Ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles

Trabajo de Fin de Grado Ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles Antonio Álvarez López 2021/2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRADO DE MATEMÁTICAS Trabajo de Fin de Grado Ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles Antonio Álvarez López Julio, 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Análise matemática Título: Ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles Breve descrición do contido En primer lugar, se estudiará la naturaleza y procedencia de las ecuaciones de Euler que rigen la dinámica de fluidos incompresibles, explicando de dónde surgen los términos que la componen y cómo actúan. Además, se examinarán modelos unidimensionales recientes de dichas ecuaciones y se analizarán las interacciones entre los distintos términos que pueden llegar a provocar singularidades en las soluciones. Recomendacións La bibliografía más relevante es: 1. James A. Fay, Introduction to fluid mechanics, MIT Press, 1994. 2. Tarek M. Elgindi, In-Jee Jeong, On the effects of advection and vortex stretching, arXiv:1701.04050v2, 2017. 3. Tarek M. Elgindi, Tej-eddine Ghoul, Nader Masmoudi, Stable self-similar blowup for a family of nonlocal transport equations, arXiv:1906.05811v1, 2019 Outras observacións iv Índice general Resumen viii Introducción xi 1. Preámbulos 1 2. El movimiento de los fluidos: Ecuaciones de Navier-Stokes 5 2.1. Hipótesisbásicas ................................. 6 2.2. Aproximación al estudio del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Derivación de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.1. Conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3.2. Conservación del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4. Formulación de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5. El problema del milenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Las ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles 15 3.1. Análisis local del campo de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. El criterio de Beale-Kato-Majda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3. Ecuaciones de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4. Modelos unidimensionales 23 4.1. El modelo de Constantin-Lax-Majda (CLM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2. El modelo de Okamoto-Sakajo-Wunsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. Algunos resultados 29 5.1. Teoremas ..................................... 29 5.2. “Toy model” ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.3. Demostraciones de los Teoremas 5.1 y 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3.1. Estructura................................. 32 v 5.3.2. Notación.................................. 33 5.3.3. Soluciones autosimilares del modelo de Constantin-Lax-Majda . . . . 34 5.3.4. Blow-up autosimilar para el caso regular . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3.5. Blow-up autosimilar para el caso Hölder-continuo . . . . . . . . . . . 44 A. 53 A.1. Propiedades de la transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.2. Desigualdades funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Bibliografía 57 vi xiv Capítulo 1 Preámbulos Para facilitar la comprensión del texto, recordamos algunos de los conceptos matemáticos que serán utilizados, fundamentalmente relativos a ciertos espacios funcionales. Sean 1≤p≤+∞,m∈Ny un dominio Ω⊆Rn. Se define el espacio de Sobolev Wm,p(Ω) = {f∈Lp(Ω) |Dαf∈Lp(Ω),∀α∈Nn:|α| ≤ m}, donde |α|=Pn i=1 αiyDαf=∂α1 x1· · · ∂αn xnfes la notación multi-índice para las derivadas parciales, y está definida en un sentido débil (o distribucional), esto es: ZΩ f(x)Dαφ(x)dx = (−1)|α|ZΩ Dαf(x)φ(x)dx, ∀φ∈ C∞ c(Ω) =: D(Ω). Esta es una generalización de la idea clásica de derivada que es aplicable a cualquier función localmente integrable. En el caso de una función suficientemente regular, la integración por partes lleva a esta relación en el sentido usual. Los espacios de Sobolev son los espacios funcionales que se emplean normalmente para el estudio de la regularidad en las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), como las de Euler o las de Navier-Stokes. Son espacios de Banach con la norma kfkWm,p =X |α|≤m kDαfkLp. Nótese que si m= 0, entonces W0,p(Ω) = Lp(Ω) y que para todo m∈Ny para todo 1≤p≤+∞se tienen las inclusiones continuas Wm+1,p(Ω) ⊂Wm,p(Ω) ⊂Lp(Ω). Si p= 2, los espacios de Sobolev se denotan por Hm(Ω) ≡Wm,2(Ω) y están dotados de manera natural de la estructura de espacio de Hilbert, con producto interno definido a 1 partir del de L2(Ω) como (f, g)Hm(Ω) =X |α|≤m (Dαf, Dαg)L2(Ω). Por último, los espacios de Sobolev Hmverifican el siguiente teorema de embebimiento: Teorema 1.1. Sea un dominio Ω⊂Rn. Si m, k, n > 0cumplen que m−n 2> k, entonces Hm(Ω) ⊂Ck(Ω). Este resultado forma parte del Teorema del Embebimiento de Sobolev, que tiene una formulación más general que incluye a los espacios Wm,p con p6= 2, pero en este trabajo solamente utilizaremos los espacios Hm, por lo que esta versión es suficiente. Se define el espacio de Schwartz como S(Rn) = {f∈C∞(Rn)| ∀α, β ∈Nn,kfkα,β <∞}, siendo kfkα,β =kxαDβfk∞= sup x∈Rn|xαDβf(x)|, con xα=xα1 1· · · xαn n. Se dice que dichas funciones y sus derivadas son de decrecimiento rápido, pues, intuitivamente, la condición significa que la función y sus derivadas de cualquier orden decrecen más rápido que el inverso de cualquier polinomio. Un ejemplo de función en este espacio es la función f(x) = xae−b|x|2, para a > 0,b∈Nn. Sea Ω⊂Rn. Para α∈(0,1], se define el espacio de funciones Hölder-continuas Cα= Cα(Ω) como aquellas que verifican la condición kfkCα= sup x6=y |f(x)−f(y)| |x−y|α<∞,(1.1) o kfkCα= sup h6=0 |f(x+h)−f(x)| |h|α<∞.(1.2) Si α= 1, la condición (1.1) coincide con la definición de función Lipschitziana. El espacio Cαes un espacio de Banach y las funciones que lo componen son continuas, ya que se tiene la cadena de inclusiones Cβ⊂Cα⊂C0, para todo 1≥β > α > 0. Estos espacios funcionales permiten medir la regularidad de manera fraccionaria, entendiendo esto como que “rellenan” los huecos entre los espacios C0 2 yC1. El ejemplo clásico de función Hölder-continua Cαes f(x) = |x|α, para α∈(0,1] y con x∈R. Además, para cualquier función continuamente diferenciable kse tiene que la función f(x) = k(|x|α)es Cαusando que kes, en particular, Lipschitziana. El valor principal de Cauchy VP es una herramienta matemática que tiene la finalidad de asignar un valor a ciertas integrales impropias que no son convergentes de la manera usual. En este trabajo, se utilizará constantemente pues forma parte de la definición de la transformada de Hilbert. En este caso concreto, para ω:R−→ Rfunción integrable, está definido de la siguiente forma: Hω(x) = 1 πVP Z∞ ∞ ω(y) x−ydy =1 πl´ım →0Zx− −∞ ω(y) x−ydy +Z∞ x+ ω(y) x−ydy =1 πl´ım →0−Z −∞ ω(x−z) zdz +Z∞  ω(x+z) −zdz=−2 πl´ım →0Z∞  ω(x+z)−ω(x−z) zdz. Con más generalidad, si ωes solo localmente integrable, se puede definir como Hω(x) = 1 πl´ım t→∞ l´ım →0Zx− x−t ω(y) x−ydy +Zx+t x+ ω(y) x−ydy, siempre que estos límites existan. Si la integral impropia es convergente, su valor principal de Cauchy también es finito y además coincide con el valor de la integral. Sin embargo, puede ocurrir que la integral diverja pero su valor principal de Cauchy sea finito. Un ejemplo sencillo es el de la función f(x) = x, para la cual Z∞ −∞ xdx no convergente pues Z∞ 0 xdx =∞, pero VP Z∞ −∞ xdx = l´ım t→∞ Zt −t xdx = l´ım t→∞ 0=0. Algunas consideraciones más sobre el lenguaje y la notación matemática que utilizaremos son: Emplearemos letras minúsculas en negrita para denotar campos vectoriales y letras mayúsculas en negrita para campos tensoriales. Utilizaremos en algún desarrollo la notación de Einstein para cálculo vectorial, que es el convenio para sumas vectoriales que consiste en suprimir los símbolos de sumatorio y entender que se suma sobre los índices repetidos. Usaremos indistintamente la notación ∂tf=∂f ∂t y∂xif=∂f ∂xipara referirnos a las derivadas parciales de una función frespecto de la variable temporal to respecto de cada coordenada espacial xi. 3 Cuando digamos que una función o campo vectorial es diferenciable, nos referiremos a que es diferenciable C∞, salvo que se especifique lo contrario. Cuando trabajemos con números complejos, <(·)y=(·)denotarán la parte real y la parte imaginaria, respectivamente. 