huang, C. (2016). Dependence of small planet frequency on stellar metallicity hidden by their prevalence. The Astrophysical Journal, 832(2):196. Zimmer, C., Khurana, K. K., and Kivelson, M. G. (2000). Subsurface oceans on Europa and Callisto: Constraints from Galileo magnetometer observations. Icarus, 147(2):329–347. Zioutas, K., Tsagri, M., Semertzidis, Y., Papaevangelou, T., Georgiopoulou, E., Gardikiotis, A., and Dafni, T. (2011). Solar flares as harbinger of new physics. arXiv preprint arXiv:1112.4329. Zollinger, R. R., Armstrong, J. C., and Heller, R. (2017). Exomoon habitability and tidal evolution in low-mass star systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 472(1):8–25. 343 Bibliograf´ıa Zsom, A., Kaltenegger, L., and Goldblatt, C. (2012). A 1D microphysical cloud model for Earth, and Earth-like exoplanets: Liquid water and water ice clouds in the convective troposphere. Icarus, 221(2):603–616. Zugger, M. E., Kasting, J. F., Williams, D. M., Kane, T. J., and Philbrick, C. R. (2010). Light scattering from exoplanet oceans and atmospheres. The Astrophysical Journal, 723(2):1168. Zugger, M. E., Kasting, J. F., Williams, D. M., Kane, T. J., and Philbrick, C. R. (2011). Searching for water earths in the near-infrared. The Astrophysical Journal, 739(1):12. Zuluaga, J. I., Bustamante, S., Cuartas, P. A., and Hoyos, J. H. (2013). The influence of thermal evolution in the magnetic protection of terrestrial planets. The Astrophysical Journal, 770(1):23. Zuluaga, J. I., Kipping, D. M., Sucerquia, M., and Alvarado, J. A. (2015). A novel method for identifying exoplanetary rings. The Astrophysical Journal Letters, 803(1):L14. 344 Ap´endice A Resultados del problema de los 2 cuerpos Una ´orbita kepleriana el´ıptica se caracteriza por los siguientes elementos orbitales, respecto a un sistema cartesiano ortogonal con origen en el cuerpo principal: La ´epoca de paso por el periastro, T. La excentricidad de la elipse, e. El semieje mayor de la elipse, a. La inclinaci´on de la ´orbita, i, con respecto al plano de referencia*. El ´angulo del nodo ascendente, Ω. Es el ´angulo que se mide desde una direcci´on de referencia hasta el nodo ascendente. En nuestro trabajo hemos tomado la direcci´on Norte, y tomaremos un sistema de referencia lev´ogiro, tal como el utilizado en el estudio de las estrellas dobles. El argumento del periastro, ω. Es el ´angulo que se mide, sobre el plano orbital, desde el nodo ascendente de la ´orbita hasta el periastro. Se cuenta en *En los dos primeros Cap´ıtulos, hemos tomado como plano de referencia el perpendicular a la l´ınea de observaci´on, mientras que en los dos ´ultimos, ha sido el plano invariable o de Laplace. 345 Ap´endice A. Resultados del problema de los 2 cuerpos el sentido del recorrido. Figura A.1: Visualizaci´on de los elementos orbitales de una ´orbita kepleriana. El per´ıodo de revoluci´on de la ´orbita, P, se relaciona con el semieje a trav´es de la tercera ley de Kepler. Las ecuaciones del movimiento relativo del problema de dos cuerpos son: ¨ ~r =−µ~r |~r|3,(A.1) siendo ~r el vector de posici´on del cuerpo secundario con respecto al primario, y µ=G(m1+m2), donde G es la constante de gravitaci´on