Espectrometría de masa y rigidez basada en resonadores nanomecánicos

Facultad de Física y de Óptica y Optometría Área de Óptica Departamento de Física Aplicada Espectrometría de masa y rigidez basada en resonadores nanomecánicos Tesis para optar al grado de doctor en Ciencias Físicas presentada por: Oscar Malvar Vidal Dirigida por el Doctor: Francisco Javier Tamayo de Miguel Tutelada por el Doctor: Vicente Moreno de las Cuevas Facultad de Física y de Óptica y Optometría Área de Óptica Departamento de Física Aplicada Espectrometría de masa y rigidez basada en resonadores nanomecánicos Tesis para optar al grado de doctor en Ciencias Físicas presentada por: Oscar Malvar Vidal Dirigida por el Doctor: Francisco Javier Tamayo de Miguel Tutelada por el Doctor: Vicente Moreno de las Cuevas © 2017 Oscar Malvar Vidal All Rights Reserved La presente Tesis Doctoral ha sido llevada a cabo gracias a la financiación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) a través de una beca predoctoral del MINECO para la formación de investigadores (FPI) a través del proyecto MAT 2012-36197. Agradecer el servicio del laboratorio X-SEM del IMM y la financiación del MINECO con el proyecto CSIC13-4E-1794 con el apoyo de la Unión Europea (FEDER, FSE). Este trabajo fue apoyado por el MINECO a través del proyecto ERC (“European Reseach Council”) NANOFORCELLS (ERC-StG2011-278860) D. Francisco Javier Tamayo de Miguel, Investigador Científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) del grupo de Bionanomécanica del Instituto de Microelectrónica de Madrid, como director y D. Vicente Moreno de las Cuevas profesor del Área de Óptica del Dpto. de Física Aplicada de la Universidad de Santiago de Compostela, como tutor, CERTIFICAN: Que el trabajo titulado “Espectrometría de masa y rigidez basado en resonadores nanomecánicos”, realizado por D. Oscar Malvar Vidal dentro del grupo de Bionanomecánica del Instituto de Microelectrónica de Madrid perteneciente al consejo superior de investigaciones científicas (IMM-CSIC) situado en Tres Cantos (Madrid), ha sido revisado y está en disposición de ser presentado para optar al grado de Doctor en Ciencias Físicas. Fdo.: Francisco Javier Tamayo de Miguel Director de la Tesis Fdo.: Vicente Moreno de las Cuevas Tutor de la Tesis Fdo.: Oscar Malvar Vidal Estudiante de doctorado Tres Cantos, a 15 de mayo 2017 RESUMEN Este trabajo de tesis doctoral titulado: “Espectrometría de masa y rigidez basada en resonadores nanomecánicos” dirigido por el doctor Francisco Javier Tamayo de Miguel (Instituto de Microelectrónica de Madrid – CSIC) y bajo la tutela del doctor Vicente Moreno de las Cuevas (Facultad de Óptica y Optometría, Departamento de Física Aplicada de la Universidad de Santiago de Compostela) ha sido realizada en el laboratorio de Bionanomecánica del Instituto de Microelectrónica de Madrid perteneciente al Consejo Superior de Investigaciones Científicas (IMM-CSIC). El objetivo principal de este trabajo de tesis doctoral ha sido el desarrollo de un espectrómetro de masa y rigidez basado en resonadores nanomecánicos. Un resonador nanomecánico, tipo puente o palanca en la escala microy nanométrica, es un tipo de dispositivo que se encuentra enmarcado dentro de lo que se conocen como sistemas nanoelectromecánicos o NEMS (“NanoElectroMechanical Systems”). Los NEMS aparecen por primera vez con la invención de la microscopía de efecto túnel o STM (“Scanning Tunneling Microscopy”) y del microscopio de fuerzas atómicas o AFM (“Atomic Force Microscope”). Este tipo de microscopios se basa en la medida directa de la deflexión de un resonador tipo palanca, o en la medida de su frecuencia de resonancia, para realizar la topografía de superficies con resolución atómica. Se pueden ver como un fonógrafo en miniatura, en el cual se utiliza una micropalanca con una punta afilada en su extremo libre. Para medir tanto la deflexión como la frecuencia de resonancia de las micropalancas se utiliza el método de deflexión de un haz láser, es decir, se hace incidir un láser en el extremo libre de la micropalanca y el haz reflejado es recogido por un fotodetector sensible a la posición o un fotodetector segmentado. Posteriormente, las micropalancas se empezaron a utilizar como sensores tanto en modo estático como en modo dinámico. Su uso como sensores abarca campos tan amplios como la calorimetría, sensores giroscópicos, sensores de masa, sensores de fuerza, detectores de explosivos, detección de la hibridación de ADN, sensores optoplasmónicos, entre otros. efecto mayor cuando más delgados sean los microresonadores. Esto resalta la importancia de tener en cuenta la rigidez a la hora de utilizar los resonadores como sensores de masa. Esta es la primera vez que se obtiene el módulo de Young de bacterias intactas mediante espectrometría nanomecánica. Para corroborar el resultado obtenido se han caracterizado las bacterias mediante nanoindentación con AFM obteniendo magníficos resultados. La posibilidad de describir los analitos que aterrizan en el resonador por medio de dos coordenadas ortogonales, la masa y la rigidez, mejora, claramente, la selectividad de la espectrometría nanomecánica y abre las puertas a nuevas y relevantes aplicaciones en biomedicina. A mis padres, A mi hermano, A mi hijo y para ti, Vanesa AGRADECIMIENTOS Desde que empecé a elaborar este manuscrito me ha estado rondado por la cabeza como agradecer a todas las personas que, de una forma u otra, me han ayudado en estos cinco años. Por un lado, me apetece mucho escribir esta parte de la tesis, la cual es en la que más libertad me puedo tomar, pero por otro lado me entra el pánico por no saber hacerlo bien, o aún peor, por olvidarme de alguien. Bueno, espero que no sea así y estar a la altura. Empezaré por el principio. Aún me acuerdo, como si fuese ayer, como el 22 de diciembre del 2011, después de 6 meses de prácticas en Eindhoven, llegué al Instituto de Microelectrónica de Madrid en Tres Cantos para una entrevista con Javier Tamayo. Recuerdo como me sentó en una silla en el laboratorio de Bionanomecánica (un sitio extraño y lleno de equipos raros), laboratorio que ahora considero mi casa, junto con Álvaro San Paulo y me empezaron a realizar preguntas, muchas de las cuales, con poco sentido, otras más personales y algunas de carácter profesional. Ese mismo día Javi me dijo que contaba conmigo en su grupo. Sin duda, uno de los días más felices en mi vida laboral. Recuerdo como le dije, “me ha tocado el gordo de navidad” y como al acabar la entrevista me fui con una sonrisa camino a pasar las navidades con mi familia en Vigo. Quiero empezar agradeciendo a Javi por haber confiado en mí. Gracias por haberme dado la oportunidad de empezar mi carrera científica en uno de los mejores (para mí el mejor) grupo de investigación del mundo. Tu simpatía, sabiduría, tu arte escribiendo y sobre todo tu locura y alma de niño han hecho que estos 5 años pasaran volando, de nuevo gracias. Muchas gracias también a Montserrat Calleja. Gracias por haberme permitido realizar la entrevista. Sé que era contigo y llegué tarde, pero te aseguro que salí con mucho tiempo de Sol. Me engañaron en el cercanías. Gracias por confiar en mi para formar parte de este grupo. ¡Y aunque te empeñes no salimos en la misma orla de la facultad de física de la USC! Tu simpatía, tu sabiduría y tu disponibilidad para toda clase de dudas y problemas han sido de gran ayuda durante estos 5 años. Nunca tendré palabras suficientes para agradecer a Javi y Montse toda la confianza depositada en mí, muchas gracias. Gracias también a Alvaro por toda tu ayuda y esos nanohilos tan buenos, gracias. Todo este viaje comenzó con un profesor del Máster de la USC, gracias Vicente Moreno de las Cuevas. Realizar el trabajo fin de máster contigo me ayudó a afianzar mi pasión por el mundo de la física experimental. Las horas que pasé en el laboratorio alineando un láser con fibras ópticas para implementar un sensor de desplazamientos despertaron en mi la pasión por lo experimental. Gracias por ser tan simpático y tan buen profesor. Gracias por esas pachangas con los compañeros del master. Todo esto ha comenzado gracias a ti, así que, de nuevo, muchas gracias. Como no agradecer a uno de los grandes amigos que he hecho durante la realización de mi tesis. Su locura, su forma de publicar como si un hubiera un mañana, su manera de afrontar las noches de fiesta y su contagiosa energía en el laboratorio me han guiado durante mi primer año. Después se marchó a hacer su postdoc a Paris, pero ahora ha regresado para ayudarme (“martirizarme”) con las correcciones de mi tesis. Gracias Edu, eres un crack. Tú me enseñaste el laboratorio el día de la entrevista y mientras me invitabas a un café en el TVL entendí que quería trabajar aquí. Gracias por ser mi maestro, tanto en el laboratorio como en las fiestas. Espero seguir trabajando contigo durante muchos años. Hablando de maestros, gracias Dani. Puede que seas una de las personas que conozco que más me han demostrado su infinito conocimiento de todo lo relacionado con la física. Tus simulaciones, discusiones teóricas y experimentales, así como tu disponibilidad, tanto para implementar sistemas como para temas más personales, han sido de gran ayuda. Estoy seguro que mi tesis nunca hubiera sido la misma sin ti, gracias por contagiarme tu amor por la ciencia. Pedazo teórico. Así te resuelve la ecuación de nanohilos cónicos con funciones de Bessel de muchas especies, como te hace un algoritmo para describir perfectamente las partículas que caen sobre un resonador. Y todo sin protestar, siempre con una sonrisa y con su acento andalú. Muchas gracias Joselo por ser de tantísima ayuda. Algún día te veremos en la Ryder Cup, con tu gran drive, metiéndola dentro del Green (o como se diga). Gracias. Y hablando de teóricos y experimentales, ¡¡Pini!!, no veas como se te echa de menos en el laboratorio. Gracias Valerio por tu disponibilidad para todo, ya sea para ayudarme a montar un sistema experimental, para discutir sobre una fórmula teórica, para simular en Comsol o para ayudarme con programas en Matlab. Yo también te he ayudado y enseñado como cambiar la fuente y el tipo de letra en PowerPoint (siempre fallando en lo básico). Gracias Valerio por toda tu ayuda y simpatía. Y ahora salsa, carnaval y…. sushi?, gracias Priscila Kosaka. Tu alma brasileña, llena de simpatía, bailoteos, música y siempre con una sonrisa, así como tu espíritu japonés han sido de una ayuda incalculable. Tus disoluciones, conocimientos en química y biología me han ayudado mucho. Muchas horas nos hemos pasado probando diferentes tipos de disoluciones para el electrospray, y siempre preparándolas en cualquier momento, a cualquier hora y bajo demanda. Con un equipo así es mucho más fácil hacer una tesis. Muchas gracias Pris. Hablando de disoluciones y de conocimientos de biología, Dra. Carmen Martinez Domínguez, GRACIAS. Los dos empezamos casi juntos nuestras tesis, y tú la has acabado antes, pero por poco…ya estoy ahí. Gracias por ayudarme con la química, biología y con las bacterias, esos bichitos que tan bien han aterrizado sobre sobre las palancas. Tú fuiste mi Carmen, y algo así como una novia de laboratorio, con todo lo bueno y lo malo de las relaciones. Gracias por ser como eres, gracias por tu ayuda y por tus clases de baile. Gracias por tu sonrisa. Muchas gracias también a todo el equipo de Bionanomecánica que me ha acompañado durante este viaje tan emocionante, divertido y productivo. Empezando por Sheila que tanto me ayudó a adaptarme en mi nuevo puesto de trabajo y a Mercedes con sus soldaduras y diseños en CAD. Gracias también a Mario, “cazador de portales”, espero que todo te vaya muy bien en tu nueva aventura con el BigData. Gracias Ali, tanto la de día como la de noche. Aún recuerdo como me caí encima de ti en las fiestas de La Latina y no te reconocía, espero que sigas disfrutando como DJ y como científica y gracias también a Guillermo Mokry. También quiero dar las gracias a las nuevas incorporaciones. Y diréis: “Si somos nuevos, ¿qué nos tienes que agradecer?”, pues me recordáis a mi cuando empecé y con vosotros este grupo seguirá siendo el mejor, estoy seguro. Gracias Gopika, contigo he aprendido y mejoraré mi inglés, gracias Xavi, no te preocupes, me caes muy bien, aunque te empeñes en lo contrario. Bienvenido Alberto, seguro que los microcapilares empezarán pronto a darte alegrías y bienvenida Zofia (de krakovia) de Poznan, tu acento polaco-andaluz le ha dado un nuevo aire al laboratorio, seguro que los nanohilos de silicio te aportaran grandes descubrimientos. Gracias Marina por tu preocupación diaria sobre mi estado anímico (jejeje), es un placer trabajar contigo y estoy seguro que aún nos quedan muchas cervezas juntos. Muchas gracias Sergio. Desde el día en que llegaste supe que haríamos muy buenas migas, siempre dispuesto a ayudar, tanto con un chiste, una canción o con un experimento. Tus tonterías me recuerdan a las mías, tenemos que plantearnos en serio ese canal de YouTube. Gracias por tu simpatía diaria. Gracias Ana, aunque siempre vienes al laboratorio a envenenarnos con el ozono, siempre lo haces con una sonrisa. En cuanto a la gente del Instituto de Microelectrónica de Madrid comenzaré dando las gracias al maestro de recepción, siempre con una sonrisa, tan eficiente y servicial. Siempre dispuesto a ayudar. Muchas gracias Manuel, el IMM no sería lo mismo sin ti. Hablando de gente servicial, gracias Margarita, que sería del centro sin ti. Haciendo muchas veces el trabajo que no te corresponde, siempre ayudando a los estudiantes y becarios. Gracias por estar ahí para solucionar toda clase de problemas y para tomar un café cuando se necesita. Tu alma reivindicativa le da un toque diferente al centro, gracias. Gracias a todo el personal de mantenimiento, sobre todo gracias a Pulpón, espero que ahora estés mejor. Gracias también al personal administrativo, a la gerencia, a la dirección del centro y a los informáticos. Vuestra ayuda ha sido siempre muy útil. Es difícil agradecer colectivamente a todos mis compañeros del IMM. Espero no alargarme mucho más, pero si sólo pongo gracias a todos, o gracias y vuestros nombres, siento que no os estoy correspondiendo como os merecéis y además me apetece un montón agradeceros, uno a uno, a los que ahora considero ya mis amigos y una parte importante de mi vida. Empezaré por lo gallegos: Gracias Marcos por hacerme sentir como en casa desde el primer día. Por organizar tantas y tan buenas fiestas y salidas, por estar ahí siempre que se te necesita, por tu humildad y tu generosidad infinita, ¡¡¡desprendes amor!!!, gracias Penedo, nos vemos por los bares. Gracias Elias, juntos hemos compartido, no solo un chalet en Tres Cantos, sino también momentos inolvidables y muy divertidos (¡¡Ala Celta!!), estoy seguro de que te volverás a enamorar. Gracias Ivan Prieto, compañero de mudanzas, compañero de piso, compañero de pachangas (lanzador de faltas a 200 km/h) y de fiestas. Siempre dispuesto a ayudar en todo sin pedir nada a cambio. Como se dice na terriña: home campechano. Gracias también a Xesus de Arzúa por tantos y tan buenos momentos. Gracias gallegos. Y ahora mi morena, gracias por coger los chistes tarde, por ser tan maña, por rechazarme tantas veces (yo te esperaré), por tu simpatía, por tu carácter y tu genio, por tantas y tantas fiestas y anécdotas que hemos compartido y por las que aún quedan por compartir. Empezamos la tesis a la vez y la vamos a terminar casi a la vez. Lo que nunca se va a terminar es nuestra amistad. Gracias Estela por formar parte de mi vida y por ayudarme siempre que lo he necesitado, ¡¡castañuelas!!. ¿Quién ha dicho que las rubias son tontas? Siempre dispuesta a ayudar, a hacer una medida en el SEM, a cortar unos nanohilos con el FIB, a tomar una caña (o unas docenas), ella siempre está para todo (menos para Baiona). Esos ojos azules (que son verdes), esa amabilidad, simpatía, ese enfoque nocturno y esa samba de pucela hacen que te enamores de ella desde el primer momento. Aún recuerdo la primera noche de fiesta, cuando saltaste desde un escenario como una estrella del rock, pero sin comprobar previamente que no había nadie. Yo aún era un recién llegado y pensé: “esta chica tiene que ser de mis mejores amigas”. Muchas gracias Raquel, de verdad, me has ayudado mucho, tanto profesional como personalmente. Desde el día en que nos presentaron y entré en el 105 supe que serías una parte importante de mi vida. Me da la sensación de que te conozco desde hace mucho más, como si formara parte de tu cuadrilla. Gracias Etor por ser como eres, eres un ejemplo a seguir. Tu simpatía, tu humor, tu cultura general (imposible ganarle en el Trivial), tu disponibilidad, en fin, aquí tienes un amigo para lo que necesites, eres como un hermano. Gracias Etor, te echamos de menos. Gracias Fuster por estar tan loco. Por tener tantas y tan buenas historias. Gracias por tu ayuda y tu disponibilidad, es un placer compartir experiencias contigo. Tus ideas siempre me han ayudado. Gracias Patricia, aunque tardé en ganarte, sé que ahora te caigo bien, gracias por tu ayuda y tus consejos, siempre con una sonrisa. Muchas gracias también a Carmen Robles, se te echa de menos, a ti, a tu “tuerking”, a la cecina de León y por su puesto a tu simpatía. Seguro que ahora te irá mucho mejor. Gracias Blanca, compañera de despacho. Ya sé que no lo parece, porque no lo he pisado, pero era el mismo. Como echo de menos también la flor del cerezo y el Valle del Jerte y, por su puesto, a ti CrisVi. Al igual que con Patri, me costó caerte bien, y lo sé, no puedes mentirme. Pero ahora sé que tengo una amiga en el Jerte. Gracias por tu ayuda, por tu sonrisa, por esos findes viendo el cerezo en flor, solo hay una cosa más bonita: tus ojos. Gracias por todo. Gracias Lorena, por estar siempre ahí, por recordarme que no estoy solo en el mundo de los vagos mañaneros. Como mola dormir hasta la hora de comer. Gracias por tu simpatía y tu disponibilidad. Gracias por “enseñarme” a hacer “Hadouken” con el scriber, por esas imágenes de SEM y por mostrarme los secretos de la sala de litografía, ¡con lo que te gusta a ti el SU-8! Juntos hemos compartido alegrías y buenos chistes, gracias mañica. Gracias también a Llorens, tu humor inteligente y tu simpatía contagiosa hicieron que esos cigarros en la terraza fuesen diferentes. A ver cuando te unes al club de los exfumadores. Gracias Piñera