4 Capítulo 2 El movimiento de los fluidos: Ecuaciones de Navier-Stokes Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations. (Clay Mathematics Institute) Las ecuaciones de Navier-Stokes son el conjunto de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) que constituyen el modelo matemático que describe el movimiento y evolución temporal de determinadas clases de fluidos que introduciremos más tarde, pero aglomeran a la mayoría de los mismos. Con la finalidad de comprender el origen y efecto de cada término de las ecuaciones, estas serán derivadas desde cero. Pese a que cronológicamente son posteriores a las ecuaciones de Euler, y de hecho resolvieron las limitaciones que estas planteaban como modelo del movimiento de los fluidos, en este capítulo se obtendrán primero las ecuaciones de Navier-Stokes y después las otras como el caso límite cuando la viscosidad es nula. La deducción se llevará a cabo de forma breve y a partir de las teoría de medios continuos, con [8], [14] y [27] como referencias principales. Previamente, haremos una introducción formal a la dinámica de fluidos. 5 2.1. Hipótesis básicas En el marco de la teoría de los medios continuos, denominamos fluido a una distribución continua de partículas puntuales que se mueve y deforma en el espacio conforme avanza el tiempo, t, sin que aparezcan fuerzas internas que intenten recuperar su forma original. Es por ello que un fluido no tiene una forma definida y se adapta a la del recipiente que lo contiene, en caso de que haya uno. Así pues, con esta aproximación, el fluido es una sustancia continua en vez del conglomerado real de moléculas discretas que los componen y cuyo tratamiento matemático sería mucho más complejo. Mientras no se especifique lo contrario, en este trabajo supondremos que esta distribución está definida para cada instante en un espacio de tres dimensiones. La aproximación del medio continuo supone una enorme simplificación y es efectiva cuando el recorrido libre medio entre colisiones de las partículas es mucho menor que las longitudes características mínimas del problema, esto es, las distancias más pequeñas a las que las propiedades macroscópicas pueden variar de manera apreciable, que son del orden de 10−5cm. En sustancias en las que el recorrido libre medio es mayor, como los gases interestelares enrarecidos, la aproximación deja de ser válida pues la acción de cada molécula individual es significativa, y se debe recurrir a otras teorías de índole estadística. Además de suponer el fluido como un medio continuo, el análisis matemático también requiere considerar que los campos que lo caracterizan varían en el medio de forma continua. Para ello, se considera, a escalas mucho mayores que el recorrido libre medio y mucho menores que la escala de trabajo, un volumen elemental en torno a cada punto espacial x y para cada instante t. A este volumen se le conoce como partícula fluida, y es un medio continuo y homogéneo en el que podemos definir una velocidad media del movimiento, que será para nosotros la velocidad puntual. También podemos definir una densidad media, que es la masa contenida por unidad de volumen; o una presión media, entendida como el valor absoluto de la fuerza por unidad de superficie a través de una superficie infinitesimal que contiene a la partícula, y se asume que es la misma en toda las direcciones. En resumen, las consideraciones con partículas en un medio continuo son consideraciones con partículas puntuales ideales que promedian las propiedades de cada elemento de volumen. A todas estas suposiciones se les conoce como la Hipótesis del continuo. 2.2. Aproximación al estudio del movimiento Para caracterizar el movimiento del fluido, trabajaremos fundamentalmente con tres campos: un campo escalar de densidades ρ(t, x); un campo escalar de presiones p(t, x); y un campo vectorial de velocidades u(t, x), que supondremos a priori que están definidos 6 en R×R3. Existen dos enfoques diferentes para describir los cambios en dichos campos: Por una parte, el enfoque euleriano, que centra su estudio analítico en un punto determinado del espacio, y no tiene interés en la partícula específica del fluido que ocupa dichas coordenadas, sino en el valor que toman los campos en dicho punto a lo largo del tiempo. Por otra parte, el enfoque lagrangiano, que pretende estudiar la variación que experimentan las propiedades de una partícula fijada del fluido a lo largo de su trayectoria. Para ello, se identifica cada partícula con unas coordenadas espaciales α= (x0, y0, z0)en un instante inicial t0y se estudia su movimiento con respecto al tiempo a través de la función que describe su trayectoria, esto es, el lugar geométrico de los puntos del espacio que va ocupando sucesivamente en su desplazamiento. A esta función X(t;t0,α)que nos proporciona la posición en el instante tde la partícula que ocupaba la posición αen el instante t0se la conoce como curva característica asociada al campo de velocidades, o función trayectoria, y se tiene que ∂X ∂t (t) = u(t, X(t)),(2.1) para cada t≥t0. De esta forma, el campo vectorial unos proporciona para cada punto del fluido y cada instante de tiempo, el vector cuya dirección y magnitud son las de la velocidad de la partícula del fluido que está en dicho punto en ese momento. A partir de las curvas características podemos definir también el flujo característico como la aplicación definida, para cada t0, t ∈R, por Ft0→t:R3−→ R3 x7−→ X(t;t0,x). Esta aplicación hace corresponder al punto del fluido que ocupa la posición xen el instante t0su posición en el instante t. Por otra parte, podemos definir una línea de corriente en un fluido como una curva que en un instante tfijado es tangente al campo de velocidades en cada punto de la misma. Siguiendo la línea de los dos enfoques para el estudio del movimiento, podemos definir la derivada euleriana, que es el operador que al aplicarse a un campo fen un punto e instante temporal nos proporciona su derivada temporal con respecto a dicha posición fija en el espacio ∂f ∂t ; y la derivada material oderivada de Lagrange, que describe la variación temporal del valor del campo en una partícula del fluido fijada, por lo que tiene en cuenta también la variación debido al movimiento a lo largo de la trayectoria que sigue la partícula. En otras palabras, estamos expresando el campo fcomo función de las curvas características f=f(t, X(t)), por lo que se define la derivada material D Dt de fcomo Df Dt =f(t, X(t)) dt =∂f ∂t +u· ∇f, (2.2) 7 donde u· ∇f=u1∂f ∂x1+u2∂f ∂x2+u3∂f ∂x3es el producto escalar de uy el vector gradiente de f, si este es un campo escalar. Si, por el contrario, f= (f1, f2, f3)se trata de un campo vectorial, entonces ∇f≡∂fi ∂xji,j=1,2,3es su matriz jacobiana, y u· ∇f= (∇f)·use refiere a la multiplicación usual de una matriz y un vector: (u· ∇f)i=uj ∂fi ∂xj El primer sumando de (2.2) representa la derivada de Euler, mientras que el segundo sumando representa la variación de fdebido a su transporte por el flujo, efecto conocido como advección, o convección, si se trata de un campo vectorial. Este segundo sumando se puede interpretar como la derivada direccional del campo fen la dirección del vector u. Un ejemplo ilustrativo de la manera en la que actúan las dos componentes de este operador es el de una partícula que se desplaza a lo largo de un río y experimenta cambios en su temperatura. Esta puede variar tanto por el calentamiento del sol en cada punto del espacio a medida que avanza el día (derivada de Euler) o por moverse por zonas del río que están al sol o a la sombra (derivada advectiva). 2.3. Derivación de las ecuaciones Las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma habitual se derivan de dos leyes de conservación, además de una serie de condiciones que simplifican razonablemente el problema de cara al análisis matemático. La primera de las leyes es la ley de conservación de la masa, y la otra es la ley de conservación de la cantidad de movimiento. Hay una tercera ley de conservación importante que es la de la energía, pero que no se usa en la deducción de las ecuaciones que buscamos. 