Abordagem ontossemiótica de processos de ensino e aprendizagem de grandezas e medidas no 1º ciclo de educação básica

GGH TESE DE DOUTORAMENTO ABORDAGEM ONTOSSEMIÓTICA DE PROCESSOS DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE GRANDEZAS E MEDIDAS NO 1º CICLO DE EDUCAÇÃO BÁSICA Isabel Cláudia Nogueira da Silva Araújo Nogueira DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA E ORGANIZACIÓN ESCOLAR FACULTADE DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN SANTIAGO DE COMPOSTELA 2015 GGH TESE DE DOUTORAMENTO ABORDAGEM ONTOSSEMIÓTICA DE PROCESSOS DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE GRANDEZAS E MEDIDAS NO 1º CICLO DE EDUCAÇÃO BÁSICA Asdo. Isabel Cláudia Nogueira da Silva Araújo Nogueira DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA E ORGANIZACIÓN ESCOLAR FACULTADE DE CIENCIAS DE EDUCACIÓN SANTIAGO DE COMPOSTELA 2015 AGRADECIMENTOS À Doutora Teresa Fernández Blanco e à Doutora Dolores Rodríguez Vivero, pela forma sábia, disponível e comprometida com que orientaram esta tese e pelo exemplo de disponibilidade e generosidade humanas. Ao Doutor José António Cajaraville Pegito, por me ter aberto o caminho para este percurso. Aos Professores do Programa de Doutoramento, pelas verdadeiras lições que me apresentaram. Aos professores e aos alunos que me abriram as portas e me deixaram olhar pelas suas janelas. Aos meus amigos, em especial à Daniela, pelo apoio, estímulo e presença constantes. À minha família, meu verdadeiro porto de abrigo. ABSTRACT As research into practice can be seen simultaneously as a way to access to knowledge about practices and as a contribution to the resolution of scope professional problems, we established as guiding axis for this research the understanding of classroom practices in the exploitation of Measurement in the 1st cycle of Primary Education. This study is circumscribed to the description and analysis of practices specifically related to the exploitation of length, mass and time, and their respective measurement processes. The interpretive-descriptive empirical research, supported on the analysis of segments of instructional processes, integrated in mathematics lessons of the 1st cycle of Primary Education, has as main goals to establish: (1) which mathematical practices are developed in the instructional processes dedicated to Measurement; (2) what is the nature of present and/or emerging knowledge in these practices; (3) which relationships are established between mathematical objects and processes identified in these teaching and learning processes; (4) which functions are performed by teachers and students during of its implementation; and (5) which material resources support these practices. The analyzed teaching and learning activities highlight the use of extra mathematical situations and/or students’ everyday life as common practices, the prevalence of mathematical knowledge of procedural and algorithmic nature and the teacher as the intervening systematically in charge of organizing pupils’ ways of working and management of times, spaces and materials available to support these activities. In some cases it was possible to identify discrepancies between institutional significance of reference of the mathematical topics in study and significance effectively implemented for those topics in the instructional processes. ÍNDICE INTRODUÇÃO GERAL 1 CAPÍTULO 1: PROBLEMÁTICA EM INVESTIGAÇÃO 1.1 Concetualização das noções de grandeza e medida 1.1.1 Breve visão histórica 1.1.2 Formalização dos conceitos de grandeza e de medida 1.2 As grandezas e a medida na Educação Básica 1.2.1 Finalidades, objetivos curriculares e desempenho dos estudantes 1.2.2 A abordagem das grandezas e da medida na Educação Básica 1.2.2.1 Evolução da construção de noções de grandeza e de medida 1.2.2.2 Perspetivas e contributos da investigação 5 5 5 8 12 13 18 18 22 CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO 2.1 Modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática 2.1.1 Noções de prática e de sistemas de práticas 2.1.2 Noções de objeto pessoal e institucional 2.1.3 Significado pessoal e significado institucional de um objeto 2.1.4 Níveis de análise didática propostos pelo EOS 2.1.4.1 Identificação de práticas realizadas em um processo de estudo 2.1.4.2 Configuração dos objetos e processos matemáticos 2.1.4.3 Identificação das normas subjacentes à realização do processo de estudo 2.1.4.4 Valoração da adequação didática do processo de instrução 2.1.5 A técnica de análise semiótica 2.2 Contributos da investigação produzida no âmbito do modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática 33 33 35 36 37 38 39 39 46 47 51 56 CAPÍTULO 3: CONTEXTO E PROBLEMA DE INVESTIGAÇÃO 3.1 Contexto geral do estudo 3.2 Linhas orientadoras da investigação 3.3 Questões em investigação 3.4 Pertinência da investigação 61 61 63 65 67 CAPÍTULO 4: OPÇÕES METODOLÓGICAS 4.1 Paradigma da investigação 4.2 Design do estudo 4.3 Técnicas e procedimentos da recolha de dados 4.4 Participantes na investigação 71 71 73 75 77 4.5 Opções de tratamento, análise e apresentação de dados 79 CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS 5.1 Análise de processos de estudo no 1º ano de escolaridade 5.1.1 Exploração do comprimento no 1º ano 5.1.1.1 Estrutura geral do processo de estudo – comprimento no 1º ano 5.1.1.2 Identificação de práticas matemáticas – comprimento no 1º ano 5.1.1.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – comprimento no 1º ano 5.1.1.4 Descrição de interações didáticas – comprimento no 1º ano 5.1.1.5 Dimensão normativa do processo de estudo – comprimento no 1º ano 5.1.2 Exploração da massa no 1º ano 5.1.2.1 Estrutura geral do processo de estudo – massa no 1º ano 5.1.2.2 Identificação de práticas matemáticas – massa no 1º ano 5.1.2.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – massa no 1º ano 5.1.2.4 Descrição de interações didáticas – massa no 1º ano 5.1.2.5 Dimensão normativa do processo de estudo – massa no 1º ano 5.2 Análise de processos de estudo no 2º ano de escolaridade 5.2.1 Exploração do comprimento no 2º ano 5.2.1.1 Estrutura geral do processo de estudo – comprimento no 2º ano 5.2.1.2 Identificação de práticas matemáticas – comprimento no 2º ano 5.2.1.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – comprimento no 2º ano 5.2.1.4 Descrição de interações didáticas – comprimento no 2º ano 5.2.1.5 Dimensão normativa do processo de estudo – comprimento no 2º ano 5.2.2 Exploração da massa no 2º ano 5.2.2.1 Estrutura geral do processo de estudo – massa no 2º ano 5.2.2.2 Identificação de práticas matemáticas – massa no 2º ano 5.2.2.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – massa no 2º ano 5.2.2.4 Descrição de interações didáticas – massa no 2º ano 5.2.2.5 Dimensão normativa do processo de estudo – massa no 2º ano 5.3 Análise de processos de estudo no 3º ano de escolaridade 5.3.1 Exploração do comprimento no 3º ano 5.3.1.1 Estrutura geral do processo de estudo – comprimento no 3º ano 5.3.1.2 Identificação de práticas matemáticas – comprimento no 3º ano 5.3.1.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – comprimento no 3º ano 5.3.1.4 Descrição de interações didáticas – comprimento no 3º ano 5.3.1.5 Dimensão normativa do processo de estudo – comprimento no 81 82 82 84 85 86 88 89 90 93 94 95 97 98 99 99 102 103 103 106 106 107 109 110 111 113 113 114 114 118 119 120 122 3º ano 5.3.2 Exploração do tempo no 3º ano 5.3.2.1 Estrutura geral do processo de estudo – tempo no 3º ano 5.3.2.2 Identificação de práticas matemáticas – tempo no 3º ano 5.3.2.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – tempo no 3º ano 5.3.2.4 Descrição de interações didáticas – tempo no 3º ano 5.3.2.5 Dimensão normativa do processo de estudo – tempo no 3º ano 5.4 Análise de processos de estudo no 4º ano de escolaridade 5.4.1 Exploração do comprimento no 4º ano 5.4.1.1 Estrutura geral do processo de estudo – comprimento no 4º ano 5.4.1.2 Identificação de práticas matemáticas – comprimento no 4º ano 5.4.1.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – comprimento no 4º ano 5.4.1.4 Descrição de interações didáticas – comprimento no 4º ano 5.4.1.5 Dimensão normativa do processo de estudo – comprimento no 4º ano 5.4.2 Exploração do tempo no 4º ano 5.4.2.1 Estrutura geral do processo de estudo – tempo no 4º ano 5.4.2.2 Identificação de práticas matemáticas – tempo no 4º ano 5.4.2.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – tempo no 4º ano 5.4.2.4 Descrição de interações didáticas – tempo no 4º ano 5.4.2.5 Dimensão normativa do processo de estudo – tempo no 4º ano 123 123 128 129 130 131 132 133 133 138 139 140 143 144 145 148 149 150 152 154 CAPÍTULO 6: SÍNTESE E CONCLUSÕES 6.1 Respostas às questões em investigação 6.2 Contributos e limitações da investigação 6.3 Perspetivas de intervenção futuras 6.4 Considerações finais 155 155 167 169 170 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 175 ANEXOS Anexo I: Pedido de autorização para observação das aulas Anexo II: Guião de apoio à observação de aulas Anexo III: Ficha de trabalho – comprimento no 3º ano de escolaridade Anexo IV: Ficha de trabalho 1 – tempo no 3º ano de escolaridade Anexo V: Ficha de trabalho 2 – tempo no 3º ano de escolaridade Anexo VI: Resumo alargado 185 187 191 195 201 205 209 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Figura 2: Figura 3: Figura 4: Figura 5: Figura 6: Figura 7: Figura 8: Figura 9: Figura 10: Figura 11: Figura 12: Figura 13: Objetos e processos primários Objetos e processos secundários Modelo Ontossemiótico do Conhecimento Matemático Interações didáticas Critérios de adequação didática Estrutura global da aula sobre o comprimento no 1º ano de escolaridade Estrutura global da aula sobre a massa no 1º ano de escolaridade Estrutura global da aula sobre o comprimento no 2º ano de escolaridade Estrutura global da aula sobre a massa no 2º ano de escolaridade Estrutura global da aula sobre o comprimento no 3º ano de escolaridade Estrutura global da aula sobre o tempo no 3º ano de escolaridade Estrutura global da aula sobre o comprimento no 4º ano de escolaridade Estrutura global da aula sobre o tempo no 4º ano de escolaridade 40 42 45 46 48 84 94 102 110 119 129 139 149 ÍNDICE DE QUADROS Quadro 1: Quadro 2: Quadro 3: Quadro 4: Quadro 5: Quadro 6: Quadro 7: Quadro 8: Quadro 9: Quadro 10: Quadro 11: Quadro 12: Quadro 13: Quadro 14: Quadro 15: Quadro 16: Quadro 17: Quadro 18: Quadro 19: Quadro 20: Quadro 21: Quadro 22: Quadro 23: Quadro 24: Quadro 25: Quadro 26: Quadro 27: Quadro 28: Quadro 29: Quadro 30: Quadro 31: Quadro 32: Transcrição do processo de estudo – Comprimento no 1º ano Práticas matemáticas identificadas (comprimento – 1º ano) Identificação de objetos matemáticos (comprimento – 1º ano) Identificação de normas e metanormas (comprimento – 1º ano) Transcrição do processo de estudo – Massa no 1º ano Práticas matemáticas identificadas (massa – 1º ano) Identificação de objetos matemáticos (massa – 1º ano) Identificação de normas e metanormas (massa – 1º ano) Transcrição do processo de estudo – Comprimento no 2º ano Práticas matemáticas identificadas (comprimento – 2º ano) Identificação de objetos matemáticos (comprimento – 2º ano) Identificação de normas e metanormas (comprimento – 2º ano) Transcrição do processo de estudo – Massa no 2º ano Práticas matemáticas identificadas (massa – 2º ano) Identificação de objetos matemáticos (massa – 2º ano) Identificação de normas e metanormas (massa – 2º ano) Transcrição do processo de estudo – Comprimento no 3º ano Práticas matemáticas identificadas (comprimento – 3º ano) Identificação de objetos matemáticos (comprimento – 3º ano) Identificação de normas e metanormas (comprimento – 3º ano) Transcrição do processo de estudo – Tempo no 3º ano Práticas matemáticas identificadas (tempo – 3º ano) Identificação de objetos matemáticos (tempo – 3º ano) Identificação de normas e metanormas (tempo – 3º ano) Transcrição do processo de estudo – Comprimento no 4º ano Práticas matemáticas identificadas (comprimento – 4º ano) Identificação de objetos matemáticos (comprimento – 4º ano) Identificação de normas e metanormas (comprimento – 4º ano) Transcrição do processo de estudo – Tempo no 4º ano Práticas matemáticas identificadas (tempo – 4º ano) Identificação de objetos matemáticos (tempo – 4º ano) Identificação de normas e metanormas (tempo – 4º ano) 82 86 86 89 90 94 95 98 99 103 103 107 107 111 111 114 115 119 120 123 124 129 130 132 133 140 140 144 145 149 150 154 RELAÇÃO DE ABREVIATURAS APM DEB DGE-MEC DGIDC EOS JCGM ME NCTM Associação de Professores de Matemática Departamento da Educação Básica Direção Geral da Educação – Ministério da Educação e Ciência Direção Geral da Inovação e Desenvolvimento Curricular Modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática Bureau International des Poids et Mesures Ministério da Educação National Council of Teachers of Mathematics 1 INTRODUÇÃO GERAL A descrição de práticas da sala de aula e a posterior reflexão sobre as mesmas parecem-nos componentes fundamentais à compreensão dos processos de aprendizagem/ensino da Matemática. De facto, e não negligenciando a importância de que se revestem as atividades situadas a montante e a jusante desse momento – as que definem finalidades para essa área disciplinar, orientando o respetivo desenvolvimento curricular ou as práticas de avaliação das aprendizagens, por exemplo –, a compreensão e a reflexão sobre práticas letivas afiguram-se como preponderantes na construção de um cenário ilustrativo do desenvolvimento curricular desta disciplina, contribuindo dessa forma para um alargamento do corpus de conhecimento no âmbito da Educação Matemática. O objetivo principal desta investigação centra-se na descrição de práticas escolares de Matemática no 1º Ciclo da Educação Básica, especificamente das que visam o ensino e a aprendizagem das grandezas e processos de medição. A abrangência e a complexidade que caraterizam o estudo de práticas de sala de aula conduziram a pesquisa de um marco teórico que, no âmbito da Educação Matemática, disponibilizasse ferramentas adequadas para descrever, analisar e interpretar processos desta natureza. O modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática (EOS), descrito por exemplo em Godino e Batanero (1998), em Godino (2002) e em Godino, Contreras e Font (2006), afigurou-se adequado a estas exigências. O estudo empírico consequentemente realizado, de natureza eminentemente descritiva, insere-se num paradigma interpretativo, suportado na análise de segmentos de processos de instrução, integrados em aulas de Matemática do 1º Ciclo da Educação Básica dedicadas à exploração das grandezas e da medida, e referem-se à exploração das grandezas comprimento, massa e tempo. Este documento está organizado em seis capítulos. O Capítulo 1 expõe a problemática em investigação e é constituído por duas partes. Na primeira parte, procede-se à descrição formal dos conceitos de grandeza e de medida, que são alvo também de uma breve perspetiva histórica. Isabel Claudia Nogueira 8 principais e os seus respetivos múltiplos e submúltiplos, quase sempre relacionados por intermédio de potências de base 10. Refira-se que num ensaio do século XVI, o matemático belga Simon Stevin propunha já a adoção do princípio de funcionamento do sistema decimal para o sistema de unidades de medida: “… O uso das décimas é, de longe, “o método mais sensato (adequado) para se dividirem grandes quantidades em pequenas quantidades… E, como tal, seria da maior conveniência que o sistema decimal fosse usado no sistema monetário, bem como no dos pesos e das medidas” (Palhares et al, 2004, p.380). Com os avanços da tecnologia electrónica do século XX, a Medida parece não se resumir a mais do que meras atividades de leitura numérica. Com a generalização, vulgarização e acesso fácil a múltiplos e atrativos dispositivos tecnológicos, a sua dimensão experiencial é rapidamente substituída por manipulação automática de instrumentos de medição, tornando invisível a sua concetualização histórica e a sua natureza antropológica. 1.1.2 FORMALIZAÇÃO DOS CONCEITOS EMPÍRICOS DE GRANDEZA E DE MEDIDA Apresenta-se nesta secção uma formalização dos conceitos de grandeza e de medida de uma grandeza, baseada na sistematização proposta por Chamorro e Belmonte (1988). De acordo com estes autores, a construção do conceito de grandeza partirá necessariamente da definição do conjunto que a vai definir. Para tal, terá de estabelecer-se uma relação de equivalência que determinará a classificação de objetos de acordo com determinada característica: apresenta-se seguidamente o processo de construção desse conceito. Seja R uma relação binária definida da seguinte forma: mRn ⟺ m e n verificam da mesma forma certa característica Esta relação binária é uma relação de equivalência, uma vez que é simultaneamente reflexiva, simétrica e transitiva. De facto, Capítulo 1: Problemática em investigação 9 (i) mRm, ∀m (ii) ∀m,n: mRn ⇒ nRm (iii) ∀m,n,t: (mRn ∧ nRt) ⟹ mRt. A classificação resultante desta relação de equivalência definirá distintas classes de equivalência. O conjunto inicial será partido em distintos subconjuntos, cada um deles constituído por objetos que verificam da mesma forma a característica em causa, isto é, dentro de cada conjunto todos os elementos são equivalentes no que concerne à característica em causa. Seja então A o conjunto constituído por todos estes subconjuntos. Cada elemento de A é um conjunto de objetos a que chamaremos quantidade de grandeza; uma quantidade de grandeza será assim um conjunto de objetos que partilha determinada característica. É este conjunto de conjuntos que vai definir a grandeza, que, para o ser, poderá ser medida. De facto, no conjunto A, que define um atributo mensurável, pode definir-se uma lei de composição interna, que representaremos pelo símbolo *. Sejam A1 e A2 dois conjuntos de A e m e n dois objetos que verificam m∈A1 e n∈A2. Então,∃ tA: t = m*n. O conjunto A, dotado desta lei de composição interna *, constitui um semigrupo comutativo com elemento neutro, atendendo a: (i) ∀a,b,cA: a*(b*c) = (a*b)*c (ii) ∀a,bA: a*b = b*a (iii) ∃eA∀aA: a*e = e*a = a Pelo seu processo de construção, esta lei de composição interna goza ainda de outras propriedades que permitem definir uma ordem em A: (i) ∀a,b,cA: a*c = b*c ⟹a = b (lei do corte) (ii) ∀a,bA∃cA: a = b*c. Assim, sejam a e b dois elementos de A. Dizemos que a ≤ b se existir um elemento c de A que verifique b = a*c. Esta relação é reflexiva, anti-simétrica e transitiva, constituindo então uma relação de ordem: Isabel Claudia Nogueira 10 (i) a≤a, ∀aA (ii) ∀a,bA: a≤b ∧ a≠b ⟹ b ≰ a (iii) ∀a,b,cA: (a≤b ∧ b≤c) ⟹ a≤c Acrescente-se que, dadas as propriedades do semigrupo (A,*), a relação de ordem ≤ é uma relação de ordem total. Então, o conjunto A – que define a grandeza – com a lei de composição interna * e com a relação de ordem ≤ é um semigrupo comutativo, com elemento neutro e totalmente ordenado, o que nos permite comparar as quantidades de grandeza de dois objetos. No entanto, apesar de ser já possível determinar se um dado objeto x tem mais quantidade da grandeza que um objeto y, não é ainda possível saber em quanto x excede y. Para tal, será necessário definir o produto de um número real positivo por uma quantidade de grandeza, o que será feito de seguida. Define-se o produto ∙ de um número natural por uma quantidade de grandeza da seguinte forma: Seja a∈A e n∈ ℕ. Então n∙a = a*a*a*…*a , n vezes. Note-se que este produto goza das seguintes propriedades: (i) 1∙a = a, ∀aA (ii) (m+n)∙a = (m∙a)*(n∙a), ∀aA, m e n∈ ℕ (iii) (m∙n) ∙a = m∙(n∙a), ∀aA, m e n∈ ℕ (iv) m∙(a*b) = (m∙a)*(m∙b) ∀a,bA e m∈ ℕ (v) Se a≤b então n∙a ≤ n∙b ∀a,bA e n∈ ℕ Estenda-se agora esse produto aos números racionais positivos: Seja a e b∈A e 1/n ∈ ℚ, com n≠0. Escrevemos que (1/n)∙b = a se b = n∙a, o que significa dizer que 1/n é multiplicável por b se existir um elemento a de A que verifica b = n∙a. De uma forma geral, dizemos que m/n ∈ ℚ+ é multiplicável por um elemento b do conjunto A se existir outro elemento a de A que verifica m∙b = n∙a, e então (m/n)∙b = a. À semelhança do enunciado para o produto de um número natural por uma quantidade de grandeza, também este produto goza de algumas propriedades: (i) (r+s)∙a = (r∙a)*(s∙a), ∀aA, r e s∈ ℚ+ Capítulo 1: Problemática em investigação 11 (ii) (r∙s) ∙a = r∙(s∙a), ∀aA, r e s∈ ℚ+ (iii) m∙(a*b) = (m∙a)*(m∙b) ∀a,bA e r∈ ℚ+ (iv) Se a≤b então r∙a ≤ r∙b, ∀a,bA e r∈ ℚ+ Vejamos então como definir o produto de um número real positivo por uma quantidade de grandeza. Sejam agora a∈A e r um número real positivo. Considerem-se os conjuntos S1 e S2, que dividem ℚ em dois conjuntos disjuntos, S1={q∈ ℚ+: q < r} e S2 = {q∈ ℚ: r < q}, e os conjuntos A1 = {q∙a: q∈S1} e A2 = {q∙a: q∈S2}. Definindo H = {b∈A: a1 < b < a2, com a1∈A1 e a2∈A2}, este conjunto será constituído pelos elementos do conjunto A que são superiores aos produtos de a por um número racional positivo menor que r e inferiores aos produtos de a por um número racional positivo maior que r. Assim, se b∈H, então q1∙a < b < q2∙a, donde q1 ∈ S1 e q2 ∈ S2. Atendendo à construção anterior, este produto goza das propriedades: (i) (r+s)∙a = (r∙a)*(s∙a), ∀aA, r e sℝ+ (ii) (r∙s) ∙a = r∙(s∙a), ∀aA, r e s∈ ℝ+ (iii) r∙(a*b) = (r∙a)*(r∙b) ∀a,bA e r∈ ℝ+ (iv) Se a≤b então r∙a ≤ r∙b, ∀a,bA e r∈ ℝ+ Então, e uma vez que (1) (A,*,≤) é um semigrupo abeliano ordenado, (2) o conjunto dos números reais positivos multiplicáveis por todos os elementos do conjunto A é um semi-anel, e (3) o produto de um elemento desse semi-anel por qualquer elemento do conjunto A verifica todas as propriedades atrás enunciadas, bastará apenas garantir a existência de um elemento de A que, multiplicado por todos os números reais positivos multiplicáveis por todos os elementos de A, gere todo o conjunto A, para estarmos em condições de definir medida e unidade de medida. Desta forma, cada quantidade de grandeza (medida) poderá sempre ser expressa como o produto de um certo número por outra quantidade (unidade de medida). Isabel Claudia Nogueira 12 Pelo exposto, apresenta-se agora a definição de grandeza para, de seguida, se estabelecer os conceitos de medida e de unidade de medida: Definição 1: Seja A um conjunto de classes de equivalência onde se definiram uma soma + e uma relação de ordem <. O terno (A, < , +) designa-se por “grandeza” se (A, < , +) apresenta a estrutura de monóide comutativo e arquimediano. Afirme-se agora o que se entende por unidade de medida de uma grandeza: Definição 2: Seja S o conjunto de todos os números reais positivos multiplicáveis por todos os elementos do conjunto A (conjunto das quantidades de uma grandeza) e seja u um elemento desse conjunto. Designamos esse elemento u de A por “unidade de medida” se ∀aA∃rS: r∙u = a. Definido o conceito de unidade de medida de uma grandeza, emerge a definição de medida de uma grandeza, que poderá ser matematicamente formulada da seguinte forma: Definição 3: Seja a uma quantidade de grandeza e seja u uma unidade de medida. Chamamos “medida” de a em relação a u ao número real r que verifica r∙u = a, escrevendo então medida u (a) = r. Assim, medida u: A → S a → medida u (a) = r A medida constitui então um isomorfismo entre o conjunto A e um subconjunto dos números reais e, por tal, medir significa atribuir um número a uma quantidade de grandeza. 