Análise Alxébrica Construtiva
Abstract
[GL] A Análise Alxébrica é unha teoría desenvolta a mediados do século pasado que estuda sistemas lineares de ecuacións baseándose esencialmente en Teoría de Módulos e Álxebra Homolóxica. O punto de partida é o isomorfismo de Malgrange. Este, xunto con outros resultados, permite probar que as propiedades de todo sistema linear poden caracterizarse estudando un determinado módulo asociado, dalgún xeito, ao sistema. Nos últimos anos, con todo, adoptouse un enfoque construtivo, co deseño e a implementación de algoritmos que dotan de efectividade e utilidade moitos dos resultados achados xa nos inicios da Análise Alxébrica. Ademais, tamén son cada vez máis relevantes as aplicacións á Teoría do Control. Así pois, neste traballo proporcionamos un tratamento introdutorio, pero detallado e rigoroso, á Análise Alxébrica Construtiva, centrándonos especialmente naqueles resultados, algoritmos e conceptos que teñan un especial impacto na Teoría do Control.
Full text
Traballo Fin de Grao Análise Alxébrica Construtiva Alfredo Crespo Otero 2020-2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
palabra
GRAO EN MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Análise Alxébrica Construtiva Alfredo Crespo Otero Xullo, 2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
Traballo proposto Área de Coñecemento: Análise matemática Título: Análise alxébrica construtiva Breve descrición do contido A Análise Alxébrica estuda sistemas lineares de ecuacións diferenciais e en derivadas parciais baseándose en Teoría de Módulos e Álxebra Homolóxica. Máis concretamente, a un sistema de ecuacións dado asóciaselle un módulo sobre un determinado anel de operadores diferenciais que reflicte as propiedades estruturais do conxunto de solucións do devandito sistema. Recentemente, a Análise Alxébrica está a ser estudada desde unha perspectiva máis construtiva. O obxectivo deste traballo é chegar a coñecer os aspectos básicos da Análise Alxébrica Construtiva e presentar algunhas aplicacións á Teoría do Control. Recomendacións Ter superado as materias Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias e Estruturas Alxébricas
Índice xeral Resumo VII 1. Introdución 1 2. Sistemas lineares e módulos pola esquerda finitamente presentados 5 2.1. Sistemas lineares e aneis de operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. O isomorfismo de Malgrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Aneis noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Resolucións libres e finitas e grupos abelianos das extensións 23 3.1. Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1. Bases de Gröbner de ideais sobre aneis de polinomios . . . . . . . . . . 23 3.1.2. Bases de Gröbner de ideais sobre álxebras de Ore . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.3. Bases de Gröbner de módulos sobre álxebras de Ore . . . . . . . . . . . 27 3.2. Conceptos básicos de Álxebra Homolóxica. Resolucións libres e finitas . . . . 28 3.3. Os grupos abelianos das extensións na Análise Alxébrica . . . . . . . . . . . . . 34 4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear 41 4.1. Os grupos abelianos das extensións e o módulo dun sistema linear . . . . . . . 41 4.2. Parametrizacións de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3. Relación entre as propiedades do sistema linear e do módulo do sistema . . . 56 Anexos 63 A1. Código SINGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Resumo A Análise Alxébrica é unha teoría desenvolta a mediados do século pasado que estuda sistemas lineares de ecuacións baseándose esencialmente en Teoría de Módulos e Álxebra Homolóxica. O punto de partida é o isomorfismo de Malgrange. Este, xunto con outros resultados, permite probar que as propiedades de todo sistema linear poden caracterizarse estudando un determinado módulo asociado, dalgún xeito, ao sistema. Nos últimos anos, con todo, adoptouse un enfoque construtivo, co deseño e a implementación de algoritmos que dotan de efectividade e utilidade moitos dos resultados achados xa nos inicios da Análise Alxébrica. Ademais, tamén son cada vez máis relevantes as aplicacións á Teoría do Control. Así pois, neste traballo proporcionamos un tratamento introdutorio, pero detallado e rigoroso, á Análise Alxébrica Construtiva, centrándonos especialmente naqueles resultados, algoritmos e conceptos que teñan un especial impacto na Teoría do Control. Abstract Algebraic Analysis is a theory developed in the second half of the last century which studies linear systems of equations based on Module Theory and Homological Algebra. The starting point is an abelian group isomorphism (Malgrange’s isomorphism) which states that every linear system can be studied by means of a module associated to the system. Recently, a constructive approach has been adopted and therefore a large number of algorithms have also been developed in order to implement the first ideas of Algebraic Analysis. Moreover, Algebraic Analysis applications are nowadays important in other fields such as Control Theory. Thus, the purpose of this work is to give an introductory, detailed and rigorous treatment of Constructive Algebraic Analysis focusing mainly on those results and algortihms that are useful in Control Theory.
62.1. Sistemas lineares e aneis de operadores diferenciais Así pois, conseguimos escribir (2.2) na forma Rη=0, sendo Runha matriz 2 ×2 con entradas en R[∂]. Aínda que o ilustramos mediante o caso particular do oscilador harmónico simple, está claro que isto xeneralízase a calquera sistema linear de EDOs con coeficientes constantes. Así e todo, o noso obxectivo é describir sistemas lineares máis xerais, nos que os coeficientes poden ser polinomios nunha ou máis variables, ou mesmo funcións. Para tratar de formalizar todo isto convén introducir a noción de anel diferencial. Definición 2.1. Un anel diferencial (A,{δ1,...,δn})é un anel conmutativo Axunto cunhas derivacións conmutativas,δi:A→A, con i=1,..., n, isto é, aplicacións satisfacendo as seguintes propiedades: (i)δi◦δj=δj◦δi,i,j=1,...,n. (conmutatividade) (ii)δi(a1+a2) = δi(a1) + δi(a2),a1,a2∈A,i=1,..., n. (linearidade) (iii)δi(a1a2) = δi(a1)a2+a1δi(a2),a1,a2∈A,i=1,...,n. (regra de Leibniz) Exemplo 2.2. Vexamos algúns exemplos sinxelos e ilustrativos de aneis diferenciais. (1) Sexa C∞(Rn)o conxunto das funcións infinitamente derivables definidas en todo Rn, que claramente é un anel conmutativo. Entón (C∞(Rn),{∂1,...,∂n})é un anel diferencial, onde ∂i,i=1,...,n, denotan as derivadas parciais, que baixo estas condicións de regularidade son conmutativas (en virtude do Teorema de Schwarz), e ademais sempre cumpren a linearidade e a regra de Leibniz. (2) Sexa Kun corpo. Entón o anel de polinomios nas variables x1,..., xncon coeficientes en K,K[x1,..., xn], ou o corpo de fraccións nas variables x1,..., xncon coeficientes en K,K(x1,..., xn), son tamén aneis diferenciais, onde as derivacións son as derivadas respecto das variables xi,∂ ∂xi, con i=1,...,n. Convén agora realizar un razoamento similar ao que nos permitiu atopar a forma matricial da ecuación do movemento do oscilador harmónico simple. Así, dado un anel diferencial (A,{δ1,...,δn}), interpretamos cada a∈Acomo o operador que realiza a multiplicación (denotada pola xustaposición) por a, isto é, a:b∈A→ab ∈A. Podemos pensar tamén nos operadores que realizan as derivacións, que imos denotar polos símbolos ∂i,i=1,...,n. Nestas circunstancias a multiplicación pasa a ser a composición de operadores. Así pois, podemos considerar o conxunto de expresións Pr i=0ai∂i1 1· · · ∂in n, con ai∈Ae i1,...,in∈Z≥0, onde Z≥0denota o conxunto dos números enteiros non negativos. Notemos que este conxunto, que denotaremos por X, defínese de xeito idéntico ao conxunto subxacente ao anel de polinomios conmutativo nas variables ∂1,...∂n. A cuestión está en se X segue a ser un anel neste contexto máis xeral que vimos de introducir. Baseándonos na teoría de polinomios non conmutativos de Ore desenvolta en [16], a primeira observación a realizar é que (X,+) é claramente un grupo abeliano se definimos a operación +como no caso conmutativo. Se queremos que (X,+,·)sexa un anel, debemos esixir que a multiplicación de polinomios cumpra a propiedade distributiva coa suma por ambos lados. Para iso só precisamos definir o produto de dous monomios: a1∂i1 1···∂in ne a2∂j1 1···∂jn n, isto é, (a1∂i1 1···∂in n)(a2∂j1 1···∂jn n). Xa que a multiplicación de polinomios (e de
2. Sistemas lineares e módulos pola esquerda finitamente presentados 7 monomios) debe ser tamén asociativa, e os operadores derivación conmutan entre si, chega con especificar que se entende por ∂ja, con j∈ {1,...,n}, para poder escribir o anterior produto como suma de monomios, isto é, como un elemento de X. Tomemos entón a∈A calquera e vexamos como actúa o operador ∂jasobre un b∈Acalquera, lembrando que a multiplicación en Xé simplemente a composición de operadores: (∂ja)(b) = ∂j(a(b)) (i) =∂j(ab)(ii) =δj(ab)(iii) =aδj(b)+δj(a)b(iv) =a∂jb+δj(a)b= (a∂j+δj(a))b. En (i)utilizouse que o operador arealiza a multiplicación por apola esquerda; en (ii)e (iv), a definición de ∂j, e en (iii)a regra de Leibniz para a derivación. Tense entón a seguinte importante relación de conmutación: ∂ja=a∂j+δj(a),j∈ {1,...,n}. (2.3) De acordo co exposto en [16], as únicas condicións que debe cumprir (2.3) para que (X,+,·) sexa un anel son a linearidade e a regra de Leibniz, que se satisfán por definición. Así pois, atendendo a (2.3), é natural introducir un anel de operadores diferenciais do seguinte xeito. Definición 2.3. Sexa (A,{δ1,...,δn})un anel diferencial. O anel de operadores diferenciais parciais en ∂1,...,∂n, denotado por D=A〈∂1,...,∂n〉, é o anel de polinomios en ∂1,...,∂nnon conmutativo e con coeficientes en A, satisfacendo: ∂i∂j=∂j∂i,∂ia=a∂i+δi(a),i,j=1,...,n,a∈A. Neste caso multidimensional, os elementos de Descríbense como P|ν|=0,...,raν∂ν, con aν∈A, ν= (ν1,...,νn)T∈Nn,|ν|=νi+···+νne∂ν=∂ν1···∂νn. Cando o anel diferencial (A,{δ1,...,δn})é o anel de polinomios K[x1,..., xn]ou o corpo de fraccións K(x1,..., xn), os aneis de operadores diferenciais parciais reciben un nome especial pola súa importancia histórica. Definición 2.4. Sexa Kun corpo. A primeira álxebra de Weyl é o anel de operadores diferenciais parciais An(K) = K[x1,..., xn]〈∂1,...,∂n〉. A segunda álxebra de Weyl é o anel de operadores diferenciais parciais Bn(K) = K(x1,..., xn)〈∂1,...,∂n〉. As ferramentas introducidas permiten acadar o obxectivo marcado: expresar un amplo abano de sistemas lineares de EDPs na forma Rη=0, onde Ré unha matriz con entradas nun anel de operadores diferenciais parciais. Isto encaixa nun marco aínda máis xeral no que non imos afondar, pero que convén coñecer, xa que a teoría da Análise Alxébrica é tamén aplicable en tal contexto. A exposición simple e concisa que se fai a continuación baséase na presentada en [3], os detalles pódense atopar en [18]. Antes de nada imos presentar a definición de K-álxebra, pois esixiremos que o conxunto sobre o que construímos a xeneralización do concepto de anel de operadores diferenciais teña esta estrutura. Definición 2.5. Sexa Kun corpo. Un espazo vectorial Asobre Kdise unha K-álxebra se existe unha operación binaria ·:A×A→A bilinear, isto é, que cumpre as seguintes propiedades: (i) (a+b)·c=a·c+b·c a,b,c∈A. (ii)c·(a+b) = c·a+c·b a,b,c∈A. (iii) (xa)·(yb) = x y(a·b)a,b∈A,x,by,∈K.
82.1. Sistemas lineares e aneis de operadores diferenciais Por simplicidade na notación, a anterior operación binaria tamén a denotaremos pola xustaposición, cando non haxa lugar á confusión. Exemplo 2.6. C∞(Rn),K[x1,..., xn]eK(x1,..., xn)son K-álxebras sobre Re o corpo K, respectivamente. Definición 2.7. Sexa Aun anel. Sexa tamén σ:A→Aun endomorfismo de aneis e δ:A→A unha σ-derivación, isto é, unha aplicación que satisfai as seguintes propiedades: (i)δ(a1+a2) = δ(a1) + δ(a2),a1,a2∈A. (linearidade) (ii)δ(a1a2) = δ(a1)a2+σ(a1)δ(a2),a1,a2∈A. (regra de Leibniz modificada) Dicimos que o anel de polinomios en ∂coa relación de conmutación ∂a=σ(a)∂+δi(a),a∈A, é unha extensión de Ore, e denotámolo por A[∂;σ,δ]. Se ademais Aé unha K-álxebra, a anterior construción pode ser iterada. Así, para cada m∈N, chamamos álxebra de Ore á extensión de Ore (···((A[∂1;σ1,δ1])[∂2;σ2,δ2])···)[∂m;σm,δm], na que para cada i=1,...,m, os endomorfismos σi:Ai→Aie as aplicacións δi:Ai→Ai, con Ai=:((···(A[∂1;σ1,δ1])···)[∂i−1;σi−1,δi−1]), satisfán as seguintes condicións: (i)δi◦δj=δj◦δi,σi◦σj=σj◦σi,σi◦δj=δj◦σi, δi◦σj=σj◦δi,j<i. (conmutatividade) (ii)δi(a1+a2) = δi(a1) + δi(a2),a1,a2∈A. (linearidade) (iii)δi(a1a2) = δi(a1)a2+σi(a1)δi(a2),a1,a2∈A. (regra de Leibniz modificada) (iv)σi(∂j) = ∂j,δi(∂j) = 0, j<i. Denotaremos á anterior álxebra de Ore A[∂1;σ1,δ1]···[∂m;σm,δm]. Observación 2.8.A condición (iv)da anterior definición garante a conmutatividade das variables ∂i,i=1,...,mna álxebra de Ore A[∂1;σ1,δ1]···[∂m;σm,δm], tal e como se demostra en [18]. Como se demostra en [21], esta construción é análoga á do conxunto de polinomios nas variables ∂1,...,∂mcon coeficientes na K-álxebra Ae coa relación de conmutación ∂ia=σi(a)∂i+δi(a),a∈A,i=1,...,m, onde os endomorfismos σie as aplicacións δicumpren as condicións da anterior definición, para i=1,...,m. Exemplo 2.9. Da anterior definición séguese inmediatamente que os aneis de operadores diferenciais parciais, D=A〈∂1,...,∂n〉, son álxebras de Ore cando Aé unha K-álxebra, tomando como endomorfimos σia identidade do anel diferencial: σi=IdA,i=1,...,n. Así pois, de acordo co Exemplo 2.6, a primeira e a segunda álxebra de Weyl son álxebras de Ore, pero tamén C∞(Rn)〈∂1,...,∂n〉, sendo ∂i,i=1,...,n, as derivadas parciais usuais.