por tantos y tan buenos momentos. Gracias Benito por tu ayuda siempre que la he necesitado. Gracias por tu locura. Echo de menos las discusiones entre Fuster y tú. Tengo la sensación de que si hubiera llegado unos años antes tendríamos muchas más historias que contar. Gracias también a todos los compañeros de fatigas y laboratorios, con los cuales no he compartido tantos buenos momentos como me hubiera gustado: gracias Begoña por tu sonrisa, tus rizos son un pasote. Gracias Marta, los pinchos de navidad con la guitarra siempre son más divertidos. Gracias también a Elena, Merce, Diana B, Diana M, Ripi, Marco, Horacio, Ryu, Miguel, Kamal y Olga. Gracias a Fran y Dani, con los que compartí mis primeros meses en el chalet de Tres Cantos (casa Chon). Vuestra compañía fue de mucha ayuda. Gracias también Jaime Andrés, Lili, Jero GoodBody, Andrés (¡qué manera de comer!), Lucasz, Pedro, Carolina (échale algo de carne, aunque sea un trocito de jamón a esos caldos tan paliduchos que traes) y Mónica. Agradecer también a todos los que han pasado de una manera fugaz por el instituto: Rubens y Roseli. Gracias también a Chemi, por tus discusiones futbolística y tu espíritu quinielista, en el fondo seguro que eres más celtista que madridista. Gracias también a Pedro por saber cómo bajarme los humos, deja de ponerme nervioso, por favor. Gracias también a los nuevos, que venís pegando “duro”. Marina F. no te enfades tanto conmigo, espero que en Dinamarca todo te vaya muy bien. Gracias Sandra por estar siempre ahí y por tu simpatía, tus taconeos dan ambiente a los pasillos. Muchas gracias Joaquín por toda tu ayuda, así es más fácil compaginar la vida laboral y la familiar. Espero que nunca te canses de traer esos postres tan ricos. Muchas gracias David por sacar unas imágenes tan buenas con el SEM y estar siempre disponible para hacer una inspección cuando se necesita, espero que tu doctorado vaya rodado. Espero no haberme olvidado de nadie. Aunque estoy casi seguro de que nunca leeréis esto, gracias Waldo y Mar. Me habéis ayudado mucho en momentos muy difíciles y nunca os lo he agradecido lo suficiente. Gracias a todos mis amigos de Vigo, en especial a Dani. Y muchas gracias a mis amigos de Santiago: Alba, Chete, Turnes, David y Berni. Os echo mucho de menos. Muchas gracias también a Nuria (de tu biólogo marino, informático, matemático, químico, etc.), Joaquín y a las niñas por tan buenos momentos, y los que aún nos quedan. Muchas gracias a mi familia. Está claro que esta tesis no existiría si no fuese por ellos. Gracias papá y mamá por dejaros la espalda trabajando en el bar los 365 días del año, prácticamente las 24h, para poder pagarme la carrera. Siento haber tardado tanto. Confiabais más vosotros en mí que yo mismo. Espero poder recompensaros. Gracias por esas empanadillas y bocadillos de Jamón Asado del Nueva Amistad que me han alimentado durante muchos años. Gracias por la educación que me habéis dado, estoy orgulloso de ser lo que soy y eso os lo debo a vosotros. Os quiero. Gracias Fernando por ser como eres. Más que un hermano mayor has sido como otro padre. Me has educado y ayudado siempre que has podido. Ya sé que al principio fue difícil (o eso decís, yo era un bebé y no me acuerdo) pero ahora sé que sin ti yo no estaría donde estoy. Gracias por toda tu ayuda, por tu confianza y por estar siempre ahí. Gracias hermano. Muchas gracias Tere por ser mi cuñada. Gracias por darme un sobrinito (y ahijado) tan guapo y gracias por cuidar de mi hermano. Muchas gracias Xián por estar ahí con esa sonrisa y esos ojazos azules. Espero saber corresponderos a todos. Gracias también a todos mis tíos y primos. En especial a Manu y Mari. Ya sabéis que sois como hermanos para nosotros. Gracias también a mis cuñados y cuñadas: José Luis y Lucia, Marta e Isma. Y gracias también a mi suegro Manolo por tener tres hijas como tres soles, aunque ya sabéis que yo me he llevado la mejor. Introducción 6 at the Bottom”1, que se puede traducir como “Hay mucho espacio al fondo” dónde se sentaron las bases de lo que ahora se conoce como nanotecnología. En esta famosa conferencia, Feynman especuló con la posibilidad de controlar, fabricar y manipular objetos en la escala nanométrica. El estudio de las nuevas e interesantes propiedades físicas (ópticas, mecánicas, térmicas, eléctricas, …) en la nanoescala han permitido la fabricación de nuevos dispositivos que han revolucionado todos los campos de la ciencia y, podemos decir, sin miedo a equivocarnos, que esto no ha hecho más que empezar. El impacto de la nanotecnología será crucial en campos como la biología, la biotecnología y la medicina, entre otros. Los sistemas biológicos están gobernados por procesos que ocurren en el mundo nanométrico. La mayoría de las proteínas y partículas virales poseen dimensiones en el rango de las decenas de nanómetros. Por ejemplo, un virión de VIH (Virus de la Inmunodeficiencia Humana) se puede aproximar a una esfera con un diámetro de ~100 𝑛𝑚 , mientras que una partícula viral del Ébola, que tiene forma lineal, mide aproximadamente ~1 𝜇𝑚 de largo por 80 𝑛𝑚 de diámetro. A su vez, en las células y bacterias los procesos que regulan su crecimiento y las interacciones intermoleculares tienen lugar en la nanoescala. Por ejemplo, los liposomas que conforman las paredes celulares tienen un espesor de decenas de nanómetros2. En el año 1982 Gerard Binnig y Heinrich Rohrer, de los laboratorios de IBM, inventan el microscopio de efecto túnel, STM4 (del inglés “Scanning Tunneling Microscopy”) lo cual supone una revolución en el campo de la nanotecnología y por lo cual reciben el Premio Nobel en 1986. Este invento tiene especial relevancia en la realización de este trabajo de tesis doctoral debido a que es la primera vez que se utiliza una micropalanca como elemento sensor. Un STM está formado por una micropalanca que posee una punta metálica en su extremo libre. Esta se posiciona muy cerca de una superficie conductora (~Å) y cuando se aplica un voltaje entre la punta metálica y la muestra se genera una corriente por efecto túnel entre ellas. El principio de funcionamiento se basa en mantener esta corriente constante (~1 𝑛𝐴) mientras se realiza un barrido a la muestra que queremos caracterizar. Como esta corriente depende de la distancia entre la punta y la muestra es necesario desplazarla verticalmente para mantener la corriente constante, lo que permite reconstruir la topografía de la muestra. Se puede ver, grosso Introducción 7 modo, como un fonógrafo en miniatura. Con esta técnica se ha logrado obtener una resolución atómica5, es decir, se ha conseguido la “visualización de los átomos” que conforman la materia. Sin embargo, una de las desventajas de la técnica del STM es que está limitada a muestras conductoras. Solo cuatro años más tarde, la invención del microscopio de fuerzas atómicas6, AFM (del inglés “Atomic Force Microscope”) en 1986 por Binning y Quate del “Edward L. Ginzton Laboratory” (Universidad de Stanford) y Gerber de IBM, marca otro importante hito en el avance imparable de la nanotecnología. De nuevo, una micropalanca con una punta afilada en su extremo libre conforma la base de este invento. Sin embargo, en este caso el principio de funcionamiento se basa en la medida de la deflexión de la micropalanca debido a las interacciones entre la punta y la muestra sin necesidad de aplicar un voltaje. Mientras que en el caso del STM lo que se mantiene constante es la corriente de efecto túnel, en el AFM es la deflexión de la palanca, pudiendo obtener la topografía de la superficie, sin la necesidad de que las muestras sean conductoras. A este principio de operación se le conoce como modo estático. Actualmente la mayoría de laboratorios alrededor del mundo poseen este instrumento tan potente y versátil, con la capacidad de adquirir imágenes de alta resolución de la topografía de diferentes tipos de sustratos. La microscopía de fuerzas atómicas experimentó un avance significativo cuando en el año 1987, H. K. Wickramasinghe y colaboradores, de IBM, utilizaron la vibración de una micropalanca para explorar la topografía de la superficie35. Este nuevo método de caracterización es conocido como modo dinámico. El principio de operación del modo dinámico es similar al del modo estático. Cuando una micropalanca es sometida a un campo de fuerzas, no solo se produce una deflexión, sino que también cambia su frecuencia de resonancia. Por lo tanto, para mantener la frecuencia de oscilación constante es necesario variar la posición vertical de la palanca con la muestra. Esta técnica aumenta la resolución espacial consiguiendo reconstruir la topografía de la muestra con resolución sub-nanométrica7. Además, debido a que las fuerzas de interacción entre la punta y la muestra, como las fuerzas de van der Waals, interacciones dipolo-dipolo y fuerzas electroestáticas, son detectables antes de producirse el contacto, el AFM puede ser Introducción 8 utilizado en modo no-contacto8 y por lo tanto como un método de caracterización no invasivo. Es en el año 1994 cuando el grupo de Welland y Gerber, de IBM, utilizan por primera vez una micropalanca como elemento sensor. La micropalanca estaba compuesta por dos materiales distintos y cuando se calentaba, debido a la diferencia del coeficiente de expansión térmico de los materiales, se producía su deflexión9. El sensor era capaz de detectar cambios de calor del orden de pJ (10−12 𝐽) en modo estático. Un año más tarde, en 1995, el grupo de Thomas Thundat, del Oak Ridge National Laboratory (Tennessee), publica dos artículos en los cuales detectan vapor de agua10 y de mercurio11 usando micropalancas en modo dinámico. Thundat detectó cambios en la frecuencia de resonancia de las micropalancas debido a la adsorción de masa sobre la superficie del resonador, siendo esta la primera vez en la que se utilizan las micropalancas como sensores de masa. En el año 1997 R. Berger y colaboradores, de IBM, publican un artículo en la revista Science donde utilizan micropalancas para medir in situ la tensión superficial inducida por la unión de alcanotioles12. A partir de estas publicaciones aparecen números estudios sobre el uso de las micropalancas como sensores13, sentando las bases de lo que hoy se conoce como sensores basados en sistemas nanomecánicos, NEMS14,15 (del inglés “NanoElectroMechanical Systems”). La aplicación de estos sensores nanomecánicos en la biología y medicina fue inminente. Solo seis años después de la aparición del primer artículo sobre el uso de resonadores nanomecánicos como sensores, aparece en el año 2000 una publicación en la revista Science del grupo de Ch. Gerber y J.K. Gimzewski, de IBM, en el que se detecta la hibridación de cadenas de ADN midiendo la deflexión de micropalancas debido a la diferencia de tensión superficial generada entre sus dos caras16. En el año 2006 Daniel Ramos y Javier Tamayo, del grupo de Bionanomecánica del Instituto de Microelectrónica de Madrid (IMMCSIC), publican un trabajo donde utilizan resonadores nanomecánicos tipo palanca en modo dinámico como sensores de masa y rigidez observando, por primera vez, como la adsorción de bacterias cerca del extremo libre de la palanca genera una disminución de la frecuencia de resonancia mientras que la adsorción cerca del extremo anclado provoca Introducción 9 un aumento de la frecuencia de resonancia17. Mientras que el cambio negativo en frecuencia es debido a la adsorción de una masa sobre el resonador, el cambio positivo en frecuencia se produce debido a un aumento en la rigidez del sistema. Unos años más tarde, en el 2010, Eduardo Gil-Santos y colaboradores del grupo de Bionanomecánica (IMM-CSIC) publican un trabajo en la revista Nature Nanotechnology donde consiguen mejorar la sensibilidad mediante el uso nanohilos de silicio como sensores de masa y rigidez nanomecánicos18. El experimento consistía en la medida de la deposición localizada de carbono crecido mediante un microscopio electrónico de barrido. Un año antes, en el 2009, el grupo de Michael Lee Roukes del California Institute of Technology, Caltech (Pasadena, California) publican un artículo en la revista Nature Nanotechnology donde utilizan, por primera vez, un resonador nanomecánico como elemento sensor en un espectrómetro de masa19, midiendo cambios en la frecuencia de resonancia del primer modo flexural de vibración de una estructura tipo puente. En el año 2012 publican un nuevo artículo en la misma revista donde miden la masa de proteínas y nanopartículas de oro utilizando el mismo espectrómetro de masas nanomecánico en tiempo real20, pero esta vez midiendo los dos primeros modos flexurales de oscilación, abriendo las puertas a nuevos dispositivos de espectrometría de masas basado en resonadores nanomecánicos. Los avances en las técnicas de nanofabricación y en la industria de los semiconductores posibilitan la disminución del tamaño de los resonadores con un alto grado de calidad y reproducibilidad. Los nanoresonadores alcanzan altas frecuencias de resonancia y masas minúsculas, aumentando su resolución como sensores de masa hasta límites atómicos. En el año 2012 el grupo de A. Bachtold, del Instituto Catalán de Nanotecnología (ICN-CSIC), publica un artículo en la revista Nature Nanotechnology donde presenta un sensor nanomecánico21 con una resolución de yoctogramos (10−24 𝑔), es decir, la masa de un protón. El resonador es un nanotubo de carbono con una longitud de ~150 𝑛𝑚 el cual vibra a una frecuencia de ~ 2 𝐺𝐻𝑧. Sin embargo, la disminución del tamaño de los resonadores para su utilización como sensores de masa y rigidez posee un gran inconveniente: su área de detección. Por lo tanto, existe la necesidad de encontrar una relación de compromiso entre su tamaño y el área de detección. Introducción 10 A diferencia de un espectrómetro nanomecánico, un espectrómetro de masas convencional mide la relación carga/masa de especies moleculares cargadas con gran precisión. Utilizan campos eléctricos y magnéticos para guiar los iones hasta los detectores y, de esta manera, clasificar las diferentes especies. Sin embargo, están limitados a pequeños analitos, entre 100 𝐷𝑎 hasta los 100 𝑘𝐷𝑎 y, por lo tanto, poseen un reducido rango dinámico22,23. Para entidades de mayor tamaño se utilizan diversas técnicas de fragmentación, obteniendo un espectro complejo y difícil de interpretar y, por lo tanto, la necesidad de realizar laboriosos tratamientos de datos para poder reconstruir el analito inicial. El espectrómetro nanomecánico no necesita de la fragmentación ni ionización de las especies, ya que se basa en la medida directa y en tiempo real de los cambios en la frecuencia de resonancia del resonador a medida que las partículas son adsorbidas sobre su superficie. Los cambios en frecuencia producidos por un adsorbato son debidos a dos efectos contrapuestos: por un lado, el efecto de masa hace que la frecuencia disminuya y, por otro lado, el efecto de rigidez hace que la frecuencia aumente. Por lo tanto, la espectrometría nanomecánica3 se postula como un excelente candidato para medir no solo la masa, sino también la rigidez de compuestos biológicos macromoleculares complejos. Introducción 11 2. Motivación y Objetivos Este trabajo de tesis doctoral está centrado en el estudio de los resonadores microy nanomecánicos para su utilización como elemento sensor en un espectrómetro de masa y rigidez nanomecánico. Para ello se realiza el estudio de diferentes tipos de resonadores, desde nanohilos de silicio hasta microcapilares resonantes de sílice fundido. La medida de la rigidez en entidades biológicas tiene gran importancia en biología y medicina. Recientemente, se ha descubierto que la rigidez de las células es diferente dependiendo de si son células sanas, cancerígenas o metastásicas24. Sucede lo mismo en virus y bacterias, en los cuales la rigidez tiene una importancia vital en sus ciclos biológicos naturales. Por ejemplo, el virus del VIH cambia drásticamente su rigidez cuando pasa de estado latente a un estado infeccioso25. De ahí la importancia de desarrollar nuevos sensores biológicos que permitan medir, no solo la masa, sino también la rigidez de entidades biológicas. El objetivo central de este trabajo de tesis doctoral ha sido el desarrollo de un espectrómetro de masa y rigidez basado en resonadores microy nanomecánicos. Este trabajo está inspirado en un artículo publicado en el año 2009 en la revista Nature Nanotechnology por el grupo de M. L. Roukes del California Institute of Technology (Caltech), donde demostraron, por primera vez, el uso de resonadores nanomecánicos como elemento sensor en un espectrómetro de masa20. En el espectrómetro desarrollado por este grupo se utiliza un resonador nanomecánico con una estructura tipo puente y, mediante la medida de cambios en la frecuencia de resonancia del primer modo flexural debido a la adsorción de partículas individuales, se estima el valor de la masa de los adsorbatos. Para la nebulización de las partículas de interés, desde presión atmosférica hasta el resonador situado en alto vacío, se utilizan dos técnicas de ionización diferentes: la técnica de electrospray, ESI (del inglés “ElectroSpray Ionization”) y la técnica MALDI (del inglés “Matrix-Assisted Laser Desoption Ionization”). En un trabajo posterior del mismo grupo (2012), con el mismo sistema experimental, utilizaron la medida de los dos primeros modos flexural de vibración de un Introducción 12 resonador nanomecánico tipo puente, detectando, por primera vez, proteínas individuales. El espectrómetro desarrollado tenía una altura de 2 𝑚 y necesitaban de grandes bombas turbomoleculares para alcanzar un alto vacío en la campana de detección (<10−8 𝑡𝑜𝑟𝑟). Además, utilizaba hexapolos para el guiado de los iones hacia el resonador, así como la necesidad de criogenizar el elemento sensor con la finalidad de mejorar la adhesión de las partículas sobre su superficie e incrementar su sensibilidad, el cual se encontraba a una temperatura de 40𝐾. Estas condiciones eran necesarias para conseguir medir partículas del orden de ~𝑘𝐷𝑎 con una alta resolución. Sin embargo, el espectrómetro no tenía en cuenta la rigidez del adsorbato y necesitaba de complejos equipos de laboratorio para su correcto funcionamiento. Para la medida y excitación de las frecuencias de resonancia utilizaba resonadores tipo puente con circuitos embebidos con tres terminales eléctricas, con lo cual era necesaria la utilización de