1.2 AS GRANDEZAS E A MEDIDA NA EDUCAÇÃO BÁSICA A formalização dos conceitos de grandeza e de medida já apresentada evidencia claramente a necessidade de adaptar o conhecimento que integra o seu corpus matemático às capacidades cognitivas caraterísticas dos alunos a quem serão apresentados. Esta adaptação do saber sábio em saber a ensinar – que Chevallard designou por transposição didáctica (1997,1999) – é uma das mais importantes atribuições da comunidade de educadores de matemática, assumindo ainda maior relevância para os que lidam com alunos dos primeiros anos da educação básica. Capítulo 1: Problemática em investigação 13 Para essa adaptação concorrem certamente as determinações curriculares emanadas pelos sistemas educativos e a produção provenientes da investigação didática, e deverão ser tidos em consideração os desempenhos manifestados pelos alunos sobre as aprendizagens efetuadas. 1.2.1 FINALIDADES, OBJETIVOS CURRICULARES E DESEMPENHO DOS ESTUDANTES Nos Princípios e Normas para a Matemática Escolar podemos ler o seguinte: “O estudo da medida é importante no currículo de matemática, do préescolar ao ensino secundário, devido à aplicação prática e à abundância de situações que envolvem a medida em vários aspectos da vida quotidiana” (National Council of Teachers of Mathematics, 2007, p. 48). Compreender o que é uma grandeza e tornar-se apto na utilização de unidades e processos adequados à medição de grandezas constituem aspectos fundamentais da Normas para a Medida. Para o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), a Medida deverá estar presente nos programas de ensino para os 3º8ºanos de escolaridade de forma que os alunos: a) Compreendam os atributos mensuráveis dos objetos e as unidades, sistemas e processos de medição. De uma forma mais explícita, isto significa que os alunos deverão compreender o significado de comprimento, de área de uma superfície, de peso e de volume de um corpo, e de amplitude de um ângulo e saber escolher unidades adequadas à sua medição. Além disso, deverão ter consciência das vantagens da utilização de unidades convencionais, nomeadamente as definidas no sistema métrico, e compreender as relações existentes entre as unidades de um mesmo sistema, efectuando conversões simples entre estas. Por outro lado, deverão compreender que uma medição é uma aproximação e explorar que grandezas serão alteradas quando se introduzem modificações em figuras bidimensionais. b) Apliquem técnicas, ferramentas e fórmulas adequadas para determinar medidas. Para a concretização deste objetivo, os alunos deverão saber seleccionar e aplicar instrumentos adequados às medições de comprimento, área, volume, peso, tempo, temperatura Isabel Claudia Nogueira 14 e amplitude de ângulos, utilizando unidades convencionais e com um grau de rigor previamente determinado. O desenvolvimento de estratégias de estimação de perímetros, áreas e volumes de formas irregulares e a selecção e definição de referências para estimação deverão ser atividades realizadas frequentemente. Além disso, deverão ser construídas e aplicadas fórmulas de cálculo simples para determinação do perímetro de círculos, de áreas de triângulos, de quadriláteros e de círculos, assim como exploradas estratégias que permitam o cálculo de áreas de figuras mais complexas. Acrescente-se ainda a importância do desenvolvimento de estratégias para a determinação de volumes de certos prismas, pirâmides e cilindros. A utilização de escalas, razões e proporções deverão igualmente fazer parte dos problemas propostos aos alunos, que poderão também envolver a determinação de taxas e de medida de grandezas derivadas, como a velocidade e a densidade. No contexto português, e recordando o Perfil Específico de Desempenho Profissional do Professor do 1º Ciclo do Ensino Básico, e no âmbito da educação em Matemática, este docente “ (…) promove nos alunos a aprendizagem dos conceitos, das técnicas e dos processos matemáticos implicados no currículo do 1º ciclo” (Decreto-Lei nº 241/2001). Segundo as Competências Essenciais definidas para a Matemática do Ensino Básico, a abordagem de grandezas e da medida deverá privilegiar “a compreensão dos conceitos de comprimento e perímetro, área, volume e amplitude, assim como a aptidão para utilizar conhecimentos sobre estes conceitos na resolução e formulação de problemas” e desenvolver “a aptidão para efectuar medições e estimativas em situações diversas, bem como a compreensão do sistema internacional de unidades” (DEB,1999, p. 62). Especificamente para 1º Ciclo da escolaridade básica, “a compreensão do processo de medição e a aptidão para fazer medições e estimativas em situações diversas do quotidiano, utilizando instrumentos apropriados” (DEB, 1999, p. 63) são apontados como aspectos essenciais. De acordo com o definido no atual Programa e Metas Curriculares para a Matemática do Ensino Básico, são três as finalidades para o ensino desta disciplina: Capítulo 1: Problemática em investigação 15 A estruturação do pensamento, entendendo o trabalho matemático como contributo essencial para “alicerçar a capacidade de elaborar análises objetivas, coerentes e comunicáveis” (Bívar et al, 2013, p. 2); A análise do mundo natural, porque “indispensável a uma compreensão adequada de grande parte dos fenómenos do mundo que nos rodeia” (Bívar et al, 2013, p.3); A interpretação da sociedade, pois “o método matemático constitui-se como um instrumento de eleição para a análise e compreensão do funcionamento da sociedade” (Bívar et al, 2013, p.3). O mesmo documento estabelece que, “a partir do nível mais elementar de escolaridade” e até ao fim do 3º ciclo da escolaridade básica, esta disciplina deverá contribuir “para a aquisição de conhecimentos de factos e de procedimentos, para a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático, para uma comunicação (oral e escrita) adequada à Matemática, para a resolução de problemas em diversos contextos e para uma visão da Matemática como um todo articulado e coerente.” (Bívar et al, 2013, p. 4) A partir destes objetivos gerais definidos transversalmente para o 1º, 2º e 3º Ciclos da Educação Básica – o conhecimento de factos e de procedimentos, o raciocínio matemático, a comunicação matemática, a resolução de problemas e o entendimento da Matemática como um todo coerente –, são especificados 3 domínios de conteúdos para o 1º Ciclo: Números e Operações, Geometria e Medida e Organização e Tratamento de Dados. No que à Medida diz respeito, os objetivos específicos estabelecidos para este ciclo de escolaridade prevêem a exploração de distância e do comprimento, da área, do tempo, dinheiro, da massa, do volume e da capacidade. As metas curriculares definidas para as aprendizagens das grandezas em estudo nesta investigação – comprimento, massa e tempo – visam: a comparação de diferentes quantidades da mesma grandeza; a utilização de unidades de medida não convencionais; a realização de medições com instrumentos adequados; a utilização de unidades de medida do sistema métrico; a conversão de medidas (no âmbito do sistema métrico e do sistema horário); Isabel Claudia Nogueira 16 a resolução de problemas relacionando medidas da mesma ou de diferentes grandezas (Bivar et al, 2013). Conclui-se esta parte da exposição apresentando informações que, de alguma forma, poderão contribuir para a caracterização do desempenho escolar de crianças no final do 1º Ciclo da escolaridade básica. No final do século XX e referindo-se às explorações das grandezas e processos de medição no contexto português, Ponte, Matos e Abrantes salientavam que “os resultados obtidos pelos alunos portugueses em estudos internacionais sugerem que tem existido uma ênfase exagerada nos aspectos de cálculo aritmético nos primeiros anos” (1998, p. 171). Em 2001, foram implementadas as Provas de Aferição das aprendizagens efectuadas na Língua Portuguesa e na Matemática por todos os alunos que, em cada ano letivo, terminam o 1º Ciclo da Educação Básica. No ano letivo 2011/2012, esta Prova de Aferição foi substituída pela Prova Final, destinado à monitorização e avaliação dos progressos na aprendizagem em Português e em Matemática de todos os alunos que frequentam o último ano deste ciclo da escolaridade básica. Nas Provas de Aferição de Matemática, os alunos respondiam a itens integrados em quatro áreas temáticas – Números e Cálculo, Geometria e Medida, Estatística e Probabilidades e Álgebra e Funções – sendo avaliados distintos aspectos da competência matemática: o conhecimento e a compreensão de conceitos e de procedimentos matemáticos, e as capacidades de resolução de problemas, de raciocínio e de comunicação matemática. A leitura dos últimos Relatórios Nacionais produzidos pelo Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério de Educação (GAVE) sobre as competências manifestadas nas provas de aferição pelos alunos no final do 1º Ciclo para a área temática da Medida permite algumas constatações. Os itens em que os alunos tradicionalmente revelam melhor desempenho destinam-se à avaliação de conceitos e procedimentos, apresentando em 2008 uma taxa de sucesso superior a 70%, subindo esse valor para 80% na prova de 2009 (GAVE, 2009; GAVE, 2010). Os itens de resolução de problemas são os que apresentam mais baixo desempenho, sendo apenas 38% a percentagem de alunos que chegou à solução correcta do problema proposto na prova de 2009 (GAVE, 2009). Capítulo 1: Problemática em investigação 17 Na prova realizada em 2008, foi em um item considerado de raciocínio matemático, que requeria a elaboração de uma sequência de raciocínios para o estabelecimento de relações entre medidas, que se verificou a maior percentagem de respostas consideradas totalmente erradas: cerca de 45% dos alunos não resolveram correctamente a proposta apresentada; no entanto, nesta mesma prova, 85% dos alunos indicou correctamente o valor em uma escala de um instrumento de medida de massa (GAVE, 2008). Refira-se que, relativamente à prova de aferição realizada em 2010, o item em que os alunos apresentaram melhor desempenho na área das Medidas destinava-se à avaliação do raciocínio matemático e um dos itens com piores resultados envolvia a compreensão de conceitos e procedimentos associados à determinação da área de um quadrado (GAVE, 2010). As respostas de cerca de um terço dos alunos que realizou a prova em 2011 a um problema envolvendo dinheiro (cuja resolução implicava leitura e interpretação de uma tabela e definição de uma estratégia que permitisse chegar a uma solução, respeitando três condições) indiciam uma completa incompreensão do problema, e cerca de 13% dos alunos revelam apenas compreensão parcial (GAVE, 2011). Em 2012, o melhor desempenho nos itens sobre Medida verificou-se numa situação de comparação de massas (dois terços dos alunos com respostas totalmente corretas). Uma vez mais, a resolução de problemas foi (juntamente com os de comunicação matemática,) um dos itens sobre Medida em que os alunos revelaram pior desempenho – apenas 12% dos alunos aplicou uma estratégia adequada que atendesse às condições apresentadas no enunciado sobre área e perímetro e apresentou uma solução correta para as dimensões de um retângulo que respeitasse essas condições (GAVE, 2012). Nas Provas Finais do 1.º Ciclo aplicadas no ano letivo 12/13 ao universo dos alunos do 4º ano de escolaridade das escolas públicas e dos estabelecimentos de ensino particular e cooperativo, cerca de 64% obtiveram classificação positiva na prova de Matemática, constatando-se que o número de provas com nível 2 é sensivelmente idêntico ao número de provas com nível 3 (32% das provas), sendo que, nesta disciplina, o número de provas com nível 4 – 27% das provas – é considerado muito significativo. (Santos, 2013). Em 2014, 64% dos alunos obtiveram classificação positiva na prova de Matemática, constatando-se que o número de provas com nível 2 é sensivelmente idêntico ao número de provas com nível 3 – 32 e 33%, respetivamente (Santos, 2014). Isabel Claudia Nogueira 24 A compreensão do processo de medição, por sua vez, deve ser promovida nos primeiros anos da educação básica mediante a realização de experiências de comparação e de utilização de medições: “El objetivo de esta materia ya no es tanto que el alumno conozca unas reglas como que explore, experimente, haga preguntas y conjeturas. En definitiva, que razone” (Chamoso et al, 2004, p. 47). Essas experiências deverão ser efetuadas pelas crianças pelo contacto e através da manipulação de diversos objetos de forma a neles reconhecerem a existência de diferentes atributos, nomeadamente os que são mensuráveis. A utilização de objetos do quotidiano e o recurso a situações do dia-a-dia dos alunos e que “deben de ser la prolongación natural de experiencias anteriores” (Castro Martínez, Olmo e Castro Martínez, 2002, p.103), permitem, por exemplo, o estabelecimento de limites, a procura e utilização de padrões e a quantificação de tamanhos, distâncias e tempos. Assim, as primeiras propostas de atividades de medição deverão basear-se na comparação de objetos e concretizar-se em atividades de composição, de decomposição e de classificação de objetos. Tais comparações deverão acontecer primeiro de forma directa e posteriormente indirecta; a comparação indirecta deverá iniciar-se com a introdução de um terceiro objeto, visando uma prática posterior da propriedade transitiva, e a sua progressão deverá acontecer com auxílio de sistemas de elementos intermédios, desejavelmente do tipo não estruturado. Os contactos iniciais com unidades de medida deverão acontecer com unidades de medida não standardizadas (Heuvel-Panhuizen e Buys, 2005), podendo a criança servir-se das suas próprias referências corporais, como a palma da mão e o pé, por exemplo1. No entanto, recuperamos de Alsina (1996) a complexidade acrescida inerente à medição do tempo, em que não podemos aplicar o mesmo tipo de procedimentos aplicáveis à medição de outras grandezas, que se traduz numa maior dificuldade de comparação direta ou indireta e numa maior urgência em utilizar mais precocemente as unidades de medida standardizadas. 1Excetua-se desta metodologia a exploração da grandeza tempo, cuja medição será sempre realizada de forma indireta, dada a sua impossibilidade de materialização em objetos. Capítulo 1: Problemática em investigação 25 Para que o aluno se aperceba que o valor da medida depende da unidade escolhida e que essa unidade deverá ser escolhida e/ou definida para cada situação concreta, deverão ser utilizadas diferentes unidades para uma mesma medição. A pouca adequação ou variabilidade que as distintas realizações deverão evidenciar poderão fazer emergir a necessidade de utilização de unidades convencionadas, pelo seu carácter exacto e universal. A aplicação sucessiva e repetida de uma unidade padrão pressupõe que a criança tenha interiorizado a noção de que o todo é constituído por partes, que essas partes podem ser iguais e que com a aplicação de uma parte sobre as outras se poderá reconstituir o todo, iniciando-se desse forma a construção de um sistema de medida. Compreender a necessidade de utilizarmos sistemas de unidades é, do ponto de vista didáctico, complexo; no entanto, e no que respeita ao Sistema Métrico Decimal, existe alguma tendência em considerar que os alunos o interiorizam de forma natural, atendendo à sua forte presença nas atividades do quotidiano. Além disso, o estabelecimento de relações correctas entre as diferentes unidades de um mesmo sistema é mesmo vezes entendido como sinónimo da sua correcta utilização, o que não corresponde necessariamente à realidade. Chamorro refere em (2003b) a necessidade de recurso a atividades de manipulação, tanto no marco aritmético como no geométrico, para que seja possível assegurar a compreensão e descoberta das relações existentes entre unidades. Por outro lado, as atividades envolvendo medições deverão fazer com que o aluno seja progressivamente mais capaz de seleccionar, de maneira adequada e autónoma, os instrumentos de medida em função da grandeza a avaliar, seja capaz de realizar correctamente esse processo e de indicar o resultado dessa experimentação. A construção de instrumentos simples de medida poderá igualmente constituir um momento bastante significativo na aprendizagem de medições: esses instrumentos deverão estar adaptados aos objetos que serão alvo de medição e deverão ser adequados à medição da grandeza em causa. No entanto, e dado o carácter utilitário destes conteúdos, deverá privilegiar-se, em simultâneo, o uso de instrumentos utilizados na vida quotidiana – réguas, balanças, relógios, Isabel Claudia Nogueira 26 calendários, por exemplo –, propiciando oportunidades de articulação com vivências e necessidades do dia-a-dia do aluno, que oferecem muitas oportunidades de aplicação da medida tanto de forma espontânea como criativa (Tucker, 2014). Nas últimas décadas, os estudos sobre o desenvolvimento do sentido de medição (Leher, Jenkins e Osana, 1998; Leher, 2003; Rosa, 2009) avançam com oito constituintes determinantes à coordenação e consolidação progressiva desse desenvolvimento: 1. Relação unidade-atributo – relativa à correspondência que deve ser estabelecida entre o atributo a medir e as unidades que servirão para esse feito. A seleção de uma unidade adequada pressupõe a conexão apropriada entre as entidades ou objetos a medir e as ferramentas disponíveis para a realização dessa medição. 2. Iteração – refere-se à acumulação de unidades de medida para a obtenção de uma quantidade, o que implica a sua reutilização. A repetição de uma unidade de medida implica que seja entendido tanto que uma grandeza pode ser subdividida como que as suas subdivisões podem ser acumuladas e, se necessário, reorganizadas para a determinação do valor dessa grandeza. 3. Tiling – diz respeito ao preenchimento total de espaços com figuras. A utilização de subfiguras deve resultar na reconstituição completa do objeto que se pretende medir, sem exclusão de nenhuma das suas partes. 4. Unidades idênticas – o processo de contagem de unidades idênticas produz de imediato o resultado da medição mas a utilização simultânea de unidades distintas deve ser explicitada no resultado final. 5. Standardização – diz respeito às convenções estabelecidas para a utilização das unidades na comunicação de valores de medição 6. Proporcionalidade – a utilização de unidades diferentes na medição de uma mesma grandeza pressupõe a consciencialização de que diferentes valores podem representar a mesma medida da grandeza em causa e da proporcionalidade inversa entre o tamanho da unidade de medida e o valor da medição. 7. Aditividade – as unidades podem ser compostas e decompostas de forma que a grandeza total é equivalente à soma das grandezas de qualquer conjunto arbitrário de objetos em que se dividiu o objeto inicial. Capítulo 1: Problemática em investigação 27 8. Origem – determinante nas situações em que a medição é realizada com recurso a uma escala. Em escalas regulares, qualquer localização da escala pode servir como origem para a medição da grandeza. Apesar de constituir um tema incluído em todos os curricula escolares de Matemática, nas abordagens escolares envolvendo processos de medição persistem desvios e erros sistemáticos, já sinalizados por Brosseau (2000) e Belmonte et al (2000): Desvios associados ao sistema numérico – consequência da utilização exclusiva de números inteiros, que frequentemente não permitem distinguir quantidades diferentes da mesma grandeza, e mesmo no uso de números racionais em representação decimal, pela limitação de dígitos na componente decimal; Erros associados aos procedimentos de cálculo, como nos arredondamentos; Imprecisões introduzidas pela pouca precisão ou fiabilidade dos instrumentos de medida; Imprecisões ligadas à instabilidade do objeto a medir ou das condições de medida (caso de envergaduras ou objetos esféricos, por exemplo); Erros provenientes de resultados impossíveis de obter em procedimentos ou cálculos. Na exploração dos conceitos de grandeza e/ou medida, Aires e Campos (2011) apontam não só as dificuldades mais frequentemente detectadas nas práticas desta temática como também referem os erros mais comuns cometidos pelos alunos nas suas atividades. O não reconhecimento de uma relação de proporcionalidade inversa entre unidade de medida e valor da grandeza a medir acontece com muita frequência e é recorrente a confusão entre os conceitos de perímetro e área (e também entre área e volume); o uso excessivo de valores inteiros nas situações exploradas é apontado como um dos motivos que leva os alunos a assumir apenas os números inteiros como medidas exactas, e a utilização de dados irreais em enunciados apresentados aos alunos poderão dificultar quer atividades de estimação, quer mesmo o seu espírito crítico (Aires e Campos, 2011). Para as mesmas autoras, uma inadequada análise sensorial (estimar um grandeza através do recurso a um sentido errado) poderá, em certos casos, justificar a selecção incorrecta do instrumento de medição a utilizar em cada situação, apontando ainda a baixa Isabel Claudia Nogueira 28 utilização de diferentes instrumentos de medição em situações variadas como causa para a manipulação incorrecta dos mesmos e, consequentemente, para a obtenção de valores de medições errados (Aires e Campos, 2011). No que concerne especificamente à grandeza comprimento, as primeiras aprendizagens referem-se à comparação direta de objetos (Lindquist, 1989) e à utilização de unidades concretas (cordas, tiras de papel) para determinar o comprimento de objetos diferentes, que permitem associar objetos maiores a contagens superiores (Hiebert, 1981). Num estudo desenvolvido com alunos portugueses de 9 anos, concluiu-se que apenas 21% dos alunos conseguia medir correctamente um comprimento quando a origem da escala não coincidia com o extremo da régua e, mesmo com auxílio do professor, um terço manifestava ainda insucesso nessa atividade (Ramalho e Correia, 1994), revelando assim, como apontado por Chamorro, desconhecimento do funcionamento dos instrumentos de medida; esta autora reclama, por isso, a necessidade de se realizarem aprendizagens sistemáticas da utilização