2.3.1. Conservación de la masa La ley de conservación de la masa es una ecuación de continuidad, lo que significa que se expresa como una igualdad entre la velocidad de cambio de una propiedad φdefinida en un volumen arbitrario Ωy la cantidad que atraviesa la frontera de Ωmás la que se crea o consume en las fuentes y sumideros del campo. En el caso de la función densidad, no existe este último término, pues la masa del fluido no se crea ni se destruye. Por tanto, al hacer φ=ρ, obtenemos la ley de conservación de la masa (en forma diferencial): ∂ρ ∂t +∇ · (ρu)=0,(2.3) 8 donde ∇· es el operador divergencia. Esta ecuación tiene otra formulación más geométrica, que vamos a derivar. Usando la definición (2.2), la ecuación (2.3) es equivalente a: Dρ Dt +ρ∇ · u= 0.(2.4) Sea J=J(t;t0,x) = det(∂Xi ∂xj)el jacobiano del flujo característico Ft0→t, que describe la expansión del volumen a lo largo de una trayectoria. Se verifica que DJ Dt =J(∇ · u),(2.5) cuya demostración se puede encontrar en [28]. Por razones físicas, debe ser J6= 0, por lo que (2.4) equivale a 0 = Dρ Dt J+ρJ(∇ · u) = Dρ Dt J+ρDJ Dt =D Dt(ρJ), de manera que (2.3) es equivalente a D Dt(ρJ) = 0.(2.6) Se llaman fluidos incompresibles a los que verifican que cualquier volumen del fluido permanece constante en su evolución, y no se comprime (o expande). Esta condición nos dice que el jacobiano Jdebe ser constante e igual a 1, ya que, si consideramos un volumen Ωdel fluido en un instante t0, el volumen que ocupará en t≥t0será Ωt=Ft0→t(Ω) = X(t;t0,Ω), y cumplirá: Vol(Ωt) = ZΩt dV =ZΩ JdW =ZΩ dW =Vol(Ω), si y solo si J= 1. Entonces, la ley de conservación de la masa toma la forma Dρ Dt = 0, que significa que la densidad de cualquier partícula fluida permanece constante a lo largo de su trayectoria. Equivalentemente, y en su forma más común, usando (2.3) y (2.6), la condición de incompresibilidad se puede expresar como ∇ · u= 0.(2.7) El significado físico de esta ecuación se puede deducir usando el Teorema de la Divergencia: el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada será nulo, luego esta no se podrá comprimir o expandir. Si lo interpretamos desde la perspectiva del mundo real, la hipótesis de incompresibilidad limita el estudio al de los fluidos líquidos, aunque también los gases son aproximadamente incompresibles bajo ciertas hipótesis. A partir de ahora, nos restringiremos a los fluidos incompresibles y podremos aplicar (2.7) en nuestros desarrollos. Es posible simplificar un poco más incorporando la hipótesis del fluido homogéneo, en el cual se cumple que ρ=ρ(t). Así obtenemos, de la condición Dρ Dt = 0, que ∂ρ ∂t = 0, esto es, que la densidad también será constante en el tiempo y es, por tanto, un campo constante. 9 (ver [26]). Luego, la presión se puede determinar a partir de la velocidad salvo un término que solo depende del tiempo y no de la posición, y el operador que relaciona la presión y la velocidad es no local y cuadráticamente no lineal. Respecto al estudio de las soluciones, solo se ha logrado demostrar hasta ahora, para las ecuaciones de Euler tridimensionales con condiciones iniciales regulares (en el sentido de Sobolev), la existencia de una única solución regular de manera local en el tiempo, esto es, definida en un intervalo de tiempo finito ([26]): Teorema 3.1. Sea u0∈Hs(R3;R3), con s≥3, una función que satisface ∇ · u0= 0. Entonces, existe un tiempo finito T0>0, que depende solamente de la cantidad ku0kH3(R3;R3) para el cual existen dos únicas funciones u∈C[0, T0]; Hs(R3;R3)∩C1[0, T0]; Hs−1(R3;R3) y p∈C[0, T0]; Hs+1(R3;R) que resuelven (3.1), para todo t∈[0, T0]. Este teorema asegura la existencia de soluciones regulares definidas en un intervalo de tiempo finito, pero no asegura que pierdan la regularidad o la forma en la que lo harían. Este problema, que sigue abierto hoy en día, constituye uno de los más importantes de este campo y de la matemática aplicada en general. La ausencia del término de difusión facilita el estudio de la ecuación y, a priori, esta posee una mayor probabilidad de formar singularidades debido al efecto regularizador asociado a dicho término (tiende a “suavizar” la solución). No obstante, las soluciones también son extremadamente inestables, lo que dificulta su análisis computacional. El caso bidimensional fue resuelto por el matemático Tosio Kato en 1967, quien probó un teorema de existencia y unicidad clásico (ver [18]). 3.1. Análisis local del campo de velocidades El estudio de los fluidos ideales supone resolver un sistema de EDPs no lineales, debido al término u· ∇u. Es por ello que es necesario simplificar el problema. Vamos a dar una descripción local del campo de velocidades de un fluido ideal, con el objetivo de comprender mejor su comportamiento y descomponerlo como suma de campos más sencillos. Este análisis, que está basado en los desarrollos de [3] y [26], servirá para introducir el campo de vorticidades ω, que será de gran importancia en el resto del documento. Consideremos un fluido en R3, y sea u(t, x) = (u1(t, x), u2(t, x), u3(t, x)) el campo de velocidades del fluido, que a cada punto (t, x)∈[0,∞)×R3le hace corresponder el 16 vector velocidad de la partícula que ocupe dichas coordenadas en ese instante de tiempo. Supondremos que este campo es lo suficientemente diferenciable. Sea un punto (t0, x0)∈[0,∞)×R3. Vamos a estudiar el campo u(t, x)en un entorno de dicho punto. Para ello, consideramos un desarrollo de Taylor de primer orden del campo uen torno al punto (t0, x0): u(t0,x0+h) = u(t0,x0) + ∇u(t0,x0)·h+O(kh2k), con h∈R3. El término ∇u(t0,x0)≡ ∇ues la matriz jacobiana del campo uen el punto (t0,x0), definida, en notación de subíndices, como (∇u)ij =∂ui ∂xj =∂xjui, con i, j ∈ {1,2,3}. Esta matriz admite una descomposición única ∇u=S+Ω,(3.4) donde S=S(t0,x0) = 1 2∇u+∇uT, Ω=Ω(t0,x0) = 1 2∇u− ∇uT, son la parte simétrica y antisimétrica de ∇uen (t0,x0), respectivamente. A la matriz S∈M3×3(R)se le llama matriz de deformación (nótese que coincide con (2.10)), y a la matriz Ω∈M3×3(R),matriz de rotación. Nótese que la condición de incompresibilidad ∇ · u= 0 es equivalente, en términos de estas matrices, a tr ∇u=tr S= 0, ya que los elementos de la diagonal de Ωson nulos por ser antisimétrica. Ahora, definimos el campo de vorticidades ω(t, x)del fluido como el rotacional del campo de velocidades, es decir, ω(t, x) = ∇ × u(t, x)=(∂x2u3−∂x3u2, ∂x3u1−∂x1u3, ∂x1u2−∂x2u1),(3.5) para cada (t, x)∈[0,∞)×R3. Este campo verifica que Ω(t, x)·h=1 2ω(t, x)×h,∀h∈R3,∀(t, x)∈[0,∞)×R3,(3.6) y de ahí el nombre que se le da a la matriz Ω. Comprobamos esto haciendo uso de la notación de Einstein. Para cada i∈ {1,2,3}, 1 2(ω×h)i=1 2ijkωjhk=1 2ijkjab∂xaubhk =−1 2(δiaδkb −δibδka)∂xaubhk=1 2(∂xkui−∂xiuk)hk= Ωikhk, 17 donde ijk es el tensor de Levi-Civita, definido como ijk =         +1,si (i, j, k)∈ {(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}, −1,si (i, j, k)∈ {(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}, 0,en otro caso, que cumple (a×b)i=ijkajbk, y verifica que ijkiab =δjaδkb −δjbδka. Lema 3.2 (Caracterización local del campo de velocidades).Para cualquier punto espaciotemporal del fluido (t0, x0)∈[0,∞)×R3, existe un entorno espacial en el que el campo de velocidades viene dado por: u(t0,x) = u(t0,x0) + 1 2ω(t0,x0)×(x−x0) + S(t0,x0)(x−x0) + O(kx−x0k2).(3.7) Para ilustrar el tipo de movimiento que provoca cada término, estudiamos las curvas características del fluido en cada caso a partir de la ecuación (2.1): Para u(t, x) = u(t0,x0), la ecuación (2.1) es ∂X ∂t (t) = u0(t, x0) =⇒X(t;t0,α) = α+u0(t0,x0)(t−t0), que es una traslación en la dirección u0(t0,x0)de la partícula que se encuentra en αen el instante t0.. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que ω= (0,0, ω)T(basta con efectuar una rotación de ejes), y que x0= (0,0,0)T=0,t0= 0. Entonces, para u(t, x) = 1 2ω(t0,x0)×(x−x0) = 1 2ω(0,0)×x, la ecuación (2.1) es          ∂X1 ∂t (t) = −ω 2X2, ∂X2 ∂t (t) = ω 2X1, ∂X3 ∂t (t)=0, cuya solución, aplicando las condiciones iniciales, es:          X1(t; 0,α) = α1cos ω 2t−α2sen ω 2t, X2(t; 0,α) = α2cos ω 2t+α1sen ω 2t, X3(t; 0,α) = α3. De esta manera, las soluciones son trayectorias circulares en el plano X3=α3con centro x0=0, radio pα2 1+α2 2y velocidad angular ω 2. 