conexiones eléctricas con el exterior, así como de avanzadas técnicas de nanofabricación. Debido a estos inconvenientes es de esperar que este tipo de equipos no lleguen a ser utilizado de manera práctica en clínicas y laboratorios. Por lo tanto, existe la necesidad de desarrollar un sistema más sencillo y compacto, que además pueda caracterizar las partículas no sólo por su masa, sino también por su rigidez. En este trabajo se ha desarrollado un espectrómetro de masa y rigidez con una altura total de 0.5 𝑚, sin la necesidad de guías de iones, de sistemas de criogenizado ni conexiones eléctricas en el resonador, lo que abarata y simplifica la fabricación de los dispositivos. El sistema desarrollado utiliza un resonador tipo palanca localizado a un bajo vacío de 0.1 𝑚𝑏𝑎𝑟 y a temperatura ambiente. Para la medida de las frecuencias de resonancia se utiliza la técnica de deflexión del haz14. El espectrómetro ha demostrado ser capaz de medir la masa y rigidez de nanopartículas de oro individuales de 100 𝑛𝑚 de diámetro, así como de bacterias E. coli. Para poder medir la rigidez de las partículas, además de su masa y su posición de adsorción, ha sido necesario seguir al menos tres modos de oscilación diferentes de manera simultánea. Un objetivo secundario, pero no por ello menos importante, ha sido el estudio de resonadores unidimensionales como son los nanohilos de silicio, SiNWs (del inglés, “Silicon NanoWires”) cónicos, siguiendo Introducción 13 los trabajos del grupo de Bionanomecánica con SiNWs donde se ha demostrado la gran sensibilidad en masa y rigidez de estos resonadores18,26-28. Los resonadores unidimensionales han sido propuestos como excelentes candidatos para ser utilizados como elementos sensores en un espectrómetro de masa y rigidez, gracias a su baja masa, altas frecuencias de resonancia y elevados factores de calidad. Sin embargo, su utilización se ve limitada por un factor importante: el área de detección. Otro de los estudios realizados ha sido el trabajo desarrollado con microcapilares resonantes de sílice fundido para su utilización como sensores de masa y rigidez. Su fácil accesibilidad comercial y su bajo coste han motivado la investigación de estos microcapilares suspendidos para su uso como sensores biológicos. Como primer paso hacia la implementación de un espectrómetro se ha propuesto su utilización como sensor de densidad de líquidos en tiempo real y a presión atmosférica. En los últimos años han surgido diferentes publicaciones donde se utilizan resonadores huecos como sensores de masa29-31. Estos resonadores tiene la ventaja de que por su interior puede fluir un líquido de interés con las partículas biológicas a detectar, por ejemplo, una solución de buffer con células. Como el líquido fluye por su interior, el resonador puede ser introducido en alto vacío, con lo cual su factor de calidad no se ve degradado32,33, a diferencia de lo que ocurre cuando el resonador se encuentra en un líquido y, además, tampoco compromete la funcionalidad y propiedades del material biológico. Uno de los grupos más destacados en este campo es el de Scott R. Manalis del Massachusetts Institute of Technology (MIT), el cual publicó en 2007 un trabajo en la revista Nature donde demostraba el gran potencial de estos resonadores huecos34. En este estudio se utilizaban resonadores tipo palanca introducidos en alto vacío y se hacía fluir las partículas de interés por unos microcanales embebidos en su interior. Siguiendo la frecuencia de resonancia del primer modo de oscilación se consiguió medir la masa de bacterias, nanopartículas de oro, micropartículas de poliestireno y también anticuerpos. Uno de los inconvenientes de estos dispositivos es la necesidad de utilizar técnicas complejas de nanofabricación. En este trabajo de tesis doctoral se ha propuesto el uso de los microcapilares resonantes de sílice fundido como una posible alternativa, barata y Introducción 14 sencilla de implementar, los cuales podrían utilizarse como sensores de masa y rigidez en un futuro. Introducción 15 3. Estructura Este trabajo de tesis doctoral se encuentra dividido en 5 capítulos y un apéndice, comenzando con el desarrollo teórico de los resonadores nanomecánicos hasta la aplicación experimental de la teoría. En el capítulo 1 se recoge una introducción general a la teoría de los resonadores nanomecánicos. Se comienza con un resumen de la teoría de la elasticidad, describiendo tanto el tensor deformación como el tensor de tensiones de sistemas elásticos. A continuación, se introduce la ecuación de Euler-Bernoulli, la cual se utiliza para describir el movimiento flexural de los resonadores nanomecánicos utilizados en este trabajo. Además, se resuelve la parte temporal y espacial de la ecuación de Euler-Bernoulli, tanto para el caso de un resonador tipo palanca como para un resonador tipo puente. Finalmente se realiza una breve comparativa con el modelo del oscilador armónico. Las ecuaciones descritas en este capítulo serán utilizadas a lo largo de esta tesis doctoral. En el capítulo 2 se ha realizado un estudio sobre el impacto de la conicidad en nanohilos de silicio, para su aplicación como sensores de masa, mediante la medida de la frecuencia de resonancia de sus dos primeros modos flexurales de oscilación. Para ello, se ha desarrollado un sistema interferométrico para detectar las vibraciones subnanométricas de estos nanoresonadores unidimensionales. En este capítulo también se realiza una breve descripción del proceso de fabricación mediante técnicas de crecimiento conocidas como “Bottom-up”. Debido a su fabricación, los nanohilos pueden presentar un grado de conicidad, es decir, que el radio en el extremo anclado sea diferente del radio en el extremo libre. Esta conicidad hace que las frecuencias de resonancia y la forma de los modos de vibración difieran de nanohilos con sección uniforme. Esto hace que la sensibilidad en masa de los nanohilos cónicos mejore sustancialmente siendo, por lo tanto, un tipo de resonadores muy interesantes para su utilización como sensores. En el capítulo 3 se estudian los microcapilares de sílice fundidos como un tipo de resonadores huecos. Los microcapilares de sílice fundido se encuentran disponibles comercialmente con diferentes formas Introducción 22 Teoría de Resonadores Nanomecánicos 23 CAPÍTULO 1 1. Teoría de Resonadores 1.1. TEORÍA DE LA ELASTICIDAD La teoría de la elasticidad es la parte de la física que estudia la mecánica de los sólidos considerándolos como medios continuos. Se dice que una deformación es elástica si el sólido recupera su forma inicial cuando dejan de actuar las fuerzas que causaron dicha deformación, es decir, se trata de una deformación reversible1,2. Sus fundamentos fueron establecidos a principios del siglo XIX por Cauchy y Poisson. En esta sección se resume la teoría fundamental utilizada a lo largo de este trabajo de tesis doctoral. Para ello, primero se introduce el tensor deformación y el tensor de tensiones en sólidos y se relaciona la tensión y la deformación que sufre un sólido por medio de la ley de Hooke. En la siguiente sección, se describe y resuelve la ecuación de Euler- Teoría de Resonadores Nanomecánicos 24 Bernoulli. Por último, se modeliza el comportamiento de un resonador por medio del oscilador armónico. 1.1.1. EL TENSOR DEFORMACIÓN Un sólido tiende a cambiar de forma y volumen bajo la acción de fuerzas externas. Para estudiar cómo se produce la deformación de un sólido, empezaremos definiendo la posición de un punto cualquiera de un sólido de manera analítica mediante un vector 𝒓(𝑥𝑖) con componentes 𝑥𝑖=𝑥,𝑦,𝑧. Figura. l.1. Deformación general de un sólido sometido a fuerzas externas. Cuando el sólido es deformado bajo la acción de una fuerza externa, cada punto del mismo se desplaza. Sea 𝒓 el vector posición de un punto 𝑝 cualquiera del sólido antes de la deformación y 𝒓′ el vector posición del punto 𝑝′ después de la deformación. El desplazamiento de este punto vendrá dado por un vector 𝒖=𝒓′−𝒓 el cual se conoce como vector desplazamiento (Figura 1.1). La distancia entre dos puntos infinitesimalmente próximos (𝑝 y 𝑞) vendrá dado por, 𝑑𝑟=√𝑑𝑥2+𝑑𝑦2+𝑑𝑧2 (1.1) y la distancia después de la deformación será, 𝑑𝑟′=√𝑑𝑥′2+𝑑𝑦′2+𝑑𝑧′2 (1.2) Teoría de Resonadores Nanomecánicos 25 A no ser que se diga lo contrario se usará el convenio de Einstein de índices repetidos3 de tal forma que, 𝑑𝑟=√𝑑𝑥𝑖2 , 𝑑𝑟′=√𝑑𝑥′𝑖2 donde 𝑖=1,2,3 (1.3) Las coordenadas del punto después de la deformación (𝑥′𝑖) serán función de las coordenadas del punto antes del desplazamiento (𝑥𝑖). Por lo tanto, el vector desplazamiento 𝒖 se puede expresar en función de las coordenadas 𝑥𝑖, ya que 𝒅𝒓′=𝒅𝒓+𝒅𝒖. Finalmente, podemos escribir la ecuación 1.2 como, 𝑑𝑟′=√(𝑑𝑥𝑖+𝑑𝑢𝑖)(𝑑𝑥𝑖+𝑑𝑢𝑖) (1.4) Sustituyendo 𝑑𝑢𝑖=𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑘 tenemos, 𝑑𝑟′2=𝑑𝑟2+2𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘+𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑘𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗𝑑𝑥𝑘𝑑𝑥𝑗 (1.5) Como el segundo término de la derecha se extiende sobre los subíndices 𝑖 y 𝑘, se puede expresar, 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑘𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘=𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘 (1.6) Intercambiando en el tercer término los subíndices 𝑖 y 𝑗, y teniendo en cuenta que se puede escribir el término 2𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑥𝑖𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘 en forma simétrica como (𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑘+𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑥𝑖)𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑘, se tiene que la distancia entre puntos después de la deformación viene dada por, 𝑑𝑟′2=𝑑𝑟2+2𝜀𝑖𝑗𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 (1.7) Donde se define el tensor 𝜀𝑖𝑗 como tensor deformación, 𝜀𝑖𝑗=12(𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑘+𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑖𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑘) (1.8) Usando la notación 𝑢𝑖,𝑗=𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 podemos reescribir la ecuación 1.8 de forma más compacta de la siguiente manera, Teoría de Resonadores Nanomecánicos 26 𝜀𝑖𝑗=12(𝑢𝑖,𝑘+𝑢𝑘,𝑖+𝑢𝑗,𝑖𝑢𝑗,𝑘) (1.9) Por definición se trata de un tensor simétrico, es decir, 𝜀𝑖𝑗=𝜀𝑗𝑖 (1.10) y, por tanto, puede ser diagonalizado, lo que implica que podemos elegir, en cualquier punto del sólido, un sistema de ejes coordenados (ejes principales del tensor) de manera que solo las componentes diagonales del tensor sean distintas de cero, 𝜀11≠0, 𝜀22≠0, 𝜀33≠0, teniendo en cuenta que no todos los puntos del sólido tendrán los mismos ejes principales, es decir, que si el tensor está diagonalizado en un punto del cuerpo, en general no lo estará en otros puntos del mismo. Cuando el tensor deformación 𝜀𝑖𝑗 está diagonalizado en un punto del sólido tendremos que el elemento de longitud definido en la ecuación 1.7 vendrá dado por, 𝑑𝑟′2=(𝛿𝑖𝑗+2𝜀𝑖𝑗)𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗=(1+2𝜀1)𝑑𝑥12+(1+2𝜀2)𝑑𝑥22+(1+2𝜀3)𝑑𝑥32 (1.11) donde 𝜀1,𝜀2,𝜀3 son los valores principales del tensor deformación, es decir, las componentes diagonales. La ecuación 1.11 es la suma de tres términos independientes y, por tanto, la deformación de un elemento de volumen en el sólido se compone de las deformaciones a lo largo de los tres ejes ortogonales. Las longitudes 𝑑𝑥1, 𝑑𝑥1, 𝑑𝑥3 a lo largo de los correspondientes ejes principales se convierten en 𝑑𝑥′1=√1+2𝜀1, 𝑑𝑥′2= √1+2𝜀2 y 𝑑𝑥′3=√1+2𝜀3 respectivamente. Por lo tanto, el alargamiento relativo vendrá dado por (𝑑𝑥′𝑖−𝑑𝑥𝑖) 𝑑𝑥𝑖=√1+2𝜀𝑖−1 a lo largo del eje principal 𝑖. Vamos a considerar como primera aproximación que las deformaciones que sufre un sólido son pequeñas y, por tanto, las componentes del vector desplazamiento también lo serán. Esto nos permite despreciar los términos de segundo orden en el tensor deformación, es decir, para la elasticidad lineal tenemos que, 𝜀𝑖𝑗=12(𝑢𝑖,𝑘+𝑢𝑘,𝑖) (1.12) Teoría de Resonadores Nanomecánicos 27 Por lo tanto, el alargamiento relativo a lo largo de los ejes principales del tensor en un punto dado del sólido se puede aproximar a √1+2𝜀𝑖−1≈𝜀𝑖, es decir, son los valores principales del tensor 𝜀𝑖𝑗. Desarrollando la ecuación 1.12 tenemos las componentes del tensor deformación en la teoría de la elasticidad lineal vienen dadas por, { 𝜀𝑥𝑥=∂u ∂x 𝜀𝑦𝑦=∂v ∂y 𝜀𝑧𝑧=∂w ∂z 𝜀𝑥𝑦=𝜀𝑦𝑥=12(∂u ∂y+∂v ∂x) 𝜀𝑥𝑧=𝜀𝑧𝑥=12(∂u ∂z+∂w ∂x) 𝜀𝑦𝑧=𝜀𝑧𝑦=12(∂v ∂z+∂w ∂y) (1.13) 1.1.2. EL TENSOR DE TENSIONES Cuando un sólido se encuentra en equilibrio térmico con su entorno todas las partes del cuerpo se hallan en equilibrio mecánico y, por lo tanto, la resultante de la suma de las fuerzas, así como de los momentos que actúan sobre el mismo, es igual a cero. Sin embargo, cuando un sólido es sometido a una fuerza externa se produce la deformación. El sólido deja de encontrarse en equilibrio y como consecuencia aparecen unas fuerzas internas que tienden a llevarlo nuevamente a su posición de equilibrio. Estas fuerzas internas se conocen como tensiones internas y son debidas a fuerzas moleculares y por lo tanto de corto alcance. Cuando se aplica una fuerza sobre el volumen, esta fuerza será la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de los elementos del sólido. Por tanto, podemos definir F como la fuerza por unidad de longitud. La fuerza total que se ejerce sobre el sólido puede escribirse como, ∫𝐹𝑑𝑉 𝑉. Teniendo en cuenta la tercera ley de Newton4, las fuerzas de los distintos elementos de volumen se anulan mutuamente en concordancia con la igualdad de la acción y la reacción. Para cualquier elemento del sólido, cada una de las tres componentes ∫𝐹𝑖𝑑𝑉 𝑉 se puede expresar en una integral de superficie aplicando el teorema de Gauss5 o de la divergencia, donde 𝐅 será la divergencia de un tensor de segundo orden, Teoría de Resonadores Nanomecánicos 28 𝐅=∇∙𝛔 (1.14) es decir, 𝐹𝑖=∂σ𝑖𝑗 ∂x𝑗 (1.15) obteniendo que, ∫𝐹𝑖𝑑𝑉 𝑉=∫∂σ𝑖𝑗 ∂x𝑗𝑑𝑉 𝑉=∮σ𝑖𝑗𝑑𝑓𝑖 (1.16) El tensor σ𝑖𝑗 se denomina tensor de tensiones y tiene en cuenta, como su propio nombre indica, la distribución de tensiones en el medio continuo. La figura 1.2 representa un elemento diferencial de volumen donde se muestran las tensiones normales y tangenciales en cada cara. Como se puede observar, el primer índice hace referencia a la componente normal de la cara y el segundo a la dirección del tensor, por ejemplo, σ𝑦𝑧 representa la tensión en la cara perpendicular a 𝑦 en la dirección 𝑧, por tanto, las tensiones normales tienen el índice repetido. Figura 1.2. Elemento diferencial de volumen donde se representan las componentes del tensor de tensiones originados por la aplicación de una fuerza 𝐅. Desarrollando el tensor de tensiones tenemos que, σ𝑖𝑗=(𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧 𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧) (1.17) Teoría de Resonadores Nanomecánicos 29 El momento que actúa sobre una región del cuerpo viene dado por el producto vectorial, 𝐌=𝐅×𝐫 , que podemos expresar haciendo uso del tensor de Levi-Civita como, 𝑀𝑖=ϵ𝑖𝑗𝑘∫𝐹𝑗𝑥𝑘𝑑𝑉 𝑉 (1.18) donde el tensor de Levi-Civita6 se define como, ϵ𝑖𝑗𝑘={1 si (𝑖,𝑗,𝑘) es (1,2,3),(2,3,1) o (3,1,2) −1 si (𝑖,𝑗,𝑘) es (3,2,1),(2,1,3) o (1,3,2) 0 en otros casos (1.19) por lo tanto, el momento de fuerzas se puede expresar como, 𝑀𝑖𝑗=∫(𝐹𝑖𝑥𝑗−𝐹𝑗𝑥𝑖)𝑑𝑉 𝑉 (1.20) Sustituyendo en la ecuación 1.20 la ecuación 1.15, podemos reescribir el momento de fuerzas de la siguiente forma, 𝑀𝑖𝑘=∫(∂σ𝑖𝑙 ∂x𝑙𝑥𝑘−∂σ𝑘𝑙 ∂x𝑙𝑥𝑖)𝑑𝑉= 𝑉 ∫𝜕(σ𝑖𝑙𝑥𝑘−σ𝑘𝑙𝑥𝑖) 𝜕𝑥𝑙𝑑𝑉 𝑉 −∫(σ𝑖𝑙𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑙−σ𝑘𝑙𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑙)𝑑𝑉 𝑉 (1.21) Donde podemos expresar 𝜕𝑥𝑘 𝜕x𝑙=𝛿𝑘𝑙, siendo 𝛿𝑘𝑙 la delta de Kroneker, y por lo tanto 𝛿𝑘𝑙σ𝑖𝑙=σ𝑖𝑘 y 𝛿𝑖𝑙σ𝑘𝑙=σ𝑘𝑖. Haciendo uso del teorema de Gauss5, la integral de volumen puede ser expresada como una integral de superficie tal que, 𝑀𝑖𝑘=∫(σ𝑗𝑙𝑥𝑘−σ𝑘𝑙𝑥𝑖)𝑑𝑛𝑙 𝑆−∫(σ𝑗𝑘−σ𝑘𝑗)𝑑𝑉 𝑉 (1.22) Para que 𝑀𝑖𝑘 pueda ser expresada como una integral de superficie debe cumplirse que el tensor de tensiones sea simétrico, es decir, σ𝑗𝑘= σ𝑘𝑗. Por lo tanto, podemos escribir el momento de fuerzas que actúan sobre una región del sólido como, Teoría de Resonadores Nanomecánicos 30 𝑀𝑖𝑘=∫(F𝑖𝑥𝑘−F𝑘𝑥𝑖)𝑑𝑉 𝑉=∫(σ𝑗𝑙𝑥𝑘−σ𝑘𝑙𝑥𝑖)𝑑𝑛𝑙 𝑆 𝑀𝑖=ϵ𝑖𝑗𝑘∫𝜎𝑖𝑗𝑥𝑘𝑑𝑛𝑙 𝑆 (1.23) 1.1.3. LEY DE HOOKE Una vez que se ha definido el tensor deformación y el tensor de tensiones, introduciendo así la teoría de la elasticidad lineal, el siguiente paso será relacionar la deformación que sufre un sólido con la tensión aplicada. Para ello se hará uso de la ley de Hooke7 para deformaciones pequeñas, la cual establece una deformación lineal entre la tensión y la deformación. Supongamos un alargamiento en la dirección x en el elemento diferencial de volumen (Figura 1.2) generado por una tensión 𝜎𝑥𝑥. Esta tensión producirá un estrechamiento en las direcciones perpendiculares tal que, 𝜀𝑥𝑥=1𝐸𝜎𝑥𝑥 𝜀𝑦𝑦=−𝜈𝐸𝜎𝑥𝑥 𝜀𝑧𝑧=−𝜈𝐸𝜎𝑥𝑥 (1.24) Las constantes E y ν se conocen como módulo de Young (definido por primera vez por Thomas Young en 1807) y coeficiente de Poisson (definido por Siméon Poisson 1830´s) respectivamente y dependen del material. De la misma manera podemos encontrar las deformaciones producidas por las tensiones 𝜎𝑦𝑦 y 𝜎𝑧𝑧 obteniendo, { 𝜀𝑥𝑥=1𝐸(𝜎𝑥𝑥−𝜈(𝜎𝑦𝑦+𝜎𝑧𝑧)) 𝜀𝑦𝑦=1𝐸(𝜎𝑦𝑦−𝜈(𝜎𝑥𝑥+𝜎𝑧𝑧)) 𝜀𝑧𝑧=1𝐸(𝜎𝑧𝑧−𝜈(𝜎𝑥𝑥+𝜎𝑦𝑦)) (1.25) Para obtener las componentes cruzadas haremos uso de las propiedades tensoriales de la tensión y de la deformación. Para ello aplicamos una rotación 𝜋4 a un sistema de coordenadas (𝑥,𝑦) situándonos en un sistema (𝑥′,𝑦′) de tal manera que podemos escribir el tensor como 𝜎′=[𝜎𝑥𝑦 0 0 −𝜎𝑥𝑦] y por lo tanto el tensor deformación en el sistema (𝑥′,𝑦′) Teoría de Resonadores Nanomecánicos 31 vendrá dado por 𝜀′=[𝜎𝑥𝑦(1+𝜈) 𝐸0 0 −𝜎𝑥𝑦(1+𝜈) 𝐸]. Aplicando la rotación inversa para volver al sistema de referencia (𝑥,𝑦) obtenemos 𝜀′= [0𝜎𝑥𝑦(1+𝜈) 𝐸 𝜎𝑥𝑦(1+𝜈) 𝐸0]. El mismo proceso se puede aplicar a las componentes 𝑥𝑧 y 𝑦𝑧 y, por lo tanto, podemos escribir las componentes cruzadas como, { 𝜀𝑥𝑦=1+𝜈 𝐸𝜎𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑦=1+𝜈 𝐸𝜎𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑧=1+𝜈 𝐸𝜎𝑦𝑧 (1.26) En forma tensorial, 𝜀𝑖𝑗=1𝐸[(1+𝜈)𝜎𝑖𝑗 −𝜈𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗] (1.27) O recíprocamente, 𝜎𝑖𝑗=𝐸 (1+𝜈)[𝜀𝑖𝑗+𝜈 1−2𝜈𝜀𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗] (1.28) Las ecuaciones 1.27 y 1.28 son conocidas como ecuaciones constitutivas, las cuales constituyen la base de la teoría lineal de la elasticidad. 