dos instrumentos de medição mais comuns (Chamorro, 1995, 2001). Por sua vez, Castle e Needham (2007) verificaram que, para alguns alunos, medir não é significativamente diferente de contar, não fazendo a distinção entre unidades diferentes na mesma contagem e constatando também que na ausência de unidades ‘suficientes’, terminam a medição sem que esta esteja totalmente finalizada. A caracterização das práticas letivas na exploração das grandezas e das medidas no 1º Ciclo da Educação Básica apresentada em Nogueira (2004) revelou que os professores que participaram neste estudo privilegiam as atividades de observação, comparação e ordenação de objetos e/ou de espaços existentes nas salas de aula ou na escola para a introdução da grandeza comprimento. De acordo com os resultados descritos por Nogueira sobre práticas de ensino relativas à medição do comprimento, existe uma clara prevalência na “proposta de atividades de medição utilizando unidades de medida não standard como palmo da mão e do pé, lápis e palhinhas” (2004, p. 30) por parte dos professores de alunos no 1º ano de escolaridade, tendência que se mantém nos dados relativos ao 2º ano de escolaridade. No que respeita à construção e utilização de instrumentos de medição nas atividades desenvolvidas em sala de aula constatou-se a utilização frequente da régua e do metro articulado (este último, por vezes construído pelos próprios alunos) nas atividades de medição Capítulo 1: Problemática em investigação 29 de comprimentos no 3º ano de escolaridade, sendo a utilização destes instrumentos referida pela totalidade dos professores do 4º ano de escolaridade. A incorporação de sistemas de representação e notação relativa à medida nas experiências de aprendizagem dos alunos é apontada por Greeno e Hall (1997) como potenciadora da compreensão e aprendizagem da medida. A esse respeito, Leher (2003) sublinha que a utilização de utensílios tecnológicos, (mediando a associação unidade/repetição de unidades) contribui para a reestruturação mental da unidade, que o registo e representação simbólica de unidades antropomórficas utilizadas na medição de comprimentos ajudam os alunos a compreendê-las como unidades de medida, e que as oportunidades de divisão sucessiva de unidades (para que os alunos entendam a partição da unidade) favorecem igualmente aprendizagens no campo operatório das fracções. As noções de massa e peso parecem de difícil distinção em idades precoces, sendo a primeira praticamente abandonada e mobilizada apenas a segunda. Peso e massa, no entanto, não são o mesmo. O peso é a força exercida pela gravidade de um objeto sobre a sua massa, que é a sua quantidade de matéria. No entanto, como corpos de massa igual têm o mesmo peso no mesmo local, em contextos de escolaridade básica estes termos são empregues indistintamente. Dickson (1991) refere mesmo um estudo realizado com crianças de 11 anos e em que, quando lhes foi apresentada uma massa de 20g e pedida a sua designação, nenhuma empregou a palavra massa. Nas aprendizagens iniciais, a noção de massa/peso é associada à propriedade peso, com referência às relações mais leve/mais pesado, a partir da qual se introduz gradualmente a medição mais precisa desta grandeza com a utilização de balanças de dois pratos, primeiro com objetos e posteriormente com pesos como o grama e o quilograma. Em contexto escolar, como em muitos outros, compara-se a massa de dois corpos utilizando balanças de dois pratos e em resultado dessa comparação afirma-se que têm o mesmo peso (e não que têm igual massa) ou que um é mais pesado/mais leve que o outro (Rodrigues, 2007). Piaget sugere que a noção de substância ou quantidade são prévias às de peso ou massa, e que antes de conceber o peso de um objeto, a criança terá de construir a conservação Isabel Claudia Nogueira 30 da substância, que acontece por volta dos 7 anos de idade, sendo a conservação do peso construída sensivelmente por volta dos nove anos. No estudo realizado por Nogueira (2004), a introdução do conceito de massa de um corpo no 1º Ciclo do Ensino Básico baseia-se em atividades de comparação de pesos de objetos do quotidiano para a sua classificação como mais leves ou mais pesados, acontece através da realização de atividades de pesagem realizadas na sala de aula em simulações de supermercados, por exemplo, ou até mesmo na sequência de visitas a locais exteriores à escola para observação de atividades de pesagem. Relativamente à exploração da massa/peso de um objeto, refere-se como práticas mais apontadas pelos professores dos quatro anos de escolaridade a utilização de balanças de dois pratos para comparação de massas de objetos comuns e a determinação de objetos com a mesma massa. As noções relacionadas com a medida e as unidades de comprimento são frequentemente mobilizadas na abordagem do conceito de área de uma superfície, sendo ampliada a ideia de contorno à de superfície bidimensional limitada (Battisti, 2007; Nehring, C., Pozzobon, M. e Battisti, I, 2010). Como recordam Stephen e Clements (2003), a repetição sucessiva e exaustiva da unidade de medida sobre a totalidade da extensão que está a ser medida pressupõe, no caso de superfícies planas, que nenhuma unidade possa sobrepor-se a outra (justaposição) e que não seja ignorada nenhuma parte dessa extensão. No caso da área, a unidade de medida tipicamente selecionada é de forma quadrada mas qualquer outra forma serve para essa função. Em qualquer um dos dois casos, a reiteração da unidade de medida fixada pode ser entendida de duas formas distintas (Dickson, 1991): concebendo o deslocamento sucessivo dessa unidade, até à total cobertura da superfície a medir, ou concebendo a superfície a medir como coberta por uma película onde se repete muitas vezes uma mesma célula, a unidade de medida. A pavimentação ou equidecomposição inerentes a estas duas conceções, no entanto, são pouco frequentes nas atividades escolares (Chamorro, 1995), com maior prevalência na utilização de cálculo e procedimentos algorítmicos de medição baseados quase exclusivamente em unidades de forma quadrada, eliminando outras referências de natureza topológica. Capítulo 1: Problemática em investigação 31 A par da quase inexistente abordagem concetual, a determinação da área de uma superfície por recurso a cálculos sustentados em dimensões lineares tem sido apontada como umas das origens da confusão entre área e perímetro (Dickson, 1991), que parece manter-se nos percursos escolares posteriores. Em 2013, num estudo em que participaram 94 estudantes, futuros professores da Educação Básica, quanto solicitados a pronunciarem-se sobre o significado de perímetro de uma figura plana, apenas 26% selecionou a opção “comprimento da linha que a delimita”, sendo a resposta “é a soma dos seus lados” a eleita por 64% destes estudantes. Desse conjunto de estudantes, uma percentagem muito significativa (44%) afirma ser possível determinar a área da superfície de qualquer polígono pela multiplicação do seu comprimento pela sua largura e cerca de 22% refere não ser capaz de decidir da validade dessa estratégia; num item relacionado com a conversão entre unidades de medida de superfície, apenas cerca de um quinto dos inquiridos selecciona a opção correta e mais de metade seleciona uma resposta incorreta (Nogueira, 2013). Estes resultados apresentam-se em consonância com os obtidos num estudo similar desenvolvido por Ribeiro (2009), que evidencia aspectos críticos identificados relativamente ao conhecimento sobre conteúdos sobre medida no espaço bidimensional. Apesar da necessidade de o medirmos remontar ao período neolítico, o que motivou já nessa altura o aparecimento de calendários (Berenguer e Pérez, 1996), o conceito de tempo foi, desde sempre, difícil de definir. Desde os tempos mais remotos que o Homem tenta localizar cronologicamente factos e acontecimentos e procura definir de um modo cada vez mais rigoroso o que lhe é mais relevante, aspirando que o seu quotidiano seja marcado por alguma forma de organização temporal: de modo análogo, localizar, definir e organizar o tempo são as principais atividades inerentes à sua exploração matemática no 1º Ciclo do Ensino Básico. A exploração das rotinas diárias dos alunos e a “análise da ocorrência ou duração de alguns factos ou fenómenos (por exemplo, sucessões das estações do ano, nascimento/crescimento/morte; alternâncias noite/dia, tempo de aulas/tempo de recreio)” (Nogueira, 2004, p. 52), são as situações mais frequentemente indicadas por professores na introdução da grandeza tempo. Isabel Claudia Nogueira 32 Estas práticas vão de encontro às indicações de Alsina (1996), que considera fulcral anteceder a medida de intervalos de tempo com uma adequada estruturação do tempo cíclico. No que diz respeito à medição desta grandeza, a utilização de relógios, calendários e horários é referida como a atividade mais frequentemente proposta como estratégia de introdução e consolidação de processos de medição do tempo (Nogueira, 2004). Para Piaget, as crianças no período pré-operacional não são capazes de coordenar as sucessões temporais e espaciais, confundindo os conceitos de tempo, distância e velocidade: o conceito de tempo é adquirido quando a criança já tem a noção de velocidade sob uma forma operatória (Roazzi, 2001), e que os conceitos de tempo, distância e velocidade constroem-se de forma ontogenética. À semelhança do que acontece na vida quotidiana, em contextos de escolaridade básica, os conceitos de volume e capacidade são mobilizados de forma um pouco confusa (Dickson, 1991). Para Kerslake (1996), a designação volume de um objeto é utilizada associada ao ‘volume interno’ desse objeto, que é a sua capacidade, mas é também associada ao ‘volume externo’, referindo-se ao espaço que esse objeto ocupa sendo que na grande maioria das situações da vida real, o conceito mobilizado é o de volume interno. Em contexto escolar, a mesma autora refere que a noção de volume associada ao espaço ocupado reduz-se quase completamente a exercícios de cálculo de volumes de sólidos, sem desenvolver a compreensão da noção de volume, resultando muitas vezes na aplicação da fórmula de cálculo incorrecta (como acontece frequentemente no caso das fórmulas da área e do volume do cilindro). Dickson (1991), por sua vez, refere as atividades práticas de preenchimento de espaços ocos (recipientes) realizadas frequentemente pelos alunos resultam em uma inadequada apropriação do volume como espaço ocupado. Esta autora recomenda, por isso, que sejam realizadas atividades específicas para uma e outra grandeza, assinalando ainda a importância da realização de tarefas de conservação do volume e da capacidade como formas de promover a compreensão e distinção concetual de ambas. 33 CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO Um bom esquema vale mais que um longo discurso. Bonaparte Ao longo deste capítulo serão expostos os pressupostos e noções teóricas que sustentam o desenvolvimento desta investigação. Começaremos por descrever o modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática (EOS), corrente emergente na área da Didática da Matemática que assumirá um papel central em toda a nossa investigação; Posteriormente serão elencados alguns dos seus principais constructos e daremos especial relevância àqueles que consideramos particularmente úteis e adequados à proposta de trabalho que apresentamos para execução. Concluiremos esta primeira fase elencando contributos oriundos de investigações concretizadas e sustentadas neste marco teórico-metodológico. 2.1 MODELO ONTOSSEMIÓTICO DO CONHECIMENTO E INSTRUÇÃO MATEMÁTICA Proposto e desenvolvido há praticamente duas décadas por Godino e colaboradores (Godino e Batanero, 1998; Godino, Batanero e Roa, 2005; Godino, Contreras e Font, 2006; Godino, Batanero e Font, 2007), o modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática (EOS) propõe-se explicar fenómenos ocorridos nos processos de aprendizagem/ensino da Matemática. Para esse efeito, o EOS parte de três pressupostos de carácter epistemológico e psicológico: (i) a Matemática constitui uma atividade humana que visa a resolução de situações problemáticas originárias do mundo físico, social e/ou da própria Matemática Por tal tal, as suas conceptualizações são fruto das acções dos indivíduos nas tentativas de solucionar tais problemas; (ii) a Matemática consiste numa linguagem simbólica que explicita as situações problemáticas e as soluções encontradas para essas situações. Isabel Claudia Nogueira 40 matemáticos que podem intervir e/ou emergir nesses processos de estudo: elementos linguísticos (termos, expressões, notações, representações gráficas, por exemplo, nos registos escrito, oral, gestual, …); elementos concetuais (introduzidos por definições ou descrições de entidades matemáticas); elementos de carácter procedimental (como as operações, os algoritmos e as técnicas); elementos proposicionais (relacionados com a enunciação de propriedades) e elementos de carácter argumentativo (justificações formuladas para explicar ou validar proposições enunciadas ou procedimentos efetuados). Na abordagem de qualquer situação-problema, são os elementos linguísticos que, simultaneamente, permitem representar os restantes elementos que nela intervêm e servem como instrumentos para a ação; os procedimentos e as proposições, por sua vez, relacionam os elementos conceptuais e são justificados pela argumentação produzida durante essa abordagem. Associados a estes objetos matemáticos, e partindo-se de um processo de problematização, encontram-se os processos matemáticos de comunicação, definição, enunciação, argumentação e algoritmização. Na Figura 1 estão representados tanto os vários tipos de objetos matemáticos como os processos matemáticos a que estes se referem. Figura 1: Objetos e processos primários (Fonte: Godino, Font e Wilhelmi, 2008) Capítulo 2: Marco teórico 41 Tendo como principal finalidade descrever a complexidade semiótica dos objetos e significados das práticas matemáticas realizadas, este nível de análise permite, por um lado, aceder à sequência de interações manifestadas entre estudantes e entre estudantes e professor, e, por outro, possibilita a produção de explicações para eventuais faltas de concordância semiótica ocorridas nas mesmas. Na análise de processos de instrução matemática, assumem particular relevância as manifestações que indiciam alguma discrepância entre os significados atribuídos a uma mesma expressão por sujeitos ou instituições diferentes: quando tal acontece, estamos perante um conflito semiótico (Godino, Batanero e Font, 2007). Quando essa discrepância acontece entre práticas de um mesmo sujeito, falamos de conflito semiótico do tipo cognitivo; se essa disparidade se verifica em práticas realizadas em instituições diferentes, estamos perante um conflito semiótico do tipo epistémico. Um conflito semiótico é do tipo interacional quando decorre da interacção social entre dois sujeitos distintos. Na base de tais discrepâncias poderão estar, por exemplo, o carácter convencional subjacente a algumas das regras matemáticas, a substituição de conceitos de índole matemática pelas suas representações e a utilização simultânea de registos de carácter verbal, simbólico e gráfico, por exemplo. Como consequência de interpretação dos objetos e dos seus significados, definem-se cinco dimensões duais, de acordo com o contexto e o jogo de linguagem em que participam, formuladas em pares que se complementam de forma dual e dialéctica, a saber: dimensão pessoal/institucional, dimensão ostensivo/não ostensivo, dimensão expressão/conteúdo, dimensão extensivo/intensivo e dimensão unitário/sistémico: Como podemos observar no esquema da Figura 2, esta vertente de análise assenta na aplicação do conceito de processo matemático e da tipologia de objetos que contempla objetos primários e secundários – dualidades ou atributos contextuais: Isabel Claudia Nogueira 42 Figura 2: Objetos e processos secundários (Fonte: Godino, Font e Wilhelmi, 2008) DIMENSÃO PESSOAL/INSTITUCIONAL A cognição matemática deverá considerar duas facetas: a faceta pessoal – consequência do pensamento e ação do sujeito quando colocado perante determinado tipo de problemas – e a faceta institucional – resultante da interação ocorrida entre indivíduos que compõem uma comunidade de práticas (Godino, Batanero e Font, 2007). Uma mesma expressão pode dizer respeito a um objeto pessoal num contexto (quando emerge das práticas realizadas por um indivíduo na execução de uma atividade, por exemplo) ou institucional em outro contexto (quando é apresentado no livro de texto ou é utilizado em uma explicação de um professor, por exemplo). DIMENSÃO OSTENSIVO/NÃO OSTENSIVO As manifestações dos objetos podem apresentar-se de forma ostensiva, isto é, de maneira directamente perceptível – pela utilização de entidades linguísticas (orais, escritas ou gestuais) ou de entidades praxémicas suportadas na sua constituição e funcionamento por Capítulo 2: Marco teórico 43 elementos linguísticos – ou não ser directamente percepcionada, isto é, não ostensiva, como por exemplo com objetos pensados ou imaginados mas não manifestados de forma material. Refira-se, no entanto, que as entidades ostensivas são necessárias à constituição e ao funcionamento das entidades não ostensivas: como tal, a linguagem é vista como a faceta ostensiva dos objetos matemáticos. DIMENSÃO EXPRESSÃO/CONTEÚDO Baseado no carácter essencialmente relacional da atividade matemática, torna visível a correspondência entre uma expressão (significante) e o seu significado, estabelecidas por um sujeito pessoal ou institucional. Esta relação é concebida por Godino e Batanero (1998) como uma função semiótica, entendida como uma correspondência entre conjuntos que equaciona um plano de expressão (objeto inicial), um plano de conteúdo (objeto final) e um critério ou regra de correspondência entre os conjuntos. Trata-se, assim, de relações estabelecidas por um sujeito, pessoal ou institucional, que associam um antecedente a um consequente, respeitando determinado critério. DIMENSÃO INTENSIVO/EXTENSIVO Esta dualidade permite centrar a atenção na dialética entre o geral e o particular, uma vez que na atividade matemática um determinado objeto pode intervir em um jogo de linguagem como um caso particular ou como representante de uma classe de objetos. A atividade principal da Matemática interessa-se sistematicamente pela generalização de problemas, pelas suas soluções e pelo discurso com que estes são descritos e organizados. A identificação de classes de problemas e o desenvolvimento de técnicas de generalização possibilitam a construção de estruturas progressivamente mais globalizantes. Para o EOS, quando se procede à análise de atividades matemáticas deve distinguir-se, em cada circunstância, se um dado objeto é em si uma classe (tipo) ou é um elemento de uma classe (exemplo de um tipo). Isabel Claudia Nogueira 44 DIMENSÃO SISTÉMICO/UNITÁRIO Se o significado de um objeto é o conjunto das práticas em que este é essencial, então o objeto pode ser considerado como um só elemento ou como um conjunto sistémico de práticas em que não só intervém como também se relaciona com outros objetos. Assim, para a dimensão sistémico/unitário, um objeto matemático pode intervir em alguns processos de estudo como um sistema cujo estudo implica a sua decomposição, e esse mesmo objeto, em outros processos de estudo, poderá intervir como entidade elementar. Na Figura 3, na página seguinte, encontra-se também em representação esquemática, não apenas os tipos de objetos e os processos matemáticos mais relevantes propostos pelo modelo EOS, mas também as dimensões duais que foram enunciadas. Estas cinco dimensões são entendidas como atributos que poderão ser aplicados aos vários objetos, concedendo-lhes diferentes versões através dos respetivos processos de natureza cognitiva e/ou epistémica: personalização-institucionalização; materialização-abstracção/idealização; representação-significação; generalização-particularização; decomposição-reeificação. Em conjunto, estas entidades permitem modelar a atividade matemática como um sistema de práticas operativas e discursivas, evidenciando os três pressupostos de carácter epistemológico e psicológico que sustentam o EOS, a génese pessoal e institucional do conhecimento matemático e a sua mútua interdependência. A formulação destes contributos teóricos permite que, neste nível de análise, se identifiquem e caracterizem as configurações e trajectórias didácticas desse processo de estudo, mediante a representação da sequência de interações manifestadas entre estudantes e entre estudantes e professor. O modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática concebe uma configuração didática como uma rede de objetos intervenientes e/ou emergentes dos sistemas de práticas e das relações estabelecidas entre eles, sendo por isso indispensável à realização e avaliação de qualquer prática. Capítulo 2: Marco teórico 45 Figura 3: Modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática (Fonte: Godino, Batanero e Font, 2007) A noção de configuração didática é apresentada por Godino, Batanero e Font como “constituida por las interacciones profesor-alumno a propósito de un objeto o contenido matemático y usando unos recursos materiales específicos. Se concibe como una realidad organizacional, como un sistema abierto a la interacción con otras configuraciones de las trayectorias didácticas de las que forman parte. El proceso de instrucción sobre un contenido o tema matemático se desarrolla en un tiempo dado mediante una secuencia de configuraciones didácticas” (2008, p.12) Para o EOS, o desenvolvimento de qualquer processo de estudo fica descrito através de uma sequência de configurações didáticas, como representado na Figura 4. Isabel Claudia Nogueira 46 Figura 4: Interações didáticas (Fonte: Godino, Batanero e Font, 2008) Para o EOS, só é possível avaliar quer o significado pretendido quer o significado implementado em um processo de instrução se previamente for estabelecido o significado de referência que lhes sirva de comparação. Por tal, cada configuração didática contempla uma configuração epistémica (rede de objetos institucionais constituída por uma tarefa, conceitos, procedimentos, linguagem, proposições e argumentos associados), a que por sua vez está associada uma configuração instrucional (constituída pelo conjunto de objetos docentes, discentes e mediacionais originados por uma situação-problema ou tarefa matemática proposta). A configuração cognitiva – rede de objetos pessoais – identifica o conjunto de objetos que interagem e/ou emergem dos sistemas de práticas pessoais accionadas aquando da implementação de uma configuração epistémica, permitindo a descrição das aprendizagens que se vão construindo durante o processo de estudo. Assim, e de acordo com Gusmão, Font e Cajaraville, “as configurações de referência são ferramentas que permitem avaliar e compreender as [configurações] de ordem pessoal que são ativadas nas práticas de resolução de problemas” (2009, p. 113). 