18 Supongamos que u(t, x) = S(t0,x0)(x−x0). Por ser la matriz S=S(t0,x0)simétrica, sabemos que es diagonalizable, esto es, existe una matriz ortogonal O=O(t0,x0) tal que OSO−1=OSOT=diag (λ1, λ2, λ3), con λi=λi(t0,x0)∈R, para i= 1,2,3. Además, la traza de Ses nula por ser un fluido incompresible, y como la aplicación traza es invariante bajo transformaciones de semejanza, se tiene que λ1+λ2+λ3= 0 ⇐⇒ λ3=−(λ1+λ2). En el nuevo sistema de coordenadas, cuyos ejes son los dados por las direcciones de los autovectores {v1,v2,v3}de S, la ecuación (2.1) es          ∂X1 ∂t (t) = λ1X1, ∂X2 ∂t (t) = λ2X2, ∂X3 ∂t (t) = −(λ1+λ2)X3, y su solución, X(t;α,0) =     eλ1t0 0 0eλ2t0 0 0 e−(λ1+λ2)t     α. Si λ1, λ2<0, entonces X1, X2decrecen exponencialmente a 0, mientras que X3 aumenta también de manera exponencial. Esto significa, en el sistema de coordenadas original, que existe un eje sobre el que el fluido se está comprimiendo a lo largo de sus dos direcciones formando un chorro, es decir, el fluido se deforma en el espacio. Así pues, el Lema 3.2 significa que, localmente, el campo de velocidad se puede descomponer como la suma de una traslación rígida, una deformación y una rotación cuyo eje viene dado por la dirección que toma el campo de vorticidad en dicho punto y con velocidad angular proporcional a kωk 2. Además, es muy general, pues la única condición que hemos requerido es la diferenciabilidad del campo upara poder aplicar el teorema de Taylor. Pueden encontrarse varios ejemplos de soluciones exactas sencillas para distintas formas de la matriz de deformación y de rotación en los que se ilustra la interacción entre ambos términos en [15]. 3.2. El criterio de Beale-Kato-Majda El problema de la pérdida de regularidad en las soluciones de las ecuaciones de Euler tridimensionales con condiciones iniciales diferenciables cobró una gran importancia 19 desde su planteamiento, y muchas computaciones numéricas fueron llevadas a cabo tratando de arrojar luz sobre el mismo. En estas simulaciones parecía que, para determinadas condiciones iniciales regulares, la formación de singularidades en los flujos era algo intrínseco a las ecuaciones. Sin embargo, la extrema inestabilidad de las ecuaciones dificultaba enormemente la verificación de las predicciones, y todavía lo hace hoy en día. Tanto los experimentos numéricos como los estudios cualitativos mostraban evidencias de una conexión entre la formación de singularidades y la acumulación de vorticidad en regiones cada vez más pequeñas. Esta relación fue rigurosamente analizada por J.T. Beale, T. Kato y A. Majda, quienes, en 1984, publicaron el siguiente resultado, cuya demostración se puede encontrar con detalle en [4]. Teorema 3.3. Sea u∈C([0, T ]; Hs(R3))∩C1([0, T]; Hs−1(R3)), para s≥3, una solución de las ecuaciones de Euler, y supongamos que existe un tiempo T0>0para el que la solución u(t, ·)no puede extenderse permaneciendo en la clase anterior. Asumimos que T0 es el primer instante en el que esto ocurre. Entonces el campo de vorticidades ω=∇ × u verifica que ZT0 0 kω(t, x)kL∞dt =∞, y, en particular, l´ım t→T0 sup kω(t, x)kL∞=∞. Así pues, la pérdida repentina de regularidad de una solución inicialmente regular en un instante dado T0>0provoca que el valor máximo de la vorticidad (en valor absoluto) incremente sin límites a medida que dicho momento se acerca. En particular, se tendría que ωes no acotada en R3en el instante T0, por lo que se dice que tiene un blow-up de tiempo finito. De esta forma, la norma infinito de la vorticidad controla el colapso de las soluciones regulares de las ecuaciones de Euler tridimensionales, como expone el contrarrecíproco del anterior teorema, que enunciamos como un corolario: Corolario 3.4. Sea T0>0. Existe una solución global de las ecuaciones de Euler 3D u∈C([0, T0]; Hs)∩C1([0, T0]; Hs−1), para s≥3, si para todo T > 0se verifica ZT 0 kω(t, x)kL∞dt < ∞. A modo de observación, este resultado fue originalmente demostrado en R3, pero se puede aplicar también para dominios periódicos que dan lugar a flujos periódicos sin más que realizar ligeras modificaciones en la demostración (véase [16], [1]). Además, existen resultados similares para el caso viscoso, es decir, para las ecuaciones de Navier-Stokes. 20 3.3. Ecuaciones de la vorticidad El criterio de Beale-Kato-Majda desvela una conexión entre la formación de singularidades en el fluido y su campo de vorticidades, de ahí la motivación para introducir este campo en las ecuaciones. Para ello, aplicamos el operador rotacional en el sistema (3.1). En la ecuación del movimiento, como el rotacional del gradiente de un campo escalar es nulo, se anula el término del campo de presiones, y si las fuerzas externas son conservativas, como el campo gravitatorio, también se anula este término. Al aplicar el rotacional en el lado izquierdo de dicha ecuación, tenemos por una parte que ∇ × (∂tu) = ∂t(∇ × u) = ∂tω. Para el término convectivo, usando la siguiente fórmula de cálculo vectorial, que se puede encontrar demostrada en [28], u· ∇u=ω×u+∇u2 2, y la identidad vectorial ∇ × (ω×u)=(u· ∇)ω−(ω· ∇)u+ω(∇ · u)−u(∇ · ω), se tiene que ∇ × (u· ∇u)=(u· ∇)ω−(ω· ∇)u. Como la divergencia de un rotacional siempre es 0, la condición de incompresibilidad no es característica para la vorticidad, pero, usando ∇ · u= 0, podemos poner uen función de ω: ω=∇ × u=⇒ ∇ × ω=∇ × (∇ × u) = ∇(∇ · u)−∆u=−∆u=⇒u=∇ × (−∆)−1ω. Por último, las condiciones iniciales pasarán a estar formuladas para el campo de vorticidad. Así, obtenemos el siguiente sistema:          ∂tω+u· ∇ω=ω· ∇u, u=∇ × (−∆)−1ω, ω(0,x) = ω0(x). (3.8) Este sistema es equivalente a (3.1), teniendo en cuenta que use puede calcular mediante la segunda ecuación, verificando ∇ · u= 0, y, que resuelto este sistema, la presión se puede calcular a partir de (3.3) La primera igualdad se denomina la ecuación de la vorticidad, y describe la evolución temporal de este campo. Esta ecuación es lineal en ω, por lo que a 21 datos iniciales nulos les corresponde una solución nula. En el caso de que el fluido fuera viscoso, bastaría con añadir un término de difusión ν∆ω. El término de la izquierda es la derivada material de la vorticidad. El término de la derecha es la derivada direccional de uen la dirección de ω. Teniendo en cuenta la descomposición (3.4) de ∇uy la expresión (3.6), que implica que ω∈Ker Ωen todo punto e instante de tiempo, se tiene que: Dω Dt =ω· ∇u=Sω. Esto implica que la variación temporal de la vorticidad a lo largo de las trayectorias de las partículas es igual al producto de la matriz de deformación en cada punto por el vector de vorticidad correspondiente. Así pues, cuando ωse alinea con alguno de los autovectores vi(i= 1,2,3) de la matriz S,ωcrece o decrece en magnitud de manera exponencial en función del signo del autovalor correspondiente. En particular, en dimensión n= 2 se verifica que u= (u, v, 0)Ty que ω= (0,0, ω)T, por lo que ω· ∇u=ω∂ ∂z u= 0, de donde se deduce que en el caso bidimensional Dω Dt = 0, esto es, la vorticidad se conserva a lo largo de las trayectorias. La dinámica de las soluciones del sistema (3.8) se guía por algunos efectos como la no localidad, el transporte y el estiramiento de vórtices. La no localidad se origina en la segunda ecuación de (3.8), conocida como Ley de Biot-Savart, debido al término (−∆)−1. Físicamente, indica que cualquier pequeña perturbación vorticial tiene efecto sobre el movimiento de cada partícula del fluido. La Ley de Biot-Savart es la misma que describe el campo magnético que induce una corriente eléctrica, y tiene la siguiente formulación integral a través de un núcleo: u(t, x) = −1 4πZR3 x−y kx−yk3×ω(t, y)dy,∀(t, x)∈[0,∞)×R3.(3.9) El transporte de vórtices indica que los vórtices se ven arrastrados por el campo de velocidades que ellos mismos generan, lo cual puede conllevar además un aumento o disminución de su magnitud. Este efecto se produce por el término u· ∇ω. Por último, el estiramiento de vórtices se refiere al proceso por el cual estos varían su magnitud debido a los cambios que sufre el gradiente de velocidades en la dirección del vórtice, descritos a través de la derivada direccional ω·∇u. Este término resulta ser la principal fuente de singularidades, y de ahí el interés por estudiar su comportamiento e interacción con el término de transporte. Nótese que en dimensión n= 2 este término es nulo, lo cual es una de las claves de la globalidad en las soluciones. 22 Capítulo 4 Modelos unidimensionales A lo largo de este capítulo introduciremos varios modelos unidimensionales de las ecuaciones de Euler en su formulación de vorticidad. Por analogía con las mismas, denominaremos también término de estiramiento de vórtices y término de transporte a los dos términos que pretenden modelizar el comportamiento de ambos. 