1.2. ECUACIÓN DE EULER-BERNOULLI Una de las ecuaciones más utilizadas a la hora de modelizar la respuesta dinámica flexural de resonadores unidimensionales es la ecuación de Euler-Bernoulli8. Primero se describe la energía de deformación y las ecuaciones de equilibrio de resonadores unidimensionales. A continuación, se estudia la deflexión flexural pura de una estructura libre para llegar, finalmente, a la ecuación de EulerBernoulli. Teoría de Resonadores Nanomecánicos 38 1.2.4. SOLUCIÓN ESPACIAL Y TEMPORAL DE LA ECUACIÓN DE EULER-BERNOULLI. En este apartado se resuelve tanto la parte espacial como la parte temporal de la ecuación de Euler-Bernoulli. Para ello consideraremos que la sección a lo largo de la palanca es uniforme y por lo tanto podemos escribir la ecuación 1.47 como, 𝜌𝑆𝜕2Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡2+𝐸𝐼𝜕4Ψ(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥4=0 (1.51) Para resolver la ecuación 1.51 aplicaremos el método de separación de variables cuya solución viene dada por, Ψ(𝑥,𝑡)=𝜓(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 (1.52) Donde 𝜔 es la frecuencia angular de la estructura. Sustituyendo la ecuación 1.52 en la 1.51 tenemos, 𝜌𝑆𝜕2𝜓(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 𝜕𝑡2=−𝐸𝐼𝜕4𝜓(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 𝜕𝑥4 (1.53) Es decir, 𝜌𝑆𝜓(𝑥)𝜕2𝑒𝑖𝜔𝑡 𝜕𝑡2=−𝐸𝐼𝑒𝑖𝜔𝑡𝜕4𝜓(𝑥) 𝜕𝑥4 (1.54) Y por lo tanto podemos escribir, −𝐸𝐼 𝜌𝑆𝜕4𝜓(𝑥) 𝜕𝑥4 𝜓(𝑥)=𝜕2𝑒𝑖𝜔𝑡 𝜕𝑡2 𝑒𝑖𝜔𝑡 =−𝜔2 (1.55) Finalmente, tenemos la ecuación de la parte espacial viene dada por, 𝜕4𝜓(𝑥) 𝜕𝑥4−𝑞4𝜓(𝑥)=0 (1.56) Donde, Teoría de Resonadores Nanomecánicos 39 𝑞4=𝜔2𝜌𝑆 𝐸𝐼 (1.57) La solución general para la ecuación 1.56 se puede escribir como, 𝜓(𝑥)=𝐴1sinh(𝑞𝑥)+𝐴2cosh(𝑞𝑥)+𝐴3sin(𝑞𝑥)+𝐴4cos(𝑞𝑥) (1.58) Las constantes 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 y 𝐴4 se determinan imponiendo las condiciones de contorno del problema. Como caso particular se resolverá la ecuación 1.58 para una estructura tipo palanca, es decir, con un extremo fijo y otro libre, como el mostrado en la figura 1.5a, ya que será la estructura más utilizada a lo largo de esta tesis doctoral. También se mostrará el resultado para el caso de una estructura tipo puente, como el mostrado en la figura 1.5b, en la cual ambos extremos están anclados. Figura 1.5. Forma de los modos flexurales fundamentales obtenidos mediante simulaciones por elementos finitos para: a. una estructura tipo palanca con un extremo fijo y el otro extremo libre y b. para una estructura tipo puente con ambos extremos fijos. Las condiciones de contorno del problema para el caso de una palanca son que en el extremo fijo (𝑥=0) el desplazamiento y la pendiente son nulos, mientras que en el extremo libre (𝑥=𝐿) son nulas la curvatura y su derivada, es decir, { 𝜓(0)=0 𝜕𝜓(0) 𝜕𝑥 =0 𝜕2𝜓(𝐿) 𝜕𝑥2=0 𝜕3𝜓(𝐿) 𝜕𝑥3=0 (1.59) Teoría de Resonadores Nanomecánicos 40 Aplicando la primera condición de contorno a la ecuación 1.58 se obtiene fácilmente que: 𝜓(0)=𝐴2+𝐴4=0 → 𝐴4=−𝐴2 (1.60) Por lo tanto, la ecuación 1.58 queda de la forma, 𝜓(𝑥)=𝐴1sinh(𝑞𝑥)+𝐴2[cosh(𝑞𝑥)−cos(𝑞𝑥)]+𝐴3sin(𝑞𝑥) (1.61) Aplicando ahora la segunda condición de contorno tenemos que, 𝜓′(0)=𝑞[𝐴1cosh(0)+𝐴2[sinh(0)+sin(0)]+𝐴3cos(0)] =𝑞[𝐴1+𝐴3]=0 → 𝐴3=−𝐴1 (1.62) donde 𝜓′(𝑥)=𝜕𝜓(𝑥) 𝜕𝑥 , es decir, 𝜓(𝑥)=𝐴1[sinh(𝑞𝑥)−sin(𝑞𝑥)]+𝐴2[cosh(𝑞𝑥)−cos(𝑞𝑥)] (1.63) Aplicando ahora la tercera condición de contorno, 𝜓′′(𝐿)=𝑞2𝐴1[sinh(𝑞𝐿)+sin(𝑞𝐿)]+𝐴2[cosh(𝑞𝐿)+cos(𝑞𝐿)]=0 𝐴2=−𝐴1sinh(𝑞𝐿)+sin(𝑞𝐿) cosh(𝑞𝐿)+cos(𝑞𝐿) (1.64) Por tanto, podemos escribir ecuación 1.63 como, 𝜓(𝑥)=𝐴1[sinh(𝑞𝑥)−sin(𝑞𝑥) −sinh(𝑞𝐿)+sin(𝑞𝐿) cosh(𝑞𝐿)+cos(𝑞𝐿)[cosh(𝑞𝑥)−cos(𝑞𝑥)]] (1.65) Finalmente, aplicando la cuarta condición de contorno llegamos a la siguiente ecuación de auto-valores, cosh(𝑞𝑛𝐿)cos(𝑞𝑛𝐿)=−1 (1.66) La ecuación de auto-valores no es resoluble analíticamente y se tiene que resolver numéricamente obteniendo para los primeros autovalores 𝛽𝑛=𝑞𝑛𝐿=1.8751, 4.694, 7.8547, 10.9955, 14.137168, 17.2787, 20.4203,…como se puede comprobar de la figura 1.6. Teoría de Resonadores Nanomecánicos 41 Figura 1.6. Solución gráfica de la ecuación de auto-valores para una estructura tipo palanca con un extremo fijo y otro libre. Los puntos de corte con el eje nos dan los autovalores. Por tanto, la ecuación 1.57 se convierte en una ecuación de autovalores tal que la frecuencia angular natural de oscilación de la estructura viene dada por: 𝜔𝑛2=𝛽𝑛4 𝐿4𝐸𝐼 𝜌𝐴 (1.67) Teniendo en cuenta que 𝑓=𝜔 2𝜋 se obtiene que la frecuencia de resonancia del modo 𝑛 viene dada por, 𝑓𝑛=𝛽𝑛2 2𝜋𝐿2√𝐸𝐼 𝜌𝐴 (1.68) mientras que para la parte espacial tenemos que, 𝜓𝑛(𝑥)=𝐴𝑛[sinh(𝑞𝑛𝑥)−sin(𝑞𝑛𝑥) −sinh(𝑞𝑛𝐿)+sin(𝑞𝑛𝐿) cosh(𝑞𝑛𝐿)+cos(𝑞𝑛𝐿)[cosh(𝑞𝑛𝑥)−cos(𝑞𝑛𝑥)]] (1.69) La ecuación 1.69, la cual describe la forma espacial de los modos de oscilación, se puede normalizar utilizando diferentes criterios. Uno de los criterios más utilizados es definir ∫𝜓𝑛(𝑥) 𝐿 0𝜓𝑚(𝑥)𝑑𝑥=𝐿𝛿𝑛𝑚 siendo, de esta forma, los modos ortogonales entre sí. De esta manera los valores Teoría de Resonadores Nanomecánicos 42 𝐴𝑛 dependen del modo, siendo los primeros valores 𝐴1=0.7341, 𝐴2= 1.0284, 𝐴3=1.000,…y 𝜓𝑛(𝐿)=−2(−1)𝑛+1. Una manera práctica y elegante de reescribir la ecuación 1.69 es definir el parámetro adimensional 𝜉=𝑥𝐿, de tal manera que la posición está normalizada a la longitud de la palanca, y 𝛽𝑛=𝑞𝑛𝐿 de tal forma que, 𝜓𝑛(𝜉)=𝐴𝑛[sinh(𝛽𝑛𝜉)−sin(𝛽𝑛𝜉) −sinh(𝛽𝑛)+sin(𝛽𝑛) cosh(𝛽𝑛)+cos(𝛽𝑛)[cosh(𝛽𝑛𝜉)−cos(𝛽𝑛𝜉)]] (1.70) Otra forma de escribir la ecuación 1.70 es fijándose en que 𝐴𝑛= cos(𝛽𝑛)+cosh(𝛽𝑛) sin(𝛽𝑛)+sinh(𝛽𝑛) de tal manera que ahora 𝜓𝑛(𝐿)=−2(−1)𝑛, y por lo tanto tenemos, 𝜓𝑛(𝜉)=cosh(𝛽𝑛𝜉)−cos(𝛽𝑛𝜉) −cos(𝛽𝑛)+cosh(𝛽𝑛) sin(𝛽𝑛)+sinh(𝛽𝑛)[sinh(𝛽𝑛𝜉)−sin(𝛽𝑛𝜉)] (1.71) Procediendo de manera similar a la usada para el caso de la estructura tipo palanca, podemos obtener la solución para el caso de una estructura tipo puente. En este caso las condiciones de contorno vienen dadas por, { 𝜓(0)=0 𝜕𝜓(0) 𝜕𝑥 =0 𝜓(𝐿)=0 𝜕𝜓(𝐿) 𝜕𝑥 =0 (1.72) Lo cual nos lleva a la siguiente ecuación de auto-valores, cosh(𝑞𝑛𝐿)cos(𝑞𝑛𝐿)=1 (1.73) Los cuatro primeros auto-valores para el este caso son 𝛽𝑛=𝑞𝑛𝐿= 4.7300, 7.8532, 10.9956 y 14.1372. Para el caso de una estructura tipo Teoría de Resonadores Nanomecánicos 43 puente, la forma de los modos es simétrica con respecto a su centro y viene dada por la siguiente ecuación, 𝜓𝑛(𝜉)=cosh(𝛽𝑛𝜉)−cos(𝛽𝑛𝜉) +cos(𝛽𝑛)−cosh(𝛽𝑛) sin(𝛽𝑛)−sinh(𝛽𝑛)[sin(𝛽𝑛𝜉)−sinh(𝛽𝑛𝜉)] (1.74) donde se ha utilizado la misma normalización que para el caso de la estructura tipo palanca. Figura 1.7. Forma de los cuatro primeros modos flexurales de vibración para: a. una estructura tipo palanca y b. para una estructura tipo puente. La posición está normalizada a la longitud del resonador. La figura 1.7 muestra la forma de los cuatro primeros modos flexural de vibración para una estructura tipo palanca con un extremo libre y otro fijo (figura 1.7a) y para una estructura tipo puente con ambos extremos fijos (figura 1.7b). La posición está normalizada a la longitud del resonador. La forma de los modos y las frecuencias obtenidas mediante la teoría de Euler-Bernoulli serán utilizadas a lo largo de esta tesis doctoral. Los resonadores utilizados cumplen los requisitos descritos al inicio de esta sección. 1.3. OSCILADOR ARMÓNICO En esta sección se introduce el modelo del oscilador armónico, el cual nos servirá para estudiar el comportamiento dinámico de los resonadores. En el caso más simple, no existe disipación de la energía y Teoría de Resonadores Nanomecánicos 44 un oscilador armónico se puede modelizar mediante una masa puntual 𝑚 y un muelle con constante elástica 𝑘 como se muestra en la figura 1.8. Figura 1.8. Modelo del oscilador armónico simple con una masa puntual m y un muelle ideal con constante elástica k. La lagrangiana de este sistema viene dado por, ℒ=12𝑚(𝜕𝑧 𝜕𝑡)2−12𝑘𝑧2 (1.75) Obteniéndose la ecuación del movimiento, 𝑚𝜕2𝑧 𝜕𝑡2=−𝑘𝑧 (1.76) Y la frecuencia angular de resonancia del oscilador es, 𝜔0=√𝑘 𝑚 (1.77) En la práctica, el movimiento de oscilación está sujeto a unas fuerzas de disipación10,11 que se oponen al movimiento de manera proporcional a la derivada temporal del desplazamiento. Para el caso de los resonadores utilizados a lo largo de esta tesis doctoral, los efectos disipativos son múltiples y aditivos12. Estos pueden ser clasificados, dependiendo de su origen, en intrínsecos y extrínsecos. Los intrínsecos son debidos al propio material o defectos estructurales como, por ejemplo, pérdidas en la superficie y amortiguamiento termoelástico13,14. Mientras que los efectos disipativos extrínsecos están relacionados con el acoplamiento del resonador al medio que los rodea, ya sea debido a su Teoría de Resonadores Nanomecánicos 45 anclaje a un sustrato15 o a las interacciones hidrodinámicas con el medio circundante. Por ejemplo, no es lo mismo tener el resonador en vacío, en aire o en líquido16,17 ya que la respuesta dinámica del resonador se verá alterada, no solamente debido a la disipación con el medio, sino también a efectos dispersivos que aumentan la masa efectiva del resonador debido al desplazamiento del medio. Estos efectos producen que la respuesta dinámica del resonador cambie añadiendo nuevos términos a la ecuación 1.76, (𝑚+𝑚′)𝜕2𝑧 𝜕𝑡2+𝛾𝜕𝑧 𝜕𝑡+𝑘𝑧=0 (1.78) Donde 𝑚′ es la masa añadida por el fluido y 𝛾 es el término disipativo, incluyendo tantos los efectos intrínsecos como extrínsecos. En la mayoría de los casos los resonadores se encuentran en vacío y por lo tanto 𝑚′=0. En este punto ya estamos en condiciones de definir el factor de calidad, 𝑄, como la relación que existe entre la energía almacenada y la energía disipada por ciclo de oscilación. La energía almacenada es igual al valor máximo de la energía cinética, mientras que la energía disipada viene dada por el término disipativo. Estas energías se pueden calcular para un periodo determinado obteniéndose, finalmente, que el factor de calidad viene dado por, 𝑄=𝑚𝜔0 𝛾 (1.79) Un alto 𝑄 indica una baja disipación de energía y viceversa. Si el resonador se encuentra sometido a una fuerza externa armónica la ecuación 1.76 se reescribe de la siguiente manera, 𝑚𝜕2𝑧 𝜕𝑡2+𝛾𝜕𝑧 𝜕𝑡+𝑘𝑧=𝐹0𝑒𝑖𝜔𝑡 (1.80) La amplitud de oscilación en el espacio de Fourier18 viene dada por, Teoría de Resonadores Nanomecánicos 46 𝐴(𝜔)=𝐹0𝑚 ⁄ √(𝜔02−𝜔2)2+(𝜔0𝜔 𝑄)2 (1.81) En la figura 1.9 se muestran diferentes respuestas dinámicas de oscilación variando el factor de calidad del resonador, es decir, se representa la amplitud normalizada de oscilación del resonador 𝐴(𝑓), frente a la frecuencia de oscilación 𝑓. Donde simplemente se ha cambiado la frecuencia angular 𝜔 por 𝑓=𝜔 2𝜋. Figura 1.9. Respuesta en frecuencia de resonancia obtenida utilizando la ecuación 1.81, fijando la frecuencia de resonancia a 50 kHz y variando el factor de calidad (Q = 5, 10 y 50). Como se puede ver en la figura 1.9, la respuesta en frecuencia no es del todo simétrica. Esto es debido al ruido19 1/𝑓 intrínseco a la ecuación 1.81. El factor de calidad también se puede calcular a partir de la relación entre la frecuencia y la altura a media anchura20, FWHM (del inglés “Full Width at Half Maximum”) como, 𝑄=√3𝜔0 𝐹𝑊𝐻𝑀 (1.82) La ecuación 1.81 será utilizada a lo largo de este trabajo de tesis doctoral para ajustar las resonancias experimentales y obtener los valores del factor de calidad y las frecuencias de oscilación. Teoría de Resonadores Nanomecánicos 47 REFERENCIAS 1 Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. Teoría de la elasticidad. Vol. 7 (Reverté, 1969). 2 Timoshenko, S. P. & Goodyear, J. Elasticity theory. GTTI (State Technical and Theoretical Literature (1975). 3 Einstein, A. The foundation of the generalised theory of relativity. On a Heuristic Point of View about the Creation and Conversion of Light 1 On the Electrodynamics of Moving Bodies 10 The Development of Our Views on the Composition and Essence of Radiation 11 The Field Equations of Gravitation 19 The Foundation of the Generalised Theory of Relativity 22, 22 (1916). 4 Newton, I. (Univ of California Press, 1999). 5 Gauss, C. F. in Werke 119-193 (Springer, 1877). 6 Levi-Civita, T. The absolute differential calculus (calculus of tensors). (Courier Corporation, 1926). 7 Hooke, R. (Micrographia, 1961). 8 Timoshenko, S. P. & Woinowsky-Krieger, S. Theory of plates and shells. (McGraw-hill, 1959). 9 Lagrange, J. L. Mécanique analytique. Vol. 1 (Mallet-Bachelier, 1853). 10 Imboden, M. & Mohanty, P. Dissipation in nanoelectromechanical systems. Physics Reports 534, 89-146, doi:http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2013.09.003 (2014). 11 Schmid, S., Jensen, K. D., Nielsen, K. H. & Boisen, A. Damping mechanisms in high-$Q$ micro and nanomechanical string resonators. Physical Review B 84, 165307 (2011). 12 Yasumura, K. Y. et al. Quality factors in micronand submicron-thick cantilevers. Journal of Microelectromechanical Systems 9, 117-125, doi:10.1109/84.825786 (2000). 13 Chandorkar, S. A. et al. Multimode thermoelastic dissipation. Journal of Applied Physics 105, 043505, doi:doi:http://dx.doi.org/10.1063/1.3072682 (2009). 14 Yu, Y. J., Tian, X.-G. & Liu, J. Size-dependent damping of a nanobeam using nonlocal thermoelasticity: extension of Zener, Lifshitz, and Roukes’ damping model. Acta Mechanica, 1-16, doi:10.1007/s00707016-1769-0 (2016). Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 54 𝜁=2(1−𝛼𝜉)12 ⁄ 𝛼 (2.9) Las constantes 𝐴𝑛, 𝐵𝑛, 𝐶𝑛 y 𝐷𝑛 se obtienen a partir de imponer las condiciones de contorno del problema. Como se trata de SiNWs en los que tenemos un extremo anclado y el otro libre las condiciones de contorno son las mismas que las descritas en la ecuación 1.59. Aplicando estas condiciones a la ecuación 2.8 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones29: 𝐴𝑛𝐾2(2𝛽𝑛 𝛼)+𝐵𝑛𝐽2(2𝛽𝑛 𝛼)+𝐶𝑛𝑌2(2𝛽𝑛 𝛼)+𝐷𝑛𝐼2(2𝛽𝑛 𝛼)=0 −𝐴𝑛𝐾3(2𝛽𝑛 𝛼)+𝐵𝑛𝐽3(2𝛽𝑛 𝛼)−𝐶𝑛𝑌3(2𝛽𝑛 𝛼)−𝐷𝑛𝐼3(2𝛽𝑛 𝛼)=0 𝐴𝑛(√1−𝛼(𝛽𝑛2𝛼1+24)𝐾0(𝛽𝑛𝛼1)+4𝛼(𝛽𝑛2𝛼1+6)𝐾1(𝛽𝑛𝛼2) 𝛽𝑛) + 𝐵𝑛(√1−𝛼(𝛽𝑛2𝛼1−24)𝐽0(𝛽𝑛𝛼2)+4𝛼(𝛽𝑛2𝛼1−6)𝐽1(𝛽𝑛𝛼2) 𝛽𝑛) + 𝐶𝑛(√1−𝛼(𝛽𝑛2𝛼1−24)𝑌0(𝛽𝑛𝛼2)−4𝛼(𝛽𝑛2𝛼1−6)𝑌1(𝛽𝑛𝛼2) 𝛽𝑛) + 𝐷𝑛(√1−𝛼(𝛽𝑛2𝛼1+24)𝐼0(𝛽𝑛𝛼2)+4𝛼(𝛽𝑛2𝛼1+6)𝑌1(𝛽𝑛𝛼2) 𝛽𝑛)=0 𝐴𝑛((𝛽𝑛𝛼1(𝛽𝑛2𝛼1+72)+384)𝐾1(𝛽𝑛𝛼2)+12𝛽𝑛𝛼2(𝛽𝑛2𝛼1+16)𝐾0(𝛽𝑛𝛼2)) + 𝐵𝑛(12𝛽𝑛𝛼2(𝛽𝑛2𝛼1−16)𝐽0(𝛽𝑛𝛼2)−(𝛽𝑛2𝛼1(𝛽𝑛2𝛼1−72)+384)𝐽1(𝛽𝑛𝛼2)) + 𝐶𝑛((𝛽𝑛𝛼1(𝛽𝑛2𝛼1−72)+384)𝑌1(𝛽𝑛𝛼2)+12𝛽𝑛𝛼2(𝛽𝑛2𝛼1−16)𝐾0(𝛽𝑛𝛼2)) + 𝐵𝑛(12𝛽𝑛𝛼2(𝛽𝑛2𝛼1+16)𝐼0(𝛽𝑛𝛼2)−(−𝛽𝑛2𝛼1(𝛽𝑛2𝛼1+72)−384)𝐼1(𝛽𝑛𝛼2)) =0 (2.10) Donde, { 𝛼1=4(1−𝛼) 𝛼2 𝛼2=2√1−𝛼 𝛼 (2.11) El sistema de ecuaciones dado por 2.10 es homogéneo y por lo tanto para obtener una solución no trivial el determinante de la matriz debe ser cero. A partir de este determinante se obtiene la ecuación de Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 55 auto-valores. El sistema de ecuaciones se resuelve mediante el software de cálculo matemático Wolfram MathematicaTM. Cada 𝛽𝑛 obtenido resolviendo la ecuación de auto-valores depende del parámetro 𝛼, es decir, la frecuencia de oscilación, así como la forma del modo dependerá, lógicamente, del grado de conicidad del SiNW. La dependencia de 𝛽𝑛 con el grado de conicidad 𝛼 no tiene solución analítica conocida y debe ser resuelta numéricamente. La figura 2.2 muestra la dependencia de los dos primeros modos de vibración. Mediante un ajuste polinómico se obtiene una dependencia aproximada para 𝛽1(𝛼) y 𝛽2(𝛼). Figura 2.2. Solución numérica (puntos) y ajuste polinómico (línea discontinua) para: a. los auto-valores del primer modo, 𝜷𝟏(𝜶) y b. del segundo modo, 𝜷𝟐(𝜶) en función de la conicidad, 𝜶. Los dos polinomios obtenidos en el ajuste mostrado en la figura 2.2 viene dados por29, {𝛽1(𝛼)=1.150𝛼4−1.115𝛼3+0.697𝛼2+0.336𝛼+1.875 𝛽2(𝛼)=21.337𝛼7−59.437𝛼6+66.091𝛼5−36.654𝛼4 +10.501𝛼3−1.512𝛼2−0.440𝛼+4.694 (2.12) El ajuste para el primer modo da un 𝑅2=0.999999 mientras que para el segundo modo 𝑅2=1, lo cual garantiza un buen ajuste para ambos casos. Como es de esperar, si el nanohilo es uniforme, siendo por tanto 𝛼=0, obtenemos el mismo resultado dado por la ecuación de autovalores 1.66. Una propiedad interesante es que la relación entre los cuadrados de estas dos funciones dan una dependencia lineal para valores de 0<𝛼<0.9, es decir, la relación entre las frecuencias propias de Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 56 oscilación del segundo y primer modo flexural se puede aproximar por la siguiente ecuación (figura 2.3), 𝑓2 𝑓1≈6.267−4.103𝛼 (2.13) Por lo tanto, se puede conocer el grado de conicidad que presentan los SiNWs simplemente midiendo las frecuencias del primer y segundo modo y aplicando la ecuación 2.13, lo cual proporciona un nuevo y sencillo método para la caracterización de este tipo de resonadores sin la necesidad de realizar medidas en un microscopio de barrido electrónico, SEM (del inglés, “Scanning Electron Microscopy”). Además, esta ecuación no depende ni de la longitud ni del material de los resonadores. Figura 2.3. Solución numérica (puntos) y ajuste lineal (línea discontinua) obtenido para la relación entre la frecuencia del segundo modo y la del primer modo en función del grado de conicidad. Para obtener la solución de la parte espacial, es decir, la forma de los modos, es necesario conocer 𝐴𝑛, 𝐵𝑛, 𝐶𝑛 y 𝐷𝑛. El sistema de ecuaciones 2.10 es indeterminado, por tanto los coeficientes 𝐵𝑛, 𝐶𝑛 y 𝐷𝑛 serán proporcionales a 𝐴𝑛 y el nuevo sistema de ecuaciones se reduce a tres ecuaciones. Sin embargo, el sistema de ecuaciones será no-homogéneo. Resolviendo este sistema de ecuaciones29 obtenemos los valores 𝐵𝑛, 𝐶𝑛 y 𝐷𝑛 y la expresión para la forma de los modos en función de 𝛼. Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 57 2.2.3. SIMULACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS Para confirmar los resultados obtenidos en la sección anterior se realizaron simulaciones mediante el método de elementos finitos, FEM (del inglés “Finite Element Method”) utilizando el software comercial Comsol MultiphysicsTM. Para realizar las simulaciones se ha utilizado el módulo de “Solid Mechanics” y un estudio “Eigenfrecuency”. La geometría consiste en un cilindro donde uno de sus extremos está anclado y con radio fijo, mientras que el otro extremo se encuentra libre. La longitud se fija a 𝐿= 10 𝜇𝑚. El material seleccionado en la librería de Comsol es “Poly-Si” con una densidad 𝜌=2320 𝑘𝑔𝑚3 ⁄y un módulo de Young 𝐸=160 𝐺𝑃𝑎. El mallado utilizado es de tipo tetraédrico con un número de elementos alrededor de 80𝑘 y 500𝑘 grados de libertad. Dejando fijo el radio del extremo anclado y reduciendo, de manera progresiva, el radio del extremo libre del SiNW, se obtiene la forma de los modos para diferentes grados de conicidad. Como se puede ver en figura 2.4, la forma del modo depende claramente de 𝛼. Figura 2.4. Simulación FEM mostrando el primer modo de oscilación para tres nanohilos con diferente grado de conicidad, 𝛂=𝟎, 𝛂=𝟎.