2.1.4.3 Identificação das normas subjacentes à realização do processo de estudo O EOS adopta una perspetiva global sobre a dimensão normativa da Didática da Matemática, que integra as noções de contrato didático e de normas sociais e sociomatemáticas vigentes nesta área. Capítulo 2: Marco teórico 47 Focalizando-se nos fenómenos de interacção social presentes nos processos de aprendizagem/ensino da Matemática, neste nível são identificadas e analisadas as regras, hábitos e normas que, por um lado, regulam e possibilitam os processos de estudo e, por outro, afetam cada uma das dimensões implicadas e suas interacções. Para D’Amore, Font e Godino (2007), tais normas condicionam todas as fases de um processo educativo em todas as suas dimensões. Esta abrangência justifica, para estes autores, a classificação destas normas atendendo a dois critérios complementares: de acordo com o momento em que intervêm e atendendo à faceta ou dimensão do processo de estudo a que essa norma diz respeito. As regras e normas que regem um processo de estudo manifestam-se nas diferentes fases desse processo – desenho curricular, planificação, implementação e avaliação –, desde que tenham sido contemplados os significados de referência que orientam e determinam os significados pretendidos até aos significados implementados por via da concretização do processo de estudo: como consequência, importará identificar os aspectos normativos que regem cada uma destas fases. Interessará também identificar: as normas subjacentes às distintas dimensões ou facetas de um processo de estudo (epistémica, cognitiva, interacional, mediacional, afectiva e ecológica), uma vez que esta identificação permitirá conhecer as regras reguladoras do trabalho do professor e dos alunos com o saber matemático (entendidos como sistemas de práticas institucionais e pessoais, respetivamente); as regras que pautam as interações entre professor e aluno e entre alunos; as normas que condicionam a utilização de recursos de carácter tecnológico ou temporal; as normas relacionadas com a faceta afetiva dos intervenientes no processo de estudo as regras relacionadas com o contexto (educativo, cultural, da própria sala de aula,…) em que o processo de estudo tem lugar. 2.1.4.4 Valoração da adequação didática do processo de instrução Isabel Claudia Nogueira 48 O EOS define idoneidade ou adequação didáctica como o critério sistémico que avalia a pertinência ou adequabilidade de um processo de estudo relativamente ao projecto educativo de que faz parte. A concordância entre os significados pessoais construídos pelos estudantes e os significados institucionais pretendidos e/ou implementados revela-se assim o principal indicador empírico para esta dimensão (Godino, Bencomo, Font e Wilhelmi, 2006). Baseado nos níveis de análise precedentes, o resultado deste nível de análise constitui uma síntese final visando quer a identificação de aspectos reveladores de práticas adequadas, quer de situações que poderão/deverão ser alvo de ajustes em novas implementações de processos de estudo análogos. A operacionalização deste nível de análise é obtida mediante a introdução de seis critérios parciais, relacionados com as dimensões simultaneamente características e condicionadoras de qualquer processo de aprendizagem/ensino, que possibilitam julgar a adequação didáctica desse processo relativamente a cada uma das seguintes dimensões: epistémica, cognitiva, interacional, mediacional, afetiva e ecológica. A organização deste nível de análise está patente na representação diagramática apresentada na Figura 5: Figura 5: Critérios de adequação didática (Fonte: Godino, 2011) Capítulo 2: Marco teórico 49 Para cada um destes critérios parciais, o EOS propõe alguns indicadores, que são discriminados em seguida. ADEQUAÇÃO EPISTÉMICA A adequação epistémica de um processo de estudo traduz o grau de representatividade dos significados institucionais implementados (ou pretendidos) relativamente a um significado de referência. Como tal, será necessário analisar como se concretizou cada tipo de objetos presente em um processo de estudo. No que respeita às situações-problema, deverão ser alvo de análise as situações de problematização propostas e verificada a existência de uma amostra coerente e representativa de situações de contextualização, exercitação e aplicação. As situações de expressão e interpretação – recorrendo a várias formas de expressão (verbal, gráfica, simbólica, por exemplo) e às suas traduções e conversões – e o uso de linguagem adequada ao público-alvo são indicadores que permitirão julgar a adequação dos objetos linguísticos. Os elementos proposicionais deverão ser analisados atendendo às situações propostas para geração e negociação das regras, à enunciação clara e correcta das definições, enunciados e procedimentos fundamentais do tema em estudo, de acordo com o seu significado de referência e respeitando o nível educativo a que se dirige. Deverá igualmente considerar-se a promoção de momentos de validação e avaliar o grau de adequação das explicações e demonstrações formuladas, assim como a articulação dos objetos matemáticos presentes e das várias configurações em que estes se organizam. ADEQUAÇÃO COGNITIVA A proximidade entre os significados pessoais e os significados pretendidos/implementados e o grau de adequação destes últimos à zona de desenvolvimento potencial dos estudantes configuram o grau de adequação cognitiva de um processo de aprendizagem/ensino. Nesta dimensão, deverá apreciar-se se os estudantes apresentam os conhecimentos prévios necessários ao tema em estudo (no que respeita aos conceitos, linguagem, Isabel Claudia Nogueira 56 ANÁLISE EMOCIONAL Focaliza-se nas atitudes e nos sentimentos dos estudantes sobre/durante a implementação do processo de estudo. A motivação, o envolvimento e a participação efetiva dos estudantes nas atividades que lhes são propostas na sala de aula são factores que desempenham um papel inegável nas suas aprendizagens. Nesta última categoria, os objetos de análise emergirão das manifestações discentes e docentes que revelem aspectos relacionados com factores desta natureza. Esta dimensão pode revelar-se particularmente importante na análise de processos de estudo desenvolvidos com grupos de alunos com algumas especificidades, como por exemplo, com alunos imigrantes ou alunos portadores de algum tipo de incapacidade. 2.2 CONTRIBUTOS DA INVESTIGAÇÃO PRODUZIDA NO ÂMBITO DO MODELO ONTOSSEMIÓTICO DO CONHECIMENTO E INSTRUÇÃO MATEMÁTICA É já bastante significativa a produção investigativa em Educação Matemática suportada nos constructos concetuais e nas várias ferramentas metodológicas elaborados pelo modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática. De facto, tanto as teses de doutoramento e de mestrado sustentadas neste marco investigativo como as numerosas publicações já disponibilizadas em revistas de referência e as comunicações apresentadas em diversos eventos de natureza pedagógico/didática afirmamno como uma referência na esfera da Didáctica da Matemática. Em 2012, tinham já sido publicados 72 artigos relativos a desenvolvimentos e aplicações do EOS em revistas indexadas (Godino, 2012). Nos parágrafos seguintes, referimos alguns trabalhos já incorporados no corpus de conhecimento de natureza científico/didática que foram produzidos sob este enfoque teóricometodológico. Como se pode constatar, resultam em múltiplos contributos à conceção e implementação de práticas de ensino/aprendizagem da Matemática, adequados e a ter em consideração quer no desenvolvimento curricular desta disciplina nos vários níveis de ensino, quer na esfera de programas de formação de professores que já atuam ou actuarão profissionalmente nesses mesmos níveis. Capítulo 2: Marco teórico 57 No âmbito da sua tese de doutoramento, Castro (2011) descreve-nos um processo formativo realizado com futuros professores de Educação Primária. Esse processo contemplou a exploração ontossemiótica de uma proposta de análise didática e a identificação de propostas, elaboradas pelos futuros professores visando a promoção do raciocínio algébrico de crianças na escolaridade básica, sustentadas no uso de uma ferramenta de análise didática desenhada a partir de propostas teóricas formuladas pelo EOS. No mesmo ano, a aplicação deste marco EOS permitiu a Konic (2011) analisar os objetos e significados postos em jogo na resolução de questões sobre os números decimais e suas representações e caracterizar os significados pessoais de estudantes em formação, futuros professores na especialidade de Educação Primária, sobre esse tema matemático. Este estudo revelou dificuldades de compreensão e de utilização competente dos números decimais por parte dos estudantes que colaboraram no estudo, sugerindo linhas de atuação passíveis de orientar o desenho e a avaliação de ações formativas de professores desse nível de ensino sobre esse conteúdo específico. O objetivo principal da investigação desenvolvida por Fernández (2011) consiste na avaliação das capacidades de visualização e raciocínio espacial de futuros professores da educação primária, pretendendo não somente aplicar o modelo EOS mas também contribuir para o seu desenvolvimento na dimensão relativa à avaliação de aprendizagens geométricas. Partindo de um estudo piloto que possibilitou uma análise epistémica sistematizada de objetos e processos envolvidos, são avaliadas as capacidades iniciais de visualização e raciocínio espacial iniciais de futuros professores. Este estudo aponta lacunas dos futuros professores ao nível do conhecimento comum e avançado sobre visualização e raciocínio espacial, recomendando o desenho, implementação e avaliação de ações formativas que melhorem desempenhos dessa natureza. Estabelecendo para objetivo geral da sua investigação a caraterização da adequação didática de processos de estudo sobre o cálculo integral e pretendendo contribuir com conhecimento sistematizado sobre a elaboração de propostas de instrução de qualidade para a formação de professores de matemática do ensino secundário, no percurso de investigação percorrido no seu processo de doutoramento Crisóstomo (2012) sustenta-se na categorização Isabel Claudia Nogueira 58 de análise proposta pelo modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Instrução Matemática, em particular na noção de adequação de processos de ensino e aprendizagem. Centrada nas facetas epistémica e cognitiva do conhecimento matemático e didático sobre a noção de proporcionalidade na educação primária, a investigação realizada por Rivas (2012) desenvolve uma ferramenta teórica adequada à análise epistémica e cognitiva dos processos de resolução de tarefas matemáticas, que permite reconhecer quais os objetos e significados devem ser considerados nos processos de ensino sobre este conteúdo específico. Este estudo conclui em simultâneo a utilidade e a complexidade do domínio instrumental da ferramenta desenvolvida para promover o conhecimento especializado do conteúdo associado a este tema matemático. Abordando a avaliação epistémica do conhecimento matemático e didático sobre o conceito de derivada em futuros professores de matemática no ensino secundário, da investigação desenvolvida por Pino-Fan (2013) emergem critérios de idoneidade que, uma vez mais, possibilitam conceber metodologias didáticas para desenvolver e incrementar o conhecimento especializado do conteúdo matemático, neste caso específico sobre a derivada. Os resultados apresentados por este projeto permitem também aceder a uma caraterização do conhecimento que deverão dispor os futuros professores que lhes permita gerir de forma idónea as aprendizagens dos seus futuros estudantes. No estudo desenvolvido por Gonzato (2013), a autora foca-se na avaliação de conhecimentos de futuros professores de educação primária relacionados com o ensino da visualização de objetos tridimensionais representados no plano bidimensional. Propondo uma visão ontossemiótica dos aspetos envolvidos na visualização espacial, a aplicação do EOS permitiu analisar a complexidade de objetos e processos intervenientes no seu ensino/aprendizagem e destacar a importância do estudo de determinados conhecimentos para o seu ensino. Aké (2013) sustenta no EOS uma investigação focada na abordagem escolar da álgebra, numa intenção elucidativa da sua natureza e, concomitantemente, capacitativa dos professores para a utilização de novas formas no seu ensino. A partir da identificação dos significados pessoais e das necessidades formativas de futuros professores relacionadas com a inclusão do pensamento algébrico nos primeiros níveis de aprendizagem, a autora concebe, implementa e avalia um processo de formação para Capítulo 2: Marco teórico 59 futuros professores, que lhe permite desenvolver e avaliar as competências desses futuros professores tanto na resolução de tarefas de natureza algébrica como na identificação de objetos algébricos e atribuição de níveis de algebrização a atividades matemáticas escolares. No que respeita a contributos divulgados publicamente em publicações de outra natureza, além das obras já mencionadas em capítulos anteriores, salienta-se a produção mais recente relacionada com a identificação de componentes e indicadores de idoneidade de configurações didáticas (Godino, 2011; Godino et al, 2012, 2013), com a exposição de propostas de engenharia didática no marco EOS (Aké et al, 2014; Godino et al, 2014; Gonzato, Godino e Neto, 2011) e ainda as de contraste deste marco teórico com outros marcos de referência na Didática da Matemática (D'Amore e Godino, 2007; Drijvers et al, 2014; Godino, 2015). Isabel Claudia Nogueira 60 61 CAPÍTULO 3: CONTEXTO E PROBLEMA DE INVESTIGAÇÃO Um horizonte nada mais é do que o limite da nossa vista. Rossiter Raymond A concretização de qualquer projeto só terá sentido se a sua consecução for ao encontro da realidade em que se inscreve e tal realidade beneficiar da sua realização. Como tal, ao longo deste capítulo explicita-se de uma forma clara e objetiva o cenário de que se partiu para o desenho deste projeto de investigação e a forma como se propõe completá-lo com a sua realização. Inicialmente são apresentados o âmbito profissional, social e pessoal subjacente à sua realização, esboçando o contexto em que este estudo foi concebido. Na sequência desse enquadramento, são identificadas as principais ideias que nortearam a elaboração deste estudo, assumidas como linhas orientadoras da investigação, e que permitiram formular as questões a que esta investigação se propõe responder. Serão ainda apontados os contributos que poderão emergir com a concretização deste estudo e que, por tal, justificam a pertinência da sua concretização. 3.1 CONTEXTO GERAL DO ESTUDO A descrição de práticas da sala de aula e a posterior reflexão sobre as mesmas parecem-nos componentes fundamentais à compreensão do processo de aprendizagem/ensino da Matemática. De facto, e não descurando a importância de que se revestem as atividades situadas a montante desse(s) momento(s) – por exemplo, as que definem finalidades para essa área disciplinar e que orientam o respetivo desenvolvimento curricular –, a compreensão e a reflexão sobre práticas letivas afiguram-se como essenciais ao conhecimento sobre o desenvolvimento curricular desta disciplina no contexto da Educação Básica. A experiência na formação inicial de futuros educadores/professores e na formação contínua de educadores/professores em exercício tem naturalmente proporcionado um vasto Isabel Claudia Nogueira 62 conjunto de perceções e de reflexões sobre as formas de operacionalização do currículo de Matemática na Educação Básica. A perceção, enquanto formadores de professores da Educação Básica, assim como as frequentes reflexões com outros professores e investigadores desta área, de que tarefas de carácter relativamente rotineiro – cálculo de medidas, aplicação de fórmulas e conversão de unidades – constituíam o centro das atividades de sala de aula no âmbito da exploração das medidas, consubstanciaram-se na literatura existente. A par da utilização pouco significativa de instrumentos de medida, a insistência e a prevalência desse tipo de tarefas nos diferentes tópicos sobre medida são apontadas como origem da sua aprendizagem por processos de memorização de fórmulas e de repetição de procedimentos (Battista e Clements, 1996; Kamii e Clark, 1997; Outhred e Mitchelmore, 2000; Clements e Bright, 2003; Kamii, 2006). Com a convicção que a construção de conhecimento objetivo sobre processos de instrução só é possível através da realização de procedimentos e de análises cientificamente fundamentadas, considera-se agora que a identificação e a caraterização de práticas na exploração desse conteúdo refletidas no trabalho de investigação tutelado realizado (Nogueira, 2004) realizada no âmbito da formação pós graduada, foram, somente mas simultaneamente, um pequeno e primeiro passo na construção de conhecimento válido, objetivo e devidamente justificado sobre essas práticas. Com a realização desse estudo, de carácter eminentemente exploratório, surgiram novas indagações: Qual a natureza do conhecimento em jogo nas práticas letivas sobre medidas no 1º Ciclo da Educação Básica? Que tarefas são delineadas pelo professor para implementação nessas aulas? Que solicitações são apresentadas aos alunos nesses momentos? Qual a interação dos estudantes com o conhecimento em causa?  Que relações são estabelecidas entre professor e alunos intervenientes nesse processo? E entre os próprios alunos? Capítulo 3: Contexto e problema de investigação 63 A emergência destas questões abriu caminho a novas possibilidades de investigação e conduziu à delineação das linhas norteadoras desta proposta de investigação, cuja descrição é realizada no parágrafo que se segue. 3.2 LINHAS ORIENTADORAS DA INVESTIGAÇÃO No Programa de Matemática do Ensino Básico estão definidos três domínios temáticos para o 1º Ciclo: Números e Operações, Geometria e Medida, e Organização e Tratamento de Dados. Se a definição e estruturação de conteúdos nestes grandes temas matemáticos poderá parecer natural e de equivalente importância na educação matemática dos primeiros anos  quer pela tradição da escola básica em ensinar a ler, e escrever e a contar, quer pelos sucessivos apelos e concretizações curriculares que reforçaram nas últimas décadas as abordagens de natureza topológico-geométrica, quer ainda pelo carácter prático e utilitário que reveste os últimos temas referidos , já o conhecimento sobre as práticas de cada um deles não é uniforme. De facto, não são numerosas as referências a trabalhos recentes realizados sobre as práticas de sala de aula sobre a exploração das grandezas e medição nesta fase da escolaridade básica, o que, por si só, parece legitimar a realização de investigações sobre o desenvolvimento de tais práticas letivas. Partilha-se por isso com Chamorro (2001) da necessidade de identificação e compreensão dos aspectos didáticos específicos à aprendizagem/ensino destes conteúdos: tanto a sua descrição como a sua explicação poderão revelar-se ferramentas eficazes e adequadas ao serviço da engenharia didática nesta área. Com a realização deste estudo, centrado na implementação dita ‘rotineira’ das orientações curriculares definidas pelo currículo oficial para a Medida, pretende-se contribuir para um corpo de conhecimentos essencialmente ao nível do currículo implementado nas salas de aulas do 1º Ciclo aquando das explorações das grandezas e dos processos de medição. Do ponto de vista matemático, a complexidade inerente à formalização dos conceitos integrados na Medida tornam, para a mesma autora, a sua aprendizagem e o seu ensino tradicionalmente difíceis: para os alunos, que não os chegam a compreender, reduzindo-os Isabel Claudia Nogueira 64 apenas à manipulação e memorização de regras eminentemente aritméticas subjacentes ao funcionamento do Sistema Métrico Decimal; para os professores, na sua tarefa de os apresentarem aos seus alunos de forma compreensível (Chamorro, 1995). Por outro lado, e de acordo com a mesma autora, a acessibilidade a instrumentos de medição tecnologicamente sofisticados que substituem grandezas por números – balanças digitais e instrumentos de determinação de comprimentos utilizando tecnologia laser, por exemplo –, permitem falar de uma crescente “aritmetización de la medida” (1995, p. 36), desvalorizando o seu carácter topológico, desvanecendo os contornos inerentes à conservação da grandeza e transpondo a ordenação de objetos de acordo com uma dada grandeza para uma ordenação numérica, entre outras reduções. A compreensão das relações estabelecidas entre conceitos, professor e alunos durante esses processos revela-se por isso essencial ao tratamento didático destes temas. Entendendo a investigação sobre a prática como processo de aumentar o conhecimento sobre práticas e também como forma de resolução de problemas profissionais (Ponte, 2002), estabelecemos como eixo orientador para este estudo a compreensão das práticas de sala de aula na exploração de grandezas e da sua medição no 1º Ciclo. Esta orientação exige, por consequência, a descrição, a análise e a interpretação de processos de instrução nas seguintes dimensões: Natureza dos conhecimentos que estão a ser estudados nesses momentos (formulados matematicamente, determinados pelo currículo oficial e visíveis no currículo efetivamente implementado); Funções desempenhadas pelos intervenientes, nesses espaços e nesses tempos, na construção de conhecimentos matemáticos; Relações estabelecidas pelos intervenientes com o conhecimento em causa; Interações que se estabelecem entre os intervenientes nesse processo; Recursos materiais que suportam as atividades desenvolvidas A abrangência e a complexidade que caraterizam o estudo de práticas em todas estas dimensões conduziram a procura de um marco teórico que, no âmbito da Educação Matemática, nos disponibilizasse ferramentas adequadas para descrever, analisar e propor interpretação para processos desta natureza: o modelo Ontossemiótico do Conhecimento e Capítulo 3: Contexto e problema de investigação 65 Instrução Matemática (EOS), descrito por exemplo em Godino e Batanero (1998), em Godino (2002) e em Godino, Contreras e Font (2006), revelou-se adequado a estas exigências. Formulando uma ontologia de objetos matemáticos que entende a matemática como uma atividade de resolução de problemas socialmente realizada, como uma linguagem simbólica e como um sistema concetual organizado logicamente, o EOS considera os objetos matemáticos como entidades emergentes de ”sistemas de prácticas manifestados por un sujeto (o en el seno de una institución) ante una clase de situaciones-problemas” (Godino, 2002, p. 242). A realização de qualquer prática matemática implica, para este modelo, a mobilização de um conjunto de objetos ditos primários, que poderão ser de distintos tipos (linguagem, situações, definições ou conceitos, proposições, procedimentos e argumentos) e que serão os constituintes básicos de objetos de complexidade superior (Godino, 2002, p.246), emergentes nas práticas de instrução matemática. Este modelo concetualiza noções e disponibiliza técnicas e instrumentos de descrição e análise de atividades matemáticas, possibilitando a compreensão de processos instrucionais na sua complexidade, pelo que foi assumido como marco simultaneamente concetual e metodológico de referência desta investigação. 