4.1. El modelo de Constantin-Lax-Majda (CLM) El modelo de Constantin-Lax-Majda (CLM), propuesto en 1985, abrió una línea de investigación que todavía se estudia hoy en día. Fue creado con el objetivo de analizar en dimensión n= 1 el efecto del estiramiento de vórtices ω· ∇u=Sωsobre las soluciones. Para ello, se tiene en cuenta que al hacer la derivada espacial en la ley de Biot-Savart (3.9) se puede obtener una expresión de la forma S=F(ω), donde Fes un operador lineal integral que conmuta con la traslación, con núcleo de Schwartz singular y de valor medio nulo en la esfera S2(para más detalles, ver [6]). Solamente existe, salvo multiplicación por una constante, un operador unidimensional con propiedades similares: la transformada de Hilbert, definida, para ω:R→R, en c.t.p. x∈Rcomo Hω(x) = 1 πVP Z+∞ −∞ ω(y) x−ydy. (4.1) Nótese que en la definición no aparece la variable temporal y el dominio de la función ωes el eje espacial R. En realidad, el eje temporal está también incluido en el dominio de la función ω, pero como la transformada de Hilbert solo actúa en el eje espacial, por comodidad omitiremos esta notación en ocasiones. Para 1< p < ∞, la transformada de Hilbert (4.1) define un operador lineal continuo H:Lp(R)−→ Lp(R). En particular, si p > 1yf∈Lp(R), entonces H(f)(x)≡Hf(x)está bien definida en c.t.p. x∈Ry es un elemento de Lp(R). De entre las muchas propiedades 23 importantes que tiene este operador, una que será esencial para nosotros a lo largo del trabajo es la siguiente: Lema 4.1. Para 1<p<∞, si f∈Lp(R)es una función impar/par, entonces Hf ∈Lp(R) es una función par/impar. Además, la transformada de Hilbert es un operador antisimétrico en Lp(R)(con p > 1), esto es: Z+∞ −∞ Hf(x)f(x)dx = 0,∀f∈Lp(R). La antisimetría se deduce directamente del lema A.3 tomando f=g. Además, para cualquier función holomorfa en el semiplano superior complejo, la transformada de Hilbert describe la relación entre sus partes real e imaginaria en la recta real. Concretamente, si f es holomorfa en el semiplano superior =z > 0y continua en el eje real, entonces =f(t) = H(<f)(t),∀t∈R, suponiendo que la transformada está bien definida. Pueden encontrarse en el Apéndice más propiedades interesantes de este operador cuya lectura es recomendable para seguir con facilidad los desarrollos posteriores. También recogemos algunos resultados más técnicos que usaremos más adelante. Para más detalles sobre este operador y su utilidad de cara a los problemas del análisis diferencial, se recomienda consultar [24]. Tras esta pequeña introducción a la transformada de Hilbert, presentamos el modelo de Constantin-Lax-Majda:    ∂tω=ωH(ω), ω(0, x) = ω0(x). (4.2) Puede verse la introducción formal de este modelo en [6] y un análisis detallado de sus propiedades en [26]. La gran ventaja que ofrece este modelo es el hecho de que posee una solución explícita: Teorema 4.2. Considérese una condición inicial ω0:R−→ Rque decaiga lo suficientemente rápido cuando |x|→∞(por ejemplo, ω0∈H1(R)). Existe una única solución para el modelo (4.2) que viene dada por la expresión ω(t, x) = 4ω0(x) [2 −tHω0(x)]2+ [tω0(x)]2, x ∈R.(4.3) Demostración. Consideraremos únicamente la transformada de Hilbert en el eje real, ya que los cálculos y resultados son los mismos en el caso periódico. Dada una condición inicial ω0∈H1(R), sabemos que el problema (4.2) posee una única solución ω∈H1(R;R)para todo t≥0. Dada una función f∈L2(R;R), su transformada de Hilbert H(f)también pertenece aL2(R;R)y, por el teorema A.7, verifica en c.t.p. de Rla igualdad: H{fH(f)}=1 2H(f)2−f2 24 Para cada t≥0, la función ω(·, t) : R−→ Res, en particular, un elemento de L2(R;R). Por tanto, podemos aplicar la transformada de Hilbert a la ecuación (4.2) y, empleando la identidad anterior, deducimos que ∀t≥0y en c.t.p. x∈R: ∂ ∂tH(ω)(t, x) = 1 2H(ω)(t, x)2−ω(t, x)2,∀(t, x)∈[0,∞)×R.(4.4) Definimos ahora en c.t.p. x∈Rla función z: [0,∞)×R−→ Ccomo: z(t, x) = H(ω)(t, x) + iω(t, x),∀(t, x)∈[0,∞)×R. Si hacemos la derivada temporal de z(t, x), y utilizando la igualdad (4.4) y la ecuación del modelo (4.2), podemos ver que esta función satisface la siguiente ecuación diferencial: ∂z ∂t (t, x) = 1 2z(t, x)2, cuya solución explícita es z(t, x) = 2z(0, x) 2−tz(0, x) para todo (t, x)∈[0,∞)×Rtales que tz(0, x)6= 2 y en c.t.p x∈R. Finalmente, tomando la parte real eimaginaria de esta solución, se deduce que:          ω(t, x) = 4ω0(x) [2 −tHω0(x)]2+ [tω0(x)]2, H(ω)(t, x) = 2Hω0(x) [2 −tHω0(x)] −2tω0(x)2 [2 −tHω0(x)]2+ [tω0(x)]2, en c.t.p. x∈Ry∀t≥0tales que [2 −tHω0(x)]2+ [tω0(x)]2>0. Pese a su simplicidad, este modelo retiene muchas de las propiedades más importantes de la ecuación tridimensional y sus soluciones exhiben algunos de los fenómenos observados. En particular, existen condiciones iniciales regulares que dan lugar a la formación de singularidades. Una condición necesaria y suficiente para que (4.3) tenga un blow-up en un instante T0>0es que exista x0∈Rtal que ω0(x0) = 0 yHω0(x0)>0. En tal caso, T0=2 sup{Hω0(x)|ω0(x) = 0}, (ver [6]), y el blow-up tiene lugar en los puntos del conjunto Z={x∈R:ω0(x) = 0, Hω0(x)>0} en los que se alcance el supremo. Por ejemplo, para ω0(x) = sin(x), se tiene que Hω0(x) = −cos(x)y ω(t, x) = 4 sin(x) [2 + tcos(x)]2+ [tsin(x)]2=sin(x) 1 + t2 4+tcos(x) 25 Podemos insertar esto en la expresión de ω(t, x)y, usando que Zt 0 Hω(s, 0)ds =1 2ln(1 −2c0t), concluimos que ω(t, x) = 1 1−2c0tω0x(1 −2c0t)a/2. Entonces, podemos observar: Si a≤0, la solución desarrolla en el punto x= 0 una singularidad en el instante t=1 2c0para cualquier perfil no trivial ω0. Si a= 2, podemos distinguir dos casos: Si la condición inicial ω0es por lo menos de clase C1en R, entonces la solución permanece regular para todo instante de tiempo. Esto puede comprobarse, por ejemplo, aplicando el Teorema del Valor Medio en la variable xy usando que ω0(0) = 0 por ser función impar: |ω(t, x)−ω(t, 0)|= ω0(x(1 −2c0t)) 1−2c0t ≤xkω0 0kL∞<∞, x ∈R. Si, en cambio, la condición inicial es de la forma ω0(x) = Csign(x)|x|αen un entorno de x=0 para algún α∈(0,1) yC > 0constante, entonces la solución tiene una singularidad en el origen en el instante t=1 2c0. Con mayor generalidad (véase [11]), si a > 0y la condición inicial es al menos de clase C1 2acon derivadas hasta el orden [1 2a](parte entera de 1 2a) nulas en el origen, entonces la solución es global, lo que, en particular, significa que si la condición inicial verifica |ω0(x)|.|x|2/α, entonces la solución es global. En otro caso, podría existir un blow-up. 5.3. Demostraciones de los Teoremas 5.1 y 5.2 5.3.1. Estructura Las dos demostraciones siguen exactamente los mismos pasos, con la diferencia de que una cuenta con la simplificación de estar formulada para el caso regular, mientras que la otra hay que adaptarla al caso de continuidad Hölder. 1. Loa autores comienzan estudiando con detalle el modelo CLM, que constituye el caso a= 0 de la ecuación (4.11). Se construyen soluciones que tengan un perfil autosimilar y exploten en tiempo finito de la forma que nos interesa. Se distinguirá el caso regular del caso de continuidad Hölder. 32 2. Posteriormente, se trata de extender las soluciones construidas para el caso regular con a= 0 a soluciones de la ecuación (4.11) para a6= 0 (si este parámetro es lo suficientemente pequeño) con el mismo perfil autosimilar y que también exploten en tiempo finito. Para ello, trataremos de linealizar la ecuación satisfecha por las soluciones autosimilares alrededor de la solución del caso a= 0. Al considerar una ecuación funcional paramétrica N(f, a) = 0, la forma usual de probar la existencia de una familia de soluciones (fa, a)(para asuficientemente pequeño) alrededor de una solución (f0,0) conocida es utilizando el Teorema de la Función Implícita. Sin embargo, este resultado requiere la invertibilidad del operador lineal ∂N ∂f (f0,0), y en nuestro caso este operador no es ni inyectivo ni sobreyectivo pues tiene un núcleo unidimensional y su imagen tiene codimensión uno. Para que una función f∈H3 esté en el rango de este operador, veremos que debe satisfacer una condición de consistencia que relacione su transformada de Hilbert y su derivada en x= 0. Esto lo remediaremos añadiendo un parámetro λ(a), de modo que buscaremos una solución de la forma ω(t, x) = 1 1−tFa(x (1−t)λ(a)). La elección de dicho parámetro que permita extender la solución para a= 0 se hará por medio de un proceso iterativo que para converger requerirá que la inversa del operador lineal esté acotado en el espacio de trabajo. 