𝟒 y 𝛂=𝟎.𝟔. Una manera de estudiar estos dispositivos como sensores de masa y rigidez es mediante la caracterización, no solo de la forma del modo, sino también de la curvatura1,32, ya que, como se verá en detalle en el capítulo 5 de este trabajo de tesis doctoral, el cambio en frecuencia debido a la masa de un adsorbato es proporcional a la forma del modo al cuadrado, mientras que el cambio en frecuencia debido a su rigidez lo es a la curvatura al cuadrado. Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 58 Figura 2.5. Forma del modo para: a. primer modo y b. segundo modo en función del grado de conicidad. Curvatura para: c. primer modo y d. segundo modo en función del grado de la conicidad. Los puntos representan simulaciones y la línea la solución analítica. La forma del modo está normalizada al máximo desplazamiento para cada 𝛂. En las figuras 2.5a y 2.5b se representan la forma del primer segundo modo flexural, respectivamente, mientras que en las figuras 2.5c y 2.5d se representan las curvaturas correspondientes, obtenidas mediante simulaciones FEM (puntos) y mediante la ecuación analítica 2.8 (línea) en función del grado de conicidad, 𝛼. Tanto la forma del modo como la curvatura concuerdan perfectamente. La amplitud de la forma de los modos de vibración se encuentra más localizada hacia el extremo libre conforme aumenta la conicidad. Por otro lado, la curvatura del primer modo se reduce significativamente en el extremo fijo y el máximo se desplaza a posiciones intermedias conforme aumente la conicidad. La zona de máxima curvatura del segundo modo, situada en el centro, se desplaza hacia el extremo libre. Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 59 2.3. EXPERIMENTO Y RESULTADOS En este apartado se describe el sistema experimental utilizado para la medida de las frecuencias de resonancia de los SiNWs. Las frecuencias de resonancia obtenidas experimentalmente se comparan con la teoría analítica. Se demuestra que, a partir de la medida de las dos primeras frecuencias flexurales de oscilación se puede deducir el grado de conicidad y finalmente se muestra la sensibilidad en masa mediante un sencillo cálculo de la mínima masa detectable en función del grado de conicidad, mostrando la importancia de utilizar los resultados analíticos obtenidos en la sección anterior. 2.3.1. SISTEMA EXPERIMENTAL Las frecuencias naturales de vibración de los SiNWs se han medido con el sistema óptico interferométrico1,33 (Apéndice A) mostrado en la figura 2.6. Figura 2.6. Sistema experimental interferométrico utilizado para la medida de las frecuencias de resonancia de los SiNWs. Un láser de HeNe es enfocado mediante un objetivo en los SiNWs que se encuentra en una campana a alto vacío. El haz reflejado es enviado a un fotodetector por medio de un divisor de haz. La señal del fotodetector es enviada a una tarjeta de adquisición de datos para ser finalmente tratada en un ordenador (PC). Un láser de Helio-Neón (HeNe, 𝜆=632.8 𝑛𝑚, 𝑃=20 𝑚𝑊, Thorlabs Inc.) es enviado a través de un aislante Faraday (Newport) para evitar inestabilidades en el láser debido a reflejos que puedan volver a introducirse en la cavidad óptica. La potencia del haz láser se controla Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 60 mediante un filtro neutro variable entre 10 y 500 µ𝑊 a la entrada de la campana de vacío. El haz es enfocado en los nanohilos por medio de un objetivo 50𝑥, con una distancia de trabajo de 12 𝑚𝑚 (Mitutoyo, NA 0.55), consiguiendo un tamaño de spot de aproximadamente ~1 µ𝑚. El haz reflejado por el sustrato es enviado a un fotodetector (PDA36A-EC, Thorlabs Inc.) por medio de un divisor de haz. El haz incidente y reflejado producen una interferencia Fabry-Perot, la cual es modulada por la vibración del resonador33,34. Debido a las dimensiones nanométricas de la sección transversal de los SiNWs, inferiores a media longitud de onda del haz incidente, la reflexión producida por el resonador es despreciable. No obstante, la onda estacionaria, producida por la interferencia entre el haz incidente y reflejado, interacciona con el campo evanescente del modo óptico confinado en el nanohilo, y los desplazamientos del nanohilo modifican la intensidad recogida en el fotodetector. Las amplitudes de oscilación termomecánicas de los SiNWs son del orden de Angstroms lo cual pone de manifiesto la enorme sensibilidad de este método de transducción óptico35. Mediante una tarjeta de adquisición de datos (Osciloscopio/Digitalizador de 12 Bits, 200 MS/s, PCI-5124 de National Instruments) y un programa implementado en LabVIEW (National Instruments) se obtienen las frecuencias de resonancia realizando la transformada de Fourier a la señal procedente del fotodetector. Los SiNWs se encuentran en una campana de vacío (10-5 mbar) para minimizar la disipación de energía debido al medio que los rodea36-38. Para ello se utiliza una bomba turbomolecular (Turbo-V 81-M, Agilent Technologies) y una bomba rotatoria (Hanning E2, E7B4V3-7-351, Leybold Trivac). Para visualizar el correcto posicionamiento del láser sobre los SiNWs se utiliza una fuente de luz blanca y una cámara con dispositivo de carga acoplada, CCD (del inglés “Charge-Coupled Device”, Lumera Infinity). La posición de los SiNWs se controla por medio de un nanoposicionador de tres ejes (Attocube). El sistema experimental mostrado en la figura 2.6 se ha utilizado para realizar estudios sobre la importancia de la polarización del haz laser para la medida del desplazamiento de los SiNWs. Aunque estos experimentos no forman parte de la presente tesis doctoral y no se Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 61 explicará con detalle los resultados obtenidos, a continuación, se resumirá los aspectos más importantes. Para la caracterización dinámica en función de la polarización se introduce en el sistema interferométrico un polarizador lineal33, el cual nos permite controlar con que polarización se miden los SiNWs. Uno de los aspectos más importantes, además de la polarización del haz incidente, es la distancia entre el SiNWs y el sustrato, así como el radio de los mismos, lo cual provoca que el acoplamiento opto-mecánico39-41 entre el resonador y el láser se maximice o minimice. Esto se traduce en que, dependiendo de la polarización del haz, el radio del resonador y la distancia entre el sustrato y el resonador, la vibración de los SiNWs puede estar localizada en un máximo de sensibilidad, mejorando enormemente la detección del mismo, o en un mínimo, con lo cual se volvería invisible34. Como la sensibilidad depende del radio de los resonadores y estos son cónicos, un mismo SiNW puede ser medido con mucha sensibilidad en una posición longitudinal del mismo con una polarización determinada, mientras que puede ser invisible en otra posición diferente con la misma polarización. Este fenómeno físico también permite “enfriar” o “calentar” los resonadores, es decir, hacer que vibren muy poco o que vibren mucho42. Los trabajos de optomecánica con SiNWs se han desarrollado a lo largo de esta tesis doctoral colaborando con los Dr. Eduardo Gil-Santos y Dr. Daniel Ramos en el grupo del Dr. Francisco Javier Tamayo (Bionanomechanic Lab, IMMCSIC). 2.3.2. RESULTADOS El sistema experimental descrito anteriormente se ha utilizado para la medida del ruido termomecánico entorno a las dos primeras frecuencias de resonancia de los SiNWs. La figura 2.7 muestra el espectro térmico de los dos primeros modos flexurales de vibración de un SiNW. Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 62 Figura 2.7. Espectro termomecánico para a. el primer y b. el segundo modo flexural de vibración de un nanohilo de silicio cónico. Debido a la ruptura de la degeneración de los modos aparecen dos resonancias en las cuales el resonador vibra en planos ortogonales1. Este fenómeno fue estudiado y caracterizado por el Dr. Eduardo GilSantos durante su tesis doctoral. El primer modo flexural presenta dos resonancias, una en 𝑓1𝑠=3.30 𝑀𝐻𝑧 y la otra en 𝑓1𝑓=3.32 𝑀𝐻𝑧. Mientras que para el segundo modo flexural la resonancias se encuentran en 𝑓2𝑠= 13.08 𝑀𝐻𝑧 y 𝑓2𝑓=13.18 𝑀𝐻𝑧. Los subíndices 1, 2, 𝑠 y 𝑓 hacen referencia al primer modo, segundo modo, oscilación lenta del modo o de más baja frecuencia (“slow”) y oscilación rápida o de mayor frecuencia (“fast”), respectivamente. La separación entre degenerados es muy similar en ambos modos y para el estudio de la conicidad solo usaremos por convenio la frecuencia de oscilación de mayor amplitud. Para corroborar la ecuación 2.13 se realizaron una serie de medidas del ruido termomecánico de distintos nanohilos y se caracterizaron los mismo por SEM. La figura 2.8 es una imagen de SEM del mismo nanohilo del espectro termomecánico de la figura 2.7. Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 63 Figura 2.8. Imagen de SEM de un nanohilo de silicio en el que se aprecia claramente el grado de conicidad (𝐑𝟎=𝟒𝟔.𝟑𝟎 𝐧𝐦, 𝐑𝐟=𝟏𝟗.𝟖𝟓 𝐧𝐦). Se caracterizaron diez SiNWs diferentes mediante SEM y se midieron sus frecuencias de resonancia. Los datos se encuentran resumidos en la tabla 2.1 Tabla 2.1. Datos de diez SiNWs caracterizados mediante SEM donde se muestra su radio inicial y final y su grado de conicidad, así como las frecuencias del primer y segundo modo. Como se puede observar en la tabla 2.1 el radio de los nanohilos utilizados en este trabajo de tesis doctoral van desde los 15 𝑛𝑚 hasta 150 𝑛𝑚 y sus frecuencias de resonancia entre 700 𝑘𝐻𝑧 y 13 𝑀𝐻𝑧 para el primer y segundo modo respectivamente, mientras que el factor de calidad ronda los 10𝑘. La longitud varía desde las 6 µ𝑚 hasta los 20 µ𝑚. Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 70 12 Sage, E. et al. Neutral particle mass spectrometry with nanomechanical systems. Nature communications 6, doi:10.1038/ncomms7482 (2015). 13 Cui, Y., Zhong, Z., Wang, D., Wang, W. U. & Lieber, C. M. High Performance Silicon Nanowire Field Effect Transistors. Nano letters 3, 149-152, doi:10.1021/nl025875l (2003). 14 Weber, W. M. et al. Silicon-Nanowire Transistors with Intruded Nickel-Silicide Contacts. Nano letters 6, 2660-2666, doi:10.1021/nl0613858 (2006). 15 Cui, Y. & Lieber, C. M. Functional Nanoscale Electronic Devices Assembled Using Silicon Nanowire Building Blocks. Science 291, 851-853, doi:10.1126/science.291.5505.851 (2001). 16 Tsakalakos, L. et al. Silicon nanowire solar cells. Applied Physics Letters 91, 233117, doi:doi:http://dx.doi.org/10.1063/1.2821113 (2007). 17 Hochbaum, A. I. et al. Enhanced thermoelectric performance of rough silicon nanowires. Nature 451, 163-167, doi:http://www.nature.com/nature/journal/v451/n7175/suppinfo/natur e06381_S1.html (2008). 18 Boukai, A. I. et al. Silicon nanowires as efficient thermoelectric materials. Nature 451, 168-171, doi:http://www.nature.com/nature/journal/v451/n7175/suppinfo/natur e06458_S1.html (2008). 19 Heath, J. in Solar Energy: New Materials and Nanostructured Devices for High Efficiency. SWB1 (Optical Society of America). 20 Minot, E. D. et al. Single Quantum Dot Nanowire LEDs. Nano letters 7, 367-371, doi:10.1021/nl062483w (2007). 21 Hu, Y. et al. A Ge//Si heterostructure nanowire-based double quantum dot with integrated charge sensor. Nat Nano 2, 622-625, doi:http://www.nature.com/nnano/journal/v2/n10/suppinfo/nnano.200 7.302_S1.html (2007). 22 Zwanenburg, F. A., van Rijmenam, C. E. W. M., Fang, Y., Lieber, C. M. & Kouwenhoven, L. P. Spin States of the First Four Holes in a Silicon Nanowire Quantum Dot. Nano letters 9, 1071-1079, doi:10.1021/nl803440s (2009). 23 Naik, A. et al. Cooling a nanomechanical resonator with quantum back-action. Nature 443, 193-196, doi:http://www.nature.com/nature/journal/v443/n7108/suppinfo/natur e05027_S1.html (2006). Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 71 24 San Paulo, Á. et al. Suspended Mechanical Structures Based on Elastic Silicon Nanowire Arrays. Nano letters 7, 1100-1104, doi:10.1021/nl062877n (2007). 25 Fernández-Regúlez, M. et al. Horizontally patterned Si nanowire growth for nanomechanical devices. Nanotechnology 24, 095303 (2013). 26 Wu, Y. et al. Controlled Growth and Structures of Molecular-Scale Silicon Nanowires. Nano letters 4, 433-436, doi:10.1021/nl035162i (2004). 27 Li, M. et al. Bottom-up assembly of large-area nanowire resonator arrays. Nat Nano 3, 88-92, doi:http://www.nature.com/nnano/journal/v3/n2/suppinfo/nnano.2008 .26_S1.html (2008). 28 Hochbaum, A. I., Fan, R., He, R. & Yang, P. Controlled Growth of Si Nanowire Arrays for Device Integration. Nano letters 5, 457-460, doi:10.1021/nl047990x (2005). 29 Malvar, O. et al. Tapered silicon nanowires for enhanced nanomechanical sensing. Applied Physics Letters 103, 033101, doi:10.1063/1.4813819 (2013). 30 Taha, M. H. & Abohadima, S. Mathematical model for vibrations of non-uniform flexural beams. Engineering Mechanics 15, 3-11 (2008). 31 McLachlan, N. W. Bessel functions for engineers. (1934). 32 Ramos, D., Tamayo, J., Mertens, J., Calleja, M. & Zaballos, A. Origin of the response of nanomechanical resonators to bacteria adsorption. Journal of Applied Physics 100, 106105, doi:10.1063/1.2370507 (2006). 33 Gil-Santos, E. et al. Optical back-action in silicon nanowire resonators: bolometric versus radiation pressure effects. New Journal of Physics 15, 035001, doi:10.1088/1367-2630/15/3/035001 (2013). 34 Ramos, D. et al. Silicon nanowires: where mechanics and optics meet at the nanoscale. Scientific reports 3, 3445, doi:10.1038/srep03445 (2013). 35 Sanii, B. & Ashby, P. D. High Sensitivity Deflection Detection of Nanowires. Physical Review Letters 104, 147203 (2010). 36 Sader, J. E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope. Journal of Applied Physics 84, 64, doi:10.1063/1.368002 (1998). 37 Van Eysden, C. A. & Sader, J. E. Frequency response of cantilever beams immersed in compressible fluids with applications to the atomic Nanohilos de Silicio Como Sensores de Masa 72 force microscope. Journal of Applied Physics 106, 094904, doi:10.1063/1.3254191 (2009). 38 Zhang, C., Xu, G. & Jiang, Q. Analysis of the air-damping effect on a micromachined beam resonator. Mathematics and mechanics of solids 8, 315-325 (2003). 39 Gil Santos, E. et al. High-frequency nano-optomechanical disk resonators in liquids. Nat Nano 10, 810-816, doi:10.1038/nnano.2015.160. http://www.nature.com/nnano/journal/v10/n9/abs/nnano.2015.160.ht ml#supplementary-information (2015). 40 Meenehan, S. M. et al. Silicon optomechanical crystal resonator at millikelvin temperatures. Physical Review A 90, 011803 (2014). 41 Kippenberg, T. J. & Vahala, K. J. Cavity Optomechanics: Back-Action at the Mesoscale. Science 321, 1172-1176, doi:10.1126/science.1156032 (2008). 42 Ramos, D. et al. Optomechanics with silicon nanowires by harnessing confined electromagnetic modes. Nano letters 12, 932-937, doi:10.1021/nl204002u (2012). Microcapilares Resonantes de Sílice 73 CAPÍTULO 3 3. Microcapilares Resonantes de Sílice 3.1. INTRODUCCIÓN Tras haber estudiado el comportamiento de los SiNWs, uno de los resonadores nanomecánicos más pequeños que se han propuesto como sensores, en este capítulo nos centraremos en la aplicación de microcapilares resonantes de sílice fundido como sensores de densidad de líquidos. Estos resonadores, aun siendo más grandes y con menor sensibilidad, están disponibles comercialmente, son más baratos y fáciles de implementar. En este trabajo se estudiarán sus propiedades mecánicas para ser utilizados como sensores de densidad de líquidos en tiempo real y a presión atmosférica. Estos dispositivos podrían utilizarse en un Microcapilares Resonantes de Sílice 74 trabajo futuro para medir, además de la densidad, la viscosidad, masa y rigidez de entidades biológicas in situ. 3.2. MICROCAPILARES DE SÍLICE Los microcapilares de sílice fundido están disponibles comercialmente en diferentes tamaños y son ampliamente utilizado en diversos campos como la cromatografía de gases1, electroforesis capilar, CE2 (del inglés “Capillary Electrophoresis”) cromatografía líquida de alta eficacia, µHPLC3 (del inglés “High-Performance Liquid Chromatography”) análisis de plasma de sangre4,5 y reacciones biológicas y químicas6-8. Esto es debido a que la medida de la densidad y viscosidad de líquidos tiene gran importancia en la industria farmacéutica, química, petrolífera y alimentación, entre otras. Entre los instrumentos comerciales para medir la densidad de líquidos basado en resonadores están los macrotubos oscilantes en forma de U9 (figura 3.1a), en los cuales se mide la densidad de los líquidos que fluyen por su interior midiendo su frecuencia de resonancia (entre 40−400 𝐻𝑧), usando volúmenes de muestra alrededor de los mililitros y con un límite de detección ~10𝜇𝑔𝑚𝐿 ⁄. Sin embargo, para una gran variedad de aplicaciones, como el análisis de sangre utilizando sistemas de point-ofcare (POC), seguimiento de procesos biológicos y reacciones químicas, existe la necesidad de reducir la cantidad de muestreo al orden de µL, así como mejorar su límite de detección. Actualmente existen dos técnicas basadas en resonadores micrométricos para la medida de la densidad y viscosidad de líquidos10: resonadores mecánicos en la escala micrométrica como las micropalancas5-8,11-14 (figura 3.1b) y resonadores suspendidos con microcanales15-18 (figura 3.1c), SMRs (del inglés “Suspended Microchannel Resonators”). Los primeros se basan en la medida de la interacción hidrodinámica entre el líquido y el resonador por medio del cambio en la frecuencia y en el factor de calidad19-21. Por otro lado, los SMRs se basan en la miniaturización de los macrotubos U. Normalmente, estos sensores tienen forma de palanca con un microcanal embebido en su interior. Como el líquido fluye por el interior del resonador este puede ser introducido en alto vacío, de tal manera que se consigue aumentar la resolución en la frecuencia debido a que se Microcapilares Resonantes de Sílice 75 minimiza la disipación de energía con el medio 22 mejorando, de esta manera, el factor de calidad. Figura 3.1. Tipos de densímetros basados en resonadores mecánicos. a. Macrotubo oscilante en forma de U por el cual fluye el líquido y la densidad se calcula a partir de los cambios en se frecuencia de resonancia. b. Micropalanca sumergida en el líquido el cual cambia el factor de calidad y la frecuencia de oscilación debido a las interacciones hidrodinámicas con el medio. c. Micropalanca con microcanales embebidos por los cuales fluye el líquido, produciendo cambios en su frecuencia de resonancia. Los SMRs representan el estado del arte de sensores de densidad16,17 los cuales consiguen medir volúmenes de 5−10 𝑝𝐿 con límites de detección de 4−10𝜇𝑔𝑚𝐿 ⁄. Sin embargo, la tecnología necesaria para su fabricación es complicada y no accesible en la mayoría de laboratorios. En este trabajo de tesis doctoral se han propuesto los microcapilares de sílice fundido como alternativa a los sensores existentes en la literatura para la medida de la densidad de líquidos. La frecuencia fundamental de resonancia del microcapilar lleno de líquido ha sido medida para mezclas binarias obteniendo un límite de detección en aire de 50𝜇𝑔𝑚𝐿 ⁄, el cual es solo cinco veces mayor que el obtenido con los SMRs en vacío23. Además, los sensores basados en microcapilares puede ser fácilmente implementado23, siendo posible su integración con sistemas µHPLC y CE, así como en citometría. 