2. Sistemas lineares e módulos pola esquerda finitamente presentados 9 Da exposición realizada debemos observar que as ecuacións do estilo Rη=0, con R unha matriz con entradas nunha álxebra de Ore, representan case todo tipo de sistemas lineares de ecuacións funcionais (por exemplo, sistemas de ecuacións diferenciais con retardo temporal). Deste xeito, os resultados que presentaremos neste traballo (no que particularizamos para sistemas lineares de EDPs) son en realidade válidos para moitos outros tipos de sistemas lineares. Así e todo, cómpre sinalar que o obxectivo da introdución do concepto de álxebra de Ore é só amosar a existencia de determinados aneis de polinomios que resultan idóneos de cara a formular sistemas lineares. A teoría que se desenvolverá nas seguintes seccións e capítulos formúlase en condicións máis xerais, nas que a matriz Rdo sistema Rη=0 ten as súas entradas, simplemente, nun anel D. En ocasións será necesario esixir que este cumpra algunhas propiedades adicionais, que en calquera caso as álxebras de Ore satisfán. Así pois, por claridade na exposición, consideramos en xeral que Dé un anel, esixindo ademais a estrutura de álxebra de Ore cando resulte conveniente ou necesario. Para concluír imos definir de forma precisa o que nós entenderemos por sistema linear e por conxunto de solucións dun sistema linear. Todo o exposto ata o momento permitiunos caracterizar a matriz Rdun sistema linear Rη=0, pero nada dixemos do vector de incógnitas η. Se as entradas de Rse atopan nun anel D, e Rten qfilas e pcolumnas, entón R∈Dq×p, co que podemos escribir o sistema explicitamente como: r11η1+... +r1pηp=0, ... rq1η1+... +rqpηp=0. As solucións ηj,j=1,..., p, buscámolas nun espazo que nos permita multiplicar pola esquerda polos ri j,i=1,...,q, e sumar. Dito doutro xeito, buscamos as solucións ηj,j=1,..., pnun determinado D-módulo pola esquerda F. Cómpre sinalar que consideraremos sempre aneis con unidade, isto é, 1 6=0. Por simplicidade na exposición obviaremos esta hipótese, sendo conscientes de que está implícita no enunciado sexa D un anel. Pasamos entón a definir que entendemos por un D-módulo pola esquerda. Tamén damos a definición de D-módulo pola dereita, por completitude e porque será de utilidade nos vindeiros capítulos. Definición 2.10. Sexa Dun anel. Un D-módulo pola esquerda é un grupo abeliano (M,+) xunto cunha operación externa: D×M−→ M (d,m)−→ dm que cumpre as seguintes propiedades: (i) (d+d0)m=dm +d0m,d,d0∈D,m∈M. (ii)d(m+m0) = dm +dm0,d∈D,m,m0∈M. (iii) (dd0)m=d(d0m),d,d0∈D,m∈M. (iv)1m=m,m∈M. De forma análoga, un D-módulo pola dereita é un grupo abeliano (M,+) xunto cunha operación externa: D×M−→ M (d,m)−→ md
10 2.1. Sistemas lineares e aneis de operadores diferenciais que cumpre as seguintes propiedades: (i)m(d+d0) = md +md0,d,d0∈D,m∈M. (ii) (m+m0)d=md +m0d,d∈D,m,m0∈M. (iii)m(dd0) = (md)d0,d,d0∈D,m∈M. (iv)m1=m,m∈M. Exemplo 2.11. Imos retomar o exemplo do oscilador harmónico simple para tratar de exemplificar a teoría que vimos de introducir, e tamén para amosar a relevancia que teñen os módulos na Análise Alxébrica. Xa vimos que a ecuación do oscilador harmónico simple pódese escribir de forma matricial como segue: ∂−1 ω2∂η1 η2=0 0, (2.4) onde ∂denota a derivada respecto da variable t. A frecuencia de oscilación ωé un número real no caso do oscilador harmónico simple. Así pois, podemos considerar que a matriz R que define o sistema ten as súas entradas no anel de operadores diferenciais R[∂](que é claramente unha álxebra de Ore). As solucións ηdebémolas buscar nun R[∂]-módulo pola esquerda. Vexamos que C∞(R)cumpre as propiedades (i),(ii),(iii)e(iv)da definición de módulo pola esquerda definindo a operación externa como segue: r X i=0 ai∂i,f∈R[∂]× C ∞(R)→ r X i=0 ai∂if= r X i=0 ai dif dti. En primeiro lugar, a operación externa está ben definida, por ser C∞(R)o conxunto das funcións reais (na variable t) infinitamente derivables. A propiedade (i)é consecuencia da linearidade da definición da operación externa. A propiedade (ii)é a linearidade da derivada. A propiedade (iii)é a asociatividade da composición de operadores. A propiedade (iv)é trivial. Será necesario concretar tamén que se entende por D-submódulo pola esquerda dun Dmódulo pola esquerda M. Definición 2.12. Sexan (D,+,·)un anel e Mun D-módulo pola esquerda. Un subconxunto Nde Mé un D-submódulo pola esquerda se é un D-módulo pola esquerda coa estrutura de M, isto é, se satisfai as seguintes propiedades: (i) (N,+) é un subgrupo aditivo de (M,+). (ii)Para cada x∈Ne cada d∈D,dx ∈N. Considerando o anel Dcomo un D-módulo pola esquerda, todo D-submódulo pola esquerda é un ideal pola esquerda. Se Mé un D-módulo pola dereita, as definicións de D-submódulo pola dereita eideal pola dereita son análogas, cambiando só a condición (ii)por (ii)0: (ii)0Para cada x∈Ne cada d∈D,xd ∈N.
2. Sistemas lineares e módulos pola esquerda finitamente presentados 11 Exemplo 2.13. Vexamos que o conxunto de solucións da ecuación do oscilador harmónico (2.4) é un R[∂]-submódulo pola esquerda do R[∂]-módulo pola esquerda C∞(R)2. Para ver que o conxunto de solucións é un subgrupo aditivo de C∞(R)2,+chega con comprobar que é non baleiro e que a resta de dúas solucións é tamén solución. Ambos aspectos son consecuencia de que (2.4) sexa unha ecuación homoxénea, pois por un lado tense a solución trivial η=0, e polo outro R(η1−η2) = Rη1−Rη2=0−0=0 para η1,η2solucións calquera. Para a segunda condición basta observar que R[∂]é un anel conmutativo, lembrando a relación de conmutatividade máis xenérica dada en (2.3) e que a derivada de calquera número real é cero. Así, RPr i=0ai∂iη=Pr i=0ai∂i(Rη) = Pr i=0ai∂i0=0. Os Exemplos 2.11 e 2.13 amosan explicitamente como os conceptos de D-módulo e Dsubmódulo pola esquerda aparecen de xeito natural ao estudar este tipo de sistemas desde un punto de vista alxébrico. Os D-módulos pola esquerda cumpren, en xeral, as mesmas propiedades fundamentais que os D-módulos sobre aneis conmutativos, exceptuando algún caso puntual, que será indicado cando sexa necesario. No resto de situacións empregaremos os ben coñecidos resultados básicos sobre módulos. Uns dos conceptos dos que tiraremos máis proveito no que segue son os de módulos pola esquerda finitamente xerados efinitamente presentados. As definicións que a continuación amosamos son inmediatas xeneralizacións das do caso máis convencional no que temos un anel conmutativo e un módulo pola esquerda e pola dereita (en ocasións chamado bimódulo). Para presentalas cómpre introducir antes o que é un homomorfismo de D-módulos pola esquerda, que será tamén de utilidade na seguinte sección. Definición 2.14. Sexan M,Ndous D-módulos pola esquerda, onde Dé un anel. Dicimos que unha aplicación f:M−→ Né un homomorfismo de D-módulos pola esquerda se satisfai as seguintes propiedades: (i)f(m1+m2) = f(m1) + f(m2),m1,m2∈M. (ii)f(dm) = d f (m),d∈D,m∈M. Para M,Ndous D-módulos pola dereita, a definición de homomorfismo de D-módulos pola dereita é análoga, cambiando a condición (ii)por (ii)0: (ii)0f(md) = f(m)d,d∈D,m∈M. Sobre homomorfismos de D-módulos pola esquerda cómpre recordar o Primeiro Teorema de Isomorfía, que pasamos a enunciar. A demostración pódese consultar, por exemplo, en [21]. Notemos que para o caso de homomorfismos de D-módulos pola dereita tense un resultado análogo, mais non o utilizaremos no posterior tratamento. Teorema 2.15 (Primeiro Teorema de Isomorfía). Sexa f :M−→ N un homomorfismo de D-módulos pola esquerda, con D un anel. Entón existe un isomorfismo de D-módulos pola esquerda φ:M/ker f−→ Imf dado por φ:m+ker f7−→ f(m).
12 2.2. O isomorfismo de Malgrange Definición 2.16. Sexa Dun anel e Mun D-módulo pola esquerda. Dicimos que Méfinitamente xerado se existe {a1,...,an}un conxunto finito xerador de M, isto é, se x∈M, entón x=d1a1+d2a2+··· +dnan, con d1,d2,..., dn∈D. Equivalentemente, se existe un homomorfismo de D-módulos pola esquerda sobrexectivo: π:D1×n−→ M (d1d2··· dn)−→ d1a1+d2a2+··· +dnan para algún n∈N. Nestas circunstancias, se o D-submódulo pola esquerda ker(π)de D1×n é tamén finitamente xerado, Mdise finitamente presentado. Dicimos entón que πé unha presentación libre e finita de M, e que kerπé o módulo de relacións de M. As definicións para un D-módulo pola dereita Mson análogas: basta cambiar x=d1a1+d2a2+· ·· +dnan por x=a1d1+a2d2+···+andn, e o homomorfismo de D-módulos pola esquerda sobrexectivo πpolo seguinte homomorfismo de D-módulos pola dereita sobrexectivo: π0:Dn×1−→ M (d1d2··· dn)T−→ a1d1+a2d2+··· +andn. Para rematar esta sección imos concretar a terminoloxía que utilizaremos no resto do traballo no que a sistemas lineares (e ás súas solucións) se refire. Definición 2.17. Sexa R∈Dq×punha matriz q×pcon entradas nun anel, D. Chamamos sistema linear ao conxunto de ecuacións homoxéneas que define a matriz R,Rη=0. Dado un D-módulo pola esquerda, F, dicimos que η∈Fp×1é unha solución do sistema linear se se cumpre a ecuación Rη=0. O conxunto de solucións do sistema linear: ker(R.):={η∈Fp×1|Rη=0}, adoita chamarse tamén comportamento. 2.2. O isomorfismo de Malgrange Unha vez exposto o noso marco de traballo estamos en condicións de presentar un dos resultados básicos da Análise Alxébrica, que establece que as propiedades do sistema linear Rη=0 poden ser estudadas mediante os D-módulos pola esquerda M=D1×p/(D1×qR) eF. Máis concretamente, comprobaremos que se pode definir un isomorfismo de grupos abelianos entre ker(R.)e hom(M,F). Así e todo, cómpre realizar unha serie de observacións antes de enunciar e demostrar o devandito resultado. En primeiro lugar notemos que se Dé un anel e p,q∈N, entón Dq×p, isto é, o conxunto de matrices q×pcon entradas en D, é un D-módulo pola esquerda coa suma de matrices e a multiplicación por elementos de Dhabituais. En particular, o conxunto de vectores fila ou columna de tamaño pou qcon entradas en Dé tamén un D-módulo pola esquerda. Sexa agora unha matriz R∈Dq×pe consideremos o sistema linear Rη=0. Tomemos unha solución η= (η1,...,ηp)T∈Fp×1, con Fun D-módulo pola esquerda. Como R∈Dq×p eη∈Fp×1, resulta que Rη∈Fq×1. Deste xeito, as consecuencias lineares do sistema Rη=0
2. Sistemas lineares e módulos pola esquerda finitamente presentados 13 (ou restricións lineares que satisfai a solución η) obtéñense multiplicando a matriz Rpola esquerda por matrices de qcolumnas. En efecto, se tomamos S∈Dr×q, con r∈N, resulta que (SR)η=S(Rη) = 0. Para caracterizar todas as consecuencias lineares do sistema habitualmente estúdase o conúcleo do homomorfismo de D-módulos pola esquerda .R:D1×q→D1×p, que leva a cada µ∈D1×qen .R(µ) = µR∈D1×p. O devandito conúcleo M=D1×p/Im(.R) = D1×p/(D1×qR)é tamén un D-módulo pola esquerda. Todo isto motiva a seguinte definición: Definición 2.18. Sexa Rη=0 un sistema linear, onde R∈Dq×p, e Fé un D-módulo pola esquerda. Definimos o módulo do sistema Rη=0 como o seguinte D-módulo pola esquerda: M:=D1×p/(D1×qR). Observación 2.19.Tamén nos referiremos ao módulo do sistema Rη=0, M=D1×p/(D1×qR), como o D-módulo pola esquerda finitamente presentado por R. Vexamos a continuación a razón de que empregemos esta denominación. Denotemos por Ri∗, con i=1,...,q, o vector fila de dimensión pque se obtén tomando a fila i-ésima de R, logo Ri∗∈D1×p,i=1,...,q. Construamos agora o D-submódulo pola esquerda de D1×pfinitamente xerado por R1∗,...,Rq∗: N={d1R1∗+··· +dqRq∗|d1,...,dq∈D}. Para cada µ= (µ1,...,µq)∈D1×q, recordando como se efectúa a multiplicación de matrices, resulta que µR=µ1R1∗+··· +µqRq∗. Así: N={µR|µ= (µ1,...,µq)∈D1×q}=Im(.R) = D1×qR. Consideremos agora a proxección canónica de D1×pno D-módulo cociente pola esquerda M=D1×p/(D1×pR): π:D1×p−→ M λ7−→ π(λ) = λ+D1×qR que a cada λ∈D1×plle asigna a súa clase segundo a relación de equivalencia: λ,γ∈D1×p,λ∼γ:⇐⇒ γ−λ∈D1×qR. A proxección canónica é un homomorfismo de D-módulos pola esquerda sobrexectivo, e kerπ=D1×qR. Daquela, como D1×pé un D-módulo libre de rango finito (e D1×qRé finitamente xerado) tense que πé unha presentación libre e finita de M, en base á Definición 2.16. Así, Mé un D-módulo pola esquerda finitamente presentado, e depende só da matriz R, o que xustifica a nomenclatura introducida. Coa discusión previa á anterior definición tratamos de explicar como aparece de xeito natural o módulo do sistema cando estudamos as relacións lineares que satisfán as compoñentes de calquera solución. Aínda así, a maior utilidade radica no resultado que a continuación presentamos e demostramos, baseándonos no exposto en [17]. Con todo, non nos limitamos a transcribir a propia demostración, pois tratamos de facela máis comprensible explicando en detalle cada paso. Posteriormente, no Exemplo 2.21 retomaremos o caso do oscilador harmónico simple para ilustrar as propiedades do módulo do sistema cun caso particular.