3.3 QUESTÕES EM INVESTIGAÇÃO Assumindo que a nossa investigação estabelece a compreensão das práticas de exploração de grandezas e sua medição nas práticas do 1º Ciclo da Educação Básica como problemática central, e na sequência das linhas gerais que definimos como orientadoras desta investigação, foram formuladas as seguintes questões: Questão 1. Quais são as práticas matemáticas desenvolvidas nos processos de instrução dedicados à exploração de grandezas e seus processos de medição nas salas do 1º Ciclo do Ensino Básico? Questão 2. Qual é a natureza do conhecimento presente e/ou emergente em práticas letivas realizadas na exploração de grandezas e seus processos de medição nas aulas de Matemática no 1º Ciclo do Ensino Básico? Isabel Claudia Nogueira 72 Configura-se, portanto, e de acordo com Bogdan e Biklen (1982), uma investigação de natureza qualitativa. Para Sandín (2003), a investigação qualitativa é uma atividade sistemática, orientada para a compreensão de práticas e de cenários socioeducativos, permitindo a tomada de decisões e possibilitando a descoberta e o desenvolvimento de um corpo organizado de conhecimentos. Com a realização do trabalho empírico, não se pretendeu prever comportamentos nem estabelecer relações de causalidade entre fenómenos e/ou mesmo generalizar resultados, aspectos tradicionalmente característicos de investigação de cariz positivista. Pelo contrário, e de acordo com Tuckman, partindo da observação dos fenómenos em acção, “que significa, muitas vezes, estar sentado nas salas de aula” (1994, p. 523) e mediante a construção de um quadro de análise de fenómenos interrelacionados, tenciona-se colaborar na ampliação do corpus de conhecimento com apresentação de propostas de cunho simultaneamente descritivo e interpretativo. Pelas razões apresentadas, a opção recaiu na realização de um estudo empírico interpretativo, de natureza eminentemente descritiva, suportado na análise de segmentos de processos instrucionais, integrados em aulas de matemática do 1º Ciclo da Educação Básica dedicadas à exploração das grandezas e medidas a elas associadas. Independentemente do paradigma em que se situa, qualquer investigação deve ser desenvolvida num quadro de atuação pautado por normas de natureza ética: em investigações de natureza interpretativa, tais normas assumem particular relevância, nomeadamente devido à proximidade existente entre investigador e participantes envolvidos. Os objetivos formulados para o estudo e os procedimentos previstos para a sua realização devem ser claramente explicitados pelo investigador aos restantes participantes: só nessas circunstâncias estaremos perante o que Punch (1994) e Fontana e Frey (1994) identificam como ‘consentimento informado’ dos participantes. A este respeito, os centros educativos e os professores envolvidos neste estudo foram devidamente informados dos propósitos da investigação e dos processos que se pretendiam implementar para a obtenção de informação (o pedido de autorização elaborado para esse efeito reproduz-se no Anexo I). Nesta fase, foi assumido o compromisso da presença do Capítulo 4: Opções Metodológicas 73 investigador como observador não participante no normal desenvolvimento das atividades letivas. Um segundo aspecto a ter em consideração diz respeito às implicações de carácter profissional ou pessoal que decorram da participação na investigação: qualquer processo investigativo deverá resguardar os participantes de eventuais penalizações que dela possam advir: o recurso ao anonimato, por exemplo, é uma estratégia habitualmente implementada com este intuito. Para salvaguarda deste aspecto, a apresentação dos dados que foram recolhidos suprime informação que de alguma forma possibilite a identificação quer da sua origem institucional quer dos participantes envolvidos. Um outro aspecto que deverá ressaltar destas colaborações reside no facto dela poder constituir-se uma oportunidade de desenvolvimento de todos os participantes, não acarretando apenas vantagens para o investigador: terminadas as observações, a reflexão sobre as práticas implementadas entre investigador e professores envolvidos foram uma constante. Acredita-se, por isso, que a colaboração neste estudo significou também o desenvolvimento profissional dos professores participantes. 4.2 DESIGN DO ESTUDO A identificação do design de uma investigação adoptado em qualquer estudo possibilita não só a avaliação interna desse estudo mas também a clarificação dos seus processos. (Tuckman, 1994) No âmbito do paradigma interpretativo, o estudo de caso é uma abordagem empírica que investiga determinado fenómeno no seu contexto real, revelando-se estes designs “particularmente úteis quando se pretende compreender determinados indivíduos, determinado problema ou uma situação em particular” (Patton, 1990, p. 54). Configurando-se como a estratégia mais adequada quando pretendemos conhecer o “como” e os “porquês” de um fenómeno (Yin, 1989), um estudo de caso é uma descrição analítica intensiva e globalizante de uma situação, que procura destacar o que de essencial e característico nela existe. Isabel Claudia Nogueira 74 Em consonância com Duarte (2008), para Morgado (2012) o estudo de caso revela-se uma estratégia de investigação muito útil ao nível de práticas de ensino e de aprendizagem, dado que “ o conhecimento que gera (…) resulta do estudo de uma situação/fenómeno específico em que se privilegia a profundidade da análise em detrimento da sua abrangência” (Morgado, 2012, p. 57). No âmbito da educação matemática, Ponte (1994) considera as seguintes três características como fundamentais a um estudo de caso: (i) Deverá apresentar um forte cunho descritivo – o investigador não tenciona modificar a situação, mas compreendê-la tal como ela é, proporcionando dessa forma o confronto da situação em questão com outras situações já conhecidas e com teorias existentes, podendo, assim, gerar novas teorias e novas questões de investigação; (ii) Não é uma investigação de carácter experimental – o investigador não tem (nem pretende) controlar os acontecimentos, nem tampouco manipular as potenciais causas do comportamento dos participantes; (iii) Trata-se de uma investigação de natureza empírica essencialmente baseada em trabalho de campo ou em análise documental. De acordo com as finalidades definidas para o nosso estudo, a opção do investigador para a concretização deste trabalho resultou no estudo de um caso – um conteúdo em um nível educativo particular: Grandezas e Medida no 1º Ciclo da Educação Básica. Acrescente-se que, dependendo dos objetivos do investigador, Stake (1994) propõe três tipos de estudos de caso: estudo de natureza intrínseca, estudo de natureza instrumental ou estudo de caso agregado. Para este autor, estamos perante um estudo de natureza intrínseca quando o investigador pretende estudar melhor um dado caso em particular. Um estudo de caso será de natureza instrumental quando, nesse caso, as atividades são detalhadamente analisadas e aprofundadas pelo investigador, na convicção que tal análise permitirá clarificar determinado problema ou aperfeiçoar determinada teoria. Quando se acredita que a utilização de um conjunto de casos, semelhantes ou distintos, permitirá uma maior compreensão sobre algum fenómeno, estaremos na presença de um Capítulo 4: Opções Metodológicas 75 estudo de caso agregado, que na sua essência constituirá um estudo instrumental de vários casos. Atendendo que se pretende contribuir para uma melhor compreensão sobre práticas letivas na exploração de grandezas e respetivos processos de medição, mediante a descrição de vários casos semelhantes na temática mas provenientes de distintos contextos, classifica-se esta investigação como um estudo de caso agregado  um estudo instrumental de diversos casos. As atividades serão detalhadamente analisadas considerando os contextos em que foram realizadas, pretendendo-se clarificar práticas matemáticas em salas do 1º Ciclo. Na secção seguinte veremos de que forma ocorreu o acesso e o registo de informação sobre as práticas letivas referidas. 4.3 TÉCNICAS E PROCEDIMENTOS DA RECOLHA DE DADOS Tendo em conta que a “metodologia orienta o investigador de modo a que este accione os métodos mais adequados para abordar a realidade social numa perspectiva crítica (…) de investigação” (Almeida e Pinto, 1995, p. 84), cabe aos investigadores seleccionar os métodos e as técnicas de recolha de dados mais adequados à investigação que se pretende concretizar. Estabelecendo como objetivo comum a todos eles a obtenção de informação, Tuckman (1994) identifica três tipos de fontes de dados como os mais frequentes em estudos de caso: entrevistas, documentos e observação dos fenómenos em acção. A este nível, a opção recaiu sobre a observação dos fenómenos em ação, e, a esse propósito, retomamos Yin quando sublinha justamente que o estudo de caso leva a fazer “observação directa e a coligir dados em ambientes naturais” (2005, p. 381), tendo sido elaborado um guião de apoio e suporte a essas observações (ver Anexo II). De acordo com Estrela, na observação “segue-se o princípio da acumulação e não o da selectividade; o trabalho de organização da informação é feito a posteriori, através de uma análise rigorosa dos dados colhidos. A “intensidade” e o pormenor do comportamento em si próprio são preocupação principal da fase de recolha.” (1986, p. 18). Isabel Claudia Nogueira 76 No que respeita a esta investigação, o respeito por estes princípios mereceu sempre espacial atenção: assumida a intenção de observar processos de estudo implementados no decurso das atividades escolares regulares, para obter e acumular o máximo de informação precisa e não selectiva – mas passível de análise rigorosa e exaustiva –, a observação do tipo naturalista afigurou-se como a mais adequada. Estamos perante uma observação naturalista, “forma de observação sistematizada, realizada em meio natural e utilizada desde o século XIX na descrição e quantificação de comportamentos” (Estrela, 1986, p. 49), quando os problemas são estudados no ambiente em que ocorrem e onde a posição do investigador “é a da distanciação, pois assenta no princípio da não-interferência, ou seja, da não participação” (Estrela, 1986, p. 49). A clarificação das expectativas e intenções do investigador, subjacentes à realização de um estudo de natureza interpretativa, é um dos critérios apontados por diversos autores no sentido de conferir lhe credibilidade (Denzin, 1989a), já mencionada. A utilização de vários e distintos procedimentos para obtenção de dados permitirá avaliar da validade dos processos utilizados: designa-se esta técnica por triangulação. Denzin (1989b) descreve quatro tipos diferentes de triangulação: a triangulação das fontes de dados, a triangulação de investigador, a triangulação da teoria e a triangulação metodológica. A triangulação das fontes de dados refere-se à recolha de dados recorrendo a diferentes fontes e, distinguindo subtipos de triangulação de fontes, o autor propõe o estudo de fenómeno em tempos, locais e com indivíduos diferentes. Sempre que vários investigadores recolhem dados sobre o mesmo fenómeno em estudo, independentemente uns dos outros, e/ou procedem posteriormente à comparação de resultados, estamos perante uma triangulação do investigador. Ocorre triangulação de teoria quando os dados recolhidos são interpretados à luz de diferentes teorias numa tentativa de verificação da sua utilidade. Por fim, numa triangulação metodológica são utilizados múltiplos métodos para estudar um determinado problema de investigação e, distinguindo subtipos de triangulação metodológica, o mesmo autor propõe a triangulação intramétodo – que envolve a utilização Capítulo 4: Opções Metodológicas 77 do mesmo método em diferentes ocasiões – e a triangulação intermétodos – que significa usar diferentes métodos em relação ao mesmo objeto de estudo. De acordo com o exposto, o confronto de informação proveniente de fontes distintas é um dos tipos de triangulação proposta para estudos de natureza qualitativa (Ludke e André, 1986; Erickson, 1989). Nesse sentido, e para este estudo, procedeu-se a uma triangulação de fontes de dados mediante a recolha de informação em diferentes salas de aula, de diferentes anos de escolaridade e abarcando práticas incidindo sobre a exploração de grandezas distintas. No parágrafo que se segue poderá encontrar-se a descrição dos diferentes momentos/contextos em que se efetuou a recolha de dados acima referida. 4.4 PARTICIPANTES NA INVESTIGAÇÃO Definidos já alguns dos principais contornos metodológicos que presidiram a esta investigação, serão agora referidos os que se relacionam especificamente com os professores que colaboraram com o estudo, intervenientes obviamente indispensáveis à sua realização. Uma das opções tomadas para a concretização deste estudo instituiu como alvos primordiais de atenção momentos de instrução implementados em turmas do 1º Ciclo da Educação Básica, na exploração das grandezas e/ou respectivos processos de medição, no decurso de atividades regulares. Não foi intenção estabelecer qualquer nexo de causalidade entre as múltiplas variáveis que, como se sabe, determinam fortemente a implementação de qualquer processo de aprendizagem/ensino – implantação da instituição de ensino (zona urbana/rural), o regime legal da instituição de ensino (natureza pública/privada), a experiência docente e as características específicas de cada grupo-turma, por exemplo. Algumas das aulas que serão reproduzidas e analisadas ocorreram em instituições públicas e outras em instituições privadas e foram construídas por professores e alunos com distintas experiências e vivências. Assume-se esta diversidade de contextos como propositada, encarando-a apenas como um elemento portador de variedade, possibilitando à priori um maior entendimento genérico sobre práticas específicas e potenciando uma ampla compreensão de aspetos em análise (e não Isabel Claudia Nogueira 78 dependente de variáveis como a natureza legal das instituições de ensino ou o local de implantação, por exemplo). Assume-se, assim, que a descrição e análise detalhada de algumas práticas dentro do caso em estudo permitirão generalização interna (Maxwell, 2005). Na observação, e segundo Flick, o foco da amostragem reside “nos lugares e nas observações” (2009, p. 121) e na elaboração da amostra deve atender-se a três dimensões: tempo, pessoas e contextos. Como consequência, o local em que o problema vai ser estudado deverá ter probabilidades de ser encontrado, esse local deverá ser reduzido a uma perspetiva do que é relevante para responder às questões em investigação e a amostra deve situar-se dentro do próprio caso: por tal, a amostra deve incluir pessoas e eventos que “estejam situados de forma distinta ao longo da dimensão temporal e em contextos diferentes” (2009, p. 123). Por razões operativas, utilizou-se uma amostra intencional (Ghiglione e Matalon, 1989) e por constrangimentos conjunturais e organizacionais, as observações realizaram-se em aulas desenvolvidas em três instituições – duas de carácter público e uma integrada na rede de ensino privado –, que foram corporizadas tendo em vista as grandezas específicas comprimento, massa e tempo, opção já justificada previamente. As aulas que foram descritas e analisadas neste estudo, apesar de terem ocorrido em diferentes momentos cronológicos, reportam todas ao mesmo ano letivo, realizaram-se em turmas de um dos 4 anos de escolaridade que integram este ciclo de escolaridade e foram dirigidas por professores que se disponibilizaram para colaborar nesta investigação. Conciliam-se desse modo duas das alternativas já propostas por Patton (2002) em situações de amostragem intencional: procurar casos especialmente típicos e que sejam, como refere Flick “particularmente característicos da média ou da maioria dos casos” (2009, p. 46) e convenientes, sempre que existam limitações a um acesso mais amplo. Em consonância com os pressupostos apresentados, os procedimentos adotados para o tratamento, a descrição e a análise da informação recolhida serão objeto de exposição no parágrafo seguinte. Capítulo 4: Opções Metodológicas 79 4.5 OPÇÕES DE TRATAMENTO, ANÁLISE E APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS Para a concretização deste estudo, a investigadora assumiu o papel de observadora não participante, no decorrer normal de aulas do 1º Ciclo destinadas à exploração de grandezas e/ou processos de medição. Essas aulas foram transcritas, constando as suas representações escritas do Capítulo 5 onde também são realizadas a apresentação e a análise dos resultados obtidos. A descrição e análise de cada segmento instrucional alvo de exame organizam-se em dois momentos. O primeiro momento consistirá numa descrição e caracterização gerais do processo de instrução em análise, concretizada em três etapas: (i) na primeira, e aceitando a sugestão de Flick (2009), procede-se à inclusão da transcrição escrita do processo de estudo analisado, opção tomada pelo facto de uma das dimensões em análise recair sobre o discurso oral produzido pelos intervenientes, tornando-se assim facilitado o acesso e a leitura do material produzido; (ii) na segunda etapa, são elencadas as características genéricas do contexto educacional observado (local, momento e duração da observação, número de indivíduos intervenientes e organização física do local observado); (iii) este primeiro momento é concluído com uma apresentação esquemática e posterior elaboração escrita da estrutura global do respectivo processo, suportadas na categorização estabelecida concetualmente pela técnica de análise semiótica. No segundo momento, cada processo de aprendizagem/ensino é pormenorizadamente detalhado, nos quatro primeiros níveis de análise sugeridos pelo EOS exemplificados em Font, Planas e Godino (2009), a saber: a) Identificação de práticas matemáticas realizadas, de natureza operativa e/ou discursiva, com o objetivo de resolver as situações-problema colocadas aos alunos, e manifestada pelas soluções propostas pelos alunos e pela comunicação dessas soluções ao grupo-turma; Isabel Claudia Nogueira 80 b) Identificação de objetos e processos matemáticos – ter-se-á em consideração o tipo de objetos presentes (elementos linguísticos, conceitos, procedimentos, proposições e argumentos) associados às respetivas dimensões duais (pessoal/institucional, ostensiva/não ostensiva, exemplar/tipo, elementar/sistémica e expressão/conteúdo). Serão também incluídos os processos de índole matemática associados aos objetos matemáticos identificados neste processo de estudo (problematização, comunicação, definição, enunciação, algoritmização e argumentação) e os processos associados às dimensões duais – generalização/ particularização, institucionalização / personalização, representação / significação, decomposição/reeificação, materialização/ idealização; c) Descrição das interações didáticas, que consubstanciam padrões de interação dos intervenientes nas práticas matemáticas produzidas. Pela relevância que poderão assumir na apropriação de conhecimento em jogo, merecerão particular atenção os potenciais conflitos semióticos produzidos/emergentes das práticas em análise; d) Identificação das normas que regularam as práticas e as interações percepcionadas no processo de estudo, visíveis nas relações professor/aluno e entre alunos, dada a sua importância como factor condicionante dessas mesmas práticas e interações. As descrições e as análises disponibilizadas foram submetidas a um processo de validação interna ou de conteúdo (Ollaik e Ziller, 2012), realizado por um grupo de peritos com competência e experiência científica e didática nos domínios de conhecimento ou do contexto do estudo (Matemática, Supervisão Pedagógica, Ensino Básico) e/ou no marco teórico que lhe serviu de referência (EOS). No decurso desta investigação e numa perspetiva simultaneamente exploratória e de familiarização com este tipo de análise, foram efetuadas análises parcelares de alguns segmentos instrucionais de Matemática implementados no mesmo nível de ensino em que esta se centra, como a que está patente em Nogueira (2015). Na elaboração da fase de apresentação, os resultados foram aferidos pelo grupo de peritos mencionado, conferindo-lhes desse modo fiabilidade (Ollaik e Ziller, 2012). Os resultados finais resultantes da aplicação dos níveis de análise do EOS estão plasmados no capítulo que de seguida se apresenta. 