3.2.1. ECUACIÓN DE EULER-BERNOULLI PARA MICROCAPILARES Las medidas de la frecuencia de resonancia de los microcapilares se han realizado usando los resonadores con ambos extremos anclados, es decir, como estructuras tipo puente. Los microcapilares comerciales tienen, por lo general, un pequeño recubrimiento de poliamida que protege el capilar. El recubrimiento de poliamida puede ser retirado física o químicamente. La figura 3.2 muestra una imagen de microscopio de un capilar, como el usado en este trabajo, al cual se le ha retirado la poliamida aplicando calor. Para ello se quema el recubrimiento hasta que queda completamente negro y con cuidado se limpia la superficie Microcapilares Resonantes de Sílice 76 utilizando papel de sala blanca y etanol. Otro método sería mediante ablación láser con un láser excímero o de CO2 o bien mediante ataque químico con ácido sulfúrico, soluciones cáusticas24, etc. Para la realización del sensor de densidad mostrado en este capítulo no se ha retirado el recubrimiento ya que le aporta robustez y puede ser fácilmente manipulado sin dañarse. Sin embargo, retirándolo se conseguiría reducir su tamaño y, por tanto, aumentar su sensibilidad, así como la posibilidad de observar las partículas que fluyen por su interior. Figura 3.2. a. Fotografía de un microcapilar de sílice fundido de 375 µm de diámetro exterior y 150 µm de diámetro interior y con un espesor de la poliamida de 22 µm. b. Dibujo esquemático de las dimensiones donde 𝒕𝒑 es el espesor del recubrimiento de poliamida, 𝑹𝟎 el radio exterior y 𝑹𝒊 el radio interior. La fotografía muestra el capilar con y sin el recubrimiento de poliamida. La ecuación 1.74 del capítulo 1 representa la forma de los modos para el sensor de densidad implementado mediante un microcapilar con ambos extremos anclados. La figura 3.3 muestra la forma del primer modo analítica (línea) y mediante simulaciones FEM (puntos). Las simulaciones se han realizado con el software comercial Comsol MultiphysicsTM utilizando el modelo “solid mechanics”. Se ha utilizado un mayado tetraédrico con aproximadamente 40𝑘 elementos y 200𝑘 grados de libertad. Microcapilares Resonantes de Sílice 77 Figura 3.3. Forma del primer modo fundamental de oscilación obtenido mediante la ecuación analítica (línea) y FEM (puntos) del microcapilar, normalizada a la máxima amplitud. El recuadro muestra la forma del modo obtenida mediante simulaciones. La frecuencia de resonancia dada por la ecuación 1.68 debe ser modificada teniendo en cuenta el espesor de la poliamida, y el tamaño de los radios interior y exterior del capilar. Con estas condiciones, la frecuencia fundamental de resonancia del microcapilar se puede reescribir de la siguiente manera23: 𝑓=4.7302 4𝜋𝐿2√𝐸𝑐(𝑅04−𝑅𝑖4) 𝜌𝑐(𝑅02−𝑅𝑖2)+𝜌𝑙𝑅𝑖2 (3.1) Donde L es la longitud del capilar, 𝑅0 y 𝑅𝑖, el radio exterior e interior del capilar, respectivamente. 𝐸𝑐, 𝜌𝑐 son el módulo de Young y la densidad del capilar y 𝜌𝑙 la densidad del líquido. Tanto la densidad como el módulo de Young del capilar se puede aproximar por la suma ponderada de los materiales que forman el capilar, en este caso, el sílice fundido y la poliamida. De tal forma que el módulo de Young del microcapilar se expresa como 𝐸𝑐=𝑥𝐸𝑆𝑖𝑂2+(1−𝑥)𝐸𝑝 y su densidad como 𝜌𝑐=𝑥𝜌𝑆𝑖𝑂2+(1−𝑥)𝜌𝑝, siendo 𝑥∈[0,1] el porcentaje de sílice, 𝐸𝑆𝑖𝑂2= 77 𝐺𝑃𝑎 y 𝐸𝑝=3.2 𝐺𝑃𝑎 el módulo de Young del sílice y de la poliamida, y siendo 𝜌𝑆𝑖𝑂2=2230𝐾𝑔𝑚3 ⁄ y 𝜌𝑝=1430𝐾𝑔𝑚3 ⁄ la densidad del sílice y la poliamida, respectivamente. Microcapilares Resonantes de Sílice 78 3.2.2. DETECCIÓN ÓPTICA La medida de los microcapilares resonantes se ha realizado mediante el método de transmisión25, es decir, un láser es enfocado en el microcapilar y el haz transmitido es recogido por un fotodetector (Apéndice A). Para estudiar la sensibilidad al desplazamiento del resonador mediante el método de transmisión del haz láser, se realizaron simulaciones FEM con el software comercial Comsol MultiphysicsTM. De esta forma se obtiene la posición óptima a la cual se tiene que enfocar el haz láser para ser más sensibles al desplazamiento del resonador. Estas simulaciones han sido realizadas por el Dr. Daniel Ramos. Se ha utilizado el módulo “Electromagnetic Waves” realizando un estudio en 2D de la sección transversal del capilar. El material utilizado en la librería para el material del resonador es “Corning 7940 –fused silica”. El mallado utilizado es de tipo tetraédrico con un número de elementos alrededor 1.3M y 10M grados libertad. La simulación consiste en hacer incidir un haz Gaussiano y barrer transversalmente el haz por la sección del microcapilar. A continuación, se integra la señal transmitida para diferentes posiciones transversales del campo lejano teniendo en cuenta una apertura numérica de 0.28, ya que es la apertura numérica del objetivo utilizado en este trabajo. Mediante este estudio se identifican dos regiones óptimas para la medida de la vibración de los microcapilares: una cerca del eje (posición 2 en la figura 3.4) y la otra cerca del centro del microcapilar (posición 5 en la figura 3.4). El máximo que aparece en el punto 3 puede ser debido a la poliamida, la cual no se ha considerado a la hora de realizar las simulaciones FEM. Microcapilares Resonantes de Sílice 79 Figura 3.4. Calibración del método de transducción óptica para la medida del desplazamiento del microcapilar. La gráfica muestra las componentes DC y AC de la señal del fotodetector a la frecuencia de resonancia del microcapilar en función de la posición transversal del láser. La parte superior muestra la simulación FEM de la distribución del campo electromagnético resultante de la interacción del láser y el microcapilar para diferentes posiciones. La gráfica de la figura 3.4 fue realizada mediante un microposicionador motorizado (NanoMAX TS 341, Thorlabs Inc.). Para cada posición, aproximadamente cada 2 µm, se obtiene la componente AC y DC de la frecuencia de resonancia del microcapilar utilizando un lock-in (HF2LI, Zúrich Instruments). El microcapilar es excitado mediante una cerámica piezoeléctrica, como se explicará con más detalle en la siguiente sección. A partir de ahora, las medidas experimentales del sensor de densidad, han sido realizadas con el láser enfocado cerca del extremo del microcapilar, es decir en la posición 2 ya que se tiene un máximo de sensibilidad de la señal. En esta configuración la responsividad, definida como el cambio relativo de la potencia óptica detectada con respecto a la posición del microcapilar23, es de 0.132 𝜇𝑚−1 y el desplazamiento en ruido ≈10 𝑛𝑚√𝐻𝑧 ⁄. 3.3. EXPERIMENTOS Y RESULTADOS En este apartado se describen los experimentos realizados y los resultados obtenidos en la medida de la densidad de líquidos. Primero se Microcapilares Resonantes de Sílice 86 Con el fin de determinar el límite de detección en la variación de la densidad se ha caracterizado la estabilidad en la frecuencia de resonancia (figura 3.8a) mediante la varianza de Allan26,27 definida como la mitad de la media de los cuadrados de la diferencia entre dos lecturas consecutivas de la desviación en la frecuencia en un intervalo de tiempo 𝜏, es decir28: 𝜎𝐴𝑙𝑙𝑎𝑛 2(𝜏)=1 2(𝑀−1)∑(𝑦[𝑚+1]             −𝑦[𝑚]        )2 𝑀 𝑚=1 (3.4) Donde 𝑦[𝑚]        representa la media del cambio relativo en frecuencia para un tiempo de integración 𝜏. Se calcula la varianza de Allan para diferentes tiempos de integración 𝜏=𝑞𝑇,𝑞=1…𝑛, donde 𝑇 es el tiempo de muestreo utilizado en el lock-in PLL para este dispositivo. Se alcanza una estabilidad en frecuencia de 1.6×10−6 para tiempos promedios de 3 𝑠 lo cual dividido por la responsividad del dispositivo nos da un límite de detección de ≈50 𝜇𝑔𝑚𝐿 ⁄. La responsividad puede ser aumentada disminuyendo el espesor de las paredes del microcapilar, como se puede comprobar en la ecuación 3.3. Como ejemplo, si el espesor de las paredes se reduce a 15 µm, es decir (𝑅0−𝑅𝑖)/𝑅𝑖 ~ 0.2 se consigue aumentar la responsividad del sistema 5 veces, lo cual pone de manifiesto el potencial de este sensor y abre la puerta a nuevos avances en la miniaturización de estos dispositivos. 3.4. CONCLUSIONES En este capítulo se han estudiado los microcapilares suspendidos de sílice para ser utilizados como sensores de densidad. Una de las ventajas de estos dispositivos es que están disponibles comercialmente en diferentes formas y tamaños y son ampliamente utilizados en diversos campos. En este trabajo se han utilizado los microcapilares como resonadores huecos anclados a ambos extremos, es decir, como estructuras tipo puentes. Para la medida de la frecuencia de resonancia del capilar se utiliza un método óptico de transmisión. Este método se basa en la detección, mediante un fotodetector, de la dispersión de un haz láser enfocado cerca del perímetro en la mitad de la región suspendida del microcapilar, ya que es la zona de mayor sensibilidad al Microcapilares Resonantes de Sílice 87 desplazamiento del resonador como se ha demostrado con simulaciones FEM y medidas experimentales. Para detectar la vibración del microcapilar se implementó un sistema experimental utilizando una cerámica piezoeléctrica, un láser de diodo y un fotodetector. La sensibilidad del dispositivo se puede incrementar notablemente disminuyendo el tamaño del capilar, tanto en su longitud como en el grosor de sus paredes. Los resultados de este trabajo abren la puerta a un sistema de análisis basado en microcapilares mediante la miniaturización para analizar propiedades reológicas de fluidos. Microcapilares Resonantes de Sílice 88 Microcapilares Resonantes de Sílice 89 REFERENCIAS 1 van Ruth, S. M. Methods for gas chromatography-olfactometry: a review. Biomolecular Engineering 17, 121-128, doi:http://dx.doi.org/10.1016/S1389-0344(01)00070-3 (2001). 2 Deshmane, S. L., Mukerjee, R., Fan, S. & Sawaya, B. E. HighPerformance Capillary Electrophoresis for Determining HIV-1 Tat Protein in Neurons. PLOS ONE 6, e16148, doi:10.1371/journal.pone.0016148 (2011). 3 McCalley, D. V. The challenges of the analysis of basic compounds by high performance liquid chromatography: Some possible approaches for improved separations. Journal of Chromatography A 1217, 858880, doi:http://dx.doi.org/10.1016/j.chroma.2009.11.068 (2010). 4 Fedosov, D. A., Noguchi, H. & Gompper, G. Multiscale modeling of blood flow: from single cells to blood rheology. Biomechanics and Modeling in Mechanobiology 13, 239-258, doi:10.1007/s10237-0130497-9 (2014). 5 Cakmak, O., Ermek, E., Urey, H., Yaralioglu, G. G. & Kilinc, N. in 2013 IEEE SENSORS. 1-4. 6 Ahmed, N., Nino, D. F. & Moy, V. T. Measurement of solution viscosity by atomic force microscopy. Review of Scientific Instruments 72, 2731-2734, doi:10.1063/1.1368856 (2001). 7 Bircher, B. A. et al. Real-Time Viscosity and Mass Density Sensors Requiring Microliter Sample Volume Based on Nanomechanical Resonators. Analytical Chemistry 85, 8676-8683, doi:10.1021/ac4014918 (2013). 8 Rust, P., Cereghetti, D. & Dual, J. A micro-liter viscosity and density sensor for the rheological characterization of DNA solutions in the kilo-hertz range. Lab on a chip 13, 4794-4799, doi:10.1039/C3LC50857A (2013). 9 Eves, C., Wang, X. & Walker, S. G. Bayesian Information for Sensors. Quality and Reliability Engineering International 31, 1717-1724, doi:10.1002/qre.1704 (2015). 10 Calleja, M., Kosaka, P. M., San Paulo, A. & Tamayo, J. Challenges for nanomechanical sensors in biological detection. Nanoscale 4, 49254938, doi:10.1039/C2NR31102J (2012). 11 Smith, P. D., Young, R. C. D. & Chatwin, C. R. A MEMS viscometer for unadulterated human blood. Measurement 43, 144-151, doi:http://dx.doi.org/10.1016/j.measurement.2009.08.011 (2010). Microcapilares Resonantes de Sílice 90 12 Linden, J., Thyssen, A. & Oesterschulze, E. Suspended plate microresonators with high quality factor for the operation in liquids. Applied Physics Letters 104, -, doi:doi:http://dx.doi.org/10.1063/1.4875910 (2014). 13 Ramos, D., Mertens, J., Calleja, M. & Tamayo, J. Phototermal selfexcitation of nanomechanical resonators in liquids. Applied Physics Letters 92, -, doi:doi:http://dx.doi.org/10.1063/1.2917718 (2008). 14 Tamayo, J., Alvarez, M. & Lechuga, L. M. Digital tuning of the quality factor of micromechanical resonant biological detectors. Sensors and Actuators B: Chemical 89, 33-39, doi:http://dx.doi.org/10.1016/S0925-4005(02)00424-0 (2003). 15 Etayash, H., Khan, M., Kaur, K. & Thundat, T. Microfluidic cantilever detects bacteria and measures their susceptibility to antibiotics in small confined volumes. Nature communications 7, 12947 (2016). 16 Son, S., Grover, W. H., Burg, T. P. & Manalis, S. R. Suspended Microchannel Resonators for Ultralow Volume Universal Detection. Analytical Chemistry 80, 4757-4760, doi:10.1021/ac800307a (2008). 17 Khan, M. F. et al. Online measurement of mass density and viscosity of pL fluid samples with suspended microchannel resonator. Sensors and Actuators B: Chemical 185, 456-461, doi:http://dx.doi.org/10.1016/j.snb.2013.04.095 (2013). 18 Agache, V., Blanco-Gomez, G., Baleras, F. & Caillat, P. An embedded microchannel in a MEMS plate resonator for ultrasensitive mass sensing in liquid. Lab on a chip 11, 2598-2603, doi:10.1039/C1LC20011A (2011). 19 Green, C. P. & Sader, J. E. Torsional frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope. Journal of Applied Physics 92, 6262-6274, doi:doi:http://dx.doi.org/10.1063/1.1512318 (2002). 20 Sader, J. E. Frequency response of cantilever beams immersed in viscous fluids with applications to the atomic force microscope. Journal of Applied Physics 84, 64-76, doi:doi:http://dx.doi.org/10.1063/1.368002 (1998). 21 Ekinci, K. L., Karabacak, D. M. & Yakhot, V. Universality in Oscillating Flows. Physical Review Letters 101, 264501 (2008). 22 Burg, T. P. et al. Weighing of biomolecules, single cells and single nanoparticles in fluid. Nature 446, 1066-1069, doi:http://www.nature.com/nature/journal/v446/n7139/suppinfo/natur e05741_S1.html (2007). Microcapilares Resonantes de Sílice 91 23 Malvar, O. et al. Highly Sensitive Measurement of Liquid Density in Air Using Suspended Microcapillary Resonators. Sensors 15, 76507657 (2015). 24 Polyimide Removal from Silica Fibers or Tubes. 25 Sanii, B. & Ashby, P. D. High Sensitivity Deflection Detection of Nanowires. Physical Review Letters 104, 147203 (2010). 26 Allan, D. W. & Barnes, J. A. in Thirty Fifth Annual Frequency Control Symposium. 1981. 470-475 (IEEE). 27 El-Sheimy, N., Hou, H. & Niu, X. Analysis and modeling of inertial sensors using Allan variance. IEEE Transactions on instrumentation and measurement 57, 140-149 (2008). 28 Hanay, M. S. et al. Single-protein nanomechanical mass spectrometry in real time. Nature nanotechnology 7, 602-608, doi:10.1038/nnano.2012.119 (2012). Microcapilares Resonantes de Sílice 92 Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 93 CAPÍTULO 4 4. Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema experimental 4.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo se explica con detalle el espectrómetro de masa y rigidez basado en resonadores microy nanomecánicos implementado a lo largo del presente trabajo de tesis doctoral, el cual ha sido el pilar central de este trabajo. El sistema utiliza la conocida técnica de ionización mediante electrospray1,2 para nebulizar las partículas de interés y, por medio de una etapa de transferencia, guiarlas hacia el resonador, el cual actúa como elemento sensor. Comenzaremos explicando los fundamentos básicos de la técnica de ionización mediante electrospray. A continuación, se detalla cada uno de los elementos que Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 94 forman el espectrómetro de masa y rigidez, así como su evolución desde un primer prototipo hasta el sistema final utilizado para las medidas experimentales. 