14 2.2. O isomorfismo de Malgrange Teorema 2.20 (Isomorfismo de Malgrange). Sexan D un anel, R ∈Dq×punha matriz q×p con entradas en D, M o módulo do sistema Rη=0eπ:D1×p→M a proxección canónica sobre M. Sexan tamén {f1,..., fp}a base canónica de D1×p, yj=π(fj),j=1,..., p, e F un D-módulo pola esquerda. Entón tense o seguinte isomorfismo de grupos abelianos: hom(M,F)−→ ker(R.) φ7−→ y= (φ(y1),...,φ(yp))T que denominaremos isomorfismo de Malgrange, e que establece unha correspondencia entre os elementos de hom(M,F)eker(R.). Demostración. Sexan {f1,..., fp},{y1,..., yp}como no enunciado do teorema, logo yj= π(fj) = fj+D1×qRpara cada j=1,..., p. Empregando a sobrexectividade da proxección canónica: m∈M,∃λ∈D1×p|π(λ) = m. (2.5) Podemos ademais expresar λen coordenadas da base canónica de D1×p,λ= (λ1,...,λp), isto é, λ1f1+... +λpfp, con λi∈D,i=1,..., p. Utilizaremos agora que πé un homomorfismo de D-módulos pola esquerda, logo tomando m∈Meλ∈D1×ptal que m=π(λ): m=π(λ) = πp X i=1 λifi(a) = p X i=1 π(λifi)(b) = p X i=1 λiπ(fi) = p X i=1 λiyi. (2.6) Na igualdade (a)empregamos que π(λ+µ) = π(λ) + π(µ), con λ,µ∈D1×p, e na (b), que π(dλ) = dπ(λ)∀d∈D, con λ∈D1×p, que son as propiedades que verifica todo homomorfismo de D-módulos pola esquerda. Xuntando (2.5) e (2.6) temos que {y1,..., yp}é un conxunto de xeradores de M. Doutra banda, recuperando a notación Ri∗∈D1×ppara os vectores fila de tamaño p que constitúen as filas de R, observamos que Ri∗=eiR, onde eié o vector i-ésimo da base canónica de D1×q. Como kerπ=D1×qR,π(Ri∗) = 0, con i=1,...,q. Así, π(Ri∗) = πp X j=1 Ri j fj(a) = p X j=1 π(Ri j fj)(b) = p X j=1 Ri jπ(fj) = p X j=1 Ri j yj=0, onde empregamos (a),(b)e que Ri∗=Pp i=1Ri j fj. Isto ocorre para cada i=1,...,q, de xeito que {y1,..., yp}é un conxunto de xeradores de Mcoas relacións Pq j=1Ri j yj=0. Definimos agora a seguinte aplicación: χ: ker(R.)−→ hom(M,F) η7−→ χ(η) = φη:M−→ F π(λ)7−→ φη(π(λ)) = λη =λ1η1+... +λpηp Tense que: (ker(R.),+) é un grupo abeliano, onde +é a operación suma definida no D-módulo pola esquerda F. Tamén (hom(M,F),+) é un grupo abeliano, onde a suma de homomorfismos defínese da forma usual.
2. Sistemas lineares e módulos pola esquerda finitamente presentados 15 A aplicación χestá ben definida. Chega con comprobar que χ(η)∈hom(M,F)para calquera χ∈ker(R.). Sexa entón η∈ker(R.)arbitrariamente fixado. En primeiro lugar imos ver que a imaxe de calquera m∈Mpor χ(η)non depende do representante escollido, isto é: m=π(λ) = π(λ0),λ,λ0∈D1×p=⇒φη(π(λ)) = φη(π(λ0)). Lembrando que πé a proxección canónica en M=D1×p/(D1×qR), chegamos a que π(λ) = π(λ0)⇐⇒ λ0−λ∈D1×qR. Entón podemos escribir, para algún ν∈D1×qR, λ0−λ=νR. Así pois, xa que η∈ker(R.), tense que Rη=0, e daquela: φη(π(λ)) = λη = (λ0−νR)η=λ0η−ν(Rη) = λ0η=φη(λ0), que era o que queriamos probar. Ademais, cómpre observar que λη ∈Fpor ser Fun D-módulo pola esquerda, e a notación empregada é compatible co produto de matrices (notemos que λeηson vectores fila e columna do mesmo tamaño). Vexamos agora que φη∈hom(M,F). Sexan m,m0∈M,π(λ) = m,π(λ0) = m0para λ,λ0∈D1×ped∈Descollidos arbitrariamente. Utilizando a definición de φηe que a proxección canónica é un homomorfismo de D-módulos pola esquerda: φη(π(λ) + π(λ0)) = φη(π(λ+λ0)) = (λ+λ0)η=λη +λ0η0=φη(π(λ)) + φη(π(λ0)), onde tamén se emprega a linearidade do produto de matrices. Tamén se ten que: φη(dπ(λ)) = φη(π(dλ)) = (dλ)η=d(λη) = dφη(λ). Xuntando todo, temos que φη∈hom(M,F), e daquela χestá ben definida. χé un homomorfismo de grupos abelianos. Sexan η1,η2∈ker(R.)calquera e comprobemos que χ(η1+η2) = χ(η1) + χ(η2). Dado que χ(η)∈hom(M,F)para cada η∈ker(R.), chega con ver que χ(η1+η2)(π(λ)) = χ(η1)(π(λ)) + χ(η2)(π(λ)), para un λ∈D1×parbitrario. Empregando de novo a linearidade do produto de matrices: χ(η1+η2)(π(λ)) = λ(η1+η2) = λη1+λη2=χ(η1)(π(λ)) + χ(η2)(π(λ)), logo χé, en efecto, un homomorfismo de grupos abelianos. χé inxectivo. Como xa vimos que χé un homomorfismo de grupos, basta comprobar que kerχ={0}, onde 0 é o elemento neutro de Fp×1. Supoñamos χ(η) = 0, de xeito que para calquera λ∈D1×p,χ(η)(π(λ)) = λη =0. Tomando λ=fjo elemento j-ésimo da base canónica de D1×p: χ(η)(π(fj)) = fjη=ηj=0⇐⇒ ηj=0, onde utilizamos que, traballando en coordenadas da base canónica, o vector fjten só un 1 na posición j, e por ser Fun D-módulo pola esquerda 1ζ=ζ, con ζ∈F. Como isto é certo para calquera j=1,..., p, tense que χ(η) = 0 implica η=0.
22 2.3. Aneis noetherianos ferramentas de cálculo, como as técnicas das bases de Gröbner, e tamén acudir a resultados da Álxebra Homolóxica. Ambos aspectos serán os principais obxectos do seguinte capítulo.
3. Resolucións libres e finitas e grupos abelianos das extensións Neste capítulo imos presentar en primeiro lugar as técnicas das bases de Gröbner para o caso máis convencional dun ideal nun anel de polinomios conmutativo e adaptalas ao caso dun submódulo dun D-módulo pola esquerda finitamente xerado, onde Dé unha álxebra de Ore. Comprobaremos que será necesario que nos restrinxamos a álxebras de Ore que satisfán certas propiedades. A continuación utilizaremos isto para presentar un algoritmo que calcule unha resolución libre e finita dun D-módulo pola esquerda finitamente xerado, e para iso precisaremos introducir algúns conceptos propios da Álxebra Homolóxica. Finalmente, presentaremos os grupos abelianos das extensións no noso marco de traballo de forma precisa. A relevancia deste concepto na Análise Alxébrica farase máis evidente no vindeiro capítulo, mais trataremos de amosar como emerxe de forma natural na teoría de Sistemas Matemáticos. 3.1. Bases de Gröbner Como xa adiantamos, o deseño de algoritmos que permiten implementar certas técnicas propias da Análise Alxébrica require, na maior parte dos casos, potentes ferramentas de cálculo. Máis concretamente, utilízanse técnicas de eliminación baseadas no cálculo de bases de Gröbner sobre álxebras de Ore non conmutativas. De cara a aplicalas, debemos restrinxirnos a álxebras de Ore sobre aneis de polinomios. Así pois, nesta sección consideraremos D=A〈∂1,...,∂n〉, con A=K[x1,..., xn], sendo en principio Kun corpo calquera. Posteriormente deberemos restrinxirnos a unha clase máis pequena destas álxebras de Ore. 3.1.1. Bases de Gröbner de ideais sobre aneis de polinomios Imos tratar de visualizar o que é unha base de Gröbner no caso máis convencional dun ideal no anel de polinomios K[x1,..., xn], que é o contexto no que se desenvolveu inicialmente a teoría das bases de Gröbner. Esta está moi ben documentada (por exemplo [5]é unha boa referencia), pero aquí realizaremos unha exposición moi breve que nos permita entender a relevancia e a utilidade do concepto. O cálculo de bases de Gröbner permite desenvolver métodos que xeneralizan os algoritmos de división nun anel de polinomios, K[x], e de eliminación gaussiana nun sistema de ecuacións lineares. Nos dous casos é fundamental poder ordenar os termos, aínda que habitualmente non se saliente este aspecto.
24 3.1. Bases de Gröbner No algoritmo de división en K[x]a orde vén dada polas potencias de x: xm+1>xm>···x2>x>1. Lembremos que o primeiro paso consiste en ordenar os termos do dividendo e do divisor de acordo con esta orde, de aí a súa importancia. No algoritmo de eliminación gaussiana as variables ordénanse da forma que resulte máis conveniente, x1>x2>···>xn. Empregando esta orde construímos a matriz asociada ao sistema linear, e o método consiste en realizar operacións elementais que a transformen nunha matriz triangular superior. En función da orde escollida eliminamos antes unhas ou outras variables. Atendendo á anterior discusión, está claro que é fundamental poder ordenar os termos de calquera polinomio f∈K[x1,..., xn]. Para iso definimos os seguintes conceptos. Definición 3.1. Unha orde monomial ≺en A=K[x1,..., xn]é unha relación no conxunto de monomios de A, Mon(A) = {xα1 1· · · xαn n|αi∈Z≥0,i=1,...,n}, cumprindo as seguintes propiedades: (i)A relación ≺é unha relación de orde en Mon(D). (ii)A relación ≺é compatible co produto de monomios, isto é, se m1≺m2, para m1,m2∈Mon(D), entón n·m1≺n·m2, para todo n∈Mon(D). (iii)O conxunto Mon(D)está ben ordenado coa relación de orde ≺(isto implica que a relación de orde ≺é total en Mon(D)). Nestas circunstancias, dado un polinomio f∈A, definimos o monomio líder de fcomo o maior monomio de fcon coeficiente non nulo, e denotámolo por lm(f). O coeficiente asociado será o coeficiente líder, lc(f), e finalmente, o termo líder é o produto lc(f)lm(f), e denotarémolo por lt(f). Por simplicidade denotamos un monomio xenérico xα1 1· · · xαn npor xα, con α∈Zn ≥0. Definamos entón que se entende por base de Gröbner dun ideal do anel de polinomios. Cómpre notar que hai varias definicións equivalentes de base de Gröbner (ver, por exemplo, [5]). Aquí tomamos a que nos resulta máis conveniente de cara á posterior xeneralización. Definición 3.2. Sexa ≺unha orde monomial en A=K[x1,..., xn]. Un subcunxunto finito de xeradores dun ideal I,G={g1,..., gt} ⊂ I\ {0}é unha base de Gröbner se para calquera f∈I, existe j∈ {1,..., t}tal que lt(gj)divide a lt(f), considerando a división usual de polinomios en varias variables. As bases de Gröbner cumpren unha serie de propiedades que as fan moi interesantes. Por exemplo, para calquera f∈K[x1,..., xn]tense que f∈Ise e só se o resto da división de fpolos polinomios de Gé cero. Isto é consecuencia de que o resto da división de calquera polinomio f∈K[x1,..., xn]polos polinomios de Gé único, algo que non sempre ocorre no caso da división de polinomios en varias variables. Así e todo, o máis relevante das bases de Gröbner é que, para calquera orde monomial, poden ser calculadas, empregando para iso o algoritmo de Buchberger. Este último pódese consultar en [5].
3. Resolucións libres e finitas e grupos abelianos das extensións 25 A última propiedade interesante das bases de Gröbner no caso convencional que queremos destacar coñécese como teorema de eliminación. Para enuncialo precisamos introducir antes unha orde monomial moi coñecida: a orde lexicográfica. Definición 3.3. Sexan xαexβdous monomios no anel de polinomios A=K[x1,..., xn]. Dicimos que xα>lex xβse a primeira compoñente non nula do vector α−β∈Zn ≥0é positiva. En particular tense que: x1>lex ···>lex xn. Observación 3.4.Notemos que a orde lexicográfica que vimos de introducir na anterior definición está inducida polo nome que reciben as distintas variables do anel de polinomios A=K[x1,..., xn], de aí que x1>lex · · · >lex xn. Con todo, calquera orde total no conxunto das variables {x1,..., xn}define unha orde lexicográfica: dados dous monomios xαexβ basta ver o signo da primeira compoñente non nula do vector α−β∈Zn ≥0seguindo a orde nas variables {x1,..., xn}. Deste xeito, hai n! ordes lexicográficas distintas no conxunto dos monomios do anel de polinomios A=K[x1,...., xn]: unha por cada maneira de ordenar as variables x1,..., xn. A comprobación de que se trata, en efecto, dunha orde monomial, podémola atopar en [5]. Con isto xa podemos enunciar o teorema de eliminación, que é o resultado da teoría de bases de Gröbner do que tiraremos máis proveito. A proba pode consultarse tamén en [5]. Teorema 3.5 (Teorema de eliminación). Sexa I ⊂K[x1,..., xn]un ideal non nulo, e G unha base de Gröbner de I respecto da orde lexicográfica con x1>lex ···>lex xn. Daquela, para cada 0≤l≤n, o conxunto: Gl=G∩K[xl+1,..., xn] é unha base de Gröbner do ideal de eliminación l-ésimo Il, isto é, o ideal I ∩K[xl+1,..., xn]. 3.1.2. Bases de Gröbner de ideais sobre álxebras de Ore Pasamos agora a realizar a xeneralización a álxebras de Ore sobre o anel de polinomios A=K[x1,..., xn]. Con todo, de cara a definir as bases de Gröbner neste contexto precisamos restrinxirnos a unha clase máis pequena das álxebras de Ore. Así, na Definición 2.7 imos introducir as seguintes condicións adicionais sobre os endomorfismos σie as derivacións δi,i=1,...,m: σi(xj) = ai j xj+bi j,δi(xj) = ci j,i=1,..., m,j=1,...,n,(3.1) onde ai j ∈K\ {0},bi j ∈k,ci j ∈A. Esixiremos ademais que en cada ci j o termo maior u(de acordo cunha orde monomial ≺admisible, que deseguido definimos) cumpra u≺xj∂i. Baixo estas circunstancias, a álxebra de Ore Dé un anel de polinomios resoluble, como en [11] se demostra. Esencialmente, este é un anel de polinomios non conmutativos onde as relacións de conmutación compórtanse ben coa orde monomial escollida. Non imos definir con precisión este concepto, basta ter en conta que no contexto no que imos traballar poderemos aplicar os resultados dispoñibles sobre bases de Gröbner para a anterior clase de aneis de polinomios, que se poden consultar en [11]. A exposición que nós faremos baséase na realizada en [13]. Nesta as condicións sobre os endomorfismos e as derivacións son lixeiramente máis restritivas (tamén máis simples) que as de (3.1), pero son facilmente xeneralizables ás que nós presentamos.