81 CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DE RESULTADOS Começa pelo princípio – disse o rei com gravidade – e segue até chegar o fim; aí pára. Lewis Carroll Definidas as finalidades e estabelecidos os objetivos para esta investigação, e em consonância com as opções teóricas e metodológicas que a sustentam e que foram já expostas nos capítulos anteriores, ao longo deste capítulo procederemos à descrição dos processos de estudo observados e à análise dos dados obtidos nessa etapa deste processo investigativo. Para esse efeito, este capítulo encontra-se organizado em quatro subcapítulos. Em cada um dos subcapítulos, poderão ser encontrados a descrição e os resultados da análise dos processos de estudo observados em cada um dos quatro anos de escolaridade que constituem o 1º Ciclo da escolaridade básica. Num primeiro momento, e após uma breve contextualização de cada processo de estudo, passaremos a apresentar: (1) A sua transcrição, com a representação escrita das atividades desenvolvidas e da comunicação observada entre os seus protagonistas; (2) Uma representação esquemática da sua estrutura global, que pretende elucidar de uma forma sucinta a dinâmica de todo o processo de instrução nas suas várias dimensões; (3) Uma caraterização genérica das ações e das tarefas realizadas pelos intervenientes no processo e a identificação dos recursos utilizados, de acordo com a tipologia proposta pela técnica de análise semiótica para a análise da atividade docente, análise da atividade discente e análise mediacional. Num segundo momento, para cada processo de estudo ficará patente a aplicação das noções teóricas propostas pelo EOS para a descrição e análise didática de processos de instrução matemática (D’Amore, Font e Godino (2007); Font e Contreras, (2008) e Godino, Font, Wilhelmi e Castro (2009)), nos níveis detalhados por Font, Planas e Godino (2009): a) Identificação de práticas matemáticas, realizadas por alunos e professor; b) Identificação de objetos e processos matemáticos, presentes nas atividades executadas; Isabel Claudia Nogueira 88 A análise deste episódio evidencia essencialmente processos de algoritmização de procedimentos de determinação de medidas de comprimento de objetos utilizando unidades de medida antropomórficas – de (13) a (20), de (30) a (41), de (52) a (66) – acompanhados de processos de comunicação, quer da responsabilidade dos alunos quer da iniciativa da professora. Os alunos realizam alguns processos de enunciação de proposições, apresentando as soluções encontradas, no decurso de processos de argumentação, como em (11) e (12), em (16), em (44) e em (72), ou a partir de conhecimentos extramatemáticos, como em (75), em (76) e em (87). As intervenções da professora basicamente configuram a institucionalização dos procedimentos de medição, recorrendo para esse efeito a processos de argumentação, visíveis de (41) a (45), de (67) a (72), em (86) e em (90). Reconhecem-se vários processos de generalização em (12), (75), (87) e (91), quando os alunos identificam situações como casos particulares do caso geral. A escrita da palavra “Comprimento” pela professora no quadro preto, em (1), foi o único processo de materialização e de representação ostensiva de um conceito neste episódio. Este segmento instrucional é finalizado pela professora com um processo de problematização, em (90), terminando os alunos os processos de institucionalização associados às tarefas de medição. 5.1.1.4 Descrição de interações didáticas – comprimento no 1º ano Identificados práticas matemáticas desenvolvidas, assim como os objetos e os processos de natureza matemática mais relevantes presentes no processo de instrução em análise, importará agora estudar de que forma estes elementos se relacionam entre si. Para esse efeito, serão descritas as interações didácticas manifestadas, atribuindo especial importância aos conflitos semióticos detetados. Logo no início deste segmento instrucional, ocorre um conflito semiótico quando nenhum dos alunos responde afirmativamente à questão colocada pela professora em (2) – “Já alguém ouviu falar de comprimento?”. Apesar da posterior sucessão de questões e de tarefas propostas pela professora estar relacionada com esta grandeza e alguns dos seus processos de medição, essa questão não é Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 89 retomada até ao final do episódio não podendo por isso ser verificada a resolução desse conflito. Todos os alunos experimentaram processos de medição de comprimentos com unidades antropomórficas, o que parece configurar um envolvimento real da classe nas tarefas proposta pela professora. A professora gere a restante aula propondo tarefas de medição de comprimento de objetos existentes na sala de aula, por vezes apenas a alguns alunos – por exemplo em (13), (15), (19) e (65) -, outras vezes a todos os alunos – como em (29) e (50) –, colocando interpelações e assumindo um papel essencialmente regulador durante a realização das atividades por parte dos alunos, que dispõem para esse efeito de um razoável grau de autonomia, e de tempo e recursos que poderão ser considerados suficientes. Por terem resultado na enunciação de argumentos válidos sobre a proporcionalidade inversa existente entre o valor da medida de comprimento de um objeto e o valor da medida do comprimento da unidade de medida, é de supor que os conflitos semióticos epistémicos e interacionais detetados de (32) a (40) e de (52) a (66) foram intencionalmente despoletados pela professora por opção didática. 5.1.1.5 Dimensão normativa do processo de estudo – comprimento no 1º ano A análise as atividades desenvolvidas ao longo deste processo de instrução permitiu identificar a existência de regras de natureza metaepistémica e regras reguladoras das interações sociais entre alunos e professora, que se encontram discriminadas seguidamente no Quadro 4: Quadro 4. Identificação de normas e metanormas (comprimento – 1º ano) Normas meta - epistémicas: Existem diferentes métodos de resolver um mesmo problema – (9), (16), (18) As soluções dos problemas têm de ser verificadas – (13), (19), (41), (65) Executam - se procedimentos matemáticos em contextos extramatemáticos – (75), (76), (87),(91) Normas reguladoras de interações: O professor avalia a correção de um procedimento – (30), (85) O professor decide a validade de uma argumentação – (45) O professor tem um papel determinante no início – (13), (15), (19) - , desenvolvimento – (30), (51), (85), (90) - e conclusão de intervenções dos alunos – (45), (86), (92) Isabel Claudia Nogueira 90 Normas reguladoras da utilização de materiais na aula: Os recursos físicos existentes na sala servem como suportes didáticos às atividades – (29), (50) 5.1.2 EXPLORAÇÃO DA MASSA NO 1º ANO Implementada no 3º período do ano letivo numa instituição privada e com uma duração de aproximadamente quarenta e cinco minutos, na aula cuja transcrição se apresenta em seguida participaram 17 alunos. As mesas de trabalho formavam um quadrado estando todos os alunos dispostos ao longo dos seus lados. No centro desse quadrado encontravam-se já colocados diversos materiais que foram utilizados ao longo deste processo de instrução. Quadro 5: Transcrição do processo de estudo - Massa no 1º ano Representação escrita da aula 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 A professora retira duas balanças de uma caixa: uma balança de cozinha e uma balança de dois pratos. Als: Olha, balanças! P: Vocês disseram muito bem: balanças. Para que servem? Al: Para pesar! P: Muito bem. Vocês disseram o peso mas também podemos dizer a massa: o peso de um caixote ou a massa. Temos uma balança no chão, para que serve? Al: Para medir. P: O peso ou … Als: a massa! P: Muito bem. Para que serve, então? Al: Para pesar pessoas. P [apontando para a balança de cozinha]: E esta aqui? Al: Para pesar a fruta! Al: Para pesar, quando queremos fazer um bolo…o açúcar! P: Muito bem, para pesar os ingredientes para um bolo. Nós já aqui fizemos um bolo. Al: Também podemos pesar lá um estojo! P [apontando para a balança de dois pratos]: E esta balança, para que servirá? Quantos pratos tem? Als: Dois. P: Porque será que esta tem dois pratos? Vamos imaginar que vamos ao supermercado e encomendávamos um produto que pesava quatro quilos. Para sabermos se o peso estava certo, púnhamos quatro quilos do outro lado e víamos se estava certo. Como sabemos? Al: Se estiverem iguais. P: Muito bem. Quando queremos comparar o peso de dois objetos, nós usamos balanças de dois pratos. Al: Com esta balança podemos ver em dois objetos qual é mais leve e qual é mais pesado. Al: Se puseres uma coisa com cinco quilos e outra com quatro, do lado que tem cinco quilos fica maior. Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 91 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 P [apontando para a balança de dois pratos]: Vamos só utilizar esta balança. Como se chama? Als: De dois pratos. P: Vamos pesar então o estojo do J.M. A professora coloca o estojo num dos pratos da balança e no outro coloca um cone de revolução em madeira. P: O que é mais pesado, I.? Al: O estojo do J.M. P: Porquê? Al: Porque está a cair mais para baixo! P: Isso significa que é tão pesado que faz força para baixo. Quem já andou num balancé? Als: Euu!! P: Vamos imaginar que a M. vai andar de balancé com a irmã mais velha [adolescente com 17 anos]. O que acontece se alguém sai de um lado? Als: Vamos para baixo! P: Porquê? Al: Porque não está lá ninguém! P: Porque fica mais peso onde vocês estão. A professora simula esta situação, retirando primeiro o estojo, e repetindo esse procedimento com o cone. P: O lado que está mais próximo do chão é o que está mais… Als: pesado! P: Vamos então comparar objetos. O que vamos pesar? Al: Uma régua e um lápis. Ou uma borracha. P: Então traz cá. Num prato pomos o lápis e no outro… Als: A borracha. A professora coloca um objeto em cada prato. P. Qual pesa mais? Al: A borracha. P: Porquê? Al: O prato da borracha fica em baixo. P: Porque é mais pesado. Muito bem. Vamos pesar mais umas coisinhas. I., traz um livro dali [apontando para um armário] e uma vela. A aluna vai buscar os objetos solicitados. Al: O livro é mais pesado! Al: É a vela! P: Quem tem razão? Al: É o livro: pode ter mais páginas mas a vela tem cera, que é mais pesada! P: E se o livro tiver mais páginas? Se for o meu dicionário? A professora coloca o livro num prato da balança e a vela no outro. O livro é o objeto mais pesado. P: Qual pesa mais? Als: O livro. Al: Se a vela fosse um bocadinho mais pesada ficava igual. P: M., vai buscar outra vela. A aluna vai buscar outra vela e entrega-a à professora, que as mostra à turma toda. P: Qual das velas vai pesar mais? A branca ou a vermelha? As opiniões dividem-se pelas três possibilidades: uma das velas ser mais pesada que a outra ou terem pesos iguais. P: I., porque dizes que é a branca? Al: Porque é maior! P: Vamos ver quem tem razão. A professora coloca as duas velas na balança: a branca é a mais pesada. P: A vela branca é mais pesada porquê? Al: Porque é maior! P: Vamos então ver a vela branca e a caixa da balança. O que é maior? Isabel Claudia Nogueira 92 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 Als: A caixa. Al: Mas a caixa é de cartão! A professora coloca a vela branca num prato da balança e a caixa no outro. A vela é mais pesada. P: Então, a caixa é grande mas é feita de cartão, que é um material leve; a vela é mais pequena mas é feita de cera, que é um material mais… Als: pesado! Al: Se tivesse mais caixas, podia ficar igual! P: Então vai buscar duas caixas ao armário. O aluno vai buscar as caixas e junta-as à que já está num dos pratos da balança: passa agora a vela a ser mais leve. P: Vêm, não é o tamanho que nos diz se um objeto é mais ou menos pesado! P: Já todos os meninos foram ao médico, não foram? Als: Já. P: E já todos se pesaram? Als: Sim. P: E qual é a balança que serve para isso? Als: A do chão. P: A A. vai pesar-se e o D. vai ver quanto ela pesa. A aluna A. coloca-se na balança e o colega, com a ajuda da professora, faz a leitura do peso na escala. Al: Vinte e quatro! P: Vinte e quatro quê? Als: Vinte e quatro quilos! P: Agora vai a M. e o G. vai ver quanto a M. pesa. As crianças satisfazem o pedido da professora. P: Cada tracinho a seguir ao vinte conta um quilograma. Al: Vinte e dois. P: Vinte e dois quê, G.? Al: Vinte e dois quilos. A professora dirige-se ao quadro onde escreve: 24 kg 22 kg P: I., quanto pesam estes dois meninos? A aluna dirige-se ao quadro, onde escreve 24 + 22 Seguidamente, realiza a operação, escrevendo: D U 2 4 + 2 2 4 6 P: Quanto deu? Al: Quarenta e seis quilos. A aluna retoma o seu lugar e os colegas copiam a conta do quadro para o caderno. P: Atenção ao que eu vou fazer e vou dizer. A professora pega em algumas barras de plasticina e coloca-as na balança de cozinha. Als: Ó professora, [o ponteiro da balança] não se mexeu! P: Um, dois, …, doze paus de plasticina. E a nossa balança, coitadinha, não se mexeu! Mas posso dizer-vos que esta plasticina pesa aproximadamente 50 gramas. Mas eu encontrei uma técnica: vocês vão ver se resulta ou não. Se eu puser a plasticina numa grande pirâmide vai pesar mais ... Als: Pois vai! Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 93 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 A professora vai rodando a balança para que todos vejam a sua escala. P: Estão a ver onde está o ponteiro. Está um bocadinho depois do zero. A professora reorganiza as barras de plasticina na balança, colocando-as todas juntas, encostadas umas às outras, na vertical. P: Então? Als: Está na mesma! P: Mas então, vocês disseram que… Als: É igual! P: Afinal está aqui um monte mas pesa o mesmo! Al: Porque é a mesma plasticina! P: Exactamente. Nós temos a mesma plasticina, podemos mudar a forma da plasticina mas ela não muda de peso. P [apontando para a balança]: Olhem, caiu a nossa torre! Mudou alguma coisa? Als: Não! P: Nós não pusemos lá nada nem retiramos de lá nada. Al: Se nós juntássemos a borracha da F. já mudava! P: Pois já, mas nós não vamos misturar a borracha com a plasticina… 5.1.2.1 Estrutura geral do processo de estudo – massa no 1º ano A partir da exploração e utilização de dois tipos de balanças existentes na sala de aula em que se desenvolveu este episódio – balança de dois pratos e dinamómetro –, as funções desempenhadas pela professora responsável pela turma traduziram-se essencialmente na atribuição de tarefas e sua consequente regulação, tendo a professora assumido com grande preponderância a gestão da sequência de atividades que propôs aos seus alunos. É visível a sua ação motivacional em diferentes momentos deste processo de instrução, quer apelando a dados e experiências não escolares dos alunos (recorrendo a características biográficas, atividades do quotidiano e jogos tradicionais, por exemplo), quer seleccionando-os para exemplificação e realização de processos de medição. Refira-se a sua efectividade no controle tanto nas atividades de interação social (nos diálogos ocorridos com e entre os alunos) como nas de natureza procedimental, na exemplificação do manuseamento dos instrumentos de medição. No desempenho dos alunos são de destacar, pela sua frequência, as ações de formulação de respostas às questões colocadas pela professora e as de argumentação oral. Apesar de responderem positivamente aos desafios que foram sendo colocados pela professora, não são numericamente muito representativas as tarefas de exercitação por parte dos alunos: a comparação de massas de diferentes objetos é realizada na sequência de manuseio dos utensílios de medição não da sua responsabilidade mas sim da professora. Isabel Claudia Nogueira 94 Na dimensão mediacional destaca-se a variedade de suportes físicos utilizados – livros, lápis, estojo, velas, caixa de cartão, plasticina; assinale-se ainda o recurso ao quadro para realização de uma operação de adição de valores de massas. A Figura 7, da página seguinte, apresenta uma visão esquemática do processo de estudo implementado: Figura 7: Estrutura global da aula sobre a massa no 1º ano de escolaridade 5.1.2.2 Identificação de práticas matemáticas – massa no 1º ano Já apresentada uma visão diagramática da estrutura geral deste episódio de sala de aula, no Quadro 6 estão elencadas as principais práticas matemáticas que nele foram reconhecidas: Quadro 6. Práticas matemáticas identificadas (massa 1º ano) Alunos: - Identificam i nstrumentos de medição de massa e de peso e suas funções - Demonstr am saber utilizar balanças - Formulam hipóteses para comparação de peso de objetos - Interpretam situações de pesagem de objetos - Realizam operações aritméticas envolvendo valores numéricos de medições - Motivação (colocação de questões) - Regulação Balança Dinamómetro Aceitação compromisso Formulação Argumentação Receção de informação Comparação de pesos de diversos objetos; pesagem de alunos no dinamómetro; exploração da invariância da massa Distinção balança/ dinamómetro - Motivação (colocação de questões) - Atribuição de tarefas - Regulação da atividade - Avaliação Utilizaç ão de balanças e dinamómetros para determinação de pesos Diálogo sobre utilização de balanças e o seu uso em distintas situações Balança de 2 pratos, dinamómetro Estojo Cone de revolução em madeira Livro, lápis e borracha Vela, Caixas em cartão Plasticina Exploração de técnicas Exercitação Argumentação Dimensão Mediacional Dimensão Docente Dimensão Discente Atividades / Estratégias/ Tarefas Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 95 Professor : - Contempla contextos extramatemáti cos na aula de matemática - Exemplifica a utilização de balanças, recorrendo a situações do quotidiano dos alunos e a aulas anteriores - Suscita explicações para os resultados obtidos nos processos de medição - Demonstra situações de invariância de massa /peso - Apela a conhecimentos de outras áreas da matem ática (sistema de numeração decimal e operações numéricas) 5.1.2.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – massa no 1º ano Os principais objetos matemáticos que emergiram no processo instrucional em estudo estão identificados no Quadro 7. Saliente-se a existência de elementos linguísticos de natureza gráfica, que, como já vimos, não tiverem lugar no noutro episódio de aula realizado no mesmo ano de escolaridade. Quadro 7. Identificação de objetos matemáticos (massa  1º ano) E LEMENTOS LINGUÍSTICOS Alunos: ( verbais) balanças , pesar , m edir , massa, dois, iguais, leve , pesado, cinco, quilos, quatro, maior, grande, vinte e quatro, vinte e dois, quarenta e seis, mesma (gráficos) D U 2 4 + 2 2 4 6 (simbólicos) 24 + 22 Professor : ( verbais) balanças, peso, massa, quilogramas, comparar, leve, pesado, maior, leve, um, dois, quatro, pesar, maior, grande, pequeno, duas, comparar, mais, doze, zero, cinquenta, gramas (simbólicos) 24 kg 22 kg C ONCEITOS Alunos: Pesar, medir, massa, peso, iguais, leve/pesado , quilos, mais pesado, maior, dezena, unidade Professor : Peso, massa, quilos , comparar, pesar, maior, grande/pequeno, leve/pesado, tamanho, quilograma, gramas, o mesmo, forma Isabel Claudia Nogueira 96 P ROCEDIMENTOS Alunos: Determinação do seu peso; l eitura de valores representativos de pesos de objetos; comparação da massa de objetos; resolução de uma adição de números inteiros P rofessor : Manipulação de balanças; r epresentação escrita de linguagem oral (registo dos valores do peso de dois alunos) P ROPOSIÇÕES Alunos: A s balanças servem para medir pesos – (4), (6), (10), (12), (13), (15); as balanças de dois pratos permitem determinar qual objeto é mais leve e qual é o mais pesado - (21), (22); os objetos mais pesados provocam maior descida no prato da balança – (30), (40), (49); os objetos maiores são os mais pesados – (66), (70); é possível equilibrar uma balança de dois pratos – (77); o peso de um indivíduo determina-se num dinamómetro – de (83) a (86); a disposição dos objetos não altera o seu peso - (116), (118). Professor : Quando queremos comparar o peso de dois objetos, nós usamos balanças de dois pratos – (20); é tão pesado que faz força para baixo – (31); não é o tamanho que nos diz se um objeto é mais ou menos pesado – de (71) a (80); podemos mudar a forma da plasticina mas ela não muda de peso – de (112) a (120). A RGUMENTOS Alunos: O objeto mais pesado provoca ma ior descida no prato da balança – de (28) a (30), de (34) a (36), de (46) a (49), (70); a colocação de objetos possibilita obter o equilíbrio de uma balança – (77); invariância do peso – de (118) a (122); Professor : O objeto mais pesado provoca maior des cida no prato da balança - (37), (49); invariância do peso - (119) Como veremos, a interação dos vários objetos matemáticos acima referidos ocorreu mediante processos matemáticos de vários tipos. Nesta aula, a professora realizou de forma sistemática processos de institucionalização, com especial destaque em (5), (20), (80) e (119), gerindo esses processos recorrendo frequentemente a processos de argumentação, envolvendo diversos elementos intensivos (grandeza peso, quantidade de peso, unidades de medida de peso, a medida como aplicação entre o conjunto das quantidades de grandeza e os números positivos, invariância do peso, como exemplos). A partir do processo de materialização realizado pela professora em (98) quando escreve no quadro os valores do peso de dois alunos, uma aluna mobilizou objetos e Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 97 procedimentos matemáticos, na materialização traduzida pelo cálculo da soma dos valores dos pesos de dois alunos, em (101), único momento de algoritmização escrita observado. Os processos de algoritmização exemplificativos da utilização de balanças de dois pratos foram efetuados pela professora na sequência de processos de generalização, invocando vários contextos específicos de medição da realidade dos alunos – como em (10), (12), (15), (18), (31) –, e por alguns alunos na determinação do seu peso – em (88) e (92). Detetam-se neste segmento de aula vários processos de enunciação e comunicação: por parte dos alunos – uma balança serve para pesar, em (4); os dinamómetros servem para pesar indivíduos, em (10) e (86); as balanças de dois pratos servem para pesar objetos, em (12), (13) e (15); é possível equilibrar uma balança, em (77) –, e da responsabilidade da professora – as balanças de dois pratos servem para comparar o peso de dois objetos, em (20); o peso de um objeto não depende do seu tamanho, em (75) e (80); a mudança de forma de um objeto não implica mudança do seu peso, em (119). 