4.2. TÉCNICA DE IONIZACIÓN MEDIANTE ELECTROSPRAY La técnica de ionización mediante electrospray, ESI (del inglés “ElectroSpray Ionization”) permite transferir a fase gas en forma de iones los solutos presentes en una solución1. Estos iones pueden ser detectados posteriormente mediante espectrometría de masa, MS (del inglés, “Mass Spectrometry”). Se pueden utilizar diferentes tipos de analitos como nanopartículas de oro2, polímeros3, ácidos nucleicos4, proteínas5, bacterias6, virus7, etc. La principal ventaja de esta técnica es que los analitos pueden estar presentes en forma de iones o en estado neutro. Cuando se trata de compuestos iónicos la técnica ESI permite ionizarlos mediante la asociación con uno o más iones presentes en la solución. La ESI-MS es una técnica con numerosas aplicaciones en biomedicina, bioquímica, farmacología, etc. La combinación de ambas técnicas, ESI y MS, ha supuesto una gran revolución en el campo de la espectrometría. Prueba de ello es que en el año 2002 el químico y profesor universitario estadounidense John Fenn (profesor en la Universidad de Princeton y catedrático en la Universidad de Yale) compartió un cuarto del Premio Nobel en espectrometría de masas por sus trabajos con el ESI-MS con Koichi Tanaka (por el desarrollo del MALDI) y Kurt Wüthrich (por sus trabajos en espectroscopia NMR, del inglés “Nuclear Magnetic Resonance”) reconociendo la importancia de la técnica ESI. Citando a Fenn en la lectura del Nobel8: “Hace unos años la idea de hacer proteínas y polímeros volar por medio de ESI parecía tan improbable como hacer que un elefante volara, pero hoy es una técnica estándar de la espectrometría de masas”. La técnica del electrospray comenzó en los años 1960 cuando el químico norteamericano Malcolm Dole y colaboradores se interesaron en la determinación de la masa de macromoléculas mediante la espectrometría de masa. Lograron introducir un polímero de poliestireno (51000 𝐷𝑎) en fase gas como Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 95 especies cargadas9. La idea surgió mientras trabajaba como consultor10 en una compañía que se dedicaba a la pintura de coches y se interesó por el método que usaban para pintar los coches mediante pequeñas gotas conocida como electrospray. Su trabajo llegó a manos del Profesor Seymour Lipsky (Yale Medical School) que también trabajaba en espectrometría de masas. El trabajo inspiró a Fenn que era un experto en el campo del haz molecular mediante sistemas de “nozzle-skimmer” y comenzó una minuciosa investigación en la espectrometría de masas basada en la técnica del electrospray11-13. El desarrollo de la técnica de ESI-MS es debida fundamentalmente a estas dos personas, Malcolm Dole y John Fenn. La ESI es una técnica de ionización débil capaz de ionizar especies químicas intactas y macromoléculas por medio de múltiples cargas. La energía residual retenida por el analito es muy pequeña y, por tanto, no produce fragmentación. Además, también se conservan las interacciones no covalentes muy débiles en fase gas14. La técnica ESI es una poderosa herramienta para la producción de iones biológicos macromoleculares como proteínas y ácidos nucleicos. Su uso se está extendiendo en campos tan importantes como la proteómica, que es actualmente una de las áreas en investigación química que crece con mayor rapidez15. En este trabajo de tesis doctoral se va un paso más allá en cuanto al tamaño de las entidades a analizar y se utiliza la técnica de ESI para nebulizar tanto partículas inorgánicas, como son las nanopartículas de oro, así como entidades biológicas macromoleculares, como bacterias6 Escherichia coli. Gracias a esta técnica es posible transferir estas “macropartículas” desde una disolución hasta nuestro transductor nanomecánico, que se encuentra en bajo vacío, sin dañarlas. A continuación, se detalla el proceso de nebulización mediante ESI. 4.2.1. CONO DE TAYLOR. Como se puede ver en la figura 4.1 el ESI consta de una botella contenedora que alberga la disolución junto con las partículas a estudiar, un capilar afilado, que va desde el recipiente hasta la entrada del espectrómetro, un hilo conductor para aplicar alto voltaje, HV (del Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 102 de la completa evaporación del solvente y ayuda al guiado de las partículas. Por otro lado, para mejorar el flujo de partículas, se modifica la campana del sensor conectando la rotatoria por debajo del resonador y consiguiendo, de esta manera, generar un flujo uniforme y en eje. A continuación, se introduce de manera general el prototipo final del espectrómetro de masa y rigidez y, seguidamente, se describe, con mayor detalle, cada una de las partes del espectrómetro por separado. La figura 4.4 muestra la versión mejorada del espectrómetro de masa y rigidez, el cual consta de tres etapas de vacío claramente diferenciadas6. La primera etapa, al igual que en el primer prototipo, se encuentra a presión atmosférica y es donde tiene lugar la nebulización de las partículas por medio de la técnica del electrospray1,11,29. De nuevo, la etapa del ESI está formada por una botella contenedora, un capilar PEEK, un módulo controlador ESI (ES3020, Ioner) y una cámara CCD (Dino Lite) que se utiliza para la visualización de la correcta formación del cono de Taylor. La segunda campana de vacío, la etapa de transferencia, se encuentra a una presión de 10 𝑚𝑏𝑎𝑟, que se consiguen mediante una bomba de membrana (MV 2 NT Vario). En ella se encuentra un capilar caliente1,13,22 (Triplemass BV) que ayuda a la completa evaporación del solvente y a la transferencia de las partículas, ya que evita que las partículas se adhieran a su superficie debido a la energía adicional que proporciona el aumento de la temperatura. Y, por último, la etapa de detección, la cual alberga el sensor, que en nuestro caso es un resonador nanomecánico tipo palanca6,30, como se detalla a continuación. La etapa de detección se encuentra a una presión 0.1 𝑚𝑏𝑎𝑟 que se consigue mediante una bomba rotatoria (Oerlikon Leybold, Trivac E2). Esta etapa ha sido modificada añadiendo un módulo en la parte inferior con un orificio en el eje de simetría que contiene al sensor para, de esta manera, conseguir un flujo uniforme. Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 103 7, Figura 4.4. a. Fotografía general del espectrómetro. b. Fotografía del espectrómetro donde se detallan las tres campanas de vacío diferencial: etapa del ESI, etapa de transferencia y etapa de detección. c. Dibujo esquemático donde se distingue el capilar afilado PEEK, la cámara CCD, el capilar caliente, la posición del sensor (NEMS), las ventanas y las salidas de las bombas de membrana y rotatoria. Las modificaciones respecto al primer prototipo se encuentran marcadas en color azul. A su vez, se han aumentado el tamaño de las ventanas para facilitar el alineamiento del método de transducción óptico utilizado. Su interior ha sido diseñado para albergar unos nanoposicionadores y así poder implementar un sistema de escaneo en 2D, con el que será posible la medida de matrices de resonadores y facilitar el correcto Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 104 posicionamiento del elemento sensor. La altura total del espectrómetro de masas y rigidez es de 500 𝑚𝑚, donde 290 𝑚𝑚 se corresponden con la etapa de detección, 110 𝑚𝑚 con la etapa de transferencia y 100 𝑚𝑚 con la etapa del ESI, las cuales se describen con detalle a continuación. 4.3.1. ETAPA DEL ELECTROSPRAY La etapa del ESI, como su propio nombre indica, contiene el módulo del electrospray. Esta etapa se encuentra a presión atmosférica y es donde tiene lugar la nebulización las partículas de interés. La imagen 4.5 muestra una fotografía de esta etapa. Figura 4.5. a. Fotografía general de la etapa del ESI donde se distingue el capilar PEEK, la conexión HV y 𝐏𝐜, así como la botella contenedora y la cámara CCD para visualizar la correcta formación del cono de Taylor. b. Fotografía de la campana ESI donde se aprecia cómo se conecta el capilar PEEK por la parte superior de la campana. c. Fotografía desde abajo donde se puede ver la punta del capilar afilado. Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 105 La etapa del ESI mide 100 𝑚𝑚 de altura y tiene un diámetro externo de aproximadamente 100 𝑚𝑚. La botella contenedora (Schott, Duran Group) es de 100 𝑚𝐿 y en su interior alberga un vial (Eppendorf) de 1.5−2 𝑚𝐿 con la disolución de interés. Un hilo de cobre bañado en plata se introduce en el vial, enroscado en el capilar PEEK (ver figura 4.1), y se conecta mediante un conector BNC (del inglés “Bayonet NeilConcelman”) de HV al módulo ESI (Electrospray ES-3020, Ioner). Mediante un tubo conectado a la botella se aplica una presión 𝑃𝑐 a través del módulo ESI, como se puede ver en la figura 4.5. El capilar PEEK (SGE, Analytical Science) utilizado en este sistema va desde la botella hasta la entrada del espectrómetro de manera continua. Su longitud es de 500 𝑚𝑚 y su diámetro interno es de 25 𝜇𝑚, 50 𝜇𝑚 o 62 𝜇𝑚 dependiendo de la aplicación. El diámetro exterior es de 116" ⁄, es decir, 1.58 𝑚𝑚 aproximadamente, mientras que el diámetro exterior de la parte afilada del capilar donde se genera el cono de Taylor es de 0.4 𝑚𝑚, aproximadamente. La distancia entre la punta afilada del capilar PEEK y la entrada al espectrómetro, es decir, a la etapa de transferencia es de 10−30 𝑚𝑚. Cuando se aplica una presión a la botella contenedora el líquido fluye hacia la parte afilada del capilar. En el momento en el que aparece una gota de la disolución en la parte afilada, se aplica un HV y se genera el cono de Taylor. Mediante la cámara CCD se comprueba la formación y estabilidad del cono de Taylor. Las partículas nebulizadas pasan a la etapa de transferencia, donde se encuentra el capilar caliente. 4.3.2. ETAPA DE TRANSFERENCIA A diferencia del primer prototipo, el espectrómetro implementado incluye una etapa de transmisión en la que se aloja un capilar caliente13,22,31,32. El capilar caliente tiene una resistencia térmica, la cual se calienta en función de la intensidad aplicada, y un sensor de temperatura RTD (del inglés, “Resistance Temperatura Detector”), es decir, un sensor de tipo resistivo basado en la variación de la resistencia con la temperatura. El capilar caliente ha sido calibrado para poder controlar su temperatura a partir de la medida del valor de su resistencia. Para ello se usó un termómetro comercial (Termopar tipo K, TC Direct) y se midió la resistencia RTD con un multímetro (Fluke, 83V). Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 106 La gráfica 4.6a muestra el ajuste lineal realizado para la calibración, mientras que la figura 4.6b muestra como una fotografía del capilar caliente en donde se pueden ver las inserciones o “insets”. Las inserciones son tubos de metal que se introducen en el interior del capilar caliente. Además, son fácilmente reemplazables y pueden ser limpiadas con diferentes disolventes. Los diámetros interiores disponibles de las inserciones son de 400 𝜇𝑚 y 500 𝜇𝑚 y tienen una longitud total de 110 𝑚𝑚. El ajuste lineal obtenido en la gráfica de la figura 4.6a nos proporciona la temperatura a la que se encuentra el capilar en función del valor de la resistencia, la cual se monitoriza constantemente con un multímetro. La temperatura del capilar caliente en los experimentos realizados a lo largo de este trabajo está comprendida entre 170 °𝐶 – 200 °𝐶. El ajuste lineal del capilar caliente viene dado por: 𝑇 (℃)=(1.627±0.04)𝑅−(152.9±4.5) (4.5) donde 𝑇 es la temperatura a la que se encuentra el capilar caliente en grados Celsius y 𝑅 el valor de la resistencia en ohmios medido con el multímetro. Figura 4.6. a. Calibración del capilar caliente. La gráfica muestra las medidas experimentales, así como el ajuste lineal. b. Fotografía del capilar caliente con las inserciones o “insets”, donde se detalla la entrada del capilar caliente, es decir, donde nebuliza las partículas y la salida hacia la etapa de detección. El capilar caliente se conecta por medio de un pasa-muros (ver figura 4.7) a una fuente de alimentación (ISO-Tech, IPS 4303). Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 107 Dependiendo de la intensidad aplicada se consigue controlar la temperatura. El valor de la resistencia se mantiene en torno a (190−220) Ω, mientras que el valor del voltaje e intensidad de la fuente de alimentación entorno a (15−20) 𝑉 y (1−1.5) 𝐴, respectivamente. Figura 4.7. a. Fotografía general de la etapa de transferencia, donde se distingue la inserción, la salida de la bomba de membrana y el pasamuros para las conexiones eléctricas del capilar caliente. b. Fotografía lateral donde se aprecia el conector de teflón utilizado para sujetar el capilar caliente y mantenerlo en eje y el multímetro para medir la resistencia de la RTD. c. Fotografía desde abajo donde se aprecia la salida de la inserción del capilar caliente hacia la campana de detección, así como las conexiones eléctricas. La figura 4.7a muestra una fotografía general de la etapa de transferencia. El capilar caliente se encuentra ajustado por medio de unos encajes de teflón, los cuales ayudan a aislar térmica y eléctricamente el capilar caliente del resto del sistema y lo mantiene alineado en el eje de simetría del sistema. La función del capilar caliente es ayudar a la completa evaporación del solvente, así como evitar que las partículas se queden adheridas en su interior gracias a la agitación térmica. Las partículas nebulizadas en la etapa del ESI son guiadas por medio de un gradiente de presión en el interior del capilar y pasan a la siguiente etapa del espectrómetro, es decir, a la etapa de detección, por medio de un “skimmer”. En la figura 4.7b se distingue el pasa-muros y las conexiones Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 108 utilizadas para medir y controlar el capilar caliente. La figura 4.7c muestra una fotografía tomada desde debajo de la campana de transferencia donde se aprecian las conexiones de la fuente de alimentación y del multímetro, así como la salida del capilar caliente hacia la siguiente etapa del espectrómetro de masa y rigidez, es decir, hacia la etapa de detección cuyo funcionamiento se detalla a continuación. 4.3.3. ETAPA DE DETECCIÓN La etapa de detección consta de dos partes diferenciadas. La primera contiene al sensor y las ventanas y la segunda las conexiones eléctricas y de vacío. Como ya se ha mencionado, la etapa de transferencia y la de detección están conectadas mediante un “skimmer”1,9 que ayuda al guiado de las partículas hacia la última etapa del sistema. El “skimmer”, que tiene forma de cono truncado, consta de un orificio de entrada de 8 𝑚𝑚 y una altura de 10 𝑚𝑚, y un orificio de salida de 100 µ𝑚. Está situado en el eje del capilar caliente a una distancia de 10 𝑚𝑚. La figura 4.8a muestra una fotografía general de la campana del sensor donde se puede apreciar el “skimmer”, las ventanas, las conexiones eléctricas y de vacío, así como el láser y el fotodetector utilizados para medir la frecuencia de resonancia de los resonadores mediante la técnica de deflexión del haz (Apéndice A). La altura total es de 290 𝑚𝑚, de los cuales 160 𝑚𝑚 corresponde a la parte superior donde se aloja el sensor y 130 𝑚𝑚 a la inferior donde se realizan las conexiones eléctricas y de vacío. El resonador se encuentra situado sobre un soporte de teflón y encima de una cerámica piezoeléctrica (Apéndice A), que se utiliza para excitar el resonador a sus frecuencias de resonancia30 (figura 4.8b). La etapa de detección consta de unos nanoposicionadores de tres dimensiones, XYZ (ANPx101, ANPz101, ANC350, Attocube) que permite controlar el correcto posicionamiento del resonador. Bajo el sensor, y en su mismo eje, se encuentra un orificio de 30 𝑚𝑚 de diámetro (figura 4.8c), al cual está conectado a la bomba rotatorio, generando un flujo uniforme y en eje de las partículas procedentes de la etapa de transmisión. Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 109 Figura 4.8. a. Fotografía general de la etapa de detección donde se distingue el “skimmer” a la entrada de la campana, el láser y el fotodetector (QPD) empleados para la medida de las frecuencias de resonancia mediante la técnica de deflexión del haz, las ventanas y las conexiones eléctricas y de vacío. b. Fotografía donde se muestra el interior de la campana con los nanoposicionadores, el sensor y una cerámica piezoeléctrica (PZT). c. Fotografía donde se aprecia el sensor y el orificio en eje. Las ventanas tienen un recubrimiento interior de óxido de estaño de indio, ITO (del inglés “Indium Tin Oxide”) proporcionando a la vez conductividad eléctrica y excelente transmisión óptica en el espectro visible. La conductividad eléctrica evita interacciones con partículas cargadas conectando toda la campana a tierra. Además, las ventanas tienen que ser transparentes en el espectro visible ya que, para la medida de los resonadores, como ya se ha mencionado, se utiliza un método de transducción óptico conocido como técnica de deflexión del haz (Apéndice A), donde se utiliza un láser que emite en 632 𝑛𝑚. Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 110 4.4. CONCLUSIONES En este capítulo se ha descrito detalladamente el espectrómetro de masa y rigidez basado en resonadores nanomecánicos que se ha desarrollado a lo largo de este trabajo de tesis doctoral, desde un primer prototipo hasta el espectrómetro definitivo. La espectrometría de masa convencional mide la relación cargamasa de partículas desde 100 𝐷𝑎 hasta 100 𝑘𝐷𝑎 con alta precisión. Sin embargo, su rendimiento está limitado a especies pequeñas y se ve fuertemente degradada cuando se quieren caracterizar especies más grandes como macromoléculas biológicas. Para solventar este problema se han propuesto los resonadores nanomecánicos como excelentes candidatos para la medida de la masa de partículas sin necesidad de caracterizar su relación carga-masa y con un alto rango dinámico. Aunque existen otras técnicas de ionización, como la técnica MALDI, la técnica de ionización mediante electrospray (ESI) es el método más utilizado para ionizar las especies y enviarlas al detector del espectrómetro. En este capítulo se ha detallado el funcionamiento de la técnica de ionización mediante electrospray, el cual ha sido el método de nebulización utilizado en este trabajo para enviar las partículas al resonador nanomecánico. Se ha comenzado describiendo un primer prototipo del espectrómetro nanomecánico, el cual presentaba una serie de inconvenientes que se han solventado y, finalmente se detalla el prototipo definitivo del espectrómetro de masa y rigidez, que consta de tres etapas claramente diferenciadas. La primera parte del espectrómetro es la etapa del electrospray, la cual se encarga de la nebulización de las partículas de interés por medio de la técnica ESI. A continuación, la etapa de transferencia, que contiene un capilar caliente, el cual se encarga de la completa evaporación del solvente, así como a la transmisión eficiente de los analitos a la última etapa, es decir, la etapa de detección. Esta etapa contiene el elemento sensor, en nuestro caso un resonador nanomecánico tipo palanca, así como una cerámica piezoeléctrica utilizada para excitar el resonador, unas ventanas y unos nanoposicionadores para su correcto posicionamiento. Espectrómetro de Masa y Rigidez Nanomecánico: Sistema Experimental 111 REFERENCIAS 1 Cole, R. B. Electrospray and MALDI mass spectrometry: fundamentals, instrumentation, practicalities, and biological applications. (John Wiley & Sons, 2011). 2 Naik, A. K., Hanay, M. S., Hiebert, W. K., Feng, X. L. & Roukes, M. L. Towards single-molecule nanomechanical mass spectrometry. Nature nanotechnology 4, 445-450, doi:10.1038/nnano.2009.152 (2009). 3 Murgasova, R. & Hercules, D. M. Polymer characterization by combining liquid chromatography with MALDI and ESI mass spectrometry. Analytical and Bioanalytical Chemistry 373, 481-489, doi:10.1007/s00216-002-1332-9 (2002). 