universal ym1ym2son las masas de los cuerpos primario y secundario, respectivamente. Es bien conocido que el sistema de ecuaciones diferenciales de (A.1) se puede resolver anal´ıticamente en forma exacta, siendo la soluci´on 346 Ap´endice A. Resultados del problema de los 2 cuerpos r=4c2/µ 1 + cos ϕ,(A.2) donde es una constante de integraci´on, ϕes una variable angular y ces el m´odulo del momento angular, es decir, c=|~c|= 1/2|~r ×˙ ~r|. Ahora, si tenemos en cuenta la ecuaci´on polar de la elipse, r=a(1 −e2) 1 + ecos f,(A.3) donde f(anomal´ıa verdadera) es el ´angulo que forma el punto de menor distancia entre los cuerpos (periastro) con el vector de posici´on. Ver Figura A.2. Por tanto, podemos identificar =eyϕ=f, y adem´as: 4c2 µ=a(1 −e2),(A.4) que resulta ser el par´ametro de la elipse. Definimos ahora el versor ~urcomo ~ur= (cos f, sin f) (A.5) y el versor ~utcomo ~ut= (−sin f, cos f) (A.6) Estos vectores unitarios nos ayudar´an a descomponer el vector velocidad, ˙ ~r, en las componentes radial (en funci´on de ~ur) y transversal (en funci´on de ~ut). Obviamente ~r =r~ur. Derivando esta expresi´on con respecto al tiempo, tenemos ˙ ~r = ˙r~ur+r˙ ~ur,(A.7) pero ˙ ~ur= (−sin f, cos f)˙ f=~ut˙ f, (A.8) por tanto, llegamos a 347 Ap´endice B. Programaci´on en MATLAB, MATHEMATICA y Python de distintos algoritmos empleados en la Tesis #p l t . show () # #rms=np . s q r t ( sum ( ( ydata−f ( xdata , p opt ) ) ** 2) / l en ( ydata ) ) #r m s i n i t i a l=np . sq rt (sum ( ( ydata−f ( xdata , i n i t i a l P a r a m e t e r s ) ) ** 2) / l en ( ydata ) ) ; # #p l t . s c a t t e r ( xdata , ydata−y f i t , l a b e l =’ r e s i d u o s ’ ) #p l t . le ge nd ( ) #p l t . g ri d ( ) #p l t . show 2. transitmoon.py Programa en Python para detectar un exosat´elite que transita una estrella (Secci´on 2.3.2.2). Basado en el algoritmo LUNA (Seccion 1.2.2;Kipping 2011a). import sc ip y . i n t e g r a t e as i n t e g r a t e import numpy as np #import np . p i c k l e # f o r lo ad ing np . p ic kl e d t e s t data from s ci p y . optimize import d i f f e r e n t i a l e v o l u t i o n from s ci p y . optimize import basinhopping xdata , ydata , e r r=np . l oa dt x t ( ”C: \\Users\\Carlos\\Downloads\\ Tesis \\t r a n s i t . txt ” , u s e c o l s =(0 ,1 ,2) , unpack=True ) p be st =[53.758 , 0.10 05 , 1. 1076 , 0 . 0 1 8 4 ] ; n=len ( xdata ) ; def f ( t , param ) : R=1; Pp=45.6353; Ps =4.3630; ap=param [ 0 ] p=param [ 1 ] ass=param [ 2 ] s=param [ 3 ] z = [ ] ; F = [ ] ; Fp = [ ] ; f o r iin range (0 , len ( t ) ) : xp=ap/R * np . cos (2 * np . pi * t [ i ]/Pp) ; yp=0; Sp=np . s q r t ( xp ** 2+yp ** 2) ; xs=ap/R * np . cos (2 * np . pi * t [ i ] /Pp)+ ass /R * np . cos (2 * np . pi * t [ i ] / Ps ) ; ys =0; Ss=np . s q r t ( xs ** 2+ys ** 2) ; Sps=np . s q r t (( xp−xs ) ** 2+(yp−ys ) ** 2) ; 354 Ap´endice B. Programaci´on en MATLAB, MATHEMATICA y Python de distintos algoritmos empleados en la Tesis z . append (Sp) ; # pri n t ( Sp ) c1 =0.6060 ; c2 = −0.3196; c3 =0. 