26 3.1. Bases de Gröbner Deste xeito, no que segue, Ddenotará a álxebra de Ore D=A〈∂1,...,∂m〉, onde A= K[x1,..., xn], e supoñemos que se satisfán as condicións de (3.1). Notemos que calquera polinomio en Dpódese escribir como f=Pr i=0cimi, onde ci∈Kson os coeficientes de f emi=xαi1 1· · · xαin n∂βi1 1· · · ∂βim m=xαi∂βison os monomios de f, con αi∈Zn ≥0eβi∈Zm ≥0. Neste sentido é esencial a relación de conmutación da Definición 2.7 de ∂i,i=1,...,m, cos elementos de A, pois é a que permite que os monomios se poidan escribir como xα∂β. O primeiro que imos facer é introducir a noción de cuasi-divisibilidade de termos, xunto co concepto de orde monomial admisible. A continuación amosamos tamén a relación que hai entre ambos. Definición 3.6. Sexan c1m1ec2m2dous termos en D, isto é, para i=1,2, ci∈Kemi= xαi∂βi, con αi∈Zn ≥0,βi∈Zm ≥0. Dicimos que c1m1cuasi-divide ac2m2se c1divide a c2no corpo K,α1≤α2eβ1≤β2, isto é, α1i≤α2ieβ1i≤β2ipara cada i=1,...,n. Definición 3.7. Unha orde monomial admisible ≺é unha relación de orde total no conxunto de monomios de D, isto é, Mon(D) = {xα∂β|α∈Zn ≥0,β∈Zm ≥0}, que satisfai as seguintes condicións: (i)Para cada m∈Mon(D), 1 ≺m, sendo 1 a unidade do anel. (ii)Sexan xα∂βexa∂bdous monomios en D, onde α,a∈Zn ≥0eβ,b∈Zm ≥0. Se xα∂β≺xa∂b, entón xα+u∂β+v≺xa+u∂b+v, e isto para cada u,v∈Zn ≥0. Unha orde monomial admisible é unha relación de orde en Mon(D)que é compatible coa cuasi-divisibilidade. Pódese comprobar que baixo estas circunstancias Mon(D)é un conxunto ben ordenado. En [13]demóstrase para o caso que estamos a tratar, mentres que en [11] faise para o caso máis xeral dos aneis de polinomios resolubles. As definicións de monomio, coeficiente e termo líder xeneralízanse trivialmente unha vez temos definida unha orde monomial admisible. De cara a definir unha orde en D, como calquera polinomio en Dé da forma f=Pr i=0cimi,ci∈K,mi=xαi∂βi, podemos tratar as variables x1,..., xn,∂1,...,∂ncomo 2nvariables dun anel de polinomios convencional, denotándoas por y1,..., yn,yn+1,..., y2n. Neste contexto podemos considerar a orde lexicográfica que induce o nome das anteriores variables: y1>lex · · · >lex yn>lex yn+1>lex · · · >lex y2n, isto é, x1>lex>···>lex xn>lex ∂1>lex ···>lex ∂n. Cómpre lembrar aquí que, segundo o exposto na Observación 3.4, só necesitamos unha orde no conxunto das variables do anel de polinomios para poder definir unha orde lexicográfica no propio anel. En [11]próbase que a orde que vimos de introducir é admisible en calquera anel de polinomios resolubles e, daquela, tamén na álxebra de Ore D. Visto isto, xa podemos definir unha base de Gröbner dun ideal Ipola esquerda non nulo neste contexto máis xeral. Definición 3.8. Sexa D=A〈∂1,...,∂m〉unha álxebra de Ore sobre o anel de polinomios K[x1,..., xn]nas condicións (3.1), e ≺unha orde monomial admisible. Sexa tamén I⊂Aun ideal pola esquerda non nulo. Un subcunxunto finito de xeradores de I,G={g1,..., gt}, é unha base de Gröbner se para calquera f∈I, existe j∈ {1,..., t}tal que lt(gj)cuasi-divide a lt(f). Como vemos, a definición é moi similar á do caso convencional unha vez que concreta-
3. Resolucións libres e finitas e grupos abelianos das extensións 27 mos que é unha orde monomial admisible. O mesmo ocorre para as propiedades das bases de Gröbner. Imos presentar entón o teorema que enuncia o algoritmo de Buchberger neste caso máis xeral tal e como se expón en [4]. A proba pódese atopar en [11]ou [13]. Teorema 3.9. Sexa D =A〈∂1,...,∂m〉, con A =K[x1,..., xn], unha álxebra de Ore nas condicións (3.1), supoñendo ≺unha orde monomial admisible. Sexa tamén I un ideal de D pola esquerda xerado por un conxunto finito de polinomios. Entón unha versión non conmutativa do algoritmo de Buchberger remata e calcula unha base de Gröbner de I para esta orde monomial admisible. Finalmente enunciamos o teorema de eliminación para este contexto máis xeral, pois a súa xeneralización ao caso de bases de Gröbner de módulos sobre álxebras de Ore é o resultado que se atopa detrás de case todos os algoritmos dos que falaremos no resto do traballo. A versión que aquí proporcionamos pódese atopar en [13]. Teorema 3.10. Sexa D =A〈∂1,...,∂m〉, con A =K[x1,..., xn], unha álxebra de Ore nas condicións (3.1), e I un ideal pola esquerda de D. Tomemos un subconxunto de variables de D, {xi1,..., xir,∂j1,...,∂js}⊂{x1,..., xn,∂1,...,∂m}, e≺unha orde monomial admisible tal que: {xi1,..., xir,∂j1,...,∂js} ≺ {x1,..., xn,∂1,...,∂m}\{xi1,..., xir,∂j1,...,∂js}. Se G é unha base de Gröbner de I respecto de ≺, entón G ∩A[xi1,..., xir]〈∂j1,...,∂js〉é unha base de Gröbner do ideal I ∩A[xi1,..., xir]〈∂j1,...,∂js〉. 3.1.3. Bases de Gröbner de módulos sobre álxebras de Ore Para rematar esta sección realizaremos unha serie de comentarios sobre como a teoría exposta sobre bases de Gröbner pode ser estendida ao caso de módulos sobre álxebras de Ore, que é o contexto no que se vai aplicar. A maior parte do traballo está feito no anterior apartado, pois a xeneralización de aneis de polinomios a módulos sobre aneis de polinomios é case inmediata, como se pode comprobar en [6]. Deste xeito, unha vez que se estende a noción de orde monomial a módulos libres sobre o anel de polinomios K[x1,..., xn], o resto de resultados derívanse case identicamente aos casos tratado nos apartados previos. Así e todo, como xa indicamos, a nós interésanos poder calcular bases de Gröbner de submódulos de D1×p, onde D=A〈∂1,...,∂m〉é unha álxebra de Ore sobre o anel de polinomios K[x1,..., xn]nas condicións (3.1). Imos limitarnos entón a definir a orde monomial nestas circunstancias e proporcionar unha serie de referencias onde se pode consultar a posterior (e inmediata) xeneralización. Sexa {f1,..., fp}a base canónica de D1×p. Un monomio en D1×pé un elemento da forma xα1 1···xαn n∂β1 1···∂βm mfi=xα∂βfipara algún i=1,..., p, con α∈Zn ≥0eβ∈Zm ≥0, isto é, o produto dun monomio na álxebra de Ore Dpor un vector da base canónica de D1×p. De novo, todo elemento f∈D1×ppódese escribir como f=Pr i=0cimi, onde ci∈Kemison monomios en D1×p.
28 3.2. Conceptos básicos de Álxebra Homolóxica. Resolucións libres e finitas O seguinte é introducir a relación de cuasi-divisibilidade en D1×p. Consideremos dous termos en D1×p, que podemos escribir como c1xα1∂β1fi1ec2xα2∂β2fi2. Dicimos que c1xα1∂β1fi1 cuasi-divide ac2xα2∂β2fi2se i1=i2ec1xα1∂β1cuasi-divide a c2xα2∂β2como monomios na álxebra de Ore D. Definición 3.11. Sexa ≺unha orde monomial admisible no conxunto de monomios da álxebra de Ore D=A〈∂1,...,∂m〉, con A=K[x1,..., xn]. Unha orde monomial admisible no módulo D1×p, denotada por ≺m, é unha relación de orde total no conxunto de monomios de D1×p, isto é, Mon(D1×p) = {xα∂βfi|α∈Zn ≥0,β∈Zm ≥0,i=1,.., p}que é compatible coa estrutura de D-módulo pola esquerda de D1×pe coa orde monomial ≺en D, é dicir, cúmprense as seguintes condicións: (i)Sexan xα∂βfiexa∂bfjmonomios, con α,a∈Zn ≥0,β,b∈Zm ≥0, e i,j∈ {1,..., p}. Se xα∂βfi≺mxa∂bfjentón xα+u∂β+vfi≺mxa+u∂b+vfj, e isto para cada u,v∈Zn ≥0. (ii)Se xα∂β≺xα∂β, con α,a∈Zn ≥0eβ,b∈Zm ≥0, entón xα∂βfi≺mxα∂βfi, e isto para i=1,..., p. Hai dous xeitos naturais de estender a orde ≺aD1×p: Aorde TOP (do inglés term over position) ordena primeiro empregando a orde monomial admisible ≺, e despois utiliza a posición do vector da base canónica {f1,..., fp} asociado. Así, dados xα∂βfiexa∂bfj, con α,a∈Zn ≥0,β,b∈Zm ≥0, e i,j∈ {1,..., p}: xα∂βfi≺TOP xa∂bfj:⇐⇒ xα∂β≺xa∂bou xα∂β=xa∂bei<j. Aorde POT (do inglés position over term) ordena primeiro empregando a posición do vector da base canónica asociado, e despois utiliza a orde monomial admisible ≺. Así, dados xα∂βfiexa∂bfj, con α,a∈Zn ≥0,β,b∈Zm ≥0, e i,j∈ {1,..., p}: xα∂βfi≺POT xa∂bfj:⇐⇒ i<jou i=jexα∂β≺xa∂b. Unha vez que se ten unha orde monomial admisible no conxunto de monomios de D1×p, poderiamos presentar o desenvolvemento da anterior sección para definir as bases de Gröbner e enunciar un resultado de finalización dunha versión modificada do algoritmo de Buchberger, seguindo a exposición de [6]para o caso de módulos sobre aneis de polinomios. Non imos realizar esta xeneralización, por exceder os obxectivos deste traballo. Con todo, consideramos que as nocións expostas amosan ben como se adaptan as técnicas das bases de Gröbner aos distintos casos, e de feito existen algoritmos implementados en sistemas de álxebra computacional como SINGULAR,Maple ou Mathematica que permiten realizar os cálculos nestes contextos máis complicados. 3.2. Conceptos básicos de Álxebra Homolóxica. Resolucións libres e finitas Nesta sección presentamos unha serie de conceptos propios da Álxebra Homolóxica, que nos serán de gran utilidade no que segue. Máis concretamente, empregarémolos para
3. Resolucións libres e finitas e grupos abelianos das extensións 29 comprender a relación que existe entre as propiedades (desde o punto de vista da Teoría do Control) dun sistema linear Rη=0, con R∈Dp×qunha matriz con entradas nunha álxebra de Ore D, e o módulo do sistema M=D1×p/(D1×qR). Tamén se atopan detrás da maior parte dos algoritmos existentes na Análise Alxébrica, que tratan de comprobar se un determinado módulo cumpre ou non as devanditas propiedades. A exposición que aquí amosamos está baseada nas realizadas en [3,17,18], pois en calquera destas referencias resúmense (de forma moi concisa) as nocións que nos resultarán de maior interese. Porén, tratamos tamén de explicar todo isto de forma clara, profundizando naqueles conceptos que poidan resultar máis confusos. Unha exposición moito máis detallada pódese atopar, por exemplo, en [21]. Definición 3.12. (1) Un complexo de D-módulos pola esquerda (pola dereita) é unha sucesión de homomorfismos de D-módulos pola esquerda (pola dereita) di:Mi−→ Mi−1 entre D-módulos pola esquerda (pola dereita) cumprindo Im(di+1)⊂ker(di)(equivalentemente, di◦di+1=0) para cada i∈Z. Denotámolo por: M•... di+2 −→ Mi+1 di+1 −→ Mi di −→ Mi−1 di−1 −→ ... . (3.2) Un cocomplexo de D-módulos pola esquerda (pola dereita) é unha sucesión de homomorfismos de D-módulos pola esquerda (pola dereita) di:Mi−1−→ Mientre Dmódulos pola esquerda (pola dereita) cumprindo Im(di−1)⊂ker(di)para cada i∈Z. Denotámolo por: M•... di+2 ←− Mi+1 di+1 ←− Mi di ←− Mi−1 di−1 ←− ... . (3.3) (2) Dado o complexo de D-módulos pola esquerda (pola dereita) M•de (3.2), definimos odefecto de exactitude en Miou o i-ésimo módulo de homoloxía como o D-módulo pola esquerda (pola dereita) Hi(M•) = ker(di)/Im(di+1). De forma análoga, dado o cocomplexo de D-módulos pola esquerda (pola dereita) M• de (3.3), definimos o defecto de exactitude en Miou o i-ésimo módulo de cohomoloxía como o D-módulo pola esquerda (pola dereita) Hi(M•) = ker(di+1)/Im(di). (3) O complexo M•de (3.2) dise exacto en Mise Hi(M•) = 0, isto é, se ker(di) = Im (di+1). Se isto ocorre para cada i∈Z, entón chámase unha sucesión exacta. No caso dun cocomplexo M•, dise unha sucesión exacta se Hi(M•) = 0, isto é, se ker(di) = Im(di−1). (4) Unha sucesión exacta curta é unha sucesión exacta da forma: 0−→ M0f −→ Mg −→ M00 −→ 0, isto é, fé inxectivo, gé sobrexectivo e Im(f) = ker g. (5) Unha resolución libre e finita do D-módulo pola esquerda Mé unha sucesión exacta da forma: ... .R4 −→ D1×r3.R3 −→ D1×r2.R2 −→ D1×r1.R1 −→ D1×r0π −→ M−→ 0, (3.4)
30 3.2. Conceptos básicos de Álxebra Homolóxica. Resolucións libres e finitas onde Ri∈Dri×ri−1, .Ri:D1×ri−→ D1×ri−1é o homomorfismo de D-módulos pola esquerda dado por (.Ri)(λ) = λRi∈D1×ri−1,λ∈D1×ri,i∈N, e πé un homomorfismo de D-módulos pola esquerda sobrexectivo. Analogamente, unha resolución libre e finita do D-módulo pola dereita Né unha sucesión exacta da forma: ... S4. −→ Ds3×1S3. −→ Ds2×1S2. −→ Ds1×1S1. −→ Ds0×1κ −→ N−→ 0, (3.5) onde Si∈Dsi−1×si,Si.: Dsi×1−→ Dsi−1×1é o homomorfismo de D-módulos pola dereita dado por (Si.)(µ) = Siµ∈Dsi−1×1,µ∈Dsi×1,i∈N, e κé un homomorfismo de Dmódulos pola dereita sobrexectivo. Se en (3.4) e (3.5) os D-módulos libres non son de rango finito falaremos, simplemente, de resolucións libres. Se os D-módulos pola esquerda non son libres, pero si proxectivos, falaremos de resolución proxectiva. Nas definicións de complexo e cocomplexo de D-módulos pola esquerda o índice ichámase grao. Notemos que un complexo de D-módulos pola esquerda diminúe o grao do módulo de iai−1, e un cocomplexo auméntao de i−1 a i. Observación 3.13.É fácil comprobar que as aplicacións definidas en (3.4) son homomorfismos de D-módulos pola esquerda. En efecto, tomando λ1,λ2∈D1×riarbitrarios, temos que (.Ri)(λ1+λ2)=(λ1+λ2)Ri=λ1Ri+λ2Ri= (.Ri)(λ1)+(.Ri)(λ2), e para calquera d∈D, (.Ri)(dλ) = (dλ)Ri=d(λRi) = d(.Ri)(λ). Cun razoamento análogo compróbase tamén que as aplicacións Si. definidas en (3.5) son homomorfismos de D-módulos pola dereita. Máis adiante aparecerán as aplicacións Ri.: Fri−1×1−→ Fri×1, que a cada ζ∈Fri−1lle fan corresponder Riζ∈Fri×1, e onde Fé un D-módulo pola esquerda. A condición (Ri.)(λ1+ λ2)=(Ri.)(λ1) + (Ri.)(λ2)satisfaise claramente para calquera λ1,λ2∈Fri−1×1. Así e todo, tomando d∈Deλ∈Fri−1×1calquera, debemos observar que en xeral (Ri.)(dλ) = Ri(dλ) é distinto de (dRi)λ=d(Ri.)(λ), pois Dnon ten por que ser un anel conmutativo. No caso de que o sexa si que se ten a condición (Ri.)(dλ) = d(Ri.)(λ)e así Ri. é un homomorfismo de D-módulos pola esquerda. Con todo, as aplicacións Ri. si que son homomorfismos de grupos abelianos. Nestas circustancias a definición de cocomplexo dada en (3.3) xeneralízase facilmente ao caso no que os homomorfismos dison homomorfismos de grupos (notemos que os módulos Miteñen, en particular, estrutura de grupos abelianos). Deste xeito, falaremos de cocomplexos de grupos abelianos cando sexa conveniente. Imos probar agora un par de resultados que nos van permitir entender a relación que existe entre os conceptos que vimos de presentar e a teoría exposta nas anteriores seccións. A Proposición 3.14 indica simplemente que implicacións ten que un D-módulo pola esquerda sexa finitamente presentado. Doutra banda, a Proposición 3.15 constitúe o resultado máis importante desta sección, pois dinos que, baixo condicións moi xerais, todo D-módulo pola esquerda finitamente xerado admite unha resolución libre e finita. Proposición 3.14. Sexa D un anel, M un D-módulo pola esquerda e π:D1×r0−→ M unha presentación libre e finita de M, con r0∈N. Entón tense a seguinte sucesión exacta curta: 0−→ ker(π)i −→ D1×r0π −→ M−→ 0,
3. Resolucións libres e finitas e grupos abelianos das extensións 31 onde i: ker(π)−→ D1×r0é a inclusión do D-módulo pola esquerda ker(π)en D1×r0. Demostración. En efecto, xa que π:D1×r0−→ Mé unha presentación libre e finita de M, tense que πé sobrexectiva. Doutra banda, a inclusión i: ker(π)−→ D1×r0é trivialmente inxectiva, e tamén está claro que Im(i) = ker(π). Cúmprense entón as condicións para que o complexo de D-módulos pola esquerda do enunciado sexa unha sucesión exacta curta. Proposición 3.15. Sexa D un anel noetheriano pola esquerda, e M un D-módulo pola esquerda finitamente xerado. Entón M admite unha resolución libre e finita. Demostración. En primeiro lugar observemos que por ser Dun anel noetheriano pola esquerda e Mun D-módulo pola esquerda finitamente xerado, en virtude do Corolario 2.26, Mé tamén finitamente presentado, e daquela temos a seguinte sucesión exacta curta: 0−→ ker(π)i −→ D1×r0π −→ M−→ 0, como indicamos na Proposición 3.14. Como ker(π)é, de novo, un D-submódulo pola esquerda de D1×r0, temos que é finitamente xerado, e daquela existe un homomorfismo sobrexectivo de D-módulos pola esquerda, κ:D1×r1−→ ker(π), para algún r1∈N. Definamos .R1=i◦κ:D1×r1−→ D1×r0. A notación é axeitada, xa que se trata dun homomorfismo de D-módulos pola esquerda entre dous módulos libres de rango finito, de xeito que podemos atopar R1∈Dr1×r0tal que i◦κ(d1,...,dr1)=(d1,...,dr1)R1, operando coa multiplicación de matrices habitual. Se tomamos as bases canónicas en D1×r1eD1×r0a matriz R1constrúese colocando os xeradores de kerπpor filas, e entón kerπ=D1×r1R1. Temos entón a seguinte sucesión exacta: 0−→ ker(.R1)i1 −→ D1×r1.R1 −→ D1×r0π −→ M−→ 0. Neste caso i1é a inclusión de ker(.R1)en D1×r1. A anterior é, en efecto, unha sucesión exacta, xa que Im(.R1) = Im(i◦κ) = i(Im(κ)) = i(kerπ) = kerπ, onde empregamos que κ:D1×r1−→ ker(π)é sobrexectivo, e Im(i1) = ker(.R1)claramente. Repetindo este proceso atopamos unha resolución libre e finita de M: ... .R4 −→ D1×r3.R3 −→ D1×r2.R2 −→ D1×r1.R1 −→ D1×r0π −→ M−→ 0, de xeito que Im(.Ri+1) = D1×ri+1Ri+1=ker(.Ri),i∈N. En virtude da Proposición 3.15, de agora en adiante asumiremos que todo D-módulo pola esquerda finitamente presentado admite unha resolución libre e finita. Vistos estes resultados, cómpre introducir os módulos de sicixia dun D-módulo pola esquerda que admite unha resolución libre e finita, pois agora sabemos que esta vai ser a situación na que nos atopemos. A utilidade da seguinte definición para nós non vai máis alá dunha simplificación da notación, pero é relevante no marco da Álxebra Homolóxica. Definición 3.16. Sexa Dun anel e Mun D-módulo pola esquerda que admite a seguinte resolución libre e finita: ... .R4 −→ D1×r3.R3 −→ D1×r2.R2 −→ D1×r1.R1 −→ D1×r0π −→ M−→ 0.