5.1.2.4 Descrição de interações didáticas – massa no 1º ano Para a implementação deste processo de estudo estiveram disponíveis vários recursos de apoio às atividades desenvolvidas; no entanto, a sua utilização foi maioritariamente da responsabilidade da docente – em (26), (38), (45), (57), (68), (74), (106), (110) e (112) –, tendo havido muito poucas oportunidades de experimentação por parte dos estudantes. Apesar da muita participação oral dos alunos, nomeadamente na sugestão de objetos para pesagem e na realização de algumas sequências argumentativas, nesta aula não é visível o fomento de trabalho colaborativo entre eles e raramente se assiste a momentos de promoção da sua autonomia, nomeadamente no que diz respeito à manipulação dos instrumentos de medição disponíveis na sala (excetuando as pesagens de dois alunos realizadas em (88) e (92), todas as outras medições foram executadas pela professora). Neste processo de instrução, registamos como primeiro e potencial conflito semiótico do tipo epistémico a introdução dos conceitos massa e peso como conceitos com igual significado, em (5); não sendo mais retomado, é de supor que para estes alunos os dois termos podem ser utilizados como sinónimos. Posteriormente assinala-se um outro conflito que resultou de se considerar que para se determinar o peso de pessoas e de objetos devem ser utilizados diferentes instrumentos de Isabel Claudia Nogueira 104 Professor : (verbais) medir, unidade, medida, capacidade, litro, maiores, menores, comprimento, distância, dois, pontos, início, fim, mais pequena, tamanho, valores, diferentes, fita métrica, metro, comprido, diferente, mais, menos, medida, metro, medições, segundo, tamanhos, dentro (simbólicos) clips fios Grupo 1 8 e meio 3 e meio Grupo 2 9 e meio 2 e um terço Grupo 3 12 3 e meio Grupo 4 11 e meio 3 e meio Grupo 5 6 e meio 5 e meio C ONCEITOS Alunos: Ca pacidade, litro, número racional , pequeno/maior, metade, igualdade/diferença, tamanho Professor : Compr imento, medir, largura, maior/ menor, comprido, metade, mais/menos, medida, igualdade, metro P ROCEDIMENTOS Alunos: Medição de comprim ento de objet os com unidades não standard (antropomórficas e de outra natureza); comparação de quantidades de comprimento; registo dos valores das medições no caderno Professor : Medição do comprimento de objetos com unidades antropomórficas (palmo da mão e pés); elaboração e preenchimento de tabela de dupla entrada para registo dos resultados das diversas medições P ROPOSIÇÕES Alunos: O litro é uma unidade de medida de capacidade - (4) ; diferentes unidades de medida provocam diferentes valores de comprimento de um mesmo objeto – (29), (41), (63), (73) Professor : Comprimento é a distância entre dois pontos – (14) ; para medir um comprimento é necessário identificar as extremidades do objeto – (19); o resultado de uma medição tem de incluir a unidade de medida utilizada – (76); o metro é uma unidade de medida invariável - (85), (92) A RGUMENTOS Alunos: Os valores de comprimento obtidos são diferentes por que as unidades de medida utilizadas também são – (29), (41), (63), (65), (73); os valores de comprimento obtidos são iguais porque as unidades de medida utilizadas também são – (46) Este episódio de aula inicia-se com um processo de idealização, da responsabilidade da professora, quando solicita aos alunos que recordem como medir capacidades, em (1). Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 105 Presenciam-se novamente processos deste tipo em (14), quando a professora pede aos alunos que imaginem como determinar a distância entre dois pontos, que de seguida materializa no quadro, após o que executa um processo de algoritmização, em (15), exemplificativo da técnica a aplicar nessa circunstância. Foi possível percecionar outros processos de idealização: em (47), por recurso a conhecimento de um contexto extramatemáticos e que conduziu um aluno a um processo de comunicação ao propor uma solução para a questão colocada; em (76), em que a professora suscita uma previsão sobre o resultado da utilização de unidades não convencionais na comunicação de valores de medidas. Ao longo deste processo de instrução os alunos realizaram sucessivos processos de algoritmização de procedimentos de determinação do comprimento de objetos por comparação direta com unidades de medida não standard, em (17), (20) e (21), recorrendo a unidades de natureza antropomórfica (pés e palmos), e em (54) e (57) as medições serviramse do comprimento de clips e de pedaços de fio como unidades de medida. Como consequência destes processos, assistimos a processos de argumentação para justificarem que os diferentes valores de medição do comprimento de um mesmo objeto se atribuem à utilização de unidades de medida de distintos comprimentos – em (29), (41), (63) e (73) – e que se obtêm valores iguais sempre que são utilizadas unidades com comprimentos idênticos, em (46), ou quando as medições são realizadas com recurso a instrumentos de medida que se suportam em unidades de carácter universal, em (46) e em (80). Mediante estes processos, é de supor ter ocorrido com estes alunos um processo de institucionalização da dependência entre valor do comprimento de um objeto e comprimento da unidade de medida utilizada para a comparação e consequente quantificação. A professora realizou processos de representação e materialização no quadro, em (59) e (61), com a representação ostensiva de símbolos matemáticos interpretáveis como os valores das medições dos objetos obtidos pelos vários grupos, tendo os alunos realizado um processo desta natureza com o registo no caderno dos valores que foram obtendo nas medições que executaram. Isabel Claudia Nogueira 106 5.2.1.4 Descrição de interações didáticas – comprimento no 2º ano Uma parte significativa desta aula decorreu com os alunos organizados em grupos de trabalho, favorecendo o trabalho cooperativo dos estudantes. Apesar de cada grupo de trabalho ter o seu porta-voz para comunicação com o grande grupo e com a professora, todos os alunos de cada grupo experimentaram em (21) as atividades de medição. Note-se que foi a professora que não só definiu as tarefas a realizar durante a aula, como também decidiu quais os objetos que os alunos deveriam medir e quais as unidades a utilizar nessas medições, como em (16), (19), (20), (49) e (50), (56): só propriamente na execução dos procedimentos de medição foi concedida bastante autonomia aos alunos, nomeadamente na escolha das estratégias a utilizar, como se pode constatar em (54). Relativamente ao tipo de recursos disponibilizados para esta aula, constata-se que são de conhecimento e uso habitual dos alunos em outras circunstâncias ou com outras finalidades, o que facilitou a sua utilização; verifica-se serem em quantidade suficiente para a concretização das atividades propostas. É de supor que o tempo atribuído pela professora para o desenvolvimento das atividades é adequado. Com efeito, apenas um dos cinco grupos de trabalho não foi capaz de realizar todas as tarefas no tempo que lhe alocado: tal situação, constatada em (58), pode configurar a existência de um potencial conflito semiótico entre alunos, possivelmente de natureza interacional e reforçado pela não adoção, por parte da professora, de estratégias adequadas a situações de eventual heterogeneidade discente (refira-se, no entanto, que tal hipótese não é possível de confirmar pela transcrição apresentada). Saliente-se por fim os processos de avaliação essencialmente formativa presentes neste processo de estudo, patentes essencialmente na verificação da correção dos procedimentos de medição realizados, como em (54) e em (86). 5.2.1.5 Dimensão normativa do processo de estudo – comprimento no 2º ano A configuração de objetos apresentada nas secções anteriores já permite estabelecer as principais regras epistémicas subjacentes a este processo de estudo. Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 107 O trabalho de grupo foi a forma eleita para a organização dos alunos e percebemos que grande parte das atividades foi suportada pela utilização de recursos materiais. Por estas razões, merecem particular atenção as regras visíveis nas interações que foram estabelecidas entre os alunos e entre os grupos de alunos e a professora. No Quadro 12 estão elencadas as normas mais relevantes que foram possíveis de inferir na transcrição deste episódio de instrução. Quadro 12. Identificação de normas e metanormas (comprimento  2º ano) Normas meta - epistémicas: O professor exemplifica os procedimentos – ( 15), (23) , (39) O professor organiza os vários resultados obtidos pelos alunos – (58), (69) Normas reguladoras de interações: Cada grupo tem um porta - voz que o representa – (58) O professor determina a forma de organização do trabalho dos alunos – (16), (58) O professor corrige as atividades, quando não estão a ser realizadas correctamente – (54) O professor seleciona o s aluno s que vão realizar tarefa s – (50), (61), (78), (87), (99) O professor explicita o insucesso dos alunos nas atividades – (58) Normas reguladoras da utilização de materiais na aula: O professor seleciona os mate riais para uso na aula – (19), (49), (53) O professor decide quando devem ser iniciadas e terminadas as atividades – de (19) a (21), (53), (56), (58), (69) Os resultados obtidos devem ser sistematizados no quadro – (59), (61) Os resultados devem se r registados por cada aluno no seu caderno - (21) 5.2.2 EXPLORAÇÃO DA MASSA NO 2º ANO Com uma duração de cerca de 30 minutos, o episódio que descreveremos decorreu numa instituição de ensino público na parte final do ano letivo. A turma é constituída por 23 alunos, dispostos em três filas paralelas ao quadro. A representação escrita da aula encontra-se no Quadro 13. Quadro 13. Transcrição do processo de estudo  Massa no 2º ano Representação escrita da aula 1 2 3 4 Os alunos encontram-se sentados nos seus lugares, a escrever a tabuada (tarefa realizada diariamente, por dificuldades de memorização) P: Vocês então vão todos à Comunhão! Als: Sim! P: Então agora façam de conta que eu sou a vossa mãe e estou a organizar a vossa festa. Reparei que me faltam algumas coisinhas: falta-me um fio para pendurar balões desta àquela parede; também reparei que para a festa e para o sumo me faltam laranjas e açúcar. Como o nosso prato vai ser arroz de frango, também preciso de comprar arroz. Isabel Claudia Nogueira 108 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 À medida que vai falando, a professora vai registando no quadro os ingredientes de que precisa: ____ fio ____ laranjas ____ açúcar ____ arroz P: Para eu ir às compras tenho de saber que quantidades é que preciso: quanto fio é que vou comprar, a quantidade de laranjas, … Als: … a quantidade de açúcar e a quantidade de arroz! A professora vai colocando no tampo da sua secretária alguns objetos que retira de um saco: uma fita métrica, uma balança de prato único e um copo graduado. P: Muito bem. Agora, preciso de laranjas. Já utilizámos o metro. Será que vamos precisar dele para as laranjas? Als: Não!! P: Qual será o utensílio que eu vou usar para as laranjas? Als: Aquilo de que a professora falou ontem! Als: Uma balança! P: Se fôssemos medir o nosso caderno, precisávamos desta fita métrica? Als: Não, usávamos a régua. P: Muito bem. Als: A fita métrica é para coisas maiores. Al: Como o quadro. P: Então vamos medir o quadro! A professora e um aluno dirigem-se ao quadro e medem o seu comprimento. P: Duzentos e cinquenta. Als: Dois metros e cinquenta centímetros. P: Nós já utilizámos uma balança de dois pratos. Enquanto fala, a professora vai simulando uma balança de pratos com os braços. P: O que é que acontece quando os meus braços são assim [posição de equilíbrio]? Als: Pesam igual. P: E se o meu braço esquerdo estiver em baixo? Al: Pesa mais. P: Como na fita métrica, a balança também tem números, que são a escala. O que é que é diferente? Al: Não tem os mesmos números! P: Tem. Al: A balança é para medir pesos e a fita métrica comprimentos! P: Muito bem. Als: Há outras fitas métricas. P: Quando medimos a nossa altura o que é que usamos? Se calhar um carpinteiro usa outro utensílio… A: O meu pai é carpinteiro. E usa outro metro! P: Muito bem. Vamos voltar às laranjas. Vamos utilizar o quê, um metro? Al. Não, laranjas! P: É essa a unidade de medida? Als: Não, é o quilo! P: O quilograma não é a unidade, a unidade é… Als: … grama! A professora mostra a escala da balança dirigindo-se a cada uma das mesas, salientando que os números constantes da escala variam de 100 em 100. P: Para vocês saberem o vosso peso, vocês medem-se com o metro? Als: Não!! P: Então? Als: Medimos na balança. P: Então usamos o metro para medirmos o quê? Als: O comprimento. P: Até que peso podemos pesar nesta balança? [apontando para a balança que anteriormente todos os alunos tiveram oportunidade de observar] Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 109 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 Al: Três quilos. A professora vai pressionando o prato da balança e solicita aos alunos que façam a leitura dos valores correspondentes aos diferentes pesos. P: Vamos agora pesar as laranjas. R., vem ajudar-me. A aluna encaminha-se para a secretária; começa a retirar as laranjas do saco, uma de cada vez, colocando-as em seguida no prato da balança. Quando todas as laranjas estão já na balança: P: Então, R., que quantidade de laranjas vamos comprar? A aluna não soube responder. A professora intervém: P: Então vamos ver. Até aqui, quanto é? [apontando para a escala da balança] Al: Um quilo. P: E até aqui então são…[apontando de novo para a escala da balança] Al: Dois quilos e duzentos gramas. P: Nós ainda não aprendemos a escrever dois quilos e duzentos gramas! Al: Dois kapa. A professora discorda abanando a cabeça. P: Lembram-se do euro? Al: Dois vírgula dois quilos! P: Só quilos? Al: Com g! P: Então, o que quer dizer o g? Al: Kilo. P: E o que quer dizer o k? A: Kilo! P: E o g? Al: Grama. P: Muito bem. Então temos dois quilos e duzentos gramas! A professora dirige-se ao quadro e completa: _8 m fio 2,200 kg laranjas ____ açúcar ____ arroz A professora dirige-se à sua secretária e, depois de remexer nos seus sacos, diz: P: Esqueci-me do açúcar! Vamos então tratar do arroz! A professora apaga açúcar da lista no quadro. P: Como vamos medir o arroz? Al: Com o quilómetro! Al: Com o metro! P: O que é o metro? Então vamos medir o arroz com o metro? Al: Não, com a balança. A professora coloca 1 kg de arroz na balança e escreve _8 m fio 2,200 kg laranjas 1 kg arroz 5.2.2.1 Estrutura geral do processo de estudo – massa no 2º ano A proximidade de uma situação significativa da realidade dos alunos (celebração da Comunhão Solene) é utilizada pela professora como motivação para as atividades que se desenvolvem na aula. Isabel Claudia Nogueira 110 A determinação da quantidade de vários ingredientes necessários para a festa comemorativa é o ponto de partida para a exploração de instrumentos de medição de atributos. A fita métrica é utilizada apenas para os alunos recordarem o seu uso, enquanto as restantes atividades de medição se destinam à determinação do peso de dois tipos de produtos. A professora orienta as intervenções dos alunos, dirigindo os diálogos e exemplificando procedimentos de medição de peso com recurso a balanças de prato único. Os alunos formulam respostas às sucessivas questões que vão sendo colocadas pela professora, recebendo informações relativas à leitura da escala de uma balança e à representação de unidades de massa do sistema métrico decimal. A estrutura global deste episódio instrucional encontra-se detalhada na Figura 9, a seguir apresentada: Figura 9. Estrutura global da aula sobre a massa no 2º ano de escolaridade 5.2.2.2 Identificação de práticas matemáticas – massa no 2º ano Após uma descrição prévia do processo de instrução em análise, identificamos e explicitamos no Quadro 14 as principais práticas matemáticas identificadas neste episódio de aula. - Motivação (situação do quotidiano dos alunos) - Atribuição de tarefa Quadro Fita métrica Aceitação compromisso Exploração Receção de informação Simulação de balança de dois pratos; exploração de balança de prato único; leitura de valores de pesos Utilização do metro - Motivação (situaçã o do quotidiano dos alunos) - Atribuição de tarefas - Regulação das atividades - Avaliação Determinação de pesos Diálogo sobre celebração da Comunhão; utilização da fita métrica para determinação do comprimento do quadro Balança de prato único Laranjas Saco de arroz Quadro Aceitação do compromisso Receção de informação Exercitação de técnicas Dimensão Mediacional Dimensão Docente Dimensão Discente Atividades / Estratégias/ Tarefas Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 111 Quadro 14. Práticas matemáticas identificadas (massa – 2º ano) Alunos: - Iden tificam instrumentos adequados à medição de atributos de vários objetos - Determinam comprimento de um objeto da sala - Lêem valores de massa/peso - Comunicam os resultad os da leitura de mass as/pesos - Identificam semelhanças com procedimentos extramatemáticos Professor: - Contextualiza a atividade matemática utilizando uma situação não matemática - Utiliza instrumentos de medição de peso - Valida as leituras das m edições efetuadas pelos alunos - Regista os valores das medições no quadro 5.2.2.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – massa no 2º ano Os objetos matemáticos identificados neste segmento de instrução estão elencados no Quadro 15, apresentado seguidamente. Quadro 15. Identificação de objetos matemáticos (massa  2º ano) E LEMENTOS LINGUÍSTICOS Alunos: (verbais) balança, régua, metros, centímetros, igual, mais, mesmo, números inteiros, pesos, comprimentos, quilo, grama, vírgula, quilómetro Professor: (verbais) metro, medir, fita métrica, números inteiros, escala, unidade de medida, quilograma, peso, pesar, quantidade, dois, duzentos (simbólicos) _ 8 m fio 2,200 kg laranjas ____ açúcar 1 kg arroz C ONCEITOS Alunos: Q uantidade, metro, centímetro, igualdade, número, peso, comprimento, quilograma, grama Professor : Q uantidade, medir, escala, altura, unidade de medida, peso P ROCEDIMENTOS Alunos: Determinação do comprimento de um objeto Professor : Medição do comprimento de um objeto; simulação de uma balança de dois pratos; utilização de balança de prato único; registo no quadro de valores de medições P ROPOSIÇÕES Alunos: As balanças são instrumentos de medição de pesos – (13), (32), (47); as fitas métricas servem para medir comprimentos de objetos maiores – (17), (32) Isabel Claudia Nogueira 112 A RGUMENTOS Alunos: A balança de dois pratos está equilibrada porque os objetos têm o mesmo peso – (26); o prato da balança está mais em baixo porque contém o objeto mais pesado – (28) A fase inicial deste processo de estudo pressupõe que os alunos assumam a situação problemática colocada pela professora. A partir de uma situação extramatemática significativa e mediante processos de idealização, visíveis em (4) e (6) e respeitantes à organização da festa de uma celebração, que implica a decoração de um espaço e a aquisição de produtos alimentares –, é de supor que os alunos se comprometam na busca de soluções, consubstanciando assim um processo de problematização. A exploração e esperada resolução desta situação problemática exigem a decomposição do problema inicial, de natureza complexa, em problemas mais elementares, configurando-se assim um processo de decomposição de uma entidade apresentada de forma sistémica em várias entidades de natureza mais elementar (dualidade sistémica-unitária). Mediante processos de comunicação oral, assistem-se a algumas sequências em que estão presentes tanto processos de enunciação de proposições – de que são exemplos (13), (17), (32) e (47) – como processos de argumentação – propostos pelos alunos em (26) e (28) –, em que parecem justificar os resultados que foram sucessivamente obtidos nas atividades. Na sequência iniciada em (60) e que termina em (74), a evocação de práticas já anteriormente experimentadas pelos alunos põe em evidência objetos matemáticos associados às convenções estabelecidas pelo sistema métrico decimal para a representação simbólica de valores de medições. A atribuição de significado a essas representações pressupõe a realização de processos de significação com algum grau de complexidade. Nas atividades desenvolvidas a partir daí, os processos de representação e materialização no quadro, registados em (5), (75) e (84) e traduzindo de forma ostensiva os valores das medições que foram sendo realizadas, são da responsabilidade da professora. A utilização de instrumentos de comparação de massas, quase sempre da responsabilidade da professora, suscita nos alunos processos de generalização, uma vez que a Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 113 situação problemática em questão é considerada um caso específico de uma classe mais geral de problemas e até de procedimentos – como em (12) e em (35). 5.2.2.4 Descrição de interações didáticas – massa no 2º ano O desenvolvimento desta aula parece indiciar um baixo grau de autonomia dos alunos. Esta situação pode ser inferida da seleção prévia de instrumentos a utilizar no decurso do processo instrucional, patente em (8), e na própria gestão desses instrumentos, visível nomeadamente na quase exclusiva manipulação desses mesmos instrumentos de medição pela professora, que concluímos de (43), de (52) e de (84). Recorde-se, porém, que a própria organização física da sala de aula não parece ser muito propícia à realização de trabalhos em pequenos grupos, por exemplo (todos os alunos estão sentados em 3 longas filas dispostas paralelamente ao quadro). À simulação de situações de utilização de balanças de dois pratos efetuada em (24) pela professora sucedeu a utilização e a leitura de valores de medição de peso em uma balança de prato único: por se tratar de instrumentos cuja utilização se baseia em princípios diferentes e por implicar utilizações e interpretações distintas, estas práticas distintas poderão originar potenciais conflitos cognitivos nos alunos. O apelo à mobilização de práticas utilizadas na resolução de problemas do mundo real suscitado pela professora em (35) revela um potencial conflito semiótico de natureza epistémica (utilização de diferentes instrumentos de medição de comprimentos em diferentes instituições) e interacional, porque produzido entre professora e aluna. Posteriormente, em (80) e (81) parece evidenciar-se um conflito semiótico de carácter simultaneamente epistémico e mediacional, quando são propostas unidades de medição de comprimentos como adequadas para exprimir valores de medição de massas. De alguma forma, poderá supor-se que na sua origem possam estar a presença e exploração destas duas grandezas no mesmo tempo didático, emergentes, como sabemos, da situação problemática eleita como base deste processo instrucional. 