3. Finalmente, haremos los mismos pasos para las soluciones con un perfil Höldercontinuo y veremos que en este caso el parámetro apuede tomarse hasta del orden de α−1,siendo este el índice de continuidad Hölder de la solución para a= 0. A lo largo de las demostraciones, y especialmente en los últimos pasos, para probar la acotación de los operadores necesarios, serán empleadas algunas propiedades de la transformada de Hilbert y varias desigualdades funcionales que están recogidas en el Apéndice. 5.3.2. Notación Utilizaremos las letras C, c para denotar de forma genérica a constantes genéricas cuyos valores pueden variar de una igualdad a otra. Escribiremos x.ycuando exista una constante c > 0tal que x≤cy. Indicaremos la dependencia de una función o constante con parámetro empleando un subíndice o superíndice. En el caso Hölder y con el fin de simplificar las cuentas, utilizaremos tildes para denotar la siguiente transformación que actúa en funciones en R+: ˜ f(w) := f(w1 α), α ∈(0,1). 33 5.3.3. Soluciones autosimilares del modelo de Constantin-Lax-Majda El caso a= 0 reduce el modelo (4.11) a la ecuación de Constantin-Lax-Majda (4.5) ∂tω+ 2H(ω)ω= 0, ω(0, x) = ω0(x).(5.3) Como explicamos previamente, esta ecuación puede resolverse de manera explícita y tiene por solución el par (4.6), (4.7). Consideremos la condición inicial ω0(x) = x 1 + x2, cuya transformada de Hilbert es Hω0(x) = −1 1 + x2. Puede comprobarse esto último a partir de la definición de Hω0, aunque se verá posteriormente en la prueba de la proposición 5.3. Si introducimos estas expresiones en (4.6), tenemos: ω(t, x) = x x2+1 1−t x2+12+t2·x x2+12=x x2+ 1 −2t+t2 x2+1 +t2x2 x2+1 =1 1−t· x 1−t 1 + x 1−t2=1 1−t·ω0x 1−t. Como la transformada de Hilbert solo depende de la variable espacial, también tenemos Hω(t, x) = 1 1−t·Hω0x 1−t. Por tanto, la solución es autosimilar y explota en el instante t= 1. Vemos además que el factor de estiramiento de vórtices Hω(t, ·)alcanza su máximo (en valor absoluto) en el origen, y por tanto arrastra el máximo de ω(t, ·)hacia este punto, lo que por otra parte intensifica el estiramiento. Podemos ver estos efectos en las figuras. En [11], se caracteriza además el perfil de blow-up para las soluciones de la ecuación (4.5) cuyas condiciones iniciales sean impares y positivas en (0,∞). Resulta que la naturaleza del blow-up depende solo del comportamiento de la condición inicial ω0en un entorno de x= 0, y más aún, el blow-up es de tipo autosimilar con diferentes parámetros de escala en función de si 0< ω0 0(0) <∞,ω0 0(0) = +∞oω0 0(0) = 0, aunque este último caso no está presente en este desarrollo. Al decir “de tipo autosimilar” nos referimos a que la solución se compone de la suma de un término autosimilar y un término uniformemente acotado 34 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 −10 −5 0 5 10 x w(t,x) Figura 5.1: Representación de ω(t, x)para distintos instantes t=0.95, 0.9, 0.8, 0.5, 0 (de arriba a abajo en el origen) −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 −10 −5 0 5 10 x Hw(t,x) Figura 5.2: Representación de Hω(t, x) para distintos instantes t=0.95, 0.9, 0.8, 0.5, 0 (de arriba a abajo en el origen) hasta el momento del blow-up. Así pues, si el signo ≈significa igual salvo un término uniformemente acotado hasta el instante t= 1, tenemos que, en el caso 0< ω0 0(0) <∞, ω(x, t)≈x (1 −t)2+t2x2=1 1−tFx 1−t, con F(z) = z z2+1 . Si, por otra parte, ω0 0(0) = +∞, entonces, suponiendo que la condición inicial es de la forma ω0(x) = sgn(x)|x|αΩ1(x)para algún α∈(0,1) y siendo Ω1una función par lo suficientemente diferenciable y de decaimiento rápido con Ω1(0) = 1 yΩ1>0en R, se tiene que, cerca de x= 0 yt= 1, ω(t, x)≈1 1−tF x (1 −t)1 α!, con F(z) = sign(z)|z|α 1+2|z|αcot(απ 2) + |z|2αcsc2(απ 2). No desarrollaremos las deducciones de ambas caracterizaciones por falta de espacio y porque estos resultados no son estrictamente necesarios para la demostración de los teoremas. Los detalles de las mismas se pueden encontrar en [11]. Para el caso regular, tomemos la ecuación (4.5) e, introduciendo la variable z=x 1−tpara simplificar la notación, impongamos el siguiente ansatz (o función de prueba) autosimilar ω(t, x) = 1 1−tF0x 1−t.(5.4) Veamos la ecuación que debe cumplir el perfil F0: ∂tω+ 2H(ω)ω= 0 ⇐⇒ 1 (1 −t)2F0(z) + x (1 −t)3F0 0(z)+2 1 (1 −t)2F0(z)HF0(z) = 0. 35 Así pues, simplificando la expresión, la ecuación que debe satisfacer F0para que (5.4) sea solución de (4.5) es la siguiente: F0(z) + zF0 0(z)+2F0(z)HF0(z)=0.(5.5) Sabemos que F0(z) = z z2+1 es solución de dicha ecuación y, de hecho, lo es cualquier perfil F0(z) = cz (cz)2+1 , con cconstante. Además, se tiene el siguiente resultado: Proposición 5.3. Supongamos que el perfil F0en (5.5) es impar, regular y que decae a 0 en el infinito. Entonces F0=z 1 + z2, salvo una reescala en la variable z (multiplicación por una constante). Demostración. Tomemos la transformada de Hilbert en los dos miembros de (5.5): HF0(z) + z(HF0)0(z)−F0(z)2+HF0(z)2= 0,(5.6) donde usamos las propiedades A.6 y A.8 de la transformada de Hilbert sobre la función impar F0, junto con el hecho de que la transformada de Hilbert conmuta con el operador de diferenciación. Ahora, definimos V=F0+iHF0:R−→ C. Se tiene entonces que −iV 2=−i(F0+iHF0)2= 2F0HF0+i−F2 0+HF2 0, lo que permite reescribir el sistema de las ecuaciones (5.5),(5.6) en notación compleja como V+zV 0−iV 2= 0 ⇐⇒ V0=iV 2−V z⇐⇒ dV iV 2−V=dz z. Esta ecuación diferencial se puede integrar y tiene por solución V(z) = 1 i+Cz =1 <Cz +i[1 + =Cz]=<Cz −i[1 + =Cz] [<Cz]2+ [1 + =Cz]2, con C∈Cconstante. Sabemos que F0=<Ves una función impar y HF0==Ves par, y esto ocurre si y solo si =C= 0, de manera que F0(z) = Cz 1 + C2z2,(5.7) HF0(z) = −1 1 + C2z2,(5.8) con C∈Rconstante. 36 5.3.4. Blow-up autosimilar para el caso regular En esta sección se demostrará el Teorema 5.1 siguiendo los pasos explicados previamente, es decir, haremos una continuación de la solución autosimilar para el caso a= 0. Para ello, consideraremos ahora el ansatz ω(t, x) = 1 1−tFx (1 −t)1+λ(a), λ(0) = 0,(5.9) siendo Funa función impar y regular que decae a 0 en el infinito. Si denotamos z= x (1−t)1+λ(a), al introducir esta expresión en el modelo (4.11) y expresar todos los términos en función de z, este toma la forma 1 (1 −t)2F(z) + (1 + λ(a))x (1 −t)2+λ(a)F0(z)−a (1 −t)2Λ−1F(z)F0(z)+2 1 (1 −t)2F(z)HF(z)=0, de manera que, al simplificar, F(z) + (1 + λ(a))z−aΛ−1F(z)F0(z)+2F(z)HF(z) = 0.(5.10) Hemos visto previamente que cuando a= 0 entonces F=F0es el perfil que obtuvimos y λ(0) = 0. El término −aΛ−1F(z)F0(z)es el que se contrapone a la existencia de un perfil F que verifique la ecuación, y solo existirá tal solución si el parámetro aes lo suficientemente pequeño. Consideremos las siguientes expansiones en aen torno a (F0,0): F(z) = F0(z) + ∞ X n=1 anFn(z), λ(a) = ∞ X n=1 anλn,(5.11) donde las funciones Fnestán en el espacio H3(R), que explicamos en los Preámbulos. Veremos que las series (5.11) convergen en H3(R). Nótese que, para f∈H3, las expresiones como f0(0),f00(0) yHf0(0) están bien definidas por el Teorema del Embebimiento de Sobolev. Para que Fresuelva la ecuación (5.10), se necesita que las series converjan en H3 y otras condiciones en las Fnyλn. El proceso iterativo funcionará de la siguiente forma: Dadas F1, . . . , Fn−1yλ1, . . . , λn−1, determinaremos Fninvirtiendo un operador lineal L en una ecuación lineal de la forma L(Fn)(z) = Gn(z)−λnzF0 0(z) = Gn(z)−λn z(1 −z2) (1 + z2)2, para algún Gn=Gn(F1, . . . , Fn−1;λ1, . . . , λn−1), donde λnes el único número que proporciona una solución Fnsalvo un núcleo unidimensional. Este núcleo verifica que cualquier elemento no trivial del mismo tiene una derivada no nula en el origen, por lo que podemos definir L−1en la imagen de Lforzando la derivada de Fna anularse en el origen. Por tanto, procedemos a demostrar que, usando simples acotaciones de norma, las dos series de (5.11) son convergentes. 37 El operador lineal y su inversa Insertamos las expansiones (5.11) en (5.10) y obtenemos, para cada n≥1, una igualdad de la forma Fn+zF0 n+ 2HF0Fn+ 2F0HFn = n−1 X j=0 Λ−1(Fj)F0 n−1−j−z n X j=1 λjF0 n−j−2 n−1 X j=1 FjHFn−j.(5.12) Nótese que definiendo el operador lineal Lpor Lf := f+zf0+ 2HF0f+ 2F0Hf =f+zf0−2 1 + z2f+2z 1 + z2Hf, (5.13) las ecuaciones anteriores se pueden escribir como L(Fn)(z) = Gn(z)−λnzF0 0(z) = Gn(z)−λn z(1 −z2) (1 + z2)2,(5.14) donde Gn=Gn(F1, . . . , Fn−1;λ1, . . . , λn−1)no es más que el lado derecho de la ecuación 5.12 sin el término de λn, esto es: Gn(z) = n−1 X j=0 Λ−1(Fj)F0 n−1−j−z n−1 X j=1 λjF0 n−j−2 n−1 X j=1 FjHFn−j.