38 3.3. Os grupos abelianos das extensións na Análise Alxébrica Observación 3.27.Imos utilizar o anterior resultado para expresar o cocomplexo da Definición 3.22 de forma notablemente máis simple. Partimos entón do devandito cocomplexo: ... hom(D1×r2,F)hom(D1×r1,F)hom(D1×r0,F)0. (.R3)∗(.R2)∗(.R1)∗ Pretendemos utilizar os isomorfismos θi: hom(D1×ri,F)≃Fri×1para cambiar cada grupo abeliano hom(D1×ri,F)por Fri×1, e así ter un novo cocomplexo de grupos abelianos: ... Fr2×1Fr1×1Fr0×10. g3g2g1 Os homomorfismos de grupos abelianos gi:Fri−1×1−→ Fri×1débense definir de maneira que respecten os isomorfismos θi: hom(D1×ri,F)≃Fri×1. Dito doutra maneira, o seguinte diagrama debe ser conmutativo: hom(D1×ri,F)hom(D1×ri−1,F) Fri×1Fri−1×1 θi (.Ri)∗ gi θ−1 i−1 Así pois, tomamos ζ∈Fri−1×1calquera e esiximos que se cumpra a anterior condición, isto é, gi(ζ) = θi◦(.Ri)∗◦θ−1 i−1(ζ). Notemos que θ−1 i−1(ζ)∈hom(D1×ri−1,F), e empregando a definición de (.Ri)∗,(.Ri)∗(θ−1 i−1(ζ)) = θ−1 i−1(ζ)◦.Ri∈hom(D1×ri,F). Agora ben, utilizando isto último e a definición do isomorfismo θidada en (3.11): θi◦(.Ri)∗◦θ−1 i−1(ζ) = θiθ−1 i−1(ζ)◦.Ri=θ−1 i−1(ζ)(f1Ri),...,θ−1 i−1(ζ)(friRi)T. (3.12) Introduzamos agora o isomorfismo inverso θ−1 i−1, θ−1 i−1:Fri−1×1−→ hom(D1×ri−1,F) ζ7−→ θ−1 i−1(ζ) = ψζ:D1×ri−1−→ F λ7−→ ψζ(λ)) = λζ =λ1ζ1+... +λri−1ζri−1. A comprobación de que θ−1 i−1é, en efecto, a aplicación inversa de θi−1é totalmente análoga á que realizamos na demostración do Teorema 2.20 para o isomorfismo de Malgrange. Así pois, para calquera j∈ {1,..., ri}, como Ri∈Dri×ri−1tense que fjRi∈D1×ri−1, logo θ−1 i−1(ζ)(fjRi) = (fjRi)ζ=Rij∗ζ. Na derradeira igualdade empregamos que {f1,..., fri}é a base canónica de D1×ri, e daquela ao multiplicar pola esquerda a matriz Ri∈Dri×ri−1por fjobtemos a fila jde Ri, que denotamos por Rij∗. Finalmente, empregando isto último na ecuación (3.12) e utilizando o produto de matrices usual podemos escribir: θi◦(.Ri)∗◦θ−1 i−1(ζ) = Ri1∗ζ,...,Riri∗ζ=Riζ= (Ri.)ζ.
3. Resolucións libres e finitas e grupos abelianos das extensións 39 Como ζ∈Fri−1×1foi escollido arbitrariamente, concluímos que gi=Ri., sendo Ri. o homomorfismo de grupos que leva cada ζ∈Fri−1×1en Riζ∈Fri×1. Así podemos empregar o seguinte cocomplexo asociado á resolución libre e finita de Mdada en (3.6): ... R4. ←− Fr3×1R3. ←− Fr2×1R2. ←− Fr1×1R1. ←− Fr0×1←− 0. (3.13) Notemos que aparece aquí o cocomplexo (3.7) que saía de forma natural ao estudar as condicións de compatibilidade do sistema R1η=ζ, para ζ∈Fr0×1fixado. Todo isto permite simplificar tamén a definición dos grupos abelianos exti D(M,F): §ext0 D(M,F) = ker(R1.) exti D(M,F) = ker(Ri+1.)/Im(Ri.),i≥1. Para o caso dun D-módulo pola dereita Mpodemos demostrar un resultado similar, e simplificar tamén a definición dos grupos abelianos exti D(M,F): §ext0 D(M,F) = ker(.S1) exti D(M,F) = ker(.Si+1)/Im(.Si),i≥1. Como exemplo de aplicación da teoría exposta imos traballar cun caso moi sinxelo: o do D-módulo pola esquerda finitamente presentado polo operador gradiente en R3, onde Dé o anel de operadores diferenciais R[∂1,∂2,∂3]. Exemplo 3.28. Sexa D=R[∂1,∂2,∂3], e consideremos o sistema linear Rη=0, onde Ré o operador diverxencia en R3,R= (∂1∂2∂3). No vindeiro capítulo veremos que os grupos abelianos das extensións relevantes de cara a caracterizar as propiedades do D-módulo pola esquerda finitamente presentado por Rson exti D(N,D), onde Né, neste caso particular, o D-módulo pola esquerda N=D/(D1×3RT). Calcularemos entón, a modo de exemplo, os grupos abelianos exti D(N,D)para 0 ≤i≤3. En primeiro lugar notemos que RT= (∂1∂2∂3)T, que coincide coa matriz R1do sistema do Exemplo 3.20. Sabemos entón que a seguinte é unha resolución libre e finita para N: 0−→ D.R3 −→ D1×3.R2 −→ D1×3.R1 −→ Dκ −→ N−→ 0, con R2eR3as matrices calculadas no Exemplo 3.20: R2= 0−∂3∂2 ∂30−∂1 −∂2∂10 ∈D3×3,R3=RT 1∈D1×3. Os D-módulos exti D(N,D)son entón os defectos de exactitude do seguinte cocomplexo de grupos abelianos: 0←− DR3. ←− D3×1R2. ←− D3×1. Notemos que neste caso particular o anterior é tamén un cocomplexo de D-módulos pola dereita, pois os homomorfimos Ri. son homomorfismos de D-módulos pola dereita para i=1,2,3. Daquela os grupos abelianos exti D(N,D)pódense dotar de estrutura de D-módulo pola dereita. Pasamos a calcular os grupos abelianos exti D(N,D)aplicando a definición:
40 3.3. Os grupos abelianos das extensións na Análise Alxébrica ext0 D(N,D) = ker(R1.). Notemos que R1.(d) = R1d= (∂1d,∂2d,∂3d)T∈D3×1, e isto para calquera d∈D. Xa que Dé, neste caso, un anel conmutativo, resulta que R1.(d) = (d∂1,d∂2,d∂3)∈D3×1. Pero, para i=1,2,3, por ser Dun dominio e ∂i6=0, obtemos que d∂i=0 se e só se d=0. Entón ker(R1.) = 0=ext0 D(N,D). ext1 D(N,D) = ker(R2.)/Im(R1.). Para λ∈D3×1calquera, resulta que λ∈ker(R2.)se e só se R2λ=0. Operando co produto de matrices usual, R2λ=0∈D3×1equivale a (R2λ)T=λTRT 2=0∈D1×3. Pero RT 2=−R2, logo R2λ=0∈D3×1é equivalente a λTR2= (.R2)(λT) = 0∈D1×3. Por definición, a resolución libre e finita de Né exacta en D1×3, de maneira que ker(.R2) = DR3. Finalmente, xa que λ∈ker(R2.)se e só se λT∈ker(.R2), concluímos que ker(R2.) = RT 3D=R1D=Im(R1.). Entón ext1 D(N,D) = 0. ext2 D(N,D) = ker(R3.)/Im(R2.). Razoando como no caso anterior, (R3.)(λ) = 0 equivale a (.RT 3)(λT) = (.R1)(λT) = 0. Por outro lado, ker(.R1) = D1×3R2, onde empregamos a exactitude en D1×3da resolución libre e finita de N. Deste xeito ker(R3.) = RT 2D1×3=−R2D1×3=R2D1×3=Im(R2.), de xeito que ext2 D(N,D) = 0. Debemos notar que na penúltima igualdade utilizamos que −R2D1×3é un D-submódulo pola esquerda de D1×3, e como −1∈D,(−1)(−1) = 1, podemos multiplicar por (−1)pola esquerda e obter o mesmo submódulo. ext3 D(N,D) = ker(D→0)/Im(R3.). Xa que o rango de R3. é o propio anel D, Im(R3.) = R3D3×1=D1×3RT 3=D1×3R1. Doutra banda, o núcleo do homomorfismo D−→ 0 é necesariamente D. Así, concluímos que ext3 D(N,D) = D/(D1×3R1) = N. Finalmente, imos utilizar o cocomplexo de grupos abelianos asociado á resolución libre e finita de Mpara o D-módulo pola esquerda F=C∞(R): 0←− FR3. ←− F3×1R2. ←− F3×1. Recordando que R1,R2eR3representan, respectivamente, os operadores gradiente, rotacional e diverxencia en R3, temos aquí a coñecida sucesión gradiente-rotacional-diverxencia, que é outra forma de expresar o tamén coñecido Lema de Poincaré. Disto obtemos a seguinte importante información: Por R2.◦R1.=0 temos que o rotacional de calquera campo vectorial que é o gradiente dun campo escalar é cero. Por R3.◦R2.=0 temos que a diverxencia de calquera campo vectorial que é o rotacional doutro campo vectorial é cero. Notemos que en ambos casos estamos utilizando simplemente que se trata dun cocomplexo de grupos abelianos, e polo tanto a composición de homomorfismos consecutivos é o homomorfismo nulo.
4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear No anterior capítulo introducimos unha serie de conceptos e ferramentas que nos permitiron deducir que, supoñendo R∈Dq×peDun anel noetheriano pola esquerda, o D-módulo do sistema Rη=0 admite unha resolución libre e finita. Ademais, se Dé unha álxebra de Ore nas condicións moi xerais de (3.1), esta resolución podémola calcular mediante o Algoritmo 3.17, que utiliza as técnicas das bases de Gröbner. Finalmente, tamén vimos que existe un cocomplexo de grupos abelianos asociado a toda resolución libre e finita dun D-módulo pola esquerda, e que neste contexto podemos definir os grupos abelianos exti D(M,F). Todo isto conseguímolo acudindo ás ferramentas e aos conceptos da Álxebra Homolóxica, o que fixo que nos afastásemos momentaneamente do noso principal propósito: caracterizar as propiedades das solucións do sistema linear Rη=0 estudando o D-módulo do sistema. Pretendemos agora emprender o camiño de volta para acadar o devandito propósito. Para iso presentaremos, en primeiro lugar, unha serie de resultados que farán explícita a relevancia dos grupos abelianos das extensións á hora de estudar o D-módulo do sistema. A continuación trataremos de entender unha serie de algoritmos que fan efectivos os anteriores resultados de cara a caracterizar as propiedades do D-módulo do sistema. O seguinte será introducir o concepto de parametrización, que ten xa unha interpretación moi clara no estudo de sistemas lineares, pero que á vez está intimamente ligado ás propiedades do D-módulo do sistema. Finalmente introduciremos unha serie de ideas propias da Teoría do Control e veremos a relación que teñen coas propiedades do D-módulo do sistema tratadas ao longo do capítulo. Todo este proceso irémolo exemplificando paso a paso mediante casos sinxelos e de gran interese nas áreas da Física ou das Matemáticas. 4.1. Os grupos abelianos das extensións e o módulo dun sistema linear Nesta sección veremos a utilidade dos grupos abelianos das extensións no marco da Análise Alxébrica. Para iso presentaremos unha serie de resultados en condicións algo máis restritivas que aquelas coas que vimos traballando ao longo do documento. Con esta simplificación a teoría que presentamos segue a ser válida para a maior parte de casos que nos interesan (isto trataremos de exemplificalo) e ao mesmo tempo permítenos empregar resultados concretos de Álxebra Homolóxica probados en [1,2]. Con todo, cómpre mencionar que en [3]realízase un tratamento máis xeral. Este esixe introducir conceptos e resultados adicionais da Teoría de Módulos e da Álxebra Homolóxica, xunto con algoritmos que o fan efectivo. Todo isto excede os propósitos que pretendemos acadar, de aí que decidamos limitarnos a unha versión simplificada.