9569 ; c4 = −0.4745; Ftota l=1−(c1 /(1+4)+2 * c2 /(2+4)+3 * c3 /(3+4)+4 * c4 /(4+4) ) ; lambdas =0;lambdap=0; lambdaps=0; i f 1+s<Ss : lambdas =0; e l i f (1−s<Ss and Ss<=1+s ) : k0s=np . ar c co s ( ( s ** 2+Ss ** 2−1) /(2 * s * Ss ) ) ; k1s=np . a rc c os ((1−s ** 2+Ss ** 2) /(2 * Ss ) ) ; k2s =0.5 * np . s q r t (4 * Ss ** 2−(1+Ss ** 2−s ** 2) ** 2) ; lambdas=(s ** 2 * k0s+k1s−k2s ) ; e l i f Ss<=1−s : lambdas=np . pi * s ** 2; i f 1+p<Sp : lambdap=0; e l i f (1−p<Sp and Sp<=1+p ) : k0p=np . a rc cos (( p ** 2+Sp ** 2−1) /(2 * p * Sp ) ) ; k1p=np . a r cc o s ((1−p ** 2+Sp ** 2) /(2 * Sp ) ) ; k2p=0.5 * np . s q r t (4 * Sp ** 2−(1+Sp ** 2−p ** 2) ** 2) ; lambdap=(p ** 2 * k0p+k1p−k2p ) ; e l i f Sp<=1−p : lambdap=np . pi * p ** 2; i f p+s<Sps : lambdaps=0; e l i f (p−s<Sps and Sps<=p+s ) : k0ps=np . a r c c os ( ( s ** 2+Sps ** 2−p ** 2) /(2 * s * Sps ) ) ; k1ps=np . a r c c os ( ( p ** 2−s ** 2+Sps ** 2) /(2 * p * Sps ) ) ; k2ps =0.5 * np . s q r t (4 * Sps ** 2 * p ** 2−(p ** 2+Sps ** 2−s ** 2) ** 2) ; lambdaps=(s ** 2 * k0ps+p ** 2 * k1ps−k2ps ) ; e l i f Sps<=p−s : lambdaps=np . pi * p ** 2; alphas=lambdas ; alphap=lambdap ; alphaps=lambdaps ; i f (Sp>=1+p ) : i f Ss>=1+s : i f Sps>=p+s : 355 Ap´endice B. Programaci´on en MATLAB, MATHEMATICA y Python de distintos algoritmos empleados en la Tesis prin t (’ Caso 1\n ’ ) alphap =0; alphas =0; e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 2\n ’ ) alphap =0; alphas =0; e l i f Sps<=p−s : prin t (’ Caso 3\n ’ ) alphap =0; alphas =0; e l i f (1−s<Ss and Ss<1+s ) : i f Sps>=p+s : prin t (’ Caso 4\n ’ ) alphap =0; e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 5\n ’ ) alphap =0; e l i f Sps<=p−s : prin t (’ Caso 6 −Imposible \n ’ ) break e l i f ( Ss<=1−s ) : i f Sps>=p+s : prin t (’ Caso 7\n ’ ) alphap =0; alphas=np . pi * s ** 2; e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 8 −Imposible \n ’ ) break e l i f Sps<=p−s : prin t (’ Caso 9 −Imposible \n ’ ) break e l i f (1−p<Sp and Sp<1+p) : 356 Ap´endice B. Programaci´on en MATLAB, MATHEMATICA y Python de distintos algoritmos empleados en la Tesis i f Ss>=1+s : i f Sps>=p+s : prin t (’ Caso 10\n ’ ) alphas =0; e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 11\n ’ ) alphas =0; e l i f Sps<=p−s : prin t (’ Caso 12\n ’ ) alphas =0; e l i f (1−s<Ss and Ss<1+s ) : i f Sps>=p+s : prin t (’ Caso 13\n ’ ) e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 14\n ’ ) XX13=(1−s ** 2+Ss ** 2) /(2 * Ss ) ; X12=(1−p ** 2+ Sp ** 2) /(2 * Sp ) ; Y12= 1/(2 * Sp ) * np . s q r t (2 * Sp ** 2 * (1+p ** 2) −(1−p ** 2) ** 2−Sp ** 4) ; YY13=−1/(2 * Ss ) * np . s q r t (2 * Ss ** 2 * (1+ s ** 2) −(1−s ** 2) ** 2−Ss ** 4) ; co st= 1 ; s i n t=np . sq r t (1−c o st ** 2) ; XXX23=(p ** 2−s ** 2+Sps ** 2) /(2 * Sps ) ; YYY23 =1/(2 * Sps ) * np . s q r t (2 * Sps ** 2 * (p ** 2+s ** 2)−(p ** 2−s ** 2) ** 2− Sps ** 4) ; c o s t t =1; s i n t t= np . s q rt (1−c o s t t ** 2) ; X23= XXX23 * costt−YYY23 * s i n t t+Sp ; X13=XX13 * cost−YY13 * s i n t ; Y23= XXX23 * s i n t t+YYY23 * c o s t t ; Y13=XX13 * s i n t+YY13 * co s t ; C1 = np . sq r t ( ( X12−X13) ** 2+(Y12−Y13) ** 2) ; C2 = np . sq r t ( ( X12−X23) ** 2+(Y12−Y23) ** 2) ; C3 = np . sq r t ( ( X13−X23) ** 2+(Y13−Y23) ** 2) ; R1=R; R2=p * R1 ; R3=s * R1 ; prin t ( ap , p , ass , s , Sps , Sp , Ss ** 2 ,( Sp+Sps ) ** 2 , Ss , Y12 , XX13 , cost , XXX23, co