(5.15) El lema que veremos a continuación, y cuya demostración pretende exponer y revisar la llevada a cabo por los autores en [11], nos garantiza que siempre existe un único λnde forma que la ecuación (5.14) es resoluble. Entonces, podremos definir Fn:= L−1Gn(z)−λn z(1 −z2) (1 + z2)2 por medio de una fórmula integral explícita. En particular, el propósito del lema será principalmente proporcionar una fórmula de representación para el operador L−1, bajo las suposiciones adecuadas. Posteriormente, llevaremos a cabo estimaciones de norma precisas para las funciones Fn. Lema 5.4. Consideremos la ecuación lineal Lf =g, (5.16) donde g∈C∞ c(R)es una función impar dada. Entonces, existe una solución f∈H3(R), que es necesariamente impar, si y solo si g0(0) + 2Hg(0) = 0. Si además imponemos que f0(0) = 0, la solución estará determinada de forma única por la expresión L−1g(z) = z(1 −z2) (1 + z2)2·Zz 01−w2 wˆg(w)+2ˆ h(w)dw −2z2 (1 + z2)2·Zz 0−2ˆg(w) + 1−w2 wˆ h(w)dw, (5.17) 38 con ˆg(z) := g(z) z−1 1 + z2g0(0),ˆ h(z) := Hg(z)−Hg(0) z+2z 1 + z2Hg(0). Demostración. Supongamos dada una solución f∈H3(R)para la ecuación (5.16). Si aplicamos la transformada de Hilbert en ambos lados de la igualdad y tenemos en cuenta la expresión (5.13) de Lf, obtendremos Hf +z(Hf)0−2z 1 + z2f−2 1 + z2Hf =Hg, (5.18) donde se ha utilizado la identidad de Tricomi A.6. Denotando d=Hf para simplificar, observamos que la solución fdebe resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias: f d!+z f d!0 +2 1 + z2 −1z −z−1! f d!= g h!,(5.19) siendo d=Hf yh=Hg. Estamos interesados en el caso en el que fes impar y, por tanto, d=Hf par. Luego, basta con resolver para R+el problema de valor inicial dados f(0) yd(0). Debido a la presencia del coeficiente z, no está claro si el problema de valor inicial está bien planteado, y así deducimos la necesidad de la condición g0(0) + 2h(0) = 0. Evaluamos ambos lados de la segunda componente del sistema (5.19) en z= 0 y, usando que d0(0) = 0 por ser d0impar. d(0) −2d(0) = h(0) ⇐⇒ −Hf(0) = Hg(0). Si, por otra parte, dividimos los dos miembros de la primera componente de (5.19) entre z y tomamos el límite cuando z→0+. Usando que f(0) = g(0) = 0 por ser impares, se sigue que 0 = l´ım z→0+f(z) z+f0(z)−2 1 + z2 f(z) z+2 1 + z2d(z)−g(z) z= 2d(0) −g0(0). Por tanto, llegamos a que una condición necesaria para que el sistema (5.19) tenga una solución C1en [0,∞)es d(0) = −h(0) = 1 2g0(0). Vemos que solo hay un par de condiciones iniciales (f(0), d(0)) = (0,−h(0)) = (0,g0(0) 2) capaz de proporcionar una solución diferenciable. Denotamos, por simplificar, ˆ d(z) := d(z)−d(0) y hacemos lo propio con las demás funciones. Usando la condición anterior, podemos reescribir el sistema como f ˆ d!0 +1 z(1 + z2) −1−z22z −2z−1−z2! f ˆ d!= g(z) z−1 1+z2g0(0) h(z)−h(0) z+2z 1+z2h(0) !. 39 Ahora, introduciendo las variables complejas V(z) = F0(z) + iHF0(z) = z−i 1 + z2, U(z) = f(z) + id(z), ˆ G(z) = ˆg(z) + iˆ h(z), el sistema vectorial se puede reescribir como −1 z·1 + iz 1−iz (U(z)−U(0)) + (U(z)−U(0))0=ˆ G(z) z. Este sistema se puede integrar directamente obteniendo la solución U(z) = U(0) + z−2z+i1−z2 (1 + z2)2· c+Zz 0−2−i1−w2 wˆ G(w) wdw!,(5.20) donde c∈Ces una constante de integración. Volviendo a la notación real, f ˆ d!=z (1 + z2)2 1−z2−2z 2z1−z2! · cf cd!+Zz 0 1−w2/w 2 −21−w2/w! ˆg(w) ˆ h(w)!dw!, donde cfycdson dos constantes reales. Ahora, el término integral es de orden O(z)para |z|pequeño, por lo que cfycdresultan ser las derivadas de fyˆ devaluadas en z= 0. La segunda es 0por ser ˆ duna función par, mientras que cfes también 0 si asumimos que f0(0) = 0. Esto, en particular, muestra que bajo esta condición la solución fes única. Para concluir que la función fdada por la fórmula anterior es solución de Lf = g, debemos comprobar también que Hf =d. Los autores deducen esto al observar que las funciones V,UyGpueden extenderse como funciones holomorfas en el semiplano superior complejo, y que (5.20) define una función de este tipo con parte real impar y parte imaginaria par al restringirla al eje real. Estimaciones para la inversa Para estimar la inversa L−1en H3(R), descomponemos su expresión (5.17) en doce operadores {Tl,σ, Sl0,σ0}, con l, l0∈ {1,2}yσ, σ0∈ {−1,0,1}definidos para funciones impares g∈H2(R)como T1,σ(g)(z) := z1−z2 (1 + z2)2Zz 0 wσg(w) w−1 1 + w2g0(0)dw, T2,σ(g)(z) := 2z (1 + z2)2Zz 0 wσg(w) w−1 1 + w2g0(0)dw, 40 y S1,σ(g)(z) := z1−z2 (1 + z2)2Zz 0 wσHg(w)−Hg(0) w+2w 1 + w2(Hg)(0)dw, S2,σ(g)(z) := 2z (1 + z2)2Zz 0 wσHg(w)−Hg(0) w+2w 1 + w2(Hg)(0)dw. De esta forma, la expresión (5.17) de L−1se puede descomponer como la siguiente combinación lineal de los anteriores operadores: L−1(g)(z) = T1,−1(g)(z)−T1,1(g)(z)+2S1,0(g)(z) + 2zT2,0(g)(z)−zS2,−1(g)(z) + zS2,1(g)(z).(5.21) Además, recordemos que Fnyλndeben satisfacer la ecuación Fn=L−1Gn(z)−λn z(1 −z2) (1 + z2)2, y que de la expresión (5.15) de Gnse puede deducir que este es de un orden derivativo mayor que las funciones Fjy que podría no decaer a 0 cuando z→ ∞. Debido a esta pérdida de un orden derivativo, los operadores T1,−1yS1,−1, que son los más singulares de entre los que componen L−1, no están acotados de H2(R)en H3(R). Ingenuamente uno podría esperar que estos operadores ganasen un orden derivativo, pero la división por w dentro de la integral evita ese hecho. Por tanto, para deducir que Fn∈H3(R), tendremos que utilizar la forma específica de Gny las acotaciones en normas L2yH3que se establecen en los lemas siguientes. Lema 5.5 (Cotas L2).Sean f y g funciones impares en R. Para cada l= 1,2yσ=−1,0,1, tenemos las siguientes estimaciones: kTl,σgkL2(R)+kSl,σgkL2(R)≤CkgkH2(R), kTl,σ(zg0)kL2(R)+kSl,σ(zg0)kL2(R)≤CkgkH2(R), kTl,σ(Λ−1(f)·g0)kL2(R)+kSl,σ(Λ−1(f)·g0)kL2(R)≤CkfkH2(R)kgkH2(R). Lema 5.6 (Cotas H3).Sean E y F funciones impares en H3(R). Para cada l= 1,2y σ=−1,0,1, tenemos las estimaciones: kSl,σ(Λ−1E)·F0kH3(R)+kTl,σ(Λ−1E)·F0kH3(R)≤CkEkH3(R)kFkH3(R), kSl,σ(zF0)kH3(R)+kTl,σ(zF0)kH3(R)≤CkFkH3(R), kSl,σ(E·H(F))kH3(R)+kTl,σ(E·H(F)) ·F0kH3(R)≤CkEkH3(R)kFkH3(R). 41 La demostración de este lema es muy similar a la del Lema 5.4 del caso regular. No será incluida en el documento por falta de espacio, pero si el lector desea verla, se puede encontrar en el artículo [11]. Una idea clave en la demostración es la necesidad de la condición (5.44) para que desaparezca la singularidad 1/s de la integral, pues la función ˆ G(w) wse anula en w= 0. Así, la solución (5.45) estará bien definida. Esta solución se obtiene explícitamente resolviendo una ecuación equivalente a (5.43), y posee un núcleo unidimensional que cumple que cualquier múltiplo del mismo también da otra solución de la ecuación. La unicidad se obtiene con la condición U0(0) = 0. A partir de la condición (5.44), podemos hallar el único valor de λnque permite que (5.39) tenga solución. Para ello, tomamos la parte real y, desarrollando C(α), nos queda <G0(0) + 2 cos(απ 2)<G(0) + 2 sin(απ 2)=G(0) = 0.(5.46) Vamos a calcular cada término de la ecuación. Se tiene que G(w) = ˜g(w) + i˜ Hg(w) = h˜ Gn−λnw˜ F0 0i+ih˜ HGn−λn˜ H(w˜ F0 0)i. Luego <G0(w) = ˜ G0 n(w)−λn˜ F0 0−λnw˜ F00 0(w), <G0(0) = ˜ G0 n(0) −λn˜ F0 0(0). Además, por (5.42), ˜ F0 0(w) = <V0(z) = −C(α) (i+C(α)w)2, ˜ F0 0(0) = <V0(0) = <C(α)= sin(απ 2). Por otra parte, asumiendo que <G(w)es impar (esto es, que ˜ Gnes impar para todo n, pues el otro sumando de <G(w)es impar), tenemos que <G(0) = 0. Luego, G(0) = =G(0) = ˜ HGn(0) −λn˜ H(0) = ˜ HGn(0), y sustituyendo todo en la ecuación (5.46) y despejando λn, llegamos a que λn=1 sin(απ 2)˜ G0 n(0) + 2 ˜ HGn(0).(5.47) Estimaciones para la inversa Restringiremos la variable wal semieje real R+y obtendremos acotaciones de norma para las partes real e imaginaria de la solución U(w) = ˜ Fn+i˜ HFn(w)obtenida en el resultado anterior explícitamente como (5.45). Para α∈(0,1), consideramos las transformaciones 48 ˜ Hy˜ Λ−1para funciones definidas en R+como ˜ H(˜ f)(w) := Hf(w1/α),(˜ Λ−1˜ f)(w) := Λ−1f(w1/α). Por ejemplo, para nuestro perfil (5.32) del caso a= 0, ˜ H(˜ F0)(w) = ˜ Hsin(απ 2)w 1 + 2 cos(απ 2)w+w2=−1 + cos(απ 2)w 1 + 2 cos(απ 2)w+w2=˜ HF0(w). Podemos obtener una expresión explícita para el operador ˜ Ha partir de la definición de la transformada de Hilbert y usando que fes impar: ˜ H(˜ f)(w) = 1 πVP ZR+ 2tf(t) w2/α −t2dt =1 πVP ZR+ 2t˜ f(tα) w2/α −t2dt (5.48) =1 απVP ZR+ 2s2/α−1 w2/α −s2/α ˜ f(s)ds. (5.49) Si α= 1/n con n∈N, el núcleo de la transformada es una función racional de wys. Para este caso tenemos varias propiedades en el apéndice, entre ellas una cota L2yHmpara el operador (Lema A.11). De ahora en adelante nos restringiremos a tales valores de α. Por otra parte, el operador ˜ Λ−1se expresa como (˜ Λ−1˜ f)(w) := Λ−1f(w1/α) = Zw1/α 0 Hf(s)ds =Zw 0 ˜ Hf(t)·1 αt1−α αdt. Ahora, tomamos la parte real de la solución U(w)del Lema 5.8, que es la única función ˜ f verificando ˜ f=˜ L−1(˜g). A partir de la expresión (única) (5.45) que encontramos para U(w), dividimos esta función en seis partes: para σ∈ {−1,0,1}, definimos Tσ(˜g)(w):=P(w)·Zw 0 sσ˜g(s) s−1 1 + 2 cos(απ 2)s+s2˜g0(0)ds, (5.50) Sσ(˜g)(w):=P(w)·Zw 0 sσ ˜ H˜g(s) s−1−s2 s(1 + 2 cos(απ 2)s+s2)!