42 4.1. Os grupos abelianos das extensións e o módulo dun sistema linear Así pois, imos restrinxir a nosa análise ao caso de aneis de operadores diferenciais conmutativos sobre un corpo K,K[∂1,...,∂n]. Sabemos que estes aneis son dominios e aneis noetherianos pola esquerda, en virtude do Teorema 2.27. Como ademais son conmutativos, resulta que os aneis K[∂1,...,∂n]son dominios noetherianos. Temos entón o seguinte resultado, que se pode consultar en [1,2], debido a Auslander. Proposición 4.1. Sexa D un dominio noetheriano e M un D-módulo pola esquerda finitamente xerado. Sexa tamén P1 d1 −→ P0−→ M−→ 0 unha sucesión exacta, onde P1, P0son D-módulos proxectivos. Consideremos o cocomplexo de grupos abelianos asociado, hom(P1,D)(d1)∗ ←− hom(P0,D)←− 0, e denotemos por N o conúcleo do homomorfismo de grupos (d1)∗, que se pode dotar de estrutura de D-módulo pola dereita. Entón tense a seguinte sucesión exacta de grupos abelianos: 0−→ ext1 D(N,D)−→ M" −→ hom(hom(M,D),D)−→ ext2 D(N,D)−→ 0, onde ":M−→ hom(hom(M,D),D)é o homomorfismo canónico da Definición 2.28. Utilizando a anterior proposición podemos probar os seguintes dous resultados, que nos dan xa información sobre o D-módulo do sistema empregando os grupos abelianos das extensións introducidos no anterior capítulo. Teorema 4.2. Sexa D un dominio noetheriano e consideremos o sistema linear Rη=0, con R∈Dq×punha matriz. Consideremos o D-módulo pola esquerda finitamente presentado por R, M=D1×p/(D1×qR)e o D-módulo pola dereita N =Dp×1/(RDq×1). (1) Tense a seguinte sucesión exacta de D-módulos pola esquerda: 0−→ ext1 D(N,D)−→ M" −→ hom(hom(M,D),D)−→ ext2 D(N,D)−→ 0, (4.1) onde o homomorfismo de D-módulos pola esquerda "é o homomorfismo canónico da Definición 2.28. (2) M é reflexivo se e só se exti D(N,D) = 0para i =1,2. (3) Se ext1 D(N,D) = 0entón M é un D-módulo pola esquerda libre de torsión. Demostración. Comezamos por (1). Tomamos a sucesión exacta obtida a partir da presentación libre de M, π:D1×p−→ D1×p/(D1×qR): D1×q.R −→ D1×pπ −→ M−→ 0. Os D-módulos D1×p,D1×qson libres, e daquela tamén son proxectivos, co que podemos aplicar a Proposición 4.1. Tomamos entón o cocomplexo de grupos abelianos do enunciado do devandito resultado: hom(D1×q,D)(.R)∗ ←− hom(D1×p,D)←− 0.
4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear 43 Xa que Dé tamén un D-módulo pola esquerda, empregando o resultado derivado na Observación 3.27 podemos substituír o anterior cocomplexo polo seguinte: Dq×1R. ←− Dp×1←− 0. Sexa agora N=Dq×1/(Im(R.)) = Dq×1/(RDp×1). A Proposición 4.1 dá xa o enunciado de (1). Notemos que neste caso particular está claro que Nten estrutura de D-módulo pola dereita, pois Dq×1eDp×1son D-módulos pola dereita e a aplicación R. é un homomorfismo de D-módulos pola dereita, en virtude da Observación 3.13. Vaiamos agora con (2). Supoñamos en primeiro lugar que Mé reflexivo, isto é, que o homomorfismo canónico "é un isomorfismo, segundo a Definición 2.28. Así pois, resulta que o homomorfismo "é sobrexectivo e inxectivo. Razoamos coa sucesión exacta (4.1). Notemos que ker(ext1 D(N,D)→M) = Im(0→ext1 D(N,D)) = 0, onde utilizamos que a sucesión é exacta en ext1 D(N,D). Tamén é exacta en M, logo ker(") = Im(ext1 D(N,D)→M). Xa que "é inxectivo, temos que ker(") = 0, e así o homomorfismo ext1 D(N,D)→Mé tal que a súa imaxe e núcleo son ambos 0, logo necesariamente ext1 D(N,D) = 0. Por outro lado, ker(hom(hom(M,D),D)→ext2 D(N,D)) = Im(") = hom(hom(M,D),D), onde empregamos que a sucesión é exacta en hom(hom(M,D),D)e que "é sobrexectivo. Disto séguese que Im(hom(hom(M,D),D)→ext2 D(N,D)) = 0, por ser o núcleo do homomorfismo igual ao dominio. Utilizando isto último e que a sucesión é exacta en ext2 D(N,D), 0=ker(ext2 D(N,D)→0), pero o anterior núcleo coincide co dominio por tratarse do homomorfismo que leva todo elemento ao 0. Así, ext2 D(N,D) = 0. Reciprocamente, se exti D(N,D) = 0, i=1,2, entón tense a seguinte sucesión exacta: 0−→ M" −→ hom(hom(M,D),D)−→ 0. Por ser exacta en M, ker(") = Im(0−→ M) = 0, e por ser exacta en hom(hom(M,D),D), hom(hom(M,D),D) = ker(hom(hom(M,D),D)→0) = Im("). Daquela o homomorfismo canónico "é sobrexectivo e inxectivo, isto é, é un isomorfismo, e polo tanto Mé reflexivo. Finalmente, probemos (3). Supoñamos ext1 D(N,D) = 0. Temos entón a seguinte sucesión exacta curta: 0−→ M" −→ hom(hom(M,D),D)−→ ext2 D(N,D)−→ 0. Sabemos que nestas circunstancias "é inxectivo. Tomemos agora m∈Med∈D\ {0}arbitrarios, e supoñamos que dm =0. Resulta que para calquera homomorfismo f∈hom(M,D), f(dm) = f(0) = 0, pero por outra parte f(dm) = d f (m), logo d f (m) = 0. Xa que Dé un dominio e d6=0, necesariamente f(m) = 0. Pero entón "(m) = 0, atendendo á definición de ", e por ser este un homomorfismo inxectivo, m=0. Isto demostra que se mé un elemento de torsión, entón m=0, isto é, t(M) = 0. Observación 4.3.A afirmación (3) do Teorema 4.2 é, en realidade, unha equivalencia, pero non incluímos a proba aquí por requerir esta de ferramentas de Álxebra Homolóxica máis avanzadas e, polo tanto, exceder os obxectivos deste traballo. Con todo, indicamos que a demostración pode ser consultada en [3]. Finalmente, damos a seguinte caracterización dun D-módulo pola esquerda proxectivo. De novo, a demostración require de ferramentas de Álxebra Homolóxica e Teoría de Módulos máis avanzadas que as que vimos empregando ao longo do documento, logo tamén a
44 4.1. Os grupos abelianos das extensións e o módulo dun sistema linear omitimos. Pódese consultar en [2], onde se dá tamén un enunciado máis xeral, que fai uso do concepto de dimensión proxectiva dun D-módulo pola esquerda. Teorema 4.4. Sexa D =K[∂1,...,∂n]un anel de operadores diferenciais sobre un corpo K, R∈Dq×punha matriz e M =D1×p/(D1×qR)o D-módulo pola esquerda finitamente presentado por R. Consideremos tamén o D-módulo pola dereita N =Dq×1/(RDp×1). Entón M é un Dmódulo pola esquerda proxectivo se e só se exti D(N,D) = 0, i =1,...,n. Os Teoremas 4.2 e 4.4 amosan que certas propiedades do D-módulo pola esquerda finitamente presentado Mestán caracterizadas polos grupos abelianos exti D(N,D), de aí a relevancia deste concepto no marco da Análise Alxébrica. O D-módulo pola dereita N= Dq×1/(RDp×1)recibe un nome especial, pola súa importancia histórica. Definición 4.5. Sexa Dun dominio noetheriano e consideremos o D-módulo pola esquerda finitamente presentado pola matriz R∈Dq×p. O D-módulo pola dereita N=Dq×1/(RDp×1) chámase a trasposta de Auslander de M. Observación 4.6.Cando Dé un anel conmutativo, N=Dq×1/(RDp×1)≃D1×q/(D1×pRT), onde RTdenota a matriz trasposta de R, obtida cambiando as súas filas polas súas columnas. En efecto, para x,y∈Dq×1calquera: x+RDp×1=y+RDp×1⇐⇒ y−x∈RDp×1⇐⇒ yT−xT∈D1×pRT ⇐⇒ xT+D1×pRT=yT+D1×pRT e como x∈Dp×1⇐⇒ xT∈D1×p, as relacións de equivalencia que definen os módulos cociente Dq×1/(RDp×1)eD1×q/(D1×pRT)son a mesma, de aí o isomorfismo (de grupos abelianos). Deste xeito a trasposta de Auslander pode ser dotada tamén de estrutura de D-módulo pola esquerda. Presentamos agora un algoritmo que permite calcular o grupo abeliano ext1 D(N,D), con Na trasposta de Auslander do módulo do sistema, nas condicións simplificadas nas que estamos a traballar. Veremos que é fundamental o Algoritmo 3.17 que calcula os módulos de sicixia empregando técnicas de bases de Gröbner. Algoritmo 4.7 oEntrada: Un anel conmutativo de operadores diferenciais D =K[∂1,...,∂n], con K un corpo, e unha matriz R ∈Dq×p. Saída: Dúas matrices R0∈Dq0×pe P ∈Dp×mtales que: ext1 D(N,D) = (D1×q0R0)/(D1×qR), ker(.P) = D1×q0R0, onde N =Dq×1/(RDp×1)é a trasposta de Auslander de M =D1×p/(D1×qR). (1) Calculamos a matriz trasposta de R, RT∈Dp×q. (2) Utilizando o Algoritmo 3.17, calculamos Q ∈Dm×ptal que ker(.RT) = D1×mQ. (3) Definimos P =QT, P ∈Dp×m. (4) Utilizando o Algoritmo 3.17, calculamos R0∈Dq0×ptal que ker(.P) = D1×q0R0.
4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear 45 Observación 4.8.Vexamos agora por que o anterior algoritmo é efectivo á hora de calcular ext1 D(N,D). En primeiro lugar, notemos que por ser Dun anel conmutativo, podemos identificar a trasposta de Auslander de M=D1×p/(D1×qR)con N=D1×q/(D1×pRT). Tomemos o seguinte comezo dunha resolución libre e finita de N: D1×m.Q −→ D1×p.RT −→ D1×qπ −→ N−→ 0, onde πé a proxección canónica en N=D1×q/(D1×pRT). O cálculo da matriz Q∈Dm×pque define o homomorfismo .Q:D1×m−→ D1×pfaise co Algoritmo 3.17, como xa indicamos. Tomando o cocomplexo de grupos abelianos asociado (que neste caso é tamén un cocomplexo de D-módulos pola dereita, en virtude da Observación 3.13): Dm×1Q. ←− Dp×1RT. ←− Dq×1←− 0, o grupo abeliano ext1 D(N,D)é ker(Q.)/Im(RT.). Definindo P=QT, debemos observar que os homomorfismos .P:D1×p−→ D1×meQ.: Dp×1−→ Dm×1son tales que (.P)(x) = xP = xQT=0 é equivalente a (xQT)T=QxT= (Q.)(xT) = 0, x∈D1×p. Empregando o Algoritmo 3.17 podemos calcular R0∈Dq0×ptal que ker(.P) = D1×q0R0, logo ker(Q.)=(D1×q0R0)T, atendendo ao anterior. Deste xeito, ext1 D(N,D) = (D1×q0R0)T/(RTDq×1). Repetindo o razoamento realizado na Observación 4.6 deducimos que os conxuntos cociente (D1×q0R0)T/(RTDq×1) eD1×q0R0/(D1×qR)son isomorfos, logo ext1 D(N,D) = (D1×q0R0)/(D1×qR). O Algoritmo 4.7 pódese xeneralizar para que permita calcular os grupos abelianos das extensións de orde superior, exti D(N,D). A continuación damos as ideas básicas da devandita xeneralización. (1) Tomemos o inicio dunha resolución libre e finita do D-módulo do pola esquerda N= D1×q/(D1×pRT), D1×p.RT −→ D1×qκ −→ N−→ 0, onde κé a proxección canónica en N. Definamos q0=q,q1=p,S1=RT. A partir do Algoritmo 3.17 podemos completar a anterior sucesión exacta a unha resolución libre e finita de N: ... D1×q2.S2 −→ D1×q1.S1 −→ D1×q0κ −→ N−→ 0. (2) A partir desta podemos definir o seguinte cocomplexo de D-módulos pola esquerda: ... D1×q2.ST 2 ←− D1×q1.ST 1 ←− D1×q0←− 0. (3) Empregando o Algoritmo 3.17 calculamos R0 i∈Dq0 i−1×qital que ker(.ST i+1) = D1×q0 i−1R0 i. (4) Concluímos que exti D(N,D) = (D1×q0 i−1R0 i)/(D1×qi−1ST i). Temos entón algoritmos que fan aplicables, desde un punto de vista práctico, as ideas dos Teoremas 4.2 e 4.4. Xa mencionamos que estes resultados son válidos en condicións máis xerais que aquelas nas que os enunciamos. De forma análoga, estes algoritmos xeneralízanse a sistemas lineares sobre aneis máis xerais, como se indica en [17], o que amosa que as ideas da Análise Alxébrica resultan efectivas nun amplo abano de situacións. Con todo,
46 4.1. Os grupos abelianos das extensións e o módulo dun sistema linear para comprender o funcionamento do algoritmo nesas circunstancias cómpre traballar con conceptos como a involución dunha matriz e dun anel ou a adxunta formal dunha matriz, e todo isto faino menos intuitivo. Presentamos agora un par de exemplos que permiten aplicar os Teoremas 4.2 e 4.4 empregando as ideas do Algoritmo 4.7 e da Observación 4.8 sen necesidade de acudir ao Algoritmo 3.17 para empregar as técnicas de bases de Gröbner. Ademais de ilustrar a teoría exposta, trátase de casos de gran interese e relevancia na Física e nas Matemáticas. Exemplo 4.9. Consideremos o sistema linear do Exemplo 3.28, isto é, o definido pola matriz R= (∂1∂2∂3)∈D, con D=R[∂1,∂2,∂3], que representa o operador diverxencia en R3. O Dmódulo do sistema é entón M=D1×3/(DR). Imos estudar as propiedades de Mempregando os resultados dos Teoremas 4.2 e 4.4. En primeiro lugar, xa que Dé un anel conmutativo, a trasposta de Auslander é simplemente N=D/(D1×3RT). No Exemplo 3.28 xa calculamos os grupos abelianos exti D(N,D) para i=0,1,2,3, obtendo os seguintes resultados: exti D(N,D) = 0, para i=0,1,2, ext3 D(N,D) = N. Utilizando o Teorema 4.2 vemos que o D-módulo pola esquerda do sistema, M, é libre de torsión (pois ext1 D(N,D) = 0) e tamén reflexivo (pois ext1 D(N,D) = 0, ext2 D(N,D) = 0). Empregando o Teorema 4.4, como n=3 e ext3 D(N,D) = N6=0 concluímos que Mnon é un D-módulo pola esquerda proxectivo. Exemplo 4.10. Traballaremos agora cun exemplo algo máis complicado, pero de gran interese na Física, por tratarse das ecuacións básicas do Electromagnetismo clásico: as ecuacións de Maxwell. Empregaremos a notación introducida no Exemplo 3.20 para o gradiente, o rotacional e a diverxencia en R3, e denotaremos a derivada temporal por ∂ /∂ t=∂t. Se ~ Be~ Edenotan os campos magnético e eléctrico, respectivamente, as ecuacións de Maxwell no baleiro (ver, por exemplo, [10]) escríbense como segue: ∂t~ E−~ ∇ × ~ B=~ 0, ∂t~ B+~ ∇ × ~ E=~ 0, ~ ∇ · ~ E=0, ~ ∇ · ~ B=0. (4.2) Estas ecuacións representan matematicamente leis físicas obtidas de forma independente. Sen introducir leis adicionais, como a conservación da carga, ou condicións iniciais non podemos obter ningunha destas ecuacións en función das outras, tal e como se discute en [25]. Notemos que (4.2) é en realidade un sistema de oito ecuacións nas incógnitas B1,B2,B3,E1,E2,E3. Engadamos agora termos non homoxéneos no lado dereito: ∂t~ E−~ ∇ × ~ B=−~ Je, ∂t~ B+~ ∇ × ~ E=~ Jm, ~ ∇ · ~ E=ρe, ~ ∇ · ~ B=ρm. (4.3)
4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear 47 Nas anteriores ecuacións ~ Jee~ Jmrepresentan as densidades de corrente eléctrica e magnética, mentres que ρeeρmrepresentan as densidades de carga eléctrica e magnética. As ecuacións de Maxwell con fontes correspóndense coas anteriores tomando ~ Jm=0 e ρm=0, pois ata o momento non se demostrou a existencia de monopolos magnéticos, aínda que teña sentido desde o punto de vista matemático. Como se indica en [10], as ecuacións (4.3) poden ser utilizadas para derivar as ecuacións de continuidade para ~ Je,~ Jm,ρeeρm. Aplicando o operador diverxencia na primeira das ecuacións, obtemos que: ~ ∇ · ∂t~ E−~ ∇ · ~ ∇ × ~ B=~ ∇ · (−~ Je). Lembremos agora que, segundo vimos no Exemplo 3.28, a diverxencia de calquera campo vectorial que é o rotacional doutro campo vectorial é nula. Ademais, a diverxencia conmuta coa derivada temporal, de maneira que a anterior ecuación escríbese como: ∂t~ ∇ · ~ E+~ ∇ · ~ Je=0, e finalmente, como ~ ∇ · ~ E=ρe, recuperamos a ecuación de continuidade: ∂tρe+~ ∇ · ~ Je=0. (4.4) Para ~ Jm,ρmtense unha ecuación análoga: ∂tρm+~ ∇ · ~ Jm=0. (4.5) En [8]próbase que (4.4) e (4.5) son exactamente as condicións de compatibilidade do sistema (4.3). Debemos observar que cada par de ecuacións do devandito sistema dá lugar a unha das condicións de compatibilidade. A información exposta vainos ser útil de cara a aplicar os resultados dos Teoremas 4.2 e 4.4 a dúas das ecuacións de Maxwell de (4.2), a lei de Maxwell-Faraday e a lei de Gauss para o magnetismo, isto é, a segunda e a cuarta ecuacións de (4.2): (∂t~ B+~ ∇ × ~ E=−→ 0 , ~ ∇ · ~ B=0. (4.6) Para aplicar os devanditos resultados debemos escoller un anel de operadores diferenciais que permita representar as anteriores ecuacións como un sistema linear. Para iso tomamos o anel conmutativo D=R[∂t,∂1,∂2,∂3]. Recordando as expresións matriciais en R[∂1,∂2,∂3] do rotacional e da diverxencia que introducimos no Exemplo 3.20, é fácil ver que as ecuacións (4.6) pódense escribir como o seguinte sistema linear Rη= ∂t0 0 0 −∂3∂2 0∂t0∂30−∂1 0 0 ∂t−∂2∂10 ∂1∂2∂3000 η=0, (4.7) con Runha matriz 4×6 con entradas en Deη= (B1,B2,B3,E1,E2,E3)Tun vector de incógnitas representando aos campos magnético e eléctrico.