4 Nordhoff, E., Kirpekar, F. & Roepstorff, P. Mass spectrometry of nucleic acids. Mass spectrometry reviews 15, 67-138 (1996). 5 Hanay, M. S. et al. Single-protein nanomechanical mass spectrometry in real time. Nature nanotechnology 7, 602-608, doi:10.1038/nnano.2012.119 (2012). 6 Malvar, O. et al. Mass and stiffness spectrometry of nanoparticles and whole intact bacteria by multimode nanomechanical resonators. Nature communications 7, 13452 (2016). 7 Bothner, B. & Siuzdak, G. Electrospray Ionization of a Whole Virus: Analyzing Mass, Structure, and Viability. ChemBioChem 5, 258-260, doi:10.1002/cbic.200300754 (2004). 8 Fenn, J. B. Electrospray wings for molecular elephants (Nobel lecture). Angewandte Chemie International Edition 42, 3871-3894 (2003). 9 Dole, M. Molecular Beams of Macroions. The Journal of Chemical Physics 49, 2240, doi:10.1063/1.1670391 (1968). 10 Dole, M. My Life in the Golden Age of America. (Vantage Pr, 1989). 11 Yamashita, M. & Fenn, J. B. Electrospray ion source. Another variation on the free-jet theme. The Journal of Physical Chemistry 88, 44514459, doi:10.1021/j150664a002 (1984). 12 Yamashita, M. & Fenn, J. B. Negative ion production with the electrospray ion source. The Journal of Physical Chemistry 88, 46714675, doi:10.1021/j150664a046 (1984). 13 Whitehouse, C. M., Dreyer, R. N., Yamashita, M. & Fenn, J. B. Electrospray interface for liquid chromatographs and mass spectrometers. Analytical Chemistry 57, 675-679, doi:10.1021/ac00280a023 (1985). Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 118 masa, pero con rigidez, es adsorbida sobre la superficie del resonador. Esto provocará un aumento en la energía potencial, debido al sobrecoste energético necesario para doblar el adsorbato durante la oscilación del resonador. Para mantener el balance entre la energía potencial y cinética del sistema, ya que la partícula no tiene masa, la frecuencia de resonancia debe aumentar. Supongamos ahora que se produce una adsorción de una partícula pequeña sobre el resonador y, por tanto, se produce una pequeña variación en la energía cinética y potencial, lo que implica cambios en la frecuencia de resonancia. De tal manera que podemos escribir la frecuencia, energía cinética y potencial después de la adsorción como: 𝜔𝑛=𝜔𝑛0+∆𝜔𝑛 〈𝑈〉=〈𝑈0〉+∆〈𝑈〉 〈𝑇〉=〈𝑇0〉+∆〈𝑇〉 (5.4) Utilizando la ecuación 5.3, el cambio relativo de la frecuencia angular debido a una adsorción sobre la superficie del resonador para pequeñas perturbaciones se puede aproximar por, ∆𝜔𝑛 𝜔𝑛0≈12𝜔𝑛2−𝜔𝑛0 2 𝜔𝑛0 2 (5.5) Y utilizando las ecuaciones 5.4 tenemos, ∆𝜔𝑛 𝜔𝑛0≈12(∆〈𝑈〉 〈𝑈0〉−∆〈𝑇〉 〈𝑇0〉) (5.6) Por lo tanto, el cambio relativo debido a una adsorción viene dado por el balance entre la variación relativa del promedio de la energía de deformación y cinética efectiva. Es decir, un aumento en la energía cinética, por ejemplo, debido a una masa, produce una disminución en la frecuencia mientras que un aumento de la energía de deformación, por ejemplo, debido a una partícula que aporte rigidez al sistema, produce un aumento en la frecuencia. Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 119 Supongamos que se adhiere un adsorbato sobre la superficie del resonador. La variación de la energía cinética debida al adsorbato se puede escribir como: ∆〈𝑇〉=12∫𝜌𝑎 𝑎𝐴𝑛 2ψ𝑛2(𝑥)𝑑𝑉 (5.7) Donde el subíndice 𝑎 hace referencia al adsorbato. Usando la aproximación de que la forma del modo no cambia14-16, la cual es válida para adsorbatos pequeños en comparación con el tamaño del resonador, podemos escribir el cambio relativo en energía cinética como: ∆〈𝑇〉 〈𝑇0〉=𝜌𝑎 𝑚𝑐∫ψ𝑛2(𝑥)𝑑𝑉 𝑎 (5.8) Para el caso del cambio relativo de la energía media de deformación o energía potencial, hay que tener en cuenta el cambio en el eje neutro debido a la rigidez del adsorbato (ver figura 5.1), por tanto, la variación de la energía de deformación no depende solamente del adsorbato, sino también de la variación que se produce en el interior de la palanca. Figura 5.1. Cambio en el eje neutro debido a un adsorbato depositado en la superficie de la micropalanca. El eje neutro permanece inalterado, salvo en la zona donde se ha producido la adsorción, la cual se desplaza hasta la nueva posición 𝒛=𝒉𝒏. Para calcular la nueva posición del eje neutro, igualamos a cero las tensiones longitudinales a lo largo de la palanca, lo que implica que se deba cumplir la siguiente relación17: 𝐸𝑐∫(𝑧−ℎ𝑛)𝑑𝑧 ℎ𝑐 2 −ℎ𝑐 2+𝐸𝑎∫(𝑧−ℎ𝑛)𝑑𝑧 ℎ𝑐 2+ℎ𝑎 ℎ𝑐 2=0 (5.9) Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 120 Obteniendo fácilmente la nueva posición del eje neutro como: ℎ𝑛=𝐸𝑎ℎ𝑎(ℎ𝑎+ℎ𝑐) 2(𝐸𝑎ℎ𝑎+𝐸𝑐ℎ𝑐) (5.10) Por tanto, el valor promedio de la variación de energía de deformación, suponiendo que tanto el resonador como el adsorbato están constituidos por materiales isótropos y homogéneos, viene dado por: Δ〈𝑈〉=𝐴𝑛2𝐸𝑎ℎ𝑎(𝐸𝑎ℎ𝑎3+𝐸𝑐ℎ𝑐(4ℎ𝑎2+6ℎ𝑎ℎ𝑐+3ℎ𝑐2)) 24(𝐸𝑎ℎ𝑎+𝐸𝑐ℎ𝑐)∫(𝜕2ψ𝑛(𝑥) 𝜕𝑥2)2𝑑𝑆 𝑎 (5.11) Usando la ecuación 5.2 podemos escribir el cambio relativo del valor promedio de la energía potencial como, Δ〈𝑈〉 〈𝑈0〉=𝐸𝑎ℎ𝑎(𝐸𝑎ℎ𝑎3+𝐸𝑐ℎ𝑐(4ℎ𝑎2+6ℎ𝑎ℎ𝑐+3ℎ𝑐2)) 𝐸𝑐𝑉𝑐ℎ𝑐2(𝐸𝑎ℎ𝑎+𝐸𝑐ℎ𝑐)(𝐿𝑐 𝛽𝑛)4∫(𝜕2ψ𝑛(𝑥) 𝜕𝑥2)2𝑑𝑆 𝑎 (5.12) Estas fórmulas son válidas tanto para adsorbatos tipo capa plana, que cubran toda la superficie de la palanca, como para adsorbatos puntuales. Para el caso de una capa homogénea tenemos que la integral de volumen de la forma del modo al cuadrado del adsorbato viene dada por ∫ψ𝑛2(𝑥)𝑑𝑉 𝑎=𝑉𝑎, mientras que la integral de superficie del cuadrado de la curvatura es ∫(𝜕2ψ𝑛(𝑥) 𝜕𝑥2)2𝑑𝑆 𝑎=𝑏𝑐𝛽𝑛4 𝐿𝑐3 y, por tanto, podemos escribir el cambio relativo en frecuencia debido a una capa homogénea depositada sobre toda la superficie del resonador como17: Δ𝜔𝑛 𝜔𝑛0=−12𝑚𝑎 𝑚𝑐+𝐸𝑎ℎ𝑎(𝐸𝑎ℎ𝑎3+𝐸𝑐ℎ𝑐(4ℎ𝑎2+6ℎ𝑎ℎ𝑐+3ℎ𝑐2)) 𝐸𝑐ℎ𝑐3(𝐸𝑎ℎ𝑎+𝐸𝑐ℎ𝑐) (5.13) La ecuación 5.13 se puede aproximar para el caso de capas delgadas comparadas con el espesor de la palanca y con módulo de Young mucho menor que el de la palanca, como es el caso de los materiales biológicos, por la siguiente expresión más compacta y elegante3,4: Δ𝜔𝑛 𝜔𝑛0≈−12𝑚𝑎 𝑚𝑐+32𝐸𝑎ℎ𝑎 𝐸𝑐ℎ𝑐 (5.14) Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 121 En el espectrómetro de masa y rigidez desarrollado en este trabajo de tesis doctoral, las entidades depositadas sobre el resonador son partículas individuales y lo suficientemente pequeñas para considerar que la forma del modo de vibración no se ve afectada. Por tanto, podemos escribir que la integral de volumen de la forma del modo al cuadrado viene dada por ∫ψ𝑛2(𝑥)𝑑𝑉 𝑎≈ψ𝑛2(𝑥0)𝑉𝑎, mientras que la integral de superficie de la curvatura al cuadrado es ∫(𝜕2ψ𝑛(𝑥) 𝜕𝑥2)2𝑑𝑆 𝑎≈(𝜕2ψ(𝑥0) 𝜕𝑥2)2𝑏𝑎𝐿𝑎 donde 𝑥0 es la posición de adsorción de la partícula. Finalmente, podemos escribir el cambio relativo en frecuencia de resonancia debido a la adsorción de partículas puntuales sobre la superficie del resonador como: Δ𝜔𝑛 𝜔𝑛0=−12𝑚𝑎 𝑚𝑐ψ𝑛2(𝑥0)+𝐸𝑎𝑉𝑎(𝐸𝑎ℎ𝑎3+𝐸𝑐ℎ𝑐(4ℎ𝑎2+6ℎ𝑎ℎ𝑐+3ℎ𝑐2)) 2𝐸𝑐𝑉𝑐ℎ𝑐2(𝐸𝑎ℎ𝑎+𝐸𝑐ℎ𝑐)(𝐿𝑐 𝛽𝑛)4(𝜕2ψ(𝑥0) 𝜕𝑥2)2 (5.15) Al igual que para el caso de capas delgadas se puede aproximar la ecuación 5.15 para adsorbatos cuyo espesor y módulo de Young son menores que los de la palanca, obteniendo que el cambio relativo en frecuencia para partículas individuales viene dado por16,18: Δ𝜔𝑛 𝜔𝑛0=−12𝑚𝑎 𝑚𝑐ψ𝑛2(𝑥0)+3𝐸𝑎𝑉𝑎 2𝐸𝑐𝑉𝑐(1+2𝜂+43𝜂2)(𝐿𝑐 𝛽𝑛)4(𝜕2ψ(𝑥0) 𝜕𝑥2)2 (5.16) Donde se ha definido el parámetro η, que da cuenta de la relación entre el espesor del adsorbato y el espesor de la palanca, como: η=ℎ𝑎 ℎ𝑐 (5.17) Como se puede ver en la ecuación 5.16 el cambio relativo en la frecuencia de resonancia de un resonador debido a la adsorción de una partícula puntual es debido a dos términos: el término de masa, que es proporcional a la forma del modo al cuadrado y el término de rigidez, que es proporcional a la curvatura del modo al cuadrado. El término de masa contribuye de manera negativa mientras que el de rigidez lo hace de manera positiva al cambio de frecuencia. Una implicación directa es que el efecto de masa en la frecuencia de resonancia se incrementa cuando la adsorción se produce en regiones de la palanca en las cuales la Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 122 amplitud del modo de oscilación es mayor (mayor energía cinética), mientras que el efecto de rigidez es mayor si la adsorción se produce en regiones donde la curvatura de la palanca es mayor (mayor energía potencial) como se puede ver en la figura 5.2. Figura 5.2. a. Amplitud normalizada del modo al cuadrado (término proporcional al efecto de masa) y b. curvatura normalizada del modo al cuadrado (término proporcional al efecto de rigidez) para el primer (negro), segundo (rojo), tercer (azul) y cuarto (verde) modo flexural de vibración. El efecto de masa es proporcional a la forma del modo al cuadrado mientras que el efecto de rigidez es proporcional al cuadrado de la curvatura del modo. La figura 5.2 muestra dos gráficas en las cuales se representa el cuadrado de la forma del modo: ψ𝑛2(𝑥0) (figura 5.2a) y el término (𝐿𝑐 𝛽𝑛)4(𝜕2ψ(𝑥0) 𝜕𝑥2)2 (figura 5.2b), proporcional a la curvatura del modo al cuadrado, para los primeros cuatro modos flexurales de vibración de una resonador tipo palanca. El primero nos da información sobre el término de masa y el segundo sobre el término de rigidez. Por ejemplo, el primer modo flexural (línea negra) es más sensible a la masa en la región próxima al extremo libre (𝑥=𝐿𝑐) mientras que cerca del extremo anclado (𝑥=0) es la zona más sensible a la rigidez del adsorbato. 5.2.1. EFECTOS DE BORDE Y ÁNGULO DE ADSORCIÓN Como hemos visto, la adsorción de una partícula sobre la superficie del resonador tiene dos efectos contrapuestos en la frecuencia de resonancia: mientras que el efecto de masa hace que la frecuencia de resonancia disminuya, el efecto de rigidez hace que la frecuencia de resonancia aumente. En la ecuación 5.16 descrita anteriormente no se Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 123 han tenido en cuenta varios efectos importantes que han sido estudiados en profundidad por el Dr. José Jaime Ruz en el laboratorio de Bionanomecánica en el Instituto de Microelectrónica de Madrid, IMMCSIC, durante la realización de su tesis doctoral19 y que se resumen a continuación sin entrar en mucho detalle sobre su desarrollo teórico. Uno de los efectos más importantes a tener en cuenta es la relajación de los bordes del adsorbato y cómo esto afecta al término de rigidez. Hasta ahora se ha considerado el adsorbato como una extensión de la palanca en la dirección 𝑧, pero con otra densidad y otro módulo de Young y siendo la deformación del adsorbato la misma que sufre la palanca (ver figura 5.1). Sin embargo, para adsorbatos reales, como es obvio, los bordes están libres de deformarse y pueden liberar parte de la tensión producida por la deflexión de la palanca. Para estudiar con mayor precisión cómo afectan los efectos de borde sobre la frecuencia de resonancia se ha llevado a cabo un estudio en 2D. Debido a que los bordes del adsorbato están libres de deformarse liberan parte de la tensión producida por la deflexión de la palanca, haciendo que la deformación del adsorbato sea menor y, por lo tanto, el coste energético se reduzca considerablemente, produciendo que el cambio relativo en la frecuencia de resonancia, debido al término de rigidez, se sobreestime. Supongamos un adsorbato alargado orientado según el eje largo de la palanca, como el de la figura 5.3. Cuando la palanca se deforma lo hace también el adsorbato. Sin embargo, la deformación que sufre el adsorbato en los bordes es distinta que la que sufre en el centro16. Figura 5.3. Representación gráfica de los efectos de borde. Como se puede ver, los bordes están libres de deformarse. Esto se traduce en que los efectos de rigidez son menores en los extremos del adsorbato. Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 124 La contribución del término de rigidez al cambio relativo en la frecuencia de resonancia debe ser modificada de la siguiente manera: Δ𝑓 𝑓0=𝐾2(𝑝(𝜂)−g(𝜆𝑎,𝜂)) (5.18) Donde 𝐾 está relacionada con la curvatura de la forma del modo (ver ecuación 5.16) como: 𝐾=𝐸𝑎𝑆𝑎𝐿𝑐4(ψ𝑛′′(𝑥0))2 𝐸𝑐𝑆𝑐𝛽𝑛4 (5.19) Donde 𝑆𝑎=𝐿𝑎ℎ𝑎 y 𝑆𝑐=𝐿𝑐ℎ𝑐 son el área del adsorbato y de la palanca, respectivamente, mientras que 𝑝(𝜂) es el término descrito en la ecuación 5.16, es decir: 𝑝(𝜂)=3+6𝜂+4𝜂2 (5.20) El nuevo término que da cuenta de los efectos de borde tiene la siguiente forma16,19: g(𝜆𝑎,𝜂)=𝐵(𝜂)tanh(𝑝(𝜂)𝜆𝑎 𝐵(𝜂)) 𝜆𝑎 (5.21) Siendo 𝜆𝑎 el coeficiente entre la longitud y el espesor del adsorbato: 𝜆𝑎=𝐿𝑎 ℎ𝑎 (5.22) Las funciones 𝑝(𝜂) y 𝐵(𝜂) dependen de la forma del adsorbato16. Mientras que para el caso de un rectángulo en 2D la función 𝑝(𝜂) viene dada por la ecuación 5.20, para calcular el valor de 𝐵(𝜂) se ha realizado un estudio mediante simulaciones por elementos finitos obteniendo que 𝐵(𝜂)≈5.45+13.92𝜂+10.53𝜂2. Al introducir esta corrección, el cambio en frecuencia debido al término de rigidez ya no depende solamente del parámetro 𝜂 sino que ahora también depende del parámetro 𝜆𝑎. Cuando 𝜆𝑎 es muy pequeño, el cambio debido a la rigidez también será muy pequeño pudiendo Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 125 despreciarse15,20,21. Sin embargo, para adsorbatos tipo capa delgada en los que su espesor es despreciable frente a su extensión, es decir, para 𝜆𝑎 grandes, el segundo término de la ecuación 5.18 tiende a cero y el cambio en frecuencia debido a la rigidez se puede aproximar por el término que corresponde a la rigidez de la ecuación 5.16. Es en la zona intermedia, donde se encuentran la mayoría de las entidades biológicas individuales, en la cual este nuevo término, que tiene en cuenta los efectos de borde, cobra mayor importancia. Otro parámetro importante que modifica el cambio relativo en frecuencia debido al término de rigidez, para adsorbatos que no presentan simetría esférica o circular, es el ángulo de adsorción con respecto al resonador, 𝛼, como se puede ver en la figura 5.4. Para tener en cuenta este parámetro es necesario realizar una extensión en 3D del modelo descrito anteriormente. Figura 5.4. Dibujo esquemático donde se representa un adsorbato con forma rectangular con longitud 𝑳𝒂, altura 𝒉𝒂 y anchura 𝒃𝒂 en la superficie de un resonador tipo palanca de longitud 𝑳𝒄, altura 𝒉𝒄 y anchura 𝒃𝒄, orientado con un ángulo 𝜶 con respecto al eje 𝒙, de la palanca. Para recalcar la importancia de ángulo de adsorción, supongamos un adsorbato con forma de paralelepípedo de longitud 𝐿𝑎, anchura 𝑏𝑎 y espesor ℎ𝑎, como se muestra en la figura 5.4. Si la adsorción se produce Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 126 de forma longitudinal a la palanca, los bordes del adsorbato son pequeños en comparación con su extensión a lo largo del eje de la palanca, por tanto 𝜆𝑎 será grande y el término g(𝜆𝑎,𝜂) pequeño, es decir, los efectos de borde serán despreciables. Sin embargo, si el adsorbato está orientado perpendicularmente, su espesor será del orden de su extensión con lo cual 𝜆𝑎 será pequeño y el término g(𝜆𝑎,𝜂) próximo a 𝑝(𝜂), y por tanto, en este caso los efectos de borde serán muy importantes. Este ejemplo pone de manifiesto la importancia que tiene la orientación del adsorbato sobre la superficie del resonador. Para tener en cuenta este efecto se ha realizado un estudio en función del ángulo de adsorción16,19,22. Los resultados obtenidos nos permiten escribir la variación relativa del cambio de frecuencia debido al término de rigidez en función del ángulo de adsorción como: Δ𝑓 𝑓0=𝐾2(𝑝(𝜂)−𝑔(𝜆𝑎,𝜂)cos4𝛼−𝑔(𝜇𝑎,𝜂)sin4𝛼−𝑔45(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)sin22𝛼) (5.23) Donde 𝜇𝑎 es el cociente entre la anchura y el espesor del adsorbato, es decir: 𝜇𝑎=𝑏𝑎 ℎ𝑎 (5.24) Y 𝛼 es el ángulo de adsorción con respecto al eje 𝑥 de la palanca. Para esta extensión al modelo en 3D el valor de 𝐾 viene dado por: 𝐾=𝐸𝑎𝑉𝑎𝐿𝑐4ψ𝑛′′(𝑥0)2 𝐸𝑐𝑉𝑐𝛽𝑛4 (5.25) Mientras que la función 𝑔45(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂), que está relacionada con la componente cruzada de la energía de deformación, se puede expresar como16: 𝑔45(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)=𝑎0(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)[𝑎1(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)+𝑎1(𝜇𝑎,𝜆𝑎,𝜂)+𝑎2(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)] (5.26) Donde 𝑎0, 𝑎1 y 𝑎2 vienen dadas por: 𝑎0(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)=4𝑝(𝜂)sinh(𝐵45(𝜂)𝜆𝑎 2)2sinh(𝐵45(𝜂)𝜇𝑎 2)2 𝐵45(𝜂)2𝜆𝑎𝜇𝑎(1−cosh(𝐵45(𝜂)𝜆𝑎)cosh(𝐵45(𝜂)𝜇𝑎))2 Espectrometría de Masa y Rigidez Nanomecánica de Nanopartículas y Bacterias 127 𝑎1(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)=𝐵45(𝜂)𝜆𝑎coth(𝐵45(𝜂)𝜇𝑎 2)(cosh(𝐵45(𝜂)𝜇𝑎)cosh(𝐵45(𝜂)𝜆𝑎 2)2−1) 𝑎2(𝜆𝑎,𝜇𝑎,𝜂)=−sinh(𝐵45(𝜂)𝜆𝑎)sinh(𝐵45(𝜂)𝜇𝑎) (5.27) La función 𝐵45(𝜂) debe ser calculada numéricamente y, para el caso de un paralelepípedo, viene dada por: 𝐵45(𝜂)=0.90−0.34𝜂+0.16𝜂2 (5.28) La ecuación 5.23 describe el cambio relativo en frecuencia debido al término de rigidez que sufre un resonador cuando un adsorbato es adsorbido sobre su superficie teniendo en cuenta los efectos de borde, forma y orientación del adsorbato. Cuando el ángulo de adsorción es 0 o 𝜋2 ⁄ la ecuación 5.23 se transforma en la ecuación 5.18 como es de esperar. Para los casos 𝜆𝑎≫1 y 𝜇𝑎≫1 (límite de capa delgada) la ecuación se reduce a la forma sin efectos de borde, es decir, a la parte correspondiente con el término de rigidez de la ecuación 5.16, mientras que para el caso 𝜆𝑎=𝜇𝑎=0 (límite partícula puntual) la ecuación tiende a cero y los efectos de rigidez son despreciables. 5.2.2. DESACOPLO DE LA MASA, LA RIGIDEZ Y LA POSICIÓN DE ADSORCIÓN La teoría de la espectrometría nanomecánica nos permite predecir los cambios en frecuencia debido a la adsorción de partículas sobre la superficie del resonador. Los cambios en frecuencia no solo dependen de la posición de adsorción, de la masa y de la rigidez del adsorbato17,18,23, sino que también son importante otros parámetros como el radio de contacto o la forma de adsorción3,16,22, ya que afectarán de distinta manera a la rigidez del sistema, como ya hemos visto en la sección anterior. Mediante el espectrómetro de masa y rigidez descrito en el capítulo 4 se pueden medir cambios en frecuencia producidos por la adsorción de partículas individuales. Sin embargo, lo que nos interesa es poder obtener información práctica de estos cambios. Para ello será necesario desacoplar la posición de adsorción, la masa y la rigidez del adsorbato mediante un algoritmo. La obtención de estos tres parámetros a partir de los cambios en la frecuencia de resonancia de los distintos