˜ H˜g(0))ds, =P(w)·Zw 0 sσ ˜ H˜g(s)−˜ H˜g(0) s+2 cos(απ 2)+2s 1 + 2 cos(απ 2)s+s2˜ H˜g(0)!ds, (5.51) donde P(w) = w(−(1 + w2) cos(απ 2)−2w) 1 + 2 cos(απ 2)w+w22. 49 Lema 5.9. Supongamos que ˜ Ey˜ Fse anulan en 0. Entonces se verifican en H3las desigualdades: kTσ(˜ F)kH3+α· kSσ(˜ F)kH3≤Ck˜ FkH3, kTσ(w˜ F0)kH3+α· kSσ(w˜ F0)kH3≤Ck˜ FkH3, kTσ˜ (Λ−1E·F0)kH3+α· kSσ˜ (Λ−1E·F0)kH3≤Ck˜ EkH3k˜ FkH3, para cada σ∈ {−1,0,1}, y siendo en cada desigualdad C > 0una constante independiente de α∈(0,1]. La demostración es completamente análoga a la de los Lemas 5.5 y 5.6, utilizando ahora las desigualdades (A.13) en vez de (A.12) y las propiedades (A.9), (A.10) y (A.11) de la transformada de Hilbert modificada. Fin de la demostración del Teorema 5.2 Para finalizar la demostración, los autores comprueban la existencia de un par de constantes c, c0>0independientes de α∈(0,1] y verificando las cotas k˜ FnkH3≤cα(c0α)n,|λn| ≤ c(c0α)n,(5.52) para todo entero n≥0(nótese que en el caso n= 0 las cotas se cumplen para alguna elección de c). Ambas desigualdades hacen que los desarrollos (5.37) sean convergentes y existan un parámetro λy un perfil Fpara los cuales el ansatz (5.35) sea solución de la ecuación (4.11). Definimos µnylntales que k˜ FnkH3=αn+1µny|λn|=αnlny busquemos las desigualdades que las sucesiones {µn}y{ln}deben cumplir. Recordemos que L(Fn) = Gn−1 αλnzf0 0, siendo Gn(z) = n−1 X j=0 Λ−1(Fj)·F0 n−1−j−1 α n−1 X j=1 λjzF0 n−j−2 n−1 X j=1 HFn−j·Fj, HGn(z) = n−1 X j=0 H(Λ−1(Fj)·F0 n−1−j)−1 α n−1 X j=1 λjz(HFn−j)0+ n−1 X j=1 (Fn−j·Fj−HFn−j·HFj). Además, hemos visto que, para que exista la solución buscada Fn, el parámetro λndebe tomar el valor (5.47): λn=1 sin(απ 2)˜ G0 n(0) + 2 ˜ H˜ Gn(0), 50 donde podemos calcular ˜ G0 n(0) = n−1 X j=0 ˜ H˜ Fj(0) ·α˜ F0 n−1−j(0) − n−1 X j=1 λj˜ F0 n−j(0) −2 n−1 X j=1 ˜ H˜ Fn−j(0) ·˜ F0 n−j(0), ˜ H˜ Gn(0) = n−1 X j=0 ˜ H(Λ−1(Fj)·F0 n−1−j)(0) − n−1 X j=1 ˜ H˜ Fn−j(0) ·˜ H˜ Fj(0). Por otra parte, se tiene la desigualdad  ˜ H(Λ−1(Fj)·F0 n−1−j)(0)≤Ck˜ HFjkL2· k ˜ Fn−1−jkH1, cuya demostración se puede ver en [11], y en la que se utilizan las desigualdades de tipo Hardy (A.13). Con esto, y usando el embebimiento H3(R)⊂L∞(R)y la estimación k˜ H(˜ Fj)kH3≤C αk˜ FjkH3, se obtiene que |λn| ≤ C α  n−1 X j=0 µjαj·α·µn−1−jαn−j+ n−1 X j=1 ljαj·µn−jαn−j+1 + n−1 X j=1 µn−jαn−j·µjαj+1  +C  n−1 X j=0 µjαj·µn−1−jαn−j+ n−1 X j=1 µn−jαn−j·µjαj . Equivalentemente, ln=|λn| αn≤C µ0µn−1+ n−1 X j=1 (µjµn−1−j+ljµn−j+µn−jµj) , para alguna constante C > 0independiente del parámetro α∈(0,1]. Para el valor de λn dado, ˜ Fn:= ˜ L−1˜ Gn−λnw˜ F0 0, dado por la parte real de la expresión (5.45), se puede escribir como combinación lineal de las funciones Tσ, Sσ0con σ, σ0∈ {−1,0,1}, dadas en (5.50) y (5.51). Nótese que siempre que se utiliza el operador Sσ0, su coeficiente en la expansión de ˜ L−1tiene un factor α. Por tanto, aplicando el lema 5.9 a cada uno de los términos que conforman ˜ Gn, deducimos que µnαn+1 ≤C(lnαn·α) + Cαn+1 n−1 X j=1 (µjµn−1−j+ljµn−j+µjµn−j) 51 o, equivalentemente, µn≤C ln+µ0µn−1+ n−1 X j=1 (µjµn−1−j+ljµn−j+µjµn−j . Las sucesiones {ln}y{µn}cumplen por tanto desigualdades equivalentes a las de las sucesiones {λn}y{µn}del caso regular. En consecuencia, podemos emplear el mismo argumento y así concluir que existen dos parámetros c, c0>0verificando (5.52), de manera que las series (5.37) convergen en un intervalo a∈−1 c0α,1 c0αen el que también se puede asegurar que λ(α)(a)>−2. 52 Apéndice A A.1. Propiedades de la transformada de Hilbert Lema A.1. La transformada de Hilbert es un operador acotado en Lp(R)para cada 1< p < ∞, esto es, existe una constante Cp>0tal que: kHgkLp(R)≤CpkgkLp(R),∀g∈Lp(R). Lema A.2 (Identidad de Parseval generalizada).Sean p, q ∈(1,∞)tales que: 1 p+1 q= 1. Luego, si f∈Lp(R)yg∈Lq(R), entonces se tendrá que: Z∞ −∞ f(x)g(x)dx =Z∞ −∞ Hf(x)Hg(x)dx. Lema A.3 (Antiautoadjunto).En las condiciones de la propiedad anterior, se tiene que Z∞ −∞ Hf(x)g(x)dx =Z∞ −∞ f(x) (−Hg(x)) dx. Lema A.4 (Reciprocidad).Si 1<p<∞, entonces, dada f∈Lp(R): H(H(f))(x) = −f(x),∀x∈Rc.t.p. En términos de operadores, la propiedad de reciprocidad de la transformada de Hilbert se expresa diciendo que, si 1<p<∞, entonces: H2=−idLp(R). Esto significa que la transformada de Hilbert es invertible y su inversa es H−1=−H. 53 Lema A.5 (Diferenciación).Sea una función f en el dominio de la transformada de Hilbert, se tiene que la transformada de Hilbert de la derivada de f es la derivada de la transformada de Hilbert de f, esto es, los dos operadores conmutan: dH(f) dt =Hdf dt. Lema A.6 (Identidad de Tricomi).Dadas dos funciones f y g en el dominio de la transformada de Hilbert, se tiene que: H(fg) = H(f)g+fH(g) + H(H(f)H(g)) Lema A.7. Sean p, q ∈(1,∞)tales que: 1 p+1 q≤1. Luego, si f∈Lp(R)yg∈Lq(R), entonces se tendrá la siguiente igualdad c.t.p. en R: H{fH(g) + gH(f)}=H(f)H(g)−fg. Lema A.8. Supongamos que fes una función en el dominio de la transformada de Hilbert tal que la función g(z) = zf(z)está en L2(R). Entonces, la transformada de Hilbert de g está relacionada con la transformada de Hilbert de fpor H(g)(z) = zHf(z)−1 πVP ZR f(w)dw. Además, si la función h(z) = f(z)−f(0) zestá en L2(R), entonces H(h)(z) = Hf(z)−Hf(0) z. Además, enunciaremos ahora propiedades recogidas en [11] (algunas de ellas análogas a las anteriores) para la transformada ˜ Hque empleamos en la demostración del teorema (5.2). Esta transformación está definida en (5.48) y, recordamos, depende de un parámetro α∈(0,1) que en el caso que nos concierne tomamos de la forma α= 1/n, con n≥1entero. Dada una función fdefinida en R+y un entero positivo n, consideramos la transformación ˜ H(n)dada por ˜ H(n)(f)(w) = 1 πVP ZR+ ns2n−1 w2n−s2n˜ f(s)ds, (A.1) con w > 0. Sea ζ2n:= exp(iπ/n)la raíz 2n-ésima primitiva de la unidad. 54 Lema A.9. ˜ H(n)(f)(w) = 1 π 2n X j=1 ZR+ −ζj 2n w−ζj 2ntf(t)dt =1 πVP ZR+ 2t w2−t2dt + n X j=1 1 πZR+ 2t−2<ζj 2nw w2−2<ζj 2nwt +t2f(t)dt. Denotando ˜ H(n) 0(f)(w) = 1 πVP ZR+ 2t w2−t2f(t)dt y, para j∈ {±1,...,±(n−1)}, ˜ H(n) j(f)(w) = 1 πZR+ −ζj 2n w−ζj 2ntf(t)dt. Nótese que ˜ H(n) 0resulta ser la transformada de Hilbert de la función impar f(|w|) sgn(w) restringida a R+.En particular,    ˜ H(n) 0(f)  L2≤ kfkL2. Los siguientes resultados se siguen directamente de la definición de los operadores ˜ H(n) j. Lema A.10. Dado nentero positivo, para 1≤ |j|< n se verifican las identidades ˜ H(n) j(tf(t))(w) = −1 ζj 2n ·w˜ H(n) j(f)(w)−2 πZR+ f(t)dt, ˜ H(n) jf(t)−f(0) t(w) = ζj 2n· ˜ H(n) jf(w)−˜ H(n) jf(0) w, y ˜ H(n) jf0(w) = −ζj 2n·˜ H(n) j(f)0. Como consecuencia, se verifica ˜ H(n)tf0(t)(w) = w˜ H(n)f0(w). Lema A.11. Dado nentero positivo, para 1≤ |j| ≤ nse tiene la cota k˜ H(n) j(f)kL2≤Cln  1 + 1 sin2jπ n kfkL2, para alguna constante absoluta C > 0. En particular, para cada entero n≥1, se cumple k˜ H(n)(f)kL2≤CnkfkL2. De manera similar, para cualquier entero m≥1tenemos k˜ H(n)(f)kHm≤CmnkfkHm. 55 A.2. Desigualdades funcionales Estos resultados se usan para probar los lemas de estimaciones de normas que permiten la acotación de la inversa del operador lineal en la demostración de los teoremas 5.1 y 5.2: Lema A.12 (Desigualdades de Hardy).Para cualquier f∈Hs(R), con s≥0, tenemos     1 zZz 0 f(w)dw   Hs(R) ≥CskfkHs(R). Concretamente, para cada 0≤σ≤s, tenemos     ∂σ z1 zZz 0 f(w)dw   L2(R) <2 2σ+ 1k∂σ zfkL2. Lema A.13 (Más desigualdades de tipo Hardy).Para cualquier f∈Hs(R+), con s≥0 y0≤σ≤1, tenemos     z−1 αZz 0 f(w)·1 αw1−α αdw   Hs(R+) ≤CskfkHs(R+), siendo la constante Csuniforme para 0< α ≤1. Concretamente, para cada 0≤σ≤s, tenemos     ∂σ zz−1 αZz 0 f(w)·1 αw1−α αdw   L2(R+) <2 2σ+ 1 k∂σ zfkL2(R+). 56 Bibliografía [1] Bardos, C., Titi, E., Euler Equations of Incompressible Ideal Fluids, Russian Math. Surveys 62 (2007), 409. [2] Basic, J., Turbulent history of fluid mechanics (brief essay), 2016. doi:10.13140/RG.2.1.3487.8485. 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