54 4.2. Parametrizacións de sistemas lineares M é un D-módulo pola esquerda reflexivo se e só se existen P2∈Dp1×p2e P3∈Dp2×p3de xeito que se teña a seguinte sucesión exacta de grupos abelianos: Fp0×1P1. ←− Fp1×1P2. ←− Fp2×1P3. ←− Fp3×1. Se D =K[∂1,...,∂n], M é un D-módulo pola esquerda proxectivo se e só se existen n matrices Pi∈Dpi−1×pi, i =2,...,n+1, de xeito que se teña a seguinte sucesión exacta de grupos abelianos: Fp0×1P1. ←− Fp1×1P2. ←− Fp2×1P3. ←− · ·· Pn. ←− Fpn×1Pn+1. ←− Fpn+1×1. Para rematar con esta sección imos exemplificar os resultados do Teorema 4.16 e do Corolario 4.17 empregando os casos sinxelos cos que xa traballamos en seccións previas: a sucesión gradiente-rotacional-diverxencia e as ecuacións de Maxwell. Exemplo 4.18. Sexa Do anel de operadores diferenciais con coeficientes en R, isto é, D=R[∂1,∂2,∂3], e consideremos o sistema linear Rη=0, con R= (∂1∂2∂3)a matriz representando o operador diverxencia en R3. Tomemos o D-módulo pola esquerda F=C∞(R), que segundo o comentado no Exemplo 4.14 é un D-módulo pola esquerda coxerador e inxectivo. Segundo vimos no Exemplo 4.9, o D-módulo do sistema, M=D1×3/(DR), é un D-módulo pola esquerda libre de torsión e reflexivo. O Corolario 4.17 dinos que nestas circunstancias existen dúas matrices P2∈Dp×p2eP3∈Dp2×p3, con p2,p3∈N, de forma que FR. ←− F3×1P2. ←− Fp2×1P3. ←− Fp3×1é unha sucesión exacta de grupos abelianos, pero non nos dá as devanditas matrices. Para obtelas cómpre recordar a demostración do Teorema 4.16. Vimos que, no caso de que ext1 D(N,D) = 0, unha parametrización en Fp×1viña dada pola matriz P∈Dp×mque devolve o Algoritmo 4.7. Ademais, na Observación 4.8 comprobamos que para calcular a matriz Pchegaba con tomar unha resolución libre e finita de N(a trasposta de Auslander de M), D1×m.Q −→ D1×p.RT −→ D1×qπ −→ N−→ 0, onde πé a proxección canónica en N, e definir P=QT. Para o caso que estamos a tratar xa calculamos no Exemplo 3.28 unha resolución libre e finita, 0−→ D.R3 −→ D1×3.R2 −→ D1×3.R1 −→ Dκ −→ N−→ 0, onde R1=RT,R2eR3=Rson as matrices que representan aos operadores gradiente, rotacional e diverxencia en R3, que explicitamos no Exemplo 3.20. En base ao que vimos de comentar, definindo P=RT 2obtemos unha parametrización do sistema Rη=0 en F3×1. Como RT 2=−R2, as solucións do sistema Rη=0 veñen dadas por −R2ζ, con ζ= (ζ1,ζ2,ζ3)T∈F3×1. Notemos que podemos obviar o signo negativo, xa que Rη=0 é equivalente a R(−η) = 0, pola linearidade do sistema. Daquela o único que estamos a afirmar é que o operador rotacional en R3(representado pola matriz R2) parametriza as solucións do sistema Rη=0. A matriz P=−R2é a matriz P2do Corolario 4.17. Razoando de forma análoga, a matriz P3pódese obter do seguinte homomorfismo da resolución libre e finita de N, traspoñendo a
4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear 55 matriz asociada. Neste caso particular teriamos P3=RT 3=RT=R1. Empregando a sucesión exacta do Corolario 4.17, isto dinos que o operador gradiente en R3(representado pola matriz R1) parametriza as solucións do sistema R2η=0. Os resultados que acabamos de expoñer son ben coñecidos. Traballando con campos vectoriais e escalares en R3infinitamente diferenciables, todo campo solenoidal é o rotacional doutro campo vectorial, e todo campo irrotacional é o gradiente dun campo escalar. Exemplo 4.19. Sexa o anel de operadores diferenciais D=R[∂t,∂1,∂2,∂3], e consideremos o sistema linear R1η=0, con R1a matriz dada en (4.7) no Exemplo 4.10, isto é, a matriz que define a lei de Maxwell-Faraday e a lei de Gauss para o magnetismo. Como D-módulo pola esquerda no que buscamos as solucións escollemos F=C∞(R4), isto é, o conxunto de funcións infinitamente diferenciables en catro variables. Como no caso anterior, xa sabemos que o D-módulo do sistema, M=D1×6/(D1×4R1), é reflexivo e libre de torsión, atendendo aos resultados obtidos no Exemplo 4.10. Así, o Corolario 4.17 tamén nos asegura a existencia de dúas matrices P2∈Dp×p2eP3∈Dp2×p3, con p2,p3∈N, de forma que F4×1R1. ←− F6×1P2. ←− Fp2×1P3. ←− Fp3×1sexa unha sucesión exacta de grupos abelianos. De cara a atopar as matrices P2eP3, tomamos unha resolución libre e finita de N=D1×4/(D1×6RT 1), a trasposta de Auslander do D-módulo do sistema, M= D1×6/(D1×4R1). Esta calculámola xa no Exemplo 4.10, obtendo: 0−→ D.S3 −→ D1×4.S2 −→ D1×6.S1 −→ D1×4κ −→ N−→ 0, onde κé a proxección canónica en N,S1=RT 1,S2=R1U(Ué a matriz invertible dada en (4.12)) e S3=R2= (∂1∂2∂3−∂t). Deste xeito, razoando igual que no exemplo anterior, da demostración do Teorema 4.16 deducimos que P2=ST 2= (R1U)T=UTRT 1=URT 1eP3= ST 3=RT 2. Vexamos entón cal é a interpretación das parametrizacións neste caso particular. Xa que a matriz URT 1= 000100 000010 000001 100000 010000 001000 ∂t0 0 ∂1 0∂t0∂2 0 0 ∂t∂3 0∂3−∂20 −∂30∂10 ∂2−∂10 0 = 0∂3−∂20 −∂30∂10 ∂2−∂10 0 ∂t0 0 ∂1 0∂t0∂2 0 0 ∂t∂3 é unha parametrización do sistema linear R1η=0 en F6×1, os campos magnético e eléctrico, ~ B= (B1,B2,B3)e~ E= (E1,E2,E3), pódense obter como B1 B2 B3 E1 E2 E3 = 0∂3−∂20 −∂30∂10 ∂2−∂10 0 ∂t0 0 ∂1 0∂t0∂2 0 0 ∂t∂3 ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 , con (ζ1,ζ2,ζ3,ζ4)T∈F4×1. Definindo o potencial vectorial como ~ A=−(ζ1,ζ2,ζ3)∈ F3×1e o potencial escalar como Φ=−ζ4∈F, e recuperando a notación ~ ∇ × ~ Fpara
56 4.3. Relación entre as propiedades do sistema linear e do módulo do sistema o rotacional do campo vectorial ~ F∈F3×1e~ ∇fpara o gradiente do campo escalar f∈F, obtemos que: ~ B=~ ∇ × ~ A,~ E=−∂t~ A−~ ∇Φ. (4.13) As anteriores son as expresións clásicas en Electrodinámica dos campos magnético e eléctrico en función dos potenciais vectorial e escalar, que se poden deducir directamente a partir das ecuacións de Maxwell e dos resultados que derivamos para a sucesión gradiente-rotacional-diverxencia, como se amosa en [10]. Segundo os resultados expostos no Corolario 4.17 a seguinte é una sucesión exacta: F4×1R1. ←− F6×1URT 1. ←−− F4×1RT 2. ←− F. Así, por definición, a matriz RT 2= (∂1∂2∂3−∂t)T∈D4×1parametriza as solucións do sistema linear URT 1η=0 en F4×1. Nestas circunstancias, se para ζ∈Fdefinimos ~ A0∈F3×1eΦ0∈Ftales que (~ A0,Φ0) = (A0 1,A0 2,A0 3,Φ0) = R2ζ, isto é, ~ A0= (A0 1,A0 2,A0 3)T=~ ∇ζ,Φ0=−∂tζ resulta que URT 1(~ A0,Φ0) = 0, logo ~ ∇× ~ A0=0 e −∂t~ A0−~ ∇Φ0=0. Así pois, se os campos magnético e eléctrico están dados en función dos potenciais vectorial e escalar ~ Ae Φa través de (4.13), isto dinos que podemos empregar ~ A+~ ∇ζe−∂tζ, con ζ∈F unha función calquera, como potenciais vectorial e escalar, pois os campos magnético e eléctrico son os mesmos. En Electrodinámica este grao de liberdade adicional elimínase escollendo un calibre (máis coñecido polo nome en inglés, gauge). Os máis comúns son o calibre de Coulomb,~ ∇ · ~ A=0, e o calibre de Lorenz,~ ∇ · ~ A+∂tΦ/c=0. Os casos sinxelos que vimos tratando permítennos ver como a teoría exposta é aplicable a diversos problemas cuxa solución coñecemos. Deste xeito, é evidente que temos un marco común no que encadrar problemas aparentemente moi distintos, pero que se poden formular como sistemas lineares. Así e todo, vemos xa como no caso das ecuacións de Maxwell a cantidade de cálculos e desenvolvementos a realizar comeza a ser importante se só pretendemos empregar os algoritmos presentados como guía ou axuda, sen acudir ás implementacións destes en distintos softwares de cálculo numérico e simbólico. De considerar un caso máis complexo, a resolución do problema manualmente sería xa inviable. Na seguinte e derradeira sección poñeremos de manifesto a utilidade e a efectividade dos algoritmos tratados, aplicándoos directamente ao exemplo das ecuacións de Maxwell. Veremos como todas as tarefas se simplifican notablemente, o que xustifica a introdución de todas as ferramentas teóricas necesarias para presentar os devanditos algoritmos. 4.3. Relación entre as propiedades do sistema linear e do módulo do sistema Nesta última sección imos introducir algunhas propiedades que caracterizan os sistemas lineares nos que estamos interesados, da forma Rη=0, con Runha matriz q×pcon entradas nunha álxebra de Ore que é tamén un anel noetheriano pola esquerda. Notemos que
4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear 57 este é o marco xeral no que traballamos ao principio do noso tratamento. Estas propiedades obtéñense xeneralizando definicións propias da Teoría do Control, e pódense atopar en calquera referencia de Análise Alxébrica. Nós seguiremos esencialmente o exposto en [3]. A continuación consideraremos tamén que o D-módulo pola esquerda no que se buscan as solucións do sistema linear é coxerador e inxectivo. Xa vimos co Teorema 4.16 e co Corolario 4.17 que esta é a situación propicia de cara a relacionar o concepto de parametrización dun sistema linear coas propiedades do D-módulo do sistema. Veremos que isto é así tamén para o resto de conceptos que a continuación introducimos. Definición 4.20. Sexa Dunha álxebra de Ore noetheriana pola esquerda, R∈Dq×p, e consideremos o sistema linear Rη=0. Sexa tamén Fun D-módulo pola esquerda coxerador e inxectivo no que buscamos as solucións, e ker(R.) = {η∈Fp×1|Rη=0}o conxunto de solucións en Fp×1. (1) Un observable de ker(R.)é calquera combinación linear pola esquerda con coeficientes en Ddas variables do sistema ηi,i=1,..., p, que denotamos por ψ(η). Un observable ψ(η)dise autónomo se satisfai unha ecuación non trivial en D, isto é, se existe algún d∈D\ {0}tal que dψ(η) = 0. Se un observable non é autónomo, entón dise que é libre. (2) O sistema linear Rη=0 é autónomo se cada observable de ker(R.)é autónomo. (3) O sistema linear Rη=0 é autónomo-libre ou controlable se cada observable de ker(R.) é libre. (4) O sistema linear Rη=0 é parametrizable se admite unha parametrización P∈Dp×m, con m∈N, en Fp×1, no sentido da Definición 4.11 (equivalentemente, existe P∈Dp×m tal que ker(R.) = PFm×1). Isto quere dicir que para cada η∈ker(R.)existe ξ∈Fm×1 cumprindo η=Pξ. Nestas circunstancias dise que ξé un potencial. (5) Poñamos R= (R1R2), con R1∈Dq×reR2∈Dq×(p−r)para algún r=1,..., p−1, unha partición de R. Así, podemos escribir o conxunto de solucións do sistema linear como segue: ker(R.) = {η= (η1,η2)∈Fp×1|R1η1+R2η2=0}. Dicimos que η1éobservable desde η2se η1está determinado unicamente por η2no seguinte sentido: ζ= (ζT 1,ηT 2)T∈Fp×1∈ker(R.)⇒ζ1=η1. (6) O sistema linear Rη=0 é plano se admite unha parametrización inxectiva, isto é, se existe unha parametrización P∈Dp×m,m∈N, que admita unha inversa T∈Dm×p pola esquerda: TQ =Im. Equivalentemente, Rη=0 é plano se é parametrizable e cada compoñente ξido potencial ξé un observable do sistema. Dise entón que ξé unha saída plana de ker(R.). Notemos que os conceptos que vimos de introducir encádranse no formalismo da Teoría do Control, e non requiren de ningunha das ideas da Análise Alxébrica que estudamos