st t , C1 , C2 , C3) i f ( ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and 357 Ap´endice B. Programaci´on en MATLAB, MATHEMATICA y Python de distintos algoritmos empleados en la Tesis ( Ss * si nt >Y13+(Y23−Y13) /(X23−X13) * ( Ss * cost−X13) ) ) : prin t (’ Caso 14 .1 a ’ ) Aoverlap = 1/4 * np . s q r t (( C1+C2+C3) * (C2+C3−C1) ) * np . s q r t (( C1+C3−C2) * (C1+C2−C3) )+(R1 ** 2 * np . a r c s i n (C1/(2 * R1) )−C1/4 * np . s q r t (4 * R1 ** 2−C1 ** 2) )+(R2 ** 2 * np . a r c s i n (C2/(2 * R2) )−C2/4 * np . s q r t (4 * R2 ** 2−C2 ** 2) ) +((R3 ** 2 * np . a r c s i n (C3/(2 * R3) )−C3/4 * np . s q r t (4 * R3 ** 2−C3 ** 2) ) ) ; alphas=alphas−Aoverlap ; e l i f ( ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( Ss * si nt >Y13+(Y23−Y13) /(X23−X13) * ( Ss * cost −X13) ) ) : prin t (’ Caso 1 4.1 b ’ ) Aoverlap = 1/4 * np . s q r t (( C1+C2+C3) * (C2+C3−C1) ) * np . s q r t (( C1+C3−C2) * (C1+C2−C3) )+(R1 ** 2 * np . a r c s i n (C1/(2 * R1) )−C1/4 * np . s q r t (4 * R1 ** 2−C1 ** 2) )+(R2 ** 2 * np . a r c s i n (C2/(2 * R2) )−C2/4 * np . s q r t (4 * R2 ** 2−C2 ** 2) ) +((R3 ** 2 * np . a r c s i n (C3/(2 * R3) )+C3/4 * np . s q r t (4 * R3 ** 2−C3 ** 2) ) ) ; alphas=alphas−Aoverlap ; e l i f (not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and ( ( X13−Sp ) ** 2+Y13 ** 2<p ** 2) and ( Ss−s<Sp−p ) ) : prin t (’ Caso 14 .2 a ’ ) alphas=np . pi * s ** 2−alphaps ; e l i f (not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and ( ( X13−Sp ) ** 2+Y13 ** 2<p ** 2) and not ( Ss−s<Sp−p) ) : prin t (’ Caso 1 4.2 b ’ ) alphas =0; e l i f ( ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and (Sp>1) ) : prin t (’ Caso 14 .3 a ’ ) alphas=alphas−alphap ; e l i f ( ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not (Sp>1) ) : prin t (’ Caso 1 4.3 b ’ ) alphas=np . pi * p ** 2−alphap−alphaps+ alphas ; e l i f (not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X13−Sp ) ** 2+Y13 ** 2<p ** 2) and not (X23 ** 2+Y23 ** 2<1) ) : prin t (’ Caso 14 .7 a ’ ) e l i f (not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12−Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X12−Ss * co s t ) ** 2+(Y12+Ss * s i n t ) ** 2<s ** 2) and not ( ( X13−Sp ) ** 2+Y13 ** 2<p ** 2) and (X23 ** 2+Y23 ** 2<1) ) : prin t (’ Caso 1 4.7 b ’ ) alphas=alphas−alphaps ; 358 Ap´endice B. Programaci´on en MATLAB, MATHEMATICA y Python de distintos algoritmos empleados en la Tesis e l i f Sps<=p−s : prin t (’ Caso 15\n ’ ) alphas =0; e l i f ( Ss<=1−s ) : i f Sps>=p+s : prin t (’ Caso 16\n ’ ) alphas=np . pi * s ** 2; e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 17\n ’ ) alphas=np . pi * s ** 2−alphaps ; e l i f Sps<=p−s : prin t (’ Caso 18\n ’ ) alphas =0; e l i f (Sp<=1−p ) : i f Ss>=1+s : i f Sps>=p+s : prin t (’ Caso 19\n ’ ) alphap=np . pi * p ** 2; alphas =0; e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 20 −Imposible \n ’ ) break e l i f Sps<=p−s : prin t (’ Caso 21 −Imposible \n ’ ) break e l i f (1−s<Ss and Ss<1+s ) : i f Sps>=p+s : prin t (’ Caso 22\n ’ ) alphap=np . pi * p ** 2; e l i f (p−s<Sps and Sps<p+s ) : prin t (’ Caso 23\n ’ ) alphap=np . pi * p ** 2; 359 [Document text truncated for crawler view.]