5.2.2.5 Dimensão normativa do processo de estudo – massa no 2º ano O desenvolvimento deste processo de estudo processou-se sustentado em distintas normas e metanormas. Isabel Claudia Nogueira 120 - Relaciona o sistema internacional de unidade s com o sistema de numeração decimal - Estabelece relação entre as distintas unidades de medida de comprimento do sistema internacional de unidades 5.3.1.3 Identificação de objetos e processos matemáticos – comprimento no 3º ano A variedade de objetos de natureza matemática presentes neste processo instrucional está coligida no Quadro 19. É apresentada posteriormente uma descrição mais detalhada dos principais processos matemáticos, desenvolvidos por alunos e professora ao longo do processo instrucional em que tiveram presentes tais objetos. Quadro 19. Identificação de objetos matemáticos (comprimento  3º ano) E LEMENTOS LINGUÍSTICOS Alunos: (verbais) números inteiros , metro, centímetro, décima, decímetro, números racionais em representação decimal, espessura (simbólicos) comprimento; =; 31,5; cm; largura; 21 Professor : (verbais) metro, medida, partes, d écima, decímetro, mais pequeno, centímetro, largura, altura, mais alta, comprimento, grossura, medidas, comparar, metro articulado, mais pequeno, centésima (simbólicos) comprimento; =; 1,26; m; 126; cm; largura; 63; altura; /; 68; espessura; Medidas de comprimento; quilómetro; hectómetro; decâmetro; metro; decímetro; centímetro; milímetro; mm; cm; dm; m; dam; hm; km; < (gráficos) 0 1 2 C ONCEITOS Alunos: Número inteiro, número racional, metro, décima, decímetro, milímetro, medir, espessura, altura, alto e baixo, maior e menor Professor: Metro, medida, número inteiro, divisão , partes, décima, decímetro, mais pequeno, centésima, centímetro, comprimento, largura, altura, espessura, comparar, igualdade, milímetro, menor P ROCEDIMENTOS Alunos: Medição de comprimento de objetos e de indivíduos com metro articulado; comparação de quantidades de comprimento; registo dos valores das medições no caderno Professor: R egisto no quadro dos valores resultantes das medições; divisão; designação de unidades de comprimento do sistema Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 121 métrico decimal; tradução de linguagem verbal para simbólica; ordenação de unidades de medida de comprimento P ROPOSIÇÕES Alunos: É possível efetuar medições recorrendo a unidades antropomórficas – (3); as unidades antropomórficas não produzem valores de medida rigorosos – (5); um metro corresponde a cem centímetros – (9); o decímetro é a décima parte do metro - (27); um decímetro divide-se em dez centímetros – (104); pode medir-se utilizando repetição sucessiva de unidades – (32); o milímetro é a décima parte do centímetro – (115); o milímetro é a milésima parte do metro – (118) Professor: Efetuar uma medição implica selecionar uma unidade de medida – (4); o metro permite obter valores de medida rigorosos – (6); o decímetro é a décima parte do metro – (28); espessura e grossura de um objeto são sinónimos – (70); um metro tem cem centímetros – (107); o centímetro é a centésima parte do metro; existe uma relação de ordem entre as unidades de medida de comprimento do sistema métrico decimal – (121) A RGUMENTOS Professor : O metro existe porque a s unidades antropomórficas não são rigorosas – (6); um mesmo objeto tem distintos valores de comprimento porque se utilizaram unidades de medida diferentes – (35) No segmento inicial do processo de instrução em análise e que decorre até (13) são observados processos de comunicação e de enunciação de proposições, relacionados com a utilização de unidades antropomórficas na determinação de comprimentos e com o estabelecimento da relação existente entre a unidade principal de comprimento e os seus submúltiplos decímetro e centímetro; em (103), (105), (107) e (111) esta relação é retomada pela professora, que culmina com um processo de institucionalização visível em (113). A fase de construção de um metro articulado por cada aluno é acompanhada por intervenções da professora, que ao pretender a institucionalização da relação entre unidades de medida de comprimento elabora processos de enunciação recorrendo a processos de generalização, estabelecendo essa relação a partir de relações do sistema de numeração decimal em (16), (22) e (28). A partir de (29), com a utilização do metro articulado em atividades de medição de comprimentos de objetos existentes na sala de aula, assistimos a processos individuais de Isabel Claudia Nogueira 122 algoritmização (exercitação da medição de comprimentos utilizando um instrumento de medição). Seguidamente, a professora realiza processos de representação e materialização, ao escrever símbolos matemáticos que deverão ser interpretados como conceitos de comprimento, de valores de comprimento e de equivalência entre valores de comprimento expressos em unidades distintas – observáveis em (41), (46), (52) e (59), por exemplo. Novo processo de representação e materialização é realizado pela professora em (93), ao socorrer-se da representação de uma reta orientada, que dessa forma constitui-se como um objeto ostensivo que evoca os objetos não ostensivos unidade e divisão da unidade em partes iguais. Por sua vez, as representações ostensivas existentes em (120) e (121) resultam novamente de processos de materialização por invocarem as principais unidades de medida de comprimentos definidas pelo sistema métrico decimal e a comparação que se pode estabelecer entre elas, respetivamente. É de supor que a realização da medição do comprimento de vários objetos – da mesa, em (29), da caneta, em (54), do livro de texto, em (58) e da borracha, em (65) – está orientada para o domínio do procedimento de utilização de um instrumento de medida de comprimento, o metro articulado, devendo conduzir os estudantes a processos de reificação de objetos de natureza essencialmente procedimental, de modo a serem por eles aplicados como solução a posteriores situações-problema. 5.3.1.4 Descrição de interações didáticas – comprimento no 3º ano A construção individual de um instrumento de medição de comprimentos, em (17), mas, essencialmente, a posterior utilização desse instrumento por cada um dos alunos desta turma, como em (29) e em (48), parece indicar a concessão de um certo grau de autonomia que se pretende na realização das práticas matemáticas definidas pelo professor para este processo de estudo. Nesta aula, foi possível assistir a partilha colectiva, em que os alunos confrontam entre si os valores obtidos nas medições que realizaram, em (33), (49), (55) e (68). Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 123 O tempo disponibilizado aos alunos para a realização das tarefas apresentadas pelo professor parece ser suficiente, dado que todos foram capazes de construir o metro articulado e de executar as medições indicadas na ficha de trabalho. A esse respeito, todos os objetos referidos na ficha de trabalho e que deveriam ser usados pelos alunos existiam em quantidade suficiente e que não comprometeu as atividades planeadas. Apesar da utilização de um recurso construído pelos alunos constituir habitualmente um fator de motivação acrescida para os próprios, a sua utilização revelou o pouco rigor desse recurso, tendo produzido potenciais conflitos mediacionais, pelas discrepâncias verificadas nos valores que foram sendo obtidos. 5.3.1.5 Dimensão normativa do processo de estudo – comprimento no 3º ano Como em qualquer processo de instrução, no caso em análise é possível identificar distintas normas que, ora de uma forma perfeitamente explícita ora porque presentes implicitamente, regulam as múltiplas interações que se estabelecem entre os seus intervenientes. O Quadro 20 é precisamente uma síntese dessas normas. Quadro 20. Identificação de normas e metanormas (comprimento  3º ano) Normas meta - epistémicas : O professor verifica a correção de procedimentos – (17), (19), (44), (56), (60) O pro fessor valida os resultados – (28), (40) Normas reguladoras das interações : O professor decide quais as tarefas e em que momento devem ser realizadas pelos alunos – (18), (42), (47), (54), (57), (58), (119) Normas reguladoras da utilização de materia is na aula: Os materiais a utilizar são distribuídos pela professor – (1), (14) O quadro serve para organizar e sistematizar os conteúdos explorados na aula – (41), (46), (52), (59), (64), (120), (121) Os resultados devem ser registados individualme nte no caderno do aluno – (119), (123) 5.3.2 EXPLORAÇÃO DO TEMPO NO 3º ANO Decorrida no 3º período do ano letivo, esta aula de 103 minutos, e cuja transcrição se apresenta no Quadro 21, foi desenvolvida em uma escola pública com uma turma de 24 Isabel Claudia Nogueira 124 alunos. Os alunos estão sentados em 5 filas paralelas ao quadro, cada uma das filas com 3 mesas de dois lugares cada. Quadro 21. Transcrição do processo de estudo  Tempo no 3º ano Representação escrita da aula 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Os alunos retornam à sala depois do intervalo da tarde. P: Vamos recomeçar a aula. Vamos todos colocar os relógios nas nossas mesas. [referindo-se a mostradores de relógios de ponteiros construídos em cartolina]. O ponteiro vermelho é o das … Als: horas! P: E o amarelo é o dos… Als: minutos! Al: segundos! P: Já sabemos que os nossos relógios não têm segundos. Vou agora distribuir uma folha por cada mesa para trabalharmos. A professora distribui uma ficha de trabalho pelos alunos (Ver Anexo IV). Um mostrador de um relógio analógico em cartolina é afixado no quadro. P: Vamos começar por ler a história; muitos meninos ainda têm dificuldade em trabalhar com as horas. C., lê a primeira imagem. A aluna lê o texto relativo à 1ª imagem, e a professora faz oralmente a exploração da imagem e do texto correspondente: o que aconteceu, quem disse o quê,… P: Vou chamar o K. para marcar no relógio do quadro as 8 horas. O aluno dirige-se ao quadro e coloca correctamente os ponteiros. P: Agora cada um vai marcar oito horas no seu relógio. P: A que horas a mãe chamou a Ivone? Als: Às oito horas. A professora “cola” uma cópia ampliada da 1ª imagem da história no quadro. Ao lado da imagem o aluno escreve 8 h. P: Vamos continuar. L., continua a história. O aluno lê o texto relativo à 2ª imagem, mas substitui oito e quarenta por oito menos cinco. P: Oito menos cinco? Onde leste isso? O aluno não explica. P: Oito e quarenta. Vai marcar no relógio do quadro. O aluno dirige-se ao quadro e coloca os ponteiros do relógio a marcar 8.50. Als: Está mal! P: [dirigindo-se a um dos alunos que fez o reparo] Vai então ao quadro corrigir e explicar. O aluno representa correctamente o tempo. Al: Se contarmos de cinco em cinco do um até oito dá quarenta. P: O quê? Do um ao oito dá quarenta? Quarenta quê? Batatas? Explica outra vez o que pensaste na tua cabeça. Al: Contei cinco, dez, quinze, vinte, vinte cinco, trinta, trinta cinco, quarenta minutos A professora “cola” uma cópia ampliada da 2ª imagem da história no quadro. Ao lado da imagem o aluno escreve 8 h 40 m. P: Posso dizer oito horas e quarenta minutos de outra forma? 3 Als: Sim! P: S., podes dizer. Al: Nove menos vinte. P: Explica o que significa. Al: Que faltam vinte minutos para as nove horas. P: Muito bem. Vai escrever no quadro. Por baixo de 8 h 40 m a aluna escreve nove horas menos vinte. P: J., continua a ler a 3ª imagem. A professora “cola” uma cópia ampliada da 3ª imagem da história no quadro. Ao Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 125 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 lado da imagem um aluno escreve 9:00 . P: Concordam com a representação que o J. fez? Al: Sim. P: Como é que podíamos escrever de outra maneira? Um aluno dirige-se ao quadro e escreve 9 horas. P: Falta representar no relógio do quadro. O aluno que está no quadro coloca correctamente os ponteiros no relógio de cartolina, enquanto a professora circula pela sala verificando nas mesas se os restantes alunos também o fazem correctamente. P: Quem vai continuar a ler a história? R., lê a história. A professora coloca a 4ª imagem da história no quadro. Depois de ler a parte da história correspondente a essa imagem, o aluno escreve meio dia ao lado da imagem. P: Como podíamos representar meio-dia? Als: Doze horas. Al: Professora, na ficha tem um traço [referindo-se ao hífen da palavra meio-dia]. P: Com é que se chama esse traço? Als: Hífen. O aluno corrige o que escreveu para meio-dia. P: Z., porque é que podemos dizer meio-dia? Al: É como quando dizemos meia-noite! P: C., porque é? Al: Porque já passou metade do dia! P: Quantas horas tem o dia? Als: Vinte e quatro. P: V., és tu a seguir. A professora coloca a 5ª imagem no quadro. A aluna faz a leitura solicitada, após o que escreve ao lado da imagem 12 horas e 45 minutos. P: Como é que podemos representar doutra forma doze horas e quarenta e cinco minutos? Um aluno pede licença para ir ao quadro onde escreve 12 h 45 m. P: Ou … Al: Uma hora menos um quarto! Al: Ou treze horas menos… P: Menos…? Al: Treze horas menos quinze minutos! P: Ou poderíamos dizer treze horas menos um quarto, treze horas menos 15 minutos! Al: Posso fazer uma pergunta? P: Sim! Al: Quem inventou as horas? P: É uma boa pergunta para investigarmos! Já há muito tempo que se utilizam. Mas nós sabemos que se utilizaram outras coisas, como… Als: … o Sol! P: Como se via que era meio-dia? Onde estava o Sol? Al: À frente! P: À frente de quê? Al: Em cima de nós! P: V., falta colocar os ponteiros do relógio [do quadro] no sítio certo. A aluna V. coloca os ponteiros a marcarem uma hora e um quarto. P: Quem concorda? J., está bem? Vamos ajudar a colega! A J. vai ao relógio do quadro e representa meio-dia menos um quarto. A professora coloca-se ao lado do quadro: P: É meia-noite [representando esse tempo com os ponteiros], estou a dormir. Durmo uma hora, duas horas [vai girando os ponteiros do relógio à medida que vai falando]… e acordo às… Isabel Claudia Nogueira 126 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 Als: Oito horas! P: Vou para a escola, faço os trabalhos e chega o… Als: Meio-dia. P: Como disse a C., já passou metade do dia. A professora vai representando o tempo no relógio que se encontra no quadro. P: Se continuarmos chegaremos outra vez aqui, mas já é meia-noite! Vamos então retomar a nossa história. A professora retoma a leitura da história na 6ª imagem, que vai colocar no quadro, e quando chega à parte do tempo, pára: Al: Meio-dia e cinco.[completa, referindo-se à uma hora] P: Será? Quem vai ao quadro representar este tempo? Al: Uma hora! P: Muito bem, M., vai escrever no quadro. A aluna M. dirige-se ao quadro onde escreve 1 hora da tarde ou 13 horas. P: Treze horas porque já passaram treze horas do dia ou uma da tarde, porque passou uma hora depois do meio dia. A professora coloca a 7ª imagem no quadro. P: Z., lê em voz alta. Feita a leitura: P: Então vamos escrever quatro horas da tarde ou… Não quero que ninguém diga nada, quero o Z. a pensar!! Enquanto espera que o aluno faça no quadro a tarefa, a professora vai verificando o trabalho realizado pelos restantes alunos nos seus lugares. O aluno coloca correctamente os ponteiros no relógio do quadro e escreve 4 horas da tarde. P: Que letra horrível! Apaga o que escreveste e volta a escrever! O Z. apaga o que escreveu e escreve com letra “mais legível” 4 horas da tarde ou 16 horas. P: Por fim, J.M. O aluno J.M. lê o texto correspondente à 8ª imagem, enquanto a professora coloca a imagem no quadro. P: Este é mais difícil. Podemos dizer seis menos um quarto ou… Als: Dezassete e quarenta e cinco. A professora vai verificando se os alunos nos seus lugares colocaram correctamente os ponteiros nos seus relógios. Um aluno escreve no quadro 6 menos um quarto ou 17h:45m , mas coloca os ponteiros a marcar seis horas e quinze minutos. Entretanto, a professora acalma dois alunos que estavam em “despique calmo”. Als [apontando na direcção do relógio do quadro]: Está mal !! P: L., vai corrigir e explicar ao teu colega. Meninos, quero pouco barulho pois quero ouvir a explicação. O aluno coloca correctamente os ponteiros mas não fornece qualquer explicação. P: J., tu não consegues explicar? O aluno também não fornece qualquer explicação. A professora começa a estabelecer paralelo entre a história que está a ser explorada e um dia real dos alunos: P: Quando eu digo que são seis menos um quarto, quero dizer que faltam… Als: Quinze minutos para as seis horas! P: Há aqui alguns meninos que não estão a entender, eu bem estou a ver! Quem ainda não entendeu? Três crianças colocam o braço no ar. P [dirigindo-se para toda a classe]: Vamos agora fazer de outra forma. Eu vou dizer algumas horas e vocês vão representá-las. I., marca quinze horas. Quinze horas ou três da tarde. O aluno coloca correctamente os ponteiros. P: R., agora és tu! Mas vais ser tu, P., a dizer as horas ao teu colega: ele marca e tu depois é que dizes se está bem ou não. Al: Seis e meia. Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 127 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 O colega marca correctamente. Al: Três menos dez. O colega marca três horas e dez minutos, após o que o aluno abana a cabeça, desaprovando a resolução. P: Cada um pega no seu caderno e vão todos escrever as horas que o R. disser. Vão todos fazer no seu lugar. Eu vou retirar a história [imagens elucidativas da história que se encontram afixadas no quadro], o R. vai dizer as horas e vocês têm algum tempo para fazerem e depois corrigimos. O aluno R. escreve no quadro: 3 menos 10 P: Todos a fazer. Os alunos vão executando a tarefa e a professora vai verificando-a, circulando pelos lugares, e pede a um deles para ir fazer a correcção ao quadro, no relógio de ponteiros de papel que lá se encontra. P: Faltam quantos minutos para as três horas? Als: Dez! P: Muito bem. Agora, o N. vai representar no relógio do quadro as horas que o J. disser; os outros fazem no seu lugar. O aluno diz e escreve uma e meia e aprova a colocação dos ponteiros efectuada pelo seu colega. P: Não podemos escrever isto [apontando para uma e meia] de outra maneira? Als: Treze horas e trinta! P:… minutos! A professora escreve no quadro 13h30m. P: Agora sou eu que vou dizer. J., escreve aí quinze horas menos vinte e cinco minutos. O aluno escreve no quadro 15 h menos 25 m. P: Não vamos já dizer nada; primeiro fazem no lugar, têm algum tempo, e depois corrigimos. O aluno marca no relógio do quadro 14h 50min e diz: Al: Professora, já está, mas acho que está mal! P: J., achas que está correcto? Al: Acho que não. P: Porquê? Al: Assim é três menos dez. A professora dirige-se ao quadro e explica que dizer menos vinte e cinco significa faltarem 25 minutos para as três horas. P: Agora digo só para o N.: são dezassete horas menos dez. O aluno representa correctamente o valor no relógio de ponteiros. P: Concordam com o N.? Als: Sim. P: Alguém tem mais dúvidas em relação ao relógio? Um aluno responde afirmativamente e a professora chama-o para perto do relógio que estão a utilizar no quadro. P: Vai o R. dizer as horas. Al: Cinco menos cinco. P: Qual foi a hora que o R. disse? Als: Cinco menos cinco. Enquanto o aluno escreve 17 h menos 5 minutos, o colega representa 17 h 25 min. P: Quando eu digo dezassete menos cinco, para serem dezassete horas quantos minutos ainda faltam? R., explica! Al: Se colocar assim [ponteiros a marcar 5 horas] são cinco horas, por isso só tens que tirar cinco minutos [à medida que vai falando vai rodando o ponteiro dos minutos colocando-o no sítio correcto], percebeste? P: Agora vou ver quem é que esteve com atenção. A professora distribuiu outra ficha de exercícios pelos alunos (Ver Anexo V). P: Colocam o nome e a data e depois vamos ver quem é que teve dificuldades. Façam a lápis: nome e data a caneta, resolução a lápis. É para fazerem em casa. Isabel Claudia Nogueira 128 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 A professora inicia a leitura da ficha, explicando cada exercício. Terminada a leitura: Als: É para trabalho de casa, professora? P: Sim. Agora vamos fazer os exercícios que eu vou escrever no quadro. Os alunos guardam a ficha nas suas mochilas. Entretanto, a professora dirige-se ao quadro onde escreve: Completa: Um dia tem ___ horas. E uma semana? ___ Os alunos escrevem nos seus cadernos o exercício do quadro. P [apontando para o quadro]: Agora, quero que respondam ao que escrevi no quadro aí nos vossos cadernos. A professora observa se os alunos executam a tarefa e, de volta ao quadro, acrescenta: Completa: Um dia tem ___ horas. E uma semana? ___ Num dia, o ponteiro das horas dá ___ voltas ao relógio. Numa hora, o ponteiro dos minutos dá ___ voltas ao relógio. P: Isto é para pensarem! P: Quantos dias tem uma semana? Als: Sete! P: Cada um faz no seu lugar. Entretanto, a M., que esteve muito caladinha, vai fazer ao quadro. A aluna levanta-se e dirige-se ao quadro: P: Então, M., um dia quantas horas tem? Al: Vinte e quatro. A aluna completa no quadro Um dia tem 24 horas. P: M., vai lá tu agora! Al: Um dia tem vinte e quatro horas, mas em vez de fazermos a soma de vinte e quatro horas sete vezes fazemos vinte e quatro a multiplicar por sete! P: Alguém tem outra explicação? Al: Nós sabemos que uma semana tem sete dias e um dia tem vinte e qautro horas, então, fazemos logo directamente sete vezes vinte e quatro. P: Ou vinte e quatro vezes sete. No quadro, o aluno resolve a multiplicação 24 e escreve 24 x 7 = 168 x 7 168 completando no quadro: E uma semana? Uma semana tem 168 horas. Al: Professora, que é que inventou os dias da semana? P: Isso é bom para pesquisarmos na Internet, mas aqui não temos. L., podes vir ao quadro, por favor. O aluno dirige-se ao quadro, completando: Num dia, o ponteiro das horas dá 2 voltas ao relógio. Numa hora, o ponteiro dos minutos dá 1 volta ao relógio. 5.3.2.1Estrutura geral do processo de estudo – tempo no 3º ano Sustentada no uso de um simulador de relógio analógico e a partir da exploração de um exemplo de rotinas diárias, nesta aula os alunos utilizaram o quadro para comunicarem as soluções encontradas e, quando necessário, para correção de respostas incorrectas dadas às questões colocadas nas fichas de trabalho. Além disso, cada aluno exercitou a leitura e a representação de valores do sistema horário em mostradores de relógios analógicos previamente construídos pelos próprios em cartolina. Assim, a atividade discente resultou Capítulo 5: Apresentação e análise de resultados 129 essencialmente em momentos de exploração e de exercitação de técnicas e, em menor grau, de receção de informação. Relativamente à prestação docente, ao longo do processo de instrução a professora desempenhou funções de atribuição de tarefas, orientando a resolução da ficha de trabalho, selecionando os alunos para a partilha em grande grupo das soluções para as questões, e funções de avaliação, quer determinando de modo formativo as aprendizagens atingidas, quer tentando resolver dificuldades individuais detectadas. A estrutura geral deste processo de estudo encontra-se representada na Figura 11: Figura 11. Estrutura global da aula sobre o tempo no 3º ano de escolaridade 5.3.2.2 Identificação de práticas matemáticas – tempo no 3º ano No Quadro 22 estão sintetizadas as práticas matemáticas desenvolvidas pelos alunos da turma e pela professora, que foram consideradas mais relevantes no processo de estudo em análise: Quadro 22. Práticas matemáticas identificadas (tempo – 3º ano) Alunos: - Lêem e compreendem a s proposta s da ficha de trabalho e do quadro - Simulam valores de medidas do sistema horário - Representam valores horários em notação simbólica - R elacionam unidades d o sistema horário - Atribuição de tarefas - Avaliação - Atribuição de tarefas - Avaliação Mostradores de relógios em cartolina Ficha de trabalho Quadro Exploração Formulação Exercitação de técnicas Relações entre unidades do sistema horário; operações aritméticas no sistema horário E xploração da rotina diária Conversão de unidades do sistema horário Representação de valores horários em relógios analógicos; escrita simbólica de números no sistema horário Cadernos dos alunos Quadro Exercitação de técnicas Memorização Formulação Receção de informação Dimensão Mediacional Dimensão Docente Dimensão Discente Atividades / Estratégias/ Tarefas