58 4.3. Relación entre as propiedades do sistema linear e do módulo do sistema neste traballo. De feito, aquí vemos unha vez máis que o concepto de parametrización, que nós introducimos a partir dunha sucesión exacta, defínese en realidade empregando só o conxunto de solucións do sistema linear. Con todo, existe un dicionario entre as definicións que acabamos de presentar e as propiedades do D-módulo do sistema. Este pode ser consultado en calquera das referencias sobre Análise Alxébrica aplicada á Teoría do Control que fomos empregando, [3,4,17,20]. Nós decidimos adoptar o proporcionado en [3]a través do enunciado e da demostración do seguinte teorema. Teorema 4.21. Sexa D unha álxebra de Ore noetheriana pola esquerda, R ∈Dq×p, F un Dmódulo pola esquerda coxerador e inxectivo. Consideremos o sistema linear Rη=0e o conxunto de solucións en Fp×1,ker(R.) = {η∈Fp×1|Rη=0}. Sexa tamén M =D1×p/(D1×qR)o módulo do sistema. Entón téñense os seguintes resultados: (1) Existe unha correspondencia entre os observables de ker(R.)e os elementos de M. (2) Existe unha correspondencia entre os observables autónomos de ker(R.)e os elementos de torsión de M. (3) O sistema linear Rη=0é autónomo se e só se M é un D-módulo pola esquerda de torsión. (4) O sistema linear Rη=0é controlable se e só se M é un D-módulo pola esquerda libre de torsión. (5) O sistema linear Rη=0é parametrizable se e só se existe P ∈Dp×m, m ∈N, tal que M≃D1×pP. (6) O sistema linear Rη=0é plano se é so se M é un D-módulo pola esquerda libre. En tal caso existe unha correspondencia entre as bases de M e as saídas planas de ker(R.). (7) Sexa R = (R1R2)unha partición de R, con R1∈Dq×re R2∈Dq×(p−r)para algún r = 1,..., p−1. Sexa ker(R.) = {η= (η1,η2)∈Fp×1|R1η1+R2η2=0}o conxunto de solucións do sistema linear asociado á partición dada. En tal caso, η1é observable desde η2se e só se M1=D1×r/(D1×qR1) = 0, isto é, se e só se R1admite unha inversa pola esquerda S1∈Dr×q, logo S1R1=Ir. Observación 4.22.Realicemos algún comentario sobre o Teorema 4.21, para ver que algunhas das súas teses encaixan na teoría exposta neste traballo. Consideraremos entón o caso dun anel de operadores diferenciais conmutativo, que é a principal hipótese simplificadora introducida neste capítulo. Debemos observar que (3) e (4) séguense inmediatamente de (2) a partir das definicións de sistema autónomo e sistema controlable. Ademais, (2) é consecuencia directa de (1) e das definicións de elemento de torsión e observable autónomo. Neste sentido, está claro que o resultado fundamental é a correspondencia entre os observables de ker(R.)e os elementos do D-módulo do sistema, M=D1×p/(D1×qR). En [3] pódese comprobar que, en efecto, esa é a tese cuxa demostración require de maior traballo. Doutra banda, a tese (5) podémola probar inmediatamente traballando coa definición de parametrización dada na Definición 4.11. Así, que o sistema linear Rη=0 sexa parametrizable en Fp×1equivale a que exista P∈Dp×mtal que a seguinte é unha sucesión exacta: Fq×1R. ←− Fp×1P. ←− Fm×1.
4. Estudo das propiedades do módulo dun sistema linear 59 Pero Fé un D-módulo coxerador e inxectivo, logo tamén equivale a que se teña a seguinte sucesión exacta: D1×q.R −→ D1×p.P −→ D1×m. Por último, a exactitude en D1×pdo anterior complexo equivale a que ker(.P) = D1×qR. Pero entón M=D1×p/(D1×qR) = D1×p/ker(.P), e polo Primeiro Teorema de Isomorfía (Teorema 2.15), M≃Im(.P) = D1×pP. Finalmente, para probar e facer construtivas as teses (6) e (7) necesitariamos introducir certos conceptos e algoritmos a maiores, como aqueles que permiten calcular inversas pola dereita. Un tratamento destas cuestións pódese atopar en [17]. Aquí limitámonos a expoñer os resultados, por ser estes habituais e esenciais na Análise Alxébrica. Imos rematar este traballo presentando un exemplo de aplicación directa da teoría e dos algoritmos expostos. Para facer evidente a súa necesidade e utilidade escollemos de novo o exemplo das ecuacións de Maxwell, tratado nos Exemplos 4.10 e 4.19. Nos dous casos fomos capaces de obter información sobre o módulo do sistema logo de razoamentos teóricos apoiados en resultados que xa coñecemos, como as condicións de compatibilidade das ecuacións de Maxwell. Veremos a continuación que nada disto é necesario se acudimos á implementación dos Algoritmos 3.17 e 4.7. Máis concretamente, imos utilizar as librarías que o sistema de álxebra computacional SINGULAR nos proporciona [7]. Exemplo 4.23. Imos tomar o sistema que definen a lei de Gauss magnética e a lei de Maxwell-Faraday, que sabemos que pode ser escrito como Rη=0, con Ra matriz dada en (4.7). Como xa argumentamos, podemos tomar o anel de operadores diferenciais D=R[∂t,∂1,∂2,∂3]. Pretendemos agora aplicar os Algoritmos 3.17 e 4.7 explicitamente para ver que grupos abelianos exti D(N,D)son nulos, con i≥1 e Na trasposta de Auslander do D-módulo do sistema. Como Dé conmutativo sabemos que podemos identificar Nco D-módulo pola esquerda finitamente presentado por RT. O sistema SINGULAR ten implementada a libraría control.lib, documentada en [24], por exemplo. Proporcionando o D-módulo do sistema Rη=0 poderiamos utilizar unha das súas funcións para averiguar directamente que grupos abelianos exti D(N,D)se anulan. Con todo, a resposta xa a sabemos, en base ao que vimos no Exemplo 4.10. Pretendemos aquí ilustrar a importancia das técnicas das bases de Gröbner nos Algoritmos 3.17 e 4.7. Para iso, seguiremos os pasos dos devanditos algoritmos, apoiándonos en funcións implementadas en SINGULAR para realizar os cálculos de bases de Gröbner que sexan oportunos. O código empregado atópase no Anexo A1, aquí limitámonos a presentar os resultados. Deste xeito, segundo o Algoritmo 4.7 e a súa xeneralización dada na Observación 4.8, o primeiro que necesitamos é unha resolución libre e finita de N. O inicio xa o temos, tendo en conta que Né un D-módulo pola esquerda finitamente presentado por RT: D1×6.RT −→ D1×4κ −→ N−→ 0. Definimos S1=RT,q0=4 e q1=6. Para continuar coa resolución libre e finita de Nnecesitamos atopar unha matriz S2∈Dq2×6tal que ker(.S1) = D1×q2S2, para algún q2∈N. Para iso aplicamos o Algoritmo 3.17, baseado nas técnicas das bases de Gröbner. Apoiándonos nas funcións std eintersect de SINGULAR obtemos a matriz S2dada en (A.2):
60 4.3. Relación entre as propiedades do sistema linear e do módulo do sistema S2= 000∂1∂2∂3 0−∂3∂2∂t0 0 ∂30−∂10∂t0 −∂2∂10 0 0 ∂t . No Anexo A1 indicamos explicitamente como se realiza o cálculo en SINGULAR tendo como guía os pasos do Algoritmo 3.17. Repetindo o proceso para S2, obtemos a matriz S3: S3= (∂t−∂1−∂2−∂3)∈D1×4, e se, finalmente, repetimos para S3, obtemos a matriz S4=0. Con isto temos xa calculada unha resolución libre e finita de N: 0.S4 −→ D1×4.S3 −→ D1×6.S2 −→ D1×4.S1 −→ D1×6κ −→ N−→ 0. Segundo a Observación 4.8 que xeneraliza o Algoritmo 4.7, a partir desta resolución libre e finita temos que definir o seguinte cocomplexo de D-módulos pola esquerda: 0.RT 4 ←− D1×4.ST 3 ←− D1×6.ST 2 ←− D1×4.ST 1 ←− D1×6←− 0. e calcular, para i=1,2,3, unhas matrices R0 itales que ker(.ST i+1) = D1×q0 i−1R0 i. Para i= 3 temos xa que ker(.ST 4) = ker(D1×4−→ 0) = D1×4. No caso de i=1,2, realizamos o cálculo, de novo, empregando SINGULAR. Como antes, este pode consultarse no Anexo A1. As matrices R0 1eR0 2son as calculadas en (A.3), e que a continuación amosamos: R0 1= ∂1∂2∂3000 ∂t0 0 0 −∂3∂2 0∂t0∂30−∂1 0 0 ∂t−∂2∂10 ∈D4×6,R0 2= 0 0 −∂3∂2 0−∂2∂10 0−∂30∂1 ∂1∂t0 0 ∂20∂t0 ∂30 0 ∂t ∈D6×4. Segundo a Observación 4.8, exti D(N,D) = (D1×q0 i−1R0 i)/(D1×qi−1ST i),i=1,2,3. Para i= 1, ext1 D(N,D) = (D1×4R0 1)/(D1×4ST 1), pero ST 1=R, e R0 1obtense de Rintercambiando as tres últimas filas coa primeira, logo D1×4R0 1=D1×4ST 1, e así ext1 D(N,D) = 0. O mesmo lle ocorre a ext2 D(N,D)=(D1×6R0 2)/(D1×6ST 2), pois R0 2obtense de RT 2multiplicando por −1 as filas primeira e terceira e intercambiando a segunda coa terceira, logo ext2 D(N,D) = 0. Finalmente, ext3 D(N,D) = (D1×4)/(D1×4ST 3)6=0, como xa argumentamos no Exemplo 4.10. Como ext1 D(N,D) = 0, o D-módulo do sistema é libre de torsión. Así, sabemos que o sistema Rη=0 é controlable, en virtude do Teorema 4.21. Ademais, cos cálculos realizados podemos obter tamén unha parametrización do sistema, simplemente definindo P=ST 2. De novo, ST 2obtense da parametrización do Exemplo 4.19 intercambiando as tres primeiras columnas coa última, co que os resultados son equivalentes. Coa presentación deste exemplo finalizamos o noso tratamento da teoría da Análise Alxébrica. Agardamos que este último exemplo fora especialmente ilustrativo á hora de amosar a potencia e a utilidade dos algoritmos presentados, especialmente atendendo ás súas inmediatas implicacións na Teoría do Control. Con todo, a exposición realizada (e aínda máis esta última parte) é só introdutoria: a Análise Alxébrica é aínda hoxe unha teoría en expansión e cuxas aplicacións seguirán moi probablemente ampliándose nos próximos anos.
Bibliografía [1]Auslander, M.: Coherent functors. In: Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, pp. 189–231. Springer (1966) [2]Auslander, M., Bridger, M.: Stable module theory. American Mathematical Society (1969) [3]Chyzak, F., Quadrat, A., Robertz, D.: Effective algorithms for parametrizing linear control systems over Ore algebras. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing 16(5), 319–376 (2005) [4]Cluzeau, T., Koutschan, C., Quadrat, A., Tõnso, M.: Effective algebraic analysis approach to linear systems over Ore algebras. In: Algebraic and Symbolic Computation Methods in Dynamical Systems, pp. 3–52. Springer (2020) [5]Cox, D., Little, J., O’Shea, D.: Ideals, varieties, and algorithms: an introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Springer Science & Business Media (2013) [6]Cox, D.A., Little, J., O’Shea, D.: Using algebraic geometry. Springer Science & Business Media (2006) [7]Decker, W., Greuel, G.M., Pfister, G., Schönemann, H.: SINGULAR 4-2-1 — A computer algebra system for polynomial computations.http://www.singular.uni-kl.de (2021) [8]Hausdorf, M., Seiler, W.M.: On the numerical analysis of overdetermined linear partial differential systems. In: International Conference on Symbolic and Numerical Scientific Computation, pp. 152–167. Springer (2001) [9]Ishikawa, T.: Faithfully exact functors and their applications to projective modules and injective modules. Nagoya Mathematical Journal 24, 29–42 (1964) [10]Jackson, J.D.: Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons (2012) [11]Kredel, H.: Solvable polynomial rings. Ph.D. thesis, Reihe Mathematik. Verlag Shaker, Aachen, Germany (1993) [12]Lam, T.Y.: Lectures on modules and rings. Springer Science & Business Media (2012) [13]Li, Z., Zhang, Y.: A note on Groebner bases of Ore polynomials over a PID.http:// www.algebra.uni-linz.ac.at/people/yzhang/GB.pdf [14]Malgrange, B.: Sur les systèmes différentiels à coefficients constants. Collège de France (1962)
62 BIBLIOGRAFÍA [15]McConnell, J.C., Robson, J.C., Small, L.W.: Noncommutative noetherian rings. American Mathematical Society (2001) [16]Ore, O.: Theory of non-commutative polynomials. Annals of Mathematics 34(3), 480– 508 (1933) [17]Quadrat, A.: An introduction to constructive algebraic analysis and its applications. Les cours du CIRM 1(2), 281–471 (2010) [18]Quadrat, A., Zerz, E.: Algebraic and Symbolic Computation Methods in Dynamical Systems. Springer (2020) [19]Quillen, D.: Projective modules over polynomial rings. Inventiones Mathematicae 36(1), 167–171 (1976) [20]Robertz, D.: Recent progress in an algebraic analysis approach to linear systems. Multidimensional Systems and Signal Processing 26(2), 349–388 (2015) [21]Rotman, J.J.: An introduction to homological algebra. Springer Science & Business Media (2008) [22]Stafford, J.T.: Module structure of Weyl algebras. Journal of the London Mathematical Society 2(3), 429–442 (1978) [23]Suslin, A.: Projective modules over polynomial rings are free. Doklady Akademii nauk SSSR 229, 1063–1066 (1976) [24]Zerz, E., Levandovskyy, V.: Algebraic systems theory and computer algebraic methods for some classes of linear control systems. In: Proceedings of the Mathematical Theory of Networks and Systems, pp. 536–541. Springer (2006) [25]Zhou, X.: On independence, completeness of Maxwell’s equations and uniqueness theorems in electromagnetics. Progress In Electromagnetics Research 64, 117–134 (2006)
Anexos